From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 1 14:03:39 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA07025 for obm-l-list; Sat, 1 Jul 2000 14:03:39 -0300 Received: from sec.secrel.com.br (sec.secrel.com.br [200.194.96.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id OAA07022 for ; Sat, 1 Jul 2000 14:03:30 -0300 Received: (qmail 17617 invoked from network); 1 Jul 2000 14:00:46 -0000 Received: from unknown (HELO meucompu) (200.194.99.136) by sec.secrel.com.br with SMTP; 1 Jul 2000 14:00:46 -0000 Message-ID: <000d01bfe37e$6e0ea060$8863c2c8@meucompu> From: "Filho" To: "=?iso-8859-1?Q?discuss=E3o_de_problemas?=" Subject: =?iso-8859-1?Q?sem_c=E1lculo?= Date: Sat, 1 Jul 2000 14:04:31 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_000A_01BFE365.47795800" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.2106.4 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.2106.4 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_000A_01BFE365.47795800 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Caro Wellington no final do seu coment=E1rio, voc=EA usou recursos de = c=E1lculo. A quest=E3o foi de um vestibular que no programa n=E3o consta = nada de c=E1lculo. Grato pelo primeiro coment=E1rio, mas o que torna a quest=E3o diferente = =E9 exatamente n=E3o poder usar tais recursos. O problema = continua.................... =20 Mostre que a equa=E7=E3o x^3 + 2x +k=3D0, com k real no intervalo aberto = ]-3,3[, possui exatamente uma raiz no intervalo aberto ]-1,1[. Seja f(x)=3Dx^3+2x+k; Primeiramente substituiremos x nos valores extremos do intervalo: para x=3D-1 a imagem da funcao estara em ]-6,0[; para x=3D1 a imagem da funcao estara em ]0,6[; ou seja, independente do valor de k dentro do intervalo em questao=20 ( ]-3,3[ ), a funcao retornara valores com sinais opostos. Isso=20 garante a existencia de um numero impar de ra=EDzes nesse intervalo=20 (Teorema de Bolzano).=20 (Para que exista apenas uma raiz, a funcao nesse caso deve ser=20 estritamente crescente. Analisaremos entao a sua derivada: f ' (x)=3D 3x^2+2 > 0 para todo x, o que termina o = problema)??????????????????=20 Pensem conosco, grato!!!!!!!! ------=_NextPart_000_000A_01BFE365.47795800 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Caro Wellington no final do seu=20 comentário, você usou recursos de cálculo. A = questão=20 foi de um vestibular que no programa não consta nada de=20 cálculo.
Grato pelo primeiro = comentário, mas o que=20 torna a questão diferente é exatamente não poder = usar tais=20 recursos. O problema continua....................
 
Mostre que a equação = x^3 + 2x=20 +k=3D0, com k real no intervalo aberto ]-3,3[, possui exatamente uma = raiz no=20 intervalo aberto ]-1,1[.
 
Seja f(x)=3Dx^3+2x+k;
Primeiramente substituiremos x nos valores = extremos=20 do intervalo:
para x=3D-1 a imagem da funcao estara em = ]-6,0[;
para x=3D1 a=20 imagem da funcao estara em ]0,6[;
ou seja, independente do valor de k = dentro=20 do intervalo em questao
( ]-3,3[ ), a funcao retornara valores com = sinais=20 opostos. Isso
garante a existencia de um numero impar de = raízes nesse=20 intervalo
(Teorema de Bolzano).

(Para que exista apenas uma = raiz, a=20 funcao nesse caso deve ser
estritamente crescente. Analisaremos = entao a sua=20 derivada:
f ' (x)=3D 3x^2+2 > 0 para todo x, o que termina o=20 problema)??????????????????

Pensem conosco,=20 grato!!!!!!!!
------=_NextPart_000_000A_01BFE365.47795800-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 1 14:09:40 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA07048 for obm-l-list; Sat, 1 Jul 2000 14:09:40 -0300 Received: from Euler.impa.br (euler.impa.br [147.65.1.3]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA07044 for ; Sat, 1 Jul 2000 14:09:14 -0300 Received: from Gauss.impa.br (Gauss [147.65.4.1]) by Euler.impa.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA18238 for ; Sat, 1 Jul 2000 14:09:02 -0300 (EST) From: Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira Received: by Gauss.impa.br (8.9.3) id OAA08228; Sat, 1 Jul 2000 14:09:01 -0300 (EST) Message-Id: <200007011709.OAA08228@Gauss.impa.br> Subject: Re: Numero Transcendente To: obm-l@mat.puc-rio.br Date: Sat, 1 Jul 2000 14:09:01 -0300 (EST) In-Reply-To: from "Paulo Santa Rita" at Jun 30, 0 08:59:23 am X-Mailer: ELM [version 2.4 PL25] MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=US-ASCII Content-Transfer-Encoding: 7bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi,Pessoal, Infelizmente o enunciado do Paulo nao esta' correto.E' preciso supor que B tambem e' algebrico,senao 2 elevado a log_2(3) =3 seria um contra-exemplo,bem como (Rz_2(2)) elevado a log_2(9) =3,onde log_2(3) e log_2(9) denotam os logaritmos de 3 e de 9 na base 2 e sao numeros irracionais(e transcendentes).Nao sei provar que a sequencia de numeros que o Paulo criou contem apenas transcendentes,mas e' muito provavel que seja verdade... Abracos, Gugu > >Ola Iolanda, > >Prazer em conhece-la ! Voce deve ser nova na Lista, nao ? Se >for, seja Bem-Vinda ! Pergunto isso porque nao me lembro de >nenhuma mensagem sua anterior. > >Eu nao estou podendo - por circuntancias alheias a minha >vontade - participar da lista como gostaria, de forma que >nao conheco a discussao a qual voce se refere ... >Independente disso posso lhe garantir que a sua observacao e >pertinente, isto e : > >Rz_2(2)^Rz_2(2) E IRRACIONAL. [ Rz_2(2)=raiz quadrada de 2 >] > >A maneira mais simples de se ver isso ( pelo que sei ) e >conforme voce assinala, vale dizer, invocando o Teorema de >Gelfond. > >Teorema de Gelfond : "A^B" e trancedente se > >1) A e algebrico, diferente de zero e um >2) B e irracional > >No seu caso, A=B=Rz_2(2) satisfazem as condicoes do Teorema >de Gelfond e, portanto, A^B e transcendente e, portanto, >irracional. > >Voce deve ter percebido que se definirmos: > >T(1)=Rz_2(2) >T(N+1)= Rz_2(2)^T(N), N > 0 > >entao T(N) e transcendente - e portanto irracional - para >todo N, N > 1. Se nao percebeu, note que: > >T(3)=Rz_2(2)^T(2). Fazendo A=Rz_2(2) e B=T(2) recaimos no >Teorema de Gelfond e concluimos que T(3) e transcendente e, >portanto, irracional. Reiterando este raciocinio para >N=4,5,... voce percebera o que falei. > >Duas outras observacoes simples que voce pode fazer sao: > >1) T(N+1) > T(N), para qualquer N >2) T(N) < 2, para qualquer N > >Estes duas observacoes nos mostram que a sequencia definida >acima e formada so por numeros transcendentes [ a excecao de >T(1)=Rz_2(2) ], estritamente crescente e limitada >superiormente, logo ... E CONVERGENTE ! No meio de tantos >2´s, voce saberia me provar para onde ela converge ? > >Bom, finalizando, devo dizer que eu conheco muito pouco >sobre numeros trancendentes. Alem do Teorema acima ( de >Gelfond ), conheco os Teoremas de Liouville, de Hermite e de >Borel ( Voce conhece estes Teoremas ? ) e as implicacoes >elementares que se faz com as equacoes de Euler, com as >series de potencias e os fatos sobre "pi" e "e". > >Voce me tratou com uma cerimonia tal que me imaginei como um >vetusto e inacessivel Catedratico ... sou simplesmente um >estudante universitario, com um "montao" de duvidas e ideias >na cabeca. > >Um abraco >Paulo Santa Rita >6,0952,30062000 > > > > > > > > > > > > >On Thu, 29 Jun 2000 12:35:03 PDT >"=?iso-8859-1?B?SW9sYW5kYSBCcmF6428=?=" > wrote: >>Oi Pessoal, >> >>Engracado. Outro dia vi uma longa discusao na qual nao se >>chegou a resultado >>algum e que nao entendi. Parece que alguem perguntou como >>provar que >>(raiz_2(2))^(raiz_2(2)) e irracional. [ estou usando >>raiz_2(N) = raiz >>quadrada de N ]. >> >>Nao existe o Teorema de Gelfond ? Nao e verdade que ele >>diz que em A^B se: >> >>1) A e algebrico nao nulo e diferente de 1 >>2) B e irracional >> >>entao: A^B e trancendente ? >> >>Nao e isso que diz o teorema de Gelfond ? Se for verdade >>entao em >>(raiz_2(2))^(raiz_2(2)) temos que A=B=raiz_2(2). E >>portanto satisfazem as >>condicoes do Teorema de Gelfond. E portando >> >>(raiz_2(2))^(raiz_2(2)) e transcendente. Logo, irracional. >> >>Eu acompanho as respostas que o Sr da, muito boas. O sr >>pode dizer se estou >>certa ? Pode outro prof fa lista dizer se estou certa !!! >> >>Iolanda >> >>>From: "Paulo Santa Rita" >>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >>>To: obm-l@mat.puc-rio.br >>>Subject: Re: Problema de Geometria >>>Date: Wed, 05 Apr 2000 08:32:59 -0400 >>> >>>Ola Pessoal, >>>Saudacoes a Todos ! >>> >>>A desigualdade em foco decorre diretamente da >>DESIGUALDADE >>>TRIANGULAR, vale dizer, promana do fato de que EM >>QUALQUER >>>TRIANGULO QUALQUER LADO E MENOR QUE A SOMA DOS OUTROS >>DOIS. >>>Para ver isso, sejam "a", "b" e "c" os lados de um >>trangulo >>>qualquer. Entao: >>> >>>a < b+c => a + (b+c) < b+c + (b+c) => a+b+c < 2*(b+c) >>>1/(a+b+c) > 1/(2*(b+c)) => a/(a+b+c) > a/(2*(b+c)) >>> >>>Usando um raciocinio identido, porem partindo de : >>> >>>b < a+c, chegaremos a ... b/(a+b+c) > b/(2*(a+c)) >>> >>>c < a+b, chegaremos a ... c/(a+b+c) > c/(2*(a+b)) >>> >>>Somando estas tres desigualdades, ficara : >>> >>>1 > (1/2)*( a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) ) >>> >>>ou : a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) < 2 >>> >>>Tal "Como Queriamos Demonstrar". A expressao >>> >>>a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >>> >>>Nao possui somente o limitante superior, tal como >>acabamos >>>de mostrar. Ela tambem admite um limitante inferior, >>>decorrencia do fato de que as medidas dos lados de um >>>triangulos poderem ser interpretadas como numeros reais >>>positivos. Afirmamos que : >>> >>>a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >= 3/2 >>> >>>Quaisquer que sejam "a", "b" e "c" reais positivos. >>Assim, >>>temos : >>> >>>3/2 =< a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) < 2 >>> >>>A desigualdade esquerda, aqui tao somente postulada, e de >>>demonstracao tao simples quando a da direita. Fica como >>>Exercicio. >>> >>>a todos, >>>Os Melhores Votos >>>de Paz Profunda ! >>> >>>Paulo Santa Rita >>>4,0927,05042000 >>> >>> >>> >>> >>>On Tue, 28 Mar 2000 06:31:02 +0200 >>>"Marcio" wrote: >>> > Como resolver? >>> > >>> > Sejam a,b,c lados de um triangulo. >>> > >>> > Prove que [a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >>] < >>> >2 >>> > >>> > Abraços, >>> > Marcio >>> > >>> >>>________________________________________________ >>>Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/ >> >>________________________________________________________________________ >>Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at >>http://www.hotmail.com >> > >                     >________________________________________________ >Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/ From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 1 15:30:39 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA07341 for obm-l-list; Sat, 1 Jul 2000 15:30:39 -0300 Received: from mail.bridge.com.br (bridge3.bridge.com.br [200.244.126.37]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA07338 for ; Sat, 1 Jul 2000 15:30:32 -0300 Received: from andre (unverified [200.244.126.185]) by mail.bridge.com.br (Vircom SMTPRS 4.1.180) with SMTP id for ; Sat, 1 Jul 2000 15:27:59 -0300 Message-ID: <004101bfe38b$875ad720$b97ef4c8@andre> From: =?iso-8859-1?Q?Andr=E9_Amiune?= To: References: <000d01bfe37e$6e0ea060$8863c2c8@meucompu> Subject: =?iso-8859-1?Q?Re:_sem_c=E1lculo?= Date: Sat, 1 Jul 2000 15:38:18 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_003E_01BFE372.611B01C0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_003E_01BFE372.611B01C0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable DICA: Considere a fun=E7=E3o f(x) =3Dx^3 +2x + k. Se voc=EA calcular = as ra=EDzes para k=3D3, ver=E1 que a =FAnica ra=EDz real =E9 x =3D -1, e = para k=3D -3 a =FAnica ra=EDz real =E9 x=3D1. Logo para k=3D 3 e -3 = repectivamente os gr=E1fico de F(x) corta o eixo x em x=3D-1 e x =3D 1. = Pense agora como o gr=E1fico de F(x) varia com altera=E7=F5es em K, e = conseq=FC=EAncia sobre as ra=EDzes...=20 Andr=E9 Amiune ----- Original Message -----=20 From: Filho=20 To: discuss=E3o de problemas=20 Sent: Saturday, July 01, 2000 2:04 PM Subject: sem c=E1lculo Caro Wellington no final do seu coment=E1rio, voc=EA usou recursos de = c=E1lculo. A quest=E3o foi de um vestibular que no programa n=E3o consta = nada de c=E1lculo. Grato pelo primeiro coment=E1rio, mas o que torna a quest=E3o = diferente =E9 exatamente n=E3o poder usar tais recursos. O problema = continua.................... =20 Mostre que a equa=E7=E3o x^3 + 2x +k=3D0, com k real no intervalo = aberto ]-3,3[, possui exatamente uma raiz no intervalo aberto ]-1,1[. Seja f(x)=3Dx^3+2x+k; Primeiramente substituiremos x nos valores extremos do intervalo: para x=3D-1 a imagem da funcao estara em ]-6,0[; para x=3D1 a imagem da funcao estara em ]0,6[; ou seja, independente do valor de k dentro do intervalo em questao=20 ( ]-3,3[ ), a funcao retornara valores com sinais opostos. Isso=20 garante a existencia de um numero impar de ra=EDzes nesse intervalo=20 (Teorema de Bolzano).=20 (Para que exista apenas uma raiz, a funcao nesse caso deve ser=20 estritamente crescente. Analisaremos entao a sua derivada: f ' (x)=3D 3x^2+2 > 0 para todo x, o que termina o = problema)??????????????????=20 Pensem conosco, grato!!!!!!!! ------=_NextPart_000_003E_01BFE372.611B01C0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
DICA:  Considere = a fun=E7=E3o=20 f(x) =3Dx^3 +2x + k.  Se voc=EA calcular as ra=EDzes para k=3D3, = ver=E1 que a =FAnica=20 ra=EDz real =E9 x =3D -1, e para k=3D -3 a =FAnica ra=EDz real =E9 = x=3D1.  Logo=20 para k=3D 3 e -3 repectivamente os gr=E1fico de F(x) corta o eixo x = em x=3D-1 e x=20 =3D 1.  Pense agora como o gr=E1fico de F(x) varia com = altera=E7=F5es em K, e=20 conseq=FC=EAncia sobre as ra=EDzes...
 
 
Andr=E9 Amiune
----- Original Message -----
From:=20 Filho=20
To: discuss=E3o de=20 problemas
Sent: Saturday, July 01, 2000 = 2:04=20 PM
Subject: sem c=E1lculo

Caro Wellington no final do seu = coment=E1rio,=20 voc=EA usou recursos de c=E1lculo. A quest=E3o foi de um vestibular = que no programa=20 n=E3o consta nada de c=E1lculo.
Grato pelo primeiro coment=E1rio, = mas o que=20 torna a quest=E3o diferente =E9 exatamente n=E3o poder usar tais = recursos. O=20 problema continua....................
 
Mostre que a equa=E7=E3o x^3 + 2x = +k=3D0, com k real=20 no intervalo aberto ]-3,3[, possui exatamente uma raiz no intervalo = aberto=20 ]-1,1[.
 
Seja f(x)=3Dx^3+2x+k;
Primeiramente substituiremos x nos = valores=20 extremos do intervalo:
para x=3D-1 a imagem da funcao estara em=20 ]-6,0[;
para x=3D1 a imagem da funcao estara em ]0,6[;
ou seja,=20 independente do valor de k dentro do intervalo em questao
( ]-3,3[ = ), a=20 funcao retornara valores com sinais opostos. Isso
garante a = existencia de=20 um numero impar de ra=EDzes nesse intervalo
(Teorema de Bolzano).=20

(Para que exista apenas uma raiz, a funcao nesse caso deve ser =
estritamente crescente. Analisaremos entao a sua derivada:
f ' = (x)=3D=20 3x^2+2 > 0 para todo x, o que termina o problema)?????????????????? =

Pensem conosco, grato!!!!!!!!
------=_NextPart_000_003E_01BFE372.611B01C0-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 1 21:23:00 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA07753 for obm-l-list; Sat, 1 Jul 2000 21:23:00 -0300 Received: from Fourier.visgraf.impa.br (external.visgraf.impa.br [147.65.1.2]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA07750 for ; Sat, 1 Jul 2000 21:22:53 -0300 Received: from visgraf.impa.br (dial02.impa.br [147.65.11.2]) by Fourier.visgraf.impa.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA11090 for ; Sat, 1 Jul 2000 21:22:47 -0300 (EST) Message-ID: <395E8B46.EA5233F6@visgraf.impa.br> Date: Sat, 01 Jul 2000 21:22:30 -0300 From: Ralph Costa Teixeira Organization: IMPA X-Mailer: Mozilla 4.72 [en] (Win95; U) X-Accept-Language: en,pt-BR MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: sem =?iso-8859-1?Q?c=E1lculo?= References: <000d01bfe37e$6e0ea060$8863c2c8@meucompu> Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Hmmm.... sem cálculo fica mais feio... mas dá para fazer... Tome f(x)=x^3+2x+k. Eu imagino que no segundo grau ainda dê para usar o Teorema de Bolzano: como f é contínua (polinomial), f(-1)=k-3<0 e f(1)=k+3>0, há pelo menos uma raiz em (-1,1). Mas se houver duas raízes distintas entre -1 e 1, digamos, a e b, então a^3+2a+k=b^3+3b+k=0 a^3-b^3+2a-2b=0 (a-b)(a^2+ab+b^2+2)=0 Como supus raízes distintas, podemos cortar (a-b): (*) a^2+ab+b^2+2=0 Mas como |a|,|b|<1, temos |ab|<1, e portanto a^2+ab+b^2+2 >= ab+2 > -1+2 = 1 E temos uma contradição. (Ou: olhando (*) como uma equação quadrática em a, delta=(b^2-4b^2-8)<0 e não há raízes; de fato, isto prova que f(a)=f(b) implica a=b não só para raízes em (-1,1), mas para quaisquer a e b na reta real; assim, isto prova que f é estritamente crescente) Abraço, Ralph > Filho wrote: > > Caro Wellington no final do seu comentário, você usou recursos de > cálculo. A questão foi de um vestibular que no programa não consta > nada de cálculo. > Grato pelo primeiro comentário, mas o que torna a questão diferente > é exatamente não poder usar tais recursos. O problema > continua.................... > > Mostre que a equação x^3 + 2x +k=0, com k real no intervalo aberto > ]-3,3[, possui exatamente uma raiz no intervalo aberto ]-1,1[. > > Seja f(x)=x^3+2x+k; > Primeiramente substituiremos x nos valores extremos do intervalo: > para x=-1 a imagem da funcao estara em ]-6,0[; > para x=1 a imagem da funcao estara em ]0,6[; > ou seja, independente do valor de k dentro do intervalo em questao > ( ]-3,3[ ), a funcao retornara valores com sinais opostos. Isso > garante a existencia de um numero impar de raízes nesse intervalo > (Teorema de Bolzano). From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 1 21:52:34 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA07867 for obm-l-list; Sat, 1 Jul 2000 21:52:34 -0300 Received: from capote.uol.com.br ([200.231.206.25]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA07864 for ; Sat, 1 Jul 2000 21:52:27 -0300 Received: from pedroluizs (200-191-96-49-as.acessonet.com.br [200.191.96.49]) by capote.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with SMTP id VAA10880 for ; Sat, 1 Jul 2000 21:51:56 -0300 (BRT) Message-ID: <000401bfe3bf$9843c4a0$3160bfc8@pedroluizs> From: "Alexandre Henrique dos Santos" To: "Lista" Subject: Re: ajuda Date: Sat, 1 Jul 2000 20:34:07 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0040_01BFE39B.B42C4760" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0040_01BFE39B.B42C4760 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Caro Filho, Adotando f(x)=3Dx^3+2x+k, calculamos as respectivas imagens dessa = fun=E7=E3o para os estremos, x=3D1 e x=3D-1. f(1)=3Dk+3 f(-1)=3Dk-3 Assim para q exista uma unica raiz no intervalo ]-1,1[, teremos q ter = uma funcao estritamente crescente tal q exista um unico valor de x q = satisfaca f(x)=3D0 neste intervalo. Com isso se b0 e a^3-b^3>0 =3D> f(a)-f(b)>0 .: f(b) k<3 e q k+3>0 =3D> k>-3, ficando = provado q com k no intervalo ]-3,3[ teremos uma unica raiz no intervalo = ]-1,1[. Alexandre H. dos Santos. ------=_NextPart_000_0040_01BFE39B.B42C4760 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Caro Filho,
 
Adotando f(x)=3Dx^3+2x+k, = calculamos as=20 respectivas imagens dessa fun=E7=E3o para os estremos, x=3D1 e = x=3D-1.
f(1)=3Dk+3
f(-1)=3Dk-3
Assim para q exista uma unica raiz no = intervalo=20 ]-1,1[, teremos q ter uma funcao estritamente crescente tal = q exista um=20 unico valor de x q satisfaca f(x)=3D0 neste intervalo.
Com isso se b<a
f(a)=3Da^3+2a+k     =20 f(b)=3Db^3+2b+k
f(a)-f(b)=3D(a^3-b^3)+2(a-b)
Mas a-b>0 e a^3-b^3>0 =3D> = f(a)-f(b)>0 .:=20 f(b)<f(a) com b<a
O q caracteriza uma funcao estritamente = crescente.
Faltando apenas verificar se no = intervalo ]k-3,k+3[=20 poderemos ter o valor 0.
De onde verificamos q k-3<0 =3D> = k<3 e q=20 k+3>0 =3D> k>-3, ficando provado q com k no intervalo ]-3,3[ = teremos uma=20 unica raiz no intervalo ]-1,1[.
 
Alexandre H. dos = Santos.
------=_NextPart_000_0040_01BFE39B.B42C4760-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 1 22:34:39 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA08057 for obm-l-list; Sat, 1 Jul 2000 22:34:39 -0300 Received: from barra.domain.com.br (barra.domain.com.br [200.196.128.5]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA08053 for ; Sat, 1 Jul 2000 22:34:29 -0300 Received: from default (200.188.49.40) by barra.domain.com.br (NPlex 4.5.042) id 3947A0C0001DE3F3 for obm-l@mat.puc-rio.br; Sat, 1 Jul 2000 22:37:12 -0300 From: "=?iso-8859-1?Q?Jos=E9_Paulo_Carneiro?=" To: Subject: =?iso-8859-1?Q?Re:_sem_c=E1lculo?= Date: Sat, 1 Jul 2000 22:38:09 -0300 Message-ID: <01bfe3c6$2d5d9240$LocalHost@default> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_00AF_01BFE3AD.08105A40" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.71.1712.3 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.71.1712.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_00AF_01BFE3AD.08105A40 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable A afirmacao "existe uma e so uma" pode ser decomposta em 2 partes: "existe no maximo uma" e "existe no minimo uma". =20 A primeira pode ser decidida por argumentos que nao envolvem "analise"; por exemplo, se a e b sao raizes , entao a^3-b^3=3D2(b-a) ou = a^2+ab+b^2=3D2, =20 donde se conclui que ab>=3D 0 (ja que a e b estao entre -1 e 1), etc. =20 =20 Mas a afirmativa de existencia sempre vai exigir algum argumento de = "analise" do tipo "se um polinomio eh positivo para x=3Dc e negativo para x=3Dd , = entao tem=20 uma raiz entre c e d" (citado abaixo). Na realidade, a propria = existencia da raiz cubica=20 (e da raiz quadrada) de um real qualquer envolve argumentos deste tipo. = A questao eh que esta existencia (e outras) entra sorrateiramente no = ensino medio, sem justificativa.=20 =20 Agora, em relacao a derivada, concordo. Muita coisa (talvez tudo) que se = faz com derivadas para polinomios, pode ser feito algebricamente (a formula de Taylor eh = "exata" para=20 polinomios). =20 Por exemplo, esqueca que a derivada eh 3x^2+2. Examinar se = f(x)=3Dx^3+2x+k eh crescente=20 equivale a examinar se f(b)-f(a)=3D(b-a)(b^2+ab+=E2^2+2) tem o mesmo = sinal de b-a, ou seja,=20 se eh positivo o ultimo parenteses, o qual =3D (a+(b/2))^2+(3b^2)/4 + 2. = JP=20 (PS: quando ja ia enviar este mail, vi que o Ralph escreveu algo = analogo) JP -----Mensagem original----- De: Filho Para: discuss=E3o de problemas Data: S=E1bado, 1 de Julho de 2000 14:07 Assunto: sem c=E1lculo Caro Wellington no final do seu coment=E1rio, voc=EA usou recursos de = c=E1lculo. A quest=E3o foi de um vestibular que no programa n=E3o consta = nada de c=E1lculo. Grato pelo primeiro coment=E1rio, mas o que torna a quest=E3o diferente = =E9 exatamente n=E3o poder usar tais recursos. O problema = continua.................... =20 Mostre que a equa=E7=E3o x^3 + 2x +k=3D0, com k real no intervalo aberto = ]-3,3[, possui exatamente uma raiz no intervalo aberto ]-1,1[. Seja f(x)=3Dx^3+2x+k; Primeiramente substituiremos x nos valores extremos do intervalo: para x=3D-1 a imagem da funcao estara em ]-6,0[; para x=3D1 a imagem da funcao estara em ]0,6[; ou seja, independente do valor de k dentro do intervalo em questao=20 ( ]-3,3[ ), a funcao retornara valores com sinais opostos. Isso=20 garante a existencia de um numero impar de ra=EDzes nesse intervalo=20 (Teorema de Bolzano).=20 (Para que exista apenas uma raiz, a funcao nesse caso deve ser=20 estritamente crescente. Analisaremos entao a sua derivada: f ' (x)=3D 3x^2+2 > 0 para todo x, o que termina o = problema)??????????????????=20 Pensem conosco, grato!!!!!!!! ------=_NextPart_000_00AF_01BFE3AD.08105A40 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
A afirmacao = "existe uma e so=20 uma" pode ser decomposta em 2 partes:
"existe no maximo uma" e "existe no minimo=20 uma".
 
A primeira pode ser decidida por = argumentos que nao=20 envolvem "analise";
por exemplo, se a e b sao raizes , = entao=20 a^3-b^3=3D2(b-a)  ou a^2+ab+b^2=3D2,  
donde se conclui que ab>=3D 0 (ja = que a e b estao=20 entre -1 e 1), etc.  
 
Mas a afirmativa de = existencia sempre=20 vai exigir algum argumento de "analise"
do=20 tipo "se um polinomio eh positivo para x=3Dc e negativo para x=3Dd = , entao tem=20
uma raiz entre c e d" (citado = abaixo). Na=20 realidade, a propria existencia da raiz cubica
(e da raiz quadrada) de um real = qualquer=20 envolve argumentos deste tipo. A = questao eh que=20 esta existencia (e outras) entra = sorrateiramente no ensino medio, sem = justificativa.=20
 
Agora, em relacao a derivada, concordo. = Muita coisa=20 (talvez tudo) que se faz com derivadas
para polinomios, pode ser feito = algebricamente (a=20 formula de Taylor eh "exata" para 
polinomios).  
Por exemplo, esqueca que a derivada eh = 3x^2+2.=20 Examinar se f(x)=3Dx^3+2x+k eh crescente 
equivale a examinar se=20 f(b)-f(a)=3D(b-a)(b^2+ab+â^2+2)  tem o mesmo sinal de b-a, ou = seja, 
se eh positivo o ultimo parenteses, o = qual =3D=20 (a+(b/2))^2+(3b^2)/4 + 2. 
JP 
(PS: quando ja ia = enviar este mail,=20 vi que o Ralph escreveu algo analogo)
JP
 
-----Mensagem = original-----
De:=20 Filho <plutao@secrel.com.br>
P= ara:=20 discussão de problemas <obm-rj@mat.puc-rio.br>
Data:=20 Sábado, 1 de Julho de 2000 14:07
Assunto: sem=20 cálculo

Caro Wellington no final do seu=20 comentário, você usou recursos de cálculo. A = questão=20 foi de um vestibular que no programa não consta nada de=20 cálculo.
Grato pelo primeiro = comentário, mas o que=20 torna a questão diferente é exatamente não poder = usar tais=20 recursos. O problema continua....................
 
Mostre que a equação = x^3 + 2x=20 +k=3D0, com k real no intervalo aberto ]-3,3[, possui exatamente uma = raiz no=20 intervalo aberto ]-1,1[.
 
Seja f(x)=3Dx^3+2x+k;
Primeiramente substituiremos x nos valores = extremos=20 do intervalo:
para x=3D-1 a imagem da funcao estara em = ]-6,0[;
para x=3D1 a=20 imagem da funcao estara em ]0,6[;
ou seja, independente do valor de k = dentro=20 do intervalo em questao
( ]-3,3[ ), a funcao retornara valores com = sinais=20 opostos. Isso
garante a existencia de um numero impar de = raízes nesse=20 intervalo
(Teorema de Bolzano).

(Para que exista apenas uma = raiz, a=20 funcao nesse caso deve ser
estritamente crescente. Analisaremos = entao a sua=20 derivada:
f ' (x)=3D 3x^2+2 > 0 para todo x, o que termina o=20 problema)??????????????????

Pensem conosco,=20 grato!!!!!!!!
------=_NextPart_000_00AF_01BFE3AD.08105A40-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jul 2 10:04:16 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA08937 for obm-l-list; Sun, 2 Jul 2000 10:04:16 -0300 Received: from sec.secrel.com.br (sec.secrel.com.br [200.194.96.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id KAA08934 for ; Sun, 2 Jul 2000 10:04:09 -0300 Received: (qmail 6403 invoked from network); 2 Jul 2000 10:01:27 -0000 Received: from unknown (HELO meucompu) (200.194.101.204) by sec.secrel.com.br with SMTP; 2 Jul 2000 10:01:27 -0000 Message-ID: <001901bfe426$27ee92e0$cc65c2c8@meucompu> From: "Filho" To: "=?iso-8859-1?Q?discuss=E3o_de_problemas?=" Subject: =?iso-8859-1?Q?Matem=E1tica_Elementar?= Date: Sun, 2 Jul 2000 10:05:09 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0016_01BFE40D.016B9A00" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.2106.4 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.2106.4 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0016_01BFE40D.016B9A00 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable No livro: Fundamentos da Matem=E1tica Elementar (Gelson Iezzi) volume 7- = p.208, aparece um dispositivo para reconhecer uma c=F4nica, usando um = determinante montado em cima dos coeficientes da equa=E7=E3o do 2=B0 = grau Ax^2+By^2+Cxy++Dx+Ey+F=3D0. Gostaria de saber como chegar a tal = resultado ou mesmo um livro que tenha um coment=E1rio mais espec=EDfico. Grato!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ------=_NextPart_000_0016_01BFE40D.016B9A00 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
No livro: Fundamentos da = Matemática=20 Elementar (Gelson Iezzi) volume 7- p.208, aparece um dispositivo para = reconhecer=20 uma cônica, usando um determinante montado em cima dos = coeficientes da=20 equação do 2° grau Ax^2+By^2+Cxy++Dx+Ey+F=3D0. Gostaria de saber como chegar a tal = resultado=20 ou mesmo um livro que tenha um comentário mais=20 específico.
 
Grato!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
------=_NextPart_000_0016_01BFE40D.016B9A00-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jul 2 13:43:14 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA09326 for obm-l-list; Sun, 2 Jul 2000 13:43:14 -0300 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.128]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA09323 for ; Sun, 2 Jul 2000 13:43:08 -0300 Received: from centroin.com.br (du76c.rjo.centroin.com.br [200.225.58.76]) by trex.centroin.com.br (8.10.1/8.10.1) with ESMTP id e62Ggac15515 for ; Sun, 2 Jul 2000 13:42:36 -0300 (EST) Message-ID: <395F7169.96419DF2@centroin.com.br> Date: Sun, 02 Jul 2000 13:44:25 -0300 From: Augusto Morgado X-Mailer: Mozilla 4.73 [en] (Win95; I) X-Accept-Language: en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Tem sentido ou =?x-user-defined?Q?n=E3o?= ? References: <3889D9A1.B0175DE5@samnet.com.br> Content-Type: text/plain; charset=x-user-defined Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Carlos Gomes wrote: > >                Al? pessoal, tenho uma nova pergunta!. > >            Recentemente conversnado com um amigo meu, que tamb?m ? > professor de Matem?tica, ele me fez a seguinte coloca??o: Carlos, eu > n?o sei se tem sentido mas gostaria de lhe fazer a seguinte pergunta: > "Tra?ando-se uma cerviana interna de um tri?ngulo cujas medidas dos > lados s?o a, b e c, qual a probabilidade dessa cerviana tra?ada ser > uma mediana?" .Eu o respondi: n?o sei se tem sentido e portanto n?o > sei responder. Gostaria que algum(ns) do(s) amigo(s) da lista olhassem > para a quest?o. Ok!. Um abra?o, Carlos A. Gomes Natal/RN Se o processo de traçar a mediana é escolher o vértice e depois escolher no lado oposto o pé, a probabilidade de ser mediana é zero, pois a probabilidade de, escolhendo um ponto em um segmento, este ponto ser o médio vale zero. Morgado From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jul 2 15:52:54 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA09541 for obm-l-list; Sun, 2 Jul 2000 15:52:54 -0300 Received: from hotmail.com (f112.law9.hotmail.com [64.4.9.112]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id PAA09538 for ; Sun, 2 Jul 2000 15:52:31 -0300 Received: (qmail 54699 invoked by uid 0); 2 Jul 2000 18:51:44 -0000 Message-ID: <20000702185144.54698.qmail@hotmail.com> Received: from 200.244.118.32 by www.hotmail.com with HTTP; Sun, 02 Jul 2000 11:51:44 PDT X-Originating-IP: [200.244.118.32] From: "Alexandre Gomes" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Dúvida Date: Sun, 02 Jul 2000 11:51:44 PDT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi pessoal! Isso não tem a ver com olimpíada, mas é uma dúvida sobre Transformada de Laplace(não tem a ver com a parte prática do estudo de circuitos elétricos e eletrônicos, que para mim está bem clara, somente na parte puramente matemática). Como a Transformada de Fourier é importante é importante para chegarmos até a Transformada de Laplace? Em outras palavras, a Transformada de Fourier é uma expressão particular da Transformada de Laplace? Ou eu estou fazendo confusão? Desde já agradeço a ajuda. Alexandre S. Gomes. ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 3 19:03:39 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA13558 for obm-l-list; Mon, 3 Jul 2000 19:03:39 -0300 Received: from usracimj.scj.com (mx2.scj.com [32.97.156.132]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA13555 for ; Mon, 3 Jul 2000 19:03:24 -0300 Received: by usracimj.scj.com with Internet Mail Service (5.5.2650.21) id ; Mon, 3 Jul 2000 17:02:46 -0500 Message-ID: From: "Bezerra, Paulo, A." To: "'obm-l@mat.puc-rio.br'" Subject: RE: Notas Minimas! Date: Mon, 3 Jul 2000 17:02:18 -0500 Importance: high X-Priority: 1 MIME-Version: 1.0 X-Mailer: Internet Mail Service (5.5.2650.21) Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id TAA13556 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br É possível saber os dados estatísticos da primeira fase. Concorrentes por nível e estado, freqüencia de incidência em notas, quantidade de aprovados por estado e nível etc. PAM -----Original Message----- From: Olimpiada Brasileira de Matematica [mailto:obm@impa.br] Sent: Friday, June 30, 2000 20:07 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Notas Minimas! Caros amigos da lista, Ja' estao publicadas na home-page as notas minimas de acertos para classificar para Segunda Fase da XXII OBM. Confiram! http://www.obm.org.br/noticias.htm Abracos, Nelly. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 3 20:27:20 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA14059 for obm-l-list; Mon, 3 Jul 2000 20:27:20 -0300 Received: from sec.secrel.com.br (sec.secrel.com.br [200.194.96.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id UAA14053 for ; Mon, 3 Jul 2000 20:27:10 -0300 Received: (qmail 32670 invoked from network); 3 Jul 2000 20:24:22 -0000 Received: from unknown (HELO meucompu) (200.194.100.77) by sec.secrel.com.br with SMTP; 3 Jul 2000 20:24:22 -0000 Message-ID: <000f01bfe546$5d2c02a0$4d64c2c8@meucompu> From: "Filho" To: "=?iso-8859-1?Q?discuss=E3o_de_problemas?=" Subject: ajuda Date: Mon, 3 Jul 2000 20:28:14 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_000C_01BFE52D.36D23CA0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.2106.4 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.2106.4 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_000C_01BFE52D.36D23CA0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable A, B e C tentam adivinhar um n=FAmero selecionado ao acaso no conjunto = {1,2,3,...,100}. Ganha um pr=EAmio quem mais se aproximar do n=FAmero = selecionado. Se A decidiu-se por 33 e B escolheu 75, qual a melhor = escolha que C pode fazer? (Justifique sua resposta) a) 16 b) 32 c) 48 d) 54 e) 76 ------=_NextPart_000_000C_01BFE52D.36D23CA0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable

A, B e C tentam adivinhar um número selecionado ao acaso no = conjunto=20 {1,2,3,...,100}. Ganha um prêmio quem mais se aproximar do = número=20 selecionado. Se A decidiu-se por 33 e B escolheu 75, qual a melhor = escolha que C=20 pode fazer? (Justifique sua resposta)

a) 16 b) 32 c) 48 d) 54 e) 76

------=_NextPart_000_000C_01BFE52D.36D23CA0-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 3 20:56:08 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA14154 for obm-l-list; Mon, 3 Jul 2000 20:56:08 -0300 Received: from Euler.impa.br (euler.impa.br [147.65.1.3]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id UAA14150 for ; Mon, 3 Jul 2000 20:55:50 -0300 Received: from [147.65.11.4] (dial04.impa.br [147.65.11.4]) by Euler.impa.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id UAA02738 for ; Mon, 3 Jul 2000 20:55:34 -0300 (EST) Message-Id: In-Reply-To: <000d01bfe37e$6e0ea060$8863c2c8@meucompu> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Date: Mon, 3 Jul 2000 20:56:17 +0100 To: obm-l@mat.puc-rio.br From: Eduardo Wagner Subject: Re: sem =?iso-8859-1?Q?c=E1lculo?= Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id UAA14152 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caros amigos: Vamos escrever a equacao x^3 + 2x + k = 0 na forma x^3 = -2x - k. Olhem agora para os graficos das funcoes y = x^3 e y = -2x - k. Fica clarissimo que os graficos se intersectam em apenas um ponto para qualquer k real. Quando k varia, a reta y = -2x - k sobe ou desce mas não muda de direcao. Quando k = 3 a unica solucao da equacao eh x = -1 e quando k = -3, a unica solucao da equacao eh x = 1. Quando k percorre o intervalo ]-3, 3[ as solucoes da equacao percorrem o intervalo ]-1, 1[. Abraco, Wagner. > Caro Wellington no final do seu comentrio, você usou recursos de >clculo. A questão foi de um vestibular que no programa não consta nada de >clculo. Grato pelo primeiro comentrio, mas o que torna a questão >diferente é exatamente não poder usar tais recursos. O problema >continua.................... > Mostre que a equação x^3 + 2x +k=0, com k real no intervalo aberto >]-3,3[, possui exatamente uma raiz no intervalo aberto ]-1,1[. Seja >f(x)=x^3+2x+k; >Primeiramente substituiremos x nos valores extremos do intervalo: >para x=-1 a imagem da funcao estara em ]-6,0[; >para x=1 a imagem da funcao estara em ]0,6[; >ou seja, independente do valor de k dentro do intervalo em questao >( ]-3,3[ ), a funcao retornara valores com sinais opostos. Isso >garante a existencia de um numero impar de raízes nesse intervalo >(Teorema de Bolzano). > >(Para que exista apenas uma raiz, a funcao nesse caso deve ser >estritamente crescente. Analisaremos entao a sua derivada: >f ' (x)= 3x^2+2 > 0 para todo x, o que termina o problema)?????????????????? > >Pensem conosco, grato!!!!!!!! From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 3 21:07:47 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA14244 for obm-l-list; Mon, 3 Jul 2000 21:07:47 -0300 Received: from srv12-sao.sao.terra.com.br (srv12-sao.sao.terra.com.br [200.246.248.67]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA14239 for ; Mon, 3 Jul 2000 21:07:36 -0300 Received: from srv9-sao.sao.terra.com.br (srv9-sao.sao.terra.com.br [200.246.248.46]) by srv12-sao.sao.terra.com.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA29556 for ; Mon, 3 Jul 2000 21:07:05 -0300 Received: from lbm.com.br (dl-max1-idt-C8D5A66C.idt.terra.com.br [200.213.166.108]) by srv9-sao.sao.terra.com.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA15845 for ; Mon, 3 Jul 2000 21:07:02 -0300 Message-ID: <39612A58.3D843ECA@lbm.com.br> Date: Mon, 03 Jul 2000 21:05:44 -0300 From: Ponce X-Mailer: Mozilla 4.72 [en] (Win98; I) X-Accept-Language: pt-BR,en-US,en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: sem =?iso-8859-1?Q?c=E1lculo?= References: <000d01bfe37e$6e0ea060$8863c2c8@meucompu> <395E8B46.EA5233F6@visgraf.impa.br> Content-Type: multipart/alternative; boundary="------------7C62A2274D95193E48AFA4C9" Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --------------7C62A2274D95193E48AFA4C9 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Olá amigos, Mais uma sugestão para esse problema: Usando o teorema de Bolzano, concluimos que sendo f ( f = x^3 +2x + k ) contínua (pois f é polinomial), f(-1)=k-3<0 e f(1)=k+3>0, há pelo menos uma raiz real de f no intervalo (-1,1), o que já foi mencionado pelo Raph e outros. Assim, resta-nos provar que é única a raiz real de f neste intervalo. Para isso, seja a uma das raízes( ou zeros)real de f , no intervalo (-1,1). Da divisão( por exemplo, pelo dispositivo de Briot-Ruffini) do polinomio f por (x - a ), obtemos a identidade: f(x) = (x - a )Q(x) onde Q(x) = x^2 + a x + a ^2 + 2 Como o discrimante ( Delta) de Q(x) é -3.(a ^2) - 8, ou seja, um número real negativo, para qualquer que seja a , podemos concluir que a é a única raiz real de f no intervalo (-1,1). Portanto, f admite uma única raiz real no intervalo (-1,1). Um abraço a todos e desculpe-me por qualquer erro. PONCE Ralph Costa Teixeira wrote: > Hmmm.... sem cálculo fica mais feio... mas dá para fazer... > > Tome f(x)=x^3+2x+k. Eu imagino que no segundo grau ainda dê para usar > o Teorema de Bolzano: como f é contínua (polinomial), f(-1)=k-3<0 e > f(1)=k+3>0, há pelo menos uma raiz em (-1,1). > > Mas se houver duas raízes distintas entre -1 e 1, digamos, a e b, > então > > a^3+2a+k=b^3+3b+k=0 > a^3-b^3+2a-2b=0 > (a-b)(a^2+ab+b^2+2)=0 > > Como supus raízes distintas, podemos cortar (a-b): > > (*) a^2+ab+b^2+2=0 > Mas como |a|,|b|<1, temos |ab|<1, e portanto > a^2+ab+b^2+2 >= ab+2 > -1+2 = 1 > E temos uma contradição. > > (Ou: olhando (*) como uma equação quadrática em a, > delta=(b^2-4b^2-8)<0 e não há raízes; de fato, isto prova que > f(a)=f(b) implica a=b não só para raízes em (-1,1), mas para quaisquer > a e b na reta real; assim, isto prova que f é estritamente crescente) > > Abraço, > Ralph > > > Filho wrote: > > > > Caro Wellington no final do seu comentário, você usou recursos de > > cálculo. A questão foi de um vestibular que no programa não consta > > nada de cálculo. > > Grato pelo primeiro comentário, mas o que torna a questão diferente > > é exatamente não poder usar tais recursos. O problema > > continua.................... > > > > Mostre que a equação x^3 + 2x +k=0, com k real no intervalo aberto > > ]-3,3[, possui exatamente uma raiz no intervalo aberto ]-1,1[. > > > > Seja f(x)=x^3+2x+k; > > Primeiramente substituiremos x nos valores extremos do intervalo: > > para x=-1 a imagem da funcao estara em ]-6,0[; > > para x=1 a imagem da funcao estara em ]0,6[; > > ou seja, independente do valor de k dentro do intervalo em questao > > ( ]-3,3[ ), a funcao retornara valores com sinais opostos. Isso > > garante a existencia de um numero impar de raízes nesse intervalo > > (Teorema de Bolzano). --------------7C62A2274D95193E48AFA4C9 Content-Type: text/html; charset=us-ascii Content-Transfer-Encoding: 7bit Olá amigos,
Mais uma sugestão para esse problema:
Usando o teorema de Bolzano, concluimos que sendo f  ( f = x^3 +2x + k ) contínua (pois f é polinomial), f(-1)=k-3<0 e f(1)=k+3>0,  há pelo menos uma raiz real de f  no intervalo (-1,1), o que já foi  mencionado pelo Raph e outros.
Assim, resta-nos provar  que é única a  raiz real de f neste intervalo.
Para isso, seja  a   uma  das raízes( ou zeros)real  de f ,  no intervalo (-1,1).
Da divisão( por exemplo, pelo dispositivo de Briot-Ruffini) do polinomio f por (x - a ), obtemos a identidade:
f(x)  =  (x - a )Q(x)        onde      Q(x)   =     x^2 + a x + a ^2 + 2
Como o discrimante ( Delta) de Q(x) é  -3.(a ^2) - 8, ou seja, um número real negativo, para qualquer que seja a ,
podemos concluir que  a  é a única raiz real de f no intervalo (-1,1).

Portanto, f admite uma única raiz real no intervalo (-1,1).

Um abraço a todos e desculpe-me por qualquer erro.
PONCE
 

Ralph Costa Teixeira wrote:

        Hmmm.... sem cálculo fica mais feio... mas dá para fazer...

        Tome f(x)=x^3+2x+k. Eu imagino que no segundo grau ainda dê para usar
o Teorema de Bolzano: como f é contínua (polinomial), f(-1)=k-3<0 e
f(1)=k+3>0, há pelo menos uma raiz em (-1,1).

        Mas se houver duas raízes distintas entre -1 e 1, digamos, a e b,
então

        a^3+2a+k=b^3+3b+k=0
        a^3-b^3+2a-2b=0
        (a-b)(a^2+ab+b^2+2)=0

        Como supus raízes distintas, podemos cortar (a-b):

(*)     a^2+ab+b^2+2=0
        Mas como |a|,|b|<1, temos |ab|<1, e portanto
        a^2+ab+b^2+2 >= ab+2 > -1+2 = 1
        E temos uma contradição.

        (Ou: olhando (*) como uma equação quadrática em a,
delta=(b^2-4b^2-8)<0 e não há raízes; de fato, isto prova que
f(a)=f(b) implica a=b não só para raízes em (-1,1), mas para quaisquer
a e b na reta real; assim, isto prova que f é estritamente crescente)

        Abraço,
                Ralph

> Filho wrote:
>
> Caro Wellington no final do seu comentário, você usou recursos de
> cálculo. A questão foi de um vestibular que no programa não consta
> nada de cálculo.
> Grato pelo primeiro comentário, mas o que torna a questão diferente
> é exatamente não poder usar tais recursos. O problema
> continua....................
>
> Mostre que a equação x^3 + 2x +k=0, com k real no intervalo aberto
> ]-3,3[, possui exatamente uma raiz no intervalo aberto ]-1,1[.
>
> Seja f(x)=x^3+2x+k;
> Primeiramente substituiremos x nos valores extremos do intervalo:
> para x=-1 a imagem da funcao estara em ]-6,0[;
> para x=1 a imagem da funcao estara em ]0,6[;
> ou seja, independente do valor de k dentro do intervalo em questao
> ( ]-3,3[ ), a funcao retornara valores com sinais opostos. Isso
> garante a existencia de um numero impar de raízes nesse intervalo
> (Teorema de Bolzano).

--------------7C62A2274D95193E48AFA4C9-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 3 22:51:18 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA14718 for obm-l-list; Mon, 3 Jul 2000 22:51:18 -0300 Received: from Servmail.abeu.com.br (Servmail.abeu.com.br [200.255.31.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA14715 for ; Mon, 3 Jul 2000 22:51:11 -0300 Received: from win1 ([200.244.145.82]) by Servmail.abeu.com.br (8.9.3/8.9.1) with SMTP id WAA09988 for ; Mon, 3 Jul 2000 22:56:56 -0300 Message-ID: <001101bfe559$b314d440$0100a8c0@win1> From: "Edmilson" To: References: <000f01bfe546$5d2c02a0$4d64c2c8@meucompu> Subject: Re: ajuda Date: Mon, 3 Jul 2000 22:46:29 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_000E_01BFE540.86C6B3E0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_000E_01BFE540.86C6B3E0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Filho, Pensando nos n=FAmeros inteiros de 1 a 100, sobre uma reta, vemos = que 32 =E9 a melhor op=E7=E3o para C, pois este teria uma chance de 32 % = de vencer, pois se o n=FAmero selecionado fosse um n=FAmero de 1 a 32, = este venceria. Se C escolhe um n=FAmero entre 33 e 75, a sua maior = chance seria no m=E1ximo 21 %, pois escolhendo o ponto m=E9dio entre 33 = e 75, ou seja 54, este teria uma chance de 21 %, pois ganharia com os = n=FAmeros 44, ..., 64.Escolhendo, por exemplo 34, sua chance seria sair = um n=FAmero de 34 a 54, ou seja 11 %. Para n=FAmeros maiores que 75 esta = chance =E9 no m=E1ximo 25 %. Resposta : 32 Atenciosamente, Edmilson http://www.edmilsonaleixo.cjb.net edmilson@abeunet.com.br ----- Original Message -----=20 From: Filho=20 To: discuss=E3o de problemas=20 Sent: Monday, July 03, 2000 8:28 PM Subject: ajuda A, B e C tentam adivinhar um n=FAmero selecionado ao acaso no conjunto = {1,2,3,...,100}. Ganha um pr=EAmio quem mais se aproximar do n=FAmero = selecionado. Se A decidiu-se por 33 e B escolheu 75, qual a melhor = escolha que C pode fazer? (Justifique sua resposta) a) 16 b) 32 c) 48 d) 54 e) 76 ------=_NextPart_000_000E_01BFE540.86C6B3E0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Filho,
 
    Pensando nos = n=FAmeros inteiros de=20 1 a 100, sobre uma reta, vemos que 32 =E9 a melhor op=E7=E3o para C, = pois este teria=20 uma chance de 32 % de vencer, pois se o n=FAmero selecionado fosse um = n=FAmero de 1=20 a 32, este venceria. Se C escolhe um n=FAmero entre 33 e 75, a sua = maior=20 chance seria no m=E1ximo 21 %, pois escolhendo o ponto m=E9dio entre 33 = e 75, ou=20 seja 54, este teria uma chance de 21 = %, pois=20 ganharia com os n=FAmeros 44,  ..., 64.Escolhendo, por exemplo 34, = sua chance=20 seria sair um n=FAmero de 34 a 54, ou seja 11 %. Para n=FAmeros maiores = que 75 esta=20 chance =E9 no m=E1ximo 25 %.
 
Resposta : 32
 
Atenciosamente,
Edmilson
http://www.edmilsonaleixo.cjb.= net
edmilson@abeunet.com.br
=
----- Original Message -----
From:=20 Filho=20
To: discuss=E3o de=20 problemas
Sent: Monday, July 03, 2000 = 8:28 PM
Subject: ajuda

A, B e C tentam adivinhar um n=FAmero selecionado ao acaso no = conjunto=20 {1,2,3,...,100}. Ganha um pr=EAmio quem mais se aproximar do n=FAmero = selecionado.=20 Se A decidiu-se por 33 e B escolheu 75, qual a melhor escolha que C = pode=20 fazer? (Justifique sua resposta)

a) 16 b) 32 c) 48 d) 54 e) = 76

------=_NextPart_000_000E_01BFE540.86C6B3E0-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 3 22:51:56 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA14729 for obm-l-list; Mon, 3 Jul 2000 22:51:56 -0300 Received: from sec.secrel.com.br (sec.secrel.com.br [200.194.96.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id WAA14726 for ; Mon, 3 Jul 2000 22:51:48 -0300 Received: (qmail 10570 invoked from network); 3 Jul 2000 22:49:02 -0000 Received: from unknown (HELO meucompu) (200.194.100.113) by sec.secrel.com.br with SMTP; 3 Jul 2000 22:49:02 -0000 Message-ID: <001301bfe55a$92963c80$7164c2c8@meucompu> From: "Filho" To: "=?iso-8859-1?Q?discuss=E3o_de_problemas?=" Subject: agradecimento Date: Mon, 3 Jul 2000 22:52:54 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0010_01BFE541.6C4417A0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.2106.4 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.2106.4 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0010_01BFE541.6C4417A0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Caros colegas, os coment=E1rios feitos em cima da quest=E3o abaixo foi = de grande valor. Grato! Mostre que a equa=E7=E3o x^3 + 2x +k=3D0, com k real no intervalo aberto = ]-3,3[, possui exatamente uma raiz no intervalo aberto ]-1,1[. ------=_NextPart_000_0010_01BFE541.6C4417A0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Caros colegas, os comentários feitos em cima = da=20 questão abaixo foi de grande valor. Grato!
 
Mostre que a equação = x^3 + 2x=20 +k=3D0, com k real no intervalo aberto ]-3,3[, possui exatamente uma = raiz no=20 intervalo aberto ]-1,1[.
 
------=_NextPart_000_0010_01BFE541.6C4417A0-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 3 22:54:11 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA14759 for obm-l-list; Mon, 3 Jul 2000 22:54:11 -0300 Received: from sec.secrel.com.br (sec.secrel.com.br [200.194.96.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id WAA14750 for ; Mon, 3 Jul 2000 22:54:01 -0300 Received: (qmail 11106 invoked from network); 3 Jul 2000 22:51:14 -0000 Received: from unknown (HELO meucompu) (200.194.100.113) by sec.secrel.com.br with SMTP; 3 Jul 2000 22:51:14 -0000 Message-ID: <002901bfe55a$e194b5a0$7164c2c8@meucompu> From: "Filho" To: "=?iso-8859-1?Q?discuss=E3o_de_problemas?=" Subject: =?iso-8859-1?Q?Matem=E1tica_Elementar?= Date: Mon, 3 Jul 2000 22:55:07 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0026_01BFE541.BBA8CCA0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.2106.4 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.2106.4 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0026_01BFE541.BBA8CCA0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable No livro: Fundamentos da Matem=E1tica Elementar (Gelson Iezzi) volume 7- = p.208, aparece um dispositivo para reconhecer uma c=F4nica, usando um = determinante montado em cima dos coeficientes da equa=E7=E3o do 2=B0 = grau Ax^2+By^2+Cxy++Dx+Ey+F=3D0. Gostaria de saber como chegar a tal = resultado ou mesmo um livro que tenha um coment=E1rio mais espec=EDfico. =20 Grato!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ------=_NextPart_000_0026_01BFE541.BBA8CCA0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
No livro: Fundamentos da = Matemática=20 Elementar (Gelson Iezzi) volume 7- p.208, aparece um dispositivo para = reconhecer=20 uma cônica, usando um determinante montado em cima dos = coeficientes da=20 equação do 2° grau Ax^2+By^2+Cxy++Dx+Ey+F=3D0. Gostaria de saber como chegar a tal = resultado=20 ou mesmo um livro que tenha um comentário mais=20 específico.
 
Grato!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
------=_NextPart_000_0026_01BFE541.BBA8CCA0-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Tue Jul 4 10:51:50 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA16701 for obm-l-list; Tue, 4 Jul 2000 10:51:50 -0300 Received: from sec.secrel.com.br (sec.secrel.com.br [200.194.96.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id KAA16698 for ; Tue, 4 Jul 2000 10:51:40 -0300 Received: (qmail 4504 invoked from network); 4 Jul 2000 10:45:44 -0000 Received: from unknown (HELO meucompu) (200.194.100.29) by sec.secrel.com.br with SMTP; 4 Jul 2000 10:45:44 -0000 Message-ID: <001501bfe5be$b0a7d800$1d64c2c8@meucompu> From: "Filho" To: "=?iso-8859-1?Q?discuss=E3o_de_problemas?=" Subject: ajuda Date: Tue, 4 Jul 2000 10:49:34 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0012_01BFE5A5.8A3ECFC0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.2106.4 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.2106.4 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0012_01BFE5A5.8A3ECFC0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable 1.Sejam a e b inteiros positivos. Se a^2 + b^2 =E9 divis=EDvel por ab, = mostre que a=3Db. 2. Demonstrar que a equa=E7=E3o x^2 + y^2 - z^2 =3D 1997 tem infinitas = solu=E7=F5es inteiras. Grato!!!!!!!!!!!! ------=_NextPart_000_0012_01BFE5A5.8A3ECFC0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
1.Sejam a e b inteiros positivos. Se a^2 + b^2 = é=20 divisível por ab, mostre que a=3Db.
 
2. Demonstrar que a equação x^2 + y^2 = - z^2 =3D=20 1997 tem infinitas soluções inteiras.
 
 
Grato!!!!!!!!!!!!
------=_NextPart_000_0012_01BFE5A5.8A3ECFC0-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Tue Jul 4 15:59:20 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA18665 for obm-l-list; Tue, 4 Jul 2000 15:59:20 -0300 Received: from simpson.bol.com.br (simpson.bol.com.br [200.246.116.94]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA18662 for ; Tue, 4 Jul 2000 15:59:12 -0300 Received: from bol.com.br (200.246.116.77) by simpson.bol.com.br (NPlex 4.5.050) id 395780490017B9A6 for obm-l@mat.puc-rio.br; Tue, 4 Jul 2000 15:58:14 -0300 Date: Tue, 4 Jul 2000 15:58:14 -0300 Message-Id: Subject: RE: Notas Minimas MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain From: "zampano" To: obm-l@mat.puc-rio.br X-XaM3-API-Version: 1.1.9.1.11 X-SenderIP: 200.254.253.129 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id PAA18663 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Bom acho que eh a primeira vez que escrevo, e gostaria de saber a mesma duvida tb do tipo: A colocacao da primeira fase(primeiro, segundo, etc) Qts concorrentes por estado!! essas coisas!! A OBM fornecerá isso ou sera necessario enviar dados pessoais(do tipo, nome) para saber! Grato, Bruno! > É possível saber os dados estatísticos da primeira fase. > Concorrentes por nível e estado, freqüencia de incidência em notas, > quantidade de aprovados por estado e nível etc. > PAM > -----Original Message----- > From: Olimpiada Brasileira de Matematica [mailto:obm@impa.br] > Sent: Friday, June 30, 2000 20:07 > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: Notas Minimas! > > > Caros amigos da lista, > > Ja' estao publicadas na home-page as > notas minimas de acertos para classificar > para Segunda Fase da XXII OBM. > > Confiram! > > http://www.obm.org.br/noticias.htm > > Abracos, > > Nelly. > _____________________________________________________ Quer linha desocupada nas Internets gratis? Multidiscador BOL. Totalmente gratis! http://www.bol.com.br/multi/ From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Tue Jul 4 23:18:58 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA20170 for obm-l-list; Tue, 4 Jul 2000 23:18:58 -0300 Received: from mail.bridge.com.br (bridge3.bridge.com.br [200.244.126.37]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA20167 for ; Tue, 4 Jul 2000 23:18:50 -0300 Received: from andre (unverified [200.244.126.168]) by mail.bridge.com.br (Vircom SMTPRS 4.1.180) with SMTP id for ; Tue, 4 Jul 2000 23:08:42 -0300 Message-ID: <004301bfe627$6bb1f140$a87ef4c8@andre> From: =?iso-8859-1?Q?Andr=E9_Amiune?= To: References: <001501bfe5be$b0a7d800$1d64c2c8@meucompu> Subject: Re: ajuda Date: Tue, 4 Jul 2000 23:19:15 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0040_01BFE60E.4579BD00" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0040_01BFE60E.4579BD00 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable 1. Acho uma prova poderia ser assim: a^2+b^2 =3D (a+b)^2 -2ab, logo para ab dividir (a^2 + b^2), ab deve = dividir a+b. Se considerarmos b =3D a+ k temos que provar que a(a+k) divide a + (a+k) = =3D 2a + k somente se k=3D0. Uma das condi=E7=F5es para 2a + k ser divis=EDvel por a(a+k) =E9 que 2a = + k seja m=FAltiplo de a e logo k' =3D a.k.=20 Substituindo: a^2(k' +1) deve dividir a(k'+2)=20 Al=E9m de k'+2 ter que ser m=FAltiplo de a, uma das condi=E7=F5es = necess=E1rias para isso ser verdade que que jamias se verificar=E1 para = k <> 0 =E9 k'+1 dividir k'+2, pois ambos s=E3o primos entre si. Logo = a^2(k'+1) s=F3 divide a(k'+2) se k'=3Dk=3D0 e temos a=3Db. Certo????? ----- Original Message -----=20 From: Filho=20 To: discuss=E3o de problemas=20 Sent: Tuesday, July 04, 2000 10:49 AM Subject: ajuda 1.Sejam a e b inteiros positivos. Se a^2 + b^2 =E9 divis=EDvel por ab, = mostre que a=3Db. =20 2. Demonstrar que a equa=E7=E3o x^2 + y^2 - z^2 =3D 1997 tem infinitas = solu=E7=F5es inteiras. =20 =20 Grato!!!!!!!!!!!! ------=_NextPart_000_0040_01BFE60E.4579BD00 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
1. Acho uma prova poderia ser = assim:
 
a^2+b^2 =3D (a+b)^2 -2ab, logo para ab = dividir (a^2 +=20 b^2), ab deve dividir a+b.
 
Se considerarmos b =3D a+ k temos que = provar que=20 a(a+k) divide a + (a+k) =3D 2a + k somente se k=3D0.
 
Uma das condi=E7=F5es para  2a + k = ser divis=EDvel=20 por a(a+k) =E9 que 2a + k seja m=FAltiplo de a e logo k' =3D = a.k. 
Substituindo:
 
a^2(k' +1) deve dividir a(k'+2) =
 
Al=E9m de k'+2 ter que ser = m=FAltiplo de a, uma=20 das condi=E7=F5es necess=E1rias para isso ser verdade que que jamias=20 se verificar=E1 para k <> 0  =E9 k'+1 dividir k'+2, pois = ambos s=E3o=20 primos entre si.  Logo a^2(k'+1) s=F3 divide a(k'+2) se k'=3Dk=3D0 = e temos=20 a=3Db.
 
Certo?????
 
----- Original Message -----
From:=20 Filho=20
To: discuss=E3o de=20 problemas
Sent: Tuesday, July 04, 2000 = 10:49=20 AM
Subject: ajuda

1.Sejam a e b inteiros positivos. Se a^2 + b^2 =E9 = divis=EDvel=20 por ab, mostre que a=3Db.
 
2. Demonstrar que a equa=E7=E3o x^2 + y^2 - z^2 = =3D 1997 tem=20 infinitas solu=E7=F5es inteiras.
 
 
Grato!!!!!!!!!!!!
------=_NextPart_000_0040_01BFE60E.4579BD00-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jul 5 09:04:40 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA21029 for obm-l-list; Wed, 5 Jul 2000 09:04:40 -0300 Received: from barra.domain.com.br (barra.domain.com.br [200.196.128.5]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id JAA21026 for ; Wed, 5 Jul 2000 09:04:21 -0300 Received: from default (200.188.49.214) by barra.domain.com.br (NPlex 4.5.042) id 3963046B00001C4B for obm-l@mat.puc-rio.br; Wed, 5 Jul 2000 09:07:06 -0300 From: "=?iso-8859-1?Q?Jos=E9_Paulo_Carneiro?=" To: Subject: Re: ajuda Date: Wed, 5 Jul 2000 09:01:21 -0300 Message-ID: <01bfe678$bc2d1b80$d631bcc8@default> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_002C_01BFE65F.96DFE380" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.71.1712.3 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.71.1712.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_002C_01BFE65F.96DFE380 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable -----Mensagem original----- De: Andr=E9 Amiune Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Ter=E7a-feira, 4 de Julho de 2000 23:34 Assunto: Re: ajuda 1. Acho uma prova poderia ser assim: a^2+b^2 =3D (a+b)^2 -2ab, logo para ab dividir (a^2 + b^2), ab deve = dividir a+b. =3DNao concordo. isto prova apenas que ab divide (a+b)^2.=20 9 divide 6^2, mas nao divide 6. Se considerarmos b =3D a+ k temos que provar que a(a+k) divide a + (a+k) = =3D 2a + k somente se k=3D0. Uma das condi=E7=F5es para 2a + k ser divis=EDvel por a(a+k) =E9 que 2a = + k seja m=FAltiplo de a e logo k' =3D a.k.=20 Substituindo: a^2(k' +1) deve dividir a(k'+2)=20 =20 Al=E9m de k'+2 ter que ser m=FAltiplo de a, uma das condi=E7=F5es = necess=E1rias para isso ser verdade que que jamias se verificar=E1 para = k <> 0 =E9 k'+1 dividir k'+2, pois ambos s=E3o primos entre si. Logo = a^2(k'+1) s=F3 divide a(k'+2) se k'=3Dk=3D0 e temos a=3Db. Certo????? ----- Original Message -----=20 From: Filho=20 To: discuss=E3o de problemas=20 Sent: Tuesday, July 04, 2000 10:49 AM Subject: ajuda =20 =20 1.Sejam a e b inteiros positivos. Se a^2 + b^2 =E9 divis=EDvel por = ab, mostre que a=3Db. =20 2. Demonstrar que a equa=E7=E3o x^2 + y^2 - z^2 =3D 1997 tem = infinitas solu=E7=F5es inteiras. =20 =20 Grato!!!!!!!!!!!! ------=_NextPart_000_002C_01BFE65F.96DFE380 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
 
-----Mensagem = original-----
De:=20 André Amiune <amiune@bridge.com.br>
P= ara:=20 obm-l@mat.puc-rio.br = <obm-l@mat.puc-rio.br>
D= ata:=20 Terça-feira, 4 de Julho de 2000 23:34
Assunto: Re:=20 ajuda

1. Acho uma prova poderia ser = assim:
 
a^2+b^2 =3D (a+b)^2 -2ab, logo para ab = dividir (a^2 +=20 b^2), ab deve dividir a+b.
 
=3DNao concordo. isto prova apenas que = ab divide=20 (a+b)^2.
9 divide 6^2, mas nao divide = 6. 
 
Se considerarmos b =3D a+ k temos que = provar que=20 a(a+k) divide a + (a+k) =3D 2a + k somente se k=3D0.
 
Uma das condições = para  2a + k=20 ser divisível por a(a+k) é que 2a + k seja múltiplo = de a e=20 logo k' =3D a.k. 
Substituindo:
 
a^2(k' +1) deve dividir a(k'+2) =
 
Além de k'+2 ter que ser=20 múltiplo de a, uma das condições necessárias = para=20 isso ser verdade que que jamias se verificará para k = <>=20 0  é k'+1 dividir k'+2, pois ambos são primos entre = si. =20 Logo a^2(k'+1) só divide a(k'+2) se k'=3Dk=3D0 e temos = a=3Db.
 
Certo?????
 
----- Original Message -----
From:=20 Filho=20
To: discussão de problemas =
Sent: Tuesday, July 04, 2000 = 10:49=20 AM
Subject: ajuda

1.Sejam a e b inteiros positivos. Se a^2 + b^2 = é=20 divisível por ab, mostre que a=3Db.
 
2. Demonstrar que a equação x^2 + = y^2 - z^2=20 =3D 1997 tem infinitas soluções inteiras.
 
 
Grato!!!!!!!!!!!!
------=_NextPart_000_002C_01BFE65F.96DFE380-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jul 5 11:17:34 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA21900 for obm-l-list; Wed, 5 Jul 2000 11:17:34 -0300 Received: from Euler.impa.br (euler.impa.br [147.65.1.3]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA21897 for ; Wed, 5 Jul 2000 11:17:27 -0300 Received: from obm-01 (obm-01.impa.br [147.65.2.170]) by Euler.impa.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id LAA01646 for ; Wed, 5 Jul 2000 11:17:26 -0300 (EST) Message-Id: <3.0.5.32.20000705122753.0079f860@pop.impa.br> X-Sender: obm@pop.impa.br X-Mailer: QUALCOMM Windows Eudora Light Version 3.0.5 (32) Date: Wed, 05 Jul 2000 12:27:53 -0300 To: obm-l@mat.puc-rio.br From: Olimpiada Brasileira de Matematica Subject: Varios. Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="us-ascii" Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caros amigos da lista, Estamos fechando a edicao da Eureka! No.8, estao faltando ainda as solucoes do problema No. 38 publicado na Eureka!No.7 e do problema Cuatico publicado na Eureka! No.5 (este ultimo problema da direito a livro de premio para quem conseguir resolve-lo) ;) *********************************************** Atencao Cariocas da lista: Ja' estao publicadas na home-page as notas de corte para Olimpiada de Matematica do Estado do Rio de Janeiro. Confiram! Abracos, Nelly. http://www.obm.org.br/competicoes.htm From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jul 5 15:21:53 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA23683 for obm-l-list; Wed, 5 Jul 2000 15:21:53 -0300 Received: from zipmail.com (zipmail.com [207.88.19.245]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA23675 for ; Wed, 5 Jul 2000 15:21:37 -0300 Received: from [32.94.119.2] (account ) by zipmail.com (CommuniGate Pro WebUser 3.2b5) with HTTP id 6941932 for ; Wed, 05 Jul 2000 14:22:49 -0400 From: "Paulo Santa Rita" Subject: A Nossa Lista To: obm-l@mat.puc-rio.br X-Mailer: CommuniGate Pro Web Mailer v.3.2b5 Date: Wed, 05 Jul 2000 14:22:49 -0400 Message-ID: In-Reply-To: MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Ola Pessoal, Saudacoes a Todos ! Acredtio que esta mensagem, nao obstante nao ser de carater Matematico, deve interessar a todos. A "Lista de Discussao de Problemas Matematicos", que comumente chamamos simplesmente "Nossa Lista", ja e Materia de Referencia e Material bibliografico para estudantes Universitarios de Fisica e Matematica ... Alguns dias atras recebi um e-mail do Rio de Janeiro, de uma estudante que nao conheco, no qual a Universitaria cita parte de um e-mail sobre Geometria Riemaniana e pede orientacao. Respondi falando o que eu sabia sobre o tema, dando referencias bibliograficas mais completas e perguntando como ela tinha tido acesso aquela mensagem. Ela respondeu dizendo que conseguiu o e-mail atraves do SOFTWARE DE PESQUISA "ALTAVISTA". Eu nao sabia que aquilo que todos nos publicamos esta disponivel na rede. Isto significa que aquilo que todos nos estamos produzindo atraves de simples e-mail´s esta sendo visto literalmente pelo mundo todo e servindo como referencia para trabalhos em Universidades Publicas e Privadas. E tambem uma prova incontestavel do sucesso, do prestigio e do valor deste excelente meio de divulgacao e aprimoramento instituido pelo nosso moderador, Prof Nicolau Saldanha. Penso que tudo isso faz aumentar nossa responsabilidade, que sempre existiu mas pode e deve ser aprimorada, no sentido de procurarmos produzir demonstracoes cada vez mais belas, apresentarmos questoes realmente interessantes e aprimoramentos da Matematica Elementar pouco divulgados. A "Nossa Lista" gera um intercambio imenso, coisa que eu particularmente nunca imaginei que pudesse ocorrer. As pessoas querem se encontrar conosco, virtualmente, atraves de Chat´s; surgem projetos de pesquisa e estudos conjuntos ( problema 3N + 1, redes neurais ) e propostas de palestras ( As pessoas nao sabem quando estao falando com um estudante ou com um Professor ) Enfim, penso que todos nos estamos de parabens; o Prof Nicolau esta de "duplo parabens" e que a "Nossa Lista" e um sucesso. Um Abraco Camarada a Todos Paulo Santa Rita 4,1519,05072000                  ________________________________________________ Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/ From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jul 5 17:39:34 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA24881 for obm-l-list; Wed, 5 Jul 2000 17:39:34 -0300 Received: from mail.bridge.com.br (bridge3.bridge.com.br [200.244.126.37]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA24875 for ; Wed, 5 Jul 2000 17:39:18 -0300 Received: from andre (unverified [200.244.126.114]) by mail.bridge.com.br (Vircom SMTPRS 4.1.180) with SMTP id for ; Wed, 5 Jul 2000 17:36:02 -0300 Message-ID: <005f01bfe6c2$1efe7620$727ef4c8@andre> From: =?iso-8859-1?Q?Andr=E9_Amiune?= To: References: <01bfe678$bc2d1b80$d631bcc8@default> Subject: Re: ajuda Date: Wed, 5 Jul 2000 17:46:38 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_005C_01BFE6A8.F8A4B020" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_005C_01BFE6A8.F8A4B020 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Valeu pelo coment=E1rio... Andr=E9 ----- Original Message -----=20 From: Jos=E9 Paulo Carneiro=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Wednesday, July 05, 2000 9:01 AM Subject: Re: ajuda -----Mensagem original----- De: Andr=E9 Amiune Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Ter=E7a-feira, 4 de Julho de 2000 23:34 Assunto: Re: ajuda 1. Acho uma prova poderia ser assim: a^2+b^2 =3D (a+b)^2 -2ab, logo para ab dividir (a^2 + b^2), ab deve = dividir a+b. =20 =3DNao concordo. isto prova apenas que ab divide (a+b)^2.=20 9 divide 6^2, mas nao divide 6.=20 Se considerarmos b =3D a+ k temos que provar que a(a+k) divide a + = (a+k) =3D 2a + k somente se k=3D0. Uma das condi=E7=F5es para 2a + k ser divis=EDvel por a(a+k) =E9 que = 2a + k seja m=FAltiplo de a e logo k' =3D a.k.=20 Substituindo: a^2(k' +1) deve dividir a(k'+2)=20 =20 Al=E9m de k'+2 ter que ser m=FAltiplo de a, uma das condi=E7=F5es = necess=E1rias para isso ser verdade que que jamias se verificar=E1 para = k <> 0 =E9 k'+1 dividir k'+2, pois ambos s=E3o primos entre si. Logo = a^2(k'+1) s=F3 divide a(k'+2) se k'=3Dk=3D0 e temos a=3Db. Certo????? ----- Original Message -----=20 From: Filho=20 To: discuss=E3o de problemas=20 Sent: Tuesday, July 04, 2000 10:49 AM Subject: ajuda 1.Sejam a e b inteiros positivos. Se a^2 + b^2 =E9 divis=EDvel por = ab, mostre que a=3Db. =20 2. Demonstrar que a equa=E7=E3o x^2 + y^2 - z^2 =3D 1997 tem = infinitas solu=E7=F5es inteiras. =20 =20 Grato!!!!!!!!!!!! ------=_NextPart_000_005C_01BFE6A8.F8A4B020 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Valeu pelo coment=E1rio...
 
Andr=E9
----- Original Message -----
From:=20 Jos=E9 Paulo Carneiro
Sent: Wednesday, July 05, 2000 = 9:01=20 AM
Subject: Re: ajuda

 
-----Mensagem = original-----
De:=20 Andr=E9 Amiune <amiune@bridge.com.br>
P= ara:=20 obm-l@mat.puc-rio.br = <obm-l@mat.puc-rio.br>
D= ata:=20 Ter=E7a-feira, 4 de Julho de 2000 23:34
Assunto: Re:=20 ajuda

1. Acho uma prova poderia ser = assim:
 
a^2+b^2 =3D (a+b)^2 -2ab, logo para = ab dividir (a^2=20 + b^2), ab deve dividir a+b.
 
=3DNao concordo. isto prova apenas = que ab divide=20 (a+b)^2.
9 divide 6^2, mas nao divide=20 6. 
 
Se considerarmos b =3D a+ k temos que = provar que=20 a(a+k) divide a + (a+k) =3D 2a + k somente se k=3D0.
 
Uma das condi=E7=F5es para  2a + = k ser divis=EDvel=20 por a(a+k) =E9 que 2a + k seja m=FAltiplo de a e logo k' =3D = a.k. 
Substituindo:
 
a^2(k' +1) deve dividir a(k'+2) =
 
Al=E9m de k'+2 ter que ser = m=FAltiplo de a, uma=20 das condi=E7=F5es necess=E1rias para isso ser verdade que que jamias=20 se verificar=E1 para k <> 0  =E9 k'+1 dividir k'+2, = pois ambos s=E3o=20 primos entre si.  Logo a^2(k'+1) s=F3 divide a(k'+2) se = k'=3Dk=3D0 e temos=20 a=3Db.
 
Certo?????
 
----- Original Message -----
From:=20 Filho=20
To: discuss=E3o de=20 problemas
Sent: Tuesday, July 04, 2000 = 10:49=20 AM
Subject: ajuda

1.Sejam a e b inteiros positivos. Se a^2 + b^2 = =E9 divis=EDvel=20 por ab, mostre que a=3Db.
 
2. Demonstrar que a equa=E7=E3o x^2 + y^2 - z^2 = =3D 1997 tem=20 infinitas solu=E7=F5es inteiras.
 
 
Grato!!!!!!!!!!!!
<= /HTML> ------=_NextPart_000_005C_01BFE6A8.F8A4B020-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jul 5 22:49:05 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA25970 for obm-l-list; Wed, 5 Jul 2000 22:49:05 -0300 Received: from sec.secrel.com.br (sec.secrel.com.br [200.194.96.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id WAA25967 for ; Wed, 5 Jul 2000 22:48:56 -0300 Received: (qmail 6900 invoked from network); 5 Jul 2000 22:46:13 -0000 Received: from unknown (HELO meucompu) (200.194.99.163) by sec.secrel.com.br with SMTP; 5 Jul 2000 22:46:13 -0000 Message-ID: <001301bfe6eb$c9a378e0$a363c2c8@meucompu> From: "Filho" To: "=?iso-8859-1?Q?discuss=E3o_de_problemas?=" Subject: =?iso-8859-1?B?YXByZWNpYefjbw==?= Date: Wed, 5 Jul 2000 22:44:54 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0010_01BFE6D2.A3208000" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.2106.4 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.2106.4 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0010_01BFE6D2.A3208000 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable 1.Sejam a e b inteiros positivos. Se a^2 + b^2 =E9 divis=EDvel por ab, = mostre que a=3Db. Coment=E1rios: Melhorando id=E9ias a ^2 + b^2 =3D ( a + b ) ^2 - 2ab =20 Veja: 1. Como ab divide a ^2 + b^2 (hip=F3tese), ent=E3o, ab dever=E1 = dividir ( a + b ) ^2 . 2. Se a for par e b for =EDmpar ent=E3o ab =E9 par e ( a + b ) ^2 = =E9 =EDmpar ( absurdo: par n=E3o divide =EDmpar) 3. Se a for =EDmpar e b for par (an=E1logo) 4. Se a for =EDmpar e b for =EDmpar (absurdo: =EDmpar n=E3o divide = par) Ent=E3o, s=F3 resta a possibilidade (ambos s=E3o pares). =20 Veja: Se a e b forem pares, ent=E3o, a =E9 da forma 2m e b =E9 da forma = 2n. Temos, agora: =20 [2m.2n divide ( 2m + 2n ) ^2] implica [4mn divide 4m^2 + 4n^2 + = 8mn] implica =20 =20 [m/n + n/m + 2] =E9 inteiro. A =FAltima senten=E7a s=F3 ocorre quando m =3D n (evidente). Portanto, podemos concluir a =3D b . =20 Valeu!!!!!!!!!!!!!!!! =20 ------=_NextPart_000_0010_01BFE6D2.A3208000 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
1.Sejam a e b inteiros positivos. Se a^2 + b^2 = é=20 divisível por ab, mostre que a=3Db.
 
    Comentários: Melhorando=20 idéias
    a ^2 + b^2 =3D ( a + b ) ^2  = -=20 2ab
   
    = Veja:
    1. Como ab divide a ^2 + b^2=20 (hipótese), então, ab deverá dividir  ( a + b = )=20 ^2  .
    2. Se a for par e b for = ímpar=20 então ab é par e  ( a + b ) ^2  é = ímpar (=20 absurdo: par não divide ímpar)
    3. Se a for ímpar e b for = par=20 (análogo)
    4. Se a for ímpar e b for=20 ímpar (absurdo: ímpar não divide par)
    Então, só resta a=20 possibilidade (ambos são pares).
   
    Veja:
    Se a e b forem pares, = então, a=20 é da forma 2m e b é da forma 2n.
    Temos, agora:
   
    [2m.2n divide ( 2m + 2n ) = ^2]  implica=20 [4mn divide  4m^2 + 4n^2 + 8mn] implica 
    =20
    [m/n + n/m + 2] = é=20 inteiro.
 
    A última=20 sentença só ocorre quando m =3D n (evidente).
 
    Portanto, podemos = concluir a=20 =3D b .
 
   
    =20 Valeu!!!!!!!!!!!!!!!!
   
 
 
 
------=_NextPart_000_0010_01BFE6D2.A3208000-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jul 5 23:09:56 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA26053 for obm-l-list; Wed, 5 Jul 2000 23:09:56 -0300 Received: from ls02.esquadro.com.br (ls02.esquadro.com.br [200.214.4.1]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA26050 for ; Wed, 5 Jul 2000 23:09:49 -0300 Received: from ra018.esquadro.com.br (ra018.esquadro.com.br [200.214.4.34]) by ls02.esquadro.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id XAA23266 for ; Wed, 5 Jul 2000 23:22:28 -0300 Received: by ra018.esquadro.com.br with Microsoft Mail id <01BFE6D6.66DFDC40@ra018.esquadro.com.br>; Wed, 5 Jul 2000 23:11:51 -0300 Message-ID: <01BFE6D6.66DFDC40@ra018.esquadro.com.br> From: Alexandre To: "'obm-l@mat.puc-rio.br'" Subject: RE: A Nossa Lista Date: Wed, 5 Jul 2000 23:11:43 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/mixed; boundary="---- =_NextPart_000_01BFE6D6.66F0A520" Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br ------ =_NextPart_000_01BFE6D6.66F0A520 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Oi Gente,=20 Eu, assim como o Paulo Santa Rita se n=E3o me engano, estou = curtindo umas "f=E9rias for=E7adas" devido a uma ligeira greve que se = implantou na UERJ, e infelizmente devido ao trabalho, cansa=E7o e um = certo des=E2nimo tenho sido um tanto quanto relapso com os estudos. Mas = n=E3o sei nem porque estou falando sobre isso, talvez porque os = considere como amigos e a=ED resolvi soltar o verbo (no bom = sentido...claro!). Vamos ao que interessa:=20 Pegando uma carona no que falou o nosso sempre sensato e competente = colega Paulo Santa Rita, gostaria de fazer uma proposta aos j=E1 = professores e tamb=E9m aberta aos colegas estudantes.=20 Alguns t=F3picos de que tratamos aqui na "nossa lista" (como chamou = o Paulo Santa Rita) n=E3o s=E3o de profundo conhecimento dos iniciantes = na matem=E1tica e, na verdade, da maioria dos estudantes de n=EDvel = m=E9dio ou elementar (as vezes at=E9 mesmo os de n=EDvel superior), = assim sugiro a cria=E7=E3o de p=E1ginas de conte=FAdo, algum tipo de = apostilas de refer=EAncia sobre assuntos os mais variados = (preferencialmente pertinentes aos programas de n=EDvel m=E9dio e = superior) para servir de fonte para consulta e estudo dos interessados. Cito alguns exemplos: h=E1 alunos na faculdade em que curso = matem=E1tica (a UERJ) que nunca tinham ouvido falar de Teoremas como o = de Bolzanno (polin=F4mios) ou os de Ceva e Menelaus (geometria), = Congru=EAncias m=F3dulo n , essas coisas. Isso s=F3 falando de = conte=FAdos b=E1sicos... Imaginem s=F3, se n=E3o estiverem bem = cal=E7ados, o que ocorrer=E1 quando entrarem na matem=E1tica mais = abstrata e complexa... Acredito n=E3o estar sendo idiota nessa sugest=E3o, acho que isso = ajudaria a muitos... Abra=E7os,=20 Alexandre Vellasquez. ---------- De: Paulo Santa Rita[SMTP:psr@zipmail.com] Enviada em: Quarta-feira, 5 de Julho de 2000 15:22 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: A Nossa Lista Ola Pessoal, Saudacoes a Todos ! Acredtio que esta mensagem, nao obstante nao ser de carater Matematico, deve interessar a todos. A "Lista de Discussao de Problemas Matematicos", que comumente chamamos simplesmente "Nossa Lista", ja e Materia de Referencia e Material bibliografico para estudantes Universitarios de Fisica e Matematica ... Alguns dias atras recebi um e-mail do Rio de Janeiro, de uma estudante que nao conheco, no qual a Universitaria cita parte de um e-mail sobre Geometria Riemaniana e pede orientacao. Respondi falando o que eu sabia sobre o tema, dando referencias bibliograficas mais completas e perguntando como ela tinha tido acesso aquela mensagem. Ela respondeu dizendo que conseguiu o e-mail atraves do SOFTWARE DE PESQUISA "ALTAVISTA".=20 Eu nao sabia que aquilo que todos nos publicamos esta disponivel na rede. Isto significa que aquilo que todos nos estamos produzindo atraves de simples e-mail=B4s esta sendo visto literalmente pelo mundo todo e servindo como referencia para trabalhos em Universidades Publicas e Privadas. E tambem uma prova incontestavel do sucesso, do prestigio e do valor deste excelente meio de divulgacao e aprimoramento instituido pelo nosso moderador, Prof Nicolau Saldanha. Penso que tudo isso faz aumentar nossa responsabilidade, que sempre existiu mas pode e deve ser aprimorada, no sentido de procurarmos produzir demonstracoes cada vez mais belas, apresentarmos questoes realmente interessantes e aprimoramentos da Matematica Elementar pouco divulgados. A "Nossa Lista" gera um intercambio imenso, coisa que eu particularmente nunca imaginei que pudesse ocorrer. As pessoas querem se encontrar conosco, virtualmente, atraves de Chat=B4s; surgem projetos de pesquisa e estudos conjuntos ( problema 3N + 1, redes neurais ) e propostas de palestras ( As pessoas nao sabem quando estao falando com um estudante ou com um Professor ) Enfim, penso que todos nos estamos de parabens; o Prof Nicolau esta de "duplo parabens" e que a "Nossa Lista" e um sucesso. Um Abraco Camarada a Todos Paulo Santa Rita 4,1519,05072000=20 =A0=A0=A0=A0=A0=A0=A0=A0=A0=A0=A0=A0=A0=A0=A0=A0 ________________________________________________ Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/ ------ =_NextPart_000_01BFE6D6.66F0A520 Content-Type: application/ms-tnef Content-Transfer-Encoding: base64 eJ8+IjMCAQaQCAAEAAAAAAABAAEAAQeQBgAIAAAA5AQAAAAAAADoAAENgAQAAgAAAAIAAgABBJAG ACABAAABAAAADAAAAAMAADADAAAACwAPDgAAAAACAf8PAQAAAEcAAAAAAAAAgSsfpL6jEBmdbgDd AQ9UAgAAAABvYm0tbEBtYXQucHVjLXJpby5icgBTTVRQAG9ibS1sQG1hdC5wdWMtcmlvLmJyAAAe AAIwAQAAAAUAAABTTVRQAAAAAB4AAzABAAAAFQAAAG9ibS1sQG1hdC5wdWMtcmlvLmJyAAAAAAMA FQwBAAAAAwD+DwYAAAAeAAEwAQAAABcAAAAnb2JtLWxAbWF0LnB1Yy1yaW8uYnInAAACAQswAQAA ABoAAABTTVRQOk9CTS1MQE1BVC5QVUMtUklPLkJSAAAAAwAAOQAAAAALAEA6AQAAAAIB9g8BAAAA BAAAAAAAAANxMgEIgAcAGAAAAElQTS5NaWNyb3NvZnQgTWFpbC5Ob3RlADEIAQSAAQASAAAAUkU6 IEEgTm9zc2EgTGlzdGEAcwUBBYADAA4AAADQBwcABQAXAAsAKwADADMBASCAAwAOAAAA0AcHAAUA 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2000 23:22:45 -0300 Message-ID: <006301bfe6f9$e44c15e0$b0a8d4c8@mjsanto> From: "Marcos Eike Tinen dos Santos" To: References: <01BFE6D6.66DFDC40@ra018.esquadro.com.br> Subject: Re: A Nossa Lista Date: Thu, 6 Jul 2000 00:25:47 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br ajudaria e muito!!!!!!!!! Muito mesmo!!! Se vcs tivessem tempo ( professores e alunos) poderíamos criar um chat no Palace... assim, se fosse possível todo final de semana, faríamos palestras. Ou de mês em mês... sobre matemática, iqual ocorre no congresso de matemática mesmo!!! Para quem tem um tempinho dê uma olhada no site www.tresd1.com.br (lá tem as instruções de como entrar no chat que o autor criou, veja que é como na realidade.) Ats, Marcos Eike ----- Original Message ----- From: Alexandre To: Sent: Quarta-feira, 5 de Julho de 2000 23:11 Subject: RE: A Nossa Lista Oi Gente, Eu, assim como o Paulo Santa Rita se não me engano, estou curtindo umas "férias forçadas" devido a uma ligeira greve que se implantou na UERJ, e infelizmente devido ao trabalho, cansaço e um certo desânimo tenho sido um tanto quanto relapso com os estudos. Mas não sei nem porque estou falando sobre isso, talvez porque os considere como amigos e aí resolvi soltar o verbo (no bom sentido...claro!). Vamos ao que interessa: Pegando uma carona no que falou o nosso sempre sensato e competente colega Paulo Santa Rita, gostaria de fazer uma proposta aos já professores e também aberta aos colegas estudantes. Alguns tópicos de que tratamos aqui na "nossa lista" (como chamou o Paulo Santa Rita) não são de profundo conhecimento dos iniciantes na matemática e, na verdade, da maioria dos estudantes de nível médio ou elementar (as vezes até mesmo os de nível superior), assim sugiro a criação de páginas de conteúdo, algum tipo de apostilas de referência sobre assuntos os mais variados (preferencialmente pertinentes aos programas de nível médio e superior) para servir de fonte para consulta e estudo dos interessados. Cito alguns exemplos: há alunos na faculdade em que curso matemática (a UERJ) que nunca tinham ouvido falar de Teoremas como o de Bolzanno (polinômios) ou os de Ceva e Menelaus (geometria), Congruências módulo n , essas coisas. Isso só falando de conteúdos básicos... Imaginem só, se não estiverem bem calçados, o que ocorrerá quando entrarem na matemática mais abstrata e complexa... Acredito não estar sendo idiota nessa sugestão, acho que isso ajudaria a muitos... Abraços, Alexandre Vellasquez. ---------- De: Paulo Santa Rita[SMTP:psr@zipmail.com] Enviada em: Quarta-feira, 5 de Julho de 2000 15:22 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: A Nossa Lista Ola Pessoal, Saudacoes a Todos ! Acredtio que esta mensagem, nao obstante nao ser de carater Matematico, deve interessar a todos. A "Lista de Discussao de Problemas Matematicos", que comumente chamamos simplesmente "Nossa Lista", ja e Materia de Referencia e Material bibliografico para estudantes Universitarios de Fisica e Matematica ... Alguns dias atras recebi um e-mail do Rio de Janeiro, de uma estudante que nao conheco, no qual a Universitaria cita parte de um e-mail sobre Geometria Riemaniana e pede orientacao. Respondi falando o que eu sabia sobre o tema, dando referencias bibliograficas mais completas e perguntando como ela tinha tido acesso aquela mensagem. Ela respondeu dizendo que conseguiu o e-mail atraves do SOFTWARE DE PESQUISA "ALTAVISTA". Eu nao sabia que aquilo que todos nos publicamos esta disponivel na rede. Isto significa que aquilo que todos nos estamos produzindo atraves de simples e-mail´s esta sendo visto literalmente pelo mundo todo e servindo como referencia para trabalhos em Universidades Publicas e Privadas. E tambem uma prova incontestavel do sucesso, do prestigio e do valor deste excelente meio de divulgacao e aprimoramento instituido pelo nosso moderador, Prof Nicolau Saldanha. Penso que tudo isso faz aumentar nossa responsabilidade, que sempre existiu mas pode e deve ser aprimorada, no sentido de procurarmos produzir demonstracoes cada vez mais belas, apresentarmos questoes realmente interessantes e aprimoramentos da Matematica Elementar pouco divulgados. A "Nossa Lista" gera um intercambio imenso, coisa que eu particularmente nunca imaginei que pudesse ocorrer. As pessoas querem se encontrar conosco, virtualmente, atraves de Chat´s; surgem projetos de pesquisa e estudos conjuntos ( problema 3N + 1, redes neurais ) e propostas de palestras ( As pessoas nao sabem quando estao falando com um estudante ou com um Professor ) Enfim, penso que todos nos estamos de parabens; o Prof Nicolau esta de "duplo parabens" e que a "Nossa Lista" e um sucesso. Um Abraco Camarada a Todos Paulo Santa Rita 4,1519,05072000 ________________________________________________ Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/ From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jul 6 00:24:18 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id AAA26410 for obm-l-list; Thu, 6 Jul 2000 00:24:18 -0300 Received: from krjsw.carajasnet.com.br ([200.212.168.161]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id AAA26407 for ; Thu, 6 Jul 2000 00:24:07 -0300 Received: from mjsanto ([200.212.168.176]) by krjsw.carajasnet.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id XAA22298 for ; Wed, 5 Jul 2000 23:25:04 -0300 Message-ID: <007401bfe6fa$35e9f200$b0a8d4c8@mjsanto> From: "Marcos Eike Tinen dos Santos" To: References: <01BFE6D6.66DFDC40@ra018.esquadro.com.br> Subject: Re: A Nossa Lista Date: Thu, 6 Jul 2000 00:28:07 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Eu também, poderia pedir ao autor, que eu conheço, para liberar uma sala só para gente. Tudo em família!!! Seria bastante divertido e didático. Ats, Marcos Eike ----- Original Message ----- From: Alexandre To: Sent: Quarta-feira, 5 de Julho de 2000 23:11 Subject: RE: A Nossa Lista Oi Gente, Eu, assim como o Paulo Santa Rita se não me engano, estou curtindo umas "férias forçadas" devido a uma ligeira greve que se implantou na UERJ, e infelizmente devido ao trabalho, cansaço e um certo desânimo tenho sido um tanto quanto relapso com os estudos. Mas não sei nem porque estou falando sobre isso, talvez porque os considere como amigos e aí resolvi soltar o verbo (no bom sentido...claro!). Vamos ao que interessa: Pegando uma carona no que falou o nosso sempre sensato e competente colega Paulo Santa Rita, gostaria de fazer uma proposta aos já professores e também aberta aos colegas estudantes. Alguns tópicos de que tratamos aqui na "nossa lista" (como chamou o Paulo Santa Rita) não são de profundo conhecimento dos iniciantes na matemática e, na verdade, da maioria dos estudantes de nível médio ou elementar (as vezes até mesmo os de nível superior), assim sugiro a criação de páginas de conteúdo, algum tipo de apostilas de referência sobre assuntos os mais variados (preferencialmente pertinentes aos programas de nível médio e superior) para servir de fonte para consulta e estudo dos interessados. Cito alguns exemplos: há alunos na faculdade em que curso matemática (a UERJ) que nunca tinham ouvido falar de Teoremas como o de Bolzanno (polinômios) ou os de Ceva e Menelaus (geometria), Congruências módulo n , essas coisas. Isso só falando de conteúdos básicos... Imaginem só, se não estiverem bem calçados, o que ocorrerá quando entrarem na matemática mais abstrata e complexa... Acredito não estar sendo idiota nessa sugestão, acho que isso ajudaria a muitos... Abraços, Alexandre Vellasquez. ---------- De: Paulo Santa Rita[SMTP:psr@zipmail.com] Enviada em: Quarta-feira, 5 de Julho de 2000 15:22 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: A Nossa Lista Ola Pessoal, Saudacoes a Todos ! Acredtio que esta mensagem, nao obstante nao ser de carater Matematico, deve interessar a todos. A "Lista de Discussao de Problemas Matematicos", que comumente chamamos simplesmente "Nossa Lista", ja e Materia de Referencia e Material bibliografico para estudantes Universitarios de Fisica e Matematica ... Alguns dias atras recebi um e-mail do Rio de Janeiro, de uma estudante que nao conheco, no qual a Universitaria cita parte de um e-mail sobre Geometria Riemaniana e pede orientacao. Respondi falando o que eu sabia sobre o tema, dando referencias bibliograficas mais completas e perguntando como ela tinha tido acesso aquela mensagem. Ela respondeu dizendo que conseguiu o e-mail atraves do SOFTWARE DE PESQUISA "ALTAVISTA". Eu nao sabia que aquilo que todos nos publicamos esta disponivel na rede. Isto significa que aquilo que todos nos estamos produzindo atraves de simples e-mail´s esta sendo visto literalmente pelo mundo todo e servindo como referencia para trabalhos em Universidades Publicas e Privadas. E tambem uma prova incontestavel do sucesso, do prestigio e do valor deste excelente meio de divulgacao e aprimoramento instituido pelo nosso moderador, Prof Nicolau Saldanha. Penso que tudo isso faz aumentar nossa responsabilidade, que sempre existiu mas pode e deve ser aprimorada, no sentido de procurarmos produzir demonstracoes cada vez mais belas, apresentarmos questoes realmente interessantes e aprimoramentos da Matematica Elementar pouco divulgados. A "Nossa Lista" gera um intercambio imenso, coisa que eu particularmente nunca imaginei que pudesse ocorrer. As pessoas querem se encontrar conosco, virtualmente, atraves de Chat´s; surgem projetos de pesquisa e estudos conjuntos ( problema 3N + 1, redes neurais ) e propostas de palestras ( As pessoas nao sabem quando estao falando com um estudante ou com um Professor ) Enfim, penso que todos nos estamos de parabens; o Prof Nicolau esta de "duplo parabens" e que a "Nossa Lista" e um sucesso. Um Abraco Camarada a Todos Paulo Santa Rita 4,1519,05072000 ________________________________________________ Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/ From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jul 6 03:18:13 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id DAA26856 for obm-l-list; Thu, 6 Jul 2000 03:18:13 -0300 Received: from CorpMail.zip.net (corpmail.zip.net [200.245.232.68]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id DAA26853 for ; Thu, 6 Jul 2000 03:18:06 -0300 Received: from brunofcl.internetcom (200.187.192.98) by CorpMail.zip.net (5.0.040) id 395A6E69000DBF51 for obm-l@mat.puc-rio.br; Thu, 6 Jul 2000 03:20:11 -0300 Message-Id: <3.0.6.32.20000706031928.007ca420@pop-gw.zip.net> X-Sender: superbr@pop-gw.zip.net X-Mailer: QUALCOMM Windows Eudora Light Version 3.0.6 (32) Date: Thu, 06 Jul 2000 03:19:28 -0300 To: obm-l@mat.puc-rio.br From: Bruno Leite Subject: Re: apreciaçãofjbw== In-Reply-To: <001301bfe6eb$c9a378e0$a363c2c8@meucompu> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br (...) 4. Se a for ímpar e b for ímpar (absurdo: ímpar não divide par) ****************Isso não é verdade!!!!!!!!!!!!************** (...) ----------------------------- Suponha que mdc(a,b)=g, e que a=gA, b=gB. é claro que mdc(A,B)=1. Se (a^2+b^2)/ab é inteiro, então (A^2+B^2)/AB é inteiro. Em particular, (A^2+B^2)/A é inteiro e por isso A divide B^2, mas A é primo com B e portanto A=1. Analogamente B=1 e por isso a=b.(está tudo certo, não?) Bruno Leite From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jul 6 08:57:53 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id IAA27546 for obm-l-list; Thu, 6 Jul 2000 08:57:53 -0300 Received: from aquarius.ime.eb.br (aquarius.ime.eb.br [200.20.120.44]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id IAA27543 for ; Thu, 6 Jul 2000 08:57:46 -0300 Received: from epq.ime.eb.br (epq.ime.eb.br [200.20.120.217]) by aquarius.ime.eb.br (8.9.1a/8.9.1) with ESMTP id JAA11848 for ; Thu, 6 Jul 2000 09:05:00 -0300 Received: from EPQ/SpoolDir by epq.ime.eb.br (Mercury 1.47); 6 Jul 00 09:01:49 -0200 Received: from SpoolDir by EPQ (Mercury 1.47); 6 Jul 00 09:01:28 -0200 From: "Wellington Ribeiro de Assis" Organization: IME To: "discusspio de problemas" Date: Thu, 6 Jul 2000 09:01:28 -2:00 MIME-Version: 1.0 Content-type: text/plain; charset=US-ASCII Content-transfer-encoding: 7BIT Subject: Variaveis Complexas - Estimativas de Cauchy X-mailer: Pegasus Mail for Windows (v2.42a) Message-ID: Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Ola turma, Desigualdade de Cauchy (Estimativa de Cauchy) Seja C o circulo de raio R centrado em z = a. Se f(z) eh uma funcao analitica em {z; |z-a| <= r}, entao |derivada n-esima de [f(a)]| <= M n!/ r^n n = 0,1,2,... onde M eh uma constante tal que |f(z)| < M sobre C, i.e, M eh uma cota superior de |f(z)| sobre C. PROBLEMAS 1 - (a) Use a desigualdade de Cauchy para obter estimativas para a derivada de sen z em z = 0 e (b) determine quao sao boas essas estimativas. 2 - Discuta a desigualdade de Cauchy para a funcao f(z) = e^(-1)/z^2 na vizinhanca de z = 0. Ate a proxima, abracos e bons estudos Wellington From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jul 6 21:23:33 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA32011 for obm-l-list; Thu, 6 Jul 2000 21:23:33 -0300 Received: from barra.domain.com.br (barra.domain.com.br [200.196.128.5]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA32008 for ; Thu, 6 Jul 2000 21:23:25 -0300 Received: from default (200.188.49.76) by barra.domain.com.br (NPlex 4.5.042) id 3963046B0003C304 for obm-l@mat.puc-rio.br; Thu, 6 Jul 2000 21:26:41 -0300 From: "=?iso-8859-1?Q?Jos=E9_Paulo_Carneiro?=" To: Subject: =?iso-8859-1?B?UmU6IGFwcmVjaWHn428=?= Date: Thu, 6 Jul 2000 21:13:14 -0300 Message-ID: <01bfe7a8$249304c0$LocalHost@default> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0011_01BFE78E.FF45CCC0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.71.1712.3 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.71.1712.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0011_01BFE78E.FF45CCC0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable -----Mensagem original----- De: Filho Para: discuss=E3o de problemas Data: Quarta-feira, 5 de Julho de 2000 22:50 Assunto: aprecia=E7=E3o 1.Sejam a e b inteiros positivos. Se a^2 + b^2 =E9 divis=EDvel por ab, = mostre que a=3Db. =20 Coment=E1rios: Melhorando id=E9ias a ^2 + b^2 =3D ( a + b ) ^2 - 2ab =20 Veja: 1. Como ab divide a ^2 + b^2 (hip=F3tese), ent=E3o, ab dever=E1 = dividir ( a + b ) ^2 . 2. Se a for par e b for =EDmpar ent=E3o ab =E9 par e ( a + b ) ^2 = =E9 =EDmpar ( absurdo: par n=E3o divide =EDmpar) 3. Se a for =EDmpar e b for par (an=E1logo) 4. Se a for =EDmpar e b for =EDmpar (absurdo: =EDmpar n=E3o divide = par) Ent=E3o, s=F3 resta a possibilidade (ambos s=E3o pares). =20 Veja: Se a e b forem pares, ent=E3o, a =E9 da forma 2m e b =E9 da forma = 2n. Temos, agora: =20 [2m.2n divide ( 2m + 2n ) ^2] implica [4mn divide 4m^2 + 4n^2 + = 8mn] implica =20 =20 [m/n + n/m + 2] =E9 inteiro. =20 A =FAltima senten=E7a s=F3 ocorre quando m =3D n (evidente). =20 =3D=3D Sem querer ser chato: m/n+n/m+2 eh inteiro se e so se = m/n+n/m=3D(m^2+n^2)/(mn) eh inteiro, ou seja, se e so se mn divide m^2+n^2.=20 Voce disse que eh evidente que isto so ocorre quando m=3Dn. Mas isto eh exatamente o problema inicial, com m e n no lugar de a e b. = E agora? JP Portanto, podemos concluir a =3D b . =20 =20 Valeu!!!!!!!!!!!!!!!! =20 =20 =20 =20 ------=_NextPart_000_0011_01BFE78E.FF45CCC0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
 
-----Mensagem = original-----
De:=20 Filho <plutao@secrel.com.br>
P= ara:=20 discussão de problemas <obm-rj@mat.puc-rio.br>
Data:=20 Quarta-feira, 5 de Julho de 2000 22:50
Assunto:=20 apreciação

1.Sejam a e b inteiros positivos. Se a^2 + b^2 = é=20 divisível por ab, mostre que a=3Db.
 
    Comentários: Melhorando=20 idéias
    a ^2 + b^2 =3D ( a + b ) ^2  = -=20 2ab
   
    = Veja:
    1. Como ab divide a ^2 + b^2=20 (hipótese), então, ab deverá dividir  ( a + b = )=20 ^2  .
    2. Se a for par e b for = ímpar=20 então ab é par e  ( a + b ) ^2  é = ímpar (=20 absurdo: par não divide ímpar)
    3. Se a for ímpar e b for = par=20 (análogo)
    4. Se a for ímpar e b for=20 ímpar (absurdo: ímpar não divide par)
    Então, só resta a=20 possibilidade (ambos são pares).
   
    Veja:
    Se a e b forem pares, = então, a=20 é da forma 2m e b é da forma 2n.
    Temos, agora:
   
    [2m.2n divide ( 2m + 2n ) = ^2]  implica=20 [4mn divide  4m^2 + 4n^2 + 8mn] implica 
    =20
    [m/n + n/m + 2] = é=20 inteiro.
 
    A última=20 sentença só ocorre quando m =3D n (evidente).
  
=3D=3D Sem querer ser = chato: m/n+n/m+2 eh=20 inteiro se e so se m/n+n/m=3D(m^2+n^2)/(mn)
eh=20 inteiro, ou seja, se e so se mn divide m^2+n^2.
Voce disse que eh evidente que isto so = ocorre=20 quando m=3Dn.
Mas isto eh exatamente o problema = inicial, com m e=20 n no lugar de a e b. E agora? 
JP 
 
    Portanto, podemos = concluir a=20 =3D b .
 
   
    =20 Valeu!!!!!!!!!!!!!!!!
   
 
 
 
------=_NextPart_000_0011_01BFE78E.FF45CCC0-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jul 6 21:54:12 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA32129 for obm-l-list; Thu, 6 Jul 2000 21:54:12 -0300 Received: from hotmail.com (f233.law9.hotmail.com [64.4.9.233]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id VAA32126 for ; Thu, 6 Jul 2000 21:54:03 -0300 Received: (qmail 28598 invoked by uid 0); 7 Jul 2000 00:53:29 -0000 Message-ID: <20000707005329.28597.qmail@hotmail.com> Received: from 200.198.157.78 by www.hotmail.com with HTTP; Thu, 06 Jul 2000 17:53:29 PDT X-Originating-IP: [200.198.157.78] From: "Ecass Dodebel" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: apreciação Date: Fri, 07 Jul 2000 00:53:29 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá, Olha o que eu acho. Seja (a,b)=g, e a=gA, e b=gB (a^2 + b^2)/ab = (A^2 + B^2)/AB Agora basta ver o que ocorre para (A,B)=1. Mas veja que - se (A,B)=1 então (A+B,B)=(A+B,A)=1 - se (A+B,B)=(A+B,A)=1 então (A+B,AB)=1 - se (A+B,AB)=1 então ((A+B)^2,AB)=1 Logo (A+B)^2/AB é inteiro somente se AB=1, portanto A=1 e B=1, logo a=b=g. Tudo certo? Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. >From: "José Paulo Carneiro" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: >Subject: Re: apreciação >Date: Thu, 6 Jul 2000 21:13:14 -0300 > > >-----Mensagem original----- >De: Filho >Para: discussão de problemas >Data: Quarta-feira, 5 de Julho de 2000 22:50 >Assunto: apreciação > > >1.Sejam a e b inteiros positivos. Se a^2 + b^2 é divisível por ab, mostre >que a=b. > > Comentários: Melhorando idéias > a ^2 + b^2 = ( a + b ) ^2 - 2ab > > Veja: > 1. Como ab divide a ^2 + b^2 (hipótese), então, ab deverá dividir ( a >+ b ) ^2 . > 2. Se a for par e b for ímpar então ab é par e ( a + b ) ^2 é ímpar >( absurdo: par não divide ímpar) > 3. Se a for ímpar e b for par (análogo) > 4. Se a for ímpar e b for ímpar (absurdo: ímpar não divide par) > Então, só resta a possibilidade (ambos são pares). > > Veja: > Se a e b forem pares, então, a é da forma 2m e b é da forma 2n. > Temos, agora: > > [2m.2n divide ( 2m + 2n ) ^2] implica [4mn divide 4m^2 + 4n^2 + 8mn] >implica > > [m/n + n/m + 2] é inteiro. > > A última sentença só ocorre quando m = n (evidente). > >== Sem querer ser chato: m/n+n/m+2 eh inteiro se e so se >m/n+n/m=(m^2+n^2)/(mn) >eh inteiro, ou seja, se e so se mn divide m^2+n^2. >Voce disse que eh evidente que isto so ocorre quando m=n. >Mas isto eh exatamente o problema inicial, com m e n no lugar de a e b. E >agora? >JP > > Portanto, podemos concluir a = b . > > > Valeu!!!!!!!!!!!!!!!! > > > > ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jul 6 23:41:53 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA32540 for obm-l-list; Thu, 6 Jul 2000 23:41:53 -0300 Received: from mail.bridge.com.br (bridge3.bridge.com.br [200.244.126.37]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA32537; Thu, 6 Jul 2000 23:41:46 -0300 Received: from andre (unverified [200.244.126.215]) by mail.bridge.com.br (Vircom SMTPRS 4.1.180) with SMTP id ; Thu, 6 Jul 2000 23:39:11 -0300 Message-ID: <001201bfe7be$05732d20$d77ef4c8@andre> From: =?iso-8859-1?Q?Andr=E9_Amiune?= To: , =?iso-8859-1?Q?discuss=E3o_de_problemas?= References: <001301bfe6eb$c9a378e0$a363c2c8@meucompu> Subject: =?iso-8859-1?B?UmU6IGFwcmVjaWHn428=?= Date: Thu, 6 Jul 2000 23:49:47 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_000E_01BFE7A4.DE26C9C0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_000E_01BFE7A4.DE26C9C0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable impar divide par... 9/36; 3/6 3/12 ... ----- Original Message -----=20 From: Filho=20 To: discuss=E3o de problemas=20 Sent: Wednesday, July 05, 2000 10:44 PM Subject: aprecia=E7=E3o 1.Sejam a e b inteiros positivos. Se a^2 + b^2 =E9 divis=EDvel por ab, = mostre que a=3Db. =20 Coment=E1rios: Melhorando id=E9ias a ^2 + b^2 =3D ( a + b ) ^2 - 2ab =20 Veja: 1. Como ab divide a ^2 + b^2 (hip=F3tese), ent=E3o, ab dever=E1 = dividir ( a + b ) ^2 . 2. Se a for par e b for =EDmpar ent=E3o ab =E9 par e ( a + b ) ^2 = =E9 =EDmpar ( absurdo: par n=E3o divide =EDmpar) 3. Se a for =EDmpar e b for par (an=E1logo) 4. Se a for =EDmpar e b for =EDmpar (absurdo: =EDmpar n=E3o divide = par) Ent=E3o, s=F3 resta a possibilidade (ambos s=E3o pares). =20 Veja: Se a e b forem pares, ent=E3o, a =E9 da forma 2m e b =E9 da forma = 2n. Temos, agora: =20 [2m.2n divide ( 2m + 2n ) ^2] implica [4mn divide 4m^2 + 4n^2 + = 8mn] implica =20 =20 [m/n + n/m + 2] =E9 inteiro. =20 A =FAltima senten=E7a s=F3 ocorre quando m =3D n (evidente). =20 Portanto, podemos concluir a =3D b . =20 =20 Valeu!!!!!!!!!!!!!!!! =20 =20 =20 =20 ------=_NextPart_000_000E_01BFE7A4.DE26C9C0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
impar divide par...  9/36; 3/6 = 3/12=20 ...
 
----- Original Message -----
From:=20 Filho=20
To: discuss=E3o de=20 problemas
Sent: Wednesday, July 05, 2000 = 10:44=20 PM
Subject: aprecia=E7=E3o

1.Sejam a e b inteiros positivos. Se a^2 + b^2 =E9 = divis=EDvel=20 por ab, mostre que a=3Db.
 
    Coment=E1rios: Melhorando=20 id=E9ias
    a ^2 + b^2 =3D ( a + b ) = ^2  -=20 2ab
   
    = Veja:
    1. Como ab divide a ^2 + b^2 = (hip=F3tese),=20 ent=E3o, ab dever=E1 dividir  ( a + b ) ^2  .
    2. Se a for par e b for =EDmpar = ent=E3o ab =E9=20 par e  ( a + b ) ^2  =E9 =EDmpar ( absurdo: par n=E3o divide = =EDmpar)
    3. Se a for =EDmpar e b for par = (an=E1logo)
    4. Se a for =EDmpar e b for = =EDmpar (absurdo:=20 =EDmpar n=E3o divide par)
    Ent=E3o, s=F3 resta a = possibilidade (ambos=20 s=E3o pares).
   
    Veja:
    Se a e b forem pares, ent=E3o, = a =E9 da forma=20 2m e b =E9 da forma 2n.
    Temos, agora:
   
    [2m.2n divide ( 2m + 2n ) = ^2] =20 implica [4mn divide  4m^2 + 4n^2 + 8mn] implica  =
    =20
    [m/n + n/m + 2] = =E9=20 inteiro.
 
    A =FAltima = senten=E7a s=F3 ocorre=20 quando m =3D n (evidente).
 
    Portanto, = podemos concluir=20 a =3D b .
 
   
    =20 Valeu!!!!!!!!!!!!!!!!
   
 
 
 
------=_NextPart_000_000E_01BFE7A4.DE26C9C0-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 7 12:48:07 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA01914 for obm-l-list; Fri, 7 Jul 2000 12:48:07 -0300 Received: from sec.secrel.com.br (sec.secrel.com.br [200.194.96.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id MAA01909 for ; Fri, 7 Jul 2000 12:47:55 -0300 Received: (qmail 20780 invoked from network); 7 Jul 2000 12:44:59 -0000 Received: from unknown (HELO meucompu) (200.194.100.88) by sec.secrel.com.br with SMTP; 7 Jul 2000 12:44:59 -0000 Message-ID: <000201bfe82a$26fdc920$5864c2c8@meucompu> From: "Filho" To: "=?iso-8859-1?Q?discuss=E3o_de_problemas?=" Subject: novos caminhos Date: Fri, 7 Jul 2000 12:41:19 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0017_01BFE810.A64195A0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.2106.4 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.2106.4 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0017_01BFE810.A64195A0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable 1.Sejam a e b inteiros positivos. Se a^2 + b^2 =E9 divis=EDvel por ab, = mostre que a=3Db. Coment=E1rios: Se a^2 + b^2 =E9 divis=EDvel por ab ent=E3o, deve existir m inteiro = tal que a^2 + b^2 =3D m.ab. Veja: Equa=E7=E3o do 2=BA grau na vari=E1vel (a). a^2 - mb.a + b^2 =3D 0 Usando a f=F3rmula de Bhaskara, encontra-se: a =3D { mb + - b.[raiz quadrada de (m^2 - 4)] } / 2 ( i ) Imediato: m^2 - 4 tem que ser quadrado perfeito implica m^2 - 4 =3D x^2 = implica (m+x).(m-x)=3D4. Vendo todas as possibilidades em inteiros para a =FAltima = equa=E7=E3o,encontra-se: m=3D2 e x=3D0 implicando em ( i ) que a =3D b . Acredito que est=E1 OK. Aguardo aprecia=E7=E3o. ------=_NextPart_000_0017_01BFE810.A64195A0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
1.Sejam a e b inteiros positivos. Se a^2 + b^2 é = divisível=20 por ab, mostre que a=3Db.

   =20 Comentários:
    Se a^2 + b^2 = é=20 divisível por ab então, deve existir m inteiro tal que a^2 = + b^2 =3D=20 m.ab.
    Veja: = Equação=20 do 2º grau na variável (a).
    a^2 - mb.a + b^2 = =3D=20 0
    Usando a = fórmula de=20 Bhaskara, encontra-se:
    a =3D { mb + - = b.[raiz quadrada=20 de (m^2 - 4)] } / 2  ( i )
    = Imediato:
    m^2 - 4 tem que = ser quadrado=20 perfeito implica m^2 - 4 =3D x^2  implica = (m+x).(m-x)=3D4.
    Vendo todas as = possibilidades=20 em inteiros para a última = equação,encontra-se:
    m=3D2 e = x=3D0  implicando em=20 ( i ) que a =3D b .
    Acredito que = está=20 OK.
    Aguardo=20 apreciação.
------=_NextPart_000_0017_01BFE810.A64195A0-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 7 13:46:56 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA02369 for obm-l-list; Fri, 7 Jul 2000 13:46:56 -0300 Received: from hotmail.com (f113.law3.hotmail.com [209.185.241.113]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id NAA02362 for ; Fri, 7 Jul 2000 13:46:45 -0300 Received: (qmail 35081 invoked by uid 0); 7 Jul 2000 16:46:00 -0000 Message-ID: <20000707164600.35080.qmail@hotmail.com> Received: from 143.106.2.50 by www.hotmail.com with HTTP; Fri, 07 Jul 2000 09:46:00 PDT X-Originating-IP: [143.106.2.50] From: "Eduardo Grasser" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: =?iso-8859-1?B?UmU6IGFwcmVjaWHn428=?= Date: Fri, 07 Jul 2000 13:46:00 EST Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br algumas considerações: impar pode dividir par, sim. Se a=b=3 ab=9 a^2=b^2=9, e ab=9(impar) divide a^2 + b^2 = 18 (par) Assim sendo, ainda não está provado Eduardo Grasser ----Original Message Follows---- From: André Amiune Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: , discussão de problemas Subject: Re: apreciação Date: Thu, 6 Jul 2000 23:49:47 -0300 impar divide par... 9/36; 3/6 3/12 ... ----- Original Message ----- From: Filho To: discussão de problemas Sent: Wednesday, July 05, 2000 10:44 PM Subject: apreciação 1.Sejam a e b inteiros positivos. Se a^2 + b^2 é divisível por ab, mostre que a=b. Comentários: Melhorando idéias a ^2 + b^2 = ( a + b ) ^2 - 2ab Veja: 1. Como ab divide a ^2 + b^2 (hipótese), então, ab deverá dividir ( a + b ) ^2 . 2. Se a for par e b for ímpar então ab é par e ( a + b ) ^2 é ímpar ( absurdo: par não divide ímpar) 3. Se a for ímpar e b for par (análogo) 4. Se a for ímpar e b for ímpar (absurdo: ímpar não divide par) Então, só resta a possibilidade (ambos são pares). Veja: Se a e b forem pares, então, a é da forma 2m e b é da forma 2n. Temos, agora: [2m.2n divide ( 2m + 2n ) ^2] implica [4mn divide 4m^2 + 4n^2 + 8mn] implica [m/n + n/m + 2] é inteiro. A última sentença só ocorre quando m = n (evidente). Portanto, podemos concluir a = b . Valeu!!!!!!!!!!!!!!!! ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 7 14:26:23 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA02715 for obm-l-list; Fri, 7 Jul 2000 14:26:23 -0300 Received: from ls02.esquadro.com.br (ls02.esquadro.com.br [200.214.4.1]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA02704 for ; Fri, 7 Jul 2000 14:26:11 -0300 From: alexv@esquadro.com.br Received: from localhost (ls01.esquadro.com.br [200.214.4.3]) by ls02.esquadro.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id OAA13827 for ; Fri, 7 Jul 2000 14:39:12 -0300 Message-Id: <200007071739.OAA13827@ls02.esquadro.com.br> Subject: Re: novos caminhos Content-transfer-encoding: 8bit To: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Content-type: text/plain Mime-version: 1.0 X-Sender-ip: 8c4fa210 Date: Fri, 7 Jul 2000 14:31 +0000 X-mailer: Netbula AnyEMail(TM) 4.51 ae_esquadro_br_p_10000 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > Veja: Equação do 2º grau na variável (a). > a^2 - mb.a + b^2 = 0 > Usando a fórmula de Bhaskara, encontra-se: > a = { mb + - b.[raiz quadrada de (m^2 - 4)] } / 2 ( i ) > Imediato: > m^2 - 4 tem que ser quadrado perfeito implica m^2 - 4 = x^2 > implica (m+x).(m-x)=4. > Oi Gente, sem querer ser chato (mas já sendo...), em uma RPM (num. 36, 37 ou 38, não sei bem...) é discutido de quem é a fórmula citada acima como de Bhaskara. Ao que me parece, essa fórmula não foi desenvolvida por Bhaskara, mas assim se tornou conhecida pelo forte uso que ele deu a ela. História da Matemática!! []'s e saudações (Tricolores claro! agora no grupo Azul...) Alexandre Vellasquez From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 7 19:40:27 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA04979 for obm-l-list; Fri, 7 Jul 2000 19:40:27 -0300 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.128]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA04975 for ; Fri, 7 Jul 2000 19:40:15 -0300 Received: from centroin.com.br (du97c.rjo.centroin.com.br [200.225.58.97]) by trex.centroin.com.br (8.10.1/8.10.1) with ESMTP id e67Mdcd05015 for ; Fri, 7 Jul 2000 19:39:38 -0300 (EST) Message-ID: <39665CAE.CE979685@centroin.com.br> Date: Fri, 07 Jul 2000 19:41:50 -0300 From: Augusto Morgado X-Mailer: Mozilla 4.73 [en] (Win95; I) X-Accept-Language: en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: novos caminhos References: <200007071739.OAA13827@ls02.esquadro.com.br> Content-Type: text/plain; charset=x-user-defined Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br alexv@esquadro.com.br wrote: > > > Veja: Equação do 2º grau na variável (a). > > a^2 - mb.a + b^2 = 0 > > Usando a fórmula de Bhaskara, encontra-se: > > a = { mb + - b.[raiz quadrada de (m^2 - 4)] } / 2 ( i ) > > Imediato: > > m^2 - 4 tem que ser quadrado perfeito implica m^2 - 4 = x^2 > > implica (m+x).(m-x)=4. > > > > Oi Gente, > sem querer ser chato (mas já sendo...), em uma RPM (num. 36, 37 ou 38, não > sei bem...) é discutido de quem é a fórmula citada acima como de Bhaskara. > Ao que me parece, essa fórmula não foi desenvolvida por Bhaskara, mas > assim se tornou conhecida pelo forte uso que ele deu a ela. > > História da Matemática!! > > []'s e saudações (Tricolores claro! agora no grupo Azul...) > Alexandre Vellasquez Total apoio. Essa maluquice de fórmula de Báscara é invenção tipicamente brasileira e recente. No meu tempo nenhum livro falava nessa bobagem. Era fórmula das raízes da equação do segundo grau e pronto. Morgado From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 7 20:18:22 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA05171 for obm-l-list; Fri, 7 Jul 2000 20:18:22 -0300 Received: from krjsw.carajasnet.com.br ([200.212.168.161]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id UAA05165 for ; Fri, 7 Jul 2000 20:18:03 -0300 Received: from mjsanto ([200.212.168.185]) by krjsw.carajasnet.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id TAA15026 for ; Fri, 7 Jul 2000 19:19:13 -0300 Message-ID: <001301bfe86a$315fc2c0$b9a8d4c8@mjsanto> From: "Marcos Eike Tinen dos Santos" To: References: <001301bfe6eb$c9a378e0$a363c2c8@meucompu> Subject: =?iso-8859-1?B?UmU6IGFwcmVjaWHn428=?= Date: Fri, 7 Jul 2000 20:19:02 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Acho que podemos demonstrar de uma forma mais primitiva. Vejamos: Demostração: a^2 divide ab se e só se a divide b, temos também, b^2 divide ab se e só se b divide a. logo: a^2 = abq1 => a=bq1, ou seja a/b E N; b 2 = abq2 => b=aq2, ou seja b/a E N; Sabendo que podemos ter apenas três opções, a>b, b>a ou a=b, temos que a única forma de ocorrer as duas divisões é a=b. Assim, somando as duas equações apresentadas: a^2 +b^2 = ab(q1+q2); Sendo q1 e q2 inteiros então q1+q2 é inteiro, suponhamos um inteiro R. Então: a^2 + b^2 = abR => a^2+b^2/ab E N se e só se a=b E N significa pertence ao conjunto dos Naturais. Ats, Marcos Eike ----- Original Message ----- From: Filho To: discussão de problemas Sent: Quarta-feira, 5 de Julho de 2000 22:44 Subject: apreciação 1.Sejam a e b inteiros positivos. Se a^2 + b^2 é divisível por ab, mostre que a=b. Comentários: Melhorando idéias a ^2 + b^2 = ( a + b ) ^2 - 2ab Veja: 1. Como ab divide a ^2 + b^2 (hipótese), então, ab deverá dividir ( a + b ) ^2 . 2. Se a for par e b for ímpar então ab é par e ( a + b ) ^2 é ímpar absurdo: par não divide ímpar) 3. Se a for ímpar e b for par (análogo) 4. Se a for ímpar e b for ímpar (absurdo: ímpar não divide par) Então, só resta a possibilidade (ambos são pares). Veja: Se a e b forem pares, então, a é da forma 2m e b é da forma 2n. Temos, agora: [2m.2n divide ( 2m + 2n ) ^2] implica [4mn divide 4m^2 + 4n^2 + 8mn] implica [m/n + n/m + 2] é inteiro. A última sentença só ocorre quando m = n (evidente). Portanto, podemos concluir a = b . Valeu!!!!!!!!!!!!!!!! From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 7 22:31:21 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA05672 for obm-l-list; Fri, 7 Jul 2000 22:31:21 -0300 Received: from sec.secrel.com.br (sec.secrel.com.br [200.194.96.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id WAA05669 for ; Fri, 7 Jul 2000 22:31:08 -0300 Received: (qmail 19739 invoked from network); 7 Jul 2000 22:28:14 -0000 Received: from unknown (HELO meucompu) (200.194.101.45) by sec.secrel.com.br with SMTP; 7 Jul 2000 22:28:14 -0000 Message-ID: <001701bfe87b$a22ad240$2d65c2c8@meucompu> From: "Filho" To: "=?iso-8859-1?Q?discuss=E3o_de_problemas?=" Subject: seriedade Date: Fri, 7 Jul 2000 22:27:02 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0014_01BFE862.7943F8C0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.2106.4 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.2106.4 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0014_01BFE862.7943F8C0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable N=E3o Entendo. A quest=E3o proposta por mim a lista, com uma sa=EDda = logo a seguir, tinha como objetivo ser apreciada pelos amigos da lista. = Quando eu vou olhar as novidades da lista, um colega vem falar que a = f=F3rmula de Bhaskara n=E3o =E9 de Bhaskara. Todos sabem que muitos = resultados da matem=E1tica n=E3o pertencem a uma s=F3 pessoa ou mesmo a = personalidade citada.Pit=E1goras n=E3o pertence a Pit=E1goras, Cardano = n=E3o pertence a Cardano ... . Se no passado os livros apresentavam a = F=F3rmula Resolutiva da Equa=E7=E3o do 2=BA Grau sem fazer refer=EAncias = a Bhaskara, essa n=E3o =E9 a minha preocupa=E7=E3o principal.S=F3 sei = que muitos livros de 1=BA e 2=BA graus j=E1 a um bom tempo se referem a = f=F3rmula resolutiva como f=F3rmula de Bhaskara ( nada =E9 por = acaso-n=E3o vejo maluquice). Gostaria de ver na lista mais humildade e = seriedade nas coloca=E7=F5es. Estamos aqui para aprender. Sinto em = algumas coloca=E7=F5es um clima de sarcasmo. Tomara que esteja enganado. = Devemos crescer em todos os sentidos.Tudo de bom !!!!!!! Quest=E3o proposta: =20 1.Sejam a e b inteiros positivos. Se a^2 + b^2 =E9 divis=EDvel por ab, = mostre que a=3Db. Coment=E1rios: Se a^2 + b^2 =E9 divis=EDvel por ab ent=E3o, deve existir m inteiro = tal que a^2 + b^2 =3D m.ab. Veja: Equa=E7=E3o do 2=BA grau na vari=E1vel (a). a^2 - mb.a + b^2 =3D 0 Usando a f=F3rmula de Bhaskara, encontra-se: a =3D { mb + - b.[raiz quadrada de (m^2 - 4)] } / 2 ( i ) Imediato: m^2 - 4 tem que ser quadrado perfeito implica m^2 - 4 =3D x^2 = implica (m+x).(m-x)=3D4. Vendo todas as possibilidades em inteiros para a =FAltima = equa=E7=E3o,encontra-se: m=3D2 e x=3D0 implicando em ( i ) que a =3D b . Acredito que est=E1 OK. Aguardo aprecia=E7=E3o. Agora: veja aprecia=E7=E3o (1): (nenhuma refer=EAncia ao todo) Oi Gente, > sem querer ser chato (mas j=E1 sendo...), em uma RPM (num. 36, 37 ou = 38, n=E3o > sei bem...) =E9 discutido de quem =E9 a f=F3rmula citada acima como de = Bhaskara. > Ao que me parece, essa f=F3rmula n=E3o foi desenvolvida por Bhaskara, = mas > assim se tornou conhecida pelo forte uso que ele deu a ela. >=20 > Hist=F3ria da Matem=E1tica!! >=20 > []'s e sauda=E7=F5es (Tricolores claro! agora no grupo Azul...) > Alexandre Vellasquez Veja coment=E1rio seguinte: Total apoio. Essa maluquice de f=F3rmula de B=E1scara =E9 inven=E7=E3o = tipicamente brasileira e recente. No meu tempo nenhum livro falava nessa bobagem. Era f=F3rmula das = ra=EDzes da equa=E7=E3o do segundo grau e pronto. Morgado ------=_NextPart_000_0014_01BFE862.7943F8C0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Não Entendo. A questão = proposta=20 por mim a lista, com uma saída logo a seguir, tinha como objetivo = ser=20 apreciada pelos amigos da lista. Quando eu vou olhar as novidades da = lista, um=20 colega vem falar que a fórmula de Bhaskara não é de = Bhaskara. Todos sabem que muitos resultados da matemática = não=20 pertencem a uma só pessoa ou mesmo a personalidade=20 citada.Pitágoras não pertence a Pitágoras, Cardano=20 não pertence a Cardano ... . Se no passado os livros apresentavam = a=20 Fórmula Resolutiva da Equação do 2º Grau sem = fazer=20 referências a Bhaskara, essa não é a minha=20 preocupação principal.Só sei que muitos livros de = 1º e=20 2º graus já a um bom tempo se referem a fórmula = resolutiva=20 como fórmula de Bhaskara ( nada é por acaso-não = vejo=20 maluquice). Gostaria de ver na lista mais humildade e seriedade nas=20 colocações. Estamos aqui para aprender. Sinto em algumas=20 colocações um clima de sarcasmo. Tomara que esteja = enganado.=20 Devemos crescer em todos os sentidos.Tudo de bom !!!!!!!
 
Questão proposta:
 
1.Sejam a e b inteiros positivos. Se a^2 + b^2 é = divisível=20 por ab, mostre que a=3Db.

   =20 Comentários:
    Se a^2 + b^2 = é=20 divisível por ab então, deve existir m inteiro tal que a^2 = + b^2 =3D=20 m.ab.
    Veja: = Equação=20 do 2º grau na variável (a).
    a^2 - mb.a + b^2 = =3D=20 0
    Usando a = fórmula de=20 Bhaskara, encontra-se:
    a =3D { mb + - = b.[raiz quadrada=20 de (m^2 - 4)] } / 2  ( i )
    = Imediato:
    m^2 - 4 tem que = ser quadrado=20 perfeito implica m^2 - 4 =3D x^2  implica = (m+x).(m-x)=3D4.
    Vendo todas as = possibilidades=20 em inteiros para a última = equação,encontra-se:
    m=3D2 e = x=3D0  implicando em=20 ( i ) que a =3D b .
    Acredito que = está=20 OK.
    Aguardo=20 apreciação.

Agora: veja apreciação = (1):=20 (nenhuma referência ao todo)
 
Oi Gente,
> sem querer ser = chato (mas=20 já sendo...), em uma RPM (num. 36, 37 ou 38, não
> = sei=20 bem...) é discutido de quem é a fórmula citada = acima como=20 de Bhaskara.
> Ao que me parece, essa fórmula não = foi=20 desenvolvida por Bhaskara, mas
> assim se tornou conhecida pelo = forte uso=20 que ele deu a ela.
>
> História da=20 Matemática!!
>
> []'s e saudações = (Tricolores=20 claro! agora no grupo Azul...)
> Alexandre Vellasquez
 
 
Veja comentário = seguinte:

Total=20 apoio. Essa maluquice de fórmula de Báscara é=20 invenção tipicamente
brasileira e recente.
No meu = tempo=20 nenhum livro falava nessa bobagem. Era fórmula das = raízes
da=20 equação do segundo grau e pronto.
Morgado
 

 
------=_NextPart_000_0014_01BFE862.7943F8C0-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 7 23:51:31 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA05938 for obm-l-list; Fri, 7 Jul 2000 23:51:31 -0300 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.128]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA05935 for ; Fri, 7 Jul 2000 23:51:21 -0300 Received: from centroin.com.br (du36c.rjo.centroin.com.br [200.225.58.36]) by trex.centroin.com.br (8.10.1/8.10.1) with ESMTP id e682kxd01226 for ; Fri, 7 Jul 2000 23:46:59 -0300 (EST) Message-ID: <3966978C.5A618BA9@centroin.com.br> Date: Fri, 07 Jul 2000 23:53:00 -0300 From: Augusto Morgado X-Mailer: Mozilla 4.73 [en] (Win95; I) X-Accept-Language: en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: seriedade References: <001701bfe87b$a22ad240$2d65c2c8@meucompu> Content-Type: text/plain; charset=x-user-defined Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > Filho wrote: > > N?o Entendo. A quest?o proposta por mim a lista, com uma sa?da logo a > seguir, tinha como objetivo ser apreciada pelos amigos da lista. > Quando eu vou olhar as novidades da lista, um colega vem falar que a > f?rmula de Bhaskara n?o ? de Bhaskara. Todos sabem que muitos > resultados da matem?tica n?o pertencem a uma s? pessoa ou mesmo a > personalidade citada.Pit?goras n?o pertence a Pit?goras, Cardano n?o > pertence a Cardano ... . Se no passado os livros apresentavam a > F?rmula Resolutiva da Equa??o do 2? Grau sem fazer refer?ncias a > Bhaskara, essa n?o ? a minha preocupa??o principal.S? sei que muitos > livros de 1? e 2? graus j? a um bom tempo se referem a f?rmula > resolutiva como f?rmula de Bhaskara ( nada ? por acaso-n?o vejo > maluquice). Gostaria de ver na lista mais humildade e seriedade nas > coloca??es. Estamos aqui para aprender. Sinto em algumas coloca??es um > clima de sarcasmo. Tomara que esteja enganado. Devemos crescer em > todos os sentidos.Tudo de bom !!!!!!! >   > Quest?o proposta: >   > 1.Sejam a e b inteiros positivos. Se a^2 + b^2 ? divis?vel por ab, > mostre que a=b. > >     Coment?rios: >     Se a^2 + b^2 ? divis?vel por ab ent?o, deve existir m inteiro tal > que a^2 + b^2 = m.ab. >     Veja: Equa??o do 2? grau na vari?vel (a). >     a^2 - mb.a + b^2 = 0 >     Usando a f?rmula de Bhaskara, encontra-se: >     a = { mb + - b.[raiz quadrada de (m^2 - 4)] } / 2  ( i ) >     Imediato: >     m^2 - 4 tem que ser quadrado perfeito implica m^2 - 4 = x^2  > implica (m+x).(m-x)=4. >     Vendo todas as possibilidades em inteiros para a ?ltima > equa??o,encontra-se: >     m=2 e x=0  implicando em ( i ) que a = b . >     Acredito que est? OK. >     Aguardo aprecia??o. > > Agora: veja aprecia??o (1): (nenhuma refer?ncia ao todo) >   > Oi Gente, > > sem querer ser chato (mas j? sendo...), em uma RPM (num. 36, 37 ou > 38, n?o > > sei bem...) ? discutido de quem ? a f?rmula citada acima como de > Bhaskara. > > Ao que me parece, essa f?rmula n?o foi desenvolvida por Bhaskara, > mas > > assim se tornou conhecida pelo forte uso que ele deu a ela. > > > > Hist?ria da Matem?tica!! > > > > []'s e sauda??es (Tricolores claro! agora no grupo Azul...) > > Alexandre Vellasquez >   >   > Veja coment?rio seguinte: > > Total apoio. Essa maluquice de f?rmula de B?scara ? inven??o > tipicamente > brasileira e recente. > No meu tempo nenhum livro falava nessa bobagem. Era f?rmula das ra?zes > da equa??o do segundo grau e pronto. > Morgado Você está enganado! Não há sarcasmo algum. O problema é que algum desses maravilhosos (aqui sim, há sarcasmo) autores de livros didáticos dos dias de hoje leu em algum lugar que Báscara, em 1160, no Bijaganitâ, resolvia equações do segundo grau por essa fórmula e resolveu batizá-la de Fórmula de Báscara. Na realidade a fórmula já era conhecida mais de 1000 anos antes. Como nada se cria e tudo se copia, hoje em quase todos os livros de matemática para primeiro e segundo graus, e somente nesses, a fórmula é chamada de fórmula de Báscara. O comentário do Alexandre procurava corrigir um erro, comum porém erro, e contou com o meu entusiástico apoio. Morgado  From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 8 01:32:57 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id BAA06225 for obm-l-list; Sat, 8 Jul 2000 01:32:57 -0300 Received: from ls02.esquadro.com.br (ls02.esquadro.com.br [200.214.4.1]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id BAA06222 for ; Sat, 8 Jul 2000 01:32:45 -0300 Received: from cs016.esquadro.com.br (cs016.esquadro.com.br [200.214.4.56]) by ls02.esquadro.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id BAA06243 for ; Sat, 8 Jul 2000 01:45:56 -0300 Received: by cs016.esquadro.com.br with Microsoft Mail id <01BFE86D.6E4D4420@cs016.esquadro.com.br>; Fri, 7 Jul 2000 23:45:28 -0300 Message-ID: <01BFE86D.6E4D4420@cs016.esquadro.com.br> From: Alexandre To: "'obm-l@mat.puc-rio.br'" Subject: RE: seriedade Date: Fri, 7 Jul 2000 23:45:22 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/mixed; boundary="---- =_NextPart_000_01BFE86D.6E54E540" Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br ------ =_NextPart_000_01BFE86D.6E54E540 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Caro Filho,=20 Se o coment=E1rio que fiz sobre o ERRO de creditar a Bhaskara a = f=F3rmula=20 de resolu=E7=E3o de uma equa=E7=E3o do segundo grau fosse, como voc=EA = quis=20 fazer parecer, t=E3o idiota, ent=E3o esse mesmo coment=E1rio n=E3o teria = aparecido anteriormente numa revista do professor de matem=E1tica, que = considero um excelente publica=E7=E3o. Matem=E1tica n=E3o =E9 s=F3 resolver equa=E7=F5es, e conhecer a = hist=F3ria da=20 matem=E1tica =E9 importante tamb=E9m. Evitar que erros cometidos em = livros=20 (mesmo que em bons livros) sejam perpetuados =E9 um dever (e diria um=20 direito) de matem=E1ticos e futuros matem=E1ticos. N=E0o foi minha inten=E7=E3o menosprezar a resolu=E7=E3o que voc=EA = apresentou,=20 mas as vezes aparecem informa=E7=F5es que devem (ou podem) ser = comentadas, corrigidas e tb elogiadas, mesmo que essa tal informa=E7=E3o = n=E3o seja o motivo principal da mensagem. A gente tenta esclarecer, ajudar, e d=E1 nisso... E ainda diz que me = falta humildade e seriedade. Eu custo a acreditar... Alexandre Vellasquez ---------- De: Filho[SMTP:plutao@secrel.com.br] Enviada em: Sexta-feira, 7 de Julho de 2000 22:27 Para: discuss=E3o de problemas Assunto: seriedade N=E3o Entendo. A quest=E3o proposta por mim a lista, com uma sa=EDda = logo a seguir, tinha como objetivo ser apreciada pelos amigos da lista. = Quando eu vou olhar as novidades da lista, um colega vem falar que a = f=F3rmula de Bhaskara n=E3o =E9 de Bhaskara. Todos sabem que muitos = resultados da matem=E1tica n=E3o pertencem a uma s=F3 pessoa ou mesmo a = personalidade citada.Pit=E1goras n=E3o pertence a Pit=E1goras, Cardano = n=E3o pertence a Cardano ... . Se no passado os livros apresentavam a = F=F3rmula Resolutiva da Equa=E7=E3o do 2=BA Grau sem fazer refer=EAncias = a Bhaskara, essa n=E3o =E9 a minha preocupa=E7=E3o principal.S=F3 sei = que muitos livros de 1=BA e 2=BA graus j=E1 a um bom tempo se referem a = f=F3rmula resolutiva como f=F3rmula de Bhaskara ( nada =E9 por = acaso-n=E3o vejo maluquice). Gostaria de ver na lista mais humildade e = seriedade nas coloca=E7=F5es. Estamos aqui para aprender. Sinto em = algumas coloca=E7=F5es um clima de sarcasmo. Tomara que esteja enganado. = Devemos crescer em todos os sentidos.Tudo de bom !!!!!!! ------ =_NextPart_000_01BFE86D.6E54E540 Content-Type: application/ms-tnef Content-Transfer-Encoding: base64 eJ8+Ih0CAQaQCAAEAAAAAAABAAEAAQeQBgAIAAAA5AQAAAAAAADoAAENgAQAAgAAAAIAAgABBJAG ACABAAABAAAADAAAAAMAADAFAAAACwAPDgAAAAACAf8PAQAAAEcAAAAAAAAAgSsfpL6jEBmdbgDd AQ9UAgAAAABvYm0tbEBtYXQucHVjLXJpby5icgBTTVRQAG9ibS1sQG1hdC5wdWMtcmlvLmJyAAAe AAIwAQAAAAUAAABTTVRQAAAAAB4AAzABAAAAFQAAAG9ibS1sQG1hdC5wdWMtcmlvLmJyAAAAAAMA FQwBAAAAAwD+DwYAAAAeAAEwAQAAABcAAAAnb2JtLWxAbWF0LnB1Yy1yaW8uYnInAAACAQswAQAA ABoAAABTTVRQOk9CTS1MQE1BVC5QVUMtUklPLkJSAAAAAwAAOQAAAAALAEA6AQAAAAIB9g8BAAAA BAAAAAAAAAV1MgEIgAcAGAAAAElQTS5NaWNyb3NvZnQgTWFpbC5Ob3RlADEIAQSAAQAOAAAAUkU6 IHNlcmllZGFkZQCXBAEFgAMADgAAANAHBwAHABcALQAWAAUARAEBIIADAA4AAADQBwcABwAXAC0A FgAFAEQBAQmAAQAhAAAAQTgwNTlGMTI4MUU4QkYxMUI5OEU4RUVDQkMzRDYxN0QAawcBA5AGAEAI AAASAAAACwAjAAAAAAADACYAAAAAAAsAKQAAAAAAAwA2AAAAAABAADkAoJN6j4bovwEeAHAAAQAA AA4AAABSRTogc2VyaWVkYWRlAAAAAgFxAAEAAAAWAAAAAb/oho9xKvLPY1RbEdSbeZedE25eMQAA HgAeDAEAAAAFAAAAU01UUAAAAAAeAB8MAQAAABYAAABhbGV4dkBlc3F1YWRyby5jb20uYnIAAAAD AAYQQ0d/UAMABxCWBgAAHgAIEAEAAABlAAAAQ0FST0ZJTEhPLFNFT0NPTUVOVOFSSU9RVUVGSVpT T0JSRU9FUlJPREVDUkVESVRBUkFCSEFTS0FSQUFG81JNVUxBREVSRVNPTFXn409ERVVNQUVRVUHn 409ET1NFR1VORE9HUgAAAAACAQkQAQAAAMoGAADGBgAAOwwAAExaRnUlBYVg/wAKAQ8CFQKoBesC gwBQAvIJAgBjaArAc2V0MjcGAAbDAoMyA8UCAHByQnER4nN0ZW0CgzO3AuQHEwKDNBLMFMV9CoCL CM8J2TsXnzI1NQKABwqBDbELYG5nMTA0rjYK+xRRC/JjAEAgHHKLG1wccUMKwG8gRgMQEGhvLCAK i2xpM8Y2DfAM0DE0NA3wHNw9BmAgHgAFoAeAAjBcJyxlMQUQHgBxClAgZsBpeiBzb2IXoCEx4EVS Uk8gDbAhUBehRmkBkAXAYSBCEYBzbmsKwCRQJFBmIcAUQHL8bXULYB6GI5EXoCLACkC1IcE3IcEz HgAjkXUAwHQgZSJAYSbZHgARsGfMdW4owQnAYXUccAIQnQQQZR5wIWEeAHZvAOAfIdAkUCJABAAe hmZhev0EkCAKsQWQBJAecCGyJ0H6aSPwbwGQHnAhlCdBB5D9EbAgB4EqYSFsC5AnIxPQ+wchHoZh LDMtMB4AAHAwQrcFsCGCISBuJ6IXoHYEAOcBkCiyE1BvZi5BBbEjkccAwBPRIcJ0aWMtgSJCvwWg AIEEgR4AJ6An0HgscHJsMkNwdQJgNQEm1y67CoUKhU00ei/GIcE5IrCbJTImZHYsASfoZjUHkNst kTWCaCxiJEFoMxElM70wcWQltzRrOjQHcHAXQZsxsiywYQbQOkJtLhxw/kUzACQSIkIEkANgBCAh Yq808CjABCAT4CAfYHZCIv0KhSgulEHDNkAG4AYxQzR6KSjhakCgLCAEkEYgdL8oAELCOkM2MQ2w O0IoISBfI/AwYjYxJdZIAGUkAG/vRaA0PULSInB1RnBCIkm8tTgNTiHBMB4AAhBpLoD/C4ARgC0g McEv0icFIYEp4PkTUGV6JCMmfiJCKpYxEP8mcSGRCGAedwDABCBS8TtA/yvwUwEsNDZAC4ACECVw O7l3IjNHYjZAKAhgLCAEcW1/RaIFwCFkRpAkkCoiQhBp7mctMFLxQHFiJ9AXMFgA/1dURCkEECRQ AZADIFRLJzL/L9VFwiExBGA08CqQM4ELgL8xYAqwAyA+ESGBWiBnE+B9OA1BKWAyQ05BMzEHkGPj C2AsVWFqdT4QLJFH0b8hwi/ABAE38GIgHHFFJEB/C4A+ESPwIqAiQgeAK8Fs/TMxaCegAxA+ECOR ISBWsc8IkGRiQSIpoGN1E8Axkb8kQCPGYiE4HF7GNqB4AHBaZCLxVjaQC2BzIkF6I2cPHsoxODAC 0Wkt3x/jH88dcmoOC2gxGvEDYPUT0GMFQC1v123/bwMMMPFvVkRlOm5vb3QMgh4UwFtTTVRQOgtQ StCYYW9AEbAjwWwuIWGaLiLgXXB/cY1FbjMAX1dRQvFyn3OqBmB4AZAt1zPASAAtgTcjgkolkB5Q DyOCAdBrgHxwMjoyN/t2b3GNUCTBeQ9zqiPwBPD/ZdA6kSc1M5ECYBPgJJB9L/1xjUEEECkgSUB/ b3OqZNf/ag8fNxtsb1ZNEidBeGBOQf8owEEgXzAiQT1yJzIzkUAA/zMiQAFNsTZAJFAfYDMhKiP3 J5NaICHBZD4RWMFmAijy30gALKFN0ypDItBqQpFcwf9WslGyMWB4okYgFzBTAU3A348wBCCO4jMS QSBRKAApMv5lKaAqkCmgBvARgVMSTzD/MwBkYpLYHnA2MRcRKQAkUP9VwmOxQZUlCyORJHc52piZ 3UEgVARwQjFaIGJDAWND/ysgSUAEICZxJZBXQZLEPrz/L9VGIU5BVAJIMo5hOqNGIP8z4VxBKaAu lJICEaACIAdAz5UzIVAkAT4QLlAkACHC/48wJNCU4Z4sJEGiWh5wHdH/PhBPMKMfJFClJmIiQSAh EX+lcQqwWhEowUIxQzVRtmHWdkXxJFBGJThSJoNcoU0980Un/hKwJ2IkUEe/KYIRsJcCK/IXoDPA cirC/10hUvIkZy2RWhI52l2hTdM7T2EqoHUKsCbYXPcuU/86oxGwTaCbqUM1I5EAUKzS73xhrMMp cgQgamGDSDMG4P82QBPRQAAo4a30nvMlKSZ076sjKkOX7ySkKC/AeKI6Q2eM8gDQJJBvLS/VO0Bq W07xB0B1KxEscClBIEf/jKI901ERLAGhUI2ENFErMf9kH2RjoVBCQhcwN1Y8IkEg/kUzIQRgUwEr ESwiUZQpMN8EkKeBTiEuIY1RbCkQUuK/wd6WMx9gJ7EjkVogcryB/wRgmsIAwCTRWcQT0FwxCfD/ lrC7kYthcnBVwUIyJnE88j9DAUlAQsKbEiGRQrIuVPdg8CdTtuIhzQSHn4iuFWIXfNDN1hbBANCg AAADABAQAAAAAAMAERAHAAAAQAAHMECE8kSC6L8BQAAIMKCTeo+G6L8BHgA9AAEAAAAFAAAAUkU6 IAAAAADerg== ------ =_NextPart_000_01BFE86D.6E54E540-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 8 07:11:59 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id HAA06677 for obm-l-list; Sat, 8 Jul 2000 07:11:59 -0300 Received: from mat.puc-rio.br (IDENT:root@sucuri.mat.puc-rio.br [139.82.27.7]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id HAA06674 for ; Sat, 8 Jul 2000 07:11:49 -0300 Received: from localhost (nicolau@localhost) by mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id HAA15695 for ; Sat, 8 Jul 2000 07:11:46 -0300 Date: Sat, 8 Jul 2000 07:11:46 -0300 (BRT) From: "Nicolau C. Saldanha" To: "'obm-l@mat.puc-rio.br'" Subject: RE: seriedade In-Reply-To: <01BFE86D.6E4D4420@cs016.esquadro.com.br> Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id HAA06675 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caros Alexandre e Filho, Eu não gosto de me meter em brigas alheias, mas por favor mantenham a calma e o bom humor todos os dois pois não está acontecendo nada aqui que justifique uma briga, muito menos em público. Lembrem-se que é fácil interpretar mal o "tom de voz" em mensagens escritas, como em e-mails. []s, Nicolau On Fri, 7 Jul 2000, Alexandre wrote: > Caro Filho, > Se o comentário que fiz sobre o ERRO de creditar a Bhaskara a fórmula > de resolução de uma equação do segundo grau fosse, como você quis > fazer parecer, tão idiota, então esse mesmo comentário não teria > aparecido anteriormente numa revista do professor de matemática, que considero um excelente publicação. > ... > > Nào foi minha intenção menosprezar a resolução que você apresentou, > mas as vezes aparecem informações que devem (ou podem) ser comentadas, corrigidas e tb elogiadas, mesmo que essa tal informação não seja o motivo principal da mensagem. > > A gente tenta esclarecer, ajudar, e dá nisso... E ainda diz que me falta humildade e seriedade. Eu custo a acreditar... ... > ---------- > De: Filho[SMTP:plutao@secrel.com.br] > Enviada em: Sexta-feira, 7 de Julho de 2000 22:27 > Para: discussão de problemas > Assunto: seriedade > > Não Entendo. A questão proposta por mim a lista, com uma saída logo a seguir, > tinha como objetivo ser apreciada pelos amigos da lista. Quando eu vou olhar > as novidades da lista, um colega vem falar que a fórmula de Bhaskara não é de > Bhaskara. Todos sabem que muitos resultados da matemática não pertencem a uma > só pessoa ou mesmo a personalidade citada.Pitágoras não pertence a Pitágoras, > Cardano não pertence a Cardano ... . Se no passado os livros apresentavam a > Fórmula Resolutiva da Equação do 2º Grau sem fazer referências a Bhaskara, > essa não é a minha preocupação principal.Só sei que muitos livros de 1º e 2º > graus já a um bom tempo se referem a fórmula resolutiva como fórmula de > Bhaskara ( nada é por acaso-não vejo maluquice). Gostaria de ver na lista > mais humildade e seriedade nas colocações. Estamos aqui para aprender. Sinto > em algumas colocações um clima de sarcasmo. Tomara que esteja enganado. > Devemos crescer em todos os sentidos.Tudo de bom !!!!!!! ... From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 8 16:34:48 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA07538 for obm-l-list; Sat, 8 Jul 2000 16:34:48 -0300 Received: from hotmail.com (f23.law9.hotmail.com [64.4.9.23]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id QAA07534 for ; Sat, 8 Jul 2000 16:34:20 -0300 Received: (qmail 29758 invoked by uid 0); 8 Jul 2000 19:33:37 -0000 Message-ID: <20000708193337.29757.qmail@hotmail.com> Received: from 200.198.157.65 by www.hotmail.com with HTTP; Sat, 08 Jul 2000 12:33:37 PDT X-Originating-IP: [200.198.157.65] From: "Ecass Dodebel" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: apreciação Date: Sat, 08 Jul 2000 19:33:37 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Eu mesmo tenho dificuldade de ler os sinais das minhas mensagens. Vou substituir o sinal de mais por #, assim talvez todos consigam ler: >Seja (a,b)=g, e a=gA, e b=gB >(a^2 # b^2)/ab = (A^2 # B^2)/AB > >Agora basta ver o que ocorre para (A,B)=1. Mas veja que >- se (A,B)=1 então (A # B,B)=(A # B,A)=1 >- se (A # B,B)=(A # B,A)=1 então (A # B,AB)=1 >- se (A # B,AB)=1 então ((A # B)^2,AB)=1 >Logo (A # B)^2/AB = (A^2 # B^2)/AB + 2 é inteiro somente se AB=1, >portanto >A=1 e B=1, logo a=b=g. Tudo perfeitamente certo? Meus comentários: na solução do amigo Marcos Eike Tinen dos Santos, me PARECE que ele admite algo como: para (a # b)/c ser inteiro a/c e b/c precisam ser inteiros, o que não é verdade. (1 # 3)/2 é inteiro. Na solução do amigo Filho, que me PARECE perfeita, há o uso da fórmula das raízes da equação de segundo grau, o que, apesar de não ser tão artificial, já não é tão "simples" quanto à solução que eu dou acima. Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 8 18:02:45 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA07806 for obm-l-list; Sat, 8 Jul 2000 18:02:45 -0300 Received: from hotmail.com (f199.law3.hotmail.com [209.185.241.199]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id SAA07803 for ; Sat, 8 Jul 2000 18:02:26 -0300 Received: (qmail 13023 invoked by uid 0); 8 Jul 2000 21:01:37 -0000 Message-ID: <20000708210137.13022.qmail@hotmail.com> Received: from 200.222.158.168 by www.hotmail.com with HTTP; Sat, 08 Jul 2000 14:01:37 PDT X-Originating-IP: [200.222.158.168] From: "Marcelo Souza" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: dígitos Date: Sat, 08 Jul 2000 21:01:37 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá Gostaria de saber como faço para calcular por exemplo, o número de dígitos de 4^4^4? Obrigado abraços marcelo ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 8 20:18:34 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA08094 for obm-l-list; Sat, 8 Jul 2000 20:18:34 -0300 Received: from hotmail.com (f41.law9.hotmail.com [64.4.9.41]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id UAA08091 for ; Sat, 8 Jul 2000 20:18:15 -0300 Received: (qmail 60188 invoked by uid 0); 8 Jul 2000 23:17:22 -0000 Message-ID: <20000708231722.60187.qmail@hotmail.com> Received: from 200.198.157.112 by www.hotmail.com with HTTP; Sat, 08 Jul 2000 16:17:22 PDT X-Originating-IP: [200.198.157.112] From: "Ecass Dodebel" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: dígitos Date: Sat, 08 Jul 2000 23:17:22 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >From: "Marcelo Souza" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: obm-l@mat.puc-rio.br >Subject: dígitos >Date: Sat, 08 Jul 2000 21:01:37 GMT > >Olá > Gostaria de saber como faço para calcular por exemplo, o número de >dígitos de 4^4^4? >Obrigado >abraços >marcelo Olá, considere # como o sinal de soma ( e [x] a parte inteira de x ). Em geral "n" tem [log_10(n)]#1 dígitos, só para "n" positivos, é claro. [log_10(4^4^4)]#1=[512*log_10(2)]#1=155. Mas acho que podemos estimar no seu caso, com desiguldades simples, por exemplo: 4^(4^4)=2^512=(2^10)^(51.2)>(10^3)^(51.2)=10^(153.6), pela fórmula esse lado tem 154 dígitos, portanto 4^(4^4) deve ter 154 ou mais dígitos. E também: 4^(4^4)<(2^3)^(170)<(10^1)^170, que tem 171 dígitos. (essa última estimativa é mais grosseira) Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 8 21:48:44 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA08304 for obm-l-list; Sat, 8 Jul 2000 21:48:44 -0300 Received: from mail.iis.com.br (mail.iis.com.br [200.202.96.2]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA08301 for ; Sat, 8 Jul 2000 21:48:30 -0300 Received: from marcio (Flamengo@rio-as1-tty08.iis.com.br [200.202.97.24]) by mail.iis.com.br (8.9.3/8.9.3/1.1.1.9) with SMTP id VAA01572 for ; Sat, 8 Jul 2000 21:47:52 -0300 From: "Marcio" To: Subject: Teorema de Napoleao : Generalizacao (por R. Villard) Date: Sat, 8 Jul 2000 21:48:44 -0300 Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook IMO, Build 9.0.2416 (9.0.2910.0) Importance: Normal In-Reply-To: <20000708231722.60187.qmail@hotmail.com> X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br O nosso colega Rodrigo Villard esta com problemas para mandar emails e me pediu pra enviar pra lista essa solucao que ele fez pro Teorema de Napoleao Generalizado. Ele consegue ler tudo da lista, mas nao consegue mandar emails (pra ninguem). Nao lembro quem foi que pediu esse problema na lista. Se tiver alguma duvida, mande mensagem para villard@vetor.com.br **************************************************************************** **************************************** obs: O1 quer dizer O (a letra) indice 1. Generalização do Teorema de Napoleão : “Dado um triângulo qualquer ABC, constroem-se os triângulos ABP, ACQ e BCR, todos semelhantes e exteriores a ABC. O triângulo formado pelos circunscentros dos triângulos exteriores é semelhante a ABC !” Lema : Os círculos circunscritos a ABP, ACQ e BCR passam por um mesmo ponto. Prova do lema : Traçando os círculos circunscritos a ABP e ACQ, vemos que são secantes em A e em outro ponto N. Basta, então, provar que #BCRN é inscritível, pois B, C e R determinam um círculo. Seja ANxBC=M , ang(MNC)=ang(AQC) {pois #AQCN é inscrito}... analogamente, ang(BNM)=ang(APB). Pela contrução da figura, de um modo simétrico, para não tirar a generalidade do problema, ang(APB)=ang(ABC) e ang(AQC)=ang(BAC).... assim, ang(BNC) = ang(BNM) + ang(CNM) = ang(APB) + ang(AQC) => ang(BNC) = ang(ABC) + ang(BAC) =180 – ang(BCA) => ang(BNC) = 180o – ang(BRS) => #BNCR é inscrito..... (CQD) ...................................................... Lema : A corda comum a dois círculos é perpendicular a reta que une os centros. Prova do lema : Basta ver que os centros das circunferências equidistam dos pontos de concorrência das circunferências.... então eles determinam a mediatriz da corda comum. (CQD) ...................................................... Sejam, então, O1, O2 e O3 os centros dos círculos em ABP, ACQ e BCR, respectivamente. E sejam também, T = O1O2xAN , U = O2O3xCN e V = O1O3x BN . Assim, #O1TNV é inscritível => ang(BNM) = ang(O2O1O3) = ang(ABC)... Analogamente, analisando #O2TNU e #O3UNV, vemos que ang(O1O2O3)=ang(BAC) e ang(O1O3O2)=ang(ACB) => O1O2O3 é semelhante a ABC. (CQD) ¡Villard ! **************************************************************************** **************************************** From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 8 22:42:57 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA08453 for obm-l-list; Sat, 8 Jul 2000 22:42:57 -0300 Received: from sec.secrel.com.br (sec.secrel.com.br [200.194.96.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id WAA08450 for ; Sat, 8 Jul 2000 22:42:45 -0300 Received: (qmail 12393 invoked from network); 8 Jul 2000 22:39:55 -0000 Received: from unknown (HELO meucompu) (200.194.100.135) by sec.secrel.com.br with SMTP; 8 Jul 2000 22:39:55 -0000 Message-ID: <002801bfe946$6ddc4d40$8764c2c8@meucompu> From: "Filho" To: "=?iso-8859-1?Q?discuss=E3o_de_problemas?=" Subject: contratempo Date: Sat, 8 Jul 2000 22:38:46 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0025_01BFE92D.473F63C0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.2106.4 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.2106.4 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0025_01BFE92D.473F63C0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Contratempos.Desculpem!!! ok Agora, vamos ao trabalho. Preciso de ajuda. Demonstrar que a equa=E7=E3o x^2 + y^2 - z^2 =3D 1997 tem infinitas = solu=E7=F5es inteiras. =20 ------=_NextPart_000_0025_01BFE92D.473F63C0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Contratempos.Desculpem!!! ok
 
Agora, vamos = ao trabalho.=20 Preciso de ajuda.
 
Demonstrar que a equação x^2 + y^2 - = z^2 =3D 1997=20 tem infinitas soluções inteiras.
 
------=_NextPart_000_0025_01BFE92D.473F63C0-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 8 23:50:26 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA08593 for obm-l-list; Sat, 8 Jul 2000 23:50:26 -0300 Received: from barra.domain.com.br (barra.domain.com.br [200.196.128.5]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA08590 for ; Sat, 8 Jul 2000 23:50:06 -0300 Received: from default (200.188.49.34) by barra.domain.com.br (NPlex 4.5.042) id 3963046B0007B65B for obm-l@mat.puc-rio.br; Sat, 8 Jul 2000 23:52:45 -0300 From: "=?iso-8859-1?Q?Jos=E9_Paulo_Carneiro?=" To: Subject: =?iso-8859-1?B?UmU6IGFwcmVjaWHn428=?= Date: Sat, 8 Jul 2000 23:44:11 -0300 Message-ID: <01bfe94f$8fc1e380$LocalHost@default> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.71.1712.3 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.71.1712.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Esta me pareceu a melhor solucao ateh agora do problema. So 2 comentarios: 1) espero que todos tenham entendido que (a,b) estah significando o m.d.c. de a e b (eu nao gosto desta notacao, embora seja bastante usual). 2) Quando diz: "agora basta ver o que ocorre para (A,B)=1", pode dar a impressao de que esse caso vai esclarecer algum mais geral; na verdade: (A,B)=1 mesmo. JP -----Mensagem original----- De: Ecass Dodebel Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sábado, 8 de Julho de 2000 16:38 Assunto: Re: apreciação > > >Eu mesmo tenho dificuldade de ler os sinais das minhas mensagens. Vou >substituir o sinal de mais por #, assim talvez todos consigam ler: > >>Seja (a,b)=g, e a=gA, e b=gB >>(a^2 # b^2)/ab = (A^2 # B^2)/AB >> >>Agora basta ver o que ocorre para (A,B)=1. Mas veja que >>- se (A,B)=1 então (A # B,B)=(A # B,A)=1 >>- se (A # B,B)=(A # B,A)=1 então (A # B,AB)=1 >>- se (A # B,AB)=1 então ((A # B)^2,AB)=1 >>Logo (A # B)^2/AB = (A^2 # B^2)/AB + 2 é inteiro somente se AB=1, >portanto >>A=1 e B=1, logo a=b=g. > >Tudo perfeitamente certo? > >Meus comentários: na solução do amigo Marcos Eike Tinen dos Santos, me >PARECE que ele admite algo como: para (a # b)/c ser inteiro a/c e b/c >precisam ser inteiros, o que não é verdade. (1 # 3)/2 é inteiro. >Na solução do amigo Filho, que me PARECE perfeita, há o uso da fórmula das >raízes da equação de segundo grau, o que, apesar de não ser tão artificial, >já não é tão "simples" quanto à solução que eu dou acima. > >Obrigado! > >Eduardo Casagrande Stabel. > >________________________________________________________________________ >Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jul 9 00:38:25 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id AAA08736 for obm-l-list; Sun, 9 Jul 2000 00:38:25 -0300 Received: from hotmail.com (f122.law9.hotmail.com [64.4.9.122]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id AAA08731 for ; Sun, 9 Jul 2000 00:37:57 -0300 Received: (qmail 10214 invoked by uid 0); 9 Jul 2000 03:37:03 -0000 Message-ID: <20000709033703.10213.qmail@hotmail.com> Received: from 200.198.157.124 by www.hotmail.com with HTTP; Sat, 08 Jul 2000 20:37:03 PDT X-Originating-IP: [200.198.157.124] From: "Ecass Dodebel" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: contratempo Date: Sun, 09 Jul 2000 03:37:03 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >From: "Filho" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: "discussão de problemas" >Subject: contratempo >Date: Sat, 8 Jul 2000 22:38:46 -0300 > >Contratempos.Desculpem!!! ok > >Agora, vamos ao trabalho. Preciso de ajuda. > >Demonstrar que a equação x^2 + y^2 - z^2 = 1997 tem infinitas soluções >inteiras. > Caro colega Filho, Vou usar novamente # como sinal de soma x^2 # y^2 - z^2 = x^2 # (y # z)(y - z) = "faça (y # z)=1 " x^2 # 1 * (1 - 2z) = x^2 - (2z - 1) Agora fica fácil de ver que se "x" for par, existirá sempre um "z" de modo que a diferença acima seja 1997. Tome x=2k 4k^2 - (2z - 1) = 1997, tiramos que z = 2k^2 - 998, logo (2k , 999-2k^2 , 2k^2-998) = (x,y,z) são infinitas soluções para k natural. Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jul 9 10:57:04 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA09607 for obm-l-list; Sun, 9 Jul 2000 10:57:04 -0300 Received: from hotmail.com (f18.law3.hotmail.com [209.185.241.18]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id KAA09604 for ; Sun, 9 Jul 2000 10:56:44 -0300 Received: (qmail 69756 invoked by uid 0); 9 Jul 2000 13:56:01 -0000 Message-ID: <20000709135601.69755.qmail@hotmail.com> Received: from 200.222.158.25 by www.hotmail.com with HTTP; Sun, 09 Jul 2000 06:56:01 PDT X-Originating-IP: [200.222.158.25] From: "Marcelo Souza" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: faixa de hipérbole Date: Sun, 09 Jul 2000 13:56:01 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá Alguém poderia me ajudar enviando a solução do exercício abaixo - Dada a decomposição di intervalo [a,b] em intervalos justapostos, o "erro" que se comete ao tomar-se a área do polígono retangular P ao invés da área da faixa H(a)_b é a diferença E=(área de H(a)_b) - (área de P). Prove que se tem Ea não sei se precisa dizer, mas a função que determina essa hipérbole é y=1/x... Obrigado Abraços Marcelo ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jul 9 22:07:30 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA10482 for obm-l-list; Sun, 9 Jul 2000 22:07:30 -0300 Received: from radiohead.digi.com.br (mail.digi.com.br [200.241.100.4]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA10479 for ; Sun, 9 Jul 2000 22:07:08 -0300 Received: from natal.digi.com.br (unverified [200.249.6.27]) by radiohead.digi.com.br (Vircom SMTPRS 4.1.180) with ESMTP id for ; Sun, 9 Jul 2000 22:08:11 -0300 Message-ID: <396921C4.50561755@natal.digi.com.br> Date: Sun, 09 Jul 2000 22:07:18 -0300 From: Carlos Gomes X-Mailer: Mozilla 4.51 [pt]C-CCK-MCD Diginet (Win95; I) X-Accept-Language: pt-BR MIME-Version: 1.0 To: "obm-l@mat.puc-rio.br" Subject: uma desigualdade! Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id WAA10480 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caros amigos, como posso verificar a desigualdade 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 <3/2 para todo n natural ? Um abraço , Carlos A Gomes. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jul 9 22:25:58 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA10534 for obm-l-list; Sun, 9 Jul 2000 22:25:58 -0300 Received: from sec.secrel.com.br (sec.secrel.com.br [200.194.96.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id WAA10530 for ; Sun, 9 Jul 2000 22:25:40 -0300 Received: (qmail 15710 invoked from network); 9 Jul 2000 22:22:53 -0000 Received: from unknown (HELO meucompu) (200.194.100.185) by sec.secrel.com.br with SMTP; 9 Jul 2000 22:22:53 -0000 Message-ID: <001001bfea0d$372e0320$b964c2c8@meucompu> From: "Filho" To: "=?iso-8859-1?Q?discuss=E3o_de_problemas?=" Subject: ajuda Date: Sun, 9 Jul 2000 22:21:40 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_000D_01BFE9F4.0DD1AB80" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.2106.4 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.2106.4 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_000D_01BFE9F4.0DD1AB80 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Demonstrar que quaisquer que sejam os inteiros positivos x e y, o = produto (36x+y).(36y+x) n=E3o pode ser uma pot=EAncia de 2. Valeu Stabel pela quest=E3o anterior. ------=_NextPart_000_000D_01BFE9F4.0DD1AB80 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Demonstrar que quaisquer que sejam = os inteiros=20 positivos x e y, o produto (36x+y).(36y+x) não pode ser uma=20 potência de 2.
 
 
Valeu Stabel pela questão=20 anterior.
------=_NextPart_000_000D_01BFE9F4.0DD1AB80-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jul 9 22:28:46 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA10551 for obm-l-list; Sun, 9 Jul 2000 22:28:46 -0300 Received: from barra.domain.com.br (barra.domain.com.br [200.196.128.5]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA10548 for ; Sun, 9 Jul 2000 22:28:28 -0300 Received: from default (200.188.49.246) by barra.domain.com.br (NPlex 4.5.042) id 3963046B0008B00E for obm-l@mat.puc-rio.br; Sun, 9 Jul 2000 22:31:15 -0300 From: "=?iso-8859-1?Q?Jos=E9_Paulo_Carneiro?=" To: Subject: =?iso-8859-1?Q?Re:_faixa_de_hip=E9rbole?= Date: Sun, 9 Jul 2000 22:25:04 -0300 Message-ID: <01bfea0d$ad093740$LocalHost@default> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.71.1712.3 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.71.1712.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Seja x_0 = a < x_1 < ... < x_n = b a particao do inetrvalo. Da figura, tira-se que a area sob a hiperbole menos a area do retangulo inscrito (tudo isto no k-esimo intervalo) eh menor que a do triangulo retangulo de catetos x_k - x_(k-1) e F(x_(k-1))-F(x_k), ou seja: (1/2)(x_k-x_(k-1)*(1/x_(k-1)- 1/x_k), a qual eh menor que : (1/2) c * (1/x_(k-1)- 1/x_k). Somando estas desigualdades para k de 1 a n, tem-se que a diferenca entre a area da faixa de hiperbole e a soma das areas dos retangulos inscritos eh menor que: (1/2) c * (1/x_0 - 1x_n) = (1/2) c * (1/a -1/b), ja que a 1a parcela -1/x_1 cancela com a seguinte 1/x_1, etc. JP -----Mensagem original----- De: Marcelo Souza Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 9 de Julho de 2000 10:59 Assunto: faixa de hipérbole >Olá > Alguém poderia me ajudar enviando a solução do exercício abaixo >- Dada a decomposição di intervalo [a,b] em intervalos justapostos, o "erro" >que se comete ao tomar-se a área do polígono retangular P ao invés da área >da faixa H(a)_b é a diferença E=(área de H(a)_b) - (área de P). Prove que se >tem Edecomposição. >Conclua que, fixado [a,b], podemos tornar o erro E tão pequeno quanto se >deseje (digamos Ede intervalos de pequeno comprimento. (digamos, todos menores que a.e'). em >particular, o erro que se comete ao se substituir a área da faixa H(b)_1 >pela área de um polígono retangular inscrito é inferior ao comprimento do >maior intervalo da decomposição. >Notações: >H(a)_b = faixa da hiperbole limitada pelas abscissas a e b, b>a >não sei se precisa dizer, mas a função que determina essa hipérbole é >y=1/x... >Obrigado >Abraços >Marcelo >________________________________________________________________________ >Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jul 9 22:35:12 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA10589 for obm-l-list; Sun, 9 Jul 2000 22:35:12 -0300 Received: from barra.domain.com.br (barra.domain.com.br [200.196.128.5]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA10586 for ; Sun, 9 Jul 2000 22:35:01 -0300 Received: from default (200.188.49.246) by barra.domain.com.br (NPlex 4.5.042) id 3963046B0008B1E9 for obm-l@mat.puc-rio.br; Sun, 9 Jul 2000 22:37:48 -0300 From: "=?iso-8859-1?Q?Jos=E9_Paulo_Carneiro?=" To: Subject: Re: uma desigualdade! Date: Sun, 9 Jul 2000 22:39:45 -0300 Message-ID: <01bfea0f$b9fdf2e0$LocalHost@default> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.71.1712.3 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.71.1712.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Este problema pode ser resolvido de modo analogo ao da hiperbole: A soma 1/2^3 + 1/3^3 + ... + 1/n^3 eh a soma das areas dos retangulos inscritos sob a curva y=1/x^3, de 1 ateh n, para a particao: 1<2<3<... Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 9 de Julho de 2000 22:14 Assunto: uma desigualdade! >Caros amigos, como posso verificar a desigualdade > 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 <3/2 para todo n natural ? > >Um abraço , >Carlos A Gomes. > > > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jul 9 22:47:14 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA10687 for obm-l-list; Sun, 9 Jul 2000 22:47:14 -0300 Received: from radiohead.digi.com.br (mail.digi.com.br [200.241.100.4]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA10682 for ; Sun, 9 Jul 2000 22:46:53 -0300 Received: from natal.digi.com.br (unverified [200.249.6.138]) by radiohead.digi.com.br (Vircom SMTPRS 4.1.180) with ESMTP id for ; Sun, 9 Jul 2000 22:47:58 -0300 Message-ID: <39692B18.EA1710F2@natal.digi.com.br> Date: Sun, 09 Jul 2000 22:47:05 -0300 From: Carlos Gomes X-Mailer: Mozilla 4.51 [pt]C-CCK-MCD Diginet (Win95; I) X-Accept-Language: pt-BR MIME-Version: 1.0 To: "obm-l@mat.puc-rio.br" Subject: uma desigualdade Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id WAA10683 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caros amigos, como posso verificar a desigualdade 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 +...+ 1/n^3 <3/2 para todo n natural ? Um abraço , Carlos A Gomes. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 10 09:24:39 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA11910 for obm-l-list; Mon, 10 Jul 2000 09:24:39 -0300 Received: from mat.puc-rio.br (IDENT:root@feliz.mat.puc-rio.br [139.82.27.15]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id JAA11905 for ; Mon, 10 Jul 2000 09:24:22 -0300 Received: from localhost (nicolau@localhost) by mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id JAA05830 for ; Mon, 10 Jul 2000 09:24:20 -0300 Date: Mon, 10 Jul 2000 09:24:19 -0300 (BRT) From: "Nicolau C. Saldanha" X-Sender: nicolau@localhost.localdomain To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: =?iso-8859-1?Q?Re=3A_faixa_de_hip=E9rbole?= In-Reply-To: <20000709135601.69755.qmail@hotmail.com> Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: MULTIPART/MIXED; BOUNDARY="8323328-1175955259-963231859=:5813" Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This message is in MIME format. The first part should be readable text, while the remaining parts are likely unreadable without MIME-aware tools. Send mail to mime@docserver.cac.washington.edu for more info. --8323328-1175955259-963231859=:5813 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: QUOTED-PRINTABLE On Sun, 9 Jul 2000, Marcelo Souza wrote: > Ol=E1 > Algu=E9m poderia me ajudar enviando a solu=E7=E3o do exerc=EDcio abai= xo > - Dada a decomposi=E7=E3o di intervalo [a,b] em intervalos justapostos, o= "erro"=20 > que se comete ao tomar-se a =E1rea do pol=EDgono retangular P ao inv=E9s = da =E1rea=20 > da faixa H(a)_b =E9 a diferen=E7a E=3D(=E1rea de H(a)_b) - (=E1rea de P).= Prove que se=20 > tem E decomposi=E7=E3o. > Conclua que, fixado [a,b], podemos tornar o erro E t=E3o pequeno quanto s= e=20 > deseje (digamos E de intervalos de pequeno comprimento. (digamos, todos menores que a.e'). = em=20 > particular, o erro que se comete ao se substituir a =E1rea da faixa H(b)_= 1=20 > pela =E1rea de um pol=EDgono retangular inscrito =E9 inferior ao comprime= nto do=20 > maior intervalo da decomposi=E7=E3o. > Nota=E7=F5es: > H(a)_b =3D faixa da hiperbole limitada pelas abscissas a e b, b>a > n=E3o sei se precisa dizer, mas a fun=E7=E3o que determina essa hip=E9rbo= le =E9=20 > y=3D1/x... > Obrigado > Abra=E7os > Marcelo > ________________________________________________________________________ > Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com >=20 Isto que voc=EA est=E1 estudando =E9 a defini=E7=E3o de integral via somas = de Riemann e voc=EA pode ver este assunto em grande detalhe em um livro introdut=F3rio de an=E1lise, como por exemplo o Curso de An=E1lise, vol. 1, Elon L. Lima, projeto euclides. Em todo caso, a =E1rea A determinada por a < x < b, 0 < y < 1/x claramente satisfaz (b-a)/b < A < 1/2 * (b-a)(1/a + 1/b) pois a express=E3o da esquerda =E9 a =E1rea de um ret=E2ngulo contido na regi=E3o original e a express=E3o da direita =E9 a =E1rea de um trap=E9z= io contido na regi=E3o original (vide figura). A estimativa que voc=EA quer segue facilmente. []s, N. --8323328-1175955259-963231859=:5813 Content-Type: IMAGE/gif; name="hyp.gif" Content-Transfer-Encoding: BASE64 Content-ID: Content-Description: Figura de uma hiperbole (hyp.gif) Content-Disposition: attachment; filename="hyp.gif" R0lGODdhlgJGAsIAAAAAAH8wAP8AAP///wCOAAAA/wAAAAAAACwAAAAAlgJG AgAD/ji63P4wykmrvTjrzbv/YCiOZGmeaKqubOu+cCzPdG3feK7vfO//wKBw SCwaj8ikcslsOp/QqHRKrVqv2Kx2y+16v+CweEwum8/otHrNbrvf8Lh8Tq/b 7/i8fs/v+/+AgVACgoWGh4gxhImMjY6PF4uQk5SVh5KWmZqbdJicn6ChZJ6i paanUqSoq6ytQaqusbKzMLC0t7i5H7a6vb6/D7zAw8S0wsXIyabHys3OlszP 0tOI0dTX2HzW2dzdc9ve4eJo4OPm517l6OvsVOrt8PFK7/L19q/3+fpL9Pv+ /y36ARxIcITAgggTZjiosKHDYA8jStw1saLFCgwvatSX/nGjR3kdP4pcF3Kk yXElT6rMlnKlS2ktX8pMFnOmTWA1b+rUlXOnT1k9fwpdFXSoUVFFjyrdlHSp U0pNn0p1FHWqVUNVr2r9k3WrVz1dv4qtE3as2Thlz6pdk3atWzNt38oNE3eu 3S517+q9knev31R/AwPqK7hwEsKGExdBrLjxD8aOI+uALLlyDcqWMyvSzHlU 589gMIMebZC0aSyiT6vekHq1a4yvYzNpLbs2A9q2c+POLXs379e+f68OLvw0 8eKmjyMHrXx55+bONUOPnnk6dcnWr3cDAOBMdu3ZuHsHr1X8ePJTzcNFL7W7 es/snbrvvj7+0vnk7CvFf17//lH6/fk3FID1CTigGt8ZSAyBBSq4E4NlJOjg LxDCN6FOFVp44UwZjiHhhrh0KMaHINIiIl0lcsgGiSm6ciKKLa70Ymgxyrhi jSrNSCOOI+n4BYs8luJjOkGKNCSRRW50JF5JKukGkE1usiQXUEaZyZRUWlkR lltUqeUkXGrh5ZePhJnFmGQ2YuaZaTq0JmptNvQmX3EqNCeddRZ0pxVo5hnI nlX06ecfgAY6KECFunPoP4lOIeiiejTqKKT6SAoYpfdYGsWjmNah6SCd2vMp qKHGM+oTnJYKx6lOpKqqG6y2+io7sTbh6qxq1Dobrujouiuv4/jKD7DB2nEr sWQI/jsPsuEouyyz3Dh7GLTR3nEstV5IOy221GiLxLXcauHtt+FKM+4R4JZr xblGpKsuFey2+64y8S42bzL1EuHuvU/kqy+/C+6xL8BL+DvEwAQnYfDBCfuy sBAIN1zEw/hInAvFFVtsYh8RawwExkB07LEPIIc8siwlP3ZyLCn7IPLKObTs MsysyNzDyzTXYPPNOZ+yMw849xzDzzsELfQLRBd9dChJT7Y0KE07/bSUghg9 NQpR52D11SZkrTXXlniNw9ZgiyD22GWDiVXakJx9A9lsd+D223GreUndjMxN N96H6G0D3Hxb4PdlgRsyOOGF/5kI4IlHcDjijffxOA2M/kfewOSUW84H5jNU rvkAnHf+eR6hy+C55aWbPvodqW+2uqePnN54666/Lgfttdg+B+65677qJLIH znvvvrcx/AvB43088sUbX0nycS/PfPO5QkN99dZff4b002tfBvfdey8G+C5A Dzb55Ys/BvoBqT8+J+ZPzX777n8xP/31c3E/C/EvvT//+dMfKPontP8BMIBZ MOAKCJgzBS4QgSp4zwQk6AEHqoCBX+IOBSGgwRFY8IIQJIEGO1gBEobggyAM 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H+DiF8NYfTN2QI1t/F/x5bgBO+YxfkvMth8zIMhCNvCHT/xAEBD5fExu8gdi nDgjLwDJkWDIk59mZQVgGQNa1l2XB/BlMIeAynUbc5nNfGYHR5l4Ux6dmkOm 5S2vbM4Zi3Pk8JznG5sYrSo7/rOdLcZniGVk0A0rNMPazDdFL9rJiOaXow92 6DS/WWmMTtuk7SVoTV8aaJWGMqC35WRR32LNcoT01TZ9mFD779N97vGrR22r Oh+N1bYSQaSBhetaZxpmvZaVqoENa3SF+c7F/haJkU1rPg1bY8F21LKhnexf +Vli0Q5Uh3e9qGzzScUJ8zaeZA0wcfOlH2gmlrlRg25JV1vb5FbXurv0X26T ad5dooe9tYRvKr1j31HqN17Uke5OCTwdBMfWwX/EXGotPDTgKPihHk6XiCOL 4iPaBsBbhHEPWUPicer4KD6OK5FHKBobv5DJ4cIMkL8GAD6COTZlLrd3vyHF FUi5/mFgTnNW8vznTmw2V46h87/8vOegpGaYVs4WnCu26EZHeg0BxPOgnxp4 XXVO1X1Odakz1ebWuupytp50P3o9kmDHg9OJCnW7kH3qwrQ6LVDddFW0XS5v h2bcay50SKxdpL/Juyr3fnRHXj0UKcaEyy0j+MtJveo0P3ov+w4Nxdum8Xs3 ++OBfkzKZyLxFa0N5jXv+Apx3nFpr0ZB7y6W0c8clmefuYiYXrUUs94rrhc8 5k/fQnSeM/LpBP7vg0/84Rvf98gXfvKLv3wCOP/50I++9KdP/epb//rYz772 t8/97ks/AARYTe69Pvrcp97vfwdN+c++/tmf/xELBb36/mP/etgPk/7GPLz+ FSB/zbR/8HqHep5nCnvVf5Kxe7H3fwK4f7PwWAaoGAiYIRFIVQwoC6OVfoWB gKgkgS9Ce4hQWw8YdaZHfxpIgXMHayHodo3XfkiHf2dVgbFQXomXTGpSeG/n 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14:25:34 -0300 Received: (qmail 45585 invoked by uid 0); 10 Jul 2000 17:24:43 -0000 Message-ID: <20000710172443.45584.qmail@hotmail.com> Received: from 200.248.111.139 by www.hotmail.com with HTTP; Mon, 10 Jul 2000 10:24:42 PDT X-Originating-IP: [200.248.111.139] From: "Ecass Dodebel" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: ajuda Date: Mon, 10 Jul 2000 17:24:42 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >From: "Filho" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: "discussão de problemas" >Subject: ajuda >Date: Sun, 9 Jul 2000 22:21:40 -0300 > >Demonstrar que quaisquer que sejam os inteiros positivos x e y, o produto >(36x+y).(36y+x) não pode ser uma potência de 2. > > >Valeu Stabel pela questão anterior. É só fazer a diferença dos fatores, dá 35(x-y), a diferença de duas potências de 2 não pode ser múltipla de 35, que não é um primo de Mersenne. Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 10 14:40:18 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA13633 for obm-l-list; Mon, 10 Jul 2000 14:40:18 -0300 Received: from zipmail.com (zipmail.com [207.88.19.245]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA13629 for ; Mon, 10 Jul 2000 14:39:46 -0300 Received: from [32.94.119.2] (account ) by zipmail.com (CommuniGate Pro WebUser 3.2b5) with HTTP id 7024256 for ; Mon, 10 Jul 2000 13:40:30 -0400 From: "Paulo Santa Rita" Subject: Re: contratempo To: obm-l@mat.puc-rio.br X-Mailer: CommuniGate Pro Web Mailer v.3.2b5 Date: Mon, 10 Jul 2000 13:40:30 -0400 Message-ID: In-Reply-To: <20000709033703.10213.qmail@hotmail.com> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Ola Duda, Tudo Legal ? Alguem ja disse - e creio que com acerto - que "Um Leao se conhece pela pata", vale dizer, que um verdadeiro talento inevitavelmente se revela naquilo que ele produz ... Em verdade, quem tem que lhe agradecer somos nos, pela(s) belissima(s) solucao(oes) com que voce nos tem brindado. Parabens ! Paulo Santa Rita 2,1436,10072000 On Sun, 09 Jul 2000 03:37:03 GMT "Ecass Dodebel" wrote: > > > >>From: "Filho" >>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >>To: "discussão de problemas" >>Subject: contratempo >>Date: Sat, 8 Jul 2000 22:38:46 -0300 >> >>Contratempos.Desculpem!!! ok >> >>Agora, vamos ao trabalho. Preciso de ajuda. >> >>Demonstrar que a equação x^2 + y^2 - z^2 = 1997 tem >infinitas soluções >>inteiras. >> > >Caro colega Filho, > >Vou usar novamente # como sinal de soma >x^2 # y^2 - z^2 = >x^2 # (y # z)(y - z) = "faça (y # z)=1 " >x^2 # 1 * (1 - 2z) = >x^2 - (2z - 1) >Agora fica fácil de ver que se "x" for par, existirá >sempre um "z" de modo >que a diferença acima seja 1997. >Tome x=2k >4k^2 - (2z - 1) = 1997, tiramos que >z = 2k^2 - 998, logo >(2k , 999-2k^2 , 2k^2-998) = (x,y,z) são infinitas >soluções para k natural. > >Obrigado! > >Eduardo Casagrande Stabel. > >________________________________________________________________________ >Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at >http://www.hotmail.com >                      ________________________________________________ Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/ From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 10 15:05:59 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA13900 for obm-l-list; Mon, 10 Jul 2000 15:05:59 -0300 Received: from Fourier.visgraf.impa.br (external.visgraf.impa.br [147.65.1.2]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA13897 for ; Mon, 10 Jul 2000 15:05:48 -0300 Received: from visgraf.impa.br (dial02.impa.br [147.65.11.2]) by Fourier.visgraf.impa.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA23751 for ; Mon, 10 Jul 2000 15:05:46 -0300 (EST) Message-ID: <396A1074.5AF1546@visgraf.impa.br> Date: Mon, 10 Jul 2000 15:05:40 -0300 From: Ralph Costa Teixeira Organization: IMPA X-Mailer: Mozilla 4.72 [en] (Win95; U) X-Accept-Language: en,pt-BR MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: ajuda References: <20000710172443.45584.qmail@hotmail.com> Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Ok, concordo que (36x+y)(36y+x) é uma potência de 2 se e somente se cada um dos fatores o for. Então a diferença 35(x-y) seria a diferença de potências de 2. Mas não terminou ainda. Há potências de 2 cuja diferença é múltipla de 35 sim. Por exemplo, note que 4095 = 2^12-1 é múltiplo de 35, então: 2^(n+12)-2^n é múltiplo de 35 para qualquer n. Aliás, dá para mostrar que sempre que a diferença entre os expoentes for múltiplo de 12, 2^a-2^b é múltiplo de 35. Aliás, 2^a-2^b é múltiplo de 35 *se e somente se* a-b é múltiplo de 12 (isto tem de ser mostrado com mais calma. Por quê?). Mas essa informação acima ajuda. Afinal, se as potências 36x+y=2^a e 36y+x=2^b forem iguais, você pode encontrar uma contradição sem muito esforço (como?). Se as potências forem diferentes, o raciocínio acima mostra que... (se você não quiser ver o resto, pare aqui) ...a diferença entre os expoentes é pelo menos 12, isto é, um dos fatores é pelo menos 2^12 = 4096 vezes o outro, e isto também leva a uma contradição (por quê?). Abraço, Ralph Ecass Dodebel wrote: > >Demonstrar que quaisquer que sejam os inteiros positivos x e y, o produto > >(36x+y).(36y+x) não pode ser uma potência de 2. > > > É só fazer a diferença dos fatores, dá 35(x-y), a diferença de duas > potências de 2 não pode ser múltipla de 35, que não é um primo de Mersenne. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 10 15:59:08 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA14377 for obm-l-list; Mon, 10 Jul 2000 15:59:08 -0300 Received: from hotmail.com (f126.law9.hotmail.com [64.4.9.126]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id PAA14372 for ; Mon, 10 Jul 2000 15:58:19 -0300 Received: (qmail 56952 invoked by uid 0); 10 Jul 2000 18:57:30 -0000 Message-ID: <20000710185730.56951.qmail@hotmail.com> Received: from 200.248.111.139 by www.hotmail.com with HTTP; Mon, 10 Jul 2000 11:57:30 PDT X-Originating-IP: [200.248.111.139] From: "Ecass Dodebel" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: ajuda(correção) Date: Mon, 10 Jul 2000 18:57:30 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >From: "Ecass Dodebel" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: obm-l@mat.puc-rio.br >Subject: Re: ajuda >Date: Mon, 10 Jul 2000 17:24:42 GMT > > > > >>From: "Filho" >>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >>To: "discussão de problemas" >>Subject: ajuda >>Date: Sun, 9 Jul 2000 22:21:40 -0300 >> >>Demonstrar que quaisquer que sejam os inteiros positivos x e y, o produto >>(36x+y).(36y+x) não pode ser uma potência de 2. >> >> >>Valeu Stabel pela questão anterior. > >É só fazer a diferença dos fatores, dá 35(x-y), a diferença de duas >potências de 2 não pode ser múltipla de 35, que não é um primo de Mersenne. > >Obrigado! > >Eduardo Casagrande Stabel. > >_______________________________________________________________________ Desculpem-me, eu disse besteira, pensei mal. A minha outra sugestão é a seguinte. Escolhemos a solução que tem o menor x, deve existir uma. Só que para (36y # x) não ser ímpar, x deve ser múltiplo de 4, diremos x=4X. E para (36x # y) não ser ímpar, y deve ser múltiplo de 4, diremos y=4Y. Temos (36x # y)(36y # x)=16(36X # Y)(36Y # X) potência de 2. Então o par (X,Y) também é solução do problema, mas X=4x; Mon, 10 Jul 2000 17:01:15 -0300 Received: from brunofcl.internetcom (200.187.204.77) by CorpMail.zip.net (5.0.040) id 395A6E6900162AAE for obm-l@mat.puc-rio.br; Mon, 10 Jul 2000 17:03:19 -0300 Message-Id: <3.0.6.32.20000710170223.007c4860@pop-gw.zip.net> X-Sender: superbr@pop-gw.zip.net X-Mailer: QUALCOMM Windows Eudora Light Version 3.0.6 (32) Date: Mon, 10 Jul 2000 17:02:23 -0300 To: obm-l@mat.puc-rio.br From: Bruno Leite Subject: Re: uma desigualdade! In-Reply-To: <396921C4.50561755@natal.digi.com.br> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br At 22:07 09/07/00 -0300, you wrote: >Caros amigos, como posso verificar a desigualdade > 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 <3/2 para todo n natural ? Um esboço de solução: Provar por indução que 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 <3/2(1-1/n) para n>1 Então quando n->infinito, 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3<3/2 A série 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 é crescente, limitada superiormente e tem um limite que é menor que 3/2. Logo para qualquer n natural 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 <3/2. Na verdade vale 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 <1.202057 Abraço Bruno Leite From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 10 18:42:23 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA15661 for obm-l-list; Mon, 10 Jul 2000 18:42:23 -0300 Received: from zipmail.com (zipmail.com [207.88.19.245]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA15658 for ; Mon, 10 Jul 2000 18:42:07 -0300 Received: from [32.94.119.127] (account ) by zipmail.com (CommuniGate Pro WebUser 3.2b5) with HTTP id 7028260 for ; Mon, 10 Jul 2000 17:43:46 -0400 From: "Paulo Santa Rita" Subject: Re: ajuda(correção) To: obm-l@mat.puc-rio.br X-Mailer: CommuniGate Pro Web Mailer v.3.2b5 Date: Mon, 10 Jul 2000 17:43:46 -0400 Message-ID: In-Reply-To: <20000710185730.56951.qmail@hotmail.com> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Ola Duda, A sua solucao, em essencia, esta correta ... Todavia, observe que voce diz: "Para que 36y+x nao seja impar, e necessario que x seja multiplo de 4" Esta certo isso ? Sem duvida que voce queria dizer que "36x+y" e "36y+x" serao pares se, e somente se, "x" e "y" forem pares. Fazendo x=2A e y=2B, seque 4*(36A+B)(36B+A)e uma potencia de 2, logo (36A+B)(36B+A) tambem e uma potencia de 2, com A < x e B < y. reiterando o raciocinio acima teriamos uma "descida infinita", o que, por absurdo, provaria sua tese tal como Fermat provava seus Teoremas. Mas tudo isso e bordado e perfumaria: esta implicito em seu pensamento. A ideia basica e fundamental e sua e as glorias por ela so cabem a voce ! Um Abraco Paulo Santa Rita 2,1832,10072000 >Desculpem-me, eu disse besteira, pensei mal. >A minha outra sugestão é a seguinte. >Escolhemos a solução que tem o menor x, deve existir uma. >Só que para >(36y # x) não ser ímpar, x deve ser múltiplo de 4, diremos >x=4X. E para (36x ># y) não ser ímpar, y deve ser múltiplo de 4, diremos >y=4Y. Temos >(36x # y)(36y # x)=16(36X # Y)(36Y # X) potência de 2. >Então o par (X,Y) >também é solução do problema, mas X=4xsupomos x o menor >possível. Logo não há solução. >Isso seria a descida de Fermat para (36x # y)(36y # x)=2^z >? Acho que sim. > >Obrigado! > >Eduardo Casagrande Stabel. >________________________________________________________________________ >Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at >http://www.hotmail.com >                      ________________________________________________ Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/ From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 10 19:22:07 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA15853 for obm-l-list; Mon, 10 Jul 2000 19:22:07 -0300 Received: from zipmail.com (zipmail.com [207.88.19.245]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA15850 for ; Mon, 10 Jul 2000 19:21:47 -0300 Received: from [32.94.119.127] (account ) by zipmail.com (CommuniGate Pro WebUser 3.2b5) with HTTP id 7029099 for ; Mon, 10 Jul 2000 18:23:20 -0400 From: "Paulo Santa Rita" Subject: Re: uma desigualdade! To: obm-l@mat.puc-rio.br X-Mailer: CommuniGate Pro Web Mailer v.3.2b5 Date: Mon, 10 Jul 2000 18:23:20 -0400 Message-ID: In-Reply-To: <3.0.6.32.20000710170223.007c4860@pop-gw.zip.net> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Carissimo Bruno, Antes de mais nada, registro minha alegria em "reve-lo virtualmente". Saudacoes ! Parece que aqui na lista temos a oportunidade de consquistar nao so conhecimentos, mas, tambem, amigos ! Esta serie e, de fato, interessantissima ... Ela guarda um evidente parentesco - ao menos quanto a forma - com a serie dos inversos dos quadrados 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ... Tio Euler pode somar esta serie, mas, a dos inversos dos cubos, nao. E digno de nota que tanto Bernoulli quanto Leibniz tentaram, sem sucesso, obter o mesmo resultado. Posteriormente Tio Euler generalizou para uma potencia par qualquer. Voce sabe como ele concluiu que 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ... = ((pi)^2)/6 ? Nao ? Observando o desenvolvimento em serie de Taylor do seno(x). Como seno(x)=0 => x=k*(pi), K inteiro, Euler concluiu que o desenvolvimento em serie de seno(x) era um polinomio infinito que obedecia as relacoes de girard entre os coeficientes e as raizes de uma equacao(valido para um polinomio finito ). Dai aplicou estas relacoes para encontrar a soma dos inversos dos quadrados das raizes (infinitas) do polinomio infinito. Genial, nao ? Mas, conforme falei, Tio Euler nao teve sucesso ( e nenhum outro matematico depois dele, ate hoje - pelo que sei ) com a soma dos inversos dos cubos. Por que ? Bom, "pi" aparece com muitas caras. Em particular aparece tal como Gregori o viu: pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ... Por outro lado, qualquer quadrado pode ser expresso como uma soma de numeros impares, a saber: N^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2*N - 1) E portanto podemos expressar o resultado de Euler como: 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ...=(1/6)*(1 - 1/3 + 1/5 - ...)*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... ) Ocorre que se (a1, a2, a3, ... ) e uma progressao harmonica, entao, sempre, (a1 - a2 + a3 - a4 + ...) e uma serie convergente e a soma dos inversos dos quadrados e da masma natureza que a soma dos numeros triangulares. Esta series formam um triangulo aritmetico. On Mon, 10 Jul 2000 17:02:23 -0300 Bruno Leite wrote: >At 22:07 09/07/00 -0300, you wrote: >>Caros amigos, como posso verificar a desigualdade >> 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 <3/2 para todo >n natural ? > >Um esboço de solução: >Provar por indução que 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ >1/n^3 <3/2(1-1/n) >para n>1 > >Então quando n->infinito, 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ >1/n^3<3/2 > >A série 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 é crescente, >limitada >superiormente e tem um limite que é menor que 3/2. >Logo para qualquer n natural 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + >...+ 1/n^3 <3/2. > >Na verdade vale 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 ><1.202057 > > >Abraço > >Bruno Leite > > > >                      ________________________________________________ Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/ From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 10 21:57:15 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA16466 for obm-l-list; Mon, 10 Jul 2000 21:57:15 -0300 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.128]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA16463 for ; Mon, 10 Jul 2000 21:57:03 -0300 Received: from centroin.com.br (du7c.rjo.centroin.com.br [200.225.58.7]) by trex.centroin.com.br (8.10.1/8.10.1) with ESMTP id e6B0uUd13309 for ; Mon, 10 Jul 2000 21:56:30 -0300 (EST) Message-ID: <396A7150.E7BA268E@centroin.com.br> Date: Mon, 10 Jul 2000 21:58:56 -0300 From: Augusto Morgado X-Mailer: Mozilla 4.73 [en] (Win95; I) X-Accept-Language: en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: uma desigualdade! References: Content-Type: text/plain; charset=x-user-defined Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Paulo Santa Rita wrote: > > Carissimo Bruno, > > Antes de mais nada, registro minha alegria em "reve-lo > virtualmente". Saudacoes ! Parece que aqui na lista temos a > oportunidade de consquistar nao so conhecimentos, mas, > tambem, amigos ! > > Esta serie e, de fato, interessantissima ... Ela guarda um > evidente parentesco - ao menos quanto a forma - com a serie > dos inversos dos quadrados > > 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ... > > Tio Euler pode somar esta serie, mas, a dos inversos dos > cubos, nao. E digno de nota que tanto Bernoulli quanto > Leibniz tentaram, sem sucesso, obter o mesmo resultado. > Posteriormente Tio Euler generalizou para uma potencia par > qualquer. > > Voce sabe como ele concluiu que > > 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ... = ((pi)^2)/6 ? > > Nao ? Observando o desenvolvimento em serie de Taylor do > seno(x). > > Como seno(x)=0 => x=k*(pi), K inteiro, Euler concluiu que o > desenvolvimento em serie de seno(x) era um polinomio > infinito que obedecia as relacoes de girard entre os > coeficientes e as raizes de uma equacao(valido para um > polinomio finito ). Dai aplicou estas relacoes para > encontrar a soma dos inversos dos quadrados das raizes > (infinitas) do polinomio infinito. Genial, nao ? > > Mas, conforme falei, Tio Euler nao teve sucesso ( e nenhum > outro matematico depois dele, ate hoje - pelo que sei ) com > a soma dos inversos dos cubos. Por que ? > > Bom, "pi" aparece com muitas caras. Em particular aparece > tal como Gregori o viu: > > pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ... > > Por outro lado, qualquer quadrado pode ser expresso como uma > soma de numeros impares, a saber: > > N^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2*N - 1) > > E portanto podemos expressar o resultado de Euler como: > > 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ...=(1/6)*(1 - 1/3 + > 1/5 - ...)*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... ) > > Ocorre que se (a1, a2, a3, ... ) e uma progressao harmonica, > entao, sempre, (a1 - a2 + a3 - a4 + ...) e uma serie > convergente e a soma dos inversos dos quadrados e da masma > natureza que a soma dos numeros triangulares. Esta series > formam um triangulo aritmetico. > > On Mon, 10 Jul 2000 17:02:23 -0300 > Bruno Leite wrote: > >At 22:07 09/07/00 -0300, you wrote: > >>Caros amigos, como posso verificar a desigualdade > >> 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 <3/2 para todo > >n natural ? > > > >Um esboço de solução: > >Provar por indução que 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ > >1/n^3 <3/2(1-1/n) > >para n>1 > > > >Então quando n->infinito, 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ > >1/n^3<3/2 > > > >A série 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 é crescente, > >limitada > >superiormente e tem um limite que é menor que 3/2. > >Logo para qualquer n natural 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + > >...+ 1/n^3 <3/2. > > > >Na verdade vale 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 > ><1.202057 > > > > > >Abraço > > > >Bruno Leite > > > > > > > > > >                      > ________________________________________________ > Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/ Houve uma pequena distração. Leia-se série de Fourier onde está série de Taylor. Morgado From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Tue Jul 11 09:37:04 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA17752 for obm-l-list; Tue, 11 Jul 2000 09:37:04 -0300 Received: from sec.secrel.com.br (sec.secrel.com.br [200.194.96.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id JAA17749 for ; Tue, 11 Jul 2000 09:36:47 -0300 Received: (qmail 32467 invoked from network); 11 Jul 2000 09:34:01 -0000 Received: from unknown (HELO meucompu) (200.194.100.51) by sec.secrel.com.br with SMTP; 11 Jul 2000 09:34:01 -0000 Message-ID: <004c01bfeb34$21bb1a00$3364c2c8@meucompu> From: "Filho" To: "=?iso-8859-1?Q?discuss=E3o_de_problemas?=" Subject: ajuda Date: Tue, 11 Jul 2000 09:32:50 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0049_01BFEB1A.FAFE2560" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.2106.4 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.2106.4 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0049_01BFEB1A.FAFE2560 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Demonstrar que quaisquer que sejam os inteiros positivos x e y, o = produto (36x+y).(36y+x) n=E3o pode ser uma pot=EAncia de 2. =20 =20 Valeu Stabel pela quest=E3o anterior ------=_NextPart_000_0049_01BFEB1A.FAFE2560 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Demonstrar que quaisquer que sejam = os inteiros=20 positivos x e y, o produto (36x+y).(36y+x) não pode ser uma=20 potência de 2.
 
 
Valeu Stabel pela questão=20 anterior
------=_NextPart_000_0049_01BFEB1A.FAFE2560-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Tue Jul 11 16:07:44 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA20073 for obm-l-list; Tue, 11 Jul 2000 16:07:44 -0300 Received: from rimbaud.uol.com.br ([200.231.206.24]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA20069 for ; Tue, 11 Jul 2000 16:07:19 -0300 Received: from [200.191.90.198] (200-191-90-198-as.acessonet.com.br [200.191.90.198]) by rimbaud.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with ESMTP id QAA23788 for ; Tue, 11 Jul 2000 16:05:01 -0300 (BRT) User-Agent: Microsoft-Outlook-Express-Macintosh-Edition/5.02.2022 Date: Tue, 11 Jul 2000 16:05:57 -0300 Subject: Novato From: Carlos Stein Naves de Brito To: Message-ID: Mime-version: 1.0 Content-type: text/plain; charset="US-ASCII" Content-transfer-encoding: 7bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi para todos, prazer falar com voces denovo se alguem me conhece, estou me preparando para poder participar do IMO ano que vem e como moro em Goiania nao tenho nenhum apoio real para isso, por isso gostaria de saber que livros sao recomendados para eu me preparar, de preferencias alguns de exercicios e outros teoricos, pois tenho muito o que aprender. Obrigado, Carlos From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Tue Jul 11 16:40:26 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA20327 for obm-l-list; Tue, 11 Jul 2000 16:40:26 -0300 Received: from mat.puc-rio.br (IDENT:root@feliz.mat.puc-rio.br [139.82.27.15]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA20322 for ; Tue, 11 Jul 2000 16:40:00 -0300 Received: from localhost (nicolau@localhost) by mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA10265 for ; Tue, 11 Jul 2000 16:39:59 -0300 Date: Tue, 11 Jul 2000 16:39:59 -0300 (BRT) From: "Nicolau C. Saldanha" X-Sender: nicolau@localhost.localdomain To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Novato In-Reply-To: Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id QAA20323 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Tue, 11 Jul 2000, Carlos Stein Naves de Brito wrote: > Oi para todos, prazer falar com voces denovo se alguem me conhece, > estou me preparando para poder participar do IMO ano que vem e como moro em > Goiania nao tenho nenhum apoio real para isso, por isso gostaria de saber > que livros sao recomendados para eu me preparar, de preferencias alguns de > exercicios e outros teoricos, pois tenho muito o que aprender. > Obrigado, > Carlos > Os livros de problemas da IMO são a melhor forma de estudar (tente fazer os problemas sozinho!). Os livros de problemas da OBM e iberos também são legais e existem em português. []s, N. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Tue Jul 11 16:56:32 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA20438 for obm-l-list; Tue, 11 Jul 2000 16:56:32 -0300 Received: from hotmail.com (f28.law9.hotmail.com [64.4.9.28]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id QAA20429 for ; Tue, 11 Jul 2000 16:55:26 -0300 Received: (qmail 546 invoked by uid 0); 11 Jul 2000 19:54:39 -0000 Message-ID: <20000711195439.545.qmail@hotmail.com> Received: from 200.198.157.100 by www.hotmail.com with HTTP; Tue, 11 Jul 2000 12:54:39 PDT X-Originating-IP: [200.198.157.100] From: "Ecass Dodebel" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: contratempo Date: Tue, 11 Jul 2000 19:54:39 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >Ola Duda, >Tudo Legal ? > >Alguem ja disse - e creio que com acerto - que "Um Leao se >conhece pela pata", vale dizer, que um verdadeiro talento >inevitavelmente se revela naquilo que ele produz ... Em >verdade, quem tem que lhe agradecer somos nos, pela(s) >belissima(s) solucao(oes) com que voce nos tem brindado. >Parabens ! > >Paulo Santa Rita >2,1436,10072000 Caro amigo Paulo Santa Rita, acho que o adjetivo 'belissima(s)' é um tanto exagerado, mas fico muito feliz em receber seu elogio. Nao sou bom com elogios, mas voce, que ja foi confundido inumeras vezes com um professor, contribui enormemente para a lista e dá muita personalidade a ela. Voce une o grupo. Muito Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Tue Jul 11 17:44:23 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA20883 for obm-l-list; Tue, 11 Jul 2000 17:44:23 -0300 Received: from ls02.esquadro.com.br (ls02.esquadro.com.br [200.214.4.1]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA20872 for ; Tue, 11 Jul 2000 17:42:18 -0300 From: alexv@esquadro.com.br Received: from localhost (ls01.esquadro.com.br [200.214.4.3]) by ls02.esquadro.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id RAA08569 for ; Tue, 11 Jul 2000 17:56:22 -0300 Message-Id: <200007112056.RAA08569@ls02.esquadro.com.br> Subject: Re: Re: Novato Content-transfer-encoding: 8bit To: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Content-type: text/plain Mime-version: 1.0 X-Sender-ip: 8cffc110 Date: Tue, 11 Jul 2000 17:47 +0000 X-mailer: Netbula AnyEMail(TM) 4.51 ae_esquadro_br_p_10000 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Carlos, veja na página da OBM (www.obm.org.br) a opção Bibliografia de Apoio. Há também um site com as questões de Olimpíadas internacionais de anos anteriores (http://www.kalva.demon.co.uk/imo.html). Boa Sorte, ou melhor, Bons Estudos... Alexandre Vellasquez ============ >On Tue, 11 Jul 2000, Carlos Stein Naves de Brito wrote: > >> Oi para todos, prazer falar com voces denovo se alguem me conhece, >> estou me preparando para poder participar do IMO ano que vem e como moro em >> Goiania nao tenho nenhum apoio real para isso, por isso gostaria de saber >> que livros sao recomendados para eu me preparar, de preferencias alguns de >> exercicios e outros teoricos, pois tenho muito o que aprender. >> Obrigado, >> Carlos >> > >Os livros de problemas da IMO são a melhor forma de estudar >(tente fazer os problemas sozinho!). Os livros de problemas da OBM >e iberos também são legais e existem em português. > >[]s, N. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Tue Jul 11 19:47:02 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA21565 for obm-l-list; Tue, 11 Jul 2000 19:47:02 -0300 Received: from Servmail.abeu.com.br (Servmail.abeu.com.br [200.255.31.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA21561 for ; Tue, 11 Jul 2000 19:46:42 -0300 Received: from win1 (me102.abeu.com.br [200.255.31.98]) by Servmail.abeu.com.br (8.9.3/8.9.1) with SMTP id TAA00609 for ; Tue, 11 Jul 2000 19:47:09 -0300 Message-ID: <001e01bfeb89$6096b680$621fffc8@win1> From: "edmilson" To: Subject: =?iso-8859-1?Q?Problema_de_=C1lgebra?= Date: Tue, 11 Jul 2000 19:43:03 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_001B_01BFEB70.3A0A95E0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_001B_01BFEB70.3A0A95E0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Caros amigos da lista, Pe=E7o ajuda, pois estou estudando =E1lgebra abstrata e esbarrei no = seguinte problema : Seja G um conjunto finito e munido de uma opera=E7=E3o * que =E9 = associativa. Mostrar que se a opera=E7=E3o * satisfaz as duas leis do = cancelamento, ent=E3o (G, * ) =E9 um grupo. Atenciosamente, Edmilson http://www.edmilsonaleixo.cjb.net edmilson@abeunet.com.br ------=_NextPart_000_001B_01BFEB70.3A0A95E0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Caros amigos da lista,
 
Pe=E7o ajuda, pois estou estudando = =E1lgebra abstrata e=20 esbarrei no seguinte problema :
 
Seja G um conjunto finito e munido de = uma=20 opera=E7=E3o  *  que =E9 associativa. Mostrar que se a = opera=E7=E3o * satisfaz=20 as duas leis do cancelamento, ent=E3o (G, * ) =E9 um grupo.
 
Atenciosamente,
Edmilson
http://www.edmilsonaleixo.cjb.= net
edmilson@abeunet.com.br
------=_NextPart_000_001B_01BFEB70.3A0A95E0-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jul 12 08:14:51 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id IAA23076 for obm-l-list; Wed, 12 Jul 2000 08:14:51 -0300 Received: from sec.secrel.com.br (sec.secrel.com.br [200.194.96.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id IAA23073 for ; Wed, 12 Jul 2000 08:14:40 -0300 Received: (qmail 4159 invoked from network); 12 Jul 2000 08:11:56 -0000 Received: from unknown (HELO meucompu) (200.194.99.163) by sec.secrel.com.br with SMTP; 12 Jul 2000 08:11:56 -0000 Message-ID: <000901bfebeb$f653eb40$a363c2c8@meucompu> From: "Filho" To: "=?iso-8859-1?Q?discuss=E3o_de_problemas?=" Subject: ajuda Date: Wed, 12 Jul 2000 07:28:45 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0006_01BFEBD2.CFF28420" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.2106.4 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.2106.4 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0006_01BFEBD2.CFF28420 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Demonstrar que quaisquer que sejam os inteiros positivos x e y, o = produto (36x+y).(36y+x) n=E3o pode ser uma pot=EAncia de 2. =20 ------=_NextPart_000_0006_01BFEBD2.CFF28420 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Demonstrar que quaisquer que sejam = os inteiros=20 positivos x e y, o produto (36x+y).(36y+x) não pode ser uma=20 potência de 2.
 
------=_NextPart_000_0006_01BFEBD2.CFF28420-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jul 12 10:41:43 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA23858 for obm-l-list; Wed, 12 Jul 2000 10:41:43 -0300 Received: from sec.secrel.com.br (sec.secrel.com.br [200.194.96.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id KAA23851 for ; Wed, 12 Jul 2000 10:41:28 -0300 Received: (qmail 28826 invoked from network); 12 Jul 2000 10:38:35 -0000 Received: from unknown (HELO meucompu) (200.194.99.66) by sec.secrel.com.br with SMTP; 12 Jul 2000 10:38:35 -0000 Message-ID: <003101bfec06$f22c1f40$4263c2c8@meucompu> From: "Filho" To: "=?iso-8859-1?Q?discuss=E3o_de_problemas?=" Subject: =?iso-8859-1?Q?circunfer=EAncia_x_c=EDrculo?= Date: Wed, 12 Jul 2000 10:41:54 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_002E_01BFEBED.CBB0C780" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.2106.4 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.2106.4 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_002E_01BFEBED.CBB0C780 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable =C9 muito comum se ver em livros e provas de vestibulares, perguntas do = tipo: Determine a =E1rea da circunfer=EAncia.ERRADO OU OK ? N=E3o seria = melhor: Determinar a =E1rea da regi=E3o limitada pela circunfer=EAncia = ou do disco ou mesmo do c=EDrculo. Ou ser=E1 correto se referir a uma = circunfer=EAncia como sendo um c=EDrculo? A circunfer=EAncia n=E3o =E9 = um subconjunto do c=EDrculo? O c=EDrculo n=E3o pode ser visto como a = reuni=E3o de v=E1rias circunfer=EAncias conc=EAntricas? Devemos fazer = vista grossa? Gostaria de ter a opini=E3o de voc=EAs. ------=_NextPart_000_002E_01BFEBED.CBB0C780 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
É muito comum se ver em livros e provas de=20 vestibulares, perguntas do tipo: Determine a área da=20 circunferência.ERRADO OU OK ? Não = seria melhor:=20 Determinar a área da região limitada pela = circunferência ou=20 do disco ou mesmo do círculo. Ou será correto se referir a = uma=20 circunferência como sendo um círculo? A = circunferência=20 não é um subconjunto do círculo? O círculo=20 não pode ser visto como a reunião de várias=20 circunferências concêntricas? Devemos fazer vista=20 grossa?
Gostaria de ter a opinião de=20 vocês.
------=_NextPart_000_002E_01BFEBED.CBB0C780-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jul 12 10:57:50 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA24033 for obm-l-list; Wed, 12 Jul 2000 10:57:50 -0300 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.128]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id KAA24025 for ; Wed, 12 Jul 2000 10:57:32 -0300 Received: from centroin.com.br (du59c.rjo.centroin.com.br [200.225.58.59]) by trex.centroin.com.br (8.10.1/8.10.1) with ESMTP id e6CDuxd07942 for ; Wed, 12 Jul 2000 10:57:00 -0300 (EST) Message-ID: <396C79C3.880824B0@centroin.com.br> Date: Wed, 12 Jul 2000 10:59:31 -0300 From: Augusto Morgado X-Mailer: Mozilla 4.73 [en] (Win95; I) X-Accept-Language: en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: uma desigualdade! References: Content-Type: text/plain; charset=x-user-defined Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Paulo Santa Rita wrote: > > Carissimo Bruno, > > Antes de mais nada, registro minha alegria em "reve-lo > virtualmente". Saudacoes ! Parece que aqui na lista temos a > oportunidade de consquistar nao so conhecimentos, mas, > tambem, amigos ! > > Esta serie e, de fato, interessantissima ... Ela guarda um > evidente parentesco - ao menos quanto a forma - com a serie > dos inversos dos quadrados > > 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ... > > Tio Euler pode somar esta serie, mas, a dos inversos dos > cubos, nao. E digno de nota que tanto Bernoulli quanto > Leibniz tentaram, sem sucesso, obter o mesmo resultado. > Posteriormente Tio Euler generalizou para uma potencia par > qualquer. > > Voce sabe como ele concluiu que > > 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ... = ((pi)^2)/6 ? > > Nao ? Observando o desenvolvimento em serie de Taylor do > seno(x). > > Como seno(x)=0 => x=k*(pi), K inteiro, Euler concluiu que o > desenvolvimento em serie de seno(x) era um polinomio > infinito que obedecia as relacoes de girard entre os > coeficientes e as raizes de uma equacao(valido para um > polinomio finito ). Dai aplicou estas relacoes para > encontrar a soma dos inversos dos quadrados das raizes > (infinitas) do polinomio infinito. Genial, nao ? > > Mas, conforme falei, Tio Euler nao teve sucesso ( e nenhum > outro matematico depois dele, ate hoje - pelo que sei ) com > a soma dos inversos dos cubos. Por que ? > > Bom, "pi" aparece com muitas caras. Em particular aparece > tal como Gregori o viu: > > pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ... > > Por outro lado, qualquer quadrado pode ser expresso como uma > soma de numeros impares, a saber: > > N^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2*N - 1) > > E portanto podemos expressar o resultado de Euler como: > > 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ...=(1/6)*(1 - 1/3 + > 1/5 - ...)*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... ) > > Ocorre que se (a1, a2, a3, ... ) e uma progressao harmonica, > entao, sempre, (a1 - a2 + a3 - a4 + ...) e uma serie > convergente e a soma dos inversos dos quadrados e da masma > natureza que a soma dos numeros triangulares. Esta series > formam um triangulo aritmetico. > > On Mon, 10 Jul 2000 17:02:23 -0300 > Bruno Leite wrote: > >At 22:07 09/07/00 -0300, you wrote: > >>Caros amigos, como posso verificar a desigualdade > >> 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 <3/2 para todo > >n natural ? > > > >Um esboço de solução: > >Provar por indução que 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ > >1/n^3 <3/2(1-1/n) > >para n>1 > > > >Então quando n->infinito, 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ > >1/n^3<3/2 > > > >A série 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 é crescente, > >limitada > >superiormente e tem um limite que é menor que 3/2. > >Logo para qualquer n natural 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + > >...+ 1/n^3 <3/2. > > > >Na verdade vale 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 > ><1.202057 > > > > > >Abraço > > > >Bruno Leite > > > >Solicito aos caros amigos que desconsiderem uma burrice da minha parte ao afirmar que Euler usou série de Fourier para calcular a referida soma. Li a mensagem meais rapidamente do que devia. O que eu queria dizer é que essas somas de 1 sobre n elevado a expoente par sao calculáveis por meio de séries de Fourier. Desculpem a pisada na bola. Morgado PS: E o que eu sempre digo: ninguém descende de português impunemente. > > > > > >                      > ________________________________________________ > Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/ From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jul 12 11:02:33 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA24075 for obm-l-list; Wed, 12 Jul 2000 11:02:33 -0300 Received: from barra.domain.com.br (barra.domain.com.br [200.196.128.5]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA24071 for ; Wed, 12 Jul 2000 11:02:14 -0300 Received: from default (200.188.49.85) by barra.domain.com.br (NPlex 4.5.042) id 3963046B000FD5C9 for obm-l@mat.puc-rio.br; Wed, 12 Jul 2000 11:04:57 -0300 From: "=?iso-8859-1?Q?Jos=E9_Paulo_Carneiro?=" To: Subject: =?iso-8859-1?Q?Re:_Problema_de_=C1lgebra?= Date: Wed, 12 Jul 2000 10:33:41 -0300 Message-ID: <01bfec05$cb22a460$LocalHost@default> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_001F_01BFEBEC.A5D56C60" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.71.1712.3 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.71.1712.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_001F_01BFEBEC.A5D56C60 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Sejam a_1, ..., a_n os elementos do conjunto. Tome um deles (seja a_m) e multiplique a esquerda por todos: a_m a_1, ..., a_m a_n. Quaisquer dois desta lista sao diferentes (pelo = cancelamento a esquerda), e sao em numero de n. Logo, sao os mesmos da lista = anterior. Entao algum deles (sem perda de generalidade, o primeiro) eh o proprio a_m, isto eh: a_m a_1 =3D a_m. Agora, para qualquer k, se tem (pela associatividade, = nao escrevo pareneteses): a_m a_k =3D a_m a_1 a_k . Pelo cancelamento a esquerda: a_k =3D a_1 a_k. Analogamente, voce prova que: a_k =3D a_k a_1. Logo a_1 =3D e eh neutro. Para provar a existencia de inverso de cada elemento, use argumento = analogo: multiplique um deleds a esquerda por todos. Um destes terah que ser = igual ao neutro, etc. JP -----Mensagem original----- De: edmilson Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Ter=E7a-feira, 11 de Julho de 2000 19:50 Assunto: Problema de =C1lgebra Caros amigos da lista, Pe=E7o ajuda, pois estou estudando =E1lgebra abstrata e esbarrei no = seguinte problema : Seja G um conjunto finito e munido de uma opera=E7=E3o * que =E9 = associativa. Mostrar que se a opera=E7=E3o * satisfaz as duas leis do = cancelamento, ent=E3o (G, * ) =E9 um grupo. Atenciosamente, Edmilson http://www.edmilsonaleixo.cjb.net edmilson@abeunet.com.br ------=_NextPart_000_001F_01BFEBEC.A5D56C60 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Sejam a_1, ..., a_n os = elementos do=20 conjunto.
Tome=20 um deles (seja a_m) e multiplique a esquerda por todos:
a_m a_1, ..., a_m a_n. Quaisquer dois = desta lista=20 sao diferentes (pelo cancelamento 
a esquerda), e sao em numero de n. = Logo, sao os=20 mesmos da lista anterior. Entao algum 
deles (sem perda de generalidade, o = primeiro) eh o=20 proprio a_m, isto eh: 
a_m=20 a_1 =3D a_m. Agora, para qualquer k, se tem (pela associatividade, nao = escrevo=20 pareneteses):
a_m=20 a_k =3D a_m a_1 a_k . Pelo cancelamento a esquerda: a_k =3D a_1 = a_k.
Analogamente, voce prova que: a_k =3D = a_k a_1. Logo=20 a_1 =3D e eh neutro. 
 
Para provar a existencia de inverso de = cada=20 elemento, use argumento analogo:
multiplique um deleds a esquerda por = todos. Um=20 destes terah que ser igual ao neutro, etc. 
JP 
 
 
 
-----Mensagem = original-----
De:=20 edmilson <edmilson@abeunet.com.br>Para:=20 obm-l@mat.puc-rio.br = <obm-l@mat.puc-rio.br>
D= ata:=20 Terça-feira, 11 de Julho de 2000 19:50
Assunto: = Problema de=20 Álgebra

Caros amigos da lista,
 
Peço ajuda, pois estou estudando = álgebra abstrata e esbarrei no seguinte problema :
 
Seja G um conjunto finito e munido de = uma=20 operação  *  que é associativa. Mostrar = que se a=20 operação * satisfaz as duas leis do cancelamento, = então (G,=20 * ) é um grupo.
 
Atenciosamente,
Edmilson
http://www.edmilsonaleixo.cjb.= net
edmilson@abeunet.com.br
------=_NextPart_000_001F_01BFEBEC.A5D56C60-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jul 12 13:37:34 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA25372 for obm-l-list; Wed, 12 Jul 2000 13:37:34 -0300 Received: from smtp-gw.homeshopping.com.br ([200.251.250.241]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA25367 for ; Wed, 12 Jul 2000 13:37:14 -0300 Received: from mail.com (rjo-200-244-57-165.homeshopping.com.br [200.244.57.165]) by smtp-gw.homeshopping.com.br (8.10.2/8.10.2) with ESMTP id e6CGafO11523 for ; Wed, 12 Jul 2000 13:36:42 -0300 Message-ID: <396C9EA2.4DD5BBB3@mail.com> Date: Wed, 12 Jul 2000 13:36:50 -0300 From: Alexandre Tessarollo X-Mailer: Mozilla 4.5 [en] (Win95; I) X-Accept-Language: en,pdf MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: =?iso-8859-1?Q?circunfer=EAncia?= x =?iso-8859-1?Q?c=EDrculo?= References: <003101bfec06$f22c1f40$4263c2c8@meucompu> Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caro Filho, No segundo grau aprendemos que circuferência é a linha (que une os pontos equidistantes etc) e círculo seria a linha + a região interna. Porém, na Faculdade eu levantei essa questão com minha professora de Geometria I e ela me disse que para geômetras diferenciais (como ela) circuferência e círculo seriam apenas a linha, e disco seria a linha + a região interna. Portanto, *eu* *acho* que devemos variar os termos de acordo com a, hã, "platéia". Todavia uma uniformização dos termos facilitaria e muito a vida de todos, alunos, professores e pessoas envolvidas com geometria em geral. > Filho wrote: > > É muito comum se ver em livros e provas de vestibulares, perguntas do > tipo: Determine a área da circunferência.ERRADO OU OK ? Não seria > melhor: Determinar a área da região limitada pela circunferência ou do > disco ou mesmo do círculo. Ou será correto se referir a uma > circunferência como sendo um círculo? A circunferência não é um > subconjunto do círculo? O círculo não pode ser visto como a reunião de > várias circunferências concêntricas? Devemos fazer vista grossa? > Gostaria de ter a opinião de vocês. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jul 12 14:11:52 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA25572 for obm-l-list; Wed, 12 Jul 2000 14:11:52 -0300 Received: from mat.puc-rio.br (IDENT:root@sucuri.mat.puc-rio.br [139.82.27.7]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA25566 for ; Wed, 12 Jul 2000 14:11:41 -0300 Received: from localhost (nicolau@localhost) by mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA23103 for ; Wed, 12 Jul 2000 14:11:40 -0300 Date: Wed, 12 Jul 2000 14:11:40 -0300 (BRT) From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: =?iso-8859-1?Q?circunfer=EAncia_x_c=EDrculo?= In-Reply-To: <003101bfec06$f22c1f40$4263c2c8@meucompu> Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id OAA25568 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Wed, 12 Jul 2000, Filho wrote: > É muito comum se ver em livros e provas de vestibulares, perguntas do tipo: > Determine a área da circunferência.ERRADO OU OK ? Não seria melhor: > Determinar a área da região limitada pela circunferência ou do disco ou mesmo > do círculo. Ou será correto se referir a uma circunferência como sendo um > círculo? A circunferência não é um subconjunto do círculo? O círculo não pode > ser visto como a reunião de várias circunferências concêntricas? Devemos > fazer vista grossa? Gostaria de ter a opinião de vocês. > A minha opinião é que as palavras circunferência e círculo são usadas de forma tão bagunçada que não se deve supor que o leitor saiba discernir muito bem entre as duas e se for necessária distinguir entre a curva e o disco, deve-se explicar. O mesmo vale para polígono e poligonal. Ou seja, eu nunca perguntaria em uma prova "determine a área da circunferência" mas não criticaria quem perguntasse. Em provas de cálculo em prefiro uma notação mais algébrica (determine a área da região determinada por x^2 + y^2 <= 1) mas em outros contextos isto não é possível. []s, N. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jul 12 15:48:50 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA26435 for obm-l-list; Wed, 12 Jul 2000 15:48:50 -0300 Received: from ls02.esquadro.com.br (ls02.esquadro.com.br [200.214.4.1]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA26431 for ; Wed, 12 Jul 2000 15:48:38 -0300 From: alexv@esquadro.com.br Received: from localhost (ls01.esquadro.com.br [200.214.4.3]) by ls02.esquadro.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id QAA25739 for ; Wed, 12 Jul 2000 16:02:59 -0300 Message-Id: <200007121902.QAA25739@ls02.esquadro.com.br> Subject: Re: =?iso-8859-1?Q?circunfer=EAncia_x_c=EDrculo?= Content-transfer-encoding: 8bit To: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Content-type: text/plain Mime-version: 1.0 X-Sender-ip: 8cffc110 Date: Wed, 12 Jul 2000 15:54 +0000 X-mailer: Netbula AnyEMail(TM) 4.51 ae_esquadro_br_p_10000 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi Filho, vamos às definições apenas para fundamentar o argumento: Circulo: Região de um plano, limitada por uma circunferência. Circunferência: Lugar Geométrico dos pontos do plano equidistantes de um ponto fixo, o centro. Assim, ao se pedir a área de uma circunferência comete-se um erro. Na verdade, uma boa parte dos alunos confunde circunferência e círculo. E pior, o uso indevido desses termos por alguns autores de livros (e as vezes até por professores), confunde ainda mais os alunos. Como falei em um e-mail anterior, as vezes até mesmo bons livros podem cometer erros (ou incorreções) como o que você citou. E se estiver em um livro, muita gente vai acreditar que não é erro, principalmente os que estiverem vendo o assunto pela primeira vez. []'s Alexandre Vellasquez >É muito comum se ver em livros e provas de vestibulares, perguntas do tipo: Determine a área da circunferência.ERRADO OU OK ? Não seria melhor: Determinar a área da região limitada pela circunferência ou do disco ou mesmo do círculo. Ou será correto se referir a uma circunferência como sendo um círculo? A circunferência não é um subconjunto do círculo? O círculo não pode ser visto como a reunião de várias circunferências concêntricas? Devemos fazer vista grossa? >Gostaria de ter a opinião de vocês. > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jul 12 20:36:31 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA28126 for obm-l-list; Wed, 12 Jul 2000 20:36:31 -0300 Received: from barra.domain.com.br (barra.domain.com.br [200.196.128.5]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id UAA28122 for ; Wed, 12 Jul 2000 20:36:13 -0300 Received: from default (200.188.49.57) by barra.domain.com.br (NPlex 4.5.042) id 3963046B001141DD for obm-l@mat.puc-rio.br; Wed, 12 Jul 2000 20:38:58 -0300 From: "=?iso-8859-1?Q?Jos=E9_Paulo_Carneiro?=" To: Subject: =?iso-8859-1?Q?Re:_circunfer=EAncia_x_c=EDrculo?= Date: Wed, 12 Jul 2000 20:38:22 -0300 Message-ID: <01bfec5a$4459a280$LocalHost@default> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.71.1712.3 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.71.1712.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Existem proposicoes erradas ou certas, mas nao existe propriamente definicao errada. Definicao eh uma questao de convencao ou tradicao. Em alguns casos ha unanimidade dos profissionais, mas na maioria, nao. Concordo com quem disse que seria otimo para o principiante, se as definicoes e notacoes fossem universais, bem escolhidas e coerentes. Mas infelizmente, elas vao surgindo em contextos diferentes ao longo da historia, e depois eh dificl mudar habitos, alguns deles variando ateh de cultura para cultura. Eh preciso ser mais "relax" em relacao a nomes. Em particular, no ensino, penso que nos, professores, nunca devemos fazer perguntas do tipo: "defina circulo". Ao contrario, devemos sempre deixar claro o que estamos perguntando, para poder "cobrar" habilidades mais importantes que esperamos de nossos alunos. JP -----Mensagem original----- De: alexv@esquadro.com.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 12 de Julho de 2000 15:56 Assunto: Re: circunferência x círculo >Oi Filho, >vamos às definições apenas para fundamentar o argumento: > >Circulo: Região de um plano, limitada por uma circunferência. >Circunferência: Lugar Geométrico dos pontos do plano equidistantes de um >ponto fixo, o centro. > >Assim, ao se pedir a área de uma circunferência comete-se um erro. Na >verdade, uma boa parte dos alunos confunde circunferência e círculo. E >pior, o uso indevido desses termos por alguns autores de livros (e as >vezes até por professores), confunde ainda mais os alunos. > >Como falei em um e-mail anterior, as vezes até mesmo bons livros podem >cometer erros (ou incorreções) como o que você citou. E se estiver em um >livro, muita gente vai acreditar que não é erro, principalmente os que >estiverem vendo o assunto pela primeira vez. > >[]'s >Alexandre Vellasquez > > >>É muito comum se ver em livros e provas de vestibulares, perguntas do >tipo: Determine a área da circunferência.ERRADO OU OK ? Não seria melhor: >Determinar a área da região limitada pela circunferência ou do disco ou >mesmo do círculo. Ou será correto se referir a uma circunferência como >sendo um círculo? A circunferência não é um subconjunto do círculo? O >círculo não pode ser visto como a reunião de várias circunferências >concêntricas? Devemos fazer vista grossa? >>Gostaria de ter a opinião de vocês. >> > > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jul 12 21:04:00 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA28280 for obm-l-list; Wed, 12 Jul 2000 21:04:00 -0300 Received: from srv1-pir.pir.zaz.com.br (srv1-pir.pir.nutecnet.com.br [200.231.47.1]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA28277 for ; Wed, 12 Jul 2000 21:03:49 -0300 Received: from oemcomputer (dl2088-pir.pir.nutecnet.com.br [200.246.34.88] (may be forged)) by srv1-pir.pir.zaz.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id VAA13867 for ; Wed, 12 Jul 2000 21:03:16 -0300 Message-ID: <006a01bfec5f$f8ddd8c0$5822f6c8@oemcomputer> From: "Bruno Woltzenlogel Paleo" To: References: Subject: Re: Poligono e Poligonal Date: Wed, 12 Jul 2000 21:19:12 -0300 Organization: =?iso-8859-1?B?SXRlcmHn428gSW5maW5pdHVt?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MIMEOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > O mesmo vale para polígono e poligonal. Kual a definição de polígono e poligonal? From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jul 13 01:20:28 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id BAA28969 for obm-l-list; Thu, 13 Jul 2000 01:20:28 -0300 Received: from smtp-gw.homeshopping.com.br ([200.251.250.241]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id BAA28966 for ; Thu, 13 Jul 2000 01:20:17 -0300 Received: from mail.com (rjo-200-255-84-188.homeshopping.com.br [200.255.84.188]) by smtp-gw.homeshopping.com.br (8.10.2/8.10.2) with ESMTP id e6D4JhA29444 for ; Thu, 13 Jul 2000 01:19:44 -0300 Message-ID: <396D436A.4AF9DE55@mail.com> Date: Thu, 13 Jul 2000 01:19:54 -0300 From: Alexandre Tessarollo X-Mailer: Mozilla 4.5 [en] (Win95; I) X-Accept-Language: en,pdf MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Poligono e Poligonal References: <006a01bfec5f$f8ddd8c0$5822f6c8@oemcomputer> Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Assim como circuferência é a linha (LG dos pontos etc), poligonal também é a linha (união dos segmentos...). Da mesma forma, polígono é a região (intersecção finita de todos os semi-planos determinados pelas retas que contêm os segmento da poligonal). Certo? Bruno Woltzenlogel Paleo wrote: > > > O mesmo vale para polígono e poligonal. > > Kual a definição de polígono e poligonal? From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jul 13 06:37:47 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id GAA29689 for obm-l-list; Thu, 13 Jul 2000 06:37:47 -0300 Received: from mat.puc-rio.br (IDENT:root@sucuri.mat.puc-rio.br [139.82.27.7]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id GAA29686 for ; Thu, 13 Jul 2000 06:37:40 -0300 Received: from localhost (nicolau@localhost) by mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id GAA24754 for ; Thu, 13 Jul 2000 06:37:39 -0300 Date: Thu, 13 Jul 2000 06:37:38 -0300 (BRT) From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Poligono e Poligonal In-Reply-To: <396D436A.4AF9DE55@mail.com> Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id GAA29687 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Thu, 13 Jul 2000, Alexandre Tessarollo wrote: > Assim como circuferência é a linha (LG dos pontos etc), poligonal também > é a linha (união dos segmentos...). Da mesma forma, polígono é a região > (intersecção finita de todos os semi-planos determinados pelas retas que > contêm os segmento da poligonal). Certo? Certo. Mas o que eu queria dizer era justamente que neste caso o desrespeito a estas definições é tão grande que acho que não se deve criar caso demais com a distinção. []s, N. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jul 13 09:41:23 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA30403 for obm-l-list; Thu, 13 Jul 2000 09:41:23 -0300 Received: from zipmail.com (zipmail.com [207.88.19.245]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id JAA30400 for ; Thu, 13 Jul 2000 09:41:05 -0300 Received: from [32.94.119.127] (account ) by zipmail.com (CommuniGate Pro WebUser 3.2b5) with HTTP id 7099091 for ; Thu, 13 Jul 2000 08:42:53 -0400 From: "Paulo Santa Rita" Subject: Re: uma desigualdade! To: obm-l@mat.puc-rio.br X-Mailer: CommuniGate Pro Web Mailer v.3.2b5 Date: Thu, 13 Jul 2000 08:42:53 -0400 Message-ID: In-Reply-To: <396C79C3.880824B0@centroin.com.br> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Ola Prof Augusto Morgado, Saudacoes ! Antes de tudo, gostaria de Lhe dizer que estamos Lhe tratando por "Prof" porque, muito provavelmente, o Sr deve ser o Iustre Prof Augusto Cesar Morgado, autor, em parceria com o Genial Eduardo Wagner, dos melhores Livros de Matematica para o ensino medio, dentre os que nos conheco. Se assim for, conforme suspeitamos fortemente, Lhe devemos o despertar de nosso interesse pela Matematica, há alguns anos ... De fato, se as coisas forem como supomos, nos permita Lhe dizer que seus Livros de Geometria tem o inestimavel valor de NÃO SE PERDEREM PROVANDO O OBVIO, DESENCANTANDO , DESTA FORMA, AS INTELIGENCIAS; ANTES SE LANCAM COM BREVIDADE NA APRESENTACAO DE FATOS INSUSPEITADOS E INSTIGANTES QUE DESPERTAM O ENTUSIASMO E ADMIRACAO : Ora, nos sabemos que o entusiasmo e a admiracao foram os principais fatores que no alvorecer de nossa Civilizacao fizeram surgir o pensamento Científico e Matematico ... Nos sempre achamos que esta caracteristica deveria ser um paradigma a ser seguido por todos os autores ! So a titulo de exemplificacao para as pessoas que não conhecem os livros a que nos refirimos, vamos reproduzir aqui a seguinte joia da Geometria : TEOREMA : Vale a formula de Bramagupta se, e somente se, o quadrilatero e ciclico. Se Rz_2[x] e a raiz quadrada de "x" e "p" o semi-perimetro de um triangulo de lados "a", "b" e "c", entao, a formula de Heron S = Rz_2[p*(p - a)*(p - b)*(p - c)] Nos permite calcular a area "S" do triangulo em funcao dos Lados. A formula de Bramagupta para um quadrilatero de lados "a", "b", "c", "d" e area "S" e : S = Rz_2[(p - a)*(p - b)*(p - c)*(p - d)]. Esta formula so e valida se o quadrilatero e ciclico, vale dizer, se ele e incritivel e circunscritivel. O teorema acima e Obvio ? Bastante conhecido ? Indubitavelmente, Não ! E no entanto ele e belo e fascinante ... Esta joia - e muitas outras - se encontra nos livros a que nos referimos acima. Acrescentamos que, se o quadrilatero não e ciclico, devemos usar : S = Rz_2[ (p - a)*(p - b)*(p - c) - a*b*c*d*((cos(A))^2) ], onde "A" e a metade da soma dos angulos opostos. Bom, voltando ao que estavamos falando e se o Sr e o Prof Morgado a quem nos referimos e se nos tivessemos tido a felicidade de te-lo tido como Prof, inevitavelmente perguntariamos : " SER INSCRITIVEL E CIRCUNSCRITIVEL E UMA CONDICAO NECESSARIA E SUFICIENTE PARA QUE A AREA DE UM POLIGONO CONVEXO DE N LADOS SEJA EXPRESSA EXCLUSIVAMENTE EM FUNCAO DOS SEUS LADOS ? SE SIM, COMO E ESSA FORMULA ? " E ENTAO ? Em deferencia ao Ilustre Prof , vamos mostrar aqui com maiores detalhes como o Tio Euler encontrou a soma dos inversos dos quadrados dos numeros naturais. Todos nos sabemos que sen(x) = x - (x^3)/(3!) + (x^5)/(5!) - (x^7)/(7!) + ... assim, a equacao "sen(x)=0" pode ser pensada como uma equacao polinomial infinita, isto e: sen(x)=0 <=> 0 = x - (x^3)/(3!) + (x^5)/(5!) - (x^7)/(7!) + ... sen(x)=0 <=>0 = 1 - (x^2)/(3!) + (x^5)/(5!) - (x^7)/(7!) + ... fazendo y = x^2, a equacao fica : 0=1 - y/(3!) + (y^3)/(5!) - (y^5)/(7!) + (y^7)/(9!) - ... Ora, as raizes de sen(x) = 0 são x = k*(pi), k inteiro, ou seja, são " pi, 2*pi, 3*pi, 4*pi, ..." e os seus simetricos "-pi, -2*pi, -3*pi, 4*pi, ...", como y = x^2, a equacao em "y" tem para raizes: (pi)^2, (2*pi)^2, (3*pi)^2, (4*pi)^2, ... Por outro lado, para qualquer equacao polinomial finita, as relacoes de Girard entre os coeficientes e as raizes nos asseguram que a soma dos inversos das raizes e igual ao simetrico do coeficiente do termo de grau 1. Na equacao em "y" este coeficiente e "-1/(3!). Portanto : 1/(3!) = 1/(pi^2) + 1/((2*pi)^2) + 1/((3*pi)^2) + ... 1/6 = (1/(pi^2))*(1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ...) (pi^2)/6 = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ... Todos os passos do Tio Euler, conforme vimos, são bastantes simples, mesmo elementares. Num único ponto ele mostra a imprescindivel dose de audacia que precisam ter todos os criadores, qual seja, QUANDO APLICA PARA UMA EQUACAO POLINOMIAL INFINITA AS RELACOES DE GIRARD, QUE, A PRINCIPIO, SABEMOS SEREM VALIDAS SOMENTE NO CASO FINITO. A atitude do Tio Euler e uma prova, indireta, do que estavamos comentando acima sobre os Livros do Prof Augusto Morgado. Se Euler fosse daqueles que exigem uma prova formal das relacoes mais obvias e elementares, jamais teria dado esse passo e nos não saberiamos o que sabemos ! Finalizando e seguindo Euler, o que podemos concluir sobre series infinitas de reciprocos de quadrados, partindo nao de sen(x), mas de cos(x) ? Se o Sr nao e o Prof Morgado a que tenho nos temos referido em toda esta mensagem, queira nos desculpar o engano. Um abraco Paulo Santa Rita 5,0933,13072000 On Wed, 12 Jul 2000 10:59:31 -0300 Augusto Morgado wrote: >Solicito aos caros amigos que desconsiderem uma burrice >da minha parte ao afirmar que Euler usou série de Fourier >para calcular a referida soma. >Li a mensagem meais rapidamente do que devia. O que eu >queria dizer é >que essas somas de 1 sobre n elevado a expoente par sao >calculáveis por >meio de séries de Fourier. >Desculpem a pisada na bola. >Morgado >PS: E o que eu sempre digo: ninguém descende de português >impunemente.         >> ________________________________________________ >> Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/                      ________________________________________________ Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/ From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jul 13 14:55:47 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA32464 for obm-l-list; Thu, 13 Jul 2000 14:55:47 -0300 Received: from hotmail.com (f133.law3.hotmail.com [209.185.241.133]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id OAA32461 for ; Thu, 13 Jul 2000 14:55:30 -0300 Received: (qmail 51781 invoked by uid 0); 13 Jul 2000 17:54:50 -0000 Message-ID: <20000713175450.51780.qmail@hotmail.com> Received: from 143.106.2.50 by www.hotmail.com with HTTP; Thu, 13 Jul 2000 10:54:49 PDT X-Originating-IP: [143.106.2.50] From: "Eduardo Grasser" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: ajuda Date: Thu, 13 Jul 2000 14:54:49 EST Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br vejamos... ser potência de 2 significa ser da forma 2^n, né? Logo o número não pode ser divisível por um ímpar maior que 2. Bem, se x é impar, 36y + x também o é, além de ser maior que 36 (x,y> ou = 1). Se y é ímpar, 36x + y também o é. logo x é da forma 2j e y=2k. Ok? assim, podemos escrever o número como: (36*2j+2k)*(36*2k+2j)= 2(36j+k)*(36k+j) Bem, caímos no caso anterior. j e k precisam ser pares. Podemos repetir esse passo várias vezes, mas sempre teremos que o tal número é divisível por um impar maior que 36. não está bem escrito, mas a idéia é boa. Se alguem quiser reescrever, não ficarei chateado abraços Eduardo Grasser ----Original Message Follows---- From: "Filho" Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: "discussão de problemas" Subject: ajuda Date: Wed, 12 Jul 2000 07:28:45 -0300 Demonstrar que quaisquer que sejam os inteiros positivos x e y, o produto (36x+y).(36y+x) não pode ser uma potência de 2. ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jul 13 15:28:35 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA00068 for obm-l-list; Thu, 13 Jul 2000 15:28:35 -0300 Received: from flax.vetor.com.br ([200.214.245.198]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA00062 for ; Thu, 13 Jul 2000 15:28:23 -0300 Received: from rodrigo ([200.214.245.166]) by flax.vetor.com.br (8.9.2/8.9.2) with SMTP id PAA11913 for ; Thu, 13 Jul 2000 15:26:20 -0300 (EST) Message-ID: <001201bfecf7$85dd18c0$a6f5d6c8@rodrigo> From: "Rodrigo Villard Milet" To: "Obm" Subject: =?iso-8859-1?Q?D=FAvida_cruel...?= Date: Thu, 13 Jul 2000 15:24:00 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_000F_01BFECDE.5E76C4C0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.3110.5 X-MIMEOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.3110.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_000F_01BFECDE.5E76C4C0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ser=E1 que algu=E9m podia me ajudar nesse problema ??? Verificar se existe primo p tal que p>(n+1)! e (2n)!/(n-1)! =3D (n+1)! = mod p *a igualdade deve ser lida como congru=EAncia...(=E9 claro !) =A1 Villard ! ------=_NextPart_000_000F_01BFECDE.5E76C4C0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Será que alguém podia me ajudar nesse = problema=20 ???
Verificar se existe primo p tal que p>(n+1)! = e  =20 (2n)!/(n-1)! =3D (n+1)! mod p
*a igualdade deve ser lida como = congruência...(é=20 claro !)
    ¡ Villard=20 !
------=_NextPart_000_000F_01BFECDE.5E76C4C0-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jul 13 15:28:57 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA00071 for obm-l-list; Thu, 13 Jul 2000 15:28:57 -0300 Received: from nt.riomaster.com.br (smtp.riomaster.com.br [200.244.140.2]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA00067 for ; Thu, 13 Jul 2000 15:28:35 -0300 Received: from denise (NT [200.244.140.130]) by nt.riomaster.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.1960.3) id NMN22ZS0; Thu, 13 Jul 2000 15:45:18 -0300 Message-ID: <003b01bfecf8$74d93620$0400a8c0@denise> From: "Luis Lopes" To: References: <396C79C3.880824B0@centroin.com.br> Subject: Re: uma desigualdade! Date: Thu, 13 Jul 2000 15:30:43 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Saudações a todos, Para que saibamos do que vou falar, copio a mensagem recebida: ==== > On Mon, 10 Jul 2000 17:02:23 -0300 > Bruno Leite wrote: > >At 22:07 09/07/00 -0300, you wrote: > >>Caros amigos, como posso verificar a desigualdade > >> 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 <3/2 para todo > >n natural ? > > > >Um esbo=E7o de solu=E7=E3o: > >Provar por indu=E7=E3o que 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ > >1/n^3 <3/2(1-1/n) > >para n>1 > > > >Ent=E3o quando n->infinito, 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ > >1/n^3<3/2 > > > >A s=E9rie 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 =E9 crescente, > >limitada > >superiormente e tem um limite que =E9 menor que 3/2. > >Logo para qualquer n natural 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + > >...+ 1/n^3 <3/2. > > > >Na verdade vale 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 > ><1.202057 > > > >Abra=E7o > > > >Bruno Leite ==== 1) No livro The Art of Computer Programming Vol 1, de D. Knuth, temos o seguinte resultado: Um limite superior para a soma S = 1/i^r, i=1,2,...n com r>1 e real é dado por 2^{r-1}/(2^{r-1}-1). Colocando r=3, obtemos S < 4/3<3/2. 2) Gostaria de ter mais detalhes para a prova por indução. 3) Como achar o limite superior 1.202057 ? []s Luís Lopes From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jul 13 15:43:35 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA00221 for obm-l-list; Thu, 13 Jul 2000 15:43:35 -0300 Received: from flax.vetor.com.br ([200.214.245.198]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA00212 for ; Thu, 13 Jul 2000 15:43:19 -0300 Received: from rodrigo ([200.214.245.152]) by flax.vetor.com.br (8.9.2/8.9.2) with SMTP id PAA13011 for ; Thu, 13 Jul 2000 15:41:24 -0300 (EST) Message-ID: <001001bfecf9$9f531fa0$98f5d6c8@rodrigo> From: "Rodrigo Villard Milet" To: "Obm" Subject: =?iso-8859-1?B?RPp2aWRhIGNydWVsLi4uIHJlZm9ybXVsYefjbyAh?= Date: Thu, 13 Jul 2000 15:38:48 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_000D_01BFECE0.702278C0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.3110.5 X-MIMEOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.3110.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_000D_01BFECE0.702278C0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable P=F4, esqueci de falar algumas coisas... n =E9 natural >1... e, = particularmente, acho que n=E3o existe este primo para nenhum n.... mas, = no entanto, conto com a ajuda de voc=EAs... Valeu pela aten=E7=E3o !!! =A1 Villard ! ------=_NextPart_000_000D_01BFECE0.702278C0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Pô, esqueci de falar algumas = coisas... n=20 é natural >1... e, particularmente, acho que não existe = este=20 primo para nenhum n.... mas, no entanto, conto com a ajuda de=20 vocês...
 Valeu pela = atenção=20 !!!
     ¡ Villard = !
------=_NextPart_000_000D_01BFECE0.702278C0-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jul 13 19:21:08 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA01694 for obm-l-list; Thu, 13 Jul 2000 19:21:08 -0300 Received: from Fourier.visgraf.impa.br (external.visgraf.impa.br [147.65.1.2]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA01691 for ; Thu, 13 Jul 2000 19:20:54 -0300 Received: from visgraf.impa.br (ralph.visgraf.impa.br [147.65.6.181]) by Fourier.visgraf.impa.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA14456 for ; Thu, 13 Jul 2000 19:20:47 -0300 (EST) Message-ID: <396E40BF.8E8B1E1F@visgraf.impa.br> Date: Thu, 13 Jul 2000 19:20:47 -0300 From: Ralph Costa Teixeira Organization: IMPA X-Mailer: Mozilla 4.73 [en] (Win95; U) X-Accept-Language: en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: =?iso-8859-1?Q?D=FAvida?= cruel... References: <001201bfecf7$85dd18c0$a6f5d6c8@rodrigo> Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi, Rodrigo. Para n=1, tem-se (2n)!/(n-1)!=2=(n+1)!, então qualquer primo p>2 satisfaz a equação pedida. Mas é verdade que tal primo não existe para n>1... Se existisse, teríamos: (2n)!/(n-1)!-(n+1)!=kp (2n)!/((n-1)!(n+1)!) - 1 = kp/(n+1)! Note que o lado esquerdo é um inteiro (a fração é um número binomial, combinação 2n tomados n-1 de cada vez). Assim, o lado direito também o é. Como p>(n+1)! e p é primo, concluímos que p e (n+1)! são primos entre si, assim (n+1)! divide k, digamos, k=a(n+1)! (2n)!/((n-1)!(n+1)!) - 1 = ap Mas o lado esquerdo é positivo (para n>=2) e menor que (n+1)! (por quê?); como p>(n+1)!, temos uma contradição. Abraço, Ralph > Rodrigo Villard Milet wrote: > > Será que alguém podia me ajudar nesse problema ??? > Verificar se existe primo p tal que p>(n+1)! e (2n)!/(n-1)! = (n+1)! > mod p > *a igualdade deve ser lida como congruência...(é claro !) > ¡ Villard ! From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jul 13 19:35:45 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA01799 for obm-l-list; Thu, 13 Jul 2000 19:35:45 -0300 Received: from Fourier.visgraf.impa.br (external.visgraf.impa.br [147.65.1.2]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA01796 for ; Thu, 13 Jul 2000 19:35:34 -0300 Received: from visgraf.impa.br (ralph.visgraf.impa.br [147.65.6.181]) by Fourier.visgraf.impa.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA14494 for ; Thu, 13 Jul 2000 19:35:26 -0300 (EST) Message-ID: <396E442F.D3AAA849@visgraf.impa.br> Date: Thu, 13 Jul 2000 19:35:27 -0300 From: Ralph Costa Teixeira Organization: IMPA X-Mailer: Mozilla 4.73 [en] (Win95; U) X-Accept-Language: en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: ajuda References: <20000713175450.51780.qmail@hotmail.com> Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Ok, Eduardo, vou reescrever a sua idéia de uma maneira mais... hmmm... finita, digamos assim. Suponha que (36x+y)(36y+x) é potência de 2. O pessoal já notou que então 36x+y e 36y+x são potências de 2. Todo número natural positivo n pode ser escrito (de maneira única) na forma (2^a)b onde a é natural e b é natural ímpar (nem que seja b=1; aliás, n é potência de 2 se e somente se b=1). Assim, escreva x=(2^a)b e y=(2^c)d com b e d ímpares. Suponha c>=a; então 36y+x = 36(2^c)d+(2^a)b = (2^a) (36.2^(c-a)d+b) é uma potência de 2 vezes um número *ímpar* maior do que 1, isto é, 36y+x não é potência de 2. Assim, precisamos tomar ca. Contradição! Assim, não existem x e y satisfazendo a condição "(36x+y)(36y+x) é potência de 2". Legal? Abraço, Ralph Eduardo Grasser wrote: > > vejamos... ser potência de 2 significa ser da forma 2^n, né? Logo o número > não pode ser divisível por um ímpar maior que 2. > Bem, se x é impar, 36y + x também o é, além de ser maior que 36 (x,y> ou = > 1). Se y é ímpar, 36x + y também o é. > logo x é da forma 2j e y=2k. Ok? > assim, podemos escrever o número como: > (36*2j+2k)*(36*2k+2j)= 2(36j+k)*(36k+j) > Bem, caímos no caso anterior. j e k precisam ser pares. > Podemos repetir esse passo várias vezes, mas sempre teremos que o tal número > é divisível por um impar maior que 36. > > não está bem escrito, mas a idéia é boa. Se alguem quiser reescrever, não > ficarei chateado > > abraços > > Eduardo Grasser From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jul 13 20:05:10 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA02292 for obm-l-list; Thu, 13 Jul 2000 20:05:10 -0300 Received: from srv1-pir.pir.zaz.com.br (srv1-pir.pir.nutecnet.com.br [200.231.47.1]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id UAA02288 for ; Thu, 13 Jul 2000 20:04:58 -0300 Received: from oemcomputer (dl2111-pir.pir.nutecnet.com.br [200.246.34.111] (may be forged)) by srv1-pir.pir.zaz.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id UAA22006 for ; Thu, 13 Jul 2000 20:04:25 -0300 Message-ID: <004501bfed20$e97ec940$1838f5c8@oemcomputer> From: "Bruno Woltzenlogel Paleo" To: "Lista OBM" Subject: i^i ; Moebius.... Date: Thu, 13 Jul 2000 20:18:48 -0300 Organization: =?iso-8859-1?B?SXRlcmHn428gSW5maW5pdHVt?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá, ------- Eu gostaria de saber quanto vale: i^i Eu fiz o seguinte: ln i = a + bi ==> (e^a).(cosb+i.senb) = i ==> a=0 e b=(Pi)/2 i^i = e^[(lni).i] = e^[(Pi/2).i^2] = e^(-Pi/2), que é um número real. Está certo isso? Quando eu mandei a HP calcular, ela retornou um par ordenado, onde um dos "elementos" era o número que eu encontrei e o outro era o Zero... ------- Andei lendo sobre a Tira de Moebius e outros objetos estranhos e fiquei em dúvida sobre kual a definição, se é que existe, dada pela topologia, para: *lado *aresta *superfície Kuais são os tipos de arestas? O livro que eu andei lendo fala em "aresta em nó" e "aresta em curva simples fechada"... Ele mostra desenhos dos dois tipos, mas eu não consegui ver muita diferença... Como é uma garrafa de Klein? ------- Alguém sabe algo sobre o jogo conhecido como Nine Men´s Morris, Mill ou Trilha??? ------- Até mais... From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jul 13 20:19:41 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA02401 for obm-l-list; Thu, 13 Jul 2000 20:19:41 -0300 Received: from hotmail.com (f10.law9.hotmail.com [64.4.9.10]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id UAA02395 for ; Thu, 13 Jul 2000 20:19:29 -0300 Received: (qmail 87807 invoked by uid 0); 13 Jul 2000 23:18:48 -0000 Message-ID: <20000713231848.87806.qmail@hotmail.com> Received: from 200.198.157.81 by www.hotmail.com with HTTP; Thu, 13 Jul 2000 16:18:48 PDT X-Originating-IP: [200.198.157.81] From: "Ecass Dodebel" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Dúvida cruel... Date: Thu, 13 Jul 2000 23:18:48 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >From: "Rodrigo Villard Milet" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: "Obm" >Subject: Dúvida cruel... >Date: Thu, 13 Jul 2000 15:24:00 -0300 > >Será que alguém podia me ajudar nesse problema ??? >Verificar se existe primo p tal que p>(n+1)! e (2n)!/(n-1)! = (n+1)! mod >p >*a igualdade deve ser lida como congruência...(é claro !) > ¡ Villard ! Olá, (2n)!/(n-1)! = (n+1)! (mod p) já que mdc( (n+1)! , p )=1, pois p é primo maior que (n+1)!, podemos dividir ambos os lados da congruência por p (2n)!/(n-1)!(n+1)!=1 (mod p) Se o lado esquerdo não for 1, ele deve ser maior do que p, e, consequentemente, maior que (n+1)!. No entanto para n=2,3,4,5 se ve, manualmente, que o lado esquerdo da congruencia acima é menor que (n+1)!, e para n maior do que 5, use o seguinte: Na expansão de (1+1)^(2n) aparecem dois termos (2n)!/(n-1)!(n+1)!, logo (2n)!/(n-1)!(n+1)! < 2^(2n) E como 2^(2n) < (n+1)! para n>5 (verifica-se para n=5, e depois se prova por indução em n, já de de um lado aparece o produto 4, e do outro (n+2)>4). Unindo as duas desigualdes, temos: (2n)!/(n-1)!(n+1)! < 2^(2n) < (n+1)! para n>5, o que conclui a demonstração. Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. Obs. percebi que o Ralph Costa Teixeira já respondeu algo semelhante, mas já que eu estou aqui, mando... ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jul 13 23:42:52 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA03261 for obm-l-list; Thu, 13 Jul 2000 23:42:52 -0300 Received: from CorpMail.zip.net (corpmail.zip.net [200.245.232.68]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA03255 for ; Thu, 13 Jul 2000 23:42:44 -0300 Received: from brunofcl.internetcom (200.187.195.235) by CorpMail.zip.net (5.0.040) id 396D2EA80002CD25 for obm-l@mat.puc-rio.br; Thu, 13 Jul 2000 23:44:54 -0300 Message-Id: <3.0.6.32.20000713234341.007c0d00@pop-gw.zip.net> X-Sender: superbr@pop-gw.zip.net X-Mailer: QUALCOMM Windows Eudora Light Version 3.0.6 (32) Date: Thu, 13 Jul 2000 23:43:41 -0300 To: obm-l@mat.puc-rio.br From: Bruno Leite Subject: Re: uma desigualdade! In-Reply-To: <003b01bfecf8$74d93620$0400a8c0@denise> References: <396C79C3.880824B0@centroin.com.br> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br At 15:30 13/07/00 -0300, you wrote: >Saudações a todos, > >Para que saibamos do que vou falar, copio a mensagem recebida: > >==== >> On Mon, 10 Jul 2000 17:02:23 -0300 >> Bruno Leite wrote: >> >At 22:07 09/07/00 -0300, you wrote: >> >>Caros amigos, como posso verificar a desigualdade >> >> 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 <3/2 para todo >> >n natural ? >> > >> >Um esbo=E7o de solu=E7=E3o: >> >Provar por indu=E7=E3o que 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ >> >1/n^3 <3/2(1-1/n) >> >para n>1 >> > >> >Ent=E3o quando n->infinito, 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ >> >1/n^3<3/2 >> > >> >A s=E9rie 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 =E9 crescente, >> >limitada >> >superiormente e tem um limite que =E9 menor que 3/2. >> >Logo para qualquer n natural 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + >> >...+ 1/n^3 <3/2. >> > >> >Na verdade vale 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 >> ><1.202057 >> > >> >Abra=E7o >> > >> >Bruno Leite >==== > >1) No livro The Art of Computer Programming Vol 1, de D. Knuth, >temos o seguinte resultado: > >Um limite superior para a soma S = 1/i^r, i=1,2,...n com r>1 e real é dado >por 2^{r-1}/(2^{r-1}-1). Colocando r=3, obtemos S < 4/3<3/2. Essa desigualdade é muito boa! Você tem uma demonstração? >2) Gostaria de ter mais detalhes para a prova por indução. Suponha que 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 <3/2(1-1/n). Então 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 +1/(n+1)^3<3/2(1-1/n)+1/(n+1)^3=3/2[(1-1/n)+2/(3*(n+1)^3)]<(*)3/2(1-1/(n+1)) (*)Temos que provar que -1/n+2/(3*(n+1)^3)<-1/(n+1) Multiplicando por n+1 -1/n+2/(3*(n+1)^3)<-1/(n+1) <--> -1-1/n+2/(3*(n+1)^2)<-1 <--> 2/(3*(n+1)^2)<1/n <--> 2n<3n^2+6n+3 <--> 3n^2+4n+3>0 <-->delta<0, o que é verdade. >3) Como achar o limite superior 1.202057 ? Você pode usar o Maple ou fazer um programinha em C "for(i=1;i<100;i++) soma=soma+1/(i*i*i);" por exemplo. -------------------- Talvez haja algo de bom em http://www.mathsoft.com/asolve/constant/apery/apery.html >[]s >Luís Lopes > > > > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jul 13 23:51:27 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA03308 for obm-l-list; Thu, 13 Jul 2000 23:51:27 -0300 Received: from CorpMail.zip.net (corpmail.zip.net [200.245.232.68]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA03301 for ; Thu, 13 Jul 2000 23:51:18 -0300 Received: from brunofcl.internetcom (200.187.195.235) by CorpMail.zip.net (5.0.040) id 396D2EA80002D0C8 for obm-l@mat.puc-rio.br; Thu, 13 Jul 2000 23:53:28 -0300 Message-Id: <3.0.6.32.20000713235217.007bcbc0@pop-gw.zip.net> X-Sender: superbr@pop-gw.zip.net X-Mailer: QUALCOMM Windows Eudora Light Version 3.0.6 (32) Date: Thu, 13 Jul 2000 23:52:17 -0300 To: obm-l@mat.puc-rio.br From: Bruno Leite Subject: Re: uma desigualdade! In-Reply-To: <003b01bfecf8$74d93620$0400a8c0@denise> References: <396C79C3.880824B0@centroin.com.br> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br ... > >3) Como achar o limite superior 1.202057 ? Você pode ver http://www.lacim.uqam.ca/piDATA/Zeta3.txt Eu não sei como achar esse limite com papel e caneta. Quero dizer, não sei se realmente temos que fazer muitas contas ou se alguma boa idéia nos leva rapidamente ao resultado. >[]s >Luís Lopes > > > > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 14 01:41:44 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id BAA03806 for obm-l-list; Fri, 14 Jul 2000 01:41:44 -0300 Received: from hotmail.com (f274.law9.hotmail.com [64.4.8.149]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id BAA03803 for ; Fri, 14 Jul 2000 01:41:36 -0300 Received: (qmail 50207 invoked by uid 0); 14 Jul 2000 04:40:58 -0000 Message-ID: <20000714044058.50206.qmail@hotmail.com> Received: from 200.254.26.203 by www.hotmail.com with HTTP; Thu, 13 Jul 2000 21:40:58 PDT X-Originating-IP: [200.254.26.203] From: "Alexandre Gomes" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Auxilio Date: Thu, 13 Jul 2000 21:40:58 PDT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Este problema foi proposto na OBM-92. Prove que existe um numero natural n tal que a expansao decimal de n^1992 comec;a com 1992 algarismos iguais a 1. Sera' que algum colega poderia me ajudar a resolver este problema? []'s Alexandre S. Gomes. ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 14 01:49:29 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id BAA03839 for obm-l-list; Fri, 14 Jul 2000 01:49:29 -0300 Received: from hotmail.com (f127.law9.hotmail.com [64.4.9.127]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id BAA03835 for ; Fri, 14 Jul 2000 01:49:21 -0300 Received: (qmail 49549 invoked by uid 0); 14 Jul 2000 04:48:46 -0000 Message-ID: <20000714044846.49548.qmail@hotmail.com> Received: from 200.254.26.203 by www.hotmail.com with HTTP; Thu, 13 Jul 2000 21:48:45 PDT X-Originating-IP: [200.254.26.203] From: "Alexandre Gomes" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Interessante Date: Thu, 13 Jul 2000 21:48:45 PDT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Este probleminha e' interessante: Determine o termo ma'ximo do desenvolvimento de (1 + 1/3)^65. []'s Alexandre. ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 14 10:23:47 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA05409 for obm-l-list; Fri, 14 Jul 2000 10:23:47 -0300 Received: from ls02.esquadro.com.br (ls02.esquadro.com.br [200.214.4.1]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id KAA05406 for ; Fri, 14 Jul 2000 10:23:13 -0300 From: alexv@esquadro.com.br Received: from localhost (ls01.esquadro.com.br [200.214.4.3]) by ls02.esquadro.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id KAA28482 for ; Fri, 14 Jul 2000 10:37:57 -0300 Message-Id: <200007141337.KAA28482@ls02.esquadro.com.br> Subject: Re: Interessante Content-transfer-encoding: 8bit To: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Content-type: text/plain Mime-version: 1.0 X-Sender-ip: 8cffc110 Date: Fri, 14 Jul 2000 10:28 +0000 X-mailer: Netbula AnyEMail(TM) 4.51 ae_esquadro_br_p_10000 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br E aí xará (é com x mesmo!!), Já discutimos esse problema aqui na lista , faz uns poucos meses. Aliás ele caiu numa prova do IME (96/97). o Termo de ordem (p+1) será dado por: T(p+1) = C(65,p)*1^(65-p)*(1/3)^p = C(65,p)*(1/3)^p onde C(65,p) = combinação de 65, p a p mas resumidamente o que sugeri foi: fazer T(p+1) >= T(p) e T(p+1) >= T(p+2) rolou até uma boa discussão sobre o porque dessa condição, com bela contribuição do eminente Paulo Santa Rita e tb foi citado o livro do Morgado. o resultado será T(17) = C(65,17).[1/(3^16)], eu espero! []'s e saudações (Tricolores... Claro!!) Alexandre Vellasquez > Este probleminha e' interessante: > Determine o termo ma'ximo do desenvolvimento de (1 + 1/3)^65. > []'s Alexandre. > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 14 14:23:28 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA06921 for obm-l-list; Fri, 14 Jul 2000 14:23:28 -0300 Received: from srv1-pir.pir.zaz.com.br (srv1-pir.pir.nutecnet.com.br [200.231.47.1]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA06912 for ; Fri, 14 Jul 2000 14:23:16 -0300 Received: from oemcomputer (dl0081-pir.pir.nutecnet.com.br [200.231.47.81]) by srv1-pir.pir.zaz.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id OAA03221 for ; Fri, 14 Jul 2000 14:22:40 -0300 Message-ID: <000901bfedba$54fe11a0$512fe7c8@oemcomputer> From: "Bruno Woltzenlogel Paleo" To: "Lista OBM" Subject: =?iso-8859-1?Q?Dimens=F5es...?= Date: Fri, 14 Jul 2000 12:58:45 -0300 Organization: =?iso-8859-1?B?SXRlcmHn428gSW5maW5pdHVt?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá, Um ponto tem 0 dimensões... Uma reta tem 1 dimensão... Um plano tem 2 dimensões... Existe algum objeto que tenha um número de dimensões fracionário? Eu li, há algum tempo, que os fractais são assim... É verdade? From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 14 14:50:48 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA07097 for obm-l-list; Fri, 14 Jul 2000 14:50:48 -0300 Received: from nt.riomaster.com.br (smtp.riomaster.com.br [200.244.140.2]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA07090 for ; Fri, 14 Jul 2000 14:50:25 -0300 Received: from denise (NT [200.244.140.130]) by nt.riomaster.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.1960.3) id NMN225KS; Fri, 14 Jul 2000 15:08:16 -0300 Message-ID: <005301bfedbc$4fbec480$0400a8c0@denise> From: "Luis Lopes" To: References: <396C79C3.880824B0@centroin.com.br> <3.0.6.32.20000713234341.007c0d00@pop-gw.zip.net> Subject: Re: uma desigualdade! Date: Fri, 14 Jul 2000 14:52:41 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > >1) No livro The Art of Computer Programming Vol 1, de D. Knuth, >temos o seguinte resultado: > >Um limite superior para a soma S = 1/i^r, i=1,2,...n com r>1 e real é dado >por 2^{r-1}/(2^{r-1}-1). Colocando r=3, obtemos S < 4/3<3/2. Essa desigualdade é muito boa! Você tem uma demonstração? Não, não tenho. A afirmação é dada como um exercício. Você pode encontrar esse livro numa biblioteca. Outro que é muito bom e que fala disso também (mas não tenho certeza desse exercício em particular) é o "Matemática Concreta" de Graham, R.L., Knuth, D.E. e Patashnik, O., Livros Técnicos e Científicos Editora, Rio de Janeiro, 1995. [ ]'s Luís Lopes From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 14 23:15:17 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA09356 for obm-l-list; Fri, 14 Jul 2000 23:15:17 -0300 Received: from mail.iis.com.br (mail.iis.com.br [200.202.96.2]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA09353 for ; Fri, 14 Jul 2000 23:15:06 -0300 Received: from marcio (rio-as3-tty07.iis.com.br [200.202.97.55]) by mail.iis.com.br (8.9.3/8.9.3/1.1.1.9) with SMTP id XAA14475 for ; Fri, 14 Jul 2000 23:14:31 -0300 From: "Marcio" To: Subject: RES: Auxilio Date: Fri, 14 Jul 2000 23:15:08 -0300 Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook IMO, Build 9.0.2416 (9.0.2910.0) X-MIMEOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 In-Reply-To: <20000714044058.50206.qmail@hotmail.com> Importance: Normal Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi Alexandre.. Acho que da pra fazer assim : (corrijam me caso contrario por favor) Olhe um caso simple antes. Por exemplo, vamos tentar achar n tal que n^2 começe por dois 1's. Isso equivale a tentar achar n de modo que valha uma das opções abaixo: 110 =< n^2 =< 119; ou 1100 =< n^2 =< 1199; ou 11000 =< n^2 =< 11999; ou em geral, 11*10^k =< n^2 < 12*10^k Tirando raizes (tudo é positivo), quero achar (n,k) tal que (11^0.5)*10^(k/2) =< n < (12^0.5)*10^(k/2). Mas 11^0.5 vale mais que 3.31 e 12^0.5 vale menos que 3,46.. Colocando k/2 = 100 por exemplo, encontramos alguns valores de n satisfatorios (n=332,333,...,346 por exemplo). Vamos agora ao caso geral. Note primeiro que um numero t que começe com 1992 números é da forma t=1...11abc.. , ou seja, (1...11)*10^k =< t < (1...12)*10^k para algum k natural maior ou igual a 1 (substitua os tres pontinhos entre os 1's por 1989 algarismos 1's). Mas 1...11 = 10^0 + 10^1 + 10^2 + ... + 10^1991 = [(10^1992 - 1)/9 ] e portanto 1...12 = (1...11) + 1 = [(10^1992 + 8)/9] O problema entao passa a ser encontrar um par (n,k) de N*N tal que [(10^1992 - 1)/9]*10^k =< n^1992 < [(10^1992 + 8)/9]*10^k Como tudo é positivo, a desigualdade continua tendo o mesmo conjunto solução se elevarmos tudo a 1/1992: Para simplificar a escrita, vou colocar a = [(10^1992 - 1)/9]^(1/1992); b = [(10^1992 + 8)/9]^(1/1992); k'=k/1992. E agora procuro um par (n,k') tal que a*(10^k') =< n < b*(10^k') Ora, vemos que 0 1/(10^k').(basta tomar k' inteiro maior que -log(b-a)). Mas para esse k', temos b > a + 1/(10^k') donde b*10^k' > a*10^k' + 1. Mas note que dado um real x>0, sempre existe um inteiro n tal que x =< n < x+1 (basta tomar n=[x]+1 se x nao for inteiro). Portanto, para o k' encontrado, é possível encontrar um inteiro n tal que a*10^k'< n < a*10^k' + 1 < b*10^k'. Elevando essa desigualdade a 1992 vemos que esse par (n,k) satisfaz [(10^1992 - 1)/9]*10^k =< n^1992 < [(10^1992 + 8)/9]*10^k e portanto esse n é uma potência de 1992 que começa com 1992 1's. (OBS: Esse resultado pode ser melhorado. De fato, existem infinitos k's que satisfazem b > a + 1/(10^k') e para cada um desses valores de k' dá para achar pelo menos um valor de n que satisfaz a*10^k'< n < a*10^k' + 1 < b*10^k'. É claro que esses n's sao todos distintos, e portanto existem infinitos n's tal que n^1992 começa com 1992 algarismos 1's. O mesmo raciocinio pode ser usado para mostrar que dado p natural, existem infinitos naturais n tal que n^p começa com p algarismos iguais a 1!) * pois f(x) = x^(1/1992) é crescente. -----Mensagem original----- De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Alexandre Gomes Enviada em: Sexta-feira, 14 de Julho de 2000 01:41 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Auxilio Este problema foi proposto na OBM-92. Prove que existe um numero natural n tal que a expansao decimal de n^1992 comec;a com 1992 algarismos iguais a 1. Sera' que algum colega poderia me ajudar a resolver este problema? []'s Alexandre S. Gomes. ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 14 23:28:04 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA09396 for obm-l-list; Fri, 14 Jul 2000 23:28:04 -0300 Received: from mail.iis.com.br (mail.iis.com.br [200.202.96.2]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA09393 for ; Fri, 14 Jul 2000 23:27:51 -0300 Received: from marcio (rio-as3-tty07.iis.com.br [200.202.97.55]) by mail.iis.com.br (8.9.3/8.9.3/1.1.1.9) with SMTP id XAA15404 for ; Fri, 14 Jul 2000 23:27:16 -0300 From: "Marcio" To: Subject: RES: Auxilio Date: Fri, 14 Jul 2000 23:27:54 -0300 Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook IMO, Build 9.0.2416 (9.0.2910.0) X-MIMEOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 In-Reply-To: Importance: Normal Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Correçao: Corrijam esse trecho para : Mas 11^0.5 vale menos que 3.32 e 12^0.5 vale mais que 3.46 -----Mensagem original----- De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Marcio Enviada em: Sexta-feira, 14 de Julho de 2000 23:15 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: RES: Auxilio Tirando raizes (tudo é positivo), quero achar (n,k) tal que (11^0.5)*10^(k/2) =< n < (12^0.5)*10^(k/2). Mas 11^0.5 vale mais que 3.31 e 12^0.5 vale menos que 3,46.. Colocando k/2 = 100 por exemplo, encontramos alguns valores de n satisfatorios (n=332,333,...,346 por exemplo). From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 15 09:21:42 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA10509 for obm-l-list; Sat, 15 Jul 2000 09:21:42 -0300 Received: from mat.puc-rio.br (IDENT:root@sucuri.mat.puc-rio.br [139.82.27.7]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id JAA10506 for ; Sat, 15 Jul 2000 09:21:34 -0300 Received: from localhost (nicolau@localhost) by mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id JAA31522 for ; Sat, 15 Jul 2000 09:21:33 -0300 Date: Sat, 15 Jul 2000 09:21:33 -0300 (BRT) From: "Nicolau C. Saldanha" To: Lista OBM Subject: Re: i^i ; Moebius.... In-Reply-To: <004501bfed20$e97ec940$1838f5c8@oemcomputer> Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id JAA10507 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Thu, 13 Jul 2000, Bruno Woltzenlogel Paleo wrote: > Olá, > > ------- > Eu gostaria de saber quanto vale: > > i^i > > Eu fiz o seguinte: > > ln i = a + bi ==> (e^a).(cosb+i.senb) = i ==> a=0 e b=(Pi)/2 > > i^i = e^[(lni).i] = e^[(Pi/2).i^2] = e^(-Pi/2), que é um número real. > > Está certo isso? > > Quando eu mandei a HP calcular, ela retornou um par ordenado, onde um dos > "elementos" era o número que eu encontrei e o outro era o Zero... > ------- Está certo, exceto que existem várias soluções para a equação e^z = i (z complexo) e portanto vários valores para ln i. O que você deu é o que se chamaria de valor principal; outros valores são (Pi/2 + 2 k Pi)i, k inteiro. Calculando i^i temos assim os vários valores e^(-Pi/2 + 2 k Pi), k inteiro. Note que todos os valores são reais. As outras perguntas eu passo, por enquanto. []s, N. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 15 09:29:47 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA10530 for obm-l-list; Sat, 15 Jul 2000 09:29:47 -0300 Received: from mat.puc-rio.br (IDENT:root@sucuri.mat.puc-rio.br [139.82.27.7]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id JAA10527 for ; Sat, 15 Jul 2000 09:29:41 -0300 Received: from localhost (nicolau@localhost) by mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id JAA31529 for ; Sat, 15 Jul 2000 09:29:40 -0300 Date: Sat, 15 Jul 2000 09:29:40 -0300 (BRT) From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Auxilio In-Reply-To: <20000714044058.50206.qmail@hotmail.com> Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id JAA10528 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Thu, 13 Jul 2000, Alexandre Gomes wrote: > Este problema foi proposto na OBM-92. > Prove que existe um numero natural n tal que a expansao decimal de n^1992 > comec;a com 1992 algarismos iguais a 1. > Sera' que algum colega poderia me ajudar a resolver este problema? Queremos que a parte fracionária de log_10(n^1992) caia em um certo intervalo. Mas o conjunto das partes fracionárias deste tipo é *denso* no intervalo [0,1], isto é, tem elementos em qualquer intervalo não trivial. Isto pode ser visto considerando todas as partes fracionárias de n^1992, 10^k <= n < 10^(k+1). Elas estão espalhadas em [0,1] e o maior intervalo é o primeiro, entre 10^k e 10^k + 1, ou melhor, entre as partes fracionárias de (10^k)^1992 (=0) e de (10^k + 1)^1992. É fácil estimar que este tamanho deste intervalo tende a zero. []s, N. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 15 12:40:57 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA10922 for obm-l-list; Sat, 15 Jul 2000 12:40:57 -0300 Received: from barra.domain.com.br (barra.domain.com.br [200.196.128.5]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA10915 for ; Sat, 15 Jul 2000 12:40:49 -0300 Received: from default (200.188.49.172) by barra.domain.com.br (NPlex 4.5.042) id 3963046B00175E36 for obm-l@mat.puc-rio.br; Sat, 15 Jul 2000 10:30:54 -0300 From: "=?iso-8859-1?Q?Jos=E9_Paulo_Carneiro?=" To: Subject: Re: i^i ; Moebius.... Date: Sat, 15 Jul 2000 10:32:16 -0300 Message-ID: <01bfee61$17808400$LocalHost@default> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.71.1712.3 X-MIMEOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.71.1712.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br -----Mensagem original----- De: Bruno Woltzenlogel Paleo Para: Lista OBM Data: Quinta-feira, 13 de Julho de 2000 20:08 Assunto: i^i ; Moebius.... >Quando eu mandei a HP calcular, ela retornou um par ordenado, onde um dos >"elementos" era o número que eu encontrei e o outro era o Zero... = O complexo a+bi pode ser identificado com o par ordenado (a;b). Nesta identificacao, o real x eh: (x;0). From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 15 21:19:08 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA11903 for obm-l-list; Sat, 15 Jul 2000 21:19:08 -0300 Received: from flax.vetor.com.br ([200.214.245.198]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA11900 for ; Sat, 15 Jul 2000 21:18:56 -0300 Received: from rodrigo ([200.214.245.164]) by flax.vetor.com.br (8.9.2/8.9.2) with SMTP id VAA16094 for ; Sat, 15 Jul 2000 21:15:42 -0300 (EST) Message-ID: <000901bfeeba$a4285e60$a4f5d6c8@rodrigo> From: "Rodrigo Villard Milet" To: "Obm" Subject: =?iso-8859-1?Q?Circunfer=EAncias_secantes....?= Date: Sat, 15 Jul 2000 21:11:37 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0004_01BFEEA1.436808A0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.3110.5 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.3110.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0004_01BFEEA1.436808A0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Eu tava rabiscando num papel, e tive uma id=E9ia para um problema: Dados = tr=EAs circunfer=EAncias ( de centros O1, O2 e O3) secantes num mesmo = ponto ( ponto D ). Ser=E1 que o ponto D =E9 algum ponto not=E1vel do = tri=E2ngulo O1O2O3 ??? N=E3o creio que seja, mas h=E1 chances... Eu sei = que quando os raios s=E3o iguais, o ponto D =E9 o centro do tri=E2ngulo = !=20 Conto com a ajuda de voc=EAs.... =A1 Villard !=20 ------=_NextPart_000_0004_01BFEEA1.436808A0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Eu tava rabiscando num = papel, e tive uma=20 idéia para um problema: Dados três circunferências ( = de=20 centros O1, O2 e O3) secantes num mesmo ponto ( ponto D ). Será = que o=20 ponto D é algum ponto notável do triângulo O1O2O3 = ??? =20 Não creio que seja, mas há chances... Eu sei que quando os = raios=20 são iguais, o ponto D é o centro do triângulo !=20
    Conto = com a ajuda de=20 vocês....
    ¡ = Villard !=20
------=_NextPart_000_0004_01BFEEA1.436808A0-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 15 23:06:31 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA12137 for obm-l-list; Sat, 15 Jul 2000 23:06:31 -0300 Received: from hotmail.com (f308.law9.hotmail.com [64.4.8.183]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id XAA12134 for ; Sat, 15 Jul 2000 23:06:22 -0300 Received: (qmail 16146 invoked by uid 0); 16 Jul 2000 02:05:44 -0000 Message-ID: <20000716020544.16145.qmail@hotmail.com> Received: from 200.198.157.67 by www.hotmail.com with HTTP; Sat, 15 Jul 2000 19:05:44 PDT X-Originating-IP: [200.198.157.67] From: "Ecass Dodebel" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Circunferências secantes.... Date: Sun, 16 Jul 2000 02:05:44 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >From: "Rodrigo Villard Milet" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: "Obm" >Subject: Circunferências secantes.... >Date: Sat, 15 Jul 2000 21:11:37 -0300 > >Eu tava rabiscando num papel, e tive uma idéia para um problema: Dados três >circunferências ( de centros O1, O2 e O3) secantes num mesmo ponto ( ponto >D ). Será que o ponto D é algum ponto notável do triângulo O1O2O3 ??? Não >creio que seja, mas há chances... Eu sei que quando os raios são iguais, o >ponto D é o centro do triângulo ! > Conto com a ajuda de vocês.... > ¡ Villard ! Uma idéia para mostrar que o ponto D não é notável, mostre que: "dados três pontos não-colineares O1, O2 e O3 e um ponto X, podemos traçar circunsferências centradas em O1, O2 e O3 que passam por X, e são secantes entre si, se e somente se X não está sobre as retas O1O2, O2O3 ou O1O3" Ou seja, quase todos os pontos satisfazem essa condição, a não ser os que estão sobre as retas que passam pelos lados do triângulo O1O2O3 (nesses casos as circunsferências são tangentes). Teorema: Se todos esses pontos X forem notáveis, e já que os pontos sobre as retas que passam sobre os lados do triângulo também são pontos notáveis, todo ponto é notável! Hehehehehe. Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jul 16 19:09:47 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA13673 for obm-l-list; Sun, 16 Jul 2000 19:09:47 -0300 Received: from mail.iis.com.br (mail.iis.com.br [200.202.96.2]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA13670 for ; Sun, 16 Jul 2000 19:09:37 -0300 Received: from marcio (rio-as3-tty10.iis.com.br [200.202.97.58]) by mail.iis.com.br (8.9.3/8.9.3/1.1.1.9) with SMTP id TAA25702 for ; Sun, 16 Jul 2000 19:09:03 -0300 From: "Marcio" To: Subject: Geometria com complexos! Date: Sun, 16 Jul 2000 19:09:34 -0300 Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook IMO, Build 9.0.2416 (9.0.2910.0) Importance: Normal In-Reply-To: <01bfee61$17808400$LocalHost@default> X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br "Dados um ponto P sobre uma circunferência unitária e os vértices A1, A2, ..., An de um n-agono regular inscrito, prove que: PA1^2 + PA2^2 + ... + PAn^2 e PA1^4 + PA2^4 + ... + PAn^4 são constantes". Esse problema esta no artigo de complexos da Eureka 7. Eu até acho que sei como resolve-lo, mas gostaria de saber se existe uma solucao mais simples usando numeros complexos (tenho esperanca que sim). Minha solucao (braçal) seria algo do tipo: Chame P de e^ia. Entao, PAk = |e^ia - e^(i2pik/n)|. E os dois somatorios do enunciado poderiam ser calculados explicitamente com as seguintes observacoes: i) |1 - e^ib| = 2sen(b/2) qq q seja b; ii) Uso da formula para o calculo do somatorio S (de k igual a 1 ate n) de sen (x + yr) e cos(x+yr). iii) Uso de expressoes do tipo 2sen^2(b) = 1 - cos (2b); 8sen^4 (b) = cos(4b) - 4cos(2b) + 3. É bem verdade que (ii) e (iii) podem ser demonstradas utilizando-se complexos, mas ainda fico na duvida sobre se existe uma solucao mais facil/direta para esse problema. E para completar, mas duas indagacoes : 1) Da para mostrar que acontece a mesma coisa se o ponto P estiver em qq lugar do plano (ou até do espaço)? (acho q ja vi isso num livro). 2) existe alguma generalizacao para a soma de uma potencia qualquer? E mais um comentario, acho que há um pequeno erro tipografico no problema 8 do referido artigo. A questao é : "A0, A1, A2, A3, A4, A5 dividem a circunferencia unitaria em cinco partes iguais. Prove que (AoA1.A3A2)^2 = 5." Acho que o correto seria algo do tipo (AoA1.A3A5)^2 = 5... []'s, Marcio From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jul 16 20:05:22 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA13891 for obm-l-list; Sun, 16 Jul 2000 20:05:22 -0300 Received: from linkexpress.com.br ([200.252.169.4]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id UAA13888 for ; Sun, 16 Jul 2000 20:05:14 -0300 Received: from linkexpress.com.br (PM06-16939-173164.linkexpress.com.br [200.252.173.164] (may be forged)) by linkexpress.com.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id UAA00704 for ; Sun, 16 Jul 2000 20:01:29 -0300 Message-ID: <3972406E.FBFA0FF0@linkexpress.com.br> Date: Sun, 16 Jul 2000 20:08:31 -0300 From: sidd X-Mailer: Mozilla 4.72 [en] (Win98; I) X-Accept-Language: en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: cordas... Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br tipo... como seria uma maneira matemática de expressar a formação de nós? Isto é, expressões algébricas que representassem os movimentos com as cordas... de tal maneira q fosse possível determinar se ela formaria um nó ou se desfaria quando puxada? Existe algum estudo sobre isso? E problemas no estilo? From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jul 16 21:35:16 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA14124 for obm-l-list; Sun, 16 Jul 2000 21:35:16 -0300 Received: from pm1.amazon.com.br ([200.241.240.2]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA14121 for ; Sun, 16 Jul 2000 21:35:09 -0300 Received: from kingv (pm6-s209.amazon.com.br [200.242.195.209]) by pm1.amazon.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id VAA26204 for ; Sun, 16 Jul 2000 21:34:34 -0300 Message-ID: <002301bdf966$066b07e0$d1c3f2c8@amazon.com.br> From: "Leonardo Motta" To: References: <3972406E.FBFA0FF0@linkexpress.com.br> Subject: Re: cordas... Date: Fri, 16 Oct 1998 21:35:20 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2919.6600 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2919.6600 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br www.treasure-troves.com A enciclopedia concisa de Matemática da WOLFRAM tem muita coisa sobre Topologia e teoria dos nós. Dê uma olhada la'! :) From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jul 16 22:26:46 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA14286 for obm-l-list; Sun, 16 Jul 2000 22:26:46 -0300 Received: from mat.puc-rio.br (IDENT:root@sucuri.mat.puc-rio.br [139.82.27.7]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA14283 for ; Sun, 16 Jul 2000 22:26:40 -0300 Received: from localhost (nicolau@localhost) by mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA01051 for ; Sun, 16 Jul 2000 22:26:39 -0300 Date: Sun, 16 Jul 2000 22:26:39 -0300 (BRT) From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: cordas... In-Reply-To: <3972406E.FBFA0FF0@linkexpress.com.br> Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id WAA14284 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Sun, 16 Jul 2000, sidd wrote: > tipo... como seria uma maneira matemática de expressar a formação de > nós? Isto é, expressões algébricas que representassem os movimentos com > as cordas... de tal maneira q fosse possível determinar se ela formaria > um nó ou se desfaria quando puxada? Existe algum estudo sobre isso? E > problemas no estilo? Existe uma área da topologia chamada teoria de nós. Nesta teoria um nó é uma cordinha fechada (como um elástico) no espaço euclideano R3 que pode ser deformada livremente e dois nós são iguais se podemos deformar um no outro. Alguns problemas fundamentais são reconhecer quando dois nós são iguais ou, caso particular, quando um nó é trivial. Existem vários invariantes algébricos conhecidos. Observe que isto não tem nada a ver com a física de nós em cordas de verdade, que deveria levar em conta fatores como o atrito entre várias partes da corda. E por favor não misturar nada disso com cordas e supercordas no sentido qüântico muito moderno, um assunto sobre o qual eu aliás sei bem pouco. []s, N. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 17 00:15:39 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id AAA14552 for obm-l-list; Mon, 17 Jul 2000 00:15:39 -0300 Received: from hotmail.com (f196.law9.hotmail.com [64.4.9.196]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id AAA14549 for ; Mon, 17 Jul 2000 00:15:30 -0300 Received: (qmail 96665 invoked by uid 0); 17 Jul 2000 03:14:55 -0000 Message-ID: <20000717031455.96664.qmail@hotmail.com> Received: from 200.254.26.215 by www.hotmail.com with HTTP; Sun, 16 Jul 2000 20:14:55 PDT X-Originating-IP: [200.254.26.215] From: "Alexandre Gomes" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Questao da Moldavia Date: Sun, 16 Jul 2000 20:14:55 PDT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Achei na internet uma questao bastante interessante. Alguem me ajudaria a resolver? Encontre todas as funcoes f:R->R que verifiquem a relacao x*f(x)=[x]*f({x})+{x}*f([x]), para todo x pertencente a R, onde [x] representa a parte inteira de x e {x} representa a parte fracionaria de x. Obrigado! Alexandre S. Gomes ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 17 00:28:05 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id AAA14579 for obm-l-list; Mon, 17 Jul 2000 00:28:05 -0300 Received: from hotmail.com (f34.law9.hotmail.com [64.4.9.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id AAA14576 for ; Mon, 17 Jul 2000 00:27:49 -0300 Received: (qmail 66192 invoked by uid 0); 17 Jul 2000 03:27:07 -0000 Message-ID: <20000717032707.66191.qmail@hotmail.com> Received: from 200.254.26.215 by www.hotmail.com with HTTP; Sun, 16 Jul 2000 20:27:07 PDT X-Originating-IP: [200.254.26.215] From: "Alexandre Gomes" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Outra questao da moldavia Date: Sun, 16 Jul 2000 20:27:07 PDT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Esqueci de mandar esta na outra mensagem! Encontre todos os valores inteiros de m para os quais a equacao [((m^2)*x-13/1999)]=(x-12)/2000 tem 1999 solucoes reais distintas, onde [k] representa a parte inteira de k Valeu! ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 17 00:41:19 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id AAA14654 for obm-l-list; Mon, 17 Jul 2000 00:41:19 -0300 Received: from flax.vetor.com.br ([200.214.245.198]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id AAA14645 for ; Mon, 17 Jul 2000 00:41:06 -0300 Received: from rodrigo ([200.214.245.151]) by flax.vetor.com.br (8.9.2/8.9.2) with SMTP id AAA22982 for ; Mon, 17 Jul 2000 00:39:11 -0300 (EST) Message-ID: <001701bfefa0$39e862c0$97f5d6c8@rodrigo> From: "Rodrigo Villard Milet" To: Subject: Re: Geometria com complexos! Date: Mon, 17 Jul 2000 00:36:40 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.3110.5 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.3110.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Aí, Márcio, quanto ao erro tipográfico, tenho certeza que está errado mesmo... eu até fiz uma solução bem simples.... dá uma olhada : Como os Ai formam um pentágono regular, cada corda tem angulo central 72.então, traçando o apótema relativo a um lado, vemos que podemos dizer que o lado mede 2.Sen36=4.Sen18.cos18=AoA1 E, de modo análogo, traçando a diagonal do pentágono { A3A5 }, vemos que A3A5=2cos18..... (AoA1.A3A5)=8.sen18.(cos18)^2. Como sen18=(5^(1/2) -1)/4, tiramos q (cos18)^2=(5+5^(1/2))/8 .: (AoA1.A3A5)={[5^(1/2) - 1][5^(1/2)+1]5^(1/2) }/4 = 5^(1/2) então, (AoA1.A3A5)^2 = 5, o que impossibilita que o enunciado seja (AoA1.A3A2)^2 = 5, pois A3A2 < A3A5. !!!! Abraços, ¡ Villard ! -----Mensagem original----- De: Marcio Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 16 de Julho de 2000 19:50 Assunto: Geometria com complexos! > >"Dados um ponto P sobre uma circunferência unitária e os vértices A1, A2, >..., An de um n-agono regular inscrito, prove que: >PA1^2 + PA2^2 + ... + PAn^2 e >PA1^4 + PA2^4 + ... + PAn^4 são constantes". > > Esse problema esta no artigo de complexos da Eureka 7. Eu até acho que sei >como resolve-lo, mas gostaria de saber se existe uma solucao mais simples >usando numeros complexos (tenho esperanca que sim). > Minha solucao (braçal) seria algo do tipo: >Chame P de e^ia. >Entao, PAk = |e^ia - e^(i2pik/n)|. > E os dois somatorios do enunciado poderiam ser calculados explicitamente >com as seguintes observacoes: >i) |1 - e^ib| = 2sen(b/2) qq q seja b; >ii) Uso da formula para o calculo do somatorio S (de k igual a 1 ate n) de >sen (x + yr) e cos(x+yr). >iii) Uso de expressoes do tipo 2sen^2(b) = 1 - cos (2b); 8sen^4 (b) = >cos(4b) - 4cos(2b) + 3. > > É bem verdade que (ii) e (iii) podem ser demonstradas utilizando-se >complexos, mas ainda fico na duvida sobre se existe uma solucao mais >facil/direta para esse problema. > > E para completar, mas duas indagacoes : >1) Da para mostrar que acontece a mesma coisa se o ponto P estiver em qq >lugar do plano (ou até do espaço)? (acho q ja vi isso num livro). >2) existe alguma generalizacao para a soma de uma potencia qualquer? > > E mais um comentario, acho que há um pequeno erro tipografico no problema 8 >do referido artigo. >A questao é : >"A0, A1, A2, A3, A4, A5 dividem a circunferencia unitaria em cinco partes >iguais. Prove que (AoA1.A3A2)^2 = 5." >Acho que o correto seria algo do tipo (AoA1.A3A5)^2 = 5... > >[]'s, >Marcio > > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 17 02:53:33 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id CAA15017 for obm-l-list; Mon, 17 Jul 2000 02:53:33 -0300 Received: from hotmail.com (f94.law9.hotmail.com [64.4.9.94]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id CAA15014 for ; Mon, 17 Jul 2000 02:53:16 -0300 Received: (qmail 77599 invoked by uid 0); 17 Jul 2000 05:52:18 -0000 Message-ID: <20000717055218.77598.qmail@hotmail.com> Received: from 200.254.26.215 by www.hotmail.com with HTTP; Sun, 16 Jul 2000 22:52:18 PDT X-Originating-IP: [200.254.26.215] From: "Alexandre Gomes" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Moldavia Date: Sun, 16 Jul 2000 22:52:18 PDT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Nao sei se alguem vai reagir da mesma forma que eu. A titulo de informacao, a Olimpiada de Matematica da Moldavia, pelo que pude verificar pelo nivel de suas questoes, tem um excelente padrao. Para os alunos que sabem um pouquinho de ingles, e' um excelente material de estudo. Fiquei bastante curioso. Vale a pena dar uma olhada. Endereco: http://www.olsedim.com/olympiad/problems.html Ate' a proxima! Alexandre S. Gomes. ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 17 03:18:50 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id DAA15116 for obm-l-list; Mon, 17 Jul 2000 03:18:50 -0300 Received: from hotmail.com (f212.law9.hotmail.com [64.4.9.212]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id DAA15113 for ; Mon, 17 Jul 2000 03:18:41 -0300 Received: (qmail 87397 invoked by uid 0); 17 Jul 2000 06:18:06 -0000 Message-ID: <20000717061806.87396.qmail@hotmail.com> Received: from 200.198.157.79 by www.hotmail.com with HTTP; Sun, 16 Jul 2000 23:18:06 PDT X-Originating-IP: [200.198.157.79] From: "Ecass Dodebel" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Questao da Moldavia Date: Mon, 17 Jul 2000 06:18:06 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >From: "Alexandre Gomes" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: obm-l@mat.puc-rio.br >Subject: Questao da Moldavia >Date: Sun, 16 Jul 2000 20:14:55 PDT > > Achei na internet uma questao bastante interessante. Alguem me ajudaria >a >resolver? > Encontre todas as funcoes f:R->R que verifiquem a relacao > x*f(x)=[x]*f({x})+{x}*f([x]), para todo x pertencente a R, onde [x] >representa a parte inteira de x e {x} representa a parte fracionaria de x. >Obrigado! >Alexandre S. Gomes >________________________________________________________________________ >Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com > Eu achei uma resposta estranha. Escolha x inteiro, diferente de zero. x*f(x)=x*f(0)+0*f(x), logo f(x)=f(0) Escolha x entre 0 e 1. x*f(x)=0*f(x)+x*f(0), logo f(x)=f(0) Agora para um x real qualquer, temos x*f(x)=[x]*f({x})+{x}*f([x])=[x]*f(0)+{x}*f(0)=f(0)*([x]+{x}), ou seja x*f(x)=f(0)*x, daí f(x)=f(0) Para um k qualquer f(x)=k satisfaz o enunciado, e essas são todas as soluções. Algo deve estar errado. Eduardo Casagrande Stabel. obs. claramente x=[x]+{x} ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 17 07:58:02 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id HAA15683 for obm-l-list; Mon, 17 Jul 2000 07:58:02 -0300 Received: from sec.secrel.com.br (sec.secrel.com.br [200.194.96.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id HAA15680 for ; Mon, 17 Jul 2000 07:57:55 -0300 Received: (qmail 20957 invoked from network); 17 Jul 2000 07:55:00 -0000 Received: from unknown (HELO meucompu) (200.194.98.46) by sec.secrel.com.br with SMTP; 17 Jul 2000 07:55:00 -0000 Message-ID: <000201bfefdd$e20bd3a0$2e62c2c8@meucompu> From: "Filho" To: "=?iso-8859-1?Q?discuss=E3o_de_problemas?=" Subject: desigualdade Date: Mon, 17 Jul 2000 07:56:02 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0006_01BFEFC4.74086940" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.2106.4 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.2106.4 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0006_01BFEFC4.74086940 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable prove esta desigualdade a^2 / ( a^2 + 2bc ) + b^2 / ( b^2 + 2ac ) + c^2 = / ( c^2 + 2ab ) > =3D 1 para todo os inteiros positivos a, b e c. a^2: significa a elevado a 2 / : significa dividido ------=_NextPart_000_0006_01BFEFC4.74086940 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
prove esta  desigualdade a^2 / = ( a^2 + 2bc=20 ) + b^2 / ( b^2 + 2ac ) + c^2 / ( c^2 + 2ab )  > =3D 1 para=20 todo
os inteiros positivos a, b e c.
 
a^2: significa a elevado a 2
/ : significa dividido
------=_NextPart_000_0006_01BFEFC4.74086940-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 17 14:25:10 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA17732 for obm-l-list; Mon, 17 Jul 2000 14:25:10 -0300 Received: from krjsw.carajasnet.com.br ([200.212.168.161]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA17728 for ; Mon, 17 Jul 2000 14:24:53 -0300 Received: from mjsanto ([200.212.168.174]) by krjsw.carajasnet.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id OAA07159 for ; Mon, 17 Jul 2000 14:21:50 -0300 Message-ID: <001201bff014$960cd9e0$aea8d4c8@mjsanto> From: "Marcos Eike Tinen dos Santos" To: References: <20000717061806.87396.qmail@hotmail.com> Subject: Re: Questao da Moldavia Date: Mon, 17 Jul 2000 14:29:36 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Eu fiz o seguinte: x = [x] + {x} é fácil verificar isso, 2,782 = 2+0,782; Logo: façamos um y, supondo que essa seja inteira.. então: f(y)[y] = [y]f(0) f(y) = f(0) façamos o mesmo, porém supondo um z na forma p/q sendo p< q e inteiros.. encontramos f(z) = f(0). Logo: voltando na expressão anterior temos: f(x)[[x] + {x}] = f(0)({x} + [x]) => f(x) = f(0). Sabendo que f(0) é uma constante qualquer A, temos f(x) = A, para todo x E R. Aí Dobedel.... achei a mesma solução... Se for isto está bem simples, mas..... vamos esperar. Ats, Marcos Eike ----- Original Message ----- From: Ecass Dodebel To: Sent: Segunda-feira, 17 de Julho de 2000 03:18 Subject: Re: Questao da Moldavia > > > > >From: "Alexandre Gomes" > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > >To: obm-l@mat.puc-rio.br > >Subject: Questao da Moldavia > >Date: Sun, 16 Jul 2000 20:14:55 PDT > > > > Achei na internet uma questao bastante interessante. Alguem me ajudaria > >a > >resolver? > > Encontre todas as funcoes f:R->R que verifiquem a relacao > > x*f(x)=[x]*f({x})+{x}*f([x]), para todo x pertencente a R, onde [x] > >representa a parte inteira de x e {x} representa a parte fracionaria de x. > >Obrigado! > >Alexandre S. Gomes > >________________________________________________________________________ > >Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com > > > > Eu achei uma resposta estranha. > Escolha x inteiro, diferente de zero. > x*f(x)=x*f(0)+0*f(x), logo f(x)=f(0) > Escolha x entre 0 e 1. > x*f(x)=0*f(x)+x*f(0), logo f(x)=f(0) > Agora para um x real qualquer, temos > x*f(x)=[x]*f({x})+{x}*f([x])=[x]*f(0)+{x}*f(0)=f(0)*([x]+{x}), ou seja > x*f(x)=f(0)*x, daí f(x)=f(0) > Para um k qualquer f(x)=k satisfaz o enunciado, e essas são todas as > soluções. > > Algo deve estar errado. > > Eduardo Casagrande Stabel. > > obs. claramente x=[x]+{x} > > ________________________________________________________________________ > Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 17 15:33:15 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA18309 for obm-l-list; Mon, 17 Jul 2000 15:33:15 -0300 Received: from krjsw.carajasnet.com.br ([200.212.168.161]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA18306 for ; Mon, 17 Jul 2000 15:32:55 -0300 Received: from mjsanto ([200.212.168.172]) by krjsw.carajasnet.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id PAA07593 for ; Mon, 17 Jul 2000 15:29:41 -0300 Message-ID: <000b01bff01e$10467000$aca8d4c8@mjsanto> From: "Marcos Eike Tinen dos Santos" To: Subject: Olha pessoal..... Date: Mon, 17 Jul 2000 15:36:46 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Let n be a natural number such that the number 2n^2 has 28 distinct divisors and the number 3n^2 has 30 distinct divisors. How many distinct divisors has the number 6n^2 ? se 2n^2 tem 28 divisores, temos que n^2 possua 14 divisores, porém, temos um absurdo, pois, suponhamos n tal que n seja igual a um produto de primos, então n^2 fará com que o número de divisores seja ímpar, pois trata-se de um quadrado perfeito. Então, temos que 15 é o número de dividores correto. Assim: 6n^2 possue 60 dividores. Alguém pode comentar? Achei bastante fácil, caso seja assim, o que mais me intrigou foi 28 divisores para 2n^2 e para 3n^2, 30, isso seria possível? Ats, Marcos Eike From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Tue Jul 18 16:22:31 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA23728 for obm-l-list; Tue, 18 Jul 2000 16:22:31 -0300 Received: from mat.puc-rio.br (IDENT:root@sucuri.mat.puc-rio.br [139.82.27.7]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA23725 for ; Tue, 18 Jul 2000 16:22:22 -0300 Received: from localhost (nicolau@localhost) by mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA04765 for ; Tue, 18 Jul 2000 16:22:21 -0300 Date: Tue, 18 Jul 2000 16:22:21 -0300 (BRT) From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Olha pessoal..... In-Reply-To: <000b01bff01e$10467000$aca8d4c8@mjsanto> Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id QAA23726 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Mon, 17 Jul 2000, Marcos Eike Tinen dos Santos wrote: > Let n be a natural number such that the number 2n^2 has 28 distinct divisors > and the number 3n^2 has 30 distinct divisors. How many distinct divisors has > the number 6n^2 ? > > se 2n^2 tem 28 divisores, temos que n^2 possua 14 divisores, porém, temos um > absurdo, pois, suponhamos n tal que n seja igual a um produto de primos, > então n^2 fará com que o número de divisores seja ímpar, pois trata-se de um > quadrado perfeito. Então, temos que 15 é o número de dividores correto. > > Assim: 6n^2 possue 60 dividores. Sua solução não está correta. Não é verdade que se m tem k divisores então 2m tenha 2k divisores. > Alguém pode comentar? Achei bastante fácil, caso seja assim, o que mais me > intrigou foi 28 divisores para 2n^2 e para 3n^2, 30, isso seria possível? Seja n = 2^a * 3^b * 5^c * 7^d * ... O número de divisores (naturais) de n é (a+1)(b+1)(c+1)... Temos 2n^2 = 2^(2a+1) * 3^(2b) * 5^(2c) * ... 3n^2 = 2^(2a) * 3^(2b+1) * 5^(2c) * ... Donde (2a+2)(2b+1)(2c+1)... = 28 (2a+1)(2b+2)(2c+1)... = 30 e (a+1)(2b+1)(2c+1)... = 14 (2a+1)(b+1)(2c+1)... = 15 Como o mdc entre 14 e 15 é 1 temos (2c+1)(2d+1)... = 1 e n = 2^a * 3^b (a+1)(2b+1) = 2ab + a + 2b + 1 = 14 (2a+1)(b+1) = 2ab + 2a + b + 1 = 15 Subtraindo uma equação da outra temos a - b = 1 ou b = a - 1 Donde (2a+1)a = 15 ou 2a^2 + a - 15 = 0 cujas raízes são -3 e 5/2, nenhuma das quais faz sentido para o problema. Moral: não existe nenhum natural n com as propriedades descritas. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Tue Jul 18 23:39:56 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA25679 for obm-l-list; Tue, 18 Jul 2000 23:39:56 -0300 Received: from krjsw.carajasnet.com.br ([200.212.168.161]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA25672 for ; Tue, 18 Jul 2000 23:39:46 -0300 Received: from mjsanto ([200.212.168.176]) by krjsw.carajasnet.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id UAA19198 for ; Tue, 18 Jul 2000 20:57:32 -0300 Message-ID: <002b01bff115$05fc6ee0$b0a8d4c8@mjsanto> From: "Marcos Eike Tinen dos Santos" To: References: Subject: Re: Olha pessoal..... Date: Tue, 18 Jul 2000 20:26:30 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br valeu!!! Saldanha.. Ats, Marcos EIke ----- Original Message ----- From: Nicolau C. Saldanha To: Sent: Terça-feira, 18 de Julho de 2000 16:22 Subject: Re: Olha pessoal..... > > > On Mon, 17 Jul 2000, Marcos Eike Tinen dos Santos wrote: > > > Let n be a natural number such that the number 2n^2 has 28 distinct divisors > > and the number 3n^2 has 30 distinct divisors. How many distinct divisors has > > the number 6n^2 ? > > > > se 2n^2 tem 28 divisores, temos que n^2 possua 14 divisores, porém, temos um > > absurdo, pois, suponhamos n tal que n seja igual a um produto de primos, > > então n^2 fará com que o número de divisores seja ímpar, pois trata-se de um > > quadrado perfeito. Então, temos que 15 é o número de dividores correto. > > > > Assim: 6n^2 possue 60 dividores. > > Sua solução não está correta. Não é verdade que se m tem k divisores > então 2m tenha 2k divisores. > > > Alguém pode comentar? Achei bastante fácil, caso seja assim, o que mais me > > intrigou foi 28 divisores para 2n^2 e para 3n^2, 30, isso seria possível? > > Seja > n = 2^a * 3^b * 5^c * 7^d * ... > O número de divisores (naturais) de n é > (a+1)(b+1)(c+1)... > > Temos > 2n^2 = 2^(2a+1) * 3^(2b) * 5^(2c) * ... > 3n^2 = 2^(2a) * 3^(2b+1) * 5^(2c) * ... > > Donde > (2a+2)(2b+1)(2c+1)... = 28 > (2a+1)(2b+2)(2c+1)... = 30 > > e > > (a+1)(2b+1)(2c+1)... = 14 > (2a+1)(b+1)(2c+1)... = 15 > > Como o mdc entre 14 e 15 é 1 temos > > (2c+1)(2d+1)... = 1 e n = 2^a * 3^b > > (a+1)(2b+1) = 2ab + a + 2b + 1 = 14 > (2a+1)(b+1) = 2ab + 2a + b + 1 = 15 > > Subtraindo uma equação da outra temos > a - b = 1 ou b = a - 1 > Donde > (2a+1)a = 15 > ou > 2a^2 + a - 15 = 0 > cujas raízes são -3 e 5/2, nenhuma das quais faz sentido para o problema. > > Moral: não existe nenhum natural n com as propriedades descritas. > > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jul 19 08:25:00 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id IAA26767 for obm-l-list; Wed, 19 Jul 2000 08:25:00 -0300 Received: from CorpMail.zip.net (corpmail.zip.net [200.245.232.68]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id IAA26764 for ; Wed, 19 Jul 2000 08:24:52 -0300 Received: from brunofcl.internetcom (200.187.204.99) by CorpMail.zip.net (5.0.040) id 396D2EA8000FAC33 for obm-l@mat.puc-rio.br; Wed, 19 Jul 2000 08:26:57 -0300 Message-Id: <3.0.6.32.20000719082534.007c26f0@pop-gw.zip.net> X-Sender: superbr@pop-gw.zip.net X-Mailer: QUALCOMM Windows Eudora Light Version 3.0.6 (32) Date: Wed, 19 Jul 2000 08:25:34 -0300 To: obm-l@mat.puc-rio.br From: Bruno Leite Subject: IMO 2000 In-Reply-To: References: <000b01bff01e$10467000$aca8d4c8@mjsanto> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br As provas da IMO-2000 já estão disponíveis em algum lugar? From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jul 19 16:44:56 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA28650 for obm-l-list; Wed, 19 Jul 2000 16:44:56 -0300 Received: from ls02.esquadro.com.br (ls02.esquadro.com.br [200.214.4.1]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA28647 for ; Wed, 19 Jul 2000 16:44:45 -0300 From: alexv@esquadro.com.br Received: from localhost (ls01.esquadro.com.br [200.214.4.3]) by ls02.esquadro.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id RAA23658 for ; Wed, 19 Jul 2000 17:00:52 -0300 Message-Id: <200007192000.RAA23658@ls02.esquadro.com.br> Subject: Re: IMO 2000 Content-transfer-encoding: 8bit To: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Content-type: text/plain Mime-version: 1.0 X-Sender-ip: 8cffc110 Date: Wed, 19 Jul 2000 16:50 +0000 X-mailer: Netbula AnyEMail(TM) 4.51 ae_esquadro_br_p_10000 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Bruno, acho que você se antecipou um pouco. A IMO deste ano está marcada para o período 13 a 25 de julho. É o que informa o site da OBM. Tomara que os santos "Nicolau", "Ralph", "Gugu", "Artur" e "Rui" baixem lá pela Coréia do Sul, no lado Brasileiro. Sorte ao grupo... []'s Alexandre Vellasquez PS.: Peço desculpas aos envolvidos na brincadeira acima dos "santos", foi apenas uma pequena homenagem. >As provas da IMO-2000 já estão disponíveis em algum lugar? From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jul 19 17:37:00 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA28891 for obm-l-list; Wed, 19 Jul 2000 17:37:00 -0300 Received: from nt.riomaster.com.br (smtp.riomaster.com.br [200.244.140.2]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA28888 for ; Wed, 19 Jul 2000 17:36:48 -0300 Received: from denise (NT [200.244.140.133]) by nt.riomaster.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.1960.3) id NMN228HY; Wed, 19 Jul 2000 17:55:04 -0300 Message-ID: <009501bff1c1$744dc860$0400a8c0@denise> From: "Luis Lopes" To: References: <000b01bff01e$10467000$aca8d4c8@mjsanto> <3.0.6.32.20000719082534.007c26f0@pop-gw.zip.net> Subject: Octogonal Date: Wed, 19 Jul 2000 17:39:35 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Saudações, Dei uma pequena variação num conhecido problema. Por favor, quem poderia me ajudar a resolvê-lo? Num octogonal, oito times disputam o acesso ao quadrangular final de um campeonato. Sabendo que: i) cada time joga com cada um dos outros uma única vez; ii) que se um time vencer um jogo, ganha TRÊS pontos; iii) se empatar, ganha UM ponto; iv) se perder, não ganha nem perde ponto, qual é o número mínimo de pontos que um time deve alcançar para assegurar sua inclusão dentre os quatro times que passarão para o quadrangular final? Obrigado, Luís Lopes From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jul 19 23:41:58 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA29864 for obm-l-list; Wed, 19 Jul 2000 23:41:58 -0300 Received: from hotmail.com (f99.law9.hotmail.com [64.4.9.99]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id XAA29861 for ; Wed, 19 Jul 2000 23:41:48 -0300 Received: (qmail 42893 invoked by uid 0); 20 Jul 2000 02:41:10 -0000 Message-ID: <20000720024110.42892.qmail@hotmail.com> Received: from 200.198.157.74 by www.hotmail.com with HTTP; Wed, 19 Jul 2000 19:41:10 PDT X-Originating-IP: [200.198.157.74] From: "Ecass Dodebel" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Combinatoria Date: Thu, 20 Jul 2000 02:41:10 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br "De quantas maneiras distintas podemos dispor ao longo de um circulo, suposto fixo, 6 bolas brancas, 8 bolas azuis, 16 bolas verdes, 24 bolas amarelas?" O círculo fica fixo em nossa frente, mas as bolas ficam livres para serem rotacionadas como em uma catraca de bicicleta (acho que vocês entendem). Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jul 20 03:02:27 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id DAA30227 for obm-l-list; Thu, 20 Jul 2000 03:02:27 -0300 Received: from smtp-gw.homeshopping.com.br ([200.251.250.241]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id DAA30224 for ; Thu, 20 Jul 2000 03:02:19 -0300 Received: from mail.com (rjo-200-244-57-05.homeshopping.com.br [200.244.57.5]) by smtp-gw.homeshopping.com.br (8.10.2/8.10.2) with ESMTP id e6K61l125972 for ; Thu, 20 Jul 2000 03:01:47 -0300 Message-ID: <397695EA.77560158@mail.com> Date: Thu, 20 Jul 2000 03:02:18 -0300 From: Alexandre Tessarollo X-Mailer: Mozilla 4.5 [en] (Win95; I) X-Accept-Language: en,pdf MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Combinatoria References: <20000720024110.42892.qmail@hotmail.com> Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Essa é uma questão de permutação circular. Fiz de duas maneiras. Primeira maneira: Vamos primeiro permutar todas as bolas como se estivessem uma ao lado da outra numa prateleira. Para quem já estudou permutação c/repetição, é fácil ver que existem N=54!/(6!8!16!24!) arrumações possíveis. Agora "fechemos" o círculo, isto é, juntemos uma ponta da prateleira à outra(como se a prateleira fosse maleável). Ao fazermos isto, vemos q a arrumação q põe todas as bolas juntas de acordo com a cor, isto é, BBBBBBAzAz..AzVV...VAmAm...Am é equivalente à BBBBBAzAz..AzVV...VAmAm...AmB que é equivalente a várias outras. Precisamente 54 arrumações equivalentes. Basta ver que o "ponto de corte" da arrumação acima poderia ter sido em qualquer um dos 53 espaços entre as bolas bem como aonde admitimos ter sido, no fim da nossa prateleira.) Logo, o verdadeiro número de arrumações é N/54. Segunda maneira: Escolha uma bola qualquer, digamos branca. Coloque-a em qualquer posição, pois todas são equivalentes inicialemente. Agora, para colocar a segunda bola branca, temos o lugar simétrico ao da primeira e mais 52/2=26 lugares (na verdade seriam 52 lugares, só que são simétricos dois a dois. Logo...). Ou seja, já temos 27 possibilidades. Já podemos perceber também que dessa maneira teremos vários casos e não chegaremos ao resultado tão cedo. Assim, na hora de colocar as bolas seguintes, nós "abrimos" o círculo. Isto é, assumimos que a 1a bola colocada representa a 1a posição. Resolvendo essa permutação normal, temos M=53!/(5!8!16!24!). Vale lembrar que a nossa primeira bola branca NÃO é diferente das outras, ou seja, existem 6 bolas brancas q podem ser esta primeira. Portanto, o verdadeiro número de arrumações é M/6. E, como podemos ver, M/6=N/54. Ou seja, ambos os raciocínios chegam a mesma resposta e ambos estão, a meu ver, corretos. Aguardo apreciação de todos. Um abraço, Alexandre Tessarollo Ecass Dodebel wrote: > > "De quantas maneiras distintas podemos dispor ao longo de um > circulo, suposto fixo, 6 bolas brancas, 8 bolas azuis, 16 > bolas verdes, 24 bolas amarelas?" > > O círculo fica fixo em nossa frente, mas as bolas ficam livres para serem > rotacionadas como em uma catraca de bicicleta (acho que vocês entendem). > > Obrigado! > > Eduardo Casagrande Stabel. > ________________________________________________________________________ > Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jul 20 07:55:34 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id HAA30850 for obm-l-list; Thu, 20 Jul 2000 07:55:34 -0300 Received: from mat.puc-rio.br (IDENT:root@sucuri.mat.puc-rio.br [139.82.27.7]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id HAA30847 for ; Thu, 20 Jul 2000 07:55:28 -0300 Received: from localhost (nicolau@localhost) by mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id HAA07878 for ; Thu, 20 Jul 2000 07:55:27 -0300 Date: Thu, 20 Jul 2000 07:55:27 -0300 (BRT) From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Combinatoria In-Reply-To: <397695EA.77560158@mail.com> Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id HAA30848 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Thu, 20 Jul 2000, Alexandre Tessarollo wrote: > Essa é uma questão de permutação circular. Fiz de duas maneiras. > > Primeira maneira: > > Vamos primeiro permutar todas as bolas como se estivessem uma ao lado > da outra numa prateleira. Para quem já estudou permutação c/repetição, é > fácil ver que existem N=54!/(6!8!16!24!) arrumações possíveis. Agora > "fechemos" o círculo, isto é, juntemos uma ponta da prateleira à > outra(como se a prateleira fosse maleável). Ao fazermos isto, vemos q a > arrumação q põe todas as bolas juntas de acordo com a cor, isto é, > BBBBBBAzAz..AzVV...VAmAm...Am é equivalente à > BBBBBAzAz..AzVV...VAmAm...AmB que é equivalente a várias outras. > Precisamente 54 arrumações equivalentes. Basta ver que o "ponto de > corte" da arrumação acima poderia ter sido em qualquer um dos 53 espaços > entre as bolas bem como aonde admitimos ter sido, no fim da nossa > prateleira.) > Logo, o verdadeiro número de arrumações é N/54. > > Segunda maneira: > > Escolha uma bola qualquer, digamos branca. Coloque-a em qualquer > posição, pois todas são equivalentes inicialemente. Agora, para colocar > a segunda bola branca, temos o lugar simétrico ao da primeira e mais > 52/2=26 lugares (na verdade seriam 52 lugares, só que são simétricos > dois a dois. Logo...). Ou seja, já temos 27 possibilidades. Já podemos > perceber também que dessa maneira teremos vários casos e não chegaremos > ao resultado tão cedo. > Assim, na hora de colocar as bolas seguintes, nós "abrimos" o círculo. > Isto é, assumimos que a 1a bola colocada representa a 1a posição. > Resolvendo essa permutação normal, temos M=53!/(5!8!16!24!). Vale > lembrar que a nossa primeira bola branca NÃO é diferente das outras, ou > seja, existem 6 bolas brancas q podem ser esta primeira. Portanto, o > verdadeiro número de arrumações é M/6. > > E, como podemos ver, M/6=N/54. Ou seja, ambos os raciocínios chegam a > mesma resposta e ambos estão, a meu ver, corretos. > > Aguardo apreciação de todos. > Um abraço, > Alexandre Tessarollo > > Ecass Dodebel wrote: > > > > "De quantas maneiras distintas podemos dispor ao longo de um > > circulo, suposto fixo, 6 bolas brancas, 8 bolas azuis, 16 > > bolas verdes, 24 bolas amarelas?" > > > > O círculo fica fixo em nossa frente, mas as bolas ficam livres para serem > > rotacionadas como em uma catraca de bicicleta (acho que vocês entendem). > > > > Obrigado! > > > > Eduardo Casagrande Stabel. > > ________________________________________________________________________ > > Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com > Infelizmente a resposta e ambos os raciocínios apresentados estão incorretos, apesar de serem boas aproximações. A falha consiste no seguinte: existem algumas arrumações contadas na solução 1 que vêm em classes não de 54 e sim de 27 arrumaçòes equivalentes. Um exemplo disso é BBBAAAAVVVVVVVVYYYYYYYYYYYYBBBAAAAVVVVVVVVYYYYYYYYYYYY (onde usei B para branco, A para azul, V para verde e Y para amarelo) pois girando 27 espaços temos a mesma arrumação. Antes de rodarmos a roda, temos exatamente 27!/(3!4!8!12!) arrumações deste tipo e portanto a resposta correta é (54!/(6!8!16!24!) - 27!/(3!4!8!12!))/54 + (27!/(3!4!8!12!))/27 = = (54!/(6!8!16!24!))/54 + (27!/(3!4!8!12!))/54 = = 68060828021687548916368500 + 72505182750 = = 68060828021687621421551250 []s, N. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jul 20 13:24:41 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA32566 for obm-l-list; Thu, 20 Jul 2000 13:24:41 -0300 Received: from srv1-jti.jatainet.com.br ([200.199.230.66]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA32562 for ; Thu, 20 Jul 2000 13:24:19 -0300 Received: from lanaraquel (ppp-024.jatainet.com.br [200.199.230.94]) by srv1-jti.jatainet.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id KAA07013; Thu, 20 Jul 2000 10:09:35 -0300 Message-ID: <002e01bff264$8c815200$5ee6c7c8@lanaraquel> From: "Lana Raquel de Brito Leles" To: Subject: Fw: aviso do depto de tecnologia Date: Thu, 20 Jul 2000 10:53:23 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0031_01BFF238.B988BDA0" X-Priority: 1 X-MSMail-Priority: High X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2919.6600 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2919.6600 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0031_01BFF238.B988BDA0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Leiam a mensagem encaminhada! URGENTE! Lana Raquel l_raquel@jatainet.com.br UIN: 19034639 - Trinity Wachowski "Pol=EDtica =E9 para o presente, uma equa=E7=E3o =E9 para a vida toda." = - EINSTEIN "Ore como se tudo dependesse de Deus, e trabalhe como se tudo dependesse = do homem." - CARDEAL SPELLMAN ----- Original Message -----=20 From: Irai Cristina Boccato Alves=20 To: zerinho@openlink.com.br ; lana_vp@jatainet.com.br=20 Sent: Wednesday, July 19, 2000 10:16 PM Subject: En: aviso do depto de tecnologia AVISO!!!=20 NAO ABRIR MENSAGEM COM O ASSUNTO/SUBJECT:=20 "Protesto contra o Paulo Maluf"=20 "Presente UOL"=20 "Convite Especial"=20 Obs.- Se receberem esses tipos de mensagens mencionadas acima, = apaguem, porque e a nova versao do ILOVEYOU.=20 Retransmitam a quem puderem.=20 =20 ------=_NextPart_000_0031_01BFF238.B988BDA0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Leiam a = mensagem=20 encaminhada! URGENTE!
Lana = Raquel
l_raquel@jatainet.com.br
UIN: = 19034639 - Trinity=20 Wachowski
 
"Pol=EDtica = =E9 para o=20 presente, uma equa=E7=E3o =E9 para a vida toda." - EINSTEIN
"Ore como = se tudo=20 dependesse de Deus, e trabalhe como se tudo dependesse do homem." - = CARDEAL=20 SPELLMAN
 
----- Original Message -----=20
From: Irai Cristina = Boccato=20 Alves
To: zerinho@openlink.com.br ; lana_vp@jatainet.com.br
Sent: Wednesday, July 19, 2000 10:16 PM
Subject: En: aviso do depto de tecnologia

  AVISO!!!
  NAO ABRIR MENSAGEM COM O=20 ASSUNTO/SUBJECT:
  "Protesto contra o Paulo Maluf"
  = "Presente=20 UOL"
  "Convite Especial"
  Obs.- Se receberem esses = tipos de=20 mensagens mencionadas acima, apaguem,
porque e a nova versao do = ILOVEYOU.=20
  Retransmitam a quem puderem.
   =20

------=_NextPart_000_0031_01BFF238.B988BDA0-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jul 20 14:02:02 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA00052 for obm-l-list; Thu, 20 Jul 2000 14:02:02 -0300 Received: from hotmail.com (f264.law9.hotmail.com [64.4.8.139]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id OAA00048 for ; Thu, 20 Jul 2000 14:01:41 -0300 Received: (qmail 76309 invoked by uid 0); 20 Jul 2000 17:00:56 -0000 Message-ID: <20000720170056.76308.qmail@hotmail.com> Received: from 200.198.157.122 by www.hotmail.com with HTTP; Thu, 20 Jul 2000 10:00:56 PDT X-Originating-IP: [200.198.157.122] From: "Ecass Dodebel" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Combinatoria Date: Thu, 20 Jul 2000 17:00:56 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >From: "Nicolau C. Saldanha" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: obm-l@mat.puc-rio.br >Subject: Re: Combinatoria >Date: Thu, 20 Jul 2000 07:55:27 -0300 (BRT) > > > >On Thu, 20 Jul 2000, Alexandre Tessarollo wrote: > > > Essa é uma questão de permutação circular. Fiz de duas maneiras. > > > > Primeira maneira: > > > > Vamos primeiro permutar todas as bolas como se estivessem uma ao lado > > da outra numa prateleira. Para quem já estudou permutação c/repetição, é > > fácil ver que existem N=54!/(6!8!16!24!) arrumações possíveis. Agora > > "fechemos" o círculo, isto é, juntemos uma ponta da prateleira à > > outra(como se a prateleira fosse maleável). Ao fazermos isto, vemos q a > > arrumação q põe todas as bolas juntas de acordo com a cor, isto é, > > BBBBBBAzAz..AzVV...VAmAm...Am é equivalente à > > BBBBBAzAz..AzVV...VAmAm...AmB que é equivalente a várias outras. > > Precisamente 54 arrumações equivalentes. Basta ver que o "ponto de > > corte" da arrumação acima poderia ter sido em qualquer um dos 53 espaços > > entre as bolas bem como aonde admitimos ter sido, no fim da nossa > > prateleira.) > > Logo, o verdadeiro número de arrumações é N/54. > > > > Segunda maneira: > > > > Escolha uma bola qualquer, digamos branca. Coloque-a em qualquer > > posição, pois todas são equivalentes inicialemente. Agora, para colocar > > a segunda bola branca, temos o lugar simétrico ao da primeira e mais > > 52/2=26 lugares (na verdade seriam 52 lugares, só que são simétricos > > dois a dois. Logo...). Ou seja, já temos 27 possibilidades. Já podemos > > perceber também que dessa maneira teremos vários casos e não chegaremos > > ao resultado tão cedo. > > Assim, na hora de colocar as bolas seguintes, nós "abrimos" o círculo. > > Isto é, assumimos que a 1a bola colocada representa a 1a posição. > > Resolvendo essa permutação normal, temos M=53!/(5!8!16!24!). Vale > > lembrar que a nossa primeira bola branca NÃO é diferente das outras, ou > > seja, existem 6 bolas brancas q podem ser esta primeira. Portanto, o > > verdadeiro número de arrumações é M/6. > > > > E, como podemos ver, M/6=N/54. Ou seja, ambos os raciocínios chegam a > > mesma resposta e ambos estão, a meu ver, corretos. > > > > Aguardo apreciação de todos. > > Um abraço, > > Alexandre Tessarollo > > > > Ecass Dodebel wrote: > > > > > > "De quantas maneiras distintas podemos dispor ao longo de um > > > circulo, suposto fixo, 6 bolas brancas, 8 bolas azuis, 16 > > > bolas verdes, 24 bolas amarelas?" > > > > > > O círculo fica fixo em nossa frente, mas as bolas ficam livres para >serem > > > rotacionadas como em uma catraca de bicicleta (acho que vocês >entendem). > > > > > > Obrigado! > > > > > > Eduardo Casagrande Stabel. > > > >________________________________________________________________________ > > > Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at >http://www.hotmail.com > > > >Infelizmente a resposta e ambos os raciocínios apresentados estão >incorretos, >apesar de serem boas aproximações. A falha consiste no seguinte: >existem algumas arrumações contadas na solução 1 que vêm em classes >não de 54 e sim de 27 arrumaçòes equivalentes. Um exemplo disso é > >BBBAAAAVVVVVVVVYYYYYYYYYYYYBBBAAAAVVVVVVVVYYYYYYYYYYYY > >(onde usei B para branco, A para azul, V para verde e Y para amarelo) >pois girando 27 espaços temos a mesma arrumação. >Antes de rodarmos a roda, temos exatamente > >27!/(3!4!8!12!) > >arrumações deste tipo e portanto a resposta correta é > >(54!/(6!8!16!24!) - 27!/(3!4!8!12!))/54 + (27!/(3!4!8!12!))/27 = >= (54!/(6!8!16!24!))/54 + (27!/(3!4!8!12!))/54 = >= 68060828021687548916368500 + 72505182750 = >= 68060828021687621421551250 > >[]s, N. > > > Um detalhe bem bobo, no Maple V, aqui em casa, dá = (54!/(6!8!16!24!))/54 + (27!/(3!4!8!12!))/54 = = 11343471336947924819394750 + 72505182750 = = 11343471336947997324577500 ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jul 20 14:06:41 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA00093 for obm-l-list; Thu, 20 Jul 2000 14:06:41 -0300 Received: from mat.puc-rio.br (IDENT:root@sucuri.mat.puc-rio.br [139.82.27.7]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA00090 for ; Thu, 20 Jul 2000 14:06:34 -0300 Received: from localhost (nicolau@localhost) by mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA08504 for ; Thu, 20 Jul 2000 14:06:33 -0300 Date: Thu, 20 Jul 2000 14:06:33 -0300 (BRT) From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Fw: aviso do depto de tecnologia In-Reply-To: <002e01bff264$8c815200$5ee6c7c8@lanaraquel> Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id OAA00091 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Tenho o desagradável dever de lembrar que nossa lista não tem como objetivo a publicação de mensagens como esta: On Thu, 20 Jul 2000, Lana Raquel de Brito Leles wrote: > Leiam a mensagem encaminhada! URGENTE! > Lana Raquel > l_raquel@jatainet.com.br > UIN: 19034639 - Trinity Wachowski > > "Política é para o presente, uma equação é para a vida toda." - EINSTEIN > "Ore como se tudo dependesse de Deus, e trabalhe como se tudo dependesse do homem." - CARDEAL SPELLMAN > > ----- Original Message ----- > From: Irai Cristina Boccato Alves > To: zerinho@openlink.com.br ; lana_vp@jatainet.com.br > Sent: Wednesday, July 19, 2000 10:16 PM > Subject: En: aviso do depto de tecnologia > > > AVISO!!! > NAO ABRIR MENSAGEM COM O ASSUNTO/SUBJECT: > "Protesto contra o Paulo Maluf" > "Presente UOL" > "Convite Especial" > Obs.- Se receberem esses tipos de mensagens mencionadas acima, apaguem, > porque e a nova versao do ILOVEYOU. > Retransmitam a quem puderem. Qualquer carta que termine com a frase "Retransmitam a quem puderem" é fonte de proliferação irresponsável de e-mails. Há pouquíssima utilidade em divulgar avisos sobre vírus reais ou imaginários que tenham tão pouca informação quanto este. Note que a mensagem não diz sequer em que plataforma o vírus roda nem onde obter mais informação. Já foram publicadas nesta lista mensagens com instruções claras e específicas destinadas a pessoas cujos computadores estavam comprovadamente infectados com um vírus específico: estas mensagens, apesar de fora de tópico, são extremamente úteis para pelo menos uma pessoa da lista. O único aviso de caráter geral que faz sentido a meu ver é: não rode executáveis indiscriminadamente nem deixe que seu leitor de e-mail rode executáveis attachados sem ao menos consultá-lo (o Outlook da Microsoft fazia (ou faz???) exatamente isso e sem esta grosseira falha de segurança o ILOVEYOU jamais teria se espalhado como se espalhou). Note que não existe vírus conhecido (e tudo leva a crer que jamais venha a existir, sendo uma impossibilidade) que se propague em uma mensagem de texto puro. A menos que contemos como um vírus as próprias correntes de avisos contra vírus fantasmas, como esta aí em cima. []s, N. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jul 20 14:26:02 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA00339 for obm-l-list; Thu, 20 Jul 2000 14:26:02 -0300 Received: from mat.puc-rio.br (IDENT:root@sucuri.mat.puc-rio.br [139.82.27.7]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA00336 for ; Thu, 20 Jul 2000 14:25:52 -0300 Received: from localhost (nicolau@localhost) by mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA08547 for ; Thu, 20 Jul 2000 14:25:51 -0300 Date: Thu, 20 Jul 2000 14:25:51 -0300 (BRT) From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Combinatoria In-Reply-To: <20000720170056.76308.qmail@hotmail.com> Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id OAA00337 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Thu, 20 Jul 2000, Ecass Dodebel wrote: > >... > >arrumações deste tipo e portanto a resposta correta é > > > >(54!/(6!8!16!24!) - 27!/(3!4!8!12!))/54 + (27!/(3!4!8!12!))/27 = > >= (54!/(6!8!16!24!))/54 + (27!/(3!4!8!12!))/54 = > >= 68060828021687548916368500 + 72505182750 = > >= 68060828021687621421551250 > > > >[]s, N. > > Um detalhe bem bobo, no Maple V, aqui em casa, dá > = (54!/(6!8!16!24!))/54 + (27!/(3!4!8!12!))/54 = > = 11343471336947924819394750 + 72505182750 = > = 11343471336947997324577500 Tem razão, muito obrigado pela correção. Devo ter digitado alguma coisa errada. Aliás também usei Maple V, mas reverifiquei agora com calc. []s, N. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jul 20 19:58:33 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA02301 for obm-l-list; Thu, 20 Jul 2000 19:58:33 -0300 Received: from srv1-jti.jatainet.com.br ([200.199.230.66]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA02298 for ; Thu, 20 Jul 2000 19:58:22 -0300 Received: from lanaraquel (ppp-024.jatainet.com.br [200.199.230.94]) by srv1-jti.jatainet.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id RAA23408 for ; Thu, 20 Jul 2000 17:01:26 -0300 Message-ID: <009101bff29d$fa0e6d60$0100007f@lanaraquel> From: "Lana Raquel de Brito Leles" To: References: Subject: Re: Fw: aviso do depto de tecnologia Date: Thu, 20 Jul 2000 19:32:01 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0043_01BFF281.2D7664E0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2919.6600 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2919.6600 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0043_01BFF281.2D7664E0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1! Eu s=F3 encaminhei a mensagem porque achei que talvez algu=E9m pudesse = receber os v=EDrus e n=E3o estar informado. Lana Raquel l_raquel@jatainet.com.br UIN: 19034639 - Trinity Wachowski www.partone.com.br "Pol=EDtica =E9 para o presente, uma equa=E7=E3o =E9 para a vida toda." = - EINSTEIN "Ore como se tudo dependesse de Deus, e trabalhe como se tudo dependesse = do homem." - CARDEAL SPELLMAN ----- Original Message -----=20 From: Nicolau C. Saldanha=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Thursday, July 20, 2000 2:06 PM Subject: Re: Fw: aviso do depto de tecnologia Tenho o desagrad=E1vel dever de lembrar que nossa lista n=E3o tem como = objetivo a publica=E7=E3o de mensagens como esta: On Thu, 20 Jul 2000, Lana Raquel de Brito Leles wrote: > Leiam a mensagem encaminhada! URGENTE! > Lana Raquel > l_raquel@jatainet.com.br > UIN: 19034639 - Trinity Wachowski >=20 > "Pol=EDtica =E9 para o presente, uma equa=E7=E3o =E9 para a vida = toda." - EINSTEIN > "Ore como se tudo dependesse de Deus, e trabalhe como se tudo = dependesse do homem." - CARDEAL SPELLMAN >=20 > ----- Original Message -----=20 > From: Irai Cristina Boccato Alves=20 > To: zerinho@openlink.com.br ; lana_vp@jatainet.com.br=20 > Sent: Wednesday, July 19, 2000 10:16 PM > Subject: En: aviso do depto de tecnologia >=20 >=20 > AVISO!!!=20 > NAO ABRIR MENSAGEM COM O ASSUNTO/SUBJECT:=20 > "Protesto contra o Paulo Maluf"=20 > "Presente UOL"=20 > "Convite Especial"=20 > Obs.- Se receberem esses tipos de mensagens mencionadas acima, = apaguem, > porque e a nova versao do ILOVEYOU.=20 > Retransmitam a quem puderem.=20 Qualquer carta que termine com a frase "Retransmitam a quem puderem" =E9 fonte de prolifera=E7=E3o irrespons=E1vel de e-mails. H=E1 pouqu=EDssima utilidade em divulgar avisos sobre v=EDrus reais ou imagin=E1rios que tenham t=E3o pouca informa=E7=E3o quanto este. Note que a mensagem n=E3o diz sequer em que plataforma o v=EDrus roda nem onde obter mais informa=E7=E3o. J=E1 foram publicadas nesta lista mensagens com instru=E7=F5es claras e espec=EDficas destinadas a pessoas cujos computadores estavam comprovadamente infectados com um v=EDrus espec=EDfico: estas mensagens, apesar de fora de t=F3pico, s=E3o extremamente =FAteis para pelo menos uma pessoa da lista. O =FAnico aviso de car=E1ter geral que faz sentido a meu ver =E9: n=E3o rode execut=E1veis indiscriminadamente nem deixe que seu leitor de e-mail rode execut=E1veis attachados sem ao menos consult=E1-lo (o Outlook da Microsoft fazia (ou faz???) exatamente isso e sem esta grosseira falha de seguran=E7a o ILOVEYOU jamais teria se espalhado como se espalhou). Note que n=E3o existe v=EDrus conhecido (e tudo leva a crer que jamais venha a existir, sendo uma impossibilidade) que se propague em uma mensagem de texto puro. A menos que contemos como um v=EDrus as pr=F3prias correntes de avisos contra v=EDrus fantasmas, como esta a=ED em cima. []s, N. ------=_NextPart_000_0043_01BFF281.2D7664E0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Ol=E1!
Eu s=F3 = encaminhei a=20 mensagem porque achei que talvez algu=E9m pudesse receber os v=EDrus e = n=E3o estar=20 informado.
Lana = Raquel
l_raquel@jatainet.com.br
UIN: = 19034639 - Trinity=20 Wachowski
www.partone.com.br
 
"Pol=EDtica = =E9 para o=20 presente, uma equa=E7=E3o =E9 para a vida toda." - EINSTEIN
"Ore como = se tudo=20 dependesse de Deus, e trabalhe como se tudo dependesse do homem." - = CARDEAL=20 SPELLMAN
----- Original Message -----=20
From: Nicolau C.=20 Saldanha
Sent: Thursday, July 20, 2000 2:06 PM
Subject: Re: Fw: aviso do depto de tecnologia


Tenho o desagrad=E1vel dever de lembrar que nossa = lista n=E3o tem=20 como objetivo
a publica=E7=E3o de mensagens como esta:

On Thu, = 20 Jul=20 2000, Lana Raquel de Brito Leles wrote:

> Leiam a mensagem=20 encaminhada! URGENTE!
> Lana Raquel
> l_raquel@jatainet.com.br
= > UIN:=20 19034639 - Trinity Wachowski
>
> "Pol=EDtica =E9 para o = presente, uma=20 equa=E7=E3o =E9 para a vida toda." - EINSTEIN
> "Ore como se tudo = dependesse de=20 Deus, e trabalhe como se tudo dependesse do homem." - CARDEAL = SPELLMAN
>=20
> ----- Original Message -----
> From: Irai Cristina = Boccato Alves=20
> To: zerinho@openlink.com.br ; lana_vp@jatainet.com.br =
> Sent:=20 Wednesday, July 19, 2000 10:16 PM
> Subject: En: aviso do depto de = tecnologia
>
>
>   AVISO!!! =
>  =20 NAO ABRIR MENSAGEM COM O ASSUNTO/SUBJECT:
>   "Protesto = contra=20 o Paulo Maluf"
>   "Presente UOL"
>   = "Convite=20 Especial"
>   Obs.- Se receberem esses tipos de = mensagens=20 mencionadas acima, apaguem,
> porque e a nova versao do ILOVEYOU.=20
>   Retransmitam a quem puderem.

Qualquer carta = que=20 termine com a frase "Retransmitam a quem puderem"
=E9 fonte de = prolifera=E7=E3o=20 irrespons=E1vel de e-mails.

H=E1 pouqu=EDssima utilidade em = divulgar avisos=20 sobre v=EDrus reais ou
imagin=E1rios que tenham t=E3o pouca = informa=E7=E3o quanto=20 este.
Note que a mensagem n=E3o diz sequer em que plataforma o = v=EDrus
roda=20 nem onde obter mais informa=E7=E3o.
J=E1 foram publicadas nesta lista = mensagens com=20 instru=E7=F5es claras
e espec=EDficas destinadas a pessoas cujos = computadores=20 estavam
comprovadamente infectados com um v=EDrus = espec=EDfico:
estas=20 mensagens, apesar de fora de t=F3pico, s=E3o extremamente = =FAteis
para pelo menos=20 uma pessoa da lista.

O =FAnico aviso de car=E1ter geral que faz = sentido a meu=20 ver =E9:
n=E3o rode execut=E1veis indiscriminadamente nem deixe que = seu=20 leitor
de e-mail rode execut=E1veis attachados sem ao menos = consult=E1-lo
(o=20 Outlook da Microsoft fazia (ou faz???) exatamente isso
e sem esta = grosseira=20 falha de seguran=E7a o ILOVEYOU
jamais teria se espalhado como se=20 espalhou).

Note que n=E3o existe v=EDrus conhecido (e tudo leva a = crer=20 que
jamais venha a existir, sendo uma impossibilidade) que se = propague
em=20 uma mensagem de texto puro.
A menos que contemos como um v=EDrus as = pr=F3prias=20 correntes de avisos
contra v=EDrus fantasmas, como esta a=ED em=20 cima.


[]s, N. ------=_NextPart_000_0043_01BFF281.2D7664E0-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jul 20 21:11:06 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA02649 for obm-l-list; Thu, 20 Jul 2000 21:11:06 -0300 Received: from zeus.unincor.br (unincor.br [200.202.211.35]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA02643 for ; Thu, 20 Jul 2000 21:10:55 -0300 Received: from aronferr (ppp6.unincor.br [200.202.211.69]) by zeus.unincor.br (Vircom SMTPRS 4.2.181) with SMTP id for ; Thu, 20 Jul 2000 21:09:38 -0300 Message-ID: <000601bff2a8$21f512c0$45d3cac8@aronferr> From: "Aron Roberto Ferreira" To: Subject: octogonal Date: Thu, 20 Jul 2000 13:36:37 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0102_01BFF24F.873CA520" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.3110.5 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.3110.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0102_01BFF24F.873CA520 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Caro Luis Acredito que seja 12 pontos. Cada equipe joga 7 vezes. Se o primeiro = colocado vencer todos os seus jogos, far=E1 21 pontos, que =E9 o = m=E1ximo. Ai o segundo colocado s=F3 poder=E1 alcan=E7ar 18 pontos, o = terceiro 15 e o quarto colocado, 12 pontos. ------=_NextPart_000_0102_01BFF24F.873CA520 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Caro Luis
    Acredito que seja 12 = pontos. Cada=20 equipe joga 7 vezes. Se o primeiro colocado vencer todos os seus jogos,=20 fará 21 pontos, que é o máximo. Ai o segundo = colocado=20 só poderá alcançar 18 pontos, o terceiro 15 e o = quarto=20 colocado, 12 pontos.
 
------=_NextPart_000_0102_01BFF24F.873CA520-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 21 09:58:34 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA04236 for obm-l-list; Fri, 21 Jul 2000 09:58:34 -0300 Received: from sinos.net (hermes.sinos.net.0-63.17.248.200.in-addr.arpa [200.248.17.2] (may be forged)) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id JAA04233 for ; Fri, 21 Jul 2000 09:58:22 -0300 Received: from pauloivo [143.54.26.111] by sinos.net [200.248.17.2] with SMTP (MDaemon.v3.1.0.R) for ; Fri, 21 Jul 2000 10:00:13 -0300 Message-ID: <006a01bff312$f19ca8c0$6f1a368f@ufrgs.br> From: "Benjamin Hinrichs" To: References: <003101bfec06$f22c1f40$4263c2c8@meucompu> Subject: =?iso-8859-1?Q?Re:_circunfer=EAncia_x_c=EDrculo?= Date: Fri, 21 Jul 2000 09:55:23 -0300 Organization: Hinsoft Corp. MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 X-MDaemon-Deliver-To: obm-l@mat.puc-rio.br X-Return-Path: hinsoft@sinos.net X-MDRcpt-To: obm-l@mat.puc-rio.br X-MDRemoteIP: 143.54.26.111 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caro Filho, pelas respostas de demais membros da lista vc já pode ter uma opinião formada. Vou contar a forma como aprendi a diferenciar círculo e circunferência. Era uma vez na pequena cidade do interior do Rio Grande do Sul (violentíssima cidade [mortes/habitantes], 14a. do ranking mundial se não me engano), um jovem de 13 anos aprendia na sétima (ou sexta) série do então 1° grau como calcular área de um círculo e perímetro de uma circunferêcia. O professor (Cícero, grande Cícero) explicava empolgado a importância do Pi. Os alunos faziam bastante bagunça, tocavam papel pela sala (para depois no 1° ano pedir explicações ao professor (Brune) do que era Pi que eles nunca tinham aprendido). Enfim, ele nos ensinou que calcular a área de uma circunferência era muito simples, essa seria sempre 0 afinal a linha não tem espessura. Não gostei da idéia de ter que gravar dois nomes para uma figura que no quadro parecia a mesma mas me conformei. Bem, com isso quero dizer que é perfeitamente possível ensinar para as pessoas a diferença de círculo e circunferência na juventude de forma que não esqueçam (percebam que de 4 anos ainda me lembro que ele já fazia a distinção). Grande abraço, Benjamin Hinrichs From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 21 10:07:27 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA04295 for obm-l-list; Fri, 21 Jul 2000 10:07:27 -0300 Received: from sinos.net (hermes.sinos.net.0-63.17.248.200.in-addr.arpa [200.248.17.2] (may be forged)) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id KAA04288 for ; Fri, 21 Jul 2000 10:07:02 -0300 Received: from pauloivo [143.54.26.111] by sinos.net [200.248.17.2] with SMTP (MDaemon.v3.1.0.R) for ; Fri, 21 Jul 2000 10:09:05 -0300 Message-ID: <007e01bff314$2ee94c00$6f1a368f@ufrgs.br> From: "Benjamin Hinrichs" To: "Obm-l" Subject: pergunta sobre seno. Date: Fri, 21 Jul 2000 10:04:10 -0300 Organization: Hinsoft Corp. MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 X-MDaemon-Deliver-To: obm-l@mat.puc-rio.br X-Return-Path: hinsoft@sinos.net X-MDRcpt-To: obm-l@mat.puc-rio.br X-MDRemoteIP: 143.54.26.111 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Bom dia listeiros, conversando hoje com minha mãe a caminho do trabalho ela me lançou a seguinte questão: se colocarmos um fio sobre uma "revolução" do seno, qual seria seu comprimento? Já saí falando que seria maior que 2*Pi mas fiquei sem resposta precisa. Daí pergunto para vcs o que acham. Abraço, Benjamin Hinrichs From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 21 14:10:31 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA05721 for obm-l-list; Fri, 21 Jul 2000 14:10:31 -0300 Received: from Euler.impa.br (euler.impa.br [147.65.1.3]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA05716 for ; Fri, 21 Jul 2000 14:10:20 -0300 Received: from Hilbert.impa.br (Hilbert [147.65.4.30]) by Euler.impa.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA07043 for ; Fri, 21 Jul 2000 14:10:19 -0300 (EST) Received: from localhost by Hilbert.impa.br (8.9.3) id OAA13669; Fri, 21 Jul 2000 14:10:18 -0300 (EST) Date: Fri, 21 Jul 2000 14:10:17 -0300 (EST) From: Nicolau Corcao Saldanha X-Sender: nicolau@Hilbert To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: IMO2000 Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=US-ASCII Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br A prova da IMO2000 j'a esta na internet. O endere,co 'e: http://www.imo2000.or.kr L'a voce pode encontrar a prova em v'arias l'inguas, entre elas ingl^es e espanhol (mas n~ao portugu^es). Eu pr'oprio acabo de ver a prova. Olhem e tentem fazer sozinhos. []s, N. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 21 14:13:57 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA05760 for obm-l-list; Fri, 21 Jul 2000 14:13:57 -0300 Received: from mat.puc-rio.br (IDENT:root@sucuri.mat.puc-rio.br [139.82.27.7]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA05756 for ; Fri, 21 Jul 2000 14:13:50 -0300 Received: from localhost (nicolau@localhost) by mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA10418 for ; Fri, 21 Jul 2000 14:13:50 -0300 Date: Fri, 21 Jul 2000 14:13:50 -0300 (BRT) From: "Nicolau C. Saldanha" To: Obm-l Subject: Re: pergunta sobre seno. In-Reply-To: <007e01bff314$2ee94c00$6f1a368f@ufrgs.br> Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id OAA05757 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Fri, 21 Jul 2000, Benjamin Hinrichs wrote: > Bom dia listeiros, > conversando hoje com minha mãe a caminho do trabalho ela me lançou a > seguinte questão: se colocarmos um fio sobre uma "revolução" do seno, qual > seria seu comprimento? Já saí falando que seria maior que 2*Pi mas fiquei > sem resposta precisa. Daí pergunto para vcs o que acham. Eu pelo menos não entendo do que você está falando. Revolução do seno?? Será que você quer saber o comprimento da curva y = sen(x), 0 <= x <= 2 pi? []s, N. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 21 14:44:48 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA06048 for obm-l-list; Fri, 21 Jul 2000 14:44:48 -0300 Received: from Euler.impa.br (euler.impa.br [147.65.1.3]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA06043 for ; Fri, 21 Jul 2000 14:44:39 -0300 Received: from Hilbert.impa.br (Hilbert [147.65.4.30]) by Euler.impa.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA09200 for ; Fri, 21 Jul 2000 14:44:38 -0300 (EST) Received: from localhost by Hilbert.impa.br (8.9.3) id OAA13880; Fri, 21 Jul 2000 14:44:37 -0300 (EST) Date: Fri, 21 Jul 2000 14:44:36 -0300 (EST) From: Nicolau Corcao Saldanha X-Sender: nicolau@Hilbert To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: IMO2000 na minha home page Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=US-ASCII Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br A IMO2000 esta disponivel agora tambem em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp (ingles, frances e espanhol; arquivos *.gif). From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 21 18:14:49 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA07745 for obm-l-list; Fri, 21 Jul 2000 18:14:49 -0300 Received: from nt.riomaster.com.br (smtp.riomaster.com.br [200.244.140.2]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA07742 for ; Fri, 21 Jul 2000 18:14:33 -0300 Received: from denise (NT [200.244.140.137]) by nt.riomaster.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.1960.3) id PKA3WYW4; Fri, 21 Jul 2000 18:03:36 -0300 Message-ID: <005f01bff359$0fe70320$0400a8c0@denise> From: "Luis Lopes" To: References: <000601bff2a8$21f512c0$45d3cac8@aronferr> Subject: Re: octogonal Date: Fri, 21 Jul 2000 18:17:06 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_005C_01BFF33F.E0BF8400" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_005C_01BFF33F.E0BF8400 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Caro Aron, Vou construir uma possibilidade onde um time (E) faz 12 pts e fica fora. = Representado por +, =3D e - vit=F3rias, empates e derrotas, temos: Time Resultados Total de = pontos A + (B,C,F,G,H) =3D (D,E) = 17 B + (D,F,G,H) =3D (C,E) - (A) = 14 C + (D,F,G,H) =3D (B,E) - (A) = 14 D + (E,F,G,H) =3D (A) - (B,C) = 13 E + (F,G,H) =3D (A,B,C) - (D) = 12 F,G,H 6 pontos no m=E1ximo. E parece que com 13 pontos um time est=E1 assegurado no quadrangular. Ser=E1??? [ ]'s Lu=EDs Lopes -----Mensagem Original-----=20 De: Aron Roberto Ferreira=20 Para: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Enviada em: Quinta-feira, 20 de Julho de 2000 13:36 Assunto: octogonal Caro Luis Acredito que seja 12 pontos. Cada equipe joga 7 vezes. Se o = primeiro colocado vencer todos os seus jogos, far=E1 21 pontos, que =E9 = o m=E1ximo. Ai o segundo colocado s=F3 poder=E1 alcan=E7ar 18 pontos, o = terceiro 15 e o quarto colocado, 12 pontos. =20 ------=_NextPart_000_005C_01BFF33F.E0BF8400 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Caro Aron,
 
Vou construir uma possibilidade onde um time (E) faz = 12 pts e=20 fica fora. Representado por +, =3D e - vit=F3rias, empates e derrotas,=20 temos:
 
Time          =             &= nbsp;    Resultados     &nbs= p;            = ;    Total=20 de pontos
 
 =20 A            =    =20 + (B,C,F,G,H)  =3D=20 (D,E)           &n= bsp;           &nb= sp;   =20 17
 =20 B            =     +=20 (D,F,G,H)    =3D (C,E)  -=20 (A)           &nbs= p;       =20 14
  C        &nb= sp;       +=20 (D,F,G,H)     =3D (B,E)  -=20 (A)           &nbs= p;        14
 =20 D            =    =20 + (E,F,G,H)    =3D (A)     -=20 (B,C)           &n= bsp;     13
 =20 E            =     +=20 (F,G,H)        =3D (A,B,C)  -=20 (D)           &nbs= p;     12
  F,G,H  6 pontos no = m=E1ximo.
 
E parece que com 13 pontos um time est=E1 assegurado = no=20 quadrangular.
 
Ser=E1???
 
[ ]'s
Lu=EDs Lopes
 
-----Mensagem Original-----
De: Aron Roberto = Ferreira=20
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviada em: Quinta-feira, 20 de = Julho de=20 2000 13:36
Assunto: octogonal

Caro Luis
    Acredito que seja 12 = pontos. Cada=20 equipe joga 7 vezes. Se o primeiro colocado vencer todos os seus = jogos, far=E1=20 21 pontos, que =E9 o m=E1ximo. Ai o segundo colocado s=F3 poder=E1 = alcan=E7ar 18 pontos,=20 o terceiro 15 e o quarto colocado, 12 pontos.
 
------=_NextPart_000_005C_01BFF33F.E0BF8400-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 21 18:48:22 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA08013 for obm-l-list; Fri, 21 Jul 2000 18:48:22 -0300 Received: from nt.riomaster.com.br (smtp.riomaster.com.br [200.244.140.2]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA08009 for ; Fri, 21 Jul 2000 18:48:05 -0300 Received: from denise (NT [200.244.140.137]) by nt.riomaster.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.1960.3) id PKA3WYXN; Fri, 21 Jul 2000 18:37:17 -0300 Message-ID: <007f01bff35d$c36be740$0400a8c0@denise> From: "Luis Lopes" To: Subject: Re: octogonal Date: Fri, 21 Jul 2000 18:51:00 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_007C_01BFF344.9CE14D40" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_007C_01BFF344.9CE14D40 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Sauda=E7=F5es, Descubro agora que posso construir uma possibilidade onde um time (D) = faz 13 pts e fica fora. Representado por +, =3D e - vit=F3rias, empates = e derrotas, temos: Time Resultados Total de = pontos A + (B,C,F,G,H) =3D (D) - (E) = 16 B + (D,F,G,H) =3D (C,E) - (A) = 14 C + (D,F,G,H) =3D (B,E) - (A) = 14 D + (E,F,G,H) =3D (A) - (B,C) = 13 E + (A,F,G,H) =3D (B,C) - (D) = 14 F,G,H 6 pontos no m=E1ximo. E parece que com 14 pontos um time est=E1 assegurado no quadrangular. Ser=E1??? [ ]'s Lu=EDs Lopes-----Mensagem Original-----=20 De: Luis Lopes=20 Para: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Enviada em: Sexta-feira, 21 de Julho de 2000 18:17 Assunto: Re: octogonal Caro Aron, Vou construir uma possibilidade onde um time (E) faz 12 pts e fica = fora. Representado por +, =3D e - vit=F3rias, empates e derrotas, temos: Time Resultados Total = de pontos A + (B,C,F,G,H) =3D (D,E) = 17 B + (D,F,G,H) =3D (C,E) - (A) = 14 C + (D,F,G,H) =3D (B,E) - (A) = 14 D + (E,F,G,H) =3D (A) - (B,C) = 13 E + (F,G,H) =3D (A,B,C) - (D) = 12 F,G,H 6 pontos no m=E1ximo. E parece que com 13 pontos um time est=E1 assegurado no quadrangular. Ser=E1??? [ ]'s Lu=EDs Lopes -----Mensagem Original-----=20 De: Aron Roberto Ferreira=20 Para: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Enviada em: Quinta-feira, 20 de Julho de 2000 13:36 Assunto: octogonal Caro Luis Acredito que seja 12 pontos. Cada equipe joga 7 vezes. Se o = primeiro colocado vencer todos os seus jogos, far=E1 21 pontos, que =E9 = o m=E1ximo. Ai o segundo colocado s=F3 poder=E1 alcan=E7ar 18 pontos, o = terceiro 15 e o quarto colocado, 12 pontos. =20 ------=_NextPart_000_007C_01BFF344.9CE14D40 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Sauda=E7=F5es,
 
Descubro agora que = posso construir uma possibilidade onde um time (D) faz 13 pts e fica = fora.=20 Representado por +, =3D e - vit=F3rias, empates e derrotas,=20 temos:
 
Time          =             &= nbsp;    Resultados     &nbs= p;            = ;    Total=20 de pontos
 
 =20 A            =    =20 + (B,C,F,G,H)   =3D (D)       - = (E)           &nbs= p;     16
 =20 B            =     +=20 (D,F,G,H)      =3D (C,E)   -=20 (A)           &nbs= p;     14
  C        &nb= sp;       +=20 (D,F,G,H)       =3D (B,E)   -=20 (A)           &nbs= p;     14
 =20 D            =    =20 + (E,F,G,H)       =3D = (A)      =20 -=20 (B,C)           &n= bsp;  13
 =20 E            =     +=20 (A,F,G,H)       =3D (B,C)   -=20 (D)           &nbs= p;     14
  F,G,H  6 pontos no = m=E1ximo.
 
E parece que com 14 pontos um time est=E1 assegurado = no=20 quadrangular.
 
Ser=E1???
 
[ ]'s
Lu=EDs Lopes-----Mensagem = Original-----=20
De: Luis = Lopes=20
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviada em: Sexta-feira, 21 de = Julho de=20 2000 18:17
Assunto: Re: octogonal

Caro Aron,
 
Vou construir uma possibilidade onde um time (E) = faz 12 pts=20 e fica fora. Representado por +, =3D e - vit=F3rias, empates e = derrotas,=20 temos:
 
Time          =             &= nbsp;    Resultados     &nbs= p;            = ;    Total=20 de pontos
 
 =20 = A            =    =20 + (B,C,F,G,H)  =3D=20 = (D,E)           &n= bsp;           &nb= sp;   =20 17
 =20 = B            =     +=20 (D,F,G,H)    =3D (C,E)  -=20 = (A)           &nbs= p;       =20 14
  C        &nb= sp;       +=20 (D,F,G,H)     =3D (B,E)  -=20 = (A)           &nbs= p;        14
 =20 = D            =    =20 + (E,F,G,H)    =3D (A)     -=20 = (B,C)           &n= bsp;     13
 =20 = E            =     +=20 (F,G,H)        =3D (A,B,C)  -=20 = (D)           &nbs= p;     12
  F,G,H  6 pontos no = m=E1ximo.
 
E parece que com 13 pontos um time est=E1 = assegurado no=20 quadrangular.
 
Ser=E1???
 
[ ]'s
Lu=EDs Lopes
 
-----Mensagem Original-----
De:=20 Aron = Roberto=20 Ferreira
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviada em: Quinta-feira, 20 = de Julho=20 de 2000 13:36
Assunto: octogonal

Caro Luis
    Acredito que seja 12 = pontos.=20 Cada equipe joga 7 vezes. Se o primeiro colocado vencer todos os = seus jogos,=20 far=E1 21 pontos, que =E9 o m=E1ximo. Ai o segundo colocado s=F3 = poder=E1 alcan=E7ar 18=20 pontos, o terceiro 15 e o quarto colocado, 12 pontos.
 
------=_NextPart_000_007C_01BFF344.9CE14D40-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 21 19:07:39 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA08215 for obm-l-list; Fri, 21 Jul 2000 19:07:39 -0300 Received: from sinos.net (hermes.sinos.net.0-63.17.248.200.in-addr.arpa [200.248.17.2] (may be forged)) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA08211 for ; Fri, 21 Jul 2000 19:07:31 -0300 Received: from pauloivo [143.54.26.111] by sinos.net [200.248.17.2] with SMTP (MDaemon.v3.1.0.R) for ; Fri, 21 Jul 2000 19:09:33 -0300 Message-ID: <000701bff35f$aa0bb580$6f1a368f@ufrgs.br> From: "Benjamin Hinrichs" To: References: Subject: Re: pergunta sobre seno. Date: Fri, 21 Jul 2000 19:04:38 -0300 Organization: Hinsoft Corp. MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 X-MDaemon-Deliver-To: obm-l@mat.puc-rio.br X-Return-Path: hinsoft@sinos.net X-MDRcpt-To: obm-l@mat.puc-rio.br X-MDRemoteIP: 143.54.26.111 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br É, colocando em termos que não mais me são familiar, sim. Seria isso: qual o comprimento da curva y = sen(x), 0 <= x <= 2 pi. Abraço, Benjamin Hinrichs ----- Original Message ----- From: Nicolau C. Saldanha To: Obm-l Sent: Friday, July 21, 2000 2:13 PM Subject: Re: pergunta sobre seno. On Fri, 21 Jul 2000, Benjamin Hinrichs wrote: > Bom dia listeiros, > conversando hoje com minha mãe a caminho do trabalho ela me lançou a > seguinte questão: se colocarmos um fio sobre uma "revolução" do seno, qual > seria seu comprimento? Já saí falando que seria maior que 2*Pi mas fiquei > sem resposta precisa. Daí pergunto para vcs o que acham. Eu pelo menos não entendo do que você está falando. Revolução do seno?? Será que você quer saber o comprimento da curva y = sen(x), 0 <= x <= 2 pi? []s, N. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 21 19:50:34 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA08686 for obm-l-list; Fri, 21 Jul 2000 19:50:34 -0300 Received: from Servmail.abeu.com.br (Servmail.abeu.com.br [200.255.31.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA08682 for ; Fri, 21 Jul 2000 19:50:25 -0300 Received: from mat ([200.244.145.91]) by Servmail.abeu.com.br (8.9.3/8.9.1) with SMTP id TAA31450 for ; Fri, 21 Jul 2000 19:54:20 -0300 Message-ID: <000901bff363$fbad1740$5b91f4c8@edmilson.com> From: "Edmilson" To: References: <007e01bff314$2ee94c00$6f1a368f@ufrgs.br> Subject: Re: pergunta sobre seno. Date: Fri, 21 Jul 2000 19:35:31 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caro Benjamin, Se a tal "revolução" for o arco de y = sen(x) de x = 0 a x = 2*Pi, o comprimento pode ser calculado com uma parametrização de y = sen(x), por exemplo, x = t e y = sen(t) ou na forma vetorial, P(t) = ( t , sen(t)) e calcular em seguida a integral definida de 0 a 2*Pi do módulo da derivada de P(t). Esta função me pareceu no Maple não ser integrável segundo Riemann (Integral elíptica), mas ele deu uma resposta aproximada : Int | P'(t)| (t=0..2*Pi) = 7,640395576. Atenciosamente, Edmilson Aleixo - RJ ----- Original Message ----- From: Benjamin Hinrichs To: Obm-l Sent: Friday, July 21, 2000 10:04 AM Subject: pergunta sobre seno. > Bom dia listeiros, > conversando hoje com minha mãe a caminho do trabalho ela me lançou a > seguinte questão: se colocarmos um fio sobre uma "revolução" do seno, qual > seria seu comprimento? Já saí falando que seria maior que 2*Pi mas fiquei > sem resposta precisa. Daí pergunto para vcs o que acham. > > Abraço, > > Benjamin Hinrichs > > > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 21 21:29:17 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA09407 for obm-l-list; Fri, 21 Jul 2000 21:29:17 -0300 Received: from Fourier.visgraf.impa.br (external.visgraf.impa.br [147.65.1.2]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA09401 for ; Fri, 21 Jul 2000 21:29:08 -0300 Received: from visgraf.impa.br (dial10.impa.br [147.65.11.10]) by Fourier.visgraf.impa.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA22637 for ; Fri, 21 Jul 2000 21:29:06 -0300 (EST) Message-ID: <3978EA8F.B55BB470@visgraf.impa.br> Date: Fri, 21 Jul 2000 21:27:59 -0300 From: Ralph Costa Teixeira Organization: IMPA X-Mailer: Mozilla 4.72 [en] (Win95; U) X-Accept-Language: en,pt-BR MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: octogonal References: <007f01bff35d$c36be740$0400a8c0@denise> Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br 14 também não é suficiente... Cada coluna indica quantos pontos o time *da coluna* fez no jogo. A B C D E F G H A - 3 3 0 0 0 0 0 B 0 - 0 3 3 0 0 0 C 0 3 - 1 1 0 0 0 D 3 0 1 - 1 0 0 0 E 3 0 1 1 - 0 0 0 F 3 3 3 3 3 - ? ? G 3 3 3 3 3 ? - ? H 3 3 3 3 3 ? ? - Total 15 15 14 14 14 <6 <6 <6 Ou seja, A e B são times "clássicos", C, D e E são os médios, F, G e H vieram dos módulos amarelo, lilás, rosa-choque e sei lá o que mais, na Copa John Average. Assim, F, G e H não ganham de ninguém (exceto quando jogam entre si mesmos, mas ninguém viu esses jogos). A e B escorregaram contra C, D e E -- mas aquele que escorregou *DUAS* vezes (no caso, B) ganhou o clássico A vs. B, compensando a perda extra. E os times C, D e E ganharam de todos os pequenos, cada um roubou um jogo dos times "clássicos", e empataram entre si. Resultado: 14 pontos cada, mas um deles tem que rodar ou no saldo de gols, ou por não estar no clube dos 13, ou por não ter pistolão em Brasília, ou etc etc etc.... :) Abraço, Ralph From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 21 21:36:21 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA09458 for obm-l-list; Fri, 21 Jul 2000 21:36:21 -0300 Received: from Fourier.visgraf.impa.br (external.visgraf.impa.br [147.65.1.2]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA09455 for ; Fri, 21 Jul 2000 21:36:14 -0300 Received: from visgraf.impa.br (dial10.impa.br [147.65.11.10]) by Fourier.visgraf.impa.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA22657 for ; Fri, 21 Jul 2000 21:36:11 -0300 (EST) Message-ID: <3978EC52.B8F3D7CC@visgraf.impa.br> Date: Fri, 21 Jul 2000 21:35:30 -0300 From: Ralph Costa Teixeira Organization: IMPA X-Mailer: Mozilla 4.72 [en] (Win95; U) X-Accept-Language: en,pt-BR MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: octogonal References: <007f01bff35d$c36be740$0400a8c0@denise> Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br ...e 15 também não é suficiente... A B C D E F G H A - 0 0 3 3 0 0 0 B 3 - 3 0 0 0 0 0 C 3 0 - 0 3 0 0 0 D 0 3 3 - 0 0 0 0 E 0 3 0 3 - 0 0 0 F 3 3 3 3 3 - ? ? G 3 3 3 3 3 ? - ? H 3 3 3 3 3 ? ? - Total 15 15 15 15 15 <6 <6 <6 Aqui, F, G e H são dos módulos arco-íris, fraquinhos, e não ganham de ninguém. Entre os outros cinco, há exatamente 5x4/2=10 jogos, e dá direitinho para cada um ganhar dois jogos como assinalado acima. Todos têm 15 pontos, alguém vai rodar... Com 16 eu *aposto* que um time se garante. Alguém se habilita a arrumar uma prova elegante? Abraço, Ralph From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 22 10:53:57 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA12179 for obm-l-list; Sat, 22 Jul 2000 10:53:57 -0300 Received: from barra.domain.com.br (barra.domain.com.br [200.196.128.5]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id KAA12175 for ; Sat, 22 Jul 2000 10:53:49 -0300 Received: from default (200.188.49.65) by barra.domain.com.br (NPlex 4.5.042) id 3976324B00053AA2 for obm-l@mat.puc-rio.br; Sat, 22 Jul 2000 10:56:39 -0300 From: "=?iso-8859-1?Q?Jos=E9_Paulo_Carneiro?=" To: Subject: Re: pergunta sobre seno. Date: Sat, 22 Jul 2000 10:58:28 -0300 Message-ID: <01bff3e4$e9b04680$4131bcc8@default> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.71.1712.3 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.71.1712.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br A funcao em questao (raiz quadrada de (1 + cos^2(t))) eh Riemann-integravel, pois eh continua no intervalo 0;2pi., ou seja, o infimo das somas superiores (ao longo de todas as particoes possiveis) coincide com o supremo das somas inferiores. Apenas nao tem uma primitiva que se expresse de froma "elementar", isto eh, com um numero finito de operacoes ou composicoes de funcoes mais badaladas, como polinomiais, racionais, radicais, trigonometricas, etc. JP -----Mensagem original----- De: Edmilson Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sábado, 22 de Julho de 2000 00:36 Assunto: Re: pergunta sobre seno. >Caro Benjamin, > >Se a tal "revolução" for o arco de y = sen(x) de x = 0 a x = 2*Pi, o >comprimento pode ser calculado com uma parametrização de y = sen(x), por >exemplo, x = t e y = sen(t) ou na forma vetorial, P(t) = ( t , sen(t)) e >calcular em seguida a integral definida de 0 a 2*Pi do módulo da derivada de >P(t). Esta função me pareceu no Maple não ser integrável segundo Riemann >(Integral elíptica), mas ele deu uma resposta aproximada : > >Int | P'(t)| (t=0..2*Pi) = 7,640395576. > >Atenciosamente, >Edmilson Aleixo - RJ > > >----- Original Message ----- >From: Benjamin Hinrichs >To: Obm-l >Sent: Friday, July 21, 2000 10:04 AM >Subject: pergunta sobre seno. > > >> Bom dia listeiros, >> conversando hoje com minha mãe a caminho do trabalho ela me lançou a >> seguinte questão: se colocarmos um fio sobre uma "revolução" do seno, qual >> seria seu comprimento? Já saí falando que seria maior que 2*Pi mas fiquei >> sem resposta precisa. Daí pergunto para vcs o que acham. >> >> Abraço, >> >> Benjamin Hinrichs >> >> >> > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 22 12:07:44 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA12584 for obm-l-list; Sat, 22 Jul 2000 12:07:44 -0300 Received: from claretianas.com.br (server2.claretianas.com.br [200.245.46.66]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA12581 for ; Sat, 22 Jul 2000 12:07:37 -0300 Received: from local (modem149.claretianas.com.br [200.245.46.186]) by claretianas.com.br (8.10.2/8.10.2) with SMTP id e6MF65p20521 for ; Sat, 22 Jul 2000 12:06:05 -0300 Message-ID: <000d01bff3ef$9374c560$ba2ef5c8@local.www.claretianas.com.br> From: "Carlos Roberto de Moraes" To: Subject: Date: Sat, 22 Jul 2000 12:14:47 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_000A_01BFF3D6.6D3E17C0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.3110.5 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.3110.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_000A_01BFF3D6.6D3E17C0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Alguem poderia me ajudar, como posso provar que um n=FAmero complexo z = elevado a 10 mais seu conjugado elevado a 10 =E9 um n=FAmero real? ------=_NextPart_000_000A_01BFF3D6.6D3E17C0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Alguem poderia me ajudar, como posso = provar que=20 um número complexo z elevado a 10 mais seu conjugado elevado a 10 = é um número real?
 
------=_NextPart_000_000A_01BFF3D6.6D3E17C0-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 22 12:55:52 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA12815 for obm-l-list; Sat, 22 Jul 2000 12:55:52 -0300 Received: from hotmail.com (f50.law9.hotmail.com [64.4.9.50]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id MAA12811 for ; Sat, 22 Jul 2000 12:55:44 -0300 Received: (qmail 90934 invoked by uid 0); 22 Jul 2000 15:55:09 -0000 Message-ID: <20000722155509.90933.qmail@hotmail.com> Received: from 200.244.117.177 by www.hotmail.com with HTTP; Sat, 22 Jul 2000 08:55:09 PDT X-Originating-IP: [200.244.117.177] From: "Alexandre Gomes" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Date: Sat, 22 Jul 2000 08:55:09 PDT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Vamos lá: O enunciado equivale a mostrar que (ke^(jw))^10+(ke^(-jw))^10 é real, onde j=(-1)^1/2. A soma equivale a k^10(e^(10jw)+e^(-10jw)). Como k é o módulo do complexo, k^10 é real. Se a soma entre parênteses for real, a demonstração estará completa. Passemos para a forma trigonométrica: e^(10jw)+e^(-10jw)=cos(10w)+jsen(10w)+cos(-10w)+jsen(-10w)=2cos(10w), o que é fácil perceber, uma vez que cos(10w)=cos(-10w) e sen(10w)=-sen(-10w). Logo, a soma e^(10jw)+e^(-10jw) é real e a demonstração está completa. Note que o enunciado pode ser generalizado, ou seja: Prove que (a+bi)^n+(a-bi)^n é real para todo n real. Alexandre S. Gomes. >From: "Carlos Roberto de Moraes" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: >Date: Sat, 22 Jul 2000 12:14:47 -0300 > >Alguem poderia me ajudar, como posso provar que um número complexo z >elevado a 10 mais seu conjugado elevado a 10 é um número real? > ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 22 14:15:45 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA13137 for obm-l-list; Sat, 22 Jul 2000 14:15:45 -0300 Received: from flax.vetor.com.br ([200.214.245.198]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA13133 for ; Sat, 22 Jul 2000 14:15:37 -0300 Received: from rodrigo ([200.214.245.165]) by flax.vetor.com.br (8.9.2/8.9.2) with SMTP id OAA16768 for ; Sat, 22 Jul 2000 14:13:46 -0300 (EST) Message-ID: <001801bff400$c34ddae0$a5f5d6c8@rodrigo> From: "Rodrigo Villard Milet" To: Subject: Re: Date: Sat, 22 Jul 2000 14:17:48 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0013_01BFF3E7.9CA7C9A0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.3110.5 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.3110.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0013_01BFF3E7.9CA7C9A0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Alow, numa outra prova, podemos ver que, se z=3Dr*cis=DF, ent=E3o seu = conjugado w=3Dr*cis(-=DF). Assim z^10 =3D (r^10)*cis(10=DF) e = w^10=3D(r^10)*cis(-10=DF)...... (z^10)+(w^10)=3D(r^10)(2cos10=DF) que = =E9 um n=FAmero real ! Abra=E7os,=20 =A1Villard! -----Mensagem original----- De: Carlos Roberto de Moraes Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: S=E1bado, 22 de Julho de 2000 12:45 =20 =20 Alguem poderia me ajudar, como posso provar que um n=FAmero complexo = z elevado a 10 mais seu conjugado elevado a 10 =E9 um n=FAmero real? =20 ------=_NextPart_000_0013_01BFF3E7.9CA7C9A0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Alow, numa outra prova, podemos ver = que, se=20 z=3Dr*cisß, então seu conjugado w=3Dr*cis(-ß). Assim = z^10 =3D=20 (r^10)*cis(10ß) e w^10=3D(r^10)*cis(-10ß)......=20 (z^10)+(w^10)=3D(r^10)(2cos10ß) que é um número real = !
 Abraços,=20
     = ¡Villard!
-----Mensagem = original-----
De:=20 Carlos Roberto de Moraes <crmoraes@claretianas.com.br>
Para:=20 obm-l@mat.puc-rio.br = <obm-l@mat.puc-rio.br>
D= ata:=20 Sábado, 22 de Julho de 2000 12:45

Alguem poderia me ajudar, como = posso provar=20 que um número complexo z elevado a 10 mais seu conjugado = elevado a 10=20 é um número real?
 
------=_NextPart_000_0013_01BFF3E7.9CA7C9A0-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 22 16:05:02 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA13719 for obm-l-list; Sat, 22 Jul 2000 16:05:02 -0300 Received: from barra.domain.com.br (barra.domain.com.br [200.196.128.5]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA13716 for ; Sat, 22 Jul 2000 16:04:54 -0300 Received: from default (200.188.49.138) by barra.domain.com.br (NPlex 4.5.042) id 3976324B0005758A for obm-l@mat.puc-rio.br; Sat, 22 Jul 2000 16:07:44 -0300 From: "=?iso-8859-1?Q?Jos=E9_Paulo_Carneiro?=" To: Subject: Re: Date: Sat, 22 Jul 2000 16:09:53 -0300 Message-ID: <01bff410$6a59fe40$8a31bcc8@default> MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_002C_01BFF3F7.450CC640" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.71.1712.3 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.71.1712.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_002C_01BFF3F7.450CC640 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Como o conjugado do produto eh o produto dos conjugados (confira!), = entao o conjugado de z^10 eh o mesmo que (conj. de z)^10. Logo, o que voce quer eh z^10 + = seu conjungado, e isto eh o dobro da parte real de z^10. JP -----Mensagem original----- De: Carlos Roberto de Moraes Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: S=E1bado, 22 de Julho de 2000 12:11 Alguem poderia me ajudar, como posso provar que um n=FAmero complexo z = elevado a 10 mais seu conjugado elevado a 10 =E9 um n=FAmero real? =20 ------=_NextPart_000_002C_01BFF3F7.450CC640 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Como o conjugado do = produto eh o=20 produto dos conjugados (confira!), entao o conjugado
de=20 z^10 eh o mesmo que (conj. de z)^10. Logo, o que voce quer eh z^10 + seu = conjungado,
e isto eh o dobro da parte real de=20 z^10. 
JP 
 
-----Mensagem = original-----
De:=20 Carlos Roberto de Moraes <crmoraes@claretianas.com.br>
Para:=20 obm-l@mat.puc-rio.br = <obm-l@mat.puc-rio.br>
D= ata:=20 Sábado, 22 de Julho de 2000 12:11

Alguem poderia me ajudar, como posso = provar que=20 um número complexo z elevado a 10 mais seu conjugado elevado a 10 = é um número real?
 
------=_NextPart_000_002C_01BFF3F7.450CC640-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 22 16:21:10 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA13810 for obm-l-list; Sat, 22 Jul 2000 16:21:10 -0300 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.128]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA13805 for ; Sat, 22 Jul 2000 16:21:03 -0300 Received: from centroin.com.br (du133c.rjo.centroin.com.br [200.225.58.133]) by trex.centroin.com.br (8.10.1/8.10.1) with ESMTP id e6MJKVH07251 for ; Sat, 22 Jul 2000 16:20:31 -0300 (EST) Message-ID: <3979F4C2.3349BAA7@centroin.com.br> Date: Sat, 22 Jul 2000 16:23:46 -0300 From: Augusto Morgado X-Mailer: Mozilla 4.73 [en] (Win95; I) X-Accept-Language: en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: References: <000d01bff3ef$9374c560$ba2ef5c8@local.www.claretianas.com.br> Content-Type: text/plain; charset=x-user-defined Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > Carlos Roberto de Moraes wrote: > > Alguem poderia me ajudar, como posso provar que um n?mero complexo z > elevado a 10 mais seu conjugado elevado a 10 ? um n?mero real? >   Prove que o conjugado do produto é o produto dos conjugados. Isso garante que o conjugaddo de z^10 é (conjugado de z)^10. Finalmente prove que a soma de um complexo com o seu conjugado é real. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 22 18:19:51 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA14401 for obm-l-list; Sat, 22 Jul 2000 18:19:51 -0300 Received: from hotmail.com (f206.law9.hotmail.com [64.4.9.206]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id SAA14397 for ; Sat, 22 Jul 2000 18:19:40 -0300 Received: (qmail 34886 invoked by uid 0); 22 Jul 2000 21:19:00 -0000 Message-ID: <20000722211900.34884.qmail@hotmail.com> Received: from 200.198.157.122 by www.hotmail.com with HTTP; Sat, 22 Jul 2000 14:19:00 PDT X-Originating-IP: [200.198.157.122] From: "Ecass Dodebel" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Problema Date: Sat, 22 Jul 2000 21:19:00 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi! Problema. Dados a,n naturais, não nulos. A sequencia x[k] é definida por x[0]=a, e x[k+1]=a^x[k]. Provar que existe N tal que todo o k>N satisfaz a[k]=a[k+1](mod n). Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 22 23:26:38 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA15434 for obm-l-list; Sat, 22 Jul 2000 23:26:38 -0300 Received: from sec.secrel.com.br (sec.secrel.com.br [200.194.96.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id XAA15431 for ; Sat, 22 Jul 2000 23:26:31 -0300 Received: (qmail 2791 invoked from network); 22 Jul 2000 23:23:27 -0000 Received: from unknown (HELO meucompu) (200.194.100.242) by sec.secrel.com.br with SMTP; 22 Jul 2000 23:23:27 -0000 Message-ID: <006f01bff44d$737b9000$f264c2c8@meucompu> From: "Filho" To: "=?iso-8859-1?Q?discuss=E3o_de_problemas?=" Subject: =?iso-8859-1?Q?assinatura-orienta=E7=E3o?= Date: Sat, 22 Jul 2000 23:26:45 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_006C_01BFF434.4D1A28E0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.2106.4 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.2106.4 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_006C_01BFF434.4D1A28E0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Existem uns livros bons das olimp=EDadas argentinas (red ol=EDmpica). = Como conseguir esses livros??? ------=_NextPart_000_006C_01BFF434.4D1A28E0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Existem uns livros bons das olimpíadas = argentinas (red=20 olímpica). Como conseguir esses = livros???
------=_NextPart_000_006C_01BFF434.4D1A28E0-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jul 23 08:28:24 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id IAA16782 for obm-l-list; Sun, 23 Jul 2000 08:28:24 -0300 Received: from srv12-sao.sao.terra.com.br (srv12-sao.sao.terra.com.br [200.246.248.67]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id IAA16779 for ; Sun, 23 Jul 2000 08:28:11 -0300 Received: from srv9-sao.sao.terra.com.br (srv9-sao.sao.terra.com.br [200.246.248.46]) by srv12-sao.sao.terra.com.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id IAA02695 for ; Sun, 23 Jul 2000 08:27:40 -0300 Received: from lbm.com.br (dl-max1-idt-C8D5A678.idt.terra.com.br [200.213.166.120]) by srv9-sao.sao.terra.com.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id IAA31825 for ; Sun, 23 Jul 2000 08:27:28 -0300 Message-ID: <397AD64D.2895D908@lbm.com.br> Date: Sun, 23 Jul 2000 08:26:05 -0300 From: Ponce X-Mailer: Mozilla 4.72 [en] (Win98; I) X-Accept-Language: pt-BR,en-US,en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: =?iso-8859-1?Q?assinatura=2Dorienta=E7=E3o?= References: <006f01bff44d$737b9000$f264c2c8@meucompu> Content-Type: multipart/alternative; boundary="------------50635702C80F056041E1F252" Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --------------50635702C80F056041E1F252 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Olá filho, Eu tenho quase todos eles. Um modo possível de comprar atualmente é através de cartão de credito (informações você encontra na homepage: www.oma.org.ar). Outro modo: enviando uma carta. para red olimpica, com os dolares correspondentes ao que você quer. Um colega, Claudio Arconcher, tem comprado deste modo, sem problema nenhum. Caso queira ter mais informações contacte ele : arconcher@dglnet.com.br Um abraço PONCE Filho wrote: > Existem uns livros bons das olimpíadas argentinas (red olímpica). > Como conseguir esses livros??? --------------50635702C80F056041E1F252 Content-Type: text/html; charset=us-ascii Content-Transfer-Encoding: 7bit Olá filho,
Eu tenho quase todos eles.
Um modo possível de comprar atualmente
é através de cartão de credito (informações você
encontra na homepage: www.oma.org.ar).
Outro modo: enviando uma carta. para red olimpica,
com os dolares correspondentes ao que você quer.
Um colega, Claudio Arconcher, tem comprado deste
modo, sem problema nenhum.
Caso queira ter mais informações contacte ele :
arconcher@dglnet.com.br
Um abraço
PONCE
 
 

Filho wrote:

 Existem uns livros bons das olimpíadas argentinas (red olímpica). Como conseguir esses livros???
--------------50635702C80F056041E1F252-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jul 23 17:50:21 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA18232 for obm-l-list; Sun, 23 Jul 2000 17:50:21 -0300 Received: from barra.domain.com.br (barra.domain.com.br [200.196.128.5]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA18229 for ; Sun, 23 Jul 2000 17:50:12 -0300 Received: from win98 (200.188.49.222) by barra.domain.com.br (NPlex 4.5.042) id 3976324B00067A12 for obm-l@mat.puc-rio.br; Sun, 23 Jul 2000 17:53:01 -0300 Message-ID: <00d701bff4e6$bf38f660$e331bcc8@win98> From: "josimat" To: Subject: En: octogonal Date: Sun, 23 Jul 2000 17:43:23 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_00D4_01BFF4CD.7F997660" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.3110.5 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.3110.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_00D4_01BFF4CD.7F997660 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 caros listeiros, sou o mais novo integrante: Josimar. Sobre o problema do octogonal, eu e meu amigo Lu=EDs Lopes encontramos = uma combina=E7=E3o de resultados que mostra que 14 pontos n=E3o s=E3o = suficientes para garantir a passagem de um time para o quadrangular = final. Portanto, temos muita f=E9 que em 15 pontos sejam suficientes. = Vejam: A -> +(F, G, H, E) =3D(B, C) -(D) B -> +(F, G, H, D) =3D(A, E) -(C) C -> +(F, G, H, B) =3D(A, D) -(E) D -> +(F, G, H, A) =3D (C, E) -(B) E -> +(F, G, H, C) =3D(B, D) -(A) + vit=F3ria =3D empate - derrota =20 =C9 verdade que isto n=E3o pode ser considerado uma resolu=E7=E3o, mas = deve ajudar bastante. =20 =20 -----Mensagem original----- De: Luis Lopes Para: Josimar Silva Data: Sexta-feira, 21 de Julho de 2000 18:12 Assunto: En: octogonal Oi Josimar, Veja minha resposta. [ ]'s Lu=EDs -----Mensagem Original-----=20 De: Luis Lopes=20 Para: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Enviada em: Sexta-feira, 21 de Julho de 2000 18:17 Assunto: Re: octogonal Caro Aron, Vou construir uma possibilidade onde um time (E) faz 12 pts e fica fora. = Representado por +, =3D e - vit=F3rias, empates e derrotas, temos: Time Resultados Total de = pontos A + (B,C,F,G,H) =3D (D,E) = 17 B + (D,F,G,H) =3D (C,E) - (A) 14 C + (D,F,G,H) =3D (B,E) - (A) = 14 D + (E,F,G,H) =3D (A) - (B,C) 13 E + (F,G,H) =3D (A,B,C) - (D) = 12 F,G,H 6 pontos no m=E1ximo. E parece que com 13 pontos um time est=E1 assegurado no quadrangular. Ser=E1??? [ ]'s Lu=EDs Lopes -----Mensagem Original-----=20 De: Aron Roberto Ferreira=20 Para: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Enviada em: Quinta-feira, 20 de Julho de 2000 13:36 Assunto: octogonal =20 =20 Caro Luis Acredito que seja 12 pontos. Cada equipe joga 7 vezes. Se o = primeiro colocado vencer todos os seus jogos, far=E1 21 pontos, que =E9 = o m=E1ximo. Ai o segundo colocado s=F3 poder=E1 alcan=E7ar 18 pontos, o = terceiro 15 e o quarto colocado, 12 pontos. =20 ------=_NextPart_000_00D4_01BFF4CD.7F997660 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Olá=20 caros listeiros, sou o mais novo integrante: = Josimar.
Sobre o=20 problema do octogonal, eu e meu amigo Luís Lopes encontramos uma=20 combinação de resultados que mostra que 14 pontos = não=20 são suficientes para garantir a passagem de um time para o = quadrangular=20 final. Portanto, temos muita fé que em = 15=20 pontos sejam suficientes. Vejam:
A    ->    +(F, G, H,=20 E)        =3D(B,=20 C)         =20 -(D)
B    ->    +(F, G, H,=20 D)        =3D(A,=20 E)          =20 -(C)
C    ->    +(F, G, H,=20 B)        =3D(A,=20 D)         =20 -(E)
D    ->    +(F, G, H,=20 A)        =3D (C,=20 E)         =20 -(B)
E    ->    +(F, G, H,=20 C)       =3D(B,=20 D)          =20 -(A)
 
+ =20 vitória     =3D=20 empate         -=20 derrota      
 
É = verdade que=20 isto não pode ser considerado uma resolução, mas = deve=20 ajudar bastante.         =
   
-----Mensagem = original-----
De:=20 Luis Lopes <llopes@ensrbr.com.br>
P= ara:=20 Josimar Silva <irnamarilia@openlink.com.br>
Data:=20 Sexta-feira, 21 de Julho de 2000 18:12
Assunto: En:=20 octogonal

Oi Josimar,
 
Veja minha resposta.
 
[ ]'s
Luís
 
-----Mensagem Original-----=20
De: Luis = Lopes=20
Enviada em: Sexta-feira, 21 de Julho de 2000 18:17
Assunto: Re: octogonal

Caro Aron,
 
Vou construir uma possibilidade onde um time (E) faz = 12 pts e=20 fica fora. Representado por +, =3D e - vitórias, empates e = derrotas,=20 temos:
 
Time          =             &= nbsp;    Resultados     &nbs= p;            = ;    Total=20 de pontos
 
 =20 A            =    =20 + (B,C,F,G,H)  =3D=20 (D,E)           &n= bsp;           &nb= sp;   =20 17
 =20 B            =     +=20 (D,F,G,H)    =3D (C,E)  -=20 (A)           &nbs= p;       =20 14
  C        &nb= sp;       +=20 (D,F,G,H)     =3D (B,E)  -=20 (A)           &nbs= p;        14
 =20 D            =    =20 + (E,F,G,H)    =3D (A)     -=20 (B,C)           &n= bsp;     13
 =20 E            =     +=20 (F,G,H)        =3D (A,B,C)  -=20 (D)           &nbs= p;     12
  F,G,H  6 pontos no = máximo.
 
E parece que com 13 pontos um time está = assegurado no=20 quadrangular.
 
Será???
 
[ ]'s
Luís Lopes
 
-----Mensagem Original-----
De:=20 Aron = Roberto=20 Ferreira
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviada em: Quinta-feira, 20 = de Julho=20 de 2000 13:36
Assunto: octogonal

Caro Luis
    Acredito que seja 12 = pontos.=20 Cada equipe joga 7 vezes. Se o primeiro colocado vencer todos os = seus jogos,=20 fará 21 pontos, que é o máximo. Ai o segundo = colocado=20 só poderá alcançar 18 pontos, o terceiro 15 e o = quarto=20 colocado, 12 pontos.
 
------=_NextPart_000_00D4_01BFF4CD.7F997660-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 24 08:38:37 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id IAA20920 for obm-l-list; Mon, 24 Jul 2000 08:38:37 -0300 Received: from sec.secrel.com.br (sec.secrel.com.br [200.194.96.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id IAA20917 for ; Mon, 24 Jul 2000 08:38:29 -0300 Received: (qmail 26915 invoked from network); 24 Jul 2000 08:35:27 -0000 Received: from unknown (HELO meucompu) (200.194.97.116) by sec.secrel.com.br with SMTP; 24 Jul 2000 08:35:27 -0000 Message-ID: <000d01bff563$ba710640$7461c2c8@meucompu> From: "Filho" To: "=?iso-8859-1?Q?discuss=E3o_de_problemas?=" Subject: teoria dos inteiros Date: Mon, 24 Jul 2000 08:38:45 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_000A_01BFF54A.94174040" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.2106.4 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.2106.4 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_000A_01BFF54A.94174040 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Quantos s=E3o os inteiros positivos de tr=EAs algarismos abc, com a e c = ambos diferentes de zero, tais que cba =E9 m=FAltiplo de abc ? ------=_NextPart_000_000A_01BFF54A.94174040 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Quantos são os inteiros = positivos de=20 três algarismos abc, com a e c ambos diferentes de zero, tais que = cba=20 é múltiplo de abc ?
------=_NextPart_000_000A_01BFF54A.94174040-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 24 12:15:22 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA22424 for obm-l-list; Mon, 24 Jul 2000 12:15:22 -0300 Received: from nt.riomaster.com.br (smtp.riomaster.com.br [200.244.140.2]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA22412 for ; Mon, 24 Jul 2000 12:14:22 -0300 Received: from denise (NT [200.244.140.130]) by nt.riomaster.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.1960.3) id PKA3WZY8; Mon, 24 Jul 2000 12:02:05 -0300 Message-ID: <000b01bff582$0efbcd80$0400a8c0@denise> From: "Luis Lopes" To: References: <00d701bff4e6$bf38f660$e331bcc8@win98> Subject: Re: octogonal Date: Mon, 24 Jul 2000 12:15:51 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0008_01BFF568.E8A20780" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0008_01BFF568.E8A20780 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Sauda=E7=F5es, Descobri uma situa=E7=E3o onde 5 equipes terminam com 15 pontos. Time Resultados Total de = pontos A + (D,E,F,G,H) - (B,C) 15 B + (A,C,F,G,H) - (D,E) 15 C + (A,D,F,G,H) - (B,E) 15 D + (B,E,F,G,H) - (A,C) 15 E + (B,C,F,G,H) - (A,D) 15 F,G,H 6 pontos no m=E1ximo. E como 5 times n=E3o podem terminar com 16 pontos este n=FAmero assegura = a participa=E7=E3o no quadrangular. [ ]'s Lu=EDs Lopes -----Mensagem Original-----=20 De: josimat=20 Para: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Enviada em: Domingo, 23 de Julho de 2000 17:43 Assunto: En: octogonal Ol=E1 caros listeiros, sou o mais novo integrante: Josimar. Sobre o problema do octogonal, eu e meu amigo Lu=EDs Lopes encontramos = uma combina=E7=E3o de resultados que mostra que 14 pontos n=E3o s=E3o = suficientes para garantir a passagem de um time para o quadrangular = final. Portanto, temos muita f=E9 que em 15 pontos sejam suficientes. = Vejam: A -> +(F, G, H, E) =3D(B, C) -(D) B -> +(F, G, H, D) =3D(A, E) -(C) C -> +(F, G, H, B) =3D(A, D) -(E) D -> +(F, G, H, A) =3D (C, E) -(B) E -> +(F, G, H, C) =3D(B, D) -(A) =20 + vit=F3ria =3D empate - derrota =20 =20 =C9 verdade que isto n=E3o pode ser considerado uma resolu=E7=E3o, mas = deve ajudar bastante. =20 =20 ------=_NextPart_000_0008_01BFF568.E8A20780 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Sauda=E7=F5es,
 
Descobri uma situa=E7=E3o onde 5 equipes terminam = com 15=20 pontos.
 
Time          =             &= nbsp;    Resultados     &nbs= p;            = ;    Total=20 de pontos
 
 =20 A            =    =20 + (D,E,F,G,H)  -=20 (B,C)           &n= bsp;           &nb= sp;   =20 15
 =20 B            =     +=20 (A,C,F,G,H)  - (D,E)        =             &= nbsp;      =20 15
  C        &nb= sp;       +=20 (A,D,F,G,H)  - = (B,E)        =20             &= nbsp;      15
 =20 D            =    =20 + (B,E,F,G,H)  -=20 (A,C)           &n= bsp;           &nb= sp;   =20 15
 =20 E            =     +=20 (B,C,F,G,H)  -=20 (A,D)          =20             &= nbsp;    15
 
  F,G,H  6 pontos no = m=E1ximo.
 
E como 5 times n=E3o podem terminar com = 16 pontos este=20 n=FAmero assegura a participa=E7=E3o no = quadrangular.
 
[ ]'s
Lu=EDs Lopes
-----Mensagem Original-----
De: josimat
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviada em: Domingo, 23 de = Julho de 2000=20 17:43
Assunto: En: octogonal

Ol=E1 caros=20 listeiros, sou o mais novo integrante: = Josimar.
Sobre o=20 problema do octogonal, eu e meu amigo Lu=EDs Lopes encontramos uma = combina=E7=E3o de=20 resultados que mostra que 14 pontos n=E3o s=E3o suficientes para = garantir a=20 passagem de um time para o quadrangular final. Portanto, temos muita=20 f=E9 que em 15 pontos sejam suficientes.=20 Vejam:
A    ->    +(F, G, H,=20 E)        =3D(B,=20 C)         =20 -(D)
B    ->    +(F, G, H,=20 D)        =3D(A,=20 E)          =20 -(C)
C    ->    +(F, G, H,=20 B)        =3D(A,=20 D)         =20 -(E)
D    ->    +(F, G, H,=20 A)        =3D (C,=20 E)         =20 -(B)
E    ->    +(F, G, H,=20 C)       =3D(B,=20 D)          =20 -(A)
 
+ =20 vit=F3ria     =3D=20 empate         -=20 derrota      
 
=C9 = verdade que isto n=E3o=20 pode ser considerado uma resolu=E7=E3o, mas deve ajudar=20 bastante.         =
   
------=_NextPart_000_0008_01BFF568.E8A20780-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 24 13:13:14 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA22831 for obm-l-list; Mon, 24 Jul 2000 13:13:14 -0300 Received: from nt.riomaster.com.br (smtp.riomaster.com.br [200.244.140.2]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA22818 for ; Mon, 24 Jul 2000 13:12:20 -0300 Received: from denise (NT [200.244.140.130]) by nt.riomaster.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.1960.3) id PKA3WZZD; Mon, 24 Jul 2000 12:09:25 -0300 Message-ID: <001b01bff583$1536d860$0400a8c0@denise> From: "Luis Lopes" To: References: <007f01bff35d$c36be740$0400a8c0@denise> <3978EC52.B8F3D7CC@visgraf.impa.br> Subject: Re: octogonal Date: Mon, 24 Jul 2000 12:23:12 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi Ralph, Descobri minha solução domingo à noite e só hoje pude enviá-la. Não tinha lido a sua antes (que é igual à minha). O número total de pontos é 84 (28 jogos com vitórias). 5X16 dá 80 e já tivemos 5 empates. Logo esta situação não é possível. [ ]'s Luís -----Mensagem Original----- De: Ralph Costa Teixeira Para: Enviada em: Sexta-feira, 21 de Julho de 2000 21:35 Assunto: Re: octogonal ...e 15 também não é suficiente... A B C D E F G H A - 0 0 3 3 0 0 0 B 3 - 3 0 0 0 0 0 C 3 0 - 0 3 0 0 0 D 0 3 3 - 0 0 0 0 E 0 3 0 3 - 0 0 0 F 3 3 3 3 3 - ? ? G 3 3 3 3 3 ? - ? H 3 3 3 3 3 ? ? - Total 15 15 15 15 15 <6 <6 <6 Aqui, F, G e H são dos módulos arco-íris, fraquinhos, e não ganham de ninguém. Entre os outros cinco, há exatamente 5x4/2=10 jogos, e dá direitinho para cada um ganhar dois jogos como assinalado acima. Todos têm 15 pontos, alguém vai rodar... Com 16 eu *aposto* que um time se garante. Alguém se habilita a arrumar uma prova elegante? Abraço, Ralph From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 24 17:19:46 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA25111 for obm-l-list; Mon, 24 Jul 2000 17:19:46 -0300 Received: from mat.puc-rio.br (IDENT:root@sucuri.mat.puc-rio.br [139.82.27.7]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA25107 for ; Mon, 24 Jul 2000 17:19:36 -0300 Received: from localhost (nicolau@localhost) by mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA18985 for ; Mon, 24 Jul 2000 17:19:35 -0300 Date: Mon, 24 Jul 2000 17:19:35 -0300 (BRT) From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: IMO2000 na minha home page In-Reply-To: Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id RAA25109 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Fri, 21 Jul 2000, Nicolau Corcao Saldanha wrote: > A IMO2000 esta disponivel agora tambem em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp > (ingles, frances e espanhol; arquivos *.gif). > E ai, ninguém comenta nada da prova? Eu gostei muito do problema 3 (das pulgas) e do 5 (2^n + 1 é múltiplo de n e n tem 2000 fatores primos). Lembro do enunciado do problema 3: Seja n >= 2 um inteiro. Inicialmente, existem n pulgas em uma linha horizontal, não todas no mesmo ponto. Para um número real positivo l (lambda na prova), defina um movimento da seguinte forma: Escolha duas pulgas com posições A e B, A à esquerda de B; A pulga que estava em A pula para o ponto C à direita de B com BC/AB = l. Determine os valores de l para os quais, para qualquer M na linha e qualquer posição inicial das pulgas, existe uma seqüência finita de movimentos que leva todas as pulgas para posições à direita de M. Segue lá embaixo uma solução xroteada, ou seja, trocando a por n, b por o, ... Eu recomendo só ler depois de tentar! Obs: letras acentuadas e pontuação não foram alteradas. Não reclamem se tiverem dificuldades em decifrar, eu publicarei uma versão limpa depois... []s, N. cuidado, solução se aproximando! cuidado, solução se aproximando! cuidado, solução se aproximando! cuidado, solução se aproximando! cuidado, solução se aproximando! cuidado, solução se aproximando! cuidado, solução se aproximando! cuidado, solução se aproximando! cuidado, solução se aproximando! cuidado, solução se aproximando! cuidado, solução se aproximando! cuidado, solução se aproximando! cuidado, solução se aproximando! cuidado, solução se aproximando! cuidado, solução se aproximando! cuidado, solução se aproximando! cuidado, solução se aproximando! cuidado, solução se aproximando! cuidado, solução se aproximando! N erfcbfgn é cnen y >= 1/(a-1). Qrirzbf qrzbafgene qhnf pbvfnf: (n) dhr cnen y >= 1/(a-1) rkvfgr hzn frdüêapvn vasvavgn qr zbivzragbf dhr inv yrinaqb nf chytnf pnqn irm znvf cnen n qvervgn, hygencnffnaqb dhnydhre cbagb cersvknqb Z; (o) dhr cnen y < 1/(a-1) r cnen dhnydhre cbfvçãb vavpvny qnqn qnf chytnf rkvfgr hz cbagb Z gny dhr nf chytnf rz hz aúzreb svavgb qr zbivzragbf wnznvf nypnaçnz bh hygencnffnz Z. Pbzrçnerv cryb vgrz (o). Frwnz k_1, k_2, ..., k_a nf cbfvçõrf vavpvnvf qnf chytnf, pbz k_1 <= k_2 <= ... <= k_a, qr gny sbezn dhr k_a é n cbfvçãb qn chytn znvf à qvervgn. Frwn Z = (1/(1 - (a-1)y)) * (k_a - y*k_1 - y*k_2 - ... - y*k_{a-1}). B cbagb Z pynenzragr rfgá à qvervgn qr gbqnf nf chytnf. Nsveznzbf dhr fr ncóf nythaf zbivzragb nf abinf cbfvçõrf fãb k'_1, ..., k'_a r fr qrsvavzbf Z' = (1/(1 - (a-1)y)) * (k'_a - y*k'_1 - y*k'_2 - ... - y*k'_{a-1}) ragãb Z' <= Z; vfgb pbapyhveá n qrzbafgençãb. Onfgn pbafvqrene b dhr bpbeer ncóf hz zbivzragb. Fr n chytn dhr rfgnin rz k_v chyn fboer n chytn dhr rfgnin rz k_a ragãb k'_a - k_a = y*(k_a - k_v) r k'_a - y*k_a = k_a - y*k_v r Z' = Z. Dhnydhre bhgeb pnfb é nvaqn znvf snibeáiry. B vgrz (n) r n zbgvinçãb cnen n sóezhyn qr Z rh qrvkb cnen ibpêf crafnerz... From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 24 18:17:21 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA25541 for obm-l-list; Mon, 24 Jul 2000 18:17:21 -0300 Received: from nt.riomaster.com.br (smtp.riomaster.com.br [200.244.140.2]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA25536 for ; Mon, 24 Jul 2000 18:17:04 -0300 Received: from denise (NT [200.244.140.130]) by nt.riomaster.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.1960.3) id PKA3W5HF; Mon, 24 Jul 2000 18:06:14 -0300 Message-ID: <00fd01bff5b4$eeff7260$0400a8c0@denise> From: "Luis Lopes" To: References: <20000720170056.76308.qmail@hotmail.com> Subject: site Date: Mon, 24 Jul 2000 18:20:02 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Sauda,c~oes, A CMS (Sociedade Canadense de Mat.) também tem uma lista. Para os que quiserem se inscrever http://www.camel.math.ca/cgi-bin/wcms/webmath.pl Atualmente eles estão discutindo bastante sobre como escrever matema'tica na rede. Talvez algue'm possa dizer algo a respeito lendo as mensagens. Nos emails talvez pude'ssemos usar os comandos do TeX/LaTeX. Assim coisas como raiz quadrada e fra\c c\~oes seriam sempre apresentadas da mesma forma. Fica como sugest\~ao. Ah, e esta \'e a maneira de escrever texto em TeX. O site abaixo apareceu numa mensagem desta lista. Vale a pena uma olhada nele. [ ]'s Lu\'\i s Lopes ===== I've only just become aware of this journal -- it looks good: http://plus.maths.org/ and they're looking for an assistant editor: http://jobs.ac.uk/jobfiles/DB687.html Andrew ----------------------------------------------------------------- WebMath@mail.math.ca - WebMath Mailing List To unsubscribe: via Web: http://camel.math.ca/cgi-bin/wcms/webmath.pl via e-mail: send message a to majordomo@mail.math.ca with "unsubscribe webmath" in the BODY of message List Archives: http://camel.math.ca/mail/webmath/ ----------------------------------------------------------------- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 24 18:45:12 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA25790 for obm-l-list; Mon, 24 Jul 2000 18:45:12 -0300 Received: from hotmail.com (f239.law3.hotmail.com [209.185.241.239]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA25770 for ; Mon, 24 Jul 2000 18:44:43 -0300 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Mon, 24 Jul 2000 14:43:46 -0700 Received: from 200.245.30.157 by lw3fd.law3.hotmail.msn.com with HTTP; Mon, 24 Jul 2000 GMT X-Originating-IP: [200.245.30.157] From: "Eduardo Grasser" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: site Date: Mon, 24 Jul 2000 18:43:45 EST Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 24 Jul 2000 21:43:46.0117 (UTC) FILETIME=[3E822F50:01BFF5B8] Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Alguem sabe me dizer onde eu encontro o Tex/LaTex? Sei que é um programa de domínio público. Usei-o uns anos atrás, mas perdi-o na última formatação do meu drive. Eduardo Grasser ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 24 19:32:26 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA26148 for obm-l-list; Mon, 24 Jul 2000 19:32:26 -0300 Received: from barra.domain.com.br (barra.domain.com.br [200.196.128.5]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA26144 for ; Mon, 24 Jul 2000 19:32:13 -0300 Received: from win98 (200.188.49.98) by barra.domain.com.br (NPlex 4.5.042) id 3976324B0008865C for obm-l@mat.puc-rio.br; Mon, 24 Jul 2000 19:35:36 -0300 Message-ID: <002a01bff5be$3b7555c0$6231bcc8@win98> From: "josimat" To: Subject: Re: octogonal Date: Mon, 24 Jul 2000 19:26:37 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0027_01BFF5A5.15A1D6C0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.3110.5 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.3110.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0027_01BFF5A5.15A1D6C0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Acabei de receber um telefonema do meu amigo Prof. Jalon. Euf=F3rico ele = me disse que havia quebrado o 15 e me exp=F4s um quadro equivalente a = este (s=F3 com as letras trocadas), com 15 pontos em 5 vit=F3ris e 2 = empates, mas logo percebi uma falha e ficamos frustrados, mas neste seu = quadro n=E3o consegui, por analogia, perceber erro o mesmo erro. = BRAVO!!!!!!!!!! Derrubado o =FAltimo teorema de Josimar. Vou ligar para = ele para rever o erro que notei e ver se procede. VALEU!!!! Josimar -----Mensagem original----- De: Luis Lopes Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 24 de Julho de 2000 12:37 Assunto: Re: octogonal =20 =20 Sauda=E7=F5es, =20 Descobri uma situa=E7=E3o onde 5 equipes terminam com 15 pontos. =20 Time Resultados Total = de pontos =20 A + (D,E,F,G,H) - (B,C) = 15 B + (A,C,F,G,H) - (D,E) = 15 C + (A,D,F,G,H) - (B,E) = 15 D + (B,E,F,G,H) - (A,C) = 15 E + (B,C,F,G,H) - (A,D) = 15 =20 F,G,H 6 pontos no m=E1ximo. =20 E como 5 times n=E3o podem terminar com 16 pontos este n=FAmero = assegura a participa=E7=E3o no quadrangular. =20 [ ]'s Lu=EDs Lopes -----Mensagem Original-----=20 De: josimat=20 Para: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Enviada em: Domingo, 23 de Julho de 2000 17:43 Assunto: En: octogonal =20 =20 Ol=E1 caros listeiros, sou o mais novo integrante: Josimar. Sobre o problema do octogonal, eu e meu amigo Lu=EDs Lopes = encontramos uma combina=E7=E3o de resultados que mostra que 14 pontos = n=E3o s=E3o suficientes para garantir a passagem de um time para o = quadrangular final. Portanto, temos muita f=E9 que em 15 pontos sejam = suficientes. Vejam: A -> +(F, G, H, E) =3D(B, C) -(D) B -> +(F, G, H, D) =3D(A, E) -(C) C -> +(F, G, H, B) =3D(A, D) -(E) D -> +(F, G, H, A) =3D (C, E) -(B) E -> +(F, G, H, C) =3D(B, D) -(A) =20 + vit=F3ria =3D empate - derrota =20 =20 =C9 verdade que isto n=E3o pode ser considerado uma = resolu=E7=E3o, mas deve ajudar bastante. =20 =20 ------=_NextPart_000_0027_01BFF5A5.15A1D6C0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Acabei de receber um telefonema do = meu amigo=20 Prof. Jalon. Eufórico ele me disse que havia quebrado o 15 e me=20 expôs um quadro equivalente a este (só com as letras = trocadas), com=20 15 pontos em 5 vitóris e 2 empates, mas logo percebi uma falha e = ficamos=20 frustrados, mas neste seu quadro não consegui, por analogia, = perceber=20 erro o mesmo erro. BRAVO!!!!!!!!!! Derrubado o último teorema de = Josimar.=20 Vou ligar para ele para rever o erro que notei e ver se = procede.
VALEU!!!!
Josimar
-----Mensagem = original-----
De:=20 Luis Lopes <llopes@ensrbr.com.br>
P= ara:=20 obm-l@mat.puc-rio.br = <obm-l@mat.puc-rio.br>
D= ata:=20 Segunda-feira, 24 de Julho de 2000 12:37
Assunto: Re:=20 octogonal

Saudações,
 
Descobri uma situação onde 5 = equipes=20 terminam com 15 pontos.
 
Time          =             &= nbsp;    Resultados     &nbs= p;            = ;    Total=20 de pontos
 
 =20 = A            =    =20 + (D,E,F,G,H)  -=20 = (B,C)           &n= bsp;           &nb= sp;   =20 15
 =20 = B            =     +=20 (A,C,F,G,H)  - = (D,E)       =20 =             &= nbsp;      =20 15
  C        &nb= sp;       +=20 (A,D,F,G,H)  -=20 (B,E)        =20 =             &= nbsp;      15
 =20 = D            =    =20 + (B,E,F,G,H)  -=20 = (A,C)           &n= bsp;           &nb= sp;   =20 15
 =20 = E            =     +=20 (B,C,F,G,H)  -=20 (A,D)          =20 =             &= nbsp;    15
 
  F,G,H  6 pontos no = máximo.
 
E como 5 times não podem terminar com=20 16 pontos este número assegura a=20 participação no quadrangular.
 
[ ]'s
Luís Lopes
-----Mensagem Original----- =
De:=20 josimat
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviada em: Domingo, 23 = de Julho de=20 2000 17:43
Assunto: En: = octogonal

Olá caros listeiros, sou o mais novo integrante: = Josimar.
Sobre o problema do octogonal, eu e meu amigo = Luís Lopes=20 encontramos uma combinação de resultados que = mostra que 14=20 pontos não são suficientes para garantir a = passagem de um=20 time para o quadrangular final. Portanto, temos muita=20 fé que em 15 pontos sejam = suficientes.=20 Vejam:
A    ->    +(F, G, H,=20 E)        =3D(B,=20 C)         =20 -(D)
B    ->    +(F, G, H,=20 D)        =3D(A,=20 E)          =20 -(C)
C    ->    +(F, G, H,=20 B)        =3D(A,=20 D)         =20 -(E)
D    ->    +(F, G, H,=20 A)        =3D (C,=20 E)         =20 -(B)
E    ->    +(F, G, H,=20 C)       =3D(B,=20 D)          =20 -(A)
 
+ =20 vitória     =3D=20 empate         -=20 derrota      
 
É verdade=20 que isto não pode ser considerado uma = resolução,=20 mas deve ajudar=20 bastante.         =
   
= ------=_NextPart_000_0027_01BFF5A5.15A1D6C0-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 24 20:13:52 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA26431 for obm-l-list; Mon, 24 Jul 2000 20:13:52 -0300 Received: from bidu.ime.usp.br (bidu.ime.usp.br [143.107.45.12]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id UAA26428 for ; Mon, 24 Jul 2000 20:13:46 -0300 Received: (qmail 29639 invoked from network); 24 Jul 2000 23:13:44 -0000 Received: from fradim.ime.usp.br (143.107.45.37) by bidu.ime.usp.br with SMTP; 24 Jul 2000 23:13:44 -0000 Received: (qmail 27990 invoked by uid 216); 24 Jul 2000 23:13:18 -0000 Date: Mon, 24 Jul 2000 20:13:18 -0300 (BRT) From: Angelo Barone Netto X-Sender: barone@fradim To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: site In-Reply-To: Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=US-ASCII Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Ha um <> na alemanha que periodicamente reformula suas versoes de TeX e LaTeX, de forma que V. sempre pode obter (gratuitamente) a <>: ftp:\\ftp.dante.ge Angelo Barone{\ --\ }Netto Universidade de Sao Paulo Departamento de Matematica Aplicada Instituto de Matematica e Estatistica Rua do Matao, 1010 Butanta - Cidade Universitaria Caixa Postal 66 281 phone +55-11-3818-6162/6224/6136 05315-970 - Sao Paulo - SP fax +55-11-3818-6131 Agencia Cidade de Sao Paulo . From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Tue Jul 25 15:06:21 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA30982 for obm-l-list; Tue, 25 Jul 2000 15:06:21 -0300 Received: from radiohead.digi.com.br (mail.digi.com.br [200.241.100.4]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA30977 for ; Tue, 25 Jul 2000 15:06:07 -0300 Received: from natal.digi.com.br (unverified [200.249.6.127]) by radiohead.digi.com.br (Vircom SMTPRS 4.1.180) with ESMTP id for ; Tue, 25 Jul 2000 14:55:46 -0300 Message-ID: <397DD45D.C598D82@natal.digi.com.br> Date: Tue, 25 Jul 2000 14:54:41 -0300 From: Carlos Gomes X-Mailer: Mozilla 4.51 [pt]C-CCK-MCD Diginet (Win95; I) X-Accept-Language: pt-BR MIME-Version: 1.0 To: "obm-l@mat.puc-rio.br" Subject: Qual o erro? Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id PAA30978 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Alô caros amigos, tudo ok?. tenho uma questão boba que está me intrigando por isso gostaria que alguém me ajudasse. A questão é a seguinte: Se numa prova de 5 testes, cada um com 4 alternativas, uma pessoa sai "chutando" aleatóriamente qual a probabilidade dessa pessoa: a) acertar os 5 testes b)errar os 5 testes. Ora, é claro que a probabilidade de acertar os 5 testes é 1/4 . 1/4 . 1/4 . 1/4 . 1/4 = 1/1024 e por outro lado a propabilidade da pessoa errar os 5 testes é 3/4 .3/4 . 3/4 . 3/4 . 3/4 = 243/1024. Ok? Mas minha dúvida é a seguinte: por que não posso calcular a probabilidade da pessoa errar os 5 testes pelo complementar, isto é, 1-probabilidade de acertar os 5 testes, o que nos daria como resposta 1023/1024? Alguém pode me ajudar?(com certeza deve ser uma bobagem, mas não estou enxergando!) Um abraço a todos, Carlos A. Gomes From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Tue Jul 25 15:28:39 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA31153 for obm-l-list; Tue, 25 Jul 2000 15:28:39 -0300 Received: from hotmail.com (f54.law9.hotmail.com [64.4.9.54]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id PAA31149 for ; Tue, 25 Jul 2000 15:28:22 -0300 Received: (qmail 54084 invoked by uid 0); 25 Jul 2000 18:27:29 -0000 Message-ID: <20000725182729.54083.qmail@hotmail.com> Received: from 200.198.157.121 by www.hotmail.com with HTTP; Tue, 25 Jul 2000 11:27:29 PDT X-Originating-IP: [200.198.157.121] From: "Ecass Dodebel" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Qual o erro? Date: Tue, 25 Jul 2000 18:27:29 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >From: Carlos Gomes >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: "obm-l@mat.puc-rio.br" >Subject: Qual o erro? >Date: Tue, 25 Jul 2000 14:54:41 -0300 > > Alô caros amigos, tudo ok?. tenho uma questão boba que está me >intrigando por isso gostaria que alguém me ajudasse. A questão é a >seguinte: Se numa prova de 5 testes, cada um com 4 alternativas, uma >pessoa sai "chutando" aleatóriamente qual a probabilidade dessa pessoa: > >a) acertar os 5 testes >b)errar os 5 testes. > >Ora, é claro que a probabilidade de acertar os 5 testes é 1/4 . 1/4 . >1/4 . 1/4 . 1/4 = 1/1024 e por outro lado a propabilidade da pessoa >errar os 5 testes é 3/4 .3/4 . 3/4 . 3/4 . 3/4 = 243/1024. Ok? Mas >minha dúvida é a seguinte: por que não posso calcular a probabilidade da >pessoa errar os 5 testes pelo complementar, isto é, 1-probabilidade de >acertar os 5 testes, o que nos daria como resposta 1023/1024? Alguém >pode me ajudar?(com certeza deve ser uma bobagem, mas não estou >enxergando!) >Um abraço a todos, >Carlos A. Gomes > Existem outros casos que você não está considerando. Por exemplo. acertar 3 testes e errar 2. ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Tue Jul 25 17:22:39 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA32259 for obm-l-list; Tue, 25 Jul 2000 17:22:39 -0300 Received: from hotmail.com (f275.law3.hotmail.com [209.185.240.53]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA32254 for ; Tue, 25 Jul 2000 17:22:15 -0300 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Tue, 25 Jul 2000 13:21:20 -0700 Received: from 200.245.30.130 by lw3fd.law3.hotmail.msn.com with HTTP; Tue, 25 Jul 2000 GMT X-Originating-IP: [200.245.30.130] From: "Eduardo Grasser" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Qual o erro? Date: Tue, 25 Jul 2000 17:21:20 EST Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 25 Jul 2000 20:21:20.0592 (UTC) FILETIME=[E528B500:01BFF675] Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Só complementando a resposta do Casagrande (que acabei apagando, por isso não acompanha esta mensagem): acertar 5 => 1/1024 acertar 4 => 5*[(1/4)^4 * 3/4] = 15/1024 (há 5 modos diferentes de se acertar 4 questões) acertar 3 => 10*[(1/4)^3 * (3/4)^2] = 90/1024 (10 modos diferentes) acertar 2 => 10*[(1/4)^2 * (3/4)^3] = 270/1024 (10 modos diferentes) acertar 1 => 5*[1/4 * (3/4)^4] = 405/1024 (5 modos diferentes) não acertar => (3/4)^5 = 243/1024 total => 1024/1024 Eduardo Grasser Campinas SP ----Original Message Follows---- From: Carlos Gomes Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: "obm-l@mat.puc-rio.br" Subject: Qual o erro? Date: Tue, 25 Jul 2000 14:54:41 -0300 Alô caros amigos, tudo ok?. tenho uma questão boba que está me intrigando por isso gostaria que alguém me ajudasse. A questão é a seguinte: Se numa prova de 5 testes, cada um com 4 alternativas, uma pessoa sai "chutando" aleatóriamente qual a probabilidade dessa pessoa: a) acertar os 5 testes b)errar os 5 testes. Ora, é claro que a probabilidade de acertar os 5 testes é 1/4 . 1/4 . 1/4 . 1/4 . 1/4 = 1/1024 e por outro lado a propabilidade da pessoa errar os 5 testes é 3/4 .3/4 . 3/4 . 3/4 . 3/4 = 243/1024. Ok? Mas minha dúvida é a seguinte: por que não posso calcular a probabilidade da pessoa errar os 5 testes pelo complementar, isto é, 1-probabilidade de acertar os 5 testes, o que nos daria como resposta 1023/1024? Alguém pode me ajudar?(com certeza deve ser uma bobagem, mas não estou enxergando!) Um abraço a todos, Carlos A. Gomes ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Tue Jul 25 20:27:51 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA00613 for obm-l-list; Tue, 25 Jul 2000 20:27:51 -0300 Received: from barra.domain.com.br (barra.domain.com.br [200.196.128.5]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id UAA00610 for ; Tue, 25 Jul 2000 20:27:40 -0300 Received: from win98 (200.188.49.238) by barra.domain.com.br (NPlex 4.5.042) id 3976324B000ACFA6; Tue, 25 Jul 2000 20:30:31 -0300 Message-ID: <000001bff68f$12184580$ee31bcc8@win98> From: "josimat" To: Subject: Re: Qual o erro? Date: Tue, 25 Jul 2000 20:18:41 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.3110.5 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.3110.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caro Carlos Gomes, não se acanhe em propôr discuções. O erro está em crer que a negação de "acertar as cinco questões" é "errar as cinco questões". Isto não procede, pois há outras possibilidades, por exemplo, a de acertar só 2 questão, cuja a probabilidade é "combinação (5, tomados de 2 a 2) x [(1/4)^2] x [(3/4)^3]". Se você somar as probabilidades de acertar só 1 questão, só 2, só 3, só 4, as 5 e errar as 5, você encontrará 1. O erro cometido é análogo ao de calcular o complementar da probabilidade de sair um resultado 6 num lançamento de um dado e esperar que dê a probabilidade de sair 1, por exemplo. "[ ]'s JOSIMAR, Rio de Janeiro. -----Mensagem original----- De: Carlos Gomes Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 25 de Julho de 2000 15:18 Assunto: Qual o erro? > Alô caros amigos, tudo ok?. tenho uma questão boba que está me >intrigando por isso gostaria que alguém me ajudasse. A questão é a >seguinte: Se numa prova de 5 testes, cada um com 4 alternativas, uma >pessoa sai "chutando" aleatóriamente qual a probabilidade dessa pessoa: > >a) acertar os 5 testes >b)errar os 5 testes. > >Ora, é claro que a probabilidade de acertar os 5 testes é 1/4 . 1/4 . >1/4 . 1/4 . 1/4 = 1/1024 e por outro lado a propabilidade da pessoa >errar os 5 testes é 3/4 .3/4 . 3/4 . 3/4 . 3/4 = 243/1024. Ok? Mas >minha dúvida é a seguinte: por que não posso calcular a probabilidade da >pessoa errar os 5 testes pelo complementar, isto é, 1-probabilidade de >acertar os 5 testes, o que nos daria como resposta 1023/1024? Alguém >pode me ajudar?(com certeza deve ser uma bobagem, mas não estou >enxergando!) >Um abraço a todos, >Carlos A. Gomes > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Tue Jul 25 21:53:28 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA00966 for obm-l-list; Tue, 25 Jul 2000 21:53:28 -0300 Received: from feliz.wnt.com.br (mail.wnt.com.br [200.255.210.140]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA00963 for ; Tue, 25 Jul 2000 21:53:15 -0300 Received: from Alexandre (ail.wnt.com.br [200.255.210.202]) by feliz.wnt.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id VAA29696 for ; Tue, 25 Jul 2000 21:56:46 -0300 Message-ID: <001901bff69c$af555740$1408140a@wnetrj.com.br> From: "Alexandre F. Terezan" To: References: <000d01bff563$ba710640$7461c2c8@meucompu> Subject: Re: teoria dos inteiros Date: Tue, 25 Jul 2000 21:58:59 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0016_01BFF683.89897960" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2919.6600 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2919.6600 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0016_01BFF683.89897960 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Essa =E9 a primeira vez q escrevo para a lista, portanto, sauda=E7=F5es = a todos. Seja XYZ a representa=E7=E3o de 100x + 10y + z. E seja <=3D a nota=E7=E3o para menor ou igual a Assim, se CBA =E9 m=FAltiplo de ABC, ent=E3o existe um inteiro positivo = k tal que: CBA =3D ABC * k , para 0 < k < 10 , ou CBA - ABC =3D (k-1) * ABC Ent=E3o 100c + 10b + a - 100a - 10b - a =3D (k-1) * ABC Ou, 99 (c - a) =3D (k-1) * ABC Assim, temos 2 casos a estudar: i) c =3D a --> k =3D 1 ii) c > a --> k > 1 (obviamente se c fosse menor do q a, ent=E3o = ABC > CBA, imposs=EDvel. Caso i: Neste caso, para todo c =3D a, k =3D 1 satisfaz o enunciado, ou = seja, CBA =3D ABC * 1 =3D ABC. Como 0 < c <=3D 9 e 0 <=3D b <=3D 9, = s=E3o 90 as situa=E7=F5es poss=EDveis. Caso ii: Neste caso, (k-1) * ABC =3D 3^2 * 11 * (c - a). Note que (k - 1) < = 9, pois k < 10. Assim, ABC =E9 obrigatoriamente m=FAltiplo de 33 (um = fator 3 e um fator 11). Note tamb=E9m que a < 5 , uma vez que do contr=E1rio CBA =3D k * ABC = possuiria mais de 3 algarismos, para k > 1, imposs=EDvel. Al=E9m disso, se CBA for =EDmpar (a =EDmpar), ABC =E9 = necessariamente =EDmpar (c =EDmpar). Por outro lado, se ABC =E9 par (c = par), ent=E3o CBA tamb=E9m =E9 par (a par). Dos crit=E9rios de divisibilidade por 3 e por 11, tira-se que: 1) a + b + c =3D 3r (r inteiro positivo menor do que 8) 2) - a + b - c =3D 11s (s =3D -1 ou s =3D 0 --> esta restri=E7=E3o = se deve ao fato de serem a,b,c inteiros tais que 0 < a < 5 , 0 <=3D b < = 10 e 0 < c < 10) Somando-se as equa=E7=F5es 1 e 2, obtemos: 2b =3D 3r + 11s =20 Para s =3D -1, vem: 2b =3D 3r - 11 e a + c =3D b + 11.=20 Lembrando que c > a, apenas um terno (a,b,c) seria uma poss=EDvel = solu=E7=E3o, o terno (4,2,9). Como 924 n=E3o =E9 m=FAltiplo de 429, essa = solu=E7=E3o =E9 falsa.=20 Para s =3D 0, vem: 2b =3D 3r e a + c =3D 3r/2.=20 4 ternos (a,b,c) seriam poss=EDveis solu=E7=F5es: (2,6,4) , (1,6,5) , = (4,9,5) e (2,9,7). No entanto, nenhuma dessas poss=EDveis solu=E7=F5es = =E9 verdadeira, ou seja, CBA n=E3o =E9 m=FAltiplo de ABC para nenhum = desses ternos. Ora, ent=E3o todas as solu=E7=F5es se resumem ao caso i, totalizando 90 = solu=E7=F5es , para todo 0 < c =3D a < 10 (9 casos) e 0 <=3D b < 10 (10 = casos) --> 9 * 10 =3D 90 solu=E7=F5es. Abra=E7os, Alexandre Terezan ----- Original Message ------ From: Filho=20 To: discuss=E3o de problemas=20 Sent: Segunda-feira, 24 de Julho de 2000 08:38 Subject: teoria dos inteiros Quantos s=E3o os inteiros positivos de tr=EAs algarismos abc, com a e = c ambos diferentes de zero, tais que cba =E9 m=FAltiplo de abc ? ------=_NextPart_000_0016_01BFF683.89897960 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Essa =E9 a primeira vez q escrevo para a lista, = portanto,=20 sauda=E7=F5es a todos.
 
Seja XYZ a representa=E7=E3o de 100x + 10y + = z.
E seja <=3D a nota=E7=E3o para menor ou igual = a
 
Assim, se CBA =E9 m=FAltiplo de ABC, ent=E3o existe = um inteiro=20 positivo k tal que:
 
CBA =3D ABC * k  , para 0 < k < 10 = ,  =20 ou    CBA - ABC =3D (k-1) * ABC
 
Ent=E3o 100c + 10b + a - 100a - 10b - a =3D (k-1) *=20 ABC
Ou,   99 (c - a) =3D (k-1) * = ABC
 
Assim, temos 2 casos a estudar:
    i) c =3D a --> k =3D = 1
    ii) c > a  -->  k = > 1=20 (obviamente se c fosse menor do q a, ent=E3o ABC > CBA,=20 imposs=EDvel.
 
Caso i:
 
    Neste caso, para todo c =3D a, k = =3D 1 satisfaz=20 o enunciado, ou seja, CBA =3D ABC * 1 =3D ABC. Como 0 < c <=3D = 9  e  0=20 <=3D b <=3D 9, s=E3o 90 as situa=E7=F5es = poss=EDveis.
 
Caso ii:
 
    Neste caso, (k-1) * ABC =3D 3^2 * = 11 * (c -=20 a).  Note que (k - 1) < 9, pois k < 10. Assim, ABC =E9 = obrigatoriamente=20 m=FAltiplo de 33 (um fator 3 e um fator 11).
    Note tamb=E9m que a < 5 , uma = vez que do=20 contr=E1rio CBA =3D k * ABC possuiria mais de 3 algarismos, para k > = 1,=20 imposs=EDvel.
    Al=E9m disso, se CBA for =EDmpar = (a =EDmpar), ABC=20 =E9 necessariamente =EDmpar (c =EDmpar). Por outro lado, se ABC =E9 par = (c par), ent=E3o=20 CBA tamb=E9m =E9 par (a par).
    Dos crit=E9rios de divisibilidade = por 3 e por=20 11, tira-se que:
    1) a + b + c =3D 3r  (r = inteiro positivo=20 menor do que 8)
    2) - a + b - c =3D 11s  = (s =3D -1 ou=20 s =3D 0 --> esta restri=E7=E3o se deve ao fato de serem a,b,c = inteiros tais que 0=20 < a < 5 , 0 <=3D b < 10 e 0 < c < = 10)
 
    Somando-se = as equa=E7=F5es=20 1 e 2, obtemos:  2b =3D 3r + 11s 
    Para s =3D -1, vem:  2b =3D = 3r -=20 11    e   a + c =3D b + 11. 
 Lembrando que c > a, apenas um terno=20 (a,b,c) seria uma poss=EDvel solu=E7=E3o, o = terno (4,2,9). Como 924 n=E3o=20 =E9 m=FAltiplo de 429, essa solu=E7=E3o =E9 falsa.
 
    Para s =3D 0, vem:  2b =3D = 3r =20 e  a + c =3D 3r/2.
 4 ternos (a,b,c) seriam poss=EDveis = solu=E7=F5es: (2,6,4) ,=20 (1,6,5) , (4,9,5) e (2,9,7). No entanto, nenhuma dessas poss=EDveis = solu=E7=F5es=20 =E9 verdadeira, ou seja,  CBA n=E3o =E9 m=FAltiplo de ABC para = nenhum desses=20 ternos.
 
 
Ora, ent=E3o todas as solu=E7=F5es se resumem ao = caso i, totalizando=20 90 solu=E7=F5es , para todo 0 < c =3D a < 10 (9 = casos) e 0=20 <=3D b < 10 (10 casos) --> 9 * 10 =3D 90 = solu=E7=F5es.
 
Abra=E7os, Alexandre Terezan
 
----- Original Message ------
From:=20 Filho=20
To: discuss=E3o de=20 problemas
Sent: Segunda-feira, 24 de = Julho de 2000=20 08:38
Subject: teoria dos = inteiros

Quantos s=E3o os inteiros = positivos de tr=EAs=20 algarismos abc, com a e c ambos diferentes de zero, tais que cba =E9 = m=FAltiplo de=20 abc ?
------=_NextPart_000_0016_01BFF683.89897960-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Tue Jul 25 23:21:22 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA01329 for obm-l-list; Tue, 25 Jul 2000 23:21:22 -0300 Received: from bidu.ime.usp.br (bidu.ime.usp.br [143.107.45.12]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id XAA01326 for ; Tue, 25 Jul 2000 23:21:16 -0300 Received: (qmail 15379 invoked from network); 26 Jul 2000 02:21:14 -0000 Received: from fradim.ime.usp.br (143.107.45.37) by bidu.ime.usp.br with SMTP; 26 Jul 2000 02:21:14 -0000 Received: (qmail 11061 invoked by uid 216); 26 Jul 2000 02:20:46 -0000 Date: Tue, 25 Jul 2000 23:20:46 -0300 (BRT) From: Angelo Barone Netto X-Sender: barone@fradim To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: site (fwd) Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=US-ASCII Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Peco desculoas mas houve erro no endereco do site. Espero que, desta vez, va correto. Ha um <> na alemanha que periodicamente reformula suas versoes de TeX e LaTeX, de forma que V. sempre pode obter (gratuitamente) a <>: ftp://ftp.dante.de Obrigado. Angelo Barone{\ --\ }Netto Universidade de Sao Paulo Departamento de Matematica Aplicada Instituto de Matematica e Estatistica Rua do Matao, 1010 Butanta - Cidade Universitaria Caixa Postal 66 281 phone +55-11-3818-6162/6224/6136 05315-970 - Sao Paulo - SP fax +55-11-3818-6131 Agencia Cidade de Sao Paulo . From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jul 26 00:38:45 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id AAA01688 for obm-l-list; Wed, 26 Jul 2000 00:38:45 -0300 Received: from hotmail.com (f164.law9.hotmail.com [64.4.9.164]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id AAA01685 for ; Wed, 26 Jul 2000 00:38:36 -0300 Received: (qmail 84309 invoked by uid 0); 26 Jul 2000 03:38:00 -0000 Message-ID: <20000726033800.84308.qmail@hotmail.com> Received: from 200.198.157.88 by www.hotmail.com with HTTP; Tue, 25 Jul 2000 20:38:00 PDT X-Originating-IP: [200.198.157.88] From: "Ecass Dodebel" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Problema Date: Wed, 26 Jul 2000 03:38:00 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >From: "Ecass Dodebel" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: obm-l@mat.puc-rio.br >Subject: Problema >Date: Sat, 22 Jul 2000 21:19:00 GMT > >Oi! > >Problema. >Dados a,n naturais, não nulos. A sequencia x[k] é definida por x[0]=a, e >x[k+1]=a^x[k]. Provar que existe N tal que todo o k>N satisfaz >x[k]=x[k+1](mod n). > >Obrigado! > >Eduardo Casagrande Stabel. >________________________________________________________________________ >Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com > Minha solução é a seguinte: Fato1. x[k]=x[k+1](mod n), similar a a^x[k-1]=a^x[k](mod n), se e somente se x[k-1]=x[k](mod ord_a(n)) mas ord_a(n)<=phy(n)N, para n=1 - se x[k]=x[k+1](mod n), para k>N, valer pra n=1,...,q vale para q+1. Prova. o enunciado vale para n=q+1 se e somente se vale para n=ord_a(q+1); Wed, 26 Jul 2000 11:39:32 -0300 Received: (qmail 19825 invoked from network); 26 Jul 2000 11:36:16 -0000 Received: from unknown (HELO meucompu) (200.194.99.70) by sec.secrel.com.br with SMTP; 26 Jul 2000 11:36:16 -0000 Message-ID: <006801bff70f$50c19fe0$4663c2c8@meucompu> From: "Filho" To: "=?iso-8859-1?Q?discuss=E3o_de_problemas?=" Subject: ajuda Date: Wed, 26 Jul 2000 11:39:32 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0065_01BFF6F6.2A464820" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.2106.4 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.2106.4 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0065_01BFF6F6.2A464820 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Prove esta desigualdade: a^2 / ( a^2 + 2bc ) + b^2 / ( b^2 + 2ac ) + c^2 / ( c^2 + 2ab ) > =3D 1 = para todo os inteiros positivos a, b e c. =20 a^2: significa a elevado a 2 / : significa dividido ------=_NextPart_000_0065_01BFF6F6.2A464820 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Prove esta  = desigualdade:
a^2 / ( a^2 + 2bc ) + b^2 / ( b^2 + = 2ac ) + c^2=20 / ( c^2 + 2ab )  > =3D 1 para todo
os inteiros positivos a, b e c.
 
a^2: significa a elevado a 2
/ : significa = dividido
------=_NextPart_000_0065_01BFF6F6.2A464820-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jul 26 13:15:02 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA05269 for obm-l-list; Wed, 26 Jul 2000 13:15:02 -0300 Received: from Euler.impa.br (euler.impa.br [147.65.1.3]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA05265 for ; Wed, 26 Jul 2000 13:14:55 -0300 Received: from obm-01 (obm-01.impa.br [147.65.2.170]) by Euler.impa.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id NAA12469 for ; Wed, 26 Jul 2000 13:14:53 -0300 (EST) Message-Id: <3.0.5.32.20000726131441.007ab3c0@pop.impa.br> X-Sender: obm@pop.impa.br X-Mailer: QUALCOMM Windows Eudora Light Version 3.0.5 (32) Date: Wed, 26 Jul 2000 13:14:41 -0300 To: obm-l@mat.puc-rio.br From: Olimpiada Brasileira de Matematica Subject: Resultado Brasileiro na 41a.IMO Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="us-ascii" Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caros amigos da lista, Ja' esta' publicado na nossa home-page o resultado brasileiro na 41a. IMO http://www.obm.org.br/imo.htm Abracos, Nelly. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jul 26 15:06:48 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA06308 for obm-l-list; Wed, 26 Jul 2000 15:06:48 -0300 Received: from mat.puc-rio.br (IDENT:root@sucuri.mat.puc-rio.br [139.82.27.7]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA06304 for ; Wed, 26 Jul 2000 15:06:40 -0300 Received: from localhost (nicolau@localhost) by mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA22547 for ; Wed, 26 Jul 2000 15:06:39 -0300 Date: Wed, 26 Jul 2000 15:06:39 -0300 (BRT) From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Resultado Brasileiro na 41a.IMO In-Reply-To: <3.0.5.32.20000726131441.007ab3c0@pop.impa.br> Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id PAA06305 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Wed, 26 Jul 2000, Olimpiada Brasileira de Matematica wrote: > Caros amigos da lista, > > Ja' esta' publicado na nossa home-page > o resultado brasileiro na 41a. IMO > > http://www.obm.org.br/imo.htm > > Abracos, > > Nelly. > A Nelly não joga as notícias direto aqui na lista para aumentar o número de consultas à home page da obm. Verifiquem a home page da obm diariamente, sempre pode haver alguma novidade! ;-) Mas eu vou contar parte da notícia: o Brasil ganhou três medalhas... []s, N. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jul 26 15:23:41 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA06466 for obm-l-list; Wed, 26 Jul 2000 15:23:41 -0300 Received: from mat.puc-rio.br (IDENT:root@sucuri.mat.puc-rio.br [139.82.27.7]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA06458 for ; Wed, 26 Jul 2000 15:23:32 -0300 Received: from localhost (nicolau@localhost) by mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA22565 for ; Wed, 26 Jul 2000 15:23:31 -0300 Date: Wed, 26 Jul 2000 15:23:31 -0300 (BRT) From: "Nicolau C. Saldanha" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Resultado Brasileiro na 41a.IMO In-Reply-To: <3.0.5.32.20000726131441.007ab3c0@pop.impa.br> Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id PAA06459 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Wed, 26 Jul 2000, Olimpiada Brasileira de Matematica wrote: > Caros amigos da lista, > > Ja' esta' publicado na nossa home-page > o resultado brasileiro na 41a. IMO > > http://www.obm.org.br/imo.htm > > Abracos, > > Nelly. > O endereço da home page do Ralph que consta na home-page da obm (mais precisamente, no endereço que você deu acima) está velho, deveria ser http://www.impa.br/~ralph []s, N. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jul 26 15:38:20 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA06607 for obm-l-list; Wed, 26 Jul 2000 15:38:20 -0300 Received: from Euler.impa.br (euler.impa.br [147.65.1.3]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA06603 for ; Wed, 26 Jul 2000 15:37:57 -0300 Received: from obm-01 (obm-01.impa.br [147.65.2.170]) by Euler.impa.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id PAA22546 for ; Wed, 26 Jul 2000 15:37:41 -0300 (EST) Message-Id: <3.0.5.32.20000726153731.007afd40@pop.impa.br> X-Sender: obm@pop.impa.br X-Mailer: QUALCOMM Windows Eudora Light Version 3.0.5 (32) Date: Wed, 26 Jul 2000 15:37:31 -0300 To: obm-l@mat.puc-rio.br From: Olimpiada Brasileira de Matematica Subject: Re: Resultado Brasileiro na 41a.IMO In-Reply-To: References: <3.0.5.32.20000726131441.007ab3c0@pop.impa.br> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id PAA06605 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br At 15:23 26/07/00 -0300, you wrote: > > >On Wed, 26 Jul 2000, Olimpiada Brasileira de Matematica wrote: > >> Caros amigos da lista, >> >> Ja' esta' publicado na nossa home-page >> o resultado brasileiro na 41a. IMO >> >> http://www.obm.org.br/imo.htm >> >> Abracos, >> >> Nelly. >> > >O endereço da home page do Ralph que consta na home-page da obm >(mais precisamente, no endereço que você deu acima) >está velho, deveria ser >http://www.impa.br/~ralph > >[]s, N. > OK, concertado :) Abracos, Nelly. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Wed Jul 26 22:36:36 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA08645 for obm-l-list; Wed, 26 Jul 2000 22:36:36 -0300 Received: from feliz.wnt.com.br (mail.wnt.com.br [200.255.210.140]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA08642 for ; Wed, 26 Jul 2000 22:36:26 -0300 Received: from Alexandre (ail.wnt.com.br [200.255.210.202]) by feliz.wnt.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id WAA32162 for ; Wed, 26 Jul 2000 22:39:45 -0300 Message-ID: <001901bff76b$e62048a0$1408140a@wnetrj.com.br> From: "Alexandre F. Terezan" To: References: <000d01bff563$ba710640$7461c2c8@meucompu> <001901bff69c$af555740$1408140a@wnetrj.com.br> Subject: Re: teoria dos inteiros Date: Wed, 26 Jul 2000 22:42:16 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0016_01BFF752.BF8C86E0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2919.6600 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2919.6600 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0016_01BFF752.BF8C86E0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable ERRATA: Uma pequena corre=E7=E3o, que pouco influi e talvez tenha = passado despercebida.Onde est=E1: Ent=E3o 100c + 10b + a - 100a - 10b - a =3D (k-1) * ABC Ou, 99 (c - a) =3D (k-1) * ABC Obviamente, o correto =E9:=20 Ent=E3o 100c + 10b + a - 100a - 10b - c =3D (k-1) * ABC Ou, 99 (c - a) =3D (k-1) * ABC ----- Original Message -----=20 From: Alexandre F. Terezan=20 To: obm-l@mat.puc-rio.br=20 Sent: Ter=E7a-feira, 25 de Julho de 2000 21:58 Subject: Re: teoria dos inteiros Essa =E9 a primeira vez q escrevo para a lista, portanto, = sauda=E7=F5es a todos. =20 Seja XYZ a representa=E7=E3o de 100x + 10y + z. E seja <=3D a nota=E7=E3o para menor ou igual a Assim, se CBA =E9 m=FAltiplo de ABC, ent=E3o existe um inteiro = positivo k tal que: CBA =3D ABC * k , para 0 < k < 10 , ou CBA - ABC =3D (k-1) * ABC Ent=E3o 100c + 10b + a - 100a - 10b - a =3D (k-1) * ABC Ou, 99 (c - a) =3D (k-1) * ABC Assim, temos 2 casos a estudar: i) c =3D a --> k =3D 1 ii) c > a --> k > 1 (obviamente se c fosse menor do q a, ent=E3o = ABC > CBA, imposs=EDvel. Caso i: Neste caso, para todo c =3D a, k =3D 1 satisfaz o enunciado, ou = seja, CBA =3D ABC * 1 =3D ABC. Como 0 < c <=3D 9 e 0 <=3D b <=3D 9, = s=E3o 90 as situa=E7=F5es poss=EDveis. Caso ii: Neste caso, (k-1) * ABC =3D 3^2 * 11 * (c - a). Note que (k - 1) = < 9, pois k < 10. Assim, ABC =E9 obrigatoriamente m=FAltiplo de 33 (um = fator 3 e um fator 11). Note tamb=E9m que a < 5 , uma vez que do contr=E1rio CBA =3D k * = ABC possuiria mais de 3 algarismos, para k > 1, imposs=EDvel. Al=E9m disso, se CBA for =EDmpar (a =EDmpar), ABC =E9 = necessariamente =EDmpar (c =EDmpar). Por outro lado, se ABC =E9 par (c = par), ent=E3o CBA tamb=E9m =E9 par (a par). Dos crit=E9rios de divisibilidade por 3 e por 11, tira-se que: 1) a + b + c =3D 3r (r inteiro positivo menor do que 8) 2) - a + b - c =3D 11s (s =3D -1 ou s =3D 0 --> esta = restri=E7=E3o se deve ao fato de serem a,b,c inteiros tais que 0 < a < 5 = , 0 <=3D b < 10 e 0 < c < 10) Somando-se as equa=E7=F5es 1 e 2, obtemos: 2b =3D 3r + 11s =20 Para s =3D -1, vem: 2b =3D 3r - 11 e a + c =3D b + 11.=20 Lembrando que c > a, apenas um terno (a,b,c) seria uma poss=EDvel = solu=E7=E3o, o terno (4,2,9). Como 924 n=E3o =E9 m=FAltiplo de 429, essa = solu=E7=E3o =E9 falsa.=20 Para s =3D 0, vem: 2b =3D 3r e a + c =3D 3r/2.=20 4 ternos (a,b,c) seriam poss=EDveis solu=E7=F5es: (2,6,4) , (1,6,5) , = (4,9,5) e (2,9,7). No entanto, nenhuma dessas poss=EDveis solu=E7=F5es = =E9 verdadeira, ou seja, CBA n=E3o =E9 m=FAltiplo de ABC para nenhum = desses ternos. =20 Ora, ent=E3o todas as solu=E7=F5es se resumem ao caso i, totalizando = 90 solu=E7=F5es , para todo 0 < c =3D a < 10 (9 casos) e 0 <=3D b < 10 = (10 casos) --> 9 * 10 =3D 90 solu=E7=F5es. Abra=E7os, Alexandre Terezan ----- Original Message ------ From: Filho=20 To: discuss=E3o de problemas=20 Sent: Segunda-feira, 24 de Julho de 2000 08:38 Subject: teoria dos inteiros Quantos s=E3o os inteiros positivos de tr=EAs algarismos abc, com a = e c ambos diferentes de zero, tais que cba =E9 m=FAltiplo de abc ? ------=_NextPart_000_0016_01BFF752.BF8C86E0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
ERRATA: Uma pequena corre=E7=E3o, que pouco influi e = talvez tenha=20 passado despercebida.Onde est=E1:
 
 Ent=E3o 100c + 10b = + a - 100a -=20 10b - a =3D (k-1) * ABC
Ou,   99 (c - a) =3D (k-1) * = ABC
 
Obviamente, o correto =E9:=20
Ent=E3o 100c + 10b + a - 100a - 10b - c = =3D=20 (k-1) * ABC
Ou,   99 (c - a) =3D (k-1) *=20 ABC
----- Original Message -----
From:=20 Alexandre F. Terezan
Sent: Ter=E7a-feira, 25 de = Julho de 2000=20 21:58
Subject: Re: teoria dos = inteiros

Essa =E9 a primeira vez q escrevo para a lista, = portanto,=20 sauda=E7=F5es a todos.
 
Seja XYZ a representa=E7=E3o de 100x + 10y +=20 z.
E seja <=3D a nota=E7=E3o para menor ou igual = a
 
Assim, se CBA =E9 m=FAltiplo de ABC, ent=E3o = existe um inteiro=20 positivo k tal que:
 
CBA =3D ABC * k  , para 0 < k < 10 = ,   ou    CBA - ABC =3D (k-1) * = ABC
 
Ent=E3o 100c + 10b + a - 100a - 10b - a =3D (k-1) = *=20 ABC
Ou,   99 (c - a) =3D (k-1) * = ABC
 
Assim, temos 2 casos a estudar:
    i) c =3D a --> k =3D = 1
    ii) c > a  -->  = k > 1=20 (obviamente se c fosse menor do q a, ent=E3o ABC > CBA,=20 imposs=EDvel.
 
Caso i:
 
    Neste caso, para todo c =3D a, = k =3D 1=20 satisfaz o enunciado, ou seja, CBA =3D ABC * 1 =3D ABC. Como 0 < c = <=3D=20 9  e  0 <=3D b <=3D 9, s=E3o 90 as situa=E7=F5es=20 poss=EDveis.
 
Caso ii:
 
    Neste caso, (k-1) * ABC =3D 3^2 = * 11 * (c -=20 a).  Note que (k - 1) < 9, pois k < 10. Assim, ABC =E9=20 obrigatoriamente m=FAltiplo de 33 (um fator 3 e um fator = 11).
    Note tamb=E9m que a < 5 , = uma vez que do=20 contr=E1rio CBA =3D k * ABC possuiria mais de 3 algarismos, para k = > 1,=20 imposs=EDvel.
    Al=E9m disso, se CBA for = =EDmpar (a =EDmpar),=20 ABC =E9 necessariamente =EDmpar (c =EDmpar). Por outro lado, se ABC = =E9 par (c par),=20 ent=E3o CBA tamb=E9m =E9 par (a par).
    Dos crit=E9rios de = divisibilidade por 3 e=20 por 11, tira-se que:
    1) a + b + c =3D 3r  (r = inteiro=20 positivo menor do que 8)
    2) - a + b - c =3D 11s  = (s =3D -1=20 ou s =3D 0 --> esta restri=E7=E3o se deve ao fato de serem a,b,c = inteiros tais=20 que 0 < a < 5 , 0 <=3D b < 10 e 0 < c <=20 10)
 
    Somando-se as=20 equa=E7=F5es 1 e 2, obtemos:  2b =3D 3r + 11s 
    Para s =3D -1, vem:  2b = =3D 3r -=20 11    e   a + c =3D b + = 11. 
 Lembrando que c > a, apenas um terno = (a,b,c) seria uma poss=EDvel solu=E7=E3o, o = terno (4,2,9). Como 924=20 n=E3o =E9 m=FAltiplo de 429, essa solu=E7=E3o =E9 falsa.
 
    Para s =3D 0, vem:  2b =3D = 3r =20 e  a + c =3D 3r/2.
 4 ternos (a,b,c) seriam poss=EDveis = solu=E7=F5es: (2,6,4) ,=20 (1,6,5) , (4,9,5) e (2,9,7). No entanto, nenhuma dessas = poss=EDveis=20 solu=E7=F5es =E9 verdadeira, ou seja,  CBA n=E3o =E9 m=FAltiplo = de ABC para nenhum=20 desses ternos.
 
 
Ora, ent=E3o todas as solu=E7=F5es se resumem ao = caso i,=20 totalizando 90 solu=E7=F5es , para todo 0 < c =3D = a < 10 (9=20 casos) e 0 <=3D b < 10 (10 casos) --> 9 * 10 =3D 90=20 solu=E7=F5es.
 
Abra=E7os, Alexandre Terezan
 
----- Original Message ------
From:=20 Filho=20
To: discuss=E3o de=20 problemas
Sent: Segunda-feira, 24 de = Julho de=20 2000 08:38
Subject: teoria dos = inteiros

Quantos s=E3o os inteiros = positivos de tr=EAs=20 algarismos abc, com a e c ambos diferentes de zero, tais que cba =E9 = m=FAltiplo=20 de abc ?
------=_NextPart_000_0016_01BFF752.BF8C86E0-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jul 27 09:51:18 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id JAA10302 for obm-l-list; Thu, 27 Jul 2000 09:51:18 -0300 Received: from ls02.esquadro.com.br (ls02.esquadro.com.br [200.214.4.1]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id JAA10297 for ; Thu, 27 Jul 2000 09:50:58 -0300 From: alexv@esquadro.com.br Received: from localhost (ls01.esquadro.com.br [200.214.4.3]) by ls02.esquadro.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id KAA25365 for ; Thu, 27 Jul 2000 10:08:40 -0300 Message-Id: <200007271308.KAA25365@ls02.esquadro.com.br> Subject: Re: Resultado Brasileiro na 41a.IMO Content-transfer-encoding: 8bit To: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Content-type: text/plain Mime-version: 1.0 X-Sender-ip: 8cffc110 Date: Thu, 27 Jul 2000 09:57 +0000 X-mailer: Netbula AnyEMail(TM) 4.51 ae_esquadro_br_p_10000 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >Caros amigos da lista, > >Ja' esta' publicado na nossa home-page >o resultado brasileiro na 41a. IMO > >http://www.obm.org.br/imo.htm > >Abracos, > >Nelly. Oi Nelly, Como posso saber os resultados gerais, isto é, como saber quais foram os medalhistas por pais e suas médias (isso dá uma noção do desempenho geral). []'s Alexandre Vellasquez From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jul 27 10:04:55 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id KAA10385 for obm-l-list; Thu, 27 Jul 2000 10:04:55 -0300 Received: from Euler.impa.br (euler.impa.br [147.65.1.3]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id KAA10381 for ; Thu, 27 Jul 2000 10:04:48 -0300 Received: from obm-01 (obm-01.impa.br [147.65.2.170]) by Euler.impa.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id KAA03153 for ; Thu, 27 Jul 2000 10:04:46 -0300 (EST) Message-Id: <3.0.5.32.20000727100441.007ab720@pop.impa.br> X-Sender: obm@pop.impa.br X-Mailer: QUALCOMM Windows Eudora Light Version 3.0.5 (32) Date: Thu, 27 Jul 2000 10:04:41 -0300 To: obm-l@mat.puc-rio.br From: Olimpiada Brasileira de Matematica Subject: Re: Resultado Brasileiro na 41a.IMO In-Reply-To: <200007271308.KAA25365@ls02.esquadro.com.br> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id KAA10382 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi Nelly, Como posso saber os resultados gerais, isto é, como saber quais foram os medalhistas por pais e suas médias (isso dá uma noção do desempenho geral). []'s Alexandre Vellasquez Oi Alexandre, Voce deve entrar na home-page oficial da IMO, ali serao publicados os resultados gerais da competicao. http://www.imo2000.or.kr/ Abracos, Nelly. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Thu Jul 27 14:28:45 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA12182 for obm-l-list; Thu, 27 Jul 2000 14:28:45 -0300 Received: from hotmail.com (oe45.law10.hotmail.com [64.4.14.17]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id OAA12178 for ; Thu, 27 Jul 2000 14:28:21 -0300 Received: (qmail 8023 invoked by uid 65534); 27 Jul 2000 17:27:04 -0000 Message-ID: <20000727172704.8022.qmail@hotmail.com> X-Originating-IP: [200.193.205.173] From: "Jorge Peixoto Morais" To: Subject: =?iso-8859-1?Q?Gama_e_dimens=F5es_cortantes?= Date: Thu, 27 Jul 2000 14:26:31 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_004F_01BFF7D6.A8D11540" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2919.6600 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2919.6600 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_004F_01BFF7D6.A8D11540 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable *Onde posso me aprofundar na fun=E7=E3o Gama (t=E9cnicas de = integra=E7=E3o para calcular casos particulares como Gama de 0,5, saber = se, usando a Gama, qualquer n=FAmero binomial n sobre p est=E1 definido = para qualquer n e p...)?=20 *Voc=EAs sabem se est=E3o certas essas f=F3rmulas: - n pontos cortam uma reta em B(n sobre 0) + B (n sobre 1) partes. - n retas em coplanares posi=E7=E3o geral (n=E3o havendo duas paralelas = ou mais de duas convergindo no mesmo ponto) dividem o plano em B(n sobre = 0) + B(n sobre 1) + B(n sobre 2) partes. -n planos em posi=E7=E3o geral (an=E1logo =E0s retas em posi=E7=E3o = geral) cortam o espa=E7o em B(n sobre 0) + B(n sobre 1) + B(N sobre 2) = +B(n sobre 3) partes. E assim por diante, com as outras dimens=F5es = poss=EDveis? Obs: B (n sobre p) =E9 o binomial n sobre p.=20 ------=_NextPart_000_004F_01BFF7D6.A8D11540 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
*Onde posso me aprofundar na fun=E7=E3o = Gama (t=E9cnicas=20 de integra=E7=E3o para calcular casos particulares como Gama de 0,5, = saber se,=20 usando a Gama, qualquer n=FAmero binomial n sobre p est=E1 definido para = qualquer n=20 e p...)?
*Voc=EAs sabem se est=E3o certas essas=20 f=F3rmulas:
 - n pontos cortam uma reta em B(n = sobre 0) +=20 B (n sobre 1) partes.
 - n retas em coplanares = posi=E7=E3o geral (n=E3o=20 havendo duas paralelas ou mais de duas convergindo no mesmo ponto) = dividem o=20 plano em B(n sobre 0) + B(n sobre 1) + B(n sobre 2) partes.
 -n planos em posi=E7=E3o geral = (an=E1logo =E0s retas=20 em posi=E7=E3o geral) cortam o espa=E7o em B(n sobre 0) + B(n sobre 1) + = B(N sobre 2)=20 +B(n sobre 3) partes. E assim por diante, com as outras dimens=F5es=20 poss=EDveis?
Obs: B (n sobre p) =E9 o binomial n = sobre p.=20
------=_NextPart_000_004F_01BFF7D6.A8D11540-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 28 02:57:15 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id CAA15052 for obm-l-list; Fri, 28 Jul 2000 02:57:15 -0300 Received: from ceiun01.elogica.com.br (quasar.elogica.com.br [200.249.220.40]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id CAA15049 for ; Fri, 28 Jul 2000 02:57:07 -0300 Received: from zealvino (host-219-159 [200.249.219.159]) by ceiun01.elogica.com.br (8.9.0/8.9.3) with SMTP id CAA24572 for ; Fri, 28 Jul 2000 02:55:57 -0300 Message-ID: <002e01bff858$4fece940$3ed9f9c8@zealvino.elogica.com.br> From: "=?iso-8859-1?Q?Jos=E9_Alvino?=" To: Subject: =?iso-8859-1?Q?Quest=E3o_das_Olimp=EDadas?= Date: Fri, 28 Jul 2000 02:54:35 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_002B_01BFF83F.29731820" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.3110.5 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.3110.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_002B_01BFF83F.29731820 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Ol=E1 pessoal! Sou novato aqui na lista e gostaria que algu=E9m me ajudasse numa = quest=E3o ou me informasse onde posso encontrar sua resolu=E7=E3o. =C9 a = quest=E3o 10 da 1a fase junior de 97: Se p e q s=E3o inteiros positivos tais que 7/10 < p/q < 11/15 , o menor = valor que q pode ter =E9: A) 6 B) 7 C) 25 D) 30 E) 60 Agrade=E7o antecipadamente. ------=_NextPart_000_002B_01BFF83F.29731820 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Olá pessoal!
Sou novato aqui na lista e gostaria que alguém me ajudasse = numa=20 questão ou me informasse onde posso encontrar sua=20 resolução. É a questão 10 da 1a fase junior = de=20 97:
 

Se p e q são inteiros positivos tais que 7/10 < p/q < = 11/15 , o=20 menor valor que q pode ter é:

A) 6 B) 7 C) 25 D) 30 E) 60

 Agradeço=20 antecipadamente.
 
 
------=_NextPart_000_002B_01BFF83F.29731820-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 28 03:33:24 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id DAA15219 for obm-l-list; Fri, 28 Jul 2000 03:33:24 -0300 Received: from smtp-gw.homeshopping.com.br ([200.251.250.241]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id DAA15215 for ; Fri, 28 Jul 2000 03:33:16 -0300 Received: from mail.com (rjo-200-244-57-89.homeshopping.com.br [200.244.57.89]) by smtp-gw.homeshopping.com.br (8.10.2/8.10.2) with ESMTP id e6S6WfZ12011 for ; Fri, 28 Jul 2000 03:32:42 -0300 Message-ID: <3981289F.8F9D3FA6@mail.com> Date: Fri, 28 Jul 2000 03:30:55 -0300 From: Alexandre Tessarollo X-Mailer: Mozilla 4.5 [en] (Win95; I) X-Accept-Language: en,pdf MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: =?iso-8859-1?Q?Quest=E3o?= das =?iso-8859-1?Q?Olimp=EDadas?= References: <002e01bff858$4fece940$3ed9f9c8@zealvino.elogica.com.br> Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Seja bem-vindo! Bem, mãos à obra: 7/10

José Alvino wrote: > > Olá pessoal! > Sou novato aqui na lista e gostaria que alguém me ajudasse numa > questão ou me informasse onde posso encontrar sua resolução. É a > questão 10 da 1a fase junior de 97: > > > Se p e q são inteiros positivos tais que 7/10 < p/q < 11/15 , o menor > valor que q pode ter é: > > A) 6 B) 7 C) 25 D) 30 E) 60 > > Agradeço antecipadamente. > > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 28 03:57:13 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id DAA15364 for obm-l-list; Fri, 28 Jul 2000 03:57:13 -0300 Received: from baud.fezes.net (spo-200-246-92-220.homeshopping.com.br [200.246.92.220]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id DAA15361 for ; Fri, 28 Jul 2000 03:57:05 -0300 Received: from brasnet.org (localhost [127.0.0.1]) by baud.fezes.net (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id DAA01741 for ; Fri, 28 Jul 2000 03:51:51 -0300 Message-ID: <39812D87.122463BF@brasnet.org> Date: Fri, 28 Jul 2000 03:51:51 -0300 From: mtu X-Mailer: Mozilla 4.7 [en] (X11; I; Linux 2.4.0-test4 i686) X-Accept-Language: en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: =?iso-8859-1?Q?Quest=E3o?= das =?iso-8859-1?Q?Olimp=EDadas?= References: <002e01bff858$4fece940$3ed9f9c8@zealvino.elogica.com.br> Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br José Alvino wrote: > Olá pessoal!Sou novato aqui na lista e gostaria que alguém me > ajudasse numa questão ou me informasse onde posso encontrar sua > resolução. É a questão 10 da 1a fase junior de 97: Se p e q são > inteiros positivos tais que 7/10 < p/q < 11/15 , o menor valor que q > pode ter é: > > A) 6 B) 7 C) 25 D) 30 E) 60 > Agradeço antecipadamente. Acho q a resposta seria B, p/q deve ser um numero entre 0,7 e 0,733..., entao pensei da seguinte forma se usar q = 6, joguei como possibilidade para p os numeros 5 e 4, 5/6 eh entao um numero maior que 0,733.. e 4/6 eh um numero menor q 0,7, ou seja, q != 6, repeti o processo com 7 e descobri q se p=5 e q=7(5/7) sera um numero q se encaixa na desigualdade, ou seja, dos numeros apresentados o menor que 'q' pode assumir eh 7. Nao sei se esse eh o meio mais pratico de resolver o problema, mas me parece correto... []'s From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 28 14:06:58 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA17980 for obm-l-list; Fri, 28 Jul 2000 14:06:58 -0300 Received: from srv12-sao.sao.terra.com.br (srv12-sao.sao.terra.com.br [200.246.248.67]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA17973 for ; Fri, 28 Jul 2000 14:06:33 -0300 Received: from srv11-sao.sao.terra.com.br (srv11-sao.sao.terra.com.br [200.246.248.66]) by srv12-sao.sao.terra.com.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA23099 for ; Fri, 28 Jul 2000 14:05:56 -0300 Received: from lbm.com.br (dl-max1-idt-C8D5A66E.idt.terra.com.br [200.213.166.110]) by srv11-sao.sao.terra.com.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA09002 for ; Fri, 28 Jul 2000 14:05:52 -0300 Message-ID: <3981BD0E.8B95ECAE@lbm.com.br> Date: Fri, 28 Jul 2000 14:04:14 -0300 From: Ponce X-Mailer: Mozilla 4.72 [en] (Win98; I) X-Accept-Language: pt-BR,en-US,en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: IMO2000 na minha home page References: Content-Type: multipart/alternative; boundary="------------2F10A03B45F13B6CB92D91DA" Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br --------------2F10A03B45F13B6CB92D91DA Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Olá amigos, Em resposta a proposta do Nicolau, vai uma possível solução do primeiro problema, considerado o mais fácil da prova. Enunciado Duas circunferências G1 e G2 interceptam-se em M e N.Seja t a reta tangente comum a G1 e G2 mais próxima de M. Sejam A e B os pontos de intersecção de t com G1 e G2 respectivamente.Seja s a reta paralela a t por M, C a sua intersecção com G1 e D com G2 .As retas CA e DB interceptam-se em E, as retas AN e CD interceptam-se em P e as retas BN e CD interceptam-se em Q. Mostre que EP = EQ. (Origem: IMO – 2000) Observação: o texto acima é uma adaptação do texto em Inglês, mas mantendo o mesmo significado. Uma possível solução Sejam O e K os centros de G1 e G2 respectivamente, R e S as intersecções de s com OA e KB respectivamente e L a intersecção da reta MN com a reta t. Do paralelismo de t e s,segue-se que: - OA e KB são ambos perpendiculares as retas t e s. - Os pares de triângulos (NPQ, NAB) e (EAB e ECD) são semelhantes. Da potência do ponto L em relação a G1 e G2 resulta que: LA^2 = LM.LN = LB^2 .Daí, LA = LB e conseqüentemente NL é mediana do triângulo NAB relativa ao lado AB. Sendo NL mediana do triângulo NAB, decorre da semelhança entre NPQ e NAB,(com PQ // AB), que M é ponto médio de PQ, isto é, MP = MQ. Sendo OA e KB ambos perpendiculares as retas t e s, tem-se que o quadrilátero ARSB é retângulo, CM =2.RM = 2.CR e MD = 2.MS = 2.SD. Conseqüentemente, CD = CM+MD = 2.RM + 2.MS = 2.RS = 2AB. Como CD = 2.AB; segue-se da semelhança entre EAB e ECD, que EC = 2.EA . Sendo EC = 2.EA e CM = 2.CR , podemos concluir que os triângulos ECM e ACR são semelhantes (LAL).Como AR é perpendicular a CM, pois OA é perpendicular a s, decorre desta semelhança que EM é perpendicular a CM, conseqüentemente EM é prependicular a PQ. Portanto, sendo MP = MQ e EM perpendicular a PQ, podemos afirmar que o triângulo EPQ é isósceles de base PQ e conseqüentemente EP = EQ. Autor: Luiz Antonio PONCE Alonso. 26/07/2000 Nota: 1)Para uma melhor compreensão faça uma figura com as considerações feitas na resolução. 2)Caso alguém queira uma solução com figura , e só pedir pelo email: ponce@lbm.com.br 3) Desculpe-me por qualquer falha. Por favor sinta-se a vontade para contactar-me por email. 4) O enunciado em Inglês ou em Espanhol encontra-se em www.obm.org.br "Nicolau C. Saldanha" wrote: > On Fri, 21 Jul 2000, Nicolau Corcao Saldanha wrote: > > > A IMO2000 esta disponivel agora tambem em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp > > (ingles, frances e espanhol; arquivos *.gif). > > > > E ai, ninguém comenta nada da prova? > Eu gostei muito do problema 3 (das pulgas) > e do 5 (2^n + 1 é múltiplo de n e n tem 2000 fatores primos). > Lembro do enunciado do problema 3: > > Seja n >= 2 um inteiro. Inicialmente, existem n pulgas > em uma linha horizontal, não todas no mesmo ponto. > Para um número real positivo l (lambda na prova), > defina um movimento da seguinte forma: > > Escolha duas pulgas com posições A e B, A à esquerda de B; > > A pulga que estava em A pula para o ponto C à direita de B > com BC/AB = l. > > Determine os valores de l para os quais, para qualquer M > na linha e qualquer posição inicial das pulgas, > existe uma seqüência finita de movimentos que leva todas > as pulgas para posições à direita de M. > > Segue lá embaixo uma solução xroteada, ou seja, trocando > a por n, b por o, ... Eu recomendo só ler depois de tentar! > Obs: letras acentuadas e pontuação não foram alteradas. > Não reclamem se tiverem dificuldades em decifrar, > eu publicarei uma versão limpa depois... > []s, N. > > cuidado, solução se aproximando! > > cuidado, solução se aproximando! > > cuidado, solução se aproximando! > > cuidado, solução se aproximando! > > cuidado, solução se aproximando! > > cuidado, solução se aproximando! > > cuidado, solução se aproximando! > > cuidado, solução se aproximando! > > cuidado, solução se aproximando! > > cuidado, solução se aproximando! > > cuidado, solução se aproximando! > > cuidado, solução se aproximando! > > cuidado, solução se aproximando! > > cuidado, solução se aproximando! > > cuidado, solução se aproximando! > > cuidado, solução se aproximando! > > cuidado, solução se aproximando! > > cuidado, solução se aproximando! > > cuidado, solução se aproximando! > > N erfcbfgn é cnen y >= 1/(a-1). > Qrirzbf qrzbafgene qhnf pbvfnf: > > (n) dhr cnen y >= 1/(a-1) rkvfgr hzn frdüêapvn vasvavgn qr zbivzragbf > dhr inv yrinaqb nf chytnf pnqn irm znvf cnen n qvervgn, hygencnffnaqb > dhnydhre cbagb cersvknqb Z; > > (o) dhr cnen y < 1/(a-1) r cnen dhnydhre cbfvçãb vavpvny qnqn qnf chytnf > rkvfgr hz cbagb Z gny dhr nf chytnf rz hz aúzreb svavgb qr zbivzragbf > wnznvf nypnaçnz bh hygencnffnz Z. > > Pbzrçnerv cryb vgrz (o). Frwnz k_1, k_2, ..., k_a nf cbfvçõrf vavpvnvf > qnf chytnf, pbz k_1 <= k_2 <= ... <= k_a, qr gny sbezn dhr k_a é n cbfvçãb > qn chytn znvf à qvervgn. > Frwn Z = (1/(1 - (a-1)y)) * (k_a - y*k_1 - y*k_2 - ... - y*k_{a-1}). > B cbagb Z pynenzragr rfgá à qvervgn qr gbqnf nf chytnf. > Nsveznzbf dhr fr ncóf nythaf zbivzragb nf abinf cbfvçõrf fãb > k'_1, ..., k'_a r fr qrsvavzbf > Z' = (1/(1 - (a-1)y)) * (k'_a - y*k'_1 - y*k'_2 - ... - y*k'_{a-1}) > ragãb Z' <= Z; vfgb pbapyhveá n qrzbafgençãb. > Onfgn pbafvqrene b dhr bpbeer ncóf hz zbivzragb. > Fr n chytn dhr rfgnin rz k_v chyn fboer n chytn dhr rfgnin rz k_a > ragãb k'_a - k_a = y*(k_a - k_v) r k'_a - y*k_a = k_a - y*k_v r Z' = Z. > Dhnydhre bhgeb pnfb é nvaqn znvf snibeáiry. > > B vgrz (n) r n zbgvinçãb cnen n sóezhyn qr Z rh qrvkb cnen ibpêf crafnerz... --------------2F10A03B45F13B6CB92D91DA Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Olá amigos,
Em resposta a proposta do Nicolau, vai uma possível solução do primeiro problema, considerado o mais fácil da prova.

Enunciado

Duas circunferências G1 e  G2  interceptam-se em M e N.Seja t a reta tangente comum a G1 e G2 mais próxima de M.
Sejam A e B os pontos de intersecção de t com G1 e G2 respectivamente.Seja s a reta paralela a t por M, C a sua intersecção com G1 e D com G2 .As retas CA e DB interceptam-se em E, as retas AN e CD interceptam-se em
P e as retas BN e CD interceptam-se em Q.  Mostre que EP = EQ.    (Origem: IMO – 2000)

Observação: o texto acima é uma adaptação do texto em Inglês, mas mantendo o mesmo significado.

Uma possível solução
Sejam O e K os centros de G1 e G2 respectivamente, R e S as intersecções  de s com OA  e   KB  respectivamente  e  L  a
intersecção da reta MN com a reta t.

Do paralelismo de t e s,segue-se que:
 -  OA e KB são ambos perpendiculares as retas  t e s.
 -  Os pares de triângulos (NPQ, NAB)  e (EAB e ECD) são semelhantes.

Da potência do ponto L em relação a G1 e G2 resulta que:
 LA^2 = LM.LN = LB^2 .Daí, LA = LB e conseqüentemente NL é mediana  do  triângulo NAB relativa ao lado AB.

Sendo NL  mediana do triângulo NAB, decorre  da  semelhança entre NPQ e NAB,(com PQ // AB), que M é ponto médio de PQ, isto é,  MP = MQ.

Sendo  OA e KB ambos perpendiculares as retas  t e s, tem-se que o quadrilátero ARSB é retângulo, CM =2.RM = 2.CR  e MD = 2.MS = 2.SD.  Conseqüentemente, CD = CM+MD = 2.RM + 2.MS = 2.RS = 2AB.

Como CD = 2.AB; segue-se  da semelhança entre EAB e ECD, que EC = 2.EA .

Sendo EC = 2.EA e CM = 2.CR , podemos concluir que os triângulos ECM e ACR são semelhantes (LAL).Como AR é perpendicular a CM, pois OA é perpendicular a s, decorre desta semelhança que  EM é perpendicular a CM, conseqüentemente  EM é prependicular a   PQ.

Portanto, sendo MP = MQ e EM  perpendicular a PQ, podemos afirmar que o triângulo EPQ é isósceles de base PQ  e  conseqüentemente EP = EQ.
 
 

Autor: Luiz Antonio PONCE Alonso.
26/07/2000
Nota:
1)Para uma melhor compreensão faça uma figura com as considerações feitas na resolução.
2)Caso alguém queira uma solução com figura , e só pedir pelo email: ponce@lbm.com.br
3) Desculpe-me por qualquer falha. Por favor sinta-se a vontade para contactar-me por email.
4) O enunciado em Inglês ou em Espanhol  encontra-se em www.obm.org.br
 

"Nicolau C. Saldanha" wrote:

On Fri, 21 Jul 2000, Nicolau Corcao Saldanha wrote:

> A IMO2000 esta disponivel agora tambem em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp
> (ingles, frances e espanhol; arquivos *.gif).
>

E ai, ninguém comenta nada da prova?
Eu gostei muito do problema 3 (das pulgas)
e do 5 (2^n + 1 é múltiplo de n e n tem 2000 fatores primos).
Lembro do enunciado do problema 3:

Seja n >= 2 um inteiro. Inicialmente, existem n pulgas
em uma linha horizontal, não todas no mesmo ponto.
Para um número real positivo l (lambda na prova),
defina um movimento da seguinte forma:

 Escolha duas pulgas com posições A e B, A à esquerda de B;

 A pulga que estava em A pula para o ponto C à direita de B
 com BC/AB = l.

Determine os valores de l para os quais, para qualquer M
na linha e qualquer posição inicial das pulgas,
existe uma seqüência finita de movimentos que leva todas
as pulgas para posições à direita de M.

Segue lá embaixo uma solução xroteada, ou seja, trocando
a por n, b por o, ... Eu recomendo só ler depois de tentar!
Obs: letras acentuadas e pontuação não foram alteradas.
Não reclamem se tiverem dificuldades em decifrar,
eu publicarei uma versão limpa depois...
[]s, N.

cuidado, solução se aproximando!

cuidado, solução se aproximando!

cuidado, solução se aproximando!

cuidado, solução se aproximando!

cuidado, solução se aproximando!

cuidado, solução se aproximando!

cuidado, solução se aproximando!

cuidado, solução se aproximando!

cuidado, solução se aproximando!

cuidado, solução se aproximando!

cuidado, solução se aproximando!

cuidado, solução se aproximando!

cuidado, solução se aproximando!

cuidado, solução se aproximando!

cuidado, solução se aproximando!

cuidado, solução se aproximando!

cuidado, solução se aproximando!

cuidado, solução se aproximando!

cuidado, solução se aproximando!

N erfcbfgn é cnen y >= 1/(a-1).
Qrirzbf qrzbafgene qhnf pbvfnf:

(n) dhr cnen y >= 1/(a-1) rkvfgr hzn frdüêapvn vasvavgn qr zbivzragbf
dhr inv yrinaqb nf chytnf pnqn irm znvf cnen n qvervgn, hygencnffnaqb
dhnydhre cbagb cersvknqb Z;

(o) dhr cnen y < 1/(a-1) r cnen dhnydhre cbfvçãb vavpvny qnqn qnf chytnf
rkvfgr hz cbagb Z gny dhr nf chytnf rz hz aúzreb svavgb qr zbivzragbf
wnznvf nypnaçnz bh hygencnffnz Z.

Pbzrçnerv cryb vgrz (o). Frwnz k_1, k_2, ..., k_a nf cbfvçõrf vavpvnvf
qnf chytnf, pbz k_1 <= k_2 <= ... <= k_a, qr gny sbezn dhr k_a é n cbfvçãb
qn chytn znvf à qvervgn.
Frwn Z = (1/(1 - (a-1)y)) * (k_a - y*k_1 - y*k_2 - ... - y*k_{a-1}).
B cbagb Z pynenzragr rfgá à qvervgn qr gbqnf nf chytnf.
Nsveznzbf dhr fr ncóf nythaf zbivzragb nf abinf cbfvçõrf fãb
k'_1, ..., k'_a r fr qrsvavzbf
Z' = (1/(1 - (a-1)y)) * (k'_a - y*k'_1 - y*k'_2 - ... - y*k'_{a-1})
ragãb Z' <= Z; vfgb pbapyhveá n qrzbafgençãb.
Onfgn pbafvqrene b dhr bpbeer ncóf hz zbivzragb.
Fr n chytn dhr rfgnin rz k_v chyn fboer n chytn dhr rfgnin rz k_a
ragãb k'_a - k_a = y*(k_a - k_v) r k'_a - y*k_a = k_a - y*k_v r Z' = Z.
Dhnydhre bhgeb pnfb é nvaqn znvf snibeáiry.

B vgrz (n) r n zbgvinçãb cnen n sóezhyn qr Z rh qrvkb cnen ibpêf crafnerz...

--------------2F10A03B45F13B6CB92D91DA-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 28 17:11:06 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA19166 for obm-l-list; Fri, 28 Jul 2000 17:11:06 -0300 Received: from mat.puc-rio.br (IDENT:root@feliz.mat.puc-rio.br [139.82.27.15]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA19163 for ; Fri, 28 Jul 2000 17:11:00 -0300 Received: from localhost (nicolau@localhost) by mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA06369 for ; Fri, 28 Jul 2000 17:10:59 -0300 Date: Fri, 28 Jul 2000 17:10:59 -0300 (BRT) From: "Nicolau C. Saldanha" X-Sender: nicolau@localhost.localdomain To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: IMO2000 na minha home page In-Reply-To: <3981BD0E.8B95ECAE@lbm.com.br> Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: TEXT/PLAIN; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from QUOTED-PRINTABLE to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id RAA19164 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br On Fri, 28 Jul 2000, Ponce wrote: > Olá amigos, > Em resposta a proposta do Nicolau, vai uma possível solução do primeiro > problema, considerado o mais fácil da prova. > > Enunciado > > Duas circunferências G1 e G2 interceptam-se em M e N.Seja t a reta tangente > comum a G1 e G2 mais próxima de M. > Sejam A e B os pontos de intersecção de t com G1 e G2 respectivamente.Seja s a > reta paralela a t por M, C a sua intersecção com G1 e D com G2 .As retas CA e DB > interceptam-se em E, as retas AN e CD interceptam-se em > P e as retas BN e CD interceptam-se em Q. Mostre que EP = EQ. (Origem: IMO – > 2000) Valeu, Ponce, confesso que ainda não li sua solução, mas aí vai minha mensagem anterior desencriptada: > > A resposta é para l >= 1/(n-1). > > Devemos demonstrar duas coisas: > > > > (a) que para l >= 1/(n-1) existe uma seqüência infinita de movimentos > > que vai levando as pulgas cada vez mais para a direita, ultrapassando > > qualquer ponto prefixado M; > > > > (b) que para l < 1/(n-1) e para qualquer posição inicial dada das pulgas > > existe um ponto M tal que as pulgas em um número finito de movimentos > > jamais alcançam ou ultrapassam M. > > > > Começarei pelo item (b). Sejam x_1, x_2, ..., x_n as posições iniciais > > das pulgas, com x_1 <= x_2 <= ... <= x_n, de tal forma que x_n é a posição > > da pulga mais à direita. > > Seja M = (1/(1 - (n-1)l)) * (x_n - l*x_1 - l*x_2 - ... - l*x_{n-1}). > > O ponto M claramente está à direita de todas as pulgas. > > Afirmamos que se após alguns movimento as novas posições são > > x'_1, ..., x'_n e se definimos > > M' = (1/(1 - (n-1)l)) * (x'_n - l*x'_1 - l*x'_2 - ... - l*x'_{n-1}) > > então M' <= M; isto concluirá a demonstração. > > Basta considerar o que ocorre após um movimento. > > Se a pulga que estava em x_i pula sobre a pulga que estava em x_n > > então x'_n - x_n = l*(x_n - x_i) e x'_n - l*x_n = x_n - l*x_i e M' = M. > > Qualquer outro caso é ainda mais favorável. > > > > O item (a) e a motivação para a fórmula de M eu deixo para vocês pensarem... Para o item (a) minha estratégia é sempre fazer a pulga x_1 pular por cima da pulga x_n. Isto equivale a considerar iteradas da matriz [ 0 1 0 0 0 ] [ ] [ 0 0 1 0 0 ] [ ] [ 0 0 0 1 0 ] [ ] [ 0 0 0 0 1 ] [ ] [ -l 0 0 0 1+l ] Agora um pouco de álgebra linear mostra que para l = 1/(n-1) 1 é autovalor duplo com nilpotência e para l > 1/(n-1) o maior autovalor é maior do que 1. Observe que 1 é sempre autovalor com autovetor à esquerda [ -l -l -l -l 1 ] e foi daí que veio (para mim!) a fórmula para M. Enfim, para l >= 1/(n-1) quase todo vetor tende a infinito e as exceções vêm de ordenar errado. []s, N. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 28 18:05:22 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA19514 for obm-l-list; Fri, 28 Jul 2000 18:05:22 -0300 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.128]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA19511 for ; Fri, 28 Jul 2000 18:05:14 -0300 Received: from centroin.com.br (du172c.rjo.centroin.com.br [200.225.58.172]) by trex.centroin.com.br (8.10.1/8.10.1) with ESMTP id e6SL4Fd20196 for ; Fri, 28 Jul 2000 18:04:15 -0300 (EST) Message-ID: <3981F62A.18699384@centroin.com.br> Date: Fri, 28 Jul 2000 18:07:55 -0300 From: Augusto Morgado X-Mailer: Mozilla 4.73 [en] (Win95; I) X-Accept-Language: en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: ajuda References: <006801bff70f$50c19fe0$4663c2c8@meucompu> Content-Type: text/plain; charset=x-user-defined Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > Filho wrote: > > Prove esta  desigualdade: > a^2 / ( a^2 + 2bc ) + b^2 / ( b^2 + 2ac ) + c^2 / ( c^2 + 2ab )  > = 1 > para todo > os inteiros positivos a, b e c. >   > a^2: significa a elevado a 2 > / : significa dividido dividindo o numerador e o denominador de cada fração pelo numerador , chega-se a 1/(1+x) + 1/(1+y) + 1/(1+z) >=1 com xyz=8. Ora, pela desigualdade das médias, a média aritmética de x, y, z é maior ou igual à geométrica, que vale 2. Logo, x+y+z é maior ou igual a 6 e (1+x) +(1+y)+(1+z)é maior ou igual a 9 e a média aritmética de 1+x, 1+y, 1+z é maior ou igual a 3. Vamos chamar 1+x, 1+y, 1+z de p, q e r. A(p,q,r) >=3 A média harmônica de p, q, r é menor ou igual à aritmética; logo, H(p,q,r) <=3 3/(1/p +1/q +1/r)<=3 1/p +1/q +1/r >=1 Morgado From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 28 18:46:55 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA19791 for obm-l-list; Fri, 28 Jul 2000 18:46:55 -0300 Received: from feliz.wnt.com.br (mail.wnt.com.br [200.255.210.140]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA19788 for ; Fri, 28 Jul 2000 18:46:38 -0300 Received: from Alexandre (ail.wnt.com.br [200.255.210.202]) by feliz.wnt.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id SAA03330 for ; Fri, 28 Jul 2000 18:51:54 -0300 Message-ID: <003c01bff8de$21dfb380$1408140a@wnetrj.com.br> From: "Alexandre F. Terezan" To: Subject: =?iso-8859-1?Q?Re:_Quest=E3o_das_Olimp=EDadas?= Date: Fri, 28 Jul 2000 18:36:56 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0039_01BFF8C2.CEC00DA0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2919.6600 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2919.6600 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0039_01BFF8C2.CEC00DA0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Caro mtu, Sua resolu=E7=E3o me parece perfeitamente correta, mas deve-se = lembrar que a quest=E3o poderia ser discursiva e o valor m=EDnimo de q = poderia ser alto o suficiente para que tal resolu=E7=E3o por "tentativa" = n=E3o fosse eficiente e muito menos pr=E1tica. Uma maneira simples de resolver a quest=E3o seria: Seja p =3D q - k (k natural maior q zero), j=E1 que p < q (pois p/q < = 11/15 < 1) Ent=E3o 7/10 < (q - k)/q < 11/15 Da=ED, 7q < 10q - 10k --> 3q > 10k --> q > 10k/3 15q - 15k < 11q --> 4q < 15k --> q < 15k/4 Assim sendo, 10k/3 < q < 15k/4 Ou, 3k + k/3 < q < 3k + 3k/4 (CONDI=C7=C3O 1) Como 3k e q s=E3o ambos naturais, conclui-se que: a + [k/3] =3D [3k/4], = sendo a natural maior do que zero. Ora, como se procura o menor q (logo, o menor k natural satisfazendo a = condi=E7=E3o 1), entao a =3D 1 e assim: [3k/4] =3D 1 --> 3k/4 > 1 --> k > 4/3 [k/3] =3D 0 --> k/3 < 1 --> k < 3 4/3 < k < 3 --> k =3D 2. Assim, da condi=E7=E3o 1, vem: 6 + 2/3 < q < 6 + 6/4 --> 6 + 2/3 < q < = 7 + 1/2 --> q =3D 7 Para todo k q satisfa=E7a a condi=E7=E3o 1, encontramos p/q tal que 7/10 = < p/q < 11/15 k =3D 3 --> q =3D 11 --> p =3D 8 --> 7/10 < 8/11 < 11/15 k =3D 4 --> q =3D 14 --> p =3D 10 --> 7/10 < 10/14 < 11/15 k =3D 5 --> q =3D 17 --> p =3D 12 --> 7/10 < 12/17 < 11/15 k =3D 5 --> q =3D 18 --> p =3D 13 --> 7/10 < 13/18 < 11/15 etc etc etc Abra=E7os, Alexandre Terezan ----- Original Message -----=20 From: "mtu" To: Sent: Sexta-feira, 28 de Julho de 2000 03:51 Subject: Re: Quest=E3o das Olimp=EDadas Jos=E9 Alvino wrote: > Ol=E1 pessoal!Sou novato aqui na lista e gostaria que algu=E9m me > ajudasse numa quest=E3o ou me informasse onde posso encontrar sua > resolu=E7=E3o. =C9 a quest=E3o 10 da 1a fase junior de 97: Se p e q = s=E3o > inteiros positivos tais que 7/10 < p/q < 11/15 , o menor valor que q > pode ter =E9: > > A) 6 B) 7 C) 25 D) 30 E) 60 > Agrade=E7o antecipadamente. Acho q a resposta seria B, p/q deve ser um numero entre 0,7 e 0,733..., entao pensei da seguinte forma se usar q =3D 6, joguei como = possibilidade para p os numeros 5 e 4, 5/6 eh entao um numero maior que 0,733.. e 4/6 eh um numero menor q 0,7, ou seja, q !=3D 6, repeti o processo com 7 e descobri q se p=3D5 e q=3D7(5/7) sera um numero q se encaixa na desigualdade, ou seja, dos numeros apresentados o menor que 'q' pode assumir eh 7. Nao sei se esse eh o meio mais pratico de resolver o problema, mas me parece correto... []'s ------=_NextPart_000_0039_01BFF8C2.CEC00DA0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Caro mtu,
 
    Sua resolu=E7=E3o me parece perfeitamente = correta, mas=20 deve-se lembrar que a quest=E3o poderia ser discursiva e o valor = m=EDnimo de q=20 poderia ser alto o suficiente para que tal resolu=E7=E3o por "tentativa" = n=E3o fosse eficiente e muito menos pr=E1tica.
 
Uma maneira simples de resolver a quest=E3o seria:
 
Seja p =3D q - k (k natural maior q zero), = j=E1 que p=20 < q (pois p/q < 11/15 < 1)
 
Ent=E3o 7/10 < (q - k)/q < 11/15
 
Da=ED, 7q < 10q - 10k -->  3q > 10k  = -->  q >=20 10k/3
       15q - 15k < 11q = -->  4q=20 < 15k  -->  q < 15k/4
 
Assim sendo,  10k/3 < q < 15k/4
Ou,  3k + k/3 < q < 3k + 3k/4  (CONDI=C7=C3O = 1)
 
Como 3k e q s=E3o ambos naturais, conclui-se que: a + [k/3] = =3D [3k/4],=20 sendo a natural maior do que zero.
 
Ora, como se procura o menor q (logo, o menor k natural = satisfazendo a=20 condi=E7=E3o 1), entao a =3D 1 e assim:
 
[3k/4] =3D 1 -->  3k/4 > 1 -->  k > = 4/3
[k/3] =3D 0 --> k/3 < 1 --> k < 3
 
4/3 < k < 3  --> k =3D 2.
 
Assim, da condi=E7=E3o 1, vem: 6 + 2/3 < q < 6 + 6/4  = -->  6=20 + 2/3 < q < 7 + 1/2  --> q =3D = 7
 
Para todo k q satisfa=E7a a condi=E7=E3o 1, encontramos p/q tal que = 7/10 < p/q=20 < 11/15
 
k =3D 3 --> q =3D 11 --> p =3D 8 --> 7/10 < 8/11 = <=20 11/15
k =3D 4 --> q =3D 14 --> p =3D 10 --> 7/10 < = 10/14 <=20 11/15
k =3D 5 --> q =3D 17 --> p =3D 12 --> 7/10 < 12/17 < = 11/15
k =3D 5 --> q =3D 18 --> p =3D 13 --> 7/10 < 13/18 = <=20 11/15
etc etc etc
 
Abra=E7os, Alexandre Terezan
 
----- Original Message -----=20
From: "mtu" <mtu@brasnet.org>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sexta-feira, 28 de Julho de 2000 03:51
Subject: Re: Quest=E3o das Olimp=EDadas

Jos=E9 Alvino wrote:

>  Ol=E1 pessoal!Sou = novato aqui=20 na lista e gostaria que algu=E9m me
> ajudasse numa quest=E3o ou = me informasse=20 onde posso encontrar sua
> resolu=E7=E3o. =C9 a quest=E3o 10 da 1a = fase junior de=20 97: Se p e q s=E3o
> inteiros positivos tais que 7/10 < p/q = < 11/15 ,=20 o menor valor que q
> pode ter =E9:
>
> A) 6 B) 7 C) = 25 D) 30 E)=20 60
>  Agrade=E7o antecipadamente.

Acho q a resposta = seria B, p/q=20 deve ser um numero entre 0,7 e 0,733...,
entao pensei da seguinte = forma se=20 usar q =3D 6, joguei como possibilidade
para p os numeros 5 e 4, 5/6 = eh entao=20 um numero maior que 0,733.. e 4/6
eh um numero menor q 0,7, ou seja, = q !=3D 6,=20 repeti o processo com 7 e
descobri q se p=3D5 e q=3D7(5/7) sera um = numero q se=20 encaixa na
desigualdade, ou seja, dos numeros apresentados o menor = que 'q'=20 pode
assumir eh 7.
Nao sei se esse eh o meio mais pratico de = resolver o=20 problema, mas me
parece=20 correto...

       =20 []'s
------=_NextPart_000_0039_01BFF8C2.CEC00DA0-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 28 21:07:50 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA20363 for obm-l-list; Fri, 28 Jul 2000 21:07:50 -0300 Received: from feliz.wnt.com.br (mail.wnt.com.br [200.255.210.140]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA20356 for ; Fri, 28 Jul 2000 21:07:35 -0300 Received: from Alexandre (ail.wnt.com.br [200.255.210.202]) by feliz.wnt.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id VAA18905 for ; Fri, 28 Jul 2000 21:12:49 -0300 Message-ID: <001501bff8f1$d3e88120$1408140a@wnetrj.com.br> From: "Alexandre F. Terezan" To: "OBM" Subject: =?iso-8859-1?Q?d=FAvida?= Date: Fri, 28 Jul 2000 21:13:29 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0012_01BFF8D8.AD765120" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2919.6600 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2919.6600 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0012_01BFF8D8.AD765120 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Qual a demonstra=E7=E3o das desigualdades das m=E9dias aritm=E9tica, = geom=E9trica e harm=F4nica? ------=_NextPart_000_0012_01BFF8D8.AD765120 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Qual a demonstra=E7=E3o das desigualdades das = m=E9dias aritm=E9tica,=20 geom=E9trica e harm=F4nica?
------=_NextPart_000_0012_01BFF8D8.AD765120-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 28 21:55:07 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA20622 for obm-l-list; Fri, 28 Jul 2000 21:55:07 -0300 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.128]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id VAA20619 for ; Fri, 28 Jul 2000 21:55:01 -0300 Received: from centroin.com.br (du86c.rjo.centroin.com.br [200.225.58.86]) by trex.centroin.com.br (8.10.1/8.10.1) with ESMTP id e6T0sSd18092 for ; Fri, 28 Jul 2000 21:54:28 -0300 (EST) Message-ID: <39822C21.1DCB257F@centroin.com.br> Date: Fri, 28 Jul 2000 21:58:09 -0300 From: Augusto Morgado X-Mailer: Mozilla 4.73 [en] (Win95; I) X-Accept-Language: en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Ajuda Content-Type: text/plain; charset=x-user-defined Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Filho wrote: > > Prove esta  desigualdade: > a^2 / ( a^2 + 2bc ) + b^2 / ( b^2 + 2ac ) + c^2 / ( c^2 + 2ab )  > = 1 > para todo > os inteiros positivos a, b e c. >   > a^2: significa a elevado a 2 > / : significa dividido Dividindo o numerador e o denominador de cada fração pelo numerador , chega-se a 1/(1+x) + 1/(1+y) + 1/(1+z) >=1 com xyz=8. Ora, pela desigualdade das médias, a média aritmética de x, y, z é maior ou igual à geométrica, que vale 2. Logo, x+y+z é maior ou igual a 6. x, y E z são raízes de uma equação do terceiro grau, t^3-A.t^2+B.t-8=0 , na qual A=x+y+z>=6 e B=xy+yz+xz>0. Pondo w=1+t, 1+x,1+y e 1+z serão raízes de w^3-(A+3)w^2+(3+2A+B)-(A+B+9)=0 1/(1+x)+1/(1+y)+1/(1+z)= (3+2A+B)/(A+B+9)= 1+ (A-6)/(A+B+9) que é maior ou igual a 1 pois A>=6. O.K. Desculpem a besteira anterior. Morgado From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 28 22:40:54 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA20866 for obm-l-list; Fri, 28 Jul 2000 22:40:54 -0300 Received: from srv12-sao.sao.terra.com.br (srv12-sao.sao.terra.com.br [200.246.248.67]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA20863 for ; Fri, 28 Jul 2000 22:40:47 -0300 Received: from srv11-sao.sao.terra.com.br (srv11-sao.sao.terra.com.br [200.246.248.66]) by srv12-sao.sao.terra.com.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA21291 for ; Fri, 28 Jul 2000 22:40:16 -0300 Received: from lbm.com.br (dl-max1-idt-C8D5A666.idt.terra.com.br [200.213.166.102]) by srv11-sao.sao.terra.com.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id WAA17233 for ; Fri, 28 Jul 2000 22:40:15 -0300 Message-ID: <3982359E.A3E07BD7@lbm.com.br> Date: Fri, 28 Jul 2000 22:38:38 -0300 From: Ponce X-Mailer: Mozilla 4.72 [en] (Win98; I) X-Accept-Language: pt-BR,en-US,en MIME-Version: 1.0 To: "obm-l@mat.puc-rio.br" Subject: Latex Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caros amigos, A seguinte página: http://members.es.tripod.de/bausela/ vocês podem encontrar um sistema Latex para Windows, como também para Unix. Um abraço PONCE O Latex permite editar qualquer tipo de fórmula matemática é de qualidade bem superior ao editor de equações do Microsoft Word de Office From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Fri Jul 28 23:06:30 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA20985 for obm-l-list; Fri, 28 Jul 2000 23:06:30 -0300 Received: from ceiun01.elogica.com.br (quasar.elogica.com.br [200.249.220.40]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA20980 for ; Fri, 28 Jul 2000 23:06:21 -0300 Received: from zealvino (host-219-94 [200.249.219.94]) by ceiun01.elogica.com.br (8.9.0/8.9.3) with SMTP id XAA08591 for ; Fri, 28 Jul 2000 23:04:36 -0300 Message-ID: <000b01bff901$452ca320$5edbf9c8@zealvino.elogica.com.br> From: "=?iso-8859-1?Q?Jos=E9_Alvino?=" To: Subject: Agradecimento Date: Fri, 28 Jul 2000 21:04:19 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_0023_01BFF8D7.6553A1A0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.3110.5 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.3110.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0023_01BFF8D7.6553A1A0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Gostaria de agradecer a todos que procuraram me ajudar na quest=E3o. Um abra=E7o=20 Alvino ------=_NextPart_000_0023_01BFF8D7.6553A1A0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Gostaria de agradecer a todos que procuraram me ajudar na=20 questão.
 
Um abraço
 
Alvino
 
------=_NextPart_000_0023_01BFF8D7.6553A1A0-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 29 00:36:15 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id AAA21366 for obm-l-list; Sat, 29 Jul 2000 00:36:15 -0300 Received: from hotmail.com (oe31.law10.hotmail.com [64.4.14.88]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id AAA21363 for ; Sat, 29 Jul 2000 00:36:05 -0300 Received: (qmail 32008 invoked by uid 65534); 29 Jul 2000 03:34:32 -0000 Message-ID: <20000729033432.32007.qmail@hotmail.com> X-Originating-IP: [200.193.205.243] From: "Jorge Peixoto Morais" To: Subject: =?iso-8859-1?Q?Re:d=FAvida?= Date: Fri, 28 Jul 2000 22:42:47 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_00DB_01BFF8E5.27098DC0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2919.6600 Disposition-Notification-To: "Jorge Peixoto Morais" X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2919.6600 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_00DB_01BFF8E5.27098DC0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Caro Alexandre A demonstra=E7=E3o da desigualdade = "quadr=E1tica>aritm=E9tica>geom=E9trica>harm=F4nica" est=E1 na Eureka 5. = Ela =E9 simples, por=E9m um pouco grande, e, como pode-se (e deve-se) = obter as Eurekas de 1 a 7 no www.obm.org.br, =E9 mais f=E1cil que voc=EA = leia o artigo "Desigualdades elementares", com outras desigualdades = importantes. ------=_NextPart_000_00DB_01BFF8E5.27098DC0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Caro Alexandre
       =20             A = demonstra=E7=E3o da=20 desigualdade = "quadr=E1tica>aritm=E9tica>geom=E9trica>harm=F4nica" est=E1 na=20 Eureka 5. Ela =E9 simples, por=E9m um pouco grande, e, como pode-se (e = deve-se)=20 obter as Eurekas de 1 a 7 no www.obm.org.br,=20 =E9 mais f=E1cil que voc=EA leia o artigo "Desigualdades elementares", = com outras=20 desigualdades importantes.
------=_NextPart_000_00DB_01BFF8E5.27098DC0-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 29 01:26:59 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id BAA21615 for obm-l-list; Sat, 29 Jul 2000 01:26:59 -0300 Received: from mail.iis.com.br (mail.iis.com.br [200.202.96.2]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id BAA21611 for ; Sat, 29 Jul 2000 01:26:48 -0300 Received: from marcio (rio-as3-tty02.iis.com.br [200.202.97.50]) by mail.iis.com.br (8.9.3/8.9.3/1.1.1.9) with SMTP id BAA02795 for ; Sat, 29 Jul 2000 01:26:12 -0300 From: "Marcio" To: Subject: =?iso-8859-1?Q?RES:_d=FAvida?= Date: Sat, 29 Jul 2000 01:25:35 -0300 Message-ID: MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 (Normal) X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook IMO, Build 9.0.2416 (9.0.2910.0) X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Importance: Normal In-Reply-To: <001501bff8f1$d3e88120$1408140a@wnetrj.com.br> Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br E ai Alexandre! Quanto tempo! Essa eh a demonstracao mais legal que eu ja vi das desigualdades entre essas 3 medias.. Primeiro vamos mostrar que MA >= MG: Considere n números positivos. Chame-os de x1, x2, ..., xn de modo que x1= G^n > x1x1...x1 = x1^n => G>x1!) Portanto, temos (G-x1) >= 0 e (G-xn)=<0. Ou seja, (G-x1)(G-xn) =< 0 => G^2 - (x1+xn)G + x1xn =< 0 => (x1xn)/G + G =< x1+xn. Concluimos que a media aritmetica dos novos n numeros nao aumenta (ja que sua soma nao aumenta). Agora, repare que, quando fazemos essa operação, passamos a ter no maximo n-1 numeros diferentes de G. Seja S1 a soma desses novos n numeros. Entao, S1 =< S0 Repetindo essa operação com os novos n numeros, passamos a ter no maximo n-2 diferentes de G (pois o maior nunca vai ser o proprio G, exceto quando forem todos iguais a G), sendo que a nova soma nao aumenta, ou seja, S2 =< S1. Podemos repetir esse processo ate que todos os numeros tornem-se iguais a G (serao necessarias no maximo n interaçoes, pois ai ja teriamos n-n = 0 numeros diferentes de G). Eh claro que nesse caso a soma dos numeros vale nG. Portanto, nG = Sn =< Sn-1 =< ... =< S2 =< S1 =< S0 = x1+x2+...+xn donde G =< (x1+x2+...+xn)/n De posse da desigualdade MA => MG, bas aplica-la aos numeros 1/x1, 1/x2, ..., 1/xn para concluir que vale MH =< MG. -----Mensagem original----- De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Alexandre F. Terezan Enviada em: Sexta-feira, 28 de Julho de 2000 21:13 Para: OBM Assunto: dúvida Qual a demonstração das desigualdades das médias aritmética, geométrica e harmônica? From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 29 03:24:20 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id DAA21901 for obm-l-list; Sat, 29 Jul 2000 03:24:20 -0300 Received: from hotmail.com (f24.law9.hotmail.com [64.4.9.24]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id DAA21898 for ; Sat, 29 Jul 2000 03:24:11 -0300 Received: (qmail 11447 invoked by uid 0); 29 Jul 2000 06:23:36 -0000 Message-ID: <20000729062336.11446.qmail@hotmail.com> Received: from 200.198.157.119 by www.hotmail.com with HTTP; Fri, 28 Jul 2000 23:23:36 PDT X-Originating-IP: [200.198.157.119] From: "Ecass Dodebel" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Pergunta solta Date: Sat, 29 Jul 2000 06:23:36 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá, Eu tenho uma pergunta meio solta, estava vendo no Maple V a funcao s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2 Sabe-se que lim(n->+inf) s(n) = Pi^2/6, eu estava tentando calcular pi por essa funcao, e cheguei a um resultado bem interessante: Pi - (6*s(n))^(1/2) < n^(-1) E também acho que o quociente [Pi - (6*s(n))^(1/2)] / [n^(-1)] tende para 1 quando n tende para o infinito. Não tenho idéia alguma de como provar esses resultados, alguém poderia dar uma idéia? Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 29 08:43:21 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id IAA22377 for obm-l-list; Sat, 29 Jul 2000 08:43:21 -0300 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.128]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id IAA22374 for ; Sat, 29 Jul 2000 08:43:14 -0300 Received: from centroin.com.br (du60c.rjo.centroin.com.br [200.225.58.60]) by trex.centroin.com.br (8.10.1/8.10.1) with ESMTP id e6TBggd03160 for ; Sat, 29 Jul 2000 08:42:42 -0300 (EST) Message-ID: <3982C412.C38CCF@centroin.com.br> Date: Sat, 29 Jul 2000 08:46:27 -0300 From: Augusto Morgado X-Mailer: Mozilla 4.73 [en] (Win95; I) X-Accept-Language: en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Desigualdades Content-Type: text/plain; charset=x-user-defined Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > "Alexandre F. Terezan" wrote: > > Qual a demonstração das desigualdades das médias aritmética, > geométrica e harmônica? Na minha opinião, a demonstração de Cauchy é insuperável. Para provar que a aritmética é maior ou igual à geométrica, ele prova inicialmente para dois positivos, o que é fácil: (a+b)/2 - R(ab) = [(Ra-Rb)^2] /2 que é >=0. Logo, (a+b)/2 >= R(ab), onde R está significando raiz quadrada. Agora, ele prova para 4 números positivos. (a+b+c+d)/4 = [(a+b)/2 +(c+d)/2}/2 >= [R(ab) +R(cd)] /2 >= R[R(ab).R(cd)] = raiz quarta de (abcd). Repetindo o argumento, ele prova para 8, 16,..., em suma, para uma quantidade de números que seja potência de 2. Agora, para finalizar, ele cobre os buracos provando que se a desigualdade vale para n números, então ela vale para n-1 números também. Sejam os n-1 números a, b, ..., k. Sejam A e G as médias aritmética e geométrica dos n-1 números. Apliquemos a deigualdade aos n números a, b, ..., k, A. (a+b+...+k+A)/n >= raiz n de a.b....k.A {(n-1)A+A ]/n >= raiz n de [G^(n-1).A] A >= raiz n de [G^(n-1).A] Elevando os dois membros ao expoente n e simplificando, obtemos A >= G. Para provar que a harmônica é menor ou igual à geométrica, basta aplicar a deigualdade entre a aritmética e a geométrica aos inversos dos números. Morgado From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 29 11:03:23 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA22676 for obm-l-list; Sat, 29 Jul 2000 11:03:23 -0300 Received: from Servmail.abeu.com.br (Servmail.abeu.com.br [200.255.31.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA22673 for ; Sat, 29 Jul 2000 11:03:13 -0300 Received: from win2 ([200.244.145.66]) by Servmail.abeu.com.br (8.9.3/8.9.1) with SMTP id LAA31164 for ; Sat, 29 Jul 2000 11:06:49 -0300 Message-ID: <001301bff958$de257be0$0101a8c0@win2> From: "Edmilson" To: References: <20000729062336.11446.qmail@hotmail.com> Subject: Re: Pergunta solta Date: Sat, 29 Jul 2000 09:30:22 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MIMEOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá pessoal tudo bem ? Caro Ecass, Eu também dei uma olhada no Maple nesta série e fiz assim, Seja s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2 , temos que lim(n->+inf) s(n) = Pi^2/6 , como s(n) é monótona crescente, temos s(n) < Pi^2/6 , para todo n natural. Devemos mostrar que Pi - (6*s(n))^(1/2) < n^(-1) , para todo n natural. Temos que 2.Pi > n^(-1) , para todo n natural, assim, -2.Pi.n +1 < 0 , completando o quadrado temos : (n^2)*(Pi^2) - 2.Pi.n +1 < (n^2)*(Pi^2) , ou seja , (n.Pi -1)^2 < (n^2)*(Pi^2), assim, como (n.Pi -1)^2 < (n^2)*(Pi^2) = n².6.Pi²/6 < (n^2)*6*s(n)=6*(n^2)*s(n), temos : (n.Pi -1)^2 < 6*(n^2)*s(n), ou seja, n.Pi - (6*(n^2)*s(n))^(1/2)) < 1 , dividindo ambos os lados por n, finalmente : Pi - (6*s(n))^(1/2)) < n^(-1) , para todo n natural. Agora sobre o limite do quociente [Pi - (6*s(n))^(1/2))] / [n^(-1)] quando n tende para o infinito, eu fiz no Maple e este me deu a resposta 3 / Pi que está bem próximo de 1. Esta parte eu deixo para os nossos colegas mostrarem (porque eu ainda não consegui). Atenciosamente, Edmilson Aleixo. ----- Original Message ----- From: Ecass Dodebel To: Sent: Saturday, July 29, 2000 3:23 AM Subject: Pergunta solta > Olá, > > Eu tenho uma pergunta meio solta, estava vendo no Maple V a funcao > > s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2 > > Sabe-se que lim(n->+inf) s(n) = Pi^2/6, eu estava tentando calcular pi por > essa funcao, e cheguei a um resultado bem interessante: > > Pi - (6*s(n))^(1/2) < n^(-1) > > E também acho que o quociente > > [Pi - (6*s(n))^(1/2)] / [n^(-1)] > > tende para 1 quando n tende para o infinito. > > Não tenho idéia alguma de como provar esses resultados, alguém poderia dar > uma idéia? > > Obrigado! > > Eduardo Casagrande Stabel. > > ________________________________________________________________________ > Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com > > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 29 11:23:25 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA22750 for obm-l-list; Sat, 29 Jul 2000 11:23:25 -0300 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.128]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA22747 for ; Sat, 29 Jul 2000 11:23:18 -0300 Received: from centroin.com.br (du46b.nit.centroin.com.br [200.225.56.46]) by trex.centroin.com.br (8.10.1/8.10.1) with ESMTP id e6TEMkd23425 for ; Sat, 29 Jul 2000 11:22:46 -0300 (EST) Message-ID: <3982E997.245E8326@centroin.com.br> Date: Sat, 29 Jul 2000 11:26:31 -0300 From: Augusto Morgado X-Mailer: Mozilla 4.73 [en] (Win95; I) X-Accept-Language: en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re:ajuda Content-Type: text/plain; charset=x-user-defined Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Filho wrote: > > Prove esta  desigualdade: > a^2 / ( a^2 + 2bc ) + b^2 / ( b^2 + 2ac ) + c^2 / ( c^2 + 2ab )  > = 1 > para todo > os inteiros positivos a, b e c. >   > a^2: significa a elevado a 2 > / : significa dividido Aqui vai uma versão mais bem escrita da solução como penitência pela asneira que escrevi antes. Dividindo o numerador e o denominador de cada fração pelo numerador , chega-se a c >=1 com xyz=8. Ora, pela desigualdade das médias, a média aritmética de x, y, z é maior ou igual à geométrica, que vale 2. Logo, x+y+z é maior ou igual a 6. Fazendo a soma das frações em 1/(1+x) + 1/(1+y) + 1/(1+z) obtemos (3+2S+T)/(1+S+T+P) = (3+2S+T)/(9+S+T) onde S=x+y+z, T=xy+yz+zx e P=xyz=8. Mas (3+2S+T)/(9+S+T) = 1 + [(S-6)/(9+S+T)] que é maior ou igual a 1 porque S é maior ou igual a 6 e 9+S+T é positivo. Morgado From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 29 12:29:30 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA23057 for obm-l-list; Sat, 29 Jul 2000 12:29:30 -0300 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.128]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA23054 for ; Sat, 29 Jul 2000 12:29:23 -0300 Received: from centroin.com.br (du36c.rjo.centroin.com.br [200.225.58.36]) by trex.centroin.com.br (8.10.1/8.10.1) with ESMTP id e6TFSpd04204 for ; Sat, 29 Jul 2000 12:28:51 -0300 (EST) Message-ID: <3982F914.FAD3D709@centroin.com.br> Date: Sat, 29 Jul 2000 12:32:36 -0300 From: Augusto Morgado X-Mailer: Mozilla 4.73 [en] (Win95; I) X-Accept-Language: en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: ajuda References: <3982E997.245E8326@centroin.com.br> Content-Type: text/plain; charset=x-user-defined Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Augusto Morgado wrote: > > Filho wrote: > > > > Prove esta  desigualdade: > > a^2 / ( a^2 + 2bc ) + b^2 / ( b^2 + 2ac ) + c^2 / ( c^2 + 2ab )  > = 1 > > para todo > > os inteiros positivos a, b e c. > >   > > a^2: significa a elevado a 2 > > / : significa dividido > > Aqui vai uma versão mais bem escrita da solução como penitência pela > asneira que escrevi antes. > > Dividindo o numerador e o denominador de cada fração pelo numerador , > chega-se a 1/(1+x) + 1/(1+y) + 1/(1+z) >= 1 com xyz=8. > > Ora, pela desigualdade das médias, a média aritmética de x, y, z é maior > ou igual à geométrica, que vale 2. > Logo, x+y+z é maior ou igual a 6. > Fazendo a soma das frações em 1/(1+x) + 1/(1+y) + 1/(1+z) obtemos > (3+2S+T)/(1+S+T+P) = (3+2S+T)/(9+S+T) onde S=x+y+z, T=xy+yz+zx e > P=xyz=8. > Mas (3+2S+T)/(9+S+T) = 1 + [(S-6)/(9+S+T)] que é maior ou igual a 1 > porque S é maior ou igual a 6 e 9+S+T é positivo. > > Morgado From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 29 12:45:25 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA23127 for obm-l-list; Sat, 29 Jul 2000 12:45:25 -0300 Received: from nt.riomaster.com.br (smtp.riomaster.com.br [200.244.140.2]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA23124 for ; Sat, 29 Jul 2000 12:45:17 -0300 Received: from denise (NT [200.244.140.131]) by nt.riomaster.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.1960.3) id PY3N8GSA; Sat, 29 Jul 2000 12:35:09 -0300 Message-ID: <004201bff974$6efc1500$0400a8c0@denise> From: "Luis Lopes" To: References: <3982E997.245E8326@centroin.com.br> Subject: Re: Re:ajuda Date: Sat, 29 Jul 2000 12:48:00 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caro Morgado, Suas mensagens chegam com muito "lixo", tornando-as muito difi'cil de serem lidas. De tal modo que n~ao posso acompanhar suas resolu,c~oes. O mesmo acontece com mais algue'm? Luís -----Mensagem Original----- De: Augusto Morgado Para: Enviada em: Sábado, 29 de Julho de 2000 11:26 Assunto: Re:ajuda > The Microsoft Exchange Server received an Internet message that could > not be processed. To view the original message content, open the > attached message. <> > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 29 12:56:44 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA23195 for obm-l-list; Sat, 29 Jul 2000 12:56:44 -0300 Received: from mail.tvalink.com.br ([200.212.26.193]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA23192 for ; Sat, 29 Jul 2000 12:56:35 -0300 Received: from mparaujo (200.214.36.227) by mail.tvalink.com.br (NPlex 4.0.065) id 397F0CF200012273 for obm-l@mat.puc-rio.br; Sat, 29 Jul 2000 12:56:15 -0300 Message-ID: <001d01bff976$e005d900$e324d6c8@mparaujo> From: "Marcos Paulo" To: References: <001501bff8f1$d3e88120$1408140a@wnetrj.com.br> Subject: =?iso-8859-1?Q?Re:_d=FAvida?= Date: Sat, 29 Jul 2000 13:05:53 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_001A_01BFF95D.BA219120" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2919.6600 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2919.6600 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_001A_01BFF95D.BA219120 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Uma demonstra=E7=E3o simples de que a m=E9dia geom=E9trica =E9 menor ou = igual a m=E9dia aritm=E9tica =E9 a seguinte: Dados "a" e "b" doi n=FAmeros quaiquer sempre podemos tra=E7ar um = c=EDrculo de diametro "a + b". tra=E7amos perpendicularmente a esse = diametro uma corda que o divida em segmentos de comprimentos "a" e "b". = A ordenada (segmento que une a interse=E7=E3o da corda com o diametro = com a interse=E7=E3o da corda com o c=EDculo) tem comprimento igual a = m=E1dia GEOMETRICA de a e b =3D> A corda tem comprimento igual ao dobro = de G(a, b). Como o Diametro =E9 a maior cor da que podemos tracar na = circunferencia, temos que (a + b) > ou =3D 2 X G(a, b) =3D> G(a, b) < = ou =3D A(a, b). Note que a igualdade funciona se a =3D b, pois a corda = seria um diametro tambem. []'s MP ----- Original Message -----=20 From: Alexandre F. Terezan=20 To: OBM=20 Sent: Friday, July 28, 2000 9:13 PM Subject: d=FAvida Qual a demonstra=E7=E3o das desigualdades das m=E9dias aritm=E9tica, = geom=E9trica e harm=F4nica? ------=_NextPart_000_001A_01BFF95D.BA219120 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Uma demonstra=E7=E3o simples de = que a m=E9dia=20 geom=E9trica =E9  menor ou igual a m=E9dia aritm=E9tica =E9 a = seguinte:
Dados "a" e "b" doi n=FAmeros quaiquer = sempre podemos=20 tra=E7ar um c=EDrculo de diametro "a + b". tra=E7amos perpendicularmente = a esse=20 diametro uma corda que o divida em segmentos de comprimentos "a" e "b". = A=20 ordenada (segmento que une a interse=E7=E3o da corda com o diametro com = a interse=E7=E3o=20 da corda com o c=EDculo) tem comprimento igual a m=E1dia = GEOMETRICA de a e=20 b =3D> A corda tem comprimento igual ao dobro de G(a, b). Como o = Diametro=20 =E9 a maior cor da que podemos tracar na circunferencia, temos que (a +=20 b) > ou =3D  2 X G(a, b) =3D> G(a, b) < ou =3D A(a, = b). Note que a=20 igualdade funciona se a =3D b, pois a corda seria um diametro = tambem.
[]'s MP
----- Original Message -----
From:=20 Alexandre F. Terezan
To: OBM
Sent: Friday, July 28, 2000 = 9:13 PM
Subject: d=FAvida

Qual a demonstra=E7=E3o das desigualdades das = m=E9dias aritm=E9tica,=20 geom=E9trica e harm=F4nica?
------=_NextPart_000_001A_01BFF95D.BA219120-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 29 14:06:36 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA23591 for obm-l-list; Sat, 29 Jul 2000 14:06:36 -0300 Received: from Euler.impa.br (euler.impa.br [147.65.1.3]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA23587 for ; Sat, 29 Jul 2000 14:06:29 -0300 Received: from [147.65.11.1] (dial01.impa.br [147.65.11.1]) by Euler.impa.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA25527 for ; Sat, 29 Jul 2000 14:06:25 -0300 (EST) X-Sender: wagner@pop.impa.br Message-Id: In-Reply-To: <004201bff974$6efc1500$0400a8c0@denise> References: <3982E997.245E8326@centroin.com.br> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Date: Sat, 29 Jul 2000 14:07:31 +0100 To: obm-l@mat.puc-rio.br From: Eduardo Wagner Subject: Re: Re:ajuda Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id OAA23588 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >Caro Morgado, > >Suas mensagens chegam com muito "lixo", tornando-as muito difi'cil de serem >lidas. De tal modo >que n~ao posso acompanhar suas resolu,c~oes. > >O mesmo acontece com mais algue'm? > >Luís > Caros amigos: concordo com Luis. Pediria ao Morgado e outros companheiros que nas mensagens por esta via, evitassem acentos, cedilhas e qualquer simbolo que estejam configurados em seu proprio computador. Abracos, W. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 29 15:29:04 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA23824 for obm-l-list; Sat, 29 Jul 2000 15:29:04 -0300 Received: from hotmail.com (f202.law9.hotmail.com [64.4.9.202]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id PAA23821 for ; Sat, 29 Jul 2000 15:28:49 -0300 Received: (qmail 52673 invoked by uid 0); 29 Jul 2000 18:28:00 -0000 Message-ID: <20000729182800.52672.qmail@hotmail.com> Received: from 200.198.157.72 by www.hotmail.com with HTTP; Sat, 29 Jul 2000 11:28:00 PDT X-Originating-IP: [200.198.157.72] From: "Ecass Dodebel" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Pergunta solta Date: Sat, 29 Jul 2000 18:28:00 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >From: "Edmilson" > >Olá pessoal tudo bem ? > >Caro Ecass, > >Eu também dei uma olhada no Maple nesta série e fiz assim, > >Seja s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2 , temos que lim(n->+inf) s(n) = Pi^2/6 , >como s(n) é monótona crescente, temos >s(n) < Pi^2/6 , para todo n natural. > >Devemos mostrar que Pi - (6*s(n))^(1/2) < n^(-1) , para todo n natural. > >Temos que 2.Pi > n^(-1) , para todo n natural, assim, -2.Pi.n +1 < 0 , >completando o quadrado temos : > >(n^2)*(Pi^2) - 2.Pi.n +1 < (n^2)*(Pi^2) , ou seja , (n.Pi -1)^2 < >(n^2)*(Pi^2), assim, como > >(n.Pi -1)^2 < (n^2)*(Pi^2) = n².6.Pi²/6 < (n^2)*6*s(n)=6*(n^2)*s(n), temos >: Caro Edmilson, nesse ponto eu acho que há um pequeno erro, você está fazendo a passagem n².6.Pi²/6 < (n^2)*6*s(n), ou seja Pi^2/6 < s(n) mas lá em cima, você havia dito justamente o contrário, que a s(n) era inferior a Pi^2/6. Isso invalida a prova, nao? Eduardo Casagrande Stabel. > >(n.Pi -1)^2 < 6*(n^2)*s(n), ou seja, > >n.Pi - (6*(n^2)*s(n))^(1/2)) < 1 , dividindo ambos os lados por n, >finalmente : > >Pi - (6*s(n))^(1/2)) < n^(-1) , para todo n natural. > >Agora sobre o limite do quociente [Pi - (6*s(n))^(1/2))] / [n^(-1)] quando >n >tende para o infinito, eu fiz no Maple e este me deu a resposta 3 / Pi que >está bem próximo de 1. > >Esta parte eu deixo para os nossos colegas mostrarem (porque eu ainda não >consegui). > >Atenciosamente, >Edmilson Aleixo. > >----- Original Message ----- >From: Ecass Dodebel >To: >Sent: Saturday, July 29, 2000 3:23 AM >Subject: Pergunta solta > > > > Olá, > > > > Eu tenho uma pergunta meio solta, estava vendo no Maple V a funcao > > > > s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2 > > > > Sabe-se que lim(n->+inf) s(n) = Pi^2/6, eu estava tentando calcular pi >por > > essa funcao, e cheguei a um resultado bem interessante: > > > > Pi - (6*s(n))^(1/2) < n^(-1) > > > > E também acho que o quociente > > > > [Pi - (6*s(n))^(1/2)] / [n^(-1)] > > > > tende para 1 quando n tende para o infinito. > > > > Não tenho idéia alguma de como provar esses resultados, alguém poderia >dar > > uma idéia? > > > > Obrigado! > > > > Eduardo Casagrande Stabel. > > > > ________________________________________________________________________ > > Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com > > > > > ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 29 16:23:03 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA24028 for obm-l-list; Sat, 29 Jul 2000 16:23:03 -0300 Received: from toole.uol.com.br (toole.uol.com.br [200.231.206.186]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA24024 for ; Sat, 29 Jul 2000 16:22:55 -0300 Received: from vivi2.uol.com.br ([200.244.101.145]) by toole.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with ESMTP id QAA01118; Sat, 29 Jul 2000 16:22:26 -0300 (BRT) Message-Id: <4.3.2.20000729154520.00a74220@pop3.uol.com.br> X-Sender: cavictor@pop3.uol.com.br (Unverified) X-Mailer: QUALCOMM Windows Eudora Version 4.3 Date: Sat, 29 Jul 2000 16:15:03 -0300 To: obm-l@mat.puc-rio.br, From: Carlos Victor Subject: =?iso-8859-1?Q?Re:_Quest=E3o_das_Olimp=EDadas?= In-Reply-To: <002e01bff858$4fece940$3ed9f9c8@zealvino.elogica.com.br> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1"; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id QAA24025 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br At 02:54 28/07/00 -0300, José Alvino wrote: >Olá pessoal! >Sou novato aqui na lista e gostaria que alguém me ajudasse numa questão ou >me informasse onde posso encontrar sua resolução. É a questão 10 da 1a >fase junior de 97: > > >Se p e q são inteiros positivos tais que 7/10 < p/q < 11/15 , o menor >valor que q pode ter é: > >A) 6 B) 7 C) 25 D) 30 E) 60 > Agradeço antecipadamente. > > Oi José Alvino , 15p<11q e 10p>7q . Podemos então fazer : 10p = 7q + b e 15p = 11q - a ; portanto q = 3b + 2a e p = ( 11b + 7a)/5 . O menor q tal que p seja inteiro é para a=2 e b=1 , em que teremos p=5 e q =7 ou seja opção B. Confira as contas , ok ? Abraços , Carlos Victor From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 29 18:04:51 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA24273 for obm-l-list; Sat, 29 Jul 2000 18:04:51 -0300 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.128]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA24270 for ; Sat, 29 Jul 2000 18:04:44 -0300 Received: from centroin.com.br (du50c.rjo.centroin.com.br [200.225.58.50]) by trex.centroin.com.br (8.10.1/8.10.1) with ESMTP id e6TL4Cd28836 for ; Sat, 29 Jul 2000 18:04:12 -0300 (EST) Message-ID: <398347AD.3F5F9766@centroin.com.br> Date: Sat, 29 Jul 2000 18:07:57 -0300 From: Augusto Morgado X-Mailer: Mozilla 4.73 [en] (Win95; I) X-Accept-Language: en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Pergunta solta References: <20000729182800.52672.qmail@hotmail.com> Content-Type: text/plain; charset=x-user-defined Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Ecass Dodebel wrote: > > >From: "Edmilson" > > > >Olá pessoal tudo bem ? > > > >Caro Ecass, > > > >Eu também dei uma olhada no Maple nesta série e fiz assim, > > > >Seja s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2 , temos que lim(n->+inf) s(n) = Pi^2/6 , > >como s(n) é monótona crescente, temos > >s(n) < Pi^2/6 , para todo n natural. > > > >Devemos mostrar que Pi - (6*s(n))^(1/2) < n^(-1) , para todo n natural. > > > >Temos que 2.Pi > n^(-1) , para todo n natural, assim, -2.Pi.n +1 < 0 , > >completando o quadrado temos : > > > >(n^2)*(Pi^2) - 2.Pi.n +1 < (n^2)*(Pi^2) , ou seja , (n.Pi -1)^2 < > >(n^2)*(Pi^2), assim, como > > > >(n.Pi -1)^2 < (n^2)*(Pi^2) = n².6.Pi²/6 < (n^2)*6*s(n)=6*(n^2)*s(n), temos > >: > > Caro Edmilson, > nesse ponto eu acho que há um pequeno erro, você está fazendo a passagem > n².6.Pi²/6 < (n^2)*6*s(n), ou seja > Pi^2/6 < s(n) > mas lá em cima, você havia dito justamente o contrário, que a s(n) era > inferior a Pi^2/6. Isso invalida a prova, nao? > > Eduardo Casagrande Stabel. > > > > >(n.Pi -1)^2 < 6*(n^2)*s(n), ou seja, > > > >n.Pi - (6*(n^2)*s(n))^(1/2)) < 1 , dividindo ambos os lados por n, > >finalmente : > > > >Pi - (6*s(n))^(1/2)) < n^(-1) , para todo n natural. > > > >Agora sobre o limite do quociente [Pi - (6*s(n))^(1/2))] / [n^(-1)] quando > >n > >tende para o infinito, eu fiz no Maple e este me deu a resposta 3 / Pi que > >está bem próximo de 1. > > > >Esta parte eu deixo para os nossos colegas mostrarem (porque eu ainda não > >consegui). > > > >Atenciosamente, > >Edmilson Aleixo. > > > >----- Original Message ----- > >From: Ecass Dodebel > >To: > >Sent: Saturday, July 29, 2000 3:23 AM > >Subject: Pergunta solta > > > > > > > Olá, > > > > > > Eu tenho uma pergunta meio solta, estava vendo no Maple V a funcao > > > > > > s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2 > > > > > > Sabe-se que lim(n->+inf) s(n) = Pi^2/6, eu estava tentando calcular pi > >por > > > essa funcao, e cheguei a um resultado bem interessante: > > > > > > Pi - (6*s(n))^(1/2) < n^(-1) > > > > > > E também acho que o quociente > > > > > > [Pi - (6*s(n))^(1/2)] / [n^(-1)] > > > > > > tende para 1 quando n tende para o infinito. > > > > > > Não tenho idéia alguma de como provar esses resultados, alguém poderia > >dar > > > uma idéia? > > > > > > Obrigado! > > > > > > Eduardo Casagrande Stabel. Carissimos: A soma dos valores de 1/(n^2) com n variando de k ate infinito sera chamada de Sk. Se voces desenharem a curva y=1/(x^2), pensem no problema de calcular a area Ak entre essa curva e o eixo dos x, a partir (a direita) de x=k. A area esta compreendida entre uma aproximaçao inferior e uma superior obtidas do jeito que vou descrever: Vamos calcular a area de k a infinito como soma das areas de k a k+1, mais a de k+1 a k+2 etc. Na aproximaçao inferior, trocamos a area de k a k+1 pela area de um retangulo obtido trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal y=(1/(k+1))^2, trocamos a area de k+1 a k+2 por um retangulo obtido trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal y=(1/(k+2))^2 etc. Na aproximaçao superior, trocamos a area de k a k+1 pela area de um retangulo obtido trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal y=(1/k)^2, trocamos a area de k+1 a k+2 por um retangulo obtido trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal y=(1/(k+1))^2 etc. Obtemos Sk - 1/(k^2) < Ak < Sk. Muito bem. Vamos calcular agora a soma dos valores de 1/n^2 com n variando de 1 a infinito. Quando aproximamos essa soma, que sabemos ser igual a pi ao quadrado sobre 6, pela soma com n variando de 1 ate k, o erro cometido eh a soma dos valores de 1/n^2 com n variando de k+1 a infinito, ou seja eh S(k+1). Pelo resultado do paragrafo anterior, Ak < Sk < 1/(k^2)+ Ak, ou o que eh o mesmo, A(k+1) < S(k+1) < 1/((k+1)^2)+ A(k+1). Acontece que A(k+1) = 1/(k+1) (isso eh uma integral facil de calcular). Logo, S(k+1) esta compreendido entre 1/(k+1) e 1/(k+1) + 1/(k+1)^2 = (k+2)/(k+1)^2. Portanto, X=1+1/4+...+1/n^2 eh menor que pi ao quadrado sobre 6 com erro menor que (n+2)/(n+1)^2. X < (pi^2)/6 < X +(n+2)/(n+1)^2. Dai se obtem (raiz de 6X)< pi < raiz de [6X+ (6(n+2)/(n+1)^2)]. Esta ultima expressao se prova com certa facilidade que e menor que a soma de raiz de 6X com 1/n, que eh o que voces estavam querendo provar. Para provar isso basta provar, ja que sao positivos, que o quadrado do primeiro, isto eh, 6X+ (6(n+2)/(n+1)^2), eh menor que o quadrado do segundo, isto eh, 6X + 1/n^2 + 2(raiz de 6X)/n. Isso equivale a mostrar que (6(n+2)/(n+1)^2) -1/n^2 eh menor que 2(raiz de 6X)/n ou o que eh o mesmo que [6n^3+11n^2-2n-1]/[n.n.(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X)/n ou o que eh o mesmo que [6n^3+11n^2-2n-1]/[n.(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X) ou ainda que 6- [(n^2+8n+1)/n(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X). O primeiro é sempre menor que 6. Se mostrarmos que o segundo eh maior que 6, ponto final. O segundo ser maior que 6 equivale a X>1,5, o que ocorre para todo n a partir de 7 inclusive ( e talvez ate ocorra antes, eh so verificar).De qualquer modo, o resultado que voces queriam vale para n a partir de 7 inclusive. PS: Onde se arranja um Maple baratinho? From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 29 19:46:46 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA24521 for obm-l-list; Sat, 29 Jul 2000 19:46:46 -0300 Received: from toole.uol.com.br (toole.uol.com.br [200.231.206.186]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA24518 for ; Sat, 29 Jul 2000 19:46:38 -0300 Received: from marcos ([200.217.159.170]) by toole.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with SMTP id TAA20130 for ; Sat, 29 Jul 2000 19:46:05 -0300 (BRT) Message-ID: <000b01bff9b0$67e6c300$aa9fd9c8@marcos> From: "Alexandre Chaves" To: References: <000b01bff01e$10467000$aca8d4c8@mjsanto> <3.0.6.32.20000719082534.007c26f0@pop-gw.zip.net> <009501bff1c1$744dc860$0400a8c0@denise> Subject: Retirar meu E - mail Date: Sat, 29 Jul 2000 19:57:04 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 7bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2919.6600 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2919.6600 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Retirem meu E - Mail desta lista, por favor...... From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 29 20:45:28 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA24674 for obm-l-list; Sat, 29 Jul 2000 20:45:28 -0300 Received: from hotmail.com (f276.law9.hotmail.com [64.4.8.151]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id UAA24671 for ; Sat, 29 Jul 2000 20:45:09 -0300 Received: (qmail 54465 invoked by uid 0); 29 Jul 2000 23:44:32 -0000 Message-ID: <20000729234432.54464.qmail@hotmail.com> Received: from 200.244.117.218 by www.hotmail.com with HTTP; Sat, 29 Jul 2000 16:44:32 PDT X-Originating-IP: [200.244.117.218] From: "Alexandre Gomes" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Questões Date: Sat, 29 Jul 2000 16:44:32 PDT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Tenho algumas questões. Será que alguém me dá um auxílio? 1)Numa sequência finita de números reais a soma de quaisquer sete termos sucessivos é negativa e a soma de onze quaisquer termos sucessivos é positiva. Determine o número máximo de termos na sequência. 2)Seja P_1(x)=x^2-2 e P_(i+1)=P1(Pi(x)) para i=1,2,3,... Mostre que as raízes de P_n(x)=x são números reais e distintos para todo n. 3)Encontre todos os números naturais n tais que o produto de seus dígitos seja n^2-10n-22. Obrigado! ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 29 23:37:48 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA25030 for obm-l-list; Sat, 29 Jul 2000 23:37:48 -0300 Received: from hotmail.com (f133.law3.hotmail.com [209.185.241.133]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA25027 for ; Sat, 29 Jul 2000 23:37:34 -0300 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Sat, 29 Jul 2000 19:36:45 -0700 Received: from 200.190.162.177 by lw3fd.law3.hotmail.msn.com with HTTP; Sun, 30 Jul 2000 GMT X-Originating-IP: [200.190.162.177] From: "Marcelo Souza" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Pergunta solta Date: Sun, 30 Jul 2000 02:36:45 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 30 Jul 2000 02:36:45.0803 (UTC) FILETIME=[00E223B0:01BFF9CF] Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br desculpa a ignorância, mas o que é um "maple"???? obrigado abraços marcelo >From: Augusto Morgado >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: obm-l@mat.puc-rio.br >Subject: Re: Pergunta solta >Date: Sat, 29 Jul 2000 18:07:57 -0300 > > > >Ecass Dodebel wrote: > > > > >From: "Edmilson" > > > > > >Olá pessoal tudo bem ? > > > > > >Caro Ecass, > > > > > >Eu também dei uma olhada no Maple nesta série e fiz assim, > > > > > >Seja s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2 , temos que lim(n->+inf) s(n) = Pi^2/6 >, > > >como s(n) é monótona crescente, temos > > >s(n) < Pi^2/6 , para todo n natural. > > > > > >Devemos mostrar que Pi - (6*s(n))^(1/2) < n^(-1) , para todo n >natural. > > > > > >Temos que 2.Pi > n^(-1) , para todo n natural, assim, -2.Pi.n +1 < 0 , > > >completando o quadrado temos : > > > > > >(n^2)*(Pi^2) - 2.Pi.n +1 < (n^2)*(Pi^2) , ou seja , (n.Pi -1)^2 < > > >(n^2)*(Pi^2), assim, como > > > > > >(n.Pi -1)^2 < (n^2)*(Pi^2) = n².6.Pi²/6 < (n^2)*6*s(n)=6*(n^2)*s(n), >temos > > >: > > > > Caro Edmilson, > > nesse ponto eu acho que há um pequeno erro, você está fazendo a passagem > > n².6.Pi²/6 < (n^2)*6*s(n), ou seja > > Pi^2/6 < s(n) > > mas lá em cima, você havia dito justamente o contrário, que a s(n) era > > inferior a Pi^2/6. Isso invalida a prova, nao? > > > > Eduardo Casagrande Stabel. > > > > > > > >(n.Pi -1)^2 < 6*(n^2)*s(n), ou seja, > > > > > >n.Pi - (6*(n^2)*s(n))^(1/2)) < 1 , dividindo ambos os lados por n, > > >finalmente : > > > > > >Pi - (6*s(n))^(1/2)) < n^(-1) , para todo n natural. > > > > > >Agora sobre o limite do quociente [Pi - (6*s(n))^(1/2))] / [n^(-1)] >quando > > >n > > >tende para o infinito, eu fiz no Maple e este me deu a resposta 3 / Pi >que > > >está bem próximo de 1. > > > > > >Esta parte eu deixo para os nossos colegas mostrarem (porque eu ainda >não > > >consegui). > > > > > >Atenciosamente, > > >Edmilson Aleixo. > > > > > >----- Original Message ----- > > >From: Ecass Dodebel > > >To: > > >Sent: Saturday, July 29, 2000 3:23 AM > > >Subject: Pergunta solta > > > > > > > > > > Olá, > > > > > > > > Eu tenho uma pergunta meio solta, estava vendo no Maple V a funcao > > > > > > > > s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2 > > > > > > > > Sabe-se que lim(n->+inf) s(n) = Pi^2/6, eu estava tentando calcular >pi > > >por > > > > essa funcao, e cheguei a um resultado bem interessante: > > > > > > > > Pi - (6*s(n))^(1/2) < n^(-1) > > > > > > > > E também acho que o quociente > > > > > > > > [Pi - (6*s(n))^(1/2)] / [n^(-1)] > > > > > > > > tende para 1 quando n tende para o infinito. > > > > > > > > Não tenho idéia alguma de como provar esses resultados, alguém >poderia > > >dar > > > > uma idéia? > > > > > > > > Obrigado! > > > > > > > > Eduardo Casagrande Stabel. > >Carissimos: >A soma dos valores de 1/(n^2) com n variando de k ate infinito sera >chamada de Sk. > >Se voces desenharem a curva y=1/(x^2), pensem no problema de calcular a >area Ak entre essa curva e o eixo dos x, a partir (a direita) de x=k. >A area esta compreendida entre uma aproximaçao inferior e uma superior >obtidas do jeito que vou descrever: >Vamos calcular a area de k a infinito como soma das areas de k a k+1, >mais a de k+1 a k+2 etc. >Na aproximaçao inferior, trocamos a area de k a k+1 pela area de um >retangulo obtido trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal >y=(1/(k+1))^2, trocamos a area de k+1 a k+2 por um retangulo obtido >trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal y=(1/(k+2))^2 etc. >Na aproximaçao superior, trocamos a area de k a k+1 pela area de um >retangulo obtido trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal >y=(1/k)^2, trocamos a area de k+1 a k+2 por um retangulo obtido trocando >nesse intervalo a curva por uma horizontal y=(1/(k+1))^2 etc. >Obtemos Sk - 1/(k^2) < Ak < Sk. > >Muito bem. Vamos calcular agora a soma dos valores de 1/n^2 com n >variando de 1 a infinito. Quando aproximamos essa soma, que sabemos ser >igual a pi ao quadrado sobre 6, pela soma com n variando de 1 ate k, o >erro >cometido eh a soma dos valores de 1/n^2 com n variando de k+1 a >infinito, >ou seja eh S(k+1). >Pelo resultado do paragrafo anterior, Ak < Sk < 1/(k^2)+ Ak, ou o que >eh o >mesmo, A(k+1) < S(k+1) < 1/((k+1)^2)+ A(k+1). >Acontece que A(k+1) = 1/(k+1) (isso eh uma integral facil de calcular). >Logo, S(k+1) esta compreendido entre 1/(k+1) e >1/(k+1) + 1/(k+1)^2 = (k+2)/(k+1)^2. > >Portanto, X=1+1/4+...+1/n^2 eh menor que pi ao quadrado sobre 6 com >erro >menor que (n+2)/(n+1)^2. > >X < (pi^2)/6 < X +(n+2)/(n+1)^2. > >Dai se obtem (raiz de 6X)< pi < raiz de [6X+ (6(n+2)/(n+1)^2)]. >Esta ultima expressao se prova com certa facilidade que e menor que a >soma de >raiz de 6X com 1/n, que eh o que voces estavam querendo provar. >Para provar isso basta provar, ja que sao positivos, que o quadrado do >primeiro, >isto eh, 6X+ (6(n+2)/(n+1)^2), eh menor que o quadrado do segundo, isto >eh, >6X + 1/n^2 + 2(raiz de 6X)/n. Isso equivale a mostrar que >(6(n+2)/(n+1)^2) -1/n^2 eh menor que 2(raiz de 6X)/n ou o que eh o >mesmo que > >[6n^3+11n^2-2n-1]/[n.n.(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X)/n ou o que >eh o mesmo >que [6n^3+11n^2-2n-1]/[n.(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X) ou >ainda que 6- [(n^2+8n+1)/n(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X). >O primeiro é sempre menor que 6. Se mostrarmos que o segundo eh maior >que 6, ponto final. O segundo ser maior que 6 equivale a X>1,5, o que >ocorre para todo n a partir de 7 inclusive ( e talvez ate ocorra antes, >eh so verificar).De qualquer modo, o resultado que voces queriam vale >para n a partir de 7 inclusive. > >PS: Onde se arranja um Maple baratinho? ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sat Jul 29 23:55:51 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA25065 for obm-l-list; Sat, 29 Jul 2000 23:55:51 -0300 Received: from cnl.prover.com.br ([200.202.255.194]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA25062 for ; Sat, 29 Jul 2000 23:55:41 -0300 Received: from default ([200.202.255.237]) by cnl.prover.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id XAA00238 for ; Sat, 29 Jul 2000 23:55:02 -0300 From: "Douglas C. Andrade" To: "=?iso-8859-1?Q?Lista_de_Matem=E1tica?=" Subject: =?iso-8859-1?Q?Teoria_dos_n=FAmeros?= Date: Sat, 22 Jun 1996 14:25:27 -0300 Message-ID: <01bb605f$ce189de0$edffcac8@default> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.71.1712.3 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.71.1712.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Gostaria de obter informações sobre um bom site de teoria dos números (com a teoria em si, exercícios, etc.) Existe? Se alguém souber me informar, ficarei grato. Douglas From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jul 30 00:47:52 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id AAA25339 for obm-l-list; Sun, 30 Jul 2000 00:47:52 -0300 Received: from cnl.prover.com.br ([200.202.255.194]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id AAA25334 for ; Sun, 30 Jul 2000 00:47:41 -0300 Received: from default ([200.202.255.237]) by cnl.prover.com.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id AAA00425 for ; Sun, 30 Jul 2000 00:47:01 -0300 From: "Douglas C. Andrade" To: Subject: Re: Pergunta solta Date: Sat, 22 Jun 1996 15:17:29 -0300 Message-ID: <01bb6067$12cddd40$edffcac8@default> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.71.1712.3 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.71.1712.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Maple é um programa profissional, de matemática. Com ele tem jeito de resolver sistemas de equações, inequações, integrais, derivadas, programação, etc... tem jeito de fazer "o diabo a 4" -----Mensagem original----- De: Marcelo Souza Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 30 de Julho de 2000 00:36 Assunto: Re: Pergunta solta >desculpa a ignorância, mas o que é um "maple"???? >obrigado >abraços >marcelo > > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jul 30 05:25:22 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id FAA25973 for obm-l-list; Sun, 30 Jul 2000 05:25:22 -0300 Received: from smtp-gw.homeshopping.com.br ([200.251.250.241]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id FAA25970 for ; Sun, 30 Jul 2000 05:25:11 -0300 Received: from mail.com (rjo-200-255-84-109.homeshopping.com.br [200.255.84.109]) by smtp-gw.homeshopping.com.br (8.10.2/8.10.2) with ESMTP id e6U8Oc114129 for ; Sun, 30 Jul 2000 05:24:38 -0300 Message-ID: <3983E5DD.F144CEA2@mail.com> Date: Sun, 30 Jul 2000 05:22:53 -0300 From: Alexandre Tessarollo X-Mailer: Mozilla 4.5 [en] (Win95; I) X-Accept-Language: en,pdf MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Pergunta solta References: Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Respondendo ao Marcelo: "Maple" é um programa de matemática que faz MUITA coisa, entre gráficos (todos os tipos), integrais, derivadas, etc. O único lugar que eu conheço e também onde comprei o meu, foi na UFRJ, no Instituto de Matemática, no CT, por R$20. Só não sei se a venda é só para alunos e professores da UFRJ ou se é aberta. Se for, não sei se é o mesmo preço. O único lugar além do IM que eu acho que possa ter é no IMPA. Alexandre Tessarollo From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jul 30 08:27:23 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id IAA26203 for obm-l-list; Sun, 30 Jul 2000 08:27:23 -0300 Received: from srv12-sao.sao.terra.com.br (srv12-sao.sao.terra.com.br [200.246.248.67]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id IAA26200 for ; Sun, 30 Jul 2000 08:27:14 -0300 Received: from srv11-sao.sao.terra.com.br (srv11-sao.sao.terra.com.br [200.246.248.66]) by srv12-sao.sao.terra.com.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id IAA27253 for ; Sun, 30 Jul 2000 08:26:40 -0300 Received: from lbm.com.br (dl-max1-idt-C8D5A653.idt.terra.com.br [200.213.166.83]) by srv11-sao.sao.terra.com.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id IAA06210 for ; Sun, 30 Jul 2000 08:26:38 -0300 Message-ID: <39841089.12F5F52E@lbm.com.br> Date: Sun, 30 Jul 2000 08:24:57 -0300 From: Ponce X-Mailer: Mozilla 4.72 [en] (Win98; I) X-Accept-Language: pt-BR,en-US,en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: ajuda References: <3982E997.245E8326@centroin.com.br> <004201bff974$6efc1500$0400a8c0@denise> Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caro Morgado e amigos da lista, Para mim as soluções do Morgado se mostram perfeitas (elegantes !!). Morgado, não se preocupe com a falha , pois o objetivo da lista, acredito eu, seja a discussão, assim é normal que ocorra a alguma falha, o que não é de todo ruim, mas saudável numa discussão de lista. Quando estamos diante do computador a nossa principal atenção é ajudar o próximo, trocar idéias,.. e isto, o mais rápido possível, assim não existe a preocupação excessiva de escrever um texto rigoroso; o que levaria um tempo maior e talvez não fosse de compreensão geral da lista. Gostaria de aproveitar o momento e a oportunidade de agradecer o trabalho de pessoas como vocês: Morgado, Wagner,Benedito, Raph, Gugu, Nicolau e outros desta lista que vem fazendo um trabalho incansável, sempre com muita atenção, paciência e carinho com os demais integrantes da lista. Eu faço parte de outras listas fora do pais, mas nenhuma é como a nossa que possuí integrantes tão ilustres como vocês e ainda três medalhistas de Ouro, sempre disponíveis, quase em tempo integral para atender, ajudar , orientar e sem nenhuma remuneração em troca. Estas coisas são invejáveis,numa época que tudo é feito por dinheiro. Gostaria, eu, que essa lista existisse em minha época de estudante!!!. Espero que continuem por muito tempo com esse trabalho inédito e fantástico. Isto sim, é cidadania. O compartilhamento verdadeiro de conhecimentos visando a disseminação da cultura matemática. Mais uma vez parabéns a todos desta lista e a vocês principalmente. PONCE Luis Lopes wrote: > Caro Morgado, > > Suas mensagens chegam com muito "lixo", tornando-as muito difi'cil de serem > lidas. De tal modo > que n~ao posso acompanhar suas resolu,c~oes. > > O mesmo acontece com mais algue'm? > > Luís > > -----Mensagem Original----- > De: Augusto Morgado > Para: > Enviada em: Sábado, 29 de Julho de 2000 11:26 > Assunto: Re:ajuda > > > The Microsoft Exchange Server received an Internet message that could > > not be processed. To view the original message content, open the > > attached message. <> > > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jul 30 12:44:21 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA26497 for obm-l-list; Sun, 30 Jul 2000 12:44:21 -0300 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.128]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA26491 for ; Sun, 30 Jul 2000 12:44:08 -0300 Received: from centroin.com.br (du100c.rjo.centroin.com.br [200.225.58.100]) by trex.centroin.com.br (8.10.1/8.10.1) with ESMTP id e6UEuld09341 for ; Sun, 30 Jul 2000 11:56:47 -0300 (EST) Message-ID: <39844312.D3B3621A@centroin.com.br> Date: Sun, 30 Jul 2000 12:00:34 -0300 From: Augusto Morgado X-Mailer: Mozilla 4.73 [en] (Win95; I) X-Accept-Language: en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Pergunta solta References: <20000729182800.52672.qmail@hotmail.com> <398347AD.3F5F9766@centroin.com.br> Content-Type: text/plain; charset=x-user-defined Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Augusto Morgado wrote: > > Ecass Dodebel wrote: > > > > >From: "Edmilson" > > > > > >Olá pessoal tudo bem ? > > > > > >Caro Ecass, > > > > > >Eu também dei uma olhada no Maple nesta série e fiz assim, > > > > > >Seja s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2 , temos que lim(n->+inf) s(n) = Pi^2/6 , > > >como s(n) é monótona crescente, temos > > >s(n) < Pi^2/6 , para todo n natural. > > > > > >Devemos mostrar que Pi - (6*s(n))^(1/2) < n^(-1) , para todo n natural. > > > > > >Temos que 2.Pi > n^(-1) , para todo n natural, assim, -2.Pi.n +1 < 0 , > > >completando o quadrado temos : > > > > > >(n^2)*(Pi^2) - 2.Pi.n +1 < (n^2)*(Pi^2) , ou seja , (n.Pi -1)^2 < > > >(n^2)*(Pi^2), assim, como > > > > > >(n.Pi -1)^2 < (n^2)*(Pi^2) = n².6.Pi²/6 < (n^2)*6*s(n)=6*(n^2)*s(n), temos > > >: > > > > Caro Edmilson, > > nesse ponto eu acho que há um pequeno erro, você está fazendo a passagem > > n².6.Pi²/6 < (n^2)*6*s(n), ou seja > > Pi^2/6 < s(n) > > mas lá em cima, você havia dito justamente o contrário, que a s(n) era > > inferior a Pi^2/6. Isso invalida a prova, nao? > > > > Eduardo Casagrande Stabel. > > > > > > > >(n.Pi -1)^2 < 6*(n^2)*s(n), ou seja, > > > > > >n.Pi - (6*(n^2)*s(n))^(1/2)) < 1 , dividindo ambos os lados por n, > > >finalmente : > > > > > >Pi - (6*s(n))^(1/2)) < n^(-1) , para todo n natural. > > > > > >Agora sobre o limite do quociente [Pi - (6*s(n))^(1/2))] / [n^(-1)] quando > > >n > > >tende para o infinito, eu fiz no Maple e este me deu a resposta 3 / Pi que > > >está bem próximo de 1. > > > > > >Esta parte eu deixo para os nossos colegas mostrarem (porque eu ainda não > > >consegui). > > > > > >Atenciosamente, > > >Edmilson Aleixo. > > > > > >----- Original Message ----- > > >From: Ecass Dodebel > > >To: > > >Sent: Saturday, July 29, 2000 3:23 AM > > >Subject: Pergunta solta > > > > > > > > > > Olá, > > > > > > > > Eu tenho uma pergunta meio solta, estava vendo no Maple V a funcao > > > > > > > > s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2 > > > > > > > > Sabe-se que lim(n->+inf) s(n) = Pi^2/6, eu estava tentando calcular pi > > >por > > > > essa funcao, e cheguei a um resultado bem interessante: > > > > > > > > Pi - (6*s(n))^(1/2) < n^(-1) > > > > > > > > E também acho que o quociente > > > > > > > > [Pi - (6*s(n))^(1/2)] / [n^(-1)] > > > > > > > > tende para 1 quando n tende para o infinito. > > > > > > > > Não tenho idéia alguma de como provar esses resultados, alguém poderia > > >dar > > > > uma idéia? > > > > > > > > Obrigado! > > > > > > > > Eduardo Casagrande Stabel. > > Carissimos: > A soma dos valores de 1/(n^2) com n variando de k ate infinito sera > chamada de Sk. > > Se voces desenharem a curva y=1/(x^2), pensem no problema de calcular a > area Ak entre essa curva e o eixo dos x, a partir (a direita) de x=k. > A area esta compreendida entre uma aproximaçao inferior e uma superior > obtidas do jeito que vou descrever: > Vamos calcular a area de k a infinito como soma das areas de k a k+1, > mais a de k+1 a k+2 etc. > Na aproximaçao inferior, trocamos a area de k a k+1 pela area de um > retangulo obtido trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal > y=(1/(k+1))^2, trocamos a area de k+1 a k+2 por um retangulo obtido > trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal y=(1/(k+2))^2 etc. > Na aproximaçao superior, trocamos a area de k a k+1 pela area de um > retangulo obtido trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal > y=(1/k)^2, trocamos a area de k+1 a k+2 por um retangulo obtido trocando > nesse intervalo a curva por uma horizontal y=(1/(k+1))^2 etc. > Obtemos Sk - 1/(k^2) < Ak < Sk. > > Muito bem. Vamos calcular agora a soma dos valores de 1/n^2 com n > variando de 1 a infinito. Quando aproximamos essa soma, que sabemos ser > igual a pi ao quadrado sobre 6, pela soma com n variando de 1 ate k, o > erro > cometido eh a soma dos valores de 1/n^2 com n variando de k+1 a > infinito, > ou seja eh S(k+1). > Pelo resultado do paragrafo anterior, Ak < Sk < 1/(k^2)+ Ak, ou o que > eh o > mesmo, A(k+1) < S(k+1) < 1/((k+1)^2)+ A(k+1). > Acontece que A(k+1) = 1/(k+1) (isso eh uma integral facil de calcular). > Logo, S(k+1) esta compreendido entre 1/(k+1) e > 1/(k+1) + 1/(k+1)^2 = (k+2)/(k+1)^2. > > Portanto, X=1+1/4+...+1/n^2 eh menor que pi ao quadrado sobre 6 com > erro > menor que (n+2)/(n+1)^2. > > X < (pi^2)/6 < X +(n+2)/(n+1)^2. > > Dai se obtem (raiz de 6X)< pi < raiz de [6X+ (6(n+2)/(n+1)^2)]. > Esta ultima expressao se prova com certa facilidade que e menor que a > soma de > raiz de 6X com 1/n, que eh o que voces estavam querendo provar. > Para provar isso basta provar, ja que sao positivos, que o quadrado do > primeiro, > isto eh, 6X+ (6(n+2)/(n+1)^2), eh menor que o quadrado do segundo, isto > eh, > 6X + 1/n^2 + 2(raiz de 6X)/n. Isso equivale a mostrar que > (6(n+2)/(n+1)^2) -1/n^2 eh menor que 2(raiz de 6X)/n ou o que eh o > mesmo que > > [6n^3+11n^2-2n-1]/[n.n.(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X)/n ou o que > eh o mesmo > que [6n^3+11n^2-2n-1]/[n.(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X) ou > ainda que 6- [(n^2+8n+1)/n(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X). > O primeiro é sempre menor que 6. Se mostrarmos que o segundo eh maior > que 6, ponto final. O segundo ser maior que 6 equivale a X>1,5, o que > ocorre para todo n a partir de 7 inclusive ( e talvez ate ocorra antes, > eh so verificar).De qualquer modo, o resultado que voces queriam vale > para n a partir de 7 inclusive. > Completando: (Pi^2)/6 - X , que eh o nosso S(n+1), esta compreendido entre 1/(n+1) e 1/(n+1) + 1/(n+1)^2 = (n+2)/(n+1)^2. Escrevendo em notacao matematica essa desigualdade, somando X, multiplicando por 6 e tirando a raiz quadrada obtemos raiz de [6X+ (6/(n+1))] < Pi < raiz de [6X+ (6(n+2)/(n+1)^2)] Dai se obtem raiz de [6X+ (6/(n+1))] - raiz de 6X < Pi - raiz de 6X < < raiz de [6X+ (6(n+2)/(n+1)^2)] - raiz de 6X Multiplicando por n, obtem-se uma desigualdade para n {raiz de [6X+ (6/(n+1))] - raiz de 6X}. Eh facil provar (basta desracionalizar as duas pontas) que as duas pontas da desigualdade tendem para 3/Pi quando n tende para infinito, o que mostra que, quando n tende para infinito, n {raiz de [6X+ (6/(n+1))] - raiz de 6X} tende para 3/Pi. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jul 30 12:44:22 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA26498 for obm-l-list; Sun, 30 Jul 2000 12:44:22 -0300 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.128]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA26493 for ; Sun, 30 Jul 2000 12:44:09 -0300 Received: from centroin.com.br (du17c.rjo.centroin.com.br [200.225.58.17]) by trex.centroin.com.br (8.10.1/8.10.1) with ESMTP id e6UDlQd27807 for ; Sun, 30 Jul 2000 10:47:26 -0300 (EST) Message-ID: <398432D2.5D44594C@centroin.com.br> Date: Sun, 30 Jul 2000 10:51:14 -0300 From: Augusto Morgado X-Mailer: Mozilla 4.73 [en] (Win95; I) X-Accept-Language: en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Pergunta solta References: Content-Type: text/plain; charset=x-user-defined Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Marcelo Souza wrote: > > desculpa a ignorância, mas o que é um "maple"???? > obrigado > abraços > marcelo > > >From: Augusto Morgado > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > >To: obm-l@mat.puc-rio.br > >Subject: Re: Pergunta solta > >Date: Sat, 29 Jul 2000 18:07:57 -0300 > > > > > > > >Ecass Dodebel wrote: > > > > > > >From: "Edmilson" > > > > > > > >Olá pessoal tudo bem ? > > > > > > > >Caro Ecass, > > > > > > > >Eu também dei uma olhada no Maple nesta série e fiz assim, > > > > > > > >Seja s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2 , temos que lim(n->+inf) s(n) = Pi^2/6 > >, > > > >como s(n) é monótona crescente, temos > > > >s(n) < Pi^2/6 , para todo n natural. > > > > > > > >Devemos mostrar que Pi - (6*s(n))^(1/2) < n^(-1) , para todo n > >natural. > > > > > > > >Temos que 2.Pi > n^(-1) , para todo n natural, assim, -2.Pi.n +1 < 0 , > > > >completando o quadrado temos : > > > > > > > >(n^2)*(Pi^2) - 2.Pi.n +1 < (n^2)*(Pi^2) , ou seja , (n.Pi -1)^2 < > > > >(n^2)*(Pi^2), assim, como > > > > > > > >(n.Pi -1)^2 < (n^2)*(Pi^2) = n².6.Pi²/6 < (n^2)*6*s(n)=6*(n^2)*s(n), > >temos > > > >: > > > > > > Caro Edmilson, > > > nesse ponto eu acho que há um pequeno erro, você está fazendo a passagem > > > n².6.Pi²/6 < (n^2)*6*s(n), ou seja > > > Pi^2/6 < s(n) > > > mas lá em cima, você havia dito justamente o contrário, que a s(n) era > > > inferior a Pi^2/6. Isso invalida a prova, nao? > > > > > > Eduardo Casagrande Stabel. > > > > > > > > > > >(n.Pi -1)^2 < 6*(n^2)*s(n), ou seja, > > > > > > > >n.Pi - (6*(n^2)*s(n))^(1/2)) < 1 , dividindo ambos os lados por n, > > > >finalmente : > > > > > > > >Pi - (6*s(n))^(1/2)) < n^(-1) , para todo n natural. > > > > > > > >Agora sobre o limite do quociente [Pi - (6*s(n))^(1/2))] / [n^(-1)] > >quando > > > >n > > > >tende para o infinito, eu fiz no Maple e este me deu a resposta 3 / Pi > >que > > > >está bem próximo de 1. > > > > > > > >Esta parte eu deixo para os nossos colegas mostrarem (porque eu ainda > >não > > > >consegui). > > > > > > > >Atenciosamente, > > > >Edmilson Aleixo. > > > > > > > >----- Original Message ----- > > > >From: Ecass Dodebel > > > >To: > > > >Sent: Saturday, July 29, 2000 3:23 AM > > > >Subject: Pergunta solta > > > > > > > > > > > > > Olá, > > > > > > > > > > Eu tenho uma pergunta meio solta, estava vendo no Maple V a funcao > > > > > > > > > > s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2 > > > > > > > > > > Sabe-se que lim(n->+inf) s(n) = Pi^2/6, eu estava tentando calcular > >pi > > > >por > > > > > essa funcao, e cheguei a um resultado bem interessante: > > > > > > > > > > Pi - (6*s(n))^(1/2) < n^(-1) > > > > > > > > > > E também acho que o quociente > > > > > > > > > > [Pi - (6*s(n))^(1/2)] / [n^(-1)] > > > > > > > > > > tende para 1 quando n tende para o infinito. > > > > > > > > > > Não tenho idéia alguma de como provar esses resultados, alguém > >poderia > > > >dar > > > > > uma idéia? > > > > > > > > > > Obrigado! > > > > > > > > > > Eduardo Casagrande Stabel. > > > >Carissimos: > >A soma dos valores de 1/(n^2) com n variando de k ate infinito sera > >chamada de Sk. > > > >Se voces desenharem a curva y=1/(x^2), pensem no problema de calcular a > >area Ak entre essa curva e o eixo dos x, a partir (a direita) de x=k. > >A area esta compreendida entre uma aproximaçao inferior e uma superior > >obtidas do jeito que vou descrever: > >Vamos calcular a area de k a infinito como soma das areas de k a k+1, > >mais a de k+1 a k+2 etc. > >Na aproximaçao inferior, trocamos a area de k a k+1 pela area de um > >retangulo obtido trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal > >y=(1/(k+1))^2, trocamos a area de k+1 a k+2 por um retangulo obtido > >trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal y=(1/(k+2))^2 etc. > >Na aproximaçao superior, trocamos a area de k a k+1 pela area de um > >retangulo obtido trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal > >y=(1/k)^2, trocamos a area de k+1 a k+2 por um retangulo obtido trocando > >nesse intervalo a curva por uma horizontal y=(1/(k+1))^2 etc. > >Obtemos Sk - 1/(k^2) < Ak < Sk. > > > >Muito bem. Vamos calcular agora a soma dos valores de 1/n^2 com n > >variando de 1 a infinito. Quando aproximamos essa soma, que sabemos ser > >igual a pi ao quadrado sobre 6, pela soma com n variando de 1 ate k, o > >erro > >cometido eh a soma dos valores de 1/n^2 com n variando de k+1 a > >infinito, > >ou seja eh S(k+1). > >Pelo resultado do paragrafo anterior, Ak < Sk < 1/(k^2)+ Ak, ou o que > >eh o > >mesmo, A(k+1) < S(k+1) < 1/((k+1)^2)+ A(k+1). > >Acontece que A(k+1) = 1/(k+1) (isso eh uma integral facil de calcular). > >Logo, S(k+1) esta compreendido entre 1/(k+1) e > >1/(k+1) + 1/(k+1)^2 = (k+2)/(k+1)^2. > > > >Portanto, X=1+1/4+...+1/n^2 eh menor que pi ao quadrado sobre 6 com > >erro > >menor que (n+2)/(n+1)^2. > > > >X < (pi^2)/6 < X +(n+2)/(n+1)^2. > > > >Dai se obtem (raiz de 6X)< pi < raiz de [6X+ (6(n+2)/(n+1)^2)]. > >Esta ultima expressao se prova com certa facilidade que e menor que a > >soma de > >raiz de 6X com 1/n, que eh o que voces estavam querendo provar. > >Para provar isso basta provar, ja que sao positivos, que o quadrado do > >primeiro, > >isto eh, 6X+ (6(n+2)/(n+1)^2), eh menor que o quadrado do segundo, isto > >eh, > >6X + 1/n^2 + 2(raiz de 6X)/n. Isso equivale a mostrar que > >(6(n+2)/(n+1)^2) -1/n^2 eh menor que 2(raiz de 6X)/n ou o que eh o > >mesmo que > > > >[6n^3+11n^2-2n-1]/[n.n.(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X)/n ou o que > >eh o mesmo > >que [6n^3+11n^2-2n-1]/[n.(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X) ou > >ainda que 6- [(n^2+8n+1)/n(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X). > >O primeiro é sempre menor que 6. Se mostrarmos que o segundo eh maior > >que 6, ponto final. O segundo ser maior que 6 equivale a X>1,5, o que > >ocorre para todo n a partir de 7 inclusive ( e talvez ate ocorra antes, > >eh so verificar).De qualquer modo, o resultado que voces queriam vale > >para n a partir de 7 inclusive. > > > >PS: Onde se arranja um Maple baratinho? > > ________________________________________________________________________ > Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com É um aplicativo matematico, tipo Mathematica. From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jul 30 15:33:35 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA27071 for obm-l-list; Sun, 30 Jul 2000 15:33:35 -0300 Received: from Servmail.abeu.com.br (Servmail.abeu.com.br [200.255.31.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA27068 for ; Sun, 30 Jul 2000 15:33:27 -0300 Received: from win2 (me114.abeu.com.br [200.255.31.110]) by Servmail.abeu.com.br (8.9.3/8.9.1) with SMTP id PAA08112 for ; Sun, 30 Jul 2000 15:37:28 -0300 Message-ID: <001f01bffa48$9b3cb6e0$0101a8c0@win2> From: "Edmilson" To: References: <20000729182800.52672.qmail@hotmail.com> <398347AD.3F5F9766@centroin.com.br> <39844312.D3B3621A@centroin.com.br> Subject: Re: Pergunta solta Date: Sun, 30 Jul 2000 14:07:11 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="x-user-defined" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caro Prof. Morgado e outros amigos da lista, Uma versão "Demo" do Maple V Release 4, se encontra no endereço http://www.abeunet.com.br/~edmilson/maple.htm Com está versão demo não é possível algumas poucas coisas que são possíveis na versão registrada, como por exemplo : salvar um arquivo, copiar e colar; no entanto, é possível ter acesso ao HELP, e executar as operações como na versão completa. A partir daí, pode-se obter o "Demo" de outros software Matemáticos, inclusive o DERIVE 5. ----- Original Message ----- From: Augusto Morgado To: Sent: Sunday, July 30, 2000 12:00 PM Subject: Re: Pergunta solta > > > Augusto Morgado wrote: > > > > Ecass Dodebel wrote: > > > > > > >From: "Edmilson" > > > > > > > >Olá pessoal tudo bem ? > > > > > > > >Caro Ecass, > > > > > > > >Eu também dei uma olhada no Maple nesta série e fiz assim, > > > > > > > >Seja s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2 , temos que lim(n->+inf) s(n) = Pi^2/6 , > > > >como s(n) é monótona crescente, temos > > > >s(n) < Pi^2/6 , para todo n natural. > > > > > > > >Devemos mostrar que Pi - (6*s(n))^(1/2) < n^(-1) , para todo n natural. > > > > > > > >Temos que 2.Pi > n^(-1) , para todo n natural, assim, -2.Pi.n +1 < 0 , > > > >completando o quadrado temos : > > > > > > > >(n^2)*(Pi^2) - 2.Pi.n +1 < (n^2)*(Pi^2) , ou seja , (n.Pi -1)^2 < > > > >(n^2)*(Pi^2), assim, como > > > > > > > >(n.Pi -1)^2 < (n^2)*(Pi^2) = n².6.Pi²/6 < (n^2)*6*s(n)=6*(n^2)*s(n), temos > > > >: > > > > > > Caro Edmilson, > > > nesse ponto eu acho que há um pequeno erro, você está fazendo a passagem > > > n².6.Pi²/6 < (n^2)*6*s(n), ou seja > > > Pi^2/6 < s(n) > > > mas lá em cima, você havia dito justamente o contrário, que a s(n) era > > > inferior a Pi^2/6. Isso invalida a prova, nao? > > > > > > Eduardo Casagrande Stabel. > > > > > > > > > > >(n.Pi -1)^2 < 6*(n^2)*s(n), ou seja, > > > > > > > >n.Pi - (6*(n^2)*s(n))^(1/2)) < 1 , dividindo ambos os lados por n, > > > >finalmente : > > > > > > > >Pi - (6*s(n))^(1/2)) < n^(-1) , para todo n natural. > > > > > > > >Agora sobre o limite do quociente [Pi - (6*s(n))^(1/2))] / [n^(-1)] quando > > > >n > > > >tende para o infinito, eu fiz no Maple e este me deu a resposta 3 / Pi que > > > >está bem próximo de 1. > > > > > > > >Esta parte eu deixo para os nossos colegas mostrarem (porque eu ainda não > > > >consegui). > > > > > > > >Atenciosamente, > > > >Edmilson Aleixo. > > > > > > > >----- Original Message ----- > > > >From: Ecass Dodebel > > > >To: > > > >Sent: Saturday, July 29, 2000 3:23 AM > > > >Subject: Pergunta solta > > > > > > > > > > > > > Olá, > > > > > > > > > > Eu tenho uma pergunta meio solta, estava vendo no Maple V a funcao > > > > > > > > > > s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2 > > > > > > > > > > Sabe-se que lim(n->+inf) s(n) = Pi^2/6, eu estava tentando calcular pi > > > >por > > > > > essa funcao, e cheguei a um resultado bem interessante: > > > > > > > > > > Pi - (6*s(n))^(1/2) < n^(-1) > > > > > > > > > > E também acho que o quociente > > > > > > > > > > [Pi - (6*s(n))^(1/2)] / [n^(-1)] > > > > > > > > > > tende para 1 quando n tende para o infinito. > > > > > > > > > > Não tenho idéia alguma de como provar esses resultados, alguém poderia > > > >dar > > > > > uma idéia? > > > > > > > > > > Obrigado! > > > > > > > > > > Eduardo Casagrande Stabel. > > > > Carissimos: > > A soma dos valores de 1/(n^2) com n variando de k ate infinito sera > > chamada de Sk. > > > > Se voces desenharem a curva y=1/(x^2), pensem no problema de calcular a > > area Ak entre essa curva e o eixo dos x, a partir (a direita) de x=k. > > A area esta compreendida entre uma aproximaçao inferior e uma superior > > obtidas do jeito que vou descrever: > > Vamos calcular a area de k a infinito como soma das areas de k a k+1, > > mais a de k+1 a k+2 etc. > > Na aproximaçao inferior, trocamos a area de k a k+1 pela area de um > > retangulo obtido trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal > > y=(1/(k+1))^2, trocamos a area de k+1 a k+2 por um retangulo obtido > > trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal y=(1/(k+2))^2 etc. > > Na aproximaçao superior, trocamos a area de k a k+1 pela area de um > > retangulo obtido trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal > > y=(1/k)^2, trocamos a area de k+1 a k+2 por um retangulo obtido trocando > > nesse intervalo a curva por uma horizontal y=(1/(k+1))^2 etc. > > Obtemos Sk - 1/(k^2) < Ak < Sk. > > > > Muito bem. Vamos calcular agora a soma dos valores de 1/n^2 com n > > variando de 1 a infinito. Quando aproximamos essa soma, que sabemos ser > > igual a pi ao quadrado sobre 6, pela soma com n variando de 1 ate k, o > > erro > > cometido eh a soma dos valores de 1/n^2 com n variando de k+1 a > > infinito, > > ou seja eh S(k+1). > > Pelo resultado do paragrafo anterior, Ak < Sk < 1/(k^2)+ Ak, ou o que > > eh o > > mesmo, A(k+1) < S(k+1) < 1/((k+1)^2)+ A(k+1). > > Acontece que A(k+1) = 1/(k+1) (isso eh uma integral facil de calcular). > > Logo, S(k+1) esta compreendido entre 1/(k+1) e > > 1/(k+1) + 1/(k+1)^2 = (k+2)/(k+1)^2. > > > > Portanto, X=1+1/4+...+1/n^2 eh menor que pi ao quadrado sobre 6 com > > erro > > menor que (n+2)/(n+1)^2. > > > > X < (pi^2)/6 < X +(n+2)/(n+1)^2. > > > > Dai se obtem (raiz de 6X)< pi < raiz de [6X+ (6(n+2)/(n+1)^2)]. > > Esta ultima expressao se prova com certa facilidade que e menor que a > > soma de > > raiz de 6X com 1/n, que eh o que voces estavam querendo provar. > > Para provar isso basta provar, ja que sao positivos, que o quadrado do > > primeiro, > > isto eh, 6X+ (6(n+2)/(n+1)^2), eh menor que o quadrado do segundo, isto > > eh, > > 6X + 1/n^2 + 2(raiz de 6X)/n. Isso equivale a mostrar que > > (6(n+2)/(n+1)^2) -1/n^2 eh menor que 2(raiz de 6X)/n ou o que eh o > > mesmo que > > > > [6n^3+11n^2-2n-1]/[n.n.(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X)/n ou o que > > eh o mesmo > > que [6n^3+11n^2-2n-1]/[n.(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X) ou > > ainda que 6- [(n^2+8n+1)/n(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X). > > O primeiro é sempre menor que 6. Se mostrarmos que o segundo eh maior > > que 6, ponto final. O segundo ser maior que 6 equivale a X>1,5, o que > > ocorre para todo n a partir de 7 inclusive ( e talvez ate ocorra antes, > > eh so verificar).De qualquer modo, o resultado que voces queriam vale > > para n a partir de 7 inclusive. > > > Completando: (Pi^2)/6 - X , que eh o nosso S(n+1), esta compreendido > entre > 1/(n+1) e 1/(n+1) + 1/(n+1)^2 = (n+2)/(n+1)^2. Escrevendo em notacao > matematica essa desigualdade, somando X, multiplicando por 6 e tirando a > raiz quadrada obtemos > raiz de [6X+ (6/(n+1))] < Pi < raiz de [6X+ (6(n+2)/(n+1)^2)] > > Dai se obtem > raiz de [6X+ (6/(n+1))] - raiz de 6X < Pi - raiz de 6X < > < raiz de [6X+ (6(n+2)/(n+1)^2)] - raiz de 6X > Multiplicando por n, obtem-se uma desigualdade para > > n {raiz de [6X+ (6/(n+1))] - raiz de 6X}. > Eh facil provar (basta desracionalizar as duas pontas) que as duas > pontas da desigualdade tendem para 3/Pi > quando n tende para infinito, o que mostra que, quando n tende para > infinito, > n {raiz de [6X+ (6/(n+1))] - raiz de 6X} tende para 3/Pi. > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jul 30 16:18:02 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA27247 for obm-l-list; Sun, 30 Jul 2000 16:18:02 -0300 Received: from hotmail.com (f83.law9.hotmail.com [64.4.9.83]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id QAA27244 for ; Sun, 30 Jul 2000 16:17:46 -0300 Received: (qmail 91984 invoked by uid 0); 30 Jul 2000 19:17:02 -0000 Message-ID: <20000730191702.91983.qmail@hotmail.com> Received: from 200.198.157.80 by www.hotmail.com with HTTP; Sun, 30 Jul 2000 12:17:02 PDT X-Originating-IP: [200.198.157.80] From: "Ecass Dodebel" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Pergunta solta Date: Sun, 30 Jul 2000 19:17:02 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >From: Augusto Morgado >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: obm-l@mat.puc-rio.br >Subject: Re: Pergunta solta >Date: Sun, 30 Jul 2000 12:00:34 -0300 > > > >Augusto Morgado wrote: > > > > Ecass Dodebel wrote: > > > > > > >From: "Edmilson" > > > > > > > >Olá pessoal tudo bem ? > > > > > > > >Caro Ecass, > > > > > > > >Eu também dei uma olhada no Maple nesta série e fiz assim, > > > > > > > >Seja s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2 , temos que lim(n->+inf) s(n) = >Pi^2/6 , > > > >como s(n) é monótona crescente, temos > > > >s(n) < Pi^2/6 , para todo n natural. > > > > > > > >Devemos mostrar que Pi - (6*s(n))^(1/2) < n^(-1) , para todo n >natural. > > > > > > > >Temos que 2.Pi > n^(-1) , para todo n natural, assim, -2.Pi.n +1 < 0 >, > > > >completando o quadrado temos : > > > > > > > >(n^2)*(Pi^2) - 2.Pi.n +1 < (n^2)*(Pi^2) , ou seja , (n.Pi -1)^2 < > > > >(n^2)*(Pi^2), assim, como > > > > > > > >(n.Pi -1)^2 < (n^2)*(Pi^2) = n².6.Pi²/6 < (n^2)*6*s(n)=6*(n^2)*s(n), >temos > > > >: > > > > > > Caro Edmilson, > > > nesse ponto eu acho que há um pequeno erro, você está fazendo a >passagem > > > n².6.Pi²/6 < (n^2)*6*s(n), ou seja > > > Pi^2/6 < s(n) > > > mas lá em cima, você havia dito justamente o contrário, que a s(n) era > > > inferior a Pi^2/6. Isso invalida a prova, nao? > > > > > > Eduardo Casagrande Stabel. > > > > > > > > > > >(n.Pi -1)^2 < 6*(n^2)*s(n), ou seja, > > > > > > > >n.Pi - (6*(n^2)*s(n))^(1/2)) < 1 , dividindo ambos os lados por n, > > > >finalmente : > > > > > > > >Pi - (6*s(n))^(1/2)) < n^(-1) , para todo n natural. > > > > > > > >Agora sobre o limite do quociente [Pi - (6*s(n))^(1/2))] / [n^(-1)] >quando > > > >n > > > >tende para o infinito, eu fiz no Maple e este me deu a resposta 3 / >Pi que > > > >está bem próximo de 1. > > > > > > > >Esta parte eu deixo para os nossos colegas mostrarem (porque eu ainda >não > > > >consegui). > > > > > > > >Atenciosamente, > > > >Edmilson Aleixo. > > > > > > > >----- Original Message ----- > > > >From: Ecass Dodebel > > > >To: > > > >Sent: Saturday, July 29, 2000 3:23 AM > > > >Subject: Pergunta solta > > > > > > > > > > > > > Olá, > > > > > > > > > > Eu tenho uma pergunta meio solta, estava vendo no Maple V a funcao > > > > > > > > > > s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2 > > > > > > > > > > Sabe-se que lim(n->+inf) s(n) = Pi^2/6, eu estava tentando >calcular pi > > > >por > > > > > essa funcao, e cheguei a um resultado bem interessante: > > > > > > > > > > Pi - (6*s(n))^(1/2) < n^(-1) > > > > > > > > > > E também acho que o quociente > > > > > > > > > > [Pi - (6*s(n))^(1/2)] / [n^(-1)] > > > > > > > > > > tende para 1 quando n tende para o infinito. > > > > > > > > > > Não tenho idéia alguma de como provar esses resultados, alguém >poderia > > > >dar > > > > > uma idéia? > > > > > > > > > > Obrigado! > > > > > > > > > > Eduardo Casagrande Stabel. > > > > Carissimos: > > A soma dos valores de 1/(n^2) com n variando de k ate infinito sera > > chamada de Sk. > > > > Se voces desenharem a curva y=1/(x^2), pensem no problema de calcular a > > area Ak entre essa curva e o eixo dos x, a partir (a direita) de x=k. > > A area esta compreendida entre uma aproximaçao inferior e uma superior > > obtidas do jeito que vou descrever: > > Vamos calcular a area de k a infinito como soma das areas de k a k+1, > > mais a de k+1 a k+2 etc. > > Na aproximaçao inferior, trocamos a area de k a k+1 pela area de um > > retangulo obtido trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal > > y=(1/(k+1))^2, trocamos a area de k+1 a k+2 por um retangulo obtido > > trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal y=(1/(k+2))^2 etc. > > Na aproximaçao superior, trocamos a area de k a k+1 pela area de um > > retangulo obtido trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal > > y=(1/k)^2, trocamos a area de k+1 a k+2 por um retangulo obtido trocando > > nesse intervalo a curva por uma horizontal y=(1/(k+1))^2 etc. > > Obtemos Sk - 1/(k^2) < Ak < Sk. > > > > Muito bem. Vamos calcular agora a soma dos valores de 1/n^2 com n > > variando de 1 a infinito. Quando aproximamos essa soma, que sabemos ser > > igual a pi ao quadrado sobre 6, pela soma com n variando de 1 ate k, o > > erro > > cometido eh a soma dos valores de 1/n^2 com n variando de k+1 a > > infinito, > > ou seja eh S(k+1). > > Pelo resultado do paragrafo anterior, Ak < Sk < 1/(k^2)+ Ak, ou o que > > eh o > > mesmo, A(k+1) < S(k+1) < 1/((k+1)^2)+ A(k+1). > > Acontece que A(k+1) = 1/(k+1) (isso eh uma integral facil de calcular). > > Logo, S(k+1) esta compreendido entre 1/(k+1) e > > 1/(k+1) + 1/(k+1)^2 = (k+2)/(k+1)^2. > > > > Portanto, X=1+1/4+...+1/n^2 eh menor que pi ao quadrado sobre 6 com > > erro > > menor que (n+2)/(n+1)^2. > > > > X < (pi^2)/6 < X +(n+2)/(n+1)^2. > > > > Dai se obtem (raiz de 6X)< pi < raiz de [6X+ (6(n+2)/(n+1)^2)]. > > Esta ultima expressao se prova com certa facilidade que e menor que a > > soma de > > raiz de 6X com 1/n, que eh o que voces estavam querendo provar. > > Para provar isso basta provar, ja que sao positivos, que o quadrado do > > primeiro, > > isto eh, 6X+ (6(n+2)/(n+1)^2), eh menor que o quadrado do segundo, isto > > eh, > > 6X + 1/n^2 + 2(raiz de 6X)/n. Isso equivale a mostrar que > > (6(n+2)/(n+1)^2) -1/n^2 eh menor que 2(raiz de 6X)/n ou o que eh o > > mesmo que > > > > [6n^3+11n^2-2n-1]/[n.n.(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X)/n ou o que > > eh o mesmo > > que [6n^3+11n^2-2n-1]/[n.(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X) ou > > ainda que 6- [(n^2+8n+1)/n(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X). > > O primeiro é sempre menor que 6. Se mostrarmos que o segundo eh maior > > que 6, ponto final. O segundo ser maior que 6 equivale a X>1,5, o que > > ocorre para todo n a partir de 7 inclusive ( e talvez ate ocorra antes, > > eh so verificar).De qualquer modo, o resultado que voces queriam vale > > para n a partir de 7 inclusive. > > >Completando: (Pi^2)/6 - X , que eh o nosso S(n+1), esta compreendido >entre >1/(n+1) e 1/(n+1) + 1/(n+1)^2 = (n+2)/(n+1)^2. Escrevendo em notacao >matematica essa desigualdade, somando X, multiplicando por 6 e tirando a >raiz quadrada obtemos >raiz de [6X+ (6/(n+1))] < Pi < raiz de [6X+ (6(n+2)/(n+1)^2)] > >Dai se obtem >raiz de [6X+ (6/(n+1))] - raiz de 6X < Pi - raiz de 6X < >< raiz de [6X+ (6(n+2)/(n+1)^2)] - raiz de 6X >Multiplicando por n, obtem-se uma desigualdade para > >n {raiz de [6X+ (6/(n+1))] - raiz de 6X}. >Eh facil provar (basta desracionalizar as duas pontas) que as duas >pontas da desigualdade tendem para 3/Pi >quando n tende para infinito, o que mostra que, quando n tende para >infinito, >n {raiz de [6X+ (6/(n+1))] - raiz de 6X} tende para 3/Pi. Caro Morgado, eu agradeço a sua brilhante solução e ressalto que na primeira parte dela, você usa a área de uma curva para estimar a soma de parcelas. É uma idéia bem simples, mas eu nunca havia pensado nisso. Parece ser muito útil fazer esse tipo de estimativas: Digamos que queremos estimar 1/1+1/2+...+1/k. Seguindo o raciocínio do prof. e usando notação similar. Dizemos que Sk é a soma se 1/x com x variando de 1 até k. E Ak a área de 1/x com x variando de 1 até k. Vemos que tomando os retângulos por baixo da curva 1/x entre os inteiros 1,2 ; 2,3 ;..., 1+Ak>Sk, e os retângulos por cima da curva que Sk>Ak+1/(k+1), logo 1+Ak>Sk>Ak+1/(k+1), e como Ak=ln(k), temos 1+ln(k)>1/1+...+1/k>ln(k)+1/(k+1) A diferença entre as pontas dessa desigualdade é 1-1/(k+1)=k/(k+1), de forma que conseguimos estimar Sk com um erro inferior a 1. Era de se esperar (com esse resultado) que (1/1+...+1/k)-ln(k) tendesse a algum número entre 1 e 1/(k+1), a medida que o k se tornasse maior e de fato tende para 0.5772156649... que é a chamada constante de Euler, segundo o Maple V, e é representada pela letra gamma minúscula. Já é alguma coisa. Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jul 30 17:16:38 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA27458 for obm-l-list; Sun, 30 Jul 2000 17:16:38 -0300 Received: from hotmail.com (f290.law3.hotmail.com [209.185.240.84]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id RAA27455 for ; Sun, 30 Jul 2000 17:16:27 -0300 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Sun, 30 Jul 2000 13:15:34 -0700 Received: from 200.190.163.196 by lw3fd.law3.hotmail.msn.com with HTTP; Sun, 30 Jul 2000 GMT X-Originating-IP: [200.190.163.196] From: "Marcelo Souza" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: argumentos combinatórios Date: Sun, 30 Jul 2000 20:15:34 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Message-ID: X-OriginalArrivalTime: 30 Jul 2000 20:15:34.0705 (UTC) FILETIME=[EB0F4A10:01BFFA62] Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Fala, galera! Alguém poderia resolver este problema pra mim? - Diga, utilizando argumentos combinatórios o valor de ( n )^2 ( n )^2 ( n )^2 ( ) + ( ) + ... + ( ) ( 0 ) ( 1 ) ( n ) Obrigado Abraços Marcelo P.s. ( n ) ( ) = n!/k!(n-k)! ( k ) ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jul 30 18:38:35 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA27723 for obm-l-list; Sun, 30 Jul 2000 18:38:35 -0300 Received: from barra.domain.com.br (barra.domain.com.br [200.196.128.5]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA27720 for ; Sun, 30 Jul 2000 18:38:27 -0300 Received: from default (200.188.49.82) by barra.domain.com.br (NPlex 4.5.042) id 3976324B0012EB27 for obm-l@mat.puc-rio.br; Sun, 30 Jul 2000 18:41:20 -0300 From: "=?iso-8859-1?Q?Jos=E9_Paulo_Carneiro?=" To: "OBM (Lista)" Subject: =?iso-8859-1?Q?Re:_argumentos_combinat=F3rios?= Date: Sun, 30 Jul 2000 18:43:34 -0300 Message-ID: <01bffa6f$36426ce0$81efdec8@default> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.71.1712.3 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.71.1712.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Isto estah feito em um artigo meu no Eureka, chamado: "Contar duas vezes, para generalizar". Acho que eh o no 6. JP -----Mensagem original----- De: Marcelo Souza Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 30 de Julho de 2000 17:19 Assunto: argumentos combinatórios >Fala, galera! > > Alguém poderia resolver este problema pra mim? >- Diga, utilizando argumentos combinatórios o valor de > >( n )^2 ( n )^2 ( n )^2 >( ) + ( ) + ... + ( ) >( 0 ) ( 1 ) ( n ) > >Obrigado >Abraços >Marcelo >P.s. >( n ) >( ) = n!/k!(n-k)! >( k ) >________________________________________________________________________ >Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jul 30 19:16:28 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA27884 for obm-l-list; Sun, 30 Jul 2000 19:16:28 -0300 Received: from Servmail.abeu.com.br (Servmail.abeu.com.br [200.255.31.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA27881 for ; Sun, 30 Jul 2000 19:16:19 -0300 Received: from win1 (me121.abeu.com.br [200.255.31.117]) by Servmail.abeu.com.br (8.9.3/8.9.1) with SMTP id TAA14217 for ; Sun, 30 Jul 2000 19:20:22 -0300 Message-ID: <000e01bffa73$ebe80e20$97f4a8c0@win1> From: "edmilson" To: References: Subject: =?iso-8859-1?Q?Re:_argumentos_combinat=F3rios?= Date: Sun, 30 Jul 2000 19:17:14 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2615.200 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2615.200 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caro Marcelo, Não entendi o que você quer dizer com "argumentos combinatórios". Mas o valor de ( n )^2 ( n )^2 ( n )^2 ( ) + ( ) + ... + ( ) = 1 + 5/4*n^2 - 1/2 * n^3 + 1/4*n^4 , ( 0 ) ( 1 ) ( n ) ( n ) basta usar a fórmula dada : ( ) = n!/k!(n-k)!. ( k ) Atenciosamente, Edmilson Aleixo ----- Original Message ----- From: Marcelo Souza To: Sent: Sunday, July 30, 2000 5:15 PM Subject: argumentos combinatórios > Fala, galera! > > Alguém poderia resolver este problema pra mim? > - Diga, utilizando argumentos combinatórios o valor de > > ( n )^2 ( n )^2 ( n )^2 > ( ) + ( ) + ... + ( ) > ( 0 ) ( 1 ) ( n ) > > Obrigado > Abraços > Marcelo > P.s. > ( n ) > ( ) = n!/k!(n-k)! > ( k ) > ________________________________________________________________________ > Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com > > From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jul 30 20:30:15 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA28127 for obm-l-list; Sun, 30 Jul 2000 20:30:15 -0300 Received: from barra.domain.com.br (barra.domain.com.br [200.196.128.5]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id UAA28124 for ; Sun, 30 Jul 2000 20:30:07 -0300 Received: from win98 (200.188.49.27) by barra.domain.com.br (NPlex 4.5.042) id 3976324B001308C2 for obm-l@mat.puc-rio.br; Sun, 30 Jul 2000 20:33:01 -0300 Message-ID: <000d01bffa7e$1664eec0$1b31bcc8@win98> From: "josimat" To: Subject: Baixaria circular Date: Sun, 30 Jul 2000 20:30:02 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_000A_01BFFA64.F06FDE00" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.3110.5 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.3110.3 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_000A_01BFFA64.F06FDE00 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Oi pessoal.=20 Acabei de receber, por telefone, o problema que transmito-lhes a seguir: = Numa reuni=E3o entre 16 cond=F4minos, feita numa mesa circular, com = exatamente 16 lugares, houve muita briga. Ent=E3o, para a pr=F3xima = reuni=E3o, ficou acertado que ningu=E9m poderia se sentar ao lado das = mesmas pessoas vizinhas, em rela=E7=E3o =E0 disposi=E7=E3o, na mesa, da = reuni=E3o passada. De quantas formas essas pessoas podem se dispor =E0 = mesa para a pr=F3xima reuni=E3o? JOSIMAR ------=_NextPart_000_000A_01BFFA64.F06FDE00 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Oi pessoal.
Acabei de receber, por telefone, o = problema que=20 transmito-lhes a seguir:
 
Numa = reunião=20 entre 16 condôminos, feita numa mesa circular, com exatamente 16 = lugares,=20 houve muita briga. Então, para a próxima reunião, = ficou=20 acertado que ninguém poderia se sentar ao lado das mesmas pessoas = vizinhas, em relação à disposição, na = mesa,=20 da reunião passada. De quantas formas essas pessoas podem se = dispor=20 à mesa para a próxima reunião?
 
JOSIMAR
------=_NextPart_000_000A_01BFFA64.F06FDE00-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jul 30 20:57:54 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id UAA28220 for obm-l-list; Sun, 30 Jul 2000 20:57:54 -0300 Received: from cendrars.uol.com.br (cendrars.uol.com.br [200.231.206.19]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id UAA28217 for ; Sun, 30 Jul 2000 20:57:47 -0300 Received: from vivi2.uol.com.br ([200.244.101.229]) by cendrars.uol.com.br (8.9.1/8.9.1) with ESMTP id UAA00854; Sun, 30 Jul 2000 20:57:16 -0300 (BRT) Message-Id: <4.3.2.7.2.20000730203545.00a9f740@pop3.uol.com.br> X-Sender: cavictor@pop3.uol.com.br X-Mailer: QUALCOMM Windows Eudora Version 4.3.2 Date: Sun, 30 Jul 2000 20:54:49 -0300 To: obm-l@mat.puc-rio.br, obm-l@mat.puc-rio.br From: Carlos Victor Subject: =?iso-8859-1?Q?Re:_argumentos_combinat=F3rios?= In-Reply-To: Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1"; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by matinta.mat.puc-rio.br id UAA28218 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br At 20:15 30/07/00 +0000, Marcelo Souza wrote: >Fala, galera! > > Alguém poderia resolver este problema pra mim? >- Diga, utilizando argumentos combinatórios o valor de > >( n )^2 ( n )^2 ( n )^2 >( ) + ( ) + ... + ( ) >( 0 ) ( 1 ) ( n ) > >Obrigado >Abraços >Marcelo >P.s. >( n ) >( ) = n!/k!(n-k)! >( k ) >________________________________________________________________________ >Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com Oi Marcelo , Esta questão está na RPM 42 como problema proposto . Imagine que você tenha num grupo de pessoas m mulheres e h homens . O total de grupo de p pessoas será a combinação de ( m+h ) tomados p a p . Neste grupo de pessoas p a p , poderá ter zero mulheres , uma mulher , duas mulheres e assim sucessivamente até p mulheres e , respectivamente p homens , p-1 homens , p-2 homens , ... , ate' zero homens . Logo a combinação de (m+h) tomados p a p , será igual ao somatório de: (combinação de m tomado i a i ) vezes ( combinação de h tomado p-i ) , onde i varia de 0 até p . Fazendo agora m=p=h=n ,teremos o somatório pedido como sendo : " Combinação de 2n tomado n a n ". Desculpem a minha notação , pois eu "cato milho no teclado ". Abraços , Carlos Victor From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Sun Jul 30 23:39:59 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id XAA28648 for obm-l-list; Sun, 30 Jul 2000 23:39:59 -0300 Received: from trex.centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.128]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id XAA28645 for ; Sun, 30 Jul 2000 23:39:52 -0300 Received: from centroin.com.br (du65c.rjo.centroin.com.br [200.225.58.65]) by trex.centroin.com.br (8.10.1/8.10.1) with ESMTP id e6V2dKd05460 for ; Sun, 30 Jul 2000 23:39:20 -0300 (EST) Message-ID: <3984E7BF.94023108@centroin.com.br> Date: Sun, 30 Jul 2000 23:43:11 -0300 From: Augusto Morgado X-Mailer: Mozilla 4.73 [en] (Win95; I) X-Accept-Language: en MIME-Version: 1.0 To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Pergunta solta References: <20000730191702.91983.qmail@hotmail.com> Content-Type: text/plain; charset=x-user-defined Content-Transfer-Encoding: 8bit Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caro Morgado, eu agradeço a sua brilhante solução e ressalto que na primeira parte dela, você usa a área de uma curva para estimar a soma de parcelas. É uma idéia bem simples, mas eu nunca havia pensado nisso. Parece ser muito útil fazer esse tipo de estimativas: Digamos que queremos estimar 1/1+1/2+...+1/k. Seguindo o raciocínio do prof. e usando notação similar. Dizemos que Sk é a soma se 1/x com x variando de 1 até k. E Ak a área de 1/x com x variando de 1 até k. Vemos que tomando os retângulos por baixo da curva 1/x entre os inteiros 1,2 ; 2,3 ;..., 1+Ak>Sk, e os retângulos por cima da curva que Sk>Ak+1/(k+1), logo 1+Ak>Sk>Ak+1/(k+1), e como Ak=ln(k), temos 1+ln(k)>1/1+...+1/k>ln(k)+1/(k+1) A diferença entre as pontas dessa desigualdade é 1-1/(k+1)=k/(k+1), de forma que conseguimos estimar Sk com um erro inferior a 1. Era de se esperar (com esse resultado) que (1/1+...+1/k)-ln(k) tendesse a algum número entre 1 e 1/(k+1), a medida que o k se tornasse maior e de fato tende para 0.5772156649... que é a chamada constante de Euler, segundo o Maple V, e é representada pela letra gamma minúscula. Já é alguma coisa. Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. ________________________________________________________________________ Apenas uns comentarios: 1) Essa idéia de relacionar as somas com as integrais eh poderosa, eh padrao e eh devida a Mac Laurin. 2) A constante de Euler, ate hoje nao se sabe se ela eh racional ou irracional. 3)A soma 1+1/2 +...+1/k eh, conforme voce mostrou, aproximada por lnk com erro menor que 1. Tal soma esta tambem relacionada a funçao digama (que alguns chamam de funçao psi), que eh o quociente entre a derivada da funçao gama e a funçao gama 4) Na realidade, para concluir a existencia da constante de Euler, nao basta a desigualdade que voce mostrou; ha que usar o fato de 1+1/2 +...+1/k - lnk ser monotono, o que eh facil de mostrar. 5) Obrigado a todos pelas dicas sobre o Maple. Morgado From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 31 13:13:28 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA30801 for obm-l-list; Mon, 31 Jul 2000 13:13:28 -0300 Received: from nt.riomaster.com.br (smtp.riomaster.com.br [200.244.140.2]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA30792 for ; Mon, 31 Jul 2000 13:11:10 -0300 Received: from denise (NT [200.244.140.130]) by nt.riomaster.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.1960.3) id PY3N8HP9; Mon, 31 Jul 2000 13:00:02 -0300 Message-ID: <00f401bffb0a$3ea66440$0400a8c0@denise> From: "Luis Lopes" To: References: Subject: Variacao do Morgado Date: Mon, 31 Jul 2000 13:13:19 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 7bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Saudac,o~es, O Morgado me pediu para colocar a mensagem abaixo. [ ]'s Lui's Date: Sat, 29 Jul 2000 14:19:46 -0300 From: Augusto Morgado To: llopes@ensrbr.com.br Subject: (no subject) Se voce puder, jogue este problema na lista. Tudo que tento colocar esta sendo truncado ou devolvido. Andou pela lista um problema, brilhantemente resolvido alias, que era mostrar que (36x+y)(36y+x), com x e y inteiros positivos, nao poderia ser uma potencia de 2. Proponho uma variacao: Mostrar que existem inteiros x e y tais que (36x+y)(36y+x) eh uma potencia de 2. Morgado From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 31 13:41:42 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA31027 for obm-l-list; Mon, 31 Jul 2000 13:41:42 -0300 Received: from nt.riomaster.com.br (smtp.riomaster.com.br [200.244.140.2]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA31023 for ; Mon, 31 Jul 2000 13:41:32 -0300 Received: from denise (NT [200.244.140.130]) by nt.riomaster.com.br with SMTP (Microsoft Exchange Internet Mail Service Version 5.5.1960.3) id PY3N8HRM; Mon, 31 Jul 2000 13:31:12 -0300 Message-ID: <010001bffb0e$99c67fa0$0400a8c0@denise> From: "Luis Lopes" To: References: <3982E997.245E8326@centroin.com.br> <004201bff974$6efc1500$0400a8c0@denise> <39841089.12F5F52E@lbm.com.br> Subject: ajuda Date: Mon, 31 Jul 2000 13:44:09 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 5.00.2314.1300 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.00.2314.1300 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Caro Ponce, Concordo com tudo aquilo que vc disse naquela longa mensagem enaltecendo alguns membros da lista. Gostaria entretanto de explicar que minha mensagem não teve objetivo de cri'tica mas sim fazer uma observac,a~o. Talvez deva fazer alguma etapa a mais para ler as mensagens do Morgado pois ja' vi que outras pessoas as recebem sem problemas. Veja como leio as mensagens do Morgado: &&&&&&&& > Dividindo o numerador e o denominador de cada fra=E7=E3o pelo numerador= , > chega-se a 1/(1+x) + 1/(1+y) + 1/(1+z) >=3D 1 com xyz=3D8. >=20 > Ora, pela desigualdade das m=E9dias, a m=E9dia aritm=E9tica de x, y, z = =E9 maior > ou igual =E0 geom=E9trica, que vale 2. > Logo, x+y+z =E9 maior ou igual a 6. > Fazendo a soma das fra=E7=F5es em 1/(1+x) + 1/(1+y) + 1/(1+z) obtemos > (3+2S+T)/(1+S+T+P) =3D (3+2S+T)/(9+S+T) onde S=3Dx+y+z, T=3Dxy+yz+zx e > P=3Dxyz=3D8. > Mas (3+2S+T)/(9+S+T) =3D 1 + [(S-6)/(9+S+T)] que =E9 maior ou igual a 1 > porque S =E9 maior ou igual a 6 e 9+S+T =E9 positivo. &&&&&&&& Escrevi a mensagem pois quero poder ler as soluc,o~es do Morgado. [ ]'s Lui's Lopes -----Mensagem Original----- De: Ponce Para: Enviada em: Domingo, 30 de Julho de 2000 08:24 Assunto: Re: ajuda Caro Morgado e amigos da lista, Para mim as soluções do Morgado se mostram perfeitas (elegantes !!). Morgado, não se preocupe com a falha , pois o objetivo da lista, acredito eu, seja a discussão, assim é normal que ocorra a alguma falha, o que não é de todo ruim, mas saudável numa discussão de lista. ......... From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 31 17:11:47 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id RAA32630 for obm-l-list; Mon, 31 Jul 2000 17:11:47 -0300 Received: from sec.secrel.com.br (sec.secrel.com.br [200.194.96.34]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id RAA32627 for ; Mon, 31 Jul 2000 17:11:36 -0300 Received: (qmail 11048 invoked from network); 31 Jul 2000 17:08:17 -0000 Received: from unknown (HELO meucompu) (200.194.100.1) by sec.secrel.com.br with SMTP; 31 Jul 2000 17:08:17 -0000 Message-ID: <001301bffb2b$72398140$0164c2c8@meucompu> From: "Filho" To: "=?iso-8859-1?Q?discuss=E3o_de_problemas?=" Subject: nossa lista Date: Mon, 31 Jul 2000 17:10:54 -0300 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/alternative; boundary="----=_NextPart_000_000A_01BFFB12.496370A0" X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.2106.4 X-MIMEOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.2106.4 Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_000A_01BFFB12.496370A0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Caro Ponce, voc=EA foi muito feliz em suas coloca=E7=F5es. Esclarecimentos como esses, s=E3o sempre bem vindos. Ok. ------=_NextPart_000_000A_01BFFB12.496370A0 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Caro Ponce, você foi muito = feliz em suas=20 colocações.
Esclarecimentos como esses, = são sempre=20 bem vindos.
Ok.
------=_NextPart_000_000A_01BFFB12.496370A0-- From owner-obm-l@mat.puc-rio.br Mon Jul 31 22:24:14 2000 Received: (from majordom@localhost) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id WAA01008 for obm-l-list; Mon, 31 Jul 2000 22:24:14 -0300 Received: from hotmail.com (f89.law9.hotmail.com [64.4.9.89]) by matinta.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id WAA01005 for ; Mon, 31 Jul 2000 22:24:03 -0300 Received: (qmail 3263 invoked by uid 0); 1 Aug 2000 01:23:26 -0000 Message-ID: <20000801012326.3262.qmail@hotmail.com> Received: from 200.198.157.77 by www.hotmail.com with HTTP; Mon, 31 Jul 2000 18:23:26 PDT X-Originating-IP: [200.198.157.77] From: "Ecass Dodebel" To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: Variacao do Morgado Date: Tue, 01 Aug 2000 01:23:26 GMT Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed Sender: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Precedence: bulk Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >From: "Luis Lopes" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: >Subject: Variacao do Morgado >Date: Mon, 31 Jul 2000 13:13:19 -0300 > >Saudac,o~es, > >O Morgado me pediu para colocar a mensagem abaixo. > >[ ]'s >Lui's > >Date: Sat, 29 Jul 2000 14:19:46 -0300 >From: Augusto Morgado >To: llopes@ensrbr.com.br >Subject: (no subject) > > >Se voce puder, jogue este problema na lista. Tudo que tento colocar esta >sendo truncado ou devolvido. > >Andou pela lista um problema, brilhantemente resolvido alias, que era >mostrar que (36x+y)(36y+x), com x e y inteiros positivos, nao poderia >ser uma potencia de 2. >Proponho uma variacao: >Mostrar que existem inteiros x e y tais que (36x+y)(36y+x) eh uma >potencia de 2. >Morgado > > > USO o sinal # para indicar soma. Eu não tenho certeza se está completa a minha prova de que não existem esses inteiros x e y. Mas vejam a minha idéia: Suponhamos (36x # y) e (36y # x) pares, logo x e y são pares e (x/2,y/2) também torna o produto uma potencia de 2. Tomemos a solucao (x,y) que tem o menor valor de |x|, se os termos (36x # y) e (36y # x) forem pares, (x/2,y/2) é solução, o que contradiz a minimalidade (acho que se escreve assim) da solução (x,y), logo, sem perda de generalidade, (36x # y) deve ser igual a 1 ou -1, daí: -- 36x # y =1, y = 1-36x, logo (36y # x)=(1-36^2)x # 36 = 2^z, e queremos que 2^z == 36 (mod 36^2-1), o Maple V acusa a não existência de tal z. -- 36x # y =-1, y = -1 - 36x, logo (36y # x)=(1-36^2)x - 36 = 2^z, e queremos que 2^z == -36 (mod 36^2-1), novamente o Maple V diz que não existe z. Conclusão. não existe esse par (x,y). Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. ________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com