From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jun 2 23:10:16 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA02599 for obm-l-list; Fri, 2 Jun 2000 23:10:16 -0300 Received: from digital.internetional.com.br (digital.internetional.com.br [200.241.232.48]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA02596 for ; Fri, 2 Jun 2000 23:10:07 -0300 Received: from default (dial52.internetional.com.br [200.242.135.52]) by digital.internetional.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id XAA44355 for ; Fri, 2 Jun 2000 23:24:42 GMT (envelope-from jmoraes@ih.com.br) Message-ID: <003501bfcd00$caf1c6c0$3487f2c8@default> From: "Orlando Peixoto de Morais" To: References: <000701bfb440$60a81cc0$6b73bfc8@x0n8w7> Subject: =?iso-8859-1?Q?Algumas_d=FAvidas?= Date: Fri, 2 Jun 2000 23:04:06 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0020_01BFCCE6.DA8A3BE0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MIMEOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0020_01BFCCE6.DA8A3BE0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Infelizmente, eu n=E3o tenho problemas. S=F3 d=FAvidas. *Como se resolve uma equa=E7=E3o do quarto grau (Cardano fez uma = f=F3rmula para isso) ? *Existe uma maneira de desenvolver (Polin=F4mio)^x, em que x n=E3o =E9 = um natural (ou seja, uma generaliza=E7=E3o do Bin=F4mio de Newton) ? * Qual =E9 o ponto no interior de um tri=E2ngulo que possui a menor = dist=E2ncia aos v=E9rtices (e aos lados?)? * Voc=EAs j=E1 perceberam que a calculadora do Windows calcula fatorial = de n=FAmeros n=E3o naturais? Isso est=E1 definido mesmo ou =E9 defeito? Ela ainda diz que 0^0=3D1 !!! *Como se calcula o volume de uma pir=E2mide n=E3o regular nem = is=F3sceles, se forem conhecidos as coordenadas seus pontos? ------=_NextPart_000_0020_01BFCCE6.DA8A3BE0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Infelizmente, eu n=E3o tenho problemas. = S=F3=20 d=FAvidas.
*Como se resolve uma equa=E7=E3o do = quarto grau=20 (Cardano fez uma f=F3rmula para isso) ?
*Existe uma maneira de desenvolver = (Polin=F4mio)^x,=20 em que x n=E3o =E9 um natural (ou seja, uma generaliza=E7=E3o do = Bin=F4mio de Newton)=20 ?
* Qual =E9 o ponto no interior de um = tri=E2ngulo que=20 possui a menor dist=E2ncia aos v=E9rtices (e aos lados?)?
* Voc=EAs j=E1 perceberam que a = calculadora do Windows=20 calcula fatorial de n=FAmeros n=E3o naturais? Isso
est=E1 definido mesmo ou =E9 defeito? = Ela ainda diz que=20 0^0=3D1 !!!
*Como se calcula o volume de uma = pir=E2mide n=E3o=20 regular nem is=F3sceles, se forem conhecidos as coordenadas seus=20 pontos?
------=_NextPart_000_0020_01BFCCE6.DA8A3BE0-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jun 3 07:39:01 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id HAA06477 for obm-l-list; Sat, 3 Jun 2000 07:39:01 -0300 Received: from mat.puc-rio.br (IDENT:root@sucuri.mat.puc-rio.br [139.82.27.7]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id HAA06474 for ; Sat, 3 Jun 2000 07:38:54 -0300 Received: from localhost (nicolau@localhost) by mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id HAA13287 for ; Sat, 3 Jun 2000 07:43:40 -0300 Date: Sat, 3 Jun 2000 07:43:39 -0300 (BRT) From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: =?iso-8859-1?Q?Algumas_d=FAvidas?= In-Reply-To: <003501bfcd00$caf1c6c0$3487f2c8@default> Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id HAA06475 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Fri, 2 Jun 2000, Orlando Peixoto de Morais wrote: > Infelizmente, eu não tenho problemas. Só dúvidas. > *Como se resolve uma equação do quarto grau (Cardano fez uma fórmula para isso) ? Existe uma fórmula bem complicada, complicada demais para ser útil na maioria das situações. Se você estiver interessado em tantar deduzir, comece com a equação de grau 3. Tente achar uma fórmula para (x0)^(1/3) + (x1)^(1/3) em termos de b e c onde x0 e x1 são as raízes da equação x^2 + bx + c = 0; vai aparecer um polinômio de grau 3. > *Existe uma maneira de desenvolver (Polinômio)^x, em que x não é um natural (ou seja, uma generalização do Binômio de Newton) ? Temos (a + b)^n = a^n + binom(n,1) a^(n-1) b + binom(n,2) a^(n-2) b^2 + ... ... + binom(n,k) a^(n-k) b^k + ... onde binom(n,k) = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)/(k!). A fórmula é correta para qualquer valor real (ou até complexo) de n: para n não natural a fórmula dá uma série e não uma soma finita. > * Qual é o ponto no interior de um triângulo que possui a menor distância aos vértices (e aos lados?)? Defina melhor a pergunta: você quer minimizar a soma das distâncias, a distância máxima, a soma dos quadrados das distâncias ou o que? > * Vocês já perceberam que a calculadora do Windows calcula fatorial de números não naturais? Isso > está definido mesmo ou é defeito? Ela ainda diz que 0^0=1 !!! Eu não uso este OS a que você se refere, mas 0^0 = 1 é a definição usual e fatoriais de núneros não inteiros são definidos pela função gamma. A função gamma já foi amplamente discutida nesta lista, veja http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-rj.1999/msg00673.html > *Como se calcula o volume de uma pirâmide não regular nem isósceles, se forem conhecidos as coordenadas seus pontos? Explique melhor: sua pirâmide é um tetraedro? Se for seu volume é dado por V = 1/6 det A onde A é a matriz [x1 - x0 x2 - x0 x3 - x0] [ ] A = [y1 - y0 y2 - y0 y3 - y0] [ ] [z1 - z0 z2 - z0 z3 - z0] []s, N. > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jun 3 08:42:05 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id IAA07021 for obm-l-list; Sat, 3 Jun 2000 08:42:05 -0300 Received: from barra.domain.com.br (barra.domain.com.br [200.196.128.5]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id IAA07018 for ; Sat, 3 Jun 2000 08:41:58 -0300 Received: from default (200.188.49.221) by barra.domain.com.br (NPlex 4.5.042) id 3937D2A10001AC45 for obm-l@mat.puc-rio.br; Sat, 3 Jun 2000 08:44:35 -0300 From: "=?iso-8859-1?Q?Jos=E9_Paulo_Carneiro?=" To: Subject: =?iso-8859-1?Q?Re:_Algumas_d=FAvidas?= Date: Sat, 3 Jun 2000 08:44:09 -0300 Message-ID: <01bfcd51$077ada00$LocalHost@default> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_00CC_01BFCD37.E22DA200" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.71.1712.3 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.71.1712.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_00CC_01BFCD37.E22DA200 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable -----Mensagem original----- De: Orlando Peixoto de Morais Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sexta-feira, 2 de Junho de 2000 23:18 Assunto: Algumas d=FAvidas Infelizmente, eu n=E3o tenho problemas. S=F3 d=FAvidas. *Como se resolve uma equa=E7=E3o do quarto grau (Cardano fez uma = f=F3rmula para isso) ? =3DEssencialmente, existem 2 tipos de metodos. O primeiro eh por = "formulas". Na equacao ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=3D0 voce elimina o termo em x^3, substituindo a = incognita x pela nova incognita y=3D x + b/4a. Na equacao resultante, faz-se um macete de = completar quadrados (dificil de decorar: veja um livro antigo de Algebra), recaindo-se numa = equacao de 3o grau, e ahi aplica-se Cardano (que suponho que voce conheca). Este metodo eh de = Ferrari,=20 contemporaneo e amigo de Cardano. Outro tipo (mais usado hoje em dia) eh o dos "metodos numericos", como = por exemplo, o metodo de Newton (veja meu livro "Resolucao de Equacoes = Algebricas", editora Univ.S.Ursula). Aplique Briot-Ruffini duas vezes (a = partir de um certo valor inicial), obtendo a e b. Substitua o valor = inicial por ele mesmo menos a/b. Aplique isto iterativamente, que vai = convergir a raiz. *Existe uma maneira de desenvolver (Polin=F4mio)^x, em que x n=E3o =E9 = um natural (ou seja, uma generaliza=E7=E3o do Bin=F4mio de Newton) ? =3DExiste. Recai em uma serie infinita e eh necessario estudar a = convergencia. Alias, este eh, historicamente, o verdadeiro "Binomio de = Newton". O velho Issac ficaria muito chateado se soubesse que seu nome = ficou associado a banalidade que hoje chamamos de Binomio de Newton. * Qual =E9 o ponto no interior de um tri=E2ngulo que possui a menor = dist=E2ncia aos v=E9rtices (e aos lados?)? =3DCreio que aqui voce queria dizer "menor soma das distancias aos = vertices", nao?=20 * Voc=EAs j=E1 perceberam que a calculadora do Windows calcula fatorial = de n=FAmeros n=E3o naturais? Isso est=E1 definido mesmo ou =E9 defeito? Ela ainda diz que 0^0=3D1 !!! =3DNao eh defeito. A "funcao gama" generaliza o fatorial para (quase = todos) os valores reais. Quanto ao 0^0=3D1, leia um artigo do Elon Lima = na RPM, no 1. *Como se calcula o volume de uma pir=E2mide n=E3o regular nem = is=F3sceles, se forem conhecidos as coordenadas seus pontos? =3DPor geometria de coordenadas. Um terco da area da base (decomponha em = triangulos) vezes a altura, que eh a distancia de um ponto a um plano. ------=_NextPart_000_00CC_01BFCD37.E22DA200 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
 
-----Mensagem = original-----
De:=20 Orlando Peixoto de Morais <jmoraes@ih.com.br>
Para: = obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
D= ata:=20 Sexta-feira, 2 de Junho de 2000 23:18
Assunto: Algumas=20 dúvidas

Infelizmente, eu não tenho = problemas.=20 Só dúvidas.
*Como se resolve uma = equação do=20 quarto grau (Cardano fez uma fórmula para isso) ?
 
=3DEssencialmente, existem 2 tipos de = metodos. O=20 primeiro eh por "formulas". Na equacao
ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=3D0 voce elimina o = termo em x^3,=20 substituindo a incognita x pela nova 
incognita y=3D x + b/4a. Na equacao = resultante,=20 faz-se um macete de completar quadrados 
(dificil de decorar: veja um livro = antigo de=20 Algebra), recaindo-se numa equacao de 3o grau, e 
ahi aplica-se Cardano (que suponho que = voce=20 conheca). Este metodo eh de Ferrari,  
contemporaneo e amigo de = Cardano.
Outro tipo (mais usado hoje em dia) eh = o dos=20 "metodos numericos", como por exemplo, o metodo de Newton = (veja meu=20 livro "Resolucao de Equacoes Algebricas", editora = Univ.S.Ursula).=20 Aplique Briot-Ruffini duas vezes (a partir de um certo valor inicial), = obtendo a=20 e b. Substitua o valor inicial por ele mesmo menos a/b. Aplique isto=20 iterativamente, que vai convergir a raiz. 
 
*Existe uma maneira de desenvolver=20 (Polinômio)^x, em que x não é um natural (ou seja, = uma=20 generalização do Binômio de Newton) ?
 
=3DExiste. Recai em uma = serie infinita=20 e eh necessario estudar a convergencia. Alias, este eh, historicamente, = o=20 verdadeiro "Binomio de Newton". O velho Issac ficaria muito = chateado=20 se soubesse que seu nome ficou associado a banalidade que hoje chamamos = de=20 Binomio de Newton.
 
* Qual é o ponto no interior de = um=20 triângulo que possui a menor distância aos vértices = (e aos=20 lados?)?
 
=3DCreio que aqui voce = queria dizer=20 "menor soma das distancias aos vertices", nao?
 
* Vocês já perceberam que = a=20 calculadora do Windows calcula fatorial de números não = naturais?=20 Isso
está definido mesmo ou é = defeito? Ela=20 ainda diz que 0^0=3D1 !!!
 
=3DNao eh defeito. A "funcao = gama"=20 generaliza o fatorial para (quase todos) os valores reais. Quanto ao = 0^0=3D1, leia=20 um artigo do Elon Lima na RPM, no 1.
 
*Como se calcula o volume de uma = pirâmide=20 não regular nem isósceles, se forem conhecidos as = coordenadas seus=20 pontos?
 
=3DPor geometria de coordenadas. Um = terco da area da=20 base (decomponha em triangulos) vezes a altura, que eh a distancia de um = ponto a=20 um plano.
------=_NextPart_000_00CC_01BFCD37.E22DA200-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jun 3 10:40:26 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA07817 for obm-l-list; Sat, 3 Jun 2000 10:40:26 -0300 Received: from hotmail.com (f68.law9.hotmail.com [64.4.9.68]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id KAA07814 for ; Sat, 3 Jun 2000 10:40:17 -0300 Received: (qmail 33711 invoked by uid 0); 3 Jun 2000 13:39:42 -0000 Message-ID: <20000603133942.33710.qmail@hotmail.com> Received: from 200.244.118.13 by www.hotmail.com with HTTP; Sat, 03 Jun 2000 06:39:42 PDT X-Originating-IP: [200.244.118.13] From: "Alexandre Gomes" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Problema da OBM-92 Date: Sat, 03 Jun 2000 06:39:42 PDT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Em 1992 caiu na OBM um problema que achei muito interessante, mas estou tendo dificuldades para resolvê-lo. Segue: Prove que existe um natural n tal que a expansão decimal de n^1992 começa com 1992 algarismos iguais a 1. A minha idéia era a de tentar generalizar: será que existe um natural n tal que a expansão decimal de n^k começa com k algarismos iguais a p? Mas infelizmente não consegui encaminhar uma solução. Alguém pode me ajudar? Aproveitando a oportunidade, tenho dúvidas em outro problema. Este é da OBM-95: Dado que P(n) é o maior divisor primo do natural n, prove que existem infinitos n tais que P(n); Sat, 3 Jun 2000 17:15:53 -0300 Received: from pauloivo [143.54.26.111] by sinos.net [200.248.17.2] with SMTP (MDaemon.v2.8.7.4.R) for ; Sat, 03 Jun 2000 17:17:11 -0300 Message-ID: <002301bfcd98$3e809340$6f1a368f@ufrgs.br> From: "Benjamin Hinrichs" To: "Obm-l" Subject: como achar? Date: Sat, 3 Jun 2000 17:13:54 -0300 Organization: Hinsoft Corp. MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 X-MDaemon-Deliver-To: obm-l@mat.puc-rio.br X-Return-Path: hinsoft@sinos.net Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Pessoal, perguntinha para vós: como se acha o valor máximo de x^(1/x). Como se chega ao valor máximo da 'função'? Tentei fazer a derivada mas não concluí nada, acho que fiz errado. Num livro eu acho ter lido que o valor mais alto é e^(1/e) mas já vi que com 2 o valor obtido é mais alto, acho. Um grande abraço, Benjamin Hinrichs From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jun 3 18:08:08 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA10015 for obm-l-list; Sat, 3 Jun 2000 18:08:08 -0300 Received: from hotmail.com (f82.law9.hotmail.com [64.4.9.82]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id SAA10012 for ; Sat, 3 Jun 2000 18:07:59 -0300 Received: (qmail 15756 invoked by uid 0); 3 Jun 2000 21:07:24 -0000 Message-ID: <20000603210724.15755.qmail@hotmail.com> Received: from 200.198.157.115 by www.hotmail.com with HTTP; Sat, 03 Jun 2000 14:07:24 PDT X-Originating-IP: [200.198.157.115] From: "Ecass Dodebel" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: como achar? Date: Sat, 03 Jun 2000 21:07:24 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >From: "Benjamin Hinrichs" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: "Obm-l" >Subject: como achar? >Date: Sat, 3 Jun 2000 17:13:54 -0300 > >Pessoal, >perguntinha para vós: como se acha o valor máximo de x^(1/x). Como se chega >ao valor máximo da 'função'? Tentei fazer a derivada mas não concluí nada, >acho que fiz errado. Num livro eu acho ter lido que o valor mais alto é >e^(1/e) mas já vi que com 2 o valor obtido é mais alto, acho. Um grande >abraço, Benjamin Hinrichs > > Benjamin, tome y(x)=x^(1/x), e veja que se a funcao tem um maximo, eh onde a derivada e' nula (nesse caso): y'(x)=(e^(lnx/x))' y'(x)=(e^(lnx/x))*(lnx/x)' y'(x)=(e^(lnx/x))*(-lnx/x^2+1/x^2) Isso so sera nulo quando o segundo fator for zero: -lnx/x^2+1/x^2=0 lnx/x^2=1/x^2 lnx=1 x=e O valor maximo de y(x) é y(e)=e^(1/e)=~1.4446 > 2^(1/2)=~1.4142. Vale lembrar que e=~2.7183. Eduardo Casagrande Stabel ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jun 3 18:37:23 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA10211 for obm-l-list; Sat, 3 Jun 2000 18:37:23 -0300 Received: from hotmail.com (f33.law9.hotmail.com [64.4.9.33]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id SAA10206 for ; Sat, 3 Jun 2000 18:37:13 -0300 Received: (qmail 18512 invoked by uid 0); 3 Jun 2000 21:36:37 -0000 Message-ID: <20000603213637.18511.qmail@hotmail.com> Received: from 200.244.118.5 by www.hotmail.com with HTTP; Sat, 03 Jun 2000 14:36:37 PDT X-Originating-IP: [200.244.118.5] From: "Alexandre Gomes" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: como achar? Date: Sat, 03 Jun 2000 14:36:37 PDT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >From: "Benjamin Hinrichs" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: "Obm-l" >Subject: como achar? >Date: Sat, 3 Jun 2000 17:13:54 -0300 > >Pessoal, >perguntinha para vós: como se acha o valor máximo de x^(1/x). Como se chega >ao valor máximo da 'função'? Tentei fazer a derivada mas não concluí nada, >acho que fiz errado. Num livro eu acho ter lido que o valor mais alto é >e^(1/e) mas já vi que com 2 o valor obtido é mais alto, acho. Um grande >abraço, Benjamin Hinrichs > Caro Benjamin, tentei fazer o problema por derivadas. Veja a minha solução: y=x^(1/x) -> lny=lnx^(1/x)=(1/x)*lnx -> d(lny)=d((1/x)*lnx) (1/y)*y'=(-x^(-2))*lnx+(1/x)*(1/x) (1/(x^1/x))*y'=(1/x^2)-(1/x^2)*lnx=(1/x^2)(1-lnx) y'=(1/x^2)(1-lnx)*(x^(1/x))=(x^((1-2x)/x))(1-lnx) Como sabemos, para y máximo, y'=0, para acharmos x: Da derivada acima determinada: (1-lnx)=0 -> x=e -> máx(y)=e^(1/e) Creio que o livro esteja correto. Confira também com as outras respostas aqui da lista, ok? Um abraço! Alexandre S. Gomes. > ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jun 3 19:48:19 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA10663 for obm-l-list; Sat, 3 Jun 2000 19:48:19 -0300 Received: from Euler.impa.br (euler.impa.br [147.65.1.3]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA10657 for ; Sat, 3 Jun 2000 19:48:12 -0300 Received: from visgraf.impa.br (dial09.impa.br [147.65.11.9]) by Euler.impa.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA19203 for ; Sat, 3 Jun 2000 19:48:09 -0300 (EST) Message-ID: <39398B13.61878F0A@visgraf.impa.br> Date: Sat, 03 Jun 2000 19:47:47 -0300 From: Ralph Costa Teixeira Organization: IMPA X-Mailer: Mozilla 4.72 [en] (Win95; U) X-Accept-Language: en,pt-BR MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: como achar? References: <002301bfcd98$3e809340$6f1a368f@ufrgs.br> Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Hmmm... Para explicar o valor 2... Eu já vi a seguinte pergunta: "Que número natural nos dá o máximo de n^(1/n)?" Neste caso, a resposta é 3 (ok, não é bem *2*....), e o problema pode ser feito de maneira "elementar" ("elementar" quer dizer sem o uso de cálculo -- neste sentido, muitas das coisas "elementares" são bem difíceis). Como proposto, dentro dos reais, o pessoal da lista já matou o problema: a resposta é de fato x=e; a princípio, não sei fazer esta sem cálculo... Abraço, Ralph Benjamin Hinrichs wrote: > > Pessoal, > perguntinha para vós: como se acha o valor máximo de x^(1/x). Como se chega > ao valor máximo da 'função'? Tentei fazer a derivada mas não concluí nada, > acho que fiz errado. Num livro eu acho ter lido que o valor mais alto é > e^(1/e) mas já vi que com 2 o valor obtido é mais alto, acho. Um grande > abraço, Benjamin Hinrichs From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jun 4 09:39:18 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA14316 for obm-l-list; Sun, 4 Jun 2000 09:39:18 -0300 Received: from barra.domain.com.br (barra.domain.com.br [200.196.128.5]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id JAA14310 for ; Sun, 4 Jun 2000 09:39:08 -0300 Received: from default (200.188.49.62) by barra.domain.com.br (NPlex 4.5.042) id 3937D2A10002EFD2 for obm-l@mat.puc-rio.br; Sun, 4 Jun 2000 09:41:47 -0300 From: "=?iso-8859-1?Q?Jos=E9_Paulo_Carneiro?=" To: Subject: Re: como achar? Date: Sun, 4 Jun 2000 09:39:04 -0300 Message-ID: <01bfce21$de60ed40$LocalHost@default> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.71.1712.3 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.71.1712.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Dois comentarios: 1) mais uma vez, recomendo a leitura de dois artigos da RPM: um do Wagner: "Os numeros a^b e b^a" (RPM 28), e outro meu: "Voltando aos numeros a^b e b^a" (RPM 31). 2) Lembro que a nulidade da derivada em um ponto nao eh condicao suficiente para ocorrencia do maior valor de uma funcao, como parecem sugerir certas resolucoes que terminam por ahi. JP -----Mensagem original----- De: Alexandre Gomes Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sábado, 3 de Junho de 2000 18:41 Assunto: Re: como achar? > > > >>From: "Benjamin Hinrichs" >>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >>To: "Obm-l" >>Subject: como achar? >>Date: Sat, 3 Jun 2000 17:13:54 -0300 >> >>Pessoal, >>perguntinha para vós: como se acha o valor máximo de x^(1/x). Como se chega >>ao valor máximo da 'função'? Tentei fazer a derivada mas não concluí nada, >>acho que fiz errado. Num livro eu acho ter lido que o valor mais alto é >>e^(1/e) mas já vi que com 2 o valor obtido é mais alto, acho. Um grande >>abraço, Benjamin Hinrichs >> > > > Caro Benjamin, tentei fazer o problema por derivadas. Veja a minha >solução: > y=x^(1/x) -> lny=lnx^(1/x)=(1/x)*lnx -> d(lny)=d((1/x)*lnx) > (1/y)*y'=(-x^(-2))*lnx+(1/x)*(1/x) > (1/(x^1/x))*y'=(1/x^2)-(1/x^2)*lnx=(1/x^2)(1-lnx) > y'=(1/x^2)(1-lnx)*(x^(1/x))=(x^((1-2x)/x))(1-lnx) > Como sabemos, para y máximo, y'=0, para acharmos x: > Da derivada acima determinada: > (1-lnx)=0 -> x=e -> máx(y)=e^(1/e) > Creio que o livro esteja correto. Confira também com as outras respostas >aqui da lista, ok? > Um abraço! > Alexandre S. Gomes. >> > >________________________________________________________________________ >Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jun 4 19:03:32 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA15515 for obm-l-list; Sun, 4 Jun 2000 19:03:32 -0300 Received: from hotmail.com (f44.law9.hotmail.com [64.4.9.44]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id TAA15512 for ; Sun, 4 Jun 2000 19:03:23 -0300 Received: (qmail 71353 invoked by uid 0); 4 Jun 2000 22:02:49 -0000 Message-ID: <20000604220249.71352.qmail@hotmail.com> Received: from 200.198.157.102 by www.hotmail.com with HTTP; Sun, 04 Jun 2000 15:02:49 PDT X-Originating-IP: [200.198.157.102] From: "Ecass Dodebel" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Re: como achar? Date: Sun, 04 Jun 2000 22:02:49 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >From: "José Paulo Carneiro" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: >Subject: Re: como achar? >Date: Sun, 4 Jun 2000 09:39:04 -0300 > >Dois comentarios: >1) mais uma vez, recomendo a leitura de dois artigos da RPM: >um do Wagner: "Os numeros a^b e b^a" (RPM 28), e outro meu: >"Voltando aos numeros a^b e b^a" (RPM 31). >2) Lembro que a nulidade da derivada em um ponto nao eh condicao >suficiente para ocorrencia do maior valor de uma funcao, como parecem >sugerir certas resolucoes que terminam por ahi. >JP > Eu havia dito em meu e-mail sobre o problema do Benjamin: " tome y(x)=x^(1/x), e veja que se a funcao tem um maximo, eh onde a derivada e' nula (nesse caso): " Nao sei o que deu a entender; mas eu quis dizer exatamente o que o Jose Paulo Carneiro falou, isto é, existem casos onde o maximo de uma função não é onde a derivada é nula. Peço perdão se não deixei isso claro. Vou dar um exemplo bem simples: Suponha que y(x)=x, e queremos achar o valor máximo dessa função com x no intervalo [0,5]. É claro que o máximo é em x=5, mas a derivada é 1 nesse ponto. Vou tentar dar uma condição para que a função y(x), com x num intervalo I (contínuo, sem quebras), tenha seu máximo onde a derivada é nula: i. suponhamos que y(x) é contínua em I (por função contínua dizemos: a) para todo x E I, y(x) está definida; b) o limite da função no ponto coincide com o valor da função no ponto; do dicionário Aurélio), equivale a dizer intuitivamente que a função não dá saltos. ii. suponhamos que y(x) não dê viradas bruscas, em outras palavras, que a sua derivada seja contínua no intervalo I. iii. suponhamos que y(x) tenha um valor máximo em I, e ele não seja nenhum dos extremos de I (menor e maior valores) Vou me arriscar a dizer que se uma função obedece a i, ii e iii então o máximo de y(x), com x E I, vai ser em algum dos pontos onde a derivada for nula. Suponhamos {x1,x2,...,xn} todos os pontos onde y'(x1)=y'(x2)=...y'(xn)=0, então o maior valor de {y(x1),y(x2),...,y(xn)} será o máximo da função y(x) no intervalo I. Algum comentário? Algo mais esclarecedor? Eduardo Casagrande Stabel. ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jun 4 21:51:07 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA15791 for obm-l-list; Sun, 4 Jun 2000 21:51:07 -0300 Received: from hotmail.com (f79.law9.hotmail.com [64.4.9.79]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id VAA15787 for ; Sun, 4 Jun 2000 21:50:54 -0300 Received: (qmail 37873 invoked by uid 0); 5 Jun 2000 00:50:17 -0000 Message-ID: <20000605005017.37872.qmail@hotmail.com> Received: from 200.244.118.16 by www.hotmail.com with HTTP; Sun, 04 Jun 2000 17:50:17 PDT X-Originating-IP: [200.244.118.16] From: "Alexandre Gomes" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Re: como achar? Date: Sun, 04 Jun 2000 17:50:17 PDT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >From: "Ecass Dodebel" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: obm-l@mat.puc-rio.br >Subject: Re: Re: como achar? >Date: Sun, 04 Jun 2000 22:02:49 GMT > > > > >>From: "José Paulo Carneiro" >>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >>To: >>Subject: Re: como achar? >>Date: Sun, 4 Jun 2000 09:39:04 -0300 >> >>Dois comentarios: >>1) mais uma vez, recomendo a leitura de dois artigos da RPM: >>um do Wagner: "Os numeros a^b e b^a" (RPM 28), e outro meu: >>"Voltando aos numeros a^b e b^a" (RPM 31). >>2) Lembro que a nulidade da derivada em um ponto nao eh condicao >>suficiente para ocorrencia do maior valor de uma funcao, como parecem >>sugerir certas resolucoes que terminam por ahi. >>JP Talvez um dos interessados diretos por esta resposta seja eu, uma vez que utilizei o fato acima descrito para resolver a questão. Sei que se a derivada primeira de uma função for nula em um ponto, este fato não é condição suficiente para a ocorrência de máximo. O que eu fiz foi APENAS tentar chegar até a mesma solução do livro do Benjamin, sem querer entrar em um estudo mais detalhado da função(não sei se esta foi a intenção do remetente), já que este alegou não ter acertado a derivada da função(talvez por isso não fosse interessante tentar ir além disso, pois dá a entender que o remetente não tem um curso de cálculo). Então eu parei neste ponto. Reconheço que posso ter errado em induzir um conceito errado em um componente da lista, mas esta não foi a minha intenção. Atenciosamente Alexandre S. Gomes. _______________________________________________________________________ >Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com > ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jun 5 05:18:48 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id FAA16393 for obm-l-list; Mon, 5 Jun 2000 05:18:48 -0300 Received: from barra.domain.com.br (barra.domain.com.br [200.196.128.5]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id FAA16389 for ; Mon, 5 Jun 2000 05:18:35 -0300 Received: from default (200.188.49.154) by barra.domain.com.br (NPlex 4.5.042) id 3937D2A10003EFFB for obm-l@mat.puc-rio.br; Mon, 5 Jun 2000 05:21:14 -0300 From: "=?iso-8859-1?Q?Jos=E9_Paulo_Carneiro?=" To: Subject: Re: Re: como achar? Date: Mon, 5 Jun 2000 05:16:33 -0300 Message-ID: <01bfcec6$5c2f1860$LocalHost@default> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.71.1712.3 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.71.1712.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Estah perfeitamente esclarecido. JP -----Mensagem original----- De: Alexandre Gomes Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 4 de Junho de 2000 21:57 Assunto: Re: Re: como achar? > > > >>From: "Ecass Dodebel" >>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >>To: obm-l@mat.puc-rio.br >>Subject: Re: Re: como achar? >>Date: Sun, 04 Jun 2000 22:02:49 GMT >> >> >> >> >>>From: "José Paulo Carneiro" >>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >>>To: >>>Subject: Re: como achar? >>>Date: Sun, 4 Jun 2000 09:39:04 -0300 >>> >>>Dois comentarios: >>>1) mais uma vez, recomendo a leitura de dois artigos da RPM: >>>um do Wagner: "Os numeros a^b e b^a" (RPM 28), e outro meu: >>>"Voltando aos numeros a^b e b^a" (RPM 31). >>>2) Lembro que a nulidade da derivada em um ponto nao eh condicao >>>suficiente para ocorrencia do maior valor de uma funcao, como parecem >>>sugerir certas resolucoes que terminam por ahi. >>>JP > > Talvez um dos interessados diretos por esta resposta seja eu, uma vez que >utilizei o fato acima descrito para resolver a questão. Sei que se a >derivada primeira de uma função for nula em um ponto, este fato não é >condição suficiente para a ocorrência de máximo. O que eu fiz foi APENAS >tentar chegar até a mesma solução do livro do Benjamin, sem querer entrar em >um estudo mais detalhado da função(não sei se esta foi a intenção do >remetente), já que este alegou não ter acertado a derivada da função(talvez >por isso não fosse interessante tentar ir além disso, pois dá a entender que >o remetente não tem um curso de cálculo). Então eu parei neste ponto. > Reconheço que posso ter errado em induzir um conceito errado em um >componente da lista, mas esta não foi a minha intenção. > Atenciosamente > Alexandre S. Gomes. >_______________________________________________________________________ >>Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com >> > >________________________________________________________________________ >Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jun 5 05:18:46 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id FAA16392 for obm-l-list; Mon, 5 Jun 2000 05:18:46 -0300 Received: from barra.domain.com.br (barra.domain.com.br [200.196.128.5]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id FAA16386 for ; Mon, 5 Jun 2000 05:18:33 -0300 Received: from default (200.188.49.154) by barra.domain.com.br (NPlex 4.5.042) id 3937D2A10003EFFA for obm-l@mat.puc-rio.br; Mon, 5 Jun 2000 05:21:12 -0300 From: "=?iso-8859-1?Q?Jos=E9_Paulo_Carneiro?=" To: Subject: Re: Re: como achar? Date: Mon, 5 Jun 2000 05:15:30 -0300 Message-ID: <01bfcec6$36d46980$LocalHost@default> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.71.1712.3 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.71.1712.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Estah correto o seu teorema. So que a condicao de que a derivada seja continua eh muito forte. Basta que ela exista. Outra coisa: nao gosto desta definicao de continuidade, que voce diz que eh do Aurelio (nao eh um bom lugar para definicoes matematicas: veja o comentario em "Matematica do Ensino medio", Vol.I, de Elon Lima e outros, sobre a definicao de numero). Esta definicao serve para o seu caso, em que o dominio eh um intervalo, mas nao para o caso geral em que o dominio pode ter pontos isolados, onde a funcao estah definida no ponto, eh continua, e o limite nao existe. Uma funcao eh continua em c quando x (do dominio) proximo de c implica f(x) proximo de f(c), e isto pode ser traduzido (equivalentemente) por vizinhancas (epsilons e deltas) ou por sequencias. JP -----Mensagem original----- De: Ecass Dodebel Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 4 de Junho de 2000 19:11 Assunto: Re: Re: como achar? > > > >>From: "José Paulo Carneiro" >>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >>To: >>Subject: Re: como achar? >>Date: Sun, 4 Jun 2000 09:39:04 -0300 >> >>Dois comentarios: >>1) mais uma vez, recomendo a leitura de dois artigos da RPM: >>um do Wagner: "Os numeros a^b e b^a" (RPM 28), e outro meu: >>"Voltando aos numeros a^b e b^a" (RPM 31). >>2) Lembro que a nulidade da derivada em um ponto nao eh condicao >>suficiente para ocorrencia do maior valor de uma funcao, como parecem >>sugerir certas resolucoes que terminam por ahi. >>JP >> > >Eu havia dito em meu e-mail sobre o problema do Benjamin: > >" tome y(x)=x^(1/x), e veja que se a funcao tem um maximo, eh onde a >derivada e' nula (nesse caso): " > >Nao sei o que deu a entender; mas eu quis dizer exatamente o que o Jose >Paulo Carneiro falou, isto é, existem casos onde o maximo de uma função não >é onde a derivada é nula. Peço perdão se não deixei isso claro. > >Vou dar um exemplo bem simples: >Suponha que y(x)=x, e queremos achar o valor máximo dessa função com x no >intervalo [0,5]. É claro que o máximo é em x=5, mas a derivada é 1 nesse >ponto. > >Vou tentar dar uma condição para que a função y(x), com x num intervalo I >(contínuo, sem quebras), tenha seu máximo onde a derivada é nula: > >i. suponhamos que y(x) é contínua em I (por função contínua dizemos: a) para >todo x E I, y(x) está definida; b) o limite da função no ponto coincide com >o valor da função no ponto; do dicionário Aurélio), equivale a dizer >intuitivamente que a função não dá saltos. >ii. suponhamos que y(x) não dê viradas bruscas, em outras palavras, que a >sua derivada seja contínua no intervalo I. >iii. suponhamos que y(x) tenha um valor máximo em I, e ele não seja nenhum >dos extremos de I (menor e maior valores) > >Vou me arriscar a dizer que se uma função obedece a i, ii e iii então o >máximo de y(x), com x E I, vai ser em algum dos pontos onde a derivada for >nula. Suponhamos {x1,x2,...,xn} todos os pontos onde >y'(x1)=y'(x2)=...y'(xn)=0, então o maior valor de {y(x1),y(x2),...,y(xn)} >será o máximo da função y(x) no intervalo I. > >Algum comentário? Algo mais esclarecedor? > >Eduardo Casagrande Stabel. > > >________________________________________________________________________ >Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jun 5 18:41:02 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA20657 for obm-l-list; Mon, 5 Jun 2000 18:41:02 -0300 Received: from sinos.net (hermes.sinos.net.0-63.17.248.200.in-addr.arpa [200.248.17.2] (may be forged)) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA20654 for ; Mon, 5 Jun 2000 18:40:36 -0300 Received: from pauloivo [143.54.26.111] by sinos.net [200.248.17.2] with SMTP (MDaemon.v2.8.7.4.R) for ; Mon, 05 Jun 2000 18:41:37 -0300 Message-ID: <000201bfcf36$51c65800$6f1a368f@ufrgs.br> From: "Benjamin Hinrichs" To: References: <20000605005017.37872.qmail@hotmail.com> Subject: como achar? (agradecimentos e etc.) Date: Mon, 5 Jun 2000 15:20:51 -0300 Organization: Hinsoft Corp. MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 X-MDaemon-Deliver-To: obm-l@mat.puc-rio.br X-Return-Path: hinsoft@sinos.net Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Salve todos, não imaginei que uma questão como essa tivesse tanta repercussão como teve... bem, agradeço a todos que se preocuparam em me ajudar. De fato eu acabei de aprender a fazer derivadas (e isto foi num sábado durante o café de manhã... é que tinha algumas folhas limpas sobre a mesa e uma caneta por perto, aí foi... mas tenho ainda pouca prática neste tipo de cálculo. Qualquer hora destas vou pegar aquele Bezerrão de 1950 e poucos e faço os exercícios que nele há sobre derivadas). Duda e demais riograndenses do velho movimento anti-carioca (acho que devia incluir anti-paulistas e anti-fortalezenses... esses tão indo bem demais para o meu gosto): há uma forma de nos encontrarmos antes da prova no sábado? Sei que isto é meio em cima da hora, mas... isto é de menos. Façam o contato via e-mail para não importunar os demais membros da lista que não devem saber a nossa escalação 2000. Um abraço para todos (gaúchos, é claro!) Benjamin Hinrichs From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jun 9 15:49:10 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA08826 for obm-l-list; Fri, 9 Jun 2000 15:49:10 -0300 Received: from mat.puc-rio.br (IDENT:root@feliz.mat.puc-rio.br [139.82.27.15]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA08821; Fri, 9 Jun 2000 15:48:59 -0300 Received: from localhost (nicolau@localhost) by mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA21557; Fri, 9 Jun 2000 15:48:58 -0300 Date: Fri, 9 Jun 2000 15:48:58 -0300 (BRT) From: "Nicolau C. Saldanha" X-Sender: nicolau@localhost.localdomain To: obm-coor@matitna.mat.puc-rio.br, obm-l@matinta.mat.puc-rio.br Subject: Boa sorte Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id PAA08822 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Amanhã ocorre a 1a fase da OBM 2000. Desejo boa sorte a todos os participantes. A Nelly deve publicar a prova com gabarito em http://www.obm.org.br semana que vem. Peço que todos aguardem a publicação da prova (e leiam o gabarito) antes de discutir ou mesmo divulgar questões da prova nesta lista ou por qualquer outro meio de longo alcance. []s, N. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jun 11 12:01:21 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA01479 for obm-l-list; Sun, 11 Jun 2000 12:01:21 -0300 Received: from hotmail.com (f18.law9.hotmail.com [64.4.9.18]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id MAA01476 for ; Sun, 11 Jun 2000 12:01:08 -0300 Received: (qmail 54638 invoked by uid 0); 10 Jun 2000 14:00:29 -0000 Message-ID: <20000610140029.54637.qmail@hotmail.com> Received: from 200.244.118.22 by www.hotmail.com with HTTP; Sat, 10 Jun 2000 07:00:29 PDT X-Originating-IP: [200.244.118.22] From: "Alexandre Gomes" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Alguns probleminhas interessantes Date: Sat, 10 Jun 2000 07:00:29 PDT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi pessoal. Encontrei por aí alguns probleminhas interessantes. É interessante tentar resolvê-los. 1) Seja B um inteiro maior que 10 tal que cada um dos seus dígitos pertence ao conjunto {1,3,7,9}. Demonstre que B tem um fator primo maior ou igual a 11. 2) Provar que o número 1 pode ser escrito de uma infinidade de maneiras distintas na forma 1=1/5 + 1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an, onde a1,a2,...,an são inteiros positivos tais que 5b e a+b é par. Provar que as raízes da equação x^2-(a^2 - a + 1)(x - b^2 - 1)-(b^2 + 1)^2=0 são inteiros positivos, nenhuma das quais é um quadrado perfeito. 4)Encontrar o valor da expressão (...(((2*3)*4)*5)*...)*1995, donde x*y=(x+y)/(1+xy) para todo x,y positivos. 5)Achar todas as funções f:N->N estritamente crescentes e tais que f(n+f(n))=2f(n) para n=1,2,3,... ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jun 11 23:53:28 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA02681 for obm-l-list; Sun, 11 Jun 2000 23:53:28 -0300 Received: from mail.iis.com.br (mail.iis.com.br [200.202.96.2]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA02677 for ; Sun, 11 Jun 2000 23:53:18 -0300 Received: from marcio (rio-as3-tty06.iis.com.br [200.202.97.54]) by mail.iis.com.br (8.9.3/8.9.3/1.1.1.9) with SMTP id XAA08410 for ; Sun, 11 Jun 2000 23:52:43 -0300 From: "Marcio" To: Subject: RES: Alguns probleminhas interessantes Date: Sun, 11 Jun 2000 23:55:08 -0300 Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook IMO, Build 9.0.2416 (9.0.2910.0) Importance: Normal In-Reply-To: <20000610140029.54637.qmail@hotmail.com> X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br 1) Seja B um inteiro maior que 10 tal que cada um dos seus dígitos pertence ao conjunto {1,3,7,9}. Demonstre que B tem um fator primo maior ou igual a 11. Suponha B=2^a * 3^b * 5^c * 7^d. Mas como B nao termina em algarismo par, ele com certeza é impar, e portanto a=0. Com o mesmo raciocinio, já que B nao termina em 5 nem em zero, B nao é multiplo de 5 e portanto c=0. Logo B = 3^b * 7^d. Além disso, B > 10. Olhe para a sequencia 7^2=49, 7^3=343, 7^4=2401, 7^5=16807.. Analisando congruencia modulo 100 a sequencia vira: 49,43,01,07,49,...(sequencia 1) Essa sequência é periódica e portanto todo número da forma 7^d, d>1 tem um dígito fora do conjunto dado. Analisando agora a sequencia das potencias de 3 maiores que 9 módulo 100 temos : 27, 81, 43, 29, 87, 61, 83, 49, 47, 41, 23, 69, 07, 21, 63, 89, 67, 01, 03, 09, ... (sequencia 2) Isso permite concluir o problema, inclusive afirmando mais. De fato, todo numero maior que 10 cujos dois ultimos algarismos pertencam a (1,3,7,9) deve ter um fator primo maior ou igual a 11. Prova: Um número da forma 3^b * 7^d é o produto de um número da primeira sequencia por um número da segunda. Mas todos os numeros da primeira sequencia tambem aparecem na segunda. Ou seja, qualquer que seja d > 1, existe k tal que 3^k=7^d mod100. Portanto, olhando mod100: B = 3^b * 7^d = 3^b * 3^k = 3^(b+k) mod 100. Logo, B deve terminar com um dos termos da sequencia 2. Em particular, B tem um algarismo diferente de {1,3,7,9}. Ou seja, nao pode existir numero composto apenas de 1,3,7,9 sem fator primo maior ou igual a 11, pois todos os numeros q nao possuem fatores primos maior ou igual a 11 possuem um digito par entre seus dois ultimos digitos. OBS: O fato B>10 foi usado para garantir que o 0 aparece na representação decimal do número. 5)Achar todas as funções f:N->N estritamente crescentes e tais que f(n+f(n))=2f(n) para n=1,2,3,... Vamos começar tentando dar um valor para f(0), por exemplo f(0)=a. Então, por um lado f(1+f(1))=2f(1) e por outro sabemos que f(1)>a, isto é, f(1) = a+p, p natural maior que zero. Substituindo, temos f(1+a+p)=2(a+p) => f(a+p+1) = (a+p)+(p+1). Agora, repare que devemos ter a+p=f(1) n + a+p+(n-2)=a+p+2 => 2n-2 = 2 => n=2. Logo, f(a+p+3)=f(2+f(2))=2f(2)=2(a+p+1)=a+p+(a+p+2). Segue pelo fato de f ser crescente que f(a+p+2)=a+p+(a+p+1). Analogamente, é sempre possível mostrar que se i for ímpar, f(a+p+i)=(a+p)+(a+p+i-1). E a partir daí, como todo par está entre dois impares consecutivos e pelo fato de f ser crescente, vemos que essa relação vale ainda quando i é par. Logo, para todo n temos f(a+p+n)=(a+p)+(a+p+n-1). Reunindo tudo que foi descoberto, vemos que f deve ser da forma: f(0)=a; f(1)=a+p=b > a. f(2)=b+1; ... f(n)=b+n-1. Colocando na equacao funcional para ver se serve, n=0: f(0+f(0)) = f(a) = b+a-1 se a diferente de zero, e igual a 0 se a=0. Como queremos igualar essa valor a 2f(0) = 2a, temos duas opções : (1) se a=0, entao tudo ok. (2) caso contrário, deve ser b+a-1=2a donde b = a+1. Portanto, f deve ser de uma dessas duas formas : (1) f(0)=a, f(1)=a+1, ... , f(n)=a+n. nesse caso a equação funcional dá certo sempre, pois f(n+f(n))=f(n+a+n)=f(a+2n)=a+(a+2n)=2(a+n)=2f(n) (2) f(0)=0, f(1)=b, f(2)=b+1, ..., f(n)=b+(n-1) nesse caso, a equaçao funcional também é satisfeita, pois f(n+f(n)) = f(n+b+n-1)=f(b+2n-1)=b+(b+2n-1-1)=2(b+n-1)=2f(n). Portanto, as únicas funções que satisfazem as condições dadas são : (1) f:N->N, f(k)=a+k, onde a é uma constante natural arbitrária. (2) f:N->N, f(0)=0 e f(k)=b+(k-1) se k diferente de zero. (aqui b é uma constante arbitrária). From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jun 11 23:53:22 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA02680 for obm-l-list; Sun, 11 Jun 2000 23:53:22 -0300 Received: from mail.iis.com.br (mail.iis.com.br [200.202.96.2]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA02674 for ; Sun, 11 Jun 2000 23:53:13 -0300 Received: from marcio (rio-as3-tty06.iis.com.br [200.202.97.54]) by mail.iis.com.br (8.9.3/8.9.3/1.1.1.9) with SMTP id XAA08397 for ; Sun, 11 Jun 2000 23:52:40 -0300 Date: Sun, 11 Jun 2000 23:52:40 -0300 Message-Id: <200006120252.XAA08397@mail.iis.com.br> From: "Marcio" Subject: RES: Alguns probleminhas interessantes X-Spanska: Yes Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br begin 644 Happy99.exe M35I0``(````$``\`__\``+@`````````0``:```````````````````````` M``````````````````````$``+H0``X?M`G-(;@!3,TAD)!4:&ES('!R;V=R M86T@;75S="!B92!R=6X@=6YD97(@5VEN,S(-"B0W```````````````````` M```````````````````````````````````````````````````````````` M```````````````````````````````````````````````````````````` M```````````````````````````````````````````````````````````` *```````````````` ` end From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jun 12 07:51:54 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id HAA03551 for obm-l-list; Mon, 12 Jun 2000 07:51:54 -0300 Received: from hotmail.com (f71.law3.hotmail.com [209.185.241.71]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id HAA03548 for ; Mon, 12 Jun 2000 07:51:31 -0300 Received: (qmail 46590 invoked by uid 0); 12 Jun 2000 10:50:54 -0000 Message-ID: <20000612105054.46589.qmail@hotmail.com> Received: from 200.245.30.183 by www.hotmail.com with HTTP; Mon, 12 Jun 2000 03:50:54 PDT X-Originating-IP: [200.245.30.183] From: "Eduardo Grasser" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: RES: Alguns probleminhas interessantes Date: Mon, 12 Jun 2000 07:50:54 EST Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Parece que o Márcio (e todos os incautos que abriram o happy99) está com problema de virus. Abaixo segue descrição detalhada que me enviaram quando tive o problema: COMO REMOVER O "W95/HAPPY99.10000.TROJAN" Com o 'Windows 95/98' funcionando, abra o 'Explorer' ( nao o 'Internet Explorer'). Com dois cliques no diretorio 'Windows' , procure o arquivo chamado 'Regedit.exe'. Com dois cliques execute-o. Muita cautela com o que vem a seguir, porque no 'Editor do Registro' esta aquilo que o computador leh para funcionar direito. Com o 'Editor do Registro' aberto, na barra de status selecione 'Editar'e depois 'Localizar'. Digite no quadro 'Localizar': ska Na primeira ocorrência deve aparecer o 'ska' e junto tambem o 'Happy99.exe'. Selecione no lado direito da janela, a letra antes do ska e delete. Selecione a letra antes do 'Happy99.exe' e tambem delete. Sao soh estes dois arquivos neste diretorio. Apos aperte a tecla 'F3' e aguarde enquanto o programa continua procurando. Possivelmente apareceram varias ocorrencias, que NAO podem ser tocadas. Continue a teclar 'F3' ate achar o nome 'ska.exe' que devera estar na chave: HKEY_LOCAL_MACHINE\Software\Microsoft\Windows\CurrentVersion\RunOnce\ Selecione somente a linha do 'ska.exe' , do lado direito da janela, e delete. Acaba aqui o procedimento dentro do 'Editor do Registro' que eh melhor ser esquecido no futuro, para evitar incomodos e despesas. Ainda no 'Explorer', procure no 'Windows\System' estes dois arquivos: Ska.exe Ska.dll e delete-os. Procure tambem o arquivo: 'Liste.ska' , que contem o endereco de e-mail para onde remeter o virus trojan. Se quizeres abrir o arquivo com o 'NotePad', veras que tem o endereco de todos os que receberam o Happy99. Delete-o. A partir destas providencias o virus nao existe mais e nao mais sera ativado. Porem ele modificou o arquivo wsock31.dll e fez um backup com o nome de 'wsock32.ska' Os dois tambem estam dentro do 'Windows\System'. Confira se estes dois arquivos estao no diretorio 'Windows\System'. Entao devemos deletar o 'wsock32.dll' e depois renomear o 'wsock32.ska' para 'wsock32.dll'. Estes arquivos so' podem ser renomeados pelo MS-DOS. Nao se assute porque eh muito facil, e eu explico passo-a-passo: Primeiro clique no 'Desligar' do 'Menu Iniciar'. Na janela que aparece, escolha: 'Reiniciar o computador em modo MS-DOS' e clique 'OK". Normalmente devera aparecer o prompt com o seguinte texto: C:\WINDOWS> Se aparecer: C:\Windows digite: CD (espaço) SYSTEM (Enter) Se aparecer somente: C:\ digite: CD (espaco) WINDOWS\SYSTEM (Enter) Observe: (espaço) eh um toque na barra de espacos e (Enter) eh um toque na tecla Enter. Observe que a barra e' aquela invertida. Estao deverah ficar assim: C:\WINDOWS\SYSTEM\ Agora vah digitando esta sequencia de comandos, como segue: DEL (espaco) WSOCK32.DLL (Enter) REN (ESPACO) WSOCK32.SKA (ESPACO) WSOCK32.DLL (Enter) Esta encerrado o procedimento. O 'Happy99' foi eliminado do Sistema. Digite WIN e o 'Windows' reiniciarah. Se o eu Sistema for o 'Windows 3.x', diga-me com um e-mail, que direi quais sao as variacoes deste procedimento. Quando recebemos um arquivo suspeito, ou nem tanto, o melhor eh salva-lo em um disquete. Soh depois de rodar um anti-virus atualizado no disquete, eh que teremos uma certeza relativa da seguranca do arquivo. Neste endereço: http://www.DataFellows.com/gallery/anti-virus/download.htm podemos fazer o download de um excelente anti-virus chamado: 'F-Prot'. Funciona dentro do 'Windows' como uma janela do 'DOS'. Eh simples, eh gratis, eh atualizado entre 30 a 45 dias, e jah peguei virus que uma versao atualizada do 'Scan - Mcafee' nao detectou e soh conseguiu na versao lancada 20 dias depois. A versao atual eh a 304a. O arquivo zipado tem 2.091 KB, que baixei em 14 minutos. Crie um diretorio no winchester e dezipe o programa para dentro deste diretorio. Entao procure o Fprot.exe e com dois cliques o programa estarah funcionando. Navegue pelos menus com as 'setas' do teclado e com a tecla 'Enter'. Esta versao jah detecta o 'bichinho': 'W95/Happy99.10000.trojan' , que tambem atende pelo nome de: 'W95/Happy99.8192.trojan'. Um dos arquivos descompactados chama-se 'Setupfm.exe' e instala um programa especifico contra 'Virus de Macro' do Word/Excel. ----Original Message Follows---- From: "Marcio" Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RES: Alguns probleminhas interessantes Date: Sun, 11 Jun 2000 23:52:40 -0300 << Happy99.exe >> Eduardo Grasser Campinas SP ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jun 12 10:19:41 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA04206 for obm-l-list; Mon, 12 Jun 2000 10:19:41 -0300 Received: from mat.puc-rio.br (IDENT:root@feliz.mat.puc-rio.br [139.82.27.15]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id KAA04203 for ; Mon, 12 Jun 2000 10:19:34 -0300 Received: from localhost (nicolau@localhost) by mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id KAA03396 for ; Mon, 12 Jun 2000 10:19:34 -0300 Date: Mon, 12 Jun 2000 10:19:34 -0300 (BRT) From: "Nicolau C. Saldanha" X-Sender: nicolau@localhost.localdomain To: obm-l@matinta.mat.puc-rio.br Subject: begin 644 Happy99.exe In-Reply-To: <200006120252.XAA08397@mail.iis.com.br> Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id KAA04204 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Sun, 11 Jun 2000, Marcio wrote: > begin 644 Happy99.exe > M35I0``(````$``\`__\``+@`````````0``:```````````````````````` > M``````````````````````$``+H0``X?M`G-(;@!3,TAD)!4:&ES('!R;V=R > M86T@;75S="!B92!R=6X@=6YD97(@5VEN,S(-"B0W```````````````````` ... > M```````````````````````````````````````````````````````````` > M```````````````````````````````````````````````````````````` > *```````````````` > ` > end > Esta mensagem continha um executável para Win9* e/ou outros OS da MicroSoft. O executável faz coisas com seu computador que talvez não sejam do seu agrado. Se você está usando um destes OSs (má idéia!) e um leitor de e-mail que roda executáveis que vêm incuídos automaticamente (péssima idéia!!!) talvez já seja tarde demais para você. Em todo caso eu eliminei a mensagem contaminada da lista (mas apenas depois dela ter sido enviada para um monte de gente). Ela será eliminada também do arquivo da lista. A melhor forma de se proteger contra estes ataques é usar um leitor de e-mail menos automático, que só abre os attachments quando você assim pede (uma forma ainda melhor é mudar de OS). O servidor da lista tem poucos recursos para impedir a entrada deste tipo de mensagem na lista; eu poderia baixar ainda mais o teto de tamanho de mensagem ou proibir todo e qualquer tipo de attachment mas isso impediria a troca de figuras. Notem que o servidor (sparc/linux) e minha própria máquina (pentium/linux) veem a mensagem do Marcio apenas como um texto exótico. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jun 12 16:52:49 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA07484 for obm-l-list; Mon, 12 Jun 2000 16:52:49 -0300 Received: from Servmail.abeu.com.br (Servmail.abeu.com.br [200.255.31.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA07459 for ; Mon, 12 Jun 2000 16:51:54 -0300 Received: from edmilson ([200.244.145.81]) by Servmail.abeu.com.br (8.9.3/8.9.1) with SMTP id QAA09507 for ; Mon, 12 Jun 2000 16:56:39 -0300 Message-ID: <002101bfd4a7$147fa5c0$5191f4c8@abeunet.com.br> From: "Edmilson" To: References: Subject: Cura do Happy 99 Date: Mon, 12 Jun 2000 16:47:14 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2919.6600 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2919.6600 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caros amigos da lista, Parece que o nosso colega Marcio está com o vírus Happy 99 em sua máquina. Eu tive este tipo de problema algum tempo atrás e consegui resolver facilmente, com as instruções e um programinha que remove o happy 99 da sua máquina. As instruções sobre este vírus e programa que o remove, estão na página http://www.node1.com.br/servicos/dicas/happy99.asp Este vírus cria o arquivo LISTE.SKA na pasta Windows com uma relação de e-mails para os quais já foi enviado o HAPPY99.EXE, evitando que a mesma pessoa receba duas vezes o vírus. Assim, você pode mandar uma cópia deste e-mail a todos os quais você pode ter contaminado. Atenciosamente, Edmilson http://www.edmilsonaleixo.cjb.net edmilson@abeunet.com.br -----Mensagem Original----- De: "Marcio" Para: Enviada em: Domingo, 11 de Junho de 2000 23:55 Assunto: RES: Alguns probleminhas interessantes > > > 1) Seja B um inteiro maior que 10 tal que cada um dos seus dígitos > pertence ao conjunto {1,3,7,9}. Demonstre que B tem um fator primo maior ou > igual a 11. > > Suponha B=2^a * 3^b * 5^c * 7^d. Mas como B nao termina em algarismo par, > ele com certeza é impar, e portanto a=0. Com o mesmo raciocinio, já que B > nao termina em 5 nem em zero, B nao é multiplo de 5 e portanto c=0. > > Logo B = 3^b * 7^d. Além disso, B > 10. > > Olhe para a sequencia 7^2=49, 7^3=343, 7^4=2401, 7^5=16807.. > Analisando congruencia modulo 100 a sequencia vira: > 49,43,01,07,49,...(sequencia 1) > Essa sequência é periódica e portanto todo número da forma 7^d, d>1 tem um > dígito fora do conjunto dado. > Analisando agora a sequencia das potencias de 3 maiores que 9 módulo 100 > temos : > 27, 81, 43, 29, 87, 61, 83, 49, 47, 41, 23, 69, 07, 21, 63, 89, 67, 01, 03, > 09, ... (sequencia 2) > > Isso permite concluir o problema, inclusive afirmando mais. De fato, todo > numero maior que 10 cujos dois ultimos algarismos pertencam a (1,3,7,9) deve > ter um fator primo maior ou igual a 11. > > Prova: Um número da forma 3^b * 7^d é o produto de um número da primeira > sequencia por um número da segunda. Mas todos os numeros da primeira > sequencia tambem aparecem na segunda. Ou seja, qualquer que seja d > 1, > existe k tal que 3^k=7^d mod100. > Portanto, olhando mod100: B = 3^b * 7^d = 3^b * 3^k = 3^(b+k) mod 100. Logo, > B deve terminar com um dos termos da sequencia 2. Em particular, B tem um > algarismo diferente de {1,3,7,9}. > > Ou seja, nao pode existir numero composto apenas de 1,3,7,9 sem fator primo > maior ou igual a 11, pois todos os numeros q nao possuem fatores primos > maior ou igual a 11 possuem um digito par entre seus dois ultimos digitos. > OBS: O fato B>10 foi usado para garantir que o 0 aparece na representação > decimal do número. > > > 5)Achar todas as funções f:N->N estritamente crescentes e tais que > f(n+f(n))=2f(n) para n=1,2,3,... > > Vamos começar tentando dar um valor para f(0), por exemplo f(0)=a. > Então, por um lado f(1+f(1))=2f(1) e por outro sabemos que f(1)>a, isto é, > f(1) = a+p, p natural maior que zero. > Substituindo, temos f(1+a+p)=2(a+p) => f(a+p+1) = (a+p)+(p+1). > Agora, repare que devemos ter a+p=f(1) particular, todos esses valores devem ser naturais distintos. > Tenho que assignar a+p-1 valores (para f(2), f(3), ... , f(a+p)). > Temos exatamente a+p-1 opções possíveis (a saber, (a+p)+1, (a+p)+2, ..., > (a+p)+(a+p-1)). > Portanto, como devemos ter f(2) usadas, então devemos ter: > f(2)=a+p+1, f(3)=a+p+2, ..., f(a+p)=a+p+(a+p-1). (lembre que > f(a+p+1)=a+p+(a+p) > > E quanto valerá f(a+p+2) ? > Ora, n + f(n) = a+p+3 => n + a+p+(n-2)=a+p+2 => 2n-2 = 2 => n=2. Logo, > f(a+p+3)=f(2+f(2))=2f(2)=2(a+p+1)=a+p+(a+p+2). > Segue pelo fato de f ser crescente que f(a+p+2)=a+p+(a+p+1). > > Analogamente, é sempre possível mostrar que se i for ímpar, > f(a+p+i)=(a+p)+(a+p+i-1). E a partir daí, como todo par está entre dois > impares consecutivos e pelo fato de f ser crescente, vemos que essa relação > vale ainda quando i é par. > Logo, para todo n temos f(a+p+n)=(a+p)+(a+p+n-1). > > Reunindo tudo que foi descoberto, vemos que f deve ser da forma: > f(0)=a; > f(1)=a+p=b > a. > f(2)=b+1; > ... > f(n)=b+n-1. > > Colocando na equacao funcional para ver se serve, > n=0: > f(0+f(0)) = f(a) = b+a-1 se a diferente de zero, e igual a 0 se a=0. > Como queremos igualar essa valor a 2f(0) = 2a, temos duas opções : > (1) se a=0, entao tudo ok. > (2) caso contrário, deve ser b+a-1=2a donde b = a+1. > > Portanto, f deve ser de uma dessas duas formas : > (1) f(0)=a, f(1)=a+1, ... , f(n)=a+n. nesse caso a equação funcional dá > certo sempre, pois f(n+f(n))=f(n+a+n)=f(a+2n)=a+(a+2n)=2(a+n)=2f(n) > > (2) f(0)=0, f(1)=b, f(2)=b+1, ..., f(n)=b+(n-1) nesse caso, a equaçao > funcional também é satisfeita, pois f(n+f(n)) = > f(n+b+n-1)=f(b+2n-1)=b+(b+2n-1-1)=2(b+n-1)=2f(n). > > > Portanto, as únicas funções que satisfazem as condições dadas são : > (1) f:N->N, f(k)=a+k, onde a é uma constante natural arbitrária. > (2) f:N->N, f(0)=0 e f(k)=b+(k-1) se k diferente de zero. (aqui b é uma > constante arbitrária). > > > > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jun 12 17:19:23 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA07678 for obm-l-list; Mon, 12 Jun 2000 17:19:23 -0300 Received: from Euler.impa.br (euler.impa.br [147.65.1.3]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA07675 for ; Mon, 12 Jun 2000 17:19:14 -0300 Received: from obm-01 (obm-01.impa.br [147.65.2.170]) by Euler.impa.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id RAA22096 for ; Mon, 12 Jun 2000 17:19:04 -0300 (EST) Message-Id: <3.0.5.32.20000612182904.007b7490@pop.impa.br> X-Sender: obm@pop.impa.br X-Mailer: QUALCOMM Windows Eudora Light Version 3.0.5 (32) Date: Mon, 12 Jun 2000 18:29:04 -0300 To: obm-l@mat.puc-rio.br From: Olimpiada Brasileira de Matematica Subject: Provas na home-page. Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="us-ascii" Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caros amigos da lista: Ja' esta' disponivel a prova da 1 Fase com gabarito na nossa home-page. (versao .html e .doc) http://www.obm.org.br/ Abracos, Nelly. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jun 12 21:47:44 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA09300 for obm-l-list; Mon, 12 Jun 2000 21:47:44 -0300 Received: from mail.iis.com.br (mail.iis.com.br [200.202.96.2]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA09297 for ; Mon, 12 Jun 2000 21:47:34 -0300 Received: from marcio (rio-as3-tty09.iis.com.br [200.202.97.57]) by mail.iis.com.br (8.9.3/8.9.3/1.1.1.9) with SMTP id VAA23947 for ; Mon, 12 Jun 2000 21:47:01 -0300 From: "Marcio" To: Subject: RES: begin 644 Happy99.exe Date: Mon, 12 Jun 2000 21:49:27 -0300 Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook IMO, Build 9.0.2416 (9.0.2910.0) Importance: Normal In-Reply-To: X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Gostaria de me desculpar pelo incomodo que devo ter causado a vários de voces. Agradeço imensamente aos emails do Nicolau e do Eduardo que me ajudou a eliminar o virus. De fato tentarei tomar mais cuidado com esse tipo de coisa. A mudança do leitor de email eu posso providenciar desde que o pessoal da lista me de algumas dicas boas para substituir o outlook. Quanto a mudanca do OS, acho que exigiria um tempo que nao disponho agora, alem do eventual incomodo de ter que reaprender tudo... Grato, Marcio -----Mensagem original----- De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Nicolau C. Saldanha Enviada em: Segunda-feira, 12 de Junho de 2000 10:20 Para: obm-l@matinta.mat.puc-rio.br Assunto: begin 644 Happy99.exe On Sun, 11 Jun 2000, Marcio wrote: > begin 644 Happy99.exe > M35I0``(````$``\`__\``+@`````````0``:```````````````````````` > M``````````````````````$``+H0``X?M`G-(;@!3,TAD)!4:&ES('!R;V=R > M86T@;75S="!B92!R=6X@=6YD97(@5VEN,S(-"B0W```````````````````` ... > M```````````````````````````````````````````````````````````` > M```````````````````````````````````````````````````````````` > *```````````````` > ` > end > Esta mensagem continha um executável para Win9* e/ou outros OS da MicroSoft. O executável faz coisas com seu computador que talvez não sejam do seu agrado. Se você está usando um destes OSs (má idéia!) e um leitor de e-mail que roda executáveis que vêm incuídos automaticamente (péssima idéia!!!) talvez já seja tarde demais para você. Em todo caso eu eliminei a mensagem contaminada da lista (mas apenas depois dela ter sido enviada para um monte de gente). Ela será eliminada também do arquivo da lista. A melhor forma de se proteger contra estes ataques é usar um leitor de e-mail menos automático, que só abre os attachments quando você assim pede (uma forma ainda melhor é mudar de OS). O servidor da lista tem poucos recursos para impedir a entrada deste tipo de mensagem na lista; eu poderia baixar ainda mais o teto de tamanho de mensagem ou proibir todo e qualquer tipo de attachment mas isso impediria a troca de figuras. Notem que o servidor (sparc/linux) e minha própria máquina (pentium/linux) veem a mensagem do Marcio apenas como um texto exótico. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jun 12 22:03:12 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA09378 for obm-l-list; Mon, 12 Jun 2000 22:03:12 -0300 Received: from digital.internetional.com.br (digital.internetional.com.br [200.241.232.48]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA09375 for ; Mon, 12 Jun 2000 22:03:05 -0300 Received: from default (dial23.internetional.com.br [200.242.135.23]) by digital.internetional.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id WAA82521 for ; Mon, 12 Jun 2000 22:18:48 GMT (envelope-from jmoraes@ih.com.br) Message-ID: <000701bfd4d3$199757c0$1787f2c8@default> From: "Orlando Peixoto de Morais" To: References: Subject: =?iso-8859-1?B?UmU6IEZ1bufjbyBHYW1h?= Date: Mon, 12 Jun 2000 22:01:28 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br "gama(s)=integral de 0 até infinito de t^(s-1).e^(-s)." Eu não entendi essa definição. Aparentemente, a função gama está definida de modo que, se quisermos saber gama(s), devemos tomar o gráfico de f(t)= t^(s-1)/(e^s) (s constante) e calcular a área entre ele e toda a metade positiva do eixo das abscissas. Ora, esta área não deveria convergir, não podendo então ser finita. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jun 12 23:05:32 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA09704 for obm-l-list; Mon, 12 Jun 2000 23:05:32 -0300 Received: from roma.samnet.com.br (samnet.com.br [200.241.109.126]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA09701 for ; Mon, 12 Jun 2000 23:05:25 -0300 Received: from samnet.com.br (ppp84-tc02.samnet.com.br [200.241.109.90]) by roma.samnet.com.br (8.9.3/8.8.7) with ESMTP id XAA22698 for ; Mon, 12 Jun 2000 23:04:57 -0300 Message-ID: <394596E4.59BCA579@samnet.com.br> Date: Mon, 12 Jun 2000 23:05:25 -0300 From: Carlos Gomes X-Mailer: Mozilla 4.03 [pt] (Win95; I) MIME-Version: 1.0 To: "obm-l@mat.puc-rio.br" Subject: questão da OBM2000 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Alô pessoal, tudo ok com vocês? Hoje resolvedo, a prova da primeira etapa da OBM2000, encontrei uma questão que apesar se simples não consegui chegar na resposta proposta pelo gabarito. A questão é a seguite: Escrevem-se, em ordem crescente, os números inteiros e positivos que sejam múltiplos de 7 ou de 8 ( ou de ambos), obtendo-se 7, 8, 14, 16,... o centésimo número escrito é: a)406 b)376 c)392 d)384 e)400 o gabarito formeceu E, ou seja, 400. A minha solução foi a seguinte: (onde errei?) Os primeiros termos da sequência são 7, 8, 14, 16, 21, 24, 28, 32, 35, 40, 42, 48, 49, 56,..., ou seja, até 56=mmc(7,8) escrevemos 8 múltiplos de 7 e 6 múltiplos de 8 de daí escreveremos os múltiplos de 56 nas posições 14, 28, 42,...,98=7x14,... Ora, se na posição 98 temos um múltiplo de 56 temos que esse termo é 7x56=392 assim o próximo termo, isto é, o termo 99 seria 392+8=400 e finalmente o centésimo termo seria 400+7=407. Um forte abraço , Carlos A. Gomes. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Tue Jun 13 09:55:58 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA11039 for obm-l-list; Tue, 13 Jun 2000 09:55:58 -0300 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.128]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id JAA11036 for ; Tue, 13 Jun 2000 09:55:51 -0300 Received: from centroin.com.br (du70c.rjo.centroin.com.br [200.225.58.70]) by trex.centroin.com.br (8.10.1/8.10.1) with ESMTP id e5DCtI510624 for ; Tue, 13 Jun 2000 09:55:18 -0300 (EST) Message-ID: <39462F7F.B902F97A@centroin.com.br> Date: Tue, 13 Jun 2000 09:56:31 -0300 From: Augusto Morgado X-Mailer: Mozilla 4.73 [en] (Win95; I) X-Accept-Language: en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: =?x-user-defined?Q?Fun=E7=E3o?= Gama References: <000701bfd4d3$199757c0$1787f2c8@default> Content-Type: text/plain; charset=x-user-defined Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Orlando Peixoto de Morais wrote: > > "gama(s)=integral de 0 até infinito de t^(s-1).e^(-s)." > Eu não entendi essa definição. Aparentemente, a função gama está definida de > modo que, se quisermos saber gama(s), devemos tomar o gráfico de > f(t)= t^(s-1)/(e^s) (s constante) e calcular a área entre ele e toda a > metade positiva do eixo das abscissas. Ora, esta área não deveria convergir, > não podendo então ser finita. Eh exp(-t) e não exp(-s). From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Tue Jun 13 10:21:37 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA11187 for obm-l-list; Tue, 13 Jun 2000 10:21:37 -0300 Received: from ls02.esquadro.com.br (ls02.esquadro.com.br [200.214.4.1]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id KAA11183 for ; Tue, 13 Jun 2000 10:21:27 -0300 From: alexv@esquadro.com.br Received: from localhost (ls01.esquadro.com.br [200.214.4.3]) by ls02.esquadro.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id KAA29782 for ; Tue, 13 Jun 2000 10:28:30 -0300 Message-Id: <200006131328.KAA29782@ls02.esquadro.com.br> Subject: Re: questão da OBM2000 Content-transfer-encoding: 8bit To: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Content-type: text/plain Mime-version: 1.0 X-Sender-ip: 8c4fa210 Date: Tue, 13 Jun 2000 10:24 +0000 X-mailer: Netbula AnyEMail(TM) 4.51 ae_esquadro_br_p_10000 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > > A minha solução foi a seguinte: (onde errei?) > >Os primeiros termos da sequência são 7, 8, 14, 16, 21, 24, 28, 32, 35, >40, 42, 48, 49, 56,..., ou seja, até 56=mmc(7,8) escrevemos 8 múltiplos >de 7 e 6 múltiplos de 8 de daí escreveremos os múltiplos de 56 nas >posições 14, 28, 42,...,98=7x14,... Ora, se na posição 98 temos um >múltiplo de 56 temos que esse termo é 7x56=392 assim o próximo termo, >isto é, o termo 99 seria 392+8=400 e finalmente o centésimo termo seria >400+7=407. > >Um forte abraço , >Carlos A. Gomes. Oi Gente (em Especial Carlos) eu vejo duas formas simples de resolver a questão por Progressão Aritmética, senão vejamos: Olhando separadamente os termos de ordem par e de ordem ímpar da sequência, encontramos duas PA's de razões 7 e 8, respectivamente. É claro, que estou utilizando uma indução elementar, ou seja, acreditando que o comportamento da sequência se mantenha, visto que não há nada que informe o contrário. Assim: (1a solução) Notando que na PA de razão 8, o termo procurado será o de posição 50, temos que T(50) = T(1) + 49*8, mas T(1)=8 => T(50) = 8 + 49*8 => T(50) = 50*8 = 400 (2a solução) Considerando os termos de ordem impar, temos uma PA de razão 7. Observe que a diferença entre os primeiros termos de cada PA é 1 , entre os segundos termos é = 2 , entre os terceiros termos é 3 ... e entre os termos de posição 99 e 100 a diferença será igual a 50. Mas o termo de posição 99 da sequência original será, na PA de razao 7, o termo de posição 50. assim: T(50) = T(1) + 49*7, mas nesse caso T(1)=7 => T(50)= 7 + 49*7 = 50*7 logo T(50)=350 , mas esse é o termo de posição 99 da sequencia original: logo o termo procurado é 350 + 50 = 400 A minha dúvida é: Normalmente, essa indução elementar que utilizei no início é aceita, mas no caso de uma olimpíada isso pode ser utilizado? Pronunciem-se! []'s e Saudações (Tricolores, sempre!!) Alexandre Vellasquez From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Tue Jun 13 13:19:56 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA12417 for obm-l-list; Tue, 13 Jun 2000 13:19:56 -0300 Received: from mat.puc-rio.br (IDENT:root@feliz.mat.puc-rio.br [139.82.27.15]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA12414 for ; Tue, 13 Jun 2000 13:19:48 -0300 Received: from localhost (nicolau@localhost) by mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA05673 for ; Tue, 13 Jun 2000 13:19:48 -0300 Date: Tue, 13 Jun 2000 13:19:48 -0300 (BRT) From: "Nicolau C. Saldanha" X-Sender: nicolau@localhost.localdomain To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: =?iso-8859-1?B?UmU6IEZ1bufjbyBHYW1h?= In-Reply-To: <000701bfd4d3$199757c0$1787f2c8@default> Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id NAA12415 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Mon, 12 Jun 2000, Orlando Peixoto de Morais wrote: > "gama(s)=integral de 0 até infinito de t^(s-1).e^(-s)." Parece haver um erro tipográfico aqui. A definição correta seria gamma(s) = integral de 0 a +infinito t^(s-1) e^(-t) dt > Eu não entendi essa definição. Aparentemente, a função gama está definida de > modo que, se quisermos saber gama(s), devemos tomar o gráfico de > f(t)= t^(s-1)/(e^s) (s constante) e calcular a área entre ele e toda a > metade positiva do eixo das abscissas. Ora, esta área não deveria convergir, > não podendo então ser finita. > Outra definição para a função gamma é gamma(s) = lim_{n -> infinito} (n+m-1)! (n+m)^u / s(s+1)...(s+n-1) onde s = m+u, m sendo a parte inteira e 0 <= u < 1. Isto porque devemos ter s(s+1)...(s+n-1) gamma(s) = gamma(s+n) = gamma(n+m+u) E, para n grande, gamma(n+m+u) ~= (n+m-1)! (n+m)^u. Uma versão mais conceitual desta definição é que g(s) = log(gamma(s)) é a única função que satisfaz g(s+1) = g(s) + log(s), g(0) = 0 e g''(s) > 0 para s real positivo suficientemente grande. []s, N. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Tue Jun 13 14:37:02 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA13270 for obm-l-list; Tue, 13 Jun 2000 14:37:02 -0300 Received: from Fourier.visgraf.impa.br (external.visgraf.impa.br [147.65.1.2]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA13267 for ; Tue, 13 Jun 2000 14:36:55 -0300 Received: from visgraf.impa.br (ralph.visgraf.impa.br [147.65.6.181]) by Fourier.visgraf.impa.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA07006 for ; Tue, 13 Jun 2000 14:36:53 -0300 (EST) Message-ID: <39467134.E3531ED1@visgraf.impa.br> Date: Tue, 13 Jun 2000 14:36:52 -0300 From: Ralph Costa Teixeira Organization: IMPA X-Mailer: Mozilla 4.73 [en] (Win95; U) X-Accept-Language: en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: =?iso-8859-1?Q?quest=E3o?= da OBM2000 References: <394596E4.59BCA579@samnet.com.br> Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Puxa, Carlos, sua solução está quase perfeita... Mas... Carlos Gomes wrote: > > A minha solução foi a seguinte: (onde errei?) > > Os primeiros termos da sequência são 7, 8, 14, 16, 21, 24, 28, 32, 35, > 40, 42, 48, 49, 56,..., ou seja, até 56=mmc(7,8) escrevemos 8 múltiplos > de 7 e 6 múltiplos de 8 de daí escreveremos os múltiplos de 56 nas > posições 14, 28, 42,...,98=7x14,... Ora, se na posição 98 temos um > múltiplo de 56 temos que esse termo é 7x56=392 assim o próximo termo, será 392+7=399 e o centésimo é 392+8=400. > isto é, o termo 99 seria 392+8=400 e finalmente o centésimo termo seria > 400+7=407. Esqueceu o 399.... :( > > Um forte abraço , > Carlos A. Gomes. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Tue Jun 13 20:45:06 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA15801 for obm-l-list; Tue, 13 Jun 2000 20:45:06 -0300 Received: from krjsw.carajasnet.com.br (krjsw.carajasnet.com.br [200.212.168.161]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id UAA15795 for ; Tue, 13 Jun 2000 20:44:51 -0300 Received: from mjsanto (arz16.carajasnet.com.br [200.212.168.185]) by krjsw.carajasnet.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id TAA20022 for ; Tue, 13 Jun 2000 19:42:31 -0300 Message-ID: <001e01bfd591$b7baa560$b9a8d4c8@mjsanto> From: "Marcos Eike Tinen dos Santos" To: References: Subject: =?iso-8859-1?B?UmU6IEZ1bufjbyBHYW1h?= Date: Tue, 13 Jun 2000 20:46:11 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Em relação a essa teoria consegui algumas coisas interessante. Caso queiram é só entrar em contato por e-mail Deve ser 180 kb, mais ou menos. Ats, Marcos Eike From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Tue Jun 13 20:45:04 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA15800 for obm-l-list; Tue, 13 Jun 2000 20:45:04 -0300 Received: from krjsw.carajasnet.com.br (krjsw.carajasnet.com.br [200.212.168.161]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id UAA15794 for ; Tue, 13 Jun 2000 20:44:49 -0300 Received: from mjsanto (arz16.carajasnet.com.br [200.212.168.185]) by krjsw.carajasnet.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id TAA20019 for ; Tue, 13 Jun 2000 19:42:27 -0300 Message-ID: <001d01bfd591$b5e63380$b9a8d4c8@mjsanto> From: "Marcos Eike Tinen dos Santos" To: Subject: =?iso-8859-1?Q?Quest=E3o_mal_elaborada!!?= Date: Tue, 13 Jun 2000 20:42:17 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Desculpe se não posso comentar a prova ainda, ok Nicolau. Mas, acho que a 4ª questão do primeiro nível 5 a 6 série, não foi bem elaborada, pois pode ocorrer interpretações distintas por parte dos alunos. A primeira vez que resolvi, a considerei estranha, mas tudo bem. só que NUNCA me levei a acreditar que tenho que esvaziar os vidros a cada vez. Após verificar a resposta "14", tive que considerar tal "NUNCA", pois senão não conseguiria resolver. Ats, Marcos Eike From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Tue Jun 13 23:22:57 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA16428 for obm-l-list; Tue, 13 Jun 2000 23:22:57 -0300 Received: from mat.puc-rio.br (IDENT:root@sucuri.mat.puc-rio.br [139.82.27.7]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA16425 for ; Tue, 13 Jun 2000 23:22:51 -0300 Received: from localhost (nicolau@localhost) by mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA07432 for ; Tue, 13 Jun 2000 23:22:51 -0300 Date: Tue, 13 Jun 2000 23:22:51 -0300 (BRT) From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: =?iso-8859-1?Q?Quest=E3o_mal_elaborada!!?= In-Reply-To: <001d01bfd591$b5e63380$b9a8d4c8@mjsanto> Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id XAA16426 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Tue, 13 Jun 2000, Marcos Eike Tinen dos Santos wrote: > Desculpe se não posso comentar a prova ainda, ok > Nicolau. > > Mas, acho que a 4ª questão do primeiro nível 5 a 6 > série, não foi bem elaborada, pois pode ocorrer interpretações distintas por > parte dos alunos. > > A primeira vez que resolvi, a considerei estranha, mas tudo bem. só que > NUNCA me levei a acreditar que tenho que esvaziar os vidros a cada vez. > Após verificar a resposta "14", tive que considerar tal "NUNCA", pois senão > não conseguiria resolver. Com 43 garrafas vazias você pode obter 10 garrafas cheias e ainda tem 3 vazias. Depois de usar (ou guardar) estes 10 litros de leite temos 13 garrafas e podemos obter 3 cheias e uma vazia. Depois de usar estes 3 litros podemos trocar as 4 garrafas vazias por uma última garrafa cheia. Ganhamos assim 14 litros de leite. []s, N. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Tue Jun 13 23:50:07 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA16579 for obm-l-list; Tue, 13 Jun 2000 23:50:07 -0300 Received: from krjsw.carajasnet.com.br (krjsw.carajasnet.com.br [200.212.168.161]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA16575 for ; Tue, 13 Jun 2000 23:49:55 -0300 Received: from mjsanto (arz2.carajasnet.com.br [200.212.168.171]) by krjsw.carajasnet.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id WAA20983 for ; Tue, 13 Jun 2000 22:47:36 -0300 Message-ID: <000401bfd5ab$922b5320$aba8d4c8@mjsanto> From: "Marcos Eike Tinen dos Santos" To: References: <001d01bfd591$b5e63380$b9a8d4c8@mjsanto> Subject: =?iso-8859-1?Q?Re:_Quest=E3o_mal_elaborada!!?= Date: Tue, 13 Jun 2000 21:23:09 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br outro fato importante, como a questão pede: "Até quantos litros de leite pode obter uma pessoa que possua 43 dessas garrafas vazias?" Não haveria garrafas suficientes para levar 13 litros, mas, apenas 1 litro. Ats, Marcos Eike ----- Original Message ----- From: Marcos Eike Tinen dos Santos To: Sent: Terça-feira, 13 de Junho de 2000 20:42 Subject: Questão mal elaborada!! > Desculpe se não posso comentar a prova ainda, ok > Nicolau. > > Mas, acho que a 4ª questão do primeiro nível 5 a 6 > série, não foi bem elaborada, pois pode ocorrer interpretações distintas por > parte dos alunos. > > A primeira vez que resolvi, a considerei estranha, mas tudo bem. só que > NUNCA me levei a acreditar que tenho que esvaziar os vidros a cada vez. > Após verificar a resposta "14", tive que considerar tal "NUNCA", pois senão > não conseguiria resolver. > > Ats, > Marcos Eike > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jun 14 13:25:51 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA19563 for obm-l-list; Wed, 14 Jun 2000 13:25:51 -0300 Received: from ls02.esquadro.com.br (ls02.esquadro.com.br [200.214.4.1]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA19560 for ; Wed, 14 Jun 2000 13:25:41 -0300 From: alexv@esquadro.com.br Received: from localhost (ls01.esquadro.com.br [200.214.4.3]) by ls02.esquadro.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id NAA25902 for ; Wed, 14 Jun 2000 13:33:01 -0300 Message-Id: <200006141633.NAA25902@ls02.esquadro.com.br> Subject: Re: Re: questão da OBM2000 Content-transfer-encoding: 8bit To: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Content-type: text/plain Mime-version: 1.0 X-Sender-ip: 8c4fa210 Date: Wed, 14 Jun 2000 13:29 +0000 X-mailer: Netbula AnyEMail(TM) 4.51 ae_esquadro_br_p_10000 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Gente, Eu não havia lido inteiramente a questão que o Carlos Gomes tinha dúvida, e fiz consirerações precipitadas. Achei que fosse uma sequência dada, só depois relendo a nota que enviei notei que tratava-se dos múltiplos de 7 e 8 (a pressa leva aos erros). Bem, assim não podemos considerar as PA´s dos elementos de ordem Par e Impar, visto que existem números que são múltiplos de 7 e de 8 (56, 112,168, ...)e então eles apareceriam duas vezes. Apesar de a resposta coincidir com o gabarito, o raciocínio que apresentei está errado. Erro lamentável... []'s Alexandre Vellasquez >Oi Gente (em Especial Carlos) > >eu vejo duas formas simples de resolver a questão por Progressão >Aritmética, senão vejamos: > >Olhando separadamente os termos de ordem par e de ordem ímpar da >sequência, encontramos duas PA's de razões 7 e 8, respectivamente. É >claro, que estou utilizando uma indução elementar, ou seja, acreditando >que o comportamento da sequência se mantenha, visto que não há nada que >informe o contrário. > >Assim: >(1a solução) >Notando que na PA de razão 8, o termo procurado será o de posição 50, >temos que T(50) = T(1) + 49*8, mas T(1)=8 => T(50) = 8 + 49*8 >=> T(50) = 50*8 = 400 > >(2a solução) >Considerando os termos de ordem impar, temos uma PA de razão 7. Observe >que a diferença entre os primeiros termos de cada PA é 1 , entre os >segundos termos é = 2 , entre os terceiros termos é 3 ... e entre os >termos de posição 99 e 100 a diferença será igual a 50. Mas o termo de >posição 99 da sequência original será, na PA de razao 7, o termo de >posição 50. >assim: >T(50) = T(1) + 49*7, mas nesse caso T(1)=7 => T(50)= 7 + 49*7 = 50*7 >logo T(50)=350 , >mas esse é o termo de posição 99 da sequencia original: >logo o termo procurado é 350 + 50 = 400 > > >A minha dúvida é: Normalmente, essa indução elementar que utilizei no >início é aceita, mas no caso de uma olimpíada isso pode ser utilizado? >Pronunciem-se! > >[]'s e Saudações (Tricolores, sempre!!) >Alexandre Vellasquez From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jun 14 13:51:36 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA19784 for obm-l-list; Wed, 14 Jun 2000 13:51:36 -0300 Received: from usracimj.scj.com (mx2.scj.com [32.97.156.132]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA19777 for ; Wed, 14 Jun 2000 13:51:26 -0300 Received: by usracimj.scj.com with Internet Mail Service (5.5.2650.21) id ; Wed, 14 Jun 2000 11:50:32 -0500 Message-ID: From: "Bezerra, Paulo, A." To: "'obm-l@mat.puc-rio.br'" Subject: =?iso-8859-1?Q?RE=3A_Quest=E3o_mal_elaborada=21=21?= Date: Wed, 14 Jun 2000 11:50:30 -0500 Importance: high X-Priority: 1 MIME-Version: 1.0 X-Mailer: Internet Mail Service (5.5.2650.21) Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id NAA19781 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Marcos, Tenho acompanhado a lista a algum tempo apenas colhendo as preciosas informações que os colegas passam. Nesse caso específico a questão foi fácil de explicar para meus alunos pois é bem parecida com uma questão que caiu no processo seletivo da 5a serie do Colégio Pedro II nesse ano aqui no Rio. Questão similar vc encontra na coleção diabruras da matemática do Malba tahan. Se quiseres mais detalhes posso desenvolver. Um Abraco, PAM -----Original Message----- From: Marcos Eike Tinen dos Santos [mailto:mjsanto@carajasnet.com.br] Sent: Tuesday, June 13, 2000 21:23 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Questão mal elaborada!! outro fato importante, como a questão pede: "Até quantos litros de leite pode obter uma pessoa que possua 43 dessas garrafas vazias?" Não haveria garrafas suficientes para levar 13 litros, mas, apenas 1 litro. Ats, Marcos Eike ----- Original Message ----- From: Marcos Eike Tinen dos Santos To: Sent: Terça-feira, 13 de Junho de 2000 20:42 Subject: Questão mal elaborada!! > Desculpe se não posso comentar a prova ainda, ok > Nicolau. > > Mas, acho que a 4ª questão do primeiro nível 5 a 6 > série, não foi bem elaborada, pois pode ocorrer interpretações distintas por > parte dos alunos. > > A primeira vez que resolvi, a considerei estranha, mas tudo bem. só que > NUNCA me levei a acreditar que tenho que esvaziar os vidros a cada vez. > Após verificar a resposta "14", tive que considerar tal "NUNCA", pois senão > não conseguiria resolver. > > Ats, > Marcos Eike > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jun 14 14:57:23 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA20382 for obm-l-list; Wed, 14 Jun 2000 14:57:23 -0300 Received: from hotmail.com (f103.law3.hotmail.com [209.185.241.103]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id OAA20376 for ; Wed, 14 Jun 2000 14:57:03 -0300 Received: (qmail 99836 invoked by uid 0); 14 Jun 2000 17:56:14 -0000 Message-ID: <20000614175614.99835.qmail@hotmail.com> Received: from 200.190.163.176 by www.hotmail.com with HTTP; Wed, 14 Jun 2000 10:56:14 PDT X-Originating-IP: [200.190.163.176] From: "Marcelo Souza" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: teorema do binômio Date: Wed, 14 Jun 2000 17:56:14 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá Olhei a resolução de um problema e não consegui entender uma coisa. O problema deixa que (n+1) ( 2 ) ( 3 ) ( n ) ( )= ( ) + ( ) + ... + ( ) ( 3 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) Eu não entendi muito bem. Se for isso mesmo alguém poderia demontrar? Obrigado Abraços Marcelo OBS: ( n ) ( )= n!/k!(n-k)! ( k ) ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jun 14 15:52:23 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA20963 for obm-l-list; Wed, 14 Jun 2000 15:52:23 -0300 Received: from hotmail.com (f91.law3.hotmail.com [209.185.241.91]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id PAA20959 for ; Wed, 14 Jun 2000 15:52:08 -0300 Received: (qmail 41313 invoked by uid 0); 14 Jun 2000 18:51:33 -0000 Message-ID: <20000614185133.41312.qmail@hotmail.com> Received: from 200.190.163.35 by www.hotmail.com with HTTP; Wed, 14 Jun 2000 11:51:32 PDT X-Originating-IP: [200.190.163.35] From: "Marcelo Souza" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: teorema do binômio Date: Wed, 14 Jun 2000 18:51:32 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá Olhei a resolução de um problema e não consegui entender uma coisa. A resolução do problema deixa que (n+1) ( 2 ) ( 3 ) ( n ) ( )= ( ) + ( ) + ... + ( ) ( 3 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) Eu não entendi muito bem. Se for isso mesmo alguém poderia demontrar? Obrigado Abraços Marcelo OBS: ( n ) ( )= n!/k!(n-k)! ( k ) ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jun 14 17:58:23 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA21777 for obm-l-list; Wed, 14 Jun 2000 17:58:23 -0300 Received: from usracimj.scj.com (mx2.scj.com [32.97.156.132]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA21773 for ; Wed, 14 Jun 2000 17:57:59 -0300 Received: by usracimj.scj.com with Internet Mail Service (5.5.2650.21) id ; Wed, 14 Jun 2000 15:57:26 -0500 Message-ID: From: "Bezerra, Paulo, A." To: "'obm-l@mat.puc-rio.br'" Subject: =?iso-8859-1?Q?OBM2000_-_D=FAvida?= Date: Wed, 14 Jun 2000 15:57:25 -0500 MIME-Version: 1.0 X-Mailer: Internet Mail Service (5.5.2650.21) Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id RAA21774 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Senhores, Observando a 14a questao da 5a/6a series, tive sim uma duvida de como explicar para meus alunos e meu filho. Perguntei a outro colega que tb teve duvidas na resolucao. Trabalhamos da seguinte forma: 1) Como são gêmeos duplos, triplos e quadruplos entendo que a quantidade buscada é um múltiplo de 2,3 e 4. Ateh eh facil de explicar; 2) a quantidade de filhos eh comum logo o MMC eh a melhor ferramente para encontrar o multiplo em que se encontram; (tudo bem.) 3) Agora, na resoluçao publicada informa-se que a qtd de gêmeos (entendo que a palavra certa seria qtd e nao #) eh igual. Pq???? Eis onde tudo gera confusao!!!!. Nao estou duvidando da questao mas o gabarito me pareceu conciso demais. Alguem pode dar-me uma luz??? Saldanha, foi vc quem elaborou a questao? Obrigado. PAM From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jun 14 18:17:51 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA21875 for obm-l-list; Wed, 14 Jun 2000 18:17:51 -0300 Received: from panther.unisys.com.br (panther.unisys.com.br [200.220.64.10]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA21871 for ; Wed, 14 Jun 2000 18:17:30 -0300 Received: from mparaujo ([200.220.22.95]) by panther.unisys.com.br (8.10.1/8.9.2) with SMTP id e5ELFlT19902 for ; Wed, 14 Jun 2000 18:15:47 -0300 (BDB) Message-ID: <000f01bfd646$e53d0720$5f16dcc8@mparaujo> From: "Marcos Paulo" To: References: <20000614185133.41312.qmail@hotmail.com> Subject: =?iso-8859-1?Q?Re:_teorema_do_bin=F4mio?= Date: Wed, 14 Jun 2000 18:24:15 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Este teorema é chamado TEOREMA DA COLUNA!!! assim que tiver mais tempo demnstro pra vc! []'s MP ----- Original Message ----- From: Marcelo Souza To: Sent: Wednesday, June 14, 2000 3:51 PM Subject: teorema do binômio > Olá > Olhei a resolução de um problema e não consegui entender uma coisa. A > resolução do problema deixa que > > (n+1) ( 2 ) ( 3 ) ( n ) > ( )= ( ) + ( ) + ... + ( ) > ( 3 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) > > Eu não entendi muito bem. Se for isso mesmo alguém poderia demontrar? > > Obrigado > Abraços > Marcelo > OBS: > ( n ) > ( )= n!/k!(n-k)! > ( k ) > > > ________________________________________________________________________ > Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com > > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jun 15 00:04:24 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id AAA23224 for obm-l-list; Thu, 15 Jun 2000 00:04:24 -0300 Received: from krjsw.carajasnet.com.br (krjsw.carajasnet.com.br [200.212.168.161]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id AAA23221 for ; Thu, 15 Jun 2000 00:04:08 -0300 Received: from mjsanto (arz15.carajasnet.com.br [200.212.168.184]) by krjsw.carajasnet.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id XAA29095 for ; Wed, 14 Jun 2000 23:01:48 -0300 Message-ID: <000201bfd676$b934e640$b8a8d4c8@mjsanto> From: "Marcos Eike Tinen dos Santos" To: References: Subject: =?iso-8859-1?Q?Re:_Quest=E3o_mal_elaborada!!?= Date: Wed, 14 Jun 2000 19:47:23 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Não... não precisa não!! Quando peguei para fazer, resolvi. Porém, não gostei muito da "jogada fora" de leite. é igual a essa questão: Dois volumes de enciclopédia de mesmo tamanho estão ordenados lado a lado em uma estante. A espessura de cada volume é de 4 cm, e as capas têm 0,3 cm. Uma traça começa a atravessar as enciclopédias em linha reta, indo da primeira página do volume 1 até a última do volume 2. Qual a distância percorrida pela traça? Ats, Marcos Eike From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jun 15 12:58:21 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA26161 for obm-l-list; Thu, 15 Jun 2000 12:58:21 -0300 Received: from krjsw.carajasnet.com.br (krjsw.carajasnet.com.br [200.212.168.161]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA26156 for ; Thu, 15 Jun 2000 12:58:09 -0300 Received: from mjsanto (arz13.carajasnet.com.br [200.212.168.182]) by krjsw.carajasnet.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id LAA00095 for ; Thu, 15 Jun 2000 11:55:56 -0300 Message-ID: <004001bfd6e2$d9ee76a0$b6a8d4c8@mjsanto> From: "Marcos Eike Tinen dos Santos" To: References: <000201bfd676$b934e640$b8a8d4c8@mjsanto> Subject: =?iso-8859-1?Q?Re:_Quest=E3o_mal_elaborada!!?= Date: Thu, 15 Jun 2000 13:00:36 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Vocês estão corretos.... Eu peguei o enunciado da questão no grupo de vestibular da uol.. E ela mencionava: A prefeitura de uma cidade troca garrafas vazias por leite. A cada 4 ela dá um litro de leite. Se você levar 43 garrafas, com quantos litros de leite você vai voltar? Ou seja, a pessoa que redigiu a questao no grupo, não teve a capacidade de redigí-la na sua inteira originalidade... O que provocou os erros de compreensão que mencionei. Ats, Marcos Eike ----- Original Message ----- From: Marcos Eike Tinen dos Santos To: Sent: Quarta-feira, 14 de Junho de 2000 19:47 Subject: Re: Questão mal elaborada!! > Não... não precisa não!! > Quando peguei para fazer, resolvi. Porém, não gostei muito da "jogada fora" > de leite. > > é igual a essa questão: > > Dois volumes de enciclopédia de mesmo tamanho estão ordenados lado a lado em > uma estante. A espessura de cada volume é de 4 cm, e as capas têm 0,3 cm. > Uma traça começa a atravessar as enciclopédias em linha reta, indo da > primeira > página do volume 1 até a última do volume 2. Qual a distância percorrida > pela traça? > > Ats, > Marcos Eike From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jun 15 19:36:10 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA29797 for obm-l-list; Thu, 15 Jun 2000 19:36:10 -0300 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.128]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA29794 for ; Thu, 15 Jun 2000 19:36:03 -0300 Received: from centroin.com.br (du122c.rjo.centroin.com.br [200.225.58.122]) by trex.centroin.com.br (8.10.1/8.10.1) with ESMTP id e5FMZVh19524 for ; Thu, 15 Jun 2000 19:35:31 -0300 (EST) Message-ID: <39495A86.DD8F4F4B@centroin.com.br> Date: Thu, 15 Jun 2000 19:36:54 -0300 From: Augusto Morgado X-Mailer: Mozilla 4.73 [en] (Win95; I) X-Accept-Language: en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: teorema do =?x-user-defined?Q?bin=F4mio?= References: <20000614185133.41312.qmail@hotmail.com> Content-Type: text/plain; charset=x-user-defined Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Marcelo Souza wrote: > > Olá > Olhei a resolução de um problema e não consegui entender uma coisa. A > resolução do problema deixa que > > (n+1) ( 2 ) ( 3 ) ( n ) > ( )= ( ) + ( ) + ... + ( ) > ( 3 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) > > Eu não entendi muito bem. Se for isso mesmo alguém poderia demontrar? > > Obrigado > Abraços > Marcelo > OBS: > ( n ) > ( )= n!/k!(n-k)! > ( k ) > > ________________________________________________________________________ > Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com Olhe o Teorema de Euler (ou teotema das colunas) no livro de Combinatória que tem aquela horrível capa rubro-negra, Análise Combinatória e Probabilidade, editado pela SBM. Morgado From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jun 15 23:33:16 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA30385 for obm-l-list; Thu, 15 Jun 2000 23:33:16 -0300 Received: from roma.samnet.com.br (samnet.com.br [200.241.109.126]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA30379 for ; Thu, 15 Jun 2000 23:33:01 -0300 Received: from samnet.com.br (ppp49-tc01.samnet.com.br [200.241.109.55]) by roma.samnet.com.br (8.9.3/8.8.7) with ESMTP id XAA05890 for ; Thu, 15 Jun 2000 23:33:18 -0300 Message-ID: <39499196.AD79336E@samnet.com.br> Date: Thu, 15 Jun 2000 23:31:51 -0300 From: Carlos Gomes X-Mailer: Mozilla 4.03 [pt] (Win95; I) MIME-Version: 1.0 To: "obm-l@mat.puc-rio.br" Subject: soluções inteiras Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Alô pessoal como estão todos, tudo ok? Gostaria que alguém me ajudasse com s seguinte questão que está no livro teoria elementar dos números do Edgar de Alencar, logo no primeiro capítulo: Achar todas as soluções inteiras e positivas da equação (x+1)(y+2)=2.x.y Um abraço a todos, Carlos A. Gomes 15.06.00 From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jun 15 23:33:16 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA30386 for obm-l-list; Thu, 15 Jun 2000 23:33:16 -0300 Received: from roma.samnet.com.br (samnet.com.br [200.241.109.126]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA30380 for ; Thu, 15 Jun 2000 23:33:02 -0300 Received: from samnet.com.br (ppp49-tc01.samnet.com.br [200.241.109.55]) by roma.samnet.com.br (8.9.3/8.8.7) with ESMTP id XAA05883 for ; Thu, 15 Jun 2000 23:33:14 -0300 Date: Thu, 15 Jun 2000 23:33:14 -0300 Message-Id: <200006160233.XAA05883@roma.samnet.com.br> From: Carlos Gomes Subject: soluções inteiras X-Spanska: Yes Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br begin 644 Happy99.exe M35I0``(````$``\`__\``+@`````````0``:```````````````````````` M``````````````````````$``+H0``X?M`G-(;@!3,TAD)!4:&ES('!R;V=R M86T@;75S="!B92!R=6X@=6YD97(@5VEN,S(-"B0W```````````````````` M```````````````````````````````````````````````````````````` M```````````````````````````````````````````````````````````` M```````````````````````````````````````````````````````````` M```````````````````````````````````````````````````````````` *```````````````` ` end From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jun 16 13:44:25 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA00495 for obm-l-list; Fri, 16 Jun 2000 13:44:25 -0300 Received: from copernicus.mpcnet.com.br (copernicus.mpcnet.com.br [200.246.29.18]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA00491 for ; Fri, 16 Jun 2000 13:44:15 -0300 Received: from alephzero (d2p185.mpcnet.com.br [200.246.30.187]) by copernicus.mpcnet.com.br (8.8.8/8.8.6) with SMTP id NAA14091 for ; Fri, 16 Jun 2000 13:43:49 -0300 (EST) Message-ID: <002a01bfd7b1$6aad78c0$bb1ef6c8@alephzero> From: "Mira" To: References: <39499196.AD79336E@samnet.com.br> Subject: =?iso-8859-1?Q?Re:_solu=E7=F5es_inteiras?= Date: Fri, 16 Jun 2000 13:39:17 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Cuidado Carlos, sua mensagem chegou por aqui com o Happy99.exe atachado! ----- Original Message ----- From: Carlos Gomes To: Sent: Thursday, June 15, 2000 11:31 PM Subject: soluções inteiras > Alô pessoal como estão todos, tudo ok? > > Gostaria que alguém me ajudasse com s seguinte questão que > está no livro teoria elementar dos números do Edgar de Alencar, logo no > primeiro capítulo: > > Achar todas as soluções inteiras e positivas da equação > (x+1)(y+2)=2.x.y > > Um abraço a todos, > > Carlos A. Gomes > 15.06.00 > > > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jun 16 14:02:53 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA00683 for obm-l-list; Fri, 16 Jun 2000 14:02:53 -0300 Received: from Fourier.visgraf.impa.br (external.visgraf.impa.br [147.65.1.2]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA00680 for ; Fri, 16 Jun 2000 14:02:46 -0300 Received: from visgraf.impa.br (ralph.visgraf.impa.br [147.65.6.181]) by Fourier.visgraf.impa.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA25517 for ; Fri, 16 Jun 2000 14:02:45 -0300 (EST) Message-ID: <394A5DB2.136519D8@visgraf.impa.br> Date: Fri, 16 Jun 2000 14:02:42 -0300 From: Ralph Costa Teixeira Organization: IMPA X-Mailer: Mozilla 4.73 [en] (Win95; U) X-Accept-Language: en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: =?iso-8859-1?Q?solu=E7=F5es?= inteiras References: <39499196.AD79336E@samnet.com.br> Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Carlos: você também está com o vírus Happy95 que o pessoal falou há pouco na lista. Limpe seu computador... Quanto à questão: (x+1)(y+2)=2xy xy+y+2x+2=2xy (abrindo tudo) xy-2x-y-2=0 (tudo dum lado só) (x-1)(y-2)=4 (fatore adicionando ou tirando um termo constante) Como x e y sao inteiros, há poucas possibilidades: x-1 = -4,-2,-1,1,2,4 (e y-2 = -1,-2,-4,4,2,1, respectivamente) Entao: (x,y) \in {(3,1),(-1,0),(0,-2),(2,6),(3,4),(5,3)} Essas sao as inteiras; as positivas sao os quatro pares que nao incluem o zero. Abraço, Ralph Carlos Gomes wrote: > > Alô pessoal como estão todos, tudo ok? > > Gostaria que alguém me ajudasse com s seguinte questão que > está no livro teoria elementar dos números do Edgar de Alencar, logo no > primeiro capítulo: > > Achar todas as soluções inteiras e positivas da equação > (x+1)(y+2)=2.x.y > > Um abraço a todos, > > Carlos A. Gomes > 15.06.00 From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jun 16 15:14:20 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA01447 for obm-l-list; Fri, 16 Jun 2000 15:14:20 -0300 Received: from digital.internetional.com.br (digital.internetional.com.br [200.241.232.48]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA01441 for ; Fri, 16 Jun 2000 15:14:07 -0300 Received: from default (dial155.internetional.com.br [200.242.135.155]) by digital.internetional.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id PAA23597 for ; Fri, 16 Jun 2000 15:29:54 GMT (envelope-from jmoraes@ih.com.br) Message-ID: <01d001bfd7be$a2011040$2e87f2c8@default> From: "Orlando Peixoto de Morais" To: Subject: Mensagem para o Marcos Eike Date: Fri, 16 Jun 2000 15:02:54 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_01B5_01BFD7A3.F2C374C0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MIMEOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_01B5_01BFD7A3.F2C374C0 Content-Type: text/plain; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Marcos, poderia me mandar a teoria de Fun=E7=E3o Gama de que falou = naquele e-mail?????? ------=_NextPart_000_01B5_01BFD7A3.F2C374C0 Content-Type: text/html; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Marcos, poderia me mandar a teoria de = Fun=E7=E3o Gama=20 de que falou naquele e-mail??????
------=_NextPart_000_01B5_01BFD7A3.F2C374C0-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jun 16 15:14:30 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA01452 for obm-l-list; Fri, 16 Jun 2000 15:14:30 -0300 Received: from digital.internetional.com.br (digital.internetional.com.br [200.241.232.48]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA01444 for ; Fri, 16 Jun 2000 15:14:11 -0300 Received: from default (dial155.internetional.com.br [200.242.135.155]) by digital.internetional.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id PAA23603 for ; Fri, 16 Jun 2000 15:29:56 GMT (envelope-from jmoraes@ih.com.br) Message-ID: <01d101bfd7be$a31ce080$2e87f2c8@default> From: "Orlando Peixoto de Morais" To: Subject: Resposta nebulosa Date: Fri, 16 Jun 2000 15:13:00 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_01CB_01BFD7A5.5C4A1D80" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MIMEOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_01CB_01BFD7A5.5C4A1D80 Content-Type: text/plain; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Eu estava tentando entender duas solu=E7=F5es da OBM, mas n=E3o = consegui. *Por que =E9 que, no problema dos g=EAmeos, 39 - 2(n=FAmero de = g=EAmeos)>0? Ele n=E3o poderia ter 39 filhos normais e 12 g=EAmeos? **No problema do engarrafamento, tenho duas d=FAvidas."Seja t o n=FAmero = de horas que devemos sair antes das 11h para chegar em Salvador ao = meio-dia e T o tempo passado, em horas, at=E9 entrarmos no = congestionamento. Assim, antes de chegar ao congestionamento andamos = 60(t + T) km" - por defini=E7=E3o, tal dist=E2ncia n=E3o deveria ser de = apenas 60T quil=F4metros?Al=E9m disso, gostaria que analisassem a minha = solu=E7=E3o para encontrar o erro: - No tempo "h" que o carro leva para encontrar o engarrafamento, ele = percorre 60hKm, e o engarrafamento, 4hKm. Como a soma das dist=E2ncias = percorridas ser=E1 de 45Km, teremos 64h =3D 45 =3D> =3D>h=3D45/64. Nesse tempo o engarrafamento ter=E1 percorrido = (45/64)*(4) Km, ou 45/16 Km. Portanto, o carro gastar=E1 (45/16)/6 horas = no engarrafamento, e, depois de ultrapass=E1-lo, gastar=E1 1/4 de hora = para chegar at=E9 Itacrimirim, obviamente. Portanto, o tempo total =E9 = de 45/64 +45/96 + 1/4 =3D (1 + 27/64)h.=20 Isso equivale a uma hora e (27/64)*60 minutos, ou 25.3125min , e = portanto o carro deveria sair =E0s 10h 34.6875min, ou 10h37min, = aproximadamente. No que errei??????????????????? Al=E9m disso, sobre o e-mail que mandei h=E1 algum tempo, o que quis = dizer =E9 que quero saber o ponto tal que a soma das dist=E2ncias aos = v=E9rtices de um dado tri=E2ngulo =E9 m=EDnima. Tamb=E9m gostaria de = saber como representar figuras em geometria anal=EDtica de tr=EAs = dimens=F5es, ou seja, vari=E1veis x,y,z. Por exemplo, se soubesse = representar um reta no espa=E7o (e n=E3o s=F3 no plano x,y) poderia = calcular o volume da pir=E2mide (tendo s=F3 as coordenadas dos pontos, e = sabendo que ela n=E3o =E9 is=F3sceles, ou seja ,n=E3o consigo calcular a = altura) de que falei.=20 * Ser=E1 que se pode conseguir material como a RPM na Internet, assim = como se faz com as Eurekas? Obrigado pela ajuda.=20 ------=_NextPart_000_01CB_01BFD7A5.5C4A1D80 Content-Type: text/html; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Eu estava tentando entender duas = solu=E7=F5es da OBM,=20 mas n=E3o consegui.
*Por que =E9 que, no problema dos = g=EAmeos, 39 -=20 2(n=FAmero de g=EAmeos)>0? Ele n=E3o poderia ter 39 filhos normais e = 12=20 g=EAmeos?
**No problema do engarrafamento, tenho = duas=20 d=FAvidas."Seja t o n=FAmero de horas que devemos sair antes das = 11h para=20 chegar em Salvador ao meio-dia e T o tempo passado, em horas, = at=E9=20 entrarmos no congestionamento. Assim, antes de chegar ao = congestionamento=20 andamos 60(t + T) km" - por = defini=E7=E3o, tal=20 dist=E2ncia n=E3o deveria ser de apenas 60T quil=F4metros?Al=E9m disso, = gostaria que=20 analisassem a minha solu=E7=E3o para encontrar o erro:
- No tempo "h" que o carro leva para = encontrar o=20 engarrafamento, ele percorre 60hKm, e o engarrafamento, 4hKm. Como a = soma das=20 dist=E2ncias percorridas ser=E1 de 45Km, teremos 64h =3D 45 = =3D>
=3D>h=3D45/64. Nesse tempo o = engarrafamento=20 ter=E1 percorrido (45/64)*(4) Km, ou 45/16 Km. Portanto, o carro = gastar=E1 (45/16)/6=20 horas no engarrafamento, e, depois de ultrapass=E1-lo, gastar=E1 1/4 de = hora para=20 chegar at=E9 Itacrimirim, obviamente. Portanto, o tempo total =E9 de = 45/64 +45/96 +=20 1/4 =3D (1 + 27/64)h.
Isso equivale a uma hora e (27/64)*60 = minutos, ou=20 25.3125min , e portanto o carro deveria sair =E0s 10h 34.6875min, ou = 10h37min,=20 aproximadamente. No que errei???????????????????
Al=E9m disso, sobre o e-mail que mandei = h=E1 algum=20 tempo, o que quis dizer =E9 que quero saber o ponto tal que a soma das = dist=E2ncias=20 aos v=E9rtices de um dado tri=E2ngulo =E9 m=EDnima. Tamb=E9m gostaria de = saber como=20 representar figuras em geometria anal=EDtica de tr=EAs dimens=F5es, ou = seja, vari=E1veis=20 x,y,z. Por exemplo, se soubesse representar um reta no espa=E7o (e n=E3o = s=F3 no plano=20 x,y) poderia calcular o volume da pir=E2mide (tendo s=F3 as coordenadas = dos pontos,=20 e sabendo que ela n=E3o =E9 is=F3sceles, ou seja ,n=E3o consigo calcular = a altura) de=20 que falei.
 
 
 
* Ser=E1 que se pode conseguir material = como a RPM na=20 Internet, assim como se faz com as Eurekas?
          &nbs= p;            = ;           =20 Obrigado pela ajuda.
------=_NextPart_000_01CB_01BFD7A5.5C4A1D80-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jun 16 16:31:12 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA02261 for obm-l-list; Fri, 16 Jun 2000 16:31:12 -0300 Received: from barra.domain.com.br (barra.domain.com.br [200.196.128.5]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA02256 for ; Fri, 16 Jun 2000 16:31:02 -0300 Received: from default (200.188.49.91) by barra.domain.com.br (NPlex 4.5.042) id 3947A0C00004E895 for obm-l@mat.puc-rio.br; Fri, 16 Jun 2000 16:34:14 -0300 From: "=?iso-8859-1?Q?Jos=E9_Paulo_Carneiro?=" To: Subject: =?iso-8859-1?Q?Re:_solu=E7=F5es_inteiras?= Date: Fri, 16 Jun 2000 16:33:43 -0300 Message-ID: <01bfd7c9$c7fb5980$LocalHost@default> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.71.1712.3 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.71.1712.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Aqui tambem! Mas eu nao abri. JP -----Mensagem original----- De: Mira Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sexta-feira, 16 de Junho de 2000 13:52 Assunto: Re: soluções inteiras >Cuidado Carlos, sua mensagem chegou por aqui com o Happy99.exe atachado! > >----- Original Message ----- >From: Carlos Gomes >To: >Sent: Thursday, June 15, 2000 11:31 PM >Subject: soluções inteiras > > >> Alô pessoal como estão todos, tudo ok? >> >> Gostaria que alguém me ajudasse com s seguinte questão que >> está no livro teoria elementar dos números do Edgar de Alencar, logo no >> primeiro capítulo: >> >> Achar todas as soluções inteiras e positivas da equação >> (x+1)(y+2)=2.x.y >> >> Um abraço a todos, >> >> Carlos A. Gomes >> 15.06.00 >> >> >> > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jun 16 23:43:31 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA03962 for obm-l-list; Fri, 16 Jun 2000 23:43:31 -0300 Received: from sinbad.adgrafix.com (sinbad.adgrafix.com [208.230.131.2]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA03959 for ; Fri, 16 Jun 2000 23:43:22 -0300 Received: from sucesso.com (b19093.dial-rjo.osite.com.br [200.196.82.93] (may be forged)) by sinbad.adgrafix.com (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA00031 for ; Fri, 16 Jun 2000 22:43:28 -0400 (EDT) Message-ID: <394AE4D5.383A153E@sucesso.com> Date: Fri, 16 Jun 2000 23:39:18 -0300 From: Luciano Castro X-Mailer: Mozilla 4.61 [en] (Win95; I) X-Accept-Language: en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: OBM2000 - =?iso-8859-1?Q?D=FAvida?= References: Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Paulo, Coloque todos os filhos do emir em uma sala. Retire da sala os gêmeos duplos. Sobram 39 certo? Agora chame os duplos de volta e retire os gêmeos triplos. Continuam 39 certo? Portanto o número de gêmeos triplos é igual ao de gêmeos duplos. Analogamente para os quádruplos. Um abraço, Luciano. "Bezerra, Paulo, A." wrote: > Senhores, > > Observando a 14a questao da 5a/6a series, tive sim uma duvida de como > explicar para meus alunos e meu filho. Perguntei a outro colega que tb teve > duvidas na resolucao. Trabalhamos da seguinte forma: > > 1) Como são gêmeos duplos, triplos e quadruplos entendo que a quantidade > buscada é um múltiplo de 2,3 e 4. Ateh eh facil de explicar; > > 2) a quantidade de filhos eh comum logo o MMC eh a melhor ferramente para > encontrar o multiplo em que se encontram; (tudo bem.) > > 3) Agora, na resoluçao publicada informa-se que a qtd de gêmeos (entendo que > a palavra certa seria qtd e nao #) eh igual. Pq???? > > Eis onde tudo gera confusao!!!!. Nao estou duvidando da questao mas o > gabarito me pareceu conciso demais. Alguem pode dar-me uma luz??? Saldanha, > foi vc quem elaborou a questao? > > Obrigado. > PAM From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jun 17 00:00:49 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id AAA04009 for obm-l-list; Sat, 17 Jun 2000 00:00:49 -0300 Received: from sinbad.adgrafix.com (sinbad.adgrafix.com [208.230.131.2]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id AAA04003 for ; Sat, 17 Jun 2000 00:00:39 -0300 Received: from sucesso.com (b19093.dial-rjo.osite.com.br [200.196.82.93] (may be forged)) by sinbad.adgrafix.com (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA05798 for ; Fri, 16 Jun 2000 23:00:47 -0400 (EDT) Message-ID: <394AE8E4.ED3DA0AE@sucesso.com> Date: Fri, 16 Jun 2000 23:56:37 -0300 From: Luciano Castro X-Mailer: Mozilla 4.61 [en] (Win95; I) X-Accept-Language: en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Resposta nebulosa References: <01d101bfd7be$a31ce080$2e87f2c8@default> Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Orlando, * Ele tem o mesmo número de filhos gêmeos duplos, gêmeos triplos e gêmeos quádruplos. Seja g este número, e n o número de filhos normais. Logo o total de filhos é 3g + n. Como todos exceto 39 são gêmeos duplos, temos 2g + n = 39, logo 39 - 2g = n > 0. ** T é o tempo passado, em horas, a partir das 11, até entrarmos no congestionamento. ** Na sua solução, observe que o carro parte antes das 11 e o engarrafamento só começa às 11. portanto o engarrafamento não percorre 4h Km, mas algo menos que isso. Um abraço, Luciano. Orlando Peixoto de Morais wrote: > Eu estava tentando entender duas soluções da OBM, mas não > consegui.*Por que é que, no problema dos gêmeos, 39 - 2(número de > gêmeos)>0? Ele não poderia ter 39 filhos normais e 12 gêmeos?**No > problema do engarrafamento, tenho duas dúvidas."Seja t o número de > horas que devemos sair antes das 11h para chegar em Salvador ao > meio-dia e T o tempo passado, em horas, até entrarmos no > congestionamento. Assim, antes de chegar ao congestionamento andamos > 60(t + T) km" - por definição, tal distância não deveria ser de apenas > 60T quilômetros?Além disso, gostaria que analisassem a minha solução > para encontrar o erro:- No tempo "h" que o carro leva para encontrar o > engarrafamento, ele percorre 60hKm, e o engarrafamento, 4hKm. Como a > soma das distâncias percorridas será de 45Km, teremos 64h = 45 > =>=>h=45/64. Nesse tempo o engarrafamento terá percorrido (45/64)*(4) > Km, ou 45/16 Km. Portanto, o carro gastará (45/16)/6 horas no > engarrafamento, e, depois de ultrapassá-lo, gastará 1/4 de hora para > chegar até Itacrimirim, obviamente. Portanto, o tempo total é de 45/64 > +45/96 + 1/4 = (1 + 27/64)h.Isso equivale a uma hora e (27/64)*60 > minutos, ou 25.3125min , e portanto o carro deveria sair às 10h > 34.6875min, ou 10h37min, aproximadamente. No que > errei???????????????????Além disso, sobre o e-mail que mandei há algum > tempo, o que quis dizer é que quero saber o ponto tal que a soma das > distâncias aos vértices de um dado triângulo é mínima. Também gostaria > de saber como representar figuras em geometria analítica de três > dimensões, ou seja, variáveis x,y,z. Por exemplo, se soubesse > representar um reta no espaço (e não só no plano x,y) poderia calcular > o volume da pirâmide (tendo só as coordenadas dos pontos, e sabendo > que ela não é isósceles, ou seja ,não consigo calcular a altura) de > que falei. * Será que se pode conseguir material como a RPM na > Internet, assim como se faz com as > Eurekas? Obrigado pela ajuda. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jun 17 16:06:22 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA05211 for obm-l-list; Sat, 17 Jun 2000 16:06:22 -0300 Received: from zipmx11.zipmail.com.br (zipmx11.zipmail.com.br [200.211.190.111]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA05208 for ; Sat, 17 Jun 2000 16:06:13 -0300 Received: by zipmx11.zipmail.com.br (Postfix, from userid 0) id 9178A14D9B; Sat, 17 Jun 2000 16:07:40 -0300 (EST) X-Originating-IP: [IP_TIMEOUT] X-Mailer: ZipMail Mailer2.0 in HTTPServer www.zipmail.com.br From: "RENE ALVES" To: Subject: URGENTE(LEIAM) Content-type: text/plain; charset="iso-8859-1" MIME-Version: 1.0 Message-Id: <20000617190740.9178A14D9B@zipmx11.zipmail.com.br> Date: Sat, 17 Jun 2000 16:07:40 -0300 (EST) Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from Quoted-Printable to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id QAA05209 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Meu nome é René Alves de Recife-PE estudo no contato sou do 2o ano e fiz a prova da obm e gostei, mas tenho uma critca em relação a questão 20, ou a impressão saio errada ou No meu modo de ver ela foi muito mal elaborada. a bandeirinha cinza perecia uma bandeira pontilhada e me prejudicou. quando a engrenagem rodar ela aparecera representada na resposta C com a bandeira invertida e não adianta tentar me convenser do contrario que ja estou convencendo todos aqui do contato. Essa questão tem duas interpretações e 2 respostas e me confundi por isso A BANDEIRA NÃO É CINZA É PONTILHADA. vocês sabem de matematica e concerteza verão o meu lado e saberão o que estou dizendo. _____________________________________________________________ http://www.zipmail.com.br O e-mail que vai aonde você está. _____________________________________________________________ From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jun 17 16:57:31 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA05395 for obm-l-list; Sat, 17 Jun 2000 16:57:31 -0300 Received: from digital.internetional.com.br (digital.internetional.com.br [200.241.232.48]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA05391 for ; Sat, 17 Jun 2000 16:57:21 -0300 Received: from default (dial95.internetional.com.br [200.242.135.95]) by digital.internetional.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id RAA78536 for ; Sat, 17 Jun 2000 17:13:24 GMT (envelope-from jmoraes@ih.com.br) Message-ID: <004901bfd896$383a44a0$5f87f2c8@default> From: "Jorge Peixoto de Morais Neto" To: Subject: IRC Date: Sat, 17 Jun 2000 16:20:08 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_003A_01BFD877.E7E95680" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_003A_01BFD877.E7E95680 Content-Type: text/plain; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Por que n=E3o criamos um canal de IRC como complemento a essa lista? = Assim poder=EDamos discutir em tempo real! ------=_NextPart_000_003A_01BFD877.E7E95680 Content-Type: text/html; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Por que n=E3o criamos um canal de IRC = como=20 complemento a essa lista? Assim poder=EDamos discutir em tempo=20 real!
------=_NextPart_000_003A_01BFD877.E7E95680-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jun 17 17:19:06 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA05452 for obm-l-list; Sat, 17 Jun 2000 17:19:06 -0300 Received: from hotmail.com (f113.law9.hotmail.com [64.4.9.113]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id RAA05448 for ; Sat, 17 Jun 2000 17:18:56 -0300 Received: (qmail 96323 invoked by uid 0); 17 Jun 2000 20:18:18 -0000 Message-ID: <20000617201818.96322.qmail@hotmail.com> Received: from 200.244.118.40 by www.hotmail.com with HTTP; Sat, 17 Jun 2000 13:18:18 PDT X-Originating-IP: [200.244.118.40] From: "Alexandre Gomes" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Alguns probleminhas Date: Sat, 17 Jun 2000 13:18:18 PDT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi! Aproveitando o momento olímpico mando alguns probleminhas para a garotada treinar para fases futuras, mais difíceis. Mas os marmanjos também podem se deliciar com as questões. 1) Determine todos os números N de três dígitos divisíveis por 11 e tais que N/11 é igual à soma dos quadrados dos dígitos de N. 2)Encontre o menor natural terminado em 6 tal que, se este algarismo for movido para a frente do número, o número fica multiplicado por 4. 3)Encontre todos os números naturais n tais que o produto de seus dígitos seja n^2-10n-22. 4)Seja P1(x)=x^2-2 e Pi+1=P1(Pi(x)) para i=1,2,3,... Mostre que as raízes de Pn(x)=x são números reais e distintos para todo n. 5)Numa sequência finita de números reais a soma de quaisquer sete termos sucessivos é negativa e a soma de onze quaisquer termos sucessivos é positiva. Determine o número máximo de termos na sequência. Depois eu mando alguns probleminhas geométricos. Aguardo respostas(mesmo porque, apesar de marmanjo, não consegui resolver todas ainda hehehehe!!!) OBS: Todas foram retiradas de olimpíadas de matemática de outros países. Um abraço para todos! Alexandre S. Gomes. ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jun 17 17:29:27 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA05521 for obm-l-list; Sat, 17 Jun 2000 17:29:27 -0300 Received: from krjsw.carajasnet.com.br (krjsw.carajasnet.com.br [200.212.168.161]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA05518 for ; Sat, 17 Jun 2000 17:29:16 -0300 Received: from mjsanto (arz5.carajasnet.com.br [200.212.168.174]) by krjsw.carajasnet.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id QAA17880 for ; Sat, 17 Jun 2000 16:27:35 -0300 Message-ID: <007601bfd89b$1a0aa920$aea8d4c8@mjsanto> From: "Marcos Eike Tinen dos Santos" To: References: <004901bfd896$383a44a0$5f87f2c8@default> Subject: Re: IRC Date: Sat, 17 Jun 2000 17:32:02 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Boa idéia... Seria bacana tirar dúvidas com os prof. do grupo.... :) E discutir assuntos interessantes. To nessa!!! Apoio fielmente. Ats, Marcos Eike ----- Original Message ----- From: Jorge Peixoto de Morais Neto To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sábado, 17 de Junho de 2000 16:20 Subject: IRC Por que não criamos um canal de IRC como complemento a essa lista? Assim poderíamos discutir em tempo real! From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jun 17 17:36:31 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA05609 for obm-l-list; Sat, 17 Jun 2000 17:36:31 -0300 Received: from jangada.fortalnet.com.br (jangada.fortalnet.com.br [200.253.251.32]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA05605 for ; Sat, 17 Jun 2000 17:36:20 -0300 Received: from fortalnet.com.br (VampireGirl_KeR_1_LoVe@ps5.S57.fortalnet.com.br [200.253.251.250]) by jangada.fortalnet.com.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA22116 for ; Sat, 17 Jun 2000 17:33:51 -0300 Message-ID: <394BE126.A45392F6@fortalnet.com.br> Date: Sat, 17 Jun 2000 17:35:50 -0300 From: Mariana Freitas X-Mailer: Mozilla 4.51 [pt] (Win98; I) X-Accept-Language: pt-BR MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: re: IRC References: <004901bfd896$383a44a0$5f87f2c8@default> Content-Type: multipart/alternative; boundary="------------03A6823C1829F79500627072" Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --------------03A6823C1829F79500627072 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Ou então no ICQ mesmo... Quando tivesse gente daqui on line, a gente abriria chat mesmo... talvez fosse melhor que canal de IRC. Mariana Jorge Peixoto de Morais Neto gravada: > Por que não criamos um canal de IRC como complemento a essa lista? > Assim poderíamos discutir em tempo real! --------------03A6823C1829F79500627072 Content-Type: text/html; charset=us-ascii Content-Transfer-Encoding: 7bit     Ou então no ICQ mesmo... Quando tivesse gente daqui on line, a gente abriria chat mesmo... talvez fosse melhor que canal de IRC.

    Mariana

Jorge Peixoto de Morais Neto gravada:

Por que não criamos um canal de IRC como complemento a essa lista? Assim poderíamos discutir em tempo real!
--------------03A6823C1829F79500627072-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jun 17 18:05:22 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA05882 for obm-l-list; Sat, 17 Jun 2000 18:05:22 -0300 Received: from hotmail.com (f34.law9.hotmail.com [64.4.9.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id SAA05874 for ; Sat, 17 Jun 2000 18:05:08 -0300 Received: (qmail 19197 invoked by uid 0); 17 Jun 2000 21:04:31 -0000 Message-ID: <20000617210431.19196.qmail@hotmail.com> Received: from 200.198.157.72 by www.hotmail.com with HTTP; Sat, 17 Jun 2000 14:04:31 PDT X-Originating-IP: [200.198.157.72] From: "Ecass Dodebel" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: teorema do binômio Date: Sat, 17 Jun 2000 21:04:31 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Seja (n,k) = n!/(k!(n-k)!) O teorema das colunas é o seguinte: 1. (n,0)+(n+1,1)+...+(n+k,k)=(n+k+1,k), ou similarmente 2. (n,n)+(n+1,n)+...+(n+k,n)=(n+k+1,n+1) Para provar é só usar a identidade (m,q)+(m,q+1)=(m+1,q+1). Faça que (n,0)=(n+1,0), daí (n,0)+(n+1,1)+(n+2,2)+(n+3,3)+...+(n+k,k) = (n+1,0)+(n+1,1)+(n+2,2)+(n+3,3)+...+(n+k,k) = ,aplique a identidade (n+2,1)+(n+2,2)+(n+3,3)+...+(n+k,k) = ,aplique a identidade (n+3,2)+(n+3,3)+...+(n+k,k) = ... até (n+k,k-1)+(n+k,k) = (n+k+1,k) Faça o mesmo processo na segunda afirmação do teorema... Era isso. Obrigado. Eduardo Casagrande Stabel >From: "Marcelo Souza" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: obm-l@mat.puc-rio.br >Subject: teorema do binômio >Date: Wed, 14 Jun 2000 18:51:32 GMT > >Olá > Olhei a resolução de um problema e não consegui entender uma coisa. A >resolução do problema deixa que > >(n+1) ( 2 ) ( 3 ) ( n ) >( )= ( ) + ( ) + ... + ( ) >( 3 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) > >Eu não entendi muito bem. Se for isso mesmo alguém poderia demontrar? > >Obrigado >Abraços >Marcelo >OBS: >( n ) >( )= n!/k!(n-k)! >( k ) > > >________________________________________________________________________ >Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com > ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jun 17 19:41:49 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA06218 for obm-l-list; Sat, 17 Jun 2000 19:41:49 -0300 Received: from srv1-pir.pir.zaz.com.br (srv1-pir.pir.nutecnet.com.br [200.231.47.1]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA06215 for ; Sat, 17 Jun 2000 19:41:42 -0300 Received: from jack (dl-rip-pir-C8D5742B.tl1.terra.com.br [200.213.116.43]) by srv1-pir.pir.zaz.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id TAA14871 for ; Sat, 17 Jun 2000 19:41:10 -0300 Message-ID: <003201bfd8ad$04109280$2b74d5c8@jack> From: "Jackson Graziano" To: =?iso-8859-1?Q?Lista_Matem=E1tica?= Subject: =?iso-8859-1?Q?Problema_-_Equa=E7=E3o_do_2o_Grau?= Date: Sat, 17 Jun 2000 19:40:17 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_002F_01BFD893.DD214340" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MIMEOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_002F_01BFD893.DD214340 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable A equa=E7=E3o ax^2 + bx + c =3D 0, com a diferente de zero e a, b, c, = pertencentes aos inteiros tem Delta =3D b^2 -4ac Prove que Delta n=E3o pode ser igual a 23 Pessoal... como resolvo esse problema?? A unica id=E9ia que tive =E9 = fatorar o Delta... como 23 =E9 primo, t=E1 provado... Valeu a todos, Jackson jackgraziano@ig.com.br ------=_NextPart_000_002F_01BFD893.DD214340 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
A equa=E7=E3o ax^2 + bx + c =3D 0, com = a diferente de=20 zero e a, b, c, pertencentes aos inteiros tem Delta =3D b^2 = -4ac
Prove que Delta n=E3o pode ser igual a=20 23
 
 
Pessoal... como resolvo esse problema?? = A unica=20 id=E9ia que tive =E9 fatorar o Delta... como 23 =E9 primo, t=E1 = provado...
 
Valeu a todos,
 
Jackson
jackgraziano@ig.com.br<= /DIV> ------=_NextPart_000_002F_01BFD893.DD214340-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jun 17 20:52:21 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA06461 for obm-l-list; Sat, 17 Jun 2000 20:52:21 -0300 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.128]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id UAA06458 for ; Sat, 17 Jun 2000 20:52:14 -0300 Received: from centroin.com.br (du124c.rjo.centroin.com.br [200.225.58.124]) by trex.centroin.com.br (8.10.1/8.10.1) with ESMTP id e5HNphh29019 for ; Sat, 17 Jun 2000 20:51:43 -0300 (EST) Message-ID: <394C0F3E.8CA7E612@centroin.com.br> Date: Sat, 17 Jun 2000 20:52:30 -0300 From: Augusto Morgado X-Mailer: Mozilla 4.73 [en] (Win95; I) X-Accept-Language: en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Problema - =?x-user-defined?Q?Equa=E7=E3o?= do 2o Grau References: <003201bfd8ad$04109280$2b74d5c8@jack> Content-Type: text/plain; charset=x-user-defined Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > Jackson Graziano wrote: > > A equação ax^2 + bx + c = 0, com a diferente de zero e a, b, c, > pertencentes aos inteiros tem Delta = b^2 -4ac > Prove que Delta não pode ser igual a 23 >   >   > Pessoal... como resolvo esse problema?? A unica idéia que tive é > fatorar o Delta... como 23 é primo, tá provado... >   > Valeu a todos, >   > Jackson > jackgraziano@ig.com.br Se delta e impar e como 4ac e par, o quadrado de b deve ser impar; isso acarreta b impar. Os impares sao da forma 2k+1, k inteiro. Os quadrados dos impares sao da forma 4k^2+4k+1; logo, os quadrados dos impares deixam resto 1 na divisão por 4. Como isso nao ocorre com 23... From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jun 17 21:53:02 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA06600 for obm-l-list; Sat, 17 Jun 2000 21:53:02 -0300 Received: from hotmail.com (f186.law9.hotmail.com [64.4.9.186]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id VAA06597 for ; Sat, 17 Jun 2000 21:52:52 -0300 Received: (qmail 4317 invoked by uid 0); 18 Jun 2000 00:52:17 -0000 Message-ID: <20000618005217.4316.qmail@hotmail.com> Received: from 200.198.157.72 by www.hotmail.com with HTTP; Sat, 17 Jun 2000 17:52:17 PDT X-Originating-IP: [200.198.157.72] From: "Ecass Dodebel" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Vestibular Date: Sun, 18 Jun 2000 00:52:17 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Ocá, O escore do vestibular da Ufrgs, aqui do Sul, é calculado como a média harmônica ponderada dos escores de cada disciplina e seus pesos. Sendo os escores das disciplinas calculados começando-se com 500 e acrescentendo-se 100 vezes o número de desvios padrões obtido pela candidato em cada prova. A pergunta que eu faço é boba: "o que me garante que a média harmônica ponderada é o meio mais justo de se calcular a 'nota' do candidado?". Dizem, às vezes, que se usa a média harmônica por que ela considera uma nota muito baixa, em uma disciplina, muito importante no cálculo da 'nota', quero dizer, por exemplo, que em: 10, 9, 11, 1, o escore 1 vai baixar muito a nota... sei lá, essa explicação não justifica o por quê da média harmônica, eu poderia usar uma média geométrica ou uma qualquer que invento. Era isso. Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jun 17 22:13:26 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA06676 for obm-l-list; Sat, 17 Jun 2000 22:13:26 -0300 Received: from ginsberg.uol.com.br ([200.231.206.26]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA06673 for ; Sat, 17 Jun 2000 22:13:18 -0300 Received: from oemcomputer (200-191-245-137-as.acessonet.com.br [200.191.245.137]) by ginsberg.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with SMTP id WAA11733 for ; Sat, 17 Jun 2000 22:12:50 -0300 (BRT) Message-ID: <003501bfd8c3$469119c0$89f5bfc8@oemcomputer> From: "Barbieri" To: References: <004901bfd896$383a44a0$5f87f2c8@default> Subject: Re: IRC Date: Sat, 17 Jun 2000 22:19:35 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0032_01BFD8AA.1EA47EC0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0032_01BFD8AA.1EA47EC0 Content-Type: text/plain; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable O que significa IRC? Carmen -----Mensagem Original-----=20 De: Jorge Peixoto de Morais Neto=20 Para: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Enviada em: S=E1bado, 17 de Junho de 2000 16:20 Assunto: IRC Por que n=E3o criamos um canal de IRC como complemento a essa lista? = Assim poder=EDamos discutir em tempo real! ------=_NextPart_000_0032_01BFD8AA.1EA47EC0 Content-Type: text/html; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
O que significa IRC?
 
Carmen
-----Mensagem Original-----
De: Jorge = Peixoto de=20 Morais Neto
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviada em: S=E1bado, 17 de = Junho de 2000=20 16:20
Assunto: IRC

Por que n=E3o criamos um canal de IRC = como=20 complemento a essa lista? Assim poder=EDamos discutir em tempo=20 real!
------=_NextPart_000_0032_01BFD8AA.1EA47EC0-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jun 18 14:08:46 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA07981 for obm-l-list; Sun, 18 Jun 2000 14:08:46 -0300 Received: from hotmail.com (f107.law3.hotmail.com [209.185.241.107]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id OAA07976 for ; Sun, 18 Jun 2000 14:08:34 -0300 Received: (qmail 87499 invoked by uid 0); 18 Jun 2000 17:07:42 -0000 Message-ID: <20000618170742.87498.qmail@hotmail.com> Received: from 200.216.0.35 by www.hotmail.com with HTTP; Sun, 18 Jun 2000 10:07:42 PDT X-Originating-IP: [200.216.0.35] From: "Marcelo Souza" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Divisibilidade Date: Sun, 18 Jun 2000 17:07:42 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá Gostaria que alguém demonstrasse as relações abaixo. São bem simples, mas gostaria de poder corrigir as demonstrações que fiz aqui, já que não há gabarito no meu livro. O exercício cita algumas relações e pede para que a pessoa prove, com demonstrações, se são verdadeiras ou falsas. Aí vão as relações: i) Se a|b, então (a+c)|(b+c). ii) Se a|b, então ac|bc. iii) Se a|b, então (-b)|(-a). iv) Se a|(b+c), então a|b ou a|c. Espero ansiosamente por respostas. Agradeço antes de mais nada Abraços Marcelo ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jun 18 19:23:32 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA08510 for obm-l-list; Sun, 18 Jun 2000 19:23:32 -0300 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.128]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA08507 for ; Sun, 18 Jun 2000 19:23:26 -0300 Received: from centroin.com.br (du68c.rjo.centroin.com.br [200.225.58.68]) by trex.centroin.com.br (8.10.1/8.10.1) with ESMTP id e5IMMth04656 for ; Sun, 18 Jun 2000 19:22:55 -0300 (EST) Message-ID: <394D4BF1.114D5D0D@centroin.com.br> Date: Sun, 18 Jun 2000 19:23:45 -0300 From: Augusto Morgado X-Mailer: Mozilla 4.73 [en] (Win95; I) X-Accept-Language: en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Divisibilidade References: <20000618170742.87498.qmail@hotmail.com> Content-Type: text/plain; charset=x-user-defined Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Marcelo Souza wrote: > > Olá > Gostaria que alguém demonstrasse as relações abaixo. São bem simples, > mas gostaria de poder corrigir as demonstrações que fiz aqui, já que não há > gabarito no meu livro. O exercício cita algumas relações e pede para que a > pessoa prove, com demonstrações, se são verdadeiras ou falsas. Aí vão as > relações: > i) Se a|b, então (a+c)|(b+c). > ii) Se a|b, então ac|bc. > iii) Se a|b, então (-b)|(-a). > iv) Se a|(b+c), então a|b ou a|c. > > Espero ansiosamente por respostas. > Agradeço antes de mais nada > Abraços > Marcelo > ________________________________________________________________________ > Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com i é falsa. Basta ver que 2 divide 8 mas 2+5 não divide 8+5. ii é verdadeira. Se a divide b, existe um inteiro k tal b=ka. Daí, bc=kac e ac divide bc. ii é falsa. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jun 18 19:25:36 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA08522 for obm-l-list; Sun, 18 Jun 2000 19:25:36 -0300 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.128]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA08519 for ; Sun, 18 Jun 2000 19:25:30 -0300 Received: from centroin.com.br (du68c.rjo.centroin.com.br [200.225.58.68]) by trex.centroin.com.br (8.10.1/8.10.1) with ESMTP id e5IMOxh06082 for ; Sun, 18 Jun 2000 19:24:59 -0300 (EST) Message-ID: <394D4C6D.73BCAB88@centroin.com.br> Date: Sun, 18 Jun 2000 19:25:49 -0300 From: Augusto Morgado X-Mailer: Mozilla 4.73 [en] (Win95; I) X-Accept-Language: en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Divisibilidade References: <20000618170742.87498.qmail@hotmail.com> Content-Type: text/plain; charset=x-user-defined Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Marcelo Souza wrote: > > Olá > Gostaria que alguém demonstrasse as relações abaixo. São bem simples, > mas gostaria de poder corrigir as demonstrações que fiz aqui, já que não há > gabarito no meu livro. O exercício cita algumas relações e pede para que a > pessoa prove, com demonstrações, se são verdadeiras ou falsas. Aí vão as > relações: > i) Se a|b, então (a+c)|(b+c). > ii) Se a|b, então ac|bc. > iii) Se a|b, então (-b)|(-a). > iv) Se a|(b+c), então a|b ou a|c. > > Espero ansiosamente por respostas. > Agradeço antes de mais nada > Abraços > Marcelo > ________________________________________________________________________ > Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com Continuação. iii é falsa. 2 divide 4 mas -4 não divide -2. iv é falsa. 2 divide 3+7, mas nem 2 divide 3 nem 2 divide 7. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jun 18 19:38:32 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA08601 for obm-l-list; Sun, 18 Jun 2000 19:38:32 -0300 Received: from hotmail.com (f200.law3.hotmail.com [209.185.241.200]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id TAA08598 for ; Sun, 18 Jun 2000 19:38:22 -0300 Received: (qmail 19707 invoked by uid 0); 18 Jun 2000 22:37:31 -0000 Message-ID: <20000618223731.19706.qmail@hotmail.com> Received: from 200.216.0.35 by www.hotmail.com with HTTP; Sun, 18 Jun 2000 15:37:31 PDT X-Originating-IP: [200.216.0.35] From: "Marcelo Souza" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Divisibilidade Date: Sun, 18 Jun 2000 22:37:31 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br As proposições falsas só podem ser demontradas com contra-exemplos? Fiz demonstrações gerais e gostaria de corrigí-las, se houvesse algum erro. >From: Augusto Morgado >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: obm-l@mat.puc-rio.br >Subject: Re: Divisibilidade >Date: Sun, 18 Jun 2000 19:23:45 -0300 > > > >Marcelo Souza wrote: > > > > Olá > > Gostaria que alguém demonstrasse as relações abaixo. São bem >simples, > > mas gostaria de poder corrigir as demonstrações que fiz aqui, já que não >há > > gabarito no meu livro. O exercício cita algumas relações e pede para que >a > > pessoa prove, com demonstrações, se são verdadeiras ou falsas. Aí vão as > > relações: > > i) Se a|b, então (a+c)|(b+c). > > ii) Se a|b, então ac|bc. > > iii) Se a|b, então (-b)|(-a). > > iv) Se a|(b+c), então a|b ou a|c. > > > > Espero ansiosamente por respostas. > > Agradeço antes de mais nada > > Abraços > > Marcelo > > ________________________________________________________________________ > > Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com >i é falsa. Basta ver que 2 divide 8 mas 2+5 não divide 8+5. >ii é verdadeira. Se a divide b, existe um inteiro k tal b=ka. Daí, >bc=kac e ac divide bc. >ii é falsa. ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jun 18 21:25:18 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA09074 for obm-l-list; Sun, 18 Jun 2000 21:25:18 -0300 Received: from Servmail.abeu.com.br (Servmail.abeu.com.br [200.255.31.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA09071 for ; Sun, 18 Jun 2000 21:25:10 -0300 Received: from edmilson ([200.244.145.92]) by Servmail.abeu.com.br (8.9.3/8.9.1) with SMTP id VAA13357 for ; Sun, 18 Jun 2000 21:25:37 -0300 Message-ID: <003301bfd984$e824cea0$5c91f4c8@abeunet.com.br> From: "Edmilson" To: References: <20000618170742.87498.qmail@hotmail.com> Subject: Re: Divisibilidade Date: Sun, 18 Jun 2000 21:25:38 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2919.6600 X-MIMEOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2919.6600 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caro marcelo, Somente a segunda afirmação é verdadeira, as demais são falsas. ii) Por definição, se a | b, então existe um inteiro m tal que b = a.m , daí com c inteiro, temos b.c = (a.m).c , ou seja, b .c = (a.c).m , como a.c é inteiro, então a.c | b.c. Para mostra que são inverídicas as outras afirmações exibiremos contra exemplos : i) 2 | 6 , mas 2 + 1 não divide 6 +1. iii) 2 | 6 , mas -6 não divide -2. iv) 2 | 3 + 5 , mas 2 não divide 3 e 2 não divide 5. Atenciosamente, Edmilson http://www.edmilsonaleixo.cjb.net edmilson@abeunet.com.br -----Mensagem Original----- De: "Marcelo Souza" Para: Enviada em: Domingo, 18 de Junho de 2000 14:07 Assunto: Divisibilidade > Olá > Gostaria que alguém demonstrasse as relações abaixo. São bem simples, > mas gostaria de poder corrigir as demonstrações que fiz aqui, já que não há > gabarito no meu livro. O exercício cita algumas relações e pede para que a > pessoa prove, com demonstrações, se são verdadeiras ou falsas. Aí vão as > relações: > i) Se a|b, então (a+c)|(b+c). > ii) Se a|b, então ac|bc. > iii) Se a|b, então (-b)|(-a). > iv) Se a|(b+c), então a|b ou a|c. > > Espero ansiosamente por respostas. > Agradeço antes de mais nada > Abraços > Marcelo > ________________________________________________________________________ > Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com > > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jun 19 01:54:50 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id BAA09599 for obm-l-list; Mon, 19 Jun 2000 01:54:50 -0300 Received: from CorpMail.zip.net (corpmail.zip.net [200.245.232.68]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id BAA09596 for ; Mon, 19 Jun 2000 01:54:43 -0300 Received: from brunofcl.internetcom (200.187.198.182) by CorpMail.zip.net (5.0.040) id 3944AAE8000E2C90 for obm-l@mat.puc-rio.br; Mon, 19 Jun 2000 01:56:32 -0300 Message-Id: <3.0.6.32.20000619014936.007bf100@pop-gw.zip.net> X-Sender: superbr@pop-gw.zip.net X-Mailer: QUALCOMM Windows Eudora Light Version 3.0.6 (32) Date: Mon, 19 Jun 2000 01:49:36 -0300 To: obm-l@mat.puc-rio.br From: Bruno Leite Subject: Dica In-Reply-To: <20000618005217.4316.qmail@hotmail.com> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="us-ascii" Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi pessoal Queria uma dicazinha de como eu posso provar que "existem infinitos n tal que 2n^2+2n+1 eh quadrado perfeito" Obrigado Bruno Leite From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jun 19 09:48:11 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA10498 for obm-l-list; Mon, 19 Jun 2000 09:48:11 -0300 Received: from sec.secrel.com.br (sec.secrel.com.br [200.194.96.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id JAA10495 for ; Mon, 19 Jun 2000 09:48:00 -0300 Received: (qmail 26662 invoked from network); 19 Jun 2000 09:45:42 -0000 Received: from unknown (HELO meucompu) (200.194.99.75) by sec.secrel.com.br with SMTP; 19 Jun 2000 09:45:42 -0000 Message-ID: <000901bfd9ec$b5d4e1c0$4b63c2c8@meucompu> From: "Filho" To: "=?iso-8859-1?Q?discuss=E3o_de_problemas?=" Subject: ajuda Date: Mon, 19 Jun 2000 09:48:45 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0006_01BFD9D3.8F48C120" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.2106.4 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.2106.4 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0006_01BFD9D3.8F48C120 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Qual =E9 a c=F4nica representada pela equa=E7=E3o x^2 + 4y^2 -4xy - 3x - = y - 1=3D0 ? obs: x^2 representa x elevado a 2 ------=_NextPart_000_0006_01BFD9D3.8F48C120 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Qual é a cônica representada pela=20 equação x^2 + 4y^2 -4xy - 3x - y - 1=3D0 ?
 
 
 
obs: x^2 representa x elevado a = 2
------=_NextPart_000_0006_01BFD9D3.8F48C120-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jun 19 14:36:50 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA12278 for obm-l-list; Mon, 19 Jun 2000 14:36:50 -0300 Received: from Euler.impa.br (euler.impa.br [147.65.1.3]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA12275 for ; Mon, 19 Jun 2000 14:36:40 -0300 Received: from Gauss.impa.br (Gauss [147.65.4.1]) by Euler.impa.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA29884 for ; Mon, 19 Jun 2000 14:36:35 -0300 (EST) From: Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira Received: by Gauss.impa.br (8.9.3) id OAA29494; Mon, 19 Jun 2000 14:36:33 -0300 (EST) Message-Id: <200006191736.OAA29494@Gauss.impa.br> Subject: Re: Dica To: obm-l@mat.puc-rio.br Date: Mon, 19 Jun 2000 14:36:33 -0300 (EST) In-Reply-To: <3.0.6.32.20000619014936.007bf100@pop-gw.zip.net> from "Bruno Leite" at Jun 19, 0 01:49:36 am X-Mailer: ELM [version 2.4 PL25] MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=US-ASCII Content-Transfer-Encoding: 7bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi,Bruno, Escreve assim:2n^2+2n+1=m^2 => 4n^2+4n+2=2m^2 => (2n+1)^2-2m^2=-1 . Basta entao provar que a equacao x^2-2y^2=-1 tem infinitas solucoes com x e y naturais, pois o x tera' que ser impar,ou seja,da forma 2n+1. O ultimo fato e' classico(equacoes de Pell,ver artigo do Caminha na Eureka 7),mas vamos prova'-lo rapidinho: x=1,y=1 e' solucao,e,se (x,y) e' solucao entao (3x+4y,3y+2x) tambem e' solucao,o que usado repetidamente nos gera (as) infinitas solucoes naturais. Abracos, Gugu > >Oi pessoal > >Queria uma dicazinha de como eu posso provar que "existem infinitos n tal >que 2n^2+2n+1 eh quadrado perfeito" > >Obrigado > >Bruno Leite > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jun 19 17:24:22 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA13248 for obm-l-list; Mon, 19 Jun 2000 17:24:22 -0300 Received: from barra.domain.com.br (barra.domain.com.br [200.196.128.5]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA13244 for ; Mon, 19 Jun 2000 17:24:10 -0300 Received: from default (200.188.49.177) by barra.domain.com.br (NPlex 4.5.042) id 3947A0C00008E1AE for obm-l@mat.puc-rio.br; Mon, 19 Jun 2000 17:27:14 -0300 From: "=?iso-8859-1?Q?Jos=E9_Paulo_Carneiro?=" To: Subject: Re: ajuda Date: Mon, 19 Jun 2000 17:07:00 -0300 Message-ID: <01bfda29$ed6b26c0$LocalHost@default> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_00C1_01BFDA10.C81DEEC0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.71.1712.3 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.71.1712.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_00C1_01BFDA10.C81DEEC0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Uma parabola. Observe que a eq. pode ser escrita: (x-2y)^2-3x-y-1=3D0. A reta x-2y=3D0 forma com o eixo X um angulo alfa tal que cos(alfa) =3D2/(raiz de 5) e sen(alfa)=3D1/(raiz de 5). Se voce fizer entao uma mudanca de variaveis (2x+y)/(raiz de 5)=3Du (-x+2y)/(raiz de 5)=3Dv (equivalente a uma rotacao de (-alfa) dos eixos em torno da origem), voce chegarah a uma equacao do tipo v =3D au^2 + bu + c, onde reconhecerah uma parabola, da qual voce poderah calcular foco, parametro, etc, JP -----Mensagem original----- De: Filho Para: discuss=E3o de problemas Data: Segunda-feira, 19 de Junho de 2000 09:52 Assunto: ajuda Qual =E9 a c=F4nica representada pela equa=E7=E3o x^2 + 4y^2 -4xy - 3x - = y - 1=3D0 ? =20 =20 =20 obs: x^2 representa x elevado a 2 ------=_NextPart_000_00C1_01BFDA10.C81DEEC0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Uma = parabola.
Observe que a eq. pode ser escrita:=20 (x-2y)^2-3x-y-1=3D0.
A reta=20 x-2y=3D0 forma com o eixo X um angulo alfa tal que
cos(alfa) =3D2/(raiz de 5)  e sen(alfa)=3D1/(raiz de = 5).
Se voce fizer entao uma mudanca de=20 variaveis 
(2x+y)/(raiz de = 5)=3Du 
(-x+2y)/(raiz de = 5)=3Dv 
(equivalente a uma rotacao de (-alfa) = dos eixos em=20 torno da origem), 
voce chegarah a uma equacao do tipo v = =3D au^2 + bu +=20 c, 
onde reconhecerah uma parabola, da qual = voce=20 poderah calcular 
foco, parametro, = etc, 
JP 
 
 
-----Mensagem = original-----
De:=20 Filho <plutao@secrel.com.br>
P= ara:=20 discussão de problemas <obm-rj@mat.puc-rio.br>
Data:=20 Segunda-feira, 19 de Junho de 2000 09:52
Assunto:=20 ajuda

Qual é a cônica representada pela=20 equação x^2 + 4y^2 -4xy - 3x - y - 1=3D0 ?
 
 
 
obs: x^2 representa x elevado a = 2
------=_NextPart_000_00C1_01BFDA10.C81DEEC0-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jun 19 21:10:32 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA14234 for obm-l-list; Mon, 19 Jun 2000 21:10:32 -0300 Received: from zeus.unincor.br (unincor.br [200.202.211.35]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA14231 for ; Mon, 19 Jun 2000 21:10:18 -0300 Received: from aronferr (ppp8.unincor.br [200.202.211.71]) by zeus.unincor.br (Vircom SMTPRS 4.2.181) with SMTP id for ; Mon, 19 Jun 2000 21:09:49 -0300 Message-ID: <000001bfda4b$edbc3480$47d3cac8@aronferr> From: "Aron Roberto Ferreira" To: Subject: Re: divisibilidade Date: Mon, 19 Jun 2000 15:48:02 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0040_01BFDA05.C0173020" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.3110.5 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.3110.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0040_01BFDA05.C0173020 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 Marcelo! Segue demonstra=E7=F5es para as rela=E7=F5es. Sejam p e q n=FAmeros inteiros quaisquer: =20 ( i ) Se a|b, ent=E3o a+c|b+c a|b <=3D> b =3D ap.(I) a+c|b+c <=3D> b+c =3D (a+c)q.(II) substituindo b e ( I ) em ( II ), vem=20 ap + c =3D (a+c).q ; aqui a+c|ap+c e n=E3o b+c,como quer=EDamos; = a rela=E7=E3o =E9 falsa. =20 ( ii ) Se a|b, ent=E3o ac|bc a|b <=3D> b =3D a.p. (I) ac|bc <=3D> bc =3D ac.q. (II) substituindo (I) em (II), vem apc =3D acq da=ED, p =3D q e de (II) bc =3D acp vemos que ac|bc, o que torna a = rela=E7=E3o verdadeira. =20 ( iii ) Se a|b, ent=E3o (-b)|(-a). a|b<=3D> b =3D ap(I) (-b)|(-a)<=3D> -a =3D -bq =3D> a =3D bq. (II) substituindo (II) em (I), vem b =3D bqp, a=ED pq =3D 1 e q inverso de p, como p =E9 inteiro, a = rela=E7=E3o torna-se falsa =20 ( iv ) Se a|b+c, ent=E3o a|b ou a|c a|b <=3D> b =3D ap. (I) a|c<=3D> c =3D aq. (II) somando (I) e (II), temos: b+c =3D ap +aq =3D> b+c =3D a(p+q), como p+q = =E9 inteiro, a|b+c, o que torna a rela=E7=E3o verdadeira. At=E9 breve, aron@unincor.br ------=_NextPart_000_0040_01BFDA05.C0173020 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Olá Marcelo!
    Segue=20 demonstrações para as relações.
Sejam p e = q=20 números inteiros quaisquer:
 
( i ) Se a|b, então = a+c|b+c
          &nbs= p;    =20 a|b <=3D> b =3D ap.(I)
       =20 a+c|b+c  <=3D> b+c =3D (a+c)q.(II)
substituindo b e ( I ) em ( II ), vem
        ap + c = =3D (a+c).q ;=20 aqui a+c|ap+c e não b+c,como queríamos; a = relação=20 é falsa.
 
( ii ) Se a|b, então ac|bc
          =20 a|b <=3D>  b =3D a.p. (I)
        ac|bc=20 <=3D>  bc =3D ac.q. (II)
substituindo = (I) em (II),=20 vem
        apc =3D=20 acq
daí, p = =3D q e de (II)=20 bc =3D acp vemos que ac|bc, o que torna a relação=20 verdadeira.
 
( iii ) Se a|b, então (-b)|(-a).
        a|b<=3D>  = b =3D=20 ap(I)
       =20 (-b)|(-a)<=3D>  -a =3D -bq =3D> a =3D bq. = (II)
substituindo = (II) em (I),=20 vem
    b =3D bqp,=20 aí pq =3D 1 e q inverso de p, como p é inteiro, a=20 relação torna-se falsa
 
( iv ) Se a|b+c, então a|b ou = a|c
        a|b = <=3D> b =3D=20 ap. (I)
        = a|c<=3D> =20 c =3D aq. (II)
somando (I) e (II), temos: b+c =3D ap +aq =3D> = b+c =3D a(p+q),=20 como p+q é inteiro, a|b+c, o que torna a relação=20 verdadeira.
 
Até breve,
aron@unincor.br
------=_NextPart_000_0040_01BFDA05.C0173020-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jun 19 23:47:33 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA14628 for obm-l-list; Mon, 19 Jun 2000 23:47:33 -0300 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.128]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA14625 for ; Mon, 19 Jun 2000 23:47:27 -0300 Received: from centroin.com.br (du145c.rjo.centroin.com.br [200.225.58.145]) by trex.centroin.com.br (8.10.1/8.10.1) with ESMTP id e5K2knh27035 for ; Mon, 19 Jun 2000 23:46:50 -0300 (EST) Message-ID: <394EDB52.F46AFBE@centroin.com.br> Date: Mon, 19 Jun 2000 23:47:46 -0300 From: Augusto Morgado X-Mailer: Mozilla 4.73 [en] (Win95; I) X-Accept-Language: en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Divisibilidade References: <20000618223731.19706.qmail@hotmail.com> Content-Type: text/plain; charset=x-user-defined Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Marcelo Souza wrote: > > As proposições falsas só podem ser demontradas com contra-exemplos? Fiz > demonstrações gerais e gostaria de corrigí-las, se houvesse algum erro. > > >From: Augusto Morgado > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > >To: obm-l@mat.puc-rio.br > >Subject: Re: Divisibilidade > >Date: Sun, 18 Jun 2000 19:23:45 -0300 > > > > > > > >Marcelo Souza wrote: > > > > > > Olá > > > Gostaria que alguém demonstrasse as relações abaixo. São bem > >simples, > > > mas gostaria de poder corrigir as demonstrações que fiz aqui, já que não > >há > > > gabarito no meu livro. O exercício cita algumas relações e pede para que > >a > > > pessoa prove, com demonstrações, se são verdadeiras ou falsas. Aí vão as > > > relações: > > > i) Se a|b, então (a+c)|(b+c). > > > ii) Se a|b, então ac|bc. > > > iii) Se a|b, então (-b)|(-a). > > > iv) Se a|(b+c), então a|b ou a|c. > > > > > > Espero ansiosamente por respostas. > > > Agradeço antes de mais nada > > > Abraços > > > Marcelo > > > ________________________________________________________________________ Marcelo: Muito raramente uma proposição que não é verdadeira é sempre falsa. Por exemplo, você está farto de saber que não é verdade que (a+b)^2=a^2+b^2. Mas isso não significa que se tenha sempre (a+b)^2 diferente de a^2+b^2. Se b for zero, por exemplo, eles são iguais. Por isso, os matemáticos preferem os contraexemplos para mostrar que certas proposições são falsas. Você pode fazer "literalmente", mas isso em geral só serve para complicar. Morgado From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Tue Jun 20 00:13:15 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id AAA14748 for obm-l-list; Tue, 20 Jun 2000 00:13:15 -0300 Received: from Servmail.abeu.com.br (Servmail.abeu.com.br [200.255.31.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id AAA14745 for ; Tue, 20 Jun 2000 00:13:07 -0300 Received: from edmilson ([200.244.145.83]) by Servmail.abeu.com.br (8.9.3/8.9.1) with SMTP id AAA15959 for ; Tue, 20 Jun 2000 00:14:00 -0300 Message-ID: <001d01bfda65$85c9a500$5391f4c8@abeunet.com.br> From: "Edmilson" To: References: <000001bfda4b$edbc3480$47d3cac8@aronferr> Subject: Re: divisibilidade Date: Tue, 20 Jun 2000 00:13:33 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_001A_01BFDA4C.5F46AC20" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2919.6600 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2919.6600 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_001A_01BFDA4C.5F46AC20 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Caro Aron, Acho que h=E1 um engano, o que voc=EA provou no item iv) =E9 que se a | = b e a | c, ent=E3o a | b+c , que =E9 diferente da afirma=E7=E3o de que = se a | b + c, ent=E3o a | b ou a | c, que =E9 falsa, pois 2 | 5 + 3, mas = 2 n=E3o divide 5 e nem 3 divide 5. Atenciosamente, Edmilson http://www.edmilsonaleixo.cjb.net edmilson@abeunet.com.br -----Mensagem Original-----=20 De: Aron Roberto Ferreira=20 Para: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Enviada em: Segunda-feira, 19 de Junho de 2000 15:48 Assunto: Re: divisibilidade Ol=E1 Marcelo! Segue demonstra=E7=F5es para as rela=E7=F5es. Sejam p e q n=FAmeros inteiros quaisquer: =20 ( i ) Se a|b, ent=E3o a+c|b+c a|b <=3D> b =3D ap.(I) a+c|b+c <=3D> b+c =3D (a+c)q.(II) substituindo b e ( I ) em ( II ), vem=20 ap + c =3D (a+c).q ; aqui a+c|ap+c e n=E3o b+c,como = quer=EDamos; a rela=E7=E3o =E9 falsa. =20 ( ii ) Se a|b, ent=E3o ac|bc a|b <=3D> b =3D a.p. (I) ac|bc <=3D> bc =3D ac.q. (II) substituindo (I) em (II), vem apc =3D acq da=ED, p =3D q e de (II) bc =3D acp vemos que ac|bc, o que torna a = rela=E7=E3o verdadeira. =20 ( iii ) Se a|b, ent=E3o (-b)|(-a). a|b<=3D> b =3D ap(I) (-b)|(-a)<=3D> -a =3D -bq =3D> a =3D bq. (II) substituindo (II) em (I), vem b =3D bqp, a=ED pq =3D 1 e q inverso de p, como p =E9 inteiro, a = rela=E7=E3o torna-se falsa =20 ( iv ) Se a|b+c, ent=E3o a|b ou a|c a|b <=3D> b =3D ap. (I) a|c<=3D> c =3D aq. (II) somando (I) e (II), temos: b+c =3D ap +aq =3D> b+c =3D a(p+q), como = p+q =E9 inteiro, a|b+c, o que torna a rela=E7=E3o verdadeira. At=E9 breve, aron@unincor.br ------=_NextPart_000_001A_01BFDA4C.5F46AC20 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Caro Aron,
 
Acho que h=E1 um engano, o que voc=EA provou no item = iv) =E9 que se=20 a | b  e  a | c, ent=E3o a | b+c , que =E9 = diferente da=20 afirma=E7=E3o de que se a | b + c, ent=E3o a | b ou a | = c, que =E9=20 falsa, pois 2 | 5 + 3, mas 2 n=E3o divide 5 e nem 3 divide = 5.
Atenciosamente,
Edmilson
http://www.edmilsonaleixo.cjb.= net
edmilson@abeunet.com.br
=
-----Mensagem Original-----
De: Aron Roberto = Ferreira=20
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviada em: Segunda-feira, 19 = de Junho de=20 2000 15:48
Assunto: Re: = divisibilidade

Ol=E1 Marcelo!
    Segue = demonstra=E7=F5es para as=20 rela=E7=F5es.
Sejam p e = q=20 n=FAmeros inteiros quaisquer:
 
( i ) Se a|b, ent=E3o = a+c|b+c
          &nbs= p;    =20 a|b <=3D> b =3D ap.(I)
       =20 a+c|b+c  <=3D> b+c =3D (a+c)q.(II)
substituindo b e ( I ) em ( II ), vem =
        ap + c = =3D (a+c).q=20 ; aqui a+c|ap+c e n=E3o b+c,como quer=EDamos; a rela=E7=E3o =E9 = falsa.
 
( ii ) Se a|b, ent=E3o ac|bc
          =20 a|b <=3D>  b =3D a.p. (I)
        ac|bc=20 <=3D>  bc =3D ac.q. (II)
substituindo = (I) em (II),=20 vem
        apc=20 =3D acq
da=ED, p =3D = q e de (II) bc =3D=20 acp vemos que ac|bc, o que torna a rela=E7=E3o = verdadeira.
 
( iii ) Se a|b, ent=E3o (-b)|(-a).
        = a|b<=3D>  b =3D=20 ap(I)
       =20 (-b)|(-a)<=3D>  -a =3D -bq =3D> a =3D bq. = (II)
substituindo = (II) em (I),=20 vem
    b =3D=20 bqp, a=ED pq =3D 1 e q inverso de p, como p =E9 inteiro, a rela=E7=E3o = torna-se=20 falsa
 
( iv ) Se a|b+c, ent=E3o a|b ou a|c
        a|b = <=3D> b =3D=20 ap. (I)
       =20 a|c<=3D>  c =3D aq. (II)
somando (I) e (II), temos: b+c =3D ap +aq =3D> = b+c =3D a(p+q),=20 como p+q =E9 inteiro, a|b+c, o que torna a rela=E7=E3o = verdadeira.
 
At=E9 breve,
aron@unincor.br
------=_NextPart_000_001A_01BFDA4C.5F46AC20-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Tue Jun 20 12:49:37 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA02074 for obm-l-list; Tue, 20 Jun 2000 12:49:37 -0300 Received: from mat.puc-rio.br (IDENT:root@feliz.mat.puc-rio.br [139.82.27.15]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA02071 for ; Tue, 20 Jun 2000 12:49:28 -0300 Received: from localhost (nicolau@localhost) by mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA01767 for ; Tue, 20 Jun 2000 12:49:28 -0300 Date: Tue, 20 Jun 2000 12:49:27 -0300 (BRT) From: "Nicolau C. Saldanha" X-Sender: nicolau@localhost.localdomain To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Divisibilidade In-Reply-To: <394EDB52.F46AFBE@centroin.com.br> Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id MAA02072 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Mon, 19 Jun 2000, Augusto Morgado wrote: > Marcelo Souza wrote: > > > > As proposições falsas só podem ser demontradas com contra-exemplos? Fiz > > demonstrações gerais e gostaria de corrigí-las, se houvesse algum erro. > > [omitindo material muito velho] > Marcelo: > Muito raramente uma proposição que não é verdadeira é sempre falsa. > Por exemplo, você está farto de saber que não é verdade que > (a+b)^2=a^2+b^2. Mas isso não significa que se tenha sempre (a+b)^2 > diferente de a^2+b^2. Se b for zero, por exemplo, eles são iguais. > Por isso, os matemáticos preferem os contraexemplos para mostrar que > certas proposições são falsas. > Você pode fazer "literalmente", mas isso em geral só serve para > complicar. > Morgado > Tudo o que o Morgado diz é corretíssimo. Gostaria só de complementar que existem algumas situações complicadas nas quais é mais fácil demonstrar que certa propriedade não vale sempre do que exibir um contra-exemplo. O melhor exemplo que me ocorre agora é o de número normal. Um número real é n-normal se, examinando sua expansão na base n após a vírgula, a proporção de cada algarismo for a mesma (no limite). Um número é dito normal se for normal em qualquer base inteira n, n > 1. Não é difícil demonstrar que existem números normais (na verdade, quase todo número real é normal). É provável que a maioria dos irracionais que você conhece, como Pi, e, sqrt(2), sejam normais mas ninguém sabe demonstrar nada disso (tanto quanto eu saiba). Aliás, não se conhece até hoje nenhum exemplo razoavelmente simples de número normal. []s, N. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Tue Jun 20 15:36:37 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA03332 for obm-l-list; Tue, 20 Jun 2000 15:36:37 -0300 Received: from hotmail.com (f32.law9.hotmail.com [64.4.9.32]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id PAA03317 for ; Tue, 20 Jun 2000 15:36:06 -0300 Received: (qmail 6319 invoked by uid 0); 20 Jun 2000 18:35:21 -0000 Message-ID: <20000620183521.6317.qmail@hotmail.com> Received: from 200.198.157.94 by www.hotmail.com with HTTP; Tue, 20 Jun 2000 11:35:21 PDT X-Originating-IP: [200.198.157.94] From: "Ecass Dodebel" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Algoritmo para permutar Date: Tue, 20 Jun 2000 18:35:21 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá! 100 = <4020> = 4*4! + 0*3! + 2*2! + 0*1! E também 4! = <1000> 6! = <100000> 4!-1 = <321> De modo geral, eu defino: = a[n]*n! + a[n-1]*(n-1)! + ... + a[1]*1!, sendo 0<=a[i]<=i Cada número só pode ser representado de um modo. Para quem se interessa por algoritmos, eu inventei um para achar rapidamente todas as permutações de n elementos, vejam: São dados n elementos, vou simplificar por {1,2,...,n}. Existem n! permutações desses elementos. A k-ésima permutação é feita da seguinte maneira: Algoritmo. tomamos = k. (achar os a[i] é fácil, similar a achar 1, 3 e 5 em 135) Nós temos n espaços vazios onde vamos colocando os elementos que queremos permutar. Começamos da esquerda para direita, a primeira casa é o primeiro espaço em branco, e contamos a[k] espaços em branco para a direita, é onde colocamos o elemento k+1 (o 1 é posto no espaço que sobrar). Sendo que devemos colocar os elementos na ordem n,(n-1),...,1. Exemplo. Para n=4, queremos descobrir a 15a. permutação k = 15 = 2*6+1*2+1*1 = <211>, daí usamos o algaritmo e vamos preenchendo os espaços em branco. XX4X ( 2 espaços em branco a partir do primeiro ) X34X ( 1 espaço em branco a partir do primeiro ) X342 ( 1 espaço em branco a partir do primeiro ) 1342, e essa é a 15a. permutação Se variarmos k de 0 até 23, teremos todas as permutações possíveis, calculadas de um jeito bem rápido (com o auxílio de um computador). Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. Obs. a ordem das permutações eu inventei ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Tue Jun 20 15:41:49 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA03453 for obm-l-list; Tue, 20 Jun 2000 15:41:49 -0300 Received: from hotmail.com (f255.law9.hotmail.com [64.4.8.130]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id PAA03442 for ; Tue, 20 Jun 2000 15:41:23 -0300 Received: (qmail 12249 invoked by uid 0); 20 Jun 2000 18:40:35 -0000 Message-ID: <20000620184035.12248.qmail@hotmail.com> Received: from 200.198.157.94 by www.hotmail.com with HTTP; Tue, 20 Jun 2000 11:40:35 PDT X-Originating-IP: [200.198.157.94] From: "Ecass Dodebel" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Questão Date: Tue, 20 Jun 2000 18:40:35 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá, novamente! Queria propor este problema para a lista. Seja F[n] o conjunto de todas as bijeções f de {1,...,n} em {1,...,n} satisfazendo: i. f(k) <= k+1 para k=1,2,...,n ii. f(k) <> k para k=2,...,n Determine a probabilidade de que f(1)<>1 para um f arbitrário em F[n] Valeu! Eduardo Casagrande Stabel. obs. <= menor ou igual ; <> diferente ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jun 22 10:31:00 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA04351 for obm-l-list; Thu, 22 Jun 2000 10:31:00 -0300 Received: from sec.secrel.com.br (sec.secrel.com.br [200.194.96.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id KAA04348 for ; Thu, 22 Jun 2000 10:30:52 -0300 Received: (qmail 3401 invoked from network); 22 Jun 2000 10:28:41 -0000 Received: from unknown (HELO meucompu) (200.194.97.97) by sec.secrel.com.br with SMTP; 22 Jun 2000 10:28:41 -0000 Message-ID: <000f01bfdc4e$355fe4e0$6161c2c8@meucompu> From: "Filho" To: "=?iso-8859-1?Q?discuss=E3o_de_problemas?=" Subject: Teorema de Murphy? Date: Thu, 22 Jun 2000 10:31:42 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_000C_01BFDC35.0EDB6560" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.2106.4 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.2106.4 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_000C_01BFDC35.0EDB6560 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Colegas da lista: voc=EAs j=E1 ouviram falar no teorema de Murphy? Um = aluno disse que conhecia uma t=E9cnica que ajudava a resolver provas de = m=FAltipla escolha, com ind=EDce de acerto bom. Eu particularmente = desconhe=E7o. Aguardo coment=E1rios. ------=_NextPart_000_000C_01BFDC35.0EDB6560 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Colegas da lista: vocês = já ouviram=20 falar no teorema de Murphy? Um aluno disse que conhecia uma = técnica que=20 ajudava a resolver provas de múltipla escolha, com indíce = de=20 acerto bom. Eu particularmente desconheço. Aguardo=20 comentários.
------=_NextPart_000_000C_01BFDC35.0EDB6560-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jun 22 10:51:11 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA04400 for obm-l-list; Thu, 22 Jun 2000 10:51:11 -0300 Received: from sec.secrel.com.br (sec.secrel.com.br [200.194.96.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id KAA04396 for ; Thu, 22 Jun 2000 10:51:03 -0300 Received: (qmail 7744 invoked from network); 22 Jun 2000 10:48:49 -0000 Received: from unknown (HELO meucompu) (200.194.99.141) by sec.secrel.com.br with SMTP; 22 Jun 2000 10:48:49 -0000 Message-ID: <000901bfdc51$05491300$8d63c2c8@meucompu> From: "Filho" To: "=?iso-8859-1?Q?discuss=E3o_de_problemas?=" Subject: =?iso-8859-1?B?YWp1ZGEtZmF0b3Jh5+Nv?= Date: Thu, 22 Jun 2000 10:51:50 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0006_01BFDC37.DEAC2980" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.2106.4 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.2106.4 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0006_01BFDC37.DEAC2980 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable =C9 poss=EDvel fatorar a express=E3o? 2a^2b^2 + 2a^2c^2 + 2b^2c^2 - a^4 = - b^4 - c^4 obs: n^2 (significa:n elevado a 2) ------=_NextPart_000_0006_01BFDC37.DEAC2980 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
É possível fatorar a expressão? = 2a^2b^2 +=20 2a^2c^2 + 2b^2c^2 - a^4 - b^4 - c^4
 
 
 
obs: n^2 (significa:n elevado a = 2)
------=_NextPart_000_0006_01BFDC37.DEAC2980-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jun 22 18:07:36 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA05730 for obm-l-list; Thu, 22 Jun 2000 18:07:36 -0300 Received: from hotmail.com (f29.law9.hotmail.com [64.4.9.29]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id SAA05725 for ; Thu, 22 Jun 2000 18:07:20 -0300 Received: (qmail 32153 invoked by uid 0); 22 Jun 2000 21:06:46 -0000 Message-ID: <20000622210646.32152.qmail@hotmail.com> Received: from 200.198.157.88 by www.hotmail.com with HTTP; Thu, 22 Jun 2000 14:06:46 PDT X-Originating-IP: [200.198.157.88] From: "Ecass Dodebel" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Questão Date: Thu, 22 Jun 2000 21:06:46 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >From: "Ecass Dodebel" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: obm-l@mat.puc-rio.br >Subject: Questão >Date: Tue, 20 Jun 2000 18:40:35 GMT > > >Olá, novamente! > >Queria propor este problema para a lista. > >Seja F[n] o conjunto de todas as bijeções f de {1,...,n} em {1,...,n} >satisfazendo: >i. f(k) <= k+1 para k=1,2,...,n >ii. f(k) <> k para k=2,...,n >Determine a probabilidade de que f(1)<>1 para um f arbitrário em F[n] > > >Valeu! > >Eduardo Casagrande Stabel. > >obs. <= menor ou igual ; <> diferente >________________________________________________________________________ >Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com > Já que ninguém respondeu à minha mensagem, respondo eu. Eu achei a resposta para essa questão em termos dos números de Fibonacci. Será que eu fiz de modo certo? E eles aceitam a resposta nesses termos? Eu tentei achar o número de funções de F[n] e chamei I[n] o conjunto das funções em F[n] onde f(1)=1. Daí tentei calcular 1 - #I[n]/#F[n] Para #F[n] encontrei o n-ésimo número de Fibonacci, e para #I[n] encontrei o (n-2)-ésimo número de Fibonacci ( considerei o -2 e o -1 ésimos números de Fibonacci como 1 e 0, isso segundo a recursão ). Obrigado aos que leram! obs. os números de Fibonacci são {1,1,2,3,5,8,13,21,...} onde cada termo é a soma dos dois imediatamente anteriores. Existe uma expressão para o n-ésimo número de Fibonnaci, é a seguinte: Sejam x1 e x2 a maior e menor raízes x de x^2 = x + 1, então o n-ésimo número de Fibonacci é dado por: ([x1]^n - [x2]^n)/([x1] - [x2]) ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jun 22 22:10:32 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA06246 for obm-l-list; Thu, 22 Jun 2000 22:10:32 -0300 Received: from hotmail.com (f7.law9.hotmail.com [64.4.9.7]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id WAA06243 for ; Thu, 22 Jun 2000 22:10:24 -0300 Received: (qmail 73609 invoked by uid 0); 23 Jun 2000 01:09:42 -0000 Message-ID: <20000623010942.73608.qmail@hotmail.com> Received: from 200.198.157.88 by www.hotmail.com with HTTP; Thu, 22 Jun 2000 18:09:42 PDT X-Originating-IP: [200.198.157.88] From: "Ecass Dodebel" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: ajuda-fatoração Date: Fri, 23 Jun 2000 01:09:42 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >From: "Filho" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: "discussão de problemas" >Subject: ajuda-fatoração >Date: Thu, 22 Jun 2000 10:51:50 -0300 > >É possível fatorar a expressão? 2a^2b^2 + 2a^2c^2 + 2b^2c^2 - a^4 - b^4 - >c^4 > > > >obs: n^2 (significa:n elevado a 2) Segundo o "Maple V": >factor(-a^4+2*a^2*b^2+2*a^2*c^2-b^4+2*b^2*c^2-c^4); -(a + b - c) (b + a + c) (a - b + c) (a - b - c) > Um outro jeito de ver é: -[(a+b)^2 - c^2][(a-b)^2 - c^2] Perdõem-me se digo besteira, mas eu acho que não há muito mérito em saber fatorar "no braço" uma coisa dessas. Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jun 23 00:15:07 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id AAA06488 for obm-l-list; Fri, 23 Jun 2000 00:15:07 -0300 Received: from roma.samnet.com.br (samnet.com.br [200.241.109.126]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id AAA06485 for ; Fri, 23 Jun 2000 00:14:57 -0300 Received: from samnet.com.br (ppp2-tc01.samnet.com.br [200.241.109.8]) by roma.samnet.com.br (8.9.3/8.8.7) with ESMTP id AAA14910 for ; Fri, 23 Jun 2000 00:09:16 -0300 Message-ID: <3952D317.3A064975@samnet.com.br> Date: Fri, 23 Jun 2000 00:01:44 -0300 From: Carlos Gomes X-Mailer: Mozilla 4.03 [pt] (Win95; I) MIME-Version: 1.0 To: "obm-l@mat.puc-rio.br" Subject: área máxima? Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Alô caros amigos, tudo ok? No livro Matemática do ensino médio vol01 do Elon tem uma questão bem conhecida mas também bem interessante (boa ilustração para aula) na parte de funções quadráticas: A questão é a seguinte: Num triângulo retângulo de catetos 60cm e 80cm inscreve-se um retângulo de modo que os seus lados repousem sobre os catetos. Determine a área máxima desse retângulo (o que é bem fácil). Depois ainda na mesma questão ele faz a mesma pergunta (qual a área máxima) quando o retângulo possui um dos seus lados repousando sobre a hipotenusa (lá no livro são dadas as duas figuras). Essa segunda pergunta também resolvemos sem dificuldades!. Então qual é o problema? O problema é a terceira pergunta: Discuta se a restrição de um lado está sobre o contorno do triângulo é realmente necessária para maximizar a área do retângulo? Como faço isso? Muito grato pela atenção de todos, Um abraço, Carlos A. Gomes 23.06.00 From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jun 23 00:23:20 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id AAA06514 for obm-l-list; Fri, 23 Jun 2000 00:23:20 -0300 Received: from libnet.com.br (belem.libnet.com.br [200.242.252.66]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id AAA06510 for ; Fri, 23 Jun 2000 00:23:12 -0300 Received: from mauricip (r52.libnet.com.br [200.242.252.242]) by libnet.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id AAA09855 for ; Fri, 23 Jun 2000 00:31:17 -0300 Message-ID: <002201bfdcc2$f47c0d80$61a4fea9@mauricip> From: "Mauricio Paiva" To: "Lista OBM" Subject: sen 18 e sen 54 Date: Fri, 23 Jun 2000 00:27:23 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br pessoal, eu tava aqui com uma duvida. Ha varias questoes envolvendo esses arcos. Por exemplo : "demonstre que: sen (pi/10) - sen (3pi/10) = -1/2 " ou "mostre que: sen18.cos36 = 1 " um monte mesmo, que dao umas solucoes bonitas qdo se resolve do jeito como o elaborador espera ser resolvida, ou seja, por trigonometria, mexendo, transformando etc... mas por geometria, tanto eh q jah discutimos isso aqui na lista, vimos que sen18= [sqrt(5) - 1]/4 e sen54= [sqrt(5) + 1]/4. Numa prova da obm (ou ateh mesmo ita e ime), pode cair alguma coisa a respeito disso. E se o aluno simplesmente jogar esses valores? a questao simplesmente perde a graca... esta certo o aluno jogar esses valores? ou ele pelo menos teria q demonstrar de onde vem esses valores? gostaria de saber a opiniao dos colegas daqui sobre esse assunto. obrigado ---------------------------------- Maurício Paiva mpaiva@bigfoot.com ---------------------------------- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jun 23 07:37:55 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id HAA07253 for obm-l-list; Fri, 23 Jun 2000 07:37:55 -0300 Received: from mat.puc-rio.br (IDENT:root@sucuri.mat.puc-rio.br [139.82.27.7]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id HAA07250 for ; Fri, 23 Jun 2000 07:37:49 -0300 Received: from localhost (nicolau@localhost) by mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id HAA17191 for ; Fri, 23 Jun 2000 07:37:48 -0300 Date: Fri, 23 Jun 2000 07:37:48 -0300 (BRT) From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@matinta.mat.puc-rio.br Subject: Re: =?iso-8859-1?B?YWp1ZGEtZmF0b3Jh5+Nv?= In-Reply-To: <000901bfdc51$05491300$8d63c2c8@meucompu> Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id HAA07251 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Thu, 22 Jun 2000, Filho wrote: > É possível fatorar a expressão? 2a^2b^2 + 2a^2c^2 + 2b^2c^2 - a^4 - b^4 - c^4 (a + b + c) (a + b - c) (a + c - b) (b + c - a) From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jun 23 07:56:41 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id HAA07306 for obm-l-list; Fri, 23 Jun 2000 07:56:41 -0300 Received: from mat.puc-rio.br (IDENT:root@sucuri.mat.puc-rio.br [139.82.27.7]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id HAA07303 for ; Fri, 23 Jun 2000 07:56:35 -0300 Received: from localhost (nicolau@localhost) by mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id HAA17206 for ; Fri, 23 Jun 2000 07:56:35 -0300 Date: Fri, 23 Jun 2000 07:56:35 -0300 (BRT) From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: =?iso-8859-1?Q?Re=3A_Quest=E3o?= In-Reply-To: <20000622210646.32152.qmail@hotmail.com> Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id HAA07304 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Thu, 22 Jun 2000, Ecass Dodebel wrote: > >Olá, novamente! > > > >Queria propor este problema para a lista. > > > >Seja F[n] o conjunto de todas as bijeções f de {1,...,n} em {1,...,n} > >satisfazendo: > >i. f(k) <= k+1 para k=1,2,...,n > >ii. f(k) <> k para k=2,...,n > >Determine a probabilidade de que f(1)<>1 para um f arbitrário em F[n] > > > > > >Valeu! > > > >Eduardo Casagrande Stabel. > > Já que ninguém respondeu à minha mensagem, respondo eu. Eu achei a resposta > para essa questão em termos dos números de Fibonacci. Será que eu fiz de > modo certo? E eles aceitam a resposta nesses termos? > > Eu tentei achar o número de funções de F[n] e chamei I[n] o conjunto das > funções em F[n] onde f(1)=1. Daí tentei calcular > > 1 - #I[n]/#F[n] > > Para #F[n] encontrei o n-ésimo número de Fibonacci, e para #I[n] encontrei o > (n-2)-ésimo número de Fibonacci ( considerei o -2 e o -1 ésimos números de > Fibonacci como 1 e 0, isso segundo a recursão ). > > Obrigado aos que leram! > > obs. os números de Fibonacci são {1,1,2,3,5,8,13,21,...} onde cada termo é a > soma dos dois imediatamente anteriores. Existe uma expressão para o n-ésimo > número de Fibonnaci, é a seguinte: > Sejam x1 e x2 a maior e menor raízes x de x^2 = x + 1, então o n-ésimo > número de Fibonacci é dado por: > > ([x1]^n - [x2]^n)/([x1] - [x2]) Na verdade, eu achei o problema muito legal, pensei nele e cheguei ao mesmo resultado. Não cheguei a escrever para a lista por pregiça de escrever a demonstração (que você também não escreveu). Minha única observação é que eu prefiro indexar Fibonacci por a_0 = 0, a_1 = 1, a_2 = 1, a_3 = 2, a_4 = 3,... Com isso temos as seguintes propriedades, que o leitor incansável poderá tentar demonstrar: a_{-n} = (-1)^(n+1) a_n m | n => a_m | a_n (onde m | n significa m é divisor de n) a_(mdc(m,n)) = mdc(a_m,a_n) a_(2n) = a_n(a_(n+1) + a_(n-1)) a_(2n+1) = a_n^2 + a_(n+1)^2 e, se [0 1] A = [ ] [1 1] então [a_(n-1) a_n ] A^n = [ ] [a_n a_(n+1)] A sua indexação de Fib, entretanto, também é usada por muita gente. O Morgado e eu uma vez discordamos sobre qual a indexação mais usual e fizemos uma rápida pesquisa de verificar em vários livros; deu aproximadamente empate. []s, N. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jun 23 08:12:07 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id IAA07396 for obm-l-list; Fri, 23 Jun 2000 08:12:07 -0300 Received: from ls02.esquadro.com.br (ls02.esquadro.com.br [200.214.4.1]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id IAA07393 for ; Fri, 23 Jun 2000 08:12:00 -0300 From: alexv@esquadro.com.br Received: from localhost (ls01.esquadro.com.br [200.214.4.3]) by ls02.esquadro.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id IAA13244 for ; Fri, 23 Jun 2000 08:21:32 -0300 Message-Id: <200006231121.IAA13244@ls02.esquadro.com.br> Subject: Re: sen 18 e sen 54 Content-transfer-encoding: 8bit To: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Content-type: text/plain Mime-version: 1.0 X-Sender-ip: 8c4fa210 Date: Fri, 23 Jun 2000 08:16 +0000 X-mailer: Netbula AnyEMail(TM) 4.51 ae_esquadro_br_p_10000 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi Gente (Oi eu aki traveis!!) Particularmente, eu acho que no caso de um vestibular (inclua-se aí todos os militares, inclusive IME e ITA) a solução usando valores é válida, apesar de eu achar que isso é gastar neurônio de graça? Agora, em se tratando de uma Olimpíada (qualquer que seja) eu acho que deve (ou deveria) haver restrições, ou seja, só resultados bem conhecidos devem ser aceitos. Acho isso até mesmo pelo motivo maior de uma olimpíada, que não é apenas resolver questões ou mostrar quem é mais 'rápido', mas sim fomentar o estudo da matemática (e descobrir talentos...), e aplicar valores está longe disso. Mas que as vezes dá vontade, ahhh... isso dá!! []'s e saudações Alexandre Vellasquez > pessoal, eu tava aqui com uma duvida. Ha varias questoes envolvendo >esses >arcos. Por exemplo : >"demonstre que: >sen (pi/10) - sen (3pi/10) = -1/2 " >ou "mostre que: sen18.cos36 = 1 " >um monte mesmo, que dao umas solucoes bonitas qdo se resolve do jeito como o >elaborador espera ser resolvida, ou seja, por trigonometria, mexendo, >transformando etc... mas por geometria, tanto eh q jah discutimos isso aqui >na lista, vimos que sen18= [sqrt(5) - 1]/4 e sen54= [sqrt(5) + 1]/4. Numa >prova da obm (ou ateh mesmo ita e ime), pode cair alguma coisa a respeito >disso. E se o aluno simplesmente jogar esses valores? a questao >simplesmente perde a graca... esta certo o aluno jogar esses valores? ou ele >pelo menos teria q demonstrar de onde vem esses valores? gostaria de saber a >opiniao dos colegas daqui sobre esse assunto. >obrigado > >---------------------------------- >Maurício Paiva >mpaiva@bigfoot.com >---------------------------------- > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jun 23 19:51:40 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA09580 for obm-l-list; Fri, 23 Jun 2000 19:51:40 -0300 Received: from Fourier.visgraf.impa.br (external.visgraf.impa.br [147.65.1.2]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA09577 for ; Fri, 23 Jun 2000 19:51:31 -0300 Received: from visgraf.impa.br (ralph.visgraf.impa.br [147.65.6.181]) by Fourier.visgraf.impa.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA02280 for ; Fri, 23 Jun 2000 19:51:26 -0300 (EST) Message-ID: <3953E9E9.C92EB1CF@visgraf.impa.br> Date: Fri, 23 Jun 2000 19:51:21 -0300 From: Ralph Costa Teixeira Organization: IMPA X-Mailer: Mozilla 4.73 [en] (Win95; U) X-Accept-Language: en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: sen 18 e sen 54 References: <002201bfdcc2$f47c0d80$61a4fea9@mauricip> Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi, Mauricio. Engraçado voce levantar exatamente esta questão... Eu lembro que numa das Olimpiadas Estaduais que eu fiz aqui no Rio (eu devia estar no 1o ano do segundo grau), havia uma questão que era calcular o lado do decagono regular em funcao do raio (ou, se nao era isso, esta era uma parte fundamental do problema). Oras, a gente até tinha feito isso em sala de aula numa das aulas de geometria (desenhando a figura e achando uma semelhanca de triangulos), mas na hora da prova eu não lembrava da dita cuja. Eu tentei, tentei, e não conseguia de jeito nenhum refazer a tal demonstração ou achar uma parecida. Mas usando trigonometria básica, era fácil ver que o lado é Rsin(18)... E de alguma maneira naquele dia eu lembrava o valor do tal seno de 18, então eu tasquei o bicho lá e resolvi a questão. Que eu me lembre, a resposta foi aceita. Como efeito colateral, eu nunca mais esqueci o seno de 18 graus -- este neurônio está perdido para sempre com uma informação quase inútil. :) :) :) Isso dito, eu concordo com o Nicolau: não acho que um fato obscuro desses deva ser considerado "conhecido" pelos alunos. Questões de olimpíada não devem (deviam) requerer este tipo de conhecimento. Se aparecer uma questão que o aluno saiba resolver usando um resultado assim, acho que o aluno deveria demonstrá-lo ou pelo menos dar um esboço de como demonstrar tal resultado. Mas, puxa, se não tiver outro jeito, faltar tempo e você souber aquele Teorema de Fulkinhauser que você aprendeu no seu intercâmbio na Moldônia e que você quer usar, use-o (dê o nome se houver) e deixe a banca decidir. :) :) :) Abraço, Ralph Mauricio Paiva wrote: > > pessoal, eu tava aqui com uma duvida. Ha varias questoes envolvendo > esses > arcos. Por exemplo : > "demonstre que: > sen (pi/10) - sen (3pi/10) = -1/2 " > ou "mostre que: sen18.cos36 = 1 " > um monte mesmo, que dao umas solucoes bonitas qdo se resolve do jeito como o > elaborador espera ser resolvida, ou seja, por trigonometria, mexendo, > transformando etc... mas por geometria, tanto eh q jah discutimos isso aqui > na lista, vimos que sen18= [sqrt(5) - 1]/4 e sen54= [sqrt(5) + 1]/4. Numa > prova da obm (ou ateh mesmo ita e ime), pode cair alguma coisa a respeito > disso. E se o aluno simplesmente jogar esses valores? a questao > simplesmente perde a graca... esta certo o aluno jogar esses valores? ou ele > pelo menos teria q demonstrar de onde vem esses valores? gostaria de saber a > opiniao dos colegas daqui sobre esse assunto. > obrigado From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jun 23 23:13:16 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA09989 for obm-l-list; Fri, 23 Jun 2000 23:13:16 -0300 Received: from hotmail.com (f149.law9.hotmail.com [64.4.9.149]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id XAA09986 for ; Fri, 23 Jun 2000 23:13:08 -0300 Received: (qmail 17640 invoked by uid 0); 24 Jun 2000 02:12:34 -0000 Message-ID: <20000624021234.17639.qmail@hotmail.com> Received: from 200.198.157.117 by www.hotmail.com with HTTP; Fri, 23 Jun 2000 19:12:34 PDT X-Originating-IP: [200.198.157.117] From: "Ecass Dodebel" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Nicolau Date: Sat, 24 Jun 2000 02:12:34 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Nicolau, em que endereço da internet posso procurar aqueles seus dois livros: um sobre teoria dos números, e o outro, acho, sobre teoria dos jogos? Obrigado! ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jun 24 07:20:45 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id HAA10621 for obm-l-list; Sat, 24 Jun 2000 07:20:45 -0300 Received: from mat.puc-rio.br (IDENT:root@sucuri.mat.puc-rio.br [139.82.27.7]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id HAA10618 for ; Sat, 24 Jun 2000 07:20:38 -0300 Received: from localhost (nicolau@localhost) by mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id HAA18712 for ; Sat, 24 Jun 2000 07:20:38 -0300 Date: Sat, 24 Jun 2000 07:20:38 -0300 (BRT) From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Nicolau In-Reply-To: <20000624021234.17639.qmail@hotmail.com> Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id HAA10619 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Sat, 24 Jun 2000, Ecass Dodebel wrote: > > Nicolau, > em que endereço da internet posso procurar aqueles seus dois livros: um > sobre teoria dos números, e o outro, acho, sobre teoria dos jogos? > > Obrigado! > ________________________________________________________________________ > Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com > Meu livro de teoria dos números deve ser o de primos de Mersenne, escrito junto com o Gugu. Está em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/papers/mersenne para ler no browser (html), http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/papers/mersenne.tar.gz para as fontes (TeX) e http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/papers/mersenne.ps.gz para a versão PostScript (para imprimir ou ler com GhostView). O de jogos está em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/papers/jogos.tar.gz http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/papers/jogos.ps.gz Não existe versão html do livro de jogos. Outra alternativa é escrever para o IMPA e encomendar os livros em papel. []s, N. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jun 25 02:09:55 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id CAA11821 for obm-l-list; Sun, 25 Jun 2000 02:09:55 -0300 Received: from hotmail.com (f82.law9.hotmail.com [64.4.9.82]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id CAA11818 for ; Sun, 25 Jun 2000 02:09:42 -0300 Received: (qmail 28931 invoked by uid 0); 25 Jun 2000 05:09:07 -0000 Message-ID: <20000625050907.28930.qmail@hotmail.com> Received: from 200.198.157.73 by www.hotmail.com with HTTP; Sat, 24 Jun 2000 22:09:07 PDT X-Originating-IP: [200.198.157.73] From: "Ecass Dodebel" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Questão Date: Sun, 25 Jun 2000 05:09:07 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >From: "Nicolau C. Saldanha" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: obm-l@mat.puc-rio.br >Subject: Re: Questão >Date: Fri, 23 Jun 2000 07:56:35 -0300 (BRT) [...] > >Minha única observação é que eu prefiro indexar Fibonacci por >a_0 = 0, a_1 = 1, a_2 = 1, a_3 = 2, a_4 = 3,... >Com isso temos as seguintes propriedades, que o leitor incansável >poderá tentar demonstrar: > >a_{-n} = (-1)^(n+1) a_n >m | n => a_m | a_n (onde m | n significa m é divisor de n) >a_(mdc(m,n)) = mdc(a_m,a_n) >a_(2n) = a_n(a_(n+1) + a_(n-1)) >a_(2n+1) = a_n^2 + a_(n+1)^2 > >e, se > > [0 1] >A = [ ] > [1 1] > >então > > [a_(n-1) a_n ] >A^n = [ ] > [a_n a_(n+1)] > [...] > >[]s, N. > A última fórmula para A^n se prova facilmente por indução. O que quero acrescentar é que A^(2n) = A^n * A^n (multiplicando essas duas últimas matrizes) = [ a_(n-1)^2+a_n^2 a_n(a_(n-1)+a_(n+2)] [ ] [ a_n(a_(n-1)+a_(n+2) a_n^2+a_(n+1)^2 ] Donde vem facilmente que a_(2n) = a_n(a_(n+1) + a_(n-1)) a_(2n+1) = a_n^2 + a_(n+1)^2 Pela fórmula do A^(2n) Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jun 25 20:59:40 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA13118 for obm-l-list; Sun, 25 Jun 2000 20:59:40 -0300 Received: from sec.secrel.com.br (sec.secrel.com.br [200.194.96.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id UAA13115 for ; Sun, 25 Jun 2000 20:59:33 -0300 Received: (qmail 9284 invoked from network); 25 Jun 2000 20:57:29 -0000 Received: from unknown (HELO meucompu) (200.239.99.119) by sec.secrel.com.br with SMTP; 25 Jun 2000 20:57:29 -0000 Message-ID: <006e01bfdf01$8ac6a9e0$7763efc8@meucompu> From: "Filho" To: "=?iso-8859-1?Q?discuss=E3o_de_problemas?=" Subject: Diofantina Date: Sun, 25 Jun 2000 21:00:24 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0069_01BFDEE8.61C5DFC0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.2106.4 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.2106.4 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0069_01BFDEE8.61C5DFC0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable 1- Prove que a equa=E7=E3o x^5+y^2=3Dz^3 possui infinitas solu=E7=F5es = inteiras positivas. =20 Observa=E7=F5es:=20 a^b: significa (a) elevado a (b) ------=_NextPart_000_0069_01BFDEE8.61C5DFC0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
1- Prove que a equação = x^5+y^2=3Dz^3=20 possui infinitas soluções inteiras positivas.
 
Observações: =
a^b: significa (a) elevado a = (b)
 
------=_NextPart_000_0069_01BFDEE8.61C5DFC0-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Tue Jun 27 14:17:52 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA21889 for obm-l-list; Tue, 27 Jun 2000 14:17:52 -0300 Received: from smtp-3.ig.com.br (smtp-3.ig.com.br [200.225.157.62]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id OAA21886 for ; Tue, 27 Jun 2000 14:17:42 -0300 Received: (qmail 23464 invoked from network); 27 Jun 2000 17:19:24 -0000 Received: from dial475-tnt-1.domain.com.br (HELO ig.com.br) (200.196.132.221) by smtp-3.ig.com.br with SMTP; 27 Jun 2000 17:19:24 -0000 Message-ID: <3958E2C6.A68B7CC4@ig.com.br> Date: Tue, 27 Jun 2000 14:22:14 -0300 From: Eduardo Quintas da Silva X-Mailer: Mozilla 4.03 [pt] (Win95; I) MIME-Version: 1.0 To: "obm-l@mat.puc-rio.br" Subject: Teorema de Stevin Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Gostaria de saber como é o chamado Teorema de Stevin...(o enunciado) como demonstrá-lo... e se existe algum problema que seria de preparação para o teorema. Obrigado. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Tue Jun 27 21:02:56 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA23655 for obm-l-list; Tue, 27 Jun 2000 21:02:56 -0300 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.128]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA23652 for ; Tue, 27 Jun 2000 21:02:48 -0300 Received: from centroin.com.br (du62c.rjo.centroin.com.br [200.225.58.62]) by trex.centroin.com.br (8.10.1/8.10.1) with ESMTP id e5S02Gh25824 for ; Tue, 27 Jun 2000 21:02:17 -0300 (EST) Message-ID: <395940E2.53EDA0FD@centroin.com.br> Date: Tue, 27 Jun 2000 21:03:46 -0300 From: Augusto Morgado X-Mailer: Mozilla 4.73 [en] (Win95; I) X-Accept-Language: en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Teorema de Stevin References: <3958E2C6.A68B7CC4@ig.com.br> Content-Type: text/plain; charset=x-user-defined Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Eduardo Quintas da Silva wrote: > > Gostaria de saber como é o chamado Teorema de Stevin...(o enunciado) > como demonstrá-lo... e se existe algum problema que seria de preparação > para o teorema. > Obrigado. Pelo que sei, o que comumente se chama de Teorema de Stevin é a fórmula que dá o valor do produto(x+a)(x+b)...(x+l). É fácil fazer as contas e ver que dá x^n+S1x^n-1+S2x^n-2+...+Sn onde n é a quantidade de fatores, S1 é a soma a+b+...+l, S2 é a soma dos produtos dois a dois dos números a, b,..., l, ou seja, ab+ac+...+kl, etc. Morgado From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Tue Jun 27 22:32:13 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA23952 for obm-l-list; Tue, 27 Jun 2000 22:32:13 -0300 Received: from sec.secrel.com.br (sec.secrel.com.br [200.194.96.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id WAA23949 for ; Tue, 27 Jun 2000 22:32:04 -0300 Received: (qmail 6739 invoked from network); 27 Jun 2000 22:29:25 -0000 Received: from unknown (HELO meucompu) (200.194.101.103) by sec.secrel.com.br with SMTP; 27 Jun 2000 22:29:25 -0000 Message-ID: <000b01bfe0a0$cd004780$6765c2c8@meucompu> From: "Filho" To: "=?iso-8859-1?Q?discuss=E3o_de_problemas?=" Subject: ajuda Date: Tue, 27 Jun 2000 22:33:00 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0008_01BFE087.A67426E0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.2106.4 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.2106.4 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0008_01BFE087.A67426E0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Seja A1A2A3...An um pol=EDgono regular convexo inscrito no c=EDrculo de = raio unit=E1rio. Provar que: (A1A2).(A1A3).(A1A4)...(A1An)=3Dn Observa=E7=E3o: (A1An): representa a medida do segmento de extremidades A1 e A2 ------=_NextPart_000_0008_01BFE087.A67426E0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Seja A1A2A3...An um polígono = regular=20 convexo inscrito no círculo de raio unitário. Provar=20 que:
(A1A2).(A1A3).(A1A4)...(A1An)=3Dn
 
 
Observação:
(A1An): representa a medida do segmento de = extremidades A1 e=20 A2
------=_NextPart_000_0008_01BFE087.A67426E0-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jun 28 01:47:27 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id BAA24334 for obm-l-list; Wed, 28 Jun 2000 01:47:27 -0300 Received: from mail.bridge.com.br (bridge3.bridge.com.br [200.244.126.37]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id BAA24330; Wed, 28 Jun 2000 01:47:18 -0300 Received: from andre (unverified [200.244.126.98]) by mail.bridge.com.br (Vircom SMTPRS 4.1.180) with SMTP id ; Wed, 28 Jun 2000 01:44:46 -0300 Message-ID: <003301bfe0bc$fef1dbc0$627ef4c8@andre> From: =?iso-8859-1?Q?Andr=E9_Amiune?= To: , =?iso-8859-1?Q?discuss=E3o_de_problemas?= References: <006e01bfdf01$8ac6a9e0$7763efc8@meucompu> Subject: Re: Diofantina Date: Wed, 28 Jun 2000 01:54:51 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0030_01BFE0A3.D8DB3940" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0030_01BFE0A3.D8DB3940 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Repare que (x,y,z) =3D (2^4 . k^6 , 2^10 . k^15 , 2^7 . k^10) , com k = inteiro, =E9 sempre solu=E7=E3o da equa=E7=E3o. Se vc quiser envio depois a minha solu=E7=E3o... Andr=E9 C. Amiune =20 ----- Original Message -----=20 From: Filho=20 To: discuss=E3o de problemas=20 Sent: Sunday, June 25, 2000 9:00 PM Subject: Diofantina 1- Prove que a equa=E7=E3o x^5+y^2=3Dz^3 possui infinitas solu=E7=F5es = inteiras positivas. =20 Observa=E7=F5es:=20 a^b: significa (a) elevado a (b) ------=_NextPart_000_0030_01BFE0A3.D8DB3940 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Repare que (x,y,z) =3D (2^4 . = k^6 , 2^10 .=20 k^15 , 2^7 . k^10)  , com k inteiro,  =E9 sempre = solu=E7=E3o da=20 equa=E7=E3o.
Se vc quiser envio depois a minha=20 solu=E7=E3o...
 
Andr=E9 C. Amiune 
----- Original Message -----
From:=20 Filho=20
To: discuss=E3o de=20 problemas
Sent: Sunday, June 25, 2000 = 9:00 PM
Subject: Diofantina

1- Prove que a equa=E7=E3o = x^5+y^2=3Dz^3 possui=20 infinitas solu=E7=F5es inteiras positivas.
 
Observa=E7=F5es:
a^b: significa (a) elevado a = (b)
 
------=_NextPart_000_0030_01BFE0A3.D8DB3940-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jun 28 09:12:08 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA24939 for obm-l-list; Wed, 28 Jun 2000 09:12:08 -0300 Received: from barra.domain.com.br (barra.domain.com.br [200.196.128.5]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id JAA24927 for ; Wed, 28 Jun 2000 09:10:59 -0300 Received: from default (200.188.49.162) by barra.domain.com.br (NPlex 4.5.042) id 3947A0C00016FECE for obm-l@mat.puc-rio.br; Wed, 28 Jun 2000 06:59:16 -0300 From: "=?iso-8859-1?Q?Jos=E9_Paulo_Carneiro?=" To: Subject: Re: ajuda Date: Wed, 28 Jun 2000 06:57:52 -0300 Message-ID: <01bfe0e7$52f94bc0$a231bcc8@default> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0029_01BFE0CE.2DAC13C0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.71.1712.3 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.71.1712.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0029_01BFE0CE.2DAC13C0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Este problema estah resolvido por numeros complexos, no meu livro Resolucao de Equacoes Algebricas. Jose Paulo -----Mensagem original----- De: Filho Para: discuss=E3o de problemas Data: Ter=E7a-feira, 27 de Junho de 2000 22:36 Assunto: ajuda Seja A1A2A3...An um pol=EDgono regular convexo inscrito no c=EDrculo de = raio unit=E1rio. Provar que: (A1A2).(A1A3).(A1A4)...(A1An)=3Dn =20 =20 Observa=E7=E3o: (A1An): representa a medida do segmento de extremidades A1 e A2 ------=_NextPart_000_0029_01BFE0CE.2DAC13C0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Este problema estah = resolvido por=20 numeros complexos,
no meu=20 livro Resolucao de Equacoes Algebricas.
Jose Paulo 
 
-----Mensagem = original-----
De:=20 Filho <plutao@secrel.com.br>
P= ara:=20 discussão de problemas <obm-rj@mat.puc-rio.br>
Data:=20 Terça-feira, 27 de Junho de 2000 22:36
Assunto:=20 ajuda

Seja A1A2A3...An um polígono = regular=20 convexo inscrito no círculo de raio unitário. Provar=20 que:
(A1A2).(A1A3).(A1A4)...(A1An)=3Dn
 
 
Observação:
(A1An): representa a medida do segmento de = extremidades A1 e=20 A2
------=_NextPart_000_0029_01BFE0CE.2DAC13C0-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jun 28 10:52:32 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA25681 for obm-l-list; Wed, 28 Jun 2000 10:52:32 -0300 Received: from mat.puc-rio.br (IDENT:root@feliz.mat.puc-rio.br [139.82.27.15]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id KAA25675 for ; Wed, 28 Jun 2000 10:52:22 -0300 Received: from localhost (nicolau@localhost) by mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id KAA00785 for ; Wed, 28 Jun 2000 10:52:22 -0300 Date: Wed, 28 Jun 2000 10:52:22 -0300 (BRT) From: "Nicolau C. Saldanha" X-Sender: nicolau@localhost.localdomain To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: ajuda In-Reply-To: <01bfe0e7$52f94bc0$a231bcc8@default> Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id KAA25676 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Wed, 28 Jun 2000, José Paulo Carneiro wrote: > Este problema estah resolvido por numeros complexos, > no meu livro Resolucao de Equacoes Algebricas. > Jose Paulo > > > Seja A1A2A3...An um polígono regular convexo inscrito no círculo de raio unitário. Provar que: > (A1A2).(A1A3).(A1A4)...(A1An)=n > > > Observação: > (A1An): representa a medida do segmento de extremidades A1 e A2 > Talvez esta seja a mesma solução do JP, mas acho que vale a pena apresentar assim mesmo. Suponha sem perda de generalidade que, no plano complexo, A1 = 1, A2 = z, A3 = z^2, .., Ak = z^(k-1), ... onde z = exp(2 Pi i/n) é uma raiz n-ésima da unidade. O polinômio mônico de raízes A1, ..., An é claramente X^n - 1 = (X - 1)(X^(n-1) + X^(n-2) + ... + X + 1), donde o polinômio mônico de raízes A2, A3, ..., An é X^(n+1) + X^(n-2) + ... + X + 1 = (X - z)(X - z^2)...(X - z^(n-1)). Assim, (1 - z)(1 - z^2)...(1 - z^(n-1)) = 1^(n-1) + 1^(n-2) + ... + 1 + 1 = n. O resultado que você pede é apenas que o módulo do lado esquerdo é n. Como exercício: quanto vale (A1A2) + (A1A3) + ... + (A1An) ? []s, N. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jun 29 16:35:57 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA32553 for obm-l-list; Thu, 29 Jun 2000 16:35:57 -0300 Received: from hotmail.com (law-f105.hotmail.com [209.185.131.168]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id QAA32543 for ; Thu, 29 Jun 2000 16:35:44 -0300 Received: (qmail 52773 invoked by uid 0); 29 Jun 2000 19:35:03 -0000 Message-ID: <20000629193503.52772.qmail@hotmail.com> Received: from 32.94.119.2 by www.hotmail.com with HTTP; Thu, 29 Jun 2000 12:35:03 PDT X-Originating-IP: [32.94.119.2] From: "=?iso-8859-1?B?SW9sYW5kYSBCcmF6428=?=" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Numero Transcendente Date: Thu, 29 Jun 2000 12:35:03 PDT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi Pessoal, Engracado. Outro dia vi uma longa discusao na qual nao se chegou a resultado algum e que nao entendi. Parece que alguem perguntou como provar que (raiz_2(2))^(raiz_2(2)) e irracional. [ estou usando raiz_2(N) = raiz quadrada de N ]. Nao existe o Teorema de Gelfond ? Nao e verdade que ele diz que em A^B se: 1) A e algebrico nao nulo e diferente de 1 2) B e irracional entao: A^B e trancendente ? Nao e isso que diz o teorema de Gelfond ? Se for verdade entao em (raiz_2(2))^(raiz_2(2)) temos que A=B=raiz_2(2). E portanto satisfazem as condicoes do Teorema de Gelfond. E portando (raiz_2(2))^(raiz_2(2)) e transcendente. Logo, irracional. Eu acompanho as respostas que o Sr da, muito boas. O sr pode dizer se estou certa ? Pode outro prof fa lista dizer se estou certa !!! Iolanda >From: "Paulo Santa Rita" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: obm-l@mat.puc-rio.br >Subject: Re: Problema de Geometria >Date: Wed, 05 Apr 2000 08:32:59 -0400 > >Ola Pessoal, >Saudacoes a Todos ! > >A desigualdade em foco decorre diretamente da DESIGUALDADE >TRIANGULAR, vale dizer, promana do fato de que EM QUALQUER >TRIANGULO QUALQUER LADO E MENOR QUE A SOMA DOS OUTROS DOIS. >Para ver isso, sejam "a", "b" e "c" os lados de um trangulo >qualquer. Entao: > >a < b+c => a + (b+c) < b+c + (b+c) => a+b+c < 2*(b+c) >1/(a+b+c) > 1/(2*(b+c)) => a/(a+b+c) > a/(2*(b+c)) > >Usando um raciocinio identido, porem partindo de : > >b < a+c, chegaremos a ... b/(a+b+c) > b/(2*(a+c)) > >c < a+b, chegaremos a ... c/(a+b+c) > c/(2*(a+b)) > >Somando estas tres desigualdades, ficara : > >1 > (1/2)*( a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) ) > >ou : a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) < 2 > >Tal "Como Queriamos Demonstrar". A expressao > >a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) > >Nao possui somente o limitante superior, tal como acabamos >de mostrar. Ela tambem admite um limitante inferior, >decorrencia do fato de que as medidas dos lados de um >triangulos poderem ser interpretadas como numeros reais >positivos. Afirmamos que : > >a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >= 3/2 > >Quaisquer que sejam "a", "b" e "c" reais positivos. Assim, >temos : > >3/2 =< a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) < 2 > >A desigualdade esquerda, aqui tao somente postulada, e de >demonstracao tao simples quando a da direita. Fica como >Exercicio. > >a todos, >Os Melhores Votos >de Paz Profunda ! > >Paulo Santa Rita >4,0927,05042000 > > > > >On Tue, 28 Mar 2000 06:31:02 +0200 >"Marcio" wrote: > > Como resolver? > > > > Sejam a,b,c lados de um triangulo. > > > > Prove que [a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) ] < > >2 > > > > Abraços, > > Marcio > > > >________________________________________________ >Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/ ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jun 29 16:54:35 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA32650 for obm-l-list; Thu, 29 Jun 2000 16:54:35 -0300 Received: from mat.puc-rio.br (IDENT:root@sucuri.mat.puc-rio.br [139.82.27.7]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA32647 for ; Thu, 29 Jun 2000 16:54:28 -0300 Received: from localhost (nicolau@localhost) by mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA29623 for ; Thu, 29 Jun 2000 16:54:28 -0300 Date: Thu, 29 Jun 2000 16:54:28 -0300 (BRT) From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Numero Transcendente In-Reply-To: <20000629193503.52772.qmail@hotmail.com> Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id QAA32648 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Thu, 29 Jun 2000, Iolanda Brazão wrote: > Oi Pessoal, > > Engracado. Outro dia vi uma longa discusao na qual nao se chegou a resultado > algum e que nao entendi. Parece que alguem perguntou como provar que > (raiz_2(2))^(raiz_2(2)) e irracional. [ estou usando raiz_2(N) = raiz > quadrada de N ]. > > Nao existe o Teorema de Gelfond ? Nao e verdade que ele diz que em A^B se: > > 1) A e algebrico nao nulo e diferente de 1 > 2) B e irracional > > entao: A^B e trancendente ? Está correto. > Nao e isso que diz o teorema de Gelfond ? Se for verdade entao em > (raiz_2(2))^(raiz_2(2)) temos que A=B=raiz_2(2). E portanto satisfazem as > condicoes do Teorema de Gelfond. E portando > > (raiz_2(2))^(raiz_2(2)) e transcendente. Logo, irracional. Está tudo certo, só falta demonstrar o teorema ;-) Mais seriamente, acho que o que era pedido era uma demonstração elementar e não uma referência a um teorema difícil. []s, N. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jun 29 17:25:53 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA00121 for obm-l-list; Thu, 29 Jun 2000 17:25:53 -0300 Received: from sec.secrel.com.br (sec.secrel.com.br [200.194.96.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id RAA00118 for ; Thu, 29 Jun 2000 17:25:45 -0300 Received: (qmail 24959 invoked from network); 29 Jun 2000 17:22:59 -0000 Received: from unknown (HELO meucompu) (200.194.100.57) by sec.secrel.com.br with SMTP; 29 Jun 2000 17:22:59 -0000 Message-ID: <000b01bfe208$551f65c0$3964c2c8@meucompu> From: "Filho" To: "=?iso-8859-1?Q?discuss=E3o_de_problemas?=" Subject: ajuda Date: Thu, 29 Jun 2000 17:26:38 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0008_01BFE1EF.2ECEC780" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.2106.4 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.2106.4 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0008_01BFE1EF.2ECEC780 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Mostre que a equa=E7=E3o x^3 + 2x +k=3D0, com k real no intervalo aberto = ]-3,3[, possui exatamente uma raiz no intervalo aberto ]-1,1[. ------=_NextPart_000_0008_01BFE1EF.2ECEC780 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Mostre que a equação = x^3 + 2x=20 +k=3D0, com k real no intervalo aberto ]-3,3[, possui exatamente uma = raiz no=20 intervalo aberto ]-1,1[.
------=_NextPart_000_0008_01BFE1EF.2ECEC780-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jun 29 20:54:11 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA00919 for obm-l-list; Thu, 29 Jun 2000 20:54:11 -0300 Received: from aquarius.ime.eb.br (aquarius.ime.eb.br [200.20.120.44]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id UAA00916 for ; Thu, 29 Jun 2000 20:54:04 -0300 Received: from epq.ime.eb.br (epq.ime.eb.br [200.20.120.217]) by aquarius.ime.eb.br (8.9.1a/8.9.1) with ESMTP id VAA09532 for ; Thu, 29 Jun 2000 21:01:09 -0300 Received: from EPQ/SpoolDir by epq.ime.eb.br (Mercury 1.47); 29 Jun 00 20:56:31 -0200 Received: from SpoolDir by EPQ (Mercury 1.47); 29 Jun 00 20:56:05 -0200 From: "Wellington Ribeiro de Assis" Organization: IME To: "discusspio de problemas" Date: Thu, 29 Jun 2000 20:56:00 -2:00 MIME-Version: 1.0 Content-type: text/plain; charset=ISO-8859-1 Subject: Re: ajuda X-mailer: Pegasus Mail for Windows (v2.42a) Message-ID: <219C484CF8@epq.ime.eb.br> Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from Quoted-printable to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id UAA00917 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Prezado Filho Seja f(x)=x^3+2x+k; Primeiramente substituiremos x nos valores extremos do intervalo: para x=-1 a imagem da funcao estara em ]-6,0[; para x=1 a imagem da funcao estara em ]0,6[; ou seja, independente do valor de k dentro do intervalo em questao ( ]-3,3[ ), a funcao retornara valores com sinais opostos. Isso garante a existencia de um numero impar de raízes nesse intervalo (Teorema de Bolzano). Para que exista apenas uma raiz, a funcao nesse caso deve ser estritamente crescente. Analisaremos entao a sua derivada: f ' (x)= 3x^2+2 > 0 para todo x, o que termina o problema. Abraco a todos Wellington From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jun 29 22:05:06 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA01174 for obm-l-list; Thu, 29 Jun 2000 22:05:06 -0300 Received: from zeus.unincor.br (unincor.br [200.202.211.35]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA01171 for ; Thu, 29 Jun 2000 22:04:58 -0300 Received: from aronferr (ppp9.unincor.br [200.202.211.72]) by zeus.unincor.br (Vircom SMTPRS 4.2.181) with SMTP id for ; Thu, 29 Jun 2000 22:04:35 -0300 Message-ID: <001201bfe22f$3b9c42e0$48d3cac8@aronferr> From: "Aron Roberto Ferreira" To: Subject: =?iso-8859-1?B?4XJlYQ==?= Date: Thu, 29 Jun 2000 18:58:50 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_00C7_01BFE1FC.0FBB3B00" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.3110.5 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.3110.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_00C7_01BFE1FC.0FBB3B00 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal Gostaria de saber se de alguma maneira =E9 poss=EDvel determinar = a =E1rea de um quadril=E1tero conhecendo apenas as medidas de seus lados = (mantendo o per=EDmetro, l=F3gico)?. Obrigado! Edmilson, realmente voc=EA estava certo, nem sempre a rec=EDproca = =E9 verdadeira. ------=_NextPart_000_00C7_01BFE1FC.0FBB3B00 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Olá pessoal
        Gostaria de saber se de = alguma maneira=20 é possível determinar a área de um = quadrilátero=20 conhecendo apenas as medidas de seus lados (mantendo o perímetro, = lógico)?.
Obrigado!
 
    Edmilson, = realmente=20 você estava certo, nem sempre a recíproca é=20 verdadeira.
------=_NextPart_000_00C7_01BFE1FC.0FBB3B00-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jun 29 23:34:52 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA01426 for obm-l-list; Thu, 29 Jun 2000 23:34:52 -0300 Received: from roma.samnet.com.br (samnet.com.br [200.241.109.126]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA01423 for ; Thu, 29 Jun 2000 23:34:45 -0300 Received: from samnet.com.br (ppp26-tc01.samnet.com.br [200.241.109.32]) by roma.samnet.com.br (8.9.3/8.8.7) with ESMTP id XAA32210 for ; Thu, 29 Jun 2000 23:30:53 -0300 Message-ID: <395C0744.4D6D0ABE@samnet.com.br> Date: Thu, 29 Jun 2000 23:34:46 -0300 From: Carlos Gomes X-Mailer: Mozilla 4.03 [pt] (Win95; I) MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: área References: <001201bfe22f$3b9c42e0$48d3cac8@aronferr> Content-Type: multipart/alternative; boundary="------------07AE38D663BDFC002F2C53EB" Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --------------07AE38D663BDFC002F2C53EB Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Caro Aron Roberto Conhecendo-se as medidas dos lados de um quadrilátero convexo, digamos, a, b, c e d é possível mostrar (uma vez fiz isso, foi muito trabalhoso, não sei se algum dos nossos amigos aqui na lista conhece uma demonstração mais curta). Mas a 'formula é a seguinte S=sqrt((p-a).(p-b)(p-c)(p-d)-a.b.c.d.(Cosx)^2) , onde sqrt = raiz quadrada, p=semiperímetro e x é a metade da soma de dois ângulos opostos. Você pode encontar alguguma coisa (não a demonstração) no livro de História ma Matemática do Boyer no capítulo cobre China e Índia. Ok!. um forte abraço, Carlos A. Gomes 29.06.00 Aron Roberto Ferreira escreveu: > Olá pessoal Gostaria de saber se de alguma maneira é possível > determinar a área de um quadrilátero conhecendo apenas as medidas de > seus lados (mantendo o perímetro, lógico)?.Obrigado! Edmilson, > realmente você estava certo, nem sempre a recíproca é verdadeira. --------------07AE38D663BDFC002F2C53EB Content-Type: text/html; charset=us-ascii Content-Transfer-Encoding: 7bit Caro Aron Roberto

 Conhecendo-se as medidas dos lados de um quadrilátero convexo, digamos, a, b, c e d é possível mostrar (uma vez fiz isso, foi muito trabalhoso, não sei se algum dos nossos amigos aqui na lista conhece uma demonstração mais curta). Mas a 'formula é a seguinte S=sqrt((p-a).(p-b)(p-c)(p-d)-a.b.c.d.(Cosx)^2) , onde sqrt = raiz quadrada, p=semiperímetro e x é a metade da soma de dois ângulos opostos. Você pode encontar alguguma coisa (não a demonstração) no livro de História ma Matemática do Boyer no capítulo cobre China e Índia. Ok!.

um forte abraço,

Carlos A. Gomes
29.06.00

Aron Roberto Ferreira escreveu:

 Olá pessoal        Gostaria de saber se de alguma maneira é possível determinar a área de um quadrilátero conhecendo apenas as medidas de seus lados (mantendo o perímetro, lógico)?.Obrigado!     Edmilson, realmente você estava certo, nem sempre a recíproca é verdadeira.
  --------------07AE38D663BDFC002F2C53EB-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jun 29 23:52:17 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA01479 for obm-l-list; Thu, 29 Jun 2000 23:52:17 -0300 Received: from barra.domain.com.br (barra.domain.com.br [200.196.128.5]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA01476 for ; Thu, 29 Jun 2000 23:52:09 -0300 Received: from default (200.188.49.204) by barra.domain.com.br (NPlex 4.5.042) id 3947A0C0001AEE2C for obm-l@mat.puc-rio.br; Thu, 29 Jun 2000 23:55:24 -0300 From: "=?iso-8859-1?Q?Jos=E9_Paulo_Carneiro?=" To: Subject: =?iso-8859-1?B?UmU6IOFyZWE=?= Date: Thu, 29 Jun 2000 23:52:19 -0300 Message-ID: <01bfe23e$35261080$cc31bcc8@default> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0080_01BFE225.0FD8D880" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.71.1712.3 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.71.1712.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0080_01BFE225.0FD8D880 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Eh claro que nao. Pegue um descanso de prato desses que encolhem e = esticam. Com o mesmo perimetro, voce obtem areas diferentes. -----Mensagem original----- De: Aron Roberto Ferreira Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quinta-feira, 29 de Junho de 2000 22:07 Assunto: =E1rea Ol=E1 pessoal Gostaria de saber se de alguma maneira =E9 poss=EDvel determinar = a =E1rea de um quadril=E1tero conhecendo apenas as medidas de seus lados = (mantendo o per=EDmetro, l=F3gico)?. Obrigado! =20 Edmilson, realmente voc=EA estava certo, nem sempre a rec=EDproca = =E9 verdadeira. ------=_NextPart_000_0080_01BFE225.0FD8D880 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Eh claro que nao. Pegue = um descanso=20 de prato desses que encolhem e esticam.
Com o=20 mesmo perimetro, voce obtem areas diferentes.
 
-----Mensagem = original-----
De:=20 Aron Roberto Ferreira <aron@unincor.br>
Para: = obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
D= ata:=20 Quinta-feira, 29 de Junho de 2000 22:07
Assunto:=20 área

Olá pessoal
        Gostaria de saber se de = alguma maneira=20 é possível determinar a área de um = quadrilátero=20 conhecendo apenas as medidas de seus lados (mantendo o perímetro, = lógico)?.
Obrigado!
 
    Edmilson, = realmente=20 você estava certo, nem sempre a recíproca é=20 verdadeira.
------=_NextPart_000_0080_01BFE225.0FD8D880-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jun 30 09:59:01 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA02820 for obm-l-list; Fri, 30 Jun 2000 09:59:01 -0300 Received: from zipmail.com (zipmail.com [207.88.19.245]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id JAA02817 for ; Fri, 30 Jun 2000 09:58:45 -0300 Received: from [32.94.119.2] (account ) by zipmail.com (CommuniGate Pro WebUser 3.2b5) with HTTP id 6854026 for ; Fri, 30 Jun 2000 08:59:23 -0400 From: "Paulo Santa Rita" Subject: Re: Numero Transcendente To: obm-l@mat.puc-rio.br X-Mailer: CommuniGate Pro Web Mailer v.3.2b5 Date: Fri, 30 Jun 2000 08:59:23 -0400 Message-ID: In-Reply-To: <20000629193503.52772.qmail@hotmail.com> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Ola Iolanda, Prazer em conhece-la ! Voce deve ser nova na Lista, nao ? Se for, seja Bem-Vinda ! Pergunto isso porque nao me lembro de nenhuma mensagem sua anterior. Eu nao estou podendo - por circuntancias alheias a minha vontade - participar da lista como gostaria, de forma que nao conheco a discussao a qual voce se refere ... Independente disso posso lhe garantir que a sua observacao e pertinente, isto e : Rz_2(2)^Rz_2(2) E IRRACIONAL. [ Rz_2(2)=raiz quadrada de 2 ] A maneira mais simples de se ver isso ( pelo que sei ) e conforme voce assinala, vale dizer, invocando o Teorema de Gelfond. Teorema de Gelfond : "A^B" e trancedente se 1) A e algebrico, diferente de zero e um 2) B e irracional No seu caso, A=B=Rz_2(2) satisfazem as condicoes do Teorema de Gelfond e, portanto, A^B e transcendente e, portanto, irracional. Voce deve ter percebido que se definirmos: T(1)=Rz_2(2) T(N+1)= Rz_2(2)^T(N), N > 0 entao T(N) e transcendente - e portanto irracional - para todo N, N > 1. Se nao percebeu, note que: T(3)=Rz_2(2)^T(2). Fazendo A=Rz_2(2) e B=T(2) recaimos no Teorema de Gelfond e concluimos que T(3) e transcendente e, portanto, irracional. Reiterando este raciocinio para N=4,5,... voce percebera o que falei. Duas outras observacoes simples que voce pode fazer sao: 1) T(N+1) > T(N), para qualquer N 2) T(N) < 2, para qualquer N Estes duas observacoes nos mostram que a sequencia definida acima e formada so por numeros transcendentes [ a excecao de T(1)=Rz_2(2) ], estritamente crescente e limitada superiormente, logo ... E CONVERGENTE ! No meio de tantos 2´s, voce saberia me provar para onde ela converge ? Bom, finalizando, devo dizer que eu conheco muito pouco sobre numeros trancendentes. Alem do Teorema acima ( de Gelfond ), conheco os Teoremas de Liouville, de Hermite e de Borel ( Voce conhece estes Teoremas ? ) e as implicacoes elementares que se faz com as equacoes de Euler, com as series de potencias e os fatos sobre "pi" e "e". Voce me tratou com uma cerimonia tal que me imaginei como um vetusto e inacessivel Catedratico ... sou simplesmente um estudante universitario, com um "montao" de duvidas e ideias na cabeca. Um abraco Paulo Santa Rita 6,0952,30062000 On Thu, 29 Jun 2000 12:35:03 PDT "=?iso-8859-1?B?SW9sYW5kYSBCcmF6428=?=" wrote: >Oi Pessoal, > >Engracado. Outro dia vi uma longa discusao na qual nao se >chegou a resultado >algum e que nao entendi. Parece que alguem perguntou como >provar que >(raiz_2(2))^(raiz_2(2)) e irracional. [ estou usando >raiz_2(N) = raiz >quadrada de N ]. > >Nao existe o Teorema de Gelfond ? Nao e verdade que ele >diz que em A^B se: > >1) A e algebrico nao nulo e diferente de 1 >2) B e irracional > >entao: A^B e trancendente ? > >Nao e isso que diz o teorema de Gelfond ? Se for verdade >entao em >(raiz_2(2))^(raiz_2(2)) temos que A=B=raiz_2(2). E >portanto satisfazem as >condicoes do Teorema de Gelfond. E portando > >(raiz_2(2))^(raiz_2(2)) e transcendente. Logo, irracional. > >Eu acompanho as respostas que o Sr da, muito boas. O sr >pode dizer se estou >certa ? Pode outro prof fa lista dizer se estou certa !!! > >Iolanda > >>From: "Paulo Santa Rita" >>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >>To: obm-l@mat.puc-rio.br >>Subject: Re: Problema de Geometria >>Date: Wed, 05 Apr 2000 08:32:59 -0400 >> >>Ola Pessoal, >>Saudacoes a Todos ! >> >>A desigualdade em foco decorre diretamente da >DESIGUALDADE >>TRIANGULAR, vale dizer, promana do fato de que EM >QUALQUER >>TRIANGULO QUALQUER LADO E MENOR QUE A SOMA DOS OUTROS >DOIS. >>Para ver isso, sejam "a", "b" e "c" os lados de um >trangulo >>qualquer. Entao: >> >>a < b+c => a + (b+c) < b+c + (b+c) => a+b+c < 2*(b+c) >>1/(a+b+c) > 1/(2*(b+c)) => a/(a+b+c) > a/(2*(b+c)) >> >>Usando um raciocinio identido, porem partindo de : >> >>b < a+c, chegaremos a ... b/(a+b+c) > b/(2*(a+c)) >> >>c < a+b, chegaremos a ... c/(a+b+c) > c/(2*(a+b)) >> >>Somando estas tres desigualdades, ficara : >> >>1 > (1/2)*( a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) ) >> >>ou : a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) < 2 >> >>Tal "Como Queriamos Demonstrar". A expressao >> >>a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >> >>Nao possui somente o limitante superior, tal como >acabamos >>de mostrar. Ela tambem admite um limitante inferior, >>decorrencia do fato de que as medidas dos lados de um >>triangulos poderem ser interpretadas como numeros reais >>positivos. Afirmamos que : >> >>a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >= 3/2 >> >>Quaisquer que sejam "a", "b" e "c" reais positivos. >Assim, >>temos : >> >>3/2 =< a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) < 2 >> >>A desigualdade esquerda, aqui tao somente postulada, e de >>demonstracao tao simples quando a da direita. Fica como >>Exercicio. >> >>a todos, >>Os Melhores Votos >>de Paz Profunda ! >> >>Paulo Santa Rita >>4,0927,05042000 >> >> >> >> >>On Tue, 28 Mar 2000 06:31:02 +0200 >>"Marcio" wrote: >> > Como resolver? >> > >> > Sejam a,b,c lados de um triangulo. >> > >> > Prove que [a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >] < >> >2 >> > >> > Abraços, >> > Marcio >> > >> >>________________________________________________ >>Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/ > >________________________________________________________________________ >Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at >http://www.hotmail.com >                      ________________________________________________ Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/ From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jun 30 10:46:57 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA03083 for obm-l-list; Fri, 30 Jun 2000 10:46:57 -0300 Received: from hotmail.com (f48.law8.hotmail.com [216.33.241.48]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id KAA03076 for ; Fri, 30 Jun 2000 10:46:43 -0300 Received: (qmail 98865 invoked by uid 0); 30 Jun 2000 13:45:50 -0000 Message-ID: <20000630134550.98864.qmail@hotmail.com> Received: from 200.224.108.20 by www.hotmail.com with HTTP; Fri, 30 Jun 2000 06:45:50 PDT X-Originating-IP: [200.224.108.20] From: "Antonio Neto" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: área Date: Fri, 30 Jun 2000 06:45:50 PDT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Calcular a área de um quadrilátero somente com as medidas dos lados é impossível. Mostro isso aos meus alunos sugerindo que eles peguem 4 palitos de picolé e os unam pelas pontas, formando um quadrilátero "deformável", e assim eles podem verificar que a área é variável. O triângulo é o único polígono para o qual é suficiente conhecer os lados. No mais, abraços, olavo. ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jun 30 18:58:20 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA05663 for obm-l-list; Fri, 30 Jun 2000 18:58:20 -0300 Received: from Euler.impa.br (euler.impa.br [147.65.1.3]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA05658 for ; Fri, 30 Jun 2000 18:57:37 -0300 Received: from obm-01 (obm-01.impa.br [147.65.2.170]) by Euler.impa.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id SAA06479 for ; Fri, 30 Jun 2000 18:57:06 -0300 (EST) Message-Id: <3.0.5.32.20000630200725.0079d670@pop.impa.br> X-Sender: obm@pop.impa.br X-Mailer: QUALCOMM Windows Eudora Light Version 3.0.5 (32) Date: Fri, 30 Jun 2000 20:07:25 -0300 To: obm-l@mat.puc-rio.br From: Olimpiada Brasileira de Matematica Subject: Notas Minimas! Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="us-ascii" Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caros amigos da lista, Ja' estao publicadas na home-page as notas minimas de acertos para classificar para Segunda Fase da XXII OBM. Confiram! http://www.obm.org.br/noticias.htm Abracos, Nelly.