From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sat Feb 1 11:40:00 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA25694 for obm-l-MTTP; Sat, 1 Feb 2003 11:37:46 -0200 Received: from itaqui.terra.com.br (itaqui.terra.com.br [200.176.3.19]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA25690 for ; Sat, 1 Feb 2003 11:37:43 -0200 Received: from bertioga.terra.com.br (bertioga.terra.com.br [200.176.3.77]) by itaqui.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id BD6B33BC268 for ; Sat, 1 Feb 2003 11:37:12 -0200 (BRST) Received: from pcalais (unknown [200.167.237.109]) (authenticated user pcalais) by bertioga.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 2C8583F8057 for ; Sat, 1 Feb 2003 11:37:12 -0200 (BRST) Message-ID: <003201c2c9f6$bea33520$6deda7c8@mshome.net> From: "Pedro Calais" To: References: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?=C1lgebra_Linear_e_Criptografia?= Date: Sat, 1 Feb 2003 11:35:07 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_002D_01C2C9E5.F894F2C0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2720.3000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2414 Lines: 66 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_002D_01C2C9E5.F894F2C0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal, =C9 a primeira vez que escrevo para a lista. Queria perguntar se algu=E9m sabe de m=E9todos de criptografia que = empreguem =C1lgebra Linear... Encontrei um em um livro que eu tenho onde s=E3o utilizados pares de = matrizes inversas! =C9 que tenho um trabalho a fazer sobre aplica=E7=F5es da =C1lgebra = Linear na Computa=E7=E3o, e a Criptografia me pareceu uma tema = interessante! atenciosamente, Pedro ------=_NextPart_000_002D_01C2C9E5.F894F2C0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Ol=E1 pessoal,
 
=C9 a primeira vez que escrevo para a=20 lista.
 
Queria perguntar se algu=E9m sabe de = m=E9todos=20 de criptografia que empreguem =C1lgebra Linear...
Encontrei um em um livro que eu tenho = onde s=E3o=20 utilizados pares de matrizes inversas!
 
=C9 que tenho um trabalho a fazer sobre = aplica=E7=F5es da=20 =C1lgebra Linear na Computa=E7=E3o, e a Criptografia me pareceu uma tema = interessante!
 
atenciosamente,
 
Pedro
------=_NextPart_000_002D_01C2C9E5.F894F2C0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sat Feb 1 14:08:17 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA27265 for obm-l-MTTP; Sat, 1 Feb 2003 14:06:30 -0200 Received: from smtp014.mail.yahoo.com (smtp014.mail.yahoo.com [216.136.173.58]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id OAA27261 for ; Sat, 1 Feb 2003 14:06:26 -0200 Received: from unknown (HELO david) (davidrvp@200.217.199.128 with login) by smtp.mail.vip.sc5.yahoo.com with SMTP; 1 Feb 2003 16:05:47 -0000 Message-ID: <003901c2ca03$b77f96a0$01646464@david> From: "David Ricardo" To: References: <003201c2c9f6$bea33520$6deda7c8@mshome.net> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_=C1lgebra_Linear_e_Criptografia?= Date: Sat, 1 Feb 2003 13:07:22 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1618 Lines: 49 Eu acho que seria meio chatinho falar sobre criptografia... Tem umas coisas muito mais interessantes... Sao milhoes de aplicacoes... Em Processamento de Imagens, Processamento de Sinais, Teoria de Circuitos, Computação Gráfica, Robótica, Teoria de Controle, etc. Eu falo isso pq eu faço Engenharia de Computação e sou da área de Automação Industrial e acho que as aplicações que eu citei acima são muito mais interessantes, mas se você quiser eu posso tentar arranjar algum material sobre criptografia. []s David ----- Original Message ----- From: Pedro Calais To: Sent: Saturday, February 01, 2003 11:35 AM Subject: [obm-l] Álgebra Linear e Criptografia Olá pessoal, É a primeira vez que escrevo para a lista. Queria perguntar se alguém sabe de métodos de criptografia que empreguem Álgebra Linear... Encontrei um em um livro que eu tenho onde são utilizados pares de matrizes inversas! É que tenho um trabalho a fazer sobre aplicações da Álgebra Linear na Computação, e a Criptografia me pareceu uma tema interessante! atenciosamente, Pedro _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sat Feb 1 15:22:16 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA28578 for obm-l-MTTP; Sat, 1 Feb 2003 15:20:36 -0200 Received: from web41508.mail.yahoo.com (web41508.mail.yahoo.com [66.218.93.91]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id PAA28574 for ; Sat, 1 Feb 2003 15:20:33 -0200 Message-ID: <20030201172001.48280.qmail@web41508.mail.yahoo.com> Received: from [200.217.62.47] by web41508.mail.yahoo.com via HTTP; Sat, 01 Feb 2003 14:20:01 ART Date: Sat, 1 Feb 2003 14:20:01 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?elton=20francisco=20ferreira?= Subject: [obm-l] dúvida To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 688 Lines: 14 Ás idades de um pai e de seu filho somam 42 anos. Daqui a qunato tempo será a idade do pai o quádruplo da idade do filho, sabendo-se que atualmente a idade do filho é 1/6 da idade do pai? _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sat Feb 1 15:27:24 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA28657 for obm-l-MTTP; Sat, 1 Feb 2003 15:26:04 -0200 Received: from web41501.mail.yahoo.com (web41501.mail.yahoo.com [66.218.93.84]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id PAA28652 for ; Sat, 1 Feb 2003 15:26:00 -0200 Message-ID: <20030201172528.70932.qmail@web41501.mail.yahoo.com> Received: from [200.217.62.47] by web41501.mail.yahoo.com via HTTP; Sat, 01 Feb 2003 14:25:28 ART Date: Sat, 1 Feb 2003 14:25:28 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?elton=20francisco=20ferreira?= Subject: [obm-l] dúvida To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 666 Lines: 13 uma pessoa vende uma propriedade de R$150.000. Se tivesse vendido por R$ 160.000, o lucro teria sido de 1/3 em relação ao preço da compra. qual foi o preço da compra? _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! 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Se cada livro custasse menos 5,00, poderia ter comprado mais 4 livros. Quantos livros comprou? _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! 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Pergunta-se: Quantas pessoas eram esperadas na festa? _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! 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Algo semelhante, ao sistema acima, é resolver a equação: z^2 - 30z + 81 =0. Onde encontramos: x = 3 e y = 27. Davidson Estanislau -----Mensagem Original----- De: "elton francisco ferreira" Para: Enviada em: Sábado, 1 de Fevereiro de 2003 15:42 Assunto: [obm-l] dúvida > Determinar dosi números sabendo que a média aritmética > é 15 e a geométrica é 9? ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sat Feb 1 16:53:34 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA32489 for obm-l-MTTP; Sat, 1 Feb 2003 16:52:01 -0200 Received: from soling.fortalnet.com.br (soling.fortalnet.com.br [200.253.251.18]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA32484 for ; Sat, 1 Feb 2003 16:51:57 -0200 Received: from CemagCerver (ip-ip61.fortalnet.com.br [200.253.221.190]) by soling.fortalnet.com.br (8.12.4/8.11.6) with SMTP id h11Ilg8o019548 for ; Sat, 1 Feb 2003 13:47:42 -0500 Message-ID: <003d01c2ca1b$0fcfce80$0203a8c0@CemagCerver> From: "Davidson Estanislau" To: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Fw:_=5Bobm-l=5D_d=FAvida?= Date: Sat, 1 Feb 2003 15:55:03 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2800.1106 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1105 Lines: 37 Seja: x: a idade do pai; y: a idade do filho. Temos o seguinte sistema: x + y = 42; x = 6y. Resolvendo, encontramos: x = 36 e y = 6. Considere "n" como a quantidade de anos decorridos. Então a quantidade de anos, em que a idade do pai será o quádruplo da idade do filho, através da seguinte equação: x + n = 4(y+n) => 36 + n = 4(6 + n) => n = 4. Davidson Estanislau -----Mensagem Original----- De: "elton francisco ferreira" Para: Enviada em: Sábado, 1 de Fevereiro de 2003 15:20 Assunto: [obm-l] dúvida > Ás idades de um pai e de seu filho somam 42 anos. > Daqui a qunato tempo será a idade do pai o quádruplo > da idade do filho, sabendo-se que atualmente a idade > do filho é 1/6 da idade do pai? ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sat Feb 1 17:01:15 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA00359 for obm-l-MTTP; Sat, 1 Feb 2003 16:59:56 -0200 Received: from smtp016.mail.yahoo.com (smtp016.mail.yahoo.com [216.136.174.113]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id QAA00350 for ; Sat, 1 Feb 2003 16:59:52 -0200 Received: from unknown (HELO david) (davidrvp@200.217.217.250 with login) by smtp.mail.vip.sc5.yahoo.com with SMTP; 1 Feb 2003 18:59:18 -0000 Message-ID: <004501c2ca1b$f3605660$01646464@david> From: "David Ricardo" To: References: <20030201172001.48280.qmail@web41508.mail.yahoo.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_d=FAvida?= Date: Sat, 1 Feb 2003 16:01:13 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2719 Lines: 97 Você realmente tentou fazer essas questoes? Se tentou, onde está a dúvida que você disse que tem? Não é legal ficar mandando um monte de questoes pra a lista apenas pra pegar a resposta, pois um dos objetivos da lista é discutir as questões para que possamos aprender. Aí vão as respostas: > Ás idades de um pai e de seu filho somam 42 anos. > Daqui a qunato tempo será a idade do pai o quádruplo > da idade do filho, sabendo-se que atualmente a idade > do filho é 1/6 da idade do pai? Considere x como sendo a idade do pai e y a do filho. t é o tempo que a questão pede como resposta. x + y = 42 x + t = 4(y+t) x = 6y => x = 36, y = 6. 36 + t = 4(6+t) t = 4 > Um estudante gastou 120,00 na compra de livros. Se > cada livro custasse menos 5,00, poderia ter comprado > mais 4 livros. Quantos livros comprou? Considere x a qnt de livros e p o preco de cada um. x * p = 120 (x+4) * (p-5) = 120 xp - 5x + 4p - 20 = 120 -5x + 4p - 20 = 0 4p^2 - 20p - 600 = 0 p = -10 ou 15. Como preço deve ser positivo, o livro custa 15 reais. Como x*p = 120, ele comprou 8 livros. > uma pessoa vende uma propriedade de R$150.000. Se > tivesse vendido por R$ 160.000, o lucro teria sido de > 1/3 em relação ao preço da compra. qual foi o preço da compra? lucro = venda - compra compra / 3 = venda - compra 4 * compra / 3 = venda compra = venda * 3 / 4 = 120000. Se eu entendi a questao, eu acho q eh isso... :) > Um comerciante promoveu uma festinha, e resolveu > distribuir entre os presentes 11.000. tendo > comparecido 5 pessoas mais que o número previsto, cada > uma recebeu 20,00 menos que a garantia que devia > receber. Pergunta-se: Quantas pessoas eram esperadas > na festa? x = numero de pessoas, v = valor a receber 11000 / x = v => 11000 = xv 11000 / (x + 5) = (v - 20) 11000 = xv -20x + 5v -100 0 = -20x + 5v -100 -220000/v + 5v - 100 = 0 5v^2 - 100v - 220000 = 0 v = -200 ou 220. Como v deve ser positivo, v = 220. Assim, eram esperadas 50 pessoas. > Determinar dosi números sabendo que a média aritmética > é 15 e a geométrica é 9? (x + y)/2 = 15 sqrt(x*y) = 9 x + y = 30 x*y = 81 81/y + y - 30 = 0 y^2 - 30y + 81 = 0 y = 3 ou 27 então x = 3, y = 27 ou x = 27 e y = 3. []s David _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sat Feb 1 17:32:37 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA01581 for obm-l-MTTP; Sat, 1 Feb 2003 17:30:56 -0200 Received: from sang.bol.com.br (sang.bol.com.br [200.221.24.24]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA01577 for ; Sat, 1 Feb 2003 17:30:53 -0200 Received: from bol.com.br (200.221.24.134) by sang.bol.com.br (5.1.071) id 3E26F7F2004625D4 for obm-l@mat.puc-rio.br; Sat, 1 Feb 2003 17:30:23 -0200 Date: Sat, 1 Feb 2003 17:30:22 -0200 Message-Id: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?q?Re=3A=5Bobm=2Dl=5D_d=FAvida?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain;charset="iso-8859-1" From: "cfgauss77" To: obm-l@mat.puc-rio.br X-XaM3-API-Version: 2.4 R3 ( B4 ) X-SenderIP: 200.193.244.133 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id RAA01578 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1475 Lines: 44 > Um comerciante promoveu uma festinha, e resolveu > distribuir entre os presentes 11.000. tendo > comparecido 5 pessoas mais que o número previsto, cada > uma recebeu 20,00 menos que a garantia que devia > receber. Pergunta-se: Quantas pessoas eram esperadas > na festa? Se x por o número de pessoas e p o valor que cada uma vai receber, então temos: 11000/x = p 1000/(x+5) = p-20 Resolvendo esse sistema tem-se que x = 50. > > _______________________________________________________ ________________ > Busca Yahoo! > O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura n a Internet > http://br.busca.yahoo.com/ > ======================================================= ================== > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ======================================================= ================== > __________________________________________________________________________ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. 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Existe ent=E3o um sub-intervalo de [a, b] no qual f =E9 estritamente crescente. =20 Estou come=E7ando a achar que, embora aparentemente fa=E7a sentido, esta afirma=E7=E3o =E9 falsa. Mas tamb=E9m n=E3o consegui dar um contra = exemplo. Talvez exista um n=E3o trivial, sendo f dada pelo limite de uma s=E9rie de = fun=E7=F5es ou por combina=E7=F5es de outras fun=E7=F5es.=20 =20 Mesmo relaxando o car=E1ter estritamente crescente e admitindo que f = seja apenas crescente, ainda asim n=E3o consegui chegar a qualquer = conclus=E3o. =20 Alg=FAem tem alguma id=E9ia a este respeito? Um abra=E7o. Artur ------=_NextPart_000_0007_01C2CA39.DF2B03C0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable

Boa noite a todos,

 

Pediram-se para = demonstrar a seguinte afirma=E7=E3o, que, embora intiuitivamente pare=E7a ser = verdadeira, est=E1 me causando grande dificuldade:

 

Seja f: [a, b] -> = R cont=EDnua em [a, b] e tal que f(a) < f(b). Existe ent=E3o um sub-intervalo de = [a, b] no qual f =E9 estritamente crescente.

 

Estou come=E7ando a = achar que, embora aparentemente fa=E7a sentido, esta afirma=E7=E3o =E9 falsa. Mas = tamb=E9m n=E3o consegui dar um contra exemplo. Talvez exista um n=E3o trivial, =A0sendo f dada pelo limite de uma = s=E9rie de fun=E7=F5es ou por combina=E7=F5es de outras fun=E7=F5es. =

 

Mesmo relaxando o = car=E1ter estritamente crescente e admitindo que f seja apenas crescente, ainda asim n=E3o = consegui chegar a qualquer conclus=E3o. =A0=A0

 

Alg=FAem tem alguma = id=E9ia a este respeito? Um abra=E7o.

Artur

------=_NextPart_000_0007_01C2CA39.DF2B03C0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sat Feb 1 22:03:58 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA04779 for obm-l-MTTP; Sat, 1 Feb 2003 22:02:38 -0200 Received: from puma.unisys.com.br (ns2.unisys.com.br [200.220.64.7]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA04775 for ; Sat, 1 Feb 2003 22:02:35 -0200 Received: from jf (riopm18p3.uninet.com.br [200.220.16.3]) by puma.unisys.com.br (8.12.3/8.12.3) with SMTP id h12023OO022469 for ; Sat, 1 Feb 2003 22:02:03 -0200 (EDT) X-Spam-Filter: check_local@puma.unisys.com.br by digitalanswers.org Message-ID: <01bf01c2ca4e$575a7100$bf02dcc8@jf> From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" To: "obm-l" Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Fw:_=5Bobm-l=5D_prova_de_uma_afirma=E7=E3o?= Date: Sat, 1 Feb 2003 22:01:33 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_01B8_01C2CA3D.7BD270C0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2600.0000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 9077 Lines: 248 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_01B8_01C2CA3D.7BD270C0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Qual a diferen=E7a entre "crescente" e "estritamente crescente"? JF ----- Original Message -----=20 From: Artur Costa Steiner=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Saturday, February 01, 2003 9:35 PM Subject: [obm-l] prova de uma afirma=E7=E3o Boa noite a todos, =20 Pediram-se para demonstrar a seguinte afirma=E7=E3o, que, embora = intiuitivamente pare=E7a ser verdadeira, est=E1 me causando grande = dificuldade: =20 Seja f: [a, b] -> R cont=EDnua em [a, b] e tal que f(a) < f(b). Existe = ent=E3o um sub-intervalo de [a, b] no qual f =E9 estritamente crescente. =20 Estou come=E7ando a achar que, embora aparentemente fa=E7a sentido, esta = afirma=E7=E3o =E9 falsa. Mas tamb=E9m n=E3o consegui dar um contra = exemplo. Talvez exista um n=E3o trivial, sendo f dada pelo limite de = uma s=E9rie de fun=E7=F5es ou por combina=E7=F5es de outras fun=E7=F5es. = =20 Mesmo relaxando o car=E1ter estritamente crescente e admitindo que f = seja apenas crescente, ainda asim n=E3o consegui chegar a qualquer = conclus=E3o. =20 =20 Alg=FAem tem alguma id=E9ia a este respeito? Um abra=E7o. Artur ------=_NextPart_000_01B8_01C2CA3D.7BD270C0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Qual a diferen=E7a entre "crescente" e = "estritamente=20 crescente"?
 
JF
 
----- Original Message -----=20
From: Artur = Costa=20 Steiner
Sent: Saturday, February 01, 2003 9:35 PM
Subject: [obm-l] prova de uma afirma=E7=E3o

Boa noite a = todos,

 

Pediram-se para = demonstrar a=20 seguinte afirma=E7=E3o, que, embora intiuitivamente pare=E7a ser = verdadeira, est=E1 me=20 causando grande dificuldade:

 

Seja f: [a, b] -> = R=20 cont=EDnua em [a, b] e tal que f(a) < f(b). Existe ent=E3o um = sub-intervalo de=20 [a, b] no qual f =E9 estritamente = crescente.

 

Estou come=E7ando a = achar que,=20 embora aparentemente fa=E7a sentido, esta afirma=E7=E3o =E9 falsa. Mas = tamb=E9m n=E3o=20 consegui dar um contra exemplo. Talvez exista um n=E3o trivial,  sendo f dada pelo limite de uma = s=E9rie de=20 fun=E7=F5es ou por combina=E7=F5es de outras fun=E7=F5es. =

 

Mesmo relaxando o = car=E1ter=20 estritamente crescente e admitindo que f seja apenas crescente, ainda = asim n=E3o=20 consegui chegar a qualquer conclus=E3o.   

 

Alg=FAem tem alguma = id=E9ia a este=20 respeito? Um abra=E7o.

Artur

------=_NextPart_000_01B8_01C2CA3D.7BD270C0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sat Feb 1 22:07:59 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA04837 for obm-l-MTTP; Sat, 1 Feb 2003 22:06:41 -0200 Received: from web13007.mail.yahoo.com (web13007.mail.yahoo.com [216.136.174.17]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id WAA04833 for ; Sat, 1 Feb 2003 22:06:37 -0200 Message-ID: <20030202000605.18181.qmail@web13007.mail.yahoo.com> Received: from [200.148.198.22] by web13007.mail.yahoo.com via HTTP; Sat, 01 Feb 2003 21:06:05 ART Date: Sat, 1 Feb 2003 21:06:05 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Helder=20Suzuki?= Subject: [obm-l] Combinatoria To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1531 Lines: 51 Duas questoeszinhas. _ _ _ _ _ _ _ 1 2 ... n _ _|_| |_|_| |_|_|_|_|_|_|_ B \_\ /_/ A \_|_/ |_| |_| |_| C |o| Imagine que o 'desenho' acima é uma linha férrea, aonde o segmento B é extensão do segmento A e o segmento C se conecta com ambos segmentos. Os numeros no segmento A representam n vagões _soltos_ e enumerados. Os vagoes podem se mover de A -> B, A -> C e C -> B, mas nunca de C -> A nem B -> A. De quantas formas eh possivel reagrupar os vagões no segmento B? (há espaço suficiente para n vagões tanto em A, quanto em B e em C) ------- Um conjunto A depende de um conjunto B se e somente se B != A e B for subconjunto de A. De quantas formas podemos ordenar todos subconjunto de um conjunto com n elementos distintos tal que nenhum desses subconjuto anteceda uma dependencia? por exemplo: os subconjunto {a, b, c} podem ser ordenado assim: (}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} assim tambem: {}, {a}, {b}, {a, b}, {c}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sat Feb 1 22:10:52 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA04884 for obm-l-MTTP; Sat, 1 Feb 2003 22:09:34 -0200 Received: from orion.netbank.com.br (orion.netbank.com.br [200.203.199.90]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA04878 for ; Sat, 1 Feb 2003 22:09:30 -0200 Received: from [200.193.163.158] (helo=smtp.leitner.homeip.net) by orion.netbank.com.br with asmtp (Exim 3.33 #1) id 18f7mC-0007Kv-00 for obm-l@mat.puc-rio.br; Sat, 01 Feb 2003 22:14:24 -0200 Received: from darkstar.leitner.homeip.net (darkstar [192.168.1.3]) by smtp.leitner.homeip.net (Postfix) with ESMTP id 48F329019 for ; Sat, 1 Feb 2003 22:04:40 -0200 (BRST) Received: by darkstar.leitner.homeip.net (Postfix, from userid 502) id 2E10C271950; Sat, 1 Feb 2003 22:10:59 -0200 (BRST) Date: Sat, 1 Feb 2003 22:10:58 -0200 From: Eduardo Henrique Leitner To: lista de =?iso-8859-1?Q?matem=E1tica?= Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?simplifica=E7=E3o?= Message-ID: <20030202001058.GA1686@darkstar.leitner.homeip.net> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=us-ascii Content-Disposition: inline User-Agent: Mutt/1.4i Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 435 Lines: 9 Simplifique: {[2 + 3^(1/2)] / {2^(1/2) + [2 + 3^(1/2)]^(1/2)}} + {[2 - 3(1/2)] / {2^(1/2) - [2 - 3(1/2)]^(1/2)}} ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sat Feb 1 23:55:19 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA07365 for obm-l-MTTP; Sat, 1 Feb 2003 23:53:13 -0200 Received: from artemis.opendf.com.br (artemis.opengate.com.br [200.181.71.15]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA07361 for ; Sat, 1 Feb 2003 23:53:09 -0200 Received: from localhost (localhost [127.0.0.1]) by artemis.opendf.com.br (Postfix) with ESMTP id 85B5E1CAE7 for ; Sat, 1 Feb 2003 23:52:10 -0200 (EDT) Received: from computer (200-181-089-197.bsace7001.dsl.brasiltelecom.net.br [200.181.89.197]) by artemis.opendf.com.br (Postfix) with ESMTP id 9289C1C882 for ; Sat, 1 Feb 2003 23:52:05 -0200 (EDT) From: "Artur Costa Steiner" To: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?RE:_=5Bobm-l=5D_Fw:_=5Bobm-l=5D_prova_de_uma_afirma=E7=E3o?= Date: Sat, 1 Feb 2003 23:52:33 -0200 Organization: Steiner Consultoria LTDA Message-ID: <001501c2ca5d$c18abee0$9865fea9@computer> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0016_01C2CA4C.FE037580" X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook, Build 10.0.2627 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 Importance: Normal In-Reply-To: <01bf01c2ca4e$575a7100$bf02dcc8@jf> X-Virus-Scanned: by AMaViS new-20020517 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 9564 Lines: 314 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0016_01C2CA4C.FE037580 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable =20 -----Original Message----- From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Jose Francisco Guimaraes Costa Sent: Saturday, February 01, 2003 10:02 PM To: obm-l Subject: [obm-l] Fw: [obm-l] prova de uma afirma=E7=E3o =20 Qual a diferen=E7a entre "crescente" e "estritamente crescente"? =20 JF =20 Dizemos que f =E9 crescente em um intervalo I se f(x1) <=3D f(x2) para = todos x1 e x2 em I tais que x1< x2.=20 =20 Dizemos que f =E9 estritamente crescente em um intervalo I se f(x1) < f(x2) para todos x1 e x2 em I tais que x1< x2. =20 De forma totalmente an=E1loga, existem tamb=E9m as defini=E7=F5es de = func=E3o decrescente e estritamente decrescente em um intervalo I. =20 Artur ------=_NextPart_000_0016_01C2CA4C.FE037580 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable

 

-----Original Message-----
From: = owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Jose Francisco Guimaraes Costa
Sent: = Saturday, February 01, = 2003 10:02 = PM
To: obm-l
Subject: [obm-l] Fw: = [obm-l] prova de uma afirma=E7=E3o

 

Qual a diferen=E7a entre = "crescente" e "estritamente crescente"?

 

JF

 

Dizemos que f =E9 crescente em um intervalo I se f(x1) = <=3D f(x2) para todos x1 e x2 em I tais que x1< x2. =

 

Dizemos que f =E9 estritamente crescente em um = intervalo I se f(x1) < f(x2) para todos x1 e x2 em I tais que x1< = x2.

 

De forma totalmente an=E1loga, existem tamb=E9m as = defini=E7=F5es de func=E3o decrescente e estritamente decrescente em um intervalo = I.

 

Artur

------=_NextPart_000_0016_01C2CA4C.FE037580-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 2 01:50:44 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id BAA08552 for obm-l-MTTP; Sun, 2 Feb 2003 01:49:17 -0200 Received: from ivoti.terra.com.br (ivoti.terra.com.br [200.176.3.20]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id BAA08548 for ; Sun, 2 Feb 2003 01:49:14 -0200 Received: from altamira.terra.com.br (altamira.terra.com.br [200.176.3.40]) by ivoti.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 9FEB8408A31 for ; Sun, 2 Feb 2003 01:48:44 -0200 (BRST) Received: from stabel (200-180-181-246.paemt7002.dsl.brasiltelecom.net.br [200.180.181.246]) (authenticated user dudasta) by altamira.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 65A213DC0AB for ; Sun, 2 Feb 2003 01:48:44 -0200 (BRST) Message-ID: <003c01c2ca76$5c51eda0$0301a8c0@stabel> From: "Eduardo Casagrande Stabel" To: References: <000601c2ca4a$a2b24d20$9865fea9@computer> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_prova_de_uma_afirma=E7=E3o?= Date: Sun, 2 Feb 2003 01:48:42 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2720.3000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1481 Lines: 36 Artur, não estou à mão com uma boa explicação. Mas lhe garanto com grande certeza de que existem funções contínuas f:[a,b]->R sem terem restrições crescentes ou decrescentes em intervalos próprios de [a,b]. É uma aplicação do teorema de Baire, um dos modos, que demonstra esse resultado. Não sei se é de grande ajuda, não lembrei da demonstração. Abraço, Duda. From: Artur Costa Steiner >Boa noite a todos, > >Pediram-se para demonstrar a seguinte afirmação, que, embora intiuitivamente pareça ser >verdadeira, está me causando grande dificuldade: > >Seja f: [a, b] -> R contínua em [a, b] e tal que f(a) < f(b). Existe então um sub-intervalo de [a, >b] no qual f é estritamente crescente. > >Estou começando a achar que, embora aparentemente faça sentido, esta afirmação é falsa. >Mas também não consegui dar um contra exemplo. Talvez exista um não trivial, sendo f dada >pelo limite de uma série de funções ou por combinações de outras funções. > >Mesmo relaxando o caráter estritamente crescente e admitindo que f seja apenas crescente, >ainda asim não consegui chegar a qualquer conclusão. > >Algúem tem alguma idéia a este respeito? Um abraço. >Artur ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 2 01:57:40 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id BAA08631 for obm-l-MTTP; Sun, 2 Feb 2003 01:56:21 -0200 Received: from traven.uol.com.br (traven.uol.com.br [200.221.4.39]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id BAA08627 for ; Sun, 2 Feb 2003 01:56:18 -0200 Received: from gauss ([200.158.96.82]) by traven.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with SMTP id BAA08973 for ; Sun, 2 Feb 2003 01:40:58 -0200 (BRST) Message-ID: <00a301c2ca78$f9a595a0$2accfea9@gauss> From: "Domingos Jr." To: References: <000601c2ca4a$a2b24d20$9865fea9@computer> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_prova_de_uma_afirma=E7=E3o?= Date: Sun, 2 Feb 2003 02:07:24 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_00A0_01C2CA5F.D3E29160" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2720.3000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 11905 Lines: 306 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_00A0_01C2CA5F.D3E29160 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable acho que sem a hip=F3tese de f diferenci=E1vel realmente isso n=E3o =E9 = verdadeiro...=20 d=EA uma olhada nessas fun=E7=F5es que, apesar de serem cont=EDnuas, = devem conter um intervalo fechado em que o valor de um extremo =E9 maior = que o outro e no entanto elas n=E3o possuem nenhum intervalo = estritamente crescente ou decrescente (=E9 um palpite, n=E3o estudei = essas fun=E7=F5es a fundo): http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassFunction.html http://mathworld.wolfram.com/BlancmangeFunction.html assumindo f diferenci=E1vel, seja f' sua derivada tb cont=EDnua no = intervalo [a, b] se f'(x) > 0 para algum valor de x em [a, b] na regi=E3o em torno a x as = derivadas tamb=E9m s=E3o maiores que 0 pois f' =E9 cont=EDnua, logo = existe um intervalo em [a, b] em que f =E9 estritamente crescente. para suponha que f'(x) <=3D 0 para todo x em [a, b], temos que f(b) <=3D = f(a), que n=E3o pode ocorrer. acho que =E9 s=F3, =E0s 2 da manh=E3 =E9 s=F3 o que eu consigo pensar = :-) ----- Original Message -----=20 From: Artur Costa Steiner=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Saturday, February 01, 2003 8:35 PM Subject: [obm-l] prova de uma afirma=E7=E3o Boa noite a todos, =20 Pediram-se para demonstrar a seguinte afirma=E7=E3o, que, embora = intiuitivamente pare=E7a ser verdadeira, est=E1 me causando grande = dificuldade: =20 Seja f: [a, b] -> R cont=EDnua em [a, b] e tal que f(a) < f(b). Existe = ent=E3o um sub-intervalo de [a, b] no qual f =E9 estritamente crescente. =20 Estou come=E7ando a achar que, embora aparentemente fa=E7a sentido, = esta afirma=E7=E3o =E9 falsa. Mas tamb=E9m n=E3o consegui dar um contra = exemplo. Talvez exista um n=E3o trivial, sendo f dada pelo limite de = uma s=E9rie de fun=E7=F5es ou por combina=E7=F5es de outras fun=E7=F5es. = =20 Mesmo relaxando o car=E1ter estritamente crescente e admitindo que f = seja apenas crescente, ainda asim n=E3o consegui chegar a qualquer = conclus=E3o. =20 =20 Alg=FAem tem alguma id=E9ia a este respeito? Um abra=E7o. Artur ------=_NextPart_000_00A0_01C2CA5F.D3E29160 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
acho que sem a hip=F3tese de f = diferenci=E1vel=20 realmente isso n=E3o =E9 verdadeiro...
d=EA uma olhada nessas fun=E7=F5es que, = apesar de serem=20 cont=EDnuas, devem conter um intervalo fechado em que o valor de um = extremo =E9=20 maior que o outro e no entanto elas n=E3o possuem nenhum intervalo = estritamente=20 crescente ou decrescente (=E9 um palpite, n=E3o estudei essas = fun=E7=F5es a=20 fundo):
http://mat= hworld.wolfram.com/WeierstrassFunction.html
http://math= world.wolfram.com/BlancmangeFunction.html
 
assumindo f diferenci=E1vel, seja f' = sua derivada tb=20 cont=EDnua no intervalo [a, b]
se f'(x) > 0 para algum valor de x = em [a, b] na=20 regi=E3o em torno a x as derivadas tamb=E9m s=E3o maiores que 0 pois f' = =E9 cont=EDnua,=20 logo existe um intervalo em [a, b] em que f =E9 estritamente=20 crescente.
 
para suponha que f'(x) <=3D 0 para = todo x em [a,=20 b], temos que f(b) <=3D f(a), que n=E3o pode ocorrer.
 
acho que =E9 s=F3, =E0s 2 da manh=E3 = =E9 s=F3 o que eu consigo=20 pensar :-)
----- Original Message -----
From:=20 Artur Costa=20 Steiner
Sent: Saturday, February 01, = 2003 8:35=20 PM
Subject: [obm-l] prova de uma=20 afirma=E7=E3o

Boa noite a = todos,

 

Pediram-se para = demonstrar a=20 seguinte afirma=E7=E3o, que, embora intiuitivamente pare=E7a ser = verdadeira, est=E1 me=20 causando grande dificuldade:

 

Seja f: [a, b] = -> R=20 cont=EDnua em [a, b] e tal que f(a) < f(b). Existe ent=E3o um = sub-intervalo de=20 [a, b] no qual f =E9 estritamente = crescente.

 

Estou come=E7ando = a achar que,=20 embora aparentemente fa=E7a sentido, esta afirma=E7=E3o =E9 falsa. Mas = tamb=E9m n=E3o=20 consegui dar um contra exemplo. Talvez exista um n=E3o trivial,  sendo f dada pelo limite de = uma s=E9rie=20 de fun=E7=F5es ou por combina=E7=F5es de outras fun=E7=F5es. =

 

Mesmo relaxando o = car=E1ter=20 estritamente crescente e admitindo que f seja apenas crescente, ainda = asim n=E3o=20 consegui chegar a qualquer conclus=E3o.   

 

Alg=FAem tem = alguma id=E9ia a=20 este respeito? Um abra=E7o.

Artur

------=_NextPart_000_00A0_01C2CA5F.D3E29160-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 2 11:25:57 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA16438 for obm-l-MTTP; Sun, 2 Feb 2003 11:24:27 -0200 Received: from web13004.mail.yahoo.com (web13004.mail.yahoo.com [216.136.174.14]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id LAA16433 for ; Sun, 2 Feb 2003 11:24:23 -0200 Message-ID: <20030202132352.95567.qmail@web13004.mail.yahoo.com> Received: from [200.148.201.19] by web13004.mail.yahoo.com via HTTP; Sun, 02 Feb 2003 10:23:52 ART Date: Sun, 2 Feb 2003 10:23:52 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Helder=20Suzuki?= Subject: [obm-l] Re: Combinatoria To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1261 Lines: 40 --- Helder Suzuki escreveu: > Duas questoeszinhas. > > _ _ _ _ _ _ _ 1 2 ... n _ > _|_| |_|_| |_|_|_|_|_|_|_ > B \_\ /_/ A > \_|_/ > |_| > |_| > |_| C > |o| > > Imagine que o 'desenho' acima é uma linha férrea, > aonde o segmento B é extensão do segmento A e o > segmento C se conecta com ambos segmentos. > Os numeros no segmento A representam n vagões > _soltos_ > e enumerados. > Os vagoes podem se mover de A -> B, A -> C e C -> B, > mas nunca de C -> A nem B -> A. > > De quantas formas eh possivel reagrupar os vagões no > segmento B? > > (há espaço suficiente para n vagões tanto em A, > quanto > em B e em C) faltou uma coisa: os vagoes tambem nao podem ir de B -> C _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! 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Desde já agradeço! __________________________________________________________________________ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. 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Desde já agradeço! __________________________________________________________________________ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. 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Na = realidade, n=E3o precisamos assumior diferenciabilidade em todo [a, b], basta assumir que f=91 seja connt=EDnua e positiva em algum c em [a, b] e que exista numa vizinhan=E7a de c. Mas da forma como a firma=E7=E3o foi apresentada, = creio que =E9 falsa. Acho que existe uma destas fun=E7=F5es patol=F3gicas que = servem como contra exemplo. =20 Obrigado Artur ------=_NextPart_000_0011_01C2CAB7.60E065E0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable

 

-----Original Message-----
From: = owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Domingos Jr.
Sent: = Sunday, February 02, = 2003 3:07 = AM
To: = obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Re: = [obm-l] prova de uma afirma=E7=E3o

 

acho que sem a hip=F3tese de f = diferenci=E1vel realmente isso n=E3o =E9 verdadeiro...

d=EA uma olhada nessas fun=E7=F5es = que, apesar de serem cont=EDnuas, devem conter um intervalo fechado em que o valor de = um extremo =E9 maior que o outro e no entanto elas n=E3o possuem nenhum intervalo = estritamente crescente ou decrescente (=E9 um palpite, n=E3o estudei essas = fun=E7=F5es a fundo):

 

assumindo f diferenci=E1vel, seja f' = sua derivada tb cont=EDnua no intervalo [a, b]

se f'(x) > 0 para algum valor de x = em [a, b] na regi=E3o em torno a x as derivadas tamb=E9m s=E3o maiores que 0 = pois f' =E9 cont=EDnua, logo existe um intervalo em [a, b] em que f =E9 estritamente = crescente.

 

para suponha que f'(x) <=3D 0 para = todo x em [a, b], temos que f(b) <=3D f(a), que n=E3o pode = ocorrer.

 

acho<= /font> que =E9 s=F3, =E0s 2 da manh=E3 =E9 s=F3 o que eu consigo pensar = :-)

 

De fato, se assumirmos diferenciabilidade e que = f’ =E9 postiva em algum ponto de [a, b], ent=E3o a firma=E7=E3o torna-se = verdadeira. Na realidade, n=E3o precisamos assumior diferenciabilidade em todo [a, b], = basta assumir que f‘ seja connt=EDnua e positiva em algum c em [a, b] e = que exista numa vizinhan=E7a de c. =A0Mas da forma como a firma=E7=E3o foi apresentada, creio que =E9 falsa. Acho que = existe uma destas fun=E7=F5es patol=F3gicas que servem como contra = exemplo.

 

Obrigado

Artur

------=_NextPart_000_0011_01C2CAB7.60E065E0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 2 14:24:25 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA19709 for obm-l-MTTP; Sun, 2 Feb 2003 14:20:41 -0200 Received: from quebec.procergs.com.br (quebec.procergs.com.br [200.198.128.236]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA19705 for ; Sun, 2 Feb 2003 14:20:38 -0200 Received: from hurdles (p194.01.virtua.pae.procergs.com.br [200.198.152.194]) by quebec.procergs.com.br (Postfix) with ESMTP id F1ECF731A6; Sun, 2 Feb 2003 14:20:05 -0200 (BRST) Message-ID: <001501c2cad8$17690360$c298c6c8@cablemodemnet.com.br> From: "Thyago Alexandre Kufner" To: References: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Somat=F3rio?= Date: Sun, 2 Feb 2003 14:28:02 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/related; type="multipart/alternative"; boundary="----=_NextPart_000_0011_01C2CAC7.4C26A960" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2800.1106 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 14120 Lines: 309 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0011_01C2CAC7.4C26A960 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_001_0012_01C2CAC7.4C377240" ------=_NextPart_001_0012_01C2CAC7.4C377240 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 cfgauss Seguinte, podemos rescrever a soma pedida como sendo: O primeiro somat=F3rio =E9 a soma dos quadrados dos n=FAmeros naturais = de 3 at=E9 n. Existe uma f=F3rmula para soma dos quadrados de 1 at=E9 n. = Para ver a demonstra=E7=E3o desta f=F3rmula, acesse: http://www.cursinho.hpg.ig.com.br/materias/progressoes/somaquadrado.html E o segundo somat=F3rio =E9 uma P.A. com primeiro termo igual a 6 e = raz=E3o 2. Voc=EA aplica a f=F3rmula da soma dos termos de uma P.A. e = finaliza o exerc=EDcio. A resposta =E9 Agora voc=EA s=F3 deve desenvolver e simplificar tal equa=E7=E3o o que = puder! Atenciosamente Prof. Thyago WebMaster cursinho.hpg.com.br ----- Original Message -----=20 From: "cfgauss77" To: "Lista OBM" Sent: Sunday, February 02, 2003 12:08 PM Subject: [obm-l] Somat=F3rio > Gostaria de uma ajudinha com o seguinte somat=F3rio, se=20 > poss=EDvel. >=20 > 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n , para n>2. >=20 > Desde j=E1 agrade=E7o! >=20 > =20 > = _________________________________________________________________________= _ > E-mail Premium BOL > Antiv=EDrus, anti-spam e at=E9 100 MB de espa=E7o. Assine j=E1! > http://email.bol.com.br/ >=20 >=20 > = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D > Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista =E9 > = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D ------=_NextPart_001_0012_01C2CAC7.4C377240 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Ol=E1 cfgauss
 
Seguinte, podemos rescrever a soma = pedida como=20 sendo:
 
 
O primeiro = somat=F3rio =E9 a=20 soma dos quadrados dos n=FAmeros naturais de 3 at=E9 n. Existe uma = f=F3rmula para soma=20 dos quadrados de 1 at=E9 n. Para ver a demonstra=E7=E3o desta f=F3rmula, = acesse:
 
http://www.cursinho.hpg.ig.com.br/materias/progressoes/somaquadr= ado.html
 
E o = segundo somat=F3rio =E9=20 uma P.A. com primeiro termo igual a 6 e raz=E3o 2. Voc=EA aplica a = f=F3rmula da soma=20 dos termos de uma P.A. e finaliza o exerc=EDcio. A resposta=20 =E9
 
 
Agora = voc=EA s=F3 deve=20 desenvolver e simplificar tal equa=E7=E3o o que=20 puder!
 
Atenciosamente
Prof.=20 Thyago
WebMaster=20 cursinho.hpg.com.br
 
 
----- Original Message -----
From: "cfgauss77" <cfgauss77@bol.com.br>
To: "Lista OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, February 02, 2003 12:08=20 PM
Subject: [obm-l] = Somat=F3rio

> Gostaria de uma ajudinha com o seguinte somat=F3rio, se =
>=20 poss=EDvel.
>
>   1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n , = para=20 n>2.
>
>  Desde j=E1 agrade=E7o!
>
>=20  
>=20 _________________________________________________________________________= _
>=20 E-mail Premium BOL
> Antiv=EDrus, anti-spam e at=E9 100 MB de = espa=E7o. Assine=20 j=E1!
> http://email.bol.com.br/
>=20
>
>=20 =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D
= >=20 Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista = em
>=20 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> O administrador desta lista =E9 <nicolau@mat.puc-rio.br>
>=20 =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D ------=_NextPart_001_0012_01C2CAC7.4C377240-- ------=_NextPart_000_0011_01C2CAC7.4C26A960 Content-Type: image/gif; name="clip_image002.gif" Content-Transfer-Encoding: base64 Content-ID: <001001c2cad8$0edce720$c298c6c8@cablemodemnet.com.br> R0lGODlhOQEpAHcAMSH+GlNvZnR3YXJlOiBNaWNyb3NvZnQgT2ZmaWNlACH5BAEAAAAALAMABAAz ASIAhIGBgQAAAAECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC AwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwL/hI+py+0QnjwRzrsq DBq/2nnih3DhZEonOWYc1cbyOqYGLcO3nt/v3st1cCxLURUEGpfJZqnWGDp5TKKCKJ1isg4aN4py cq1aEfkKpjZxZ3XiW+4+j2k5Mq5px+m/H5oRYtUnaDcIaOe2N7fjlxHmA5m4GNkIJal4cRKxedh5 CcOJ+MfINDmqhPlWAlLXahGK6qgKa/mZKkq5arKrauoSe2rap7tbWaonNjlUbNO7ikr4xkrB7BV8 mykNfBnonOtdGjvsKWuLp0x+Pa7W/RyefY19x8PmGv0OHp7nCo68hl4u3j5f/cwFJChP1D5r6bCA 4vNkYbqCCcVtu5hFoq0x//hawalYJE89FwPrGAvIbMnJixtK1mjmIZBDkjZEInRm00wxgyB5tvD3 qCJQlvB6nhlqpmfMc0zlIe24xWhURU8TVj2o5erUnzB/Ck3alBi1nIaoQVWKNi0dtWx7LCzJKa6O StW0tr0bwy7etO2AhBrncq/gMnUVVhuM+NtcENM+oqgLObLkyZQrW76cMm9MzJw7e/5cmBS90So1 HU6MOmvq1YtgrZPI+Czr2W5ps+blgyOlFytt+9bZ+7fw4cSLGz+OPLny5cxbNh/e9XlzvdK/Eq1O nDp2pze3C9fu3Xp445vAj09l/rzVaepXp2+PzTH8u+/no+9uX2n9/FTx8xO3+h901wUYn38E0rff gY/hplYBADs= ------=_NextPart_000_0011_01C2CAC7.4C26A960-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 2 14:40:11 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA19990 for obm-l-MTTP; Sun, 2 Feb 2003 14:37:04 -0200 Received: from quebec.procergs.com.br (quebec.procergs.com.br [200.198.128.236]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA19986 for ; Sun, 2 Feb 2003 14:37:00 -0200 Received: from hurdles (p194.01.virtua.pae.procergs.com.br [200.198.152.194]) by quebec.procergs.com.br (Postfix) with ESMTP id 6FD3A73294; Sun, 2 Feb 2003 14:36:28 -0200 (BRST) Message-ID: <000f01c2cada$60a36f00$c298c6c8@cablemodemnet.com.br> From: "Thyago Alexandre Kufner" To: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Fw:_=5Bobm-l=5D_Somat=F3rio?= Date: Sun, 2 Feb 2003 14:44:36 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/related; type="multipart/alternative"; boundary="----=_NextPart_000_000B_01C2CAC9.9C066FE0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2800.1106 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 16329 Lines: 351 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_000B_01C2CAC9.9C066FE0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_001_000C_01C2CAC9.9C066FE0" ------=_NextPart_001_000C_01C2CAC9.9C066FE0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Na mensagem anterior n=E3o foi a imagem direitinho. Envio novamente = (espero que d=EA certo). _________________________________________________________________________= Ol=E1 cfgauss Seguinte, podemos rescrever a soma pedida como sendo: O primeiro somat=F3rio =E9 a soma dos quadrados dos n=FAmeros naturais = de 3 at=E9 n. Existe uma f=F3rmula para soma dos quadrados de 1 at=E9 n. = Para ver a demonstra=E7=E3o desta f=F3rmula, acesse: http://www.cursinho.hpg.ig.com.br/materias/progressoes/somaquadrado.html E o segundo somat=F3rio =E9 uma P.A. com primeiro termo igual a 6 e = raz=E3o 2. Voc=EA aplica a f=F3rmula da soma dos termos de uma P.A. e = finaliza o exerc=EDcio. A resposta =E9 Agora voc=EA s=F3 deve desenvolver e simplificar tal equa=E7=E3o o que = puder! Atenciosamente Prof. Thyago WebMaster cursinho.hpg.com.br ----- Original Message -----=20 From: "cfgauss77" To: "Lista OBM" Sent: Sunday, February 02, 2003 12:08 PM Subject: [obm-l] Somat=F3rio > Gostaria de uma ajudinha com o seguinte somat=F3rio, se=20 > poss=EDvel. >=20 > 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n , para n>2. >=20 > Desde j=E1 agrade=E7o! >=20 > =20 > = _________________________________________________________________________= _ > E-mail Premium BOL > Antiv=EDrus, anti-spam e at=E9 100 MB de espa=E7o. Assine j=E1! > http://email.bol.com.br/ >=20 >=20 > = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D > Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista =E9 > = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D ------=_NextPart_001_000C_01C2CAC9.9C066FE0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
 
Na mensagem anterior n=E3o foi a imagem = direitinho.=20 Envio novamente (espero que d=EA certo).
________________________________________________________________= _________
 
Ol=E1 cfgauss
 
Seguinte, podemos rescrever a soma = pedida como=20 sendo:
 
 
O primeiro = somat=F3rio =E9 a=20 soma dos quadrados dos n=FAmeros naturais de 3 at=E9 n. Existe uma = f=F3rmula para soma=20 dos quadrados de 1 at=E9 n. Para ver a demonstra=E7=E3o desta f=F3rmula, = acesse:
 
http://www.cursinho.hpg.ig.com.br/materias/progressoes/somaquadr= ado.html
 
E o = segundo somat=F3rio =E9=20 uma P.A. com primeiro termo igual a 6 e raz=E3o 2. Voc=EA aplica a = f=F3rmula da soma=20 dos termos de uma P.A. e finaliza o exerc=EDcio. A resposta=20 =E9
 
 
Agora = voc=EA s=F3 deve=20 desenvolver e simplificar tal equa=E7=E3o o que=20 puder!
 
Atenciosamente
Prof.=20 Thyago
WebMaster=20 cursinho.hpg.com.br
 
 
----- Original Message -----
From: "cfgauss77" <cfgauss77@bol.com.br>
To: "Lista OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, February 02, 2003 12:08=20 PM
Subject: [obm-l] = Somat=F3rio

> Gostaria de uma ajudinha com o seguinte somat=F3rio, se =
>=20 poss=EDvel.
>
>   1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n , = para=20 n>2.
>
>  Desde j=E1 agrade=E7o!
>
>=20  
>=20 _________________________________________________________________________= _
>=20 E-mail Premium BOL
> Antiv=EDrus, anti-spam e at=E9 100 MB de = espa=E7o. Assine=20 j=E1!
> http://email.bol.com.br/
>=20
>
>=20 =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D
= >=20 Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista = em
>=20 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> O administrador desta lista =E9 <nicolau@mat.puc-rio.br>
>=20 =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=20 ------=_NextPart_001_000C_01C2CAC9.9C066FE0-- ------=_NextPart_000_000B_01C2CAC9.9C066FE0 Content-Type: image/gif; name="clip_image002.gif" Content-Transfer-Encoding: base64 Content-ID: <000901c2cada$5f322bc0$c298c6c8@cablemodemnet.com.br> R0lGODlhjwCLAHcAMSH+GlNvZnR3YXJlOiBNaWNyb3NvZnQgT2ZmaWNlACH5BAEAAAAALAMABQCJ AIMAhIGBgQAAAAECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC AwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwL/hI+py+0WApCv2ouz 3jpSDobiSB7SV6bqSp7sC8fVicr2jef6zvf+DwwKh8SR54j0FJetWiLCjIaUDCckRZ1IX9nnwsr5 iLdcsMK8QY3JK+gstlYdTe4JxV23a5uPmjKfhoAGAQUoaKJ3deXiogiYZPjV9zX4dmgReYm42Yin uNdi6XUGWXV2UZnoR8i6p4YlqhkmKVt7uqgZd0dHmjQZiztLO4k2Jrb7ycia6sC8Cprxutn8SVnX pXtXyNzADYrnTThXXaXNNmxqy3UeSj0Kx27UZxWOUR8vCOmLz69fyg8woMCBBAsaFNHloMB7CoUw bAgkE8RzDyf6qGgxR8KM/xw7evwIMqTIkSRLmjyJMqXKlSgLsbwo8SU8jDKjQat5gwbOnTx79ojp sx1NkP722Quar1m4oSE3TsM0BehEpzep3YsjUqpSrbfIEWUqj8U4O8da5XHJZ55OsXTWBlqkS4sy R37+/ZoB1hbXdE93mXP1FOFRVHbfqeuAjNPfxFVBcMvrNfJgubmmJTak7+6bvGAaCaNs1jJotFMG g5UG2HEWbJa1uXVs72+TceAsDoJc8zbS0kp3hylK1fdW4LiFGz+OfGTw5J+ZC3ZupLhx6b6p+1wO Pbv27dy7e/8OPrz48SRJR/T81Tph9UTQR2yc0f0P+R1fz09EPr9+Xvtvsc43SBx2Xa1H3FTFLJXG gdYsJJE3DAXnBFb4UPUYfHh1NuB/bVQ01m/NWXNMWaqoQR9imGwjVj0h6mFMXMqs8Uhh5RAGh4Ok BCZNJ8hI+Bwww3WIjmY4MubKYtUwVSE8qPBlTGXJJBOhjEF2Y2FYPgbTZGhP6ljlklB1CduXTxZ5 zVmtiYMfb3i1IkdstMkmhYZCEjUnDLpNVec67jR0G3t9QhSgnwECGmhOhfaHaKJBCYgDo3gWIWcQ ke7Z1KQzlmQpX1ktkekOjtrw6QMFAAA7 ------=_NextPart_000_000B_01C2CAC9.9C066FE0 Content-Type: image/gif; name="clip_image002.gif" Content-Transfer-Encoding: base64 Content-ID: <000a01c2cada$5f322bc0$c298c6c8@cablemodemnet.com.br> R0lGODlhOQEpAHcAMSH+GlNvZnR3YXJlOiBNaWNyb3NvZnQgT2ZmaWNlACH5BAEAAAAALAMABAAz ASIAhIGBgQAAAAECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC AwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwL/hI+py+0QnjwRzrsq DBq/2nnih3DhZEonOWYc1cbyOqYGLcO3nt/v3st1cCxLURUEGpfJZqnWGDp5TKKCKJ1isg4aN4py cq1aEfkKpjZxZ3XiW+4+j2k5Mq5px+m/H5oRYtUnaDcIaOe2N7fjlxHmA5m4GNkIJal4cRKxedh5 CcOJ+MfINDmqhPlWAlLXahGK6qgKa/mZKkq5arKrauoSe2rap7tbWaonNjlUbNO7ikr4xkrB7BV8 mykNfBnonOtdGjvsKWuLp0x+Pa7W/RyefY19x8PmGv0OHp7nCo68hl4u3j5f/cwFJChP1D5r6bCA 4vNkYbqCCcVtu5hFoq0x//hawalYJE89FwPrGAvIbMnJixtK1mjmIZBDkjZEInRm00wxgyB5tvD3 qCJQlvB6nhlqpmfMc0zlIe24xWhURU8TVj2o5erUnzB/Ck3alBi1nIaoQVWKNi0dtWx7LCzJKa6O StW0tr0bwy7etO2AhBrncq/gMnUVVhuM+NtcENM+oqgLObLkyZQrW76cMm9MzJw7e/5cmBS90So1 HU6MOmvq1YtgrZPI+Czr2W5ps+blgyOlFytt+9bZ+7fw4cSLGz+OPLny5cxbNh/e9XlzvdK/Eq1O nDp2pze3C9fu3Xp445vAj09l/rzVaepXp2+PzTH8u+/no+9uX2n9/FTx8xO3+h901wUYn38E0rff gY/hplYBADs= ------=_NextPart_000_000B_01C2CAC9.9C066FE0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 2 14:58:21 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA20466 for obm-l-MTTP; Sun, 2 Feb 2003 14:55:46 -0200 Received: from web41510.mail.yahoo.com (web41510.mail.yahoo.com [66.218.93.93]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id OAA20462 for ; Sun, 2 Feb 2003 14:55:43 -0200 Message-ID: <20030202165512.64444.qmail@web41510.mail.yahoo.com> Received: from [200.217.43.254] by web41510.mail.yahoo.com via HTTP; Sun, 02 Feb 2003 13:55:12 ART Date: Sun, 2 Feb 2003 13:55:12 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?elton=20francisco=20ferreira?= Subject: [obm-l] área To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 595 Lines: 12 Se a área de um triangulo permanecer igual, como se modificará a base se a altura aumentar 25%? _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 2 15:08:28 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA20808 for obm-l-MTTP; Sun, 2 Feb 2003 15:05:54 -0200 Received: from web41505.mail.yahoo.com (web41505.mail.yahoo.com [66.218.93.88]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id PAA20803 for ; Sun, 2 Feb 2003 15:05:50 -0200 Message-ID: <20030202170519.59706.qmail@web41505.mail.yahoo.com> Received: from [200.199.182.45] by web41505.mail.yahoo.com via HTTP; Sun, 02 Feb 2003 14:05:19 ART Date: Sun, 2 Feb 2003 14:05:19 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?elton=20francisco=20ferreira?= Subject: [obm-l] área To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 600 Lines: 12 Encontre a área e o perímetro de um losango cujos vértices são os pontos (1,2),(4,0),(7,2) e (4,4) ? _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 2 15:16:20 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA21304 for obm-l-MTTP; Sun, 2 Feb 2003 15:13:44 -0200 Received: from web41501.mail.yahoo.com (web41501.mail.yahoo.com [66.218.93.84]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id PAA21299 for ; Sun, 2 Feb 2003 15:13:40 -0200 Message-ID: <20030202171309.61039.qmail@web41501.mail.yahoo.com> Received: from [200.199.182.45] by web41501.mail.yahoo.com via HTTP; Sun, 02 Feb 2003 14:13:09 ART Date: Sun, 2 Feb 2003 14:13:09 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?elton=20francisco=20ferreira?= Subject: [obm-l] área To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 613 Lines: 14 Encontre a mediada das 3 alturas de um triangulo cujos lados medem 5, 7 e cuja área é 4 rais de 6 cm quadrados? _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 2 15:25:52 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA21671 for obm-l-MTTP; Sun, 2 Feb 2003 15:22:27 -0200 Received: from web14510.mail.yahoo.com (web14510.mail.yahoo.com [216.136.224.169]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id PAA21667 for ; Sun, 2 Feb 2003 15:22:24 -0200 Message-ID: <20030202172152.31664.qmail@web14510.mail.yahoo.com> Received: from [66.119.33.135] by web14510.mail.yahoo.com via HTTP; Sun, 02 Feb 2003 09:21:52 PST Date: Sun, 2 Feb 2003 09:21:52 -0800 (PST) From: Bruno Conterato Subject: Re: [obm-l] área To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <20030202165512.64444.qmail@web41510.mail.yahoo.com> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=us-ascii Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 917 Lines: 25 wrote: > Se a área de um triangulo permanecer igual, como se > modificará a base se a altura aumentar 25%? > Caro Elton e demais coLegas da Lista, Sejam A1 e H1 as medidas iniciais da base e da altura do trilângulo, e A2 e H2 as medidas finais, por hipótese, A1*H1 = A2*H2 (1) e H2 = 1,25*H1 (2) (ou seja, 125% de H1). De(2) em (1), A2*1,25*H1 = A1*H1 e segue que A2 = (4/5)A1. Logo, a base diminuirá 20%. Um abraço __________________________________________________ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail Plus - Powerful. Affordable. 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Em que razão estão seus perímetros? _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 2 16:07:32 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA23752 for obm-l-MTTP; Sun, 2 Feb 2003 16:04:25 -0200 Received: from imo-m03.mx.aol.com (imo-m03.mx.aol.com [64.12.136.6]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA23748 for ; Sun, 2 Feb 2003 16:04:22 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-m03.mx.aol.com (mail_out_v34.13.) id z.63.17bb6e59 (4116) for ; Sun, 2 Feb 2003 13:03:46 -0500 (EST) Message-ID: <63.17bb6e59.2b6eb781@aol.com> Date: Sun, 2 Feb 2003 13:03:45 EST Subject: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?Re:=20=E1rea=20de=20um=20tri=E2ngulo?= To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_63.17bb6e59.2b6eb781_boundary" X-Mailer: AOL 6.0 for Windows BR sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2067 Lines: 44 --part1_63.17bb6e59.2b6eb781_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 Helton, A =C1rea de um tri=E2ngulo =E9 dada por S=3D(b*h)/2 , onde b=3Dbase e h=3Dal= tura. Vamos=20 chamar de S_1 a =E1rea antes da modifica=E7=E3o de seus par=E2metros (ou sej= a, b, h e=20 S) e S_2 depois da modifica=E7=E3o percentual. Ent=E3o, segundo o enunciado=20 S_1=3DS_2. Um aumento de 25% em sua altura =E9 a mesma coisa que multiplicar= h=20 por 1,25. Ent=E3o (b*h)/2 deve ser igual a (b*1,25*h)/2 para isso o numerado= r=20 de S_2 deve ser b*h, ent=E3o deve haver um fator que multiplicado por 1,25 s= eja=20 igual 1. Basta fazer uma equa=E7=E3o do 1=BAgrau: 1,25*x=3D1, logo x=3D 0,8.= Se 1,25 =E9=20 um aumento de 25% ent=E3o 0,80 =E9 um decr=E9scimo de 20%, OK? =20 --part1_63.17bb6e59.2b6eb781_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 Helton,

A =C1rea de um tri=E2ngulo =E9 dada por S=3D(b*h)/2 , onde b=3Dbase e h= =3Daltura. Vamos chamar de S_1 a =E1rea antes da modifica=E7=E3o de seus par= =E2metros (ou seja, b, h e S) e S_2 depois da modifica=E7=E3o percentual. En= t=E3o, segundo o enunciado S_1=3DS_2. Um aumento de 25% em sua altura =E9 a=20= mesma coisa que multiplicar h por 1,25. Ent=E3o (b*h)/2 deve ser igual a (b*= 1,25*h)/2 para isso o numerador de S_2 deve ser b*h, ent=E3o deve haver um f= ator que multiplicado por 1,25 seja igual 1. Basta fazer uma equa=E7=E3o do=20= 1=BAgrau: 1,25*x=3D1, logo x=3D 0,8. Se 1,25 =E9 um aumento de 25% ent=E3o 0= ,80 =E9 um decr=E9scimo de 20%, OK?   --part1_63.17bb6e59.2b6eb781_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 2 17:35:34 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA25176 for obm-l-MTTP; Sun, 2 Feb 2003 17:32:37 -0200 Received: from imo-m03.mx.aol.com (imo-m03.mx.aol.com [64.12.136.6]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA25172 for ; Sun, 2 Feb 2003 17:32:33 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-m03.mx.aol.com (mail_out_v34.13.) id z.94.33a3dfd5 (4410) for ; Sun, 2 Feb 2003 14:31:54 -0500 (EST) Message-ID: <94.33a3dfd5.2b6ecc29@aol.com> Date: Sun, 2 Feb 2003 14:31:53 EST Subject: [obm-l] Software To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_94.33a3dfd5.2b6ecc29_boundary" X-Mailer: AOL 6.0 for Windows BR sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 893 Lines: 25 --part1_94.33a3dfd5.2b6ecc29_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal, Qual o melhor freeware que vcs poderiam me indicar para o estudo de fun=E7= =F5es? --part1_94.33a3dfd5.2b6ecc29_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal,

Qual o melhor freeware que vcs poderiam me indicar para o estudo de fun= =E7=F5es? --part1_94.33a3dfd5.2b6ecc29_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 2 20:06:59 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA26964 for obm-l-MTTP; Sun, 2 Feb 2003 20:04:02 -0200 Received: from smtp-30.ig.com.br (smtp-33.ig.com.br [200.226.132.183]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id UAA26960 for ; Sun, 2 Feb 2003 20:03:59 -0200 Received: (qmail 24747 invoked from network); 2 Feb 2003 22:03:22 -0000 Received: from shasta015152.ig.com.br (HELO araujoimeig) (200.151.15.152) by smtp-33.ig.com.br with SMTP; 2 Feb 2003 22:03:22 -0000 Message-ID: <004901c2cb06$cd1d7fa0$980f97c8@com.br> From: =?iso-8859-1?B?QW5kcuk=?= To: References: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Somat=F3rio?= Date: Sun, 2 Feb 2003 19:51:07 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1525 Lines: 59 S(n) = 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n S(n+1) = 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n +(n-1)*(n+1) S(n+1) - S(n) = (n-1)*(n+1) = n^2 - 1 Assim, S(4) - S(3) = 3^2 - 1 S(5) - S(4) = 4^2 - 1 S(6) - S(5) = 5^2 - 1 ... S(n) - S(n-1) = (n-1)^2 - 1 Somando as equacoes acima , tem-se: S(n) - S(3) = [ 3^2 + 4^2 + ... + (n-1)^2] - (n-3) Sabe-se que: 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + (n-1)^2 = (n-1)*n*(2*n-1)/6 Logo: S(n) = 3 + (n-1)*n*(2*n-1)/6 - 5 - n +3 = (n-1)(2*n^2 - n -6)/6 S(n) = (n-2)*(n-1)*(2*n+3)/6 Isto eh tudo. Andre A. > Gostaria de uma ajudinha com o seguinte somatório, se > possível. > > 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n , para n>2. > > Desde já agradeço! > > > __________________________________________________________________________ > E-mail Premium BOL > Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. 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Exatamente, esse =E9 o problema que tenho em mente. A minha d=FAvida =E9 = que dependendo de como o problema =E9 encarado, um mesmo evento pode ter probabilidades diferentes. Eu pensei nesse problema usando um = pacote como os de "skittles". Suponha que voc=EA abra o pacote e n=E3o=20 olhe dentro do pacote. Qual a probabilidade de que uma bala retirada = aleatoriamente seja amarela? Se voc=EA fizer a contagem, ver=E1 que essa probabilidade =E9 igual a porcentagem em que essa bala =E9 fabricada, ou = seja 20%. Mas suponha que voc=EA olhe dentro do pacote, tire todas as=20 balas, conte-as e coloque elas de novo no pacote. Qual a probabilidade = de que uma bala retirada aleatoriamente seja amarela? Nesse caso a=20 probabilidade depende da distribui=E7=E3o das balas. A minha pergunta =E9: Existe um modo mais apropriado de encarar essa = quest=E3o, ou o fato de saber qual =E9 a distribui=E7=E3o implica que os = dois eventos s=E3o diferentes?=20 Acho que =E9 a segunda hip=F3tese, por que a partir do momento que se = conhece a distribui=E7=E3o, o pacote deixa de ser um pacote qualquer. Mas n=E3o estou muito certo, se algu=E9m puder confirmar ficarei grato. Andr=E9 T. ----- Original Message -----=20 From: Cl=E1udio (Pr=E1tica)=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Friday, January 31, 2003 12:34 PM Subject: Re: [obm-l] Probabilidade Neste caso, eu diria que a resposta =E0 sua pergunta =E9 sim. Por exemplo, se n=E3o houver bala nenhuma de anis, ent=E3o P(primeira = bala retirada =E9 de anis) =3D 0. No entanto, se houver pelo menos 1 = bala de anis, P(anis) > 0. N=E3o sei se isso =E9 o que voc=EA tinha em mente.=20 Talvez uma formula=E7=E3o mais precisa seja a seguinte: Voc=EA tem um gerador de n=FAmeros aleat=F3rios que, a cada segundo, = gera um dos n=FAmeros 1, 2, 3, 4 ou 5 (os cinco sabores), cada um com = probabilidade =3D 20% (todos os sabores produzidos na mesma quantidade), = e imprime este n=FAmero numa fita que se desloca lateralmente com = velocidade constante. Assim, a fita cont=E9m uma s=E9rie de n=FAmeros, = um do lado do outro (espero que a descri=E7=E3o seja intelig=EDvel). Voc=EA tamb=E9m tem um leitor de n=FAmeros, que l=EA n=FAmeros desta = fita a intervalos de tempo aleat=F3rios (ou seja, o n=FAmero lido = corresponde =E0 primeira bala retirada do saco e os n=FAmeros n=E3o = lidos subsequentes =E0s demais balas deste saco - acho que isso modela o = fato de que o n=FAmero de balas em cada pacote =E9 aleat=F3rio).=20 A distribui=E7=E3o dos intervalos de tempo T entre duas leituras =E9 = dada por: P(T=3D1) =3D p1, P(T=3D2) =3D p2, ..., onde, para cada i, 0 <=3D pi = <=3D 1 e p1 + p2 + .... =3D 1. ( por exemplo, podemos ter P(T=3Dk) =3D 1/2^k, ou ent=E3o, = 6/(Pi^2*k^2) ). Neste caso, eu pergunto: Um n=FAmero =E9 lido. Qual a probabilidade dele ser o "1"? Essa = probabilidade depende da distribui=E7ao de T? Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Wagner=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Thursday, January 30, 2003 8:42 PM Subject: Re: [obm-l] Probabilidade Oi para todos! A "distribui=E7=E3o" a que me referi =E9 o n=FAmero total de balas e = a quantidade de balas de cada sabor=20 independente da organiza=E7=E3o geom=E9trica em que as balas se = encontram dentro do pacote, uma vez que o evento tirar uma bala =E9 aleat=F3rio e essa tal = organiza=E7=E3o tamb=E9m seria aleat=F3ria, essa organiza=E7=E3o passa a ser irrelevante. OBS: S=F3 para lembrar, o evento de tirar uma bala do pacote =E9 = aleat=F3rio Andr=E9 T. ----- Original Message -----=20 From: Cl=E1udio (Pr=E1tica)=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Thursday, January 30, 2003 6:00 PM Subject: Re: [obm-l] Probabilidade O que voc=EA quer dizer com distribui=E7=E3o de balas dentro de um = pacote - =E9 simplesmente o n=FAmero de balas de cada sabor ou envolve = algum tipo de arranjo geom=E9trico ou ordena=E7=E0o das balas (como num = pacote de Halls, por exemplo)? ----- Original Message -----=20 From: Wagner=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Wednesday, January 29, 2003 2:24 PM Subject: [obm-l] Probabilidade Oi pessoal ! De=EAm uma olhada nessa minha d=FAvida: Uma f=E1brica de balas produz balas de 5 sabores diferentes = (todas as balas s=E3o produzidas na mesma quantidade) Essas balas s=E3o embaladas aleatoriamente, de modo que os = pacotes podem conter qualquer n=FAmero de balas (pelo menos uma). A probabilidade de abrir um pacote qualquer e a primeira bala = tirada dele ser de um determinado sabor depende da distribui=E7=E3o=20 das balas dentro do pacote? Andr=E9 T. ------=_NextPart_000_0010_01C2CB05.5EC15A00 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Oi para todos !
 
Exatamente, esse =E9 o problema que = tenho em mente. A=20 minha d=FAvida =E9 que dependendo de como o problema =E9 encarado, um = mesmo=20 evento
pode ter probabilidades diferentes. Eu = pensei nesse=20 problema usando um pacote como os de "skittles". Suponha que voc=EA abra = o pacote=20 e n=E3o
olhe dentro do pacote. Qual a = probabilidade de que=20 uma bala retirada aleatoriamente seja amarela? Se voc=EA fizer a = contagem, ver=E1=20 que essa
probabilidade =E9 igual a porcentagem em que essa bala =E9 fabricada, ou seja 20%. Mas = suponha que=20 voc=EA olhe dentro do pacote, tire todas as
balas, conte-as e coloque elas de novo no pacote. Qual a probabilidade de que uma bala = retirada=20 aleatoriamente seja amarela? Nesse caso a
probabilidade depende da = distribui=E7=E3o das=20 balas.
A minha pergunta =E9: Existe um modo = mais apropriado=20 de encarar essa quest=E3o, ou o fato de saber qual =E9 a = distribui=E7=E3o implica que os=20 dois
eventos s=E3o = diferentes? 
Acho que =E9 a segunda hip=F3tese, por = que a partir do=20 momento que se conhece a distribui=E7=E3o, o pacote deixa de ser um = pacote=20 qualquer.
Mas n=E3o estou muito certo, se = algu=E9m puder=20 confirmar ficarei grato.
 
Andr=E9 T.
 
----- Original Message -----
From:=20 Cl=E1udio = (Pr=E1tica)
Sent: Friday, January 31, 2003 = 12:34=20 PM
Subject: Re: [obm-l] = Probabilidade

Neste caso, eu diria que a resposta = =E0 sua=20 pergunta =E9 sim.
 
Por exemplo, se n=E3o houver bala = nenhuma de anis,=20 ent=E3o P(primeira bala retirada =E9 de anis) =3D 0. No entanto, se = houver pelo=20 menos 1 bala de anis, P(anis) > 0.
 
N=E3o sei se isso =E9 o que voc=EA = tinha em mente.=20
 
Talvez uma formula=E7=E3o mais = precisa seja a=20 seguinte:
 
Voc=EA tem um gerador de n=FAmeros = aleat=F3rios que, a=20 cada segundo, gera um dos n=FAmeros 1, 2, 3, 4 ou 5 (os cinco = sabores), cada um=20 com probabilidade =3D 20% (todos os sabores produzidos na mesma = quantidade), e=20 imprime este n=FAmero numa fita que se desloca lateralmente com = velocidade=20 constante. Assim, a fita cont=E9m uma s=E9rie de n=FAmeros, um do lado = do outro=20 (espero que a descri=E7=E3o seja intelig=EDvel).
 
Voc=EA tamb=E9m tem um leitor de = n=FAmeros, que l=EA=20 n=FAmeros desta fita a intervalos de tempo aleat=F3rios (ou seja, o = n=FAmero lido=20 corresponde =E0 primeira bala retirada do saco e os n=FAmeros n=E3o = lidos=20 subsequentes =E0s demais balas deste saco - acho que isso modela o = fato de que o=20 n=FAmero de balas em cada pacote =E9 aleat=F3rio).
A distribui=E7=E3o dos intervalos de = tempo T entre=20 duas leituras =E9 dada por:
P(T=3D1) =3D p1, P(T=3D2) =3D p2, ..., onde, para cada i, 0 <=3D pi <=3D = 1  e =20 p1 + p2 + .... =3D 1.
( por exemplo, podemos ter P(T=3Dk) = =3D 1/2^k, ou=20 ent=E3o, 6/(Pi^2*k^2) ).
 
Neste caso, eu pergunto:
Um n=FAmero =E9 lido. Qual a = probabilidade dele=20 ser o "1"? Essa probabilidade depende da distribui=E7ao de=20 T?
 
Um abra=E7o,
Claudio.
 ----- Original Message ----- =
From:=20 Wagner
Sent: Thursday, January 30, = 2003 8:42=20 PM
Subject: Re: [obm-l]=20 Probabilidade

Oi para todos!
 
A "distribui=E7=E3o" a que me = referi =E9 o n=FAmero=20 total de balas e a quantidade de balas de cada sabor
independente da organiza=E7=E3o = geom=E9trica em que=20 as balas se encontram dentro do pacote, uma
vez que o evento tirar uma bala =E9 = aleat=F3rio=20 e essa tal organiza=E7=E3o tamb=E9m seria aleat=F3ria, = essa
organiza=E7=E3o passa a ser=20 irrelevante.
OBS: S=F3 para lembrar, o evento de = tirar uma=20 bala do pacote =E9 aleat=F3rio
 
Andr=E9 T.
 
 
----- Original Message ----- =
From:=20 Cl=E1udio = (Pr=E1tica)
Sent: Thursday, January 30, = 2003 6:00=20 PM
Subject: Re: [obm-l]=20 Probabilidade

O que voc=EA quer dizer com = distribui=E7=E3o de=20 balas dentro de um pacote - =E9 simplesmente o n=FAmero de balas = de cada sabor=20 ou envolve algum tipo de arranjo geom=E9trico ou ordena=E7=E0o das = balas (como=20 num pacote de Halls, por exemplo)?
 
----- Original Message ----- =
From:=20 Wagner=20
Sent: Wednesday, January = 29, 2003=20 2:24 PM
Subject: [obm-l]=20 Probabilidade

Oi pessoal !
 
De=EAm uma olhada nessa minha=20 d=FAvida:
 
Uma f=E1brica de balas produz = balas de 5=20 sabores diferentes (todas as balas s=E3o produzidas na mesma=20 quantidade)
Essas balas s=E3o embaladas = aleatoriamente,=20 de modo que os pacotes podem conter qualquer n=FAmero de balas=20 (pelo
menos uma).
A probabilidade de abrir um = pacote qualquer=20 e a primeira bala tirada dele ser de um determinado sabor = depende da=20 distribui=E7=E3o
das balas dentro do = pacote?
 
Andr=E9=20 = T.
------=_NextPart_000_0010_01C2CB05.5EC15A00-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 2 22:26:13 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA29564 for obm-l-MTTP; Sun, 2 Feb 2003 22:22:16 -0200 Received: from silva5.uol.com.br (silva5.uol.com.br [200.221.4.52]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA29560 for ; Sun, 2 Feb 2003 22:22:14 -0200 Received: from joelsuhett ([200.191.168.29]) by silva5.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with SMTP id WAA18100 for ; Sun, 2 Feb 2003 22:25:38 -0200 (BRST) Message-ID: <002d01c2cb1b$039be8a0$1da8bfc8@joelsuhett> From: "Marcelo Roseira" To: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?N=FAmeros?= Date: Sun, 2 Feb 2003 22:27:18 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_002A_01C2CB0A.3EF5C1C0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4133.2400 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2005 Lines: 59 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_002A_01C2CB0A.3EF5C1C0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Sejam x e y n=FAmeros reais positivos tais que xy<1. Ent=E3o =E9 CORRETO = afirmar que: a) x<1 ou y<1 b) x<1 e y<1 c) x>1 ou y>x d) x=3Dy e x<1 e) x=3Dy ou x<1 Grato. ------=_NextPart_000_002A_01C2CB0A.3EF5C1C0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Sejam x e y = n=FAmeros reais=20 positivos tais que xy<1. Ent=E3o =E9 CORRETO afirmar = que:
 
a) x<1 ou=20 y<1
b) x<1 e=20 y<1
c) x>1 ou=20 y>x
d) x=3Dy e = x<1
e) x=3Dy ou=20 x<1
 
Grato.
------=_NextPart_000_002A_01C2CB0A.3EF5C1C0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 2 22:29:36 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA29621 for obm-l-MTTP; Sun, 2 Feb 2003 22:25:48 -0200 Received: from silva5.uol.com.br (silva5.uol.com.br [200.221.4.52]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA29617 for ; Sun, 2 Feb 2003 22:25:45 -0200 Received: from joelsuhett ([200.191.168.29]) by silva5.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with SMTP id WAA20925 for ; Sun, 2 Feb 2003 22:29:10 -0200 (BRST) Message-ID: <003801c2cb1b$81af4ca0$1da8bfc8@joelsuhett> From: "Marcelo Roseira" To: Subject: [obm-l] Mdc, mdc e mmc Date: Sun, 2 Feb 2003 22:30:50 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0035_01C2CB0A.BD19EEA0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4133.2400 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2049 Lines: 60 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0035_01C2CB0A.BD19EEA0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable O m=E1ximo divisor comum, o menor divisor comum e o m=EDnimo m=FAltiplo = comum dos n=FAmeros 4, 8 e 12, s=E3o, respectivamente: a) 2, 1 e 12 b) 4, 2 e 12 c) 4, 1 e 24 d) 12, 2 e 24 e) 12, 4 e 48 Grato. ------=_NextPart_000_0035_01C2CB0A.BD19EEA0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
O m=E1ximo = divisor comum, o=20 menor divisor comum e o m=EDnimo m=FAltiplo comum dos n=FAmeros 4, 8 e = 12, s=E3o,=20 respectivamente:
 
a) 2, 1 e = 12
b) 4, 2 e = 12
c) 4, 1 e = 24
d) 12, 2 e = 24
e) 12, 4 e = 48
 
Grato.
------=_NextPart_000_0035_01C2CB0A.BD19EEA0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 3 00:12:07 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id AAA31601 for obm-l-MTTP; Mon, 3 Feb 2003 00:08:10 -0200 Received: from puma.unisys.com.br (ns2.unisys.com.br [200.220.64.7]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id AAA31597 for ; Mon, 3 Feb 2003 00:08:07 -0200 Received: from jf (riohiper01p90.uninet.com.br [200.220.2.90]) by puma.unisys.com.br (8.12.3/8.12.3) with SMTP id h1327YOO023609 for ; Mon, 3 Feb 2003 00:07:34 -0200 (EDT) X-Spam-Filter: check_local@puma.unisys.com.br by digitalanswers.org Message-ID: <00c601c2cb29$0de67560$5a02dcc8@jf> From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" To: "obm-l" Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?prova_de_uma_afirma=E7=E3o?= Date: Mon, 3 Feb 2003 00:07:49 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_00C3_01C2CB18.499BDC00" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2600.0000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 12681 Lines: 350 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_00C3_01C2CB18.499BDC00 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable VV h=E3o de concordar comigo que isto =E9 um contra-senso total. Em outras palavras, est=E1 sendo dito que o valor de uma fun=E7=E3o = cont=EDnua vai de - digamos - 1 para 2 sem passar por 1,5. Bota patol=F3gica nisso!=20 Se estiv=E9ssemos no reino da f=EDsica, estar=EDamos tratando de = 'wormholes', que s=E3o aberra=E7=F5es da Teoria da Relatividade Geral = que permitiriam viagens ao passado. JF ----- Original Message -----=20 From: Artur Costa Steiner=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Sunday, February 02, 2003 12:34 PM Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] prova de uma afirma=E7=E3o Pediram-se para demonstrar a seguinte afirma=E7=E3o, que, embora = intiuitivamente pare=E7a ser verdadeira, est=E1 me causando grande = dificuldade: =20 Seja f: [a, b] -> R cont=EDnua em [a, b] e tal que f(a) < f(b). Existe = ent=E3o um sub-intervalo de [a, b] no qual f =E9 estritamente crescente. (...) -----Original Message----- From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br = [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Domingos Jr. Sent: Sunday, February 02, 2003 3:07 AM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: [obm-l] prova de uma afirma=E7=E3o =20 acho que sem a hip=F3tese de f diferenci=E1vel realmente isso n=E3o =E9 = verdadeiro...=20 d=EA uma olhada nessas fun=E7=F5es que, apesar de serem cont=EDnuas, = devem conter um intervalo fechado em que o valor de um extremo =E9 maior = que o outro e no entanto elas n=E3o possuem nenhum intervalo = estritamente crescente ou decrescente (=E9 um palpite, n=E3o estudei = essas fun=E7=F5es a fundo): http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassFunction.html http://mathworld.wolfram.com/BlancmangeFunction.html =20 (...) ------=_NextPart_000_00C3_01C2CB18.499BDC00 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
VV h=E3o de concordar comigo que isto = =E9 um=20 contra-senso total.
 
Em outras palavras, est=E1 sendo dito = que o valor de=20 uma fun=E7=E3o cont=EDnua vai de - digamos - 1 para 2 sem passar por = 1,5.
 
Bota patol=F3gica nisso!
 
Se estiv=E9ssemos no reino da f=EDsica, = estar=EDamos=20 tratando de 'wormholes', que s=E3o aberra=E7=F5es da Teoria da = Relatividade Geral que=20 permitiriam viagens ao passado.
 
JF
 
----- Original Message -----
From: Artur = Costa=20 Steiner
Sent: Sunday, February 02, 2003 12:34 PM
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] prova de uma=20 afirma=E7=E3o
 

Pediram-se para demonstrar a seguinte afirma=E7=E3o, que, = embora=20 intiuitivamente pare=E7a ser verdadeira, est=E1 me causando grande=20 dificuldade:

 

Seja f: [a, b] -> R cont=EDnua em [a, b] e tal que f(a) < = f(b).=20 Existe ent=E3o um sub-intervalo de [a, b] no qual f =E9 estritamente=20 crescente.

 
(...)
 

-----Original=20 Message-----
From: owner-obm-l@sucuri.mat.= puc-rio.br=20 [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On=20 Behalf Of Domingos Jr.
Sent: Sunday, = February=20 02, 2003=20 3:07=20 AM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] = prova de uma=20 afirma=E7=E3o

 

acho que = sem a=20 hip=F3tese de f diferenci=E1vel realmente isso n=E3o =E9 verdadeiro...=20

d=EA uma = olhada=20 nessas fun=E7=F5es que, apesar = de serem=20 cont=EDnuas, devem=20 conter um intervalo fechado em que o valor de um extremo =E9 maior que o = outro e=20 no entanto elas n=E3o possuem nenhum intervalo estritamente crescente ou = decrescente (=E9 um palpite, n=E3o estudei essas = fun=E7=F5es a=20 fundo):

http://mat= hworld.wolfram.com/WeierstrassFunction.html

http://math= world.wolfram.com/BlancmangeFunction.html

 

(...)

------=_NextPart_000_00C3_01C2CB18.499BDC00-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 3 00:12:46 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id AAA31613 for obm-l-MTTP; Mon, 3 Feb 2003 00:09:00 -0200 Received: from sang.bol.com.br (sang.bol.com.br [200.221.24.24]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id AAA31609 for ; Mon, 3 Feb 2003 00:08:57 -0200 Received: from bol.com.br (200.221.24.134) by sang.bol.com.br (5.1.071) id 3E26F7F2004A2E80 for obm-l@mat.puc-rio.br; Mon, 3 Feb 2003 00:08:26 -0200 Date: Mon, 3 Feb 2003 00:08:27 -0200 Message-Id: Subject: Re:[obm-l] Software MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain;charset="iso-8859-1" From: "cfgauss77" To: obm-l@mat.puc-rio.br X-XaM3-API-Version: 2.4 R3 ( B4 ) X-SenderIP: 200.193.244.223 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id AAA31610 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 756 Lines: 31 > Procure no site: http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/software/softw.htm vc vai encontrar vários. O melhor deles, na minha opinião, é o WinPlot. Olá pessoal, > > Qual o melhor freeware que vcs poderiam me indicar para o estudo de funções? > __________________________________________________________________________ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 3 00:23:15 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id AAA31894 for obm-l-MTTP; Mon, 3 Feb 2003 00:19:26 -0200 Received: from sang.bol.com.br (sang.bol.com.br [200.221.24.24]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id AAA31889 for ; Mon, 3 Feb 2003 00:19:23 -0200 Received: from bol.com.br (200.221.24.134) by sang.bol.com.br (5.1.071) id 3E26F7F2004A3721 for obm-l@mat.puc-rio.br; Mon, 3 Feb 2003 00:18:52 -0200 Date: Mon, 3 Feb 2003 00:18:53 -0200 Message-Id: Subject: [obm-l] Um probleminha, nada mais. MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain;charset="iso-8859-1" From: "cfgauss77" To: "Lista OBM" X-XaM3-API-Version: 2.4 R3 ( B4 ) X-SenderIP: 200.193.244.223 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id AAA31890 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 908 Lines: 25 Vou propor um probleminha que eu achei interessante. Em uma cela, há passagem secreta que conduz a um porão de onde partem trên túneis. O primeiro túneo dá acesso à liberdade em 1 hora; o segundo, em 3 horas; e o terceiro leva ao ponto de partida em 6 horas. Em média, os prisioneiros que descobrem os túneis conseguem escapar da prisão em quanto tempo? Não é difícil mas é inteligente. __________________________________________________________________________ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. 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MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain;charset="iso-8859-1" From: "cfgauss77" To: "Lista OBM" X-XaM3-API-Version: 2.4 R3 ( B4 ) X-SenderIP: 200.193.244.223 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id AAA31900 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 908 Lines: 25 Vou propor um probleminha que eu achei interessante. Em uma cela, há passagem secreta que conduz a um porão de onde partem trên túneis. O primeiro túneo dá acesso à liberdade em 1 hora; o segundo, em 3 horas; e o terceiro leva ao ponto de partida em 6 horas. Em média, os prisioneiros que descobrem os túneis conseguem escapar da prisão em quanto tempo? Não é difícil mas é inteligente. __________________________________________________________________________ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. 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Se y>1, x<1/y, ou seja, x<1. Idem para x>1. Se x>1 e y>1, xy>1. Se x<1 e y<1, xy<1. Logo, em qualquer dos casos, devemos ter ao menos um dos fatores menor q um. Portanto, x<1 ou y<1 (item a). Fui! Tertuliano Carneiro. Marcelo Roseira wrote:Sejam x e y números reais positivos tais que xy<1. Então é CORRETO afirmar que: a) x<1 ou y<1b) x<1 e y<1c) x>1 ou y>xd) x=y e x<1e) x=y ou x<1 Grato. --------------------------------- Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios. --0-741664700-1044274036=:24912 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

Olá!

Se y>1, x<1/y, ou seja, x<1. Idem para x>1.

Se x>1 e y>1, xy>1.

Se x<1 e y<1, xy<1.

Logo, em qualquer dos casos, devemos ter ao menos um dos fatores menor q um. Portanto, x<1 ou y<1 (item a).

Fui!

Tertuliano Carneiro.  

 Marcelo Roseira <mroseira@uol.com.br> wrote:

Sejam x e y números reais positivos tais que xy<1. Então é CORRETO afirmar que:
 
a) x<1 ou y<1
b) x<1 e y<1
c) x>1 ou y>x
d) x=y e x<1
e) x=y ou x<1
 
Grato.


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Olá!

Como 4 divide 8 e 12, 4 é o mdc. Por outro lado, 8 nao divide 12, mas divide 24. Logo, 24 é o mmc. Por fim, como nao se divide por zero, 1 deverá ser o menor divisor comum. Item c.

Fui!

 Tertuliano Carneiro.

 Marcelo Roseira <mroseira@uol.com.br> wrote:

O máximo divisor comum, o menor divisor comum e o mínimo múltiplo comum dos números 4, 8 e 12, são, respectivamente:
 
a) 2, 1 e 12
b) 4, 2 e 12
c) 4, 1 e 24
d) 12, 2 e 24
e) 12, 4 e 48
 
Grato.


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O problema =E9 achar uma fun=E7=E3o mal comportada o suficiente tal que n= =E3o haja intervalos dentro de seu dom=EDnio onde a fun=E7=E3o =E9 estritamente cresc= ente ou provar que n=E3o existe tal fun=E7=E3o. (En passant: A fun=E7=E3o de Cantor n=E3o seria um contra-exemplo bem simpl= es? A uni=E3o dos intervalos removidos do conjunto de Cantor =E9 densa em [0, 1],= logo a restri=E7=E3o da fun=E7=E3o a um intervalo sempre tem um subintervalo const= ante.) []s, --=20 F=E1bio Dias Moreira (fabiodias@ieg.com.br) GPG fingerprint: 72F8 289F 1118 D225 700E 28D9 6A53 9016 BBF3 190A --qDbXVdCdHGoSgWSk Content-Type: application/pgp-signature Content-Disposition: inline -----BEGIN PGP SIGNATURE----- Version: GnuPG v1.0.6 (GNU/Linux) Comment: For info see http://www.gnupg.org iEYEARECAAYFAj4+iDIACgkQalOQFrvzGQrCywCbB8IF3ffMbQYDiOv6asp9TLmv tLkAnjdNLxD7YQ++i9kDIFgeDNqQM0PD =U04K -----END PGP SIGNATURE----- --qDbXVdCdHGoSgWSk-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 3 11:04:02 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA08315 for obm-l-MTTP; Mon, 3 Feb 2003 11:01:07 -0200 Received: from traven10.uol.com.br (traven10.uol.com.br [200.221.4.45]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA08311 for ; Mon, 3 Feb 2003 11:01:03 -0200 Received: from u2z7z2 ([200.158.145.118]) by traven10.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with ESMTP id KAA02991 for ; Mon, 3 Feb 2003 10:58:34 -0200 (BRST) Message-ID: <002c01c2cb84$9fa7efa0$2101a8c0@u2z7z2> From: "Wagner" To: References: <00ec01c2c954$7702c020$3300c57d@bovespa.com> Subject: Re: [obm-l] O armario e o corredor Date: Mon, 3 Feb 2003 11:03:18 -0200 Organization: Wagner MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4133.2400 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 11442 Lines: 343 Oi para todos! Mas ai você está assumindo que o eixo de rotação é conhecido, o que não é dito no enunciado. André T. ----- Original Message ----- From: "Cláudio (Prática)" To: Sent: Friday, January 31, 2003 4:13 PM Subject: Re: [obm-l] O armario e o corredor > Caros Salvador e Paulo: > > Tenho a impressão de que o retângulo de maior área que efetivamente faz a > curva sofrendo uma rotação de 90 graus é um quadrado de lado 1/raiz(2) (área > = 1/2). Se não for necessário que o retêngulo sofra uma rotação, então o > quadrado de lado 1 é um candidato melhor - ele apenas muda a direção de seu > deslocamento. > > No entanto, o candidato mais forte que eu consegui imaginar é um semicírculo > de raio 1 (área Pi/2). > > Claudio. > > ----- Original Message ----- > From: "Salvador Addas Zanata" > To: > Sent: Friday, January 31, 2003 12:03 PM > Subject: Re: [obm-l] O armario e o corredor > > > > Oi Paulo, > > > Encontrei esse problema num livrinho chamado "Unsolved Problems in > Geometry", ou coisa parecida. Eh da editora Springer. O livro e bem legal, > tem um colecao enorme de problemas "intuitivos", todos MUITO dificeis. > > Faz bastante tempo que li, mas pelo que me lembro, o Conway provou que > esse maximo existe, mas o valor exato nao e conhecido. Ele deu tambem > estimativas e sugeriu formas para > este objeto (formas parecidas com alteres, coisa razoavelmente natural). > > Imagino que os metodos sejam variacionais, mas nao vi nada sobre esse > problema. Se voce morar em Sao Paulo, na biblioteca do IMEUSP, voce > encontrara esse livro. Em cada problema, sao citadas referencias com > resultados parciais. > > > Boa sorte, > > Salvador > > > > On Fri, 31 Jan 2003, Paulo Santa Rita wrote: > > > Hi Salvador e demais > > colegas desta lista ... OBM-L, > > > > Gostei do problema. Voce pode falar mais um pouco sobre ele ? Se eu > > resolve-lo ou conseguir algum progresso significativo mostro ao Conway e > > publico aqui nesta lista. > > > > Desde agradeco. > > > > Um abraco > > Paulo Santa Rita > > 6,1043,310103 > > > > >From: Salvador Addas Zanata > > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > > >To: obm-l@mat.puc-rio.br > > >Subject: Re: [obm-l] O armario e o corredor > > >Date: Thu, 30 Jan 2003 22:45:50 -0200 (EDT) > > > > > > > > > > > >Caros amigos, > > > > > >Um problema pelo que eu sei, em aberto, relacionado a esse consiste no > > >seguinte: > > > > > >Dado um corredor com 1 metro de largura, que faz uma "curva" de 90 graus > e > > >continua com a mesma largura, qual e a maior area possivel que pode fazer > > >essa curva? Observe que o formato dessa area pode ser qualquer, e > > >obviamente ela e suposta rigida. E claro que o maior segmento que essa > > >area contem e limitado, mas isso nao ajuda muito. > > > > > >O John Conway fez algumas coisas parciais sobre isso. > > > > > > > > >Abraco, > > > > > > > > >Salvador > > > > > > > > > > > >On Thu, 30 Jan 2003, Paulo Santa Rita wrote: > > > > > > > Ola Claudio e demais > > > > colegas desta lista ... OBM-L, > > > > > > > > Resposta correta ! Com sinceridade alertei que o problema, nao > obstante > > > > simples, tinha uma solucao surpreendente ! > > > > > > > > Em verdade esse problema me foi sugerido em uma mudanca la em casa, > > >quando > > > > eu ainda era menino : meu pai e tios tentavam arrastar um grande > armario > > > > atraves de um corredor em forma de "L", quando entao os sucessivos > > >fracassos > > > > os levaram a suspeitar que era impossivel, sem saberem justificar. > > > > > > > > Provando ( Garantindo ! Ele nao conhecem Calculo. ) que era > impossivel, > > >eu > > > > os convenci a desmontarem o armario, previamente. So depois de muitos > > >anos > > > > vim a saber que havia um problema de Calculo Diferencial muito > parecido. > > > > > > > > Eu nao acompanhei todos os calculos que voce efetuou, mas a ideia > > >contida no > > > > fragmento abaixo esta correta e e o "insight" que mata a questao. Se > > > > eventualmente houver algum erro no algebrismos ( na burocracia ) e sem > > > > duvida apenas uma desatencao. > > > > > > > > Vou propor agora um problema que nao e facil. Para que ele possa ser > > > > digerido, vou coloca-lo na forma de sub-problemas : > > > > > > > > PROBLEMA : Seja Q um quadrado de lado unitario. Mostre que, qualquer > que > > > > seja a forma como colocarmos no interio de Q dois outros quadrados de > > >lados > > > > L1 e L2, se L1 + L2 > 1 entao estes dois outros quadrados terao ao > menos > > >um > > > > ponto em comum. > > > > > > > > Esse e um dos problemas do Paul Erdos. Ja foi proposto aqui nesta > lista. > > > > A ideia e encontrar uma demonstracao rigorosa, analitica, que nao > lance > > >mao > > > > de intuicoes geometricas contestaveis. > > > > > > > > SUGESTAO : Podemos representar Q como a regiao do R^2 na qual as > > >coordenas > > > > (X,Y) de qualquer ponto obedece as condicoes : > > > > > > > > 0 =< X =< 1 > > > > 0 =< Y =< 1 > > > > > > > > Precisamos encontrar uma maneira de garantir que os quadrados de lados > > >L1 e > > > > L2 estejam confinados em Q. Convencionemos, pois, que : > > > > > > > > 1) O quadrado de lado L1 (L2) tem vertices ABCD (EFGH) com o lado AD > > >(EH) > > > > inclinado de ALF (BET) em relacao aos eixo das abscissas. > > > > 2) "A" ("E") e o vertice de menor ordenada. Se dois vertices tiverem a > > >mesma > > > > menor ordenada, "A" ("E") sera o de menor abscissa > > > > 3) As coordenadas de um vertice serao indexadas pela letra do vertice > > >que > > > > representam. Assim : A=(Xa,Ya), E=(Xe,Ye) > > > > > > > > Note que acima fizemos tao somente convencoes, vale dizer, essas > > >notacoes > > > > nao impoe nenhuma restricao a generalidade que o problema requer, dado > > >que > > > > serao adotadas apos o "desenho" dos quadrados. por outro lado, e claro > > >que : > > > > 0 =< ALF,BET < pi/2. > > > > > > > > Isto posto, adotamos qualquer vertice como referencia e exprimimos os > > >demais > > > > em funcao dele. Assim ( adotando "A" como origem ) : > > > > > > > > D-A=L1*(cos(ALF),sen(ALF)) > > > > C-A=L1*(cos(ALF)-sen(ALF),cos(ALF)+sen(ALF)) > > > > B-A=L1*(-sen(ALF),cos(ALF)) > > > > > > > > Substituindo os vertices por suas coordenadas, exprimindo todas em > > >funcao > > > > das coordenadas do vertice "A" e lembrando que estes vertices devem > > >estar na > > > > regiao Q, isto e, entre 0 e 1, a intersecao das inequecoes resultantes > > > > fornecera : > > > > > > > > L1*sen(ALF) =< Xa =< 1 - L1*cos(ALF) > > > > 0 =< Ya =< 1 - L1*(sen(ALF) + cos(ALF)) > > > > > > > > Estas sao as CONDICOES DE CONFINAMENTO, vale dizer, qualquer que seja > L1 > > >e > > > > qualquer que seja L1, as coordenadas do vertice "A" devem satisfazer > as > > > > condicoes acima para que o quadrado ABCD esteja contido na regiao Q. > > > > Claramente que uma relacao analogo vale para o quadrado EFGH, isto e : > > > > > > > > L2*sen(BET) =< Xe =< 1 - L2*cos(BET) > > > > 0 =< Ye =< 1 - L2*(sen(BET) + cos(BET)) > > > > > > > > Bom, agora nos temos quase tudo para dar uma solucao elegante ao > > >problema do > > > > Erdos. Vamos mostrar que L1+L2 > 1 e contaditorio com as condicoes de > > > > confinamento. > > > > > > > > PRIMEIRO SUB-PROBLEMA : Prove que existe um intervalo fechado [m,n], > > >[m,n] > > > > contido em [0,1], tal que qualquer reta vertical X=K que passa por > [m,n] > > > > passa tambem no interior dos dois quadrados. > > > > > > > > SUGESTAO : Observe que provar a afirmacao acima e o mesmo que dizer > que > > >os > > > > quadrados tem pontos com a mesma abscissa. Para provar isso suponha > que > > >Xa e > > > > diferente de Xe ( Se Xa = Xe, X=Xa e uma reta que atende as condicoes > e > > >a > > > > demonstracao esta conluida ). Sem perda de generalidade suponha Xa < > Xe. > > > > Calcule a abscissa do ponto de maior abscissa de ABCD e a abscissa do > > >ponto > > > > de menor abscissa de EFGH. Monte dois intervalos : [Xa, maior > abscissa], > > > > [menor abscissa, Xe]. Prove que se L1+L2 > 1 os intervalos nao podem > ser > > > > disjuntos. > > > > > > > > O segundo sub-problema e tomar todas as retas que passam pela regiao > de > > > > mesmas abscissas e mostrar que alguma(s) passa(m) SIMULTANEAMENTE no > > > > interior dos dois quadrados, vale dizer, vamos analiticamente "subir a > > >reta" > > > > e ver o que acontece la em cima > > > > > > > > Um Abraco a todos ! > > > > Paulo Santa Rita > > > > 5,1802,300103 > > > > > > > > >From: "Cláudio \(Prática\)" > > > > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > > > > >To: > > > > >Subject: Re: [obm-l] O armario e o corredor > > > > >Date: Thu, 30 Jan 2003 15:53:36 -0200 > > > > > > > > > >Caro Paulo e demais colegas da lista: > > > > > > > > > >O maior comprimento de vareta que pode fazer a curva é igual ao > > > > > >comprimento do menor segmento com extremidades em OA e OB que > > >contenha > > > > > >O'. Suponha que o segmento seja MN, com M em OA e N em OB. > > > > > > > > > > > > _________________________________________________________________ > > > > MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com > > > > > > > > > > >========================================================================= > > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > > O administrador desta lista é > > > > > > >========================================================================= > > > > > > > > > >========================================================================= > > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > >O administrador desta lista é > > >========================================================================= > > > > > > _________________________________________________________________ > > MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > O administrador desta lista é > > ========================================================================= > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 3 11:21:10 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA08647 for obm-l-MTTP; Mon, 3 Feb 2003 11:17:47 -0200 Received: from bindtech.bindtech.com.br (mail.bindtech.com.br [200.230.34.1]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA08643 for ; Mon, 3 Feb 2003 11:17:42 -0200 Received: from servico2 (200.230.34.229 [200.230.34.229]) by bindtech.bindtech.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.2653.13) id 1G67AK9P; Mon, 3 Feb 2003 11:19:36 -0300 Message-ID: <003701c2cb87$b7d97320$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <000601c2ca4a$a2b24d20$9865fea9@computer> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_prova_de_uma_afirma=E7=E3o?= Date: Mon, 3 Feb 2003 11:25:22 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0034_01C2CB76.F0F28400" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 11151 Lines: 298 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0034_01C2CB76.F0F28400 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Caro Artur: Voc=EA j=E1 deve ter ouvido falar que existem fun=E7=F5es que s=E3o = cont=EDnuas em toda a reta mas n=E3o s=E3o diferenci=E1veis em ponto = algum - um exemplo =E9 justamente dado por uma s=E9rie de fun=E7=F5es: infinito f(x) =3D SOMA 12^n * cos( Pi * x / 2^n ) n =3D 0=20 Pergunta: existe algum intervalo [a,b] onde esta f =E9 estritamente = crescente? Sugest=E3o: Tente provar a afirmativa com a condi=E7=E3o mais restrita: = f =E9 diferenci=E1vel em (a,b) e f(a) < f(b). Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Artur Costa Steiner=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Saturday, February 01, 2003 9:35 PM Subject: [obm-l] prova de uma afirma=E7=E3o Boa noite a todos, =20 Pediram-se para demonstrar a seguinte afirma=E7=E3o, que, embora = intiuitivamente pare=E7a ser verdadeira, est=E1 me causando grande = dificuldade: =20 Seja f: [a, b] -> R cont=EDnua em [a, b] e tal que f(a) < f(b). Existe = ent=E3o um sub-intervalo de [a, b] no qual f =E9 estritamente crescente. =20 Estou come=E7ando a achar que, embora aparentemente fa=E7a sentido, = esta afirma=E7=E3o =E9 falsa. Mas tamb=E9m n=E3o consegui dar um contra = exemplo. Talvez exista um n=E3o trivial, sendo f dada pelo limite de = uma s=E9rie de fun=E7=F5es ou por combina=E7=F5es de outras fun=E7=F5es. = =20 Mesmo relaxando o car=E1ter estritamente crescente e admitindo que f = seja apenas crescente, ainda asim n=E3o consegui chegar a qualquer = conclus=E3o. =20 =20 Alg=FAem tem alguma id=E9ia a este respeito? Um abra=E7o. Artur ------=_NextPart_000_0034_01C2CB76.F0F28400 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Caro Artur:
 
Voc=EA j=E1 deve ter ouvido falar que = existem fun=E7=F5es=20 que s=E3o cont=EDnuas em toda a reta mas n=E3o s=E3o diferenci=E1veis em = ponto algum - um=20 exemplo =E9 justamente dado por uma s=E9rie de fun=E7=F5es:
 
          &nbs= p; =20 infinito
f(x)  =3D  SOMA  12^n * cos( Pi * x / = 2^n )
           &n= bsp;=20  n =3D 0
Pergunta: existe algum intervalo [a,b] = onde esta f=20 =E9 estritamente crescente?
 
Sugest=E3o: Tente provar a afirmativa = com a condi=E7=E3o=20 mais restrita:  f =E9 diferenci=E1vel em (a,b) e f(a) < = f(b).
 
Um abra=E7o,
Claudio.
 
 
----- Original Message -----
From:=20 Artur Costa=20 Steiner
Sent: Saturday, February 01, = 2003 9:35=20 PM
Subject: [obm-l] prova de uma=20 afirma=E7=E3o

Boa noite a = todos,

 

Pediram-se para = demonstrar a=20 seguinte afirma=E7=E3o, que, embora intiuitivamente pare=E7a ser = verdadeira, est=E1 me=20 causando grande dificuldade:

 

Seja f: [a, b] = -> R=20 cont=EDnua em [a, b] e tal que f(a) < f(b). Existe ent=E3o um = sub-intervalo de=20 [a, b] no qual f =E9 estritamente = crescente.

 

Estou come=E7ando = a achar que,=20 embora aparentemente fa=E7a sentido, esta afirma=E7=E3o =E9 falsa. Mas = tamb=E9m n=E3o=20 consegui dar um contra exemplo. Talvez exista um n=E3o trivial,  sendo f dada pelo limite de = uma s=E9rie=20 de fun=E7=F5es ou por combina=E7=F5es de outras fun=E7=F5es. =

 

Mesmo relaxando o = car=E1ter=20 estritamente crescente e admitindo que f seja apenas crescente, ainda = asim n=E3o=20 consegui chegar a qualquer conclus=E3o.   

 

Alg=FAem tem = alguma id=E9ia a=20 este respeito? Um abra=E7o.

Artur

------=_NextPart_000_0034_01C2CB76.F0F28400-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 3 11:23:17 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA08835 for obm-l-MTTP; Mon, 3 Feb 2003 11:20:40 -0200 Received: from bindtech.bindtech.com.br (mail.bindtech.com.br [200.230.34.1]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA08831 for ; Mon, 3 Feb 2003 11:20:35 -0200 Received: from servico2 (200.230.34.229 [200.230.34.229]) by bindtech.bindtech.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.2653.13) id 1G67AK0C; Mon, 3 Feb 2003 11:22:31 -0300 Message-ID: <004f01c2cb88$208d09e0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030131124241.33665.qmail@web13003.mail.yahoo.com> Subject: Re: [obm-l] Problema: N rainhas Date: Mon, 3 Feb 2003 11:28:19 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1485 Lines: 39 Caro Helder: Parece que este problema ainda está em aberto (mas posso estar desatualizado). Talvez valha a pena investigar problemas mais simples antes, tais como trocar rainhas por torres (razoavelmente fácil) e bispos (mais difícil). Um abraço, Claudio ----- Original Message ----- From: "Helder Suzuki" To: Sent: Friday, January 31, 2003 10:42 AM Subject: [obm-l] Problema: N rainhas De quantas formas podemos colocar N rainhas em um tabuleiro NxN tal que nenhuma rainha possa enxergar outra? obs: uma rainha enxerga outra se ambas estiverem na mesma coluna, linha ou diagonal. _______________________________________________________________________ Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios. http://br.geocities.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 3 11:40:07 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA09606 for obm-l-MTTP; Mon, 3 Feb 2003 11:37:13 -0200 Received: from traven10.uol.com.br (traven10.uol.com.br [200.221.4.45]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA09596 for ; Mon, 3 Feb 2003 11:37:03 -0200 Received: from u2z7z2 ([200.148.56.18]) by traven10.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with ESMTP id LAA21371 for ; Mon, 3 Feb 2003 11:34:34 -0200 (BRST) Message-ID: <000001c2cb89$a9cc6ce0$2101a8c0@u2z7z2> From: "Wagner" To: References: Subject: Re: [obm-l] Um probleminha, nada mais. Date: Mon, 3 Feb 2003 11:38:49 -0200 Organization: Wagner MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4133.2400 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2040 Lines: 54 Olá para todos! Suponha que todos os túneis tenham a mesma chance de serem escolhidos, 1/3 dos prisioneiros chega a liberdade em 1 hora. 1/3 dos prisioneiros chega a liberdade em 3 horas. 1/3 dos prisioneiros voltam a situação inicial. Supondo que eles não voltem a escolher o túnel que não os levou a liberdade: 1/6 dos prisioneiros chega a liberdade em 7 horas. 1/6 dos prisioneiros chega a liberdade em 9 horas. MÉDIA = (1/3).1 + (1/3).3 + (1/6).7 + (1/6).9 = (2 + 6 + 7 + 9)/6 = 24/6 => MÉDIA = 4 horas. Outro problema interessante é se os túneis forem indistinguíveis. André T. ----- Original Message ----- From: "cfgauss77" To: "Lista OBM" Sent: Monday, February 03, 2003 12:18 AM Subject: [obm-l] Um probleminha, nada mais. > Vou propor um probleminha que eu achei interessante. > > Em uma cela, há passagem secreta que conduz a um porão > de onde partem trên túneis. O primeiro túneo dá acesso à > liberdade em 1 hora; o segundo, em 3 horas; e o terceiro > leva ao ponto de partida em 6 horas. Em média, os > prisioneiros que descobrem os túneis conseguem escapar > da prisão em quanto tempo? > > Não é difícil mas é inteligente. > > > > > __________________________________________________________________________ > E-mail Premium BOL > Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! > http://email.bol.com.br/ > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 3 11:52:05 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA10156 for obm-l-MTTP; Mon, 3 Feb 2003 11:49:16 -0200 Received: from traven10.uol.com.br (traven10.uol.com.br [200.221.4.45]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA10145 for ; Mon, 3 Feb 2003 11:49:05 -0200 Received: from gauss ([200.158.97.121]) by traven10.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with SMTP id LAA08989 for ; Mon, 3 Feb 2003 11:46:30 -0200 (BRST) Message-ID: <003c01c2cb94$f49b1e00$2accfea9@gauss> From: "Domingos Jr." To: References: <00c601c2cb29$0de67560$5a02dcc8@jf> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_prova_de_uma_afirma=E7=E3o?= Date: Mon, 3 Feb 2003 12:00:10 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0037_01C2CB7B.CD8CAE00" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2720.3000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 14973 Lines: 404 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0037_01C2CB7B.CD8CAE00 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable n=E3o seria bem isso, imagine que vc tem uma fun=E7=E3o que =E9 toda = cheia de subidas e descidas, mas a cada vez que se d=E1 um "zoom" na = fun=E7=E3o, algo que parecia uma reta crescente =E9 na verdade um = conjunto de subidas e descidas, e assim vai, essa fun=E7=E3o que eu = descrevi de forma totalmente subjetiva :-) =E9 um caso patol=F3gico pra = essa proposi=E7=E3o. de wormholes eu s=F3 sei o que li no livro do stephen hawking! ----- Original Message -----=20 From: Jose Francisco Guimaraes Costa=20 To: obm-l=20 Sent: Sunday, February 02, 2003 11:07 PM Subject: [obm-l] prova de uma afirma=E7=E3o VV h=E3o de concordar comigo que isto =E9 um contra-senso total. Em outras palavras, est=E1 sendo dito que o valor de uma fun=E7=E3o = cont=EDnua vai de - digamos - 1 para 2 sem passar por 1,5. Bota patol=F3gica nisso!=20 Se estiv=E9ssemos no reino da f=EDsica, estar=EDamos tratando de = 'wormholes', que s=E3o aberra=E7=F5es da Teoria da Relatividade Geral = que permitiriam viagens ao passado. JF ----- Original Message -----=20 From: Artur Costa Steiner=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Sunday, February 02, 2003 12:34 PM Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] prova de uma afirma=E7=E3o Pediram-se para demonstrar a seguinte afirma=E7=E3o, que, embora = intiuitivamente pare=E7a ser verdadeira, est=E1 me causando grande = dificuldade: =20 Seja f: [a, b] -> R cont=EDnua em [a, b] e tal que f(a) < f(b). Existe = ent=E3o um sub-intervalo de [a, b] no qual f =E9 estritamente crescente. (...) -----Original Message----- From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br = [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Domingos Jr. Sent: Sunday, February 02, 2003 3:07 AM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: [obm-l] prova de uma afirma=E7=E3o =20 acho que sem a hip=F3tese de f diferenci=E1vel realmente isso n=E3o = =E9 verdadeiro...=20 d=EA uma olhada nessas fun=E7=F5es que, apesar de serem cont=EDnuas, = devem conter um intervalo fechado em que o valor de um extremo =E9 maior = que o outro e no entanto elas n=E3o possuem nenhum intervalo = estritamente crescente ou decrescente (=E9 um palpite, n=E3o estudei = essas fun=E7=F5es a fundo): http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassFunction.html http://mathworld.wolfram.com/BlancmangeFunction.html =20 (...) ------=_NextPart_000_0037_01C2CB7B.CD8CAE00 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
n=E3o seria bem isso, imagine que vc = tem uma fun=E7=E3o=20 que =E9 toda cheia de subidas e descidas, mas a cada vez que = se d=E1 um "zoom"=20 na fun=E7=E3o, algo que parecia uma reta crescente =E9 na verdade um = conjunto de=20 subidas e descidas, e assim vai, essa fun=E7=E3o que eu descrevi de = forma totalmente=20 subjetiva :-) =E9 um caso patol=F3gico pra essa = proposi=E7=E3o.
 
de wormholes eu s=F3 sei o que li no = livro do stephen=20 hawking!
----- Original Message -----
From:=20 Jose=20 Francisco Guimaraes Costa
To: obm-l
Sent: Sunday, February 02, 2003 = 11:07=20 PM
Subject: [obm-l] prova de uma=20 afirma=E7=E3o

VV h=E3o de concordar comigo que isto = =E9 um=20 contra-senso total.
 
Em outras palavras, est=E1 sendo dito = que o valor=20 de uma fun=E7=E3o cont=EDnua vai de - digamos - 1 para 2 sem passar = por=20 1,5.
 
Bota patol=F3gica nisso! =
 
Se estiv=E9ssemos no reino da = f=EDsica, estar=EDamos=20 tratando de 'wormholes', que s=E3o aberra=E7=F5es da Teoria da = Relatividade Geral=20 que permitiriam viagens ao passado.
 
JF
 
----- Original Message -----
From: Artur = Costa=20 Steiner
Sent: Sunday, February 02, 2003 12:34 PM
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] prova de uma=20 afirma=E7=E3o
 

Pediram-se para demonstrar a seguinte afirma=E7=E3o, que, = embora=20 intiuitivamente pare=E7a ser verdadeira, est=E1 me causando grande=20 dificuldade:

 

Seja f: [a, b] -> R cont=EDnua em [a, b] e tal que f(a) = < f(b).=20 Existe ent=E3o um sub-intervalo de [a, b] no qual f =E9 estritamente=20 crescente.

 
(...)
 

-----Original=20 Message-----
From: = owner-obm-l@sucuri.mat.= puc-rio.br=20 [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Domingos = Jr.
Sent: Sunday,=20 February 02, 2003=20 3:07=20 AM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] = prova de uma=20 afirma=E7=E3o

 

acho = que sem a=20 hip=F3tese de f diferenci=E1vel realmente isso n=E3o =E9 verdadeiro... =

d=EA = uma olhada=20 nessas fun=E7=F5es que, apesar de serem=20 cont=EDnuas, devem=20 conter um intervalo fechado em que o valor de um extremo =E9 maior que = o outro e=20 no entanto elas n=E3o possuem nenhum intervalo estritamente crescente = ou=20 decrescente (=E9 um palpite, n=E3o estudei essas = fun=E7=F5es a=20 fundo):

http://mat= hworld.wolfram.com/WeierstrassFunction.html

http://math= world.wolfram.com/BlancmangeFunction.html

 

(...)

------=_NextPart_000_0037_01C2CB7B.CD8CAE00-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 3 12:42:40 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA12407 for obm-l-MTTP; Mon, 3 Feb 2003 12:38:43 -0200 Received: from soling.fortalnet.com.br (soling.fortalnet.com.br [200.253.251.18]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA12394 for ; Mon, 3 Feb 2003 12:38:39 -0200 Received: from CemagCerver (ip-ip61.fortalnet.com.br [200.253.221.190]) by soling.fortalnet.com.br (8.12.4/8.11.6) with SMTP id h13EXr8o003813 for ; Mon, 3 Feb 2003 09:33:54 -0500 Message-ID: <001e01c2cb8a$081deee0$0203a8c0@CemagCerver> From: "Davidson Estanislau" To: Subject: Fw: [obm-l] Problema: N rainhas Date: Mon, 3 Feb 2003 11:41:55 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2800.1106 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1554 Lines: 48 Por falar em xadrez. Há alguma maneira de calcular o número de posições possíveis após um número um determinado número de jogadas? Por exemplo: Para o primeiro lance, de cada jogador, temos: 400 posições possíveis. (20 para as brancas e 20 para as pretas). Quantas posições teremos para a segunda jogada? Davidson Estanislau -----Mensagem Original----- De: "Cláudio (Prática)" Para: Enviada em: Segunda-feira, 3 de Fevereiro de 2003 11:28 Assunto: Re: [obm-l] Problema: N rainhas > Caro Helder: > > Parece que este problema ainda está em aberto (mas posso estar > desatualizado). Talvez valha a pena investigar problemas mais simples antes, > tais como trocar rainhas por torres (razoavelmente fácil) e bispos (mais > difícil). > > Um abraço, > Claudio > ----- Original Message ----- > From: "Helder Suzuki" > To: > Sent: Friday, January 31, 2003 10:42 AM > Subject: [obm-l] Problema: N rainhas > > > De quantas formas podemos colocar N rainhas em um > tabuleiro NxN tal que nenhuma rainha possa enxergar > outra? > > obs: uma rainha enxerga outra se ambas estiverem na > mesma coluna, linha ou diagonal. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 3 12:58:16 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA12890 for obm-l-MTTP; Mon, 3 Feb 2003 12:55:41 -0200 Received: from www.zipmail.com.br (smtp.zipmail.com.br [200.187.242.10]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA12886 for ; Mon, 3 Feb 2003 12:55:38 -0200 From: ghaeser@zipmail.com.br Received: from [200.158.7.191] by www.zipmail.com.br with HTTP; Mon, 3 Feb 2003 12:51:59 -0200 Message-ID: <3E3E7698000002BD@www.zipmail.com.br> Date: Mon, 3 Feb 2003 12:51:59 -0200 In-Reply-To: <004f01c2cb88$208d09e0$3300c57d@bovespa.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re=3A=20=5Bobm=2Dl=5D=20Problema=3A=20N=20rainhas?= To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id MAA12887 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1831 Lines: 49 http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=000170 essa sequencia está cadastrada na online encyclopedia of integer sequences .. >De quantas formas podemos colocar N rainhas em um >tabuleiro NxN tal que nenhuma rainha possa enxergar >outra? > >obs: uma rainha enxerga outra se ambas estiverem na >mesma coluna, linha ou diagonal. > >_______________________________________________________________________ >Yahoo! GeoCities >Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e >acessórios. >http://br.geocities.yahoo.com/ >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= > "Mathematicus nascitur, non fit" Matemáticos não são feitos, eles nascem --------------------------------------- Gabriel Haeser www.gabas.cjb.net ------------------------------------------ Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 3 14:14:15 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA14935 for obm-l-MTTP; Mon, 3 Feb 2003 14:10:43 -0200 Received: from puma.unisys.com.br (smtp.unisys.com.br [200.220.64.7]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA14931 for ; Mon, 3 Feb 2003 14:10:34 -0200 Received: from n8x4f9 (riohiper01p203.uninet.com.br [200.220.2.203]) by puma.unisys.com.br (8.12.3/8.12.3) with SMTP id h13G9qId006564 for ; Mon, 3 Feb 2003 14:09:54 -0200 (EDT) X-Spam-Filter: check_local@puma.unisys.com.br by digitalanswers.org Message-ID: <007f01c2cbb0$3a7f5060$cb02dcc8@n8x4f9> From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" To: References: <00c601c2cb29$0de67560$5a02dcc8@jf> <003c01c2cb94$f49b1e00$2accfea9@gauss> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Re:_=5Bobm-l=5D_prova_de_uma_afirma=E7=E3o?= Date: Mon, 3 Feb 2003 14:14:38 -0400 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_007A_01C2CB8E.961135A0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 16708 Lines: 451 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_007A_01C2CB8E.961135A0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Mas essa fun=E7=E3o =E9 cont=EDnua? Qual a defini=E7=E3o formal de fun=E7=E3o cont=EDnua? JF ----- Original Message -----=20 From: Domingos Jr.=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Monday, February 03, 2003 11:00 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] prova de uma afirma=E7=E3o n=E3o seria bem isso, imagine que vc tem uma fun=E7=E3o que =E9 toda = cheia de subidas e descidas, mas a cada vez que se d=E1 um "zoom" na = fun=E7=E3o, algo que parecia uma reta crescente =E9 na verdade um = conjunto de subidas e descidas, e assim vai, essa fun=E7=E3o que eu = descrevi de forma totalmente subjetiva :-) =E9 um caso patol=F3gico pra = essa proposi=E7=E3o. =20 de wormholes eu s=F3 sei o que li no livro do stephen hawking! ----- Original Message -----=20 From: Jose Francisco Guimaraes Costa=20 To: obm-l=20 Sent: Sunday, February 02, 2003 11:07 PM Subject: [obm-l] prova de uma afirma=E7=E3o VV h=E3o de concordar comigo que isto =E9 um contra-senso total. =20 Em outras palavras, est=E1 sendo dito que o valor de uma fun=E7=E3o = cont=EDnua vai de - digamos - 1 para 2 sem passar por 1,5. =20 Bota patol=F3gica nisso!=20 =20 Se estiv=E9ssemos no reino da f=EDsica, estar=EDamos tratando de = 'wormholes', que s=E3o aberra=E7=F5es da Teoria da Relatividade Geral = que permitiriam viagens ao passado. =20 JF ----- Original Message -----=20 From: Artur Costa Steiner=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Sunday, February 02, 2003 12:34 PM Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] prova de uma afirma=E7=E3o Pediram-se para demonstrar a seguinte afirma=E7=E3o, que, embora = intiuitivamente pare=E7a ser verdadeira, est=E1 me causando grande = dificuldade: =20 Seja f: [a, b] -> R cont=EDnua em [a, b] e tal que f(a) < f(b). = Existe ent=E3o um sub-intervalo de [a, b] no qual f =E9 estritamente = crescente. =20 (...) =20 -----Original Message----- From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br = [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Domingos Jr. Sent: Sunday, February 02, 2003 3:07 AM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: [obm-l] prova de uma afirma=E7=E3o =20 acho que sem a hip=F3tese de f diferenci=E1vel realmente isso n=E3o = =E9 verdadeiro...=20 d=EA uma olhada nessas fun=E7=F5es que, apesar de serem cont=EDnuas, = devem conter um intervalo fechado em que o valor de um extremo =E9 maior = que o outro e no entanto elas n=E3o possuem nenhum intervalo = estritamente crescente ou decrescente (=E9 um palpite, n=E3o estudei = essas fun=E7=F5es a fundo): http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassFunction.html http://mathworld.wolfram.com/BlancmangeFunction.html =20 (...) ------=_NextPart_000_007A_01C2CB8E.961135A0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Mas essa fun=E7=E3o =E9 = cont=EDnua?
 
Qual a defini=E7=E3o formal de = fun=E7=E3o=20 cont=EDnua?
 
JF
----- Original Message -----
From:=20 Domingos Jr.=20
Sent: Monday, February 03, 2003 = 11:00=20 AM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] = prova de uma=20 afirma=E7=E3o

n=E3o seria bem isso, imagine que vc = tem uma fun=E7=E3o=20 que =E9 toda cheia de subidas e descidas, mas a cada vez que = se d=E1 um=20 "zoom" na fun=E7=E3o, algo que parecia uma reta crescente =E9 na = verdade um conjunto=20 de subidas e descidas, e assim vai, essa fun=E7=E3o que eu descrevi de = forma=20 totalmente subjetiva :-) =E9 um caso patol=F3gico pra essa=20 proposi=E7=E3o.
 
de wormholes eu s=F3 sei o que li no = livro do=20 stephen hawking!
----- Original Message -----
From:=20 Jose=20 Francisco Guimaraes Costa
To: obm-l=20
Sent: Sunday, February 02, = 2003 11:07=20 PM
Subject: [obm-l] prova de uma = afirma=E7=E3o

VV h=E3o de concordar comigo que = isto =E9 um=20 contra-senso total.
 
Em outras palavras, est=E1 sendo = dito que o valor=20 de uma fun=E7=E3o cont=EDnua vai de - digamos - 1 para 2 sem passar = por=20 1,5.
 
Bota patol=F3gica nisso! =
 
Se estiv=E9ssemos no reino da = f=EDsica, estar=EDamos=20 tratando de 'wormholes', que s=E3o aberra=E7=F5es da Teoria da = Relatividade Geral=20 que permitiriam viagens ao passado.
 
JF
 
----- Original Message -----
From: = Artur Costa=20 Steiner
Sent: Sunday, February 02, 2003 12:34 PM
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] prova de uma=20 afirma=E7=E3o
 

Pediram-se para demonstrar a seguinte afirma=E7=E3o, que, = embora=20 intiuitivamente pare=E7a ser verdadeira, est=E1 me causando grande=20 dificuldade:

 

Seja f: [a, b] -> R cont=EDnua em [a, b] e tal que f(a) = < f(b).=20 Existe ent=E3o um sub-intervalo de [a, b] no qual f =E9 estritamente = crescente.

 
(...)
 

-----Original=20 Message-----
From: owner-obm-l@sucuri.mat.= puc-rio.br=20 [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Domingos = Jr.
Sent: Sunday,=20 February 02, 2003=20 3:07=20 AM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] = prova de=20 uma afirma=E7=E3o

 

acho = que sem a=20 hip=F3tese de f diferenci=E1vel realmente isso n=E3o =E9 = verdadeiro...=20

d=EA = uma olhada=20 nessas fun=E7=F5es que, apesar de serem=20 cont=EDnuas, devem=20 conter um intervalo fechado em que o valor de um extremo =E9 maior = que o outro=20 e no entanto elas n=E3o possuem nenhum intervalo estritamente = crescente ou=20 decrescente (=E9 um palpite, n=E3o estudei essas = fun=E7=F5es a=20 fundo):

http://mat= hworld.wolfram.com/WeierstrassFunction.html

http://math= world.wolfram.com/BlancmangeFunction.html

 

(...)

------=_NextPart_000_007A_01C2CB8E.961135A0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 3 14:19:01 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA15039 for obm-l-MTTP; Mon, 3 Feb 2003 14:16:24 -0200 Received: (from nicolau@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA15034 for obm-l@mat.puc-rio.br; Mon, 3 Feb 2003 14:16:24 -0200 Date: Mon, 3 Feb 2003 14:16:24 -0200 From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: =?iso-8859-1?Q?=5Bobm-l=5D_simplifica=E7=E3o?= Message-ID: <20030203141624.C14521@sucuri.mat.puc-rio.br> References: <20030202001058.GA1686@darkstar.leitner.homeip.net> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Disposition: inline Content-Transfer-Encoding: 8bit User-Agent: Mutt/1.2.5i In-Reply-To: <20030202001058.GA1686@darkstar.leitner.homeip.net>; from ehl@netbank.com.br on Sat, Feb 01, 2003 at 10:10:58PM -0200 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 748 Lines: 15 On Sat, Feb 01, 2003 at 10:10:58PM -0200, Eduardo Henrique Leitner wrote: > Simplifique: > > {[2 + 3^(1/2)] / {2^(1/2) + [2 + 3^(1/2)]^(1/2)}} + {[2 - 3(1/2)] / {2^(1/2) - [2 - 3(1/2)]^(1/2)}} Dá sqrt(2). A prova é meio braçal. Para esse tipo de problema o melhor é ou usar um programa como o maple ou na falta disso fazer a conta numérica e "adivinhar" a resposta certa (não é muito difícil reconhecer 1.414213562). []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 3 14:25:02 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA15162 for obm-l-MTTP; Mon, 3 Feb 2003 14:22:00 -0200 Received: (from nicolau@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA15156 for obm-l@mat.puc-rio.br; Mon, 3 Feb 2003 14:21:59 -0200 Date: Mon, 3 Feb 2003 14:21:59 -0200 From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: =?iso-8859-1?Q?=5Bobm-l=5D_prova_de_uma_afirma=E7=E3o?= Message-ID: <20030203142159.D14521@sucuri.mat.puc-rio.br> References: <00c601c2cb29$0de67560$5a02dcc8@jf> <20030203151811.GA1095@terra.com.br> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Disposition: inline Content-Transfer-Encoding: 8bit User-Agent: Mutt/1.2.5i In-Reply-To: <20030203151811.GA1095@terra.com.br>; from fabio.dias.moreira@terra.com.br on Mon, Feb 03, 2003 at 10:18:11AM -0500 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 819 Lines: 17 On Mon, Feb 03, 2003 at 10:18:11AM -0500, fabio.dias.moreira@terra.com.br wrote: > (En passant: A função de Cantor não seria um contra-exemplo bem simples? A > união dos intervalos removidos do conjunto de Cantor é densa em [0, 1], logo a > restrição da função a um intervalo sempre tem um subintervalo constante.) Correto. A questão é mais difícil se exigirmos apenas um intervalo em que a função é monótona. Mesmo assim existem contra-exemplos, conforme discutido em outras mensagens. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 3 14:41:39 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA15954 for obm-l-MTTP; Mon, 3 Feb 2003 14:38:52 -0200 Received: (from nicolau@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA15946 for obm-l@mat.puc-rio.br; Mon, 3 Feb 2003 14:38:51 -0200 Date: Mon, 3 Feb 2003 14:38:50 -0200 From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: =?iso-8859-1?Q?=5Bobm-l=5D_Re:_=5Bobm-l=5D_prova_de_uma_afirma=E7=E3o?= Message-ID: <20030203143850.E14521@sucuri.mat.puc-rio.br> References: <000601c2ca4a$a2b24d20$9865fea9@computer> <003701c2cb87$b7d97320$3300c57d@bovespa.com> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Disposition: inline Content-Transfer-Encoding: 8bit User-Agent: Mutt/1.2.5i In-Reply-To: <003701c2cb87$b7d97320$3300c57d@bovespa.com>; from claudio@praticacorretora.com.br on Mon, Feb 03, 2003 at 11:25:22AM -0200 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1261 Lines: 34 On Mon, Feb 03, 2003 at 11:25:22AM -0200, Cláudio (Prática) wrote: > Caro Artur: > > Você já deve ter ouvido falar que existem funções que são contínuas em toda a > reta mas não são diferenciáveis em ponto algum - um exemplo é justamente dado > por uma série de funções: > > infinito > f(x) = SOMA 12^n * cos( Pi * x / 2^n ) > n = 0 Acho que você queria dizer o seguinte f(x) = SOMA 1/2^n cos(Pi x/2^n) Outro exemplo (que talvez torne a demonstração mais fácil) seria g(x) = SOMA 1/2^n cos(Pi x/4^n) É fácil calcular o valor desta função em racionais diádicos (i.e., racionais da forma a/2^k) pois a partir de certo valor de n os cos são todos iguais a 1. Não é difícil então demonstrar que g não é monótona em nenhum intervalo. Achei que o livro 'a primer of real functions' de Ralph Boas (editado pela MAA) tinha este tipo de coisa mas procurei e não achei. De qq forma o livro é muito bom. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 3 15:20:13 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA17751 for obm-l-MTTP; Mon, 3 Feb 2003 15:16:59 -0200 Received: from web12904.mail.yahoo.com (web12904.mail.yahoo.com [216.136.174.71]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id PAA17746 for ; Mon, 3 Feb 2003 15:16:55 -0200 Message-ID: <20030203171621.17724.qmail@web12904.mail.yahoo.com> Received: from [200.206.103.3] by web12904.mail.yahoo.com via HTTP; Mon, 03 Feb 2003 14:16:21 ART Date: Mon, 3 Feb 2003 14:16:21 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Johann=20Peter=20Gustav=20Lejeune=20Dirichlet?= Subject: [obm-l] Como achar o Proofs To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-945990675-1044292581=:17345" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1042 Lines: 22 --0-945990675-1044292581=:17345 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Turma,sera que em algum lugar de Sao Paulo-SP eu posso achar o Proofs from THE BOOK? --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-945990675-1044292581=:17345 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Turma,sera que em algum lugar de Sao Paulo-SP eu posso achar o Proofs from THE BOOK?


Busca Yahoo!
O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-945990675-1044292581=:17345-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 3 16:10:16 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA19079 for obm-l-MTTP; Mon, 3 Feb 2003 16:06:41 -0200 Received: from aacpdlotus.net.ms.gov.br (ns1.ms.gov.br [200.181.116.3]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA19073 for ; Mon, 3 Feb 2003 16:06:37 -0200 From: JoaoCarlos_Junior@net.ms.gov.br Subject: [obm-l] Determinantes e =?iso-8859-1?Q?Permuta=E7=F5es_pares_e_=EDmpares_?= To: obm-l@mat.puc-rio.br X-Mailer: Lotus Notes Release 5.0.9a January 7, 2002 Message-ID: Date: Mon, 3 Feb 2003 14:08:53 -0400 X-MIMETrack: Serialize by Router on aacpdlotus/NETMS(Release 5.0.9a |January 7, 2002) at 02/03/2003 03:09:25 PM MIME-Version: 1.0 Content-type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id QAA19074 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 581 Lines: 13 No volume 3, A Matemática do Ensino Médio da SBM, p. 137, há regra de cálculo determinantes por meio de permutações pares e ímpares. Porém, não estou conseguindo aplicá-la para matrizes quadradas de ordem maior ou igual a 4. Expliquem-me. ATT. João Carlos ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 3 16:27:49 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA19486 for obm-l-MTTP; Mon, 3 Feb 2003 16:24:45 -0200 Received: from web80307.mail.yahoo.com (web80307.mail.yahoo.com [66.218.79.23]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id QAA19482 for ; Mon, 3 Feb 2003 16:24:42 -0200 Message-ID: <20030203182410.16255.qmail@web80307.mail.yahoo.com> Received: from [200.128.23.188] by web80307.mail.yahoo.com via HTTP; Mon, 03 Feb 2003 15:24:10 ART Date: Mon, 3 Feb 2003 15:24:10 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Tertuliano=20Carneiro?= Subject: Re: [obm-l] área To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <20030202170519.59706.qmail@web41505.mail.yahoo.com> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-1983492334-1044296650=:14564" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2785 Lines: 47 --0-1983492334-1044296650=:14564 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Olá! Use a fórmula de distância de pontos. Assim vc irá achar a medida do lado e, consequentemente, o perímetro. No caso da área, lembre-se q é o semiproduto das diagonais. Fui! Tertuliano Carneiro. elton francisco ferreira wrote:Encontre a área e o perímetro de um losango cujos vértices são os pontos (1,2),(4,0),(7,2) e (4,4) ? _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= --------------------------------- Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios. --0-1983492334-1044296650=:14564 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

Olá!

Use a fórmula de distância de pontos. Assim vc irá achar a medida do lado e, consequentemente, o perímetro. No caso da área, lembre-se q é o semiproduto das diagonais.

Fui!

Tertuliano Carneiro.

 

 

 elton francisco ferreira <elton_2001ff@yahoo.com.br> wrote:

Encontre a área e o perímetro de um losango cujos
vértices são os pontos (1,2),(4,0),(7,2) e (4,4) ?

_______________________________________________________________________
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Seja B igual a P^-1 A P. Há forma de provar, sem contra-exemplo, a falsidade: se A é simétrica, então B também o é. ATT. João Carlos ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 3 16:49:24 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA20233 for obm-l-MTTP; Mon, 3 Feb 2003 16:46:29 -0200 Received: from puma.unisys.com.br (smtp.unisys.com.br [200.220.64.7]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA20228 for ; Mon, 3 Feb 2003 16:46:24 -0200 Received: from n8x4f9 (riohiper01p247.uninet.com.br [200.220.2.247]) by puma.unisys.com.br (8.12.3/8.12.3) with SMTP id h13IjkqK003643 for ; Mon, 3 Feb 2003 16:45:48 -0200 (EDT) X-Spam-Filter: check_local@puma.unisys.com.br by digitalanswers.org Message-ID: <00d101c2cbc6$04082140$cb02dcc8@n8x4f9> From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" To: References: <000601c2ca4a$a2b24d20$9865fea9@computer> <003701c2cb87$b7d97320$3300c57d@bovespa.com> <20030203143850.E14521@sucuri.mat.puc-rio.br> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?=28=5Bobm-l=5D_Re:=29^n__prova_de_uma_afirma=E7=E3o?= Date: Mon, 3 Feb 2003 16:50:43 -0400 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1484 Lines: 46 ----- Original Message ----- From: Nicolau C. Saldanha To: Sent: Monday, February 03, 2003 12:38 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] prova de uma afirmação > On Mon, Feb 03, 2003 at 11:25:22AM -0200, Cláudio (Prática) wrote: > > Caro Artur: > > (...) > Acho que você queria dizer o seguinte > > f(x) = SOMA 1/2^n cos(Pi x/2^n) > > Outro exemplo (que talvez torne a demonstração mais fácil) seria > > g(x) = SOMA 1/2^n cos(Pi x/4^n) > > É fácil calcular o valor desta função em racionais diádicos > (i.e., racionais da forma a/2^k) pois a partir de certo valor de n > os cos são todos iguais a 1. Não é difícil então demonstrar que g > não é monótona em nenhum intervalo. > Estou assumindo que g(x) = SOMA ((1/2^n) * cos(Pi * (x/4^n))) Se em g(x) a partir de certo valor de n os cos são todos iguais a 1, eles também serão iguais a 1 em f(x) a partir de um n maior. Como o somatório é em n de 0 a infinito, isso não faria qualquer diferença. Ou faria? JF PS: Não seria mais exato dizer que, para o cálculo do valor da função, a partir de certo valor de n os cos podem ser aproximados para 1? ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 3 17:04:53 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA20937 for obm-l-MTTP; Mon, 3 Feb 2003 17:02:03 -0200 Received: from bindtech.bindtech.com.br (mail.bindtech.com.br [200.230.34.1]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA20933 for ; Mon, 3 Feb 2003 17:02:00 -0200 Received: from servico2 (200.230.34.228 [200.230.34.228]) by bindtech.bindtech.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.2653.13) id 1HTVMP2C; Mon, 3 Feb 2003 17:02:35 -0300 Message-ID: <013901c2cbb7$a44600a0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030124212803.66065.qmail@web14304.mail.yahoo.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Loteria_Matem=E1tica_/_olimpiada?= Date: Mon, 3 Feb 2003 17:07:59 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 6042 Lines: 156 Caro Rafael: Consegui fazer os itens (a) e (b). Suponha que cada cartão é um subconjunto de 6 elementos de {1,2,3,...,36}. Considere os seguintes cartões: C1 = {1,2,3,4,5,6} C2 = {5,6,7,8,9,10} C3 = {9,10,11,12,13,14} C4 = {1,2,7,8,13,14} C5 = {15,16,17,18,19,20} C6 = {19,20,21,22,23,24} C7 = {23,24,25,26,27,28} C8 = {15,16,21,22,27,28} C9 = {29,30,31,32,33,34} Forme os conjuntos: A = C1 U C2 U C3 U C4 B = C5 U C6 U C7 U C8 Seja T um subconjunto qualquer de {1,2,...,36} com 6 elemnetos Repare que cada elemento de A aparece em um ou dois dos cartões C1, C2, C3 e C4 (3,4,11 and 12 em apenas um e os demais números em dois). Idem para B. Se T intercepta A (B) em no máximo 2 elementos, então um dos cartões que compõem A (B) é disjunto de T. Para ver isso, você não precisa checar cada um dos C(14,2) = 91 pares de números de A. Basta reparar que existem apenas 3 tipos diferentes de tais pares: 1. Aqueles nos quais ambos os números aparecem em apenas um cartão (6 pares) 2. Aqueles nos quais um número aparece em um cartão e o outro em dois cartões (40 pares) 3. Aqueles em que ambos os números aparecem em dois cartões (45 pares) e fazer a verificação apenas para um par representativo de cada tipo. Por exemplo, se T & A = {3,4} ("&" = interseção) ou T & A = {1,3} ou T & A = {1,2} então T & C2 = conjunto vazio. Idem para B. Se T intercepta A e B em três ou mais elementos, então (como |T| = 6 ), T intercepta cada um em exatamente 3 elementos ==> T é disjunto de C9. Conclusão: um desses 9 cartões é um "vencedor". *************** Para provar que 8 cartões são insuficientes para se ter certeza de ganhar, basta mostrar que, dados 8 cartões quaisquer, é sempre possível encontrar um subconjunto T de {1,2,...,36} com 6 elementos que intercepta cada um destes 8 cartões. Suponha que os 8 cartões sejam dados. Temos dois casos a considerar: 1. Existe um número em {1,2,...,36} que pertence a 3 (ou mais) cartões distintos: Nesse caso, tome este número e um número de cada um dos 5 cartões restantes a fim de formar um conjunto T que intercepta cada cartão. 2. Quaisquer 3 cartões distintos têm interseção vazia: Aqui a idéia é mostrar que existem 4 cartões distintos (por exemplo, C1, C2, C3 e C4) tais que C1 & C2 é não vazia e que C3 & C4 é não vazia. Se este for o caso, basta tomar um elemento de C1 & C2, um elemento de C3 & C4, e um elemento de cada um dos cartões restantes C5, C6, C7 e C8 a fim de formar um conjunto T, de 6 elementos, que intercepta cada cartão em pelo menos um número, o que prova o resultado. Inicialmente, é sempre possível achar C1 e C2 tais que C1 & C2 é não vazia, uma vez que 8 cartões têm 8*6 = 48 posições que devem ser ocupadas por números de um conjunto com apenas 36 elementos (e cada cartão com 6 números distintos) Portanto, pelo princípio das gavetas, existe um número em {1,2,...,36} que deve constar de dois cartões. Chame estes cartões de C1 e C2. Se, dentre os 6 cartões restantes, existirem dois com interseção não vazia, então o resultado estará provado. Caso contrário, teremos 6 cartões disjuntos, de forma que: | C3 U C4 U C5 U C6 U C7 U C8 | = |C3| + |C4| + |C5| + |C6| + |C7| + |C8| = 6*6 = 36 Em outras palavras: C3 U C4 U ... U C8 = {1,2,...,36}. Se existirem "i" e "j" ( 3 <= i < j <= 8 ) tais que C1 intercepta Ci e C2 intercepta Cj, então (após re-nomear os cartões) o resultado estará provado. Por outro lado, se C1 & Ci = conjunto vazio ( 3 <= i <= 8 ), então cada Ci deve interceptar C2. Além disso, como os 6 Ci ( 3 <= i <= 8) são disjuntos dois a dois, cada um intercepta C2 num número (elemento) distinto. No entanto, por hipótese, C1 intercepta C2 em pelo menos um número. Isso quer dizer que, no final das contas, um dos Ci intercepta C1 ==> contradição. Logo, existem cartões distintos Ci e Cj ( 3 <= i < j <= 8 ) tais que C1 intercepta Ci e C2 intercepta Cj e o resultado está provado. Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Rafael" To: "OBM" Sent: Friday, January 24, 2003 7:28 PM Subject: [obm-l] olimpiada Não consigo resolver essa questão que me disseram que foi aplicada pela OBM. Se alguém souber me explicar ou se esta resposta já estiver em algum lugar da Internet que não achei, agradeceria. 5 - O cartão da "Loteria Matemática" é um tabuleiro 6 x 6. O apostador marca 6 cruzes em seis casas do cartão e envia ao concurso. O cartão oficial é publicado no jornal, com seis cruzes marcadas que indicam as seis casas perdedoras. O apostador ganha se não marcou nenhuma cruz em uma casa perdedora. a) Marcar e demonstrar que o jogador pode preencher 9 cartões de modo que pelo menos um deles seja ganhador. b) Demonstrar que 8 cartões não são suficientes para ter certeza de ganhar. E se o tabuleiro for 10 x 10. O apostador marca 20 cruzes em 20 casas do cartão e envia ao concurso. O cartão oficial é publicado no jornal, com 20 cruzes marcadas que indicam as 20 casas perdedoras. O apostador ganha se não marcou nenhuma cruz em uma casa perdedora. c) Marcar e demonstrar quantos cartões deve preencher o jogador de modo que pelo menos um deles seja ganhador. d) Demonstrar quantos cartões não são suficientes para ter certeza de ganhar. Abraços, Rafael. __________________________________________________ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail Plus - Powerful. Affordable. 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O que voc=EA pensar o = Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_013A_01C2CBA7.252A47A0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Tente a Livraria Cultura no site http://www.livcultura.com.br/<= /FONT>
----- Original Message -----
From:=20 Johann Peter Gustav = Lejeune=20 Dirichlet
Sent: Monday, February 03, 2003 = 3:16=20 PM
Subject: [obm-l] Como achar o=20 Proofs

Turma,sera que em algum lugar de Sao Paulo-SP eu posso = achar o=20 Proofs from THE BOOK?


Busca Yahoo!
O = servi=E7o de=20 busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o Yahoo!=20 encontra. ------=_NextPart_000_013A_01C2CBA7.252A47A0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 3 17:36:33 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA22546 for obm-l-MTTP; Mon, 3 Feb 2003 17:33:37 -0200 Received: from pretoria.ime.unicamp.br (pretoria.ime.unicamp.br [143.106.22.7]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA22542 for ; Mon, 3 Feb 2003 17:33:34 -0200 Received: from lei060 (lei060.lei.ime.unicamp.br [143.106.118.60]) by pretoria.ime.unicamp.br (8.9.0/8.9.0) with ESMTP id RAA19446 for ; Mon, 3 Feb 2003 17:33:11 -0200 (EDT) From: "Mario Salvatierra Junior" To: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?RES:_=5Bobm-l=5D_Matrizes_Sim=E9tricas_e_Invers=EDveis?= Date: Mon, 3 Feb 2003 17:33:14 -0200 Message-ID: <000201c2cbbb$1b5bf750$3c766a8f@lei.ime.unicamp.br> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook, Build 10.0.2627 In-Reply-To: Importance: Normal X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id RAA22543 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1336 Lines: 36 Neste caso não dá....................... Por que existem casos q P^-1AP é simética e casos em q P^-1AP não é simétirca. O q vc pode provar é para matrizes ortogonais ,P^-1=P^t, e tem-se trivialmente q P^-1AP é simétrica se A for. -----Mensagem original----- De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] Em nome de JoaoCarlos_Junior@net.ms.gov.br Enviada em: segunda-feira, 3 de fevereiro de 2003 16:32 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Matrizes Simétricas e Inversíveis Sejam as matrizes A e P inversíveis. Seja B igual a P^-1 A P. Há forma de provar, sem contra-exemplo, a falsidade: se A é simétrica, então B também o é. ATT. João Carlos ======================================================================== = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ======================================================================== = ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 3 17:42:35 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA22825 for obm-l-MTTP; Mon, 3 Feb 2003 17:40:02 -0200 Received: from mail.ccet.ufrn.br (venus.ccet.ufrn.br [200.19.174.45]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA22804 for ; Mon, 3 Feb 2003 17:39:54 -0200 Received: from scheelita (schelita.ccet.ufrn.br [10.9.0.137]) by mail.ccet.ufrn.br (Postfix) with SMTP id ACB651449C for ; Mon, 3 Feb 2003 16:39:23 -0300 (GMT+3) Message-ID: <004401c2cbb3$5ab21540$8900090a@cceta.ufrn.br> From: "bene" To: References: <000001c2cb89$a9cc6ce0$2101a8c0@u2z7z2> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?B?QXR1YWxpemHn428=?= Date: Mon, 3 Feb 2003 16:37:49 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 613 Lines: 15 A página da Olimpíada de Matemática do Rio Grande do Norte está modificada, para melhor, espero. Foi um trabalho de um estudante de Matemática da UFRN, Charles César M. de Freitas. Pontos altos: bibliografia, notas de aula, listas de exercícios etc. Confira: www.ufrn.br/olimpiada Benedito ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 3 18:00:16 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA23916 for obm-l-MTTP; Mon, 3 Feb 2003 17:57:32 -0200 Received: from imo-r09.mx.aol.com (imo-r09.mx.aol.com [152.163.225.105]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA23912 for ; Mon, 3 Feb 2003 17:57:29 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-r09.mx.aol.com (mail_out_v34.13.) id z.9d.33fabaf4 (3310) for ; Mon, 3 Feb 2003 14:56:55 -0500 (EST) Message-ID: <9d.33fabaf4.2b702387@aol.com> Date: Mon, 3 Feb 2003 14:56:55 EST Subject: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?circunfer=EAncias=20tangentes?= To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_9d.33fabaf4.2b702387_boundary" X-Mailer: AOL 6.0 for Windows BR sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1896 Lines: 59 --part1_9d.33fabaf4.2b702387_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal, Vejam a quest=E3o: Na figura, calcule o comprimento x da tangente comum externa =E0s=20 circunfer=EAncias. Resp: 24 Obs: A figura =E9 a seguinte: Esbocem duas circunfer=EAncias de tamanhos diferentes sendo que estas sejam=20 tangentes externas. O raio da maior vale 18 e o da menor 8. Agora esboce o u= m=20 segmento que vai de uma circunfer=EAncia a outra, ou seja, o comprimento des= ta=20 tangente =E9 a inc=F3gnita. A figura =E9 bem simples, =E9 muito parecido com= uma=20 polia onde o comprimento de x =E9 como se fosse o cordame da polia. ICQ: 337140512 --part1_9d.33fabaf4.2b702387_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal,

Vejam a quest=E3o:

Na figura, calcule o comprimento x da tangente comum externa =E0s circun= fer=EAncias.

Resp: 24

Obs: A figura =E9 a seguinte:
Esbocem duas circunfer=EAncias de tamanhos diferentes sendo que estas se= jam tangentes externas. O raio da maior vale 18 e o da menor 8. Agora esboce= o um segmento que vai de uma circunfer=EAncia a outra, ou seja, o comprimen= to desta tangente =E9 a inc=F3gnita. A figura =E9 bem simples, =E9 muito par= ecido com uma polia onde o comprimento de x =E9 como se fosse o cordame da p= olia.



ICQ: 337140512 --part1_9d.33fabaf4.2b702387_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 3 18:00:58 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA23960 for obm-l-MTTP; Mon, 3 Feb 2003 17:58:25 -0200 Received: from imo-m08.mx.aol.com (imo-m08.mx.aol.com [64.12.136.163]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA23956 for ; Mon, 3 Feb 2003 17:58:22 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-m08.mx.aol.com (mail_out_v34.13.) id z.12.2c944aa5 (3310) for ; Mon, 3 Feb 2003 14:57:42 -0500 (EST) Message-ID: <12.2c944aa5.2b7023b6@aol.com> Date: Mon, 3 Feb 2003 14:57:42 EST Subject: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?polin=F4mios?= To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_12.2c944aa5.2b7023b6_boundary" X-Mailer: AOL 6.0 for Windows BR sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1133 Lines: 38 --part1_12.2c944aa5.2b7023b6_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal, Como resolver est=E1 quest=E3o: (FCC-BA) Dividindo o polin=F4mio f por x^2- 1, obt=E9m-se quociente x+2 e re= sto=20 x-3. O resto da divis=E3o de f por x-1 =E9: resp: -2 ICQ: 337140512 --part1_12.2c944aa5.2b7023b6_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal,

Como resolver est=E1 quest=E3o:

(FCC-BA) Dividindo o polin=F4mio f por x^2- 1, obt=E9m-se quociente x+2=20= e resto x-3. O resto da divis=E3o de f por x-1 =E9:
resp:  -2


ICQ: 337140512 --part1_12.2c944aa5.2b7023b6_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 3 18:01:20 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA23971 for obm-l-MTTP; Mon, 3 Feb 2003 17:58:48 -0200 Received: from web21310.mail.yahoo.com (web21310.mail.yahoo.com [216.136.173.211]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id RAA23967 for ; Mon, 3 Feb 2003 17:58:45 -0200 Message-ID: <20030203195813.77177.qmail@web21310.mail.yahoo.com> Received: from [200.19.153.1] by web21310.mail.yahoo.com via HTTP; Mon, 03 Feb 2003 16:58:13 ART Date: Mon, 3 Feb 2003 16:58:13 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Marcos=20Reynaldo?= Subject: [obm-l] Taxas relacionadas e problemas de otimização To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2192 Lines: 52 Caros colegas, estou com alguns problemas de taxas relacionadas que não estou conseguindo resolver e um outro cujo gabarito não confere. Os exercícios foram tirados do livro do Swokowski (vol.1). Agradeço desde já toda a ajuda. 1) Um depósito esférico está recoberto uniformemente por uma camada de gelo de 5 cm de espessura. À medida que o gelo derrete, a taxa na qual o volume de gelo diminui é diretamente proporcional à taxa em qua a área da superfície decresce. Mostre que o diâmetro externo está decrescendo a uma taxa constante. (página 204) 2)Um muro tem 3 m de altura, é paralelo à parede de um edifício, e está a 0,30m desta. Determine o comprimento da menor escada que vá do chão à parede do edifício, tocando o muro. (página 274) Eu fiz o seguinte: usei semelhança de triângulos e determinei o comprimento da escada em função da distancia do pé da escada ao muro. Derivei e achei os pontos críticos. Fiz o estudo do sinal da derivada e conclui a respeito do mínimo. Só que achei 3,98m , enquanto a resposta é 4,48m. Minha dúvida é saber se os passos que fiz estão corretos e se o gabarito está realmente certo. 3) A lei de Boyle para gases confinados afirma que, se a temperatura permanece constante, então p.v=c , onde é a pressão, v o volume e c uma constante. A certo instante, o volume é 1,230 cm^3 , a pressão é de 206 k/cm^2 e a pressão decresce à razão de 1 km/cm^2. Em que taxa está variando o volume nesse instante ? (página 203) Minha dúvida: essas unidades estão corretas ??? dá uma olhada na pressão e na taxa em que a pressão decresce, pra mim isso tá furado. Mas espero a palavra dos colegas que certamente entendem mais do que eu. []´s Marcos _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 3 18:01:33 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA24001 for obm-l-MTTP; Mon, 3 Feb 2003 17:59:01 -0200 Received: from web21309.mail.yahoo.com (web21309.mail.yahoo.com [216.136.173.254]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id RAA23997 for ; Mon, 3 Feb 2003 17:58:57 -0200 Message-ID: <20030203195826.65665.qmail@web21309.mail.yahoo.com> Received: from [200.19.153.1] by web21309.mail.yahoo.com via HTTP; Mon, 03 Feb 2003 16:58:26 ART Date: Mon, 3 Feb 2003 16:58:26 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Marcos=20Reynaldo?= Subject: [obm-l] Taxas relacionadas e problemas de otimização To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2192 Lines: 52 Caros colegas, estou com alguns problemas de taxas relacionadas que não estou conseguindo resolver e um outro cujo gabarito não confere. Os exercícios foram tirados do livro do Swokowski (vol.1). Agradeço desde já toda a ajuda. 1) Um depósito esférico está recoberto uniformemente por uma camada de gelo de 5 cm de espessura. À medida que o gelo derrete, a taxa na qual o volume de gelo diminui é diretamente proporcional à taxa em qua a área da superfície decresce. Mostre que o diâmetro externo está decrescendo a uma taxa constante. (página 204) 2)Um muro tem 3 m de altura, é paralelo à parede de um edifício, e está a 0,30m desta. Determine o comprimento da menor escada que vá do chão à parede do edifício, tocando o muro. (página 274) Eu fiz o seguinte: usei semelhança de triângulos e determinei o comprimento da escada em função da distancia do pé da escada ao muro. Derivei e achei os pontos críticos. Fiz o estudo do sinal da derivada e conclui a respeito do mínimo. Só que achei 3,98m , enquanto a resposta é 4,48m. Minha dúvida é saber se os passos que fiz estão corretos e se o gabarito está realmente certo. 3) A lei de Boyle para gases confinados afirma que, se a temperatura permanece constante, então p.v=c , onde é a pressão, v o volume e c uma constante. A certo instante, o volume é 1,230 cm^3 , a pressão é de 206 k/cm^2 e a pressão decresce à razão de 1 km/cm^2. Em que taxa está variando o volume nesse instante ? (página 203) Minha dúvida: essas unidades estão corretas ??? dá uma olhada na pressão e na taxa em que a pressão decresce, pra mim isso tá furado. Mas espero a palavra dos colegas que certamente entendem mais do que eu. []´s Marcos _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. 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Ja pensei bastante a respeito mas sem resultados mais concludentes. _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. 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Bom, entendi bem sua explicação e já agradeço. Mas agora surgiram outras dúvidas. Por que quando você chegou em: a/(a + b + c) = r/h(a) Você fez "a" constante para calcular os valores máximo e mínimos de a/(a + b + c)? Sei que ficaria mais complicado, mas então você poderia considerar b constante também? Para determinarmos b + c mínimo, será que não poderíamos considerar direto que b + c > a, pela condição de existência dos triângulos? E de onde você tirou que: (b+c) é máximo <==> b = c = a/raiz(2) Eu pensei que você pudesse ter feito isso: De (b + c)² = a² + 2bc, sabemos que (b + c) será máximo quando bc for máximo, já que “a” está constante. Então precisamos ter só b ou só c numa expressão para achar seu valor máximo. Isolando b em função de c no teorema de Pitágoras: b² + c² = a² b² = a² - c² b = raiz(a² - c²) Agora fazendo bc: bc = raiz(a² - c²) . c bc = raiz(a².c² - c^4) E agora bc terá valor máximo quando a².c² - c^4 for máximo. Transformando isso numa função quadrática, fazemos x = c² e achamos o valor máximo que é o vértice: = a².c² - c^4 = a²x – x² Que tem valor mínimo para o x do vértice: x = -(a²)/2.(-1) x = a²/2 E como x = c²: x = a²/2 c² = a²/2 c = a/raiz(2) Mas não sei se posso fazer essa transformação de uma função de grau quatro para uma função quadrática para fins de achar valores máximo e mínimos. Se puder me ajudar mais um pouco, agradeço. Abraços, Rafael. --- Cláudio_(Prática) escreveu: > Caro Rafael: > > Num triângulo retângulo cuja hipotenusa tem medida > "a", cuja altura relativa > à hipotenusa tem medida "h" e que está inscrito num > círculo de raio "R", > vale sempre o seguinte: > a = 2R > 0 < h <= R ==> R/h >= 1, com igualdade somente > quando o triângulo for > isósceles. > > Supondo que as projeções dos catetos sobre a > hipotenusa têm medidas "m"e > "n", não é difícil mostrar que: > h = raiz(m*n) e R = (m+n)/2. > > Assim, a desigualdade acima nada mais é do que a > desigualdade entre as > médias geométrica e aritmética. > > Por outro lado, considerando o raio "r" do círculo > INSCRITO (juntamente com > os catetos de medidas "b" e "c") teremos: > Área do triângulo = b*c/2 = r*(a+b+c)/2 ==> > (a+b+c)*r = b*c > > Além disso, também vale: a*h = b*c. > > Logo, (a+b+c)*r = a*h ==> r/h = a/(a+b+c). > > Agora resta achar os valores máximo e mínimo de r/h. > No entanto, dado que > "a"é constante, r/h é máximo quando b+c for mínimo e > vice e versa. Assim, > trata-se de achar os valores máximo e mínimo de b+c > sujeito a b^2+c^2 = a^2, > o que pode ser feito, por exemplo, usando-se as > desigualdades entre as > médias aritmética e quadrática e a relação: > (b+c)^2 = a^2 + 2*b*c, que decorre do teorema de > Pitágoras. > > (b+c) é mínimo <==> b = 0 e c= a ou b = a e c = 0 > ==> > min(b+c) = a ==> max(r/h) = a/(a+a) = 1/2 (de > fato, como excluímos os > casos extremos b = 0 ou c = 0, que resultam em > triângulos degenerados, temos > que a desigualdade deve ser estrita, ou seja, r/h < > 1/2. > > (b+c) é máximo <==> b = c = a/raiz(2) ==> > max(b+c) = a*raiz(2) ==> min(r/h) = > a/(a+a*raiz(2)) = 1/(1+raiz(2)) = > raiz(2) - 1 > > Assim, raiz(2) - 1 <= r/h < 1/2. > > Como 2/5 < raiz(2) - 1, teremos: 2/5 < r/h < 1/2 > > Um abraço, > Claudio. > > ----- Original Message ----- > From: "Rafael" > To: "OBM" > Sent: Thursday, January 30, 2003 1:41 PM > Subject: [obm-l] dupla desigualdade > > > Pessoal, > > Recebi um problema escrito dessa forma: > > Demonstrar que em todo triangulo retangulo ABC > subsiste a dupla desigualdade: 2/5 < R/h(a) < 1/2. > > Sendo R o raio da circunferência circunscrita ao > triângulo e h(a) a altura relativa à hipotenusa "a". > > > > Mas já vi que isso não é verdade. Eu queria saber se > alguém já viu algum exercício parecido e saberia > dizer > o que está errado nessa pergunta. Talvez tenha algum > caso em que essa desigualdade seja válida, não > sei... > > Abraços, > > Rafael. _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. 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Assine já! > http://email.bol.com.br/ > __________________________________________________________________________ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 3 22:10:43 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA31660 for obm-l-MTTP; Mon, 3 Feb 2003 22:07:59 -0200 Received: from fnn.net ([200.175.38.9]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id WAA31656 for ; Mon, 3 Feb 2003 22:07:54 -0200 Received: (qmail 18762 invoked from network); 3 Feb 2003 23:57:04 -0000 Received: from unknown (HELO windows98) (200.175.39.107) by fnn.net with SMTP; 3 Feb 2003 23:57:04 -0000 Message-ID: <007a01c2cbe9$dd4377c0$9a75fea9@windows98> From: "Daniel Pini" To: Subject: [obm-l] Paulo Pessoa Date: Mon, 3 Feb 2003 23:08:00 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0077_01C2CBD9.18B74180" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1994 Lines: 49 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0077_01C2CBD9.18B74180 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 caros col=E9gas de lista. Eu estou voltando de f=E9rias e queria aproveitar esta oportunidade para = tentar descobrir um pouco mais sobre o autor Paulo Pessoa. Ele escreveu = os excelentes livros de algebra, aritmetica e geometria. Mas nos livros = n=E3o traz nenhuma informa=E7=E3o sobre ele. Ele ainda estaria vivo? Procuro tb algu=E9m que tenha o Problemas de Geometria, pois este livro = ainda me falta e gostaria muito de t=EA-lo. Daniel=20 ------=_NextPart_000_0077_01C2CBD9.18B74180 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Ol=E1 caros col=E9gas de lista.
Eu estou voltando de f=E9rias e queria = aproveitar esta=20 oportunidade para tentar descobrir um pouco mais sobre o autor Paulo = Pessoa. Ele=20 escreveu os excelentes livros de algebra, aritmetica e geometria. Mas = nos livros=20 n=E3o traz nenhuma informa=E7=E3o sobre ele. Ele ainda estaria = vivo?
Procuro tb algu=E9m que tenha o Problemas de = Geometria, pois=20 este livro ainda me falta e gostaria muito de t=EA-lo. Daniel=20
------=_NextPart_000_0077_01C2CBD9.18B74180-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 3 22:42:30 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA32573 for obm-l-MTTP; Mon, 3 Feb 2003 22:39:55 -0200 Received: from puma.unisys.com.br (smtp.unisys.com.br [200.220.64.7]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA32569 for ; Mon, 3 Feb 2003 22:39:52 -0200 Received: from jf (riopm18p157.uninet.com.br [200.220.16.157]) by puma.unisys.com.br (8.12.3/8.12.3) with SMTP id h140dLqK019995 for ; Mon, 3 Feb 2003 22:39:21 -0200 (EDT) X-Spam-Filter: check_local@puma.unisys.com.br by digitalanswers.org Message-ID: <006201c2cbe5$e7fc0dc0$9d10dcc8@jf> From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" To: References: <20030203195813.77177.qmail@web21310.mail.yahoo.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Taxas_relacionadas_e_problemas_de_otim?= =?iso-8859-1?Q?iza=E7=E3o?= Date: Mon, 3 Feb 2003 22:36:23 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2600.0000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 3064 Lines: 70 ----- Original Message ----- From: "Marcos Reynaldo" To: Sent: Monday, February 03, 2003 5:58 PM Subject: [obm-l] Taxas relacionadas e problemas de otimização > Caros colegas, estou com alguns problemas de taxas > relacionadas que não estou conseguindo resolver e um > outro cujo gabarito não confere. Os exercícios foram > tirados do livro do Swokowski (vol.1). Agradeço desde > já toda a ajuda. > (...) > > 3) A lei de Boyle para gases confinados afirma que, se > a temperatura permanece constante, então p.v=c , onde > é a pressão, v o volume e c uma constante. A certo > instante, o volume é 1,230 cm^3 , a pressão é de 206 > k/cm^2 e a pressão decresce à razão de 1 km/cm^2. Em > que taxa está variando o volume nesse instante ? > (página 203) > > Minha dúvida: essas unidades estão corretas ??? dá uma > olhada na pressão e na taxa em que a pressão decresce, > pra mim isso tá furado. Mas espero a palavra dos > colegas que certamente entendem mais do que eu. > > []´s Marcos "Furado", no caso, é o que os americanos chamariam de "understatement". A melhor tradução para este termo, ainda no caso, é "samba do crioulo doido". Pressão é força dividido por área. Força é massa vezes aceleração. O dimensional de pressão é, portanto, (M L T^-2)/(L^-2)=M L^-1 T^-2) e as unidades mais usuais são atmosfera e pascal. Aí em cima é dito que a pressão está medida em 'k/cm^2', mas 'k' não é unidade de coisa alguma. O que mais se aproxima é 'kgf/cm^2', com 'kgf' sendo o quilograma-força, que é o peso de uma massa de 1 kg submetida à aceleração da gravidade, isto é, a força de gravidade que atua em uma massa de 1 kg. Se não formos muito rigorosos, podemos assumir que quando se escreve kg/cm^2 está-se querendo dizer kgf/cm^2. Logo, no exercício acima, é válido assumir que a pressão inicial é de 206 kgf/cm^2. Mas não há imaginação que ajude a entender o que vem a ser uma taxa de variação de pressão medida em km/cm^2. Se a pressão decresce à razão de 1 km/cm^2 (dimensional L/L^2 = L^-1) ela drecresce à razão de 1[coisa nenhuma]/[unidade de distância]. E isso me faz lembrar de um professor de química que, quando nos esquecíamos de indicar as unidades nas respostas, ele completava com "periquitos", "bananas" ou similares, e para dar a nota procedia da mesma forma que havíamos procedido com a unidade - dava como nota a ausência de nota, isto é, zero. Saindo da física e indo para a matemática, já que PV=k, o que se pode dizer é que a taxa de variação do volume é o inverso da taxa de variação da pressão. Se usarmos as unidades certas, é só fazer as contas. JF PS: É inacreditável que alguém tenha publicado um livro com o samba do crioulo doido acima no quesito unidades. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 4 08:33:02 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id IAA05654 for obm-l-MTTP; Tue, 4 Feb 2003 08:30:10 -0200 Received: from bindtech.bindtech.com.br (mail.bindtech.com.br [200.230.34.1]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id IAA05641 for ; Tue, 4 Feb 2003 08:30:03 -0200 Received: from servico2 (200.230.34.224 [200.230.34.224]) by bindtech.bindtech.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.2653.13) id 128NTQXP; Tue, 4 Feb 2003 08:32:02 -0300 Message-ID: <006101c2cc39$79489fc0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Determinantes_e_Permuta=E7=F5es_pare?= =?iso-8859-1?Q?s_e_=EDmpares_?= Date: Tue, 4 Feb 2003 08:12:42 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2197 Lines: 55 Caro João Carlos: A fórmula geral para o determinante de uma matriz A (n x n) é a seguinte: det(A) = SOMATÓRIO sgn(p) * A(1,p(1)) * A(2,p(2)) * ... * A(n,p(n)) p em Sn onde A(i,j) é o elemento da linha i e coluna j, sgn(p) = sinal da permutação "p" (+1 se p é par, -1 se p é ímopar) e onde a soma é tomada sobre cada permutação p dos números 1, 2, ..., n (o conjunto de todas estas permutações é comumente denominado Sn) ou seja, é uma soma de n! termos, cada um deles igual ao produto de n elementos da matriz. Assim, para n >= 4 esta fórmula, apesar de correta (é, de fato, a definição de determinante) é muito trabalhosa de se aplicar. No entanto, existem alguns teoremas sobre determinantes - tais como expansão de Laplace ou sobre o efeito de operações elementares com linhas e colunas - que permitem que você reduza o problema ao cálculo de determinantes de ordem menor. O que deve estar acontecendo é que, com n >= 4, o número de termos é >= 24 e talvez você esteja esquecendo algum termo ou trocando algum sinal. Espero que isso ajude. Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: To: Sent: Monday, February 03, 2003 4:08 PM Subject: [obm-l] Determinantes e Permutações pares e ímpares No volume 3, A Matemática do Ensino Médio da SBM, p. 137, há regra de cálculo determinantes por meio de permutações pares e ímpares. Porém, não estou conseguindo aplicá-la para matrizes quadradas de ordem maior ou igual a 4. Expliquem-me. ATT. João Carlos ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 4 08:33:06 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id IAA05655 for obm-l-MTTP; Tue, 4 Feb 2003 08:30:10 -0200 Received: from bindtech.bindtech.com.br (mail.bindtech.com.br [200.230.34.1]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id IAA05642 for ; Tue, 4 Feb 2003 08:30:03 -0200 Received: from servico2 (200.230.34.224 [200.230.34.224]) by bindtech.bindtech.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.2653.13) id 128NTQXR; Tue, 4 Feb 2003 08:32:02 -0300 Message-ID: <006201c2cc39$799c8c20$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030203200410.84289.qmail@web14803.mail.yahoo.com> Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia Date: Tue, 4 Feb 2003 08:37:49 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2025 Lines: 63 Caro Matteus: O algoritmo abaixo cria uma sequência X tal que X(1) = 1 ( = 2^0 * 3^0 * 5^0 ) e X(N) = N-ésimo inteiro positivo da forma 2^a * 3^b * 5^c. A ordenação é a usual (m < n <==> X(m) < X(n) ) "Input" N a = 0 b = 0 c = 0 K = 1 (***) X(K) = 1 P = 2^(a+1) * 3^b * 5^c Flag = 1 Se P > 2^a * 3^(b+1) * 5^c então ( P = 2^a * 3^(b+1) * 5^c e Flag = 2 ) Se P > 2^a * 3^b * 5^(c+1) então ( P = 2^a * 3^b * 5^(c+1) e Flag = 3 ) Se Flag = 1 então a = a+1 Se Flag = 2 então b = b+1 Se Flag = 3 então c = c+1 K = K+1 Se K <= N então Retorna para (***) Fim Espero que isso ajude. Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "matteus barreto" To: Sent: Monday, February 03, 2003 6:04 PM Subject: [obm-l] k-esimo numero da sequencia Sera que alguem poderia me sugerir, se nao uma forma fechada, um passo a passo (um algoritmo) para se encontrar o k-esimo numero da sequencia: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15..., ou seja, os números da forma (2^a)*(3^b)*(5^c), com a, b, c pertencentes ao conjunto dos inteiros nao negativos. Ja pensei bastante a respeito mas sem resultados mais concludentes. _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 4 09:20:55 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA07004 for obm-l-MTTP; Tue, 4 Feb 2003 09:16:57 -0200 Received: from imo-r03.mx.aol.com (imo-r03.mx.aol.com [152.163.225.99]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id JAA07000 for ; Tue, 4 Feb 2003 09:16:53 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-r03.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.d.8fdf7d5 (4539) for ; Tue, 4 Feb 2003 06:16:16 -0500 (EST) Message-ID: Date: Tue, 4 Feb 2003 06:16:15 EST Subject: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?Tri=E2ngulos?= To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_d.8fdf7d5.2b70faff_boundary" X-Mailer: AOL 6.0 for Windows BR sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2168 Lines: 61 --part1_d.8fdf7d5.2b70faff_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal, Vejam a quest=E3o: (MAU=C1-SP) No tri=E2ngulo ABC, temos: AC=3D 7m, BC=3D 8m, beta=3D ABC (an= gulo).=20 Determine a =E1rea do tri=E2ngulo. Resp: 6V3 ou 10V3 m^2 Obs: O tri=E2ngulo citado possui base BC e a figura n=E3o possui aquele quad= rado=20 em um dos vertices indicando a perpendicularidade. Eu tentei aplicar a lei d= a=20 =E1rea S=3Da*b*sen(alfa)/2, mas n=E3o consegui achar o valor de AB... Da=ED=20= eu=20 pensei, se um dos angulos mede 60=BA o outro angulo da base mede 30=BA e=20 aplicando a lei da =E1rea neste angulo chegarei no resultado, s=F3 que eu es= tava=20 contando com o fato do tri=E2ngulo ser ret=E2ngulo, mas fiz a prova e n=E3o=20= deu o=20 resultado acima .=20 ICQ: 337140512 --part1_d.8fdf7d5.2b70faff_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal,

Vejam a quest=E3o:

(MAU=C1-SP) No tri=E2ngulo ABC, temos: AC=3D 7m,  BC=3D 8m, beta= =3D  ABC (angulo). Determine a =E1rea do tri=E2ngulo.

Resp: 6V3 ou 10V3 m^2

Obs: O tri=E2ngulo citado possui base BC e a figura n=E3o possui aquele=20= quadrado em um dos vertices indicando a perpendicularidade. Eu tentei aplica= r a lei da =E1rea S=3Da*b*sen(alfa)/2, mas n=E3o consegui achar o valor de A= B... Da=ED eu pensei, se um dos angulos mede 60=BA o outro angulo da base me= de 30=BA e aplicando a lei da =E1rea neste angulo chegarei no resultado, s= =F3 que eu estava contando com o fato do tri=E2ngulo ser ret=E2ngulo, mas fi= z a prova e n=E3o deu o resultado acima .=20

ICQ: 337140512
--part1_d.8fdf7d5.2b70faff_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 4 09:37:41 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA07265 for obm-l-MTTP; Tue, 4 Feb 2003 09:33:36 -0200 Received: from bindtech.bindtech.com.br (mail.bindtech.com.br [200.230.34.1]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id JAA07259 for ; Tue, 4 Feb 2003 09:33:31 -0200 Received: from servico2 (200.230.34.224 [200.230.34.224]) by bindtech.bindtech.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.2653.13) id 128NTRJY; Tue, 4 Feb 2003 09:35:30 -0300 Message-ID: <007a01c2cc42$57169200$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030203195813.77177.qmail@web21310.mail.yahoo.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Taxas_relacionadas_e_problemas_de_otim?= =?iso-8859-1?Q?iza=E7=E3o?= Date: Tue, 4 Feb 2003 09:41:16 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 3076 Lines: 91 Caro Marcos Reynaldo: Aqui vão alguns comentários. 1) Um depósito esférico está recoberto uniformemente por uma camada de gelo de 5 cm de espessura. À medida que o gelo derrete, a taxa na qual o volume de gelo diminui é diretamente proporcional à taxa em qua a área da superfície decresce. Mostre que o diâmetro externo está decrescendo a uma taxa constante. (página 204) R = raio do depósito (constante) x = espessura da camada de gelo (variável) V(gelo) = (4/3)*Pi*(R+x)^3 - (4/3)*Pi*R^3 A(gelo) = 4*Pi*(R+x)^2 dV/dt = k * dA/dt ==> dV/dx * dx/dt = k * dA/dx * dx/dt ==> dV/dx = k * dA/dx ==> 4*Pi*(R+x)^2 = k * 8*Pi*(R+x) ==> (R+x)^2 = k * 2*(R+x) ==> R+x = 2*k ==> x é constante ==> Dexterno = 2*(R+x) é constante ==> dDexterno/dt = 0 Realmente, nas condições do problema (dV/dt = k*dA/dt) o diâmetro esté decrescendo a uma taxa constante e igual a zero ==> a camada de gelo está fixa. Na verdade, o que acontece é o seguinte: Expressando V(gelo) em função de A(gelo), teremos: A = 4*Pi*(R+x)^2 ==> (A/(4*Pi))^(3/2) = (R+x)^3 ==> (4/3)*Pi*(R+x)^3 = (4/3)*Pi*[A/(4*Pi)]^(3/2) = 1/(6*raiz(Pi))*A^(3/2) ==> V = 1/(6*raiz(Pi))*A^(3/2) - (4/3)*Pi*R^3 ==> dV/dA = 1/(4*raiz(Pi))*raiz(A) dV/dt = (dA/dt) / (dV/dA) ==> 4*raiz(Pi) * (1/raiz(A)) * dA/dt Ou seja, a taxa de variação no volume é diretamente proporcional à taxa de variação da Área e INVERSAMENTE PROPORCIONAL À RAIZ QUADRADA DA ÁREA. ****************** 2)Um muro tem 3 m de altura, é paralelo à parede de um edifício, e está a 0,30m desta. Determine o comprimento da menor escada que vá do chão à parede do edifício, tocando o muro. (página 274) Eu não tenho o livro mas do jeito que você colocou o enunciado, eu diria que o comprimento mínimo é de 0,30 m - escada paralela ao chão tocando o muro e a parede.....Será que não tem alguma figura ou alguma restrição adicional? *************** 3) A lei de Boyle para gases confinados afirma que, se a temperatura permanece constante, então p.v=c , onde é a pressão, v o volume e c uma constante. A certo instante, o volume é 1,230 cm^3 , a pressão é de 206 k/cm^2 e a pressão decresce à razão de 1 km/cm^2. Em que taxa está variando o volume nesse instante ? (página 203) Realmente, as unidades estão esquisitas, pra dizer o mínimo (pressão variando a 1 km/cm^2 ????) - mesmo que este seja um um livro de cálculo e não de física é duro de perdoar.... De qualquer forma, supondo que as unidades sejam: Pressão = kgf/cm^2, Volume = cm^3 e Taxa de Variação da Pressão = kgf/(cm^2 * seg), teremos: P*V = c ==> 206 * 1.230 = c ==> c = 253.380 kgf * cm V = c/P ==> dV/dt = - (c/P^2) * dP/dt = - (253.380/206^2) * (-1) = 5,97 kgf/(cm^2*seg) (o volume está aumentando) O que diz seu gabarito? Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 4 09:50:20 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA07637 for obm-l-MTTP; Tue, 4 Feb 2003 09:46:58 -0200 Received: from web40902.mail.yahoo.com (web40902.mail.yahoo.com [66.218.78.199]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id JAA07632 for ; Tue, 4 Feb 2003 09:46:54 -0200 Message-ID: <20030204114623.2967.qmail@web40902.mail.yahoo.com> Received: from [147.65.5.204] by web40902.mail.yahoo.com via HTTP; Tue, 04 Feb 2003 08:46:23 ART Date: Tue, 4 Feb 2003 08:46:23 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Bruno=20Lima?= Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_sequências_e_mais_sequências To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <20030131114624.8099.qmail@web40501.mail.yahoo.com> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-1952066762-1044359183=:453" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 3547 Lines: 57 --0-1952066762-1044359183=:453 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sendo assim, la vai. Nao vou provar as coisas que podem ser achadas em um livro que trate de equacoes em diferencas finitas, por exemplo o do Elon de Algebra linear. Como a equacao e de ordem 2 seu conjunto solucao e um espaco vetorial de dimensao 2. O polinomio caracteristico da equacao e: x^2-2a(1)x+1=0 Exigindo-se a existencia de solucao real, concluimos o item a).Observe que,sendo r e s solucoes do polinomio acima. a(n)=r^n e solucao (basta substituir na equacao) a(n)=s^n tambem e. Essas solucoes sao LI logo qualquer outra solucao e da forma: a(n)=Pr^n+Qs^n, onde P,Q sao coeficientes a determinar, para isso precisamos de duas condicoes iniciais. a(0)=100 ajuda, porem a(100)=0, gera muita conta. Provalvemente tem alguma coisa que nao vi. Erasmo de Souza Dias wrote: valeu pela resposta mas houve um erro no enunciado...] é como o Bruno disse mesmo... a(n+1)=2*a1*a(n)-a(n-1).. O resultado do Claudio é muito bem elaborado, mas a condiçao do item (a) é para esse enunciado aqui! --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-1952066762-1044359183=:453 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

Sendo assim, la vai. Nao vou provar as coisas que podem ser achadas em um livro que trate de equacoes em diferencas finitas, por exemplo o do Elon de Algebra linear.

Como a equacao e de ordem 2 seu conjunto solucao e um espaco vetorial de dimensao 2. O polinomio caracteristico da equacao e:

x^2-2a(1)x+1=0

Exigindo-se a existencia de solucao real, concluimos o item a).Observe que,sendo r e s solucoes do polinomio acima. a(n)=r^n  e solucao (basta substituir na equacao) a(n)=s^n tambem e. Essas solucoes sao LI logo qualquer outra solucao  e da forma:

a(n)=Pr^n+Qs^n, onde P,Q sao coeficientes a determinar, para isso precisamos de duas condicoes iniciais. a(0)=100 ajuda, porem a(100)=0, gera muita conta. Provalvemente tem alguma coisa que nao vi.

 Erasmo de Souza Dias <erasmomat@yahoo.com.br> wrote:

valeu pela resposta mas houve um erro no enunciado...]

é como  o Bruno disse mesmo...

a(n+1)=2*a1*a(n)-a(n-1)..

O resultado do Claudio é muito bem elaborado, mas a condiçao do item (a) é para esse enunciado aqui!

 


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O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-1952066762-1044359183=:453-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 4 09:50:22 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA07658 for obm-l-MTTP; Tue, 4 Feb 2003 09:47:30 -0200 Received: from bindtech.bindtech.com.br (mail.bindtech.com.br [200.230.34.1]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id JAA07654 for ; Tue, 4 Feb 2003 09:47:26 -0200 Received: from servico2 (200.230.34.228 [200.230.34.228]) by bindtech.bindtech.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.2653.13) id 128NTRPC; Tue, 4 Feb 2003 09:49:25 -0300 Message-ID: <008801c2cc44$48ef9b20$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: Subject: Re: [obm-l] Re:probabilidade e combinatoria Date: Tue, 4 Feb 2003 09:55:11 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 3321 Lines: 102 1) Cescem-1968 - Uma urna contem uma bola preta e 9 brancas.Uma segunda urna contem x bolas pretas e as restantes brancas num total de 10 bolas .Um primeiro experimento consiste em retirar , ao acaso, uma bola de cada urna.num segundo experimento , as bolas das duas urnas são reunidas e destas , duas bolas são retiradas ao acaso.O valor mínimo de x a fim de que a probabilidade de sairem duas bolas pretas seja maior no segundo do que no primeiro experimento é : Exp 1: P(2 pretas) = (1/10) * (x/10) = x/100 Exp 2: P(2 pretas) = ((1+x)/20) * (x/19) = (x^2 + x)/380 (x^2+x)/380 > x/100 ==> 5*x^2 - 14*x > 0 ==> x < 0 ou x > 14/5 ==> x min = 3. ***************** 2) Numa entrevista comparecem 5 candidatos para serem avalidados por 7 entrevistadores, cada entrvistador deverá escolher um candidato.de quantos maneiras as escolhas podem ser distribuidas? O primeiro entrevistador tem 5 escolhas: 5 O segundo entrevistador tem 5 escolhas: 5 ..... O sétimo entrevistador tem 5 escolhas: 5 Total = 5*5*...*5 = 5^7. ----- Original Message ----- From: "amurpe" To: Sent: Monday, February 03, 2003 8:00 PM Subject: [obm-l] Re:probabilidade e combinatoria > Antes de mais nada , muito abrigado pela ajuda que voce s > me deram na resolução dos problemas de combinatoria. > vi dois problemas que cairam nos vestibulares da cescem - > 1968 e da santa vcasa- 1977, se voces puderem me dar uma > ajuda, ficarei muito grato.Aí vão eles. > > 1) Cescem-1968 - Uma urna contem uma bola preta e 9 > brancas.Uma segunda urna contem x bolas pretas e as > restantes brancas num total de 10 bolas .Um primeiro > experimento consiste em retirar , ao acaso, uma bola de > cada urna.num segundo experimento , as bolasdas duas > urnas são reunidas e destas , duas bolas são retiradas > ao acaso.O valor mínimo de x a fim de que a > probabilidade de sairem duas bolas pretas seja maior no > segundo do que no primeiro experimento é : > > Resp: 3. > > > um outro problema que vi numa apostila e não consrgui > entender é o seguinte: > > Numa entrevista comparecem 5 candidatos para serem > avalidados por 7 entrevistadores, cada entrvistador > deverá escolher um candidato.de quantos maneiras as > escolhas podem ser distribuidas? > > mais uma vez , obrigado. > > Amurpe > > > > _______________________________________________________ ___________________ > E-mail Premium BOL > Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! > http://email.bol.com.br/ > __________________________________________________________________________ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 4 09:53:24 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA07796 for obm-l-MTTP; Tue, 4 Feb 2003 09:50:51 -0200 Received: from toole.uol.com.br (toole.uol.com.br [200.221.4.26]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id JAA07792 for ; Tue, 4 Feb 2003 09:50:47 -0200 Received: from cabru ([200.148.108.46]) by toole.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with SMTP id JAA22776; Tue, 4 Feb 2003 09:43:29 -0200 (BRST) Message-ID: <005101c2cc43$cdc65ec0$2e6c94c8@cabru> From: "Bruno" To: "OBM-L" Cc: "OBM-L" Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Fw:_=5Bobm-l=5D_polin=F4mios?= Date: Tue, 4 Feb 2003 09:51:49 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_004E_01C2CC33.09C810A0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4133.2400 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2929 Lines: 83 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_004E_01C2CC33.09C810A0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1, =3D=3D eh id=EAntidade Pela 1=AA divis=E3o mencionada: f(x) =3D=3D (x+2).(x^2 -1) + x-3 f(x) =3D=3D x^3 + 2x^2 -5 Agora =E9 s=F3 dividir pelo m=E9todo da chave ou pelo difpositivo = Briot-Ruffini, acha-se a resposta -2. At=E9 mais... "Bruno ----- Original Message -----=20 From: Faelccmm@aol.com=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Monday, February 03, 2003 5:57 PM Subject: [obm-l] polin=F4mios Ol=E1 pessoal,=20 Como resolver est=E1 quest=E3o:=20 (FCC-BA) Dividindo o polin=F4mio f por x^2- 1, obt=E9m-se quociente x+2 = e resto x-3. O resto da divis=E3o de f por x-1 =E9:=20 resp: -2=20 ICQ: 337140512=20 ------=_NextPart_000_004E_01C2CC33.09C810A0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Ol=E1,
=3D=3D eh id=EAntidade
Pela 1=AA divis=E3o mencionada:
f(x) =3D=3D (x+2).(x^2 -1) + x-3
f(x) =3D=3D x^3 + 2x^2 -5
Agora =E9 s=F3 dividir pelo m=E9todo da chave ou = pelo difpositivo=20 Briot-Ruffini, acha-se a resposta -2.
At=E9 mais...
"Bruno
 
----- Original Message -----=20
From: Faelccmm@aol.com=20
Sent: Monday, February 03, 2003 5:57 PM
Subject: [obm-l] polin=F4mios

Ol=E1 = pessoal,

Como=20 resolver est=E1 quest=E3o:

(FCC-BA) Dividindo o polin=F4mio f = por x^2- 1,=20 obt=E9m-se quociente x+2 e resto x-3. O resto da divis=E3o de f por x-1 = =E9:
resp:=20  -2


ICQ: 337140512 ------=_NextPart_000_004E_01C2CC33.09C810A0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 4 09:53:24 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA07796 for obm-l-MTTP; Tue, 4 Feb 2003 09:50:51 -0200 Received: from toole.uol.com.br (toole.uol.com.br [200.221.4.26]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id JAA07792 for ; Tue, 4 Feb 2003 09:50:47 -0200 Received: from cabru ([200.148.108.46]) by toole.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with SMTP id JAA22776; Tue, 4 Feb 2003 09:43:29 -0200 (BRST) Message-ID: <005101c2cc43$cdc65ec0$2e6c94c8@cabru> From: "Bruno" To: "OBM-L" Cc: "OBM-L" Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Fw:_=5Bobm-l=5D_polin=F4mios?= Date: Tue, 4 Feb 2003 09:51:49 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_004E_01C2CC33.09C810A0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4133.2400 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2929 Lines: 83 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_004E_01C2CC33.09C810A0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1, =3D=3D eh id=EAntidade Pela 1=AA divis=E3o mencionada: f(x) =3D=3D (x+2).(x^2 -1) + x-3 f(x) =3D=3D x^3 + 2x^2 -5 Agora =E9 s=F3 dividir pelo m=E9todo da chave ou pelo difpositivo = Briot-Ruffini, acha-se a resposta -2. At=E9 mais... "Bruno ----- Original Message -----=20 From: Faelccmm@aol.com=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Monday, February 03, 2003 5:57 PM Subject: [obm-l] polin=F4mios Ol=E1 pessoal,=20 Como resolver est=E1 quest=E3o:=20 (FCC-BA) Dividindo o polin=F4mio f por x^2- 1, obt=E9m-se quociente x+2 = e resto x-3. O resto da divis=E3o de f por x-1 =E9:=20 resp: -2=20 ICQ: 337140512=20 ------=_NextPart_000_004E_01C2CC33.09C810A0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Ol=E1,
=3D=3D eh id=EAntidade
Pela 1=AA divis=E3o mencionada:
f(x) =3D=3D (x+2).(x^2 -1) + x-3
f(x) =3D=3D x^3 + 2x^2 -5
Agora =E9 s=F3 dividir pelo m=E9todo da chave ou = pelo difpositivo=20 Briot-Ruffini, acha-se a resposta -2.
At=E9 mais...
"Bruno
 
----- Original Message -----=20
From: Faelccmm@aol.com=20
Sent: Monday, February 03, 2003 5:57 PM
Subject: [obm-l] polin=F4mios

Ol=E1 = pessoal,

Como=20 resolver est=E1 quest=E3o:

(FCC-BA) Dividindo o polin=F4mio f = por x^2- 1,=20 obt=E9m-se quociente x+2 e resto x-3. O resto da divis=E3o de f por x-1 = =E9:
resp:=20  -2


ICQ: 337140512 ------=_NextPart_000_004E_01C2CC33.09C810A0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 4 09:57:57 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA08098 for obm-l-MTTP; Tue, 4 Feb 2003 09:55:21 -0200 Received: from bindtech.bindtech.com.br (mail.bindtech.com.br [200.230.34.1]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id JAA08089 for ; Tue, 4 Feb 2003 09:55:18 -0200 Received: from servico2 (200.230.34.224 [200.230.34.224]) by bindtech.bindtech.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.2653.13) id 128NTRRS; Tue, 4 Feb 2003 09:57:15 -0300 Message-ID: <009701c2cc45$614de5e0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Matrizes_Sim=E9tricas_e_Invers=EDveis?= Date: Tue, 4 Feb 2003 10:02:58 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1519 Lines: 34 A única maneira de provar que a afirmativa é falsa é exibindo um contra exemplo. Isso ocorre porque há casos onde P^(-1) * A * P também é simétrica. Seria possível uma prova geral se a afirmativa fosse falsa sempre (nesse caso a sua negação seria um teorema). Um exercício pode ser determinar todas as matrizes simétricas A tais que P^(-1)*A*P é simétrica, qualquer que seja a matriz inversível P, ou então, dada uma matriz simétrica A, determinar todas as matrizes inversíveis P tais que P^(-1)*A*P é simétrica. ----- Original Message ----- From: To: Sent: Monday, February 03, 2003 4:32 PM Subject: [obm-l] Matrizes Simétricas e Inversíveis Sejam as matrizes A e P inversíveis. Seja B igual a P^-1 A P. Há forma de provar, sem contra-exemplo, a falsidade: se A é simétrica, então B também o é. ATT. João Carlos ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 4 10:06:34 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA08629 for obm-l-MTTP; Tue, 4 Feb 2003 10:03:57 -0200 Received: from bindtech.bindtech.com.br (mail.bindtech.com.br [200.230.34.1]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id KAA08624 for ; Tue, 4 Feb 2003 10:03:53 -0200 Received: from servico2 (200.230.34.228 [200.230.34.228]) by bindtech.bindtech.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.2653.13) id 128NTRTV; Tue, 4 Feb 2003 10:05:50 -0300 Message-ID: <00b401c2cc46$94419c20$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <000601c2ca4a$a2b24d20$9865fea9@computer> <00a301c2ca78$f9a595a0$2accfea9@gauss> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Mon=F3tona=2C_cont=EDnua=2C_deriv=E1vel=2C_etc..._=28con?= =?iso-8859-1?Q?tinua=E7=E3o=29?= Date: Tue, 4 Feb 2003 10:11:34 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_00AF_01C2CC35.CC01D3C0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 14773 Lines: 378 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_00AF_01C2CC35.CC01D3C0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Caros Domingos Jr., Artur e demais colegas: Acho que d=E1 pra eliminar a necessidade de termos f' cont=EDnua. Basta = que f'(x) seja positiva para todo x em algum intervalo [c,d] com a <=3D = c < d <=3D b. Nesse caso, como f =E9 cont=EDnua, ser=E1 crescente em = [c,d]. Minha d=FAvida =E9: Supondo que f' exista mas seja descont=EDnua em todo = ponto de [a,b], ser=E1 que a condi=E7=E3o f(a) < f(b) =E9 suficiente = para garantir que exista um sub-intervalo [c,d] (a <=3D c < d <=3D b) = onde f =E9 crescente? Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Domingos Jr.=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Sunday, February 02, 2003 3:07 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] prova de uma afirma=E7=E3o acho que sem a hip=F3tese de f diferenci=E1vel realmente isso n=E3o = =E9 verdadeiro...=20 d=EA uma olhada nessas fun=E7=F5es que, apesar de serem cont=EDnuas, = devem conter um intervalo fechado em que o valor de um extremo =E9 maior = que o outro e no entanto elas n=E3o possuem nenhum intervalo = estritamente crescente ou decrescente (=E9 um palpite, n=E3o estudei = essas fun=E7=F5es a fundo): http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassFunction.html http://mathworld.wolfram.com/BlancmangeFunction.html assumindo f diferenci=E1vel, seja f' sua derivada tb cont=EDnua no = intervalo [a, b] se f'(x) > 0 para algum valor de x em [a, b] na regi=E3o em torno a x = as derivadas tamb=E9m s=E3o maiores que 0 pois f' =E9 cont=EDnua, logo = existe um intervalo em [a, b] em que f =E9 estritamente crescente. para suponha que f'(x) <=3D 0 para todo x em [a, b], temos que f(b) = <=3D f(a), que n=E3o pode ocorrer. acho que =E9 s=F3, =E0s 2 da manh=E3 =E9 s=F3 o que eu consigo pensar = :-) ----- Original Message -----=20 From: Artur Costa Steiner=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Saturday, February 01, 2003 8:35 PM Subject: [obm-l] prova de uma afirma=E7=E3o Boa noite a todos, =20 Pediram-se para demonstrar a seguinte afirma=E7=E3o, que, embora = intiuitivamente pare=E7a ser verdadeira, est=E1 me causando grande = dificuldade: =20 Seja f: [a, b] -> R cont=EDnua em [a, b] e tal que f(a) < f(b). = Existe ent=E3o um sub-intervalo de [a, b] no qual f =E9 estritamente = crescente. =20 Estou come=E7ando a achar que, embora aparentemente fa=E7a sentido, = esta afirma=E7=E3o =E9 falsa. Mas tamb=E9m n=E3o consegui dar um contra = exemplo. Talvez exista um n=E3o trivial, sendo f dada pelo limite de = uma s=E9rie de fun=E7=F5es ou por combina=E7=F5es de outras fun=E7=F5es. = =20 Mesmo relaxando o car=E1ter estritamente crescente e admitindo que f = seja apenas crescente, ainda asim n=E3o consegui chegar a qualquer = conclus=E3o. =20 =20 Alg=FAem tem alguma id=E9ia a este respeito? Um abra=E7o. Artur ------=_NextPart_000_00AF_01C2CC35.CC01D3C0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Caros Domingos Jr., Artur e demais=20 colegas:
 
Acho que d=E1 pra eliminar a = necessidade de termos f'=20 cont=EDnua. Basta que f'(x) seja positiva para todo x em algum intervalo = [c,d] com=20 a <=3D c < d <=3D b. Nesse caso, como f =E9 cont=EDnua, ser=E1 = crescente em=20 [c,d].
 
Minha d=FAvida =E9: Supondo que f' = exista mas seja=20 descont=EDnua em todo ponto de [a,b], ser=E1 que a condi=E7=E3o f(a) = < f(b) =E9=20 suficiente para garantir que exista um sub-intervalo [c,d] (a <=3D c = < d=20 <=3D b) onde f =E9 crescente?
 
Um abra=E7o,
Claudio.
 
----- Original Message -----
From:=20 Domingos Jr.=20
Sent: Sunday, February 02, 2003 = 3:07=20 AM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] = prova de uma=20 afirma=E7=E3o

acho que sem a hip=F3tese de f = diferenci=E1vel=20 realmente isso n=E3o =E9 verdadeiro...
d=EA uma olhada nessas fun=E7=F5es = que, apesar de serem=20 cont=EDnuas, devem conter um intervalo fechado em que o valor de um = extremo =E9=20 maior que o outro e no entanto elas n=E3o possuem nenhum intervalo = estritamente=20 crescente ou decrescente (=E9 um palpite, n=E3o estudei essas = fun=E7=F5es a=20 fundo):
http://mat= hworld.wolfram.com/WeierstrassFunction.html
http://math= world.wolfram.com/BlancmangeFunction.html
 
assumindo f diferenci=E1vel, seja f' = sua derivada=20 tb cont=EDnua no intervalo [a, b]
se f'(x) > 0 para algum valor de x = em [a, b]=20 na regi=E3o em torno a x as derivadas tamb=E9m s=E3o maiores que 0 = pois f' =E9=20 cont=EDnua, logo existe um intervalo em [a, b] em que f =E9 = estritamente=20 crescente.
 
para suponha que f'(x) <=3D 0 para = todo x em [a,=20 b], temos que f(b) <=3D f(a), que n=E3o pode ocorrer.
 
acho que =E9 s=F3, =E0s 2 da manh=E3 = =E9 s=F3 o que eu=20 consigo pensar :-)
----- Original Message -----
From:=20 Artur Costa=20 Steiner
Sent: Saturday, February 01, = 2003 8:35=20 PM
Subject: [obm-l] prova de uma = afirma=E7=E3o

Boa noite a = todos,

 

Pediram-se para = demonstrar=20 a seguinte afirma=E7=E3o, que, embora intiuitivamente pare=E7a ser = verdadeira,=20 est=E1 me causando grande dificuldade:

 

Seja f: [a, b] = -> R=20 cont=EDnua em [a, b] e tal que f(a) < f(b). Existe ent=E3o um = sub-intervalo=20 de [a, b] no qual f =E9 estritamente = crescente.

 

Estou = come=E7ando a achar=20 que, embora aparentemente fa=E7a sentido, esta afirma=E7=E3o =E9 = falsa. Mas tamb=E9m=20 n=E3o consegui dar um contra exemplo. Talvez exista um n=E3o = trivial,  sendo f dada pelo limite de = uma s=E9rie=20 de fun=E7=F5es ou por combina=E7=F5es de outras fun=E7=F5es.=20

 

Mesmo relaxando = o car=E1ter=20 estritamente crescente e admitindo que f seja apenas crescente, = ainda asim=20 n=E3o consegui chegar a qualquer conclus=E3o.   

 

Alg=FAem tem = alguma id=E9ia a=20 este respeito? Um abra=E7o.

Artur

= ------=_NextPart_000_00AF_01C2CC35.CC01D3C0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 4 11:02:51 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA11601 for obm-l-MTTP; Tue, 4 Feb 2003 11:00:55 -0200 Received: from bindtech.bindtech.com.br (mail.bindtech.com.br [200.230.34.1]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA11597 for ; Tue, 4 Feb 2003 11:00:50 -0200 Received: from servico2 (200.230.34.227 [200.230.34.227]) by bindtech.bindtech.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.2653.13) id 1J1377D4; Tue, 4 Feb 2003 11:02:47 -0300 Message-ID: <000d01c2cc56$1376c600$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: Subject: [obm-l] Quadrados em um Quadriculado - parte 2 Date: Tue, 4 Feb 2003 12:02:33 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2913 Lines: 98 Caro Paulo: A parte 2 do problema pede para determinar todos os inteiros "p", para os quais existe um inteiro positivo "n" tal que: n * (n+1)^2 * (n+2) / 12 = 10^p ==> n * (n+1)^2 * (n+2) = 2^(p+2) * 3 * 5^p No entanto, eu achei que a única solução é p = 0 <==> n = 1. Será que eu errei em algum lugar? E dividi o problema em 3 casos: n ímpar, n = 0 (mod 4) e n = 2 (mod 4): CASO 1: n é ímpar n é ímpar ==> n+1 é par e n+2 é ímpar. Assim, (n+1)^2 = 2^(p+2) * 3^x * 5^y e n*(n+2) = 3^(1-x) * 5^(p-y) com 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= p (n+1)^2 é quadrado ==> p+2 é par, x = 0 e y é par p+2 é par ==> p é par ==> p = 2q y é par ==> y = 2z ==> p-y = 2q-2z Assim: n+1 = 2^(q+1) * 5^z e n*(n+2) = 3 * 5^(2q-2z) Temos dois sub-casos a considerar: 5 divide n+1 ou 5 não divide n+1: Sub-caso 1: 5 | n+1 5 | n+1 ==> (5,n) = (5,n+2) = 1 ==> z = q ==> n+1 = 2^(q+1) * 5^q e n*(n+2) = 3 ==> n = 1 ==> q = 0 ==> p = 0 Sub-caso 2: 5 não | n+1 5 não | n+1 ==> (5,n+1) = 1 ==> z = 0 ==> n+1 = 2^(q+1) e n*(n+2) = 3 * 5^(2q) ==> n = 2^(q+1) - 1, n+2 = 2^(q+1) + 1 ==> n*(n+2) = 2^(2q+2) - 1 = 4 * ^(2q) - 1 ==> 3 * 5^(2q) = 4 * 2^(2q) - 1 ==> 4 * 2^(2q) - 3 * 5^(2q) = 1 ==> q = 0 ==> n+1 = 2 e n*(n+2) = 3 ==> n = 1 ==> p = 0 CASO 2: n = 0 (mod 4) n = 0 (mod 4) ==> n+1 é ímpar e n+2 = 2 (mod 4) ==> (n+1)^2 = 3^x * 5^y e n*(n+2) = 2^(p+2) * 3^(1-x) * 5^(p-y) com 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= p (n+1)^2 é quadrado ==> x = 0 e y = 2z ==> n+1 = 5^z e n*(n+2) = 2^(p+2) * 3 * 5^(p-2z) Sub-Caso 1: 5 | n+1 5 | n+1 ==> (5,n) = (5,n+2) = 1 ==> n*(n+2) = 2^(p+2) * 3 Sub-Caso 1.1: 5 | n+1 e 3 | n 3 | n ==> (3,n+1) = (3,n+2) = 1 ==> n = 2^(p+1) * 3 e n+2 = 2 ==> XXX Sub-Caso: 1.2: 5 | n+1 e 3 não | n 3 não | n ==> 3 | n+1 ==> n = 2^(p+1) e n+2 = 2*3 = 6 ==> Q(n) = 196 <> 10^p ==> XXX Sub-Caso 2: 5 não | n+1 5 não | n+1 ==> n+1 = 1 ==> XXX CASO 3: n = 2 (mod 4) n = 2 (mod 4) ==> n+1 é ímpar e n+2 = 0 (mod 4) ==> (n+1)^2 = 3^x * 5^y e n*(n+2) = 2^(p+2) * 3^(1-x) * 5^(p-y) com 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= p (n+1)^2 é quadrado ==> x = 0 e y = 2z ==> n+1 = 5^z e n*(n+2) = 2^(p+2) * 3 * 5^(p-2z) Sub-Caso 1: 5 | n+1 5 | n+1 ==> (5,n) = (5,n+2) = 1 ==> n*(n+2) = 2^(p+2) * 3 Sub-Caso 1.1: 5 | n+1 e 3 | n 3 | n ==> (3,n+1) = (3,n+2) = 1 ==> n = 2*3 = 6 ==> Q(n) = 196 <> 10^p ==> XXX Sub-Caso: 1.2: 5 | n+1 e 3 não | n 3 não | n ==> 3 | n+1 ==> n = 2 ==> Q(n) = 6 <> 10^p ==> XXX Sub-Caso 2: 5 não | n+1 5 não | n+1 ==> n+1 = 1 ==> XXX ************** Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 4 12:08:48 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA13309 for obm-l-MTTP; Tue, 4 Feb 2003 12:06:43 -0200 Received: from saulo.bol.com.br (saulo.bol.com.br [200.221.24.31]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA13305 for ; Tue, 4 Feb 2003 12:06:39 -0200 Received: from bol.com.br (200.221.24.138) by saulo.bol.com.br (5.1.071) id 3E26FD2A004A4929 for obm-l@mat.puc-rio.br; Tue, 4 Feb 2003 12:04:05 -0200 Date: Tue, 4 Feb 2003 12:06:04 -0200 Message-Id: Subject: [obm-l] Re:probabilidade e combinatoria MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/mixed; boundary="_=__=_XaM3_Boundary.1044367564.2A.959857.42.29562.52.42.101010.847337757" From: "amurpe" To: obm-l@mat.puc-rio.br X-XaM3-API-Version: 2.4 R3 ( B4 ) X-SenderIP: 200.255.10.103 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 4081 Lines: 89 --_=__=_XaM3_Boundary.1044367564.2A.959857.42.29562.52.42.101010.847337757 Content-Type: text/plain;charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable oi Pessoal , mais uma vez obrigado pela ajuda que voces tem me prestado.Ao claudio/pratica/, em especial um grande abra=E7o , as solu=E7=F5es que voce me envia vem todas explicadas e isso me facilita bastante na hora de estudar e compreender o problema. Tenho muita dificuldade em problemas de combinatoria e pr obabilidade.na primeira vez que enviei o arquivo ficou mu ito grande, de sorte que ficou faltando um problema. um abra=E7o em todos. Amurpe > 2) Santa casa - 1977- Dispoe-se de um mapa > (anexo).Dispoe-se tambem de um dado com 3 faces > vermelhas e 3 faces azuis. > > i) partindo do quadro1 , pode-se caminhar , no sentido > indicado pelas setas para os demais quadros , a cada > lan=E7amento do dado. > > ii) lan=E7ando-se o dado , se sair face azul, segue-se > pela seta da direita at=E9 o quadro seguinte. > > iii)lan=E7ando-se o dado , se sair face vermelha , segue- > se pela seta da esquerda at=E9 o quadro seguinte. A > probabilidade de chegar ao quadro 13 , partindo de 1 =E9: > > resp: 6/16. > > > > _______________________________________________________ ___________________ > E-mail Premium BOL > Antiv=EDrus, anti-spam e at=E9 100 MB de espa=E7o. Assine j=E1! > http://email.bol.com.br/ > __________________________________________________________________________ E-mail Premium BOL Antiv=EDrus, anti-spam e at=E9 100 MB de espa=E7o. Assine j=E1! http://email.bol.com.br/ --_=__=_XaM3_Boundary.1044367564.2A.959857.42.29562.52.42.101010.847337757 Content-Type: application/octet-stream; name="prob.zip" Content-Transfer-Encoding: base64 UEsDBBQAAAAIABSWPi415SoBHAUAAAA2AAAIAAAAcHJvYi54bHPtW11oHFUU/mZ2ZnezbZPd NDYx1TBu0pifbUhf2oqk2YopDbYYImLRSLJNtmTpNpEkQoVaV22fbKHSB1+KGvBBEfqDqC8+ JILQl6IIRdQHU9EHn/xB0UKa9ZxzZ7KTyaYmQqmS+13uvXO+e+65Z+7cvTtnZveLzxNz01fq byCAPQhhoViBsI8zKN/rCXFQe7HIh15dR7mo8b9CRZQuZNjGpbprkb1pOqSLfAMmLluzVALf Ux7Ac6gC9mfzuXFnX3ZiLDM2kp107igeER8yBvswQz510ZGBC8RW0hpktlrKzVJeEr1PpOyi llHjMRxIvVa/2123h8y06J2VMillJdjix9LnG2F2oB5XeQ2/dM5Qi9w29mICOWSQv4OtDZYD G1vJsf4mJ9mYamzsHGx9eKClJA60Nljb6LPoBHSe6c+OPBtUbEYED/gVOzqD9ohhzXZE0bxc c5lVV70LbaAZHVQtbY7nxSIx0OI6UaKS25OikR4kAx1opUQG/H2Xdgv06EEK6eCQysvgqOLk koG7u0uGdqKdrkJpaM/Gsu6BnnOokev1R9Hx7YQzDvOGx/++Ot5cI491yBsoN88ppf9XkG9b ga9YgW9fgW8tyyt/kvJdV5bvTCTSTtpZ5r9T4s+bFuIFq8h1ohCRGgVIXV2wpd5cCEldUwgX h2Q/Oo1N+NGWfQJ9+czYjjOwsIvSRcOiIQyrlj657k6CWSNKGRjKGZgn3kORFlYUMTpSm3x8 ySa/wfQchnzJT1PxIXXeJNviRipHaNPn44Qs0DjZmn/v1y8PHu7rHhS+Tfh2KV8RpuAbfRuf KPnwMrXMWjzWPZRfFe1TUk7zFJKGIcmSXj+d/Wz+1snvur0aeFLO4kXySBBmnyyRuVevVZJN Ssd8cohSb6gkWzSZTT45TKnJpx+h9K2vPcpnYysZZuXiTNF8Uo6acWEqUFSeGVXCmWW4UBnO KsPZAc4wwzRGiGbupBmTOdpCDb90K952eZM0mEeaefbW423ho2mWQiSzFBet0KLVkGu1xuXt RT6MWuLrpDevOta6T7QssqW0LHdsx+WtRV6NnXR7R8RWk0h8liw1u5IpUosrWSK1uZLyIeVK UZE60l/Rl/cJmvw+WkHNdKt6AHvManwkFyft2z7upxVMFzQmy7yKUiz2s1zCXZRj0NDQ0NDQ WK9YoLsNK2Yu4/nWZu70W7/dfHw0/v7rUbQ/+MHXncRdphxx29OU+TZmP2W+8RsCR+XAccp8 u3YOfDsJito5Tgfepcwj/UCdGqBuqwMPFf6RP5gbnhifHD8y5fQcH87m1df9OzsfevvqpwYf F7Y//Scfh+72xGpoaGhoaGhoaGhoaGho/Idwu/jfvH7t+oWOrfHzb1D8n7p5keP/GajXH9ze R7mK8iGoB/ojlDdQzkPF6lNQcf8Jyvwy4BTU84AzUM8H3sTS5wHeCy2O3edjFWILrs1ydUO8 9PpK3pJhY1xZZGsxl83lRzOTYtOAhoaGhoaGhoaGhoaGhsb6hMT5UDE3v8vnH+dxPM3v+Pl/ HRzrcyTNMTfH7By/V0LF/dyegHrnz3G+9yNPjvVr3fZblBfu9p8cNFZEP8YpTcFBD8aonsAL a1o/W2Abni1eR05UPUuaUc37yvXx/i/EeIpGn8BRHBY/jq55/VbDNPzns+qO7m+6bTyB53GM UkbOvZdm4Yj4xMwUcnQ8dhszLTS+4X5+Vjt+dMn4j9IIw+JDVq7A2vzZ/S/OP+4b/29QSwEC FgsUAAAACAAUlj4uNeUqARwFAAAANgAACAAAAAAAAAAAACAAgIEAAAAAcHJvYi54bHNQSwUG AAAAAAEAAQA2AAAAQgUAAAAA --_=__=_XaM3_Boundary.1044367564.2A.959857.42.29562.52.42.101010.847337757-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 4 12:13:59 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA13430 for obm-l-MTTP; Tue, 4 Feb 2003 12:12:39 -0200 Received: from bindtech.bindtech.com.br (mail.bindtech.com.br [200.230.34.1]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA13426 for ; Tue, 4 Feb 2003 12:12:36 -0200 Received: from servico2 (200.230.34.229 [200.230.34.229]) by bindtech.bindtech.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.2653.13) id 1J13774S; Tue, 4 Feb 2003 12:14:32 -0300 Message-ID: <001301c2cc60$19bdefc0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030203210917.25297.qmail@web14308.mail.yahoo.com> Subject: Re: [obm-l] dupla desigualdade Date: Tue, 4 Feb 2003 13:14:15 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 3058 Lines: 102 Caro Rafael: Seguem-se meus comentários. Por que quando você chegou em: a/(a + b + c) = r/h(a) você fez "a" constante para calcular os valores máximo e mínimos de a/(a + b + c)? *** Eu deveria ter sido mais explícito, mas a minha idéia era simplesmente achar, em função de "a", os valores de "b" e "c" que maximizam ou minimizam a/(a+b+c). Repare que esta expressão é adimensional (comprimento/comprimento). Logo, o problema poderia ser re-expresso como: Achar os valores extremos de 1/(1 + (b/a) + (c/a)), sujeito a: 0 < b/a < 1 0 < c/a < 1 (b/a)^2 + (c/a)^2 = 1. E nesse caso teríamos que (b/a) e (c/a) seriam independentes de "a" (e também de "b" e "c"). Veja tambem que os valores máximo (1/2) e mínimo (raiz(2)-1) de a/(a+b+c) independem de "a". Sei que ficaria mais complicado, mas então você poderia considerar b constante também? *** Sem dúvida. O problema ficaria: Achar os valores extremos de (a/b) / ( 1 + (a/b) + (c/b) ), sujeito a: a/b > 1 0 < c/b < a/b (a/b)^2 - (c/b)^2 = 1 Mas, como você disse, mais complicado.... Para determinarmos b + c mínimo, será que não poderíamos considerar direto que b + c > a, pela condição de existência dos triângulos? *** Sim. No limite (quando o triângula degenera), teremos b+c = a ==> a/(a+b+c) = 1/2. Como não admitimos um trângulo degenerado, vale a desigualdade estrita a/(a+b+c) < 1/2. E de onde você tirou que: (b+c) é máximo <==> b = c = a/raiz(2) Eu pensei que você pudesse ter feito isso: De (b + c)² = a² + 2bc, sabemos que (b + c) será máximo quando bc for máximo, já que "a" está constante. *** Aqui você poderia ter feito uma simplificação usando a desigualdade entre as médias geométrica e aritmética de "b" e "c", que é a seguinte: raiz(b*c) <= (b+c)/2, com igualdade <==> b = c. Ou seja: b*c <= (b+c)^2/4 ==> (b+c)^2 = a^2 + 2*b*c <= a^2 + (b+c)^2/2 ==> (b+c)^2 <= 2*a^2 ==> b+c é máximo e igual a a*raiz(2) <==> b = c = a/raiz(2). Então precisamos ter só b ou só c numa expressão para achar seu valor máximo. Isolando b em função de c no teorema de Pitágoras: b² + c² = a² b² = a² - c² b = raiz(a² - c²) Agora fazendo bc: bc = raiz(a² - c²) . c bc = raiz(a².c² - c^4) E agora bc terá valor máximo quando a².c² - c^4 for máximo. Transformando isso numa função quadrática, fazemos x = c² e achamos o valor máximo que é o vértice: = a².c² - c^4 = a²x - x² Que tem valor mínimo para o x do vértice: x = -(a²)/2.(-1) x = a²/2 E como x = c²: x = a²/2 c² = a²/2 c = a/raiz(2) Mas não sei se posso fazer essa transformação de uma função de grau quatro para uma função quadrática para fins de achar valores máximo e mínimos. Se puder me ajudar mais um pouco, agradeço. *** Você fez tudo certinho, só que deu muito mais trabalho.... Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 4 12:49:56 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA14658 for obm-l-MTTP; Tue, 4 Feb 2003 12:48:32 -0200 Received: from bindtech.bindtech.com.br (mail.bindtech.com.br [200.230.34.1]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA14654 for ; Tue, 4 Feb 2003 12:48:28 -0200 Received: from servico2 (200.230.34.229 [200.230.34.229]) by bindtech.bindtech.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.2653.13) id 1J137789; Tue, 4 Feb 2003 12:50:26 -0300 Message-ID: <002001c2cc65$1dbbb800$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030204114623.2967.qmail@web40902.mail.yahoo.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Re:=5F=5Bobm-l=5D=5Fsequ=EAncias=5Fe=5Fmai?= =?iso-8859-1?Q?s=5Fsequ=EAncias?= Date: Tue, 4 Feb 2003 13:50:13 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_001D_01C2CC54.5748C060" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 11253 Lines: 297 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_001D_01C2CC54.5748C060 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Caro Bruno: S=F3 uma observa=E7=E3o: A solu=E7=E3o geral de uma equa=E7=E3o de recorr=EAncia linear = homog=EAnea de ordem 2 s=F3 =E9 dada pela f=F3rmula: A(n) =3D P*r^n + Q*s^n com r e s ra=EDzes do polin=F4mio caracter=EDstico (p.c.) <=3D=3D> r e s = forem distintas.=20 Com ra=EDzes iguais (a r), a solu=E7=E3o geral =E9 da forma: A(n) =3D (P + Q*n)*r^n. Al=E9m disso, r e s n=E3o precisam ser reais. Por exemplo, considere a = equa=E7=E3o de recorr=EAncia: B(n) - 2*B(n-1) + 2*B(n-2) =3D 0 com as condi=E7=F5es iniciais: B(1) = =3D 0 e B(2) =3D 4. P.C.: p(x) =3D x^2 -2*x + 2 =3D=3D> ra=EDzes: 1 + i e 1 - i = =3D=3D> B(n) =3D P*(1+i)^n + Q*(1-i)^n B(1) =3D (1+i)*P +(1-i)*Q =3D 0 e B(2) =3D 2*i*P - 2*i*Q =3D 4 = =3D=3D> =20 P =3D -1 - i e Q =3D -1 + i =3D=3D> B(n) =3D (-1-i)*(1+i)^n - = (-1+i)*(1-i)^n =3D (1-i)^(n+1) - (1+i)^(n+1) Ou seja, uma f=F3rmula envolvendo n=FAmeros complexos que s=F3 produz = n=FAmeros reais !!! A sequ=EAncia dos B(n) seria: 0, 4, 8, 8, 0, -16, -32, -32, 0, 64, 128, = 128, 0, .... =20 Voltando ao problema original: Se A(1) =3D 1, a equa=E7=E3o seria: A(n) =3D 2*A(n-1) - A(n-2), e o polin=F4mio caracter=EDstico: x^2 - 2x + = 1 =3D 0 =3D=3D> (x-1)^2 =3D 0 =3D=3D> Solu=E7=E3o geral: A(n) =3D P + Q*n A(0) =3D 100 e A(100) =3D 0 =3D=3D> P =3D 100 e Q =3D -1 Portanto: A(n) =3D 100 - n =3D=3D> A(2003) =3D -1903. Tamb=E9m, se A(1) =3D -1, o p.c. seria p(x) =3D (x+1)^2 =3D=3D> A(n) = =3D (P + Q*n)*(-1)^n A(0) =3D 100 e A(100) =3D 0 =3D=3D> P =3D 100 e Q =3D -1 =3D=3D> = A(n) =3D (100 - n)*(-1)^n =3D=3D> A(2003) =3D 1903.=20 Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Bruno Lima=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Tuesday, February 04, 2003 9:46 AM Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_sequ=EAncias_e_mais_sequ=EAncias Sendo assim, la vai. Nao vou provar as coisas que podem ser achadas em = um livro que trate de equacoes em diferencas finitas, por exemplo o do = Elon de Algebra linear.=20 Como a equacao e de ordem 2 seu conjunto solucao e um espaco vetorial = de dimensao 2. O polinomio caracteristico da equacao e:=20 x^2-2a(1)x+1=3D0=20 Exigindo-se a existencia de solucao real, concluimos o item a).Observe = que,sendo r e s solucoes do polinomio acima. a(n)=3Dr^n e solucao = (basta substituir na equacao) a(n)=3Ds^n tambem e. Essas solucoes sao LI = logo qualquer outra solucao e da forma:=20 a(n)=3DPr^n+Qs^n, onde P,Q sao coeficientes a determinar, para isso = precisamos de duas condicoes iniciais. a(0)=3D100 ajuda, porem = a(100)=3D0, gera muita conta. Provalvemente tem alguma coisa que nao vi. = Erasmo de Souza Dias wrote:=20 valeu pela resposta mas houve um erro no enunciado...] =E9 como o Bruno disse mesmo... a(n+1)=3D2*a1*a(n)-a(n-1).. O resultado do Claudio =E9 muito bem elaborado, mas a condi=E7ao do = item (a) =E9 para esse enunciado aqui! -------------------------------------------------------------------------= --- Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar = o Yahoo! encontra. -------------------------------------------------------------------------= ----- Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o = Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_001D_01C2CC54.5748C060 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Caro Bruno:
 
S=F3 uma observa=E7=E3o:
 
A solu=E7=E3o geral de uma = equa=E7=E3o de recorr=EAncia=20 linear homog=EAnea de ordem 2 s=F3 =E9 dada pela f=F3rmula:
A(n) =3D P*r^n + Q*s^n
com r e s ra=EDzes do polin=F4mio = caracter=EDstico (p.c.)=20 <=3D=3D> r e s forem distintas.
 
Com ra=EDzes iguais (a r), a = solu=E7=E3o geral =E9 da=20 forma:
A(n) =3D (P + Q*n)*r^n.
 
Al=E9m disso, r e s n=E3o precisam ser = reais. Por=20 exemplo, considere a equa=E7=E3o de recorr=EAncia:
B(n) - 2*B(n-1) + 2*B(n-2) =3D = 0   com as=20 condi=E7=F5es iniciais: B(1) =3D 0 e B(2) =3D 4.
P.C.: p(x) =3D x^2 -2*x + 2  = =3D=3D> ra=EDzes:=20 1 + i   e  1 - i   =3D=3D>  B(n) =3D = P*(1+i)^n +=20 Q*(1-i)^n
 
B(1) =3D (1+i)*P +(1-i)*Q =3D = 0  =20 e   B(2) =3D 2*i*P - 2*i*Q = =3D 4 =20 =3D=3D> 
P =3D -1 - i   = e   Q =3D -1 +=20 i   =3D=3D>  B(n) =3D (-1-i)*(1+i)^n - (-1+i)*(1-i)^n = =3D (1-i)^(n+1)=20 - (1+i)^(n+1)
 
Ou seja, uma f=F3rmula envolvendo = n=FAmeros complexos=20 que s=F3 produz n=FAmeros reais !!!
 
A sequ=EAncia dos B(n) seria: 0, 4, 8, = 8, 0, -16,=20 -32, -32, 0, 64, 128, 128, 0, ....
 
 
Voltando ao problema = original:
Se A(1) =3D 1, a equa=E7=E3o = seria:
A(n) =3D 2*A(n-1) - A(n-2), e o = polin=F4mio=20 caracter=EDstico: x^2 - 2x + 1 =3D 0  =3D=3D> (x-1)^2 =3D = 0 =20 =3D=3D>
Solu=E7=E3o geral: A(n) =3D P + = Q*n
 
A(0) =3D 100  e  A(100) =3D = 0 =20 =3D=3D>  P =3D 100  e  Q =3D=20 -1
Portanto: A(n) =3D 100 - n =3D=3D> = A(2003) =3D=20 -1903.
 
 
Tamb=E9m, se A(1) =3D -1, o p.c. seria = p(x) =3D=20 (x+1)^2  =3D=3D> A(n) =3D (P + Q*n)*(-1)^n
 
A(0) =3D 100  e  A(100) =3D = 0 =20 =3D=3D>  P =3D 100 e Q =3D -1  =3D=3D>  A(n) =3D = (100 - n)*(-1)^n =20 =3D=3D> A(2003) =3D 1903.
 
 
Um abra=E7o,
 
Claudio.
 
----- Original Message -----
From:=20 Bruno=20 Lima
Sent: Tuesday, February 04, = 2003 9:46=20 AM
Subject: Re: [obm-l]=20 Re:_[obm-l]_sequ=EAncias_e_mais_sequ=EAncias

Sendo assim, la vai. Nao vou provar as coisas que podem ser achadas = em um=20 livro que trate de equacoes em diferencas finitas, por exemplo o do = Elon de=20 Algebra linear.=20

Como a equacao e de ordem 2 seu conjunto solucao e um espaco = vetorial=20 de dimensao 2. O polinomio caracteristico da equacao e:=20

x^2-2a(1)x+1=3D0=20

Exigindo-se a existencia de solucao real, concluimos o item = a).Observe=20 que,sendo r e s solucoes do polinomio acima. = a(n)=3Dr^n  e=20 solucao (basta substituir na equacao) a(n)=3Ds^n tambem e. Essas = solucoes sao LI=20 logo qualquer outra solucao  e da forma:=20

a(n)=3DPr^n+Qs^n, onde=20 P,Q sao coeficientes a determinar, para isso precisamos de duas = condicoes=20 iniciais. a(0)=3D100 ajuda, porem a(100)=3D0, gera muita conta. = Provalvemente tem=20 alguma coisa que nao vi.=20

 Erasmo de Souza Dias = <erasmomat@yahoo.com.br>=20 wrote:=20

valeu pela resposta mas houve um erro no enunciado...]

=E9 como  o Bruno disse mesmo...

a(n+1)=3D2*a1*a(n)-a(n-1)..

O resultado do Claudio =E9 muito bem elaborado, mas a condi=E7ao = do item (a)=20 =E9 para esse enunciado aqui!

 


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OBM-L, A Resposta esta correta. Eu nao acompanhei todos os seus argumentos, tanto por falta de tempo quanto porque ha outras formas mais diretas de resolve-lo. Eu bolei esta questao especificamente para a OBM, nivel medio. Nao sei porque a banca nao aceitou propo-la. Nao e uma questao dificil, exige apenas um "insight" para o item 1 e, no item 2, exige conhecimentos bem divulgados. Segue abaixo uma questao questao que eu propus para o pessoal da OBM de nivel 2 ( setima/oitava series do 1 grau ) : Num conjunto de 100 numeros naturais, dois a dois distintos, verifica-se que quaisquer 3 numeros ( iguais ou nao ) podem ser os lados de um triangulo nao obtusangulo ( que nao tem um angulo maior que 90 graus ). Seja A a soma de todos os perimetros de todos os triangulos ( isosceles, equilateros e escalenos ) que podem ser construidos com estes 100 numeros. Qual o valor minimo que A pode ter ? Um Abraco Paulo Santa Rita 3,1243,040203 >From: "Cláudio \(Prática\)" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: >Subject: [obm-l] Quadrados em um Quadriculado - parte 2 >Date: Tue, 4 Feb 2003 12:02:33 -0200 > >Caro Paulo: > >A parte 2 do problema pede para determinar todos os inteiros "p", para os >quais existe um inteiro positivo "n" tal que: > >n * (n+1)^2 * (n+2) / 12 = 10^p ==> >n * (n+1)^2 * (n+2) = 2^(p+2) * 3 * 5^p > >No entanto, eu achei que a única solução é p = 0 <==> n = 1. Será que eu >errei em algum lugar? > >E dividi o problema em 3 casos: n ímpar, n = 0 (mod 4) e n = 2 (mod 4): > >CASO 1: n é ímpar >n é ímpar ==> n+1 é par e n+2 é ímpar. > >Assim, (n+1)^2 = 2^(p+2) * 3^x * 5^y e n*(n+2) = 3^(1-x) * 5^(p-y) >com 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= p > >(n+1)^2 é quadrado ==> p+2 é par, x = 0 e y é par > >p+2 é par ==> p é par ==> p = 2q >y é par ==> y = 2z ==> p-y = 2q-2z > >Assim: n+1 = 2^(q+1) * 5^z e n*(n+2) = 3 * 5^(2q-2z) > >Temos dois sub-casos a considerar: 5 divide n+1 ou 5 não divide n+1: > >Sub-caso 1: 5 | n+1 >5 | n+1 ==> (5,n) = (5,n+2) = 1 ==> z = q ==> >n+1 = 2^(q+1) * 5^q e n*(n+2) = 3 ==> n = 1 ==> q = 0 ==> p = 0 > >Sub-caso 2: 5 não | n+1 >5 não | n+1 ==> (5,n+1) = 1 ==> z = 0 ==> >n+1 = 2^(q+1) e n*(n+2) = 3 * 5^(2q) ==> >n = 2^(q+1) - 1, n+2 = 2^(q+1) + 1 ==> n*(n+2) = 2^(2q+2) - 1 = 4 * >^(2q) - 1 ==> >3 * 5^(2q) = 4 * 2^(2q) - 1 ==> 4 * 2^(2q) - 3 * 5^(2q) = 1 ==> q >= >0 ==> >n+1 = 2 e n*(n+2) = 3 ==> n = 1 ==> p = 0 > > >CASO 2: n = 0 (mod 4) >n = 0 (mod 4) ==> n+1 é ímpar e n+2 = 2 (mod 4) ==> > >(n+1)^2 = 3^x * 5^y e n*(n+2) = 2^(p+2) * 3^(1-x) * 5^(p-y) >com 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= p > >(n+1)^2 é quadrado ==> x = 0 e y = 2z ==> >n+1 = 5^z e n*(n+2) = 2^(p+2) * 3 * 5^(p-2z) > >Sub-Caso 1: 5 | n+1 >5 | n+1 ==> (5,n) = (5,n+2) = 1 ==> n*(n+2) = 2^(p+2) * 3 > >Sub-Caso 1.1: 5 | n+1 e 3 | n >3 | n ==> (3,n+1) = (3,n+2) = 1 ==> n = 2^(p+1) * 3 e n+2 = 2 ==> XXX > >Sub-Caso: 1.2: 5 | n+1 e 3 não | n >3 não | n ==> 3 | n+1 ==> n = 2^(p+1) e n+2 = 2*3 = 6 ==> Q(n) = 196 ><> >10^p ==> XXX > >Sub-Caso 2: 5 não | n+1 >5 não | n+1 ==> n+1 = 1 ==> XXX > > >CASO 3: n = 2 (mod 4) >n = 2 (mod 4) ==> n+1 é ímpar e n+2 = 0 (mod 4) ==> > >(n+1)^2 = 3^x * 5^y e n*(n+2) = 2^(p+2) * 3^(1-x) * 5^(p-y) >com 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= p > >(n+1)^2 é quadrado ==> x = 0 e y = 2z ==> >n+1 = 5^z e n*(n+2) = 2^(p+2) * 3 * 5^(p-2z) > >Sub-Caso 1: 5 | n+1 >5 | n+1 ==> (5,n) = (5,n+2) = 1 ==> n*(n+2) = 2^(p+2) * 3 > >Sub-Caso 1.1: 5 | n+1 e 3 | n >3 | n ==> (3,n+1) = (3,n+2) = 1 ==> n = 2*3 = 6 ==> Q(n) = 196 <> >10^p >==> XXX > >Sub-Caso: 1.2: 5 | n+1 e 3 não | n >3 não | n ==> 3 | n+1 ==> n = 2 ==> Q(n) = 6 <> 10^p ==> XXX > >Sub-Caso 2: 5 não | n+1 >5 não | n+1 ==> n+1 = 1 ==> XXX > >************** > >Um abraço, >Claudio. > > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= _________________________________________________________________ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 4 13:38:05 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA16369 for obm-l-MTTP; Tue, 4 Feb 2003 13:36:12 -0200 Received: from bindtech.bindtech.com.br (mail.bindtech.com.br [200.230.34.1]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA16365 for ; Tue, 4 Feb 2003 13:36:09 -0200 Received: from servico2 (200.230.34.224 [200.230.34.224]) by bindtech.bindtech.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.2653.13) id 1J1378HB; Tue, 4 Feb 2003 13:38:06 -0300 Message-ID: <004501c2cc6b$c6a40480$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: Subject: Re: [obm-l] Re:probabilidade e combinatoria Date: Tue, 4 Feb 2003 14:37:53 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 3232 Lines: 106 Caro Amurpe: É um prazer poder ajudar. Quanto ao problema: As setas não apareceram, mas eu estou supondo que você só possa ir de um quadro para os dois mais próximos na linha de baixo (por exemplo, do 2 só para o 4 ou o 5; do 9 só para o 13 ou o 14, etc..) Nesse caso, o dado é como se fosse uma moeda não viciada: P(azul) = P(vermelho) = 1/2. Uma forma de atacar este problema é ir de trás pra frente. Você só chega no 13 a partir do 8 ou do 9. Além, disso, estando no 8, a probabilidade de se chegar no 13 é igual a 1/2. Da mesma forma, estando no 9, P(13|9) = 1/2 (estou chamando P(M|N) = probabilidade de se chegar em M a partir de N) Usando uma propriedade das probabilidades condicionais (acho que se chama teorema da probabilidade total, ou algo assim), você chega à equação: P(13) = P(13|8)*P(8) + P(13|9)*P(9) = P(8)*1/2 + P(9)*1/2. Agora, o problema é calcular P(8) e P(9). Raciocinando de forma análoga, você obtém: P(8) = P(5)*1/2 + P(4)*1/2 P(9) = P(5)*1/2 + P(6)*1/2 ==> P(13) = P(4)*1/4 + P(5)*1/2 + P(6)*1/4 Prosseguindo: P(4) = P(2)*1/2 (você consegue ver porque?) P(5) = P(2)*1/2 + P(3)*1/2 P(6) = P(3)*1/2 ==> P(13) = [P(2)*1/2]*1/4 + [P(2)*1/2+P(3)*1/2]*1/2 + [P(3)*1/2]*1/2, ou seja: P(13) = P(2)*3/8 + P(3)*3/8 Finalmente: P(2) = P(3) = 1/2 ==> P(13) = 1/2*3/8 + 1/2*3/8 = 3/8 = 6/16. Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "amurpe" To: Sent: Tuesday, February 04, 2003 12:06 PM Subject: [obm-l] Re:probabilidade e combinatoria oi Pessoal , mais uma vez obrigado pela ajuda que voces tem me prestado.Ao claudio/pratica/, em especial um grande abraço , as soluções que voce me envia vem todas explicadas e isso me facilita bastante na hora de estudar e compreender o problema. Tenho muita dificuldade em problemas de combinatoria e pr obabilidade.na primeira vez que enviei o arquivo ficou mu ito grande, de sorte que ficou faltando um problema. um abraço em todos. Amurpe > 2) Santa casa - 1977- Dispoe-se de um mapa > (anexo).Dispoe-se tambem de um dado com 3 faces > vermelhas e 3 faces azuis. > > i) partindo do quadro1 , pode-se caminhar , no sentido > indicado pelas setas para os demais quadros , a cada > lançamento do dado. > > ii) lançando-se o dado , se sair face azul, segue-se > pela seta da direita até o quadro seguinte. > > iii)lançando-se o dado , se sair face vermelha , segue- > se pela seta da esquerda até o quadro seguinte. A > probabilidade de chegar ao quadro 13 , partindo de 1 é: > > resp: 6/16. > > > > _______________________________________________________ ___________________ > E-mail Premium BOL > Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! > http://email.bol.com.br/ > __________________________________________________________________________ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 4 13:51:43 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA16845 for obm-l-MTTP; Tue, 4 Feb 2003 13:50:15 -0200 Received: from bindtech.bindtech.com.br (mail.bindtech.com.br [200.230.34.1]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA16839 for ; Tue, 4 Feb 2003 13:50:09 -0200 Received: from servico2 (200.230.34.227 [200.230.34.227]) by bindtech.bindtech.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.2653.13) id 1J1378KZ; Tue, 4 Feb 2003 13:52:08 -0300 Message-ID: <005001c2cc6d$bc6173c0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: Subject: Fw: [obm-l] Re:probabilidade e combinatoria Date: Tue, 4 Feb 2003 14:51:55 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 4090 Lines: 129 Amurpe: Você consegue ver a relação entre este problema e o problema de se determinar a probabilidade de se obter 2 caras e 2 coroas (em qualquer ordem) lançando-se uma moeda honesta 4 vezes? (Moeda honesta ==> P(cara) = P(coroa) = 1/2) Pense no problema geral: Lançando-se uma moeda honesta N vezes, qual a probabilidade de se obter K caras (portanto, N-K coroas) em qualquer ordem? E se a moeda for viciada, com P(cara) = p e P(coroa) = 1-p ? Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Cláudio (Prática)" To: Sent: Tuesday, February 04, 2003 2:37 PM Subject: Re: [obm-l] Re:probabilidade e combinatoria > Caro Amurpe: > > É um prazer poder ajudar. > > Quanto ao problema: > As setas não apareceram, mas eu estou supondo que você só possa ir de um > quadro para os dois mais próximos na linha de baixo (por exemplo, do 2 só > para o 4 ou o 5; do 9 só para o 13 ou o 14, etc..) > > Nesse caso, o dado é como se fosse uma moeda não viciada: P(azul) = > P(vermelho) = 1/2. > > Uma forma de atacar este problema é ir de trás pra frente. > > Você só chega no 13 a partir do 8 ou do 9. Além, disso, estando no 8, a > probabilidade de se chegar no 13 é igual a 1/2. Da mesma forma, estando no > 9, P(13|9) = 1/2 > (estou chamando P(M|N) = probabilidade de se chegar em M a partir de N) > > Usando uma propriedade das probabilidades condicionais (acho que se chama > teorema da probabilidade total, ou algo assim), você chega à equação: P(13) > = P(13|8)*P(8) + P(13|9)*P(9) = P(8)*1/2 + P(9)*1/2. > > Agora, o problema é calcular P(8) e P(9). > > Raciocinando de forma análoga, você obtém: > P(8) = P(5)*1/2 + P(4)*1/2 > P(9) = P(5)*1/2 + P(6)*1/2 ==> P(13) = P(4)*1/4 + P(5)*1/2 + P(6)*1/4 > > Prosseguindo: > P(4) = P(2)*1/2 (você consegue ver porque?) > P(5) = P(2)*1/2 + P(3)*1/2 > P(6) = P(3)*1/2 ==> > > P(13) = [P(2)*1/2]*1/4 + [P(2)*1/2+P(3)*1/2]*1/2 + [P(3)*1/2]*1/2, ou > seja: > > P(13) = P(2)*3/8 + P(3)*3/8 > > Finalmente: > P(2) = P(3) = 1/2 ==> P(13) = 1/2*3/8 + 1/2*3/8 = 3/8 = 6/16. > > > Um abraço, > Claudio. > > ----- Original Message ----- > From: "amurpe" > To: > Sent: Tuesday, February 04, 2003 12:06 PM > Subject: [obm-l] Re:probabilidade e combinatoria > > > oi Pessoal , mais uma vez obrigado pela ajuda que voces > tem me prestado.Ao claudio/pratica/, em especial um > grande abraço , as soluções que voce me envia vem todas > explicadas e isso me facilita bastante na hora de > estudar e compreender o problema. > Tenho muita dificuldade em problemas de combinatoria e pr > obabilidade.na primeira vez que enviei o arquivo ficou mu > ito grande, de sorte que ficou faltando um problema. > > um abraço em todos. > > Amurpe > > > > 2) Santa casa - 1977- Dispoe-se de um mapa > > (anexo).Dispoe-se tambem de um dado com 3 faces > > vermelhas e 3 faces azuis. > > > > i) partindo do quadro1 , pode-se caminhar , no sentido > > indicado pelas setas para os demais quadros , a cada > > lançamento do dado. > > > > ii) lançando-se o dado , se sair face azul, segue-se > > pela seta da direita até o quadro seguinte. > > > > iii)lançando-se o dado , se sair face vermelha , segue- > > se pela seta da esquerda até o quadro seguinte. A > > probabilidade de chegar ao quadro 13 , partindo de 1 é: > > > > resp: 6/16. > > > > > > > > _______________________________________________________ > ___________________ > > E-mail Premium BOL > > Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! > > http://email.bol.com.br/ > > > > > __________________________________________________________________________ > E-mail Premium BOL > Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! > http://email.bol.com.br/ > > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 4 14:03:02 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA17227 for obm-l-MTTP; Tue, 4 Feb 2003 14:01:26 -0200 Received: from hotmail.com (f91.law15.hotmail.com [64.4.23.91]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA17223 for ; Tue, 4 Feb 2003 14:01:22 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Tue, 4 Feb 2003 07:58:51 -0800 Received: from 200.206.103.3 by lw15fd.law15.hotmail.msn.com with HTTP; Tue, 04 Feb 2003 15:58:51 GMT X-Originating-IP: [200.206.103.3] From: "RICARDO CHAVES" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?B?UmU6IFtvYm0tbF0gY2lyY3VuZmVy6m5jaWFzIHRhbmdlbnRlcw==?= Date: Tue, 04 Feb 2003 15:58:51 +0000 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 04 Feb 2003 15:58:51.0666 (UTC) FILETIME=[4FC24F20:01C2CC66] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2112 Lines: 64



Pitagoras,oras!Trace os raios ortogonais a reta e voce tera a figura.

>From: Faelccmm@aol.com
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] circunferências tangentes
>Date: Mon, 3 Feb 2003 14:56:55 EST
>
>Olá pessoal,
>
>Vejam a questão:
>
>Na figura, calcule o comprimento x da tangente comum externa às
>circunferências.
>
>Resp: 24
>
>Obs: A figura é a seguinte:
>Esbocem duas circunferências de tamanhos diferentes sendo que estas sejam
>tangentes externas. O raio da maior vale 18 e o da menor 8. Agora esboce o um
>segmento que vai de uma circunferência a outra, ou seja, o comprimento desta
>tangente é a incógnita. A figura é bem simples, é muito parecido com uma
>polia onde o comprimento de x é como se fosse o cordame da polia.
>
>
>
>ICQ: 337140512

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Turma,to tentando resolve esse problema da IMO da Alemanha:

Chame uma permutaçao dos elementos 1,2,3,...,2n de legal se existe pelo menos um par de elementos consecutivos cuja diferença seja n.Mostre que ha mais legais do que nao-legais nessas permutaçoes.

Tentei achar soluçoes assim:

1)Defina uma funçao que transforma uma permutaçao legal numa ilegal,de modo que ela seja injetiva(duas permutaçoes legais cujas correspondentes ilegais sao iguais sao necessariamente iguais) e nao-sobrejetiva(e possivel escolher pelo menos uma permutaçao ilegal que nao e correspondente de nenhuma legal).Desse jeito acabou!

2)Calcule o numero de permutaçoes ilegais explicitamente e verifique que o total e menor que (2n)!/2.Minha ideia era usar inclusao e exclusao(e um teorema poderoso sobre uniao de conjuntos finitos e seus numero de elementos).


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Turma,to tentando resolve esse problema da IMO da Alemanha:

Chame uma permutaçao dos elementos 1,2,3,...,2n de legal se existe pelo menos um par de elementos consecutivos cuja diferença seja n.Mostre que ha mais legais do que nao-legais nessas permutaçoes.

Tentei achar soluçoes assim:

1)Defina uma funçao que transforma uma permutaçao legal numa ilegal,de modo que ela seja injetiva(duas permutaçoes legais cujas correspondentes ilegais sao iguais sao necessariamente iguais) e nao-sobrejetiva(e possivel escolher pelo menos uma permutaçao ilegal que nao e correspondente de nenhuma legal).Desse jeito acabou!

2)Calcule o numero de permutaçoes ilegais explicitamente e verifique que o total e menor que (2n)!/2.

Minha ideia era usar inclusao e exclusao(e um teorema poderoso sobre uniao de conjuntos finitos.O caso de dois conjuntos e facil.A uniao de dois conjuntos e o primeiro mais o segundo menos a intersecçao deles.A generalizaçao e imediata).

O primeiro parece facil mas nao achei a tal funçao.O segundo eu nao consigo arquitetar as contas direito.Sou muito lerdo e ainda to meio enrolado.Quem puder ajudar,valeu!!!



TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE

CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE

Fields Medal(John Charles Fields)


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Primeiro vou me auto-responder

x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-x)(y-z)+z^r(z-x)(z-y) nao e negativo e so e nulo quando os 3 caras sao iguais ou dois sao iguais e outro e nulo.

Basta supor x>=y>=z>=0 e fatorar o x-y na expressao.E so analisar os sinais.E como nao percebi isso antes?Valeu Emanuel!!!!

Essa aqui eu to na viagem mas nao vejo Schur em nada.

Tome reais positivos ou nulos a,b,c,d tais que

 ab+ac+ad+bc+bd+cd+abc+abd+acd+bcd=2.

Mostre que

3(a+b+c+d)>=4(ab+ac+ad+bc+bd+cd).

Alias tem alguma sugestao para desigualdades e coisas do genero?


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Acho que a minha idéia inicial é correta, mas posso ter me enrolado nas somas no final... Num conjunto de 100 numeros naturais, dois a dois distintos, verifica-se que quaisquer 3 numeros ( iguais ou nao ) podem ser os lados de um triangulo nao obtusangulo ( que nao tem um angulo maior que 90 graus ). Seja A a soma de todos os perimetros de todos os triangulos ( isosceles, equilateros e escalenos ) que podem ser construidos com estes 100 numeros. Qual o valor minimo que A pode ter ? Chame o conjunto de X, e suponha que seus elementos estão ordenados: a1 < a2 < ... < a100. O triângulo com lados (a1,a1,a100) é não-obtusângulo ==> todos os outros triângulos são não-obtusângulos e, além disso: a100^2 = a1^2 + a1^2 - 2*a1^2*cos(A) <= a1^2 + a1^2 - 2*a1^2*cos(Pi/2) = a1^2 + a1^2 ==> a100 <= a1*raiz(2) A menor soma dos perímetros irá corresponder aos menores lados. Isso implica que os elementos de X são naturais consecutivos e a1 é o menor natural N tal que N+99 <= N*raiz(2) ==> (N+99)^2 <= 2*N^2 ==> N^2 - 198*N - 9801 >= 0 ==> N >= 99 + 99*raiz(2) ==> N = 240 Assim, X = {240, 241, ..., 339 } ==> S = soma dos elementos de X = 28.950. Sejam: E = soma dos perímetros dos equiláteros I = soma dos perímetros dos isósceles não-equiláteros C = soma dos perímetros dos escalenos Então: E = 3*S = 86.850 I = 99*2*S + 100*S - S = 297*S = 8.598.150 C = C(99,2)*S = 4.851*S = 140.436.450 Logo, A >= E + I + C = 149.121.450 Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 4 17:58:05 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA23992 for obm-l-MTTP; Tue, 4 Feb 2003 17:56:26 -0200 Received: from hotmail.com (f30.sea2.hotmail.com [207.68.165.30]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA23988 for ; Tue, 4 Feb 2003 17:56:22 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Tue, 4 Feb 2003 11:55:51 -0800 Received: from 200.216.62.82 by sea2fd.sea2.hotmail.msn.com with HTTP; Tue, 04 Feb 2003 19:55:51 GMT X-Originating-IP: [200.216.62.82] From: "Paulo Santa Rita" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?B?UmU6IFtvYm0tbF0gVHJ14m5ndWxvcyBu428tb2J0dXPibmd1bG9z?= Date: Tue, 04 Feb 2003 19:55:51 +0000 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 04 Feb 2003 19:55:51.0858 (UTC) FILETIME=[6BA76920:01C2CC87] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 3607 Lines: 103 Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, O que importa e a ideia ... Como se pode observar abaixo, o unico conhecimento realmente necessario e saber - como sabem todos os bons alunos da 7 serie - que NUM TRIANGULO NAO OBTUSANGULO O QUADRADO DE QUALQUER LADO E, NO MAXIMO, IGUAL A SOMA DOS QUADRADOS DOS OUTROS DOIS LADOS. Alem disso, so e necessario ter a coragem de pensar e errar tantas vezes quantas forem necessarias ate esclarecer o enigma. Nunca e vergonhoso errar, quando estamos tentamos acertar. Claramente que so nao erram Deus e os Imbecis. Como diria Schiller : "Oh discipulo covarde ! Rompe a inercia e a sonolencia e engolfa-te brioso no arrebol que anteves !" A questao seguinte foi proposta pelo *Conway em outra lista : Seja f(x)=x^2 + x + 1. Prove que para todo numero natural N > 1, os numeros f(N), f(f(N)), f(f(f(N))), f(f(f(f(N)))), ... sao dois a dois primos entre si. Um Abraco Paulo Santa Rita 3,1752,040203 *Ou foi pelo Conway ou foi pelo Katz. Nao me lembro ao certo. >From: "Cláudio \(Prática\)" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: >Subject: [obm-l] Truângulos não-obtusângulos >Date: Tue, 4 Feb 2003 17:10:04 -0200 > >Caro Paulo: > >Segue minha solução para o seguinte problema. Acho que a minha idéia >inicial >é correta, mas posso ter me enrolado nas somas no final... > >Num conjunto de 100 numeros naturais, dois a dois distintos, verifica-se >que >quaisquer 3 numeros ( iguais ou nao ) podem ser os lados de um triangulo >nao >obtusangulo ( que nao tem um angulo maior que 90 graus ). Seja A a soma de >todos os perimetros de todos os triangulos ( isosceles, equilateros e >escalenos ) que podem ser construidos com estes 100 numeros. Qual o valor >minimo que A pode ter ? > >Chame o conjunto de X, e suponha que seus elementos estão ordenados: >a1 < a2 < ... < a100. > >O triângulo com lados (a1,a1,a100) é não-obtusângulo ==> todos os outros >triângulos são não-obtusângulos e, além disso: >a100^2 = a1^2 + a1^2 - 2*a1^2*cos(A) <= a1^2 + a1^2 - 2*a1^2*cos(Pi/2) = >a1^2 + a1^2 ==> >a100 <= a1*raiz(2) > >A menor soma dos perímetros irá corresponder aos menores lados. Isso >implica >que os elementos de X são naturais consecutivos e a1 é o menor natural N >tal >que N+99 <= N*raiz(2) ==> >(N+99)^2 <= 2*N^2 ==> >N^2 - 198*N - 9801 >= 0 ==> >N >= 99 + 99*raiz(2) ==> N = 240 > >Assim, X = {240, 241, ..., 339 } ==> >S = soma dos elementos de X = 28.950. > >Sejam: >E = soma dos perímetros dos equiláteros >I = soma dos perímetros dos isósceles não-equiláteros >C = soma dos perímetros dos escalenos > >Então: >E = 3*S = 86.850 >I = 99*2*S + 100*S - S = 297*S = 8.598.150 >C = C(99,2)*S = 4.851*S = 140.436.450 > >Logo, A >= E + I + C = 149.121.450 > > >Um abraço, >Claudio. > > > > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= _________________________________________________________________ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 4 18:14:28 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA24463 for obm-l-MTTP; Tue, 4 Feb 2003 18:13:08 -0200 Received: from paiol.terra.com.br (paiol.terra.com.br [200.176.3.18]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA24457 for ; Tue, 4 Feb 2003 18:13:04 -0200 Received: from una.terra.com.br (una.terra.com.br [200.176.3.32]) by paiol.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 690AE7D0B7 for ; Tue, 4 Feb 2003 18:12:33 -0200 (BRST) Received: from terra.com.br (200-206-243-51.dsl.telesp.net.br [200.206.243.51]) (authenticated user lponce) by una.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 1A8892F0042; Tue, 4 Feb 2003 18:12:29 -0200 (BRST) Message-ID: <3E401E89.CA377F8A@terra.com.br> Date: Tue, 04 Feb 2003 18:11:54 -0200 From: Luiz Antonio Ponce Alonso X-Mailer: Mozilla 4.79 [en] (Windows NT 5.0; U) X-Accept-Language: en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Re:probabilidade e combinatoria References: Content-Type: multipart/alternative; boundary="------------4EBEA6916657A71211B6A743" Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 14735 Lines: 305 --------------4EBEA6916657A71211B6A743 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Caro amigo, Uma possivel sugestão para o seu problema é Consideremos que tanto as bolas da primeira urna quanto as da segunda são distinguíveis somente pela cor. Chamando de P1 a probabilidade pedida no primeiro experimento e de P2 a do segundo, tem-se : Do primeiro experimento, P1 = [Image] Do segundo experimento, P2 = [Image] Por outro lado, para que tenhamos P2 > P1, devemos ter : [Image] Daí segue-se que x+1 > 3,8 , ou seja x > 2,8. Portanto, sendo x um número inteiro, o valor mínimo de x para que tenhamos P2 > P1 Isto é , x > 2,8, é 3. PONCE amurpe wrote: > > Antes de mais nada , muito abrigado pela ajuda que voce > s > > me deram na resolução dos problemas de combinatoria. > > vi dois problemas que cairam nos vestibulares da cescem > - > > 1968 e da santa vcasa- > 1977, se voces puderem me dar uma > > ajuda, ficarei muito grato.Aí vão eles. > > > > 1) Cescem-1968 - Uma urna contem uma bola preta e 9 > > brancas.Uma segunda urna contem x bolas pretas e as > > restantes brancas num total de 10 bolas .Um primeiro > > experimento consiste em retirar , ao acaso, uma bola de > > > cada urna.num segundo experimento , as bolasdas duas > > urnas são reunidas e destas , duas bolas são retiradas > > ao acaso.O valor mínimo de x a fim de que a > > probabilidade de sairem duas bolas pretas seja maior no > > > segundo do que no primeiro experimento é : > > > > Resp: 3. > > > > > um outro problema que vi numa apostila e não consrgui > > > entender é o seguinte: > > > > Numa entrevista comparecem 5 candidatos para serem > > avalidados por 7 entrevistadores, cada entrvistador > > deverá escolher um candidato.de quantos maneiras as > > escolhas podem ser distribuidas? > > > > mais uma vez , obrigado. > > > > Amurpe > > > > > > > > _______________________________________________________ > ___________________ > > E-mail Premium BOL > > Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! > > http://email.bol.com.br/ > > > > > __________________________________________________________________________ > E-mail Premium BOL > Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! > http://email.bol.com.br/ > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= --------------4EBEA6916657A71211B6A743 Content-Type: multipart/related; boundary="------------51794925298D4026DE499C37" --------------51794925298D4026DE499C37 Content-Type: text/html; charset=us-ascii Content-Transfer-Encoding: 7bit Caro amigo,
Uma possivel sugestão para o seu problema é
Consideremos que tanto as bolas da primeira urna quanto as da segunda são distinguíveis somente pela cor.
Chamando de P1 a probabilidade pedida no primeiro experimento e de P2 a do segundo, tem-se :
Do primeiro experimento, P1 =

Do segundo experimento,  P2 =

Por outro lado, para que tenhamos P2  > P1, devemos ter :

Daí segue-se que
x+1 > 3,8 , ou seja  x > 2,8.
Portanto, sendo x um número inteiro, o valor mínimo de x para que tenhamos P2  > P1
Isto é ,  x > 2,8,   é    3.

PONCE
 

amurpe wrote:

> Antes de mais nada , muito abrigado pela ajuda que voce
s
> me deram na resolução dos problemas de combinatoria.
> vi dois problemas que cairam nos vestibulares da cescem
 -
> 1968 e da santa vcasa-
1977, se voces puderem me dar uma
> ajuda, ficarei muito grato.Aí vão eles.
>
> 1) Cescem-1968 - Uma urna contem uma bola preta e 9
> brancas.Uma segunda urna contem x bolas pretas e as
> restantes brancas num total de 10 bolas .Um primeiro
> experimento consiste em retirar , ao acaso, uma bola de

> cada urna.num segundo experimento , as bolasdas duas
> urnas são reunidas e destas , duas bolas são retiradas
> ao acaso.O valor mínimo de x a fim de que a
> probabilidade de sairem duas bolas pretas seja maior no

> segundo do que no primeiro experimento é :
>
> Resp: 3.
>
> > um outro problema que vi numa apostila e não consrgui

> entender é o seguinte:
>
> Numa entrevista comparecem 5 candidatos para serem
> avalidados por 7 entrevistadores, cada entrvistador
> deverá escolher um candidato.de quantos maneiras as
> escolhas podem ser distribuidas?
>
> mais uma vez , obrigado.
>
> Amurpe
>
>
>
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Tue, 4 Feb 2003 19:33:37 -0200 Received: from bindtech.bindtech.com.br (mail.bindtech.com.br [200.230.34.1]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA26480 for ; Tue, 4 Feb 2003 19:33:34 -0200 Received: from servico2 (200.230.34.228 [200.230.34.228]) by bindtech.bindtech.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.2653.13) id 1JVV8FD3; Tue, 4 Feb 2003 19:35:33 -0300 Message-ID: <016401c2cc9d$b70cdb00$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Fun=E7=E3o_Iterada?= Date: Tue, 4 Feb 2003 20:35:22 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1136 Lines: 36 Caro Paulo: Acho que o enunciado abaixo não está correto, pois encontrei um contra-exemplo: N = 4 "Seja f(x)=x^2 + x + 1. Prove que para todo numero natural N > 1, os numeros f(N), f(f(N)), f(f(f(N))), f(f(f(f(N)))), ... sao dois a dois primos entre si." N = 4 ==> f(4) = 4^2 + 4 + 1 = 21 ==> f(f(4)) = 21^2 + 21 + 1 = 463 ==> f(f(f(4))) = 463^2 + 463 + 1 = 214.833 Mas MDC( f(4) , f(f(f(4))) ) = MDC( 21, 214.833 ) = 3 ************ Você chegou a olhar o problema da Loteria Matemática? Escolha 9 subconjuntos de 6 elementos de {1, 2, ..., 36 } tais que, qualquer que seja T - subconjunto de 6 elementos de { 1, 2, ..., 36 } - a interseção de T com pelo menos um dos 9 subconjuntos escolhidos é vazia. Eu achei que tinha resolvido, mas descobri um furo na minha solução. ************ Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 4 19:47:40 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA26829 for obm-l-MTTP; Tue, 4 Feb 2003 19:46:19 -0200 Received: from web40911.mail.yahoo.com (web40911.mail.yahoo.com [66.218.78.208]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id TAA26824 for ; Tue, 4 Feb 2003 19:46:15 -0200 Message-ID: <20030204214544.67349.qmail@web40911.mail.yahoo.com> Received: from [147.65.5.204] by web40911.mail.yahoo.com via HTTP; Tue, 04 Feb 2003 18:45:44 ART Date: Tue, 4 Feb 2003 18:45:44 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Bruno=20Lima?= Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_sequências_e_mais_sequências To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <002001c2cc65$1dbbb800$3300c57d@bovespa.com> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-1720470656-1044395144=:66343" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 10386 Lines: 122 --0-1720470656-1044395144=:66343 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Vc esta certo, mas nao entendi uma coisa, pq no final vc supos |a1|=1 ? Cláudio_(Prática) wrote:Caro Bruno: Só uma observação: A solução geral de uma equação de recorrência linear homogênea de ordem 2 só é dada pela fórmula:A(n) = P*r^n + Q*s^ncom r e s raízes do polinômio característico (p.c.) <==> r e s forem distintas. Com raízes iguais (a r), a solução geral é da forma:A(n) = (P + Q*n)*r^n. Além disso, r e s não precisam ser reais. Por exemplo, considere a equação de recorrência:B(n) - 2*B(n-1) + 2*B(n-2) = 0 com as condições iniciais: B(1) = 0 e B(2) = 4.P.C.: p(x) = x^2 -2*x + 2 ==> raízes: 1 + i e 1 - i ==> B(n) = P*(1+i)^n + Q*(1-i)^n B(1) = (1+i)*P +(1-i)*Q = 0 e B(2) = 2*i*P - 2*i*Q = 4 ==> P = -1 - i e Q = -1 + i ==> B(n) = (-1-i)*(1+i)^n - (-1+i)*(1-i)^n = (1-i)^(n+1) - (1+i)^(n+1) Ou seja, uma fórmula envolvendo números complexos que só produz números reais !!! A sequência dos B(n) seria: 0, 4, 8, 8, 0, -16, -32, -32, 0, 64, 128, 128, 0, .... Voltando ao problema original:Se A(1) = 1, a equação seria:A(n) = 2*A(n-1) - A(n-2), e o polinômio característico: x^2 - 2x + 1 = 0 ==> (x-1)^2 = 0 ==>Solução geral: A(n) = P + Q*n A(0) = 100 e A(100) = 0 ==> P = 100 e Q = -1Portanto: A(n) = 100 - n ==> A(2003) = -1903. Também, se A(1) = -1, o p.c. seria p(x) = (x+1)^2 ==> A(n) = (P + Q*n)*(-1)^n A(0) = 100 e A(100) = 0 ==> P = 100 e Q = -1 ==> A(n) = (100 - n)*(-1)^n ==> A(2003) = 1903. Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: Bruno Lima To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, February 04, 2003 9:46 AMSubject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_sequências_e_mais_sequências Sendo assim, la vai. Nao vou provar as coisas que podem ser achadas em um livro que trate de equacoes em diferencas finitas, por exemplo o do Elon de Algebra linear. Como a equacao e de ordem 2 seu conjunto solucao e um espaco vetorial de dimensao 2. O polinomio caracteristico da equacao e: x^2-2a(1)x+1=0 Exigindo-se a existencia de solucao real, concluimos o item a).Observe que,sendo r e s solucoes do polinomio acima. a(n)=r^n e solucao (basta substituir na equacao) a(n)=s^n tambem e. Essas solucoes sao LI logo qualquer outra solucao e da forma: a(n)=Pr^n+Qs^n, onde P,Q sao coeficientes a determinar, para isso precisamos de duas condicoes iniciais. a(0)=100 ajuda, porem a(100)=0, gera muita conta. Provalvemente tem alguma coisa que nao vi. Erasmo de Souza Dias wrote: valeu pela resposta mas houve um erro no enunciado...] é como o Bruno disse mesmo... a(n+1)=2*a1*a(n)-a(n-1).. O resultado do Claudio é muito bem elaborado, mas a condiçao do item (a) é para esse enunciado aqui! --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-1720470656-1044395144=:66343 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

Vc  esta certo, mas nao entendi uma coisa, pq no final vc supos |a1|=1 ?

 Cláudio_(Prática) <claudio@praticacorretora.com.br> wrote:

Caro Bruno:
 
Só uma observação:
 
A solução geral de uma equação de recorrência linear homogênea de ordem 2 só é dada pela fórmula:
A(n) = P*r^n + Q*s^n
com r e s raízes do polinômio característico (p.c.) <==> r e s forem distintas.
 
Com raízes iguais (a r), a solução geral é da forma:
A(n) = (P + Q*n)*r^n.
 
Além disso, r e s não precisam ser reais. Por exemplo, considere a equação de recorrência:
B(n) - 2*B(n-1) + 2*B(n-2) = 0   com as condições iniciais: B(1) = 0 e B(2) = 4.
P.C.: p(x) = x^2 -2*x + 2  ==> raízes: 1 + i   e  1 - i   ==>  B(n) = P*(1+i)^n + Q*(1-i)^n
 
B(1) = (1+i)*P +(1-i)*Q = 0   e   B(2) = 2*i*P - 2*i*Q = 4  ==> 
P = -1 - i   e   Q = -1 + i   ==>  B(n) = (-1-i)*(1+i)^n - (-1+i)*(1-i)^n = (1-i)^(n+1) - (1+i)^(n+1)
 
Ou seja, uma fórmula envolvendo números complexos que só produz números reais !!!
 
A sequência dos B(n) seria: 0, 4, 8, 8, 0, -16, -32, -32, 0, 64, 128, 128, 0, ....
 
 
Voltando ao problema original:
Se A(1) = 1, a equação seria:
A(n) = 2*A(n-1) - A(n-2), e o polinômio característico: x^2 - 2x + 1 = 0  ==> (x-1)^2 = 0  ==>
Solução geral: A(n) = P + Q*n
 
A(0) = 100  e  A(100) = 0  ==>  P = 100  e  Q = -1
Portanto: A(n) = 100 - n ==> A(2003) = -1903.
 
 
Também, se A(1) = -1, o p.c. seria p(x) = (x+1)^2  ==> A(n) = (P + Q*n)*(-1)^n
 
A(0) = 100  e  A(100) = 0  ==>  P = 100 e Q = -1  ==>  A(n) = (100 - n)*(-1)^n  ==> A(2003) = 1903.
 
 
Um abraço,
 
Claudio.
 
----- Original Message -----
From: Bruno Lima
Sent: Tuesday, February 04, 2003 9:46 AM
Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_sequências_e_mais_sequências

Sendo assim, la vai. Nao vou provar as coisas que podem ser achadas em um livro que trate de equacoes em diferencas finitas, por exemplo o do Elon de Algebra linear.

Como a equacao e de ordem 2 seu conjunto solucao e um espaco vetorial de dimensao 2. O polinomio caracteristico da equacao e:

x^2-2a(1)x+1=0

Exigindo-se a existencia de solucao real, concluimos o item a).Observe que,sendo r e s solucoes do polinomio acima. a(n)=r^n  e solucao (basta substituir na equacao) a(n)=s^n tambem e. Essas solucoes sao LI logo qualquer outra solucao  e da forma:

a(n)=Pr^n+Qs^n, onde P,Q sao coeficientes a determinar, para isso precisamos de duas condicoes iniciais. a(0)=100 ajuda, porem a(100)=0, gera muita conta. Provalvemente tem alguma coisa que nao vi.

 Erasmo de Souza Dias <erasmomat@yahoo.com.br> wrote:

valeu pela resposta mas houve um erro no enunciado...]

é como  o Bruno disse mesmo...

a(n+1)=2*a1*a(n)-a(n-1)..

O resultado do Claudio é muito bem elaborado, mas a condiçao do item (a) é para esse enunciado aqui!

 


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Tem um livro de Polya & Hardy chamado Inequalities, nunca estudei mais e bem popular. Tem tb um artigo na Eureka nº5 (eu acho). Ou entao o livro de Bartle Analise I, tb tem alguns exemplos.

Quanto a pre requisitos: pra ler o Bartle, precisa de pelo menos calculo em uma variavel, o artigo da eureka acho que e nivel 3, ja o Inequalities eu nao tenho a menor ideia.

 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2002@yahoo.com.br> wrote:

Primeiro vou me auto-responder

x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-x)(y-z)+z^r(z-x)(z-y) nao e negativo e so e nulo quando os 3 caras sao iguais ou dois sao iguais e outro e nulo.

Basta supor x>=y>=z>=0 e fatorar o x-y na expressao.E so analisar os sinais.E como nao percebi isso antes?Valeu Emanuel!!!!

Essa aqui eu to na viagem mas nao vejo Schur em nada.

Tome reais positivos ou nulos a,b,c,d tais que

 ab+ac+ad+bc+bd+cd+abc+abd+acd+bcd=2.

Mostre que

3(a+b+c+d)>=4(ab+ac+ad+bc+bd+cd).

Alias tem alguma sugestao para desigualdades e coisas do genero?


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Segue abaixo a solução revisada. A do item (b) continua valendo, mas seria legal se alguém conferisse. SOLUÇÃO REVISADA DE (a): Suponha que cada cartão é um subconjunto de 6 elementos de {1,2,3,...,36}. Considere os seguintes cartões: C1 = {1,2,3,4,5,6} C2 = {4,5,6,7,8,9} C3 = {1,2,3,7,8,9} C4 = {10,11,12,13,14,15} C5 = {16,17,18,19,20,21} C6 = {22,23,24,25,26,27} C7 = {25,26,27,28,29,30} C8 = {22,23,24,28,29,30} C9 = {31,32,33,34,35,36} Forme os conjuntos: A = C1 U C2 U C3 U C4 U C5 B = C6 U C7 U C8 Seja T um subconjunto qualquer de {1,2,...,36} com 6 elementos. Se T intercepta A em no máximo 3 elementos ou B em no máximo 1 elemento, então um dos cartões componentes de A ou de B é disjunto de T. Se T intercepta A em 4 ou mais elementos e B em 2 ou mais elementos, então T intercepta A em exatamente 4 elementos e B em exatamente 2 elementos ==> T é disjunto de C9. Conclusão: um destes 9 cartões é ganhador. Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Rafael" To: "OBM" Sent: Friday, January 24, 2003 7:28 PM Subject: [obm-l] olimpiada Não consigo resolver essa questão que me disseram que foi aplicada pela OBM. Se alguém souber me explicar ou se esta resposta já estiver em algum lugar da Internet que não achei, agradeceria. 5 - O cartão da "Loteria Matemática" é um tabuleiro 6 x 6. O apostador marca 6 cruzes em seis casas do cartão e envia ao concurso. O cartão oficial é publicado no jornal, com seis cruzes marcadas que indicam as seis casas perdedoras. O apostador ganha se não marcou nenhuma cruz em uma casa perdedora. a) Marcar e demonstrar que o jogador pode preencher 9 cartões de modo que pelo menos um deles seja ganhador. b) Demonstrar que 8 cartões não são suficientes para ter certeza de ganhar. E se o tabuleiro for 10 x 10. O apostador marca 20 cruzes em 20 casas do cartão e envia ao concurso. O cartão oficial é publicado no jornal, com 20 cruzes marcadas que indicam as 20 casas perdedoras. O apostador ganha se não marcou nenhuma cruz em uma casa perdedora. c) Marcar e demonstrar quantos cartões deve preencher o jogador de modo que pelo menos um deles seja ganhador. d) Demonstrar quantos cartões não são suficientes para ter certeza de ganhar. Abraços, Rafael. __________________________________________________ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail Plus - Powerful. Affordable. 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S=F3 = quis mostrar o que aconteceria se | a(1) | =3D 1. De fato, ainda n=E3o provei que a fim de que a(0) =3D 100 e a(100) =3D 0 = =E9 necess=E1rio que | a(1) | <=3D 1. Um caminho poderia ser por = absurdo, talvez separando os casos a(1) > 1 e a(1) < -1. Se eu conseguir = algo, te falo. Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Bruno Lima=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Tuesday, February 04, 2003 7:45 PM Subject: Re: [obm-l] = Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_sequ=EAncias_e_mais_sequ=EAncias Vc esta certo, mas nao entendi uma coisa, pq no final vc supos = |a1|=3D1 ?=20 Cl=E1udio_(Pr=E1tica) wrote:=20 Caro Bruno: S=F3 uma observa=E7=E3o: A solu=E7=E3o geral de uma equa=E7=E3o de recorr=EAncia linear = homog=EAnea de ordem 2 s=F3 =E9 dada pela f=F3rmula: A(n) =3D P*r^n + Q*s^n com r e s ra=EDzes do polin=F4mio caracter=EDstico (p.c.) <=3D=3D> r = e s forem distintas.=20 Com ra=EDzes iguais (a r), a solu=E7=E3o geral =E9 da forma: A(n) =3D (P + Q*n)*r^n. Al=E9m disso, r e s n=E3o precisam ser reais. Por exemplo, considere = a equa=E7=E3o de recorr=EAncia: B(n) - 2*B(n-1) + 2*B(n-2) =3D 0 com as condi=E7=F5es iniciais: = B(1) =3D 0 e B(2) =3D 4. P.C.: p(x) =3D x^2 -2*x + 2 =3D=3D> ra=EDzes: 1 + i e 1 - i = =3D=3D> B(n) =3D P*(1+i)^n + Q*(1-i)^n B(1) =3D (1+i)*P +(1-i)*Q =3D 0 e B(2) =3D 2*i*P - 2*i*Q =3D 4 = =3D=3D> =20 P =3D -1 - i e Q =3D -1 + i =3D=3D> B(n) =3D (-1-i)*(1+i)^n - = (-1+i)*(1-i)^n =3D (1-i)^(n+1) - (1+i)^(n+1) Ou seja, uma f=F3rmula envolvendo n=FAmeros complexos que s=F3 = produz n=FAmeros reais !!! A sequ=EAncia dos B(n) seria: 0, 4, 8, 8, 0, -16, -32, -32, 0, 64, = 128, 128, 0, .... Voltando ao problema original: Se A(1) =3D 1, a equa=E7=E3o seria: A(n) =3D 2*A(n-1) - A(n-2), e o polin=F4mio caracter=EDstico: x^2 - = 2x + 1 =3D 0 =3D=3D> (x-1)^2 =3D 0 =3D=3D> Solu=E7=E3o geral: A(n) =3D P + Q*n A(0) =3D 100 e A(100) =3D 0 =3D=3D> P =3D 100 e Q =3D -1 Portanto: A(n) =3D 100 - n =3D=3D> A(2003) =3D -1903. Tamb=E9m, se A(1) =3D -1, o p.c. seria p(x) =3D (x+1)^2 =3D=3D> = A(n) =3D (P + Q*n)*(-1)^n A(0) =3D 100 e A(100) =3D 0 =3D=3D> P =3D 100 e Q =3D -1 = =3D=3D> A(n) =3D (100 - n)*(-1)^n =3D=3D> A(2003) =3D 1903.=20 Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Bruno Lima=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Tuesday, February 04, 2003 9:46 AM Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_sequ=EAncias_e_mais_sequ=EAncias Sendo assim, la vai. Nao vou provar as coisas que podem ser = achadas em um livro que trate de equacoes em diferencas finitas, por = exemplo o do Elon de Algebra linear.=20 Como a equacao e de ordem 2 seu conjunto solucao e um espaco = vetorial de dimensao 2. O polinomio caracteristico da equacao e:=20 x^2-2a(1)x+1=3D0=20 Exigindo-se a existencia de solucao real, concluimos o item = a).Observe que,sendo r e s solucoes do polinomio acima. a(n)=3Dr^n e = solucao (basta substituir na equacao) a(n)=3Ds^n tambem e. Essas = solucoes sao LI logo qualquer outra solucao e da forma:=20 a(n)=3DPr^n+Qs^n, onde P,Q sao coeficientes a determinar, para = isso precisamos de duas condicoes iniciais. a(0)=3D100 ajuda, porem = a(100)=3D0, gera muita conta. Provalvemente tem alguma coisa que nao vi. = Erasmo de Souza Dias wrote:=20 valeu pela resposta mas houve um erro no enunciado...] =E9 como o Bruno disse mesmo... a(n+1)=3D2*a1*a(n)-a(n-1).. O resultado do Claudio =E9 muito bem elaborado, mas a condi=E7ao = do item (a) =E9 para esse enunciado aqui! ------------------------------------------------------------------------ Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA = pensar o Yahoo! encontra. -------------------------------------------------------------------------= - Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. 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Caro Bruno:
 
Desculpe se eu dei a impress=E3o = errada, mas eu n=E3o=20 supuz nada. S=F3 quis mostrar o que aconteceria se | a(1) | =3D = 1.
 
De fato, ainda n=E3o provei que a fim = de que a(0) =3D=20 100 e a(100) =3D 0 =E9 necess=E1rio que | a(1) | <=3D 1. Um caminho = poderia ser por=20 absurdo, talvez separando os casos a(1) > 1 e a(1) < -1. Se eu = conseguir=20 algo, te falo.
 
Um abra=E7o,
Claudio.
----- Original Message -----
From:=20 Bruno=20 Lima
Sent: Tuesday, February 04, = 2003 7:45=20 PM
Subject: Re: [obm-l]=20 Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_sequ=EAncias_e_mais_sequ=EAncias

Vc  esta certo, mas nao entendi uma coisa, pq no final vc = supos |a1|=3D1=20 ?=20

 Cl=E1udio_(Pr=E1tica) <claudio@praticacorretora.= com.br>=20 wrote:=20

Caro Bruno:
 
S=F3 uma = observa=E7=E3o:
 
A solu=E7=E3o geral de uma = equa=E7=E3o de=20 recorr=EAncia linear homog=EAnea de ordem 2 s=F3 =E9 dada pela = f=F3rmula:
A(n) =3D P*r^n + Q*s^n
com r e s ra=EDzes do polin=F4mio = caracter=EDstico=20 (p.c.) <=3D=3D> r e s forem distintas.
 
Com ra=EDzes iguais (a r), a = solu=E7=E3o geral =E9 da=20 forma:
A(n) =3D (P + = Q*n)*r^n.
 
Al=E9m disso, r e s n=E3o precisam = ser reais. Por=20 exemplo, considere a equa=E7=E3o de recorr=EAncia:
B(n) - 2*B(n-1) + 2*B(n-2) =3D = 0   com=20 as condi=E7=F5es iniciais: B(1) =3D 0 e B(2) =3D = 4.
P.C.: p(x) =3D x^2 -2*x + = 2  =3D=3D>=20 ra=EDzes: 1 + i   e  1 - i  =  =3D=3D>  B(n) =3D=20 P*(1+i)^n + Q*(1-i)^n
 
B(1) =3D (1+i)*P +(1-i)*Q =3D = 0  =20 e   B(2) =3D 2*i*P - = 2*i*Q=20 =3D 4  =3D=3D> 
P =3D -1 - i   = e   Q =3D=20 -1 + i   =3D=3D>  B(n) =3D (-1-i)*(1+i)^n - = (-1+i)*(1-i)^n =3D=20 (1-i)^(n+1) - (1+i)^(n+1)
 
Ou seja, uma f=F3rmula envolvendo = n=FAmeros=20 complexos que s=F3 produz n=FAmeros reais !!!
 
A sequ=EAncia dos B(n) seria: 0, 4, = 8, 8, 0, -16,=20 -32, -32, 0, 64, 128, 128, 0, ....
 
 
Voltando ao problema = original:
Se A(1) =3D 1, a equa=E7=E3o = seria:
A(n) =3D 2*A(n-1) - A(n-2), e o = polin=F4mio=20 caracter=EDstico: x^2 - 2x + 1 =3D 0  =3D=3D> (x-1)^2 =3D = 0 =20 =3D=3D>
Solu=E7=E3o geral: A(n) =3D P + = Q*n
 
A(0) =3D 100  e  A(100) = =3D 0 =20 =3D=3D>  P =3D 100  e  Q =3D=20 -1
Portanto: A(n) =3D 100 - n = =3D=3D> A(2003) =3D=20 -1903.
 
 
Tamb=E9m, se A(1) =3D -1, o p.c. = seria p(x) =3D=20 (x+1)^2  =3D=3D> A(n) =3D (P + Q*n)*(-1)^n
 
A(0) =3D 100  e  A(100) = =3D 0 =20 =3D=3D>  P =3D 100 e Q =3D -1  =3D=3D>  A(n) = =3D (100 -=20 n)*(-1)^n  =3D=3D> A(2003) =3D 1903.
 
 
Um abra=E7o,
 
Claudio.
 
----- Original Message ----- =
From:=20 Bruno=20 Lima
Sent: Tuesday, February 04, = 2003 9:46=20 AM
Subject: Re: [obm-l]=20 Re:_[obm-l]_sequ=EAncias_e_mais_sequ=EAncias

Sendo assim, la vai. Nao vou provar as coisas que podem ser = achadas em=20 um livro que trate de equacoes em diferencas finitas, por exemplo = o do=20 Elon de Algebra linear.=20

Como a equacao e de ordem 2 seu conjunto solucao e um = espaco=20 vetorial de dimensao 2. O polinomio caracteristico da equacao e:=20

x^2-2a(1)x+1=3D0=20

Exigindo-se a existencia de solucao real, concluimos o item = a).Observe=20 que,sendo r e s solucoes do polinomio acima. = a(n)=3Dr^n =20 e solucao (basta substituir na equacao) a(n)=3Ds^n tambem e. Essas = solucoes=20 sao LI logo qualquer outra solucao  e da forma:=20

a(n)=3DPr^n+Qs^n,=20 onde P,Q sao coeficientes a determinar, para isso precisamos de = duas=20 condicoes iniciais. a(0)=3D100 ajuda, porem a(100)=3D0, gera muita = conta.=20 Provalvemente tem alguma coisa que nao vi.=20

 Erasmo de Souza Dias = <erasmomat@yahoo.com.br>=20 wrote:=20

valeu pela resposta mas houve um erro no enunciado...]

=E9 como  o Bruno disse mesmo...

a(n+1)=3D2*a1*a(n)-a(n-1)..

O resultado do Claudio =E9 muito bem elaborado, mas a = condi=E7ao do item=20 (a) =E9 para esse enunciado aqui!

 


Busca Yahoo! =
O=20 servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA = pensar o Yahoo!=20 encontra.


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O = servi=E7o de=20 busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o Yahoo!=20 encontra. ------=_NextPart_000_01E3_01C2CC96.BB6C68C0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 4 21:01:32 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA29489 for obm-l-MTTP; Tue, 4 Feb 2003 21:00:11 -0200 Received: from bindtech.bindtech.com.br (mail.bindtech.com.br [200.230.34.1]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA29479 for ; Tue, 4 Feb 2003 21:00:07 -0200 Received: from servico2 (200.230.34.227 [200.230.34.227]) by bindtech.bindtech.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.2653.13) id 1JVV8FP6; Tue, 4 Feb 2003 21:02:06 -0300 Message-ID: <020f01c2cca9$ce14bc80$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030131135827.98017.qmail@web80312.mail.yahoo.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Domin=F3:_reformula=E7=E3o?= Date: Tue, 4 Feb 2003 22:01:55 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_020C_01C2CC99.07A96600" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 8655 Lines: 215 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_020C_01C2CC99.07A96600 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Caro Tertuliano: Se voc=EA ainda estiver interessado neste problema, talvez uma id=E9ia = que funcione seja uma simula=E7=E3o por computador. Como as regras s=E3o simples, domin=F3 deve ser um jogo que =E9 = facilmente program=E1vel. Com um pouco mais de trabalho, talvez at=E9 = d=EA pra eliminar as tais jogadas esdr=FAxulas - ou seja, al=E9m de = programar as regras, voc=EA tamb=E9m pode programar algumas t=E1ticas = b=E1sicas que evitem grandes besteiras por parte de algum jogador. Fora isso, voc=EA s=F3 precisa de um gerador de n=FAmeros aleat=F3rios = para a distribui=E7=E3o inicial de pe=E7as e deixar o program rodar N = vezes (N bem grande), contando o n=FAmero de vezes em que ocorre um = "Chico Romero"... Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Tertuliano Carneiro=20 To: Obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Friday, January 31, 2003 11:58 AM Subject: [obm-l] Domin=F3: reformula=E7=E3o Ol=E1, todos da lista! H=E1 poucos dias eu coloquei aqui na lista um problema com domin=F3, o = qual eu j=E1 imaginava q fosse dif=EDcil de resolver, visto q o m=E1ximo = q consegui foi criar uma situa=E7=E3o pouco prov=E1vel (poss=EDvel, = portanto!) em q um dos quatro jogadores ficaria sem "colar" uma pe=E7a = sequer durante a partida ("chico romero"). A saber: qual a probabilidade = de um jogador levar um "chico romero"? Na relidade, quando eu pensei no problema, supus q os jogadores n=E3o = "conhecem" as estrat=E9gias vencedoras do jogo, pois, caso contr=E1rio, = a resposta iria depender da habilidade dos jogadores e, portanto, seria = vari=E1vel. Muito embora ninguem seja obrigado a desprezar as = habilidades dos jogadores, me parece bastante razo=E1vel q coloquemos = algumas restri=E7=F5es. Suponhamos, p.ex., uma partida entre os jogadores A, B, C e D, = dispostos nesta ordem na mesa. Tomemos o jogador C como alvo do nosso = "chico romero". Supondo q C jogue depois de B, devemos considerar, para = efeitos de simplifica=E7=E3o, q B n=E3o =E9 afetado pelo fato de saber = quais pe=E7as C n=E3o possui. Isso n=E3o quer dizer, no entanto, q B = n=E3o v=E1 jogar uma pe=E7a q ele saiba previamente n=E3o pertencer a C. = Essa ser=E1 apenas uma dentre as v=E1rias possibilidades de jogadas de = B, ainda q estejamos interessados somente no fato de C n=E3o possuir a = pe=E7a jogada por B. Desse modo, acredito, n=E3o precisamos excluir as = jogadas esdr=FAxulas, como quer o Cla=FAdio. O q ir=E1 acontecer =E9 q a = probabilidade tornar-se-=E1 muito menor (na realidade, me parece ser = pequen=EDssima). =20 Em verdade, o q quero mesmo =E9 criar uma discuss=E3o acerca do = problema, ainda q n=E3o cheguemos a um resultado preciso. Falando = honestamente, acho esse problema bastante interessante (muito dif=EDcil, = tb) e gostaria de discuti-lo mais com todos da lista. Espero ter = esclarecido melhor. Um abra=E7o a todos. Tertuliano Carneiro. =20 =20 -------------------------------------------------------------------------= ----- Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas f=E1ceis de usar, espa=E7o de = sobra e acess=F3rios. ------=_NextPart_000_020C_01C2CC99.07A96600 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Caro Tertuliano:
 
Se voc=EA ainda estiver interessado = neste problema,=20 talvez uma id=E9ia que funcione seja uma simula=E7=E3o por = computador.
 
Como as regras s=E3o simples, domin=F3 = deve ser um jogo=20 que =E9 facilmente program=E1vel. Com um pouco mais de trabalho, talvez = at=E9 d=EA pra=20 eliminar as tais jogadas esdr=FAxulas - ou seja, al=E9m de programar as = regras, voc=EA=20 tamb=E9m pode programar algumas t=E1ticas b=E1sicas que evitem grandes = besteiras por=20 parte de algum jogador.
 
Fora isso, voc=EA s=F3 precisa de um = gerador de n=FAmeros=20 aleat=F3rios para a distribui=E7=E3o inicial de pe=E7as e deixar o = program rodar N vezes=20 (N bem grande), contando o n=FAmero de vezes em que ocorre um "Chico=20 Romero"...
 
Um abra=E7o,
Claudio.
----- Original Message -----
From:=20 Tertuliano=20 Carneiro
Sent: Friday, January 31, 2003 = 11:58=20 AM
Subject: [obm-l] Domin=F3:=20 reformula=E7=E3o

Ol=E1, todos da lista!

H=E1 poucos dias eu coloquei aqui na lista um problema com = domin=F3, o qual eu=20 j=E1 imaginava q fosse dif=EDcil de resolver, visto q o m=E1ximo q = consegui=20 foi criar uma situa=E7=E3o pouco prov=E1vel (poss=EDvel, = portanto!) em q=20 um dos quatro jogadores ficaria sem "colar" uma pe=E7a sequer = durante a=20 partida ("chico romero"). A saber: qual a probabilidade de um=20 jogador levar um "chico romero"?

Na relidade, quando eu pensei no problema, supus q os jogadores = n=E3o=20 "conhecem" as estrat=E9gias vencedoras do jogo, pois, caso = contr=E1rio, a resposta=20 iria depender da habilidade dos jogadores e, portanto, seria = vari=E1vel. Muito=20 embora ninguem seja obrigado a desprezar as habilidades dos = jogadores, me=20 parece bastante razo=E1vel q coloquemos algumas = restri=E7=F5es.

Suponhamos, p.ex., uma partida entre os jogadores A, B, C e=20 D, dispostos nesta ordem na mesa. Tomemos o jogador C como alvo = do nosso=20 "chico romero". Supondo q C jogue depois de B, devemos considerar, = para=20 efeitos de simplifica=E7=E3o, q B n=E3o =E9 afetado pelo fato de saber = quais pe=E7as C=20 n=E3o possui. Isso n=E3o quer dizer, no entanto, q B = n=E3o v=E1 jogar=20 uma pe=E7a q ele saiba previamente n=E3o pertencer a C. Essa = ser=E1 apenas uma=20 dentre as v=E1rias possibilidades de jogadas de B, ainda q = estejamos=20 interessados somente no fato de C n=E3o possuir a pe=E7a jogada por B. = Desse modo,=20 acredito, n=E3o precisamos excluir as jogadas esdr=FAxulas, como quer = o Cla=FAdio. O=20 q ir=E1 acontecer =E9 q a probabilidade tornar-se-=E1 muito menor = (na=20 realidade, me parece ser pequen=EDssima). 

Em verdade, o q quero mesmo =E9 criar uma = discuss=E3o acerca do=20 problema, ainda q n=E3o cheguemos a um resultado preciso. Falando = honestamente, acho esse problema bastante interessante = (muito=20 dif=EDcil, tb) e gostaria de discuti-lo mais com todos da lista. = Espero ter=20 esclarecido melhor.

 

Um abra=E7o a todos.

Tertuliano Carneiro.  

 

   


Yahoo! = GeoCities
Tudo=20 para criar o seu site: ferramentas f=E1ceis de usar, espa=E7o de sobra = e=20 acess=F3rios. ------=_NextPart_000_020C_01C2CC99.07A96600-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 00:09:41 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id AAA32389 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 00:07:53 -0200 Received: from artemis.opendf.com.br (artemis.opengate.com.br [200.181.71.15]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id AAA32384 for ; Wed, 5 Feb 2003 00:07:50 -0200 Received: from localhost (localhost [127.0.0.1]) by artemis.opendf.com.br (Postfix) with ESMTP id A88B21CAE9 for ; Wed, 5 Feb 2003 00:07:10 -0200 (EDT) Received: from artur (200-181-088-151.bsace7001.dsl.brasiltelecom.net.br [200.181.88.151]) by artemis.opendf.com.br (Postfix) with ESMTP id B69231C882 for ; Wed, 5 Feb 2003 00:07:07 -0200 (EDT) From: "Artur Costa Steiner" To: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Fun=E7=E3o_uniformemente_diferenci=E1vel?= Date: Wed, 5 Feb 2003 00:09:19 -0800 Organization: Steiner Consultoria LTDA Message-ID: <005601c2cced$e4647720$0c01a8c0@mshome.net> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook, Build 10.0.2627 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 In-Reply-To: <20030128035718.GA2812@darkstar.leitner.homeip.net> Importance: Normal X-Virus-Scanned: by AMaViS new-20020517 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id AAA32386 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1582 Lines: 31 Aos amigos que curtem Análise Real proponho o seguinte problema, que acho bastante interessante. Antes, porém, lembro o conceito não muito difundido de função uniformemente diferenciável. Dizemos que f é uniformemente diferenciável em um intervalo I se, dado qualquer eps>0, existir d>0 tal que, se x e y estiverem em I e se 0 < |x-y| < d, então |[f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(x)|< eps. Observamos aqui a similaridade com continuidade uniforme. O delta depende apenas do eps, vale dizer, um mesmo delta é bom para todos os elementos do intervalo. Mostre que f uniformemnte diferenciável em um intervalo I se, e somente se, f' for uniformemente contínua em I. Ah, outra conclusão simples mas interessante. Mostre que se f for diferenciável em I, então f' é limitada em I se, e somente se, f satisfizer neste intervalo à condicão de Lipschitz. Lembro que f satisfaz à condicão de Lipschitz em I se existir uma constante K>0 tal que |f(x) - f(y)| <= K |x-y| para todos x e y em I. Ah, para terminar, espero não estar sendo chato... É imediato que se f satisfizer à condicão de Lipschitz em I então f é uniformemente contínua em I. Basta fazer delta = eps/K. Mas a recíproca não é verdadeira. Um contra exemplo interessante é f(x) = raiz(x) em [0, 1]. Abraços. Artur ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 03:04:54 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id CAA02075 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 02:57:05 -0200 Received: from smtp-30.ig.com.br (smtp-30.ig.com.br [200.226.132.180]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id CAA02061 for ; Wed, 5 Feb 2003 02:56:56 -0200 Received: (qmail 8477 invoked from network); 5 Feb 2003 04:56:05 -0000 Received: from shasta055134.ig.com.br (HELO jat) (200.151.55.134) by smtp-30.ig.com.br with SMTP; 5 Feb 2003 04:56:05 -0000 Message-ID: <005401c2ccd2$e4d10fe0$863797c8@jat> From: "Jose Augusto" To: References: <003c01c2c8da$226ba1a0$9c1997c8@jat> <20030131142556.C29756@sucuri.mat.puc-rio.br> <001101c2c948$95bcc580$0203a8c0@CemagCerver> Subject: HEHE = Re: [obm-l] nao estao chegando e-mails!!! Date: Wed, 5 Feb 2003 02:55:13 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4133.2400 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2364 Lines: 62 Pra vcs terem ideia , eu nem sabia q a msg do nicolau tinha sido enviada .... talvez ela chegue aqui daqui alguns dias ... Eu tinha olhado na pagina do arquivo e tive certeza de que muitos emails eu nao tinha recebido ! As vezes alguns estao chegando aqui fora de ordem e deveras atrasado ! heheh .... Jose Augusto Tavares ----- Original Message ----- From: "Davidson Estanislau" To: Sent: Friday, January 31, 2003 2:48 PM Subject: Re: [obm-l] nao estao chegando e-mails!!! > > Estou recebendo normalmente. > > Davidson Estanislau > > > -----Mensagem Original----- > De: "Nicolau C. Saldanha" > Para: > Enviada em: Sexta-feira, 31 de Janeiro de 2003 14:25 > Assunto: Re: [obm-l] nao estao chegando e-mails!!! > > > > On Fri, Jan 31, 2003 at 01:37:48AM -0200, Jose Augusto wrote: > > > Nao sei se eh so comigo ... mas há e-mails que chegam so a resposta ( e > por > > > sorte as vezes sao reply, dando pra ver a pergunta) ... mas as vezes so > a > > > resposta da resposta ... esta havendo algum problema ???? > > > > Não que eu saiba. Alguém mais tem notado algo de anormal? > > Pq você não dá uma olhada nos arquivos para ver se existem > > mensagens lá que você não recebeu? > > > > []s, N. > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > O administrador desta lista é > > ========================================================================= > > > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 09:14:10 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA05963 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 09:08:25 -0200 Received: from aacpdlotus.net.ms.gov.br (ns1.ms.gov.br [200.181.116.3]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id JAA05958 for ; Wed, 5 Feb 2003 09:08:21 -0200 From: JoaoCarlos_Junior@net.ms.gov.br Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Determinantes e =?iso-8859-1?Q?Permuta=E7=F5es_pares_e_=EDmpares_?= To: obm-l@mat.puc-rio.br X-Mailer: Lotus Notes Release 5.0.9a January 7, 2002 Message-ID: Date: Wed, 5 Feb 2003 07:10:34 -0400 X-MIMETrack: Serialize by Router on aacpdlotus/NETMS(Release 5.0.9a |January 7, 2002) at 02/05/2003 08:11:17 AM MIME-Version: 1.0 Content-type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id JAA05959 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 4586 Lines: 110 "Cláudio \(Prática\)" ora.com.br> cc: Enviado Por: Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Determinantes e Permutações owner-obm-l@sucuri.mat pares e ímpares .puc-rio.br 04/02/2003 06:12 Favor responder a obm-l Querido Cláudio, Obrigado! Com sinceridade, obrigado! O conhecimento real, presente, é o que possuímos, fora isto, estamos no passado. Por isso, agradeço sua colaboração, com a qual atualizo-me e avanço. Cláudio, não sei a definição de permutações pares e ímpares, não sei quando o sinal ? sgn(p) - será positivo ou negativo. Desta forma, gostaria de receber mais de suas belas explicações. Desde já, muito grato, João Carlos. Caro João Carlos: A fórmula geral para o determinante de uma matriz A (n x n) é a seguinte: det(A) = SOMATÓRIO sgn(p) * A(1,p(1)) * A(2,p(2)) * ... * A(n,p(n)) p em Sn onde A(i,j) é o elemento da linha i e coluna j, sgn(p) = sinal da permutação "p" (+1 se p é par, -1 se p é ímopar) e onde a soma é tomada sobre cada permutação p dos números 1, 2, ..., n (o conjunto de todas estas permutações é comumente denominado Sn) ou seja, é uma soma de n! termos, cada um deles igual ao produto de n elementos da matriz. Assim, para n >= 4 esta fórmula, apesar de correta (é, de fato, a definição de determinante) é muito trabalhosa de se aplicar. No entanto, existem alguns teoremas sobre determinantes - tais como expansão de Laplace ou sobre o efeito de operações elementares com linhas e colunas - que permitem que você reduza o problema ao cálculo de determinantes de ordem menor. O que deve estar acontecendo é que, com n >= 4, o número de termos é >= 24 e talvez você esteja esquecendo algum termo ou trocando algum sinal. Espero que isso ajude. Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: To: Sent: Monday, February 03, 2003 4:08 PM Subject: [obm-l] Determinantes e Permutações pares e ímpares No volume 3, A Matemática do Ensino Médio da SBM, p. 137, há regra de cálculo determinantes por meio de permutações pares e ímpares. Porém, não estou conseguindo aplicá-la para matrizes quadradas de ordem maior ou igual a 4. Expliquem-me. ATT. João Carlos ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 10:23:14 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA07126 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 10:21:36 -0200 Received: from hotmail.com (f24.sea2.hotmail.com [207.68.165.24]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id KAA07122 for ; Wed, 5 Feb 2003 10:21:33 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Wed, 5 Feb 2003 04:21:01 -0800 Received: from 200.216.62.82 by sea2fd.sea2.hotmail.msn.com with HTTP; Wed, 05 Feb 2003 12:21:01 GMT X-Originating-IP: [200.216.62.82] From: "Paulo Santa Rita" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?B?UmU6IFtvYm0tbF0gRnVu5+NvIEl0ZXJhZGE=?= Date: Wed, 05 Feb 2003 12:21:01 +0000 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 05 Feb 2003 12:21:01.0877 (UTC) FILETIME=[0BF88650:01C2CD11] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2304 Lines: 70 Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, Eu vou encontrar o problema e a minha solucao enviarei novamente para esta lista. Talvez, por te-lo reconstituido de memoria, eu tenha colocado uma composicao a mais - deve ser so f(n), f(f(N)) e f(f(f(N)))- no enunciado abaixo. Peco desculpas a todos. Um Abraco Paulo Santa Rita 4,1016,050203 OBS : Nao vi o problema. Mais tarde, quando estiver com mais tempo, eu vou dar uma olhada e envio a solucao. >From: "Cláudio \(Prática\)" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: >Subject: [obm-l] Função Iterada >Date: Tue, 4 Feb 2003 20:35:22 -0200 > >Caro Paulo: > >Acho que o enunciado abaixo não está correto, pois encontrei um >contra-exemplo: N = 4 > >"Seja f(x)=x^2 + x + 1. Prove que para todo numero natural N > 1, os >numeros >f(N), f(f(N)), f(f(f(N))), f(f(f(f(N)))), ... sao dois a dois primos entre >si." > >N = 4 ==> >f(4) = 4^2 + 4 + 1 = 21 ==> >f(f(4)) = 21^2 + 21 + 1 = 463 ==> >f(f(f(4))) = 463^2 + 463 + 1 = 214.833 > >Mas MDC( f(4) , f(f(f(4))) ) = MDC( 21, 214.833 ) = 3 > >************ > >Você chegou a olhar o problema da Loteria Matemática? >Escolha 9 subconjuntos de 6 elementos de {1, 2, ..., 36 } tais que, >qualquer >que seja T - subconjunto de 6 elementos de { 1, 2, ..., 36 } - a interseção >de T com pelo menos um dos 9 subconjuntos escolhidos é vazia. > >Eu achei que tinha resolvido, mas descobri um furo na minha solução. > >************ > >Um abraço, >Claudio. > > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= _________________________________________________________________ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 12:29:14 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA10087 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 12:27:10 -0200 Received: from mail.ccet.ufrn.br (venus.ccet.ufrn.br [200.19.174.45]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA10083 for ; Wed, 5 Feb 2003 12:27:07 -0200 Received: from scheelita (schelita.ccet.ufrn.br [10.9.0.137]) by mail.ccet.ufrn.br (Postfix) with SMTP id 83598144D4 for ; Wed, 5 Feb 2003 11:26:35 -0300 (GMT+3) Message-ID: <006901c2cd19$f8e79c00$8900090a@cceta.ufrn.br> From: "bene" To: References: <00bf01c2000d$a37abce0$5400a8c0@ensrbr> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Nova_P=E1gina?= Date: Wed, 5 Feb 2003 11:24:55 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2306 Lines: 85 Prezado Luís Lopes, Veja a nova página (ainda em estruturação) da Olimpíada de Matemática do Rio Grande do Norte: www.ufrn.br/olimpiada Na seção "Bibliografia" você encontrará um livro "muito familiar". Benedito ----- Original Message ----- From: Luis Lopes To: Sent: Monday, May 20, 2002 12:50 PM Subject: [obm-l] A property of X55 and X56 Sauda,c~oes, A CRUX tem alguns arquivos públicos. Ir no site http://journals.cms.math.ca/cgi- bin/vault/public/view/CRUXv23n3/body/HTML/187?template=CRUX []'s Luis >From: "yiuatfauedu" >Reply-To: Hyacinthos@yahoogroups.com >To: Hyacinthos@yahoogroups.com >Subject: [EMHL] Re: A property of X55 and X56 >Date: Thu, 16 May 2002 22:33:47 -0000 > > >Dear Gilles and Edward: > >This was Problem 2137 of Crux Mathematicorum: > >http://journals.cms.math.ca/cgi- >bin/vault/public/view/CRUXv23n3/body/HTML/187?template=CRUX >Best regards >Sincerely >Paul > >--- In Hyacinthos@y..., Gilles Boutte wrote: > > Dear all Hyacinthists, > > > > Edward Brisse and I worked on the following problem: > > > > Let Ca, Cb, Cc be 3 circles, with the same radius, Ca tangent to AB >and > > AC, Cb tangent to BC and BA, Cc tangent to CA and CB. > > > > There are two such triad, for which the 3 circles are concurrent, >in X55 > > and X56 respectively. > > > > This result is knowm as "Berzsenyi Triple Circle Concurrency". > > > > We wrote a short note (in French) on this subject. You can download >it > > at http://g.boutte.free.fr/articles/020516.pdf > > > > Would anybody have references to supply us on this problem? > > > > Best regards, > > > > Gilles Boutte > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 13:17:03 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA11403 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 13:15:31 -0200 Received: from hotmail.com (f124.law15.hotmail.com [64.4.23.124]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA11399 for ; Wed, 5 Feb 2003 13:15:27 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Wed, 5 Feb 2003 07:14:47 -0800 Received: from 200.206.103.3 by lw15fd.law15.hotmail.msn.com with HTTP; Wed, 05 Feb 2003 15:14:47 GMT X-Originating-IP: [200.206.103.3] From: "RICARDO CHAVES" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?B?UmU6IFtvYm0tbF0gUmU6IFtvYm0tbF0gRGV0ZXJtaW5hbnRlcyBlIFBl?= =?iso-8859-1?B?cm11dGHn9WVzIHBhcmVzIGUg7W1wYXJlcw==?= Date: Wed, 05 Feb 2003 15:14:47 +0000 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 05 Feb 2003 15:14:47.0670 (UTC) FILETIME=[523A4960:01C2CD29] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 6006 Lines: 125

Esse tal de signum da permutaçao e voce fazer o produtorio

>From: JoaoCarlos_Junior@net.ms.gov.br
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Determinantes e Permutações pares e ímpares
>Date: Wed, 5 Feb 2003 07:10:34 -0400
>
>
> "Cláudio \(Prática\)"
>
> ora.com.br> cc:
> Enviado Por: Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Determinantes e Permutações
> owner-obm-l@sucuri.mat pares e ímpares
> .puc-rio.br
>
>
> 04/02/2003 06:12
> Favor responder a
> obm-l
>
>
>
>
>
>
>
>
> Querido Cláudio,
>
>
>
> Obrigado! Com sinceridade, obrigado! O conhecimento real, presente, é
>
> o que possuímos, fora isto, estamos no passado. Por isso, agradeço sua
>
> colaboração, com a qual atualizo-me e avanço.
>
> Cláudio, não sei a definição de permutações pares e ímpares, não sei
>
> quando o sinal ? sgn(p) - será positivo ou negativo.
>
> Desta forma, gostaria de receber mais de suas belas explicações.
>
> Desde já, muito grato, João Carlos.

> O signum e uma especie de produtorio com uns termos do tipo p(x)-p(y)/x-y .

>
>
>Caro João Carlos:
>
>A fórmula geral para o determinante de uma matriz A (n x n) é a seguinte:
>
>det(A) = SOMATÓRIO sgn(p) * A(1,p(1)) * A(2,p(2)) * ... * A(n,p(n))
> p em Sn
>
>onde A(i,j) é o elemento da linha i e coluna j, sgn(p) = sinal da
>permutação
>"p" (+1 se p é par, -1 se p
>é ímopar) e onde a soma é tomada sobre cada permutação p dos números 1, 2,
>..., n (o conjunto de todas estas permutações é comumente denominado Sn)
>ou
>seja, é uma soma de n! termos, cada um deles igual ao produto de n
>elementos
>da matriz.
>
>Assim, para n >= 4 esta fórmula, apesar de correta (é, de fato, a definição
>de determinante) é muito trabalhosa de se aplicar. No entanto, existem
>alguns teoremas sobre determinantes - tais como expansão de Laplace ou
>sobre
>o efeito de operações elementares com linhas e colunas - que permitem que
>você reduza o problema ao cálculo de determinantes de ordem menor.
>
>O que deve estar acontecendo é que, com n >= 4, o número de termos é >= 24
>e
>talvez você esteja esquecendo algum termo ou trocando algum sinal.
>
>Espero que isso ajude.
>
>Um abraço,
>Claudio.
>
>
>----- Original Message -----
>From:
>To:
>Sent: Monday, February 03, 2003 4:08 PM
>Subject: [obm-l] Determinantes e Permutações pares e ímpares
>
>
>No volume 3, A Matemática do Ensino Médio da SBM, p. 137, há regra de
>cálculo determinantes por meio de permutações pares e ímpares. Porém, não
>estou conseguindo aplicá-la para matrizes quadradas de ordem maior ou igual
>a 4. Expliquem-me.
>
>
> ATT. João Carlos
>
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Uma laranja pode ser considerada uma esfera de raio R, composta de 12 go= mos exatamente "iguais". A =E1rea da superf=EDcie total de cada gomo =E9 dad= a por:

resp: (4*pi*R^2)/3
Obs: A resposta n=E3o seria  (pi*R^2)/3 ? Pois se h=E1 12 gomos ent= =E3o a =E1rea superficial de casa gomo =E9 igual a (=E1rea superficial total= da esfera)/(12). Ser=E1 que o gabarito est=E1 errado novamente?
--part1_78.376c831e.2b728704_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 13:29:12 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA11706 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 13:27:38 -0200 Received: from imo-r10.mx.aol.com (imo-r10.mx.aol.com [152.163.225.106]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA11702 for ; Wed, 5 Feb 2003 13:27:34 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-r10.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.122.1e65f141 (4410) for ; Wed, 5 Feb 2003 10:26:54 -0500 (EST) Message-ID: <122.1e65f141.2b72873e@aol.com> Date: Wed, 5 Feb 2003 10:26:54 EST Subject: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?an=E1lise=20de=20sinais=20(fun=E7=F5es)?= To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_122.1e65f141.2b72873e_boundary" X-Mailer: AOL 6.0 for Windows BR sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1611 Lines: 47 --part1_122.1e65f141.2b72873e_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable (FUVEST) Resolva 2x - 3 + 5*[(1/x) + 1] <=3D1 resp:{x e R| x<0} Obs: Eu tentei resolver mas n=E3o cheguei neste resultado, vejam minha=20 resolu=E7=E3o e me digam onde errei: 2x-3+(5/x)+5<=3D1 2x-3+(5/x)+5-1<=3D0 2x^2 -3x + 5 + 4x <=3D0 (Nesta etapa eu multipliquei por x) 2x^2 + x + 5<=3D0 A partir disso percebe-se que delta =E9 igual -39, portanto n=E3o h=E1 ra= =EDzes reais=20 e a resposta n=E3o pode ser :{x e R| x<0}. --part1_122.1e65f141.2b72873e_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable (FUVEST) Resolva 2x - 3 += 5*[(1/x) + 1] <=3D1

resp:{x e R| x<0}

Obs: Eu tentei resolver mas n=E3o cheguei neste resultado, vejam minha r= esolu=E7=E3o e me digam onde errei:
2x-3+(5/x)+5<=3D1
2x-3+(5/x)+5-1<=3D0
2x^2 -3x + 5 + 4x <=3D0 (Nesta etapa eu multipliquei por x)
2x^2 + x + 5<=3D0
A partir disso percebe-se que delta =E9 igual -39, portanto n=E3o h=E1 r= a=EDzes reais e a resposta n=E3o pode ser :{x e R| x<0}.

--part1_122.1e65f141.2b72873e_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 13:30:21 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA11779 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 13:29:00 -0200 Received: from imo-m09.mx.aol.com (imo-m09.mx.aol.com [64.12.136.164]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA11771 for ; Wed, 5 Feb 2003 13:28:56 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-m09.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.bf.2db91f20 (4410) for ; Wed, 5 Feb 2003 10:28:19 -0500 (EST) Message-ID: Date: Wed, 5 Feb 2003 10:28:19 EST Subject: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?trigonometria=20(transforma=E7=E3o=20de=20arcos)?= To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_bf.2db91f20.2b728793_boundary" X-Mailer: AOL 6.0 for Windows BR sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1097 Lines: 33 --part1_bf.2db91f20.2b728793_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable (UECE) Se P=3D [(sen 40=BA)/(sen 20=BA)] - [(cos 40=BA)/(cos 20=BA)], ent= =E3o p^2 - 1 =E9=20 igual: Resp: cotg^2 (20=BA) Obs: Ser=E1 que o resultado n=E3o =E9 tg^2 (20=BA)? ICQ: 337140512 --part1_bf.2db91f20.2b728793_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable (UECE) Se  P=3D [(se= n 40=BA)/(sen 20=BA)] - [(cos 40=BA)/(cos 20=BA)], ent=E3o p^2 - 1 =E9 igual= :
Resp: cotg^2 (20=BA)

Obs: Ser=E1 que o resultado n=E3o =E9 tg^2 (20=BA)?

ICQ: 337140512 --part1_bf.2db91f20.2b728793_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 14:04:54 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA13834 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 14:03:17 -0200 Received: from ivoti.terra.com.br (ivoti.terra.com.br [200.176.3.20]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA13818 for ; Wed, 5 Feb 2003 14:03:11 -0200 Received: from botucatu.terra.com.br (botucatu.terra.com.br [200.176.3.78]) by ivoti.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 18EE3409920 for ; Wed, 5 Feb 2003 14:02:40 -0200 (BRST) Received: from stabel (200-180-165-196.paemt7002.dsl.brasiltelecom.net.br [200.180.165.196]) (authenticated user dudasta) by botucatu.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 8553C29C0BD for ; Wed, 5 Feb 2003 14:02:39 -0200 (BRST) Message-ID: <002f01c2cd38$657786f0$0301a8c0@stabel> From: "Eduardo Casagrande Stabel" To: References: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Re:_=5Bobm-l=5D_Re:_=5Bobm-l=5D_Determ?= =?iso-8859-1?Q?inantes_e_Permuta=E7=F5es_pares_e_=EDmpares?= Date: Wed, 5 Feb 2003 14:02:42 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2720.3000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 6516 Lines: 186 Olá Ricardo e demais participantes desta discussão! Considere o conjunto de todas as permutações de (1234): (1243), (3214), ... cada permutação dessas pode ser representada com uma bijeção f:{1,2,3,4}->{1,2,3,4}. Por exemplo, em (1243) a função seria f(1)=1, f(2)=2, f(3)=4, f(4)=3. Pode-se pensar, então, em construir uma operação com as permutações, através da composição de funções. Vou dar um exemplo (1243) é representado por f(1)=1, f(2)=2, f(3)=4, f(4)=3 (3214) é representado por g(1)=3, g(2)=2, g(3)=1, g(4)=4 (1243) * (3241) é representado pela composta h = f o g, h(1)=4, h(2)=2, h(3)=1, h(4)=3 portanto (1243) * (3241) = (4213) Das operações tradicionais com funções, se conclui que "*" é associativa a*(b*c)=(a*b)*c, não é em geral comutativa, se considerarmos identidade = i = (1234) temos a * i = i * a = a para todo a e toda permutação tem uma inversa a^(-1) tal que a * a^(-1) = a^(-1) * a = i. Vamos definir uma função N:permutações->naturais que conta numa determinada permutação p, quantos são os pares de números da esquerda para a direita na permutação estão com o primeiro elemento maior. Em (1234) temos cada par na ordem certa, portanto N(1234)=0. Em (3241), temos os pares (32), (31), (21), (41) com o primeiro elemento maior portanto N(3241)=4. Agora temos um resultado que é simples LEMA. Cada vez que trocamos dois números de posição numa permutação p e obtemos uma nova permutação p', o número N(p)-N(p') é ímpar. (por exemplo, de p=(1234) com N(p) = 0 substituinto 1 e 3, obtemos p'=(3214) com N(p')=3) Com base neste lema fazemos a seguinte definição, que é consistente DEFINIÇÃO. Dizemos que uma permutação p é PAR (ÍMPAR) se a quantidade de trocas que se precisa fazer com seus elementos para se chegar à i = identidade é PAR (ÍMPAR). Ou o que é no mesmo, p é PAR (ÍMPAR) se N(p) é um número PAR (ÍMPAR). O sgn(p) = 1 se p é PAR e -1 se p é ÍMPAR. Pode-se mostrar que para cada permutação p, existe uma matriz M (reordenação das colunas da identidade) que seu efeito sobre um vetor da base canônica é o mesmo que de p sobre o seu índice M(e_i) = e_(f(i)) onde f é a função associada a p, e que det(M) = sgn(p). A composição de matrizes se relaciona com a composição de funções, e daí sgn(a*b)=sgn(a)*sgn(b). Espero ter ajudado! Eduardo. From: RICARDO CHAVES Esse tal de signum da permutaçao e voce fazer o produtorio >From: JoaoCarlos_Junior@net.ms.gov.br >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: obm-l@mat.puc-rio.br >Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Determinantes e Permutações pares e ímpares >Date: Wed, 5 Feb 2003 07:10:34 -0400 > > > "Cláudio \(Prática\)" > > ora.com.br> cc: > Enviado Por: Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Determinantes e Permutações > owner-obm-l@sucuri.mat pares e ímpares > .puc-rio.br > > > 04/02/2003 06:12 > Favor responder a > obm-l > > > > > > > > > Querido Cláudio, > > > > Obrigado! Com sinceridade, obrigado! O conhecimento real, presente, é > > o que possuímos, fora isto, estamos no passado. Por isso, agradeço sua > > colaboração, com a qual atualizo-me e avanço. > > Cláudio, não sei a definição de permutações pares e ímpares, não sei > > quando o sinal ? sgn(p) - será positivo ou negativo. > > Desta forma, gostaria de receber mais de suas belas explicações. > > Desde já, muito grato, João Carlos. > O signum e uma especie de produtorio com uns termos do tipo p(x)-p(y)/x-y . > > >Caro João Carlos: > >A fórmula geral para o determinante de uma matriz A (n x n) é a seguinte: > >det(A) = SOMATÓRIO sgn(p) * A(1,p(1)) * A(2,p(2)) * ... * A(n,p(n)) > p em Sn > >onde A(i,j) é o elemento da linha i e coluna j, sgn(p) = sinal da >permutação >"p" (+1 se p é par, -1 se p >é ímopar) e onde a soma é tomada sobre cada permutação p dos números 1, 2, >..., n (o conjunto de todas estas permutações é comumente denominado Sn) >ou >seja, é uma soma de n! termos, cada um deles igual ao produto de n >elementos >da matriz. > >Assim, para n >= 4 esta fórmula, apesar de correta (é, de fato, a definição >de determinante) é muito trabalhosa de se aplicar. No entanto, existem >alguns teoremas sobre determinantes - tais como expansão de Laplace ou >sobre >o efeito de operações elementares com linhas e colunas - que permitem que >você reduza o problema ao cálculo de determinantes de ordem menor. > >O que deve estar acontecendo é que, com n >= 4, o número de termos é >= 24 >e >talvez você esteja esquecendo algum termo ou trocando algum sinal. > >Espero que isso ajude. > >Um abraço, >Claudio. > > >----- Original Message ----- >From: >To: >Sent: Monday, February 03, 2003 4:08 PM >Subject: [obm-l] Determinantes e Permutações pares e ímpares > > >No volume 3, A Matemática do Ensino Médio da SBM, p. 137, há regra de >cálculo determinantes por meio de permutações pares e ímpares. Porém, não >estou conseguindo aplicá-la para matrizes quadradas de ordem maior ou igual >a 4. Expliquem-me. > > > ATT. João Carlos > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= > > > > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. 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Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] geometria espacial Message-ID: <20030205141929.C14243@sucuri.mat.puc-rio.br> References: <78.376c831e.2b728704@aol.com> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Disposition: inline Content-Transfer-Encoding: 8bit User-Agent: Mutt/1.2.5i In-Reply-To: <78.376c831e.2b728704@aol.com>; from Faelccmm@aol.com on Wed, Feb 05, 2003 at 10:25:56AM -0500 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 927 Lines: 21 On Wed, Feb 05, 2003 at 10:25:56AM -0500, Faelccmm@aol.com wrote: > Oá pessoal, > > Uma laranja pode ser considerada uma esfera de raio R, composta de 12 gomos > exatamente "iguais". A área da superfície total de cada gomo é dada por: > > resp: (4*pi*R^2)/3 > Obs: A resposta não seria (pi*R^2)/3 ? Pois se há 12 gomos então a área > superficial de casa gomo é igual a (área superficial total da esfera)/(12). > Será que o gabarito está errado novamente? > Você precisa contar também a área dos dois semicírculos onde um gomo encosta em outro e com isso você chega na resposta do gabarito. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 14:46:55 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA15821 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 14:44:40 -0200 Received: from web41510.mail.yahoo.com (web41510.mail.yahoo.com [66.218.93.93]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id OAA15812 for ; Wed, 5 Feb 2003 14:44:36 -0200 Message-ID: <20030205164404.54052.qmail@web41510.mail.yahoo.com> Received: from [200.217.45.215] by web41510.mail.yahoo.com via HTTP; Wed, 05 Feb 2003 13:44:04 ART Date: Wed, 5 Feb 2003 13:44:04 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?elton=20francisco=20ferreira?= Subject: [obm-l] Remador To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 880 Lines: 23 Um remador, remando contra a correnteza de um rio, a cada 100m de um percurso retilínio dá um parada para descansar, e acaba retornando 20m levados pela correnteza. Se gasta 30s para cada 10m remados e 1 min para descanso, mantendo esse ritmo até o final, em quanto tempo atingirá a marca dos 1700m remados? a) 1h e 36min b) 1h e 46min c) 1h e 50min d) 2h e 5min e) 2h e 25min _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 15:09:46 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA16746 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 15:08:09 -0200 Received: from bindtech.bindtech.com.br (mail.bindtech.com.br [200.230.34.1]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA16741 for ; Wed, 5 Feb 2003 15:08:06 -0200 Received: from servico2 (200.230.34.228 [200.230.34.228]) by bindtech.bindtech.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.2653.13) id 1LR9NB5R; Wed, 5 Feb 2003 15:11:04 -0300 Message-ID: <001c01c2cd41$ca49d5c0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Permuta=E7=F5es_pares_e_=EDmpares_?= Date: Wed, 5 Feb 2003 16:09:49 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1930 Lines: 57 Caro João Carlos: Uma explicação simplista seria a seguinte: Considere o conjunto In = {1,2,3,...,n} Uma permutação de In nada mais é do que uma bijeção de In em In. No entanto, do ponto de vista notacional, é conveniente representar uma permutação como sendo uma matriz 2 x n, onde a primeira linha é: 1 2 3 4 ... n-1 n e a segunda linha, a permutação desejada dos elementos de In, tal como por exemplo: 2 3 1 4 ... n-1 n (ou seja, uma permutação que leva 1 em 2, 2 em 3, 3 em 1, e fixa os demais elementos de In) A fim de verificar a paridade da permutação, você só precisa "ligar pontos", ou seja, traçar n linhas ligando números iguais nas linhas superior e inferior (de forma que no máximo duas das linhas traçadas se interceptem num mesmo ponto). Se o número de pontos de interseção for par, a permutação será par, caso contrário será ímpar. Assim, a permutação do exemplo é par (2 pontos de interseçao: 1-1 com 2-2, e 1-1 com 3-3). Outros exemplos (em I5): 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 ==> 10 pontos de interseção ==> PAR 1 2 3 4 5 2 3 1 5 4 ==> 3 pontos de interseção ==> ÍMPAR 1 2 3 4 5 5 1 2 4 3 ==> 5 pontos de interseção ==> ÍMPAR Uma explicação mais detalhada deverá envolver alguns conceitos simples tais como ciclos e transposições. Por exemplo, você pode dar uma olhada em http://www.fc.up.pt/mp/clomp/chapter4.pdf - um arquivo pdf que trata disso tudo. Existem várias outras referências on-line, mas são em inglês. Se você quiser eu posso te indicar. Espero ter ajudado. Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 15:12:37 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA16896 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 15:11:11 -0200 Received: from bindtech.bindtech.com.br (mail.bindtech.com.br [200.230.34.1]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA16891 for ; Wed, 5 Feb 2003 15:11:07 -0200 Received: from servico2 (200.230.34.227 [200.230.34.227]) by bindtech.bindtech.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.2653.13) id 1LR9NB6F; Wed, 5 Feb 2003 15:14:06 -0300 Message-ID: <003a01c2cd42$3673f5a0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <78.376c831e.2b728704@aol.com> Subject: Re: [obm-l] geometria espacial Date: Wed, 5 Feb 2003 16:12:53 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0033_01C2CD31.700A25C0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 3190 Lines: 86 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0033_01C2CD31.700A25C0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable =C1rea do Gomo =3D 1/12 da =C1rea da Esfera + 2 * =C1rea do = Semic=EDrculo =3D 1/12 * 4*Pi*R^2 + 2 * Pi*R^2/2 =3D 4/3 * Pi*R^2 ----- Original Message -----=20 From: Faelccmm@aol.com=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Wednesday, February 05, 2003 1:25 PM Subject: [obm-l] geometria espacial O=E1 pessoal,=20 Uma laranja pode ser considerada uma esfera de raio R, composta de 12 = gomos exatamente "iguais". A =E1rea da superf=EDcie total de cada gomo = =E9 dada por:=20 resp: (4*pi*R^2)/3=20 Obs: A resposta n=E3o seria (pi*R^2)/3 ? Pois se h=E1 12 gomos = ent=E3o a =E1rea superficial de casa gomo =E9 igual a (=E1rea = superficial total da esfera)/(12). Ser=E1 que o gabarito est=E1 errado = novamente?=20 ------=_NextPart_000_0033_01C2CD31.700A25C0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
=C1rea do Gomo =3D 1/12 da =C1rea da = Esfera =20 +  2 * =C1rea do Semic=EDrculo =3D 1/12 * 4*Pi*R^2 + 2 * = Pi*R^2/2 =3D 4/3 *=20 Pi*R^2
----- Original Message -----
From:=20 Faelccmm@aol.com=20
Sent: Wednesday, February 05, = 2003 1:25=20 PM
Subject: [obm-l] geometria = espacial

O=E1 = pessoal,

Uma=20 laranja pode ser considerada uma esfera de raio R, composta de 12 = gomos=20 exatamente "iguais". A =E1rea da superf=EDcie total de cada gomo =E9 = dada por:=20

resp: (4*pi*R^2)/3
Obs: A resposta n=E3o seria =  (pi*R^2)/3 ?=20 Pois se h=E1 12 gomos ent=E3o a =E1rea superficial de casa gomo =E9 = igual a (=E1rea=20 superficial total da esfera)/(12). Ser=E1 que o gabarito est=E1 errado = novamente?=20
------=_NextPart_000_0033_01C2CD31.700A25C0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 15:13:58 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA16987 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 15:12:38 -0200 Received: from bindtech.bindtech.com.br (mail.bindtech.com.br [200.230.34.1]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA16976 for ; Wed, 5 Feb 2003 15:12:34 -0200 Received: from servico2 (200.230.34.227 [200.230.34.227]) by bindtech.bindtech.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.2653.13) id 1LR9NB6H; Wed, 5 Feb 2003 15:15:35 -0300 Message-ID: <004501c2cd42$6b95a4e0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <122.1e65f141.2b72873e@aol.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_an=E1lise_de_sinais_=28fun=E7=F5es=29?= Date: Wed, 5 Feb 2003 16:14:20 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_003E_01C2CD31.A3A9C8E0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 3324 Lines: 90 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_003E_01C2CD31.A3A9C8E0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Quando voc=EA multiplicou por x, voc=EA deveria ter separado os casos x = > 0 e x < 0. No segundo caso, a desiguladade muda de sentido. ----- Original Message -----=20 From: Faelccmm@aol.com=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Wednesday, February 05, 2003 1:26 PM Subject: [obm-l] an=E1lise de sinais (fun=E7=F5es) (FUVEST) Resolva 2x - 3 + 5*[(1/x) + 1] <=3D1=20 resp:{x e R| x<0}=20 Obs: Eu tentei resolver mas n=E3o cheguei neste resultado, vejam minha = resolu=E7=E3o e me digam onde errei:=20 2x-3+(5/x)+5<=3D1=20 2x-3+(5/x)+5-1<=3D0=20 2x^2 -3x + 5 + 4x <=3D0 (Nesta etapa eu multipliquei por x)=20 2x^2 + x + 5<=3D0=20 A partir disso percebe-se que delta =E9 igual -39, portanto n=E3o h=E1 = ra=EDzes reais e a resposta n=E3o pode ser :{x e R| x<0}.=20 ------=_NextPart_000_003E_01C2CD31.A3A9C8E0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Quando voc=EA multiplicou por x, voc=EA = deveria ter=20 separado os casos x > 0 e x < 0. No segundo caso, a desiguladade = muda de=20 sentido.
----- Original Message -----
From:=20 Faelccmm@aol.com=20
Sent: Wednesday, February 05, = 2003 1:26=20 PM
Subject: [obm-l] an=E1lise de = sinais=20 (fun=E7=F5es)

(FUVEST) = Resolva 2x - 3=20 + 5*[(1/x) + 1] <=3D1

resp:{x e R| x<0}

Obs: Eu = tentei=20 resolver mas n=E3o cheguei neste resultado, vejam minha resolu=E7=E3o = e me digam=20 onde errei:
2x-3+(5/x)+5<=3D1
2x-3+(5/x)+5-1<=3D0 =
2x^2 -3x + 5 +=20 4x <=3D0 (Nesta etapa eu multipliquei por x)
2x^2 + x + = 5<=3D0
A=20 partir disso percebe-se que delta =E9 igual -39, portanto n=E3o h=E1 = ra=EDzes reais e=20 a resposta n=E3o pode ser :{x e R| x<0}.=20

------=_NextPart_000_003E_01C2CD31.A3A9C8E0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 15:19:47 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA17240 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 15:18:01 -0200 Received: from bindtech.bindtech.com.br (mail.bindtech.com.br [200.230.34.1]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA17236 for ; Wed, 5 Feb 2003 15:17:58 -0200 Received: from servico2 (200.230.34.229 [200.230.34.229]) by bindtech.bindtech.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.2653.13) id 1LR9NB72; Wed, 5 Feb 2003 15:20:58 -0300 Message-ID: <005401c2cd43$2cac7dc0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_trigonometria_=28transforma=E7=E3o_de_ar?= =?iso-8859-1?Q?cos=29?= Date: Wed, 5 Feb 2003 16:19:44 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0049_01C2CD32.64EB5B40" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 4489 Lines: 119 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0049_01C2CD32.64EB5B40 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable sen40 =3D 2*sen20*cos20 cos40 =3D 2*(cos20)^2 - 1 Substituindo estes valores em P, teremos: P =3D (2*sen20*cos20)/(sen20) - (2*(cos20)^2-1)/cos20 =3D=3D> P =3D 2*cos20 - 2cos20 + 1/cos20 =3D 1/cos20 =3D=3D> P^2 - 1 =3D 1/(cos20)^2 - 1 =3D ( 1 - (cos20)^2 ) / (cos20)^2 =3D = (sen20)^2 / (cos20)^2 =3D (tg20)^2. Voc=EA est=E1 certo. Meu conselho: joga fora este gabarito urgente !!! Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Faelccmm@aol.com=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Wednesday, February 05, 2003 1:28 PM Subject: [obm-l] trigonometria (transforma=E7=E3o de arcos) (UECE) Se P=3D [(sen 40=BA)/(sen 20=BA)] - [(cos 40=BA)/(cos 20=BA)], = ent=E3o p^2 - 1 =E9 igual:=20 Resp: cotg^2 (20=BA)=20 Obs: Ser=E1 que o resultado n=E3o =E9 tg^2 (20=BA)?=20 ICQ: 337140512=20 ------=_NextPart_000_0049_01C2CD32.64EB5B40 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
sen40 =3D 2*sen20*cos20
 
cos40 =3D 2*(cos20)^2 - 1
 
Substituindo estes valores em P,=20 teremos:
 
P =3D (2*sen20*cos20)/(sen20)  -=20 (2*(cos20)^2-1)/cos20  =3D=3D>
 
P =3D 2*cos20  -  = 2cos20  + =20 1/cos20  =3D  1/cos20  =3D=3D>
 
P^2 - 1  =3D  = 1/(cos20)^2  - 1 =20 =3D  ( 1 - (cos20)^2 ) / (cos20)^2  =3D  (sen20)^2 / = (cos20)^2 =3D=20 (tg20)^2.
 
Voc=EA est=E1 certo.
 
Meu conselho: joga fora este gabarito = urgente=20 !!!
 
Um abra=E7o,
Claudio.
----- Original Message -----
From:=20 Faelccmm@aol.com=20
Sent: Wednesday, February 05, = 2003 1:28=20 PM
Subject: [obm-l] trigonometria=20 (transforma=E7=E3o de arcos)

(UECE) Se=20  P=3D [(sen 40=BA)/(sen 20=BA)] - [(cos 40=BA)/(cos 20=BA)], = ent=E3o p^2 - 1 =E9 igual:=20
Resp: cotg^2 (20=BA)

Obs: Ser=E1 que o resultado n=E3o =E9 = tg^2 (20=BA)?=20

ICQ: 337140512 ------=_NextPart_000_0049_01C2CD32.64EB5B40-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 15:52:54 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA18944 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 15:50:33 -0200 Received: from bindtech.bindtech.com.br (mail.bindtech.com.br [200.230.34.1]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA18926 for ; Wed, 5 Feb 2003 15:50:24 -0200 Received: from servico2 (200.230.34.227 [200.230.34.227]) by bindtech.bindtech.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.2653.13) id 1LR9NCDD; Wed, 5 Feb 2003 15:53:24 -0300 Message-ID: <008501c2cd47$b4960d60$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030205164404.54052.qmail@web41510.mail.yahoo.com> Subject: Re: [obm-l] Remador Date: Wed, 5 Feb 2003 16:52:07 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1762 Lines: 48 Rema 10 m em 30 s ==> Rema 100 m em 300 s Volta 20 m em 60 s. Resultado: Avança 80m em 360 s. ==> Avança 1600 m em 20*360 = 7200 s. Ao chegar aos 1600 m (depois do último recuo de 20 - ou seja, o máximo que ele atingiu foi a marca dos 1620 m) ele rema mais 100m em 300s, chegando aos 1700m. Logo, tempo total = 7200 + 300 = 7500 s = 2 horas 5 minutos ==> alternativa (d) ----- Original Message ----- From: "elton francisco ferreira" To: Sent: Wednesday, February 05, 2003 2:44 PM Subject: [obm-l] Remador Um remador, remando contra a correnteza de um rio, a cada 100m de um percurso retilínio dá um parada para descansar, e acaba retornando 20m levados pela correnteza. Se gasta 30s para cada 10m remados e 1 min para descanso, mantendo esse ritmo até o final, em quanto tempo atingirá a marca dos 1700m remados? a) 1h e 36min b) 1h e 46min c) 1h e 50min d) 2h e 5min e) 2h e 25min _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 16:08:42 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA20112 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 16:07:05 -0200 Received: from hotmail.com (f141.sea1.hotmail.com [207.68.163.141]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA20108 for ; Wed, 5 Feb 2003 16:07:00 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Wed, 5 Feb 2003 10:06:29 -0800 Received: from 198.81.8.1 by sea1fd.sea1.hotmail.msn.com with HTTP; Wed, 05 Feb 2003 18:06:29 GMT X-Originating-IP: [198.81.8.1] From: "Frederico Reis Marques de Brito" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Livro Geometria Date: Wed, 05 Feb 2003 16:06:29 -0200 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 05 Feb 2003 18:06:29.0383 (UTC) FILETIME=[4E86F170:01C2CD41] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 6117 Lines: 155 Sobre os livros Geometria I e II e Álgebra I , tentei em vão falar no fone indicado pelo Morgado ( até rimou... ). Mas o telefone está programado para não receber ligações. Gostaria de saber os tópicos abordados nesses livros, os preços e se há alggum site ou algum representante da editora em Belo Horizonte. Aproveito para esclarecer uma dúvida conceitual. O que vem a ser um quadrilátero cíclico? Desde já deixo aqui meus agradecimentos. Frederico. >From: "A. C. Morgado" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: obm-l@mat.puc-rio.br >Subject: Re: [obm-l] Livro Geometria >Date: Fri, 17 Jan 2003 15:05:29 -0200 > >Agradecemos as referencias elogiosas do Paulo. >Corrijo as declaraçoes do Wagner: >1) o Geometria 1 eh um bom livro. Claro que, por tratar de conceitos >mais basicos e se dirigir basicamente a um leitor que seja um bom aluno >de SETIMA SERIE, sempre os autores (e leitores mais adiantados) acharao >que se poderia dar um tratamento "axiomaticamente" mais rigoroso; mas o >objetivo era fazer um livro de Geometria para vestibulares dificeis e >concursos de admissao a escolas militares, extremamente procuradas na >epoca; ainda hoje eh um bom livro para IME, ITA, Colegio Naval, etc. >2) Geometria 1, Geometria 2 e Algebra 1 podem ser pedidos a >FC&Z Livros >Rua Carneiro Ribeiro 22 loja A >21050-570 Maria da Graça Rio de Janeiro RJ >Telefax (21) 2581-2873 >Morgado > >Paulo Santa Rita wrote: > > > Ola Leonardo e demais > > colegas desta lista ... OBM-L, > > > > Foi esse livro que despertou meu interesse pela Matematica. > > > > Voce teve a mesma impressao que eu tive, quando o li pela primeira > > vez, apos adquiri-lo em um sebo ( sebo = livraria de livros usados ). > > Muitas vezes me perguntei o que o tornava tao interessante e diferente > > dos outros ... > > > > Me parece que e porque os autores ( Eduardo Wagner e Augusto Morgado ) > > nao perdem tempo provando coisas simples e evidentes, partindo > > imediatamente a exposicao de fatoss espetaculares e inusitadas, que > > dificilmente imaginariamos que ocorrem. > > > > Quando um matematico explica um fenomeno inusitado ( por exemplo : o > > circulo de nove pontos ) ele aguca nossa inteligencia e nos vemos > > claramente que a Matemaica nao se resume a provas de fatos evidentes > > e, portanto, desmotivadoras ( por exemplo : prove que 1+1=2 ). > > > > Um Matematico adulto pode apreciar o formalismo, mas uma mente nova > > geralmente nao aprecia estas coisas ... Prove a uma crianca algo que > > ela duvida e nao suspeia e voce vai conquistar o interesse dela ... me > > parece que e esse simples detalhe que diferencia as grandes obras da > > mesmice e mediocridade que campeia na imensa maioria das obras > > didaticas da matematica ... > > > > As Olimpiadas de Matematica, que todos nos gostamos e admiramos e > > pelas quais fazemos verdadeiros sacrificios e uma continuacao de tudo > > isso ... Por que elas fazem sucesso ? Simplesmente porque as pessoas > > inteligentes odeiam coisas rotineiras e burocraticas, que sao os > > aspectos tipicos do ensino comum ... > > > > Neste sentido, o Livro a que voce se refere, o Geometria II dos Prof > > Wagner e Morgado, se nao foi o marco inicial e corajoso de uma > > revolucao pedagogica, foi, ao menos, o alvorecer de tudo isso. E nos > > somos felizardos por termos em nossa lista estes dois Prof's que > > iniciaram esta revolucao : Wagner e Morgado. > > > > Seria excelente que estes Profs dessem continuidade ao que comecaram > > com tanto brilho e eficiencia ! > > > > Para que esta mensagem nao fique totalmente fora de nossa tradicao, > > aqui vai uma joia do Geometria II : > > > > 1)Sejam "a", "b", "c" e "d" os lados de um quadrilatero ciclico. > > Mostre qua a area S desse quadrilatero pode ser expressa como : > > S=Raiz_Quadrada((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)) onde p e o semi-perimetro. > > > > 2)Se o quadrilatero e incritivel e circunscritivel, entao : > > S=Raiz_Quadrada(abcd) > > > > PROBLEMA : Se ABC e um triangulo e C o circulo inscrito nele, sejam > > C1, C2 e C3 as tres partes da area do triangulo que nao pertencem ao > > circulo. Calcule cada uma, separadamente, em funcao dos lados do > > triangulo. > > > > Um Abraco a Todos > > Paulo Santa Rita > > 6,1111,170103 > > > > > > > > > >> From: "Leonardo Borges Avelino" > >> To: > >> Subject: [obm-l] Livro Geometria > >> Date: Thu, Jan 16, 2003, 10:07 PM > >> > >> > >> Caros amigos: > >> > >> Estava na casa de meu amigo e ele me mostrou um livro > >> >impressionante, que > >> se chama: Geometria II dos prof.s Eduardo Wagner, Augusto Morgado e > >> >Miguel. > >> Pergunta: > >> > >> Onde consigo este livro? e (desculpem-me se a pergunta for idiota) se > >> >existe o Geometria I? > >> > >> > >> Valeu!! > >> Leonardo Borges > > > > > > > > _________________________________________________________________ > > MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com > > > > >========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > O administrador desta lista é > > >========================================================================= > > > > > > > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= _________________________________________________________________ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 16:38:21 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA21299 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 16:36:41 -0200 Received: from trex-b.centroin.com.br (trex-b.centroin.com.br [200.225.63.136]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA21294 for ; Wed, 5 Feb 2003 16:36:38 -0200 Received: from centroin.com.br (du63c.rjo.centroin.com.br [200.225.58.63]) (authenticated bits=0) by trex-b.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h15IaT0o016764 for ; Wed, 5 Feb 2003 16:36:30 -0200 (EDT) Message-ID: <3E4167FB.9010005@centroin.com.br> Date: Wed, 05 Feb 2003 16:37:31 -0300 From: "A. C. Morgado" User-Agent: Mozilla/5.0 (Windows; U; Windows NT 5.0; en-US; rv:1.0.2) Gecko/20021120 Netscape/7.01 X-Accept-Language: en-us, en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] geometria espacial References: <78.376c831e.2b728704@aol.com> Content-Type: multipart/alternative; boundary="------------010702000403070003080601" Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2010 Lines: 57 --------------010702000403070003080601 Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit No gomo ha dois "lados" que nao pertencem a esfera. Faelccmm@aol.com wrote: > Oá pessoal, > > Uma laranja pode ser considerada uma esfera de raio R, composta de 12 > gomos exatamente "iguais". A área da superfície total de cada gomo é > dada por: > > resp: (4*pi*R^2)/3 > Obs: A resposta não seria (pi*R^2)/3 ? Pois se há 12 gomos então a > área superficial de casa gomo é igual a (área superficial total da > esfera)/(12). Será que o gabarito está errado novamente? --------------010702000403070003080601 Content-Type: text/html; charset=us-ascii Content-Transfer-Encoding: 7bit No gomo ha dois "lados" que nao pertencem a esfera.

Faelccmm@aol.com wrote:
Oá pessoal,

Uma laranja pode ser considerada uma esfera de raio R, composta de 12 gomos exatamente "iguais". A área da superfície total de cada gomo é dada por:

resp: (4*pi*R^2)/3
Obs: A resposta não seria  (pi*R^2)/3 ? Pois se há 12 gomos então a área superficial de casa gomo é igual a (área superficial total da esfera)/(12). Será que o gabarito está errado novamente?

--------------010702000403070003080601-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 16:39:30 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA21335 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 16:38:12 -0200 Received: from trex-b.centroin.com.br (trex-b.centroin.com.br [200.225.63.136]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA21331 for ; Wed, 5 Feb 2003 16:38:09 -0200 Received: from centroin.com.br (du63c.rjo.centroin.com.br [200.225.58.63]) (authenticated bits=0) by trex-b.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h15Ic10o016823 for ; Wed, 5 Feb 2003 16:38:01 -0200 (EDT) Message-ID: <3E416857.9000601@centroin.com.br> Date: Wed, 05 Feb 2003 16:39:03 -0300 From: "A. C. Morgado" User-Agent: Mozilla/5.0 (Windows; U; Windows NT 5.0; en-US; rv:1.0.2) Gecko/20021120 Netscape/7.01 X-Accept-Language: en-us, en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?an=E1lise_de_sinais_=28fun=E7=F5?= =?ISO-8859-1?Q?es=29?= References: <122.1e65f141.2b72873e@aol.com> Content-Type: multipart/alternative; boundary="------------090400010409060801070103" Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2179 Lines: 65 --------------090400010409060801070103 Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit Voce somou fraçoes e se esqueceu de escrever o denominador da soma. Faelccmm@aol.com wrote: > (FUVEST) Resolva 2x - 3 + 5*[(1/x) + 1] <=1 > > resp:{x e R| x<0} > > Obs: Eu tentei resolver mas não cheguei neste resultado, vejam minha > resolução e me digam onde errei: > 2x-3+(5/x)+5<=1 > 2x-3+(5/x)+5-1<=0 > 2x^2 -3x + 5 + 4x <=0 (Nesta etapa eu multipliquei por x) > 2x^2 + x + 5<=0 > A partir disso percebe-se que delta é igual -39, portanto não há > raízes reais e a resposta não pode ser :{x e R| x<0}. > --------------090400010409060801070103 Content-Type: text/html; charset=us-ascii Content-Transfer-Encoding: 7bit Voce somou fraçoes e se esqueceu de escrever o denominador da soma.

Faelccmm@aol.com wrote:
(FUVEST) Resolva 2x - 3 + 5*[(1/x) + 1] <=1

resp:{x e R| x<0}

Obs: Eu tentei resolver mas não cheguei neste resultado, vejam minha resolução e me digam onde errei:
2x-3+(5/x)+5<=1
2x-3+(5/x)+5-1<=0
2x^2 -3x + 5 + 4x <=0 (Nesta etapa eu multipliquei por x)
2x^2 + x + 5<=0
A partir disso percebe-se que delta é igual -39, portanto não há raízes reais e a resposta não pode ser :{x e R| x<0}.


--------------090400010409060801070103-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 16:41:01 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA21392 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 16:39:42 -0200 Received: from trex-b.centroin.com.br (trex-b.centroin.com.br [200.225.63.136]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA21388 for ; Wed, 5 Feb 2003 16:39:39 -0200 Received: from centroin.com.br (du63c.rjo.centroin.com.br [200.225.58.63]) (authenticated bits=0) by trex-b.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h15IdV0o016874 for ; Wed, 5 Feb 2003 16:39:31 -0200 (EDT) Message-ID: <3E4168B1.2070009@centroin.com.br> Date: Wed, 05 Feb 2003 16:40:33 -0300 From: "A. C. Morgado" User-Agent: Mozilla/5.0 (Windows; U; Windows NT 5.0; en-US; rv:1.0.2) Gecko/20021120 Netscape/7.01 X-Accept-Language: en-us, en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] trigonometria =?ISO-8859-1?Q?=28transforma=E7=E3o_?= =?ISO-8859-1?Q?de_arcos=29?= References: Content-Type: multipart/alternative; boundary="------------060706030209000700000804" Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1628 Lines: 52 --------------060706030209000700000804 Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit Voce esta certo. Seu gabarito, como sempre, errado. Faelccmm@aol.com wrote: > (UECE) Se P= [(sen 40º)/(sen 20º)] - [(cos 40º)/(cos 20º)], então p^2 > - 1 é igual: > Resp: cotg^2 (20º) > > Obs: Será que o resultado não é tg^2 (20º)? > > ICQ: 337140512 --------------060706030209000700000804 Content-Type: text/html; charset=us-ascii Content-Transfer-Encoding: 7bit Voce esta certo. Seu gabarito, como sempre, errado.

Faelccmm@aol.com wrote:
(UECE) Se  P= [(sen 40º)/(sen 20º)] - [(cos 40º)/(cos 20º)], então p^2 - 1 é igual:
Resp: cotg^2 (20º)

Obs: Será que o resultado não é tg^2 (20º)?

ICQ: 337140512

--------------060706030209000700000804-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 16:47:33 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA21605 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 16:46:14 -0200 Received: from trex-b.centroin.com.br (trex-b.centroin.com.br [200.225.63.136]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA21601 for ; Wed, 5 Feb 2003 16:46:10 -0200 Received: from centroin.com.br (du63c.rjo.centroin.com.br [200.225.58.63]) (authenticated bits=0) by trex-b.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h15Ik10o017109 for ; Wed, 5 Feb 2003 16:46:02 -0200 (EDT) Message-ID: <3E416A37.4020309@centroin.com.br> Date: Wed, 05 Feb 2003 16:47:03 -0300 From: "A. C. Morgado" User-Agent: Mozilla/5.0 (Windows; U; Windows NT 5.0; en-US; rv:1.0.2) Gecko/20021120 Netscape/7.01 X-Accept-Language: en-us, en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Livro Geometria References: Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 6860 Lines: 176 Houve um acidente com um caminhao que destruiu parte da rede telefonica (ah!, a Telemar!) da rua da livraria. Escreva uma carta ou aguarde uns dias. Morgado Frederico Reis Marques de Brito wrote: > > > Sobre os livros Geometria I e II e Álgebra I , tentei em vão falar no > fone indicado pelo Morgado ( até rimou... ). Mas o telefone está > programado para não receber ligações. Gostaria de saber os tópicos > abordados nesses livros, os preços e se há alggum site ou algum > representante da editora em Belo Horizonte. Aproveito para esclarecer > uma dúvida conceitual. O que vem a ser um quadrilátero cíclico? > Desde já deixo aqui meus agradecimentos. > Frederico. > > > > >> From: "A. C. Morgado" >> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >> To: obm-l@mat.puc-rio.br >> Subject: Re: [obm-l] Livro Geometria >> Date: Fri, 17 Jan 2003 15:05:29 -0200 >> >> Agradecemos as referencias elogiosas do Paulo. >> Corrijo as declaraçoes do Wagner: >> 1) o Geometria 1 eh um bom livro. Claro que, por tratar de conceitos >> mais basicos e se dirigir basicamente a um leitor que seja um bom aluno >> de SETIMA SERIE, sempre os autores (e leitores mais adiantados) acharao >> que se poderia dar um tratamento "axiomaticamente" mais rigoroso; mas o >> objetivo era fazer um livro de Geometria para vestibulares dificeis e >> concursos de admissao a escolas militares, extremamente procuradas na >> epoca; ainda hoje eh um bom livro para IME, ITA, Colegio Naval, etc. >> 2) Geometria 1, Geometria 2 e Algebra 1 podem ser pedidos a >> FC&Z Livros >> Rua Carneiro Ribeiro 22 loja A >> 21050-570 Maria da Graça Rio de Janeiro RJ >> Telefax (21) 2581-2873 >> Morgado >> >> Paulo Santa Rita wrote: >> >> > Ola Leonardo e demais >> > colegas desta lista ... OBM-L, >> > >> > Foi esse livro que despertou meu interesse pela Matematica. >> > >> > Voce teve a mesma impressao que eu tive, quando o li pela primeira >> > vez, apos adquiri-lo em um sebo ( sebo = livraria de livros usados ). >> > Muitas vezes me perguntei o que o tornava tao interessante e diferente >> > dos outros ... >> > >> > Me parece que e porque os autores ( Eduardo Wagner e Augusto Morgado ) >> > nao perdem tempo provando coisas simples e evidentes, partindo >> > imediatamente a exposicao de fatoss espetaculares e inusitadas, que >> > dificilmente imaginariamos que ocorrem. >> > >> > Quando um matematico explica um fenomeno inusitado ( por exemplo : o >> > circulo de nove pontos ) ele aguca nossa inteligencia e nos vemos >> > claramente que a Matemaica nao se resume a provas de fatos evidentes >> > e, portanto, desmotivadoras ( por exemplo : prove que 1+1=2 ). >> > >> > Um Matematico adulto pode apreciar o formalismo, mas uma mente nova >> > geralmente nao aprecia estas coisas ... Prove a uma crianca algo que >> > ela duvida e nao suspeia e voce vai conquistar o interesse dela ... me >> > parece que e esse simples detalhe que diferencia as grandes obras da >> > mesmice e mediocridade que campeia na imensa maioria das obras >> > didaticas da matematica ... >> > >> > As Olimpiadas de Matematica, que todos nos gostamos e admiramos e >> > pelas quais fazemos verdadeiros sacrificios e uma continuacao de tudo >> > isso ... Por que elas fazem sucesso ? Simplesmente porque as pessoas >> > inteligentes odeiam coisas rotineiras e burocraticas, que sao os >> > aspectos tipicos do ensino comum ... >> > >> > Neste sentido, o Livro a que voce se refere, o Geometria II dos Prof >> > Wagner e Morgado, se nao foi o marco inicial e corajoso de uma >> > revolucao pedagogica, foi, ao menos, o alvorecer de tudo isso. E nos >> > somos felizardos por termos em nossa lista estes dois Prof's que >> > iniciaram esta revolucao : Wagner e Morgado. >> > >> > Seria excelente que estes Profs dessem continuidade ao que comecaram >> > com tanto brilho e eficiencia ! >> > >> > Para que esta mensagem nao fique totalmente fora de nossa tradicao, >> > aqui vai uma joia do Geometria II : >> > >> > 1)Sejam "a", "b", "c" e "d" os lados de um quadrilatero ciclico. >> > Mostre qua a area S desse quadrilatero pode ser expressa como : >> > S=Raiz_Quadrada((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)) onde p e o semi-perimetro. >> > >> > 2)Se o quadrilatero e incritivel e circunscritivel, entao : >> > S=Raiz_Quadrada(abcd) >> > >> > PROBLEMA : Se ABC e um triangulo e C o circulo inscrito nele, sejam >> > C1, C2 e C3 as tres partes da area do triangulo que nao pertencem ao >> > circulo. Calcule cada uma, separadamente, em funcao dos lados do >> > triangulo. >> > >> > Um Abraco a Todos >> > Paulo Santa Rita >> > 6,1111,170103 >> > >> > >> > >> > >> >> From: "Leonardo Borges Avelino" >> >> To: >> >> Subject: [obm-l] Livro Geometria >> >> Date: Thu, Jan 16, 2003, 10:07 PM >> >> >> >> >> >> Caros amigos: >> >> >> >> Estava na casa de meu amigo e ele me mostrou um livro >> >> >impressionante, que >> >> se chama: Geometria II dos prof.s Eduardo Wagner, Augusto Morgado e >> >> >Miguel. >> >> Pergunta: >> >> >> >> Onde consigo este livro? e (desculpem-me se a pergunta for idiota) se >> >> >existe o Geometria I? >> >> >> >> >> >> Valeu!! >> >> Leonardo Borges >> > >> > >> > >> > _________________________________________________________________ >> > MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com >> > >> > >> ========================================================================= >> >> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> > O administrador desta lista é >> > >> ========================================================================= >> >> > >> > >> >> >> >> ========================================================================= >> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> O administrador desta lista é >> ========================================================================= >> > > > > _________________________________________________________________ > MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 16:49:04 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA21708 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 16:47:41 -0200 Received: from trex-b.centroin.com.br (trex-b.centroin.com.br [200.225.63.136]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA21703 for ; Wed, 5 Feb 2003 16:47:38 -0200 Received: from centroin.com.br (du63c.rjo.centroin.com.br [200.225.58.63]) (authenticated bits=0) by trex-b.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h15IlS0o017152 for ; Wed, 5 Feb 2003 16:47:29 -0200 (EDT) Message-ID: <3E416A8E.2000008@centroin.com.br> Date: Wed, 05 Feb 2003 16:48:30 -0300 From: "A. C. Morgado" User-Agent: Mozilla/5.0 (Windows; U; Windows NT 5.0; en-US; rv:1.0.2) Gecko/20021120 Netscape/7.01 X-Accept-Language: en-us, en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Livro Geometria References: Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 6806 Lines: 174 Um quadrilatero inscritivel. Um quadrilatero tal que existe uma circunferencia que contem os 4 vertices. Frederico Reis Marques de Brito wrote: > > > Sobre os livros Geometria I e II e Álgebra I , tentei em vão falar no > fone indicado pelo Morgado ( até rimou... ). Mas o telefone está > programado para não receber ligações. Gostaria de saber os tópicos > abordados nesses livros, os preços e se há alggum site ou algum > representante da editora em Belo Horizonte. Aproveito para esclarecer > uma dúvida conceitual. O que vem a ser um quadrilátero cíclico? > Desde já deixo aqui meus agradecimentos. > Frederico. > > > > >> From: "A. C. Morgado" >> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >> To: obm-l@mat.puc-rio.br >> Subject: Re: [obm-l] Livro Geometria >> Date: Fri, 17 Jan 2003 15:05:29 -0200 >> >> Agradecemos as referencias elogiosas do Paulo. >> Corrijo as declaraçoes do Wagner: >> 1) o Geometria 1 eh um bom livro. Claro que, por tratar de conceitos >> mais basicos e se dirigir basicamente a um leitor que seja um bom aluno >> de SETIMA SERIE, sempre os autores (e leitores mais adiantados) acharao >> que se poderia dar um tratamento "axiomaticamente" mais rigoroso; mas o >> objetivo era fazer um livro de Geometria para vestibulares dificeis e >> concursos de admissao a escolas militares, extremamente procuradas na >> epoca; ainda hoje eh um bom livro para IME, ITA, Colegio Naval, etc. >> 2) Geometria 1, Geometria 2 e Algebra 1 podem ser pedidos a >> FC&Z Livros >> Rua Carneiro Ribeiro 22 loja A >> 21050-570 Maria da Graça Rio de Janeiro RJ >> Telefax (21) 2581-2873 >> Morgado >> >> Paulo Santa Rita wrote: >> >> > Ola Leonardo e demais >> > colegas desta lista ... OBM-L, >> > >> > Foi esse livro que despertou meu interesse pela Matematica. >> > >> > Voce teve a mesma impressao que eu tive, quando o li pela primeira >> > vez, apos adquiri-lo em um sebo ( sebo = livraria de livros usados ). >> > Muitas vezes me perguntei o que o tornava tao interessante e diferente >> > dos outros ... >> > >> > Me parece que e porque os autores ( Eduardo Wagner e Augusto Morgado ) >> > nao perdem tempo provando coisas simples e evidentes, partindo >> > imediatamente a exposicao de fatoss espetaculares e inusitadas, que >> > dificilmente imaginariamos que ocorrem. >> > >> > Quando um matematico explica um fenomeno inusitado ( por exemplo : o >> > circulo de nove pontos ) ele aguca nossa inteligencia e nos vemos >> > claramente que a Matemaica nao se resume a provas de fatos evidentes >> > e, portanto, desmotivadoras ( por exemplo : prove que 1+1=2 ). >> > >> > Um Matematico adulto pode apreciar o formalismo, mas uma mente nova >> > geralmente nao aprecia estas coisas ... Prove a uma crianca algo que >> > ela duvida e nao suspeia e voce vai conquistar o interesse dela ... me >> > parece que e esse simples detalhe que diferencia as grandes obras da >> > mesmice e mediocridade que campeia na imensa maioria das obras >> > didaticas da matematica ... >> > >> > As Olimpiadas de Matematica, que todos nos gostamos e admiramos e >> > pelas quais fazemos verdadeiros sacrificios e uma continuacao de tudo >> > isso ... Por que elas fazem sucesso ? Simplesmente porque as pessoas >> > inteligentes odeiam coisas rotineiras e burocraticas, que sao os >> > aspectos tipicos do ensino comum ... >> > >> > Neste sentido, o Livro a que voce se refere, o Geometria II dos Prof >> > Wagner e Morgado, se nao foi o marco inicial e corajoso de uma >> > revolucao pedagogica, foi, ao menos, o alvorecer de tudo isso. E nos >> > somos felizardos por termos em nossa lista estes dois Prof's que >> > iniciaram esta revolucao : Wagner e Morgado. >> > >> > Seria excelente que estes Profs dessem continuidade ao que comecaram >> > com tanto brilho e eficiencia ! >> > >> > Para que esta mensagem nao fique totalmente fora de nossa tradicao, >> > aqui vai uma joia do Geometria II : >> > >> > 1)Sejam "a", "b", "c" e "d" os lados de um quadrilatero ciclico. >> > Mostre qua a area S desse quadrilatero pode ser expressa como : >> > S=Raiz_Quadrada((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)) onde p e o semi-perimetro. >> > >> > 2)Se o quadrilatero e incritivel e circunscritivel, entao : >> > S=Raiz_Quadrada(abcd) >> > >> > PROBLEMA : Se ABC e um triangulo e C o circulo inscrito nele, sejam >> > C1, C2 e C3 as tres partes da area do triangulo que nao pertencem ao >> > circulo. Calcule cada uma, separadamente, em funcao dos lados do >> > triangulo. >> > >> > Um Abraco a Todos >> > Paulo Santa Rita >> > 6,1111,170103 >> > >> > >> > >> > >> >> From: "Leonardo Borges Avelino" >> >> To: >> >> Subject: [obm-l] Livro Geometria >> >> Date: Thu, Jan 16, 2003, 10:07 PM >> >> >> >> >> >> Caros amigos: >> >> >> >> Estava na casa de meu amigo e ele me mostrou um livro >> >> >impressionante, que >> >> se chama: Geometria II dos prof.s Eduardo Wagner, Augusto Morgado e >> >> >Miguel. >> >> Pergunta: >> >> >> >> Onde consigo este livro? e (desculpem-me se a pergunta for idiota) se >> >> >existe o Geometria I? >> >> >> >> >> >> Valeu!! >> >> Leonardo Borges >> > >> > >> > >> > _________________________________________________________________ >> > MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com >> > >> > >> ========================================================================= >> >> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> > O administrador desta lista é >> > >> ========================================================================= >> >> > >> > >> >> >> >> ========================================================================= >> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> O administrador desta lista é >> ========================================================================= >> > > > > _________________________________________________________________ > MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 16:54:11 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA22218 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 16:52:43 -0200 Received: from bindtech.bindtech.com.br (mail.bindtech.com.br [200.230.34.1]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA22214 for ; Wed, 5 Feb 2003 16:52:39 -0200 Received: from servico2 (200.230.34.229 [200.230.34.229]) by bindtech.bindtech.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.2653.13) id 1LWQBW4Q; Wed, 5 Feb 2003 16:55:40 -0300 Message-ID: <00aa01c2cd50$670bcea0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030204161431.92632.qmail@web12903.mail.yahoo.com> Subject: Re: [obm-l] Combinatoria na IMO Date: Wed, 5 Feb 2003 17:54:27 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_00A7_01C2CD3F.A08FAF40" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 7303 Lines: 195 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_00A7_01C2CD3F.A08FAF40 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Caro JP: NPL(n) =3D n=FAmero de permuta=E7=F5es legais de {1,2,...,2n}. Eu usei inclus=E3o-exclus=E3o e cheguei a um somat=F3rio que, por = enquanto, n=E3o consegui simplificar: n NPL(n) =3D SOMAT=D3RIO (-1)^(k+1) * C(n,k) * (2n-k)! * 2^k k =3D 1 Calculando numa planilha eu achei que NPL(n) > (2n)! / 2 para n de 1 = at=E9 10, mas ainda n=E3o consegui provar o caso geral. Voc=EA concorda com esta f=F3rmula? Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Tuesday, February 04, 2003 2:14 PM Subject: [obm-l] Combinatoria na IMO Turma,to tentando resolve esse problema da IMO da Alemanha: Chame uma permuta=E7ao dos elementos 1,2,3,...,2n de legal se existe = pelo menos um par de elementos consecutivos cuja diferen=E7a seja = n.Mostre que ha mais legais do que nao-legais nessas permuta=E7oes. Tentei achar solu=E7oes assim: 1)Defina uma fun=E7ao que transforma uma permuta=E7ao legal numa = ilegal,de modo que ela seja injetiva(duas permuta=E7oes legais cujas = correspondentes ilegais sao iguais sao necessariamente iguais) e = nao-sobrejetiva(e possivel escolher pelo menos uma permuta=E7ao ilegal = que nao e correspondente de nenhuma legal).Desse jeito acabou! 2)Calcule o numero de permuta=E7oes ilegais explicitamente e verifique = que o total e menor que (2n)!/2. Minha ideia era usar inclusao e exclusao(e um teorema poderoso sobre = uniao de conjuntos finitos.O caso de dois conjuntos e facil.A uniao de = dois conjuntos e o primeiro mais o segundo menos a intersec=E7ao deles.A = generaliza=E7ao e imediata). O primeiro parece facil mas nao achei a tal fun=E7ao.O segundo eu nao = consigo arquitetar as contas direito.Sou muito lerdo e ainda to meio = enrolado.Quem puder ajudar,valeu!!! TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) -------------------------------------------------------------------------= ----- Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o = Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_00A7_01C2CD3F.A08FAF40 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Caro JP:
 
NPL(n) =3D n=FAmero de permuta=E7=F5es = legais de=20 {1,2,...,2n}.
 
Eu usei inclus=E3o-exclus=E3o e cheguei = a um somat=F3rio=20 que, por enquanto, n=E3o consegui simplificar:
 
          &nbs= p;   =20        n
NPL(n) =3D = SOMAT=D3RIO  (-1)^(k+1) * C(n,k) *=20 (2n-k)! * 2^k
          &nbs= p;      =20  k =3D 1
 
Calculando numa planilha eu achei que = NPL(n)=20  >  (2n)! / 2  para = n de 1 at=E9=20 10, mas ainda n=E3o consegui provar o caso geral.
 
Voc=EA concorda com esta = f=F3rmula?
 
Um abra=E7o,
Claudio.
 
 
----- Original Message -----
From:=20 Johann Peter Gustav = Lejeune=20 Dirichlet
Sent: Tuesday, February 04, = 2003 2:14=20 PM
Subject: [obm-l] Combinatoria = na=20 IMO

Turma,to tentando resolve esse problema da IMO da Alemanha:

Chame uma permuta=E7ao dos elementos 1,2,3,...,2n de legal se = existe pelo=20 menos um par de elementos consecutivos cuja diferen=E7a seja n.Mostre = que ha=20 mais legais do que nao-legais nessas permuta=E7oes.

Tentei achar solu=E7oes assim:

1)Defina uma fun=E7ao que transforma uma permuta=E7ao legal numa = ilegal,de modo=20 que ela seja injetiva(duas permuta=E7oes legais cujas correspondentes = ilegais=20 sao iguais sao necessariamente iguais) e nao-sobrejetiva(e possivel = escolher=20 pelo menos uma permuta=E7ao ilegal que nao e correspondente de nenhuma = legal).Desse jeito acabou!

2)Calcule o numero de permuta=E7oes ilegais explicitamente e = verifique que o=20 total e menor que (2n)!/2.

Minha ideia era usar inclusao e exclusao(e um teorema poderoso = sobre uniao=20 de conjuntos finitos.O caso de dois conjuntos e facil.A uniao de dois=20 conjuntos e o primeiro mais o segundo menos a intersec=E7ao deles.A=20 generaliza=E7ao e imediata).

O primeiro parece facil mas nao achei a tal fun=E7ao.O segundo eu = nao consigo=20 arquitetar as contas direito.Sou muito lerdo e ainda to meio = enrolado.Quem=20 puder ajudar,valeu!!!



TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE

CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA = TRIBVERE

Fields Medal(John Charles Fields)


Busca Yahoo!
O = servi=E7o de=20 busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o Yahoo!=20 encontra. ------=_NextPart_000_00A7_01C2CD3F.A08FAF40-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 16:57:12 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA22466 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 16:55:54 -0200 Received: from paiol.terra.com.br (paiol.terra.com.br [200.176.3.18]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA22461 for ; Wed, 5 Feb 2003 16:55:51 -0200 Received: from altamira.terra.com.br (altamira.terra.com.br [200.176.3.40]) by paiol.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id CE0857C894 for ; Wed, 5 Feb 2003 16:55:20 -0200 (BRST) Received: from wsjujuba (mail.sintese.com [200.176.113.35]) (authenticated user helterskelter) by altamira.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id B6C973DC06F for ; Wed, 5 Feb 2003 16:55:20 -0200 (BRST) Message-ID: <00fa01c2cd48$9402dc30$c300000a@wsjujuba> From: "Helter Skelter" To: References: <20030205164404.54052.qmail@web41510.mail.yahoo.com> Subject: Re: [obm-l] Remador Date: Wed, 5 Feb 2003 16:58:31 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2600.0000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1897 Lines: 60 10m --> 30s 100m --> 300s + 60s (descanso, volta 20m) = 360s 100m - 20m = 80m --> 360s 80m --> 6min 1700m/80m = 21,25 vezes que o remador descansaria, retirando os últimos 100m na qual ele termina 1600m/80m = 20 vezes que o remador descansa 20 * 6min = 120min 120min = 2h Em 20 paradas, o remador percorreu 1600m (20*80m). Portanto ainda falta 100m. Como a cada 10m ele usa 30s, em 100m ele usa 300s. 1min = 60s xmin = 300s x = 5 min 2h + 5min = 2h e 5min ----- Original Message ----- From: "elton francisco ferreira" To: Sent: Wednesday, February 05, 2003 2:44 PM Subject: [obm-l] Remador > Um remador, remando contra a correnteza de um rio, a > cada 100m de um percurso retilínio dá um parada para > descansar, e acaba retornando 20m levados pela > correnteza. Se gasta 30s para cada 10m remados e 1 min > para descanso, mantendo esse ritmo até o final, em > quanto tempo atingirá a marca dos 1700m remados? > > a) 1h e 36min > b) 1h e 46min > c) 1h e 50min > d) 2h e 5min > e) 2h e 25min > > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet > http://br.busca.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 17:16:53 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA23815 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 17:15:17 -0200 Received: from imo-d09.mx.aol.com (imo-d09.mx.aol.com [205.188.157.41]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA23799 for ; Wed, 5 Feb 2003 17:15:12 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-d09.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.143.9ade212 (18707) for ; Wed, 5 Feb 2003 14:14:28 -0500 (EST) Message-ID: <143.9ade212.2b72bc94@aol.com> Date: Wed, 5 Feb 2003 14:14:28 EST Subject: [obm-l] gabarito To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_143.9ade212.2b72bc94_boundary" X-Mailer: AOL 6.0 for Windows BR sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1696 Lines: 36 --part1_143.9ade212.2b72bc94_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable =C9 verdade claudio, d=E1 vontade de jogar fora este gabarito :-) mas com a=20= ajuda=20 de vcs me auxiliando nos exerc=EDcios que eu n=E3o sei, e eu mesmo fazendo o= s que=20 j=E1 sei terminei dois cadernos de exerc=EDcios do fasc=EDculo, s=F3 faltam=20= mais 2.=20 Eu n=E3o quero largar ele agora, pois como comecei quero terminar, n=E3o s= =F3 por=20 isso mas tamb=E9m pela culpa de fazer outros exerc=EDcios e ver estes sem=20 solu=E7=E3o. Valeu pela sua colabora=E7=E3o e de todos da lista, um abra=E7o= ! --part1_143.9ade212.2b72bc94_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable =C9 verdade claudio, d= =E1 vontade de jogar fora este gabarito :-) mas com a ajuda de vcs me auxili= ando nos exerc=EDcios que eu n=E3o sei, e eu mesmo fazendo os que j=E1 sei t= erminei dois cadernos de exerc=EDcios do fasc=EDculo, s=F3 faltam mais 2. Eu= n=E3o quero largar ele agora, pois como comecei quero terminar, n=E3o s=F3=20= por isso mas tamb=E9m pela culpa de fazer outros exerc=EDcios e ver estes se= m solu=E7=E3o. Valeu pela sua colabora=E7=E3o e de todos da lista, um abra= =E7o! --part1_143.9ade212.2b72bc94_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 17:19:42 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA24047 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 17:18:24 -0200 Received: from bindtech.bindtech.com.br (mail.bindtech.com.br [200.230.34.1]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA24033 for ; Wed, 5 Feb 2003 17:18:19 -0200 Received: from servico2 (200.230.34.228 [200.230.34.228]) by bindtech.bindtech.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.2653.13) id 1LWQBW5S; Wed, 5 Feb 2003 17:21:21 -0300 Message-ID: <00de01c2cd53$fdadca40$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: Subject: Re: [obm-l] Livro Geometria Date: Wed, 5 Feb 2003 18:20:09 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 6776 Lines: 171 Quadrilátero Cíclico é aquele que é inscritível numa circunferência (ou seja, os seus quatro vértices pertencem a uma mesma circunferência). ----- Original Message ----- From: "Frederico Reis Marques de Brito" To: Sent: Wednesday, February 05, 2003 4:06 PM Subject: Re: [obm-l] Livro Geometria Sobre os livros Geometria I e II e Álgebra I , tentei em vão falar no fone indicado pelo Morgado ( até rimou... ). Mas o telefone está programado para não receber ligações. Gostaria de saber os tópicos abordados nesses livros, os preços e se há alggum site ou algum representante da editora em Belo Horizonte. Aproveito para esclarecer uma dúvida conceitual. O que vem a ser um quadrilátero cíclico? Desde já deixo aqui meus agradecimentos. Frederico. >From: "A. C. Morgado" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: obm-l@mat.puc-rio.br >Subject: Re: [obm-l] Livro Geometria >Date: Fri, 17 Jan 2003 15:05:29 -0200 > >Agradecemos as referencias elogiosas do Paulo. >Corrijo as declaraçoes do Wagner: >1) o Geometria 1 eh um bom livro. Claro que, por tratar de conceitos >mais basicos e se dirigir basicamente a um leitor que seja um bom aluno >de SETIMA SERIE, sempre os autores (e leitores mais adiantados) acharao >que se poderia dar um tratamento "axiomaticamente" mais rigoroso; mas o >objetivo era fazer um livro de Geometria para vestibulares dificeis e >concursos de admissao a escolas militares, extremamente procuradas na >epoca; ainda hoje eh um bom livro para IME, ITA, Colegio Naval, etc. >2) Geometria 1, Geometria 2 e Algebra 1 podem ser pedidos a >FC&Z Livros >Rua Carneiro Ribeiro 22 loja A >21050-570 Maria da Graça Rio de Janeiro RJ >Telefax (21) 2581-2873 >Morgado > >Paulo Santa Rita wrote: > > > Ola Leonardo e demais > > colegas desta lista ... OBM-L, > > > > Foi esse livro que despertou meu interesse pela Matematica. > > > > Voce teve a mesma impressao que eu tive, quando o li pela primeira > > vez, apos adquiri-lo em um sebo ( sebo = livraria de livros usados ). > > Muitas vezes me perguntei o que o tornava tao interessante e diferente > > dos outros ... > > > > Me parece que e porque os autores ( Eduardo Wagner e Augusto Morgado ) > > nao perdem tempo provando coisas simples e evidentes, partindo > > imediatamente a exposicao de fatoss espetaculares e inusitadas, que > > dificilmente imaginariamos que ocorrem. > > > > Quando um matematico explica um fenomeno inusitado ( por exemplo : o > > circulo de nove pontos ) ele aguca nossa inteligencia e nos vemos > > claramente que a Matemaica nao se resume a provas de fatos evidentes > > e, portanto, desmotivadoras ( por exemplo : prove que 1+1=2 ). > > > > Um Matematico adulto pode apreciar o formalismo, mas uma mente nova > > geralmente nao aprecia estas coisas ... Prove a uma crianca algo que > > ela duvida e nao suspeia e voce vai conquistar o interesse dela ... me > > parece que e esse simples detalhe que diferencia as grandes obras da > > mesmice e mediocridade que campeia na imensa maioria das obras > > didaticas da matematica ... > > > > As Olimpiadas de Matematica, que todos nos gostamos e admiramos e > > pelas quais fazemos verdadeiros sacrificios e uma continuacao de tudo > > isso ... Por que elas fazem sucesso ? Simplesmente porque as pessoas > > inteligentes odeiam coisas rotineiras e burocraticas, que sao os > > aspectos tipicos do ensino comum ... > > > > Neste sentido, o Livro a que voce se refere, o Geometria II dos Prof > > Wagner e Morgado, se nao foi o marco inicial e corajoso de uma > > revolucao pedagogica, foi, ao menos, o alvorecer de tudo isso. E nos > > somos felizardos por termos em nossa lista estes dois Prof's que > > iniciaram esta revolucao : Wagner e Morgado. > > > > Seria excelente que estes Profs dessem continuidade ao que comecaram > > com tanto brilho e eficiencia ! > > > > Para que esta mensagem nao fique totalmente fora de nossa tradicao, > > aqui vai uma joia do Geometria II : > > > > 1)Sejam "a", "b", "c" e "d" os lados de um quadrilatero ciclico. > > Mostre qua a area S desse quadrilatero pode ser expressa como : > > S=Raiz_Quadrada((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)) onde p e o semi-perimetro. > > > > 2)Se o quadrilatero e incritivel e circunscritivel, entao : > > S=Raiz_Quadrada(abcd) > > > > PROBLEMA : Se ABC e um triangulo e C o circulo inscrito nele, sejam > > C1, C2 e C3 as tres partes da area do triangulo que nao pertencem ao > > circulo. Calcule cada uma, separadamente, em funcao dos lados do > > triangulo. > > > > Um Abraco a Todos > > Paulo Santa Rita > > 6,1111,170103 > > > > > > > > > >> From: "Leonardo Borges Avelino" > >> To: > >> Subject: [obm-l] Livro Geometria > >> Date: Thu, Jan 16, 2003, 10:07 PM > >> > >> > >> Caros amigos: > >> > >> Estava na casa de meu amigo e ele me mostrou um livro > >> >impressionante, que > >> se chama: Geometria II dos prof.s Eduardo Wagner, Augusto Morgado e > >> >Miguel. > >> Pergunta: > >> > >> Onde consigo este livro? e (desculpem-me se a pergunta for idiota) se > >> >existe o Geometria I? > >> > >> > >> Valeu!! > >> Leonardo Borges > > > > > > > > _________________________________________________________________ > > MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com > > > > >========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > O administrador desta lista é > > >========================================================================= > > > > > > > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= _________________________________________________________________ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 17:27:28 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA24608 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 17:26:06 -0200 Received: from athenas.vesper.com.br (athenas.vesper.com.br [200.170.46.26]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA24603 for ; Wed, 5 Feb 2003 17:26:03 -0200 Received: from tlpsrvnws02.rj.vespersa.com.br ([10.21.25.16]) by athenas.vesper.com.br with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5329); Wed, 5 Feb 2003 17:20:35 -0300 Received: by tlpsrvnws02.rj.vespersa.com.br with Internet Mail Service (5.5.2656.59) id <1JT3Y7A1>; Wed, 5 Feb 2003 17:24:45 -0300 Message-ID: From: =?iso-8859-1?Q?Jo=E3o_Gilberto_Ponciano_Pereira?= To: "'obm-l@mat.puc-rio.br'" Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?OffTopic_RE=3A_=5Bobm-l=5D_trigonometria_=28tra?= =?iso-8859-1?Q?nsforma=E7=E3o_de_arcos=29_?= Date: Wed, 5 Feb 2003 17:25:29 -0300 MIME-Version: 1.0 X-Mailer: Internet Mail Service (5.5.2656.59) Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" X-OriginalArrivalTime: 05 Feb 2003 20:20:35.0437 (UTC) FILETIME=[0A5959D0:01C2CD54] Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id RAA24604 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 920 Lines: 29 Sugiro alterar o nome da lista de: OBM - Olimpíada Brasileira de Matemática para: LGE - Lista do Gabarito Errado. -----Original Message----- From: A. C. Morgado [mailto:morgado@centroin.com.br] Sent: Wednesday, February 05, 2003 4:41 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] trigonometria (transformação de arcos) Voce esta certo. Seu gabarito, como sempre, errado. Faelccmm@aol.com wrote: (UECE) Se P= [(sen 40º)/(sen 20º)] - [(cos 40º)/(cos 20º)], então p^2 - 1 é igual: Resp: cotg^2 (20º) Obs: Será que o resultado não é tg^2 (20º)? ICQ: 337140512 ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 17:30:10 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA24827 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 17:28:51 -0200 Received: from bindtech.bindtech.com.br (mail.bindtech.com.br [200.230.34.1]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA24813 for ; Wed, 5 Feb 2003 17:28:45 -0200 Received: from servico2 (200.230.34.227 [200.230.34.227]) by bindtech.bindtech.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.2653.13) id 1LWQBW78; Wed, 5 Feb 2003 17:31:47 -0300 Message-ID: <00df01c2cd55$731eae60$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030203200410.84289.qmail@web14803.mail.yahoo.com> <006201c2cc39$799c8c20$3300c57d@bovespa.com> Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia Date: Wed, 5 Feb 2003 18:30:35 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 3684 Lines: 107 Caro Matteus: Infelizmente tenho que admitir que o algoritmo abaixo está furado. Ele produz uma sequência crescente de números da forma desejada, mas não todos eles - de fato, ele produz a sequência 1, 2, 4, 8, 16,..... Eu pensei um pouco mais sobre o problema e cheguei à conclusão de que é bem mais difícil do que eu imaginava. Por exemplo, com o caso mais simples - nos. da forma 2^a * 3^b, a sequência será: N 1 2 3 4 6 8 9 12 16 18 24 27 32 36 48 54 64 72 a 0 1 0 2 1 3 0 2 4 1 3 0 5 2 4 1 6 3 b 0 0 1 0 1 0 2 1 0 2 1 3 0 2 1 3 0 2 Repare que a sequência de pares (a,b) que produzem todos os N em ordem crescente não parece obedecer nenhuma lei de formação óbvia. Por enquanto, só o que dá pra sugerir é um algoritmo extremamente ineficiente que toma cada número natural, remove os fatores 2, 3 e 5 e, se estes forem os únicos fatores, adiciona este número à sequência. Em seguida toma o número natural seguinte, e assim por diante. Problema interessante. Vou pensar mais um pouco. Um abraço, Claudio ----- Original Message ----- From: "Cláudio (Prática)" To: Sent: Tuesday, February 04, 2003 8:37 AM Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia Caro Matteus: O algoritmo abaixo cria uma sequência X tal que X(1) = 1 ( = 2^0 * 3^0 * 5^0 ) e X(N) = N-ésimo inteiro positivo da forma 2^a * 3^b * 5^c. A ordenação é a usual (m < n <==> X(m) < X(n) ) "Input" N a = 0 b = 0 c = 0 K = 1 (***) X(K) = 1 P = 2^(a+1) * 3^b * 5^c Flag = 1 Se P > 2^a * 3^(b+1) * 5^c então ( P = 2^a * 3^(b+1) * 5^c e Flag = 2 ) Se P > 2^a * 3^b * 5^(c+1) então ( P = 2^a * 3^b * 5^(c+1) e Flag = 3 ) Se Flag = 1 então a = a+1 Se Flag = 2 então b = b+1 Se Flag = 3 então c = c+1 K = K+1 Se K <= N então Retorna para (***) Fim Espero que isso ajude. Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "matteus barreto" To: Sent: Monday, February 03, 2003 6:04 PM Subject: [obm-l] k-esimo numero da sequencia Sera que alguem poderia me sugerir, se nao uma forma fechada, um passo a passo (um algoritmo) para se encontrar o k-esimo numero da sequencia: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15..., ou seja, os números da forma (2^a)*(3^b)*(5^c), com a, b, c pertencentes ao conjunto dos inteiros nao negativos. Ja pensei bastante a respeito mas sem resultados mais concludentes. _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 17:40:14 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA25633 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 17:38:50 -0200 Received: from bindtech.bindtech.com.br (mail.bindtech.com.br [200.230.34.1]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA25609 for ; Wed, 5 Feb 2003 17:38:41 -0200 Received: from servico2 (200.230.34.224 [200.230.34.224]) by bindtech.bindtech.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.2653.13) id 1LWQBW0B; Wed, 5 Feb 2003 17:41:42 -0300 Message-ID: <00f201c2cd56$d5bcd8c0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <005601c2cced$e4647720$0c01a8c0@mshome.net> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Fun=E7=E3o_uniformemente_diferenci=E1vel?= Date: Wed, 5 Feb 2003 18:40:25 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2475 Lines: 57 Caro Artur: Tentando resolver os seus problemas (especificamente, com as voltas dos "se e somente se") eu me deparei com uma dúvida: Tome uma função f, diferenciável num intervalo aberto I. É verdade que dado qualquer z em I, existem x e y em I tais que: f'(z) = [f(x)-f(y)]/(x-y) ? Este seria uma espécie de recíproco do teorema do valor médio. Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Artur Costa Steiner" To: Sent: Wednesday, February 05, 2003 6:09 AM Subject: [obm-l] Função uniformemente diferenciável Aos amigos que curtem Análise Real proponho o seguinte problema, que acho bastante interessante. Antes, porém, lembro o conceito não muito difundido de função uniformemente diferenciável. Dizemos que f é uniformemente diferenciável em um intervalo I se, dado qualquer eps>0, existir d>0 tal que, se x e y estiverem em I e se 0 < |x-y| < d, então |[f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(x)|< eps. Observamos aqui a similaridade com continuidade uniforme. O delta depende apenas do eps, vale dizer, um mesmo delta é bom para todos os elementos do intervalo. Mostre que f uniformemnte diferenciável em um intervalo I se, e somente se, f' for uniformemente contínua em I. Ah, outra conclusão simples mas interessante. Mostre que se f for diferenciável em I, então f' é limitada em I se, e somente se, f satisfizer neste intervalo à condicão de Lipschitz. Lembro que f satisfaz à condicão de Lipschitz em I se existir uma constante K>0 tal que |f(x) - f(y)| <= K |x-y| para todos x e y em I. Ah, para terminar, espero não estar sendo chato... É imediato que se f satisfizer à condicão de Lipschitz em I então f é uniformemente contínua em I. Basta fazer delta = eps/K. Mas a recíproca não é verdadeira. Um contra exemplo interessante é f(x) = raiz(x) em [0, 1]. Abraços. Artur ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 17:59:34 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA27568 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 17:57:48 -0200 Received: from imo-m03.mx.aol.com (imo-m03.mx.aol.com [64.12.136.6]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA27557 for ; Wed, 5 Feb 2003 17:57:43 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-m03.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.133.1aa4c3e2 (4539) for ; Wed, 5 Feb 2003 14:57:08 -0500 (EST) Message-ID: <133.1aa4c3e2.2b72c693@aol.com> Date: Wed, 5 Feb 2003 14:57:07 EST Subject: [obm-l] restorno: estudo de sinais To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_133.1aa4c3e2.2b72c693_boundary" X-Mailer: AOL 6.0 for Windows BR sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2466 Lines: 67 --part1_133.1aa4c3e2.2b72c693_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal, Eu enviei esta quest=E3o: (FUVEST) Resolva 2x - 3 + 5*[(1/x) + 1] <=3D1=20 resp:{x e R| x<0}=20 Obs: Eu tentei resolver mas n=E3o cheguei neste resultado, vejam minha=20 resolu=E7=E3o e me digam onde errei:=20 2x-3+(5/x)+5<=3D1=20 2x-3+(5/x)+5-1<=3D0=20 2x^2 -3x + 5 + 4x <=3D0 (Nesta etapa eu multipliquei por x)=20 2x^2 + x + 5<=3D0=20 A partir disso percebe-se que delta =E9 igual -39, portanto n=E3o h=E1 ra= =EDzes reais=20 e a resposta n=E3o pode ser :{x e R| x<0}.=20 Obs: Voc=EAs me disseram que o erro foi que ao inv=E9s de 2x^2 + x + 5<=3D0=20= o=20 certo seria (2x^2 + x + 5)/ x<=3D0, portanto temos que x# 0, mas o=20 discriminante =E9 negativo e sendo assim todo x pertencente a R ter=E1 f(x)= =3D2x^2=20 + x + 5>=3D e nunca negativo como na resolu=E7=E3o. Me d=EAem uma luz nesta=20= an=E1lise=20 de sinais! --part1_133.1aa4c3e2.2b72c693_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal,

Eu enviei esta quest=E3o:

(FUVEST) Resolva 2x - 3 + 5*[(1/x) + 1] <=3D1=20

resp:{x e R| x<0}=20

Obs: Eu tentei resolver mas n=E3o cheguei neste resultado, vejam minha r= esolu=E7=E3o e me digam onde errei:=20
2x-3+(5/x)+5<=3D1=20
2x-3+(5/x)+5-1<=3D0=20
2x^2 -3x + 5 + 4x <=3D0 (Nesta etapa eu multipliquei por x)=20
2x^2 + x + 5<=3D0=20
A partir disso percebe-se que delta =E9 igual -39, portanto n=E3o h=E1 r= a=EDzes reais e a resposta n=E3o pode ser :{x e R| x<0}.=20

Obs: Voc=EAs me disseram que o erro foi que ao inv=E9s de 2x^2 + x + 5&l= t;=3D0  o certo seria  (2x^2 + x + 5)/ x<=3D0, portanto temos q= ue x# 0, mas o discriminante =E9 negativo e sendo assim todo x pertencente a= R ter=E1 f(x)=3D2x^2 + x + 5>=3D e nunca negativo como na resolu=E7=E3o.= Me d=EAem uma luz nesta an=E1lise de sinais!
--part1_133.1aa4c3e2.2b72c693_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 19:11:40 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA30636 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 19:09:56 -0200 Received: from birosca.ime.usp.br (birosca.ime.usp.br [143.107.45.59]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id TAA30632 for ; Wed, 5 Feb 2003 19:09:53 -0200 Received: (qmail 9419 invoked from network); 5 Feb 2003 21:09:08 -0000 Received: from rebutosa.ime.usp.br (143.107.45.16) by birosca.ime.usp.br with SMTP; 5 Feb 2003 21:09:08 -0000 Received: (qmail 9518 invoked by uid 1604); 5 Feb 2003 21:09:22 -0000 Date: Wed, 5 Feb 2003 19:09:22 -0200 (EDT) From: Salvador Addas Zanata X-Sender: sazanata@rebutosa To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Fun=E7=E3o_uniformemente_diferenci=E1vel?= In-Reply-To: <00f201c2cd56$d5bcd8c0$3300c57d@bovespa.com> Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=ISO-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id TAA30633 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 3608 Lines: 107 Oi Claudio, Seja I=[a,b] e z em I. Defina G(x,y)=(f(x)-f(y))/(x-y) uma funcao de 2 variaveis em IxI da seguinte forma: Se x<>y, nao ha problema. Se x=y, G(x,x)=f'(x). Eh claro que G eh continua, porque f eh derivavel, G(x,x)=f'(x) e G(x,y)=G(y,x). Vamos supor que {min f' em I} < f'(z) < {max f' em I}. Nesse caso existe (x0,y0) e (x1,y1) tais que: 1) G(x0,y0)y0 e x1>y1. Una agora os pontos (x0,y0) e (x1,y1) por uma reta. Como essa reta nao cruza a diagonal, pelo teorema do valor intermediario segue o que voce quer. O ponto crucial eh garantir que a reta nao cruza a diagonal. Abraco, Salvador On Wed, 5 Feb 2003, Cláudio (Prática) wrote: > Caro Artur: > > Tentando resolver os seus problemas (especificamente, com as voltas dos "se > e somente se") eu me deparei com uma dúvida: > > Tome uma função f, diferenciável num intervalo aberto I. > É verdade que dado qualquer z em I, existem x e y em I tais que: > f'(z) = [f(x)-f(y)]/(x-y) ? > Este seria uma espécie de recíproco do teorema do valor médio. > > Um abraço, > Claudio. > > ----- Original Message ----- > From: "Artur Costa Steiner" > To: > Sent: Wednesday, February 05, 2003 6:09 AM > Subject: [obm-l] Função uniformemente diferenciável > > > Aos amigos que curtem Análise Real proponho o seguinte problema, que > acho bastante interessante. Antes, porém, lembro o conceito não muito > difundido de função uniformemente diferenciável. Dizemos que f é > uniformemente diferenciável em um intervalo I se, dado qualquer eps>0, > existir d>0 tal que, se x e y estiverem em I e se 0 < |x-y| < d, então > |[f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(x)|< eps. Observamos aqui a similaridade com > continuidade uniforme. O delta depende apenas do eps, vale dizer, um > mesmo delta é bom para todos os elementos do intervalo. > > Mostre que f uniformemnte diferenciável em um intervalo I se, e somente > se, f' for uniformemente contínua em I. > > Ah, outra conclusão simples mas interessante. Mostre que se f for > diferenciável em I, então f' é limitada em I se, e somente se, f > satisfizer neste intervalo à condicão de Lipschitz. Lembro que f > satisfaz à condicão de Lipschitz em I se existir uma constante K>0 tal > que |f(x) - f(y)| <= K |x-y| para todos x e y em I. > > Ah, para terminar, espero não estar sendo chato... É imediato que se f > satisfizer à condicão de Lipschitz em I então f é uniformemente contínua > em I. Basta fazer delta = eps/K. Mas a recíproca não é verdadeira. Um > contra exemplo interessante é f(x) = raiz(x) em [0, 1]. > > Abraços. > Artur > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 19:14:42 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA30709 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 19:13:26 -0200 Received: from athenas.vesper.com.br (athenas.vesper.com.br [200.170.46.26]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA30705 for ; Wed, 5 Feb 2003 19:13:23 -0200 Received: from ipcsrvnws02.vespersa.com.br ([10.11.255.107]) by athenas.vesper.com.br with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5329); Wed, 5 Feb 2003 19:07:55 -0300 Received: by ipcsrvnws01.sp.vespersa.com.br with Internet Mail Service (5.5.2653.19) id <1JTR9VAL>; Wed, 5 Feb 2003 19:12:19 -0300 Message-ID: From: =?iso-8859-1?Q?Jo=E3o_Gilberto_Ponciano_Pereira?= To: "'obm-l@mat.puc-rio.br'" Subject: RE: [obm-l] restorno: estudo de sinais Date: Wed, 5 Feb 2003 19:12:47 -0300 MIME-Version: 1.0 X-Mailer: Internet Mail Service (5.5.2653.19) Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" X-OriginalArrivalTime: 05 Feb 2003 22:07:55.0656 (UTC) FILETIME=[0904C880:01C2CD63] Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id TAA30706 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1484 Lines: 47 (2x^2 + x + 5)/ x<=0 O numerador vai ser positivo para qualquer x. Logo, o denominador vai determinar a desigualdade... x positivo, a desigualdade é falsa. x=0, indeterminado x negativo, a desigualdade é verdadeira. -----Original Message----- From: Faelccmm@aol.com [mailto:Faelccmm@aol.com] Sent: Wednesday, February 05, 2003 4:57 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] restorno: estudo de sinais Olá pessoal, Eu enviei esta questão: (FUVEST) Resolva 2x - 3 + 5*[(1/x) + 1] <=1 resp:{x e R| x<0} Obs: Eu tentei resolver mas não cheguei neste resultado, vejam minha resolução e me digam onde errei: 2x-3+(5/x)+5<=1 2x-3+(5/x)+5-1<=0 2x^2 -3x + 5 + 4x <=0 (Nesta etapa eu multipliquei por x) 2x^2 + x + 5<=0 A partir disso percebe-se que delta é igual -39, portanto não há raízes reais e a resposta não pode ser :{x e R| x<0}. Obs: Vocês me disseram que o erro foi que ao invés de 2x^2 + x + 5<=0 o certo seria (2x^2 + x + 5)/ x<=0, portanto temos que x# 0, mas o discriminante é negativo e sendo assim todo x pertencente a R terá f(x)=2x^2 + x + 5>= e nunca negativo como na resolução. Me dêem uma luz nesta análise de sinais! ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 19:18:20 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA30851 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 19:17:02 -0200 Received: from br.inter.net (opt-0-13.br.inter.net [200.185.56.13] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA30847 for ; Wed, 5 Feb 2003 19:16:59 -0200 Received: from dialup-200-184-32-223.intelignet.com.br ([200.184.32.223] helo=irna) by br.inter.net with esmtp (Exim 3.36 #1) id 18gWuF-0003az-00 for obm-l@mat.puc-rio.br; Wed, 05 Feb 2003 19:16:32 -0200 Message-ID: <000c01c2cd5c$2e104a20$389cfea9@irna> From: "Josimar" To: References: <133.1aa4c3e2.2b72c693@aol.com> Subject: Re: [obm-l] restorno: estudo de sinais Date: Wed, 5 Feb 2003 19:16:22 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0025_01C2CD4B.11F97E80" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MIMEOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 4963 Lines: 126 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0025_01C2CD4B.11F97E80 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Voc=EA errou quando multiplicou ambos os membros da igualdade por x, sem = se preoculpar se x>0 ou x<0, pois para cada caso vc ter=E1 uma = desigualdade diferente. Voc=EA est=E1 correto quando diz que se no trin=F4mio do numerador a>0 = e delta<0, ent=E3o o numerador ser=E1 sempre positivo, para todo x real. = Logo, se x<0, vc ter=E1 numerador positivo e denominador negativo o que = d=E1 quociente negativo. TESTE x=3D-1 ou x =3D - 20. []s, Josimar=20 ----- Original Message -----=20 From: Faelccmm@aol.com=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Wednesday, February 05, 2003 5:57 PM Subject: [obm-l] restorno: estudo de sinais Ol=E1 pessoal,=20 Eu enviei esta quest=E3o:=20 (FUVEST) Resolva 2x - 3 + 5*[(1/x) + 1] <=3D1=20 resp:{x e R| x<0}=20 Obs: Eu tentei resolver mas n=E3o cheguei neste resultado, vejam minha = resolu=E7=E3o e me digam onde errei:=20 2x-3+(5/x)+5<=3D1=20 2x-3+(5/x)+5-1<=3D0=20 2x^2 -3x + 5 + 4x <=3D0 (Nesta etapa eu multipliquei por x)=20 2x^2 + x + 5<=3D0=20 A partir disso percebe-se que delta =E9 igual -39, portanto n=E3o h=E1 = ra=EDzes reais e a resposta n=E3o pode ser :{x e R| x<0}.=20 Obs: Voc=EAs me disseram que o erro foi que ao inv=E9s de 2x^2 + x + = 5<=3D0 o certo seria (2x^2 + x + 5)/ x<=3D0, portanto temos que x# 0, = mas o discriminante =E9 negativo e sendo assim todo x pertencente a R = ter=E1 f(x)=3D2x^2 + x + 5>=3D e nunca negativo como na resolu=E7=E3o. = Me d=EAem uma luz nesta an=E1lise de sinais!=20 ------=_NextPart_000_0025_01C2CD4B.11F97E80 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Voc=EA errou quando multiplicou ambos = os membros da=20 igualdade por x, sem se preoculpar se x>0 ou x<0, pois para cada = caso vc=20 ter=E1 uma desigualdade diferente.
Voc=EA est=E1 correto quando diz que se = no trin=F4mio do=20 numerador  a>0 e delta<0, ent=E3o o numerador ser=E1 = sempre=20 positivo, para todo x real. Logo, se x<0, vc ter=E1 numerador = positivo e=20 denominador negativo o que d=E1 quociente negativo.
TESTE x=3D-1 ou x =3D - = 20.
[]s, Josimar 
----- Original Message -----
From:=20 Faelccmm@aol.com=20
Sent: Wednesday, February 05, = 2003 5:57=20 PM
Subject: [obm-l] restorno: = estudo de=20 sinais

Ol=E1 = pessoal,

Eu=20 enviei esta quest=E3o:

(FUVEST) Resolva 2x - 3 + 5*[(1/x) + 1] = <=3D1=20

resp:{x e R| x<0}

Obs: Eu tentei resolver mas n=E3o = cheguei=20 neste resultado, vejam minha resolu=E7=E3o e me digam onde errei:=20
2x-3+(5/x)+5<=3D1
2x-3+(5/x)+5-1<=3D0
2x^2 -3x + 5 + = 4x <=3D0=20 (Nesta etapa eu multipliquei por x)
2x^2 + x + 5<=3D0
A = partir disso=20 percebe-se que delta =E9 igual -39, portanto n=E3o h=E1 ra=EDzes reais = e a resposta=20 n=E3o pode ser :{x e R| x<0}.

Obs: Voc=EAs me disseram que = o erro foi=20 que ao inv=E9s de 2x^2 + x + 5<=3D0  o certo seria  (2x^2 = + x + 5)/=20 x<=3D0, portanto temos que x# 0, mas o discriminante =E9 negativo e = sendo assim=20 todo x pertencente a R ter=E1 f(x)=3D2x^2 + x + 5>=3D e nunca = negativo como na=20 resolu=E7=E3o. Me d=EAem uma luz nesta an=E1lise de sinais!=20
------=_NextPart_000_0025_01C2CD4B.11F97E80-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 19:21:35 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA30988 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 19:20:16 -0200 Received: from quebec.procergs.com.br (quebec.procergs.com.br [200.198.128.236]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA30984 for ; Wed, 5 Feb 2003 19:20:13 -0200 Received: from hurdles (p194.01.virtua.pae.procergs.com.br [200.198.152.194]) by quebec.procergs.com.br (Postfix) with ESMTP id 99D19732AB for ; Wed, 5 Feb 2003 19:19:41 -0200 (BRST) Message-ID: <000a01c2cd5d$7ebd8f40$c298c6c8@cablemodemnet.com.br> From: "Thyago Alexandre Kufner" To: Subject: [obm-l] =?Windows-1252?Q?M=E1ximos_e_M=EDnimos_SEM_DERIVADAS?= Date: Wed, 5 Feb 2003 19:28:11 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2800.1106 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 803 Lines: 26 Olá colegas da lista Recebi o seguinte exercício de um aluno: "Sendo x um nº positivo determine o menor valor de E= 5x + 16/x + 21" Normal, um exercício simples. Deriva, iguala a zero ... Mas o que quero propor para a lista é o seguinte: tem como chegar ao resultado SEM UTILIZAR CÁLCULO? Proponho esta discussão por causa do seguinte artigo: http://mathcircle.berkeley.edu/BMC4/Handouts/MaxMin.pdf Aguardo resposta Atenciosamente Prof. Thyago WebMaster cursinho.hpg.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 19:59:28 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA00885 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 19:58:06 -0200 Received: from trex-b.centroin.com.br (trex-b.centroin.com.br [200.225.63.136]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA00880 for ; Wed, 5 Feb 2003 19:58:03 -0200 Received: from centroin.com.br (du135c.rjo.centroin.com.br [200.225.58.135]) (authenticated bits=0) by trex-b.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h15Lvs0o023592 for ; Wed, 5 Feb 2003 19:57:55 -0200 (EDT) Message-ID: <3E419731.8030308@centroin.com.br> Date: Wed, 05 Feb 2003 19:58:57 -0300 From: "A. C. Morgado" User-Agent: Mozilla/5.0 (Windows; U; Windows NT 5.0; en-US; rv:1.0.2) Gecko/20021120 Netscape/7.01 X-Accept-Language: en-us, en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] =?windows-1252?Q?M=E1ximos_e_M=EDnimos_SEM_D?= =?windows-1252?Q?ERIVADAS?= References: <000a01c2cd5d$7ebd8f40$c298c6c8@cablemodemnet.com.br> Content-Type: text/plain; charset=windows-1252; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1576 Lines: 48 Resolva a equaçao ao contrario. Dah 5x^2 +(21-E)x +16 =0 10x= E-21 (+_) sqrt [(21-E)^2 - 320] Portanto, (21-E)^2 - 320 deve ser maior ou igual 0. Daih, E (menor ou igual) 21-sqrt320 ou E (maior ou igual) 21 +sqrt 320 Eh facil ver ( se x positivo, E>21; se x<0, E<21) que os primeiros valores ocorrem para x negativo e os segundos, para x positivo. A resposta eh 21 + sqrt320. Thyago Alexandre Kufner wrote: >Olá colegas da lista > >Recebi o seguinte exercício de um aluno: > >"Sendo x um nº positivo determine o menor valor de E= 5x + 16/x + 21" > >Normal, um exercício simples. Deriva, iguala a zero ... > >Mas o que quero propor para a lista é o seguinte: tem como chegar ao >resultado SEM UTILIZAR CÁLCULO? > >Proponho esta discussão por causa do seguinte artigo: > >http://mathcircle.berkeley.edu/BMC4/Handouts/MaxMin.pdf > >Aguardo resposta > >Atenciosamente >Prof. Thyago >WebMaster cursinho.hpg.com.br > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= > > > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 20:00:31 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA00915 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 19:59:15 -0200 Received: from pop2 (mtasjc.directnet.com.br [200.152.0.15]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA00911 for ; Wed, 5 Feb 2003 19:59:12 -0200 Received: from meu ([200.152.14.28]) by pop2.directnet.com.br (iPlanet Messaging Server 5.2 HotFix 1.08 (built Dec 6 2002)) with SMTP id <0H9U00CEAVM1L0@pop2.directnet.com.br> for obm-l@mat.puc-rio.br; Wed, 05 Feb 2003 19:56:27 -0200 (EDT) Date: Wed, 05 Feb 2003 20:15:05 -0200 From: Daniel Subject: [obm-l] =?Windows-1252?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_M=E1ximos_e_M=EDnimos_SEM_DERIVADAS?= To: obm-l@mat.puc-rio.br Message-id: <000801c2cd64$0aa367e0$0100a8c0@directnet.com.br> MIME-version: 1.0 X-MIMEOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2800.1106 Content-type: text/plain; charset=Windows-1252 Content-transfer-encoding: 8BIT X-Priority: 3 X-MSMail-priority: Normal References: <000a01c2cd5d$7ebd8f40$c298c6c8@cablemodemnet.com.br> Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1366 Lines: 41 ----- Original Message ----- From: "Thyago Alexandre Kufner" To: Sent: Wednesday, February 05, 2003 7:28 PM Subject: [obm-l] Máximos e Mínimos SEM DERIVADAS > Olá colegas da lista > > Recebi o seguinte exercício de um aluno: > > "Sendo x um nº positivo determine o menor valor de E= 5x + 16/x + 21" > > Normal, um exercício simples. Deriva, iguala a zero ... > > Mas o que quero propor para a lista é o seguinte: tem como chegar ao > resultado SEM UTILIZAR CÁLCULO? > > Proponho esta discussão por causa do seguinte artigo: > > http://mathcircle.berkeley.edu/BMC4/Handouts/MaxMin.pdf > > Aguardo resposta > > Atenciosamente > Prof. Thyago > WebMaster cursinho.hpg.com.br > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 20:11:20 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA01317 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 20:09:59 -0200 Received: from mta2sjc.directnet.com.br (mta2sjc.directnet.com.br [200.152.0.13]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id UAA01302 for ; Wed, 5 Feb 2003 20:09:54 -0200 Received: from meu ([200.152.14.28]) by pop.directnet.com.br (iPlanet Messaging Server 5.2 HotFix 1.08 (built Dec 6 2002)) with SMTP id <0H9U00B1SW58J1@pop.directnet.com.br> for obm-l@mat.puc-rio.br; Wed, 05 Feb 2003 20:07:57 -0200 (EDT) Date: Wed, 05 Feb 2003 20:24:52 -0200 From: Daniel Subject: [obm-l] =?Windows-1252?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_M=E1ximos_e_M=EDnimos_SEM_DERIVADAS?= To: obm-l@mat.puc-rio.br Message-id: <001801c2cd65$674d37e0$0100a8c0@directnet.com.br> MIME-version: 1.0 X-MIMEOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2800.1106 Content-type: text/plain; charset=Windows-1252 Content-transfer-encoding: 8BIT X-Priority: 3 X-MSMail-priority: Normal References: <000a01c2cd5d$7ebd8f40$c298c6c8@cablemodemnet.com.br> Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1526 Lines: 28 Sobre a questão de Máximos e Mínimos sem derivadas: Primeiro peço desculpa pois esbarrei no botão e acabei enviando um e-mail vazio, mas quanto a questão acima tenho algumas opinões: Achei o artigo bem interessante, no entanto o desigualde das médias não é um assunto abordado no ensino médio comum, aquela fatoração (a^3 + b^3 ...) também não. Outro ponto importante é o tempo, afinal, para fazer aqueles algebrismos que o autor mencionou, exergar os termos corretos, são processos demorados, não nos exemplos simples, mas no mais complicados, e o fato é que no vestibular não há tempo para isso. Acredito que ensinar um aluno do ensino médio interessado em exatas a calcular limites (não pela definição), derivar, regras de derivação e noções bem básicas de integral, não é o fim do mundo e será de extremo auxílio durante o curso, principalmente o de física e uma ferramenta rápida e geral para o vestibular. Por tudo isto acredito que o livro de Iezzi, volume 8 é bem adequado. São estes os comentários de um estudante que acaba de entrar na faculdade, espero não ter falado muita besteira. Daniel O. Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 20:19:27 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA01736 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 20:18:07 -0200 Received: from web40102.mail.yahoo.com (web40102.mail.yahoo.com [66.218.78.36]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id UAA01732 for ; Wed, 5 Feb 2003 20:18:04 -0200 Message-ID: <20030205221732.26154.qmail@web40102.mail.yahoo.com> Received: from [200.222.231.206] by web40102.mail.yahoo.com via HTTP; Wed, 05 Feb 2003 14:17:32 PST Date: Wed, 5 Feb 2003 14:17:32 -0800 (PST) From: fabio fortes Subject: [obm-l] Livros que desenvolvam raciocínio espacial To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=us-ascii Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 688 Lines: 16 Sei que boa parte é talento, mas gostaria de saber se alguém conhece livros que trabalhem raciocínio espacial. Não somente geometria espacial, mas também questões que usualmente caem em testes de QI e de lógica. Obrigado __________________________________________________ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail Plus - Powerful. Affordable. Sign up now. http://mailplus.yahoo.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 22:06:15 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA04684 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 22:04:39 -0200 Received: from mta2sjc.directnet.com.br (mta2sjc.directnet.com.br [200.152.0.13]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA04680 for ; Wed, 5 Feb 2003 22:04:36 -0200 Received: from meu ([200.152.14.28]) by pop.directnet.com.br (iPlanet Messaging Server 5.2 HotFix 1.08 (built Dec 6 2002)) with SMTP id <0H9V00BE31I0SJ@pop.directnet.com.br> for obm-l@mat.puc-rio.br; Wed, 05 Feb 2003 22:03:36 -0200 (EDT) Date: Wed, 05 Feb 2003 22:20:31 -0200 From: Daniel Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Livros_que_desenvolvam_racioc=EDnio_espaci?= =?iso-8859-1?Q?al?= To: obm-l@mat.puc-rio.br Message-id: <002201c2cd75$8f0c2240$0100a8c0@directnet.com.br> MIME-version: 1.0 X-MIMEOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2800.1106 Content-type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-transfer-encoding: 8BIT X-Priority: 3 X-MSMail-priority: Normal References: <20030205221732.26154.qmail@web40102.mail.yahoo.com> Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1528 Lines: 35 Não sei se os professores e alunos da lista concordam, mas dois livros que me ajudaram bastante com matemática olímpica (problemas de raciocínio) são do Prof. Jonofon Serates (não sei se está correto), são dois volumes, chama-se "Raciocínio Lógico". Daniel ----- Original Message ----- From: "fabio fortes" To: Sent: Wednesday, February 05, 2003 8:17 PM Subject: [obm-l] Livros que desenvolvam raciocínio espacial > Sei que boa parte é talento, mas gostaria de saber se > alguém conhece livros que trabalhem raciocínio > espacial. Não somente geometria espacial, mas também > questões que usualmente caem em testes de QI e de > lógica. > Obrigado > > __________________________________________________ > Do you Yahoo!? > Yahoo! Mail Plus - Powerful. Affordable. Sign up now. > http://mailplus.yahoo.com > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 22:37:44 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA05232 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 22:36:24 -0200 Received: from smtp-30.ig.com.br (smtp-33.ig.com.br [200.226.132.183]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id WAA05228 for ; Wed, 5 Feb 2003 22:36:21 -0200 Received: (qmail 30089 invoked from network); 6 Feb 2003 00:35:45 -0000 Received: from shasta038136.ig.com.br (HELO araujoimeig) (200.151.38.136) by smtp-33.ig.com.br with SMTP; 6 Feb 2003 00:35:45 -0000 Message-ID: <000b01c2cd77$935c57a0$882697c8@com.br> From: =?iso-8859-1?B?QW5kcuk=?= To: References: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Somat=F3rio?= Date: Wed, 5 Feb 2003 22:34:16 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1701 Lines: 67 S(n) = 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n S(n+1) = 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n +(n-1)*(n+1) S(n+1) - S(n) = (n-1)*(n+1) = n^2 - 1 Assim, S(4) - S(3) = 3^2 - 1 S(5) - S(4) = 4^2 - 1 S(6) - S(5) = 5^2 - 1 ... S(n) - S(n-1) = (n-1)^2 - 1 Somando as equacoes acima , tem-se: S(n) - S(3) = [ 3^2 + 4^2 + ... + (n-1)^2] - (n-3) Sabe-se que: 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + (n-1)^2 = (n-1)*n*(2*n-1)/6 Logo: S(n) = 3 + (n-1)*n*(2*n-1)/6 - 5 - n +3 = (n-1)(2*n^2 - n -6)/6 S(n) = (n-2)*(n-1)*(2*n+3)/6 Isto eh tudo. Andre A. ----- Original Message ----- From: cfgauss77 To: Lista OBM Sent: Sunday, February 02, 2003 12:08 PM Subject: [obm-l] Somatório > Gostaria de uma ajudinha com o seguinte somatório, se > possível. > > 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n , para n>2. > > Desde já agradeço! > > > __________________________________________________________________________ > E-mail Premium BOL > Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! > http://email.bol.com.br/ > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 5 23:22:38 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA06363 for obm-l-MTTP; Wed, 5 Feb 2003 23:21:12 -0200 Received: from web13007.mail.yahoo.com (web13007.mail.yahoo.com [216.136.174.17]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id XAA06359 for ; Wed, 5 Feb 2003 23:21:08 -0200 Message-ID: <20030206012036.83271.qmail@web13007.mail.yahoo.com> Received: from [200.148.194.252] by web13007.mail.yahoo.com via HTTP; Wed, 05 Feb 2003 22:20:36 ART Date: Wed, 5 Feb 2003 22:20:36 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Helder=20Suzuki?= Subject: Re: [obm-l] Máximos_e_Mínimos_SEM_DERIVADAS To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <000a01c2cd5d$7ebd8f40$c298c6c8@cablemodemnet.com.br> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1582 Lines: 57 --- Thyago Alexandre Kufner escreveu: > Olá colegas da lista > > Recebi o seguinte exercício de um aluno: > > "Sendo x um nº positivo determine o menor valor de > E= 5x + 16/x + 21" > > Normal, um exercício simples. Deriva, iguala a zero > ... > > Mas o que quero propor para a lista é o seguinte: > tem como chegar ao > resultado SEM UTILIZAR CÁLCULO? > > Proponho esta discussão por causa do seguinte > artigo: > > http://mathcircle.berkeley.edu/BMC4/Handouts/MaxMin.pdf > > Aguardo resposta > > Atenciosamente > Prof. Thyago > WebMaster cursinho.hpg.com.br vejamos y = 5x + 16/x + 21 multiplicando tudo por x, temos que xy = 5x^2 + 21x + 16 => 5x^2 + (21-y)x + 16 = 0 Como X é real, o delta não pode ser menor que zero. portanto: Delta = (y-21)^2 - 16*5 >= 0 y^2 - 42y + 441 - 16*4 >= 0 y^2 - 42y + 347 >= 0 se voce resolver essa inequação vc encontrará os intervalos em que não há raiz de números negativos: os invevalos em que y existe. (você vai encontrar algo como y >= ... e y <= ..., daí fica fácil ver o máximo e mínimo locais) _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 6 14:20:45 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA00758 for obm-l-MTTP; Thu, 6 Feb 2003 14:16:10 -0200 Received: from hotmail.com (f43.sea2.hotmail.com [207.68.165.43]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA00747 for ; Thu, 6 Feb 2003 14:15:56 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Thu, 6 Feb 2003 07:02:17 -0800 Received: from 200.216.62.82 by sea2fd.sea2.hotmail.msn.com with HTTP; Thu, 06 Feb 2003 15:02:16 GMT X-Originating-IP: [200.216.62.82] From: "Paulo Santa Rita" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Loteria Matematica II Date: Thu, 06 Feb 2003 15:02:16 +0000 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 06 Feb 2003 15:02:17.0116 (UTC) FILETIME=[BD4695C0:01C2CDF0] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1809 Lines: 55 Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, Voce tem certeza que o problema e esse ai embaixo ? Mais que isso : esse enunciado e "um problema" ? Os sub-conjuntos abaixo constituem uma escolha valida : {1,2,3,4,5,6} {7,8,9,10,11,12} {13,14,15,16,17,18} {19,20,21,22,23,24} {25,26,27,28,29,30} {31,32,33,34,35,36} {1,2,7,8,13,14} {3,4,9,10,15,16} {5,6,11,12,17,18} Numa loteria sao sorteados 1 numeros escolhidos aleatoriamente de {1,2,3,...,48,49}. Cada cartao de apostas deve ser preenchido com exatamente 7 numeros. Uma pessoa pode pode apostar quantos cartoes desejar sem pagar nada, desde que quaisquer dois cartoes de sua aposta tenham, NO MAXIMO, uma dezena em comum. O primeiro premio e dado a pessoa que acertar o maior numero de triplos. 1 ) Exiba uma aposta gratuita que tenha a maxima probabibilidade de ganhar o primeiro premio 2 ) Qual o valor da probabilidade acima ? Um Abraco a todos Paulo Santa Rita 5,1300,060203 >Você chegou a olhar o problema da Loteria Matemática? >Escolha 9 subconjuntos de 6 elementos de {1, 2, ..., 36 } tais que, >qualquer que seja T - subconjunto de 6 elementos de { 1, 2, ..., 36 } ->a >interseção de T com pelo menos um dos 9 subconjuntos escolhidos é >vazia. > >Eu achei que tinha resolvido, mas descobri um furo na minha solução. > >************ > >Um abraço, >Claudio. _________________________________________________________________ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 6 14:21:03 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA00901 for obm-l-MTTP; Thu, 6 Feb 2003 14:19:42 -0200 Received: from imo-r02.mx.aol.com (imo-r02.mx.aol.com [152.163.225.98]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA00896 for ; Thu, 6 Feb 2003 14:19:38 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-r02.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.138.1aa39b6f (25508) for ; Thu, 6 Feb 2003 05:56:05 -0500 (EST) Message-ID: <138.1aa39b6f.2b739945@aol.com> Date: Thu, 6 Feb 2003 05:56:05 EST Subject: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?tri=E2ngulos?= To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_138.1aa39b6f.2b739945_boundary" X-Mailer: AOL 6.0 for Windows BR sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 3900 Lines: 90 --part1_138.1aa39b6f.2b739945_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal, (FUVEST) Dois pontos A e B est=E3o situados na margem de um rio e distantes=20= 40=20 m um do outro. Um ponto C, na outra margem do rio, est=E1 situado de tal mod= o=20 que o =E2ngulo C=C2B mede 75=BA e o =E2ngulo ACB mede 75=BA. Determine a lar= gura do rio: Resp: 20m Obs: Eu tentei resolver assim: Esbocei um tri=E2ngulo de base AB e conclui que o =E2ngulo ABC mede 30=BA,=20= pois =20 C=C2B mede 75=BA e o =E2ngulo ACB mede 75=BA. Outra conclus=E3o foi que o tr= i=E2ngulo =E9=20 is=F3sceles. Se o tri=E2ngulo =E9 is=F3sceles ent=E3o BC mede tb=E9m 40 m. D= epois eu=20 criei um segmento (paralelo =E0 altura do tri=E2ngulo de base AB) que vai d= o=20 v=E9rtice B at=E9 a intersec=E7=E3o com outro segmento que eu projetei do v= =E9rtice C,=20 criando assim a tri=E2ngulo BCD. Como o =E2ngulo ABC mede 30=BA ent=E3o CBD=20= medir=E1 60=20 (complementares) e BCD medir=E1 105=BA (suplementar com ACB que mede 75=BA).= =20 Portanto do tri=E2ngulo BCD temos 60=BA + 105=BA + BDC =3D 180, logo BDC=3D1= 5=BA. Como a=20 largura do rio =E9 BD, calculei esta pela lei dos senos: 40/sen 15=BA=3DBD/s= en105=BA.=20 Eu poderia fazer sen15=BA=3D sen (45=BA-30=BA) e sen 105=BA=3Dsen 75=BA=3Dse= n(40=BA+15=BA) e=20 encontrar o resultado, mas como eu n=E3o tinha certeza e daria muito trabalh= o=20 fiz na calculadora e o resultado foi aproximandamente 149. Acho que o meu=20 erro n=E3o est=E1 nem na resolu=E7=E3o do esquema que criei mas sim no pr= =F3prio=20 esquema, ou interpreta=E7=E3o do enunciado. Qual foi meu erro ao esbo=E7ar a= =20 situa=E7=E3o. =20 ICQ: 337140512 --part1_138.1aa39b6f.2b739945_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal,

(FUVEST) Dois pontos A e B est=E3o situados na margem de um rio e distan= tes 40 m um do outro. Um ponto C, na outra margem do rio, est=E1 situado de=20= tal modo que o =E2ngulo C=C2B mede 75=BA e o =E2ngulo ACB mede 75=BA. Determ= ine a largura do rio:

Resp: 20m

Obs: Eu tentei resolver assim:

Esbocei um tri=E2ngulo de base AB  e conclui que o =E2ngulo ABC med= e 30=BA, pois  C=C2B mede 75=BA e o =E2ngulo ACB mede 75=BA. Outra conc= lus=E3o foi que o tri=E2ngulo =E9 is=F3sceles. Se o tri=E2ngulo =E9 is=F3sce= les ent=E3o BC mede tb=E9m 40 m. Depois eu criei um segmento (paralelo =E0 a= ltura do tri=E2ngulo de base AB)  que vai do v=E9rtice B at=E9 a inters= ec=E7=E3o com outro segmento que eu projetei do v=E9rtice C, criando assim a= tri=E2ngulo BCD. Como o =E2ngulo ABC mede 30=BA ent=E3o CBD medir=E1 60 (co= mplementares) e BCD medir=E1 105=BA (suplementar com ACB que mede 75=BA). Po= rtanto do tri=E2ngulo BCD temos 60=BA + 105=BA + BDC =3D 180, logo BDC=3D15= =BA. Como a largura do rio =E9 BD, calculei esta pela lei dos senos: 40/sen=20= 15=BA=3DBD/sen105=BA. Eu poderia fazer sen15=BA=3D sen (45=BA-30=BA) e sen 1= 05=BA=3Dsen 75=BA=3Dsen(40=BA+15=BA) e encontrar o resultado, mas como eu n= =E3o tinha certeza e daria muito trabalho fiz na calculadora e o resultado f= oi aproximandamente 149. Acho que o meu erro n=E3o est=E1 nem na resolu=E7= =E3o do esquema que criei mas sim no pr=F3prio esquema, ou interpreta=E7=E3o= do enunciado. Qual foi meu erro ao esbo=E7ar a situa=E7=E3o.   &n= bsp;

ICQ: 337140512 --part1_138.1aa39b6f.2b739945_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 6 14:26:32 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA01115 for obm-l-MTTP; Thu, 6 Feb 2003 14:25:00 -0200 Received: from aacpdlotus.net.ms.gov.br (ns1.ms.gov.br [200.181.116.3]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA01108 for ; Thu, 6 Feb 2003 14:24:55 -0200 From: JoaoCarlos_Junior@net.ms.gov.br Subject: [obm-l] Determinantes To: X-Mailer: Lotus Notes Release 5.0.9a January 7, 2002 Message-ID: Date: Thu, 6 Feb 2003 07:06:26 -0400 X-MIMETrack: Serialize by Router on aacpdlotus/NETMS(Release 5.0.9a |January 7, 2002) at 02/06/2003 01:26:10 PM MIME-Version: 1.0 Content-type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id OAA01112 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1231 Lines: 31 Queridos amigos, como resolver as questões que seguem abaixo? 1) F(x) = x(x-1)(x-2)...(x-n+1). Calcular os determinantes: a) |F(0) F(1) F(2) ... F(n) | |F(1) F(2) F(3) ... F(n+1)| |.......................... | |F(n) F(n+1) F(n+2)... F(2n) | b) |F(a) F´(a) F"(a) ... F^(n)(a) | |F´(a) F"(a) F´´´(a) ... F^(n+1)(a)| |.......................................... | |F^(n)(a) F^(n+1)(a) F^(n+2)(a)... F^(2n)(a) | 2) Os números 204, 527 e 255 são divisíveis por 17. Demonstrar que | 2 0 4 | | 5 2 7 | | 2 5 5 | é divisível por 17. Fonte: Problemas de Álgebra Superior ? D. Faddieev, I. Sominski ? Editorial MIR ? Moscou. ATT. João Carlos. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 6 14:27:21 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA01191 for obm-l-MTTP; Thu, 6 Feb 2003 14:25:58 -0200 Received: from hotmail.com (f60.sea2.hotmail.com [207.68.165.60]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA01169 for ; Thu, 6 Feb 2003 14:25:46 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Thu, 6 Feb 2003 06:17:44 -0800 Received: from 200.142.58.19 by sea2fd.sea2.hotmail.msn.com with HTTP; Thu, 06 Feb 2003 14:17:44 GMT X-Originating-IP: [200.142.58.19] From: "Paulo Santa Rita" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?B?UmU6IFtvYm0tbF0gRnVu5+NvIEl0ZXJhZGE=?= Date: Thu, 06 Feb 2003 14:17:44 +0000 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 06 Feb 2003 14:17:44.0969 (UTC) FILETIME=[848D4F90:01C2CDEA] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2989 Lines: 77 Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, E verdade. Verifiquei a mensagem original do Conway. O enunciado correto e : Seja f(x)=x^2 + x + 1. Mostre que para todo natural N > 1, os numeros N, f(N), f(f(N)), f(f(f(N))), ... sao primos entre si. Um problema trivial. Basta analisar o MDC(N,f(N)). O problema abaixo nao e facil. Este problema me foi proposto a cerca de 8 anos atras e a pessoa me contou que o problema havia sido proposto ao Euler, que nao o resolveu. Mas nao sei se esta historia e verdadeira. PROBLEMA : Num poligono convexo de N lados e tal que duas diagonais quaisquer nao sao paralelas. Quantos pontos no exterior do poligono sao pontos de interseccao de diagonais ? OBS : Considere que nenhum ponto ( interior ou exterior ao poligono ) e ponto de interseccao de mais de duas diagonais. SUJESTAO : Antes de fazer uma sugestao, gostaria de registrar que o nosso colega Alexandre Tessarolo resolveu esta questao aqui nesta lista. A solucao dele nao e essa que vou sugerir. De um vertice partem N-3 diagonais. Se N e par havera uma unica diagonai N-3 diagonais se encontram. Afora este caso, duas diagonais quaisquer se encontraram ou fora ou dentro do poligono. IMAGINE as diagonais que partem de um vertice. Considerando qualquer uma delas em particular, observe que ela cinde o poligono em dois outros "sub-poligonos" que tem um lado em comum ( que e a diagonal sob analise ). Qualquer par de diagonais, uma de cada um dos "sub-poligonos" representam um ponto de interseccao no exterior, a excecao daqueles pares que tem um vertice comum. Finalmente, para que nao surjam dificuldades devido a paridade de N, use [N], a funcao maximo inteiro : o maior inteiro que nao supera N. Lembre-se tambem que em somatorios complicados, o uso de numeros binomiais costuma facilitara as coisas. Um Grande Abraco a Todos Paulo Santa Rita 5,1214,060203 >From: "Cláudio \(Prática\)" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: >Subject: [obm-l] Função Iterada >Date: Tue, 4 Feb 2003 20:35:22 -0200 > >Caro Paulo: > >Acho que o enunciado abaixo não está correto, pois encontrei um >contra-exemplo: N = 4 > >"Seja f(x)=x^2 + x + 1. Prove que para todo numero natural N > 1, os >numeros >f(N), f(f(N)), f(f(f(N))), f(f(f(f(N)))), ... sao dois a dois primos entre >si." > >N = 4 ==> >f(4) = 4^2 + 4 + 1 = 21 ==> >f(f(4)) = 21^2 + 21 + 1 = 463 ==> >f(f(f(4))) = 463^2 + 463 + 1 = 214.833 > >Mas MDC( f(4) , f(f(f(4))) ) = MDC( 21, 214.833 ) = 3 > _________________________________________________________________ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 6 14:30:34 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA01350 for obm-l-MTTP; Thu, 6 Feb 2003 14:29:15 -0200 Received: from birosca.ime.usp.br (birosca.ime.usp.br [143.107.45.59]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id OAA01347 for ; Thu, 6 Feb 2003 14:29:11 -0200 Received: (qmail 26521 invoked from network); 6 Feb 2003 12:26:39 -0000 Received: from mafalda.ime.usp.br (HELO bidu.ime.usp.br) (143.107.45.13) by birosca.ime.usp.br with SMTP; 6 Feb 2003 12:26:39 -0000 Received: (qmail 27413 invoked by uid 1604); 6 Feb 2003 12:25:12 -0000 Date: Thu, 6 Feb 2003 10:25:12 -0200 (EDT) From: Salvador Addas Zanata X-Sender: sazanata@mafalda To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?Re=3A_=5Bobm-l=5D_M=E1ximos=5Fe=5FM=EDnimos=5FSEM=5FDE?= =?ISO-8859-1?Q?RIVADAS?= In-Reply-To: <20030206012036.83271.qmail@web13007.mail.yahoo.com> Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=ISO-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id OAA01348 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2154 Lines: 72 Pode ser assim tambem: E=5x+16/x+21 >= 2*sqrt(80)+21, usando a desigualdade das medias. On Wed, 5 Feb 2003, Helder Suzuki wrote: > --- Thyago Alexandre Kufner escreveu: > > Olá colegas da lista > > > > Recebi o seguinte exercício de um aluno: > > > > "Sendo x um nº positivo determine o menor valor de > > E= 5x + 16/x + 21" > > > > Normal, um exercício simples. Deriva, iguala a zero > > ... > > > > Mas o que quero propor para a lista é o seguinte: > > tem como chegar ao > > resultado SEM UTILIZAR CÁLCULO? > > > > Proponho esta discussão por causa do seguinte > > artigo: > > > > > http://mathcircle.berkeley.edu/BMC4/Handouts/MaxMin.pdf > > > > Aguardo resposta > > > > Atenciosamente > > Prof. Thyago > > WebMaster cursinho.hpg.com.br > > vejamos > y = 5x + 16/x + 21 > > multiplicando tudo por x, temos que > xy = 5x^2 + 21x + 16 > => > 5x^2 + (21-y)x + 16 = 0 > > Como X é real, o delta não pode ser menor que zero. > portanto: > > Delta = (y-21)^2 - 16*5 >= 0 > y^2 - 42y + 441 - 16*4 >= 0 > y^2 - 42y + 347 >= 0 > > se voce resolver essa inequação vc encontrará os > intervalos em que não há raiz de números negativos: os > invevalos em que y existe. > (você vai encontrar algo como y >= ... e y <= ..., daí > fica fácil ver o máximo e mínimo locais) > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. > http://br.busca.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 6 14:32:47 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA01522 for obm-l-MTTP; Thu, 6 Feb 2003 14:31:23 -0200 Received: from hotmail.com (f133.law15.hotmail.com [64.4.23.133]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA01504 for ; Thu, 6 Feb 2003 14:31:15 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Thu, 6 Feb 2003 07:45:39 -0800 Received: from 200.206.103.3 by lw15fd.law15.hotmail.msn.com with HTTP; Thu, 06 Feb 2003 15:45:38 GMT X-Originating-IP: [200.206.103.3] From: "RICARDO CHAVES" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia Date: Thu, 06 Feb 2003 15:45:38 +0000 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 06 Feb 2003 15:45:39.0842 (UTC) FILETIME=[CC9F0E20:01C2CDF6] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 6294 Lines: 121

Cara de boa,isto e dificil...Um problema da OMR pedia pra provar que o troço tinha termos cada vez mais longe entre si.E nao tive nenhum lampejo de ideias.

>From: "Cláudio \(Prática\)"

>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To:
>Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia
>Date: Wed, 5 Feb 2003 18:30:35 -0200
>
>Caro Matteus:
>
>Infelizmente tenho que admitir que o algoritmo abaixo está furado. Ele
>produz uma sequência crescente de números da forma desejada, mas não todos
>eles - de fato, ele produz a sequência 1, 2, 4, 8, 16,.....
>
>Eu pensei um pouco mais sobre o problema e cheguei à conclusão de que é bem
>mais difícil do que eu imaginava.
>
>Por exemplo, com o caso mais simples - nos. da forma 2^a * 3^b, a sequência
>será:
>
>N 1 2 3 4 6 8 9 12 16 18 24 27 32 36 48 54 64 72
>a 0 1 0 2 1 3 0 2 4 1 3 0 5 2 4 1
>6 3
>b 0 0 1 0 1 0 2 1 0 2 1 3 0 2 1 3
>0 2
>
>Repare que a sequência de pares (a,b) que produzem todos os N em ordem
>crescente não parece obedecer nenhuma lei de formação óbvia.
>
>Por enquanto, só o que dá pra sugerir é um algoritmo extremamente
>ineficiente que toma cada número natural, remove os fatores 2, 3 e 5 e, se
>estes forem os únicos fatores, adiciona este número à sequência. Em seguida
>toma o número natural seguinte, e assim por diante.
>
>Problema interessante. Vou pensar mais um pouco.
>
>Um abraço,
>Claudio
>
>----- Original Message -----
>From: "Cláudio (Prática)"
>To:
>Sent: Tuesday, February 04, 2003 8:37 AM
>Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia
>
>
>Caro Matteus:
>
>O algoritmo abaixo cria uma sequência X tal que X(1) = 1 ( = 2^0 * 3^0 *
>5^0 ) e X(N) = N-ésimo inteiro positivo da forma 2^a * 3^b * 5^c. A
>ordenação é a usual (m < n <==> X(m) < X(n) )
>
>"Input" N
>a = 0
>b = 0
>c = 0
>K = 1
>(***) X(K) = 1
>P = 2^(a+1) * 3^b * 5^c
>Flag = 1
>Se P > 2^a * 3^(b+1) * 5^c então ( P = 2^a * 3^(b+1) * 5^c e Flag =
>2 )
>Se P > 2^a * 3^b * 5^(c+1) então ( P = 2^a * 3^b * 5^(c+1) e Flag =
>3 )
>Se Flag = 1 então a = a+1
>Se Flag = 2 então b = b+1
>Se Flag = 3 então c = c+1
>K = K+1
>Se K <= N então Retorna para (***)
>Fim
>
>Espero que isso ajude.
>
>Um abraço,
>Claudio.
>
>----- Original Message -----
>From: "matteus barreto"
>To:
>Sent: Monday, February 03, 2003 6:04 PM
>Subject: [obm-l] k-esimo numero da sequencia
>
>
>
>Sera que alguem poderia me sugerir, se nao uma forma
>fechada, um passo a passo (um algoritmo) para se
>encontrar o k-esimo numero da sequencia:
>
> 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15..., ou seja, os
>números da forma (2^a)*(3^b)*(5^c), com a, b, c
>pertencentes ao conjunto dos inteiros nao negativos.
>Ja pensei bastante a respeito mas sem resultados mais concludentes.
>
>_______________________________________________________________________
>Busca Yahoo!
>O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo!
>encontra.
>http://br.busca.yahoo.com/
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Além disso, é fácil ver que a primeira desigualdade vira uma igualdade se e somente se y = 1. Logo, a última também. Conclusão: o valor mínimo de y + 1/y para y > 0 é igual a 2 (e ocorre se e seomente se y = 1) ********* Agora, a idéia é usar uma mudança de variáveis da forma x = ay, onde "a" é uma constante real positiva, a fim de obter uma expressão da forma: b(y + 1/y) Assim, 5x + 16/x = 5ay + 16/(ay) = b(y + 1/y) ==> 5a = b e 16/a = b ==> 5a = 16/a ==> a^2 = 16/5 ==> a = 4/raiz(5) ==> b = 5a = 20/raiz(5) = 4raiz(5) Logo, a sua expressão E = 5x + 16/x + 21 torna-se E = 4raiz(5)(y + 1/y) + 21. Como o valor mínimo de y + 1/y é 2, você pode concluir que o valor mínimo de E é 8raiz(5) + 21, ou, como o Prof. Morgado expressou, raiz(320) + 21. Como exercício, tente achar o valor mínimo de: F = 4y^2 + 8y + 12/y + 9/y^2 + 1 (derivando e igualando a zero você cai numa equação de quarto grau !!!) Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Thyago Alexandre Kufner" To: Sent: Wednesday, February 05, 2003 7:28 PM Subject: [obm-l] Máximos e Mínimos SEM DERIVADAS Olá colegas da lista Recebi o seguinte exercício de um aluno: "Sendo x um nº positivo determine o menor valor de E= 5x + 16/x + 21" Normal, um exercício simples. Deriva, iguala a zero ... Mas o que quero propor para a lista é o seguinte: tem como chegar ao resultado SEM UTILIZAR CÁLCULO? Proponho esta discussão por causa do seguinte artigo: http://mathcircle.berkeley.edu/BMC4/Handouts/MaxMin.pdf Aguardo resposta Atenciosamente Prof. Thyago WebMaster cursinho.hpg.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 6 14:45:50 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA02668 for obm-l-MTTP; Thu, 6 Feb 2003 14:43:52 -0200 Received: from web12907.mail.yahoo.com (web12907.mail.yahoo.com [216.136.174.74]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id OAA02653 for ; Thu, 6 Feb 2003 14:43:45 -0200 Message-ID: <20030206154125.40472.qmail@web12907.mail.yahoo.com> Received: from [200.206.103.3] by web12907.mail.yahoo.com via HTTP; Thu, 06 Feb 2003 12:41:25 ART Date: Thu, 6 Feb 2003 12:41:25 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Johann=20Peter=20Gustav=20Lejeune=20Dirichlet?= Subject: Re: [obm-l] Combinatoria na IMO To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <00aa01c2cd50$670bcea0$3300c57d@bovespa.com> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-471135657-1044546085=:39133" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 7719 Lines: 105 --0-471135657-1044546085=:39133 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Esto pensando nisso.Mas como voce fez essa inclusao-exclusao? Quanto ao somatorio tente provar que uma certa parcela de fatores da conta de matar alguns caras.Veja que esta funçao cresce rapido demais,comparado com o outro lado.Vou implementar isso em casa.Talvez cou um PIF saia legal. Veja o site do Scholes para mais infos. Cláudio_(Prática) wrote:Caro JP: NPL(n) = número de permutações legais de {1,2,...,2n}. Eu usei inclusão-exclusão e cheguei a um somatório que, por enquanto, não consegui simplificar: nNPL(n) = SOMATÓRIO (-1)^(k+1) * C(n,k) * (2n-k)! * 2^k k = 1 Calculando numa planilha eu achei que NPL(n) > (2n)! / 2 para n de 1 até 10, mas ainda não consegui provar o caso geral. Você concorda com esta fórmula? Um abraço,Claudio. ----- Original Message ----- From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, February 04, 2003 2:14 PMSubject: [obm-l] Combinatoria na IMO Turma,to tentando resolve esse problema da IMO da Alemanha: Chame uma permutaçao dos elementos 1,2,3,...,2n de legal se existe pelo menos um par de elementos consecutivos cuja diferença seja n.Mostre que ha mais legais do que nao-legais nessas permutaçoes. Tentei achar soluçoes assim: 1)Defina uma funçao que transforma uma permutaçao legal numa ilegal,de modo que ela seja injetiva(duas permutaçoes legais cujas correspondentes ilegais sao iguais sao necessariamente iguais) e nao-sobrejetiva(e possivel escolher pelo menos uma permutaçao ilegal que nao e correspondente de nenhuma legal).Desse jeito acabou! 2)Calcule o numero de permutaçoes ilegais explicitamente e verifique que o total e menor que (2n)!/2. Minha ideia era usar inclusao e exclusao(e um teorema poderoso sobre uniao de conjuntos finitos.O caso de dois conjuntos e facil.A uniao de dois conjuntos e o primeiro mais o segundo menos a intersecçao deles.A generalizaçao e imediata). O primeiro parece facil mas nao achei a tal funçao.O segundo eu nao consigo arquitetar as contas direito.Sou muito lerdo e ainda to meio enrolado.Quem puder ajudar,valeu!!! TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-471135657-1044546085=:39133 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

Esto pensando nisso.Mas como voce fez essa inclusao-exclusao?

Quanto ao somatorio tente provar que uma certa parcela de fatores da conta de matar alguns caras.Veja que esta funçao cresce rapido demais,comparado com o outro lado.Vou implementar isso em casa.Talvez cou um PIF saia legal.

Veja o site do Scholes para mais infos.

 Cláudio_(Prática) <claudio@praticacorretora.com.br> wrote:

Caro JP:
 
NPL(n) = número de permutações legais de {1,2,...,2n}.
 
Eu usei inclusão-exclusão e cheguei a um somatório que, por enquanto, não consegui simplificar:
 
                      n
NPL(n) = SOMATÓRIO  (-1)^(k+1) * C(n,k) * (2n-k)! * 2^k
                   k = 1
 
Calculando numa planilha eu achei que NPL(n)  >  (2n)! / 2  para n de 1 até 10, mas ainda não consegui provar o caso geral.
 
Você concorda com esta fórmula?
 
Um abraço,
Claudio.
 
 
----- Original Message -----
Sent: Tuesday, February 04, 2003 2:14 PM
Subject: [obm-l] Combinatoria na IMO

Turma,to tentando resolve esse problema da IMO da Alemanha:

Chame uma permutaçao dos elementos 1,2,3,...,2n de legal se existe pelo menos um par de elementos consecutivos cuja diferença seja n.Mostre que ha mais legais do que nao-legais nessas permutaçoes.

Tentei achar soluçoes assim:

1)Defina uma funçao que transforma uma permutaçao legal numa ilegal,de modo que ela seja injetiva(duas permutaçoes legais cujas correspondentes ilegais sao iguais sao necessariamente iguais) e nao-sobrejetiva(e possivel escolher pelo menos uma permutaçao ilegal que nao e correspondente de nenhuma legal).Desse jeito acabou!

2)Calcule o numero de permutaçoes ilegais explicitamente e verifique que o total e menor que (2n)!/2.

Minha ideia era usar inclusao e exclusao(e um teorema poderoso sobre uniao de conjuntos finitos.O caso de dois conjuntos e facil.A uniao de dois conjuntos e o primeiro mais o segundo menos a intersecçao deles.A generalizaçao e imediata).

O primeiro parece facil mas nao achei a tal funçao.O segundo eu nao consigo arquitetar as contas direito.Sou muito lerdo e ainda to meio enrolado.Quem puder ajudar,valeu!!!



TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE

CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE

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Vejam a quest=E3o:

(MACK) Resolver a inequa=E7=E3o: t + (1/t) <=3D -2

resp: t e R | t < 0.

Obs: Vejam minha resolu=E7=E3o:

t + (1/t) + 2 <=3D 0
(t^2 + 2t + 1)/t <=3D 0 (t # 0)
Calculando delta chegaremos a delta =3D 0
Logo, a equa=E7=E3o ter=E1 uma raiz (que ser=E1 -1) e esta ter=E1 multip= licidade 2.
Como a equa=E7=E3o pede f(t) (vamos chamar assim) <=3D0 temos que som= ente t=3D -1 satisfaz, pois qualquer valor t pertencente aos reais f(x) ser= =E1 positiva, pois delta=3D 0. N=E3o estou certo?

ICQ: 337140512

--part1_76.29b79606.2b739909_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 6 14:50:06 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA03141 for obm-l-MTTP; Thu, 6 Feb 2003 14:48:39 -0200 Received: from hotmail.com (f90.sea2.hotmail.com [207.68.165.90]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA03097 for ; Thu, 6 Feb 2003 14:48:26 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Thu, 6 Feb 2003 08:46:07 -0800 Received: from 200.216.62.82 by sea2fd.sea2.hotmail.msn.com with HTTP; Thu, 06 Feb 2003 16:46:07 GMT X-Originating-IP: [200.216.62.82] From: "Paulo Santa Rita" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Loteria Matematica II ( correcao ) Date: Thu, 06 Feb 2003 16:46:07 +0000 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 06 Feb 2003 16:46:07.0470 (UTC) FILETIME=[3EDB28E0:01C2CDFF] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2651 Lines: 82 Ola Pessoal ! No enunciado abaixo leiam : Numa loteria 7 (SETE) numeros escolhidos aleatoriamente de {1,2,3, ...,48,49} ... >From: "Paulo Santa Rita" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: obm-l@mat.puc-rio.br >Subject: [obm-l] Loteria Matematica II >Date: Thu, 06 Feb 2003 15:02:16 +0000 > >Ola Claudio e demais >colegas desta lista ... OBM-L, > >Voce tem certeza que o problema e esse ai embaixo ? Mais que isso : esse >enunciado e "um problema" ? > >Os sub-conjuntos abaixo constituem uma escolha valida : > >{1,2,3,4,5,6} >{7,8,9,10,11,12} >{13,14,15,16,17,18} >{19,20,21,22,23,24} >{25,26,27,28,29,30} >{31,32,33,34,35,36} >{1,2,7,8,13,14} >{3,4,9,10,15,16} >{5,6,11,12,17,18} > >Numa loteria sao sorteados 1 numeros escolhidos aleatoriamente de >{1,2,3,...,48,49}. Cada cartao de apostas deve ser preenchido com >exatamente 7 numeros. Uma pessoa pode pode apostar quantos cartoes desejar >sem pagar nada, desde que quaisquer dois cartoes de sua >aposta tenham, NO MAXIMO, uma dezena em comum. O primeiro premio e dado a >pessoa que acertar o maior numero de triplos. > >1 ) Exiba uma aposta gratuita que tenha a maxima probabibilidade de ganhar >o primeiro premio >2 ) Qual o valor da probabilidade acima ? > >Um Abraco a todos >Paulo Santa Rita >5,1300,060203 > >>Você chegou a olhar o problema da Loteria Matemática? >>Escolha 9 subconjuntos de 6 elementos de {1, 2, ..., 36 } tais que, >>qualquer que seja T - subconjunto de 6 elementos de { 1, 2, ..., 36 } ->a >>interseção de T com pelo menos um dos 9 subconjuntos escolhidos é >vazia. >> >>Eu achei que tinha resolvido, mas descobri um furo na minha solução. >> >>************ >> >>Um abraço, >>Claudio. > > >_________________________________________________________________ >MSN Messenger: converse com os seus amigos online. >http://messenger.msn.com.br > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= _________________________________________________________________ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 6 14:51:29 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA03327 for obm-l-MTTP; Thu, 6 Feb 2003 14:50:00 -0200 Received: from trex-b.centroin.com.br (trex-b.centroin.com.br [200.225.63.136]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA03321 for ; Thu, 6 Feb 2003 14:49:54 -0200 Received: from centroin.com.br (du41c.rjo.centroin.com.br [200.225.58.41]) (authenticated bits=0) by trex-b.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h162IX0o001224 for ; Thu, 6 Feb 2003 00:18:34 -0200 (EDT) Message-ID: <3E41D448.4010200@centroin.com.br> Date: Thu, 06 Feb 2003 00:19:36 -0300 From: "A. C. Morgado" User-Agent: Mozilla/5.0 (Windows; U; Windows NT 5.0; en-US; rv:1.0.2) Gecko/20021120 Netscape/7.01 X-Accept-Language: en-us, en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [Fwd: Re: [obm-l] IME] Content-Type: multipart/alternative; boundary="------------040707040900040309040101" Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 4865 Lines: 131 --------------040707040900040309040101 Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit Estou reenviando esta mensagem pois alguem novo na lista pediu. -------- Original Message -------- Subject: Re: [obm-l] IME Date: Sat, 07 Dec 2002 23:48:36 -0200 From: "A. C. Morgado" To: obm-l@mat.puc-rio.br References: <001201c29e49$a7046700$5225f3c8@wander> 1) (cosx)^n = 1 + (senx)^n Se n eh par, o segundo membro eh maior ou igual a 1 e a igualdade so sera possivel se senx=0, o que da as soluçoes x=k(pi) Se n=1, a equaçao eh cosx - senx = 1 Multiplique tudo por (sqrt2) / 2 e obtera cos [x+(pi/4)] = cos(pi/4), que da x=2kpi e tambem a soluçao h = 2kpi- (pi/2) Se n eh impar maior que 1, faça x = - z. A equaçao se transforma em (cosz)^n + (senz)^n = 1. A firmo que essa equaçao so possui as soluçoes cosz=1 e senz=1. Basta observar que (cosz)^2 + (senz)^2 = 1 e que se cosz e senz estiverem no aberto (0, 1), (cosz)^n + (senz)^n sera estritamente menor que (cosz)^2 + (senz)^2 = 1. (Eh claro que soluçoes com cosz ou senz negativos, nem pensar). Entao, as unicas soluçoes serao z= 2kpi e z= 2kpi + (pi/2). Como x = -z, .... Alguem escreveu > 1) Encontre todas as soluções reais da equação apresentada abaixo, > onde n é um número natural. > > cosnx - sennx = 1 > > --------------040707040900040309040101 Content-Type: text/html; charset=us-ascii Content-Transfer-Encoding: 7bit Estou reenviando esta mensagem pois alguem novo na lista pediu.

-------- Original Message --------
Subject: Re: [obm-l] IME
Date: Sat, 07 Dec 2002 23:48:36 -0200
From: "A. C. Morgado" <morgado@centroin.com.br>
To: obm-l@mat.puc-rio.br
References: <001201c29e49$a7046700$5225f3c8@wander>


1) (cosx)^n = 1 + (senx)^n
Se n eh par, o segundo membro eh maior ou igual a 1 e a igualdade so sera possivel se senx=0, o que da as soluçoes x=k(pi)
Se n=1, a equaçao eh  cosx - senx = 1
Multiplique tudo por (sqrt2) / 2 e obtera  cos [x+(pi/4)] = cos(pi/4), que da  x=2kpi e tambem a soluçao h = 2kpi- (pi/2)
Se n eh impar maior que 1, faça x = - z. A equaçao se transforma em  (cosz)^n + (senz)^n = 1. A firmo que essa equaçao so possui as soluçoes  cosz=1 e senz=1. Basta observar que  (cosz)^2 + (senz)^2 = 1 e que se cosz e senz estiverem no aberto (0, 1), (cosz)^n + (senz)^n sera estritamente menor que (cosz)^2 + (senz)^2 = 1. (Eh claro que soluçoes com cosz ou senz negativos, nem pensar). Entao, as unicas soluçoes serao  z= 2kpi  e  z= 2kpi + (pi/2). Como x = -z, ....


Alguem escreveu

1) Encontre todas as soluções reais da equação apresentada abaixo, onde n é um número natural.

cosnx – sennx = 1
 
 

--------------040707040900040309040101-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 6 14:54:44 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA03826 for obm-l-MTTP; Thu, 6 Feb 2003 14:53:22 -0200 Received: from trex-b.centroin.com.br (trex-b.centroin.com.br [200.225.63.136]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA03821 for ; Thu, 6 Feb 2003 14:53:18 -0200 Received: from centroin.com.br (du139c.rjo.centroin.com.br [200.225.58.139]) (authenticated bits=0) by trex-b.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h161kH0o000486 for ; Wed, 5 Feb 2003 23:46:22 -0200 (EDT) Message-ID: <3E41CCB8.3060602@centroin.com.br> Date: Wed, 05 Feb 2003 23:47:20 -0300 From: "A. C. Morgado" User-Agent: Mozilla/5.0 (Windows; U; Windows NT 5.0; en-US; rv:1.0.2) Gecko/20021120 Netscape/7.01 X-Accept-Language: en-us, en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?Re=3A_=5Bobm-l=5D__Re=3A_=5Bobm-l=5D_Li?= =?ISO-8859-1?Q?vros_que_desenvolvam_racioc=EDnio_espacial?= References: <20030205221732.26154.qmail@web40102.mail.yahoo.com> <002201c2cd75$8f0c2240$0100a8c0@directnet.com.br> Content-Type: multipart/alternative; boundary="------------060907060306030601070102" Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 5887 Lines: 137 --------------060907060306030601070102 Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit Discordo totalmente. Sugiro os livros do Raymond Smullian (é com i ou é com y?) e o É divertido resolver problemas, de Luis Lopes e Josimar Silva. O autor que voce recomenda apareceu no programa do Jô Soares ensinando macetes, muitos dos quais errados, para fazer contas mais depressa, talvez ignorando que calculadoras ja foram inventadas e certamente pensando que Matemática é uma coleção de macetes para fazer contas mais depressa e encontra-se, no momento preso, em Brasília. Morgado Daniel wrote: > Não sei se os professores e alunos da lista concordam, mas dois >livros que me ajudaram bastante com matemática olímpica (problemas de >raciocínio) são do Prof. Jonofon Serates (não sei se está correto), são dois >volumes, chama-se "Raciocínio Lógico". > > Daniel >----- Original Message ----- >From: "fabio fortes" >To: >Sent: Wednesday, February 05, 2003 8:17 PM >Subject: [obm-l] Livros que desenvolvam raciocínio espacial > > > > >>Sei que boa parte é talento, mas gostaria de saber se >>alguém conhece livros que trabalhem raciocínio >>espacial. Não somente geometria espacial, mas também >>questões que usualmente caem em testes de QI e de >>lógica. >>Obrigado >> >>__________________________________________________ >>Do you Yahoo!? >>Yahoo! Mail Plus - Powerful. Affordable. Sign up now. >>http://mailplus.yahoo.com >>========================================================================= >>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >>O administrador desta lista é >>========================================================================= >> >> > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= > > > > --------------060907060306030601070102 Content-Type: text/html; charset=us-ascii Content-Transfer-Encoding: 7bit Discordo totalmente.
Sugiro os livros do Raymond Smullian (é com i ou é com y?) e o É divertido resolver problemas, de Luis Lopes e Josimar Silva.
O autor que voce recomenda apareceu no programa do Jô Soares ensinando macetes, muitos dos quais errados,  para fazer contas mais depressa, talvez ignorando que calculadoras ja foram inventadas e certamente pensando que Matemática é uma coleção de macetes para fazer contas mais depressa e encontra-se, no momento preso, em Brasília.
Morgado
Daniel wrote:
            Não sei se os professores e alunos da lista concordam, mas dois
livros que me ajudaram bastante com matemática olímpica (problemas de
raciocínio) são do Prof. Jonofon Serates (não sei se está correto), são dois
volumes, chama-se "Raciocínio Lógico".

            Daniel
----- Original Message -----
From: "fabio fortes" <fabiofortes@yahoo.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, February 05, 2003 8:17 PM
Subject: [obm-l] Livros que desenvolvam raciocínio espacial


  
Sei que boa parte é talento, mas gostaria de saber se
alguém conhece livros que trabalhem raciocínio
espacial. Não somente geometria espacial, mas também
questões que usualmente caem em testes de QI e de
lógica.
Obrigado

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Verifiquem isso!!!!

Problem 6

A permutation {x1, x2, ... , xm} of the set {1, 2, ... , 2n} where n is a positive integer is said to have property P if |xi - xi+1| = n for at least one i in {1, 2, ... , 2n-1}. Show that for each n there are more permutations with property P than without.

Solution

from Arthur Engel, Problem-Solving Strategies, Springer 1998 [Problem books in mathematics series], ISBN 0387982191. A rather good training book.

Let Ak be the set of permutations with k and k+n in neighboring positions, and let A be the set of permutations with property P, so that A is the union of the Ak.

Then |A| = Sumk |Ak| - Sumk<l |AkÇAl| + Sumk<l<m |AkÇAlÇAm| - ... . But this is an alternating sequence of monotonically decreasing terms, hence |A| >= Sumk |Ak| - Sumk<l |AkÇAl|.

But |Ak| = 2 (2n - 1)! (two orders for k, k+n and then (2n - 1)! ways of arranging the 2n - 1 items, treating k, k+n as a single item). Similarly, |AkÇAl| = 4 (2n - 2)! So |A| >= (2n - 2)! [n.2(2n -1) - n(n - 1)/2 4] = 2n2 (2n - 2)! > (2n)!/2.

 


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Não somente geometria espacial, mas > também > > questões que usualmente caem em testes de QI e de > > lógica. > > Obrigado > > > > __________________________________________________ > > Do you Yahoo!? > > Yahoo! Mail Plus - Powerful. Affordable. Sign up > now. > > http://mailplus.yahoo.com > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > O administrador desta lista é > > > > ========================================================================= > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > > ========================================================================= __________________________________________________ Do you Yahoo!? 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Prove that for every integer k >= 2 there are integers a1, a2, ... , an, not all zero, such that |ai| <= k - 1 for all i, and |a1x1 + a2x2 + ... + anxn| <= (k - 1)Ön/(kn - 1). Solution This is an application of the pigeon-hole principle. Assume first that all xi are non-negative. Observe that the sum of the xi is at most Ön. [This is a well-known variant, (Sum1<=i<=n xi)2 <= n Sum1<=i<=n xi2, of the AM-GM result. See, for example, Arthur Engel, Problem Solving Strategies, Springer 1998, p163, ISBN 0387982191]. Consider the kn possible values of Sum1<=i<=n bixi, where each bi is an integer in the range [0,k-1]. Each value must lie in the interval [0, k-1 Ön]. Divide this into kn-1 equal subintervals. Two values must lie in the same subinterval. Take their difference. Its coefficients are the required ai. Finally, if any xi are negative, solve for the absolute values and then flip signs in the ai. --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-1718916614-1044551761=:73949 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Problem 3

Let x1, x2, ... , xn be real numbers satisfying x12 + x22 + ... + xn2 = 1. Prove that for every integer k >= 2 there are integers a1, a2, ... , an, not all zero, such that |ai| <= k - 1 for all i, and |a1x1 + a2x2 + ... + anxn| <= (k - 1)Ön/(kn - 1).

Solution

This is an application of the pigeon-hole principle.

Assume first that all xi are non-negative. Observe that the sum of the xi is at most Ön. [This is a well-known variant, (Sum1<=i<=n xi)2 <= n Sum1<=i<=n xi2, of the AM-GM result. See, for example, Arthur Engel, Problem Solving Strategies, Springer 1998, p163, ISBN 0387982191].

Consider the kn possible values of Sum1<=i<=n bixi, where each bi is an integer in the range [0,k-1]. Each value must lie in the interval [0, k-1 Ön]. Divide this into kn-1 equal subintervals. Two values must lie in the same subinterval. Take their difference. Its coefficients are the required ai. Finally, if any xi are negative, solve for the absolute values and then flip signs in the ai.


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Faelccmm@aol.com wrote:
Olá pessoal,

Vejam a questão:

(MACK) Resolver a inequação: t + (1/t) <= -2

resp: t e R | t < 0.

Obs: Vejam minha resolução:

t + (1/t) + 2 <= 0
(t^2 + 2t + 1)/t <= 0 (t # 0)
Calculando delta chegaremos a delta = 0
Logo, a equação terá uma raiz (que será -1) e esta terá multiplicidade 2.
Como a equação pede f(t) (vamos chamar assim) <=0 temos que somente t= -1 satisfaz, pois qualquer valor t pertencente aos reais f(x) ( NAO EH F QUE SERAH POSITIVA; EH O NUMERADOR QUE SERAH) será positiva, pois delta= 0. Não estou certo?

ICQ: 337140512


--------------050303090304080800080406-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 6 15:22:12 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA07364 for obm-l-MTTP; Thu, 6 Feb 2003 15:19:30 -0200 Received: from web12905.mail.yahoo.com (web12905.mail.yahoo.com [216.136.174.72]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id PAA07297 for ; Thu, 6 Feb 2003 15:19:08 -0200 Message-ID: <20030206171733.74662.qmail@web12905.mail.yahoo.com> Received: from [200.206.103.3] by web12905.mail.yahoo.com via HTTP; Thu, 06 Feb 2003 14:17:33 ART Date: Thu, 6 Feb 2003 14:17:33 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Johann=20Peter=20Gustav=20Lejeune=20Dirichlet?= Subject: [obm-l] IMO To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-227773115-1044551853=:73872" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 3735 Lines: 43 --0-227773115-1044551853=:73872 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Problem 6 Prove that there exists a convex 1990-gon such that all its angles are equal and the lengths of the sides are the numbers 12, 22, ... , 19902 in some order. Solution By Robin Chapman, Dept of Maths, Macquarie University, Australia In the complex plane we can represent the sides as pn2wn, where pn is a permutation of (1, 2, ... , 1990) and w is a primitive 1990th root of unity. The critical point is that 1990 is a product of more than 2 distinct primes: 1990 = 2.5.199. So we can write w = -1.a.b, where -1 is primitive 2nd root of unity, a is a primitive 5th root of unity, and b is a primitive 199th root of unity. Now given one of the 1990th roots we may write it as (-1)iajbk, where 0 < i < 2, 0 < j < 5, 0 < k < 199 and hence associate it with the integer r(i,j,k) = 1 + 995i + 199j + k. This is a bijection onto (1, 2, ... , 1990). We have to show that the sum of r(i,j,k)2 (-1)iajbk is zero. We sum first over i. This gives -9952 x sum of ajbk which is zero, and - 1990 x sum s(j,k) ajbk, where s(j,k) = 1 + 199j + k. So it is sufficient to show that the sum of s(j,k) ajbk is zero. We now sum over j. The 1 + k part of s(j,k) immediately gives zero. The 199j part gives a constant times bk, which gives zero when summed over k. --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-227773115-1044551853=:73872 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Problem 6

Prove that there exists a convex 1990-gon such that all its angles are equal and the lengths of the sides are the numbers 12, 22, ... , 19902 in some order.

Solution

By Robin Chapman, Dept of Maths, Macquarie University, Australia

In the complex plane we can represent the sides as pn2wn, where pn is a permutation of (1, 2, ... , 1990) and w is a primitive 1990th root of unity.

The critical point is that 1990 is a product of more than 2 distinct primes: 1990 = 2.5.199. So we can write w = -1.a.b, where -1 is primitive 2nd root of unity, a is a primitive 5th root of unity, and b is a primitive 199th root of unity.

Now given one of the 1990th roots we may write it as (-1)iajbk, where 0 < i < 2, 0 < j < 5, 0 < k < 199 and hence associate it with the integer r(i,j,k) = 1 + 995i + 199j + k. This is a bijection onto (1, 2, ... , 1990). We have to show that the sum of r(i,j,k)2 (-1)iajbk is zero.

We sum first over i. This gives -9952 x sum of ajbk which is zero, and - 1990 x sum s(j,k) ajbk, where s(j,k) = 1 + 199j + k. So it is sufficient to show that the sum of s(j,k) ajbk is zero. We now sum over j. The 1 + k part of s(j,k) immediately gives zero. The 199j part gives a constant times bk, which gives zero when summed over k.

 


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Morgado

A. C. Morgado wrote:
Discordo totalmente.
Sugiro os livros do Raymond Smullian (é com i ou é com y?) e o É divertido resolver problemas, de Luis Lopes e Josimar Silva.
O autor que voce recomenda apareceu no programa do Jô Soares ensinando macetes, muitos dos quais errados,  para fazer contas mais depressa, talvez ignorando que calculadoras ja foram inventadas e certamente pensando que Matemática é uma coleção de macetes para fazer contas mais depressa e encontra-se, no momento preso, em Brasília.
Morgado
Daniel wrote:
            Não sei se os professores e alunos da lista concordam, mas dois
livros que me ajudaram bastante com matemática olímpica (problemas de
raciocínio) são do Prof. Jonofon Serates (não sei se está correto), são dois
volumes, chama-se "Raciocínio Lógico".

            Daniel
----- Original Message -----
From: "fabio fortes" <fabiofortes@yahoo.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, February 05, 2003 8:17 PM
Subject: [obm-l] Livros que desenvolvam raciocínio espacial


  
Sei que boa parte é talento, mas gostaria de saber se
alguém conhece livros que trabalhem raciocínio
espacial. Não somente geometria espacial, mas também
questões que usualmente caem em testes de QI e de
lógica.
Obrigado

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Given any real number a > 1 construct a bounded infinite sequence x0, x1, x2, ... such that |xn - xm| |n - m|a >= 1 for every pair of distinct n, m.

[An infinite sequence x0, x1, x2, ... of real numbers is bounded if there is a constant C such that |xn| < C for all n.]

Solution

By Marcin Mazur, University of Illinois at Urbana-Champaign

Let t = 1/2a. Define c = 1 - t/(1 - t). Since a > 1, c > 0. Now given any integer n > 0, take the binary expansion n = Si bi 2i, and define xn = 1/c Sbi>0 ti. For example, taking n = 21 = 24 + 22 + 20, we have x21 = (t4 + t2 + t0)/c. We show that for any unequal n, m, |xn - xm| |n - m|a >= 1. This solves the problem, since the xn are all positive and bounded by (S tn )/c = 1/(1 - 2t).

Take k to be the highest power of 2 dividing both n and m. Then |n - m| >= 2k. Also, in the binary expansions for n and m, the coefficients of 20, 21, ... , 2k-1 agree, but the coefficients for 2k are different. Hence c |xn - xm| = tk + Si>k yi, where yi = 0, ti or - ti. Certainly Si>k yi > - Si>k ti = tk+1/(1 - t), so c |xn - xm| > tk(1 - t/(1 - t)) = c tk. Hence |xn - xm| |n - m|a > tk 2ak = 1.

 


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Let p be an odd prime number. How many p-element subsets A of {1, 2, ... , 2p} are there, the sum of whose elements is divisible by p?

Solution

Answer: 2 + (2pCp - 2)/p, where 2pCp is the binomial coefficient (2p)!/(p!p!).

Let A be a subset other than {1, 2, ... , p} and {p+1, p+2, ... , 2p}. Consider the elements of A in {1, 2, ... , p}. The number r satisfies 0 < r < p. We can change these elements to another set of r elements of {1, 2, ... , p} by adding 1 to each element (and reducing mod p if necessary). We can repeat this process and get p sets in all. For example, if p = 7 and the original subset of {1, 2, ... , 7} was {3 , 5}, we get:

  {3 , 5}, {4, 6}, {5, 7}, {6, 1}, {7, 2}, {1, 3}, {2, 4}.

The sum of the elements in the set is increased by r each time. So, since p is prime, the sums must form a complete set of residues mod p. In particular, they must all be distinct and hence all the subsets must be different.

Now consider the sets A which have a given intersection with {p+1, ... , n}. Suppose the elements in this intersection sum to k mod p. The sets can be partitioned into groups of p by the process described above, so that exactly one member of each group will have the sum -k mod p for its elements in {1, 2, ... , p}. In other words, exactly one member of each group will have the sum of all its elements divisible by p.

There are 2pCp subsets of {1, 2, ... , 2p} of size p. Excluding {1, 2, ... , p} and {p+1, ... , 2p} leaves (2pCp - 2). We have just shown that (2pCp - 2)/p of these have sum divisible by p. The two excluded subsets also have sum divisible by p, so there are 2 + (2pCp - 2)/p subsets in all having sum divisible by p.

 


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Let A and E be opposite vertices of an octagon. A frog starts at vertex A. From any vertex except E it jumps to one of the two adjacent vertices. When it reaches E it stops. Let an be the number of distinct paths of exactly n jumps ending at E. Prove that:

      a2n-1 = 0
      a2n = (2 + Ö2)n-1/Ö2 - (2 - Ö2)n-1/Ö2.

Solution

Each jump changes the parity of the shortest distance to E. The parity is initially even, so an odd number of jumps cannot end at E. Hence a2n-1 = 0.

We derive a recurrence relation for a2n. This is not easy to do directly, so we introduce bn which is the number of paths length n from C to E. Then we have immediately:

    a2n = 2a2n-2 + 2b2n-2 for n > 1
    b2n = 2b2n-2 + a2n-2 for n > 1

Hence, using the first equation: a2n - 2a2n-2 = 2a2n-2 - 4a2n-4 + 2b2n-2 - 4b2n-4 for n > 2. Using the second equation, this leads to: a2n = 4a2n-2 - 2a2n-4 for n > 2. This is a linear recurrence relation with the general solution: a2n = a(2 + Ö2)n-1 + b(2 - Ö2)n-1. But we easily see directly that a4 = 2, a6 = 8 and we can now solve for the coefficients to get the solution given.

 


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An international society has its members from six different countries. The list of members has 1978 names, numbered 1, 2, ... , 1978. Prove that there is at least one member whose number is the sum of the numbers of two members from his own country, or twice the number of a member from his own country.

Solution

The trick is to use differences.

At least 6.329 = 1974, so at least 330 members come from the same country, call it C1. Let their numbers be a1 < a2 < ... < a330. Now take the 329 differences a2 - a1, a3 - a1, ... , a330 - a1. If any of them are in C1, then we are home, so suppose they are all in the other five countries.

At least 66 must come from the same country, call it C2. Write the 66 as b1 < b2 < ... < b66. Now form the 65 differences b2 - b1, b3 - b1, ... , b66 - b1. If any of them are in C2, then we are home. But each difference equals the difference of two of the original ais, so if it is in C1 we are also home.

So suppose they are all in the other four countries. At least 17 must come from the same country, call it C3. Write the 17 as c1 < c2 < ... < c17. Now form the 16 differences c2 - c1, c3 - c1, ... , c17 - c1. If any of them are in C3, we are home. Each difference equals the difference of two bis, so if any of them are in C2 we are home. [For example, consider ci - c1. Suppose ci = bn - b1 and c1 = bm - b1, then ci - c1 = bn - bm, as claimed.]. Each difference also equals the difference of two ais, so if any of them are in C1, we are also home. [For example, consider ci - c1, as before. Suppose bn = aj - a1, bm = ak - a1, then ci - c1 = bn - bm = aj - ak, as claimed.]

So suppose they are all in the other three countries. At least 6 must come from the same country, call it C4. We look at the 5 differences and conclude in the same way that at least 3 must come from C5. Now the 2 differences must both be in C6 and their difference must be in one of the C1, ... , C6 giving us the required sum.

 


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The set of all positive integers is the union of two disjoint subsets {f(1), f(2), f(3), ... }, {g(1), g(2), g(3), ... }, where f(1) < f(2) < f(3) < ..., and g(1) < g(2) < g(3) < ... , and g(n) = f(f(n)) + 1 for n = 1, 2, 3, ... . Determine f(240).

Solution

Let F = {f(1), f(2), f(3), ... }, G = {g(1), g(2), g(3), ... }, Nn = {1, 2, 3, ... , n}. f(1) >= 1, so f(f(1)) >= 1 and hence g(1) >= 2. So 1 is not in G, and hence must be in F. It must be the smallest element of F and so f(1) = 1. Hence g(1) = 2. We can never have two successive integers n and n+1 in G, because if g(m) = n+1, then f(something) = n and so n is in F and G. Contradiction. In particular, 3 must be in F, and so f(2) = 3.

Suppose f(n) = k. Then g(n) = f(k) + 1. So |Nf(k)+1 Ç G| = n. But |Nf(k)+1 Ç F| = k, so n + k = f(k) + 1, or f(k) = n + k - 1. Hence g(n) = n + k. So n + k + 1 must be in F and hence f(k+1) = n + k + 1. This so given the value of f for n we can find it for k and k+1.

Using k+1 each time, we get, successively, f(2) = 3, f(4) = 6, f(7) = 11, f(12) = 19, f(20) = 32, f(33) = 53, f(54) = 87, f(88) = 142, f(143) = 231, f(232) = 375, which is not much help. Trying again with k, we get: f(3) = 4, f(4) = 6, f(6) = 9, f(9) = 14, f(14) = 22, f(22) = 35, f(35) = 56, f(56) = 90, f(90) = 145, f(145) = 234. Still not right, but we can try backing up slightly and using k+1: f(146) = 236. Still not right, we need to back up further: f(91) = 147, f(148) = 239, f(240) = 388.

 


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Eh claro que se vale tudo exceto calculo, a soluçao do Salvador eh otima!
Morgado

Salvador Addas Zanata wrote:
Pode ser assim tambem:

E=5x+16/x+21 >= 2*sqrt(80)+21, usando a desigualdade das medias.


On Wed, 5 Feb 2003, Helder Suzuki wrote:

  
 --- Thyago Alexandre Kufner <t@jovem.com> escreveu: >
Olá colegas da lista
    
Recebi o seguinte exercício de um aluno:

"Sendo x um nº positivo determine o menor valor de
E= 5x + 16/x + 21"

Normal, um exercício simples. Deriva, iguala a zero
...

Mas o que quero propor para a lista é o seguinte:
tem como chegar ao
resultado SEM UTILIZAR CÁLCULO?

Proponho esta discussão por causa do seguinte
artigo:


      
http://mathcircle.berkeley.edu/BMC4/Handouts/MaxMin.pdf
    
Aguardo resposta

Atenciosamente
Prof. Thyago
WebMaster cursinho.hpg.com.br
      
vejamos
y = 5x + 16/x + 21

multiplicando tudo por x, temos que
xy = 5x^2 + 21x + 16
=>
5x^2 + (21-y)x + 16 = 0

Como X é real, o delta não pode ser menor que zero.
portanto:

Delta = (y-21)^2 - 16*5 >= 0
y^2 - 42y + 441 - 16*4 >= 0
y^2 - 42y + 347 >= 0

se voce resolver essa inequação vc encontrará os
intervalos em que não há raiz de números negativos: os
invevalos em que y existe.
(você vai encontrar algo como y >= ... e y <= ..., daí
fica fácil ver o máximo e mínimo locais)

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The function f is defined on the set of positive integers and its values are positive integers. Given that f(n+1) > f(f(n)) for all n, prove that f(n) = n for all n.

Solution

The first step is to show that f(1) < f(2) < f(3) < ... . We do this by induction on n. We take Sn to be the statement that f(n) is the unique smallest element of { f(n), f(n+1), f(n+2), ... }.

For m > 1, f(m) > f(s) where s = f(m-1), so f(m) is not the smallest member of the set {f(1), f(2), f(3), ... }. But the set is bounded below by zero, so it must have a smallest member. Hence the unique smallest member is f(1). So S1 is true.

Suppose Sn is true. Take m > n+1. Then m-1 > n, so by Sn, f(m-1) > f(n). But Sn also tells us that f(n) > f(n-1) > ... > f(1), so f(n) >= n - 1 + f(1) >= n. Hence f(m-1) >= n+1. So f(m-1) belongs to { n+1, n+2, n+3, .. }. But we are given that f(m) > f(f(m-1)), so f(m) is not the smallest element of { f(n+1), f(n+2), f(n+3), ... }. But there must be a smallest element, so f(n+1) must be the unique smallest member, which establishes Sn+1. So, Sn is true for all n.

So n <= m implies f(n) <= f(m). Suppose for some m, f(m) >= m+1, then f(f(m)) >= f(m+1). Contradiction. Hence f(m) <= m for all m. But since f(1) >=1 and f(m) > f(m-1) > ... > f(1), we also have f(m) >= m. Hence f(m) = m for all m.

 


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Tomei como base os seus(Faelccmm@aol.com) dados de resolução.

Resolução

O seu erro foi considerar o ângulo BCD suplementar de ACB dando o valor de 105º.

Faça assim,  ao encontrar o ângulo de 30º(CBD) pode achar o ângulo BCD pois são opostos pelo vêrtice(lembre-se que oexercício trata de duas paralelas "as margens do rio").

Daí vc então terá o triângulo retângulo CBD que por uma simples relação trigonométrica vc achara o valor BD que corresponde 20 m.

BD/BC= sen30º

 Faelccmm@aol.com wrote:

Olá pessoal,

(FUVEST) Dois pontos A e B estão situados na margem de um rio e distantes 40 m um do outro. Um ponto C, na outra margem do rio, está situado de tal modo que o ângulo CÂB mede 75º e o ângulo ACB mede 75º. Determine a largura do rio:

Resp: 20m

Obs: Eu tentei resolver assim:

Esbocei um triângulo de base AB  e conclui que o ângulo ABC mede 30º, pois  CÂB mede 75º e o ângulo ACB mede 75º. Outra conclusão foi que o triângulo é isósceles. Se o triângulo é isósceles então BC mede tbém 40 m. Depois eu criei um segmento (paralelo à altura do triângulo de base AB)  que vai do vértice B até a intersecção com outro segmento que eu projetei do vértice C, criando assim a triângulo BCD. Como o ângulo ABC mede 30º então CBD medirá 60 (complementares) e BCD medirá 105º (suplementar com ACB que mede 75º). Portanto do triângulo BCD temos 60º + 105º + BDC = 180, logo BDC=15º. Como a largura do rio é BD, calculei esta pela lei dos senos: 40/sen 15º=BD/sen105º. Eu poderia fazer sen15º= sen (45º-30º) e sen 105º=sen 75º=sen(40º+15º) e encontrar o resultado, mas como eu não tinha certeza e daria muito trabalho fiz na calculadora e o resultado foi aproximandamente 149. Acho que o meu erro não está nem na resolução do esquema que criei mas sim no próprio esquema, ou interpretação do enunciado. Qual foi meu erro ao esboçar a situação.    

ICQ: 337140512


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Given real numbers x1, x2, y1, y2, z1, z2, satisfying x1 > 0, x2 > 0, x1y1 > z12, and x2y2 > z22, prove that:

      8/((x1 + x2)(y1 + y2) - (z1 + z2)2) <= 1/(x1y1 - z12) + 1/(x2y2 - z22).

Give necessary and sufficient conditions for equality.

Solution

Let a1 = x1y1 - z12 and a2 = x2y2 - z22. We apply the arithmetic/geometric mean result 3 times:

(1) to a12, a22, giving 2a1a2 <= a12 + a22;

(2) to a1, a2, giving Ö(a1a2) <= (a1 + a2)/2;

(3) to a1y2/y1, a2y1/y2, giving Ö(a1a2) <= (a1y2/y1 + a2y1/y2)/2;

We also use (z1/y1 - z2/y2)2 >= 0. Now x1y1 > z12 >= 0, and x1 > 0, so y1 > 0. Similarly, y2 > 0. So:

(4) y1y2(z1/y1 - z2/y2)2 >= 0, and hence z12y2/y1 + z22y1/y2 >= 2z1z2.

Using (3) and (4) gives 2Ö(a1a2) <= (x1y2 + x2y1) - (z12y2/y1 + z22y1/y2) <= (x1y2 + x2y1 - 2z1z2).

Multiplying by (2) gives: 4a1a2 <= (a1 + a2)(x1y2 + x2y1 - 2z1z2).

Adding (1) and 2a1a2 gives: 8a1a2 <= (a1 + a2)2 + (a1 + a2)(x1y2 + x2y1 - 2z1z2) = a(a1 + a2), where a = (x1 + x2)(y1 + y2) - (z1 + z2)2. Dividing by a1a2a gives the required inequality.

Equality requires a1 = a2 from (1), y1 = y2 from (2), z1 = z2 from (3), and hence x1 = x2. Conversely, it is easy to see that these conditions are sufficient for equality.

 


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Por exemplo, tome o subconjunto A = {1,12,15,19,25,31} {1,2,3,4,5,6} ==> encontra A em 1 {7,8,9,10,11,12} ==> encontra A em 12 {13,14,15,16,17,18} ==> encontra A em 15 {19,20,21,22,23,24} ==> encontra A em 19 {25,26,27,28,29,30} ==> encontra A em 25 {31,32,33,34,35,36} ==> encontra A em 31 {1,2,7,8,13,14} ==> encontra A em 1 {3,4,9,10,15,16} ==> encontra A em 15 {5,6,11,12,17,18} ==> encontra A em 12 Após muitos e muitos desenhos de diagramas de Venn eu finalmente encontrei uma solução...minha suspeita é que eu dei sorte!!! Vou pensar no problema que você propôs. Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Paulo Santa Rita" To: Sent: Thursday, February 06, 2003 1:02 PM Subject: [obm-l] Loteria Matematica II Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, Voce tem certeza que o problema e esse ai embaixo ? Mais que isso : esse enunciado e "um problema" ? Os sub-conjuntos abaixo constituem uma escolha valida : {1,2,3,4,5,6} {7,8,9,10,11,12} {13,14,15,16,17,18} {19,20,21,22,23,24} {25,26,27,28,29,30} {31,32,33,34,35,36} {1,2,7,8,13,14} {3,4,9,10,15,16} {5,6,11,12,17,18} Numa loteria sao sorteados 1 numeros escolhidos aleatoriamente de {1,2,3,...,48,49}. Cada cartao de apostas deve ser preenchido com exatamente 7 numeros. Uma pessoa pode pode apostar quantos cartoes desejar sem pagar nada, desde que quaisquer dois cartoes de sua aposta tenham, NO MAXIMO, uma dezena em comum. O primeiro premio e dado a pessoa que acertar o maior numero de triplos. 1 ) Exiba uma aposta gratuita que tenha a maxima probabibilidade de ganhar o primeiro premio 2 ) Qual o valor da probabilidade acima ? Um Abraco a todos Paulo Santa Rita 5,1300,060203 >Você chegou a olhar o problema da Loteria Matemática? >Escolha 9 subconjuntos de 6 elementos de {1, 2, ..., 36 } tais que, >qualquer que seja T - subconjunto de 6 elementos de { 1, 2, ..., 36 } ->a >interseção de T com pelo menos um dos 9 subconjuntos escolhidos é >vazia. > >Eu achei que tinha resolvido, mas descobri um furo na minha solução. > >************ > >Um abraço, >Claudio. _________________________________________________________________ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 6 16:07:13 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA14077 for obm-l-MTTP; Thu, 6 Feb 2003 16:05:45 -0200 Received: from bindtech.bindtech.com.br (mail.bindtech.com.br [200.230.34.1]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA14063 for ; Thu, 6 Feb 2003 16:05:34 -0200 Received: from servico2 (200.230.34.224 [200.230.34.224]) by bindtech.bindtech.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.2653.13) id 1NTPFM3Y; Thu, 6 Feb 2003 16:08:33 -0300 Message-ID: <00ab01c2ce12$fcb8d520$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <76.29b79606.2b739909@aol.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_inequa=E7=E3o?= Date: Thu, 6 Feb 2003 17:07:20 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_00A8_01C2CE02.35628260" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 4705 Lines: 132 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_00A8_01C2CE02.35628260 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Que tal testar t =3D -2? Nesse caso, t + 1/t =3D -2 + 1/(-2) =3D -2,5 = <=3D -2. Voc=EA continua com dificuldade para tratar dos sinais. Duas sugest=F5es:=20 1) trate separadamente os casos t > 0 e t < 0; 2) t^2 + 2t + 1 =3D (t+1)^2 >=3D 0, com igualdade se e somente se t = =3D -1. P.S.: milagrosamente, o gabarito est=E1 certo !!! Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Faelccmm@aol.com=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Thursday, February 06, 2003 8:55 AM Subject: [obm-l] inequa=E7=E3o Ol=E1 pessoal,=20 Vejam a quest=E3o:=20 (MACK) Resolver a inequa=E7=E3o: t + (1/t) <=3D -2=20 resp: t e R | t < 0.=20 Obs: Vejam minha resolu=E7=E3o:=20 t + (1/t) + 2 <=3D 0=20 (t^2 + 2t + 1)/t <=3D 0 (t # 0)=20 Calculando delta chegaremos a delta =3D 0=20 Logo, a equa=E7=E3o ter=E1 uma raiz (que ser=E1 -1) e esta ter=E1 = multiplicidade 2.=20 Como a equa=E7=E3o pede f(t) (vamos chamar assim) <=3D0 temos que = somente t=3D -1 satisfaz, pois qualquer valor t pertencente aos reais = f(x) ser=E1 positiva, pois delta=3D 0. N=E3o estou certo?=20 ICQ: 337140512=20 ------=_NextPart_000_00A8_01C2CE02.35628260 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Que tal testar t =3D -2? Nesse = caso, t + 1/t =3D=20 -2 + 1/(-2) =3D -2,5 <=3D -2.
 
Voc=EA continua com dificuldade para = tratar dos=20 sinais.
Duas sugest=F5es:
1) trate separadamente os casos t > = 0 e t <=20 0;
2)  t^2 + 2t + 1 =3D (t+1)^2 = >=3D 0, com=20 igualdade se e somente se  t =3D -1.
 
P.S.: milagrosamente, o gabarito est=E1 = certo=20 !!!
 
Um abra=E7o,
Claudio.
 
----- Original Message -----
From:=20 Faelccmm@aol.com=20
Sent: Thursday, February 06, = 2003 8:55=20 AM
Subject: [obm-l] = inequa=E7=E3o

Ol=E1 pessoal,

Vejam a = quest=E3o:=20

(MACK) Resolver a inequa=E7=E3o: t + (1/t) <=3D -2 =

resp: t e R |=20 t < 0.

Obs: Vejam minha resolu=E7=E3o:

t + (1/t) + = 2 <=3D 0=20
(t^2 + 2t + 1)/t <=3D 0 (t # 0)
Calculando delta chegaremos = a delta =3D=20 0
Logo, a equa=E7=E3o ter=E1 uma raiz (que ser=E1 -1) e esta = ter=E1 multiplicidade=20 2.
Como a equa=E7=E3o pede f(t) (vamos chamar assim) <=3D0 = temos que somente=20 t=3D -1 satisfaz, pois qualquer valor t pertencente aos reais f(x) = ser=E1=20 positiva, pois delta=3D 0. N=E3o estou certo?

ICQ: 337140512=20

------=_NextPart_000_00A8_01C2CE02.35628260-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 6 16:16:05 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA15655 for obm-l-MTTP; Thu, 6 Feb 2003 16:14:33 -0200 Received: from web80314.mail.yahoo.com (web80314.mail.yahoo.com [66.218.79.30]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id QAA15638 for ; Thu, 6 Feb 2003 16:14:26 -0200 Message-ID: <20030206181354.9802.qmail@web80314.mail.yahoo.com> Received: from [200.128.23.75] by web80314.mail.yahoo.com via HTTP; Thu, 06 Feb 2003 15:13:54 ART Date: Thu, 6 Feb 2003 15:13:54 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Tertuliano=20Carneiro?= Subject: Re: [obm-l] triângulos To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <138.1aa39b6f.2b739945@aol.com> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-547339691-1044555234=:9313" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 4455 Lines: 46 --0-547339691-1044555234=:9313 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Olá! Observe q o segmento q vc tomou paralelamente à altura já vai te dar a largura do rio, pois ele é perpendicular ao lado AB. Assim, Olá!

Observe q o segmento q vc tomou paralelamente à altura já vai te dar a largura do rio, pois ele é perpendicular ao lado AB. Assim, <BDC=90. Como <DBC=60, <BCD=30. Portanto, a largura será dada por 40sen30 = 20m.

Sem mais.

Tertuliano Carneiro.

 

 

 Faelccmm@aol.com wrote:

Olá pessoal,

(FUVEST) Dois pontos A e B estão situados na margem de um rio e distantes 40 m um do outro. Um ponto C, na outra margem do rio, está situado de tal modo que o ângulo CÂB mede 75º e o ângulo ACB mede 75º. Determine a largura do rio:

Resp: 20m

Obs: Eu tentei resolver assim:

Esbocei um triângulo de base AB  e conclui que o ângulo ABC mede 30º, pois  CÂB mede 75º e o ângulo ACB mede 75º. Outra conclusão foi que o triângulo é isósceles. Se o triângulo é isósceles então BC mede tbém 40 m. Depois eu criei um segmento (paralelo à altura do triângulo de base AB)  que vai do vértice B até a intersecção com outro segmento que eu projetei do vértice C, criando assim a triângulo BCD. Como o ângulo ABC mede 30º então CBD medirá 60 (complementares) e BCD medirá 105º (suplementar com ACB que mede 75º). Portanto do triângulo BCD temos 60º + 105º + BDC = 180, logo BDC=15º. Como a largura do rio é BD, calculei esta pela lei dos senos: 40/sen 15º=BD/sen105º. Eu poderia fazer sen15º= sen (45º-30º) e sen 105º=sen 75º=sen(40º+15º) e encontrar o resultado, mas como eu não tinha certeza e daria muito trabalho fiz na calculadora e o resultado foi aproximandamente 149. Acho que o meu erro não está nem na resolução do esquema que criei mas sim no próprio esquema, ou interpretação do enunciado. Qual foi meu erro ao esboçar a situação.    

ICQ: 337140512


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Given 100 coplanar points, no 3 collinear, prove that at most 70% of the triangles formed by the points have all angles acute.

Solution

Improved and corrected by Gerhard Wöginger, Technical University Graz

At most 3 of the triangles formed by 4 points can be acute. It follows that at most 7 out of the 10 triangles formed by any 5 points can be acute. For given 10 points, the maximum no. of acute triangles is: the no. of subsets of 4 points x 3/the no. of subsets of 4 points containing 3 given points. The total no. of triangles is the same expression with the first 3 replaced by 4. Hence at most 3/4 of the 10, or 7.5, can be acute, and hence at most 7 can be acute.

The same argument now extends the result to 100 points. The maximum number of acute triangles formed by 100 points is: the no. of subsets of 5 points x 7/the no. of subsets of 5 points containing 3 given points. The total no. of triangles is the same expression with 7 replaced by 10. Hence at most 7/10 of the triangles are acute.

 


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Daniel ----- Original Message ----- From: "fabio fortes" To: Sent: Thursday, February 06, 2003 12:24 PM Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Livros_que_desenvolvam_raciocínio_espacial > obrigado pela ajuda daniel, mas vc sabe aonde posso > consegui-los (editora por exemplo) > não localizei na internet > obrigado > > --- Daniel wrote: > > Não sei se os professores e alunos da > > lista concordam, mas dois > > livros que me ajudaram bastante com matemática > > olímpica (problemas de > > raciocínio) são do Prof. Jonofon Serates (não sei se > > está correto), são dois > > volumes, chama-se "Raciocínio Lógico". > > > > Daniel > > ----- Original Message ----- > > From: "fabio fortes" > > To: > > Sent: Wednesday, February 05, 2003 8:17 PM > > Subject: [obm-l] Livros que desenvolvam raciocínio > > espacial > > > > > > > Sei que boa parte é talento, mas gostaria de saber > > se > > > alguém conhece livros que trabalhem raciocínio > > > espacial. Não somente geometria espacial, mas > > também > > > questões que usualmente caem em testes de QI e de > > > lógica. > > > Obrigado > > > > > > __________________________________________________ > > > Do you Yahoo!? > > > Yahoo! Mail Plus - Powerful. Affordable. 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O enunciado diz que QUALQUER E verdade. O enunciado se refere a qualquer T >From: "Cláudio \(Prática\)" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: >Subject: Re: [obm-l] Loteria Matematica II >Date: Thu, 6 Feb 2003 16:49:31 -0200 > >Caro Paulo: > >Infelizmente, o problema é um pouco mais difícil do que isso. > >Por exemplo, tome o subconjunto A = {1,12,15,19,25,31} > >{1,2,3,4,5,6} ==> encontra A em 1 >{7,8,9,10,11,12} ==> encontra A em 12 >{13,14,15,16,17,18} ==> encontra A em 15 >{19,20,21,22,23,24} ==> encontra A em 19 >{25,26,27,28,29,30} ==> encontra A em 25 >{31,32,33,34,35,36} ==> encontra A em 31 >{1,2,7,8,13,14} ==> encontra A em 1 >{3,4,9,10,15,16} ==> encontra A em 15 >{5,6,11,12,17,18} ==> encontra A em 12 > >Após muitos e muitos desenhos de diagramas de Venn eu finalmente encontrei >uma solução...minha suspeita é que eu dei sorte!!! > >Vou pensar no problema que você propôs. > >Um abraço, >Claudio. > >----- Original Message ----- >From: "Paulo Santa Rita" >To: >Sent: Thursday, February 06, 2003 1:02 PM >Subject: [obm-l] Loteria Matematica II > > >Ola Claudio e demais >colegas desta lista ... OBM-L, > >Voce tem certeza que o problema e esse ai embaixo ? Mais que isso : esse >enunciado e "um problema" ? > >Os sub-conjuntos abaixo constituem uma escolha valida : > >{1,2,3,4,5,6} >{7,8,9,10,11,12} >{13,14,15,16,17,18} >{19,20,21,22,23,24} >{25,26,27,28,29,30} >{31,32,33,34,35,36} >{1,2,7,8,13,14} >{3,4,9,10,15,16} >{5,6,11,12,17,18} > >Numa loteria sao sorteados 1 numeros escolhidos aleatoriamente de >{1,2,3,...,48,49}. Cada cartao de apostas deve ser preenchido com >exatamente >7 numeros. Uma pessoa pode pode apostar quantos cartoes desejar sem pagar >nada, desde que quaisquer dois cartoes de sua >aposta tenham, NO MAXIMO, uma dezena em comum. O primeiro premio e dado a >pessoa que acertar o maior numero de triplos. > >1 ) Exiba uma aposta gratuita que tenha a maxima probabibilidade de ganhar >o >primeiro premio >2 ) Qual o valor da probabilidade acima ? > >Um Abraco a todos >Paulo Santa Rita >5,1300,060203 > > >Você chegou a olhar o problema da Loteria Matemática? > >Escolha 9 subconjuntos de 6 elementos de {1, 2, ..., 36 } tais que, > >qualquer que seja T - subconjunto de 6 elementos de { 1, 2, ..., 36 } ->a > >interseção de T com pelo menos um dos 9 subconjuntos escolhidos é >vazia. > > > >Eu achei que tinha resolvido, mas descobri um furo na minha solução. > > > >************ > > > >Um abraço, > >Claudio. > > >_________________________________________________________________ >MSN Messenger: converse com os seus amigos online. >http://messenger.msn.com.br > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= _________________________________________________________________ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 6 17:23:28 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA09253 for obm-l-MTTP; Thu, 6 Feb 2003 15:30:17 -0200 Received: from web41503.mail.yahoo.com (web41503.mail.yahoo.com [66.218.93.86]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id PAA09234 for ; Thu, 6 Feb 2003 15:30:10 -0200 Message-ID: <20030206172939.80846.qmail@web41503.mail.yahoo.com> Received: from [200.223.40.26] by web41503.mail.yahoo.com via HTTP; Thu, 06 Feb 2003 14:29:38 ART Date: Thu, 6 Feb 2003 14:29:38 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?elton=20francisco=20ferreira?= Subject: [obm-l] um probleminha To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 861 Lines: 29 olá pessoal da OBM-l não consigo achar nem um desses resultados das alternativas o mais próximo q conseguí foi 1,22. Será q vcs podem me ajudar?! Pablo tem 64 kg de massa e Rosa 80 Kg. Numa gangorra pablo senta-se a 1,6m do centro de apoio. Para que a gangorra fique em equilíbrio, a que distancia do centro Rosa deve sentar-se? 1,65 1,30 1,28 1,00 _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! 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O problema é determinar 9 subconjuntos tais que qualquer que seja T, a interseção de T com pelo menos um dos 9 seja vazia. Também há um outro problema relacionado: Provar que, dados quaisquer 8 subconjuntos, sempre existirá um T que intercepta todos eles. Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Paulo Santa Rita" To: Sent: Thursday, February 06, 2003 4:41 PM Subject: Re: [obm-l] Loteria Matematica II Ola Pessoal ! Pelo que eu entendi, o enunciado diz que QUALQUER que seja T, deve ser possivel encontrar AO MENOS UM tal que a intersecao seja vazia. A familia que eu sugeri e : {1,2,3,4,5,6} subconjunto 1 {7,8,9,10,11,12} subconjunto 2 {13,14,15,16,17,18} subconjunto 3 {19,20,21,22,23,24} subconjunto 4 {25,26,27,28,29,30} subconjunto 5 {31,32,33,34,35,36} subconjunto 6 {1,2,7,8,13,14} subconjunto 7 {3,4,9,10,15,16} subconjunto 8 {5,6,11,12,17,18} subconjunto 9 Qual um dos seis primeiros tem interseccao vazia com qualquer outros dos seis primeiros. Qualquer um dos tres ultimos tem intersecao vazia com os subconjuntos de 4 a 6. Isto e : Dado T, existe sempre AO MENOS UM tal que a interseccao de T com ele e vazia. Talvez voce queira dizer ( e eu nao entendi assim ) que T e a familia de TODOS os subconjuntos de {1,2,...,35,36} e os nove que nos devemos formar devem ser tais que qualquer elemento de T encontre algum dos nove que tenha interseccao nula. E isso ? Um Abraco Paulo Santa Rita >From: "Cláudio \(Prática\)" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: >Subject: Re: [obm-l] Loteria Matematica II >Date: Thu, 6 Feb 2003 16:49:31 -0200 > >Caro Paulo: > >Infelizmente, o problema é um pouco mais difícil do que isso. > >Por exemplo, tome o subconjunto A = {1,12,15,19,25,31} > >{1,2,3,4,5,6} ==> encontra A em 1 >{7,8,9,10,11,12} ==> encontra A em 12 >{13,14,15,16,17,18} ==> encontra A em 15 >{19,20,21,22,23,24} ==> encontra A em 19 >{25,26,27,28,29,30} ==> encontra A em 25 >{31,32,33,34,35,36} ==> encontra A em 31 >{1,2,7,8,13,14} ==> encontra A em 1 >{3,4,9,10,15,16} ==> encontra A em 15 >{5,6,11,12,17,18} ==> encontra A em 12 > >Após muitos e muitos desenhos de diagramas de Venn eu finalmente encontrei >uma solução...minha suspeita é que eu dei sorte!!! > >Vou pensar no problema que você propôs. > >Um abraço, >Claudio. > >----- Original Message ----- >From: "Paulo Santa Rita" >To: >Sent: Thursday, February 06, 2003 1:02 PM >Subject: [obm-l] Loteria Matematica II > > >Ola Claudio e demais >colegas desta lista ... OBM-L, > >Voce tem certeza que o problema e esse ai embaixo ? Mais que isso : esse >enunciado e "um problema" ? > >Os sub-conjuntos abaixo constituem uma escolha valida : > >{1,2,3,4,5,6} >{7,8,9,10,11,12} >{13,14,15,16,17,18} >{19,20,21,22,23,24} >{25,26,27,28,29,30} >{31,32,33,34,35,36} >{1,2,7,8,13,14} >{3,4,9,10,15,16} >{5,6,11,12,17,18} > >Numa loteria sao sorteados 1 numeros escolhidos aleatoriamente de >{1,2,3,...,48,49}. Cada cartao de apostas deve ser preenchido com >exatamente >7 numeros. Uma pessoa pode pode apostar quantos cartoes desejar sem pagar >nada, desde que quaisquer dois cartoes de sua >aposta tenham, NO MAXIMO, uma dezena em comum. O primeiro premio e dado a >pessoa que acertar o maior numero de triplos. > >1 ) Exiba uma aposta gratuita que tenha a maxima probabibilidade de ganhar >o >primeiro premio >2 ) Qual o valor da probabilidade acima ? > >Um Abraco a todos >Paulo Santa Rita >5,1300,060203 > > >Você chegou a olhar o problema da Loteria Matemática? > >Escolha 9 subconjuntos de 6 elementos de {1, 2, ..., 36 } tais que, > >qualquer que seja T - subconjunto de 6 elementos de { 1, 2, ..., 36 } ->a > >interseção de T com pelo menos um dos 9 subconjuntos escolhidos é >vazia. > > > >Eu achei que tinha resolvido, mas descobri um furo na minha solução. > > > >************ > > > >Um abraço, > >Claudio. > > >_________________________________________________________________ >MSN Messenger: converse com os seus amigos online. >http://messenger.msn.com.br > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= _________________________________________________________________ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 6 17:40:44 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA24506 for obm-l-MTTP; Thu, 6 Feb 2003 17:39:27 -0200 Received: from web40015.mail.yahoo.com (web40015.mail.yahoo.com [66.218.78.55]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id RAA24502 for ; Thu, 6 Feb 2003 17:39:23 -0200 Message-ID: <20030206193852.85637.qmail@web40015.mail.yahoo.com> Received: from [200.161.14.239] by web40015.mail.yahoo.com via HTTP; Thu, 06 Feb 2003 16:38:52 ART Date: Thu, 6 Feb 2003 16:38:52 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Leahpar=20Xarm?= Subject: [obm-l] Livros To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <3E42A6D3.7050500@centroin.com.br> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-2114417935-1044560332=:85537" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 3505 Lines: 30 --0-2114417935-1044560332=:85537 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Espero uma resposta sua "A. C. Morgado" . (novamente escrevo) Gostaria de receber os nomes e outras recomendações de livros sobre os mais diversos assuntos(Probabilidade, Geometria, Contruções Geométricas, etc) de matemática para o ensino médio e aqueles de outrora recomendados aos estudante que queriam se preparar para escolas militares como IME e ITA. Estou em São Paulo capital e gostaria de saber como adquiri-los. Ouvi muitas recomendações para adquirir livros ecritos por participantes aqui da lista como Morgado, Eduardo Wagner, entre muitos outros que se dedicam ou dedicaram ao ensino desta arte milenar. Uma das pessoas que me recomendou a escrever aos autores foi o amigo Ponce ao qual desejo muita força, saúde e paciência para continuar a ensinar esta arte milenar e dar significado a existência de muitos jovens, uma nova visão de universo que os levam a exaltação em salas de aula à tarde de um belo sábado. Não digo o momento do barulho, mas sim do silêncio que se descurtina dos inúmeros olhares que comtemplam um raciocínio desnumbrante desenvolvido para um problema de matemática. Um abraço a todos os professores e aqueles que se dedicam a ensinar outras "pessoas a lembrar ao que elas tem dentro de si e só precisam recordar". --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-2114417935-1044560332=:85537 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

Espero uma resposta sua "A. C. Morgado" . (novamente escrevo)

Gostaria de receber os nomes e outras recomendações de livros sobre os mais diversos assuntos(Probabilidade, Geometria, Contruções Geométricas, etc) de matemática para o ensino médio e aqueles de outrora recomendados aos estudante que queriam se preparar para escolas militares como IME e ITA. Estou em São Paulo capital e gostaria de saber como adquiri-los. Ouvi muitas recomendações para adquirir livros ecritos por participantes aqui da lista como Morgado, Eduardo Wagner, entre muitos outros que se dedicam ou dedicaram ao ensino desta arte milenar.

Uma das pessoas que me recomendou a escrever aos autores foi o amigo Ponce ao qual desejo muita força, saúde e paciência para continuar a ensinar esta arte milenar e dar significado a existência de muitos jovens, uma nova visão de universo que os levam a exaltação em salas de aula à tarde de um belo sábado. Não digo o momento do barulho, mas sim do silêncio que se descurtina dos inúmeros olhares que comtemplam um raciocínio desnumbrante desenvolvido para um problema de matemática. Um abraço a todos os professores e aqueles que se dedicam a ensinar outras "pessoas a lembrar ao que elas tem dentro de si e só precisam recordar".   

 


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Dois barcos partem num mesmo instante de lados opostos de um rio de margens paralelas. Viajam cada qual, perpendicularmente  às margens, com velocidade constante. Supondo que um deles é mais rápido que o outro, eles se cruzam num ponto situado a 720m da margem mais próxima; completada a travessia, cada barco fica parado no respectivo cais por 10 minutos. Na volta eles se cruzam a 400m da outra margem. Qual  é a largura do rio ?


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Acabo de chegar a uma conclusão de outra linha de raciocínio errado, corrigindo:

aplicando Teorema de Jacobi:

n![(-1)^n+1] * [n(-1)^n-1+2] *  ... * n(-1)^1+n

então (n!)^n * (-1)^n(n+1) = (n!)^n

n(n+1) será sempre par logo (-1)^par=1

Desculpe pelas atrvessadas, mas estamos aqui pra isso. 

 JoaoCarlos_Junior@net.ms.gov.br wrote:

Queridos amigos, como resolver as questões que seguem abaixo?

1) F(x) = x(x-1)(x-2)...(x-n+1). Calcular os determinantes:
a) |F(0) F(1) F(2) ... F(n) |
|F(1) F(2) F(3) ... F(n+1)|
|.......................... |
|F(n) F(n+1) F(n+2)... F(2n) |

b) |F(a) F´(a) F"(a) ... F^(n)(a) |
|F´(a) F"(a) F´´´(a) ... F^(n+1)(a)|
|.......................................... |
|F^(n)(a) F^(n+1)(a) F^(n+2)(a)... F^(2n)(a) |

2) Os números 204, 527 e 255 são divisíveis por 17. Demonstrar que
| 2 0 4 |
| 5 2 7 |
| 2 5 5 |

é divisível por 17.


Fonte: Problemas de Álgebra Superior ? D. Faddieev, I. Sominski ?
Editorial MIR ? Moscou.
ATT. João Carlos.


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Viajam cada qual, perpendicularmente às margens, com velocidade constante. Supondo que um deles é mais rápido que o outro, eles se cruzam num ponto situado a 720m da margem mais próxima; completada a travessia, cada barco fica parado no respectivo cais por 10 minutos. Na volta eles se cruzam a 400m da outra margem. Qual é a largura do rio ? > > > > --------------------------------- > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 6 23:22:15 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA08493 for obm-l-MTTP; Thu, 6 Feb 2003 23:20:32 -0200 Received: from artemis.opendf.com.br (artemis.opengate.com.br [200.181.71.15]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA08487 for ; Thu, 6 Feb 2003 23:20:29 -0200 Received: from localhost (localhost [127.0.0.1]) by artemis.opendf.com.br (Postfix) with ESMTP id E4E4E1CAE4 for ; Thu, 6 Feb 2003 23:19:39 -0200 (EDT) Received: from computer (200-181-089-248.bsace7001.dsl.brasiltelecom.net.br [200.181.89.248]) by artemis.opendf.com.br (Postfix) with ESMTP id 20A0C1C882 for ; Thu, 6 Feb 2003 23:19:36 -0200 (EDT) From: "Artur Costa Steiner" To: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?RE:_=5Bobm-l=5D_Re:_=5Bobm-l=5D_Fun=E7=E3o_uniformemente_d?= =?iso-8859-1?Q?iferenci=E1vel?= Date: Thu, 6 Feb 2003 23:20:02 -0200 Organization: Steiner Consultoria LTDA Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/mixed; boundary="----=_NextPart_000_00B1_01C2CE36.46C69350" X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook, Build 10.0.2627 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 Importance: Normal In-Reply-To: <002d01c2cdcb$f6be0a60$0c01a8c0@mshome.net> X-MS-TNEF-Correlator: 000000005FC3F71D8B4BB941A8AA63D06F261C3684042900 X-Virus-Scanned: by AMaViS new-20020517 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 4985 Lines: 96 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_00B1_01C2CE36.46C69350 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable >> -----Original Message----- >> From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm- >> l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Cl=E1udio (Pr=E1tica) >> Sent: Wednesday, February 05, 2003 12:40 PM >> To: obm-l@mat.puc-rio.br >> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Fun=E7=E3o uniformemente diferenci=E1vel >> >> Caro Artur: >> >> Tentando resolver os seus problemas (especificamente, com as voltas >dos >> "se >> e somente se") eu me deparei com uma d=FAvida: >> >> Tome uma fun=E7=E3o f, diferenci=E1vel num intervalo aberto I. >> =C9 verdade que dado qualquer z em I, existem x e y em I tais que: >> f'(z) =3D [f(x)-f(y)]/(x-y) ? >> Este seria uma esp=E9cie de rec=EDproco do teorema do valor m=E9dio. > >N=E3o, n=E3o =E9 verdade. Considere, por exemplo, f dada por f(x) =3D = x^3, no >ponto z=3D0 . =C9 f=E1cil verificar que se y<00 e >jamais se iguala a f'(0)=3D0. Observe que, para termos uma rec=EDproca = do >teorema do valor m=E9dio, dever=EDamos ter z entre x e y. > >PS. Vc achou interessantes os problemas que eu propus? >Abra=E7os >Artur ------=_NextPart_000_00B1_01C2CE36.46C69350 Content-Type: application/ms-tnef; name="winmail.dat" Content-Transfer-Encoding: base64 Content-Disposition: attachment; filename="winmail.dat" eJ8+IgMBAQaQCAAEAAAAAAABAAEAAQeQBgAIAAAA5AQAAAAAAADoAAEIgAcAGAAAAElQTS5NaWNy b3NvZnQgTWFpbC5Ob3RlADEIAQ2ABAACAAAAAgACAAEGAAcAAQAAAAAAAAEGgAMADgAAANMHAgAG ABcAFAAAAAQAEQEBA5AGAJwIAAAsAAAACwACAAEAAAALACMAAAAAAAMAJgAAAAAACwApAAAAAAAD AC4AAAAAAAIBMQABAAAAGAAAAAAAAABfw/cdi0u5QaiqY9BvJhw2JAEpAAMANgAAAAAAHgBwAAEA AAA3AAAAW29ibS1sXSBSZTogW29ibS1sXSBGdW7n428gdW5pZm9ybWVtZW50ZSBkaWZlcmVuY2nh dmVsAAACAXEAAQAAABYAAAABws5GwD5m/4ZKTERDUrps2s0/B5tiAAACAR0MAQAAABkAAABTTVRQ OkFSVFVSQE9QRU5ERi5DT00uQlIAAAAACwABDgAAAABAAAYOAOB5CEfOwgECAQoOAQAAABgAAAAA AAAAX8P3HYtLuUGoqmPQbyYcNsKAAAADABQOAAAAAAsAHw4BAAAAAgEJEAEAAADTAwAAzwMAANgF AABMWkZ1Op0NTgMACgByY3BnMTI14jIDQ3RleAVBAQMB908KgAKkA+MCAGNoCsBz8GV0MCAHEwKA D/MAUH8EVghVB7IRxQ5RAwEQxzL3BgAGwxHFMwRGEMkS2xHT2wjvCfc7GL8OMDURwgxgzmMAUAsJ AWQzNhFQC6agID4+IC0dwk8FEB5nC4AHQAXQB5BzYWdeZR3DCqIKgB2RRgNhOhAgb3duBJAtb2Jg bS1sQHMbcAhxLlEAwHQucBtwLQUQbzQuYgXAWwDAAxB0bx46IFgfZyD/IgRdIE/JA6BCZRDwbGYl oCYwgkMYoCdlMXVkIhBQIChQciaidA3gYd4pH2cGYAIwIDBXCYAgcKBzZGF5LB/gZSJAwnUKwHkg MDUpcAHQSDAzIA4gOjQRUFD6TR9nVCLQIEAgwyGMJ/jYdWJqBZAosVsgsyWQZFJlLkhGdQuQJrA3 /SahMycQL7AGkAWwB4AHgGkCMGUgJvBmBJAJ8GNzAKAmsXZlGKAfdR9nQ1cKwCcQBxB0CHA6Ml9U 2yiRAHBkJxAYwHMG8DIgrQXAbwQgESB1BCBwA2CrAmAw4GEEICgHkHAFkJ8GkCexMPMpcAWgbSA3 Mf52BvABkBCwH3Q1gDlGHaB+IhEgH2cxMDXQMPQRICKyKTswdSAHgDFAZQqxdGVpOHN1AMAxQCag ZvhhdmkpQDQPK7E8YT1SmmYvumYpcDFeIG49UOYgC4AOsHJ2B0AnEAGgYwSQIsAgSS4fZyagY545 OOAEkClAAQAgcQpQf0DARHAnEESwB0BEsQXAevs7MDigSSlwDsAEAA6wOKDueDsxKgBF8iABkAQA RKKjPic/wCcoejwQPSJgIGYoeCktSTB5KZRdL0lALUmgID8fZ35FRoE2YQchPUM3cSahOd8xwDxy NaEA4CawZDbBBaD/QMAnEA6wBbA3EU1yQnIFwN5tTAIm8UNGH2VOMBMpcO8vwjBBTAJEJi4SwQCB BIH9OFFwBbEOwDDgC1BQgSYwH0RhPXBSskkySPF4XjM9UJFvH2VSsAIwJxB6PfcRUFHgQ+NmJqIx wAMgNgEfN8MFwESyESBHADwwPN54RjECMEBFSU0+EVA6pv5qOABHklgBHjBFUT1wP7GZSLAwKVXw UeBPYksx/zIgRKJSkQrAPXBCQQRgBCB/PVJMuU4SH2VNv07GQLFl/zYBTOI4ADZBQkFFwgIwGMAm IEbET01QU1HgVmP/OLAQ4AhgQhQesjERBCA2QV82yESyPDE2wSHAc0pGQX0iQGEv0jnXM7MfZB9k fQFqcAAeAEIQAQAAACwAAAA8MDAyZDAxYzJjZGNiJGY2YmUwYTYwJDBjMDFhOGMwQG1zaG9tZS5u ZXQ+AAMAkhABAAAAAgEUOgEAAAAQAAAAP455kswPVUyPfcAvKbae3AMA3j+vbwAAAwAJWQEAAAAD AEBlAAAAAAsAE4AIIAYAAAAAAMAAAAAAAABGAAAAAAOFAAAAAAAAAwAVgAggBgAAAAAAwAAAAAAA AEYAAAAAEIUAAAAAAAADABuACCAGAAAAAADAAAAAAAAARgAAAABShQAA45ABAAMAIoAIIAYAAAAA AMAAAAAAAABGAAAAAAGFAAAAAAAAQAAjgAggBgAAAAAAwAAAAAAAAEYAAAAAYIUAAADQiMMQAAAA HgBBgAggBgAAAAAAwAAAAAAAAEYAAAAAVIUAAAEAAAAFAAAAMTAuMAAAAAALAEKACCAGAAAAAADA AAAAAAAARgAAAAAGhQAAAAAAAAsARoAIIAYAAAAAAMAAAAAAAABGAAAAAA6FAAAAAAAAAwBJgAgg BgAAAAAAwAAAAAAAAEYAAAAAGIUAAAAAAAALAF6ACCAGAAAAAADAAAAAAAAARgAAAACChQAAAQAA AAIB+A8BAAAAEAAAAF/D9x2LS7lBqKpj0G8mHDYCAfoPAQAAABAAAABfw/cdi0u5QaiqY9BvJhw2 AgH7DwEAAACEAAAAAAAAADihuxAF5RAaobsIACsqVsIAAG1zcHN0LmRsbAAAAAAATklUQfm/uAEA qgA32W4AAABDOlxEb2N1bWVudHMgYW5kIFNldHRpbmdzXEFydHVyXEFwcGxpY2F0aW9uIERhdGFc TWljcm9zb2Z0XE91dGxvb2tcT3V0bG9vay5wc3QAAwD+DwUAAAADAA00/TcCAAIBFDQBAAAAEAAA AE5JVEH5v7gBAKoAN9luAAACAX8AAQAAADEAAAAwMDAwMDAwMDVGQzNGNzFEOEI0QkI5NDFBOEFB NjNEMDZGMjYxQzM2ODQwNDI5MDAAAAAAAwAGEN7HvcsDAAcQCgMAAAMAEBACAAAAAwAREAAAAAAe AAgQAQAAAGUAAAAtLS0tLU9SSUdJTkFMTUVTU0FHRS0tLS0tRlJPTTpPV05FUi1PQk0tTEBTVUNV UklNQVRQVUMtUklPQlJNQUlMVE86T1dORVItT0JNLUxAU1VDVVJJTUFUUFVDLVJJT0JST05CAAAA ACgs ------=_NextPart_000_00B1_01C2CE36.46C69350-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 6 23:23:01 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA08639 for obm-l-MTTP; Thu, 6 Feb 2003 23:21:42 -0200 Received: from artemis.opendf.com.br (artemis.opengate.com.br [200.181.71.15]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA08634 for ; Thu, 6 Feb 2003 23:21:38 -0200 Received: from localhost (localhost [127.0.0.1]) by artemis.opendf.com.br (Postfix) with ESMTP id 5A90F1CAE4 for ; Thu, 6 Feb 2003 23:20:49 -0200 (EDT) Received: from computer (200-181-089-248.bsace7001.dsl.brasiltelecom.net.br [200.181.89.248]) by artemis.opendf.com.br (Postfix) with ESMTP id 226DA1C882 for ; Thu, 6 Feb 2003 23:20:46 -0200 (EDT) From: "Artur Costa Steiner" To: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?RE:_=5Bobm-l=5D_Re:_=5Bobm-l=5D_Fun=E7=E3o_uniformemente_d?= =?iso-8859-1?Q?iferenci=E1vel?= Date: Thu, 6 Feb 2003 23:21:12 -0200 Organization: Steiner Consultoria LTDA Message-ID: <00b401c2ce47$3414e660$9865fea9@computer> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook, Build 10.0.2627 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 Importance: Normal In-Reply-To: <002e01c2cdcd$1f72c440$0c01a8c0@mshome.net> X-Virus-Scanned: by AMaViS new-20020517 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id XAA08635 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1226 Lines: 49 >> Oi Claudio, >> >> Seja I=[a,b] e z em I. >> >> Defina G(x,y)=(f(x)-f(y))/(x-y) uma funcao de 2 variaveis em >> IxI da seguinte forma: >> >> Se x<>y, nao ha problema. >> >> Se x=y, G(x,x)=f'(x). >> >> >> >> Eh claro que G eh continua, porque f eh derivavel, G(x,x)=f'(x) e >> G(x,y)=G(y,x). >> >> Vamos supor que {min f' em I} < f'(z) < {max f' em I}. >> >> Nesse caso existe (x0,y0) e (x1,y1) tais que: >> >> 1) G(x0,y0)> >> 2) x0>y0 e x1>y1. >> >> >> Una agora os pontos (x0,y0) e (x1,y1) por uma reta. Como essa reta nao >> cruza a diagonal, pelo teorema do valor intermediario segue o que voce >> quer. O ponto crucial eh garantir que a reta nao cruza a diagonal. >> >> >> Abraco, >> >> Salvador > >Há algum engano aí , Salvador. Considere como contra exemplo f(x) = x^3 >no ponto 0. Verificamos facilmente que a condição procurada jamais é >atendida. Certo? > >Um abraço >Artur ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 6 23:23:42 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA08699 for obm-l-MTTP; Thu, 6 Feb 2003 23:22:25 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.134]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA08695 for ; Thu, 6 Feb 2003 23:22:22 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (localhost [127.0.0.1]) by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h171ME5P005216 for ; Thu, 6 Feb 2003 23:22:15 -0200 (EDT) Received: by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.5/Submit) id h171MEsM005214; Thu, 6 Feb 2003 23:22:14 -0200 (EDT) Message-Id: <200302070122.h171MEsM005214@trex.centroin.com.br> Received: from 200.149.183.212 by trex.centroin.com.br (CIPWM versao 1.4C1) with HTTPS for ; Thu, 6 Feb 2003 23:22:14 -0200 (EDT) Date: Thu, 6 Feb 2003 23:22:14 -0200 (EDT) From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Determinantes MIME-Version: 1.0 X-Mailer: CentroIn Internet Provider WebMail v. 1.4C1 (http://www.centroin.com.br/) Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id XAA08696 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 3179 Lines: 90 O determinante de uma matriz quadrada em que uma das bandas da diagonal eh nula eh igual ao produto dos elementos da diagonal; O determinante de uma matriz quadrada de ordem n em que uma das bandas da outra diagonal (no meu tempo de aluno dizia-se diagonal secundaria) eh nula eh igual ao produto dos elementos da diagonal multiplicado por (-1)^[n(n-1)/2] Na parte a, a diagonal secundaria tem todos os elementos iguais a n! e a banda de cima eh nula. Como a matriz eh de ordem n+1, a resposta eh [(n!)^(n+1)]*(-1)^[(n)(n+1)/2] Em Thu, 6 Feb 2003 15:50:17 -0300 (ART), Leahpar Xarm disse: > > Por enquanto o item a. > > > > Resolução : > > Observe que: > > F(0)=0, F(1)=0, F(2)=0, ..., F(n-1)=0 (substitu-a e veja) > > F(n)=n(n-1)(n-2)...3.2.1=n! , F(n+1)=(n+1)!, F(n+2)=(n+2)!, ..., F(2n)= 2n! > > Recolocando as novas formas de representar os dados anteriores, tem-se: > > | 0 0 0 .......... n ! | > > | 0 0 0 .......... (n+1)! | > > | ...... ...... ...... ................. ............ | > > | 0 0! n! .............. (2n-2)! | > > | 0 n! (n+1)! ............ (2n-1)! | > > | n! (n+1)! (n+2)! ............ (2n)! | > > Observe que os elementos acima da diagonal secundaria são iguais a 0. > > Agora é só aplicar Teorema de Jacobi, escolher uma linha ou coluna que dira tudo e reduzir até onde der. Temos assim > > n! * A(1,n) e sucessivamente > > eu cheguei nisto > > n!*{(-1)^(n+1)]*n!{ (-1)^[(n-1)+2] }.... n![(-1)^1+n] > > que dá: > > [(-1)^(2n+n)]*n(n!) > > > JoaoCarlos_Junior@net.ms.gov.br wrote:Queridos amigos, como resolver as questões que seguem abaixo? > > 1) F(x) = x(x-1)(x-2)...(x-n+1). Calcular os determinantes: > a) |F(0) F(1) F(2) ... F(n) | > |F(1) F(2) F(3) ... F(n+1)| > |.......................... | > |F(n) F(n+1) F(n+2)... F(2n) | > > b) |F(a) F´(a) F"(a) ... F^(n)(a) | > |F´(a) F"(a) F´´´(a) ... F^(n+1)(a)| > |.......................................... | > |F^(n)(a) F^(n+1)(a) F^(n+2)(a)... F^(2n)(a) | > > 2) Os números 204, 527 e 255 são divisíveis por 17. Demonstrar que > | 2 0 4 | > | 5 2 7 | > | 2 5 5 | > > é divisível por 17. > > > Fonte: Problemas de Álgebra Superior ? D. Faddieev, I. Sominski ? > Editorial MIR ? Moscou. > ATT. João Carlos. > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > > > --------------------------------- > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 6 23:39:31 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA09237 for obm-l-MTTP; Thu, 6 Feb 2003 23:36:21 -0200 Received: from Euler.impa.br (euler.impa.br [147.65.1.3]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA09233 for ; Thu, 6 Feb 2003 23:36:17 -0200 Received: from [147.65.11.8] (dial08.impa.br [147.65.11.8]) by Euler.impa.br (8.11.6/8.11.6) with ESMTP id h171ZXw10048 for ; Thu, 6 Feb 2003 23:35:33 -0200 (EDT) Message-Id: <200302070135.h171ZXw10048@Euler.impa.br> X-Mailer: Microsoft Outlook Express Macintosh Edition - 4.5 (0410) Date: Sat, 08 Feb 2003 23:33:24 -0200 Subject: Re: [obm-l] Ol=?ISO-8859-1?B?4S0gQ29uc3RydefjbyBHZW9t6Q==?= trica From: "Eduardo Wagner" To: obm-l@mat.puc-rio.br Mime-version: 1.0 X-Priority: 3 Content-type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id XAA09234 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1719 Lines: 50 Caro Edu: Este eh o problema 89 do livro da Olimpiada Brasileira de Matematica, 1a a 8a. Adquira este livro. Voce vai ver a solucao detalhada desta problema e vai conhecer muitos outros problemas interessantes. Entre em contato com a secretaria da OBM pelo e-mail ou pelo telefone 25295077. ---------- >From: "Eduardo" >To: >Subject: [obm-l] Olá- Construção Geométrica >Date: Thu, Feb 6, 2003, 9:29 PM > > Olá, pessoas > > Acabo de ingressar na lista e gostaria de propor um problema: > > Dados dois segmentos a e b, construir um segmento de medida (a^4+b^4)^1/4 > > Se alguém puder me ajudar... > > abraços > > Edu > --- > Outgoing mail is certified Virus Free. > Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). > Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. > http://br.busca.yahoo.com/ > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 07:13:45 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id HAA18867 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 07:12:03 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.134]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id HAA18863 for ; Fri, 7 Feb 2003 07:11:59 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (localhost [127.0.0.1]) by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h179Bq5P020530 for ; Fri, 7 Feb 2003 07:11:52 -0200 (EDT) Received: (from morgado@localhost) by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.5/Submit) id h179Bqj4020529; Fri, 7 Feb 2003 07:11:52 -0200 (EDT) Message-Id: <200302070911.h179Bqj4020529@trex.centroin.com.br> Received: from 200.165.194.157 by trex.centroin.com.br (CIPWM versao 1.4C1) with HTTPS for ; Fri, 7 Feb 2003 07:11:52 -0200 (EDT) Date: Fri, 7 Feb 2003 07:11:52 -0200 (EDT) From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Determinantes MIME-Version: 1.0 X-Mailer: CentroIn Internet Provider WebMail v. 1.4C1 (http://www.centroin.com.br/) Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id HAA18864 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 4143 Lines: 103 b) F eh um polinomio de grau n com coeficiente do termo de maior grau igual a 1. Entao, sua derivada de ordem n vale n! e as derivadas de ordens superiores valem zero. A matriz fica com a diagonal secundaria com todos os elementos iguais a n! e a banda de baixo nula. Como a matriz eh de ordem n+1, a resposta eh [(n!)^(n+1)]*(-1)^[(n)(n+1)/2]. Em Thu, 6 Feb 2003 23:22:14 -0200 (EDT), Augusto Cesar de Oliveira Morgado disse: > > O determinante de uma matriz quadrada em que uma das bandas da diagonal eh nula eh igual ao produto dos elementos da diagonal; O determinante de uma matriz quadrada de ordem n em que uma das bandas da outra diagonal (no meu tempo de aluno dizia-se diagonal secundaria) eh nula eh igual ao produto dos elementos da diagonal multiplicado por (-1)^[n(n-1)/2] > Na parte a, a diagonal secundaria tem todos os elementos iguais a n! e a banda de cima eh nula. Como a matriz eh de ordem n+1, a resposta eh [(n!)^(n+1)]*(-1)^[(n)(n+1)/2] > > > Em Thu, 6 Feb 2003 15:50:17 -0300 (ART), Leahpar Xarm disse: > > > > > Por enquanto o item a. > > > > > > > > Resolução : > > > > Observe que: > > > > F(0)=0, F(1)=0, F(2)=0, ..., F(n-1)=0 (substitu-a e veja) > > > > F(n)=n(n-1)(n-2)...3.2.1=n! , F(n+1)=(n+1)!, F(n+2)=(n+2)!, ..., F(2n)= 2n! > > > > Recolocando as novas formas de representar os dados anteriores, tem-se: > > > > | 0 0 0 .......... n ! | > > > > | 0 0 0 .......... (n+1)! | > > > > | ...... ...... ...... ................. ............ | > > > > | 0 0! n! .............. (2n-2)! | > > > > | 0 n! (n+1)! ............ (2n-1)! | > > > > | n! (n+1)! (n+2)! ............ (2n)! | > > > > Observe que os elementos acima da diagonal secundaria são iguais a 0. > > > > Agora é só aplicar Teorema de Jacobi, escolher uma linha ou coluna que dira tudo e reduzir até onde der. Temos assim > > > > n! * A(1,n) e sucessivamente > > > > eu cheguei nisto > > > > n!*{(-1)^(n+1)]*n!{ (-1)^[(n-1)+2] }.... n![(-1)^1+n] > > > > que dá: > > > > [(-1)^(2n+n)]*n(n!) > > > > > > JoaoCarlos_Junior@net.ms.gov.br wrote:Queridos amigos, como resolver as questões que seguem abaixo? > > > > 1) F(x) = x(x-1)(x-2)...(x-n+1). Calcular os determinantes: > > a) |F(0) F(1) F(2) ... F(n) | > > |F(1) F(2) F(3) ... F(n+1)| > > |.......................... | > > |F(n) F(n+1) F(n+2)... F(2n) | > > > > b) |F(a) F´(a) F"(a) ... F^(n)(a) | > > |F´(a) F"(a) F´´´(a) ... F^(n+1)(a)| > > |.......................................... | > > |F^(n)(a) F^(n+1)(a) F^(n+2)(a)... F^(2n)(a) | > > > > 2) Os números 204, 527 e 255 são divisíveis por 17. Demonstrar que > > | 2 0 4 | > > | 5 2 7 | > > | 2 5 5 | > > > > é divisível por 17. > > > > > > Fonte: Problemas de Álgebra Superior ? D. Faddieev, I. Sominski ? > > Editorial MIR ? Moscou. > > ATT. João Carlos. > > > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > O administrador desta lista é > > ========================================================================= > > > > > > --------------------------------- > > Busca Yahoo! > > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 08:43:26 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id IAA20592 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 08:41:01 -0200 Received: from web41506.mail.yahoo.com (web41506.mail.yahoo.com [66.218.93.89]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id IAA20587 for ; Fri, 7 Feb 2003 08:40:56 -0200 Message-ID: <20030207104025.35440.qmail@web41506.mail.yahoo.com> Received: from [200.223.40.232] by web41506.mail.yahoo.com via HTTP; Fri, 07 Feb 2003 07:40:25 ART Date: Fri, 7 Feb 2003 07:40:25 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?elton=20francisco=20ferreira?= Subject: Re: [obm-l] função To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <200302062316.h16NG1CF021161@trex.centroin.com.br> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1768 Lines: 59 --- Augusto Cesar de Oliveira Morgado escreveu: > X2 eh X ao quadrado? sim > > Em Thu, 6 Feb 2003 14:19:42 -0300 (ART), elton > francisco ferreira > disse: > > > Uma função Y=f(x) é tal que Y é diretamente > > proporcional a X2 e Y=30 quando X= -60. Qual o > valor > > de f(6)? > > > > 45 > > 36 > > 30 > > 23 > > > > > _______________________________________________________________________ > > Busca Yahoo! > > O melhor lugar para encontrar tudo o que você > procura na Internet > > http://br.busca.yahoo.com/ > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > O administrador desta lista é > > > > ========================================================================= > > > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > > ========================================================================= _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! 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O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 09:32:59 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA21927 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 09:31:39 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.134]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id JAA21922 for ; Fri, 7 Feb 2003 09:31:36 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (localhost [127.0.0.1]) by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h17BVS5P013046 for ; Fri, 7 Feb 2003 09:31:28 -0200 (EDT) Received: (from morgado@localhost) by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.5/Submit) id h17BVSls013042; Fri, 7 Feb 2003 09:31:28 -0200 (EDT) Message-Id: <200302071131.h17BVSls013042@trex.centroin.com.br> Received: from 200.149.181.238 by trex.centroin.com.br (CIPWM versao 1.4C1) with HTTPS for ; Fri, 7 Feb 2003 09:31:28 -0200 (EDT) Date: Fri, 7 Feb 2003 09:31:28 -0200 (EDT) From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: =?iso-8859-1?q?Re: [obm-l] fun=E7=E3o?= MIME-Version: 1.0 X-Mailer: CentroIn Internet Provider WebMail v. 1.4C1 (http://www.centroin.com.br/) Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id JAA21923 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2588 Lines: 78 Y = k* (X^2), onde k eh a constante de proporcionalidade. Substituindo X por -60 e Y por 30, encontramos k = 1/120. Quando X = 6, o valor de Y eh Y = (1/120)* 36 = 0,3. Nao ha resposta nas opçoes oferecidas. De onde veio o problema? Fasciculo da Nova Cultural? Morgado Em Fri, 7 Feb 2003 07:40:25 -0300 (ART), elton francisco ferreira disse: > --- Augusto Cesar de Oliveira Morgado > escreveu: > X2 eh X ao > quadrado? sim > > > > Em Thu, 6 Feb 2003 14:19:42 -0300 (ART), elton > > francisco ferreira > > disse: > > > > > Uma função Y=f(x) é tal que Y é diretamente > > > proporcional a X2 e Y=30 quando X= -60. Qual o > > valor > > > de f(6)? > > > > > > 45 > > > 36 > > > 30 > > > 23 > > > > > > > > > _______________________________________________________________________ > > > Busca Yahoo! > > > O melhor lugar para encontrar tudo o que você > > procura na Internet > > > http://br.busca.yahoo.com/ > > > > > > ========================================================================= > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > > usar a lista em > > > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > O administrador desta lista é > > > > > > > > ========================================================================= > > > > > > > > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > > usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > O administrador desta lista é > > > > > ========================================================================= > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet > http://br.busca.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 09:38:08 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA22165 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 09:36:46 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.134]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id JAA22160 for ; Fri, 7 Feb 2003 09:36:43 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (localhost [127.0.0.1]) by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h17BaZ5P016296 for ; Fri, 7 Feb 2003 09:36:35 -0200 (EDT) Received: by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.5/Submit) id h17BaZJG016291; Fri, 7 Feb 2003 09:36:35 -0200 (EDT) Message-Id: <200302071136.h17BaZJG016291@trex.centroin.com.br> Received: from 200.149.181.238 by trex.centroin.com.br (CIPWM versao 1.4C1) with HTTPS for ; Fri, 7 Feb 2003 09:36:35 -0200 (EDT) Date: Fri, 7 Feb 2003 09:36:35 -0200 (EDT) From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] problema MIME-Version: 1.0 X-Mailer: CentroIn Internet Provider WebMail v. 1.4C1 (http://www.centroin.com.br/) Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id JAA22161 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1271 Lines: 30 1) Por favor, quilometro se abrevia km, com k minusculo. 2) 1 no = 1,852 km/h 10 nos = 18,52 km/h A resposta eh 370,4/18,52= 20 horas Em Fri, 7 Feb 2003 08:19:37 -0300 (ART), elton francisco ferreira disse: > Se o nó é igual a uma milha marítima por hora e uma > milha marítima é igual a 1852 m; quanto tempo uma > embarcação com velocidade constante de 10 nós gasta > para percorrer 370,4 Km? > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet > http://br.busca.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 10:06:13 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA23521 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 10:04:34 -0200 Received: from web80307.mail.yahoo.com (web80307.mail.yahoo.com [66.218.79.23]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id KAA23517 for ; Fri, 7 Feb 2003 10:04:30 -0200 Message-ID: <20030207120359.75855.qmail@web80307.mail.yahoo.com> Received: from [200.17.147.233] by web80307.mail.yahoo.com via HTTP; Fri, 07 Feb 2003 09:03:59 ART Date: Fri, 7 Feb 2003 09:03:59 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Tertuliano=20Carneiro?= Subject: Re: [obm-l] problema To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <20030207111937.10589.qmail@web41511.mail.yahoo.com> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1373 Lines: 39 Olá! Do enunciado, um nó equivale a 1,852 km/h. Isso é tudo. --- elton francisco ferreira escreveu: > Se o nó é igual a uma milha marítima por hora e uma > milha marítima é igual a 1852 m; quanto tempo uma > embarcação com velocidade constante de 10 nós gasta > para percorrer 370,4 Km? > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O melhor lugar para encontrar tudo o que você > procura na Internet > http://br.busca.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > > ========================================================================= _______________________________________________________________________ Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios. http://br.geocities.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 11:29:45 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA26619 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 11:27:57 -0200 Received: from www.zipmail.com.br (smtp.zipmail.com.br [200.187.242.10]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA26615 for ; Fri, 7 Feb 2003 11:27:53 -0200 From: ghaeser@zipmail.com.br Received: from [200.158.7.127] by www.zipmail.com.br with HTTP; Fri, 7 Feb 2003 11:21:44 -0200 Message-ID: <3E43A3490000025A@www.zipmail.com.br> Date: Fri, 7 Feb 2003 11:21:44 -0200 In-Reply-To: <200302071136.h17BaZJG016291@trex.centroin.com.br> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?s=E9ries?= To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id LAA26616 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 768 Lines: 29 seja 0<=x[k],a[k]<=1 sequencias. se somatório de x[k], para k=0,..,oo diverge. e somatório de a[k].x[k], para k=0,..,oo converge. é possível afirmar que lim ak = 0 ? "Mathematicus nascitur, non fit" Matemáticos não são feitos, eles nascem --------------------------------------- Gabriel Haeser www.gabas.cjb.net ------------------------------------------ Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 11:29:46 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA26639 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 11:28:15 -0200 Received: from imo-d08.mx.aol.com (imo-d08.mx.aol.com [205.188.157.40]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA26633 for ; Fri, 7 Feb 2003 11:28:11 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-d08.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.ad.2a5473b0 (4116) for ; Fri, 7 Feb 2003 08:27:18 -0500 (EST) Message-ID: Date: Fri, 7 Feb 2003 08:27:18 EST Subject: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?tri=E2ngulo?= To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_ad.2a5473b0.2b750e36_boundary" X-Mailer: AOL 6.0 for Windows BR sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2461 Lines: 66 --part1_ad.2a5473b0.2b750e36_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal, Veja esta quest=E3o: (MAU=C1-SP) No tri=E2ngulo ABC, temos: AC=3D 7m, BC=3D 8m, beta=3D ABC=3D60=BA. Determin= e a =E1rea do=20 tri=E2ngulo. resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2 Obs: O tri=E2ngulo citado =E9 um tri=E2ngulo de base BC. Eu tentei aplicar a= lei da=20 =E1rea [ S=3D(a.b.sen alfa)/2], mas n=E3o =E9 dado o valor de BA. Sendo assi= m eu=20 tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60=BA =3DBA/sen C=20= da=ED=20 aparece outra inc=F3gnita o sen C. A partir disso eu tentei aplicar a lei do= s=20 cossenos para achar =20 o cos C, pois =E9 dado no enunciado AC e BC, para depois calcular o sen C pe= la=20 rela=E7ao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=3D1, mas n=E3o d=E1 para aplicar=20= a lei dos=20 cossenos, pois n=E3o =E9 dado BA. A partir disso entra-se num ciclo vicioso.= Ser=E1=20 que n=E3o est=E1 faltando nem um dado? --part1_ad.2a5473b0.2b750e36_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal,

Veja esta quest=E3o:

(MAU=C1-SP)

No tri=E2ngulo ABC, temos: AC=3D 7m, BC=3D 8m, beta=3D ABC=3D60=BA. Dete= rmine a =E1rea do tri=E2ngulo.

resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2

Obs: O tri=E2ngulo citado =E9 um tri=E2ngulo de base BC. Eu tentei aplic= ar a lei da =E1rea [ S=3D(a.b.sen alfa)/2], mas n=E3o =E9 dado o valor de BA= . Sendo assim eu tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen6= 0=BA =3DBA/sen C da=ED aparece outra inc=F3gnita o sen C. A partir disso eu=20= tentei aplicar a lei dos cossenos para achar   
o cos C, pois =E9 dado no enunciado AC e BC, para depois calcular o sen=20= C pela rela=E7ao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=3D1, mas n=E3o d=E1 para a= plicar a lei dos cossenos, pois n=E3o =E9 dado BA. A partir disso entra-se n= um ciclo vicioso. Ser=E1 que n=E3o est=E1 faltando nem um dado? --part1_ad.2a5473b0.2b750e36_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 11:30:11 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA26678 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 11:28:53 -0200 Received: from imo-m09.mx.aol.com (imo-m09.mx.aol.com [64.12.136.164]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA26674 for ; Fri, 7 Feb 2003 11:28:49 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-m09.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.20.9578c7d (4116) for ; Fri, 7 Feb 2003 08:28:15 -0500 (EST) Message-ID: <20.9578c7d.2b750e6f@aol.com> Date: Fri, 7 Feb 2003 08:28:15 EST Subject: [obm-l] trigonometria To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_20.9578c7d.2b750e6f_boundary" X-Mailer: AOL 6.0 for Windows BR sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 999 Lines: 33 --part1_20.9578c7d.2b750e6f_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal, Como resolver esta: (UNESP) A express=E3o [1-2sen^2(x) + sen^4(x) + sen^2(x)]*cos^2 (x) =E9=20 equivalente a: resp: cos^2(x)=20 --part1_20.9578c7d.2b750e6f_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal,

Como resolver esta:

(UNESP) A express=E3o [1-2sen^2(x) + sen^4(x) + sen^2(x)]*cos^2 (x) =E9=20= equivalente a:

resp: cos^2(x) --part1_20.9578c7d.2b750e6f_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 12:02:52 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA28357 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 12:01:23 -0200 Received: from bindtech.bindtech.com.br (mail.bindtech.com.br [200.230.34.1]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA28347 for ; Fri, 7 Feb 2003 12:01:18 -0200 Received: from servico2 (200.230.34.227 [200.230.34.227]) by bindtech.bindtech.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.2653.13) id 1PDGLVJD; Fri, 7 Feb 2003 12:04:21 -0300 Message-ID: <00ac01c2ceba$0905a900$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: Subject: Re: [obm-l] Determinantes Date: Fri, 7 Feb 2003 13:03:07 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2067 Lines: 55 Item b) Estou supondo que F^(k)(x) é a k-ésima derivada de F(x). F(x) é um polinômio mônico de grau n. Assim, F^(n)(x) = 1 e se k > n, então F^(k)(x) = 0. Então este determinante tem a diagonal secundária composta de 1's e todos os termos abaixo dela iguais a zero. Logo, DET = (-1)^(n*(n-1)/2) * 1^n = (-1)^(n*(n-1)/2).. Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: To: Sent: Thursday, February 06, 2003 9:06 AM Subject: [obm-l] Determinantes Queridos amigos, como resolver as questões que seguem abaixo? 1) F(x) = x(x-1)(x-2)...(x-n+1). Calcular os determinantes: a) |F(0) F(1) F(2) ... F(n) | |F(1) F(2) F(3) ... F(n+1)| |.......................... | |F(n) F(n+1) F(n+2)... F(2n) | b) |F(a) F´(a) F"(a) ... F^(n)(a) | |F´(a) F"(a) F´´´(a) ... F^(n+1)(a)| |.......................................... | |F^(n)(a) F^(n+1)(a) F^(n+2)(a)... F^(2n)(a) | 2) Os números 204, 527 e 255 são divisíveis por 17. Demonstrar que | 2 0 4 | | 5 2 7 | | 2 5 5 | é divisível por 17. Fonte: Problemas de Álgebra Superior ? D. Faddieev, I. Sominski ? Editorial MIR ? Moscou. ATT. João Carlos. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 12:14:33 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA29214 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 12:13:04 -0200 Received: from bindtech.bindtech.com.br (mail.bindtech.com.br [200.230.34.1]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA29195 for ; Fri, 7 Feb 2003 12:12:51 -0200 Received: from servico2 (200.230.34.227 [200.230.34.227]) by bindtech.bindtech.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.2653.13) id 1PDGLVK5; Fri, 7 Feb 2003 12:15:54 -0300 Message-ID: <00cc01c2cebb$a645e580$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030207004918.30965.qmail@web40018.mail.yahoo.com> Subject: Re: [obm-l] Determinantes Date: Fri, 7 Feb 2003 13:14:41 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_00C9_01C2CEAA.DF915100" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 9151 Lines: 242 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_00C9_01C2CEAA.DF915100 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Caro Leahpar Xarm: Num determinante de ordem n, se todos os elementos acima ou abaixo da = diagonal secund=E1ria forem iguais a zero, ent=E3o o valor do = determinante ser=E1 igual a: (-1)^(n(n-1)/2) * Produto dos elementos da diagonal secund=E1ria. O termo (-1)^(n(n-1)/2) =E9 a paridade da permuta=E7=E3o: 1 2 3 ... n-2 n-1 n n n-1 n-2 3 2 1 Esta permuta=E7=E3o tem n(n-1)/2 transposi=E7=F5es, logo, sua paridade = =E9 (-1)^(n(n-1)/2). Voc=EA pode ver isso ao reparar que a fim de transformar esta = permuta=E7=E3o na identidade, voc=EA precisa aplicar todas as = transposi=E7=F5es de elementos de {1,2,3,...,n}, e o n=FAmero destas =E9 = igual a C(n,2) =3D n(n-1)/2. Assim, o valor do determinante que tem n! na diagonal secund=E1ria e = todos os termos acima dela iguais a 0 =E9: (-1)^(n(n-1)/2) * (n!)^n. Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Leahpar Xarm=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Thursday, February 06, 2003 10:49 PM Subject: Re: [obm-l] Determinantes Acabo de chegar a uma conclus=E3o de outra linha de racioc=EDnio = errado, corrigindo:=20 aplicando Teorema de Jacobi:=20 n![(-1)^n+1] * [n(-1)^n-1+2] * ... * n(-1)^1+n=20 ent=E3o (n!)^n * (-1)^n(n+1) =3D (n!)^n=20 n(n+1) ser=E1 sempre par logo (-1)^par=3D1=20 Desculpe pelas atrvessadas, mas estamos aqui pra isso. =20 JoaoCarlos_Junior@net.ms.gov.br wrote:=20 Queridos amigos, como resolver as quest=F5es que seguem abaixo? 1) F(x) =3D x(x-1)(x-2)...(x-n+1). Calcular os determinantes: a) |F(0) F(1) F(2) ... F(n) | |F(1) F(2) F(3) ... F(n+1)| |.......................... | |F(n) F(n+1) F(n+2)... F(2n) | b) |F(a) F=B4(a) F"(a) ... F^(n)(a) | |F=B4(a) F"(a) F=B4=B4=B4(a) ... F^(n+1)(a)| |.......................................... | |F^(n)(a) F^(n+1)(a) F^(n+2)(a)... F^(2n)(a) | 2) Os n=FAmeros 204, 527 e 255 s=E3o divis=EDveis por 17. Demonstrar = que | 2 0 4 | | 5 2 7 | | 2 5 5 | =E9 divis=EDvel por 17. Fonte: Problemas de =C1lgebra Superior ? D. Faddieev, I. Sominski ? Editorial MIR ? Moscou. ATT. Jo=E3o Carlos. = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista =E9=20 = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D -------------------------------------------------------------------------= ----- Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o = Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_00C9_01C2CEAA.DF915100 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Caro Leahpar Xarm:
 
Num determinante de ordem n, se todos = os elementos=20 acima ou abaixo da diagonal secund=E1ria forem iguais a zero, ent=E3o o = valor do=20 determinante ser=E1 igual a:
(-1)^(n(n-1)/2) * Produto dos elementos = da diagonal=20 secund=E1ria.
 
O termo (-1)^(n(n-1)/2) =E9 a paridade = da=20 permuta=E7=E3o:
1    2   =20  3    ...   n-2   = n-1  =20 n
n   n-1 =20 n-2         =20 3      2    1
 
Esta permuta=E7=E3o tem n(n-1)/2 = transposi=E7=F5es, logo,=20 sua paridade =E9 (-1)^(n(n-1)/2).
 
Voc=EA pode ver isso ao reparar que a = fim de=20 transformar esta permuta=E7=E3o na identidade, voc=EA precisa aplicar = todas as=20 transposi=E7=F5es de elementos de {1,2,3,...,n}, e o n=FAmero destas =E9 = igual a C(n,2)=20 =3D n(n-1)/2.
 
Assim, o valor do determinante que tem = n! na=20 diagonal secund=E1ria e todos os termos acima dela iguais a 0 = =E9:
(-1)^(n(n-1)/2) * (n!)^n.
 
Um abra=E7o,
Claudio.
 
----- Original Message -----
From:=20 Leahpar=20 Xarm
Sent: Thursday, February 06, = 2003 10:49=20 PM
Subject: Re: [obm-l] = Determinantes

Acabo de chegar a uma conclus=E3o de outra linha de racioc=EDnio = errado,=20 corrigindo:=20

aplicando Teorema de Jacobi:=20

n![(-1)^n+1] * [n(-1)^n-1+2] *  ... * n(-1)^1+n=20

ent=E3o (n!)^n * (-1)^n(n+1) =3D (n!)^n=20

n(n+1) ser=E1 sempre par logo (-1)^par=3D1=20

Desculpe pelas atrvessadas, mas estamos aqui pra isso. =20

 JoaoCarlos_Junior@net.ms.= gov.br=20 wrote:=20 Queridos=20 amigos, como resolver as quest=F5es que seguem abaixo?

1) = F(x) =3D=20 x(x-1)(x-2)...(x-n+1). Calcular os determinantes:
a) |F(0) F(1) = F(2) ...=20 F(n) |
|F(1) F(2) F(3) ... F(n+1)|
|.......................... = |
|F(n) F(n+1) F(n+2)... F(2n) |

b) |F(a) F=B4(a) F"(a) = ... F^(n)(a)=20 |
|F=B4(a) F"(a) F=B4=B4=B4(a) ...=20 F^(n+1)(a)|
|.......................................... = |
|F^(n)(a)=20 F^(n+1)(a) F^(n+2)(a)... F^(2n)(a) |

2) Os n=FAmeros 204, 527 = e 255 s=E3o=20 divis=EDveis por 17. Demonstrar que
| 2 0 4 |
| 5 2 7 |
| 2 = 5 5=20 |

=E9 divis=EDvel por 17.


Fonte: Problemas de = =C1lgebra Superior=20 ? D. Faddieev, I. Sominski ?
Editorial MIR ? Moscou.
ATT. = Jo=E3o=20 = Carlos.


=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D
Instru=E7=F5es=20 para entrar na lista, sair da lista e usar a lista=20 em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O = administrador=20 desta lista =E9=20 =
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D


Busca Yahoo!
O = servi=E7o de=20 busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o Yahoo!=20 encontra. ------=_NextPart_000_00C9_01C2CEAA.DF915100-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 12:21:31 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA29779 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 12:20:06 -0200 Received: from bindtech.bindtech.com.br (mail.bindtech.com.br [200.230.34.1]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA29773 for ; Fri, 7 Feb 2003 12:20:02 -0200 Received: from servico2 (200.230.34.229 [200.230.34.229]) by bindtech.bindtech.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.2653.13) id 1PDGLVLW; Fri, 7 Feb 2003 12:23:06 -0300 Message-ID: <00de01c2cebc$a7a9ece0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: Subject: Fw: [obm-l] Determinantes Date: Fri, 7 Feb 2003 13:21:53 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_00DB_01C2CEAB.E12DCD80" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 10583 Lines: 279 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_00DB_01C2CEAB.E12DCD80 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable S=F3 pra retificar: Valem todos os coment=E1rios abaixo, s=F3 que no item (a), o = determinante tem ordem n+1.=20 Logo vale (-1)^(n(n+1)/2) * (n!)^(n+1). Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Cl=E1udio (Pr=E1tica)=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Friday, February 07, 2003 1:14 PM Subject: Re: [obm-l] Determinantes Caro Leahpar Xarm: Num determinante de ordem n, se todos os elementos acima ou abaixo da = diagonal secund=E1ria forem iguais a zero, ent=E3o o valor do = determinante ser=E1 igual a: (-1)^(n(n-1)/2) * Produto dos elementos da diagonal secund=E1ria. O termo (-1)^(n(n-1)/2) =E9 a paridade da permuta=E7=E3o: 1 2 3 ... n-2 n-1 n n n-1 n-2 3 2 1 Esta permuta=E7=E3o tem n(n-1)/2 transposi=E7=F5es, logo, sua paridade = =E9 (-1)^(n(n-1)/2). Voc=EA pode ver isso ao reparar que a fim de transformar esta = permuta=E7=E3o na identidade, voc=EA precisa aplicar todas as = transposi=E7=F5es de elementos de {1,2,3,...,n}, e o n=FAmero destas =E9 = igual a C(n,2) =3D n(n-1)/2. Assim, o valor do determinante que tem n! na diagonal secund=E1ria e = todos os termos acima dela iguais a 0 =E9: (-1)^(n(n-1)/2) * (n!)^n. Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Leahpar Xarm=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Thursday, February 06, 2003 10:49 PM Subject: Re: [obm-l] Determinantes Acabo de chegar a uma conclus=E3o de outra linha de racioc=EDnio = errado, corrigindo:=20 aplicando Teorema de Jacobi:=20 n![(-1)^n+1] * [n(-1)^n-1+2] * ... * n(-1)^1+n=20 ent=E3o (n!)^n * (-1)^n(n+1) =3D (n!)^n=20 n(n+1) ser=E1 sempre par logo (-1)^par=3D1=20 Desculpe pelas atrvessadas, mas estamos aqui pra isso. =20 JoaoCarlos_Junior@net.ms.gov.br wrote:=20 Queridos amigos, como resolver as quest=F5es que seguem abaixo? 1) F(x) =3D x(x-1)(x-2)...(x-n+1). Calcular os determinantes: a) |F(0) F(1) F(2) ... F(n) | |F(1) F(2) F(3) ... F(n+1)| |.......................... | |F(n) F(n+1) F(n+2)... F(2n) | b) |F(a) F=B4(a) F"(a) ... F^(n)(a) | |F=B4(a) F"(a) F=B4=B4=B4(a) ... F^(n+1)(a)| |.......................................... | |F^(n)(a) F^(n+1)(a) F^(n+2)(a)... F^(2n)(a) | 2) Os n=FAmeros 204, 527 e 255 s=E3o divis=EDveis por 17. Demonstrar = que | 2 0 4 | | 5 2 7 | | 2 5 5 | =E9 divis=EDvel por 17. Fonte: Problemas de =C1lgebra Superior ? D. Faddieev, I. Sominski ? Editorial MIR ? Moscou. ATT. Jo=E3o Carlos. = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista =E9=20 = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D -------------------------------------------------------------------------= ----- Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o = Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_00DB_01C2CEAB.E12DCD80 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
S=F3 pra retificar:
 
Valem todos os coment=E1rios abaixo, = s=F3 que no item=20 (a), o determinante tem ordem n+1.
Logo vale (-1)^(n(n+1)/2) *=20 (n!)^(n+1).
 
Um abra=E7o,
Claudio.
 
----- Original Message -----=20
From: Cl=E1udio = (Pr=E1tica)
Sent: Friday, February 07, 2003 1:14 PM
Subject: Re: [obm-l] Determinantes

Caro Leahpar Xarm:
 
Num determinante de ordem n, se todos = os elementos=20 acima ou abaixo da diagonal secund=E1ria forem iguais a zero, ent=E3o o = valor do=20 determinante ser=E1 igual a:
(-1)^(n(n-1)/2) * Produto dos elementos = da diagonal=20 secund=E1ria.
 
O termo (-1)^(n(n-1)/2) =E9 a paridade = da=20 permuta=E7=E3o:
1    2   =20  3    ...   n-2   = n-1  =20 n
n   n-1 =20 n-2         =20 3      2    1
 
Esta permuta=E7=E3o tem n(n-1)/2 = transposi=E7=F5es, logo,=20 sua paridade =E9 (-1)^(n(n-1)/2).
 
Voc=EA pode ver isso ao reparar que a = fim de=20 transformar esta permuta=E7=E3o na identidade, voc=EA precisa aplicar = todas as=20 transposi=E7=F5es de elementos de {1,2,3,...,n}, e o n=FAmero destas =E9 = igual a C(n,2)=20 =3D n(n-1)/2.
 
Assim, o valor do determinante que tem = n! na=20 diagonal secund=E1ria e todos os termos acima dela iguais a 0 = =E9:
(-1)^(n(n-1)/2) * (n!)^n.
 
Um abra=E7o,
Claudio.
 
----- Original Message -----
From:=20 Leahpar=20 Xarm
Sent: Thursday, February 06, = 2003 10:49=20 PM
Subject: Re: [obm-l] = Determinantes

Acabo de chegar a uma conclus=E3o de outra linha de racioc=EDnio = errado,=20 corrigindo:=20

aplicando Teorema de Jacobi:=20

n![(-1)^n+1] * [n(-1)^n-1+2] *  ... * n(-1)^1+n=20

ent=E3o (n!)^n * (-1)^n(n+1) =3D (n!)^n=20

n(n+1) ser=E1 sempre par logo (-1)^par=3D1=20

Desculpe pelas atrvessadas, mas estamos aqui pra isso. =20

 JoaoCarlos_Junior@net.ms.= gov.br=20 wrote:=20 Queridos=20 amigos, como resolver as quest=F5es que seguem abaixo?

1) = F(x) =3D=20 x(x-1)(x-2)...(x-n+1). Calcular os determinantes:
a) |F(0) F(1) = F(2) ...=20 F(n) |
|F(1) F(2) F(3) ... F(n+1)|
|.......................... = |
|F(n) F(n+1) F(n+2)... F(2n) |

b) |F(a) F=B4(a) F"(a) = ... F^(n)(a)=20 |
|F=B4(a) F"(a) F=B4=B4=B4(a) ...=20 F^(n+1)(a)|
|.......................................... = |
|F^(n)(a)=20 F^(n+1)(a) F^(n+2)(a)... F^(2n)(a) |

2) Os n=FAmeros 204, 527 = e 255 s=E3o=20 divis=EDveis por 17. Demonstrar que
| 2 0 4 |
| 5 2 7 |
| 2 = 5 5=20 |

=E9 divis=EDvel por 17.


Fonte: Problemas de = =C1lgebra Superior=20 ? D. Faddieev, I. Sominski ?
Editorial MIR ? Moscou.
ATT. = Jo=E3o=20 = Carlos.


=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D
Instru=E7=F5es=20 para entrar na lista, sair da lista e usar a lista=20 em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O = administrador=20 desta lista =E9=20 =
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D


Busca Yahoo!
O = servi=E7o de=20 busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o Yahoo!=20 encontra. ------=_NextPart_000_00DB_01C2CEAB.E12DCD80-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 12:25:14 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA29925 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 12:23:47 -0200 Received: from bindtech.bindtech.com.br (mail.bindtech.com.br [200.230.34.1]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA29919 for ; Fri, 7 Feb 2003 12:23:43 -0200 Received: from servico2 (200.230.34.227 [200.230.34.227]) by bindtech.bindtech.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.2653.13) id 1PDGLVM4; Fri, 7 Feb 2003 12:26:47 -0300 Message-ID: <00ee01c2cebd$2b6e87c0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: Subject: Re: [obm-l] Determinantes Date: Fri, 7 Feb 2003 13:25:34 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2589 Lines: 73 Acabei de ler o e-mail do Prof. Morgado, que diz (corretamente) que o determinante tem ordem n+1 (e não n) e com a diagonal secundária cheia de n! (e não 1's). Logo, por favor desconsiderem o meu e-mail e usem o dele. Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Cláudio (Prática)" To: Sent: Friday, February 07, 2003 1:03 PM Subject: Re: [obm-l] Determinantes > Item b) > Estou supondo que F^(k)(x) é a k-ésima derivada de F(x). > F(x) é um polinômio mônico de grau n. > Assim, F^(n)(x) = 1 e se k > n, então F^(k)(x) = 0. > Então este determinante tem a diagonal secundária composta de 1's e todos os > termos abaixo dela iguais a zero. > Logo, DET = (-1)^(n*(n-1)/2) * 1^n = (-1)^(n*(n-1)/2).. > > Um abraço, > Claudio. > > ----- Original Message ----- > From: > To: > Sent: Thursday, February 06, 2003 9:06 AM > Subject: [obm-l] Determinantes > > > Queridos amigos, como resolver as questões que seguem abaixo? > > 1) F(x) = x(x-1)(x-2)...(x-n+1). Calcular os determinantes: > a) |F(0) F(1) F(2) ... F(n) | > |F(1) F(2) F(3) ... F(n+1)| > |.......................... | > |F(n) F(n+1) F(n+2)... F(2n) | > > b) |F(a) F´(a) F"(a) ... F^(n)(a) | > |F´(a) F"(a) F´´´(a) ... F^(n+1)(a)| > |.......................................... | > |F^(n)(a) F^(n+1)(a) F^(n+2)(a)... F^(2n)(a) | > > 2) Os números 204, 527 e 255 são divisíveis por 17. Demonstrar que > | 2 0 4 | > | 5 2 7 | > | 2 5 5 | > > é divisível por 17. > > > Fonte: Problemas de Álgebra Superior ? D. Faddieev, I. Sominski ? > Editorial MIR ? Moscou. > ATT. João Carlos. > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 12:34:24 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA30465 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 12:32:33 -0200 Received: from birosca.ime.usp.br (birosca.ime.usp.br [143.107.45.59]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id MAA30461 for ; Fri, 7 Feb 2003 12:32:29 -0200 Received: (qmail 16228 invoked from network); 7 Feb 2003 14:31:48 -0000 Received: from mafalda.ime.usp.br (HELO bidu.ime.usp.br) (143.107.45.13) by birosca.ime.usp.br with SMTP; 7 Feb 2003 14:31:48 -0000 Received: (qmail 5554 invoked by uid 1604); 7 Feb 2003 14:30:22 -0000 Date: Fri, 7 Feb 2003 12:30:21 -0200 (EDT) From: Salvador Addas Zanata X-Sender: sazanata@mafalda To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?RE:_=5Bobm-l=5D_Re:_=5Bobm-l=5D_Fun=E7=E3o_uniformemente_d?= =?iso-8859-1?Q?iferenci=E1vel?= In-Reply-To: <00b401c2ce47$3414e660$9865fea9@computer> Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=ISO-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id MAA30462 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2050 Lines: 75 Caro Artur, Observe que uma hipotese crucial para a provinha abaixo eh que f'(z) nao seja nem maximo, nem minimo da derivada de f no intervalo. E x^3 tem por derivada 3x^2, logo o zero nao se aplica ao teorema, pois eh minimo da derivada da f, qualquer que seja o intervalo que contenha a origem. Acho que a prova esta correta. Abraco, Salvador On Thu, 6 Feb 2003, Artur Costa Steiner wrote: > >> Oi Claudio, > >> > >> Seja I=[a,b] e z em I. > >> > >> Defina G(x,y)=(f(x)-f(y))/(x-y) uma funcao de 2 variaveis em > >> IxI da seguinte forma: > >> > >> Se x<>y, nao ha problema. > >> > >> Se x=y, G(x,x)=f'(x). > >> > >> > >> > >> Eh claro que G eh continua, porque f eh derivavel, G(x,x)=f'(x) e > >> G(x,y)=G(y,x). > >> > >> Vamos supor que {min f' em I} < f'(z) < {max f' em I}. > >> > >> Nesse caso existe (x0,y0) e (x1,y1) tais que: > >> > >> 1) G(x0,y0) >> > >> 2) x0>y0 e x1>y1. > >> > >> > >> Una agora os pontos (x0,y0) e (x1,y1) por uma reta. Como essa reta > nao > >> cruza a diagonal, pelo teorema do valor intermediario segue o que > voce > >> quer. O ponto crucial eh garantir que a reta nao cruza a diagonal. > >> > >> > >> Abraco, > >> > >> Salvador > > > >Há algum engano aí , Salvador. Considere como contra exemplo f(x) = x^3 > >no ponto 0. Verificamos facilmente que a condição procurada jamais é > >atendida. Certo? > > > >Um abraço > >Artur > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 12:58:12 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA32041 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 12:56:35 -0200 Received: from trex-b.centroin.com.br (trex-b.centroin.com.br [200.225.63.136]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA32028 for ; Fri, 7 Feb 2003 12:56:30 -0200 Received: from centroin.com.br (RJ181238.user.veloxzone.com.br [200.149.181.238]) (authenticated bits=0) by trex-b.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h17EuL0o023899 for ; Fri, 7 Feb 2003 12:56:22 -0200 (EDT) Message-ID: <3E43D764.1030502@centroin.com.br> Date: Fri, 07 Feb 2003 12:57:24 -0300 From: "A. C. Morgado" User-Agent: Mozilla/5.0 (Windows; U; Windows NT 5.0; en-US; rv:1.0.2) Gecko/20021120 Netscape/7.01 X-Accept-Language: en-us, en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] trigonometria References: <20.9578c7d.2b750e6f@aol.com> Content-Type: multipart/alternative; boundary="------------090104090507040208070708" Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2063 Lines: 62 --------------090104090507040208070708 Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit 1-2sen^2(x) + sen^4(x) + sen^2(x) = 1-sen^2(x) + sen^4(x) . Para dar a resposta do seu gabarito essa expressão deveria valer 1, ou seja, sen^2(x) deveria ser igual a sen^4(x). Seu gabarito está, como sempre, errado. Faelccmm@aol.com wrote: > Olá pessoal, > > Como resolver esta: > > (UNESP) A expressão [1-2sen^2(x) + sen^4(x) + sen^2(x)]*cos^2 (x) é > equivalente a: > > resp: cos^2(x) --------------090104090507040208070708 Content-Type: text/html; charset=us-ascii Content-Transfer-Encoding: 7bit 1-2sen^2(x) + sen^4(x) + sen^2(x) = 1-sen^2(x) + sen^4(x) . Para dar a resposta do seu gabarito essa expressão deveria valer 1, ou seja,  sen^2(x) deveria ser igual a  sen^4(x).
Seu gabarito está, como sempre, errado.

Faelccmm@aol.com wrote:
Olá pessoal,

Como resolver esta:

(UNESP) A expressão [1-2sen^2(x) + sen^4(x) + sen^2(x)]*cos^2 (x) é equivalente a:

resp: cos^2(x)

--------------090104090507040208070708-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 13:19:15 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA01002 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 13:17:35 -0200 Received: from web12902.mail.yahoo.com (web12902.mail.yahoo.com [216.136.174.69]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id NAA00998 for ; Fri, 7 Feb 2003 13:17:31 -0200 Message-ID: <20030207151659.80092.qmail@web12902.mail.yahoo.com> Received: from [200.206.103.3] by web12902.mail.yahoo.com via HTTP; Fri, 07 Feb 2003 12:16:59 ART Date: Fri, 7 Feb 2003 12:16:59 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Johann=20Peter=20Gustav=20Lejeune=20Dirichlet?= Subject: Re: [obm-l] triângulo To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-1662298147-1044631019=:79819" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 3295 Lines: 46 --0-1662298147-1044631019=:79819 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Faelccmm@aol.com wrote: Olá pessoal, Veja esta questão: (MAUÁ-SP) No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta= ABC=60º. Determine a área do triângulo. resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2 Deixa eu ver...ce tem tudo no triangulo!!!!!!O raio e com SLS,certo?a=2Rsen A.Com isso ce acha o seno de B pela mesma formula.Ce tem o lado AC e o raio.Para a area ce precisa de um angulo que e 180 menos todos os outros.Cabou!!!"!! Obs: O triângulo citado é um triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da área [ S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o valor de BA. Sendo assim eu tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen C daí aparece outra incógnita o sen C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos cossenos para achar o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois calcular o sen C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá para aplicar a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A partir disso entra-se num ciclo vicioso. Será que não está faltando nem um dado? --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-1662298147-1044631019=:79819 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

 

 Faelccmm@aol.com wrote:

Olá pessoal,

Veja esta questão:

(MAUÁ-SP)

No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta= ABC=60º. Determine a área do triângulo.

resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2

Deixa eu ver...ce tem tudo no triangulo!!!!!!O raio e com SLS,certo?a=2Rsen A.Com isso ce acha o seno de B pela mesma formula.Ce tem o lado AC e o raio.Para a area ce precisa de um angulo que e 180 menos todos os outros.Cabou!!!"!!


Obs: O triângulo citado é um triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da área [ S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o valor de BA. Sendo assim eu tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen C daí aparece outra incógnita o sen C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos cossenos para achar   
o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois calcular o sen C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá para aplicar a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A partir disso entra-se num ciclo vicioso. Será que não está faltando nem um dado?


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Nao, contra exemplo:    tome x[k]=k a[k]=1/(ck)

 ghaeser@zipmail.com.br wrote:


seja 0<=x[k],a[k]<=1 sequencias.

se somatório de x[k], para k=0,..,oo diverge.

e somatório de a[k].x[k], para k=0,..,oo converge.

é possível afirmar que lim ak = 0 ?



"Mathematicus nascitur, non fit"
Matemáticos não são feitos, eles nascem
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Gabriel Haeser
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Bem,acho melhor dar a soluçao,nao?Bem,podemos supor WLOG que b=1(e so fazer uma regua assim).Se voce sabe tirar raiz quadrada sabe elevar ao quadrado.E fim.so que a construçao do quadrado e facil e nao respondo.

 Eduardo Wagner <wagner@impa.br> wrote:

Caro Edu:

Este eh o problema 89 do livro da Olimpiada Brasileira
de Matematica, 1a a 8a.
Adquira este livro. Voce vai ver a solucao detalhada
desta problema e vai conhecer muitos outros problemas
interessantes. Entre em contato com a secretaria da
OBM pelo e-mail ou pelo telefone
25295077.


----------
>From: "Eduardo"
>To:
>Subject: [obm-l] Olá- Construção Geométrica
>Date: Thu, Feb 6, 2003, 9:29 PM
>

> Olá, pessoas
>
> Acabo de ingressar na lista e gostaria de propor um problema:
>
> Dados dois segmentos a e b, construir um segmento de medida (a^4+b^4)^1/4
>
> Se alguém puder me ajudar...
>
> abraços
>
> Edu
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Date: Fri, 7 Feb 2003 13:24:26 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2720.3000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1570 Lines: 49 Caros da lista! Um resultado do livro "Linear Algebra" do Gilbert Strang diz "If AB=BA, then this matrices share the same eigenvectors. The key step is to notice that Ax=Lx implica ABx=BAx=BLx=LBx. Thus x and Bx are eigenvectors sharing the same L, and if we assume for convenience that the eigenvalues of A are distinct -- the eigenspace are all one dimensional -- then Bx must be a multiple of x. In other words x is an eigenvector of B as well as A, wich completes the proof." [Se AB=BA, então as duas matrizes possuem os mesmo autovetores. O ponto é reparar que Ax=Lx implica ABx=BAx=BLx=LBx. Portanto x e Bx são autovetores compartilhando o mesmo autovalor L, e se nós assumirmos por conveniência que os autovalores de A são distintos -- os autoespaços associados são todos unidimensionais -- então Bx deve ser um múltiplo de x. Em outras palavras, x é um autovetor de B, o que completa a prova." Este "por conveniência" deveria ter sido dito como uma das hipóteses, afinal sem ela o resultado não é correto, pois se A = [ 1 0 ] [ 0 1 ] B = [ 1 1 ] [ 1 1 ] então AB=BA e para v =[ 2 ] [ 1 ] tem-se Av = v, mas Bv = [ 3 ] [ 3 ] e v não é autovetor de B. Onde esta meu erro de interpretação? Abraço. Duda. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 13:33:27 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA01809 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 13:32:02 -0200 Received: from ivoti.terra.com.br (ivoti.terra.com.br [200.176.3.20]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA01805 for ; Fri, 7 Feb 2003 13:31:59 -0200 Received: from una.terra.com.br (una.terra.com.br [200.176.3.32]) by ivoti.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id D0E19408C6A for ; Fri, 7 Feb 2003 13:31:28 -0200 (BRST) Received: from stabel (200-180-163-166.paemt7002.dsl.brasiltelecom.net.br [200.180.163.166]) (authenticated user dudasta) by una.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 2D2002F0064 for ; Fri, 7 Feb 2003 13:31:28 -0200 (BRST) Message-ID: <006801c2cec6$5f959440$0301a8c0@stabel> From: "Eduardo Casagrande Stabel" To: References: <20030207151810.49815.qmail@web40911.mail.yahoo.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_s=E9ries?= Date: Fri, 7 Feb 2003 13:31:31 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0065_01C2CEAD.39CFA9D0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2720.3000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 6912 Lines: 195 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0065_01C2CEAD.39CFA9D0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Caros Bruno Lima e Ghaeser! Se o exemplo do Bruno =E9 x[k] =3D k a[k] =3D 1/(ck) ent=E3o ele n=E3o est=E1 bom pois n=E3o satisfaz a condi=E7=E3o = 0<=3Dx[k],a[k]<=3D1. Mas o resultado est=E1 certo, o teorema =E9 falso. Um contra exemplo =E9 = o seguinte. x[k] =3D 1/k se k =E9 PAR e 0 se k =E9 =EDmpar a[k] =3D 0 se k =E9 PAR e 1 se k =E9 =EDmpar sum x[k] diverge sum x[k]a[k] =3D 0 converge lim a[k] n=E3o existe Abra=E7o, Eduardo. From: Bruno Lima=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Friday, February 07, 2003 12:18 PM Subject: Re: [obm-l] s=E9ries Nao, contra exemplo: tome x[k]=3Dk a[k]=3D1/(ck)=20 ghaeser@zipmail.com.br wrote:=20 seja 0<=3Dx[k],a[k]<=3D1 sequencias. se somat=F3rio de x[k], para k=3D0,..,oo diverge. e somat=F3rio de a[k].x[k], para k=3D0,..,oo converge. =E9 poss=EDvel afirmar que lim ak =3D 0 ? "Mathematicus nascitur, non fit" Matem=E1ticos n=E3o s=E3o feitos, eles nascem --------------------------------------- Gabriel Haeser www.gabas.cjb.net ------------------------------------------ Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista =E9=20 = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D -------------------------------------------------------------------------= ----- Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o = Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_0065_01C2CEAD.39CFA9D0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Caros Bruno Lima e = Ghaeser!
 
Se o exemplo do Bruno =E9
 
x[k] =3D k
a[k] =3D 1/(ck)
 
ent=E3o ele n=E3o est=E1 bom pois n=E3o = satisfaz a condi=E7=E3o=20 0<=3Dx[k],a[k]<=3D1.
 
Mas o resultado est=E1 certo, o teorema = =E9 falso. Um=20 contra exemplo =E9 o seguinte.
 
x[k] =3D 1/k se k =E9 PAR e 0 se k =E9 = =EDmpar
a[k] =3D 0    se k =E9 = PAR e 1 se k =E9=20 =EDmpar
 
sum x[k] diverge
sum x[k]a[k] =3D 0 = converge
lim a[k] n=E3o existe
 
Abra=E7o,
Eduardo.
From:=20 Bruno=20 Lima
Sent: Friday, February 07, 2003 = 12:18=20 PM
Subject: Re: [obm-l] = s=E9ries

Nao, contra exemplo:    tome x[k]=3Dk a[k]=3D1/(ck)=20

 ghaeser@zipmail.com.br= wrote:=20
seja=20 0<=3Dx[k],a[k]<=3D1 sequencias.

se somat=F3rio de x[k], = para=20 k=3D0,..,oo diverge.

e somat=F3rio de a[k].x[k], para = k=3D0,..,oo=20 converge.

=E9 poss=EDvel afirmar que lim ak =3D 0=20 ?



"Mathematicus nascitur, non fit"
Matem=E1ticos = n=E3o s=E3o=20 feitos, eles = nascem
---------------------------------------
Gabriel=20 = Haeser
www.gabas.cjb.net


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Radar UOL -=20 = http://www.radaruol.com.br



=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D
Instru=E7=F5es=20 para entrar na lista, sair da lista e usar a lista=20 em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O = administrador=20 desta lista =E9=20 =
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D


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Esse e-mail foi uma ideia meio louca que eu tive.Esse problema caiu na IMO de Cuba.

Seja f(x)=x²+x+p,em que p e natural.Suponha que f e primo se x vai de zero ate (p/3)^1/3.Mostre que f e primo ate p-2.

Uma soluçao foi o Tengan que me mostrou.E bem legal pois mostra como ser destemidos em certos problemas e levar certas ideias ate a ultima consequencia.



TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE

CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE

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Eu recomendo dois exercícios antes. EXERC1. Dados dois segmentos de comprimenos A e B, construir o segmento de medida AB. EXERC2. Dados um segmento de comprimento A, construir o segmento de medida A^(1/2). Caso você não consiga (eles são fáceis, acredite!), dê uma olhada em http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=HV8982CC18.12&+lang=en&+module=to ol%2Fgeometry%2Frulecomp.en Eduardo. From: "Eduardo" > Olá, pessoas > > Acabo de ingressar na lista e gostaria de propor um problema: > > Dados dois segmentos a e b, construir um segmento de medida (a^4+b^4)^1/4 > > Se alguém puder me ajudar... > > abraços > > Edu ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 14:07:40 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA04714 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 14:06:12 -0200 Received: from web40007.mail.yahoo.com (web40007.mail.yahoo.com [66.218.78.25]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id OAA04710 for ; Fri, 7 Feb 2003 14:06:08 -0200 Message-ID: <20030207160537.73080.qmail@web40007.mail.yahoo.com> Received: from [200.161.14.239] by web40007.mail.yahoo.com via HTTP; Fri, 07 Feb 2003 13:05:37 ART Date: Fri, 7 Feb 2003 13:05:37 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Leahpar=20Xarm?= Subject: Re: [obm-l] triângulo To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-723012825-1044633937=:72347" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 3170 Lines: 39 --0-723012825-1044633937=:72347 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Caro colega esta questão quer ver se vc conhece descaradamente uma forma de achar a área de um triângulo por (1/2)*a*b*senApha onde a e b são os lados do triângulo adjacentes ao ângulo apha dado. Temos: [(1/2)AC*BC]*sen(beta)=[7*8*(sqrt3)]/2 Faelccmm@aol.com wrote:Olá pessoal, Veja esta questão: (MAUÁ-SP) No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta= ABC=60º. Determine a área do triângulo. resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2 Obs: O triângulo citado é um triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da área [ S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o valor de BA. Sendo assim eu tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen C daí aparece outra incógnita o sen C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos cossenos para achar o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois calcular o sen C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá para aplicar a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A partir disso entra-se num ciclo vicioso. Será que não está faltando nem um dado? --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-723012825-1044633937=:72347 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

Caro colega esta questão quer ver se vc conhece descaradamente uma forma de achar a área de um triângulo por (1/2)*a*b*senApha onde a e b são os lados do triângulo adjacentes ao ângulo apha dado. Temos:

[(1/2)AC*BC]*sen(beta)=[7*8*(sqrt3)]/2

 Faelccmm@aol.com wrote:

Olá pessoal,

Veja esta questão:

(MAUÁ-SP)

No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta= ABC=60º. Determine a área do triângulo.

resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2

Obs: O triângulo citado é um triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da área [ S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o valor de BA. Sendo assim eu tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen C daí aparece outra incógnita o sen C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos cossenos para achar   
o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois calcular o sen C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá para aplicar a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A partir disso entra-se num ciclo vicioso. Será que não está faltando nem um dado?


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370,4Km=370400m=200*1852=200* "nós"

dividindo o percurso pela velocidade tem-se o tempo: 20h

 elton francisco ferreira <elton_2001ff@yahoo.com.br> wrote:

Se o nó é igual a uma milha marítima por hora e uma
milha marítima é igual a 1852 m; quanto tempo uma
embarcação com velocidade constante de 10 nós gasta
para percorrer 370,4 Km?

_______________________________________________________________________
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Até agora só fiz metade de cada um. Também gostei do seu exemplo de f(x) = raiz(x) em [0,1]. Continue mandando... Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Artur Costa Steiner" To: Sent: Thursday, February 06, 2003 11:20 PM Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável >> -----Original Message----- >> From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm- >> l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Cláudio (Prática) >> Sent: Wednesday, February 05, 2003 12:40 PM >> To: obm-l@mat.puc-rio.br >> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável >> >> Caro Artur: >> >> Tentando resolver os seus problemas (especificamente, com as voltas >dos >> "se >> e somente se") eu me deparei com uma dúvida: >> >> Tome uma função f, diferenciável num intervalo aberto I. >> É verdade que dado qualquer z em I, existem x e y em I tais que: >> f'(z) = [f(x)-f(y)]/(x-y) ? >> Este seria uma espécie de recíproco do teorema do valor médio. > >Não, não é verdade. Considere, por exemplo, f dada por f(x) = x^3, no >ponto z=0 . É fácil verificar que se y<00 e >jamais se iguala a f'(0)=0. Observe que, para termos uma recíproca do >teorema do valor médio, deveríamos ter z entre x e y. > >PS. Vc achou interessantes os problemas que eu propus? >Abraços >Artur ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 14:45:40 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA07212 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 14:42:38 -0200 Received: from birosca.ime.usp.br (birosca.ime.usp.br [143.107.45.59]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id OAA07208 for ; Fri, 7 Feb 2003 14:42:34 -0200 Received: (qmail 30475 invoked from network); 7 Feb 2003 16:41:51 -0000 Received: from rebutosa.ime.usp.br (143.107.45.16) by birosca.ime.usp.br with SMTP; 7 Feb 2003 16:41:51 -0000 Received: (qmail 11494 invoked by uid 1604); 7 Feb 2003 16:42:01 -0000 Date: Fri, 7 Feb 2003 14:42:01 -0200 (EDT) From: Salvador Addas Zanata X-Sender: sazanata@rebutosa To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Probleminha bonito In-Reply-To: <20030207161331.11145.qmail@web40010.mail.yahoo.com> Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=US-ASCII Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 972 Lines: 25 Imagine 2 cidades, A e B, tais que existem 2 caminhos ligando elas. Joao e Maria saem da cidade A, cada um por um caminho, com um barbante de comprimento 2 com uma extremidade amarrada no pulso de cada um deles. E eles conseguem chegar ate a cidade B, sem quebrar o barbante. Sejam agora 2 carrocas que podem ser representadas por cilindros verticais de raio 1, uma em A e a outra em B. Eh possivel que a primeira carroca va de A pra B, a segunda de B pra A, cada uma por uma estrada, sem se chocarem? Esse probleminha esta na 1 pagina do livro do Arnold de equacoes diferenciais. Mas obviamente, a sua solucao eh elementar. Abraco, Salvador ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 14:46:14 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA07263 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 14:43:31 -0200 Received: from smtp012.mail.yahoo.com (smtp012.mail.yahoo.com [216.136.173.32]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id OAA07258 for ; Fri, 7 Feb 2003 14:43:26 -0200 Received: from 200-153-140-151.dsl.telesp.net.br (HELO thor) (edu?matematica@200.153.140.151 with login) by smtp.mail.vip.sc5.yahoo.com with SMTP; 7 Feb 2003 16:42:53 -0000 From: "Eduardo" To: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?RES:_=5Bobm-l=5D_Re:_=5Bobm-l=5D_Ol=E1-_Constru=E7=E3o_Geo?= =?iso-8859-1?Q?m=E9trica?= Date: Fri, 7 Feb 2003 14:50:11 -0200 Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 7bit X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook IMO, Build 9.0.2416 (9.0.2910.0) X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 In-Reply-To: <008201c2cec8$51440af0$0301a8c0@stabel> Importance: Normal Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 709 Lines: 22 Muito Obrigado. Edu --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 14:49:15 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA07483 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 14:46:34 -0200 Received: from birosca.ime.usp.br (birosca.ime.usp.br [143.107.45.59]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id OAA07479 for ; Fri, 7 Feb 2003 14:46:29 -0200 Received: (qmail 30930 invoked from network); 7 Feb 2003 16:45:47 -0000 Received: from rebutosa.ime.usp.br (143.107.45.16) by birosca.ime.usp.br with SMTP; 7 Feb 2003 16:45:47 -0000 Received: (qmail 11539 invoked by uid 1604); 7 Feb 2003 16:45:57 -0000 Date: Fri, 7 Feb 2003 14:45:57 -0200 (EDT) From: Salvador Addas Zanata X-Sender: sazanata@rebutosa To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_RE:_=5Bobm-l=5D_Re:_=5Bobm-l=5D_Fun=E7?= =?iso-8859-1?Q?=E3o_uniformemente_diferenci=E1vel?= In-Reply-To: <011a01c2cecf$00cd4580$3300c57d@bovespa.com> Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=ISO-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id OAA07480 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2490 Lines: 75 Caro Claudio, Observe a minha mensagem. Basta que a derivada de f em z nao seja nem maximo, nem minimo da derivada de f em I para que o que voce quer valha. x^3 tem derivada 3x^2, cujo minimo global eh no zero, assim qualquer intervalo que contenha o zero nao pode ter essa propriedade. Abraco, Salvador On Fri, 7 Feb 2003, Cláudio (Prática) wrote: > Sim. Até agora só fiz metade de cada um. Também gostei do seu exemplo de > f(x) = raiz(x) em [0,1]. > Continue mandando... > > Um abraço, > Claudio. > > ----- Original Message ----- > From: "Artur Costa Steiner" > To: > Sent: Thursday, February 06, 2003 11:20 PM > Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável > > > >> -----Original Message----- > >> From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm- > >> l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Cláudio (Prática) > >> Sent: Wednesday, February 05, 2003 12:40 PM > >> To: obm-l@mat.puc-rio.br > >> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável > >> > >> Caro Artur: > >> > >> Tentando resolver os seus problemas (especificamente, com as voltas > >dos > >> "se > >> e somente se") eu me deparei com uma dúvida: > >> > >> Tome uma função f, diferenciável num intervalo aberto I. > >> É verdade que dado qualquer z em I, existem x e y em I tais que: > >> f'(z) = [f(x)-f(y)]/(x-y) ? > >> Este seria uma espécie de recíproco do teorema do valor médio. > > > >Não, não é verdade. Considere, por exemplo, f dada por f(x) = x^3, no > >ponto z=0 . É fácil verificar que se y<00 e > >jamais se iguala a f'(0)=0. Observe que, para termos uma recíproca do > >teorema do valor médio, deveríamos ter z entre x e y. > > > >PS. Vc achou interessantes os problemas que eu propus? > >Abraços > >Artur > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 14:56:29 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA07989 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 14:53:43 -0200 Received: from trex-b.centroin.com.br (trex-b.centroin.com.br [200.225.63.136]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA07985 for ; Fri, 7 Feb 2003 14:53:38 -0200 Received: from centroin.com.br (RJ180079.user.veloxzone.com.br [200.149.180.79]) (authenticated bits=0) by trex-b.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h17GrR0o027708 for ; Fri, 7 Feb 2003 14:53:29 -0200 (EDT) Message-ID: <3E43F2D6.9050102@centroin.com.br> Date: Fri, 07 Feb 2003 14:54:30 -0300 From: "A. C. Morgado" User-Agent: Mozilla/5.0 (Windows; U; Windows NT 5.0; en-US; rv:1.0.2) Gecko/20021120 Netscape/7.01 X-Accept-Language: en-us, en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?tri=E2ngulo?= References: <20030207160537.73080.qmail@web40007.mail.yahoo.com> Content-Type: multipart/alternative; boundary="------------080604040103070109060101" Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 4193 Lines: 107 --------------080604040103070109060101 Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit Epa! O angulo dado nao eh C e sim B. Leahpar Xarm wrote: > Caro colega esta questão quer ver se vc conhece descaradamente uma > forma de achar a área de um triângulo por (1/2)*a*b*senApha onde a e b > são os lados do triângulo adjacentes ao ângulo apha dado. Temos: > > [(1/2)AC*BC]*sen(beta)=[7*8*(sqrt3)]/2 > > Faelccmm@aol.com wrote: > > Olá pessoal, > > Veja esta questão: > > (MAUÁ-SP) > > No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta= ABC=60º. Determine > a área do triângulo. > > resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2 > > Obs: O triângulo citado é um triângulo de base BC. Eu tentei > aplicar a lei da área [ S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o > valor de BA. Sendo assim eu tentei aplicar a lei dos senos para > achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen C daí aparece outra incógnita o > sen C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos cossenos para > achar > o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois calcular o > sen C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá > para aplicar a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A partir > disso entra-se num ciclo vicioso. Será que não está faltando nem > um dado? > > > ------------------------------------------------------------------------ > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o > Yahoo! encontra. --------------080604040103070109060101 Content-Type: text/html; charset=us-ascii Content-Transfer-Encoding: 7bit Epa! O angulo dado nao eh C e sim B.

Leahpar Xarm wrote:

Caro colega esta questão quer ver se vc conhece descaradamente uma forma de achar a área de um triângulo por (1/2)*a*b*senApha onde a e b são os lados do triângulo adjacentes ao ângulo apha dado. Temos:

[(1/2)AC*BC]*sen(beta)=[7*8*(sqrt3)]/2

 Faelccmm@aol.com wrote:

Olá pessoal,

Veja esta questão:

(MAUÁ-SP)

No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta= ABC=60º. Determine a área do triângulo.

resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2

Obs: O triângulo citado é um triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da área [ S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o valor de BA. Sendo assim eu tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen C daí aparece outra incógnita o sen C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos cossenos para achar   
o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois calcular o sen C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá para aplicar a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A partir disso entra-se num ciclo vicioso. Será que não está faltando nem um dado?


Busca Yahoo!
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--------------080604040103070109060101-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 15:02:00 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA08479 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 14:59:23 -0200 Received: from bindtech.bindtech.com.br (mail.bindtech.com.br [200.230.34.1]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA08474 for ; Fri, 7 Feb 2003 14:59:19 -0200 Received: from servico2 (200.230.34.227 [200.230.34.227]) by bindtech.bindtech.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.2653.13) id 1PDGLWK4; Fri, 7 Feb 2003 15:02:21 -0300 Message-ID: <012b01c2ced2$e7aca2e0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030207151810.49815.qmail@web40911.mail.yahoo.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_s=E9ries?= Date: Fri, 7 Feb 2003 16:01:04 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0128_01C2CEC2.1E04BF00" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 11205 Lines: 302 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0128_01C2CEC2.1E04BF00 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Caros Bruno e Gabriel: x(k) =3D k > 1, para k > 1, enquanto que uma das premissas =E9 0 <=3D = x(k) <=3D 1. Logo, o contra-exemplo n=E3o vale. ****************** Suponha que as premissas sejam v=E1lidas e que lim a(k) =3D L, com L <> = 0. Como 0 <=3D a(k) <=3D 1, teremos que L > 0. Em particular, existir=E1 um n=FAmero real positivo A (tome, por = exemplo, A =3D L/2) tal que para todo k suficientemente grande, a(k) > = A. Mas, nesse caso, para todo k suficientemente grande, a(k)*x(k) > A*x(k) = =3D=3D> SOMA a(k)*x(k) diverge =3D=3D> contradi=E7=E3o. Logo, se a(k) converge, tem de ser para 0. ************** Por outro lado =E9 poss=EDvel que as premissas sejam v=E1lidas e que = a(k) seja divergente. Tome a(k) =3D 0 se (k+1) n=E3o for quadrado perfeito e a(k) =3D 1 se = (k+1) for um quadrado perfeito. Claramente, a(k) diverge. Tome x(k) =3D 1/(k+1) Ent=E3o: 0 <=3D a(k),x(k) <=3D1 infinito infinito SOMA x(k) =3D SOMA 1/(k+1) diverge k =3D 0 k =3D 0 infinito infinito SOMA a(k)*x(k) =3D SOMA 1/n^2 =3D Pi^2/6=20 k =3D 0 n =3D 1 (a(k)*x(k) =E9 a subsequ=EAncia de x(k) que cont=E9m os rec=EDprocos dos = quadrados perfeitos) ************ Logo, a conclus=E3o deve ser que, dadas as premissas, se a(k) converge, = ent=E3o lim a(k) =3D 0, mas pode ser que a(k) seja divergente. Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Bruno Lima=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Friday, February 07, 2003 1:18 PM Subject: Re: [obm-l] s=E9ries Nao, contra exemplo: tome x[k]=3Dk a[k]=3D1/(ck)=20 ghaeser@zipmail.com.br wrote:=20 seja 0<=3Dx[k],a[k]<=3D1 sequencias. se somat=F3rio de x[k], para k=3D0,..,oo diverge. e somat=F3rio de a[k].x[k], para k=3D0,..,oo converge. =E9 poss=EDvel afirmar que lim ak =3D 0 ? "Mathematicus nascitur, non fit" Matem=E1ticos n=E3o s=E3o feitos, eles nascem --------------------------------------- Gabriel Haeser www.gabas.cjb.net ------------------------------------------- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista =E9=20 = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D -------------------------------------------------------------------------= ----- Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o = Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_0128_01C2CEC2.1E04BF00 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Caros Bruno e Gabriel:
 
x(k) =3D k > 1, para k > 1, = enquanto que uma=20 das premissas =E9 0 <=3D x(k) <=3D 1.
Logo, o contra-exemplo n=E3o = vale.
 
******************
 
Suponha que as premissas sejam = v=E1lidas e que lim=20 a(k) =3D L, com L <> 0.
 
Como 0 <=3D a(k) <=3D 1, teremos = que L >=20 0.
 
Em particular, existir=E1 um n=FAmero = real=20 positivo A (tome, por exemplo, A =3D L/2) tal que para todo k = suficientemente=20 grande, a(k) > A.
 
Mas, nesse caso, para todo k = suficientemente=20 grande, a(k)*x(k) > A*x(k) =3D=3D> SOMA a(k)*x(k) diverge = =3D=3D>=20 contradi=E7=E3o.
 
Logo, se a(k) converge, tem de ser para = 0.
 
**************
Por outro lado =E9 poss=EDvel que = as premissas=20 sejam v=E1lidas e que a(k) seja divergente.
 
Tome a(k) =3D 0 se (k+1) n=E3o for = quadrado perfeito e=20 a(k) =3D 1 se (k+1) for um quadrado perfeito.
Claramente, a(k) diverge.
 
Tome x(k) =3D 1/(k+1)
 
Ent=E3o:
0 <=3D a(k),x(k) = <=3D1
 
infinito         &n= bsp;   =20 infinito
SOMA  x(k)  =3D  SOMA=20 1/(k+1)   diverge
 k =3D=20 0            =    =20 k =3D 0
 
infinito         &n= bsp;          =20 infinito
SOMA  a(k)*x(k)  =3D =  SOMA 1/n^2 =3D=20 Pi^2/6 
 k =3D=20 0            =           =20 n =3D 1
 
(a(k)*x(k) =E9 a subsequ=EAncia de x(k) = que cont=E9m os=20 rec=EDprocos dos quadrados perfeitos)
 
************
 
Logo, a conclus=E3o deve ser que, dadas = as premissas,=20 se a(k) converge, ent=E3o lim a(k) =3D 0, mas pode ser que a(k) seja=20 divergente.
 
 
Um abra=E7o,
Claudio.
 
 
 
 
 
 
 
----- Original Message -----
From:=20 Bruno=20 Lima
Sent: Friday, February 07, 2003 = 1:18=20 PM
Subject: Re: [obm-l] = s=E9ries

Nao, contra exemplo:    tome x[k]=3Dk a[k]=3D1/(ck)=20

 ghaeser@zipmail.com.br= wrote:=20
seja 0<=3Dx[k],a[k]<=3D1=20 sequencias.

se somat=F3rio de x[k], para k=3D0,..,oo = diverge.

e=20 somat=F3rio de a[k].x[k], para k=3D0,..,oo converge.

=E9 = poss=EDvel afirmar=20 que lim ak =3D 0 ?



"Mathematicus nascitur, non=20 fit"
Matem=E1ticos n=E3o s=E3o feitos, eles=20 nascem
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Onde que ele nao satisfaz a condicao ? Eu nao escrevi, mas c maior e que 1.

 Eduardo Casagrande Stabel <dudasta@terra.com.br> wrote:

Caros Bruno Lima e Ghaeser!
 
Se o exemplo do Bruno é
 
x[k] = k
a[k] = 1/(ck)
 
então ele não está bom pois não satisfaz a condição 0<=x[k],a[k]<=1.
 
Mas o resultado está certo, o teorema é falso. Um contra exemplo é o seguinte.
 
x[k] = 1/k se k é PAR e 0 se k é ímpar
a[k] = 0    se k é PAR e 1 se k é ímpar
 
sum x[k] diverge
sum x[k]a[k] = 0 converge
lim a[k] não existe
 
Abraço,
Eduardo.
From: Bruno Lima
Sent: Friday, February 07, 2003 12:18 PM
Subject: Re: [obm-l] séries

Nao, contra exemplo:    tome x[k]=k a[k]=1/(ck)

 ghaeser@zipmail.com.br wrote:


seja 0<=x[k],a[k]<=1 sequencias.

se somatório de x[k], para k=0,..,oo diverge.

e somatório de a[k].x[k], para k=0,..,oo converge.

é possível afirmar que lim ak = 0 ?



"Mathematicus nascitur, non fit"
Matemáticos não são feitos, eles nascem
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Gabriel Haeser
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Gostaria de comentários. > >Numa loteria sao sorteados 7 numeros escolhidos aleatoriamente de >{1,2,3,...,48,49}. Cada cartao de apostas deve ser preenchido com >exatamente 7 numeros. Uma pessoa pode pode apostar quantos cartoes desejar >sem pagar nada, desde que quaisquer dois cartoes de sua >aposta tenham, NO MAXIMO, uma dezena em comum. O primeiro premio e dado a >pessoa que acertar o maior numero de triplos. > >1 ) Exiba uma aposta gratuita que tenha a maxima probabibilidade de ganhar >o primeiro premio >2 ) Qual o valor da probabilidade acima ? > PARTE 1: Quaisquer dois cartões de uma aposta gratuita podem ter no máximo 1 número em comum. Logo, qualquer par (não ordenado) de números de {1,2,...,49} só pode estar contido em no máximo 1 cartão. Seja M o número de cartões numa aposta gratuita de máxima probabilidade (agmp). Cada cartão contém C(7,2) = 21 pares de números. Logo, o número de pares representados nos M cartões é igual a 21*M. O número total de pares contidos em {1,2,...,49} é C(49,2) = 1.176. Logo, vale a desigualdade: 21*M <= 1.176 ==> M <= 56. Logo, uma agmp consiste de, no máximo, 56 cartões. Pode ser que seja possível uma agmp com exatamente 56 cartões mas eu não consegui construir uma. ************ PARTE 2: Com 7 números por cartão, o número de triplos contidos em cada cartão é C(7,3) = 35. Como são sorteados 7 números, o número de triplos vencedores também é igual a 35. Além disso, um dado triplo pode estar contido em no máximo um cartão de uma agmp, a qual, portanto, estará apostando em 35*M triplos. Neste ponto surgiu a minha dúvida: o primeiro prêmio é dado a quem tiver o cartão com o maior número de triplos vencedores ou a quem tiver a maior soma dos números de triplos vencedores em cada cartão apostado. Por exemplo, suponha que os 7 números sorteados sejam {1,2,3,4,5,6,7} e que um apostador tenha jogado três cartões: {1,2,3,4,10,11,12}, {4,5,6,20,21,22,23} e {1,6,7,30,31,32,33} Então devemos considerar que este jogador acertou 6 triplos ({1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}e {2,3,4} no primeiro cartão, {4,5,6} no segundo e {1,6,7} no terceiro) ou apenas tomar o seu cartão com o maior número de triplos vencedores (no caso, o primeiro, com 4 triplos) e dizer que ele acertou apenas 4 triplos? De qualquer forma, a probabilidade desejada não é a de se acertar um determinado número de triplos, mas sim a de se acertar mais triplos do que qualquer outro jogador. Esta probabilidade deverá depender das apostas feitas pelos outros jogadores. Por exemplo, se algum jogador fizer uma aposta (não gratuita) que consiste de todos os C(49,7) cartões possíveis, então, a probabilidade da agmp ganhar o primeiro prêmio é menor do que seria se cada um dos outros jogadores apostar apenas um cartão. Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 15:43:33 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA11584 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 15:40:48 -0200 Received: from puma.unisys.com.br (ns2.unisys.com.br [200.220.64.7]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA11578 for ; Fri, 7 Feb 2003 15:40:43 -0200 Received: from n8x4f9 (riohiper01p238.uninet.com.br [200.220.2.238]) by puma.unisys.com.br (8.12.3/8.12.3) with SMTP id h17He4cc026301 for ; Fri, 7 Feb 2003 15:40:08 -0200 (EDT) X-Spam-Filter: check_local@puma.unisys.com.br by digitalanswers.org Message-ID: <01a001c2cecf$55a7af00$0802dcc8@n8x4f9> From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" To: "obm-l" Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?B?ZnVu5/VlcyBjb2507W51YXMsIG1vbvN0b25hcywgcGF0b2zzZ2ljYXMu?= =?iso-8859-1?B?Li4=?= Date: Fri, 7 Feb 2003 14:58:10 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MIMEOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 4149 Lines: 101 Existem ocasiões em que este forum se assemelha às CPI's - dado um assunto, ele é acaloradamente discutido e de repente, não mais do que de repente, tudo acaba sem que se chegue a uma conclusão formal. Quando isso ocorre com uma CPI, diz-se que ela acabou em pizza. Eu não tenho um termo para definir o fim das discussões similares aqui, e se o tivesse ele certamente não teria a conotação pejorativa de uma pizza. Talvez - ou muito provavelmente - o problema não esteja com o forum mas comigo, já que, por falta de formação acadêmica matemática, eu me sinto perdido na minha ignorância quando alguém encerra a discussão com um dogmático "... e isso é facilmente demonstrável". Abaixo está o final da última discussão enquadrada no critério definido no início desta mensagem. Para os que não se lembram da proposição que originou a discussão, ela era algo do tipo "Se uma função f(x) é contínua no intervalo [a,b], e f(b)>f(a), então f(x) é estritamente crescente em algum intervalo [c,d] contido em [a,b]". O bom senso - um conceito puramente subjetivo - de um não-matemático diria que a proposição é obviamente verdadeira. Logo no início perguntei qual a diferença entre crescente e estritamente crescente. Responderam, e conclui que estritamente crescente é o que aprendi como sendo monótona crescente. No desenrolar das dicussões sugeriram que para a proposição ser verdadeira não bastava que a função fosse contínua no intervalo, teria que ser também diferenciável no intervalo. Perguntei qual a definição de função contínua. Não responderam. Apresentaram um contra-exemplo - uma função "patológica" - para provar que a proposição era falsa. Quando repliquei simploriamente dizendo que negar que a proposição fosse verdadeira seria um contra-senso total, responderam sugerindo que se aplicasse zooms sucessivos no gráfico da função patológica, sempre veria um serrilhado. Algo como fractais, conclui. O assunto foi encerrado com as mensagens abaixo. Ficou sem resposta a observação que fiz, dizendo que para os fins a que se propõe não vejo diferença alguma entre f(x) e g(x). O apelo final. Ajudem este não-matemático a saber como ir do primeiro para o décimo andar de um edifício sem ter que subir qualquer lance de escadas. Ou, já que "não é difícil demonstrar que g não é monótona em nenhum intervalo", apresentar essa demonstração que, em não sendo difícil, deverei ser capaz de entendê-la. Antecipada e profundamente grato, JF ----- Original Message ----- From: Nicolau C. Saldanha To: Sent: Monday, February 03, 2003 2:38 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] prova de uma afirmação > On Mon, Feb 03, 2003 at 11:25:22AM -0200, Cláudio (Prática) wrote: > > Caro Artur: > > > > Você já deve ter ouvido falar que existem funções que são contínuas em toda a > > reta mas não são diferenciáveis em ponto algum - um exemplo é justamente dado > > por uma série de funções: > > > > infinito > > f(x) = SOMA 12^n * cos( Pi * x / 2^n ) > > n = 0 > > Acho que você queria dizer o seguinte > > f(x) = SOMA 1/2^n cos(Pi x/2^n) > > Outro exemplo (que talvez torne a demonstração mais fácil) seria > > g(x) = SOMA 1/2^n cos(Pi x/4^n) > > É fácil calcular o valor desta função em racionais diádicos > (i.e., racionais da forma a/2^k) pois a partir de certo valor de n > os cos são todos iguais a 1. Não é difícil então demonstrar que g > não é monótona em nenhum intervalo. > (...) > > []s, N. > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 15:43:54 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA11639 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 15:41:20 -0200 Received: from itaqui.terra.com.br (itaqui.terra.com.br [200.176.3.19]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA11634 for ; Fri, 7 Feb 2003 15:41:16 -0200 Received: from marova.terra.com.br (marova.terra.com.br [200.176.3.39]) by itaqui.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 67A493BCC8F for ; Fri, 7 Feb 2003 15:40:46 -0200 (BRST) Received: from stabel (200-180-163-166.paemt7002.dsl.brasiltelecom.net.br [200.180.163.166]) (authenticated user dudasta) by marova.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 7308A3DC06A for ; Fri, 7 Feb 2003 15:40:45 -0200 (BRST) Message-ID: <000e01c2ced8$6ec00150$0301a8c0@stabel> From: "Eduardo Casagrande Stabel" To: References: <20030207170309.77059.qmail@web40904.mail.yahoo.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Re:=5F=5Bobm-l=5D=5Fs=E9ries?= Date: Fri, 7 Feb 2003 15:40:48 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_000B_01C2CEBF.49296440" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2720.3000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 11197 Lines: 302 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_000B_01C2CEBF.49296440 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable A nota=E7=E3o 0<=3Dx[k],a[k]<=3D1 n=E3o =E9 das melhores, eu concordo. A = minha interpreta=E7=E3o =E9 que as duas seq=FC=EAncias, tanto x[k] = quando a[k], est=E3o no intervalo [0 , 1]. =C9 claro que se pode = interpreta somente 0 <=3D x[k] e tamb=E9m a[k] <=3D 1, e a=ED seu = contra-exemplo estaria perfeito. J=E1 se voc=EA interpretar como eu = interpretei, a seq=FC=EAncia x[k] fica 1, 2, 3, ... que fica fora do = intervalo [0 , 1]. Mas =E9 uma quest=E3o de nota=E7=E3o, pela internet = fica dif=EDcil de escrever f=F3rmulas. Quando voc=EA escreveu "x[k]=3Dk a[k]=3D1/(ck)" eu n=E3o entendi se o k = e o a[k] estavam se multiplicando ou n=E3o. Foi por isso que escrevi "Se = o exemplo do Bruno =E9 o que segue... ent=E3o...". S=F3 um problema da = internet, nada mais. Abra=E7=E3o! ----- Original Message -----=20 From: Bruno Lima=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Friday, February 07, 2003 2:03 PM Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_s=E9ries Onde que ele nao satisfaz a condicao ? Eu nao escrevi, mas c maior e = que 1.=20 Eduardo Casagrande Stabel wrote:=20 Caros Bruno Lima e Ghaeser! Se o exemplo do Bruno =E9 x[k] =3D k a[k] =3D 1/(ck) ent=E3o ele n=E3o est=E1 bom pois n=E3o satisfaz a condi=E7=E3o = 0<=3Dx[k],a[k]<=3D1. Mas o resultado est=E1 certo, o teorema =E9 falso. Um contra exemplo = =E9 o seguinte. x[k] =3D 1/k se k =E9 PAR e 0 se k =E9 =EDmpar a[k] =3D 0 se k =E9 PAR e 1 se k =E9 =EDmpar sum x[k] diverge sum x[k]a[k] =3D 0 converge lim a[k] n=E3o existe Abra=E7o, Eduardo. From: Bruno Lima=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Friday, February 07, 2003 12:18 PM Subject: Re: [obm-l] s=E9ries Nao, contra exemplo: tome x[k]=3Dk a[k]=3D1/(ck)=20 ghaeser@zipmail.com.br wrote:=20 seja 0<=3Dx[k],a[k]<=3D1 sequencias. se somat=F3rio de x[k], para k=3D0,..,oo diverge. e somat=F3rio de a[k].x[k], para k=3D0,..,oo converge. =E9 poss=EDvel afirmar que lim ak =3D 0 ? "Mathematicus nascitur, non fit" Matem=E1ticos n=E3o s=E3o feitos, eles nascem --------------------------------------- Gabriel Haeser www.gabas.cjb.net ------------------------------------------ Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e usar a = lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista =E9=20 = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D -------------------------------------------------------------------------= - Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. 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A nota=E7=E3o 0<=3Dx[k],a[k]<=3D1 n=E3o =E9 das melhores, eu concordo. = A minha=20 interpreta=E7=E3o =E9 que as duas seq=FC=EAncias, tanto x[k] quando = a[k], est=E3o no=20 intervalo [0 , 1]. =C9 claro que se pode interpreta somente 0 <=3D = x[k] e tamb=E9m=20 a[k] <=3D 1, e a=ED seu contra-exemplo estaria perfeito. J=E1 se = voc=EA interpretar=20 como eu interpretei, a seq=FC=EAncia x[k] fica 1, 2, 3, ... que fica = fora do=20 intervalo [0 , 1]. Mas =E9 uma quest=E3o de nota=E7=E3o, pela internet = fica dif=EDcil de=20 escrever f=F3rmulas.
 
Quando voc=EA escreveu "x[k]=3Dk a[k]=3D1/(ck)" eu n=E3o entendi se o k e o a[k] = estavam se=20 multiplicando ou n=E3o. Foi por isso que escrevi "Se o exemplo do Bruno = =E9 o que=20 segue... ent=E3o...". S=F3 um problema da internet, nada = mais.
 
Abra=E7=E3o!
----- Original Message -----
From:=20 Bruno=20 Lima
Sent: Friday, February 07, 2003 = 2:03=20 PM
Subject: Re: [obm-l]=20 Re:_[obm-l]_s=E9ries

Onde que ele nao satisfaz a condicao ? Eu nao escrevi, mas c = maior e=20 que 1.=20

 Eduardo Casagrande Stabel <dudasta@terra.com.br>= wrote:=20

Caros Bruno Lima e = Ghaeser!
 
Se o exemplo do Bruno = =E9
 
x[k] =3D k
a[k] =3D 1/(ck)
 
ent=E3o ele n=E3o est=E1 bom pois = n=E3o satisfaz a=20 condi=E7=E3o 0<=3Dx[k],a[k]<=3D1.
 
Mas o resultado est=E1 certo, o = teorema =E9 falso.=20 Um contra exemplo =E9 o seguinte.
 
x[k] =3D 1/k se k =E9 PAR e 0 se k = =E9=20 =EDmpar
a[k] =3D 0    se k = =E9 PAR e 1 se k=20 =E9 =EDmpar
 
sum x[k] diverge
sum x[k]a[k] =3D 0 = converge
lim a[k] n=E3o = existe
 
Abra=E7o,
Eduardo.
From:=20 Bruno=20 Lima
Sent: Friday, February 07, = 2003 12:18=20 PM
Subject: Re: [obm-l] = s=E9ries

Nao, contra exemplo:    tome x[k]=3Dk = a[k]=3D1/(ck)=20

 ghaeser@zipmail.com.br= =20 wrote:=20
seja=20 0<=3Dx[k],a[k]<=3D1 sequencias.

se somat=F3rio de = x[k], para=20 k=3D0,..,oo diverge.

e somat=F3rio de a[k].x[k], para = k=3D0,..,oo=20 converge.

=E9 poss=EDvel afirmar que lim ak =3D 0=20 ?



"Mathematicus nascitur, non = fit"
Matem=E1ticos n=E3o s=E3o=20 feitos, eles=20 nascem
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Gabriel=20 = Haeser
www.gabas.cjb.net


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=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D
Instru=E7=F5es=20 para entrar na lista, sair da lista e usar a lista=20 em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O=20 administrador desta lista =E9=20 =
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D


Bus= ca=20 Yahoo!
O servi=E7o de busca mais completo da Internet. = O que=20 voc=EA pensar o Yahoo! encontra.


Busca Yahoo!
O = servi=E7o de=20 busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o Yahoo!=20 encontra. ------=_NextPart_000_000B_01C2CEBF.49296440-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 15:50:39 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA12169 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 15:47:50 -0200 Received: from bindtech.bindtech.com.br (mail.bindtech.com.br [200.230.34.1]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA12152 for ; Fri, 7 Feb 2003 15:47:43 -0200 Received: from servico2 (200.230.34.228 [200.230.34.228]) by bindtech.bindtech.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.2653.13) id 1PXR5VBV; Fri, 7 Feb 2003 15:50:45 -0300 Message-ID: <016801c2ced9$aade0fa0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?Windows-1252?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: Subject: [obm-l] =?Windows-1252?Q?Constru=E7ao_de_=28a^4_+_b^4=29^=281/4=29?= Date: Fri, 7 Feb 2003 16:49:32 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0165_01C2CEC8.E3BB9E20" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 3901 Lines: 116 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0165_01C2CEC8.E3BB9E20 Content-Type: text/plain; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Helpa^4 + b^4 =3D=20 a^4 + b^4 + 2*a^2*b^2 - 2*a^2*b^2 =3D (a^2 + b^2)^2 - [a*b*raiz(2)]^2 =3D [ a^2 + b^2 + a*b*raiz(2) ]*[ a^2 + b^2 - a*b*raiz(2) ] Assim: (a^4 + b^4)^(1/4) =3D=20 raiz[ raiz(a^4 + b^4) ] =3D raiz( raiz[ a^2 + b^2 + a*b*raiz(2) ] * raiz[ a^2 + b^2 - a*b*raiz(2) ] = ) =3D raiz ( x * y ) onde:=20 x =3D raiz[ a^2 + b^2 + a*b*raiz(2) ]=20 e y =3D raiz[ a^2 + b^2 - a*b*raiz(2) ] =20 Constru=E7=E3o de x: Construa um tri=E2ngulo de lados a e b e =E2ngulo compreendido igual a = 135 graus. Pela lei dos cossenos, x =E9 o comprimento do lado oposto = =E0quele =E2ngulo. Constru=E7=E3o de y: Construa um tri=E2ngulo de lados a e b e =E2ngulo compreendido igual a = 45 graus. Pela lei dos cossenos, y =E9 o comprimento do lado oposto = =E0quele =E2ngulo. Depois, basta construir a m=E9dia geom=E9trica de x e y =3D altura de um = tri=E2ngulo ret=E2ngulo cuja hipotenusa mede x+y, a partir do ponto = distante x de uma das extremidades desta hipotenusa. Para construir o =E2ngulo de 45 graus basta construir um quadrado de = lado a, uma de suas diagonais, e marcar uma dist=E2ncia igual a b nesta = diagonal, a partir do ponto onde ela encontra o lado a. O de 135 graus = =E9 o suplementar. Um abra=E7o, Claudio. ------=_NextPart_000_0165_01C2CEC8.E3BB9E20 Content-Type: text/html; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Help
a^4 + b^4 =3D
a^4 + b^4 + 2*a^2*b^2 - 2*a^2*b^2 =3D
(a^2 + b^2)^2 - [a*b*raiz(2)]^2 =3D
[ a^2 + b^2 + a*b*raiz(2) ]*[ a^2 + b^2 - a*b*raiz(2) ]
 
Assim:
 (a^4 + b^4)^(1/4) =3D
raiz[ raiz(a^4 + b^4) ] =3D
raiz( raiz[ a^2 + b^2 + a*b*raiz(2) ] * raiz[ a^2 + b^2 - = a*b*raiz(2)=20 ]  ) =3D
raiz ( x * y )
onde:
x =3D raiz[ a^2 + b^2 + a*b*raiz(2) ]
e
y =3D raiz[ a^2 + b^2 - a*b*raiz(2) ] 
 
Constru=E7=E3o de x:
Construa um tri=E2ngulo de lados a e b e =E2ngulo compreendido = igual a 135=20 graus. Pela lei dos cossenos, x =E9 o comprimento do lado oposto = =E0quele=20 =E2ngulo.
 
Constru=E7=E3o de y:
Construa um tri=E2ngulo de lados a e b e =E2ngulo compreendido = igual a 45=20 graus. Pela lei dos cossenos, y =E9 o comprimento do lado oposto = =E0quele=20 =E2ngulo.
 
Depois, basta construir a m=E9dia geom=E9trica de x e y =3D altura = de um=20 tri=E2ngulo ret=E2ngulo cuja hipotenusa mede x+y, a partir do ponto = distante x de=20 uma das extremidades desta hipotenusa.
 
Para construir o =E2ngulo de 45 graus basta construir um = quadrado de=20 lado a, uma de suas diagonais, e marcar uma dist=E2ncia igual a b nesta = diagonal,=20 a partir do ponto onde ela encontra o lado a. O de 135 graus =E9 o=20 suplementar.
 
Um abra=E7o,
Claudio.
 
------=_NextPart_000_0165_01C2CEC8.E3BB9E20-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 16:15:37 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA14531 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 16:12:58 -0200 Received: from smtp014.mail.yahoo.com (smtp014.mail.yahoo.com [216.136.173.58]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id QAA14527 for ; Fri, 7 Feb 2003 16:12:53 -0200 Received: from 200-153-140-151.dsl.telesp.net.br (HELO thor) (edu?matematica@200.153.140.151 with login) by smtp.mail.vip.sc5.yahoo.com with SMTP; 7 Feb 2003 18:12:19 -0000 From: "Eduardo" To: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?RES:_=5Bobm-l=5D_tri=E2ngulo?= Date: Fri, 7 Feb 2003 16:19:36 -0200 Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0000_01C2CEC4.B55BCF40" X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook IMO, Build 9.0.2416 (9.0.2910.0) Importance: Normal In-Reply-To: <20030207151659.80092.qmail@web12902.mail.yahoo.com> X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 6442 Lines: 173 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0000_01C2CEC4.B55BCF40 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit Olá, Bem, primeiramente você pode aplicar o teorema dos co-senos a fim de descobrir o lado não informado, ou seja, o lado AB, vai cair numa equação do segundo grau de raízes 5 ou 3. Agora use 1/2absenB com os dois valores encontrados anteriormente. Espero ter ajudado. Edu -----Mensagem original----- De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Enviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 12:17 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] triângulo Faelccmm@aol.com wrote: Olá pessoal, Veja esta questão: (MAUÁ-SP) No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta= ABC=60º. Determine a área do triângulo. resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2 Deixa eu ver...ce tem tudo no triangulo!!!!!!O raio e com SLS,certo?a=2Rsen A.Com isso ce acha o seno de B pela mesma formula.Ce tem o lado AC e o raio.Para a area ce precisa de um angulo que e 180 menos todos os outros.Cabou!!!"!! Obs: O triângulo citado é um triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da área [ S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o valor de BA. Sendo assim eu tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen C daí aparece outra incógnita o sen C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos cossenos para achar o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois calcular o sen C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá para aplicar a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A partir disso entra-se num ciclo vicioso. Será que não está faltando nem um dado? ---------------------------------------------------------------------------- -- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 ------=_NextPart_000_0000_01C2CEC4.B55BCF40 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Ol=E1,
 
Bem,=20 primeiramente voc=EA pode aplicar o teorema dos co-senos a fim de = descobrir o lado=20 n=E3o informado, ou seja, o lado AB, vai cair numa equa=E7=E3o do = segundo grau de=20 ra=EDzes 5 ou 3. Agora use 1/2absenB com os dois valores encontrados=20 anteriormente.
 
Espero=20 ter ajudado.
 
Edu
-----Mensagem original-----
De:=20 owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br=20 [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de Johann = Peter=20 Gustav Lejeune Dirichlet
Enviada em: sexta-feira, 7 de = fevereiro de=20 2003 12:17
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: = [obm-l]=20 tri=E2ngulo

=20

 Faelccmm@aol.com wrote:=20

Ol=E1 pessoal, =

Veja esta=20 quest=E3o:

(MAU=C1-SP)

No tri=E2ngulo ABC, temos: = AC=3D 7m, BC=3D 8m,=20 beta=3D ABC=3D60=BA. Determine a =E1rea do tri=E2ngulo. =

resp: 6raiz*(3) ou=20 10*raiz(3) m^2

Deixa eu ver...ce tem = tudo no=20 triangulo!!!!!!O raio e com SLS,certo?a=3D2Rsen A.Com isso ce acha o = seno de B=20 pela mesma formula.Ce tem o lado AC e o raio.Para a area ce precisa = de um=20 angulo que e 180 menos todos os outros.Cabou!!!"!!


Obs: O = tri=E2ngulo citado =E9 um=20 tri=E2ngulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da =E1rea [ = S=3D(a.b.sen alfa)/2],=20 mas n=E3o =E9 dado o valor de BA. Sendo assim eu tentei aplicar a = lei dos senos=20 para achar BA fazendo 7/sen60=BA =3DBA/sen C da=ED aparece outra = inc=F3gnita o sen=20 C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos cossenos para achar=20   
o cos C, pois =E9 dado no enunciado AC e BC, para = depois=20 calcular o sen C pela rela=E7ao fundamental sen^2(x) + cos^2 = (x)=3D1, mas n=E3o d=E1=20 para aplicar a lei dos cossenos, pois n=E3o =E9 dado BA. A partir = disso entra-se=20 num ciclo vicioso. Ser=E1 que n=E3o est=E1 faltando nem um = dado?=20


Busca Yahoo!
O = servi=E7o de=20 busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o Yahoo!=20 encontra. ------=_NextPart_000_0000_01C2CEC4.B55BCF40-- _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 16:36:15 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA15928 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 16:33:24 -0200 Received: from trex-b.centroin.com.br (trex-b.centroin.com.br [200.225.63.136]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA15923 for ; Fri, 7 Feb 2003 16:33:21 -0200 Received: from centroin.com.br (RJ180079.user.veloxzone.com.br [200.149.180.79]) (authenticated bits=0) by trex-b.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h17IX70o000906 for ; Fri, 7 Feb 2003 16:33:09 -0200 (EDT) Message-ID: <3E440A32.6020307@centroin.com.br> Date: Fri, 07 Feb 2003 16:34:10 -0300 From: "A. C. Morgado" User-Agent: Mozilla/5.0 (Windows; U; Windows NT 5.0; en-US; rv:1.0.2) Gecko/20021120 Netscape/7.01 X-Accept-Language: en-us, en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] RES: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?tri=E2ngulo?= References: Content-Type: multipart/alternative; boundary="------------040804080801050408010705" Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 7199 Lines: 174 --------------040804080801050408010705 Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit So para comentar que, surpreendentemente, o gabarito esta certo. Eduardo wrote: > Olá, > > Bem, primeiramente você pode aplicar o teorema dos co-senos a fim de > descobrir o lado não informado, ou seja, o lado AB, vai cair numa > equação do segundo grau de raízes 5 ou 3. Agora use 1/2absenB com os > dois valores encontrados anteriormente. > > Espero ter ajudado. > > Edu > > -----Mensagem original----- > De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br > [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de Johann Peter > Gustav Lejeune Dirichlet > Enviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 12:17 > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Assunto: Re: [obm-l] triângulo > > Faelccmm@aol.com wrote: > > Olá pessoal, > > Veja esta questão: > > (MAUÁ-SP) > > No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta= ABC=60º. > Determine a área do triângulo. > > resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2 > > Deixa eu ver...ce tem tudo no triangulo!!!!!!O raio e com > SLS,certo?a=2Rsen A.Com isso ce acha o seno de B pela mesma > formula.Ce tem o lado AC e o raio.Para a area ce precisa de um > angulo que e 180 menos todos os outros.Cabou!!!"!! > > > Obs: O triângulo citado é um triângulo de base BC. Eu tentei > aplicar a lei da área [ S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o > valor de BA. Sendo assim eu tentei aplicar a lei dos senos > para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen C daí aparece outra > incógnita o sen C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos > cossenos para achar > o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois > calcular o sen C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 > (x)=1, mas não dá para aplicar a lei dos cossenos, pois não é > dado BA. A partir disso entra-se num ciclo vicioso. Será que > não está faltando nem um dado? > > > ------------------------------------------------------------------------ > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o > Yahoo! encontra. > --------------040804080801050408010705 Content-Type: text/html; charset=us-ascii Content-Transfer-Encoding: 7bit So para comentar que, surpreendentemente, o gabarito esta certo.

Eduardo wrote:
Olá,
 
Bem, primeiramente você pode aplicar o teorema dos co-senos a fim de descobrir o lado não informado, ou seja, o lado AB, vai cair numa equação do segundo grau de raízes 5 ou 3. Agora use 1/2absenB com os dois valores encontrados anteriormente.
 
Espero ter ajudado.
 
Edu
-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
Enviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 12:17
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] triângulo

 Faelccmm@aol.com wrote:

Olá pessoal,

Veja esta questão:

(MAUÁ-SP)

No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta= ABC=60º. Determine a área do triângulo.

resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2

Deixa eu ver...ce tem tudo no triangulo!!!!!!O raio e com SLS,certo?a=2Rsen A.Com isso ce acha o seno de B pela mesma formula.Ce tem o lado AC e o raio.Para a area ce precisa de um angulo que e 180 menos todos os outros.Cabou!!!"!!


Obs: O triângulo citado é um triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da área [ S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o valor de BA. Sendo assim eu tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen C daí aparece outra incógnita o sen C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos cossenos para achar   
o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois calcular o sen C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá para aplicar a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A partir disso entra-se num ciclo vicioso. Será que não está faltando nem um dado?


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--------------040804080801050408010705-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 16:52:44 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA16985 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 16:49:51 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA16979 for ; Fri, 7 Feb 2003 16:49:44 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.229]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h17ImB017405 for ; Fri, 7 Feb 2003 16:48:11 -0200 Message-ID: <005601c2cee2$55772e80$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia Date: Fri, 7 Feb 2003 17:51:37 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0053_01C2CED1.8FEF3320" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 18016 Lines: 479 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0053_01C2CED1.8FEF3320 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Caro Ricardo: N=E3o entendi direito o que voc=EA quis dizer. Por acaso seria: suponha que os n=FAmeros da forma 2^x * 3^y s=E3o = colocados em ordem crescente. Ent=E3o existem termos consecutivos - = digamos 2^a * 3^b e 2^c * 3^d - tais que um dos n=FAmeros | a - c | ou = | b - d | =E9 t=E3o grande quanto se queira? Tamb=E9m o que =E9 OMR (imagino que seja olimp=EDada de matem=E1tica de = R....)? Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: RICARDO CHAVES=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Thursday, February 06, 2003 1:45 PM Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia Cara de boa,isto e dificil...Um problema da OMR pedia pra provar que o = tro=E7o tinha termos cada vez mais longe entre si.E nao tive nenhum = lampejo de ideias. >From: "Cl=E1udio \(Pr=E1tica\)"=20 >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 >To:=20 >Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia=20 >Date: Wed, 5 Feb 2003 18:30:35 -0200=20 >=20 >Caro Matteus:=20 >=20 >Infelizmente tenho que admitir que o algoritmo abaixo est=E1 furado. = Ele=20 >produz uma sequ=EAncia crescente de n=FAmeros da forma desejada, mas = n=E3o todos=20 >eles - de fato, ele produz a sequ=EAncia 1, 2, 4, 8, 16,.....=20 >=20 >Eu pensei um pouco mais sobre o problema e cheguei =E0 conclus=E3o de = que =E9 bem=20 >mais dif=EDcil do que eu imaginava.=20 >=20 >Por exemplo, com o caso mais simples - nos. da forma 2^a * 3^b, a = sequ=EAncia=20 >ser=E1:=20 >=20 >N 1 2 3 4 6 8 9 12 16 18 24 27 32 36 48 54 64 72=20 >a 0 1 0 2 1 3 0 2 4 1 3 0 5 2 4 1=20 >6 3=20 >b 0 0 1 0 1 0 2 1 0 2 1 3 0 2 1 3=20 >0 2=20 >=20 >Repare que a sequ=EAncia de pares (a,b) que produzem todos os N em = ordem=20 >crescente n=E3o parece obedecer nenhuma lei de forma=E7=E3o =F3bvia.=20 >=20 >Por enquanto, s=F3 o que d=E1 pra sugerir =E9 um algoritmo = extremamente=20 >ineficiente que toma cada n=FAmero natural, remove os fatores 2, 3 e = 5 e, se=20 >estes forem os =FAnicos fatores, adiciona este n=FAmero =E0 = sequ=EAncia. Em seguida=20 >toma o n=FAmero natural seguinte, e assim por diante.=20 >=20 >Problema interessante. Vou pensar mais um pouco.=20 >=20 >Um abra=E7o,=20 >Claudio=20 >=20 >----- Original Message -----=20 >From: "Cl=E1udio (Pr=E1tica)"=20 >To:=20 >Sent: Tuesday, February 04, 2003 8:37 AM=20 >Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia=20 >=20 >=20 >Caro Matteus:=20 >=20 >O algoritmo abaixo cria uma sequ=EAncia X tal que X(1) =3D 1 ( =3D = 2^0 * 3^0 *=20 >5^0 ) e X(N) =3D N-=E9simo inteiro positivo da forma 2^a * 3^b * 5^c. = A=20 >ordena=E7=E3o =E9 a usual (m < n <=3D=3D> X(m) < X(n) )=20 >=20 >"Input" N=20 >a =3D 0=20 >b =3D 0=20 >c =3D 0=20 >K =3D 1=20 >(***) X(K) =3D 1=20 >P =3D 2^(a+1) * 3^b * 5^c=20 >Flag =3D 1=20 >Se P > 2^a * 3^(b+1) * 5^c ent=E3o ( P =3D 2^a * 3^(b+1) * 5^c e Flag = =3D=20 >2 )=20 >Se P > 2^a * 3^b * 5^(c+1) ent=E3o ( P =3D 2^a * 3^b * 5^(c+1) e Flag = =3D=20 >3 )=20 >Se Flag =3D 1 ent=E3o a =3D a+1=20 >Se Flag =3D 2 ent=E3o b =3D b+1=20 >Se Flag =3D 3 ent=E3o c =3D c+1=20 >K =3D K+1=20 >Se K <=3D N ent=E3o Retorna para (***)=20 >Fim=20 >=20 >Espero que isso ajude.=20 >=20 >Um abra=E7o,=20 >Claudio.=20 >=20 >----- Original Message -----=20 >From: "matteus barreto"=20 >To:=20 >Sent: Monday, February 03, 2003 6:04 PM=20 >Subject: [obm-l] k-esimo numero da sequencia=20 >=20 >=20 >=20 >Sera que alguem poderia me sugerir, se nao uma forma=20 >fechada, um passo a passo (um algoritmo) para se=20 >encontrar o k-esimo numero da sequencia:=20 >=20 > 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15..., ou seja, os=20 >n=FAmeros da forma (2^a)*(3^b)*(5^c), com a, b, c=20 >pertencentes ao conjunto dos inteiros nao negativos.=20 >Ja pensei bastante a respeito mas sem resultados mais concludentes.=20 >=20 = >_______________________________________________________________________ = >Busca Yahoo!=20 >O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o = Yahoo!=20 >encontra.=20 >http://br.busca.yahoo.com/=20 = >=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D = >Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em=20 >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=20 >O administrador desta lista =E9=20 = >=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D = >=20 = >=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D = >Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em=20 >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=20 >O administrador desta lista =E9=20 = >=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D = >=20 = >=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D = >Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em=20 >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=20 >O administrador desta lista =E9=20 = >=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D = -------------------------------------------------------------------------= ----- MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. 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Caro Ricardo:
 
N=E3o entendi direito o que voc=EA quis = dizer.
 
Por acaso seria: suponha que os = n=FAmeros da forma=20 2^x * 3^y s=E3o colocados em ordem crescente. Ent=E3o existem termos = consecutivos -=20 digamos 2^a * 3^b e 2^c * 3^d - tais que um dos n=FAmeros | a - c | =  ou =20 | b - d | =E9 t=E3o grande quanto se queira?
 
Tamb=E9m o que =E9 OMR (imagino que = seja olimp=EDada de=20 matem=E1tica de R....)?
 
Um abra=E7o,
Claudio.
 
 
----- Original Message -----
From:=20 RICARDO CHAVES
Sent: Thursday, February 06, = 2003 1:45=20 PM
Subject: Re: [obm-l] k-esimo = numero da=20 sequencia

Cara de boa,isto e dificil...Um problema da OMR pedia pra = provar que o=20 tro=E7o tinha termos cada vez mais longe entre si.E nao tive nenhum = lampejo de=20 ideias.

>From: "Cl=E1udio \(Pr=E1tica\)" =

>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br=20
>To:
>Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia=20
>Date: Wed, 5 Feb 2003 18:30:35 -0200=20
>=20
>Caro Matteus:=20
>=20
>Infelizmente tenho que admitir que o algoritmo abaixo = est=E1=20 furado. Ele=20
>produz uma sequ=EAncia crescente de n=FAmeros da forma = desejada,=20 mas n=E3o todos=20
>eles - de fato, ele produz a sequ=EAncia 1, 2, 4, 8, = 16,.....=20
>=20
>Eu pensei um pouco mais sobre o problema e cheguei =E0 = conclus=E3o=20 de que =E9 bem=20
>mais dif=EDcil do que eu imaginava.=20
>=20
>Por exemplo, com o caso mais simples - nos. da forma = 2^a * 3^b,=20 a sequ=EAncia=20
>ser=E1:=20
>=20
>N 1 2 3 4 6 8 9 12 16 18 24 27 32 36 48 54 64 72=20
>a 0 1 0 2 1 3 0 2 4 1 3 0 5 2 4 1=20
>6 3=20
>b 0 0 1 0 1 0 2 1 0 2 1 3 0 2 1 3=20
>0 2=20
>=20
>Repare que a sequ=EAncia de pares (a,b) que produzem = todos os N=20 em ordem=20
>crescente n=E3o parece obedecer nenhuma lei de = forma=E7=E3o =F3bvia.=20
>=20
>Por enquanto, s=F3 o que d=E1 pra sugerir =E9 um = algoritmo=20 extremamente=20
>ineficiente que toma cada n=FAmero natural, remove os = fatores 2,=20 3 e 5 e, se=20
>estes forem os =FAnicos fatores, adiciona este n=FAmero = =E0=20 sequ=EAncia. Em seguida=20
>toma o n=FAmero natural seguinte, e assim por diante.=20
>=20
>Problema interessante. Vou pensar mais um pouco.=20
>=20
>Um abra=E7o,=20
>Claudio=20
>=20
>----- Original Message -----=20
>From: "Cl=E1udio (Pr=E1tica)" =
>To:
>Sent: Tuesday, February 04, 2003 8:37 AM=20
>Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia=20
>=20
>=20
>Caro Matteus:=20
>=20
>O algoritmo abaixo cria uma sequ=EAncia X tal que X(1) = =3D 1 ( =3D=20 2^0 * 3^0 *=20
>5^0 ) e X(N) =3D N-=E9simo inteiro positivo da forma = 2^a * 3^b *=20 5^c. A=20
>ordena=E7=E3o =E9 a usual (m < n <=3D=3D> X(m) = < X(n) )=20
>=20
>"Input" N=20
>a =3D 0=20
>b =3D 0=20
>c =3D 0=20
>K =3D 1=20
>(***) X(K) =3D 1=20
>P =3D 2^(a+1) * 3^b * 5^c=20
>Flag =3D 1=20
>Se P > 2^a * 3^(b+1) * 5^c ent=E3o ( P =3D 2^a * = 3^(b+1) * 5^c e=20 Flag =3D=20
>2 )=20
>Se P > 2^a * 3^b * 5^(c+1) ent=E3o ( P =3D 2^a * 3^b = * 5^(c+1) e=20 Flag =3D=20
>3 )=20
>Se Flag =3D 1 ent=E3o a =3D a+1=20
>Se Flag =3D 2 ent=E3o b =3D b+1=20
>Se Flag =3D 3 ent=E3o c =3D c+1=20
>K =3D K+1=20
>Se K <=3D N ent=E3o Retorna para (***)=20
>Fim=20
>=20
>Espero que isso ajude.=20
>=20
>Um abra=E7o,=20
>Claudio.=20
>=20
>----- Original Message -----=20
>From: "matteus barreto"
>To:
>Sent: Monday, February 03, 2003 6:04 PM=20
>Subject: [obm-l] k-esimo numero da sequencia=20
>=20
>=20
>=20
>Sera que alguem poderia me sugerir, se nao uma forma=20
>fechada, um passo a passo (um algoritmo) para se=20
>encontrar o k-esimo numero da sequencia:=20
>=20
> 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15..., ou seja, os=20
>n=FAmeros da forma (2^a)*(3^b)*(5^c), com a, b, c=20
>pertencentes ao conjunto dos inteiros nao negativos.=20
>Ja pensei bastante a respeito mas sem resultados mais=20 concludentes.=20
>=20 =
>__________________________________________________________= _____________=20
>Busca Yahoo!=20
>O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que = voc=EA pensar=20 o Yahoo!=20
>encontra.=20
>http://br.busca.yahoo.com/=20 =
>=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=20
>Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e = usar a lista=20 em=20
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=20
>O administrador desta lista =E9 = =
>=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=20
>=20 =
>=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=20
>Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e = usar a lista=20 em=20
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=20
>O administrador desta lista =E9 = =
>=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=20
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Com certeza essa explicação do Eduardo resolveu todo o problema. Eduardo Casagrande Stabel wrote:A notação 0<=x[k],a[k]<=1 não é das melhores, eu concordo. A minha interpretação é que as duas seqüências, tanto x[k] quando a[k], estão no intervalo [0 , 1]. É claro que se pode interpreta somente 0 <= x[k] e também a[k] <= 1, e aí seu contra-exemplo estaria perfeito. Já se você interpretar como eu interpretei, a seqüência x[k] fica 1, 2, 3, ... que fica fora do intervalo [0 , 1]. Mas é uma questão de notação, pela internet fica difícil de escrever fórmulas. Quando você escreveu "x[k]=k a[k]=1/(ck)" eu não entendi se o k e o a[k] estavam se multiplicando ou não. Foi por isso que escrevi "Se o exemplo do Bruno é o que segue... então...". Só um problema da internet, nada mais. Abração!----- Original Message ----- From: Bruno Lima To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, February 07, 2003 2:03 PMSubject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_séries Onde que ele nao satisfaz a condicao ? Eu nao escrevi, mas c maior e que 1. Eduardo Casagrande Stabel wrote: Caros Bruno Lima e Ghaeser! Se o exemplo do Bruno é x[k] = ka[k] = 1/(ck) então ele não está bom pois não satisfaz a condição 0<=x[k],a[k]<=1. Mas o resultado está certo, o teorema é falso. Um contra exemplo é o seguinte. x[k] = 1/k se k é PAR e 0 se k é ímpara[k] = 0 se k é PAR e 1 se k é ímpar sum x[k] divergesum x[k]a[k] = 0 convergelim a[k] não existe Abraço,Eduardo.From: Bruno Lima To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, February 07, 2003 12:18 PMSubject: Re: [obm-l] séries Nao, contra exemplo: tome x[k]=k a[k]=1/(ck) ghaeser@zipmail.com.br wrote: seja 0<=x[k],a[k]<=1 sequencias. se somatório de x[k], para k=0,..,oo diverge. e somatório de a[k].x[k], para k=0,..,oo converge. é possível afirmar que lim ak = 0 ? "Mathematicus nascitur, non fit" Matemáticos não são feitos, eles nascem --------------------------------------- Gabriel Haeser www.gabas.cjb.net ------------------------------------------ Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. 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Foi mal; viajei; é que eu realmente havia pensado que 0<=x[k] e independentemente a[k]<=1.

Com certeza essa explicação do Eduardo resolveu todo o problema.

 Eduardo Casagrande Stabel <dudasta@terra.com.br> wrote:

A notação 0<=x[k],a[k]<=1 não é das melhores, eu concordo. A minha interpretação é que as duas seqüências, tanto x[k] quando a[k], estão no intervalo [0 , 1]. É claro que se pode interpreta somente 0 <= x[k] e também a[k] <= 1, e aí seu contra-exemplo estaria perfeito. Já se você interpretar como eu interpretei, a seqüência x[k] fica 1, 2, 3, ... que fica fora do intervalo [0 , 1]. Mas é uma questão de notação, pela internet fica difícil de escrever fórmulas.
 
Quando você escreveu "x[k]=k a[k]=1/(ck)" eu não entendi se o k e o a[k] estavam se multiplicando ou não. Foi por isso que escrevi "Se o exemplo do Bruno é o que segue... então...". Só um problema da internet, nada mais.
 
Abração!
----- Original Message -----
From: Bruno Lima
Sent: Friday, February 07, 2003 2:03 PM
Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_séries

Onde que ele nao satisfaz a condicao ? Eu nao escrevi, mas c maior e que 1.

 Eduardo Casagrande Stabel <dudasta@terra.com.br> wrote:

Caros Bruno Lima e Ghaeser!
 
Se o exemplo do Bruno é
 
x[k] = k
a[k] = 1/(ck)
 
então ele não está bom pois não satisfaz a condição 0<=x[k],a[k]<=1.
 
Mas o resultado está certo, o teorema é falso. Um contra exemplo é o seguinte.
 
x[k] = 1/k se k é PAR e 0 se k é ímpar
a[k] = 0    se k é PAR e 1 se k é ímpar
 
sum x[k] diverge
sum x[k]a[k] = 0 converge
lim a[k] não existe
 
Abraço,
Eduardo.
From: Bruno Lima
Sent: Friday, February 07, 2003 12:18 PM
Subject: Re: [obm-l] séries

Nao, contra exemplo:    tome x[k]=k a[k]=1/(ck)

 ghaeser@zipmail.com.br wrote:


seja 0<=x[k],a[k]<=1 sequencias.

se somatório de x[k], para k=0,..,oo diverge.

e somatório de a[k].x[k], para k=0,..,oo converge.

é possível afirmar que lim ak = 0 ?



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Matemáticos não são feitos, eles nascem
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Ai, da irracionalidade de log(2) e log(3), segue que log((2^a*3^b)/(2^c*2^d))=(a-c)log(2)+(b-c)log(3), pode ser feita tao pequena quanto voce quiser, assim a razao dos 2 numeros fica tao proxima de 1 quanto voce quiser... Abraco, Salvador On Fri, 7 Feb 2003, Cláudio (Prática) wrote: > Caro Ricardo: > > Não entendi direito o que você quis dizer. > > Por acaso seria: suponha que os números da forma 2^x * 3^y são colocados em ordem crescente. Então existem termos consecutivos - digamos 2^a * 3^b e 2^c * 3^d - tais que um dos números | a - c | ou | b - d | é tão grande quanto se queira? > > Também o que é OMR (imagino que seja olimpíada de matemática de R....)? > > Um abraço, > Claudio. > > > ----- Original Message ----- > From: RICARDO CHAVES > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Sent: Thursday, February 06, 2003 1:45 PM > Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia > > > Cara de boa,isto e dificil...Um problema da OMR pedia pra provar que o troço tinha termos cada vez mais longe entre si.E nao tive nenhum lampejo de ideias. > > >From: "Cláudio \(Prática\)" > > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > >To: > >Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia > >Date: Wed, 5 Feb 2003 18:30:35 -0200 > > > >Caro Matteus: > > > >Infelizmente tenho que admitir que o algoritmo abaixo está furado. Ele > >produz uma sequência crescente de números da forma desejada, mas não todos > >eles - de fato, ele produz a sequência 1, 2, 4, 8, 16,..... > > > >Eu pensei um pouco mais sobre o problema e cheguei à conclusão de que é bem > >mais difícil do que eu imaginava. > > > >Por exemplo, com o caso mais simples - nos. da forma 2^a * 3^b, a sequência > >será: > > > >N 1 2 3 4 6 8 9 12 16 18 24 27 32 36 48 54 64 72 > >a 0 1 0 2 1 3 0 2 4 1 3 0 5 2 4 1 > >6 3 > >b 0 0 1 0 1 0 2 1 0 2 1 3 0 2 1 3 > >0 2 > > > >Repare que a sequência de pares (a,b) que produzem todos os N em ordem > >crescente não parece obedecer nenhuma lei de formação óbvia. > > > >Por enquanto, só o que dá pra sugerir é um algoritmo extremamente > >ineficiente que toma cada número natural, remove os fatores 2, 3 e 5 e, se > >estes forem os únicos fatores, adiciona este número à sequência. Em seguida > >toma o número natural seguinte, e assim por diante. > > > >Problema interessante. Vou pensar mais um pouco. > > > >Um abraço, > >Claudio > > > >----- Original Message ----- > >From: "Cláudio (Prática)" > >To: > >Sent: Tuesday, February 04, 2003 8:37 AM > >Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia > > > > > >Caro Matteus: > > > >O algoritmo abaixo cria uma sequência X tal que X(1) = 1 ( = 2^0 * 3^0 * > >5^0 ) e X(N) = N-ésimo inteiro positivo da forma 2^a * 3^b * 5^c. A > >ordenação é a usual (m < n <==> X(m) < X(n) ) > > > >"Input" N > >a = 0 > >b = 0 > >c = 0 > >K = 1 > >(***) X(K) = 1 > >P = 2^(a+1) * 3^b * 5^c > >Flag = 1 > >Se P > 2^a * 3^(b+1) * 5^c então ( P = 2^a * 3^(b+1) * 5^c e Flag = > >2 ) > >Se P > 2^a * 3^b * 5^(c+1) então ( P = 2^a * 3^b * 5^(c+1) e Flag = > >3 ) > >Se Flag = 1 então a = a+1 > >Se Flag = 2 então b = b+1 > >Se Flag = 3 então c = c+1 > >K = K+1 > >Se K <= N então Retorna para (***) > >Fim > > > >Espero que isso ajude. > > > >Um abraço, > >Claudio. > > > >----- Original Message ----- > >From: "matteus barreto" > >To: > >Sent: Monday, February 03, 2003 6:04 PM > >Subject: [obm-l] k-esimo numero da sequencia > > > > > > > >Sera que alguem poderia me sugerir, se nao uma forma > >fechada, um passo a passo (um algoritmo) para se > >encontrar o k-esimo numero da sequencia: > > > > 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15..., ou seja, os > >números da forma (2^a)*(3^b)*(5^c), com a, b, c > >pertencentes ao conjunto dos inteiros nao negativos. > >Ja pensei bastante a respeito mas sem resultados mais concludentes. > > > >_______________________________________________________________________ > >Busca Yahoo! > >O serviço de busca mais completo da Internet. 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Eu estava resolvendo com tales e relações métricas, mas tive problemas....e a construção não saiu. Abraços Edu --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 ------=_NextPart_000_001C_01C2CECC.0D501EC0 Content-Type: text/html; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Help
Muito=20 Obrigado,
 
Tomei=20 a liberdade de enviar (recortei e colei) sua resolu=E7=E3o para um outro = grupo de=20 matem=E1tica que participo.
 
Eu=20 estava resolvendo com tales e rela=E7=F5es m=E9tricas, mas tive = problemas....e a=20 constru=E7=E3o n=E3o saiu.
 
Abra=E7os
 
Edu 
------=_NextPart_000_001C_01C2CECC.0D501EC0-- _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 17:17:20 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA18546 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 17:14:46 -0200 Received: from hotmail.com (f46.sea2.hotmail.com [207.68.165.46]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA18538 for ; Fri, 7 Feb 2003 17:14:42 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Fri, 7 Feb 2003 11:14:10 -0800 Received: from 200.216.62.82 by sea2fd.sea2.hotmail.msn.com with HTTP; Fri, 07 Feb 2003 19:14:09 GMT X-Originating-IP: [200.216.62.82] From: "Paulo Santa Rita" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Loteria Matematica II Date: Fri, 07 Feb 2003 19:14:09 +0000 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 07 Feb 2003 19:14:10.0410 (UTC) FILETIME=[17E9FCA0:01C2CEDD] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 6914 Lines: 167 Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, 1) A dificuldade do problema e precisamente exibir uma AGMP. E verdade que uma AGMP tera exatamente 56 cartoes ( neste caso ). De maneira geral, se P e primo e sao sorteados P numeros de {1,2,...,P^2} o total de cartoes de uma AGMP sera de P*(P+1), desde que cada cartao tenha exatmente P dezenas ( eu nao coloquei as coisas assim para que tudo ficasse mais facil ). 2) Eu conheco tres caminhos para se montar uma AGMP : usando numeros binomiais, planos afins ou matrizes. Em verdade, se P e primo, toda potencia de P (P^N) permite uma AGMP. A forma matricial e uma generalizacao do processo de transposicao de matrizes. Penso que este e o caminho mais acessivel pra voce. Sugestao ( ";" = fim de linha. Modelo : [linha 1 ; linha 2] ) [1,2 ; 3,4],[1,3 ; 2;4],[1,4 ; 2;3] E uma AGMP para P = 2. Construa AGMP's para P=3,5,... e procure descobrir a lei de formacao. E uma generalizacao do processo de transposicao de matrizes. 3)Uma "aposta" pode ser um cartao ou varios. O total de triplos que uma pessoa acerta e a soma dos acertos de cada um de seus cartoes. Ganha o primeiro premio que acertar mais triplos e nao quem tenha o cartao individual que acertou mais triplos. Exemplo : Joao, 1 cartao : acertou 3 triplos jose, 2 cartoes : 2 triplos certos no primeiro cartao, 2 triplos certos no segundo cartao. Total : 4 triplos. Vencedor : Jose. 4) A quantidade de triplos apostados de uma AGMP e constante. Existem uma quantidade enorme de AGMP's 5) Em verdade, as AGMP's sao estruturas de grande beleza ... considere que UM DUPLO e um PEIXE PEQUENO. Uma AGMP seria, assim, uma rede que pega todos os duplos, isto e, todos os peixes pequenos, qualquer que seja o sorteio que algum *GMM bolar ... E possivel extender essas AGMP's de forma que um conjunto de AGMP's se torna uma rede de outra categoria que apanha todos os triplos. Um conjunto dessas ultimas pega todos as quadras e assim sucessivamente ... Se voce considerar que um DUPLO e UMA COMUNICACAO e um CARTAO DE APOSTAS e uma equipe de pessoas, uma AGMP seria uma rede de comunicacao na qual cada duas pessoas estariam juntas uma unica vez em determinada equipe e qualquer duas pessoas estiveram ou estarao juntas, tudo isso acontecendo uma unica vez ... Quer dizer, voce pode aplicar isso em treinamento, telecomunicacoes etc. Eu nunca li na literatura Matematica alguem falando sobre AGMP's. Eu descobri estas coisas ha muito tempo atras, generalizando o conceito de transposicao de matrizes, de forma a incluir nesta generalizacao o processo de Linnus Pauling para determinacao dos niveis energeticos dos eletrons em Mecanica Quantica. Eu acho que isso e suficiente para voce perceber com que estrutura maravilhosa voce esta lidando : basta ter olhos adeguadas pra ver ... Bom, eu vou ficando por aqui. O meu chefe quer uma planilha simploria pra controlar os bug's de hardware. Um Abraco Paulo Santa Rita 6,1712,070203 >From: "Cláudio \(Prática\)" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: >Subject: Re: [obm-l] Loteria Matematica II ( correcao ) >Date: Fri, 7 Feb 2003 16:26:27 -0200 > >Caro Paulo: > >Fiz algumas coisas com relação a este seu problema. Gostaria de >comentários. > > > >Numa loteria sao sorteados 7 numeros escolhidos aleatoriamente de > >{1,2,3,...,48,49}. Cada cartao de apostas deve ser preenchido com > >exatamente 7 numeros. Uma pessoa pode pode apostar quantos cartoes >desejar > >sem pagar nada, desde que quaisquer dois cartoes de sua > >aposta tenham, NO MAXIMO, uma dezena em comum. O primeiro premio e dado a > >pessoa que acertar o maior numero de triplos. > > > >1 ) Exiba uma aposta gratuita que tenha a maxima probabibilidade de >ganhar > >o primeiro premio > >2 ) Qual o valor da probabilidade acima ? > > > >PARTE 1: >Quaisquer dois cartões de uma aposta gratuita podem ter no máximo 1 número >em comum. >Logo, qualquer par (não ordenado) de números de {1,2,...,49} só pode estar >contido em no máximo 1 cartão. > >Seja M o número de cartões numa aposta gratuita de máxima probabilidade >(agmp). > >Cada cartão contém C(7,2) = 21 pares de números. >Logo, o número de pares representados nos M cartões é igual a 21*M. > >O número total de pares contidos em {1,2,...,49} é C(49,2) = 1.176. > >Logo, vale a desigualdade: 21*M <= 1.176 ==> M <= 56. > >Logo, uma agmp consiste de, no máximo, 56 cartões. > >Pode ser que seja possível uma agmp com exatamente 56 cartões mas eu não >consegui construir uma. > >************ > >PARTE 2: >Com 7 números por cartão, o número de triplos contidos em cada cartão é >C(7,3) = 35. Como são sorteados 7 números, o número de triplos vencedores >também é igual a 35. > >Além disso, um dado triplo pode estar contido em no máximo um cartão de uma >agmp, a qual, portanto, estará apostando em 35*M triplos. > >Neste ponto surgiu a minha dúvida: o primeiro prêmio é dado a quem tiver o >cartão com o maior número de triplos vencedores ou a quem tiver a maior >soma >dos números de triplos vencedores em cada cartão apostado. Por exemplo, >suponha que os 7 números sorteados sejam {1,2,3,4,5,6,7} e que um apostador >tenha jogado três cartões: >{1,2,3,4,10,11,12}, {4,5,6,20,21,22,23} e {1,6,7,30,31,32,33} >Então devemos considerar que este jogador acertou 6 triplos ({1,2,3}, >{1,2,4}, {1,3,4}e {2,3,4} no primeiro cartão, {4,5,6} no segundo e {1,6,7} >no terceiro) ou apenas tomar o seu cartão com o maior número de triplos >vencedores (no caso, o primeiro, com 4 triplos) e dizer que ele acertou >apenas 4 triplos? > >De qualquer forma, a probabilidade desejada não é a de se acertar um >determinado número de triplos, mas sim a de se acertar mais triplos do que >qualquer outro jogador. Esta probabilidade deverá depender das apostas >feitas pelos outros jogadores. Por exemplo, se algum jogador fizer uma >aposta (não gratuita) que consiste de todos os C(49,7) cartões possíveis, >então, a probabilidade da agmp ganhar o primeiro prêmio é menor do que >seria >se cada um dos outros jogadores apostar apenas um cartão. > > >Um abraço, >Claudio. > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= _________________________________________________________________ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 17:21:10 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA19167 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 17:18:31 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA19133 for ; Fri, 7 Feb 2003 17:18:22 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h17JGl018858 for ; Fri, 7 Feb 2003 17:16:47 -0200 Message-ID: <000e01c2cee6$5359f700$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <005301c2cec5$625f09f0$0301a8c0@stabel> Subject: Re: [obm-l] AB = BA => mesmos autovetores ? Date: Fri, 7 Feb 2003 18:20:13 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2477 Lines: 75 Caro Duda: Pra mim, você tem toda a razão. O teorema só vale em geral quando A tem autovalores distintos (logo, auto-espaços de dimensão 1)- como você mostrou com seu contra-exemplo - e o autor deveria ter explicitado esta hipótese ao invés de tê-la assumido "por conveniência". É duro ter que se preocupar com estas gafes em livros supostamente didáticos. Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Eduardo Casagrande Stabel" To: Sent: Friday, February 07, 2003 2:24 PM Subject: [obm-l] AB = BA => mesmos autovetores ? Caros da lista! Um resultado do livro "Linear Algebra" do Gilbert Strang diz "If AB=BA, then this matrices share the same eigenvectors. The key step is to notice that Ax=Lx implica ABx=BAx=BLx=LBx. Thus x and Bx are eigenvectors sharing the same L, and if we assume for convenience that the eigenvalues of A are distinct -- the eigenspace are all one dimensional -- then Bx must be a multiple of x. In other words x is an eigenvector of B as well as A, wich completes the proof." [Se AB=BA, então as duas matrizes possuem os mesmo autovetores. O ponto é reparar que Ax=Lx implica ABx=BAx=BLx=LBx. Portanto x e Bx são autovetores compartilhando o mesmo autovalor L, e se nós assumirmos por conveniência que os autovalores de A são distintos -- os autoespaços associados são todos unidimensionais -- então Bx deve ser um múltiplo de x. Em outras palavras, x é um autovetor de B, o que completa a prova." Este "por conveniência" deveria ter sido dito como uma das hipóteses, afinal sem ela o resultado não é correto, pois se A = [ 1 0 ] [ 0 1 ] B = [ 1 1 ] [ 1 1 ] então AB=BA e para v =[ 2 ] [ 1 ] tem-se Av = v, mas Bv = [ 3 ] [ 3 ] e v não é autovetor de B. Onde esta meu erro de interpretação? Abraço. Duda. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 17:31:09 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA20035 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 17:28:32 -0200 Received: from smtp013.mail.yahoo.com (smtp013.mail.yahoo.com [216.136.173.57]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id RAA20020 for ; Fri, 7 Feb 2003 17:28:27 -0200 Received: from 200-153-140-151.dsl.telesp.net.br (HELO thor) (edu?matematica@200.153.140.151 with login) by smtp.mail.vip.sc5.yahoo.com with SMTP; 7 Feb 2003 19:27:54 -0000 From: "Eduardo" To: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?RES:_=5Bobm-l=5D_RES:_=5Bobm-l=5D_tri=E2ngulo?= Date: Fri, 7 Feb 2003 17:35:12 -0200 Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0026_01C2CECF.449D3220" X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook IMO, Build 9.0.2416 (9.0.2910.0) Importance: Normal In-Reply-To: <3E440A32.6020307@centroin.com.br> X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 9219 Lines: 243 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0026_01C2CECF.449D3220 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit Caro Morgado, Não entendi... Abraços Edu -----Mensagem original----- De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de A. C. Morgado Enviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 16:34 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] triângulo So para comentar que, surpreendentemente, o gabarito esta certo. Eduardo wrote: Olá, Bem, primeiramente você pode aplicar o teorema dos co-senos a fim de descobrir o lado não informado, ou seja, o lado AB, vai cair numa equação do segundo grau de raízes 5 ou 3. Agora use 1/2absenB com os dois valores encontrados anteriormente. Espero ter ajudado. Edu -----Mensagem original----- De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Enviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 12:17 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] triângulo Faelccmm@aol.com wrote: Olá pessoal, Veja esta questão: (MAUÁ-SP) No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta= ABC=60º. Determine a área do triângulo. resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2 Deixa eu ver...ce tem tudo no triangulo!!!!!!O raio e com SLS,certo?a=2Rsen A.Com isso ce acha o seno de B pela mesma formula.Ce tem o lado AC e o raio.Para a area ce precisa de um angulo que e 180 menos todos os outros.Cabou!!!"!! Obs: O triângulo citado é um triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da área [ S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o valor de BA. Sendo assim eu tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen C daí aparece outra incógnita o sen C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos cossenos para achar o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois calcular o sen C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá para aplicar a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A partir disso entra-se num ciclo vicioso. Será que não está faltando nem um dado? -------------------------------------------------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 ------=_NextPart_000_0026_01C2CECF.449D3220 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Caro=20 Morgado,
 
N=E3o=20 entendi...
 
 
Abra=E7os
 
Edu
-----Mensagem original-----
De:=20 owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br=20 [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de A. C.=20 Morgado
Enviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003=20 16:34
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: = [obm-l] RES:=20 [obm-l] tri=E2ngulo

So para comentar que,=20 surpreendentemente, o gabarito esta certo.

Eduardo wrote:
Ol=E1,
 
Bem, primeiramente voc=EA pode aplicar o = teorema dos=20 co-senos a fim de descobrir o lado n=E3o informado, ou seja, o lado = AB, vai=20 cair numa equa=E7=E3o do segundo grau de ra=EDzes 5 ou 3. Agora use = 1/2absenB com=20 os dois valores encontrados anteriormente.
 
Espero ter ajudado.
 
Edu
-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@sucuri.mat.= puc-rio.br=20 [mailto:owner-obm-l@sucu= ri.mat.puc-rio.br]Em=20 nome de Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
Enviada = em:=20 sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 12:17
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assun= to:=20 Re: [obm-l] tri=E2ngulo

 Faelccmm@aol.com = wrote:

Ol=E1 pessoal, =

Veja=20 esta quest=E3o:

(MAU=C1-SP)

No tri=E2ngulo ABC, = temos: AC=3D 7m,=20 BC=3D 8m, beta=3D ABC=3D60=BA. Determine a =E1rea do = tri=E2ngulo.

resp:=20 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2

Deixa eu ver...ce = tem tudo no=20 triangulo!!!!!!O raio e com SLS,certo?a=3D2Rsen A.Com isso ce = acha o seno=20 de B pela mesma formula.Ce tem o lado AC e o raio.Para a area ce = precisa=20 de um angulo que e 180 menos todos os=20 outros.Cabou!!!"!!


Obs: O = tri=E2ngulo citado =E9=20 um tri=E2ngulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da =E1rea [ = S=3D(a.b.sen=20 alfa)/2], mas n=E3o =E9 dado o valor de BA. Sendo assim eu = tentei aplicar a=20 lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60=BA =3DBA/sen C da=ED = aparece outra=20 inc=F3gnita o sen C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos = cossenos=20 para achar   
o cos C, pois =E9 dado no enunciado = AC e BC,=20 para depois calcular o sen C pela rela=E7ao fundamental sen^2(x) = + cos^2=20 (x)=3D1, mas n=E3o d=E1 para aplicar a lei dos cossenos, pois = n=E3o =E9 dado BA. A=20 partir disso entra-se num ciclo vicioso. Ser=E1 que n=E3o est=E1 = faltando nem=20 um dado?


Busca Yahoo! =
O servi=E7o=20 de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o Yahoo!=20 encontra.

------=_NextPart_000_0026_01C2CECF.449D3220-- _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 17:53:11 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA21589 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 17:50:23 -0200 Received: from fnn.net ([200.175.38.9]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id RAA21554 for ; Fri, 7 Feb 2003 17:50:12 -0200 Received: (qmail 1018 invoked from network); 7 Feb 2003 19:39:05 -0000 Received: from unknown (HELO windows98) (200.175.39.168) by fnn.net with SMTP; 7 Feb 2003 19:39:05 -0000 Message-ID: <001c01c2ceea$956fdac0$9a75fea9@windows98> From: "Daniel Pini" To: Subject: [obm-l] problema selecionados Date: Fri, 7 Feb 2003 18:50:07 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0019_01C2CED9.BBEEA700" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1449 Lines: 39 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0019_01C2CED9.BBEEA700 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 queria muito saber se algu=E9m aqui desta lista conseguiu resolver = todos os exerc=EDcios do livro Problemas Selecionados de Matem=E1tica. = Porque eu realmente os acho muito dif=EDceis e trabalhosos. Daniel. ------=_NextPart_000_0019_01C2CED9.BBEEA700 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Ol=E1 queria muito saber se algu=E9m aqui desta = lista=20 conseguiu resolver todos os exerc=EDcios do livro Problemas = Selecionados de=20 Matem=E1tica. Porque eu realmente os acho muito dif=EDceis e = trabalhosos.=20 Daniel.
------=_NextPart_000_0019_01C2CED9.BBEEA700-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 18:43:36 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA24264 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 18:40:58 -0200 Received: from fgvrj23.fgv.br (fgvrj23.fgv.br [200.20.164.23]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA24259 for ; Fri, 7 Feb 2003 18:40:55 -0200 Received: by FGVRJ23 with Internet Mail Service (5.5.2655.55) id <1JWR2Q5M>; Fri, 7 Feb 2003 18:41:30 -0300 Message-ID: <3BE65222F383D611BE1E00D0B7B60A55E02782@FGVRJ23> From: Ralph Teixeira To: "'obm-l@mat.puc-rio.br'" Cc: "'timpa@uol.com.br'" Subject: RES: [obm-l] Probabilidade Date: Fri, 7 Feb 2003 18:41:24 -0300 MIME-Version: 1.0 X-Mailer: Internet Mail Service (5.5.2655.55) Content-Type: multipart/alternative; boundary="----_=_NextPart_001_01C2CEF1.A9823C40" Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 5846 Lines: 142 This message is in MIME format. Since your mail reader does not understand this format, some or all of this message may not be legible. ------_=_NextPart_001_01C2CEF1.A9823C40 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable O problema =E9 que a probabilidade de um evento depende tamb=E9m do que = voc=EA **sabe** sobre o evento. Quando eu ensino probabilidade, eu = fa=E7o a seguinte experi=EAncia em sala: eu jogo 2 moedas ao alto, e = escondo-as atr=E1s das minhas m=E3os; eu vejo ambas, deixo UM aluno = (Jo=E3o) ver uma delas, e os outros alunos n=E3o v=EAm o resultado. =20 A=ED eu pergunto: qual =E9 a probabilidade de ter dado duas Caras? = (Suponha que os lan=E7amentos s=E3o "aleat=F3rios" e a moeda =E9 = "justa".) =20 Pro aluno que n=E3o v=EA nada, a probabilidade =E9 1/4. Para Jo=E3o, = =E9 outras coisa (1/2 ou 0, dependendo do que deu). Para mim, =E9 0 ou = 1, j=E1 que eu sei o que aconteceu. Estamos falando do mesmo evento, = mas as "probabilidades" s=E3o distintas! Ali=E1s, do meu jeito de = pensar, n=E3o =E9 que **a** probabilidade "mudou" -- a pergunta =E9 que = mudou. =20 Ent=E3o, se **voc=EA** espiar dentro da caixinha, a probabilidade da = primeira bala ser ANIS **para MIM** continua sendo 1/5, mas para voc=EA = possivelmente mudou. N=E3o =E9 tanto que a probabilidade depende da = distribui=E7=E3o de balas l=E1 dentro, mas ela depende de SABER a = distribui=E7=E3o de balas l=E1 dentro. =20 Em suma: =20 -- A probabilidade depende da distribui=E7=E3o dentro do pacote? -- Depende, n=F3s vamos olhar? Se sim, depende. Sen=E3o, a = probabilidade de 1/5 j=E1 considera o nosso desconhecimento da = distribui=E7=E3o dentro do pacote. =20 Abra=E7o, Ralph ------_=_NextPart_001_01C2CEF1.A9823C40 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
O=20 problema =E9 que a probabilidade de um evento depende tamb=E9m do que = voc=EA **sabe**=20 sobre o evento. Quando eu ensino probabilidade, eu fa=E7o a seguinte = experi=EAncia=20 em sala: eu jogo 2 moedas ao alto, e escondo-as atr=E1s das minhas = m=E3os; eu vejo=20 ambas, deixo UM aluno (Jo=E3o) ver uma delas, e os outros alunos = n=E3o v=EAm o=20 resultado.
 
A=ED eu=20 pergunto: qual =E9 a probabilidade de ter dado duas Caras? (Suponha que = os=20 lan=E7amentos s=E3o "aleat=F3rios" e a moeda =E9 = "justa".)
 
Pro=20 aluno que n=E3o v=EA nada, a probabilidade =E9 1/4. Para Jo=E3o, =E9 = outras coisa (1/2 ou=20 0, dependendo do que deu). Para mim, =E9 0 ou 1, j=E1 que eu sei o que = aconteceu.=20 Estamos falando do mesmo evento, mas as "probabilidades" s=E3o = distintas! Ali=E1s,=20 do meu jeito de pensar, n=E3o =E9 que **a** probabilidade "mudou" -- a = pergunta =E9=20 que mudou.
 
Ent=E3o,=20 se **voc=EA** espiar dentro da caixinha, a probabilidade da primeira = bala ser ANIS=20 **para MIM** continua sendo 1/5, mas para voc=EA possivelmente=20 mudou. N=E3o =E9 tanto que a probabilidade depende da = distribui=E7=E3o de=20 balas l=E1 dentro, mas ela depende de SABER a distribui=E7=E3o de balas = l=E1=20 dentro.
 
Em=20 suma:
 
--=20 A probabilidade depende da distribui=E7=E3o dentro do=20 pacote?
--=20 Depende, n=F3s vamos olhar? Se sim, depende. Sen=E3o, a probabilidade = de 1/5 j=E1=20 considera o nosso desconhecimento da distribui=E7=E3o dentro do=20 pacote.
 
    Abra=E7o,
       &nb= sp;   =20 Ralph
------_=_NextPart_001_01C2CEF1.A9823C40-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 19:16:32 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA25265 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 19:13:54 -0200 Received: from traven9.uol.com.br (traven9.uol.com.br [200.221.4.35]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA25198 for ; Fri, 7 Feb 2003 19:13:39 -0200 Received: from gauss ([200.153.212.102]) by traven9.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with SMTP id TAA17195 for ; Fri, 7 Feb 2003 19:15:30 -0200 (BRST) Message-ID: <001d01c2cef7$c4f527c0$2accfea9@gauss> From: "Domingos Jr." To: References: <20030207154033.99577.qmail@web12901.mail.yahoo.com> Subject: Re: [obm-l] Como se leva algo as ultimas consequencias Date: Fri, 7 Feb 2003 19:25:06 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_001A_01C2CEDE.9F324A90" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2720.3000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 3737 Lines: 109 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_001A_01C2CEDE.9F324A90 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable n=E3o vai ao menos nos dizer qual =E9 a solu=E7=E3o do Tengan? ----- Original Message -----=20 From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Friday, February 07, 2003 12:40 PM Subject: [obm-l] Como se leva algo as ultimas consequencias Esse e-mail foi uma ideia meio louca que eu tive.Esse problema caiu na = IMO de Cuba. Seja f(x)=3Dx=B2+x+p,em que p e natural.Suponha que f e primo se x vai = de zero ate (p/3)^1/3.Mostre que f e primo ate p-2. Uma solu=E7ao foi o Tengan que me mostrou.E bem legal pois mostra como = ser destemidos em certos problemas e levar certas ideias ate a ultima = consequencia. TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) -------------------------------------------------------------------------= ----- Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o = Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_001A_01C2CEDE.9F324A90 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
n=E3o vai ao menos nos dizer qual =E9 a = solu=E7=E3o do=20 Tengan?
----- Original Message -----
From:=20 Johann Peter Gustav = Lejeune=20 Dirichlet
Sent: Friday, February 07, 2003 = 12:40=20 PM
Subject: [obm-l] Como se leva = algo as=20 ultimas consequencias

Esse e-mail foi uma ideia meio louca que eu tive.Esse problema caiu = na IMO=20 de Cuba.

Seja f(x)=3Dx=B2+x+p,em que p e natural.Suponha que f e primo se x = vai de zero=20 ate (p/3)^1/3.Mostre que f e primo ate p-2.

Uma solu=E7ao foi o Tengan que me mostrou.E bem legal pois mostra = como ser=20 destemidos em certos problemas e levar certas ideias ate a ultima=20 consequencia.



TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE

CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA = TRIBVERE

Fields Medal(John Charles Fields)


Busca Yahoo!
O = servi=E7o de=20 busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o Yahoo!=20 encontra. ------=_NextPart_000_001A_01C2CEDE.9F324A90-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 19:22:35 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA25516 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 19:19:58 -0200 Received: from itaqui.terra.com.br (itaqui.terra.com.br [200.176.3.19]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA25512 for ; Fri, 7 Feb 2003 19:19:55 -0200 Received: from canela.terra.com.br (canela.terra.com.br [200.176.3.79]) by itaqui.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 54EC83BD3D4 for ; Fri, 7 Feb 2003 19:19:25 -0200 (BRST) Received: from stabel (200-180-183-061.paemt7002.dsl.brasiltelecom.net.br [200.180.183.61]) (authenticated user dudasta) by canela.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id A9305114032 for ; Fri, 7 Feb 2003 19:19:24 -0200 (BRST) Message-ID: <002801c2cef6$fa83e620$0301a8c0@stabel> From: "Eduardo Casagrande Stabel" To: References: <01a001c2cecf$55a7af00$0802dcc8@n8x4f9> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_fun=E7=F5es_cont=EDnuas=2C_mon=F3ton?= =?iso-8859-1?Q?as=2C_patol=F3gicas...?= Date: Fri, 7 Feb 2003 19:19:27 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2720.3000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 7917 Lines: 191 From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" > Existem ocasiões em que este forum se assemelha às CPI's - dado um assunto, > ele é acaloradamente discutido e de repente, não mais do que de repente, > tudo acaba sem que se chegue a uma conclusão formal. Quando isso ocorre com > uma CPI, diz-se que ela acabou em pizza. Eu não tenho um termo para definir > o fim das discussões similares aqui, e se o tivesse ele certamente não teria > a conotação pejorativa de uma pizza. > > Talvez - ou muito provavelmente - o problema não esteja com o forum mas > comigo, já que, por falta de formação acadêmica matemática, eu me sinto > perdido na minha ignorância quando alguém encerra a discussão com um > dogmático "... e isso é facilmente demonstrável". Desta lista participam muitos matemáticos de alto nível, e muitas pessoas que tem grande experiência com problemas de matemática. É natural que existam jargões comuns do meio matemático. E os mais comuns são "trivial", "fácil de mostrar", "é elementar", que algumas vezes (nos piores casos) substituem um trecho em que o escritor não sabe resolver o problema mesmo ;), ou - o mais geral - é um recurso de linguagem para evitar longas explicações. O ruim dessa história, é que quem não tem o costume de ler textos escritos por matemáticos, fica chateado quando não entende um trecho desses. Eu também, no começo, ficava um pouco indignado, você pode ver isso no histórico da lista. Uma coisa é certa: você vai ter que se acostumar com esse tipo de frase, pois todo mundo fala. Se você quer fazer a matemática um pouco mais acessível a todos os iniciantes, nunca pegue a mania de dizer essas frases, o prejuizo será na quantidade de texto que você vai ter de escrever. > Abaixo está o final da última discussão enquadrada no critério definido no > início desta mensagem. > > Para os que não se lembram da proposição que originou a discussão, ela era > algo do tipo "Se uma função f(x) é contínua no intervalo [a,b], e f(b)>f(a), > então f(x) é estritamente crescente em algum intervalo [c,d] contido em > [a,b]". > > O bom senso - um conceito puramente subjetivo - de um não-matemático diria > que a proposição é obviamente verdadeira. E surpreendentemente ela é falsa! Nem tão surpreendente para os matemáticos e aprendizes mais experientes, que já se depararam com coisas mais malucas. > Logo no início perguntei qual a diferença entre crescente e estritamente > crescente. Responderam, e conclui que estritamente crescente é o que aprendi > como sendo monótona crescente. Existem vários sinônimos. Acho que a regra é * monótona crescente, crescente ou estritamente crescente = "x < y implica f(x) < f(y)" * não decrescente = "x < y implica f(x) <= f(y)" > No desenrolar das dicussões sugeriram que para a proposição ser verdadeira > não bastava que a função fosse contínua no intervalo, teria que ser também > diferenciável no intervalo. Perguntei qual a definição de função contínua. > Não responderam. Essa foi uma sugestão para CORRIGIR aquela proposição. Eu, particularmente, não tentei corrigi-la para uma outra proposição, mas tentei mostrar que ela é falsa. Outros disseram explicitamente exemplos, eu só dei uma sugestão de algo que li no livro do Ralph Boas, mas que talvez não fale desse problema. Se você pergunta o que é Função Contínua, não deve estar acostumado com muitos outros conceitos e resultados que se relacionam a esse assunto. Eu recomendo que você estude um livro de Análise Real, como o do Elon Lages Lima. O conceito de função contínua num ponto c de seu domínio é o seguinte: * para todo e>0 existe um d>0 tal que |c-x| Apresentaram um contra-exemplo - uma função "patológica" - para provar que a > proposição era falsa. Quando repliquei simploriamente dizendo que negar que > a proposição fosse verdadeira seria um contra-senso total, responderam > sugerindo que se aplicasse zooms sucessivos no gráfico da função patológica, > sempre veria um serrilhado. Algo como fractais, conclui. Eu não tenho certeza se a figura que é gerada no plano é sempre um fractal (de dimensão não inteira). Outra pessoa teria de explicar, me falta conhecimento... mas eu *acho* que tem a ver sim. É como a costa de um continente, não importa o quanto você aproxima ela é sempre serrilhada, com indas e vindas, apesar de ser contínua... > O assunto foi encerrado com as mensagens abaixo. Ficou sem resposta a > observação que fiz, dizendo que para os fins a que se propõe não vejo > diferença alguma entre f(x) e g(x). Você deve estar se referindo a mensagem http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200302/msg00053.html do Nicolau. Ele dá um esboço de demonstração, eu não sei também como preencher os detalhes. O Nicolau, assim como outros da lista, é um pesquisador ocupado e não necessariamente vai ficar destrinchando todos os detalhes do que diz. Tente ser compreensivo. > O apelo final. Ajudem este não-matemático a saber como ir do primeiro para o > décimo andar de um edifício sem ter que subir qualquer lance de escadas. Ou, > já que "não é difícil demonstrar que g não é monótona em nenhum intervalo", > apresentar essa demonstração que, em não sendo difícil, deverei ser capaz de > entendê-la. > > Antecipada e profundamente grato, > > JF Eu acho que você deve compreender que não há inimigos ou pessoas de má vontade nessa lista. Ninguém ganha um centavo e muitos dos matemáticos daqui estão mais ensinando do que aprendendo. Eu já fiz muitos amigos, e aprendi muita coisa aqui. Se você souber aproveitar, sem criar animosidades, tenho certeza que será muito beneficiado. Eu recomendo que você estude livros de Análise para depois pegar um livro com a questão. Abração! Duda. > > ----- Original Message ----- > From: Nicolau C. Saldanha > To: > Sent: Monday, February 03, 2003 2:38 PM > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] prova de uma afirmação > > > > On Mon, Feb 03, 2003 at 11:25:22AM -0200, Cláudio (Prática) wrote: > > > Caro Artur: > > > > > > Você já deve ter ouvido falar que existem funções que são contínuas em > toda a > > > reta mas não são diferenciáveis em ponto algum - um exemplo é justamente > dado > > > por uma série de funções: > > > > > > infinito > > > f(x) = SOMA 12^n * cos( Pi * x / 2^n ) > > > n = 0 > > > > Acho que você queria dizer o seguinte > > > > f(x) = SOMA 1/2^n cos(Pi x/2^n) > > > > Outro exemplo (que talvez torne a demonstração mais fácil) seria > > > > g(x) = SOMA 1/2^n cos(Pi x/4^n) > > > > É fácil calcular o valor desta função em racionais diádicos > > (i.e., racionais da forma a/2^k) pois a partir de certo valor de n > > os cos são todos iguais a 1. Não é difícil então demonstrar que g > > não é monótona em nenhum intervalo. > > > (...) > > > > []s, N. > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > O administrador desta lista é > > ========================================================================= > > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 19:24:57 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA25591 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 19:22:24 -0200 Received: from paiol.terra.com.br (paiol.terra.com.br [200.176.3.18]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA25587 for ; Fri, 7 Feb 2003 19:22:21 -0200 Received: from engenho.terra.com.br (engenho.terra.com.br [200.176.3.42]) by paiol.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 122297CBE6 for ; Fri, 7 Feb 2003 19:21:51 -0200 (BRST) Received: from stabel (200-180-183-061.paemt7002.dsl.brasiltelecom.net.br [200.180.183.61]) (authenticated user dudasta) by engenho.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 50BBCB40EF for ; Fri, 7 Feb 2003 19:21:50 -0200 (BRST) Message-ID: <005101c2cef7$514b0470$0301a8c0@stabel> From: "Eduardo Casagrande Stabel" To: References: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_RES:_=5Bobm-l=5D_RES:_=5Bobm-l=5D_tri=E2ng?= =?iso-8859-1?Q?ulo?= Date: Fri, 7 Feb 2003 19:21:53 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_004E_01C2CEDE.2BD005B0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2720.3000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 10801 Lines: 281 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_004E_01C2CEDE.2BD005B0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable =C9 uma piada do Morgado! Na lista tem aparecido muitas e muitas quest=F5es de vestibulares e = concursos com gabarito incorreto... ----- Original Message -----=20 From: Eduardo=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Friday, February 07, 2003 4:35 PM Subject: [obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] tri=E2ngulo Caro Morgado, N=E3o entendi... Abra=E7os Edu -----Mensagem original----- De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br = [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de A. C. Morgado Enviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 16:34 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] tri=E2ngulo So para comentar que, surpreendentemente, o gabarito esta certo. Eduardo wrote: Ol=E1, Bem, primeiramente voc=EA pode aplicar o teorema dos co-senos a = fim de descobrir o lado n=E3o informado, ou seja, o lado AB, vai cair = numa equa=E7=E3o do segundo grau de ra=EDzes 5 ou 3. Agora use 1/2absenB = com os dois valores encontrados anteriormente. Espero ter ajudado. Edu -----Mensagem original----- De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br = [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de Johann Peter Gustav = Lejeune Dirichlet Enviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 12:17 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] tri=E2ngulo Faelccmm@aol.com wrote:=20 Ol=E1 pessoal,=20 Veja esta quest=E3o:=20 (MAU=C1-SP)=20 No tri=E2ngulo ABC, temos: AC=3D 7m, BC=3D 8m, beta=3D = ABC=3D60=BA. Determine a =E1rea do tri=E2ngulo.=20 resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2=20 Deixa eu ver...ce tem tudo no triangulo!!!!!!O raio e com = SLS,certo?a=3D2Rsen A.Com isso ce acha o seno de B pela mesma formula.Ce = tem o lado AC e o raio.Para a area ce precisa de um angulo que e 180 = menos todos os outros.Cabou!!!"!! Obs: O tri=E2ngulo citado =E9 um tri=E2ngulo de base BC. Eu = tentei aplicar a lei da =E1rea [ S=3D(a.b.sen alfa)/2], mas n=E3o =E9 = dado o valor de BA. Sendo assim eu tentei aplicar a lei dos senos para = achar BA fazendo 7/sen60=BA =3DBA/sen C da=ED aparece outra inc=F3gnita = o sen C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos cossenos para achar = =20 o cos C, pois =E9 dado no enunciado AC e BC, para depois = calcular o sen C pela rela=E7ao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=3D1, = mas n=E3o d=E1 para aplicar a lei dos cossenos, pois n=E3o =E9 dado BA. = A partir disso entra-se num ciclo vicioso. Ser=E1 que n=E3o est=E1 = faltando nem um dado?=20 ------------------------------------------------------------------------ Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA = pensar o Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_004E_01C2CEDE.2BD005B0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
=C9 uma piada do Morgado!
Na lista tem aparecido muitas e muitas = quest=F5es de=20 vestibulares e concursos com gabarito incorreto...
----- Original Message -----
From:=20 Eduardo
Sent: Friday, February 07, 2003 = 4:35=20 PM
Subject: [obm-l] RES: [obm-l] = RES:=20 [obm-l] tri=E2ngulo

Caro=20 Morgado,
 
N=E3o=20 entendi...
 
 
Abra=E7os
 
Edu
-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@sucuri.mat.= puc-rio.br=20 [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de A. C.=20 Morgado
Enviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003=20 16:34
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assun= to:=20 Re: [obm-l] RES: [obm-l] tri=E2ngulo

So para = comentar que,=20 surpreendentemente, o gabarito esta certo.

Eduardo wrote:
Ol=E1,
 
Bem, primeiramente voc=EA pode aplicar = o teorema=20 dos co-senos a fim de descobrir o lado n=E3o informado, ou seja, o = lado AB,=20 vai cair numa equa=E7=E3o do segundo grau de ra=EDzes 5 ou 3. = Agora use=20 1/2absenB com os dois valores encontrados=20 anteriormente.
 
Espero ter ajudado.
 
Edu
-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@sucuri.mat.= puc-rio.br=20 [mailto:owner-obm-l@sucu= ri.mat.puc-rio.br]Em=20 nome de Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
Enviada = em:=20 sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 12:17
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assun= to:=20 Re: [obm-l] tri=E2ngulo

 Faelccmm@aol.com = wrote:

Ol=E1 pessoal, =

Veja=20 esta quest=E3o:

(MAU=C1-SP)

No tri=E2ngulo = ABC, temos: AC=3D=20 7m, BC=3D 8m, beta=3D ABC=3D60=BA. Determine a =E1rea do = tri=E2ngulo.=20

resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2 =

Deixa eu = ver...ce tem tudo=20 no triangulo!!!!!!O raio e com SLS,certo?a=3D2Rsen A.Com isso = ce acha o=20 seno de B pela mesma formula.Ce tem o lado AC e o raio.Para a = area ce=20 precisa de um angulo que e 180 menos todos os=20 outros.Cabou!!!"!!


Obs: O = tri=E2ngulo citado=20 =E9 um tri=E2ngulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da = =E1rea [=20 S=3D(a.b.sen alfa)/2], mas n=E3o =E9 dado o valor de BA. Sendo = assim eu=20 tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo = 7/sen60=BA =3DBA/sen=20 C da=ED aparece outra inc=F3gnita o sen C. A partir disso eu = tentei=20 aplicar a lei dos cossenos para achar   
o cos = C, pois =E9=20 dado no enunciado AC e BC, para depois calcular o sen C pela = rela=E7ao=20 fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=3D1, mas n=E3o d=E1 para = aplicar a lei dos=20 cossenos, pois n=E3o =E9 dado BA. A partir disso entra-se num = ciclo=20 vicioso. Ser=E1 que n=E3o est=E1 faltando nem um dado?=20


Busca Yahoo! =
O=20 servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA = pensar o Yahoo!=20 = encontra.

<= /HTML> ------=_NextPart_000_004E_01C2CEDE.2BD005B0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 20:36:16 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA28811 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 20:34:53 -0200 Received: from smtp013.mail.yahoo.com (smtp013.mail.yahoo.com [216.136.173.57]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id UAA28806 for ; Fri, 7 Feb 2003 20:34:49 -0200 Received: from 200-153-141-133.dsl.telesp.net.br (HELO thor) (edu?matematica@200.153.141.133 with login) by smtp.mail.vip.sc5.yahoo.com with SMTP; 7 Feb 2003 22:34:16 -0000 From: "Eduardo" To: Subject: [obm-l] Uma Proposta Date: Fri, 7 Feb 2003 20:41:34 -0200 Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0008_01C2CEE9.4DB4EDC0" X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook IMO, Build 9.0.2416 (9.0.2910.0) X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Importance: Normal In-Reply-To: <005101c2cef7$514b0470$0301a8c0@stabel> Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 17256 Lines: 430 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0008_01C2CEE9.4DB4EDC0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit Não sei com quem, ou como....é possível criar uma lista paralela? Não que seja ruim esclarecer alguns tópicos de Vestibular ou concurso. Eu não me incomodo (mesmo) em participar de uma lista onde hajam exercícios de vestibular (mesmo por que conheço uns...), além disso, dou aula em cursinhos...mas me parece que o proposito aqui é outro, trata-se de uma lista com exercícios bem mais sofisticados...e eu gostei muito disto Não sei se é certo haver alguns tipos de colocações que possam subestimar, existem matemáticos de altíssimo nível aqui, alguns, inclusive, já me deram aula ou palestra; um colega da lista a pouco enviou um mail sentindo-se muito mal....não que tenha sido efetivamente subestimado, mas por não estar acostumado com frases do tipo, "facilmente demonstrável"...Sei lá...poderia haver alguns níveis de lista, a pessoa ingressaria naquela que julgasse ser a sua. Tem muita gente que ingressa aqui com nível médio de escola pública... e tá muito afim de aprender, tem gente aqui que se esforça muito para responder dúvidas, sem ganhar absolutamente nada...tem muita gente com boa vontade aqui...recebi uma resposta muito boa sobre uma construção geométrica que não saía, depois de ver resolvida pareceu-me elementar...mas só depois de ver resolvida. Devemos entender que a matemática pode e deve ser pra todos, este fórum, tem em sua abertura, uma frase "esta lista se destina aos interessados em matemática - professores e alunos"... Estamos realmente colaborando para que não haja represamento de conhecimento? Acabei de ingressar, mas senti um certo "calor" em algumas respostas dadas ou colocações.... posso estar errado, como disse, acabei de ingressar na lista. Abraços Edu. -----Mensagem original----- De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de Eduardo Casagrande Stabel Enviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 19:22 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] triângulo É uma piada do Morgado! Na lista tem aparecido muitas e muitas questões de vestibulares e concursos com gabarito incorreto... ----- Original Message ----- From: Eduardo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, February 07, 2003 4:35 PM Subject: [obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] triângulo Caro Morgado, Não entendi... Abraços Edu -----Mensagem original----- De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de A. C. Morgado Enviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 16:34 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] triângulo So para comentar que, surpreendentemente, o gabarito esta certo. Eduardo wrote: Olá, Bem, primeiramente você pode aplicar o teorema dos co-senos a fim de descobrir o lado não informado, ou seja, o lado AB, vai cair numa equação do segundo grau de raízes 5 ou 3. Agora use 1/2absenB com os dois valores encontrados anteriormente. Espero ter ajudado. Edu -----Mensagem original----- De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Enviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 12:17 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] triângulo Faelccmm@aol.com wrote: Olá pessoal, Veja esta questão: (MAUÁ-SP) No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta= ABC=60º. Determine a área do triângulo. resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2 Deixa eu ver...ce tem tudo no triangulo!!!!!!O raio e com SLS,certo?a=2Rsen A.Com isso ce acha o seno de B pela mesma formula.Ce tem o lado AC e o raio.Para a area ce precisa de um angulo que e 180 menos todos os outros.Cabou!!!"!! Obs: O triângulo citado é um triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da área [ S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o valor de BA. Sendo assim eu tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen C daí aparece outra incógnita o sen C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos cossenos para achar o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois calcular o sen C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá para aplicar a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A partir disso entra-se num ciclo vicioso. Será que não está faltando nem um dado? ---------------------------------------------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 ------=_NextPart_000_0008_01C2CEE9.4DB4EDC0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
N=E3o=20 sei com quem, ou como....=E9 poss=EDvel criar uma lista paralela?=20
 
N=E3o=20 que seja ruim esclarecer alguns t=F3picos de Vestibular ou concurso. Eu = n=E3o me=20 incomodo (mesmo) em participar de uma lista onde hajam exerc=EDcios = de=20 vestibular (mesmo por que conhe=E7o uns...), al=E9m disso, dou aula em=20 cursinhos...mas me parece que o proposito aqui =E9 outro, trata-se de = uma lista=20 com exerc=EDcios bem mais sofisticados...e eu gostei muito=20 disto
 
N=E3o=20 sei se =E9 certo haver alguns tipos de coloca=E7=F5es que possam = subestimar, existem=20 matem=E1ticos de alt=EDssimo n=EDvel aqui, alguns, inclusive, j=E1 me = deram aula ou=20 palestra; um colega da lista a pouco enviou um mail sentindo-se muito = mal....n=E3o=20 que tenha sido efetivamente subestimado, mas por n=E3o estar acostumado = com frases=20 do tipo, "facilmente demonstr=E1vel"...Sei l=E1...poderia haver alguns = n=EDveis de=20 lista, a pessoa ingressaria naquela que julgasse ser a sua. Tem muita = gente que=20 ingressa aqui com n=EDvel m=E9dio de escola p=FAblica... e t=E1 muito = afim de aprender,=20 tem gente aqui que se esfor=E7a muito para responder d=FAvidas, sem = ganhar=20 absolutamente nada...tem muita gente com boa vontade aqui...recebi uma = resposta=20 muito boa sobre uma constru=E7=E3o geom=E9trica que n=E3o sa=EDa, depois = de ver resolvida=20 pareceu-me elementar...mas s=F3 depois de ver resolvida. Devemos = entender que a=20 matem=E1tica pode e deve ser pra todos, este f=F3rum, tem em sua = abertura, uma frase=20 "esta lista se destina aos interessados em matem=E1tica - professores e=20 alunos"...
 
Estamos realmente colaborando para que n=E3o haja represamento = de=20 conhecimento?
 
Acabei=20 de ingressar, mas senti um certo "calor" em algumas respostas dadas ou=20 coloca=E7=F5es.... posso estar errado, como disse, acabei de ingressar = na=20 lista.
 
Abra=E7os
 
Edu.
 
-----Mensagem original-----
De:=20 owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br=20 [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de Eduardo = Casagrande=20 Stabel
Enviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003=20 19:22
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] = Re:=20 [obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] tri=E2ngulo

=C9 uma piada do = Morgado!
Na lista tem aparecido muitas e = muitas quest=F5es=20 de vestibulares e concursos com gabarito incorreto...
----- Original Message -----
From:=20 Eduardo
Sent: Friday, February 07, = 2003 4:35=20 PM
Subject: [obm-l] RES: [obm-l] = RES:=20 [obm-l] tri=E2ngulo

Caro Morgado,
 
N=E3o entendi...
 
 
Abra=E7os
 
Edu
-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@sucuri.mat.= puc-rio.br=20 [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de A. C.=20 Morgado
Enviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003=20 16:34
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assun= to:=20 Re: [obm-l] RES: [obm-l] tri=E2ngulo

So para = comentar=20 que, surpreendentemente, o gabarito esta certo.

Eduardo = wrote:
Ol=E1,
 
Bem, primeiramente voc=EA pode = aplicar o teorema=20 dos co-senos a fim de descobrir o lado n=E3o informado, ou seja, = o lado=20 AB, vai cair numa equa=E7=E3o do segundo grau de ra=EDzes 5 ou = 3. Agora use=20 1/2absenB com os dois valores encontrados=20 anteriormente.
 
Espero ter = ajudado.
 
Edu
-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@sucuri.mat.= puc-rio.br=20 [mailto:owner-obm-l@sucu= ri.mat.puc-rio.br]Em=20 nome de Johann Peter Gustav Lejeune = Dirichlet
Enviada=20 em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 = 12:17
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assun= to:=20 Re: [obm-l] tri=E2ngulo

 Faelccmm@aol.com = wrote:=20

Ol=E1 = pessoal,

Veja=20 esta quest=E3o:

(MAU=C1-SP)

No tri=E2ngulo = ABC, temos: AC=3D=20 7m, BC=3D 8m, beta=3D ABC=3D60=BA. Determine a =E1rea do = tri=E2ngulo.=20

resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2 =

Deixa eu = ver...ce tem=20 tudo no triangulo!!!!!!O raio e com SLS,certo?a=3D2Rsen = A.Com isso ce=20 acha o seno de B pela mesma formula.Ce tem o lado AC e o = raio.Para a=20 area ce precisa de um angulo que e 180 menos todos os=20 outros.Cabou!!!"!!


Obs: O = tri=E2ngulo=20 citado =E9 um tri=E2ngulo de base BC. Eu tentei aplicar a = lei da =E1rea [=20 S=3D(a.b.sen alfa)/2], mas n=E3o =E9 dado o valor de BA. = Sendo assim eu=20 tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo = 7/sen60=BA=20 =3DBA/sen C da=ED aparece outra inc=F3gnita o sen C. A = partir disso eu=20 tentei aplicar a lei dos cossenos para achar    =
o cos=20 C, pois =E9 dado no enunciado AC e BC, para depois calcular = o sen C=20 pela rela=E7ao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=3D1, mas = n=E3o d=E1 para=20 aplicar a lei dos cossenos, pois n=E3o =E9 dado BA. A partir = disso=20 entra-se num ciclo vicioso. Ser=E1 que n=E3o est=E1 faltando = nem um=20 dado?


Busca Yahoo! =
O=20 servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA = pensar o Yahoo!=20 = encontra.

------=_NextPart_000_0008_01C2CEE9.4DB4EDC0-- _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. 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Qual é a mdida do menor arco formado pelos ponteiros de um relógio as 4h? e do arco maior? _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! 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A roda-gigante tem 10 cadeiras e 8 m de raio. O garoto, que foi o primeiro a entrar, sentou-se na cadeira número 1. A garota sentou-se na cadeira número 7 e desceu depois de dar 20 voltas completas. Quantos metros o garoto percorreu, do instante em que subiu no brinquedo até o momento em que a garota desceu? pi: 3,14 _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! 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Para haver equilibrio, o torque resultante deve ser nulo. Portanto, T1 - Torque associado ao peso de Pablo T2 - Torque assosciado ao peso de Rosa. P1 - Peso de Pablo => P1 = m1.g P2 - Peso de Rosa => P2 = m2.g D1 = distancia de Pablo ao centro D2 = Distancia de Rosa do Centro. g - Aceleracao da gravidade. T1=T2 P1.d = P2.d M1.g.d1 = m2.g.d2 D2 = m1d1/me = 1.28m. -----Original Message----- From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of elton francisco ferreira Sent: Thursday, February 06, 2003 9:30 AM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] um probleminha olá pessoal da OBM-l não consigo achar nem um desses resultados das alternativas o mais próximo q conseguí foi 1,22. Será q vcs podem me ajudar?! Pablo tem 64 kg de massa e Rosa 80 Kg. Numa gangorra pablo senta-se a 1,6m do centro de apoio. Para que a gangorra fique em equilíbrio, a que distancia do centro Rosa deve sentar-se? 1,65 1,30 1,28 1,00 _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! 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E x^3 tem por > derivada 3x^2, logo o zero nao se aplica ao teorema, pois eh minimo da > derivada da f, qualquer que seja o intervalo que contenha a origem. Acho > que a prova esta correta. >=20 >=20 > Abraco, >=20 > Salvador =20 OK, de fato vc fez esta hip=F3tese e me passou desapercebido. Eu = realmente me confundi na sua prova. A fun=E7=E3o G =E9 de fato cont=EDnua em I^2?=20 =20 Eu conversei sobre esta quest=E3o com uns amigos e um deles me deu como contra-exemplo a fun=E7=E3o f(x) =3D x^3 + x^3*[sin(1/x^2)]^2, se x<>0, = e 0 se x=3D0. (n=E3o sei como que ele sacou esta fun=E7=E3o....). Verificamos = que f=92(0)=3D0. Verificamos tamb=E9m que f =E9 positiva para x>0 e negativa = para x<0, do que deduzimos que n=E3o existem x e y que satisfa=E7am =E0 = condic=E3o procurada. Com algum algebrismo podemos constatar que em qualquer vizinhan=E7a de 0 f=92 assume valores positivos e negativos, de modo que f=92(0)=3D0 n=E3o =E9 ponto extremo de f=92.=20 =20 Um abra=E7o Artur ------=_NextPart_000_0001_01C2CEFD.EC346660 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable

> Caro = Artur,

>

>

> Observe que uma hipotese crucial para a provinha abaixo eh = que f'(z) nao

> seja nem maximo, nem minimo da derivada de f no intervalo. = E x^3 tem por

> derivada 3x^2, logo o zero nao se aplica ao teorema, pois = eh minimo da

> derivada da f, qualquer que seja o intervalo que contenha a origem. Acho

> que a prova esta correta.

>

>

> Abraco,

>

> = Salvador

 

OK, de fato vc fez esta hip=F3tese e me passou desapercebido. Eu realmente me = confundi na sua prova. A fun=E7=E3o G =E9 de fato cont=EDnua em I^2? =

 = ;

Eu conversei sobre esta quest=E3o com uns amigos e um deles me deu como contra-exemplo a fun=E7=E3o f(x) =3D x^3 + x^3*[sin(1/x^2)]^2, se x<>0, e 0 se x=3D0. = (n=E3o sei como que ele sacou esta fun=E7=E3o....).=A0 Verificamos que f’(0)=3D0. Verificamos tamb=E9m que f =E9 = positiva para x>0 e negativa para x<0, do que deduzimos que n=E3o existem x e y = que satisfa=E7am =E0 condic=E3o procurada. Com algum algebrismo podemos = constatar que em qualquer vizinhan=E7a de 0 f’ assume valores positivos e = negativos, de modo que f’(0)=3D0 n=E3o =E9 ponto extremo de f’. =

 

Um = abra=E7o

Artur

------=_NextPart_000_0001_01C2CEFD.EC346660-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 7 23:21:11 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA00822 for obm-l-MTTP; Fri, 7 Feb 2003 23:19:36 -0200 Received: from smtp014.mail.yahoo.com (smtp014.mail.yahoo.com [216.136.173.58]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id XAA00808 for ; Fri, 7 Feb 2003 23:19:31 -0200 Received: from 200-153-141-133.dsl.telesp.net.br (HELO thor) (edu?matematica@200.153.141.133 with login) by smtp.mail.vip.sc5.yahoo.com with SMTP; 8 Feb 2003 01:18:58 -0000 From: "Eduardo" To: Subject: RES: [obm-l] Problema 02 Date: Fri, 7 Feb 2003 23:26:16 -0200 Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook IMO, Build 9.0.2416 (9.0.2910.0) X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Importance: Normal In-Reply-To: <20030208001817.55302.qmail@web41502.mail.yahoo.com> Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2231 Lines: 53 Verifique esta "solução", ou pelo menos o início... Bem, a posição do garoto quando a garota sobe na roda gigante e quando desce é a mesma..., se a garota deu 20 voltas o garoto deu 20 voltas mais a diferença inicial, de 6 cadeiras...o resto é conta. -----Mensagem original----- De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de elton francisco ferreira Enviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 21:18 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Problema 02 Um casal de namorados foi a um parque de diversões. A roda-gigante tem 10 cadeiras e 8 m de raio. O garoto, que foi o primeiro a entrar, sentou-se na cadeira número 1. A garota sentou-se na cadeira número 7 e desceu depois de dar 20 voltas completas. Quantos metros o garoto percorreu, do instante em que subiu no brinquedo até o momento em que a garota desceu? pi: 3,14 _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! 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A primeira eq= uipe=20 que conseguir duas vit=F3rias seguidas ou tr=EAs vit=F3rias alternadas vence= a=20 s=E9rie de jogos. Qual a probabilidade de uma equipe vencer a s=E9rie de jog= os=20 com duas vit=F3rias seguidas? --part1_35.33829c77.2b75b645_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Duas equipes disputam entre si uma s=E9rie de jogos em= que n=E3o pode ocorrer empate e as duas equipes t=EAm as mesmas chances de=20= vit=F3ria. A primeira equipe que conseguir duas vit=F3rias seguidas ou tr= =EAs vit=F3rias alternadas vence a s=E9rie de jogos. Qual a probabilidade de= uma equipe vencer a s=E9rie de jogos com duas vit=F3rias seguidas?
 --part1_35.33829c77.2b75b645_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sat Feb 8 00:35:02 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id AAA03265 for obm-l-MTTP; Sat, 8 Feb 2003 00:33:20 -0200 Received: from web14204.mail.yahoo.com (web14204.mail.yahoo.com [216.136.172.146]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id AAA03261 for ; Sat, 8 Feb 2003 00:33:16 -0200 Message-ID: <20030208023244.38091.qmail@web14204.mail.yahoo.com> Received: from [200.184.180.2] by web14204.mail.yahoo.com via HTTP; Fri, 07 Feb 2003 23:32:44 ART Date: Fri, 7 Feb 2003 23:32:44 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Felipe=20Gastaldo?= Subject: Re: [obm-l] triângulo To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1821 Lines: 56 Prezado amigo fael para este problema uma possivel solução seria: Tendo o lado BC e o AC e o angulo beta pela lei dos cossenos vem que: AC*2=BC*2+BA*2-2.CB.BA.cosbeta sendo o AB o lado que queremos achar então fica: 49=64+AB*2-2.8.AB.1/2 dai sai que AB=3 ou AB=5 enatão para AB= 3 tem-se: S=BC.AB.senbeta/2, então S=6. raiz de (3) m*2 ou para AB=5 tem-se com o mesmo raciocinio S`= 10. raiz de (3) m*2 Espero que entenda um abraço Felipão --- Faelccmm@aol.com escreveu: > Olá pessoal, > > Veja esta questão: > > (MAUÁ-SP) > > No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta= > ABC=60º. Determine a área do > triângulo. > > resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2 > > Obs: O triângulo citado é um triângulo de base BC. > Eu tentei aplicar a lei da > área [ S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o valor > de BA. Sendo assim eu > tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo > 7/sen60º =BA/sen C daí > aparece outra incógnita o sen C. A partir disso eu > tentei aplicar a lei dos > cossenos para achar > o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para > depois calcular o sen C pela > relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não > dá para aplicar a lei dos > cossenos, pois não é dado BA. A partir disso > entra-se num ciclo vicioso. Será > que não está faltando nem um dado? > _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sat Feb 8 01:23:00 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id BAA04278 for obm-l-MTTP; Sat, 8 Feb 2003 01:21:29 -0200 Received: from sporus.bol.com.br (sporus.bol.com.br [200.221.24.23]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id BAA04274 for ; Sat, 8 Feb 2003 01:21:26 -0200 Received: from bol.com.br (200.221.24.134) by sporus.bol.com.br (5.1.071) id 3E25BF46007447BC for obm-l@mat.puc-rio.br; Sat, 8 Feb 2003 01:22:58 -0200 Date: Sat, 8 Feb 2003 01:20:56 -0200 Message-Id: Subject: [obm-l] MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain;charset="iso-8859-1" From: "basketboy_igor" To: obm-l@mat.puc-rio.br X-XaM3-API-Version: 2.4 R3 ( B4 ) X-SenderIP: 200.253.226.102 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id BAA04275 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1600 Lines: 53 1° - Adquiri um exeplar de um livro de matemáatica da editora Mir ( Selected Problems in Elementary Mathematics, Arithmetic and Albegra), digamos, por um lapso de sorte parou nas minhas mãos. Aproveitando a sorte, fui estudá-lo e empaquei na seguinte questão envolvendo números complexos e gráfico: "Let C1, C2, ... , Cn and Z be complex numbers such that 1/(Z -C1) + 1/(Z -C2) + .. + 1/(Z -Cn) = 0. Prove that if the numbers C1, C2, ... , Cn are represented in the complex plane by the vertices of a convex n-gon then the number Z is represented by a point lying inside that n- gon." P.S. Prefiri deixar em inglês p/ não sofrer erros de contextualiazão na tradução. Como eu não compreendi a solução vinda com com o livro, gostaria de saber se existe uma solução concebível. 2° - Alguém poderia me informar se existe um exemplar de geometria plana e espacial da editora Mir? E se conhece, onde poderia comprar ou encomendar? "Cogito ergo sum. (I think; therefore I am.)" - Rene Descartes (Renatus Cartesius) "Quod erat demonstrandum". (Que se devia demonstrar em Latim) __________________________________________________________________________ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. 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Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 ------=_NextPart_001_0005_01C2CF1A.454F00E0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable

=C9 s=F3 um teste para verificar se, ao configurar o = Word como editor de e-mail, as express=F5es em “equation”  tamb=E9m s=E3o = leg=EDveis.

 

 

 <= /p>

 

------=_NextPart_001_0005_01C2CF1A.454F00E0-- ------=_NextPart_000_0004_01C2CF1A.454F00E0 Content-Type: application/x-ms-wmz; name="image001.wmz" Content-Transfer-Encoding: base64 Content-ID: H4sIAAAAAAACC32WS2gTQRjHZ2Z3s5vJ5tU0faiFoKBIfZD0pgbsQUQwgrboyUcKEYOmalMfVRQU VEQPIljxiXrQq5d4UqwEPYgKVYqIlyAUVBoVDwoKxp3Zh/vXxQ0h8/v+33z7fbNfZuf18yeXibwy 3Q1OwmI0WaBioCQ1QhhJS9UakjATI9X6MkqlhbJWqyUtS2iXtGQZdbwjzJ1nsgbPdLdZo/mhOJlF WmISSVg8YY1uWd9GFyHHuTXH8TFJoTi6Y3BsT4mQc0x4/mQTv+w8z4kbMOuTGBirDO3eRZi4/2LL ali/OX4q3C1z+OzwJgN5gY5c5jZ/cljXUJ9WkGsM+bvj33T4BLV5xuE4394hOO9xIym41+MzceQ5 EeSLIT/XQrG0P14t9DGB+oUY8hmOvBPiNdljiNdkpSTqiThygyPfgHhVehTiVWl/EvWZGPIkR74N 8Sa0HmrHS8s+WNny9QFRrT4YLFdK1cy60oHMht2V4jAhs+yOoLIzv3idsZXP6xKTKh4fk5kOezye Ek1bGXa5JjPt8/S9UeSXJsbrl5XkPP5qIBcM9H+qCc56fF1Fjql+f01/LDup7PHCdn/+mn65TeRf Hnb5IeSr6YdN5OUmxrsb9uer6UUDebaB/tchf00fUZH7Vb9/Xjne6Y+XVxqQf145lUKenUL/ZfA8 8sq4KerN9bmscfTfaEg95/IryDevrFalnrW5Tud3+vU6vQT51enKFPK7NvTvgPzqdETml+1z+Rus b52ulvllcy6/0TBeQeaXzab/3QH/2/nE6Xzq7SFDsrIhj+/Jyg56/FZWUvT4SxT1ThP1/WHUz+uo t2uoDyioP2CiskwmInmpcbpdF28R+7L2f9taTvI/Vuty7WtiwfaFkWB72Ai2f1DR7u6QvMO/WrXQ lpS/mlpoOumvphb6YaJ+MoL6tIH6dh319yrqZ53VsldnSn2QMnx5mo71WiKoqin1SDTYvpkH2/N6 sL0ncHWm1HHFfnbu/v8IVqvJ0tBbTbYNeqvJ9kVRfxtBfVkY9Ss66j0a6meht6r0quz1jMeHIL8q fQFPs0pXtOH89VHUn0VQ7w2jflNHfZ6G+h3Ib0JbRAQPkGTAuUb8qwuDmVUHR0eK7snm7/dYnFfk G3+t1y8H4n5usq/AVsUOc+d8xeUZTG4jxD5dJYgu6b48tVHG5g6MVUdLFXsn8e8oivT7DUqvzvI4 CgAA ------=_NextPart_000_0004_01C2CF1A.454F00E0 Content-Type: image/gif; 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O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sat Feb 8 04:10:36 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id EAA07185 for obm-l-MTTP; Sat, 8 Feb 2003 04:09:00 -0200 Received: from itaqui.terra.com.br (itaqui.terra.com.br [200.176.3.19]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id EAA07181 for ; Sat, 8 Feb 2003 04:08:56 -0200 Received: from bertioga.terra.com.br (bertioga.terra.com.br [200.176.3.77]) by itaqui.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 33B303BE2B0 for ; Sat, 8 Feb 2003 04:08:25 -0200 (BRST) Received: from niski.com (unknown [200.148.194.237]) (authenticated user fniski) by bertioga.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 32C433F804D for ; Sat, 8 Feb 2003 04:08:24 -0200 (BRST) Message-ID: <3E449EF3.1020506@niski.com> Date: Sat, 08 Feb 2003 04:08:51 -0200 From: niski User-Agent: Mozilla/5.0 (X11; U; Linux i686; en-US; rv:1.0.1) Gecko/20020830 X-Accept-Language: en-us, en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] OFF TOPIC - Livro Latex Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 847 Lines: 17 Olá pessoal. Estou vendendo o livro *A Guide to LATEX: Document Preparation for Beginners and Advanced Users (3rd Edition)* do Helmut Kopka e Patrick W. Daly (http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/0201398257/ref=pd_bxgy_img_2/102-8491156-1225752?v=glance&s=books) O livro esta semi novo, é estou vendendo por R$85,00. Quem quiser basta entrar em contato comigo by mail. Obrigado a todos ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sat Feb 8 07:31:33 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id HAA08709 for obm-l-MTTP; Sat, 8 Feb 2003 07:30:01 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.134]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id HAA08696 for ; Sat, 8 Feb 2003 07:29:58 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (localhost [127.0.0.1]) by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h189Tp2H024362 for ; Sat, 8 Feb 2003 07:29:51 -0200 (EDT) Received: (from morgado@localhost) by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.5/Submit) id h189TpPd024361; Sat, 8 Feb 2003 07:29:51 -0200 (EDT) Message-Id: <200302080929.h189TpPd024361@trex.centroin.com.br> Received: from 200.149.183.1 by trex.centroin.com.br (CIPWM versao 1.4C1) with HTTPS for ; Sat, 8 Feb 2003 07:29:51 -0200 (EDT) Date: Sat, 8 Feb 2003 07:29:51 -0200 (EDT) From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Uma Proposta MIME-Version: 1.0 X-Mailer: CentroIn Internet Provider WebMail v. 1.4C1 (http://www.centroin.com.br/) Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id HAA08697 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 6435 Lines: 154 Sou contra uma lista paralela. Eh a diversidade que farah com que cada um de nos cresça, uns mais, outros menos. O que voce nao entendeu por ser novo na lista e o Stabel interpretou com uma brincadeira e alguns podem ter entendido como uma reclamaçao minha eh simplesmente um conselho (talvez um pouquinho ironico, mas dado com a melhor das intençoes) para o Fael. Eu, e o Claudio tambem ja afirmou isso, acho que o gabarito dos fasciculos que ele vem usando mais o atrapalha do que ajuda. Nos achamos que ele faria melhor negocio trocando os fasciculos por um livro feito o Iezzi. Mas nao estou, e tenho certeza que o Claudio (que tem sido a pessoa que mais tem respondido a duvidas nesta lista nos ultimos tempos) tambem nao estah, reclamando de nada. Temos o maior prazer em ajudar companheiros quando a nossa competencia permitir. Um forte abraço a todos. Morgado Em Fri, 7 Feb 2003 20:41:34 -0200, Eduardo disse: > Não sei com quem, ou como....é possível criar uma lista paralela? > > Não que seja ruim esclarecer alguns tópicos de Vestibular ou concurso. Eu > não me incomodo (mesmo) em participar de uma lista onde hajam exercícios de > vestibular (mesmo por que conheço uns...), além disso, dou aula em > cursinhos...mas me parece que o proposito aqui é outro, trata-se de uma > lista com exercícios bem mais sofisticados...e eu gostei muito disto > > Não sei se é certo haver alguns tipos de colocações que possam subestimar, > existem matemáticos de altíssimo nível aqui, alguns, inclusive, já me deram > aula ou palestra; um colega da lista a pouco enviou um mail sentindo-se > muito mal....não que tenha sido efetivamente subestimado, mas por não estar > acostumado com frases do tipo, "facilmente demonstrável"...Sei lá...poderia > haver alguns níveis de lista, a pessoa ingressaria naquela que julgasse ser > a sua. Tem muita gente que ingressa aqui com nível médio de escola > pública... e tá muito afim de aprender, tem gente aqui que se esforça muito > para responder dúvidas, sem ganhar absolutamente nada...tem muita gente com > boa vontade aqui...recebi uma resposta muito boa sobre uma construção > geométrica que não saía, depois de ver resolvida pareceu-me elementar...mas > só depois de ver resolvida. Devemos entender que a matemática pode e deve > ser pra todos, este fórum, tem em sua abertura, uma frase "esta lista se > destina aos interessados em matemática - professores e alunos"... > > Estamos realmente colaborando para que não haja represamento de > conhecimento? > > Acabei de ingressar, mas senti um certo "calor" em algumas respostas dadas > ou colocações.... posso estar errado, como disse, acabei de ingressar na > lista. > > Abraços > > Edu. > > -----Mensagem original----- > De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br > [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de Eduardo Casagrande > Stabel > Enviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 19:22 > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] triângulo > > > É uma piada do Morgado! > Na lista tem aparecido muitas e muitas questões de vestibulares e > concursos com gabarito incorreto... > ----- Original Message ----- > From: Eduardo > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Sent: Friday, February 07, 2003 4:35 PM > Subject: [obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] triângulo > > > Caro Morgado, > > Não entendi... > > > Abraços > > Edu > -----Mensagem original----- > De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br > [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de A. C. Morgado > Enviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 16:34 > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] triângulo > > > So para comentar que, surpreendentemente, o gabarito esta certo. > > Eduardo wrote: > > Olá, > > Bem, primeiramente você pode aplicar o teorema dos co-senos a fim de > descobrir o lado não informado, ou seja, o lado AB, vai cair numa equação do > segundo grau de raízes 5 ou 3. Agora use 1/2absenB com os dois valores > encontrados anteriormente. > > Espero ter ajudado. > > Edu > -----Mensagem original----- > De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br > [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de Johann Peter Gustav > Lejeune Dirichlet > Enviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 12:17 > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Assunto: Re: [obm-l] triângulo > > > > Faelccmm@aol.com wrote: > > Olá pessoal, > > Veja esta questão: > > (MAUÁ-SP) > > No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta= ABC=60º. > Determine a área do triângulo. > > resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2 > > > Deixa eu ver...ce tem tudo no triangulo!!!!!!O raio e com > SLS,certo?a=2Rsen A.Com isso ce acha o seno de B pela mesma formula.Ce tem o > lado AC e o raio.Para a area ce precisa de um angulo que e 180 menos todos > os outros.Cabou!!!"!! > > > Obs: O triângulo citado é um triângulo de base BC. Eu tentei > aplicar a lei da área [ S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o valor de BA. > Sendo assim eu tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60º > =BA/sen C daí aparece outra incógnita o sen C. A partir disso eu tentei > aplicar a lei dos cossenos para achar > o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois calcular > o sen C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá para > aplicar a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A partir disso entra-se num > ciclo vicioso. Será que não está faltando nem um dado? > > > > > > ---------------------------------------------------------------------- > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o > Yahoo! encontra. > > > > --- > Outgoing mail is certified Virus Free. > Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). > Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sat Feb 8 11:57:50 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA11180 for obm-l-MTTP; Sat, 8 Feb 2003 11:55:02 -0200 Received: from web41509.mail.yahoo.com (web41509.mail.yahoo.com [66.218.93.92]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id LAA11176 for ; Sat, 8 Feb 2003 11:54:59 -0200 Message-ID: <20030208135428.96179.qmail@web41509.mail.yahoo.com> Received: from [200.217.37.28] by web41509.mail.yahoo.com via HTTP; Sat, 08 Feb 2003 10:54:28 ART Date: Sat, 8 Feb 2003 10:54:28 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?elton=20francisco=20ferreira?= Subject: [obm-l] Triangulo_Área To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 612 Lines: 13 Sabendo que P é o ponto médio de AD e que a área do paralelogramo ABCD é 136 m^2, qual a área do triangulo APB ? _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sat Feb 8 12:33:36 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA12063 for obm-l-MTTP; Sat, 8 Feb 2003 12:30:58 -0200 Received: from www.zipmail.com.br (smtp.zipmail.com.br [200.187.242.10]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA12059 for ; Sat, 8 Feb 2003 12:30:55 -0200 From: ghaeser@zipmail.com.br Received: from [200.158.6.61] by www.zipmail.com.br with HTTP; Fri, 7 Feb 2003 18:52:52 -0200 Message-ID: <3E4415E50000005D@www.zipmail.com.br> Date: Fri, 7 Feb 2003 18:52:52 -0200 In-Reply-To: <000e01c2ced8$6ec00150$0301a8c0@stabel> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?=28Re=3A=20=5Bobm=2Dl=5D=29=5E3=20s=E9ries?= To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id MAA12060 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1216 Lines: 38 muito obrigado, Eduardo, Cláudio e Bruno pelas respostas.. essa dúvida me ocorreu tentando resolver este problema: Seja f : [0,1] -> R uma função contínua. Seja n[k] tal que n[k]>0 para todo k e soma(n[k],k=1,..,oo) = oo. Seja a sequencia x[k] pertencente a [0,1] e suponha que: f(x[k+1]) <= f(x[k]) - n[k].| x[k+1] - x[k] | , para todo k. Provar que lim{ | x[kj+1] - x[kj] | , kj->oo}=0, para alguma subsequencia x[kj]. se alguém puder ajudar .. (só para constar.. também acontece comigo aquele problema já descrito na lista de receber as mensagens fora de ordem .. ) Obrigado. Gabriel Haeser www.gabas.cjb.net "Mathematicus nascitur, non fit" Matemáticos não são feitos, eles nascem --------------------------------------- Gabriel Haeser www.gabas.cjb.net ------------------------------------------ Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sat Feb 8 14:14:44 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA14284 for obm-l-MTTP; Sat, 8 Feb 2003 14:11:59 -0200 Received: from birosca.ime.usp.br (birosca.ime.usp.br [143.107.45.59]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id OAA14271 for ; Sat, 8 Feb 2003 14:11:51 -0200 Received: (qmail 2513 invoked from network); 8 Feb 2003 16:11:10 -0000 Received: from mafalda.ime.usp.br (HELO bidu.ime.usp.br) (143.107.45.13) by birosca.ime.usp.br with SMTP; 8 Feb 2003 16:11:10 -0000 Received: (qmail 11881 invoked by uid 1604); 8 Feb 2003 16:09:46 -0000 Date: Sat, 8 Feb 2003 14:09:46 -0200 (EDT) From: Salvador Addas Zanata X-Sender: sazanata@mafalda To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?RE:_=5Bobm-l=5D_RE:_=5Bobm-l=5D_Re:_=5Bobm-l=5D_Fun=E7?= =?iso-8859-1?Q?=E3o_uniformemente_diferenci=E1vel?= In-Reply-To: <000001c2cf40$fa57a660$0c01a8c0@mshome.net> Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=ISO-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id OAA14276 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2513 Lines: 82 Caro Artur, Quando voce disse que f era diferenciavel, imaginei que voce estivesse supondo que f' fosse continua. Eh isso que garante que a G da minha provinha seja continua em I^2. Na verdade, fora da diagonal identidade, ela eh sempre continua, basta f ser continua. Pra provar a continuidade de G em um ponto da forma (x,x), usamos que f' eh funcao continua. G(x,x)=f'(x), assim: G(a,b)-G(x,x)=[G(a,b)-G(x,b)]+[G(x,b)-G(x,x)]. Agora e so usar a definicao de continuidade e tentar encontrar o delta que sirva para um epsilon dado. A f que o seu amigo exibiu tem derivada 0 em x=0, mas a derivada nao eh continua em x=0, pois a derivada de f eh (p/ x<>0): x^2(9/2-3/2cos(2/x^2))-2sin(2/x^2) Assim, para valores convenientes de x arbitrariamente proximos do zero, essa funcao fica maior que 1, por exemplo, logo f'nao pode ser continua. Mas se voce queria saber se a afirmacao era verdade para f apenas diferenciavel, a resposta como voce provou exibindo esse exemplo eh nao. Um abraco, Salvador On Fri, 7 Feb 2003, Artur Costa Steiner wrote: > > Caro Artur, > > > > > > Observe que uma hipotese crucial para a provinha abaixo eh que f'(z) > nao > > seja nem maximo, nem minimo da derivada de f no intervalo. E x^3 tem > por > > derivada 3x^2, logo o zero nao se aplica ao teorema, pois eh minimo da > > derivada da f, qualquer que seja o intervalo que contenha a origem. > Acho > > que a prova esta correta. > > > > > > Abraco, > > > > Salvador > > OK, de fato vc fez esta hipótese e me passou desapercebido. Eu realmente > me confundi na sua prova. A função G é de fato contínua em I^2? > > Eu conversei sobre esta questão com uns amigos e um deles me deu como > contra-exemplo a função f(x) = x^3 + x^3*[sin(1/x^2)]^2, se x<>0, e 0 se > x=0. (não sei como que ele sacou esta função....). Verificamos que > f’(0)=0. Verificamos também que f é positiva para x>0 e negativa para > x<0, do que deduzimos que não existem x e y que satisfaçam à condicão > procurada. Com algum algebrismo podemos constatar que em qualquer > vizinhança de 0 f’ assume valores positivos e negativos, de modo que > f’(0)=0 não é ponto extremo de f’. > > Um abraço > Artur > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sat Feb 8 16:20:10 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA16999 for obm-l-MTTP; Sat, 8 Feb 2003 16:15:53 -0200 Received: from web41502.mail.yahoo.com (web41502.mail.yahoo.com [66.218.93.85]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id QAA16995 for ; Sat, 8 Feb 2003 16:15:49 -0200 Message-ID: <20030208181517.18454.qmail@web41502.mail.yahoo.com> Received: from [200.151.159.28] by web41502.mail.yahoo.com via HTTP; Sat, 08 Feb 2003 15:15:17 ART Date: Sat, 8 Feb 2003 15:15:17 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?elton=20francisco=20ferreira?= Subject: [obm-l] Dúvida To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 957 Lines: 27 olá pessoal da OBM-l. Estou com uma dúvida na questão a seguir... resolvi eessa questão mas o resultado n bateu com o do livro. será q vcs podem me ajudar? Oscar e Douglas fizeram uma viagem de 1862 km. Durante as primeiras horas, Oscar manteve uma velocidade média de 86 km/h. Nas seguintes (h + 5) horas, Douglas dirijiu o carro a uma velocidade média de 105 km/h. Quanto tempo durou a viagem? montei a equação desta forma: 86h + 105(h + 5) = 1862 _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! 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A base do triângulo é igual a base do paralelogramo. (Faça as figuras!) O resultado será 1/4 da área do paralelogramo. Abraços Edu -----Mensagem original----- De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de elton francisco ferreira Enviada em: sábado, 8 de fevereiro de 2003 10:54 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Triangulo_Área Sabendo que P é o ponto médio de AD e que a área do paralelogramo ABCD é 136 m^2, qual a área do triangulo APB ? _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! 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Tenta no mercado livre www.mercadolivre.com.br e boa sorte ou vende em um sebo, mas nao poste isto. Mal dou conta de meu emails da lista pra ficar vendo isto!(SPAM) niski wrote:Olá pessoal. Estou vendendo o livro *A Guide to LATEX: Document Preparation for Beginners and Advanced Users (3rd Edition)* do Helmut Kopka e Patrick W. Daly (http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/0201398257/ref=pd_bxgy_img_2/102-8491156-1225752?v=glance&s=books) O livro esta semi novo, é estou vendendo por R$85,00. Quem quiser basta entrar em contato comigo by mail. Obrigado a todos ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. 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Acho que vc esta confundindo com o que nao deve ser postado. Tenta no mercado livre www.mercadolivre.com.br e boa sorte ou vende em um sebo, mas nao poste isto. Mal dou conta de meu emails da lista pra ficar vendo isto!(SPAM)

 niski <fabio@niski.com> wrote:

Olá pessoal. Estou vendendo o livro *A Guide to LATEX: Document
Preparation for Beginners and Advanced Users (3rd Edition)*
do Helmut Kopka e Patrick W. Daly
(http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/0201398257/ref=pd_bxgy_img_2/102-8491156-1225752?v=glance&s=books)

O livro esta semi novo, é estou vendendo por R$85,00.

Quem quiser basta entrar em contato comigo by mail.
Obrigado a todos



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Desde já muito obrigado. Amurpe __________________________________________________________________________ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. 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Já vi muitas mensagens de pessoas precisando de tal ou tal livro por isso achei conveniente postar aqui esse meu anuncio. De qualquer forma, desconsidero qualquer critica sua já que voce assim como eu não passa de um simples usuario da lista. Caso o administrador da lista me avise que esse tipo de mensagem é proibido, ai sim nunca mais mandarei nada desse tipo para a lista. Leahpar Xarm wrote: > Acho que vc esta confundindo com o que nao deve ser postado. Tenta no > mercado livre www.mercadolivre.com.br > e boa sorte ou vende em um sebo, mas nao poste isto. Mal dou conta de > meu emails da lista pra ficar vendo isto!(SPAM) > > niski wrote: > > Olá pessoal. Estou vendendo o livro *A Guide to LATEX: Document > Preparation for Beginners and Advanced Users (3rd Edition)* > do Helmut Kopka e Patrick W. Daly > (http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/0201398257/ref=pd_bxgy_img_2/102-8491156-1225752?v=glance&s=books) > > O livro esta semi novo, é estou vendendo por R$85,00. > > Quem quiser basta entrar em contato comigo by mail. > Obrigado a todos > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > > > > ------------------------------------------------------------------------ > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o > Yahoo! encontra. > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 9 00:15:10 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id AAA23344 for obm-l-MTTP; Sun, 9 Feb 2003 00:11:33 -0200 Received: from puma.unisys.com.br (smtp.unisys.com.br [200.220.64.7]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id AAA23340 for ; Sun, 9 Feb 2003 00:11:30 -0200 Received: from jf (riohiper01p156.uninet.com.br [200.220.2.156]) by puma.unisys.com.br (8.12.3/8.12.3) with SMTP id h192Akce021634 for ; Sun, 9 Feb 2003 00:10:58 -0200 (EDT) X-Spam-Filter: check_local@puma.unisys.com.br by digitalanswers.org Message-ID: <008f01c2cfe0$977a6500$9c02dcc8@jf> From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" To: References: <20030208213954.88143.qmail@web40003.mail.yahoo.com> Subject: Re: [obm-l] OFF TOPIC - Livro Latex Date: Sat, 8 Feb 2003 23:48:31 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_001C_01C2CFCC.95E6BCC0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2600.0000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 5791 Lines: 152 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_001C_01C2CFCC.95E6BCC0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Exemplo t=EDpico de mau humor... JF=20 ----- Original Message -----=20 From: Leahpar Xarm=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Saturday, February 08, 2003 7:39 PM Subject: Re: [obm-l] OFF TOPIC - Livro Latex Acho que vc esta confundindo com o que nao deve ser postado. Tenta no = mercado livre www.mercadolivre.com.br e boa sorte ou vende em um sebo, = mas nao poste isto. Mal dou conta de meu emails da lista pra ficar vendo = isto!(SPAM)=20 niski wrote:=20 Ol=E1 pessoal. Estou vendendo o livro *A Guide to LATEX: Document=20 Preparation for Beginners and Advanced Users (3rd Edition)* do Helmut Kopka e Patrick W. Daly=20 = (http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/0201398257/ref=3Dpd_bxgy_i= mg_2/102-8491156-1225752?v=3Dglance&s=3Dbooks) O livro esta semi novo, =E9 estou vendendo por R$85,00. Quem quiser basta entrar em contato comigo by mail. Obrigado a todos = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista =E9=20 = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D -------------------------------------------------------------------------= --- Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar = o Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_001C_01C2CFCC.95E6BCC0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Exemplo t=EDpico de mau = humor...
 
JF
----- Original Message -----
From:=20 Leahpar=20 Xarm
Sent: Saturday, February 08, = 2003 7:39=20 PM
Subject: Re: [obm-l] OFF TOPIC = - Livro=20 Latex

Acho que vc esta confundindo com o que nao deve ser postado. Tenta = no=20 mercado livre www.mercadolivre.com.br e = boa sorte=20 ou vende em um sebo, mas nao poste isto. Mal dou conta de meu emails = da lista=20 pra ficar vendo isto!(SPAM)=20

 niski <fabio@niski.com> wrote: = Ol=E1=20 pessoal. Estou vendendo o livro *A Guide to LATEX: Document =
Preparation=20 for Beginners and Advanced Users (3rd Edition)*
do Helmut Kopka e = Patrick=20 W. Daly=20 =
(http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/0201398257/ref=3Dpd_bx= gy_img_2/102-8491156-1225752?v=3Dglance&s=3Dbooks)

O=20 livro esta semi novo, =E9 estou vendendo por R$85,00.

Quem = quiser basta=20 entrar em contato comigo by mail.
Obrigado a todos



=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D
Instru=E7=F5es=20 para entrar na lista, sair da lista e usar a lista=20 em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O = administrador=20 desta lista =E9=20 =
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D


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O = servi=E7o=20 de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o Yahoo!=20 encontra.
------=_NextPart_000_001C_01C2CFCC.95E6BCC0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 9 00:18:55 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id AAA23369 for obm-l-MTTP; Sun, 9 Feb 2003 00:15:08 -0200 Received: from puma.unisys.com.br (smtp.unisys.com.br [200.220.64.7]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id AAA23363 for ; Sun, 9 Feb 2003 00:15:03 -0200 Received: from jf (riopm18p170.uninet.com.br [200.220.16.170]) by puma.unisys.com.br (8.12.3/8.12.3) with SMTP id h192EJce022001 for ; Sun, 9 Feb 2003 00:14:31 -0200 (EDT) X-Spam-Filter: check_local@puma.unisys.com.br by digitalanswers.org Message-ID: <000101c2cfe1$162e00a0$aa10dcc8@jf> From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" To: References: <20030208213954.88143.qmail@web40003.mail.yahoo.com> Subject: Re: [obm-l] OFF TOPIC - Livro Latex Date: Sat, 8 Feb 2003 23:48:31 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_001C_01C2CFCC.95E6BCC0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2600.0000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 5791 Lines: 152 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_001C_01C2CFCC.95E6BCC0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Exemplo t=EDpico de mau humor... JF=20 ----- Original Message -----=20 From: Leahpar Xarm=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Saturday, February 08, 2003 7:39 PM Subject: Re: [obm-l] OFF TOPIC - Livro Latex Acho que vc esta confundindo com o que nao deve ser postado. Tenta no = mercado livre www.mercadolivre.com.br e boa sorte ou vende em um sebo, = mas nao poste isto. Mal dou conta de meu emails da lista pra ficar vendo = isto!(SPAM)=20 niski wrote:=20 Ol=E1 pessoal. Estou vendendo o livro *A Guide to LATEX: Document=20 Preparation for Beginners and Advanced Users (3rd Edition)* do Helmut Kopka e Patrick W. Daly=20 = (http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/0201398257/ref=3Dpd_bxgy_i= mg_2/102-8491156-1225752?v=3Dglance&s=3Dbooks) O livro esta semi novo, =E9 estou vendendo por R$85,00. Quem quiser basta entrar em contato comigo by mail. Obrigado a todos = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista =E9=20 = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D -------------------------------------------------------------------------= --- Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar = o Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_001C_01C2CFCC.95E6BCC0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Exemplo t=EDpico de mau = humor...
 
JF
----- Original Message -----
From:=20 Leahpar=20 Xarm
Sent: Saturday, February 08, = 2003 7:39=20 PM
Subject: Re: [obm-l] OFF TOPIC = - Livro=20 Latex

Acho que vc esta confundindo com o que nao deve ser postado. Tenta = no=20 mercado livre www.mercadolivre.com.br e = boa sorte=20 ou vende em um sebo, mas nao poste isto. Mal dou conta de meu emails = da lista=20 pra ficar vendo isto!(SPAM)=20

 niski <fabio@niski.com> wrote: = Ol=E1=20 pessoal. Estou vendendo o livro *A Guide to LATEX: Document =
Preparation=20 for Beginners and Advanced Users (3rd Edition)*
do Helmut Kopka e = Patrick=20 W. Daly=20 =
(http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/0201398257/ref=3Dpd_bx= gy_img_2/102-8491156-1225752?v=3Dglance&s=3Dbooks)

O=20 livro esta semi novo, =E9 estou vendendo por R$85,00.

Quem = quiser basta=20 entrar em contato comigo by mail.
Obrigado a todos



=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D
Instru=E7=F5es=20 para entrar na lista, sair da lista e usar a lista=20 em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O = administrador=20 desta lista =E9=20 =
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D


Busca Yahoo!
O = servi=E7o=20 de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o Yahoo!=20 encontra.
------=_NextPart_000_001C_01C2CFCC.95E6BCC0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 9 00:18:58 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id AAA23381 for obm-l-MTTP; Sun, 9 Feb 2003 00:15:11 -0200 Received: from puma.unisys.com.br (smtp.unisys.com.br [200.220.64.7]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id AAA23365 for ; Sun, 9 Feb 2003 00:15:05 -0200 Received: from jf (riopm18p170.uninet.com.br [200.220.16.170]) by puma.unisys.com.br (8.12.3/8.12.3) with SMTP id h192EJcg022001 for ; Sun, 9 Feb 2003 00:14:33 -0200 (EDT) X-Spam-Filter: check_local@puma.unisys.com.br by digitalanswers.org Message-ID: <000201c2cfe1$1749d0e0$aa10dcc8@jf> From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" To: References: <3BE65222F383D611BE1E00D0B7B60A55E02782@FGVRJ23> Subject: Re: [obm-l] Probabilidade Date: Sun, 9 Feb 2003 00:01:36 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0021_01C2CFCE.6A2027A0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2600.0000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 7299 Lines: 180 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0021_01C2CFCE.6A2027A0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Isto que V est=E1 dizendo =E9, em ess=EAncia, o Paradoxo do Gato de = Schr=F6edinguer. JF ----- Original Message -----=20 From: Ralph Teixeira=20 To: 'obm-l@mat.puc-rio.br'=20 Cc: 'timpa@uol.com.br'=20 Sent: Friday, February 07, 2003 7:41 PM Subject: RES: [obm-l] Probabilidade O problema =E9 que a probabilidade de um evento depende tamb=E9m do = que voc=EA **sabe** sobre o evento. Quando eu ensino probabilidade, eu = fa=E7o a seguinte experi=EAncia em sala: eu jogo 2 moedas ao alto, e = escondo-as atr=E1s das minhas m=E3os; eu vejo ambas, deixo UM aluno = (Jo=E3o) ver uma delas, e os outros alunos n=E3o v=EAm o resultado. A=ED eu pergunto: qual =E9 a probabilidade de ter dado duas Caras? = (Suponha que os lan=E7amentos s=E3o "aleat=F3rios" e a moeda =E9 = "justa".) Pro aluno que n=E3o v=EA nada, a probabilidade =E9 1/4. Para Jo=E3o, = =E9 outras coisa (1/2 ou 0, dependendo do que deu). Para mim, =E9 0 ou = 1, j=E1 que eu sei o que aconteceu. Estamos falando do mesmo evento, mas = as "probabilidades" s=E3o distintas! Ali=E1s, do meu jeito de pensar, = n=E3o =E9 que **a** probabilidade "mudou" -- a pergunta =E9 que mudou. Ent=E3o, se **voc=EA** espiar dentro da caixinha, a probabilidade da = primeira bala ser ANIS **para MIM** continua sendo 1/5, mas para voc=EA = possivelmente mudou. N=E3o =E9 tanto que a probabilidade depende da = distribui=E7=E3o de balas l=E1 dentro, mas ela depende de SABER a = distribui=E7=E3o de balas l=E1 dentro. Em suma: -- A probabilidade depende da distribui=E7=E3o dentro do pacote? -- Depende, n=F3s vamos olhar? Se sim, depende. Sen=E3o, a = probabilidade de 1/5 j=E1 considera o nosso desconhecimento da = distribui=E7=E3o dentro do pacote. Abra=E7o, Ralph ------=_NextPart_000_0021_01C2CFCE.6A2027A0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Isto que V est=E1 dizendo =E9, em = ess=EAncia, o Paradoxo=20 do Gato de Schr=F6edinguer.
 
JF
----- Original Message -----
From:=20 Ralph = Teixeira
Sent: Friday, February 07, 2003 = 7:41=20 PM
Subject: RES: [obm-l] = Probabilidade

O=20 problema =E9 que a probabilidade de um evento depende tamb=E9m do que = voc=EA=20 **sabe** sobre o evento. Quando eu ensino probabilidade, eu fa=E7o a = seguinte=20 experi=EAncia em sala: eu jogo 2 moedas ao alto, e escondo-as atr=E1s = das minhas=20 m=E3os; eu vejo ambas, deixo UM aluno (Jo=E3o) ver uma delas, e = os outros=20 alunos n=E3o v=EAm o resultado.
 
A=ED=20 eu pergunto: qual =E9 a probabilidade de ter dado duas Caras? (Suponha = que os=20 lan=E7amentos s=E3o "aleat=F3rios" e a moeda =E9 = "justa".)
 
Pro=20 aluno que n=E3o v=EA nada, a probabilidade =E9 1/4. Para Jo=E3o, =E9 = outras coisa (1/2=20 ou 0, dependendo do que deu). Para mim, =E9 0 ou 1, j=E1 que eu sei o = que=20 aconteceu. Estamos falando do mesmo evento, mas as "probabilidades" = s=E3o=20 distintas! Ali=E1s, do meu jeito de pensar, n=E3o =E9 que **a** = probabilidade=20 "mudou" -- a pergunta =E9 que mudou.
 
Ent=E3o, se **voc=EA** espiar dentro da caixinha, a = probabilidade da=20 primeira bala ser ANIS **para MIM** continua sendo 1/5, mas para = voc=EA=20 possivelmente mudou. N=E3o =E9 tanto que a = probabilidade depende da=20 distribui=E7=E3o de balas l=E1 dentro, mas ela depende de SABER a = distribui=E7=E3o de=20 balas l=E1 dentro.
 
Em=20 suma:
 
--=20 A probabilidade depende da distribui=E7=E3o dentro do=20 pacote?
--=20 Depende, n=F3s vamos olhar? Se sim, depende. Sen=E3o, a probabilidade = de 1/5 j=E1=20 considera o nosso desconhecimento da distribui=E7=E3o dentro do=20 pacote.
 
    Abra=E7o,
       &nbs= p;   =20 Ralph
------=_NextPart_000_0021_01C2CFCE.6A2027A0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 9 08:38:40 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id IAA31311 for obm-l-MTTP; Sun, 9 Feb 2003 08:34:43 -0200 Received: from saulo.bol.com.br (saulo.bol.com.br [200.221.24.31]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id IAA31307 for ; Sun, 9 Feb 2003 08:34:40 -0200 Received: from bol.com.br (200.221.24.128) by saulo.bol.com.br (5.1.071) id 3E26FD2A005DD02F for obm-l@mat.puc-rio.br; Sun, 9 Feb 2003 08:32:07 -0200 Date: Sun, 9 Feb 2003 08:34:09 -0200 Message-Id: Subject: Re:[obm-l] problema selecionados MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain;charset="iso-8859-1" From: "amurpe" To: obm-l@mat.puc-rio.br X-XaM3-API-Version: 2.4 R3 ( B4 ) X-SenderIP: 200.255.10.97 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id IAA31308 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 763 Lines: 23 > Olá queria muito saber se alguém aqui desta lista conse guiu resolver todos os exercícios do livro Problemas Sele cionados de Matemática. Porque eu realmente os acho muito difíceis e trabalhosos. Daniel. > Onde posso conseguir esse livro? um abraço, Amurpe __________________________________________________________________________ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 9 08:42:19 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id IAA31325 for obm-l-MTTP; Sun, 9 Feb 2003 08:38:31 -0200 Received: from saulo.bol.com.br (saulo.bol.com.br [200.221.24.31]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id IAA31321 for ; Sun, 9 Feb 2003 08:38:28 -0200 Received: from bol.com.br (200.221.24.128) by saulo.bol.com.br (5.1.071) id 3E26FD2A005DD1A2 for obm-l@mat.puc-rio.br; Sun, 9 Feb 2003 08:35:56 -0200 Date: Sun, 9 Feb 2003 08:37:58 -0200 Message-Id: Subject: Re: [obm-l] IMO MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain;charset="iso-8859-1" From: "amurpe" To: obm-l@mat.puc-rio.br X-XaM3-API-Version: 2.4 R3 ( B4 ) X-SenderIP: 200.255.10.97 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id IAA31322 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2756 Lines: 78 > Acho que nao tem muito a ver voce ficar inundando a lis ta com problemas resolvidos.. A maioria das pessoas aqui conhece o site do Kalva, e lá há diversos problemas resol vidos, de diversos níveis de dificuldade.. > ----- Original Message ----- > From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Sent: Thursday, February 06, 2003 3:26 PM > Subject: [obm-l] IMO > > > Problem 3 > > The set of all positive integers is the union of two disjoint subsets {f(1), f(2), f(3), ... }, {g(1), g(2), g (3), ... }, where f(1) < f(2) < f(3) < ..., and g(1) < g (2) < g(3) < ... , and g(n) = f(f (n)) + 1 for n = 1, 2, 3, ... . Determine f(240). > > > Solution > Alô pessoal , gosraia de saber o site do KAlva .por favor me enviem .um abraço.Amurpe > > Let F = {f(1), f(2), f(3), ... }, G = {g(1), g(2), g (3), ... }, Nn = {1, 2, 3, ... , n}. f(1) >= 1, so f(f (1)) >= 1 and hence g (1) >= 2. So 1 is not in G, and hence must be in F. It mu st be the smallest element of F and so f(1) = 1. Hence g (1) = 2. We can never have two successive integers n and n+1 in G, because if g(m) = n+1, then f (something) = n and so n is in F and G. Contradiction. In particular, 3 must be in F, and so f(2) = 3. > > Suppose f(n) = k. Then g(n) = f(k) + 1. So |Nf(k) +1 Ç G| = n. But |Nf(k)+1 Ç F| = k, so n + k = f (k) + 1, or f(k) = n + k - 1. Hence g (n) = n + k. So n + k + 1 must be in F and hence f (k+1) = n + k + 1. This so given the value of f for n we can find it for k and k+1. > > Using k+1 each time, we get, successively, f (2) = 3, f(4) = 6, f(7) = 11, f(12) = 19, f(20) = 32, f (33) = 53, f(54) = 87, f(88) = 142, f(143) = 231, f (232) = 375, which is not much help. Trying again with k, we get: f(3) = 4, f(4) = 6, f(6) = 9, f(9) = 14, f (14) = 22, f(22) = 35, f(35) = 56, f(56) = 90, f (90) = 145, f (145) = 234. Still not right, but we can try backing up s lightly and using k+1: f (146) = 236. Still not right, we need to back up further: f(91) = 147, f(148) = 239, f(240) = 388. > > > > > > > > ------------------------------------------------------- ----------------------- > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que v ocê pensar o Yahoo! encontra. > __________________________________________________________________________ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 9 09:40:06 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA32651 for obm-l-MTTP; Sun, 9 Feb 2003 09:36:13 -0200 Received: from imo-d10.mx.aol.com (imo-d10.mx.aol.com [205.188.157.42]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id JAA32647 for ; Sun, 9 Feb 2003 09:36:09 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-d10.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.106.1f7e1250 (4539) for ; Sun, 9 Feb 2003 06:35:31 -0500 (EST) Message-ID: <106.1f7e1250.2b779703@aol.com> Date: Sun, 9 Feb 2003 06:35:31 EST Subject: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?N=FAmero=20de=20Erd=F6s=20?= To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_106.1f7e1250.2b779703_boundary" X-Mailer: AOL 6.0 for Windows BR sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 927 Lines: 28 --part1_106.1f7e1250.2b779703_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal, Algu=E9m poderia me dar uma explica=E7=E3o consistente do que seria o n=FAme= ro de=20 Erd=F6s ? --part1_106.1f7e1250.2b779703_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal,

Algu=E9m poderia me dar uma explica=E7=E3o consistente do que seria o n= =FAmero de Erd=F6s ?
--part1_106.1f7e1250.2b779703_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 9 10:05:41 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA00723 for obm-l-MTTP; Sun, 9 Feb 2003 10:01:51 -0200 Received: from web41507.mail.yahoo.com (web41507.mail.yahoo.com [66.218.93.90]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id KAA00719 for ; Sun, 9 Feb 2003 10:01:48 -0200 Message-ID: <20030209120117.27778.qmail@web41507.mail.yahoo.com> Received: from [200.223.40.170] by web41507.mail.yahoo.com via HTTP; Sun, 09 Feb 2003 09:01:17 ART Date: Sun, 9 Feb 2003 09:01:17 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?elton=20francisco=20ferreira?= Subject: [obm-l] Problema 03 To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 769 Lines: 16 Deseja-se construir um anel rodoviário circular em orno da cidade de São Paulo, distando aproximadamente 20km da praça da sé. quantos km terá essa rodovia e qual a densidade demográfica da região interior ao anel, supondo que lá residam 12 milhões de pessoasa? pi:3,14 _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 9 10:32:26 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA01412 for obm-l-MTTP; Sun, 9 Feb 2003 10:28:37 -0200 Received: from bridge3.bridge.com.br (bridge3.bridge.com.br [200.244.126.37]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id KAA01408 for ; Sun, 9 Feb 2003 10:28:34 -0200 Received: from fulano (unverified [200.165.249.218]) by bridge3.bridge.com.br (Vircom SMTPRS 4.2.181) with ESMTP id for ; Sun, 9 Feb 2003 09:28:01 -0300 Message-ID: <003101c2d03e$c8b5c2a0$0307a8c0@fulano> From: "Eduardo Azevedo" To: References: <3E4415E50000005D@www.zipmail.com.br> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_=28Re:_=5Bobm-l=5D=29^3_s=E9ries?= Date: Sun, 9 Feb 2003 10:25:56 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4133.2400 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1954 Lines: 62 Como x[k] é uma seq. num compacto, [0,1], possui uma subsequencia que converge em [0,1]. E nela lim{ | x[kj+1] - x[kj] | , kj->oo}=0. Agora, pra que essa firula toda nao entendi. ----- Original Message ----- From: To: Sent: Friday, February 07, 2003 5:52 PM Subject: [obm-l] (Re: [obm-l])^3 séries > muito obrigado, Eduardo, Cláudio e Bruno pelas respostas.. > > essa dúvida me ocorreu tentando resolver este problema: > > Seja f : [0,1] -> R uma função contínua. Seja n[k] tal que > n[k]>0 para todo k e soma(n[k],k=1,..,oo) = oo. Seja a sequencia x[k] pertencente > a [0,1] e suponha que: > f(x[k+1]) <= f(x[k]) - n[k].| x[k+1] - x[k] | , para todo k. > Provar que lim{ | x[kj+1] - x[kj] | , kj->oo}=0, para alguma subsequencia > x[kj]. > > se alguém puder ajudar .. > > (só para constar.. também acontece comigo aquele problema já descrito na > lista de receber as mensagens fora de ordem .. ) > > Obrigado. > Gabriel Haeser > www.gabas.cjb.net > > "Mathematicus nascitur, non fit" > Matemáticos não são feitos, eles nascem > --------------------------------------- > Gabriel Haeser > www.gabas.cjb.net > > > ------------------------------------------ > Use o melhor sistema de busca da Internet > Radar UOL - http://www.radaruol.com.br > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 9 12:12:40 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA02693 for obm-l-MTTP; Sun, 9 Feb 2003 12:08:42 -0200 Received: from www.zipmail.com.br (smtp.zipmail.com.br [200.187.242.10]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA02689 for ; Sun, 9 Feb 2003 12:08:40 -0200 From: ghaeser@zipmail.com.br Received: from [200.158.6.80] by www.zipmail.com.br with HTTP; Sun, 9 Feb 2003 12:06:43 -0200 Message-ID: <3E45650D00001368@www.zipmail.com.br> Date: Sun, 9 Feb 2003 11:06:43 -0300 In-Reply-To: <003101c2d03e$c8b5c2a0$0307a8c0@fulano> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?=20=28Re=3A=20=5Bobm=2Dl=5D=29=5E5=20s=E9ries?= To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id MAA02690 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2774 Lines: 89 é .. foi o que pensei .......... mas como essa é uma das questões da prova de admissão para pós-graduação em mat. aplicada na unicamp ..... desconfiei ! ---- >Como x[k] é uma seq. num compacto, [0,1], possui uma subsequencia que >converge em [0,1]. >E nela lim{ | x[kj+1] - x[kj] | , kj->oo}=0. > > >Agora, pra que essa firula toda nao entendi. > > > >----- Original Message ----- >From: >To: >Sent: Friday, February 07, 2003 5:52 PM >Subject: [obm-l] (Re: [obm-l])^3 séries > > >> muito obrigado, Eduardo, Cláudio e Bruno pelas respostas.. >> >> essa dúvida me ocorreu tentando resolver este problema: >> >> Seja f : [0,1] -> R uma função contínua. Seja n[k] tal que >> n[k]>0 para todo k e soma(n[k],k=1,..,oo) = oo. Seja a sequencia x[k] >pertencente >> a [0,1] e suponha que: >> f(x[k+1]) <= f(x[k]) - n[k].| x[k+1] - x[k] | , para todo k. >> Provar que lim{ | x[kj+1] - x[kj] | , kj->oo}=0, para alguma subsequencia >> x[kj]. >> >> se alguém puder ajudar .. >> >> (só para constar.. também acontece comigo aquele problema já descrito na >> lista de receber as mensagens fora de ordem .. ) >> >> Obrigado. >> Gabriel Haeser >> www.gabas.cjb.net >> >> "Mathematicus nascitur, non fit" >> Matemáticos não são feitos, eles nascem >> --------------------------------------- >> Gabriel Haeser >> www.gabas.cjb.net >> >> >> ------------------------------------------ >> Use o melhor sistema de busca da Internet >> Radar UOL - http://www.radaruol.com.br >> >> >> >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> O administrador desta lista é >> ========================================================================= > > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= > "Mathematicus nascitur, non fit" Matemáticos não são feitos, eles nascem --------------------------------------- Gabriel Haeser www.gabas.cjb.net ------------------------------------------ Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 9 12:32:43 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA03090 for obm-l-MTTP; Sun, 9 Feb 2003 12:28:51 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.134]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA03086 for ; Sun, 9 Feb 2003 12:28:48 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (localhost [127.0.0.1]) by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h19ESe2H018410 for ; Sun, 9 Feb 2003 12:28:40 -0200 (EDT) Received: (from morgado@localhost) by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.5/Submit) id h19ESe4c018409; Sun, 9 Feb 2003 12:28:40 -0200 (EDT) Message-Id: <200302091428.h19ESe4c018409@trex.centroin.com.br> Received: from 200.149.183.122 by trex.centroin.com.br (CIPWM versao 1.4C1) with HTTPS for ; Sun, 9 Feb 2003 12:28:40 -0200 (EDT) Date: Sun, 9 Feb 2003 12:28:40 -0200 (EDT) From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Problema 03 MIME-Version: 1.0 X-Mailer: CentroIn Internet Provider WebMail v. 1.4C1 (http://www.centroin.com.br/) Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id MAA03087 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1507 Lines: 32 O comprimento do anel, que eh circular, eh 2.pi.raio = 2. 3,14. 20 = 125,6 km A area do anel eh pi. raio.raio = 3,14.20.20 = 1256 quilometros quadrados. A densidade demografica eh 12 milhoes divididos por 1256 que da aproximadamente 9554(habitantes por quilometro quadrado Em Sun, 9 Feb 2003 09:01:17 -0300 (ART), elton francisco ferreira disse: > Deseja-se construir um anel rodoviário circular em > orno da cidade de São Paulo, distando aproximadamente > 20km da praça da sé. quantos km terá essa rodovia e > qual a densidade demográfica da região interior ao > anel, supondo que lá residam 12 milhões de pessoasa? > pi:3,14 > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet > http://br.busca.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 9 12:48:06 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA03402 for obm-l-MTTP; Sun, 9 Feb 2003 12:44:17 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.134]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA03398 for ; Sun, 9 Feb 2003 12:44:14 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (localhost [127.0.0.1]) by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h19Ei62H023439 for ; Sun, 9 Feb 2003 12:44:06 -0200 (EDT) Received: by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.5/Submit) id h19Ei6Ah023438; Sun, 9 Feb 2003 12:44:06 -0200 (EDT) Message-Id: <200302091444.h19Ei6Ah023438@trex.centroin.com.br> Received: from 200.149.183.122 by trex.centroin.com.br (CIPWM versao 1.4C1) with HTTPS for ; Sun, 9 Feb 2003 12:44:05 -0200 (EDT) Date: Sun, 9 Feb 2003 12:44:05 -0200 (EDT) From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] OFF TOPIC - Livro Latex MIME-Version: 1.0 X-Mailer: CentroIn Internet Provider WebMail v. 1.4C1 (http://www.centroin.com.br/) Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id MAA03399 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 3129 Lines: 67 Apoiado, Niski Livros de Matematica e correlatos sao de interesse de grande parte dos usuarios da lista, basta ver a quantidade de gente que procura os Problemas Selecionados. Em relaçao a este, sugiro que procurem o Antonio Luis Santos, que eh um dos autores e colaborador da revista Eureka. Procurem a OBM, a Nelly deve saber como por os interessados em contato com o Antonio Luis. Finalmente um conselho a todos os usuarios: relaxem, a vida eh curta, nao se aborreçam a toa. Morgado Em Sat, 08 Feb 2003 20:45:50 -0800, niski disse: > > Marx, não creio que isso se caracterize como spam apenas pq estou > vendendo um livro pertinente a lista. Já vi muitas mensagens de pessoas > precisando de tal ou tal livro por isso achei conveniente postar aqui > esse meu anuncio. De qualquer forma, desconsidero qualquer critica sua > já que voce assim como eu não passa de um simples usuario da lista. > Caso o administrador da lista me avise que esse tipo de mensagem é > proibido, ai sim nunca mais mandarei nada desse tipo para a lista. > > Leahpar Xarm wrote: > > > Acho que vc esta confundindo com o que nao deve ser postado. Tenta no > > mercado livre www.mercadolivre.com.br > > e boa sorte ou vende em um sebo, mas nao poste isto. Mal dou conta de > > meu emails da lista pra ficar vendo isto!(SPAM) > > > > niski wrote: > > > > Olá pessoal. Estou vendendo o livro *A Guide to LATEX: Document > > Preparation for Beginners and Advanced Users (3rd Edition)* > > do Helmut Kopka e Patrick W. Daly > > (http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/0201398257/ref=pd_bxgy_img_2/102-8491156-1225752?v=glance&s=books) > > > > O livro esta semi novo, é estou vendendo por R$85,00. > > > > Quem quiser basta entrar em contato comigo by mail. > > Obrigado a todos > > > > > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > O administrador desta lista é > > ========================================================================= > > > > > > > > ------------------------------------------------------------------------ > > Busca Yahoo! > > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o > > Yahoo! encontra. > > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 9 13:07:44 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA04135 for obm-l-MTTP; Sun, 9 Feb 2003 13:03:51 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.134]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA04131 for ; Sun, 9 Feb 2003 13:03:48 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (localhost [127.0.0.1]) by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h19F3f2H029603 for ; Sun, 9 Feb 2003 13:03:41 -0200 (EDT) Received: by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.5/Submit) id h19F3eH7029601; Sun, 9 Feb 2003 13:03:40 -0200 (EDT) Message-Id: <200302091503.h19F3eH7029601@trex.centroin.com.br> Received: from 200.149.183.122 by trex.centroin.com.br (CIPWM versao 1.4C1) with HTTPS for ; Sun, 9 Feb 2003 13:03:40 -0200 (EDT) Date: Sun, 9 Feb 2003 13:03:40 -0200 (EDT) From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] probabilidade e combinatoria MIME-Version: 1.0 X-Mailer: CentroIn Internet Provider WebMail v. 1.4C1 (http://www.centroin.com.br/) Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id NAA04132 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2617 Lines: 64 3) Faça uma fila com os 2n objetos ( [2n]! possibilidades). Sua divisao em pares eh obtida assim: os dois primeiros da fila formam o primeiro par, os dois seguintes o segundo par etc. Eh facil ver que ha dois problemas aih que fazem que a mesma divisao em pares corresponda a varias filas. O primeiro eh que dentro de cada par os elementos podem ser trocados de posiçao sem alterar a divisao em pares e alterando a fila ( o numero de maneiras de efetuar essa trocas eh 2^n. O segundo eh que voce pode trocar a ordem dos pares (n! modos) sem alterar a divisao em pares e alterando a fila. A resposta eh (2n)! / [(2^n)(n!)] Em Sat, 8 Feb 2003 19:55:37 -0200, amurpe disse: > Pessoal por favor me ajudem mais uma vez nos seguntes > problemas. > > 1) Em uma cidade com n+1 habitantes , uma pessoa conta > um boato para uma outra pessoa , a qual por sua vez o > conta para uma terceira pessoa , etc.. . calcule a > probabilidade do boato ser contado m vezes: > > a) Sem retornar à primeira pessoa; > b) Sem repetir nenhuma pessoa. > > 2) Em uma cidade , as pessoas falam a verdade com > probabilidade 1/3.suponha que A faz uma afirmação e que > D diz que C diz que B diz que a falou a verdade.Qual a > probabilidade de A ter falado a verdade ? > > 3) De quantos modos podemos decompor 2n objetos em n > pares ? > > > 4)onze cientistas trabalham num projeto sigiloso. > por questoes de segurança , os planos são guardados em > um cofre protegido por muitos cadeados de modo que só é > possível abri-los todos se houver pelo menos 5 > cientistas presentes. > a) qual é o numero mínimo possível de cadeados? > b)Na situação do ítem a , quantas chaves cada cientista > deve ter? > > > Desde já muito obrigado. > > > Amurpe > > > > __________________________________________________________________________ > E-mail Premium BOL > Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. 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C. Morgado" User-Agent: Mozilla/5.0 (Windows; U; Windows NT 5.0; en-US; rv:1.0.2) Gecko/20021120 Netscape/7.01 X-Accept-Language: en-us, en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?D=FAvida?= References: <20030208181517.18454.qmail@web41502.mail.yahoo.com> Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1736 Lines: 48 Bem, primeiro diga-se que ninguem se interessou em responder porque ha um evidente erro de digitaçao no enunciado. Em segundo lugar, esperava-se que voce dissesse o que encontrou e qual a resposta do seu gabarito. O erro estah nas "primeiras horas". Deve ser "h primeiras horas". Se for isso, sua equaçao esyah correta e fornece h=7. O tempo de viagem eh h + (h+5) = 19 horas. elton francisco ferreira wrote: >olá pessoal da OBM-l. > >Estou com uma dúvida na questão a seguir... > >resolvi eessa questão mas o resultado n bateu com o do >livro. será q vcs podem me ajudar? > >Oscar e Douglas fizeram uma viagem de 1862 km. Durante >as primeiras horas, Oscar manteve uma velocidade média >de 86 km/h. Nas seguintes (h + 5) horas, Douglas >dirijiu o carro a uma velocidade média de 105 km/h. >Quanto tempo durou a viagem? > >montei a equação desta forma: 86h + 105(h + 5) = 1862 > > > > >_______________________________________________________________________ >Busca Yahoo! >O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet >http://br.busca.yahoo.com/ >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= > > > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 9 13:41:21 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA05328 for obm-l-MTTP; Sun, 9 Feb 2003 13:37:32 -0200 Received: from traven10.uol.com.br (traven10.uol.com.br [200.221.4.45]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA05325 for ; Sun, 9 Feb 2003 13:37:29 -0200 Received: from u2z7z2 ([200.158.144.201]) by traven10.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with ESMTP id NAA28349 for ; Sun, 9 Feb 2003 13:34:59 -0200 (BRST) Message-ID: <004201c2d051$7e9f6960$2101a8c0@u2z7z2> From: "Wagner" To: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?c=E1lculo?= Date: Sun, 9 Feb 2003 12:39:55 -0300 Organization: Wagner MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_003F_01C2D038.590F0DE0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4133.2400 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1492 Lines: 44 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_003F_01C2D038.590F0DE0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Oi pessoal ! Algu=E9m conhece uma demonstra=E7=E3o usando c=E1lculo para a = f=F3rmula do volume de uma pir=E2mide? Andr=E9 T. ------=_NextPart_000_003F_01C2D038.590F0DE0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Oi pessoal !
 
    Algu=E9m conhece uma = demonstra=E7=E3o=20 usando c=E1lculo para a f=F3rmula do volume de uma = pir=E2mide?
 
Andr=E9 T.
------=_NextPart_000_003F_01C2D038.590F0DE0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 9 13:58:04 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA05823 for obm-l-MTTP; Sun, 9 Feb 2003 13:54:02 -0200 Received: from trex-b.centroin.com.br (trex-b.centroin.com.br [200.225.63.136]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA05819 for ; Sun, 9 Feb 2003 13:53:59 -0200 Received: from centroin.com.br (RJ183122.user.veloxzone.com.br [200.149.183.122]) (authenticated bits=0) by trex-b.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h19Frm0o019117 for ; Sun, 9 Feb 2003 13:53:49 -0200 (EDT) Message-ID: <3E4687DC.3070004@centroin.com.br> Date: Sun, 09 Feb 2003 13:54:52 -0300 From: "A. C. Morgado" User-Agent: Mozilla/5.0 (Windows; U; Windows NT 5.0; en-US; rv:1.0.2) Gecko/20021120 Netscape/7.01 X-Accept-Language: en-us, en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Problema 01 References: <20030208001338.15982.qmail@web41501.mail.yahoo.com> Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1105 Lines: 29 As 4h o arco menor eh 1/3 da circunferencia e o maior, 2/3. As respostas sao 12,56 e 25,12. elton francisco ferreira wrote: >A circunferencia de um relógio mede 37,68. Qual é a >mdida do menor arco formado pelos ponteiros de um >relógio as 4h? e do arco maior? > >_______________________________________________________________________ >Busca Yahoo! >O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet >http://br.busca.yahoo.com/ >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= > > > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 9 14:25:45 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA06764 for obm-l-MTTP; Sun, 9 Feb 2003 14:21:30 -0200 Received: from trex-b.centroin.com.br (trex-b.centroin.com.br [200.225.63.136]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA06760 for ; Sun, 9 Feb 2003 14:21:27 -0200 Received: from centroin.com.br (RJ183122.user.veloxzone.com.br [200.149.183.122]) (authenticated bits=0) by trex-b.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h19GLI0o019710 for ; Sun, 9 Feb 2003 14:21:19 -0200 (EDT) Message-ID: <3E468E4D.7030603@centroin.com.br> Date: Sun, 09 Feb 2003 14:22:21 -0300 From: "A. C. Morgado" User-Agent: Mozilla/5.0 (Windows; U; Windows NT 5.0; en-US; rv:1.0.2) Gecko/20021120 Netscape/7.01 X-Accept-Language: en-us, en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] probabilidade e combinatoria References: Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1809 Lines: 77 amurpe wrote: >Pessoal por favor me ajudem mais uma vez nos seguintes >problemas. > > >4)onze cientistas trabalham num projeto sigiloso. >por questoes de segurança , os planos são guardados em >um cofre protegido por muitos cadeados de modo que só é >possível abri-los todos se houver pelo menos 5 >cientistas presentes. >a) qual é o numero mínimo possível de cadeados? >b)Na situação do ítem a , quantas chaves cada cientista >deve ter? > > >Desde já muito obrigado. > > >Amurpe > >4) Vou dar um espço para quem quiser mais tempo para pensar. > > 4) Chegam 4 cientistas A, B, C, D. Com as chaves que possuem, abrem alguns cadeados, mas nao todos. Existe pelo menos um cadeado que eles nao conseguem abrir. Na situaçao do numero minimo de cadeados, existe exatamente um cadeado que eles nao conseguem abrir. Batize tal cadeado de ABCD. Portanto, ABCD eh o cadeado cuja chave nao estah em poder de A, nem de B, nem de C e nem de D. Qualquer outro cientista tem a chave desse cadeado, pois esse cientista e A, B, C e D formam um grupo de 5 cientistas e, portanto, nesse grupo alguem possui a chave. Como o alguem nao eh nem A, nem B, nem C e nem D,... Analogamente batize os demais cadeados. Verifique agora que a correspondencia entre cadeados e seus nomes eh biunivoca. O numero de cadeados eh igual ao numero de nomes de cadeados, C(11,4) =330 Cada cientista X possui as chaves dos cadeados que nao possuem X no nome, C(10,4) = 210 > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 9 16:30:07 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA08405 for obm-l-MTTP; Sun, 9 Feb 2003 16:26:26 -0200 Received: from web41506.mail.yahoo.com (web41506.mail.yahoo.com [66.218.93.89]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id QAA08401 for ; Sun, 9 Feb 2003 16:26:22 -0200 Message-ID: <20030209182547.69096.qmail@web41506.mail.yahoo.com> Received: from [200.199.186.121] by web41506.mail.yahoo.com via HTTP; Sun, 09 Feb 2003 15:25:47 ART Date: Sun, 9 Feb 2003 15:25:47 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?elton=20francisco=20ferreira?= Subject: [obm-l] Perímetro do triangulo To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 872 Lines: 25 Resolví este problema mas não bateu com o resultado do livro. Acho q é com uma equação semelhante a esta q posso resolve-lo, só q é claro falta um termo o qual n sei como represento. vcs podem me ajudar? x + (2x+1)+ ....=21 Um triangulo tem 21cm de perímetro. As medidas dos lados são inteiros ímpares e consecutivos. qual é o comprimento de cada lado? _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 9 16:42:31 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA08597 for obm-l-MTTP; Sun, 9 Feb 2003 16:38:42 -0200 Received: from web41501.mail.yahoo.com (web41501.mail.yahoo.com [66.218.93.84]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id QAA08592 for ; Sun, 9 Feb 2003 16:38:38 -0200 Message-ID: <20030209183806.75397.qmail@web41501.mail.yahoo.com> Received: from [200.199.186.121] by web41501.mail.yahoo.com via HTTP; Sun, 09 Feb 2003 15:38:06 ART Date: Sun, 9 Feb 2003 15:38:06 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?elton=20francisco=20ferreira?= Subject: [obm-l] Perímetro do triangulo To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 930 Lines: 29 Em uma maternidade, num certo dia 3 mães deram a luz. A primeira teve gemeos; a segunda trigemeos, e a terceira, um único filho. considere, para aquele dia, o conjunto das 3 mães, o conjuntos dos 6 bebes e as seguintes relações: R1 que associa cada mãe a seu filho; R2 que associa cada filho a sua mãe, e R3 que associa cada bebe ao seu irmão. é (são) função (funções): a)somente R1 b)somente R2 c)somente R3 d)R1,R2 e R3 _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 9 17:06:23 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA09252 for obm-l-MTTP; Sun, 9 Feb 2003 17:02:32 -0200 Received: from paiol.terra.com.br (paiol.terra.com.br [200.176.3.18]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA09245 for ; Sun, 9 Feb 2003 17:02:27 -0200 Received: from canela.terra.com.br (canela.terra.com.br [200.176.3.79]) by paiol.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 7E5E17C14B for ; Sun, 9 Feb 2003 17:01:57 -0200 (BRST) Received: from stabel (200-180-164-202.paemt7002.dsl.brasiltelecom.net.br [200.180.164.202]) (authenticated user dudasta) by canela.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 0C21C114039 for ; Sun, 9 Feb 2003 17:01:57 -0200 (BRST) Message-ID: <000c01c2d076$1c2c2a50$0301a8c0@stabel> From: "Eduardo Casagrande Stabel" To: References: <20030209182547.69096.qmail@web41506.mail.yahoo.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Per=EDmetro_do_triangulo?= Date: Sun, 9 Feb 2003 17:02:00 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2720.3000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 890 Lines: 27 From: "elton francisco ferreira" > Resolví este problema mas não bateu com o resultado do > livro. > > Acho q é com uma equação semelhante a esta q posso > resolve-lo, só q é claro falta um termo o qual n sei > como represento. vcs podem me ajudar? > > x + (2x+1)+ ....=21 > > > Um triangulo tem 21cm de perímetro. As medidas dos > lados são inteiros ímpares e consecutivos. qual é o > comprimento de cada lado? Lado A = 2N + 1 Lado B = 2N + 3 Lado C = 2N + 5 Perímetro = 6N + 9 = 21 Portanto N=2, e os lados medem 5, 7 e 12. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 9 17:11:42 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA09610 for obm-l-MTTP; Sun, 9 Feb 2003 17:07:55 -0200 Received: from paiol.terra.com.br (paiol.terra.com.br [200.176.3.18]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA09606 for ; Sun, 9 Feb 2003 17:07:52 -0200 Received: from bertioga.terra.com.br (bertioga.terra.com.br [200.176.3.77]) by paiol.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 487417C208 for ; Sun, 9 Feb 2003 17:07:22 -0200 (BRST) Received: from stabel (200-180-164-202.paemt7002.dsl.brasiltelecom.net.br [200.180.164.202]) (authenticated user dudasta) by bertioga.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 197623F8045 for ; Sun, 9 Feb 2003 17:07:22 -0200 (BRST) Message-ID: <001301c2d076$dde5f9f0$0301a8c0@stabel> From: "Eduardo Casagrande Stabel" To: References: <20030209183806.75397.qmail@web41501.mail.yahoo.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Per=EDmetro_do_triangulo?= Date: Sun, 9 Feb 2003 17:07:26 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2720.3000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1152 Lines: 34 From: "elton francisco ferreira" > Em uma maternidade, num certo dia 3 mães deram a luz. > A primeira teve gemeos; a segunda trigemeos, e a > terceira, um único filho. > > considere, para aquele dia, o conjunto das 3 mães, o > conjuntos dos 6 bebes e as seguintes relações: > > R1 que associa cada mãe a seu filho; > R2 que associa cada filho a sua mãe, e > R3 que associa cada bebe ao seu irmão. > > é (são) função (funções): > > a)somente R1 > b)somente R2 > c)somente R3 > d)R1,R2 e R3 Questão de definição. Função é um tipo especial de relação que associa a cada elemento do domínio um único elemento da imagem. R1 associa a mãe dos gêmeos a cada um de seus filhos, por exemplo. R2 associa o filho à sua única mãe. R3 associa um dos trigêmios a cada um de seus dois irmãos. Só R2 é uma função. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 9 17:15:59 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA09678 for obm-l-MTTP; Sun, 9 Feb 2003 17:12:11 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.134]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA09674 for ; Sun, 9 Feb 2003 17:12:08 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (localhost [127.0.0.1]) by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h19JC12H015383 for ; Sun, 9 Feb 2003 17:12:01 -0200 (EDT) Received: by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.5/Submit) id h19JC1tk015382; Sun, 9 Feb 2003 17:12:01 -0200 (EDT) Message-Id: <200302091912.h19JC1tk015382@trex.centroin.com.br> Received: from 200.149.179.64 by trex.centroin.com.br (CIPWM versao 1.4C1) with HTTPS for ; Sun, 9 Feb 2003 17:12:01 -0200 (EDT) Date: Sun, 9 Feb 2003 17:12:01 -0200 (EDT) From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: =?iso-8859-1?q?Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Per=EDmetro_do_triangulo?= MIME-Version: 1.0 X-Mailer: CentroIn Internet Provider WebMail v. 1.4C1 (http://www.centroin.com.br/) Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id RAA09675 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1449 Lines: 39 Um errinho de digitaçao no fim da mensagem do Stabel: onde estah 12 deveria estar 9. Em Sun, 9 Feb 2003 17:02:00 -0300, Eduardo Casagrande Stabel disse: > From: "elton francisco ferreira" > > Resolví este problema mas não bateu com o resultado do > > livro. > > > > Acho q é com uma equação semelhante a esta q posso > > resolve-lo, só q é claro falta um termo o qual n sei > > como represento. vcs podem me ajudar? > > > > x + (2x+1)+ ....=21 > > > > > > Um triangulo tem 21cm de perímetro. As medidas dos > > lados são inteiros ímpares e consecutivos. qual é o > > comprimento de cada lado? > > Lado A = 2N + 1 > Lado B = 2N + 3 > Lado C = 2N + 5 > Perímetro = 6N + 9 = 21 > > Portanto N=2, e os lados medem 5, 7 e 12. > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 9 17:27:07 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA10281 for obm-l-MTTP; Sun, 9 Feb 2003 17:23:17 -0200 Received: from www.zipmail.com.br (smtp.zipmail.com.br [200.187.242.10]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA10259 for ; Sun, 9 Feb 2003 17:23:11 -0200 From: ghaeser@zipmail.com.br Received: from [200.158.6.219] by www.zipmail.com.br with HTTP; Sun, 9 Feb 2003 17:21:14 -0200 Message-ID: <3E46A445000000D8@www.zipmail.com.br> Date: Sun, 9 Feb 2003 16:21:14 -0300 In-Reply-To: <004201c2d051$7e9f6960$2101a8c0@u2z7z2> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re=3A=20=5Bobm=2Dl=5D=20c=E1lculo?= To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id RAA10261 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1033 Lines: 38 supondo que a base é quadrada, seja L o comprimento da base e H a altura da piramide. escrevendo o comprimento do lado da "base" em função da altura, temos: l(h)=(L/H).h agora basta integrar a área da base para todo h, isto é: Area=integral(l(h)^2.dh,0<=h<=H) = (L^2/H^2)integral(h^2.dh,0<=h<=H)= =(L^2.H)/3 >Oi pessoal ! > > Alguém conhece uma demonstração usando cálculo para a fórmula do volume >de uma pirâmide? > >André T. > "Mathematicus nascitur, non fit" Matemáticos não são feitos, eles nascem --------------------------------------- Gabriel Haeser www.gabas.cjb.net ------------------------------------------ Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 9 17:29:51 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA10383 for obm-l-MTTP; Sun, 9 Feb 2003 17:26:03 -0200 Received: from smtp015.mail.yahoo.com (smtp015.mail.yahoo.com [216.136.173.59]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id RAA10379 for ; Sun, 9 Feb 2003 17:25:59 -0200 Received: from 200-153-141-222.dsl.telesp.net.br (HELO thor) (edu?matematica@200.153.141.222 with login) by smtp.mail.vip.sc5.yahoo.com with SMTP; 9 Feb 2003 19:25:26 -0000 From: "Eduardo" To: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?RES:_=5Bobm-l=5D_Per=EDmetro_do_triangulo?= Date: Sun, 9 Feb 2003 17:25:39 -0300 Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook IMO, Build 9.0.2416 (9.0.2910.0) Importance: Normal In-Reply-To: <20030209182547.69096.qmail@web41506.mail.yahoo.com> X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2255 Lines: 67 Pense em uma PA de três termos, cuja soma é 21. ela pode ser escrita assim: (n-2, n, n+2) (onde n é impar) 3n=21, n=7...os lados 5,7,9 Se preferir um ímpar pode ser escrito na forma 2n+1 e a PA : (2n-1,2n+1,2n+3) a soma: 6n+3=21 n= 3, os lados: 5,7,9 Abraços du -----Mensagem original----- De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de elton francisco ferreira Enviada em: domingo, 9 de fevereiro de 2003 15:26 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Perímetro do triangulo Resolví este problema mas não bateu com o resultado do livro. Acho q é com uma equação semelhante a esta q posso resolve-lo, só q é claro falta um termo o qual n sei como represento. vcs podem me ajudar? x + (2x+1)+ ....=21 Um triangulo tem 21cm de perímetro. As medidas dos lados são inteiros ímpares e consecutivos. qual é o comprimento de cada lado? _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= --- Incoming mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 --- Outgoing mail is certified Virus Free. 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O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 9 17:49:15 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA11812 for obm-l-MTTP; Sun, 9 Feb 2003 17:45:11 -0200 Received: from imo-m04.mx.aol.com (imo-m04.mx.aol.com [64.12.136.7]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA11807 for ; Sun, 9 Feb 2003 17:45:08 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-m04.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.172.165aa3d8 (4539) for ; Sun, 9 Feb 2003 14:44:31 -0500 (EST) Message-ID: <172.165aa3d8.2b78099f@aol.com> Date: Sun, 9 Feb 2003 14:44:31 EST Subject: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?transforma=E7=E3o=20de=20arcos?= To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_172.165aa3d8.2b78099f_boundary" X-Mailer: AOL 6.0 for Windows BR sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1063 Lines: 30 --part1_172.165aa3d8.2b78099f_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal, (MACK) Os angulos internos A e 2A de um tri=E2ngulo tem como medidas dos lad= os=20 opostos, respectivamente, os valores 1 e raiz(2). O angulo A mede? resp: 45=BA --part1_172.165aa3d8.2b78099f_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal,

(MACK) Os angulos internos A e 2A de um tri=E2ngulo tem como medidas dos= lados opostos, respectivamente, os valores 1 e raiz(2). O angulo A mede?

resp: 45=BA --part1_172.165aa3d8.2b78099f_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 9 18:24:12 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA13213 for obm-l-MTTP; Sun, 9 Feb 2003 18:20:14 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.134]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA13209 for ; Sun, 9 Feb 2003 18:20:11 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (localhost [127.0.0.1]) by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h19KK1Dk003650 for ; Sun, 9 Feb 2003 18:20:01 -0200 (EDT) Received: by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.5/Submit) id h19KK1wh003648; Sun, 9 Feb 2003 18:20:01 -0200 (EDT) Message-Id: <200302092020.h19KK1wh003648@trex.centroin.com.br> Received: from 200.165.194.251 by trex.centroin.com.br (CIPWM versao 1.4C1) with HTTPS for ; Sun, 9 Feb 2003 18:20:01 -0200 (EDT) Date: Sun, 9 Feb 2003 18:20:01 -0200 (EDT) From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: =?iso-8859-1?q?Re: [obm-l] transforma=E7=E3o de arcos?= MIME-Version: 1.0 X-Mailer: CentroIn Internet Provider WebMail v. 1.4C1 (http://www.centroin.com.br/) Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id SAA13210 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 743 Lines: 20 Lei dos senos: sena/1 = sen2A/raiz(2) Mas sen2A = 2 senA cosA Substituindo e simplificando (lembre-se que senA>0 pois A eh angulo de triangulo), cosA = [raiz(2)]/2 e A = 45 graus Em Sun, 9 Feb 2003 14:44:31 EST, Faelccmm@aol.com disse: > Olá pessoal, > > (MACK) Os angulos internos A e 2A de um triângulo tem como medidas dos lados > opostos, respectivamente, os valores 1 e raiz(2). O angulo A mede? > > resp: 45º ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 9 18:44:37 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA13648 for obm-l-MTTP; Sun, 9 Feb 2003 18:40:44 -0200 Received: from imo-r02.mx.aol.com (imo-r02.mx.aol.com [152.163.225.98]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA13642 for ; Sun, 9 Feb 2003 18:40:40 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-r02.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.1cf.222ba44 (4539) for ; Sun, 9 Feb 2003 15:40:02 -0500 (EST) Message-ID: <1cf.222ba44.2b7816a2@aol.com> Date: Sun, 9 Feb 2003 15:40:02 EST Subject: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?exerc=EDcios?= To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_1cf.222ba44.2b7816a2_boundary" X-Mailer: AOL 6.0 for Windows BR sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 873 Lines: 24 --part1_1cf.222ba44.2b7816a2_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 Morgado, J=E1 que vc est=E1 on-line vc pode resolver alguns exerc=EDcios comigo? --part1_1cf.222ba44.2b7816a2_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 Morgado,

J=E1 que vc est=E1 on-line vc pode resolver alguns exerc=EDcios comigo?<= /FONT> --part1_1cf.222ba44.2b7816a2_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 9 18:46:09 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA13668 for obm-l-MTTP; Sun, 9 Feb 2003 18:42:22 -0200 Received: from sporus.bol.com.br (sporus.bol.com.br [200.221.24.23]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA13664 for ; Sun, 9 Feb 2003 18:42:19 -0200 Received: from bol.com.br (200.221.24.127) by sporus.bol.com.br (5.1.071) id 3E25BF46007B4C37 for obm-l@mat.puc-rio.br; Sun, 9 Feb 2003 18:43:52 -0200 Date: Sun, 9 Feb 2003 18:41:49 -0200 Message-Id: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?q?Quest=E3o_de_Complexos_da_Mir?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain;charset="iso-8859-1" From: "basketboy_igor" To: obm-l@mat.puc-rio.br X-XaM3-API-Version: 2.4 R3 ( B4 ) X-SenderIP: 200.253.226.118 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id SAA13665 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1600 Lines: 53 1° - Adquiri um exeplar de um livro de matemáatica da editora Mir ( Selected Problems in Elementary Mathematics, Arithmetic and Albegra), digamos, por um lapso de sorte parou nas minhas mãos. Aproveitando a sorte, fui estudá-lo e empaquei na seguinte questão envolvendo números complexos e gráfico: "Let C1, C2, ... , Cn and Z be complex numbers such that 1/(Z -C1) + 1/(Z -C2) + .. + 1/(Z -Cn) = 0. Prove that if the numbers C1, C2, ... , Cn are represented in the complex plane by the vertices of a convex n-gon then the number Z is represented by a point lying inside that n- gon." P.S. Prefiri deixar em inglês p/ não sofrer erros de contextualiazão na tradução. Como eu não compreendi a solução vinda com com o livro, gostaria de saber se existe uma solução concebível. 2° - Alguém poderia me informar se existe um exemplar de geometria plana e espacial da editora Mir? E se conhece, onde poderia comprar ou encomendar? "Cogito ergo sum. (I think; therefore I am.)" - Rene Descartes (Renatus Cartesius) "Quod erat demonstrandum". (Que se devia demonstrar em Latim) __________________________________________________________________________ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 9 18:51:05 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA13788 for obm-l-MTTP; Sun, 9 Feb 2003 18:47:08 -0200 Received: from imo-m02.mx.aol.com (imo-m02.mx.aol.com [64.12.136.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA13773 for ; Sun, 9 Feb 2003 18:47:03 -0200 From: Lltmdrtm@aol.com Received: from Lltmdrtm@aol.com by imo-m02.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.62.2cb14533 (4362) for ; Sun, 9 Feb 2003 15:46:25 -0500 (EST) Message-ID: <62.2cb14533.2b781820@aol.com> Date: Sun, 9 Feb 2003 15:46:24 EST Subject: Re: [obm-l] ajuda To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_62.2cb14533.2b781820_boundary" X-Mailer: AOL 7.0 for Windows BR sub 10501 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 837 Lines: 21 --part1_62.2cb14533.2b781820_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Estou na d=FAvida =E9 15/16 ou 8/10 . --part1_62.2cb14533.2b781820_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Estou na d=FAvida =E9 15/16  ou   8/10=20= . --part1_62.2cb14533.2b781820_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 9 19:51:02 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA15895 for obm-l-MTTP; Sun, 9 Feb 2003 19:46:48 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.134]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA15890 for ; Sun, 9 Feb 2003 19:46:45 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (localhost [127.0.0.1]) by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h19LkcDk002290 for ; Sun, 9 Feb 2003 19:46:38 -0200 (EDT) Received: by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.5/Submit) id h19LkcuU002289; Sun, 9 Feb 2003 19:46:38 -0200 (EDT) Message-Id: <200302092146.h19LkcuU002289@trex.centroin.com.br> Received: from 200.165.194.251 by trex.centroin.com.br (CIPWM versao 1.4C1) with HTTPS for ; Sun, 9 Feb 2003 19:46:38 -0200 (EDT) Date: Sun, 9 Feb 2003 19:46:38 -0200 (EDT) From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] ajuda MIME-Version: 1.0 X-Mailer: CentroIn Internet Provider WebMail v. 1.4C1 (http://www.centroin.com.br/) Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id TAA15891 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 574 Lines: 12 Ja vi sujeitos ocultos por elipse, mas este estah foragido! Por favor, esclareça os que estao mortos de curiosidade de saber a que essa mensagem se refer. Em Sun, 9 Feb 2003 15:46:24 EST, Lltmdrtm@aol.com disse: > Estou na dúvida é 15/16 ou 8/10 . ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 9 20:52:56 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA16902 for obm-l-MTTP; Sun, 9 Feb 2003 20:48:48 -0200 Received: from hotmail.com (f50.law9.hotmail.com [64.4.9.50]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id UAA16898 for ; Sun, 9 Feb 2003 20:48:45 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Sun, 9 Feb 2003 14:48:13 -0800 Received: from 200.199.178.127 by lw9fd.law9.hotmail.msn.com with HTTP; Sun, 09 Feb 2003 22:48:13 GMT X-Originating-IP: [200.199.178.127] From: "Henrique Lima Santana" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] IMO Date: Sun, 09 Feb 2003 22:48:13 +0000 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 09 Feb 2003 22:48:13.0781 (UTC) FILETIME=[53FC6050:01C2D08D] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 3552 Lines: 104 a hp eh a seguinte, www.kalva.demon.co.uk falou henrique >From: "amurpe" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: obm-l@mat.puc-rio.br >Subject: Re: [obm-l] IMO >Date: Sun, 9 Feb 2003 08:37:58 -0200 > > > Acho que nao tem muito a ver voce ficar inundando a lis >ta com problemas resolvidos.. A maioria das pessoas aqui >conhece o site do Kalva, e lá há diversos problemas resol >vidos, de diversos níveis de dificuldade.. > > ----- Original Message ----- > > From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet > > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Sent: Thursday, February 06, 2003 3:26 PM > > Subject: [obm-l] IMO > > > > > > Problem 3 > > > > The set of all positive integers is the union of two >disjoint subsets {f(1), f(2), f(3), ... }, {g(1), g(2), g >(3), ... }, where f(1) < f(2) < f(3) < ..., and g(1) < g >(2) < g(3) < ... , and g(n) = f(f >(n)) + 1 for n = 1, 2, 3, ... . Determine f(240). > > > > > > Solution > > Alô pessoal , gosraia de saber o site do KAlva .por >favor me enviem .um abraço.Amurpe > > > > Let F = {f(1), f(2), f(3), ... }, G = {g(1), g(2), g >(3), ... }, Nn = {1, 2, 3, ... , n}. f(1) >= 1, so f(f >(1)) >= 1 and hence g >(1) >= 2. So 1 is not in G, and hence must be in F. It mu >st be the smallest element of F and so f(1) = 1. Hence g >(1) = 2. We can never have two successive integers n and >n+1 in G, because if g(m) = n+1, then f >(something) = n and so n is in F and G. Contradiction. In > particular, 3 must be in F, and so f(2) = 3. > > > > Suppose f(n) = k. Then g(n) = f(k) + 1. So |Nf(k) >+1 Ç G| = n. But |Nf(k)+1 Ç F| = k, so n + k = f >(k) + 1, or f(k) = n + k - 1. Hence g >(n) = n + k. So n + k + 1 must be in F and hence f >(k+1) = n + k + 1. This so given the value of f for n we >can find it for k and k+1. > > > > Using k+1 each time, we get, successively, f >(2) = 3, f(4) = 6, f(7) = 11, f(12) = 19, f(20) = 32, f >(33) = 53, f(54) = 87, f(88) = 142, f(143) = 231, f >(232) = 375, which is not much help. Trying again with k, > we get: f(3) = 4, f(4) = 6, f(6) = 9, f(9) = 14, f >(14) = 22, f(22) = 35, f(35) = 56, f(56) = 90, f >(90) = 145, f >(145) = 234. Still not right, but we can try backing up s >lightly and using k+1: f >(146) = 236. Still not right, we need to back up further: > f(91) = 147, f(148) = 239, f(240) = 388. > > > > > > > > > > > > > > > > ------------------------------------------------------- >----------------------- > > Busca Yahoo! > > O serviço de busca mais completo da Internet. O que v >ocê pensar o Yahoo! encontra. > > > > >__________________________________________________________________________ >E-mail Premium BOL >Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. 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O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 9 22:24:11 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA18664 for obm-l-MTTP; Sun, 9 Feb 2003 22:20:50 -0200 Received: from web14208.mail.yahoo.com (web14208.mail.yahoo.com [216.136.173.72]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id WAA18660 for ; Sun, 9 Feb 2003 22:20:46 -0200 Message-ID: <20030210002012.15940.qmail@web14208.mail.yahoo.com> Received: from [200.184.180.2] by web14208.mail.yahoo.com via HTTP; Sun, 09 Feb 2003 21:20:12 ART Date: Sun, 9 Feb 2003 21:20:12 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Felipe=20Gastaldo?= Subject: Re: [obm-l] Perímetro do triangulo To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <20030209182547.69096.qmail@web41506.mail.yahoo.com> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1700 Lines: 58 Caro Elton Para este Problema temos que um lado do triangulo é X o outro é X+2 e o outro é X+4 entaum: X+(X+2)+(X+4)=21 dai vem que X=5 entaum os lados são: 5,7,9 Um abrço Felipão --- elton francisco ferreira escreveu: > Resolví este problema mas não bateu com o resultado > do > livro. > > Acho q é com uma equação semelhante a esta q > posso > resolve-lo, só q é claro falta um termo o qual n sei > como represento. vcs podem me ajudar? > > x + (2x+1)+ ....=21 > > > Um triangulo tem 21cm de perímetro. As medidas dos > lados são inteiros ímpares e consecutivos. qual é o > comprimento de cada lado? > > > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O melhor lugar para encontrar tudo o que você > procura na Internet > http://br.busca.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > > ========================================================================= _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. 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Volume = IntDupla{ f(x, y) dxdy } na região do quadrado. > supondo que a base é quadrada, seja L o comprimento da base e H a altura > da piramide. > escrevendo o comprimento do lado da "base" em função da altura, temos: > > l(h)=(L/H).h > > agora basta integrar a área da base para todo h, isto é: > > Area=integral(l(h)^2.dh,0<=h<=H) = > (L^2/H^2)integral(h^2.dh,0<=h<=H)= > =(L^2.H)/3 > > >Oi pessoal ! > > > > Alguém conhece uma demonstração usando cálculo para a fórmula do volume > >de uma pirâmide? > > > >André T. > > > > "Mathematicus nascitur, non fit" > Matemáticos não são feitos, eles nascem > --------------------------------------- > Gabriel Haeser > www.gabas.cjb.net > > > ------------------------------------------ > Use o melhor sistema de busca da Internet > Radar UOL - http://www.radaruol.com.br > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 10 11:42:09 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA28001 for obm-l-MTTP; Mon, 10 Feb 2003 11:40:22 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA27996 for ; Mon, 10 Feb 2003 11:40:18 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.228]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1ADcd204145 for ; Mon, 10 Feb 2003 11:38:39 -0200 Message-ID: <007801c2d112$9c901520$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <106.1f7e1250.2b779703@aol.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_N=FAmero_de_Erd=F6s_?= Date: Mon, 10 Feb 2003 11:42:15 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0073_01C2D0F9.75760C60" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 3920 Lines: 103 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0073_01C2D0F9.75760C60 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable N=FAmero de Erdos =E9 a dist=E2ncia de uma dada pessoa at=E9 Paul Erdos = em termos de co-autoria de artigos matem=E1ticos. Assim, se voc=EA escreveu um artigo em co-autoria com o Paul Erdos, = voc=EA tem N=FAmero de Erdos =3D 1. Se voc=EA nunca escreveu um artigo junto com ele, mas escreveu um em = co-autoria com algu=E9m que tem N=FAmero de Erdos =3D 1, ent=E3o voc=EA = tem N=FAmero de Erdos =3D 2. Em geral, se dentre os N=FAmeros de Erdos de cada pessoa com quem voc=EA = escreveu artigos, o menor =E9 N, ent=E3o o seu N=FAmero de Erdos =E9 = N+1. Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Faelccmm@aol.com=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Sunday, February 09, 2003 8:35 AM Subject: [obm-l] N=FAmero de Erd=F6s=20 Ol=E1 pessoal,=20 Algu=E9m poderia me dar uma explica=E7=E3o consistente do que seria o = n=FAmero de Erd=F6s ?=20 ------=_NextPart_000_0073_01C2D0F9.75760C60 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
N=FAmero de Erdos =E9 a dist=E2ncia de = uma dada pessoa=20 at=E9 Paul Erdos em termos de co-autoria de artigos = matem=E1ticos.
 
Assim, se voc=EA escreveu um artigo em = co-autoria com=20 o Paul Erdos, voc=EA tem N=FAmero de Erdos =3D 1.
 
Se voc=EA nunca escreveu um artigo = junto com ele, mas=20 escreveu um em co-autoria com algu=E9m que tem N=FAmero de Erdos =3D 1, = ent=E3o voc=EA tem=20 N=FAmero de Erdos =3D 2.
 
Em geral, se dentre os N=FAmeros de = Erdos de=20 cada pessoa com quem voc=EA escreveu = artigos, o=20 menor =E9 N, ent=E3o o seu N=FAmero de Erdos =E9 N+1.
 
Um abra=E7o,
Claudio.
----- Original Message -----
From:=20 Faelccmm@aol.com=20
Sent: Sunday, February 09, 2003 = 8:35=20 AM
Subject: [obm-l] N=FAmero de = Erd=F6s

Ol=E1 = pessoal,=20

Algu=E9m poderia me dar uma explica=E7=E3o consistente do que = seria o n=FAmero=20 de Erd=F6s ?
------=_NextPart_000_0073_01C2D0F9.75760C60-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 10 12:32:50 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA29316 for obm-l-MTTP; Mon, 10 Feb 2003 12:31:27 -0200 Received: from hotmail.com (f30.sea2.hotmail.com [207.68.165.30]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA29312 for ; Mon, 10 Feb 2003 12:31:23 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Mon, 10 Feb 2003 06:30:52 -0800 Received: from 200.216.62.82 by sea2fd.sea2.hotmail.msn.com with HTTP; Mon, 10 Feb 2003 14:30:51 GMT X-Originating-IP: [200.216.62.82] From: "Paulo Santa Rita" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?B?UmU6IFtvYm0tbF0gUmU6IFtvYm0tbF0gTvptZXJvIGRlIEVyZPZz?= Date: Mon, 10 Feb 2003 14:30:51 +0000 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 10 Feb 2003 14:30:52.0128 (UTC) FILETIME=[03633E00:01C2D111] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 3648 Lines: 91 Ola Pessoal, Falando em Erdos, aqui esta um problema famoso e antigo resolvido pelo Erdos ( Cmado Teorema das 13 esferas ) - que Newton nao resolveu - de uma forma extremamente trabalhosa, mas que permite uma outra solucao, bem mais simples : PROBLEMA : Seja C uma esfera de raio R, fixa. Tangentes (externamente) a C vamos colocando outras esferas C1, C2, ... todas de raio R. Qual a quantidade maxima de esferas que podemos colocar ? SUGESTAO : Coloque C1 e IMAGINE que voce esta em "O", o centro de C. IMAGINE todas as semi-retas que partem de "O" e que sao tangentes a C1. Isto define um angulo-solido. Qual o valor desta angulo solido ? O valor de um angulo-solido e medido em esfero-radianos e, por definicao, e a divisao entre a area que ele intercepta na superficie esfera e o quadrado do raio. Assim, claramente, numa esfera ha 4pi esfero-radianos. Calcule a ara da calota esferica ( existem formulas prontas ) e divida pelo quadrado do raio que voce encontrara o valor o angulo solido. Claramente que toda nova esfera colocada representa um novo angulo-solido de mesmo valor. IMAGINE agora tres esferas tao proximas quanto possivel. Voce percebera que : 1) Surge uma regiao central que nao esta contida em nenhuma das tres calotas iguais definidas pelo tres angulo solidos. Qual o valor, em esfero radianos, do angulo solido correspondente a esta area ? Os planos que contem "O" e dois outros centros de duas das tres esferas C1, C2, C3 interceptam a superficie de C segundo um triangulo esferico "equilatero". A Area deste triangulo e (A+B+C - pi)*R^2 onde A, B e C sao ao angulos do triangulo esferico ( formados pelas tangente a esfera C nos vertices A, B e C. Tendo a area temos o angulo-solido correspondente. Subtrando esta area dos "gomos" em C1, C2 e C3 calculamos o valor da regiao central. 2) Toda nova esfera colocada com maxima aproximacao entre duas outras ja existente fara surgir um novo angulo-solido ( que ja calculamos ) e uma nova regiao ( que calculamos em 1). Esses sucessivos acrescimos nao podem ultrapassar 4*pi esfero-radianos ... Um Abraco Paulo Santa Rita 2,1230,100203 >From: "Cláudio \(Prática\)" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: >Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Número de Erdös Date: Mon, 10 Feb 2003 >11:42:15 -0300 > >Número de Erdos é a distância de uma dada pessoa até Paul Erdos em termos >de co-autoria de artigos matemáticos. > >Assim, se você escreveu um artigo em co-autoria com o Paul Erdos, você tem >Número de Erdos = 1. > >Se você nunca escreveu um artigo junto com ele, mas escreveu um em >co-autoria com alguém que tem Número de Erdos = 1, então você tem Número de >Erdos = 2. > >Em geral, se dentre os Números de Erdos de cada pessoa com quem você >escreveu artigos, o menor é N, então o seu Número de Erdos é N+1. > >Um abraço, >Claudio. > ----- Original Message ----- > From: Faelccmm@aol.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Sent: Sunday, February 09, 2003 8:35 AM > Subject: [obm-l] Número de Erdös > > > Olá pessoal, > > Alguém poderia me dar uma explicação consistente do que seria o número >de Erdös ? > _________________________________________________________________ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 10 12:57:12 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA29817 for obm-l-MTTP; Mon, 10 Feb 2003 12:55:33 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA29813 for ; Mon, 10 Feb 2003 12:55:29 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.224]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1AErmA08424 for ; Mon, 10 Feb 2003 12:53:48 -0200 Message-ID: <00fc01c2d11d$1c5e6400$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_RE:_=5Bobm-l=5D_Re:_=5Bobm-l=5D_Fun=E7?= =?iso-8859-1?Q?=E3o_uniformemente_diferenci=E1vel?= Date: Mon, 10 Feb 2003 12:57:26 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 4900 Lines: 140 Caros Artur e Salvador: Por enquanto, o que eu tenho é isso: Por favor, prestem atenção, em especial, à passagem marcada por (*****) na volta da demonstração de (2), pois acho que eu introduzi uma hipótese restritiva. Seja I um intervalo real. 1. Prove que: f é unif. diferenciável em I <==> f' é unif. contínua em I Suponhamos que f seja uniformemente diferenciável em I: Seja eps>0. Então existe d>0 tal que, se x e y estiverem em I e se 0 < |x-y| < d, então: | [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(x) | < eps/2 e | [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(y) | < eps/2 Mas, nesse caso: | f'(x) - f'(y) | = | f'(x) - [f(x)-f(y)]/(x-y) + [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(y)| <= | [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(x) | + | [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(y) | < eps/2 + eps/2 = eps. ==> f' é uniformemente contínua em I Suponhamos, agora, que f' seja uniformemente contínua em I: Seja eps>0. Então existe d>0 tal que, se x e y estiverem em I e se 0 < |x-y| < d, então | f'(x) - f'(y) | < eps. Pelo teorema do valor médio, para quaisquer x e y em I, existe z entre x e y tal que f'(z) = [f(x)-f(y)]/(x-y). Como z está entre x e y, teremos 0 < |z - x| < |x - y| < d, o que implica, pela continuidade uniforme de f', que |f'(z) - f'(x)| < eps. Sendo assim: | [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(x) | = | f'(z) - f'(x) | < eps ==> f'é uniformememente diferenciável em I. **************** 2. Seja f diferenciável em I. f' é limitada em I <==> existe uma constante K>0 tal que: |f(x) - f(y)| <= K|x-y| para todos x e y em I Suponhamos que f' seja limitada em I. Então, para todo t em I, existe K > 0, tal que -K < f'(t) < K. Sejam x e y em I, com x <= y. Integrando a desigualdade acima de x até y, teremos: y y y INTEGRAL -Kdt < INTEGRAL f'(t)dt < INTEGRAL Kdt ==> x x x -K(y-x) < f(y) - f(x) < K(y-x) ==> |f(y) - f(x)| < K|y-x|. Se x > y, tudo muda de sinal e a mesma desigualdade entre valores absolutos continua valendo ==> f obedece à condição de Lipschitz em I. Suponhamos, agora, que f' não seja limitada. Então, para todo K > 0, existirão x e y em I, com x < y, tais que para todo t entre x e y, f'(t) > K (*****). Integrando de x até y, teremos: y y INTEGRAL f'(t)dt > INTEGRAL Kdt ==> x x f(y) - f(x) > K(y-x) ==> |f(y) - f(x)| > K|y-x| ==> f não obedece à condição de Lipschitz. ************ Funções da forma f(x) = x^n*sen(1/x) ou x^n*sen^2(1/x) para X <> 0 e f(0) = 0, são muito usadas em livros de análise como exemplos de: 1. funções descontínuas em x =0: f(x) = sen(1/x), se x <> 0, f(0) = qualquer número real 2. funções contínuas mas não diferenciáveis em x=0: f(x) = x*sen(1/x), se x <> 0, f(0) = 0 3. funções diferenciáveis mas com derivadas descontínuas em x=0: f(x) = x^2*sen(1/x), se x <>0, f(0) = 0. Etc.... ********** (3) acima mostra que podem haver funções diferenciáveis em toda a reta mas com derivada descontínua em algum ponto. No entanto, vale o "Teorema do Valor Intermediário" para derivadas: Seja f diferenciável em (a,b). Dados x1 e x2, com a < x1 < x2 < b, se f'(x1) < f'(x2) então, para todo c com f'(x1) < c < f'(x2), existe z ( x1 < z < x2 ) com f'(z) = c. Analogamente para quando f'(x1) > f'(x2). ********** Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Artur Costa Steiner" To: Sent: Thursday, February 06, 2003 11:20 PM Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável >> -----Original Message----- >> From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm- >> l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Cláudio (Prática) >> Sent: Wednesday, February 05, 2003 12:40 PM >> To: obm-l@mat.puc-rio.br >> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável >> >> Caro Artur: >> >> Tentando resolver os seus problemas (especificamente, com as voltas >dos >> "se >> e somente se") eu me deparei com uma dúvida: >> >> Tome uma função f, diferenciável num intervalo aberto I. >> É verdade que dado qualquer z em I, existem x e y em I tais que: >> f'(z) = [f(x)-f(y)]/(x-y) ? >> Este seria uma espécie de recíproco do teorema do valor médio. > >Não, não é verdade. Considere, por exemplo, f dada por f(x) = x^3, no >ponto z=0 . É fácil verificar que se y<00 e >jamais se iguala a f'(0)=0. Observe que, para termos uma recíproca do >teorema do valor médio, deveríamos ter z entre x e y. > >PS. Vc achou interessantes os problemas que eu propus? >Abraços >Artur ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 10 13:30:56 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA30977 for obm-l-MTTP; Mon, 10 Feb 2003 13:29:25 -0200 Received: from mediterraneo.rjnet.com.br (mediterraneo.rjnet.com.br [200.152.115.30]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA30968 for ; Mon, 10 Feb 2003 13:29:17 -0200 Received: from locutus.rjnet.com.br (root@locutus.rjnet.com.br [200.152.115.10]) by mediterraneo.rjnet.com.br (8.11.4/8.11.4) with ESMTP id h1AFW3v24875 for ; Mon, 10 Feb 2003 13:32:03 -0200 Received: from computador (rosamaior.rjnet.com.br [200.152.116.14]) by locutus.rjnet.com.br (8.11.2/8.11.2) with SMTP id h1AFGWk28149 for ; Mon, 10 Feb 2003 13:16:32 -0200 Message-ID: <001a01c2d121$7571bf70$158c000a@computador> From: "Felipe Villela Dias" To: References: <106.1f7e1250.2b779703@aol.com> <007801c2d112$9c901520$3300c57d@bovespa.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Re:_=5Bobm-l=5D_N=FAmero_de_Erd=F6s_?= Date: Mon, 10 Feb 2003 13:28:34 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0017_01C2D108.4FE90510" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2720.3000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 5806 Lines: 150 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0017_01C2D108.4FE90510 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Desculpe a pergunta, mas isso tem alguma import=E2ncia ou =E9 somente um = fruto de algu=E9m muito vaidoso??? ----- Original Message -----=20 From: Cl=E1udio (Pr=E1tica)=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Monday, February 10, 2003 11:42 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] N=FAmero de Erd=F6s=20 N=FAmero de Erdos =E9 a dist=E2ncia de uma dada pessoa at=E9 Paul = Erdos em termos de co-autoria de artigos matem=E1ticos. Assim, se voc=EA escreveu um artigo em co-autoria com o Paul Erdos, = voc=EA tem N=FAmero de Erdos =3D 1. Se voc=EA nunca escreveu um artigo junto com ele, mas escreveu um em = co-autoria com algu=E9m que tem N=FAmero de Erdos =3D 1, ent=E3o voc=EA = tem N=FAmero de Erdos =3D 2. Em geral, se dentre os N=FAmeros de Erdos de cada pessoa com quem = voc=EA escreveu artigos, o menor =E9 N, ent=E3o o seu N=FAmero de Erdos = =E9 N+1. Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Faelccmm@aol.com=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Sunday, February 09, 2003 8:35 AM Subject: [obm-l] N=FAmero de Erd=F6s=20 Ol=E1 pessoal,=20 Algu=E9m poderia me dar uma explica=E7=E3o consistente do que seria = o n=FAmero de Erd=F6s ?=20 --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 ------=_NextPart_000_0017_01C2D108.4FE90510 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Desculpe a pergunta, mas isso tem alguma import=E2ncia ou =E9 = somente um fruto=20 de algu=E9m muito vaidoso???
----- Original Message -----
From:=20 Cl=E1udio = (Pr=E1tica)
Sent: Monday, February 10, 2003 = 11:42=20 AM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] = N=FAmero de=20 Erd=F6s

N=FAmero de Erdos =E9 a dist=E2ncia = de uma dada pessoa=20 at=E9 Paul Erdos em termos de co-autoria de artigos = matem=E1ticos.
 
Assim, se voc=EA escreveu um artigo = em co-autoria=20 com o Paul Erdos, voc=EA tem N=FAmero de Erdos =3D 1.
 
Se voc=EA nunca escreveu um artigo = junto com ele,=20 mas escreveu um em co-autoria com algu=E9m que tem N=FAmero de Erdos = =3D 1, ent=E3o=20 voc=EA tem N=FAmero de Erdos =3D 2.
 
Em geral, se dentre os N=FAmeros de = Erdos de=20 cada pessoa com quem voc=EA = escreveu artigos, o=20 menor =E9 N, ent=E3o o seu N=FAmero de Erdos =E9 N+1.
 
Um abra=E7o,
Claudio.
----- Original Message -----
From:=20 Faelccmm@aol.com
Sent: Sunday, February 09, = 2003 8:35=20 AM
Subject: [obm-l] N=FAmero de = Erd=F6s

Ol=E1 pessoal, =

Algu=E9m=20 poderia me dar uma explica=E7=E3o consistente do que seria o = n=FAmero de Erd=F6s ?=20
 

---
Outgoing = mail is=20 certified Virus Free.
Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).
Version: = 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date:=20 27/1/2003
------=_NextPart_000_0017_01C2D108.4FE90510-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 10 13:33:38 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA31121 for obm-l-MTTP; Mon, 10 Feb 2003 13:32:18 -0200 Received: from web12902.mail.yahoo.com (web12902.mail.yahoo.com [216.136.174.69]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id NAA31115 for ; Mon, 10 Feb 2003 13:32:14 -0200 Message-ID: <20030210153142.27554.qmail@web12902.mail.yahoo.com> Received: from [200.206.103.3] by web12902.mail.yahoo.com via HTTP; Mon, 10 Feb 2003 12:31:42 ART Date: Mon, 10 Feb 2003 12:31:42 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Johann=20Peter=20Gustav=20Lejeune=20Dirichlet?= Subject: Re: [obm-l] IMO(ih!!!!) To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-598113437-1044891102=:26770" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1907 Lines: 37 --0-598113437-1044891102=:26770 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Antes que isso se alastre mais do que ja esta,deixe-me explicar:essas mensagens nao eram para a lista.Eu deveria manda-las para mim mesmo (o Word foi apagado de meu computador pelo tosco do meu irmao) e depois imprimi-las (pois minha impressora esta um lixo),e acabei mandando para a Lista por engano.Desculpe-me pelo Junk Mail,ta? Ass.:Johann TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-598113437-1044891102=:26770 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

Antes que isso se alastre mais do que ja esta,deixe-me explicar:essas mensagens nao eram para a lista.Eu deveria manda-las para mim mesmo (o Word foi apagado de meu computador pelo tosco do meu irmao) e depois imprimi-las (pois minha impressora esta um lixo),e acabei mandando para a Lista por engano.Desculpe-me pelo Junk Mail,ta?

Ass.:Johann



TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE

CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE

Fields Medal(John Charles Fields)


Busca Yahoo!
O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-598113437-1044891102=:26770-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 10 14:55:33 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA01229 for obm-l-MTTP; Mon, 10 Feb 2003 14:53:16 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA01225 for ; Mon, 10 Feb 2003 14:53:13 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.228]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1AGpYd15720 for ; Mon, 10 Feb 2003 14:51:34 -0200 Message-ID: <011701c2d12d$9029fec0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <106.1f7e1250.2b779703@aol.com> <007801c2d112$9c901520$3300c57d@bovespa.com> <001a01c2d121$7571bf70$158c000a@computador> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Re:_=5Bobm-l=5D_Re:_=5Bobm-l=5D_N=FAmero_d?= =?iso-8859-1?Q?e_Erd=F6s_?= Date: Mon, 10 Feb 2003 14:55:12 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0114_01C2D114.6A029360" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 7596 Lines: 193 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0114_01C2D114.6A029360 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Import=E2ncia pr=E1tica acho que n=E3o tem nenhuma. Como Erdos era um = matem=E1tico de primeira grandeza, acho que vaidade tem um certo peso = (mas s=F3 se o seu N=FAmero de Erdos for igual a 1, ou seja, voc=EA =E9 = bom o suficiente para co-autorar algum artigo com ele) ----- Original Message -----=20 From: Felipe Villela Dias=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Monday, February 10, 2003 1:28 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] N=FAmero de Erd=F6s=20 Desculpe a pergunta, mas isso tem alguma import=E2ncia ou =E9 somente = um fruto de algu=E9m muito vaidoso??? ----- Original Message -----=20 From: Cl=E1udio (Pr=E1tica)=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Monday, February 10, 2003 11:42 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] N=FAmero de Erd=F6s=20 N=FAmero de Erdos =E9 a dist=E2ncia de uma dada pessoa at=E9 Paul = Erdos em termos de co-autoria de artigos matem=E1ticos. Assim, se voc=EA escreveu um artigo em co-autoria com o Paul Erdos, = voc=EA tem N=FAmero de Erdos =3D 1. Se voc=EA nunca escreveu um artigo junto com ele, mas escreveu um em = co-autoria com algu=E9m que tem N=FAmero de Erdos =3D 1, ent=E3o voc=EA = tem N=FAmero de Erdos =3D 2. Em geral, se dentre os N=FAmeros de Erdos de cada pessoa com quem = voc=EA escreveu artigos, o menor =E9 N, ent=E3o o seu N=FAmero de Erdos = =E9 N+1. Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Faelccmm@aol.com=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Sunday, February 09, 2003 8:35 AM Subject: [obm-l] N=FAmero de Erd=F6s=20 Ol=E1 pessoal,=20 Algu=E9m poderia me dar uma explica=E7=E3o consistente do que = seria o n=FAmero de Erd=F6s ?=20 --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 ------=_NextPart_000_0114_01C2D114.6A029360 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Import=E2ncia pr=E1tica acho que n=E3o = tem nenhuma. Como=20 Erdos era um matem=E1tico de primeira grandeza, acho que vaidade tem um = certo peso=20 (mas s=F3 se o seu N=FAmero de Erdos for igual a 1, ou seja, voc=EA =E9 = bom o suficiente=20 para co-autorar algum artigo com ele)
----- Original Message -----
From:=20 Felipe = Villela=20 Dias
Sent: Monday, February 10, 2003 = 1:28=20 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] = Re: [obm-l]=20 N=FAmero de Erd=F6s

Desculpe a pergunta, mas isso tem alguma import=E2ncia ou =E9 = somente um=20 fruto de algu=E9m muito vaidoso???
----- Original Message -----
From:=20 Cl=E1udio = (Pr=E1tica)
Sent: Monday, February 10, = 2003 11:42=20 AM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] = N=FAmero de=20 Erd=F6s

N=FAmero de Erdos =E9 a dist=E2ncia = de uma dada=20 pessoa at=E9 Paul Erdos em termos de co-autoria de artigos=20 matem=E1ticos.
 
Assim, se voc=EA escreveu um artigo = em co-autoria=20 com o Paul Erdos, voc=EA tem N=FAmero de Erdos =3D 1.
 
Se voc=EA nunca escreveu um artigo = junto com ele,=20 mas escreveu um em co-autoria com algu=E9m que tem N=FAmero de Erdos = =3D 1, ent=E3o=20 voc=EA tem N=FAmero de Erdos =3D 2.
 
Em geral, se dentre os N=FAmeros de = Erdos de=20 cada pessoa com quem voc=EA = escreveu artigos, o=20 menor =E9 N, ent=E3o o seu N=FAmero de Erdos =E9 N+1.
 
Um abra=E7o,
Claudio.
----- Original Message ----- =
From:=20 Faelccmm@aol.com
Sent: Sunday, February 09, = 2003 8:35=20 AM
Subject: [obm-l] N=FAmero = de Erd=F6s=20

Ol=E1 pessoal, =

Algu=E9m=20 poderia me dar uma explica=E7=E3o consistente do que seria o = n=FAmero de Erd=F6s ?=20
 

---
Outgoing mail is=20 certified Virus Free.
Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).
Version: = 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date:=20 = 27/1/2003
------=_NextPart_000_0114_01C2D114.6A029360-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 10 15:15:06 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA01762 for obm-l-MTTP; Mon, 10 Feb 2003 15:13:26 -0200 Received: from web12901.mail.yahoo.com (web12901.mail.yahoo.com [216.136.174.68]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id PAA01757 for ; Mon, 10 Feb 2003 15:13:21 -0200 Message-ID: <20030210171248.73234.qmail@web12901.mail.yahoo.com> Received: from [200.206.103.3] by web12901.mail.yahoo.com via HTTP; Mon, 10 Feb 2003 14:12:48 ART Date: Mon, 10 Feb 2003 14:12:48 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Johann=20Peter=20Gustav=20Lejeune=20Dirichlet?= Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <005601c2cee2$55772e80$3300c57d@bovespa.com> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-1476485642-1044897168=:72223" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 14365 Lines: 177 --0-1476485642-1044897168=:72223 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit E RIOPLATENSE!!!!!!!Uma olimpiada de fim de ano no Cone Sul. O que eu disse e que esses termos (eu dei nomes,ta?) sao tais que|A1-A2| pode se tornar tao grande quanto tu queiras. Cláudio_(Prática) wrote:Caro Ricardo: Não entendi direito o que você quis dizer. Por acaso seria: suponha que os números da forma 2^x * 3^y são colocados em ordem crescente. Então existem termos consecutivos - digamos A1=2^a * 3^b e A2=2^c * 3^d - tais que um dos números | a - c | ou | b - d | é tão grande quanto se queira? Também o que é OMR (imagino que seja olimpíada de matemática de R....)? Um abraço,Claudio. ----- Original Message ----- From: RICARDO CHAVES To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 06, 2003 1:45 PMSubject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia Cara de boa,isto e dificil...Um problema da OMR pedia pra provar que o troço tinha termos cada vez mais longe entre si.E nao tive nenhum lampejo de ideias. >From: "Cláudio \(Prática\)" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: >Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia >Date: Wed, 5 Feb 2003 18:30:35 -0200 > >Caro Matteus: > >Infelizmente tenho que admitir que o algoritmo abaixo está furado. Ele >produz uma sequência crescente de números da forma desejada, mas não todos >eles - de fato, ele produz a sequência 1, 2, 4, 8, 16,..... > >Eu pensei um pouco mais sobre o problema e cheguei à conclusão de que é bem >mais difícil do que eu imaginava. > >Por exemplo, com o caso mais simples - nos. da forma 2^a * 3^b, a sequência >será: > >N 1 2 3 4 6 8 9 12 16 18 24 27 32 36 48 54 64 72 >a 0 1 0 2 1 3 0 2 4 1 3 0 5 2 4 1 >6 3 >b 0 0 1 0 1 0 2 1 0 2 1 3 0 2 1 3 >0 2 > >Repare que a sequência de pares (a,b) que produzem todos os N em ordem >crescente não parece obedecer nenhuma lei de formação óbvia. > >Por enquanto, só o que dá pra sugerir é um algoritmo extremamente >ineficiente que toma cada número natural, remove os fatores 2, 3 e 5 e, se >estes forem os únicos fatores, adiciona este número à sequência. Em seguida >toma o número natural seguinte, e assim por diante. > >Problema interessante. Vou pensar mais um pouco. > >Um abraço, >Claudio > >----- Original Message ----- >From: "Cláudio (Prática)" >To: >Sent: Tuesday, February 04, 2003 8:37 AM >Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia > > >Caro Matteus: > >O algoritmo abaixo cria uma sequência X tal que X(1) = 1 ( = 2^0 * 3^0 * >5^0 ) e X(N) = N-ésimo inteiro positivo da forma 2^a * 3^b * 5^c. A >ordenação é a usual (m < n <==> X(m) < X(n) ) > >"Input" N >a = 0 >b = 0 >c = 0 >K = 1 >(***) X(K) = 1 >P = 2^(a+1) * 3^b * 5^c >Flag = 1 >Se P > 2^a * 3^(b+1) * 5^c então ( P = 2^a * 3^(b+1) * 5^c e Flag = >2 ) >Se P > 2^a * 3^b * 5^(c+1) então ( P = 2^a * 3^b * 5^(c+1) e Flag = >3 ) >Se Flag = 1 então a = a+1 >Se Flag = 2 então b = b+1 >Se Flag = 3 então c = c+1 >K = K+1 >Se K <= N então Retorna para (***) >Fim > >Espero que isso ajude. > >Um abraço, >Claudio. > >----- Original Message ----- >From: "matteus barreto" >To: >Sent: Monday, February 03, 2003 6:04 PM >Subject: [obm-l] k-esimo numero da sequencia > > > >Sera que alguem poderia me sugerir, se nao uma forma >fechada, um passo a passo (um algoritmo) para se >encontrar o k-esimo numero da sequencia: > > 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15..., ou seja, os >números da forma (2^a)*(3^b)*(5^c), com a, b, c >pertencentes ao conjunto dos inteiros nao negativos. >Ja pensei bastante a respeito mas sem resultados mais concludentes. > >_______________________________________________________________________ >Busca Yahoo! >O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! >encontra. >http://br.busca.yahoo.com/ >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= --------------------------------- MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. 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E RIOPLATENSE!!!!!!!Uma olimpiada de fim de ano no Cone Sul.

O que eu disse e que esses termos (eu dei nomes,ta?) sao tais que|A1-A2| pode se tornar tao grande quanto tu queiras.

 Cláudio_(Prática) <claudio@praticacorretora.com.br> wrote:

Caro Ricardo:
 
Não entendi direito o que você quis dizer.
 
Por acaso seria: suponha que os números da forma 2^x * 3^y são colocados em ordem crescente. Então existem termos consecutivos - digamos A1=2^a * 3^b e A2=2^c * 3^d - tais que um dos números | a - c |  ou  | b - d | é tão grande quanto se queira?
 
Também o que é OMR (imagino que seja olimpíada de matemática de R....)?
 
Um abraço,
Claudio.
 
 
----- Original Message -----
Sent: Thursday, February 06, 2003 1:45 PM
Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia

Cara de boa,isto e dificil...Um problema da OMR pedia pra provar que o troço tinha termos cada vez mais longe entre si.E nao tive nenhum lampejo de ideias.

>From: "Cláudio \(Prática\)"

>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To:
>Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia
>Date: Wed, 5 Feb 2003 18:30:35 -0200
>
>Caro Matteus:
>
>Infelizmente tenho que admitir que o algoritmo abaixo está furado. Ele
>produz uma sequência crescente de números da forma desejada, mas não todos
>eles - de fato, ele produz a sequência 1, 2, 4, 8, 16,.....
>
>Eu pensei um pouco mais sobre o problema e cheguei à conclusão de que é bem
>mais difícil do que eu imaginava.
>
>Por exemplo, com o caso mais simples - nos. da forma 2^a * 3^b, a sequência
>será:
>
>N 1 2 3 4 6 8 9 12 16 18 24 27 32 36 48 54 64 72
>a 0 1 0 2 1 3 0 2 4 1 3 0 5 2 4 1
>6 3
>b 0 0 1 0 1 0 2 1 0 2 1 3 0 2 1 3
>0 2
>
>Repare que a sequência de pares (a,b) que produzem todos os N em ordem
>crescente não parece obedecer nenhuma lei de formação óbvia.
>
>Por enquanto, só o que dá pra sugerir é um algoritmo extremamente
>ineficiente que toma cada número natural, remove os fatores 2, 3 e 5 e, se
>estes forem os únicos fatores, adiciona este número à sequência. Em seguida
>toma o número natural seguinte, e assim por diante.
>
>Problema interessante. Vou pensar mais um pouco.
>
>Um abraço,
>Claudio
>
>----- Original Message -----
>From: "Cláudio (Prática)"
>To:
>Sent: Tuesday, February 04, 2003 8:37 AM
>Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia
>
>
>Caro Matteus:
>
>O algoritmo abaixo cria uma sequência X tal que X(1) = 1 ( = 2^0 * 3^0 *
>5^0 ) e X(N) = N-ésimo inteiro positivo da forma 2^a * 3^b * 5^c. A
>ordenação é a usual (m < n <==> X(m) < X(n) )
>
>"Input" N
>a = 0
>b = 0
>c = 0
>K = 1
>(***) X(K) = 1
>P = 2^(a+1) * 3^b * 5^c
>Flag = 1
>Se P > 2^a * 3^(b+1) * 5^c então ( P = 2^a * 3^(b+1) * 5^c e Flag =
>2 )
>Se P > 2^a * 3^b * 5^(c+1) então ( P = 2^a * 3^b * 5^(c+1) e Flag =
>3 )
>Se Flag = 1 então a = a+1
>Se Flag = 2 então b = b+1
>Se Flag = 3 então c = c+1
>K = K+1
>Se K <= N então Retorna para (***)
>Fim
>
>Espero que isso ajude.
>
>Um abraço,
>Claudio.
>
>----- Original Message -----
>From: "matteus barreto"
>To:
>Sent: Monday, February 03, 2003 6:04 PM
>Subject: [obm-l] k-esimo numero da sequencia
>
>
>
>Sera que alguem poderia me sugerir, se nao uma forma
>fechada, um passo a passo (um algoritmo) para se
>encontrar o k-esimo numero da sequencia:
>
> 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15..., ou seja, os
>números da forma (2^a)*(3^b)*(5^c), com a, b, c
>pertencentes ao conjunto dos inteiros nao negativos.
>Ja pensei bastante a respeito mas sem resultados mais concludentes.
>
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Tinha que ser!!!Uma piada de um dos mais sarcasticos professores dessa lista.Talvez voces ja tenham se deparado com isso varias vezes,como "isto nao se demonstra nem usando nem nao usando."

 Eduardo Casagrande Stabel <dudasta@terra.com.br> wrote:

É uma piada do Morgado!
Na lista tem aparecido muitas e muitas questões de vestibulares e concursos com gabarito incorreto...
----- Original Message -----
From: Eduardo
Sent: Friday, February 07, 2003 4:35 PM
Subject: [obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] triângulo

Caro Morgado,
 
Não entendi...
 
 
Abraços
 
Edu
-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de A. C. Morgado
Enviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 16:34
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] triângulo

So para comentar que, surpreendentemente, o gabarito esta certo.

Eduardo wrote:
Olá,
 
Bem, primeiramente você pode aplicar o teorema dos co-senos a fim de descobrir o lado não informado, ou seja, o lado AB, vai cair numa equação do segundo grau de raízes 5 ou 3. Agora use 1/2absenB com os dois valores encontrados anteriormente.
 
Espero ter ajudado.
 
Edu
-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
Enviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 12:17
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] triângulo

 Faelccmm@aol.com wrote:

Olá pessoal,

Veja esta questão:

(MAUÁ-SP)

No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta= ABC=60º. Determine a área do triângulo.

resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2

Deixa eu ver...ce tem tudo no triangulo!!!!!!O raio e com SLS,certo?a=2Rsen A.Com isso ce acha o seno de B pela mesma formula.Ce tem o lado AC e o raio.Para a area ce precisa de um angulo que e 180 menos todos os outros.Cabou!!!"!!


Obs: O triângulo citado é um triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da área [ S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o valor de BA. Sendo assim eu tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen C daí aparece outra incógnita o sen C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos cossenos para achar   
o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois calcular o sen C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá para aplicar a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A partir disso entra-se num ciclo vicioso. Será que não está faltando nem um dado?


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A minha ideia era que a lista pensasse sozinha nisso e depois eu entraria no assunto.Mas se voce quiser vtem o fim do e-mail com umas dicas.

 "Domingos Jr." <dopikas@uol.com.br> wrote:

não vai ao menos nos dizer qual é a solução do Tengan?
----- Original Message -----
Sent: Friday, February 07, 2003 12:40 PM
Subject: [obm-l] Como se leva algo as ultimas consequencias

Esse e-mail foi uma ideia meio louca que eu tive.Esse problema caiu na IMO de Cuba.

Seja f(x)=x²+x+p,em que p e natural.Suponha que f e primo se x vai de zero ate (p/3)^1/3.Mostre que f e primo ate p-2.

Uma soluçao foi o Tengan que me mostrou.E bem legal pois mostra como ser destemidos em certos problemas e levar certas ideias ate a ultima consequencia.



TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE

CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE

Fields Medal(John Charles Fields)


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Tente demonstrar que se alguem do intervalo maior e composto entao alguem do intervalo menor tambem sera.Para tal considere o menor cara q com a propriedade.Ai tente limita-lo.Depois eu completo isso.


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A saber: n*(n-3)*(n-4)*(n-5)/12. Espero que seja a correta. ************ PROBLEMA : Num poligono convexo de N lados e tal que duas diagonais quaisquer nao sao paralelas. Quantos pontos no exterior do poligono sao pontos de interseccao de diagonais ? OBS : Considere que nenhum ponto ( interior ou exterior ao poligono ) e ponto de interseccao de mais de duas diagonais. SUGESTAO : Antes de fazer uma sugestao, gostaria de registrar que o nosso colega Alexandre Tessarolo resolveu esta questao aqui nesta lista. A solucao dele nao e essa que vou sugerir. De um vertice partem N-3 diagonais. Se N e par havera uma unica diagonai N-3 diagonais se encontram. Afora este caso, duas diagonais quaisquer se encontraram ou fora ou dentro do poligono. IMAGINE as diagonais que partem de um vertice. Considerando qualquer uma delas em particular, observe que ela cinde o poligono em dois outros "sub-poligonos" que tem um lado em comum ( que e a diagonal sob analise ). Qualquer par de diagonais, uma de cada um dos "sub-poligonos" representam um ponto de interseccao no exterior, a excecao daqueles pares que tem um vertice comum. Finalmente, para que nao surjam dificuldades devido a paridade de N, use [N], a funcao maximo inteiro : o maior inteiro que nao supera N. Lembre-se tambem que em somatorios complicados, o uso de numeros binomiais costuma facilitara as coisas. *********** SOLUÇÃO: 1. Eu classifiquei as diagonais de um polígono de acordo com a sua "ordem": Uma diagonal de um polígono de n lados tem ordem = k ( 1 <= k <= [n/2] - 1 ) se e somente se: a) esta diagonal dividir o polígono em 2 sub-polígonos, sendo um com k+2 vértices e o outro com n-k vértices; e b) k+2 <= n-k <==> k <= [n/2] - 1. Para 1 <= k <= [n/2] - 2, um polígono de n lados tem n diagonais de ordem k. Se n for par, este polígono terá n/2 diagonais de ordem [n/2] - 1 = (n-2)/2 Se n for ímpar, o polígono terá n diagonais de ordem [n/2] - 1 = (n-3)/2 2. Considere uma dada diagonal (AB, digamos) de ordem k. No sub-polígono de k+2 lados determinado por AB, existem (k-1)(k-2)/2 diagonais que não passam nem por A nem por B. No outro sub-polígono, existem (n-k-3)(n-k-4)/2 diagonais que não passam nem por A nem por B. Todas estas diagonais interceptam AB em algum ponto exterior ao polígono original. Além disso, estas são as únicas diagonais do polígono com essa propriedade. Todas as outras encontram AB em A, B ou em algum ponto interior. Assim, o número total de diagonais que encontram AB fora do polígono é k^2 - (n-2)*k + (n^2-7*n+14)/2. 3. Agora é só somar o número de pontos de interseção externos para cada diagonal, levando em conta a ordem. No final, deve-se dividir por dois, pois a soma computa o ponto onde AB intercepta CD e, depois, o ponto onde CD intercepta AB que, naturalmente, é o mesmo ponto. Depois de muita álgebra braçal eu cheguei a: n*(n-3)*(n-4)*(n-5)/12 *********** Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 10 15:49:21 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA03245 for obm-l-MTTP; Mon, 10 Feb 2003 15:47:43 -0200 Received: from web12901.mail.yahoo.com (web12901.mail.yahoo.com [216.136.174.68]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id PAA03240 for ; Mon, 10 Feb 2003 15:47:39 -0200 Message-ID: <20030210174707.80778.qmail@web12901.mail.yahoo.com> Received: from [200.206.103.3] by web12901.mail.yahoo.com via HTTP; Mon, 10 Feb 2003 14:47:07 ART Date: Mon, 10 Feb 2003 14:47:07 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Johann=20Peter=20Gustav=20Lejeune=20Dirichlet?= Subject: Re: [obm-l] Número de Erdös To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <106.1f7e1250.2b779703@aol.com> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-1717439787-1044899227=:79712" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1758 Lines: 29 --0-1717439787-1044899227=:79712 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Imagine um grafo na qual as pessoas sao conectadas se tiveram um trabalho matematico juntos,tipo o Yoshi liga-se com o Erdos,e o Erdos com o Selberg,e ai vai...O Numero de Erdos e o menor caminho que lewva alguem ao Erdos. Faelccmm@aol.com wrote:Olá pessoal, Alguém poderia me dar uma explicação consistente do que seria o número de Erdös ? --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-1717439787-1044899227=:79712 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

Imagine um grafo na qual as pessoas sao conectadas se tiveram um trabalho matematico juntos,tipo o Yoshi liga-se com o Erdos,e o Erdos com o Selberg,e ai vai...O Numero de Erdos e o menor caminho que lewva alguem ao Erdos.

 Faelccmm@aol.com wrote:

Olá pessoal,

Alguém poderia me dar uma explicação consistente do que seria o número de Erdös ?


Busca Yahoo!
O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-1717439787-1044899227=:79712-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 10 15:50:04 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA03301 for obm-l-MTTP; Mon, 10 Feb 2003 15:48:45 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.134]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA03297 for ; Mon, 10 Feb 2003 15:48:39 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (localhost [127.0.0.1]) by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h1AHmZuR013941 for ; Mon, 10 Feb 2003 15:48:37 -0200 (EDT) Received: by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.5/Submit) id h1AHmYEX013910; Mon, 10 Feb 2003 15:48:34 -0200 (EDT) Message-Id: <200302101748.h1AHmYEX013910@trex.centroin.com.br> Received: from 200.149.177.69 by trex.centroin.com.br (CIPWM versao 1.4C1) with HTTPS for ; Mon, 10 Feb 2003 15:48:33 -0200 (EDT) Date: Mon, 10 Feb 2003 15:48:33 -0200 (EDT) From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: =?iso-8859-1?q?Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_N=FAmero_de_Erd=F6s_?= MIME-Version: 1.0 X-Mailer: CentroIn Internet Provider WebMail v. 1.4C1 (http://www.centroin.com.br/) Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id PAA03298 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2108 Lines: 51 Se ha uma coisa que o Erdos nao tinha era exatamente vaidade.O numero de Erdos foi uma brincadeira de algum dos seus amigos (nao me recordo de qual) extremamente impressionado, como todos que o conheceram, com sua inteligencia e criatividade. Um matematico brasileiro que tem um numero de Erdos baixo eh Gugu. Vamos convida-lo a essa conversa. Em Mon, 10 Feb 2003 13:28:34 -0300, Felipe Villela Dias disse: > Desculpe a pergunta, mas isso tem alguma importância ou é somente um fruto de alguém muito vaidoso??? > ----- Original Message ----- > From: Cláudio (Prática) > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Sent: Monday, February 10, 2003 11:42 AM > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Número de Erdös > > > Número de Erdos é a distância de uma dada pessoa até Paul Erdos em termos de co-autoria de artigos matemáticos. > > Assim, se você escreveu um artigo em co-autoria com o Paul Erdos, você tem Número de Erdos = 1. > > Se você nunca escreveu um artigo junto com ele, mas escreveu um em co-autoria com alguém que tem Número de Erdos = 1, então você tem Número de Erdos = 2. > > Em geral, se dentre os Números de Erdos de cada pessoa com quem você escreveu artigos, o menor é N, então o seu Número de Erdos é N+1. > > Um abraço, > Claudio. > ----- Original Message ----- > From: Faelccmm@aol.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Sent: Sunday, February 09, 2003 8:35 AM > Subject: [obm-l] Número de Erdös > > > Olá pessoal, > > Alguém poderia me dar uma explicação consistente do que seria o número de Erdös ? > > > > --- > Outgoing mail is certified Virus Free. > Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). > Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 10 15:52:32 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA03447 for obm-l-MTTP; Mon, 10 Feb 2003 15:51:06 -0200 Received: from web12903.mail.yahoo.com (web12903.mail.yahoo.com [216.136.174.70]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id PAA03443 for ; Mon, 10 Feb 2003 15:51:01 -0200 Message-ID: <20030210175028.6980.qmail@web12903.mail.yahoo.com> Received: from [200.206.103.3] by web12903.mail.yahoo.com via HTTP; Mon, 10 Feb 2003 14:50:28 ART Date: Mon, 10 Feb 2003 14:50:28 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Johann=20Peter=20Gustav=20Lejeune=20Dirichlet?= Subject: Re: [obm-l] cálculo To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <004201c2d051$7e9f6960$2101a8c0@u2z7z2> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-1973261807-1044899428=:6394" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1802 Lines: 34 --0-1973261807-1044899428=:6394 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Essa da pra usar Cavalieri e deduzir para as de face quadrada. Wagner wrote:Oi pessoal ! Alguém conhece uma demonstração usando cálculo para a fórmula do volume de uma pirâmide? André T. --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-1973261807-1044899428=:6394 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

Essa da pra usar Cavalieri e deduzir para as de face quadrada.

 Wagner <timpa@uol.com.br> wrote:

Oi pessoal !
 
    Alguém conhece uma demonstração usando cálculo para a fórmula do volume de uma pirâmide?
 
André T.


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Depende.O Yoshi e cum brazuco que tem Erdos 1.Mas essa definiçao ja deu varias piadas.Me lembro uma dop Humberto Naves do Numero de Binladen,outra com o ator Roger Bacon...

 Cláudio_(Prática) <claudio@praticacorretora.com.br> wrote:

Importância prática acho que não tem nenhuma. Como Erdos era um matemático de primeira grandeza, acho que vaidade tem um certo peso (mas só se o seu Número de Erdos for igual a 1, ou seja, você é bom o suficiente para co-autorar algum artigo com ele)
----- Original Message -----
Sent: Monday, February 10, 2003 1:28 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número de Erdös

Desculpe a pergunta, mas isso tem alguma importância ou é somente um fruto de alguém muito vaidoso???
----- Original Message -----
Sent: Monday, February 10, 2003 11:42 AM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Número de Erdös

Número de Erdos é a distância de uma dada pessoa até Paul Erdos em termos de co-autoria de artigos matemáticos.
 
Assim, se você escreveu um artigo em co-autoria com o Paul Erdos, você tem Número de Erdos = 1.
 
Se você nunca escreveu um artigo junto com ele, mas escreveu um em co-autoria com alguém que tem Número de Erdos = 1, então você tem Número de Erdos = 2.
 
Em geral, se dentre os Números de Erdos de cada pessoa com quem você escreveu artigos, o menor é N, então o seu Número de Erdos é N+1.
 
Um abraço,
Claudio.
----- Original Message -----
Sent: Sunday, February 09, 2003 8:35 AM
Subject: [obm-l] Número de Erdös

Olá pessoal,

Alguém poderia me dar uma explicação consistente do que seria o número de Erdös ?
 

---
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Vou ter de pensar um pouco mais sobre o quarto. > 1) Em uma cidade com n+1 habitantes , uma pessoa conta > um boato para uma outra pessoa , a qual por sua vez o > conta para uma terceira pessoa , etc.. . calcule a > probabilidade do boato ser contado m vezes: > > a) Sem retornar à primeira pessoa; > b) Sem repetir nenhuma pessoa. > Número de casos possíveis: Escolha da primeira pessoa (pelo originador do boato) para ouvir o boato: n Escolha da segunda pessoa (pela primeira a ouvir o boato) para ouvir o boato: n .... Escolha da m-ésima pessoa (pela (m-1)-ésima a ouvir o boato) para ouvir o boato: n Total = n^m a) Número de casos favoráveis: Escolha do primeiro ouvinte: n Escolha do segundo: n-1 (estão fora o originador do boato e a primeira pessoa a ouvi-lo) Escolha do terceiro: n-1 (estão fora o originador e o segundo ouvinte) ... Escolha do m-ésimo: n-1 Total = n*(n-1)^(m-1) ==> Probabilidade = ((n-1)/n)^(m-1) b) Número de casos favoráveis: Escolha do primeiro ouvinte: n Escolha do segundo: n-1 (estão fora o originador do boato e a primeira pessoa a ouvi-lo) Escolha do terceiro: n-2 (estão fora o originador e os dois primeiros ouvintes) ... Escolha do m-ésimo: n-m+1 (estão fora o originador e os m-1 ouvintes anteriores) Total = n! / (n-m)! ==> Probabilidade = (n!/(n-m)!) / n^m ************* > 2) Em uma cidade , as pessoas falam a verdade com > probabilidade 1/3.suponha que A faz uma afirmação e que > D diz que C diz que B diz que A falou a verdade.Qual a > probabilidade de A ter falado a verdade ? > Esse tem cara de pegadinha! P(A ter falado a verdade) = 1/3, uma vez que cada habitante fala a verdade com 1/3 de probabilidade. Em outras palavras, dane-se o que os outros disseram.... ************** > 3) De quantos modos podemos decompor 2n objetos em n > pares ? > Escolha dos primeiros dois objetos: C(2n,2) Escolha dos dois objetos seguintes: C(2n-2,2) .... Escolha dos últimos dois objetos: C(2,2) Total = C(2n,2)*C(2n-2,2)*...*C(2,2) = (2n)!/(2^n * n!) Repare que, se após escolher os n pares, nós permutarmos os dois objetos dentro de cada par (2^n) e, em seguida, permutarmos os n pares (n!), obteremos o número total de permutações de 2n objetos = (2n)! Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 10 16:42:44 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA07514 for obm-l-MTTP; Mon, 10 Feb 2003 16:40:55 -0200 Received: from trex-b.centroin.com.br (trex-b.centroin.com.br [200.225.63.136]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA07508 for ; Mon, 10 Feb 2003 16:40:49 -0200 Received: from centroin.com.br (RJ177069.user.veloxzone.com.br [200.149.177.69]) (authenticated bits=0) by trex-b.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h1AIeY0o027030 for ; Mon, 10 Feb 2003 16:40:35 -0200 (EDT) Message-ID: <3E480075.4090807@centroin.com.br> Date: Mon, 10 Feb 2003 16:41:41 -0300 From: "A. C. Morgado" User-Agent: Mozilla/5.0 (Windows; U; Windows NT 5.0; en-US; rv:1.0.2) Gecko/20021120 Netscape/7.01 X-Accept-Language: en-us, en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] probabilidade e combinatoria References: <018901c2d13a$70c285e0$3300c57d@bovespa.com> Content-Type: multipart/alternative; boundary="------------080704000804010802060007" Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 7447 Lines: 239 --------------080704000804010802060007 Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit Ha um errinho de digitaçao intermediario no problemados pares. Onde aparece o produto das combinaçoes deveria aparecer o produto dividido por n!. A resposta estah certa Morgado Cláudio (Prática) wrote: >Caro Amurpe: > >Seguem as minhas soluções para os primeiros três problemas. Vou ter de >pensar um pouco mais sobre o quarto. > > > >>1) Em uma cidade com n+1 habitantes , uma pessoa conta >>um boato para uma outra pessoa , a qual por sua vez o >>conta para uma terceira pessoa , etc.. . calcule a >>probabilidade do boato ser contado m vezes: >> >>a) Sem retornar à primeira pessoa; >>b) Sem repetir nenhuma pessoa. >> >> >> >Número de casos possíveis: >Escolha da primeira pessoa (pelo originador do boato) para ouvir o boato: n >Escolha da segunda pessoa (pela primeira a ouvir o boato) para ouvir o >boato: n >.... >Escolha da m-ésima pessoa (pela (m-1)-ésima a ouvir o boato) para ouvir o >boato: n >Total = n^m > >a) Número de casos favoráveis: >Escolha do primeiro ouvinte: n >Escolha do segundo: n-1 (estão fora o originador do boato e a primeira >pessoa a ouvi-lo) >Escolha do terceiro: n-1 (estão fora o originador e o segundo ouvinte) >... >Escolha do m-ésimo: n-1 >Total = n*(n-1)^(m-1) ==> Probabilidade = ((n-1)/n)^(m-1) > >b) Número de casos favoráveis: >Escolha do primeiro ouvinte: n >Escolha do segundo: n-1 (estão fora o originador do boato e a primeira >pessoa a ouvi-lo) >Escolha do terceiro: n-2 (estão fora o originador e os dois primeiros >ouvintes) >... >Escolha do m-ésimo: n-m+1 (estão fora o originador e os m-1 ouvintes >anteriores) >Total = n! / (n-m)! ==> Probabilidade = (n!/(n-m)!) / n^m > >************* > > > >>2) Em uma cidade , as pessoas falam a verdade com >>probabilidade 1/3.suponha que A faz uma afirmação e que >>D diz que C diz que B diz que A falou a verdade.Qual a >>probabilidade de A ter falado a verdade ? >> >> >> > >Esse tem cara de pegadinha! > >P(A ter falado a verdade) = 1/3, uma vez que cada habitante fala a verdade >com 1/3 de probabilidade. >Em outras palavras, dane-se o que os outros disseram.... > >************** > > > >>3) De quantos modos podemos decompor 2n objetos em n >>pares ? >> >> >> >Escolha dos primeiros dois objetos: C(2n,2) >Escolha dos dois objetos seguintes: C(2n-2,2) >.... >Escolha dos últimos dois objetos: C(2,2) > >Total = C(2n,2)*C(2n-2,2)*...*C(2,2) = (2n)!/(2^n * n!) > >Repare que, se após escolher os n pares, nós permutarmos os dois objetos >dentro de cada par (2^n) e, em seguida, permutarmos os n pares (n!), >obteremos o número total de permutações de 2n objetos = (2n)! > > >Um abraço, >Claudio. > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= > > > > --------------080704000804010802060007 Content-Type: text/html; charset=us-ascii Content-Transfer-Encoding: 7bit Ha um errinho de digitaçao intermediario no problemados pares. Onde aparece o produto das combinaçoes deveria aparecer o produto dividido por n!.
A resposta estah certa
Morgado

Cláudio (Prática) wrote:
Caro Amurpe:

Seguem as minhas soluções para os primeiros três problemas. Vou ter de
pensar um pouco mais sobre o quarto.

  
1) Em uma cidade com n+1 habitantes , uma pessoa conta
um boato para uma outra pessoa , a qual por sua vez o
conta para uma terceira pessoa , etc.. . calcule a
probabilidade do boato ser contado m vezes:

a) Sem retornar à primeira pessoa;
b) Sem repetir nenhuma pessoa.

    
Número de casos possíveis:
Escolha da primeira pessoa (pelo originador do boato) para ouvir o boato: n
Escolha da segunda pessoa (pela primeira a ouvir o boato) para ouvir o
boato: n
....
Escolha da m-ésima pessoa (pela (m-1)-ésima a ouvir o boato) para ouvir o
boato: n
Total = n^m

a) Número de casos favoráveis:
Escolha do primeiro ouvinte: n
Escolha do segundo: n-1  (estão fora o originador do boato e a primeira
pessoa a ouvi-lo)
Escolha do terceiro: n-1 (estão fora o originador e o segundo ouvinte)
...
Escolha do m-ésimo: n-1
Total = n*(n-1)^(m-1)  ==>  Probabilidade = ((n-1)/n)^(m-1)

b) Número de casos favoráveis:
Escolha do primeiro ouvinte: n
Escolha do segundo: n-1  (estão fora o originador do boato e a primeira
pessoa a ouvi-lo)
Escolha do terceiro: n-2  (estão fora o originador e os dois primeiros
ouvintes)
...
Escolha do m-ésimo: n-m+1 (estão fora o originador e os m-1 ouvintes
anteriores)
Total = n! / (n-m)!  ==>  Probabilidade = (n!/(n-m)!) / n^m

*************

  
2) Em uma cidade , as pessoas falam a verdade com
probabilidade 1/3.suponha que A faz uma afirmação e que
D diz que C diz que B diz que A falou a verdade.Qual a
probabilidade de A ter falado a verdade ?

    

Esse tem cara de pegadinha!

P(A ter falado a verdade) = 1/3, uma vez que cada habitante fala a verdade
com 1/3 de probabilidade.
Em outras palavras, dane-se o que os outros disseram....

**************

  
3) De quantos modos podemos decompor 2n objetos em n
pares ?

    
Escolha dos primeiros dois objetos: C(2n,2)
Escolha dos dois objetos seguintes: C(2n-2,2)
....
Escolha dos últimos dois objetos: C(2,2)

Total = C(2n,2)*C(2n-2,2)*...*C(2,2) = (2n)!/(2^n * n!)

Repare que, se após escolher os n pares, nós permutarmos os dois objetos
dentro de cada par (2^n) e, em seguida, permutarmos os n pares (n!),
obteremos o número total de permutações de 2n objetos = (2n)!


Um abraço,
Claudio.

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Essa questao caiu no "Tungyr Daragov",ou Tournaments of Towns,e alguem da lista faz muito tempo nao viu resposta para esse(eu nao participava de lista nenhuma nesse tempo),logo e meu dever responder.Eu olhei num momento de spleen total,na larica.

Temos dois magicos que devem fazer um truque com um baralho de 52 cartas como o tradicional.Alguem da plateia deve escolher aleatoriamente cinco cartas.O primeiro magico deve escolher uma dessas cartas e da-la para o cara da plateia,que a guardara no bolso.As restantes sao colocadas em cima de uma mesa,em uma certa ordem.O segundo magico faz uma entrada triunfal e adivinha,olhando as 4 cartas na mesa,que carta esta no bolso do cara da plateia.

Sem usar truques de espelho nem nada desse teor,e possivel algo assim?

Um espaço pra quem quiser pensar.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RESPOSTA:Sim,e possivel.Essa soluçao e do Andre Danila,de Sampa.Ele me contou que estava no sono REM quando resolveu,e o Carlos 0,Shine deu Ursinho Pooh de premio.

Como ha 5 cartas e 4 naipes havera duas cartas de mesmo naipe.Uma dessas cartas sera deixada na mesa e a outra sera escondida.Diremos qual sera ela.

Crie uma roda das cartas,colocando os numeros nos mostradores de um relogio:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K (ou noutra ordem assim,isso nao impede o truque).Dadas essas duas cartas de mesmo naipe coloque-as na roda das cartas e veja a menor distancia entre elas e anote.Essa distancia nao passa de seis.Assim sendo pegue a carta mais perto do 1 na roda das cartas(em caso de equidistancia pegue a menor) e de pra plateia.Agora use uma funçao que a cada permutaçao dos numeros 1,2,3 associa uma distancia de um a seis.Assim sendo use esta permutaçao com a funçao para ordenar as cartas no sentido de que

1)A primeira carta detectara o naipe.

2)As outras tres serao os indicadores de distancia da primeira carta ate a escondida.E so associar a ordem crescente por exemplo.

E pronto!Temos o pedido.

Por favor confiram a conta que ela ficou doida!!!!



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Entretanto, caso o número de assentos estiver acima de 80, o rendimento semanal de cada assento será reduzido em R$ 5,00 por cada assento que exceder os 80. Quantos assentos a lanchonete deverá comportar para se obter o máximo rendimento semanal ? Qual é o seu rendimento máximo ?" E neste outro problema: (minha dificuldade aqui é entender o que o problema entende por ângulo de elevação do avião. Já tentei resolver de várias maneiras mas não consigo chegar aos 69,8 km/h que é a resposta). "Um avião a uma altitude de 3.000m voa em velocidade constante segundo uma reta que o levará a passar diretamente acima de um observador no solo. Se, em dado instante, o observador nota que o ângulo de elevação do avião é de 60 graus e está aumentando à razão de 1 grau por segundo, determine a velocidade do avião." Agradeço desde já pela ajuda. []´s Marcos _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. 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O Gugu tem Erdos dois eu acho,e o Yoshiharu Kohayakawa tem Erdos um. Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote:Se ha uma coisa que o Erdos nao tinha era exatamente vaidade.O numero de Erdos foi uma brincadeira de algum dos seus amigos (nao me recordo de qual) extremamente impressionado, como todos que o conheceram, com sua inteligencia e criatividade. Um matematico brasileiro que tem um numero de Erdos baixo eh Gugu. Vamos convida-lo a essa conversa. Em Mon, 10 Feb 2003 13:28:34 -0300, Felipe Villela Dias disse: > Desculpe a pergunta, mas isso tem alguma importância ou é somente um fruto de alguém muito vaidoso??? > ----- Original Message ----- > From: Cláudio (Prática) > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Sent: Monday, February 10, 2003 11:42 AM > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Número de Erdös > > > Número de Erdos é a distância de uma dada pessoa até Paul Erdos em termos de co-autoria de artigos matemáticos. > > Assim, se você escreveu um artigo em co-autoria com o Paul Erdos, você tem Número de Erdos = 1. > > Se você nunca escreveu um artigo junto com ele, mas escreveu um em co-autoria com alguém que tem Número de Erdos = 1, então você tem Número de Erdos = 2. > > Em geral, se dentre os Números de Erdos de cada pessoa com quem você escreveu artigos, o menor é N, então o seu Número de Erdos é N+1. > > Um abraço, > Claudio. > ----- Original Message ----- > From: Faelccmm@aol.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Sent: Sunday, February 09, 2003 8:35 AM > Subject: [obm-l] Número de Erdös > > > Olá pessoal, > > Alguém poderia me dar uma explicação consistente do que seria o número de Erdös ? > > > > --- > Outgoing mail is certified Virus Free. > Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). > Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= --------------------------------- Busca Yahoo! 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Alias acho que isso.O Erdos e simplesmente o maior matematico do seculo passado,e esta entre os melhores.E era dono de uma genialidade incrivel.E ele fazia trabalhos com varios caras,desde Eurekas da vida ate teses de doutorado.Ele viajava a dar com o pau.

O Gugu tem Erdos dois eu acho,e o Yoshiharu Kohayakawa tem Erdos um.

Augusto Cesar de Oliveira Morgado <morgado@centroin.com.br> wrote:

Se ha uma coisa que o Erdos nao tinha era exatamente vaidade.O numero de Erdos foi uma brincadeira de algum dos seus amigos (nao me recordo de qual) extremamente impressionado, como todos que o conheceram, com sua inteligencia e criatividade.
Um matematico brasileiro que tem um numero de Erdos baixo eh Gugu. Vamos convida-lo a essa conversa.







Em Mon, 10 Feb 2003 13:28:34 -0300, Felipe Villela Dias disse:

> Desculpe a pergunta, mas isso tem alguma importância ou é somente um fruto de alguém muito vaidoso???
> ----- Original Message -----
> From: Cláudio (Prática)
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Sent: Monday, February 10, 2003 11:42 AM
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Número de Erdös
>
>
> Número de Erdos é a distância de uma dada pessoa até Paul Erdos em termos de co-autoria de artigos matemáticos.
>
> Assim, se você escreveu um artigo em co-autoria com o Paul Erdos, você tem Número de Erdos = 1.
>
> Se você nunca escreveu um artigo junto com ele, mas escreveu um em co-autoria com alguém que tem Número de Erdos = 1, então você tem Número de Erdos = 2.
>
> Em geral, se dentre os Números de Erdos de cada pessoa com quem você escreveu artigos, o menor é N, então o seu Número de Erdos é N+1.
>
> Um abraço,
> Claudio.
> ----- Original Message -----
> From: Faelccmm@aol.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Sent: Sunday, February 09, 2003 8:35 AM
> Subject: [obm-l] Número de Erdös
>
>
> Olá pessoal,
>
> Alguém poderia me dar uma explicação consistente do que seria o número de Erdös ?
>
>
>
> ---
> Outgoing mail is certified Virus Free.
> Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).
> Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003
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O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-467881029-1044902985=:72684-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 10 17:10:13 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA09023 for obm-l-MTTP; Mon, 10 Feb 2003 17:08:38 -0200 Received: from web41507.mail.yahoo.com (web41507.mail.yahoo.com [66.218.93.90]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id RAA09019 for ; Mon, 10 Feb 2003 17:08:34 -0200 Message-ID: <20030210190802.65432.qmail@web41507.mail.yahoo.com> Received: from [200.199.181.238] by web41507.mail.yahoo.com via HTTP; Mon, 10 Feb 2003 16:08:02 ART Date: Mon, 10 Feb 2003 16:08:02 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?elton=20francisco=20ferreira?= Subject: [obm-l] um problema To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1072 Lines: 27 Em um concurso , 1/10 dos aprovados foi selecionado para entrevista com psicólogos, que deverá ser feita em 2 dias. Sabendo-se que 20 candidatos desistiram, não confrimando sua presença para a entrevista, os psicólogos observaram que, se cada um atendesse 9 por dia, deixariam 34 jovens sem atendimento. Para cumprir a meta em tempo hábil, cada um se dispôs, então, a atender 10 candidatos por dia. Com base nisso, é correto afirmar que o número de aprovados no concurso a) É múltiplo de 600 b) É divisor de 720 c) É igual a 3400 d) Está compreendido entre 1000 e 3000 _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! 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Uma pessoa retirou dessa caixa a importância de R$ 65,00, recebendo 10 notas. O produto do número de notas de R$ 5,00 pelo número de notas de R$ 10,00 é igual a 16 25 24 21 _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! 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Se usasemos integral iterada? Através dela podemos achar a área de um tetraedro, uma pirâimide com base poligonal de n lados pode ser decomposta em n-2 tetraedros...seria um caminho? Abraços a todos Edu ----Mensagem original----- De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Enviada em: segunda-feira, 10 de fevereiro de 2003 14:50 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] cálculo Essa da pra usar Cavalieri e deduzir para as de face quadrada. Wagner wrote: Oi pessoal ! Alguém conhece uma demonstração usando cálculo para a fórmula do volume de uma pirâmide? André T. ---------------------------------------------------------------------------- -- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). 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Gente,=20 n=E3o sei se seia o caso considerar a base = quadrada....
 
Se=20 usasemos integral iterada? Atrav=E9s dela podemos achar a =E1rea de um = tetraedro,=20 uma pir=E2imide com base poligonal de n lados pode ser decomposta em n-2 = tetraedros...seria um caminho?
 
Abra=E7os a todos
 
Edu

 ----Mensagem=20 original-----
De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br=20 [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de Johann Peter = Gustav=20 Lejeune Dirichlet
Enviada em: segunda-feira, 10 de fevereiro = de 2003=20 14:50
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: = [obm-l]=20 c=E1lculo

Essa da pra usar Cavalieri e deduzir para as de face quadrada.=20

 Wagner <timpa@uol.com.br> wrote:=20

Oi pessoal !
 
    Algu=E9m conhece = uma=20 demonstra=E7=E3o usando c=E1lculo para a f=F3rmula do volume de uma=20 pir=E2mide?
 
Andr=E9 = T.


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C. Morgado" User-Agent: Mozilla/5.0 (Windows; U; Windows NT 5.0; en-US; rv:1.0.2) Gecko/20021120 Netscape/7.01 X-Accept-Language: en-us, en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] um problema References: <20030210190802.65432.qmail@web41507.mail.yahoo.com> Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1659 Lines: 48 Seja n o numero de candidatos que serao atendidos e seja t o numero de dias de atendimento. 9t+34 = n n=10t Daih, t=34 e n=340 Os que foram convocados sao 360 e o numero de aprovados eh 3600 A elton francisco ferreira wrote: >Em um concurso , 1/10 dos aprovados foi selecionado >para entrevista com psicólogos, que deverá ser feita >em 2 dias. Sabendo-se que 20 candidatos desistiram, >não confrimando sua presença para a entrevista, os >psicólogos observaram que, se cada um atendesse 9 por >dia, deixariam 34 jovens sem atendimento. > >Para cumprir a meta em tempo hábil, cada um se dispôs, >então, a atender 10 candidatos por dia. >Com base nisso, é correto afirmar que o número de >aprovados no concurso > >a) É múltiplo de 600 >b) É divisor de 720 >c) É igual a 3400 >d) Está compreendido entre 1000 e 3000 > > >_______________________________________________________________________ >Busca Yahoo! >O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet >http://br.busca.yahoo.com/ >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= > > > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 10 17:30:18 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA10788 for obm-l-MTTP; Mon, 10 Feb 2003 17:29:00 -0200 Received: from trex-b.centroin.com.br (trex-b.centroin.com.br [200.225.63.136]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA10778 for ; Mon, 10 Feb 2003 17:28:55 -0200 Received: from centroin.com.br (RJ177069.user.veloxzone.com.br [200.149.177.69]) (authenticated bits=0) by trex-b.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h1AJSl0o029034 for ; Mon, 10 Feb 2003 17:28:47 -0200 (EDT) Message-ID: <3E480BC1.1050902@centroin.com.br> Date: Mon, 10 Feb 2003 17:29:53 -0300 From: "A. C. Morgado" User-Agent: Mozilla/5.0 (Windows; U; Windows NT 5.0; en-US; rv:1.0.2) Gecko/20021120 Netscape/7.01 X-Accept-Language: en-us, en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Problema 04 References: <20030210191025.27693.qmail@web41505.mail.yahoo.com> Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1245 Lines: 40 c, quantidade de notas de cinco; d, quantidade de notas de dez c+d=10 5c+10d = 65 Daih, d=3 e c=7 Resposta: 21 elton francisco ferreira wrote: >Um caixa automática de um banco só libera notas de R$ >5,00 e R$ 10,00. Uma pessoa retirou dessa caixa a >importância de R$ 65,00, recebendo 10 notas. O produto >do número de notas de R$ 5,00 pelo número de notas de >R$ 10,00 é igual a > >16 >25 >24 >21 > > >_______________________________________________________________________ >Busca Yahoo! >O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet >http://br.busca.yahoo.com/ >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= > > > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 10 17:52:51 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA13212 for obm-l-MTTP; Mon, 10 Feb 2003 17:51:27 -0200 Received: from smtp016.mail.yahoo.com (smtp016.mail.yahoo.com [216.136.174.113]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id RAA13205 for ; Mon, 10 Feb 2003 17:51:23 -0200 Received: from 200-153-141-90.dsl.telesp.net.br (HELO thor) (edu?matematica@200.153.141.90 with login) by smtp.mail.vip.sc5.yahoo.com with SMTP; 10 Feb 2003 19:50:51 -0000 From: "Eduardo" To: Subject: RES: [obm-l] Problema 04 Date: Mon, 10 Feb 2003 17:51:06 -0300 Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook IMO, Build 9.0.2416 (9.0.2910.0) In-Reply-To: <20030210191025.27693.qmail@web41505.mail.yahoo.com> X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Importance: Normal Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1895 Lines: 56 Elton...faça um sistema abraços edu -----Mensagem original----- De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de elton francisco ferreira Enviada em: segunda-feira, 10 de fevereiro de 2003 16:10 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Problema 04 Um caixa automática de um banco só libera notas de R$ 5,00 e R$ 10,00. Uma pessoa retirou dessa caixa a importância de R$ 65,00, recebendo 10 notas. O produto do número de notas de R$ 5,00 pelo número de notas de R$ 10,00 é igual a 16 25 24 21 _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= --- Incoming mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). 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Temos dois magicos que devem fazer um truque com um baralho de 52 = cartas como o tradicional.Alguem da plateia deve escolher aleatoriamente = cinco cartas.O primeiro magico deve escolher uma dessas cartas e da-la = para o cara da plateia,que a guardara no bolso.As restantes sao = colocadas em cima de uma mesa,em uma certa ordem.O segundo magico faz = uma entrada triunfal e adivinha,olhando as 4 cartas na mesa,que carta = esta no bolso do cara da plateia. Sem usar truques de espelho nem nada desse teor,e possivel algo assim? Um espa=E7o pra quem quiser pensar. RESPOSTA:Sim,e possivel.Essa solu=E7ao e do Andre Danila,de Sampa.Ele = me contou que estava no sono REM quando resolveu,e o Carlos 0,Shine deu = Ursinho Pooh de premio. Como ha 5 cartas e 4 naipes havera duas cartas de mesmo naipe.Uma = dessas cartas sera deixada na mesa e a outra sera escondida.Diremos qual = sera ela. Crie uma roda das cartas,colocando os numeros nos mostradores de um = relogio:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K (ou noutra ordem assim,isso nao = impede o truque).Dadas essas duas cartas de mesmo naipe coloque-as na = roda das cartas e veja a menor distancia entre elas e anote.Essa = distancia nao passa de seis.Assim sendo pegue a carta mais perto do 1 na = roda das cartas(em caso de equidistancia pegue a menor) e de pra = plateia.Agora use uma fun=E7ao que a cada permuta=E7ao dos numeros 1,2,3 = associa uma distancia de um a seis.Assim sendo use esta permuta=E7ao com = a fun=E7ao para ordenar as cartas no sentido de que=20 1)A primeira carta detectara o naipe. 2)As outras tres serao os indicadores de distancia da primeira carta = ate a escondida.E so associar a ordem crescente por exemplo. E pronto!Temos o pedido. Por favor confiram a conta que ela ficou doida!!!! TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) -------------------------------------------------------------------------= ----- Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o = Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_0201_01C2D12D.75BDC620 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Acho que o Gugu j=E1 escreveu alguma = coisa na lista=20 sobre este problema no fim do ano passado.
----- Original Message -----
From:=20 Johann Peter Gustav = Lejeune=20 Dirichlet
To: teoremaprob@yahoogrupos.co= m.br=20 ; obm-l@mat.puc-rio.br ; teoremalista@yahoogrupos.= com.br=20
Sent: Monday, February 10, 2003 = 3:44=20 PM
Subject: [obm-l] Para quem = gosta,essa e=20 do baralho

Essa questao caiu no "Tungyr Daragov",ou Tournaments of Towns,e = alguem da=20 lista faz muito tempo nao viu resposta para esse(eu nao participava de = lista=20 nenhuma nesse tempo),logo e meu dever responder.Eu olhei num momento = de spleen=20 total,na larica.

Temos dois magicos que devem fazer um truque com um baralho de 52 = cartas=20 como o tradicional.Alguem da plateia deve escolher aleatoriamente = cinco=20 cartas.O primeiro magico deve escolher uma dessas cartas e da-la = para o=20 cara da plateia,que a guardara no bolso.As restantes sao colocadas em = cima de=20 uma mesa,em uma certa ordem.O segundo magico faz uma entrada triunfal = e=20 adivinha,olhando as 4 cartas na mesa,que carta esta no bolso do cara = da=20 plateia.

Sem usar truques de espelho nem nada desse teor,e possivel algo = assim?

Um espa=E7o pra quem quiser pensar.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RESPOSTA:Sim,e possivel.Essa solu=E7ao e do Andre Danila,de = Sampa.Ele me=20 contou que estava no sono REM quando resolveu,e o Carlos 0,Shine deu = Ursinho=20 Pooh de premio.

Como ha 5 cartas e 4 naipes havera duas cartas de mesmo naipe.Uma = dessas=20 cartas sera deixada na mesa e a outra sera escondida.Diremos qual sera = ela.

Crie uma roda das cartas,colocando os numeros nos mostradores de um = relogio:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K (ou noutra ordem assim,isso nao = impede o=20 truque).Dadas essas duas cartas de mesmo naipe coloque-as na roda das = cartas e=20 veja a menor distancia entre elas e anote.Essa distancia nao passa de=20 seis.Assim sendo pegue a carta mais perto do 1 na roda das cartas(em = caso de=20 equidistancia pegue a menor) e de pra plateia.Agora use uma fun=E7ao = que a cada=20 permuta=E7ao dos numeros 1,2,3 associa uma distancia de um a = seis.Assim=20 sendo use esta permuta=E7ao com a fun=E7ao para ordenar as cartas no = sentido de=20 que

1)A primeira carta detectara o naipe.

2)As outras tres serao os indicadores de distancia da primeira = carta ate a=20 escondida.E so associar a ordem crescente por exemplo.

E pronto!Temos o pedido.

Por favor confiram a conta que ela ficou doida!!!!



TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE

CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA = TRIBVERE

Fields Medal(John Charles Fields)


Busca Yahoo!
O = servi=E7o de=20 busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o Yahoo!=20 encontra. ------=_NextPart_000_0201_01C2D12D.75BDC620-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 10 18:03:46 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA14176 for obm-l-MTTP; Mon, 10 Feb 2003 18:02:25 -0200 Received: from smtp013.mail.yahoo.com (smtp013.mail.yahoo.com [216.136.173.57]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id SAA14171 for ; Mon, 10 Feb 2003 18:02:21 -0200 Received: from 200-153-141-90.dsl.telesp.net.br (HELO thor) (edu?matematica@200.153.141.90 with login) by smtp.mail.vip.sc5.yahoo.com with SMTP; 10 Feb 2003 20:01:49 -0000 From: "Eduardo" To: "Obm-L" Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?N=FAmeros_complexos?= Date: Mon, 10 Feb 2003 18:02:05 -0300 Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_001A_01C2D12E.85239E40" X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook IMO, Build 9.0.2416 (9.0.2910.0) X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Importance: Normal Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2428 Lines: 68 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_001A_01C2D12E.85239E40 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit Galera, estou com uma dúvida relacionada a números complexos, digamos que histórica. A primeira definição é i^2 =-1 ou a definição foi feita primeiramente para (a; b)x(c; d)? Abraços Edu --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 ------=_NextPart_000_001A_01C2D12E.85239E40 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Galera, estou com=20 uma d=FAvida relacionada a n=FAmeros complexos, digamos que=20 hist=F3rica.
 
 
A = primeira defini=E7=E3o=20 =E9 i^2 =3D-1 ou a defini=E7=E3o foi feita primeiramente para (a; b)x(c; = d)?
 
Abra=E7os
 
Edu
------=_NextPart_000_001A_01C2D12E.85239E40-- _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 10 18:04:13 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA14247 for obm-l-MTTP; Mon, 10 Feb 2003 18:02:55 -0200 Received: from birosca.ime.usp.br (birosca.ime.usp.br [143.107.45.59]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id SAA14243 for ; Mon, 10 Feb 2003 18:02:52 -0200 Received: (qmail 19861 invoked from network); 10 Feb 2003 20:02:07 -0000 Received: from mafalda.ime.usp.br (HELO bidu.ime.usp.br) (143.107.45.13) by birosca.ime.usp.br with SMTP; 10 Feb 2003 20:02:07 -0000 Received: (qmail 25262 invoked by uid 216); 10 Feb 2003 20:00:44 -0000 Date: Mon, 10 Feb 2003 18:00:44 -0200 (EDT) From: Angelo Barone Netto X-Sender: barone@mafalda To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?RES:_=5Bobm-l=5D_Ol=E1-_Constru=E7=E3o_Geom=E9trica?= In-Reply-To: Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=ISO-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id SAA14244 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 4058 Lines: 119 Pequeno adendo: Este esta à pg. 89 do livro da Olimpiada Brasileira de Matematica, 1a a 8a. Angelo Barone{\ --\ }Netto Universidade de Sao Paulo Departamento de Matematica Aplicada Instituto de Matematica e Estatistica Rua do Matao, 1010 Butanta - Cidade Universitaria Caixa Postal 66 281 phone +55-11-3091-6162/6224/6136 05311-970 - Sao Paulo - SP fax +55-11-3091-6131 Agencia Cidade de Sao Paulo . On Fri, 7 Feb 2003, Eduardo wrote: > Olá, > > Bem, primeiramente muito obrigado. > Eu possuo a coletânea de 1977 a 1997, está neste período? Eu dei uma olhada > e não encontrei, de qualquer forma vou procurar pelo livro, creio que no > Caem deve ter... > > Abraços > > Edu > > -----Mensagem original----- > De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br > [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de Eduardo Wagner > Enviada em: sábado, 8 de fevereiro de 2003 22:33 > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Assunto: Re: [obm-l] Olá- Construção Geométrica > > > Caro Edu: > > Este eh o problema 89 do livro da Olimpiada Brasileira > de Matematica, 1a a 8a. > Adquira este livro. Voce vai ver a solucao detalhada > desta problema e vai conhecer muitos outros problemas > interessantes. Entre em contato com a secretaria da > OBM pelo e-mail ou pelo telefone > 25295077. > > > ---------- > >From: "Eduardo" > >To: > >Subject: [obm-l] Olá- Construção Geométrica > >Date: Thu, Feb 6, 2003, 9:29 PM > > > > > Olá, pessoas > > > > Acabo de ingressar na lista e gostaria de propor um problema: > > > > Dados dois segmentos a e b, construir um segmento de medida (a^4+b^4)^1/4 > > > > Se alguém puder me ajudar... > > > > abraços > > > > Edu > > --- > > Outgoing mail is certified Virus Free. > > Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). > > Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 > > > > _______________________________________________________________________ > > Busca Yahoo! > > O serviço de busca mais completo da Internet. 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C. Morgado" User-Agent: Mozilla/5.0 (Windows; U; Windows NT 5.0; en-US; rv:1.0.2) Gecko/20021120 Netscape/7.01 X-Accept-Language: en-us, en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?N=FAmeros_complexos?= References: Content-Type: multipart/alternative; boundary="------------030001010401010400090506" Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2459 Lines: 75 --------------030001010401010400090506 Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit A primeira. Em A matematica do Ensino Medio, volume 3, voce encontra uma mini-historia dos complexos. Morgado Eduardo wrote: > Galera, estou com uma dúvida relacionada a números complexos, digamos > que histórica. > > > A primeira definição é i^2 =-1 ou a definição foi feita primeiramente > para (a; b)x(c; d)? > > Abraços > > Edu --------------030001010401010400090506 Content-Type: text/html; charset=us-ascii Content-Transfer-Encoding: 7bit A primeira. Em A matematica do Ensino Medio, volume 3, voce encontra uma mini-historia dos complexos.
Morgado

Eduardo wrote:
Galera, estou com uma dúvida relacionada a números complexos, digamos que histórica.
 
 
A primeira definição é i^2 =-1 ou a definição foi feita primeiramente para (a; b)x(c; d)?
 
Abraços
 
Edu

--------------030001010401010400090506-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 10 18:20:05 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA15834 for obm-l-MTTP; Mon, 10 Feb 2003 18:18:44 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA15829 for ; Mon, 10 Feb 2003 18:18:41 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.228]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1AKH4n28439 for ; Mon, 10 Feb 2003 18:17:04 -0200 Message-ID: <020f01c2d14a$464c8440$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030210184853.39738.qmail@web21306.mail.yahoo.com> Subject: Re: [obm-l] ajuda Date: Mon, 10 Feb 2003 18:20:44 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2706 Lines: 77 Caro Marcos Reynaldo: Seguem abaixo minhas soluções para os dois problemas. > "No planejamento de uma lanchonete estimou-se que se > existem lugares para até 80 pessoas o rendimento > semanal será de R$ 700,00 por assento. Entretanto, > caso o número de assentos estiver acima de 80, o > rendimento semanal de cada assento será reduzido em R$ > 5,00 por cada assento que exceder os 80. Quantos > assentos a lanchonete deverá comportar para se obter o > máximo rendimento semanal ? Qual é o seu rendimento > máximo ?" > Rendimento Semanal por Assento = R(n) n <= 80 ==> R(n) = 700 n >= 81 ==> R(n) = 700 - 5*(n-80) = 1.100 - 5*n Rendimento Semanal Total = T(n) = n*R(n) n <= 80 ==> T(n) = 700*n n >= 81 ==> T(n) = 1.100*n - 5*n^2 se n<= 80, T será máximo para n = 80 (Tmax = 56.000) se n >= 81, T será máximo para n = 110 (Tmax = 60.500) Logo, a lanchonete deverá comportar 110 assentos, para um rendimento máximo com lotação total igual a R$ 60.500 / semana. ************** > E neste outro problema: (minha dificuldade aqui é > entender o que o problema entende por ângulo de > elevação do avião. Já tentei resolver de várias > maneiras mas não consigo chegar aos 69,8 km/h que é a > resposta). > > "Um avião a uma altitude de 3.000m voa em velocidade > constante segundo uma reta que o levará a passar > diretamente acima de um observador no solo. Se, em > dado instante, o observador nota que o ângulo de > elevação do avião é de 60 graus e está aumentando à > razão de 1 grau por segundo, determine a velocidade do > avião." > Normalmente, ângulo de elevação é o ângulo que a reta que liga o observador ao avião faz com a horizontal. Sejam: H = altura do avião = 3.000 m; X = distância horizontal entre o avião e o ponto diretamente acima do observador (a uma altura H); Theta = ângulo de elevação. Temos que: H/X = tg(Theta) ==> X = H*ctg(Theta) = 3.000*ctg(Theta) ==> dX/dt = -3.000/sen^2(Theta) * d(Theta)/dt MUITO IMPORTANTE: Ao calcular derivadas de funções trigonométricas, é fundamental converter as unidades de graus para radianos. Quando Theta = 60 graus = Pi/3 radianos, d(Theta)/dt = 1 grau/seg = 0,017453293 rad/seg==> dX/dt = -3.000/sen^2(Pi/3) * 0,017453293 = -3.000/(3/4) * 0,017453293 = -69,81 m/s Logo, V(avião) é 69,81 m/s, aproximando-se do observador (ou seja X está diminuindo, o que explica o sinal negativo). Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 10 18:57:19 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA18094 for obm-l-MTTP; Mon, 10 Feb 2003 18:55:52 -0200 Received: from trex-b.centroin.com.br (trex-b.centroin.com.br [200.225.63.136]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA18090 for ; Mon, 10 Feb 2003 18:55:49 -0200 Received: from centroin.com.br (RJ177069.user.veloxzone.com.br [200.149.177.69]) (authenticated bits=0) by trex-b.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h1AKtf0o002445 for ; Mon, 10 Feb 2003 18:55:41 -0200 (EDT) Message-ID: <3E48201F.3060508@centroin.com.br> Date: Mon, 10 Feb 2003 18:56:47 -0300 From: "A. C. Morgado" User-Agent: Mozilla/5.0 (Windows; U; Windows NT 5.0; en-US; rv:1.0.2) Gecko/20021120 Netscape/7.01 X-Accept-Language: en-us, en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Lista paralela e gabaritos errados Content-Type: multipart/alternative; boundary="------------010809080300000401010501" Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 3681 Lines: 81 --------------010809080300000401010501 Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit A respeito da criaçao de uma lista paralele e tambem do problema de gabaritos errados, ja enviei uma mensagem para a lista dando minha opiniao. Naquela mensagem citava o Claudio, pessoa que, nos ultimos tempos, tem sido a que mais tem ajudado a dirimir duvidas de nossos companheiros. Vou transcrever parte de mensagem enviada para mim pelo Claudio, em correspondencia particular. Desnecessario dizer que o faço com sua autorizaçao e que concordo com todas as suas palavras. "Só pra deixar claro, minhas opiniões são as seguintes: 1. A lista deve ser única - se algum problema não lhe interessar, simplesmente ignore-o. Além disso, elementar ou avançado é uma questão de opinião e de estágio do aprendizado em que a pessoa se encontra. 2. Quem escreveu ou editou os gabaritos do Fael está fazendo um grande mal a quem quer estudar matemática, principalmente àqueles que não tem a sorte dele de ter descoberto esta nossa lista. Acho mesmo que o Fael deveria escrever para a editora e informá-los sobre todos os erros. 3. Pra mim, a lista é uma oportunidade de aprender, ajudar os outros se for possível e me divertir. Me chateia muito ver algumas mensagens mal-humoradas e até mesmo mal-educadas ou arrogantes." Abraços a todos. Morgado --------------010809080300000401010501 Content-Type: text/html; charset=us-ascii Content-Transfer-Encoding: 7bit A respeito da criaçao de uma lista paralele e tambem do problema de gabaritos errados, ja enviei uma mensagem para a lista dando minha opiniao. Naquela mensagem citava o Claudio, pessoa que, nos ultimos tempos, tem sido a que mais tem ajudado a dirimir duvidas de nossos companheiros. Vou transcrever parte de mensagem enviada para mim pelo Claudio, em correspondencia particular. Desnecessario dizer que o faço com sua autorizaçao e que concordo com todas as suas palavras.


"Só pra deixar claro, minhas opiniões são as seguintes:
1. A lista deve ser única - se algum problema não lhe interessar, simplesmente ignore-o. Além disso, elementar ou avançado é uma questão de opinião e de estágio do aprendizado em que a pessoa se encontra.
2. Quem escreveu ou editou os gabaritos do Fael está fazendo um grande mal a quem quer estudar matemática, principalmente àqueles que não tem a sorte dele de ter descoberto esta nossa lista. Acho mesmo que o Fael deveria escrever para a editora e informá-los sobre todos os erros.
3. Pra mim, a lista é uma oportunidade de aprender, ajudar os outros se for possível e me divertir. Me chateia muito ver algumas mensagens mal-humoradas e até mesmo mal-educadas ou arrogantes."
 
Abraços a todos.
Morgado
--------------010809080300000401010501-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 10 20:40:04 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA21234 for obm-l-MTTP; Mon, 10 Feb 2003 20:38:22 -0200 Received: from trex-b.centroin.com.br (trex-b.centroin.com.br [200.225.63.136]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id UAA21228 for ; Mon, 10 Feb 2003 20:38:18 -0200 Received: from praticacorretora.com.br (RJ177069.user.veloxzone.com.br [200.149.177.69]) (authenticated bits=0) by trex-b.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h1AMcA0o005507 for ; Mon, 10 Feb 2003 20:38:10 -0200 (EDT) Message-ID: <3E483824.2040503@praticacorretora.com.br> Date: Mon, 10 Feb 2003 20:39:16 -0300 From: =?ISO-8859-1?Q?=22Claudio_=28Pr=E1tica=29=22?= User-Agent: Mozilla/5.0 (Windows; U; Windows NT 5.0; en-US; rv:1.0.2) Gecko/20021120 Netscape/7.01 X-Accept-Language: en-us, en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Combinatoria e probabilidade Content-Type: multipart/alternative; boundary="------------080303060301090309070108" Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 4947 Lines: 121 --------------080303060301090309070108 Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit Claudio escreveu: 2) Em uma cidade , as pessoas falam a verdade com > probabilidade 1/3.suponha que A faz uma afirmação e que > D diz que C diz que B diz que A falou a verdade.Qual a > probabilidade de A ter falado a verdade ? > Esse tem cara de pegadinha! P(A ter falado a verdade) = 1/3, uma vez que cada habitante fala a verdade com 1/3 de probabilidade. Em outras palavras, dane-se o que os outros disseram.... ************** Claudio reconsiderou: Como na cidade as pessoas mentem muito (probabilidade de mentir = 2/3), toda vez que alguem diz que X falou a verdade, isso aumenta a probabilidade de X haver mentido. Vamos reduzir o problema para nos convencermos disso. Em uma cidade , as pessoas falam a verdade com probabilidade 1/3.suponha que A faz uma afirmação e que B diz que A falou a verdade.Qual a probabilidade de A ter falado a verdade ? Vamos fazer uma arvore: Inicialmente dois galhos correspondentes a A e (A), significando A falou a verdade e A mentiu, respectivamente. As probs desses galhos sao 1/3 e 2/3, respectivamente.De cada galho saem mais dois galhos B e (B), significando B disse que A falou a verdade e B disse que A mentiu, respectivamente. O galho que começa em A e leva a B tem prob 1/3; o galho que começa em A e leva a (B) tem prob 2/3; o galho que começa em (A) e leva a B tem prob 2/3; o galho que começa em (A) e leva a (B) tem prob 1/3. Queremos calcular P[A na certeza de B] = P[A interseçao B] / P[B]= [1/3*1/3]/[[1/3*1/3+2/3*2/3] = 1/5 ao passo que P[A] = 1/3. Realmente, ao contrario do que pensei inicialmente, a afirmaçao de B altera a probabilidade. Para o problema original, construindo a (enorme) arvore, encontra-se a resposta 13/41. --------------080303060301090309070108 Content-Type: text/html; charset=us-ascii Content-Transfer-Encoding: 7bit
Claudio escreveu:
2) Em uma cidade , as pessoas falam a verdade com
> probabilidade 1/3.suponha que A faz uma afirmação e que
> D diz que C diz que B diz que A falou a verdade.Qual a
> probabilidade de A ter falado a verdade ?
>
  

Esse tem cara de pegadinha!

P(A ter falado a verdade) = 1/3, uma vez que cada habitante fala a verdade
com 1/3 de probabilidade.
Em outras palavras, dane-se o que os outros disseram....

**************
Claudio reconsiderou:
Como na cidade as pessoas mentem muito (probabilidade de mentir = 2/3), toda vez que alguem diz que X falou a verdade, isso aumenta a probabilidade de X haver mentido.
Vamos reduzir o problema para nos convencermos disso.

 Em uma cidade , as pessoas falam a verdade com
probabilidade 1/3.suponha que A faz uma afirmação e que
B diz que A falou a verdade.Qual a probabilidade de A ter falado a verdade ?

Vamos fazer uma arvore:
Inicialmente dois galhos correspondentes a   A e (A), significando A falou a verdade e A mentiu, respectivamente. As probs desses galhos sao 1/3 e 2/3, respectivamente.De cada galho saem mais dois galhos B e (B), significando B disse que A falou a verdade e B disse que A mentiu, respectivamente. O galho que começa em A e leva a B tem prob 1/3; o galho que começa em A e leva a (B) tem prob 2/3; o galho que começa em (A) e leva a B tem prob 2/3; o galho que começa em (A) e leva a (B) tem prob 1/3.
Queremos calcular  P[A na certeza de B] = P[A interseçao B] / P[B]= [1/3*1/3]/[[1/3*1/3+2/3*2/3] = 1/5 ao passo que P[A] = 1/3.

Realmente, ao contrario do que pensei inicialmente, a afirmaçao de B altera a probabilidade.

Para o problema original, construindo a (enorme) arvore, encontra-se a resposta 13/41.
--------------080303060301090309070108-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 10 20:54:13 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA21786 for obm-l-MTTP; Mon, 10 Feb 2003 20:52:54 -0200 Received: from trex-b.centroin.com.br (trex-b.centroin.com.br [200.225.63.136]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id UAA21782 for ; Mon, 10 Feb 2003 20:52:51 -0200 Received: from centroin.com.br (RJ177069.user.veloxzone.com.br [200.149.177.69]) (authenticated bits=0) by trex-b.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h1AMqg0o005885 for ; Mon, 10 Feb 2003 20:52:43 -0200 (EDT) Message-ID: <3E483B8C.2000803@centroin.com.br> Date: Mon, 10 Feb 2003 20:53:48 -0300 From: "A. C. Morgado" User-Agent: Mozilla/5.0 (Windows; U; Windows NT 5.0; en-US; rv:1.0.2) Gecko/20021120 Netscape/7.01 X-Accept-Language: en-us, en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?Inscri=E7ao_na_medalha_Fields?= Content-Type: multipart/alternative; boundary="------------010107090902030202020800" Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 3403 Lines: 101 --------------010107090902030202020800 Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit Ha muito tempo alguem perguntou o que significava aquele latinorio da medalha Fields que aparece ao final de cada mensagem do Dirichlet. TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) Bem, supondo que seja POTIRI em vez de POTIRE, a traducao literal eh: "Ultrapassar o próprio peito e dominar o mundo; outorgado pelos matematicos de todo o mundo reunidos, em funcao dos destacados escritos". De uma maneira bem livre: "Superar os limites da inteligencia e conquistar o universo; premio outorgado pela congregacao de todos os matematicos do mundo, em funcao da destacada obra do premiado" A traduçao eh do Professor Jose Paulo Carneiro, ex-membro destacado desta lista, que dela se afastou por nao conseguir suportar algumas manifestaçoes de mau humor de alguns membros. ------------------------------------------------------------------------ . --------------010107090902030202020800 Content-Type: text/html; charset=us-ascii Content-Transfer-Encoding: 7bit Ha muito tempo alguem perguntou o que significava aquele latinorio da medalha Fields que aparece ao final de cada mensagem do Dirichlet.

TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE

CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE

Fields Medal(John Charles Fields)


Bem, supondo que seja POTIRI em vez de POTIRE, 
a traducao literal eh:
"Ultrapassar o próprio peito e dominar o mundo;
outorgado pelos matematicos de todo o mundo reunidos, em funcao dos destacados escritos".
 
De uma maneira bem livre:
"Superar os limites da inteligencia e conquistar o universo;
premio outorgado pela congregacao de todos os matematicos do mundo, em funcao da destacada obra do premiado"
A traduçao eh do Professor Jose Paulo Carneiro, ex-membro destacado desta lista, que dela se afastou por nao conseguir suportar algumas manifestaçoes de mau humor de alguns membros.


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--------------010107090902030202020800-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 10 21:43:57 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA23237 for obm-l-MTTP; Mon, 10 Feb 2003 21:42:29 -0200 Received: from web41504.mail.yahoo.com (web41504.mail.yahoo.com [66.218.93.87]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id VAA23233 for ; Mon, 10 Feb 2003 21:42:23 -0200 Message-ID: <20030210234151.63066.qmail@web41504.mail.yahoo.com> Received: from [200.217.63.96] by web41504.mail.yahoo.com via HTTP; Mon, 10 Feb 2003 20:41:51 ART Date: Mon, 10 Feb 2003 20:41:51 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?elton=20francisco=20ferreira?= Subject: [obm-l] Volume To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 797 Lines: 16 A área de um cubo de aresta a é a soma das áreas das seis faces: 6a^2. Queremos construir duas caixas cúbicas de madeira. A aresta de uma delas mede 5dm a mais que a aresta da outra, por isso necessitamos de 450 dm^2 a amis de madeira para sua costrução. Qual é ovolume, em litros, de cada caixa? _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 10 22:19:46 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA24108 for obm-l-MTTP; Mon, 10 Feb 2003 22:18:25 -0200 Received: from smtp012.mail.yahoo.com (smtp012.mail.yahoo.com [216.136.173.32]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id WAA24104 for ; Mon, 10 Feb 2003 22:18:21 -0200 Received: from 200-180-165-086.paemt7002.dsl.brasiltelecom.net.br (HELO servidor) (marcus?math@200.180.165.86 with login) by smtp.mail.vip.sc5.yahoo.com with SMTP; 11 Feb 2003 00:17:48 -0000 Message-ID: <012d01c2d16c$21564410$6fe9fea9@servidor> From: "Marcus Alexandre Nunes" To: "Lista OBM" Subject: [obm-l] Geometria Plana Date: Mon, 10 Feb 2003 22:22:58 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/mixed; boundary="----=_NextPart_000_0128_01C2D152.F75E21A0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2800.1106 X-MIMEOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 9390 Lines: 187 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0128_01C2D152.F75E21A0 Content-Type: multipart/related; type="multipart/alternative"; boundary="----=_NextPart_001_0129_01C2D152.F75E21A0" ------=_NextPart_001_0129_01C2D152.F75E21A0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_002_012A_01C2D152.F75E21A0" ------=_NextPart_002_012A_01C2D152.F75E21A0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Na figura abaixo, qual =E9 a posi=E7=E3o de P para que o =E2ngulo com um = tra=E7o seja m=E1ximo? Eu descobri que os =E2ngulos com dois tra=E7os = devem ser congruentes, mas n=E3o consegui demonstrar. Algu=E9m pode me = ajudar? Obrigado. ---------------------------------------------- Marcus Alexandre Nunes marcus_math@yahoo.com.br UIN 114153703 --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 ------=_NextPart_002_012A_01C2D152.F75E21A0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Na figura abaixo, qual =E9 a = posi=E7=E3o de P para que=20 o =E2ngulo com um tra=E7o seja m=E1ximo? Eu descobri = que os =E2ngulos=20 com dois tra=E7os devem ser congruentes, mas n=E3o = consegui=20 demonstrar. Algu=E9m pode me ajudar?
 
3D""
 
 
Obrigado.

----------------------------------------------
Marcus = Alexandre=20 Nunes
marcus_math@yahoo.com.br
= UIN=20 114153703
 

---
Outgoing mail is certified Virus Free.
Checked by AVG = anti-virus system (http://www.grisoft.com).
Version: = 6.0.449 /=20 Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003
------=_NextPart_002_012A_01C2D152.F75E21A0-- ------=_NextPart_001_0129_01C2D152.F75E21A0 Content-Type: image/gif; name="obm-l.gif" Content-Transfer-Encoding: base64 Content-ID: <012701c2d16c$1c744410$6fe9fea9@servidor> R0lGODlh7gDoAPcAAAAAAIAAAACAAICAAAAAgIAAgACAgICAgMDcwKbK8Co/qio//ypfACpfVSpf qipf/yp/ACp/VSp/qip//yqfACqfVSqfqiqf/yq/ACq/VSq/qiq//yrfACrfVSrfqirf/yr/ACr/ VSr/qir//1UAAFUAVVUAqlUA/1UfAFUfVVUfqlUf/1U/AFU/VVU/qlU//1VfAFVfVVVfqlVf/1V/ AFV/VVV/qlV//1WfAFWfVVWfqlWf/1W/AFW/VVW/qlW//1XfAFXfVVXfqlXf/1X/AFX/VVX/qlX/ /38AAH8AVX8Aqn8A/38fAH8fVX8fqn8f/38/AH8/VX8/qn8//39fAH9fVX9fqn9f/39/AH9/VX9/ qn9//3+fAH+fVX+fqn+f/3+/AH+/VX+/qn+//3/fAH/fVX/fqn/f/3//AH//VX//qn///6oAAKoA VaoAqqoA/6ofAKofVaofqqof/6o/AKo/Vao/qqo//6pfAKpfVapfqqpf/6p/AKp/Vap/qqp//6qf AKqfVaqfqqqf/6q/AKq/Vaq/qqq//6rfAKrfVarfqqrf/6r/AKr/Var/qqr//9QAANQAVdQAqtQA /9QfANQfVdQfqtQf/9Q/ANQ/VdQ/qtQ//9RfANRfVdRfqtRf/9R/ANR/VdR/qtR//9SfANSfVdSf qtSf/9S/ANS/VdS/qtS//9TfANTfVdTfqtTf/9T/ANT/VdT/qtT///8AVf8Aqv8fAP8fVf8fqv8f //8/AP8/Vf8/qv8///9fAP9fVf9fqv9f//9/AP9/Vf9/qv9///+fAP+fVf+fqv+f//+/AP+/Vf+/ qv+////fAP/fVf/fqv/f////Vf//qszM///M/zP//2b//5n//8z//wB/AAB/VQB/qgB//wCfAACf VQCfqgCf/wC/AAC/VQC/qgC//wDfAADfVQDfqgDf/wD/VQD/qioAACoAVSoAqioA/yofACofVSof qiof/yo/ACo/Vf/78KCgpICAgP8AAAD/AP//AAAA//8A/wD//////ywAAAAA7gDoAAAI/wD/CRxI sKDBgwgTKlzIUCCBhhAjSpxIsaLFixgzaoz4cKPHjyBDihxJEmHHkihTqlzJEuPJljBjypwZ8iXN mzhz6hxoc6fPn0BF9gxKtKjRhkOPKl1qNCnTp1BxOo1KtarKqVazavWIdavXrxK7gh1bNF++jGLJ qvVpFu3at0rNtr2YFq5dmHLP0r3Ll61AvRbr9h0scu7cioIJK95oGDDFxIsjW8x7eKJcyZhHVq4M kXLmzx43O+5MoPRo0Khn5itN4HTq1y1Zw54tkzVk2rgRy87Nm6Ts272DJ9wNXLhxnqUdHl+u+2Rx 5r13/3sOPbf06dWzD09OkLr21Nexf/8fP517d/Lfw4tHX139evbL3b+HL1y+d/qD5c/Hb908gIL3 8WfXdf8RVKCA/b104D//BYggWQQKBECBDj4IlnQTTljQghaiRkCGGjJoYIMdvhbefxnyVCJ4/qVo UIUrUvUhiANxqFyMmaln4404RqbjcD36aF6NQAapmH4mGUkYkgfBqCRRTDb5JF9RSjklXFW+eCWW Q4a15VpZavklhF16OeaFZZp55lZhWrmmVm26+WZVcYo5J51pTuTknSnVKSefS/lpJ6CB5vkYoUwJ OiiiRSm6KKNAOfoopDtJCiClUBoaGKaRaooYpz9ZOimotXm6KalSmfopqjeJ+iersan/uiqsMbn6 Kq19ynoqrivZeiuvI/n6K7AgCTsqsR8ZeyyyGim7LLN06eoStEJJOy21yVp7LbbNarsXt93uWSS4 0YqbJLnl1opuYN66ta6e7W77LkTOLmQuq/UqdC+q+eo7L73xNvsvQ/36O7C+AQt8sEkJu7vwiw07 /DBy+yI1cXcRSzxxwRZfXF7FHV/MccgPj0zywSYTLHLGXG3M8kYg35nyyfPOTPO6NquM8svJ7hyz nj43NXDO9P5L9M3cHo00tUrrjDPPQr3b9NLITu00uFZfTe1qpj31c5Bct+b1nJRxFpFcUPv2pmiT tZV2TWs7ZjZH5wW6Jtu7OvT1rFuW/+0a3RAftXduePN9qdBfFn7odo2OqTjQ9g6utZKPq2kvlH2X LW/kkUKb2NuG43qb5MPyy26lVbtEet28erc6j6LD/Prr7Dm4Ou3oVQj65bHXJDnu6amtLq3m7l46 o/saz7rpV8UGa8zKw87p18oDD93gFVsf30y7a3/c7cWTSnv40+uUtvfBWQ81+rx5DyP71gX1Mvy0 wc8y/bDhHyD+JioVMf8eShR1djQnAKqoIRzSkAFzFBVVHWhBC5RMBJHDEBQdDlATXB5CdpTBJcHJ KRZ81pQ6CKCePFCETyLhoBKIQiOpMHAi4l0B1fKhos1QLQBIywvXAqIe9hAqFCKgBv+/1BUhBqVA JJLhmIr4lBOWx2BnYiJTkFjCcRGxglMk0rF2eCEsFuWHMWzSULj4FSkqhUYIa2GHzHgUJKLxT2Rk kxfbKCGOvCSOWWHjF+sYFudsSY9EoeLi8EinORpFkI95SGv+1qHVMJKPdAyjbi4jP9tY8pKYzKQm N8nJTnoSkzn8pChH6clQhpKUrDHLIlHJSlLaxZGz8YwLcUPJWXqsc7cMVS51uUvU9dJ8vwRmMEMz mrkNcZhtK4gxD4hMjRxmmczsjd+W0xZoRpM3lcOmNa9JOLk9MpbblF43CRJO1FTzm+KkpTeN80x0 ElIzmhMOZ6z5zsKgkzbz/GY9Q1JDztyx8561+yeO9km8ZtKEoM8zKPcUWhuGDs+hLEEoviDqPIr2 yqIXxWifNLpRjpZEoszzaLBEKjySws2kJ0Vpz0gVEAA7 ------=_NextPart_001_0129_01C2D152.F75E21A0-- ------=_NextPart_000_0128_01C2D152.F75E21A0 Content-Type: image/gif; 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O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 00:19:13 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id AAA26112 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 00:17:27 -0200 Received: from hotmail.com (f5.law9.hotmail.com [64.4.9.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id AAA26108 for ; Tue, 11 Feb 2003 00:17:24 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Mon, 10 Feb 2003 18:16:52 -0800 Received: from 200.191.171.89 by lw9fd.law9.hotmail.msn.com with HTTP; Tue, 11 Feb 2003 02:16:52 GMT X-Originating-IP: [200.191.171.89] From: =?iso-8859-1?B?TWFyY29zIE1hZ2FsaONlcw==?= To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?B?UmU6IFtvYm0tbF0gUkVTOiBbb2JtLWxdIGPhbGN1bG8=?= Date: Tue, 11 Feb 2003 00:16:52 -0200 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 11 Feb 2003 02:16:52.0730 (UTC) FILETIME=[A44625A0:01C2D173] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2528 Lines: 82 Oi Pessoal, Essa foi uma solução que encontrei, gostaria de saber se está correta... Considerando o vértice da piramidade como a origem de um eixo (x) q passa exatamente ao longo da altura da piramide, então o volume da piramide seria a integral (S'.dx)de 0 a h, onde S' é a área da base em cada x e a h é a altura da piramide.por semelhança pode se concluir q S'=Sx^2/h^2 onde S é a área da base da piramide. V=integral S x^2 dx/h^2, como h e S são constantes e a integral de x^2 dx seria x^3/3 V=S[x^3]o a h /3h^2=Sh/3 Caso a altura não seja ortogonal a base, pode se mover o vertice até q a altura fique ortogonal à base já que não tem alteração no volume. methos57@hotmail.com >From: "Eduardo" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: >Subject: [obm-l] RES: [obm-l] cálculo >Date: Mon, 10 Feb 2003 17:25:48 -0300 > >Gente, não sei se seia o caso considerar a base quadrada.... > >Se usasemos integral iterada? Através dela podemos achar a área de um >tetraedro, uma pirâimide com base poligonal de n lados pode ser decomposta >em n-2 tetraedros...seria um caminho? > >Abraços a todos > >Edu > > ----Mensagem original----- >De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br >[mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de Johann Peter Gustav >Lejeune Dirichlet >Enviada em: segunda-feira, 10 de fevereiro de 2003 14:50 >Para: obm-l@mat.puc-rio.br >Assunto: Re: [obm-l] cálculo > > > Essa da pra usar Cavalieri e deduzir para as de face quadrada. > > Wagner wrote: > > Oi pessoal ! > > Alguém conhece uma demonstração usando cálculo para a fórmula do >volume de uma pirâmide? > > André T. > > > > >---------------------------------------------------------------------------- >-- > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! >encontra. > >--- >Outgoing mail is certified Virus Free. >Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). >Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 _________________________________________________________________ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 00:26:52 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id AAA26232 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 00:25:34 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.134]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id AAA26228 for ; Tue, 11 Feb 2003 00:25:31 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (localhost [127.0.0.1]) by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h1B2POuR025238 for ; Tue, 11 Feb 2003 00:25:24 -0200 (EDT) Received: by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.5/Submit) id h1B2PNk5025237; Tue, 11 Feb 2003 00:25:23 -0200 (EDT) Message-Id: <200302110225.h1B2PNk5025237@trex.centroin.com.br> Received: from 200.149.181.145 by trex.centroin.com.br (CIPWM versao 1.4C1) with HTTPS for ; Tue, 11 Feb 2003 00:25:23 -0200 (EDT) Date: Tue, 11 Feb 2003 00:25:23 -0200 (EDT) From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: =?iso-8859-1?q?Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] c=E1lculo?= MIME-Version: 1.0 X-Mailer: CentroIn Internet Provider WebMail v. 1.4C1 (http://www.centroin.com.br/) Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id AAA26229 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 3227 Lines: 95 Parabens! Andaram fazendo muitas simplificaçoes desnecessarias no problema. A soluçao geral, a sua, h elegante e simples. Em Tue, 11 Feb 2003 00:16:52 -0200, Marcos Magalhães disse: > Oi Pessoal, > > Essa foi uma solução que encontrei, gostaria de saber se está correta... > > Considerando o vértice da piramidade como a origem de um eixo (x) q passa > exatamente ao longo da altura da piramide, então o volume da piramide seria > a integral (S'.dx)de 0 a h, onde S' é a área da base em cada x e a h é a > altura da piramide.por semelhança pode se concluir q S'=Sx^2/h^2 onde S é a > área da base da piramide. > > V=integral S x^2 dx/h^2, como h e S são constantes e a integral de x^2 dx > seria x^3/3 > V=S[x^3]o a h /3h^2=Sh/3 > > Caso a altura não seja ortogonal a base, pode se mover o vertice até q a > altura fique ortogonal à base já que não tem alteração no volume. > > > methos57@hotmail.com > > > > >From: "Eduardo" > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > >To: > >Subject: [obm-l] RES: [obm-l] cálculo > >Date: Mon, 10 Feb 2003 17:25:48 -0300 > > > >Gente, não sei se seia o caso considerar a base quadrada.... > > > >Se usasemos integral iterada? Através dela podemos achar a área de um > >tetraedro, uma pirâimide com base poligonal de n lados pode ser decomposta > >em n-2 tetraedros...seria um caminho? > > > >Abraços a todos > > > >Edu > > > > ----Mensagem original----- > >De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br > >[mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de Johann Peter Gustav > >Lejeune Dirichlet > >Enviada em: segunda-feira, 10 de fevereiro de 2003 14:50 > >Para: obm-l@mat.puc-rio.br > >Assunto: Re: [obm-l] cálculo > > > > > > Essa da pra usar Cavalieri e deduzir para as de face quadrada. > > > > Wagner wrote: > > > > Oi pessoal ! > > > > Alguém conhece uma demonstração usando cálculo para a fórmula do > >volume de uma pirâmide? > > > > André T. > > > > > > > > > >---------------------------------------------------------------------------- > >-- > > Busca Yahoo! > > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! > >encontra. > > > >--- > >Outgoing mail is certified Virus Free. > >Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). > >Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 > > > _________________________________________________________________ > MSN Messenger: converse com os seus amigos online. > http://messenger.msn.com.br > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 00:38:06 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id AAA26553 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 00:36:46 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.134]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id AAA26549 for ; Tue, 11 Feb 2003 00:36:43 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (localhost [127.0.0.1]) by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h1B2aauR029486 for ; Tue, 11 Feb 2003 00:36:36 -0200 (EDT) Received: (from morgado@localhost) by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.5/Submit) id h1B2aaar029485; Tue, 11 Feb 2003 00:36:36 -0200 (EDT) Message-Id: <200302110236.h1B2aaar029485@trex.centroin.com.br> Received: from 200.149.181.145 by trex.centroin.com.br (CIPWM versao 1.4C1) with HTTPS for ; Tue, 11 Feb 2003 00:36:36 -0200 (EDT) Date: Tue, 11 Feb 2003 00:36:36 -0200 (EDT) From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Volume MIME-Version: 1.0 X-Mailer: CentroIn Internet Provider WebMail v. 1.4C1 (http://www.centroin.com.br/) Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id AAA26550 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1406 Lines: 37 6(a+5)^2 -6a^2 =450 (a+5)^2 - a^2 =75 10a + 25 =75 a=5 Uma tem aresta 5dm e a outra, 10dm Os volumes sao 125dm^3 = 125 L e 1000 dm^3 = 1000L Em Mon, 10 Feb 2003 20:41:51 -0300 (ART), elton francisco ferreira disse: > A área de um cubo de aresta a é a soma das áreas das > seis faces: 6a^2. Queremos construir duas caixas > cúbicas de madeira. A aresta de uma delas mede 5dm a > mais que a aresta da outra, por isso necessitamos de > 450 dm^2 a amis de madeira para sua costrução. Qual é > ovolume, em litros, de cada caixa? > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet > http://br.busca.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 00:50:47 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id AAA27186 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 00:49:21 -0200 Received: from artemis.opendf.com.br (artemis.opengate.com.br [200.181.71.15]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id AAA27171 for ; Tue, 11 Feb 2003 00:49:15 -0200 Received: from localhost (localhost [127.0.0.1]) by artemis.opendf.com.br (Postfix) with ESMTP id BFB691CAD0 for ; Tue, 11 Feb 2003 00:48:39 -0200 (EDT) Received: from artur (200-181-089-135.bsace7001.dsl.brasiltelecom.net.br [200.181.89.135]) by artemis.opendf.com.br (Postfix) with ESMTP id 3E65E1C882 for ; Tue, 11 Feb 2003 00:48:34 -0200 (EDT) From: "Artur Costa Steiner" To: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?RE:_=5Bobm-l=5D_N=FAmeros_complexos?= Date: Tue, 11 Feb 2003 00:50:42 -0800 Organization: Steiner Consultoria LTDA Message-ID: <004601c2d1aa$abbf9460$0c01a8c0@mshome.net> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0047_01C2D167.9D9C5460" X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook, Build 10.0.2627 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 In-Reply-To: Importance: Normal X-Virus-Scanned: by AMaViS new-20020517 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 15151 Lines: 460 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0047_01C2D167.9D9C5460 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Pelo que sei, a raz=E3o hist=F3rica para o a aprecimento dos complexos = foi, de fato, a tentativa de resover a equa=E7=E3o x^2 =3D -1, isto =E9, = achar raiz(-1). A exist=EAncia de tal n=FAmero, se n=E3o estou enganado, = tornou-se patente por volta do S=E9culo XvII (n=E3o estou certo), quando um = matem=E1tico italiano, Cardano, desenvolveu uma f=F3rmula algebricamente perfeita = para calcular as raizes de um caso especial (que n=E3o me lembro) de = equa=E7=E3o polinomial do 3=BA grau. A f=F3rmula chocou os matem=E1ticos da =E9poca, = poiis envolvia radicais do segundo grau e, mesmo nos casos em que as raizes eram todas reais, os radicandos frequentemente tornavam-se negativos. A f=F3rmula de Cardano apresenta pouco interesse pr=E1tico, pois aplica-se = a um caso muito particular que quase nunca ocorre na pr=E1tica. Mas serviu para alertar os matem=E1ticos de que havia algo al=E9m do conjunto dos = reais , que , na =E9poca,provavelmente n=E3o tinha tal denomina=E7=E3o. =20 Criou-se ent=E3o a famosa =93unidade imagin=E1ria=94 i, denomina=E7=E3o = bastante infeliz mas que resistiu atrav=E9s dos s=E9culos, em todas a l=EDnguas, = creio eu. Na realidade , os =93n=FAmeros reais=94 s=E3o t=E3o imagin=E1rios = quanto os imagin=E1rios. Ou, caso se prefira, podemos dizer que os imagin=E1rios = s=E3o t=E3o reais quanto os reais. Talvez por causa do nome = =93=EFmagin=E1rio=94 para os complexos tenha-se chegado ao nome , tamb=E9m um tanto infeliz, de conjunto dos reais. =20 Anos depois, Gauss, que estudou muito os complexos, deu aos mesmos a denomina=E7=E3o de =93complexos=94, que muitos julgam ser infeliz mas = que tamb=E9m resistiu ao tempo e =E9 hoje o termo consagrado. Pela =E9poca de Gauss, creio eu, passou-se a ver os complexos de forma mais profunda, isto =E9 = , como uma estrutura alg=E9brica , como um corpo bi-dimensional que apresenta as mesmas leias alg=E9bricas que os reais (n=E3o pode, por=E9m = , ser ordenado como os reais). Hoje, quase todos os livros apresentam os complexos como um corpo do tipo (a, b) a e b em R. Entretanto, a forma a+ bi ainda =E9 usada, talvez para enfatizar o car=E1ter de = =93n=FAmero=94 que os complexos apresentam. Atrav=E9s de um isomofismo, podemos identificar o conjunto de pares (a, b) com o conjunto dos =93n=FAmeros=94 a+bi. = Isomorfismo =E9 uma bije=E7=E3o entre dois conjuntos que preserva caracter=EDsticas fundamentais, por exemplo f(a+b) =3D f(a) + f(b) e f(ab) =3D f(a) f(b), =20 Um detalhe interesante. Existem espa=E7os vetoriias n-dimensionais e = at=E9 de dimens=F5es infinitas. Seria de se esperar que houvesse corpos alg=E9bricos de dimens=E3o superior a 2, mas n=E3o =E9 o caso. = Entretanto, uma vez li no newsgroup internacional sci.math que h=E1 corpos de = dimens=F5es infinitas. =20 Espero ter ajudado Um abra=E7o Artur =20 =20 -----Original Message----- From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Eduardo Sent: Monday, February 10, 2003 1:02 PM To: Obm-L Subject: [obm-l] N=FAmeros complexos =20 Galera, estou com uma d=FAvida relacionada a n=FAmeros complexos, = digamos que hist=F3rica. =20 =20 A primeira defini=E7=E3o =E9 i^2 =3D-1 ou a defini=E7=E3o foi feita = primeiramente para (a; b)x(c; d)? =20 Abra=E7os =20 Edu ------=_NextPart_000_0047_01C2D167.9D9C5460 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable

Pelo que sei, a raz=E3o hist=F3rica para o a aprecimento dos complexos foi, = de fato, a tentativa de resover a equa=E7=E3o x^2 =3D -1, isto =E9, achar raiz(-1). = =A0A exist=EAncia de tal n=FAmero, se = n=E3o estou enganado, tornou-se patente por volta do S=E9culo XvII (n=E3o estou = certo), quando um matem=E1tico italiano, Cardano, desenvolveu uma f=F3rmula = algebricamente perfeita para calcular as raizes de um caso especial (que n=E3o me = lembro) de equa=E7=E3o polinomial do 3=BA grau. A f=F3rmula chocou os matem=E1ticos = da =E9poca, poiis envolvia radicais do segundo grau e, mesmo nos casos em que as raizes = eram todas reais, os radicandos frequentemente tornavam-se negativos. A f=F3rmula = de Cardano apresenta pouco interesse pr=E1tico, pois aplica-se a um caso muito = particular que quase nunca ocorre na pr=E1tica. Mas serviu para alertar os = matem=E1ticos de que havia algo al=E9m do conjunto dos reais , que , na =E9poca,provavelmente = n=E3o tinha tal denomina=E7=E3o.

 

Criou-se ent=E3o a famosa “unidade imagin=E1ria” i, denomina=E7=E3o = bastante infeliz mas que resistiu atrav=E9s dos s=E9culos, em todas a l=EDnguas, creio = eu. Na realidade , os “n=FAmeros reais” s=E3o t=E3o imagin=E1rios quanto os = imagin=E1rios. Ou, caso se prefira, podemos dizer que os imagin=E1rios s=E3o t=E3o reais = quanto os reais. Talvez por causa do nome “=EFmagin=E1rio” para os = complexos tenha-se chegado ao nome , tamb=E9m um tanto infeliz, de conjunto dos = reais.

 

Anos depois, Gauss, que estudou muito os complexos, deu aos mesmos a = denomina=E7=E3o de “complexos”, que muitos julgam ser infeliz mas que tamb=E9m resistiu ao tempo e =E9 = hoje o termo consagrado. Pela =E9poca de Gauss, creio eu, passou-se a ver os = complexos de forma mais profunda, isto =E9 , como uma estrutura alg=E9brica , como um = corpo bi-dimensional que apresenta as mesmas leias alg=E9bricas que os reais = (n=E3o pode, por=E9m , ser ordenado como os reais). Hoje, quase todos os livros = apresentam os complexos como um corpo do tipo (a, b) a e b em R. Entretanto, a forma = a+ bi ainda =E9 usada, talvez para enfatizar o car=E1ter de = “n=FAmero” que os complexos apresentam. Atrav=E9s de um isomofismo, podemos identificar o conjunto = de pares (a, b) com o conjunto dos “n=FAmeros” a+bi. Isomorfismo =E9 uma = bije=E7=E3o entre dois conjuntos que preserva caracter=EDsticas fundamentais, por exemplo = f(a+b) =3D f(a) + f(b) e f(ab) =3D f(a) f(b),

 

Um detalhe interesante. Existem espa=E7os vetoriias n-dimensionais e at=E9 = de dimens=F5es infinitas. Seria de se esperar que houvesse corpos alg=E9bricos de = dimens=E3o superior a 2, mas n=E3o =E9 o caso. Entretanto, uma vez li no newsgroup = internacional sci.math que h=E1 corpos de dimens=F5es infinitas.

 

Espero ter ajudado

Um abra=E7o

Artur

=A0

 

-----Original Message-----
From: = owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Eduardo
Sent: = Monday, February 10, = 2003 1:02 PM
To: Obm-L
Subject: [obm-l] = N=FAmeros complexos

 

Galera, estou com uma d=FAvida relacionada a = n=FAmeros complexos, digamos que hist=F3rica.

 

 

A primeira defini=E7=E3o =E9 i^2 =3D-1 ou a = defini=E7=E3o foi feita primeiramente para (a; b)x(c; d)?

 

Abra=E7os

 

Edu

------=_NextPart_000_0047_01C2D167.9D9C5460-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 02:01:01 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id BAA29282 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 01:59:38 -0200 Received: from mail.gmx.net (mail.gmx.net [213.165.65.60]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id BAA29277 for ; Tue, 11 Feb 2003 01:59:34 -0200 Received: (qmail 21763 invoked by uid 0); 11 Feb 2003 03:58:59 -0000 Received: from 251.2-254.9.217.200.telemar.net.br (HELO localhost) (200.217.9.251) by mail.gmx.net (mp003-rz3) with SMTP; 11 Feb 2003 03:58:59 -0000 Date: Tue, 11 Feb 2003 01:57:55 -0300 From: Igor GomeZZ X-Mailer: The Bat! (v1.61) Organization: -- X-Priority: 3 (Normal) Message-ID: <779229110.20030211015755@gmx.net> To: Marcus Alexandre Nunes Subject: Re: [obm-l] Geometria Plana In-Reply-To: <012d01c2d16c$21564410$6fe9fea9@servidor> References: <012d01c2d16c$21564410$6fe9fea9@servidor> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/mixed; boundary="----------E59D9DC612294" Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 10823 Lines: 210 ------------E59D9DC612294 Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Em 10/2/2003, 22:22, Marcus (marcus_math@yahoo.com.br) disse: > Na figura abaixo, qual é a posição de P para que o ângulo com um > traço seja máximo? Eu descobri que os ângulos com dois traços devem ser > congruentes, mas não consegui demonstrar. Alguém pode me > ajudar? O exercício eh análogo à um que jah veio pra lista, confere aê... ----------inicio--------------- Em 11/11/2002, 15:16, sniper01 (sniper01@ig.com.br) disse: > Eis um dos problemas da EN2002 q venho tentando resolver, se puderem me > orientar quanto a resolução dele, obrigado. > 1) De um ponto P do cais, João observa um barco AB ancorado. > Para um sistema de eixos cartesianos ortogonais os pontos A e B têm > coordenadas respectivamente iguais a (0,20) e (0,40), enquanto P encontra > se > no semi-eixo positivo das abscissas. > Se o ângulo APB de observação é máximo, então a abscissa de P é igual a ? ** Devemos achar alpha (a) em função da abscissa (x): tg(a+b) = 40/x (tga + tgb)/(1-tgatgb) = 40/x [tga + 20/x] / [1 - tga*(20/x)] = 40/x [(xtga + 20)/x] / [(x - 20tga)/x] = 40/x {x!= 0, não haveria a situação} (xtga + 20) / (x - 20tga) = 40/x x^2*tga + 20x = 40x - 800tga tga(x^2 + 800) = 20x tga = (20x) / (x^2 + 800) ** Maximizando a função encontrada e igualando a zero para achar o ponto de máximo: d/dx : (20)*(x^2 + 800) - (20x)(2x) = 0 20x^2 + 16000 - 40x^2 = 0 20x^2 = 16000 x^2 = 800 x = 20sqrt(2) u.c. (Resposta) Ok? Fui! ####### Igor GomeZZ ######## UIN: 29249895 Vitória, Espírito Santo, Brasil Criação: 12/11/2002 (10:13) #################################### Pare para pensar: A religião eh o ópio do povo. (Karl Marx) #################################### -----------final----------------------------- > Obrigado. Flws! Fui! ####### Igor GomeZZ ######## UIN: 29249895 Vitória, Espírito Santo, Brasil Criação: 11/2/2003 (01:51) #################################### Pare para pensar: Nem tudo o que dá certo é certo. (David Capistrano) #################################### ------------E59D9DC612294 Content-Type: image/jpeg; name="en.JPG" Content-Transfer-Encoding: base64 Content-Disposition: attachment; filename="en.JPG" /9j/4AAQSkZJRgABAQEAYABgAAD/2wBDAAgGBgcGBQgHBwcJCQgKDBQNDAsLDBkSEw8UHRofHh0a HBwgJC4nICIsIxwcKDcpLDAxNDQ0Hyc5PTgyPC4zNDL/2wBDAQkJCQwLDBgNDRgyIRwhMjIyMjIy MjIyMjIyMjIyMjIyMjIyMjIyMjIyMjIyMjIyMjIyMjIyMjIyMjIyMjIyMjL/wAARCADxAO0DASIA AhEBAxEB/8QAHwAAAQUBAQEBAQEAAAAAAAAAAAECAwQFBgcICQoL/8QAtRAAAgEDAwIEAwUFBAQA AAF9AQIDAAQRBRIhMUEGE1FhByJxFDKBkaEII0KxwRVS0fAkM2JyggkKFhcYGRolJicoKSo0NTY3 ODk6Q0RFRkdISUpTVFVWV1hZWmNkZWZnaGlqc3R1dnd4eXqDhIWGh4iJipKTlJWWl5iZmqKjpKWm p6ipqrKztLW2t7i5usLDxMXGx8jJytLT1NXW19jZ2uHi4+Tl5ufo6erx8vP09fb3+Pn6/8QAHwEA AwEBAQEBAQEBAQAAAAAAAAECAwQFBgcICQoL/8QAtREAAgECBAQDBAcFBAQAAQJ3AAECAxEEBSEx BhJBUQdhcRMiMoEIFEKRobHBCSMzUvAVYnLRChYkNOEl8RcYGRomJygpKjU2Nzg5OkNERUZHSElK U1RVVldYWVpjZGVmZ2hpanN0dXZ3eHl6goOEhYaHiImKkpOUlZaXmJmaoqOkpaanqKmqsrO0tba3 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dCgAooooAKKKKACiiigAooooAKKKKACiiigAooooAKKKKAOf8Q/8hvwn/wBhWT/0iuq6Cuf8Q/8A Ib8J/wDYVk/9IrqugoAKKKKAMW90PzLyTUNNvZtOv3wXeP54piAAPNiPyt0UFhtk2qFDqKig1ye1 uIrLWrWS3mdxFHdxxk21wxOBhgSYiSVG2TGWbahkxuO/Ve4t4bq3lt54o5oJVKSRuoZXUjBBB4II 4xQBYornP7EvdHxJ4fmzCOP7LupyLbB4/dvtd4cDbhVzGApAQFtwuadrlvf3LWTpJZamieY9hdMg mVMgBwFZgyHI+ZSRnKkhgQADXooooAKKKKAMTUbK4ttROs6bH51yYlhubYkD7TEpZlCk8LIpdyuS FbcVbGVdL9jewajaR3VrJ5kL5AJUqQQSGVlOCrAggqQCCCCARVysC5t59GvrnVLSKSe1unEl/bop eQMEVBNGByxCooaMdQoKfMCsgBv0VXt7iG6t4riCWOaCVQ8ciMGV1IyCCOCCOc1YoAKKKKACiiig AooooAKKKKACiiigAooooAKKwPEGs32iwTXyaZHPYWdu1zdzPc+WwRQSwiQK29wqk4YoOVAY5bbX tfE81zqlujWCJp91e3FhbTi4JlM0Pm798ewBU/cS4IdifkyoydoBP4h/5DfhP/sKyf8ApFdV0Fc/ 4h/5DfhP/sKyf+kV1XQUAFFFFABRRRQAVQ1HSrLVrZYL62jnRHEkZbhonAIDow5Rxk4ZSCOxFX6K AOd/4nGg/wDUT0mP/fN5Ag/76+0Yz/svtX/lq5509O1Wy1a2aexuY50RzHIF4aJwASjqeUcZGVYA juBV+sjUdDt7+5W9R5LLU0Ty0v7VUEypkkoSysGQ5PysCM4YAMAQAa9Fc5/bd7o+Y/EEOYRz/alr ARbYPP7xNzvDgbss2YwFBLgttG3b3EN1bxXEEsc0Eqh45EYMrqRkEEcEEc5oAsUUUUAc5n/hGJZp 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(smtp.zipmail.com.br [200.187.242.10]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id HAA32497 for ; Tue, 11 Feb 2003 07:58:37 -0200 From: ghaeser@zipmail.com.br Received: from [200.158.6.217] by www.zipmail.com.br with HTTP; Tue, 11 Feb 2003 00:30:43 -0200 Message-ID: <3E48599D0000017E@www.zipmail.com.br> Date: Mon, 10 Feb 2003 23:30:43 -0300 In-Reply-To: <3E483824.2040503@praticacorretora.com.br> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re=3A=20=5Bobm=2Dl=5D=20Combinatoria=20e=20probabilidade?= To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id HAA32498 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1045 Lines: 29 >2) Em uma cidade , as pessoas falam a verdade com >> probabilidade 1/3.suponha que A faz uma afirmação e que >> D diz que C diz que B diz que A falou a verdade.Qual a >> probabilidade de A ter falado a verdade ? >P[A na certeza de B] = P[A interseçao B] / P[B]= >=[1/3*1/3]/[[1/3*1/3+2/3*2/3]= 1/5 ao passo que P[A] = 1/3. Cláudio, não entendi pq P[B]=1/3*1/3+2/3*2/3, a probabilidade de B falar a verdade (P[B]) não seria 1/3 ?? (do enunciado) "Mathematicus nascitur, non fit" Matemáticos não são feitos, eles nascem --------------------------------------- Gabriel Haeser www.gabas.cjb.net ------------------------------------------ Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 08:34:14 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id IAA00817 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 08:32:35 -0200 Received: from ns-3.idc.dglnet.com.br (ns-3.idc.dglnet.com.br [200.218.161.4]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id IAA00813 for ; Tue, 11 Feb 2003 08:32:32 -0200 Received: from user (200-100-107-129.dsl.telesp.net.br [200.100.107.129]) by ns-3.idc.dglnet.com.br (Postfix) with ESMTP id 81CF715006E for ; Tue, 11 Feb 2003 08:31:55 -0200 (BRST) Message-ID: <006a01c2d1b8$bb381e40$816b64c8@user> From: "Ariosto" To: References: <012d01c2d16c$21564410$6fe9fea9@servidor> Subject: Re: [obm-l] Geometria Plana Date: Tue, 11 Feb 2003 07:31:22 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/related; boundary="----=_NextPart_000_0066_01C2D19F.93E419C0"; type="multipart/alternative" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 7349 Lines: 167 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0066_01C2D19F.93E419C0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_001_0067_01C2D19F.93E419C0" ------=_NextPart_001_0067_01C2D19F.93E419C0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Analise da seguinte forma: o ponto P =E9 o ponto de tang=EAncia da = circunfer=EAncia que passa por A e B e =E9 tangente =E0 reta XP. Ariosto ----- Original Message -----=20 From: Marcus Alexandre Nunes=20 To: Lista OBM=20 Sent: Monday, February 10, 2003 10:22 PM Subject: [obm-l] Geometria Plana Na figura abaixo, qual =E9 a posi=E7=E3o de P para que o =E2ngulo com = um tra=E7o seja m=E1ximo? Eu descobri que os =E2ngulos com dois tra=E7os = devem ser congruentes, mas n=E3o consegui demonstrar. Algu=E9m pode me = ajudar? =20 =20 =20 Obrigado. ---------------------------------------------- Marcus Alexandre Nunes marcus_math@yahoo.com.br UIN 114153703 --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 ------=_NextPart_001_0067_01C2D19F.93E419C0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Analise da seguinte forma: o ponto P = =E9 o ponto de=20 tang=EAncia da circunfer=EAncia que passa por A e B e =E9 = tangente
=E0 reta XP.
Ariosto
----- Original Message -----
From:=20 Marcus Alexandre Nunes
Sent: Monday, February 10, 2003 = 10:22=20 PM
Subject: [obm-l] Geometria = Plana

Na figura abaixo, qual =E9 a = posi=E7=E3o de P para=20 que o =E2ngulo com um tra=E7o seja m=E1ximo? Eu = descobri que os=20 =E2ngulos com dois tra=E7os devem ser congruentes, = mas n=E3o=20 consegui demonstrar. Algu=E9m pode me ajudar?
 
3D""=20
 
 
Obrigado.

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Marcus = Alexandre=20 Nunes
marcus_math@yahoo.com.br
= UIN=20 114153703
 

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Outgoing mail is certified Virus Free.
Checked by = AVG=20 anti-virus system (http://www.grisoft.com).
Version: = 6.0.449=20 / Virus Database: 251 - Release Date:=20 27/1/2003
------=_NextPart_001_0067_01C2D19F.93E419C0-- ------=_NextPart_000_0066_01C2D19F.93E419C0 Content-Type: image/gif; name="obm-l.gif" Content-Transfer-Encoding: base64 Content-ID: <006501c2d1b8$b8fef720$816b64c8@user> R0lGODlh7gDoAPcAAAAAAIAAAACAAICAAAAAgIAAgACAgICAgMDcwKbK8Co/qio//ypfACpfVSpf qipf/yp/ACp/VSp/qip//yqfACqfVSqfqiqf/yq/ACq/VSq/qiq//yrfACrfVSrfqirf/yr/ACr/ VSr/qir//1UAAFUAVVUAqlUA/1UfAFUfVVUfqlUf/1U/AFU/VVU/qlU//1VfAFVfVVVfqlVf/1V/ AFV/VVV/qlV//1WfAFWfVVWfqlWf/1W/AFW/VVW/qlW//1XfAFXfVVXfqlXf/1X/AFX/VVX/qlX/ /38AAH8AVX8Aqn8A/38fAH8fVX8fqn8f/38/AH8/VX8/qn8//39fAH9fVX9fqn9f/39/AH9/VX9/ qn9//3+fAH+fVX+fqn+f/3+/AH+/VX+/qn+//3/fAH/fVX/fqn/f/3//AH//VX//qn///6oAAKoA VaoAqqoA/6ofAKofVaofqqof/6o/AKo/Vao/qqo//6pfAKpfVapfqqpf/6p/AKp/Vap/qqp//6qf AKqfVaqfqqqf/6q/AKq/Vaq/qqq//6rfAKrfVarfqqrf/6r/AKr/Var/qqr//9QAANQAVdQAqtQA /9QfANQfVdQfqtQf/9Q/ANQ/VdQ/qtQ//9RfANRfVdRfqtRf/9R/ANR/VdR/qtR//9SfANSfVdSf qtSf/9S/ANS/VdS/qtS//9TfANTfVdTfqtTf/9T/ANT/VdT/qtT///8AVf8Aqv8fAP8fVf8fqv8f //8/AP8/Vf8/qv8///9fAP9fVf9fqv9f//9/AP9/Vf9/qv9///+fAP+fVf+fqv+f//+/AP+/Vf+/ qv+////fAP/fVf/fqv/f////Vf//qszM///M/zP//2b//5n//8z//wB/AAB/VQB/qgB//wCfAACf VQCfqgCf/wC/AAC/VQC/qgC//wDfAADfVQDfqgDf/wD/VQD/qioAACoAVSoAqioA/yofACofVSof qiof/yo/ACo/Vf/78KCgpICAgP8AAAD/AP//AAAA//8A/wD//////ywAAAAA7gDoAAAI/wD/CRxI sKDBgwgTKlzIUCCBhhAjSpxIsaLFixgzaoz4cKPHjyBDihxJEmHHkihTqlzJEuPJljBjypwZ8iXN mzhz6hxoc6fPn0BF9gxKtKjRhkOPKl1qNCnTp1BxOo1KtarKqVazavWIdavXrxK7gh1bNF++jGLJ qvVpFu3at0rNtr2YFq5dmHLP0r3Ll61AvRbr9h0scu7cioIJK95oGDDFxIsjW8x7eKJcyZhHVq4M kXLmzx43O+5MoPRo0Khn5itN4HTq1y1Zw54tkzVk2rgRy87Nm6Ts272DJ9wNXLhxnqUdHl+u+2Rx 5r13/3sOPbf06dWzD09OkLr21Nexf/8fP517d/Lfw4tHX139evbL3b+HL1y+d/qD5c/Hb908gIL3 8WfXdf8RVKCA/b104D//BYggWQQKBECBDj4IlnQTTljQghaiRkCGGjJoYIMdvhbefxnyVCJ4/qVo UIUrUvUhiANxqFyMmaln4404RqbjcD36aF6NQAapmH4mGUkYkgfBqCRRTDb5JF9RSjklXFW+eCWW Q4a15VpZavklhF16OeaFZZp55lZhWrmmVm26+WZVcYo5J51pTuTknSnVKSefS/lpJ6CB5vkYoUwJ OiiiRSm6KKNAOfoopDtJCiClUBoaGKaRaooYpz9ZOimotXm6KalSmfopqjeJ+iersan/uiqsMbn6 Kq19ynoqrivZeiuvI/n6K7AgCTsqsR8ZeyyyGim7LLN06eoStEJJOy21yVp7LbbNarsXt93uWSS4 0YqbJLnl1opuYN66ta6e7W77LkTOLmQuq/UqdC+q+eo7L73xNvsvQ/36O7C+AQt8sEkJu7vwiw07 /DBy+yI1cXcRSzxxwRZfXF7FHV/MccgPj0zywSYTLHLGXG3M8kYg35nyyfPOTPO6NquM8svJ7hyz nj43NXDO9P5L9M3cHo00tUrrjDPPQr3b9NLITu00uFZfTe1qpj31c5Bct+b1nJRxFpFcUPv2pmiT tZV2TWs7ZjZH5wW6Jtu7OvT1rFuW/+0a3RAftXduePN9qdBfFn7odo2OqTjQ9g6utZKPq2kvlH2X LW/kkUKb2NuG43qb5MPyy26lVbtEet28erc6j6LD/Prr7Dm4Ou3oVQj65bHXJDnu6amtLq3m7l46 o/saz7rpV8UGa8zKw87p18oDD93gFVsf30y7a3/c7cWTSnv40+uUtvfBWQ81+rx5DyP71gX1Mvy0 wc8y/bDhHyD+JioVMf8eShR1djQnAKqoIRzSkAFzFBVVHWhBC5RMBJHDEBQdDlATXB5CdpTBJcHJ KRZ81pQ6CKCePFCETyLhoBKIQiOpMHAi4l0B1fKhos1QLQBIywvXAqIe9hAqFCKgBv+/1BUhBqVA JJLhmIr4lBOWx2BnYiJTkFjCcRGxglMk0rF2eCEsFuWHMWzSULj4FSkqhUYIa2GHzHgUJKLxT2Rk kxfbKCGOvCSOWWHjF+sYFudsSY9EoeLi8EinORpFkI95SGv+1qHVMJKPdAyjbi4jP9tY8pKYzKQm N8nJTnoSkzn8pChH6clQhpKUrDHLIlHJSlLaxZGz8YwLcUPJWXqsc7cMVS51uUvU9dJ8vwRmMEMz mrkNcZhtK4gxD4hMjRxmmczsjd+W0xZoRpM3lcOmNa9JOLk9MpbblF43CRJO1FTzm+KkpTeN80x0 ElIzmhMOZ6z5zsKgkzbz/GY9Q1JDztyx8561+yeO9km8ZtKEoM8zKPcUWhuGDs+hLEEoviDqPIr2 yqIXxWifNLpRjpZEoszzaLBEKjySws2kJ0Vpz0gVEAA7 ------=_NextPart_000_0066_01C2D19F.93E419C0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 09:18:47 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA02139 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 09:17:04 -0200 Received: from sporus.bol.com.br (sporus.bol.com.br [200.221.24.23]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id JAA02134 for ; Tue, 11 Feb 2003 09:17:01 -0200 Received: from bol.com.br (200.221.24.132) by sporus.bol.com.br (5.1.071) id 3E25BF460083BC70 for obm-l@mat.puc-rio.br; Tue, 11 Feb 2003 09:18:35 -0200 Date: Tue, 11 Feb 2003 09:16:31 -0200 Message-Id: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?q?Quest=E3o_de_complexos_da_Mir?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain;charset="iso-8859-1" From: "basketboy_igor" To: obm-l@mat.puc-rio.br X-XaM3-API-Version: 2.4 R3 ( B4 ) X-SenderIP: 200.253.226.111 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id JAA02135 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1606 Lines: 54 1° - Adquiri um exeplar de um livro de matemáatica da editora Mir ( Selected Problems in Elementary Mathematics, Arithmetic and Albegra). Digamos que, por um lapso de sorte, parou nas minhas mãos. Aproveitando a sorte, fui estudá-lo e empaquei na seguinte questão envolvendo números complexos e gráfico: "Let C1, C2, ... , Cn and Z be complex numbers such that 1/(Z -C1) + 1/(Z -C2) + .. + 1/(Z -Cn) = 0. Prove that if the numbers C1, C2, ... , Cn are represented in the complex plane by the vertices of a convex n-gon then the number Z is represented by a point lying inside that n- gon." P.S. Prefiri deixar em inglês p/ não sofrer erros de contextualiazão na tradução. Como eu não compreendi a solução vinda com com o livro, gostaria de saber se existe uma solução concebível. 2° - Alguém poderia me informar se existe um exemplar de geometria plana e espacial da editora Mir? E se conhece, onde poderia comprar ou encomendar? "Cogito ergo sum. (I think; therefore I am.)" - Rene Descartes (Renatus Cartesius) "Quod erat demonstrandum". (Que se devia demonstrar em Latim) __________________________________________________________________________ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. 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Date: Tue, 11 Feb 2003 12:23:53 -0200 Message-ID: <2B184DFE97456744924ACF58987D941D01935320@apl03.poli.usp.br> X-MS-Has-Attach: X-MS-TNEF-Correlator: Thread-Topic: Relacao. Thread-Index: AcLR2TQHcZfr5AB5SN2oPFzq4xI9ng== From: "Edilon Ribeiro da Silva" To: X-OriginalArrivalTime: 11 Feb 2003 14:23:53.0736 (UTC) FILETIME=[346B7080:01C2D1D9] Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id MAA06074 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 562 Lines: 12 Caros colegas da lista, Qual a relação entre a e b, assim como suas restrições, de tal forma que (1+b)/a seja sempre a co-tangente de algum ângulo? Os números a e b pertencem ao conjunto dos números reais. Grato, Edilon Ribeiro. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 13:26:00 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA07734 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 13:24:28 -0200 Received: from web12905.mail.yahoo.com (web12905.mail.yahoo.com [216.136.174.72]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id NAA07730 for ; Tue, 11 Feb 2003 13:24:24 -0200 Message-ID: <20030211152352.45040.qmail@web12905.mail.yahoo.com> Received: from [200.206.103.3] by web12905.mail.yahoo.com via HTTP; Tue, 11 Feb 2003 12:23:52 ART Date: Tue, 11 Feb 2003 12:23:52 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Johann=20Peter=20Gustav=20Lejeune=20Dirichlet?= Subject: Re: [obm-l] Inscriçao_na_medalha_Fields To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <3E483B8C.2000803@centroin.com.br> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-1185681639-1044977032=:43781" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 4220 Lines: 59 --0-1185681639-1044977032=:43781 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Ja faz um certo tempo sim.Esta traduçao esta na RPM que fala da Fields.Falando nisso ja perceberam que e sempre um frances,um estadunidense ou um ingles que ganha Fields?Ha pouquissimas exceçoes,algumas famosas como o Atle Selberg(alias acho que o Paul Erdös devia ter ganho em conjunto com a demonstraçao elementar do TNP). "A. C. Morgado" wrote:Ha muito tempo alguem perguntou o que significava aquele latinorio da medalha Fields que aparece ao final de cada mensagem do Dirichlet. TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) Bem, supondo que seja POTIRI em vez de POTIRE, a traducao literal eh:"Ultrapassar o próprio peito e dominar o mundo; outorgado pelos matematicos de todo o mundo reunidos, em funcao dos destacados escritos". De uma maneira bem livre:"Superar os limites da inteligencia e conquistar o universo;premio outorgado pela congregacao de todos os matematicos do mundo, em funcao da destacada obra do premiado" A traduçao eh do Professor Jose Paulo Carneiro, ex-membro destacado desta lista, que dela se afastou por nao conseguir suportar algumas manifestaçoes de mau humor de alguns membros. --------------------------------- . --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-1185681639-1044977032=:43781 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

Ja faz um certo tempo sim.Esta traduçao esta na RPM que fala da Fields.Falando nisso ja perceberam que e sempre um frances,um estadunidense ou um ingles que ganha Fields?Ha pouquissimas exceçoes,algumas famosas como o Atle Selberg(alias acho que o Paul Erdös devia ter ganho em conjunto com a demonstraçao elementar do TNP).

 "A. C. Morgado" <morgado@centroin.com.br> wrote:

Ha muito tempo alguem perguntou o que significava aquele latinorio da medalha Fields que aparece ao final de cada mensagem do Dirichlet.

TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE

CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE

Fields Medal(John Charles Fields)


Bem, supondo que seja POTIRI em vez de POTIRE, 
a traducao literal eh:
"Ultrapassar o próprio peito e dominar o mundo;
outorgado pelos matematicos de todo o mundo reunidos, em funcao dos destacados escritos".
 
De uma maneira bem livre:
"Superar os limites da inteligencia e conquistar o universo;
premio outorgado pela congregacao de todos os matematicos do mundo, em funcao da destacada obra do premiado"
A traduçao eh do Professor Jose Paulo Carneiro, ex-membro destacado desta lista, que dela se afastou por nao conseguir suportar algumas manifestaçoes de mau humor de alguns membros.


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Nao e dificil ver que a cotangente corre todos os reais.

 Edilon Ribeiro da Silva <edilon.silva@poli.usp.br> wrote:

Caros colegas da lista,

Qual a relação entre a e b, assim como suas restrições, de tal forma que (1+b)/a seja sempre a co-tangente de algum ângulo? Os números a e b pertencem ao conjunto dos números reais.

Grato,

Edilon Ribeiro.
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Historicamente veio o i primeiro,eu acho.Mas essa acochambraçao de (a;b)*(c;d) e para criar os complexos a partir dos reais.

 Eduardo <edu_matematica@yahoo.com.br> wrote:

Galera, estou com uma dúvida relacionada a números complexos, digamos que histórica.
 
 
A primeira definição é i^2 =-1 ou a definição foi feita primeiramente para (a; b)x(c; d)?
 
Abraços
 
Edu


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O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-772126940-1044977390=:45624-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 13:48:40 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA08922 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 13:47:14 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.134]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA08914 for ; Tue, 11 Feb 2003 13:47:08 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (localhost [127.0.0.1]) by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h1BFkTul007701 for ; Tue, 11 Feb 2003 13:46:59 -0200 (EDT) Received: by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.5/Submit) id h1BF3XqI012069; Tue, 11 Feb 2003 13:03:33 -0200 (EDT) Message-Id: <200302111503.h1BF3XqI012069@trex.centroin.com.br> Received: from 200.149.179.70 by trex.centroin.com.br (CIPWM versao 1.4C1) with HTTPS for ; Tue, 11 Feb 2003 13:03:32 -0200 (EDT) Date: Tue, 11 Feb 2003 13:03:32 -0200 (EDT) From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Relacao. MIME-Version: 1.0 X-Mailer: CentroIn Internet Provider WebMail v. 1.4C1 (http://www.centroin.com.br/) Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id NAA08915 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1154 Lines: 25 Todo real eh a co-tangente de algum angulo. Portanto, a e b podem ser reais quaisquer, respeitado, evidentemente, que a seja diferente de zero. Em Tue, 11 Feb 2003 12:23:53 -0200, Edilon Ribeiro da Silva disse: > Caros colegas da lista, > > Qual a relação entre a e b, assim como suas restrições, de tal forma que (1+b)/a seja sempre a co-tangente de algum ângulo? Os números a e b pertencem ao conjunto dos números reais. > > Grato, > > Edilon Ribeiro. > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 13:48:41 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA08936 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 13:47:19 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.134]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA08919 for ; Tue, 11 Feb 2003 13:47:13 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (localhost [127.0.0.1]) by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h1BFkTup007701 for ; Tue, 11 Feb 2003 13:47:04 -0200 (EDT) Received: by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.5/Submit) id h1BEpRZE005411; Tue, 11 Feb 2003 12:51:27 -0200 (EDT) Message-Id: <200302111451.h1BEpRZE005411@trex.centroin.com.br> Received: from 200.149.179.70 by trex.centroin.com.br (CIPWM versao 1.4C1) with HTTPS for ; Tue, 11 Feb 2003 12:51:27 -0200 (EDT) Date: Tue, 11 Feb 2003 12:51:27 -0200 (EDT) From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatoria e probabilidade MIME-Version: 1.0 X-Mailer: CentroIn Internet Provider WebMail v. 1.4C1 (http://www.centroin.com.br/) Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id NAA08926 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1659 Lines: 43 Leia a soluçao TODA com calma e atençao. P[B] NAO eh a probabilidade de B ter falado a verdade. E SIM a probabilidade de B dizer que A falou a verdade. Morgado Em Mon, 10 Feb 2003 23:30:43 -0300, ghaeser@zipmail.com.br disse: > >2) Em uma cidade , as pessoas falam a verdade com > >> probabilidade 1/3.suponha que A faz uma afirmação e que > >> D diz que C diz que B diz que A falou a verdade.Qual a > >> probabilidade de A ter falado a verdade ? > > >P[A na certeza de B] = P[A interseçao B] / P[B]= > >=[1/3*1/3]/[[1/3*1/3+2/3*2/3]= 1/5 ao passo que P[A] = 1/3. > > Cláudio, não entendi pq P[B]=1/3*1/3+2/3*2/3, a probabilidade de B falar > a verdade (P[B]) não seria 1/3 ?? (do enunciado) > > "Mathematicus nascitur, non fit" > Matemáticos não são feitos, eles nascem > --------------------------------------- > Gabriel Haeser > www.gabas.cjb.net > > > ------------------------------------------ > Use o melhor sistema de busca da Internet > Radar UOL - http://www.radaruol.com.br > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 13:48:42 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA08930 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 13:47:17 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.134]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA08916 for ; Tue, 11 Feb 2003 13:47:11 -0200 Received: from trex.centroin.com.br (localhost [127.0.0.1]) by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h1BFkTun007701 for ; Tue, 11 Feb 2003 13:47:02 -0200 (EDT) Received: by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.5/Submit) id h1BEpQkQ005389; Tue, 11 Feb 2003 12:51:26 -0200 (EDT) Message-Id: <200302111451.h1BEpQkQ005389@trex.centroin.com.br> Received: from 200.149.179.70 by trex.centroin.com.br (CIPWM versao 1.4C1) with HTTPS for ; Tue, 11 Feb 2003 12:51:24 -0200 (EDT) Date: Tue, 11 Feb 2003 12:51:24 -0200 (EDT) From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatoria e probabilidade MIME-Version: 1.0 X-Mailer: CentroIn Internet Provider WebMail v. 1.4C1 (http://www.centroin.com.br/) Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id NAA08918 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1659 Lines: 43 Leia a soluçao TODA com calma e atençao. P[B] NAO eh a probabilidade de B ter falado a verdade. E SIM a probabilidade de B dizer que A falou a verdade. Morgado Em Mon, 10 Feb 2003 23:30:43 -0300, ghaeser@zipmail.com.br disse: > >2) Em uma cidade , as pessoas falam a verdade com > >> probabilidade 1/3.suponha que A faz uma afirmação e que > >> D diz que C diz que B diz que A falou a verdade.Qual a > >> probabilidade de A ter falado a verdade ? > > >P[A na certeza de B] = P[A interseçao B] / P[B]= > >=[1/3*1/3]/[[1/3*1/3+2/3*2/3]= 1/5 ao passo que P[A] = 1/3. > > Cláudio, não entendi pq P[B]=1/3*1/3+2/3*2/3, a probabilidade de B falar > a verdade (P[B]) não seria 1/3 ?? (do enunciado) > > "Mathematicus nascitur, non fit" > Matemáticos não são feitos, eles nascem > --------------------------------------- > Gabriel Haeser > www.gabas.cjb.net > > > ------------------------------------------ > Use o melhor sistema de busca da Internet > Radar UOL - http://www.radaruol.com.br > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 13:57:43 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA09494 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 13:56:05 -0200 Received: from trex-b.centroin.com.br (trex-b.centroin.com.br [200.225.63.136]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA09489 for ; Tue, 11 Feb 2003 13:56:02 -0200 Received: from centroin.com.br (RJ179070.user.veloxzone.com.br [200.149.179.70]) (authenticated bits=0) by trex-b.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h1BFtr0o029122 for ; Tue, 11 Feb 2003 13:55:54 -0200 (EDT) Message-ID: <3E492B5C.3060001@centroin.com.br> Date: Tue, 11 Feb 2003 13:57:00 -0300 From: "A. C. Morgado" User-Agent: Mozilla/5.0 (Windows; U; Windows NT 5.0; en-US; rv:1.0.2) Gecko/20021120 Netscape/7.01 X-Accept-Language: en-us, en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?Inscri=E7ao=5Fna=5Fmedalha=5FFields?= References: <20030211152352.45040.qmail@web12905.mail.yahoo.com> Content-Type: multipart/alternative; boundary="------------000309090809080104080803" Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 5255 Lines: 142 --------------000309090809080104080803 Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit A medalha Fields eh uma medalha para matematicos jovens. Ha um limite de idade. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: > Ja faz um certo tempo sim.Esta traduçao esta na RPM que fala da > Fields.Falando nisso ja perceberam que e sempre um frances,um > estadunidense ou um ingles que ganha Fields?Ha pouquissimas > exceçoes,algumas famosas como o Atle Selberg(alias acho que o Paul > Erdös devia ter ganho em conjunto com a demonstraçao elementar do TNP). > > "A. C. Morgado" wrote: > > Ha muito tempo alguem perguntou o que significava aquele latinorio > da medalha Fields que aparece ao final de cada mensagem do Dirichlet. > > TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE > > CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE > > Fields Medal(John Charles Fields) > > > Bem, supondo que seja POTIRI em vez de POTIRE, > a traducao literal eh: > "Ultrapassar o próprio peito e dominar o mundo; > outorgado pelos matematicos de todo o mundo reunidos, em funcao > dos destacados escritos". > > De uma maneira bem livre: > "Superar os limites da inteligencia e conquistar o universo; > premio outorgado pela congregacao de todos os matematicos do > mundo, em funcao da destacada obra do premiado" > > A traduçao eh do Professor Jose Paulo Carneiro, ex-membro > destacado desta lista, que dela se afastou por nao conseguir > suportar algumas manifestaçoes de mau humor de alguns membros. > > > ------------------------------------------------------------------------ > . > > > > ------------------------------------------------------------------------ > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o > Yahoo! encontra. --------------000309090809080104080803 Content-Type: text/html; charset=us-ascii Content-Transfer-Encoding: 7bit A medalha Fields eh uma medalha para matematicos jovens. Ha um limite de idade.

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote:

Ja faz um certo tempo sim.Esta traduçao esta na RPM que fala da Fields.Falando nisso ja perceberam que e sempre um frances,um estadunidense ou um ingles que ganha Fields?Ha pouquissimas exceçoes,algumas famosas como o Atle Selberg(alias acho que o Paul Erdös devia ter ganho em conjunto com a demonstraçao elementar do TNP).

 "A. C. Morgado" <morgado@centroin.com.br> wrote:

Ha muito tempo alguem perguntou o que significava aquele latinorio da medalha Fields que aparece ao final de cada mensagem do Dirichlet.

TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE

CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE

Fields Medal(John Charles Fields)


Bem, supondo que seja POTIRI em vez de POTIRE, 
a traducao literal eh:
"Ultrapassar o próprio peito e dominar o mundo;
outorgado pelos matematicos de todo o mundo reunidos, em funcao dos destacados escritos".
 
De uma maneira bem livre:
"Superar os limites da inteligencia e conquistar o universo;
premio outorgado pela congregacao de todos os matematicos do mundo, em funcao da destacada obra do premiado"
A traduçao eh do Professor Jose Paulo Carneiro, ex-membro destacado desta lista, que dela se afastou por nao conseguir suportar algumas manifestaçoes de mau humor de alguns membros.


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--------------000309090809080104080803-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 14:38:34 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA12310 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 14:36:47 -0200 Received: (from nicolau@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA12305 for obm-l@mat.puc-rio.br; Tue, 11 Feb 2003 14:36:46 -0200 Date: Tue, 11 Feb 2003 14:36:46 -0200 From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Para quem gosta,essa e do baralho Message-ID: <20030211143646.G9677@sucuri.mat.puc-rio.br> References: <20030210184446.56381.qmail@web12908.mail.yahoo.com> <020601c2d146$9e93d6c0$3300c57d@bovespa.com> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Disposition: inline Content-Transfer-Encoding: 8bit User-Agent: Mutt/1.2.5i In-Reply-To: <020601c2d146$9e93d6c0$3300c57d@bovespa.com>; from claudio@praticacorretora.com.br on Mon, Feb 10, 2003 at 05:54:29PM -0300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1789 Lines: 35 On Mon, Feb 10, 2003 at 05:54:29PM -0300, Cláudio (Prática) wrote: > Acho que o Gugu já escreveu alguma coisa na lista sobre este problema no fim > do ano passado. ----- Original Message ----- > From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet > To: teoremaprob@yahoogrupos.com.br ; obm-l@mat.puc-rio.br ; teoremalista@yahoogrupos.com.br > Sent: Monday, February 10, 2003 3:44 PM > Subject: [obm-l] Para quem gosta,essa e do baralho > > > Essa questao caiu no "Tungyr Daragov",ou Tournaments of Towns,e alguem da > lista faz muito tempo nao viu resposta para esse(eu nao participava de > lista nenhuma nesse tempo),logo e meu dever responder.Eu olhei num momento > de spleen total,na larica. > > Temos dois magicos que devem fazer um truque com um baralho de 52 cartas > como o tradicional.Alguem da plateia deve escolher aleatoriamente cinco > cartas.O primeiro magico deve escolher uma dessas cartas e da-la para o > cara da plateia,que a guardara no bolso.As restantes sao colocadas em cima > de uma mesa,em uma certa ordem.O segundo magico faz uma entrada triunfal e > adivinha,olhando as 4 cartas na mesa,que carta esta no bolso do cara da > plateia. > > Sem usar truques de espelho nem nada desse teor,e possivel algo assim? O problema do Gugu é outro, envolve três mágicos e um baralho de 2n+1 cartas, n um inteiro > 1 (e aliás é difícil). O Gugu tem uma solução escrita pelo Yoccoz, não sei se foi mandada para cá. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 14:38:35 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA12322 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 14:36:53 -0200 Received: from smtp017.mail.yahoo.com (smtp017.mail.yahoo.com [216.136.174.114]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id OAA12314 for ; Tue, 11 Feb 2003 14:36:48 -0200 Received: from 200-153-141-154.dsl.telesp.net.br (HELO thor) (edu?matematica@200.153.141.154 with login) by smtp.mail.vip.sc5.yahoo.com with SMTP; 11 Feb 2003 16:36:14 -0000 From: "Eduardo" To: "Obm-L" Subject: [obm-l] Ainda sobre os complexos Date: Tue, 11 Feb 2003 14:36:31 -0300 Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_000A_01C2D1DA.F84D81E0" X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook IMO, Build 9.0.2416 (9.0.2910.0) X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Importance: Normal Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 9421 Lines: 242 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_000A_01C2D1DA.F84D81E0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit Olá, Arthur Bem, o surgimento dos complexos não se deu para resolver equações de segundo grau. Na verdade até cerca de 1600, 1650 (surgimento dos cartesianos) ainda não se aceitavam sequer os números negativos como solução de equação, somente valores que poderiam corresponder a grandezas físicas, como volume, massa, comprimento eram aceitos, ou seja positivos, isto talvez pela influência grega.Exceto ,é claro, em situações comercias, onde o negativo era visto como dívida. Cardano ao usar a fórmula de Tartaglia (muitos chamam erroneamente de "formula de Cardano") para resolver a equação x^3=4+15x, na qual 4 é raiz chegou em x=(2+sqrt(-121))^1/3+(2-sqrt(-121))^1/3, ao se deparar com sqrt(-121), travou. Somente mais tarde, Bombeli, teve a idéia de operar estes números com as propriedades dos reais mais a definição de que i^2=-1 (obrigado, Morgado!) para fazer aparecer o bendito 4 como solução. A terminologia, para estes números passou por: sofisticos, misticos e imáginários(acho que alguns outros..). Somente em 1830 - complexos. Um detalhe: Cardano foi o que mais evitou as raízes de negativos, em seu livro "De regula Aliza" , ele tentou criar vários artifícios para não ter que usar as tais raízes para a resolução de equações cúbicas, mais de 300 anos depois Capelli provou que os artifícios eram válidos para casos particulares. O fechamento do campo complexo foi outra polêmica, foi de Bombelli até Euler.A popularização se deu por Gauss, e um outro que não me lembro...Gauss provou que os complexos eram suficientes por si, e também necessários, conforme o Teorema Fundamental da Algebra. Abraços Edu --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 ------=_NextPart_000_000A_01C2D1DA.F84D81E0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Ol=E1,=20 Arthur
 
Bem, o=20 surgimento dos complexos n=E3o se deu para resolver equa=E7=F5es de = segundo grau. Na=20 verdade at=E9 cerca de 1600, 1650 (surgimento dos cartesianos) ainda = n=E3o se=20 aceitavam sequer os n=FAmeros negativos como solu=E7=E3o de equa=E7=E3o, = somente valores=20 que poderiam corresponder a grandezas f=EDsicas, como volume, massa, = comprimento=20 eram aceitos, ou seja positivos, isto talvez pela influ=EAncia = grega.Exceto ,=E9=20 claro, em situa=E7=F5es comercias, onde o negativo era visto como=20 d=EDvida.
 
Cardano ao usar a f=F3rmula de Tartaglia (muitos chamam = erroneamente de=20 "formula de Cardano") para resolver a equa=E7=E3o x^3=3D4+15x, = na qual 4 =E9=20 raiz chegou em x=3D(2+sqrt(-121))^1/3+(2-sqrt(-121))^1/3, ao se deparar = com=20 sqrt(-121), travou. Somente mais tarde, Bombeli, teve a id=E9ia de = operar estes=20 n=FAmeros com as propriedades dos reais mais a defini=E7=E3o de que = i^2=3D-1 (obrigado,=20 Morgado!) para fazer aparecer o bendito 4 como = solu=E7=E3o.
 
A=20 terminologia, para estes n=FAmeros passou por: sofisticos, misticos = e=20 im=E1gin=E1rios(acho que alguns outros..). Somente em 1830 -=20 complexos.
 
Um=20 detalhe: Cardano foi o que mais evitou as ra=EDzes de = negativos, em seu=20 livro "De regula Aliza" , ele tentou criar v=E1rios artif=EDcios para = n=E3o ter que=20 usar as tais ra=EDzes para a resolu=E7=E3o de equa=E7=F5es c=FAbicas, = mais de 300 anos=20 depois Capelli provou que os artif=EDcios eram v=E1lidos para casos=20 particulares.
 
O=20 fechamento do campo complexo foi outra pol=EAmica, foi de Bombelli at=E9 = Euler.A=20 populariza=E7=E3o se deu por Gauss, e um outro que n=E3o me = lembro...Gauss provou que=20 os complexos eram suficientes por si, e tamb=E9m necess=E1rios, conforme = o Teorema=20 Fundamental da Algebra.
 
Abra=E7os
 
Edu
------=_NextPart_000_000A_01C2D1DA.F84D81E0-- _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 14:41:33 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA12457 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 14:40:09 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA12453 for ; Tue, 11 Feb 2003 14:40:04 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.228]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1BGcOn00530 for ; Tue, 11 Feb 2003 14:38:24 -0200 Message-ID: <004301c2d1f4$e6205820$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <2B184DFE97456744924ACF58987D941D01935320@apl03.poli.usp.br> Subject: Re: [obm-l] Relacao. Date: Tue, 11 Feb 2003 14:42:06 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1353 Lines: 35 A imagem de F: R --> R, dada por F(x) = cotg(x) é R (conjunto dos números reais). Para que exista x real tal que (1+b)/a = cotg(x), basta que a <> 0. Assim, b pode ser qualquer real; a pode ser qualquer real não-nulo. Não precisa haver nenhuma relação entre a e b. ----- Original Message ----- From: "Edilon Ribeiro da Silva" To: Sent: Tuesday, February 11, 2003 11:23 AM Subject: [obm-l] Relacao. > Caros colegas da lista, > > Qual a relação entre a e b, assim como suas restrições, de tal forma que (1+b)/a seja sempre a co-tangente de algum ângulo? Os números a e b pertencem ao conjunto dos números reais. > > Grato, > > Edilon Ribeiro. > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 14:48:04 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA12773 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 14:46:38 -0200 Received: (from nicolau@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA12767 for obm-l@mat.puc-rio.br; Tue, 11 Feb 2003 14:46:37 -0200 Date: Tue, 11 Feb 2003 14:46:37 -0200 From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Deve haver fissao da lista? Message-ID: <20030211144637.H9677@sucuri.mat.puc-rio.br> References: <3E48201F.3060508@centroin.com.br> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Disposition: inline Content-Transfer-Encoding: 8bit User-Agent: Mutt/1.2.5i In-Reply-To: <3E48201F.3060508@centroin.com.br>; from morgado@centroin.com.br on Mon, Feb 10, 2003 at 06:56:47PM -0300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1100 Lines: 22 Esta proposta de fissão da lista já apareceu várias vezes. Tecnicamente ela é muito fácil de ser implementada, a pergunta é se tal fissão é desejável. Todas as vezes que a proposta foi feita houve um pouco de discussão e me parecia no final que não havia maioria a favor da fissão. O fato da discussão já ter ocorrido antes não é, a meu ver, motivo para que a discussão não volte a ocorrer pois a realidade da lista tem mudado bastante. Por exemplo, o número de mensagens tem crescido muito. Há dois anos eu era totalmente contra a fissão: hoje não tenho mais tanta certeza... Eu sugiro que quem tiver uma opinião mande um e-mail particular para mim dizendo se é a favor da fissão e porque. Dentro de uma semana eu mandarei o resultado da votação para a lista. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 14:59:17 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA13537 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 14:57:54 -0200 Received: (from nicolau@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA13532 for obm-l@mat.puc-rio.br; Tue, 11 Feb 2003 14:57:53 -0200 Date: Tue, 11 Feb 2003 14:57:53 -0200 From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] OFF TOPIC - Livro Latex Message-ID: <20030211145753.I9677@sucuri.mat.puc-rio.br> References: <200302091444.h19Ei6Ah023438@trex.centroin.com.br> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Disposition: inline Content-Transfer-Encoding: 8bit User-Agent: Mutt/1.2.5i In-Reply-To: <200302091444.h19Ei6Ah023438@trex.centroin.com.br>; from morgado@centroin.com.br on Sun, Feb 09, 2003 at 12:44:05PM -0200 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1534 Lines: 31 On Sun, Feb 09, 2003 at 12:44:05PM -0200, Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote: > Apoiado, Niski Livros de Matematica e correlatos sao de interesse de grande > parte dos usuarios da lista, basta ver a quantidade de gente que procura os > Problemas Selecionados. Em relaçao a este, sugiro que procurem o Antonio Luis > Santos, que eh um dos autores e colaborador da revista Eureka. Procurem a > OBM, a Nelly deve saber como por os interessados em contato com o Antonio > Luis. Finalmente um conselho a todos os usuarios: relaxem, a vida eh curta, > nao se aborreçam a toa. > Morgado Discordo totalmente do Niski e do Morgado. Anuncio de compra ou venda é off-topic e inapropriado sim (mas talvez SPAM seja realmente um termo forte demais) e a sugestão de tentar em um site que realmente serve para compra e venda é totalmente apropriada. Note que o fato de escrever 'OFF TOPIC' no assunto não dá carta branca para mandar qualquer coisa para a lista. Este conselho de "relaxar" eu considero uma piada inoportuna: reclamar de abusos não é aborrecer-se a toa, é exercer a cidadania. É exatamente pelo fato da vida ser curta que não podemos permitir que qualquer um mande qualquer coisa para a lista. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 15:00:45 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA13588 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 14:59:27 -0200 Received: from hotmail.com (f45.sea2.hotmail.com [207.68.165.45]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA13584 for ; Tue, 11 Feb 2003 14:59:22 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Tue, 11 Feb 2003 08:58:50 -0800 Received: from 200.142.58.18 by sea2fd.sea2.hotmail.msn.com with HTTP; Tue, 11 Feb 2003 16:58:50 GMT X-Originating-IP: [200.142.58.18] From: "Paulo Santa Rita" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Tres belos problemas Date: Tue, 11 Feb 2003 16:58:50 +0000 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 11 Feb 2003 16:58:50.0872 (UTC) FILETIME=[D9F1CF80:01C2D1EE] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1342 Lines: 36 Ola Pessoal, Seguem abaixo tres problemas : 1) Um quadrado e um triangulo estao circunscritos a um circulo de lado unitario. Prove que, qualquer que seja a posicao do quadrado e do triangulo, a area comum aos dois e maior que 17/5. E possivel afirmar que ela e maior que 7/2 ? 2) ( Olimpiada Espanhola ) Em uma reuniao existem exatamente 201 pessoas de 5 nacionalidades diferentes. Sabe-se que em cada grupo de 6 pessoas, ao menos duas tem a mesma idade. Demonstrar que existem ao menos 5 pessoas do mesmo pais, da mesma idade e do mesmo sexo. 3) ( Olimpiada Russa ) Na regiao delimitada por um retangulo de largura 4 e altura 3 sao marcados 6 pontos. Prove que existe ao menos um par destes pontos cuja distancia entre eles nao e maior que Raiz_Quad(5). Estes problemas nao precisam de sugestao. Um Grande Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 3,1455,110203 _________________________________________________________________ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 15:20:16 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA14849 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 15:18:39 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA14843 for ; Tue, 11 Feb 2003 15:18:35 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1BHGtn02675 for ; Tue, 11 Feb 2003 15:16:55 -0200 Message-ID: <007b01c2d1fa$47e95b60$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <012d01c2d16c$21564410$6fe9fea9@servidor> Subject: Re: [obm-l] Geometria Plana Date: Tue, 11 Feb 2003 15:20:38 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/related; type="multipart/alternative"; boundary="----=_NextPart_000_0075_01C2D1E1.21C1F000" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 11025 Lines: 263 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0075_01C2D1E1.21C1F000 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_001_0076_01C2D1E1.21C1F000" ------=_NextPart_001_0076_01C2D1E1.21C1F000 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Caro marcus Alexandre: Aqui vai uma solu=E7=E3o trigonom=E9trica sem usar c=E1lculo. Suponha que m(AB) =3D a; m(BX) =3D b; e m(PX) =3D x. APB =3D APX - BPX =3D=3D> tg(APB) =3D tg(APX - BPX) =3D [tg(APX) - tg(BPX)]/[1 + tg(APX)*tg(BPX)] = =3D=3D> tg (APB) =3D [ (a+b)/x - b/x ] / [ 1 + (a+b)*b/x^2 ] =3D (a/x) / [ 1 + = (a+b)*b /x^2 ] =3D=3D> ctg(APB) =3D [ 1 + b*(a+b)/x^2 ] / (a/x) =3D x/a + (b/a)*(a+b)/x APB =E9 m=E1ximo =3D=3D> tg(APB) =E9 m=E1xima =3D=3D> ctg(APB) =E9 = m=EDnima =3D=3D> x/a + (b/a)*(a+b)/x =E9 m=EDnima Usando a desigualdade entre as m=E9dias geom=E9trica e aritm=E9tica de = (x/a) e (b/a)*(a+b)/x teremos: (1/2)*[ x/a + (b/a)*(a+b)/x ] >=3D raiz[ (x/a) * (b/a)*(a+b)/x ] =3D = raiz(b*(a+b)/a^2) =3D raiz(b*(a+b))/a Igualdade <=3D=3D> x/a =3D (b/a)*(a+b)/x <=3D=3D> x^2 =3D b*(a+b) = <=3D=3D> x =3D m(PX) =3D raiz(b*(a+b)) Assim, APB ser=E1 m=E1ximo se m(PX) =3D raiz(b*(a+b)). Nesse caso:=20 tg(BPX) =3D b/x =3D b/raiz(b*(a+b)) =3D raiz(b/(a+b)) =20 tg(PAX) =3D x/(a+b) =3D raiz(b*(a+b))/(a+b) =3D raiz(b/(a+b)). Ou, seja: tg(BPX) =3D tg(PAX) =3D=3D> BPX =3D PAX, conforme voc=EA = disse. Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Marcus Alexandre Nunes=20 To: Lista OBM=20 Sent: Monday, February 10, 2003 10:22 PM Subject: [obm-l] Geometria Plana Na figura abaixo, qual =E9 a posi=E7=E3o de P para que o =E2ngulo com = um tra=E7o seja m=E1ximo? Eu descobri que os =E2ngulos com dois tra=E7os = devem ser congruentes, mas n=E3o consegui demonstrar. Algu=E9m pode me = ajudar? Obrigado. ---------------------------------------------- Marcus Alexandre Nunes marcus_math@yahoo.com.br UIN 114153703 --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 ------=_NextPart_001_0076_01C2D1E1.21C1F000 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Caro marcus Alexandre:
 
Aqui vai uma solu=E7=E3o = trigonom=E9trica sem usar=20 c=E1lculo.
 
Suponha que m(AB) =3D a; m(BX) =3D b; e = m(PX) =3D=20 x.
 
APB =3D APX - BPX  = =3D=3D>
tg(APB) =3D tg(APX - BPX) =3D [tg(APX) = - tg(BPX)]/[1 +=20 tg(APX)*tg(BPX)]  =3D=3D>
tg (APB) =3D [ (a+b)/x - b/x ] / [ = 1 +=20 (a+b)*b/x^2 ] =3D (a/x) / [ 1 + (a+b)*b /x^2=20 ]   =3D=3D>
ctg(APB) =3D [ 1 + b*(a+b)/x^2 ] / = (a/x) =3D x/a +=20 (b/a)*(a+b)/x
 
APB =E9 m=E1ximo =3D=3D> tg(APB) =E9 = m=E1xima =3D=3D>=20 ctg(APB) =E9 m=EDnima =3D=3D> x/a + (b/a)*(a+b)/x =E9 = m=EDnima
 
Usando a desigualdade entre as m=E9dias = geom=E9trica e=20 aritm=E9tica de  (x/a)  e (b/a)*(a+b)/x =20 teremos:
 
(1/2)*[ x/a + (b/a)*(a+b)/x ] = >=3D raiz[=20 (x/a) * (b/a)*(a+b)/x ] =3D raiz(b*(a+b)/a^2) =3D = raiz(b*(a+b))/a
 
Igualdade  <=3D=3D>  = x/a =3D=20 (b/a)*(a+b)/x  <=3D=3D>  x^2 =3D b*(a+b)  = <=3D=3D>  x =3D=20 m(PX) =3D raiz(b*(a+b))
 
Assim, APB ser=E1 m=E1ximo se = m(PX) =3D=20 raiz(b*(a+b)).
 
 
Nesse caso:
tg(BPX) =3D b/x =3D = b/raiz(b*(a+b)) =3D=20 raiz(b/(a+b))  
tg(PAX) =3D x/(a+b) =3D = raiz(b*(a+b))/(a+b) =3D=20 raiz(b/(a+b)).
 
Ou, seja: tg(BPX) =3D tg(PAX) = =3D=3D> BPX =3D PAX,=20 conforme voc=EA disse.
 
 
Um abra=E7o,
Claudio.
 
----- Original Message -----
From:=20 Marcus Alexandre Nunes =
Sent: Monday, February 10, 2003 = 10:22=20 PM
Subject: [obm-l] Geometria = Plana

Na figura abaixo, qual =E9 a = posi=E7=E3o de P para=20 que o =E2ngulo com um tra=E7o seja m=E1ximo? Eu = descobri que os=20 =E2ngulos com dois tra=E7os devem ser congruentes, = mas n=E3o=20 consegui demonstrar. Algu=E9m pode me ajudar?
 
3D""
 
 
Obrigado.

----------------------------------------------
Marcus = Alexandre=20 Nunes
marcus_math@yahoo.com.br
= UIN=20 114153703
 

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Outgoing mail is certified Virus Free.
Checked by = AVG=20 anti-virus system (http://www.grisoft.com).
Version: = 6.0.449=20 / Virus Database: 251 - Release Date:=20 27/1/2003
------=_NextPart_001_0076_01C2D1E1.21C1F000-- ------=_NextPart_000_0075_01C2D1E1.21C1F000 Content-Type: image/gif; name="obm-l.gif" Content-Transfer-Encoding: base64 Content-ID: <007401c2d1fa$46e46e80$3300c57d@bovespa.com> R0lGODlh7gDoAPcAAAAAAIAAAACAAICAAAAAgIAAgACAgICAgMDcwKbK8Co/qio//ypfACpfVSpf qipf/yp/ACp/VSp/qip//yqfACqfVSqfqiqf/yq/ACq/VSq/qiq//yrfACrfVSrfqirf/yr/ACr/ VSr/qir//1UAAFUAVVUAqlUA/1UfAFUfVVUfqlUf/1U/AFU/VVU/qlU//1VfAFVfVVVfqlVf/1V/ AFV/VVV/qlV//1WfAFWfVVWfqlWf/1W/AFW/VVW/qlW//1XfAFXfVVXfqlXf/1X/AFX/VVX/qlX/ /38AAH8AVX8Aqn8A/38fAH8fVX8fqn8f/38/AH8/VX8/qn8//39fAH9fVX9fqn9f/39/AH9/VX9/ qn9//3+fAH+fVX+fqn+f/3+/AH+/VX+/qn+//3/fAH/fVX/fqn/f/3//AH//VX//qn///6oAAKoA VaoAqqoA/6ofAKofVaofqqof/6o/AKo/Vao/qqo//6pfAKpfVapfqqpf/6p/AKp/Vap/qqp//6qf AKqfVaqfqqqf/6q/AKq/Vaq/qqq//6rfAKrfVarfqqrf/6r/AKr/Var/qqr//9QAANQAVdQAqtQA /9QfANQfVdQfqtQf/9Q/ANQ/VdQ/qtQ//9RfANRfVdRfqtRf/9R/ANR/VdR/qtR//9SfANSfVdSf qtSf/9S/ANS/VdS/qtS//9TfANTfVdTfqtTf/9T/ANT/VdT/qtT///8AVf8Aqv8fAP8fVf8fqv8f //8/AP8/Vf8/qv8///9fAP9fVf9fqv9f//9/AP9/Vf9/qv9///+fAP+fVf+fqv+f//+/AP+/Vf+/ qv+////fAP/fVf/fqv/f////Vf//qszM///M/zP//2b//5n//8z//wB/AAB/VQB/qgB//wCfAACf VQCfqgCf/wC/AAC/VQC/qgC//wDfAADfVQDfqgDf/wD/VQD/qioAACoAVSoAqioA/yofACofVSof qiof/yo/ACo/Vf/78KCgpICAgP8AAAD/AP//AAAA//8A/wD//////ywAAAAA7gDoAAAI/wD/CRxI sKDBgwgTKlzIUCCBhhAjSpxIsaLFixgzaoz4cKPHjyBDihxJEmHHkihTqlzJEuPJljBjypwZ8iXN mzhz6hxoc6fPn0BF9gxKtKjRhkOPKl1qNCnTp1BxOo1KtarKqVazavWIdavXrxK7gh1bNF++jGLJ qvVpFu3at0rNtr2YFq5dmHLP0r3Ll61AvRbr9h0scu7cioIJK95oGDDFxIsjW8x7eKJcyZhHVq4M kXLmzx43O+5MoPRo0Khn5itN4HTq1y1Zw54tkzVk2rgRy87Nm6Ts272DJ9wNXLhxnqUdHl+u+2Rx 5r13/3sOPbf06dWzD09OkLr21Nexf/8fP517d/Lfw4tHX139evbL3b+HL1y+d/qD5c/Hb908gIL3 8WfXdf8RVKCA/b104D//BYggWQQKBECBDj4IlnQTTljQghaiRkCGGjJoYIMdvhbefxnyVCJ4/qVo UIUrUvUhiANxqFyMmaln4404RqbjcD36aF6NQAapmH4mGUkYkgfBqCRRTDb5JF9RSjklXFW+eCWW Q4a15VpZavklhF16OeaFZZp55lZhWrmmVm26+WZVcYo5J51pTuTknSnVKSefS/lpJ6CB5vkYoUwJ OiiiRSm6KKNAOfoopDtJCiClUBoaGKaRaooYpz9ZOimotXm6KalSmfopqjeJ+iersan/uiqsMbn6 Kq19ynoqrivZeiuvI/n6K7AgCTsqsR8ZeyyyGim7LLN06eoStEJJOy21yVp7LbbNarsXt93uWSS4 0YqbJLnl1opuYN66ta6e7W77LkTOLmQuq/UqdC+q+eo7L73xNvsvQ/36O7C+AQt8sEkJu7vwiw07 /DBy+yI1cXcRSzxxwRZfXF7FHV/MccgPj0zywSYTLHLGXG3M8kYg35nyyfPOTPO6NquM8svJ7hyz nj43NXDO9P5L9M3cHo00tUrrjDPPQr3b9NLITu00uFZfTe1qpj31c5Bct+b1nJRxFpFcUPv2pmiT tZV2TWs7ZjZH5wW6Jtu7OvT1rFuW/+0a3RAftXduePN9qdBfFn7odo2OqTjQ9g6utZKPq2kvlH2X LW/kkUKb2NuG43qb5MPyy26lVbtEet28erc6j6LD/Prr7Dm4Ou3oVQj65bHXJDnu6amtLq3m7l46 o/saz7rpV8UGa8zKw87p18oDD93gFVsf30y7a3/c7cWTSnv40+uUtvfBWQ81+rx5DyP71gX1Mvy0 wc8y/bDhHyD+JioVMf8eShR1djQnAKqoIRzSkAFzFBVVHWhBC5RMBJHDEBQdDlATXB5CdpTBJcHJ KRZ81pQ6CKCePFCETyLhoBKIQiOpMHAi4l0B1fKhos1QLQBIywvXAqIe9hAqFCKgBv+/1BUhBqVA JJLhmIr4lBOWx2BnYiJTkFjCcRGxglMk0rF2eCEsFuWHMWzSULj4FSkqhUYIa2GHzHgUJKLxT2Rk kxfbKCGOvCSOWWHjF+sYFudsSY9EoeLi8EinORpFkI95SGv+1qHVMJKPdAyjbi4jP9tY8pKYzKQm N8nJTnoSkzn8pChH6clQhpKUrDHLIlHJSlLaxZGz8YwLcUPJWXqsc7cMVS51uUvU9dJ8vwRmMEMz mrkNcZhtK4gxD4hMjRxmmczsjd+W0xZoRpM3lcOmNa9JOLk9MpbblF43CRJO1FTzm+KkpTeN80x0 ElIzmhMOZ6z5zsKgkzbz/GY9Q1JDztyx8561+yeO9km8ZtKEoM8zKPcUWhuGDs+hLEEoviDqPIr2 yqIXxWifNLpRjpZEoszzaLBEKjySws2kJ0Vpz0gVEAA7 ------=_NextPart_000_0075_01C2D1E1.21C1F000-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 15:49:13 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA16639 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 15:46:53 -0200 Received: from itaqui.terra.com.br (itaqui.terra.com.br [200.176.3.19]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA16635 for ; Tue, 11 Feb 2003 15:46:45 -0200 Received: from altamira.terra.com.br (altamira.terra.com.br [200.176.3.40]) by itaqui.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 065733BF3A1 for ; Tue, 11 Feb 2003 15:46:15 -0200 (BRST) Received: from niski.com (unknown [200.148.193.81]) (authenticated user fniski) by altamira.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id BA2C23DC065 for ; Tue, 11 Feb 2003 15:46:13 -0200 (BRST) Message-ID: <3E498B69.6000702@niski.com> Date: Tue, 11 Feb 2003 15:46:49 -0800 From: niski User-Agent: Mozilla/5.0 (Windows; U; Windows NT 5.1; en-US; rv:1.0.2) Gecko/20021120 Netscape/7.01 X-Accept-Language: en-us, en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] OFF TOPIC - Livro Latex References: <200302091444.h19Ei6Ah023438@trex.centroin.com.br> <20030211145753.I9677@sucuri.mat.puc-rio.br> Content-Type: multipart/alternative; boundary="------------010304020901010604020604" Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 5348 Lines: 122 --------------010304020901010604020604 Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit Nicolau, estaria de total acordo com sua mensagem caso eu estivesse vendendo galinhas, copos ou lustres. Mas no caso eu acho que mensagens como aquela convem e muito já que é bem provavel que em um grupo de discussao de matematica onde sei que existem pessoa que utliziam e precisam de LaTeX logo uma proposta de um livro bom e com preço abaixo do preço de mercado é uma boa proposta para os assinantes da lista. Na minha humilde opinião o sr. esta sendo reto de mais em pensar (se eu entendi o seu ponto de vista) "Dada a mensagem X, se X tiver intençao de venda, X automaticamente não é apropriada para a lista", infelizmente para mim (e possivelmente para uma pessoa que precise desse livro mas que não assina a lista) a mensagem não vingou, mas se eu tivesse fechado o negocio a mensagem teria beneficiado o tal usuario da lista da mesma forma que ele teria sido beneficiado caso sua duvida sobre matematica tivesse sido sanada. Espero não criar mais confusão, só citei minha opinião baseada apenas no que eu entendo pelo meu bom senso. > >Discordo totalmente do Niski e do Morgado. > >Anuncio de compra ou venda é off-topic e inapropriado sim >(mas talvez SPAM seja realmente um termo forte demais) >e a sugestão de tentar em um site que realmente serve >para compra e venda é totalmente apropriada. >Note que o fato de escrever 'OFF TOPIC' no assunto >não dá carta branca para mandar qualquer coisa para a lista. > >Este conselho de "relaxar" eu considero uma piada inoportuna: >reclamar de abusos não é aborrecer-se a toa, é exercer a cidadania. >É exatamente pelo fato da vida ser curta que não podemos permitir >que qualquer um mande qualquer coisa para a lista. > >[]s, N. >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= > > > > --------------010304020901010604020604 Content-Type: text/html; charset=us-ascii Content-Transfer-Encoding: 7bit     Nicolau, estaria de total acordo com sua mensagem caso eu estivesse vendendo galinhas,  copos ou lustres. Mas no caso eu acho que mensagens como aquela convem e muito já que é bem provavel que em um grupo de discussao de matematica onde sei que existem pessoa que utliziam e precisam de LaTeX logo uma proposta de um livro bom e com preço abaixo do preço de mercado é uma boa proposta para os assinantes da lista. Na minha humilde opinião o sr. esta sendo reto de mais em pensar (se eu entendi o seu ponto de vista) "Dada a mensagem X, se X tiver intençao de venda, X automaticamente não é apropriada para a lista", infelizmente para mim (e possivelmente para uma pessoa que precise desse livro mas que não assina a lista) a mensagem não vingou, mas se eu tivesse fechado o negocio a mensagem teria beneficiado o tal usuario da lista da mesma forma que ele teria sido beneficiado caso sua duvida sobre matematica tivesse sido sanada.
Espero não criar mais confusão, só citei minha opinião baseada apenas no que eu entendo pelo meu bom senso.




<SNIP>

Discordo totalmente do Niski e do Morgado.

Anuncio de compra ou venda é off-topic e inapropriado sim
(mas talvez SPAM seja realmente um termo forte demais)
e a sugestão de tentar em um site que realmente serve
para compra e venda é totalmente apropriada.
Note que o fato de escrever 'OFF TOPIC' no assunto
não dá carta branca para mandar qualquer coisa para a lista.

Este conselho de "relaxar" eu considero uma piada inoportuna:
reclamar de abusos não é aborrecer-se a toa, é exercer a cidadania.
É exatamente pelo fato da vida ser curta que não podemos permitir
que qualquer um mande qualquer coisa para a lista.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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--------------010304020901010604020604-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 16:40:22 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA18654 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 16:38:41 -0200 Received: from utahjazz.vesper.com.br ([200.218.62.20]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA18649 for ; Tue, 11 Feb 2003 16:38:38 -0200 Received: from ipcsrvnws02.vespersa.com.br ([10.11.255.107]) by utahjazz.vesper.com.br with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5329); Tue, 11 Feb 2003 16:38:17 -0300 Received: by ipcsrvnws01.sp.vespersa.com.br with Internet Mail Service (5.5.2653.19) id <1JTSAJ18>; Tue, 11 Feb 2003 16:37:28 -0300 Message-ID: From: =?iso-8859-1?Q?Jo=E3o_Gilberto_Ponciano_Pereira?= To: "'obm-l@mat.puc-rio.br'" Subject: RE: [obm-l] Tres belos problemas Date: Tue, 11 Feb 2003 16:38:08 -0300 MIME-Version: 1.0 X-Mailer: Internet Mail Service (5.5.2653.19) Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" X-OriginalArrivalTime: 11 Feb 2003 19:38:17.0390 (UTC) FILETIME=[20089CE0:01C2D205] Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id QAA18651 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 3220 Lines: 74 2) Em uma reuniao existem exatamente 201 pessoas de 5 nacionalidades diferentes. Sabe-se que em cada grupo de 6 pessoas, ao menos duas tem a mesma idade. Demonstrar que existem ao menos 5 pessoas do mesmo pais, da mesma idade e do mesmo sexo. Primeiramente podemos distribuir todas as pessoas em apenas 5 grupos de idade, pois se tivermos 6 grupos, não vale a afirmação "Sabe-se que em cada grupo de 6 pessoas, ao menos duas tem a mesma idade". Basta utilizar sucessivamente o teorema da casa dos pombos... Ou seja, das 201, sabemos que existe um grupo de 51 pessoas com a mesma idade. Dessas, sabemos que existe um grupo de 11 pessoas do mesmo país. Dessas, 6 tem o mesmo sexo. 3) Achei o mais interessante... Vamos dividir o retângulo em 12 quadrados de lado 1 (4x3). Agora pintamos os quadrados de preto e branco, como um tabuleiro de xadrez. Se tivermos dois pontos na mesma "casa", o problema está resolvido, pois a distância máxima seria sqrt(2). Se tivermos pontos em casas vizinha, o problema também está resolvido, pois a distância máxima seria sqrt(5). Teria que enrolar mais, mas o fato é que os pontos caem ou todos em casas brancas ou todos em casas pretas. O fato é que existe um quadrado 3x3 que contém 5 pontos, e novamente pela casa dos pombos, pelo menos 1 quadrado 1.5 x 1.5 contém 2 ou mais pontos, cuja distância neste caso é inferior a sqrt(4.5) -----Original Message----- From: Paulo Santa Rita [mailto:p_ssr@hotmail.com] Sent: Tuesday, February 11, 2003 1:59 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Tres belos problemas Ola Pessoal, Seguem abaixo tres problemas : 1) Um quadrado e um triangulo estao circunscritos a um circulo de lado unitario. Prove que, qualquer que seja a posicao do quadrado e do triangulo, a area comum aos dois e maior que 17/5. E possivel afirmar que ela e maior que 7/2 ? 2) ( Olimpiada Espanhola ) Em uma reuniao existem exatamente 201 pessoas de 5 nacionalidades diferentes. Sabe-se que em cada grupo de 6 pessoas, ao menos duas tem a mesma idade. Demonstrar que existem ao menos 5 pessoas do mesmo pais, da mesma idade e do mesmo sexo. 3) ( Olimpiada Russa ) Na regiao delimitada por um retangulo de largura 4 e altura 3 sao marcados 6 pontos. Prove que existe ao menos um par destes pontos cuja distancia entre eles nao e maior que Raiz_Quad(5). Estes problemas nao precisam de sugestao. Um Grande Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 3,1455,110203 _________________________________________________________________ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 17:05:34 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA19463 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 17:02:47 -0200 Received: from silva5.uol.com.br (silva5.uol.com.br [200.221.4.52]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA19459 for ; Tue, 11 Feb 2003 17:02:44 -0200 Received: from gauss ([200.153.212.90]) by silva5.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with SMTP id RAA00528 for ; Tue, 11 Feb 2003 17:06:13 -0200 (BRST) Message-ID: <005e01c2d20a$327305a0$2accfea9@gauss> From: "Domingos Jr." To: References: <20030211143104.F9677@sucuri.mat.puc-rio.br> Subject: [obm-l] Re: proposta para a lista Date: Tue, 11 Feb 2003 17:14:34 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2720.3000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1431 Lines: 33 Aproveito a oportunidade para fazer uma outra proposta, já que há outra discussão em torno da lista --- se deve ser criada uma lista paralela ou não. Acredito que muitos daqui já tenham utilizado newsgroups, tornar essa lista de discussão um newsgroup seria muito vantajoso e acredito que não seja tecnicamente difícil de implementar. Se decidido que deve haver uma lista paralela, é muito mais fácil acompanhar tal lista num newsgroup, além disso é muito simples fazer um "cross-post" e mandar uma mensagem para todas as listas, no caso de mensagens que mereçam estar em vários grupos. Outra grande vantagem é no lado de quem lê as mensagens, em vez de baixar todas as mensagens é possível descarregar só os cabeçalhos e ler as mensagens que interessam naquele instante... também é muito mais fácil manter uma hierarquia de assuntos e respostas. Será que é possível incluir na votação proposta a possibilidade de mudar a estrutura de lista para newsgroup. [ ]'s Domingos. PS: Alguns colegas meus gerenciam newsgroups, acho que eles não se importariam em dar algumas dicas técnicas se vocês precisarem. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 17:11:55 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA19677 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 17:10:31 -0200 Received: from puma.unisys.com.br (smtp.unisys.com.br [200.220.64.7]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA19664 for ; Tue, 11 Feb 2003 17:10:25 -0200 Received: from n8x4f9 (riopm18p109.uninet.com.br [200.220.16.109]) by puma.unisys.com.br (8.12.3/8.12.3) with SMTP id h1BJ9k9a027873 for ; Tue, 11 Feb 2003 17:09:54 -0200 (EDT) X-Spam-Filter: check_local@puma.unisys.com.br by digitalanswers.org Message-ID: <021701c2d201$479766a0$1702dcc8@n8x4f9> From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" To: References: <200302091444.h19Ei6Ah023438@trex.centroin.com.br> <20030211145753.I9677@sucuri.mat.puc-rio.br> Subject: [obm-l] compra e venda de livros Date: Tue, 11 Feb 2003 17:09:13 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2500 Lines: 63 Mensagens para a lista perguntando como comprar um determinado livro - obviamente sobre matemática -, ou pedindo sugestões sobre livros que tratem de determinado assunto - obviamente sobre matemática - também são consideradas off-topic? Não há a menor dúvida que "reclamar de abusos não é aborrecer-se à toa, é exercer a cidadania". A questão é definir o que vem a ser "abuso". JF ----- Original Message ----- From: Nicolau C. Saldanha To: Sent: Tuesday, February 11, 2003 2:57 PM Subject: Re: [obm-l] OFF TOPIC - Livro Latex > On Sun, Feb 09, 2003 at 12:44:05PM -0200, Augusto Cesar de Oliveira Morgado > wrote: > > Apoiado, Niski Livros de Matematica e correlatos sao de interesse de grande > > parte dos usuarios da lista, basta ver a quantidade de gente que procura os > > Problemas Selecionados. Em relaçao a este, sugiro que procurem o Antonio Luis > > Santos, que eh um dos autores e colaborador da revista Eureka. Procurem a > > OBM, a Nelly deve saber como por os interessados em contato com o Antonio > > Luis. Finalmente um conselho a todos os usuarios: relaxem, a vida eh curta, > > nao se aborreçam a toa. > > Morgado > > Discordo totalmente do Niski e do Morgado. > > Anuncio de compra ou venda é off-topic e inapropriado sim > (mas talvez SPAM seja realmente um termo forte demais) > e a sugestão de tentar em um site que realmente serve > para compra e venda é totalmente apropriada. > Note que o fato de escrever 'OFF TOPIC' no assunto > não dá carta branca para mandar qualquer coisa para a lista. > > Este conselho de "relaxar" eu considero uma piada inoportuna: > reclamar de abusos não é aborrecer-se a toa, é exercer a cidadania. > É exatamente pelo fato da vida ser curta que não podemos permitir > que qualquer um mande qualquer coisa para a lista. > > []s, N. > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 17:20:59 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA20092 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 17:19:27 -0200 Received: (from nicolau@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA20083 for obm-l@mat.puc-rio.br; Tue, 11 Feb 2003 17:19:26 -0200 Date: Tue, 11 Feb 2003 17:19:26 -0200 From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] OFF TOPIC - Livro Latex Message-ID: <20030211171926.B19181@sucuri.mat.puc-rio.br> References: <200302091444.h19Ei6Ah023438@trex.centroin.com.br> <20030211145753.I9677@sucuri.mat.puc-rio.br> <3E498B69.6000702@niski.com> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Disposition: inline Content-Transfer-Encoding: 8bit User-Agent: Mutt/1.2.5i In-Reply-To: <3E498B69.6000702@niski.com>; from fabio@niski.com on Tue, Feb 11, 2003 at 03:46:49PM -0800 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2362 Lines: 41 On Tue, Feb 11, 2003 at 03:46:49PM -0800, niski wrote: > Nicolau, estaria de total acordo com sua mensagem caso eu estivesse > vendendo galinhas, copos ou lustres. Mas no caso eu acho que mensagens > como aquela convem e muito já que é bem provavel que em um grupo de > discussao de matematica onde sei que existem pessoa que utliziam e > precisam de LaTeX logo uma proposta de um livro bom e com preço abaixo > do preço de mercado é uma boa proposta para os assinantes da lista. Na > minha humilde opinião o sr. esta sendo reto de mais em pensar (se eu > entendi o seu ponto de vista) "Dada a mensagem X, se X tiver intençao de > venda, X automaticamente não é apropriada para a lista", infelizmente > para mim (e possivelmente para uma pessoa que precise desse livro mas > que não assina a lista) a mensagem não vingou, mas se eu tivesse fechado > o negocio a mensagem teria beneficiado o tal usuario da lista da mesma > forma que ele teria sido beneficiado caso sua duvida sobre matematica > tivesse sido sanada. > Espero não criar mais confusão, só citei minha opinião baseada apenas no > que eu entendo pelo meu bom senso. Estou respondendo para a lista pq o Niski mandou a mensagem dele para cá. Acho que esta discussão talvez já devesse ter passado para o e-mail pessoal. Aceito que o que você fez não foi nenhuma barbaridade, e acho que sua mensagem não deve ser chamada de spam (como alguém fez). Por esse motivo tentei mandar uma mensagem calma (em vez de uma bronca, como você deve se lembrar que já fiz quando houve abusos grosseiros). Mas mesmo não gostando de bancar o policial, sou o administrador da lista e não posso fugir à responsabilidade de manter esta lista dentro dos seu reais objetivos. Se eu não mandasse uma mensagem indicando que comércio dentro da lista é inadequado estaria (dentro do meu bom senso) sendo omisso diante desta responsabilidade que assumi. Por favor não tome esta advertência como uma agressão nem como nada pessoal. Espero que você continue participando da lista. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 17:41:50 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA21187 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 17:40:22 -0200 Received: (from nicolau@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA21182 for obm-l@mat.puc-rio.br; Tue, 11 Feb 2003 17:40:22 -0200 Date: Tue, 11 Feb 2003 17:40:21 -0200 From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] compra e venda de livros Message-ID: <20030211174021.C19181@sucuri.mat.puc-rio.br> References: <200302091444.h19Ei6Ah023438@trex.centroin.com.br> <20030211145753.I9677@sucuri.mat.puc-rio.br> <021701c2d201$479766a0$1702dcc8@n8x4f9> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Disposition: inline Content-Transfer-Encoding: 8bit User-Agent: Mutt/1.2.5i In-Reply-To: <021701c2d201$479766a0$1702dcc8@n8x4f9>; from jfgcosta@unisys.com.br on Tue, Feb 11, 2003 at 05:09:13PM -0200 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2078 Lines: 41 On Tue, Feb 11, 2003 at 05:09:13PM -0200, Jose Francisco Guimaraes Costa wrote: > Mensagens para a lista perguntando como comprar um determinado livro - > obviamente sobre matemática -, ou pedindo sugestões sobre livros que tratem > de determinado assunto - obviamente sobre matemática - também são > consideradas off-topic? Perguntar como comprar a meu ver é off-topic sim, mas menos grave do que colocar um produto a venda. Eu não chamo a atenção a cada caso simplesmente pq acho que isso criaria mais ruido do que vale a pena. Perguntar onde estudar um determinado assunto é totalmente legítimo. > Não há a menor dúvida que "reclamar de abusos não é aborrecer-se à toa, é > exercer a cidadania". A questão é definir o que vem a ser "abuso". Claro, por isso mesmo é legítimo reclamar. Quem está cometendo o abuso em geral acha que naquele caso não é um abuso, é totalmente legítimo: saia na rua e fale com algum motorista que esteja cometendo uma infração (cuidado: seguir esta recomendação ao pé da letra pode ser prejudicial à saúde) e ele certamente responderá que aquilo não é abuso, ele *precisa* fazer fila dupla, andar na contra-mão, desrespeitar o limite de velocidade, dirigir embriagado... Em alguns raros casos uma reclamação faz com que a pessoa se toque que sim, afinal de contas aquilo foi um abuso. Ou talvez a ênfase da sua pergunta seja em 'definir'. A maioria das regras de convivência em uma lista como esta não estão escritas. Em nenhum lugar está escrito que é proibido fazer pregações religiosas aqui mas felizmente até agora ninguém teve esta idéia genial (continuem assim!). O meu entendimento (como organizador da lista) é que comércio na lista também é inaceitável, mesmo isso não estando escrito em lugar nenhum. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 17:42:17 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA21220 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 17:41:01 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA21216 for ; Tue, 11 Feb 2003 17:40:58 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.224]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1BJdEn09843 for ; Tue, 11 Feb 2003 17:39:15 -0200 Message-ID: <016801c2d20e$2b696de0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030210184446.56381.qmail@web12908.mail.yahoo.com> Subject: Re: [obm-l] Para quem gosta,essa e do baralho Date: Tue, 11 Feb 2003 17:42:52 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0165_01C2D1F5.00A4FAC0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 11417 Lines: 325 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0165_01C2D1F5.00A4FAC0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Caro JP: N=E3o sei se essa solu=E7=E3o =E9 v=E1lida ou n=E3o, mas acho que = funciona. Chame as cartas do baralho de 1, 2, 3, ..., 52. Suponha que as 4 cartas sobre a mesa sejam A1, A2, A3 e A4 com A1 < A2 < = A3 < A4. O problema =E9 encontrar 52 - 4 =3D 48 arranjos distintos destas 4 = cartas sobre a mesa de modo a identificar a carta em poder do = espectador. Ent=E3o, fa=E7a a seguinte correspond=EAncia: 1 =3D (A1,A2,A3,A4) 2 =3D (A1,A2,A4,A3) 3 =3D (A1,A3,A2,A4) =20 4 =3D (A1,A3,A4,A2) ..... 23 =3D (A4,A3,A1,A2) 24 =3D (A4,A3,A2,A1) Ou seja, para 1 <=3D k <=3D 24, a carta k corresponde =E0 k-=E9sima = permuta=E7=E3o de 1, 2, 3 e 4, com as faces das cartas viradas para = cima. De 25 a 48, repita as mesmas permuta=E7=F5es, mas com as faces das = cartas viradas para a mesa. Nesse ponto, estou supondo que o "adivinho" = possa examinar (ou seja, virar) as 4 cartas na mesa. Caso o "adivinho" n=E3o possa tocar as cartas, pode-se dispor as cartas = que representam os n=FAmeros de 1 a 24 horizontalmente (ou seja, uma do = lado da outra) e de 25 a 48 verticalmente (uma de baixo da outra). Espero ter sido claro. Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet=20 To: teoremaprob@yahoogrupos.com.br ; obm-l@mat.puc-rio.br ; = teoremalista@yahoogrupos.com.br=20 Sent: Monday, February 10, 2003 3:44 PM Subject: [obm-l] Para quem gosta,essa e do baralho Essa questao caiu no "Tungyr Daragov",ou Tournaments of Towns,e alguem = da lista faz muito tempo nao viu resposta para esse(eu nao participava = de lista nenhuma nesse tempo),logo e meu dever responder.Eu olhei num = momento de spleen total,na larica. Temos dois magicos que devem fazer um truque com um baralho de 52 = cartas como o tradicional.Alguem da plateia deve escolher aleatoriamente = cinco cartas.O primeiro magico deve escolher uma dessas cartas e da-la = para o cara da plateia,que a guardara no bolso.As restantes sao = colocadas em cima de uma mesa,em uma certa ordem.O segundo magico faz = uma entrada triunfal e adivinha,olhando as 4 cartas na mesa,que carta = esta no bolso do cara da plateia. Sem usar truques de espelho nem nada desse teor,e possivel algo assim? Um espa=E7o pra quem quiser pensar. RESPOSTA:Sim,e possivel.Essa solu=E7ao e do Andre Danila,de Sampa.Ele = me contou que estava no sono REM quando resolveu,e o Carlos 0,Shine deu = Ursinho Pooh de premio. Como ha 5 cartas e 4 naipes havera duas cartas de mesmo naipe.Uma = dessas cartas sera deixada na mesa e a outra sera escondida.Diremos qual = sera ela. Crie uma roda das cartas,colocando os numeros nos mostradores de um = relogio:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K (ou noutra ordem assim,isso nao = impede o truque).Dadas essas duas cartas de mesmo naipe coloque-as na = roda das cartas e veja a menor distancia entre elas e anote.Essa = distancia nao passa de seis.Assim sendo pegue a carta mais perto do 1 na = roda das cartas(em caso de equidistancia pegue a menor) e de pra = plateia.Agora use uma fun=E7ao que a cada permuta=E7ao dos numeros 1,2,3 = associa uma distancia de um a seis.Assim sendo use esta permuta=E7ao com = a fun=E7ao para ordenar as cartas no sentido de que=20 1)A primeira carta detectara o naipe. 2)As outras tres serao os indicadores de distancia da primeira carta = ate a escondida.E so associar a ordem crescente por exemplo. E pronto!Temos o pedido. Por favor confiram a conta que ela ficou doida!!!! TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) -------------------------------------------------------------------------= ----- Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o = Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_0165_01C2D1F5.00A4FAC0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Caro JP:
 
N=E3o sei se essa solu=E7=E3o =E9 = v=E1lida ou n=E3o, mas acho=20 que funciona.
 
Chame as cartas do baralho de 1, 2, 3, = ...,=20 52.
 
Suponha que as 4 cartas sobre a mesa = sejam A1, A2,=20 A3 e A4 com A1 < A2 < A3 < A4.
 
O problema =E9 encontrar 52 - 4 =3D 48 = arranjos=20 distintos destas 4 cartas sobre a mesa de modo a identificar a carta em = poder do=20 espectador.
 
Ent=E3o, fa=E7a a seguinte=20 correspond=EAncia:
1  =3D  = (A1,A2,A3,A4)
2  =3D  = (A1,A2,A4,A3)
3  =3D =20 (A1,A3,A2,A4)  
4  =3D  = (A1,A3,A4,A2)
.....
23 =3D (A4,A3,A1,A2)
24 =3D (A4,A3,A2,A1)
 
Ou seja, para 1 <=3D k <=3D 24, a = carta k=20 corresponde =E0 k-=E9sima permuta=E7=E3o de 1, 2, 3 e 4, com as faces = das cartas viradas=20 para cima.
 
De 25 a 48, repita as mesmas = permuta=E7=F5es, mas com=20 as faces das cartas viradas para a mesa. Nesse ponto, estou supondo que = o=20 "adivinho" possa examinar (ou seja, virar) as 4 cartas na = mesa.
 
Caso o "adivinho" n=E3o possa tocar as = cartas,=20 pode-se dispor as cartas que representam os n=FAmeros de 1 a 24 = horizontalmente=20 (ou seja, uma do lado da outra) e de 25 a 48 verticalmente (uma de baixo = da=20 outra).
 
Espero ter sido claro.
 
Um abra=E7o,
Claudio.
----- Original Message -----
From:=20 Johann Peter Gustav = Lejeune=20 Dirichlet
To: teoremaprob@yahoogrupos.co= m.br=20 ; obm-l@mat.puc-rio.br ; teoremalista@yahoogrupos.= com.br=20
Sent: Monday, February 10, 2003 = 3:44=20 PM
Subject: [obm-l] Para quem = gosta,essa e=20 do baralho

Essa questao caiu no "Tungyr Daragov",ou Tournaments of Towns,e = alguem da=20 lista faz muito tempo nao viu resposta para esse(eu nao participava de = lista=20 nenhuma nesse tempo),logo e meu dever responder.Eu olhei num momento = de spleen=20 total,na larica.

Temos dois magicos que devem fazer um truque com um baralho de 52 = cartas=20 como o tradicional.Alguem da plateia deve escolher aleatoriamente = cinco=20 cartas.O primeiro magico deve escolher uma dessas cartas e da-la = para o=20 cara da plateia,que a guardara no bolso.As restantes sao colocadas em = cima de=20 uma mesa,em uma certa ordem.O segundo magico faz uma entrada triunfal = e=20 adivinha,olhando as 4 cartas na mesa,que carta esta no bolso do cara = da=20 plateia.

Sem usar truques de espelho nem nada desse teor,e possivel algo = assim?

Um espa=E7o pra quem quiser pensar.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RESPOSTA:Sim,e possivel.Essa solu=E7ao e do Andre Danila,de = Sampa.Ele me=20 contou que estava no sono REM quando resolveu,e o Carlos 0,Shine deu = Ursinho=20 Pooh de premio.

Como ha 5 cartas e 4 naipes havera duas cartas de mesmo naipe.Uma = dessas=20 cartas sera deixada na mesa e a outra sera escondida.Diremos qual sera = ela.

Crie uma roda das cartas,colocando os numeros nos mostradores de um = relogio:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K (ou noutra ordem assim,isso nao = impede o=20 truque).Dadas essas duas cartas de mesmo naipe coloque-as na roda das = cartas e=20 veja a menor distancia entre elas e anote.Essa distancia nao passa de=20 seis.Assim sendo pegue a carta mais perto do 1 na roda das cartas(em = caso de=20 equidistancia pegue a menor) e de pra plateia.Agora use uma fun=E7ao = que a cada=20 permuta=E7ao dos numeros 1,2,3 associa uma distancia de um a = seis.Assim=20 sendo use esta permuta=E7ao com a fun=E7ao para ordenar as cartas no = sentido de=20 que

1)A primeira carta detectara o naipe.

2)As outras tres serao os indicadores de distancia da primeira = carta ate a=20 escondida.E so associar a ordem crescente por exemplo.

E pronto!Temos o pedido.

Por favor confiram a conta que ela ficou doida!!!!



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Busca Yahoo!
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OBM-L, Muito Bom. Vejam como a aplicacao inteligente do principio das casas dos pontos resolveu o problema dois. O esboco de solucao do problema 3 e satisfatorio, em minha opiniao. E quanto ao primeiro problema ? E criacao minha e de forma alguma e uma questao dificil. Apenas exige um raciocinio original ... Aqui vai duas outras questoes olimpicas, simples, de rapida resolucao, mas que nao deixam de ter os seus encantos : 1) Caracterize todas as PA's nas quais qualquer soma de um numero qualquer de termos consecutivos e ainda um termo desta PA. 2)( Olimpiada Argentina ) Mostre que se numa PA ha um quadrado perfeito, enta0 existirao infinitos outros quadrado perfeitos nesta PA. Um Grande abraco a Todos Paulo Santa Rita 3,1731,110203 EM TEMPO : Esta lista, A "Nossa Lista", foi originalmente criada pelo Prof Nicolau Saldanha com o objetivo de ser uma LISTA DE DISCUSSAO DE PROBLEMAS DE MATEMATICA OLIMPICA. Repetindo : MATEMATICA OLIMPICA ! E portanto um forum adeguado, sobretudo, aqueles que se preparam para as Olimpiadas de Matematica e para as pessoas amantes e entusiasmadas com este Movimento Olimpico. Estas pessoas, em geral, nao se entusiasmam com as questoes que tipicamente caem na maioria dos vestibulares brasileiros, triviais e rotineiras. Dar a esta lista o carater de tira-duvidas de vestibulares e descaracteriza-la, desviando-a de seu objetivo original... Mas compete a todos nos - e nao somente ao Prof Nicolau - cuidar para que este caracter olimpico seja o preponderante ! Nao estou dizendo que nao se deve propor uma questao que caiu em algum vestibular. Quem pode dizer o que se deve ou nao fazer e o Moderador. Mas a minha consciencia me diz que tenho uma parcela de responsabilidade com a qualidade daquilo de que participo e a fidelidade que tenho a ela me obrigou a dizer isso ... Pouco ! Porem, com qualidade ! >From: João Gilberto Ponciano Pereira >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: "'obm-l@mat.puc-rio.br'" >Subject: RE: [obm-l] Tres belos problemas >Date: Tue, 11 Feb 2003 16:38:08 -0300 > >2) Em uma reuniao existem exatamente 201 pessoas de >5 nacionalidades diferentes. Sabe-se que em cada grupo de 6 pessoas, ao >menos duas tem a mesma idade. Demonstrar que existem ao menos 5 pessoas do >mesmo pais, da mesma idade e do mesmo sexo. > >Primeiramente podemos distribuir todas as pessoas em apenas 5 grupos de >idade, pois se tivermos 6 grupos, não vale a afirmação "Sabe-se que em cada >grupo de 6 pessoas, ao menos duas tem a mesma idade". > >Basta utilizar sucessivamente o teorema da casa dos pombos... Ou seja, das >201, sabemos que existe um grupo de 51 pessoas com a mesma idade. Dessas, >sabemos que existe um grupo de 11 pessoas do mesmo país. Dessas, 6 tem o >mesmo sexo. > >3) Achei o mais interessante... Vamos dividir o retângulo em 12 quadrados >de >lado 1 (4x3). Agora pintamos os quadrados de preto e branco, como um >tabuleiro de xadrez. Se tivermos dois pontos na mesma "casa", o problema >está resolvido, pois a distância máxima seria sqrt(2). Se tivermos pontos >em >casas vizinha, o problema também está resolvido, pois a distância máxima >seria sqrt(5). Teria que enrolar mais, mas o fato é que os pontos caem ou >todos em casas brancas ou todos em casas pretas. O fato é que existe um >quadrado 3x3 que contém 5 pontos, e novamente pela casa dos pombos, pelo >menos 1 quadrado 1.5 x 1.5 contém 2 ou mais pontos, cuja distância neste >caso é inferior a sqrt(4.5) > >-----Original Message----- >From: Paulo Santa Rita [mailto:p_ssr@hotmail.com] >Sent: Tuesday, February 11, 2003 1:59 PM >To: obm-l@mat.puc-rio.br >Subject: [obm-l] Tres belos problemas > > >Ola Pessoal, > >Seguem abaixo tres problemas : > >1) Um quadrado e um triangulo estao circunscritos a um circulo de lado >unitario. Prove que, qualquer que seja a posicao do quadrado e do >triangulo, > >a area comum aos dois e maior que 17/5. E possivel afirmar que ela e maior >que 7/2 ? > >2) ( Olimpiada Espanhola ) Em uma reuniao existem exatamente 201 pessoas de >5 nacionalidades diferentes. Sabe-se que em cada grupo de 6 pessoas, ao >menos duas tem a mesma idade. Demonstrar que existem ao menos 5 pessoas do >mesmo pais, da mesma idade e do mesmo sexo. > >3) ( Olimpiada Russa ) Na regiao delimitada por um retangulo de largura 4 e >altura 3 sao marcados 6 pontos. Prove que existe ao menos um par destes >pontos cuja distancia entre eles nao e maior que Raiz_Quad(5). > >Estes problemas nao precisam de sugestao. > >Um Grande Abraco a Todos ! >Paulo Santa Rita >3,1455,110203 > > > > >_________________________________________________________________ >MSN Messenger: converse com os seus amigos online. >http://messenger.msn.com.br > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= _________________________________________________________________ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 18:14:02 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA23289 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 18:12:33 -0200 Received: from imo-m04.mx.aol.com (imo-m04.mx.aol.com [64.12.136.7]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA23285 for ; Tue, 11 Feb 2003 18:12:30 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-m04.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.b7.2e3ae110 (4539) for ; Tue, 11 Feb 2003 15:11:44 -0500 (EST) Message-ID: Date: Tue, 11 Feb 2003 15:11:44 EST Subject: [obm-l] Re:Deve haver fissao da lista? To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_b7.2e3ae110.2b7ab300_boundary" X-Mailer: AOL 6.0 for Windows BR sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 4475 Lines: 95 --part1_b7.2e3ae110.2b7ab300_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 Nicolau, Quanto a fiss=E3o da lista vou expressar a seguinte opini=E3o: Poucos aqui t=EAm a no=E7=E3o do conhecimento que adquiri em matem=E1tica em= virtude=20 desta lista. A quest=E3o n=E3o =E9 a cria=E7=E3o de uma lista paralela e sim= esta nova=20 lista ser criada e n=E3o participarem professores altru=EDstas como particip= am=20 nesta lista da OBM como o Cl=E1udio, o Morgado, entre outros. Devemos analis= ar=20 o seguinte: A lei da oferta e da procura, ou seja, aqueles que queiram ensinar e aqueles= =20 que queiram aprender. Como sabemos que este =FAltimo sempre exceder=E1 o pri= meiro=20 n=E3o s=F3 no Brasil como no mundo todo, falo isso como professor novato, ma= s que=20 conhece um pouco do sistema educacional que rege este mundo contempor=E2neo. Mas devemos saber tb=E9m que algu=E9m que procura uma lista de matem=E1tica=20= seja=20 ela de n=EDvel m=E9dio, superior, ou at=E9 mesmo fundamental representa a m= inoria=20 na popula=E7=E3o em termos de motivo/motiva=E7=E3o (motivo no sentido do te= rmo=20 motivo em psicologia). Portanto sou contra e a favor, condicionalmente falan= do . Sou contra se a nova lista n=E3o haver este equil=EDbrio entre a oferta e=20= a=20 procura. Mas sou a favor se participarem uma quantidade suficiente de=20 professores que tornariam menor est=E1 discrep=E2ncia entre o bin=F4mio ensi= no X=20 aprendizagem. Pois poderiamos dizer que seria muito dif=EDcil o n=FAmero de=20 elementos desses dois conjuntos E(n) e A(n) se igualarem (E(n)=3DA(n)) haven= do=20 uma correspond=EAncia biun=EDvoca ou bijetora. Em todo caso como jamais iria= =20 ocorrer isso, pois vivemos em um mundo que n=E3o valoriza a intelectualidade= e=20 j=E1 podemos chamar isso de ass=EDntota educacional, pois jamais se encontra= riam.=20 ICQ 337140512 --part1_b7.2e3ae110.2b7ab300_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 Nicolau,

Quanto a fiss=E3o da lista vou expressar a seguinte opini=E3o:

Poucos aqui t=EAm a no=E7=E3o do conhecimento que adquiri em matem=E1tic= a em virtude desta lista. A quest=E3o n=E3o =E9 a cria=E7=E3o de uma lista p= aralela e sim esta nova lista ser criada e n=E3o participarem professores al= tru=EDstas como participam nesta lista da OBM como o Cl=E1udio, o Morgado, e= ntre outros. Devemos analisar o seguinte:

A lei da oferta e da procura, ou seja, aqueles que queiram ensinar e aqu= eles que queiram aprender. Como sabemos que este =FAltimo sempre exceder=E1=20= o primeiro n=E3o s=F3 no Brasil como no mundo todo, falo isso como professor= novato, mas que conhece um pouco do sistema educacional que rege este mundo= contempor=E2neo.
Mas devemos saber tb=E9m que algu=E9m que procura uma lista de matem=E1t= ica seja ela de n=EDvel m=E9dio, superior, ou at=E9 mesmo fundamental  = representa a minoria na popula=E7=E3o em termos de motivo/motiva=E7=E3o &nbs= p;(motivo no sentido do termo motivo em psicologia). Portanto sou contra e a favor, condicionalmente falando. Sou contra=20= se a nova lista n=E3o haver este equil=EDbrio entre a oferta e a procura. Ma= s sou a favor se participarem uma quantidade suficiente de professores que t= ornariam menor est=E1 discrep=E2ncia entre o bin=F4mio ensino X aprendizagem= . Pois poderiamos dizer que seria muito dif=EDcil o n=FAmero de elementos de= sses dois conjuntos E(n) e A(n) se igualarem (E(n)=3DA(n)) havendo uma corre= spond=EAncia biun=EDvoca ou bijetora. Em todo caso como jamais iria ocorrer=20= isso, pois vivemos em um mundo que n=E3o valoriza a intelectualidade e j=E1=20= podemos chamar isso de ass=EDntota educacional, pois jamais se encontrariam.= =20

ICQ  337140512 --part1_b7.2e3ae110.2b7ab300_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 18:32:54 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA24531 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 18:31:20 -0200 Received: from silva5.uol.com.br (silva5.uol.com.br [200.221.4.52]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA24526 for ; Tue, 11 Feb 2003 18:31:17 -0200 Received: from gauss ([200.153.212.90]) by silva5.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with SMTP id SAA04262 for ; Tue, 11 Feb 2003 18:34:46 -0200 (BRST) Message-ID: <00df01c2d216$914c37c0$2accfea9@gauss> From: "Domingos Jr." To: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?=22quase-solu=E7=E3o=22_do_problema_da_imo87?= Date: Tue, 11 Feb 2003 18:43:07 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/mixed; boundary="----=_NextPart_000_00DC_01C2D1FD.6B630DE0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2720.3000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 13843 Lines: 195 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_00DC_01C2D1FD.6B630DE0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit Acho que está quase lá, consegui limitar muito o intervalo onde f pode ser composto. Espero que não passe o limite dos 20k chars. ------=_NextPart_000_00DC_01C2D1FD.6B630DE0 Content-Type: application/x-compressed; name="imo.zip" Content-Transfer-Encoding: base64 Content-Disposition: attachment; filename="imo.zip" UEsDBBQAAAAIAJmSSy7zdvU6HCUAAEMpAAAHAAAAaW1vLnBkZq26BzTcW9c/nkIE0TvB6J0ZbUYP UaP3TpTBRBmG0YKILqL36KL3Gi0hQtToRu8tjBZEDfGTe/M8z33vfdd/vf+1nllTzvmcvfdnz95n n+9812wWDVl5HhCvAA7L2urQKI4QAAiAWz7DERfnU4E62brZAYRvEC0cPnmYgxsUwSfvYOEGlYVa wa2hOJKSOK5uCKiFI45n+q6pMpy516X1SD8PbhKRd3RFCLj7joX+QXtV1d2pqu5QvVrbZK64gWUr Ia5+hWvMK6nHWFYEoucF8asRPd5I/dpSdxvvxswFzII4U7LU2NiDvp6eLw1s8rCLxeHrYoP69yIj FKIJWmdfj37Sf9+Dm2dcohbtofVDaBSNj5HWg93Cy1CXQS4SS51KJ7XXBVkZ3sctJC/P13u3kkvh 5Gg13wN0Wrz5e1Ev5esG9gQdjLg3r9Bz1J/VbcePlXgpFoqPgvivbFS0q9gpaTcz4E+qe5T9ToWe yM33lGq1jVwGX/ZL+fkebqzpx3vbIUc66JKkCRJ11cFo9IkLEtkmqe1xug3XR++OoVUkypr9fuQK EPVTyJEZfrryk4NcHpmXzNIprb19FBnArIfpS1QXZ8mc56uxYE5amN6kGGTYmg2eMJvKHg3OORAH kfMNqmqksqcewL9/F5MYwcXSIgZk8o7s4+fHJGI5YnOV7M9ZK8AbE/jrqcWf6J13WlkWycD57FLu 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with SMTP id SAA16164 for ; Tue, 11 Feb 2003 18:56:26 -0200 (BRST) Message-ID: <00f701c2d219$97bbd540$2accfea9@gauss> From: "Domingos Jr." To: References: Subject: Re: [obm-l] Tres belos problemas Date: Tue, 11 Feb 2003 19:04:47 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2720.3000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 835 Lines: 22 > 1) Caracterize todas as PA's nas quais qualquer soma de um numero qualquer > de termos consecutivos e ainda um termo desta PA. Seja a, a + r, a + 2r uma PA e a[i] = a + i.r S = somatório { de i = j até k } a[i] = (k-j+1).a + r * somatório { de i = j até k } i Se S pertence a { a[0], a[1], .... } então S é da forma a + r*n S = a + (k-j)*a + r * somatório { de i = j até k } i S é dessa forma sse r | (k-j)*a como k - j pode ser qualquer valor, r | a R: todas as PAs com o primeiro termo múltiplo da razão. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 19:04:25 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA26122 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 19:03:02 -0200 Received: from hotmail.com (f193.law8.hotmail.com [216.33.241.193]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA26118 for ; Tue, 11 Feb 2003 19:02:58 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Tue, 11 Feb 2003 13:02:26 -0800 Received: from 200.202.96.10 by lw8fd.law8.hotmail.msn.com with HTTP; Tue, 11 Feb 2003 21:02:25 GMT X-Originating-IP: [200.202.96.10] From: "Antonio Neto" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Máximos e Mínimos SEM DERIVADAS Date: Tue, 11 Feb 2003 21:02:25 +0000 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 11 Feb 2003 21:02:26.0059 (UTC) FILETIME=[E1465DB0:01C2D210] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1672 Lines: 50 Amigos, posso indicar um livro maravilhoso sobre o assunto: Maxima and Minima Without Calculus, do Ivan Niven, Dolciani Mathematical Expositions, numero 6, The Mathematical Association of America, não sei se ainda estah em catalogo, foi comprado em 1981, na propria MAA, na companhia do Nicolau. Alô, Nicolau, não estou vendendo o livro, ele eh meu, eh soh uma indicacao. Dizer que ele eh otimo eh fazer pouco do Niven. Acessem www.maa.org. Abracos, olavo, RJ >From: "Thyago Alexandre Kufner" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: >Subject: [obm-l] Máximos e Mínimos SEM DERIVADAS >Date: Wed, 5 Feb 2003 19:28:11 -0200 > >Olá colegas da lista > >Recebi o seguinte exercício de um aluno: > >"Sendo x um nº positivo determine o menor valor de E= 5x + 16/x + 21" > >Normal, um exercício simples. Deriva, iguala a zero ... > >Mas o que quero propor para a lista é o seguinte: tem como chegar ao >resultado SEM UTILIZAR CÁLCULO? > >Proponho esta discussão por causa do seguinte artigo: > >http://mathcircle.berkeley.edu/BMC4/Handouts/MaxMin.pdf > >Aguardo resposta > >Atenciosamente >Prof. Thyago >WebMaster cursinho.hpg.com.br _________________________________________________________________ Tired of spam? Get advanced junk mail protection with MSN 8. http://join.msn.com/?page=features/junkmail ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 19:13:53 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA26764 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 19:12:31 -0200 Received: from hotmail.com (f28.law8.hotmail.com [216.33.241.28]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA26760 for ; Tue, 11 Feb 2003 19:12:27 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Tue, 11 Feb 2003 13:11:56 -0800 Received: from 200.202.96.10 by lw8fd.law8.hotmail.msn.com with HTTP; Tue, 11 Feb 2003 21:11:55 GMT X-Originating-IP: [200.202.96.10] From: "Antonio Neto" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Deve haver fissao da lista? Date: Tue, 11 Feb 2003 21:11:55 +0000 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 11 Feb 2003 21:11:56.0289 (UTC) FILETIME=[35288F10:01C2D212] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2045 Lines: 51 Amigo Nicolau, uma proposta brincalhona: vamos fazer uma fissão na lista. Em uma ficariamos todos, exceto dois. Na outra, o falso Wagner e o Faelccmm. Acho que tenho o apoio do Morgado. Abracos, olavo. >From: "Nicolau C. Saldanha" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: obm-l@mat.puc-rio.br >Subject: [obm-l] Deve haver fissao da lista? >Date: Tue, 11 Feb 2003 14:46:37 -0200 > >Esta proposta de fissão da lista já apareceu várias vezes. >Tecnicamente ela é muito fácil de ser implementada, a pergunta >é se tal fissão é desejável. Todas as vezes que a proposta foi feita >houve um pouco de discussão e me parecia no final que não havia maioria >a favor da fissão. > >O fato da discussão já ter ocorrido antes não é, a meu ver, motivo >para que a discussão não volte a ocorrer pois a realidade da lista >tem mudado bastante. Por exemplo, o número de mensagens tem crescido >muito. Há dois anos eu era totalmente contra a fissão: hoje não tenho >mais tanta certeza... > >Eu sugiro que quem tiver uma opinião mande um e-mail particular para >mim dizendo se é a favor da fissão e porque. Dentro de uma semana >eu mandarei o resultado da votação para a lista. > >[]s, N. >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= _________________________________________________________________ Add photos to your messages with MSN 8. Get 2 months FREE*. http://join.msn.com/?page=features/featuredemail ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 19:42:50 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA27912 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 19:41:31 -0200 Received: from web14809.mail.yahoo.com (web14809.mail.yahoo.com [216.136.224.230]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id TAA27907 for ; Tue, 11 Feb 2003 19:41:27 -0200 Message-ID: <20030211214054.57843.qmail@web14809.mail.yahoo.com> Received: from [200.17.147.233] by web14809.mail.yahoo.com via HTTP; Tue, 11 Feb 2003 18:40:54 ART Date: Tue, 11 Feb 2003 18:40:54 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?matteus=20barreto?= Subject: [obm-l] k-ésimo numero da sequencia (solução) To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-381933930-1044999654=:57557" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 6314 Lines: 177 --0-381933930-1044999654=:57557 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Alô pessoal! Após arremessar a minha cabeça várias vezes contra a parede consegui encontrar um algoritmo para encontrar o dito cujo k-ésimo número da tal sequência. Nao se preocupem, foi só força de expressão... Lá vai... Observem que os números da forma 2^a*3^b*5^c com a, b, c, inteiros não negativos podem ser divididos em 7 conjuntos disjuntos, a saber: A = {2^a, a > 0}, B = {3^b, b > 0}, C = {5^c, c > 0}, D = {2^a*3^b, a > 0 e b > 0}, E = {2^a*5^c, a > 0 e c > 0}, F = {3^b*5^c, b > 0 e c > 0}, G = {2^a*3^b*5^c, a > 0 e b > 0 e c > 0}. Pois bem... Aqui esta o algoritmo..: Input k U(1) = 1 se k > 1 entao chamemos os numeros 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 de numeros base dos conjuntos A, B, C, D, E, F, G respectivamente... a <- 2 b <- 3 c <- 5 d <- 6 e <- 10 f <- 15 g <- 30 n <- 2 (1) escolha o menor numero entre a, b, c, d, e, f, g para ser o enesimo termo da sequencia, o U(n) este numero escolhido, x, irá pertencer a um dos sete conjuntos mencionados acima, digamos X... multiplique o numero base de X por um numero da propria sequencia, o menor possivel, y, mas que ainda nao tenha sido escolhido para multiplicar um numero de X anteriormente, de modo que o resultado continue a pertencer a X e faca x ter o valor deste produto Obs..: y ja tera sido calculado ... n <- n+1 se n <= k entao retorne para (1) fim-se retorne U(k) Fim. se alguém encontrar outra solucao nao deixe de mandar pra lista... caso o algoritmo tenha ficado ambiguo posso manda-lo escrito em uma linguagem formal (uma linguagem de programacao)... entao poderiamos achar o decimo numero deste modo..: U(1) = 1 (2, 3, 5, 6, 10, 15, 30) => U(2) = 2 (4, 3, 5, 6, 10, 15, 30) (4, 3, 5, 6, 10, 15, 30) => U(3) = 3 (4, 9, 5, 6, 10, 15, 30) (4, 9, 5, 6, 10, 15, 30) => U(4) = 4 (8, 9, 5, 6, 10, 15, 30) (8, 9, 5, 6, 10, 15, 30) => U(5) = 5 (8, 9, 25, 6, 10, 15, 30) (8, 9, 25, 6, 10, 15, 30) => U(6) = 6 (8, 9, 25, 12, 10, 15, 30) (8, 9, 25, 12, 10, 15, 30) => U(7) = 8 (16, 9, 25, 12, 10, 15, 30) (16, 9, 25, 12, 10, 15, 30) => U(8) = 9 (16, 27, 25, 12, 10, 15, 30) (16, 27, 25, 12, 10, 15, 30) => U(9) = 10 (16, 27, 25, 12, 20, 15, 30) (16, 27, 25, 12, 20, 15, 30) => U(10) = 12 Valeu! --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-381933930-1044999654=:57557 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

Alô pessoal!

Após arremessar a minha cabeça várias vezes contra a parede consegui encontrar um algoritmo para encontrar o dito cujo k-ésimo número da tal sequência. Nao se preocupem, foi só força de expressão...

Lá vai...

Observem que os números da forma 2^a*3^b*5^c com a, b, c, inteiros não negativos podem ser divididos em 7 conjuntos disjuntos, a saber:

A = {2^a, a > 0}, B = {3^b, b > 0}, C = {5^c, c > 0}, D = {2^a*3^b, a > 0 e b > 0},

E = {2^a*5^c, a > 0 e c > 0}, F = {3^b*5^c, b > 0 e c > 0},

G = {2^a*3^b*5^c, a > 0 e b > 0 e c > 0}. Pois bem...

Aqui esta o algoritmo..:

Input k

U(1) = 1

se k > 1 entao

      chamemos os numeros 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 de numeros base dos conjuntos A, B, C, D, E, F, G respectivamente...

      a <- 2

      b <- 3

      c <- 5

      d <- 6

      e <- 10

      f <- 15

      g <- 30

      n <- 2

 (1) escolha o menor numero entre a, b, c, d, e, f, g para ser o enesimo termo da sequencia, o U(n)

      este numero escolhido, x, irá pertencer a um dos sete conjuntos mencionados acima, digamos X...

      multiplique o numero base de X por um numero da propria sequencia, o menor possivel, y, mas que ainda nao tenha sido escolhido para multiplicar um numero de X anteriormente, de modo que o resultado continue a pertencer a X e faca x ter o valor deste produto

Obs..:  y ja tera sido calculado ...

      n <- n+1

      se n <= k entao retorne para (1)

fim-se

retorne U(k)

Fim.

se alguém encontrar outra solucao nao deixe de mandar pra lista...

caso o algoritmo tenha ficado ambiguo posso manda-lo escrito em uma linguagem formal (uma linguagem de programacao)...

entao poderiamos achar o decimo numero deste modo..:

U(1) = 1

(2, 3, 5, 6, 10, 15, 30) => U(2) = 2

(4, 3, 5, 6, 10, 15, 30)

(4, 3, 5, 6, 10, 15, 30) => U(3) = 3

(4, 9, 5, 6, 10, 15, 30)

(4, 9, 5, 6, 10, 15, 30)  => U(4) = 4

(8, 9, 5, 6, 10, 15, 30)

(8, 9, 5, 6, 10, 15, 30) => U(5) = 5

(8, 9, 25, 6, 10, 15, 30)

(8, 9, 25, 6, 10, 15, 30) => U(6) = 6

(8, 9, 25, 12, 10, 15, 30)

(8, 9, 25, 12, 10, 15, 30) => U(7) = 8

(16, 9, 25, 12, 10, 15, 30)

(16, 9, 25, 12, 10, 15, 30) => U(8) = 9

(16, 27, 25, 12, 10, 15, 30)

(16, 27, 25, 12, 10, 15, 30) => U(9) = 10

(16, 27, 25, 12, 20, 15, 30)

(16, 27, 25, 12, 20, 15, 30) => U(10) = 12

Valeu!

 


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In-Reply-To: Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=ISO-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id TAA28688 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2622 Lines: 55 Boa noite, Dado que a mensagem abaixo apareceu para a lista, mesmo depois de uma anterior do administrador da lista sugerindo que isso fosse evitado, peco desculpas por meter a colher nisto publicamente. Sem querer parecer grosso, acho que a ideia do Nicolau de que se escreva diretamente para ele sobre o assunto e depois ele coloca o resultado da "votacao" e' a unica coisa de bom senso a fazer, certamente evita ruidos, mal-entendidos ou coisas piores. Na minha opiniao esta mensagem, por exemplo, deveria ser qualificada de off-topic. Obrigado, Manuel On Tue, 11 Feb 2003 Faelccmm@aol.com wrote: > Olá Nicolau, > > Quanto a fissão da lista vou expressar a seguinte opinião: > > Poucos aqui têm a noção do conhecimento que adquiri em matemática em virtude > desta lista. A questão não é a criação de uma lista paralela e sim esta nova > lista ser criada e não participarem professores altruístas como participam > nesta lista da OBM como o Cláudio, o Morgado, entre outros. Devemos analisar > o seguinte: > > A lei da oferta e da procura, ou seja, aqueles que queiram ensinar e aqueles > que queiram aprender. Como sabemos que este último sempre excederá o primeiro > não só no Brasil como no mundo todo, falo isso como professor novato, mas que > conhece um pouco do sistema educacional que rege este mundo contemporâneo. > Mas devemos saber tbém que alguém que procura uma lista de matemática seja > ela de nível médio, superior, ou até mesmo fundamental representa a minoria > na população em termos de motivo/motivação (motivo no sentido do termo > motivo em psicologia). Portanto sou contra e a favor, condicionalmente falando > . Sou contra se a nova lista não haver este equilíbrio entre a oferta e a > procura. Mas sou a favor se participarem uma quantidade suficiente de > professores que tornariam menor está discrepância entre o binômio ensino X > aprendizagem. Pois poderiamos dizer que seria muito difícil o número de > elementos desses dois conjuntos E(n) e A(n) se igualarem (E(n)=A(n)) havendo > uma correspondência biunívoca ou bijetora. Em todo caso como jamais iria > ocorrer isso, pois vivemos em um mundo que não valoriza a intelectualidade e > já podemos chamar isso de assíntota educacional, pois jamais se encontrariam. > > ICQ 337140512 > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 20:00:06 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA28703 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 19:58:49 -0200 Received: from web40909.mail.yahoo.com (web40909.mail.yahoo.com [66.218.78.206]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id TAA28699 for ; Tue, 11 Feb 2003 19:58:45 -0200 Message-ID: <20030211215814.47285.qmail@web40909.mail.yahoo.com> Received: from [147.65.5.201] by web40909.mail.yahoo.com via HTTP; Tue, 11 Feb 2003 18:58:14 ART Date: Tue, 11 Feb 2003 18:58:14 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Bruno=20Lima?= Subject: [obm-l] Meio offtopic To: OBM lISTA MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-85124836-1045000694=:46469" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2876 Lines: 30 --0-85124836-1045000694=:46469 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sei que isso que vou perguntar foge uma pouco do objetivo da lista mas... Queria saber, em especial daqueles que são pesquisadores realmente, tipo Nicolau e Morgado, se vcs passam por aqueles dias que não sai nada e vc se sente totalmente idiota... Vou dar um exemplo que acontece comigo, estou fazendo verão em análise real (mas isso acontece com qualquer outra materia), estudando o livro do Elon... de vez enquando eu me empolgo e saio lendo sem a menor dificuldade, entendo tudo como se estivesse lendo uma receita de bolo, os exemplos são naturais e resolvo os problemas numa boa. Porém, tem aqueles dias que o cara define uma coisa e logo no primeiro exemplo ja fico travado, então eu procuro sair, dar um arejada na cabeça e tento outra vez; não adianta nada me embanano mais ainda, parece que as idéias não engatam; quando vejo, passou o dia inteiro e não fiz nada. O pior é que esses dias estão se tornando cada vez mais frequentes. Alguem mais aqui tem dessas coisas ??? --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. 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Sei que isso que vou perguntar foge uma pouco do objetivo da lista mas...

Queria saber, em especial daqueles que são pesquisadores realmente, tipo Nicolau e Morgado, se vcs passam por aqueles dias que não sai nada e vc se sente totalmente idiota... Vou dar um exemplo que acontece comigo, estou fazendo verão em análise real (mas isso acontece com qualquer outra materia), estudando o livro do Elon... de vez enquando eu me empolgo e saio lendo sem a menor dificuldade, entendo tudo como se estivesse lendo uma receita de bolo, os exemplos são naturais e resolvo os problemas numa boa. Porém, tem aqueles dias que o cara define uma coisa e logo no primeiro exemplo ja fico travado, então eu procuro sair, dar um arejada na cabeça e tento outra vez; não adianta nada me embanano mais ainda, parece que as idéias não engatam; quando vejo, passou o dia inteiro e não fiz nada. O pior é que esses dias estão se tornando cada vez mais frequentes.

Alguem mais aqui tem dessas coisas ???


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O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-85124836-1045000694=:46469-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 20:12:56 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA29237 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 20:11:24 -0200 Received: from smtp-6.ig.com.br (smtp-6.ig.com.br [200.226.132.155]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id UAA29232 for ; Tue, 11 Feb 2003 20:11:21 -0200 Received: (qmail 14352 invoked from network); 11 Feb 2003 22:10:40 -0000 Received: from rj180125.user.veloxzone.com.br (HELO jigglypuff) (200.149.180.125) by smtp-6.ig.com.br with SMTP; 11 Feb 2003 22:10:40 -0000 Message-ID: <00b701c2d222$cfeaae60$7db495c8@jigglypuff> From: "Juliana Freire" To: References: <20030210175747.82750.qmail@web12901.mail.yahoo.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Re:=5F=5Bobm-l=5D=5FRe:=5F=5Bobm-l=5D=5F?= =?iso-8859-1?Q?Re:=5F=5Bobm-l=5D=5FN=FAmero=5Fde=5FErd=F6s=5F?= Date: Tue, 11 Feb 2003 20:10:47 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_00B4_01C2D209.AA571E90" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2600.0000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 9552 Lines: 243 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_00B4_01C2D209.AA571E90 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable KEVIN Bacon, n=E3o Roger!! :) Depende.O Yoshi e cum brazuco que tem Erdos 1.Mas essa defini=E7ao ja = deu varias piadas.Me lembro uma dop Humberto Naves do Numero de = Binladen,outra com o ator Roger Bacon...=20 Cl=E1udio_(Pr=E1tica) wrote:=20 Import=E2ncia pr=E1tica acho que n=E3o tem nenhuma. Como Erdos era = um matem=E1tico de primeira grandeza, acho que vaidade tem um certo peso = (mas s=F3 se o seu N=FAmero de Erdos for igual a 1, ou seja, voc=EA =E9 = bom o suficiente para co-autorar algum artigo com ele) ----- Original Message -----=20 From: Felipe Villela Dias=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Monday, February 10, 2003 1:28 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] N=FAmero de Erd=F6s=20 Desculpe a pergunta, mas isso tem alguma import=E2ncia ou =E9 = somente um fruto de algu=E9m muito vaidoso??? ----- Original Message -----=20 From: Cl=E1udio (Pr=E1tica)=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Monday, February 10, 2003 11:42 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] N=FAmero de Erd=F6s=20 N=FAmero de Erdos =E9 a dist=E2ncia de uma dada pessoa at=E9 = Paul Erdos em termos de co-autoria de artigos matem=E1ticos. Assim, se voc=EA escreveu um artigo em co-autoria com o Paul = Erdos, voc=EA tem N=FAmero de Erdos =3D 1. Se voc=EA nunca escreveu um artigo junto com ele, mas escreveu = um em co-autoria com algu=E9m que tem N=FAmero de Erdos =3D 1, ent=E3o = voc=EA tem N=FAmero de Erdos =3D 2. Em geral, se dentre os N=FAmeros de Erdos de cada pessoa com = quem voc=EA escreveu artigos, o menor =E9 N, ent=E3o o seu N=FAmero de = Erdos =E9 N+1. Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Faelccmm@aol.com=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Sunday, February 09, 2003 8:35 AM Subject: [obm-l] N=FAmero de Erd=F6s=20 Ol=E1 pessoal,=20 Algu=E9m poderia me dar uma explica=E7=E3o consistente do que = seria o n=FAmero de Erd=F6s ?=20 --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: = 27/1/2003 -------------------------------------------------------------------------= ----- Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o = Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_00B4_01C2D209.AA571E90 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
KEVIN Bacon, n=E3o Roger!!
:)
Depende.O Yoshi e cum brazuco que tem = Erdos=20 1.Mas essa defini=E7ao ja deu varias piadas.Me lembro uma dop Humberto = Naves do=20 Numero de Binladen,outra com o ator Roger Bacon...

 Cl=E1udio_(Pr=E1tica) <claudio@praticacorretora.= com.br>=20 wrote:=20

Import=E2ncia pr=E1tica acho que = n=E3o tem nenhuma.=20 Como Erdos era um matem=E1tico de primeira grandeza, acho que = vaidade tem um=20 certo peso (mas s=F3 se o seu N=FAmero de Erdos for igual a 1, ou = seja, voc=EA =E9=20 bom o suficiente para co-autorar algum artigo com ele)
----- Original Message ----- =
From:=20 Felipe Villela=20 Dias
Sent: Monday, February 10, = 2003 1:28=20 PM
Subject: [obm-l] Re: = [obm-l] Re:=20 [obm-l] N=FAmero de Erd=F6s

Desculpe a pergunta, mas isso tem alguma import=E2ncia ou =E9 = somente um=20 fruto de algu=E9m muito vaidoso???
----- Original Message ----- =
From:=20 Cl=E1udio = (Pr=E1tica)=20
Sent: Monday, February = 10, 2003=20 11:42 AM
Subject: [obm-l] Re: = [obm-l] N=FAmero=20 de Erd=F6s

N=FAmero de Erdos =E9 a = dist=E2ncia de uma dada=20 pessoa at=E9 Paul Erdos em termos de co-autoria de artigos=20 matem=E1ticos.
 
Assim, se voc=EA escreveu um = artigo em=20 co-autoria com o Paul Erdos, voc=EA tem N=FAmero de Erdos =3D = 1.
 
Se voc=EA nunca escreveu um = artigo junto com=20 ele, mas escreveu um em co-autoria com algu=E9m que tem N=FAmero = de Erdos =3D=20 1, ent=E3o voc=EA tem N=FAmero de Erdos =3D 2.
 
Em geral, se dentre os = N=FAmeros de Erdos de=20 cada pessoa com quem voc=EA = escreveu=20 artigos, o menor =E9 N, ent=E3o o seu N=FAmero de Erdos =E9 = N+1.
 
Um abra=E7o,
Claudio.
----- Original Message ----- =
From:=20 Faelccmm@aol.com
Sent: Sunday, February = 09, 2003=20 8:35 AM
Subject: [obm-l] = N=FAmero de Erd=F6s=20

Ol=E1 = pessoal,=20

Algu=E9m poderia me dar uma explica=E7=E3o consistente = do que seria=20 o n=FAmero de Erd=F6s ?
 

---
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Checked by AVG anti-virus system = (http://www.grisoft.com).
Version:= =20 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date:=20 = 27/1/2003


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O = servi=E7o de=20 busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o Yahoo!=20 encontra. ------=_NextPart_000_00B4_01C2D209.AA571E90-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 20:34:12 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA30574 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 20:32:48 -0200 Received: from bridge3.bridge.com.br (bridge3.bridge.com.br [200.244.126.37]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id UAA30570 for ; Tue, 11 Feb 2003 20:32:44 -0200 Received: from fulano (unverified [200.165.249.24]) by bridge3.bridge.com.br (Vircom SMTPRS 4.2.181) with ESMTP id for ; Tue, 11 Feb 2003 20:32:12 -0300 Message-ID: <002401c2d225$8039f4e0$0307a8c0@fulano> From: "Eduardo Azevedo" To: References: <20030210184446.56381.qmail@web12908.mail.yahoo.com> <016801c2d20e$2b696de0$3300c57d@bovespa.com> Subject: Re: [obm-l] Para quem gosta,essa e do baralho - claudio malaaaandro... Date: Tue, 11 Feb 2003 20:29:56 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0021_01C2D20C.57392AC0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4133.2400 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 14592 Lines: 399 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0021_01C2D20C.57392AC0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Essa e boa, mas nem precisa roubar. E so fazer que o os conjuntos cuja "maior" carta =E9 n mapeiem as = proximas 24 (dando a volta pelo 1 se for o caso). O primeiro magico sempre pode escolher as 4 cartas de modo que a proxima = esteja a menos de 10 de distancia da ultima. (para manter a unidade da lista) pense que as 5 cartas sorteadas sao pontos num circulo, e voce pode = botar palitinhos (outras cartas) entre elas. Sao 49 palitinhos pra 5 = buracos, entao algum buraco tem menos de 10 palitinhos. Agora falta algum membro criativo da lista ( o Claudio e o 1o candidato) = bolar um algoritimo facil para realizar esse truque muito maneiro! ----- Original Message -----=20 From: Cl=E1udio (Pr=E1tica)=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Tuesday, February 11, 2003 5:42 PM Subject: Re: [obm-l] Para quem gosta,essa e do baralho Caro JP: N=E3o sei se essa solu=E7=E3o =E9 v=E1lida ou n=E3o, mas acho que = funciona. Chame as cartas do baralho de 1, 2, 3, ..., 52. Suponha que as 4 cartas sobre a mesa sejam A1, A2, A3 e A4 com A1 < A2 = < A3 < A4. O problema =E9 encontrar 52 - 4 =3D 48 arranjos distintos destas 4 = cartas sobre a mesa de modo a identificar a carta em poder do = espectador. Ent=E3o, fa=E7a a seguinte correspond=EAncia: 1 =3D (A1,A2,A3,A4) 2 =3D (A1,A2,A4,A3) 3 =3D (A1,A3,A2,A4) =20 4 =3D (A1,A3,A4,A2) ..... 23 =3D (A4,A3,A1,A2) 24 =3D (A4,A3,A2,A1) Ou seja, para 1 <=3D k <=3D 24, a carta k corresponde =E0 k-=E9sima = permuta=E7=E3o de 1, 2, 3 e 4, com as faces das cartas viradas para = cima. De 25 a 48, repita as mesmas permuta=E7=F5es, mas com as faces das = cartas viradas para a mesa. Nesse ponto, estou supondo que o "adivinho" = possa examinar (ou seja, virar) as 4 cartas na mesa. Caso o "adivinho" n=E3o possa tocar as cartas, pode-se dispor as = cartas que representam os n=FAmeros de 1 a 24 horizontalmente (ou seja, = uma do lado da outra) e de 25 a 48 verticalmente (uma de baixo da = outra). Espero ter sido claro. Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet=20 To: teoremaprob@yahoogrupos.com.br ; obm-l@mat.puc-rio.br ; = teoremalista@yahoogrupos.com.br=20 Sent: Monday, February 10, 2003 3:44 PM Subject: [obm-l] Para quem gosta,essa e do baralho Essa questao caiu no "Tungyr Daragov",ou Tournaments of Towns,e = alguem da lista faz muito tempo nao viu resposta para esse(eu nao = participava de lista nenhuma nesse tempo),logo e meu dever responder.Eu = olhei num momento de spleen total,na larica. Temos dois magicos que devem fazer um truque com um baralho de 52 = cartas como o tradicional.Alguem da plateia deve escolher aleatoriamente = cinco cartas.O primeiro magico deve escolher uma dessas cartas e da-la = para o cara da plateia,que a guardara no bolso.As restantes sao = colocadas em cima de uma mesa,em uma certa ordem.O segundo magico faz = uma entrada triunfal e adivinha,olhando as 4 cartas na mesa,que carta = esta no bolso do cara da plateia. Sem usar truques de espelho nem nada desse teor,e possivel algo = assim? Um espa=E7o pra quem quiser pensar. RESPOSTA:Sim,e possivel.Essa solu=E7ao e do Andre Danila,de = Sampa.Ele me contou que estava no sono REM quando resolveu,e o Carlos = 0,Shine deu Ursinho Pooh de premio. Como ha 5 cartas e 4 naipes havera duas cartas de mesmo naipe.Uma = dessas cartas sera deixada na mesa e a outra sera escondida.Diremos qual = sera ela. Crie uma roda das cartas,colocando os numeros nos mostradores de um = relogio:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K (ou noutra ordem assim,isso nao = impede o truque).Dadas essas duas cartas de mesmo naipe coloque-as na = roda das cartas e veja a menor distancia entre elas e anote.Essa = distancia nao passa de seis.Assim sendo pegue a carta mais perto do 1 na = roda das cartas(em caso de equidistancia pegue a menor) e de pra = plateia.Agora use uma fun=E7ao que a cada permuta=E7ao dos numeros 1,2,3 = associa uma distancia de um a seis.Assim sendo use esta permuta=E7ao com = a fun=E7ao para ordenar as cartas no sentido de que=20 1)A primeira carta detectara o naipe. 2)As outras tres serao os indicadores de distancia da primeira carta = ate a escondida.E so associar a ordem crescente por exemplo. E pronto!Temos o pedido. Por favor confiram a conta que ela ficou doida!!!! TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) -------------------------------------------------------------------------= --- Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar = o Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_0021_01C2D20C.57392AC0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Essa e boa, mas nem precisa = roubar.
E so fazer que o os conjuntos cuja = "maior" carta =E9=20 n mapeiem as proximas 24 (dando a volta pelo 1 se for o = caso).
 
O primeiro magico sempre pode escolher = as 4 cartas=20 de modo que a proxima esteja a menos de 10 de distancia da = ultima.
(para manter a unidade da = lista)
pense que as 5 cartas sorteadas sao = pontos num=20 circulo, e voce pode botar palitinhos (outras cartas) entre elas. Sao 49 = palitinhos pra 5 buracos, entao algum buraco tem menos de 10=20 palitinhos.
 
Agora falta algum membro criativo da = lista ( o=20 Claudio e o 1o candidato) bolar um algoritimo facil para realizar esse = truque=20 muito maneiro!
 
 
----- Original Message -----
From:=20 Cl=E1udio = (Pr=E1tica)
Sent: Tuesday, February 11, = 2003 5:42=20 PM
Subject: Re: [obm-l] Para quem = gosta,essa=20 e do baralho

Caro JP:
 
N=E3o sei se essa solu=E7=E3o =E9 = v=E1lida ou n=E3o, mas acho=20 que funciona.
 
Chame as cartas do baralho de 1, 2, = 3, ...,=20 52.
 
Suponha que as 4 cartas sobre a mesa = sejam A1,=20 A2, A3 e A4 com A1 < A2 < A3 < A4.
 
O problema =E9 encontrar 52 - 4 =3D = 48 arranjos=20 distintos destas 4 cartas sobre a mesa de modo a identificar a carta = em poder=20 do espectador.
 
Ent=E3o, fa=E7a a seguinte=20 correspond=EAncia:
1  =3D  = (A1,A2,A3,A4)
2  =3D  = (A1,A2,A4,A3)
3  =3D =20 (A1,A3,A2,A4)  
4  =3D  = (A1,A3,A4,A2)
.....
23 =3D = (A4,A3,A1,A2)
24 =3D (A4,A3,A2,A1)
 
Ou seja, para 1 <=3D k <=3D 24, = a carta k=20 corresponde =E0 k-=E9sima permuta=E7=E3o de 1, 2, 3 e 4, com as faces = das cartas=20 viradas para cima.
 
De 25 a 48, repita as mesmas = permuta=E7=F5es, mas com=20 as faces das cartas viradas para a mesa. Nesse ponto, estou supondo = que o=20 "adivinho" possa examinar (ou seja, virar) as 4 cartas na = mesa.
 
Caso o "adivinho" n=E3o possa tocar = as cartas,=20 pode-se dispor as cartas que representam os n=FAmeros de 1 a 24 = horizontalmente=20 (ou seja, uma do lado da outra) e de 25 a 48 verticalmente (uma de = baixo da=20 outra).
 
Espero ter sido claro.
 
Um abra=E7o,
Claudio.
----- Original Message -----
From:=20 Johann Peter Gustav = Lejeune=20 Dirichlet
To: teoremaprob@yahoogrupos.co= m.br=20 ; obm-l@mat.puc-rio.br ; teoremalista@yahoogrupos.= com.br=20
Sent: Monday, February 10, = 2003 3:44=20 PM
Subject: [obm-l] Para quem = gosta,essa e=20 do baralho

Essa questao caiu no "Tungyr Daragov",ou Tournaments of Towns,e = alguem da=20 lista faz muito tempo nao viu resposta para esse(eu nao participava = de lista=20 nenhuma nesse tempo),logo e meu dever responder.Eu olhei num momento = de=20 spleen total,na larica.

Temos dois magicos que devem fazer um truque com um baralho de 52 = cartas=20 como o tradicional.Alguem da plateia deve escolher aleatoriamente = cinco=20 cartas.O primeiro magico deve escolher uma dessas cartas e = da-la para o=20 cara da plateia,que a guardara no bolso.As restantes sao colocadas = em cima=20 de uma mesa,em uma certa ordem.O segundo magico faz uma entrada = triunfal e=20 adivinha,olhando as 4 cartas na mesa,que carta esta no bolso do cara = da=20 plateia.

Sem usar truques de espelho nem nada desse teor,e possivel algo=20 assim?

Um espa=E7o pra quem quiser pensar.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RESPOSTA:Sim,e possivel.Essa solu=E7ao e do Andre Danila,de = Sampa.Ele me=20 contou que estava no sono REM quando resolveu,e o Carlos 0,Shine deu = Ursinho=20 Pooh de premio.

Como ha 5 cartas e 4 naipes havera duas cartas de mesmo naipe.Uma = dessas=20 cartas sera deixada na mesa e a outra sera escondida.Diremos qual = sera=20 ela.

Crie uma roda das cartas,colocando os numeros nos mostradores de = um=20 relogio:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K (ou noutra ordem assim,isso nao = impede o=20 truque).Dadas essas duas cartas de mesmo naipe coloque-as na roda = das cartas=20 e veja a menor distancia entre elas e anote.Essa distancia nao passa = de=20 seis.Assim sendo pegue a carta mais perto do 1 na roda das cartas(em = caso de=20 equidistancia pegue a menor) e de pra plateia.Agora use uma fun=E7ao = que a=20 cada permuta=E7ao dos numeros 1,2,3 associa uma distancia de um = a=20 seis.Assim sendo use esta permuta=E7ao com a fun=E7ao para ordenar = as cartas no=20 sentido de que

1)A primeira carta detectara o naipe.

2)As outras tres serao os indicadores de distancia da primeira = carta ate=20 a escondida.E so associar a ordem crescente por exemplo.

E pronto!Temos o pedido.

Por favor confiram a conta que ela ficou doida!!!!



TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE

CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA = TRIBVERE

Fields Medal(John Charles Fields)


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O = servi=E7o=20 de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o Yahoo!=20 encontra.
------=_NextPart_000_0021_01C2D20C.57392AC0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 21:04:39 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA31836 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 21:03:09 -0200 Received: from bridge3.bridge.com.br (bridge3.bridge.com.br [200.244.126.37]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA31831 for ; Tue, 11 Feb 2003 21:03:05 -0200 Received: from fulano (unverified [200.165.249.24]) by bridge3.bridge.com.br (Vircom SMTPRS 4.2.181) with ESMTP id for ; Tue, 11 Feb 2003 21:02:33 -0300 Message-ID: <004201c2d229$c099eb40$0307a8c0@fulano> From: "Eduardo Azevedo" To: References: <20030210184446.56381.qmail@web12908.mail.yahoo.com> <016801c2d20e$2b696de0$3300c57d@bovespa.com> <002401c2d225$8039f4e0$0307a8c0@fulano> Subject: Re: [obm-l] Para quem gosta,essa e do baralho - para os magicos Date: Tue, 11 Feb 2003 21:00:27 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_003F_01C2D210.9AD8BBC0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4133.2400 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 18626 Lines: 503 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_003F_01C2D210.9AD8BBC0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ai vai um jeito facil de fazer a magica. O baralho tem que ter uma = ordem, digamos por naipe, desempatendo por numero. Ordene as 4 cartas escolhidas 1234. Cada permutacao correspondera a um = numero de 1 a 9, que sera o numero de passos que a carta desconhecida = esta da 4. Um jeito bem facil: 1234 - 1 4123 - 2 3412 - 3 2341 - 4 4312 - 5 2143 - 6 ..... 2134 - 9=20 e a plateia ooooooooooooohhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh! ----- Original Message -----=20 From: Eduardo Azevedo=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Tuesday, February 11, 2003 8:29 PM Subject: Re: [obm-l] Para quem gosta,essa e do baralho - claudio = malaaaandro... Essa e boa, mas nem precisa roubar. E so fazer que o os conjuntos cuja "maior" carta =E9 n mapeiem as = proximas 24 (dando a volta pelo 1 se for o caso). O primeiro magico sempre pode escolher as 4 cartas de modo que a = proxima esteja a menos de 10 de distancia da ultima. (para manter a unidade da lista) pense que as 5 cartas sorteadas sao pontos num circulo, e voce pode = botar palitinhos (outras cartas) entre elas. Sao 49 palitinhos pra 5 = buracos, entao algum buraco tem menos de 10 palitinhos. Agora falta algum membro criativo da lista ( o Claudio e o 1o = candidato) bolar um algoritimo facil para realizar esse truque muito = maneiro! ----- Original Message -----=20 From: Cl=E1udio (Pr=E1tica)=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Tuesday, February 11, 2003 5:42 PM Subject: Re: [obm-l] Para quem gosta,essa e do baralho Caro JP: N=E3o sei se essa solu=E7=E3o =E9 v=E1lida ou n=E3o, mas acho que = funciona. Chame as cartas do baralho de 1, 2, 3, ..., 52. Suponha que as 4 cartas sobre a mesa sejam A1, A2, A3 e A4 com A1 < = A2 < A3 < A4. O problema =E9 encontrar 52 - 4 =3D 48 arranjos distintos destas 4 = cartas sobre a mesa de modo a identificar a carta em poder do = espectador. Ent=E3o, fa=E7a a seguinte correspond=EAncia: 1 =3D (A1,A2,A3,A4) 2 =3D (A1,A2,A4,A3) 3 =3D (A1,A3,A2,A4) =20 4 =3D (A1,A3,A4,A2) ..... 23 =3D (A4,A3,A1,A2) 24 =3D (A4,A3,A2,A1) Ou seja, para 1 <=3D k <=3D 24, a carta k corresponde =E0 k-=E9sima = permuta=E7=E3o de 1, 2, 3 e 4, com as faces das cartas viradas para = cima. De 25 a 48, repita as mesmas permuta=E7=F5es, mas com as faces das = cartas viradas para a mesa. Nesse ponto, estou supondo que o "adivinho" = possa examinar (ou seja, virar) as 4 cartas na mesa. Caso o "adivinho" n=E3o possa tocar as cartas, pode-se dispor as = cartas que representam os n=FAmeros de 1 a 24 horizontalmente (ou seja, = uma do lado da outra) e de 25 a 48 verticalmente (uma de baixo da = outra). Espero ter sido claro. Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet=20 To: teoremaprob@yahoogrupos.com.br ; obm-l@mat.puc-rio.br ; = teoremalista@yahoogrupos.com.br=20 Sent: Monday, February 10, 2003 3:44 PM Subject: [obm-l] Para quem gosta,essa e do baralho Essa questao caiu no "Tungyr Daragov",ou Tournaments of Towns,e = alguem da lista faz muito tempo nao viu resposta para esse(eu nao = participava de lista nenhuma nesse tempo),logo e meu dever responder.Eu = olhei num momento de spleen total,na larica. Temos dois magicos que devem fazer um truque com um baralho de 52 = cartas como o tradicional.Alguem da plateia deve escolher aleatoriamente = cinco cartas.O primeiro magico deve escolher uma dessas cartas e da-la = para o cara da plateia,que a guardara no bolso.As restantes sao = colocadas em cima de uma mesa,em uma certa ordem.O segundo magico faz = uma entrada triunfal e adivinha,olhando as 4 cartas na mesa,que carta = esta no bolso do cara da plateia. Sem usar truques de espelho nem nada desse teor,e possivel algo = assim? Um espa=E7o pra quem quiser pensar. RESPOSTA:Sim,e possivel.Essa solu=E7ao e do Andre Danila,de = Sampa.Ele me contou que estava no sono REM quando resolveu,e o Carlos = 0,Shine deu Ursinho Pooh de premio. Como ha 5 cartas e 4 naipes havera duas cartas de mesmo naipe.Uma = dessas cartas sera deixada na mesa e a outra sera escondida.Diremos qual = sera ela. Crie uma roda das cartas,colocando os numeros nos mostradores de = um relogio:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K (ou noutra ordem assim,isso nao = impede o truque).Dadas essas duas cartas de mesmo naipe coloque-as na = roda das cartas e veja a menor distancia entre elas e anote.Essa = distancia nao passa de seis.Assim sendo pegue a carta mais perto do 1 na = roda das cartas(em caso de equidistancia pegue a menor) e de pra = plateia.Agora use uma fun=E7ao que a cada permuta=E7ao dos numeros 1,2,3 = associa uma distancia de um a seis.Assim sendo use esta permuta=E7ao com = a fun=E7ao para ordenar as cartas no sentido de que=20 1)A primeira carta detectara o naipe. 2)As outras tres serao os indicadores de distancia da primeira = carta ate a escondida.E so associar a ordem crescente por exemplo. E pronto!Temos o pedido. Por favor confiram a conta que ela ficou doida!!!! TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) -------------------------------------------------------------------------= - Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA = pensar o Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_003F_01C2D210.9AD8BBC0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Ai vai um jeito facil de fazer a = magica. O baralho=20 tem que ter uma ordem, digamos por naipe, desempatendo por = numero.
 
Ordene as 4 cartas escolhidas = 1234. Cada=20 permutacao correspondera a um numero de 1 a 9, que sera o numero de = passos que a=20 carta desconhecida esta da 4.
 
Um jeito bem facil:
 
 
1234       =20 -       1
4123      =20 -       2
3412       =20 -      3
2341      =20 -    4
 
4312     =20 -     5
2143      =20 -    6
.....
 
2134    =20 -     9 
 
 
e a plateia
 
ooooooooooooohhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh!
 
 
 
----- Original Message -----
From:=20 Eduardo Azevedo
Sent: Tuesday, February 11, = 2003 8:29=20 PM
Subject: Re: [obm-l] Para quem = gosta,essa=20 e do baralho - claudio malaaaandro...

Essa e boa, mas nem precisa = roubar.
E so fazer que o os conjuntos cuja = "maior" carta=20 =E9 n mapeiem as proximas 24 (dando a volta pelo 1 se for o = caso).
 
O primeiro magico sempre pode = escolher as 4=20 cartas de modo que a proxima esteja a menos de 10 de distancia da=20 ultima.
(para manter a unidade da = lista)
pense que as 5 cartas sorteadas sao = pontos num=20 circulo, e voce pode botar palitinhos (outras cartas) entre elas. Sao = 49=20 palitinhos pra 5 buracos, entao algum buraco tem menos de 10=20 palitinhos.
 
Agora falta algum membro criativo da = lista ( o=20 Claudio e o 1o candidato) bolar um algoritimo facil para realizar esse = truque=20 muito maneiro!
 
 
----- Original Message -----
From:=20 Cl=E1udio = (Pr=E1tica)
Sent: Tuesday, February 11, = 2003 5:42=20 PM
Subject: Re: [obm-l] Para = quem=20 gosta,essa e do baralho

Caro JP:
 
N=E3o sei se essa solu=E7=E3o =E9 = v=E1lida ou n=E3o, mas=20 acho que funciona.
 
Chame as cartas do baralho de 1, 2, = 3, ...,=20 52.
 
Suponha que as 4 cartas sobre a = mesa sejam A1,=20 A2, A3 e A4 com A1 < A2 < A3 < A4.
 
O problema =E9 encontrar 52 - 4 =3D = 48 arranjos=20 distintos destas 4 cartas sobre a mesa de modo a identificar a carta = em=20 poder do espectador.
 
Ent=E3o, fa=E7a a seguinte=20 correspond=EAncia:
1  =3D  = (A1,A2,A3,A4)
2  =3D  = (A1,A2,A4,A3)
3  =3D =20 (A1,A3,A2,A4)  
4  =3D  = (A1,A3,A4,A2)
.....
23 =3D = (A4,A3,A1,A2)
24 =3D (A4,A3,A2,A1)
 
Ou seja, para 1 <=3D k <=3D = 24, a carta k=20 corresponde =E0 k-=E9sima permuta=E7=E3o de 1, 2, 3 e 4, com as = faces das cartas=20 viradas para cima.
 
De 25 a 48, repita as mesmas = permuta=E7=F5es, mas=20 com as faces das cartas viradas para a mesa. Nesse ponto, estou = supondo que=20 o "adivinho" possa examinar (ou seja, virar) as 4 cartas na=20 mesa.
 
Caso o "adivinho" n=E3o possa tocar = as cartas,=20 pode-se dispor as cartas que representam os n=FAmeros de 1 a 24=20 horizontalmente (ou seja, uma do lado da outra) e de 25 a 48 = verticalmente=20 (uma de baixo da outra).
 
Espero ter sido claro.
 
Um abra=E7o,
Claudio.
----- Original Message ----- =
From:=20 Johann Peter = Gustav Lejeune=20 Dirichlet
To: teoremaprob@yahoogrupos.co= m.br=20 ; obm-l@mat.puc-rio.br ; teoremalista@yahoogrupos.= com.br=20
Sent: Monday, February 10, = 2003 3:44=20 PM
Subject: [obm-l] Para quem = gosta,essa=20 e do baralho

Essa questao caiu no "Tungyr Daragov",ou Tournaments of Towns,e = alguem=20 da lista faz muito tempo nao viu resposta para esse(eu nao = participava de=20 lista nenhuma nesse tempo),logo e meu dever responder.Eu olhei num = momento=20 de spleen total,na larica.

Temos dois magicos que devem fazer um truque com um baralho de = 52=20 cartas como o tradicional.Alguem da plateia deve escolher = aleatoriamente=20 cinco cartas.O primeiro magico deve escolher uma dessas = cartas e=20 da-la para o cara da plateia,que a guardara no bolso.As restantes = sao=20 colocadas em cima de uma mesa,em uma certa ordem.O segundo magico = faz uma=20 entrada triunfal e adivinha,olhando as 4 cartas na mesa,que carta = esta no=20 bolso do cara da plateia.

Sem usar truques de espelho nem nada desse teor,e possivel algo = assim?

Um espa=E7o pra quem quiser pensar.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RESPOSTA:Sim,e possivel.Essa solu=E7ao e do Andre Danila,de = Sampa.Ele me=20 contou que estava no sono REM quando resolveu,e o Carlos 0,Shine = deu=20 Ursinho Pooh de premio.

Como ha 5 cartas e 4 naipes havera duas cartas de mesmo = naipe.Uma=20 dessas cartas sera deixada na mesa e a outra sera = escondida.Diremos qual=20 sera ela.

Crie uma roda das cartas,colocando os numeros nos mostradores = de um=20 relogio:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K (ou noutra ordem assim,isso nao = impede=20 o truque).Dadas essas duas cartas de mesmo naipe coloque-as na = roda das=20 cartas e veja a menor distancia entre elas e anote.Essa distancia = nao=20 passa de seis.Assim sendo pegue a carta mais perto do 1 na roda = das=20 cartas(em caso de equidistancia pegue a menor) e de pra = plateia.Agora use=20 uma fun=E7ao que a cada permuta=E7ao dos numeros 1,2,3 associa uma = distancia=20 de um a seis.Assim sendo use esta permuta=E7ao com a fun=E7ao = para=20 ordenar as cartas no sentido de que

1)A primeira carta detectara o naipe.

2)As outras tres serao os indicadores de distancia da primeira = carta=20 ate a escondida.E so associar a ordem crescente por exemplo.

E pronto!Temos o pedido.

Por favor confiram a conta que ela ficou doida!!!!



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Busca Yahoo! =
O servi=E7o=20 de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o Yahoo!=20 encontra.
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A nota do aluno é função do número de itens que ele acertar. Se o aluno obteve 30 pontos, quantos itens ele acertou? _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. 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Me espantou o termo, Número de Hurwist, nunca o ouvi. Procurei pela internet algo sobre, e apenas me deparei com esta próprica mensagem. Mais nada... Por isso mando esta mensagem. Gostaria de saber se este nome está correto (pois o próprio autor da mensagem duvidou desta grafia), e se fosse possível, ver esta tal questão com alguma explicação sobre estes números :-) []'s DexX ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 22:06:21 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA01915 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 22:04:37 -0200 Received: from artemis.opendf.com.br (artemis.opengate.com.br [200.181.71.15]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA01911 for ; Tue, 11 Feb 2003 22:04:33 -0200 Received: from localhost (localhost [127.0.0.1]) by artemis.opendf.com.br (Postfix) with ESMTP id 73E041CB06; Tue, 11 Feb 2003 22:03:50 -0200 (EDT) Received: from artur (200-181-088-057.bsace7001.dsl.brasiltelecom.net.br [200.181.88.57]) by artemis.opendf.com.br (Postfix) with ESMTP id 12BF81CAE7; Tue, 11 Feb 2003 22:03:47 -0200 (EDT) From: "Artur Costa Steiner" To: , Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?RE:__Fun=E7=E3o_uniformemente_diferenci=E1vel_e_outros_t?= =?iso-8859-1?Q?=F3picos?= Date: Tue, 11 Feb 2003 22:06:02 -0800 Organization: Steiner Consultoria LTDA Message-ID: <006501c2d25c$d268c160$0c01a8c0@mshome.net> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook, Build 10.0.2627 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 In-Reply-To: Importance: Normal X-Virus-Scanned: by AMaViS new-20020517 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id WAA01912 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2738 Lines: 53 Boa noite, Cláudio e demais amigos A sua demonstração em (1) está perfeita. Suas idéias foram expostas com extrema clareza, poderiam muito bem estar num livro de Análise Real. Dos itens 3 em diante, tudo OK na minha opinião No item (2), condição de Lipschitz, chamo apenas a atenção para uma condição restritiva introduzida: o fato de f ser diferenciável em I não garante que f’ seja Riemann integrável em sub-intervalos fechados de I (muita gente acha que isto é automático, mas na realidade não é). Se, porém, assumirmos tal integrabilidade, creio que sua prova está correta. Uma outra prova, que não se basia na integral, é a seguinte: Suponhamos que f seja diferenciável em I e que, além disto, satisfaça em I à condição de Lipischitz. Existe então K>0 tal que |f(x) – f(y)| <= K|x-y| para todos x, y em I . Logo, se x<>y , então |f(x) – f(y)|/(x-y) <= K. No primeiro membro desta desigualdade, façamos y -> x. Como f é diferenciável, este primeiro membro tende a |f’(x)| (pois o valor absoluto é uma função contínua). Pelas propriedades dos limites de funções reais, temos então que |f’(x)|<= K. Como x é arbitrário, concluímos que f’ é limitada em I pela constante K. Suponhamos agora, por outro lado, que f seja diferenciável em I e que f’ seja limitada em I. Existe então K>0 tal que |f’(u)| <=K (a) para todo u em I. Dados quaisquer x e y em I, o T. Do Valor Médio aplica-se ao intervalo fechado de pontos extremos x e y. Existe portanto z entre x e y tal que f(x) – f(y) = f’(z) (x-y). Logo |f(x) – f(y)| = |f’(z)| |x-y|, igualdade que, em virtude de (a) (pois z sempre está em I) nos mostra que |f(x) – f(y)| <= K |x-y|. Logo, f obedece à condição de Lipschitz. Observe que podemos sempre tomar K = supremo {|f’(u)| : u pertence a I}. Observamos também que, se I= [a, b], então basta assumir diferenciabilidade em (a, b) e continuidade nos extremos a e b. Como exemplo, seja f(x) = raiz(x) e I = [a, infinito), para a>0. Temos que f’(x) = 1/[2*raiz(x)] e que supremo {|f’(x)| : x em I} = 1/[2*raiz(a)]. Logo, qualquer que seja a>0, f satisfaz à condição de Lipischitz em [a , infinito) com constante K= 1/[2*raiz(a)]. Observamos, entretanto, que se a ->0+ então 1/[2*raiz(a)] -> +infinto, logo não podemos extender a conclusão para [0, infinito) e , nem mesmo, para (a, infinito) Por hoje é só. Por uma questão de espaço, tive que deletar a mensagem original. Um abraço para todos. Artur ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 22:06:55 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA01974 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 22:05:35 -0200 Received: from web14204.mail.yahoo.com (web14204.mail.yahoo.com [216.136.172.146]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id WAA01970 for ; Tue, 11 Feb 2003 22:05:31 -0200 Message-ID: <20030212000459.5783.qmail@web14204.mail.yahoo.com> Received: from [200.184.180.2] by web14204.mail.yahoo.com via HTTP; Tue, 11 Feb 2003 21:04:59 ART Date: Tue, 11 Feb 2003 21:04:59 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Felipe=20Gastaldo?= Subject: Re: [obm-l] Problema 05 To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <20030211230252.81362.qmail@web41508.mail.yahoo.com> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1731 Lines: 53 Caro Elton Este problema pode ser esquematizado assim: Chamando oque ele aacertou de (x) e oque ele errou de (60-x) dai para cada acerto tem-se 2.x e para cada erro -(60-x) maontandoa equação 2.x-(60-x)=30 dai vem que x=30 R: ele acertou 30 questoes --- elton francisco ferreira escreveu: > Numa prova de matemática, um aluno deve responder a > 60 > itens do tipo verdadeiro ou falso. para cada item > respondido corretamente, o aluno vai ganhar 2 pontos > e, para cada item que errar, vai perder 1 ponto. A > nota do aluno é função do número de itens que ele > acertar. Se o aluno obteve 30 pontos, quantos itens > ele acertou? > > > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que > você pensar o Yahoo! encontra. > http://br.busca.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > > ========================================================================= _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 22:08:55 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA02087 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 22:07:38 -0200 Received: from fgvrj23.fgv.br (fgvrj23.fgv.br [200.20.164.23]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA02080 for ; Tue, 11 Feb 2003 22:07:35 -0200 Received: by FGVRJ23 with Internet Mail Service (5.5.2655.55) id <1V1QFF45>; Tue, 11 Feb 2003 22:08:14 -0300 Message-ID: <3BE65222F383D611BE1E00D0B7B60A55E02789@FGVRJ23> From: Ralph Teixeira To: "'obm-l@mat.puc-rio.br'" Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?RES=3A_=5Bobm-l=5D_Quest=E3o_de_complexos_da_Mi?= =?iso-8859-1?Q?r?= Date: Tue, 11 Feb 2003 22:08:13 -0300 MIME-Version: 1.0 X-Mailer: Internet Mail Service (5.5.2655.55) Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id WAA02081 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2986 Lines: 48 Acho que arrumei uma solução curta e legal.... Em tudo o que eu escrever daqui para baixo, C1, C2, C3..., CN são complexos que formam um N-ágono convexo que eu vou chamar de P. Eu vou precisar do fato de que P é o conjunto dos complexos da forma a1C1+a2C2+...+anCN onde 0<=a1,a2,a3,...,aN<=1 e a1+a2+a3+...+aN=1 -- você sabe isso? Lema 1: Se existem b1, b2,..., bN reais positivos tais que b1C1+b2C2+...bNCn=0, então o complexo 0 está dentro de P. Prova: Divida tudo por (b1+b2+...+bN) e note que 0 é escrito como uma combinação convexa dos C1, C2, ..., CN, isto é, tome ai=bi/(b1+b2+...+bN) acima. Lema 2: Se 1/C1 + 1/C2 + ... + 1/CN = 0, então 0 está dentro de P. Prova: Sejam D1, D2, ..., DN os conjugados de C1, C2, ..., CN, isto é, CiDi=|Ci|^2. Seja P´ o polígono de vértices D1, ..., DN. Note que P´ é o simétrico de P com relação ao eixo real, então P´ é convexo, e basta mostrar que 0 está em P´. Mas a igualdade do enunciado se escreve como D1/|C1|^2+...+DN/|CN|^2=0. Tomando bi=1/|Ci|^2 e usando o lema anterior, conclui-se que 0 está dentro do polígono P´. ENFIM: Temos 1/(C1-Z)+1/(C2-Z)+...+1/(CN-Z)=0. Aplicando o Lema 2, conclui-se que 0 está dentro do polígono formado por C1-Z, C2-Z, ,...,CN-Z. Translade a figura toda (some Z a todos os pontos) e conclua que Z está dentro do polígono formado por C1, C2,... , CN. Legal? Concebível? Abraço, Ralph P.S.: De fato, como o conjunto dos complexos da forma a1C1+a2C2+...+anCN onde 0<=a1,a2,a3,...,aN<=1 e a1+a2+a3+...+aN=1 é o chamado FECHO CONVEXO do conjunto de pontos C1, C2,..., CN, eu mostrei que Z está no fecho convexo. NO caso do polígono SER convexo, o FECHO CONVEXO é o polígono. -----Mensagem original----- De: basketboy_igor [mailto:basketboy_igor@bol.com.br] Enviada em: terça-feira, 11 de fevereiro de 2003 08:17 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Questão de complexos da Mir 1° - Adquiri um exeplar de um livro de matemáatica da editora Mir ( Selected Problems in Elementary Mathematics, Arithmetic and Albegra). Digamos que, por um lapso de sorte, parou nas minhas mãos. Aproveitando a sorte, fui estudá-lo e empaquei na seguinte questão envolvendo números complexos e gráfico: "Let C1, C2, ... , Cn and Z be complex numbers such that 1/(Z -C1) + 1/(Z -C2) + .. + 1/(Z -Cn) = 0. Prove that if the numbers C1, C2, ... , Cn are represented in the complex plane by the vertices of a convex n-gon then the number Z is represented by a point lying inside that n- gon." P.S. Prefiri deixar em inglês p/ não sofrer erros de contextualiazão na tradução. Como eu não compreendi a solução vinda com com o livro, gostaria de saber se existe uma solução concebível. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 22:14:58 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA02348 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 22:13:40 -0200 Received: from artemis.opendf.com.br (artemis.opengate.com.br [200.181.71.15]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA02343 for ; Tue, 11 Feb 2003 22:13:35 -0200 Received: from localhost (localhost [127.0.0.1]) by artemis.opendf.com.br (Postfix) with ESMTP id C0C981CD49 for ; Tue, 11 Feb 2003 22:12:55 -0200 (EDT) Received: from artur (200-181-088-057.bsace7001.dsl.brasiltelecom.net.br [200.181.88.57]) by artemis.opendf.com.br (Postfix) with ESMTP id 898581CAE7 for ; Tue, 11 Feb 2003 22:12:51 -0200 (EDT) From: "Artur Costa Steiner" To: Subject: RE: [obm-l] Relacao. Date: Tue, 11 Feb 2003 22:15:03 -0800 Organization: Steiner Consultoria LTDA Message-ID: <006601c2d25e$16e8a7a0$0c01a8c0@mshome.net> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook, Build 10.0.2627 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 In-Reply-To: <2B184DFE97456744924ACF58987D941D01935320@apl03.poli.usp.br> Importance: Normal X-Virus-Scanned: by AMaViS new-20020517 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id WAA02344 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1407 Lines: 40 O çonjunto das imagens da função cotangente, em (0, pi), é todo o conjunto das reais. Isto é, todo número real é cotangente de algum ângulo. Para que (1+b)/a se enquadre neste caso, basta que a relação exista, isto é, basta que a<>0. Artur > -----Original Message----- > From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm- > l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Edilon Ribeiro da Silva > Sent: Tuesday, February 11, 2003 6:24 AM > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] Relacao. > > Caros colegas da lista, > > Qual a relação entre a e b, assim como suas restrições, de tal forma > que (1+b)/a seja sempre a co-tangente de algum ângulo? Os números a e b > pertencem ao conjunto dos números reais. > > Grato, > > Edilon Ribeiro. > ======================================================================== = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ======================================================================== = ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 22:23:03 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA02777 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 22:20:11 -0200 Received: from puma.unisys.com.br (smtp.unisys.com.br [200.220.64.7]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA02766 for ; Tue, 11 Feb 2003 22:20:07 -0200 Received: from jf (riohiper01p72.uninet.com.br [200.220.2.72]) by puma.unisys.com.br (8.12.3/8.12.3) with SMTP id h1C0JZ9W011325 for ; Tue, 11 Feb 2003 22:19:35 -0200 (EDT) X-Spam-Filter: check_local@puma.unisys.com.br by digitalanswers.org Message-ID: <019701c2d22c$8fe15b20$4802dcc8@jf> From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" To: References: <200302091444.h19Ei6Ah023438@trex.centroin.com.br> <20030211145753.I9677@sucuri.mat.puc-rio.br> <021701c2d201$479766a0$1702dcc8@n8x4f9> <20030211174021.C19181@sucuri.mat.puc-rio.br> Subject: Re: [obm-l] compra e venda de livros Date: Tue, 11 Feb 2003 22:01:56 -0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2600.0000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2438 Lines: 50 Permita-me discordar, não pelo prazer de fazê-lo, o que não me daria nenhum, mas numa tentativa de modificar um ponto de vista através de um contra-exemplo (aprendi esta na recente discussão de funções contínuas, monótonas e patológicas). Logo que entrei na lista surgiu uma discussão sobre demonstrações através do Método da Indução Finita, assunto que me é muito caro por me trazer ótimas lembranças. Alguém disse que uma fonte de referência para o método seria o livro Manual de Indução Matemática, de Luís Lopes. Como não o encontrei nos catálogos on-line de diversas livrarias, perguntei na lista como comprá-lo, o que foi respondido pelo próprio autor. O livro, com uma gentil dedicatória do autor, hoje faz parte de minha biblioteca, o que não teria acontecido se a lista não tivesse sido usada para eu saber como comprá-lo. Bem recentemente surgiu a discussão sobre um livro (Geometria II?), do Morgado em co-autoria com um outro professor, editado originalmente em 74, esgotado, e que desde então vinha sendo "copiado, xerocado, reproduzido por um bando de espertalhões sem escrúpulos" [non-verbatin] ----- Original Message ----- From: "Nicolau C. Saldanha" To: Sent: Tuesday, February 11, 2003 5:40 PM Subject: Re: [obm-l] compra e venda de livros > On Tue, Feb 11, 2003 at 05:09:13PM -0200, Jose Francisco Guimaraes Costa wrote: > > Mensagens para a lista perguntando como comprar um determinado livro - > > obviamente sobre matemática - (...) também [é] > > considerada off-topic? > > Perguntar como comprar a meu ver é off-topic sim, > mas menos grave do que colocar um produto a venda. > Eu não chamo a atenção a cada caso simplesmente pq > acho que isso criaria mais ruido do que vale a pena. > (...) > []s, N. > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 22:31:06 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA03474 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 22:28:31 -0200 Received: from smtp018.mail.yahoo.com (smtp018.mail.yahoo.com [216.136.174.115]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id WAA03470 for ; Tue, 11 Feb 2003 22:28:27 -0200 Received: from 200-153-140-87.dsl.telesp.net.br (HELO thor) (edu?matematica@200.153.140.87 with login) by smtp.mail.vip.sc5.yahoo.com with SMTP; 12 Feb 2003 00:27:55 -0000 From: "Eduardo" To: Subject: RES: [obm-l] Problema 05 Date: Tue, 11 Feb 2003 22:28:13 -0300 Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook IMO, Build 9.0.2416 (9.0.2910.0) X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Importance: Normal In-Reply-To: <20030211230252.81362.qmail@web41508.mail.yahoo.com> Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2542 Lines: 75 Elton, Tente, antes de generalizar um sistema, estipular um outro problema. Por exemplo, se você tivesse feito a prova, a quantidade de erros e acertos somadas seria o total de questões? Se você tivesse acertado 32 questões, ganharia quantos pontos com isto (somente as certas)? Que conta você fez para obter o resultado? Se tivesse acertado 32 teria errado 28, quantos pontos perderia com isto? Para saber sua nota, que conta faria? as vezes fica mais fácil partir de uma resposta... Segue a resolução do seu problema 5 A=Acerto E=erro A+E=60 2A-E=30 Donde A= 30 e E=30 Abraços Edu -----Mensagem original----- De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de elton francisco ferreira Enviada em: terça-feira, 11 de fevereiro de 2003 20:03 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Problema 05 Numa prova de matemática, um aluno deve responder a 60 itens do tipo verdadeiro ou falso. para cada item respondido corretamente, o aluno vai ganhar 2 pontos e, para cada item que errar, vai perder 1 ponto. A nota do aluno é função do número de itens que ele acertar. Se o aluno obteve 30 pontos, quantos itens ele acertou? _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= --- Incoming mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. 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Logo que entrei na lista surgiu uma discussão sobre demonstrações através do Método da Indução Finita, assunto que me é muito caro por me trazer ótimas lembranças. Alguém disse que uma fonte de referência para o método seria o livro Manual de Indução Matemática, de Luís Lopes. Como não o encontrei nos catálogos on-line de diversas livrarias, perguntei na lista como comprá-lo, o que foi respondido pelo próprio autor. O livro, com uma gentil dedicatória, escrita de forma sui-generis, hoje faz parte de minha biblioteca, o que não teria acontecido se a lista não tivesse sido usada para eu saber como comprá-lo. Bem recentemente alguém perguntou como comprar um livro (Geometria II?), do Morgado em co-autoria com um outro professor, editado originalmente em 74, que desde esgotado há muito só podia ser obtido através de expedientes ilegais. Morgado respondeu dizendo que o livro acabara de ser reeditado, mas estava disponível apenas em um pequeno número de lugares. Isto é, não constava de catálogos on-line. Em novembro do ano passado o fernandom@sefaz.ce.gov.br enviou a seguinte mensagem (004101bd168b$edda16c0$36921eac@sefaz.ce.gov.br): [quote] > Amigos Virtuais, > Como poderia adquirir esses livros? > > a.. Olimpíadas Brasileiras de Matemática, 1a. a 8a. :Problemas e Soluções > Compilado por Élio Mega e Renate Watanabe. > Sociedade Brasileira de Matemática - SBM. (...) > a.. Olimpíadas de Matemática 97 - Provas Compiladas e Resolvidas > Antonio Caminha, Onofre Campos, Paulo Bonfim Gomes Rodrigues > Editora 7 de Setembro - Fortaleza - CE > a.. Atenciosamente, > a.. Fernando [unquote] que foi respondida pelo Nicolau em 11 Nov 2002 16:32:17 -0200 da seguinte forma: [quote] Para os livros publicados pela SBM, tente www.sbm.org.br ou escreva para a secretária da SBM encarregada de venda de livros. []s, N. [unquote] No meu entender, embora todas as três mensagens acima contenham explicitamente a pergunta "como comprar o livro...?", nenhuma delas deve ser considerada off-topic. JF ----- Original Message ----- From: "Nicolau C. Saldanha" To: Sent: Tuesday, February 11, 2003 5:40 PM Subject: Re: [obm-l] compra e venda de livros > On Tue, Feb 11, 2003 at 05:09:13PM -0200, Jose Francisco Guimaraes Costa wrote: > > Mensagens para a lista perguntando como comprar um determinado livro - > > obviamente sobre matemática - (...) também são > > consideradas off-topic? > > Perguntar como comprar a meu ver é off-topic sim, > mas menos grave do que colocar um produto a venda. > Eu não chamo a atenção a cada caso simplesmente pq > acho que isso criaria mais ruido do que vale a pena. > (...) > []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 11 23:28:13 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA06756 for obm-l-MTTP; Tue, 11 Feb 2003 23:25:38 -0200 Received: from birosca.ime.usp.br (birosca.ime.usp.br [143.107.45.59]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id XAA06752 for ; Tue, 11 Feb 2003 23:25:36 -0200 Received: (qmail 26692 invoked from network); 12 Feb 2003 01:24:02 -0000 Received: from mafalda.ime.usp.br (HELO bidu.ime.usp.br) (143.107.45.13) by birosca.ime.usp.br with SMTP; 12 Feb 2003 01:24:02 -0000 Received: (qmail 4288 invoked by uid 1604); 12 Feb 2003 01:22:43 -0000 Date: Tue, 11 Feb 2003 23:22:43 -0200 (EDT) From: Salvador Addas Zanata X-Sender: sazanata@mafalda To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_compra_e_venda_de_livros_**corre=E7=E3o**?= In-Reply-To: <000001c2d233$04c3c8a0$f802dcc8@jf> Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=ISO-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id XAA06753 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 4254 Lines: 118 Olha, odeio me meter nessas "polemicas", mas gostaria de sugerir 2 coisas: 1) Como o Nicolau pediu, acho melhor que as mensagens desse tipo sejam enviadas somente a ele. 2) Ideologicamente eh muito diferente perguntar: "Onde posso comprar tal livro?" a dizer: "Vendo tal livro." Um abraco, Salvador On Tue, 11 Feb 2003, Jose Francisco Guimaraes Costa wrote: > ESTA MENSAGEM SUBSTITUI A DE MESMO REMETENTE E ASSUNTO, QUE FOI TRANSMITIDA > INDEVIDAMENTE ÀS 22:01 DE 11FEV03 > > Permita-me discordar, não pelo prazer de fazê-lo, o que não me daria nenhum, > mas numa tentativa de modificar um ponto de vista através de contra-exemplos > (aprendi esta de "contra-exemplos" na recente discussão sobre funções > contínuas, monótonas e patológicas). > > Logo que entrei na lista surgiu uma discussão sobre demonstrações através do > Método da Indução Finita, assunto que me é muito caro por me trazer ótimas > lembranças. Alguém disse que uma fonte de referência para o método seria o > livro Manual de Indução Matemática, de Luís Lopes. Como não o encontrei nos > catálogos on-line de diversas livrarias, perguntei na lista como comprá-lo, > o que foi respondido pelo próprio autor. O livro, com uma gentil > dedicatória, escrita de forma sui-generis, hoje faz parte de minha > biblioteca, o que não teria acontecido se a lista não tivesse sido usada > para eu saber como comprá-lo. > > Bem recentemente alguém perguntou como comprar um livro (Geometria II?), do > Morgado em co-autoria com um outro professor, editado originalmente em 74, > que desde esgotado há muito só podia ser obtido através de expedientes > ilegais. Morgado respondeu dizendo que o livro acabara de ser reeditado, mas > estava disponível apenas em um pequeno número de lugares. Isto é, não > constava de catálogos on-line. > > Em novembro do ano passado o fernandom@sefaz.ce.gov.br enviou a seguinte > mensagem (004101bd168b$edda16c0$36921eac@sefaz.ce.gov.br): > > [quote] > > Amigos Virtuais, > > Como poderia adquirir esses livros? > > > > a.. Olimpíadas Brasileiras de Matemática, 1a. a 8a. :Problemas e Soluções > > Compilado por Élio Mega e Renate Watanabe. > > Sociedade Brasileira de Matemática - SBM. > (...) > > a.. Olimpíadas de Matemática 97 - Provas Compiladas e Resolvidas > > Antonio Caminha, Onofre Campos, Paulo Bonfim Gomes Rodrigues > > Editora 7 de Setembro - Fortaleza - CE > > a.. Atenciosamente, > > a.. Fernando > [unquote] > > que foi respondida pelo Nicolau em 11 Nov 2002 16:32:17 -0200 da seguinte > forma: > > [quote] > Para os livros publicados pela SBM, tente www.sbm.org.br ou escreva para a > secretária da SBM encarregada de venda de livros. > > []s, N. > [unquote] > > No meu entender, embora todas as três mensagens acima contenham > explicitamente a pergunta "como comprar o livro...?", nenhuma delas deve ser > considerada off-topic. > > JF > > ----- Original Message ----- > From: "Nicolau C. Saldanha" > To: > Sent: Tuesday, February 11, 2003 5:40 PM > Subject: Re: [obm-l] compra e venda de livros > > > > On Tue, Feb 11, 2003 at 05:09:13PM -0200, Jose Francisco Guimaraes Costa > wrote: > > > Mensagens para a lista perguntando como comprar um determinado livro - > > > obviamente sobre matemática - (...) também são > > > consideradas off-topic? > > > > Perguntar como comprar a meu ver é off-topic sim, > > mas menos grave do que colocar um produto a venda. > > Eu não chamo a atenção a cada caso simplesmente pq > > acho que isso criaria mais ruido do que vale a pena. > > > (...) > > []s, N. > > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 00:20:46 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id AAA08138 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 00:17:34 -0200 Received: from artemis.opendf.com.br (artemis.opengate.com.br [200.181.71.15]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id AAA08133 for ; Wed, 12 Feb 2003 00:17:31 -0200 Received: from localhost (localhost [127.0.0.1]) by artemis.opendf.com.br (Postfix) with ESMTP id 3A7F31CD57; Wed, 12 Feb 2003 00:16:51 -0200 (EDT) Received: from artur (200-181-088-057.bsace7001.dsl.brasiltelecom.net.br [200.181.88.57]) by artemis.opendf.com.br (Postfix) with ESMTP id E781F1CAEF; Wed, 12 Feb 2003 00:16:47 -0200 (EDT) From: "Artur Costa Steiner" To: , Subject: [obm-l] Alguns problemas interessantes Date: Wed, 12 Feb 2003 00:19:00 -0800 Organization: Steiner Consultoria LTDA Message-ID: <006b01c2d26f$67532420$0c01a8c0@mshome.net> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook, Build 10.0.2627 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 In-Reply-To: Importance: Normal X-Virus-Scanned: by AMaViS new-20020517 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id AAA08134 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1614 Lines: 37 Acho que estes problemas são interessantes: 1) mostre que uma seqüência de números reais é simultaneamente uma PG e uma PA se, e somente se, a seqüência for constante 2) Determine o termo geral de uma PA na qual a relação entre a soma dos n primeiros termos e soma dos n termos seguintes independe de n 3) Mostre que toda seqüência de números reais contém uma subsequência monotônica 4) Mostre que a série Soma (n=2, infinito) 1/[(n-1) Ln(n)] é divergente (propriamente divergente) (sugestão: Considere o teste da integral) 4) Prove que se f:{a, b) -> R } é contínua em c em (a,b) e lim x-> c f'(x) = L, então f'(c) = L. A partir daí, conclua que derivadas jamais apresentam descontinuidades do tipo salto. Conclua também que se f' é monotônica em um intervalo I, então f'é contínua em I. 5) Suponhamos que f seja diferenciável em R e seja k<>0. Mostre que: - se k>0, então lim x -> infinito f'(x) + k f(x) = L, L em R, implica que lim x-> infinito f('x) = 0 e lim x-> infinito f(x) = L/k - se k<0, então lim x-> infinito f'(x) + k f(x) = L, L em R, só é possível se lim x-> e^(kx) f(x) = 0, caso em que temos também lim x-> infinito f('x) = 0 e lim x-> infinito f(x) = L/k sugestão : defina h(x) = e^(kx) f(x) g(x) = e^(kx) . Logo, f(x) = h(x)/g(x) Use L'Hopital. Um abraço Artur ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 00:37:06 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id AAA08506 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 00:34:18 -0200 Received: from sporus.bol.com.br (sporus.bol.com.br [200.221.24.23]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id AAA08501 for ; Wed, 12 Feb 2003 00:34:15 -0200 Received: from bol.com.br (200.221.24.119) by sporus.bol.com.br (5.1.071) id 3E25BF460087A370 for obm-l@mat.puc-rio.br; Wed, 12 Feb 2003 00:35:50 -0200 Date: Wed, 12 Feb 2003 00:33:45 -0200 Message-Id: Subject: [obm-l] MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain;charset="iso-8859-1" From: "basketboy_igor" To: obm-l@mat.puc-rio.br X-XaM3-API-Version: 2.4 R3 ( B4 ) X-SenderIP: 200.253.226.99 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id AAA08502 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1324 Lines: 45 "Life is good for only two things, discovering mathematics and teaching mathematics". - Siméon Poisson 1°)Existe algum valor p/ i^i, ou seja, sqrt(-1)^sqrt(-1? 2°)i)Gostaria de ser agraciado, se possível, com informações sobre a grande influência do matemático indiano Srinivasa Aiyangar Ramanujan nessa nossa área das exatas, pricipalmente teoria dos números. ii) Como eu provo que e^[PI*sqrt(163)] é igual a 262537412640768743,9999999999925, ou seja, quase o inteiro 262537412640768744. 3°) Alguém, entre os caros colegas, poderia, por obséquio, fornecer gentilmente informações sobre desenho geométrico, como figuras, propriedades, teoremas, métodos e, principalmente, boas questões? "omnia apud me mathematica fiunt". (With me everything turns into mathematics). - Descartes, René (1596-1650) __________________________________________________________________________ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 00:53:30 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id AAA08918 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 00:50:47 -0200 Received: from smtp.ieg.com.br (stone.protocoloweb.com.br [200.226.139.11]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id AAA08909 for ; Wed, 12 Feb 2003 00:50:43 -0200 Received: from igorcasa (200191186038-dial-user-UOL.acessonet.com.br [200.191.186.38]) by smtp.ieg.com.br (IeG relay/8.9.3) with SMTP id h1C2juYV079940 for ; Wed, 12 Feb 2003 00:45:58 -0200 (BRST) Message-ID: <00e501c2d241$73dc4d80$26babfc8@igorcasa> From: "Igor Castro" To: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?D=FAvida_familiar?= Date: Tue, 11 Feb 2003 23:50:06 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_00E2_01C2D228.4D926600" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2600.0000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2707 Lines: 65 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_00E2_01C2D228.4D926600 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Caros companheiros da lista,=20 ao conversar com um dos meus cunhados ele me perguntou, sabendo pelo meu = interesse por matem=E1tica, como faria para achar a acelera=E7=E3o com = que sobe o n=EDvel de =E1gua em um cone com a ponta para cima se = come=E7armos a enche-lo de =E1gua em uma determinada vaz=E3o V e sendo = raio inferior do cone R e altura H. Pensei bastante e n=E3o consegui = desenvolver nada =FAtil. O problema ele criou na hora, ent=E3o queria = saber: Tem solu=E7=E3o? Qual? Caso positivo, os dados da Vaz=E3o, da altura e do Raio s=E3o = suficientes? Bem, agrade=E7o desde j=E1 e espero que o assunto n=E3o esteja muito = off-topic por se tratar mais de f=EDsica do que matem=E1tica. ------=_NextPart_000_00E2_01C2D228.4D926600 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Caros companheiros da lista, =
ao conversar com um dos meus cunhados = ele me=20 perguntou, sabendo pelo meu interesse por matem=E1tica, como faria para = achar a=20 acelera=E7=E3o com que sobe o n=EDvel de =E1gua em um = cone com a ponta=20 para cima se come=E7armos a = enche-lo de =E1gua=20 em uma determinada vaz=E3o V e sendo raio inferior do cone R e = altura H.=20 Pensei bastante e n=E3o consegui desenvolver nada =FAtil.  O = problema ele criou=20 na hora, ent=E3o queria saber:
Tem solu=E7=E3o? Qual?
Caso positivo, os dados da Vaz=E3o,=20 da altura e do Raio s=E3o suficientes?
Bem, agrade=E7o desde j=E1 e espero que = o assunto n=E3o=20 esteja muito off-topic por se tratar mais de f=EDsica do que=20 matem=E1tica.
------=_NextPart_000_00E2_01C2D228.4D926600-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 01:37:49 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id BAA10484 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 01:36:01 -0200 Received: from smtp014.mail.yahoo.com (smtp014.mail.yahoo.com [216.136.173.58]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id BAA10480 for ; Wed, 12 Feb 2003 01:35:57 -0200 Received: from 200-153-140-87.dsl.telesp.net.br (HELO thor) (edu?matematica@200.153.140.87 with login) by smtp.mail.vip.sc5.yahoo.com with SMTP; 12 Feb 2003 03:35:25 -0000 From: "Eduardo" To: Subject: RES: [obm-l] i^i Date: Wed, 12 Feb 2003 01:35:42 -0300 Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook IMO, Build 9.0.2416 (9.0.2910.0) X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 In-Reply-To: Importance: Normal Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 912 Lines: 27 1°)Existe algum valor p/ i^i, ou seja, sqrt(-1)^sqrt(-1? Bem, sei que em 1750, Lambert provou ter a forma a+bi, assim como sqrt(i). procurei em alguns arquivos e não encontrei lhufas...vou continuar procurando Abraços Edu --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 01:44:43 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id BAA10656 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 01:43:19 -0200 Received: from smtp011.mail.yahoo.com (smtp011.mail.yahoo.com [216.136.173.31]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id BAA10638 for ; Wed, 12 Feb 2003 01:43:07 -0200 Received: from 200-153-140-87.dsl.telesp.net.br (HELO thor) (edu?matematica@200.153.140.87 with login) by smtp.mail.vip.sc5.yahoo.com with SMTP; 12 Feb 2003 03:42:35 -0000 From: "Eduardo" To: Subject: [obm-l] Srinivasa Aiyangar Ramanujan Date: Wed, 12 Feb 2003 01:42:52 -0300 Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook IMO, Build 9.0.2416 (9.0.2910.0) X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 In-Reply-To: Importance: Normal Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1037 Lines: 29 Achei algo neste link, tem as identidades de Ramanujan e uma breve biografia http://www2.dm.ufscar.br/hp/hp252/hp252001/hp252001.html Abraços Edu 2°)i)Gostaria de ser agraciado, se possível, com informações sobre a grande influência do matemático indiano Srinivasa Aiyangar Ramanujan nessa nossa área das exatas, pricipalmente teoria dos números. --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. 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Cláudio_(Prática) wrote: Importância prática acho que não tem nenhuma. Como Erdos era um matemático de primeira grandeza, acho que vaidade tem um certo peso (mas só se o seu Número de Erdos for igual a 1, ou seja, você é bom o suficiente para co-autorar algum artigo com ele)----- Original Message ----- From: Felipe Villela Dias To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, February 10, 2003 1:28 PMSubject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número de Erdös Desculpe a pergunta, mas isso tem alguma importância ou é somente um fruto de alguém muito vaidoso???----- Original Message ----- From: Cláudio (Prática) To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, February 10, 2003 11:42 AMSubject: [obm-l] Re: [obm-l] Número de Erdös Número de Erdos é a distância de uma dada pessoa até Paul Erdos em termos de co-autoria de artigos matemáticos. Assim, se você escreveu um artigo em co-autoria com o Paul Erdos, você tem Número de Erdos = 1. Se você nunca escreveu um artigo junto com ele, mas escreveu um em co-autoria com alguém que tem Número de Erdos = 1, então você tem Número de Erdos = 2. Em geral, se dentre os Números de Erdos de cada pessoa com quem você escreveu artigos, o menor é N, então o seu Número de Erdos é N+1. Um abraço,Claudio.----- Original Message ----- From: Faelccmm@aol.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, February 09, 2003 8:35 AMSubject: [obm-l] Número de Erdös Olá pessoal, Alguém poderia me dar uma explicação consistente do que seria o número de Erdös ? --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. 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Para quem quiser dar uma olhada em alguns que possuem o número de Erdös

http://www.oakland.edu/~grossman/erdpaths.html

 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2002@yahoo.com.br> wrote:

Depende.O Yoshi e cum brazuco que tem Erdos 1.Mas essa definiçao ja deu varias piadas.Me lembro uma dop Humberto Naves do Numero de Binladen,outra com o ator Roger Bacon...

 Cláudio_(Prática) <claudio@praticacorretora.com.br> wrote:

Importância prática acho que não tem nenhuma. Como Erdos era um matemático de primeira grandeza, acho que vaidade tem um certo peso (mas só se o seu Número de Erdos for igual a 1, ou seja, você é bom o suficiente para co-autorar algum artigo com ele)
----- Original Message -----
Sent: Monday, February 10, 2003 1:28 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número de Erdös

Desculpe a pergunta, mas isso tem alguma importância ou é somente um fruto de alguém muito vaidoso???
----- Original Message -----
Sent: Monday, February 10, 2003 11:42 AM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Número de Erdös

Número de Erdos é a distância de uma dada pessoa até Paul Erdos em termos de co-autoria de artigos matemáticos.
 
Assim, se você escreveu um artigo em co-autoria com o Paul Erdos, você tem Número de Erdos = 1.
 
Se você nunca escreveu um artigo junto com ele, mas escreveu um em co-autoria com alguém que tem Número de Erdos = 1, então você tem Número de Erdos = 2.
 
Em geral, se dentre os Números de Erdos de cada pessoa com quem você escreveu artigos, o menor é N, então o seu Número de Erdos é N+1.
 
Um abraço,
Claudio.
----- Original Message -----
Sent: Sunday, February 09, 2003 8:35 AM
Subject: [obm-l] Número de Erdös

Olá pessoal,

Alguém poderia me dar uma explicação consistente do que seria o número de Erdös ?
 

---
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Ao Claudio/Pratica/ e ao professor Morgado meu muito obrigado especial . um grande abraço Amurpe __________________________________________________________________________ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. 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Algo como: (1) se as olimpíadas podem ser usadas para fazer um levantamento dos pontos fracos e fortes do ensino médio, (2) o papel das olimpíadas como elemento motivador (ou desmotivador)? Qualquer indicação será muito bem-vinda! Muito obrigado e um forte abraço para todos, Humberto. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 10:24:12 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA17985 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 10:22:21 -0200 Received: (from nicolau@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA17979 for obm-l@mat.puc-rio.br; Wed, 12 Feb 2003 10:22:20 -0200 Date: Wed, 12 Feb 2003 10:22:20 -0200 From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: =?iso-8859-1?Q?=5Bobm-l=5D_N=FAmero_de_Hurwist?= Message-ID: <20030212102220.B17619@sucuri.mat.puc-rio.br> References: <000b01c2d230$982945a0$c298c6c8@cablemodemnet.com.br> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Disposition: inline Content-Transfer-Encoding: 8bit User-Agent: Mutt/1.2.5i In-Reply-To: <000b01c2d230$982945a0$c298c6c8@cablemodemnet.com.br>; from dexx@pop.com.br on Tue, Feb 11, 2003 at 09:49:21PM -0300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1496 Lines: 33 On Tue, Feb 11, 2003 at 09:49:21PM -0300, DexX wrote: > Olá Nicolau e colegas da lista > > Estava navegando pela iNET, procurando alguns tópicos de matemática quando > me deparei com o seguinte trecho de uma mensagem antiga: > > "Lembro-me do vestibular do IME de 1981, o Nicolau foi o único que resolveu > uma certa questão chamada de Número de Hurwist, acho que é assim que escreve > (números complexos)." > > Me espantou o termo, Número de Hurwist, nunca o ouvi. Procurei pela internet > algo sobre, e apenas me deparei com esta próprica mensagem. Mais nada... > > Por isso mando esta mensagem. Gostaria de saber se este nome está correto > (pois o próprio autor da mensagem duvidou desta grafia), e se fosse > possível, ver esta tal questão com alguma explicação sobre estes números :-) Eu também não sei o que é isso, nem se o nome está certo. Se esta história tiver base na prova do IME que eu fiz, a questão deve ser mais ou menos a seguinte: Dado z = (3+4i)/5, prove que não existe nenhum inteiro positivo n com z^n = 1. Eu fiz definindo z^n = (a_n + b_n i)/5^n e observando algum tipo de congruência que garantia que b_n é diferente de 0 para n > 0. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 10:31:46 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA18240 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 10:30:27 -0200 Received: (from nicolau@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA18235 for obm-l@mat.puc-rio.br; Wed, 12 Feb 2003 10:30:26 -0200 Date: Wed, 12 Feb 2003 10:30:26 -0200 From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: RES: [obm-l] i^i Message-ID: <20030212103026.C17619@sucuri.mat.puc-rio.br> References: Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Disposition: inline Content-Transfer-Encoding: 8bit User-Agent: Mutt/1.2.5i In-Reply-To: ; from edu_matematica@yahoo.com.br on Wed, Feb 12, 2003 at 01:35:42AM -0300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 884 Lines: 28 On Wed, Feb 12, 2003 at 01:35:42AM -0300, Eduardo wrote: > 1°)Existe algum valor p/ i^i, ou seja, sqrt(-1)^sqrt(-1? Para números complexos definimos exp(a+bi) = e^a (cos b + i sen b) e z^w = exp(w log(z)). A dificuldade é que exp não é injetora, logo existem vários valores para log(z), precisamos escolher um de uma forma mais ou menos coerente; isto se chama escolher um corte. i = exp(i Pi/2) donde com uma certa escolha de corte log i = i Pi/2 i^i = exp(i * i Pi/2) = exp(- Pi/2). As outras escolhas de corte dão outros valores (também reais). []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 11:15:10 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA19714 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 11:13:23 -0200 Received: from birosca.ime.usp.br (birosca.ime.usp.br [143.107.45.59]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id LAA19710 for ; Wed, 12 Feb 2003 11:13:18 -0200 Received: (qmail 3112 invoked from network); 12 Feb 2003 13:12:35 -0000 Received: from rebutosa.ime.usp.br (143.107.45.16) by birosca.ime.usp.br with SMTP; 12 Feb 2003 13:12:35 -0000 Received: (qmail 11148 invoked by uid 1604); 12 Feb 2003 13:12:43 -0000 Date: Wed, 12 Feb 2003 11:12:43 -0200 (EDT) From: Salvador Addas Zanata X-Sender: sazanata@rebutosa To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Tres belos problemas Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=ISO-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id LAA19711 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 6735 Lines: 176 2) Suponha que a PA tenha primeiro termo a e razao q: b^2=a+q.n (b+m.q)^2=b^2+2.b.m.q+m^2.q^2=a+q(n+2.b.m+m^2.q) Abraco, Salvador On Tue, 11 Feb 2003, Paulo Santa Rita wrote: > Ola Joao Gilberto e demais > colegas desta lista ... OBM-L, > > Muito Bom. > > Vejam como a aplicacao inteligente do principio das casas dos pontos > resolveu o problema dois. O esboco de solucao do problema 3 e satisfatorio, > em minha opiniao. > > E quanto ao primeiro problema ? E criacao minha e de forma alguma e uma > questao dificil. Apenas exige um raciocinio original ... > > Aqui vai duas outras questoes olimpicas, simples, de rapida resolucao, mas > que nao deixam de ter os seus encantos : > > > > 1) Caracterize todas as PA's nas quais qualquer soma de um numero qualquer > de termos consecutivos e ainda um termo desta PA. > > 2)( Olimpiada Argentina ) Mostre que se numa PA ha um quadrado perfeito, > enta0 existirao infinitos outros quadrado perfeitos nesta PA. > > > > Um Grande abraco a Todos > Paulo Santa Rita > 3,1731,110203 > > EM TEMPO : Esta lista, A "Nossa Lista", foi originalmente criada pelo Prof > Nicolau Saldanha com o objetivo de ser uma LISTA DE DISCUSSAO DE PROBLEMAS > DE MATEMATICA OLIMPICA. Repetindo : MATEMATICA OLIMPICA ! > > E portanto um forum adeguado, sobretudo, aqueles que se preparam para as > Olimpiadas de Matematica e para as pessoas amantes e entusiasmadas com este > Movimento Olimpico. Estas pessoas, em geral, nao se entusiasmam com as > questoes que tipicamente caem na maioria dos vestibulares brasileiros, > triviais e rotineiras. > > Dar a esta lista o carater de tira-duvidas de vestibulares e > descaracteriza-la, desviando-a de seu objetivo original... Mas compete a > todos nos - e nao somente ao Prof Nicolau - cuidar para que este caracter > olimpico seja o preponderante ! > > Nao estou dizendo que nao se deve propor uma questao que caiu em algum > vestibular. Quem pode dizer o que se deve ou nao fazer e o Moderador. Mas a > minha consciencia me diz que tenho uma parcela de responsabilidade com a > qualidade daquilo de que participo e a fidelidade que tenho a ela me obrigou > a dizer isso ... > > Pouco ! Porem, com qualidade ! > > >From: João Gilberto Ponciano Pereira > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > >To: "'obm-l@mat.puc-rio.br'" > >Subject: RE: [obm-l] Tres belos problemas > >Date: Tue, 11 Feb 2003 16:38:08 -0300 > > > >2) Em uma reuniao existem exatamente 201 pessoas de > >5 nacionalidades diferentes. Sabe-se que em cada grupo de 6 pessoas, ao > >menos duas tem a mesma idade. Demonstrar que existem ao menos 5 pessoas do > >mesmo pais, da mesma idade e do mesmo sexo. > > > >Primeiramente podemos distribuir todas as pessoas em apenas 5 grupos de > >idade, pois se tivermos 6 grupos, não vale a afirmação "Sabe-se que em cada > >grupo de 6 pessoas, ao menos duas tem a mesma idade". > > > >Basta utilizar sucessivamente o teorema da casa dos pombos... Ou seja, das > >201, sabemos que existe um grupo de 51 pessoas com a mesma idade. Dessas, > >sabemos que existe um grupo de 11 pessoas do mesmo país. Dessas, 6 tem o > >mesmo sexo. > > > >3) Achei o mais interessante... Vamos dividir o retângulo em 12 quadrados > >de > >lado 1 (4x3). Agora pintamos os quadrados de preto e branco, como um > >tabuleiro de xadrez. Se tivermos dois pontos na mesma "casa", o problema > >está resolvido, pois a distância máxima seria sqrt(2). Se tivermos pontos > >em > >casas vizinha, o problema também está resolvido, pois a distância máxima > >seria sqrt(5). Teria que enrolar mais, mas o fato é que os pontos caem ou > >todos em casas brancas ou todos em casas pretas. O fato é que existe um > >quadrado 3x3 que contém 5 pontos, e novamente pela casa dos pombos, pelo > >menos 1 quadrado 1.5 x 1.5 contém 2 ou mais pontos, cuja distância neste > >caso é inferior a sqrt(4.5) > > > >-----Original Message----- > >From: Paulo Santa Rita [mailto:p_ssr@hotmail.com] > >Sent: Tuesday, February 11, 2003 1:59 PM > >To: obm-l@mat.puc-rio.br > >Subject: [obm-l] Tres belos problemas > > > > > >Ola Pessoal, > > > >Seguem abaixo tres problemas : > > > >1) Um quadrado e um triangulo estao circunscritos a um circulo de lado > >unitario. Prove que, qualquer que seja a posicao do quadrado e do > >triangulo, > > > >a area comum aos dois e maior que 17/5. E possivel afirmar que ela e maior > >que 7/2 ? > > > >2) ( Olimpiada Espanhola ) Em uma reuniao existem exatamente 201 pessoas de > >5 nacionalidades diferentes. Sabe-se que em cada grupo de 6 pessoas, ao > >menos duas tem a mesma idade. Demonstrar que existem ao menos 5 pessoas do > >mesmo pais, da mesma idade e do mesmo sexo. > > > >3) ( Olimpiada Russa ) Na regiao delimitada por um retangulo de largura 4 e > >altura 3 sao marcados 6 pontos. Prove que existe ao menos um par destes > >pontos cuja distancia entre eles nao e maior que Raiz_Quad(5). > > > >Estes problemas nao precisam de sugestao. > > > >Um Grande Abraco a Todos ! > >Paulo Santa Rita > >3,1455,110203 > > > > > > > > > >_________________________________________________________________ > >MSN Messenger: converse com os seus amigos online. > >http://messenger.msn.com.br > > > >========================================================================= > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >O administrador desta lista é > >========================================================================= > >========================================================================= > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >O administrador desta lista é > >========================================================================= > > > _________________________________________________________________ > MSN Messenger: converse com os seus amigos online. > http://messenger.msn.com.br > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 11:31:02 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA20000 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 11:29:31 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA19990 for ; Wed, 12 Feb 2003 11:29:25 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.224]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1CDRhq01902 for ; Wed, 12 Feb 2003 11:27:43 -0200 Message-ID: <006301c2d2a3$6e434600$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: Subject: Re: [obm-l] Date: Wed, 12 Feb 2003 11:31:27 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2773 Lines: 87 Caro Igor: 1) Leve em conta que i = exp( i * (Pi/2 + 2*k*Pi) ) ==> i^i = exp( i * (Pi/2 + 2*k*Pi) )^i = exp(-Pi/2 + i*2*k*Pi) = exp(-Pi/2) Interessante, não? É por causa de pequenos fatos como este que eu gosto de matemática. 2) Para provar a sua igualdade, basta uma calculadora com precisão suficiente. Este assunto tem várias ramificações surpreendentes. Por exemplo, o fato de exp(Pi*raiz(163)) ser "quase" inteiro tem a ver com o fato de 163 ser o maior inteiro N tal que o anel Z[raiz(-N)] é um domínio de fatoração única. Também está relacionado com o fato de o polinômio p(x) = x^2 + x + 41 produzir primos para valores de x desde 0 até 39 (repare que o discriminante (delta) é igual a 1^2 - 4*1*41 = -163). 3) Existe um livro do Eduardo Wagner chamado "Construções Geométricas" publicado, se não me engano, pela SBM. Acho que é um ótimo ponto de partida. Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "basketboy_igor" To: Sent: Tuesday, February 11, 2003 11:33 PM Subject: [obm-l] > "Life is good for only two things, discovering > mathematics and teaching mathematics". > - Siméon Poisson > > > > 1°)Existe algum valor p/ i^i, ou seja, sqrt(-1)^sqrt(-1? > > 2°)i)Gostaria de ser agraciado, se possível, com > informações sobre a grande influência do matemático > indiano Srinivasa Aiyangar Ramanujan nessa nossa área > das exatas, pricipalmente teoria dos números. > ii) Como eu provo que e^[PI*sqrt(163)] é igual a > 262537412640768743,9999999999925, ou seja, quase o > inteiro 262537412640768744. > > 3°) Alguém, entre os caros colegas, poderia, por > obséquio, fornecer gentilmente informações sobre desenho > geométrico, como figuras, propriedades, teoremas, métodos > e, principalmente, boas questões? > > > > > "omnia apud me mathematica fiunt". (With me everything > turns into mathematics). > - Descartes, René (1596-1650) > > > > > > > > __________________________________________________________________________ > E-mail Premium BOL > Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. 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Inicialmente, temos: dW/dt =3D V Al=E9m disso: Volume de =E1gua dentro do cone =3D Volume de cone - Volume de um cone = com a base coincidente com a superf=EDcie da =E1gua. W =3D (1/3) * Pi * R^2 *H - (1/3) * Pi * (R*(H-Y)/H)^2 * (H-Y) = =3D=3D> W =3D (1/3) * Pi * R^2 * [ H - (H-Y)^3/H^2 ] =3D=3D> dW/dY =3D Pi * R^2 * (H-Y)^2 / H^2 dW/dt =3D dW/dY * dY/dt =3D=3D> =20 dY/dt =3D (dW/dt) / (dW/dY) =3D V / [ Pi * R^2 * (H-Y)^2 / H^2 ] = =3D=3D> dY/dt =3D ( V * H^2 ) / ( Pi * R^2 * (H-Y)^2 ) =3D velocidade de subida = da =E1gua. Mas voc=EA quer a acelera=E7=E3o, que =E9 d^2Y/dt^2 =3D d(dY/dt)/dt. Mais uma vez, use a regra da cadeia: d(dY/dt)/dt =3D d(dY/dt)/dY * = dY/dt=20 Daqui pra frente =E9 s=F3 um exerc=EDcio de deriva=E7=E3o... Espero que isso ajude. Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Igor Castro=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Tuesday, February 11, 2003 11:50 PM Subject: [obm-l] D=FAvida familiar Caros companheiros da lista,=20 ao conversar com um dos meus cunhados ele me perguntou, sabendo pelo = meu interesse por matem=E1tica, como faria para achar a acelera=E7=E3o = com que sobe o n=EDvel de =E1gua em um cone com a ponta para cima se = come=E7armos a enche-lo de =E1gua em uma determinada vaz=E3o V e sendo = raio inferior do cone R e altura H. Pensei bastante e n=E3o consegui = desenvolver nada =FAtil. O problema ele criou na hora, ent=E3o queria = saber: Tem solu=E7=E3o? Qual? Caso positivo, os dados da Vaz=E3o, da altura e do Raio s=E3o = suficientes? Bem, agrade=E7o desde j=E1 e espero que o assunto n=E3o esteja muito = off-topic por se tratar mais de f=EDsica do que matem=E1tica. ------=_NextPart_000_0071_01C2D28C.BD997380 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Caro Igor:
 
Voc=EA precisa uma f=F3rmula que = relacione a altura da=20 =E1gua (Y) com o volume (W - j=E1 que V =E9 vaz=E3o) de =E1gua dentro do = cone.
 
Inicialmente, temos: dW/dt =3D = V
 
Al=E9m disso:
Volume de =E1gua dentro do cone =3D = Volume de cone -=20 Volume de um cone com a base coincidente com a superf=EDcie da = =E1gua.
 
W  =3D  (1/3) * Pi * R^2 = *H   -=20   (1/3) * Pi * (R*(H-Y)/H)^2 * (H-Y)  = =3D=3D>
W  =3D  (1/3) * Pi * R^2 * [ = H =20 -  (H-Y)^3/H^2 ]  =3D=3D>
 
dW/dY  =3D  Pi * R^2 * = (H-Y)^2 /=20 H^2
 
dW/dt =3D dW/dY * dY/dt  = =3D=3D> =20
dY/dt  =3D  (dW/dt) / = (dW/dY)  =3D =20 V / [ Pi * R^2 * (H-Y)^2 / H^2 ]  =3D=3D>
 
dY/dt =3D ( V * H^2 ) / ( Pi * R^2 * = (H-Y)^2 ) =3D=20 velocidade de subida da =E1gua.
 
Mas voc=EA quer a acelera=E7=E3o, que = =E9 d^2Y/dt^2 =3D=20 d(dY/dt)/dt.
 
Mais uma vez, use a regra da = cadeia: =20 d(dY/dt)/dt =3D d(dY/dt)/dY * dY/dt =
 
Daqui pra frente =E9 s=F3 um = exerc=EDcio de=20 deriva=E7=E3o...
 
Espero que isso ajude.
 
Um abra=E7o,
Claudio.
 
 
 
 
 
----- Original Message -----
From:=20 Igor = Castro=20
Sent: Tuesday, February 11, = 2003 11:50=20 PM
Subject: [obm-l] D=FAvida = familiar

Caros companheiros da lista, =
ao conversar com um dos meus cunhados = ele me=20 perguntou, sabendo pelo meu interesse por matem=E1tica, como faria = para achar a=20 acelera=E7=E3o com que sobe o n=EDvel de =E1gua em um = cone com a=20 ponta para cima se = come=E7armos a enche-lo=20 de =E1gua em uma determinada vaz=E3o V e sendo raio inferior = do cone R e=20 altura H. Pensei bastante e n=E3o consegui desenvolver nada = =FAtil.  O=20 problema ele criou na hora, ent=E3o queria saber:
Tem solu=E7=E3o? Qual?
Caso positivo, os dados da Vaz=E3o,=20 da altura e do Raio s=E3o suficientes?
Bem, agrade=E7o desde j=E1 e espero = que o assunto n=E3o=20 esteja muito off-topic por se tratar mais de f=EDsica do que=20 matem=E1tica.
------=_NextPart_000_0071_01C2D28C.BD997380-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 11:57:17 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA21274 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 11:55:44 -0200 Received: from hotmail.com (f63.sea2.hotmail.com [207.68.165.63]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA21261 for ; Wed, 12 Feb 2003 11:55:38 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Wed, 12 Feb 2003 05:53:43 -0800 Received: from 200.216.62.82 by sea2fd.sea2.hotmail.msn.com with HTTP; Wed, 12 Feb 2003 13:53:43 GMT X-Originating-IP: [200.216.62.82] From: "Paulo Santa Rita" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Tres belos problemas Date: Wed, 12 Feb 2003 13:53:43 +0000 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 12 Feb 2003 13:53:43.0990 (UTC) FILETIME=[2823DD60:01C2D29E] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 9491 Lines: 260 Ola Salvador e demais colegas desta lista ... OBM-L, Valeu Salvador ! Voce esta pressupondo que a expressao entre parenteses e um numero natural. De fato e. Eu esqueci de acrescentar ao enunciado de que a PA e formada de numeros natural. As "autoridades brasileiras" estao discutindo muito, atualmente, sobre a reforma da previdencia. Alegam que ha um imenso deficit anual em razao principalmente do fato do funcionalismo publico ter direito a se aposentar com o ultimo salario que recebia. Afirmam que o valor arrecadado mensalmente do pessoal da ativa e muito inferior ao total que deve ser pago aos aposentados. Que imensa sandice ! Claramente que o que cada aposentado deve receber mensalmente e o fruto da poupanca compusoria a que ele foi obrigado a fazer ao longo de 30 ou 35 anos, descontado regiamente todo mes do seu salario e gerido pelo governo. Nao e o que se arrecada com o pessoal da ativa que deve pagar os aposentados, e a poupanca particular que o aposentado compulsoriamente fez que lhe garante receber a sua aposentadoria. A contribuicao do pessoal da ativa e para garantir a aposentadoria futura deles, nao para pagar aposentado. PROBLEMA : Suponha que todo mes e descontado compulsoriamente de um trabalhor 10% do seu salario e que o empregador contribua tambem com 10%( sistema bi-partide ). Suponha que esses 20% ( geridos pelo governo ) sao aplicados juros de 0.5% ao mes, que sao capitalizados ( A correcao monetaria e um direito. Pode ser desconsiderada para este calculo ). Qual a quantidade minima de anos que o trabalhador deve contribuir para que ao fim desse periodo ele possa receber durante 20 anos o valor integral de seu ultimo salario ? Um Abraco Paulo Santa Rita 4,1150,120203 >From: Salvador Addas Zanata >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: obm-l@mat.puc-rio.br >Subject: RE: [obm-l] Tres belos problemas Date: Wed, 12 Feb 2003 11:12:43 >-0200 (EDT) > > > > >2) > >Suponha que a PA tenha primeiro termo a e razao q: > > >b^2=a+q.n > > >(b+m.q)^2=b^2+2.b.m.q+m^2.q^2=a+q(n+2.b.m+m^2.q) > > > >Abraco, > >Salvador > > >On Tue, 11 Feb 2003, Paulo Santa Rita wrote: > > > Ola Joao Gilberto e demais > > colegas desta lista ... OBM-L, > > > > Muito Bom. > > > > Vejam como a aplicacao inteligente do principio das casas dos pontos > > resolveu o problema dois. O esboco de solucao do problema 3 e >satisfatorio, > > em minha opiniao. > > > > E quanto ao primeiro problema ? E criacao minha e de forma alguma e uma > > questao dificil. Apenas exige um raciocinio original ... > > > > Aqui vai duas outras questoes olimpicas, simples, de rapida resolucao, >mas > > que nao deixam de ter os seus encantos : > > > > > > > > 1) Caracterize todas as PA's nas quais qualquer soma de um numero >qualquer > > de termos consecutivos e ainda um termo desta PA. > > > > 2)( Olimpiada Argentina ) Mostre que se numa PA ha um quadrado perfeito, > > enta0 existirao infinitos outros quadrado perfeitos nesta PA. > > > > > > > > Um Grande abraco a Todos > > Paulo Santa Rita > > 3,1731,110203 > > > > EM TEMPO : Esta lista, A "Nossa Lista", foi originalmente criada pelo >Prof > > Nicolau Saldanha com o objetivo de ser uma LISTA DE DISCUSSAO DE >PROBLEMAS > > DE MATEMATICA OLIMPICA. Repetindo : MATEMATICA OLIMPICA ! > > > > E portanto um forum adeguado, sobretudo, aqueles que se preparam para as > > Olimpiadas de Matematica e para as pessoas amantes e entusiasmadas com >este > > Movimento Olimpico. Estas pessoas, em geral, nao se entusiasmam com as > > questoes que tipicamente caem na maioria dos vestibulares brasileiros, > > triviais e rotineiras. > > > > Dar a esta lista o carater de tira-duvidas de vestibulares e > > descaracteriza-la, desviando-a de seu objetivo original... Mas compete a > > todos nos - e nao somente ao Prof Nicolau - cuidar para que este >caracter > > olimpico seja o preponderante ! > > > > Nao estou dizendo que nao se deve propor uma questao que caiu em algum > > vestibular. Quem pode dizer o que se deve ou nao fazer e o Moderador. >Mas a > > minha consciencia me diz que tenho uma parcela de responsabilidade com a > > qualidade daquilo de que participo e a fidelidade que tenho a ela me >obrigou > > a dizer isso ... > > > > Pouco ! Porem, com qualidade ! > > > > >From: João Gilberto Ponciano Pereira > > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > > >To: "'obm-l@mat.puc-rio.br'" > > >Subject: RE: [obm-l] Tres belos problemas > > >Date: Tue, 11 Feb 2003 16:38:08 -0300 > > > > > >2) Em uma reuniao existem exatamente 201 pessoas de > > >5 nacionalidades diferentes. Sabe-se que em cada grupo de 6 pessoas, ao > > >menos duas tem a mesma idade. Demonstrar que existem ao menos 5 pessoas >do > > >mesmo pais, da mesma idade e do mesmo sexo. > > > > > >Primeiramente podemos distribuir todas as pessoas em apenas 5 grupos de > > >idade, pois se tivermos 6 grupos, não vale a afirmação "Sabe-se que em >cada > > >grupo de 6 pessoas, ao menos duas tem a mesma idade". > > > > > >Basta utilizar sucessivamente o teorema da casa dos pombos... Ou seja, >das > > >201, sabemos que existe um grupo de 51 pessoas com a mesma idade. >Dessas, > > >sabemos que existe um grupo de 11 pessoas do mesmo país. Dessas, 6 tem >o > > >mesmo sexo. > > > > > >3) Achei o mais interessante... Vamos dividir o retângulo em 12 >quadrados > > >de > > >lado 1 (4x3). Agora pintamos os quadrados de preto e branco, como um > > >tabuleiro de xadrez. Se tivermos dois pontos na mesma "casa", o >problema > > >está resolvido, pois a distância máxima seria sqrt(2). Se tivermos >pontos > > >em > > >casas vizinha, o problema também está resolvido, pois a distância >máxima > > >seria sqrt(5). Teria que enrolar mais, mas o fato é que os pontos caem >ou > > >todos em casas brancas ou todos em casas pretas. O fato é que existe um > > >quadrado 3x3 que contém 5 pontos, e novamente pela casa dos pombos, >pelo > > >menos 1 quadrado 1.5 x 1.5 contém 2 ou mais pontos, cuja distância >neste > > >caso é inferior a sqrt(4.5) > > > > > >-----Original Message----- > > >From: Paulo Santa Rita [mailto:p_ssr@hotmail.com] > > >Sent: Tuesday, February 11, 2003 1:59 PM > > >To: obm-l@mat.puc-rio.br > > >Subject: [obm-l] Tres belos problemas > > > > > > > > >Ola Pessoal, > > > > > >Seguem abaixo tres problemas : > > > > > >1) Um quadrado e um triangulo estao circunscritos a um circulo de lado > > >unitario. Prove que, qualquer que seja a posicao do quadrado e do > > >triangulo, > > > > > >a area comum aos dois e maior que 17/5. E possivel afirmar que ela e >maior > > >que 7/2 ? > > > > > >2) ( Olimpiada Espanhola ) Em uma reuniao existem exatamente 201 >pessoas de > > >5 nacionalidades diferentes. Sabe-se que em cada grupo de 6 pessoas, ao > > >menos duas tem a mesma idade. Demonstrar que existem ao menos 5 pessoas >do > > >mesmo pais, da mesma idade e do mesmo sexo. > > > > > >3) ( Olimpiada Russa ) Na regiao delimitada por um retangulo de largura >4 e > > >altura 3 sao marcados 6 pontos. Prove que existe ao menos um par destes > > >pontos cuja distancia entre eles nao e maior que Raiz_Quad(5). > > > > > >Estes problemas nao precisam de sugestao. > > > > > >Um Grande Abraco a Todos ! > > >Paulo Santa Rita > > >3,1455,110203 > > > > > > > > > > > > > > >_________________________________________________________________ > > >MSN Messenger: converse com os seus amigos online. > > >http://messenger.msn.com.br > > > > > > >========================================================================= > > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > >O administrador desta lista é > > > >========================================================================= > > > >========================================================================= > > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > >O administrador desta lista é > > > >========================================================================= > > > > > > _________________________________________________________________ > > MSN Messenger: converse com os seus amigos online. > > http://messenger.msn.com.br > > > > >========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > O administrador desta lista é > > >========================================================================= > > > > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= _________________________________________________________________ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 12:18:08 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA22308 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 12:15:52 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA22304 for ; Wed, 12 Feb 2003 12:15:47 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.229]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1CEE5q04901 for ; Wed, 12 Feb 2003 12:14:05 -0200 Message-ID: <008f01c2d2a9$e92335a0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <006b01c2d26f$67532420$0c01a8c0@mshome.net> Subject: Re: [obm-l] Alguns problemas interessantes Date: Wed, 12 Feb 2003 12:17:50 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1989 Lines: 59 Caro Artur: Fiz algo nos três primeiros. > > 1) mostre que uma seqüência de números reais é simultaneamente uma PG e > uma PA se, e somente se, a seqüência for constante. Uma sequência constante é uma PA de diferença zero (PA(0)) e PG de razão 1 (PG(1)). Suponhamos que A(n) seja ao mesmo tempo PA e PG. Para todo n: A(n+1) = A(n) + D e A(n+1) = Q*A(n) Se Q = 1, então A(n+1) = A(n) ==> D = 0 ==> A(n) é PA(0) e PG(1). Se Q <> 1 então: A(n) + D = Q*A(n) ==> A(n) = D/(Q-1) independentemente de n ==> D/(Q-1) = A(n+1) = Q*A(n) = Q*D/(Q-1) ==> D = Q*D ==> Q = 1 ou D = 0. Como supusemos que Q <> 1, teremos D = 0. Mas D = 0 ==> A(n+1) = A(n) ==> Q = 1 ==> contradição ==> Logo, Q=1 e A(n) só pode ser PA(0) e PG(1). > > 2) Determine o termo geral de uma PA na qual a relação entre a soma dos > n primeiros termos e soma dos n termos seguintes independe de n > A = primeiro termo; D = diferença ==> S(1 ==> n) = S1 = n*A + n*(n-1)*D/2 S(n+1 ==> 2n) = S2 = n*(A+n*D) + n*(n-1)*D/2 S1 / S2 = [ A + (n-1)*D/2 ] / [ A + (3n-1)*D/2 ] independe de n n = 1 ==> S1 / S2 = A/(A+D) n = 3 ==> S1 / S2 = (A+D)/(A+4*D) A/(A+D) = (A+D)/(A+4*D) ==> 2*A*D = D^2 ==> D = 0 ou D = 2*A Termo geral: A(n) = A ou A(n) = A + 2*A*(n-1) > 3) Mostre que toda seqüência de números reais contém uma subsequência > monotônica > Essa é uma das demonstrações que eu mais gosto. Como eu já conheço, vou só dar uma sugestão: Chame um termo X(n) de ESPECIAL se ele for maior do que todos os termos subsequentes. Em seguida, considere os casos: 1. Existe um número finito de termos ESPECIAIS; 2. Existem infinitos termos ESPECIAIS. Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 12:50:40 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA23792 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 12:48:38 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA23786 for ; Wed, 12 Feb 2003 12:48:34 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.229]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1CEkqq07311 for ; Wed, 12 Feb 2003 12:46:52 -0200 Message-ID: <009d01c2d2ae$7d434be0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Pol=EDgono_Convexo_no_Plano_Complexo?= Date: Wed, 12 Feb 2003 12:50:37 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 2419 Lines: 60 Caro Igor: Achei uma solução razoavelmente intuitiva para este problema: > "Let C1, C2, ... , Cn and Z be complex numbers such that > 1/(Z -C1) + 1/(Z -C2) + .. + 1/(Z -Cn) = 0. Prove that > if the numbers C1, C2, ... , Cn are represented in the > complex plane by the vertices of a convex n-gon then the > number Z is represented by a point lying inside that n- > gon." A idéia é supor que Z não é interior ao polígono e tentar chegar a uma contradição. Suponha que Z não seja interior ao polígono. Então, de duas uma: 1. Z é externo ao polígono; ou 2. Z pertence alguma aresta do polígono (mas não é um dos vértices, uma vez que, nesse caso Z = Ck, para algum k e, 1/(Z-Ck) não estaria definido). Como o polígono é convexo, no caso (1) será possível achar uma reta que contenha Z mas que não intercepte o polígono (em outras palavras, o polígono estará inteiramente contido num dos semi-planos determinados pela reta). Tome esta reta. No caso (2), tome a reta suporte da aresta que contém Z. Nesse caso, o restante do polígono (excetuando-se a tal aresta)estará inteiramente contido num dos semi-planos determinados pela reta. Em seguida, efetue uma translação dos eixos coordenados de forma que Z passe a coincidir coma origem do plano complexo. As novas coordenadas dos vértices serão: Dk = Ck - Z k =1, ..., n Uma vez feita a translação, efetue uma rotação dos eixos em torno da origem, de modo que o polígono (ou no caso da reta conter uma aresta, do restante do polígono) fique inteiramente contido no semi-plano real positivo (quadrabntes 1 e 4). Se a rotação foi de um ângulo "theta", as novas coordenadas dos vértices serão: Ek = Dk*exp(i*Theta) k = 1, ..., n . Agora, observe que SOMA 1/(Z-Ck) = 0 se e somente se SOMA 1/Ek = 0. Os Ek's tem todos parte real positiva (se o eixo imaginário contiver uma aresta, então dois deles terão parte real = 0, mas isso não afeta a análise que se segue). Portanto, 1/Ek também terá parte real positiva. Mas, nesse caso, SOMA 1/Ek terá parte real positiva ==> Contradição Logo, Z tem de ser interior ao polígono. Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 13:04:09 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA24294 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 13:02:47 -0200 Received: from sporus.bol.com.br (sporus.bol.com.br [200.221.24.23]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA24290 for ; Wed, 12 Feb 2003 13:02:43 -0200 Received: from bol.com.br (200.221.24.119) by sporus.bol.com.br (5.1.071) id 3E25BF46008A82F0 for obm-l@mat.puc-rio.br; Wed, 12 Feb 2003 13:04:19 -0200 Date: Wed, 12 Feb 2003 13:02:11 -0200 Message-Id: Subject: [obm-l] As 3 identidades de Ramanujan MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain;charset="iso-8859-1" From: "basketboy_igor" To: obm-l@mat.puc-rio.br X-XaM3-API-Version: 2.4 R3 ( B4 ) X-SenderIP: 200.253.251.116 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id NAA24291 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1028 Lines: 33 1°) Obrigado Eduardo mas eu já conhecia as três identidades e o site. *Identidade: -> [(2^1/3) -1]^1/3 = (1/9)^1/3 -(2/9)^1/3 + (4/9)^1/3 -> 5^1/3 - 4^1/3)^1/2 = (1/3)*(2^1/3 + 20^1/3 - 25^1/3) -> [7*(20^1/3) - 19]^1/6 = (5/3)^1/3 - (2/3)^1/3 2°) Qual método foi usado ou pode ser usado para desenvolver essas 3 identidades? P.S.Quando eu entrei no site http//mathword.wolfram.com e procurei assunto sobre Ramanujan, achei uns produtórios e somatórios, integrais e assim por diante, isso eu não compreendi alguns. __________________________________________________________________________ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. 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Estou tentando resolver uma questão que me pareceu estranha: A equação (2x - a)/(k - b) + (x - a)/(k - b) = 1, na ariavel x, com k<>0, admite x1, x2 e x3 como raízes x1, x2 e x3 pertencem a R. Então é correto afirmar que: a) a + b= - k b) a + b =k c) a + b =k/2 d) a - b = - k/2 e) a - b= 2k Sinceramente não consigo ver que essa equação tenha 3 respostas dados a, b e k. Abraços, Rafael. _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 13:16:34 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA24790 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 13:14:58 -0200 Received: from sporus.bol.com.br (sporus.bol.com.br [200.221.24.23]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA24777 for ; Wed, 12 Feb 2003 13:14:53 -0200 Received: from bol.com.br (200.221.24.119) by sporus.bol.com.br (5.1.071) id 3E25BF46008A920E for obm-l@mat.puc-rio.br; Wed, 12 Feb 2003 13:16:29 -0200 Date: Wed, 12 Feb 2003 13:14:22 -0200 Message-Id: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?q?Geometria_Plana=2C_Propriedade_e_C=E1lculo?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain;charset="iso-8859-1" From: "basketboy_igor" To: obm-l@mat.puc-rio.br X-XaM3-API-Version: 2.4 R3 ( B4 ) X-SenderIP: 200.253.251.116 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id NAA24779 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1734 Lines: 62 1°)Um triângulo ABC tem lados medindo a, b, c. Tangentes ao círculo inscrito são construídas paralelas aos lados. Cada tangente forma um triângulo com os dois outros lados do triângulo e um círculo é inscrito em cada um dos três triângulos. Encontrar a área total dos quatro círculos inscritos. 2°) Achei essa propriedade interessante e resolvi repassa r: (n-1)(n-2)/2 + n(n-1)/2 = (n-1)² [(n-1)/2]*(n -2 +n) = (n-1)² [(n-1)/2]*(2n -2) = (n-1)² [(n-1)/2]*2(n-1) = (n-1)² (n-1)*(n-1) = (n-1)² (n-1)=(n-1) 3°) Cálculo I I)Construa o gráfico da função f(x)= sech(x) (secante hiperbólica) Secante hiperbólica é o inverso do cosseno hiperbólico cosseno hiperbólico = (e^x + 1/e^x)/2 I) Dada a função x^2 + xy + y^2 = 1 calcule o ponto mais próximo da origem. "Os que afirmam que "Uma fatalidade cega produziu todos os efeitos que vemos no mundo", falaram um grande absurdo pois existe absurdo maior do que uma fatalidade cega ter produzido seres inteligentes?". - Monstequieu "It is not once nor twice but times without number that the same ideas make their appearance in the world". - Aristotle (ca 330 BC)"On The Heavens", in T. L. Heath Manual of Greek Mathematics, Oxford: Oxford University Press, 1931. __________________________________________________________________________ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. 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Foi mentor de David Hilbert e Hermann Minkowski. A única referência que eu conheço para "número de Hurwitz" é este problema de se provar que {(3+4i)/5]^n <> 1 para todo n natural. Uma solução (diferente mas relacionada à do Nicolau) baseia-se no fato de que: z = (3+4i)/5 = (2+i)/(2-i). Logo, o problema reduz-se a provar que, para todo n natural, (2+i)^n <> (2-i)^n. Considere a seguinte sequência: A(n) = (1/(2i))*[(2+i)^n - (2-i)^n]. Inicialmente, vou tentar achar uma sequência recorrente de inteiros cujo termo geral seja justamente este A(n). ( o coeficiente 1/(2i) não veio simplesmente do nada - é simplesmente a forma de garantir que os A(n) sejam inteiros e que A(1) = 1 - obviamente, eu só percebi a conveniência disso após algum esforço) 2+i e 2-i são raízes de p(x) = x^2 - 4x + 5, o qual, por sua vez, é o polinômio característico da seguinte recorrência: B(n) = 4*B(n-1) - 5*B(n-2). Fazendo B(1) = 1 e B(2) = 4, achamos que B(n) = A(n) para todo n. Agora, vou supor que, para algum n, tenhamos (2+i)^n = (2-i)^n e tentar obter uma contradição. Se tal n existe, então, teremos A(n) = 0 ==> 4*A(n-1) - 5*A(n-2) = 0 ==> 4*A(n-1) = 5*A(n-2) ==> A(n-1) é divisível por 5 (***) Agora, basta provar que, para todo k, MDC( A(k) , 5 ) = 1. Isso sai por indução: k = 1 ==> A(k) = 1 e MDC(1,5) = 1. Suponhamos que para 1 <= k < p, tenhamos MDC( A(k) , 5 ) = 1. Então: A(p) = 4*A(p-1) - 5*A(p-2) ==> MDC( A(p) , 5 ) = MDC ( 4*A(p-1) - 5*A(p-2) , 5 ) = = MDC( 4*A(p-1) , 5 ) = 1, uma vez que MDC(4,5) = MDC(A(p-1), 5) = 1 (pela hipótese de indução) Logo, para todo k, temos MDC( A(k), 5 ) = 1. Mas (***) nos diz que 5 divide A(n-1) ==> MDC( A(n-1) , 5 ) = 5 ==> contradição. Logo, não pode ser A(n) = 0, ou seja, para todo n, A(n) <> 0 ==> para todo n, (2+i)^n <> (2-i)^n ==> para todo n, [(3+4i)/5]^n <> 1. ************* OBS: este problema pode ser generalizado: Dados inteiros p e q, com MDC(p,q) = 1, teremos que, para todo natural n, (p+qi)^n <> (p-qi)^n. Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Nicolau C. Saldanha" To: Sent: Wednesday, February 12, 2003 9:22 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Número de Hurwist > On Tue, Feb 11, 2003 at 09:49:21PM -0300, DexX wrote: > > Olá Nicolau e colegas da lista > > > > Estava navegando pela iNET, procurando alguns tópicos de matemática quando > > me deparei com o seguinte trecho de uma mensagem antiga: > > > > "Lembro-me do vestibular do IME de 1981, o Nicolau foi o único que resolveu > > uma certa questão chamada de Número de Hurwist, acho que é assim que escreve > > (números complexos)." > > > > Me espantou o termo, Número de Hurwist, nunca o ouvi. Procurei pela internet > > algo sobre, e apenas me deparei com esta próprica mensagem. Mais nada... > > > > Por isso mando esta mensagem. Gostaria de saber se este nome está correto > > (pois o próprio autor da mensagem duvidou desta grafia), e se fosse > > possível, ver esta tal questão com alguma explicação sobre estes números :-) > > Eu também não sei o que é isso, nem se o nome está certo. > Se esta história tiver base na prova do IME que eu fiz, > a questão deve ser mais ou menos a seguinte: > > Dado z = (3+4i)/5, > prove que não existe nenhum inteiro positivo n com z^n = 1. > > Eu fiz definindo z^n = (a_n + b_n i)/5^n e observando algum tipo de > congruência que garantia que b_n é diferente de 0 para n > 0. > > []s, N. > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 14:28:48 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA28183 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 14:27:26 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA28152 for ; Wed, 12 Feb 2003 14:27:20 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.224]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1CGPcq13534 for ; Wed, 12 Feb 2003 14:25:38 -0200 Message-ID: <00bb01c2d2bc$4a64cd80$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030212150640.19211.qmail@web14309.mail.yahoo.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_rela=E7=E3o_entre_ra=EDzes?= Date: Wed, 12 Feb 2003 14:29:18 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1789 Lines: 59 Caro Rafael: Do jeito que está escrita, é uma equação do 1o. grau, com uma única raiz. Somando os dois termos, a equação fica: (3x - 2a)/(k - b) = 1 ==> 3x - 2a = k - b ==> x = (2a + k - b)/3 e não há nenhuma relação aparente entre a, b e k. Acho que o enuncido está errado. Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Rafael" To: "OBM" Sent: Wednesday, February 12, 2003 12:06 PM Subject: [obm-l] relação entre raízes > Olá pessoal! > > Estou tentando resolver uma questão que me pareceu > estranha: > > A equação (2x - a)/(k - b) + (x - a)/(k - b) = 1, na > ariavel x, com k<>0, admite x1, x2 e x3 como raízes > x1, x2 e x3 pertencem a R. Então é correto afirmar > que: > a) a + b= - k > b) a + b =k > c) a + b =k/2 > d) a - b = - k/2 > e) a - b= 2k > > Sinceramente não consigo ver que essa equação tenha 3 > respostas dados a, b e k. > > Abraços, > > Rafael. > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. > http://br.busca.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 14:39:28 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA28558 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 14:37:50 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA28550 for ; Wed, 12 Feb 2003 14:37:44 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1CGa1q14240 for ; Wed, 12 Feb 2003 14:36:01 -0200 Message-ID: <00ea01c2d2bd$bd596700$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030211215814.47285.qmail@web40909.mail.yahoo.com> Subject: Re: [obm-l] Meio offtopic Date: Wed, 12 Feb 2003 14:39:43 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_00E5_01C2D2A4.94E80BA0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 5521 Lines: 142 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_00E5_01C2D2A4.94E80BA0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Caro Bruno: N=E3o sou pesquisador nem estou na mesma categoria de um Nicolau ou de = um Morgado, mas tem dias em que me sinto exatamente como voc=EA = descreveu. Ou seja, voc=EA n=E3o est=E1 sozinho. Coragem! Ali=E1s, se matem=E1tica fosse sempre f=E1cil, j=E1 teria = perdido a gra=E7a.... Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Bruno Lima=20 To: OBM lISTA=20 Sent: Tuesday, February 11, 2003 6:58 PM Subject: [obm-l] Meio offtopic Sei que isso que vou perguntar foge uma pouco do objetivo da lista = mas... Queria saber, em especial daqueles que s=E3o pesquisadores realmente, = tipo Nicolau e Morgado, se vcs passam por aqueles dias que n=E3o sai = nada e vc se sente totalmente idiota... Vou dar um exemplo que acontece = comigo, estou fazendo ver=E3o em an=E1lise real (mas isso acontece com = qualquer outra materia), estudando o livro do Elon... de vez enquando eu = me empolgo e saio lendo sem a menor dificuldade, entendo tudo como se = estivesse lendo uma receita de bolo, os exemplos s=E3o naturais e = resolvo os problemas numa boa. Por=E9m, tem aqueles dias que o cara = define uma coisa e logo no primeiro exemplo ja fico travado, ent=E3o eu = procuro sair, dar um arejada na cabe=E7a e tento outra vez; n=E3o = adianta nada me embanano mais ainda, parece que as id=E9ias n=E3o = engatam; quando vejo, passou o dia inteiro e n=E3o fiz nada. O pior =E9 = que esses dias est=E3o se tornando cada vez mais frequentes. Alguem mais aqui tem dessas coisas ??? -------------------------------------------------------------------------= ----- Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o = Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_00E5_01C2D2A4.94E80BA0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Caro Bruno:
 
N=E3o sou pesquisador nem estou na = mesma categoria de=20 um Nicolau ou de um Morgado, mas tem dias em que me sinto exatamente = como=20 voc=EA descreveu. Ou seja, voc=EA n=E3o est=E1 = sozinho.
 
Coragem! Ali=E1s, se matem=E1tica fosse = sempre f=E1cil,=20 j=E1 teria perdido a gra=E7a....
 
Um abra=E7o,
Claudio.
 
----- Original Message -----
From:=20 Bruno=20 Lima
Sent: Tuesday, February 11, = 2003 6:58=20 PM
Subject: [obm-l] Meio = offtopic

Sei que isso que vou perguntar foge uma pouco do objetivo da lista=20 mas...

Queria saber, em especial daqueles que s=E3o pesquisadores = realmente, tipo=20 Nicolau e Morgado, se vcs passam por aqueles dias que n=E3o sai = nada e vc=20 se sente totalmente idiota... Vou dar um exemplo que acontece comigo,=20 estou fazendo ver=E3o em an=E1lise real (mas isso acontece com = qualquer outra=20 materia), estudando o livro do Elon... de vez enquando eu me empolgo e = saio=20 lendo sem a menor dificuldade, entendo tudo como se estivesse lendo = uma=20 receita de bolo, os exemplos s=E3o naturais e resolvo os problemas = numa boa.=20 Por=E9m, tem aqueles dias que o cara define uma coisa e logo no = primeiro exemplo=20 ja fico travado, ent=E3o eu procuro sair, dar um arejada na cabe=E7a e = tento outra=20 vez; n=E3o adianta nada me embanano mais ainda, parece que as id=E9ias = n=E3o=20 engatam; quando vejo, passou o dia inteiro e n=E3o fiz nada. O = pior =E9 que=20 esses dias est=E3o se tornando cada vez mais frequentes.

Alguem mais aqui tem dessas coisas ???


Busca Yahoo!
O = servi=E7o de=20 busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o Yahoo!=20 encontra. ------=_NextPart_000_00E5_01C2D2A4.94E80BA0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 15:07:58 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA29610 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 15:06:01 -0200 Received: from web41504.mail.yahoo.com (web41504.mail.yahoo.com [66.218.93.87]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id PAA29600 for ; Wed, 12 Feb 2003 15:05:55 -0200 Message-ID: <20030212170423.19421.qmail@web41504.mail.yahoo.com> Received: from [200.217.46.6] by web41504.mail.yahoo.com via HTTP; Wed, 12 Feb 2003 14:04:23 ART Date: Wed, 12 Feb 2003 14:04:23 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?elton=20francisco=20ferreira?= Subject: [obm-l] problema01 To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 735 Lines: 15 Artur tem um conjunto de pesos todos iguais. Se ele colocar 9 pesos num dos pratos de uma balança e, no outro prato, colocar 3 desses pesos e mais 72kg, a balança se manterá em equilíbrio. Qual é o valor de cada peso? _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 15:12:22 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA29929 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 15:10:59 -0200 Received: from web41511.mail.yahoo.com (web41511.mail.yahoo.com [66.218.93.94]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id PAA29925 for ; Wed, 12 Feb 2003 15:10:51 -0200 Message-ID: <20030212171007.88518.qmail@web41511.mail.yahoo.com> Received: from [200.217.46.6] by web41511.mail.yahoo.com via HTTP; Wed, 12 Feb 2003 14:10:07 ART Date: Wed, 12 Feb 2003 14:10:07 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?elton=20francisco=20ferreira?= Subject: [obm-l] problema02 To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 879 Lines: 23 olá pessoal da lista! resolvi este problema mais ñ bateu com o resultado do livro, vcs podem me ajudar? Se multiplicarmos a idade de regina por 3, dividirmos o produto por 9, acrescentarmos 1/7 da idade dela ao quociente, dividirmos a soma por 2 e quadruplicarmos o quociente, obteremos a idade que regina tinha há exatamente um ano. Qual a idade de regina? _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 16:19:11 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA00705 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 16:17:14 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA00701 for ; Wed, 12 Feb 2003 16:17:10 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.229]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1CIFKj19865 for ; Wed, 12 Feb 2003 16:15:20 -0200 Message-ID: <014501c2d2cb$9dbb7f60$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030212170423.19421.qmail@web41504.mail.yahoo.com> Subject: Re: [obm-l] problema01 Date: Wed, 12 Feb 2003 16:19:06 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1303 Lines: 31 9X = 3X + 72 ==> X = 12 kg. ----- Original Message ----- From: "elton francisco ferreira" To: Sent: Wednesday, February 12, 2003 2:04 PM Subject: [obm-l] problema01 > Artur tem um conjunto de pesos todos iguais. Se ele > colocar 9 pesos num dos pratos de uma balança e, no > outro prato, colocar 3 desses pesos e mais 72kg, a > balança se manterá em equilíbrio. Qual é o valor de > cada peso? > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. > http://br.busca.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 16:21:28 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA00830 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 16:20:06 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA00815 for ; Wed, 12 Feb 2003 16:20:01 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1CIIKj20067 for ; Wed, 12 Feb 2003 16:18:20 -0200 Message-ID: <014901c2d2cc$08da97e0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030212171007.88518.qmail@web41511.mail.yahoo.com> Subject: Re: [obm-l] problema02 Date: Wed, 12 Feb 2003 16:22:05 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 1554 Lines: 47 [ (3*X)/9 + X/7 ]/2 * 4 = X - 1 [ X/3 + X/7 ]*2 = X - 1 10*X/21 * 2 = X - 1 20*X/21 = X - 1 1 = X/21 ==> X = 21 anos. ----- Original Message ----- From: "elton francisco ferreira" To: Sent: Wednesday, February 12, 2003 2:10 PM Subject: [obm-l] problema02 > olá pessoal da lista! > > resolvi este problema mais ñ bateu com o resultado do > livro, vcs podem me ajudar? > > > Se multiplicarmos a idade de regina por 3, dividirmos > o produto por 9, acrescentarmos 1/7 da idade dela ao > quociente, dividirmos a soma por 2 e quadruplicarmos o > quociente, obteremos a idade que regina tinha há > exatamente um ano. Qual a idade de regina? > > > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. > http://br.busca.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 16:39:01 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA01457 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 16:37:17 -0200 Received: from hotmail.com (oe66.law10.hotmail.com [64.4.14.201]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA01453 for ; Wed, 12 Feb 2003 16:37:13 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Wed, 12 Feb 2003 10:36:42 -0800 X-Originating-IP: [64.60.139.18] From: "leandro" To: "=?iso-8859-1?Q?'Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29'?=" Cc: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?RE:_=5Bobm-l=5D_Re:_=5Bobm-l=5D_Re:_=5Bobm-l=5D_N=FAme?= =?iso-8859-1?Q?ro_de_Hurwitz?= Date: Wed, 12 Feb 2003 10:36:43 -0800 Message-ID: <001b01c2d2c5$b095c1f0$28029b9b@LeandroRecova> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook, Build 10.0.3416 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 Importance: Normal In-Reply-To: <015a01c2d2cd$7c6de260$3300c57d@bovespa.com> X-OriginalArrivalTime: 12 Feb 2003 18:36:42.0288 (UTC) FILETIME=[AFFE8B00:01C2D2C5] Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id QAA01454 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: RO Content-Length: 2634 Lines: 85 Claudio, Ficou claro sim e achei a sua solucao muito bem elaborada. Eu nao havia prestado atencao no valor de theta=2*k*pi/n. Quanto ao Hurwitz, ele aparece num curso de Teoria de Controle (Livro do Ogata por exemplo) e os seus polinomios em alguns projetos de filtros digitais (Processamento de sinais digitais) e filtros analogicos. (Espero que o Nicolau nao considere meu comentario off-topic). Leandro. -----Original Message----- From: Cláudio (Prática) [mailto:claudio@praticacorretora.com.br] Sent: Wednesday, February 12, 2003 11:32 AM To: leandro Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número de Hurwitz Caro Leandro: Veja meus comentários abaixo: ----- Original Message ----- From: "leandro" To: "'Cláudio (Prática)'" Sent: Wednesday, February 12, 2003 3:19 PM Subject: RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número de Hurwitz > Claudio, > > Nao sei se meu raciocinio esta correto, mas vamos la: > > Seja z=(3+4i)/5. Escrevendo na forma exponencial temos que > > Z = 5exp(i.theta)/5 = exp(i*theta) onde theta = arctg(4/3) <> 0. > > Portanto, fazendo z^n teremos > > Z^n = exp(i*n*theta). Supondo que exista n tal que z^n = 1, entao > teriamos que > Z^n = 1 => exp(i*n*theta) = exp(i.0) => n*theta = 0. Como Aqui está o problema: exp(i*n*theta) = 1 não implica necessariamente que theta = 0, mas sim que: n*theta = 2*k*Pi (k inteiro) ==> theta = 2*k*Pi/n theta = 0 é apenas uma das possibilidades (quando k = 0), mas pode ser que theta seja algum múltiplo racional e não nulo de 2*Pi (= (k/n)*2*Pi ) O que o problema quer é justamente que se prove que theta = arctg(4/3) não é um múltiplo racional de 2*Pi. > theta<>0, > entao restaria n=0. Ou seja, o unico valor que iria satisfazer a equacao > seria n = 0. Portanto, nao existira um inteiro positivo n > 0 tal que > satisfizesse a equacao dada. > O que você escreveu acima (n=0 é o único inteiro que faz z^n = 1) é verdade, mas faltou a prova. > Nao sei o teor do enunciado corretamente, mas supondo que eles pedissem > pra provar que nao existisse n > 0 tal que satisfizesse a equacao dada, > entao esta seria uma outra alternativa. Ou seja, o unico valor seria > n=0, o que nos sabemos que sempre iria satisfazer a equacao. > Espero ter sido claro. Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 16:42:28 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA01632 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 16:41:06 -0200 Received: from soling.fortalnet.com.br ([200.164.93.238]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA01615 for ; Wed, 12 Feb 2003 16:40:59 -0200 Received: from CemagCerver (ip-ip61.fortalnet.com.br [200.253.221.190]) by soling.fortalnet.com.br (8.12.4/8.11.6) with SMTP id h1CIXfVT027445 for ; Wed, 12 Feb 2003 15:33:42 -0300 Message-ID: <001701c2d2c6$d0f0e140$0203a8c0@CemagCerver> From: "Davidson Estanislau" To: Subject: Fw: [obm-l] problema01 Date: Wed, 12 Feb 2003 15:44:41 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2800.1106 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 874 Lines: 26 Seja x, a massa de cada peso. Teremos a seguinte situação: 9x = 3x + 72 => x = 12 kg. Davidson Estanislau -----Mensagem Original----- De: "elton francisco ferreira" Para: Enviada em: Quarta-feira, 12 de Fevereiro de 2003 14:04 Assunto: [obm-l] problema01 > Artur tem um conjunto de pesos todos iguais. Se ele > colocar 9 pesos num dos pratos de uma balança e, no > outro prato, colocar 3 desses pesos e mais 72kg, a > balança se manterá em equilíbrio. Qual é o valor de > cada peso? ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 17:31:28 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA04081 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 17:29:59 -0200 Received: from hotmail.com (oe28.law10.hotmail.com [64.4.14.85]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA04077 for ; Wed, 12 Feb 2003 17:29:55 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Wed, 12 Feb 2003 11:29:24 -0800 X-Originating-IP: [64.60.139.18] From: "leandro" To: Subject: RE: [obm-l] Meio offtopic Date: Wed, 12 Feb 2003 11:29:25 -0800 Message-ID: <000001c2d2cd$0db4b330$28029b9b@LeandroRecova> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0001_01C2D289.FF948070" X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook, Build 10.0.3416 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 Importance: Normal In-Reply-To: <00ea01c2d2bd$bd596700$3300c57d@bovespa.com> X-OriginalArrivalTime: 12 Feb 2003 19:29:24.0843 (UTC) FILETIME=[0D0623B0:01C2D2CD] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: O Content-Length: 13650 Lines: 481 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0001_01C2D289.FF948070 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Bruno, =20 Nao esquente com isso ! Isso ja deve ter acontecido com todos matematicos. Eu fiz um curso de Geometria Riemaniana no mestrado com um professor chines que nao sabia falar nem portugues e nem ingles muito bem. Foi baseado no livro do Manfredo e os exercicios sao verdadeiros teoremas. Nesses casos, nao vale a pena ficar isolado e sim se juntar com outros e buscar ajuda como nessa lista. Com certeza, algum problema desse curso de verao que voce esta fazendo alguem dessa lista ja o resolveu ou pode lhe dar uma boa dica de como sair. Como o Claudio disse, se fosse facil, nao teria graca. Todo mundo seria PhD.=20 =20 Filosofei demais. Coloque os problemas pra serem discutidos aqui. Eu ja fiz varios problemas desse livro do Elon.=20 =20 Leandro Recova.=20 =20 -----Original Message----- From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Cl=E1udio (Pr=E1tica) Sent: Wednesday, February 12, 2003 9:40 AM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Meio offtopic =20 Caro Bruno: =20 N=E3o sou pesquisador nem estou na mesma categoria de um Nicolau ou de = um Morgado, mas tem dias em que me sinto exatamente como voc=EA descreveu. = Ou seja, voc=EA n=E3o est=E1 sozinho. =20 Coragem! Ali=E1s, se matem=E1tica fosse sempre f=E1cil, j=E1 teria = perdido a gra=E7a.... =20 Um abra=E7o, Claudio. =20 ----- Original Message -----=20 From: Bruno Lima =20 To: OBM lISTA =20 Sent: Tuesday, February 11, 2003 6:58 PM Subject: [obm-l] Meio offtopic =20 Sei que isso que vou perguntar foge uma pouco do objetivo da lista mas... Queria saber, em especial daqueles que s=E3o pesquisadores realmente, = tipo Nicolau e Morgado, se vcs passam por aqueles dias que n=E3o sai nada e = vc se sente totalmente idiota... Vou dar um exemplo que acontece comigo, estou fazendo ver=E3o em an=E1lise real (mas isso acontece com qualquer outra materia), estudando o livro do Elon... de vez enquando eu me empolgo e saio lendo sem a menor dificuldade, entendo tudo como se estivesse lendo uma receita de bolo, os exemplos s=E3o naturais e = resolvo os problemas numa boa. Por=E9m, tem aqueles dias que o cara define uma coisa e logo no primeiro exemplo ja fico travado, ent=E3o eu procuro = sair, dar um arejada na cabe=E7a e tento outra vez; n=E3o adianta nada me = embanano mais ainda, parece que as id=E9ias n=E3o engatam; quando vejo, passou o = dia inteiro e n=E3o fiz nada. O pior =E9 que esses dias est=E3o se tornando = cada vez mais frequentes. Alguem mais aqui tem dessas coisas ??? =20 _____ =20 Busca Yahoo! =20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o = Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_0001_01C2D289.FF948070 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable

Bruno,

 

Nao esquente com = isso ! Isso ja deve ter acontecido com todos matematicos. Eu fiz um curso de = Geometria Riemaniana no mestrado com um professor chines que nao sabia falar nem portugues e nem ingles muito bem. Foi baseado no livro do Manfredo e os exercicios sao verdadeiros teoremas. Nesses casos, nao vale a pena ficar isolado e sim se juntar com outros e buscar ajuda como nessa lista. Com certeza, algum problema desse curso de verao que voce esta fazendo = alguem dessa lista ja o resolveu ou pode lhe dar uma boa dica de como sair. Como o = Claudio disse, se fosse facil, nao teria graca. Todo mundo seria PhD. =

 

Filosofei = demais. Coloque os problemas pra serem discutidos aqui. Eu ja fiz varios problemas desse = livro do Elon.

 

Leandro = Recova.

 

-----Original Message-----
From: = owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Cl=E1udio = (Pr=E1tica)
Sent: Wednesday, February = 12, 2003 9:40 AM
To: = obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Meio = offtopic

 

Caro = Bruno:

 

N=E3o sou pesquisador nem = estou na mesma categoria de um Nicolau ou de um Morgado, mas tem dias em que me = sinto exatamente como voc=EA descreveu. Ou seja, voc=EA n=E3o est=E1 = sozinho.

 

Coragem! Ali=E1s, se = matem=E1tica fosse sempre f=E1cil, j=E1 teria perdido a gra=E7a....

 

Um = abra=E7o,

Claudio.

 

=

----- Original Message = -----

From: Bruno Lima

To:<= /font> OBM = lISTA

Sent: Tuesday, February 11, 2003 6:58 PM

Subject: [obm-l] Meio offtopic

 

Sei que isso que vou perguntar foge uma pouco = do objetivo da lista mas...

Queria saber, em especial daqueles que s=E3o pesquisadores realmente, tipo Nicolau e Morgado, se vcs passam por = aqueles dias que n=E3o sai nada e vc se sente totalmente idiota... Vou dar um = exemplo que acontece comigo, estou fazendo ver=E3o em an=E1lise real (mas isso = acontece com qualquer outra materia), estudando o livro do Elon... de vez = enquando eu me empolgo e saio lendo sem a menor dificuldade, entendo tudo como se = estivesse lendo uma receita de bolo, os exemplos s=E3o naturais e resolvo os = problemas numa boa. Por=E9m, tem aqueles dias que o cara define uma coisa e logo no = primeiro exemplo ja fico travado, ent=E3o eu procuro sair, dar um arejada na = cabe=E7a e tento outra vez; n=E3o adianta nada me embanano mais ainda, parece que = as id=E9ias n=E3o engatam; quando vejo, passou o dia inteiro e n=E3o fiz nada. = O pior =E9 que esses dias est=E3o se tornando cada vez mais = frequentes.

Alguem mais aqui tem dessas coisas = ???

 

Busca Yahoo! =
O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o = Yahoo! encontra.

------=_NextPart_000_0001_01C2D289.FF948070-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 17:31:32 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA04071 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 17:29:47 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA04067 for ; Wed, 12 Feb 2003 17:29:43 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1CJS0k24423 for ; Wed, 12 Feb 2003 17:28:00 -0200 Message-ID: <01b101c2d2d5$c4e98320$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Previd=EAncia?= Date: Wed, 12 Feb 2003 17:31:40 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: RO Content-Length: 1717 Lines: 43 Caro Paulo: A idéia aqui é igualar o valor futuro das contribuições e o valor presente do benefício, ambos calculados na data da aposentadoria. > > PROBLEMA : Suponha que todo mes e descontado compulsoriamente de um > trabalhor 10% do seu salario e que o empregador contribua tambem com 10%( > sistema bi-partide ). Suponha que esses 20% ( geridos pelo governo ) sao > aplicados juros de 0.5% ao mes, que sao capitalizados ( A correcao monetaria > e um direito. Pode ser desconsiderada para este calculo ). Qual a quantidade > minima de anos que o trabalhador deve contribuir para que ao fim desse > periodo ele possa receber durante 20 anos o valor integral de seu ultimo > salario ? N = número de meses de contribuição S = salário mensal do trabalhador Valor Presente do Benefício, calculado em t = N: VP(Benef) = S/1,005 + S/1,005^2 + ... + S/1,005^(20*12) = = (S/1,005)*[(1/1,005)^240 - 1]/(1/1,005 - 1) = 139,58077*S (*) Valor Futuro (em t=N) das Contribuições Mensais de 0,20*S VF(Contrib) = 0,20*S*[ 1 + 1,005 + 1,005^2 + ... + 1,005^(N-1) ] = 0,20*S*(1,005^N - 1)/(1,005 - 1) = 40*S*(1,005^N - 1) (**) Igualando (*) e (**), teremos: 1,005^N - 1 = 139,58077/40 = 3,489519 ==> 1,005^N = 4,489519 ==> N = ln(4,489519)/ln(1,005) = 301,099 meses Ou seja, o trbalhador terá que contribuir durante 302 meses, ou 25 anos e 2 meses (se eu não errei nas contas) Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 18:29:12 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA06167 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 18:27:51 -0200 Received: from hotmail.com (f47.sea2.hotmail.com [207.68.165.47]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA06163 for ; Wed, 12 Feb 2003 18:27:47 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Wed, 12 Feb 2003 12:27:16 -0800 Received: from 200.142.58.19 by sea2fd.sea2.hotmail.msn.com with HTTP; Wed, 12 Feb 2003 20:27:15 GMT X-Originating-IP: [200.142.58.19] From: "Paulo Santa Rita" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?B?UmU6IFtvYm0tbF0gUHJldmlk6m5jaWE=?= Date: Wed, 12 Feb 2003 20:27:15 +0000 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 12 Feb 2003 20:27:16.0074 (UTC) FILETIME=[2209F4A0:01C2D2D5] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: RO Content-Length: 3918 Lines: 95 Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, A minha intencao era ressaltar o fato de que o tempo normal de contribuicao ( 30 a 35 anos ) e MAIS QUE SUFICIENTE para que um trabalhador qualquer se aposente com um salario integral, sem dpender da contribuicao do pessoal da ativa. Se ha deficit e porque o governo nao geriu com responsabilidade e inteligencia as contribuicoes mensais que os aposentados, quando na ativa, compulsoriamente faziam. O que me revoltou foi ver um ancora de um programa jornalistico de grande audiencia, com garbo e aparente seriedade, iludindo as pessoas mais simples - que nao refletem sobre o que ouvem e leem - ao mascarar as reais causas do deficit da previdencia. Parece-me que e dever das autoridades de todos os niveis esclarer e proteger os menos afortunados, nao engana-los ... Perdao pelo desabafo ( off-topic ). Vou me redimir : Nao sei se voce percebeu, mas na resolucao abaixo voce usou o conceito de EQUIVALENCIA DE CAPITAIS. Dois conjuntos de capitais sao equivalentes EM DETERMINADA DATA se, transpostos para esta data, representam o mesmo valor. PROBLEMA : Basicamente existem dois regimes de juros : simples e composto. 1) Prove que no sistema de juros composto, dois conjuntos de capitais equivalentes em uma determinada data sao equivalente em qualquer outra. 2) Pode, no sistema de juros simples, dois conjuntos de capitais serem equivalentes em MAIS DE UMA DATA ? Um Grande abraco a todos ! Paulo Santa Rita 4,1826,120203 >From: "Cláudio \(Prática\)" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: >Subject: [obm-l] Previdência >Date: Wed, 12 Feb 2003 17:31:40 -0300 > >Caro Paulo: > >A idéia aqui é igualar o valor futuro das contribuições e o valor presente >do benefício, ambos calculados na data da aposentadoria. > > > > PROBLEMA : Suponha que todo mes e descontado compulsoriamente de um > > trabalhor 10% do seu salario e que o empregador contribua tambem com >10%( > > sistema bi-partide ). Suponha que esses 20% ( geridos pelo governo ) sao > > aplicados juros de 0.5% ao mes, que sao capitalizados ( A correcao >monetaria > > e um direito. Pode ser desconsiderada para este calculo ). Qual a >quantidade > > minima de anos que o trabalhador deve contribuir para que ao fim desse > > periodo ele possa receber durante 20 anos o valor integral de seu ultimo > > salario ? > >N = número de meses de contribuição >S = salário mensal do trabalhador > >Valor Presente do Benefício, calculado em t = N: >VP(Benef) = S/1,005 + S/1,005^2 + ... + S/1,005^(20*12) = >= (S/1,005)*[(1/1,005)^240 - 1]/(1/1,005 - 1) = 139,58077*S (*) > >Valor Futuro (em t=N) das Contribuições Mensais de 0,20*S >VF(Contrib) = 0,20*S*[ 1 + 1,005 + 1,005^2 + ... + 1,005^(N-1) ] = >0,20*S*(1,005^N - 1)/(1,005 - 1) = 40*S*(1,005^N - 1) (**) > >Igualando (*) e (**), teremos: >1,005^N - 1 = 139,58077/40 = 3,489519 ==> >1,005^N = 4,489519 ==> N = ln(4,489519)/ln(1,005) = 301,099 meses > >Ou seja, o trbalhador terá que contribuir durante 302 meses, ou 25 anos e 2 >meses (se eu não errei nas contas) > >Um abraço, >Claudio. > > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= _________________________________________________________________ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 19:20:10 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA07744 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 19:18:42 -0200 Received: from imo-m06.mx.aol.com (imo-m06.mx.aol.com [64.12.136.161]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA07740 for ; Wed, 12 Feb 2003 19:18:38 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-m06.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.15.9e42092 (4539) for ; Wed, 12 Feb 2003 16:17:58 -0500 (EST) Message-ID: <15.9e42092.2b7c1400@aol.com> Date: Wed, 12 Feb 2003 16:17:52 EST Subject: [obm-l] P.A To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_15.9e42092.2b7c1400_boundary" X-Mailer: 6.0 sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --part1_15.9e42092.2b7c1400_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal, (UNESP) Se a, b, c e d formam, nesta ordem, uma P.A de raz=E3o r, ent=E3o b^= 2 -=20 a^2, c^2 - b^2 e d^2 - c^2 formam, nesta ordem, uma P.A de raz=E3o: resp: 2*r^2 D=FAvida: Percebi que podemos fazer (b-a)* (b+a), (c-b)*(c+b), (d - c)*(d+c)= .=20 Como =E9 uma P.A [ (c-b)*(c+b)] - [(b-a)* (b+a)] =3D [(d - c)*(d+c)] - [=20 (c-b)*(c+b)] =3D r . A minha d=FAvida quando tentava resolver esta quest=E3o= estava=20 nestas somas em par=EAnteses. --part1_15.9e42092.2b7c1400_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal,

(UNESP) Se a, b, c e d formam, nesta ordem, uma P.A de raz=E3o r, ent= =E3o b^2 - a^2, c^2 - b^2 e d^2 - c^2 formam, nesta ordem, uma P.A de raz= =E3o:

resp: 2*r^2

D=FAvida: Percebi que podemos fazer (b-a)* (b+a), (c-b)*(c+b), (d - c)*(= d+c). Como =E9 uma P.A  [ (c-b)*(c+b)] - [(b-a)* (b+a)] =3D  [(d -= c)*(d+c)] - [ (c-b)*(c+b)] =3D r . A minha d=FAvida quando tentava resolver= esta quest=E3o estava nestas somas em par=EAnteses.


--part1_15.9e42092.2b7c1400_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 19:20:58 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA07764 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 19:19:37 -0200 Received: from imo-r02.mx.aol.com (imo-r02.mx.aol.com [152.163.225.98]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA07760 for ; Wed, 12 Feb 2003 19:19:34 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-r02.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.162.1bb5ad65 (4539) for ; Wed, 12 Feb 2003 16:18:55 -0500 (EST) Message-ID: <162.1bb5ad65.2b7c143e@aol.com> Date: Wed, 12 Feb 2003 16:18:54 EST Subject: [obm-l] Outra de P.A To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_162.1bb5ad65.2b7c143e_boundary" X-Mailer: 6.0 sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --part1_162.1bb5ad65.2b7c143e_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal, Como resolver esta quest=E3o: (UF-RS) Sabendo que a[n] =E9 uma P.A de raz=E3o 3, b[n] =E9 uma P.G de raz= =E3o 1/2,=20 a[6] =3D b[1] e a[3] =3D b[2], ent=E3o a[1] + b[1] =E9 : resp: 21 --part1_162.1bb5ad65.2b7c143e_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal,

Como resolver esta quest=E3o:

(UF-RS)  Sabendo que a[n] =E9 uma P.A de raz=E3o 3, b[n] =E9 uma P.= G de raz=E3o 1/2, a[6] =3D b[1] e a[3] =3D b[2], ent=E3o a[1] + b[1] =E9 :

resp: 21
--part1_162.1bb5ad65.2b7c143e_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 19:21:58 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA07793 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 19:20:40 -0200 Received: from imo-d05.mx.aol.com (imo-d05.mx.aol.com [205.188.157.37]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA07789 for ; Wed, 12 Feb 2003 19:20:37 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-d05.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.1e8.1b5d874 (4539) for ; Wed, 12 Feb 2003 16:19:59 -0500 (EST) Message-ID: <1e8.1b5d874.2b7c147c@aol.com> Date: Wed, 12 Feb 2003 16:19:56 EST Subject: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?mais=20uma=20de=20progress=E3o?= To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_1e8.1b5d874.2b7c147c_boundary" X-Mailer: 6.0 sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --part1_1e8.1b5d874.2b7c147c_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal, Como resolver esta quest=E3o: (SANTA CASA- SP) Seja g(x) uma fun=E7=E3o cujo dom=EDnio =E9 o conjunto dos=20= n=FAmeros=20 inteiros e que associa a cada inteiro par o valor -1 e a todo =EDmpar o tri= plo=20 de seu valor. g(1) + g(2) + g(3 ) + g(4) +..... g(2K ), com K inteiro, =E9=20 igual a : resp: 3k^2 - k --part1_1e8.1b5d874.2b7c147c_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal,

Como resolver esta quest=E3o:


(SANTA CASA- SP) Seja g(x) uma fun=E7=E3o cujo dom=EDnio =E9 o conjunto=20= dos n=FAmeros inteiros e que associa a cada inteiro par o valor  -1 e a= todo =EDmpar o triplo de seu valor. g(1) + g(2) + g(3 ) + g(4) +..... g(2K=20= ), com K inteiro, =E9 igual a :

resp: 3k^2 - k
--part1_1e8.1b5d874.2b7c147c_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 20:32:49 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA10447 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 20:31:07 -0200 Received: from hotmail.com (oe46.law10.hotmail.com [64.4.14.18]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id UAA10442 for ; Wed, 12 Feb 2003 20:31:03 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Wed, 12 Feb 2003 14:30:31 -0800 X-Originating-IP: [64.60.139.18] From: "leandro" To: Subject: RE: [obm-l] Outra de P.A Date: Wed, 12 Feb 2003 14:30:32 -0800 Message-ID: <001501c2d2e6$5ab07520$28029b9b@LeandroRecova> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0016_01C2D2A3.4C8D3520" X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook, Build 10.0.3416 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 Importance: Normal In-Reply-To: <162.1bb5ad65.2b7c143e@aol.com> X-OriginalArrivalTime: 12 Feb 2003 22:30:31.0423 (UTC) FILETIME=[5A02A8F0:01C2D2E6] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0016_01C2D2A3.4C8D3520 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Monte a PA e a PG da seguinte forma: =20 (PA) a(n) =3D a(1) + 3(n-1) (PG) b(n) =3D b(1)(1/2)^(n-1)=20 =20 Portanto, a(6)=3Db(1) produz a equacao a(1)+15=3Db(1) e a condicao = a(3)=3Db(2) produz 2*a(1)+12 =3D b(1). Resolvendo o sistema voce encontra a(1)=3D3 e b(1)=3D18, logo, a soma e 21. Gabarito esta certo dessa vez !!!!=20 =20 Leandro. =20 -----Original Message----- From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Faelccmm@aol.com Sent: Wednesday, February 12, 2003 1:19 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Outra de P.A =20 Ol=E1 pessoal,=20 Como resolver esta quest=E3o:=20 (UF-RS) Sabendo que a[n] =E9 uma P.A de raz=E3o 3, b[n] =E9 uma P.G de = raz=E3o 1/2, a[6] =3D b[1] e a[3] =3D b[2], ent=E3o a[1] + b[1] =E9 :=20 resp: 21=20 ------=_NextPart_000_0016_01C2D2A3.4C8D3520 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable

Monte a PA e a = PG da seguinte forma:

 

(PA) a(n) =3D = a(1) + 3(n-1)

(PG) b(n) =3D b(1)(1/2)^(n-1)

 

Portanto, = a(6)=3Db(1) produz a equacao a(1)+15=3Db(1) e a condicao a(3)=3Db(2) produz = 2*a(1)+12 =3D b(1). Resolvendo o sistema voce encontra a(1)=3D3 e b(1)=3D18, logo, a soma e 21. = Gabarito esta certo dessa vez !!!!

 

Leandro.

 

-----Original = Message-----
From: = owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Faelccmm@aol.com
Sent: Wednesday, February = 12, 2003 1:19 PM
To: = obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Outra de = P.A

 

Ol=E1 pessoal,

Como resolver esta quest=E3o:

(UF-RS)  Sabendo que a[n] =E9 uma P.A de raz=E3o 3, b[n] =E9 uma = P.G de raz=E3o 1/2, a[6] =3D b[1] e a[3] =3D b[2], ent=E3o a[1] + b[1] =E9 :

resp: 21

------=_NextPart_000_0016_01C2D2A3.4C8D3520-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 20:43:20 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA10711 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 20:41:59 -0200 Received: from hotmail.com (oe17.law10.hotmail.com [64.4.14.121]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id UAA10695 for ; Wed, 12 Feb 2003 20:41:53 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Wed, 12 Feb 2003 14:41:22 -0800 X-Originating-IP: [64.60.139.18] From: "leandro" To: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?RE:_=5Bobm-l=5D_mais_uma_de_progress=E3o?= Date: Wed, 12 Feb 2003 14:41:23 -0800 Message-ID: <001e01c2d2e7$de968540$28029b9b@LeandroRecova> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_001F_01C2D2A4.D0734540" X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook, Build 10.0.3416 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 Importance: Normal In-Reply-To: <1e8.1b5d874.2b7c147c@aol.com> X-OriginalArrivalTime: 12 Feb 2003 22:41:22.0225 (UTC) FILETIME=[DDEB2A10:01C2D2E7] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_001F_01C2D2A4.D0734540 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Seja S o valor da soma S =3D g(1)+g(2) +=85..+g(2K).=20 =20 Observe que g(1) =3D 3, g(3)=3D9, g(5) =3D 15,....g(2K-1)=3D3*(2K-1) e g(2)=3Dg(4)=3D.....=3Dg(2K)=3D-1. Portanto, temos que S e composta de = dois somatorios:=20 =20 S =3D (g(1)+g(3)+....+g(2k-1)) + (g(2))+g(4)+....+g(2k). =20 S =3D (3+9+15+21+27+....+3*(2K-1)) + ( -1 =96 1 -1 -......-1)=20 =20 O primeiro somatorio voce pode colocar o 3 em evidencia e no 2=BA somatorio temos k termos de -1 entao =20 S =3D 3(1+3+5+7+...+2K-1)) =96 k=20 =20 S =3D 3 * (2k-1 + 1)(K)/2 =96 k (primeiro somatorio e a soma dos k numeros naturais impares)=20 =20 S =3D 3*k^2 =96 k .=20 =20 =20 Leandro Recova =20 -----Original Message----- From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Faelccmm@aol.com Sent: Wednesday, February 12, 2003 1:20 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] mais uma de progress=E3o =20 Ol=E1 pessoal,=20 Como resolver esta quest=E3o:=20 (SANTA CASA- SP) Seja g(x) uma fun=E7=E3o cujo dom=EDnio =E9 o conjunto = dos n=FAmeros inteiros e que associa a cada inteiro par o valor -1 e a todo =EDmpar o triplo de seu valor. g(1) + g(2) + g(3 ) + g(4) +..... g(2K ), com K inteiro, =E9 igual a :=20 resp: 3k^2 - k=20 ------=_NextPart_000_001F_01C2D2A4.D0734540 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable

Seja S o valor = da soma S =3D g(1)+g(2) +…..+g(2K).

 

Observe que g(1) = =3D 3, g(3)=3D9, g(5) =3D 15,....g(2K-1)=3D3*(2K-1) e = g(2)=3Dg(4)=3D.....=3Dg(2K)=3D-1.=A0 Portanto, temos que S e composta de dois somatorios:

 

S =3D (g(1)+g(3)+....+g(2k-1)) + (g(2))+g(4)+....+g(2k).

 

S =3D = (3+9+15+21+27+....+3*(2K-1)) + ( -1 – 1 -1 -......-1)

 

O primeiro = somatorio voce pode colocar o 3 em evidencia e no 2=BA somatorio temos k termos de -1 = entao

 

S =3D = 3(1+3+5+7+...+2K-1)) – k

 

S =3D 3 * (2k-1 = + 1)(K)/2 – k =A0=A0(primeiro somatorio e a soma dos k =A0numeros naturais impares) =

 

S =3D 3*k^2 = – k .

 

 

Leandro = Recova

 

-----Original Message-----
From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br = [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Faelccmm@aol.com
Sent: Wednesday, February = 12, 2003 1:20 PM
To: = obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] mais uma = de progress=E3o

 

Ol=E1 pessoal,

Como resolver esta quest=E3o:


(SANTA CASA- SP) Seja g(x) uma fun=E7=E3o cujo dom=EDnio =E9 o conjunto = dos n=FAmeros inteiros e que associa a cada inteiro par o valor  -1 e a todo = =EDmpar o triplo de seu valor. g(1) + g(2) + g(3 ) + g(4) +..... g(2K ), com K = inteiro, =E9 igual a :

resp: 3k^2 - k

------=_NextPart_000_001F_01C2D2A4.D0734540-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 22:31:48 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA12963 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 22:28:34 -0200 Received: from mail.ajato.com.br (200-162-192-51.mail.ajato.com.br [200.162.192.51]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id WAA12959 for ; Wed, 12 Feb 2003 22:28:31 -0200 Received: from mparaujo (200.162.227.237) by mail.ajato.com.br (5.1.061) id 3E3FE5590014EF44 for obm-l@mat.puc-rio.br; Wed, 12 Feb 2003 22:27:43 -0300 Message-ID: <006a01c2d17d$f718a5a0$ede3a2c8@ajato.com.br> From: "Marcos Paulo" To: References: <15.9e42092.2b7c1400@aol.com> Subject: Re: [obm-l] P.A Date: Tue, 11 Feb 2003 00:30:35 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0065_01C2D164.CB4F45A0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2800.1106 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0065_01C2D164.CB4F45A0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable ol=E1, A_1 =3D b^2 - a^2 =3D (b-a)(b+a) =3D r(b+a), visto que b-a =3D r A_2 =3D c^2 - b^2 =3D r(c+b) A_3 =3D d^2 - c^2 =3D r(c+d). A sequencia A_1, A_2, A_3 ser=E1 uma PA se as diferen=E7as A_2 - A_1 e = A_3 - A_2 forem iguais e nesse caso essa diferen=E7a ser=E1 a raz=E3o. Fazendo A_2 - A_1, temom: r(c+b) - r(b + a) =3D r(c - a). Como a,b,c,d =E9 uma PA, c - a =3D 2r e = portanto A_2 - A_1 =3D r*2r =3D 2r^2 Fazendo A_3 - A_2, temos r(d+c) - r(c + b) =3D r(d - b). Como a,b,c,d =E9 uma PA, d - b =3D 2r e = portanto A_3 - A_2 =3D r*2r =3D 2r^2, o7u seja, a sequencia dada =E9 uma = PA de raz=E3o 2r^2. []'s MP ----- Original Message -----=20 From: Faelccmm@aol.com=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Wednesday, February 12, 2003 6:17 PM Subject: [obm-l] P.A Ol=E1 pessoal,=20 (UNESP) Se a, b, c e d formam, nesta ordem, uma P.A de raz=E3o r, = ent=E3o b^2 - a^2, c^2 - b^2 e d^2 - c^2 formam, nesta ordem, uma P.A de = raz=E3o:=20 resp: 2*r^2=20 D=FAvida: Percebi que podemos fazer (b-a)* (b+a), (c-b)*(c+b), (d - = c)*(d+c). Como =E9 uma P.A [ (c-b)*(c+b)] - [(b-a)* (b+a)] =3D [(d - = c)*(d+c)] - [ (c-b)*(c+b)] =3D r . A minha d=FAvida quando tentava = resolver esta quest=E3o estava nestas somas em par=EAnteses.=20 ------=_NextPart_000_0065_01C2D164.CB4F45A0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
ol=E1,
A_1 =3D b^2 - a^2 =3D (b-a)(b+a) =3D = r(b+a), visto que=20 b-a =3D r
A_2 =3D c^2 - b^2 =3D = r(c+b)
A_3 =3D d^2 - c^2 =3D = r(c+d).
A sequencia A_1, A_2, A_3 ser=E1 uma PA = se as=20 diferen=E7as A_2 - A_1 e A_3 - A_2 forem iguais e nesse caso essa = diferen=E7a ser=E1 a=20 raz=E3o.
Fazendo A_2 - A_1, temom:
r(c+b) - r(b + a) =3D r(c - a). Como = a,b,c,d =E9 uma=20 PA, c - a =3D 2r e portanto A_2 - A_1 =3D r*2r =3D 2r^2
 
Fazendo A_3 - A_2, temos
r(d+c) - r(c + b) =3D r(d - b). Como = a,b,c,d =E9 uma=20 PA, d - b =3D 2r e portanto A_3 - A_2 =3D r*2r =3D 2r^2, o7u = seja, a=20 sequencia dada =E9 uma PA de raz=E3o 2r^2.
 
[]'s MP
----- Original Message -----
From:=20 Faelccmm@aol.com=20
Sent: Wednesday, February 12, = 2003 6:17=20 PM
Subject: [obm-l] P.A

Ol=E1 = pessoal,=20

(UNESP) Se a, b, c e d formam, nesta ordem, uma P.A de raz=E3o = r, ent=E3o=20 b^2 - a^2, c^2 - b^2 e d^2 - c^2 formam, nesta ordem, uma P.A de = raz=E3o:=20

resp: 2*r^2

D=FAvida: Percebi que podemos fazer (b-a)* = (b+a),=20 (c-b)*(c+b), (d - c)*(d+c). Como =E9 uma P.A  [ (c-b)*(c+b)] - = [(b-a)*=20 (b+a)] =3D  [(d - c)*(d+c)] - [ (c-b)*(c+b)] =3D r . A minha = d=FAvida quando=20 tentava resolver esta quest=E3o estava nestas somas em par=EAnteses.=20


------=_NextPart_000_0065_01C2D164.CB4F45A0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 22:31:54 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA12985 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 22:29:21 -0200 Received: from hotmail.com (f67.pav2.hotmail.com [64.4.37.67]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA12981 for ; Wed, 12 Feb 2003 22:29:18 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Wed, 12 Feb 2003 16:28:46 -0800 Received: from 200.227.152.65 by pv2fd.pav2.hotmail.msn.com with HTTP; Thu, 13 Feb 2003 00:28:46 GMT X-Originating-IP: [200.227.152.65] From: "Rafael Rodrigues" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] P.A Date: Wed, 12 Feb 2003 22:28:46 -0200 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 13 Feb 2003 00:28:46.0549 (UTC) FILETIME=[DF08F850:01C2D2F6] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >From: Faelccmm@aol.com >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: obm-l@mat.puc-rio.br >Subject: [obm-l] P.A >Date: Wed, 12 Feb 2003 16:17:52 EST > >Olá pessoal, > >(UNESP) Se a, b, c e d formam, nesta ordem, uma P.A de razão r, então b^2 - >a^2, c^2 - b^2 e d^2 - c^2 formam, nesta ordem, uma P.A de razão: > >resp: 2*r^2 > >Dúvida: Percebi que podemos fazer (b-a)* (b+a), (c-b)*(c+b), (d - c)*(d+c). >Como é uma P.A [ (c-b)*(c+b)] - [(b-a)* (b+a)] = [(d - c)*(d+c)] - [ >(c-b)*(c+b)] = r . A minha dúvida quando tentava resolver esta questão >estava >nestas somas em parênteses. > > > r*(c+b) - r*(b+a)= r*(d+c) - r*(c+b) rc- ra= rd- rb r (2r) = R _________________________________________________________________ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 22:47:58 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA13478 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 22:45:06 -0200 Received: from mail.ajato.com.br (200-162-192-51.mail.ajato.com.br [200.162.192.51]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id WAA13472 for ; Wed, 12 Feb 2003 22:45:02 -0200 Received: from mparaujo (200.162.227.237) by mail.ajato.com.br (5.1.061) id 3E3FE5590014F6C6 for obm-l@mat.puc-rio.br; Wed, 12 Feb 2003 22:44:15 -0300 Message-ID: <001301c2d180$46476ba0$ede3a2c8@ajato.com.br> From: "Marcos Paulo" To: References: <162.1bb5ad65.2b7c143e@aol.com> Subject: Re: [obm-l] Outra de P.A Date: Tue, 11 Feb 2003 00:47:13 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0010_01C2D167.1DD61040" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2800.1106 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0010_01C2D167.1DD61040 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable a[6] =3D a[1] + 15 =3D b[1] a[3] =3D a[1] + 6 =3D b[1] * 0,5 ou seja, a[6] =3D 2a[3] o que nos d=E1 a[1] =3D e portanto b[1] =3D 18 []'s MP ----- Original Message -----=20 From: Faelccmm@aol.com=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Wednesday, February 12, 2003 6:18 PM Subject: [obm-l] Outra de P.A Ol=E1 pessoal,=20 Como resolver esta quest=E3o:=20 (UF-RS) Sabendo que a[n] =E9 uma P.A de raz=E3o 3, b[n] =E9 uma P.G = de raz=E3o 1/2, a[6] =3D b[1] e a[3] =3D b[2], ent=E3o a[1] + b[1] =E9 : = resp: 21=20 ------=_NextPart_000_0010_01C2D167.1DD61040 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
a[6] =3D a[1] + 15 =3D = b[1]
a[3] =3D a[1] + 6 =3D b[1] * = 0,5
 
ou seja, a[6] =3D 2a[3] o que nos d=E1 = a[1] =3D  e=20 portanto b[1] =3D 18
 
 
[]'s MP
----- Original Message -----
From:=20 Faelccmm@aol.com=20
Sent: Wednesday, February 12, = 2003 6:18=20 PM
Subject: [obm-l] Outra de = P.A

Ol=E1 = pessoal,=20

Como resolver esta quest=E3o:

(UF-RS)  Sabendo = que a[n] =E9=20 uma P.A de raz=E3o 3, b[n] =E9 uma P.G de raz=E3o 1/2, a[6] =3D b[1] e = a[3] =3D b[2],=20 ent=E3o a[1] + b[1] =E9 :

resp: 21=20
------=_NextPart_000_0010_01C2D167.1DD61040-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 12 22:53:38 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA13751 for obm-l-MTTP; Wed, 12 Feb 2003 22:51:03 -0200 Received: from silva5.uol.com.br (silva5.uol.com.br [200.221.4.52]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA13745 for ; Wed, 12 Feb 2003 22:51:00 -0200 Received: from u2z7z2 ([200.158.144.220]) by silva5.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with ESMTP id WAA20640 for ; Wed, 12 Feb 2003 22:54:31 -0200 (BRST) Message-ID: <004c01c2d302$aebe5620$dc909ec8@u2z7z2> From: "Wagner" To: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?B?ZnVu5+NvIHpldGE=?= Date: Wed, 12 Feb 2003 22:53:11 -0300 Organization: Wagner MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0049_01C2D2E9.84C34D80" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4133.2400 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0049_01C2D2E9.84C34D80 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Oi para todos! Porqu=EA zeta( 0 ) =3D -1/2 ? infinito Se zeta( x ) =3D SOMAT=D3RIO 1/(n^x) , zeta( 0 ) n=E3o deveria = ser igual a infinito ? n =3D 1 Andr=E9 T. ------=_NextPart_000_0049_01C2D2E9.84C34D80 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Oi para todos!
 
    Porqu=EA zeta( 0 ) = =3D -1/2=20 ?
          &nbs= p;            = ; =20      infinito
    Se zeta( x ) =3D=20 SOMAT=D3RIO    1/(n^x) , zeta( 0 ) n=E3o deveria ser = igual a infinito=20 ?
          &nbs= p;            = ;        n=20 =3D 1
 
Andr=E9 T.
------=_NextPart_000_0049_01C2D2E9.84C34D80-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 09:06:34 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA22060 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 09:04:44 -0200 Received: from hotmail.com (f185.law10.hotmail.com [64.4.15.185]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id JAA22054 for ; Thu, 13 Feb 2003 09:04:41 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Thu, 13 Feb 2003 03:04:09 -0800 Received: from 200.227.95.103 by lw10fd.law10.hotmail.msn.com with HTTP; Thu, 13 Feb 2003 11:04:09 GMT X-Originating-IP: [200.227.95.103] From: "Rubens Vilhena" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Hiperreais Date: Thu, 13 Feb 2003 11:04:09 +0000 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 13 Feb 2003 11:04:09.0704 (UTC) FILETIME=[A234C680:01C2D34F] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Colegas, alguém aí poderia me explicar didaticamente, detalhadamente e explicitamente o que é essa Análise Não-Standard? Que história é essa que eu ouvi de hiperreais? O infinito aumentou? []' Rhel _________________________________________________________________ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 09:27:54 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA22605 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 09:26:33 -0200 Received: from saulo.bol.com.br (saulo.bol.com.br [200.221.24.31]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id JAA22601 for ; Thu, 13 Feb 2003 09:26:30 -0200 Received: from bol.com.br (200.221.24.136) by saulo.bol.com.br (5.1.071) id 3E26FD2A006ED2F6 for obm-l@mat.puc-rio.br; Thu, 13 Feb 2003 09:23:56 -0200 Date: Thu, 13 Feb 2003 09:25:59 -0200 Message-Id: Subject: [obm-l] Mais probabilidade e combinatoria MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain;charset="iso-8859-1" From: "amurpe" To: obm-l@mat.puc-rio.br X-XaM3-API-Version: 2.4 R3 ( B4 ) X-SenderIP: 200.255.10.186 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id JAA22602 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Por favor me ajudem na resolução desses problemas. 1) O mes de outubro tem 31 dias .Numa certa cidade chove 5 dias , no mes de outubro.Qual a probabilidade de não chover no primeiro e segundo dia de outubro? resp: 65/93. Obs: imaginei que fosse 1-5/31=26/31. 2) ITA-71; dispomos de 6 cores diferentes.Cada face de um cubo será pintada com uma cor diferente, de forma que as 6 cores sejam utilizadas.De quantas maneiras diferentes isto pode ser feito , se uma maneira é considerada identica a outra , desde que possa ser obtida a partir desta por rotação do cubo? resp: 30 3)ITA-68. Sejam a1, a2,.......an numeros reais.A expressão ( a1+a2+.....an)^2 é igual a ....... resp: Somatorio de i variando de 1 a n multiplicado por somatorio de j variando de 1 a n de ai.aj. desde já muito obrigado pela ajuda. um abraço. Amurpe __________________________________________________________________________ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. 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O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 10:04:10 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA23806 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 10:02:44 -0200 Received: from web41510.mail.yahoo.com (web41510.mail.yahoo.com [66.218.93.93]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id KAA23801 for ; Thu, 13 Feb 2003 10:02:40 -0200 Message-ID: <20030213120208.1156.qmail@web41510.mail.yahoo.com> Received: from [200.199.181.44] by web41510.mail.yahoo.com via HTTP; Thu, 13 Feb 2003 09:02:08 ART Date: Thu, 13 Feb 2003 09:02:08 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?elton=20francisco=20ferreira?= Subject: [obm-l] problema04 To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Um aluno de uma escola, indagado sobre o número de exercícios de matemática que havia resolvido naquele dia respondeu: não sei, mais contando de 2 em 2 sobra um; contando de 3 em 3 sobra um; contando de 5 em 5 também sobra um; mas contando de 7 em 7 não sobra nenhum. O total de exercícios não chega a um centena. Então, o número de exercícios resolvidos é tal que a soma dos seus algarismos é igual a: 8 9 10 11 _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 10:22:55 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA24596 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 10:21:16 -0200 Received: from hotmail.com (f34.sea2.hotmail.com [207.68.165.34]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id KAA24583 for ; Thu, 13 Feb 2003 10:21:11 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Thu, 13 Feb 2003 04:20:40 -0800 Received: from 200.162.73.4 by sea2fd.sea2.hotmail.msn.com with HTTP; Thu, 13 Feb 2003 12:20:39 GMT X-Originating-IP: [200.162.73.4] From: "leonardo mattos" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Mais probabilidade e combinatoria Date: Thu, 13 Feb 2003 12:20:39 +0000 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 13 Feb 2003 12:20:40.0000 (UTC) FILETIME=[523C5C00:01C2D35A] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br 2-Suponha q vc queira pintar uma caixa quadrangular sem tampa dispondo de 5 cores.A primeira parte a ser pintada sera o fundo, ou seja existem 5 possibilidades de cores para o fundo,tendo restado 4 cores para 4 lados.A maneira mais pratica de encontra o numero de possibilidades para pintar os lados é com permutaçao circular de 4, logo o numero de maneiras possiveis de pintar a caixa é 5x3!=30.Agora imagine a caixa quadrangular sem tampa como sendo um cubo pintado de 6 cores considerando que sem tampa=cor branca(por exemplo) uma vez que uma maneira é considerada identica a outra , desde que possa ser obtida a partir desta por rotação do cubo. >From: "amurpe" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: obm-l@mat.puc-rio.br >Subject: [obm-l] Mais probabilidade e combinatoria >Date: Thu, 13 Feb 2003 09:25:59 -0200 > >Por favor me ajudem na resolução desses problemas. > >1) O mes de outubro tem 31 dias .Numa certa cidade chove >5 dias , no mes de outubro.Qual a probabilidade de não >chover no primeiro e segundo dia de outubro? >resp: 65/93. > >Obs: imaginei que fosse 1-5/31=26/31. > >2) ITA-71; dispomos de 6 cores diferentes.Cada face de >um cubo será pintada com uma cor diferente, de forma que >as 6 cores sejam utilizadas.De quantas maneiras >diferentes isto pode ser feito , se uma maneira é >considerada identica a outra , desde que possa ser >obtida a partir desta por rotação do cubo? >resp: 30 > >3)ITA-68. >Sejam a1, a2,.......an numeros reais.A expressão ( >a1+a2+.....an)^2 é igual a ....... > >resp: Somatorio de i variando de 1 a n multiplicado por >somatorio de j variando de 1 a n de ai.aj. > > > >desde já muito obrigado pela ajuda. > >um abraço. > >Amurpe > > >__________________________________________________________________________ >E-mail Premium BOL >Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! >http://email.bol.com.br/ > > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= _________________________________________________________________ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 10:30:58 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA25026 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 10:29:38 -0200 Received: from silva5.uol.com.br (silva5.uol.com.br [200.221.4.52]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id KAA25020 for ; Thu, 13 Feb 2003 10:29:33 -0200 Received: from u2z7z2 ([200.158.145.84]) by silva5.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with ESMTP id KAA22184 for ; Thu, 13 Feb 2003 10:33:04 -0200 (BRST) Message-ID: <000801c2d364$46ee2e00$2101a8c0@u2z7z2> From: "Wagner" To: References: Subject: Re: [obm-l] Mais probabilidade e combinatoria Date: Thu, 13 Feb 2003 10:31:55 -0300 Organization: Wagner MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4133.2400 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi para todos ! 2)Vamos achar em quantas posições diferentes o cubo pode se encontrar: -Primeiro vamos enumerar as faces de 1 a 6. -Com a face 1 voltada para baixo temos 4 posições que são rotações de 90º do cubo. -Analogamente temos 6.4 = 24 posições diferentes para o cubo O nº de possibilidades de pintura para o cubo, quando a posição dele importa é 6! = 720 O nº de formas que o cubo pode ser pintado é 720/24 = 30 possibilidades 3)Não seria somatório duplo ao invés de produto de somatórios (veja se existe um sinal de multiplicação entre eles) ? André T. ----- Original Message ----- From: "amurpe" To: Sent: Thursday, February 13, 2003 8:25 AM Subject: [obm-l] Mais probabilidade e combinatoria > Por favor me ajudem na resolução desses problemas. > > 1) O mes de outubro tem 31 dias .Numa certa cidade chove > 5 dias , no mes de outubro.Qual a probabilidade de não > chover no primeiro e segundo dia de outubro? > resp: 65/93. > > Obs: imaginei que fosse 1-5/31=26/31. > > 2) ITA-71; dispomos de 6 cores diferentes.Cada face de > um cubo será pintada com uma cor diferente, de forma que > as 6 cores sejam utilizadas.De quantas maneiras > diferentes isto pode ser feito , se uma maneira é > considerada identica a outra , desde que possa ser > obtida a partir desta por rotação do cubo? > resp: 30 > > 3)ITA-68. > Sejam a1, a2,.......an numeros reais.A expressão ( > a1+a2+.....an)^2 é igual a ....... > > resp: Somatorio de i variando de 1 a n multiplicado por > somatorio de j variando de 1 a n de ai.aj. > > > > desde já muito obrigado pela ajuda. > > um abraço. > > Amurpe > > > __________________________________________________________________________ > E-mail Premium BOL > Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! > http://email.bol.com.br/ > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 10:34:21 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA25350 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 10:33:01 -0200 Received: from web80402.mail.yahoo.com (web80402.mail.yahoo.com [66.218.79.57]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id KAA25346 for ; Thu, 13 Feb 2003 10:32:57 -0200 Message-ID: <20030213123225.40039.qmail@web80402.mail.yahoo.com> Received: from [200.17.147.233] by web80402.mail.yahoo.com via HTTP; Thu, 13 Feb 2003 09:32:25 ART Date: Thu, 13 Feb 2003 09:32:25 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Tertuliano=20Carneiro?= Subject: Re: [obm-l] Mais probabilidade e combinatoria To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá! Aí vai a primeira: A probabilidade de não chover no primeiro dia é 26/31. A probabilidade de não chover no segundo dia, uma vez q não choveu no primeiro é 25/30 (observe q deve chover 5 dias no mês!). Logo, a probabilidade de não chover no primeiro e no segundo dia é (26/31)*(25/30)=65/93. Até mais. Tertuliano Carneiro. --- amurpe escreveu: > Por favor me ajudem na resolução desses problemas. > > 1) O mes de outubro tem 31 dias .Numa certa cidade > chove > 5 dias , no mes de outubro.Qual a probabilidade de > não > chover no primeiro e segundo dia de outubro? > resp: 65/93. > > Obs: imaginei que fosse 1-5/31=26/31. > > 2) ITA-71; dispomos de 6 cores diferentes.Cada face > de > um cubo será pintada com uma cor diferente, de forma > que > as 6 cores sejam utilizadas.De quantas maneiras > diferentes isto pode ser feito , se uma maneira é > considerada identica a outra , desde que possa ser > obtida a partir desta por rotação do cubo? > resp: 30 > > 3)ITA-68. > Sejam a1, a2,.......an numeros reais.A expressão ( > a1+a2+.....an)^2 é igual a ....... > > resp: Somatorio de i variando de 1 a n multiplicado > por > somatorio de j variando de 1 a n de ai.aj. > > > > desde já muito obrigado pela ajuda. > > um abraço. > > Amurpe > > > __________________________________________________________________________ > E-mail Premium BOL > Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine > já! > http://email.bol.com.br/ > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > > ========================================================================= + _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 10:47:13 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA26236 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 10:45:46 -0200 Received: from web80405.mail.yahoo.com (web80405.mail.yahoo.com [66.218.79.60]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id KAA26210 for ; Thu, 13 Feb 2003 10:45:37 -0200 Message-ID: <20030213124506.45087.qmail@web80405.mail.yahoo.com> Received: from [200.17.147.233] by web80405.mail.yahoo.com via HTTP; Thu, 13 Feb 2003 09:45:06 ART Date: Thu, 13 Feb 2003 09:45:06 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Tertuliano=20Carneiro?= Subject: Re: [obm-l] problema03 To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <20030213115503.46951.qmail@web41507.mail.yahoo.com> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá! Se m é divisivel por 55, entao o é por 11. Sendo m divisivel por divisivel por 11, entao 4+8+9=8+a+b, de onde vem q a+b=13. Tertuliano Carneiro. --- elton francisco ferreira escreveu: > Seja um número m=488a9b, onde b é o algarismo das > unidades e a, o algarismo das centenas. sabe-se que > m > é divisível por 55, então o menor valor de a+b ´´ > igual a: > > 2 > 7 > 10 > 13 > > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que > você pensar o Yahoo! encontra. > http://br.busca.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > > ========================================================================= _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! 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Seja x o número de exercícios. Temos q x~1(mod2), x~1(mod3), x~1(mod5) e x~0(mod7), onde ~ significa é côngruo a. Ou seja, temos um sistema de eq. de congruência em x. Aplicando o teorema do resto chinês, vamos encontrar q x~301(mod210). Ou seja, x~91(mod210). Portanto, o aluno resolveu 91 exercícios. Sem mais, Tertuliano Carneiro. --- elton francisco ferreira escreveu: > Um aluno de uma escola, indagado sobre o número de > exercícios de matemática que havia resolvido naquele > dia respondeu: não sei, mais contando de 2 em 2 > sobra > um; contando de 3 em 3 sobra um; contando de 5 em 5 > também sobra um; mas contando de 7 em 7 não sobra > nenhum. O total de exercícios não chega a um > centena. > Então, o número de exercícios resolvidos é tal que a > soma dos seus algarismos é igual a: > > 8 > 9 > 10 > 11 > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que > você pensar o Yahoo! encontra. > http://br.busca.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > > ========================================================================= _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 11:06:22 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA27969 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 11:04:58 -0200 Received: from soling.fortalnet.com.br ([200.164.93.238]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA27956 for ; Thu, 13 Feb 2003 11:04:53 -0200 Received: from CemagCerver (ip-ip61.fortalnet.com.br [200.253.221.190]) by soling.fortalnet.com.br (8.12.4/8.11.6) with SMTP id h1DCvOVT006794 for ; Thu, 13 Feb 2003 09:57:24 -0300 Message-ID: <000a01c2d361$09713de0$0203a8c0@CemagCerver> From: "Davidson Estanislau" To: Subject: Fw: [obm-l] problema04 Date: Thu, 13 Feb 2003 10:08:38 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2800.1106 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Calculando o mmc entre 2, 3 e 5, obtemos: 30. Os números que tornam a situação possível são da forma: x = 30n + 1. Para n = 1 => x = 31 (não é divisível por 7); Para n = 2 => x = 61 (não é divisível por 7); Para n = 3 => x = 91 (é divisível por 7); Logo o número de exercícios resolvidos é: 91. Davidson Estanislau -----Mensagem Original----- De: "elton francisco ferreira" Para: Enviada em: Quinta-feira, 13 de Fevereiro de 2003 09:02 Assunto: [obm-l] problema04 > Um aluno de uma escola, indagado sobre o número de > exercícios de matemática que havia resolvido naquele > dia respondeu: não sei, mais contando de 2 em 2 sobra > um; contando de 3 em 3 sobra um; contando de 5 em 5 > também sobra um; mas contando de 7 em 7 não sobra > nenhum. O total de exercícios não chega a um centena. > Então, o número de exercícios resolvidos é tal que a > soma dos seus algarismos é igual a: > > 8 > 9 > 10 > 11 ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 11:11:06 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA28295 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 11:09:36 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA28282 for ; Thu, 13 Feb 2003 11:09:31 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1DD7ik15403 for ; Thu, 13 Feb 2003 11:07:44 -0200 Message-ID: <002701c2d369$d0d8ef60$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <004c01c2d302$aebe5620$dc909ec8@u2z7z2> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_fun=E7=E3o_zeta?= Date: Thu, 13 Feb 2003 11:11:33 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0024_01C2D350.AAB30AA0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0024_01C2D350.AAB30AA0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Esta defini=E7=E3o da fun=E7=E3o zeta s=F3 vale para x complexo com = parte real > 1. Existe um procedimento, chamado de extens=E3o = anal=EDtica (ou prolongamento anal=EDtico ou continua=E7=E3o = anal=EDtica) que extende (univocamente) esta fun=E7=E3o para um = dom=EDnio mais amplo, o qual inclui 0, de forma que, para Re(x) > 1, o = valor da extens=E3o em x coincida com esta sua defini=E7=E3o. Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Wagner=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Wednesday, February 12, 2003 10:53 PM Subject: [obm-l] fun=E7=E3o zeta Oi para todos! Porqu=EA zeta( 0 ) =3D -1/2 ? infinito Se zeta( x ) =3D SOMAT=D3RIO 1/(n^x) , zeta( 0 ) n=E3o deveria = ser igual a infinito ? n =3D 1 Andr=E9 T. ------=_NextPart_000_0024_01C2D350.AAB30AA0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Esta defini=E7=E3o da fun=E7=E3o zeta = s=F3 vale para x=20 complexo com parte real > 1. Existe um procedimento, chamado de = extens=E3o=20 anal=EDtica (ou prolongamento anal=EDtico ou continua=E7=E3o = anal=EDtica) que extende=20 (univocamente) esta fun=E7=E3o para um dom=EDnio mais amplo, o qual = inclui 0, de forma=20 que, para Re(x) > 1, o valor da extens=E3o em x coincida = com esta sua=20 defini=E7=E3o.
 
Um abra=E7o,
Claudio.
----- Original Message -----
From:=20 Wagner
Sent: Wednesday, February 12, = 2003 10:53=20 PM
Subject: [obm-l] fun=E7=E3o = zeta

Oi para todos!
 
    Porqu=EA zeta( 0 ) = =3D -1/2=20 ?
          &nbs= p;            = ; =20      infinito
    Se zeta( x ) =3D=20 SOMAT=D3RIO    1/(n^x) , zeta( 0 ) n=E3o deveria ser = igual a=20 infinito ?
          &nbs= p;            = ;        n=20 =3D 1
 
Andr=E9 = T.
------=_NextPart_000_0024_01C2D350.AAB30AA0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 11:18:59 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA28712 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 11:17:13 -0200 Received: from ns3bind.localdomain ([200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA28705 for ; Thu, 13 Feb 2003 11:17:09 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.228]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1DDFCk15806 for ; Thu, 13 Feb 2003 11:15:13 -0200 Message-ID: <003901c2d36a$dc52c040$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030213115503.46951.qmail@web41507.mail.yahoo.com> Subject: Re: [obm-l] problema03 Date: Thu, 13 Feb 2003 11:18:59 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Um número é divisível por 55 se e somente se ele for divisível por 5 e por 11. Um número é divisível por 5 <==> o seu algarismo das unidades for 0 ou 5. Um número (digamos "abcdef") é divisível por 11 <==> a-b+c-d+e-f for divisível por 11 11 divide m ==> 11 divide (4-8+8-a+9-b) ==> 11 divide 13-a-b ==> 11 divide 2-a-b ==> 11 divide a+b-2 5 divide m ==> b = 0 ou b = 5 Se b = 0, então a = 2 (lembre-se que 0 <= a <= 9) Se b = 5, então a = 8 Assim a+b = 2 ou a+b = 13 ==> o menor valor de a+b é 2. Um abraço, Claudio. ---- Original Message ----- From: "elton francisco ferreira" To: Sent: Thursday, February 13, 2003 8:55 AM Subject: [obm-l] problema03 > Seja um número m=488a9b, onde b é o algarismo das > unidades e a, o algarismo das centenas. sabe-se que m > é divisível por 55, então o menor valor de a+b ´´ > igual a: > > 2 > 7 > 10 > 13 > > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. > http://br.busca.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 11:21:17 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA29037 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 11:19:42 -0200 Received: from traven9.uol.com.br (traven9.uol.com.br [200.221.4.35]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA29032 for ; Thu, 13 Feb 2003 11:19:37 -0200 Received: from u2z7z2 ([200.158.145.70]) by traven9.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with ESMTP id LAA28959 for ; Thu, 13 Feb 2003 11:21:32 -0200 (BRST) Message-ID: <000f01c2d36b$42daeb80$2101a8c0@u2z7z2> From: "Wagner" To: References: <20030213115503.46951.qmail@web41507.mail.yahoo.com> Subject: Re: [obm-l] problema03 Date: Thu, 13 Feb 2003 11:21:55 -0300 Organization: Wagner MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4133.2400 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi para todos! m | 55 => m | 5 e m | 11. Vamos fazer a divisão de m por 55 dividindo primeiro ele por 5 e depois por 11: 488a9b = 488090 + 100a + b .Logo m/5 = 97618 + 20a + b/5. Como m | 5 , b é 0 ou 5. Se b=0 , m/5 = 97618 + 20a .Logo: m/55 = 8874 + 4/11 + a + 9a/11. Logo 9a + 4 | 11 . Portanto a é igual a 2. Logo a + b = 2 . Esse é o menor resultado, pois se b = 5 , a + b >= 5 André T. ----- Original Message ----- From: "elton francisco ferreira" To: Sent: Thursday, February 13, 2003 8:55 AM Subject: [obm-l] problema03 > Seja um número m=488a9b, onde b é o algarismo das > unidades e a, o algarismo das centenas. sabe-se que m > é divisível por 55, então o menor valor de a+b ´´ > igual a: > > 2 > 7 > 10 > 13 > > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. > http://br.busca.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 11:26:05 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA29704 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 11:24:33 -0200 Received: from traven9.uol.com.br (traven9.uol.com.br [200.221.4.35]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA29685 for ; Thu, 13 Feb 2003 11:24:26 -0200 Received: from u2z7z2 ([200.158.145.70]) by traven9.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with ESMTP id LAA05184 for ; Thu, 13 Feb 2003 11:26:23 -0200 (BRST) Message-ID: <001501c2d36b$f12fd380$2101a8c0@u2z7z2> From: "Wagner" To: References: <20030213120208.1156.qmail@web41510.mail.yahoo.com> Subject: Re: [obm-l] problema04 Date: Thu, 13 Feb 2003 11:26:47 -0300 Organization: Wagner MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4133.2400 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi pessoal ! Seja n o nº de exercícios. n-1 é um número divisível por 30, positivo e menor que 99. Logo n-1 é 30, 60 ou 90. Logo n é 31, 61 ou 91. Mas n também é divisível por 7. Logo n = 91 9 + 1 = 10 André T. ----- Original Message ----- From: "elton francisco ferreira" To: Sent: Thursday, February 13, 2003 9:02 AM Subject: [obm-l] problema04 > Um aluno de uma escola, indagado sobre o número de > exercícios de matemática que havia resolvido naquele > dia respondeu: não sei, mais contando de 2 em 2 sobra > um; contando de 3 em 3 sobra um; contando de 5 em 5 > também sobra um; mas contando de 7 em 7 não sobra > nenhum. O total de exercícios não chega a um centena. > Então, o número de exercícios resolvidos é tal que a > soma dos seus algarismos é igual a: > > 8 > 9 > 10 > 11 > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. > http://br.busca.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 11:27:16 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA29846 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 11:25:56 -0200 Received: from bridge3.bridge.com.br (bridge3.bridge.com.br [200.244.126.37]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA29835 for ; Thu, 13 Feb 2003 11:25:48 -0200 Received: from fulano (unverified [200.165.249.24]) by bridge3.bridge.com.br (Vircom SMTPRS 4.2.181) with ESMTP id for ; Thu, 13 Feb 2003 11:25:10 -0300 Message-ID: <000701c2d36b$6929be60$0307a8c0@fulano> From: "Eduardo Azevedo" To: References: <20030213120208.1156.qmail@web41510.mail.yahoo.com> Subject: Re: [obm-l] problema04 Date: Thu, 13 Feb 2003 11:22:51 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4133.2400 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Como x eh multiplo de 7, x = 7n. Se 7n por 5 da resto 1, entao 2n por cinco da resto 1. Entao n=3,8,ou13. 3 nao e por que 21/3=7 8 nao e pois 7*8/2=7*4 7*13=91 funciona. OBS: Existe um jeito automatico de se resolver esse tipo de problema, que costuma a ser chamado de teorema chines dos restos. ----- Original Message ----- From: "elton francisco ferreira" To: Sent: Thursday, February 13, 2003 9:02 AM Subject: [obm-l] problema04 > Um aluno de uma escola, indagado sobre o número de > exercícios de matemática que havia resolvido naquele > dia respondeu: não sei, mais contando de 2 em 2 sobra > um; contando de 3 em 3 sobra um; contando de 5 em 5 > também sobra um; mas contando de 7 em 7 não sobra > nenhum. O total de exercícios não chega a um centena. > Então, o número de exercícios resolvidos é tal que a > soma dos seus algarismos é igual a: > > 8 > 9 > 10 > 11 > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. > http://br.busca.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 11:34:39 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA30415 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 11:33:07 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA30410 for ; Thu, 13 Feb 2003 11:33:01 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.228]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1DDVHk16606 for ; Thu, 13 Feb 2003 11:31:17 -0200 Message-ID: <003c01c2d36d$1b12ad20$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030213120208.1156.qmail@web41510.mail.yahoo.com> Subject: Re: [obm-l] problema04 Date: Thu, 13 Feb 2003 11:35:06 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br N = número de exercícios resolvidos. 1) contando de 2 em 2 sobra um ==> N = 2a + 1 para algum inteiro positivo a 2) contando de 3 em 3 sobra um ==> N = 3b + 1 3) contando de 5 em 5 sobra um ==> N = 5c + 1 4) contando de 7 em 7 não sobra nenhum ==> N = 7d Como N < 100, podemos resolver este problema por enumeração (existem técnicas mais avançadas, inclusive uma que envolve o "Teorema Chinês dos Restos", mas isso seria complicar demais...) (4) ==> N é múltiplo de 7 ==> N é um dos números: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98 (3) ==> N = 5c + 1 ==> o último algarismo de N é 1 ou 6 ==> eliminamos: 7, 14, 28, 35, 42, 49, 63, 70, 77, 84 e 98 ==> ficamos reduzidos a: 21, 56 e 91 (1) ==> N = 2a + 1 ==> N é ímpar ==> eliminamos 56 ==> ficamos reduzidos a 21 e 91. (2) ==> N é da forma 3a+1 ==> eliminamos 21, que é múltiplo de 3 ==> N = 91 ( = 3*30 + 1) Logo a soma dos algarismos de N é 1+9 = 10. Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "elton francisco ferreira" To: Sent: Thursday, February 13, 2003 9:02 AM Subject: [obm-l] problema04 > Um aluno de uma escola, indagado sobre o número de > exercícios de matemática que havia resolvido naquele > dia respondeu: não sei, mais contando de 2 em 2 sobra > um; contando de 3 em 3 sobra um; contando de 5 em 5 > também sobra um; mas contando de 7 em 7 não sobra > nenhum. O total de exercícios não chega a um centena. > Então, o número de exercícios resolvidos é tal que a > soma dos seus algarismos é igual a: > > 8 > 9 > 10 > 11 > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. > http://br.busca.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 12:58:08 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA02541 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 12:56:19 -0200 Received: from web40910.mail.yahoo.com (web40910.mail.yahoo.com [66.218.78.207]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id MAA02534 for ; Thu, 13 Feb 2003 12:56:13 -0200 Message-ID: <20030213145542.18025.qmail@web40910.mail.yahoo.com> Received: from [147.65.5.202] by web40910.mail.yahoo.com via HTTP; Thu, 13 Feb 2003 11:55:42 ART Date: Thu, 13 Feb 2003 11:55:42 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Bruno=20Lima?= Subject: [obm-l] pctex To: OBM lISTA MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-1688054179-1045148142=:17290" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --0-1688054179-1045148142=:17290 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Alguem sabe um bom site onde posso baixar o PCTEX ? --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-1688054179-1045148142=:17290 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Alguem sabe um bom site onde posso baixar o PCTEX ?


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O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-1688054179-1045148142=:17290-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 13:05:38 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA02819 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 13:04:18 -0200 Received: from hotmail.com (f99.sea1.hotmail.com [207.68.163.99]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA02809 for ; Thu, 13 Feb 2003 13:04:11 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Thu, 13 Feb 2003 07:03:39 -0800 Received: from 198.81.8.1 by sea1fd.sea1.hotmail.msn.com with HTTP; Thu, 13 Feb 2003 15:03:38 GMT X-Originating-IP: [198.81.8.1] From: "Frederico Reis Marques de Brito" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Deve haver fissao da lista? Date: Thu, 13 Feb 2003 13:03:38 -0200 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 13 Feb 2003 15:03:39.0253 (UTC) FILETIME=[171FF250:01C2D371] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Desculpem-me mas não entendo os motivos para uma fissão! Frederico. >From: "Antonio Neto" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: obm-l@mat.puc-rio.br >Subject: Re: [obm-l] Deve haver fissao da lista? >Date: Tue, 11 Feb 2003 21:11:55 +0000 > > Amigo Nicolau, > > uma proposta brincalhona: vamos fazer uma fissão na lista. Em uma >ficariamos todos, exceto dois. Na outra, o falso Wagner e o Faelccmm. Acho >que tenho o apoio do Morgado. Abracos, olavo. > > > > > > > >>From: "Nicolau C. Saldanha" >>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >>To: obm-l@mat.puc-rio.br >>Subject: [obm-l] Deve haver fissao da lista? >>Date: Tue, 11 Feb 2003 14:46:37 -0200 >> >>Esta proposta de fissão da lista já apareceu várias vezes. >>Tecnicamente ela é muito fácil de ser implementada, a pergunta >>é se tal fissão é desejável. Todas as vezes que a proposta foi feita >>houve um pouco de discussão e me parecia no final que não havia maioria >>a favor da fissão. >> >>O fato da discussão já ter ocorrido antes não é, a meu ver, motivo >>para que a discussão não volte a ocorrer pois a realidade da lista >>tem mudado bastante. Por exemplo, o número de mensagens tem crescido >>muito. Há dois anos eu era totalmente contra a fissão: hoje não tenho >>mais tanta certeza... >> >>Eu sugiro que quem tiver uma opinião mande um e-mail particular para >>mim dizendo se é a favor da fissão e porque. Dentro de uma semana >>eu mandarei o resultado da votação para a lista. >> >>[]s, N. >>========================================================================= >>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >>O administrador desta lista é >>========================================================================= > > >_________________________________________________________________ >Add photos to your messages with MSN 8. Get 2 months FREE*. >http://join.msn.com/?page=features/featuredemail > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= _________________________________________________________________ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 13:12:53 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA03089 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 13:11:18 -0200 Received: from web01.poli.usp.br (web01.poli.usp.br [143.107.106.16]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA03085 for ; Thu, 13 Feb 2003 13:11:11 -0200 Received: from apl03.poli.usp.br ([143.107.106.15]) by web01.poli.usp.br with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5329); Thu, 13 Feb 2003 13:10:39 -0200 content-class: urn:content-classes:message MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/mixed; boundary="----_=_NextPart_001_01C2D372.11865097" X-MimeOLE: Produced By Microsoft Exchange V6.0.6249.0 Subject: RE: [obm-l] Mais probabilidade e combinatoria Date: Thu, 13 Feb 2003 13:10:39 -0200 Message-ID: <2B184DFE97456744924ACF58987D941D01935322@apl03.poli.usp.br> X-MS-Has-Attach: X-MS-TNEF-Correlator: <2B184DFE97456744924ACF58987D941D01935322@apl03.poli.usp.br> Thread-Topic: [obm-l] Mais probabilidade e combinatoria Thread-Index: AcLTV5lnoyfh9FRmTwi6FUKjrymZewAGNV15 From: "Edilon Ribeiro da Silva" To: X-OriginalArrivalTime: 13 Feb 2003 15:10:39.0843 (UTC) FILETIME=[11D0E330:01C2D372] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------_=_NextPart_001_01C2D372.11865097 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable O Andre tem razao. Veja: (a1 + a2 + a3 + ... + aN)^2 =3D (a1 + a2 + a3 + ... + aN)*(a1 + a2 + a3 = + ... + aN)=20 =3D a1*(a1 + a2 + a3 + ... + = aN) + a2*(a1 + a2 + a3 + ... + aN) + a3*(a1 + a2 + a3 + ... + aN) + ...=20 ....+ aN*(a1 + a2 + a3 + = ... + aN) =3D =3D a1*a1 + a1*a2 + a1*a3 + = ... +a1*aN + a2*a1 + a2*a2 + a2*a3 + ... + a2*aN + .... a3*a1 + a3*a2 + = a3*aN + ... + a3*aN + .... ..... + .... +aN*a1 + = aN*a2 + aN*a3 + ...+ aN*aN =3D N N =3D Som Som (ai*aj). i =3D1 j=3D1 Obs: A soma acima significa somatorio duplo e nao produto = de somatorios. =20 Edilon R. -------------------------------------------------------------------------= -------------------------------- 3)ITA-68. Sejam a1, a2,.......an numeros reais.A express=E3o ( a1+a2+.....an)^2 =E9 igual a ....... =09 resp: Somatorio de i variando de 1 a n multiplicado por somatorio de j variando de 1 a n de ai.aj. =09 =09 =09 Desde j=E1 muito obrigado pela ajuda. =09 Um abra=E7o. =09 Amurpe ------_=_NextPart_001_01C2D372.11865097 Content-Type: application/ms-tnef; name="winmail.dat" Content-Transfer-Encoding: base64 eJ8+IigPAQaQCAAEAAAAAAABAAEAAQeQBgAIAAAA5AQAAAAAAADoAAEIgAcAGAAAAElQTS5NaWNy b3NvZnQgTWFpbC5Ob3RlADEIAQ2ABAACAAAAAgACAAEEgAEALgAAAFJFOiBbb2JtLWxdIE1haXMg cHJvYmFiaWxpZGFkZSBlIGNvbWJpbmF0b3JpYQApEAEFgAMADgAAANMHAgANAA0ACgAnAAQAKwEB IIADAA4AAADTBwIADQANAAoAJwAEACsBAQmAAQAhAAAANjQyNzNFOTZBQjc1M0I0QUJDN0I3RDFB NjczMEQxRTEAOQcBA5AGAGgVAAA2AAAAAwA2AAAAAABAADkAl1CGEXLTwgEeAD0AAQAAAAUAAABS RTogAAAAAAIBRwABAAAALAAAAGM9QlI7YT0gO3A9RVBVU1A7bD1BUEwwMy0wMzAyMTMxNTEwMzla LTU2NDkAHgBJAAEAAAAqAAAAW29ibS1sXSBNYWlzIHByb2JhYmlsaWRhZGUgZSBjb21iaW5hdG9y 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XA6yvQGQZxTwCqMR4x3oNBTwADwhRE9DVFlQAEUgSFRNTCBQAFVCTElDICItIC8vVzNDIYBEVCJE IJQzLjIhgEVOnCI+Hu0ejyPBMTgf8G8goiMPJB8mkDMdgCVwRXxBRCXNDvEm7ylvJPQ2QQ7wPE1F VEEHsEExLGA9IkcJ8ASQYXRFBbAiEtBPTlQi0FQTLPAF4UV4EPFuZ2U9BlJ2EzEvQQCQAiAgNhAu MC42HXA5LjEnIv4qzyUDNzcf8FRJKFRMRSXONA7wW2/gYm0tbF0F0AtwBCAacANgYgGgAxBpZGH9 AQAgLvAFoAbQC4AtYgcw9SRuNR/wLzNPMX8mRTSRLzhwKE8mnzxENRFgPEIAT0RZIGRpcj19PGBy O7A8IwAhAzA+wWTObwDgPsEKsVxxGLA+wX8Q8AMwPyURYDvbHPE832fEOTYf8ERJVj75AAAzQTc7 +TY0RG9BjzE0FSVRRi3RIACQemU9LjJEWwviQRlPEXBuZAsY0B2cOB2AJm5ic2ZwAoA/GCdhAUBH R3RcZW1L70z/TgogLVB6AGFvLiBWZWph6jokfDVD8S9I8j75Pwd/RZsBwD8HCqJUyAqAJHww/ygR IeBEO1TJQc9C30ZgH/D+UD76CrEKgVoHRp9Hr0i/E0nPX2coYQ7wKyBhaxTwY8EzY7EuZIBjsk60 KV4U8D1jf2SHKmVn/zpcW3VkHl/tU49UnFZfV2X/XS9ff1XkOGFc8VqfW69cvv9fT2BfCqNhb2J/ Tv9QD04K/3jfee96/3wPfR9+L38/gE//gV+Cb4N/hI+Fn4avh7+Iz/+J34rvi/+ND44fjy+QP5FP /5Jfk2+Uf5WPlp+Xr5i/mc//mt+b75z/ng+fH6AvoT+iT/+jX6RvpX+mj6efqK+pv6rP/6vfrO+t /68PsB+xL7I/s0//tF+1b7Z/t4+4n7mvur+7z/+8373vvv/AD8Efwi/DP8RP/8Vfxm/Hf8iPyZ/K 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K0EyK0EzKytBTikqKEExK0EyK0EzKytBTik9QTEqKEExK0EyK0EzKytBTikrQTIqKEExK0EyK0Ez KytBTikAAAAAAgF/AAEAAAA9AAAAPDJCMTg0REZFOTc0NTY3NDQ5MjRBQ0Y1ODk4N0Q5NDFEMDE5 MzUzMjJAYXBsMDMucG9saS51c3AuYnI+AAAAAGWE ------_=_NextPart_001_01C2D372.11865097-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 13:40:10 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA04474 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 13:38:36 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA04470 for ; Thu, 13 Feb 2003 13:38:31 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.224]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1DFakk22765 for ; Thu, 13 Feb 2003 13:36:46 -0200 Message-ID: <00b801c2d37e$a3676ec0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Geometria_Plana=2C_Propriedade_e_C=E1lculo?= Date: Thu, 13 Feb 2003 13:40:36 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caro Igor: Seguem-se meus comentários. > 1°)Um triângulo ABC tem lados medindo a, b, c. Tangentes > ao círculo inscrito são construídas paralelas aos lados. > Cada tangente forma um triângulo com os dois outros > lados do triângulo e um círculo é inscrito em cada um > dos três triângulos. Encontrar a área total dos quatro > círculos inscritos. Sejam P e Q os pontos de interseção da tangente ao incírculo paralela ao lado BC, com os lados AB e AC, respectivamente ==> Triângulo APQ ~ Triângulo ABC. R = raio do incírculo de ABC Ha = altura de ABC relativa ao lado BC ==> Ha - 2*R = altura de APQ relativa ao lado PQ A = área do triângulo ABC = (1/2)*a*Ha ==> p =semi-perímetro do triangulo ABC = (a+b+c)/2 ==> A = p*R Logo, (1/2)*a*Ha = p*R ==> Ha = 2*p*R/a (1) Ra = raio do incírculo de APQ Por causa da semelhança de APQ e ABC, teremos: Ra / (Ha - 2*R) = R / Ha ==> Ra = R - 2*R^2/Ha (2) (1) e (2) ==> Ra = R*(p-a)/p Analogamente, temos que Rb = R*(p-b)/p e Rc = R*(p-c)/p A soma das áreas dos três círculos será: S = Pi*(R^2 + Ra^2 + Rb^2 + Rc^2) = Pi*R^2*(p^2 + (p-a)^2 + (p-b)^2 + (p-c)^2)/p^2 (3) Agora falta expressar R^2 em função de a, b e c: A = raiz(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) = p*R ==> R^2 = (p-a)*(p-b)*(p-c)/p (4) (3) e (4) ==> S = Pi*(p-a)*(p-b)*(p-c)*[p^2+(p-a)^2+(p-b)^2+(p-c)^2]/p^3 onde p = (a+b+c)/2 *************** > 2°) Achei essa propriedade interessante e resolvi repassa > r: > (n-1)(n-2)/2 + n(n-1)/2 = (n-1)² > [(n-1)/2]*(n -2 +n) = (n-1)² > [(n-1)/2]*(2n -2) = (n-1)² > [(n-1)/2]*2(n-1) = (n-1)² > (n-1)*(n-1) = (n-1)² > (n-1)=(n-1) > Ou seja, todo quadrado perfeito é soma de dois números triangulares. Um outro problema parecido (que apareceu há pouco tempo na lista) é provar que todo cubo perfeito é diferença de dois quadrados. ******************** > 3°) Cálculo I > I)Construa o gráfico da função f(x)= sech(x) (secante > hiperbólica) > Secante hiperbólica é o inverso do cosseno hiperbólico > cosseno hiperbólico = (e^x + 1/e^x)/2 > Esse é um exercício meio braçal de derivação, onde você deve achar as interseções com os eixos, os pontos extremos e de inflexão e as assíntotas do gráfico de y = Sech(x). > I) Dada a função x^2 + xy + y^2 = 1 calcule o ponto mais > próximo da origem. Trata-se de minimizar d = raiz(x^2 + y^2) sujeito a x^2 + xy + y^2 = 1. Uma forma seria usar o método dos multiplicadores de Lagrange. No entanto, como isso é Cálculo I, uma forma mais sutil seria reconhecer que a curva (não é uma função) de equação: x^2 + xy + y^2 = 1 é uma elipse centrada na origem e cujos eixos estão contidos nas retas y = x e y = -x. Por exemplo, você pode fazer uma rotação dos eixos coordenados através da mudança de variáveis: x = ucosA - vsenA e y = usenA + vcosA Usando a equação original e simplificando, você chega a: x^2 + xy + y^2 = 1 = (1+senAcosA)u^2 + (1-senAcosA)v^2 + (cos^2A - sen^2A)uv Para eliminar o termo em uv, você pode escolher, por exemplo, cosA = senA = 1/raiz(2) (A = 45 graus). Assim, a equação fica: (3/2)*u^2 + (1/2)*v^2 = 1 ==> u^2/[raiz(6)/3]^2 + v^2/[raiz(2)]^2 =1 ==> Elipse de semi-eixos raiz(6)/3 e raiz(2). Logo, os dois pontos mais próximos (e também os dois mais distantes) da origem serão os vértices da elipse. y = x ==> x^2 + x*x + x^2 = 1 ==> 3x^2 = 1 ==> x = y = 1/raiz(3) ou x = y = -1/raiz(3) ==> Distância = raiz(x^2+y^2) = raiz(1/3+1/3) =raiz(6)/3 y = -x ==> x^2 - x^2 + x^2 = 1 ==> x^2 = 1 ==> x = 1, y = -1 ou x = -1, y = 1 ==> Distância = raiz(1^2+1^2) = raiz(2) Logo, a distância mínima da elipse até a origem é igual a raiz(6)/3. Os pontos correspondentes são (1/raiz(3),1/raiz(3)) e (-1/raiz(3),-1/raiz(3)). Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 14:16:21 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA06199 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 14:14:28 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA06192 for ; Thu, 13 Feb 2003 14:14:24 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.224]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1DGCek24728 for ; Thu, 13 Feb 2003 14:12:40 -0200 Message-ID: <011301c2d383$a7653700$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <2B184DFE97456744924ACF58987D941D01935322@apl03.poli.usp.br> Subject: Re: [obm-l] Mais probabilidade e combinatoria Date: Thu, 13 Feb 2003 14:16:30 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Apesar do que, neste caso, produto dos somatórios = somatório ao quadrado. Meio sem graça este problema.... ----- Original Message ----- From: "Edilon Ribeiro da Silva" To: Sent: Thursday, February 13, 2003 12:10 PM Subject: RE: [obm-l] Mais probabilidade e combinatoria O Andre tem razao. Veja: (a1 + a2 + a3 + ... + aN)^2 = (a1 + a2 + a3 + ... + aN)*(a1 + a2 + a3 + ... + aN) = a1*(a1 + a2 + a3 + ... + aN) + a2*(a1 + a2 + a3 + ... + aN) + a3*(a1 + a2 + a3 + ... + aN) + ... ....+ aN*(a1 + a2 + a3 + ... + aN) = = a1*a1 + a1*a2 + a1*a3 + ... +a1*aN + a2*a1 + a2*a2 + a2*a3 + ... + a2*aN + .... a3*a1 + a3*a2 + a3*aN + ... + a3*aN + .... ..... + .... +aN*a1 + aN*a2 + aN*a3 + ...+ aN*aN = N N = Som Som (ai*aj). i =1 j=1 Obs: A soma acima significa somatorio duplo e nao produto de somatorios. Edilon R. ---------------------------------------------------------------------------- ----------------------------- 3)ITA-68. Sejam a1, a2,.......an numeros reais.A expressão ( a1+a2+.....an)^2 é igual a ....... resp: Somatorio de i variando de 1 a n multiplicado por somatorio de j variando de 1 a n de ai.aj. Desde já muito obrigado pela ajuda. Um abraço. Amurpe ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 14:59:05 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA07967 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 14:57:10 -0200 Received: from hotmail.com (oe16.law10.hotmail.com [64.4.14.120]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA07963 for ; Thu, 13 Feb 2003 14:57:06 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Thu, 13 Feb 2003 08:56:34 -0800 X-Originating-IP: [64.60.139.18] From: "leandro" To: Subject: RE: [obm-l] pctex Date: Thu, 13 Feb 2003 08:56:37 -0800 Message-ID: <003c01c2d380$df4e7210$28029b9b@LeandroRecova> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_003D_01C2D33D.D12B3210" X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook, Build 10.0.3416 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 Importance: Normal In-Reply-To: <20030213145542.18025.qmail@web40910.mail.yahoo.com> X-OriginalArrivalTime: 13 Feb 2003 16:56:34.0813 (UTC) FILETIME=[DDAC5AD0:01C2D380] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_003D_01C2D33D.D12B3210 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Eu nao sei se existe versao pra download na Internet. Voce deve comprar esse software !!! Vai no seu depto de matematica que com certeza alguem o tem.=20 =20 -----Original Message----- From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Bruno Lima Sent: Thursday, February 13, 2003 6:56 AM To: OBM lISTA Subject: [obm-l] pctex =20 Alguem sabe um bom site onde posso baixar o PCTEX ? =20 _____ =20 Busca Yahoo! =20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o = Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_003D_01C2D33D.D12B3210 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable

Eu nao sei se = existe versao pra download na Internet. Voce deve comprar esse software !!! = =A0Vai no seu depto de matematica que com certeza alguem o tem.

 

-----Original = Message-----
From: = owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Bruno Lima
Sent: Thursday, February = 13, 2003 6:56 AM
To: OBM lISTA
Subject: [obm-l] = pctex

 

Alguem sabe um bom site onde posso baixar o = PCTEX ?

 

Busca Yahoo! =
O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o = Yahoo! encontra.

------=_NextPart_000_003D_01C2D33D.D12B3210-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 15:12:08 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA08405 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 15:10:34 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA08400 for ; Thu, 13 Feb 2003 15:10:30 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.229]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1DH8jk28334 for ; Thu, 13 Feb 2003 15:08:45 -0200 Message-ID: <013901c2d38b$7cefcb40$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Re:_=5Bobm-l=5D_Previd=EAncia?= Date: Thu, 13 Feb 2003 15:12:35 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caro Paulo: Aqui vai minha solução para o seguinte > PROBLEMA : > > Basicamente existem dois regimes de juros : simples e composto. > > 1) Prove que no sistema de juros composto, dois conjuntos de capitais > equivalentes em uma determinada data sao equivalente em qualquer outra. Sejam A(t) e B(t) os dois capitais (no instante t). Seja R = taxa de juros Suponhamos que A(t1) = B(t1) Se t2 < t1, então A(t2) = A(t1)/(1+R)^(t2-t1) = B(t1)/(1+R)^(t2-t1) = B(t2) Se t2 > t1, então A(t2) = A(t1)*(1+R)^(t2-t1) = B(t1)*(1+R)^(t2-t1) = B(t2) Ou seja , se para algum t1, A(t1) = B(t1), então, para qualquer t, A(t) = B(t). ************* > 2) Pode, no sistema de juros simples, dois conjuntos de capitais serem > equivalentes em MAIS DE UMA DATA ? > Suponhamos (s.p.d.g.) que t1 < t2 e que A(t1) = B(t1) Então: A(t2) = A(t1)*[1+R*(t2-t1)] = B(t1)*[1+R*(t2-t1)] = B(t2) Logo, a resposta me parece ser SIM. Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 15:12:41 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA08444 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 15:11:15 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA08439 for ; Thu, 13 Feb 2003 15:11:11 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.229]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1DH9Rk28390 for ; Thu, 13 Feb 2003 15:09:27 -0200 Message-ID: <013a01c2d38b$96358540$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: Subject: Re: [obm-l] Tres belos problemas Date: Thu, 13 Feb 2003 15:13:17 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caro Paulo: Seguem abaixo minhas soluções para os 2 primeiros problemas: > 1) Um quadrado e um triangulo estao circunscritos a um circulo de lado > unitario. Prove que, qualquer que seja a posicao do quadrado e do triangulo, > a area comum aos dois e maior que 17/5. E possivel afirmar que ela e maior > que 7/2 ? > Imagino que você queira dizer círculo de RAIO unitário. Qualquer reta tangente ao círculo divide o plano das figuras em dois semi-planos. Considere a porção do quadrado contida no semi-plano oposto àquele que contém o círculo. A área da porção será máxima quando a reta fizer um ângulo de 45 graus com os dois lados do quadrado por ela interceptados ==> a porção será um pequeno triângulo retângulo isósceles de área = (raiz(2)-1)^2 = 3 - 2raiz(2). Imagine agora um triângulo isosceles tangente ao círculo e tal que sua base seja perpendicular à diagonal do quadrado. Quanto menor a base, maior a altura do triângulo e menor a área comum. No limite, quando o triângulo degenera e os lados iguais tornam-se paralelos, a área comum será igual à área do quadrado menos as áreas de 3 triângulos retângulos isósceles tais como descrito acima ==> Área Comum = 4 - 3*(3-2raiz(2)) = 6raiz(2) - 5 ~ 3,48528.... > 17/5. Excluindo o caso degenerado, podemos dizer que inf(Área Comum) = 6raiz(2) - 5, mas que o ínfimo nunca é atingido. No entanto, podemos tornar os lados iguais longos o suficiente de forma que: 7/2 > Área Comum > 6raiz(2) - 5 > 17/2. Logo, é possível que Área Comum < 7/2. Agora, só falta provar que qualquer outro triângulo tangente ao círculo produzirá uma área comum > 6raiz(2) - 5. Isso pode ser feito mais facilmente se tratarmos 2 casos separadamente: Caso 1: Nenhum dos lados do triângulo tem o mesmo suporte que algum lado do quadrado. Nesse caso, a área comum será igual à área do quadrado menos as áreas de três triângulos retângulos (não necessariamente isósceles), cuja soma será menor que 3 - 2raiz(2) ==> área comum > 6raiz(2) - 5. Caso 2: Um dos lados do triângulo contém um lado do quadrado. Nesse caso, a área comum será igual à área do quadrado menos as áreas de apenas dois triângulos retângulos. Assim, com mais razão ainda, teremos área comum > 6raiz(2) - 5. ******************* > 2) ( Olimpiada Espanhola ) Em uma reuniao existem exatamente 201 pessoas de > 5 nacionalidades diferentes. Sabe-se que em cada grupo de 6 pessoas, ao > menos duas tem a mesma idade. Demonstrar que existem ao menos 5 pessoas do > mesmo pais, da mesma idade e do mesmo sexo. > Esquecendo, por enquanto, as idades, vamos classificar as pessoas quanto ao sexo (2 possibilidades, mas posso estar sendo meio antiquado...) e à nacionalidade (5 possibilidades). Logo, quanto a estes dois quesitos, existem 2*5 = 10 tipos de pessoa. Se houver no máximo 20 pessoas de cada tipo, então o número total de pessoas será <= 20*10 = 200 ==> contradição, pois temos 201 pessoas ==> existe um conjunto de pelo menos 21 pessoas tais que todas têm o mesmo sexo e a mesma nacionalidade. Vamos ordenar as 21 pessoas mais jovens deste conjunto em ordem crescente de idade. Chamemo-las de: A1, A2, ..., A21 (ordenação usual, ou seja, se i < j, então id(Ai) <= (Aj) - id = idade). Suponhamos que, neste grupo de 21 pessoas, haja no máximo 4 pessoas de uma mesma idade. Formemos os seguintes subgrupos: {A1,A2,A3,A4} {A5,A6,A7,A8} {A9,A10,A11,A12} {A13,A14,A15,A16} {A17,A18,A19,A20} {A21} Teremos então: id(A1) <= id(A5) <= id(A9) <= id(A13) <= id(A17) <= id(A21). Além disso, como por hipótese no máximo 4 pessoas têm a mesma idade, as desigualdades acima devem ser estritas (caso contrário, poderíamos ter, por exemplo, id(A1) = id(A5), o que implicaria, por causa da ordenação, que A1, A2, A3, A4 e A5 tivessem todos a mesma idade, contrariando a hipótese). Logo: id(A1) < id(A5) < id(A9) < id(A13) < id(A17) < id(A21), ou seja, estas seis pessoas têm idades distintas ==> contradição, pois em cada grupo de 6 pessoas sempre existem 2 com a mesma idade ==> existem pelo menos 5 pessoas (dentre estas 21) com a mesma idade. Logo, na reunião de 201 pessoas existem 5 pessoas com mesmo sexo, idade e nacionalidade. **************** Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 15:34:33 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA09250 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 15:32:36 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA09246 for ; Thu, 13 Feb 2003 15:32:32 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1DHUnk29774 for ; Thu, 13 Feb 2003 15:30:49 -0200 Message-ID: <016001c2d38e$9227e4e0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <006501c2d25c$d268c160$0c01a8c0@mshome.net> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_RE:__Fun=E7=E3o_uniformemente_difere?= =?iso-8859-1?Q?nci=E1vel_e_outros_t=F3picos?= Date: Thu, 13 Feb 2003 15:34:39 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caro Artur: Obrigado pelos comentários. Em relação ao item (2), será que um exemplo do fenômeno que você menciona (o fato de f ser diferenciável em I não garante que f' seja Riemann integrável em sub-intervalos fechados de I) seria a nossa velha amiga: f(x) = x^2*sen(1/x) se x<>0 e f(0) = 0 ? Já que se uma função é contínua, então ela é Riemann-integrável, teremos, pelo contrapositivo, que se ela não for Riemann-integrável, então ela não será contínua. E a nossa amiga é diferenciável mas f' é descontínua em x = 0. Um outro ponto sobre o qual eu estou em dúvida é o seguinte: É verdade que se f' não é limitada num intervalo I, então, para todo K > 0, existirão x e y em I, com x < y, tais que para todo t entre x e y, f'(t) > K ? Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Artur Costa Steiner" To: ; Sent: Wednesday, February 12, 2003 3:06 AM Subject: [obm-l] RE: Função uniformemente diferenciável e outros tópicos > Boa noite, Cláudio e demais amigos > > A sua demonstração em (1) está perfeita. Suas idéias foram expostas com > extrema clareza, poderiam muito bem estar num livro de Análise Real. > > Dos itens 3 em diante, tudo OK na minha opinião > > No item (2), condição de Lipschitz, chamo apenas a atenção para uma > condição restritiva introduzida: o fato de f ser diferenciável em I não > garante que f' seja Riemann integrável em sub-intervalos fechados de I > (muita gente acha que isto é automático, mas na realidade não é). Se, > porém, assumirmos tal integrabilidade, creio que sua prova está correta. > Uma outra prova, que não se basia na integral, é a seguinte: > > Suponhamos que f seja diferenciável em I e que, além disto, satisfaça em > I à condição de Lipischitz. Existe então K>0 tal que |f(x) - f(y)| <= > K|x-y| para todos x, y em I . Logo, se x<>y , então |f(x) - f(y)|/(x-y) > <= K. No primeiro membro desta desigualdade, façamos y -> x. Como f é > diferenciável, este primeiro membro tende a |f'(x)| (pois o valor > absoluto é uma função contínua). Pelas propriedades dos limites de > funções reais, temos então que |f'(x)|<= K. Como x é arbitrário, > concluímos que f' é limitada em I pela constante K. > > Suponhamos agora, por outro lado, que f seja diferenciável em I e que f' > seja limitada em I. Existe então K>0 tal que |f'(u)| <=K (a) para todo u > em I. Dados quaisquer x e y em I, o T. Do Valor Médio aplica-se ao > intervalo fechado de pontos extremos x e y. Existe portanto z entre x e > y tal que f(x) - f(y) = f'(z) (x-y). Logo |f(x) - f(y)| = |f'(z)| |x-y|, > igualdade que, em virtude de (a) (pois z sempre está em I) nos mostra > que |f(x) - f(y)| <= K |x-y|. Logo, f obedece à condição de Lipschitz. > Observe que podemos sempre tomar K = supremo {|f'(u)| : u pertence a I}. > Observamos também que, se I= [a, b], então basta assumir > diferenciabilidade em (a, b) e continuidade nos extremos a e b. > > Como exemplo, seja f(x) = raiz(x) e I = [a, infinito), para a>0. Temos > que f'(x) = 1/[2*raiz(x)] e que supremo {|f'(x)| : x em I} = > 1/[2*raiz(a)]. Logo, qualquer que seja a>0, f satisfaz à condição de > Lipischitz em [a , infinito) com constante K= 1/[2*raiz(a)]. Observamos, > entretanto, que se a ->0+ então 1/[2*raiz(a)] -> +infinto, logo não > podemos extender a conclusão para [0, infinito) e , nem mesmo, para (a, > infinito) > > Por hoje é só. Por uma questão de espaço, tive que deletar a mensagem > original. > Um abraço para todos. > Artur > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 15:57:13 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA10657 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 15:55:45 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA10653 for ; Thu, 13 Feb 2003 15:55:41 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.224]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1DHrvk31116 for ; Thu, 13 Feb 2003 15:53:57 -0200 Message-ID: <018c01c2d391$cdd67da0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: Subject: Re: [obm-l] Hiperreais Date: Thu, 13 Feb 2003 15:57:48 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Análise Não-Standard é a formalização (100% rigorosa) do conceito de infinitésimo, que até meados do século XX (acredite ou não) ainda não estava totalmente estabelecido em bases seguras. Talvez valha a pena checar este site: http://mathforum.org/dr.math/faq/analysis_hyperreals.html Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Rubens Vilhena" To: Sent: Thursday, February 13, 2003 8:04 AM Subject: [obm-l] Hiperreais > > > Colegas, alguém aí poderia me explicar didaticamente, detalhadamente e > explicitamente o que é essa Análise Não-Standard? Que história é essa que eu > ouvi de hiperreais? O infinito aumentou? > []' > Rhel > > _________________________________________________________________ > MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 16:15:10 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA12029 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 16:12:06 -0200 Received: from hotmail.com (f11.sea2.hotmail.com [207.68.165.11]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA12025 for ; Thu, 13 Feb 2003 16:12:02 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Thu, 13 Feb 2003 10:11:31 -0800 Received: from 200.142.58.18 by sea2fd.sea2.hotmail.msn.com with HTTP; Thu, 13 Feb 2003 18:11:30 GMT X-Originating-IP: [200.142.58.18] From: "Paulo Santa Rita" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Dois belos problemas Date: Thu, 13 Feb 2003 18:11:30 +0000 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 13 Feb 2003 18:11:31.0068 (UTC) FILETIME=[55A66BC0:01C2D38B] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Ola Pessoal, Preservando e promovendo o CARATER OLIMPICO que esta nossa lista sempre teve, seguem dois novos PROBLEMAS OLIMPICOS : (1-ASIATICO PACIFICO) Seja S o conjunto de todos os triangulos ABC que teem um mesma base fixa AB e altura relatica a AB (tracada de C) constante e igual a H. Para quais destes triangulos o produto de suas alturas e maximo ? (2-CHINA) 10 pessoas chegaram a uma livraria. Sabe-se que : A) Todos as pessoas compraram livros de 3 disciplinas B) Para quaisquer duas pessoas existe ao menos uma disciplina sobre a qual ambas compraram livros. Enumerando-se as disciplinas sobre as quais ha livros na livraria, seja M(i) o numero de pessoas que compraram livros da disciplina "i". Qual e o menor valor positivo possivel para o MAXIMO de {M(1), M(2), ... } ? Estes problemas nao precisam de sugestao. Um Grande abraco a todos Paulo Santa Rita 5,1610,130203 _________________________________________________________________ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 18:15:01 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA15770 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 18:12:36 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA15765 for ; Thu, 13 Feb 2003 18:12:32 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1DKAmx07264 for ; Thu, 13 Feb 2003 18:10:48 -0200 Message-ID: <006101c2d3a4$ec7ce2e0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?Windows-1252?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: Subject: [obm-l] Problemas de Erdos que valem dinheiro Date: Thu, 13 Feb 2003 18:14:34 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_005E_01C2D38B.C3421D00" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_005E_01C2D38B.C3421D00 Content-Type: text/plain; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable HelpPaul Erdos costumava oferecer pr=EAmios em dinheiro (variando de US$ = 1,00 at=E9 alguns milhares de $$$ - dependendo do grau de dificuldade do = problema em quest=E3o) para quem conseguisse resolver algum dos = problemas propostos por ele. Algu=E9m saberia dizer onde posso encontrar uma lista de tais problemas? Eu me lembro de um na casa dos milhares de $$$:=20 Provar que se uma sequ=EAncia de n=FAmeros naturais (A(n)) =E9 tal que: SOMAT=D3RIO 1/A(n) diverge Ent=E3o esta sequ=EAncia cont=E9m progress=F5es aritm=E9ticas = arbitrariamente longas. Um abra=E7o, Claudio. ------=_NextPart_000_005E_01C2D38B.C3421D00 Content-Type: text/html; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Help
Paul Erdos costumava oferecer pr=EAmios em dinheiro (variando de = US$ 1,00 at=E9=20 alguns milhares de $$$ - dependendo do grau de dificuldade do problema = em=20 quest=E3o) para quem conseguisse resolver algum dos problemas propostos = por=20 ele.
 
Algu=E9m saberia dizer onde posso encontrar uma lista de tais=20 problemas?
 
Eu me lembro de um na casa dos milhares de $$$:
Provar que se uma sequ=EAncia de n=FAmeros naturais (A(n)) =E9 tal = que:
SOMAT=D3RIO 1/A(n) diverge
Ent=E3o esta sequ=EAncia cont=E9m progress=F5es aritm=E9ticas = arbitrariamente=20 longas.
 
Um abra=E7o,
Claudio.
------=_NextPart_000_005E_01C2D38B.C3421D00-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 18:19:01 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA15881 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 18:17:43 -0200 Received: from soling.fortalnet.com.br ([200.164.93.238]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA15868 for ; Thu, 13 Feb 2003 18:17:38 -0200 Received: from CemagCerver (ip-ip61.fortalnet.com.br [200.253.221.190]) by soling.fortalnet.com.br (8.12.4/8.11.6) with SMTP id h1DKA3VT024428 for ; Thu, 13 Feb 2003 17:10:03 -0300 Message-ID: <001b01c2d39d$7ec28a40$0203a8c0@CemagCerver> From: "Davidson Estanislau" To: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?B?ZXF1Yef1ZXM=?= Date: Thu, 13 Feb 2003 17:21:23 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_000F_01C2D384.555D0AE0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2800.1106 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_000F_01C2D384.555D0AE0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Algu=E9m, poderia me dar uma dica, de como resolver as equa=E7=F5es = abaixo? =20 Encontre duas solu=E7=F5es LI em s=E9rie de pot=EAncias em torno do = ponto x =3D 0. a.. y" + (x^2)y =3D 0; b.. y" - xy' + 2y =3D 0; c.. y" - 2xy' + 2y =3D 0; d.. (x + 2)y" + xy' - y =3D 0. Desde j=E1 agrade=E7o a todos. Davidson Estanislau ------=_NextPart_000_000F_01C2D384.555D0AE0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
 
    Algu=E9m, poderia me dar uma dica, de como = resolver as=20 equa=E7=F5es abaixo?
 
    Encontre duas solu=E7=F5es LI em s=E9rie de = pot=EAncias em torno=20 do ponto x =3D 0.
 
  •     y" + (x^2)y =3D 0;
  •     y" - xy' + 2y =3D 0;
  •     y" - 2xy' + 2y =3D 0;
  •     (x + 2)y" + xy' - y =3D 0.
     Desde j=E1 agrade=E7o a todos.
 
     Davidson Estanislau
------=_NextPart_000_000F_01C2D384.555D0AE0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 18:38:49 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA16568 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 18:37:27 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA16563 for ; Thu, 13 Feb 2003 18:37:23 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1DKZex08001 for ; Thu, 13 Feb 2003 18:35:40 -0200 Message-ID: <000b01c2d3a8$65f337c0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?Windows-1252?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: Subject: [obm-l] =?Windows-1252?Q?x^2+x+p_=E9_primo?= Date: Thu, 13 Feb 2003 18:39:32 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0008_01C2D38F.3FBB0380" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0008_01C2D38F.3FBB0380 Content-Type: text/plain; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable HelpCaros JP e Domingos Jr.: S=F3 pra clarificar. O enunciado fala em raiz quadrada ou raiz c=FAbica de (p/3) ? Abra=E7o, Claudio. ------=_NextPart_000_0008_01C2D38F.3FBB0380 Content-Type: text/html; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Help
Caros JP e Domingos Jr.:
 
S=F3 pra clarificar.
 
O enunciado fala em raiz quadrada ou raiz c=FAbica de (p/3) ?
 
Abra=E7o,
Claudio.
------=_NextPart_000_0008_01C2D38F.3FBB0380-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 19:00:39 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA17580 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 18:59:07 -0200 Received: from www.zipmail.com.br (200-221-11-147.portais-uolinc.uol.com.br [200.221.11.147] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA17522 for ; Thu, 13 Feb 2003 18:58:54 -0200 From: ghaeser@zipmail.com.br Received: from [200.158.6.105] by www.zipmail.com.br with HTTP; Thu, 13 Feb 2003 18:55:41 -0200 Message-ID: <3E4A891100002EFB@www.zipmail.com.br> Date: Thu, 13 Feb 2003 17:55:41 -0300 In-Reply-To: <001b01c2d39d$7ec28a40$0203a8c0@CemagCerver> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re=3A=20=5Bobm=2Dl=5D=20equa=E7=F5es?= To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id SAA17561 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br manda Frobenius nelas... suponha y=sum[an*x^n,{x,0,oo}] .. substitua na equação e vc encontrará uma relação de recorrência para an. se vc nao conseguir encontrar as duas soluções por este método, então utilize Frobenius generalizado... > Alguém, poderia me dar uma dica, de como resolver as equações abaixo? > > Encontre duas soluções LI em série de potências em torno do ponto x = >0. > > a.. y" + (x^2)y = 0; > b.. y" - xy' + 2y = 0; > c.. y" - 2xy' + 2y = 0; > d.. (x + 2)y" + xy' - y = 0. > Desde já agradeço a todos. > > Davidson Estanislau "Mathematicus nascitur, non fit" Matemáticos não são feitos, eles nascem --------------------------------------- Gabriel Haeser www.gabas.cjb.net ------------------------------------------ Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 20:30:53 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA19251 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 20:29:20 -0200 Received: (from nicolau@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA19246 for obm-l@mat.puc-rio.br; Thu, 13 Feb 2003 20:29:19 -0200 Date: Thu, 13 Feb 2003 20:29:19 -0200 From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Hiperreais Message-ID: <20030213202919.G18746@sucuri.mat.puc-rio.br> References: Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Disposition: inline Content-Transfer-Encoding: 8bit User-Agent: Mutt/1.2.5i In-Reply-To: ; from rhel2002@hotmail.com on Thu, Feb 13, 2003 at 11:04:09AM +0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Thu, Feb 13, 2003 at 11:04:09AM +0000, Rubens Vilhena wrote: > > > Colegas, alguém aí poderia me explicar didaticamente, detalhadamente e > explicitamente o que é essa Análise Não-Standard? Que história é essa que eu > ouvi de hiperreais? O infinito aumentou? > []' > Rhel Isto parece aquela piada do "exame final" em que se pede para o aluno contar a história do cristianismo desde as suas origens até hoje, sendo conciso, claro e detalhado. Análise Não-Standard é um assunto difícil, você precisa saber bastante lógica para entender direito. Não é possível "explicar didaticamente, detalhadamente e explicitamente" sem violar em muito o teto de 20000 caracteres por mensagem. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 20:44:22 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA19813 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 20:43:03 -0200 Received: from smtp-3.ig.com.br (smtp-3.ig.com.br [200.226.132.152]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id UAA19809 for ; Thu, 13 Feb 2003 20:43:00 -0200 Received: (qmail 31712 invoked from network); 13 Feb 2003 22:42:23 -0000 Received: from 200-140-080-135.bsace7026.dsl.brasiltelecom.net.br (HELO henrique) (blabla@200.140.80.135) by smtp-3.ig.com.br with SMTP; 13 Feb 2003 22:42:23 -0000 Message-ID: <001301c2d3b9$996f8bb0$019da8c0@henrique> From: "Henrique Branco" To: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?D=FAvidas_b=E1sicas...?= Date: Thu, 13 Feb 2003 20:42:40 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2800.1106 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Pessoal, Tenho duas dúvidas que são bem básicas... Existe alguma demonstração (formal, de preferencia) sobre x^0 = 1 e 0! = 1? Sendo 0! o fatorial de zero. Grato, Henrique. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 21:09:13 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA20904 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 21:07:44 -0200 Received: from silva5.uol.com.br (silva5.uol.com.br [200.221.4.52]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA20900 for ; Thu, 13 Feb 2003 21:07:41 -0200 Received: from gauss ([200.158.96.248]) by silva5.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with SMTP id VAA00211 for ; Thu, 13 Feb 2003 21:11:12 -0200 (BRST) Message-ID: <001401c2d3be$c69621d0$f8609ec8@gauss> From: "Domingos Jr." To: References: <000b01c2d3a8$65f337c0$3300c57d@bovespa.com> Subject: [obm-l] =?Windows-1252?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_x^2+x+p_=E9_primo?= Date: Thu, 13 Feb 2003 21:19:44 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0011_01C2D3A5.A0C89640" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2720.3000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0011_01C2D3A5.A0C89640 Content-Type: text/plain; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Helppelo que eu vi na prova da IMO que eu baixei =E9 raiz quadrada... pelo menos algu=E9m leu o que eu fiz!!! ----- Original Message -----=20 From: Cl=E1udio (Pr=E1tica)=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Thursday, February 13, 2003 6:39 PM Subject: [obm-l] x^2+x+p =E9 primo Caros JP e Domingos Jr.: S=F3 pra clarificar. O enunciado fala em raiz quadrada ou raiz c=FAbica de (p/3) ? Abra=E7o, Claudio. ------=_NextPart_000_0011_01C2D3A5.A0C89640 Content-Type: text/html; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Help
pelo que eu vi na prova da IMO que eu = baixei =E9 raiz=20 quadrada...
pelo menos algu=E9m leu o que eu = fiz!!!
----- Original Message -----
From:=20 Cl=E1udio = (Pr=E1tica)
Sent: Thursday, February 13, = 2003 6:39=20 PM
Subject: [obm-l] x^2+x+p =E9 = primo

Caros JP e Domingos Jr.:
 
S=F3 pra clarificar.
 
O enunciado fala em raiz quadrada ou raiz c=FAbica de (p/3) = ?
 
Abra=E7o,
Claudio.
------=_NextPart_000_0011_01C2D3A5.A0C89640-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 21:36:22 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA22072 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 21:34:41 -0200 Received: from smtp015.mail.yahoo.com (smtp015.mail.yahoo.com [216.136.173.59]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id VAA22066 for ; Thu, 13 Feb 2003 21:34:37 -0200 Received: from 131179.telemar.net.br (HELO david) (davidrvp@200.165.131.179 with login) by smtp.mail.vip.sc5.yahoo.com with SMTP; 13 Feb 2003 23:34:04 -0000 Message-ID: <003901c2d3b8$c0f637c0$01646464@david> From: "David Ricardo" To: References: <001301c2d3b9$996f8bb0$019da8c0@henrique> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_D=FAvidas_b=E1sicas...?= Date: Thu, 13 Feb 2003 20:36:31 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br 1) (x^1 / x^1) = x^(1-1) = x^0 = 1. 2) Quanto ao 0! eu não sei... Mas posso tentar uma resposta (nao sei se é realmente válida): 1! = 1 => 1! = 1 * 0! = 1 => 0! = 1 []s David _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 13 22:38:58 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA23701 for obm-l-MTTP; Thu, 13 Feb 2003 22:37:09 -0200 Received: from imo-d09.mx.aol.com (imo-d09.mx.aol.com [205.188.157.41]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA23697 for ; Thu, 13 Feb 2003 22:37:04 -0200 From: Lltmdrtm@aol.com Received: from Lltmdrtm@aol.com by imo-d09.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.6b.9e8dc99 (4246) for ; Thu, 13 Feb 2003 19:36:25 -0500 (EST) Message-ID: <6b.9e8dc99.2b7d9409@aol.com> Date: Thu, 13 Feb 2003 19:36:25 EST Subject: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?Estou=20na=20d=FAvida=20=E9=2015/16=20=20ou=20=20?= =?ISO-8859-1?Q?=208/10=20?= To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_6b.9e8dc99.2b7d9409_boundary" X-Mailer: 7.0 for Windows sub 10501 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --part1_6b.9e8dc99.2b7d9409_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Duas equipes disputam entre si uma s=E9rie de jogos em que n=E3o pode ocorre= r=20 empate e as duas equipes t=EAm as mesmas chances de vit=F3ria. A primeira eq= uipe=20 que conseguir duas vit=F3rias seguidas ou tr=EAs vit=F3rias alternadas vence= a=20 s=E9rie de jogos. Qual a probabilidade de uma equipe vencer a s=E9rie de jog= os=20 com duas vit=F3rias seguidas? Estou na d=FAvida =E9 15/16 ou 8/10=20 --part1_6b.9e8dc99.2b7d9409_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Duas equipes disputam entre si uma s=E9rie de jogos em= que n=E3o pode ocorrer empate e as duas equipes t=EAm as mesmas chances de=20= vit=F3ria. A primeira equipe que conseguir duas vit=F3rias seguidas ou tr= =EAs vit=F3rias alternadas vence a s=E9rie de jogos. Qual a probabilidade de= uma equipe vencer a s=E9rie de jogos com duas vit=F3rias seguidas?


Estou na d=FAvida =E9 15/16  ou   8/10

--part1_6b.9e8dc99.2b7d9409_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 14 10:31:39 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA00369 for obm-l-MTTP; Fri, 14 Feb 2003 10:29:02 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id KAA00363 for ; Fri, 14 Feb 2003 10:28:51 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.224]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1ECR3Z26309 for ; Fri, 14 Feb 2003 10:27:04 -0200 Message-ID: <002901c2d42d$4ecd7620$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <001b01c2d39d$7ec28a40$0203a8c0@CemagCerver> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_equa=E7=F5es?= Date: Fri, 14 Feb 2003 10:30:52 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0026_01C2D414.264B51E0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0026_01C2D414.264B51E0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Suponha que y =3D A0 + A1*x + A2*x^2 + .... + An*x^n + .... Ent=E3o:=20 y' =3D A1 + 2*A2*x + 3*A3*x^2 + ... + n*An*x^(n-1) + ... y'' =3D 2*A2 + 6*A3*x + 12*A4*x^2 + ... + n*(n-1)*An*x^(n-2) + ... Tratemos da primeira equa=E7=E3o: y'' + x^2*y =3D 0 =3D=3D> 2*A2 + 6*A3*x + ... + n*(n-1)*An*x^(n-2) + ... + x^2*(A0 + A1*x + A2*x^2 = + .... + An*x^n + ....) =3D 0 =3D=3D> 2*A2 + 6*A3*x + [12*A4+A0]*x^2 + ... + [n*(n-1)*An + A(n-4)]*x^(n-2) + = ... =3D 0 Ou seja: 2*A2 =3D 0 =3D=3D> A2 =3D 0 6*A3 =3D 0 =3D=3D> A3 =3D 0 12*A4 + A0 =3D 0 =3D=3D> A4 =3D -A0/12 20*A5 + A1 =3D 0 =3D=3D> A5 =3D -A1/20 30*A6 + A2 =3D 0 =3D=3D> A6 =3D -A2/30 =3D 0 42*A7 + A3 =3D 0 =3D=3D> A7 =3D -A3/42 =3D 0=20 56*A8 + A4 =3D 0 =3D=3D> A8 =3D -A4/56 =3D -(-A0/12)/56 =3D A0/672 72*A9 + A5 =3D 0 =3D=3D> A9 =3D -A5/72 =3D -(-A1/20)/72 =3D A1/1440=20 .... n*(n-1)*An + A(n-4) =3D=3D> An =3D -A(n-4)/[n*(n-1)] .... Dessas equa=E7=F5es voc=EA v=EA que todos os coeficientes podem ser = expressos em fun=E7=E3o de A0 e A1 (o que faz sentido, pois trata-se de = uma equa=E7=E3o de segunda ordem e, portanto, deve ter duas constantes = de integra=E7=E3o). Por exemplo, fazendo A0 =3D 1 e A1 =3D 0, voc=EA obt=E9m uma s=E9rie = cujos =FAnicos coeficientes n=E3o nulos s=E3o os An com n m=FAltiplo de = 4. Por outro lado, fazendo A0 =3D 0 e A1 =3D 1, voc=EA obt=E9m uma s=E9rie = cujos =FAnicos coeficientes n=E3o nulos s=E3o os An com n da forma 4k + = 1 (k inteiro n=E3o negativo). Naturalmente, as duas solu=E7=F5es representadas por estas duas s=E9ries = s=E3o LI. Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Davidson Estanislau=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Thursday, February 13, 2003 5:21 PM Subject: [obm-l] equa=E7=F5es Algu=E9m, poderia me dar uma dica, de como resolver as = equa=E7=F5es abaixo? =20 Encontre duas solu=E7=F5es LI em s=E9rie de pot=EAncias em torno = do ponto x =3D 0. a.. y" + (x^2)y =3D 0;=20 b.. y" - xy' + 2y =3D 0;=20 c.. y" - 2xy' + 2y =3D 0;=20 d.. (x + 2)y" + xy' - y =3D 0. Desde j=E1 agrade=E7o a todos. Davidson Estanislau ------=_NextPart_000_0026_01C2D414.264B51E0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Suponha que y =3D A0 + A1*x + A2*x^2 + = .... + An*x^n=20 + ....
 
Ent=E3o:
y' =3D A1 + 2*A2*x + 3*A3*x^2 + ... + = n*An*x^(n-1) +=20 ...
y'' =3D 2*A2 + 6*A3*x + 12*A4*x^2 + ... = +=20 n*(n-1)*An*x^(n-2) + ...
 
Tratemos da primeira = equa=E7=E3o:
 
y'' + x^2*y =3D 0  = =3D=3D>
 
2*A2 + 6*A3*x + ... + = n*(n-1)*An*x^(n-2) + ... +=20 x^2*(A0 + A1*x + A2*x^2 + .... + An*x^n + ....) =3D 0  = =3D=3D>
 
2*A2 + 6*A3*x + [12*A4+A0]*x^2 + ... + = [n*(n-1)*An=20 + A(n-4)]*x^(n-2) + ... =3D 0
 
Ou seja:
2*A2 =3D 0 =3D=3D> A2 =3D = 0
6*A3 =3D 0 =3D=3D> A3 =3D = 0
12*A4 + A0 =3D 0 =3D=3D> A4 =3D = -A0/12
20*A5 + A1 =3D 0 =3D=3D> A5 =3D = -A1/20
30*A6 + A2 =3D 0 =3D=3D> A6 = =3D -A2/30 =3D=20 0
42*A7 + A3 =3D 0 =3D=3D> A7 =3D = -A3/42 =3D=20 0 
56*A8 + A4 =3D 0 =3D=3D> A8 =3D = -A4/56 =3D -(-A0/12)/56 =3D=20 A0/672
72*A9 + A5 =3D 0 =3D=3D> A9 =3D = -A5/72 =3D -(-A1/20)/72 =3D=20 A1/1440 
....
n*(n-1)*An + A(n-4) =3D=3D> An =3D=20 -A(n-4)/[n*(n-1)]
....
 
Dessas equa=E7=F5es voc=EA v=EA que = todos os coeficientes=20 podem ser expressos em fun=E7=E3o de A0 e A1 (o que faz sentido, pois = trata-se de=20 uma equa=E7=E3o de segunda ordem e, portanto, deve ter duas constantes = de=20 integra=E7=E3o).
 
Por exemplo, fazendo A0 =3D 1 e A1 =3D = 0, voc=EA obt=E9m=20 uma s=E9rie cujos =FAnicos coeficientes n=E3o nulos s=E3o os An com n = m=FAltiplo de=20 4.
Por outro lado, fazendo A0 =3D 0 e A1 = =3D 1, voc=EA obt=E9m=20 uma s=E9rie cujos =FAnicos coeficientes n=E3o nulos s=E3o os An com n da = forma 4k + 1 (k=20 inteiro n=E3o negativo).
 
Naturalmente, as duas solu=E7=F5es = representadas por=20 estas duas s=E9ries s=E3o LI.
 
Um abra=E7o,
Claudio.
----- Original Message -----
From:=20 Davidson=20 Estanislau
Sent: Thursday, February 13, = 2003 5:21=20 PM
Subject: [obm-l] = equa=E7=F5es

 
    Algu=E9m, poderia me dar uma dica, de como = resolver as=20 equa=E7=F5es abaixo?
    Encontre duas solu=E7=F5es LI em s=E9rie de = pot=EAncias em=20 torno do ponto x =3D 0.
 
  •     y" + (x^2)y =3D 0;=20
  •     y" - xy' + 2y =3D 0;=20
  •     y" - 2xy' + 2y =3D 0;=20
  •     (x + 2)y" + xy' - y =3D 0.
     Desde j=E1 agrade=E7o a todos.
 
     Davidson=20 Estanislau
------=_NextPart_000_0026_01C2D414.264B51E0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 14 10:39:41 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA00608 for obm-l-MTTP; Fri, 14 Feb 2003 10:38:16 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id KAA00604 for ; Fri, 14 Feb 2003 10:38:12 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.229]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1ECaQZ26903 for ; Fri, 14 Feb 2003 10:36:26 -0200 Message-ID: <003b01c2d42e$9e2c9060$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <6b.9e8dc99.2b7d9409@aol.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Estou_na_d=FAvida_=E9_15/16__ou___8/10_?= Date: Fri, 14 Feb 2003 10:40:18 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0038_01C2D415.77D2CA60" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0038_01C2D415.77D2CA60 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Chame as equipes de A e B: As =FAnicas maneiras de a s=E9rie terminar com tr=EAs vit=F3rias = alternadas s=E3o as duas seguintes: A B A B A Probabilidade =3D (1/2)^5 =3D 1/32 ou B A B A B Probabilidade =3D (1/2)^5 =3D 1/32 Logo, P(s=E9rie acabar c/ vit=F3rias alternadas) =3D 1/32 + 1/32 =3D = 1/16 Logo, P(s=E9rie acabar c/ 2 vit=F3rias seguidas) =3D 1 - 1/16 =3D 15/16. Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Lltmdrtm@aol.com=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Thursday, February 13, 2003 9:36 PM Subject: [obm-l] Estou na d=FAvida =E9 15/16 ou 8/10=20 Duas equipes disputam entre si uma s=E9rie de jogos em que n=E3o pode = ocorrer empate e as duas equipes t=EAm as mesmas chances de vit=F3ria. A = primeira equipe que conseguir duas vit=F3rias seguidas ou tr=EAs = vit=F3rias alternadas vence a s=E9rie de jogos. Qual a probabilidade de = uma equipe vencer a s=E9rie de jogos com duas vit=F3rias seguidas? Estou na d=FAvida =E9 15/16 ou 8/10=20 ------=_NextPart_000_0038_01C2D415.77D2CA60 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Chame as equipes de A e B:
 
As =FAnicas maneiras de a s=E9rie = terminar com tr=EAs=20 vit=F3rias alternadas s=E3o as duas seguintes:
 
A B A B A     = Probabilidade =3D=20 (1/2)^5 =3D 1/32
ou
B A B A B     = Probabilidade =3D=20 (1/2)^5 =3D 1/32
 
Logo, P(s=E9rie acabar c/ vit=F3rias = alternadas) =3D 1/32=20 + 1/32 =3D 1/16
 
Logo, P(s=E9rie acabar c/ 2 vit=F3rias = seguidas) =3D 1 -=20 1/16 =3D 15/16.
 
Um abra=E7o,
Claudio.
 
----- Original Message -----
From:=20 Lltmdrtm@aol.com=20
Sent: Thursday, February 13, = 2003 9:36=20 PM
Subject: [obm-l] Estou na = d=FAvida =E9 15/16=20 ou 8/10

Duas equipes = disputam entre si uma=20 s=E9rie de jogos em que n=E3o pode ocorrer empate e as duas equipes = t=EAm as mesmas=20 chances de vit=F3ria. A primeira equipe que conseguir duas vit=F3rias = seguidas ou=20 tr=EAs vit=F3rias alternadas vence a s=E9rie de jogos. Qual a = probabilidade de uma=20 equipe vencer a s=E9rie de jogos com duas vit=F3rias = seguidas?


Estou na=20 d=FAvida =E9 15/16  ou   8/10

------=_NextPart_000_0038_01C2D415.77D2CA60-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 14 11:35:05 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA02510 for obm-l-MTTP; Fri, 14 Feb 2003 11:33:00 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA02501 for ; Fri, 14 Feb 2003 11:32:54 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1EDV5b30760 for ; Fri, 14 Feb 2003 11:31:06 -0200 Message-ID: <009501c2d436$41196120$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: Subject: Re: [obm-l] Dois belos problemas Date: Fri, 14 Feb 2003 11:34:58 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caro Paulo: Aqui vai minha solução para o primeiro. > (1-ASIATICO PACIFICO) Seja S o conjunto de todos os triangulos ABC que teem > um mesma base fixa AB e altura relatica a AB (tracada de C) constante e > igual a H. Para quais destes triangulos o produto de suas alturas e maximo ? Sejam a, b e c as medidas dos lados BC, AC e AB, respectivamente. Sejam Ha e Hb as medidas das alturas relativas aos vértices A e B, respectivamente. m(AB) = c ==> [ABC] = (1/2)*c*H = constante ==> H = 2*[ABC]/c Analogamente: Ha = 2*[ABC]/a e Hb = 2*[ABC]/b Seja P = H*Ha*Hb = 8*[ABC]^3/(a*b*c), onde [ABC] e c são constantes. Assim P é máximo <==> a*b é mínimo Se o ângulo ABC for obtuso, então a*b não será máximo, pois neste caso teríamos que o triângulo ABC', retângulo em B teria m(AC') < b e m(BC') = H < a. Logo ABC é agudo ou reto. Analogamente , BAC é agudo ou reto. Seja x = distância do pé da altura baixada de C até o ponto médio de AB (x > 0 se o pé está à direita do ponto médio). Então, por Pitágoras, teremos: a^2 = (c/2 - x)^2 + H^2 e b^2 = (c/2 + x)^2 + H^2 Logo: a^2*b^2 = x^4 + 2*[H^2 - (c/2)^2]*x^2 + [H^2+(c/2)^2]^2 Se H >= c/2, então a^2*b^2 (e, portanto, a*b) será mínimo se x = 0 Nesse caso, ABC será isósceles, com AC = BC. Se H < c/2, então a*b será mínimo se x = raiz[(c/2)^2 - H^2] ou x = -raiz[(c/2)^2 - H^2] Nesse caso, existem dois triângulos possíveis, cada um com o pé da altura baixada de C a uma distância de raiz[(c/2)^2 - H^2] do ponto médio de AB. Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 14 12:24:58 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA03949 for obm-l-MTTP; Fri, 14 Feb 2003 12:23:07 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA03945 for ; Fri, 14 Feb 2003 12:23:02 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.224]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1EELC601360 for ; Fri, 14 Feb 2003 12:21:15 -0200 Message-ID: <00a201c2d43d$439ab0a0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: Subject: Re: [obm-l] Mais probabilidade e combinatoria Date: Fri, 14 Feb 2003 12:24:59 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caro Amurpe: Aqui vão algumas variações pra você tentar: > > 1) O mes de outubro tem 31 dias .Numa certa cidade chove > 5 dias , no mes de outubro.Qual a probabilidade de não > chover no primeiro e segundo dia de outubro? > resp: 65/93. > Calcule a probabilidade de: 1.1) Chover durante 5 dias consecutivos. 1.2) Chover pelo menos uma vez durante os primeiros 10 dias. 1.3) Chover pelo menos 3 vezes durante os primeiros 10 dias. 1.4) Chover exatamente 3 vezes durante os primeiros 10 dias. 1.5) Não chover em dias consecutivos. 1.6) Não chover entre os dias 11 e 20 (inclusive). 1.7) Só chover entre os dias 11 e 20 (inclusive) 1.8) Chover em pelo menos 2 dias consecutivos. > 2) ITA-71; dispomos de 6 cores diferentes.Cada face de > um cubo será pintada com uma cor diferente, de forma que > as 6 cores sejam utilizadas.De quantas maneiras > diferentes isto pode ser feito , se uma maneira é > considerada identica a outra , desde que possa ser > obtida a partir desta por rotação do cubo? > resp: 30 Mesma pergunta, mas agora com: 2.1) 4 cores e um tetraedro regular. 2.2) 8 cores e um octaedro regular. 2.3) 4 cores e um cubo 2.4) 3 cores e um cubo 2.5) 2 cores e um cubo 2.6) 6 cores e um paralelepípedo com arestas de 3 comprimentos diferentes. Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 14 13:48:49 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA06145 for obm-l-MTTP; Fri, 14 Feb 2003 13:46:03 -0200 Received: from silva5.uol.com.br (silva5.uol.com.br [200.221.4.52]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA06136 for ; Fri, 14 Feb 2003 13:45:51 -0200 Received: from gauss ([200.158.96.138]) by silva5.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with SMTP id NAA29351 for ; Fri, 14 Feb 2003 13:49:15 -0200 (BRST) Message-ID: <009201c2d44a$3507fea0$2accfea9@gauss> From: "Domingos Jr." To: References: <000b01c2d3a8$65f337c0$3300c57d@bovespa.com> Subject: [obm-l] =?Windows-1252?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_x^2+x+p_=E9_primo?= Date: Fri, 14 Feb 2003 13:57:30 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/mixed; boundary="----=_NextPart_000_008B_01C2D431.04434A40" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2720.3000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_008B_01C2D431.04434A40 Content-Type: text/plain; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: 7bit HelpAcho que consegui! ------=_NextPart_000_008B_01C2D431.04434A40 Content-Type: application/x-compressed; name="imo.zip" Content-Transfer-Encoding: base64 Content-Disposition: attachment; filename="imo.zip" UEsDBBQAAgAIAFBuTi7bXEUh7jQAAFM6AAAHAAAAaW1vLnBkZq17BVBc3bZmgrsFC+4ujTsE9+Du 0kDjNK7BEtwJ7u7u7u7uTiB4cAlkyH//d9+dm6mpO1Ovq7p77W8v6732WuecXaspFcUkGFmY2BAo 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1CHHsJ5F06oav6d9q9A5di5URsWceCVALNujlvZyBfELlolULviP0wGW//rPBxs3K+c/Qbb/t/MB zv/sfOCvx/R/OyDg/M8OCP7/jgW4/zwW4PmPjgUEIrstewFoYuePoc0cPHOR7+DqBqOpEolk0K7b 6hdvYbQQ6JdzPhnk0wLfa5otuXtWFQieTlkbes4aqhR0d3SfAVH5klt/2aq7xAcz1V31CZKqiJXK hfCZSpML9tsJRVJPiewcjrLQGNlUflMq7N0E86TOJ82c1lc4TqhJZtjJ5PSo4RccOTgw4Z1JDZx8 hQ0JqY/GXqDpJr/+1XapSozZFp1K+/wFgfinIyhVU4c0iIfV33Vz/nG4TesK0r9NOv7PKPP8vRIs PGz/xLj+n4LMCvgPg8z9d5CZhW1t7V4BVpY/ov4X9K+m/2JFYFZxNnb6PZQD2Vr9tm3ipPO3hVd+ wKtKEZX/khCxA5sCwb91/k3+5c9vHtF/UsKvzCrMasrSv980Fk5O9rzMzK6urkymRrZAe7ARCAwC MpnY2dD+b7vmrx/6H2zJf26//036XzMH5GQNJKGRB5mA7RztzJxINF4dJWEkAdnYMZnamdC+uvoa Iyc7MAmNBsiW9dUEyf/Fx7+5QXa2Yq97loRGjJcVAGADsLKws7BxvBKvDK/emjqbAF/1veqyBhmT sDEB2Eh0f2tnY9Wlpf0XN/899r9/1H+v/2+IBYFZ3PY1MUC25syvCoRtHUH/NX5dciNH4G8RZimg tQvQCWRixChiZ236Lwa4/4cMqIJsgI6M0k5G1iCTf1HP8z+qXtnOxsj2XwsH4H96ef5VOcv/+Nor GFuDHJyB/2rk/5Dbjr+z1Pk1t9kQmGVBpo46/yjHfxX71y+uP9P035SIGr2Gwc4c4R/aSP5Zcf9m dwMDzRAAJKysCIB/vkg4OTjYOEjMSP6BsbCz8rza+WvG9p8YGyfnv2NsnByAf8MA3Jw8/873m5Xj Tz6uP/Vxs/xhl43n9wXp33wBAHj+wFhes+gP7E9fuLkB/+4zCys3K9sffDx/6mPlBrD+gfGw/uEL GxuA+w8MwPqHLBsr9598HP8HjJ2N5b8xp9d6Y/1aVX/XTZAH8HcomaVtzexI2P6+GtjZOZGw/lfY HZ2MwE5/BZ2F/bUIIVBSiitIIPwvUEsBAhQAFAACAAgAUG5OLttcRSHuNAAAUzoAAAcAAAAAAAAA AAAgAICBAAAAAGltby5wZGZQSwUGAAAAAAEAAQA1AAAAEzUAAAAA ------=_NextPart_000_008B_01C2D431.04434A40-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 14 14:02:31 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA06461 for obm-l-MTTP; Fri, 14 Feb 2003 14:01:00 -0200 Received: from web12903.mail.yahoo.com (web12903.mail.yahoo.com [216.136.174.70]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id OAA06456 for ; Fri, 14 Feb 2003 14:00:54 -0200 Message-ID: <20030214160020.9853.qmail@web12903.mail.yahoo.com> Received: from [200.206.103.3] by web12903.mail.yahoo.com via HTTP; Fri, 14 Feb 2003 13:00:20 ART Date: Fri, 14 Feb 2003 13:00:20 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Johann=20Peter=20Gustav=20Lejeune=20Dirichlet?= Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_x^2+x+p_é_primo To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <001401c2d3be$c69621d0$f8609ec8@gauss> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-1292950670-1045238420=:9594" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --0-1292950670-1045238420=:9594 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Veja a soluçao no final do e-mail mas se matem primeiro. "Domingos Jr." wrote:pelo que eu vi na prova da IMO que eu baixei é raiz quadrada...pelo menos alguém leu o que eu fiz!!!----- Original Message ----- From: Cláudio (Prática) To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 13, 2003 6:39 PMSubject: [obm-l] x^2+x+p é primo Caros JP e Domingos Jr.: Só pra clarificar. O enunciado fala em raiz quadrada ou raiz cúbica de (p/3) ? Abraço,Claudio. Suponha que ha um composto intruso.Seja N o menor natural para o qual f(n)=qm e composto,e q o menor fator primo.q<=sqrt(f(N))<=sqrt(f(p-2))=(q-1)/2.seja q-1-k=n.Assim k<=(q-1)/2,calcule n²+n+1 e mostre que q|K²+K+p,contradiçao.*N<=(q-1)/2.Aqui voce usa o enunciado completo. --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-1292950670-1045238420=:9594 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

Veja a soluçao no final do e-mail mas se matem primeiro.

 "Domingos Jr." <dopikas@uol.com.br> wrote:

pelo que eu vi na prova da IMO que eu baixei é raiz quadrada...
pelo menos alguém leu o que eu fiz!!!
----- Original Message -----
Sent: Thursday, February 13, 2003 6:39 PM
Subject: [obm-l] x^2+x+p é primo

Caros JP e Domingos Jr.:
 
Só pra clarificar.
 
O enunciado fala em raiz quadrada ou raiz cúbica de (p/3) ?
 
Abraço,
Claudio.
 
 
 
Suponha que ha um composto intruso.Seja N o menor natural para o qual f(n)=qm e composto,e q o menor fator primo.
q<=sqrt(f(N))<=sqrt(f(p-2))<p.Vamos fatiar em casos:
*q<N.Calcule f(N-q) e veja modulo q,e contradiçao!
*N>=(q-1)/2.seja q-1-k=n.Assim k<=(q-1)/2,calcule n²+n+1 e mostre que q|K²+K+p,contradiçao.
*N<=(q-1)/2.Aqui voce usa o enunciado completo.


Busca Yahoo!
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O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-1292950670-1045238420=:9594-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 14 14:35:39 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA07549 for obm-l-MTTP; Fri, 14 Feb 2003 14:33:34 -0200 Received: from hotmail.com (oe49.law10.hotmail.com [64.4.14.21]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA07543 for ; Fri, 14 Feb 2003 14:33:30 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Fri, 14 Feb 2003 08:32:57 -0800 X-Originating-IP: [64.60.139.18] From: "leandro" To: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?RE:_=5Bobm-l=5D_Re:_=5Bobm-l=5D_D=FAvidas_b=E1sicas...?= Date: Fri, 14 Feb 2003 08:32:57 -0800 Message-ID: <001c01c2d446$bb161120$28029b9b@LeandroRecova> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook, Build 10.0.3416 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 Importance: Normal In-Reply-To: <003901c2d3b8$c0f637c0$01646464@david> X-OriginalArrivalTime: 14 Feb 2003 16:32:57.0685 (UTC) FILETIME=[BB698850:01C2D446] Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id OAA07544 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Na segunda identidade voce nao provou que 0!=1. 0!=1 e definicao. E lembre que n! = n.(n-1).....3.2.1. No momento que voce colocou 1!=1.0! voce ja considerou 0!=1 que e definicao. Se voce nao poe 0!=1 por definicao, a sua definicao de fatorial nao teria sentido pois seria sempre n!=0. Portanto Leandro. -----Original Message----- From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of David Ricardo Sent: Thursday, February 13, 2003 3:37 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas básicas... 1) (x^1 / x^1) = x^(1-1) = x^0 = 1. 2) Quanto ao 0! eu não sei... Mas posso tentar uma resposta (nao sei se é realmente válida): 1! = 1 => 1! = 1 * 0! = 1 => 0! = 1 []s David _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ======================================================================== = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ======================================================================== = ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 14 14:40:44 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA07869 for obm-l-MTTP; Fri, 14 Feb 2003 14:39:20 -0200 Received: from web41504.mail.yahoo.com (web41504.mail.yahoo.com [66.218.93.87]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id OAA07865 for ; Fri, 14 Feb 2003 14:39:15 -0200 Message-ID: <20030214163842.65775.qmail@web41504.mail.yahoo.com> Received: from [200.151.157.72] by web41504.mail.yahoo.com via HTTP; Fri, 14 Feb 2003 13:38:42 ART Date: Fri, 14 Feb 2003 13:38:42 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?elton=20francisco=20ferreira?= Subject: [obm-l] um problema com: Q,T,C To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Três pedaços de arame de mesmo comprimento foram moldados: um na forma de um quadrado, outro na forma de um triângulo equilátero e outro na forma de um círculo. Se Q,T e C são, respectivamente, as áreas das regiões limitadas por esses arames, então é verdade que: a) Q ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 14 14:46:44 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA08257 for obm-l-MTTP; Fri, 14 Feb 2003 14:45:13 -0200 Received: from web41511.mail.yahoo.com (web41511.mail.yahoo.com [66.218.93.94]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id OAA08213 for ; Fri, 14 Feb 2003 14:44:57 -0200 Message-ID: <20030214164419.42945.qmail@web41511.mail.yahoo.com> Received: from [200.151.157.72] by web41511.mail.yahoo.com via HTTP; Fri, 14 Feb 2003 13:44:19 ART Date: Fri, 14 Feb 2003 13:44:19 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?elton=20francisco=20ferreira?= Subject: [obm-l] problema da EPCAR To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Um relógio adianta 2/3 do minuto por hora. Acertando o mesmo ao meio-dia, pode-se dizer que, na manhã seguinte, ao marcar 6h, a hora exata será: a) 5 h b) 5 1/5 h c) 5 2/5 h d) 5 4/5 h _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. 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Mas se eu tivesse 4/9 da idade que tenho e Roberto tivesse 1/2 da idade que tem, juntos teríamos 4 anos a menos do que tenho”. Quantos anos tem Luísa dentro de um ano? _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. 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Paulo Santa Rita wrote:Ola Pessoal, Preservando e promovendo o CARATER OLIMPICO que esta nossa lista sempre teve, seguem dois novos PROBLEMAS OLIMPICOS : (1-ASIATICO PACIFICO) Seja S o conjunto de todos os triangulos ABC que teem um mesma base fixa AB e altura relatica a AB (tracada de C) constante e igual a H. Para quais destes triangulos o produto de suas alturas e maximo ? (2-CHINA) 10 pessoas chegaram a uma livraria. Sabe-se que : A) Todos as pessoas compraram livros de 3 disciplinas B) Para quaisquer duas pessoas existe ao menos uma disciplina sobre a qual ambas compraram livros. Enumerando-se as disciplinas sobre as quais ha livros na livraria, seja M(i) o numero de pessoas que compraram livros da disciplina "i". Qual e o menor valor positivo possivel para o MAXIMO de {M(1), M(2), ... } ? Estes problemas nao precisam de sugestao. Um Grande abraco a todos Paulo Santa Rita 5,1610,130203 _________________________________________________________________ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-296506161-1045242678=:81235 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

Esse segundo tem cara de IMO,meio o que caiu em 2001.Nao dou certezas.

 Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com> wrote:

Ola Pessoal,

Preservando e promovendo o CARATER OLIMPICO que esta nossa lista sempre
teve, seguem dois novos PROBLEMAS OLIMPICOS :

(1-ASIATICO PACIFICO) Seja S o conjunto de todos os triangulos ABC que teem
um mesma base fixa AB e altura relatica a AB (tracada de C) constante e
igual a H. Para quais destes triangulos o produto de suas alturas e maximo ?




(2-CHINA) 10 pessoas chegaram a uma livraria. Sabe-se que :

A) Todos as pessoas compraram livros de 3 disciplinas
B) Para quaisquer duas pessoas existe ao menos uma disciplina sobre a qual
ambas compraram livros.

Enumerando-se as disciplinas sobre as quais ha livros na livraria, seja M(i)
o numero de pessoas que compraram livros da disciplina "i". Qual e o menor
valor positivo possivel para o MAXIMO de {M(1), M(2), ... } ?


Estes problemas nao precisam de sugestao.

Um Grande abraco a todos
Paulo Santa Rita
5,1610,130203


_________________________________________________________________
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O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-296506161-1045242678=:81235-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 14 15:14:28 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA09761 for obm-l-MTTP; Fri, 14 Feb 2003 15:13:03 -0200 Received: from imo-m09.mx.aol.com (imo-m09.mx.aol.com [64.12.136.164]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA09757 for ; Fri, 14 Feb 2003 15:12:59 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-m09.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.43.182aed3e (4362) for ; Fri, 14 Feb 2003 12:12:22 -0500 (EST) Message-ID: <43.182aed3e.2b7e7d76@aol.com> Date: Fri, 14 Feb 2003 12:12:22 EST Subject: [obm-l] Complexos I To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_43.182aed3e.2b7e7d76_boundary" X-Mailer: 6.0 sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --part1_43.182aed3e.2b7e7d76_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal, Como se resolve esta quest=E3o: (UF Uberl=E2ndia) Sejam "O", "Z_1" e "Z_2" as representa=E7=F5es gr=E1ficas=20= dos=20 complexos (O + Oi), (2 + 3i) e (-5 -i), respectivamente. A menor determina= =E7=E3o=20 positiva do =E2ngulo Z_1 =D4 Z_2 =E9 : resp: 2 raiz 5/5 --part1_43.182aed3e.2b7e7d76_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal,

Como se resolve esta quest=E3o:

(UF Uberl=E2ndia) Sejam "O", "Z_1" e "Z_2" as representa=E7=F5es gr=E1fi= cas dos complexos (O + Oi), (2 + 3i) e (-5 -i), respectivamente. A menor det= ermina=E7=E3o positiva do =E2ngulo Z_1 =D4 Z_2 =E9 :

resp: 2 raiz 5/5

--part1_43.182aed3e.2b7e7d76_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 14 15:14:55 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA09791 for obm-l-MTTP; Fri, 14 Feb 2003 15:13:32 -0200 Received: from imo-m08.mx.aol.com (imo-m08.mx.aol.com [64.12.136.163]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA09780 for ; Fri, 14 Feb 2003 15:13:22 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-m08.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.1e.a19ba83 (4362) for ; Fri, 14 Feb 2003 12:12:45 -0500 (EST) Message-ID: <1e.a19ba83.2b7e7d8d@aol.com> Date: Fri, 14 Feb 2003 12:12:45 EST Subject: [obm-l] Complexos II To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_1e.a19ba83.2b7e7d8d_boundary" X-Mailer: 6.0 sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --part1_1e.a19ba83.2b7e7d8d_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal, Como se resolve esta quest=E3o: (PUC-SP) Na figura abaixo, o ponto P =E9 a imagem de um n=FAmero complexo z,= =20 representado no plano de Gauss. Se OP =3D 2*raiz(2), ent=E3o z^2 =E9 igual a= : resp: - 8i Obs: A figura =E9 a seguinte: Esbocem o plano de Argand-Gauss com os eixos Re (z) e Im (z). O segmento OP=20 forma um =E2ngulo de 135=BA com o eixo O Re (z). --part1_1e.a19ba83.2b7e7d8d_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Ol=E1 pessoal,

Como se resolve esta quest=E3o:

(PUC-SP) Na figura abaixo, o ponto P =E9 a imagem de um n=FAmero complex= o z, representado no plano de Gauss. Se OP =3D 2*raiz(2), ent=E3o z^2 =E9 ig= ual a :

resp: - 8i

Obs: A figura =E9 a seguinte:
Esbocem o plano de Argand-Gauss com os eixos Re (z) e Im (z). O segmento= OP forma um =E2ngulo de 135=BA com o eixo O Re (z).
--part1_1e.a19ba83.2b7e7d8d_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 14 15:15:16 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA09820 for obm-l-MTTP; Fri, 14 Feb 2003 15:13:57 -0200 Received: from imo-d02.mx.aol.com (imo-d02.mx.aol.com [205.188.157.34]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA09814 for ; Fri, 14 Feb 2003 15:13:51 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-d02.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.19a.10b04d11 (4362) for ; Fri, 14 Feb 2003 12:13:10 -0500 (EST) Message-ID: <19a.10b04d11.2b7e7da6@aol.com> Date: Fri, 14 Feb 2003 12:13:10 EST Subject: [obm-l] Complexos III To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_19a.10b04d11.2b7e7da6_boundary" X-Mailer: 6.0 sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --part1_19a.10b04d11.2b7e7da6_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal, Vejam a quest=E3o: (FUVEST-SP) O n=FAmero complexo z # 0 e o seu inverso 1/z t=EAm o mesmo m= =F3dulo.=20 Conclui-se que: a) z e 1/z s=E3o conjugados=20 b) z + 1/z =3D i=20 c) este m=F3dulo =E9 2=20 d) z e 1/z s=E3o reais=20 e) z^2 =3D1 =20 resp: "a" Obs: Algu=E9m poderia me dar uma resolu=E7=E3o que tornasse poss=EDvel n=E3o= s=F3 chegar=20 a solu=E7=E3o correta, mas tb=E9m eliminar as falsas? --part1_19a.10b04d11.2b7e7da6_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Ol=E1 pessoal,

Vejam a quest=E3o:

(FUVEST-SP) O n=FAmero complexo z # 0 e o seu inverso 1/z  t=EAm o=20= mesmo m=F3dulo. Conclui-se que:

a) z e 1/z s=E3o conjugados=20
b) z + 1/z =3D i=20
c) este m=F3dulo =E9 2=20
d) z e 1/z s=E3o reais=20
e) z^2 =3D1  

resp: "a"

Obs: Algu=E9m poderia me dar uma resolu=E7=E3o que tornasse poss=EDvel n= =E3o s=F3 chegar a solu=E7=E3o correta, mas tb=E9m eliminar as falsas? --part1_19a.10b04d11.2b7e7da6_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 14 15:34:21 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA11810 for obm-l-MTTP; Fri, 14 Feb 2003 15:32:45 -0200 Received: from toole.uol.com.br (toole.uol.com.br [200.221.4.26]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA11789 for ; Fri, 14 Feb 2003 15:32:38 -0200 Received: from gauss ([200.158.96.138]) by toole.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with SMTP id PAA01287 for ; Fri, 14 Feb 2003 15:25:15 -0200 (BRST) Message-ID: <000c01c2d459$22951a50$2accfea9@gauss> From: "Domingos Jr." To: References: <20030214160020.9853.qmail@web12903.mail.yahoo.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Re:=5F=5Bobm-l=5D=5Fx^2+x+p=5F=E9=5Fprimo?= Date: Fri, 14 Feb 2003 15:44:40 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0009_01C2D43F.FCC2FAE0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2720.3000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0009_01C2D43F.FCC2FAE0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable hehehe, n=E3o vou me matar pq consegui resolver antes de vc postar a = solu=E7=E3o! ----- Original Message -----=20 From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Friday, February 14, 2003 1:00 PM Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_x^2+x+p_=E9_primo Veja a solu=E7ao no final do e-mail mas se matem primeiro.=20 "Domingos Jr." wrote:=20 pelo que eu vi na prova da IMO que eu baixei =E9 raiz quadrada... pelo menos algu=E9m leu o que eu fiz!!! ----- Original Message -----=20 From: Cl=E1udio (Pr=E1tica)=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Thursday, February 13, 2003 6:39 PM Subject: [obm-l] x^2+x+p =E9 primo Caros JP e Domingos Jr.: S=F3 pra clarificar. O enunciado fala em raiz quadrada ou raiz c=FAbica de (p/3) ? Abra=E7o, Claudio. Suponha que ha um composto intruso.Seja N o menor natural para o = qual f(n)=3Dqm e composto,e q o menor fator primo. q<=3Dsqrt(f(N))<=3Dsqrt(f(p-2))=3D(q-1)/2.seja q-1-k=3Dn.Assim k<=3D(q-1)/2,calcule n=B2+n+1 e = mostre que q|K=B2+K+p,contradi=E7ao. *N<=3D(q-1)/2.Aqui voce usa o enunciado completo. -------------------------------------------------------------------------= ----- Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o = Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_0009_01C2D43F.FCC2FAE0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
hehehe, n=E3o vou me matar pq consegui = resolver antes=20 de vc postar a solu=E7=E3o!
----- Original Message -----
From:=20 Johann Peter Gustav = Lejeune=20 Dirichlet
Sent: Friday, February 14, 2003 = 1:00=20 PM
Subject: Re: [obm-l]=20 Re:_[obm-l]_x^2+x+p_=E9_primo

Veja a solu=E7ao no final do e-mail mas se matem primeiro.=20

 "Domingos Jr." <dopikas@uol.com.br> = wrote:=20

pelo que eu vi na prova da IMO que = eu baixei =E9=20 raiz quadrada...
pelo menos algu=E9m leu o que eu=20 fiz!!!
----- Original Message ----- =
From:=20 Cl=E1udio = (Pr=E1tica)
Sent: Thursday, February = 13, 2003=20 6:39 PM
Subject: [obm-l] x^2+x+p = =E9=20 primo

Caros JP e Domingos Jr.:
 
S=F3 pra clarificar.
 
O enunciado fala em raiz quadrada ou raiz c=FAbica de (p/3) = ?
 
Abra=E7o,
Claudio.
 
 
 
Suponha que ha um composto intruso.Seja N o menor = natural para o=20 qual f(n)=3Dqm e composto,e q o menor fator primo.
q<=3Dsqrt(f(N))<=3Dsqrt(f(p-2))<p.Vamos fatiar em = casos:
*q<N.Calcule f(N-q) e veja modulo q,e contradi=E7ao!
*N>=3D(q-1)/2.seja q-1-k=3Dn.Assim k<=3D(q-1)/2,calcule = n=B2+n+1 e=20 mostre que q|K=B2+K+p,contradi=E7ao.
*N<=3D(q-1)/2.Aqui voce usa o enunciado=20 completo.


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O = servi=E7o de=20 busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o Yahoo!=20 encontra. ------=_NextPart_000_0009_01C2D43F.FCC2FAE0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 14 15:46:48 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA12580 for obm-l-MTTP; Fri, 14 Feb 2003 15:45:21 -0200 Received: from web80408.mail.yahoo.com (web80408.mail.yahoo.com [66.218.79.63]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id PAA12573 for ; Fri, 14 Feb 2003 15:45:16 -0200 Message-ID: <20030214174444.34225.qmail@web80408.mail.yahoo.com> Received: from [200.128.23.188] by web80408.mail.yahoo.com via HTTP; Fri, 14 Feb 2003 14:44:44 ART Date: Fri, 14 Feb 2003 14:44:44 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Tertuliano=20Carneiro?= Subject: Re: [obm-l] problema da EPCAR To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <20030214164419.42945.qmail@web41511.mail.yahoo.com> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-652020393-1045244684=:34117" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --0-652020393-1045244684=:34117 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Olá! De 12h de um dia até 6h do outro dia, se passaram 18h. Assim, o relogio estara marcando 18*2/3 minutos a mais. Ou seja, 12 minutos, ou ainda, 1/5 de hora a mais do q deveria marcar. Portanto, a hora certa é, na realidade, (5+4/5)h. Tertuliano Carneiro elton francisco ferreira wrote:Um relógio adianta 2/3 do minuto por hora. Acertando o mesmo ao meio-dia, pode-se dizer que, na manhã seguinte, ao marcar 6h, a hora exata será: a) 5 h b) 5 1/5 h c) 5 2/5 h d) 5 4/5 h _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-652020393-1045244684=:34117 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

Olá!

De 12h de um dia até 6h do outro dia, se passaram 18h. Assim, o relogio estara marcando 18*2/3 minutos a mais. Ou seja, 12 minutos, ou ainda, 1/5 de hora a mais do q deveria marcar. Portanto, a hora certa é, na realidade, (5+4/5)h.    

Tertuliano Carneiro

 elton francisco ferreira <elton_2001ff@yahoo.com.br> wrote:

Um relógio adianta 2/3 do minuto por hora. Acertando o
mesmo ao meio-dia, pode-se dizer que, na manhã
seguinte, ao marcar 6h, a hora exata será:

a) 5 h
b) 5 1/5 h
c) 5 2/5 h
d) 5 4/5 h





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Olá!

Seja t o comprimento do arame. Assim, teremos:

1) Q=(t/4)^2=(t^2)/16

2) T=[(t/3)^2]*sqrt3/4=(t^2)*sqrt3/36

3) O comprimento do circulo é t=2r*Pi. Daí, C=Pi*[t/(2*pi)]^2=(t^2)/(4*Pi)

Comparando, temos q T<Q<C

Tertuliano Carneiro.

 elton francisco ferreira <elton_2001ff@yahoo.com.br> wrote:

Três pedaços de arame de mesmo comprimento foram
moldados: um na forma de um quadrado, outro na forma
de um triângulo equilátero e outro na forma de um
círculo. Se Q,T e C são, respectivamente, as áreas das
regiões limitadas por esses arames, então é verdade
que:

a) Qb) Cc) Td) T


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O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-1081344787-1045245530=:38012-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 14 16:01:58 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA13921 for obm-l-MTTP; Fri, 14 Feb 2003 16:00:40 -0200 Received: from ns3bind.localdomain ([200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA13917 for ; Fri, 14 Feb 2003 16:00:36 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1EHwd112703 for ; Fri, 14 Feb 2003 15:58:40 -0200 Message-ID: <00f101c2d45b$a32ddec0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030214163842.65775.qmail@web41504.mail.yahoo.com> Subject: Re: [obm-l] um problema com: Q,T,C Date: Fri, 14 Feb 2003 16:02:29 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Dado um perímetro constante P, teremos o seguinte: Lado do Triângulo Equilátero = P/3 ==> Área do Triângulo Equilátero = (P/3)^2*raiz(3)/4 = P^2*(raiz(3)/36) Lado do Quadrado = P/4 ==> Área do Quadrado = (P/4)^2 = P^2*(1/16) Comprimento da Circunferência = P = 2*pi*R (R = raio) ==> R = P/(2*pi) Área do Círculo = pi*R^2 = pi*P^2/(4*pi^2) = P^2*(1/(4*pi)) 4 > pi ==> 16 > 4*pi ==> 1/(4*pi) < 1/16 ==> Q < C (raiz(3)/36)^2 = 3/1296 = 1/432 < 1/256 = (1/16)^2 ==> T < Q Logo, T < Q < C ==> alternativa (d). Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "elton francisco ferreira" To: Sent: Friday, February 14, 2003 1:38 PM Subject: [obm-l] um problema com: Q,T,C > Três pedaços de arame de mesmo comprimento foram > moldados: um na forma de um quadrado, outro na forma > de um triângulo equilátero e outro na forma de um > círculo. Se Q,T e C são, respectivamente, as áreas das > regiões limitadas por esses arames, então é verdade > que: > > a) Q b) C c) T d) T > > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. > http://br.busca.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 14 16:03:10 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA13986 for obm-l-MTTP; Fri, 14 Feb 2003 16:01:48 -0200 Received: from web12903.mail.yahoo.com (web12903.mail.yahoo.com [216.136.174.70]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id QAA13968 for ; Fri, 14 Feb 2003 16:01:40 -0200 Message-ID: <20030214180103.36361.qmail@web12903.mail.yahoo.com> Received: from [200.206.103.3] by web12903.mail.yahoo.com via HTTP; Fri, 14 Feb 2003 15:01:03 ART Date: Fri, 14 Feb 2003 15:01:03 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Johann=20Peter=20Gustav=20Lejeune=20Dirichlet?= Subject: [obm-l] Matriz Harmonica(e esse onome?) To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-1605099595-1045245663=:36275" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --0-1605099595-1045245663=:36275 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Turma,ces sabem calcular o determinante de uma matriz n*n onde a(i;j)*(i+j)=1 sempre?Pelo que eu saiba deve ter isso na lista mas de qualquer caso... --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-1605099595-1045245663=:36275 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Turma,ces sabem calcular o determinante de uma matriz n*n onde a(i;j)*(i+j)=1 sempre?Pelo que eu saiba deve ter isso na lista mas de qualquer caso...


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Olá!

Como o angulo vale 135, entao o afixo de z esta no segundo quadrante e forma um angulo de 45 com os dois eixos. Sendo z=x+yi, temos q x e y sao as projecoes de OP nos respectivos eixos. Daí,  x = -OP*cos(45) e y = OP*sen(45), de onde vem  q  z = -2+2i e z^2 = -8i.

Tertuliano Carneiro.

 

 Faelccmm@aol.com wrote:


Olá pessoal,

Como se resolve esta questão:

(PUC-SP) Na figura abaixo, o ponto P é a imagem de um número complexo z, representado no plano de Gauss. Se OP = 2*raiz(2), então z^2 é igual a :

resp: - 8i

Obs: A figura é a seguinte:
Esbocem o plano de Argand-Gauss com os eixos Re (z) e Im (z). O segmento OP forma um ângulo de 135º com o eixo O Re (z).


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Acertando o > mesmo ao meio-dia, pode-se dizer que, na manhã > seguinte, ao marcar 6h, a hora exata será: > > a) 5 h > b) 5 1/5 h > c) 5 2/5 h > d) 5 4/5 h > > > > > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. 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"Nicolau C. Saldanha" wrote:On Thu, Feb 13, 2003 at 11:04:09AM +0000, Rubens Vilhena wrote: > > > Colegas, alguém aí poderia me explicar didaticamente, detalhadamente e > explicitamente o que é essa Análise Não-Standard? Que história é essa que eu > ouvi de hiperreais? O infinito aumentou? > []' > Rhel Isto parece aquela piada do "exame final" em que se pede para o aluno contar a história do cristianismo desde as suas origens até hoje, sendo conciso, claro e detalhado. Análise Não-Standard é um assunto difícil, você precisa saber bastante lógica para entender direito. Não é possível "explicar didaticamente, detalhadamente e explicitamente" sem violar em muito o teto de 20000 caracteres por mensagem. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-734779054-1045246400=:65921 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

Mas um livro nao tem teto de caracteres...

 "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br> wrote:

On Thu, Feb 13, 2003 at 11:04:09AM +0000, Rubens Vilhena wrote:
>
>
> Colegas, alguém aí poderia me explicar didaticamente, detalhadamente e
> explicitamente o que é essa Análise Não-Standard? Que história é essa que eu
> ouvi de hiperreais? O infinito aumentou?
> []'
> Rhel

Isto parece aquela piada do "exame final" em que se pede para o aluno
contar a história do cristianismo desde as suas origens até hoje, sendo
conciso, claro e detalhado.

Análise Não-Standard é um assunto difícil, você precisa saber bastante
lógica para entender direito. Não é possível "explicar didaticamente,
detalhadamente e explicitamente" sem violar em muito o teto de 20000
caracteres por mensagem.

[]s, N.
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Mas se eu tivesse 4/9 da > idade que tenho e Roberto tivesse 1/2 da idade que > tem, juntos teríamos 4 anos a menos do que tenho". > Quantos anos tem Luísa dentro de um ano? > L = idade de Luíza hoje R = idade de Roberto hoje (5/6)*L + (1/4)*R = L + 2 (4/9)*L + (1/2)*R = L - 4 Ou seja: 2*L - 3*R = -24 10*L - 9*R = 72 Resolvendo o sistema, achamos: L = 36 e R = 32 Logo, daqui a um ano Luíza terá 37 anos. Um abraço, Claudio. > > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. > http://br.busca.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 14 16:21:26 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA15968 for obm-l-MTTP; Fri, 14 Feb 2003 16:19:53 -0200 Received: (from nicolau@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA15962 for obm-l@mat.puc-rio.br; Fri, 14 Feb 2003 16:19:52 -0200 Date: Fri, 14 Feb 2003 16:19:52 -0200 From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: =?iso-8859-1?Q?=5Bobm-l=5D_D=FAvidas_b=E1sicas=2E=2E=2E?= Message-ID: <20030214161952.D9925@sucuri.mat.puc-rio.br> References: <001301c2d3b9$996f8bb0$019da8c0@henrique> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Disposition: inline Content-Transfer-Encoding: 8bit User-Agent: Mutt/1.2.5i In-Reply-To: <001301c2d3b9$996f8bb0$019da8c0@henrique>; from hpsbranco@superig.com.br on Thu, Feb 13, 2003 at 08:42:40PM -0300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Thu, Feb 13, 2003 at 08:42:40PM -0300, Henrique Branco wrote: > Pessoal, > Tenho duas dúvidas que são bem básicas... > Existe alguma demonstração (formal, de preferencia) sobre x^0 = 1 e 0! = 1? Isto são definições, não é possível propriamente demonstrá-las. O que se pode fazer é mostrar pq estas são as definições apropriadas, as únicas que levam certas propriedades a serem satisfeitas. Por exemplo, se você desejar que a propriedade x^(a+b) = x^a x^b seja sempre satisfeita, você deve ter x^0 = x^0 x^0 donde x^0 = 0 ou 1. Mas se x^0 = 0 temos x^a = x^0 x^a = 0 para todo a, o que não é muito interessante... Analogamente, você provavelmente gosta da fórmula (n+1)! = n! (n+1). Desta fórmula sai que 1! = 0! * 1; 2! = 0! * 1 * 2; e a única forma de obtermos os valores esperados 2!=2, 3!=6 é definir 0!=1. Outra idéia é levar interpretações combinatórias até casos degenerados. Por exemplo, se a e b são inteiros positivos podemos escrever a^b = |F(B,A)|, onde A e B são conjuntos arbitrários com a e b elementos, respectivamente, e F(B,A) é o conjunto das funções de domínio B e contradomínio A. Ora, se B for vazio, o que é F(B,A)? É um conjunto com um único elemento, a função vazia. Eu vou dar os valores dela em todos os elementos de B; pronto, já dei. :-) Assim, |F(B,A)| = 1 o que nos leva a x^0 = 1. Analogamente, podemos escrever a! como |S(A)| onde A novamente é um conjunto com A elementos e S(A) é o conjunto das permutações de A (bijeções de A em A). Se A for vazio, novamente a função vazia é o único elemento de S(A). []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 14 16:22:41 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA16106 for obm-l-MTTP; Fri, 14 Feb 2003 16:21:17 -0200 Received: from hotmail.com (oe72.law10.hotmail.com [64.4.14.207]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA16079 for ; Fri, 14 Feb 2003 16:21:10 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Fri, 14 Feb 2003 10:20:38 -0800 X-Originating-IP: [64.60.139.18] From: "leandro" To: Subject: RE: [obm-l] Complexos III Date: Fri, 14 Feb 2003 10:20:37 -0800 Message-ID: <00d001c2d455$c5bafd70$28029b9b@LeandroRecova> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_00D1_01C2D412.B797BD70" X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook, Build 10.0.3416 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 Importance: Normal In-Reply-To: <19a.10b04d11.2b7e7da6@aol.com> X-OriginalArrivalTime: 14 Feb 2003 18:20:38.0136 (UTC) FILETIME=[C6241F80:01C2D455] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_00D1_01C2D412.B797BD70 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Note que se z =3D a + bi entao 1/z =3D (a-bi)/(a^2+b^2).=20 =20 Portanto, verificando as outras opcoes, temos que:=20 =20 (b) z + 1/z <> i. (Basta somar z + 1/z). Voce vera que z + (1/z) =3D = 2.a =3D 2Re(z). (Faca a imposicao que z e 1/z tem mesmo modulo) (c) O modulo de z nao e 2. Iguale os modulos de mod(z)=3D sqrt(a^2+b^2) = e mod(1/z) =3D sqrt(a^2+b^2)^-1.=20 (d) z nao e real pois nao foi feita nenhuma hipotese sobre o valor de b. Somente se b =3D 0 teriamos essa possibilidade. Nada foi dito no enunciado. (e) z^2 <> 1, basta fazer a conta.=20 =20 Se z e 1/z tem o mesmo modulo, entao sqrt(a^2+b^2) =3D sqrt(a^2+b^2)/a^2+b^2 =3D> Isso sugere que mod(z)^2 =3D 1, ou seja, = a^2+b^2 =3D 1. Portanto, z =3D a+bi e 1/z =3D a-bi. Logo, z e 1/z sao = conjugados. (letra (a) e a correta).=20 =20 =20 =20 -----Original Message----- From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Faelccmm@aol.com Sent: Friday, February 14, 2003 9:13 AM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Complexos III =20 Ol=E1 pessoal,=20 Vejam a quest=E3o:=20 (FUVEST-SP) O n=FAmero complexo z # 0 e o seu inverso 1/z t=EAm o mesmo m=F3dulo. Conclui-se que:=20 a) z e 1/z s=E3o conjugados=20 b) z + 1/z =3D i=20 c) este m=F3dulo =E9 2=20 d) z e 1/z s=E3o reais=20 e) z^2 =3D1 =20 resp: "a"=20 Obs: Algu=E9m poderia me dar uma resolu=E7=E3o que tornasse poss=EDvel = n=E3o s=F3 chegar a solu=E7=E3o correta, mas tb=E9m eliminar as falsas? ------=_NextPart_000_00D1_01C2D412.B797BD70 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable

Note que se z = =3D a + bi =A0entao 1/z =3D (a-bi)/(a^2+b^2).

 

Portanto, = verificando as outras opcoes, temos que:

 

(b) z + 1/z=A0 = <> i. (Basta somar z + 1/z). Voce vera que z + (1/z) =3D 2.a =3D 2Re(z). (Faca = a imposicao que z e 1/z tem mesmo modulo)

(c) O modulo de = z nao e 2. Iguale os modulos de mod(z)=3D sqrt(a^2+b^2) e mod(1/z) =3D = sqrt(a^2+b^2)^-1.

(d) z nao e real = pois nao foi feita nenhuma hipotese sobre o valor de b. Somente se b =3D 0 = teriamos essa possibilidade. Nada foi dito no enunciado.

(e) z^2 <> = 1, basta fazer a conta.

 

Se z e 1/z tem o = mesmo modulo, entao sqrt(a^2+b^2) =3D sqrt(a^2+b^2)/a^2+b^2 =3D> Isso = sugere que mod(z)^2 =3D 1, ou seja, a^2+b^2 =3D 1. Portanto, z =3D a+bi e 1/z =3D = a-bi. Logo, z e 1/z sao conjugados. (letra (a) e a correta).

 

 

 

-----Original Message-----
From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-= rio.br] On Behalf Of = Faelccmm@aol.com
Sent: Friday, February 14, 2003 9:13 AM
To: = obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] = Complexos III

 


Ol=E1 pessoal,

Vejam a quest=E3o:

(FUVEST-SP) O n=FAmero complexo z # 0 e o seu inverso 1/z  t=EAm o = mesmo m=F3dulo. Conclui-se que:

a) z e 1/z s=E3o conjugados
b) z + 1/z =3D i
c) este m=F3dulo =E9 2
d) z e 1/z s=E3o reais
e) z^2 =3D1  

resp: "a"

Obs: Algu=E9m poderia me dar uma resolu=E7=E3o que tornasse poss=EDvel = n=E3o s=F3 chegar a solu=E7=E3o correta, mas tb=E9m eliminar as falsas?

------=_NextPart_000_00D1_01C2D412.B797BD70-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 14 16:23:32 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA16279 for obm-l-MTTP; Fri, 14 Feb 2003 16:22:05 -0200 Received: from ns3bind.localdomain ([200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA16223 for ; Fri, 14 Feb 2003 16:21:41 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.228]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1EIJk113819 for ; Fri, 14 Feb 2003 16:19:46 -0200 Message-ID: <010a01c2d45e$961ea400$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <1e.a19ba83.2b7e7d8d@aol.com> Subject: Re: [obm-l] Complexos II Date: Fri, 14 Feb 2003 16:23:37 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0103_01C2D445.6D71C640" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0103_01C2D445.6D71C640 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable (PUC-SP) Na figura abaixo, o ponto P =E9 a imagem de um n=FAmero = complexo z, representado no plano de Gauss. Se OP =3D 2*raiz(2), ent=E3o = z^2 =E9 igual a :=20 135 graus =3D 3*pi/4 =3D=3D> z =3D 2*Raiz(2) * exp(i*3*pi/4) =3D=3D> z^2 =3D 8 * exp(i*3*pi/2) =3D -8*i resp: - 8i=20 Obs: A figura =E9 a seguinte:=20 Esbocem o plano de Argand-Gauss com os eixos Re (z) e Im (z). O segmento = OP forma um =E2ngulo de 135=BA com o eixo O Re (z).=20 Um abra=E7o, Claudio. ------=_NextPart_000_0103_01C2D445.6D71C640 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable

(PUC-SP) Na figura abaixo, o ponto P =E9 a imagem de um = n=FAmero complexo=20 z, representado no plano de Gauss. Se OP =3D 2*raiz(2), ent=E3o z^2 =E9 = igual a :=20
135 graus =3D 3*pi/4 =3D=3D> z =3D 2*Raiz(2) * = exp(i*3*pi/4)  =3D=3D>
z^2 =3D 8 * exp(i*3*pi/2) =3D -8*i

resp: - 8i

Obs: A figura =E9 a seguinte:
Esbocem o = plano de=20 Argand-Gauss com os eixos Re (z) e Im (z). O segmento OP forma um = =E2ngulo de 135=BA=20 com o eixo O Re (z).
 
Um abra=E7o,
Claudio.
 ------=_NextPart_000_0103_01C2D445.6D71C640-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 14 16:23:44 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA16323 for obm-l-MTTP; Fri, 14 Feb 2003 16:22:20 -0200 Received: from web12907.mail.yahoo.com (web12907.mail.yahoo.com [216.136.174.74]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id QAA16270 for ; Fri, 14 Feb 2003 16:22:03 -0200 Message-ID: <20030214182127.97312.qmail@web12907.mail.yahoo.com> Received: from [200.206.103.3] by web12907.mail.yahoo.com via HTTP; Fri, 14 Feb 2003 15:21:27 ART Date: Fri, 14 Feb 2003 15:21:27 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Johann=20Peter=20Gustav=20Lejeune=20Dirichlet?= Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_x^2+x+p_é_primo To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <000c01c2d459$22951a50$2accfea9@gauss> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-939506679-1045246887=:96568" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --0-939506679-1045246887=:96568 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Tenho que ser mais rapido!Bem,trenho que pensar em varias coisas,to sem tempo... "Domingos Jr." wrote:hehehe, não vou me matar pq consegui resolver antes de vc postar a solução!----- Original Message ----- From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, February 14, 2003 1:00 PMSubject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_x^2+x+p_é_primo Veja a soluçao no final do e-mail mas se matem primeiro. "Domingos Jr." wrote: pelo que eu vi na prova da IMO que eu baixei é raiz quadrada...pelo menos alguém leu o que eu fiz!!!----- Original Message ----- From: Cláudio (Prática) To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 13, 2003 6:39 PMSubject: [obm-l] x^2+x+p é primo Caros JP e Domingos Jr.: Só pra clarificar. O enunciado fala em raiz quadrada ou raiz cúbica de (p/3) ? Abraço,Claudio. Suponha que ha um composto intruso.Seja N o menor natural para o qual f(n)=qm e composto,e q o menor fator primo.q<=sqrt(f(N))<=sqrt(f(p-2))=(q-1)/2.seja q-1-k=n.Assim k<=(q-1)/2,calcule n²+n+1 e mostre que q|K²+K+p,contradiçao.*N<=(q-1)/2.Aqui voce usa o enunciado completo. --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-939506679-1045246887=:96568 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

Tenho que ser mais rapido!Bem,trenho que pensar em varias coisas,to sem tempo...

 "Domingos Jr." <dopikas@uol.com.br> wrote:

hehehe, não vou me matar pq consegui resolver antes de vc postar a solução!
----- Original Message -----
Sent: Friday, February 14, 2003 1:00 PM
Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_x^2+x+p_é_primo

Veja a soluçao no final do e-mail mas se matem primeiro.

 "Domingos Jr." <dopikas@uol.com.br> wrote:

pelo que eu vi na prova da IMO que eu baixei é raiz quadrada...
pelo menos alguém leu o que eu fiz!!!
----- Original Message -----
Sent: Thursday, February 13, 2003 6:39 PM
Subject: [obm-l] x^2+x+p é primo

Caros JP e Domingos Jr.:
 
Só pra clarificar.
 
O enunciado fala em raiz quadrada ou raiz cúbica de (p/3) ?
 
Abraço,
Claudio.
 
 
 
Suponha que ha um composto intruso.Seja N o menor natural para o qual f(n)=qm e composto,e q o menor fator primo.
q<=sqrt(f(N))<=sqrt(f(p-2))<p.Vamos fatiar em casos:
*q<N.Calcule f(N-q) e veja modulo q,e contradiçao!
*N>=(q-1)/2.seja q-1-k=n.Assim k<=(q-1)/2,calcule n²+n+1 e mostre que q|K²+K+p,contradiçao.
*N<=(q-1)/2.Aqui voce usa o enunciado completo.


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O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-939506679-1045246887=:96568-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 14 16:28:24 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA17053 for obm-l-MTTP; Fri, 14 Feb 2003 16:27:01 -0200 Received: (from nicolau@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA17036 for obm-l@mat.puc-rio.br; Fri, 14 Feb 2003 16:26:58 -0200 Date: Fri, 14 Feb 2003 16:26:58 -0200 From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Complexos III Message-ID: <20030214162658.E9925@sucuri.mat.puc-rio.br> References: <19a.10b04d11.2b7e7da6@aol.com> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Disposition: inline Content-Transfer-Encoding: 8bit User-Agent: Mutt/1.2.5i In-Reply-To: <19a.10b04d11.2b7e7da6@aol.com>; from Faelccmm@aol.com on Fri, Feb 14, 2003 at 12:13:10PM -0500 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Fri, Feb 14, 2003 at 12:13:10PM -0500, Faelccmm@aol.com wrote: > > Olá pessoal, > > Vejam a questão: > > (FUVEST-SP) O número complexo z # 0 e o seu inverso 1/z têm o mesmo módulo. > Conclui-se que: Temos |1/z| = 1/|z| donde se |z| = |1/z| temos |z| = 1. Vale também a recíproca. Ou seja, sabemos que |z| = 1 ou z = e^it. Vejamos as opções: > a) z e 1/z são conjugados Correta, z = e^it, 1/z = conjugado(z) = e^(-it). > b) z + 1/z = i Falsa para z = 1. Aliás falsa sempre, z + 1/z é real. > c) este módulo é 2 Falsa para z = 1. Aliás também falsa sempre. > d) z e 1/z são reais Só se z=+-1. Falsa para z=i, por exemplo. > e) z^2 =1 De novo, só se z=+-1. Falsa para z=i, por exemplo. > resp: "a" A resposta é (a) sim. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 14 16:29:41 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA17195 for obm-l-MTTP; Fri, 14 Feb 2003 16:28:16 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA17187 for ; Fri, 14 Feb 2003 16:28:09 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.224]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1EIQN114144 for ; Fri, 14 Feb 2003 16:26:23 -0200 Message-ID: <011101c2d45f$82c93040$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <43.182aed3e.2b7e7d76@aol.com> Subject: Re: [obm-l] Complexos I Date: Fri, 14 Feb 2003 16:30:18 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_010E_01C2D446.5CA96600" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_010E_01C2D446.5CA96600 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable (UF Uberl=E2ndia) Sejam "O", "Z_1" e "Z_2" as representa=E7=F5es = gr=E1ficas dos complexos (O + Oi), (2 + 3i) e (-5 -i), respectivamente. = A menor determina=E7=E3o positiva do =E2ngulo Z_1 =D4 Z_2 =E9 :=20 Essa sai por vetores: OZ1 =3D (2,3) e OZ2 =3D (-5,-1) |OZ1| =3D raiz(2^2+3^2) =3D raiz(13) |OZ2| =3D raiz(5^2+1^2) =3D raiz(26) Produto Escalar de OZ1 e OZ2 =3D OZ1 o OZ2 =3D 2*(-5) + 3*(-1) =3D -13 Tamb=E9m sabemos que OZ1 o OZ2 =3D |OZ1| * |OZ2| * cos(Z1OZ2) =3D=3D> -13 =3D raiz(13)*raiz(26)*cos(Z1OZ2) =3D=3D> cos(Z1OZ2) =3D -1/raiz(2) = =3D -raiz(2)/2 =3D=3D> Z1OZ2 vale 135 graus ou 3*pi/4 radianos. ************* resp: 2 raiz 5/5 =3D=3D> gabarito errado mais uma vez Um abra=E7o, Claudio. ------=_NextPart_000_010E_01C2D446.5CA96600 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable

(UF Uberl=E2ndia) Sejam "O", "Z_1" e "Z_2" as = representa=E7=F5es gr=E1ficas dos=20 complexos (O + Oi), (2 + 3i) e (-5 -i), respectivamente. A menor = determina=E7=E3o=20 positiva do =E2ngulo Z_1 =D4 Z_2 =E9 :
Essa sai por vetores:  OZ1 =3D (2,3)  e  OZ2 =3D = (-5,-1)
 
|OZ1| =3D raiz(2^2+3^2) =3D raiz(13)
 
|OZ2| =3D raiz(5^2+1^2) =3D raiz(26)
 
Produto Escalar de OZ1 e OZ2 =3D OZ1 o OZ2 =3D 2*(-5) + 3*(-1) =3D = -13
Tamb=E9m sabemos que OZ1 o OZ2 =3D |OZ1| * |OZ2| * cos(Z1OZ2) = =3D=3D>
 
-13 =3D raiz(13)*raiz(26)*cos(Z1OZ2) =3D=3D>  cos(Z1OZ2) = =3D -1/raiz(2) =3D=20 -raiz(2)/2 =3D=3D>
 
Z1OZ2 vale 135 graus ou 3*pi/4 radianos.
 
*************
 
resp: 2 raiz 5/5 =3D=3D> gabarito errado mais uma vez
 
Um abra=E7o,
Claudio.

 ------=_NextPart_000_010E_01C2D446.5CA96600-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 14 16:39:55 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA18600 for obm-l-MTTP; Fri, 14 Feb 2003 16:38:13 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA18512 for ; Fri, 14 Feb 2003 16:37:50 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.224]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1EIZx114608 for ; Fri, 14 Feb 2003 16:35:59 -0200 Message-ID: <012001c2d460$d9c7e3e0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <19a.10b04d11.2b7e7da6@aol.com> Subject: Re: [obm-l] Complexos III Date: Fri, 14 Feb 2003 16:39:54 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_011D_01C2D447.B3A07880" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_011D_01C2D447.B3A07880 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable (FUVEST-SP) O n=FAmero complexo z # 0 e o seu inverso 1/z t=EAm o mesmo = m=F3dulo. Conclui-se que:=20 a) z e 1/z s=E3o conjugados=20 b) z + 1/z =3D i=20 c) este m=F3dulo =E9 2=20 d) z e 1/z s=E3o reais=20 e) z^2 =3D1 =20 Seja w =3D conjugado de z. |z| =3D |1/z| =3D=3D> |z| =3D 1/|z| =3D=3D> |z|^2 =3D 1. Agora, leve em conta que |z|^2 =3D z*w (propriedade que vale para = qualquer n=FAmero complexo) =3D=3D> z*w =3D 1 =3D=3D> w =3D 1/z =3D=3D> z e 1/z s=E3o conjugados =3D=3D> = alternativa (a) Vamos eliminar as outras alternativas com contra-exemplos: b) tome z =3D 1. Nesse caso, 1/z =3D 1 =3D=3D> z e 1/z t=EAm mesmo = m=F3dulo e z + 1/z =3D 2 <> i c) tome z =3D 1 =3D=3D> |z| =3D |1/z| =3D 1 d) tome z =3D i =3D=3D> 1/z =3D -i =3D=3D> z e 1/z t=EAm mesmo m=F3dulo = e z e 1/z s=E3o ambos imagin=E1rios e) tome z =3D i =3D=3D> z^2 =3D -1 <> 1 resp: "a"=20 Obs: Algu=E9m poderia me dar uma resolu=E7=E3o que tornasse poss=EDvel = n=E3o s=F3 chegar a solu=E7=E3o correta, mas tb=E9m eliminar as falsas? ------=_NextPart_000_011D_01C2D447.B3A07880 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable

(FUVEST-SP) O n=FAmero complexo z # 0 e o seu inverso 1/z =  t=EAm o=20 mesmo m=F3dulo. Conclui-se que:

a) z e 1/z s=E3o conjugados =
b) z + 1/z =3D=20 i
c) este m=F3dulo =E9 2
d) z e 1/z s=E3o reais
e) z^2 =3D1 =  =20
Seja w =3D conjugado de z.
 
|z| =3D |1/z| =3D=3D> |z| =3D 1/|z| =3D=3D> |z|^2 =3D = 1.
 
Agora, leve em conta que |z|^2 =3D z*w (propriedade que vale para = qualquer=20 n=FAmero complexo)  =3D=3D>
z*w =3D 1  =3D=3D>  w =3D 1/z  =3D=3D> z e 1/z = s=E3o=20 conjugados  =3D=3D> alternativa (a)
 
Vamos eliminar as outras alternativas com contra-exemplos:
b) tome z =3D 1. Nesse caso, 1/z =3D 1 =3D=3D> z e 1/z t=EAm = mesmo m=F3dulo e z +=20 1/z =3D 2 <> i
 
c) tome z =3D 1 =3D=3D> |z| =3D |1/z| =3D 1
 
d) tome z =3D i =3D=3D> 1/z =3D -i  =3D=3D> z e 1/z = t=EAm mesmo m=F3dulo e z e=20 1/z s=E3o ambos imagin=E1rios
 
e) tome z =3D i =3D=3D> z^2 =3D -1 <> 1
 
resp: "a"

Obs: Algu=E9m poderia me dar uma resolu=E7=E3o que tornasse = poss=EDvel n=E3o s=F3=20 chegar a solu=E7=E3o correta, mas tb=E9m eliminar as falsas?=20
------=_NextPart_000_011D_01C2D447.B3A07880-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 14 16:57:49 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA20777 for obm-l-MTTP; Fri, 14 Feb 2003 16:56:13 -0200 Received: (from nicolau@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA20754 for obm-l@mat.puc-rio.br; Fri, 14 Feb 2003 16:56:10 -0200 Date: Fri, 14 Feb 2003 16:56:02 -0200 From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Matriz Harmonica(e esse onome?) Message-ID: <20030214165602.F9925@sucuri.mat.puc-rio.br> References: <20030214180103.36361.qmail@web12903.mail.yahoo.com> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Disposition: inline Content-Transfer-Encoding: 8bit User-Agent: Mutt/1.2.5i In-Reply-To: <20030214180103.36361.qmail@web12903.mail.yahoo.com>; from peterdirichlet2002@yahoo.com.br on Fri, Feb 14, 2003 at 03:01:03PM -0300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Fri, Feb 14, 2003 at 03:01:03PM -0300, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: > Turma,ces sabem calcular o determinante de uma matriz n*n onde a(i;j)*(i+j)=1 sempre?Pelo que eu saiba deve ter isso na lista mas de qualquer caso... Esta se chama uma matriz de Hilbert. Bem, a matriz de Hilbert mais clássica tem entrada 1/(i+j-1) de tal forma que o canto é 1. O determinante é: 1^(2(n-1)) * 2^(2(n-2)) * ... * (n-1)^2/ (2^1 * 3^2 * ... * n^(n-1) * (n+1)^n * (n+2)^(n-1) * ... * (2n-1)^2 * 2n Uma demonstração boa está aqui http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/97/hilbmat onde se lê: > >How does one normally compute the determinant of the "Hilbert matrix" > > A_{ij} = 1/(i + j) (i, j = 1, ..., n)? > >(This matrix, I believe, is a standard example in numerical analysis of a > >matrix whose determinant is much closer to 0 than any of its entries.) > >I recently overheard a problem closely related to this, but my memory > >is a bit rusty concerning the Hilbert matrix. Thanks. > Stated this way, it is not obvious. But generalized slightly, it is. > Consider instead the determinant of the matrix whose elements are > b_{ij} = 1/(x_i + y_j). This is a rational function of the x's > and y's, and in lowest terms the denominator can be taken to be > the product of the n^2 b's. Now the numerator is divisible by > (x_i - x_j) and (y_i - y_j) for i different from j, and thus the > product of all of these divides the numerator. But this accounts > for degree n^2 - n, and all terms of the product expansion are > of degree -n, so this is it, except possibly for a constant. The > case where the x's and y's grow rapidly shows the constant is 1. Procurando isso, acabei de achar uma referência via google: Man-Duen Choi: Tricks or treats with the Hilbert matrix. Amer. Math. Monthly, 90:301-312, 1983. Nunca li, mas pode ser legal. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 14 17:02:13 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA21452 for obm-l-MTTP; Fri, 14 Feb 2003 17:00:44 -0200 Received: (from nicolau@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA21448 for obm-l@mat.puc-rio.br; Fri, 14 Feb 2003 17:00:43 -0200 Date: Fri, 14 Feb 2003 17:00:43 -0200 From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Matriz Harmonica(e esse onome?) Message-ID: <20030214170043.A21111@sucuri.mat.puc-rio.br> References: <20030214180103.36361.qmail@web12903.mail.yahoo.com> <20030214165602.F9925@sucuri.mat.puc-rio.br> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Disposition: inline Content-Transfer-Encoding: 8bit User-Agent: Mutt/1.2.5i In-Reply-To: <20030214165602.F9925@sucuri.mat.puc-rio.br>; from nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br on Fri, Feb 14, 2003 at 04:56:02PM -0200 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Fri, Feb 14, 2003 at 04:56:02PM -0200, Nicolau C. Saldanha wrote: > Uma demonstração boa está aqui > > http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/97/hilbmat Cometi uma deselegância: omiti o nome do autor da demonstração que eu colei da internet. O nome é Herman Rubin, e pelo menos em 1997 estava no departamento de estatística de Purdue. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 14 17:59:14 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA25561 for obm-l-MTTP; Fri, 14 Feb 2003 17:57:48 -0200 Received: from ns3bind.localdomain ([200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA25557 for ; Fri, 14 Feb 2003 17:57:45 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.229]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1EJto118353 for ; Fri, 14 Feb 2003 17:55:50 -0200 Message-ID: <013d01c2d46c$01fcdae0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030214180103.36361.qmail@web12903.mail.yahoo.com> Subject: Re: [obm-l] Matriz Harmonica(e esse onome?) Date: Fri, 14 Feb 2003 17:59:45 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_013A_01C2D452.DBB3DDC0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_013A_01C2D452.DBB3DDC0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Caro JP: N=E3o tenho a solu=E7=E3o ainda, mas acho que uma id=E9ia que pode = funcionar =E9 olhar para det(A) como sendo uma fun=E7=E3o racional dos = i's e dos j's (tomados como vari=E1veis - como os x's num polin=F4mio).=20 Para evitar confus=E3o, podemos considerar a matriz nxn B, tal que = B(i,j) =3D 1/(X(i) + Y(j)).=20 Assim, det(B) ser=E1 uma fun=E7=E3o racional nas 2n vari=E1veis X(i), = Y(j) (1 <=3D i,j <=3D n) Ap=F3s calcular det(B) e reduzi-lo um denominador comum, podemos tentar = provar que: 1) O denominador de det(B) ser=E1 igual ao produto dos n^2 termos da = forma [X(i) + Y(j)] =3D 1/B(i,j) =3D=3D>=20 grau(denominador) =3D n^2; 2) O numerador de det(B) ser=E1 divis=EDvel por [X(j) - X(i)] e [Y(j) - = Y(i)], para todo i e j com 1 <=3D i < j <=3D n. A afirmativa (2) ter=E1 levado em conta um fator do numerador de grau = n^2 - n. Entretanto, det(B) =E9 igual =E0 soma alg=E9brica de n! termos cujos = denominadores t=EAm grau n. Logo grau(det(B)) =3D -n. Assim: grau(det(B)) =3D grau(numerador) - grau(denominador) =3D=3D> -n =3D grau(numerador) - n^2 =3D=3D> grau(numerador) =3D n^2 - n =3D=3D> numerador =3D K * PRODUT=D3RIO [X(j) - X(i)]*[Y(j) - Y(i)] 1 <=3D i < j <=3D n onde K =E9 uma constante. Agora, resta provar que K =3D 1. Acho que pode sair da mesma forma que = no determinante de Vandermonde. Vou pensar um pouco mais. Bom fim de semana e um abra=E7o, Claudio. PS: Aquela solu=E7=E3o do x^2+x+p =E9 primo foi um golpe duro....voc=EA = acreditaria se eu dissesse que eu tinha justamente acabado de pensar = nela? Eu n=E3o..... ----- Original Message -----=20 From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Friday, February 14, 2003 3:01 PM Subject: [obm-l] Matriz Harmonica(e esse onome?) Turma,ces sabem calcular o determinante de uma matriz n*n onde = a(i;j)*(i+j)=3D1 sempre?Pelo que eu saiba deve ter isso na lista mas de = qualquer caso... -------------------------------------------------------------------------= ----- Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o = Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_013A_01C2D452.DBB3DDC0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Caro JP:
 
N=E3o tenho a solu=E7=E3o ainda, mas = acho que=20 uma id=E9ia que pode funcionar =E9 = olhar para det(A)=20 como sendo uma fun=E7=E3o racional dos i's e dos j's (tomados como = vari=E1veis - como=20 os x's num polin=F4mio).
Para evitar confus=E3o, podemos = considerar a matriz=20 nxn B, tal que B(i,j) =3D 1/(X(i) + Y(j)).
Assim, det(B) ser=E1 uma fun=E7=E3o = racional nas 2n=20 vari=E1veis X(i), Y(j)  (1 <=3D i,j <=3D n)
 
Ap=F3s calcular det(B) e reduzi-lo um = denominador=20 comum, podemos tentar provar que:
1) O denominador de det(B) ser=E1 igual = ao produto=20 dos n^2 termos da forma [X(i) + Y(j)] =3D 1/B(i,j) =3D=3D> =
grau(denominador) =3D n^2;
 
2) O numerador de det(B) ser=E1 = divis=EDvel=20 por [X(j) - X(i)] e [Y(j) - Y(i)], para todo i e j com 1 = <=3D i <=20 j <=3D n.
 
A afirmativa (2) ter=E1 levado em = conta um fator=20 do numerador de grau n^2 - n.
 
Entretanto, det(B) =E9 igual =E0 = soma alg=E9brica de=20 n! termos cujos denominadores t=EAm grau n. Logo grau(det(B)) =3D = -n.
Assim:
grau(det(B)) =3D grau(numerador) -=20 grau(denominador)  =3D=3D>
 -n =3D grau(numerador) - n^2=20  =3D=3D>
grau(numerador) =3D n^2 - n  = =3D=3D>
 
numerador =3D K * PRODUT=D3RIO [X(j) - = X(i)]*[Y(j) -=20 Y(i)]
          &nbs= p;            = ; =20 1 <=3D i < j <=3D n
onde K =E9 uma constante.
 
Agora, resta provar que K =3D 1. Acho = que pode sair=20 da mesma forma que no determinante de Vandermonde.
 
Vou pensar um pouco mais.
 
Bom fim de semana e um = abra=E7o,
Claudio.
 
PS: Aquela solu=E7=E3o do x^2+x+p =E9 = primo foi um golpe=20 duro....voc=EA acreditaria se eu dissesse que eu tinha justamente = acabado de=20 pensar nela? Eu n=E3o.....
 
----- Original Message -----
From:=20 Johann Peter Gustav = Lejeune=20 Dirichlet
Sent: Friday, February 14, 2003 = 3:01=20 PM
Subject: [obm-l] Matriz = Harmonica(e esse=20 onome?)

Turma,ces sabem = calcular o=20 determinante de uma matriz n*n onde a(i;j)*(i+j)=3D1 sempre?Pelo que = eu saiba=20 deve ter isso na lista mas de qualquer caso...


Busca Yahoo!
O = servi=E7o de=20 busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o Yahoo!=20 encontra. ------=_NextPart_000_013A_01C2D452.DBB3DDC0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 14 18:12:45 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA18677 for obm-l-MTTP; Fri, 14 Feb 2003 16:38:37 -0200 Received: from web80408.mail.yahoo.com (web80408.mail.yahoo.com [66.218.79.63]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id QAA18648 for ; Fri, 14 Feb 2003 16:38:25 -0200 Message-ID: <20030214183750.49605.qmail@web80408.mail.yahoo.com> Received: from [200.128.23.188] by web80408.mail.yahoo.com via HTTP; Fri, 14 Feb 2003 15:37:50 ART Date: Fri, 14 Feb 2003 15:37:50 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Tertuliano=20Carneiro?= Subject: Re: [obm-l] Complexos III To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <19a.10b04d11.2b7e7da6@aol.com> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-1748778947-1045247870=:47026" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --0-1748778947-1045247870=:47026 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Olá! Temos q [z]=[1/z], onde os colchetes representam modulos de numeros complexos. Assim, [z]^2=1, ou seja, [z]=1 (observe q o item c ja está fora). Alem disso, se [z]^2=1, entao [z^2]=1 e, consequentemente, z^2=1 ou z^2=-1 (item e descartado). Seja entao z=a+bi. Assim, a^2+b^2=1 e, portanto, 1/z=a-bi (faça as contas). Daí o item a é o correto. Observe q, sendo z e 1/z complexos conjugados, o item b é absurdo. Finalmente, como nao há restricao para b, z e 1/z nao precisam ser necessariamente reais. Tertuliano Carneiro. Faelccmm@aol.com wrote: Olá pessoal, Vejam a questão: (FUVEST-SP) O número complexo z # 0 e o seu inverso 1/z têm o mesmo módulo. Conclui-se que: a) z e 1/z são conjugados b) z + 1/z = i c) este módulo é 2 d) z e 1/z são reais e) z^2 =1 resp: "a" Obs: Alguém poderia me dar uma resolução que tornasse possível não só chegar a solução correta, mas tbém eliminar as falsas? --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-1748778947-1045247870=:47026 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

Olá!

Temos q [z]=[1/z], onde os colchetes representam modulos  de numeros complexos. Assim, [z]^2=1, ou seja, [z]=1 (observe q o item c ja está fora). Alem disso, se [z]^2=1, entao [z^2]=1 e, consequentemente, z^2=1 ou z^2=-1 (item e descartado).

Seja entao z=a+bi. Assim, a^2+b^2=1 e, portanto, 1/z=a-bi (faça as contas). Daí o item a é o correto. Observe q, sendo z e 1/z complexos conjugados, o item b é absurdo. Finalmente, como nao há restricao para b, z e 1/z nao precisam ser necessariamente reais.

Tertuliano Carneiro.

 

   

 Faelccmm@aol.com wrote:


Olá pessoal,

Vejam a questão:

(FUVEST-SP) O número complexo z # 0 e o seu inverso 1/z  têm o mesmo módulo. Conclui-se que:

a) z e 1/z são conjugados
b) z + 1/z = i
c) este módulo é 2
d) z e 1/z são reais
e) z^2 =1  

resp: "a"

Obs: Alguém poderia me dar uma resolução que tornasse possível não só chegar a solução correta, mas tbém eliminar as falsas?


Busca Yahoo!
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Date: Fri, 14 Feb 2003 18:28:59 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caro Nicolau e demais colegas: Tem um problema no livro Álgebra Linear (Hoffman/Kunze) que pede para provar que a inversa da matriz de termo geral 1/(i+j) tem todos os elementos inteiros. Há uns dois anos, eu escrevi pra coluna Ask Dr.Math http://mathforum.org/dr.math/ask4.html sobre o problema e eles me deram a mesma dica exposta abaixo - considerar uma matriz de funções racionais nxn de elementos B(i,j) = 1/(X(i)+Y(j)) e provar que o numerador é um produto de termos X(i)-X(j) e Y(i)-Y(j) de grau n^2 - n e o denominador um produto de termos X(i)+X(j) grau n^2. Eu acabei de mandar uma mensagem pra lista com o meu esboço de solução (não cheguei ao resultado final) e também cometi a deselegância de não mencionar o autor da dica - no caso um certo Dr. Rob (eles não dão o nome inteiro) que contribui ou contribuía na época para aquela coluna. De qualquer maneira, o site mencionado acima tem alguns artigos e problemas interessantes. Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Nicolau C. Saldanha" To: Sent: Friday, February 14, 2003 4:00 PM Subject: Re: [obm-l] Matriz Harmonica(e esse onome?) > On Fri, Feb 14, 2003 at 04:56:02PM -0200, Nicolau C. Saldanha wrote: > > Uma demonstração boa está aqui > > > > http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/97/hilbmat > > Cometi uma deselegância: omiti o nome do autor da demonstração > que eu colei da internet. O nome é Herman Rubin, e pelo menos em 1997 > estava no departamento de estatística de Purdue. > > []s, N. > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 14 21:10:19 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA30293 for obm-l-MTTP; Fri, 14 Feb 2003 21:08:43 -0200 Received: from web41503.mail.yahoo.com (web41503.mail.yahoo.com [66.218.93.86]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id VAA30289 for ; Fri, 14 Feb 2003 21:08:40 -0200 Message-ID: <20030214230808.90943.qmail@web41503.mail.yahoo.com> Received: from [200.151.223.47] by web41503.mail.yahoo.com via HTTP; Fri, 14 Feb 2003 20:08:08 ART Date: Fri, 14 Feb 2003 20:08:08 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?elton=20francisco=20ferreira?= Subject: [obm-l] CN To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br olá, pessoal da lista!! sei que a resolução deste problema é feita através de logarítmos, mas quero saber se ha um jeito mais fácil; se tiver, será q vcs podem fazer?! Abraços! Para registrar o resultado da operação 2^101*5^97 , o número de dígitos necessários é: (A) 96 (B) 97 (C) 98 (D) 99 (E) 100 _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 14 21:33:47 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA31141 for obm-l-MTTP; Fri, 14 Feb 2003 21:32:27 -0200 Received: from web41503.mail.yahoo.com (web41503.mail.yahoo.com [66.218.93.86]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id VAA31137 for ; Fri, 14 Feb 2003 21:32:23 -0200 Message-ID: <20030214233152.95923.qmail@web41503.mail.yahoo.com> Received: from [200.151.223.47] by web41503.mail.yahoo.com via HTTP; Fri, 14 Feb 2003 20:31:52 ART Date: Fri, 14 Feb 2003 20:31:52 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?elton=20francisco=20ferreira?= Subject: [obm-l] uma questão To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br A soma dos dois algarismos de um numeral é 6. Trocando os algarismos de lugar, o novo número tem 18 unidades a menos que o número original. Qual é o número original? _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 14 21:49:25 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA31607 for obm-l-MTTP; Fri, 14 Feb 2003 21:48:04 -0200 Received: from mediterraneo.rjnet.com.br (mediterraneo.rjnet.com.br [200.152.115.30]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA31588 for ; Fri, 14 Feb 2003 21:47:54 -0200 Received: from locutus.rjnet.com.br (root@locutus.rjnet.com.br [200.152.115.10]) by mediterraneo.rjnet.com.br (8.11.4/8.11.4) with ESMTP id h1ENoPv18894 for ; Fri, 14 Feb 2003 21:50:25 -0200 Received: from computador (rosamaior.rjnet.com.br [200.152.116.14]) by locutus.rjnet.com.br (8.11.2/8.11.2) with SMTP id h1ENYbk02304 for ; Fri, 14 Feb 2003 21:34:37 -0200 Message-ID: <003201c2d48b$c5b79280$158c000a@computador> From: "Felipe Villela Dias" To: References: <20030214230808.90943.qmail@web41503.mail.yahoo.com> Subject: Re: [obm-l] CN Date: Fri, 14 Feb 2003 21:47:09 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_002F_01C2D472.A01DE830" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2720.3000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_002F_01C2D472.A01DE830 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1, 2^101*5^97 =3D 2^97*5^97*2^4 =3D 16*(2*5)^97 =3D 16 * 10^97 Bom, 10^97 tem 98 d=EDgitos, 1 seguido de 97 zeros. Multiplicado por 16 = voc=EA vai acrescentar mais um digito, logo a resposta =E9 (D) 99 = digitos. Espero que esteja correto. Abra=E7os. ----- Original Message -----=20 From: elton francisco ferreira=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Friday, February 14, 2003 8:08 PM Subject: [obm-l] CN ol=E1, pessoal da lista!! sei que a resolu=E7=E3o deste problema =E9 feita atrav=E9s de logar=EDtmos, mas quero saber se ha um jeito mais f=E1cil; se tiver, ser=E1 q vcs podem fazer?! Abra=E7os!=20 Para registrar o resultado da opera=E7=E3o 2^101*5^97 , o n=FAmero de d=EDgitos necess=E1rios =E9: (A) 96 (B) 97 (C) 98 (D) 99 (E) 100 = _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o = Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista =E9 = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.455 / Virus Database: 255 - Release Date: 13/2/2003 ------=_NextPart_000_002F_01C2D472.A01DE830 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Ol=E1,
2^101*5^97 =3D 2^97*5^97*2^4 =3D 16*(2*5)^97 =3D 16 * 10^97
Bom, 10^97 tem 98 d=EDgitos, 1 seguido de 97 zeros. Multiplicado = por 16 voc=EA=20 vai acrescentar mais um digito, logo a resposta =E9 (D) 99 = digitos.
Espero que esteja correto.
Abra=E7os.
----- Original Message -----
From:=20 elton francisco ferreira =
Sent: Friday, February 14, 2003 = 8:08=20 PM
Subject: [obm-l] CN

ol=E1, pessoal da lista!!

sei que a resolu=E7=E3o deste = problema =E9 feita=20 atrav=E9s de
logar=EDtmos, mas quero saber se ha um jeito mais = f=E1cil;
se=20 tiver, ser=E1 q vcs podem fazer?!

Abra=E7os! =




Para=20 registrar o resultado da opera=E7=E3o 2^101*5^97 , o
n=FAmero de = d=EDgitos=20 necess=E1rios =E9:
(A) 96 (B) 97 (C) 98 (D) 99 (E)=20 = 100


__________________________________________________________= _____________
Busca=20 Yahoo!
O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA = pensar o=20 Yahoo! encontra.
http://br.busca.yahoo.com/
=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D
Ins= tru=E7=F5es=20 para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.m= at.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O=20 administrador desta lista =E9 <nicolau@mat.puc-rio.br>
= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D
=
 

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Checked by = AVG=20 anti-virus system (http://www.grisoft.com).
Version: = 6.0.455=20 / Virus Database: 255 - Release Date: = 13/2/2003
------=_NextPart_000_002F_01C2D472.A01DE830-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 14 22:17:19 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA32672 for obm-l-MTTP; Fri, 14 Feb 2003 22:15:43 -0200 Received: from mediterraneo.rjnet.com.br (mediterraneo.rjnet.com.br [200.152.115.30]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA32667 for ; Fri, 14 Feb 2003 22:15:33 -0200 Received: from locutus.rjnet.com.br (root@locutus.rjnet.com.br [200.152.115.10]) by mediterraneo.rjnet.com.br (8.11.4/8.11.4) with ESMTP id h1F0I2v26457 for ; Fri, 14 Feb 2003 22:18:02 -0200 Received: from computador (rosamaior.rjnet.com.br [200.152.116.14]) by locutus.rjnet.com.br (8.11.2/8.11.2) with SMTP id h1F02Dk07777 for ; Fri, 14 Feb 2003 22:02:13 -0200 Message-ID: <000e01c2d48f$a165cb50$158c000a@computador> From: "Felipe Villela Dias" To: References: <20030214233152.95923.qmail@web41503.mail.yahoo.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_uma_quest=E3o?= Date: Fri, 14 Feb 2003 22:14:44 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_000B_01C2D476.7ABC1090" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2720.3000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_000B_01C2D476.7ABC1090 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Os algarismos podem ser 0 e 6, 1 e 5, 2 e 4 ou 3 e 3. Olhando rapidamente cada caso descobre-se que trocando a ordem dos = algarismos de 42 voc=EA obt=E9m 24. Ou seja uma diferen=E7a de 18. Abra=E7os. ----- Original Message -----=20 From: elton francisco ferreira=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Friday, February 14, 2003 8:31 PM Subject: [obm-l] uma quest=E3o A soma dos dois algarismos de um numeral =E9 6. Trocando os algarismos de lugar, o novo n=FAmero tem 18 unidades a menos que o n=FAmero original. Qual =E9 o n=FAmero original? = _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o = Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista =E9 = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.455 / Virus Database: 255 - Release Date: 13/2/2003 ------=_NextPart_000_000B_01C2D476.7ABC1090 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Os algarismos podem ser 0 e 6, 1 e 5, 2 e 4 ou 3 e 3.
Olhando rapidamente cada caso descobre-se que trocando a ordem = dos=20 algarismos de  42 voc=EA obt=E9m 24. Ou seja uma diferen=E7a de = 18.
Abra=E7os.
----- Original Message -----
From:=20 elton francisco ferreira =
Sent: Friday, February 14, 2003 = 8:31=20 PM
Subject: [obm-l] uma = quest=E3o

A soma dos dois algarismos de um numeral =E9 6. Trocando
os = algarismos=20 de lugar, o novo n=FAmero tem 18 unidades
a menos que o n=FAmero = original. Qual=20 =E9 o n=FAmero=20 = original?

________________________________________________________= _______________
Busca=20 Yahoo!
O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA = pensar o=20 Yahoo! encontra.
http://br.busca.yahoo.com/
=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D
Ins= tru=E7=F5es=20 para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.m= at.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O=20 administrador desta lista =E9 <nicolau@mat.puc-rio.br>
= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D
=
 

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Outgoing mail is certified Virus Free.
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Version: = 6.0.455=20 / Virus Database: 255 - Release Date: = 13/2/2003
------=_NextPart_000_000B_01C2D476.7ABC1090-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 14 22:49:25 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA01385 for obm-l-MTTP; Fri, 14 Feb 2003 22:47:38 -0200 Received: from imo-d02.mx.aol.com (imo-d02.mx.aol.com [205.188.157.34]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA01381 for ; Fri, 14 Feb 2003 22:47:34 -0200 From: Lltmdrtm@aol.com Received: from Lltmdrtm@aol.com by imo-d02.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.102.26a0ddd5 (4184) for ; Fri, 14 Feb 2003 19:47:00 -0500 (EST) Message-ID: <102.26a0ddd5.2b7ee804@aol.com> Date: Fri, 14 Feb 2003 19:47:00 EST Subject: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?Compara=E7=E3o?= To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_102.26a0ddd5.2b7ee804_boundary" X-Mailer: 7.0 for Windows sub 10501 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --part1_102.26a0ddd5.2b7ee804_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Quem =E9 maior e ^ pi ou pi ^ e ??? --part1_102.26a0ddd5.2b7ee804_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Quem =E9 maior e ^ pi  ou  pi ^ e  ???<= /FONT> --part1_102.26a0ddd5.2b7ee804_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 14 23:54:32 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA02824 for obm-l-MTTP; Fri, 14 Feb 2003 23:51:53 -0200 Received: from smtp-29.ig.com.br (smtp-29.ig.com.br [200.226.132.157]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id XAA02820 for ; Fri, 14 Feb 2003 23:51:49 -0200 Received: (qmail 24651 invoked from network); 15 Feb 2003 01:51:32 -0000 Received: from rj183039.user.veloxzone.com.br (HELO xxxx) (200.149.183.39) by smtp-29.ig.com.br with SMTP; 15 Feb 2003 01:51:32 -0000 Message-ID: <001c01c2d49c$dc2fc4e0$27b795c8@rffsa.gov.br> From: "Marcio" To: References: <102.26a0ddd5.2b7ee804@aol.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Compara=E7=E3o?= Date: Fri, 14 Feb 2003 23:49:27 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0019_01C2D483.B609E020" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4133.2400 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0019_01C2D483.B609E020 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable De acordo com o matlab, pi ^ e - e^(pi) =3D -0.6815 < 0 :)) Se vc quer convencer alguem que esta longe de uma calculadora, vc pode = notar que seu problema eh equivalente a decidir se e^(1/e) < pi^(1/pi) ou lne/e < lnpi/pi Mas g(x) =3D logx/x eh tal que g'(x) =3D (1 - logx) / x^2 < 0 se x>e. Logo, g eh decrescente em (e,oo) e portanto e < pi =3D> g(e) > g(pi), ou = seja e^pi > pi^e. Acho q eh isso..=20 Abraco, Marcio ----- Original Message -----=20 From: Lltmdrtm@aol.com=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Friday, February 14, 2003 9:47 PM Subject: [obm-l] Compara=E7=E3o Quem =E9 maior e ^ pi ou pi ^ e ???=20 ------=_NextPart_000_0019_01C2D483.B609E020 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
De acordo com o matlab, pi ^ = e   - e^(pi)=20 =3D -0.6815 < 0 :))
Se vc quer convencer alguem que esta = longe de uma=20 calculadora, vc pode notar que seu problema eh equivalente a decidir=20 se
e^(1/e) < pi^(1/pi) ou lne/e <=20 lnpi/pi
Mas g(x) =3D logx/x eh tal que = g'(x) =3D (1 -=20 logx) / x^2 < 0 se x>e.
Logo, g eh decrescente em (e,oo) e = portanto e <=20 pi =3D> g(e) > g(pi), ou = seja=20 e^pi > pi^e.
Acho q eh isso..
Abraco,
Marcio
----- Original Message -----
From:=20 Lltmdrtm@aol.com=20
Sent: Friday, February 14, 2003 = 9:47=20 PM
Subject: [obm-l] = Compara=E7=E3o

Quem =E9 maior e ^ pi  ou  pi ^ e  = ???=20 ------=_NextPart_000_0019_01C2D483.B609E020-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sat Feb 15 01:01:43 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id BAA04242 for obm-l-MTTP; Sat, 15 Feb 2003 01:00:02 -0200 Received: from studer.bol.com.br (studer.bol.com.br [200.221.24.21]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id AAA04234 for ; Sat, 15 Feb 2003 00:59:59 -0200 Received: from y7q1a7 (200.221.24.99) by studer.bol.com.br (5.1.071) id 3E4CED250003A956 for obm-l@mat.puc-rio.br; Sat, 15 Feb 2003 00:58:35 -0200 Message-ID: <003e01c2d49d$61e448e0$9cb3fea9@y7q1a7> From: "Igor Correia Oliveira" To: Subject: [obm-l] "e^pi > pi^e"; pois e^x > x+1 quando x = pi/e -1 ! Date: Fri, 14 Feb 2003 23:53:12 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0039_01C2D484.3B9B4BC0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2919.6600 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2919.6600 X-Sender-IP: 200.253.226.103 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0039_01C2D484.3B9B4BC0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable "Quem =E9 maior e ^ pi ou pi ^ e ???"=20 1=B0) Resposta... i)=C9 f=E1cil notar a propiedade e^x >=3D x+1 (Caso de igualdade: se = x=3D0 ent=E3o e^0=3D0+1 =3D> 1=3D1) ii) Fa=E7a x =3D pi/e -1 =3D> e^(pi/e -1) > pi/e -1 +1 =3D> e^(pi/e -1) = > pi/e =3D> [e^(pi/e)]/e > pi/e =3D> e^(pi/e) > e*pi/e =3D> e^(pi/e) = > pi, logo e^pi > pi^e. 2=B0)Ent=E3o eu pergunto, quem =E9 maior: a) pi^(1/e) ou e^(1/pi)? b) pi^(1/pi) ou e^(1/e)? c) (1/pi)^(1/e) ou (1/e)^(1/pi)? d) (1/pi)^(1/pi) ou (1/e)^(1/e)? e) (1/pi)^(1/pi)^(1/pi) ou (1/e)^(1/e)^(1/e)? f) e^e^e ou pi^pi^pi? g) e^(pi^e) ou pi^(e^pi)? h) e^(e^pi) ou pi^(pi^e)? i) (1/pi)^(1/pi)^(1/e) ou (1/e)^(1/e)^(1/e)? j) (1/e)^pi^(1/e) ou (1/pi)^e^(1/pi)?=20 . . . infinitos meios de perguntas,... "Tente n=E3o um homem de sucesso mas, antes de tudo, um homem de = valores". - Albert Einstein "S=EA humilde se quiseres atingir a sabedoria e mais ainda quando a = tiveres adquirido". - Helena P. Blavastsky ------=_NextPart_000_0039_01C2D484.3B9B4BC0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
"Quem =E9 maior e ^ pi  ou  pi ^ e  = ???"=20
 
1=B0) Resposta...
i)=C9 f=E1cil notar a propiedade = e^x >=3D x+1=20 (Caso de igualdade: se x=3D0 ent=E3o e^0=3D0+1 =3D> = 1=3D1)
ii) Fa=E7a x =3D pi/e -1 =3D> = e^(pi/e -1) > pi/e -1=20 +1  =3D> e^(pi/e -1) > pi/e =3D> [e^(pi/e)]/e  > = pi/e =3D>=20 e^(pi/e)  > e*pi/e =3D> = e^(pi/e) =20 > pi, logo e^pi  > = pi^e.
 
2=B0)Ent=E3o eu pergunto, quem =E9 = maior:
a) pi^(1/e) ou e^(1/pi)?
 
b) pi^(1/pi) ou e^(1/e)?
 
c) (1/pi)^(1/e) ou = (1/e)^(1/pi)?
 
d) (1/pi)^(1/pi) ou = (1/e)^(1/e)?
 
e) (1/pi)^(1/pi)^(1/pi) ou=20 (1/e)^(1/e)^(1/e)?
 
f) e^e^e ou pi^pi^pi?
 
g) e^(pi^e) ou pi^(e^pi)?
 
h) e^(e^pi) ou pi^(pi^e)?
 
i) (1/pi)^(1/pi)^(1/e) ou=20 (1/e)^(1/e)^(1/e)?
 
j) (1/e)^pi^(1/e) ou (1/pi)^e^(1/pi)? =
 
.
.
.
 
infinitos meios de = perguntas,...
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
"Tente n=E3o um homem de = sucesso mas, antes=20 de tudo, um homem de valores".
- Albert Einstein
 
"S=EA humilde=20 se quiseres atingir a sabedoria e mais ainda quando a tiveres=20 adquirido".
- Helena P.=20 Blavastsky
------=_NextPart_000_0039_01C2D484.3B9B4BC0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sat Feb 15 01:22:51 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id BAA04691 for obm-l-MTTP; Sat, 15 Feb 2003 01:21:24 -0200 Received: from studer.bol.com.br (studer.bol.com.br [200.221.24.21]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id BAA04687 for ; Sat, 15 Feb 2003 01:21:21 -0200 Received: from y7q1a7 (200.221.24.99) by studer.bol.com.br (5.1.071) id 3E4CED250003BA77 for obm-l@mat.puc-rio.br; Sat, 15 Feb 2003 01:19:57 -0200 Message-ID: <007d01c2d4a0$5cd1bba0$9cb3fea9@y7q1a7> From: "Igor Correia Oliveira" To: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Am=E1vel_conhecimento!?= Date: Sat, 15 Feb 2003 00:14:32 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_007A_01C2D487.3691E640" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2919.6600 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2919.6600 X-Sender-IP: 200.253.226.103 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_007A_01C2D487.3691E640 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable 1=B0) (Lista da Cone Sul) Estudantes de 13 cidades diferentes participam = de uma competi=E7=E3o. Os estudantes foram divididos em 5 grupos , de = acordo com suas idades 13, 14, 15, 16 ou 17 anos. Prove que poderemos = escolher ao menos 9 participantes tal que, para cada um deles, o = n=FAmero de participantes de seu grupo =E9 maior que o n=FAmero de = participantes de sua cidade. 2=B0) Prove que tg(81)=B0 -tg(63=B0) +tg(9=B0) -tg(27=B0) =3D 4 3=B0) Qual =E9 o m=E9todo usado p/ desenvolver x=B2 + 2x/3 + 2x/3=B2 + = 2x/3=B3 + ... =3D 2 ? 4=B0) (De Prueba) Dos personas A y B juegan el siguinte juego: A = comienza eligiendo un n=FAmero natural y luego, cada jugador en su turno = dice un n=FAmero de acuerdo con la seguinte regla: i) si el =FAltimo n=FAmero dicho fue impar, el jugador suma 7 a este = n=FAmero; ii) si el =FAltimo n=FAmero dicho fue par, el jugador lo divide por 2. Gana el jugador que repite el n=FAmero que fue elegido inicialmete. = Encontrar todos los n=FAmeros que Ao pueda elegir para ganar. Justifique = la respuesta. ------=_NextPart_000_007A_01C2D487.3691E640 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
1=B0) (Lista da Cone Sul) Estudantes de = 13 cidades=20 diferentes participam de uma competi=E7=E3o. Os estudantes foram = divididos em 5=20 grupos , de acordo com suas idades 13, 14, 15, 16 ou 17 anos. Prove que=20 poderemos escolher ao menos 9 participantes tal que, para cada um deles, = o=20 n=FAmero de participantes de seu grupo =E9 maior que o n=FAmero de = participantes de=20 sua cidade.
 
2=B0) Prove que tg(81)=B0 -tg(63=B0) = +tg(9=B0) -tg(27=B0) =3D=20 4
 
3=B0) Qual =E9 o m=E9todo usado p/ = desenvolver x=B2 + 2x/3=20 + 2x/3=B2 + 2x/3=B3 + ... =3D 2 ?
 
4=B0) (De Prueba) Dos personas A y = B  juegan el=20 siguinte juego: A comienza eligiendo un n=FAmero natural y luego, cada = jugador en=20 su turno dice un n=FAmero de acuerdo con la seguinte regla:
i) si el =FAltimo n=FAmero dicho fue = impar, el jugador=20 suma 7 a este n=FAmero;
ii) si el=20 =FAltimo n=FAmero dicho fue par, el jugador lo divide por = 2.
Gana el jugador que repite el n=FAmero = que fue=20 elegido inicialmete. Encontrar todos los n=FAmeros que Ao pueda elegir = para ganar.=20 Justifique la respuesta.
------=_NextPart_000_007A_01C2D487.3691E640-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sat Feb 15 01:37:51 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id BAA05257 for obm-l-MTTP; Sat, 15 Feb 2003 01:36:31 -0200 Received: from web13703.mail.yahoo.com (web13703.mail.yahoo.com [216.136.175.136]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id BAA05248 for ; Sat, 15 Feb 2003 01:36:25 -0200 Message-ID: <20030215033554.17545.qmail@web13703.mail.yahoo.com> Received: from [200.213.88.181] by web13703.mail.yahoo.com via HTTP; Sat, 15 Feb 2003 00:35:54 ART Date: Sat, 15 Feb 2003 00:35:54 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?pichurin?= Subject: [obm-l] verificação de existência To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br tem-se a detreminante da matriz: | Xa Ya 1 | | Xb Yb 1 | | Xc Yc 1 | em que Xk e Yk indicam a posição de um ponto qualquer. Caso a determinante seja diferente de zero, temos que os pontos a, b e c não estão alinhados.Divide-se o valor do módulo da determinate por2 e temos a área de um triângulo. Se quisermos calcular o volume de um sólido formado por quatro pontos, pode-se utilizar um método análogo ao anterior numa matriz 4X4, trabalhando com os eixos x, y e z, e dividindo-se o valor encontrado por 6?Demonstre isso. _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sat Feb 15 01:44:01 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id BAA05542 for obm-l-MTTP; Sat, 15 Feb 2003 01:42:39 -0200 Received: from web13704.mail.yahoo.com (web13704.mail.yahoo.com [216.136.175.137]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id BAA05536 for ; Sat, 15 Feb 2003 01:42:34 -0200 Message-ID: <20030215034202.25161.qmail@web13704.mail.yahoo.com> Received: from [200.213.88.181] by web13704.mail.yahoo.com via HTTP; Sat, 15 Feb 2003 00:42:02 ART Date: Sat, 15 Feb 2003 00:42:02 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?pichurin?= Subject: Re: [obm-l] CN To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <003201c2d48b$c5b79280$158c000a@computador> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br E como vc descobriu que 2^101*5^97 = 2^97*5^97*2^4 = 16*(2*5)^97 = 16 * 10^97 --- Felipe Villela Dias escreveu: > Olá, > 2^101*5^97 = 2^97*5^97*2^4 = 16*(2*5)^97 = 16 * > 10^97 > Bom, 10^97 tem 98 dígitos, 1 seguido de 97 zeros. > Multiplicado por 16 você vai acrescentar mais um > digito, logo a resposta é (D) 99 digitos. > Espero que esteja correto. > Abraços. > ----- Original Message ----- > From: elton francisco ferreira > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Sent: Friday, February 14, 2003 8:08 PM > Subject: [obm-l] CN > > > olá, pessoal da lista!! > > sei que a resolução deste problema é feita através > de > logarítmos, mas quero saber se ha um jeito mais > fácil; > se tiver, será q vcs podem fazer?! > > Abraços! > > > > > Para registrar o resultado da operação 2^101*5^97 > , o > número de dígitos necessários é: > (A) 96 (B) 97 (C) 98 (D) 99 (E) 100 > > > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O > que você pensar o Yahoo! encontra. > http://br.busca.yahoo.com/ > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > > > ========================================================================= > > > > --- > Outgoing mail is certified Virus Free. > Checked by AVG anti-virus system > (http://www.grisoft.com). > Version: 6.0.455 / Virus Database: 255 - Release > Date: 13/2/2003 > _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sat Feb 15 11:40:03 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA12614 for obm-l-MTTP; Sat, 15 Feb 2003 11:38:19 -0200 Received: from mediterraneo.rjnet.com.br (mediterraneo.rjnet.com.br [200.152.115.30]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA12608 for ; Sat, 15 Feb 2003 11:38:12 -0200 Received: from locutus.rjnet.com.br (root@locutus.rjnet.com.br [200.152.115.10]) by mediterraneo.rjnet.com.br (8.11.4/8.11.4) with ESMTP id h1FDehv18656 for ; Sat, 15 Feb 2003 11:40:43 -0200 Received: from computador (rosamaior.rjnet.com.br [200.152.116.14]) by locutus.rjnet.com.br (8.11.2/8.11.2) with SMTP id h1FDOp425107 for ; Sat, 15 Feb 2003 11:24:51 -0200 Message-ID: <000a01c2d4f7$5f93d650$158c000a@computador> From: "Felipe Villela Dias" To: References: <20030215034202.25161.qmail@web13704.mail.yahoo.com> Subject: Re: [obm-l] CN Date: Sat, 15 Feb 2003 10:37:23 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0007_01C2D4DE.39EAE9C0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2720.3000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0007_01C2D4DE.39EAE9C0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Bom,=20 (2^97)*(2^4) =3D 2^(97+4)=3D2^101=20 e=20 (2^97)*(5^97) =3D(2*5)^97=20 pelo menos eu acho, mas como n=E3o sou matem=E1tico, pe=E7o que me = corrijam se eu estiver errado. Abra=E7os. ----- Original Message -----=20 From: pichurin=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Saturday, February 15, 2003 12:42 AM Subject: Re: [obm-l] CN E como vc descobriu que 2^101*5^97 =3D 2^97*5^97*2^4 =3D 16*(2*5)^97 =3D 16 * 10^97 --- Felipe Villela Dias escreveu: > Ol=E1, > 2^101*5^97 =3D 2^97*5^97*2^4 =3D 16*(2*5)^97 =3D 16 * > 10^97 > Bom, 10^97 tem 98 d=EDgitos, 1 seguido de 97 zeros. > Multiplicado por 16 voc=EA vai acrescentar mais um > digito, logo a resposta =E9 (D) 99 digitos. > Espero que esteja correto. > Abra=E7os. > ----- Original Message -----=20 > From: elton francisco ferreira=20 > To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 > Sent: Friday, February 14, 2003 8:08 PM > Subject: [obm-l] CN >=20 >=20 > ol=E1, pessoal da lista!! >=20 > sei que a resolu=E7=E3o deste problema =E9 feita atrav=E9s > de > logar=EDtmos, mas quero saber se ha um jeito mais > f=E1cil; > se tiver, ser=E1 q vcs podem fazer?! >=20 > Abra=E7os!=20 >=20 >=20 >=20 >=20 > Para registrar o resultado da opera=E7=E3o 2^101*5^97 > , o > n=FAmero de d=EDgitos necess=E1rios =E9: > (A) 96 (B) 97 (C) 98 (D) 99 (E) 100 >=20 >=20 > =20 > = _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O > que voc=EA pensar o Yahoo! encontra. > http://br.busca.yahoo.com/ > =20 > = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D > Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > =20 > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista =E9 > > =20 > = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D >=20 >=20 >=20 > --- > Outgoing mail is certified Virus Free. > Checked by AVG anti-virus system > (http://www.grisoft.com). > Version: 6.0.455 / Virus Database: 255 - Release > Date: 13/2/2003 > =20 = _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o = Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista =E9 = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.455 / Virus Database: 255 - Release Date: 13/2/2003 ------=_NextPart_000_0007_01C2D4DE.39EAE9C0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Bom,
(2^97)*(2^4) =3D 2^(97+4)=3D2^101
e
(2^97)*(5^97) =3D(2*5)^97
pelo menos eu acho, mas como n=E3o sou matem=E1tico, pe=E7o que me = corrijam se eu=20 estiver errado.
Abra=E7os.
----- Original Message -----
From:=20 pichurin
Sent: Saturday, February 15, = 2003 12:42=20 AM
Subject: Re: [obm-l] CN

E como vc descobriu que 2^101*5^97 =3D 2^97*5^97*2^4 = =3D
16*(2*5)^97 =3D 16=20 * 10^97


 --- Felipe Villela Dias <f_d@rjnet.com.br> = escreveu:
>=20 Ol=E1,
> 2^101*5^97 =3D 2^97*5^97*2^4 =3D 16*(2*5)^97 =3D 16 = *
>=20 10^97
> Bom, 10^97 tem 98 d=EDgitos, 1 seguido de 97 = zeros.
>=20 Multiplicado por 16 voc=EA vai acrescentar mais um
> digito, = logo a=20 resposta =E9 (D) 99 digitos.
> Espero que esteja = correto.
>=20 Abra=E7os.
>   ----- Original Message ----- =
>  =20 From: elton francisco ferreira
>   To: obm-l@mat.puc-rio.br=20
>   Sent: Friday, February 14, 2003 8:08=20 PM
>   Subject: [obm-l] CN
>
>=20
>   ol=E1, pessoal da lista!!
> =
>   sei=20 que a resolu=E7=E3o deste problema =E9 feita atrav=E9s
> = de
>  =20 logar=EDtmos, mas quero saber se ha um jeito mais
>=20 f=E1cil;
>   se tiver, ser=E1 q vcs podem = fazer?!
>=20
>   Abra=E7os!
>
>
>
>=20
>   Para registrar o resultado da opera=E7=E3o = 2^101*5^97
>=20 , o
>   n=FAmero de d=EDgitos necess=E1rios = =E9:
>  =20 (A) 96 (B) 97 (C) 98 (D) 99 (E) 100
>
>
> =20 =
>
_____________________________________________________________= __________
>  =20 Busca Yahoo!
>   O servi=E7o de busca mais completo da = Internet.=20 O
> que voc=EA pensar o Yahoo! encontra.
>   http://br.busca.yahoo.com/
>= ; =20 =
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=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D
>  =20 Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e
> usar a = lista=20 em
> 
> http://www.m= at.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>  =20 O administrador desta lista =E9
> <nicolau@mat.puc-rio.br>
= > =20 =
>
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D
>=20
>
>
>   ---
>   = Outgoing mail=20 is certified Virus Free.
>   Checked by AVG anti-virus = system
> (http://www.grisoft.com).
> = ; =20 Version: 6.0.455 / Virus Database: 255 - Release
> Date:=20 13/2/2003
> =20 =

_________________________________________________________________= ______
Busca=20 Yahoo!
O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA = pensar o=20 Yahoo! encontra.
http://br.busca.yahoo.com/
=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D
Ins= tru=E7=F5es=20 para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.m= at.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O=20 administrador desta lista =E9 <nicolau@mat.puc-rio.br>
= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D
=
 

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Outgoing mail is certified Virus Free.
Checked by = AVG=20 anti-virus system (http://www.grisoft.com).
Version: = 6.0.455=20 / Virus Database: 255 - Release Date: = 13/2/2003
------=_NextPart_000_0007_01C2D4DE.39EAE9C0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sat Feb 15 11:55:35 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA13008 for obm-l-MTTP; Sat, 15 Feb 2003 11:54:02 -0200 Received: from web41507.mail.yahoo.com (web41507.mail.yahoo.com [66.218.93.90]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id LAA13004 for ; Sat, 15 Feb 2003 11:53:58 -0200 Message-ID: <20030215135326.71861.qmail@web41507.mail.yahoo.com> Received: from [200.217.36.232] by web41507.mail.yahoo.com via HTTP; Sat, 15 Feb 2003 10:53:26 ART Date: Sat, 15 Feb 2003 10:53:26 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?elton=20francisco=20ferreira?= Subject: [obm-l] uma questão_o To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Pensei e um número de dois algarismos. O algarismo das dezenas vale 1/2 do algarismo das unidades. Se eu trocar os algarismos de lugar, a soma do primeiro número com o novo número é 99. Em que número pensei? _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sat Feb 15 13:57:48 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA15227 for obm-l-MTTP; Sat, 15 Feb 2003 13:56:25 -0200 Received: from smtp015.mail.yahoo.com (smtp015.mail.yahoo.com [216.136.173.59]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id NAA15223 for ; Sat, 15 Feb 2003 13:56:21 -0200 Received: from 167.2-254.207.217.200.telemar.net.br (HELO david) (davidrvp@200.217.207.167 with login) by smtp.mail.vip.sc5.yahoo.com with SMTP; 15 Feb 2003 15:55:47 -0000 Message-ID: <005801c2d50b$12be1980$01646464@david> From: "David Ricardo" To: References: <20030215135326.71861.qmail@web41507.mail.yahoo.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_uma_quest=E3o=5Fo?= Date: Sat, 15 Feb 2003 12:58:19 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br O número: XY O algarismo das dezenas é metade do das unidades: X = 1/2 Y A soma dos dois é 99: XY + YX = 99 Podemos escrever XY como 10X + Y e YX como 10Y + X, então: 10X + Y + 10Y + X = 99 10X + 2X + 20X + X = 99 33X = 99 => X = 3, Y = 6 O número é 36. []s David > Pensei e um número de dois algarismos. O algarismo das > dezenas vale 1/2 do algarismo das unidades. Se eu > trocar os algarismos de lugar, a soma do primeiro > número com o novo número é 99. Em que número pensei? _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sat Feb 15 16:54:31 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA17699 for obm-l-MTTP; Sat, 15 Feb 2003 16:52:48 -0200 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA17695 for ; Sat, 15 Feb 2003 16:52:44 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1FIov102694 for ; Sat, 15 Feb 2003 16:50:57 -0200 Message-ID: <005501c2d52c$1e1d28e0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030215033554.17545.qmail@web13703.mail.yahoo.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_verifica=E7=E3o_de_exist=EAncia?= Date: Sat, 15 Feb 2003 16:54:56 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caro Pichurin: > tem-se a detreminante da matriz: > | Xa Ya 1 | > | Xb Yb 1 | > | Xc Yc 1 | > em que Xk e Yk indicam a posição de um ponto qualquer. > Caso a determinante seja diferente de zero, temos que > os pontos a, b e c não estão alinhados.Divide-se o > valor do módulo da determinate por2 e temos a área de > um triângulo. > Se quisermos calcular o volume de um sólido formado > por quatro pontos, pode-se utilizar um método análogo > ao anterior numa matriz 4X4, trabalhando com os eixos > x, y e z, e dividindo-se o valor encontrado por > 6?Demonstre isso. > > Na verdade, basta um determinante 3x3, da seguinte forma: | x1 y1 z1 | | x2 y2 z2 | | x3 y3 z3 | (xi,yi,zi) = (X(i+1),Y(i+1),Z(i+1)) - (X1,Y1,Z1), para i = 1, 2, 3, onde os seus quatro pontos originais são (Xk,Yk,Zk) k = 1, 2, 3, 4. Isso foi apenas uma translação de modo a fazer a nova origem dos eixos cartesianos coincidir com o ponto de coordenadas (X1,Y1,Z1) no antigo sistema de eixos. Portanto, o volume não se altera. Em termos do seu determinante 4x4 original, tudo o que você fez com a translação de eixos foi subtrair a primeira linha das outras três, o que colocou zeros nas posições A(2,4), A(3,4) e A(4,4) e reduziu o cálculo do determinante 4x4 ao de um determinante 3x3. O valor absoluto do determinante acima é igual ao volume do paralelepípedo cujas arestas que se encontram na origem (um dos vértices) são representadas pelos vetores (xi,yi,zi), i = 1,2,3. Demonstração: Chamando os vetores de V1, V2 e V3, o determinante nada mais é do que o valor do Produto Misto de V1, V2 e V3, definido por: P = V1 o (V2 x V3), onde "o" é o operador "produto escalar" e "x" é o operador "produto vetorial". O que nos interessa é |P| (valor absoluto de P), que é igual a |V1| * |V2| * |V3| * sen(A) * cos(B), onde: A = ângulo entre V2 e V3; e B = ângulo agudo entre V1 e qualquer reta normal ao plano definido por V2 e V3 (e pela origem) Mas |V2|*|V3|*sen(B) é igual à área do paralelogramo cujos lados medem |V2| e |V3|, e |V1|*cos(B) é comprimento da projeção de V1 sobre alguma reta normal ao paralelogramo, ou seja, a altura do paralelepípedo definido por V1, V2 e V3 relativa à face (paralelogramo) definida por V2 e V3. Logo, concluímos que |P| é, de fato, igual ao volume do paralelepípedo. ********* |P|/6 = (1/3) * (1/2)*[|V2|*|V3|*sen(A)] * |V1|*cos(B) = volume da pirâmide cuja base é um triângulo com um vértice na origem e os outros dois nas extremidades dos vetores V2 e V3 (portanto, a área da base é igual à metade da área do paralelogramo = (1/2)*[|V2|*|V3|*sen(A)] ) e cuja altura (relativa àquela base) tem comprimento igual a |V1|*cos(B). Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sat Feb 15 19:13:27 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA20135 for obm-l-MTTP; Sat, 15 Feb 2003 19:10:19 -0200 Received: from imo-r02.mx.aol.com (imo-r02.mx.aol.com [152.163.225.98]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA20131 for ; Sat, 15 Feb 2003 19:10:16 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-r02.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.ea.358c0b55 (3310) for ; Sat, 15 Feb 2003 16:09:36 -0500 (EST) Message-ID: Date: Sat, 15 Feb 2003 16:09:35 EST Subject: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?IMO,=20QUEBRA-CABE=C7AS,=20ALGORITMOS,=20ETC?= To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_ea.358c0b55.2b80068f_boundary" X-Mailer: 6.0 sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --part1_ea.358c0b55.2b80068f_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal, Sabemos que existem algoritmos n=E3o s=F3 para a resolu=E7=E3o mas tb=E9m pa= ra dizer=20 qual a quantidade m=EDnima giros que poderiam ser dados em um cubo Rubrick (= ou=20 cubo m=E1gico) sendo dada uma disposi=E7=E3o inicial do mesmo. Sabemos que e= xistem=20 v=E1rios quebra-cabe=E7as como o cubo Rubrick e sabemos tb=E9m que v=E1rios=20= deles=20 podem ser criados. Como gosto muito de matem=E1tica recreacional gostaria de= =20 saber a correla=E7=E3o entre matem=E1tica avan=E7ada ou geral e matem=E1tica= =20 recreacional. Quando digo correla=E7=E3o falo no sentido estritamente=20 estat=EDstico, ou seja, todo indiv=EDduo especializado em matem=E1tica geral= , como=20 muitos aqui, =E9 tb=E9m altamente capaz em quest=F5es de matem=E1tica recrea= cional ?=20 Ou uma coisa n=E3o tem a ver com a outra? Voltando aos quebra-cabe=E7as esti= lo=20 cubo rubrick. Se fosse criada uma etapa na IMO, por exemplo, para a cria=E7= =E3o=20 de algoritmos e resolu=E7=E3o destes tipos de quebra-cabe=E7as seria um "fil= tro"=20 (sele=E7=E3o) muito rigoroso? Ou seria f=E1cil para os mais tarimbados ? ICQ: 337140512 --part1_ea.358c0b55.2b80068f_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal,

Sabemos que existem algoritmos n=E3o s=F3 para a resolu=E7=E3o mas tb= =E9m para dizer qual a quantidade m=EDnima giros que poderiam ser dados em u= m cubo Rubrick (ou cubo m=E1gico) sendo dada uma disposi=E7=E3o inicial do m= esmo. Sabemos que existem v=E1rios quebra-cabe=E7as como o cubo Rubrick e sa= bemos tb=E9m que v=E1rios deles podem ser criados. Como gosto muito de matem= =E1tica recreacional gostaria de saber a correla=E7=E3o entre matem=E1tica a= van=E7ada ou geral e matem=E1tica recreacional. Quando digo correla=E7=E3o f= alo no sentido estritamente estat=EDstico, ou seja, todo indiv=EDduo especia= lizado em matem=E1tica geral, como muitos aqui, =E9 tb=E9m altamente capaz e= m quest=F5es de matem=E1tica recreacional ? Ou uma coisa n=E3o tem a ver com= a outra? Voltando aos quebra-cabe=E7as estilo cubo rubrick. Se fosse criada= uma etapa na IMO, por exemplo, para a cria=E7=E3o de algoritmos e resolu= =E7=E3o destes tipos de quebra-cabe=E7as seria um "filtro" (sele=E7=E3o) mui= to rigoroso? Ou seria f=E1cil para os mais tarimbados ?

ICQ: 337140512 --part1_ea.358c0b55.2b80068f_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sat Feb 15 19:14:45 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA20155 for obm-l-MTTP; Sat, 15 Feb 2003 19:12:14 -0200 Received: from imo-d02.mx.aol.com (imo-d02.mx.aol.com [205.188.157.34]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA20151 for ; Sat, 15 Feb 2003 19:12:09 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-d02.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.182.16fe2c01 (3310) for ; Sat, 15 Feb 2003 16:11:28 -0500 (EST) Message-ID: <182.16fe2c01.2b800700@aol.com> Date: Sat, 15 Feb 2003 16:11:28 EST Subject: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?IMO,=20QUEBRA-CABE=C7AS,=20ALGORITMOS,=20ETC?= To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_182.16fe2c01.2b800700_boundary" X-Mailer: 6.0 sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --part1_182.16fe2c01.2b800700_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal, Muitos j=E1 conhecem o site mas os que n=E3o conhecem e se interessam pelo=20 assunto aqui vai a dica: http://mathworld.wolfram.com/topics/RecreationalMathematics.html --part1_182.16fe2c01.2b800700_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal,

Muitos j=E1 conhecem o site mas os que n=E3o conhecem e se interessam pe= lo assunto aqui vai a dica:

http://mathworld.wolfram.com/topics/RecreationalMathematics.html<= /HTML> --part1_182.16fe2c01.2b800700_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sat Feb 15 22:36:34 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA23839 for obm-l-MTTP; Sat, 15 Feb 2003 22:33:48 -0300 Received: from hotmail.com (f48.law12.hotmail.com [64.4.19.48]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA23834 for ; Sat, 15 Feb 2003 23:33:45 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Sat, 15 Feb 2003 17:33:13 -0800 Received: from 200.151.61.175 by lw12fd.law12.hotmail.msn.com with HTTP; Sun, 16 Feb 2003 01:33:13 GMT X-Originating-IP: [200.151.61.175] From: "felipe mendona" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Maximo e minimo Date: Sat, 15 Feb 2003 23:33:13 -0200 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 16 Feb 2003 01:33:13.0846 (UTC) FILETIME=[5F5CE960:01C2D55B] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br

 

                          Ai vao 3 problemas:               

               

1) Vários retângulos são desenhados numa superfície plana, de modo que os cruzamentos entre suas linhas produzem 18.769 áreas distintas não subdividas. Qual o número mínimo de desenhos de retângulos necessário para formar o padrão descrito? 

2) Vários segmentos retos são traçados numa superfície plana, de modo que os cruzamentos entre suas linhas produzem 1.597 áreas distintas não subdividas. Qual o número mínimo de traços necessário para formar o padrão descrito?  

3) São desenhados 1 + 10^1.234.567.890 triângulos numa superfície plana. Qual é o número máximo de áreas distintas não subdividas que podem ser formadas pela intersecção desses triângulos?

                                                     Aguardo respostas...

 


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Qual é a velocidade do barco e a da corrente? _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. 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O número de modos desse campo estar aberto pode ser expresso por: 2^7 2^7 - 1 7! 7! - 1 _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 16 16:19:58 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA03788 for obm-l-MTTP; Sun, 16 Feb 2003 16:17:47 -0300 Received: from web14801.mail.yahoo.com (web14801.mail.yahoo.com [216.136.224.217]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id RAA03784 for ; Sun, 16 Feb 2003 17:17:44 -0200 Message-ID: <20030216191712.83415.qmail@web14801.mail.yahoo.com> Received: from [200.227.230.12] by web14801.mail.yahoo.com via HTTP; Sun, 16 Feb 2003 16:17:12 ART Date: Sun, 16 Feb 2003 16:17:12 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Helder=20Oliveira=20de=20Castro?= Subject: [obm-l] POLÊMICA DAS FRAÇÕES - A LINHA DA IGUALDADE To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-270903336-1045423032=:81026" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --0-270903336-1045423032=:81026 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Tudo bem, pessoal? Ocorre que um colega meu foi axincalhado pelos colegas na sua aula de Matemática (e pelo professor também) simplesmente porque não conhecia a seguinte notação: "A barra maior da divisão de frações está na linha da igualdade". Palavras de seu professor de matemática. Explicando melhor, significa que, quando temos várias divisões a fazer simbolizadas todas com barras iguais (ex.: 2/2/3), ou seja, não há barras maiores nem menores, a maior barra é a que está na linha da igualdade. Não pude ajudá-lo pois também não conhecia essa notação, que julguei totalmente desarroazada. "Estabeleceu-se uma polêmica e meu colega quer se ressarcir de todo mal que lhe foi causado". O problema em sala de aula foi: Calcule o produto A .B em que: A / 2 = 4 / / 3 B / 3 [Exatamente deste jeito ] Olhando num caderno sem pauta, ou seja, para o conhecido L.D. e posteriormente para o L.E., chegamos em A:2:3 = 4:B:3 e finalmente em A .B = 8. O professor dele fez (A:2):3 = 4:(B:3) => A .B = 72. É claro que a segunda solução tem sua lógica. Mas, existe mesmo esta notação? Peço que, por gentileza, esclareçam a nossa dúvida, que é conceitual. --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-270903336-1045423032=:81026 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

Tudo bem, pessoal?

      Ocorre que um colega meu foi axincalhado pelos colegas na sua aula de Matemática (e pelo professor também) simplesmente porque não conhecia a seguinte notação: "A barra maior da divisão de frações está na linha da igualdade". Palavras de seu professor de matemática. Explicando melhor, significa que, quando temos várias divisões a fazer simbolizadas todas com barras iguais (ex.: 2/2/3), ou seja, não há barras maiores nem menores, a maior barra é a que está na linha da igualdade. Não pude ajudá-lo pois também não conhecia essa notação, que julguei totalmente desarroazada. "Estabeleceu-se uma polêmica e meu colega quer se ressarcir de todo mal que lhe foi causado". O problema em sala de aula foi:

Calcule o produto A .B em que:

A

/

2     =      4 

/              /

3             B

               /

               3

[Exatamente deste jeito ]

      Olhando num caderno sem pauta, ou seja, para o conhecido L.D. e posteriormente para o L.E., chegamos em A:2:3 = 4:B:3 e finalmente em A .B = 8. O professor dele fez (A:2):3 = 4:(B:3) => A .B = 72.

      É claro que a segunda solução tem sua lógica. Mas, existe mesmo esta notação? Peço que, por gentileza, esclareçam a nossa dúvida, que é conceitual.


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Logo a.x^0 = a , para todo a pertencente a C* . Logo x^0 = 1 André T. ----- Original Message ----- From: "Henrique Branco" To: Sent: Thursday, February 13, 2003 8:42 PM Subject: [obm-l] Dúvidas básicas... > Pessoal, > Tenho duas dúvidas que são bem básicas... > Existe alguma demonstração (formal, de preferencia) sobre x^0 = 1 e 0! = 1? > Sendo 0! o fatorial de zero. > Grato, > Henrique. > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 16 16:58:44 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA05084 for obm-l-MTTP; Sun, 16 Feb 2003 16:57:22 -0300 Received: from artemis.opendf.com.br (artemis.opengate.com.br [200.181.71.15]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA05080 for ; Sun, 16 Feb 2003 17:57:19 -0200 Received: from localhost (localhost [127.0.0.1]) by artemis.opendf.com.br (Postfix) with ESMTP id 681721C882 for ; Sun, 16 Feb 2003 16:56:16 -0300 (EST) Received: from computer (200-181-090-163.bsace7001.dsl.brasiltelecom.net.br [200.181.90.163]) by artemis.opendf.com.br (Postfix) with ESMTP id 5F4B31C07D for ; Sun, 16 Feb 2003 16:56:11 -0300 (EST) From: "Artur Costa Steiner" To: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?RE:_=5Bobm-l=5D_POL=CAMICA_DAS_FRA=C7=D5ES_-_A_LINHA_DA_IG?= =?iso-8859-1?Q?UALDADE?= Date: Sun, 16 Feb 2003 16:56:40 -0300 Organization: Steiner Consultoria LTDA Message-ID: <002901c2d5f5$873c3950$9865fea9@computer> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_002A_01C2D5DC.61F087F0" X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook, Build 10.0.2627 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 Importance: Normal In-Reply-To: <20030216191712.83415.qmail@web14801.mail.yahoo.com> X-Virus-Scanned: by AMaViS new-20020517 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_002A_01C2D5DC.61F087F0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Nunca ouvi falar em tal nota=E7=E3o. Sugiro que seu amigo troque de professor ede colegas. Achincalhar algu=E9m em sala de aula = decididamente n=E3o =E9 atitude digna de um verdadeiro professor, e nem de verdadeiros colegas. Artur=20 Tudo bem, pessoal? Ocorre que um colega meu foi axincalhado pelos colegas na sua aula de Matem=E1tica (e pelo professor tamb=E9m) simplesmente porque n=E3o = conhecia a seguinte nota=E7=E3o: "A barra maior da divis=E3o de fra=E7=F5es = est=E1 na linha da igualdade". Palavras de seu professor de matem=E1tica. Explicando melhor, significa que, quando temos v=E1rias divis=F5es a fazer = simbolizadas todas com barras iguais (ex.: 2/2/3), ou seja, n=E3o h=E1 barras maiores = nem menores, a maior barra =E9 a que est=E1 na linha da igualdade. N=E3o = pude ajud=E1-lo pois tamb=E9m n=E3o conhecia essa nota=E7=E3o, que julguei = totalmente desarroazada. "Estabeleceu-se uma pol=EAmica e meu colega quer se ressarcir de todo mal que lhe foi causado". O problema em sala de aula foi: Calcule o produto A .B em que: A / 2 =3D 4 =20 / /=20 3 B / 3 [Exatamente deste jeito ] Olhando num caderno sem pauta, ou seja, para o conhecido L.D. e posteriormente para o L.E., chegamos em A:2:3 =3D 4:B:3 e finalmente em = A .B =3D 8. O professor dele fez (A:2):3 =3D 4:(B:3) =3D> A .B =3D 72.=20 =C9 claro que a segunda solu=E7=E3o tem sua l=F3gica. Mas, existe = mesmo esta nota=E7=E3o? Pe=E7o que, por gentileza, esclare=E7am a nossa = d=FAvida, que =E9 conceitual. =20 _____ =20 Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o = Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_002A_01C2D5DC.61F087F0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable

Nunca ouvi falar em tal nota=E7=E3o. Sugiro que seu amigo troque de professor = ede colegas. Achincalhar algu=E9m em sala de aula decididamente n=E3o =E9 = atitude digna de um verdadeiro professor, e nem de verdadeiros = colegas.

Artur =

Tudo bem, pessoal?

      Ocorre que um colega meu foi axincalhado pelos colegas na sua aula de Matem=E1tica (e pelo professor tamb=E9m) simplesmente porque n=E3o = conhecia a seguinte nota=E7=E3o: "A = barra maior da divis=E3o de fra=E7=F5es est=E1 na linha da = igualdade". Palavras de seu professor de matem=E1tica. Explicando melhor, significa = que, quando temos v=E1rias divis=F5es a fazer simbolizadas todas com barras = iguais (ex.: 2/2/3), ou seja, n=E3o h=E1 barras maiores nem menores, a maior barra =E9 a que = est=E1 na linha da igualdade. N=E3o pude ajud=E1-lo pois tamb=E9m n=E3o conhecia essa = nota=E7=E3o, que julguei totalmente desarroazada. "Estabeleceu-se uma = pol=EAmica e meu colega quer se ressarcir de todo mal que lhe foi = causado". O problema em sala de aula foi:

Calcule o produto A .B em que:

A

/

2     =3D      4  =

/       &nb= sp;      /

3       &nb= sp;     B

       &nbs= p;       /

       &nbs= p;       3

[Exatamente deste jeito = ]

      Olhando num caderno sem pauta, ou seja, para = o conhecido L.D. e posteriormente para o L.E., chegamos em A:2:3 =3D 4:B:3 e finalmente em A .B =3D 8. O = professor dele fez (A:2):3 =3D 4:(B:3) =3D> A .B =3D 72. =

      =C9 claro que a segunda solu=E7=E3o tem sua l=F3gica. Mas, existe mesmo = esta nota=E7=E3o? Pe=E7o que, por gentileza, esclare=E7am a nossa d=FAvida, que =E9 = conceitual.

 

Busca Yahoo!
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------=_NextPart_000_002A_01C2D5DC.61F087F0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 16 17:14:45 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA05521 for obm-l-MTTP; Sun, 16 Feb 2003 17:13:22 -0300 Received: from artemis.opendf.com.br (artemis.opengate.com.br [200.181.71.15]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA05517 for ; Sun, 16 Feb 2003 18:13:19 -0200 Received: from localhost (localhost [127.0.0.1]) by artemis.opendf.com.br (Postfix) with ESMTP id D4A571C882 for ; Sun, 16 Feb 2003 17:12:16 -0300 (EST) Received: from computer (200-181-090-163.bsace7001.dsl.brasiltelecom.net.br [200.181.90.163]) by artemis.opendf.com.br (Postfix) with ESMTP id 6F36B1C07D for ; Sun, 16 Feb 2003 17:12:13 -0300 (EST) From: "Artur Costa Steiner" To: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?RE:_=5Bobm-l=5D_quet=E3o2?= Date: Sun, 16 Feb 2003 17:12:41 -0300 Organization: Steiner Consultoria LTDA Message-ID: <002e01c2d5f7$c4b32b70$9865fea9@computer> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook, Build 10.0.2627 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 Importance: Normal In-Reply-To: <20030216182224.44691.qmail@web41504.mail.yahoo.com> X-Virus-Scanned: by AMaViS new-20020517 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id SAA05518 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br 9 > >um campo de futebol tem 7 entradas. O número de modos >desse campo estar aberto pode ser expresso por: > >2^7 >2^7 - 1 >7! >7! - 1 2^7 - 1. Podemos ver isso da seguinte forma: Uma possibilidae, é que apenas uma entrada esteja aberta. Há C(7,1) (combinação simples de 7, dois a dois) modos de escolhermos esta entrada. Para cada i=1,2...7, temos C(7,i) modos de escolhermos as entradas abertas. Logo, há C(7,1) + C(7,2)....+C(7,7) possibilidaes, soma que , pelo teorema de binômio , vale C(7,0) + ...C(7,7) - C(7,0) = 2^7 -1. Podemos também ver isso preenchendo o seguinte quadro: Ent1 Ent2 Ent3 ................Ent 7 x x x x x x x x ..................................... sendo x uma chave boleana que indica "äberta" "ou "fechada"" . Podemos preencher o quadro de AC(2, 7) (arranjo completo de 2, 7 a 7) = 2^7 modos popssíveis. Denter estes, apenas um não interessa, ou seja, aquela correspondente a todas as entradas fechadas. Há, portanto, 2^7-1possibilidaes. Um abraço Artur ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 16 17:20:47 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA05782 for obm-l-MTTP; Sun, 16 Feb 2003 17:19:25 -0300 Received: from artemis.opendf.com.br (artemis.opengate.com.br [200.181.71.15]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA05778 for ; Sun, 16 Feb 2003 18:19:22 -0200 Received: from localhost (localhost [127.0.0.1]) by artemis.opendf.com.br (Postfix) with ESMTP id 128F91C882 for ; Sun, 16 Feb 2003 17:18:20 -0300 (EST) Received: from computer (200-181-090-163.bsace7001.dsl.brasiltelecom.net.br [200.181.90.163]) by artemis.opendf.com.br (Postfix) with ESMTP id 8CBC21C07D for ; Sun, 16 Feb 2003 17:18:16 -0300 (EST) From: "Artur Costa Steiner" To: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?RE:_=5Bobm-l=5D_quet=E3o2?= Date: Sun, 16 Feb 2003 17:18:47 -0300 Organization: Steiner Consultoria LTDA Message-ID: <002f01c2d5f8$9d358010$9865fea9@computer> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook, Build 10.0.2627 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 Importance: Normal In-Reply-To: <20030216181823.16322.qmail@web41511.mail.yahoo.com> X-Virus-Scanned: by AMaViS new-20020517 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id SAA05779 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > >Se x,y e z são números naturais diferentes entre si, e >x=y*z, então é falsa a afirmativa: > >x é multiplo de z >y é divisor de x >y é divisível por z >x é divisível por y A primeira e a terceira são falsas. Temos que 9 = 3^2 e 9 não é múltiplo de 2. A terceira não faz o mínimo sentido. 2 e 4 são claramente verdaeiras e exprimem exatamente a mesma coisa. Artur ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 16 18:52:10 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA07674 for obm-l-MTTP; Sun, 16 Feb 2003 18:48:40 -0300 Received: from imo-d05.mx.aol.com (imo-d05.mx.aol.com [205.188.157.37]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA07670 for ; Sun, 16 Feb 2003 19:48:37 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-d05.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.9f.33d63726 (4539) for ; Sun, 16 Feb 2003 16:48:01 -0500 (EST) Message-ID: <9f.33d63726.2b816111@aol.com> Date: Sun, 16 Feb 2003 16:48:01 EST Subject: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?Retorno:=20N=FAmeros=20naturais?= To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_9f.33d63726.2b816111_boundary" X-Mailer: 6.0 sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --part1_9f.33d63726.2b816111_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal, Elton wrote: Se x,y e z s=E3o n=FAmeros naturais diferentes entre si, e >x=3Dy*z, ent=E3o =E9 falsa a afirmativa: > >x =E9 multiplo de z >y =E9 divisor de x >y =E9 divis=EDvel por z >x =E9 divis=EDvel por y Steiner answered: A primeira e a terceira s=E3o falsas. Temos que 9 =3D 3^2 e 9 n=E3o =E9 m= =FAltiplo de 2. A terceira n=E3o faz o m=EDnimo sentido. 2 e 4 s=E3o claramente verdaeiras e exprimem exatamente a mesma coisa.=20 E se tivessemos x=3Dy*z com x=3D 50, y=3D10 e z=3D5. Todas estariam correta=20= n=E3o=20 estariam? --part1_9f.33d63726.2b816111_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal,

Elton wrote:

Se x,y e z s=E3o n=FAmeros naturais diferentes entre si, e
>x=3Dy*z, ent=E3o =E9 falsa a afirmativa:
>
>x =E9 multiplo de z
>y =E9 divisor de x
>y =E9 divis=EDvel por z
>x =E9 divis=EDvel por y

Steiner answered:

A primeira e a terceira s=E3o falsas. Temos que 9 =3D 3^2 e 9 n=E3o =E9=20= m=FAltiplo
de 2. A terceira n=E3o faz o m=EDnimo sentido. 2 e 4 s=E3o claramente
verdaeiras e exprimem exatamente a mesma coisa.=20


E se tivessemos x=3Dy*z com x=3D 50, y=3D10 e z=3D5. Todas estariam corr= eta n=E3o estariam? --part1_9f.33d63726.2b816111_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 16 20:07:40 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA08762 for obm-l-MTTP; Sun, 16 Feb 2003 20:06:02 -0300 Received: from traven.uol.com.br (traven.uol.com.br [200.221.4.39]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA08758 for ; Sun, 16 Feb 2003 21:06:00 -0200 Received: from u2z7z2 ([200.158.144.103]) by traven.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with ESMTP id TAA19555 for ; Sun, 16 Feb 2003 19:49:39 -0300 (BRT) Message-ID: <001c01c2d610$1fac46c0$2101a8c0@u2z7z2> From: "Wagner" To: References: <20030216181453.34926.qmail@web41501.mail.yahoo.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_quet=E3o1?= Date: Sun, 16 Feb 2003 20:06:53 -0300 Organization: Wagner MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4133.2400 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi para todos! Seja v a velocidade da correnteza e V a velocidade do barco. V + v = 16/1 = 16 V - v = 16/2 = 8 => 2V = 24 => V = 12 km/h 12 + v = 16 => v = 4 km/h André T. ----- Original Message ----- From: "elton francisco ferreira" To: Sent: Sunday, February 16, 2003 3:14 PM Subject: [obm-l] quetão1 > Um barco percorre 16km em 1 h, navegando a favor da > corrente; para retornar pelo mesmo trajeto, demora 2 > h. Qual é a velocidade do barco e a da corrente? > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. > http://br.busca.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 16 20:36:13 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA09247 for obm-l-MTTP; Sun, 16 Feb 2003 20:34:48 -0300 Received: from artemis.opendf.com.br (artemis.opengate.com.br [200.181.71.15]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA09243 for ; Sun, 16 Feb 2003 21:34:45 -0200 Received: from localhost (localhost [127.0.0.1]) by artemis.opendf.com.br (Postfix) with ESMTP id A4AD61C884 for ; Sun, 16 Feb 2003 20:33:41 -0300 (EST) Received: from artur (200-181-088-142.bsace7001.dsl.brasiltelecom.net.br [200.181.88.142]) by artemis.opendf.com.br (Postfix) with ESMTP id 501491C882 for ; Sun, 16 Feb 2003 20:33:37 -0300 (EST) From: "Artur Costa Steiner" To: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?RE:_=5Bobm-l=5D_Retorno:_N=FAmeros_naturais?= Date: Sun, 16 Feb 2003 20:36:12 -0800 Organization: Steiner Consultoria LTDA Message-ID: <000601c2d63e$19e8d180$0c01a8c0@mshome.net> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0007_01C2D5FB.0BC59180" X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook, Build 10.0.2627 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 Importance: Normal In-Reply-To: <9f.33d63726.2b816111@aol.com> X-Virus-Scanned: by AMaViS new-20020517 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0007_01C2D5FB.0BC59180 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable =20 =20 -----Original Message----- From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Faelccmm@aol.com Sent: Sunday, February 16, 2003 1:48 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Retorno: N=FAmeros naturais =20 Ol=E1 pessoal,=20 Elton wrote:=20 Se x,y e z s=E3o n=FAmeros naturais diferentes entre si, e=20 >x=3Dy*z, ent=E3o =E9 falsa a afirmativa:=20 >=20 >x =E9 multiplo de z=20 >y =E9 divisor de x=20 >y =E9 divis=EDvel por z=20 >x =E9 divis=EDvel por y=20 Steiner answered:=20 A primeira e a terceira s=E3o falsas. Temos que 9 =3D 3^2 e 9 n=E3o =E9 = m=FAltiplo de 2. A terceira n=E3o faz o m=EDnimo sentido. 2 e 4 s=E3o claramente=20 verdaeiras e exprimem exatamente a mesma coisa.=20 E se tivessemos x=3Dy*z com x=3D 50, y=3D10 e z=3D5. Todas estariam = correta n=E3o estariam? =20 Eu vi errado, Quando li, tive a impress=E3o que era x =3D y^z. Oh... = Bom, retificando: Apenas a terceira =E9 falsa. No caso particular que vc deu, as 4 afirma=E7=F5pes s=E3o verdadeiras. = Mas, da maneira conforme foi colocado, s=F3 podemos considera a afirma=E7=E3o verdaeira se a mesma se verificar quaisquer que sejam os naturais x, y e z. No caso da 3=AA, isto n=E3o se verifica. Artur=20 ------=_NextPart_000_0007_01C2D5FB.0BC59180 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable

 

 

-----Original Message-----
From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br = [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Faelccmm@aol.com
Sent: = Sunday, February 16, = 2003 1:48 PM
To: = obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Retorno: = N=FAmeros naturais

 

Ol=E1 pessoal,

Elton wrote:

Se x,y e z s=E3o n=FAmeros naturais diferentes entre si, e
>x=3Dy*z, ent=E3o =E9 falsa a afirmativa:
>
>x =E9 multiplo de z
>y =E9 divisor de x
>y =E9 divis=EDvel por z
>x =E9 divis=EDvel por y

Steiner answered:

A primeira e a terceira s=E3o falsas. Temos que 9 =3D 3^2 e 9 n=E3o =E9 = m=FAltiplo
de 2. A terceira n=E3o faz o m=EDnimo sentido. 2 e 4 s=E3o claramente =
verdaeiras e exprimem exatamente a mesma coisa.


E se tivessemos x=3Dy*z com x=3D 50, y=3D10 e z=3D5. Todas estariam correta n=E3o estariam?

 

Eu vi errado, Quando li, tive a impress=E3o que era x =3D y^z. Oh... Bom, = retificando: Apenas a terceira =E9 falsa.

No caso particular que vc deu, as 4 afirma=E7=F5pes s=E3o verdadeiras. Mas, = da maneira conforme foi colocado, s=F3 podemos considera a afirma=E7=E3o verdaeira = se a mesma se verificar quaisquer que sejam os naturais x, y e z. No caso da 3=AA, = isto n=E3o se verifica.

Artur

------=_NextPart_000_0007_01C2D5FB.0BC59180-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 16 23:12:49 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA11397 for obm-l-MTTP; Sun, 16 Feb 2003 23:10:40 -0300 Received: from smtp016.mail.yahoo.com (smtp016.mail.yahoo.com [216.136.174.113]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id AAA11393 for ; Mon, 17 Feb 2003 00:10:37 -0200 Received: from unknown (HELO david) (davidrvp@200.217.217.154 with login) by smtp.mail.vip.sc5.yahoo.com with SMTP; 17 Feb 2003 02:10:00 -0000 Message-ID: <001c01c2d62a$0ca4e9a0$01646464@david> From: "David Ricardo" To: References: <9f.33d63726.2b816111@aol.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Retorno:_N=FAmeros_naturais?= Date: Sun, 16 Feb 2003 23:12:32 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br A primeira é verdadeira. Se x é um numero qualquer multiplicado por z, x é múltiplo de z. Um exemplo é que o Fael mostrou abaixo. []s David ----- Original Message ----- From: To: Sent: Sunday, February 16, 2003 6:48 PM Subject: [obm-l] Retorno: Números naturais E se tivessemos x=y*z com x= 50, y=10 e z=5. Todas estariam correta não estariam? _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sun Feb 16 23:47:15 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA12106 for obm-l-MTTP; Sun, 16 Feb 2003 23:45:22 -0300 Received: from smtp016.mail.yahoo.com (smtp016.mail.yahoo.com [216.136.174.113]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id AAA12102 for ; Mon, 17 Feb 2003 00:45:18 -0200 Received: from unknown (HELO david) (davidrvp@200.217.217.154 with login) by smtp.mail.vip.sc5.yahoo.com with SMTP; 17 Feb 2003 02:44:45 -0000 Message-ID: <002901c2d62e$e7207960$01646464@david> From: "David Ricardo" To: References: <9f.33d63726.2b816111@aol.com> <001c01c2d62a$0ca4e9a0$01646464@david> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Re:_=5Bobm-l=5D_Retorno:_N=FAmeros_naturais?= Date: Sun, 16 Feb 2003 23:47:17 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Não um número qualquer... Um número inteiro... :) Me desculpem! []s David ----- Original Message ----- From: David Ricardo To: Sent: Sunday, February 16, 2003 11:12 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Retorno: Números naturais > > A primeira é verdadeira. > > Se x é um numero qualquer multiplicado por z, x é múltiplo de z. Um exemplo > é que o Fael mostrou abaixo. > > []s > David _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 17 01:20:34 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id BAA13417 for obm-l-MTTP; Mon, 17 Feb 2003 01:19:02 -0300 Received: from imo-m02.mx.aol.com (imo-m02.mx.aol.com [64.12.136.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id CAA13412 for ; Mon, 17 Feb 2003 02:18:59 -0200 From: DEOLIVEIRASOU@aol.com Received: from DEOLIVEIRASOU@aol.com by imo-m02.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.7b.a5183b3 (4539) for ; Sun, 16 Feb 2003 23:18:25 -0500 (EST) Message-ID: <7b.a5183b3.2b81bc91@aol.com> Date: Sun, 16 Feb 2003 23:18:25 EST Subject: [obm-l] (nenhum assunto) To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_7b.a5183b3.2b81bc91_boundary" X-Mailer: 7.0 for Windows sub 10501 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --part1_7b.a5183b3.2b81bc91_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable 1)Algu=E9m pode me ajudar nesses problemas??? O produto de 2001 inteiros positivos distintos possui exatamente 2000=20 divisores primos distintos. Mostre que podemos escolher alguns destes 2001=20 n=FAmeros de modo que seu produto seja um quadrado perfeito. 2)Determine n pertencente aos naturais tais que n^2+2 divida 2+2001n. 3)Para os inteiros positivos x e y =E9 verdadeira a igualdade 3x^2 + x=3D 4y= ^2+y.=20 Mostre que x-y =E9 um quadrado perfeito. Desde j=E1 agrade=E7o qualquer ajuda. Crom --part1_7b.a5183b3.2b81bc91_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable 1)Algu=E9m pode me ajudar nesses problemas???
O produto de 2001 inteiros positivos distintos possui exatamente 2000 diviso= res primos distintos. Mostre que podemos escolher alguns destes 2001 n=FAmer= os de modo que seu produto seja um quadrado perfeito.
2)Determine n pertencente aos naturais tais que n^2+2 divida 2+2001n.
3)Para os inteiros positivos x e y =E9 verdadeira a igualdade 3x^2 + x=3D 4y= ^2+y. Mostre que x-y =E9 um quadrado perfeito.
     Desde j=E1 agrade=E7o qualquer ajuda.
          Crom --part1_7b.a5183b3.2b81bc91_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 17 08:34:57 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id IAA16798 for obm-l-MTTP; Mon, 17 Feb 2003 08:33:01 -0300 Received: (from nicolau@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id IAA16793 for obm-l@mat.puc-rio.br; Mon, 17 Feb 2003 08:33:00 -0300 Date: Mon, 17 Feb 2003 08:33:00 -0300 From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: =?iso-8859-1?Q?=5Bobm-l=5D_Compara=E7=E3o?= Message-ID: <20030217083300.B16691@sucuri.mat.puc-rio.br> References: <102.26a0ddd5.2b7ee804@aol.com> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Disposition: inline Content-Transfer-Encoding: 8bit User-Agent: Mutt/1.2.5i In-Reply-To: <102.26a0ddd5.2b7ee804@aol.com>; from Lltmdrtm@aol.com on Fri, Feb 14, 2003 at 07:47:00PM -0500 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Fri, Feb 14, 2003 at 07:47:00PM -0500, Lltmdrtm@aol.com wrote: > Quem é maior e ^ pi ou pi ^ e ??? O interessante é fazer isso sem calculadora. Considere a função f(x) = x^(1/x) = exp(x^(-1) log x). Derivando, f'(x) = x^(-2) ( 1 - log x ) f(x) Assim f é crescente até e e decrescente a partir de e. Donde e^(1/e) > pi^(i/pi). Elevando os dois lados a (pi e) temos e^pi > pi^e. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 17 08:54:43 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id IAA17189 for obm-l-MTTP; Mon, 17 Feb 2003 08:53:10 -0300 Received: (from nicolau@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id IAA17184 for obm-l@mat.puc-rio.br; Mon, 17 Feb 2003 08:53:09 -0300 Date: Mon, 17 Feb 2003 08:53:08 -0300 From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: =?iso-8859-1?Q?=5Bobm-l=5D_POL=CAMICA_DAS_FRA=C7=D5ES_-_A_LINHA_DA_IGUAL?= =?iso-8859-1?Q?DADE?= Message-ID: <20030217085308.C16691@sucuri.mat.puc-rio.br> References: <20030216191712.83415.qmail@web14801.mail.yahoo.com> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Disposition: inline Content-Transfer-Encoding: 8bit User-Agent: Mutt/1.2.5i In-Reply-To: <20030216191712.83415.qmail@web14801.mail.yahoo.com>; from djub_djub@yahoo.com.br on Sun, Feb 16, 2003 at 04:17:12PM -0300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Sun, Feb 16, 2003 at 04:17:12PM -0300, Helder Oliveira de Castro wrote: > Tudo bem, pessoal? > > Ocorre que um colega meu foi axincalhado pelos colegas na sua aula de > Matemática (e pelo professor também) simplesmente porque não conhecia a > seguinte notação: "A barra maior da divisão de frações está na linha da > igualdade". Eu não conheço esta notação e a desencorajaria como desnecessariamente confusa: use patentesis, faça um traço de fração bem maior do que o outro ou, melhor ainda, arrume a sua expressão para não ter frações umas por cima das outras. Mas principalmente acho uma bobeira grande isso de achar que o importante em matemática é conhecer este tipo de notação (sem falar da grosseria de "axincalhar" alguém por causa disso). A olimpíada de matemática para mim tem (entre outros) este papel de apontar que o importante em matemática não é saber onde botar o traço de fração, nem fazer conta depressa, nem decorar fórmulas sem entender como usá-las. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 17 11:46:11 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA20442 for obm-l-MTTP; Mon, 17 Feb 2003 11:43:49 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA20438 for ; Mon, 17 Feb 2003 12:43:43 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.229]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1HEfia10314 for ; Mon, 17 Feb 2003 11:41:45 -0300 Message-ID: <004801c2d69b$a6912440$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_IMO=2C_QUEBRA-CABE=C7AS=2C_ALGORITMOS=2C_E?= =?iso-8859-1?Q?TC?= Date: Mon, 17 Feb 2003 12:45:40 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_003D_01C2D682.7A291340" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_003D_01C2D682.7A291340 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Oi Fael: Primeiro, uma pequena corre=E7=E3o: o cubo =E9 de Rubik e, se voc=EA = estiver interessado, existem v=E1rios sites descrevendo estrat=E9gias e = at=E9 com an=E1lises matem=E1ticas do cubo. A =E1rea da matem=E1tica = usada para estas an=E1lises =E9 a teoria dos grupos, onde h=E1 uma = grande atividade de pesquisa em andamento atualmente e onde ainda restam = muitos problemas em aberto. Assim, voc=EA mesmo deu um exemplo da = correla=E7=E3o entre matem=E1tica recreativa (cubo de Rubik) e = matem=E1tica avan=E7ada (teoria dos grupos) usada para resolver um = problema recreativo. Sobre a sua pergunta, acho que qualquer um que tenha facilidade para = matem=E1tica haver=E1 de ter facilidade na solu=E7=E3o de problemas = recreativos. No entanto, como distinguir um problema "recreativo" de um = que =E9 tema de pesquisa "s=E9ria"? Aqui mesmo na lista, j=E1 = apareceram v=E1rios que podem ser classificados de um jeito ou de outro. = Por exemplo, esse do Paulo Santa Rita: Em uma reuniao existem exatamente 201 pessoas de=20 5 nacionalidades diferentes. Sabe-se que em cada grupo de 6 pessoas, ao=20 menos duas tem a mesma idade. Demonstrar que existem ao menos 5 pessoas = do=20 mesmo pais, da mesma idade e do mesmo sexo. envolve um conceito chamado princ=EDpio das gavetas, que diz o seguinte: = se existem N+1 meias que devem ser colocadas em N gavetas, ent=E3o = alguma gaveta ir=E1 conter pelo menos duas meias. Existe uma teoria = matem=E1tica (teoria de Ramsey) que estuda extens=F5es e varia=E7=F5es = deste princ=EDpio, ainda tem v=E1rios problemas sem solu=E7=E3o, e =E9 = objeto de pesquisa em v=E1rias universidades. (Paulo - espero que voc=EA n=E3o se ofenda por eu ter classificado o seu = problema como recreativo, mas como eu n=E3o sou aluno (no sentido = estrito, isto =E9, matriculado em alguma institui=E7=E3o), professor ou = pesquisador, pra mim matem=E1tica =E9 um hobby e, portanto, todos os = problemas s=E3o recreativos). Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Faelccmm@aol.com=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Saturday, February 15, 2003 6:09 PM Subject: [obm-l] IMO, QUEBRA-CABE=C7AS, ALGORITMOS, ETC Ol=E1 pessoal,=20 Sabemos que existem algoritmos n=E3o s=F3 para a resolu=E7=E3o mas = tb=E9m para dizer qual a quantidade m=EDnima giros que poderiam ser = dados em um cubo Rubrick (ou cubo m=E1gico) sendo dada uma = disposi=E7=E3o inicial do mesmo. Sabemos que existem v=E1rios = quebra-cabe=E7as como o cubo Rubrick e sabemos tb=E9m que v=E1rios deles = podem ser criados. Como gosto muito de matem=E1tica recreacional = gostaria de saber a correla=E7=E3o entre matem=E1tica avan=E7ada ou = geral e matem=E1tica recreacional. Quando digo correla=E7=E3o falo no = sentido estritamente estat=EDstico, ou seja, todo indiv=EDduo = especializado em matem=E1tica geral, como muitos aqui, =E9 tb=E9m = altamente capaz em quest=F5es de matem=E1tica recreacional ? Ou uma = coisa n=E3o tem a ver com a outra? Voltando aos quebra-cabe=E7as estilo = cubo rubrick. Se fosse criada uma etapa na IMO, por exemplo, para a = cria=E7=E3o de algoritmos e resolu=E7=E3o destes tipos de = quebra-cabe=E7as seria um "filtro" (sele=E7=E3o) muito rigoroso? Ou = seria f=E1cil para os mais tarimbados ?=20 ICQ: 337140512 ------=_NextPart_000_003D_01C2D682.7A291340 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Oi Fael:
 
Primeiro, uma pequena corre=E7=E3o: o = cubo =E9 de Rubik=20 e, se voc=EA estiver interessado, existem v=E1rios sites descrevendo = estrat=E9gias e=20 at=E9 com an=E1lises matem=E1ticas do cubo. A =E1rea da matem=E1tica = usada para estas=20 an=E1lises =E9 a teoria dos grupos, onde h=E1 uma grande atividade de = pesquisa em=20 andamento atualmente e onde ainda restam muitos problemas em aberto. = Assim, voc=EA=20 mesmo deu um exemplo da correla=E7=E3o entre matem=E1tica recreativa = (cubo de Rubik) e=20 matem=E1tica avan=E7ada (teoria dos grupos) usada para resolver um = problema=20 recreativo.
 
Sobre a sua pergunta, acho que qualquer = um que=20 tenha facilidade para matem=E1tica haver=E1 de ter facilidade na = solu=E7=E3o de=20 problemas recreativos. No entanto, como distinguir um problema = "recreativo" de=20 um que =E9 tema de pesquisa "s=E9ria"? Aqui mesmo  na lista, j=E1 = apareceram=20 v=E1rios que podem ser classificados de um jeito ou de outro. Por = exemplo, esse do=20 Paulo Santa Rita:
 
Em uma reuniao existem exatamente 201 pessoas de
5 = nacionalidades=20 diferentes. Sabe-se que em cada grupo de 6 pessoas, ao
menos duas = tem a=20 mesma idade. Demonstrar que existem ao menos 5 pessoas do
mesmo = pais, da=20 mesma idade e do mesmo sexo.
 
envolve um conceito chamado princ=EDpio = das gavetas,=20 que diz o seguinte: se existem N+1 meias que devem ser colocadas em N = gavetas,=20 ent=E3o alguma gaveta ir=E1 conter pelo menos duas meias. Existe uma = teoria=20 matem=E1tica (teoria de Ramsey) que estuda extens=F5es e varia=E7=F5es = deste princ=EDpio,=20 ainda tem v=E1rios problemas sem solu=E7=E3o, e =E9 objeto de pesquisa = em v=E1rias=20 universidades.
 
(Paulo - espero que voc=EA n=E3o se = ofenda por eu ter=20 classificado o seu problema como recreativo, mas como eu n=E3o sou aluno = (no=20 sentido estrito, isto =E9, matriculado em alguma institui=E7=E3o), = professor ou=20 pesquisador, pra mim matem=E1tica =E9 um hobby e, portanto, todos = os problemas=20 s=E3o recreativos).
 
Um abra=E7o,
Claudio.
 
 
----- Original Message -----
From:=20 Faelccmm@aol.com=20
Sent: Saturday, February 15, = 2003 6:09=20 PM
Subject: [obm-l] IMO, = QUEBRA-CABE=C7AS,=20 ALGORITMOS, ETC

Ol=E1 pessoal,

Sabemos = que existem=20 algoritmos n=E3o s=F3 para a resolu=E7=E3o mas tb=E9m para dizer qual = a quantidade=20 m=EDnima giros que poderiam ser dados em um cubo Rubrick (ou cubo = m=E1gico) sendo=20 dada uma disposi=E7=E3o inicial do mesmo. Sabemos que existem v=E1rios = quebra-cabe=E7as como o cubo Rubrick e sabemos tb=E9m que v=E1rios = deles podem ser=20 criados. Como gosto muito de matem=E1tica recreacional gostaria de = saber a=20 correla=E7=E3o entre matem=E1tica avan=E7ada ou geral e matem=E1tica = recreacional.=20 Quando digo correla=E7=E3o falo no sentido estritamente estat=EDstico, = ou seja, todo=20 indiv=EDduo especializado em matem=E1tica geral, como muitos aqui, =E9 = tb=E9m=20 altamente capaz em quest=F5es de matem=E1tica recreacional ? Ou uma = coisa n=E3o tem=20 a ver com a outra? Voltando aos quebra-cabe=E7as estilo cubo rubrick. = Se fosse=20 criada uma etapa na IMO, por exemplo, para a cria=E7=E3o de algoritmos = e resolu=E7=E3o=20 destes tipos de quebra-cabe=E7as seria um "filtro" (sele=E7=E3o) muito = rigoroso? Ou=20 seria f=E1cil para os mais tarimbados ?

ICQ: 337140512=20 ------=_NextPart_000_003D_01C2D682.7A291340-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 17 14:19:45 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA23279 for obm-l-MTTP; Mon, 17 Feb 2003 14:17:13 -0300 Received: from web12901.mail.yahoo.com (web12901.mail.yahoo.com [216.136.174.68]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id PAA23275 for ; Mon, 17 Feb 2003 15:17:09 -0200 Message-ID: <20030217171636.44285.qmail@web12901.mail.yahoo.com> Received: from [200.206.103.3] by web12901.mail.yahoo.com via HTTP; Mon, 17 Feb 2003 14:16:36 ART Date: Mon, 17 Feb 2003 14:16:36 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Johann=20Peter=20Gustav=20Lejeune=20Dirichlet?= Subject: Re: [obm-l] Matriz Harmonica(e esse onome?) To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <013d01c2d46c$01fcdae0$3300c57d@bovespa.com> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-1950689723-1045502196=:43542" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --0-1950689723-1045502196=:43542 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Acredito sim pois essa ideia nao e estranha.Quero ver o dia que provarem diretamente que um numero e primo sem provar que ele nao e composto.Ah,o k e 1 o Saldanha acabou de mostrar isso. Cláudio_(Prática) wrote:Caro JP: Não tenho a solução ainda, mas acho que uma idéia que pode funcionar é olhar para det(A) como sendo uma função racional dos i's e dos j's (tomados como variáveis - como os x's num polinômio). Para evitar confusão, podemos considerar a matriz nxn B, tal que B(i,j) = 1/(X(i) + Y(j)). Assim, det(B) será uma função racional nas 2n variáveis X(i), Y(j) (1 <= i,j <= n) Após calcular det(B) e reduzi-lo um denominador comum, podemos tentar provar que:1) O denominador de det(B) será igual ao produto dos n^2 termos da forma [X(i) + Y(j)] = 1/B(i,j) ==> grau(denominador) = n^2; 2) O numerador de det(B) será divisível por [X(j) - X(i)] e [Y(j) - Y(i)], para todo i e j com 1 <= i < j <= n. A afirmativa (2) terá levado em conta um fator do numerador de grau n^2 - n. Entretanto, det(B) é igual à soma algébrica de n! termos cujos denominadores têm grau n. Logo grau(det(B)) = -n.Assim:grau(det(B)) = grau(numerador) - grau(denominador) ==> -n = grau(numerador) - n^2 ==>grau(numerador) = n^2 - n ==> numerador = K * PRODUTÓRIO [X(j) - X(i)]*[Y(j) - Y(i)] 1 <= i < j <= nonde K é uma constante. Agora, resta provar que K = 1. Acho que pode sair da mesma forma que no determinante de Vandermonde. Vou pensar um pouco mais. Bom fim de semana e um abraço,Claudio. PS: Aquela solução do x^2+x+p é primo foi um golpe duro....você acreditaria se eu dissesse que eu tinha justamente acabado de pensar nela? Eu não..... ----- Original Message ----- From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, February 14, 2003 3:01 PMSubject: [obm-l] Matriz Harmonica(e esse onome?) Turma,ces sabem calcular o determinante de uma matriz n*n onde a(i;j)*(i+j)=1 sempre?Pelo que eu saiba deve ter isso na lista mas de qualquer caso... --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-1950689723-1045502196=:43542 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

Acredito sim pois essa ideia nao e estranha.Quero ver o dia que provarem diretamente que um numero e primo sem provar que ele nao e composto.Ah,o k e 1 o Saldanha acabou de mostrar isso.

 Cláudio_(Prática) <claudio@praticacorretora.com.br> wrote:

Caro JP:
 
Não tenho a solução ainda, mas acho que uma idéia que pode funcionar é olhar para det(A) como sendo uma função racional dos i's e dos j's (tomados como variáveis - como os x's num polinômio).
Para evitar confusão, podemos considerar a matriz nxn B, tal que B(i,j) = 1/(X(i) + Y(j)).
Assim, det(B) será uma função racional nas 2n variáveis X(i), Y(j)  (1 <= i,j <= n)
 
Após calcular det(B) e reduzi-lo um denominador comum, podemos tentar provar que:
1) O denominador de det(B) será igual ao produto dos n^2 termos da forma [X(i) + Y(j)] = 1/B(i,j) ==>
grau(denominador) = n^2;
 
2) O numerador de det(B) será divisível por [X(j) - X(i)] e [Y(j) - Y(i)], para todo i e j com 1 <= i < j <= n.
 
A afirmativa (2) terá levado em conta um fator do numerador de grau n^2 - n.
 
Entretanto, det(B) é igual à soma algébrica de n! termos cujos denominadores têm grau n. Logo grau(det(B)) = -n.
Assim:
grau(det(B)) = grau(numerador) - grau(denominador)  ==>
 -n = grau(numerador) - n^2  ==>
grau(numerador) = n^2 - n  ==>
 
numerador = K * PRODUTÓRIO [X(j) - X(i)]*[Y(j) - Y(i)]
                         1 <= i < j <= n
onde K é uma constante.
 
Agora, resta provar que K = 1. Acho que pode sair da mesma forma que no determinante de Vandermonde.
 
Vou pensar um pouco mais.
 
Bom fim de semana e um abraço,
Claudio.
 
PS: Aquela solução do x^2+x+p é primo foi um golpe duro....você acreditaria se eu dissesse que eu tinha justamente acabado de pensar nela? Eu não.....
 
----- Original Message -----
Sent: Friday, February 14, 2003 3:01 PM
Subject: [obm-l] Matriz Harmonica(e esse onome?)

Turma,ces sabem calcular o determinante de uma matriz n*n onde a(i;j)*(i+j)=1 sempre?Pelo que eu saiba deve ter isso na lista mas de qualquer caso...


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Facil.E so agrupar de modo que de (algo)*10^(nao sei)

 elton francisco ferreira <elton_2001ff@yahoo.com.br> wrote:

olá, pessoal da lista!!

sei que a resolução deste problema é feita através de
logarítmos, mas quero saber se ha um jeito mais fácil;
se tiver, será q vcs podem fazer?!

Abraços!




Para registrar o resultado da operação 2^101*5^97 , o
número de dígitos necessários é:
(A) 96 (B) 97 (C) 98 (D) 99 (E) 100


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De volta ao ataque,hein?Bem,esse terceiro enviei pra Eureka e soluçoes disso tem a dar com o pau nessa lista,e so garimpar...

O primeiro to sem ideias mas tentei colocar tudo numa matriz 2000x2001.Bem,o fato e que esse se parece com a festa do cabide da 1ª Vingança Olimpica.

Esse dois e meio surra mas eu demonstrei que nao ha muitas opçoes de vida para esse rapaz.Mas tenho que generalizar para k troca 2001.

No terceiro to desenvolvendo uma soluçao de macho:completa os quadrados e cai em algo parecido com Pell(Eureka! 7).Mas tem uma fatoraçao esperta que poupa suor.

 DEOLIVEIRASOU@aol.com wrote:

1)Alguém pode me ajudar nesses problemas???
O produto de 2001 inteiros positivos distintos possui exatamente 2000 divisores primos distintos. Mostre que podemos escolher alguns destes 2001 números de modo que seu produto seja um quadrado perfeito.
2)Determine n pertencente aos naturais tais que n^2+2 divida 2+2001n.
3)Para os inteiros positivos x e y é verdadeira a igualdade 3x^2 + x= 4y^2+y. Mostre que x-y é um quadrado perfeito.
     Desde já agradeço qualquer ajuda.
          Crom


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Mostre que no terceiro os numeros nao podem ser grandes demais.Depois faça na porrada.

 Igor Correia Oliveira <basketboy_igor@bol.com.br> wrote:

1°) (Lista da Cone Sul) Estudantes de 13 cidades diferentes participam de uma competição. Os estudantes foram divididos em 5 grupos , de acordo com suas idades 13, 14, 15, 16 ou 17 anos. Prove que poderemos escolher ao menos 9 participantes tal que, para cada um deles, o número de participantes de seu grupo é maior que o número de participantes de sua cidade.
 
2°) Prove que tg(81)° -tg(63°) +tg(9°) -tg(27°) = 4
 
3°) Qual é o método usado p/ desenvolver x² + 2x/3 + 2x/3² + 2x/3³ + ... = 2 ?
 
4°) (De Prueba) Dos personas A y B  juegan el siguinte juego: A comienza eligiendo un número natural y luego, cada jugador en su turno dice un número de acuerdo con la seguinte regla:
i) si el último número dicho fue impar, el jugador suma 7 a este número;
ii) si el último número dicho fue par, el jugador lo divide por 2.
Gana el jugador que repite el número que fue elegido inicialmete. Encontrar todos los números que Ao pueda elegir para ganar. Justifique la respuesta.


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Essa ideia e facilmente generalizavel.So nao e confortavel a ideia dos unzes na linha final,pois isso usa vetores.

 pichurin <pichurinbr@yahoo.com.br> wrote:

tem-se a detreminante da matriz:
| Xa Ya 1 |
| Xb Yb 1 |
| Xc Yc 1 |
em que Xk e Yk indicam a posição de um ponto qualquer.
Caso a determinante seja diferente de zero, temos que
os pontos a, b e c não estão alinhados.Divide-se o
valor do módulo da determinate por2 e temos a área de
um triângulo.
Se quisermos calcular o volume de um sólido formado
por quatro pontos, pode-se utilizar um método análogo
ao anterior numa matriz 4X4, trabalhando com os eixos
x, y e z, e dividindo-se o valor encontrado por
6?Demonstre isso.

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Como resolver esta quest=E3o:

(U.E.LONDRINA) Sejam -2 e 3 duas ra=EDzes da equa=E7=E3o 2x^3 - x^2 + kx= +t =3D0 , onde k, t e R. A terceira raiz =E9 :

resp:  -1/2 --part1_198.15b0343d.2b828a59_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 17 16:00:24 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA28017 for obm-l-MTTP; Mon, 17 Feb 2003 15:56:44 -0300 Received: from imo-m04.mx.aol.com (imo-m04.mx.aol.com [64.12.136.7]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA28012 for ; Mon, 17 Feb 2003 16:56:41 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-m04.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.1f0.214dd70 (25508) for ; Mon, 17 Feb 2003 13:55:57 -0500 (EST) Message-ID: <1f0.214dd70.2b828a3d@aol.com> Date: Mon, 17 Feb 2003 13:55:57 EST Subject: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?Polin=F4mios=20I?= To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_1f0.214dd70.2b828a3d_boundary" X-Mailer: 6.0 sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --part1_1f0.214dd70.2b828a3d_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 Pessoal, Algu=E9m pode resolver esta quest=E3o: (ABC-SP) Uma equa=E7=E3o a[n] x^n + a[n-1] x^(n-1) + ...+a[0]=3D0; a[n] <> 0= , =E9=20 rec=EDproca se, e somente se, a exist=EAncia da raiz 1/a. resp: 3x^2 + 10x +3=3D 0 =E9 rec=EDproca=20 --part1_1f0.214dd70.2b828a3d_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 Pessoal,

Algu=E9m pode resolver esta quest=E3o:

(ABC-SP) Uma equa=E7=E3o a[n] x^n + a[n-1] x^(n-1) + ...+a[0]=3D0; a[n]=20= <> 0, =E9 rec=EDproca se, e somente se, a exist=EAncia da raiz 1/a.

resp: 3x^2 + 10x +3=3D 0 =E9 rec=EDproca --part1_1f0.214dd70.2b828a3d_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 17 16:00:25 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA28041 for obm-l-MTTP; Mon, 17 Feb 2003 15:57:42 -0300 Received: from imo-m07.mx.aol.com (imo-m07.mx.aol.com [64.12.136.162]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA28037 for ; Mon, 17 Feb 2003 16:57:37 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-m07.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.1f0.214dd72 (25508) for ; Mon, 17 Feb 2003 13:56:54 -0500 (EST) Message-ID: <1f0.214dd72.2b828a76@aol.com> Date: Mon, 17 Feb 2003 13:56:54 EST Subject: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?polin=F4mios=20III?= To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_1f0.214dd72.2b828a76_boundary" X-Mailer: 6.0 sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --part1_1f0.214dd72.2b828a76_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal, Como resolver esta quest=E3o: (MACK-SP) Na equa=E7=E3o [(x^3 - x^2 + x - 1)^18] =3D0 A multiplicidade da raiz x=3D1 =E9 : resp: 18=20 obs: Esta resposta =E9 devido o expoente 18? E se fosse perguntado a=20 multiplicidade de uma outra raiz diferente de x=3D1 ? --part1_1f0.214dd72.2b828a76_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable

Ol=E1 pessoal,

Como resolver esta quest=E3o:

(MACK-SP) Na equa=E7=E3o [(x^3 - x^2 + x - 1)^18] =3D0
A multiplicidade da raiz x=3D1 =E9 :
resp: 18=20

obs: Esta resposta =E9 devido o expoente 18? E se fosse perguntado a mul= tiplicidade de uma outra raiz diferente de x=3D1 ? --part1_1f0.214dd72.2b828a76_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 17 16:06:05 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA28310 for obm-l-MTTP; Mon, 17 Feb 2003 16:03:18 -0300 Received: from paiol.terra.com.br (paiol.terra.com.br [200.176.3.18]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA28306 for ; Mon, 17 Feb 2003 17:03:15 -0200 Received: from botucatu.terra.com.br (botucatu.terra.com.br [200.176.3.78]) by paiol.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id A22BA7CB87 for ; Mon, 17 Feb 2003 16:02:41 -0300 (BRT) Received: from nt (RJ231082.user.veloxzone.com.br [200.165.231.82]) (authenticated user ensr) by botucatu.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 8B4EE29C138 for ; Mon, 17 Feb 2003 16:02:32 -0300 (BRT) Message-ID: <022f01c2d6b7$284eb040$5400a8c0@ensrbr> From: "Luis Lopes" To: References: <102.26a0ddd5.2b7ee804@aol.com> <20030217083300.B16691@sucuri.mat.puc-rio.br> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Re:_=5Bobm-l=5D_Compara=E7=E3o?= Date: Mon, 17 Feb 2003 16:02:45 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Sauda,c~oes, Este tipo de exercício é mesmo interessante. E cobrado em exames de Berkeley. Vejam os dois exercícios abaixo, tirados de Berkeley Problems in Mathematics, Springer 2001. Problem 1.1.19 For which positive numbers a and b, with a>1, does the equation log_a x = x^b have a positive solution for x? Problem 1.1.20 Which number is larger, pi^3 or 3^{pi} ? []´s Luís -----Mensagem Original----- De: "Nicolau C. Saldanha" Para: Enviada em: segunda-feira, 17 de fevereiro de 2003 08:33 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Comparação > On Fri, Feb 14, 2003 at 07:47:00PM -0500, Lltmdrtm@aol.com wrote: > > Quem é maior e ^ pi ou pi ^ e ??? > > O interessante é fazer isso sem calculadora. > > > Considere a função f(x) = x^(1/x) = exp(x^(-1) log x). > Derivando, f'(x) = x^(-2) ( 1 - log x ) f(x) > > Assim f é crescente até e e decrescente a partir de e. > Donde e^(1/e) > pi^(i/pi). > Elevando os dois lados a (pi e) temos e^pi > pi^e. > > []s, N. > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 17 16:16:10 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA28815 for obm-l-MTTP; Mon, 17 Feb 2003 16:13:14 -0300 Received: from paiol.terra.com.br (paiol.terra.com.br [200.176.3.18]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA28802 for ; Mon, 17 Feb 2003 17:13:09 -0200 Received: from canela.terra.com.br (canela.terra.com.br [200.176.3.79]) by paiol.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 8F6777C956 for ; Mon, 17 Feb 2003 16:12:35 -0300 (BRT) Received: from nt (RJ231082.user.veloxzone.com.br [200.165.231.82]) (authenticated user ensr) by canela.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id C497711408D for ; Mon, 17 Feb 2003 16:12:34 -0300 (BRT) Message-ID: <023f01c2d6b8$8f516d40$5400a8c0@ensrbr> From: "Luis Lopes" To: References: <20030214175850.38538.qmail@web80407.mail.yahoo.com> Subject: Re: [obm-l] um problema com: Q,T,C Date: Mon, 17 Feb 2003 16:12:47 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_023C_01C2D69F.698EB720" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_023C_01C2D69F.698EB720 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Sauda,c~oes, Seja [i] a =E1rea do pol=EDgono regular de i lados com o mesmo per=EDmetro. Somos ent=E3o levados a conjecturar que [3] < [4] < [5] < .... < [n] < ... < C. Prova? []=B4s Lu=EDs -----Mensagem Original-----=20 De: Tertuliano Carneiro=20 Para: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Enviada em: sexta-feira, 14 de fevereiro de 2003 14:58 Assunto: Re: [obm-l] um problema com: Q,T,C Ol=E1!=20 Seja t o comprimento do arame. Assim, teremos:=20 1) Q=3D(t/4)^2=3D(t^2)/16=20 2) T=3D[(t/3)^2]*sqrt3/4=3D(t^2)*sqrt3/36=20 3) O comprimento do circulo =E9 t=3D2r*Pi. Da=ED, = C=3DPi*[t/(2*pi)]^2=3D(t^2)/(4*Pi)=20 Comparando, temos q T wrote:=20 Tr=EAs peda=E7os de arame de mesmo comprimento foram moldados: um na forma de um quadrado, outro na forma de um tri=E2ngulo equil=E1tero e outro na forma de um c=EDrculo. Se Q,T e C s=E3o, respectivamente, as =E1reas das regi=F5es limitadas por esses arames, ent=E3o =E9 verdade que: a) Qb) Cc) Td) T = _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar = o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista =E9=20 = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D < b! r> -------------------------------------------------------------------------= ----- Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o = Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_023C_01C2D69F.698EB720 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Sauda,c~oes,
 
Seja [i] a =E1rea do pol=EDgono regular de i = lados
com o mesmo per=EDmetro. Somos ent=E3o = levados
a conjecturar que
[3] < [4] < [5] < .... < [n] < ... = <=20 C.
 
Prova?
 
[]=B4s
Lu=EDs
 
-----Mensagem Original-----
De: Tertuliano=20 Carneiro
Enviada em: sexta-feira, 14 de = fevereiro=20 de 2003 14:58
Assunto: Re: [obm-l] um = problema com:=20 Q,T,C

Ol=E1!=20

Seja t o comprimento do arame. Assim, teremos:=20

1) Q=3D(t/4)^2=3D(t^2)/16=20

2) T=3D[(t/3)^2]*sqrt3/4=3D(t^2)*sqrt3/36=20

3) O comprimento do circulo =E9 t=3D2r*Pi. Da=ED, = C=3DPi*[t/(2*pi)]^2=3D(t^2)/(4*Pi)=20

Comparando, temos q T<Q<C=20

Tertuliano Carneiro.=20

 elton francisco ferreira <elton_2001ff@yahoo.com.br&g= t;=20 wrote:=20 Tr=EAs=20 peda=E7os de arame de mesmo comprimento foram
moldados: um na = forma de um=20 quadrado, outro na forma
de um tri=E2ngulo equil=E1tero e outro = na forma de=20 um
c=EDrculo. Se Q,T e C s=E3o, respectivamente, as =E1reas = das
regi=F5es=20 limitadas por esses arames, ent=E3o =E9 verdade
que:

a) = Qb)=20 Cc) Td) T


_________________________________________________________= ______________
Busca=20 Yahoo!
O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que = voc=EA pensar o=20 Yahoo!=20 = encontra.
http://br.busca.yahoo.com/
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D
Instru=E7=F5es=20 para entrar na lista, sair da lista e usar a lista=20 em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O = administrador=20 desta lista =E9=20 =
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D

< b! r>

Busca Yahoo!
O = servi=E7o de=20 busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o Yahoo!=20 encontra. ------=_NextPart_000_023C_01C2D69F.698EB720-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 17 17:14:13 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA31898 for obm-l-MTTP; Mon, 17 Feb 2003 17:11:23 -0300 Received: from ns3bind.localdomain ([200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA31894 for ; Mon, 17 Feb 2003 18:11:21 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.228]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1HK9Ga27329 for ; Mon, 17 Feb 2003 17:09:16 -0300 Message-ID: <008201c2d6c9$680abd20$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <1f0.214dd72.2b828a76@aol.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_polin=F4mios_III?= Date: Mon, 17 Feb 2003 18:13:16 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0078_01C2D6B0.3E49B040" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0078_01C2D6B0.3E49B040 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable (MACK-SP) Na equa=E7=E3o [(x^3 - x^2 + x - 1)^18] =3D0=20 A multiplicidade da raiz x=3D1 =E9 :=20 x^3 - x^2 + x - 1 =3D x^2*(x-1) + 1*(x-1) =3D (x^2+1)*(x-1) =3D=3D> x =3D 1 =E9 raiz de multiplicidade 1 de p(x) =3D x^3 - x^2 + x - 1 = =3D=3D> x =3D 1 =E9 raiz de multiplicidade 18 de p(x)^18. resp: 18=20 obs: Esta resposta =E9 devido o expoente 18? E se fosse perguntado a = multiplicidade de uma outra raiz diferente de x=3D1 ?=20 Sim. Mesmo racioc=EDnio para as outras ra=EDzes (que s=E3o +i e -i). Um abra=E7o, Claudio. ------=_NextPart_000_0078_01C2D6B0.3E49B040 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable

(MACK-SP) Na equa=E7=E3o [(x^3 - x^2 + x - 1)^18] =3D0
A = multiplicidade=20 da raiz x=3D1 =E9 :
x^3 - x^2 + x - 1 =3D x^2*(x-1) + 1*(x-1) =3D (x^2+1)*(x-1) = =3D=3D>
x =3D 1 =E9 raiz de multiplicidade 1 de p(x) =3D x^3 - x^2 + x - 1 = =3D=3D>
x =3D 1 =E9 raiz de multiplicidade 18 de p(x)^18.
 
resp: 18

obs: Esta resposta =E9 devido o expoente 18? E se = fosse=20 perguntado a multiplicidade de uma outra raiz diferente de x=3D1 = ?
Sim. Mesmo racioc=EDnio para as outras ra=EDzes (que = s=E3o +i e=20 -i).
 
Um abra=E7o,
Claudio.
------=_NextPart_000_0078_01C2D6B0.3E49B040-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 17 17:19:14 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA32172 for obm-l-MTTP; Mon, 17 Feb 2003 17:17:47 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA32166 for ; Mon, 17 Feb 2003 18:17:45 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.228]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1HKFla27648 for ; Mon, 17 Feb 2003 17:15:48 -0300 Message-ID: <008a01c2d6ca$5187fe40$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <198.15b0343d.2b828a59@aol.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_polin=F4mios_II?= Date: Mon, 17 Feb 2003 18:19:45 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0083_01C2D6B1.26034860" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0083_01C2D6B1.26034860 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable (U.E.LONDRINA) Sejam -2 e 3 duas ra=EDzes da equa=E7=E3o 2x^3 - x^2 + kx = +t =3D0 , onde k, t e R. A terceira raiz =E9 :=20 f(-2) =3D 2*(-2)^3 - (-2)^2 + k*(-2) + t =3D 0 =3D=3D> -16 - 4 - 2k + t = =3D 0 =3D=3D> -2k + t =3D 20 f(3) =3D 2*3^3 - 3^2 + k*3 + t =3D 0 =3D=3D> 54 - 9 + 3k + t =3D=3D> 3k = + t =3D -45 Resolvendo o sistema, achamos k =3D -13 e t =3D - 6. Assim: f(x) =3D 2*x^3 - x^2 -13*x - 6 =3D 0. Ao inv=E9s de usar Briot-Ruffini, voc=EA pode usar o fato de que a soma = das ra=EDzes de f(x) =E9 igual a (-coeficiente de x^2 / coeficiente de = x^3) =3D -(-1)/2 =3D 1/2. Assim, temos que x + (-2) + 3 =3D 1/2 =3D=3D> x =3D -1/2 resp: -1/2=20 Um abra=E7o, Claudio. ------=_NextPart_000_0083_01C2D6B1.26034860 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable

(U.E.LONDRINA) = Sejam -2 e 3=20 duas ra=EDzes da equa=E7=E3o 2x^3 - x^2 + kx +t =3D0 , onde k, t e R. A = terceira raiz =E9=20 :
f(-2) =3D 2*(-2)^3 = - (-2)^2 +=20 k*(-2) + t =3D 0 =3D=3D> -16 - 4 - 2k + t =3D 0 =3D=3D> -2k + t = =3D=20 20
 
f(3) =3D 2*3^3 - 3^2 + = k*3 + t =3D 0=20 =3D=3D> 54 - 9 + 3k + t  =3D=3D> 3k + t =3D = -45
 
Resolvendo o sistema, = achamos k=20 =3D -13   e  t =3D - 6.
Assim:
f(x) =3D 2*x^3 - x^2 = -13*x - 6 =3D=20 0.
 
Ao inv=E9s de usar = Briot-Ruffini,=20 voc=EA pode usar o fato de que a soma das ra=EDzes de f(x) =E9 igual=20 a (-coeficiente de x^2 / coeficiente de x^3) =3D -(-1)/2 =3D=20 1/2.
 
Assim, temos que x + = (-2) + 3 =3D 1/2=20 =3D=3D> x =3D -1/2

resp:  -1/2
 
 
Um abra=E7o,
Claudio.
------=_NextPart_000_0083_01C2D6B1.26034860-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 17 17:23:37 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA32316 for obm-l-MTTP; Mon, 17 Feb 2003 17:22:19 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA32311 for ; Mon, 17 Feb 2003 18:22:16 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.228]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1HKKKa27910 for ; Mon, 17 Feb 2003 17:20:21 -0300 Message-ID: <009501c2d6ca$f4fdb240$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <1f0.214dd70.2b828a3d@aol.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Polin=F4mios_I?= Date: Mon, 17 Feb 2003 18:24:17 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_008E_01C2D6B1.C810E0E0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_008E_01C2D6B1.C810E0E0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable (ABC-SP) Uma equa=E7=E3o a[n] x^n + a[n-1] x^(n-1) + ...+a[0]=3D0; a[n] = <> 0, =E9 rec=EDproca se, e somente se, a exist=EAncia da raiz 1/a.=20 Esse enunciado t=E1 muito esquisito.... resp: 3x^2 + 10x +3=3D 0 =E9 rec=EDproca=20 As ra=EDzes de 3x^2 + 10x + 3 =3D 0 s=E3o x =3D -3 e x =3D -1/3.=20 Ent=E3o, talvez a defini=E7=E3o seja a seguinte: Um polin=F4mio p(x) =E9 rec=EDproco se para todo a real, p(a) =3D 0 = <=3D=3D> p(1/a) =3D 0. ------=_NextPart_000_008E_01C2D6B1.C810E0E0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable

(ABC-SP) Uma equa=E7=E3o a[n] x^n + a[n-1] x^(n-1) + = ...+a[0]=3D0; a[n]=20 <> 0, =E9 rec=EDproca se, e somente se, a exist=EAncia da raiz = 1/a.
Esse enunciado t=E1 muito esquisito....

resp: 3x^2 + 10x +3=3D 0 =E9 rec=EDproca
 
As ra=EDzes de 3x^2 + 10x + 3 =3D 0 s=E3o x =3D -3 e x =3D -1/3. =
 
Ent=E3o, talvez a defini=E7=E3o seja a seguinte:
Um polin=F4mio p(x) =E9 rec=EDproco se para todo a real, = p(a) =3D 0=20 <=3D=3D> p(1/a) =3D 0.
------=_NextPart_000_008E_01C2D6B1.C810E0E0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 17 17:27:19 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA32435 for obm-l-MTTP; Mon, 17 Feb 2003 17:25:38 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA32431 for ; Mon, 17 Feb 2003 18:25:35 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1HKNda28085 for ; Mon, 17 Feb 2003 17:23:41 -0300 Message-ID: <00a601c2d6cb$6ba250e0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030217180532.49759.qmail@web12908.mail.yahoo.com> Subject: Re: [obm-l] Desigualdade estranhinha Date: Mon, 17 Feb 2003 18:27:38 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_009F_01C2D6B2.3FB8E5C0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_009F_01C2D6B2.3FB8E5C0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Qual desigualdade? Ali=E1s, voc=EA conseguiu resolver este aqui? Tome reais positivos ou nulos a,b,c,d tais que ab+ac+ad+bc+bd+cd+abc+abd+acd+bcd=3D2. Mostre que 3(a+b+c+d)>=3D4(ab+ac+ad+bc+bd+cd). Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Monday, February 17, 2003 3:05 PM Subject: [obm-l] Desigualdade estranhinha -------------------------------------------------------------------------= ----- Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o = Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_009F_01C2D6B2.3FB8E5C0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Qual desigualdade?
 
Ali=E1s, voc=EA conseguiu resolver este = aqui?
 

Tome reais positivos ou nulos a,b,c,d tais que

 ab+ac+ad+bc+bd+cd+abc+abd+acd+bcd=3D2.

Mostre que

3(a+b+c+d)>=3D4(ab+ac+ad+bc+bd+cd).

 

Um abra=E7o,

Claudio.

----- Original Message -----
From:=20 Johann Peter Gustav = Lejeune=20 Dirichlet
Sent: Monday, February 17, 2003 = 3:05=20 PM
Subject: [obm-l] Desigualdade=20 estranhinha


Busca Yahoo!
O = servi=E7o de=20 busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o Yahoo!=20 encontra. ------=_NextPart_000_009F_01C2D6B2.3FB8E5C0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 17 17:42:26 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA00743 for obm-l-MTTP; Mon, 17 Feb 2003 17:41:02 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA00737 for ; Mon, 17 Feb 2003 18:40:58 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1HKd6a28893 for ; Mon, 17 Feb 2003 17:39:06 -0300 Message-ID: <00b301c2d6cd$928dc700$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030214175850.38538.qmail@web80407.mail.yahoo.com> <023f01c2d6b8$8f516d40$5400a8c0@ensrbr> Subject: Re: [obm-l] um problema com: Q,T,C Date: Mon, 17 Feb 2003 18:43:12 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_00B0_01C2D6B4.6C665BA0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_00B0_01C2D6B4.6C665BA0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Tem um artigo razoavelmente elementar do Nicolau e do Gugu que trata = justamente disso - a desigualdade isoperim=E9trica. O ele pode ser encontrado aqui: = http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/publ.html Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Luis Lopes=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Monday, February 17, 2003 4:12 PM Subject: Re: [obm-l] um problema com: Q,T,C Sauda,c~oes, Seja [i] a =E1rea do pol=EDgono regular de i lados com o mesmo per=EDmetro. Somos ent=E3o levados a conjecturar que [3] < [4] < [5] < .... < [n] < ... < C. Prova? []=B4s Lu=EDs -----Mensagem Original-----=20 De: Tertuliano Carneiro=20 Para: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Enviada em: sexta-feira, 14 de fevereiro de 2003 14:58 Assunto: Re: [obm-l] um problema com: Q,T,C Ol=E1!=20 Seja t o comprimento do arame. Assim, teremos:=20 1) Q=3D(t/4)^2=3D(t^2)/16=20 2) T=3D[(t/3)^2]*sqrt3/4=3D(t^2)*sqrt3/36=20 3) O comprimento do circulo =E9 t=3D2r*Pi. Da=ED, = C=3DPi*[t/(2*pi)]^2=3D(t^2)/(4*Pi)=20 Comparando, temos q T wrote:=20 Tr=EAs peda=E7os de arame de mesmo comprimento foram moldados: um na forma de um quadrado, outro na forma de um tri=E2ngulo equil=E1tero e outro na forma de um c=EDrculo. Se Q,T e C s=E3o, respectivamente, as =E1reas das regi=F5es limitadas por esses arames, ent=E3o =E9 verdade que: a) Qb) Cc) Td) T = _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA = pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista = em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista =E9=20 = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D < b! r>=20 -------------------------------------------------------------------------= --- Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar = o Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_00B0_01C2D6B4.6C665BA0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Tem um artigo razoavelmente elementar = do Nicolau e=20 do Gugu que trata justamente disso - a desigualdade = isoperim=E9trica.
 
Um abra=E7o,
Claudio.
----- Original Message -----
From:=20 Luis=20 Lopes
Sent: Monday, February 17, 2003 = 4:12=20 PM
Subject: Re: [obm-l] um = problema com:=20 Q,T,C

Sauda,c~oes,
 
Seja [i] a =E1rea do pol=EDgono regular de i = lados
com o mesmo per=EDmetro. Somos ent=E3o = levados
a conjecturar que
[3] < [4] < [5] < .... < [n] < ... = <=20 C.
 
Prova?
 
[]=B4s
Lu=EDs
 
-----Mensagem Original-----
De:=20 Tertuliano=20 Carneiro
Enviada em: sexta-feira, 14 = de=20 fevereiro de 2003 14:58
Assunto: Re: [obm-l] um = problema com:=20 Q,T,C

Ol=E1!=20

Seja t o comprimento do arame. Assim, teremos:=20

1) Q=3D(t/4)^2=3D(t^2)/16=20

2) T=3D[(t/3)^2]*sqrt3/4=3D(t^2)*sqrt3/36=20

3) O comprimento do circulo =E9 t=3D2r*Pi. Da=ED,=20 C=3DPi*[t/(2*pi)]^2=3D(t^2)/(4*Pi)=20

Comparando, temos q T<Q<C=20

Tertuliano Carneiro.=20

 elton francisco ferreira <elton_2001ff@yahoo.com.br&g= t;=20 wrote:=20 Tr=EAs=20 peda=E7os de arame de mesmo comprimento foram
moldados: um na = forma de um=20 quadrado, outro na forma
de um tri=E2ngulo equil=E1tero e outro = na forma de=20 um
c=EDrculo. Se Q,T e C s=E3o, respectivamente, as =E1reas = das
regi=F5es=20 limitadas por esses arames, ent=E3o =E9 verdade
que:

a) = Qb)=20 Cc) Td) T


_________________________________________________________= ______________
Busca=20 Yahoo!
O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que = voc=EA pensar=20 o Yahoo!=20 = encontra.
http://br.busca.yahoo.com/
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D
Instru=E7=F5es=20 para entrar na lista, sair da lista e usar a lista=20 em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O=20 administrador desta lista =E9=20 =
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D

< b! r>=20

Busca Yahoo!
O = servi=E7o=20 de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o Yahoo!=20 encontra. ------=_NextPart_000_00B0_01C2D6B4.6C665BA0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 17 18:07:34 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA02414 for obm-l-MTTP; Mon, 17 Feb 2003 18:06:12 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA02410 for ; Mon, 17 Feb 2003 19:06:10 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.224]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1HL4Ja30033 for ; Mon, 17 Feb 2003 18:04:19 -0300 Message-ID: <00c101c2d6d1$185c3440$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <102.26a0ddd5.2b7ee804@aol.com> <20030217083300.B16691@sucuri.mat.puc-rio.br> <022f01c2d6b7$284eb040$5400a8c0@ensrbr> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Re:_=5Bobm-l=5D_Re:_=5Bobm-l=5D_Compar?= =?iso-8859-1?Q?a=E7=E3o?= Date: Mon, 17 Feb 2003 19:08:25 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caro Luís: Aqui vão minhas soluções. Estou muito mais confiante na do segundo do que na do primeiro. > > Problem 1.1.19 For which positive numbers > a and b, with a>1, does the equation > log_a x = x^b have a positive solution for x? > Suponhamos a fixo (a > 1, de forma que ln(a) > 0). O maior valor de b para o qual a equação tem solução é tal que as curvas: y = log_a(x) e y = x^b são tangentes. dlog_a(x)/dx = 1/(x*ln(a)) d(x^b)/dx = b*x^(b-1) Igualando as derivadas: 1/(x*ln(a)) = b*x^(b-1) ==> x^b = 1/(b*ln(a)) ==> x = 1/(b*ln(a))^(1/b) Assim, as curvas terão a mesma inclinação para x0 = 1/(b*ln(a))^(1/b) Se as curvas são tangentes, a equação tem solução única x = x0. Assim: log_a(x0) = (-1/b)*log_a(b*ln(a)) x0^b = 1/(b*ln(a)) x0^b = log_a(x0) ==> -1/ln(a) = log_a(b*ln(a)) = ln(b*ln(a))/ln(a) ==> ln(b*ln(a)) = -1 ==> b*ln(a) = 1/e ==> Assim, dado a > 1, a equação terá solução para todo b tal que 0 < b <= 1/(e*ln(a)). ************** > Problem 1.1.20 Which number is larger, > pi^3 or 3^{pi} ? > Acho que a idéia é usar a mesma função que o Nicolau usou no problema abaixo: f(x) = x^(1/x) = exp(x^(-1) log x) ==> f'(x) = x^(-2) ( 1 - log x ) f(x) ==> f é crescente até e e decrescente a partir de e. Como e < 3 < pi, teremos: 3^(1/3) > pi^(1/pi) ==> 3^pi > pi^3 Um abraço, Claudio. P.S.: Você é o Luís Lopes dos Manuais de Indução Matemática e Funções Exponenciais e Logarítmicas? > > -----Mensagem Original----- > De: "Nicolau C. Saldanha" > Para: > Enviada em: segunda-feira, 17 de fevereiro de 2003 08:33 > Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Comparação > > > > On Fri, Feb 14, 2003 at 07:47:00PM -0500, Lltmdrtm@aol.com wrote: > > > Quem é maior e ^ pi ou pi ^ e ??? > > > > O interessante é fazer isso sem calculadora. > > > > > > Considere a função f(x) = x^(1/x) = exp(x^(-1) log x). > > Derivando, f'(x) = x^(-2) ( 1 - log x ) f(x) > > > > Assim f é crescente até e e decrescente a partir de e. > > Donde e^(1/e) > pi^(i/pi). > > Elevando os dois lados a (pi e) temos e^pi > pi^e. > > > > []s, N. > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 17 21:57:52 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA05958 for obm-l-MTTP; Mon, 17 Feb 2003 21:56:00 -0300 Received: from puma.unisys.com.br (ns2.unisys.com.br [200.220.64.7]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA05954 for ; Mon, 17 Feb 2003 22:55:57 -0200 Received: from jf (riohiper01p11.uninet.com.br [200.220.2.11]) by puma.unisys.com.br (8.12.3/8.12.3) with SMTP id h1I0tOlC026947 for ; Mon, 17 Feb 2003 21:55:26 -0300 (EST) X-Spam-Filter: check_local@puma.unisys.com.br by digitalanswers.org Message-ID: <007b01c2d6e8$9f3b1000$0b02dcc8@jf> From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" To: References: <20030214175850.38538.qmail@web80407.mail.yahoo.com> <023f01c2d6b8$8f516d40$5400a8c0@ensrbr> Subject: [obm-l] [n] < [n+1] (n>=3) ? Date: Mon, 17 Feb 2003 21:53:36 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0069_01C2D6CF.05F7DEA0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2600.0000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0069_01C2D6CF.05F7DEA0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Se a conjectura n=E3o fosse verdadeira as manchas [em uma superf=EDcie] = seriam triangulares e n=E3o circulares. Isto sai por indu=E7=E3o finita? JF ----- Original Message -----=20 From: Luis Lopes=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Monday, February 17, 2003 4:12 PM Subject: Re: [obm-l] um problema com: Q,T,C Sauda,c~oes, Seja [i] a =E1rea do pol=EDgono regular de i lados com o mesmo per=EDmetro. Somos ent=E3o levados a conjecturar que [3] < [4] < [5] < .... < [n] < ... < C. Prova? []=B4s Lu=EDs ------=_NextPart_000_0069_01C2D6CF.05F7DEA0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Se a conjectura n=E3o fosse = verdadeira as=20 manchas [em uma superf=EDcie] seriam triangulares e n=E3o = circulares.
 
Isto sai por indu=E7=E3o = finita?
 
JF
----- Original Message -----
From:=20 Luis=20 Lopes
Sent: Monday, February 17, 2003 = 4:12=20 PM
Subject: Re: [obm-l] um = problema com:=20 Q,T,C

Sauda,c~oes,
 
Seja [i] a =E1rea do pol=EDgono regular de i = lados
com o mesmo per=EDmetro. Somos ent=E3o = levados
a conjecturar que
[3] < [4] < [5] < .... < [n] < ... = <=20 C.
 
Prova?
 
[]=B4s
Lu=EDs
------=_NextPart_000_0069_01C2D6CF.05F7DEA0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 18 00:10:59 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id AAA07742 for obm-l-MTTP; Tue, 18 Feb 2003 00:07:58 -0300 Received: from traven9.uol.com.br (traven10.uol.com.br [200.221.29.35] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id BAA07738 for ; Tue, 18 Feb 2003 01:07:55 -0200 Received: from xxx ([200.191.188.181]) by traven9.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with SMTP id AAA08201 for ; Tue, 18 Feb 2003 00:09:54 -0300 (BRT) From: "haroldo" To: Subject: RES: [obm-l] CN Date: Tue, 18 Feb 2003 01:05:47 -0300 Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_01AE_01C2D6E9.DEA87060" X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook IMO, Build 9.0.2416 (9.0.2910.0) X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2919.6600 In-Reply-To: <20030217171959.17758.qmail@web12903.mail.yahoo.com> Importance: Normal Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_01AE_01C2D6E9.DEA87060 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit =16*10^97 99 algarismos -----Mensagem original----- De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Enviada em: segunda-feira, 17 de fevereiro de 2003 14:20 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] CN Facil.E so agrupar de modo que de (algo)*10^(nao sei) elton francisco ferreira wrote: olá, pessoal da lista!! sei que a resolução deste problema é feita através de logarítmos, mas quero saber se ha um jeito mais fácil; se tiver, será q vcs podem fazer?! Abraços! Para registrar o resultado da operação 2^101*5^97 , o número de dígitos necessários é: (A) 96 (B) 97 (C) 98 (D) 99 (E) 100 _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= ---------------------------------------------------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_01AE_01C2D6E9.DEA87060 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
=3D16*10^97
99=20 algarismos
-----Mensagem original-----
De:=20 owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br=20 [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de Johann = Peter=20 Gustav Lejeune Dirichlet
Enviada em: segunda-feira, 17 de = fevereiro=20 de 2003 14:20
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: = Re:=20 [obm-l] CN

Facil.E so agrupar de modo que de (algo)*10^(nao sei)=20

 elton francisco ferreira=20 <elton_2001ff@yahoo.com.br> wrote:=20 ol=E1,=20 pessoal da lista!!

sei que a resolu=E7=E3o deste problema =E9 = feita atrav=E9s=20 de
logar=EDtmos, mas quero saber se ha um jeito mais = f=E1cil;
se tiver,=20 ser=E1 q vcs podem fazer?!

Abra=E7os! =




Para registrar=20 o resultado da opera=E7=E3o 2^101*5^97 , o
n=FAmero de d=EDgitos = necess=E1rios=20 =E9:
(A) 96 (B) 97 (C) 98 (D) 99 (E)=20 = 100


__________________________________________________________= _____________
Busca=20 Yahoo!
O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que = voc=EA pensar o=20 Yahoo!=20 = encontra.
http://br.busca.yahoo.com/
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D
Instru=E7=F5es=20 para entrar na lista, sair da lista e usar a lista=20 em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O = administrador=20 desta lista =E9=20 =
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D


Busca Yahoo!
O = servi=E7o=20 de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o Yahoo!=20 encontra.
------=_NextPart_000_01AE_01C2D6E9.DEA87060-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 18 09:28:44 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA12328 for obm-l-MTTP; Tue, 18 Feb 2003 09:25:07 -0300 Received: from web41506.mail.yahoo.com (web41506.mail.yahoo.com [66.218.93.89]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id KAA12324 for ; Tue, 18 Feb 2003 10:25:04 -0200 Message-ID: <20030218122432.78377.qmail@web41506.mail.yahoo.com> Received: from [200.223.161.206] by web41506.mail.yahoo.com via HTTP; Tue, 18 Feb 2003 09:24:32 ART Date: Tue, 18 Feb 2003 09:24:32 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?elton=20francisco=20ferreira?= Subject: [obm-l] % To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Dos 800 alunos formados poq uma escola militar a cada ano, 5% pedem para sair da mesma ao completarem 5 anos de serviço. então, a quntidade de alunos formados pela escola após 12 anos e que ainda estão em atividade é? 9600 9460 9280 9120 8800 _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 18 10:13:14 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA13549 for obm-l-MTTP; Tue, 18 Feb 2003 10:09:57 -0300 Received: (from nicolau@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA13544 for obm-l@mat.puc-rio.br; Tue, 18 Feb 2003 10:09:57 -0300 From: "Nicolau C. Saldanha" Date: Tue, 18 Feb 2003 10:09:57 -0300 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Deve haver fissao da lista? Message-ID: <20030218100957.D12626@sucuri.mat.puc-rio.br> References: <3E48201F.3060508@centroin.com.br> <20030211144637.H9677@sucuri.mat.puc-rio.br> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Disposition: inline Content-Transfer-Encoding: 8bit User-Agent: Mutt/1.2.5i yrom: "Nicolau C. Saldanha" In-Reply-To: <20030211144637.H9677@sucuri.mat.puc-rio.br>; from nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br on Tue, Feb 11, 2003 at 02:46:37PM -0200 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Tue, Feb 11, 2003 at 02:46:37PM -0200, Nicolau C. Saldanha wrote: > Esta proposta de fissão da lista já apareceu várias vezes. > Tecnicamente ela é muito fácil de ser implementada, a pergunta > é se tal fissão é desejável. Todas as vezes que a proposta foi feita > houve um pouco de discussão e me parecia no final que não havia maioria > a favor da fissão. > > O fato da discussão já ter ocorrido antes não é, a meu ver, motivo > para que a discussão não volte a ocorrer pois a realidade da lista > tem mudado bastante. Por exemplo, o número de mensagens tem crescido > muito. Há dois anos eu era totalmente contra a fissão: hoje não tenho > mais tanta certeza... > > Eu sugiro que quem tiver uma opinião mande um e-mail particular para > mim dizendo se é a favor da fissão e porque. Dentro de uma semana > eu mandarei o resultado da votação para a lista. Uma semana mais tarde recebi várias mensagem sobre a proposta de fissão. Contando os votos, houve 7 votos declarados contra a fissão e 6 a favor (eu não votei) e portanto a proposta de fissão não foi aprovada. Acho que vale a pena mencionar que muitos escreveram fazendo comentários mas no final se abstiveram de votar. Muita gente reclamou do grande volume de mensagens, incluindo muitas desinteressantes (para quem escrevia) mas mesmo dentre os que diziam isso muitos votaram contra a fissão por achar que ela não resolveria nada, especialmente pq é difícil fazer uma divisão clara por nível ou profundidade da pergunta. Outra reclamação comum foi o grande número de mensagens off-topic, a falta de regras mais claras para definir o que é ou não é off-topic, e as limitações do sistema de inibir mensagens off-topic (reclamações, na lista ou fora dela, por membros da lista que tomem para si esta tarefa ou pelo vosso administrador da lista, que já tem muito mais o que fazer e às vezes nem chega a ver as mensagens off-topic, ou se vê demora muito). Quem tiver mais comentários deste tipo por favor escreva para mim (e não para a lista). []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 18 10:32:56 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA13927 for obm-l-MTTP; Tue, 18 Feb 2003 10:29:10 -0300 Received: from paiol.terra.com.br (paiol.terra.com.br [200.176.3.18]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA13922 for ; Tue, 18 Feb 2003 11:29:05 -0200 Received: from una.terra.com.br (una.terra.com.br [200.176.3.32]) by paiol.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id C396E7D18A for ; Tue, 18 Feb 2003 10:28:34 -0300 (BRT) Received: from nt (RJ231082.user.veloxzone.com.br [200.165.231.82]) (authenticated user ensr) by una.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 9DB1D2F0060 for ; Tue, 18 Feb 2003 10:28:32 -0300 (BRT) Message-ID: <002301c2d751$aabc86c0$5400a8c0@ensrbr> From: "Luis Lopes" To: References: <102.26a0ddd5.2b7ee804@aol.com> <20030217083300.B16691@sucuri.mat.puc-rio.br> <022f01c2d6b7$284eb040$5400a8c0@ensrbr> <00c101c2d6d1$185c3440$3300c57d@bovespa.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Re:_=5Bobm-l=5D_Re:_=5Bobm-l=5D_Re:_=5Bo?= =?iso-8859-1?Q?bm-l=5D_Compara=E7=E3o?= Date: Tue, 18 Feb 2003 10:28:37 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Sauda,c~oes, Começando pelo PS, sou o autor dos Manuais em questão. Transcrevo a solução do 1.1.19: the equation can be rewritten as a^{x^b} = x, or (log x) / x^b = log a. There is thus a solution for x if and only if (iff) log a is in the range (contradomínio) of x |---> (log x) / x^b. Using elementary calculus, we get that the range of this function is (fica como sugestão de exercício) (-infty, 1 / be]. We conclude then that the original equation has a positive solution for x iff log a <= 1 / be, that is, iff 1 < a < e^{1/be}. Como está no livro. Mas deveria ser a <= e^{1/be}, não? O Cláudio chegou a b <= 1/(e*ln(a)) ou log a <= 1 / be. OK. Para o 1.1.20 os autores usam f(x) = 3^x x^{-3} para x > 0. Então, f´(x) = [3^x(x log3 - 3)] / x^4 > 0 for x > 3/log3. As 3/log3 < 3 < pi, we have f(3)=1 < f(pi) = 3^{pi} / pi^3, that is, pi^3 < 3^{pi}. Muitas outras funções poderiam ser usadas. Os autores consideram também f(x) = log x / x, que é decrescente para x > e, bem como g(x) = x^3 - 3^x e h(x) = (3+x)^{(pi - x)}. Sem contar a do Nicolau, é claro. Eu teria usado log x / x, como em outra mensagem (acho que do Márcio). []´s Luís -----Mensagem Original----- De: "Cláudio (Prática)" Para: Enviada em: segunda-feira, 17 de fevereiro de 2003 19:08 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Comparação > Caro Luís: > > Aqui vão minhas soluções. Estou muito mais confiante na do segundo do que na > do primeiro. > > > > Problem 1.1.19 For which positive numbers > > a and b, with a>1, does the equation > > log_a x = x^b have a positive solution for x? > > > > Suponhamos a fixo (a > 1, de forma que ln(a) > 0). > O maior valor de b para o qual a equação tem solução é tal que as curvas: > y = log_a(x) e y = x^b são tangentes. > > dlog_a(x)/dx = 1/(x*ln(a)) > d(x^b)/dx = b*x^(b-1) > > Igualando as derivadas: > 1/(x*ln(a)) = b*x^(b-1) ==> x^b = 1/(b*ln(a)) ==> x = 1/(b*ln(a))^(1/b) > > Assim, as curvas terão a mesma inclinação para x0 = 1/(b*ln(a))^(1/b) > > Se as curvas são tangentes, a equação tem solução única x = x0. Assim: > log_a(x0) = (-1/b)*log_a(b*ln(a)) > x0^b = 1/(b*ln(a)) > > x0^b = log_a(x0) ==> > -1/ln(a) = log_a(b*ln(a)) = ln(b*ln(a))/ln(a) ==> > ln(b*ln(a)) = -1 ==> > b*ln(a) = 1/e ==> > > Assim, dado a > 1, a equação terá solução para todo b tal que 0 < b <= > 1/(e*ln(a)). > > ************** > > > Problem 1.1.20 Which number is larger, > > pi^3 or 3^{pi} ? > > > Acho que a idéia é usar a mesma função que o Nicolau usou no problema > abaixo: > f(x) = x^(1/x) = exp(x^(-1) log x) ==> > f'(x) = x^(-2) ( 1 - log x ) f(x) ==> > f é crescente até e e decrescente a partir de e. > Como e < 3 < pi, teremos: > 3^(1/3) > pi^(1/pi) ==> 3^pi > pi^3 > > Um abraço, > Claudio. > > P.S.: Você é o Luís Lopes dos Manuais de Indução Matemática e Funções > Exponenciais e Logarítmicas? > > [corte grande] ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 18 10:54:27 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA14566 for obm-l-MTTP; Tue, 18 Feb 2003 10:51:43 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA14558 for ; Tue, 18 Feb 2003 11:51:38 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1IDnja18881 for ; Tue, 18 Feb 2003 10:49:45 -0300 Message-ID: <003801c2d75d$8e98bca0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?Windows-1252?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: Subject: [obm-l] Problemas do Igor Correia Oliveira Date: Tue, 18 Feb 2003 11:53:52 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0035_01C2D744.6858E740" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0035_01C2D744.6858E740 Content-Type: text/plain; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable HelpCaro Igor: Seguem-se alguns coment=E1rios sobre os seus problemas. 1=B0) (Lista da Cone Sul) Estudantes de 13 cidades diferentes participam = de uma competi=E7=E3o. Os estudantes foram divididos em 5 grupos , de = acordo com suas idades 13, 14, 15, 16 ou 17 anos. Prove que poderemos = escolher ao menos 9 participantes tal que, para cada um deles, o = n=FAmero de participantes de seu grupo =E9 maior que o n=FAmero de = participantes de sua cidade. Considere a matriz A(5x13) tal que A(i,j) =3D n=FAmero de estudantes com = idade (i+12) que vieram da cidade j. Sejam: L(i) =3D soma dos elementos da i-=E9sima linha ( i =3D 1, ...,5) C(j) =3D soma dos elementos da j-=E9sima coluna ( j =3D1, ..., 13) 5 13 S =3D soma dos elementos de A =3D SOMA L(i) =3D SOMA C(j) i =3D 1 j = =3D 1 Com estas defini=E7=F5es, o problema se reduz a provar que existem pelo = menos 9 pares ordenados (i,j) (1 <=3D i <=3D 5; 1 <=3D j <=3D 13) tais = que L(i) > C(j). Suponhamos, inicialmente, que todos os estudantes tenham a mesma idade = (digamos r+12 anos).=20 Ent=E3o L(r) =3D S e L(i) =3D 0 para i <> r. Como h=E1 pelo menos um estudante de cada uma das 13 cidades, nem todos = os estudantes v=EAm da mesma cidade. Assim, para todo j, C(j) < S = =3D=3D> L(r) > C(j) e podemos escolher 9 pares (r,j) tais que L(r) > = C(j). Suponhamos, agora, que pelo menos dois estudantes t=EAm idades = diferentes e que existam no m=E1ximo 8 pares ordenados (i,j) tais que = L(i) > C(j). Para cada (i,j) calculemos o valor m=E1ximo de [L(i) - C(j)].=20 Este valor m=E1ximo =E9 igual a S, e ocorre justamente quando: 1. todos os estudantes tiverem idade (i+12) (ou seja, L(i) =3D S);=20 E 2. nenhum estudante vier da cidade j (ou seja, C(j) =3D 0). Agora, vamos calcular a soma de todos os [L(i) - C(j)] (1 <=3D i <=3D 5; = 1 <=3D j <=3D 13). 5 13 5 13 SOMA [ SOMA L(i) - C(j) ] =3D 13*SOMA L(i) - 5*SOMA C(j) =3D 13*S - 5*S = =3D 8*S. i =3D 1 j =3D 1 i =3D 1 j = =3D 1 A contribui=E7=E3o dos termos com L(i) > C(j) =E9, no m=E1ximo, igual a = 8*S (no m=E1ximo 8 termos com valor m=E1ximo igual a S).=20 De fato, a contribui=E7=E3o m=E1xima =E9 estritamente menor do que 8*S, = uma vez que se todos os 8 termos [L(i) - C(j)] fossem iguais a S, = ent=E3o, todos os estudantes teriam a mesma idade ( i seria o mesmo para = os 8 pares (i,j) ) o que contraria a nossa hip=F3tese de existirem pelo = menos dois estudantes com idades distintas. Para todos os demais termos do somat=F3rio, teremos L(i) <=3D C(j) = =3D=3D> L(i) - C(j) <=3D 0 =3D=3D> contribui=E7=E3o <=3D 0. Isso quer dizer que: 5 13 =20 SOMA [ SOMA L(i) - C(j) ] < 8*S =3D=3D> contradi=E7=E3o. i =3D 1 j =3D 1 =20 Logo, existem pelo menos 9 pares ordenados (i,j) com L(i) > C(j). *************** 2=B0) Prove que tg(81)=B0 -tg(63=B0) +tg(9=B0) -tg(27=B0) =3D 4 N=E3o consegui achar nenhuma forma "n=E3o-bra=E7al" de se provar isso. O melhor que eu consegui foi expressar estes =E2ngulos em termos do = =E2ngulo de 45 graus, cuja tangente =E9 1, o que facilita a =E1lgebra. Temos que: 81 =3D 45 + 36, 63 =3D 45 + 18, 27 =3D 45 - 18 e 9 =3D 45 - = 36, e os =E2ngulos de 18 e 36 graus tamb=E9m n=E3o s=E3o muito "ruins", = uma vez que 18 =3D 90/5 e 36 =3D 180/5 =3D=3D> pode-se calcular o valor = dos senos e cossenos desses =E2ngulos usando nos. complexos ou a = geometria do pent=E1gono e do dec=E1gono regular, por exemplo. No caso dos nos. complexos, podemos calcular o valor de [cos(x) + = i*sen(x)]^5 de duas formas - expandindo o bin=F4mio e usando a f=F3rmula = de DeMoivre. Igualando os resultados obtidos e fazendo algumas = simplifica=E7=F5es, obtemos: cos(5x) =3D 16*cos^5(x) - 20*cos^3(x) + 5*cos(x) sen(5x) =3D 16*sin^5(x) - 20*sin^3(x) + 5*sin(x) Eventualmente, chega-se a: tg(18) =3D sen(18)/cos(18) =3D raiz[(5 - 2*raiz(5))/5] =3D A tg(36) =3D sen(36)/cos(36) =3D raiz[5 - 2*raiz(5)] =3D raiz(5)*A e, portanto: tg(81) =3D tg(45+36) =3D [1 + raiz(5)*A]/[1 - raiz(5)*A] tg(63) =3D tg(45+18) =3D (1 + A)/(1 - A) tg(27) =3D tg(45-18) =3D (1 - A)/(1 + A) tg(9) =3D tg(45-36) =3D (1 - raiz(5)*A)/(1 + raiz(5)*A) Depois, =E9 s=F3 somar e simplificar... *************** Um abra=E7o, Claudio. ------=_NextPart_000_0035_01C2D744.6858E740 Content-Type: text/html; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Help
Caro Igor:
 
Seguem-se alguns coment=E1rios sobre os = seus=20 problemas.
 
1=B0) (Lista da Cone Sul) Estudantes de = 13 cidades=20 diferentes participam de uma competi=E7=E3o. Os estudantes foram = divididos em 5=20 grupos , de acordo com suas idades 13, 14, 15, 16 ou 17 anos. Prove que=20 poderemos escolher ao menos 9 participantes tal que, para cada um deles, = o=20 n=FAmero de participantes de seu grupo =E9 maior que o n=FAmero de = participantes de=20 sua cidade.
 
Considere a matriz A(5x13) tal que = A(i,j) =3D n=FAmero=20 de estudantes com idade (i+12) que vieram da cidade j.
Sejam:
L(i) =3D soma dos elementos da = i-=E9sima linha ( i =3D 1,=20 ...,5)
C(j) =3D soma dos elementos da = j-=E9sima coluna ( j =3D1,=20 ..., 13)
          &nbs= p;            = ;            =             &= nbsp;   =20 5            =     =20 13
S =3D soma dos elementos de A =3D SOMA = L(i) =3D SOMA=20 C(j)
          &nbs= p;            = ;            =             &= nbsp; =20 i =3D = 1            = j=20 =3D 1
 
Com estas defini=E7=F5es, o problema se = reduz a provar=20 que existem pelo menos 9 pares ordenados (i,j) (1 <=3D i <=3D 5; 1 = <=3D j=20 <=3D 13) tais que L(i) > C(j).
 
Suponhamos, inicialmente, que todos os = estudantes=20 tenham a mesma idade (digamos r+12 anos).
Ent=E3o L(r) =3D S e L(i) =3D 0 para i = <>=20 r.
Como h=E1 pelo menos um estudante de = cada uma das 13=20 cidades, nem todos os estudantes v=EAm da mesma cidade. Assim, para todo = j, C(j)=20 < S =3D=3D> L(r) > C(j) e podemos escolher 9 pares (r,j) tais = que L(r) >=20 C(j).
 
Suponhamos, agora, que pelo menos dois = estudantes=20 t=EAm idades diferentes e que existam no m=E1ximo 8 pares ordenados = (i,j) tais=20 que L(i) > C(j).
 
Para cada (i,j) calculemos o valor = m=E1ximo de [L(i)=20 - C(j)].
Este valor m=E1ximo =E9 igual a S, e = ocorre justamente=20 quando:
1. todos os estudantes tiverem = idade (i+12)=20 (ou seja, L(i) =3D S);
E
2. nenhum estudante vier da cidade j = (ou seja, C(j)=20 =3D 0).
 
Agora, vamos calcular a soma de todos = os [L(i) -=20 C(j)] (1 <=3D i <=3D 5; 1 <=3D j <=3D 13).
  =20 5          =20 13            = ;            =       =20 5            =      =20 13
SOMA [ SOMA L(i) - C(j) ] =3D 13*SOMA = L(i) - 5*SOMA=20 C(j) =3D 13*S - 5*S =3D 8*S.
 i =3D = 1       j =3D=20 1            =             &= nbsp; =20 i =3D=20 1            =    j=20 =3D 1
 
A contribui=E7=E3o dos termos com L(i) = > C(j) =E9, no=20 m=E1ximo, igual a 8*S (no m=E1ximo 8 termos com valor m=E1ximo igual a = S).=20
De fato, a contribui=E7=E3o m=E1xima = =E9 estritamente menor=20 do que 8*S, uma vez que se todos os 8 termos [L(i) - C(j)] fossem iguais = a S,=20 ent=E3o, todos os estudantes teriam a mesma idade ( i seria o mesmo para = os 8=20 pares (i,j) ) o que contraria a nossa hip=F3tese de existirem pelo menos = dois=20 estudantes com idades distintas.
 
Para todos os demais termos do = somat=F3rio, teremos=20 L(i) <=3D C(j) =3D=3D> L(i) - C(j) <=3D 0 =3D=3D> = contribui=E7=E3o <=3D=20 0.
 
Isso quer dizer que:
  =20 5          =20 13            = ;            =    
SOMA [ SOMA L(i) - C(j) ] < = 8*S =20 =3D=3D>  contradi=E7=E3o.
 i =3D = 1       j =3D=20 1            =             <= /FONT>
 
Logo, existem pelo menos 9 pares = ordenados (i,j)=20 com L(i) > C(j).
 
***************
 
2=B0) Prove que tg(81)=B0 -tg(63=B0) = +tg(9=B0) -tg(27=B0) =3D=20 4
 
N=E3o consegui achar nenhuma forma = "n=E3o-bra=E7al" de se=20 provar isso.
O melhor que eu consegui = foi expressar estes =E2ngulos em termos do =E2ngulo de 45 graus, = cuja tangente =E9=20 1, o que facilita a =E1lgebra.
Temos que: 81 =3D 45 + 36, 63 =3D 45 + = 18, 27 =3D 45 - 18=20 e 9 =3D 45 - 36, e os =E2ngulos de 18 e 36 graus tamb=E9m n=E3o s=E3o = muito "ruins", uma=20 vez que 18 =3D 90/5 e 36 =3D 180/5 =3D=3D> pode-se calcular o valor = dos senos e=20 cossenos desses =E2ngulos usando nos. complexos ou a geometria do = pent=E1gono e do=20 dec=E1gono regular, por exemplo.
 
No caso dos nos. complexos, podemos = calcular o=20 valor de [cos(x) + i*sen(x)]^5 de = duas formas -=20 expandindo o bin=F4mio e usando a f=F3rmula de DeMoivre. Igualando os = resultados=20 obtidos e fazendo algumas simplifica=E7=F5es, obtemos:
cos(5x) =3D 16*cos^5(x) - 20*cos^3(x) + = 5*cos(x)
sen(5x) =3D 16*sin^5(x) - 20*sin^3(x) + 5*sin(x)
 
Eventualmente, chega-se a:
tg(18) =3D sen(18)/cos(18) =3D = raiz[(5 -=20 2*raiz(5))/5] =3D A
tg(36) =3D sen(36)/cos(36) =3D raiz[5 - = 2*raiz(5)] =3D=20 raiz(5)*A
 
e, portanto:
tg(81) =3D tg(45+36) =3D = [1 + raiz(5)*A]/[1 - raiz(5)*A]
tg(63) =3D tg(45+18) =3D (1 + A)/(1 - = A)
tg(27) =3D tg(45-18) =3D (1 - A)/(1 + = A)
tg(9) =3D tg(45-36) =3D (1 - = raiz(5)*A)/(1 +=20 raiz(5)*A)
 
Depois, =E9 s=F3 somar e = simplificar...
 
***************
 
Um abra=E7o,
Claudio.
------=_NextPart_000_0035_01C2D744.6858E740-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 18 13:07:42 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA18965 for obm-l-MTTP; Tue, 18 Feb 2003 13:04:34 -0300 Received: from web20704.mail.yahoo.com (web20704.mail.yahoo.com [216.136.226.177]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id OAA18961 for ; Tue, 18 Feb 2003 14:04:30 -0200 Message-ID: <20030218160358.90789.qmail@web20704.mail.yahoo.com> Received: from [147.65.2.176] by web20704.mail.yahoo.com via HTTP; Tue, 18 Feb 2003 13:03:58 ART Date: Tue, 18 Feb 2003 13:03:58 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?okakamo=20kokobongo?= Subject: [obm-l] Oi Pessoal To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi pessoal, Tenho acompanhado a lista pelo site da obm à alguns dias e então resolvi entrar. Tenho um problema legal (gostaria da ajuda de um dos brilhantes participantes da lista, como: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet...): Seja a(1) = a; a(n+1) = a^a(n); Prove que: para qualquer a > 1 inteiro, os últimos 1000 dígitos da expansão decimal de a(n) ficam eventualmente constantes !!! Okakamo Kokobongo _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 18 10:42:46 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA14212 for obm-l-MTTP; Tue, 18 Feb 2003 10:40:12 -0300 Received: from paiol.terra.com.br (paiol.terra.com.br [200.176.3.18]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA14208 for ; Tue, 18 Feb 2003 11:40:08 -0200 Received: from itaim.terra.com.br (itaim.terra.com.br [200.176.3.76]) by paiol.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id DFCB07C4C1 for ; Tue, 18 Feb 2003 10:39:37 -0300 (BRT) Received: from nt (RJ231082.user.veloxzone.com.br [200.165.231.82]) (authenticated user ensr) by itaim.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 2AB942E0101 for ; Tue, 18 Feb 2003 10:39:37 -0300 (BRT) Message-ID: <003501c2d753$35e2ab20$5400a8c0@ensrbr> From: "Luis Lopes" To: References: <20030214175850.38538.qmail@web80407.mail.yahoo.com> <023f01c2d6b8$8f516d40$5400a8c0@ensrbr> <00b301c2d6cd$928dc700$3300c57d@bovespa.com> Subject: Re: [obm-l] um problema com: Q,T,C Date: Tue, 18 Feb 2003 10:39:49 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0032_01C2D73A.10279620" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: RO Content-Length: 5932 Lines: 168 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0032_01C2D73A.10279620 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Sauda,c~oes, N=E3o conhecia o artigo. Vou dar uma olhada. E podemos imaginar um outro problema: seja (i) o per=EDmetro do pol=EDgono regular de i lados com a mesma =E1rea. Somos ent=E3o levados a qual conjectura? Talvez o mesmo artigo trate disso tamb=E9m. []=B4s Lu=EDs -----Mensagem Original-----=20 De: Cl=E1udio (Pr=E1tica)=20 Para: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Enviada em: segunda-feira, 17 de fevereiro de 2003 18:43 Assunto: Re: [obm-l] um problema com: Q,T,C Tem um artigo razoavelmente elementar do Nicolau e do Gugu que trata = justamente disso - a desigualdade isoperim=E9trica. O ele pode ser encontrado aqui: = http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/publ.html Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Luis Lopes=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Monday, February 17, 2003 4:12 PM Subject: Re: [obm-l] um problema com: Q,T,C Sauda,c~oes, Seja [i] a =E1rea do pol=EDgono regular de i lados com o mesmo per=EDmetro. Somos ent=E3o levados a conjecturar que [3] < [4] < [5] < .... < [n] < ... < C. Prova? []=B4s Lu=EDs ------=_NextPart_000_0032_01C2D73A.10279620 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Sauda,c~oes,
 
N=E3o conhecia o artigo. Vou dar uma = olhada.
 
E podemos imaginar um outro problema: = seja
(i) o per=EDmetro do = pol=EDgono regular de i=20 lados
com a mesma =E1rea. Somos ent=E3o = levados a
qual conjectura? Talvez o mesmo artigo = trate
disso tamb=E9m.
 
[]=B4s
Lu=EDs
 
-----Mensagem Original-----
De: Cl=E1udio = (Pr=E1tica)
Enviada em: segunda-feira, 17 = de=20 fevereiro de 2003 18:43
Assunto: Re: [obm-l] um = problema com:=20 Q,T,C

Tem um artigo razoavelmente elementar = do Nicolau=20 e do Gugu que trata justamente disso - a desigualdade=20 isoperim=E9trica.
O ele pode ser encontrado aqui: = http://www.mat= .puc-rio.br/~nicolau/publ/publ.html
 
Um abra=E7o,
Claudio.
----- Original Message -----
From:=20 Luis=20 Lopes
Sent: Monday, February 17, = 2003 4:12=20 PM
Subject: Re: [obm-l] um = problema com:=20 Q,T,C

Sauda,c~oes,
 
Seja [i] a =E1rea do pol=EDgono regular de i=20 lados
com o mesmo per=EDmetro. Somos ent=E3o = levados
a conjecturar que
[3] < [4] < [5] < .... < [n] < = ... <=20 C.
 
Prova?
 
[]=B4s
Lu=EDs
 
------=_NextPart_000_0032_01C2D73A.10279620-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 18 12:10:36 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA17178 for obm-l-MTTP; Tue, 18 Feb 2003 12:06:10 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA17173 for ; Tue, 18 Feb 2003 13:06:07 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1IF4CB23902 for ; Tue, 18 Feb 2003 12:04:13 -0300 Message-ID: <006101c2d767$f5d86c80$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <7b.a5183b3.2b81bc91@aol.com> Subject: [obm-l] 3 Problemas Date: Tue, 18 Feb 2003 13:08:20 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_005E_01C2D74E.CF6DDDA0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: RO Content-Length: 15345 Lines: 422 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_005E_01C2D74E.CF6DDDA0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable 1)O produto de 2001 inteiros positivos distintos possui exatamente 2000 = divisores primos distintos. Mostre que podemos escolher alguns destes = 2001 n=FAmeros de modo que seu produto seja um quadrado perfeito. Cada um dos 2001 inteiros pode ser escrito da seguinte forma: N =3D P1^X1 * P2^X2 * ... * P2000^X2000, onde os Pi's s=E3o primos = distintos e os Xi's inteiros n=E3o negativos. N =E9 quadrado perfeito <=3D=3D> cada Xi =E9 par Podemos representar cada um dos 2001 inteiros por um vetor de 2000 = componentes, onde a i-=E9sima componente =E9 0 se Xi for par e 1 se Xi = for =EDmpar. Com esta representa=E7=E3o, multiplicar dois dos inteiros equivale a = somar os dois vetores correspondentes (mod 2) (ou seja, 0 + 0 =3D 1 + 1 =3D 0 e 1 + 0 =3D 0 + 1 =3D 1). Consideremos os seguintes casos: CASO 1: Algum dos 2001 vetores =E9 o vetor nulo (todas as componentes =3D 0) = =3D=3D>=20 o N correspondente =E9 quadrado perfeito =3D=3D>=20 o problema est=E1 resolvido. CASO 2: Nenhum dos 2001 vetores =E9 o vetor nulo, mas existem dois vetores = iguais =3D=3D>=20 a soma destes dois vetores =E9 o vetor nulo =3D=3D> o produto dos dois inteiros correspondentes =E9 quadrado perfeito = =3D=3D> o problema est=E1 resolvido CASO 3: Nenhum dos 2001 vetores =E9 o vetor nulo e os vetores s=E3o distintos = dois a dois. Nesse caso, o n=FAmero de subconjuntos n=E3o-vazios do conjunto de 2001 = vetores =E9 igual a 2^2001 - 1. Como cada vetor tem 2000 componentes e cada componente pode ser 0 ou 1, = o n=FAmero total de vetores distintos =E9 igual a 2^2000 < 2^2001 - 1. Logo, pelo princ=EDpio das gavetas, devem existir dois subconjuntos = distintos de vetores tais que a soma de seus elementos (mod 2) =E9 a = mesma. Suponhamos que os subconjuntos sejam: {U1, U2, ..., Ur, V1, V2, ..., Vs} e {U1, U2, ..., Ur, W1, W2, ..., = Wt}', onde os cada Vi =E9 diferente de cada Wj. Somas iguais (mod 2) =3D=3D> U1 + ... + Ur + V1 + ... + Vs =3D U1 + ... + Ur + W1 + ... + Wt (mod 2) = =3D=3D> V1 + ... + Vs =3D W1 + ... + Wt (mod 2) =3D=3D> V1 + ... + Vs + W1 + ... + Ws =3D 0 (mod 2) =3D=3D> o produto dos (s+t) inteiros correspondentes aos Vi's e aos Wj's =E9 = quadrado perfeito =3D=3D> o problema est=E1 resolvido. *************** 2)Determine n pertencente aos naturais tais que n^2+2 divida 2+2001n. Inicialmente, temos que: n^2 + 2 <=3D 2 + 2001n =3D=3D>=20 n^2 - 2001n <=3D 0 =3D=3D>=20 0 <=3D n <=3D 2001. n =3D 1 ou 2 (mod 3) =3D=3D>=20 n^2 + 2 =3D 0 (mod 3) e 2 + 2001n =3D 2 (mod 3) =3D=3D>=20 3 divide n^2 + 2 e 3 n=E3o divide 2 + 2001n =3D=3D>=20 n^2 + 2 n=E3o divide 2 + 2001n =3D=3D> n =3D 0 (mod 3) (necessariamente) =3D=3D>=20 n =3D 3m com m natural e 1 <=3D m <=3D 667 n^2 + 2 divide 2 + 2001n =3D=3D> n^2 + 2 divide (2 + 2001n) - (n^2 + 2) =3D=3D> n^2 + 2 divide n(2001 - n) n =3D 3m =3D=3D> 9m^2 + 2 divide 3m(2001 - 3m) =3D=3D> 9m^2 + 2 divide 9m(667 - m) MDC(9m^2 + 2,9) =3D MDC(2,9) =3D 1 =3D=3D> 9m^2 + 2 divide m(667 - m) CASO 1: m =E9 par =3D=3D>=20 m =3D 2p (1 <=3D p <=3D 333) =3D=3D> 36p^2 + 2 divide 2p(667 - 2p) =3D=3D> 18p^2 + 1 divide p(667 - 2p) MDC(18p^2 + 1,p) =3D MDC(1,p) =3D 1 =3D=3D> 18p^2 + 1 divide (667 - 2p) =3D=3D> 18p^2 + 1 <=3D 667 - 2p =3D=3D> 18p^2 + 2p - 666 <=3D 0 =3D=3D> 9p^2 + p - 333 <=3D 0 =3D=3D> 1 <=3D p <=3D 6 Testando estes 6 valores poss=EDveis de p, achamos que apenas p =3D 1 = satisfaz a condi=E7=E3o de divisibilidade =3D=3D> m =3D 2 =3D=3D> n =3D 6 ------------------------------ CASO 2: m =E9 =EDmpar =3D=3D> m =3D 2p+1 (1 <=3D p <=3D 333) =3D=3D> 36p(p + 1) + 11 divide (2p+1)(667 - 2p - 1) =3D=3D> 36p(p + 1) + 11 divide 2(2p + 1)(333 - p) 36p(p + 1) + 11 =E9 =EDmpar =3D=3D> 36p(p + 1) + 11 divide (2p + 1)(333 - p) =3D=3D> p =3D 333 ou 36p(p + 1) + 11 <=3D (2p + 1)(333 - p) =3D=3D> p =3D 333 ou 38p^2 - 297p - 322 <=3D 0 =3D=3D> p =3D 333 ou 1 <=3D p <=3D 8 p =3D 333 =3D=3D> m =3D 667 =3D=3D> n =3D 2001 Testando os outros 8 valores poss=EDveis de p, achamos que apenas p =3D = 1 satisfaz a condi=E7=E3o de divisibilidade =3D=3D> m =3D 3 =3D=3D> n =3D 9 Assim, os =FAnicos naturais n tais que n^2 + 2 divide 2 + 2001n s=E3o 6, = 9 e 2001. OBS: Se 0 for considerado natural, ent=E3o claramente n =3D 0 tamb=E9m = =E9 solu=E7=E3o. **************** 3)Para os inteiros positivos x e y =E9 verdadeira a igualdade 3x^2 + = x=3D 4y^2+y. Mostre que x-y =E9 um quadrado perfeito. Inicialmente, temos que x > y, pois se x <=3D y, ent=E3o 3x^2 + x <=3D = 3y^2 + y < 4y^2 + y =3D=3D> contradi=E7=E3o Suponhamos que MDC(x,y) =3D d. Ent=E3o: x =3D a*d e y =3D b*d com MDC(a,b) =3D 1 Como x > y, temos que a > b =3D=3D> (a - b) <> 0 3a^2d^2 + ad =3D 4b^2d^2 + bd =3D=3D> 3a^2d + a =3D 4b^2d + b =3D=3D> 3a^2d - 3b^2d + a - b =3D b^2d =3D=3D> 3d(a - b)(a + b) + (a - b) =3D b^2d =3D=3D> (a - b)[3d(a + b) + 1] =3D b^2d =3D=3D> (a - b) divide b^2d Mas MDC(a - b,b^2) =3D 1 =3D=3D>=20 (a - b) divide d =3D=3D>=20 d =3D k(a - b) =3D=3D> (a - b)[3k(a - b)(a + b) + 1] =3D b^2k(a - b) =3D=3D> 3k(a^2 - b^2) + 1 =3D b^2k =3D=3D> k(4b^2 - 3a^2) =3D 1 =3D=3D> k divide 1 =3D=3D> k =3D 1 =3D=3D> d =3D a - b Mas nesse caso: x =3D da =3D (a - b)a =3D a^2 - ab y =3D db =3D (a - b)b =3D ab - b^2 Assim: x - y =3D a^2 - 2ab + b^2 =3D (a - b)^2 =3D=3D> quadrado perfeito. ******************* Um abra=E7o, Claudio. ------=_NextPart_000_005E_01C2D74E.CF6DDDA0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
1)O produto de 2001 inteiros = positivos=20 distintos possui exatamente 2000 divisores primos distintos. Mostre que = podemos=20 escolher alguns destes 2001 n=FAmeros de modo que seu produto seja um = quadrado=20 perfeito.
 
Cada um dos 2001 inteiros pode ser = escrito da=20 seguinte forma:
N =3D P1^X1 * P2^X2 * ... * = P2000^X2000, onde os=20 Pi's s=E3o primos distintos e os Xi's inteiros n=E3o = negativos.
 
N =E9 quadrado perfeito <=3D=3D> = cada Xi =E9=20 par
 
Podemos representar cada um dos 2001 = inteiros por=20 um vetor de 2000 componentes, onde a i-=E9sima componente =E9 0 se Xi = for par e 1 se=20 Xi for =EDmpar.
 
Com esta = representa=E7=E3o, multiplicar dois dos=20 inteiros equivale a somar os dois vetores correspondentes (mod = 2)
(ou seja, 0 + 0 =3D 1 + 1 =3D 0  = e  1 + 0 =3D 0=20 + 1 =3D 1).
 
Consideremos os seguintes = casos:
CASO 1:
Algum dos 2001 vetores =E9 o vetor nulo = (todas as=20 componentes =3D 0) =3D=3D>
o N correspondente =E9 quadrado = perfeito =3D=3D>=20
o problema est=E1 = resolvido.
 
CASO 2:
Nenhum dos 2001 vetores =E9 o vetor = nulo, mas existem=20 dois vetores iguais =3D=3D>
a soma destes dois vetores =E9 o vetor = nulo=20 =3D=3D>
o produto dos dois inteiros = correspondentes =E9=20 quadrado perfeito =3D=3D>
o problema est=E1 = resolvido
 
CASO 3:
Nenhum dos 2001 vetores =E9 o vetor = nulo e os vetores=20 s=E3o distintos dois a dois.
 
Nesse caso, o n=FAmero de subconjuntos = n=E3o-vazios do=20 conjunto de 2001 vetores =E9 igual a 2^2001 - 1.
Como cada vetor tem 2000 componentes e cada componente pode ser 0 = ou 1, o=20 n=FAmero total de vetores distintos =E9 igual a 2^2000 < 2^2001 - = 1.
 
Logo, pelo princ=EDpio das gavetas, devem existir dois subconjuntos = distintos=20 de vetores tais que a soma de seus elementos (mod 2) =E9 a mesma.
 
Suponhamos que os subconjuntos sejam:
{U1, U2, ..., Ur, V1, V2, ..., Vs}  e  {U1, U2, ..., Ur, = W1, W2,=20 ..., Wt}',
onde os cada Vi =E9 diferente de cada Wj.
 
Somas iguais (mod 2) =3D=3D>
U1 + ... + Ur + V1 + ... + Vs =3D U1 + ... + Ur + W1 + ... + Wt = (mod 2)=20 =3D=3D>
V1 + ... + Vs =3D W1 + ... + Wt  (mod 2) =3D=3D>
V1 + ... + Vs + W1 + ... + Ws =3D 0  (mod 2) =3D=3D>
o produto dos (s+t) inteiros correspondentes aos Vi's e aos Wj's = =E9 quadrado=20 perfeito =3D=3D>
o problema est=E1 resolvido.
 
***************

2)Determine n pertencente aos naturais tais que n^2+2 divida=20 2+2001n.
 
Inicialmente, temos que: n^2 + 2 <=3D 2 + 2001n =3D=3D> =
n^2 - 2001n <=3D 0 =3D=3D>
0 <=3D n <=3D 2001.
 
n =3D 1 ou 2 (mod 3) =3D=3D>
n^2 + 2 =3D 0 (mod 3)  e  2 + 2001n =3D 2 (mod = 3)  =3D=3D>=20
3 divide n^2 + 2  e  3 n=E3o divide 2 + 2001n =3D=3D> =
n^2 + 2 n=E3o divide 2 + 2001n =3D=3D>
n =3D 0 (mod 3) (necessariamente) =3D=3D>
n =3D 3m com m natural e 1 <=3D m <=3D 667
 
n^2 + 2 divide 2 + 2001n =3D=3D>
n^2 + 2 divide (2 + 2001n) - (n^2 + 2) =3D=3D>
n^2 + 2 divide n(2001 - n)
 
n =3D 3m =3D=3D>
9m^2 + 2 divide 3m(2001 - 3m)  =3D=3D>
9m^2 + 2 divide 9m(667 - m)
 
MDC(9m^2 + 2,9) =3D MDC(2,9) =3D 1 =3D=3D>
9m^2 + 2 divide m(667 - m)
 
CASO 1: m =E9 par =3D=3D>
m =3D 2p (1 <=3D p <=3D 333) =3D=3D>
36p^2 + 2 divide 2p(667 - 2p) =3D=3D>
18p^2 + 1 divide p(667 - 2p)
 
MDC(18p^2 + 1,p) =3D MDC(1,p) =3D 1 =3D=3D>
18p^2 + 1 divide (667 - 2p) =3D=3D>
18p^2 + 1 <=3D 667 - 2p =3D=3D>
18p^2 + 2p - 666 <=3D 0 =3D=3D>
9p^2 + p - 333 <=3D 0 =3D=3D>
1 <=3D p <=3D 6
 
Testando estes 6 valores poss=EDveis de p, achamos que apenas p =3D = 1 satisfaz=20 a condi=E7=E3o de divisibilidade =3D=3D>
m =3D 2 =3D=3D> n =3D 6
 
------------------------------
 
CASO 2: m =E9 =EDmpar =3D=3D>
m =3D 2p+1 (1 <=3D p <=3D 333) =3D=3D>
36p(p + 1) + 11 divide (2p+1)(667 - 2p - 1) =3D=3D>
36p(p + 1) + 11 divide 2(2p + 1)(333 - p)
 
36p(p + 1) + 11 =E9 =EDmpar =3D=3D>
36p(p + 1) + 11 divide (2p + 1)(333 - p) =3D=3D>
p =3D 333   ou   36p(p + 1) + 11 <=3D (2p + = 1)(333 -=20 p)  =3D=3D>
p =3D 333   ou   38p^2 - 297p - 322 <=3D = 0 =20 =3D=3D>
p =3D 333   ou   1 <=3D p <=3D 8
 
p =3D 333 =3D=3D> m =3D 667 =3D=3D> n =3D 2001
 
Testando os outros 8 valores poss=EDveis de p, achamos que = apenas p =3D 1=20 satisfaz a condi=E7=E3o de divisibilidade =3D=3D>
m =3D 3 =3D=3D> n =3D 9
 
Assim, os =FAnicos naturais n tais que n^2 + 2 divide 2 + 2001n = s=E3o 6, 9 e=20 2001.
 
OBS: Se 0 for considerado natural, ent=E3o claramente n =3D 0 = tamb=E9m =E9=20 solu=E7=E3o.
 
 
****************
 
3)Para os inteiros positivos x e y =E9 verdadeira a igualdade 3x^2 = + x=3D=20 4y^2+y. Mostre que x-y =E9 um quadrado perfeito.
 
Inicialmente, temos que x > y, pois se x <=3D y, ent=E3o 3x^2 = + x <=3D=20 3y^2 + y < 4y^2 + y =3D=3D> contradi=E7=E3o
 
Suponhamos que MDC(x,y) =3D d.
Ent=E3o: x =3D a*d  e  y =3D b*d  com MDC(a,b) = =3D 1
 
Como x > y, temos que a > b =3D=3D> (a - b) <> = 0
 
3a^2d^2 + ad =3D 4b^2d^2 + bd  =3D=3D>
3a^2d + a =3D 4b^2d + b =3D=3D>
3a^2d - 3b^2d + a - b =3D b^2d =3D=3D>
3d(a - b)(a + b) + (a - b) =3D b^2d =3D=3D>
(a - b)[3d(a + b) + 1] =3D b^2d =3D=3D>
(a - b) divide b^2d
 
Mas MDC(a - b,b^2) =3D 1 =3D=3D>
(a - b) divide d =3D=3D>
d =3D k(a - b) =3D=3D>
(a - b)[3k(a - b)(a + b) + 1] =3D b^2k(a - b) =3D=3D>
3k(a^2 - b^2) + 1 =3D b^2k  =3D=3D>
k(4b^2 - 3a^2) =3D 1 =3D=3D>
k divide 1 =3D=3D>
k =3D 1 =3D=3D>
d =3D a - b
 
Mas nesse caso:
x =3D da =3D (a - b)a =3D a^2 - ab
y =3D db =3D (a - b)b =3D ab - b^2
 
Assim:
x - y =3D a^2 - 2ab + b^2 =3D (a - b)^2 =3D=3D> quadrado = perfeito.
 
*******************
 
Um abra=E7o,
Claudio.
------=_NextPart_000_005E_01C2D74E.CF6DDDA0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 18 12:27:30 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA17588 for obm-l-MTTP; Tue, 18 Feb 2003 12:24:06 -0300 Received: from web40902.mail.yahoo.com (web40902.mail.yahoo.com [66.218.78.199]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id NAA17582 for ; Tue, 18 Feb 2003 13:24:02 -0200 Message-ID: <20030218152331.72724.qmail@web40902.mail.yahoo.com> Received: from [147.65.5.201] by web40902.mail.yahoo.com via HTTP; Tue, 18 Feb 2003 12:23:31 ART Date: Tue, 18 Feb 2003 12:23:31 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Bruno=20Lima?= Subject: Re: [obm-l] polinômios III To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <1f0.214dd72.2b828a76@aol.com> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-1517460642-1045581811=:72122" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: RO Content-Length: 2099 Lines: 36 --0-1517460642-1045581811=:72122 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Tambem da pra fazer por derivada, usando o seguinte fato: Se r é uma raiz de multiplicidade 2 do polinômio P(x) então r é raiz de multiplicidade 1 do polinômio P'(x) (P' é o polinômio derivado de P em relação a x) Faelccmm@aol.com wrote: Olá pessoal, Como resolver esta questão: (MACK-SP) Na equação [(x^3 - x^2 + x - 1)^18] =0 A multiplicidade da raiz x=1 é : resp: 18 obs: Esta resposta é devido o expoente 18? E se fosse perguntado a multiplicidade de uma outra raiz diferente de x=1 ? --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-1517460642-1045581811=:72122 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

Tambem da pra fazer por derivada, usando o seguinte fato: Se r é uma raiz de multiplicidade 2 do polinômio P(x) então r é raiz de multiplicidade 1 do polinômio P'(x)  (P' é o polinômio derivado de P em relação a x)

 Faelccmm@aol.com wrote:



Olá pessoal,

Como resolver esta questão:

(MACK-SP) Na equação [(x^3 - x^2 + x - 1)^18] =0
A multiplicidade da raiz x=1 é :
resp: 18

obs: Esta resposta é devido o expoente 18? E se fosse perguntado a multiplicidade de uma outra raiz diferente de x=1 ?


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Nossa,apareceu em branco!!!!A desigualdade era maximizar a_1*a_2+a_2*a_3+a_3*a_4+.....+a_(n-1)*an+a_n*a_1 sabendo que a soma dos a's e zero.

 Cláudio_(Prática) <claudio@praticacorretora.com.br> wrote:

Qual desigualdade?
 
Aliás, você conseguiu resolver este aqui?
 

Tome reais positivos ou nulos a,b,c,d tais que

 ab+ac+ad+bc+bd+cd+abc+abd+acd+bcd=2.

Mostre que

3(a+b+c+d)>=4(ab+ac+ad+bc+bd+cd).

 

Um abraço,

Claudio.

----- Original Message -----
Sent: Monday, February 17, 2003 3:05 PM
Subject: [obm-l] Desigualdade estranhinha


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TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE

CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE

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De modo resumido,voce tem que provar que se o poligono e feio sua area e pequena.Sendo mais explicitos,o poligono deve ser o mais regular possivel.Se o poligono e concavo pode-se desfazer a concavidade.

 Luis Lopes <llopes@ensrbr.com.br> wrote:

Sauda,c~oes,
 
Não conhecia o artigo. Vou dar uma olhada.
 
E podemos imaginar um outro problema: seja
(i) o perímetro do polígono regular de i lados
com a mesma área. Somos então levados a
qual conjectura? Talvez o mesmo artigo trate
disso também.
 
[]´s
Luís
 
-----Mensagem Original-----
Enviada em: segunda-feira, 17 de fevereiro de 2003 18:43
Assunto: Re: [obm-l] um problema com: Q,T,C

Tem um artigo razoavelmente elementar do Nicolau e do Gugu que trata justamente disso - a desigualdade isoperimétrica.
O ele pode ser encontrado aqui: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/publ.html
 
Um abraço,
Claudio.
----- Original Message -----
From: Luis Lopes
Sent: Monday, February 17, 2003 4:12 PM
Subject: Re: [obm-l] um problema com: Q,T,C

Sauda,c~oes,
 
Seja [i] a área do polígono regular de i lados
com o mesmo perímetro. Somos então levados
a conjecturar que
[3] < [4] < [5] < .... < [n] < ... < C.
 
Prova?
 
[]´s
Luís
 


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Agora estou as voltas de inverter essa joça bendita.Como inverter e uma tarefa nao-trivial,to a beira da loucura extrema(quanta emoçao...)So pra nao esquecer:

O determinante é:

1^(2(n-1)) * 2^(2(n-2)) * ... * (n-1)^2/
(2^1 * 3^2 * ... * n^(n-1) * (n+1)^n *
(n+2)^(n-1) * ... * (2n-1)^2 * 2n

Uma demonstração boa está aqui

http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/97/hilbmat

 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2002@yahoo.com.br> wrote:

Acredito sim pois essa ideia nao e estranha.Quero ver o dia que provarem diretamente que um numero e primo sem provar que ele nao e composto.Ah,o k e 1 o Saldanha acabou de mostrar isso.

 Cláudio_(Prática) <claudio@praticacorretora.com.br> wrote:

Caro JP:
 
Não tenho a solução ainda, mas acho que uma idéia que pode funcionar é olhar para det(A) como sendo uma função racional dos i's e dos j's (tomados como variáveis - como os x's num polinômio).
Para evitar confusão, podemos considerar a matriz nxn B, tal que B(i,j) = 1/(X(i) + Y(j)).
Assim, det(B) será uma função racional nas 2n variáveis X(i), Y(j)  (1 <= i,j <= n)
 
Após calcular det(B) e reduzi-lo um denominador comum, podemos tentar provar que:
1) O denominador de det(B) será igual ao produto dos n^2 termos da forma [X(i) + Y(j)] = 1/B(i,j) ==>
grau(denominador) = n^2;
 
2) O numerador de det(B) será divisível por [X(j) - X(i)] e [Y(j) - Y(i)], para todo i e j com 1 <= i < j <= n.
 
A afirmativa (2) terá levado em conta um fator do numerador de grau n^2 - n.
 
Entretanto, det(B) é igual à soma algébrica de n! termos cujos denominadores têm grau n. Logo grau(det(B)) = -n.
Assim:
grau(det(B)) = grau(numerador) - grau(denominador)  ==>
 -n = grau(numerador) - n^2  ==>
grau(numerador) = n^2 - n  ==>
 
numerador = K * PRODUTÓRIO [X(j) - X(i)]*[Y(j) - Y(i)]
                         1 <= i < j <= n
onde K é uma constante.
 
Agora, resta provar que K = 1. Acho que pode sair da mesma forma que no determinante de Vandermonde.
 
Vou pensar um pouco mais.
 
Bom fim de semana e um abraço,
Claudio.
 
PS: Aquela solução do x^2+x+p é primo foi um golpe duro....você acreditaria se eu dissesse que eu tinha justamente acabado de pensar nela? Eu não.....
 
----- Original Message -----
Sent: Friday, February 14, 2003 3:01 PM
Subject: [obm-l] Matriz Harmonica(e esse onome?)

Turma,ces sabem calcular o determinante de uma matriz n*n onde a(i;j)*(i+j)=1 sempre?Pelo que eu saiba deve ter isso na lista mas de qualquer caso...


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O elemento (j,i) (note a invers=E3o dos =EDndices) de adj(A) =E9 igual a = (-1)^(i+j)*detM(i,j), onde M(i,j) =3D matriz (n-1)x(n-1) obtida de A = pela elimina=E7=E3o da i-=E9sima linha e da j-=E9sima coluna. Pra calcular detM(i,j), use o mesmo truque: considere o caso mais geral = de m(i,j) =3D 1/(X(i) + Y(j)). Parece ser mais bra=E7al do que realmente =E9: Lembre-se que det(A) =3D Num/Den, onde: Num =3D PRODUT=D3RIO [X(j) - X(i)]*[Y(j) - Y(i)] (grau =3D n^2 - n) 1 <=3D i < j <=3D n e Den =3D PRODUT=D3RIO [X(i) + Y(j)] (grau =3D n^2) 1 <=3D i <=3D n 1 <=3D j <=3D n Pra calcular detM(r,s) voc=EA s=F3 precisa eliminar das f=F3rmulas acima = os termos envolvendo i =3D r e j =3D s, o que ir=E1 resultar num = Numerador de grau (n-1)^2 - (n-1) =3D n^2 - 3n + 2 e num Denominador de = grau (n-1)^2 Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Tuesday, February 18, 2003 1:36 PM Subject: [obm-l] Matriz de Hilbert Agora estou as voltas de inverter essa jo=E7a bendita.Como inverter e = uma tarefa nao-trivial,to a beira da loucura extrema(quanta = emo=E7ao...)So pra nao esquecer:=20 O determinante =E9: 1^(2(n-1)) * 2^(2(n-2)) * ... * (n-1)^2/ (2^1 * 3^2 * ... * n^(n-1) * (n+1)^n *=20 (n+2)^(n-1) * ... * (2n-1)^2 * 2n Uma demonstra=E7=E3o boa est=E1 aqui http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/97/hilbmat Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet = wrote:=20 Acredito sim pois essa ideia nao e estranha.Quero ver o dia que = provarem diretamente que um numero e primo sem provar que ele nao e = composto.Ah,o k e 1 o Saldanha acabou de mostrar isso.=20 Cl=E1udio_(Pr=E1tica) wrote:=20 Caro JP: N=E3o tenho a solu=E7=E3o ainda, mas acho que uma id=E9ia que pode = funcionar =E9 olhar para det(A) como sendo uma fun=E7=E3o racional dos = i's e dos j's (tomados como vari=E1veis - como os x's num polin=F4mio).=20 Para evitar confus=E3o, podemos considerar a matriz nxn B, tal que = B(i,j) =3D 1/(X(i) + Y(j)).=20 Assim, det(B) ser=E1 uma fun=E7=E3o racional nas 2n vari=E1veis = X(i), Y(j) (1 <=3D i,j <=3D n) Ap=F3s calcular det(B) e reduzi-lo um denominador comum, podemos = tentar provar que: 1) O denominador de det(B) ser=E1 igual ao produto dos n^2 termos = da forma [X(i) + Y(j)] =3D 1/B(i,j) =3D=3D>=20 grau(denominador) =3D n^2; 2) O numerador de det(B) ser=E1 divis=EDvel por [X(j) - X(i)] e = [Y(j) - Y(i)], para todo i e j com 1 <=3D i < j <=3D n. A afirmativa (2) ter=E1 levado em conta um fator do numerador de = grau n^2 - n. Entretanto, det(B) =E9 igual =E0 soma alg=E9brica de n! termos = cujos denominadores t=EAm grau n. Logo grau(det(B)) =3D -n. Assim: grau(det(B)) =3D grau(numerador) - grau(denominador) =3D=3D> -n =3D grau(numerador) - n^2 =3D=3D> grau(numerador) =3D n^2 - n =3D=3D> numerador =3D K * PRODUT=D3RIO [X(j) - X(i)]*[Y(j) - Y(i)] 1 <=3D i < j <=3D n onde K =E9 uma constante. Agora, resta provar que K =3D 1. Acho que pode sair da mesma forma = que no determinante de Vandermonde. Vou pensar um pouco mais. Bom fim de semana e um abra=E7o, Claudio. PS: Aquela solu=E7=E3o do x^2+x+p =E9 primo foi um golpe = duro....voc=EA acreditaria se eu dissesse que eu tinha justamente = acabado de pensar nela? Eu n=E3o..... ----- Original Message -----=20 From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Friday, February 14, 2003 3:01 PM Subject: [obm-l] Matriz Harmonica(e esse onome?) Turma,ces sabem calcular o determinante de uma matriz n*n onde = a(i;j)*(i+j)=3D1 sempre?Pelo que eu saiba deve ter isso na lista mas de = qualquer caso...=20 ------------------------------------------------------------------------ Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA = pensar o Yahoo! encontra. -------------------------------------------------------------------------= --- Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar = o Yahoo! encontra. -------------------------------------------------------------------------= ----- Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o = Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_00C4_01C2D768.C169C420 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Tente usar: A^(-1) =3D (1/detA) * = adj(A), onde adj(A)=20 =E9 a matriz adjunta cl=E1ssica de A (a transposta da matriz dos=20 cofatores).
 
O elemento (j,i) (note a invers=E3o dos = =EDndices) de adj(A) =E9 igual a (-1)^(i+j)*detM(i,j), onde M(i,j) = =3D matriz=20 (n-1)x(n-1) obtida de A pela elimina=E7=E3o da i-=E9sima linha e da = j-=E9sima=20 coluna.
 
Pra calcular detM(i,j), use o mesmo = truque:=20 considere o caso mais geral de m(i,j) =3D 1/(X(i) + Y(j)).
 
Parece ser mais bra=E7al do que = realmente=20 =E9:
 
Lembre-se que det(A) =3D Num/Den, = onde:
 
Num =3D PRODUT=D3RIO [X(j) - = X(i)]*[Y(j) -=20 Y(i)]    (grau =3D n^2 - n)
          1 = <=3D i=20 < j <=3D n
e
 
Den =3D PRODUT=D3RIO [X(i) + Y(j)]     = (grau =3D n^2)
          1 = <=3D=20 i <=3D n
          1 = <=3D j <=3D=20 n
 
Pra calcular detM(r,s) voc=EA s=F3 precisa eliminar das f=F3rmulas = acima os=20 termos envolvendo i =3D r e j =3D s, o que ir=E1 resultar num Numerador = de grau=20 (n-1)^2 - (n-1) =3D n^2 - 3n + 2 e num Denominador de grau = (n-1)^2
 
Um abra=E7o,
Claudio.
----- Original Message -----
From:=20 Johann Peter Gustav = Lejeune=20 Dirichlet
Sent: Tuesday, February 18, = 2003 1:36=20 PM
Subject: [obm-l] Matriz de = Hilbert

Agora estou as voltas de inverter essa jo=E7a bendita.Como inverter = e uma=20 tarefa nao-trivial,to a beira da loucura extrema(quanta emo=E7ao...)So = pra nao=20 esquecer:=20

O determinante =E9:

1^(2(n-1)) * 2^(2(n-2)) * = ... *=20 (n-1)^2/
(2^1 * 3^2 * ... * n^(n-1) * (n+1)^n *
(n+2)^(n-1) * = ... *=20 (2n-1)^2 * 2n

Uma demonstra=E7=E3o boa est=E1 = aqui

http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/97/hilbmat<= BR>

 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet=20 <peterdirichlet2002@yahoo.com.br> wrote:=20

Acredito sim pois essa ideia nao e estranha.Quero ver o dia que = provarem=20 diretamente que um numero e primo sem provar que ele nao e = composto.Ah,o k e=20 1 o Saldanha acabou de mostrar isso.=20

 Cl=E1udio_(Pr=E1tica)=20 <claudio@praticacorretora.com.br> wrote:=20

Caro JP:
 
N=E3o tenho a solu=E7=E3o ainda, = mas acho que=20 uma id=E9ia que pode funcionar = =E9 olhar para=20 det(A) como sendo uma fun=E7=E3o racional dos i's e dos j's = (tomados como=20 vari=E1veis - como os x's num polin=F4mio).
Para evitar confus=E3o, podemos = considerar a=20 matriz nxn B, tal que B(i,j) =3D 1/(X(i) + Y(j)).
Assim, det(B) ser=E1 uma = fun=E7=E3o racional nas 2n=20 vari=E1veis X(i), Y(j)  (1 <=3D i,j <=3D = n)
 
Ap=F3s calcular det(B) e = reduzi-lo um=20 denominador comum, podemos tentar provar que:
1) O denominador de det(B) ser=E1 = igual ao=20 produto dos n^2 termos da forma [X(i) + Y(j)] =3D 1/B(i,j) = =3D=3D>=20
grau(denominador) =3D = n^2;
 
2) O numerador de det(B) ser=E1 = divis=EDvel=20 por [X(j) - X(i)] e [Y(j) - Y(i)], para todo i e j com 1 = <=3D i=20 < j <=3D n.
 
A afirmativa (2) ter=E1 = levado em conta um=20 fator do numerador de grau n^2 - n.
 
Entretanto, det(B) =E9 igual = =E0 soma=20 alg=E9brica de n! termos cujos denominadores t=EAm grau n. Logo = grau(det(B)) =3D=20 -n.
Assim:
grau(det(B)) =3D grau(numerador) = -=20 grau(denominador)  =3D=3D>
 -n =3D grau(numerador) - = n^2=20  =3D=3D>
grau(numerador) =3D n^2 - n  = =3D=3D>
 
numerador =3D K * PRODUT=D3RIO = [X(j) -=20 X(i)]*[Y(j) - Y(i)]
          &nbs= p;            = ; =20 1 <=3D i < j <=3D n
onde K =E9 uma = constante.
 
Agora, resta provar que K =3D 1. = Acho que pode=20 sair da mesma forma que no determinante de = Vandermonde.
 
Vou pensar um pouco = mais.
 
Bom fim de semana e um = abra=E7o,
Claudio.
 
PS: Aquela solu=E7=E3o do x^2+x+p = =E9 primo foi um=20 golpe duro....voc=EA acreditaria se eu dissesse que eu tinha = justamente=20 acabado de pensar nela? Eu n=E3o.....
 
----- Original Message ----- =
From:=20 Johann Peter = Gustav=20 Lejeune Dirichlet
Sent: Friday, February = 14, 2003=20 3:01 PM
Subject: [obm-l] Matriz = Harmonica(e=20 esse onome?)

Turma,ces = sabem calcular o=20 determinante de uma matriz n*n onde a(i;j)*(i+j)=3D1 sempre?Pelo = que eu=20 saiba deve ter isso na lista mas de qualquer caso...=20


Busca Yahoo! =
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O = servi=E7o de=20 busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o Yahoo!=20 encontra. ------=_NextPart_000_00C4_01C2D768.C169C420-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 18 15:39:49 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA25461 for obm-l-MTTP; Tue, 18 Feb 2003 15:38:10 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA25457 for ; Tue, 18 Feb 2003 16:38:06 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.224]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1IIaC404876 for ; Tue, 18 Feb 2003 15:36:12 -0300 Message-ID: <00f601c2d785$943ad120$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030214175850.38538.qmail@web80407.mail.yahoo.com> <023f01c2d6b8$8f516d40$5400a8c0@ensrbr> <00b301c2d6cd$928dc700$3300c57d@bovespa.com> <003501c2d753$35e2ab20$5400a8c0@ensrbr> Subject: Re: [obm-l] um problema com: Q,T,C Date: Tue, 18 Feb 2003 16:40:22 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_00F3_01C2D76C.6E1365C0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: RO Content-Length: 11987 Lines: 318 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_00F3_01C2D76C.6E1365C0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Seria a conjectura dual, certo? A conjectura (de fato, teorema) original =E9: Se dois pol=EDgonos regulares t=EAm o mesmo per=EDmetro, ent=E3o aquele = com o maior n=FAmero de lados tem a maior =E1rea. Da mesma forma, podemos conjecturar: Se dois pol=EDgonos regulares t=EAm a mesma =E1rea, ent=E3o aquele com o = maior n=FAmero de lados tem o menor per=EDmetro. LEMA: Para 0 < x < Pi/2, temos: sen(x) < x*sec(x). DEM: F(x) =3D x*sec(x) - sen(x) =3D x/cos(x) - sen(x) =3D [x - = sen(x)*cos(x)]/cos(x) =3D [2x - 2*sen(x)*cos(x)]/[2*cos(x)] =3D [2x - sen(2x)]/{2*cos(x)] Mas para x em (0,Pi/2), temos sen(2x) < 2x e cos(x) > 0. Logo F(x) > 0. ************* Sejam "L" e "a" o lado e o ap=F3tema, respectivamente, do pol=EDgono = regular de n lados. Teremos: L/(2a) =3D tg(Pi/n) =3D=3D> a =3D (L/2)*ctg(Pi/n) =C1rea do Pol=EDgono =3D A =3D n*(1/2)*L*a =3D n*(1/2)*L*(L/2)*ctg(Pi/n) = =3D n*(L^2/4)*ctg(Pi/n) Per=EDmetro =3D P =3D n*L=20 Logo, P^2 =3D 4*A*n*tg(Pi/n) dP^2 / dn =3D 4*A*[ tg(Pi/n) - (Pi/n)*sec^2(Pi/n) ] =3D=20 4*A*sec(Pi/n)*[ sen(Pi/n) - (Pi/n)*sec(Pi/n) ] < 0, pelo lema, com x =3D = Pi/n (dado que n >=3D 3). Logo, com A constante, P^2 (e, portanto, P) =E9 uma fun=E7=E3o = decrescente de n, ou seja: Se dois pol=EDgonos regulares t=EAm a mesma =E1rea, ent=E3o aquele com o = maior n=FAmero de lados tem o menor per=EDmetro PERGUNTA: Valem os dois resultados acima com "convexos" no lugar de = "regulares" ? Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Luis Lopes=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Tuesday, February 18, 2003 10:39 AM Subject: Re: [obm-l] um problema com: Q,T,C Sauda,c~oes, N=E3o conhecia o artigo. Vou dar uma olhada. E podemos imaginar um outro problema: seja (i) o per=EDmetro do pol=EDgono regular de i lados=20 com a mesma =E1rea. Somos ent=E3o levados a qual conjectura? Talvez o mesmo artigo trate disso tamb=E9m. []=B4s Lu=EDs -----Mensagem Original-----=20 De: Cl=E1udio (Pr=E1tica)=20 Para: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Enviada em: segunda-feira, 17 de fevereiro de 2003 18:43 Assunto: Re: [obm-l] um problema com: Q,T,C Tem um artigo razoavelmente elementar do Nicolau e do Gugu que trata = justamente disso - a desigualdade isoperim=E9trica. O ele pode ser encontrado aqui: = http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/publ.html Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Luis Lopes=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Monday, February 17, 2003 4:12 PM Subject: Re: [obm-l] um problema com: Q,T,C Sauda,c~oes, Seja [i] a =E1rea do pol=EDgono regular de i lados com o mesmo per=EDmetro. Somos ent=E3o levados a conjecturar que [3] < [4] < [5] < .... < [n] < ... < C. Prova? []=B4s Lu=EDs ------=_NextPart_000_00F3_01C2D76C.6E1365C0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Seria a conjectura dual, = certo?
 
A conjectura (de fato, teorema) = original=20 =E9:
Se dois pol=EDgonos regulares t=EAm o = mesmo per=EDmetro,=20 ent=E3o aquele com o maior n=FAmero de lados tem a maior = =E1rea.
 
Da mesma forma, podemos = conjecturar:
Se dois pol=EDgonos regulares t=EAm a = mesma =E1rea, ent=E3o=20 aquele com o maior n=FAmero de lados tem o menor = per=EDmetro.
 
LEMA:
Para 0 < x < Pi/2, temos: sen(x) = <=20 x*sec(x).
DEM:
F(x) =3D x*sec(x) - sen(x) =3D x/cos(x) = - sen(x) =3D [x -=20 sen(x)*cos(x)]/cos(x) =3D
[2x - 2*sen(x)*cos(x)]/[2*cos(x)] =3D = [2x -=20 sen(2x)]/{2*cos(x)]
 
Mas para x em (0,Pi/2), temos sen(2x) = < 2x e=20 cos(x) > 0. Logo F(x) > 0.
*************
 
Sejam "L" e "a" o lado e o = ap=F3tema,=20 respectivamente, do pol=EDgono regular de n lados.
 
Teremos: L/(2a) =3D tg(Pi/n) = =3D=3D> a =3D=20 (L/2)*ctg(Pi/n)
 
=C1rea do Pol=EDgono =3D A =3D = n*(1/2)*L*a =3D=20 n*(1/2)*L*(L/2)*ctg(Pi/n) =3D n*(L^2/4)*ctg(Pi/n)
 
Per=EDmetro =3D P =3D = n*L 
 
Logo,  P^2 =3D = 4*A*n*tg(Pi/n)
 
dP^2 / dn =3D 4*A*[ tg(Pi/n) - = (Pi/n)*sec^2(Pi/n)=20 ] =3D
4*A*sec(Pi/n)*[ sen(Pi/n) - = (Pi/n)*sec(Pi/n) ] <=20 0, pelo lema, com x =3D Pi/n (dado que n >=3D 3).
 
Logo, com A=20 constante, P^2 (e, portanto, P) =E9 uma fun=E7=E3o decrescente de n, ou=20 seja:
Se dois pol=EDgonos regulares t=EAm a = mesma =E1rea, ent=E3o=20 aquele com o maior n=FAmero de lados tem o menor = per=EDmetro
 
PERGUNTA: Valem os dois resultados = acima com=20 "convexos" no lugar de "regulares" ?
 
Um abra=E7o,
Claudio.
----- Original Message -----
From:=20 Luis=20 Lopes
Sent: Tuesday, February 18, = 2003 10:39=20 AM
Subject: Re: [obm-l] um = problema com:=20 Q,T,C

Sauda,c~oes,
 
N=E3o conhecia o artigo. Vou dar uma = olhada.
 
E podemos imaginar um outro problema: = seja
(i) o per=EDmetro do = pol=EDgono regular de i=20 lados=20
com a mesma =E1rea. Somos ent=E3o = levados=20 a
qual conjectura? Talvez o mesmo artigo=20 trate
disso tamb=E9m.
 
[]=B4s
Lu=EDs
 
-----Mensagem Original-----
De:=20 Cl=E1udio = (Pr=E1tica)
Enviada em: segunda-feira, 17 = de=20 fevereiro de 2003 18:43
Assunto: Re: [obm-l] um = problema com:=20 Q,T,C

Tem um artigo razoavelmente = elementar do=20 Nicolau e do Gugu que trata justamente disso - a desigualdade=20 isoperim=E9trica.
O ele pode ser encontrado = aqui: http://www.mat= .puc-rio.br/~nicolau/publ/publ.html
 
Um abra=E7o,
Claudio.
----- Original Message ----- =
From:=20 Luis=20 Lopes
Sent: Monday, February 17, = 2003 4:12=20 PM
Subject: Re: [obm-l] um = problema com:=20 Q,T,C

Sauda,c~oes,
 
Seja [i] a =E1rea do pol=EDgono regular de i=20 lados
com o mesmo per=EDmetro. Somos ent=E3o = levados
a conjecturar que
[3] < [4] < [5] < .... < [n] < = ... <=20 C.
 
Prova?
 
[]=B4s
Lu=EDs
=
 
------=_NextPart_000_00F3_01C2D76C.6E1365C0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 18 16:10:12 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA26486 for obm-l-MTTP; Tue, 18 Feb 2003 16:08:25 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA26481 for ; Tue, 18 Feb 2003 17:08:22 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1IJ6S406744 for ; Tue, 18 Feb 2003 16:06:28 -0300 Message-ID: <010201c2d789$ceb73600$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030218160705.66007.qmail@web12901.mail.yahoo.com> Subject: Re: [obm-l] Desigualdade estranhinha Date: Tue, 18 Feb 2003 17:10:37 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_00FF_01C2D770.A82B1560" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: RO Content-Length: 8965 Lines: 266 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_00FF_01C2D770.A82B1560 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Caro JP: Olhe s=F3 isso: Suponhamos que n >=3D 6. Seja A um n=FAmero real qualquer: Sejam: A(1) =3D -A A(2) =3D -A A(3) =3D 0 A(4) =3D A A(5) =3D A A(6) =3D 0 A(k) =3D 0 para 6 < k <=3D n. Ent=E3o: A(1) + A(2) + ... + A(n) =3D 0. A(1)*A(2) =3D A^2 A(2)*A(3) =3D 0 A(3)*A(4) =3D 0 A(4)*A(5) =3D A^2 A(5)*A(6) =3D 0 A(k)*A(k+1) =3D 0, para 6 <=3D k <=3D n-1 A(n)*A(1) =3D 0 Logo, o valor a ser maximizado =E9 igual a 2*A^2. Como A pode ser qualquer n=FAmero real, temos que a express=E3o =E9 = ilimitada. O que voc=EA acha? Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Tuesday, February 18, 2003 1:07 PM Subject: [obm-l] Desigualdade estranhinha Nossa,apareceu em branco!!!!A desigualdade era maximizar = a_1*a_2+a_2*a_3+a_3*a_4+.....+a_(n-1)*an+a_n*a_1 sabendo que a soma dos = a's e zero.=20 Cl=E1udio_(Pr=E1tica) wrote:=20 Qual desigualdade? Ali=E1s, voc=EA conseguiu resolver este aqui? Tome reais positivos ou nulos a,b,c,d tais que ab+ac+ad+bc+bd+cd+abc+abd+acd+bcd=3D2. Mostre que 3(a+b+c+d)>=3D4(ab+ac+ad+bc+bd+cd). Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Monday, February 17, 2003 3:05 PM Subject: [obm-l] Desigualdade estranhinha -------------------------------------------------------------------------= - Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA = pensar o Yahoo! encontra. TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) -------------------------------------------------------------------------= ----- Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o = Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_00FF_01C2D770.A82B1560 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Caro JP:
 
Olhe s=F3 isso:
 
Suponhamos que n >=3D = 6.
 
Seja A um n=FAmero real = qualquer:
 
Sejam:
A(1) =3D -A
A(2) =3D -A
A(3) =3D 0
A(4) =3D A
A(5) =3D A
A(6) =3D 0
A(k) =3D 0 para 6 < k <=3D = n.
 
Ent=E3o:
A(1) + A(2) + ... + A(n) =3D = 0.
 
A(1)*A(2) =3D A^2
A(2)*A(3) =3D 0
A(3)*A(4) =3D 0
A(4)*A(5) =3D A^2
A(5)*A(6) =3D 0
A(k)*A(k+1) =3D 0, para 6 <=3D k = <=3D=20 n-1
A(n)*A(1) =3D 0
 
Logo, o valor a ser maximizado =E9 = igual a=20 2*A^2.
 
Como A pode ser qualquer n=FAmero real, = temos que a=20 express=E3o =E9 ilimitada.
 
O que voc=EA acha?
 
Um abra=E7o,
Claudio.
 
----- Original Message -----
From:=20 Johann Peter Gustav = Lejeune=20 Dirichlet
Sent: Tuesday, February 18, = 2003 1:07=20 PM
Subject: [obm-l] Desigualdade=20 estranhinha

Nossa,apareceu em branco!!!!A desigualdade era maximizar=20 a_1*a_2+a_2*a_3+a_3*a_4+.....+a_(n-1)*an+a_n*a_1 sabendo que a soma = dos a's e=20 zero.=20

 Cl=E1udio_(Pr=E1tica) <claudio@praticacorretora.= com.br>=20 wrote:=20

Qual desigualdade?
 
Ali=E1s, voc=EA conseguiu resolver = este=20 aqui?
 

Tome reais positivos ou nulos a,b,c,d tais que

 ab+ac+ad+bc+bd+cd+abc+abd+acd+bcd=3D2.

Mostre que

3(a+b+c+d)>=3D4(ab+ac+ad+bc+bd+cd).

 

Um abra=E7o,

Claudio.

----- Original Message ----- =
From:=20 Johann Peter = Gustav Lejeune=20 Dirichlet
Sent: Monday, February 17, = 2003 3:05=20 PM
Subject: [obm-l] = Desigualdade=20 estranhinha


Busca Yahoo! =
O servi=E7o=20 de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o Yahoo!=20 encontra.

TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE

CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA = TRIBVERE

Fields Medal(John Charles Fields)


Busca Yahoo!
O = servi=E7o de=20 busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o Yahoo!=20 encontra. ------=_NextPart_000_00FF_01C2D770.A82B1560-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 18 17:30:47 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA28877 for obm-l-MTTP; Tue, 18 Feb 2003 17:28:56 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA28873 for ; Tue, 18 Feb 2003 18:28:53 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.228]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1IKQt411172 for ; Tue, 18 Feb 2003 17:26:55 -0300 Message-ID: <013501c2d795$0ba5a820$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: Subject: [obm-l] Teorema das 13 Esferas Date: Tue, 18 Feb 2003 18:31:02 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: RO Content-Length: 3591 Lines: 101 Caro Paulo: Aqui vai minha solução para o problema. > > PROBLEMA : Seja C uma esfera de raio R, fixa. Tangentes (externamente) a C > vamos colocando outras esferas C1, C2, ... todas de raio R. Qual a > quantidade maxima de esferas que podemos colocar ? > > SUGESTAO : Coloque C1 e IMAGINE que voce esta em "O", o centro de C. IMAGINE > todas as semi-retas que partem de "O" e que sao tangentes a C1. Isto define > um angulo-solido. Qual o valor desta angulo solido ? > Tome o plano que divide C e C1 em duas semi-esferas iguais. Neste plano, considere as retas que são tangentes a C1 e o triângulo formado por O e pelos dois pontos de tangência das retas com C1 (P e Q). Seja O' o centro de C1. Teremos: O'P = O'Q = R; OO' = 2*R ==> OP = OQ = R*raiz(3) ==> cos(O'OP) = cos(O'OQ) = raiz(3)/2 ==> O'OP = O'OQ = Pi/6 ==> POQ = Pi/3 Área da calota determinada pelas tangentes a C1 por O = 2*Pi*R^2*[1-cos(O'OP)] = Pi*R^2*[2-raiz(3)] = 0,841787*R^2 Ângulo Sólido = Pi*[2-raiz(3)] = 0,841787 esf-rad. > Claramente que toda nova esfera colocada representa um novo angulo-solido de > mesmo valor. IMAGINE agora tres esferas tao proximas quanto possivel. Voce > percebera que : > > 1) Surge uma regiao central que nao esta contida em nenhuma das tres calotas > iguais definidas pelo tres angulo solidos. Qual o valor, em esfero radianos, > do angulo solido correspondente a esta area ? > > Os planos que contem "O" e dois outros centros de duas das tres esferas C1, > C2, C3 interceptam a superficie de C segundo um triangulo esferico > "equilatero". A Area deste triangulo e (A+B+C - pi)*R^2 onde A, B e C sao ao > angulos do triangulo esferico ( formados pelas tangente a esfera C nos > vertices A, B e C. Tendo a area temos o angulo-solido correspondente. > Subtrando esta area dos "gomos" em C1, C2 e C3 calculamos o valor da regiao > central. > Cálculo da Área do Triângulo ABC:: O lado oposto ao vértice A situa-se sobre uma circunferência de raio igual a R*sen(Pi/3) = R*raiz(3)/2. Logo, o comprimento desta circunferência vale Pi*raiz(3)*R. O lado do triângulo mede (Pi/3)*R ==> usando a lei dos cossenos para triângulos esféricos, temos que: cos(Pi/3) = cos(Pi/3)*cos(Pi/3) + sen(Pi/3)*sen(Pi/3)*cos(A) ==> 1/2 = 1/4 + 3/4*cos(A) ==> cos(A) = 1/3 = cos(B) = cos(C) ==> A = B = C = 1,230959 rad. Área do Triângulo = (A + B + C - Pi)*R^2 = 0,551284*R^2 Cálculo da Área dos Gomos: A área de cada gomo é proporcional ao arco de circunferência subentendido pelos lados do triângulo ABC em cada uma das três calotas que ele intercepta. Assim, Área de um Gomo = Área da Calota * A/(2*Pi) = 0,841787*R^2 * 1,230959 / 6,283185 = 0,164917*R^2 Área dos 3 Gomos = 3 * 0,164917*R^2 = 0,494752*R^2 Logo, Área da Região Central = (0,551284 - 0,494752)*R^2 = 0,056532*R^2 > 2) Toda nova esfera colocada com maxima aproximacao entre duas outras ja > existente fara surgir um novo angulo-solido ( que ja calculamos ) e uma nova > regiao ( que calculamos em 1). Esses sucessivos acrescimos nao podem > ultrapassar 4*pi esfero-radianos ... > Cada nova Esfera adiciona 1 Calota e pelo menos 1 Região Central. 1 Calota + 1 Região Central = 0,841787 + 0,056532 = 0,898319 esf-rad Logo, N*0,898319 <= 4*Pi = 12,566371 ==> N <= 13,98876 Assim, N <= 13. Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 18 18:27:16 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA30049 for obm-l-MTTP; Tue, 18 Feb 2003 18:25:41 -0300 Received: from imo-d04.mx.aol.com (imo-d04.mx.aol.com [205.188.157.36]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA30046 for ; Tue, 18 Feb 2003 19:25:37 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-d04.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.1f0.23345cb (4362) for ; Tue, 18 Feb 2003 16:25:00 -0500 (EST) Message-ID: <1f0.23345cb.2b83feab@aol.com> Date: Tue, 18 Feb 2003 16:24:59 EST Subject: [obm-l] geo espacial I To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_1f0.23345cb.2b83feab_boundary" X-Mailer: 6.0 sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: RO Content-Length: 1251 Lines: 39 --part1_1f0.23345cb.2b83feab_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 Pessoal, Como resolver esta quest=E3o: Ligando-se convenientemente os pontos m=E9dios das arestas de um cubo, obt= =E9m-se=20 um hex=E1gono regular. A raz=E3o entre a =E1rea e desse hex=E1gono e a =E1re= a da=20 superf=EDcie total do cubo =E9 : resp: raiz(3/8) --part1_1f0.23345cb.2b83feab_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 Pessoal,

Como resolver esta quest=E3o:

Ligando-se convenientemente os pontos m=E9dios das arestas de um cubo, o= bt=E9m-se um hex=E1gono regular. A raz=E3o entre a =E1rea e desse hex=E1gono= e a =E1rea da superf=EDcie total do cubo =E9 :

resp: raiz(3/8)
--part1_1f0.23345cb.2b83feab_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 18 18:27:53 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA30062 for obm-l-MTTP; Tue, 18 Feb 2003 18:26:31 -0300 Received: from imo-m03.mx.aol.com (imo-m03.mx.aol.com [64.12.136.6]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA30059 for ; Tue, 18 Feb 2003 19:26:28 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-m03.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.132.1ac83a00 (4362) for ; Tue, 18 Feb 2003 16:25:44 -0500 (EST) Message-ID: <132.1ac83a00.2b83fed7@aol.com> Date: Tue, 18 Feb 2003 16:25:43 EST Subject: [obm-l] geo espacial II To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_132.1ac83a00.2b83fed7_boundary" X-Mailer: 6.0 sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: RO Content-Length: 1571 Lines: 43 --part1_132.1ac83a00.2b83fed7_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal, Como resolver esta quest=E3o: Um fabricante de molhos enlata seus produtos em ambalagem cilindrica circula= r=20 reta e posteriormente encaixota uma a uma em embalagem c=FAbica de 10=20 centimetros de aresta. Se as faces da caixa cubica tangenciam a embalagem=20 cilindrica, ent=E3o o comprador que adquire este molho pela aparencia extern= a =20 da caixa esta sendo lesado em aproximadamente : resp: 21,5% --part1_132.1ac83a00.2b83fed7_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal,

Como resolver esta quest=E3o:

Um fabricante de molhos enlata seus produtos em ambalagem cilindrica cir= cular reta e posteriormente encaixota uma a uma em embalagem c=FAbica de 10=20= centimetros de aresta. Se as faces da caixa cubica tangenciam a embalagem ci= lindrica, ent=E3o o comprador que adquire este molho pela aparencia externa=20=  da caixa esta sendo lesado em aproximadamente :

resp: 21,5%
--part1_132.1ac83a00.2b83fed7_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 18 18:28:01 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA30068 for obm-l-MTTP; Tue, 18 Feb 2003 18:26:44 -0300 Received: from imo-d03.mx.aol.com (imo-d03.mx.aol.com [205.188.157.35]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA30064 for ; Tue, 18 Feb 2003 19:26:40 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-d03.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.127.229fe7a8 (4362) for ; Tue, 18 Feb 2003 16:25:59 -0500 (EST) Message-ID: <127.229fe7a8.2b83fee7@aol.com> Date: Tue, 18 Feb 2003 16:25:59 EST Subject: [obm-l] geo espacial III To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_127.229fe7a8.2b83fee7_boundary" X-Mailer: 6.0 sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: RO Content-Length: 1263 Lines: 43 --part1_127.229fe7a8.2b83fee7_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal, Como resolver esta quest=E3o: (VUNESP) Os centros das faces de um cubo s=E3o os v=E9rtices de um octaedro=20 regular. Calcule as raz=F5es entre : a) a =E1rea do cubo e a do octaedro nele inscrito b)o volume do cubo e do octaedro nele inscrito --part1_127.229fe7a8.2b83fee7_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable



Ol=E1 pessoal,

Como resolver esta quest=E3o:

(VUNESP) Os centros das faces de um cubo s=E3o os v=E9rtices de um octae= dro regular. Calcule as raz=F5es entre :

a) a =E1rea do cubo e a do octaedro nele inscrito
b)o volume do cubo e do octaedro nele inscrito --part1_127.229fe7a8.2b83fee7_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 18 20:13:57 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA00411 for obm-l-MTTP; Tue, 18 Feb 2003 20:12:09 -0300 Received: from imo-d06.mx.aol.com (imo-d06.mx.aol.com [205.188.157.38]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA00407 for ; Tue, 18 Feb 2003 21:12:06 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-d06.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.20.a8244bd (4362) for ; Tue, 18 Feb 2003 18:11:13 -0500 (EST) Message-ID: <20.a8244bd.2b841791@aol.com> Date: Tue, 18 Feb 2003 18:11:13 EST Subject: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?Quest=E3o=20dos=20tri=E2ngulos?= To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_20.a8244bd.2b841791_boundary" X-Mailer: 6.0 sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: RO Content-Length: 5094 Lines: 119 --part1_20.a8244bd.2b841791_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal, Ningu=E9m quis discutir nada a respeito das quest=F5es do felipensador abaix= o,=20 por que? Pelo menos eu achei muito interessante e vcs ? Acredito que seja=20 poss=EDvel resolv=EA-las por an=E1lise combinat=F3ria, n=E3o acham ? felipe mendona wrote: Assunto: [obm-l] Maximo e minimo=20 Data: 15/2/2003 22:50:12 Hora padr=E3o leste da Am. Sul=20 From: felipensador@hotmail.com (felipe mendona) Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Reply-to: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br =20 =20 Ai vao 3 problemas: =20 =20 1) V=E1rios ret=E2ngulos s=E3o desenhados numa superf=EDcie plana, de modo q= ue os=20 cruzamentos entre suas linhas produzem 18.769 =E1reas distintas n=E3o subdiv= idas.=20 Qual o n=FAmero m=EDnimo de desenhos de ret=E2ngulos necess=E1rio para forma= r o=20 padr=E3o descrito?=20 2) V=E1rios segmentos retos s=E3o tra=E7ados numa superf=EDcie plana, de mod= o que os=20 cruzamentos entre suas linhas produzem 1.597 =E1reas distintas n=E3o subdivi= das.=20 Qual o n=FAmero m=EDnimo de tra=E7os necess=E1rio para formar o padr=E3o des= crito? =20 3) S=E3o desenhados 1 + 10^1.234.567.890 tri=E2ngulos numa superf=EDcie plan= a. Qual=20 =E9 o n=FAmero m=E1ximo de =E1reas distintas n=E3o subdividas que podem ser=20= formadas=20 pela intersec=E7=E3o desses tri=E2ngulos?=20 =20 =20 --part1_20.a8244bd.2b841791_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal,

Ningu=E9m quis discutir nada a respeito das quest=F5es do felipensador a= baixo, por que? Pelo menos eu achei muito interessante e vcs ? Acredito que=20= seja poss=EDvel resolv=EA-las por an=E1lise combinat=F3ria, n=E3o acham ?


felipe mendona wrote:

Assunto: [obm-l] Maximo e minimo=20
Data: 15/2/2003 22:50:12 Hora padr=E3o leste da Am. Sul=20
From:    felipensador@hotmail.com (felipe mendona)
Sender:    owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
Reply-to: obm-l@mat.puc-rio.br
To:    obm-l@mat.puc-rio.br
=20
=20


        &nbs= p;            &n= bsp;     Ai vao 3 problemas:    &nbs= p;          
            = ; 
1) V=E1rios ret=E2ngulos s=E3o desenhados numa superf= =EDcie plana, de modo que os cruzamentos entre suas linhas produzem 18.769=20= =E1reas distintas n=E3o subdividas. Qual o n=FAmero m=EDnimo de desenhos de=20= ret=E2ngulos necess=E1rio para formar o padr=E3o descrito?=20

2) V=E1rios segmentos retos s=E3o tra=E7ados numa sup= erf=EDcie plana, de modo que os cruzamentos entre suas linhas produzem 1.597= =E1reas distintas n=E3o subdividas. Qual o n=FAmero m=EDnimo de tra=E7os ne= cess=E1rio para formar o padr=E3o descrito?   

3) S=E3o desenhados 1 + 10^1.234.567.890 tri=E2ngulos= numa superf=EDcie plana. Qual =E9 o n=FAmero m=E1ximo de =E1reas distintas=20= n=E3o subdividas que podem ser formadas pela intersec=E7=E3o desses tri=E2ng= ulos?
            = ;            &nb= sp;            &= nbsp;           
=20

--part1_20.a8244bd.2b841791_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 18 20:46:50 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA01058 for obm-l-MTTP; Tue, 18 Feb 2003 20:45:15 -0300 Received: from saulo.bol.com.br (saulo.bol.com.br [200.221.24.31]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA01054 for ; Tue, 18 Feb 2003 21:45:11 -0200 Received: from bol.com.br (200.221.24.127) by saulo.bol.com.br (5.1.071) id 3E26FD2A008491DF for obm-l@mat.puc-rio.br; Tue, 18 Feb 2003 20:42:31 -0300 Date: Tue, 18 Feb 2003 20:44:37 -0300 Message-Id: Subject: [obm-l] Problemas sobre sequencias recorrentes MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain;charset="iso-8859-1" From: "amurpe" To: obm-l@mat.puc-rio.br X-XaM3-API-Version: 2.4 R3 ( B4 ) X-SenderIP: 200.255.10.141 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id VAA01055 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Status: RO Content-Length: 1638 Lines: 45 gostaria que voces me mostrassem como , faço para resolver os problemas , já que minha dificuldade é muito grande .Eles são do livro matemática do ensino médio volume :2 - da coleção do Impa , achei o terceiro mais dificil por falar em probabilidade.Se puderem me indicar livros sobre o assunto ficarei grato. Muito obrigado pela força. abraços.Amurpe 1) Uma planta é tal que cada uma de suas sementes produz um ano apos ter sido plantada , 21 novas sementes e apartir daí , 44 novas sementes a cada ano .Se plantarmos hoje uma semente e se , toda vez que uma semente for produzida ela for imediatamente plantada , qtas sementes serão produzidas daqui a n anos? 2) o salario de carmelino no mes n é sn=a +bn.Sua renda mensal é formada pelo salário e pelos juros de suas aplicações financeiras.Ele poupa anualmente 1/p de sua renda e investe sua poupança a juros mensais de taxa i.determine a renda de carmelino no mes i. 3) 5 times de igual força disputarão todo o ano um torneio.Uma taça será ganha pelo time que vencer 3 vezes consecutivas.Qual a probabilidade da taça ser ganha nos n primeiros torneios? __________________________________________________________________________ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. 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Então: VL / VC = R VL = Abl * h VC = Abc * h Como as alturas são iguais (já que a caixa tangencia a lata), podemos dizer que a razão é função das áreas das bases da lata e da caixa: Abl = pi * (diametro/2)^2 = pi * (10/2)^2 = 78,5 Abc = aresta^2 = 10^2 = 100 R = Abl / Abc = 78,5 / 100 = 0,785 Isto significa que o volume da lata é 78,5% do volume da caixa. Assim, o consumidor será lesado em 100% - 78,5% = 21,5% []s David ----- Original Message ----- From: To: Sent: Tuesday, February 18, 2003 6:25 PM Subject: [obm-l] geo espacial II Olá pessoal, Como resolver esta questão: Um fabricante de molhos enlata seus produtos em ambalagem cilindrica circular reta e posteriormente encaixota uma a uma em embalagem cúbica de 10 centimetros de aresta. Se as faces da caixa cubica tangenciam a embalagem cilindrica, então o comprador que adquire este molho pela aparencia externa da caixa esta sendo lesado em aproximadamente : resp: 21,5% _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 19 12:15:11 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA11237 for obm-l-MTTP; Wed, 19 Feb 2003 12:10:43 -0300 Received: from hotmail.com (f82.sea2.hotmail.com [207.68.165.82]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA11233 for ; Wed, 19 Feb 2003 13:10:40 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Wed, 19 Feb 2003 07:10:00 -0800 Received: from 200.142.58.18 by sea2fd.sea2.hotmail.msn.com with HTTP; Wed, 19 Feb 2003 15:09:59 GMT X-Originating-IP: [200.142.58.18] From: "Paulo Santa Rita" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Negocio da China ! Date: Wed, 19 Feb 2003 15:09:59 +0000 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 19 Feb 2003 15:10:00.0913 (UTC) FILETIME=[F9172410:01C2D828] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Ola Pessoal, Seguem abaixo as traduçoes ( do ingles ) de tres problemas de Olimpiadas da China. (1 - CHINA 1990 ) "S" e o conjunto de todos os sub-conjuntos de um dado conjunto X que teem um mesmo numero de elementos e "F" e uma funcao real definida sobre "S" tal que F(A) > 1990 para algum elemento A de S. Sabe-se tambem que : F(B uniao C)=F(B)+ F(C)-1990 para todos elementos "B" e "C" de S que sejam disjuntos. Mostre que nos podemos encontrar um sub-conjunto Y de X tal que : F(D) > 1990 para todo D contido em Y F(D) =< 1990 para todo D contido em X-Y (2 - CHINA 1992 ) As diagonais de um quadrilatero ciclico (inscritivel) encontram-se em X. O circulo circunscrito ao triangulo ABX encontra o circulo circunscrito ao triangulo CDX em X e Y. Se "O" e o centro do circulo circunscrito ao quadrilatero ABCD e "O","X" e "Y" sao distintos dois a dois, mostre que OY e perpendicular a OX. (3 - CHINA 1994 ) Seja p(z)= z^N + An-1*z^(N-1) + ... + A0 um polinomio com coeficientes complexos. Mostre que nos podemos encontrar um ponto (numero complexo) "z" com modulo(z') =< 1 e tal que modulo(p(z')) >= 1 + modulo(A0). Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1209,190203 _________________________________________________________________ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 19 13:08:05 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA12425 for obm-l-MTTP; Wed, 19 Feb 2003 13:06:17 -0300 Received: from web12906.mail.yahoo.com (web12906.mail.yahoo.com [216.136.174.73]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id OAA12420 for ; Wed, 19 Feb 2003 14:06:12 -0200 Message-ID: <20030219160540.9929.qmail@web12906.mail.yahoo.com> Received: from [200.206.103.3] by web12906.mail.yahoo.com via HTTP; Wed, 19 Feb 2003 13:05:40 ART Date: Wed, 19 Feb 2003 13:05:40 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Johann=20Peter=20Gustav=20Lejeune=20Dirichlet?= Subject: Re: [obm-l] Desigualdade estranhinha To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <010201c2d789$ceb73600$3300c57d@bovespa.com> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-410057352-1045670740=:9526" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --0-410057352-1045670740=:9526 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit A minha burrice ja atingiu niveis alarmantes!!!!!A soma e um,e nao zero. Cláudio_(Prática) wrote:Caro JP: Olhe só isso: Suponhamos que n >= 6. Seja A um número real qualquer: Sejam:A(1) = -AA(2) = -AA(3) = 0A(4) = AA(5) = AA(6) = 0A(k) = 0 para 6 < k <= n. Então:A(1) + A(2) + ... + A(n) = 0. A(1)*A(2) = A^2A(2)*A(3) = 0A(3)*A(4) = 0A(4)*A(5) = A^2A(5)*A(6) = 0A(k)*A(k+1) = 0, para 6 <= k <= n-1A(n)*A(1) = 0 Logo, o valor a ser maximizado é igual a 2*A^2. Como A pode ser qualquer número real, temos que a expressão é ilimitada. O que você acha? Um abraço,Claudio. ----- Original Message ----- From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, February 18, 2003 1:07 PMSubject: [obm-l] Desigualdade estranhinha Nossa,apareceu em branco!!!!A desigualdade era maximizar a_1*a_2+a_2*a_3+a_3*a_4+.....+a_(n-1)*an+a_n*a_1 sabendo que a soma dos a's e zero. Cláudio_(Prática) wrote: Qual desigualdade? Aliás, você conseguiu resolver este aqui? Tome reais positivos ou nulos a,b,c,d tais que ab+ac+ad+bc+bd+cd+abc+abd+acd+bcd=2. Mostre que 3(a+b+c+d)>=4(ab+ac+ad+bc+bd+cd). Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, February 17, 2003 3:05 PMSubject: [obm-l] Desigualdade estranhinha --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-410057352-1045670740=:9526 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

A minha burrice ja atingiu niveis alarmantes!!!!!A soma e um,e nao zero.

 Cláudio_(Prática) <claudio@praticacorretora.com.br> wrote:

Caro JP:
 
Olhe só isso:
 
Suponhamos que n >= 6.
 
Seja A um número real qualquer:
 
Sejam:
A(1) = -A
A(2) = -A
A(3) = 0
A(4) = A
A(5) = A
A(6) = 0
A(k) = 0 para 6 < k <= n.
 
Então:
A(1) + A(2) + ... + A(n) = 0.
 
A(1)*A(2) = A^2
A(2)*A(3) = 0
A(3)*A(4) = 0
A(4)*A(5) = A^2
A(5)*A(6) = 0
A(k)*A(k+1) = 0, para 6 <= k <= n-1
A(n)*A(1) = 0
 
Logo, o valor a ser maximizado é igual a 2*A^2.
 
Como A pode ser qualquer número real, temos que a expressão é ilimitada.
 
O que você acha?
 
Um abraço,
Claudio.
 
----- Original Message -----
Sent: Tuesday, February 18, 2003 1:07 PM
Subject: [obm-l] Desigualdade estranhinha

Nossa,apareceu em branco!!!!A desigualdade era maximizar a_1*a_2+a_2*a_3+a_3*a_4+.....+a_(n-1)*an+a_n*a_1 sabendo que a soma dos a's e zero.

 Cláudio_(Prática) <claudio@praticacorretora.com.br> wrote:

Qual desigualdade?
 
Aliás, você conseguiu resolver este aqui?
 

Tome reais positivos ou nulos a,b,c,d tais que

 ab+ac+ad+bc+bd+cd+abc+abd+acd+bcd=2.

Mostre que

3(a+b+c+d)>=4(ab+ac+ad+bc+bd+cd).

 

Um abraço,

Claudio.

----- Original Message -----
Sent: Monday, February 17, 2003 3:05 PM
Subject: [obm-l] Desigualdade estranhinha


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Seu sobrenome e Matsubashi ou eu to viajando?

Soluçao parcial:

Vejamos...eu costumo usar a notaçao de flechas.Seja a^b=a*a*a*a...*a (b vezes).

a^^1=a e a^^(n+1)=a^(a^^n).

Assim na sequencia a(n)=a^^n queremos que o modulo t=10^1000 desse troço seja constante.Por PCP tem dois caras i e j tais que a^^(i+j)===a^^(i)(mod t).Talvez o resto saia com Euler-Fermat ou coisa assim...

 okakamo kokobongo <okaka_koko@yahoo.com.br> wrote:

Oi pessoal,
Tenho acompanhado a lista pelo site da obm à alguns
dias e então resolvi entrar. Tenho um problema legal
(gostaria da ajuda de um dos brilhantes participantes
da lista, como: Johann Peter Gustav Lejeune
Dirichlet...): Seja a(1) = a; a(n+1) = a^a(n); Prove
que: para qualquer a > 1 inteiro, os últimos 1000
dígitos da expansão decimal de a(n) ficam
eventualmente constantes !!!
Okakamo Kokobongo

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CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE

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Cláudio_(Prática) wrote:Caro Paulo: Aqui vai minha solução para o problema. > > PROBLEMA : Seja C uma esfera de raio R, fixa. Tangentes (externamente) a C > vamos colocando outras esferas C1, C2, ... todas de raio R. Qual a > quantidade maxima de esferas que podemos colocar ? > > SUGESTAO : Coloque C1 e IMAGINE que voce esta em "O", o centro de C. IMAGINE > todas as semi-retas que partem de "O" e que sao tangentes a C1. Isto define > um angulo-solido. Qual o valor desta angulo solido ? > Tome o plano que divide C e C1 em duas semi-esferas iguais. Neste plano, considere as retas que são tangentes a C1 e o triângulo formado por O e pelos dois pontos de tangência das retas com C1 (P e Q). Seja O' o centro de C1. Teremos: O'P = O'Q = R; OO' = 2*R ==> OP = OQ = R*raiz(3) ==> cos(O'OP) = cos(O'OQ) = raiz(3)/2 ==> O'OP = O'OQ = Pi/6 ==> POQ = Pi/3 Área da calota determinada pelas tangentes a C1 por O = 2*Pi*R^2*[1-cos(O'OP)] = Pi*R^2*[2-raiz(3)] = 0,841787*R^2 Ângulo Sólido = Pi*[2-raiz(3)] = 0,841787 esf-rad. > Claramente que toda nova esfera colocada representa um novo angulo-solido de > mesmo valor. IMAGINE agora tres esferas tao proximas quanto possivel. Voce > percebera que : > > 1) Surge uma regiao central que nao esta contida em nenhuma das tres calotas > iguais definidas pelo tres angulo solidos. Qual o valor, em esfero radianos, > do angulo solido correspondente a esta area ? > > Os planos que contem "O" e dois outros centros de duas das tres esferas C1, > C2, C3 interceptam a superficie de C segundo um triangulo esferico > "equilatero". A Area deste triangulo e (A+B+C - pi)*R^2 onde A, B e C sao ao > angulos do triangulo esferico ( formados pelas tangente a esfera C nos > vertices A, B e C. Tendo a area temos o angulo-solido correspondente. > Subtrando esta area dos "gomos" em C1, C2 e C3 calculamos o valor da regiao > central. > Cálculo da Área do Triângulo ABC:: O lado oposto ao vértice A situa-se sobre uma circunferência de raio igual a R*sen(Pi/3) = R*raiz(3)/2. Logo, o comprimento desta circunferência vale Pi*raiz(3)*R. O lado do triângulo mede (Pi/3)*R ==> usando a lei dos cossenos para triângulos esféricos, temos que: cos(Pi/3) = cos(Pi/3)*cos(Pi/3) + sen(Pi/3)*sen(Pi/3)*cos(A) ==> 1/2 = 1/4 + 3/4*cos(A) ==> cos(A) = 1/3 = cos(B) = cos(C) ==> A = B = C = 1,230959 rad. Área do Triângulo = (A + B + C - Pi)*R^2 = 0,551284*R^2 Cálculo da Área dos Gomos: A área de cada gomo é proporcional ao arco de circunferência subentendido pelos lados do triângulo ABC em cada uma das três calotas que ele intercepta. Assim, Área de um Gomo = Área da Calota * A/(2*Pi) = 0,841787*R^2 * 1,230959 / 6,283185 = 0,164917*R^2 Área dos 3 Gomos = 3 * 0,164917*R^2 = 0,494752*R^2 Logo, Área da Região Central = (0,551284 - 0,494752)*R^2 = 0,056532*R^2 > 2) Toda nova esfera colocada com maxima aproximacao entre duas outras ja > existente fara surgir um novo angulo-solido ( que ja calculamos ) e uma nova > regiao ( que calculamos em 1). Esses sucessivos acrescimos nao podem > ultrapassar 4*pi esfero-radianos ... > Cada nova Esfera adiciona 1 Calota e pelo menos 1 Região Central. 1 Calota + 1 Região Central = 0,841787 + 0,056532 = 0,898319 esf-rad Logo, N*0,898319 <= 4*Pi = 12,566371 ==> N <= 13,98876 Assim, N <= 13. Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-1232572858-1045671394=:8156 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

Esse treco era um dos problemas do Proofs from THE BOOK.

 Cláudio_(Prática) <claudio@praticacorretora.com.br> wrote:

Caro Paulo:

Aqui vai minha solução para o problema.
>
> PROBLEMA : Seja C uma esfera de raio R, fixa. Tangentes (externamente) a C
> vamos colocando outras esferas C1, C2, ... todas de raio R. Qual a
> quantidade maxima de esferas que podemos colocar ?
>
> SUGESTAO : Coloque C1 e IMAGINE que voce esta em "O", o centro de C.
IMAGINE
> todas as semi-retas que partem de "O" e que sao tangentes a C1. Isto
define
> um angulo-solido. Qual o valor desta angulo solido ?
>

Tome o plano que divide C e C1 em duas semi-esferas iguais. Neste plano,
considere as retas que são tangentes a C1 e o triângulo formado por O e
pelos dois pontos de tangência das retas com C1 (P e Q). Seja O' o centro de
C1.

Teremos: O'P = O'Q = R; OO' = 2*R ==> OP = OQ = R*raiz(3) ==>
cos(O'OP) = cos(O'OQ) = raiz(3)/2 ==> O'OP = O'OQ = Pi/6 ==> POQ = Pi/3

Área da calota determinada pelas tangentes a C1 por O =
2*Pi*R^2*[1-cos(O'OP)] = Pi*R^2*[2-raiz(3)] = 0,841787*R^2

Ângulo Sólido = Pi*[2-raiz(3)] = 0,841787 esf-rad.


> Claramente que toda nova esfera colocada representa um novo angulo-solido
de
> mesmo valor. IMAGINE agora tres esferas tao proximas quanto possivel. Voce
> percebera que :
>
> 1) Surge uma regiao central que nao esta contida em nenhuma das tres
calotas
> iguais definidas pelo tres angulo solidos. Qual o valor, em esfero
radianos,
> do angulo solido correspondente a esta area ?
>
> Os planos que contem "O" e dois outros centros de duas das tres esferas
C1,
> C2, C3 interceptam a superficie de C segundo um triangulo esferico
> "equilatero". A Area deste triangulo e (A+B+C - pi)*R^2 onde A, B e C sao
ao
> angulos do triangulo esferico ( formados pelas tangente a esfera C nos
> vertices A, B e C. Tendo a area temos o angulo-solido correspondente.
> Subtrando esta area dos "gomos" em C1, C2 e C3 calculamos o valor da
regiao
> central.
>
Cálculo da Área do Triângulo ABC::
O lado oposto ao vértice A situa-se sobre uma circunferência de raio igual a
R*sen(Pi/3) = R*raiz(3)/2.
Logo, o comprimento desta circunferência vale Pi*raiz(3)*R.

O lado do triângulo mede (Pi/3)*R ==> usando a lei dos cossenos para
triângulos esféricos, temos que:
cos(Pi/3) = cos(Pi/3)*cos(Pi/3) + sen(Pi/3)*sen(Pi/3)*cos(A) ==>
1/2 = 1/4 + 3/4*cos(A) ==>
cos(A) = 1/3 = cos(B) = cos(C) ==>
A = B = C = 1,230959 rad.

Área do Triângulo = (A + B + C - Pi)*R^2 = 0,551284*R^2


Cálculo da Área dos Gomos:
A área de cada gomo é proporcional ao arco de circunferência subentendido
pelos lados do triângulo ABC em cada uma das três calotas que ele
intercepta.

Assim, Área de um Gomo = Área da Calota * A/(2*Pi) =
0,841787*R^2 * 1,230959 / 6,283185 = 0,164917*R^2

Área dos 3 Gomos = 3 * 0,164917*R^2 = 0,494752*R^2

Logo,
Área da Região Central = (0,551284 - 0,494752)*R^2 = 0,056532*R^2


> 2) Toda nova esfera colocada com maxima aproximacao entre duas outras ja
> existente fara surgir um novo angulo-solido ( que ja calculamos ) e uma
nova
> regiao ( que calculamos em 1). Esses sucessivos acrescimos nao podem
> ultrapassar 4*pi esfero-radianos ...
>
Cada nova Esfera adiciona 1 Calota e pelo menos 1 Região Central.
1 Calota + 1 Região Central = 0,841787 + 0,056532 = 0,898319 esf-rad

Logo, N*0,898319 <= 4*Pi = 12,566371 ==> N <= 13,98876

Assim, N <= 13.

Um abraço,
Claudio.

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Pegue o livro !) Olimpiadas Iberoamericanas de Matematica que tem esse terceiro problema la.Em outra versao.

 amurpe <amurpe@bol.com.br> wrote:

gostaria que voces me mostrassem como , faço para
resolver os problemas , já que minha dificuldade é muito
grande .Eles são do livro matemática do ensino médio
volume :2 - da coleção do Impa , achei o terceiro mais
dificil por falar em probabilidade.Se puderem me indicar
livros sobre o assunto ficarei grato. Muito obrigado
pela força.

abraços.Amurpe

1) Uma planta é tal que cada uma de suas sementes
produz um ano apos ter sido plantada , 21 novas sementes
e apartir daí , 44 novas sementes a cada ano .Se
plantarmos hoje uma semente e se , toda vez que uma
semente for produzida ela for imediatamente plantada ,
qtas sementes serão produzidas daqui a n anos?


2) o salario de carmelino no mes n é sn=a +bn.Sua renda
mensal é formada pelo salário e pelos juros de suas
aplicações financeiras.Ele poupa anualmente 1/p de sua
renda e investe sua poupança a juros mensais de taxa
i.determine a renda de carmelino no mes i.


3) 5 times de igual força disputarão todo o ano um
torneio.Uma taça será ganha pelo time que vencer 3 vezes
consecutivas.Qual a probabilidade da taça ser ganha nos
n primeiros torneios?





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Bem,esses problemas sao nivel de TOT(torneio das cidades).Talves de MUUUUITA conta e umas ideias legais mas nada.....Talves se use induçao.

 Faelccmm@aol.com wrote:

Olá pessoal,

Ninguém quis discutir nada a respeito das questões do felipensador abaixo, por que? Pelo menos eu achei muito interessante e vcs ? Acredito que seja possível resolvê-las por análise combinatória, não acham ?


felipe mendona wrote:

Assunto: [obm-l] Maximo e minimo
Data: 15/2/2003 22:50:12 Hora padrão leste da Am. Sul
From:    felipensador@hotmail.com (felipe mendona)
Sender:    owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
Reply-to: obm-l@mat.puc-rio.br
To:    obm-l@mat.puc-rio.br




                           Ai vao 3 problemas:               
             
1) Vários retângulos são desenhados numa superfície plana, de modo que os cruzamentos entre suas linhas produzem 18.769 áreas distintas não subdividas. Qual o número mínimo de desenhos de retângulos necessário para formar o padrão descrito?

2) Vários segmentos retos são traçados numa superfície plana, de modo que os cruzamentos entre suas linhas produzem 1.597 áreas distintas não subdividas. Qual o número mínimo de traços necessário para formar o padrão descrito?   

3) São desenhados 1 + 10^1.234.567.890 triângulos numa superfície plana. Qual é o número máximo de áreas distintas não subdividas que podem ser formadas pela intersecção desses triângulos?
                                                 



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Bem,e facil calcular o lado da birosca,pois e a hipotenusa de um triangulo retangulo isosceles.E nao  e dificil ver que o troço e regular(lembre-se do truque do tetraedro).Ai fim!

 Faelccmm@aol.com wrote:

Olá Pessoal,

Como resolver esta questão:

Ligando-se convenientemente os pontos médios das arestas de um cubo, obtém-se um hexágono regular. A razão entre a área e desse hexágono e a área da superfície total do cubo é :

resp: raiz(3/8)


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E ai turma!!!!!Voces sabem onde eu posso encontrar livros em lugares legais para saber e dominar e aumentar o KI sobre inversao?A referencia da Eureka nao tem nem a metade do que eu quero.Por exemplo,esse problema e mais potente do que o da IMO:

Num triangulo ABC pegue uma circunferencia que tangencie AB e BC nos pontos (Creuza1) e (Creuza2) e tangencie a pelota circular que passa por A,B e C.Mostre que ha uma pelota de centro no ponto medio dos pontos Creuza que tangencia AB,BC e CA.

Esse eu resolvi com Casey mas estou aberto a outras sugestoes.Para quem quer ver Caseym pegue a revista da Iberoamericana.


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Caro JP:
 
Ent=E3o, o problema =E9:
 
Maximizar a_1*a_2+a_2*a_3+a_3*a_4+.....+a_(n-1)*an+a_n*a_1 sabendo = que a=20 soma dos a's e 1.
 
Nesse caso, acho que cabe a desigualdade do rearranjo:
 
Suponhamos s.p.d.g. que A(1) <=3D A(2) <=3D ... <=3D = A(n).
 
Pela desig. do rearranjo, = vale:
 
A(1)*A(2) + ... + A(n-1)*A(n) + = A(n)*A(1) <=3D=20 A(1)^2 + ... + A(n)^2, com igualdade se e somente se os A(i)'s s=E3o = todos=20 iguais.
 
Como a soma deles =E9 1, eles ser=E3o = todos iguais a=20 1/n =3D=3D>
 
o valor m=E1ximo procurado =E9 igual a = n * (1/n)^2 =3D=20 1/n.
 
Repare que n=E3o foi necess=E1rio supor = que os A(i)'s=20 s=E3o positivos, pois a desig. do rearranjo n=E3o necessita dessa=20 hip=F3tese.
 
Um abra=E7o,
Claudio.
 
------=_NextPart_000_003A_01C2D834.36961660-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 19 15:31:59 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA20046 for obm-l-MTTP; Wed, 19 Feb 2003 15:30:41 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA20039 for ; Wed, 19 Feb 2003 16:30:38 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.228]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1JISe324278 for ; Wed, 19 Feb 2003 15:28:41 -0300 Message-ID: <004101c2d84d$b509e080$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <1f0.23345cb.2b83feab@aol.com> Subject: Re: [obm-l] geo espacial I Date: Wed, 19 Feb 2003 16:32:50 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_003E_01C2D834.8AF4E740" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_003E_01C2D834.8AF4E740 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ligando-se convenientemente os pontos m=E9dios das arestas de um cubo, = obt=E9m-se um hex=E1gono regular. A raz=E3o entre a =E1rea e desse = hex=E1gono e a =E1rea da superf=EDcie total do cubo =E9 :=20 =C1rea da superf=EDcie total do cubo =3D 6*a^2 (a =3D medida das = arestas do cubo) Cada lado do hex=E1gono =E9 um segmento unindo os pontos m=E9dios de = duas arestas adjacentes de alguma face do cubo. Se a aresta do cubo mede "a", ent=E3o o lado do hex=E1gono mede = raiz((a/2)^2 + (a/2)^2) =3D a/raiz(2). =C1rea do hex=E1gono =3D=20 6 * =C1rea de um Tri=E2ngulo Equil=E1tero de lado a/raiz(2) =3D 6 * (a/raiz(2))^2 * raiz(3)/4 =3D 6 * a^2 * raiz(3)/8 =C1rea Hex=E1gono / =C1rea Cubo =3D raiz(3)/8 ------=_NextPart_000_003E_01C2D834.8AF4E740 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable

Ligando-se convenientemente os pontos m=E9dios das arestas de = um cubo,=20 obt=E9m-se um hex=E1gono regular. A raz=E3o entre a =E1rea e desse = hex=E1gono e a =E1rea da=20 superf=EDcie total do cubo =E9 :
=C1rea da superf=EDcie total do cubo =3D 6*a^2  (a =3D medida = das arestas do=20 cubo)
 
Cada lado do hex=E1gono =E9 um segmento unindo os pontos m=E9dios = de duas arestas=20 adjacentes de alguma face do cubo.
Se a aresta do cubo mede "a", ent=E3o o lado do hex=E1gono mede = raiz((a/2)^2 +=20 (a/2)^2) =3D a/raiz(2).
 
=C1rea do hex=E1gono =3D
6 * =C1rea de um Tri=E2ngulo Equil=E1tero de lado  a/raiz(2) = =3D
6 * (a/raiz(2))^2 * raiz(3)/4 =3D
6 * a^2 * raiz(3)/8
 
=C1rea Hex=E1gono / =C1rea Cubo =3D raiz(3)/8
 
 ------=_NextPart_000_003E_01C2D834.8AF4E740-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 19 15:39:06 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA20329 for obm-l-MTTP; Wed, 19 Feb 2003 15:37:39 -0300 Received: from web40909.mail.yahoo.com (web40909.mail.yahoo.com [66.218.78.206]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id QAA20325 for ; Wed, 19 Feb 2003 16:37:35 -0200 Message-ID: <20030219183702.82424.qmail@web40909.mail.yahoo.com> Received: from [147.65.5.203] by web40909.mail.yahoo.com via HTTP; Wed, 19 Feb 2003 15:37:02 ART Date: Wed, 19 Feb 2003 15:37:02 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Bruno=20Lima?= Subject: Re: [obm-l] Bibliotecas.. To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <3E53B5BA.8000306@niski.com> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-806336107-1045679822=:81200" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --0-806336107-1045679822=:81200 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Dessas, a unica que conheco e a do IMPA, e muito boa. Tenho um amigo que estuda no IMPA e IME, ele diz que a do IME nao e muito boa, mas tb adora a do IMPA niski wrote:Olá pessoal das entre as bibliotecas do IMPA, IME e ITA existe alguma diferenca muito grande entre alguma delas? ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-806336107-1045679822=:81200 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

Dessas, a unica que conheco  e a do IMPA, e muito boa. Tenho um amigo que estuda no IMPA e IME, ele diz que a do IME nao e muito boa, mas tb adora a do IMPA

 niski <fabio@niski.com> wrote:

Olá pessoal das entre as bibliotecas do IMPA, IME e ITA existe alguma
diferenca muito grande entre alguma delas?


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O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-806336107-1045679822=:81200-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 19 15:42:07 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA20416 for obm-l-MTTP; Wed, 19 Feb 2003 15:40:36 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA20410 for ; Wed, 19 Feb 2003 16:40:33 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.224]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1JIcb325166 for ; Wed, 19 Feb 2003 15:38:37 -0300 Message-ID: <007c01c2d84f$17c99ca0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <127.229fe7a8.2b83fee7@aol.com> Subject: Re: [obm-l] geo espacial III Date: Wed, 19 Feb 2003 16:42:51 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0079_01C2D835.F1AB5900" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0079_01C2D835.F1AB5900 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable (VUNESP) Os centros das faces de um cubo s=E3o os v=E9rtices de um = octaedro regular. Calcule as raz=F5es entre :=20 a) a =E1rea do cubo e a do octaedro nele inscrito=20 b) o volume do cubo e do octaedro nele inscrito=20 Aresta do Cubo =3D a =3D=3D>=20 =C1rea do Cubo =3D 6 * a^2 e Volume do Cubo =3D a^3. Aresta do Octaedro =3D segmento unindo os centros de duas faces = adjacentes do cubo =3D=3D> Aresta do Octaedro =3D raiz((a/2)^2 + (a/2)^2) =3D a/raiz(2) =C1rea de uma Face do Octaedro =3D (a/raiz(2))^2 * raiz(3)/4 =3D = a^2*raiz(3)/8. =C1rea Total do Octaedro =3D 8 * a^2*raiz(3)/8 =3D a^2*raiz(3) O Octaedro consiste de duas Pir=E2mides de base quadradas "coladas" = pelas bases com os v=E9rtices das bases coincidentes. Altura de Cada Pir=E2mide =3D a/2 =C1rea da Base de Cada Pir=E2mide =3D (a/raiz(2))^2 =3D a^2/2 =3D=3D> Volume de Cada Pir=E2mide =3D (1/3) * a^2/2 * a/2 =3D a^3/12 =3D=3D> Volume do Octaedro =3D a^3/6. Acubo / Aoctaedro =3D 6/raiz(3) =3D 2*raiz(3) Vcubo / Voctaedro =3D 6. ------=_NextPart_000_0079_01C2D835.F1AB5900 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable

(VUNESP) Os centros das faces de um cubo s=E3o os v=E9rtices de = um octaedro=20 regular. Calcule as raz=F5es entre :

a) a =E1rea do cubo e a do = octaedro=20 nele inscrito
b) o volume do cubo e do octaedro nele inscrito =
 
Aresta do Cubo =3D a =3D=3D>
=C1rea do Cubo =3D 6 * a^2  e  Volume do = Cubo =3D=20 a^3.
 
Aresta do Octaedro =3D segmento unindo os centros de = duas faces=20 adjacentes do cubo =3D=3D>
Aresta do Octaedro =3D raiz((a/2)^2 + (a/2)^2) =3D=20 a/raiz(2)
 
=C1rea de uma Face do Octaedro =3D (a/raiz(2))^2 * = raiz(3)/4 =3D=20 a^2*raiz(3)/8.
=C1rea Total do Octaedro =3D 8 * a^2*raiz(3)/8 =3D=20 a^2*raiz(3)
 
O Octaedro consiste de duas Pir=E2mides de base = quadradas=20 "coladas" pelas bases com os v=E9rtices das bases = coincidentes.
Altura de Cada Pir=E2mide =3D a/2
=C1rea da Base de Cada Pir=E2mide =3D = (a/raiz(2))^2 =3D=20 a^2/2  =3D=3D>
Volume de Cada Pir=E2mide =3D (1/3) * a^2/2 * a/2 = =3D a^3/12=20 =3D=3D>
Volume do Octaedro =3D a^3/6.
 
Acubo / Aoctaedro =3D 6/raiz(3) =3D = 2*raiz(3)
 
Vcubo / Voctaedro =3D 6.
 
 
------=_NextPart_000_0079_01C2D835.F1AB5900-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 19 15:58:18 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA21304 for obm-l-MTTP; Wed, 19 Feb 2003 15:56:36 -0300 Received: from web12905.mail.yahoo.com (web12905.mail.yahoo.com [216.136.174.72]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id QAA21299 for ; Wed, 19 Feb 2003 16:56:32 -0200 Message-ID: <20030219185600.991.qmail@web12905.mail.yahoo.com> Received: from [200.206.103.3] by web12905.mail.yahoo.com via HTTP; Wed, 19 Feb 2003 15:56:00 ART Date: Wed, 19 Feb 2003 15:56:00 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Johann=20Peter=20Gustav=20Lejeune=20Dirichlet?= Subject: Re: [obm-l] Bibliotecas.. To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <3E53B5BA.8000306@niski.com> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-427694278-1045680960=:666" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --0-427694278-1045680960=:666 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Depende....Eu moro em Sao Paulo e ja achei muita coisa legal no IME-USP,como as demonstraçoes do TNP e do Teorema da PA que tem o meu nome.E tem livros ate de IMO!Ja no IMPA eu ouvi falar que tem algumas ediçoes da CRUX Mathematicorum e exemplares do Proofs. Na USP,site www.ime.usp.br voce encontra um acervo com os livros disponiveis. niski wrote:Olá pessoal das entre as bibliotecas do IMPA, IME e ITA existe alguma diferenca muito grande entre alguma delas? ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-427694278-1045680960=:666 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

Depende....Eu moro em Sao Paulo e ja achei muita coisa legal no IME-USP,como as demonstraçoes do TNP e do Teorema da PA que tem o meu nome.E tem livros ate de IMO!Ja no IMPA eu ouvi falar que tem algumas ediçoes da CRUX Mathematicorum e exemplares do Proofs.

Na USP,site www.ime.usp.br voce encontra um acervo com os livros disponiveis.

 niski <fabio@niski.com> wrote:

Olá pessoal das entre as bibliotecas do IMPA, IME e ITA existe alguma
diferenca muito grande entre alguma delas?


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Ou seja, a n-=E9sima reta criar=E1 n noves = regi=F5es. Teremos, portanto, a recorr=EAncia: A(n) =3D A(n-1) + n, cuja = solu=E7=E3o pode ser obtida da seguinte forma: A(1) =3D 1 + 1 A(2) =3D A(1) + 2 A(3) =3D A(2) + 3 .... A(n-1) =3D A(n-2) + (n-1) A(n) =3D A(n-1) + n Somando estas n equa=E7=F5es e cancelando os termos comuns (t=E9cnica = normalmente conhecida como "telescopagem"), obtemos: A(n) =3D 1 + (1 + 2 + ... + n) =3D 1 + n*(n+1)/2 =3D (n^2 + n + 2)/2 A(n) =3D 1597 =3D=3D>=20 (n^2 + n + 2)/2 =3D 1597 =3D=3D>=20 n^2 + n - 3192 =3D 0 =3D=3D> n =3D 56 ou n =3D -57 =3D=3D> (desprezando a raiz negativa) n =3D 56 retas. **************** O terceiro apresenta a mesma dificuldade que o primeiro. Acho que o = principal requisito =E9 que no m=E1ximo duas arestas de tri=E2ngulos = distintos se interceptem em cada ponto do plano (e naturalmente, que = cada ponto seja v=E9rtice de no m=E1ximo 1 tri=E2ngulo). Por exemplo: A(1) =3D 2 (o interior e o exterior do tri=E2ngulo) A(2) =3D 8 (figura homeomorfa a uma estrela de David) A(3) =3D 20 (cada lado do 3o. tri=E2ngulo intercepta duas arestas de = cada um dos dois primeiros e cria 3 novas regi=F5es juntamente com os = dois primeiros tri=E2ngulos (portanto, total de 9). Al=E9m disso, o 3o. = tri=E2ngulo cria mais 3 novas regi=F5es, cada uma das quais tem um = v=E9rtice em comum com ele - logo: 9 + 3 =3D 12 novas regi=F5es =3D=3D> = Total =3D 8 + 12 =3D 20). Sem fazer uma figura fica dif=EDcil visualizar. De qualquer forma, a = recorr=EAncia =E9 bem menos =F3bvia. Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Faelccmm@aol.com=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Tuesday, February 18, 2003 8:11 PM Subject: [obm-l] Quest=E3o dos tri=E2ngulos Ol=E1 pessoal,=20 Ningu=E9m quis discutir nada a respeito das quest=F5es do felipensador = abaixo, por que? Pelo menos eu achei muito interessante e vcs ? Acredito = que seja poss=EDvel resolv=EA-las por an=E1lise combinat=F3ria, n=E3o = acham ?=20 felipe mendona wrote:=20 Assunto: [obm-l] Maximo e minimo=20 Data: 15/2/2003 22:50:12 Hora padr=E3o leste da Am. Sul=20 From: felipensador@hotmail.com (felipe mendona)=20 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br=20 Reply-to: obm-l@mat.puc-rio.br=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Ai vao 3 problemas: =20 =20 1) V=E1rios ret=E2ngulos s=E3o desenhados numa superf=EDcie plana, de = modo que os cruzamentos entre suas linhas produzem 18.769 =E1reas = distintas n=E3o subdividas. Qual o n=FAmero m=EDnimo de desenhos de = ret=E2ngulos necess=E1rio para formar o padr=E3o descrito?=20 2) V=E1rios segmentos retos s=E3o tra=E7ados numa superf=EDcie plana, = de modo que os cruzamentos entre suas linhas produzem 1.597 =E1reas = distintas n=E3o subdividas. Qual o n=FAmero m=EDnimo de tra=E7os = necess=E1rio para formar o padr=E3o descrito? =20 3) S=E3o desenhados 1 + 10^1.234.567.890 tri=E2ngulos numa = superf=EDcie plana. Qual =E9 o n=FAmero m=E1ximo de =E1reas distintas = n=E3o subdividas que podem ser formadas pela intersec=E7=E3o desses = tri=E2ngulos?=20 =20 ------=_NextPart_000_00A6_01C2D83D.E20CF5A0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
No primeiro, a maior dificuldade =E9 = determinar qual=20 a posi=E7=E3o e dimens=F5es de cada ret=E2ngulo adicionado a fim de = maximizar o n=FAmero=20 de sub-divis=F5es obtidas.
 
*************
 
O segundo =E9 um pouco mais = f=E1cil:
Supondo que s=E3o desenhadas retas (ao = inv=E9s de=20 segmentos) temos o seguinte:
1 reta =3D=3D> A(1) =3D 2 =E1reas = distintas
2 retas =3D=3D> A(2) =3D 4 =E1reas=20 distintas
3 retas =3D=3D> A(3) =3D 7 =E1reas=20 distintas
Cada reta adicionada deve interceptar = todas as=20 outras j=E1 existentes de modo que no m=E1ximo duas retas se encontrem = em cada ponto=20 do plano. Isso significa que esta nova reta interceptar=E1 n-1 retas e, = portanto,=20 passar=E1 por (n-1) + 1 =3D n regi=F5es, dividindo cada uma delas em = duas novas=20 regi=F5es. Ou seja, a n-=E9sima reta criar=E1 n noves = regi=F5es.
 
Teremos, portanto, a recorr=EAncia: = A(n) =3D A(n-1) + n, cuja solu=E7=E3o pode ser = obtida da seguinte=20 forma:
A(1) =3D 1 + 1
A(2) =3D A(1) + 2
A(3) =3D A(2) + 3
....
A(n-1) =3D A(n-2) + (n-1)
A(n) =3D A(n-1) + n
 
Somando estas n equa=E7=F5es e = cancelando os termos=20 comuns (t=E9cnica normalmente conhecida como "telescopagem"),=20 obtemos:
A(n) =3D 1 + (1 + 2 + ... + n) =3D 1 + = n*(n+1)/2 =3D (n^2=20 + n + 2)/2
 
A(n) =3D 1597 =3D=3D>
(n^2 + n + 2)/2 =3D 1597 =3D=3D> =
n^2 + n - 3192 =3D = 0 =3D=3D>
n =3D 56  ou  n =3D -57 = =3D=3D> (desprezando a=20 raiz negativa)
 
n =3D 56 retas.
 
****************
 
O terceiro apresenta a mesma = dificuldade que o=20 primeiro. Acho que o principal requisito =E9 que no m=E1ximo duas = arestas de=20 tri=E2ngulos distintos se interceptem em cada ponto do plano (e = naturalmente, que=20 cada ponto seja v=E9rtice de no m=E1ximo 1 tri=E2ngulo).
 
Por exemplo:
A(1) =3D 2  (o interior e o = exterior do=20 tri=E2ngulo)
A(2) =3D 8  (figura homeomorfa a = uma estrela de=20 David)
A(3) =3D 20 (cada lado do 3o. = tri=E2ngulo intercepta=20 duas arestas de cada um dos dois primeiros e cria 3 novas regi=F5es = juntamente com os dois primeiros tri=E2ngulos (portanto, total de 9). = Al=E9m disso,=20 o 3o. tri=E2ngulo cria mais 3 novas regi=F5es, cada uma das quais tem um = v=E9rtice em=20 comum com ele - logo: 9 + 3 =3D 12 novas regi=F5es =3D=3D> Total =3D = 8 + 12 =3D=20 20).
 
Sem fazer uma figura fica dif=EDcil = visualizar. De=20 qualquer forma, a recorr=EAncia =E9 bem menos =F3bvia.
 
Um abra=E7o,
Claudio.
 
----- Original Message -----
From:=20 Faelccmm@aol.com=20
Sent: Tuesday, February 18, = 2003 8:11=20 PM
Subject: [obm-l] Quest=E3o dos=20 tri=E2ngulos

Ol=E1 pessoal, =

Ningu=E9m quis=20 discutir nada a respeito das quest=F5es do felipensador abaixo, por = que? Pelo=20 menos eu achei muito interessante e vcs ? Acredito que seja poss=EDvel = resolv=EA-las por an=E1lise combinat=F3ria, n=E3o acham ? =


felipe mendona=20 wrote:

Assunto: [obm-l] Maximo e minimo
Data: = 15/2/2003=20 22:50:12 Hora padr=E3o leste da Am. Sul
From:=20    felipensador@hotmail.com (felipe mendona) =
Sender:=20    owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
Reply-to: obm-l@mat.puc-rio.br
To:=20    obm-l@mat.puc-rio.br =




        &nbs= p;            = ;      Ai=20 vao 3 problemas:=20 =             &= nbsp; =20 =
           &nb= sp; =20
1) V=E1rios ret=E2ngulos s=E3o desenhados numa = superf=EDcie plana,=20 de modo que os cruzamentos entre suas linhas produzem 18.769 =E1reas = distintas=20 n=E3o subdividas. Qual o n=FAmero m=EDnimo de desenhos de ret=E2ngulos = necess=E1rio para=20 formar o padr=E3o descrito?

2) V=E1rios segmentos = retos s=E3o tra=E7ados=20 numa superf=EDcie plana, de modo que os cruzamentos entre suas linhas = produzem=20 1.597 =E1reas distintas n=E3o subdividas. Qual o n=FAmero m=EDnimo de = tra=E7os=20 necess=E1rio para formar o padr=E3o descrito?   =20

3) S=E3o desenhados 1 + 10^1.234.567.890 = tri=E2ngulos numa=20 superf=EDcie plana. Qual =E9 o n=FAmero m=E1ximo de =E1reas distintas = n=E3o subdividas que=20 podem ser formadas pela intersec=E7=E3o desses tri=E2ngulos? =
        =             &= nbsp;           &n= bsp;           &nb= sp;    =20


------=_NextPart_000_00A6_01C2D83D.E20CF5A0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 19 17:57:48 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA25755 for obm-l-MTTP; Wed, 19 Feb 2003 17:55:39 -0300 Received: from traven10.uol.com.br (traven9.uol.com.br [200.221.29.45] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA25751 for ; Wed, 19 Feb 2003 18:55:36 -0200 Received: from gauss ([200.158.97.146]) by traven10.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with SMTP id RAA18702 for ; Wed, 19 Feb 2003 17:52:51 -0300 (BRT) Message-ID: <001701c2d859$26a40e90$2accfea9@gauss> From: "Domingos Jr." To: References: <20030219185600.991.qmail@web12905.mail.yahoo.com> Subject: Re: [obm-l] Bibliotecas.. Date: Wed, 19 Feb 2003 17:54:51 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0012_01C2D840.00763A90" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2720.3000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0012_01C2D840.00763A90 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Acho que ele estava falando do IME militar e n=E3o da Usp... Ali=E1s, o = que vc faz l=E1? Eu fa=E7o ci=EAncia da computa=E7=E3o... ----- Original Message -----=20 From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Wednesday, February 19, 2003 3:56 PM Subject: Re: [obm-l] Bibliotecas.. Depende....Eu moro em Sao Paulo e ja achei muita coisa legal no = IME-USP,como as demonstra=E7oes do TNP e do Teorema da PA que tem o meu = nome.E tem livros ate de IMO!Ja no IMPA eu ouvi falar que tem algumas = edi=E7oes da CRUX Mathematicorum e exemplares do Proofs.=20 Na USP,site www.ime.usp.br voce encontra um acervo com os livros = disponiveis.=20 niski wrote:=20 Ol=E1 pessoal das entre as bibliotecas do IMPA, IME e ITA existe = alguma=20 diferenca muito grande entre alguma delas? = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista =E9=20 = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D -------------------------------------------------------------------------= ----- Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o = Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_0012_01C2D840.00763A90 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Acho que ele estava falando do IME = militar e n=E3o da=20 Usp... Ali=E1s, o que vc faz l=E1? Eu fa=E7o ci=EAncia da = computa=E7=E3o...
----- Original Message -----
From:=20 Johann Peter Gustav = Lejeune=20 Dirichlet
Sent: Wednesday, February 19, = 2003 3:56=20 PM
Subject: Re: [obm-l] = Bibliotecas..

Depende....Eu moro em Sao Paulo e ja achei muita coisa legal no=20 IME-USP,como as demonstra=E7oes do TNP e do Teorema da PA que tem o = meu nome.E=20 tem livros ate de IMO!Ja no IMPA eu ouvi falar que tem algumas = edi=E7oes da CRUX=20 Mathematicorum e exemplares do Proofs.=20

Na USP,site www.ime.usp.br = voce=20 encontra um acervo com os livros disponiveis.=20

 niski <fabio@niski.com> wrote: = Ol=E1=20 pessoal das entre as bibliotecas do IMPA, IME e ITA existe alguma=20
diferenca muito grande entre alguma=20 = delas?


=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D
Instru=E7=F5es=20 para entrar na lista, sair da lista e usar a lista=20 em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O = administrador=20 desta lista =E9=20 =
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D


Busca Yahoo!
O = servi=E7o de=20 busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o Yahoo!=20 encontra. ------=_NextPart_000_0012_01C2D840.00763A90-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 19 18:46:17 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA27096 for obm-l-MTTP; Wed, 19 Feb 2003 18:43:41 -0300 Received: from ivoti.terra.com.br (ivoti.terra.com.br [200.176.3.20]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA27092 for ; Wed, 19 Feb 2003 19:43:38 -0200 Received: from penha.terra.com.br (penha.terra.com.br [200.176.3.43]) by ivoti.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 34858408602 for ; Wed, 19 Feb 2003 18:43:07 -0300 (BRT) Received: from niski.com (unknown [200.148.195.16]) (authenticated user fniski) by penha.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 1C6FC6827F for ; Wed, 19 Feb 2003 18:43:06 -0300 (BRT) Message-ID: <3E53FAAA.6020508@niski.com> Date: Wed, 19 Feb 2003 18:44:10 -0300 From: niski User-Agent: Mozilla/5.0 (X11; U; Linux i686; en-US; rv:1.0.1) Gecko/20020830 X-Accept-Language: en-us, en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Bibliotecas.. References: <20030219185600.991.qmail@web12905.mail.yahoo.com> <001701c2d859$26a40e90$2accfea9@gauss> Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Domingos Jr. wrote: > Acho que ele estava falando do IME militar e não da Usp... Aliás, o > que vc faz lá? Eu faço ciência da computação... nao. me referi ao IME-USP mesmo > ----- Original Message ----- > *From:* Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet > > *To:* obm-l@mat.puc-rio.br > *Sent:* Wednesday, February 19, 2003 3:56 PM > *Subject:* Re: [obm-l] Bibliotecas.. > > Depende....Eu moro em Sao Paulo e ja achei muita coisa legal no > IME-USP,como as demonstraçoes do TNP e do Teorema da PA que tem o > meu nome.E tem livros ate de IMO!Ja no IMPA eu ouvi falar que tem > algumas ediçoes da CRUX Mathematicorum e exemplares do Proofs. > > Na USP,site www.ime.usp.br voce encontra > um acervo com os livros disponiveis. > > */niski >/* wrote: > > Olá pessoal das entre as bibliotecas do IMPA, IME e ITA existe > alguma > diferenca muito grande entre alguma delas? > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > > > ------------------------------------------------------------------------ > *Busca Yahoo! * > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o > Yahoo! encontra. > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 19 22:05:32 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA29805 for obm-l-MTTP; Wed, 19 Feb 2003 22:03:31 -0300 Received: from Euler.impa.br (euler.impa.br [147.65.1.3]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA29801 for ; Wed, 19 Feb 2003 23:03:29 -0200 Received: from [147.65.11.12] (dial12.impa.br [147.65.11.12]) by Euler.impa.br (8.11.6/8.11.6) with ESMTP id h1K12wJ22710 for ; Wed, 19 Feb 2003 22:02:58 -0300 (EST) Message-Id: <200302200102.h1K12wJ22710@Euler.impa.br> X-Mailer: Microsoft Outlook Express Macintosh Edition - 4.5 (0410) Date: Wed, 19 Feb 2003 22:01:34 -0300 Subject: Re: [obm-l] Negocio da China ! From: "Eduardo Wagner" To: obm-l@mat.puc-rio.br Mime-version: 1.0 X-Priority: 3 Content-type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id XAA29802 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Ha um pequeno engano no problema 2. Na verdade, deve-se provar que OY e' perpendicular a XY. Abracos, Wagner. ---------- >From: "Paulo Santa Rita" >To: obm-l@mat.puc-rio.br >Subject: [obm-l] Negocio da China ! >Date: Wed, Feb 19, 2003, 12:09 PM > > Ola Pessoal, > > Seguem abaixo as traduçoes ( do ingles ) de tres problemas de Olimpiadas da > China. > > (1 - CHINA 1990 ) "S" e o conjunto de todos os sub-conjuntos de um dado > conjunto X que teem um mesmo numero de elementos e "F" e uma funcao real > definida sobre "S" tal que F(A) > 1990 para algum elemento A de S. Sabe-se > tambem que : F(B uniao C)=F(B)+ F(C)-1990 para todos elementos "B" e "C" de > S que sejam disjuntos. Mostre que nos podemos encontrar um > sub-conjunto Y de X tal que : > > F(D) > 1990 para todo D contido em Y > F(D) =< 1990 para todo D contido em X-Y > > (2 - CHINA 1992 ) As diagonais de um quadrilatero ciclico (inscritivel) > encontram-se em X. O circulo circunscrito ao triangulo ABX encontra o > circulo circunscrito ao triangulo CDX em X e Y. Se "O" e o centro do circulo > circunscrito ao quadrilatero ABCD e "O","X" e "Y" sao distintos dois a dois, > mostre que OY e perpendicular a OX. > > (3 - CHINA 1994 ) Seja p(z)= z^N + An-1*z^(N-1) + ... + A0 um polinomio com > coeficientes complexos. Mostre que nos podemos encontrar um ponto (numero > complexo) "z" com modulo(z') =< 1 e tal que > modulo(p(z')) >= 1 + modulo(A0). > > Um Abraco a Todos > Paulo Santa Rita > 4,1209,190203 > > > > > > > _________________________________________________________________ > MSN Messenger: converse com os seus amigos online. > http://messenger.msn.com.br > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 20 11:11:03 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA04084 for obm-l-MTTP; Thu, 20 Feb 2003 11:09:14 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA04080 for ; Thu, 20 Feb 2003 12:09:12 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1KE7FL28560 for ; Thu, 20 Feb 2003 11:07:15 -0300 Message-ID: <001301c2d8f2$5ac76f20$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: Subject: Re: [obm-l] Negocio da China ! Date: Thu, 20 Feb 2003 12:11:32 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caro Paulo: Nesta sua questão: > > (1 - CHINA 1990 ) "S" e o conjunto de todos os sub-conjuntos de um dado > conjunto X que teem um mesmo numero de elementos e "F" e uma funcao real > definida sobre "S" tal que F(A) > 1990 para algum elemento A de S. Sabe-se > tambem que : F(B uniao C)=F(B)+ F(C)-1990 para todos elementos "B" e "C" de > S que sejam disjuntos. Mostre que nos podemos encontrar um > sub-conjunto Y de X tal que : > > F(D) > 1990 para todo D contido em Y > F(D) =< 1990 para todo D contido em X-Y > Se todos os elementos de S têm o mesmo número N de elementos, e se B e C são elementos disjuntos de S, então B união C terá 2N elementos e não será elemento de S ==> F(B união C) não estará definida. Esta definição de S está mesmo certa? Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 20 11:19:41 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA04285 for obm-l-MTTP; Thu, 20 Feb 2003 11:18:10 -0300 Received: from bridge3.bridge.com.br (bridge3.bridge.com.br [200.244.126.37]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA04281 for ; Thu, 20 Feb 2003 12:18:07 -0200 Received: from fulano (unverified [200.165.249.10]) by bridge3.bridge.com.br (Vircom SMTPRS 4.2.181) with ESMTP id for ; Thu, 20 Feb 2003 11:17:00 -0300 Message-ID: <001901c2d8ea$7e86b720$0307a8c0@fulano> From: "Eduardo Azevedo" To: References: <20030219185600.991.qmail@web12905.mail.yahoo.com> <001701c2d859$26a40e90$2accfea9@gauss> <3E53FAAA.6020508@niski.com> Subject: Re: [obm-l] Bibliotecas.. Date: Thu, 20 Feb 2003 11:15:11 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4133.2400 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Na da USP nunca fui. A do CTA é a maior bib. tecnica da america latina, tem coisa pra caceta, mas é mais engenharia. Matemática nem é taaaaaaaao bom. Tem pequenas mas boas secoes de historia/literatura/filosofia/ficcao. Já o IMPA é mao bom, e mais voltado pra pesquisa. Tem zilhoes de artigos em tudo que é área da matemática. E tambem de computacao grafica, economia, computacao e fisica. Tambem tem muito livro, mas o ponto forte sao as revistas. ----- Original Message ----- From: "niski" To: Sent: Wednesday, February 19, 2003 6:44 PM Subject: Re: [obm-l] Bibliotecas.. > Domingos Jr. wrote: > > > Acho que ele estava falando do IME militar e não da Usp... Aliás, o > > que vc faz lá? Eu faço ciência da computação... > > > nao. me referi ao IME-USP mesmo > > > ----- Original Message ----- > > *From:* Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet > > > > *To:* obm-l@mat.puc-rio.br > > *Sent:* Wednesday, February 19, 2003 3:56 PM > > *Subject:* Re: [obm-l] Bibliotecas.. > > > > Depende....Eu moro em Sao Paulo e ja achei muita coisa legal no > > IME-USP,como as demonstraçoes do TNP e do Teorema da PA que tem o > > meu nome.E tem livros ate de IMO!Ja no IMPA eu ouvi falar que tem > > algumas ediçoes da CRUX Mathematicorum e exemplares do Proofs. > > > > Na USP,site www.ime.usp.br voce encontra > > um acervo com os livros disponiveis. > > > > */niski >/* wrote: > > > > Olá pessoal das entre as bibliotecas do IMPA, IME e ITA existe > > alguma > > diferenca muito grande entre alguma delas? > > > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > O administrador desta lista é > > ========================================================================= > > > > > ------------------------------------------------------------------------ > > *Busca Yahoo! * > > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o > > Yahoo! encontra. > > > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 20 11:25:26 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA04448 for obm-l-MTTP; Thu, 20 Feb 2003 11:23:55 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA04444 for ; Thu, 20 Feb 2003 12:23:52 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1KELtL29487 for ; Thu, 20 Feb 2003 11:21:55 -0300 Message-ID: <002001c2d8f4$67790740$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030219160540.9929.qmail@web12906.mail.yahoo.com> <003d01c2d84d$5cbd81c0$3300c57d@bovespa.com> Subject: Re: [obm-l] Desigualdade estranhinha Date: Thu, 20 Feb 2003 12:26:10 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_001D_01C2D8DB.406FC760" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_001D_01C2D8DB.406FC760 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Caro JP e demais colegas: Falei besteira. A express=E3o continua ilimitada. Defina os A(i)'s como se segue (supondo n >=3D 8): A(1) =3D -A (A =3D no. real qualquer) A(2) =3D -A A(3) =3D 0 A(4) =3D A A(5) =3D A A(6) =3D 0 A(7) =3D 1 A(k) =3D 0 para 8 <=3Dk <=3D n De forma que: A(1) + ... + A(n) =3D 1 e A(1)*A(2) + ... + A(n-1)*A(n) + A(n)*A(1) =3D 2*A^2 =3D=3D> ilimitada = superiormente Por favor, desconsidere o escrito abaixo. Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Cl=E1udio (Pr=E1tica)=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Wednesday, February 19, 2003 4:30 PM Subject: Re: [obm-l] Desigualdade estranhinha Caro JP: Ent=E3o, o problema =E9: Maximizar a_1*a_2+a_2*a_3+a_3*a_4+.....+a_(n-1)*an+a_n*a_1 sabendo que = a soma dos a's e 1. Nesse caso, acho que cabe a desigualdade do rearranjo: Suponhamos s.p.d.g. que A(1) <=3D A(2) <=3D ... <=3D A(n). Pela desig. do rearranjo, vale: A(1)*A(2) + ... + A(n-1)*A(n) + A(n)*A(1) <=3D A(1)^2 + ... + A(n)^2, = com igualdade se e somente se os A(i)'s s=E3o todos iguais. Como a soma deles =E9 1, eles ser=E3o todos iguais a 1/n =3D=3D> o valor m=E1ximo procurado =E9 igual a n * (1/n)^2 =3D 1/n. Repare que n=E3o foi necess=E1rio supor que os A(i)'s s=E3o positivos, = pois a desig. do rearranjo n=E3o necessita dessa hip=F3tese. Um abra=E7o, Claudio. ------=_NextPart_000_001D_01C2D8DB.406FC760 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Caro JP e demais colegas:
 
Falei besteira. A=20 express=E3o continua ilimitada.
 
Defina os A(i)'s como se segue = (supondo n >=3D 8):
A(1) =3D -A  (A =3D no. real=20 qualquer)
A(2) =3D -A
A(3) =3D 0
A(4) =3D A
A(5) =3D A
A(6) =3D 0
A(7) =3D 1
A(k) =3D 0 para 8 <=3Dk <=3D = n
 
De forma que:
A(1) + ... + A(n) =3D 1
e
A(1)*A(2) + ... + A(n-1)*A(n) + = A(n)*A(1) =3D=20 2*A^2  =3D=3D> ilimitada superiormente
 
Por favor, desconsidere o escrito=20 abaixo.
 
Um abra=E7o,
Claudio.
 
----- Original Message -----
From:=20 Cl=E1udio = (Pr=E1tica)
Sent: Wednesday, February 19, = 2003 4:30=20 PM
Subject: Re: [obm-l] = Desigualdade=20 estranhinha

Caro JP:
 
Ent=E3o, o problema =E9:
 
Maximizar a_1*a_2+a_2*a_3+a_3*a_4+.....+a_(n-1)*an+a_n*a_1 = sabendo que a=20 soma dos a's e 1.
 
Nesse caso, acho que cabe a desigualdade do rearranjo:
 
Suponhamos s.p.d.g. que A(1) <=3D A(2) <=3D ... <=3D = A(n).
 
Pela desig. do rearranjo, = vale:
 
A(1)*A(2) + ... + A(n-1)*A(n) + = A(n)*A(1) <=3D=20 A(1)^2 + ... + A(n)^2, com igualdade se e somente se os A(i)'s s=E3o = todos=20 iguais.
 
Como a soma deles =E9 1, eles ser=E3o = todos iguais a=20 1/n =3D=3D>
 
o valor m=E1ximo procurado =E9 igual = a n * (1/n)^2 =3D=20 1/n.
 
Repare que n=E3o foi necess=E1rio = supor que os A(i)'s=20 s=E3o positivos, pois a desig. do rearranjo n=E3o necessita dessa=20 hip=F3tese.
 
Um abra=E7o,
Claudio.
 
------=_NextPart_000_001D_01C2D8DB.406FC760-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 20 11:33:12 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA04796 for obm-l-MTTP; Thu, 20 Feb 2003 11:31:45 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA04791 for ; Thu, 20 Feb 2003 12:31:42 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.228]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1KETjL29943 for ; Thu, 20 Feb 2003 11:29:45 -0300 Message-ID: <002c01c2d8f5$8009aca0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?Windows-1252?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: Subject: [obm-l] =?Windows-1252?B?UGFydGnn428=?= Date: Thu, 20 Feb 2003 12:34:03 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0029_01C2D8DC.59DAA020" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0029_01C2D8DC.59DAA020 Content-Type: text/plain; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable HelpCaros colegas da lista: Estou embananado com este aqui: 1) Prove que existe uma parti=E7=E3o de {1, 2, ..., 2001} em 667 = subconjuntos de 3 elementos tal que a soma dos elementos de cada = subconjunto =E9 igual a 3003. 2) Determine todos os inteiros positivos M tais que o conjunto {1 2, = ..., 3M} admite uma parti=E7=E3o em M subconjuntos de 3 elementos tal = que a soma dos elementos de cada subconjunto =E9 constante. Um abra=E7o, Claudio. ------=_NextPart_000_0029_01C2D8DC.59DAA020 Content-Type: text/html; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Help
Caros colegas da lista:
 
Estou embananado com este aqui:
 
1) Prove que existe uma parti=E7=E3o de {1, 2, ..., 2001} em 667 = subconjuntos=20 de 3 elementos tal que a soma dos elementos de cada subconjunto =E9 = igual a=20 3003.
 
2) Determine todos os inteiros positivos M tais que o conjunto = {1 2,=20 ..., 3M} admite uma parti=E7=E3o em M subconjuntos de 3 elementos = tal que a=20 soma dos elementos de cada subconjunto =E9 constante.
 
Um abra=E7o,
Claudio.
------=_NextPart_000_0029_01C2D8DC.59DAA020-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 20 11:34:13 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA04850 for obm-l-MTTP; Thu, 20 Feb 2003 11:32:37 -0300 Received: from hotmail.com (f75.sea2.hotmail.com [207.68.165.75]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA04846 for ; Thu, 20 Feb 2003 12:32:33 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Thu, 20 Feb 2003 06:32:02 -0800 Received: from 200.142.58.19 by sea2fd.sea2.hotmail.msn.com with HTTP; Thu, 20 Feb 2003 14:32:01 GMT X-Originating-IP: [200.142.58.19] From: "Paulo Santa Rita" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] O numero fi Date: Thu, 20 Feb 2003 14:32:01 +0000 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 20 Feb 2003 14:32:02.0296 (UTC) FILETIME=[D5578780:01C2D8EC] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Ola Pessoal, O numero "fi" ( letra grega ) e um dos numeros mais notaveis da Matematica. Ele aparece no problema geometrico de dividir um segmento em "Media e extrema razao" ( expressao devida aos gregos ). Seja L o comprimento de um segmento AB. Encontrar um ponto C interior a AB tal que : AC/CB = AB/AC. Tomando A por origem (AC=x) , fica : x/(L-x)=L/x => x^2 + Lx - L2 = 0 Daqui : x=( (raiz_2(5) - 1)/2 )*L. Fazendo L=1 x = ( (raiz_2(5) - 1)/2 ). Essa solucao e o numero "fi", isto e : fi = ( (raiz_2(5) - 1)/2 ) O numero "fi" mantem uma relacao muito proxima com a beleza e tem relacoes matematicas muito interessantes ... PROBLEMA 1) "fi" e uma das solucoes de x^2 + x - 1=0. Exiba uma sequencia de numeros reais, estritamente crescente, tal que ela seja simultaneamente uma PA e uma PG. Esta sequencia e unica ou existe outra(s) ? PROBLEMA 2) Seja 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., An, ... a sequencia de fibonaci. Qual o LIM An/An-1 quando n tende ao infinito ? Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 5,1130,200203 _________________________________________________________________ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 20 11:45:36 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA05614 for obm-l-MTTP; Thu, 20 Feb 2003 11:43:58 -0300 Received: from hotmail.com (f17.sea2.hotmail.com [207.68.165.17]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA05607 for ; Thu, 20 Feb 2003 12:43:54 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Thu, 20 Feb 2003 06:43:23 -0800 Received: from 200.216.62.82 by sea2fd.sea2.hotmail.msn.com with HTTP; Thu, 20 Feb 2003 14:43:22 GMT X-Originating-IP: [200.216.62.82] From: "Paulo Santa Rita" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Negocio da China ! Date: Thu, 20 Feb 2003 14:43:22 +0000 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 20 Feb 2003 14:43:23.0240 (UTC) FILETIME=[6B375680:01C2D8EE] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, Eu fiz as traducoes no momento em que remetia a mensagem, isto e, em tempo real, dai a pressa engendrou algumas expressoes dividosas. Onde esta DEFINIDA SOBRE S leia DEFINIDA EM S, isto e, a funcao F tem para dominio um subconjuto das partes de X que contem S. Eu agradeco sua observao e peco desculpas aos demais membros. Um Abraco Paulo Santa Rita 5,1142,200203 >From: "Cláudio \(Prática\)" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: >Subject: Re: [obm-l] Negocio da China ! >Date: Thu, 20 Feb 2003 12:11:32 -0300 > >Caro Paulo: > >Nesta sua questão: > > > > (1 - CHINA 1990 ) "S" e o conjunto de todos os sub-conjuntos de um dado > > conjunto X que teem um mesmo numero de elementos e "F" e uma funcao real > > definida sobre "S" tal que F(A) > 1990 para algum elemento A de S. >Sabe-se > > tambem que : F(B uniao C)=F(B)+ F(C)-1990 para todos elementos "B" e "C" >de > > S que sejam disjuntos. Mostre que nos podemos encontrar um > > sub-conjunto Y de X tal que : > > > > F(D) > 1990 para todo D contido em Y > > F(D) =< 1990 para todo D contido em X-Y > > >Se todos os elementos de S têm o mesmo número N de elementos, e se B e C >são >elementos disjuntos de S, então B união C terá 2N elementos e não será >elemento de S ==> F(B união C) não estará definida. > >Esta definição de S está mesmo certa? > >Um abraço, >Claudio. > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= _________________________________________________________________ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 20 13:01:27 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA09011 for obm-l-MTTP; Thu, 20 Feb 2003 12:55:53 -0300 Received: from itaqui.terra.com.br (itaqui.terra.com.br [200.176.3.19]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA09007 for ; Thu, 20 Feb 2003 13:55:50 -0200 Received: from una.terra.com.br (una.terra.com.br [200.176.3.32]) by itaqui.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 647093BD143 for ; Thu, 20 Feb 2003 12:55:17 -0300 (BRT) Received: from nt (RJ231082.user.veloxzone.com.br [200.165.231.82]) (authenticated user ensr) by una.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id E4A472F0070 for ; Thu, 20 Feb 2003 12:55:16 -0300 (BRT) Message-ID: <011f01c2d8f8$7dd9a5e0$5400a8c0@ensrbr> From: "Luis Lopes" To: References: <3E48201F.3060508@centroin.com.br> <20030211144637.H9677@sucuri.mat.puc-rio.br> <20030218100957.D12626@sucuri.mat.puc-rio.br> Subject: [obm-l] forma fechada e integral Date: Thu, 20 Feb 2003 12:55:28 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Sauda,c~oes, \sum_k \frac{n+1}{2k+1} \binom{n+1}{2k+1} . \sum_{k\geq0} \frac{k}{n+k} \binom{n}{k} . \sum_{k\geq0} \frac{2k}{2n+k} \binom{n}{k} . Querendo conhecer as formas fechadas (se existentes) das três somas acima, escrevi para o prof. Rousseau. Em função das suas respostas, fiquei sabendo que não existem. Mas não entendi a passagem para a integral e a justificativa decorrente. Para não incomodá-lo MAIS uma vez, gostaria de perguntar antes pra lista (e participar também tais resultados). Talvez a resposta até seja elementar. Cortando algumas partes, aí segue nossa discussão. []'s Luís Dear Cecil, Retaking my CRUX saga, consider problem 2683 whose solution appears in 28(8), December 2002, pp~539--540. Find the value of \lim_{n\to\infty} \left( \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \frac{n+1}{2k+1} \binom{n+1}{2k+1} \right) . It turns out to be 2. In this problem - as always - I am more interested in a closed form to \sum_k \frac{n+1}{2k+1} \binom{n+1}{2k+1} . As CRUX didn´t mention it, I strongly suspect there is none. Regards, Luis Dear Luis: I would be very surprised if there is a closed form for this. One can write it rather compactly as an integral, but that doesn't seem to help very much. You can certainly put it in hypergeometric form, but not as far as I know can it be written in a form where the sum can be deduced from one of the classical formulas (Gauss. Dixon, Pfaff-Saalschutz) Cecil %%%%% Segunda mensagem%%%% Luis Lopes wrote: Dear Cecil, I knew already the published solution (similar to yours). ....... Again there shouldn´t be any closed form to \sum_{k\geq0} \frac{k}{n+k} \binom{n}{k} . Not to mention \sum_{k\geq0} \frac{2k}{2n+k} \binom{n}{k} Thank you, Luis Dear Luis: The first one is the same as n \int_0^1 (1+x)^{n-1} x^n dx and I am pretty sure there is no closed form for the integral. The second one is similar. You could get something for it if you could evaluate \int_0^1 (1+x)^{n-1} x^{2n} dx, and I believe that this is out of reach. I haven't tried that hard, but Maple fails to give an evaluation and nothing I have found in Gradshteyn and Ryzhik is helpful. Cecil ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 20 13:02:50 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA09097 for obm-l-MTTP; Thu, 20 Feb 2003 13:00:17 -0300 Received: from traven10.uol.com.br (traven9.uol.com.br [200.221.29.45] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA09091 for ; Thu, 20 Feb 2003 14:00:14 -0200 Received: from gauss ([200.158.97.18]) by traven10.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with SMTP id MAA02203 for ; Thu, 20 Feb 2003 12:57:33 -0300 (BRT) Message-ID: <006a01c2d8f9$152f1a60$2accfea9@gauss> From: "Domingos Jr." To: References: <20030219185600.991.qmail@web12905.mail.yahoo.com> <001701c2d859$26a40e90$2accfea9@gauss> <3E53FAAA.6020508@niski.com> Subject: Re: [obm-l] Bibliotecas.. Date: Thu, 20 Feb 2003 12:59:42 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2720.3000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Acho que ele estava falando do IME militar e não da Usp... Aliás, o > > que vc faz lá? Eu faço ciência da computação... > > > nao. me referi ao IME-USP mesmo Eu acho legal a biblioteca de lá, só é frustrante não encontrar livros de tecnologias atuais para quem lida no mercado. Outro aspecto negativo é que você não pode entrar no local onde está o acervo, você tem que procurar no sistema deles (internet ou no pc que tem lá na biblioteca para consulta ao acervo) e pedir pro bibliotecário ver se tem o(s) livro(s)... A exceção é para professores, alunos de pós e iniciação científica... [ ]'s ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 20 13:25:55 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA09796 for obm-l-MTTP; Thu, 20 Feb 2003 13:24:19 -0300 Received: from utahjazz.vesper.com.br ([200.218.62.20]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA09792 for ; Thu, 20 Feb 2003 14:24:16 -0200 Received: from ipcsrvnws02.vespersa.com.br ([10.11.255.107]) by utahjazz.vesper.com.br with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5329); Thu, 20 Feb 2003 13:23:28 -0300 Received: by ipcsrvnws01.sp.vespersa.com.br with Internet Mail Service (5.5.2653.19) id <1JTSCNX8>; Thu, 20 Feb 2003 13:23:11 -0300 Message-ID: From: =?iso-8859-1?Q?Jo=E3o_Gilberto_Ponciano_Pereira?= To: "'obm-l@mat.puc-rio.br'" Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?RE=3A_=5Bobm-l=5D_Parti=E7=E3o?= Date: Thu, 20 Feb 2003 13:23:12 -0300 MIME-Version: 1.0 X-Mailer: Internet Mail Service (5.5.2653.19) Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" X-OriginalArrivalTime: 20 Feb 2003 16:23:28.0765 (UTC) FILETIME=[66C9BAD0:01C2D8FC] Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id OAA09793 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br "2) Determine todos os inteiros positivos M tais que o conjunto {1 2, ..., 3M} admite uma partição em M subconjuntos de 3 elementos tal que a soma dos elementos de cada subconjunto é constante." A Questão é... Como distribuir os elementos? Vamos imaginar uma seqüência de 6 consecutivos.... n-2, n-1, n, n+1, n+2, n+3. Neste caso, podemos fazer 3 pares de forma que a soma seja 2n-1: (n-2) e (n+3) (n-1) e (n+2) (n) e (n+1). Logo, se M for par, basta ir distribuindo os números de 6 em 6 (1 a 6, 7 a 12... 3M-6 a 3M), pelo método acima. E se M for ímpar? Neste caso, podemos dividir os 9 primeiros termos (1 a 9) em 3 grupos de soma igual: 1,5,9 = 15 2,6,7 = 15 3,4,8 = 15 Para o restante, podemos seguir de 6 em 6. (1 a 9, 10 a 15, 16 a 21...1996 a 2001) Proposta: Podemos pensar até num exercício um pouco mais elaborado, do tipo: 3) Determine todos os inteiros positivos M tais que o conjunto {1 2, ..., kM} admite uma partição em M subconjuntos de k elementos tal que a soma dos elementos de cada subconjunto é constante. -----Original Message----- From: Cláudio (Prática) [mailto:claudio@praticacorretora.com.br] Sent: Thursday, February 20, 2003 12:34 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Partição Caros colegas da lista: Estou embananado com este aqui: 1) Prove que existe uma partição de {1, 2, ..., 2001} em 667 subconjuntos de 3 elementos tal que a soma dos elementos de cada subconjunto é igual a 3003. 2) Determine todos os inteiros positivos M tais que o conjunto {1 2, ..., 3M} admite uma partição em M subconjuntos de 3 elementos tal que a soma dos elementos de cada subconjunto é constante. Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 20 13:36:35 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA10098 for obm-l-MTTP; Thu, 20 Feb 2003 13:35:02 -0300 Received: from web20708.mail.yahoo.com (web20708.mail.yahoo.com [216.136.226.181]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id OAA10094 for ; Thu, 20 Feb 2003 14:34:58 -0200 Message-ID: <20030220163427.82136.qmail@web20708.mail.yahoo.com> Received: from [147.65.5.204] by web20708.mail.yahoo.com via HTTP; Thu, 20 Feb 2003 13:34:27 ART Date: Thu, 20 Feb 2003 13:34:27 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?okakamo=20kokobongo?= Subject: Re: [obm-l] Oi Pessoal To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <20030219161423.97302.qmail@web12903.mail.yahoo.com> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Muito obrigado pela sua atencao carissimo professor Johann. Gostaria de dizer que eu lhe admiro muito pelo que vejo de voce na lista. Esta sua notacao e brilhante e me facilitou muito a vida, mas nao vejo o que essa sua dica tem a ver com o problema. Muito Grato, Okakamo Kokobongo Matsubashi. --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet escreveu: > > Seu sobrenome e Matsubashi ou eu to viajando? > Soluçao parcial: > Vejamos...eu costumo usar a notaçao de flechas.Seja > a^b=a*a*a*a...*a (b vezes). > a^^1=a e a^^(n+1)=a^(a^^n). > Assim na sequencia a(n)=a^^n queremos que o modulo > t=10^1000 desse troço seja constante.Por PCP tem > dois caras i e j tais que a^^(i+j)===a^^(i)(mod > t).Talvez o resto saia com Euler-Fermat ou coisa > assim... > okakamo kokobongo > wrote:Oi pessoal, > Tenho acompanhado a lista pelo site da obm à alguns > dias e então resolvi entrar. Tenho um problema legal > (gostaria da ajuda de um dos brilhantes > participantes > da lista, como: Johann Peter Gustav Lejeune > Dirichlet...): Seja a(1) = a; a(n+1) = a^a(n); Prove > que: para qualquer a > 1 inteiro, os últimos 1000 > dígitos da expansão decimal de a(n) ficam > eventualmente constantes !!! > Okakamo Kokobongo > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que > você pensar o Yahoo! encontra. > http://br.busca.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > > > TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE > > CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA > INSIGNIA TRIBVERE > > Fields Medal(John Charles Fields) > > > > --------------------------------- > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que > você pensar o Yahoo! encontra. _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. 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(http://mathworld.wolfram.com/EulersTotientTheorem.html) phi(10^1000) é o número de inteiros de 1...10^1000 que são relativamente primos com 10^1000. temos que todos os múltiplos de 2 ou 5 são os únicos inteiros com divisor em comum com 10^1000, logo, o número de múltiplos de 2 e 5 é (10^1000)/2 + (10^1000)/5 - (10^1000)/10 = 3/5(10^1000) phi(10^1000) = 2/5(10^1000) = 2^1001.5^999 se mdc(10^1000, a) = 1, temos a^phi(10^1000) = 1 (mod 10^1000) pelo teorema de Euler suponha que para algum n, a(n) = a(n+1) (mod 10^1000) a(n+2) = a^a(n+1) = a^(10^1000.q + a(n)) = (a^(10^1000))^q . a^a(n) = (a^(10^1000))^q . a(n+1) se q = 2k, temos a(n+2) = (a^(10^1000))^2k . a^a(n) = a^a(n) = a^a(n+1) se q = 2k + 1, a(n+2) = (a^(10^1000))^(2k + 1) . a(n+1) = (a^(10^1000))^2k . a^(10^1000) . a(n+1) = a^(10^1000) . a(n+1) a(n+2) = a^(10^1000) . a(n+1) a(n+2)² = [a^(10^1000) . a(n+1)]² = a(n+1)² a(n+2)² = a(n+1)² aqui entram os detalhes técnicos, é simples ver que os primos da fatoração a(m) são os mesmos da fatoração de a, sendo assim, se mdc(a, 10^1000) = 1, mdc(a(m), 10^1000) = 1 para todo m >= 1. se considerarmos o grupo multiplicativo formato pelos elementos de 1 até 10^1000 relativamente primos a 10^1000, temos: a(n+2)² = a(n+1)² <=> (a(n+2) - a(n+1)).(a(n+2) + a(n+1)) <=> a(n+2) = a(n+1) ou a(n+2) = -a(n+1) se conseguirmos eliminar o caso a(n+2) = -a(n+1), ou eliminarmos a possibilidade de que q seja ímpar, bastaria provar que, dado a, mdc(a, 10^1000) = 1, se existe algum n tal que a(n) = a(n+1), temos que após n todos os 10.000 últimos dígitos da seqüência estarão fixados. sobram os casos em que 2|a ou (exclusivo) 5|a, se 10|a, a resposta é trivial, já que só de olhar para 10^10^10 dá pra ver que essas séries vão ter números com muitos zeros no final e esse número de zeros atinge 1000 bem rapidamente... [ ]'s > Oi pessoal, > Tenho acompanhado a lista pelo site da obm à alguns > dias e então resolvi entrar. Tenho um problema legal > (gostaria da ajuda de um dos brilhantes participantes > da lista, como: Johann Peter Gustav Lejeune > Dirichlet...): Seja a(1) = a; a(n+1) = a^a(n); Prove > que: para qualquer a > 1 inteiro, os últimos 1000 > dígitos da expansão decimal de a(n) ficam > eventualmente constantes !!! > Okakamo Kokobongo > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. 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Cláudio_(Prática) wrote:Caro JP: Então, o problema é: Maximizar a_1*a_2+a_2*a_3+a_3*a_4+.....+a_(n-1)*an+a_n*a_1 sabendo que a soma dos a's e 1. Nesse caso, acho que cabe a desigualdade do rearranjo: Suponhamos s.p.d.g. que A(1) <= A(2) <= ... <= A(n). Pela desig. do rearranjo, vale: A(1)*A(2) + ... + A(n-1)*A(n) + A(n)*A(1) <= A(1)^2 + ... + A(n)^2, com igualdade se e somente se os A(i)'s são todos iguais. Como a soma deles é 1, eles serão todos iguais a 1/n ==> o valor máximo procurado é igual a n * (1/n)^2 = 1/n. Repare que não foi necessário supor que os A(i)'s são positivos, pois a desig. do rearranjo não necessita dessa hipótese. Um abraço,Claudio. --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-1052752663-1045761557=:67121 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

Valeu cara,me matei em algo tao inutil.Mas nao da pra cantar vitoria afinal temos que maximizar a somatoria dos quadrados quando so sabemos da soma das primeiras potencias.E isso e dificil....

 Cláudio_(Prática) <claudio@praticacorretora.com.br> wrote:

Caro JP:
 
Então, o problema é:
 
Maximizar a_1*a_2+a_2*a_3+a_3*a_4+.....+a_(n-1)*an+a_n*a_1 sabendo que a soma dos a's e 1.
 
Nesse caso, acho que cabe a desigualdade do rearranjo:
 
Suponhamos s.p.d.g. que A(1) <= A(2) <= ... <= A(n).
 
Pela desig. do rearranjo, vale:
 
A(1)*A(2) + ... + A(n-1)*A(n) + A(n)*A(1) <= A(1)^2 + ... + A(n)^2, com igualdade se e somente se os A(i)'s são todos iguais.
 
Como a soma deles é 1, eles serão todos iguais a 1/n ==>
 
o valor máximo procurado é igual a n * (1/n)^2 = 1/n.
 
Repare que não foi necessário supor que os A(i)'s são positivos, pois a desig. do rearranjo não necessita dessa hipótese.
 
Um abraço,
Claudio.
 
 


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O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-1052752663-1045761557=:67121-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 20 14:34:53 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA13020 for obm-l-MTTP; Thu, 20 Feb 2003 14:33:27 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA13016 for ; Thu, 20 Feb 2003 15:33:24 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1KHVQL08476 for ; Thu, 20 Feb 2003 14:31:26 -0300 Message-ID: <005f01c2d90e$e1e75940$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <3E48201F.3060508@centroin.com.br> <20030211144637.H9677@sucuri.mat.puc-rio.br> <20030218100957.D12626@sucuri.mat.puc-rio.br> <011f01c2d8f8$7dd9a5e0$5400a8c0@ensrbr> Subject: Re: [obm-l] forma fechada e integral Date: Thu, 20 Feb 2003 15:35:40 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caro Luís: Não estou familiarizado com a notação que você usou. Por acaso, seria isso? infinito Soma 1 = SOMA ((n+1)/(2k+1))*C(n+1,2k+1) k = 0 infinito Soma 2 = SOMA (k/(n+k))*C(n,k) k = 0 infinito Soma 3 = SOMA (2k/(2n+k))*C(n,k) k = 0 onde: C(n,k) = no. de subconjuntos de k elementos de um conjunto de n elementos Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Luis Lopes" To: Sent: Thursday, February 20, 2003 12:55 PM Subject: [obm-l] forma fechada e integral > Sauda,c~oes, > > \sum_k \frac{n+1}{2k+1} \binom{n+1}{2k+1} . > > \sum_{k\geq0} \frac{k}{n+k} \binom{n}{k} . > > \sum_{k\geq0} \frac{2k}{2n+k} \binom{n}{k} . > > Querendo conhecer as formas fechadas > (se existentes) das três somas acima, > escrevi para o prof. Rousseau. > > Em função das suas respostas, fiquei sabendo > que não existem. Mas não entendi a passagem > para a integral e a justificativa decorrente. > Para não incomodá-lo MAIS uma vez, gostaria > de perguntar antes pra lista (e participar também > tais resultados). Talvez a resposta até seja > elementar. > > Cortando algumas partes, aí segue nossa > discussão. > > []'s > Luís > > > Dear Cecil, > > Retaking my CRUX saga, consider problem > 2683 whose solution appears in 28(8), > December 2002, pp~539--540. > > Find the value of \lim_{n\to\infty} \left( > \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} > \frac{n+1}{2k+1} \binom{n+1}{2k+1} \right) . > It turns out to be 2. > > In this problem - as always - I am more > interested in a closed form to > > \sum_k \frac{n+1}{2k+1} \binom{n+1}{2k+1} . > > As CRUX didn´t mention it, I strongly suspect > there is none. > > Regards, > Luis > > Dear Luis: > > I would be very surprised if there is > a closed form for this. One can write > it rather compactly as an integral, but > that doesn't seem to help very much. > You can certainly put it in hypergeometric > form, but not as far as I know can it > be written in a form where the sum can > be deduced from one of the classical > formulas (Gauss. Dixon, Pfaff-Saalschutz) > > Cecil > > > %%%%% Segunda mensagem%%%% > Luis Lopes wrote: > > Dear Cecil, > > I knew already the published solution > (similar to yours). ....... > > Again there shouldn´t be any closed form to > \sum_{k\geq0} \frac{k}{n+k} \binom{n}{k} . > > Not to mention > > \sum_{k\geq0} \frac{2k}{2n+k} \binom{n}{k} > > Thank you, > Luis > > Dear Luis: > > The first one is the same as n \int_0^1 (1+x)^{n-1} x^n dx > and I am pretty sure there is no closed form for the integral. > The second one is similar. You could get something for it > if you could evaluate \int_0^1 (1+x)^{n-1} x^{2n} dx, > and I believe that this is out of reach. I haven't tried that > hard, but Maple fails to give an evaluation and nothing > I have found in Gradshteyn and Ryzhik is helpful. > > Cecil > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 20 15:24:53 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA14561 for obm-l-MTTP; Thu, 20 Feb 2003 15:23:04 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA14557 for ; Thu, 20 Feb 2003 16:23:00 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1KIL2L11562 for ; Thu, 20 Feb 2003 15:21:02 -0300 Message-ID: <007001c2d915$d047c420$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_RE:_=5Bobm-l=5D_Parti=E7=E3o?= Date: Thu, 20 Feb 2003 16:25:19 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caro João Gilberto: Obrigado pelos comentários. Os meus seguem abaixo: ----- Original Message ----- From: "João Gilberto Ponciano Pereira" To: Sent: Thursday, February 20, 2003 1:23 PM Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Partição > "2) Determine todos os inteiros positivos M tais que o conjunto {1 2, ..., > 3M} admite uma partição em M subconjuntos de 3 elementos tal que a soma dos > elementos de cada subconjunto é constante." > > A Questão é... Como distribuir os elementos? > Vamos imaginar uma seqüência de 6 consecutivos.... > > n-2, n-1, n, n+1, n+2, n+3. Neste caso, podemos fazer 3 pares de forma que a > soma seja 2n-1: > (n-2) e (n+3) > (n-1) e (n+2) > (n) e (n+1). > > Logo, se M for par, basta ir distribuindo os números de 6 em 6 (1 a 6, 7 a > 12... 3M-6 a 3M), pelo método acima. > > E se M for ímpar? Neste caso, podemos dividir os 9 primeiros termos (1 a 9) > em 3 grupos de soma igual: > 1,5,9 = 15 > 2,6,7 = 15 > 3,4,8 = 15 > Para o restante, podemos seguir de 6 em 6. (1 a 9, 10 a 15, 16 a 21...1996 a > 2001) > Tudo bem, mas o que o problema pede é uma partição em subconjuntos (disjuntos) de 3 e não de 2 elementos. Além disso (e aí eu posso ter me expressado mal) a soma dos três elementos de QUALQUER SUBCONJUNTO deve ser constante, isto é, igual à soma dos três elementos de QUALQUER OUTRO SUBCONJUNTO. Como 1 + 2 + ... + 3M = 3M*(3M+1)/2, cada um dos M subconjuntos deve ter soma igual a: (1 + 2 + ... + 3M)/M = 3*(3M + 1)/2. Aí, de cara, você já deduz que 3M +1 deve ser par ==> M deve ser ímpar. Agora, o problema é achar para quais ímpares o problema é possível. Você mesmo já deu uma solução para M = 3 (3M = 9). Uma segunda solução seria: {1,6,8} {2,4,9} {3,5,7}. Com um pouco de esforço você acha uma partição para M = 5 (3M = 15): Soma de cada subconjunto = 3*(3*5+1)/2 = 24 Uma partição possível: {1,10,13} {2,8,14} {3,6,15} {4,9,11} {5,7,12} Para M = 7 (3M = 21 e soma de cada subconjunto = 33) {1,14,18} {2,12,19} {3,10,20} {4,8,21} {5,13,15} {6,11,16} {7,9,17} A idéia, agora, é extrapolar a lei de formação das partições e ver se ele funciona para cada M ímpar. Meu chute é que sim, mas ainda não tenho uma prova. > Proposta: Podemos pensar até num exercício um pouco mais elaborado, do tipo: > > 3) Determine todos os inteiros positivos M tais que o conjunto {1 2, ..., > kM} admite uma partição em M subconjuntos de k elementos tal que a soma dos > elementos de cada subconjunto é constante. > Soma dos elementos do conjunto inteiro = kM*(kM+1)/2 Soma de cada subconjunto = k*(kM + 1)/2 ==> k é par ==> M pode ser qualquer inteiro positivo (a princípio) ou k é ímpar e (kM+1) é par ==> kM é ímpar ==> M é ímpar Aqui, esperamos que a demonstração para o caso k = 3 (se e quando encontrada) deve ser adaptável ao caso geral. Um abraço, Claudio. > -----Original Message----- > From: Cláudio (Prática) [mailto:claudio@praticacorretora.com.br] > Sent: Thursday, February 20, 2003 12:34 PM > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] Partição > > > Caros colegas da lista: > > Estou embananado com este aqui: > > 1) Prove que existe uma partição de {1, 2, ..., 2001} em 667 subconjuntos de > 3 elementos tal que a soma dos elementos de cada subconjunto é igual a 3003. > > 2) Determine todos os inteiros positivos M tais que o conjunto {1 2, ..., > 3M} admite uma partição em M subconjuntos de 3 elementos tal que a soma dos > elementos de cada subconjunto é constante. > > Um abraço, > Claudio. > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 20 15:25:43 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA14616 for obm-l-MTTP; Thu, 20 Feb 2003 15:24:15 -0300 Received: from itaqui.terra.com.br (itaqui.terra.com.br [200.176.3.19]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA14610 for ; Thu, 20 Feb 2003 16:24:11 -0200 Received: from araci.terra.com.br (araci.terra.com.br [200.176.3.44]) by itaqui.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 11E5C3BDD10 for ; Thu, 20 Feb 2003 15:23:37 -0300 (BRT) Received: from nt (RJ231082.user.veloxzone.com.br [200.165.231.82]) (authenticated user ensr) by araci.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 2AC99C4091 for ; Thu, 20 Feb 2003 15:23:34 -0300 (BRT) Message-ID: <023101c2d90d$36ccf840$5400a8c0@ensrbr> From: "Luis Lopes" To: References: <3E48201F.3060508@centroin.com.br> <20030211144637.H9677@sucuri.mat.puc-rio.br> <20030218100957.D12626@sucuri.mat.puc-rio.br> <011f01c2d8f8$7dd9a5e0$5400a8c0@ensrbr> <005f01c2d90e$e1e75940$3300c57d@bovespa.com> Subject: Re: [obm-l] forma fechada e integral Date: Thu, 20 Feb 2003 15:23:43 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Sauda,c~oes, Oi Cláudio, Bom, fiquei com preguiça e não expliquei a notação. Tanto o que escrevi quanto o Rousseau está em \LaTeX. E vc interpretou certo. \frac{x}{y} = x / y \binom{n}{k} = n! / [ k! (n-k)! ] ou \frac{n!}{k!(n-k)!} \sum_{k\geq0} soma para todo k >=0 \int_0^1 integral de 0 a 1 Já fui criticado (talvez não seja o bom termo) aqui pelo uso desta notação. Mas não dou o braço a torcer: devemos praticar tal notação aqui. Até porque muitos aqui já entendem-na. []'s Luís -----Mensagem Original----- De: "Cláudio (Prática)" Para: Enviada em: quinta-feira, 20 de fevereiro de 2003 15:35 Assunto: Re: [obm-l] forma fechada e integral > Caro Luís: > > Não estou familiarizado com a notação que você usou. > > Por acaso, seria isso? > > infinito > Soma 1 = SOMA ((n+1)/(2k+1))*C(n+1,2k+1) > k = 0 > > infinito > Soma 2 = SOMA (k/(n+k))*C(n,k) > k = 0 > > infinito > Soma 3 = SOMA (2k/(2n+k))*C(n,k) > k = 0 > > onde: > C(n,k) = no. de subconjuntos de k elementos de um conjunto de n elementos > > Um abraço, > Claudio. > > ----- Original Message ----- > From: "Luis Lopes" > To: > Sent: Thursday, February 20, 2003 12:55 PM > Subject: [obm-l] forma fechada e integral > > > > Sauda,c~oes, > > > > \sum_k \frac{n+1}{2k+1} \binom{n+1}{2k+1} . > > > > \sum_{k\geq0} \frac{k}{n+k} \binom{n}{k} . > > > > \sum_{k\geq0} \frac{2k}{2n+k} \binom{n}{k} . > > > > Querendo conhecer as formas fechadas > > (se existentes) das três somas acima, > > escrevi para o prof. Rousseau. > > > > Em função das suas respostas, fiquei sabendo > > que não existem. Mas não entendi a passagem > > para a integral e a justificativa decorrente. > > Para não incomodá-lo MAIS uma vez, gostaria > > de perguntar antes pra lista (e participar também > > tais resultados). Talvez a resposta até seja > > elementar. > > > > Cortando algumas partes, aí segue nossa > > discussão. > > > > []'s > > Luís > > > > > > Dear Cecil, > > > > Retaking my CRUX saga, consider problem > > 2683 whose solution appears in 28(8), > > December 2002, pp~539--540. > > > > Find the value of \lim_{n\to\infty} \left( > > \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} > > \frac{n+1}{2k+1} \binom{n+1}{2k+1} \right) . > > It turns out to be 2. > > > > In this problem - as always - I am more > > interested in a closed form to > > > > \sum_k \frac{n+1}{2k+1} \binom{n+1}{2k+1} . > > > > As CRUX didn´t mention it, I strongly suspect > > there is none. > > > > Regards, > > Luis > > > > Dear Luis: > > > > I would be very surprised if there is > > a closed form for this. One can write > > it rather compactly as an integral, but > > that doesn't seem to help very much. > > You can certainly put it in hypergeometric > > form, but not as far as I know can it > > be written in a form where the sum can > > be deduced from one of the classical > > formulas (Gauss. Dixon, Pfaff-Saalschutz) > > > > Cecil > > > > > > %%%%% Segunda mensagem%%%% > > Luis Lopes wrote: > > > > Dear Cecil, > > > > I knew already the published solution > > (similar to yours). ....... > > > > Again there shouldn´t be any closed form to > > \sum_{k\geq0} \frac{k}{n+k} \binom{n}{k} . > > > > Not to mention > > > > \sum_{k\geq0} \frac{2k}{2n+k} \binom{n}{k} > > > > Thank you, > > Luis > > > > Dear Luis: > > > > The first one is the same as n \int_0^1 (1+x)^{n-1} x^n dx > > and I am pretty sure there is no closed form for the integral. > > The second one is similar. You could get something for it > > if you could evaluate \int_0^1 (1+x)^{n-1} x^{2n} dx, > > and I believe that this is out of reach. I haven't tried that > > hard, but Maple fails to give an evaluation and nothing > > I have found in Gradshteyn and Ryzhik is helpful. > > > > Cecil > > > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 20 15:45:57 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA15190 for obm-l-MTTP; Thu, 20 Feb 2003 15:44:21 -0300 Received: from utahjazz.vesper.com.br ([200.218.62.20]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA15181 for ; Thu, 20 Feb 2003 16:44:15 -0200 Received: from ipcsrvnws02.vespersa.com.br ([10.11.255.107]) by utahjazz.vesper.com.br with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5329); Thu, 20 Feb 2003 15:43:31 -0300 Received: by ipcsrvnws01.sp.vespersa.com.br with Internet Mail Service (5.5.2653.19) id <1JTSCPBC>; Thu, 20 Feb 2003 15:43:14 -0300 Message-ID: From: =?iso-8859-1?Q?Jo=E3o_Gilberto_Ponciano_Pereira?= To: "'obm-l@mat.puc-rio.br'" Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?RE=3A_=5Bobm-l=5D_RE=3A_=5Bobm-l=5D_Parti=E7=E3?= =?iso-8859-1?Q?o?= Date: Thu, 20 Feb 2003 15:43:14 -0300 MIME-Version: 1.0 X-Mailer: Internet Mail Service (5.5.2653.19) Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" X-OriginalArrivalTime: 20 Feb 2003 18:43:31.0906 (UTC) FILETIME=[F7734A20:01C2D90F] Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id QAA15187 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Ops!! Sorry! Parece que entendi o problema de forma errada... Estava fazendo 3 conjuntos de M elementos, e não M conjuntos de 3 elementos, como pedia o problema.... Neste caso, temos o seguinte: A soma total dos elementos do conjunto é 3M *(3M+1)/2. Como os conjuntos de 3 elementos deve ter soma igual, esta soma deverá ser de 3M*(3M+1)/2/M => Soma = (9M + 1)/2. Já é possível concluir que M é obrigatoriamente ímpar. Agora, podemos considerar a seqüência com a seguinte nomenclatura: a(1,-n), a(1,-n+1), ... a(1,0), ... a(1,n) a(2,-n), a(2,-n+1), ... a(2,0), ... a(2,n) a(3,-n), a(3,-n+1), ... a(3,0), ... a(3,n) Com n de -(m-1)/2 a (m-1)/2 Onde a(i,j) = j+(M-1)/2 + M*(i-1) + 1 Se considerarmos que, em cada subconjunto válido, teremos um elemento de cada linha, temos a(i1,1) + a(i2,2) + a(i3,3) = (9M+1)/2 = j1 + j2 + j3 + 3*(M-1)/2 + M*((1-1) + (2-1) + (3-1)) + 3 Resumindo, temos que j1 + j2 + j3 = 0. Exemplo: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 fica: -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 Os conjuntos podem ser:(-2, 1, 1) (-1,-1, 2) ( 0, 2,-2) ( 1, 0,-1) ( 2,-2, 0) Traduzindo: ( 1, 9,14) ( 2, 7,15) ( 3,10,11) ( 4, 8,12) ( 5, 6,13) Ou seja, temos que provar que, sejam S1, S2, S3 conjuntos idênticos = (-n...,0,1,2,...n) Devemos formar 2n+1 trios (um elemento de cada conjunto), tais que a soma do trio seja zero. Acho que vale para qualquer n, mas preciso pensar mais um pouco... -----Original Message----- From: João Gilberto Ponciano Pereira [mailto:jopereira@vesper.com.br] Sent: Thursday, February 20, 2003 1:23 PM To: 'obm-l@mat.puc-rio.br' Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Partição "2) Determine todos os inteiros positivos M tais que o conjunto {1 2, ..., 3M} admite uma partição em M subconjuntos de 3 elementos tal que a soma dos elementos de cada subconjunto é constante." A Questão é... Como distribuir os elementos? Vamos imaginar uma seqüência de 6 consecutivos.... n-2, n-1, n, n+1, n+2, n+3. Neste caso, podemos fazer 3 pares de forma que a soma seja 2n-1: (n-2) e (n+3) (n-1) e (n+2) (n) e (n+1). Logo, se M for par, basta ir distribuindo os números de 6 em 6 (1 a 6, 7 a 12... 3M-6 a 3M), pelo método acima. E se M for ímpar? Neste caso, podemos dividir os 9 primeiros termos (1 a 9) em 3 grupos de soma igual: 1,5,9 = 15 2,6,7 = 15 3,4,8 = 15 Para o restante, podemos seguir de 6 em 6. (1 a 9, 10 a 15, 16 a 21...1996 a 2001) Proposta: Podemos pensar até num exercício um pouco mais elaborado, do tipo: 3) Determine todos os inteiros positivos M tais que o conjunto {1 2, ..., kM} admite uma partição em M subconjuntos de k elementos tal que a soma dos elementos de cada subconjunto é constante. -----Original Message----- From: Cláudio (Prática) [mailto:claudio@praticacorretora.com.br] Sent: Thursday, February 20, 2003 12:34 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Partição Caros colegas da lista: Estou embananado com este aqui: 1) Prove que existe uma partição de {1, 2, ..., 2001} em 667 subconjuntos de 3 elementos tal que a soma dos elementos de cada subconjunto é igual a 3003. 2) Determine todos os inteiros positivos M tais que o conjunto {1 2, ..., 3M} admite uma partição em M subconjuntos de 3 elementos tal que a soma dos elementos de cada subconjunto é constante. Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 20 15:55:40 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA15812 for obm-l-MTTP; Thu, 20 Feb 2003 15:54:12 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA15808 for ; Thu, 20 Feb 2003 16:54:09 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.224]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1KIqBL13341 for ; Thu, 20 Feb 2003 15:52:11 -0300 Message-ID: <009201c2d91a$29f69c40$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030220171917.67359.qmail@web12903.mail.yahoo.com> Subject: [obm-l] Maximizando uma Soma de Quadrados Date: Thu, 20 Feb 2003 16:56:30 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_008F_01C2D901.03D0B780" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_008F_01C2D901.03D0B780 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Caro JP: Que tal isso aqui? Queremos maximizar Q =3D A(1)^2 + ... + A(n)^2 sujeito a: A(1) + ... + A(n) =3D S =3D constante. Bom, se os A(i)'s podem ser reais quaisquer, ent=E3o a soma dos = quadrados =E9 ilimitada. (Tome A(1) =3D A, A(2) =3D S-A e todos os = demais A(i)'s =3D 0 =3D=3D> Q =3D A^2 + (S-A)^2 =3D=3D> ilimitada). No entanto, se nos restringirmos a A(i)'s positivos, ent=E3o eu acho que = o valor m=E1ximo da soma dos quadrados =E9 atingido quando um deles =E9 = igual a S e os outros iguais a zero. Isso porque f(x1, ..., xn) =3D x1^2 = + ... + xn^2 =E9 convexa em cada uma das n vari=E1veis e o m=E1ximo de = uma fun=E7=E3o convexa num dom=EDnio fechado (que =E9 o nosso caso) =E9 = atingido em algum ponto da fronteira deste dom=EDnio.=20 Nesse caso, Q =3D S^2. Por exemplo, se A(1) =3D A (0 < A < S), A(2) =3D S - A, A(k) =3D 0, para = k =3D 3,...,n ent=E3o: Q =3D A^2 + (S-A)^2 =3D S^2 - 2*A*S + 2*A^2 =3D S^2 - 2*A*(S-A) < S^2, = pois A e S-A s=E3o positivos. Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Thursday, February 20, 2003 2:19 PM Subject: Re: [obm-l] Desigualdade estranhinha Valeu cara,me matei em algo tao inutil.Mas nao da pra cantar vitoria = afinal temos que maximizar a somatoria dos quadrados quando so sabemos = da soma das primeiras potencias.E isso e dificil....=20 Cl=E1udio_(Pr=E1tica) wrote:=20 Caro JP: Ent=E3o, o problema =E9: Maximizar a_1*a_2+a_2*a_3+a_3*a_4+.....+a_(n-1)*an+a_n*a_1 sabendo = que a soma dos a's e 1. Nesse caso, acho que cabe a desigualdade do rearranjo: Suponhamos s.p.d.g. que A(1) <=3D A(2) <=3D ... <=3D A(n). Pela desig. do rearranjo, vale: A(1)*A(2) + ... + A(n-1)*A(n) + A(n)*A(1) <=3D A(1)^2 + ... + = A(n)^2, com igualdade se e somente se os A(i)'s s=E3o todos iguais. Como a soma deles =E9 1, eles ser=E3o todos iguais a 1/n =3D=3D> o valor m=E1ximo procurado =E9 igual a n * (1/n)^2 =3D 1/n. Repare que n=E3o foi necess=E1rio supor que os A(i)'s s=E3o = positivos, pois a desig. do rearranjo n=E3o necessita dessa hip=F3tese. Um abra=E7o, Claudio. =20 -------------------------------------------------------------------------= ----- Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o = Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_008F_01C2D901.03D0B780 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Caro JP:
 
Que tal isso aqui?
 
Queremos maximizar Q=20 =3D  A(1)^2 + ... + A(n)^2 sujeito a:
A(1) + ... + A(n) =3D S =3D=20 constante.
 
Bom, se os A(i)'s podem ser reais = quaisquer, ent=E3o=20 a soma dos quadrados =E9 ilimitada. (Tome A(1) =3D A, A(2) =3D S-A = e todos os=20 demais A(i)'s =3D 0 =3D=3D> Q =3D A^2 + (S-A)^2 =3D=3D> = ilimitada).
 
No entanto, se nos restringirmos a = A(i)'s=20 positivos, ent=E3o eu acho que o valor m=E1ximo da soma dos quadrados = =E9 atingido=20 quando um deles =E9 igual a S e os outros iguais a zero. Isso porque = f(x1, ...,=20 xn) =3D x1^2 + ... + xn^2 =E9 convexa em cada uma das n vari=E1veis e o = m=E1ximo de uma=20 fun=E7=E3o convexa num dom=EDnio fechado (que =E9 o nosso caso) =E9 = atingido em algum=20 ponto da fronteira deste dom=EDnio. 
 
Nesse caso, Q =3D S^2.
 
Por exemplo, se A(1) =3D A (0 < A = < S), A(2) =3D=20 S - A, A(k) =3D 0, para k =3D 3,...,n ent=E3o:
Q =3D A^2 + (S-A)^2 =3D S^2 - 2*A*S + = 2*A^2 =3D S^2 -=20 2*A*(S-A) < S^2, pois A e S-A s=E3o positivos.
 
Um abra=E7o,
Claudio.
----- Original Message -----
From:=20 Johann Peter Gustav = Lejeune=20 Dirichlet
Sent: Thursday, February 20, = 2003 2:19=20 PM
Subject: Re: [obm-l] = Desigualdade=20 estranhinha

Valeu cara,me matei em algo tao inutil.Mas nao da pra cantar = vitoria afinal=20 temos que maximizar a somatoria dos quadrados quando so sabemos da = soma das=20 primeiras potencias.E isso e dificil....=20

 Cl=E1udio_(Pr=E1tica) <claudio@praticacorretora.= com.br>=20 wrote:=20

Caro JP:
 
Ent=E3o, o problema = =E9:
 
Maximizar a_1*a_2+a_2*a_3+a_3*a_4+.....+a_(n-1)*an+a_n*a_1 = sabendo que=20 a soma dos a's e 1.
 
Nesse caso, acho que cabe a desigualdade do rearranjo:
 
Suponhamos s.p.d.g. que A(1) <=3D A(2) <=3D ... <=3D = A(n).
 
Pela desig. do rearranjo, = vale:
 
A(1)*A(2) + ... + A(n-1)*A(n) + = A(n)*A(1) <=3D=20 A(1)^2 + ... + A(n)^2, com igualdade se e somente se os A(i)'s s=E3o = todos=20 iguais.
 
Como a soma deles =E9 1, eles = ser=E3o todos iguais=20 a 1/n =3D=3D>
 
o valor m=E1ximo procurado =E9 = igual a n * (1/n)^2=20 =3D 1/n.
 
Repare que n=E3o foi necess=E1rio = supor que os=20 A(i)'s s=E3o positivos, pois a desig. do rearranjo n=E3o necessita = dessa=20 hip=F3tese.
 
Um abra=E7o,
Claudio.
 
 


Busca Yahoo!
O = servi=E7o de=20 busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o Yahoo!=20 encontra. ------=_NextPart_000_008F_01C2D901.03D0B780-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 20 16:30:52 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA17283 for obm-l-MTTP; Thu, 20 Feb 2003 16:28:55 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA17279 for ; Thu, 20 Feb 2003 17:28:52 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1KJQtL15497 for ; Thu, 20 Feb 2003 16:26:55 -0300 Message-ID: <009901c2d91f$04722c00$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: Subject: Re: [obm-l] O numero fi Date: Thu, 20 Feb 2003 17:31:13 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caro Paulo: Ficaria muito satisfeito se você mostrasse onde eu errei na solução do Problema 1. > PROBLEMA 1) "fi" e uma das solucoes de x^2 + x - 1=0. Exiba uma sequencia de > numeros reais, estritamente crescente, tal que ela seja simultaneamente uma > PA e uma PG. Esta sequencia e unica ou existe > outra(s) ? > Seja A(0) = A Então, para todo n: A(n) = A + D*n = A*Q^n com: D > 0 e Q > 1 se A > 0 ou 0 < Q < 1 se A < 0 (de qualquer forma, Q <> 1). n = 1: A(1) = A + D = A*Q n = 2: A(2) = A + 2D = A*Q^2 (1) ==> D = A*(Q - 1) (2) - (1) ==> D = A*Q*(Q-1) ==> A*(Q-1) = A*Q*(Q-1) A = 0 ==> PG é constante ==> contradição ==> A <> 0 ==> Q-1 = Q*(Q-1) Como Q <> 1 ==> Q = 1 ==> contradição Assim, não existe tal sequência. De fato, não existem sequer 3 números que formem, ao mesmo tempo, uma PA e uma PG estritamente crescentes. ************* > PROBLEMA 2) Seja 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., An, ... a sequencia de fibonaci. > Qual o LIM An/An-1 quando n tende ao infinito ? > O n-ésimo termo da sequência de Fibonacci tem uma fórmula fechada bem conhecida e dada por: A(n) = (1/raiz(5))*[U^n - (-1/U)^n] onde U = (1+raiz(5))/2 (A(1) = A(2) = 1) Assim, A(n)/A(n-1) = [U^n - (-1/U)^n] / [U^(n-1) - (-1/U)^(n-1)] = [U - (-1)^n/U^(2n-1)] / [1 - (-1)^(n-1)/U^(2n-2)] Logo, lim A(n)/A(n-1) = [U - 0]/[1 - 0] = U = (1+raiz(5))/2 ************ Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 20 17:18:01 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA18583 for obm-l-MTTP; Thu, 20 Feb 2003 17:16:00 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA18579 for ; Thu, 20 Feb 2003 18:15:57 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.224]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1KKE0J18959 for ; Thu, 20 Feb 2003 17:14:00 -0300 Message-ID: <00c701c2d925$9854b220$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <007001c2d915$d047c420$3300c57d@bovespa.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Re:_=5Bobm-l=5D_RE:_=5Bobm-l=5D_Parti=E7?= =?iso-8859-1?Q?=E3o?= Date: Thu, 20 Feb 2003 18:18:19 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caro João Gilberto: Acabei achando uma partição de {1,2,...,2001} que pode ser generalizada para qualquer conjunto da forma {1,2,...,3M} com M ímpar. É a seguinte: P1 = {1,1334,1668} P2 = {2,1332,1669} P3 = {3,1330,1670} ..... Pm = {m,1336-2m,1667+m} para 1 <= m <= 334 .... P333 = {333,670,2000} P334 = {334,668,2001} P335 = {335,1333,1335} P336 = {336,1331,1336} .... Pn = {n,2003-2n,1000+n} para 335 <= n <= 667 .... P666 = {666,671,1666} P667 = {667,669,1667} Assim, para {1,2,...,3M} teremos: Pk = { k , 2M + 2 - 2k , (5M-1)/2 + k } para 1 <= k <= (M+1)/2 e Pk = { k , 3M + 2 - 2k , (3M-1)/2 + k } para (M+3)/2 <= k <= M Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 20 17:22:53 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA18768 for obm-l-MTTP; Thu, 20 Feb 2003 17:21:33 -0300 Received: from itaqui.terra.com.br (itaqui.terra.com.br [200.176.3.19]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA18764 for ; Thu, 20 Feb 2003 18:21:30 -0200 Received: from una.terra.com.br (una.terra.com.br [200.176.3.32]) by itaqui.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 980193BD4DA for ; Thu, 20 Feb 2003 17:20:59 -0300 (BRT) Received: from stabel (200-180-165-033.paemt7002.dsl.brasiltelecom.net.br [200.180.165.33]) (authenticated user dudasta) by una.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 4D8652F0162 for ; Thu, 20 Feb 2003 17:20:59 -0300 (BRT) Message-ID: <004801c2d91d$971e9cc0$0301a8c0@stabel> From: "Eduardo Casagrande Stabel" To: References: <009901c2d91f$04722c00$3300c57d@bovespa.com> Subject: Re: [obm-l] O numero fi Date: Thu, 20 Feb 2003 17:21:02 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2720.3000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br From: "Cláudio (Prática)" > Caro Paulo: > > Ficaria muito satisfeito se você mostrasse onde eu errei na solução do > Problema 1. > > > PROBLEMA 1) "fi" e uma das solucoes de x^2 + x - 1=0. Exiba uma sequencia > de > > numeros reais, estritamente crescente, tal que ela seja simultaneamente > uma > > PA e uma PG. Esta sequencia e unica ou existe > > outra(s) ? > > > Seja A(0) = A > Então, para todo n: A(n) = A + D*n = A*Q^n com: > D > 0 > e > Q > 1 se A > 0 ou 0 < Q < 1 se A < 0 (de qualquer forma, Q <> 1). > > n = 1: A(1) = A + D = A*Q > n = 2: A(2) = A + 2D = A*Q^2 > > (1) ==> D = A*(Q - 1) > (2) - (1) ==> D = A*Q*(Q-1) ==> A*(Q-1) = A*Q*(Q-1) > > A = 0 ==> PG é constante ==> contradição ==> A <> 0 ==> > Q-1 = Q*(Q-1) > Como Q <> 1 ==> Q = 1 ==> contradição > > Assim, não existe tal sequência. De fato, não existem sequer 3 números que > formem, ao mesmo tempo, uma PA e uma PG estritamente crescentes. > > ************* Olá Cláudio! Se três números A, B, C estão em PA e PG: B - A = C - B ou 2B = A + C e B / A = C / B ou B^2 = AC É preciso que x^2 - 2B x + B^2 = 0 tenha solução x = A, C diferentes de B. Dá para se escrever essa equação como (x - B)^2, que implicaria x = B = A = C. Concordo com a sua solução. > > > PROBLEMA 2) Seja 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., An, ... a sequencia de > fibonaci. > > Qual o LIM An/An-1 quando n tende ao infinito ? > > > O n-ésimo termo da sequência de Fibonacci tem uma fórmula fechada bem > conhecida e dada por: > A(n) = (1/raiz(5))*[U^n - (-1/U)^n] > onde U = (1+raiz(5))/2 > (A(1) = A(2) = 1) > > Assim, > A(n)/A(n-1) = > [U^n - (-1/U)^n] / [U^(n-1) - (-1/U)^(n-1)] = > [U - (-1)^n/U^(2n-1)] / [1 - (-1)^(n-1)/U^(2n-2)] > > Logo, lim A(n)/A(n-1) = [U - 0]/[1 - 0] = U = (1+raiz(5))/2 > > ************ > > Um abraço, > Claudio. Se F_0 = F_1 = 1 e F_(n+2)=F_(n+1)+F_n podemos definir A_0 = [ F_0 ; F_1 ]^(T) A_(n+1) = A * A_n ^(T) [ 1 ; 1 ] [ 1 ; 0 ] * A_n ^(T) É fácil mostrar por indução, basta supor a hipótese para A_n e multiplicar por A para obter A_(n+1) usando a recursão que define F_n, que A_n = [ F_n ; F_(n+1) ]^(T). O problema de calcular o n-ésimo número de Fibonacci F_n pode ser resolvido canculando-se a potência A^n da matriz A, e multiplicando o resultado por A_0, pois A_n = A*A_(n-1) = A*A*A_(n-1) = ... = A^n*A_0 o assunto tem tudo a ver com Álgebra Linear. Eu recomendo o livro do Gilbert Strange que fala sobre aplicações do assunto. Abraço! A matriz A é simétrica e pode ser diagonalizada A = Q^(-1)DQ onde D é a matriz diagonal que tem (1+5^(1/2))/2 e (1-5^(1/2))/2 como elementos da diagonal Daí A^n = Q^(-1)D^nQ. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 20 17:28:38 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA18908 for obm-l-MTTP; Thu, 20 Feb 2003 17:27:13 -0300 Received: from utahjazz.vesper.com.br ([200.218.62.20]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA18904 for ; Thu, 20 Feb 2003 18:27:10 -0200 Received: from ipcsrvnws02.vespersa.com.br ([10.11.255.107]) by utahjazz.vesper.com.br with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5329); Thu, 20 Feb 2003 17:26:26 -0300 Received: by ipcsrvnws01.sp.vespersa.com.br with Internet Mail Service (5.5.2653.19) id <1JTSCQA6>; Thu, 20 Feb 2003 17:26:09 -0300 Message-ID: From: =?iso-8859-1?Q?Jo=E3o_Gilberto_Ponciano_Pereira?= To: "'obm-l@mat.puc-rio.br'" Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?RE=3A_=5Bobm-l=5D_RE=3A_=5Bobm-l=5D_RE=3A_=5Bob?= =?iso-8859-1?Q?m-l=5D_Parti=E7=E3o?= Date: Thu, 20 Feb 2003 17:26:11 -0300 MIME-Version: 1.0 X-Mailer: Internet Mail Service (5.5.2653.19) Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" X-OriginalArrivalTime: 20 Feb 2003 20:26:26.0593 (UTC) FILETIME=[57D9C110:01C2D91E] Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id SAA18905 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Complementando a resposta... -n, -n+1, -n+2... n-2, n-1, n -n, -n+1, -n+2... n-2, n-1, n -n, -n+1, -n+2... n-2, n-1, n Podemos formar os n+i primeiros trios da seguinte forma: (-n+i,i,n-2*i), com i de 0 a n. Repare que a soma é zero. Os últimos n termos são: (i+n, -n+i -1, n-2*i+1), com i de 1 a n. Mais uma vez, a soma é zero. Se considerarmos o Item 1, até 2001, temos: 1 2 3 ... 332 333 334 ... 665 666 667 668 669 670 ... 999 1000 1001 ... 1332 1333 1334 1335 1336 1337 ... 1666 1667 1668 ... 1999 2000 2001 Os trios seriam: ( 1,1000,2001) ( 2,1001,1999) ( 3,1002,1997) ... (333,1334,1335) e (334, 668,2000) (335, 667,1998) ... (667, 999,1336) SDS JG -----Original Message----- From: João Gilberto Ponciano Pereira [mailto:jopereira@vesper.com.br] Sent: Thursday, February 20, 2003 3:43 PM To: 'obm-l@mat.puc-rio.br' Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Partição Ops!! Sorry! Parece que entendi o problema de forma errada... Estava fazendo 3 conjuntos de M elementos, e não M conjuntos de 3 elementos, como pedia o problema.... Neste caso, temos o seguinte: A soma total dos elementos do conjunto é 3M *(3M+1)/2. Como os conjuntos de 3 elementos deve ter soma igual, esta soma deverá ser de 3M*(3M+1)/2/M => Soma = (9M + 1)/2. Já é possível concluir que M é obrigatoriamente ímpar. Agora, podemos considerar a seqüência com a seguinte nomenclatura: a(1,-n), a(1,-n+1), ... a(1,0), ... a(1,n) a(2,-n), a(2,-n+1), ... a(2,0), ... a(2,n) a(3,-n), a(3,-n+1), ... a(3,0), ... a(3,n) Com n de -(m-1)/2 a (m-1)/2 Onde a(i,j) = j+(M-1)/2 + M*(i-1) + 1 Se considerarmos que, em cada subconjunto válido, teremos um elemento de cada linha, temos a(i1,1) + a(i2,2) + a(i3,3) = (9M+1)/2 = j1 + j2 + j3 + 3*(M-1)/2 + M*((1-1) + (2-1) + (3-1)) + 3 Resumindo, temos que j1 + j2 + j3 = 0. Exemplo: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 fica: -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 Os conjuntos podem ser:(-2, 1, 1) (-1,-1, 2) ( 0, 2,-2) ( 1, 0,-1) ( 2,-2, 0) Traduzindo: ( 1, 9,14) ( 2, 7,15) ( 3,10,11) ( 4, 8,12) ( 5, 6,13) Ou seja, temos que provar que, sejam S1, S2, S3 conjuntos idênticos = (-n...,0,1,2,...n) Devemos formar 2n+1 trios (um elemento de cada conjunto), tais que a soma do trio seja zero. Acho que vale para qualquer n, mas preciso pensar mais um pouco... -----Original Message----- From: João Gilberto Ponciano Pereira [mailto:jopereira@vesper.com.br] Sent: Thursday, February 20, 2003 1:23 PM To: 'obm-l@mat.puc-rio.br' Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Partição "2) Determine todos os inteiros positivos M tais que o conjunto {1 2, ..., 3M} admite uma partição em M subconjuntos de 3 elementos tal que a soma dos elementos de cada subconjunto é constante." A Questão é... Como distribuir os elementos? Vamos imaginar uma seqüência de 6 consecutivos.... n-2, n-1, n, n+1, n+2, n+3. Neste caso, podemos fazer 3 pares de forma que a soma seja 2n-1: (n-2) e (n+3) (n-1) e (n+2) (n) e (n+1). Logo, se M for par, basta ir distribuindo os números de 6 em 6 (1 a 6, 7 a 12... 3M-6 a 3M), pelo método acima. E se M for ímpar? Neste caso, podemos dividir os 9 primeiros termos (1 a 9) em 3 grupos de soma igual: 1,5,9 = 15 2,6,7 = 15 3,4,8 = 15 Para o restante, podemos seguir de 6 em 6. (1 a 9, 10 a 15, 16 a 21...1996 a 2001) Proposta: Podemos pensar até num exercício um pouco mais elaborado, do tipo: 3) Determine todos os inteiros positivos M tais que o conjunto {1 2, ..., kM} admite uma partição em M subconjuntos de k elementos tal que a soma dos elementos de cada subconjunto é constante. -----Original Message----- From: Cláudio (Prática) [mailto:claudio@praticacorretora.com.br] Sent: Thursday, February 20, 2003 12:34 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Partição Caros colegas da lista: Estou embananado com este aqui: 1) Prove que existe uma partição de {1, 2, ..., 2001} em 667 subconjuntos de 3 elementos tal que a soma dos elementos de cada subconjunto é igual a 3003. 2) Determine todos os inteiros positivos M tais que o conjunto {1 2, ..., 3M} admite uma partição em M subconjuntos de 3 elementos tal que a soma dos elementos de cada subconjunto é constante. Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 20 18:07:16 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA20316 for obm-l-MTTP; Thu, 20 Feb 2003 18:05:45 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA20307 for ; Thu, 20 Feb 2003 19:05:40 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1KL3hJ21673 for ; Thu, 20 Feb 2003 18:03:43 -0300 Message-ID: <00d601c2d92c$8a998320$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <3E48201F.3060508@centroin.com.br> <20030211144637.H9677@sucuri.mat.puc-rio.br> <20030218100957.D12626@sucuri.mat.puc-rio.br> <011f01c2d8f8$7dd9a5e0$5400a8c0@ensrbr> <005f01c2d90e$e1e75940$3300c57d@bovespa.com> <023101c2d90d$36ccf840$5400a8c0@ensrbr> Subject: Re: [obm-l] forma fechada e integral Date: Thu, 20 Feb 2003 19:08:03 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caro Luís: > > > > infinito > > Soma 1 = SOMA ((n+1)/(2k+1))*C(n+1,2k+1) > > k = 0 > > > > infinito > > Soma 2 = SOMA (k/(n+k))*C(n,k) > > k = 0 > > > > infinito > > Soma 3 = SOMA (2k/(2n+k))*C(n,k) > > k = 0 > > Bom, cada uma das 3 somas acima tem um número finito de termos não nulos. Nos 3 casos, se k > n, então C(n,k) = C(2n+1,2k+1) = 0. Além disso, temos o seguinte: k*C(n,k) = n!/((k-1)!*(n-k)!) = n*(n-1)!/((k-1)!*(n-k)!) = n*C(n-1,k-1) Levando em conta os dois fatos acima, a segunda soma pode ser reescrita como: n Soma 2 = SOMA (n/(n+k))*C(n-1,k-1) k = 1 Fórmula fechada também acho difícil encontrar, mas a idéia da integral é interessante. Considere a seguinte função: n-1 f(x) = n*(1+x)^(n-1)*x^n = SOMA n*C(n-1,j)*x^(n+j). j = 0 Integrando f(x) de 0 até 1, você acha: n-1 SOMA n*(C(n-1,j)/(n+j+1))*[1^(n+j+1) - 0^(n+j+1)] = j = 0 n-1 SOMA n*C(n-1,j)/(n+j+1). j = 0 Fazendo j = k - 1, teremos: n SOMA n*C(n-1,k-1)/(n+k) k = 1 que é justamente a Soma2 acima. Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 20 18:08:17 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA20387 for obm-l-MTTP; Thu, 20 Feb 2003 18:07:00 -0300 Received: from toole.uol.com.br (toole.uol.com.br [200.221.29.26]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA20382 for ; Thu, 20 Feb 2003 19:06:57 -0200 Received: from gauss ([200.158.97.18]) by toole.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with SMTP id RAA23415 for ; Thu, 20 Feb 2003 17:59:29 -0300 (BRT) Message-ID: <001101c2d923$edc63d70$12619ec8@gauss> From: "Domingos Jr." To: References: <20030220171917.67359.qmail@web12903.mail.yahoo.com> <009201c2d91a$29f69c40$3300c57d@bovespa.com> Subject: Re: [obm-l] Maximizando uma Soma de Quadrados Date: Thu, 20 Feb 2003 18:06:24 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_000E_01C2D90A.C7E1A770" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2720.3000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_000E_01C2D90A.C7E1A770 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable seja n =3D 2 a[1] + a[2] =3D S a[2] =3D S - a[1] a[1]=B2 + a[2]=B2 =3D a[1]=B2 + (S - a[1])=B2 =3D 2a[1]=B2 - 2.S.a[1] + = S=B2 tra=E7ando o gr=E1fico da par=E1bola vemos claramente que os pontos de = m=E1ximo para a[1] em [0, S] =E9 justamente a[1] =3D 0 ou a[1] =3D S. suponha ent=E3o que, para todo 1 <=3D k < n, se a[1] + a[2] + ... + a[k] = =3D S, a[1]^2 + a[2]^2 + ... + a[k]^2 tem m=E1ximo quando uma delas =E9 = igual a S e outras s=E3o nulas se=20 a[1] + a[2] + ... + a[k] + a[k+1] =3D S temos que=20 a[1] + a[2] + ... + a[k] =3D S - a[k+1] queremos maximizar: a[1]^2 + a[2]^2 + ... + a[k]^2 + a[k+1]^2 se fizarmos a[k+1] sabemos que o valor m=E1ximo global vai ser, pela = hip=F3tese de indu=E7=E3o quando um dos a[1]...a[k] for igual a S - = a[k+1] e o resto for 0, sendo assim, podemos de antem=E3o eliminar todas = as vari=E1veis nulas e, sem perda de generalidade assumir que a[1] =3D S = - a[k+1] logo ca=EDmos novamente no problema de maximizar a soma dos quadrado de = duas vari=E1veis positivas dado que sua soma =E9 fixa, e isso foi = exatamente o que foi feito na parte 1, logo temos que a express=E3o =E9 = maxima quando s=F3 uma das vari=E1veis =E9 maior que 0, o que completa a = prova por indu=E7=E3o. segue que para todo n >=3D 1, para a[i] >=3D 0 e a[1] + a[2] + ... + = a[n] =3D S um valor fixo, o maior valor de a[1]^2 + a[2]^2 + ... + = a[n]^2 =E9 S=B2 quando um dos a[i] =3D S e os demais s=E3o 0. ----- Original Message -----=20 From: Cl=E1udio (Pr=E1tica)=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Thursday, February 20, 2003 4:56 PM Subject: [obm-l] Maximizando uma Soma de Quadrados Caro JP: Que tal isso aqui? Queremos maximizar Q =3D A(1)^2 + ... + A(n)^2 sujeito a: A(1) + ... + A(n) =3D S =3D constante. Bom, se os A(i)'s podem ser reais quaisquer, ent=E3o a soma dos = quadrados =E9 ilimitada. (Tome A(1) =3D A, A(2) =3D S-A e todos os = demais A(i)'s =3D 0 =3D=3D> Q =3D A^2 + (S-A)^2 =3D=3D> ilimitada). No entanto, se nos restringirmos a A(i)'s positivos, ent=E3o eu acho = que o valor m=E1ximo da soma dos quadrados =E9 atingido quando um deles = =E9 igual a S e os outros iguais a zero. Isso porque f(x1, ..., xn) =3D = x1^2 + ... + xn^2 =E9 convexa em cada uma das n vari=E1veis e o m=E1ximo = de uma fun=E7=E3o convexa num dom=EDnio fechado (que =E9 o nosso caso) = =E9 atingido em algum ponto da fronteira deste dom=EDnio.=20 Nesse caso, Q =3D S^2. Por exemplo, se A(1) =3D A (0 < A < S), A(2) =3D S - A, A(k) =3D 0, = para k =3D 3,...,n ent=E3o: Q =3D A^2 + (S-A)^2 =3D S^2 - 2*A*S + 2*A^2 =3D S^2 - 2*A*(S-A) < S^2, = pois A e S-A s=E3o positivos. Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Thursday, February 20, 2003 2:19 PM Subject: Re: [obm-l] Desigualdade estranhinha Valeu cara,me matei em algo tao inutil.Mas nao da pra cantar vitoria = afinal temos que maximizar a somatoria dos quadrados quando so sabemos = da soma das primeiras potencias.E isso e dificil....=20 Cl=E1udio_(Pr=E1tica) wrote:=20 Caro JP: Ent=E3o, o problema =E9: Maximizar a_1*a_2+a_2*a_3+a_3*a_4+.....+a_(n-1)*an+a_n*a_1 sabendo = que a soma dos a's e 1. Nesse caso, acho que cabe a desigualdade do rearranjo: Suponhamos s.p.d.g. que A(1) <=3D A(2) <=3D ... <=3D A(n). Pela desig. do rearranjo, vale: A(1)*A(2) + ... + A(n-1)*A(n) + A(n)*A(1) <=3D A(1)^2 + ... + = A(n)^2, com igualdade se e somente se os A(i)'s s=E3o todos iguais. Como a soma deles =E9 1, eles ser=E3o todos iguais a 1/n =3D=3D> o valor m=E1ximo procurado =E9 igual a n * (1/n)^2 =3D 1/n. Repare que n=E3o foi necess=E1rio supor que os A(i)'s s=E3o = positivos, pois a desig. do rearranjo n=E3o necessita dessa hip=F3tese. Um abra=E7o, Claudio. =20 -------------------------------------------------------------------------= --- Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar = o Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_000E_01C2D90A.C7E1A770 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
seja n =3D 2
a[1] + a[2] =3D S
    a[2] =3D S - = a[1]
 
a[1]=B2 + a[2]=B2 =3D a[1]=B2 + (S = - a[1])=B2 =3D 2a[1]=B2 -=20 2.S.a[1] + S=B2
 
tra=E7ando o gr=E1fico da par=E1bola vemos claramente que os pontos = de m=E1ximo=20 para a[1] em [0, S] =E9 justamente a[1] =3D 0 ou a[1] =3D S.
 
suponha ent=E3o que, para todo 1 <=3D k < n, se a[1] + a[2] + = ... + a[k]=20 =3D S, a[1]^2 + a[2]^2 + ... + a[k]^2 tem m=E1ximo quando uma delas =E9 = igual a S e=20 outras s=E3o nulas
 
se
a[1] + a[2] + ... + a[k] + a[k+1] =3D S
temos que
a[1] + a[2] + ... + a[k] =3D S - a[k+1]
 
queremos maximizar:
a[1]^2 + a[2]^2 + ... + a[k]^2 + a[k+1]^2
 
se fizarmos a[k+1] sabemos que o valor m=E1ximo global vai ser, = pela hip=F3tese=20 de indu=E7=E3o quando um dos a[1]...a[k] for igual a S - a[k+1] e o = resto for 0,=20 sendo assim, podemos de antem=E3o eliminar todas as vari=E1veis nulas e, = sem perda=20 de generalidade assumir que a[1] =3D S - a[k+1]
logo ca=EDmos novamente no problema de maximizar a soma dos = quadrado de duas=20 vari=E1veis positivas dado que sua soma =E9 fixa, e isso foi = exatamente o que=20 foi feito na parte 1, logo temos que a express=E3o =E9 maxima quando = s=F3 uma das=20 vari=E1veis =E9 maior que 0, o que completa a prova por = indu=E7=E3o.
 
segue que para todo n >=3D 1, para a[i] >=3D 0 e a[1] + = a[2] + ... +=20 a[n] =3D S um valor fixo, o maior valor de a[1]^2 + a[2]^2 + = ... +=20 a[n]^2 =E9 S=B2 quando um dos a[i] =3D S e os demais s=E3o 0.
 
----- Original Message -----
From:=20 Cl=E1udio = (Pr=E1tica)
Sent: Thursday, February 20, = 2003 4:56=20 PM
Subject: [obm-l] Maximizando = uma Soma de=20 Quadrados

Caro JP:
 
Que tal isso aqui?
 
Queremos maximizar Q =3D  A(1)^2 + ... + A(n)^2 sujeito a:
A(1) + ... + A(n) =3D S =3D=20 constante.
 
Bom, se os A(i)'s podem ser reais = quaisquer,=20 ent=E3o a soma dos quadrados =E9 ilimitada. (Tome A(1) =3D A, = A(2) =3D S-A e=20 todos os demais A(i)'s =3D 0 =3D=3D> Q =3D A^2 + (S-A)^2 = =3D=3D>=20 ilimitada).
 
No entanto, se nos restringirmos a = A(i)'s=20 positivos, ent=E3o eu acho que o valor m=E1ximo da soma dos quadrados = =E9 atingido=20 quando um deles =E9 igual a S e os outros iguais a zero. Isso porque = f(x1, ...,=20 xn) =3D x1^2 + ... + xn^2 =E9 convexa em cada uma das n vari=E1veis e = o m=E1ximo de=20 uma fun=E7=E3o convexa num dom=EDnio fechado (que =E9 o nosso caso) = =E9 atingido em=20 algum ponto da fronteira deste dom=EDnio. 
 
Nesse caso, Q =3D S^2.
 
Por exemplo, se A(1) =3D A (0 < A = < S), A(2)=20 =3D S - A, A(k) =3D 0, para k =3D 3,...,n ent=E3o:
Q =3D A^2 + (S-A)^2 =3D S^2 - 2*A*S + = 2*A^2 =3D S^2 -=20 2*A*(S-A) < S^2, pois A e S-A s=E3o positivos.
 
Um abra=E7o,
Claudio.
----- Original Message -----
From:=20 Johann Peter Gustav = Lejeune=20 Dirichlet
Sent: Thursday, February 20, = 2003 2:19=20 PM
Subject: Re: [obm-l] = Desigualdade=20 estranhinha

Valeu cara,me matei em algo tao inutil.Mas nao da pra cantar = vitoria=20 afinal temos que maximizar a somatoria dos quadrados quando so = sabemos da=20 soma das primeiras potencias.E isso e dificil....=20

 Cl=E1udio_(Pr=E1tica) <claudio@praticacorretora.= com.br>=20 wrote:=20

Caro JP:
 
Ent=E3o, o problema = =E9:
 
Maximizar a_1*a_2+a_2*a_3+a_3*a_4+.....+a_(n-1)*an+a_n*a_1 = sabendo=20 que a soma dos a's e 1.
 
Nesse caso, acho que cabe a desigualdade do rearranjo:
 
Suponhamos s.p.d.g. que A(1) <=3D A(2) <=3D ... <=3D = A(n).
 
Pela desig. do rearranjo, = vale:
 
A(1)*A(2) + ... + A(n-1)*A(n) + = A(n)*A(1)=20 <=3D A(1)^2 + ... + A(n)^2, com igualdade se e somente se os = A(i)'s s=E3o=20 todos iguais.
 
Como a soma deles =E9 1, eles = ser=E3o todos=20 iguais a 1/n =3D=3D>
 
o valor m=E1ximo procurado =E9 = igual a n *=20 (1/n)^2 =3D 1/n.
 
Repare que n=E3o foi necess=E1rio = supor que os=20 A(i)'s s=E3o positivos, pois a desig. do rearranjo n=E3o necessita = dessa=20 hip=F3tese.
 
Um abra=E7o,
Claudio.
 
 =20


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Ol=E1 pessoal, aqui vai um problema que = bolei na=20 minha cabe=E7a. Tem a ver muito com densidade:
Uma cuba est=E1 cheia de = merc=FArio e nela=20 inseriu-se um cedro com a forma de um paral=E9lepipedo regular cujas = dimens=F5es de=20 altura, comprimento e largura, s=E3o respectivamente: 5cm, 10cm e 8cm. = Viu-se=20 depois de um tempo, que parte do cedro havia afundado e o restante = boiava de=20 modo que uma das faces  menores que se encontrava emergida era = paralela a=20 superficie do mercurio.
Pergunta-se quantos Kg deve-se colocar sobre a = face do=20 cedro para que ele afunde totalmente, ficando com a face superior no = mesmo n=EDvel=20 do mercurio.
Dados: a densidade do Hg: = 13,6g/cm^3
          =   =20 a densidade do cedro: 0,75g/cm^3
------=_NextPart_000_001E_01C2D919.57E30220-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 20 18:57:41 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA22518 for obm-l-MTTP; Thu, 20 Feb 2003 18:56:19 -0300 Received: from itaqui.terra.com.br (itaqui.terra.com.br [200.176.3.19]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA22512 for ; Thu, 20 Feb 2003 19:56:15 -0200 Received: from gunga.terra.com.br (gunga.terra.com.br [200.176.3.45]) by itaqui.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 49E6A3BD5BB for ; Thu, 20 Feb 2003 18:55:45 -0300 (BRT) Received: from nt (guido.ensr.com [12.105.79.66]) (authenticated user ensr) by gunga.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 863C5128052 for ; Thu, 20 Feb 2003 18:55:43 -0300 (BRT) Message-ID: <030901c2d92a$daa81ea0$5400a8c0@ensrbr> From: "Luis Lopes" To: References: <3E48201F.3060508@centroin.com.br> <20030211144637.H9677@sucuri.mat.puc-rio.br> <20030218100957.D12626@sucuri.mat.puc-rio.br> <011f01c2d8f8$7dd9a5e0$5400a8c0@ensrbr> <005f01c2d90e$e1e75940$3300c57d@bovespa.com> <023101c2d90d$36ccf840$5400a8c0@ensrbr> <00d601c2d92c$8a998320$3300c57d@bovespa.com> Subject: Re: [obm-l] forma fechada e integral Date: Thu, 20 Feb 2003 18:55:56 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caro Cláudio, OK. A idéia da integral é boa mesmo. Como não existe forma fechada para F(x)=\int f(x) dx = \int n*(1+x)^(n-1)*x^n dx, a soma 2 não tem forma fechada também. Legal. A mesma análise serve para as outras duas. []'s Luís -----Mensagem Original----- De: "Cláudio (Prática)" Para: Enviada em: quinta-feira, 20 de fevereiro de 2003 19:08 Assunto: Re: [obm-l] forma fechada e integral > Caro Luís: > > > > > > infinito > > > Soma 1 = SOMA ((n+1)/(2k+1))*C(n+1,2k+1) > > > k = 0 > > > > > > infinito > > > Soma 2 = SOMA (k/(n+k))*C(n,k) > > > k = 0 > > > > > > infinito > > > Soma 3 = SOMA (2k/(2n+k))*C(n,k) > > > k = 0 > > > > Bom, cada uma das 3 somas acima tem um número finito de termos não nulos. > Nos 3 casos, se k > n, então C(n,k) = C(2n+1,2k+1) = 0. > > Além disso, temos o seguinte: > k*C(n,k) = n!/((k-1)!*(n-k)!) = n*(n-1)!/((k-1)!*(n-k)!) = n*C(n-1,k-1) > > Levando em conta os dois fatos acima, a segunda soma pode ser reescrita > como: > n > Soma 2 = SOMA (n/(n+k))*C(n-1,k-1) > k = 1 > > Fórmula fechada também acho difícil encontrar, mas a idéia da integral é > interessante. Considere a seguinte função: > n-1 > f(x) = n*(1+x)^(n-1)*x^n = SOMA n*C(n-1,j)*x^(n+j). > j = 0 > > Integrando f(x) de 0 até 1, você acha: > n-1 > SOMA n*(C(n-1,j)/(n+j+1))*[1^(n+j+1) - 0^(n+j+1)] = > j = 0 > > n-1 > SOMA n*C(n-1,j)/(n+j+1). > j = 0 > > Fazendo j = k - 1, teremos: > n > SOMA n*C(n-1,k-1)/(n+k) > k = 1 > que é justamente a Soma2 acima. > > > Um abraço, > Claudio. > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 20 18:58:48 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA22580 for obm-l-MTTP; Thu, 20 Feb 2003 18:57:32 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA22576 for ; Thu, 20 Feb 2003 19:57:29 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1KLtVJ23176 for ; Thu, 20 Feb 2003 18:55:31 -0300 Message-ID: <010a01c2d933$c7382460$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_RE:_=5Bobm-l=5D_RE:_=5Bobm-l=5D_RE:_=5Bo?= =?iso-8859-1?Q?bm-l=5D_Parti=E7=E3o?= Date: Thu, 20 Feb 2003 19:59:51 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Legal! É uma solução diferente da minha e você foi mais "técnico" do que eu para achá-la. O que eu fiz foi dividir o conjunto {1,2,...,2001} em três subconjuntos: A1 = {1,2,...,667} A2 = {668,669,...,1334} A3 = {1335,1336,...,2001} E começar a formar as partições (lidas verticalmente) com cada subconjuntinho de 3 elementos recebendo um elemento de A1, um de A2 e um de A3: A1: 0001 0002 0003 ... 0333 0334 0335 0336 ... 0666 0667 A2: 1334 1332 1330 ... 0670 0668 1333 1331 ... 0671 0669 ou seja, eu coloquei os elementos de A1 em ordem crescente de 1 em 1 e os de A2 em ordem decrescente de 2 em 2 (mod 2). Finalmente, eu coloquei os elementos de A3 de modo que cada soma fosse igual a 3003 meio torcendo pra dar tudo certo, com base nos casos especiais (M=3, 5 e 7) que eu fiz na mão e deram certo. No entanto, uma vez concluída a partição, é fácil ver que tudo daria certo, pois a soma dos dois primeiros elementos colocados em cada subconjuntinho eram todas distintas: 1335 1334 1333 ... 1003 1002 1668 1667 ... 1337 1336 Além disso: 3003 - 1668 = 1335 ==> todos os complementos estavam em A3. Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "João Gilberto Ponciano Pereira" To: Sent: Thursday, February 20, 2003 5:26 PM Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Partição > Complementando a resposta... > > -n, -n+1, -n+2... n-2, n-1, n > -n, -n+1, -n+2... n-2, n-1, n > -n, -n+1, -n+2... n-2, n-1, n > > Podemos formar os n+i primeiros trios da seguinte forma: > (-n+i,i,n-2*i), com i de 0 a n. Repare que a soma é zero. > > Os últimos n termos são: > (i+n, -n+i -1, n-2*i+1), com i de 1 a n. Mais uma vez, a soma é zero. > > Se considerarmos o Item 1, até 2001, temos: > > 1 2 3 ... 332 333 334 ... 665 666 667 > 668 669 670 ... 999 1000 1001 ... 1332 1333 1334 > 1335 1336 1337 ... 1666 1667 1668 ... 1999 2000 2001 > > Os trios seriam: > ( 1,1000,2001) > ( 2,1001,1999) > ( 3,1002,1997) > ... > (333,1334,1335) > > e > (334, 668,2000) > (335, 667,1998) > ... > (667, 999,1336) > > SDS > JG > -----Original Message----- > From: João Gilberto Ponciano Pereira [mailto:jopereira@vesper.com.br] > Sent: Thursday, February 20, 2003 3:43 PM > To: 'obm-l@mat.puc-rio.br' > Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Partição > > > Ops!! Sorry! Parece que entendi o problema de forma errada... Estava fazendo > 3 conjuntos de M elementos, e não M conjuntos de 3 elementos, como pedia o > problema.... Neste caso, temos o seguinte: > > A soma total dos elementos do conjunto é 3M *(3M+1)/2. Como os conjuntos de > 3 elementos deve ter soma igual, esta soma deverá ser de 3M*(3M+1)/2/M => > Soma = (9M + 1)/2. Já é possível concluir que M é obrigatoriamente ímpar. > > Agora, podemos considerar a seqüência com a seguinte nomenclatura: > > a(1,-n), a(1,-n+1), ... a(1,0), ... a(1,n) > a(2,-n), a(2,-n+1), ... a(2,0), ... a(2,n) > a(3,-n), a(3,-n+1), ... a(3,0), ... a(3,n) > Com n de -(m-1)/2 a (m-1)/2 > > Onde a(i,j) = j+(M-1)/2 + M*(i-1) + 1 > > Se considerarmos que, em cada subconjunto válido, teremos um elemento de > cada linha, temos > > a(i1,1) + a(i2,2) + a(i3,3) = (9M+1)/2 = j1 + j2 + j3 + 3*(M-1)/2 + M*((1-1) > + (2-1) + (3-1)) + 3 > > Resumindo, temos que j1 + j2 + j3 = 0. Exemplo: > > 1 2 3 4 5 > 6 7 8 9 10 > 11 12 13 14 15 > > fica: > -2 -1 0 1 2 > -2 -1 0 1 2 > -2 -1 0 1 2 > > Os conjuntos podem ser:(-2, 1, 1) (-1,-1, 2) ( 0, 2,-2) ( 1, 0,-1) ( 2,-2, > 0) > Traduzindo: ( 1, 9,14) ( 2, 7,15) ( 3,10,11) ( 4, 8,12) ( 5, > 6,13) > > Ou seja, temos que provar que, sejam S1, S2, S3 conjuntos idênticos = > (-n...,0,1,2,...n) > Devemos formar 2n+1 trios (um elemento de cada conjunto), tais que a soma do > trio seja zero. > > Acho que vale para qualquer n, mas preciso pensar mais um pouco... > > -----Original Message----- > From: João Gilberto Ponciano Pereira [mailto:jopereira@vesper.com.br] > Sent: Thursday, February 20, 2003 1:23 PM > To: 'obm-l@mat.puc-rio.br' > Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Partição > > > "2) Determine todos os inteiros positivos M tais que o conjunto {1 2, ..., > 3M} admite uma partição em M subconjuntos de 3 elementos tal que a soma dos > elementos de cada subconjunto é constante." > > A Questão é... Como distribuir os elementos? > Vamos imaginar uma seqüência de 6 consecutivos.... > > n-2, n-1, n, n+1, n+2, n+3. Neste caso, podemos fazer 3 pares de forma que a > soma seja 2n-1: > (n-2) e (n+3) > (n-1) e (n+2) > (n) e (n+1). > > Logo, se M for par, basta ir distribuindo os números de 6 em 6 (1 a 6, 7 a > 12... 3M-6 a 3M), pelo método acima. > > E se M for ímpar? Neste caso, podemos dividir os 9 primeiros termos (1 a 9) > em 3 grupos de soma igual: > 1,5,9 = 15 > 2,6,7 = 15 > 3,4,8 = 15 > Para o restante, podemos seguir de 6 em 6. (1 a 9, 10 a 15, 16 a 21...1996 a > 2001) > > Proposta: Podemos pensar até num exercício um pouco mais elaborado, do tipo: > > 3) Determine todos os inteiros positivos M tais que o conjunto {1 2, ..., > kM} admite uma partição em M subconjuntos de k elementos tal que a soma dos > elementos de cada subconjunto é constante. > > -----Original Message----- > From: Cláudio (Prática) [mailto:claudio@praticacorretora.com.br] > Sent: Thursday, February 20, 2003 12:34 PM > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] Partição > > > Caros colegas da lista: > > Estou embananado com este aqui: > > 1) Prove que existe uma partição de {1, 2, ..., 2001} em 667 subconjuntos de > 3 elementos tal que a soma dos elementos de cada subconjunto é igual a 3003. > > 2) Determine todos os inteiros positivos M tais que o conjunto {1 2, ..., > 3M} admite uma partição em M subconjuntos de 3 elementos tal que a soma dos > elementos de cada subconjunto é constante. > > Um abraço, > Claudio. > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 20 19:50:07 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA22910 for obm-l-MTTP; Thu, 20 Feb 2003 19:14:18 -0300 Received: from imo-r09.mx.aol.com (imo-r09.mx.aol.com [152.163.225.105]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id UAA22906 for ; Thu, 20 Feb 2003 20:14:15 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-r09.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.12d.2353f35f (25508) for ; Thu, 20 Feb 2003 17:13:38 -0500 (EST) Message-ID: <12d.2353f35f.2b86ad12@aol.com> Date: Thu, 20 Feb 2003 17:13:38 EST Subject: [obm-l] geo espacial II To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_12d.2353f35f.2b86ad12_boundary" X-Mailer: 6.0 sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --part1_12d.2353f35f.2b86ad12_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal, Como se resolve esta quest=E3o: (FUVEST-SP) =C9 dado um tetraedro regular ABCD de aresta 1. Na aresta BC,=20 toma-se um ponto P de modo que PA + PD tenha o menor valor poss=EDvel. a) Qual o valor da raz=E3o PB/CB ? b) Calcule PA + PD resp: 1/2 e raiz(3) --part1_12d.2353f35f.2b86ad12_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal,

Como se resolve esta quest=E3o:


(FUVEST-SP) =C9 dado um tetraedro regular ABCD de aresta 1. Na aresta BC= , toma-se um ponto P de modo que PA + PD tenha o menor valor poss=EDvel.

a) Qual o valor da raz=E3o PB/CB ?
b) Calcule PA + PD

resp: 1/2 e raiz(3) --part1_12d.2353f35f.2b86ad12_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 20 19:50:09 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA22922 for obm-l-MTTP; Thu, 20 Feb 2003 19:15:23 -0300 Received: from imo-m06.mx.aol.com (imo-m06.mx.aol.com [64.12.136.161]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id UAA22918 for ; Thu, 20 Feb 2003 20:15:19 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-m06.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.bd.2f0ba188 (25508) for ; Thu, 20 Feb 2003 17:14:44 -0500 (EST) Message-ID: Date: Thu, 20 Feb 2003 17:14:44 EST Subject: [obm-l] geo espacial lII To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_bd.2f0ba188.2b86ad54_boundary" X-Mailer: 6.0 sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --part1_bd.2f0ba188.2b86ad54_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal, Como resolver esta quest=E3o: Numa camara de ar suficientemente cheia para ser utilizada como "b=F3ia" est= =E1=20 impressa uma figura de =E1rea S. Se insuflarmos mais ar para dentro da "b= =F3ia",=20 tal que seu volume fique duplicado, ent=E3o a figura passar=E1 a ter =E1rea=20= igual a: resp: S*(raiz c=FAbica de 4) --part1_bd.2f0ba188.2b86ad54_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal,

Como resolver esta quest=E3o:

Numa camara de ar suficientemente cheia para ser utilizada como "b=F3ia"= est=E1 impressa uma figura de =E1rea S. Se insuflarmos mais ar para dentro=20= da "b=F3ia", tal que seu volume fique duplicado, ent=E3o a figura passar=E1=20= a ter =E1rea igual a:

resp: S*(raiz c=FAbica de 4) --part1_bd.2f0ba188.2b86ad54_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 20 19:50:09 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA22885 for obm-l-MTTP; Thu, 20 Feb 2003 19:13:17 -0300 Received: from imo-r02.mx.aol.com (imo-r02.mx.aol.com [152.163.225.98]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id UAA22881 for ; Thu, 20 Feb 2003 20:13:14 -0200 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-r02.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.1a7.10b63eb4 (25508) for ; Thu, 20 Feb 2003 17:12:34 -0500 (EST) Message-ID: <1a7.10b63eb4.2b86acd1@aol.com> Date: Thu, 20 Feb 2003 17:12:33 EST Subject: [obm-l] geo espacial I To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_1a7.10b63eb4.2b86acd1_boundary" X-Mailer: 6.0 sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --part1_1a7.10b63eb4.2b86acd1_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Como se resolve esta quest=E3o: (ITA-SP) Qual o volume de um cone circular reto, se a =E1rea de sua superf= =EDcie=20 lateral =E9 de 24*pi cm^2 e o raio de sua base mede 4 cm ? resp : (16*pi/3)*raiz(20) cm^3 --part1_1a7.10b63eb4.2b86acd1_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Como se resolve esta ques= t=E3o:

(ITA-SP) Qual o volume de um cone circular reto, se a =E1rea de sua supe= rf=EDcie lateral =E9 de 24*pi cm^2 e o raio de sua base mede 4 cm ?

resp : (16*pi/3)*raiz(20) cm^3
--part1_1a7.10b63eb4.2b86acd1_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 21 08:05:01 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id IAA32075 for obm-l-MTTP; Fri, 21 Feb 2003 08:01:51 -0300 Received: from web80409.mail.yahoo.com (web80409.mail.yahoo.com [66.218.79.64]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id JAA32071 for ; Fri, 21 Feb 2003 09:01:47 -0200 Message-ID: <20030221110115.7754.qmail@web80409.mail.yahoo.com> Received: from [200.17.147.233] by web80409.mail.yahoo.com via HTTP; Fri, 21 Feb 2003 08:01:15 ART Date: Fri, 21 Feb 2003 08:01:15 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Tertuliano=20Carneiro?= Subject: Re: [obm-l] geo espacial II To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <12d.2353f35f.2b86ad12@aol.com> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá! PA será mínimo quando for perpendicular a CB.Idem para PD. Como o triangulo ABC é equilátero, PA é também mediana. Daí, PB/BC=1/2. Para o item b, basta usar o teorema de Pitagoras. Tertuliano Carneiro. --- Faelccmm@aol.com escreveu: > Olá pessoal, > > Como se resolve esta questão: > > > (FUVEST-SP) É dado um tetraedro regular ABCD de > aresta 1. Na aresta BC, > toma-se um ponto P de modo que PA + PD tenha o menor > valor possível. > > a) Qual o valor da razão PB/CB ? > b) Calcule PA + PD > > resp: 1/2 e raiz(3) > _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 21 08:09:35 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id IAA32148 for obm-l-MTTP; Fri, 21 Feb 2003 08:07:03 -0300 Received: from web80407.mail.yahoo.com (web80407.mail.yahoo.com [66.218.79.62]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id JAA32144 for ; Fri, 21 Feb 2003 09:06:59 -0200 Message-ID: <20030221110627.69178.qmail@web80407.mail.yahoo.com> Received: from [200.17.147.233] by web80407.mail.yahoo.com via HTTP; Fri, 21 Feb 2003 08:06:27 ART Date: Fri, 21 Feb 2003 08:06:27 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Tertuliano=20Carneiro?= Subject: Re: [obm-l] geo espacial I To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <1a7.10b63eb4.2b86acd1@aol.com> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá! A área lateral de um cone é dada por S=Pi*r*g, donde g=6cm e h=sqrt20. Agora é só aplicar a fórmula do volume. Tertuliano Carneiro. --- Faelccmm@aol.com escreveu: > Como se resolve esta questão: > > (ITA-SP) Qual o volume de um cone circular reto, se > a área de sua superfície > lateral é de 24*pi cm^2 e o raio de sua base mede 4 > cm ? > > resp : (16*pi/3)*raiz(20) cm^3 > > _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 21 09:20:41 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA01527 for obm-l-MTTP; Fri, 21 Feb 2003 09:19:13 -0300 Received: (from nicolau@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA01522 for obm-l@mat.puc-rio.br; Fri, 21 Feb 2003 09:19:12 -0300 Date: Fri, 21 Feb 2003 09:19:12 -0300 From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] forma fechada e integral Message-ID: <20030221091912.E1041@sucuri.mat.puc-rio.br> References: <3E48201F.3060508@centroin.com.br> <20030211144637.H9677@sucuri.mat.puc-rio.br> <20030218100957.D12626@sucuri.mat.puc-rio.br> <011f01c2d8f8$7dd9a5e0$5400a8c0@ensrbr> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Disposition: inline Content-Transfer-Encoding: 8bit User-Agent: Mutt/1.2.5i In-Reply-To: <011f01c2d8f8$7dd9a5e0$5400a8c0@ensrbr>; from llopes@ensrbr.com.br on Thu, Feb 20, 2003 at 12:55:28PM -0300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Thu, Feb 20, 2003 at 12:55:28PM -0300, Luis Lopes wrote: > Sauda,c~oes, > > \sum_k \frac{n+1}{2k+1} \binom{n+1}{2k+1} . > > \sum_{k\geq0} \frac{k}{n+k} \binom{n}{k} . > > \sum_{k\geq0} \frac{2k}{2n+k} \binom{n}{k} . > > Querendo conhecer as formas fechadas > (se existentes) das três somas acima, > escrevi para o prof. Rousseau. > > Em função das suas respostas, fiquei sabendo > que não existem. Mas não entendi a passagem > para a integral e a justificativa decorrente. > Para não incomodá-lo MAIS uma vez, gostaria > de perguntar antes pra lista (e participar também > tais resultados). Talvez a resposta até seja > elementar. A resposta não é muito elementar, mas se você estiver realmente interessado eu recomendo a leitura do livro A=B de Petkovsek, Wilf e Zeilberger. Note que um *.pdf deste livro pode ser baixado (legalmente) da internet neste endereço: http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 21 10:15:05 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA02735 for obm-l-MTTP; Fri, 21 Feb 2003 10:13:41 -0300 Received: from hotmail.com (f32.sea2.hotmail.com [207.68.165.32]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA02731 for ; Fri, 21 Feb 2003 11:13:37 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Fri, 21 Feb 2003 05:13:06 -0800 Received: from 200.142.58.18 by sea2fd.sea2.hotmail.msn.com with HTTP; Fri, 21 Feb 2003 13:13:05 GMT X-Originating-IP: [200.142.58.18] From: "Paulo Santa Rita" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] O numero fi Date: Fri, 21 Feb 2003 13:13:05 +0000 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 21 Feb 2003 13:13:06.0027 (UTC) FILETIME=[F8B7FBB0:01C2D9AA] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi Claudio, Nao ha erro. Claramente que se a-r,a,a+r (uma PA)e uma PG entao a^2=(a-r)(a+r) => r=0, isto e, uma PA so e PG se os termos forem constantes. No enunciado abaixo, onde se le PA, leia-se Propriedade Aritmetica : An+1=An + An-1. Procura-se uma sequencia A1, A2, ... que tenha apropriedade aritmetica e que tambem seja uma Progressao Geometrica. Com o numero fi existem duas sequencias assim. A serie : 1, fi, 1+fi, 1+2fi, 2+3fi, 3+5fi,5+8fi, ... e chamada SEQUENCIA AUREA. Aqui, fi=(1+raiz_2(5))/2. Considere agora 1, fi, fi^2, fi^3, ... Um Abraco Paulo Santa rita 6,1012,210203 Um Abraco Paulo Santa Rita 6,1005,210203 >From: "Cláudio \(Prática\)" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: >Subject: Re: [obm-l] O numero fi >Date: Thu, 20 Feb 2003 17:31:13 -0300 > >Caro Paulo: > >Ficaria muito satisfeito se você mostrasse onde eu errei na solução do >Problema 1. > > > PROBLEMA 1) "fi" e uma das solucoes de x^2 + x - 1=0. Exiba uma >sequencia >de > > numeros reais, estritamente crescente, tal que ela seja simultaneamente >uma > > PA e uma PG. Esta sequencia e unica ou existe > > outra(s) ? > > >Seja A(0) = A >Então, para todo n: A(n) = A + D*n = A*Q^n com: >D > 0 >e >Q > 1 se A > 0 ou 0 < Q < 1 se A < 0 (de qualquer forma, Q <> 1). > >n = 1: A(1) = A + D = A*Q >n = 2: A(2) = A + 2D = A*Q^2 > >(1) ==> D = A*(Q - 1) >(2) - (1) ==> D = A*Q*(Q-1) ==> A*(Q-1) = A*Q*(Q-1) > >A = 0 ==> PG é constante ==> contradição ==> A <> 0 ==> >Q-1 = Q*(Q-1) >Como Q <> 1 ==> Q = 1 ==> contradição > >Assim, não existe tal sequência. De fato, não existem sequer 3 números que >formem, ao mesmo tempo, uma PA e uma PG estritamente crescentes. > >************* > > > PROBLEMA 2) Seja 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., An, ... a sequencia de >fibonaci. > > Qual o LIM An/An-1 quando n tende ao infinito ? > > >O n-ésimo termo da sequência de Fibonacci tem uma fórmula fechada bem >conhecida e dada por: >A(n) = (1/raiz(5))*[U^n - (-1/U)^n] >onde U = (1+raiz(5))/2 >(A(1) = A(2) = 1) > >Assim, >A(n)/A(n-1) = >[U^n - (-1/U)^n] / [U^(n-1) - (-1/U)^(n-1)] = >[U - (-1)^n/U^(2n-1)] / [1 - (-1)^(n-1)/U^(2n-2)] > >Logo, lim A(n)/A(n-1) = [U - 0]/[1 - 0] = U = (1+raiz(5))/2 > >************ > >Um abraço, >Claudio. > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= _________________________________________________________________ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 21 10:40:53 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA03369 for obm-l-MTTP; Fri, 21 Feb 2003 10:39:24 -0300 Received: from itaqui.terra.com.br (itaqui.terra.com.br [200.176.3.19]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA03356 for ; Fri, 21 Feb 2003 11:39:19 -0200 Received: from una.terra.com.br (una.terra.com.br [200.176.3.32]) by itaqui.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 3C9A13BD634 for ; Fri, 21 Feb 2003 10:38:49 -0300 (BRT) Received: from nt (guido.ensr.com [12.105.79.66]) (authenticated user ensr) by una.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 7F5CA2F00D4 for ; Fri, 21 Feb 2003 10:38:47 -0300 (BRT) Message-ID: <007901c2d9ae$9605e1e0$5400a8c0@ensrbr> From: "Luis Lopes" To: References: <3E48201F.3060508@centroin.com.br> <20030211144637.H9677@sucuri.mat.puc-rio.br> <20030218100957.D12626@sucuri.mat.puc-rio.br> <011f01c2d8f8$7dd9a5e0$5400a8c0@ensrbr> <20030221091912.E1041@sucuri.mat.puc-rio.br> Subject: Re: [obm-l] forma fechada e integral Date: Fri, 21 Feb 2003 10:38:54 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Sauda,c~oes, Este livro tem uma teoria e um algoritmo que resolvem definitivamente estas questões, ou seja, se uma soma com as características das discutidas sob este assunto tem ou não uma forma fechada. Sem contar que ele garante a existência e fornece a recorrência satisfeita pela soma. Exemplo: S_n = \sum_k (-1)^k \binom{n}{k} \binom{2k}{k} 2^{-k} = 0 se n >=0 é ímpar; \binom{n}{n/2} 2{-n} se n >= 0 é par. A recorrência é: nS_n - 4(n-1)S_{n-2} = 0. Mas para isso o interessado deve ter o Maple e baixar o programa que implementa o algoritmo. Além de não ter nada disso, buscava uma solução com lápis e papel. []'s Luís > > A resposta não é muito elementar, mas se você estiver > realmente interessado eu recomendo a leitura do livro > A=B de Petkovsek, Wilf e Zeilberger. > > Note que um *.pdf deste livro pode ser baixado (legalmente) > da internet neste endereço: > > http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html > > []s, N. > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 21 11:00:10 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA03916 for obm-l-MTTP; Fri, 21 Feb 2003 10:58:26 -0300 Received: from web14304.mail.yahoo.com (web14304.mail.yahoo.com [216.136.173.80]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id LAA03912 for ; Fri, 21 Feb 2003 11:58:22 -0200 Message-ID: <20030221135751.51393.qmail@web14304.mail.yahoo.com> Received: from [200.144.49.38] by web14304.mail.yahoo.com via HTTP; Fri, 21 Feb 2003 10:57:51 ART Date: Fri, 21 Feb 2003 10:57:51 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Rafael?= Subject: RE:_[obm-l]_Partição To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <010a01c2d933$c7382460$3300c57d@bovespa.com> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Mas nas conas do JG a soma dos conjuntos dá 2002!!! Veja isso de novo: > > ( 1,1000,2001) não seria: (1, 1000, 2001) > > ( 2,1001,1999) (2, 1001, 1999) > > ( 3,1002,1997) (3, 1002, 1997) > > ... > > (333,1334,1335) (333, 1332, 1337) > > (334, 1333, 1335)??? > > e > > (334, 668,2000) > > (335, 667,1998) > > ... > > (667, 999,1336) Alguma coisa está errada não? Abraços, Rafael. --- Cláudio_(Prática) escreveu: > Legal! > > É uma solução diferente da minha e você foi mais > "técnico" do que eu para > achá-la. > > O que eu fiz foi dividir o conjunto {1,2,...,2001} > em três subconjuntos: > A1 = {1,2,...,667} > A2 = {668,669,...,1334} > A3 = {1335,1336,...,2001} > > E começar a formar as partições (lidas > verticalmente) com cada > subconjuntinho de 3 elementos recebendo um elemento > de A1, um de A2 e um de > A3: > A1: 0001 0002 0003 ... 0333 0334 0335 0336 > ... 0666 0667 > A2: 1334 1332 1330 ... 0670 0668 1333 1331 > ... 0671 0669 > ou seja, eu coloquei os elementos de A1 em ordem > crescente de 1 em 1 e os de > A2 em ordem decrescente de 2 em 2 (mod 2). > > Finalmente, eu coloquei os elementos de A3 de modo > que cada soma fosse igual > a 3003 meio torcendo pra dar tudo certo, com base > nos casos especiais (M=3, > 5 e 7) que eu fiz na mão e deram certo. > > No entanto, uma vez concluída a partição, é fácil > ver que tudo daria certo, > pois a soma dos dois primeiros elementos colocados > em cada subconjuntinho > eram todas distintas: > 1335 1334 1333 ... 1003 1002 1668 1667 ... > 1337 1336 > Além disso: 3003 - 1668 = 1335 ==> todos os > complementos estavam em A3. > > Um abraço, > Claudio. > > > > ----- Original Message ----- > From: "João Gilberto Ponciano Pereira" > > To: > Sent: Thursday, February 20, 2003 5:26 PM > Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] > Partição > > > > Complementando a resposta... > > > > -n, -n+1, -n+2... n-2, n-1, n > > -n, -n+1, -n+2... n-2, n-1, n > > -n, -n+1, -n+2... n-2, n-1, n > > > > Podemos formar os n+i primeiros trios da seguinte > forma: > > (-n+i,i,n-2*i), com i de 0 a n. Repare que a soma > é zero. > > > > Os últimos n termos são: > > (i+n, -n+i -1, n-2*i+1), com i de 1 a n. Mais uma > vez, a soma é zero. > > > > Se considerarmos o Item 1, até 2001, temos: > > > > 1 2 3 ... 332 333 334 ... 665 666 > 667 > > 668 669 670 ... 999 1000 1001 ... 1332 1333 > 1334 > > 1335 1336 1337 ... 1666 1667 1668 ... 1999 2000 > 2001 > > > > Os trios seriam: > > ( 1,1000,2001) > > ( 2,1001,1999) > > ( 3,1002,1997) > > ... > > (333,1334,1335) > > > > e > > (334, 668,2000) > > (335, 667,1998) > > ... > > (667, 999,1336) > > > > SDS > > JG > > 1) Prove que existe uma partição de {1, 2, ..., > 2001} em 667 subconjuntos > de > > 3 elementos tal que a soma dos elementos de cada > subconjunto é igual a > 3003. _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 21 11:43:40 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA05553 for obm-l-MTTP; Fri, 21 Feb 2003 11:42:03 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA05549 for ; Fri, 21 Feb 2003 12:41:59 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.229]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1LEdpU19760 for ; Fri, 21 Feb 2003 11:39:53 -0300 Message-ID: <004c01c2d9c0$16b1e260$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <002101c2d932$7de8dbc0$9a75fea9@windows98> Subject: Re: [obm-l] desafio Date: Fri, 21 Feb 2003 11:58:16 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0042_01C2D9A0.84F46880" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0042_01C2D9A0.84F46880 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Uma cuba est=E1 cheia de merc=FArio e nela inseriu-se um cedro com a = forma de um paral=E9lepipedo regular cujas dimens=F5es de altura, = comprimento e largura, s=E3o respectivamente: 5cm, 10cm e 8cm. Viu-se = depois de um tempo, que parte do cedro havia afundado e o restante = boiava de modo que uma das faces menores que se encontrava emergida era = paralela a superficie do mercurio. Pergunta-se quantos Kg deve-se = colocar sobre a face do cedro para que ele afunde totalmente, ficando = com a face superior no mesmo n=EDvel do mercurio. Dados: a densidade do Hg: 13,6g/cm^3 =20 a densidade do cedro: 0,75g/cm^3 Volume do Paralelep=EDpedo =3D 5*10*8 =3D 400 cm^3. Massa do Paralelep=EDpedo =3D 400 * 0,75 =3D 300 g. Massa de Hg correspondente ao volume do paralelep=EDpedo =3D 400 * 13,6 = =3D 5.440 g. Para que o paralelep=EDpedo afunde completamente, =E9 preciso que a sua = massa mais a massa adicionada sejam iguais =E0 massa de merc=FArio = deslocada, ou seja, 5.440 g (aplica=E7=E3o do princ=EDpio de = Arquimedes).=20 Logo, massa adicionada =3D 5.440 - 300 =3D 5.140 g, ou 5,14 kg. ------=_NextPart_000_0042_01C2D9A0.84F46880 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Uma cuba = est=E1 cheia de=20 merc=FArio e nela inseriu-se um cedro com a forma de um = paral=E9lepipedo=20 regular cujas dimens=F5es de altura, comprimento e largura, s=E3o = respectivamente:=20 5cm, 10cm e 8cm. Viu-se depois de um tempo, que parte do cedro havia = afundado e=20 o restante boiava de modo que uma das faces  menores que se = encontrava=20 emergida era paralela a superficie do mercurio. Pergunta-se quantos Kg deve-se colocar sobre a face do = cedro para que=20 ele afunde totalmente, ficando com a face superior no mesmo n=EDvel do=20 mercurio.
 
Dados: a densidade = do Hg:=20 13,6g/cm^3          =   =20
          =  a=20 densidade do cedro: 0,75g/cm^3
 
Volume do Paralelep=EDpedo =3D 5*10*8 = =3D 400=20 cm^3.
Massa do Paralelep=EDpedo =3D 400 * = 0,75 =3D 300=20 g.
 
Massa de Hg correspondente = ao volume do=20 paralelep=EDpedo =3D 400 * 13,6 =3D 5.440 g.
 
Para que o paralelep=EDpedo afunde = completamente, =E9=20 preciso que a sua massa mais a massa adicionada sejam iguais =E0 = massa de=20 merc=FArio deslocada, ou seja, 5.440 g (aplica=E7=E3o do = princ=EDpio de=20 Arquimedes).
Logo, massa adicionada =3D 5.440 - 300 = =3D 5.140 g, ou=20 5,14 kg.
------=_NextPart_000_0042_01C2D9A0.84F46880-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 21 11:43:41 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA05561 for obm-l-MTTP; Fri, 21 Feb 2003 11:42:10 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA05557 for ; Fri, 21 Feb 2003 12:42:06 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.229]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1LEe3U19794 for ; Fri, 21 Feb 2003 11:40:04 -0300 Message-ID: <004d01c2d9c0$1d606500$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: Subject: Re: [obm-l] geo espacial lII Date: Fri, 21 Feb 2003 12:07:31 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0059_01C2D9A1.CF7AF8A0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0059_01C2D9A1.CF7AF8A0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Numa camara de ar suficientemente cheia para ser utilizada como "b=F3ia" = est=E1 impressa uma figura de =E1rea S. Se insuflarmos mais ar para = dentro da "b=F3ia", tal que seu volume fique duplicado, ent=E3o a figura = passar=E1 a ter =E1rea igual a:=20 resp: S*(raiz c=FAbica de 4)=20 =C1rea =3D k * L^2 (L representa apenas uma dimens=E3o linear = qualquer, e n=E3o necessariamente nenhum comprimento relativo =E0 = b=F3ia) Volume =3D k * L^3 =3D=3D>=20 =C1rea^3 =3D k^3 * R^6 =3D k * k^2 * R^6 =3D k * Volume^2 =3D=3D> (=C1rea2/=C1rea1)^3 =3D (Volume2/Volume1)^2 Volume2/Volume1 =3D 2 =3D=3D>=20 (=C1rea2/=C1rea1)^3 =3D 4 =3D=3D> =C1rea2/=C1rea1 =3D 4^(1/3) =3D=3D> =C1rea2 =3D 4^(1/3) * =C1rea1 ------=_NextPart_000_0059_01C2D9A1.CF7AF8A0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable

Numa camara de ar suficientemente cheia para ser utilizada como = "b=F3ia"=20 est=E1 impressa uma figura de =E1rea S. Se insuflarmos mais ar para = dentro da=20 "b=F3ia", tal que seu volume fique duplicado, ent=E3o a figura passar=E1 = a ter =E1rea=20 igual a:

resp: S*(raiz c=FAbica de 4)
 
=C1rea =3D k * L^2   (L representa apenas = uma dimens=E3o=20 linear qualquer, e n=E3o necessariamente nenhum comprimento relativo =E0 = b=F3ia)
Volume =3D k * L^3 =3D=3D>
 
=C1rea^3 =3D k^3 * R^6 =3D k * k^2 * R^6 =3D k * = Volume^2 =20 =3D=3D>
 
(=C1rea2/=C1rea1)^3 =3D = (Volume2/Volume1)^2
 
Volume2/Volume1 =3D 2 =3D=3D>
(=C1rea2/=C1rea1)^3 =3D 4 =3D=3D>
=C1rea2/=C1rea1 =3D 4^(1/3) =3D=3D>
 
=C1rea2 =3D 4^(1/3) * =C1rea1
 
------=_NextPart_000_0059_01C2D9A1.CF7AF8A0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 21 12:44:37 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA07419 for obm-l-MTTP; Fri, 21 Feb 2003 12:42:58 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA07415 for ; Fri, 21 Feb 2003 13:42:51 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.229]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1LFepU23670 for ; Fri, 21 Feb 2003 12:40:51 -0300 Message-ID: <008c01c2d9c8$9a6fcce0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <009901c2d91f$04722c00$3300c57d@bovespa.com> <004801c2d91d$971e9cc0$0301a8c0@stabel> Subject: Re: [obm-l] O numero fi Date: Fri, 21 Feb 2003 13:45:11 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi Duda: Com base no seu comentário dá pra provar algo mais geral: Se uma PA e uma PG, ambas não constantes e de termos positivos, têm os dois primeiros termos iguais, então o terceiro termo da PG é maior que o da PA. A(1) = a A(2) = b A(3) = b + (b-a) = 2b - a G(1) = a G(2) = b G(3) = b*(b/a) = b^2/a G(3) - A(3) = b^2/a - (2b - a) = (b^2 - 2ab + a^2)/a = (b-a)^2/a > 0, pois (b-a) <> 0 e a > 0 ==> G(3) > A(3). Por outro lado, se A(1) = G(1) < 0, então G(3) < A(3). Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Eduardo Casagrande Stabel" To: Sent: Thursday, February 20, 2003 5:21 PM Subject: Re: [obm-l] O numero fi > From: "Cláudio (Prática)" > > Caro Paulo: > > > > Ficaria muito satisfeito se você mostrasse onde eu errei na solução do > > Problema 1. > > > > > PROBLEMA 1) "fi" e uma das solucoes de x^2 + x - 1=0. Exiba uma > sequencia > > de > > > numeros reais, estritamente crescente, tal que ela seja simultaneamente > > uma > > > PA e uma PG. Esta sequencia e unica ou existe > > > outra(s) ? > > > > > Seja A(0) = A > > Então, para todo n: A(n) = A + D*n = A*Q^n com: > > D > 0 > > e > > Q > 1 se A > 0 ou 0 < Q < 1 se A < 0 (de qualquer forma, Q <> 1). > > > > n = 1: A(1) = A + D = A*Q > > n = 2: A(2) = A + 2D = A*Q^2 > > > > (1) ==> D = A*(Q - 1) > > (2) - (1) ==> D = A*Q*(Q-1) ==> A*(Q-1) = A*Q*(Q-1) > > > > A = 0 ==> PG é constante ==> contradição ==> A <> 0 ==> > > Q-1 = Q*(Q-1) > > Como Q <> 1 ==> Q = 1 ==> contradição > > > > Assim, não existe tal sequência. De fato, não existem sequer 3 números que > > formem, ao mesmo tempo, uma PA e uma PG estritamente crescentes. > > > > ************* > > Olá Cláudio! > > Se três números A, B, C estão em PA e PG: > > B - A = C - B ou 2B = A + C > e B / A = C / B ou B^2 = AC > > É preciso que x^2 - 2B x + B^2 = 0 tenha solução x = A, C diferentes de B. > Dá para se escrever essa equação como (x - B)^2, que implicaria x = B = A = > C. Concordo com a sua solução. > > > > > > PROBLEMA 2) Seja 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., An, ... a sequencia de > > fibonaci. > > > Qual o LIM An/An-1 quando n tende ao infinito ? > > > > > O n-ésimo termo da sequência de Fibonacci tem uma fórmula fechada bem > > conhecida e dada por: > > A(n) = (1/raiz(5))*[U^n - (-1/U)^n] > > onde U = (1+raiz(5))/2 > > (A(1) = A(2) = 1) > > > > Assim, > > A(n)/A(n-1) = > > [U^n - (-1/U)^n] / [U^(n-1) - (-1/U)^(n-1)] = > > [U - (-1)^n/U^(2n-1)] / [1 - (-1)^(n-1)/U^(2n-2)] > > > > Logo, lim A(n)/A(n-1) = [U - 0]/[1 - 0] = U = (1+raiz(5))/2 > > > > ************ > > > > Um abraço, > > Claudio. > > Se F_0 = F_1 = 1 e F_(n+2)=F_(n+1)+F_n podemos definir > > A_0 = [ F_0 ; F_1 ]^(T) > A_(n+1) = A * A_n ^(T) > [ 1 ; 1 ] > [ 1 ; 0 ] * A_n ^(T) > > É fácil mostrar por indução, basta supor a hipótese para A_n e multiplicar > por A para obter A_(n+1) usando a recursão que define F_n, que A_n = [ F_n ; > F_(n+1) ]^(T). O problema de calcular o n-ésimo número de Fibonacci F_n pode > ser resolvido canculando-se a potência A^n da matriz A, e multiplicando o > resultado por A_0, pois > > A_n = A*A_(n-1) = A*A*A_(n-1) = ... = A^n*A_0 > > o assunto tem tudo a ver com Álgebra Linear. Eu recomendo o livro do Gilbert > Strange que fala sobre aplicações do assunto. > > Abraço! > > A matriz A é simétrica e pode ser diagonalizada > > A = Q^(-1)DQ onde D é a matriz diagonal que tem (1+5^(1/2))/2 e > (1-5^(1/2))/2 como elementos da diagonal > > Daí A^n = Q^(-1)D^nQ. > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 21 13:04:59 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA07911 for obm-l-MTTP; Fri, 21 Feb 2003 13:03:20 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA07907 for ; Fri, 21 Feb 2003 14:03:17 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1LG1HU24827 for ; Fri, 21 Feb 2003 13:01:17 -0300 Message-ID: <009801c2d9cb$759b5da0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?Windows-1252?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: Subject: [obm-l] Esfera Furada Date: Fri, 21 Feb 2003 14:05:38 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0095_01C2D9B2.4F84BB20" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0095_01C2D9B2.4F84BB20 Content-Type: text/plain; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable HelpCaros colegas da lista: Aqui vai um bonitinho de geometria espacial. Um furo cil=EDndrico de 12 cm de comprimento =E9 feito numa esfera, de = forma que o eixo de simetria do furo coincida com um di=E2metro da = esfera. Qual o volume do s=F3lido resultante? Um abra=E7o, Claudio. ------=_NextPart_000_0095_01C2D9B2.4F84BB20 Content-Type: text/html; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Help
Caros colegas da lista:
 
Aqui vai um bonitinho de geometria espacial.
 
Um furo cil=EDndrico de 12 cm de comprimento =E9 feito numa esfera, = de forma=20 que o eixo de simetria do furo coincida com um di=E2metro da esfera. = Qual o volume=20 do s=F3lido resultante?
 
Um abra=E7o,
Claudio.
------=_NextPart_000_0095_01C2D9B2.4F84BB20-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 21 13:12:16 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA08086 for obm-l-MTTP; Fri, 21 Feb 2003 13:10:56 -0300 Received: (from nicolau@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA08081 for obm-l@mat.puc-rio.br; Fri, 21 Feb 2003 13:10:55 -0300 Date: Fri, 21 Feb 2003 13:10:55 -0300 From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Esfera Furada Message-ID: <20030221131055.A8061@sucuri.mat.puc-rio.br> References: <009801c2d9cb$759b5da0$3300c57d@bovespa.com> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Disposition: inline Content-Transfer-Encoding: 8bit User-Agent: Mutt/1.2.5i In-Reply-To: <009801c2d9cb$759b5da0$3300c57d@bovespa.com>; from claudio@praticacorretora.com.br on Fri, Feb 21, 2003 at 02:05:38PM -0300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Fri, Feb 21, 2003 at 02:05:38PM -0300, Cláudio (Prática) wrote: > Aqui vai um bonitinho de geometria espacial. > > Um furo cilíndrico de 12 cm de comprimento é feito numa esfera, de forma que > o eixo de simetria do furo coincida com um diâmetro da esfera. Qual o volume > do sólido resultante? Acho que a formulação está um pouco confusa. O que é exatamente o comprimento de um furo cilíndrico? Será o diâmetro da esfera? E qual o diâmetro do furo? []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 21 13:23:08 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA08529 for obm-l-MTTP; Fri, 21 Feb 2003 13:21:24 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA08523 for ; Fri, 21 Feb 2003 14:21:17 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.228]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1LGJI725904 for ; Fri, 21 Feb 2003 13:19:18 -0300 Message-ID: <009f01c2d9cd$f9b35dc0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030221135751.51393.qmail@web14304.mail.yahoo.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_RE:=5F=5Bobm-l=5D=5FParti=E7=E3o?= Date: Fri, 21 Feb 2003 14:23:38 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi, Rafael (e JG): Bem observado, mas o engano é facilmente remediável. O que importa é que a idéia do JG foi muito boa (e o que é melhor - produziu uma solução diferente da que eu achei), mas ele errou nas contas e fez a quebra do conjunto do meio (668 até 1334) no ponto errado. Ao invés de 1000, ele deveria ter começado com 1001, de forma que o primeiro trio deveria ser (1,1001,2001), o segundo (2,1002,1999), etc. 1 2 3 ... 332 333 334 ... 665 666 667 668 669 670 ... 999 1000 1001 ... 1332 1333 1334 1335 1336 1337 ... 1666 1667 1668 ... 1999 2000 2001 Os trios corrigidos passam a ser: ( 1,1001,2001) ( 2,1002,1999) ( 3,1003,1997) ... (334,1334,1335) e (335, 668,2000) (336,669,1998) ... (667, 1000,1336) Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Rafael" To: Sent: Friday, February 21, 2003 10:57 AM Subject: RE:_[obm-l]_Partição > Mas nas conas do JG a soma dos conjuntos dá 2002!!! > > Veja isso de novo: > > > ( 1,1000,2001) não seria: (1, 1000, 2001) > > > ( 2,1001,1999) (2, 1001, 1999) > > > ( 3,1002,1997) (3, 1002, 1997) > > > ... > > > (333,1334,1335) (333, 1332, 1337) > > > (334, 1333, 1335)??? > > > e > > > (334, 668,2000) > > > (335, 667,1998) > > > ... > > > (667, 999,1336) > > Alguma coisa está errada não? > > Abraços, > > Rafael. > > > > --- Cláudio_(Prática) > escreveu: > Legal! > > > > É uma solução diferente da minha e você foi mais > > "técnico" do que eu para > > achá-la. > > > > O que eu fiz foi dividir o conjunto {1,2,...,2001} > > em três subconjuntos: > > A1 = {1,2,...,667} > > A2 = {668,669,...,1334} > > A3 = {1335,1336,...,2001} > > > > E começar a formar as partições (lidas > > verticalmente) com cada > > subconjuntinho de 3 elementos recebendo um elemento > > de A1, um de A2 e um de > > A3: > > A1: 0001 0002 0003 ... 0333 0334 0335 0336 > > ... 0666 0667 > > A2: 1334 1332 1330 ... 0670 0668 1333 1331 > > ... 0671 0669 > > ou seja, eu coloquei os elementos de A1 em ordem > > crescente de 1 em 1 e os de > > A2 em ordem decrescente de 2 em 2 (mod 2). > > > > Finalmente, eu coloquei os elementos de A3 de modo > > que cada soma fosse igual > > a 3003 meio torcendo pra dar tudo certo, com base > > nos casos especiais (M=3, > > 5 e 7) que eu fiz na mão e deram certo. > > > > No entanto, uma vez concluída a partição, é fácil > > ver que tudo daria certo, > > pois a soma dos dois primeiros elementos colocados > > em cada subconjuntinho > > eram todas distintas: > > 1335 1334 1333 ... 1003 1002 1668 1667 ... > > 1337 1336 > > Além disso: 3003 - 1668 = 1335 ==> todos os > > complementos estavam em A3. > > > > Um abraço, > > Claudio. > > > > > > > > ----- Original Message ----- > > From: "João Gilberto Ponciano Pereira" > > > > To: > > Sent: Thursday, February 20, 2003 5:26 PM > > Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] > > Partição > > > > > > > Complementando a resposta... > > > > > > -n, -n+1, -n+2... n-2, n-1, n > > > -n, -n+1, -n+2... n-2, n-1, n > > > -n, -n+1, -n+2... n-2, n-1, n > > > > > > Podemos formar os n+i primeiros trios da seguinte > > forma: > > > (-n+i,i,n-2*i), com i de 0 a n. Repare que a soma > > é zero. > > > > > > Os últimos n termos são: > > > (i+n, -n+i -1, n-2*i+1), com i de 1 a n. Mais uma > > vez, a soma é zero. > > > > > > Se considerarmos o Item 1, até 2001, temos: > > > > > > 1 2 3 ... 332 333 334 ... 665 666 > > 667 > > > 668 669 670 ... 999 1000 1001 ... 1332 1333 > > 1334 > > > 1335 1336 1337 ... 1666 1667 1668 ... 1999 2000 > > 2001 > > > > > > Os trios seriam: > > > ( 1,1000,2001) > > > ( 2,1001,1999) > > > ( 3,1002,1997) > > > ... > > > (333,1334,1335) > > > > > > e > > > (334, 668,2000) > > > (335, 667,1998) > > > ... > > > (667, 999,1336) > > > > > > SDS > > > JG > > > > > 1) Prove que existe uma partição de {1, 2, ..., > > 2001} em 667 subconjuntos > > de > > > 3 elementos tal que a soma dos elementos de cada > > subconjunto é igual a > > 3003. > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. > http://br.busca.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 21 14:12:51 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA10835 for obm-l-MTTP; Fri, 21 Feb 2003 14:11:04 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA10831 for ; Fri, 21 Feb 2003 15:10:59 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.229]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1LH8ua29064 for ; Fri, 21 Feb 2003 14:08:56 -0300 Message-ID: <010c01c2d9d4$e972bc60$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <009801c2d9cb$759b5da0$3300c57d@bovespa.com> <20030221131055.A8061@sucuri.mat.puc-rio.br> Subject: Re: [obm-l] Esfera Furada Date: Fri, 21 Feb 2003 15:13:11 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Bom ponto. Inicialmente, o sólido resultante a que me refiro é a Esfera Furada e não o que foi retirado. Esfera Original = Esfera Furada + Cilindro + 2 Calotas. 12 cm = altura do cilindro (excluindo as calotas) ==> portanto, não é o diâmetro da esfera. Claudio. ----- Original Message ----- From: "Nicolau C. Saldanha" To: Sent: Friday, February 21, 2003 1:10 PM Subject: Re: [obm-l] Esfera Furada > On Fri, Feb 21, 2003 at 02:05:38PM -0300, Cláudio (Prática) wrote: > > Aqui vai um bonitinho de geometria espacial. > > > > Um furo cilíndrico de 12 cm de comprimento é feito numa esfera, de forma que > > o eixo de simetria do furo coincida com um diâmetro da esfera. Qual o volume > > do sólido resultante? > > Acho que a formulação está um pouco confusa. O que é exatamente o comprimento > de um furo cilíndrico? Será o diâmetro da esfera? E qual o diâmetro do furo? > > []s, N. > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 21 14:18:52 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA10978 for obm-l-MTTP; Fri, 21 Feb 2003 14:17:30 -0300 Received: from athenas.vesper.com.br (athenas.vesper.com.br [200.170.46.26]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA10974 for ; Fri, 21 Feb 2003 15:17:26 -0200 Received: from tlpsrvnws02.rj.vespersa.com.br ([10.21.25.16]) by athenas.vesper.com.br with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5329); Fri, 21 Feb 2003 14:16:02 -0300 Received: by tlpsrvnws02.rj.vespersa.com.br with Internet Mail Service (5.5.2656.59) id <1JTPA2C4>; Fri, 21 Feb 2003 14:16:03 -0300 Message-ID: From: =?iso-8859-1?Q?Jo=E3o_Gilberto_Ponciano_Pereira?= To: "'obm-l@mat.puc-rio.br'" Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?RE=3A_=5Bobm-l=5D_Re=3A_RE=3A=5F=5Bobm-l=5D=5FP?= =?iso-8859-1?Q?arti=E7=E3o?= Date: Fri, 21 Feb 2003 14:16:19 -0300 MIME-Version: 1.0 X-Mailer: Internet Mail Service (5.5.2656.59) Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" X-OriginalArrivalTime: 21 Feb 2003 17:16:02.0531 (UTC) FILETIME=[E8FDFB30:01C2D9CC] Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id PAA10975 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Ok... Eu errei nas contas... Eu admito! Podem jogar as pedras! (rs) Claudio, agora ficou fácil a proposta de generalizar o problema. Vou te deixar pensando algum tempo e depois mando a resposta. "3) Determine todos os inteiros positivos M tais que o conjunto {1 2, ...,kM} admite uma partição em M subconjuntos de k elementos tal que a soma dos elementos de cada subconjunto é constante." -----Original Message----- From: Cláudio (Prática) [mailto:claudio@praticacorretora.com.br] Sent: Friday, February 21, 2003 2:24 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: RE:_[obm-l]_Partição Oi, Rafael (e JG): Bem observado, mas o engano é facilmente remediável. O que importa é que a idéia do JG foi muito boa (e o que é melhor - produziu uma solução diferente da que eu achei), mas ele errou nas contas e fez a quebra do conjunto do meio (668 até 1334) no ponto errado. Ao invés de 1000, ele deveria ter começado com 1001, de forma que o primeiro trio deveria ser (1,1001,2001), o segundo (2,1002,1999), etc. 1 2 3 ... 332 333 334 ... 665 666 667 668 669 670 ... 999 1000 1001 ... 1332 1333 1334 1335 1336 1337 ... 1666 1667 1668 ... 1999 2000 2001 Os trios corrigidos passam a ser: ( 1,1001,2001) ( 2,1002,1999) ( 3,1003,1997) ... (334,1334,1335) e (335, 668,2000) (336,669,1998) ... (667, 1000,1336) Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Rafael" To: Sent: Friday, February 21, 2003 10:57 AM Subject: RE:_[obm-l]_Partição > Mas nas conas do JG a soma dos conjuntos dá 2002!!! > > Veja isso de novo: > > > ( 1,1000,2001) não seria: (1, 1000, 2001) > > > ( 2,1001,1999) (2, 1001, 1999) > > > ( 3,1002,1997) (3, 1002, 1997) > > > ... > > > (333,1334,1335) (333, 1332, 1337) > > > (334, 1333, 1335)??? > > > e > > > (334, 668,2000) > > > (335, 667,1998) > > > ... > > > (667, 999,1336) > > Alguma coisa está errada não? > > Abraços, > > Rafael. > > > > --- Cláudio_(Prática) > escreveu: > Legal! > > > > É uma solução diferente da minha e você foi mais > > "técnico" do que eu para > > achá-la. > > > > O que eu fiz foi dividir o conjunto {1,2,...,2001} > > em três subconjuntos: > > A1 = {1,2,...,667} > > A2 = {668,669,...,1334} > > A3 = {1335,1336,...,2001} > > > > E começar a formar as partições (lidas > > verticalmente) com cada > > subconjuntinho de 3 elementos recebendo um elemento > > de A1, um de A2 e um de > > A3: > > A1: 0001 0002 0003 ... 0333 0334 0335 0336 > > ... 0666 0667 > > A2: 1334 1332 1330 ... 0670 0668 1333 1331 > > ... 0671 0669 > > ou seja, eu coloquei os elementos de A1 em ordem > > crescente de 1 em 1 e os de > > A2 em ordem decrescente de 2 em 2 (mod 2). > > > > Finalmente, eu coloquei os elementos de A3 de modo > > que cada soma fosse igual > > a 3003 meio torcendo pra dar tudo certo, com base > > nos casos especiais (M=3, > > 5 e 7) que eu fiz na mão e deram certo. > > > > No entanto, uma vez concluída a partição, é fácil > > ver que tudo daria certo, > > pois a soma dos dois primeiros elementos colocados > > em cada subconjuntinho > > eram todas distintas: > > 1335 1334 1333 ... 1003 1002 1668 1667 ... > > 1337 1336 > > Além disso: 3003 - 1668 = 1335 ==> todos os > > complementos estavam em A3. > > > > Um abraço, > > Claudio. > > > > > > > > ----- Original Message ----- > > From: "João Gilberto Ponciano Pereira" > > > > To: > > Sent: Thursday, February 20, 2003 5:26 PM > > Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] > > Partição > > > > > > > Complementando a resposta... > > > > > > -n, -n+1, -n+2... n-2, n-1, n > > > -n, -n+1, -n+2... n-2, n-1, n > > > -n, -n+1, -n+2... n-2, n-1, n > > > > > > Podemos formar os n+i primeiros trios da seguinte > > forma: > > > (-n+i,i,n-2*i), com i de 0 a n. Repare que a soma > > é zero. > > > > > > Os últimos n termos são: > > > (i+n, -n+i -1, n-2*i+1), com i de 1 a n. Mais uma > > vez, a soma é zero. > > > > > > Se considerarmos o Item 1, até 2001, temos: > > > > > > 1 2 3 ... 332 333 334 ... 665 666 > > 667 > > > 668 669 670 ... 999 1000 1001 ... 1332 1333 > > 1334 > > > 1335 1336 1337 ... 1666 1667 1668 ... 1999 2000 > > 2001 > > > > > > Os trios seriam: > > > ( 1,1000,2001) > > > ( 2,1001,1999) > > > ( 3,1002,1997) > > > ... > > > (333,1334,1335) > > > > > > e > > > (334, 668,2000) > > > (335, 667,1998) > > > ... > > > (667, 999,1336) > > > > > > SDS > > > JG > > > > > 1) Prove que existe uma partição de {1, 2, ..., > > 2001} em 667 subconjuntos > > de > > > 3 elementos tal que a soma dos elementos de cada > > subconjunto é igual a > > 3003. > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. > http://br.busca.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 21 14:33:06 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA11327 for obm-l-MTTP; Fri, 21 Feb 2003 14:31:39 -0300 Received: from web12906.mail.yahoo.com (web12906.mail.yahoo.com [216.136.174.73]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id PAA11323 for ; Fri, 21 Feb 2003 15:31:34 -0200 Message-ID: <20030221173103.51373.qmail@web12906.mail.yahoo.com> Received: from [200.144.43.50] by web12906.mail.yahoo.com via HTTP; Fri, 21 Feb 2003 14:31:03 ART Date: Fri, 21 Feb 2003 14:31:03 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Johann=20Peter=20Gustav=20Lejeune=20Dirichlet?= Subject: Re: [obm-l] Maximizando uma Soma de Quadrados To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <001101c2d923$edc63d70$12619ec8@gauss> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-931832721-1045848663=:51004" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --0-931832721-1045848663=:51004 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Valeu bichos!!!!Essa foi a melhor dica que ja me deram!Nao era nada trivial ,mas devia ter feito sozinho.Mas a vida e assim,fazer o que?Ah,Claudio,o endedreço direto para a revista da OIM(muito anunciada na OBM) e http://www.campus-oei.org/oim/revistaoim e por la voce ve um artigo sobre o teorema caseyense(que horror!!!!!) ou ptolomeu generalizado Valeu a todos!!!!Ass.:Johann "Domingos Jr." wrote:seja n = 2a[1] + a[2] = S a[2] = S - a[1] a[1]² + a[2]² = a[1]² + (S - a[1])² = 2a[1]² - 2.S.a[1] + S² traçando o gráfico da parábola vemos claramente que os pontos de máximo para a[1] em [0, S] é justamente a[1] = 0 ou a[1] = S. suponha então que, para todo 1 <= k < n, se a[1] + a[2] + ... + a[k] = S, a[1]^2 + a[2]^2 + ... + a[k]^2 tem máximo quando uma delas é igual a S e outras são nulas se a[1] + a[2] + ... + a[k] + a[k+1] = Stemos que a[1] + a[2] + ... + a[k] = S - a[k+1] queremos maximizar:a[1]^2 + a[2]^2 + ... + a[k]^2 + a[k+1]^2 se fizarmos a[k+1] sabemos que o valor máximo global vai ser, pela hipótese de indução quando um dos a[1]...a[k] for igual a S - a[k+1] e o resto for 0, sendo assim, podemos de antemão eliminar todas as variáveis nulas e, sem perda de generalidade assumir que a[1] = S - a[k+1]logo caímos novamente no problema de maximizar a soma dos quadrado de duas variáveis positivas dado que sua soma é fixa, e isso foi exatamente o que foi feito na parte 1, logo temos que a expressão é maxima quando só uma das variáveis é maior que 0, o que completa a prova por indução. segue que para todo n >= 1, para a[i] >= 0 e a[1] + a[2] + ... + a[n] = S um valor fixo, o maior valor de a[1]^2 + a[2]^2 + ... + a[n]^2 é S² quando um dos a[i] = S e os demais são 0. ----- Original Message ----- From: Cláudio (Prática) To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 20, 2003 4:56 PMSubject: [obm-l] Maximizando uma Soma de Quadrados Caro JP: Que tal isso aqui? Queremos maximizar Q = A(1)^2 + ... + A(n)^2 sujeito a:A(1) + ... + A(n) = S = constante. Bom, se os A(i)'s podem ser reais quaisquer, então a soma dos quadrados é ilimitada. (Tome A(1) = A, A(2) = S-A e todos os demais A(i)'s = 0 ==> Q = A^2 + (S-A)^2 ==> ilimitada). No entanto, se nos restringirmos a A(i)'s positivos, então eu acho que o valor máximo da soma dos quadrados é atingido quando um deles é igual a S e os outros iguais a zero. Isso porque f(x1, ..., xn) = x1^2 + ... + xn^2 é convexa em cada uma das n variáveis e o máximo de uma função convexa num domínio fechado (que é o nosso caso) é atingido em algum ponto da fronteira deste domínio. Nesse caso, Q = S^2. Por exemplo, se A(1) = A (0 < A < S), A(2) = S - A, A(k) = 0, para k = 3,...,n então:Q = A^2 + (S-A)^2 = S^2 - 2*A*S + 2*A^2 = S^2 - 2*A*(S-A) < S^2, pois A e S-A são positivos. Um abraço,Claudio.----- Original Message ----- From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 20, 2003 2:19 PMSubject: Re: [obm-l] Desigualdade estranhinha Valeu cara,me matei em algo tao inutil.Mas nao da pra cantar vitoria afinal temos que maximizar a somatoria dos quadrados quando so sabemos da soma das primeiras potencias.E isso e dificil.... Cláudio_(Prática) wrote: Caro JP: Então, o problema é: Maximizar a_1*a_2+a_2*a_3+a_3*a_4+.....+a_(n-1)*an+a_n*a_1 sabendo que a soma dos a's e 1. Nesse caso, acho que cabe a desigualdade do rearranjo: Suponhamos s.p.d.g. que A(1) <= A(2) <= ... <= A(n). Pela desig. do rearranjo, vale: A(1)*A(2) + ... + A(n-1)*A(n) + A(n)*A(1) <= A(1)^2 + ... + A(n)^2, com igualdade se e somente se os A(i)'s são todos iguais. Como a soma deles é 1, eles serão todos iguais a 1/n ==> o valor máximo procurado é igual a n * (1/n)^2 = 1/n. Repare que não foi necessário supor que os A(i)'s são positivos, pois a desig. do rearranjo não necessita dessa hipótese. Um abraço,Claudio. --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-931832721-1045848663=:51004 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

Valeu bichos!!!!Essa foi a melhor dica que ja me deram!Nao era nada trivial ,mas devia ter feito sozinho.Mas a vida e assim,fazer o que?Ah,Claudio,o endedreço direto para a revista da OIM(muito anunciada na OBM) e http://www.campus-oei.org/oim/revistaoim  e por la voce ve um artigo sobre o teorema caseyense(que horror!!!!!) ou ptolomeu generalizado

Valeu a todos!!!!Ass.:Johann 

"Domingos Jr." <dopikas@uol.com.br> wrote:

seja n = 2
a[1] + a[2] = S
    a[2] = S - a[1]
 
a[1]² + a[2]² = a[1]² + (S - a[1])² = 2a[1]² - 2.S.a[1] + S²
 
traçando o gráfico da parábola vemos claramente que os pontos de máximo para a[1] em [0, S] é justamente a[1] = 0 ou a[1] = S.
 
suponha então que, para todo 1 <= k < n, se a[1] + a[2] + ... + a[k] = S, a[1]^2 + a[2]^2 + ... + a[k]^2 tem máximo quando uma delas é igual a S e outras são nulas
 
se
a[1] + a[2] + ... + a[k] + a[k+1] = S
temos que
a[1] + a[2] + ... + a[k] = S - a[k+1]
 
queremos maximizar:
a[1]^2 + a[2]^2 + ... + a[k]^2 + a[k+1]^2
 
se fizarmos a[k+1] sabemos que o valor máximo global vai ser, pela hipótese de indução quando um dos a[1]...a[k] for igual a S - a[k+1] e o resto for 0, sendo assim, podemos de antemão eliminar todas as variáveis nulas e, sem perda de generalidade assumir que a[1] = S - a[k+1]
logo caímos novamente no problema de maximizar a soma dos quadrado de duas variáveis positivas dado que sua soma é fixa, e isso foi exatamente o que foi feito na parte 1, logo temos que a expressão é maxima quando só uma das variáveis é maior que 0, o que completa a prova por indução.
 
segue que para todo n >= 1, para a[i] >= 0 e a[1] + a[2] + ... + a[n] = S um valor fixo, o maior valor de a[1]^2 + a[2]^2 + ... + a[n]^2 é S² quando um dos a[i] = S e os demais são 0.
 
----- Original Message -----
Sent: Thursday, February 20, 2003 4:56 PM
Subject: [obm-l] Maximizando uma Soma de Quadrados

Caro JP:
 
Que tal isso aqui?
 
Queremos maximizar Q =  A(1)^2 + ... + A(n)^2 sujeito a:
A(1) + ... + A(n) = S = constante.
 
Bom, se os A(i)'s podem ser reais quaisquer, então a soma dos quadrados é ilimitada. (Tome A(1) = A, A(2) = S-A e todos os demais A(i)'s = 0 ==> Q = A^2 + (S-A)^2 ==> ilimitada).
 
No entanto, se nos restringirmos a A(i)'s positivos, então eu acho que o valor máximo da soma dos quadrados é atingido quando um deles é igual a S e os outros iguais a zero. Isso porque f(x1, ..., xn) = x1^2 + ... + xn^2 é convexa em cada uma das n variáveis e o máximo de uma função convexa num domínio fechado (que é o nosso caso) é atingido em algum ponto da fronteira deste domínio. 
 
Nesse caso, Q = S^2.
 
Por exemplo, se A(1) = A (0 < A < S), A(2) = S - A, A(k) = 0, para k = 3,...,n então:
Q = A^2 + (S-A)^2 = S^2 - 2*A*S + 2*A^2 = S^2 - 2*A*(S-A) < S^2, pois A e S-A são positivos.
 
Um abraço,
Claudio.
----- Original Message -----
Sent: Thursday, February 20, 2003 2:19 PM
Subject: Re: [obm-l] Desigualdade estranhinha

Valeu cara,me matei em algo tao inutil.Mas nao da pra cantar vitoria afinal temos que maximizar a somatoria dos quadrados quando so sabemos da soma das primeiras potencias.E isso e dificil....

 Cláudio_(Prática) <claudio@praticacorretora.com.br> wrote:

Caro JP:
 
Então, o problema é:
 
Maximizar a_1*a_2+a_2*a_3+a_3*a_4+.....+a_(n-1)*an+a_n*a_1 sabendo que a soma dos a's e 1.
 
Nesse caso, acho que cabe a desigualdade do rearranjo:
 
Suponhamos s.p.d.g. que A(1) <= A(2) <= ... <= A(n).
 
Pela desig. do rearranjo, vale:
 
A(1)*A(2) + ... + A(n-1)*A(n) + A(n)*A(1) <= A(1)^2 + ... + A(n)^2, com igualdade se e somente se os A(i)'s são todos iguais.
 
Como a soma deles é 1, eles serão todos iguais a 1/n ==>
 
o valor máximo procurado é igual a n * (1/n)^2 = 1/n.
 
Repare que não foi necessário supor que os A(i)'s são positivos, pois a desig. do rearranjo não necessita dessa hipótese.
 
Um abraço,
Claudio.
 
 


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Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Esfera Furada Message-ID: <20030221143238.B10969@sucuri.mat.puc-rio.br> References: <009801c2d9cb$759b5da0$3300c57d@bovespa.com> <20030221131055.A8061@sucuri.mat.puc-rio.br> <010c01c2d9d4$e972bc60$3300c57d@bovespa.com> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Disposition: inline Content-Transfer-Encoding: 8bit User-Agent: Mutt/1.2.5i In-Reply-To: <010c01c2d9d4$e972bc60$3300c57d@bovespa.com>; from claudio@praticacorretora.com.br on Fri, Feb 21, 2003 at 03:13:11PM -0300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Fri, Feb 21, 2003 at 03:13:11PM -0300, Cláudio (Prática) wrote: > Esfera Original = Esfera Furada + Cilindro + 2 Calotas. > 12 cm = altura do cilindro (excluindo as calotas) ==> portanto, não é o > diâmetro da esfera. Observe que o problema omite o raio do furo (r) e o da esfera (R). Sabemos apenas (Pitágoras) que R^2 - r^2 = 6^2 (em cm). O sólido assim não está bem determinado; será que seu volume independe dos dados que estão faltando? Surpreendentemente sim. Se fatiarmos o sólido perpendicularmente ao eixo do cilindro (digamos, o eixo z) então a área de uma fatia a altura z é dada por Pi(R^2 - z^2 - r^2) = Pi(6^2 - z^2). Integrando de -6 a 6 temos Volume = integral Pi(6^2 - z^2) dz = 288 Pi cm^3 Note que um caso particular é o de uma esfera de raio 6 com um furo fino, cujo volume é dado pela fórmula 4/3 Pi R^3 que coincide, como deveria, com o que encontramos acima. Quem preferir pode usar Cavalieri em vez de cálculo, é supostamente mais elementar. Ou pode usar a fórmula do volume do prismóide (integração por Simpson), Volume = 1/6 (B_0 + 4 B_1 + B_2) h onde h é a altura, no caso 12 cm, e B_0, B_1 e B_2 são as áreas da base de baixo (no caso 0), da base média (no caso Pi(R^2 - r^2) = 36 Pi) e da base de cima (também 0). Por outro lado, a melhor explicação que eu conheço para esta fórmula (inclusive para decidir quando ela é correta) é via integral (ela é correta se a área da fatia for dada por um polinômio em z de grau <= 3). []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 21 15:06:11 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA13026 for obm-l-MTTP; Fri, 21 Feb 2003 15:04:39 -0300 Received: from hotmail.com (f94.sea2.hotmail.com [207.68.165.94]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA13017 for ; Fri, 21 Feb 2003 16:04:34 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Fri, 21 Feb 2003 10:04:03 -0800 Received: from 200.142.58.18 by sea2fd.sea2.hotmail.msn.com with HTTP; Fri, 21 Feb 2003 18:04:02 GMT X-Originating-IP: [200.142.58.18] From: "Paulo Santa Rita" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Numeros figurados Date: Fri, 21 Feb 2003 18:04:02 +0000 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 21 Feb 2003 18:04:03.0544 (UTC) FILETIME=[9E35AD80:01C2D9D3] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Ola Pessoal, Os termos da sequencia 1, 3, 6, 10, ..., (n(n+1))/2, ... sao chamados NUMEROS TRIANGULARES, pois considerando cada termo uma quantidade de pontos, e sempre possivel desenhar um triangulo com esta quantidade de pontos. Ja os termos da sequencia : 1, 4, 9, 16, 25, ..., n^2, ... Sao chamados NUMEROS QUADRANGULARES : considerando cada termo como uma quantidade de pontos, e sempre possivel desenhar um quadrado com qualquer deles. Esse conceito pode ser extendido... Podemos falar em NUMEROS PENTAGONAIS, NUMEROS HEXAGONAIS, ETC. Se P e o numero de lados do poligono sobre consideracao, os NUMEROS P-AGONAIS sao dados pela equacao : An = (N/2)*(2 + (N-1)(P-2)) Um problema interessante - e que nao e facil, alerto ! - e determinar quais os numeros que pertencem a duas ( ou mais ) categorias dadas. Por exemplo : PROBLEMA ) Quais sao os numeros naturais que sao simultaneamente triangulares e pentagonais ? Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 6,1503,210203 _________________________________________________________________ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 21 16:15:28 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA15421 for obm-l-MTTP; Fri, 21 Feb 2003 16:13:27 -0300 Received: from ivoti.terra.com.br (ivoti.terra.com.br [200.176.3.20]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA15416 for ; Fri, 21 Feb 2003 17:13:24 -0200 Received: from bertioga.terra.com.br (bertioga.terra.com.br [200.176.3.77]) by ivoti.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 1AAF040A2E6 for ; Fri, 21 Feb 2003 16:12:54 -0300 (BRT) Received: from nt (RJ231082.user.veloxzone.com.br [200.165.231.82]) (authenticated user ensr) by bertioga.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 984CC3F807B for ; Fri, 21 Feb 2003 16:12:53 -0300 (BRT) Message-ID: <01ad01c2d9dd$43a3c000$5400a8c0@ensrbr> From: "Luis Lopes" To: References: Subject: Re: [obm-l] Numeros figurados Date: Fri, 21 Feb 2003 16:13:05 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Sauda,c~oes, Conheço uma solução para a_3 e a_4, mandada pelo Eduardo Wagner. Por acaso estou com a resposta aqui (não me peçam a solução): u_n = [ (17+12\sqrt2)^n + (17-12\sqrt2)^n - 2] / 32. Para calcular os termos talvez seja mais fácil escrever a recorrência que u_n satisfaz. Fica como exercício. Resultado já conhecido (original?) por Euler. Não conheço o problema desta mensagem. []'s Luís -----Mensagem Original----- De: "Paulo Santa Rita" Para: Enviada em: sexta-feira, 21 de fevereiro de 2003 15:04 Assunto: [obm-l] Numeros figurados > Ola Pessoal, > > Os termos da sequencia 1, 3, 6, 10, ..., (n(n+1))/2, ... sao chamados > NUMEROS TRIANGULARES, pois considerando cada termo uma quantidade de pontos, > e sempre possivel desenhar um triangulo com esta quantidade de pontos. Ja os > termos da sequencia : > > 1, 4, 9, 16, 25, ..., n^2, ... > > Sao chamados NUMEROS QUADRANGULARES : considerando cada termo como uma > quantidade de pontos, e sempre possivel desenhar um quadrado com qualquer > deles. > > Esse conceito pode ser extendido... Podemos falar em NUMEROS PENTAGONAIS, > NUMEROS HEXAGONAIS, ETC. Se P e o numero de lados do poligono sobre > consideracao, os NUMEROS P-AGONAIS sao dados pela equacao : > > An = (N/2)*(2 + (N-1)(P-2)) > > Um problema interessante - e que nao e facil, alerto ! - e determinar quais > os numeros que pertencem a duas ( ou mais ) categorias dadas. Por exemplo : > > PROBLEMA ) Quais sao os numeros naturais que sao simultaneamente > triangulares e pentagonais ? > > Um Abraco a Todos > Paulo Santa Rita > 6,1503,210203 > > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 21 16:44:52 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA16227 for obm-l-MTTP; Fri, 21 Feb 2003 16:43:20 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA16222 for ; Fri, 21 Feb 2003 17:43:16 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1LJfAa06074 for ; Fri, 21 Feb 2003 16:41:10 -0300 Message-ID: <012f01c2d9ea$2dffaae0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <009801c2d9cb$759b5da0$3300c57d@bovespa.com> <20030221131055.A8061@sucuri.mat.puc-rio.br> <010c01c2d9d4$e972bc60$3300c57d@bovespa.com> <20030221143238.B10969@sucuri.mat.puc-rio.br> Subject: Re: [obm-l] Esfera Furada Date: Fri, 21 Feb 2003 17:45:32 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br O interessante nesse problema é justamente a aparência estar mal determinado. Uma solução diferente da do Nicolau, mas que usa uma fórmula pronta para o volume de uma calota (a qual pode ser obtida via cálculo integral, por exemplo - em si só um bom exercício - ou então consultando algum livro de geometria espacial) é a seguinte: Sejam: R = raio da esfera r = raio do furo h = altura da calota = R - 6 Além disso, por Pitágoras temos que: r^2 = R^2 - 6^2 Volume da Esfera = (4/3)*Pi*R^3 Volume do Cilindro = Pi*r^2*12 = 12*Pi*(R^2 - 36) Volume de cada Calota = (1/3)*Pi*h^2*(3R-h) = (1/3)*Pi*(R-6)^2*(2R+6) = (1/3)*Pi*(2R^3 - 18R^2 + 216) Assim, usando que: Vol(Esfera Furada) = Vol(Esfera) - Vol(Cilindro) - 2*Vol(Calota), teremos: Vol(Esfera Furada) = (4/3)*Pi*R^3 - 12*Pi*(R^2 - 36) - 2*(1/3)*Pi*(2R^3 - 18R^2 + 216) = Pi*(4*R^3/3 - 12*R^2 + 432 - 4*R^3/3 + 12*R^2 - 144) = Pi*288 cm^3. ************* Um outro problema, bem mais fácil, que também parece estar mal determinado é o seguinte: Sejam duas circunferências concêntricas. Uma reta é tangente à circunferência interna no ponto A e intercepta a externa no ponto B. Sabendo que AB mede "a", calcule a área do anel compreendido entre as duas circunferências. Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Nicolau C. Saldanha" To: Sent: Friday, February 21, 2003 2:32 PM Subject: Re: [obm-l] Esfera Furada > On Fri, Feb 21, 2003 at 03:13:11PM -0300, Cláudio (Prática) wrote: > > Esfera Original = Esfera Furada + Cilindro + 2 Calotas. > > 12 cm = altura do cilindro (excluindo as calotas) ==> portanto, não é o > > diâmetro da esfera. > > Observe que o problema omite o raio do furo (r) e o da esfera (R). > Sabemos apenas (Pitágoras) que R^2 - r^2 = 6^2 (em cm). > O sólido assim não está bem determinado; > será que seu volume independe dos dados que estão faltando? > Surpreendentemente sim. > > Se fatiarmos o sólido perpendicularmente ao eixo do cilindro > (digamos, o eixo z) então a área de uma fatia a altura z > é dada por Pi(R^2 - z^2 - r^2) = Pi(6^2 - z^2). > Integrando de -6 a 6 temos > > Volume = integral Pi(6^2 - z^2) dz = 288 Pi cm^3 > > Note que um caso particular é o de uma esfera de raio 6 com um furo fino, > cujo volume é dado pela fórmula 4/3 Pi R^3 que coincide, como deveria, > com o que encontramos acima. Quem preferir pode usar Cavalieri em vez > de cálculo, é supostamente mais elementar. Ou pode usar a fórmula do > volume do prismóide (integração por Simpson), > > Volume = 1/6 (B_0 + 4 B_1 + B_2) h > > onde h é a altura, no caso 12 cm, e B_0, B_1 e B_2 são as áreas da > base de baixo (no caso 0), da base média (no caso Pi(R^2 - r^2) = 36 Pi) > e da base de cima (também 0). Por outro lado, a melhor explicação > que eu conheço para esta fórmula (inclusive para decidir quando ela é > correta) é via integral (ela é correta se a área da fatia for dada > por um polinômio em z de grau <= 3). > > []s, N. > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 21 17:47:46 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA17795 for obm-l-MTTP; Fri, 21 Feb 2003 17:46:05 -0300 Received: from hotmail.com (f151.law12.hotmail.com [64.4.19.151]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA17786 for ; Fri, 21 Feb 2003 18:46:00 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Fri, 21 Feb 2003 12:45:29 -0800 Received: from 200.151.19.6 by lw12fd.law12.hotmail.msn.com with HTTP; Fri, 21 Feb 2003 20:45:28 GMT X-Originating-IP: [200.151.19.6] From: "felipe mendona" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] re:problema dos triangulos Date: Fri, 21 Feb 2003 17:45:28 -0300 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 21 Feb 2003 20:45:29.0360 (UTC) FILETIME=[2B67E900:01C2D9EA] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br

  

                

                                                            Ola colegas da lista...
                 
         
                   A alguns dias eu madei um e-mail pra lista com  3 problemas aparentemente trabalhosos,enquanto que na realidade sao apenas dificeis.Fiquei esperando por resposta varios dias ate que Fael ressucitou os 3  problemas acompanhado do comentario de Caudio (pratica).        
              Nos 3 problemas, o conceito matematico de plano nao deve ser considerado ou seja,nao se deve considerar a regiao exterior aos poligonos.( eu tinha esquecido de anexar isso no e-mail!)
                        Considerando isso,a questao 1 fica bem mais facil, a 3 mais facil e a 2 bem mais dificil.                    
                                         
         Claudio (pratica) , ja que vc deu atençao aos problemas , tente fazer os problemas em especial o 2 , nessas condiçoes ele fica mais dificil e interessante.
 
 
 
                                        Ai vao as questoes:       
                               
                1) Vários retângulos são desenhados numa superfície plana, de modo que os cruzamentos entre suas linhas produzem 18.769 áreas distintas não subdividas. Qual o número mínimo de desenhos de retângulos necessário para formar o padrão descrito?

2) Vários segmentos retos são traçados numa superfície plana, de modo que os cruzamentos entre suas linhas produzem 1.597 áreas distintas não subdividas. Qual o número mínimo de traços necessário para formar o padrão descrito?   

3) São desenhados 1 + 10^1.234.567.890 triângulos numa superfície plana. Qual é o número máximo de áreas distintas não subdividas que podem ser formadas pela intersecção desses triângulos? 
                                                 


 
                  Logo mando comentarios sobre as questoes...
   
 
                                    Ate logo...
               
                                                       Felipe Mendonça                 Vitória-ES.
             
         

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(vide artigo sobre Equações Diofantinas do Antonio Caminha Muniz Neto, na Eureka no. 7) De posse da fórmula geral para Xk e Yk, podemos obter os Mk's e Nk's correspondentes: Mk = (Xk + 1)/2 e Nk = Yk/2 (naturalmente, desprezando aqueles que não forem inteiros) Um pouco de álgebra e devemos recair na fórmula fornecida pelo Luís (e Eduardo Wagner) abaixo. ************** Uma idéia semelhante deve funcionar para triangulares e pentagonais: Neste caso: T(M) = M(M+1)/2 P(N) = N(3N-1)/2 M(M+1) = N(3N-1) Mudança de variáveis: x = 2M + 1 e y = 6N - 1 ( M = (x-1)/2 e N = (y+1)/6 ) (x - 1)/2 * (x + 1)/2 = (y + 1)/6 * (y - 1)/2 ==> (x^2 - 1)/4 = (y^2 - 1)/12 ==> 3x^2 - 3 = y^2 - 1 ==> y^2 - 3x^2 = -2 ==> uma outra equação de Pell com uma infinidade de soluções. Soluções: (1,1), (3,5), (11,19), (41,71), (153,265), (571,989), .... Os pares (M,N) correspondentes são: (0,1/3), (1,1), (5,10/3), (20,12), (76,133/3), (285,165) Desprezando os pares não inteiros, temos as soluções: M = 1, N = 1 ==> T = P = 1 M = 20, N = 12 ==> T = P = 210 M = 285, N = 165 ==> T = P = 40.755 ..... Imagino que haja uma infinidade de soluções, mas não tenho a prova. Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Luis Lopes" To: Sent: Friday, February 21, 2003 4:13 PM Subject: Re: [obm-l] Numeros figurados > Sauda,c~oes, > > Conheço uma solução para a_3 e a_4, > mandada pelo Eduardo Wagner. > > Por acaso estou com a resposta aqui (não > me peçam a solução): > > u_n = [ (17+12\sqrt2)^n + (17-12\sqrt2)^n - 2] / 32. > > Para calcular os termos talvez seja mais fácil > escrever a recorrência que u_n satisfaz. > Fica como exercício. > > Resultado já conhecido (original?) por Euler. > > Não conheço o problema desta mensagem. > > []'s > Luís > > > -----Mensagem Original----- > De: "Paulo Santa Rita" > Para: > Enviada em: sexta-feira, 21 de fevereiro de 2003 15:04 > Assunto: [obm-l] Numeros figurados > > > > Ola Pessoal, > > > > Os termos da sequencia 1, 3, 6, 10, ..., (n(n+1))/2, ... sao chamados > > NUMEROS TRIANGULARES, pois considerando cada termo uma quantidade de > pontos, > > e sempre possivel desenhar um triangulo com esta quantidade de pontos. Ja > os > > termos da sequencia : > > > > 1, 4, 9, 16, 25, ..., n^2, ... > > > > Sao chamados NUMEROS QUADRANGULARES : considerando cada termo como uma > > quantidade de pontos, e sempre possivel desenhar um quadrado com qualquer > > deles. > > > > Esse conceito pode ser extendido... Podemos falar em NUMEROS PENTAGONAIS, > > NUMEROS HEXAGONAIS, ETC. Se P e o numero de lados do poligono sobre > > consideracao, os NUMEROS P-AGONAIS sao dados pela equacao : > > > > An = (N/2)*(2 + (N-1)(P-2)) > > > > Um problema interessante - e que nao e facil, alerto ! - e determinar > quais > > os numeros que pertencem a duas ( ou mais ) categorias dadas. Por exemplo > : > > > > PROBLEMA ) Quais sao os numeros naturais que sao simultaneamente > > triangulares e pentagonais ? > > > > Um Abraco a Todos > > Paulo Santa Rita > > 6,1503,210203 > > > > > > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 21 18:31:04 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA18815 for obm-l-MTTP; Fri, 21 Feb 2003 18:29:45 -0300 Received: from ivoti.terra.com.br (ivoti.terra.com.br [200.176.3.20]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA18811 for ; Fri, 21 Feb 2003 19:29:42 -0200 Received: from canela.terra.com.br (canela.terra.com.br [200.176.3.79]) by ivoti.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 4FEF9408C58 for ; Fri, 21 Feb 2003 18:29:12 -0300 (BRT) Received: from nt (RJ231082.user.veloxzone.com.br [200.165.231.82]) (authenticated user ensr) by canela.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id E666B114063 for ; Fri, 21 Feb 2003 18:29:11 -0300 (BRT) Message-ID: <021101c2d9f0$4f01ed60$5400a8c0@ensrbr> From: "Luis Lopes" To: References: <3E48201F.3060508@centroin.com.br> <20030211144637.H9677@sucuri.mat.puc-rio.br> <20030218100957.D12626@sucuri.mat.puc-rio.br> Subject: [obm-l] valor de uma serie Date: Fri, 21 Feb 2003 18:29:25 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Sauda,c~oes, Num livro encontro o seguinte exercício: mostre que \sum_{r >= 0} (-pi)^r / (2r+1)! = 0. A única dica do livro é a série de \sin x: \sin x = \sum_{r >= 0} (-1)^r x^{2r+1} / (2r+1)! []'s Luís ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 21 18:51:15 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA19420 for obm-l-MTTP; Fri, 21 Feb 2003 18:49:49 -0300 Received: from hotmail.com (f32.sea2.hotmail.com [207.68.165.32]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA19406 for ; Fri, 21 Feb 2003 19:49:44 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Fri, 21 Feb 2003 13:49:12 -0800 Received: from 200.142.58.18 by sea2fd.sea2.hotmail.msn.com with HTTP; Fri, 21 Feb 2003 21:49:12 GMT X-Originating-IP: [200.142.58.18] From: "Paulo Santa Rita" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Tres Problemas Russos Date: Fri, 21 Feb 2003 21:49:12 +0000 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 21 Feb 2003 21:49:12.0644 (UTC) FILETIME=[1242C040:01C2D9F3] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Ola Pessoal, Seguem abaixo tres problemas russos. PROBLEMA 1) Prove que a soma dos comprimentos dos lados de um poliedro convexo qualquer é menor que 3 vezes a maior distancia entre dois vertices do poliedro. PROBLEMA 2) Um alienígena move-se na superfície de um planeta com velocidade não superior a U. Uma espaçonave que procura pelo alienígena move-se com velocidade V. Prove que a espaçonave sempre poderá encontrar o alinígena se V > 10U. PROBLEMA 3) Existe um número impar de soldados em um exercício. A distância entre dois quaisquer soldados é diferente da distancia entre quaisquer dois outros. Cada soldado vigia o soldado que lhe esta mais próximo. Prove que ao menos um soldado não está sendo vigiado. Para mais problemas russos, consulte : http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/psr E um bom fim-de-semana para todos ! Paulo Santa Rita 6,1847,210203 _________________________________________________________________ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 21 20:14:43 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA21532 for obm-l-MTTP; Fri, 21 Feb 2003 20:13:13 -0300 Received: from artemis.opendf.com.br (artemis.opengate.com.br [200.181.71.15]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA21528 for ; Fri, 21 Feb 2003 21:13:09 -0200 Received: from localhost (localhost [127.0.0.1]) by artemis.opendf.com.br (Postfix) with ESMTP id B00671C882 for ; Fri, 21 Feb 2003 20:12:27 -0300 (EST) Received: from computer (200-181-088-132.bsace7001.dsl.brasiltelecom.net.br [200.181.88.132]) by artemis.opendf.com.br (Postfix) with ESMTP id 578451C07D for ; Fri, 21 Feb 2003 20:12:24 -0300 (EST) From: "Artur Costa Steiner" To: Subject: RE: [obm-l] Maximizando uma Soma de Quadrados Date: Fri, 21 Feb 2003 20:12:41 -0300 Organization: Steiner Consultoria LTDA Message-ID: <002e01c2d9fe$bc8e7b10$9865fea9@computer> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook, Build 10.0.2627 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 In-Reply-To: <20030221173103.51373.qmail@web12906.mail.yahoo.com> Importance: Normal X-Virus-Scanned: by AMaViS new-20020517 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id VAA21529 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Este é um problema clássico de programação matemática: minimização de uma função quadrática sujeita a uma restrição linear. O problema tem solução analítica pelo método dos multiplicadores de Lagrange. Vamos considerar uma situação mais geral: Minimizar c_1 x_1^2 +... c_n x_n^2 sujeito a a_1 x1 + a_n x_n = S, onde todos os c_i e a_i são postivos. Como temos apenas uma restrição, o Lagrangeano deste problema é dado por Lag(x_1, ...x_n, L) = c_1 x_1^2 +... c_n x_n^2 - L (a_1 x1 + a_n x_n - S). Igualando-se a zero as derivadas parciais de Lag com relação aos x_i, obtemos 2 c_i x_i - L a_i = 0. Logo, x_i = (L a_i)/(2c_i), i=1...n. Igualando -s a zero a derivada parcial de Lag com relação a L, obtemos a própria restrição do problema. Para cada i, temos portanto que a_i x_i = (L a_i^2)/(2c_i). Somando-se estas n igualdades, obtemos S = (L/2) Soma (i=1,n) (a_i^2)/(c_i) e, consequentemente, L = 2S/[Soma i=1,n) (a_i^2)/(c_i)]. Com isto, L fica perfeitamente determinado em função dos x_i e dos c_i. Como x_i = (L a_i)/(2c_i), i=1,...n, o mesmo ocorre para os x_i. Obtemos assim a solução do problema. Como se trata de um problema quadrático, com coeficientes postivos, não há necessidade de investigar as condições de otimalidade de segunda ordem. A função objetivo é convexa, há um único mímo local que, neste caso, é também global. No caso inicialmente apresentado, temos a_1 =..a_n =1 e c_1 = ....c_n =1. Das expressões deduzidas, segue-se que a solução ótima é x_1 = ....x_n = S/n. Artur ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 21 20:58:54 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA22443 for obm-l-MTTP; Fri, 21 Feb 2003 20:57:30 -0300 Received: from bridge3.bridge.com.br (bridge3.bridge.com.br [200.244.126.37]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA22439 for ; Fri, 21 Feb 2003 21:57:28 -0200 Received: from fulano (unverified [200.165.249.10]) by bridge3.bridge.com.br (Vircom SMTPRS 4.2.181) with ESMTP id for ; Fri, 21 Feb 2003 20:56:30 -0300 Message-ID: <000f01c2da04$9da8b980$0307a8c0@fulano> From: "Eduardo Azevedo" To: References: <3E48201F.3060508@centroin.com.br> <20030211144637.H9677@sucuri.mat.puc-rio.br> <20030218100957.D12626@sucuri.mat.puc-rio.br> <021101c2d9f0$4f01ed60$5400a8c0@ensrbr> Subject: Re: [obm-l] valor de uma serie Date: Fri, 21 Feb 2003 20:54:47 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4133.2400 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br sen(pi)=0... Substitui na de baixo ----- Original Message ----- From: "Luis Lopes" To: Sent: Friday, February 21, 2003 6:29 PM Subject: [obm-l] valor de uma serie > Sauda,c~oes, > > Num livro encontro o seguinte exercício: > > mostre que \sum_{r >= 0} (-pi)^r / (2r+1)! = 0. > > A única dica do livro é a série de \sin x: > > \sin x = \sum_{r >= 0} (-1)^r x^{2r+1} / (2r+1)! > > []'s > Luís > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Sat Feb 22 02:14:43 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id CAA25077 for obm-l-MTTP; Sat, 22 Feb 2003 02:12:57 -0300 Received: from web14308.mail.yahoo.com (web14308.mail.yahoo.com [216.136.173.156]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id DAA25073 for ; Sat, 22 Feb 2003 03:12:53 -0200 Message-ID: <20030222051214.3580.qmail@web14308.mail.yahoo.com> Received: from [200.173.165.5] by web14308.mail.yahoo.com via HTTP; Sat, 22 Feb 2003 02:12:14 ART Date: Sat, 22 Feb 2003 02:12:14 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Rafael?= Subject: [obm-l] quadrilátero inscrito To: OBM MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/mixed; boundary="0-1723219224-1045890734=:3333" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --0-1723219224-1045890734=:3333 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Content-Id: Content-Disposition: inline Oi Pessoal! Recebi o seguinte problema: Um quadrilátero convexo inscrito em um círculo de raio igual a 3 tem 2 ângulos internos iguais. Um terceiro ângulo interno mede 150°. A soma das diagonais é... Resposta 9. Quanto a resolver o problema, tudo bem, resolvi, mas depois veio-me uma dúvida. Para resolvê-lo eu considerei que o quadrilátero está inscrito na cicunferência como na figura à esquerda do arquivo que anexei. Sendo um quadrilátero simétrico em relação a um diâmetro da circunferência. Mas aí veio a dúvida, será que o quadrilátero não poderia estar disposto de outra maneira no círculo, sem ser simétrico a um diâmetro e ainda respeitando as condições do problema? Como na figura à direita do arquivo. E aí eu não poderia ter usado o ângulo de 15° porque não sei em quanto ficariam divididos os ângulos não retos. Aliás, não considerei o caso dos ângulos do quadrilátero serem 150°, 150°, 30° e 30° porque o problema disse que havia dois ângulos iguais e que 150° era um terceiro. Alguém saberia me ajudar?? Abraços, Rafael. _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ --0-1723219224-1045890734=:3333 Content-Type: image/gif; name="duvida.gif" Content-Transfer-Encoding: base64 Content-Description: duvida.gif Content-Disposition: inline; filename="duvida.gif" R0lGODdhWwJGAfcAAAAAAAAAQAAAgAAA/wAgAAAgQAAggAAg/wBAAABAQABA gABA/wBgAABgQABggABg/wCAAACAQACAgACA/wCgAACgQACggACg/wDAAADA QADAgADA/wD/AAD/QAD/gAD//yAAACAAQCAAgCAA/yAgACAgQCAggCAg/yBA ACBAQCBAgCBA/yBgACBgQCBggCBg/yCAACCAQCCAgCCA/yCgACCgQCCggCCg /yDAACDAQCDAgCDA/yD/ACD/QCD/gCD//0AAAEAAQEAAgEAA/0AgAEAgQEAg gEAg/0BAAEBAQEBAgEBA/0BgAEBgQEBggEBg/0CAAECAQECAgECA/0CgAECg QECggECg/0DAAEDAQEDAgEDA/0D/AED/QED/gED//2AAAGAAQGAAgGAA/2Ag AGAgQGAggGAg/2BAAGBAQGBAgGBA/2BgAGBgQGBggGBg/2CAAGCAQGCAgGCA /2CgAGCgQGCggGCg/2DAAGDAQGDAgGDA/2D/AGD/QGD/gGD//4AAAIAAQIAA gIAA/4AgAIAgQIAggIAg/4BAAIBAQIBAgIBA/4BgAIBgQIBggIBg/4CAAICA QICAgICA/4CgAICgQICggICg/4DAAIDAQIDAgIDA/4D/AID/QID/gID//6AA AKAAQKAAgKAA/6AgAKAgQKAggKAg/6BAAKBAQKBAgKBA/6BgAKBgQKBggKBg 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198.81.8.3 by sea1fd.sea1.hotmail.msn.com with HTTP; Sat, 22 Feb 2003 13:18:45 GMT X-Originating-IP: [198.81.8.3] From: "Frederico Reis Marques de Brito" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Novamente o LIvro. Date: Sat, 22 Feb 2003 10:18:45 -0300 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 22 Feb 2003 13:18:46.0140 (UTC) FILETIME=[EDDADBC0:01C2DA74] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Pessoal, por algum acaso do destino, alguém conseguiu adquirir os livros de Geometria I e II e o Álgebra I do Morgado? A livraria que o Morgado deu o nome está com o telefone desligado há tempos, mandei uma carta, não me responderam. Alguém sabe outro lugar onde posso conseguí-los? Desculpe a insistência, mas gostaria muito de adquirí-los. Obrigado, Frederico ( BH - MG. ) _________________________________________________________________ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 24 08:55:47 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id IAA01473 for obm-l-MTTP; Mon, 24 Feb 2003 08:54:25 -0300 Received: from hotmail.com (f46.sea1.hotmail.com [207.68.163.46]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id IAA01468 for ; Mon, 24 Feb 2003 08:54:19 -0300 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Sat, 22 Feb 2003 05:14:02 -0800 Received: from 198.81.8.3 by sea1fd.sea1.hotmail.msn.com with HTTP; Sat, 22 Feb 2003 13:14:02 GMT X-Originating-IP: [198.81.8.3] From: "Frederico Reis Marques de Brito" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] SIGNIFICADO. Date: Sat, 22 Feb 2003 10:14:02 -0300 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 22 Feb 2003 13:14:02.0955 (UTC) FILETIME=[451041B0:01C2DA74] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Uma dúvida cruel: Há alguma explicação para o termo "anel" em matemática? Isto é, por que designar-se um conjunto não-vazio munido de duas operações como as de Z, por anel? A mesma pergunta se estende a Corpo. _________________________________________________________________ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 24 09:43:56 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA05225 for obm-l-MTTP; Mon, 24 Feb 2003 09:42:27 -0300 Received: from web41509.mail.yahoo.com (web41509.mail.yahoo.com [66.218.93.92]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id JAA05221 for ; Mon, 24 Feb 2003 09:42:25 -0300 Message-ID: <20030223114154.23422.qmail@web41509.mail.yahoo.com> Received: from [200.217.61.233] by web41509.mail.yahoo.com via HTTP; Sun, 23 Feb 2003 08:41:54 ART Date: Sun, 23 Feb 2003 08:41:54 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?elton=20francisco=20ferreira?= Subject: [obm-l] problema To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Dos 800 sargentos formados pela EsSa a cada ano, 5% pedem para sair do exército ao completarem 5 anos de serviço, a quantidade de sargentos formados pela EsSa após 12 anos e que estão em atividade é? _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 24 10:08:27 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA06713 for obm-l-MTTP; Mon, 24 Feb 2003 10:06:45 -0300 Received: from paiol.terra.com.br (paiol.terra.com.br [200.176.3.18]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id KAA06709 for ; Mon, 24 Feb 2003 10:06:43 -0300 Received: from marova.terra.com.br (marova.terra.com.br [200.176.3.39]) by paiol.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id EF6B97D18C for ; Mon, 24 Feb 2003 10:06:12 -0300 (BRT) Received: from nt (RJ231082.user.veloxzone.com.br [200.165.231.82]) (authenticated user ensr) by marova.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 574813DC073 for ; Mon, 24 Feb 2003 10:06:12 -0300 (BRT) Message-ID: <003a01c2dc05$85322b40$5400a8c0@ensrbr> From: "Luis Lopes" To: References: <3E48201F.3060508@centroin.com.br> <20030211144637.H9677@sucuri.mat.puc-rio.br> <20030218100957.D12626@sucuri.mat.puc-rio.br> <021101c2d9f0$4f01ed60$5400a8c0@ensrbr> <000f01c2da04$9da8b980$0307a8c0@fulano> Subject: Re: [obm-l] valor de uma serie Date: Mon, 24 Feb 2003 10:06:17 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Sauda,c~oes, É só isso? Não está faltando nada? Algo deve estar me escapando. Podemos escrever sen x como sen x = \sum_{r >= 0} (-x)^r x^{r+1} / (2r+1)! Então, sen(pi) = \sum_{r >= 0} (-pi)^r pi^{r+1} / (2r+1)! E o termo pi^{r+1} ?? []'s Luís -----Mensagem Original----- De: "A. -----Mensagem Original----- De: "Eduardo Azevedo" Para: Enviada em: sexta-feira, 21 de fevereiro de 2003 20:54 Assunto: Re: [obm-l] valor de uma serie > sen(pi)=0... > > > Substitui na de baixo > > > ----- Original Message ----- > From: "Luis Lopes" > To: > Sent: Friday, February 21, 2003 6:29 PM > Subject: [obm-l] valor de uma serie > > > > Sauda,c~oes, > > > > Num livro encontro o seguinte exercício: > > > > mostre que \sum_{r >= 0} (-pi)^r / (2r+1)! = 0. > > > > A única dica do livro é a série de \sin x: > > > > \sin x = \sum_{r >= 0} (-1)^r x^{2r+1} / (2r+1)! > > > > []'s > > Luís > > > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 24 11:24:35 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA09522 for obm-l-MTTP; Mon, 24 Feb 2003 11:22:35 -0300 Received: from ns3bind.localdomain ([200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA09508 for ; Mon, 24 Feb 2003 11:22:29 -0300 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1OEKNj15747 for ; Mon, 24 Feb 2003 11:20:23 -0300 Message-ID: <000d01c2dc18$e2a22c40$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <3E48201F.3060508@centroin.com.br> <20030211144637.H9677@sucuri.mat.puc-rio.br> <20030218100957.D12626@sucuri.mat.puc-rio.br> <021101c2d9f0$4f01ed60$5400a8c0@ensrbr> Subject: Re: [obm-l] valor de uma serie Date: Mon, 24 Feb 2003 12:24:53 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caro Luís: Acho que é o seguinte: infinito SOMA (-Pi)^k/(2k+1)! = k = 0 infinito SOMA (-1)^k * [raiz(Pi)]^(2k) / (2k+1)! = k = 0 infinito [1/raiz(Pi)] * SOMA (-1)^k * [raiz(Pi)]^(2k+1) / (2k+1)! = k = 0 [1/raiz(Pi)] * sen[raiz(Pi)] = sen[raiz(Pi)]/raiz(Pi) Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Luis Lopes" To: Sent: Friday, February 21, 2003 6:29 PM Subject: [obm-l] valor de uma serie > Sauda,c~oes, > > Num livro encontro o seguinte exercício: > > mostre que \sum_{r >= 0} (-pi)^r / (2r+1)! = 0. > > A única dica do livro é a série de \sin x: > > \sin x = \sum_{r >= 0} (-1)^r x^{2r+1} / (2r+1)! > > []'s > Luís > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 24 12:33:28 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA11508 for obm-l-MTTP; Mon, 24 Feb 2003 12:31:36 -0300 Received: from ns3bind.localdomain ([200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA11504 for ; Mon, 24 Feb 2003 12:31:33 -0300 Received: from servico2 ([200.230.34.229]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1OFTQj20016 for ; Mon, 24 Feb 2003 12:29:26 -0300 Message-ID: <001a01c2dc22$885eace0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030222051214.3580.qmail@web14308.mail.yahoo.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_quadril=E1tero_inscrito?= Date: Mon, 24 Feb 2003 13:12:26 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caro Rafael: Acho que você tem razão. No entanto, A = B = 150 e C = D = 30 também satisfazem ao enunciado (nesse caso, ABCD é um trapézio equilátero). O que ocorre aqui é que os dois ângulos iguais são os ângulos de 30 graus (C e D). A (e B também) mede 150 graus. Considere o triângulo ADC, inscrito no círculo e que tem o ângulo D (=30 graus) oposto à diagonal AC do quadrilátero. Pela lei dos senos, teremos: AC = 2*R*sen(D) ==> AC = 2*3*sen(30) = 3. Analogamente (considerando o triângulo BCD), deduzimos que: BD = 3. Logo, AC + BD = 6. Conclusão: este enunciado está realmente ambíguo. Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Rafael" To: "OBM" Sent: Saturday, February 22, 2003 2:12 AM Subject: [obm-l] quadrilátero inscrito > Oi Pessoal! > > Recebi o seguinte problema: > Um quadrilátero convexo inscrito em um círculo de raio > igual a 3 tem 2 ângulos internos iguais. Um terceiro > ângulo interno mede 150°. A soma das diagonais é... > Resposta 9. > > Quanto a resolver o problema, tudo bem, resolvi, mas > depois veio-me uma dúvida. Para resolvê-lo eu > considerei que o quadrilátero está inscrito na > cicunferência como na figura à esquerda do arquivo que > anexei. Sendo um quadrilátero simétrico em relação a > um diâmetro da circunferência. > > Mas aí veio a dúvida, será que o quadrilátero não > poderia estar disposto de outra maneira no círculo, > sem ser simétrico a um diâmetro e ainda respeitando as > condições do problema? Como na figura à direita do > arquivo. E aí eu não poderia ter usado o ângulo de 15° > porque não sei em quanto ficariam divididos os ângulos > não retos. > > Aliás, não considerei o caso dos ângulos do > quadrilátero serem 150°, 150°, 30° e 30° porque o > problema disse que havia dois ângulos iguais e que > 150° era um terceiro. > > Alguém saberia me ajudar?? > > Abraços, > > Rafael. > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. > http://br.busca.yahoo.com/ ---------------------------------------------------------------------------- ---- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 24 13:12:19 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA12391 for obm-l-MTTP; Mon, 24 Feb 2003 13:10:43 -0300 Received: from web12905.mail.yahoo.com (web12905.mail.yahoo.com [216.136.174.72]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id NAA12387 for ; Mon, 24 Feb 2003 13:10:40 -0300 Message-ID: <20030224161009.91596.qmail@web12905.mail.yahoo.com> Received: from [200.206.103.3] by web12905.mail.yahoo.com via HTTP; Mon, 24 Feb 2003 13:10:09 ART Date: Mon, 24 Feb 2003 13:10:09 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Johann=20Peter=20Gustav=20Lejeune=20Dirichlet?= Subject: [obm-l] Treta nos quadrados To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-1542402851-1046103009=:90784" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --0-1542402851-1046103009=:90784 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Essa questao era pra provar algo como (a_1+a_2+a_3+...+a_n)^2>=4(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+...+a_n*a_1) Para o caso n=4 da certo:ab+bc+cd+da=(a+c)(b+d)>=((a+c+b+d)/2)^2. So nao consigo progredir --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-1542402851-1046103009=:90784 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

Essa questao era pra provar algo como

(a_1+a_2+a_3+...+a_n)^2>=4(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+...+a_n*a_1)

Para o caso n=4 da certo:ab+bc+cd+da=(a+c)(b+d)>=((a+c+b+d)/2)^2.

So nao consigo progredir


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Meu,nao apela!!!!! Isto ja e classico de Lagrange mas...

 Artur Costa Steiner <artur@opendf.com.br> wrote:

Este é um problema clássico de programação matemática: minimização de
uma função quadrática sujeita a uma restrição linear. O problema tem
solução analítica pelo método dos multiplicadores de Lagrange. Vamos
considerar uma situação mais geral:

Minimizar c_1 x_1^2 +... c_n x_n^2 sujeito a a_1 x1 + a_n x_n = S, onde
todos os c_i e a_i são postivos. Como temos apenas uma restrição, o
Lagrangeano deste problema é dado por Lag(x_1, ...x_n, L) = c_1 x_1^2
+... c_n x_n^2 - L (a_1 x1 + a_n x_n - S). Igualando-se a zero as
derivadas parciais de Lag com relação aos x_i, obtemos 2 c_i x_i - L a_i
= 0. Logo, x_i = (L a_i)/(2c_i), i=1...n. Igualando -s a zero a derivada
parcial de Lag com relação a L, obtemos a própria restrição do problema.
Para cada i, temos portanto que a_i x_i = (L a_i^2)/(2c_i). Somando-se
estas n igualdades, obtemos S = (L/2) Soma (i=1,n) (a_i^2)/(c_i) e,
consequentemente, L = 2S/[Soma i=1,n) (a_i^2)/(c_i)]. Com isto, L fica
perfeitamente determinado em função dos x_i e dos c_i. Como x_i = (L
a_i)/(2c_i), i=1,...n, o mesmo ocorre para os x_i. Obtemos assim a
solução do problema. Como se trata de um problema quadrático, com
coeficientes postivos, não há necessidade de investigar as condições de
otimalidade de segunda ordem. A função objetivo é convexa, há um único
mímo local que, neste caso, é também global.

No caso inicialmente apresentado, temos a_1 =..a_n =1 e c_1 = ....c_n
=1. Das expressões deduzidas, segue-se que a solução ótima é x_1 =
....x_n = S/n.

Artur

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O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-964524386-1046104723=:79479-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 24 13:42:24 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA13544 for obm-l-MTTP; Mon, 24 Feb 2003 13:41:05 -0300 Received: from ns3bind.localdomain ([200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA13537 for ; Mon, 24 Feb 2003 13:40:59 -0300 Received: from servico2 ([200.230.34.228]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1OGcqj24014 for ; Mon, 24 Feb 2003 13:38:52 -0300 Message-ID: <003e01c2dc2c$3b7e4d40$3300c57d@bovespa.com> From: "=?Windows-1252?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: Subject: [obm-l] Desigualdade Date: Mon, 24 Feb 2003 14:43:24 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_003B_01C2DC13.155E8300" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_003B_01C2DC13.155E8300 Content-Type: text/plain; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable HelpCaros JP, Domingos Jr. e Artur: S=F3 pra relembrar. O problema original =E9: Maximizar: P =3D A(1)*A(2) + A(2)*A(3) + ... + A(n)*A(1) Sujeito a: A(1) + A(2) + ... + A(n) =3D 1 e os A(i)'s reais n=E3o = negativos. Ap=F3s alguma discuss=E3o, chegamos =E0 conclus=E3o de que se os A(i)'s = fossem reais quaisquer, ent=E3o P seria ilimitado e tamb=E9m conseguimos = maximizar e minimizar a soma dos quadrados dos A(i)'s mas n=E3o chegamos = a nenhuma conclus=E3o sobre o problema acima, que me parece bem mais = interessante. Eu fiz alguma coisa para valores pequenos de n: n =3D 2: =20 Maximizar P =3D x*y Sujeito a: x + y =3D 1 (x,y >=3D 0) Esse caso =E9 f=E1cil:=20 Pmax =3D 1/4 para x =3D y =3D 1/2 (pode-se usar MG <=3D MA). ---------------------- n =3D 3: Maximizar: P =3D x*y + y*z + z*x Sujeito a: x + y + z =3D 1 (x,y,z >=3D 0) P =E9 linear em cada uma das vari=E1veis (dP/dx n=E3o depende de x, = dP/dy n=E3o depende de y, etc.)=20 Al=E9m disso, dP/dx =3D y + z >=3D 0 (analogamanete para dP/dy e dP/dz). Assim, acho que d=E1 pra concluir que o valor m=E1ximo de P ocorre na = fronteira do seu dom=EDnio (isso vale para qualquer n). Fazendo z =3D 1 - x - y, teremos:=20 P =3D x*y + x + y - (x + y)^2 =3D=3D> dP/dx =3D 1 - 2x - y =3D 0 =3D=3D> 2x + y =3D 1 dP/dy =3D 1 - x - 2y =3D 0 =3D=3D> x + 2y =3D 1 =3D=3D> x =3D y =3D 1/3 =3D=3D> z =3D 1/3 =3D=3D> P =3D 1/3. d^2P/dx^2 =3D d^2P/dy^2 =3D -2 < 0 e d^2P/(dxdy) =3D 0 =3D=3D> = m=E1ximo =3D=3D> Pmax =3D 1/3 para x =3D y =3D z =3D 1/3. ---------------------- n =3D 4: Max: P =3D x*y + y*z + z*u + u*x S.a: x + y + z + u =3D 1 (x,y,z,u >=3D 0) P =3D (x + z)*(y + u) u =3D 1 - x - y - z =3D=3D> P =3D x + z - 2*x*z - x^2 - z^2 =3D=3D> dP/dx =3D 1 - 2x - 2z dP/dy =3D 0 dP/dz =3D 1 - 2x - 2z =3D=3D> x + z =3D 1/2 =3D=3D> y + u =3D 1/2 Pmax =3D 1/4 para quaisquer x, y, z, u tais que: x + z =3D 1/2 e y + u = =3D 1/2. ----------------------- n =3D 5: Max: P =3D x*y + y*z + z*u + u*v + v*x s.a.: x + y + z + u + v =3D 1 (x,y,z,u,v >=3D 0) v =3D 1 - x - y - z - u =3D=3D> P =3D x + u - x^2 - u^2 - u*x - y*u - z*x + y*z =3D=3D> dP/dx =3D 1 - 2x - z - u =3D 0 dP/dy =3D -u + z =3D 0 dP/dz =3D -x + y =3D 0 dP/du =3D 1 - 2u - x - y =3D 0 =3D=3D> 1 - 2x - 2u =3D 0; z =3D u; y =3D x =3D=3D> x + u =3D 1/2; z + y =3D 1/2 =3D=3D> v =3D 0 =3D=3D> P =3D x^2 + = x*u + u^2 Agora, o problema se reduz a: Max: P =3D x^2 + x*u + u^2 S.a: x + u =3D 1/2 (x,u >=3D 0) Mas: P =3D (x + u)^2 - x*u =3D 1/4 - x*u <=3D 1/4, pois x e u s=E3o >=3D = 0. Igualdade <=3D=3D> x =3D 0 ou u =3D 0 =3D=3D> Pmax =3D 1/4. ------------------ Para n >=3D 5, o meu chute =E9 que Pmax =3D 1/4, mas n=E3o tive saco de = generalizar a demonstra=E7=E3o do caso n =3D 5. O que voc=EAs acham? Um abra=E7o, Claudio. =20 ------=_NextPart_000_003B_01C2DC13.155E8300 Content-Type: text/html; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Help
Caros JP, Domingos Jr. e Artur:
 
S=F3 pra relembrar. O problema original =E9:
 
Maximizar: P =3D A(1)*A(2) + A(2)*A(3) + ... + A(n)*A(1)
Sujeito a: A(1) + A(2) + ... + A(n) =3D 1  e os A(i)'s reais = n=E3o=20 negativos.
 
Ap=F3s alguma discuss=E3o, chegamos =E0 conclus=E3o de que se os = A(i)'s fossem=20 reais quaisquer, ent=E3o P seria ilimitado e tamb=E9m conseguimos = maximizar e=20 minimizar a soma dos quadrados dos A(i)'s mas n=E3o chegamos a nenhuma = conclus=E3o=20 sobre o problema acima, que me parece bem mais interessante.
 
Eu fiz alguma coisa para valores pequenos de n:
 
n =3D 2: 
Maximizar P =3D x*y
Sujeito a:  x + y =3D 1  (x,y >=3D 0)
 
Esse caso =E9 f=E1cil:
Pmax =3D 1/4 para x =3D y =3D 1/2 (pode-se usar MG <=3D = MA).
 
----------------------
 
n =3D 3:
Maximizar: P =3D x*y + y*z + z*x
Sujeito a: x + y + z =3D 1  (x,y,z >=3D 0)
 
P =E9 linear em cada uma das vari=E1veis (dP/dx n=E3o depende de x, = dP/dy n=E3o=20 depende de y, etc.)
Al=E9m disso, dP/dx =3D y + z >=3D 0 (analogamanete para dP/dy e = dP/dz).
Assim, acho que d=E1 pra concluir que o valor m=E1ximo de P ocorre = na fronteira=20 do seu dom=EDnio (isso vale para qualquer n).
 
Fazendo z =3D 1 - x - y, teremos:
P =3D x*y + x + y - (x + y)^2  =3D=3D>
dP/dx =3D 1 - 2x - y =3D 0  =3D=3D>  2x + y =3D = 1
dP/dy =3D 1 - x - 2y =3D 0  =3D=3D>  x + 2y =3D = 1  =3D=3D>
x =3D y =3D 1/3 =3D=3D> z =3D 1/3 =3D=3D> P =3D 1/3.
 
d^2P/dx^2 =3D d^2P/dy^2 =3D -2 < 0  e d^2P/(dxdy) =3D = 0  =3D=3D>=20 m=E1ximo =3D=3D>
 
Pmax =3D 1/3  para x =3D y =3D z =3D 1/3.
 
----------------------
 
n =3D 4:
Max: P =3D x*y + y*z + z*u + u*x
S.a: x + y + z + u =3D 1  (x,y,z,u >=3D 0)
 
P =3D (x + z)*(y + u)
u =3D 1 - x - y - z  =3D=3D>
P =3D x + z - 2*x*z - x^2 - z^2  =3D=3D>
dP/dx =3D 1 - 2x - 2z
dP/dy =3D 0
dP/dz =3D 1 - 2x - 2z  =3D=3D>  x + z =3D 1/2  = =3D=3D> y + u=20 =3D 1/2
 
Pmax =3D 1/4  para quaisquer x, y, z, u tais que: x + z = =3D 1/2 e y=20 + u =3D 1/2.
 
-----------------------
 
n =3D 5:
Max: P =3D x*y + y*z + z*u + u*v + v*x
s.a.: x + y + z + u + v =3D 1  (x,y,z,u,v >=3D = 0)
 
v =3D 1 - x - y - z - u  =3D=3D>
P =3D x + u - x^2 - u^2 - u*x - y*u - z*x + y*z  = =3D=3D>
dP/dx =3D 1 - 2x - z - u =3D 0
dP/dy =3D -u + z =3D 0
dP/dz =3D -x + y =3D 0
dP/du =3D 1 - 2u - x - y =3D 0  =3D=3D>
1 - 2x - 2u =3D 0; z =3D u; y =3D x  =3D=3D>
x + u =3D 1/2;  z + y =3D 1/2  =3D=3D>  v =3D = 0  =3D=3D> =20 P =3D x^2 + x*u + u^2
 
Agora, o problema se reduz a:
Max: P =3D x^2 + x*u + u^2
S.a: x + u =3D 1/2  (x,u >=3D 0)
 
Mas: P =3D (x + u)^2 - x*u =3D 1/4 - x*u <=3D 1/4, pois x e u = s=E3o >=3D=20 0.
Igualdade <=3D=3D> x =3D 0 ou u =3D 0 =3D=3D> Pmax =3D = 1/4.
 
------------------
 
Para n >=3D 5, o meu chute =E9 que Pmax =3D 1/4, mas n=E3o tive = saco de=20 generalizar a demonstra=E7=E3o do caso n =3D 5.
 
O que voc=EAs acham?
 
 
Um abra=E7o,
Claudio.
 
 
 
 
------=_NextPart_000_003B_01C2DC13.155E8300-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 24 13:49:08 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA13711 for obm-l-MTTP; Mon, 24 Feb 2003 13:47:42 -0300 Received: from fnn.net ([200.175.38.9]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id NAA13707 for ; Mon, 24 Feb 2003 13:47:39 -0300 Received: (qmail 31450 invoked from network); 24 Feb 2003 16:35:31 -0000 Received: from unknown (HELO windows98) (200.175.39.14) by fnn.net with SMTP; 24 Feb 2003 16:35:31 -0000 Message-ID: <004901c2dc2d$20fd37a0$9a75fea9@windows98> From: "Daniel Pini" To: Subject: [obm-l] livro do Paulo Pessoa Date: Mon, 24 Feb 2003 14:49:48 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0046_01C2DC13.FA711700" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0046_01C2DC13.FA711700 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 queria saber se algu=E9m da lista possui o livro Problemas de = Geometria do autor Paulo Pessoa. ------=_NextPart_000_0046_01C2DC13.FA711700 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Ol=E1 queria saber se algu=E9m da lista = possui o livro=20 Problemas de Geometria do autor Paulo=20 Pessoa.
------=_NextPart_000_0046_01C2DC13.FA711700-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 24 13:58:03 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA14083 for obm-l-MTTP; Mon, 24 Feb 2003 13:56:31 -0300 Received: from ns3bind.localdomain ([200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA14056 for ; Mon, 24 Feb 2003 13:56:25 -0300 Received: from servico2 ([200.230.34.228]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1OGsCj25159 for ; Mon, 24 Feb 2003 13:54:13 -0300 Message-ID: <005401c2dc2e$60691160$3300c57d@bovespa.com> From: "=?Windows-1252?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: Subject: [obm-l] Problema interessante Date: Mon, 24 Feb 2003 14:47:59 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0047_01C2DC13.B9D182C0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0047_01C2DC13.B9D182C0 Content-Type: text/plain; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable HelpTa=ED um resultado inesperado (pelo menos pra mim): Tome uma parti=E7=E3o QUALQUER de {1,2,...,2n} em dois conjuntos A e B = com n elementos cada. Ponha os elementos de A em ordem crescente = a_1<......>b_n. Prove que: |a_1-b_1| + ... + |a_n-b_n| =3D n^2. Um abra=E7o, Claudio. ------=_NextPart_000_0047_01C2DC13.B9D182C0 Content-Type: text/html; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Help
Ta=ED um resultado inesperado (pelo menos pra mim):
 
Tome uma parti=E7=E3o QUALQUER de {1,2,...,2n} em dois conjuntos A = e B com n=20 elementos cada.  Ponha os elementos de A em = ordem=20 crescente a_1<...<a_n e os de B em ordem decrescente = b_1>...>b_n.=20  Prove que:

|a_1-b_1| + ... + |a_n-b_n| =3D n^2.
 
Um abra=E7o,
Claudio.
------=_NextPart_000_0047_01C2DC13.B9D182C0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 24 13:58:07 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA14062 for obm-l-MTTP; Mon, 24 Feb 2003 13:56:26 -0300 Received: from ns3bind.localdomain ([200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA14036 for ; Mon, 24 Feb 2003 13:56:19 -0300 Received: from servico2 ([200.230.34.228]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1OGsDj25163 for ; Mon, 24 Feb 2003 13:54:13 -0300 Message-ID: <005501c2dc2e$60a493c0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030223114154.23422.qmail@web41509.mail.yahoo.com> Subject: Re: [obm-l] problema Date: Mon, 24 Feb 2003 14:58:44 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > Dos 800 sargentos formados pela EsSa a cada ano, 5% > pedem para sair do exército ao completarem 5 anos de > serviço, a quantidade de sargentos formados pela EsSa > após 12 anos e que estão em atividade é? > Supondo que no 5o. aniversário de formatura de uma dada turma, os 5% saem e os 760 restantes ficam até a aposentadoria (que não ocorre antes de 13 anos), então a solução é: 800 recém formados 800 formados há 1 ano ... 800 formados há 4 anos ==> Sub-Total = 5*800 = 4.000 760 formados há 5 anos ... 760 formados há 12 anos ==> Sub-Total = 8*760 = 6.080 Total em atividade = 10.080. Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 24 14:17:07 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA15525 for obm-l-MTTP; Mon, 24 Feb 2003 14:15:23 -0300 Received: from web12908.mail.yahoo.com (web12908.mail.yahoo.com [216.136.174.75]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id OAA15514 for ; Mon, 24 Feb 2003 14:15:19 -0300 Message-ID: <20030224171447.56889.qmail@web12908.mail.yahoo.com> Received: from [200.206.103.3] by web12908.mail.yahoo.com via HTTP; Mon, 24 Feb 2003 14:14:47 ART Date: Mon, 24 Feb 2003 14:14:47 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Johann=20Peter=20Gustav=20Lejeune=20Dirichlet?= Subject: Re: [obm-l] Oi Pessoal To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <008b01c2d8fe$53fb0dd0$2accfea9@gauss> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-1311610774-1046106887=:56485" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --0-1311610774-1046106887=:56485 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Legal,cheguei perto desse.Mas ja que e assim... "Domingos Jr." wrote:algumas idéias... (http://mathworld.wolfram.com/EulersTotientTheorem.html) phi(10^1000) é o número de inteiros de 1...10^1000 que são relativamente primos com 10^1000. temos que todos os múltiplos de 2 ou 5 são os únicos inteiros com divisor em comum com 10^1000, logo, o número de múltiplos de 2 e 5 é (10^1000)/2 + (10^1000)/5 - (10^1000)/10 = 3/5(10^1000) phi(10^1000) = 2/5(10^1000) = 2^1001.5^999 se mdc(10^1000, a) = 1, temos a^phi(10^1000) = 1 (mod 10^1000) pelo teorema de Euler suponha que para algum n, a(n) = a(n+1) (mod 10^1000) a(n+2) = a^a(n+1) = a^(10^1000.q + a(n)) = (a^(10^1000))^q . a^a(n) = (a^(10^1000))^q . a(n+1) se q = 2k, temos a(n+2) = (a^(10^1000))^2k . a^a(n) = a^a(n) = a^a(n+1) se q = 2k + 1, a(n+2) = (a^(10^1000))^(2k + 1) . a(n+1) = (a^(10^1000))^2k . a^(10^1000) . a(n+1) = a^(10^1000) . a(n+1) a(n+2) = a^(10^1000) . a(n+1) a(n+2)² = [a^(10^1000) . a(n+1)]² = a(n+1)² a(n+2)² = a(n+1)² aqui entram os detalhes técnicos, é simples ver que os primos da fatoração a(m) são os mesmos da fatoração de a, sendo assim, se mdc(a, 10^1000) = 1, mdc(a(m), 10^1000) = 1 para todo m >= 1. se considerarmos o grupo multiplicativo formato pelos elementos de 1 até 10^1000 relativamente primos a 10^1000, temos: a(n+2)² = a(n+1)² <=> (a(n+2) - a(n+1)).(a(n+2) + a(n+1)) <=> a(n+2) = a(n+1) ou a(n+2) = -a(n+1) se conseguirmos eliminar o caso a(n+2) = -a(n+1), ou eliminarmos a possibilidade de que q seja ímpar, bastaria provar que, dado a, mdc(a, 10^1000) = 1, se existe algum n tal que a(n) = a(n+1), temos que após n todos os 10.000 últimos dígitos da seqüência estarão fixados. sobram os casos em que 2|a ou (exclusivo) 5|a, se 10|a, a resposta é trivial, já que só de olhar para 10^10^10 dá pra ver que essas séries vão ter números com muitos zeros no final e esse número de zeros atinge 1000 bem rapidamente... [ ]'s > Oi pessoal, > Tenho acompanhado a lista pelo site da obm à alguns > dias e então resolvi entrar. Tenho um problema legal > (gostaria da ajuda de um dos brilhantes participantes > da lista, como: Johann Peter Gustav Lejeune > Dirichlet...): Seja a(1) = a; a(n+1) = a^a(n); Prove > que: para qualquer a > 1 inteiro, os últimos 1000 > dígitos da expansão decimal de a(n) ficam > eventualmente constantes !!! > Okakamo Kokobongo > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. > http://br.busca.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-1311610774-1046106887=:56485 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

Legal,cheguei perto desse.Mas ja que e assim...

 "Domingos Jr." <dopikas@uol.com.br> wrote:

algumas idéias...

(http://mathworld.wolfram.com/EulersTotientTheorem.html)

phi(10^1000) é o número de inteiros de 1...10^1000 que são relativamente
primos com 10^1000.
temos que todos os múltiplos de 2 ou 5 são os únicos inteiros com divisor em
comum com 10^1000, logo, o número de múltiplos de 2 e 5 é (10^1000)/2 +
(10^1000)/5 - (10^1000)/10 = 3/5(10^1000)

phi(10^1000) = 2/5(10^1000) = 2^1001.5^999
se mdc(10^1000, a) = 1, temos
a^phi(10^1000) = 1 (mod 10^1000) pelo teorema de Euler

suponha que para algum n, a(n) = a(n+1) (mod 10^1000)
a(n+2) = a^a(n+1) = a^(10^1000.q + a(n)) = (a^(10^1000))^q . a^a(n) =
(a^(10^1000))^q . a(n+1)

se q = 2k, temos
a(n+2) = (a^(10^1000))^2k . a^a(n) = a^a(n) = a^a(n+1)

se q = 2k + 1,
a(n+2) = (a^(10^1000))^(2k + 1) . a(n+1) = (a^(10^1000))^2k . a^(10^1000) .
a(n+1) = a^(10^1000) . a(n+1)

a(n+2) = a^(10^1000) . a(n+1)
a(n+2)² = [a^(10^1000) . a(n+1)]² = a(n+1)²
a(n+2)² = a(n+1)²

aqui entram os detalhes técnicos, é simples ver que os primos da fatoração
a(m) são os mesmos da fatoração de a, sendo assim, se mdc(a, 10^1000) = 1,
mdc(a(m), 10^1000) = 1 para todo m >= 1.

se considerarmos o grupo multiplicativo formato pelos elementos de 1 até
10^1000 relativamente primos a 10^1000, temos:
a(n+2)² = a(n+1)² <=> (a(n+2) - a(n+1)).(a(n+2) + a(n+1)) <=> a(n+2) =
a(n+1) ou a(n+2) = -a(n+1)

se conseguirmos eliminar o caso a(n+2) = -a(n+1), ou eliminarmos a
possibilidade de que q seja ímpar, bastaria provar que, dado a, mdc(a,
10^1000) = 1, se existe algum n tal que a(n) = a(n+1), temos que após n
todos os 10.000 últimos dígitos da seqüência estarão fixados.

sobram os casos em que 2|a ou (exclusivo) 5|a, se 10|a, a resposta é
trivial, já que só de olhar para 10^10^10 dá pra ver que essas séries vão
ter números com muitos zeros no final e esse número de zeros atinge 1000 bem
rapidamente...

[ ]'s


> Oi pessoal,
> Tenho acompanhado a lista pelo site da obm à alguns
> dias e então resolvi entrar. Tenho um problema legal
> (gostaria da ajuda de um dos brilhantes participantes
> da lista, como: Johann Peter Gustav Lejeune
> Dirichlet...): Seja a(1) = a; a(n+1) = a^a(n); Prove
> que: para qualquer a > 1 inteiro, os últimos 1000
> dígitos da expansão decimal de a(n) ficam
> eventualmente constantes !!!
> Okakamo Kokobongo
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Vamos ver:a+c=2b,ac=b²,e ai temos a=c. 

 Cláudio_(Prática) <claudio@praticacorretora.com.br> wrote:

Caro Paulo:

Ficaria muito satisfeito se você mostrasse onde eu errei na solução do
Problema 1.

> PROBLEMA 1) "fi" e uma das solucoes de x^2 + x - 1=0. Exiba uma sequencia
de
> numeros reais, estritamente crescente, tal que ela seja simultaneamente
uma
> PA e uma PG. Esta sequencia e unica ou existe
> outra(s) ?
>
Seja A(0) = A
Então, para todo n: A(n) = A + D*n = A*Q^n com:
D > 0
e
Q > 1 se A > 0 ou 0 < Q < 1 se A < 0 (de qualquer forma, Q <> 1).

n = 1: A(1) = A + D = A*Q
n = 2: A(2) = A + 2D = A*Q^2

(1) ==> D = A*(Q - 1)
(2) - (1) ==> D = A*Q*(Q-1) ==> A*(Q-1) = A*Q*(Q-1)

A = 0 ==> PG é constante ==> contradição ==> A <> 0 ==>
Q-1 = Q*(Q-1)
Como Q <> 1 ==> Q = 1 ==> contradição

Assim, não existe tal sequência. De fato, não existem sequer 3 números que
formem, ao mesmo tempo, uma PA e uma PG estritamente crescentes.

*************

> PROBLEMA 2) Seja 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., An, ... a sequencia de
fibonaci.
> Qual o LIM An/An-1 quando n tende ao infinito ?
>
O n-ésimo termo da sequência de Fibonacci tem uma fórmula fechada bem
conhecida e dada por:
A(n) = (1/raiz(5))*[U^n - (-1/U)^n]
onde U = (1+raiz(5))/2
(A(1) = A(2) = 1)

Assim,
A(n)/A(n-1) =
[U^n - (-1/U)^n] / [U^(n-1) - (-1/U)^(n-1)] =
[U - (-1)^n/U^(2n-1)] / [1 - (-1)^(n-1)/U^(2n-2)]

Logo, lim A(n)/A(n-1) = [U - 0]/[1 - 0] = U = (1+raiz(5))/2

************

Um abraço,
Claudio.

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Ol=E1 queria saber se algu=E9m da lista = possui o livro=20 Problemas de Geometria do autor Paulo=20 Pessoa.
------=_NextPart_000_0046_01C2DC13.FA711700-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= ------------=_3E5A4F32.E7567A2F-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 24 14:34:06 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA16988 for obm-l-MTTP; Mon, 24 Feb 2003 14:32:31 -0300 Received: from utahjazz.vesper.com.br ([200.218.62.20]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA16982 for ; Mon, 24 Feb 2003 14:32:26 -0300 Received: from ipcsrvnws02.vespersa.com.br ([10.11.255.107]) by utahjazz.vesper.com.br with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5329); Mon, 24 Feb 2003 14:31:32 -0300 Received: by ipcsrvnws01.sp.vespersa.com.br with Internet Mail Service (5.5.2653.19) id ; Mon, 24 Feb 2003 14:31:18 -0300 Message-ID: From: =?iso-8859-1?Q?Jo=E3o_Gilberto_Ponciano_Pereira?= To: "'obm-l@mat.puc-rio.br'" Subject: RE: [obm-l] Treta nos quadrados Date: Mon, 24 Feb 2003 14:31:24 -0300 MIME-Version: 1.0 X-Mailer: Internet Mail Service (5.5.2653.19) Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" X-OriginalArrivalTime: 24 Feb 2003 17:31:32.0500 (UTC) FILETIME=[92893D40:01C2DC2A] Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id OAA16984 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Esta é legal... E acho que sai se fizermos uma análise geométrica do problema... Vamos chamar a_n = c * bn, de forma que Soma(B_n) = 1 e a_n+1 < a_n. Agora vamos imaginar um quadrado de lado 1 onde temos que encaixar os retângulos (b1,b2), (b2,b3)... Acho que já vi uma solução semelhante, mas com quadrados apenas.. -----Original Message----- From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [mailto:peterdirichlet2002@yahoo.com.br] Sent: Monday, February 24, 2003 1:10 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Treta nos quadrados Essa questao era pra provar algo como (a_1+a_2+a_3+...+a_n)^2>=4(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+...+a_n*a_1) Para o caso n=4 da certo:ab+bc+cd+da=(a+c)(b+d)>=((a+c+b+d)/2)^2. So nao consigo progredir _____ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 24 14:38:16 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA17463 for obm-l-MTTP; Mon, 24 Feb 2003 14:36:51 -0300 Received: from paiol.terra.com.br (paiol.terra.com.br [200.176.3.18]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA17459 for ; Mon, 24 Feb 2003 14:36:48 -0300 Received: from altamira.terra.com.br (altamira.terra.com.br [200.176.3.40]) by paiol.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 49C087D486 for ; Mon, 24 Feb 2003 14:36:18 -0300 (BRT) Received: from nt (RJ231082.user.veloxzone.com.br [200.165.231.82]) (authenticated user ensr) by altamira.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 6835A3DC072 for ; Mon, 24 Feb 2003 14:36:17 -0300 (BRT) Message-ID: <02bd01c2dc2b$41923300$5400a8c0@ensrbr> From: "Luis Lopes" To: References: <3E48201F.3060508@centroin.com.br> <20030211144637.H9677@sucuri.mat.puc-rio.br> <20030218100957.D12626@sucuri.mat.puc-rio.br> <021101c2d9f0$4f01ed60$5400a8c0@ensrbr> <000d01c2dc18$e2a22c40$3300c57d@bovespa.com> Subject: Re: [obm-l] valor de uma (duas) serie Date: Mon, 24 Feb 2003 14:36:25 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Sauda,c~oes, Oi Cláudio, Eu também acho que é isso. Mas como saiu de um livro do H. Wilf (Algorithms and Complexity) achei melhor perguntar pra vcs antes de escrever pra ele. No mesmo livro ele ensina a calcular séries como S = \sum_{n >= 2} n^3 / n!. A resposta é 5e - 1. Sugestão: \sum_{n >= 0} x^n / n! = e^x. Considere então a série S(x) = \sum_{n >= 0} n^3 x^n / n! . Assim, S = S(1) - 1. []'s Luís -----Mensagem Original----- De: "Cláudio (Prática)" Para: Enviada em: segunda-feira, 24 de fevereiro de 2003 12:24 Assunto: Re: [obm-l] valor de uma serie > Caro Luís: > > Acho que é o seguinte: > > infinito > SOMA (-Pi)^k/(2k+1)! = > k = 0 > > infinito > SOMA (-1)^k * [raiz(Pi)]^(2k) / (2k+1)! = > k = 0 > > infinito > [1/raiz(Pi)] * SOMA (-1)^k * [raiz(Pi)]^(2k+1) / (2k+1)! = > k = 0 > > [1/raiz(Pi)] * sen[raiz(Pi)] = sen[raiz(Pi)]/raiz(Pi) > > > Um abraço, > Claudio. > > ----- Original Message ----- > From: "Luis Lopes" > To: > Sent: Friday, February 21, 2003 6:29 PM > Subject: [obm-l] valor de uma serie > > > > Sauda,c~oes, > > > > Num livro encontro o seguinte exercício: > > > > mostre que \sum_{r >= 0} (-pi)^r / (2r+1)! = 0. > > > > A única dica do livro é a série de \sin x: > > > > \sin x = \sum_{r >= 0} (-1)^r x^{2r+1} / (2r+1)! > > > > []'s > > Luís > > > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > O administrador desta lista é > > ========================================================================= > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 24 14:53:48 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA18667 for obm-l-MTTP; Mon, 24 Feb 2003 14:51:55 -0300 Received: from sporus.bol.com.br (sporus.bol.com.br [200.221.24.23]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA18659 for ; Mon, 24 Feb 2003 14:51:52 -0300 Received: from bol.com.br (200.221.24.137) by sporus.bol.com.br (5.1.071) id 3E25BF4600C3BD83 for obm-l@mat.puc-rio.br; Sun, 23 Feb 2003 02:11:42 -0300 Date: Sun, 23 Feb 2003 02:09:27 -0300 Message-Id: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?q?Ser_ol=EDmpico_ou_ser_Humano=2C_eis_a_quest=E3o=3F?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain;charset="iso-8859-1" From: "basketboy_igor" To: obm-l@mat.puc-rio.br X-XaM3-API-Version: 2.4 R3 ( B4 ) X-SenderIP: 200.217.140.127 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id OAA18660 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br 23 de Fevereiro de 2003, Fortaleza/Ceará. Caros seres pensantes, Fugindo um pouco do cotidiano questão/resposta/dúvida respondida, resolvi mandar um e-mail diferente! Desculpem-me, por favor, caso eu fuja da real função ou objetivo desta tão honrosa lista. Antes de tudo, redijo este texto para seres humanos como vocês, altamente qualificados e dotados de talento incomum, lerem, não com os seus olhos olímpicos, com os olhos humanos, os olhos da real sabedoria. Como adoro ler filosofia e estudar matemática, comecei a cogitar sobre o real termo "aluno olímpico". Aluno olímpico seria somente aquele aluno, super inteligente que consegue façanhas sobre comuns ou aquele que não tem tantos dons intelectuais e tenta ano após ano uma humilde menção honrosa mas sempre está lá estudando e competindo com alunos mais providos de estrutura, material, conhecimento e talento? Na minha humilde opinião, o real termo Aluno Olímpico seria definido no aluno da escola pública ou mesmo sem escola, trabalhador e estudioso, quem passa fome e sustenta uma família com a cabeça erguida mas quer melhorar de vida através de um meio honesto, o estudo. Um aluno na qual seguraria com unhas e dentes uma oportunidade, a mais humilde que fosse, aproveitaria como ninguém, não para ganhar uma medalha mas somente para mudar de vida. Vejo escolas no Ceara competindo entre se somente para conseguir resultados surpreendentes, para poder fazer mais comerciais, ganhar mais alunos e ganhar mais dinheiro. Colégios com professores altamente qualificados, ganhando rios de dinheiro. Será que não é possível dar aulas olímpicas para alunos carentes e procurar talentos mais humildes em favelas ou escolas públicas? Se existir um projeto assim, desculpo-me pela minha suprema ignorância do fato mas se não existir, não seria uma boa idéia ou um assunto a ser debatido e refutado com cautela? Por que não procurar talentos com as pessoas que realmente precisam ou necessitam mais em estudar, ganhar medalha e mostrar a sua capacidade para o Brasil e para o Mundo? P.S.: Estudo no colégio Ari de Sá Cavalcante, em Fortaleza/CE, e um dia, saindo da aula do Professor Marcelo Oliveira sobre triângulo Pedal, fui comprar um chocolate na banca e esbarrei com um garoto de rua que perguntou para mim se eu era um desses "alunos dos comerciais da rua”? - E eu disse, ainda não, porque? E ela respondeu: "- Tio, pus que eu daria a minha vida para ser um de vocês, sabe? Mia famia não tem dinheiro, sabe? e com isso eu entraria em uma faculdade pública em qualquer curso e isso mudaria a nossa vida para sempre. Isso me afetou tanto, foi tão marcante que resolvi pensar mais no porque de adquirir tanto conhecimento e material se eu não preciso realmente nem mais da metade. Eu preferiria dar uma possível vaga minha na Rio Platence, Ibero-Americana, Cone Sul ou mesmo a IMO para um aluno treinado de escola pública que precisa dessa oportunidade mais do que eu. Além disso, seria também interessante aproveitar os alunos para fazerem campanhas, dar aulas em escolas públicas, favelas, nas ruas, praças ou shoppings na época das semanas olímpicas, pois como são alunos olímpicos, certamente irão aceitar a proposta de bateria de humanismo, solidariedade, altruísmo e também mostrar que existem humanos realmente humanos nesse universo. *Aproveitem essa fase "Lula" do Brasil que está em voga e tantos "pregam" com "orgulho". “Todo aquele que possui coisas de que não precisa é um ladrão”. - Mahatma Gandhi “Nossas dúvidas são traidoras e nos fazem perder o que, com freqüência, poderíamos ganhar, por simples medo de arriscar”. - William Shakespeare "Os grandes cientistas navegam às cegas". - Marcos Eike “Wheresoever you go, go with all your heart”. - Confucius “Education has for its object the formation of character”. - Herbert Spencer Se não me engano, perdoem-me caso esteja equivocado, Sócrates combateu os sofistas por pregarem o conhecimento lucrativo e foi um milagre na humanidade e Einstein, sem comentários, cobrava um valor simbólico na Alemanha para tirarem fotos com ele e dava autógrafos para as pessoas nas ruas para acumular dinheiro e doar para instituições filantrópicas. Muitíssimo grato, Igor Correia Oliveira, 17 anos. __________________________________________________________________________ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. 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(Que se devia demonstrar em Latim) MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain;charset="iso-8859-1" From: "basketboy_igor" To: obm-l@mat.puc-rio.br X-XaM3-API-Version: 2.4 R3 ( B4 ) X-SenderIP: 200.217.140.127 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id OAA18716 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Boa vida caros célebres seres cogitantes! 1°) Gostaria de saber quais são as questões mais fodas, pitorescas, excêntricas, com respostas absurdos, engraçadas e interessantes de cada um. 2°) Que história é essa do "Cara de cabelo grisalho atrás do Marcelo Oliveira" envolvendo o Carneiro na semana olímpica? 3°) Isso tem lógica? Se e^(Pi*i) + 1 =0 (1) e i^i = e^(-Pi/2)então i=e^(-Pi/2i)(2), substitui em (2) em (1) vai dar: e^(Pi*e^(-Pi/2i) +1 =0 e^[(Pi*e^(-Pi/2i)] = -1 {e^[(Pi*e^(-Pi/2i)]}^1/Pi = (-1)^1/Pi e^[e^(-Pi/2i)]=(-1)^1/Pi {e^[e^(-Pi/2i)]}^1/e^(-Pi/2i)= (-1)^1/Pi*e^(-Pi/2i) e=(-1)^1/Pi*e^(-Pi/2i) “Quod erat demonstrandum”. (Que se devia demonstrar em Latim) 4°) Alguém conhece termos ou frases matematicas em latim, grego, chines, arabe, russo ou em outras línguas exôticas ou em línguas mortas? __________________________________________________________________________ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. 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É um paradoxo a Terra se mover ao redor do Sol e a água ser constituída por dois gases altamente inflamáveis. A verdade científica é sempre um paradoxo, se julgada pela experiência cotidiana que se agarra à aparência efêmera das coisas. - Karl Marx __________________________________________________________________________ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 24 14:55:33 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA18858 for obm-l-MTTP; Mon, 24 Feb 2003 14:54:03 -0300 Received: from sporus.bol.com.br (sporus.bol.com.br [200.221.24.23]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA18836 for ; Mon, 24 Feb 2003 14:53:54 -0300 Received: from bol.com.br (200.221.24.137) by sporus.bol.com.br (5.1.071) id 3E25BF4600C3BEED for obm-l@mat.puc-rio.br; Sun, 23 Feb 2003 02:13:48 -0300 Date: Sun, 23 Feb 2003 02:11:32 -0300 Message-Id: Subject: [obm-l] MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain;charset="iso-8859-1" From: "basketboy_igor" To: obm-l@mat.puc-rio.br X-XaM3-API-Version: 2.4 R3 ( B4 ) X-SenderIP: 200.217.140.127 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id OAA18851 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br "We can't solve problems by using the same kind of thinking we used when we created them". - Albert Einstein 1°) Gostaria de saber como é a conjectura de Goldbach, Teoria de Godal e sobre a desigüaldades de Stefel (Não sei se a grafia está correta) 2°)Quais são as principais ou as mais famosas ou usadas conjecturas e desigualdade? "É um paradoxo a Terra se mover ao redor do Sol e a água ser constituída por dois gases altamente inflamáveis. A verdade científica é sempre um paradoxo, se julgada pela experiência cotidiana que se agarra à aparência efêmera das coisas". - Karl Marx __________________________________________________________________________ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 24 15:51:19 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA22814 for obm-l-MTTP; Mon, 24 Feb 2003 15:48:13 -0300 Received: from hotmail.com (f41.sea2.hotmail.com [207.68.165.41]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA22810 for ; Mon, 24 Feb 2003 15:48:09 -0300 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Mon, 24 Feb 2003 10:47:37 -0800 Received: from 200.216.62.82 by sea2fd.sea2.hotmail.msn.com with HTTP; Mon, 24 Feb 2003 18:47:37 GMT X-Originating-IP: [200.216.62.82] From: "Paulo Santa Rita" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Euler e Goldbach Date: Mon, 24 Feb 2003 18:47:37 +0000 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 24 Feb 2003 18:47:37.0592 (UTC) FILETIME=[338AFF80:01C2DC35] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Ola Pessoal ! Bom, como nosso colega Igor falou sobre a conjetura de Goldbach, sobre a Escola Publica e como eu so estudei em Escolas Publicas, me lembrei de um problema que li em uma biblioteca de Escola Publica e que foi proposto a Euler pelo Goldbach. PROBLEMA ) Considere um poligono convexo de N lados. Determine, em funcao de N, de quantas maneiras distintas e possivel dividir este poligono em areas triangulares usando-se tao somente as diagonais deste poligono. NOTA : Imagine que o poligono esta fixo, nao podendo girar ou transladar. SUGESTAO : IMAGINE uma divisao valida ! Entao e possivel imaginar o poligono como um "quebra-cabeca" no qual cada peca e um triangulo ... Dado que de cada vertice partem N-3 diagnais, considere sobre tal configurcao o efeito de se tracar outras diagonais. Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 2,1533,240203 EM TEMPO : No fundo, conforme aprendi na Escola Publica, o que e valido sobre o ensino particular ou publico e a afirmacao do Fernando Pessoa : "Tudo vale a pena quando a alma nao e pequena !" _________________________________________________________________ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 24 16:43:20 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA24614 for obm-l-MTTP; Mon, 24 Feb 2003 16:41:40 -0300 Received: from ns3bind.localdomain ([200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA24609 for ; Mon, 24 Feb 2003 16:41:37 -0300 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1OJdQS04034 for ; Mon, 24 Feb 2003 16:39:26 -0300 Message-ID: <00e301c2dc45$759d6a60$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <3E48201F.3060508@centroin.com.br> <20030211144637.H9677@sucuri.mat.puc-rio.br> <20030218100957.D12626@sucuri.mat.puc-rio.br> <021101c2d9f0$4f01ed60$5400a8c0@ensrbr> <000d01c2dc18$e2a22c40$3300c57d@bovespa.com> <02bd01c2dc2b$41923300$5400a8c0@ensrbr> Subject: Re: [obm-l] valor de uma (duas) serie Date: Mon, 24 Feb 2003 17:12:15 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caro Luís: Concordo! n^3/n! = n^2/(n-1)! = (n-1+1)^2/(n-1)! = (n-1)^2/(n-1)! + 2*(n-1)/(n-1)! + 1/(n-1)! = (n-1)/(n-2)! + 2/(n-2)! + 1/(n-1)! = (n-2+1)/(n-2)! + 2/(n-2)! + 1/(n-1)! = (n-2)/(n-2)! + 1/(n-2)! + 2/(n-2)! + 1/(n-1)! = 1/(n-3)! + 3/(n-2)! + 1/(n-1)! Assim: SOMA n^3/n! = n >= 2 SOMA 1/(n-3)! + 3*SOMA 1/(n-2)! + SOMA 1/(n-1)! n >= 3 n >= 2 n >= 2 e + 3*e + (e-1) = 5*e - 1. ----- Original Message ----- From: "Luis Lopes" To: Sent: Monday, February 24, 2003 2:36 PM Subject: Re: [obm-l] valor de uma (duas) serie > Sauda,c~oes, > > Oi Cláudio, > > Eu também acho que é isso. Mas como > saiu de um livro do H. Wilf (Algorithms > and Complexity) achei melhor perguntar > pra vcs antes de escrever pra ele. > > No mesmo livro ele ensina a calcular séries > como S = \sum_{n >= 2} n^3 / n!. > > A resposta é 5e - 1. > > Sugestão: \sum_{n >= 0} x^n / n! = e^x. > Considere então a série S(x) = > \sum_{n >= 0} n^3 x^n / n! . Assim, S = > S(1) - 1. > > []'s > Luís > > -----Mensagem Original----- > De: "Cláudio (Prática)" > Para: > Enviada em: segunda-feira, 24 de fevereiro de 2003 12:24 > Assunto: Re: [obm-l] valor de uma serie > > > > Caro Luís: > > > > Acho que é o seguinte: > > > > infinito > > SOMA (-Pi)^k/(2k+1)! = > > k = 0 > > > > infinito > > SOMA (-1)^k * [raiz(Pi)]^(2k) / (2k+1)! = > > k = 0 > > > > infinito > > [1/raiz(Pi)] * SOMA (-1)^k * [raiz(Pi)]^(2k+1) / (2k+1)! = > > k = 0 > > > > [1/raiz(Pi)] * sen[raiz(Pi)] = sen[raiz(Pi)]/raiz(Pi) > > > > > > Um abraço, > > Claudio. > > > > ----- Original Message ----- > > From: "Luis Lopes" > > To: > > Sent: Friday, February 21, 2003 6:29 PM > > Subject: [obm-l] valor de uma serie > > > > > > > Sauda,c~oes, > > > > > > Num livro encontro o seguinte exercício: > > > > > > mostre que \sum_{r >= 0} (-pi)^r / (2r+1)! = 0. > > > > > > A única dica do livro é a série de \sin x: > > > > > > \sin x = \sum_{r >= 0} (-1)^r x^{2r+1} / (2r+1)! > > > > > > []'s > > > Luís > > > > > > > > > > ========================================================================= > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > O administrador desta lista é > > > > ========================================================================= > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > O administrador desta lista é > > ========================================================================= > > > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 24 17:01:57 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA25242 for obm-l-MTTP; Mon, 24 Feb 2003 16:59:53 -0300 Received: from ns3bind.localdomain ([200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA25238 for ; Mon, 24 Feb 2003 16:59:50 -0300 Received: from servico2 ([200.230.34.229]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1OJviS05312 for ; Mon, 24 Feb 2003 16:57:44 -0300 Message-ID: <00e401c2dc48$04ab81e0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: Subject: Re: [obm-l] Tres Problemas Russos Date: Mon, 24 Feb 2003 18:02:17 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > > PROBLEMA 3) Existe um número impar de soldados em um exercício. A distância > entre dois quaisquer soldados é diferente da distancia entre quaisquer dois > outros. Cada soldado vigia o soldado que lhe esta mais próximo. Prove que ao > menos um soldado não está sendo vigiado. > Vamos chamar os soldados de 1, 2, ..., 2n+1. Indução sobre n: n = 1 (ou seja, existem 2*1 + 1 = 3 soldados): Suponhamos s.p.d.g. que a menor distância entre dois soldados quaisquer seja aquela entre os soldados 2 e 3. Então, o soldado mais próximo de 2 é o 3 e o mais próximo de 3 é o 2. Assim, 2 vigia 3, 3 vigia 2 e ninguém vigia o soldado 1. Logo, o resultado vale para n = 1. Hipótese de Indução: Dados 2(n-1) + 1= 2n-1 soldados (n >= 2) nas condições do enunciado, existe um soldado que não está sendo vigiado. Consideremos o caso de 2n+1 soldados nas condições do enunciado. Suponhamos s.p.d.g. que a menor distância entre dois soldados seja aquela entre os soldados 2n e 2n+1. Então, o soldado mais próximo de 2n é o 2n+1 e o soldado mais próximo de 2n+1 é o 2n, ou seja 2n vigia 2n+1 e 2n+1 vigia 2n. Se nenhum outro soldado vigia o soldado 2n ou o soldado 2n+1, então, excluindo estes dois soldados do conjunto de soldados, obtemos um subconjunto com 2n-1 soldados nas condições do enunciado. Nesse caso, a H.I. garante a existência de um soldado não vigiado. Por outro lado, se algum outro soldado vigia o soldado 2n ou o 2n+1, então um destes dois é vigiado por pelo menos dois soldados. Como cada soldado vigia exatamente um outro soldado, deve haver um soldado que não é vigiado por ninguém. Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 24 17:35:25 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA26388 for obm-l-MTTP; Mon, 24 Feb 2003 17:33:53 -0300 Received: from itaqui.terra.com.br (itaqui.terra.com.br [200.176.3.19]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA26384 for ; Mon, 24 Feb 2003 17:33:51 -0300 Received: from gunga.terra.com.br (gunga.terra.com.br [200.176.3.45]) by itaqui.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 571623BD8AC for ; Mon, 24 Feb 2003 17:33:20 -0300 (BRT) Received: from terra.com.br (meros.terra.com.br [200.176.3.185]) (authenticated user rocha31) by gunga.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 3CD3D12808C for ; Mon, 24 Feb 2003 17:33:20 -0300 (BRT) Date: Mon, 24 Feb 2003 20:33:20 +0000 Message-Id: Subject: =?iso-8859-1?Q?Re:[obm-l]?= MIME-Version: 1.0 X-Sensitivity: 3 Content-Type: multipart/alternative; boundary="_=_XaM3_Bdry.1046118800.2A.207482.42.26034.52.42.1010.1872257513" From: "=?iso-8859-1?Q?Roberto_Gomes?=" To: "=?iso-8859-1?Q?obm-l?=" X-XaM3-API-Version: 3.2 R28 (B53 pl3) X-type: 0 X-SenderIP: 200.165.134.94 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --_=_XaM3_Bdry.1046118800.2A.207482.42.26034.52.42.1010.1872257513 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Igor, por favor voc=EA poderiame passar o email do Macelo Oliveira,nos so= mos muito amigos, no entanto perdi o contato com ele.=0D=0ARoberto Gomes = =0D=0A=0D=0ADe:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br=0D=0A=0D=0APara:obm-l@ma= t.puc-rio.br=0D=0A=0D=0AC=F3pia:=0D=0A=0D=0AData:Sun, 23 Feb 2003 02:11:1= 2 -0300=0D=0A=0D=0AAssunto:[obm-l]=0D=0A=0D=0A =0D=0A=0D=0A> "We can't s= olve problems by using the same kind of =0D=0A> thinking we used when we = created them".=0D=0A> - Albert Einstein=0D=0A> =0D=0A> 1=B0) Gostaria de = saber como =E9 a conjectura de Goldbach, =0D=0A> Teoria de Godal e sobre = a desig=FCaldades de Stefel (N=E3o =0D=0A> sei se a grafia est=E1 correta= )=0D=0A> =0D=0A> 2=B0)Quais s=E3o as principais ou as mais famosas ou usa= das =0D=0A> conjecturas e desigualdade?=0D=0A> =0D=0A> =C9 um paradoxo a = Terra se mover ao redor do Sol e a =E1gua =0D=0A> ser constitu=EDda por d= ois gases altamente inflam=E1veis. A =0D=0A> verdade cient=EDfica =E9 sem= pre um paradoxo, se julgada pela =0D=0A> experi=EAncia cotidiana que se a= garra =E0 apar=EAncia ef=EAmera =0D=0A> das coisas. =0D=0A> - Karl Marx=0D= =0A> =0D=0A> =0D=0A> ____________________________________________________= ______________________=0D=0A> E-mail Premium BOL=0D=0A> Antiv=EDrus, anti= -spam e at=E9 100 MB de espa=E7o. Assine j=E1!=0D=0A> http://email.bol.co= m.br/=0D=0A> =0D=0A> =0D=0A> =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=0D=0A> Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair= da lista e usar a lista em=0D=0A> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/oli= mp/obm-l.html=0D=0A> O administrador desta lista =E9 =0D=0A> =3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=0D=0A> =0D=0A> = Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra.=0D=0A> Scan eng= ine: VirusScan / Atualizado em 19/02/2003 / Vers=E3o: 1.3.13=0D=0A> Prote= ja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/=0D=0A> =0D= =0A> --_=_XaM3_Bdry.1046118800.2A.207482.42.26034.52.42.1010.1872257513 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: quoted-printable

Igor, por favor voc=EA poderiame passar o email do Macelo Oliveira,nos= somos muito amigos, no entanto perdi o contato com ele.

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Robe= rto Gomes 

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=0D=0A=0D=0A=0D= =0A=0D=0ADe:=0D=0Aowner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
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Para:obm-l@mat.pu= c-rio.br
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=0D=0A=0D=0A=0D=0A<= TR>=0D=0A=0D=0A
C=F3pia:
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Data:Sun, 23 Feb 2003 02:11:12 -0300
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Assunto:= [obm-l]
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>= "We can't solve problems by using the same kind of
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>= thinking we used when we created them".
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> - Albert Ei= nstein
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>
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> 1=B0) Gostaria de saber= como =E9 a conjectura de Goldbach,
=0D=0A
> Teoria de Godal= e sobre a desig=FCaldades de Stefel (N=E3o
=0D=0A
> sei se = a grafia est=E1 correta)
=0D=0A
>
=0D=0A
> 2=B0)= Quais s=E3o as principais ou as mais famosas ou usadas
=0D=0A
&= gt; conjecturas e desigualdade?
=0D=0A
>
=0D=0A
>= ; =C9 um paradoxo a Terra se mover ao redor do Sol e a =E1gua
=0D=0A=
> ser constitu=EDda por dois gases altamente inflam=E1veis. A =0D=0A
> verdade cient=EDfica =E9 sempre um paradoxo, se julgad= a pela
=0D=0A
> experi=EAncia cotidiana que se agarra =E0 ap= ar=EAncia ef=EAmera
=0D=0A
> das coisas.
=0D=0A
&g= t; - Karl Marx
=0D=0A
>
=0D=0A
>
=0D=0A> __________________________________________________________________= ________
=0D=0A
> E-mail Premium BOL
=0D=0A
> Ant= iv=EDrus, anti-spam e at=E9 100 MB de espa=E7o. Assine j=E1!
=0D=0A<= DIV>> http://email.bol.com.br/
=0D=0A
>
=0D=0A
&= gt;
=0D=0A
> =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D
=0D=0A
> Instru=E7=F5es para entrar na = lista, sair da lista e usar a lista em
=0D=0A
> http://www.ma= t.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=0D=0A
> O administrad= or desta lista =E9
=0D=0A
> =3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D
=0D=0A<= DIV>> =0D=0A
> Esta mensagem foi verificada pelo E-mail P= rotegido Terra.
=0D=0A
> Scan engine: VirusScan / Atualizado = em 19/02/2003 / Vers=E3o: 1.3.13
=0D=0A
> Proteja o seu e-mai= l Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/
=0D=0A
> =0D=0A
>
--_=_XaM3_Bdry.1046118800.2A.207482.42.26034.52.42.1010.1872257513-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 24 17:36:30 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA26462 for obm-l-MTTP; Mon, 24 Feb 2003 17:35:14 -0300 Received: from hotmail.com (f96.sea2.hotmail.com [207.68.165.96]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA26457 for ; Mon, 24 Feb 2003 17:35:10 -0300 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Mon, 24 Feb 2003 12:34:39 -0800 Received: from 200.142.58.19 by sea2fd.sea2.hotmail.msn.com with HTTP; Mon, 24 Feb 2003 20:34:39 GMT X-Originating-IP: [200.142.58.19] From: "Paulo Santa Rita" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] O Primeiro Problema Russo Date: Mon, 24 Feb 2003 20:34:39 +0000 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 24 Feb 2003 20:34:39.0323 (UTC) FILETIME=[273162B0:01C2DC44] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Ola Pessoal ! Esta mensagem e uma resposta a todos aqueles que me escreveram em off perguntando sobre o Primeiro Problema Russo. Se, para alguns, a resposta foi demorada, e por absoluta falta de tempo. O Primeiro Problema Russo ( e 99 outros ) esta em : http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/psr Todas as perguntas podem ser resumidas nas 7 respostas abaixo. 1) Eu verifiquei o enunciado. Esta correto. 2) O Problema foi proposto na Olimpiada Nacional da Russia para alunos que estudam numa serie proxima ao nosso 3 ano do nivel medio. 3) Sim, voces podem resolve-lo usando a teoria dos grafos : considere cada regiao como um ponto e o caminho ligando duas regioes como uma aresta. Lembrem-se que que num grafo so ha um caminho euleriano se o grau de cada vertice e par 4) Sim, existe uma maneira de resolver sem usar a teoria dos grafos. Basta observar que se ha um poligono convexo de N lados em um plano e N e par, entao se eu partir de fora do poligono e cruzar todas as arestas uma unica vez vou terminar tambem do lado de fora do poligono. Se N for impar, ocorre o contrario : se eu partir de fora termino dentro e vice-versa. 5) Claramente Sim. Voces podem generalizar o raciocinio acima para uma regiao arbitaria. 6) Nao. Caminho euleriano e uma coisa, caminho hamiltoniano e outra. 7) Nao. ( em minha opiniao ! ) Nao e necessario usar o teorema de Ramsey. Em verdade, nao vejo em que esse teorema pode ser util naquele caso. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 2,1733,240203 _________________________________________________________________ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 24 18:09:26 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA27929 for obm-l-MTTP; Mon, 24 Feb 2003 18:07:38 -0300 Received: from paiol.terra.com.br (paiol.terra.com.br [200.176.3.18]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA27925 for ; Mon, 24 Feb 2003 18:07:36 -0300 Received: from marova.terra.com.br (marova.terra.com.br [200.176.3.39]) by paiol.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 555AA7D85D for ; Mon, 24 Feb 2003 18:07:05 -0300 (BRT) Received: from nt (RJ231082.user.veloxzone.com.br [200.165.231.82]) (authenticated user ensr) by marova.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id BE3513DC174 for ; Mon, 24 Feb 2003 18:07:04 -0300 (BRT) Message-ID: <035101c2dc48$b5105e20$5400a8c0@ensrbr> From: "Luis Lopes" To: References: <3E48201F.3060508@centroin.com.br> <20030211144637.H9677@sucuri.mat.puc-rio.br> <20030218100957.D12626@sucuri.mat.puc-rio.br> <021101c2d9f0$4f01ed60$5400a8c0@ensrbr> <000d01c2dc18$e2a22c40$3300c57d@bovespa.com> <02bd01c2dc2b$41923300$5400a8c0@ensrbr> <00e301c2dc45$759d6a60$3300c57d@bovespa.com> Subject: Re: [obm-l] valor de uma (duas) serie Date: Mon, 24 Feb 2003 18:07:14 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4807.1700 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4807.1700 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Sauda,c~oes, Oi Cláudio, Então deve mesmo haver um engano no livro. Sua solução eu já conhecia. Mas não gostava dela por achá-la meio "mágica", ou macetosa. Fiquei com isso um tempão. Até que no livro citado - na verdade eu nem estava considerando esse problema - achei a generalização e sistematização que imaginava existirem. Assim se S(x) é o da mensagem abaixo, temos: S(x)=(x d/dx)(x d/dx)(x d/dx)e^x= (x^3+3x^2+x)e^x S(1)=5e e S=S(1)-1=5e-1. Agora calculamos facilmente S= \sum_{n>=0} n^4 / n! . S(x)=(x d/dx)(x^3+3x^2+x)e^x= (x^4+6x^3+7x^2+x)e^x S=S(1)=15e. []'s Luís -----Mensagem Original----- De: "Cláudio (Prática)" Para: Enviada em: segunda-feira, 24 de fevereiro de 2003 17:12 Assunto: Re: [obm-l] valor de uma (duas) serie > Caro Luís: > > Concordo! > > n^3/n! = > n^2/(n-1)! = > (n-1+1)^2/(n-1)! = > (n-1)^2/(n-1)! + 2*(n-1)/(n-1)! + 1/(n-1)! = > (n-1)/(n-2)! + 2/(n-2)! + 1/(n-1)! = > (n-2+1)/(n-2)! + 2/(n-2)! + 1/(n-1)! = > (n-2)/(n-2)! + 1/(n-2)! + 2/(n-2)! + 1/(n-1)! = > 1/(n-3)! + 3/(n-2)! + 1/(n-1)! > > Assim: > SOMA n^3/n! = > n >= 2 > > SOMA 1/(n-3)! + 3*SOMA 1/(n-2)! + SOMA 1/(n-1)! > n >= 3 n >= 2 n >= 2 > > e + 3*e + (e-1) = 5*e - 1. > > ----- Original Message ----- > From: "Luis Lopes" > To: > Sent: Monday, February 24, 2003 2:36 PM > Subject: Re: [obm-l] valor de uma (duas) serie > > > > Sauda,c~oes, > > > > Oi Cláudio, > > > > Eu também acho que é isso. Mas como > > saiu de um livro do H. Wilf (Algorithms > > and Complexity) achei melhor perguntar > > pra vcs antes de escrever pra ele. > > > > No mesmo livro ele ensina a calcular séries > > como S = \sum_{n >= 2} n^3 / n!. > > > > A resposta é 5e - 1. > > > > Sugestão: \sum_{n >= 0} x^n / n! = e^x. > > Considere então a série S(x) = > > \sum_{n >= 0} n^3 x^n / n! . Assim, S = > > S(1) - 1. > > > > []'s > > Luís > > > > -----Mensagem Original----- > > De: "Cláudio (Prática)" > > Para: > > Enviada em: segunda-feira, 24 de fevereiro de 2003 12:24 > > Assunto: Re: [obm-l] valor de uma serie > > > > > > > Caro Luís: > > > > > > Acho que é o seguinte: > > > > > > infinito > > > SOMA (-Pi)^k/(2k+1)! = > > > k = 0 > > > > > > infinito > > > SOMA (-1)^k * [raiz(Pi)]^(2k) / (2k+1)! = > > > k = 0 > > > > > > infinito > > > [1/raiz(Pi)] * SOMA (-1)^k * [raiz(Pi)]^(2k+1) / (2k+1)! = > > > k = 0 > > > > > > [1/raiz(Pi)] * sen[raiz(Pi)] = sen[raiz(Pi)]/raiz(Pi) > > > > > > > > > Um abraço, > > > Claudio. > > > > > > ----- Original Message ----- > > > From: "Luis Lopes" > > > To: > > > Sent: Friday, February 21, 2003 6:29 PM > > > Subject: [obm-l] valor de uma serie > > > > > > > > > > Sauda,c~oes, > > > > > > > > Num livro encontro o seguinte exercício: > > > > > > > > mostre que \sum_{r >= 0} (-pi)^r / (2r+1)! = 0. > > > > > > > > A única dica do livro é a série de \sin x: > > > > > > > > \sin x = \sum_{r >= 0} (-1)^r x^{2r+1} / (2r+1)! > > > > > > > > []'s > > > > Luís > > > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 24 19:05:14 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA29740 for obm-l-MTTP; Mon, 24 Feb 2003 19:03:52 -0300 Received: from imo-r07.mx.aol.com (imo-r07.mx.aol.com [152.163.225.103]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA29736 for ; Mon, 24 Feb 2003 19:03:48 -0300 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-r07.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.127.233f9534 (25508) for ; Mon, 24 Feb 2003 17:03:08 -0500 (EST) Message-ID: <127.233f9534.2b8bf09c@aol.com> Date: Mon, 24 Feb 2003 17:03:08 EST Subject: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?demonstra=E7=F5es=20no=20dia-a-dia?= To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_127.233f9534.2b8bf09c_boundary" X-Mailer: 6.0 sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --part1_127.233f9534.2b8bf09c_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal, Tenho tr=EAs d=FAvidas, vejam: 1=AA) Um segmento de reta =E9 um exemplo de um corpo UNI-dimensional. Um=20 ret=E2ngulo =E9 um exemplo de um corpo BI- dimensional.tetraedro =E9 um exem= plo de=20 um corpo TRI-dimensional. E corpos TETRA, PENTA Um , HEXA-dimensionais, ou=20 generalizando N-dimensionais como podem ser vistos na natureza ou em termos=20 abstratos se for o caso? 2=AA) Eu tinha visto na net h=E1 algumas semanas atr=E1s um site (em ingl= =EAs, mas=20 n=E3o me lembro o endere=E7o) que dava uma demonstra=E7=E3o geom=E9trica (an= al=EDtica) do=20 n=FAmero imagin=E1rio "i". A =FAnica coisa que me lembro, foi que a demonstr= a=E7=E3o=20 foi feita a partir dos eixos cartesianos e havia uma rela=E7=E3o com o ponto= P=20 (-1,0). H=E1 pouco tempo atr=E1s aqui na lista houve algumas mensagens expli= cando=20 muito bem a parte hist=F3rica do n=FAmero "i" e dos n=FAmeros complexos, mas= voc=EAs=20 n=E3o falaram nada de demonstra=E7=F5es. A =FAnica coisa mais pr=F3xima diss= o foi=20 quando disseram que o n=FAmero "i" surgiu quando os matem=E1ticos procuraram= =20 resolver a equa=E7=E3o raiz (-1) =3D ?. Mas ainda essa passagem eu classific= o=20 dentro do contexto hist=F3rico do n=BA imagin=E1rio e complexo e n=E3o uma e= xplica=E7=E3o=20 matem=E1tica e "real"(real no sentido n=E3o matem=E1tico). 3=AA) Uma outra d=FAvida sobre demosntra=E7=F5es: Se algum leigo em matem=E1tica pedisse a mim ou a qualquer um de vcs para=20 provar a exist=EAncia do n=FAmero Pi eu e muitos de vcs diriamos a ele para=20= medir=20 o comprimento de qualquer circunfer=EAncia com uma fita m=E9trica e ent=E3o= =20 dividir o valor por 2*raio. (obs: Se ele n=E3o soubesse o que era raio era s= =F3=20 explicar). Agora pergunto: =C9 poss=EDvel fazer uma demonstra=E7=E3o semelhante (em termos de rela=E7= =E3o com o=20 cotidiano) com o logaritmo neperiano (natural) ? --part1_127.233f9534.2b8bf09c_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal,

Tenho tr=EAs d=FAvidas, vejam:

1=AA) Um segmento de reta =E9 um exemplo de um corpo UNI-dimensional. Um= ret=E2ngulo =E9 um exemplo de um corpo BI- dimensional.tetraedro =E9 um exe= mplo de um corpo TRI-dimensional. E corpos TETRA, PENTA Um , HEXA-dimensiona= is, ou generalizando N-dimensionais como podem ser vistos na natureza ou em=20= termos abstratos se for o caso?
2=AA) Eu tinha visto na net h=E1 algumas semanas atr=E1s um site (em ing= l=EAs, mas n=E3o me lembro o endere=E7o) que dava uma demonstra=E7=E3o geom= =E9trica (anal=EDtica) do n=FAmero imagin=E1rio "i". A =FAnica coisa que me=20= lembro, foi que a demonstra=E7=E3o foi feita a partir dos eixos cartesianos=20= e havia uma rela=E7=E3o com o ponto P (-1,0). H=E1 pouco tempo atr=E1s aqui=20= na lista houve algumas mensagens explicando muito bem a parte hist=F3rica do= n=FAmero "i" e dos n=FAmeros complexos, mas voc=EAs n=E3o falaram nada de d= emonstra=E7=F5es. A =FAnica coisa mais pr=F3xima disso foi quando disseram q= ue o n=FAmero "i" surgiu quando os matem=E1ticos procuraram resolver a equa= =E7=E3o raiz (-1) =3D ?. Mas ainda essa passagem eu classifico dentro do con= texto hist=F3rico do n=BA imagin=E1rio e complexo e n=E3o uma explica=E7=E3o= matem=E1tica e "real"(real no sentido n=E3o matem=E1tico).

3=AA) Uma outra d=FAvida sobre demosntra=E7=F5es:
Se algum leigo em matem=E1tica pedisse a mim ou a qualquer um de vcs par= a provar a exist=EAncia do n=FAmero Pi eu e muitos de vcs diriamos a ele par= a medir o comprimento de qualquer circunfer=EAncia com uma fita m=E9trica &n= bsp;e ent=E3o dividir o valor por 2*raio. (obs: Se ele n=E3o soubesse o que=20= era raio era s=F3 explicar). Agora pergunto:
=C9 poss=EDvel fazer uma demonstra=E7=E3o semelhante (em termos de rela= =E7=E3o com o cotidiano) com o logaritmo neperiano (natural) ?


--part1_127.233f9534.2b8bf09c_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 24 20:38:28 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA31391 for obm-l-MTTP; Mon, 24 Feb 2003 20:37:01 -0300 Received: from silva5.uol.com.br (silva5.uol.com.br [200.221.29.52]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id UAA31387 for ; Mon, 24 Feb 2003 20:36:58 -0300 Received: from gauss ([200.158.96.76]) by silva5.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with SMTP id UAA16626 for ; Mon, 24 Feb 2003 20:40:37 -0300 (BRT) Message-ID: <009001c2dc5d$9b6bd5c0$4c609ec8@gauss> From: "Domingos Jr." To: References: <20030224161009.91596.qmail@web12905.mail.yahoo.com> Subject: Re: [obm-l] Treta nos quadrados Date: Mon, 24 Feb 2003 20:36:50 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_008D_01C2DC44.757B31D0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2720.3000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_008D_01C2DC44.757B31D0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable j=E1 que vc provou para o caso 4 vou considerar a demonstra=E7=E3o = feita. estou considerando as vari=E1veis todas positivas... se n=E3o, ter=EDamos, por exemplo (1 + 1 + 0 + 0 + 0 + ... 0 - 1 - 1)=B2 =3D 0 < 4*(1*1 + 1*0 + 0*0 + ... = + 0*(-1) + (-1)*(-1) + (-1)*1) =3D 4 suponha que a desigualdade valha para todo 4 <=3D k < n (a_1+a_2+a_3+...+a_k)^2>=3D4(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+...+a_k*a_1) para toda a sequ=EAncia de tamanho k+1, ordene-a de forma crescente, = formando a[1] <=3D a[2] <=3D ... <=3D a[k+1] sendo S =3D a[2] + a[3] + ... + a[k+1] pela hip. de indu=E7=E3o S=B2 >=3D4(a[2].a[3] + ... + a[k].a[k+1] + = a[k+1].a[2]) sendo assim: (S + a[1])=B2 =3D S=B2 + 2S*a[1] + a[1]=B2 >=3D 4(a[2].a[3] + ... + = a[k].a[k+1] + a[k+1].a[2]) queremos chegar a conclus=E3o que: 2S*a[k+1] + a[k+1]=B2 >=3D 4(a[1]a[2] + a[k+1].a[1] - a[k+1].a[2]) mas a[k+1].a[1] - a[k+1].a[2] <=3D 0 pois a[1] <=3D a[2], logo basta = provar que 2S*a[k+1] + a[k+1]=B2 >=3D 4a[1]a[2] 2a[1].a[k+1] + 2a[2].a[k+1] + ... >=3D 4a[1]a[2] acho que deu certo... [ ]'s ----- Original Message -----=20 From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Monday, February 24, 2003 1:10 PM Subject: [obm-l] Treta nos quadrados Essa questao era pra provar algo como=20 (a_1+a_2+a_3+...+a_n)^2>=3D4(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+...+a_n*a_1) Para o caso n=3D4 da = certo:ab+bc+cd+da=3D(a+c)(b+d)>=3D((a+c+b+d)/2)^2. So nao consigo progredir -------------------------------------------------------------------------= ----- Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o = Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_008D_01C2DC44.757B31D0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
j=E1 que vc provou para o caso 4 = vou considerar=20 a demonstra=E7=E3o feita.
 
estou considerando as vari=E1veis todas = positivas...
se n=E3o, ter=EDamos, por = exemplo
(1 + 1 + 0 + 0 + 0 + ... 0 - 1 - = 1)=B2 =3D 0 <=20 4*(1*1 + 1*0 + 0*0 + ... + 0*(-1) + = (-1)*(-1) +=20 (-1)*1) =3D 4
 
suponha que a desigualdade valha para = todo 4 <=3D=20 k < n
(a_1+a_2+a_3+...+a_k)^2>=3D4(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+...+a_k*a_1)
 
para toda a sequ=EAncia de tamanho k+1, ordene-a = de forma=20 crescente, formando
a[1] <=3D a[2] <=3D ... <=3D = a[k+1]
sendo S =3D a[2] + a[3] + ... + = a[k+1]
pela hip. de indu=E7=E3o = S=B2 >=3D4(a[2].a[3] + ...=20 + a[k].a[k+1] + a[k+1].a[2])
sendo assim:
(S + a[1])=B2 =3D S=B2 + 2S*a[1] + a[1]=B2 = >=3D 4(a[2].a[3]=20 + ... + a[k].a[k+1] + a[k+1].a[2])
queremos chegar a conclus=E3o que:
2S*a[k+1] + a[k+1]=B2 >=3D 4(a[1]a[2] + = a[k+1].a[1] -=20 a[k+1].a[2])
mas a[k+1].a[1] - a[k+1].a[2] <=3D 0 pois = a[1] <=3D=20 a[2], logo basta provar que
 
2S*a[k+1] + a[k+1]=B2 >=3D = 4a[1]a[2]
2a[1].a[k+1] + 2a[2].a[k+1] + ... >=3D=20 4a[1]a[2]
 
acho que deu certo...
 
[ ]'s
 
----- Original Message -----
From:=20 Johann Peter Gustav = Lejeune=20 Dirichlet
Sent: Monday, February 24, 2003 = 1:10=20 PM
Subject: [obm-l] Treta nos=20 quadrados

Essa questao era pra provar algo como

=

(a_1+a_2+a_3+...+a_n)^2>=3D4(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+...+a_n*a_1)

Para o caso n=3D4 da = certo:ab+bc+cd+da=3D(a+c)(b+d)>=3D((a+c+b+d)/2)^2.

So nao consigo progredir


Busca Yahoo!
O = servi=E7o de=20 busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o Yahoo!=20 encontra. ------=_NextPart_000_008D_01C2DC44.757B31D0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 24 21:00:18 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA31937 for obm-l-MTTP; Mon, 24 Feb 2003 20:58:40 -0300 Received: from silva5.uol.com.br (silva5.uol.com.br [200.221.29.52]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id UAA31933 for ; Mon, 24 Feb 2003 20:58:38 -0300 Received: from gauss ([200.158.96.76]) by silva5.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with SMTP id VAA09845 for ; Mon, 24 Feb 2003 21:02:17 -0300 (BRT) Message-ID: <00f901c2dc60$a224d850$4c609ec8@gauss> From: "Domingos Jr." To: References: Subject: Re: [obm-l] SIGNIFICADO. Date: Mon, 24 Feb 2003 20:58:30 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2720.3000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br se vc pegar um livro de álgebra como o do Fragleigh vc encontra um diagrama mostrando os "anéis" da álgebra, vou tentar explicar o diagrama: quando eu escrever "anel" entre aspas estará sendo no sentido de figura de um anel e não da estrutura algébrica. temos anéis comutativos de um lado e anéis com unidade do outro, na intersecção dos dois "anéis" é desenhado um outro "anel" que representa os domínios de integridade, dentro desse "anel" vai um outro "anel" que representa os corpos. quanto a corpo eu não sei pq tem esse nome. > > > Uma dúvida cruel: Há alguma explicação para o termo "anel" em matemática? > Isto é, por que designar-se um conjunto não-vazio munido de duas operações > como as de Z, por anel? A mesma pergunta se estende a Corpo. > > > > _________________________________________________________________ > MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Mon Feb 24 21:17:15 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA32386 for obm-l-MTTP; Mon, 24 Feb 2003 21:15:51 -0300 Received: from zipmail.com (zipmail.com [207.88.19.245]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA32376 for ; Mon, 24 Feb 2003 21:15:46 -0300 From: Faelccmm@aol.com Received: by zipmail.com (CommuniGate Pro PIPE 4.0.5) with PIPE id 41640256; Mon, 24 Feb 2003 18:26:18 -0500 Received: from localhost [127.0.0.1] by mail with SpamAssassin (2.50 1.173-2003-02-20-exp); Mon, 24 Feb 2003 18:26:13 -0500 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: *****SPAM***** [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?demonstra=E7=F5es=20no=20dia-a-dia?= Date: Mon, 24 Feb 2003 17:03:08 EST Message-Id: <127.233f9534.2b8bf09c@aol.com> X-Spam-Flag: YES X-Spam-Status: Yes, hits=7.0 required=5.0 tests=HTML_00_10,HTML_MESSAGE,MIME_DEFICIENT_QP, MIME_LONG_LINE_QP,NO_REAL_NAME,ROUND_THE_WORLD_LOCAL version=2.50 X-Spam-Level: SSSSSSS X-Spam-Checker-Version: SpamAssassin 2.50 1.173-2003-02-20-exp MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/mixed; boundary="----------=_3E5AAA15.E7567A2F" Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------------=_3E5AAA15.E7567A2F Content-Type: text/plain Content-Disposition: inline Content-Transfer-Encoding: 8bit This mail is probably spam. The original message has been attached along with this report, so you can recognize or block similar unwanted mail in future. See http://spamassassin.org/tag/ for more details. Content preview: Olá pessoal, Tenho três dúvidas, vejam: 1ª) Um segmento de reta é um exemplo de um corpo UNI-dimensional. Um retângulo é um exemplo de um corpo BI- dimensional.tetraedro é um exemplo de um corpo TRI-dimensional. E corpos TETRA, PENTA Um , HEXA-dimensionais, ou generalizando N-dimensionais como podem ser vistos na natureza ou em termos abstratos se for o caso? 2ª) Eu tinha visto na net há algumas semanas atrás um site (em inglês, mas não me lembro o endereço) que dava uma demonstração geométrica (analítica) do número imaginário "i". A única coisa que me lembro, foi que a demonstração foi feita a partir dos eixos cartesianos e havia uma relação com o ponto P (-1,0). Há pouco tempo atrás aqui na lista houve algumas mensagens explicando muito bem a parte histórica do número "i" e dos números complexos, mas vocês não falaram nada de demonstrações. A única coisa mais próxima disso foi quando disseram que o número "i" surgiu quando os matemáticos procuraram resolver a equação raiz (-1) = ?. Mas ainda essa passagem eu classifico dentro do contexto histórico do nº imaginário e complexo e não uma explicação matemática e "real"(real no sentido não matemático). [...] Content analysis details: (7.00 points, 5 required) NO_REAL_NAME (0.7 points) From: does not include a real name HTML_00_10 (1.2 points) BODY: Message is 0% to 10% HTML HTML_MESSAGE (0.1 points) BODY: HTML included in message MIME_LONG_LINE_QP (0.3 points) RAW: Quoted-printable line longer than 76 characters MIME_DEFICIENT_QP (1.9 points) RAW: Deficient quoted-printable encoding in body ROUND_THE_WORLD_LOCAL (2.8 points) Received: says mail bounced around the world (HELO) The original message did not contain plain text, and may be unsafe to open with some email clients; in particular, it may contain a virus, or confirm that your address can receive spam. If you wish to view it, it may be safer to save it to a file and open it with an editor. ------------=_3E5AAA15.E7567A2F Content-Type: message/rfc822 Content-Description: original message before SpamAssassin Content-Disposition: attachment Content-Transfer-Encoding: 8bit Return-Path: Envelope-To: X-Spam-Status: SpamAssassin Failed Received: from birosca.ime.usp.br ([143.107.45.59] verified) by zipmail.com (CommuniGate Pro SMTP 4.0.5) with SMTP id 41629212 for cjw@zipmail.com; Mon, 24 Feb 2003 17:07:21 -0500 Received: (qmail 1427 invoked by uid 858); 24 Feb 2003 22:07:16 -0000 Delivered-To: juiti@ime.usp.br Received: (qmail 1413 invoked from network); 24 Feb 2003 22:07:16 -0000 Received: from sucuri.mat.puc-rio.br (139.82.27.7) by birosca.ime.usp.br with SMTP; 24 Feb 2003 22:07:16 -0000 Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA29740 for obm-l-MTTP; Mon, 24 Feb 2003 19:03:52 -0300 Received: from imo-r07.mx.aol.com (imo-r07.mx.aol.com [152.163.225.103]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA29736 for ; Mon, 24 Feb 2003 19:03:48 -0300 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-r07.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.127.233f9534 (25508) for ; Mon, 24 Feb 2003 17:03:08 -0500 (EST) Message-ID: <127.233f9534.2b8bf09c@aol.com> Date: Mon, 24 Feb 2003 17:03:08 EST Subject: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?demonstra=E7=F5es=20no=20dia-a-dia?= To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_127.233f9534.2b8bf09c_boundary" X-Mailer: 6.0 sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --part1_127.233f9534.2b8bf09c_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal, Tenho tr=EAs d=FAvidas, vejam: 1=AA) Um segmento de reta =E9 um exemplo de um corpo UNI-dimensional. Um=20 ret=E2ngulo =E9 um exemplo de um corpo BI- dimensional.tetraedro =E9 um exem= plo de=20 um corpo TRI-dimensional. E corpos TETRA, PENTA Um , HEXA-dimensionais, ou=20 generalizando N-dimensionais como podem ser vistos na natureza ou em termos=20 abstratos se for o caso? 2=AA) Eu tinha visto na net h=E1 algumas semanas atr=E1s um site (em ingl= =EAs, mas=20 n=E3o me lembro o endere=E7o) que dava uma demonstra=E7=E3o geom=E9trica (an= al=EDtica) do=20 n=FAmero imagin=E1rio "i". A =FAnica coisa que me lembro, foi que a demonstr= a=E7=E3o=20 foi feita a partir dos eixos cartesianos e havia uma rela=E7=E3o com o ponto= P=20 (-1,0). H=E1 pouco tempo atr=E1s aqui na lista houve algumas mensagens expli= cando=20 muito bem a parte hist=F3rica do n=FAmero "i" e dos n=FAmeros complexos, mas= voc=EAs=20 n=E3o falaram nada de demonstra=E7=F5es. A =FAnica coisa mais pr=F3xima diss= o foi=20 quando disseram que o n=FAmero "i" surgiu quando os matem=E1ticos procuraram= =20 resolver a equa=E7=E3o raiz (-1) =3D ?. Mas ainda essa passagem eu classific= o=20 dentro do contexto hist=F3rico do n=BA imagin=E1rio e complexo e n=E3o uma e= xplica=E7=E3o=20 matem=E1tica e "real"(real no sentido n=E3o matem=E1tico). 3=AA) Uma outra d=FAvida sobre demosntra=E7=F5es: Se algum leigo em matem=E1tica pedisse a mim ou a qualquer um de vcs para=20 provar a exist=EAncia do n=FAmero Pi eu e muitos de vcs diriamos a ele para=20= medir=20 o comprimento de qualquer circunfer=EAncia com uma fita m=E9trica e ent=E3o= =20 dividir o valor por 2*raio. (obs: Se ele n=E3o soubesse o que era raio era s= =F3=20 explicar). Agora pergunto: =C9 poss=EDvel fazer uma demonstra=E7=E3o semelhante (em termos de rela=E7= =E3o com o=20 cotidiano) com o logaritmo neperiano (natural) ? --part1_127.233f9534.2b8bf09c_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal,

Tenho tr=EAs d=FAvidas, vejam:

1=AA) Um segmento de reta =E9 um exemplo de um corpo UNI-dimensional. Um= ret=E2ngulo =E9 um exemplo de um corpo BI- dimensional.tetraedro =E9 um exe= mplo de um corpo TRI-dimensional. E corpos TETRA, PENTA Um , HEXA-dimensiona= is, ou generalizando N-dimensionais como podem ser vistos na natureza ou em=20= termos abstratos se for o caso?
2=AA) Eu tinha visto na net h=E1 algumas semanas atr=E1s um site (em ing= l=EAs, mas n=E3o me lembro o endere=E7o) que dava uma demonstra=E7=E3o geom= =E9trica (anal=EDtica) do n=FAmero imagin=E1rio "i". A =FAnica coisa que me=20= lembro, foi que a demonstra=E7=E3o foi feita a partir dos eixos cartesianos=20= e havia uma rela=E7=E3o com o ponto P (-1,0). H=E1 pouco tempo atr=E1s aqui=20= na lista houve algumas mensagens explicando muito bem a parte hist=F3rica do= n=FAmero "i" e dos n=FAmeros complexos, mas voc=EAs n=E3o falaram nada de d= emonstra=E7=F5es. A =FAnica coisa mais pr=F3xima disso foi quando disseram q= ue o n=FAmero "i" surgiu quando os matem=E1ticos procuraram resolver a equa= =E7=E3o raiz (-1) =3D ?. Mas ainda essa passagem eu classifico dentro do con= texto hist=F3rico do n=BA imagin=E1rio e complexo e n=E3o uma explica=E7=E3o= matem=E1tica e "real"(real no sentido n=E3o matem=E1tico).

3=AA) Uma outra d=FAvida sobre demosntra=E7=F5es:
Se algum leigo em matem=E1tica pedisse a mim ou a qualquer um de vcs par= a provar a exist=EAncia do n=FAmero Pi eu e muitos de vcs diriamos a ele par= a medir o comprimento de qualquer circunfer=EAncia com uma fita m=E9trica &n= bsp;e ent=E3o dividir o valor por 2*raio. (obs: Se ele n=E3o soubesse o que=20= era raio era s=F3 explicar). Agora pergunto:
=C9 poss=EDvel fazer uma demonstra=E7=E3o semelhante (em termos de rela= =E7=E3o com o cotidiano) com o logaritmo neperiano (natural) ?


--part1_127.233f9534.2b8bf09c_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= ------------=_3E5AAA15.E7567A2F-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 25 11:17:10 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA08580 for obm-l-MTTP; Tue, 25 Feb 2003 11:13:35 -0300 Received: from sidney7.bol.com.br (sidney7.bol.com.br [200.221.24.107]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA08576 for ; Tue, 25 Feb 2003 11:13:32 -0300 Received: from bol.com.br (200.221.24.135) by sidney7.bol.com.br (5.1.071) id 3E53BFF70018806B for obm-l@mat.puc-rio.br; Tue, 25 Feb 2003 11:17:15 -0300 Date: Tue, 25 Feb 2003 11:13:00 -0300 Message-Id: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?q?quest=E3o_interessante?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain;charset="iso-8859-1" From: "matleviqueiroz" To: obm-l@mat.puc-rio.br X-XaM3-API-Version: 2.4 R3 ( B4 ) X-SenderIP: 200.216.62.82 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id LAA08577 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Existem x e y inteiros positivos não nulos tais que z=( 9*x^2 + 50*x*y + 9*y^2)^1/2 seja também um número inteiro. __________________________________________________________________________ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 25 11:32:28 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA08971 for obm-l-MTTP; Tue, 25 Feb 2003 11:31:00 -0300 Received: from ns3bind.localdomain ([200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA08967 for ; Tue, 25 Feb 2003 11:30:56 -0300 Received: from servico2 ([200.230.34.229]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1PESeQ07630 for ; Tue, 25 Feb 2003 11:28:40 -0300 Message-ID: <004101c2dcda$6af1adc0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <127.233f9534.2b8bf09c@aol.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_demonstra=E7=F5es_no_dia-a-dia?= Date: Tue, 25 Feb 2003 11:30:15 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_003C_01C2DCC1.4497E7C0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_003C_01C2DCC1.4497E7C0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Tenho tr=EAs d=FAvidas, vejam:=20 1=AA) Um segmento de reta =E9 um exemplo de um corpo UNI-dimensional. Um = ret=E2ngulo =E9 um exemplo de um corpo BI- dimensional.tetraedro =E9 um = exemplo de um corpo TRI-dimensional. E corpos TETRA, PENTA Um , = HEXA-dimensionais, ou generalizando N-dimensionais como podem ser vistos = na natureza ou em termos abstratos se for o caso?=20 Para 4 ou mais dimens=F5es, o mais simples =E9 usar n-uplas ordenadas de = n=FAmeros reais para representar pontos no espa=E7o n-dimensional. Assim, um hiper-cubo de 4 dimens=F5es e aresta =3D 2 teria por = v=E9rtices os 16 pontos da forma (+/-1,+/-1,+/-1,+/-1). Na natureza eu n=E3o conhe=E7o nenhum exemplo al=E9m do espa=E7o-tempo = de 4 dimens=F5es (uma delas =E9 o tempo) no qual n=F3s vivemos - vide = qualquer livro sobre teoria da relatividade. No entanto, existem teorias = que dizem que o universo tem na verdade 10 ou 26 dimens=F5es, mas as 6 = ou 22 restantes est=E3o t=E3o "curled up" (enroladinhas) que n=F3s n=E3o = conseguimos perceb=EA-las. 2=AA) Eu tinha visto na net h=E1 algumas semanas atr=E1s um site (em = ingl=EAs, mas n=E3o me lembro o endere=E7o) que dava uma = demonstra=E7=E3o geom=E9trica (anal=EDtica) do n=FAmero imagin=E1rio = "i". A =FAnica coisa que me lembro, foi que a demonstra=E7=E3o foi feita = a partir dos eixos cartesianos e havia uma rela=E7=E3o com o ponto P = (-1,0). H=E1 pouco tempo atr=E1s aqui na lista houve algumas mensagens = explicando muito bem a parte hist=F3rica do n=FAmero "i" e dos n=FAmeros = complexos, mas voc=EAs n=E3o falaram nada de demonstra=E7=F5es. A = =FAnica coisa mais pr=F3xima disso foi quando disseram que o n=FAmero = "i" surgiu quando os matem=E1ticos procuraram resolver a equa=E7=E3o = raiz (-1) =3D ?. Mas ainda essa passagem eu classifico dentro do = contexto hist=F3rico do n=BA imagin=E1rio e complexo e n=E3o uma = explica=E7=E3o matem=E1tica e "real"(real no sentido n=E3o = matem=E1tico).=20 Tem um bom artigo sobre isso no livro Meu Professor de Matem=E1tica do = Elon Lages Lima, publicado pela SBM, que fala da rela=E7=E3o entre nos. = complexos, logaritmos, exponenciais e fun=E7=F5es trigonom=E9tricas. A meu ver, as propriedades mais importantes dos complexos s=E3o os = seguintes: 1) Al=E9m de se somarem como vetores, os complexos t=EAm uma = multiplica=E7=E3o com uma interpreta=E7=E3o geom=E9trica muito clara, = que envolve dilata=E7=E3o/contra=E7=E3o e rota=E7=E3o. 2) Inicialmente introduziu-se os complexos a fim de que todo polin=F4mio = de 2o. grau com coeficientes reais tenha duas ra=EDzes. No entanto, = descobriu-se que eles eram suficientes para que qualquer polin=F4mio de = grau n >=3D 1 e com coeficientes complexos tivesse n ra=EDzes. Esse = resultado =E9 o Teorema Fundamental da =C1lgebra. 3) A extens=E3o dos m=E9todos do c=E1lculo para o dom=EDnio dos = complexos revelou propriedades surpreendentes que n=E3o existem no = dom=EDnio real. Isso tem a ver com o fato de que a exist=EAncia da = derivada de uma fun=E7=E3o complexa =E9 uma condi=E7=E3o muito mais = forte do que a exist=EAncia da derivada de uma fun=E7=E3o real. =20 3=AA) Uma outra d=FAvida sobre demosntra=E7=F5es:=20 Se algum leigo em matem=E1tica pedisse a mim ou a qualquer um de vcs = para provar a exist=EAncia do n=FAmero Pi eu e muitos de vcs diriamos a = ele para medir o comprimento de qualquer circunfer=EAncia com uma fita = m=E9trica e ent=E3o dividir o valor por 2*raio. (obs: Se ele n=E3o = soubesse o que era raio era s=F3 explicar). Agora pergunto:=20 =C9 poss=EDvel fazer uma demonstra=E7=E3o semelhante (em termos de = rela=E7=E3o com o cotidiano) com o logaritmo neperiano (natural) ?=20 Medir uma circunfer=EAncia com uma fita m=E9trica n=E3o prova a = exist=EAncia de Pi. No m=E1ximo d=E1 uma aproxima=E7=E3o para o seu = valor real. Pi pode ser definido como a raz=E3o entre o comprimento de uma = circunfer=EAncia e o seu di=E2metro. No entanto, primeiro temos que = provar que, para toda e qualquer circunfer=EAncia, a raz=E3o entre o = comprimento e o di=E2metro =E9 constante. A exist=EAncia de Pi, e, ou de qualquer n=FAmero real =E9 uma = consequ=EAncia do do fato de o conjunto dos reais constituir um (de = fato, o =FAnico) corpo ordenado completo. Assim, por exemplo, "e" pode ser definido como o n=FAmero real tal que: e INTEGRAL dx/x =3D 1. 1 Pode-se provar (com base no "completamento" dos reais) que essa integral = converge para um n=FAmero real, que se convencionou chamar de "e" (acho = que foi Euler que deu este nome). Al=E9m disso, pode-se provar que "e" tamb=E9m =E9 o limite das = sequ=EAncias: An =3D (1 + 1/n)^n ou Bn =3D 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n!. Um abra=E7o, Claudio. ------=_NextPart_000_003C_01C2DCC1.4497E7C0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable

Tenho tr=EAs d=FAvidas, vejam:

1=AA) Um segmento de = reta =E9 um exemplo=20 de um corpo UNI-dimensional. Um ret=E2ngulo =E9 um exemplo de um corpo = BI-=20 dimensional.tetraedro =E9 um exemplo de um corpo TRI-dimensional. E = corpos TETRA,=20 PENTA Um , HEXA-dimensionais, ou generalizando N-dimensionais como podem = ser=20 vistos na natureza ou em termos abstratos se for o caso?
Para 4 ou mais dimens=F5es, o mais simples =E9 usar n-uplas = ordenadas de=20 n=FAmeros reais para representar pontos no espa=E7o n-dimensional.
Assim, um hiper-cubo de 4 dimens=F5es e aresta =3D 2 teria por = v=E9rtices os 16=20 pontos da forma (+/-1,+/-1,+/-1,+/-1).
 
Na natureza eu n=E3o conhe=E7o nenhum exemplo al=E9m do = espa=E7o-tempo de 4=20 dimens=F5es (uma delas =E9 o tempo) no qual n=F3s vivemos - vide = qualquer livro sobre=20 teoria da relatividade. No entanto, existem teorias que dizem que o = universo tem=20 na verdade 10 ou 26 dimens=F5es, mas as 6 ou 22 restantes est=E3o t=E3o = "curled up"=20 (enroladinhas) que n=F3s n=E3o conseguimos perceb=EA-las.
 
 
2=AA) Eu tinha visto na net h=E1 algumas semanas atr=E1s um site = (em ingl=EAs, mas=20 n=E3o me lembro o endere=E7o) que dava uma demonstra=E7=E3o geom=E9trica = (anal=EDtica) do=20 n=FAmero imagin=E1rio "i". A =FAnica coisa que me lembro, foi que a = demonstra=E7=E3o foi=20 feita a partir dos eixos cartesianos e havia uma rela=E7=E3o com o ponto = P (-1,0).=20 H=E1 pouco tempo atr=E1s aqui na lista houve algumas mensagens = explicando muito bem=20 a parte hist=F3rica do n=FAmero "i" e dos n=FAmeros complexos, mas = voc=EAs n=E3o falaram=20 nada de demonstra=E7=F5es. A =FAnica coisa mais pr=F3xima disso foi = quando disseram que=20 o n=FAmero "i" surgiu quando os matem=E1ticos procuraram resolver a = equa=E7=E3o raiz=20 (-1) =3D ?. Mas ainda essa passagem eu classifico dentro do contexto = hist=F3rico do=20 n=BA imagin=E1rio e complexo e n=E3o uma explica=E7=E3o matem=E1tica e = "real"(real no=20 sentido n=E3o matem=E1tico).
 
Tem um bom artigo sobre isso no livro Meu Professor de Matem=E1tica = do Elon=20 Lages Lima, publicado pela SBM, que fala da rela=E7=E3o entre nos. = complexos,=20 logaritmos, exponenciais e fun=E7=F5es trigonom=E9tricas.
A meu ver, as propriedades mais importantes dos complexos s=E3o os=20 seguintes:
1) Al=E9m de se somarem como vetores, os complexos t=EAm uma = multiplica=E7=E3o com=20 uma interpreta=E7=E3o geom=E9trica muito clara, que envolve = dilata=E7=E3o/contra=E7=E3o e=20 rota=E7=E3o.
2) Inicialmente introduziu-se os complexos a fim de que todo = polin=F4mio=20 de 2o. grau com coeficientes reais tenha duas ra=EDzes. No=20 entanto, descobriu-se que eles eram suficientes para que qualquer = polin=F4mio=20 de grau n >=3D 1 e com coeficientes complexos tivesse n = ra=EDzes. Esse=20 resultado =E9 o Teorema Fundamental da =C1lgebra.
3) A extens=E3o dos m=E9todos do c=E1lculo para o dom=EDnio = dos complexos=20 revelou propriedades surpreendentes que n=E3o existem no dom=EDnio = real. Isso=20 tem a ver com o fato de que a exist=EAncia da derivada de uma fun=E7=E3o = complexa =E9=20 uma condi=E7=E3o muito mais forte do que a exist=EAncia da derivada de = uma fun=E7=E3o=20 real.
 
 
3=AA) Uma outra d=FAvida sobre demosntra=E7=F5es:
Se algum = leigo em matem=E1tica=20 pedisse a mim ou a qualquer um de vcs para provar a exist=EAncia do = n=FAmero Pi eu e=20 muitos de vcs diriamos a ele para medir o comprimento de qualquer = circunfer=EAncia=20 com uma fita m=E9trica  e ent=E3o dividir o valor por 2*raio. (obs: = Se ele n=E3o=20 soubesse o que era raio era s=F3 explicar). Agora pergunto:
=C9 = poss=EDvel fazer=20 uma demonstra=E7=E3o semelhante (em termos de rela=E7=E3o com o = cotidiano) com o=20 logaritmo neperiano (natural) ?
Medir uma circunfer=EAncia com uma fita m=E9trica n=E3o prova a = exist=EAncia de Pi.=20 No m=E1ximo d=E1 uma aproxima=E7=E3o para o seu valor real.
Pi pode ser definido como a raz=E3o entre o comprimento de uma = circunfer=EAncia=20 e o seu di=E2metro. No entanto, primeiro temos que provar que, para toda = e=20 qualquer circunfer=EAncia, a raz=E3o entre o comprimento e o di=E2metro = =E9=20 constante.

A exist=EAncia de Pi, e, ou de qualquer n=FAmero real =E9 uma = consequ=EAncia do=20 do fato de o conjunto dos reais constituir um (de fato, o =FAnico) = corpo=20 ordenado completo.
Assim, por exemplo, "e" pode ser definido como o n=FAmero real tal = que:
      e
INTEGRAL  dx/x =3D 1.
      1
Pode-se provar (com base no "completamento" dos reais) que essa = integral=20 converge para um n=FAmero real, que se convencionou chamar de "e" (acho = que foi=20 Euler que deu este nome).
Al=E9m disso, pode-se provar que "e" tamb=E9m =E9 o limite das = sequ=EAncias:
An =3D (1 + 1/n)^n
ou
Bn =3D 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n!.
 
Um abra=E7o,
Claudio.

 
 ------=_NextPart_000_003C_01C2DCC1.4497E7C0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 25 13:18:52 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA11089 for obm-l-MTTP; Tue, 25 Feb 2003 13:17:04 -0300 Received: from ns3bind.localdomain ([200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA11084 for ; Tue, 25 Feb 2003 13:17:01 -0300 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1PGEiR14429 for ; Tue, 25 Feb 2003 13:14:44 -0300 Message-ID: <007601c2dce9$3c476dc0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_quest=E3o_interessante?= Date: Tue, 25 Feb 2003 13:16:20 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > Existem x e y inteiros positivos não nulos tais que > z=( 9*x^2 + 50*x*y + 9*y^2)^1/2 seja também um número > inteiro. > Sim, e dado que a expressão para z é simétrica em relação a x e y e homogênea (de grau 2) podemos nos ater a pares (x,y) tais que x < y e MDC(x,y) = 1, já que se (x,y) é solução (isto é, produz um z inteiro), então (y,x) e (k*x,k*y) (k inteiro) também são. Por exemplo, (1,5), (4,5), (9,13) produzem z = 22, 37 e 90, respectivamente. A fim de determinar todas as soluções, uma idéia é elevar tudo ao quadrado e completar o quadrado do lado direito. z^2 = 9x^2 + 50xy + 9y^2 ==> z^2 = (3x)^2 + 2*(3x)*(25y/3) + 625y^2/9 - 544y^2/9 ==> z^2 = ( 3x + 25y/3 )^2 - 34*(4y/3)^2 ==> (3z)^2 = ( 9x + 25y )^2 - 34*(4y)^2 Fazendo as substituições u = 9x + 25y e v = 4y, teremos: u^2 - 34*v^2 = (3z)^2 (&) Assim, para cada z inteiro e positivo, a equação (&) acima será uma equação de Pell (apesar de alguns autores chamarem de eq. de Pell apenas aquelas onde o lado direito = 1 (z =1/3 no nosso caso)), a qual pode ou não ter solução. Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 25 14:00:42 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA12039 for obm-l-MTTP; Tue, 25 Feb 2003 13:58:46 -0300 Received: from web12901.mail.yahoo.com (web12901.mail.yahoo.com [216.136.174.68]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id NAA12034 for ; Tue, 25 Feb 2003 13:58:42 -0300 Message-ID: <20030225165810.60662.qmail@web12901.mail.yahoo.com> Received: from [200.206.103.3] by web12901.mail.yahoo.com via HTTP; Tue, 25 Feb 2003 13:58:10 ART Date: Tue, 25 Feb 2003 13:58:10 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Johann=20Peter=20Gustav=20Lejeune=20Dirichlet?= Subject: Re: [obm-l] To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-593570548-1046192290=:59694" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --0-593570548-1046192290=:59694 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Goldbach:todo par maior que 4 pode ser escrito como a soma de dois primos. Avanços:todo impar e a soma de tres primos(Vinogradov);todo natural grande o suficiente e a soma de 18 primos(Vinogradov);Todo natural e a soma de um primo com um natural de dois ou menos fatores primos(Chen Jing-run). basketboy_igor wrote:"We can't solve problems by using the same kind of thinking we used when we created them". - Albert Einstein 1°) Gostaria de saber como é a conjectura de Goldbach, Teoria de Godal e sobre a desigüaldades de Stefel (Não sei se a grafia está correta) 2°)Quais são as principais ou as mais famosas ou usadas conjecturas e desigualdade? "É um paradoxo a Terra se mover ao redor do Sol e a água ser constituída por dois gases altamente inflamáveis. A verdade científica é sempre um paradoxo, se julgada pela experiência cotidiana que se agarra à aparência efêmera das coisas". - Karl Marx __________________________________________________________________________ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. 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Goldbach:todo par maior que 4 pode ser escrito como a soma de dois primos.

Avanços:todo impar e a soma de tres primos(Vinogradov);todo natural grande o suficiente e a soma de 18 primos(Vinogradov);Todo natural e a soma de um primo com um natural de dois ou menos fatores primos(Chen Jing-run).

 basketboy_igor <basketboy_igor@bol.com.br> wrote:

"We can't solve problems by using the same kind of
thinking we used when we created them".
- Albert Einstein

1°) Gostaria de saber como é a conjectura de Goldbach,
Teoria de Godal e sobre a desigüaldades de Stefel (Não
sei se a grafia está correta)

2°)Quais são as principais ou as mais famosas ou usadas
conjecturas e desigualdade?

"É um paradoxo a Terra se mover ao redor do Sol e a água
ser constituída por dois gases altamente inflamáveis. A
verdade científica é sempre um paradoxo, se julgada pela
experiência cotidiana que se agarra à aparência efêmera
das coisas".
- Karl Marx


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O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-593570548-1046192290=:59694-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 25 14:03:28 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA12206 for obm-l-MTTP; Tue, 25 Feb 2003 14:01:57 -0300 Received: from web12903.mail.yahoo.com (web12903.mail.yahoo.com [216.136.174.70]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id OAA12199 for ; Tue, 25 Feb 2003 14:01:52 -0300 Message-ID: <20030225170120.70742.qmail@web12903.mail.yahoo.com> Received: from [200.206.103.3] by web12903.mail.yahoo.com via HTTP; Tue, 25 Feb 2003 14:01:20 ART Date: Tue, 25 Feb 2003 14:01:20 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Johann=20Peter=20Gustav=20Lejeune=20Dirichlet?= Subject: Re: [obm-l] Quod erat demonstrandum. (Que se devia demonstrar em Latim) To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-1550298518-1046192480=:70270" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --0-1550298518-1046192480=:70270 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Pelamordedeus,essa lista e publica!!!!!!!!Fale "extremamente esquisitas " ou "bizarras" em vez de f****!!!!!!!!!!!!!!! basketboy_igor wrote:Boa vida caros célebres seres cogitantes! 1°) Gostaria de saber quais são as questões mais fodas, pitorescas, excêntricas, com respostas absurdos, engraçadas e interessantes de cada um. 2°) Que história é essa do "Cara de cabelo grisalho atrás do Marcelo Oliveira" envolvendo o Carneiro na semana olímpica? 3°) Isso tem lógica? Se e^(Pi*i) + 1 =0 (1) e i^i = e^(-Pi/2)então i=e^(-Pi/2i)(2), substitui em (2) em (1) vai dar: e^(Pi*e^(-Pi/2i) +1 =0 e^[(Pi*e^(-Pi/2i)] = -1 {e^[(Pi*e^(-Pi/2i)]}^1/Pi = (-1)^1/Pi e^[e^(-Pi/2i)]=(-1)^1/Pi {e^[e^(-Pi/2i)]}^1/e^(-Pi/2i)= (-1)^1/Pi*e^(-Pi/2i) e=(-1)^1/Pi*e^(-Pi/2i) “Quod erat demonstrandum”. (Que se devia demonstrar em Latim) 4°) Alguém conhece termos ou frases matematicas em latim, grego, chines, arabe, russo ou em outras línguas exôticas ou em línguas mortas? __________________________________________________________________________ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-1550298518-1046192480=:70270 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

Pelamordedeus,essa lista e publica!!!!!!!!Fale "extremamente esquisitas " ou "bizarras" em vez de f****!!!!!!!!!!!!!!!

 basketboy_igor <basketboy_igor@bol.com.br> wrote:

Boa vida caros célebres seres cogitantes!
1°) Gostaria de saber quais são as questões mais fodas,
pitorescas, excêntricas, com respostas absurdos,
engraçadas e interessantes de cada um.

2°) Que história é essa do "Cara de cabelo grisalho
atrás do Marcelo Oliveira" envolvendo o Carneiro na
semana olímpica?

3°) Isso tem lógica?
Se e^(Pi*i) + 1 =0 (1) e i^i = e^(-Pi/2)então
i=e^(-Pi/2i)(2), substitui em (2) em (1) vai dar:

e^(Pi*e^(-Pi/2i) +1 =0
e^[(Pi*e^(-Pi/2i)] = -1
{e^[(Pi*e^(-Pi/2i)]}^1/Pi = (-1)^1/Pi
e^[e^(-Pi/2i)]=(-1)^1/Pi
{e^[e^(-Pi/2i)]}^1/e^(-Pi/2i)= (-1)^1/Pi*e^(-Pi/2i)
e=(-1)^1/Pi*e^(-Pi/2i)
“Quod erat demonstrandum”. (Que se devia demonstrar em
Latim)

4°) Alguém conhece termos ou frases matematicas em
latim, grego, chines, arabe, russo ou em outras línguas
exôticas ou em línguas mortas?






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Eu nao acredito!!!!!!!A resposta parece ser 1/4 e tenho razoes e proporçoes fortissimas para acreditar em tal.O caso n=4 sai com uma fatoraçao esperta e MA>=MG.

 Cláudio_(Prática) <claudio@praticacorretora.com.br> wrote:

Caros JP, Domingos Jr. e Artur:
 
Só pra relembrar. O problema original é:
 
Maximizar: P = A(1)*A(2) + A(2)*A(3) + ... + A(n)*A(1)
Sujeito a: A(1) + A(2) + ... + A(n) = 1  e os A(i)'s reais não negativos.
 
Após alguma discussão, chegamos à conclusão de que se os A(i)'s fossem reais quaisquer, então P seria ilimitado e também conseguimos maximizar e minimizar a soma dos quadrados dos A(i)'s mas não chegamos a nenhuma conclusão sobre o problema acima, que me parece bem mais interessante.
 
Eu fiz alguma coisa para valores pequenos de n:
 
n = 2: 
Maximizar P = x*y
Sujeito a:  x + y = 1  (x,y >= 0)
 
Esse caso é fácil:
Pmax = 1/4 para x = y = 1/2 (pode-se usar MG <= MA).
 
----------------------
 
n = 3:
Maximizar: P = x*y + y*z + z*x
Sujeito a: x + y + z = 1  (x,y,z >= 0)
 
P é linear em cada uma das variáveis (dP/dx não depende de x, dP/dy não depende de y, etc.)
Além disso, dP/dx = y + z >= 0 (analogamanete para dP/dy e dP/dz).
Assim, acho que dá pra concluir que o valor máximo de P ocorre na fronteira do seu domínio (isso vale para qualquer n).
 
Fazendo z = 1 - x - y, teremos:
P = x*y + x + y - (x + y)^2  ==>
dP/dx = 1 - 2x - y = 0  ==>  2x + y = 1
dP/dy = 1 - x - 2y = 0  ==>  x + 2y = 1  ==>
x = y = 1/3 ==> z = 1/3 ==> P = 1/3.
 
d^2P/dx^2 = d^2P/dy^2 = -2 < 0  e d^2P/(dxdy) = 0  ==> máximo ==>
 
Pmax = 1/3  para x = y = z = 1/3.
 
----------------------
 
n = 4:
Max: P = x*y + y*z + z*u + u*x
S.a: x + y + z + u = 1  (x,y,z,u >= 0)
 
P = (x + z)*(y + u)
u = 1 - x - y - z  ==>
P = x + z - 2*x*z - x^2 - z^2  ==>
dP/dx = 1 - 2x - 2z
dP/dy = 0
dP/dz = 1 - 2x - 2z  ==>  x + z = 1/2  ==> y + u = 1/2
 
Pmax = 1/4  para quaisquer x, y, z, u tais que: x + z = 1/2 e y + u = 1/2.
 
-----------------------
 
n = 5:
Max: P = x*y + y*z + z*u + u*v + v*x
s.a.: x + y + z + u + v = 1  (x,y,z,u,v >= 0)
 
v = 1 - x - y - z - u  ==>
P = x + u - x^2 - u^2 - u*x - y*u - z*x + y*z  ==>
dP/dx = 1 - 2x - z - u = 0
dP/dy = -u + z = 0
dP/dz = -x + y = 0
dP/du = 1 - 2u - x - y = 0  ==>
1 - 2x - 2u = 0; z = u; y = x  ==>
x + u = 1/2;  z + y = 1/2  ==>  v = 0  ==>  P = x^2 + x*u + u^2
 
Agora, o problema se reduz a:
Max: P = x^2 + x*u + u^2
S.a: x + u = 1/2  (x,u >= 0)
 
Mas: P = (x + u)^2 - x*u = 1/4 - x*u <= 1/4, pois x e u são >= 0.
Igualdade <==> x = 0 ou u = 0 ==> Pmax = 1/4.
 
------------------
 
Para n >= 5, o meu chute é que Pmax = 1/4, mas não tive saco de generalizar a demonstração do caso n = 5.
 
O que vocês acham?
 
 
Um abraço,
Claudio.
 
 
 
 


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As mais importantes conjecturas matem=E1ticas s=E3o aquelas inclu=EDdas = nos 7 "Millenium Problems". Vide = http://www.claymath.org/Millennium_Prize_Problems/ As mais famosas devem ser a de Goldbach, a da infinidade dos primos = g=EAmeos (existe uma infinidade de pares de n=FAmeros primos da forma = (p,p+2)), a da n=E3o exist=EAncia de n=FAmeros perfeitos =EDmpares (no. = perfeito =3D no. natural igual =E0 soma dos seus divisores positivos = pr=F3prios - exs: 6, 28, 496, etc.. - n=E3o =E9 muito dif=EDcil provar = que um n=FAmero natural N =E9 um n=FAmero perfeito par se e somente se N = =3D 2^(p-1) * (2^p - 1), onde 2^p - 1 =E9 primo). Sobre desigualdades, a mais famosa deve ser MH <=3D MG <=3D MA (MH - = m=E9dia harm=F4nica, MG - m=E9dia geom=E9trica, MA - m=E9dia = aritm=E9tica - todas de n=FAmeros reais positivos). Outras desigualdades = interessantes s=E3o a do rearranjo, de Bernoulli, de Chebychev, de = Jensen, Cauchy-Schwartz, Minkowski, etc. A revista Eureka tem alguns = artigos a respeito. Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Tuesday, February 25, 2003 1:58 PM Subject: Re: [obm-l]=20 Goldbach:todo par maior que 4 pode ser escrito como a soma de dois = primos.=20 Avan=E7os:todo impar e a soma de tres primos(Vinogradov);todo natural = grande o suficiente e a soma de 18 primos(Vinogradov);Todo natural e a = soma de um primo com um natural de dois ou menos fatores primos(Chen = Jing-run).=20 basketboy_igor wrote:=20 "We can't solve problems by using the same kind of=20 thinking we used when we created them". - Albert Einstein 1=B0) Gostaria de saber como =E9 a conjectura de Goldbach,=20 Teoria de Godal e sobre a desig=FCaldades de Stefel (N=E3o=20 sei se a grafia est=E1 correta) 2=B0)Quais s=E3o as principais ou as mais famosas ou usadas=20 conjecturas e desigualdade? "=C9 um paradoxo a Terra se mover ao redor do Sol e a =E1gua=20 ser constitu=EDda por dois gases altamente inflam=E1veis. A=20 verdade cient=EDfica =E9 sempre um paradoxo, se julgada pela=20 experi=EAncia cotidiana que se agarra =E0 apar=EAncia ef=EAmera=20 das coisas".=20 - Karl Marx = _________________________________________________________________________= _ E-mail Premium BOL Antiv=EDrus, anti-spam e at=E9 100 MB de espa=E7o. 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Teorema de Godel: Em qualquer sistema = axiom=E1tico=20 que contenha os axiomas de Peano (ou quaisquer axiomas equivalentes que = definam=20 os n=FAmeros naturais), existe uma afirmativa sobre n=FAmeros naturais = que, apesar=20 de verdadeira, n=E3o pode ser demonstrada a partir dos axiomas do=20 sistema.
 
As mais importantes conjecturas = matem=E1ticas s=E3o=20 aquelas inclu=EDdas nos 7 "Millenium Problems". Vide http://www.cl= aymath.org/Millennium_Prize_Problems/
 
As mais famosas devem ser a de = Goldbach, a da=20 infinidade dos primos g=EAmeos (existe uma infinidade de pares de = n=FAmeros primos=20 da forma (p,p+2)), a da n=E3o exist=EAncia de n=FAmeros perfeitos = =EDmpares (no.=20 perfeito =3D no. natural igual =E0 soma dos seus divisores positivos = pr=F3prios - exs:=20 6, 28, 496, etc.. - n=E3o =E9 muito dif=EDcil provar que um n=FAmero = natural N =E9 um=20 n=FAmero perfeito par se e somente se N =3D 2^(p-1) * (2^p - 1), onde = 2^p - 1 =E9=20 primo).
 
Sobre desigualdades, a mais famosa deve = ser MH=20 <=3D MG <=3D MA (MH - m=E9dia harm=F4nica, MG - m=E9dia = geom=E9trica, MA - m=E9dia=20 aritm=E9tica - todas de n=FAmeros reais positivos). Outras desigualdades = interessantes s=E3o a do rearranjo, de Bernoulli, de Chebychev, de = Jensen,=20 Cauchy-Schwartz, Minkowski, etc.  A revista Eureka tem alguns = artigos a=20 respeito.
 
Um abra=E7o,
Claudio.
----- Original Message -----
From:=20 Johann Peter Gustav = Lejeune=20 Dirichlet
Sent: Tuesday, February 25, = 2003 1:58=20 PM
Subject: Re: [obm-l]

Goldbach:todo par maior que 4 pode ser escrito como a soma de dois = primos.=20

Avan=E7os:todo impar e a soma de tres primos(Vinogradov);todo=20 natural grande o suficiente e a soma de 18 = primos(Vinogradov);Todo=20 natural e a soma de um primo com um natural de dois ou = menos fatores=20 primos(Chen Jing-run).=20

 basketboy_igor <basketboy_igor@bol.com.br&g= t;=20 wrote:=20 "We=20 can't solve problems by using the same kind of
thinking we used = when we=20 created them".
- Albert Einstein

1=B0) Gostaria de saber = como =E9 a=20 conjectura de Goldbach,
Teoria de Godal e sobre a = desig=FCaldades de=20 Stefel (N=E3o
sei se a grafia est=E1 correta)

2=B0)Quais = s=E3o as=20 principais ou as mais famosas ou usadas
conjecturas e=20 desigualdade?

"=C9 um paradoxo a Terra se mover ao redor do = Sol e a=20 =E1gua
ser constitu=EDda por dois gases altamente inflam=E1veis. = A
verdade=20 cient=EDfica =E9 sempre um paradoxo, se julgada pela =
experi=EAncia cotidiana=20 que se agarra =E0 apar=EAncia ef=EAmera
das coisas".
- Karl=20 = Marx


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=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D!=20 = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D
Instru=E7= =F5es para entrar na lista, sair da lista e=20 usar a lista = em
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Para o caso mdc(a, 10) = 1, basta então provarmos que existe n tal que A(n+1) = A(n) (mod 10^1002) teremos provado que os 1000 últimos dígitos eventualmente são fixados... Será que só eu estou me "divertindo"? Ou as demonstrações estão confusas demais? [ ]'s ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 25 16:11:41 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA17685 for obm-l-MTTP; Tue, 25 Feb 2003 16:09:49 -0300 Received: from ns3bind.localdomain ([200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA17678 for ; Tue, 25 Feb 2003 16:09:44 -0300 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1PJ7VM26389 for ; Tue, 25 Feb 2003 16:07:31 -0300 Message-ID: <00e201c2dd01$62bf3880$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030225174055.50127.qmail@web41507.mail.yahoo.com> Subject: Re: [obm-l] um simples probleminha Date: Tue, 25 Feb 2003 16:09:03 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > A expressão algébrica > X^2 - Y^2 - Z^2 + 2YZ + X +Y - Z > admite como fator: > X^2 - Y^2 - Z^2 + 2YZ + X +Y - Z = [X^2 - (Y - Z)^2] + [X + (Y - Z)] = [X - (Y - Z)] [ X + (Y - Z)] + [X + (Y - Z)] = [X + (Y - Z)] [ X - (Y - Z) + 1 ] = (X + Y - Z)( X - Y + Z + 1) ==> alternativa (d) > a)-x+y+z+1 > b)x-y-z+1 > c)x+y-z+1 > d)x-y+z+1 > e)x+y+z+1 > > Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 25 16:17:20 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA17826 for obm-l-MTTP; Tue, 25 Feb 2003 16:15:44 -0300 Received: from soling.fortalnet.com.br ([200.164.93.238]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA17821 for ; Tue, 25 Feb 2003 16:15:40 -0300 Received: from CemagCerver (ip-ip61.fortalnet.com.br [200.253.221.190]) by soling.fortalnet.com.br (8.12.4/8.11.6) with SMTP id h1PJ4ouX009443 for ; Tue, 25 Feb 2003 16:04:50 -0300 Message-ID: <000d01c2dd02$e7a4b740$0203a8c0@CemagCerver> From: "Davidson Estanislau" To: Subject: Fw: [obm-l] um simples probleminha Date: Tue, 25 Feb 2003 16:20:00 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2800.1106 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br x^2 - y^2 - z^2 + 2yz + x + y - z = x^2 - xy + xz + x + xy - y^2 + yz + y - xz + yz - z^2 - z = (x + y - z)(x - y + z + 1). Até breve. Davidson Estanislau -----Mensagem Original----- De: "elton francisco ferreira" Para: Enviada em: Terça-feira, 25 de Fevereiro de 2003 14:40 Assunto: [obm-l] um simples probleminha > A expressão algébrica X^2 - Y^2 - Z^2 + 2YZ + X +Y - > Z > admite como fator: > > a)-x+y+z+1 > b)x-y-z+1 > c)x+y-z+1 > d)x-y+z+1 > e)x+y+z+1 ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 25 17:36:26 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA19732 for obm-l-MTTP; Tue, 25 Feb 2003 17:34:57 -0300 Received: from hotmail.com (f42.sea2.hotmail.com [207.68.165.42]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA19728 for ; Tue, 25 Feb 2003 17:34:54 -0300 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Tue, 25 Feb 2003 12:34:23 -0800 Received: from 200.142.58.18 by sea2fd.sea2.hotmail.msn.com with HTTP; Tue, 25 Feb 2003 20:34:22 GMT X-Originating-IP: [200.142.58.18] From: "Paulo Santa Rita" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?B?UmU6IFtvYm0tbF0gUmU6IFtvYm0tbF0gZGVtb25zdHJh5/VlcyBubyBk?= =?iso-8859-1?B?aWEtYS1kaWE=?= Date: Tue, 25 Feb 2003 20:34:22 +0000 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 25 Feb 2003 20:34:23.0369 (UTC) FILETIME=[4818BF90:01C2DD0D] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, Salvo melhor juizo, estas duvidas se situam na regiao limitrofe entre Ciencia e a Filosofia, sendo natural portanto nao haver um acordo irretorquivel sobre elas ... Se num "espaco" qualquer de seus objetos puder ser univocamente caracterizado por N outros, dizemos que trata-se de um espaco N-dimensional. E notorio que uma tal DEFINICAO pode ser vista como uma depuracao daquilo que o senso comum percebe e entende como "dimensao". Evidentemente que uma tal definicao so e interessante porque podemos OPERAR com ela, retirando implicacoes intrinsecamente consistentes e que podem ser aplicadas no mundo, "la fora". A Teoria das Strings ( que eu nao gosto ! ) permite interpretacoes na qual o mundo pode ter mais de 4 dimensoes, mas sao muito mais postulacoes e nao um conhecimento consolidade por inumeras experiencias, como no caso da teoria da relatividade. Independente de tudo isso, ninguem vai encontrar dimensoes procurando "la fora" ... E a necessidade de coerencia e simplicidade internas que vao nos levar a "ver" estas novas dimensoes, se e que elas existem. Einstein foi muito feliz quando falou sobre isso : "Nao existe nenhum caminho logico que leva a compreensao das leis elementares. O unico caminho e o da intuicao." Vale dizer, nao adianta voce fazer experiencias ou tentar fazer deducoes logicas, voce precisa "sentir" ( nao pensar, nao raciocinar ) como as coisas devem ser e so assim voce vai entender o sentido profundo de cada coisa. A esse respeito ( de sentir pra depois exprimir ) Gauss falou o seguinte : "Durante este outono, ocupei-me largamente com as consideracoes gerais das superficies curvas, o que conduz a um campo ilimitado ... Estas pesquisas ligam-se fortemente a outras e sinto vibrar em mim, com grande vivacidade, O VERDADEIRO SENTIDO da raiz quadrada de MENOS UM, mas creio que sera extraordinariamente dificil expressar este sentido em palavras." NOTA : traducao minha. Existem Matematicos que pensam, raciocinam, depois escrevem. Gauss - e uns poucos outros - primeiro SENTEM, depois raciocinam, por fim escrevem. Em sintese, a dimensao e um conceito util. Mas nao esta nas coisas, mas na forma como vemos as coisas. 2)interpretando (a,b) como um ponto, ha uma imersao isomorfa de "a" em (a,0), o que nos permite dizer que em termos estruturais (a,0) e "a" sao indistinguiveis ( que e o que queremos dizer quando falamos em um isomorfismo ). Dai decorre ( com o produto bem conhecido ) que (0,1) multiplicado por (0,1) da (-1,0), isto e, x=(0,1) e x^2 = -1. Por isso dizemos que (0,1)=i, pois o comportamenteo de (0,1) satisfaz todas as experiencias historicas que os matematicos ja haviam feito com o "i". Note que aqui NAO HA DEMONSTRACAO ... Simplesmente criamos um cnjunto numerico e MOSTRAMOS que ele tem UM NUMERO cujo quadrado e -1. Evidentemente que a formalizacao dos numeros complexos tinha este objetivo de maior harmonia. E isso acontece muito ... Boa parte do trabalho Matematico e motivado para dar maior coerencia interna as partes desta ciencia. Entao, constroi-se objetos ou estruturas, amplia-se conceitos etc, de forma que fatos MAL AJUSTADOS e nao tao bem entendidos possam se harmonizar e fornecer uma compreensao mais universal e coerente das coisas ... A formalizacao dos complexos e um exemplo. Outros exemplos classicos podem ser a admissao das geometrias nao-euclidians em pe de igualdade com a euclidiana e a aceitacao dos quaternios. 3) Sim. Cotidiano : Aplique um capital a juros e capitalize a taxa instantaneamente. Voce vai chegar ao numero "e". Foi assim que Bernoulli apresentou este numero ... Nao existe uma definicao preferencial de um numero ... pi pode ser definido como a razao entre a circunferencia e seu diamentro ou como o limite da serie que voce cita ou como um dos produtos de Wallis, etc, etc. nenhuma destas definicoes e melhor que outra : pode apenas ser mais conveniente em uma determinada aplicacao que fazemos. E digno de nota que Euclides provou ( e Arquimedes tambem ) que todos os circulos sao figuras semelhantes, vale dizer, a razao entre a circunferencia e seu diamentro e constante e independente da grandeza da figura. A existencia de QUALQUER NUMERO REAL e pressuposta quando apresentamos estes numeros como um corpo ordenado completo. Todavia, tais numeros podem ser construidos a partir da teoria dos conjuntos. SE voce acha que construir algo e uma prova da existencia dele entao, neste ultimo caso, a existencia e provado com a construcao. Leia o Livro : Teoria ingenua dos conjuntos, do Paul Halmos. La vce vai ver como se "constroi" os numeros. Demonstracao e um ASPECTO DA MATEMATICA. Nao e A MATEMATICA. A Matematica e a ciencia dos fenomenos que percebemos tao somente com o nosso intelecto. E em toda ciencia, nos primeiro percebemos as coisas, depois fazemos experiencias para confirmar nossas percepcoes e so depois, lentamente, avancamos para o campo das hipoteses relativas a explicacao dos fenomenos, isto e, avancamos ate as demonstracoes. Primeiro voce sente, depois voce pensa ... A emocao precede a razao e o raciocinio. Qualquer pessoa que for sincer consigo mesmo e com os outros vai admitir que nunca descobre as coisas tal como apresenta em sua demonstracoes. Existe "algo" que precede a demonstracao e que nao e o pensar e nao o raciocinar. E o sentir, a intuicao, a inspiracao, a a forma especial do intelecto ´perceber os fenomenos matematicos ! Um Abraco Paulo Santa Rita 3,1734,250203 >From: "Cláudio \(Prática\)" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: >Subject: [obm-l] Re: [obm-l] demonstrações no dia-a-dia >Date: Tue, 25 Feb 2003 11:30:15 -0300 > > >Tenho três dúvidas, vejam: > >1ª) Um segmento de reta é um exemplo de um corpo UNI-dimensional. Um >retângulo é um exemplo de um corpo BI- dimensional.tetraedro é um exemplo >de um corpo TRI-dimensional. E corpos TETRA, PENTA Um , HEXA-dimensionais, >ou generalizando N-dimensionais como podem ser vistos na natureza ou em >termos abstratos se for o caso? > >Para 4 ou mais dimensões, o mais simples é usar n-uplas ordenadas de >números reais para representar pontos no espaço n-dimensional. >Assim, um hiper-cubo de 4 dimensões e aresta = 2 teria por vértices os 16 >pontos da forma (+/-1,+/-1,+/-1,+/-1). > >Na natureza eu não conheço nenhum exemplo além do espaço-tempo de 4 >dimensões (uma delas é o tempo) no qual nós vivemos - vide qualquer livro >sobre teoria da relatividade. No entanto, existem teorias que dizem que o >universo tem na verdade 10 ou 26 dimensões, mas as 6 ou 22 restantes estão >tão "curled up" (enroladinhas) que nós não conseguimos percebê-las. > > >2ª) Eu tinha visto na net há algumas semanas atrás um site (em inglês, mas >não me lembro o endereço) que dava uma demonstração geométrica (analítica) >do número imaginário "i". A única coisa que me lembro, foi que a >demonstração foi feita a partir dos eixos cartesianos e havia uma relação >com o ponto P (-1,0). Há pouco tempo atrás aqui na lista houve algumas >mensagens explicando muito bem a parte histórica do número "i" e dos >números complexos, mas vocês não falaram nada de demonstrações. A única >coisa mais próxima disso foi quando disseram que o número "i" surgiu quando >os matemáticos procuraram resolver a equação raiz (-1) = ?. Mas ainda essa >passagem eu classifico dentro do contexto histórico do nº imaginário e >complexo e não uma explicação matemática e "real"(real no sentido não >matemático). > > >Tem um bom artigo sobre isso no livro Meu Professor de Matemática do Elon >Lages Lima, publicado pela SBM, que fala da relação entre nos. complexos, >logaritmos, exponenciais e funções trigonométricas. > >A meu ver, as propriedades mais importantes dos complexos são os seguintes: >1) Além de se somarem como vetores, os complexos têm uma multiplicação com >uma interpretação geométrica muito clara, que envolve dilatação/contração e >rotação. >2) Inicialmente introduziu-se os complexos a fim de que todo polinômio de >2o. grau com coeficientes reais tenha duas raízes. No entanto, descobriu-se >que eles eram suficientes para que qualquer polinômio de grau n >= 1 e com >coeficientes complexos tivesse n raízes. Esse resultado é o Teorema >Fundamental da Álgebra. >3) A extensão dos métodos do cálculo para o domínio dos complexos revelou >propriedades surpreendentes que não existem no domínio real. Isso tem a ver >com o fato de que a existência da derivada de uma função complexa é uma >condição muito mais forte do que a existência da derivada de uma função >real. > > >3ª) Uma outra dúvida sobre demosntrações: >Se algum leigo em matemática pedisse a mim ou a qualquer um de vcs para >provar a existência do número Pi eu e muitos de vcs diriamos a ele para >medir o comprimento de qualquer circunferência com uma fita métrica e >então dividir o valor por 2*raio. (obs: Se ele não soubesse o que era raio >era só explicar). Agora pergunto: >É possível fazer uma demonstração semelhante (em termos de relação com o >cotidiano) com o logaritmo neperiano (natural) ? > >Medir uma circunferência com uma fita métrica não prova a existência de Pi. >No máximo dá uma aproximação para o seu valor real. >Pi pode ser definido como a razão entre o comprimento de uma circunferência >e o seu diâmetro. No entanto, primeiro temos que provar que, para toda e >qualquer circunferência, a razão entre o comprimento e o diâmetro é >constante. > >A existência de Pi, e, ou de qualquer número real é uma consequência do do >fato de o conjunto dos reais constituir um (de fato, o único) corpo >ordenado completo. >Assim, por exemplo, "e" pode ser definido como o número real tal que: > e >INTEGRAL dx/x = 1. > 1 >Pode-se provar (com base no "completamento" dos reais) que essa integral >converge para um número real, que se convencionou chamar de "e" (acho que >foi Euler que deu este nome). >Além disso, pode-se provar que "e" também é o limite das sequências: >An = (1 + 1/n)^n >ou >Bn = 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n!. > >Um abraço, >Claudio. > _________________________________________________________________ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 25 19:23:48 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA21831 for obm-l-MTTP; Tue, 25 Feb 2003 19:22:15 -0300 Received: from web13709.mail.yahoo.com (web13709.mail.yahoo.com [216.136.175.251]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id TAA21827 for ; Tue, 25 Feb 2003 19:22:12 -0300 Message-ID: <20030225222141.25496.qmail@web13709.mail.yahoo.com> Received: from [200.176.241.190] by web13709.mail.yahoo.com via HTTP; Tue, 25 Feb 2003 19:21:41 ART Date: Tue, 25 Feb 2003 19:21:41 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?pichurin?= Subject: [obm-l] ternas To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Observe o sistema: x + y + z - w = 0 x -4z + w + 0 Então, temos que y= 3z -2z => w= 4z - x Logo, a solução do sistema é dada por (x,3z - 2x,z,4z - x)=x(1, -2,0,-1) + z(0,3,1,4) Poderiam ser usadas otras variáveis em vez de usar o x e o z?Poderia ser usado, para dar uam solução,o x e o w, por exemplo? A terna usada para a solução seguiu a estrutura (x,y,z,w), mas poderia ser usada outra estrutura, como (x,z,w,y)?É necessário indicar na resolução do sistema qual foi a estrutura usada na terna ? _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Tue Feb 25 19:31:40 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA21976 for obm-l-MTTP; Tue, 25 Feb 2003 19:30:22 -0300 Received: from web13709.mail.yahoo.com (web13709.mail.yahoo.com [216.136.175.251]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id TAA21972 for ; Tue, 25 Feb 2003 19:30:19 -0300 Message-ID: <20030225222949.26818.qmail@web13709.mail.yahoo.com> Received: from [200.176.241.190] by web13709.mail.yahoo.com via HTTP; Tue, 25 Feb 2003 19:29:49 ART Date: Tue, 25 Feb 2003 19:29:49 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?pichurin?= Subject: [obm-l] Soluções To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br escreva as soluções da equação x - 3y - z + 2w = 0 como combinações lineares de quádruplas de duas maneiras: a) tirando x em função das outras icógnitas RESP: y(3,1,0,0) + z(1,0,1,0) + w(-2,0,0,1) b) tirando y em função das outras icógnitas RESP: x(1,1/3,0,0) + z(0,-1/3,1,0) + w(0,2/3,0,1) A seguir, obtenha as soluções (2,1,1,1) e (-3,2,-5,2) utilizando as expressões dos itens a e b.Como faz isso?Por tentativas?Explique. _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! 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Acho que consegui fechar a prova para o caso mdc(a, 10) = 1. defina g(n) = A(n+1) - A(n), n >= 1 manipulando g(n): g(n) = a^A(n) - a^A(n-1) = a^A(n-1)*[a^(A(n) - A(n-1)) - 1] = A(n)[a^g(n-1) - 1] para que g(n) = 0 (mod 10^1002) temos que a^g(n-1) = 1 (mod 10^1002) para isso basta (aqui não é se e somente se!) que g(n-1) = 0 (mod phi(10^1002) = 4.10^1001) ou seja a^g(n-2) = 1 (mod 4.10^1001) seguindo essa linha de raciocínio, podemos continuar até chegarmos em: a^g(n-1002) = 1 (mod 2^2004) como phi(2^n) = 2^(n-1) podemos ir voltando atrás até chegarmos ao simples: a^g(n-3005) = 1 (mod 2) mas isso é verdade pois 2 não divide a, logo uma potência de a é ímpar! a demonstração segue no sentido contrário! Falta agora apenas o caso 2|a e 5|a :-) [ ]'s ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 26 04:16:53 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id EAA28025 for obm-l-MTTP; Wed, 26 Feb 2003 04:15:12 -0300 Received: from smtp-27.ig.com.br (smtp-27.ig.com.br [200.226.132.159]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id EAA28021 for ; Wed, 26 Feb 2003 04:15:09 -0300 Received: (qmail 12896 invoked from network); 26 Feb 2003 07:14:41 -0000 Received: from 200-140-080-185.bsace7026.dsl.brasiltelecom.net.br (HELO henrique) (200.140.80.185) by smtp-27.ig.com.br with SMTP; 26 Feb 2003 07:14:41 -0000 Message-ID: <000c01c2dd66$cccc50e0$019da8c0@henrique> From: "Henrique Branco" To: "OBM" Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?D=FAvida_em_demonstra=E7=E3o?= Date: Wed, 26 Feb 2003 04:15:10 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0009_01C2DD4D.A71D49D0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2800.1106 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0009_01C2DD4D.A71D49D0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Hi all! Discutindo com um amigo meu sobre a demonstra=E7=E3o das propriedades do = logaritmo natural, encontrada no "Calculo com Geometria Anal=EDtica", do = Swokowsky, ele argumentou que a mesma seria falha. Vou expor a prova = encontrada no livro citado e depois discutir. Propriedade: Se p > 0 e q > 0 log(p*q) =3D log(p) + log(q) Demonstra=E7=E3o: Primeiro, tomamos log(p*x) e log(x) como antiderivadas de 1/x (isso =E9 = f=E1cil ver se derivarmos os logs, p > 0). Ent=E3o, um teorema garante = que log(p*x) =3D log(x) + C (1) para alguma constante C. Nesse momento (e aqui come=E7a a discuss=E3o), o autor faz x =3D 1. Como = log(1) =3D 0, temos: log(p) =3D log(1) + C =3D> C =3D log(p) (2) Substituindo (2) em (1), temos: log(p*x) =3D log(x) + log(p) Como q > 0 est=E1 no dom=EDnio do log, podemos tomar x =3D q e a prova = est=E1 conclu=EDda: log(p*q) =3D log(p) + log(q) Agora, a confus=E3o deu-se no momento que o autor fez x =3D 1, para = obter a constante e substituir na express=E3o. Meu amigo diz que essa = demonstra=E7=E3o n=E3o =E9 rigorosamente v=E1lida pois ele n=E0o a = demonstrou para todo x, apenas para x =3D 1. Eu disse que, uma vez que a = fun=E7=E3o log est=E1 definida para todo x > 0, ent=E3o n=E3o haveria = problema em tomar x =3D 1, pois este ponto teria a mesma "propriedade" = de todos os outros pontos do dom=EDnio (existe algum teorema que garante = isso? inferi isso pois o Guidorizzi, em "Um Curso de C=E1lculo", = tamb=E9m usou desse artif=EDcio, considerando uma fun=E7=E3o definida em = [a,b] e tomando x =3D a). Julguem e comentem... Quem est=E1 com a raz=E3o? Grato, Henrique Patr=EDcio Sant'Anna Branco. ------=_NextPart_000_0009_01C2DD4D.A71D49D0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Hi all!
 
Discutindo com um amigo meu = sobre a=20 demonstra=E7=E3o das propriedades do logaritmo natural, encontrada no = "Calculo com=20 Geometria Anal=EDtica", do Swokowsky, ele argumentou que a mesma = seria falha.=20 Vou expor a prova encontrada no livro citado e depois = discutir.
 
Propriedade:
Se p > 0 e q > 0
log(p*q) =3D log(p) + = log(q)
 
Demonstra=E7=E3o:
Primeiro, tomamos log(p*x) e log(x) = como=20 antiderivadas de 1/x (isso =E9 f=E1cil ver se derivarmos os logs, p > = 0). Ent=E3o,=20 um teorema garante que log(p*x) =3D log(x) + C (1) para alguma constante = C.
Nesse momento (e aqui come=E7a a = discuss=E3o), o autor=20 faz x =3D 1. Como log(1) =3D 0,=20 temos:
 
log(p) =3D log(1) + C =3D> C =3D = log(p)=20 (2)
 
Substituindo (2) em (1), = temos:
log(p*x) =3D log(x) + = log(p)
 
Como q > 0 est=E1 no dom=EDnio do = log, podemos tomar=20 x =3D q e a prova est=E1 conclu=EDda:
log(p*q) =3D log(p) + = log(q)
 
Agora, a confus=E3o deu-se no momento que o autor fez x =3D 1, para = obter a=20 constante e substituir na express=E3o. Meu amigo diz que essa = demonstra=E7=E3o n=E3o =E9=20 rigorosamente v=E1lida pois ele n=E0o a demonstrou para todo x, apenas = para x =3D 1.=20 Eu disse que, uma vez que a fun=E7=E3o log est=E1 definida para todo x = > 0, ent=E3o=20 n=E3o haveria problema em tomar x =3D 1, pois este ponto teria a mesma = "propriedade"=20 de todos os outros pontos do dom=EDnio (existe algum teorema que garante = isso?=20 inferi isso pois o Guidorizzi, em "Um Curso de C=E1lculo", tamb=E9m = usou desse=20 artif=EDcio, considerando uma fun=E7=E3o definida em [a,b] e tomando x = =3D a).
 
Julguem e comentem... Quem est=E1 com a raz=E3o?
 
Grato,
Henrique Patr=EDcio Sant'Anna = Branco.
------=_NextPart_000_0009_01C2DD4D.A71D49D0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 26 07:56:39 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id HAA30046 for obm-l-MTTP; Wed, 26 Feb 2003 07:54:47 -0300 Received: from artemis.opendf.com.br (artemis.opengate.com.br [200.181.71.15]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id HAA30042 for ; Wed, 26 Feb 2003 07:54:45 -0300 Received: from localhost (localhost [127.0.0.1]) by artemis.opendf.com.br (Postfix) with ESMTP id 7D1321CAB4 for ; Wed, 26 Feb 2003 07:54:02 -0300 (EST) Received: from artur (200-181-088-145.bsace7001.dsl.brasiltelecom.net.br [200.181.88.145]) by artemis.opendf.com.br (Postfix) with ESMTP id 19E8F1CAB1 for ; Wed, 26 Feb 2003 07:53:57 -0300 (EST) From: "Artur Costa Steiner" To: Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?RE:_=5Bobm-l=5D_D=FAvida_em_demonstra=E7=E3o?= Date: Wed, 26 Feb 2003 07:56:14 -0800 Organization: Steiner Consultoria LTDA Message-ID: <004901c2ddaf$97746c40$0c01a8c0@mshome.net> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_004A_01C2DD6C.89512C40" X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook, Build 10.0.2627 Importance: Normal X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 In-Reply-To: <000c01c2dd66$cccc50e0$019da8c0@henrique> X-Virus-Scanned: by AMaViS new-20020517 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_004A_01C2DD6C.89512C40 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable A demonstra=E7=E3o est=E1 correta. A express=E3o vale para todo x>0. O = autor n=E3o se limitou ao caso x=3D1, ele apenas fez x =3D 1 para determinar a constante. Artur =20 -----Original Message----- From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Henrique Branco Sent: Tuesday, February 25, 2003 11:15 PM To: OBM Subject: [obm-l] D=FAvida em demonstra=E7=E3o =20 Hi all! =20 Discutindo com um amigo meu sobre a demonstra=E7=E3o das propriedades do logaritmo natural, encontrada no "Calculo com Geometria Anal=EDtica", do Swokowsky, ele argumentou que a mesma seria falha. Vou expor a prova encontrada no livro citado e depois discutir. =20 Propriedade: Se p > 0 e q > 0 log(p*q) =3D log(p) + log(q) =20 Demonstra=E7=E3o: Primeiro, tomamos log(p*x) e log(x) como antiderivadas de 1/x (isso =E9 f=E1cil ver se derivarmos os logs, p > 0). Ent=E3o, um teorema garante = que log(p*x) =3D log(x) + C (1) para alguma constante C. Nesse momento (e aqui come=E7a a discuss=E3o), o autor faz x =3D 1. Como log(1) =3D 0, temos: =20 log(p) =3D log(1) + C =3D> C =3D log(p) (2) =20 Substituindo (2) em (1), temos: log(p*x) =3D log(x) + log(p) =20 Como q > 0 est=E1 no dom=EDnio do log, podemos tomar x =3D q e a prova = est=E1 conclu=EDda: log(p*q) =3D log(p) + log(q) =20 Agora, a confus=E3o deu-se no momento que o autor fez x =3D 1, para = obter a constante e substituir na express=E3o. Meu amigo diz que essa = demonstra=E7=E3o n=E3o =E9 rigorosamente v=E1lida pois ele n=E0o a demonstrou para todo = x, apenas para x =3D 1. Eu disse que, uma vez que a fun=E7=E3o log est=E1 definida = para todo x > 0, ent=E3o n=E3o haveria problema em tomar x =3D 1, pois este = ponto teria a mesma "propriedade" de todos os outros pontos do dom=EDnio = (existe algum teorema que garante isso? inferi isso pois o Guidorizzi, em "Um Curso de C=E1lculo", tamb=E9m usou desse artif=EDcio, considerando uma = fun=E7=E3o definida em [a,b] e tomando x =3D a). =20 Julguem e comentem... Quem est=E1 com a raz=E3o? =20 Grato, Henrique Patr=EDcio Sant'Anna Branco. ------=_NextPart_000_004A_01C2DD6C.89512C40 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable

A demonstra=E7=E3o est=E1 correta. A express=E3o vale para todo x>0. O = autor n=E3o se limitou ao caso x=3D1, ele apenas fez x =3D 1 para determinar a = constante.

Artur

 

-----Original Message-----
From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br = [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Henrique Branco
Sent: = Tuesday, February 25, = 2003 11:15 PM
To: OBM
Subject: [obm-l] D=FAvida = em demonstra=E7=E3o

 

Hi all!

 

Discutindo com um amigo meu sobre a = demonstra=E7=E3o das propriedades do logaritmo natural, encontrada no "Calculo com = Geometria Anal=EDtica", do Swokowsky, ele argumentou que a mesma seria = falha. Vou expor a prova encontrada no livro citado e depois = discutir.

 

Propriedade:

Se p > 0 e q > 0

log(p*q) =3D log(p) + = log(q)

 

Demonstra=E7=E3o:

Primeiro, tomamos log(p*x) e log(x) como = antiderivadas de 1/x (isso =E9 f=E1cil ver se derivarmos os logs, p > 0). Ent=E3o, um = teorema garante que log(p*x) =3D log(x) + C (1) para alguma constante = C.

Nesse momento (e aqui come=E7a a discuss=E3o), o = autor faz x =3D 1. Como log(1) =3D 0, temos:

 

log(p) =3D log(1) + C =3D> C =3D log(p) = (2)

 

Substituindo (2) em (1), = temos:

log(p*x) =3D log(x) + = log(p)

 

Como q > 0 est=E1 no dom=EDnio do log, podemos = tomar x =3D q e a prova est=E1 conclu=EDda:

log(p*q) =3D log(p) + = log(q)

 

Agora, a confus=E3o deu-se no momento que o autor fez = x =3D 1, para obter a constante e substituir na express=E3o. Meu amigo diz que = essa demonstra=E7=E3o n=E3o =E9 rigorosamente v=E1lida pois ele n=E0o a demonstrou para todo = x, apenas para x =3D 1. Eu disse que, uma vez que a fun=E7=E3o log est=E1 definida para = todo x > 0, ent=E3o n=E3o haveria problema em tomar x =3D 1, pois este ponto teria a = mesma "propriedade" de todos os outros pontos do dom=EDnio (existe = algum teorema que garante isso? inferi isso pois o Guidorizzi, em = "Um Curso de C=E1lculo", tamb=E9m usou desse artif=EDcio, considerando uma = fun=E7=E3o definida em [a,b] e tomando x =3D a).

 

Julguem e comentem... Quem est=E1 com a = raz=E3o?

 

Grato,

Henrique Patr=EDcio Sant'Anna = Branco.

------=_NextPart_000_004A_01C2DD6C.89512C40-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 26 10:49:04 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA32317 for obm-l-MTTP; Wed, 26 Feb 2003 10:45:58 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id KAA32313 for ; Wed, 26 Feb 2003 10:45:54 -0300 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1QDhhf29342 for ; Wed, 26 Feb 2003 10:43:43 -0300 Message-ID: <001f01c2dd9d$5098f280$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030225222141.25496.qmail@web13709.mail.yahoo.com> Subject: Re: [obm-l] ternas Date: Wed, 26 Feb 2003 10:45:21 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br O sistema tem 2 equações e 4 incógnitas. Portanto, pode-se atribuir valores arbitrários a quaiquer 4 - 2 = 2 delas e encontrar o valor das outras duas. Por exemplo, você poderia expressar as soluções em função de y e w: x + z = w - y x - 4z = -w ==> 5z = 2w - y ==> z = (2/5)w - (1/5)y ==> x = 4z - w ==> x = (3/5)w - (4/5)y Assim, as quádruplas (x,y,z,w) que satisfazem o sistema seriam: ( (3/5)w - (4/5)y , y , (2/5)w - (1/5)y , w ) = w*( 3/5 , 0 , 2/5 , 1 ) + y*( -4/5 , 1 , -1/5 , 0 ) Você pode usar qualquer estrutura da terna, desde que explicite a ordem das variáveis. Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "pichurin" To: Sent: Tuesday, February 25, 2003 7:21 PM Subject: [obm-l] ternas > Observe o sistema: > x + y + z - w = 0 > x -4z + w = 0 > Então, temos que y= 3z -2z => w= 4z - x > Logo, a solução do sistema é dada por (x,3z - 2x,z,4z > - x)=x(1, -2,0,-1) + z(0,3,1,4) > Poderiam ser usadas otras variáveis em vez de usar o x > e o z?Poderia ser usado, para dar uam solução,o x e o > w, por exemplo? > > A terna usada para a solução seguiu a estrutura > (x,y,z,w), mas poderia ser usada outra estrutura, como > (x,z,w,y)?É necessário indicar na resolução do sistema > qual foi a estrutura usada na terna ? > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. > http://br.busca.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 26 11:07:11 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA32532 for obm-l-MTTP; Wed, 26 Feb 2003 11:04:20 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA32528 for ; Wed, 26 Feb 2003 11:04:17 -0300 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1QE26f30564 for ; Wed, 26 Feb 2003 11:02:06 -0300 Message-ID: <003501c2dd9f$e21bb380$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030225222949.26818.qmail@web13709.mail.yahoo.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Solu=E7=F5es?= Date: Wed, 26 Feb 2003 11:03:46 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > escreva as soluções da equação x - 3y - z + 2w = 0 > como combinações lineares de quádruplas de duas > maneiras: > a) tirando x em função das outras icógnitas > RESP: > y(3,1,0,0) + z(1,0,1,0) + w(-2,0,0,1) > b) tirando y em função das outras icógnitas > RESP: > x(1,1/3,0,0) + z(0,-1/3,1,0) + w(0,2/3,0,1) > > A seguir, obtenha as soluções (2,1,1,1) e (-3,2,-5,2) > utilizando as expressões dos itens a e b.Como faz > isso?Por tentativas?Explique. > Não, você só precisa igualar as componentes e montar um sistema de equações para descobrir os valores das incógnitas. Por exemplo, de: y(3,1,0,0) + z(1,0,1,0) + w(-2,0,0,1) = (2,1,1,1) você deduz que: 3y + z - 2w = 2 y = 1 z = 1 w = 1 Ou seja: (2,1,1,1) = 1*(3,1,0,0) + 1*(1,0,1,0) + 1*(-2,0,0,1) . Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 26 11:17:50 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA00455 for obm-l-MTTP; Wed, 26 Feb 2003 11:15:39 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA00446 for ; Wed, 26 Feb 2003 11:15:35 -0300 Received: from servico2 ([200.230.34.224]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1QDuOf30179 for ; Wed, 26 Feb 2003 10:56:24 -0300 Message-ID: <002e01c2dd9f$160d3ca0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030225223245.23030.qmail@web13702.mail.yahoo.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_an=E1lise_de_fun=E7=F5es?= Date: Wed, 26 Feb 2003 10:58:04 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > observe: > y'(t)=a*y(t) > Y'(t)/y(t)=a > > Pode-se afirmar que lny(t)=at + K, com K pertencente > aos reais?Demonstre isso. > > ln(y(t)) = at + K ==> y(t) = e^(at + K) = Ae^at, com A real > 0 (A = e^K). Assim, y(t) = Ae^at satisfaz a equação diferencial y'(t) = a*y(t). Resta provar que esta é a única solução: Seja x(t) uma solução ==> x'(t) = a*x(t). Considere u(t) = x(t)*e^(-at). Derivando em relação a t vem: u'(t) = x'(t)*e^(-at) - a*x(t)*e^(-at) Levando em conta que x'(t) = a*x(t), teremos: u'(t) = a*x(t)*e^(-at) - a*x(t)*e^(-at) = 0 ==> u(t) = b = constante ==> x(t)*e^(-at) = b ==> x(t) = b*e^at ==> ln(x(t)) = ln(b) + at = at + K1, onde K1 é uma constante real. Logo, se x(t) é uma solução de x'(t) = a*x(t), então necessariamente ln(x(t)) tem a forma acima. Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 26 11:36:03 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA01172 for obm-l-MTTP; Wed, 26 Feb 2003 11:33:17 -0300 Received: (from nicolau@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA01167 for obm-l@mat.puc-rio.br; Wed, 26 Feb 2003 11:33:16 -0300 Date: Wed, 26 Feb 2003 11:33:16 -0300 From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: =?iso-8859-1?Q?=5Bobm-l=5D_D=FAvida_em_demonstra=E7=E3o?= Message-ID: <20030226113316.A709@sucuri.mat.puc-rio.br> References: <000c01c2dd66$cccc50e0$019da8c0@henrique> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Disposition: inline Content-Transfer-Encoding: 8bit User-Agent: Mutt/1.2.5i In-Reply-To: <000c01c2dd66$cccc50e0$019da8c0@henrique>; from hpsbranco@superig.com.br on Wed, Feb 26, 2003 at 04:15:10AM -0300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Wed, Feb 26, 2003 at 04:15:10AM -0300, Henrique Branco wrote: > Discutindo com um amigo meu sobre a demonstração das propriedades do > logaritmo natural, encontrada no "Calculo com Geometria Analítica", do > Swokowsky, ele argumentou que a mesma seria falha. Vou expor a prova > encontrada no livro citado e depois discutir. > > Propriedade: > Se p > 0 e q > 0 > log(p*q) = log(p) + log(q) > > Demonstração: Primeiro, tomamos log(p*x) e log(x) como antiderivadas de 1/x > (isso é fácil ver se derivarmos os logs, p > 0). Então, um teorema garante > que log(p*x) = log(x) + C (1) para alguma constante C. Nesse momento (e aqui > começa a discussão), o autor faz x = 1. Como log(1) = 0, temos: > > log(p) = log(1) + C => C = log(p) (2) > > Substituindo (2) em (1), temos: > log(p*x) = log(x) + log(p) > > Como q > 0 está no domínio do log, podemos tomar x = q e a prova está > concluída: log(p*q) = log(p) + log(q) A demonstração está correta. Os prerequisitos são: Se f(x) = log x então f'(x) = 1/x o que pode ser tomado como definição de log (alguns livros fazem isso) e Se f: (0,+infty) -> R é derivável em todo ponto do domínio com f'(x) = 0 (para todo x no domínio) então f é constante. Este deve ser o 'um teorema' de que você fala. É comum em cursos de cálculo apresentar isso como conseqüência do Teorema do Valor Médio (o que é correto) mas a maioria dos alunos e alguns professores perdem o sequenciamento lógico dos resultados, aprende que f' = 0 implica f constante mas não sabe mais pq e fica achando o TVM uma tecnicalidade. > Agora, a confusão deu-se no momento que o autor fez x = 1, para obter a > constante e substituir na expressão. Meu amigo diz que essa demonstração não > é rigorosamente válida pois ele nào a demonstrou para todo x, apenas para x = > 1. Não entendi o pensamento do seu amigo. Demonstramos que existe uma constante C tal que log(px) = log x + C para todo x e não é muito difícil achar C. Talvez o fato importante seja que C pode depender de p mas não depende de x. > Eu disse que, uma vez que a função log está definida para todo x > 0, então > não haveria problema em tomar x = 1, pois este ponto teria a mesma > "propriedade" de todos os outros pontos do domínio (existe algum teorema que > garante isso? inferi isso pois o Guidorizzi, em "Um Curso de Cálculo", > também usou desse artifício, considerando uma função definida em [a,b] e > tomando x = a). Isto não é um teorema, é o próprio conceito de 'para todo'. Se vale para todo x, vale para x=1. Também vale para x=2 e x=3. Se não valesse para x=1 não valeria para todo x. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 26 11:38:46 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA01251 for obm-l-MTTP; Wed, 26 Feb 2003 11:36:02 -0300 Received: (from nicolau@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA01246 for obm-l@mat.puc-rio.br; Wed, 26 Feb 2003 11:36:01 -0300 Date: Wed, 26 Feb 2003 11:36:01 -0300 From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: =?iso-8859-1?Q?=5Bobm-l=5D_Re:_=5Bobm-l=5D_an=E1lise_de_fun=E7=F5es?= Message-ID: <20030226113601.B709@sucuri.mat.puc-rio.br> References: <20030225223245.23030.qmail@web13702.mail.yahoo.com> <002e01c2dd9f$160d3ca0$3300c57d@bovespa.com> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Disposition: inline Content-Transfer-Encoding: 8bit User-Agent: Mutt/1.2.5i In-Reply-To: <002e01c2dd9f$160d3ca0$3300c57d@bovespa.com>; from claudio@praticacorretora.com.br on Wed, Feb 26, 2003 at 10:58:04AM -0300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Wed, Feb 26, 2003 at 10:58:04AM -0300, Cláudio (Prática) wrote: > > > > observe: > > y'(t)=a*y(t) > > Y'(t)/y(t)=a > > > > Pode-se afirmar que lny(t)=at + K, com K pertencente > > aos reais?Demonstre isso. > > > > > ln(y(t)) = at + K ==> y(t) = e^(at + K) = Ae^at, com A real > 0 (A = e^K). > > Assim, y(t) = Ae^at satisfaz a equação diferencial y'(t) = a*y(t). > > Resta provar que esta é a única solução: Você aqui também pode usar o teorema da existência e unicidade de soluções de EDOs mas acho que o Claudio preferiu dar uma explicação mais elementar apesar de mais longa. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 26 12:13:52 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA03033 for obm-l-MTTP; Wed, 26 Feb 2003 12:12:16 -0300 Received: from silva5.uol.com.br (silva5.uol.com.br [200.221.29.52]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA03020 for ; Wed, 26 Feb 2003 12:11:54 -0300 Received: from gauss ([200.158.97.32]) by silva5.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with SMTP id MAA26047 for ; Wed, 26 Feb 2003 12:15:33 -0300 (BRT) Message-ID: <005501c2dda9$66099230$2accfea9@gauss> From: "Domingos Jr." To: References: <003e01c2dc2c$3b7e4d40$3300c57d@bovespa.com> Subject: Re: [obm-l] Desigualdade Date: Wed, 26 Feb 2003 12:11:54 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0052_01C2DD90.40343E70" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2720.3000 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0052_01C2DD90.40343E70 Content-Type: text/plain; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Helppara k >=3D 4 temos: (a_1+a_2+a_3+...+a_k)^2 >=3D 4(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+...+a_k*a_1) =3D 4P P =3D (a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+...+a_k*a_1) <=3D 1/4(a_1+a_2+a_3+...+a_k)^2 mas, a_1+a_2+a_3+...+a_k =3D 1, logo P <=3D 1/4 como tomando a1 =3D a2 =3D 1/2, a3 =3D a4 =3D ... =3D ak temos P =3D = 1/4, para n >=3D 4 o valor m=E1ximo =E9 1/4. a demonstra=E7=E3o da desigualdade eu provei por indu=E7=E3o numa outra = mensagem pra lista. ----- Original Message -----=20 From: Cl=E1udio (Pr=E1tica)=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Monday, February 24, 2003 2:43 PM Subject: [obm-l] Desigualdade Caros JP, Domingos Jr. e Artur: S=F3 pra relembrar. O problema original =E9: Maximizar: P =3D A(1)*A(2) + A(2)*A(3) + ... + A(n)*A(1) Sujeito a: A(1) + A(2) + ... + A(n) =3D 1 e os A(i)'s reais n=E3o = negativos. Ap=F3s alguma discuss=E3o, chegamos =E0 conclus=E3o de que se os = A(i)'s fossem reais quaisquer, ent=E3o P seria ilimitado e tamb=E9m = conseguimos maximizar e minimizar a soma dos quadrados dos A(i)'s mas = n=E3o chegamos a nenhuma conclus=E3o sobre o problema acima, que me = parece bem mais interessante. Eu fiz alguma coisa para valores pequenos de n: n =3D 2: =20 Maximizar P =3D x*y Sujeito a: x + y =3D 1 (x,y >=3D 0) Esse caso =E9 f=E1cil:=20 Pmax =3D 1/4 para x =3D y =3D 1/2 (pode-se usar MG <=3D MA). ---------------------- n =3D 3: Maximizar: P =3D x*y + y*z + z*x Sujeito a: x + y + z =3D 1 (x,y,z >=3D 0) P =E9 linear em cada uma das vari=E1veis (dP/dx n=E3o depende de x, = dP/dy n=E3o depende de y, etc.)=20 Al=E9m disso, dP/dx =3D y + z >=3D 0 (analogamanete para dP/dy e = dP/dz). Assim, acho que d=E1 pra concluir que o valor m=E1ximo de P ocorre na = fronteira do seu dom=EDnio (isso vale para qualquer n). Fazendo z =3D 1 - x - y, teremos:=20 P =3D x*y + x + y - (x + y)^2 =3D=3D> dP/dx =3D 1 - 2x - y =3D 0 =3D=3D> 2x + y =3D 1 dP/dy =3D 1 - x - 2y =3D 0 =3D=3D> x + 2y =3D 1 =3D=3D> x =3D y =3D 1/3 =3D=3D> z =3D 1/3 =3D=3D> P =3D 1/3. d^2P/dx^2 =3D d^2P/dy^2 =3D -2 < 0 e d^2P/(dxdy) =3D 0 =3D=3D> = m=E1ximo =3D=3D> Pmax =3D 1/3 para x =3D y =3D z =3D 1/3. ---------------------- n =3D 4: Max: P =3D x*y + y*z + z*u + u*x S.a: x + y + z + u =3D 1 (x,y,z,u >=3D 0) P =3D (x + z)*(y + u) u =3D 1 - x - y - z =3D=3D> P =3D x + z - 2*x*z - x^2 - z^2 =3D=3D> dP/dx =3D 1 - 2x - 2z dP/dy =3D 0 dP/dz =3D 1 - 2x - 2z =3D=3D> x + z =3D 1/2 =3D=3D> y + u =3D 1/2 Pmax =3D 1/4 para quaisquer x, y, z, u tais que: x + z =3D 1/2 e y + = u =3D 1/2. ----------------------- n =3D 5: Max: P =3D x*y + y*z + z*u + u*v + v*x s.a.: x + y + z + u + v =3D 1 (x,y,z,u,v >=3D 0) v =3D 1 - x - y - z - u =3D=3D> P =3D x + u - x^2 - u^2 - u*x - y*u - z*x + y*z =3D=3D> dP/dx =3D 1 - 2x - z - u =3D 0 dP/dy =3D -u + z =3D 0 dP/dz =3D -x + y =3D 0 dP/du =3D 1 - 2u - x - y =3D 0 =3D=3D> 1 - 2x - 2u =3D 0; z =3D u; y =3D x =3D=3D> x + u =3D 1/2; z + y =3D 1/2 =3D=3D> v =3D 0 =3D=3D> P =3D x^2 + = x*u + u^2 Agora, o problema se reduz a: Max: P =3D x^2 + x*u + u^2 S.a: x + u =3D 1/2 (x,u >=3D 0) Mas: P =3D (x + u)^2 - x*u =3D 1/4 - x*u <=3D 1/4, pois x e u s=E3o = >=3D 0. Igualdade <=3D=3D> x =3D 0 ou u =3D 0 =3D=3D> Pmax =3D 1/4. ------------------ Para n >=3D 5, o meu chute =E9 que Pmax =3D 1/4, mas n=E3o tive saco = de generalizar a demonstra=E7=E3o do caso n =3D 5. O que voc=EAs acham? Um abra=E7o, Claudio. ------=_NextPart_000_0052_01C2DD90.40343E70 Content-Type: text/html; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Help
para k >=3D 4 temos:
(a_1+a_2+a_3+...+a_k)^2 >=3D 4(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+...+a_k*a_1) = =3D=20 4P
P =3D (a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+...+a_k*a_1) <=3D=20 1/4(a_1+a_2+a_3+...+a_k)^2
mas, a_1+a_2+a_3+...+a_k =3D 1, logo P <=3D 1/4
como tomando a1 =3D a2 =3D 1/2, a3 =3D = a4 =3D ... =3D=20 ak temos P =3D 1/4, para n >=3D 4 o valor m=E1ximo =E9 = 1/4.
 
a demonstra=E7=E3o da desigualdade eu = provei por=20 indu=E7=E3o numa outra mensagem pra lista.
----- Original Message -----
From:=20 Cl=E1udio = (Pr=E1tica)
Sent: Monday, February 24, 2003 = 2:43=20 PM
Subject: [obm-l] = Desigualdade

Caros JP, Domingos Jr. e Artur:
 
S=F3 pra relembrar. O problema original =E9:
 
Maximizar: P =3D A(1)*A(2) + A(2)*A(3) + ... + A(n)*A(1)
Sujeito a: A(1) + A(2) + ... + A(n) =3D 1  e os A(i)'s reais = n=E3o=20 negativos.
 
Ap=F3s alguma discuss=E3o, chegamos =E0 conclus=E3o de que se os = A(i)'s fossem=20 reais quaisquer, ent=E3o P seria ilimitado e tamb=E9m conseguimos = maximizar e=20 minimizar a soma dos quadrados dos A(i)'s mas n=E3o chegamos a nenhuma = conclus=E3o=20 sobre o problema acima, que me parece bem mais interessante.
 
Eu fiz alguma coisa para valores pequenos de n:
 
n =3D 2: 
Maximizar P =3D x*y
Sujeito a:  x + y =3D 1  (x,y >=3D 0)
 
Esse caso =E9 f=E1cil:
Pmax =3D 1/4 para x =3D y =3D 1/2 (pode-se usar MG <=3D = MA).
 
----------------------
 
n =3D 3:
Maximizar: P =3D x*y + y*z + z*x
Sujeito a: x + y + z =3D 1  (x,y,z >=3D 0)
 
P =E9 linear em cada uma das vari=E1veis (dP/dx n=E3o depende de = x, dP/dy n=E3o=20 depende de y, etc.)
Al=E9m disso, dP/dx =3D y + z >=3D 0 (analogamanete para dP/dy = e=20 dP/dz).
Assim, acho que d=E1 pra concluir que o valor m=E1ximo de P = ocorre na=20 fronteira do seu dom=EDnio (isso vale para qualquer n).
 
Fazendo z =3D 1 - x - y, teremos:
P =3D x*y + x + y - (x + y)^2  =3D=3D>
dP/dx =3D 1 - 2x - y =3D 0  =3D=3D>  2x + y =3D = 1
dP/dy =3D 1 - x - 2y =3D 0  =3D=3D>  x + 2y =3D = 1  =3D=3D>
x =3D y =3D 1/3 =3D=3D> z =3D 1/3 =3D=3D> P =3D 1/3.
 
d^2P/dx^2 =3D d^2P/dy^2 =3D -2 < 0  e d^2P/(dxdy) =3D = 0  =3D=3D>=20 m=E1ximo =3D=3D>
 
Pmax =3D 1/3  para x =3D y =3D z =3D 1/3.
 
----------------------
 
n =3D 4:
Max: P =3D x*y + y*z + z*u + u*x
S.a: x + y + z + u =3D 1  (x,y,z,u >=3D 0)
 
P =3D (x + z)*(y + u)
u =3D 1 - x - y - z  =3D=3D>
P =3D x + z - 2*x*z - x^2 - z^2  =3D=3D>
dP/dx =3D 1 - 2x - 2z
dP/dy =3D 0
dP/dz =3D 1 - 2x - 2z  =3D=3D>  x + z =3D 1/2  = =3D=3D> y=20 + u =3D 1/2
 
Pmax =3D 1/4  para quaisquer x, y, z, u tais que: x + z = =3D 1/2 e y=20 + u =3D 1/2.
 
-----------------------
 
n =3D 5:
Max: P =3D x*y + y*z + z*u + u*v + v*x
s.a.: x + y + z + u + v =3D 1  (x,y,z,u,v >=3D = 0)
 
v =3D 1 - x - y - z - u  =3D=3D>
P =3D x + u - x^2 - u^2 - u*x - y*u - z*x + y*z  = =3D=3D>
dP/dx =3D 1 - 2x - z - u =3D 0
dP/dy =3D -u + z =3D 0
dP/dz =3D -x + y =3D 0
dP/du =3D 1 - 2u - x - y =3D 0  =3D=3D>
1 - 2x - 2u =3D 0; z =3D u; y =3D x  =3D=3D>
x + u =3D 1/2;  z + y =3D 1/2  =3D=3D>  v =3D = 0 =20 =3D=3D>  P =3D x^2 + x*u + u^2
 
Agora, o problema se reduz a:
Max: P =3D x^2 + x*u + u^2
S.a: x + u =3D 1/2  (x,u >=3D 0)
 
Mas: P =3D (x + u)^2 - x*u =3D 1/4 - x*u <=3D 1/4, pois x e u = s=E3o >=3D=20 0.
Igualdade <=3D=3D> x =3D 0 ou u =3D 0 =3D=3D> Pmax =3D = 1/4.
 
------------------
 
Para n >=3D 5, o meu chute =E9 que Pmax =3D 1/4, mas n=E3o = tive saco de=20 generalizar a demonstra=E7=E3o do caso n =3D 5.
 
O que voc=EAs acham?
 
 
Um abra=E7o,
Claudio.
 
 
 
 
------=_NextPart_000_0052_01C2DD90.40343E70-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 26 13:19:03 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA04804 for obm-l-MTTP; Wed, 26 Feb 2003 13:17:10 -0300 Received: from web12908.mail.yahoo.com (web12908.mail.yahoo.com [216.136.174.75]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id NAA04795 for ; Wed, 26 Feb 2003 13:17:05 -0300 Message-ID: <20030226161616.70476.qmail@web12908.mail.yahoo.com> Received: from [200.206.103.3] by web12908.mail.yahoo.com via HTTP; Wed, 26 Feb 2003 13:16:16 ART Date: Wed, 26 Feb 2003 13:16:16 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Johann=20Peter=20Gustav=20Lejeune=20Dirichlet?= Subject: Re: [obm-l] To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <00c001c2dcf9$72b001a0$3300c57d@bovespa.com> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-735563789-1046276176=:69989" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --0-735563789-1046276176=:69989 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Desigualdades tem a dar com o pau.Ja falei de Schur,e tem a da Media Potencial,tem a das Medias Simetricas....Depois eu falo.Mas parece que uns livros da Dover tratam disso. Cláudio_(Prática) wrote:Teorema de Godel: Em qualquer sistema axiomático que contenha os axiomas de Peano (ou quaisquer axiomas equivalentes que definam os números naturais), existe uma afirmativa sobre números naturais que, apesar de verdadeira, não pode ser demonstrada a partir dos axiomas do sistema. As mais importantes conjecturas matemáticas são aquelas incluídas nos 7 "Millenium Problems". Vide http://www.claymath.org/Millennium_Prize_Problems/ As mais famosas devem ser a de Goldbach, a da infinidade dos primos gêmeos (existe uma infinidade de pares de números primos da forma (p,p+2)), a da não existência de números perfeitos ímpares (no. perfeito = no. natural igual à soma dos seus divisores positivos próprios - exs: 6, 28, 496, etc.. - não é muito difícil provar que um número natural N é um número perfeito par se e somente se N = 2^(p-1) * (2^p - 1), onde 2^p - 1 é primo). Sobre desigualdades, a mais famosa deve ser MH <= MG <= MA (MH - média harmônica, MG - média geométrica, MA - média aritmética - todas de números reais positivos). Outras desigualdades interessantes são a do rearranjo, de Bernoulli, de Chebychev, de Jensen, Cauchy-Schwartz, Minkowski, etc. A revista Eureka tem alguns artigos a respeito. Um abraço,Claudio.----- Original Message ----- From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, February 25, 2003 1:58 PMSubject: Re: [obm-l] Goldbach:todo par maior que 4 pode ser escrito como a soma de dois primos. Avanços:todo impar e a soma de tres primos(Vinogradov);todo natural grande o suficiente e a soma de 18 primos(Vinogradov);Todo natural e a soma de um primo com um natural de dois ou menos fatores primos(Chen Jing-run). basketboy_igor wrote: "We can't solve problems by using the same kind of thinking we used when we created them". - Albert Einstein 1°) Gostaria de saber como é a conjectura de Goldbach, Teoria de Godal e sobre a desigüaldades de Stefel (Não sei se a grafia está correta) 2°)Quais são as principais ou as mais famosas ou usadas conjecturas e desigualdade? "É um paradoxo a Terra se mover ao redor do Sol e a água ser constituída por dois gases altamente inflamáveis. A verdade científica é sempre um paradoxo, se julgada pela experiência cotidiana que se agarra à aparência efêmera das coisas". - Karl Marx __________________________________________________________________________ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ =====================================================! ==================== Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-735563789-1046276176=:69989 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

Desigualdades tem a dar com o pau.Ja falei de Schur,e tem a da Media Potencial,tem a das Medias Simetricas....Depois eu falo.Mas parece que uns livros da Dover tratam disso.

 Cláudio_(Prática) <claudio@praticacorretora.com.br> wrote:

Teorema de Godel: Em qualquer sistema axiomático que contenha os axiomas de Peano (ou quaisquer axiomas equivalentes que definam os números naturais), existe uma afirmativa sobre números naturais que, apesar de verdadeira, não pode ser demonstrada a partir dos axiomas do sistema.
 
As mais importantes conjecturas matemáticas são aquelas incluídas nos 7 "Millenium Problems". Vide http://www.claymath.org/Millennium_Prize_Problems/
 
As mais famosas devem ser a de Goldbach, a da infinidade dos primos gêmeos (existe uma infinidade de pares de números primos da forma (p,p+2)), a da não existência de números perfeitos ímpares (no. perfeito = no. natural igual à soma dos seus divisores positivos próprios - exs: 6, 28, 496, etc.. - não é muito difícil provar que um número natural N é um número perfeito par se e somente se N = 2^(p-1) * (2^p - 1), onde 2^p - 1 é primo).
 
Sobre desigualdades, a mais famosa deve ser MH <= MG <= MA (MH - média harmônica, MG - média geométrica, MA - média aritmética - todas de números reais positivos). Outras desigualdades interessantes são a do rearranjo, de Bernoulli, de Chebychev, de Jensen, Cauchy-Schwartz, Minkowski, etc.  A revista Eureka tem alguns artigos a respeito.
 
Um abraço,
Claudio.
----- Original Message -----
Sent: Tuesday, February 25, 2003 1:58 PM
Subject: Re: [obm-l]

Goldbach:todo par maior que 4 pode ser escrito como a soma de dois primos.

Avanços:todo impar e a soma de tres primos(Vinogradov);todo natural grande o suficiente e a soma de 18 primos(Vinogradov);Todo natural e a soma de um primo com um natural de dois ou menos fatores primos(Chen Jing-run).

 basketboy_igor <basketboy_igor@bol.com.br> wrote:

"We can't solve problems by using the same kind of
thinking we used when we created them".
- Albert Einstein

1°) Gostaria de saber como é a conjectura de Goldbach,
Teoria de Godal e sobre a desigüaldades de Stefel (Não
sei se a grafia está correta)

2°)Quais são as principais ou as mais famosas ou usadas
conjecturas e desigualdade?

"É um paradoxo a Terra se mover ao redor do Sol e a água
ser constituída por dois gases altamente inflamáveis. A
verdade científica é sempre um paradoxo, se julgada pela
experiência cotidiana que se agarra à aparência efêmera
das coisas".
- Karl Marx


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Como voce garante que a^^n==a^^(n+1) modulo 1000 sem ter demonstrado isso?Nada te garante isso inicialmente.

 "Domingos Jr." <dopikas@uol.com.br> wrote:

Para o problema:
seja A(1) = a e A(n + 1) = a^A(n) para n >= 1, provar que para todo inteiro
a > 1 os últimos 1000 dígitos da série A(1), A(2), ... eventualmente se
mantém fixos.

seja a tal que mdc(a, 10) = 1 => mdc(a, 10^n) = 1 para todo n >= 0
sendo phi a função de Euler, phi(10^n) = 4.10^(n-1)

suponha que exista um inteiro n tal que A(n) = A(n + 1) (mod 10^1002)
A(n+1) = q.10^1002 + A(n) para algum q inteiro
A(n+2) = a^A(n+1) = a^[q.10^1002 + A(n)]
mas phi(10^1001) = 4*10^1000 e 10^1002 é um múltiplo desse número, logo pelo
teorema de Euler, temos que a^(10^1002.q) = [a^(10^1002)]^q = 1^q = 1 (mod
10^1001)
portanto:

(1) A(n+2) = 1.a^A(n) = A(n+1) (mod 10^1001)

temos também que:
A(n+2) = [a^(10^1002q)] * A(n+1)
se q é par phi(10^1002) divide 10^1002q e logo A(n+2) = A(n+1) (mod 10^1002)

logo, se A(n+2) != A(n+1) (mod 10^1002) temos que ter q = 2k + 1 para algum
k, logo:
A(n+2) = [a^(10^1002)] * A(n+1) (mod 10^1002)
elevando ambos ao quadrado, temos
A(n+2)² = [a^(10^1002)]² * A(n+1)² (mod 10^1002)
A(n+2)² = A(n+1)² (mod 10^1002)
onde saí: A(n+2) = A(n+1) ou A(n+2) + A(n+1) = 0 (mod 10^1002)
essa conta pode ser feita pois como mdc(a, 10^2002) = 1 as potências de a
pertencem a um grupo multiplicativo mod 10^2002.

nos interessa analisar o caso A(n+2) + A(n+1) = 0, como vimos no item (1),
os últimos 1001 dígitos de A(n+2) e A(n+1) são iguais, sendo assim:

se A(n+2) = A(n+1) = x (mod 10^1001) com x < 10^1001, e u, v forem os 1002º
dígitos de A(n+2) e A(n+1) respectivamente, temos:

(u + v)*10^1001 + 2x = 0 (mod 10^1002)
ou seja, existe um m tal que:
(u + v)*10^1001 + 2x = m.10^1002
2x = 10^1001*(10m - u - v)
(2) .... x = 5^1001*(10m - u - v)

ops! x = 0 (mod 10^1000) :-) sendo assim eu não preciso fazer mais nada, os
próximos termos da seqüência com certeza terão os 1000 últimos dígitos todos
zeros!!!

de (1) e (2) temos que a seqüência vai repetir os últimos 1002 dígitos
sempre a partir de n ou então é garantido que os últimos 1000 dígitos
fixam-se em 0.

Para o caso mdc(a, 10) = 1, basta então provarmos que existe n tal que
A(n+1) = A(n) (mod 10^1002) teremos provado que os 1000 últimos dígitos
eventualmente são fixados...

Será que só eu estou me "divertindo"? Ou as demonstrações estão confusas
demais?

[ ]'s

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Isto e algo meio sem importancia.Se voce quer bestudar alguma coisa nada melhor que atribuir valores e ver se a ideia vinga.Ai confere e ve se da certo.

 Artur Costa Steiner <artur@opendf.com.br> wrote:

A demonstração está correta. A expressão vale para todo x>0. O autor não se limitou ao caso x=1, ele apenas fez x = 1 para determinar a constante.

Artur

 

-----Original Message-----
From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Henrique Branco
Sent: Tuesday, February 25, 2003 11:15 PM
To: OBM
Subject: [obm-l] Dúvida em demonstração

 

Hi all!

 

Discutindo com um amigo meu sobre a demonstração das propriedades do logaritmo natural, encontrada no "Calculo com Geometria Analítica", do Swokowsky, ele argumentou que a mesma seria falha. Vou expor a prova encontrada no livro citado e depois discutir.

 

Propriedade:

Se p > 0 e q > 0

log(p*q) = log(p) + log(q)

 

Demonstração:

Primeiro, tomamos log(p*x) e log(x) como antiderivadas de 1/x (isso é fácil ver se derivarmos os logs, p > 0). Então, um teorema garante que log(p*x) = log(x) + C (1) para alguma constante C.

Nesse momento (e aqui começa a discussão), o autor faz x = 1. Como log(1) = 0, temos:

 

log(p) = log(1) + C => C = log(p) (2)

 

Substituindo (2) em (1), temos:

log(p*x) = log(x) + log(p)

 

Como q > 0 está no domínio do log, podemos tomar x = q e a prova está concluída:

log(p*q) = log(p) + log(q)

 

Agora, a confusão deu-se no momento que o autor fez x = 1, para obter a constante e substituir na expressão. Meu amigo diz que essa demonstração não é rigorosamente válida pois ele nào a demonstrou para todo x, apenas para x = 1. Eu disse que, uma vez que a função log está definida para todo x > 0, então não haveria problema em tomar x = 1, pois este ponto teria a mesma "propriedade" de todos os outros pontos do domínio (existe algum teorema que garante isso? inferi isso pois o Guidorizzi, em "Um Curso de Cálculo", também usou desse artifício, considerando uma função definida em [a,b] e tomando x = a).

 

Julguem e comentem... Quem está com a razão?

 

Grato,

Henrique Patrício Sant'Anna Branco.


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(*) Suponha que (*) seja verdadeiro para todo m < k, vamos provar que (*) é verdadeiro para m = k. Se k for uma potencia de primo, digamos p^b: temos dois casos: 1) p divide a: claramente T(n) = 0 (mod p^b) para n>b. 2) p não divide a: Existe n0 tal que n>n0 => T(n+1) = T(n) (mod (p-1)*p^(b-1)), pelo teorema de Euler-Fermat, temos T(n+1) = T(n) (mod p^b) para n > (n0 + 1), logo (*) é verdadeiro. Se k não for potencia de primo entao k = c * d com c, d > 1 e mdc (c, d) = 1. Pela hipótese de indução e o teorema chinês dos restos, (*) é verdadeiro para m = k. Acabou! Basta tomar m = 10^2000!!!! Obs.: T(1) = a T(n+1) = a^T(n) OKAKAMO KOKOBONGO _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. 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(Que se devia demonstrar em Latim) To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <20030225170120.70742.qmail@web12903.mail.yahoo.com> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi professor Dirichlet, Este assunto é off-topic!!! OKAKAMO KOKOBONGO --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet escreveu: > > Pelamordedeus,essa lista e publica!!!!!!!!Fale > "extremamente esquisitas " ou "bizarras" em vez de > f****!!!!!!!!!!!!!!! > basketboy_igor > wrote:Boa vida caros célebres seres cogitantes! > 1°) Gostaria de saber quais são as questões mais > fodas, > pitorescas, excêntricas, com respostas absurdos, > engraçadas e interessantes de cada um. > > 2°) Que história é essa do "Cara de cabelo grisalho > atrás do Marcelo Oliveira" envolvendo o Carneiro na > semana olímpica? > > 3°) Isso tem lógica? > Se e^(Pi*i) + 1 =0 (1) e i^i = e^(-Pi/2)então > i=e^(-Pi/2i)(2), substitui em (2) em (1) vai dar: > > e^(Pi*e^(-Pi/2i) +1 =0 > e^[(Pi*e^(-Pi/2i)] = -1 > {e^[(Pi*e^(-Pi/2i)]}^1/Pi = (-1)^1/Pi > e^[e^(-Pi/2i)]=(-1)^1/Pi > {e^[e^(-Pi/2i)]}^1/e^(-Pi/2i)= (-1)^1/Pi*e^(-Pi/2i) > e=(-1)^1/Pi*e^(-Pi/2i) > “Quod erat demonstrandum”. (Que se devia demonstrar > em > Latim) > > 4°) Alguém conhece termos ou frases matematicas em > latim, grego, chines, arabe, russo ou em outras > línguas > exôticas ou em línguas mortas? > > > > > > > __________________________________________________________________________ > E-mail Premium BOL > Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine > já! > http://email.bol.com.br/ > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= > > > --------------------------------- > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que > você pensar o Yahoo! encontra. _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. 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Se estivesse num vestibular, o que faria? Num país, as estradas ligam duas cidades e são de mão única (pode haver mais de uma estrada entre duas cidades). O número de estradas que partem de cada cidade é igual ao número de estradas que chegam nessa cidade. Um mapa da cidade C é um conjunto de rotas que: 1) levam C a cada uma das outras cidades do país, sem passar por uma cidade mais de uma vez. 2) Se uma rota parte de C a D passando por E, então a rota que vai de C a E coincide com o começo da rota de C a D. Prove que o número de mapas da cidade C é igual ao número de mapas de qualquer outra cidade. Obs.: Tenho certeza que o problema da desigualdade, discutido por Dirichlet, é trivialmente equivalente a um problema da lista de preparação da IMO!!! Assim como um outro problema de geometria já discutido. Acho isso desleal com os candidatos a participarem destas olimpíadas!!! Por favor professor Johan e demais companheiros da lista, mantenha a discrição para não prejudicar nossos colegas. Abraços, OKAKAMO KOKOBONGO. _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. 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O que que é isso? Voce disse que nao podia falar foda, agora me fala uma coisa dessa. OKAKAMO KOKOBONGO _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. 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Na verdade eu acho que j=E1 d=E1 pra generalizar a demonstra=E7=E3o, por = enquanto estou sem tempo, mas depois eu formalizo melhor a solu=E7=E3o = completa (acho que d=E1!) para o problema. ----- Original Message -----=20 From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Wednesday, February 26, 2003 1:19 PM Subject: Re: [obm-l] Algum_progresso_(seq=FC=EAncia_de_pot=EAncias) Como voce garante que a^^n=3D=3Da^^(n+1) modulo 1000 sem ter = demonstrado isso?Nada te garante isso inicialmente.=20 "Domingos Jr." wrote:=20 Para o problema: seja A(1) =3D a e A(n + 1) =3D a^A(n) para n >=3D 1, provar que para = todo inteiro a > 1 os =FAltimos 1000 d=EDgitos da s=E9rie A(1), A(2), ... = eventualmente se mant=E9m fixos. seja a tal que mdc(a, 10) =3D 1 =3D> mdc(a, 10^n) =3D 1 para todo n = >=3D 0 sendo phi a fun=E7=E3o de Euler, phi(10^n) =3D 4.10^(n-1) suponha que exista um inteiro n tal que A(n) =3D A(n + 1) (mod = 10^1002) A(n+1) =3D q.10^1002 + A(n) para algum q inteiro A(n+2) =3D a^A(n+1) =3D a^[q.10^1002 + A(n)] mas phi(10^1001) =3D 4*10^1000 e 10^1002 =E9 um m=FAltiplo desse = n=FAmero, logo pelo teorema de Euler, temos que a^(10^1002.q) =3D [a^(10^1002)]^q =3D = 1^q =3D 1 (mod 10^1001) portanto: (1) A(n+2) =3D 1.a^A(n) =3D A(n+1) (mod 10^1001) temos tamb=E9m que: A(n+2) =3D [a^(10^1002q)] * A(n+1) se q =E9 par phi(10^1002) divide 10^1002q e logo A(n+2) =3D A(n+1) = (mod 10^1002) logo, se A(n+2) !=3D A! (n+1) (mod 10^1002) temos que ter q =3D 2k + = 1 para algum k, logo: A(n+2) =3D [a^(10^1002)] * A(n+1) (mod 10^1002) elevando ambos ao quadrado, temos A(n+2)=B2 =3D [a^(10^1002)]=B2 * A(n+1)=B2 (mod 10^1002) A(n+2)=B2 =3D A(n+1)=B2 (mod 10^1002) onde sa=ED: A(n+2) =3D A(n+1) ou A(n+2) + A(n+1) =3D 0 (mod 10^1002) essa conta pode ser feita pois como mdc(a, 10^2002) =3D 1 as = pot=EAncias de a pertencem a um grupo multiplicativo mod 10^2002. nos interessa analisar o caso A(n+2) + A(n+1) =3D 0, como vimos no = item (1), os =FAltimos 1001 d=EDgitos de A(n+2) e A(n+1) s=E3o iguais, sendo = assim: se A(n+2) =3D A(n+1) =3D x (mod 10^1001) com x < 10^1001, e u, v = forem os 1002=BA d=EDgitos de A(n+2) e A(n+1) respectivamente, temos: (u + v)*10^1001 + 2x =3D 0 (mod 10^1002) ou seja, existe um m tal que: (u + v)*10^1001 + 2x =3D m.10^1002 2x =3D 10^1001*(10m - u - v) (2) .... x =3D 5^1001*(10m - u - v) ops! x =3D 0 (mod 10^1000) :-) sendo assim eu n=E3o preciso fazer = mais nada, ! os pr=F3ximos termos da seq=FC=EAncia com certeza ter=E3o os 1000 = =FAltimos d=EDgitos todos zeros!!! de (1) e (2) temos que a seq=FC=EAncia vai repetir os =FAltimos 1002 = d=EDgitos sempre a partir de n ou ent=E3o =E9 garantido que os =FAltimos 1000 = d=EDgitos fixam-se em 0. Para o caso mdc(a, 10) =3D 1, basta ent=E3o provarmos que existe n = tal que A(n+1) =3D A(n) (mod 10^1002) teremos provado que os 1000 =FAltimos = d=EDgitos eventualmente s=E3o fixados... Ser=E1 que s=F3 eu estou me "divertindo"? Ou as demonstra=E7=F5es = est=E3o confusas demais? [ ]'s = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista =E9=20 = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D -------------------------------------------------------------------------= ----- Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o = Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_0016_01C2DDA3.9E806EA0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Acho que vc n=E3o leu a mensagem mais = recente onde eu=20 mostro que isso com certeza acontece para um algum n.
 
Na verdade eu acho que j=E1 d=E1 pra = generalizar a=20 demonstra=E7=E3o, por enquanto estou sem tempo, mas depois eu formalizo = melhor a=20 solu=E7=E3o completa (acho que d=E1!) para o problema.
----- Original Message -----
From:=20 Johann Peter Gustav = Lejeune=20 Dirichlet
Sent: Wednesday, February 26, = 2003 1:19=20 PM
Subject: Re: [obm-l]=20 Algum_progresso_(seq=FC=EAncia_de_pot=EAncias)

Como voce garante que a^^n=3D=3Da^^(n+1) modulo 1000 sem ter = demonstrado=20 isso?Nada te garante isso inicialmente.=20

 "Domingos Jr." <dopikas@uol.com.br> = wrote:=20 Para=20 o problema:
seja A(1) =3D a e A(n + 1) =3D a^A(n) para n >=3D = 1, provar que=20 para todo inteiro
a > 1 os =FAltimos 1000 d=EDgitos da s=E9rie = A(1), A(2),=20 ... eventualmente se
mant=E9m fixos.

seja a tal que mdc(a, = 10) =3D 1=20 =3D> mdc(a, 10^n) =3D 1 para todo n >=3D 0
sendo phi a = fun=E7=E3o de Euler,=20 phi(10^n) =3D 4.10^(n-1)

suponha que exista um inteiro n tal = que A(n) =3D=20 A(n + 1) (mod 10^1002)
A(n+1) =3D q.10^1002 + A(n) para algum q=20 inteiro
A(n+2) =3D a^A(n+1) =3D a^[q.10^1002 + A(n)]
mas = phi(10^1001) =3D=20 4*10^1000 e 10^1002 =E9 um m=FAltiplo desse n=FAmero, logo = pelo
teorema de=20 Euler, temos que a^(10^1002.q) =3D [a^(10^1002)]^q =3D 1^q =3D 1=20 (mod
10^1001)
portanto:

(1) A(n+2) =3D 1.a^A(n) =3D = A(n+1) (mod=20 10^1001)

temos tamb=E9m que:
A(n+2) =3D [a^(10^1002q)] * = A(n+1)
se=20 q =E9 par phi(10^1002) divide 10^1002q e logo A(n+2) =3D A(n+1) (mod = 10^1002)

logo, se A(n+2) !=3D A! (n+1) (mod 10^1002) temos = que ter q =3D=20 2k + 1 para algum
k, logo:
A(n+2) =3D [a^(10^1002)] * A(n+1) = (mod=20 10^1002)
elevando ambos ao quadrado, temos
A(n+2)=B2 =3D = [a^(10^1002)]=B2 *=20 A(n+1)=B2 (mod 10^1002)
A(n+2)=B2 =3D A(n+1)=B2 (mod = 10^1002)
onde sa=ED: A(n+2)=20 =3D A(n+1) ou A(n+2) + A(n+1) =3D 0 (mod 10^1002)
essa conta pode = ser feita=20 pois como mdc(a, 10^2002) =3D 1 as pot=EAncias de a
pertencem a = um grupo=20 multiplicativo mod 10^2002.

nos interessa analisar o caso = A(n+2) +=20 A(n+1) =3D 0, como vimos no item (1),
os =FAltimos 1001 d=EDgitos = de A(n+2) e=20 A(n+1) s=E3o iguais, sendo assim:

se A(n+2) =3D A(n+1) =3D x = (mod 10^1001)=20 com x < 10^1001, e u, v forem os 1002=BA
d=EDgitos de A(n+2) e = A(n+1)=20 respectivamente, temos:

(u + v)*10^1001 + 2x =3D 0 (mod = 10^1002)
ou=20 seja, existe um m tal que:
(u + v)*10^1001 + 2x =3D = m.10^1002
2x =3D=20 10^1001*(10m - u - v)
(2) .... x =3D 5^1001*(10m - u - = v)

ops! x =3D 0=20 (mod 10^1000) :-) sendo assim eu n=E3o preciso fazer mais nada, !=20 os
pr=F3ximos termos da seq=FC=EAncia com certeza ter=E3o os 1000 = =FAltimos d=EDgitos=20 todos
zeros!!!

de (1) e (2) temos que a seq=FC=EAncia vai = repetir os=20 =FAltimos 1002 d=EDgitos
sempre a partir de n ou ent=E3o =E9 = garantido que os=20 =FAltimos 1000 d=EDgitos
fixam-se em 0.

Para o caso mdc(a, = 10) =3D 1,=20 basta ent=E3o provarmos que existe n tal que
A(n+1) =3D A(n) (mod = 10^1002)=20 teremos provado que os 1000 =FAltimos d=EDgitos
eventualmente = s=E3o=20 fixados...

Ser=E1 que s=F3 eu estou me "divertindo"? Ou as = demonstra=E7=F5es=20 est=E3o confusas
demais?

[=20 = ]'s

=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D
Instru=E7=F5es=20 para entrar na lista, sair da lista e usar a lista=20 em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O = administrador=20 desta lista =E9=20 =
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D


Busca Yahoo!
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Confesso que perdi um bom tempo para sacar que era possível aplicar o tma. de Euler repetidamente ao problema para chegar a solução, esse problema certamente não foi trivial para mim. Aliás, fiquei curioso, foi você quem criou o problema, simplesmente encontrou e o resolveu ou já o encontrou resolvido? ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 26 16:13:49 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA12011 for obm-l-MTTP; Wed, 26 Feb 2003 16:10:37 -0300 Received: from web20702.mail.yahoo.com (web20702.mail.yahoo.com [216.136.226.175]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id QAA12003 for ; Wed, 26 Feb 2003 16:10:31 -0300 Message-ID: <20030226190959.90632.qmail@web20702.mail.yahoo.com> Received: from [147.65.2.170] by web20702.mail.yahoo.com via HTTP; Wed, 26 Feb 2003 16:09:59 ART Date: Wed, 26 Feb 2003 16:09:59 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?okakamo=20kokobongo?= Subject: Re: [obm-l] Algum_progresso_(seqüência_de_potências) To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <20030226163743.60246.qmail@web20712.mail.yahoo.com> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi, Falei que o problema era trivial porque um dos meu pupilos me propos este problema, e me mandou por e-mail, e mandei imediatamente para a lista. Mostrei este problema para meu funcionario o Gugu e ele notou que era uma aplicacao direta e obvia do teorema de Fermat. OKAKAMO KOKOBONGO _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. 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Se estivesse num > vestibular, o que faria? > Num país, as estradas ligam duas cidades e são de > mão única (pode haver mais de uma estrada entre duas > cidades). O número de estradas que partem de cada > cidade é igual ao número de estradas que chegam nessa > cidade. Um mapa da cidade C é um conjunto de rotas > que: 1) levam C a cada uma das outras cidades do país, > sem passar por uma cidade mais de uma vez. 2) Se uma > rota parte de C a D passando por E, então a rota que > vai de C a E coincide com o começo da rota de C a D. > Prove que o número de mapas da cidade C é igual ao > número de mapas de qualquer outra cidade. Acho que esse enunciado não está completo: - se existe uma cidade com nenhuma estrada partindo ou chegando possui um número de rotas 0 e não vai ser igual as demais, até aí é um caso idiota que pode ser excluído do problema. - se existem conjuntos de cidades "disjuntos" ou seja cidades de um conjunto A não possuem rota nenhuma para as cidades do conjunto B e vice-versa: C1 <-------> C2 ( 1 estrada de C1 -> C2 e outra de C2 -> C1 ) C3 <======> C4 ( 2 estradas de C3 -> C4 e duas de C4 -> C3 ) neste caso temos que o número de rotas de N(C1) = N(C2) = 1, mas N(C3) = N(C4) = 2. além disso, há um trecho que eu considero confuso: "2) Se uma rota parte de C a D passando por E, então a rota que vai de C a E coincide com o começo da rota de C a D" nessa situação parece que a rota de C a E deve ser única, mas podem haver outras rotas de C até E sem que uma cidade seja visitada mais de uma vez... mesmo que sempre fossem escolhidos os caminhos que passem por menos cidades isso poderia ocorrer já que é permitido haver mais de uma estrada ligando duas cidades. > Obs.: Tenho certeza que o problema da desigualdade, > discutido por Dirichlet, é trivialmente equivalente a > um problema da lista de preparação da IMO!!! Assim > como um outro problema de geometria já discutido. Acho > isso desleal com os candidatos a participarem destas > olimpíadas!!! Por favor professor Johan e demais > companheiros da lista, mantenha a discrição para não > prejudicar nossos colegas. hahaha, sem comentários! ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 26 16:44:58 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA13192 for obm-l-MTTP; Wed, 26 Feb 2003 16:42:17 -0300 Received: from toole.uol.com.br (toole.uol.com.br [200.221.29.26]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA13187 for ; Wed, 26 Feb 2003 16:42:13 -0300 Received: from cabru ([200.148.108.200]) by toole.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with SMTP id QAA06229; Wed, 26 Feb 2003 16:34:40 -0300 (BRT) Message-ID: <006301c2ddcf$bb16d640$c86c94c8@cabru> From: "Bruno" To: "OBM-L" Cc: "OBM-L" Subject: [obm-l] Limite1 Date: Wed, 26 Feb 2003 16:46:17 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0060_01C2DDB6.954AF860" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4133.2400 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0060_01C2DDB6.954AF860 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal, Alguma pessoa poderia me ajudar com isso: "f =E9 uma fun=E7=E3o definida em R e "p" um real dado. Suponha que lim [f(x) - f(p)] / x-p =3D L x tende p Calcule: lim [f(p+h) - f(p-h)] / h =3D ? h tende zero " Resp: 2L at=E9... Bruno ------=_NextPart_000_0060_01C2DDB6.954AF860 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Ol=E1 pessoal,
Alguma pessoa poderia me ajudar com = isso:
"f =E9 uma fun=E7=E3o definida em R e "p" um real = dado.
Suponha que lim [f(x) - f(p)] / x-p  =3D =20 L
          &nbs= p;          =20 x tende p
Calcule:
lim [f(p+h) - f(p-h)] / h  =3D ?
h tende zero
"
Resp: 2L
 
at=E9...
Bruno
------=_NextPart_000_0060_01C2DDB6.954AF860-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 26 16:44:58 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA13192 for obm-l-MTTP; Wed, 26 Feb 2003 16:42:17 -0300 Received: from toole.uol.com.br (toole.uol.com.br [200.221.29.26]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA13187 for ; Wed, 26 Feb 2003 16:42:13 -0300 Received: from cabru ([200.148.108.200]) by toole.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with SMTP id QAA06229; Wed, 26 Feb 2003 16:34:40 -0300 (BRT) Message-ID: <006301c2ddcf$bb16d640$c86c94c8@cabru> From: "Bruno" To: "OBM-L" Cc: "OBM-L" Subject: [obm-l] Limite1 Date: Wed, 26 Feb 2003 16:46:17 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0060_01C2DDB6.954AF860" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4133.2400 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0060_01C2DDB6.954AF860 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal, Alguma pessoa poderia me ajudar com isso: "f =E9 uma fun=E7=E3o definida em R e "p" um real dado. Suponha que lim [f(x) - f(p)] / x-p =3D L x tende p Calcule: lim [f(p+h) - f(p-h)] / h =3D ? h tende zero " Resp: 2L at=E9... Bruno ------=_NextPart_000_0060_01C2DDB6.954AF860 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Ol=E1 pessoal,
Alguma pessoa poderia me ajudar com = isso:
"f =E9 uma fun=E7=E3o definida em R e "p" um real = dado.
Suponha que lim [f(x) - f(p)] / x-p  =3D =20 L
          &nbs= p;          =20 x tende p
Calcule:
lim [f(p+h) - f(p-h)] / h  =3D ?
h tende zero
"
Resp: 2L
 
at=E9...
Bruno
------=_NextPart_000_0060_01C2DDB6.954AF860-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 26 16:51:49 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA13393 for obm-l-MTTP; Wed, 26 Feb 2003 16:49:08 -0300 Received: from toole.uol.com.br (toole.uol.com.br [200.221.29.26]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA13389 for ; Wed, 26 Feb 2003 16:49:04 -0300 Received: from cabru ([200.148.108.200]) by toole.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with SMTP id QAA15234; Wed, 26 Feb 2003 16:41:35 -0300 (BRT) Message-ID: <006e01c2ddd0$b24b2380$c86c94c8@cabru> From: "Bruno" To: "OBM-L" Cc: "OBM-L" Subject: [obm-l] Limite 2 Date: Wed, 26 Feb 2003 16:53:12 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_006B_01C2DDB7.8CA9FF20" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4133.2400 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_006B_01C2DDB7.8CA9FF20 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal, Mais uma quest=E3o envolvendo limite que eu n=E3o consegui chegar no = resultado. Qualquer ajuda eh benvinda! "calcule: lim [sen x - sen p] / x-p =3D ? x tende p " Resp: cos p At=E9... Bruno ------=_NextPart_000_006B_01C2DDB7.8CA9FF20 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Ol=E1 pessoal,
Mais uma quest=E3o envolvendo limite que eu n=E3o = consegui chegar=20 no resultado.
Qualquer ajuda eh benvinda!
"calcule:
lim [sen x - sen p] / x-p  =3D ?
x tende p
"
Resp: cos p
At=E9...
Bruno
------=_NextPart_000_006B_01C2DDB7.8CA9FF20-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 26 16:51:49 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA13393 for obm-l-MTTP; Wed, 26 Feb 2003 16:49:08 -0300 Received: from toole.uol.com.br (toole.uol.com.br [200.221.29.26]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA13389 for ; Wed, 26 Feb 2003 16:49:04 -0300 Received: from cabru ([200.148.108.200]) by toole.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with SMTP id QAA15234; Wed, 26 Feb 2003 16:41:35 -0300 (BRT) Message-ID: <006e01c2ddd0$b24b2380$c86c94c8@cabru> From: "Bruno" To: "OBM-L" Cc: "OBM-L" Subject: [obm-l] Limite 2 Date: Wed, 26 Feb 2003 16:53:12 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_006B_01C2DDB7.8CA9FF20" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4133.2400 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_006B_01C2DDB7.8CA9FF20 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal, Mais uma quest=E3o envolvendo limite que eu n=E3o consegui chegar no = resultado. Qualquer ajuda eh benvinda! "calcule: lim [sen x - sen p] / x-p =3D ? x tende p " Resp: cos p At=E9... Bruno ------=_NextPart_000_006B_01C2DDB7.8CA9FF20 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Ol=E1 pessoal,
Mais uma quest=E3o envolvendo limite que eu n=E3o = consegui chegar=20 no resultado.
Qualquer ajuda eh benvinda!
"calcule:
lim [sen x - sen p] / x-p  =3D ?
x tende p
"
Resp: cos p
At=E9...
Bruno
------=_NextPart_000_006B_01C2DDB7.8CA9FF20-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 26 16:57:07 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA13773 for obm-l-MTTP; Wed, 26 Feb 2003 16:55:40 -0300 Received: from smtp-34.ig.com.br (smtp-34.ig.com.br [200.226.132.184]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id QAA13767 for ; Wed, 26 Feb 2003 16:55:37 -0300 From: marciocohen@superig.com.br Message-Id: <200302261955.QAA13767@sucuri.mat.puc-rio.br> Received: (qmail 21313 invoked from network); 26 Feb 2003 19:55:15 -0000 Received: from indesk-1.ig.com.br (HELO localhost) (200.226.127.141) by smtp-34.ig.com.br with SMTP; 26 Feb 2003 19:55:15 -0000 Date: Wed, 26 Feb 2003 16:55:09 -0300 To: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: X-Originating-IP: [147.65.2.170] X-Mailer: InMail by Insite - www.insite.com.br X-user: marciocohen@superig.com.br MIME-Version: 1.0 Content-type: text/html Subject: [obm-l] Bem vindo OKAKAMO Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
Oi Professor,
Continua dando aulas de combinatória em cursinhos? Há muito tempo eu não lia as mensagens da lista, e sua participação vai dar um novo animo para ela. Tenho dois problemas legais que não consegui resolver:
1) se p é um polinômio de n variáveis, de grau total menor que n, então o número de soluções de p = 0 (mod q) onde q e um número primo, é multiplo de q.
2) se p(x) é um polinômio  irredutível e (p(0))^1/q não é inteiro então p(x^q) é irredutível, onde q é um primo ímpar.
Obrigado,
Marcio
___________________________________________________________________
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Oi Bruno:
 
Escreva [f(p+h) - f(p-h)]/h =3D =
[f(p+h) - f(p) + f(p) - f(p-h)]/h = =3D
[f(p+h) - f(p)]/h + [f(p) - = f(p-h)]/h
 
quando h --> 0, ambos os termos = tendem a L.=20
Logo, o limite desejado =E9 = 2L.
 
Um abra=E7o,
Claudio.
----- Original Message -----
From:=20 Bruno
To: OBM-L
Cc: OBM-L
Sent: Wednesday, February 26, = 2003 4:46=20 PM
Subject: [obm-l] Limite1

Ol=E1 pessoal,
Alguma pessoa poderia me ajudar com = isso:
"f =E9 uma fun=E7=E3o definida em R e "p" um real=20 dado.
Suponha que lim [f(x) - f(p)] / x-p  = =3D =20 L
          &nbs= p;          =20 x tende p
Calcule:
lim [f(p+h) - f(p-h)] / h  =3D ?
h tende zero
"
Resp: 2L
 
at=E9...
Bruno
------=_NextPart_000_00D7_01C2DDC0.64468E00-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 26 17:58:31 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA17017 for obm-l-MTTP; Wed, 26 Feb 2003 17:57:04 -0300 Received: from ns3bind.localdomain ([200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA17013 for ; Wed, 26 Feb 2003 17:57:02 -0300 Received: from servico2 ([200.230.34.229]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1QKslf24748; Wed, 26 Feb 2003 17:54:47 -0300 Message-ID: <00da01c2ddd9$8a6df960$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: Cc: "OBM-L" References: <006301c2ddcf$bb16d640$c86c94c8@cabru> Subject: Re: [obm-l] Limite1 Date: Wed, 26 Feb 2003 17:56:30 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_00D7_01C2DDC0.64468E00" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_00D7_01C2DDC0.64468E00 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Oi Bruno: Escreva [f(p+h) - f(p-h)]/h =3D=20 [f(p+h) - f(p) + f(p) - f(p-h)]/h =3D [f(p+h) - f(p)]/h + [f(p) - f(p-h)]/h quando h --> 0, ambos os termos tendem a L.=20 Logo, o limite desejado =E9 2L. Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Bruno=20 To: OBM-L=20 Cc: OBM-L=20 Sent: Wednesday, February 26, 2003 4:46 PM Subject: [obm-l] Limite1 Ol=E1 pessoal, Alguma pessoa poderia me ajudar com isso: "f =E9 uma fun=E7=E3o definida em R e "p" um real dado. Suponha que lim [f(x) - f(p)] / x-p =3D L x tende p Calcule: lim [f(p+h) - f(p-h)] / h =3D ? h tende zero " Resp: 2L at=E9... Bruno ------=_NextPart_000_00D7_01C2DDC0.64468E00 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Oi Bruno:
 
Escreva [f(p+h) - f(p-h)]/h =3D =
[f(p+h) - f(p) + f(p) - f(p-h)]/h = =3D
[f(p+h) - f(p)]/h + [f(p) - = f(p-h)]/h
 
quando h --> 0, ambos os termos = tendem a L.=20
Logo, o limite desejado =E9 = 2L.
 
Um abra=E7o,
Claudio.
----- Original Message -----
From:=20 Bruno
To: OBM-L
Cc: OBM-L
Sent: Wednesday, February 26, = 2003 4:46=20 PM
Subject: [obm-l] Limite1

Ol=E1 pessoal,
Alguma pessoa poderia me ajudar com = isso:
"f =E9 uma fun=E7=E3o definida em R e "p" um real=20 dado.
Suponha que lim [f(x) - f(p)] / x-p  = =3D =20 L
          &nbs= p;          =20 x tende p
Calcule:
lim [f(p+h) - f(p-h)] / h  =3D ?
h tende zero
"
Resp: 2L
 
at=E9...
Bruno
------=_NextPart_000_00D7_01C2DDC0.64468E00-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 26 18:04:53 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA17187 for obm-l-MTTP; Wed, 26 Feb 2003 18:03:37 -0300 Received: from ns3bind.localdomain ([200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA17183 for ; Wed, 26 Feb 2003 18:03:34 -0300 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1QL1Of25025; Wed, 26 Feb 2003 18:01:24 -0300 Message-ID: <00e501c2ddda$770f5de0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: Cc: "OBM-L" References: <006e01c2ddd0$b24b2380$c86c94c8@cabru> Subject: Re: [obm-l] Limite 2 Date: Wed, 26 Feb 2003 18:03:07 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_00E2_01C2DDC1.50E05160" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_00E2_01C2DDC1.50E05160 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Essa =E9 a defini=E7=E3o de derivada da fun=E7=E3o seno no ponto p. Voc=EA pode usar a identidade trigonom=E9trica: sen(x) - sen(p) =3D=20 sen[(x+p)/2 + (x-p)/2] - sen[(x+p)/2 - sen(x-p)/2] =3D sen[(x+p)/2]*cos[(x-p)/2] + cos[(x+p)/2]*sen[(x-p)/2] - - ( sen[(x+p)/2]*cos[(x-p)/2] - cos[(x+p)/2]*sen[(x-p)/2] ) =3D 2*cos[(x+p)/2]*sen[(x-p)/2]. Assim: [sen(x) - sen(p)]/(x - p) =3D 2*cos[(x+p)/2]*sen[(x-p)/2]/(x - p) =3D cos[(x+p)/2] * sen[(x-p)/2]/[(x-p)/2]=20 Quando x --> p, temos: cos[(x+p)/2] --> cos(p) e sen[(x-p)/2]/[(x-p)/2] --> 1 Logo, o limite procurado =E9 igual a cos(p) * 1 =3D cos(p). Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Bruno=20 To: OBM-L=20 Cc: OBM-L=20 Sent: Wednesday, February 26, 2003 4:53 PM Subject: [obm-l] Limite 2 Ol=E1 pessoal, Mais uma quest=E3o envolvendo limite que eu n=E3o consegui chegar no = resultado. Qualquer ajuda eh benvinda! "calcule: lim [sen x - sen p] / x-p =3D ? x tende p " Resp: cos p At=E9... Bruno ------=_NextPart_000_00E2_01C2DDC1.50E05160 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Essa =E9 a defini=E7=E3o de derivada da = fun=E7=E3o seno no=20 ponto p.
 
Voc=EA pode usar a identidade=20 trigonom=E9trica:
sen(x) - sen(p) =3D
sen[(x+p)/2 + (x-p)/2] - sen[(x+p)/2 - = sen(x-p)/2]=20 =3D
sen[(x+p)/2]*cos[(x-p)/2] +=20 cos[(x+p)/2]*sen[(x-p)/2] -
 - ( = sen[(x+p)/2]*cos[(x-p)/2] -=20 cos[(x+p)/2]*sen[(x-p)/2] ) =3D
2*cos[(x+p)/2]*sen[(x-p)/2].
 
Assim:
[sen(x) - sen(p)]/(x - p) = =3D
2*cos[(x+p)/2]*sen[(x-p)/2]/(x - p) = =3D
cos[(x+p)/2] * sen[(x-p)/2]/[(x-p)/2] =
 
Quando x --> p, temos:
cos[(x+p)/2] --> cos(p)
e
sen[(x-p)/2]/[(x-p)/2] --> = 1
 
Logo, o limite procurado =E9 igual a = cos(p) * 1 =3D=20 cos(p).
 
Um abra=E7o,
Claudio.
 
----- Original Message -----
From:=20 Bruno
To: OBM-L
Cc: OBM-L
Sent: Wednesday, February 26, = 2003 4:53=20 PM
Subject: [obm-l] Limite 2

Ol=E1 pessoal,
Mais uma quest=E3o envolvendo limite que eu n=E3o = consegui=20 chegar no resultado.
Qualquer ajuda eh benvinda!
"calcule:
lim [sen x - sen p] / x-p  =3D ?
x tende p
"
Resp: cos p
At=E9...
Bruno
------=_NextPart_000_00E2_01C2DDC1.50E05160-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 26 18:04:53 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA17187 for obm-l-MTTP; Wed, 26 Feb 2003 18:03:37 -0300 Received: from ns3bind.localdomain ([200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA17183 for ; Wed, 26 Feb 2003 18:03:34 -0300 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1QL1Of25025; Wed, 26 Feb 2003 18:01:24 -0300 Message-ID: <00e501c2ddda$770f5de0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: Cc: "OBM-L" References: <006e01c2ddd0$b24b2380$c86c94c8@cabru> Subject: Re: [obm-l] Limite 2 Date: Wed, 26 Feb 2003 18:03:07 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_00E2_01C2DDC1.50E05160" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_00E2_01C2DDC1.50E05160 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Essa =E9 a defini=E7=E3o de derivada da fun=E7=E3o seno no ponto p. Voc=EA pode usar a identidade trigonom=E9trica: sen(x) - sen(p) =3D=20 sen[(x+p)/2 + (x-p)/2] - sen[(x+p)/2 - sen(x-p)/2] =3D sen[(x+p)/2]*cos[(x-p)/2] + cos[(x+p)/2]*sen[(x-p)/2] - - ( sen[(x+p)/2]*cos[(x-p)/2] - cos[(x+p)/2]*sen[(x-p)/2] ) =3D 2*cos[(x+p)/2]*sen[(x-p)/2]. Assim: [sen(x) - sen(p)]/(x - p) =3D 2*cos[(x+p)/2]*sen[(x-p)/2]/(x - p) =3D cos[(x+p)/2] * sen[(x-p)/2]/[(x-p)/2]=20 Quando x --> p, temos: cos[(x+p)/2] --> cos(p) e sen[(x-p)/2]/[(x-p)/2] --> 1 Logo, o limite procurado =E9 igual a cos(p) * 1 =3D cos(p). Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Bruno=20 To: OBM-L=20 Cc: OBM-L=20 Sent: Wednesday, February 26, 2003 4:53 PM Subject: [obm-l] Limite 2 Ol=E1 pessoal, Mais uma quest=E3o envolvendo limite que eu n=E3o consegui chegar no = resultado. Qualquer ajuda eh benvinda! "calcule: lim [sen x - sen p] / x-p =3D ? x tende p " Resp: cos p At=E9... Bruno ------=_NextPart_000_00E2_01C2DDC1.50E05160 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Essa =E9 a defini=E7=E3o de derivada da = fun=E7=E3o seno no=20 ponto p.
 
Voc=EA pode usar a identidade=20 trigonom=E9trica:
sen(x) - sen(p) =3D
sen[(x+p)/2 + (x-p)/2] - sen[(x+p)/2 - = sen(x-p)/2]=20 =3D
sen[(x+p)/2]*cos[(x-p)/2] +=20 cos[(x+p)/2]*sen[(x-p)/2] -
 - ( = sen[(x+p)/2]*cos[(x-p)/2] -=20 cos[(x+p)/2]*sen[(x-p)/2] ) =3D
2*cos[(x+p)/2]*sen[(x-p)/2].
 
Assim:
[sen(x) - sen(p)]/(x - p) = =3D
2*cos[(x+p)/2]*sen[(x-p)/2]/(x - p) = =3D
cos[(x+p)/2] * sen[(x-p)/2]/[(x-p)/2] =
 
Quando x --> p, temos:
cos[(x+p)/2] --> cos(p)
e
sen[(x-p)/2]/[(x-p)/2] --> = 1
 
Logo, o limite procurado =E9 igual a = cos(p) * 1 =3D=20 cos(p).
 
Um abra=E7o,
Claudio.
 
----- Original Message -----
From:=20 Bruno
To: OBM-L
Cc: OBM-L
Sent: Wednesday, February 26, = 2003 4:53=20 PM
Subject: [obm-l] Limite 2

Ol=E1 pessoal,
Mais uma quest=E3o envolvendo limite que eu n=E3o = consegui=20 chegar no resultado.
Qualquer ajuda eh benvinda!
"calcule:
lim [sen x - sen p] / x-p  =3D ?
x tende p
"
Resp: cos p
At=E9...
Bruno
------=_NextPart_000_00E2_01C2DDC1.50E05160-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 26 20:42:38 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA20127 for obm-l-MTTP; Wed, 26 Feb 2003 20:41:05 -0300 Received: from traven10.uol.com.br (traven10.uol.com.br [200.221.29.45]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id UAA20123 for ; Wed, 26 Feb 2003 20:41:03 -0300 Received: from gauss ([200.158.96.121]) by traven10.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with SMTP id UAA00545 for ; Wed, 26 Feb 2003 20:38:22 -0300 (BRT) Message-ID: <005c01c2ddf0$87720000$79609ec8@gauss> From: "Domingos Jr." To: References: <200302261955.QAA13767@sucuri.mat.puc-rio.br> Subject: Re: [obm-l] Bem vindo OKAKAMO Date: Wed, 26 Feb 2003 20:41:04 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0059_01C2DDD7.61B6C3F0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2800.1106 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0059_01C2DDD7.61B6C3F0 Content-Type: text/plain; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable 1) acho que d=E1 pra resolver assim: prove que para polin=F4mios quaisquer de 1 vari=E1vel o n=FAmero de = solu=E7=F5es =E9 m=FAltiplo de q suponha que para polin=F4mios com n=FAmero de vari=E1veis 1 <=3D k <=3D = n isso vale pegue um polin=F4mio de k+1 vari=E1veis p(x1, x2, ..., xk, x[k+1]) os valores poss=EDveis para x[k+1] s=E3o { 0, 1, 2, ..., q-1 } considere as solu=E7=F5es de p(x1, x2, ..., xk, 0), p(x1, x2, ..., xk, = 1), ... p(x1, x2, ..., xk, q-1), ou seja, no mesmo polin=F4mio p aplique = o valor fixado de x[k+1] e assim obtenha um polin=F4mio de k = vari=E1veis, que por hip. de indu=E7=E3o possui um n=FAmero de = solu=E7=F5es m=FAltiplo de q. O n=FAmero de solu=E7=F5es de p passa ent=E3o a ser a soma dos nrs. de = solu=E7=F5es de cada polin=F4mio com x[k+1] fixado, e essa soma =E9 = m=FAltiplo de q. ----- Original Message -----=20 From: marciocohen@superig.com.br=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Wednesday, February 26, 2003 4:55 PM Subject: [obm-l] Bem vindo OKAKAMO Oi Professor, Continua dando aulas de combinat=F3ria em cursinhos? H=E1 muito tempo = eu n=E3o lia as mensagens da lista, e sua participa=E7=E3o vai dar um = novo animo para ela. Tenho dois problemas legais que n=E3o consegui = resolver: 1) se p =E9 um polin=F4mio de n vari=E1veis, de grau total menor que = n, ent=E3o o n=FAmero de solu=E7=F5es de p =3D 0 (mod q) onde q e um = n=FAmero primo, =E9 multiplo de q. 2) se p(x) =E9 um polin=F4mio irredut=EDvel e (p(0))^1/q n=E3o =E9 = inteiro ent=E3o p(x^q) =E9 irredut=EDvel, onde q =E9 um primo =EDmpar. Obrigado, Marcio ___________________________________________________________________ Super iG - Internet em Alta Velocidade - http://www.superig.com.br/ = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D = Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em = http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador = desta lista =E9 = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D ------=_NextPart_000_0059_01C2DDD7.61B6C3F0 Content-Type: text/html; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
1)
 
acho que d=E1 pra resolver = assim:
prove que para polin=F4mios quaisquer = de 1 vari=E1vel o=20 n=FAmero de solu=E7=F5es =E9 m=FAltiplo de q
 
suponha que para polin=F4mios com = n=FAmero=20 de vari=E1veis 1 <=3D k <=3D n isso vale
 
pegue um polin=F4mio de k+1 vari=E1veis = p(x1, x2, ...,=20 xk, x[k+1])
os valores poss=EDveis para x[k+1] = s=E3o { 0, 1, 2,=20 ..., q-1 }
considere as solu=E7=F5es de p(x1, x2, = ..., xk, 0),=20 p(x1, x2, ..., xk, 1), ... p(x1, x2, ..., xk, q-1), ou seja, no mesmo = polin=F4mio=20 p aplique o valor fixado de x[k+1] e assim obtenha um polin=F4mio = de k=20 vari=E1veis, que por hip. de indu=E7=E3o possui um n=FAmero de = solu=E7=F5es m=FAltiplo de=20 q.
O n=FAmero de solu=E7=F5es de = p passa ent=E3o a ser a=20 soma dos nrs. de solu=E7=F5es de cada polin=F4mio com x[k+1] fixado, e = essa soma =E9=20 m=FAltiplo de q.
----- Original Message -----
From:=20 marciocohen@superig.com.br=
Sent: Wednesday, February 26, = 2003 4:55=20 PM
Subject: [obm-l] Bem vindo = OKAKAMO

Oi Professor,
Continua dando aulas de combinat=F3ria em cursinhos? H=E1 muito = tempo=20 eu n=E3o lia as mensagens da lista, e sua = participa=E7=E3o vai dar um=20 novo animo para ela. Tenho dois problemas legais que n=E3o consegui=20 resolver:
1) se p =E9 um polin=F4mio de n vari=E1veis, de grau total menor = que n, ent=E3o o=20 n=FAmero de solu=E7=F5es de p =3D 0 (mod q) onde q e um n=FAmero = primo, =E9 multiplo de=20 q.
2) se p(x) =E9 um polin=F4mio  irredut=EDvel e (p(0))^1/q = n=E3o =E9 inteiro=20 ent=E3o p(x^q) =E9 irredut=EDvel, onde q =E9 um primo =EDmpar.
Obrigado,
=
Marcio
__________________________________________________= _________________
Super=20 iG - Internet em Alta Velocidade -=20 = http://www.superig.com.br/
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=20 Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em=20 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador = desta=20 lista =E9=20 = =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D ------=_NextPart_000_0059_01C2DDD7.61B6C3F0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 26 22:44:10 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA21847 for obm-l-MTTP; Wed, 26 Feb 2003 22:42:43 -0300 Received: from artemis.opendf.com.br (artemis.opengate.com.br [200.181.71.15]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA21843 for ; Wed, 26 Feb 2003 22:42:41 -0300 Received: from localhost (localhost [127.0.0.1]) by artemis.opendf.com.br (Postfix) with ESMTP id 6EF111C882 for ; Wed, 26 Feb 2003 22:41:56 -0300 (EST) Received: from artur (unknown [200.181.89.117]) by artemis.opendf.com.br (Postfix) with ESMTP id 88DED1C07D for ; Wed, 26 Feb 2003 22:41:52 -0300 (EST) From: "Artur Costa Steiner" To: Subject: [obm-l] Diferenciabilidade em R^n Date: Wed, 26 Feb 2003 22:44:10 -0800 Organization: Steiner Consultoria LTDA Message-ID: <004e01c2de2b$a3ea5a80$0c01a8c0@mshome.net> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_004F_01C2DDE8.95D04240" X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook, Build 10.0.2627 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 Importance: Normal X-Virus-Scanned: by AMaViS new-20020517 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_004F_01C2DDE8.95D04240 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 a todos os amigos da lista, =20 Para os que gostam de An=E1lise Real, tomei conhecimento de um fato interesante e que desconhecia (sei que nesta lista a maioria n=E3o curte muito An=E1lise Real, parece que =C1lgebra, Geometria e An=E1lise = Combinat=F3ria s=E3o os assunto preferidos). =20 Uma condi=E7=E3o suficiente para que f seja diferenci=E1vel em um = elemento a de seu dom=EDnio =E9 que as derivadas parciais de f existam em uma vizinhan=E7a de a e esejam cont=EDnuas em a. A prova dste teorema = aparece em muitos livros de An=E1lise Matem=E1tica. Mas no livro do Apostol = (ali=E1s, um grande livro), tomei conhecimento de que basta que apenas n-1 das n derivadas parciais de f sejam cont=EDnuas em a ( e existam numa = vizinhan=E7a de a). Acho que este fato n=E3op =E9 muito conhecido. =20 Um abra=E7o Artur ------=_NextPart_000_004F_01C2DDE8.95D04240 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable

Ol=E1 a todos os = amigos da lista,

 

Para os que gostam de = An=E1lise Real, tomei conhecimento de um fato interesante e que desconhecia (sei = que nesta lista a maioria n=E3o curte muito An=E1lise Real, parece que = =C1lgebra, Geometria e An=E1lise Combinat=F3ria s=E3o os assunto = preferidos).

 

Uma condi=E7=E3o = suficiente para que f seja diferenci=E1vel em um elemento a de seu dom=EDnio =E9 que as = derivadas parciais de f existam em uma vizinhan=E7a de a e esejam cont=EDnuas em = a. A prova dste teorema aparece em muitos livros de An=E1lise Matem=E1tica. Mas no = livro do Apostol (ali=E1s, um grande livro), tomei conhecimento de que basta que = apenas n-1 das n derivadas parciais de f sejam cont=EDnuas em a ( e existam = numa vizinhan=E7a de a). =A0Acho que = este fato n=E3op =E9 muito conhecido.

 

Um = abra=E7o

Artur=

------=_NextPart_000_004F_01C2DDE8.95D04240-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 26 23:11:34 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA22347 for obm-l-MTTP; Wed, 26 Feb 2003 23:10:14 -0300 Received: from silva5.uol.com.br (silva5.uol.com.br [200.221.29.52]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA22343 for ; Wed, 26 Feb 2003 23:10:10 -0300 Received: from cabru ([200.158.70.45]) by silva5.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with SMTP id XAA24188; Wed, 26 Feb 2003 23:13:50 -0300 (BRT) Message-ID: <000b01c2de05$f1deabe0$2d469ec8@cabru> From: "Bruno" To: "OBM-L" Cc: "OBM-L" Subject: Fw: [obm-l] Limite1 Date: Wed, 26 Feb 2003 23:14:22 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0008_01C2DDEC.CC1BF5C0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4133.2400 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0008_01C2DDEC.CC1BF5C0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Cla=FAdio, obrigado... At=E9 "Bruno ----- Original Message -----=20 From: Cl=E1udio (Pr=E1tica)=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Cc: OBM-L=20 Sent: Wednesday, February 26, 2003 5:56 PM Subject: Re: [obm-l] Limite1 Oi Bruno: Escreva [f(p+h) - f(p-h)]/h =3D=20 [f(p+h) - f(p) + f(p) - f(p-h)]/h =3D [f(p+h) - f(p)]/h + [f(p) - f(p-h)]/h quando h --> 0, ambos os termos tendem a L.=20 Logo, o limite desejado =E9 2L. Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Bruno=20 To: OBM-L=20 Cc: OBM-L=20 Sent: Wednesday, February 26, 2003 4:46 PM Subject: [obm-l] Limite1 Ol=E1 pessoal, Alguma pessoa poderia me ajudar com isso: "f =E9 uma fun=E7=E3o definida em R e "p" um real dado. Suponha que lim [f(x) - f(p)] / x-p =3D L x tende p Calcule: lim [f(p+h) - f(p-h)] / h =3D ? h tende zero " Resp: 2L at=E9... Bruno ------=_NextPart_000_0008_01C2DDEC.CC1BF5C0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Cla=FAdio, obrigado...
At=E9
"Bruno
 
----- Original Message -----=20
From: Cl=E1udio = (Pr=E1tica)
Cc: OBM-L
Sent: Wednesday, February 26, 2003 5:56 PM
Subject: Re: [obm-l] Limite1

Oi Bruno:
 
Escreva [f(p+h) - f(p-h)]/h =3D =
[f(p+h) - f(p) + f(p) - f(p-h)]/h = =3D
[f(p+h) - f(p)]/h + [f(p) - = f(p-h)]/h
 
quando h --> 0, ambos os termos = tendem a L.=20
Logo, o limite desejado =E9 = 2L.
 
Um abra=E7o,
Claudio.
----- Original Message -----
From:=20 Bruno
To: OBM-L
Cc: OBM-L
Sent: Wednesday, February 26, = 2003 4:46=20 PM
Subject: [obm-l] Limite1

Ol=E1 pessoal,
Alguma pessoa poderia me ajudar com = isso:
"f =E9 uma fun=E7=E3o definida em R e "p" um real=20 dado.
Suponha que lim [f(x) - f(p)] / x-p  = =3D =20 L
          &nbs= p;          =20 x tende p
Calcule:
lim [f(p+h) - f(p-h)] / h  =3D ?
h tende zero
"
Resp: 2L
 
at=E9...
Bruno
------=_NextPart_000_0008_01C2DDEC.CC1BF5C0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Wed Feb 26 23:11:34 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA22347 for obm-l-MTTP; Wed, 26 Feb 2003 23:10:14 -0300 Received: from silva5.uol.com.br (silva5.uol.com.br [200.221.29.52]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA22343 for ; Wed, 26 Feb 2003 23:10:10 -0300 Received: from cabru ([200.158.70.45]) by silva5.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with SMTP id XAA24188; Wed, 26 Feb 2003 23:13:50 -0300 (BRT) Message-ID: <000b01c2de05$f1deabe0$2d469ec8@cabru> From: "Bruno" To: "OBM-L" Cc: "OBM-L" Subject: Fw: [obm-l] Limite1 Date: Wed, 26 Feb 2003 23:14:22 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0008_01C2DDEC.CC1BF5C0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4133.2400 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0008_01C2DDEC.CC1BF5C0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Cla=FAdio, obrigado... At=E9 "Bruno ----- Original Message -----=20 From: Cl=E1udio (Pr=E1tica)=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Cc: OBM-L=20 Sent: Wednesday, February 26, 2003 5:56 PM Subject: Re: [obm-l] Limite1 Oi Bruno: Escreva [f(p+h) - f(p-h)]/h =3D=20 [f(p+h) - f(p) + f(p) - f(p-h)]/h =3D [f(p+h) - f(p)]/h + [f(p) - f(p-h)]/h quando h --> 0, ambos os termos tendem a L.=20 Logo, o limite desejado =E9 2L. Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Bruno=20 To: OBM-L=20 Cc: OBM-L=20 Sent: Wednesday, February 26, 2003 4:46 PM Subject: [obm-l] Limite1 Ol=E1 pessoal, Alguma pessoa poderia me ajudar com isso: "f =E9 uma fun=E7=E3o definida em R e "p" um real dado. Suponha que lim [f(x) - f(p)] / x-p =3D L x tende p Calcule: lim [f(p+h) - f(p-h)] / h =3D ? h tende zero " Resp: 2L at=E9... Bruno ------=_NextPart_000_0008_01C2DDEC.CC1BF5C0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Cla=FAdio, obrigado...
At=E9
"Bruno
 
----- Original Message -----=20
From: Cl=E1udio = (Pr=E1tica)
Cc: OBM-L
Sent: Wednesday, February 26, 2003 5:56 PM
Subject: Re: [obm-l] Limite1

Oi Bruno:
 
Escreva [f(p+h) - f(p-h)]/h =3D =
[f(p+h) - f(p) + f(p) - f(p-h)]/h = =3D
[f(p+h) - f(p)]/h + [f(p) - = f(p-h)]/h
 
quando h --> 0, ambos os termos = tendem a L.=20
Logo, o limite desejado =E9 = 2L.
 
Um abra=E7o,
Claudio.
----- Original Message -----
From:=20 Bruno
To: OBM-L
Cc: OBM-L
Sent: Wednesday, February 26, = 2003 4:46=20 PM
Subject: [obm-l] Limite1

Ol=E1 pessoal,
Alguma pessoa poderia me ajudar com = isso:
"f =E9 uma fun=E7=E3o definida em R e "p" um real=20 dado.
Suponha que lim [f(x) - f(p)] / x-p  = =3D =20 L
          &nbs= p;          =20 x tende p
Calcule:
lim [f(p+h) - f(p-h)] / h  =3D ?
h tende zero
"
Resp: 2L
 
at=E9...
Bruno
------=_NextPart_000_0008_01C2DDEC.CC1BF5C0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 27 11:06:51 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA30433 for obm-l-MTTP; Thu, 27 Feb 2003 11:03:16 -0300 Received: from utahjazz.vesper.com.br ([200.218.62.20]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA30429 for ; Thu, 27 Feb 2003 11:03:04 -0300 Received: from tlpsrvnws02.rj.vespersa.com.br ([10.21.25.16]) by utahjazz.vesper.com.br with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5329); Thu, 27 Feb 2003 11:02:02 -0300 Received: by tlpsrvnws02.rj.vespersa.com.br with Internet Mail Service (5.5.2656.59) id ; Thu, 27 Feb 2003 10:58:59 -0300 Message-ID: From: =?iso-8859-1?Q?Jo=E3o_Gilberto_Ponciano_Pereira?= To: "'obm-l@mat.puc-rio.br'" Subject: RE: [obm-l] Problema interessante Date: Thu, 27 Feb 2003 10:50:30 -0300 MIME-Version: 1.0 X-Mailer: Internet Mail Service (5.5.2656.59) Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" X-OriginalArrivalTime: 27 Feb 2003 14:02:04.0781 (UTC) FILETIME=[CED4C1D0:01C2DE68] Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id LAA30430 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br "Tome uma partição QUALQUER de {1,2,...,2n} em dois conjuntos A e B com n elementos cada. Ponha os elementos de A em ordem crescente a_1<......>b_n. Prove que: |a_1-b_1| + ... + |a_n-b_n| = n^2" Acabei esquecendo de mandar a resposta, mas aqui vai ela, espero que em tempo.... Vamos chamar os conjuntos: x = {1 a n} e y={n+1 a 2n} Vamos supor que o conjunto A é formado de tal forma que possua m elementos de Y e n-m elementos de X. Logo, o conjunto B é obrigatoriamente formado por m elementos de x e n-m elementos de Y. Então podemos considerar que: RESULTADO = |a_1-b_1| + ... + |a_n-b_n| = (a1 - b1) + (a2 - b2) + ... + (am - bm) - ((am+1 - bm+1) + ... +(an - bn))= soma a (1 a m) - soma b(1 a m) - soma a(m+1 a n) + soma b(m+1 a n) Se voltarmos a suposição inicial, soma a (1 a m) + soma b(m+1 a n) é a soma dos elementos do conjunto Y, e soma b(1 a m) + soma a(m+1 a n) é a soma dos elementos de X. Logo, temos que: RESULTADO = soma(n+1 a 2n) - soma(1 a n) = n*n + soma(1 a n) - soma(1 a n) =n^2 -----Original Message----- From: Cláudio (Prática) [mailto:claudio@praticacorretora.com.br] Sent: Monday, February 24, 2003 2:48 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Problema interessante Taí um resultado inesperado (pelo menos pra mim): Tome uma partição QUALQUER de {1,2,...,2n} em dois conjuntos A e B com n elementos cada. Ponha os elementos de A em ordem crescente a_1<......>b_n. Prove que: |a_1-b_1| + ... + |a_n-b_n| = n^2. Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 27 12:35:54 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA32277 for obm-l-MTTP; Thu, 27 Feb 2003 12:31:26 -0300 Received: from Euler.impa.br (euler.impa.br [147.65.1.3]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA32273 for ; Thu, 27 Feb 2003 12:31:23 -0300 Received: from Gauss.impa.br (Gauss [147.65.4.1]) by Euler.impa.br (8.11.6/8.11.6) with ESMTP id h1RFUqJ02258 for ; Thu, 27 Feb 2003 12:30:53 -0300 (EST) From: Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira Received: by Gauss.impa.br (8.11.6) id h1RFUqg20795; Thu, 27 Feb 2003 12:30:52 -0300 (EST) Message-Id: <200302271530.h1RFUqg20795@Gauss.impa.br> Subject: [obm-l] Teorema Fundamental da Algebra To: obm-l@mat.puc-rio.br Date: Thu, 27 Feb 2003 12:30:52 -0300 (EST) X-Mailer: ELM [version 2.4 PL25] MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=US-ASCII Content-Transfer-Encoding: 7bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Saudacoes! A prova era assim: pensa que seu polinomio e' P(z)=z^n+a1.z^(n-1)+...+an. Se z=R.cis(t),P(z)=R^n(cis(nt)+o(1)), onde o(1) e' uma coisa pequena, que tende a 0 quando R tende a infinito. Mas isso mostra que a imagem de um circulo grande por P(z) da' n voltas em torno de 0 (a origem) no sentido anti-horario. Por outro lado, se P(0) nao e' 0, entao a imagem de um circulo pequeno centrado em 0 por P esta' pertinho de P(0) e logo nao da' volta nenhuma em torno da origem. Se P(z) nunca e' 0, entao o numero de voltas que a imagem por P de um circulo de centro em 0 e raio R da' em torno de 0 e' sempre inteiro e e' uma funcao continua de R, donde e' constante, absurdo pois varia entre 0 (para R pequeno) e n (para R grande). Portanto em algum momento as imagens desses circulos devem passar por 0 (a unica coisa que pode fazer mudar o numero de voltas), e logo existe c com P(c)=0. Abracos, Gugu Nota:cis(t):=cos(t)+i.sen(t). >> >> >>Ola Gugu,tudo bem?Voce poderia me passar a tal demonstraçao do Teorema Fundamental da Algebra que voce tinha >dado na Semana Olimpica?Estou muito interessado em ve-la.O Shine tinha me falado numa demonstraçao bem legal. >Vou reproduzir uns trechos que a minha fraca memoria ainda retem.Aproveito e respondo algo aos caras da >lista.Ha tempos que eles perguntam disso!! >> >>Pegue o polinomio P(x).Ce quer um z complexo tal que P(z)=0.Seja z=r*cis T=x+yi. >> >>Substitua a segunda forma na equaçao e voce obtem as curvas >> >>Re(x,y)=0 e Im(x,y)=0,com P(x+yi)=Re(x,y)+i*Im(x,y). >> >>Mostrando que Re e Im se cortam,acabou.Para tal trabalhe com um disco de raio gigante centrado na origem >e mostre que os caras se cortam dentro dele. >> >>Melhor que isso:Que tal colocar isto na Eureka? >> >> >> >>-THE WOOD IS EATING!!!! >> >>-NO PROBLEM,TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE. >> >> >> >>--------------------------------- >>Busca Yahoo! >>O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. >>--0-1906017552-1046193829=:98234 >>Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 >>Content-Transfer-Encoding: 8bit >> >>

Ola Gugu,tudo bem?Voce poderia me passar a tal demonstraçao do Teorema Fundamental da Algebra que voce tinha dado na Semana Olimpica?Estou muito interessado em ve-la.O Shine tinha me falado numa demonstraçao bem legal.Vou reproduzir uns trechos que a minha fraca memoria ainda retem.Aproveito e respondo algo aos caras da lista.Ha tempos que eles perguntam disso!!

>>

Pegue o polinomio P(x).Ce quer um z complexo tal que P(z)=0.Seja z=r*cis T=x+yi.

>>

Substitua a segunda forma na equaçao e voce obtem as curvas

>>

Re(x,y)=0 e Im(x,y)=0,com P(x+yi)=Re(x,y)+i*Im(x,y).

>>

Mostrando que Re e Im se cortam,acabou.Para tal trabalhe com um disco de raio gigante centrado na origem e mostre que os caras se cortam dentro dele.

>>

Melhor que isso:Que tal colocar isto na Eureka?



-THE WOOD IS EATING!!!!

>>

-NO PROBLEM,TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE.


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Usa a mesma idéia básica que a minha, mas você chega lá por uma rota diferente. Acho que essa idéia de particionar o conjunto {1,2,...,2n} de duas forma distintas pode ser usada em várias ocasiões. É uma técnica boa de se ter no repertório. Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "João Gilberto Ponciano Pereira" To: Sent: Thursday, February 27, 2003 10:50 AM Subject: RE: [obm-l] Problema interessante > "Tome uma partição QUALQUER de {1,2,...,2n} em dois conjuntos A e B com n > elementos cada. Ponha os elementos de A em ordem crescente a_1<... de B em ordem decrescente b_1>...>b_n. Prove que: > > |a_1-b_1| + ... + |a_n-b_n| = n^2" > > Acabei esquecendo de mandar a resposta, mas aqui vai ela, espero que em > tempo.... > > Vamos chamar os conjuntos: > x = {1 a n} e y={n+1 a 2n} > > Vamos supor que o conjunto A é formado de tal forma que possua m elementos > de Y e n-m elementos de X. Logo, o conjunto B é obrigatoriamente formado por > m elementos de x e n-m elementos de Y. > > Então podemos considerar que: > RESULTADO = |a_1-b_1| + ... + |a_n-b_n| = (a1 - b1) + (a2 - b2) + ... + (am > - bm) - ((am+1 - bm+1) + ... +(an - bn))= > soma a (1 a m) - soma b(1 a m) - soma a(m+1 a n) + soma b(m+1 a n) > > Se voltarmos a suposição inicial, soma a (1 a m) + soma b(m+1 a n) é a soma > dos elementos do conjunto Y, e soma b(1 a m) + soma a(m+1 a n) é a soma dos > elementos de X. > > Logo, temos que: > RESULTADO = soma(n+1 a 2n) - soma(1 a n) = n*n + soma(1 a n) - soma(1 a n) > =n^2 > > -----Original Message----- > From: Cláudio (Prática) [mailto:claudio@praticacorretora.com.br] > Sent: Monday, February 24, 2003 2:48 PM > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] Problema interessante > > > > Taí um resultado inesperado (pelo menos pra mim): > > Tome uma partição QUALQUER de {1,2,...,2n} em dois conjuntos A e B com n > elementos cada. Ponha os elementos de A em ordem crescente a_1<... de B em ordem decrescente b_1>...>b_n. Prove que: > > |a_1-b_1| + ... + |a_n-b_n| = n^2. > > Um abraço, > Claudio. > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 27 13:44:07 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA01833 for obm-l-MTTP; Thu, 27 Feb 2003 13:40:58 -0300 Received: (from nicolau@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA01822 for obm-l@mat.puc-rio.br; Thu, 27 Feb 2003 13:40:56 -0300 Date: Thu, 27 Feb 2003 13:40:56 -0300 From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: =?iso-8859-1?Q?=5Bobm-l=5D_Re:_=5Bobm-l=5D_D=FAvida_de_vestibular?= Message-ID: <20030227134056.A1680@sucuri.mat.puc-rio.br> References: <20030226165408.71467.qmail@web20703.mail.yahoo.com> <002f01c2ddce$ca46e340$2accfea9@gauss> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Disposition: inline Content-Transfer-Encoding: 8bit User-Agent: Mutt/1.2.5i In-Reply-To: <002f01c2ddce$ca46e340$2accfea9@gauss>; from dopikas@uol.com.br on Wed, Feb 26, 2003 at 04:39:33PM -0300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Eu [ainda] não sei resolver o problema do Okakome mas... On Wed, Feb 26, 2003 at 04:39:33PM -0300, Domingos Jr. wrote: > > Oi Pessoal, > > Estava estudando análise combinatória por uma > > apostila de um curso pré-vestibular, e encontrei o > > seguinte problema, que achei interessante, mas minha > > solução foi muito longa, e não sei se está certa, > > porque tinha muitos casos. Se estivesse num > > vestibular, o que faria? > > Num país, as estradas ligam duas cidades e são de > > mão única (pode haver mais de uma estrada entre duas > > cidades). O número de estradas que partem de cada > > cidade é igual ao número de estradas que chegam nessa > > cidade. Um mapa da cidade C é um conjunto de rotas > > que: 1) levam C a cada uma das outras cidades do país, > > sem passar por uma cidade mais de uma vez. 2) Se uma > > rota parte de C a D passando por E, então a rota que > > vai de C a E coincide com o começo da rota de C a D. > > Prove que o número de mapas da cidade C é igual ao > > número de mapas de qualquer outra cidade. > > Acho que esse enunciado não está completo: > - se existe uma cidade com nenhuma estrada partindo ou chegando possui um > número de rotas 0 e não vai ser igual as demais, até aí é um caso idiota que > pode ser excluído do problema. Neste caso não existe nenhum mapa pois é impossível ligar C a X, a cidade sem estradas. O problema fica correto pois o número de mapas é sempre 0. > - se existem conjuntos de cidades "disjuntos" ou seja cidades de um conjunto > A não possuem rota nenhuma para as cidades do conjunto B e vice-versa: > > C1 <-------> C2 ( 1 estrada de C1 -> C2 e outra de C2 -> C1 ) > C3 <======> C4 ( 2 estradas de C3 -> C4 e duas de C4 -> C3 ) > > neste caso temos que o número de rotas de N(C1) = N(C2) = 1, mas N(C3) = > N(C4) = 2. Também neste caso o número de mapas é sempre 0. > além disso, há um trecho que eu considero confuso: > > "2) Se uma rota parte de C a D passando por E, então a rota que vai de C a E > coincide com o começo da rota de C a D" > nessa situação parece que a rota de C a E deve ser única, mas podem haver > outras rotas de C até E sem que uma cidade seja visitada mais de uma vez... > mesmo que sempre fossem escolhidos os caminhos que passem por menos cidades > isso poderia ocorrer já que é permitido haver mais de uma estrada ligando > duas cidades. Acho que ajuda considerar o caso em que todas as estradas são de mão dupla: neste caso um mapa nada mais é do que uma árvore maximal e o problema fica trivial. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 27 13:47:53 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA02092 for obm-l-MTTP; Thu, 27 Feb 2003 13:45:16 -0300 Received: (from nicolau@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA02087 for obm-l@mat.puc-rio.br; Thu, 27 Feb 2003 13:45:15 -0300 Date: Thu, 27 Feb 2003 13:45:15 -0300 From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: =?iso-8859-1?Q?=5Bobm-l=5D_Re:_=5Bobm-l=5D_Algum=5Fprogresso=5F=28seq=FC?= =?iso-8859-1?Q?=EAncia=5Fde=5Fpot=EAncias=29?= Message-ID: <20030227134515.B1680@sucuri.mat.puc-rio.br> References: <20030226163743.60246.qmail@web20712.mail.yahoo.com> <001701c2ddc5$07fc5b70$2accfea9@gauss> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Disposition: inline Content-Transfer-Encoding: 8bit User-Agent: Mutt/1.2.5i In-Reply-To: <001701c2ddc5$07fc5b70$2accfea9@gauss>; from dopikas@uol.com.br on Wed, Feb 26, 2003 at 03:29:41PM -0300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Wed, Feb 26, 2003 at 03:29:41PM -0300, Domingos Jr. wrote: > Sinceramente, acho que você não deveria colocar um problema desses na > categoria dos triviais, primeiro porque o nível dos participantes não é > homogêneo e é para muitos esse é um problema difícil. > > Confesso que perdi um bom tempo para sacar que era possível aplicar o tma. > de Euler repetidamente ao problema para chegar a solução, esse problema > certamente não foi trivial para mim. > > Aliás, fiquei curioso, foi você quem criou o problema, simplesmente > encontrou e o resolveu ou já o encontrou resolvido? Este problema, tanto quanto eu saiba, foi inventado pelo Gugu e por mim quando preparávamos uma prova de seleção para a IMO (e entrou na prova). A nossa solução era bem parecida com a apresentada pelo Okakome. Note que seguindo a solução já apresentada não é muito difícil obter uma estimativa para o ponto a partir do qual os algarismos ficam constantes. []s, N. PS: Quando você encontrar um problema que fale dos últimos 1000 algarismos de alguma coisa é uma boa aposta dizer que tem o dedo do Gugu. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 27 13:58:17 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA02426 for obm-l-MTTP; Thu, 27 Feb 2003 13:55:01 -0300 Received: (from nicolau@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA02420 for obm-l@mat.puc-rio.br; Thu, 27 Feb 2003 13:55:00 -0300 Date: Thu, 27 Feb 2003 13:55:00 -0300 From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: =?iso-8859-1?Q?=5Bobm-l=5D_Re:_=5Bobm-l=5D_Re:_=5Bobm-l=5D_D=FAvida_de_v?= =?iso-8859-1?Q?estibular?= Message-ID: <20030227135500.C1680@sucuri.mat.puc-rio.br> References: <20030226165408.71467.qmail@web20703.mail.yahoo.com> <002f01c2ddce$ca46e340$2accfea9@gauss> <20030227134056.A1680@sucuri.mat.puc-rio.br> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Disposition: inline Content-Transfer-Encoding: 8bit User-Agent: Mutt/1.2.5i In-Reply-To: <20030227134056.A1680@sucuri.mat.puc-rio.br>; from nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br on Thu, Feb 27, 2003 at 01:40:56PM -0300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Thu, Feb 27, 2003 at 01:40:56PM -0300, Nicolau C. Saldanha wrote: > Eu [ainda] não sei resolver o problema do Okakome mas... Aliás, Okakamo. Desculpe. De que origem é este nome? Procurando no Google encontrei um Okakamo Matsubachi mencionado na Eureka 14 e um Kokobongo em http://cs.tklan.com.br:8001/stats/player_a29rb2Jvbmdv.html que parece ser o apelido de um jogador em algum tipo de jogo. Também há um CD Kokobongo mencionado em http://sites.uol.com.br/marcomarrero/planeta/planeta0709/pagina1.htm e um Kokobongo Bar em Balneário Gaivota: http://www.jmnet.com.br/colunistas/claudete_matos.htm O nome Kokobongo também aparece em uma página em japonês: http://hamq.jp/stdB.cfm?i=DREAMNIGHT&pn=13 []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 27 14:09:30 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA02984 for obm-l-MTTP; Thu, 27 Feb 2003 14:06:46 -0300 Received: from web12907.mail.yahoo.com (web12907.mail.yahoo.com [216.136.174.74]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id OAA02978 for ; Thu, 27 Feb 2003 14:06:41 -0300 Message-ID: <20030227170610.63838.qmail@web12907.mail.yahoo.com> Received: from [200.206.103.3] by web12907.mail.yahoo.com via HTTP; Thu, 27 Feb 2003 14:06:10 ART Date: Thu, 27 Feb 2003 14:06:10 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Johann=20Peter=20Gustav=20Lejeune=20Dirichlet?= Subject: Re: [obm-l] Problema interessante To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <006401c2de76$6e5708a0$3300c57d@bovespa.com> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-1026795046-1046365570=:62105" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --0-1026795046-1046365570=:62105 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Essa tecnica e muito boa de se aplicar em problemas!!!Tem o da Eureka 8 que o Humberto resolveu,a Cone Sul e talvez um da IMO. Cláudio_(Prática) wrote:Oi, JG: Legal! Usa a mesma idéia básica que a minha, mas você chega lá por uma rota diferente. Acho que essa idéia de particionar o conjunto {1,2,...,2n} de duas forma distintas pode ser usada em várias ocasiões. É uma técnica boa de se ter no repertório. Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "João Gilberto Ponciano Pereira" To: Sent: Thursday, February 27, 2003 10:50 AM Subject: RE: [obm-l] Problema interessante > "Tome uma partição QUALQUER de {1,2,...,2n} em dois conjuntos A e B com n > elementos cada. Ponha os elementos de A em ordem crescente a_1<...os > de B em ordem decrescente b_1>...>b_n. Prove que: > > |a_1-b_1| + ... + |a_n-b_n| = n^2" > > Acabei esquecendo de mandar a resposta, mas aqui vai ela, espero que em > tempo.... > > Vamos chamar os conjuntos: > x = {1 a n} e y={n+1 a 2n} > > Vamos supor que o conjunto A é formado de tal forma que possua m elementos > de Y e n-m elementos de X. Logo, o conjunto B é obrigatoriamente formado por > m elementos de x e n-m elementos de Y. > > Então podemos considerar que: > RESULTADO = |a_1-b_1| + ... + |a_n-b_n| = (a1 - b1) + (a2 - b2) + ... + (am > - bm) - ((am+1 - bm+1) + ... +(an - bn))= > soma a (1 a m) - soma b(1 a m) - soma a(m+1 a n) + soma b(m+1 a n) > > Se voltarmos a suposição inicial, soma a (1 a m) + soma b(m+1 a n) é a soma > dos elementos do conjunto Y, e soma b(1 a m) + soma a(m+1 a n) é a soma dos > elementos de X. > > Logo, temos que: > RESULTADO = soma(n+1 a 2n) - soma(1 a n) = n*n + soma(1 a n) - soma(1 a n) > =n^2 > > -----Original Message----- > From: Cláudio (Prática) [mailto:claudio@praticacorretora.com.br] > Sent: Monday, February 24, 2003 2:48 PM > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] Problema interessante > > > > Taí um resultado inesperado (pelo menos pra mim): > > Tome uma partição QUALQUER de {1,2,...,2n} em dois conjuntos A e B com n > elementos cada. Ponha os elementos de A em ordem crescente a_1<...os > de B em ordem decrescente b_1>...>b_n. Prove que: > > |a_1-b_1| + ... + |a_n-b_n| = n^2. > > Um abraço, > Claudio. > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. 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Essa tecnica e muito boa de se aplicar em problemas!!!Tem o da Eureka 8 que o Humberto resolveu,a Cone Sul e talvez um da IMO.

 Cláudio_(Prática) <claudio@praticacorretora.com.br> wrote:

Oi, JG:

Legal! Usa a mesma idéia básica que a minha, mas você chega lá por uma rota
diferente.
Acho que essa idéia de particionar o conjunto {1,2,...,2n} de duas forma
distintas pode ser usada em várias ocasiões.
É uma técnica boa de se ter no repertório.

Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "João Gilberto Ponciano Pereira"
To:
Sent: Thursday, February 27, 2003 10:50 AM
Subject: RE: [obm-l] Problema interessante


> "Tome uma partição QUALQUER de {1,2,...,2n} em dois conjuntos A e B com n
> elementos cada. Ponha os elementos de A em ordem crescente a_1<...os
> de B em ordem decrescente b_1>...>b_n. Prove que:
>
> |a_1-b_1| + ... + |a_n-b_n| = n^2"
>
> Acabei esquecendo de mandar a resposta, mas aqui vai ela, espero que em
> tempo....
>
> Vamos chamar os conjuntos:
> x = {1 a n} e y={n+1 a 2n}
>
> Vamos supor que o conjunto A é formado de tal forma que possua m elementos
> de Y e n-m elementos de X. Logo, o conjunto B é obrigatoriamente formado
por
> m elementos de x e n-m elementos de Y.
>
> Então podemos considerar que:
> RESULTADO = |a_1-b_1| + ... + |a_n-b_n| = (a1 - b1) + (a2 - b2) + ... +
(am
> - bm) - ((am+1 - bm+1) + ... +(an - bn))=
> soma a (1 a m) - soma b(1 a m) - soma a(m+1 a n) + soma b(m+1 a n)
>
> Se voltarmos a suposição inicial, soma a (1 a m) + soma b(m+1 a n) é a
soma
> dos elementos do conjunto Y, e soma b(1 a m) + soma a(m+1 a n) é a soma
dos
> elementos de X.
>
> Logo, temos que:
> RESULTADO = soma(n+1 a 2n) - soma(1 a n) = n*n + soma(1 a n) - soma(1 a n)
> =n^2
>
> -----Original Message-----
> From: Cláudio (Prática) [mailto:claudio@praticacorretora.com.br]
> Sent: Monday, February 24, 2003 2:48 PM
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: [obm-l] Problema interessante
>
>
>
> Taí um resultado inesperado (pelo menos pra mim):
>
> Tome uma partição QUALQUER de {1,2,...,2n} em dois conjuntos A e B com n
> elementos cada. Ponha os elementos de A em ordem crescente a_1<...os
> de B em ordem decrescente b_1>...>b_n. Prove que:
>
> |a_1-b_1| + ... + |a_n-b_n| = n^2.
>
> Um abraço,
> Claudio.
>
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O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-1026795046-1046365570=:62105-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 27 15:00:53 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA05346 for obm-l-MTTP; Thu, 27 Feb 2003 14:57:56 -0300 Received: from utahjazz.vesper.com.br ([200.218.62.20]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA05342 for ; Thu, 27 Feb 2003 14:57:47 -0300 Received: from tlpsrvnws02.rj.vespersa.com.br ([10.21.25.16]) by utahjazz.vesper.com.br with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5329); Thu, 27 Feb 2003 14:56:52 -0300 Received: by tlpsrvnws02.rj.vespersa.com.br with Internet Mail Service (5.5.2656.59) id ; Thu, 27 Feb 2003 14:52:07 -0300 Message-ID: From: =?iso-8859-1?Q?Jo=E3o_Gilberto_Ponciano_Pereira?= To: "'obm-l@mat.puc-rio.br'" Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?RE=3A_=5Bobm-l=5D_Re=3A_=5Bobm-l=5D_Re=3A_=5Bob?= =?iso-8859-1?Q?m-l=5D_D=FAvida_de_vestibular?= Date: Thu, 27 Feb 2003 14:53:05 -0300 MIME-Version: 1.0 X-Mailer: Internet Mail Service (5.5.2656.59) Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" X-OriginalArrivalTime: 27 Feb 2003 17:56:52.0390 (UTC) FILETIME=[9BB34C60:01C2DE89] Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id OAA05343 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Este é um problema interessante! Mas acho que faltou dizer que as cidades em questão fazem parte do mesmo país, ou seja, a cidade A pertence a um país C se existe pelo menos uma estrada que vá de A para alguma cidade pertencente a C. Acho que a solução é mais ou menos assim: A "pegadinha" é provar que se existe um caminho que vai de Cn para Cm, então existe o caminho de volta de Cm para Cn. Prova: seja Pi o "peso" do número de estradas da cidade Ci, que é o número de estradas que entram mais o número de estradas que saem. Supondo que o viajante pega o carro de Cm e vai para Cn passando por algumas cidades. Como ele saiu de Cm, o peso Pm será 1. Para as outras cidades, o peso é 2i, pois ele chegou e saiu. Para Cn, o peso é 2i+1, pois ele chegou. Veja que as cidades devem ter Pi par, pois o número de estradas que chegam é o mesmo das que saem. Logo, o ciclo de volta sempre terminará em Cm. Suponha agora um país com 2 cidades A e B. Se A chega a B, temos que B chega a A, e o número de mapas é igual. Acrescentando uma cidade C no país, ela será ligada em A, sem perda de generalidade. Ora, se A chega em C e B chega em A, então B chega em C e, pela volta, C chega em B. Logo, por indução, vc consegue chegar em qualquer cidade de um determinado país com N cidades, o número de mapas possíveis é N-1. -----Original Message----- From: Nicolau C. Saldanha [mailto:nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br] Sent: Thursday, February 27, 2003 1:41 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida de vestibular Eu [ainda] não sei resolver o problema do Okakome mas... On Wed, Feb 26, 2003 at 04:39:33PM -0300, Domingos Jr. wrote: > > Oi Pessoal, > > Estava estudando análise combinatória por uma > > apostila de um curso pré-vestibular, e encontrei o > > seguinte problema, que achei interessante, mas minha > > solução foi muito longa, e não sei se está certa, > > porque tinha muitos casos. Se estivesse num > > vestibular, o que faria? > > Num país, as estradas ligam duas cidades e são de > > mão única (pode haver mais de uma estrada entre duas > > cidades). O número de estradas que partem de cada > > cidade é igual ao número de estradas que chegam nessa > > cidade. Um mapa da cidade C é um conjunto de rotas > > que: 1) levam C a cada uma das outras cidades do país, > > sem passar por uma cidade mais de uma vez. 2) Se uma > > rota parte de C a D passando por E, então a rota que > > vai de C a E coincide com o começo da rota de C a D. > > Prove que o número de mapas da cidade C é igual ao > > número de mapas de qualquer outra cidade. > > Acho que esse enunciado não está completo: > - se existe uma cidade com nenhuma estrada partindo ou chegando possui um > número de rotas 0 e não vai ser igual as demais, até aí é um caso idiota que > pode ser excluído do problema. Neste caso não existe nenhum mapa pois é impossível ligar C a X, a cidade sem estradas. O problema fica correto pois o número de mapas é sempre 0. > - se existem conjuntos de cidades "disjuntos" ou seja cidades de um conjunto > A não possuem rota nenhuma para as cidades do conjunto B e vice-versa: > > C1 <-------> C2 ( 1 estrada de C1 -> C2 e outra de C2 -> C1 ) > C3 <======> C4 ( 2 estradas de C3 -> C4 e duas de C4 -> C3 ) > > neste caso temos que o número de rotas de N(C1) = N(C2) = 1, mas N(C3) = > N(C4) = 2. Também neste caso o número de mapas é sempre 0. > além disso, há um trecho que eu considero confuso: > > "2) Se uma rota parte de C a D passando por E, então a rota que vai de C a E > coincide com o começo da rota de C a D" > nessa situação parece que a rota de C a E deve ser única, mas podem haver > outras rotas de C até E sem que uma cidade seja visitada mais de uma vez... > mesmo que sempre fossem escolhidos os caminhos que passem por menos cidades > isso poderia ocorrer já que é permitido haver mais de uma estrada ligando > duas cidades. Acho que ajuda considerar o caso em que todas as estradas são de mão dupla: neste caso um mapa nada mais é do que uma árvore maximal e o problema fica trivial. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 27 15:07:55 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA05528 for obm-l-MTTP; Thu, 27 Feb 2003 15:05:23 -0300 Received: from ns3bind.localdomain ([200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA05511 for ; Thu, 27 Feb 2003 15:05:15 -0300 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1RI33X02240 for ; Thu, 27 Feb 2003 15:03:03 -0300 Message-ID: <045f01c2de8a$b87abda0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?Windows-1252?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: Subject: [obm-l] Problemas em Aberto III Date: Thu, 27 Feb 2003 15:04:48 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_045A_01C2DE71.923961A0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_045A_01C2DE71.923961A0 Content-Type: text/plain; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable HelpMais problemas n=E3o resolvidos da lista: 21) (CHINA) 10 pessoas chegaram a uma livraria. Sabe-se que : A) Todos as pessoas compraram livros de 3 disciplinas B) Para quaisquer duas pessoas existe ao menos uma disciplina sobre a = qual=20 ambas compraram livros. Enumerando-se as disciplinas sobre as quais ha livros na livraria, seja = M(i)=20 o numero de pessoas que compraram livros da disciplina "i". Qual e o = menor=20 valor positivo possivel para o MAXIMO de {M(1), M(2), ... } ? ************** 22) Tr=EAs sobre Divis=F5es do Plano 22.1) V=E1rios ret=E2ngulos s=E3o desenhados numa superf=EDcie plana, de = modo que os cruzamentos entre suas linhas produzem 18.769 =E1reas = distintas n=E3o subdividas. Qual o n=FAmero m=EDnimo de desenhos de = ret=E2ngulos necess=E1rio para formar o padr=E3o descrito? =20 22.2) V=E1rios segmentos retos s=E3o tra=E7ados numa superf=EDcie plana, = de modo que os cruzamentos entre suas linhas produzem 1.597 =E1reas = distintas n=E3o subdividas. Qual o n=FAmero m=EDnimo de tra=E7os = necess=E1rio para formar o padr=E3o descrito? =20 22.3) S=E3o desenhados 1 + 10^1.234.567.890 tri=E2ngulos numa = superf=EDcie plana. Qual =E9 o n=FAmero m=E1ximo de =E1reas distintas = n=E3o subdividas que podem ser formadas pela intersec=E7=E3o desses = tri=E2ngulos?=20 OBS: n=E3o se deve considerar a regi=E3o exterior aos poligonos ********** 23) Tr=EAs de Recorr=EAncia: 23.1) Uma planta =E9 tal que cada uma de suas sementes=20 produz um ano apos ter sido plantada , 21 novas sementes=20 e apartir da=ED , 44 novas sementes a cada ano .Se=20 plantarmos hoje uma semente e se , toda vez que uma=20 semente for produzida ela for imediatamente plantada ,=20 qtas sementes ser=E3o produzidas daqui a n anos? 23.2) o salario de carmelino no mes n =E9 sn=3Da +bn.Sua renda=20 mensal =E9 formada pelo sal=E1rio e pelos juros de suas=20 aplica=E7=F5es financeiras.Ele poupa anualmente 1/p de sua=20 renda e investe sua poupan=E7a a juros mensais de taxa=20 i.determine a renda de carmelino no mes i. 23.3) 5 times de igual for=E7a disputar=E3o todo o ano um=20 torneio.Uma ta=E7a ser=E1 ganha pelo time que vencer 3 vezes=20 consecutivas.Qual a probabilidade da ta=E7a ser ganha nos=20 n primeiros torneios?=20 ************* 24) Prove que a soma dos comprimentos dos lados de um poliedro=20 convexo qualquer =E9 maior que 3 vezes a maior distancia entre dois = vertices=20 do poliedro. ************ 25) Um alien=EDgena move-se na superf=EDcie de um planeta com velocidade = n=E3o superior a U. Uma espa=E7onave que procura pelo alien=EDgena = move-se com=20 velocidade V. Prove que a espa=E7onave sempre poder=E1 encontrar o = alin=EDgena =20 se V > 10U. ************ 26) Ache todos os pares (x,y) de inteiros positivos tais que z=3D( 9*x^2 + 50*x*y + 9*y^2)^1/2 seja tamb=E9m um n=FAmero=20 inteiro. ************ 27) Considere um poligono convexo de N lados. Determine, em fun=E7=E3o = de=20 N, de quantas maneiras distintas e possivel dividir este poligono em = areas=20 triangulares usando-se tao somente as diagonais deste poligono. NOTA : Imagine que o poligono esta fixo, nao podendo girar ou = transladar. SUGESTAO : IMAGINE uma divisao valida ! Entao e possivel imaginar o = poligono=20 como um "quebra-cabeca" no qual cada peca e um triangulo ... Dado que de = cada vertice partem N-3 diagnais, considere sobre tal configurcao o = efeito=20 de se tracar outras diagonais. *********** ------=_NextPart_000_045A_01C2DE71.923961A0 Content-Type: text/html; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Help
Mais problemas n=E3o resolvidos da=20 lista:
 
21) (CHINA) 10 pessoas chegaram a uma = livraria.=20 Sabe-se que :

A) Todos as pessoas compraram livros de 3 = disciplinas
B)=20 Para quaisquer duas pessoas existe ao menos uma disciplina sobre a qual=20
ambas compraram livros.

Enumerando-se as disciplinas sobre as = quais=20 ha livros na livraria, seja M(i)
o numero de pessoas que compraram = livros da=20 disciplina "i". Qual e o menor
valor positivo possivel para o MAXIMO = de=20 {M(1), M(2), ... } ?
 
**************
 
22) Tr=EAs sobre Divis=F5es do = Plano

22.1) V=E1rios ret=E2ngulos s=E3o = desenhados numa=20 superf=EDcie plana, de modo que os cruzamentos entre suas linhas = produzem 18.769=20 =E1reas distintas n=E3o subdividas. Qual o n=FAmero m=EDnimo de desenhos = de ret=E2ngulos=20 necess=E1rio para formar o padr=E3o descrito? 

22.2) V=E1rios segmentos retos s=E3o = tra=E7ados numa=20 superf=EDcie plana, de modo que os cruzamentos entre suas linhas = produzem 1.597=20 =E1reas distintas n=E3o subdividas. Qual o n=FAmero m=EDnimo de tra=E7os = necess=E1rio para=20 formar o padr=E3o descrito?  

22.3) S=E3o desenhados 1 + = 10^1.234.567.890 tri=E2ngulos=20 numa superf=EDcie plana. Qual =E9 o n=FAmero m=E1ximo de =E1reas = distintas n=E3o subdividas=20 que podem ser formadas pela intersec=E7=E3o desses tri=E2ngulos? =

OBS: n=E3o se deve considerar = a regi=E3o=20 exterior aos poligonos

**********
 
23) Tr=EAs de = Recorr=EAncia:
 
23.1) Uma planta =E9 tal que cada = uma  de suas=20 sementes
produz um ano apos ter sido plantada , 21 novas sementes =
e=20 apartir  da=ED , 44 novas sementes a cada ano .Se
plantarmos = hoje uma=20 semente  e se , toda vez que uma
semente for produzida ela for=20 imediatamente plantada ,
qtas sementes ser=E3o produzidas daqui a n=20 anos?

23.2) o salario de carmelino no mes n =E9 sn=3Da +bn.Sua = renda=20
mensal =E9 formada pelo sal=E1rio e pelos juros de suas =
aplica=E7=F5es=20 financeiras.Ele poupa anualmente 1/p de sua
renda e investe sua = poupan=E7a a=20 juros mensais de taxa
i.determine a renda de carmelino no mes=20 i.

23.3) 5 times de igual for=E7a disputar=E3o todo o ano um =
torneio.Uma=20 ta=E7a ser=E1 ganha pelo time que vencer 3 vezes
consecutivas.Qual a = probabilidade da ta=E7a ser ganha nos
n primeiros torneios? =
*************
 
24) Prove que a soma dos comprimentos = dos lados de=20 um poliedro
convexo qualquer =E9 maior que 3 vezes a maior distancia = entre=20 dois vertices
do poliedro.
************

25) Um alien=EDgena move-se na = superf=EDcie de um=20 planeta com velocidade
n=E3o superior a U. Uma espa=E7onave que = procura pelo=20 alien=EDgena move-se com
velocidade V. Prove que a espa=E7onave = sempre =20 poder=E1 encontrar o alin=EDgena 
se V > = 10U.
************
 
26) Ache todos os pares (x,y) de = inteiros=20 positivos tais que
z=3D( 9*x^2 + 50*x*y + 9*y^2)^1/2 seja = tamb=E9m um n=FAmero=20
inteiro.
 
************
 
27) Considere um poligono convexo de N = lados.=20 Determine, em fun=E7=E3o de
N, de quantas maneiras distintas e = possivel dividir=20 este poligono em areas
triangulares usando-se tao somente as = diagonais deste=20 poligono.

NOTA : Imagine que o poligono esta fixo, nao podendo = girar ou=20 transladar.

SUGESTAO : IMAGINE uma divisao valida ! Entao e = possivel=20 imaginar o poligono
como um "quebra-cabeca" no qual cada peca e um = triangulo=20 ... Dado que de
cada vertice partem N-3 diagnais, considere sobre = tal=20 configurcao o efeito
de se tracar outras diagonais.
 
***********
 
------=_NextPart_000_045A_01C2DE71.923961A0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 27 15:07:59 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA05515 for obm-l-MTTP; Thu, 27 Feb 2003 15:05:19 -0300 Received: from ns3bind.localdomain ([200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA05509 for ; Thu, 27 Feb 2003 15:05:12 -0300 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1RI30X02233 for ; Thu, 27 Feb 2003 15:03:00 -0300 Message-ID: <045901c2de8a$b6ac6640$3300c57d@bovespa.com> From: "=?Windows-1252?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: Subject: [obm-l] Problemas em Aberto II Date: Thu, 27 Feb 2003 15:04:44 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0450_01C2DE71.8F8ABC60" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0450_01C2DE71.8F8ABC60 Content-Type: text/plain; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable HelpContinuando a compila=E7=E3o de problemas n=E3o resolvidos da lista: 11. Dado um corredor com 1 metro de largura, que faz uma "curva" de 90 = graus e continua com a mesma largura, qual a figura plana de maior =E1rea = poss=EDvel que pode fazer essa curva? Observe que o formato dessa area pode ser qualquer e, = obviamente, ela =E9 suposta rigida. (Acho que este problema ainda est=E1 em aberto - e n=E3o s=F3 aqui na = lista. De qualquer forma....) ********** 12. Dada a sequencia a[n+1]=3D 2a[1]*a[n] - a[n-1] definida para todo = n>=3D1 tal que a[0]=3D100 e a[100]=3D 0.=20 a) Mostre que | a[1] |<=3D1. b) Determine a[2003]. ********** 13. X, Y e Z s=E3o reais positivos e satisfazem o sistema abaixo, X^2 + XY + (Y^2)/3 =3D 25 (Y^2)/3 + Z^2 =3D 9 Z^2 + ZX + X^2 =3D 16 Encontre o valor de ( XY + 2YZ + 3ZX ). SUGEST=C3O : Voc=EA nao precisa, necessariamente, resolver o sistema ... ********** 14. De quantas formas podemos colocar N rainhas em um tabuleiro NxN tal que nenhuma rainha possa enxergar outra? obs: uma rainha enxerga outra se ambas estiverem na mesma coluna, linha ou diagonal. (Este problema tamb=E9m est=E1 em aberto. Talvez valha a pena tentar com = Torres e Bispos ao inv=E9s de Rainhas) *********** 15.=20 >=20 > _ _ _ _ _ _ _ 1 2 ... n _ > _|_| |_|_| |_|_|_|_|_|_|_ > B \_\ /_/ A > \_|_/ > |_| > |_| > |_| C > |o| >=20 > Imagine que o 'desenho' acima =E9 uma linha f=E9rrea, > aonde o segmento B =E9 extens=E3o do segmento A e o > segmento C se conecta com ambos segmentos. > Os numeros no segmento A representam n vag=F5es > _soltos_ e enumerados. > Os vagoes podem se mover de A -> B, A -> C e C -> B, > mas nunca de C -> A nem B -> A nem B -> C.. >=20 > De quantas formas eh possivel reagrupar os vag=F5es no > segmento B? >=20 > (h=E1 espa=E7o suficiente para n vag=F5es tanto em A, > quanto em B e em C) ************ 16. Seja f uma fun=E7=E3o cont=EDnua em [a,b] e diferenci=E1vel em = (a,b). A) =C9 poss=EDvel que, apesar de existir, f' seja descont=EDnua em todo = ponto de (a,b). B) Em caso afirmativo, ser=E1 que a condi=E7=E3o f(a) < f(b) =E9 = suficiente para garantir que exista um sub-intervalo [c,d] (a <=3D c < d = <=3D b) onde f =E9 crescente? ********** 17. a, b, c, d s=E3o n=FAmeros reais n=E3o-negativos tais que: ab+ac+ad+bc+bd+cd+abc+abd+acd+bcd=3D2. Mostre que: 3(a+b+c+d)>=3D4(ab+ac+ad+bc+bd+cd). ********* 18. Numa loteria sao sorteados 7 numeros escolhidos aleatoriamente de = {1,2,3,...,48,49}. Cada cartao de apostas deve ser preenchido com = exatamente 7 numeros. Uma pessoa pode pode apostar quantos cartoes = desejar sem pagar nada, desde que quaisquer dois cartoes de sua aposta = tenham, NO MAXIMO, uma dezena em comum. O primeiro premio e dado a = pessoa que acertar o maior numero de triplos. A) Exiba uma aposta gratuita que tenha a maxima probabibilidade de = ganhar o primeiro premio. B) Qual o valor da probabilidade acima ? *********** 19. Suponha que os n=FAmeros da forma 2^x * 3^y (x, y: inteiros n=E3o = negativos) s=E3o colocados em ordem crescente. Prove que existem termos = consecutivos - digamos 2^a * 3^b e 2^c * 3^d - tais que um dos = n=FAmeros | a - c | ou | b - d | =E9 t=E3o grande quanto se queira. ************* 20. Duas de An=E1lise Real: A) Prove que se f:{a, b) -> R =E9 cont=EDnua em c em (a,b) e lim x-> c f'(x) =3D L, ent=E3o f'(c) =3D L. A partir da=ED, conclua que derivadas = jamais apresentam descontinuidades do tipo salto. Conclua tamb=E9m que se f' = =E9 monot=F4nica em um intervalo I, ent=E3o f'=E9 cont=EDnua em I. B) Suponhamos que f seja diferenci=E1vel em R e seja k<>0. Mostre que: B.1) se k>0, ent=E3o lim x -> infinito f'(x) + k f(x) =3D L, L em R, = implica que lim x-> infinito f('x) =3D 0 e lim x-> infinito f(x) =3D L/k B.2) se k<0, ent=E3o lim x-> infinito f'(x) + k f(x) =3D L, L em R, s=F3 = =E9 poss=EDvel se lim x-> e^(kx) f(x) =3D 0, caso em que temos tamb=E9m lim = x-> infinito f('x) =3D 0 e lim x-> infinito f(x) =3D L/k sugest=E3o : defina h(x) =3D e^(kx) f(x) g(x) =3D e^(kx) . Logo, f(x) = =3D h(x)/g(x). Use L'Hopital. ************** ------=_NextPart_000_0450_01C2DE71.8F8ABC60 Content-Type: text/html; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Help
Continuando a compila=E7=E3o de = problemas n=E3o=20 resolvidos da lista:
 
11. Dado um corredor com 1 metro de = largura, que=20 faz uma "curva" de 90 graus e
continua com a mesma largura, = qual a=20 figura plana de maior =E1rea poss=EDvel que pode fazer
essa curva? = Observe que o=20 formato dessa area pode ser qualquer e, obviamente, ela =E9 suposta = rigida.
(Acho que este problema ainda est=E1 em = aberto - e=20 n=E3o s=F3 aqui na lista. De qualquer forma....)
 
**********
 
12. Dada a sequencia a[n+1]=3D = 2a[1]*a[n] -=20 a[n-1] definida para todo n>=3D1 tal que a[0]=3D100 e a[100]=3D = 0.=20

a) Mostre que | a[1] = |<=3D1.

b) Determine a[2003].

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13.  X, Y e Z s=E3o reais positivos=20 e satisfazem o sistema abaixo,

X^2 + XY + (Y^2)/3 =3D = 25
(Y^2)/3 +=20 Z^2 =3D 9
Z^2 + ZX + X^2 =3D 16

Encontre o valor de ( XY + 2YZ = + 3ZX=20 ).

SUGEST=C3O : Voc=EA nao precisa, necessariamente, resolver o = sistema=20 ...

**********

14. De quantas formas podemos colocar N = rainhas em=20 um
tabuleiro NxN tal que nenhuma rainha possa = enxergar
outra?

obs:=20 uma rainha enxerga outra se ambas estiverem na
mesma coluna, linha ou = diagonal.
(Este problema tamb=E9m est=E1 em aberto. Talvez valha a = pena tentar=20 com Torres e Bispos ao inv=E9s de Rainhas)

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15. 
>
> _ _ _ _ _ _ _ = 1 2 ... n=20 _
> _|_| |_|_| |_|_|_|_|_|_|_
> B   \_\=20 /_/      A
>     =  =20 \_|_/
>        |_|
>&= nbsp;     =20  |_|
>        |_|=20 C
>        |o|
>
> = Imagine=20 que o 'desenho' acima =E9 uma linha f=E9rrea,
> aonde o segmento B = =E9 extens=E3o=20 do segmento A e o
> segmento C se conecta com ambos = segmentos.
> Os=20 numeros no segmento A representam n vag=F5es
> _soltos_ e=20 enumerados.
> Os vagoes podem se mover de A -> B, A -> C e C = ->=20 B,
> mas nunca de C -> A nem B -> A nem B -> C..
> =
>=20 De quantas formas eh possivel reagrupar os vag=F5es no
> segmento = B?
>=20
> (h=E1 espa=E7o suficiente para n vag=F5es tanto em A,
> = quanto em B e=20 em C)

************

16. Seja f uma fun=E7=E3o cont=EDnua em = [a,b] e=20 diferenci=E1vel em (a,b).

A) =C9 poss=EDvel que, apesar de = existir, f' seja=20 descont=EDnua em todo ponto de (a,b).

B) Em caso afirmativo, ser=E1 que a = condi=E7=E3o f(a) <=20 f(b) =E9 suficiente para garantir que exista um sub-intervalo [c,d] (a = <=3D c=20 < d <=3D b) onde f =E9 crescente?

**********

17. a, b, c, d s=E3o n=FAmeros reais = n=E3o-negativos=20 tais que:

 ab+ac+ad+bc+bd+cd+abc+abd+acd+bcd=3D2.

Mostre que:

3(a+b+c+d)>=3D4(ab+ac+ad+bc+bd+cd).

*********

18. Numa loteria sao sorteados 7 numeros = escolhidos=20 aleatoriamente de {1,2,3,...,48,49}. Cada cartao de apostas deve ser = preenchido=20 com exatamente 7 numeros. Uma pessoa pode pode apostar quantos = cartoes=20 desejar sem pagar nada, desde que quaisquer dois cartoes de sua aposta = tenham,=20 NO MAXIMO, uma dezena em comum. O primeiro premio e dado a pessoa que = acertar o=20 maior numero de triplos.
A) Exiba uma aposta gratuita que tenha a = maxima=20 probabibilidade de ganhar o primeiro premio.
B) Qual o valor da = probabilidade=20 acima ?

***********

19. Suponha que os n=FAmeros da forma 2^x = * 3^y (x, y:=20 inteiros n=E3o negativos) s=E3o colocados em ordem crescente. Prove que = existem=20 termos consecutivos - digamos 2^a * 3^b  e  2^c * 3^d - tais = que um=20 dos n=FAmeros | a - c |  ou  | b - d | =E9 t=E3o grande quanto = se=20 queira.

*************

20. Duas de An=E1lise Real:

A) Prove que se f:{a, b) -> R  = =E9 cont=EDnua em=20 c em (a,b) e lim x-> c
f'(x) =3D L, ent=E3o f'(c) =3D L. A partir = da=ED, conclua=20 que derivadas jamais
apresentam descontinuidades do tipo salto. = Conclua=20 tamb=E9m que se f' =E9
monot=F4nica em um intervalo I, ent=E3o f'=E9 = cont=EDnua em=20 I.

B) Suponhamos que f seja diferenci=E1vel em R e seja = k<>0. Mostre=20 que:
B.1) se k>0, ent=E3o lim x -> infinito f'(x) + k f(x) =3D = L, L em=20 R,  implica
que lim x-> infinito f('x) =3D 0 e lim x-> = infinito f(x)=20 =3D L/k
B.2) se k<0, ent=E3o lim x-> infinito f'(x) + k f(x) = =3D L, L em R,=20 s=F3 =E9
poss=EDvel se lim x-> e^(kx) f(x) =3D 0, caso em que = temos tamb=E9m lim=20 x->
infinito f('x) =3D 0 e lim x-> infinito  f(x) =3D = L/k
sugest=E3o=20 : defina h(x) =3D e^(kx) f(x) g(x) =3D e^(kx) . Logo, f(x) = =3D
h(x)/g(x). Use=20 L'Hopital.

**************

------=_NextPart_000_0450_01C2DE71.8F8ABC60-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 27 15:08:00 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA05522 for obm-l-MTTP; Thu, 27 Feb 2003 15:05:22 -0300 Received: from ns3bind.localdomain ([200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA05505 for ; Thu, 27 Feb 2003 15:05:11 -0300 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1RI2rX02227 for ; Thu, 27 Feb 2003 15:02:53 -0300 Message-ID: <044b01c2de8a$b27413c0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?Windows-1252?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: Subject: [obm-l] Problemas em Aberto Date: Thu, 27 Feb 2003 15:04:34 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0444_01C2DE71.89E126A0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0444_01C2DE71.89E126A0 Content-Type: text/plain; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable HelpCaros colegas da lista: Muitas vezes um problema =E9 proposto na lista, nenhuma solu=E7=E3o =E9 = dada nos dias seguintes e logo o problema cai no esquecimento. Assim, = resolvi fazer uma compila=E7=E3o (temo que incompleta) daqueles = problemas da lista que ficaram sem solu=E7=E3o. 1. Seja=20 A =3D | A1 | | A2 | uma matriz m x n com A1 n x n n=E3o singular e A2 uma matriz (m-n) x n = arbitr=E1ria A+ =E9 a pseudo-inversa de A, definida como=20 A+ =3D (A' * A)^(-1) * A' prove que ||A+|| <=3D ||(A1)^(-1)|| =20 OBS: A norma aqui =E9 induzida: ||A|| =3D sup ||Ax|| ||x|| =3D 1 ********* 2. =C9 poss=EDvel que um polin=F4mio de coeficientes inteiros P(X) = irredut=EDvel se fatore em Z/(n) para todo n natural ? ********* 3. A e B s=E3o cantos opostos de um tabuleiro n x n, dividido em n^2=20 quadradinhos por linhas paralelas a seus lados. Em cada quadradinho =E9=20 tra=E7ada sua diagonal paralela a AB, tal que o tabuleiro fica dividido = em=20 2n^2 tri=E2ngulinhos. O tabuleiro tem (n + 1)^2 pontos que s=E3o = v=E9rtices dos=20 quadrinhos e um qrande n=FAmero de segmentos, cada qual medindo 1 ou = sqrt2.=20 Uma pe=E7a move-se de A at=E9 B atrav=E9s dos segmentos. Ela nunca passa = duas=20 vezes pelo mesmo segmento e seu caminho inclui exatamente dois lados de = cada=20 tri=E2ngulinho. Para qual n isto =E9 poss=EDvel? ********* 4.=20 A) As medidas dos =E2ngulos agudos de um tri=E2ngulo pitag=F3rico = (tri=E2ngulo ret=E2ngulo cujos lados t=EAm medida inteira) n=E3o s=E3o = inteiras (quando expressos em graus). B) Se os lados de um tri=E2ngulo t=EAm medida inteira e um de seus = =E2ngulos tem medida inteira, ent=E3o esse =E2ngulo mede 60, 90 ou 120 = graus. C) Se um tri=E2ngulo tem os tr=EAs lados e os tr=EAs =E2ngulos com = medida inteira ent=E3o ele =E9 equil=E1tero. ********* 5. Nos festejos juninos, 20 casais de dan=E7arinos s=E3o colocados em = c=EDrculo de tal maneira que um homem e uma mulher formando um par = est=E3o situados diametralmente opostos. Durante a dan=E7a, dois = dan=E7arinos adjacentes trocam de lugar enquanto todos os outros = permanecem na mesma posi=E7=E3o. Essa mudan=E7a =E9 repetida com pares = adjacentes at=E9 que, na posi=E7=E3o final, os dois dan=E7arinos de cada = par estejam novamente diametralmente opostos, mas na posi=E7=E3o = contr=E1ria da inicial. Ent=E3o o n=FAmero m=EDnimo de mudan=E7as, de = dois dan=E7arinos adjacentes, para acontecer isso =E9: (a) 20! (b) 400 (c) 10! (d) 19! (e) 20 ************* 6. D=EA um exemplo de uma sequ=EAncia (Xn) de n=FAmeros reais tal que:=20 lim ( Xn / n^t ) =3D 0 para todo t > 0=20 e lim ( [log(n)]^k / Xn ) =3D 0 para todo k > 0 ********* 7. Um tri=E2ngulo tem lados com medida inteira e =E1rea racional. Prove = que uma de suas alturas tem medida inteira e que o p=E9 desta altura = est=E1 a uma dist=E2ncia inteira dos v=E9rtices do tri=E2ngulo. ********* 8. Um pol=EDgono convexo possui 2n lados. Prove que o pol=EDgono = cont=E9m no m=EDnimo n diagonais que n=E3o s=E3o paralelas a qualquer = de seus lados. ********* 9. Seja K um inteiro >=3D 2.=20 infinito Seja S =3D SOMAT=D3RIO 1 / K^(n^2) =3D 1/K + 1/K^4 + 1/K^9 + 1/K^16 + = ... n =3D 1 Prove que S =E9 irracional. ********* 10. Um m=E1gico tem cem cart=F5es numerados de 1 a 100. Coloca-os em tr=EAs caixas, uma vermelha, uma branca e uma azul, de modo que cada caixa cont=E9m pelo menos um cart=E3o. Uma pessoa da plat=E9ia escolhe duas das tr=EAs caixas, seleciona um cart=E3o de cada caixa e anuncia a soma dos n=FAmeros dos dois cart=F5es que escolheu. Ao saber esta soma, o m=E1gico identifica a caixa da qual n=E3o se retirou nenhum cart=E3o. Descreva todas as maneiras de se colocar todos os cart=F5es nas caixas de modo de que este truque sempre funcione? (Duas maneiras consideram-se diferentes se pelo menos um cart=E3o =E9 colocado numa caixa diferente). Uma formula=E7=E3o equivalente deste problema =E9: Determine todas as parti=E7=F5es do conjunto: {1, 2, ..., 100} em tr=EAs subconjuntos V, B e A, de forma que: V+B, V+A e B+A sejam disjuntos (V+B =3D {x + y tais que x pertence a V e y pertence a B}, idem para os = outros dois conjuntos-soma ) Por enquanto s=F3 foram encontradas duas solu=E7=F5es: V =3D {1, 4, 7, ..., 100} =3D {3k + 1} B =3D {2, 5, 8, ..., 98} =3D {3k + 2} A =3D {3, 6, 9, ..., 99} =3D {3k} (al=E9m das outras 5 permuta=E7=F5es de V, B e A} e V =3D {1} B =3D {100} A =3D {2, 3, ..., 99}=20 (tamb=E9m j=E1 se provou que esta =E9 a =FAnica parti=E7=E3o - a menos = de permuta=E7=F5es dos conjuntos - que tem dois conjuntos unit=E1rios) ************ ------=_NextPart_000_0444_01C2DE71.89E126A0 Content-Type: text/html; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Help
Caros colegas da lista:
 
Muitas vezes um problema =E9 proposto = na lista,=20 nenhuma solu=E7=E3o =E9 dada nos dias seguintes e logo o problema cai no = esquecimento.=20 Assim, resolvi fazer uma compila=E7=E3o (temo que incompleta) daqueles=20 problemas da lista que ficaram sem solu=E7=E3o.
 
1. Seja
A =3D | A1 |
      | A2 = |
uma matriz m x n com A1 n x n n=E3o = singular e A2 uma=20 matriz (m-n) x n arbitr=E1ria
 
A+ =E9 a pseudo-inversa de A, definida = como
A+ =3D=20 (A'  * A)^(-1) * A'
 
prove que ||A+|| <=3D = ||(A1)^(-1)|| =20
 
OBS: A norma aqui =E9 = induzida:
 ||A|| =3D  = sup ||Ax||
        ||x|| =3D = 1
 
*********
 
2. =C9 poss=EDvel que um polin=F4mio de = coeficientes=20 inteiros P(X) irredut=EDvel se fatore em Z/(n) para todo n natural=20 ?
 
*********
 
3. A e B s=E3o cantos opostos de um = tabuleiro n x n,=20 dividido em n^2
quadradinhos por linhas paralelas a seus lados. Em = cada=20 quadradinho =E9
tra=E7ada sua diagonal paralela a AB, tal que = o  tabuleiro=20 fica dividido em
2n^2 tri=E2ngulinhos. O tabuleiro tem (n + 1)^2 = pontos que=20 s=E3o v=E9rtices dos
quadrinhos e um qrande n=FAmero de segmentos, = cada qual=20 medindo 1 ou sqrt2.
Uma pe=E7a move-se de A at=E9 B atrav=E9s dos = segmentos. Ela=20 nunca passa duas
vezes pelo mesmo segmento e seu caminho inclui = exatamente=20 dois lados de cada
tri=E2ngulinho. Para qual n isto =E9 = poss=EDvel?
 
*********
 
4.
A) As medidas dos =E2ngulos agudos = de um=20 tri=E2ngulo pitag=F3rico (tri=E2ngulo ret=E2ngulo cujos lados t=EAm = medida inteira) n=E3o=20 s=E3o inteiras (quando expressos em graus).
 
B) Se os lados de um tri=E2ngulo t=EAm = medida inteira e=20 um de seus =E2ngulos tem medida inteira, ent=E3o esse =E2ngulo mede = 60, 90 ou 120=20 graus.
 
C) Se um tri=E2ngulo tem os tr=EAs = lados e os tr=EAs=20 =E2ngulos com medida inteira ent=E3o ele = =E9 equil=E1tero.
 
*********
 
5. Nos festejos juninos, 20 casais de = dan=E7arinos=20 s=E3o colocados em c=EDrculo de tal maneira que um homem e uma mulher = formando um=20 par est=E3o situados diametralmente opostos. Durante a dan=E7a, dois = dan=E7arinos=20 adjacentes trocam de lugar enquanto todos os outros permanecem na mesma = posi=E7=E3o.=20 Essa mudan=E7a =E9 repetida com pares adjacentes at=E9 que, na = posi=E7=E3o final, os dois=20 dan=E7arinos de cada par estejam novamente diametralmente opostos, mas = na posi=E7=E3o=20 contr=E1ria da inicial. Ent=E3o o n=FAmero m=EDnimo de mudan=E7as, de = dois dan=E7arinos=20 adjacentes, para acontecer isso =E9:
 
(a) 20!  (b) 400  (c) = 10!  (d)=20 19!  (e) 20
 
*************
 
6. D=EA um exemplo de uma sequ=EAncia = (Xn) de n=FAmeros=20 reais tal que:
 
lim  ( Xn / n^t ) =3D 0 para = todo t >=20 0 
e
lim ( [log(n)]^k / Xn ) =3D 0 para = todo k >=20 0

*********
 
7. Um tri=E2ngulo tem lados com medida = inteira e =E1rea=20 racional. Prove que uma de suas alturas tem medida inteira e que o p=E9 = desta=20 altura est=E1 a uma dist=E2ncia inteira dos v=E9rtices do = tri=E2ngulo.
 
*********
 
8. Um pol=EDgono convexo possui  = 2n  lados.=20 Prove que o pol=EDgono cont=E9m no m=EDnimo  n  = diagonais que n=E3o=20 s=E3o paralelas a qualquer de seus lados.
 
*********
 
9. Seja K um inteiro >=3D 2. =
          &nbs= p;           =20 infinito
Seja S  =3D  = SOMAT=D3RIO  1 / K^(n^2) =3D=20 1/K + 1/K^4 + 1/K^9 + 1/K^16 + ...
          &nbs= p;            = ; n=20 =3D 1
Prove que S =E9 = irracional.
 
*********
 
10. Um m=E1gico tem cem cart=F5es = numerados de 1 a=20 100.
Coloca-os em tr=EAs caixas, uma vermelha, uma branca e
uma = azul, de=20 modo que cada caixa cont=E9m pelo menos um
cart=E3o.
Uma pessoa da = plat=E9ia=20 escolhe duas das tr=EAs caixas,
seleciona um cart=E3o de cada caixa e = anuncia a=20 soma dos
n=FAmeros dos dois cart=F5es que escolheu. Ao saber = esta
soma, o=20 m=E1gico identifica a caixa da qual n=E3o se
retirou nenhum = cart=E3o.
Descreva=20 todas as maneiras de se colocar todos os
cart=F5es nas caixas de modo = de que=20 este truque sempre
funcione? (Duas maneiras consideram-se diferentes=20 se
pelo menos um cart=E3o =E9 colocado numa caixa = diferente).
Uma formula=E7=E3o equivalente deste = problema=20 =E9:
Determine todas as parti=E7=F5es do=20 conjunto:
{1, 2, ..., 100}
em tr=EAs subconjuntos V, B e A, de = forma=20 que:
V+B, V+A e B+A sejam = disjuntos
(V+B =3D {x + y tais que x pertence a V = e y pertence=20 a B}, idem para os outros dois conjuntos-soma )
 
Por enquanto s=F3 foram encontradas = duas=20 solu=E7=F5es:
V =3D {1, 4, 7, ..., 100} =3D {3k + = 1}
B =3D {2, 5, 8, ..., 98} =3D {3k + = 2}
A =3D {3, 6, 9, ..., 99} =3D = {3k}
(al=E9m das outras 5 permuta=E7=F5es de = V, B e=20 A}
 
e
 
V =3D {1}
B =3D {100}
A =3D {2, 3, ..., = 99} 
(tamb=E9m j=E1 se provou que esta =E9 a = =FAnica parti=E7=E3o -=20 a menos de permuta=E7=F5es dos conjuntos - que tem dois conjuntos=20 unit=E1rios)
 
************
------=_NextPart_000_0444_01C2DE71.89E126A0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 27 15:17:08 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA05867 for obm-l-MTTP; Thu, 27 Feb 2003 15:14:21 -0300 Received: from mout2.freenet.de (mout2.freenet.de [194.97.50.155]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA05863 for ; Thu, 27 Feb 2003 15:14:18 -0300 From: edilonr@freenet.de Received: from [194.97.50.135] (helo=mx2.freenet.de) by mout2.freenet.de with asmtp (Exim 4.12) id 18oSXR-00026d-00 for obm-l@mat.puc-rio.br; Thu, 27 Feb 2003 19:13:45 +0100 Received: from www10.emo.freenet-rz.de ([194.97.107.203]) by mx2.freenet.de with esmtp (Exim 4.12 #2) id 18oSXQ-0006oR-00 for obm-l@mat.puc-rio.br; Thu, 27 Feb 2003 19:13:44 +0100 Received: (from wwwrun@localhost) by www10.emo.freenet-rz.de (8.9.3/8.9.3/Debian by PAnther_1) id TAA11040 for obm-l@mat.puc-rio.br; Thu, 27 Feb 2003 19:13:44 +0100 Date: Thu, 27 Feb 2003 19:13:44 +0100 Message-Id: <200302271813.TAA11040@www10.emo.freenet-rz.de> To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Recursivas primitivas. MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from base64 to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id PAA05864 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caros colegas, ----------------------------------------------------------------------- A) Seja J : N^2 -> N tal que J(x,y) = 1/2(( x + y )^2 + 3x + y). Mostre que: a) J é bijetiva; b) J e inv(J) são recursivas primitivas. ----------------------------------------------------------------------------------- B) Seja a bijeção P : N^2 -> N tal que P(m,n) = (2n + 1)*2^m inv(P)(x) = (P1(x), P2(x)) onde P1(x) = exprim(x + 1, 1) e P2(x) = 1/2((x+1)/2^(P1(x)) - 1). Mostre que P, inv(P), P1 e P2 são recursivas primitivas. ----------------------------------------------------------------------------------- Obs: 1) inv(M) é a inversa de M. 2) Def.: Uma função f: N^(n) -> N é dita ser recursiva primitiva (RP) se ela é obtida das funções iniciais por um número finito de aplicações da composição ou recursão. A classe RP é a menor classe que contém as funções iniciais e é fechada sobre composição e recursão. 3) exprim(x,y) é o y-ésimo primo na fatoração de x, para x, y > 0 ----------------------------------------------------------------------------------- Edilon R. -- Nur 1x anmelden und automatisch bis zu 1200 Produktproben und Gutscheine erhalten! http://www.probenking.de/index.cfm?pp_ID=314925 ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 27 16:06:58 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA09323 for obm-l-MTTP; Thu, 27 Feb 2003 16:03:49 -0300 Received: from web20701.mail.yahoo.com (web20701.mail.yahoo.com [216.136.226.174]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id QAA09300 for ; Thu, 27 Feb 2003 16:03:41 -0300 Message-ID: <20030227190308.84710.qmail@web20701.mail.yahoo.com> Received: from [147.65.2.170] by web20701.mail.yahoo.com via HTTP; Thu, 27 Feb 2003 16:03:08 ART Date: Thu, 27 Feb 2003 16:03:08 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?okakamo=20kokobongo?= Subject: Re: [obm-l] Recursivas Primitivas To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi Edilon, A)a) Temos: J(x, y) = 1/2 * (x + y) * (x + y + 1) + x; Vamos provar que J é bijetora: 1) J é sobrejetora: Dado a >= 0 seja m o maior natural tal que 1/2 * m * (m + 1) <= a. Como a - 1/2 * m * (m + 1) é certamente menor que m + 1, já que: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + ... + m = 1/2 * m * (m + 1) Seja x = a - 1/2 * m * (m + 1) e y = m - x, temos J(x, y) = a 2) J é injetora: Suponha que J(x0, y0) = J(x1, y1). Se x0 + y0 > x1 + y1, certamente J(x0, y0) > J(x1, y1), pois 1/2 * (x0 + y0) * (x0 + y0 + 1) - 1/2 * (x1 + y1) * (x1 + y1 + 1) > x1 + y1 Logo x0 + y0 = x1 + y1 e fica fácil ver que x0 = x1, portanto (x0, y0) = (x1, y1) b) J é claramente recursiva primitiva, pois: f(a, b) = a + b é r.p. f(a, b) = a * b é r.p. f(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n é r.p., logo J é r.p. Para provar que inv (J) é r.p., basta provar que: f é r.p., onde: f: N -> N, definida por f(m) := n, onde n é o maior natural tal que 1/2 * n * (n + 1) <= m Como a função g(a, b) = min {1, a - b} é r.p. é fácil compor e usar uma recursão para provar que f é r.p. B) A função h(a, b) = (a + 1) ^ b é r.p., logo P é claramente r.p. A função f(n) = n (mod 2) é r.p. e g(n) = n/2 se n é par e g(n) = 0 se n é ímpar são r.p. a partir daí é fácil retirar a maior potência de dois que divide um número e fica fácil provar que a inversa de P é r.p. Obs.: Definição precisa de r.p.: Uma função é dita recursiva primitiva (r.p.) se é formada pelas seguintes regras: 1) f = c, onde c é uma constante, é r.p. (função identicamente constante) 2) f(n1, n2, ..., nk) = ni é r.p. 3) f(n) = n + 1 é r.p. 4) Se f, g1, g2, ..., gk são recursivas primitivas f(g1, g2, ..., gk) é r.p. 5) Se f(0, n2, ..., nk) é r.p. e g(m, n1, n2, ..., nk) é r.p. e f(n + 1, n2, ..., nk) = g(f(n, n2, ..., nk), n, n2, ..., nk) então f é r.p. Exercício Legal: Prove que a função p(n) = n-ésimo primo é r.p. Abraços, OKAKAMO KOKOBONGO _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 27 16:39:41 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA10116 for obm-l-MTTP; Thu, 27 Feb 2003 16:36:51 -0300 Received: from imo-m02.mx.aol.com (imo-m02.mx.aol.com [64.12.136.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA10112 for ; Thu, 27 Feb 2003 16:36:47 -0300 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-m02.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.1dc.3dba597 (18707) for ; Thu, 27 Feb 2003 14:36:08 -0500 (EST) Message-ID: <1dc.3dba597.2b8fc2a8@aol.com> Date: Thu, 27 Feb 2003 14:36:08 EST Subject: [obm-l] Sistemas de eq. lineares To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_1dc.3dba597.2b8fc2a8_boundary" X-Mailer: 6.0 sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --part1_1dc.3dba597.2b8fc2a8_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 Pessoal, Como resolver estas quest=F5es ? Observem que elas s=E3o bem parecidas apesa= r de=20 uma ser formulada pelos professores da FUVEST e outra da CESGRANRIO. (FUVEST) A equa=E7=E3o matricial=20 (a11=3D1, a12=3D5, a21=3D2, a22=3D -1) * (a11=3Dx, a21=3Dy) =3D lambda* (a11= =3Dx, a21=3Dy)=20 admite mais de uma solu=E7=E3o se e somente se lambda for igual a: resp: +/ - raiz (11) (CESGRANRIO) Sejam lambda[1] e lambda[2] os valores distintos de lambda par= a=20 que a equa=E7=E3o (a11=3D2,a12=3D3, a21=3D3, a22=3D2)*(a11=3Dx[1], a21=3Dx[2= ] ) =3D=20 lambda*(a11=3Dx[1], a21=3Dx[2] ) admita a solu=E7=E3o (a11=3Dx[1], a21=3Dx[2= ] ) <>=20 (a11=3D0, a21=3D0). Ent=E3o lambda[1] + lambda[2] =E9: resp: 4 --part1_1dc.3dba597.2b8fc2a8_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 Pessoal,

Como resolver estas quest=F5es ? Observem que elas s=E3o bem parecidas a= pesar de uma ser formulada pelos professores da FUVEST e outra da CESGRANRIO= .

(FUVEST) A equa=E7=E3o matricial=20
(a11=3D1, a12=3D5, a21=3D2, a22=3D -1) * (a11=3Dx, a21=3Dy) =3D lambda*=20= (a11=3Dx, a21=3Dy) admite mais de uma solu=E7=E3o se e somente se lambda for= igual a:

resp:  +/ - raiz (11)




(CESGRANRIO)  Sejam lambda[1] e lambda[2] os valores distintos de l= ambda para que a equa=E7=E3o (a11=3D2,a12=3D3, a21=3D3, a22=3D2)*(a11=3Dx[1]= , a21=3Dx[2] ) =3D lambda*(a11=3Dx[1], a21=3Dx[2] ) admita a solu=E7=E3o (a1= 1=3Dx[1], a21=3Dx[2] ) <> (a11=3D0, a21=3D0). Ent=E3o lambda[1] + lamb= da[2] =E9:

resp: 4

--part1_1dc.3dba597.2b8fc2a8_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 27 17:03:33 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA11112 for obm-l-MTTP; Thu, 27 Feb 2003 17:00:50 -0300 Received: from imo-r06.mx.aol.com (imo-r06.mx.aol.com [152.163.225.102]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA11108 for ; Thu, 27 Feb 2003 17:00:46 -0300 From: Faelccmm@aol.com Received: from Faelccmm@aol.com by imo-r06.mx.aol.com (mail_out_v34.21.) id z.a1.34c8803d (18707) for ; Thu, 27 Feb 2003 15:00:03 -0500 (EST) Message-ID: Date: Thu, 27 Feb 2003 15:00:03 EST Subject: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?xadrez=20e=20sistemas=20de=20equa=E7=F5es=20?= To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="part1_a1.34c8803d.2b8fc843_boundary" X-Mailer: 6.0 sub 10516 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --part1_a1.34c8803d.2b8fc843_boundary Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal, Estava estudando sistemas de equa=E7=F5es lineares e pensei na seguinte rela= =E7=E3o: Se existem sistemas poss=EDveis (determinado e indeterminado) e imposs=EDvei= s,=20 como poderiamos classificar um sistema criado a partir do jogo de xadrez ond= e=20 temos uma matriz quadrada 8 X 8, sendo que m=3D [1;8] e n=3D[A;H] (usei barr= as=20 para indicar intervalos fechados). Pergunta: =C9 poss=EDvel provar que existe um algoritmo para a seguinte situ= a=E7=E3o: Um jogador que inicie um jogo de xadrez conhecendo este algoritmo sempre sai= a=20 vitorioso, mesmo que o outro jogador tb=E9m conhe=E7a o algoritmo! Para ser mais claro eu s=F3 gostaria de saber se existe tal algoritmo mesmo=20= que=20 ningu=E9m o tenha descoberto nestes milhares de anos. Pois se for poss=EDvel= e=20 algu=E9m descobrisse seria uma das maiores descobertas da matem=E1tica pois=20 v=E1rios matem=E1ticos brilhantes passaram por este planeta e muitos deles=20 gostavam de xadrez, mas nem um descobriu tal algoritmo. Acho que a humanidad= e=20 deva esperar uma evolu=E7=E3o da capacidade cognitiva do ser humano pela sel= e=E7=E3o=20 natural para tal fa=E7anha :-) Obs: Eu espero que n=E3o exista, pois se for descoberto, jogos de tabuleiro=20 como xadrez, dama etc... perderiam a gra=E7a, pois o algoritmo seria amplame= nte=20 divulgado. --part1_a1.34c8803d.2b8fc843_boundary Content-Type: text/html; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal,

Estava estudando sistemas de equa=E7=F5es lineares e pensei na seguinte=20= rela=E7=E3o:
Se existem sistemas poss=EDveis (determinado e indeterminado) e imposs= =EDveis, como poderiamos classificar um sistema criado a partir do jogo de x= adrez onde temos uma matriz quadrada 8 X 8, sendo que m=3D [1;8] e n=3D[A;H]= (usei barras para indicar intervalos fechados).
Pergunta: =C9 poss=EDvel provar que existe um algoritmo para a seguinte=20= situa=E7=E3o:

Um jogador que inicie um jogo de xadrez conhecendo este algoritmo sempre= saia vitorioso, mesmo que o outro jogador tb=E9m conhe=E7a o algoritmo!
Para ser mais claro eu s=F3 gostaria de saber se existe tal algoritmo me= smo que ningu=E9m o tenha descoberto nestes milhares de anos. Pois se for po= ss=EDvel e algu=E9m descobrisse seria uma das maiores descobertas da matem= =E1tica pois v=E1rios matem=E1ticos brilhantes passaram por este planeta e m= uitos deles gostavam de xadrez, mas nem um descobriu tal algoritmo. Acho que= a humanidade deva esperar uma evolu=E7=E3o da capacidade cognitiva do ser h= umano pela sele=E7=E3o natural para tal fa=E7anha :-)
Obs: Eu espero que n=E3o exista, pois se for descoberto, jogos de tabule= iro como xadrez, dama etc... perderiam a gra=E7a, pois o algoritmo seria amp= lamente divulgado.
--part1_a1.34c8803d.2b8fc843_boundary-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 27 17:03:34 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA11079 for obm-l-MTTP; Thu, 27 Feb 2003 17:00:15 -0300 Received: from www.zipmail.com.br (smtp.zipmail.com.br [200.221.11.147]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA11074 for ; Thu, 27 Feb 2003 17:00:06 -0300 From: peterdirichlet1985@zipmail.com.br Received: from [200.206.103.3] by www.zipmail.com.br with HTTP; Thu, 27 Feb 2003 16:53:19 -0300 Message-ID: <3E5E54F500000555@www.zipmail.com.br> Date: Thu, 27 Feb 2003 16:53:19 -0300 In-Reply-To: <044b01c2de8a$b27413c0$3300c57d@bovespa.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re=3A=20=5Bobm=2Dl=5D=20Problemas=20em=20Aberto?= To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id RAA11075 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Tu de novo Claudio!!!!!!!Esse ultimo e da IMO da Coreia e a soluçao do Fabricio(que fez a prova alias)e muito legal.Tente uma induçao e pense primeiro que asw caixas sao iguais depois faça vezes tres. Vou supor que esta coisa de tres angulos e dita em graus. Talvez saia com SLC:a^2=b^2+c^2-2bc*cos A. A tarefa e achar os t tais que cos t e racional se t e expresso em graus. Talvez saia usando complexos.Me lembro de uma prova de que arccos 3/5 e irracional se dito em graus que usava uns fatos do artigo do Ed na Eureka 6.As Eurekas ce ve na Internet. -- Mensagem original -- >HelpCaros colegas da lista: > >Muitas vezes um problema é proposto na lista, nenhuma solução é dada nos >dias seguintes e logo o problema cai no esquecimento. Assim, resolvi fazer >uma compilação (temo que incompleta) daqueles problemas da lista que ficaram >sem solução. > >1. Seja >A = | A1 | > | A2 | >uma matriz m x n com A1 n x n não singular e A2 uma matriz (m-n) x n arbitrária > >A+ é a pseudo-inversa de A, definida como >A+ = (A' * A)^(-1) * A' > >prove que ||A+|| <= ||(A1)^(-1)|| > >OBS: A norma aqui é induzida: > ||A|| = sup ||Ax|| > ||x|| = 1 > >********* > >2. É possível que um polinômio de coeficientes inteiros P(X) irredutível >se fatore em Z/(n) para todo n natural ? > > >********* > >3. A e B são cantos opostos de um tabuleiro n x n, dividido em n^2 >quadradinhos por linhas paralelas a seus lados. Em cada quadradinho é >traçada sua diagonal paralela a AB, tal que o tabuleiro fica dividido em > >2n^2 triângulinhos. O tabuleiro tem (n + 1)^2 pontos que são vértices dos > >quadrinhos e um qrande número de segmentos, cada qual medindo 1 ou sqrt2. > >Uma peça move-se de A até B através dos segmentos. Ela nunca passa duas >vezes pelo mesmo segmento e seu caminho inclui exatamente dois lados de cada > >triângulinho. Para qual n isto é possível? > >********* > >4. >A) As medidas dos ângulos agudos de um triângulo pitagórico (triângulo retângulo >cujos lados têm medida inteira) não são inteiras (quando expressos em graus). > >B) Se os lados de um triângulo têm medida inteira e um de seus ângulos tem >medida inteira, então esse ângulo mede 60, 90 ou 120 graus. > >C) Se um triângulo tem os três lados e os três ângulos com medida inteira >então ele é equilátero. > >********* > >5. Nos festejos juninos, 20 casais de dançarinos são colocados em círculo >de tal maneira que um homem e uma mulher formando um par estão situados diametralmente >opostos. Durante a dança, dois dançarinos adjacentes trocam de lugar enquanto >todos os outros permanecem na mesma posição. Essa mudança é repetida com >pares adjacentes até que, na posição final, os dois dançarinos de cada par >estejam novamente diametralmente opostos, mas na posição contrária da inicial. >Então o número mínimo de mudanças, de dois dançarinos adjacentes, para acontecer >isso é: > >(a) 20! (b) 400 (c) 10! (d) 19! (e) 20 > >************* > >6. Dê um exemplo de uma sequência (Xn) de números reais tal que: > >lim ( Xn / n^t ) = 0 para todo t > 0 >e >lim ( [log(n)]^k / Xn ) = 0 para todo k > 0 > >********* > >7. Um triângulo tem lados com medida inteira e área racional. Prove que uma >de suas alturas tem medida inteira e que o pé desta altura está a uma distância >inteira dos vértices do triângulo. > >********* > >8. Um polígono convexo possui 2n lados. Prove que o polígono contém no >mínimo n diagonais que não são paralelas a qualquer de seus lados. > >********* > >9. Seja K um inteiro >= 2. > infinito >Seja S = SOMATÓRIO 1 / K^(n^2) = 1/K + 1/K^4 + 1/K^9 + 1/K^16 + ... > n = 1 >Prove que S é irracional. > >********* > >10. Um mágico tem cem cartões numerados de 1 a 100. >Coloca-os em três caixas, uma vermelha, uma branca e >uma azul, de modo que cada caixa contém pelo menos um >cartão. >Uma pessoa da platéia escolhe duas das três caixas, >seleciona um cartão de cada caixa e anuncia a soma dos >números dos dois cartões que escolheu. Ao saber esta >soma, o mágico identifica a caixa da qual não se >retirou nenhum cartão. >Descreva todas as maneiras de se colocar todos os >cartões nas caixas de modo de que este truque sempre >funcione? (Duas maneiras consideram-se diferentes se >pelo menos um cartão é colocado numa caixa diferente). > >Uma formulação equivalente deste problema é: >Determine todas as partições do conjunto: >{1, 2, ..., 100} >em três subconjuntos V, B e A, de forma que: >V+B, V+A e B+A sejam disjuntos >(V+B = {x + y tais que x pertence a V e y pertence a B}, idem para os outros >dois conjuntos-soma ) > >Por enquanto só foram encontradas duas soluções: >V = {1, 4, 7, ..., 100} = {3k + 1} >B = {2, 5, 8, ..., 98} = {3k + 2} >A = {3, 6, 9, ..., 99} = {3k} >(além das outras 5 permutações de V, B e A} > >e > >V = {1} >B = {100} >A = {2, 3, ..., 99} >(também já se provou que esta é a única partição - a menos de permutações >dos conjuntos - que tem dois conjuntos unitários) > >************ TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE ------------------------------------------ Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 27 17:10:13 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA11380 for obm-l-MTTP; Thu, 27 Feb 2003 17:07:09 -0300 Received: from www.zipmail.com.br (smtp.zipmail.com.br [200.221.11.147]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA11376 for ; Thu, 27 Feb 2003 17:07:06 -0300 From: peterdirichlet1985@zipmail.com.br Received: from [200.206.103.3] by www.zipmail.com.br with HTTP; Thu, 27 Feb 2003 17:00:13 -0300 Message-ID: <3E5E54F5000005AE@www.zipmail.com.br> Date: Thu, 27 Feb 2003 17:00:13 -0300 In-Reply-To: <045901c2de8a$b6ac6640$3300c57d@bovespa.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re=3A=20=5Bobm=2Dl=5D=20Problemas=20em=20Aberto=20II?= To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id RAA11377 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Esse da via ferrea e classico!!!!!!Voce pode usar recursao para provar que isto e o n-esimo numero de Catalan. Para tal escolha um trem x e conte de quantos modos voce arruma os trens antes e depois sem violar as regras.Definida a recursao resolva-a.Esse esta num livro do Knuth. Tomei a liberdade de corrigi-lo. -- Mensagem original -- >HelpContinuando a compilação de problemas não resolvidos da lista: > >11. Dado um corredor com 1 metro de largura, que faz uma "curva" de 90 graus >e >continua com a mesma largura, qual a figura plana de maior área possível >que pode fazer >essa curva? Observe que o formato dessa area pode ser qualquer e, obviamente, >ela é suposta rigida. >(Acho que este problema ainda está em aberto - e não só aqui na lista. De >qualquer forma....) > >********** > >12. Dada a sequencia a[n+1]= 2a[1]*a[n] - a[n-1] definida para todo n>=1 >tal que a[0]=100 e a[100]= 0. >a) Mostre que | a[1] |<=1. > >b) Determine a[2003]. > >********** > >13. X, Y e Z são reais positivos e satisfazem o sistema abaixo, > >X^2 + XY + (Y^2)/3 = 25 >(Y^2)/3 + Z^2 = 9 >Z^2 + ZX + X^2 = 16 > >Encontre o valor de ( XY + 2YZ + 3ZX ). > >SUGESTÃO : Você nao precisa, necessariamente, resolver o sistema ... > >********** > >14. De quantas formas podemos colocar N rainhas em um >tabuleiro NxN tal que nenhuma rainha possa enxergar >outra? > >obs: uma rainha enxerga outra se ambas estiverem na >mesma coluna, linha ou diagonal. >(Este problema também está em aberto. Talvez valha a pena tentar com Torres >e Bispos ao invés de Rainhas) > >*********** > >15. >> >> _ _ _ _ _ _ _ 1 2 ... n _ >> _|_| |_|_| |_|_|_|_|_|_|_ >> B \_\ /_/ A >> \_|_/ >> |_| >> |_| >> |_| C >> |o| >> >> Imagine que o 'desenho' acima é uma linha férrea, >> aonde o segmento B é extensão do segmento A e o >> segmento C se conecta com ambos segmentos. >> Os numeros no segmento A representam n vagões >> _soltos_ e enumerados. >> Os vagoes podem se mover de A -> B, A -> C e C -> B, >> mas nunca de C -> A nem B -> A nem B -> C.. >> >> De quantas formas eh possivel reagrupar os vagões no >> segmento B? >> >> (há espaço suficiente para n vagões tanto em A, >> quanto em B e em C) > >************ > >16. Seja f uma função contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b). > >A) É possível que, apesar de existir, f' seja descontínua em todo ponto de >(a,b). > >B) Em caso afirmativo, será que a condição f(a) < f(b) é suficiente para >garantir que exista um sub-intervalo [c,d] (a <= c < d <= b) onde f é crescente? > > >********** > >17. a, b, c, d são números reais não-negativos tais que: > > ab+ac+ad+bc+bd+cd+abc+abd+acd+bcd=2. > >Mostre que: > >3(a+b+c+d)>=4(ab+ac+ad+bc+bd+cd). > >********* > >18. Numa loteria sao sorteados 7 numeros escolhidos aleatoriamente de {1,2,3,...,48,49}. >Cada cartao de apostas deve ser preenchido com exatamente 7 numeros. Uma >pessoa pode pode apostar quantos cartoes desejar sem pagar nada, desde que >quaisquer dois cartoes de sua aposta tenham, NO MAXIMO, uma dezena em comum. >O primeiro premio e dado a pessoa que acertar o maior numero de triplos. >A) Exiba uma aposta gratuita que tenha a maxima probabibilidade de ganhar >o primeiro premio. >B) Qual o valor da probabilidade acima ? > >*********** > >19. Suponha que os números da forma 2^x * 3^y (x, y: inteiros não negativos) >são colocados em ordem crescente. Prove que existem termos consecutivos - >digamos 2^a * 3^b e 2^c * 3^d - tais que |2^a * 3^b - 2^c * 3^d| torna-se arbitrariamente grande.Generalize > >************* > >20. Duas de Análise Real: > >A) Prove que se f:{a, b) -> R é contínua em c em (a,b) e lim x-> c >f'(x) = L, então f'(c) = L. A partir daí, conclua que derivadas jamais >apresentam descontinuidades do tipo salto. Conclua também que se f' é >monotônica em um intervalo I, então f'é contínua em I. > >B) Suponhamos que f seja diferenciável em R e seja k<>0. Mostre que: >B.1) se k>0, então lim x -> infinito f'(x) + k f(x) = L, L em R, implica >que lim x-> infinito f('x) = 0 e lim x-> infinito f(x) = L/k >B.2) se k<0, então lim x-> infinito f'(x) + k f(x) = L, L em R, só é >possível se lim x-> e^(kx) f(x) = 0, caso em que temos também lim x-> >infinito f('x) = 0 e lim x-> infinito f(x) = L/k >sugestão : defina h(x) = e^(kx) f(x) g(x) = e^(kx) . Logo, f(x) = >h(x)/g(x). Use L'Hopital. > > >************** > TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE ------------------------------------------ Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 27 17:20:51 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA11973 for obm-l-MTTP; Thu, 27 Feb 2003 17:18:11 -0300 Received: from web20701.mail.yahoo.com (web20701.mail.yahoo.com [216.136.226.174]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id RAA11968 for ; Thu, 27 Feb 2003 17:18:07 -0300 Message-ID: <20030227201735.12268.qmail@web20701.mail.yahoo.com> Received: from [147.65.2.170] by web20701.mail.yahoo.com via HTTP; Thu, 27 Feb 2003 17:17:35 ART Date: Thu, 27 Feb 2003 17:17:35 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?okakamo=20kokobongo?= Subject: [obm-l] Sobre as minhas origens... To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi Nicolau, Vou dar um outro enunciado, para finalizar qualquer dúvida que ainda reste sobre este problema: Seja G um grafo orientado conexo, com um circuito euleriano (o grau de entrada é igual ao grau de saída em cada vértice do grafo). Prove que para cada vértice o número de árvores orientadas enraizadas nesse vérticie é sempre o mesmo. Sobre o meu nome, eu não sei a origem precisa, mas estão relacionados com a origem do pai da minha mãe, de uma antiga tribo do Zimbabwe, e o meu pai ser japonês. Abraços, OKAKAMO (MATSUBASHI) KOKOBONGO. _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 27 17:27:35 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA12464 for obm-l-MTTP; Thu, 27 Feb 2003 17:24:51 -0300 Received: from web20707.mail.yahoo.com (web20707.mail.yahoo.com [216.136.226.180]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id RAA12454 for ; Thu, 27 Feb 2003 17:24:47 -0300 Message-ID: <20030227202415.73598.qmail@web20707.mail.yahoo.com> Received: from [147.65.2.170] by web20707.mail.yahoo.com via HTTP; Thu, 27 Feb 2003 17:24:15 ART Date: Thu, 27 Feb 2003 17:24:15 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?okakamo=20kokobongo?= Subject: [obm-l] origem do meu nome To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Mas porque o interesse particular no meu nome. Existem tantos outros nomes estranhos na lista, por exemplo, porque o prática de Cláudio_(Prática)? Abraços, OKAKAMO KOKOBONGO. _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 27 17:46:58 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA13573 for obm-l-MTTP; Thu, 27 Feb 2003 17:44:04 -0300 Received: from Euler.impa.br (euler.impa.br [147.65.1.3]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA13569 for ; Thu, 27 Feb 2003 17:44:02 -0300 Received: from Gauss.impa.br (Gauss [147.65.4.1]) by Euler.impa.br (8.11.6/8.11.6) with ESMTP id h1RKhVJ27538 for ; Thu, 27 Feb 2003 17:43:31 -0300 (EST) From: Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira Received: by Gauss.impa.br (8.11.6) id h1RKhVn14999; Thu, 27 Feb 2003 17:43:31 -0300 (EST) Message-Id: <200302272043.h1RKhVn14999@Gauss.impa.br> Subject: Re: [obm-l] Bem vindo OKAKAMO To: obm-l@mat.puc-rio.br Date: Thu, 27 Feb 2003 17:43:31 -0300 (EST) In-Reply-To: <005c01c2ddf0$87720000$79609ec8@gauss> from "Domingos Jr." at Feb 26, 3 08:41:04 pm X-Mailer: ELM [version 2.4 PL25] MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=US-ASCII Content-Transfer-Encoding: 7bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caros colegas, Em primeiro lugar, gostaria de aproveitar a ocasiao para saudar o grande Okakamo Kokobongo, que chegou para abrilhantar sobremaneira as discussoes desta lista!!!!! Sobre a solucao abaixo eu tenho minhas duvidas: ao fixar uma variavel diminuimos o numero de variaveis mas nao necessariamente o grau do polinomio, e podemos perder a condicao de o grau total ser menor que o numero de variaveis. Eu faria o 1 assim:nosso numero de solucoes modulo q e' a soma sobre todos os (x_1,...,x_n) em (Z/qZ)^n de 1-P(x_1,...,x_n)^(q-1), pelo pequeno teorema de Fermat, mas a soma de cada monomio da expressao acima (digamos c.x1^i1.x2^i2.....xn^in) e' o mod q, pois e' c vezes o produto dos S(i_j), onde S(i_j) e' a soma para x em Z/qZ de x^(i_j), que e' sempre 0 se 0<=i_j0, multiplique todos os x por a onde a e' um cara invertivel tal que a^(i_j) nao e' 1 mod q; o caso i_j=0 e' trivial) , e por outro lado algum dos i_j deve ser menor que q-1, pois o grau total e' menor que n(q-1). O 2 eu consegui fazer usando mais algebra do que eu gostaria (e e' claro que precisa supor P monico). Se a e' uma raiz de P entao a^(1/q) pertence a K:=Q(a) ou [Q(a^(1/q):Q(a)]=q, e no segundo caso P(x^q) e' claramente irredutivel, pois Q[a^(1/q):Q]=q.n. No primeiro caso, o produto sobre todos os automorfismos s de K de (x-s(a^(1/q)) e' um polinomio em Q[x], e seu ultimo coeficiente elevado a q e' (-1)^q.P(0). Confio em que o Doutor Okakamo tenha uma solucao mais elementar... Abracos e saudacoes revolucionarias, Gugu > >1) > >acho que d=E1 pra resolver assim: >prove que para polin=F4mios quaisquer de 1 vari=E1vel o n=FAmero de = >solu=E7=F5es =E9 m=FAltiplo de q > >suponha que para polin=F4mios com n=FAmero de vari=E1veis 1 <=3D k <=3D = >n isso vale > >pegue um polin=F4mio de k+1 vari=E1veis p(x1, x2, ..., xk, x[k+1]) >os valores poss=EDveis para x[k+1] s=E3o { 0, 1, 2, ..., q-1 } >considere as solu=E7=F5es de p(x1, x2, ..., xk, 0), p(x1, x2, ..., xk, = >1), ... p(x1, x2, ..., xk, q-1), ou seja, no mesmo polin=F4mio p aplique = >o valor fixado de x[k+1] e assim obtenha um polin=F4mio de k = >vari=E1veis, que por hip. de indu=E7=E3o possui um n=FAmero de = >solu=E7=F5es m=FAltiplo de q. >O n=FAmero de solu=E7=F5es de p passa ent=E3o a ser a soma dos nrs. de = >solu=E7=F5es de cada polin=F4mio com x[k+1] fixado, e essa soma =E9 = >m=FAltiplo de q. > ----- Original Message -----=20 > From: marciocohen@superig.com.br=20 > To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 > Sent: Wednesday, February 26, 2003 4:55 PM > Subject: [obm-l] Bem vindo OKAKAMO > > > Oi Professor, > Continua dando aulas de combinat=F3ria em cursinhos? H=E1 muito tempo = >eu n=E3o lia as mensagens da lista, e sua participa=E7=E3o vai dar um = >novo animo para ela. Tenho dois problemas legais que n=E3o consegui = >resolver: > 1) se p =E9 um polin=F4mio de n vari=E1veis, de grau total menor que = >n, ent=E3o o n=FAmero de solu=E7=F5es de p =3D 0 (mod q) onde q e um = >n=FAmero primo, =E9 multiplo de q. > 2) se p(x) =E9 um polin=F4mio irredut=EDvel e (p(0))^1/q n=E3o =E9 = >inteiro ent=E3o p(x^q) =E9 irredut=EDvel, onde q =E9 um primo =EDmpar. > Obrigado, > Marcio > ___________________________________________________________________ > Super iG - Internet em Alta Velocidade - http://www.superig.com.br/ > = >=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= >=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= >=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D = >Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em = >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador = >desta lista =E9 = >=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= >=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= >=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D >------=_NextPart_000_0059_01C2DDD7.61B6C3F0 >Content-Type: text/html; > charset="Windows-1252" >Content-Transfer-Encoding: quoted-printable > > > >charset=3Dwindows-1252"> > > > > >
1)
>
 
>
acho que d=E1 pra resolver = >assim:
>
prove que para polin=F4mios quaisquer = >de 1 vari=E1vel o=20 >n=FAmero de solu=E7=F5es =E9 m=FAltiplo de q
>
 
>
suponha que para polin=F4mios com = >n=FAmero=20 >de vari=E1veis 1 <=3D k <=3D n isso vale
>
 
>
pegue um polin=F4mio de k+1 vari=E1veis = >p(x1, x2, ...,=20 >xk, x[k+1])
>
os valores poss=EDveis para x[k+1] = >s=E3o { 0, 1, 2,=20 >..., q-1 }
>
considere as solu=E7=F5es de p(x1, x2, = >..., xk, 0),=20 >p(x1, x2, ..., xk, 1), ... p(x1, x2, ..., xk, q-1), ou seja, no mesmo = >polin=F4mio=20 >p aplique o valor fixado de x[k+1] e assim obtenha um polin=F4mio = >de k=20 >vari=E1veis, que por hip. de indu=E7=E3o possui um n=FAmero de = >solu=E7=F5es m=FAltiplo de=20 >q.
>
O n=FAmero de solu=E7=F5es de = >p passa ent=E3o a ser a=20 >soma dos nrs. de solu=E7=F5es de cada polin=F4mio com x[k+1] fixado, e = >essa soma =E9=20 >m=FAltiplo de q.
>style=3D"PADDING-RIGHT: 0px; PADDING-LEFT: 5px; MARGIN-LEFT: 5px; = >BORDER-LEFT: #000000 2px solid; MARGIN-RIGHT: 0px"> >
----- Original Message -----
> style=3D"BACKGROUND: #e4e4e4; FONT: 10pt arial; font-color: = >black">From:=20 > = >href=3D"mailto:marciocohen@superig.com.br">marciocohen@superig.com.br= > > >
Sent: Wednesday, February 26, = >2003 4:55=20 > PM
>
Subject: [obm-l] Bem vindo = >OKAKAMO
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Oi Professor,
>
Continua dando aulas de combinat=F3ria em cursinhos? H=E1 muito = >tempo=20 > eu n=E3o lia as mensagens da lista, e sua = >participa=E7=E3o vai dar um=20 > novo animo para ela. Tenho dois problemas legais que n=E3o consegui=20 > resolver:
>
1) se p =E9 um polin=F4mio de n vari=E1veis, de grau total menor = >que n, ent=E3o o=20 > n=FAmero de solu=E7=F5es de p =3D 0 (mod q) onde q e um n=FAmero = >primo, =E9 multiplo de=20 > q.
>
2) se p(x) =E9 um polin=F4mio  irredut=EDvel e (p(0))^1/q = >n=E3o =E9 inteiro=20 > ent=E3o p(x^q) =E9 irredut=EDvel, onde q =E9 um primo =EDmpar.
>
Obrigado,
> = >
Marcio
__________________________________________________= >_________________
Super=20 > iG - Internet em Alta Velocidade -=20 > = >http://www.superig.com.br/
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= >=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= >=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= >=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=20 > Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em=20 > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador = >desta=20 > lista =E9=20 > = >=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= >=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= >=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= >=3D=3D=3D=3D=3D=3D > >------=_NextPart_000_0059_01C2DDD7.61B6C3F0-- > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 27 17:53:16 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA13964 for obm-l-MTTP; Thu, 27 Feb 2003 17:50:07 -0300 Received: from Euler.impa.br (euler.impa.br [147.65.1.3]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA13957 for ; Thu, 27 Feb 2003 17:50:04 -0300 Received: from Gauss.impa.br (Gauss [147.65.4.1]) by Euler.impa.br (8.11.6/8.11.6) with ESMTP id h1RKnYJ27885 for ; Thu, 27 Feb 2003 17:49:34 -0300 (EST) From: Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira Received: by Gauss.impa.br (8.11.6) id h1RKnXs15415; Thu, 27 Feb 2003 17:49:33 -0300 (EST) Message-Id: <200302272049.h1RKnXs15415@Gauss.impa.br> Subject: [obm-l] Treinamento no Rio To: obm-l@mat.puc-rio.br Date: Thu, 27 Feb 2003 17:49:33 -0300 (EST) In-Reply-To: <005c01c2ddf0$87720000$79609ec8@gauss> from "Domingos Jr." at Feb 26, 3 08:41:04 pm X-Mailer: ELM [version 2.4 PL25] MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=US-ASCII Content-Transfer-Encoding: 7bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caros colegas, Na primeira segunda-feira depois do carnaval (10/2), no IMPA, as 14:00 horas comecam as reunioes semanais de treinamento olimpico abertas ao publico, que visam entre outras coisas treinar para a IMO. Somos responsaveis por estas reunioes eu e o Luciano, mas deveremos tambem ter aulas de outros ilustres colegas (oi Nicolau! oi Okakamo! oi Morgado! oi Wagner!). Estao todos convidados (especialmente o pessoal do Rio...)! Abracos, Gugu ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Thu Feb 27 18:55:15 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA16718 for obm-l-MTTP; Thu, 27 Feb 2003 18:52:07 -0300 Received: from mout2.freenet.de (mout2.freenet.de [194.97.50.155]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA16714 for ; Thu, 27 Feb 2003 18:52:03 -0300 From: edilonr@freenet.de Received: from [194.97.50.144] (helo=mx1.freenet.de) by mout2.freenet.de with asmtp (Exim 4.12) id 18oVwC-0005hl-00 for obm-l@mat.puc-rio.br; Thu, 27 Feb 2003 22:51:32 +0100 Received: from www10.emo.freenet-rz.de ([194.97.107.203]) by mx1.freenet.de with esmtp (Exim 4.12 #2) id 18oVwC-0002wu-00 for obm-l@mat.puc-rio.br; Thu, 27 Feb 2003 22:51:32 +0100 Received: (from wwwrun@localhost) by www10.emo.freenet-rz.de (8.9.3/8.9.3/Debian by PAnther_1) id WAA23163 for obm-l@mat.puc-rio.br; Thu, 27 Feb 2003 22:51:31 +0100 Date: Thu, 27 Feb 2003 22:51:31 +0100 Message-Id: <200302272151.WAA23163@www10.emo.freenet-rz.de> To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?Ir=E3_[1999]?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from base64 to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id SAA16715 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caros colegas, [Irã-1999] - Existe um inteiro positivo que é uma potência de 2, tal que nós podemos obter outra potência de 2 pelo rearranjo de seus dígitos? [Irã-1999] - Encontre todos os números naturais m tal que: m = 1/a1 +2/a2 + 3/a3 + ... + 1378/a1378 onde a1 , ... , a1378 são números naturais. --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Caso tenha algum equívoco de tradução, eis os enunciados em inglês: 1. Does there exist a positive integer which is a power of 2, such that we can obtain another power of 2 by rearranging it's digits? 4. 4. Find all natural numbers m such that : m = 1/a1 +2/a2 + 3/a3 + ... + 1378/a1378 where a1 , ... , a1378 are natural numbers. --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Edilon R. -- freenet Grusskarten: Schicken Sie Ihren Freunden einen Gruss. Jetzt mit Sound: http://www.freenet.de/tipp/gruss ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 28 09:18:01 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA24681 for obm-l-MTTP; Fri, 28 Feb 2003 09:16:24 -0300 Received: (from nicolau@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA24676 for obm-l@mat.puc-rio.br; Fri, 28 Feb 2003 09:16:23 -0300 Date: Fri, 28 Feb 2003 09:16:23 -0300 From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: =?iso-8859-1?Q?=5Bobm-l=5D_xadrez_e_sistemas_de_equa=E7=F5es?= Message-ID: <20030228091623.A24564@sucuri.mat.puc-rio.br> References: Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Disposition: inline Content-Transfer-Encoding: 8bit User-Agent: Mutt/1.2.5i In-Reply-To: ; from Faelccmm@aol.com on Thu, Feb 27, 2003 at 03:00:03PM -0500 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Thu, Feb 27, 2003 at 03:00:03PM -0500, Faelccmm@aol.com wrote: > Olá pessoal, > > Estava estudando sistemas de equações lineares e pensei na seguinte relação: > Se existem sistemas possíveis (determinado e indeterminado) e impossíveis, > como poderiamos classificar um sistema criado a partir do jogo de xadrez onde > temos uma matriz quadrada 8 X 8, sendo que m= [1;8] e n=[A;H] (usei barras > para indicar intervalos fechados). > Pergunta: É possível provar que existe um algoritmo para a seguinte situação: > > Um jogador que inicie um jogo de xadrez conhecendo este algoritmo sempre saia > vitorioso, mesmo que o outro jogador tbém conheça o algoritmo! > Para ser mais claro eu só gostaria de saber se existe tal algoritmo mesmo que > ninguém o tenha descoberto nestes milhares de anos. Pois se for possível e > alguém descobrisse seria uma das maiores descobertas da matemática pois > vários matemáticos brilhantes passaram por este planeta e muitos deles > gostavam de xadrez, mas nem um descobriu tal algoritmo. Acho que a humanidade > deva esperar uma evolução da capacidade cognitiva do ser humano pela seleção > natural para tal façanha :-) > Obs: Eu espero que não exista, pois se for descoberto, jogos de tabuleiro > como xadrez, dama etc... perderiam a graça, pois o algoritmo seria amplamente > divulgado. É um teorema relativamente fácil que vale exatamente uma das opções abaixo: (A) Existe um algoritmo para as brancas ganharem no xadrez. Ou seja, se o jogador que usa as peças brancas seguir este algoritmo ele sempre ganhará, independentemente do que fizer o jogador que usa as pretas (conhecendo ou não o algoritmo e sabendo ou não que o jogador das brancas irá usá-lo). (B) Existe um algoritmo para as pretas ganharem no xadrez. (C) Existem algoritmos para cada um dos dois jogadores garantir o empate. Ou seja, se o jogador com as peças brancas seguir o algoritmo ele garante pelo menos o empate. Analogamente, se o jogador com as peças pretas seguir o algoritmo ele garante pelo menos o empate. Ninguém sabe, claro, qual das opções realmente vale (mas acho que o melhor palpite é (C)). O problema é que os algoritmos são quase certamente grandes e complicados demais para poderem ser escritos mesmo como um programa para um grande computador. O livro Winning Ways, de Berlekamp, Conway e Guy, faz uma análise completa de alguns jogos e para alguns o algoritmo pode ser dado sim. Mas mesmo alguns jogos tradicionalmente considerados bem menos nobres que o xadrez, como o jogo dos quadradinhos (dots-and-boxes), são complicados demais para admitir um algoritmo prático. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 28 09:40:01 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA25133 for obm-l-MTTP; Fri, 28 Feb 2003 09:38:35 -0300 Received: from aacpdlotus.net.ms.gov.br (ns1.ms.gov.br [200.181.116.3]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id JAA25128 for ; Fri, 28 Feb 2003 09:38:31 -0300 From: JoaoCarlos_Junior@net.ms.gov.br Subject: [obm-l] Observar passos para progredir To: obm-l@mat.puc-rio.br X-Mailer: Lotus Notes Release 5.0.9a January 7, 2002 Message-ID: Date: Fri, 28 Feb 2003 07:42:05 -0400 X-MIMETrack: Serialize by Router on aacpdlotus/NETMS(Release 5.0.9a |January 7, 2002) at 02/28/2003 07:42:36 AM MIME-Version: 1.0 Content-type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id JAA25130 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Queridos professores e amigos, É fato que homens seguem passos de outros homens, que alunos seguem os de seus mestres até aonde podem, muitas vezes, ir. Raras vezes, pode ocorrer que alunos igualem-se a seus mestres, para os substituir, já que a vida flui, neste planeta. Fui aluno do Ralph, em 1989, na turma IME/ITA do Impacto. Cursei o IME de 90 a 94. Fiz mestrado no mesmo Instituto de 98 a 99. Sem idolatria, afirmo admirar os passos de Pitombeira de Carvalho, Nicolau Corsão Saldanha, Augusto César de Oliveira Morgado, Ralph Costa Teixeira, João Bosco, Paulo Cezar Pinto Carvalho, Pedro Fernandez, Eduardo Wagner, Élon Lages Lima, João Paulo Q. Carneiro, Carlos Gustavo T. de A. Moreira. Graças a Deus! A Internet permite-me ser aluno, à distância, dos demais citados, os quais não conheci pessoalmente. Também, vale a penas destacar as contribuições do melhores alunos, como, por exemplo, Cláudio (cláudio@praticacorretora.com.br), que mui contribui para desenvolvimento dos alunos mais retardatários, dentro dos quais, incluo-me, com naturalidade. Nesta seqüência de observar passos para o progresso, nós eternos alunos gostaríamos de saber, se vocês professores conheceram outros mestres por vós admiráveis e que problemas resolveram para vos impressionar? Já que a lista é de resolução de problemas. OBS: Provavelmente, esqueci-me de muitos nomes, tanto de professores quanto de alunos. Justifico-me pela distância de anos luz em que encontro-me do ponto onde vocês estão, juntamente, com outros. Também a ordem supracitada de professores foi feita por sorteio. Um forte abraço a todos, João Carlos. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 28 10:29:32 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA26519 for obm-l-MTTP; Fri, 28 Feb 2003 10:27:52 -0300 Received: from ns3bind.localdomain ([200.230.34.5]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id KAA26515 for ; Fri, 28 Feb 2003 10:27:47 -0300 Received: from servico2 ([200.230.34.228]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1SDPND08600 for ; Fri, 28 Feb 2003 10:25:23 -0300 Message-ID: <001801c2df2d$19ff9da0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030227202415.73598.qmail@web20707.mail.yahoo.com> Subject: Re: [obm-l] origem do meu nome Date: Fri, 28 Feb 2003 10:27:10 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Porque o meu nome é Claudio, eu trabalho na Prática Corretora e, por alguma razão, no e-mail sai Claudio_(Prática). ----- Original Message ----- From: "okakamo kokobongo" To: Sent: Thursday, February 27, 2003 5:24 PM Subject: [obm-l] origem do meu nome > Mas porque o interesse particular no meu nome. Existem > tantos outros nomes estranhos na lista, por exemplo, > porque o prática de Cláudio_(Prática)? > Abraços, > OKAKAMO KOKOBONGO. > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. > http://br.busca.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 28 12:14:30 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA28221 for obm-l-MTTP; Fri, 28 Feb 2003 12:12:35 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA28216 for ; Fri, 28 Feb 2003 12:12:32 -0300 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1SFAID14963 for ; Fri, 28 Feb 2003 12:10:18 -0300 Message-ID: <005201c2df3b$c2829f00$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <1dc.3dba597.2b8fc2a8@aol.com> Subject: Re: [obm-l] Sistemas de eq. lineares Date: Fri, 28 Feb 2003 12:12:06 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_004F_01C2DF22.9C5B33A0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_004F_01C2DF22.9C5B33A0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Oi, Fael: Como resolver estas quest=F5es ? Observem que elas s=E3o bem parecidas = apesar de uma ser formulada pelos professores da FUVEST e outra da = CESGRANRIO.=20 (FUVEST) A equa=E7=E3o matricial=20 (a11=3D1, a12=3D5, a21=3D2, a22=3D -1) * (a11=3Dx, a21=3Dy) =3D lambda* = (a11=3Dx, a21=3Dy) admite mais de uma solu=E7=E3o se e somente se lambda = for igual a:=20 Passando os lambdas para o lado esquerdo, voc=EA cai no sistema = homog=EAneo: | 1-L 5 | | x | =3D | 0 | | 2 -1-L | | y | | 0 | Qual a condi=E7=E3o para que esse sistema tenha solu=E7=F5es distintas = da trivial? resp: +/ - raiz (11)=20 (CESGRANRIO) Sejam lambda[1] e lambda[2] os valores distintos de lambda = para que a equa=E7=E3o (a11=3D2,a12=3D3, a21=3D3, a22=3D2)*(a11=3Dx[1], = a21=3Dx[2] ) =3D lambda*(a11=3Dx[1], a21=3Dx[2] ) admita a solu=E7=E3o = (a11=3Dx[1], a21=3Dx[2] ) <> (a11=3D0, a21=3D0). Ent=E3o lambda[1] + = lambda[2] =E9:=20 Use o mesmo conceito do problema acima. resp: 4=20 Um abra=E7o, Claudio. ------=_NextPart_000_004F_01C2DF22.9C5B33A0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Oi, Fael:

Como resolver estas quest=F5es ? Observem que elas s=E3o bem = parecidas=20 apesar de uma ser formulada pelos professores da FUVEST e outra da = CESGRANRIO.=20

(FUVEST) A equa=E7=E3o matricial
(a11=3D1, a12=3D5, a21=3D2, = a22=3D -1) *=20 (a11=3Dx, a21=3Dy) =3D lambda* (a11=3Dx, a21=3Dy) admite mais de uma = solu=E7=E3o se e somente=20 se lambda for igual a:
Passando os lambdas para o lado esquerdo, voc=EA cai no sistema=20 homog=EAneo:
 
|  1-L      5   |  | x = | =20 =3D  | 0 |
|   2     -1-L  |  | y=20 |      | 0 |
 
Qual a condi=E7=E3o para que esse sistema tenha solu=E7=F5es = distintas da=20 trivial?

resp:  +/ - raiz (11)




(CESGRANRIO) =  Sejam=20 lambda[1] e lambda[2] os valores distintos de lambda para que a = equa=E7=E3o=20 (a11=3D2,a12=3D3, a21=3D3, a22=3D2)*(a11=3Dx[1], a21=3Dx[2] ) =3D = lambda*(a11=3Dx[1], a21=3Dx[2] )=20 admita a solu=E7=E3o (a11=3Dx[1], a21=3Dx[2] ) <> (a11=3D0, = a21=3D0). Ent=E3o lambda[1]=20 + lambda[2] =E9:
Use o mesmo conceito do problema acima.

resp: 4

Um abra=E7o,
Claudio.
 ------=_NextPart_000_004F_01C2DF22.9C5B33A0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 28 12:33:37 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA28743 for obm-l-MTTP; Fri, 28 Feb 2003 12:32:00 -0300 Received: from web20706.mail.yahoo.com (web20706.mail.yahoo.com [216.136.226.179]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id MAA28737 for ; Fri, 28 Feb 2003 12:31:53 -0300 Message-ID: <20030228153122.81144.qmail@web20706.mail.yahoo.com> Received: from [147.65.2.170] by web20706.mail.yahoo.com via HTTP; Fri, 28 Feb 2003 12:31:21 ART Date: Fri, 28 Feb 2003 12:31:21 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?okakamo=20kokobongo?= Subject: [obm-l] Problema 2 do marcio To: obm-l@mat.puc-rio.br MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi Gugu, (e demais membros da lista) Aqui vai uma solução elementar do problema 2 do Marcio. Seja P(x) um polinômio mônico em Q[X], irredutível e seja p um primo ímpar. (P(x) = (x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n)) Vamos provar que P(x^p) é irredutível. Seja q(x) um fator irredutível de P(x^p), onde q(x) = (x-b_1)(x-b_2)...(x-b_k). Claramente Temos: para todo i, existe j tal que: (b_i)^p = a_j. Seja q~(x) = (x-b_1^p)(x-b_2^p)...(x-b_k^p). Como os coeficientes de q~(x) são polinômios simétricos nas variáveis b_1, b_2, ..., b_k, claramente q~(x) está em Q[X]. Claramente {b_i^p, 1 <= i <= k} = {a_j, 1 <= j <= n}, pois se estes conjuntos forem diferentes, o mdc (P(x), q~(x)) seria um poliômio em Q[X] de grau menor que P e teria algumas raízes em comum com P, o que é um absurdo pois P é irredutível. De modo análogo provamos que #{i, b_i^p = a_j} não depende de j (basta ir dividindo q~(x) por P(x)). Fica fácil ver agora que P(0) é uma potência de p, o que é um absurdo, logo P(x^p) é irredutível. Obs.: Essa demonstração só usa o teorema de Newton. _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 28 12:44:37 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA29114 for obm-l-MTTP; Fri, 28 Feb 2003 12:43:00 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA29110 for ; Fri, 28 Feb 2003 12:42:56 -0300 Received: from servico2 ([200.230.34.227]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1SFehD16654 for ; Fri, 28 Feb 2003 12:40:43 -0300 Message-ID: <00ca01c2df40$0277c5a0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?Windows-1252?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: Subject: [obm-l] =?Windows-1252?Q?Sequ=EAncia_e_subsequ=EAncias?= Date: Fri, 28 Feb 2003 12:42:31 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_00C7_01C2DF26.DC473280" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_00C7_01C2DF26.DC473280 Content-Type: text/plain; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable HelpUma sequ=EAncia de 100 n=FAmeros reais tem a seguinte propriedade: Para cada subsequ=EAncia de 8 termos, existe uma subsequ=EAncia de 9 = termos que tem a mesma m=E9dia. Prove que a sequ=EAncia =E9 constante. Um abra=E7o e bom carnaval a todos, Claudio. ------=_NextPart_000_00C7_01C2DF26.DC473280 Content-Type: text/html; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Help
Uma sequ=EAncia de 100 n=FAmeros reais tem a seguinte = propriedade:
Para cada subsequ=EAncia de 8 termos, existe uma = subsequ=EAncia de 9=20 termos que tem a mesma m=E9dia.
 
Prove que a sequ=EAncia =E9 constante.
 
Um abra=E7o e bom carnaval a todos,
Claudio.
 
 
 
------=_NextPart_000_00C7_01C2DF26.DC473280-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 28 13:00:47 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA29770 for obm-l-MTTP; Fri, 28 Feb 2003 12:59:11 -0300 Received: from web12905.mail.yahoo.com (web12905.mail.yahoo.com [216.136.174.72]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id MAA29764 for ; Fri, 28 Feb 2003 12:59:07 -0300 Message-ID: <20030228155835.39789.qmail@web12905.mail.yahoo.com> Received: from [200.206.103.3] by web12905.mail.yahoo.com via HTTP; Fri, 28 Feb 2003 12:58:35 ART Date: Fri, 28 Feb 2003 12:58:35 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Johann=20Peter=20Gustav=20Lejeune=20Dirichlet?= Subject: Re: [obm-l] Irã_[1999] To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <200302272151.WAA23163@www10.emo.freenet-rz.de> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-606044694-1046447915=:38316" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --0-606044694-1046447915=:38316 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Esse primeiro a resposta e negativa,analise modulo nove O segundo,e todo mundo que voce quiser desde o 1 ate o maximo da expressao.teste casos pequenos. edilonr@freenet.de wrote:Caros colegas, [Irã-1999] - Existe um inteiro positivo que é uma potência de 2, tal que nós podemos obter outra potência de 2 pelo rearranjo de seus dígitos? [Irã-1999] - Encontre todos os números naturais m tal que: m = 1/a1 +2/a2 + 3/a3 + ... + 1378/a1378 onde a1 , ... , a1378 são números naturais. --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Caso tenha algum equívoco de tradução, eis os enunciados em inglês: 1. Does there exist a positive integer which is a power of 2, such that we can obtain another power of 2 by rearranging it's digits? 4. 4. Find all natural numbers m such that : m = 1/a1 +2/a2 + 3/a3 + ... + 1378/a1378 where a1 , ... , a1378 are natural numbers. --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Edilon R. -- freenet Grusskarten: Schicken Sie Ihren Freunden einen Gruss. Jetzt mit Sound: http://www.freenet.de/tipp/gruss ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-606044694-1046447915=:38316 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

Esse primeiro a resposta e negativa,analise modulo nove

O segundo,e todo mundo que voce quiser desde o 1 ate o maximo da expressao.teste casos pequenos.

 edilonr@freenet.de wrote:

Caros colegas,

[Irã-1999] - Existe um inteiro positivo que é uma potência de 2, tal que nós podemos obter outra potência de 2 pelo rearranjo de seus dígitos?


[Irã-1999] - Encontre todos os números naturais m tal que:

m = 1/a1 +2/a2 + 3/a3 + ... + 1378/a1378

onde a1 , ... , a1378 são números naturais.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Caso tenha algum equívoco de tradução, eis os enunciados em inglês:

1. Does there exist a positive integer which is a power of 2, such that we can obtain another power of 2 by rearranging it's digits?

4. 4. Find all natural numbers m such that :

m = 1/a1 +2/a2 + 3/a3 + ... + 1378/a1378

where a1 , ... , a1378 are natural numbers.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Edilon R.



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Ola gente!!!!Quem conhece esse ou algum parecido?

Ache as funçoes f de Z em {K e elemento de Z com K>=-167}  tais que 2*n+167<=f(f(n)+167)+f(n)<=2n+2*167 para todo n ?

Testes empiricos me levam a crer que isto e uma funçao linear(f(n)=n serve!!) mas nada de mais genial.Quem tiver uma luz agradeço.Talvez de pra provar que afunçao e unica mas ai.....

 


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Ol=E1 a todos,
Qualquer ajuda, eu agrade=E7o:
"Calcule:
lim { sqrt[x+sqrt(x)] - sqrt(x-1) }  =3D = ?
x-->mais infinito
"
At=E9...
Bruno
------=_NextPart_000_0009_01C2DF34.A395EB80-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 28 14:20:50 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA32594 for obm-l-MTTP; Fri, 28 Feb 2003 14:19:21 -0300 Received: from silva5.uol.com.br (silva5.uol.com.br [200.221.29.52]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA32590 for ; Fri, 28 Feb 2003 14:19:18 -0300 Received: from cabru ([200.148.108.132]) by silva5.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with SMTP id OAA24071; Fri, 28 Feb 2003 14:22:59 -0300 (BRT) Message-ID: <001601c2df4e$21bd6a60$846c94c8@cabru> From: "Bruno" To: "OBM-L" Cc: "OBM-L" Subject: [obm-l] problema limite Date: Fri, 28 Feb 2003 14:21:09 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0009_01C2DF34.A395EB80" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4133.2400 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0009_01C2DF34.A395EB80 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 a todos, Qualquer ajuda, eu agrade=E7o: "Calcule: lim { sqrt[x+sqrt(x)] - sqrt(x-1) } =3D ? x-->mais infinito " At=E9... Bruno ------=_NextPart_000_0009_01C2DF34.A395EB80 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Ol=E1 a todos,
Qualquer ajuda, eu agrade=E7o:
"Calcule:
lim { sqrt[x+sqrt(x)] - sqrt(x-1) }  =3D = ?
x-->mais infinito
"
At=E9...
Bruno
------=_NextPart_000_0009_01C2DF34.A395EB80-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 28 15:09:24 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA01189 for obm-l-MTTP; Fri, 28 Feb 2003 15:08:00 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA01185 for ; Fri, 28 Feb 2003 15:07:56 -0300 Received: from servico2 ([200.230.34.224]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1SI5gD24743 for ; Fri, 28 Feb 2003 15:05:42 -0300 Message-ID: <004601c2df54$433ccc20$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <20030228163748.85305.qmail@web12904.mail.yahoo.com> Subject: [obm-l] =?iso-8859-1?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Fun=E7oes?= Date: Fri, 28 Feb 2003 15:07:29 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0043_01C2DF3B.1C8F19C0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0043_01C2DF3B.1C8F19C0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Caro JP: A meu ver f(n) =3D n n=E3o funciona.=20 O que complica =E9 a restri=E7=E3o do contra-dom=EDnio ao conjunto = {-167, -166, .... }. Nesse caso, para cada n inteiro, temos que ter, necessariamente f(n) = >=3D -167. Assim, para todo n, -334 <=3D f(f(n)+167) + f(n) <=3D 2n + 334 No entanto, n < -334 =3D=3D> f(f(n)+167) + f(n) <=3D 2n + 334 < -334 = =3D=3D> contradi=E7=E3o. Conclus=E3o: n=E3o existe fun=E7=E3o de Z em {-167,-166,...} que = satisfaz =E0s desigualdades do enunciado. Ou ent=E3o eu entendi mal o enunciado.... Um abra=E7o, Claudio. =20 ----- Original Message -----=20 From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Friday, February 28, 2003 1:37 PM Subject: [obm-l] Fun=E7oes Ola gente!!!!Quem conhece esse ou algum parecido? Ache as fun=E7oes f de Z em {K e elemento de Z com K>=3D-167} tais = que 2*n+167<=3Df(f(n)+167)+f(n)<=3D2n+2*167 para todo n ? Testes empiricos me levam a crer que isto e uma fun=E7ao = linear(f(n)=3Dn serve!!) mas nada de mais genial.Quem tiver uma luz = agrade=E7o.Talvez de pra provar que afun=E7ao e unica mas ai..... -------------------------------------------------------------------------= ----- Busca Yahoo!=20 O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o = Yahoo! encontra. ------=_NextPart_000_0043_01C2DF3B.1C8F19C0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Caro JP:
 
A meu ver f(n) =3D n n=E3o funciona. =
O que complica =E9 a restri=E7=E3o do = contra-dom=EDnio ao=20 conjunto {-167, -166, .... }.
 
Nesse caso, para cada n inteiro, temos = que ter,=20 necessariamente f(n) >=3D -167.
 
Assim, para todo n, -334 <=3D = f(f(n)+167) + f(n)=20 <=3D 2n + 334
 
No entanto, n < -334 =3D=3D> = f(f(n)+167) + f(n)=20 <=3D 2n + 334 < -334 =3D=3D> contradi=E7=E3o.
 
Conclus=E3o: n=E3o existe fun=E7=E3o de = Z em=20 {-167,-166,...} que satisfaz =E0s desigualdades do = enunciado.
 
Ou ent=E3o eu entendi mal o=20 enunciado....
 
 
Um abra=E7o,
Claudio.
 
 
 
 
----- Original Message -----
From:=20 Johann Peter Gustav = Lejeune=20 Dirichlet
Sent: Friday, February 28, 2003 = 1:37=20 PM
Subject: [obm-l] = Fun=E7oes

Ola gente!!!!Quem conhece esse ou algum parecido?

Ache as fun=E7oes f de Z em {K e elemento de Z com = K>=3D-167} =20 tais que 2*n+167<=3Df(f(n)+167)+f(n)<=3D2n+2*167 para todo = n ?

Testes empiricos me levam a crer que isto e uma fun=E7ao = linear(f(n)=3Dn=20 serve!!) mas nada de mais genial.Quem tiver uma luz agrade=E7o.Talvez = de pra=20 provar que afun=E7ao e unica mas ai.....

 


Busca Yahoo!
O = servi=E7o de=20 busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o Yahoo!=20 encontra. ------=_NextPart_000_0043_01C2DF3B.1C8F19C0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 28 15:27:15 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA01724 for obm-l-MTTP; Fri, 28 Feb 2003 15:25:44 -0300 Received: from ns3bind.localdomain (ns3.bindtech.com.br [200.230.34.5] (may be forged)) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA01706 for ; Fri, 28 Feb 2003 15:25:41 -0300 Received: from servico2 ([200.230.34.224]) by ns3bind.localdomain (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h1SINRD25908 for ; Fri, 28 Feb 2003 15:23:27 -0300 Message-ID: <002a01c2df56$be3ac7e0$3300c57d@bovespa.com> From: "=?iso-8859-1?Q?Cl=E1udio_\=28Pr=E1tica\=29?=" To: References: <001601c2df4e$21bd6a60$846c94c8@cabru> Subject: Re: [obm-l] problema limite Date: Fri, 28 Feb 2003 15:25:15 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0027_01C2DF3D.980A34C0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.50.4920.2300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4920.2300 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0027_01C2DF3D.980A34C0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable "Irracionalize" o numerador: ( sqrt[x + sqrt(x)] - sqrt(x-1) ) * ( sqrt[x + sqrt(x)] + sqrt(x-1) ) / = ( sqrt[x + sqrt(x)] + sqrt(x-1) ) =3D ( [x + sqrt(x)] - (x-1) ) / ( sqrt[x + sqrt(x)] + sqrt(x-1) ) =3D ( sqrt(x) + 1 ) / ( sqrt[x + sqrt(x)] + sqrt(x-1) )=20 Depois, divida o numerador e denominador por sqrt(x): ( 1 + 1/sqrt(x) ) / ( sqrt[ 1 + 1/sqrt(x) ] + sqrt(1 - 1/x) )=20 Agora =E9 s=F3 usar que 1/x e 1/sqrt(x) tendem a zero quando x --> = +infinito: ( 1 + 0 ) / ( sqrt( 1 + 0 ) + sqrt( 1 - 0 ) ) =3D 1 / ( 1 + 1 ) =3D = 1/2 Um abra=E7o, Claudio. ----- Original Message -----=20 From: Bruno=20 To: OBM-L=20 Cc: OBM-L=20 Sent: Friday, February 28, 2003 2:21 PM Subject: [obm-l] problema limite Ol=E1 a todos, Qualquer ajuda, eu agrade=E7o: "Calcule: lim { sqrt[x+sqrt(x)] - sqrt(x-1) } =3D ? x-->mais infinito " At=E9... Bruno ------=_NextPart_000_0027_01C2DF3D.980A34C0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
"Irracionalize" o = numerador:
 
( sqrt[x + sqrt(x)] - sqrt(x-1) = ) * ( sqrt[x +=20 sqrt(x)] + sqrt(x-1) ) / ( sqrt[x + sqrt(x)] + sqrt(x-1) )  = =3D
 
(  [x + sqrt(x)] - (x-1) ) / ( = sqrt[x +=20 sqrt(x)] + sqrt(x-1) )  =3D
 
( sqrt(x) + 1 ) / ( sqrt[x + sqrt(x)] + = sqrt(x-1)=20 ) 
 
Depois, divida o numerador e = denominador por=20 sqrt(x):
 
( 1 + 1/sqrt(x) ) / (  sqrt[ = 1  + =20 1/sqrt(x) ] + sqrt(1 - 1/x)  ) 
 
Agora =E9 s=F3 usar que 1/x e 1/sqrt(x) = tendem a zero=20 quando x --> +infinito:
 
( 1 + 0 ) / ( sqrt( 1 + 0 ) + = sqrt( 1 - 0=20 )  )  =3D  1 / ( 1 + 1 )  =3D 1/2
 
Um abra=E7o,
Claudio.
 
 
----- Original Message -----
From:=20 Bruno
To: OBM-L
Cc: OBM-L
Sent: Friday, February 28, 2003 = 2:21=20 PM
Subject: [obm-l] problema = limite

Ol=E1 a todos,
Qualquer ajuda, eu agrade=E7o:
"Calcule:
lim { sqrt[x+sqrt(x)] - sqrt(x-1) }  =3D = ?
x-->mais infinito
"
At=E9...
Bruno
------=_NextPart_000_0027_01C2DF3D.980A34C0-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 28 15:48:19 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA02550 for obm-l-MTTP; Fri, 28 Feb 2003 15:46:47 -0300 Received: from relay.atkearney.com (relay.atkearney.com [12.17.120.131]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA02546 for ; Fri, 28 Feb 2003 15:46:43 -0300 Received: from wwexg02.atkearney.com (igate1.atkearney.com [12.17.120.141]) by relay.atkearney.com (8.9.3+Sun/8.9.3) with ESMTP id SAA23835 for ; Fri, 28 Feb 2003 18:44:39 +0600 (GMT) Received: by wwexg02.atkearney.com with Internet Mail Service (5.5.2653.19) id ; Fri, 28 Feb 2003 12:45:59 -0600 Message-ID: <7678F57286F74C4A93224DD92F90D4E41F14F4@uschm001.atkearney.com> From: "Tesche, Eduardo" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] problema limite Date: Fri, 28 Feb 2003 12:46:09 -0600 MIME-Version: 1.0 X-Mailer: Internet Mail Service (5.5.2653.19) Content-Type: multipart/alternative; boundary="----_=_NextPart_001_01C2DF59.A8A6B058" Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This message is in MIME format. Since your mail reader does not understand this format, some or all of this message may not be legible. ------_=_NextPart_001_01C2DF59.A8A6B058 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ola pessoal, =20 Gostaria que voces me ajudassem a descobrir recursos(livros, sites, algoritmos, rezas) para resolver o seguinte problema: =20 Uma maquina produz tiras de papelao de dimensoes NxM fixas, = predefinidas. Nesta tira de papelao quero construir o maior numero possivel de = caixas, isto =E9 reduzir o desperdicio de papelao. Acontece que as dimensoes = destas caixas sao predefinidas. Digamos por exemplo que eu tenha 3 tipos de = caixa, A caixa 1)AxBxC, a 2) DxExF e a 3) FxGxH. Quero saber se eh a melhor = solucao e construir as caixas 1 e 2 em uma tira e a caixa 3 em outra, ou as = caixas 1 e 3 em uma e a 2 em outra, enfim, qual o melhor jeito de organizar = essas caixas, qual a melhor planificacao das caixas, para que eu reduza a = sobra de papelao ao minimo. Acho que algo do tipo algoritmos geneticos resolve o problema, mas nao = to conseguindo encontrar nenhum algoritmo ou referencia sobre o assunto. Alguem sabe como resolver isso??? Abracos, =20 Tesche -----Original Message----- From: Bruno [mailto:stan84@uol.com.br] Sent: sexta-feira, 28 de fevereiro de 2003 14:21 To: OBM-L Cc: OBM-L Subject: [obm-l] problema limite Ol=E1 a todos, Qualquer ajuda, eu agrade=E7o: "Calcule: lim { sqrt[x+sqrt(x)] - sqrt(x-1) } =3D ? x-->mais infinito " At=E9... Bruno ------_=_NextPart_001_01C2DF59.A8A6B058 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Ola=20 pessoal,
 
Gostaria que voces me ajudassem a descobrir recursos(livros, = sites,=20 algoritmos, rezas) para resolver o seguinte = problema:
 
Uma=20 maquina produz tiras de papelao de dimensoes NxM fixas, predefinidas. = Nesta tira=20 de papelao quero construir o maior numero possivel de caixas, isto =E9 = reduzir o=20 desperdicio de papelao. Acontece que as dimensoes destas caixas sao=20 predefinidas. Digamos por exemplo que eu tenha 3 tipos de caixa, A = caixa=20 1)AxBxC, a 2) DxExF e a 3) FxGxH. Quero saber se eh = a melhor=20 solucao e construir as caixas 1 e 2 em uma tira e a caixa 3 em outra, = ou as=20 caixas 1 e 3 em uma e a 2 em outra, enfim, qual o melhor jeito de = organizar=20 essas caixas, qual a melhor planificacao das caixas, para que eu reduza = a sobra=20 de papelao ao minimo.
Acho=20 que algo do tipo algoritmos geneticos resolve o problema, mas nao to = conseguindo=20 encontrar nenhum algoritmo ou referencia sobre o = assunto.
Alguem=20 sabe como resolver isso???

Abracos,
 
Tesche
 -----Original=20 Message-----
From: Bruno = [mailto:stan84@uol.com.br]
Sent:=20 sexta-feira, 28 de fevereiro de 2003 14:21
To: = OBM-L
Cc:=20 OBM-L
Subject: [obm-l] problema = limite
Ol=E1 a todos,
Qualquer ajuda, eu agrade=E7o:
"Calcule:
lim { sqrt[x+sqrt(x)] - sqrt(x-1) }  =3D = ?
x-->mais infinito
"
At=E9...
Bruno
------_=_NextPart_001_01C2DF59.A8A6B058-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 28 15:58:43 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA02838 for obm-l-MTTP; Fri, 28 Feb 2003 15:57:21 -0300 Received: from saulo.bol.com.br (saulo.bol.com.br [200.221.24.31]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA02831 for ; Fri, 28 Feb 2003 15:57:18 -0300 Received: from bol.com.br (200.221.24.138) by saulo.bol.com.br (5.1.071) id 3E26FD2A00AD7602 for obm-l@mat.puc-rio.br; Fri, 28 Feb 2003 15:54:35 -0300 Date: Fri, 28 Feb 2003 15:56:47 -0300 Message-Id: Subject: Re:[obm-l] problema limite MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/mixed; boundary="_=__=_XaM3_Boundary.1046458607.2A.819487.42.26596.52.42.101010.396100522" From: "amurpe" To: obm-l@mat.puc-rio.br X-XaM3-API-Version: 2.4 R3 ( B4 ) X-SenderIP: 161.148.33.14 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --_=__=_XaM3_Boundary.1046458607.2A.819487.42.26596.52.42.101010.396100522 Content-Type: text/plain;charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable > Ol=E1 a todos, > Qualquer ajuda, eu agrade=E7o: > "Calcule: > lim { sqrt[x+sqrt(x)] - sqrt(x-1) } =3D ? > x-->mais infinito > " > At=E9... > Bruno > Se consegui interpretar os sinais e simbolos adequadamente , o resultado =E9 zero. Apliquei o teorema do desprezo , na primeira parcela =E9 raiz de x , e na segunda idem , logo a diferen=E7a ser=E1 zero.Vai anexo arquivo anexo ,para voc=EA ver se interpretei a express=E3o do limite corretamente. Um abr=E7o, espero ter te ajudado. um grande abra=E7o. Amurpe. __________________________________________________________________________ E-mail Premium BOL Antiv=EDrus, anti-spam e at=E9 100 MB de espa=E7o. Assine j=E1! http://email.bol.com.br/ --_=__=_XaM3_Boundary.1046458607.2A.819487.42.26596.52.42.101010.396100522 Content-Type: application/octet-stream; name="bruno.zip" Content-Transfer-Encoding: base64 UEsDBBQAAgAIAI5+XC4QI5PZLgwAAAA4AAAJAAAAYnJ1bm8uZG9j7RsLWJRV9v7/zMAwgAxP 5SEOiKLxCBBdyChgZgAfKAGGpojA8IxhYBh8ZyhJumpiargGiZWKiYbobqZlmBW4SdoD175W w0crbqJEIwoq07n/f38dRliB9vu22jl4/nMf57/33HPuPefef66nT1k3b9/vdAEZwFOIh7p1 ZshEr4wCtOYyYoRsSVm3TqcjRUhnhN8VXNtxDOUjBz5CQpuP7lsWAEokgENQSnZKtsZL44Ue Age+AxplATSMYtBVb570Bjqd1SPTHCQyzw6S6zBI90Xt9FoQUX3TIKDhQEF4NI1Qrj6aRuhv QNMh7wB0KSkfKLWBdmgsE83m+0M9gPJ4CGmhjVug/QjIB0G5fS/a5Ma9tA91P0q+INJvCdW7 Pg3b5fLpVM/3DCnmE/XSjmHehu5dbkN7Pcruhu1hOdbqycMBV2/4/mCBa4/r/zkyj9rSm1Y/ 9/3HlOE4Sh4x7v8N2Erk0eFymUSeX5isyVLl+sriouMDJRI7yt7bEgAZ4Y8N4GUowGGAjoBO gM7E93eh61e6jBr6HYElLxsTedQ13QwhNZSXfZknChcJKelkOwQFzwopZRTim7FcUADbO7Dz cEBXwBHE7vf0m+xnxgi/O6CY1d+L/WFHb9TO/wHQFMUfiez8QkbHmKERNcW+kpqGMLcagak7 4MjSSoEH4Kgao6KMYIQ/KAjB38uQgvMIPeoshC50C6+F96g2rBC/7UmgtXxRmxCx+0l8BJQi 87ZhOMiE4VCznLJGSPwRhT8w6OCJOcVtfLaJogBk2rYQeuLxJ/kerqioTq4OFUXJnXSmjToU z2ODlYxhHU/Nc3Numwplhpw2eh+rmuEoNg94WrS2qO4JAXLCo+heWL45PikqLtnu6St35r93 7sfs10e/+ck/zzzd8JqjTCxr7NwlkZbbfHN8zqLGL3detPB8dtNyobX5EruUkJMvr2qK859c I2nxb9lfVrXrfPjo+Igfl97aVmBy4Yc3btw593PFkmW37h694cp3LPrcpY6aHjrHxlEaKK5V v1+9/fjZzNvZWxyvpBTfPbDnldPLjjjPl87iH5e2lWaszFvufYU+O6nz+bVjhmo/8Yzs2lU/ o8gl6MSdKZ/vSjwZIRXevHbk7OylHmbx9W9cnMgr3F+ZGHlq3vnwsS8Xn1aF2K5b7BrYPqXI ZPn1jNOyn+fO5a35KmBZqfpQ/fXUBdembIqcaV3b4e5Su2B/RG1CrPWIKTfyf37vw89mT804 lXw+9Pja/OGJK6zNzy2IP/BFTdntch/JpfpZ5beeecnP/rP3Rb5PnVwWu1P+bN2sDpM99p0X Au2zXouW5zbsHJLkvalwxoF9wWU/VZYff712/Quvlo0Jn2l99IR8y8YjM7dWz/W9eLigYG9t zOard5fNX9HhOK/iXPdbXl3IsjHk3upNWzu2Jey6+0Lq7ttjytfsi7YsvUpFWrQGX6vsrEq5 HhGwIdu5xGNpfNGPLnVHLIe8+O3lOmX+2YOdE/NPOJStapj6buWs+pC5ifUdQYeOJb9lq1Tn Hdtw4uCdTvnRZxrX+DRlbpNO/fLqNz/s95haMbq+NHL13XedPk2xmR3b8OLKdYvTc3Rny3y8 //Hk33e3Nn1tI5KbLLJtGtlVfLv41JudplYW5TKzq6Ua2ZKu9V++f6R0mKXnxtafNBcnK3Ki Wtclzfi6efM79jfVl17/IFZxrUsWXiFe0/zXm9o7E8dttM2vEmRU3qzL9i61PDi//uMP9zQe zVPtPj+8JDYjK2nsd64jL+dHZj6n7LiSYN8uaAibe+svsdKxU7p3zoysPuBxvea7lW8LAg5H Wb+991/aqQIvevzCl2JyJkx6/oCZ/9tVSWat19OrRjX68EWBXSsWLba1UzpPcJhdueMr6Y0N +9xfOZNdvP2dzHa/LapxHz925M2WivSyd/795zPBVS35ryUETCuLnC1YuHdv3O5jLZrFsdGr PT9dVSJyKPi+9czVi1t1jyfWdvsbPaERjGAEIxjBCEYwghGM8McHipz68fEYn8UFgPgYbYrY ex1m7FEemSP21038g+AQ5szP1t8DtEHsL9Q470DoUKD47O8I6ETKjPDbg1ikgj8NkiA5ygWq RosGNH8ckIDi2sJzxcSM/YZUx1ZHMOnN65hfxP3OtzEU39IoMmcZZCgZek0e9PwVIZrSH0+/ vnnhB3vLBSXA6NVIAXKoUCoqREqUxuihv+AE/eP2BtI/0ut/OkpB2dBnKvQZw9giZ4D6pyhz 0j+/D57Ke5/20L9+XRLyhz8/9CcUjMajADQBcgED6H8Y9M+NHfsN3hcP25/rn6M9/c90GHHa r7E/Gqj9MXA3hXjEApPA6umg/YGCDdhfQPxlf/uniK/FIEf5MOvwGsiC3nNhHU4jufn90opk EOPHFppFrID9MsaB+n9ch6ewNaMD9i6gHYkDXAzQ9//OgC6AwwHxPbERjOwIuQG6A45E7O2n UYCjAT0BxwCOBXwM0Iu06WOMJf9VoAw/+g8YeL/qbRdmPmqOhYAgMjIn1/Lt0RZAAQXTEd9H Gg/zKyErNywnJzy5ICtVqlKkxSRnpBUga0F8ljKtQDItbYEkVqVMzkXWvLhFyhRVDlRJVYXq rDQ1rkTW/Oh4iXyhRp0Ms1Xo9rhne5LberfHI5PCYtpHuIbFaO2twpBWrh2lXR+eBCmxlRRI +wjJjnYRlLlBAZRaRWmHatdDuVOSLEmuxf/CrCwoWNAUDQADoSgKFELhpSTCqaFiyND0ihyo W5GFH0pYS1CEihciml/yqts+eLq674A3kYiHl9qDSi/kpV8C74GCMB/U2bj7GHBDCY1W+RO2 /oI/igd/kzJoHzwED5rMgv76H7w3DBGwaQGKY6KuEqTAew/OD6uZEs4r9g1jwP/SxEcNJP5X U1z/hpF/YPIEDWL/gffOJykuFkihRSXKI3FoEPFnwP7fG5CLdN06rAO61xjVvHJbe+f0TPGe DULk5XngWz/E3na0IfVbSCypJPavJjHkEIkjDSSWfEPiSTPRvRYQxxU+aUtMbox6U2ycCSI3 KbE/wPEmhmJjzhyK1Z2CYrdPORQbdzTEiV3ms7EFyyLxZtMUGbArkSFOHhsTO12vDvKGaSzD NJVamZzjq1BpHnpX4UrG7Y9YfixDdFaqWlWgStdIElRqhSTIF5QVyjizkkhMmLR74i6Twx9Q TPoD2wC8F2LSUVsX4TSPyMHFYh45Q/0nD9uX/XAJ3dTYVO7rLN5YBvbz7tyHfz8VGJQFQodt JLbjvjPJ/MwjNiwiNlxFYn0pWb9biJ4qyVa2iuihhsT/Q2SvUEfaPoV62khPn6364+bocEL9 7YWIHBX6pK7iB++B3S3EbFdcN/GtmsIc1f3WWdl59/dPbOkEIt9TemdiPCeTYibJkiJnTJLd lz4Mzw7AJbBfHgfeYxwKh2cg7KB9YEbIAcdDKhD4ZJDzAQ8RATy4NgDSEyAnBQ4Z/IVDeTDw vfAr4qcNWEUEEs8Gq9EP1nfoTzqaWecmICvnvXKITXkePFiH0snDkDLKoZdDwwQUFtqu287o xBbkVTF+MQ10lcd4xQsoA/mSnALylwz2zQGwu6NQO3OOMIPR4viShq4wEmQyvJYgreVnQkQ3 i+vcGP/tDe1BLKNYmfGpVAH8eegqwy024OYsZ8JOLjSgk5fh3oXcetNP8/XSgvsnHXYni/u1 fWKTbjNeGsz+1RT6pxlp4sDisXCOiwVvPhFG/gSa81B8KYAWkiGlABoHZRomquSCTguAOxNK cpg81tQcFA35QuYdhUE7KoY/BfRfCHkVWITl0IVSRRSzfjAecgxmtgPDySg4Sov11DgP++VQ VgWRDqXYndImPAFfQPP4Ly9m2IqEhJ/TczwIiUUpYI4saWgB0FgmlCUzAXI8tEMjgYCiKVMT WmDa89jLtokfcRBklTAM9uA7bjTTu7kJH2+o6D57D4NhZ5Ep7Q6WOiZcBfb5BKywm1nj7ZfU O7WAXz/muJNiFgafmJAix69iMdUj3FHowX9cmUXrndCMMEDYYVJnehAdBPPa+GGDOzLXixz1 Jh+G/WZnB6VhdvmzHx3ZvIRxdOihBdgz1+dZvFvHE7EexPDbFRZXpkotVKblalQShUpiEOSZ ABEdh9PAxkxtnPbl3vENQtrg2vzf9Iz4BVBLAQIWCxQAAgAIAI5+XC4QI5PZLgwAAAA4AAAJ AAAAAAAAAAAAIACAgQAAAABicnVuby5kb2NQSwUGAAAAAAEAAQA3AAAAVQwAAAAA --_=__=_XaM3_Boundary.1046458607.2A.819487.42.26596.52.42.101010.396100522-- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 28 16:01:24 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA03036 for obm-l-MTTP; Fri, 28 Feb 2003 16:00:05 -0300 Received: from web12908.mail.yahoo.com (web12908.mail.yahoo.com [216.136.174.75]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id QAA03031 for ; Fri, 28 Feb 2003 16:00:01 -0300 Message-ID: <20030228185930.21388.qmail@web12908.mail.yahoo.com> Received: from [200.206.103.3] by web12908.mail.yahoo.com via HTTP; Fri, 28 Feb 2003 15:59:30 ART Date: Fri, 28 Feb 2003 15:59:30 -0300 (ART) From: =?iso-8859-1?q?Johann=20Peter=20Gustav=20Lejeune=20Dirichlet?= Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Funçoes To: obm-l@mat.puc-rio.br In-Reply-To: <004601c2df54$433ccc20$3300c57d@bovespa.com> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="0-166880841-1046458770=:19802" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --0-166880841-1046458770=:19802 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Nao sei direito mas to tentando ver o quanto esses caras sao parecidos.Tem um que e pra achar f de N em N tal que 2n+3K<=f(f(n))+f(n)<=2n+3K+2,K=natural dado inicialmente. Cláudio_(Prática) wrote:Caro JP: A meu ver f(n) = n não funciona. O que complica é a restrição do contra-domínio ao conjunto {-167, -166, .... }. Nesse caso, para cada n inteiro, temos que ter, necessariamente f(n) >= -167. Assim, para todo n, -334 <= f(f(n)+167) + f(n) <= 2n + 334 No entanto, n < -334 ==> f(f(n)+167) + f(n) <= 2n + 334 < -334 ==> contradição. Conclusão: não existe função de Z em {-167,-166,...} que satisfaz às desigualdades do enunciado. Ou então eu entendi mal o enunciado.... Um abraço,Claudio. ----- Original Message ----- From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, February 28, 2003 1:37 PMSubject: [obm-l] Funçoes Ola gente!!!!Quem conhece esse ou algum parecido? Ache as funçoes f de Z em {K e elemento de Z com K>=-167} tais que 2*n+167<=f(f(n)+167)+f(n)<=2n+2*167 para todo n ? Testes empiricos me levam a crer que isto e uma funçao linear(f(n)=n serve!!) mas nada de mais genial.Quem tiver uma luz agradeço.Talvez de pra provar que afunçao e unica mas ai..... --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --------------------------------- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --0-166880841-1046458770=:19802 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit

Nao sei direito mas to tentando ver o quanto esses caras sao parecidos.Tem um que e pra achar f de N em N tal que 2n+3K<=f(f(n))+f(n)<=2n+3K+2,K=natural dado inicialmente.

 Cláudio_(Prática) <claudio@praticacorretora.com.br> wrote:

Caro JP:
 
A meu ver f(n) = n não funciona.
O que complica é a restrição do contra-domínio ao conjunto {-167, -166, .... }.
 
Nesse caso, para cada n inteiro, temos que ter, necessariamente f(n) >= -167.
 
Assim, para todo n, -334 <= f(f(n)+167) + f(n) <= 2n + 334
 
No entanto, n < -334 ==> f(f(n)+167) + f(n) <= 2n + 334 < -334 ==> contradição.
 
Conclusão: não existe função de Z em {-167,-166,...} que satisfaz às desigualdades do enunciado.
 
Ou então eu entendi mal o enunciado....
 
 
Um abraço,
Claudio.
 
 
 
 
----- Original Message -----
Sent: Friday, February 28, 2003 1:37 PM
Subject: [obm-l] Funçoes

Ola gente!!!!Quem conhece esse ou algum parecido?

Ache as funçoes f de Z em {K e elemento de Z com K>=-167}  tais que 2*n+167<=f(f(n)+167)+f(n)<=2n+2*167 para todo n ?

Testes empiricos me levam a crer que isto e uma funçao linear(f(n)=n serve!!) mas nada de mais genial.Quem tiver uma luz agradeço.Talvez de pra provar que afunçao e unica mas ai.....

 


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Ola para todos!!!Achei um site legal de grafos.

Este e o site que contem a maior induçao do mundo,sobre grafos perfeitos

http://www.math.gatech.edu/~thomas

Outro legal e o Animath: http://www.animath.fr.E um site da Olimpiada na França.Tem a colaboraçao de Jean Christophe Yoccoz.


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Amurpe __________________________________________________________________________ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. 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Você irá ganhar da vida, se continuar assim, muitas medalhas de ouro. Essas é que realmente importam. Olímpiadas dão status e dinheiro, e isso provoca o pior em alguns seres humanos. Um grande abraço _________________________________________________________________ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 28 19:24:09 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA08865 for obm-l-MTTP; Fri, 28 Feb 2003 19:22:40 -0300 Received: from itaqui.terra.com.br (itaqui.terra.com.br [200.176.3.19]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA08861 for ; Fri, 28 Feb 2003 19:22:37 -0300 Received: from gunga.terra.com.br (gunga.terra.com.br [200.176.3.45]) by itaqui.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 86BF53BD562 for ; Fri, 28 Feb 2003 19:22:06 -0300 (BRT) Received: from niski.com (unknown [200.148.202.90]) (authenticated user fniski) by gunga.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 89561128050 for ; Fri, 28 Feb 2003 19:22:05 -0300 (BRT) Message-ID: <3E6027CA.6040700@niski.com> Date: Fri, 28 Feb 2003 19:23:54 -0800 From: niski User-Agent: Mozilla/5.0 (Windows; U; Windows NT 5.1; en-US; rv:1.0.2) Gecko/20030208 Netscape/7.02 X-Accept-Language: en-us, en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Duvida conceitual... Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Existe diferença em matematica quando se diz "Prove que... " , "Mostre que... " e "Demonstre que..." ? Eu intuitivamente penso assim, por exemplo: prove que, ou demonstre que: sin(a+b) = sinacosb + sinbcosa dai eu tentaria provar (por exemplo por vetores) usando dados literais a,b... mostre que sin(a+b) = sinacosb + sinbcosa pegaria a=45, b = 45 e mostraria.. estou correto ou enganado?! ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 28 20:11:01 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA10200 for obm-l-MTTP; Fri, 28 Feb 2003 20:09:34 -0300 Received: from traven10.uol.com.br (traven10.uol.com.br [200.221.29.45]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id UAA10196 for ; Fri, 28 Feb 2003 20:09:31 -0300 Received: from ui.uol.com.br ([200.147.92.107]) by traven10.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with ESMTP id UAA19299; Fri, 28 Feb 2003 20:06:48 -0300 (BRT) Message-Id: <5.1.0.14.2.20030228195544.02631a40@pop3.uol.com.br> X-Sender: cavictor@pop3.uol.com.br X-Mailer: QUALCOMM Windows Eudora Version 5.1 Date: Fri, 28 Feb 2003 20:08:53 -0300 To: obm-l@mat.puc-rio.br, obm-l@mat.puc-rio.br From: Carlos Victor Subject: Re:[obm-l] problema limite In-Reply-To: Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1"; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id UAA10197 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá , Observe que esta expressão é equivalente a lim (sqrt(x) + 1) / { sqrt[x+sqrt(x)] +sqrt(x-1) } . Divida em cima e em baixo por sqrt(x) e encontre como resultado o valor 1/2 , ok ? []´s Carlos Victor At 15:56 28/2/2003 -0300, amurpe wrote: > > Olá a todos, > > Qualquer ajuda, eu agradeço: > > "Calcule: > > lim { sqrt[x+sqrt(x)] - sqrt(x-1) } = ? > > x-->mais infinito > > " > > Até... > > Bruno > > > > > >__________________________________________________________________________ >E-mail Premium BOL >Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. 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Date: Fri, 28 Feb 2003 20:22:50 -0300 Organization: Steiner Consultoria LTDA Message-ID: <001a01c2df80$5117d700$9865fea9@computer> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook, Build 10.0.2627 In-Reply-To: <3E6027CA.6040700@niski.com> X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 Importance: Normal X-Virus-Scanned: by AMaViS new-20020517 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id UAA10489 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > >Existe diferença em matematica quando se diz "Prove que... " , "Mostre >que... " e "Demonstre que..." ? Acho que não. Sempre vi estes verbos serem usadas exatamente no mesmo sentido. É uma questão de preferência do autor. Em todos os casos, significa desenvolver um raciocínio lógico que permita constatar que alguma afirmação é verdadeira >Eu intuitivamente penso assim, por exemplo: > >prove que, ou demonstre que: >sin(a+b) = sinacosb + sinbcosa > >dai eu tentaria provar (por exemplo por vetores) usando dados literais >a,b... > >mostre que >sin(a+b) = sinacosb + sinbcosa >pegaria a=45, b = 45 e mostraria.. Não, não é esta a idéia envolvida em "mostre que". > > >estou correto ou enganado?! A meu ver, enganado Artur=============================================================== ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 28 20:40:57 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA11032 for obm-l-MTTP; Fri, 28 Feb 2003 20:39:38 -0300 Received: from artemis.opendf.com.br (artemis.opengate.com.br [200.181.71.15]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id UAA11028 for ; Fri, 28 Feb 2003 20:39:35 -0300 Received: from localhost (localhost [127.0.0.1]) by artemis.opendf.com.br (Postfix) with ESMTP id A28381CAB0 for ; Fri, 28 Feb 2003 20:38:41 -0300 (EST) Received: from computer (200-181-088-069.bsace7001.dsl.brasiltelecom.net.br [200.181.88.69]) by artemis.opendf.com.br (Postfix) with ESMTP id 116881C884 for ; Fri, 28 Feb 2003 20:38:38 -0300 (EST) From: "Artur Costa Steiner" To: Subject: RE: [obm-l] Duvida conceitual... Date: Fri, 28 Feb 2003 20:38:59 -0300 Organization: Steiner Consultoria LTDA Message-ID: <001b01c2df82$9404f2d0$9865fea9@computer> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook, Build 10.0.2627 In-Reply-To: <3E6027CA.6040700@niski.com> X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1106 Importance: Normal X-Virus-Scanned: by AMaViS new-20020517 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id UAA11029 Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > >Existe diferença em matematica quando se diz "Prove que... " , "Mostre >que... " e "Demonstre que..." ? Ainda com relação a este assunto, acho que é interessante observar que, no Brasil, quase sempre se diz "demonstrar um teorema" ou "demostração de um teorema". As expressões "provar um teorema" ou "prova de um teorema", embora usadas, são bem mais raras. Em Inglês, entretanto, embora o verbo "demonstrate" e o substantivo "demonstration" existam, quase nunca são usados em matemática. Quase sempre se diz "to prove a theorem" ou "proof of a theorem". A expressão "mostre que" é muito usada em enunciado de exercícios. No Inglês, "show that" é também muito usada da mesma forma. Têm o sentido de demonstrar. "Mostrar" (assim como o correspondente "show" do Inglês) é também muito usado durante demonstrações, como em frases do tipo "....com isto, demonstramos a existência de x_0. Vamos agora mostrar que x_0 é positivo." Artur ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 28 23:00:41 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA13481 for obm-l-MTTP; Fri, 28 Feb 2003 22:59:03 -0300 Received: from trex-b.centroin.com.br (trex-b.centroin.com.br [200.225.63.136]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA13476 for ; Fri, 28 Feb 2003 22:59:00 -0300 Received: from centroin.com.br (RJ176223.user.veloxzone.com.br [200.149.176.223]) (authenticated bits=0) by trex-b.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id h211wp80011183 for ; Fri, 28 Feb 2003 22:58:52 -0300 (EST) Message-ID: <3E6013DC.8010903@centroin.com.br> Date: Fri, 28 Feb 2003 22:58:52 -0300 From: "A. C. Morgado" User-Agent: Mozilla/5.0 (Windows; U; Windows NT 5.0; en-US; rv:1.0.2) Gecko/20021120 Netscape/7.01 X-Accept-Language: en-us, en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Observar passos para progredir References: Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Meu caro, em primeiro lugar, quero agradecer ter sido posto, ainda que imerecidamente, em tão honrosas companhias; sao todos, alem de grandes matematicos e professores, pessoas de carater e estimados amigos. Uma coisa que me enche de orgulho eh ter sido professor de tres dos citados (Jose Paulo Carneiro, Paulo Cezar Carvalho e Eduardo Wagner), hoje matematicos brilhantes, na epoca alunos dos quais se dizia que so erraram uma unica vez: quando pensaram que haviam cometido um pequeno engano, mas eh claro que nao tinham. Muito pensei se devia escrever uma resposta ou se devia cair na real e perceber que estava sendo citado apenas por delicadeza sua que citara pessoas com as quais havia trabalhado em muitos projetos. Entretanto, resolvi escrever esta mensagem porque ela me permite fazer uma confissao e um agradecimento. Eu sou uma pessoa de muita sorte. Nunca tive professores bons; todos os professores que tive eram otimos. Nunca tive, no primario, uma professora de matematica que nao gostasse de matematica. No antigo admissao (seria equivalente a algo entre a quarta e a quinta series), fui aluno de um excelente professor, Serafim Rodrigues Morgado (apesar do sobrenome, nao era meu parente), que foi professor tambem de pelo menos mais um membro da lista, o Jose Francisco Guimaraes Costa, e a quem devo a transformaçao do meu nome de guerra de Augusto Cesar para Morgado. No ginasio, foi aluno de um engenheiro, Claudionor Teixeira Braga, que me ensinou muito e, principalmente, fez com que eu gostasse muito de Matematica. No cientifico (equivalente ao ensino medio de hoje em dia), o Professor Delamare, tambem engenheiro e muito brincalhao (era pai do Julio Delamare, jornalista esportivo que dah nome ao parque aquatico do Maracana), tambem excelente professor. Depois, fui aluno de Jacob Palis, de Celio Pinto de Almeida, de Leon Clement Rousseau, de Alberto (a idade me impede de recordar o sobrenome dele, mas nao eh o Azevedo, que eh muito conhecido; o Alberto, embora excelente professor, preferiu se dedicar a engenharia), de Luiz Rodrigues Loureiro, de Jorge Alberto Barroso, de Oton Nogueira. Fora do ensino regular, tive cursos com o Elon, com Mauricio Matos Peixoto, com Hilton Machado, com Imre Simon, com Leopoldo Nachbin, com Pedro Fernandez. Ate fora da Matematica minha sorte continuou. Tive excelente professor de Portugues (o Padre Antonio Malheiros, brilhante orador e responsavel por muitos dos discursos de Getulio Vargas, discursos tao bons que conduziram Vargas a Academia Brasileira de Letras), de Fisica (por coincidencia, dois astronomos e diretores do Observatorio Nacional e do Observatorio do Valongo: Muniz Barreto e Luiz Machado; alem de Jader Bennuzzi Martins, do CBPF), de Ingles (o Professor Blum, que tinha um programa na TV Tupi e foi um precursor do ensino de idiomas por meio de musicas, alem de pai da Norma Blum, atriz "idola" dos adoscelentes da minha epoca), de Espanhol (o Professor Walter). Ate de Historia, o Professor Herminio (esse eh um caso curioso; odiava dar aulas, dar aulas era para ele um meio de ganhar um dinheirinho enquanto nao se formava em Direito; mas, alem de pessoa extremamente culta, era um excelente professor; todos adoravam suas aulas, exceto ele!) . O Jose Paulo Carneiro, quando me citava, dizia: ... o Morgado, com sua proverbial sorte, ... Pois eh, o Jose Paulo tem toda razao! Por que meus professores foram tao importantes para mim? Pelo exemplo, pela cultura, pela orientaçao, pelas corretas indicaçoes do que ler. Quanto aos anos-luz, essa eh a distancia que me encontro dos outros citados. Um forte abraço. Morgado. JoaoCarlos_Junior@net.ms.gov.br wrote: >Queridos professores e amigos, > > > É fato que homens seguem passos de outros homens, que alunos seguem > > os de seus mestres até aonde podem, muitas vezes, ir. Raras vezes, pode > > ocorrer que alunos igualem-se a seus mestres, para os substituir, já que > > a vida flui, neste planeta. > > Fui aluno do Ralph, em 1989, na turma IME/ITA do Impacto. Cursei o > > IME de 90 a 94. Fiz mestrado no mesmo Instituto de 98 a 99. Sem > > idolatria, afirmo admirar os passos de Pitombeira de Carvalho, Nicolau > > Corsão Saldanha, Augusto César de Oliveira Morgado, Ralph Costa Teixeira, > > João Bosco, Paulo Cezar Pinto Carvalho, Pedro Fernandez, Eduardo Wagner, > > Élon Lages Lima, João Paulo Q. Carneiro, Carlos Gustavo T. de A. Moreira. > > Graças a Deus! A Internet permite-me ser aluno, à distância, dos demais > > citados, os quais não conheci pessoalmente. > > Também, vale a penas destacar as contribuições do melhores alunos, > > como, por exemplo, Cláudio (cláudio@praticacorretora.com.br), que mui > > contribui para desenvolvimento dos alunos mais retardatários, dentro dos > > quais, incluo-me, com naturalidade. > > Nesta seqüência de observar passos para o progresso, nós eternos > > alunos gostaríamos de saber, se vocês professores conheceram outros > > mestres por vós admiráveis e que problemas resolveram para vos > > impressionar? Já que a lista é de resolução de problemas. > > OBS: Provavelmente, esqueci-me de muitos nomes, tanto de professores > > quanto de alunos. Justifico-me pela distância de anos luz em que > > encontro-me do ponto onde vocês estão, juntamente, com outros. Também a > > ordem supracitada de professores foi feita por sorteio. > > > > Um forte abraço a todos, João Carlos. > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= > > > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é ========================================================================= From owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Fri Feb 28 23:40:33 2003 Return-Path: Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA14228 for obm-l-MTTP; Fri, 28 Feb 2003 23:39:11 -0300 Received: from hotmail.com (f12.pav1.hotmail.com [64.4.31.12]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA14224 for ; Fri, 28 Feb 2003 23:39:08 -0300 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Fri, 28 Feb 2003 18:38:36 -0800 Received: from 200.221.162.178 by pv1fd.pav1.hotmail.msn.com with HTTP; Sat, 01 Mar 2003 02:38:36 GMT X-Originating-IP: [200.221.162.178] From: "Rafael Linhares" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Observar passos para progredir Date: Sat, 01 Mar 2003 02:38:36 +0000 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 01 Mar 2003 02:38:36.0781 (UTC) FILETIME=[A8FC09D0:01C2DF9B] Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá =) brigadão da consideração.. eu puis meu nome na lista mas até agora nao entendi mto de nenhuma dúvida q chegou no meu email..eu sou um aluno, curso o terceiro ano do ensino médio e quero ser professor..esse eh o sonho..falta decidir oq lecionar hhahahhaha =) entao, eu nao consigo resolver nd doq me mandam, são problemas complexos demais pra mim mas sempre q aparece algo novo (praticamente td q aparece por aqui eh novo) eu anoto e levo pro meu professor (Luís Ponce) e ele me ajuda..eu vou pesquisando e vou vendo oq resolvo =) abraços rafael _________________________________________________________________ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é =========================================================================