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Resultados de Pesquisa

CARLOS TOMEI
Essa é uma descrição breve de meus interesses de pesquisa, exempli cados por alguns artigos. Minha tese de doutorado tratou de um problema de física matemática. A teoria do espalhamento inverso associada ao operador de Schrodinger na reta (logo, de segunda ordem) foi usada por Green, Kruskal e outros, como uma troca de variáveis que linearizava certas equações como a evolução de Korteweg-deVries. A teoria nesse caso foi desenvolvida inicialmente por Fadeev e, posteriormente, meu orientador Deift, com Trubowitz, encontraram abordagens alternativas ao procurar extensões. O operador de terceira ordem, tema de minha tese, fazia o mesmo para a equação de Boussinesq. A teoria inversa para o operador de ordem n resolvia os chamados fluxos de Gelfand-Dickey, e custou anos de trabalho com Beals e Deift. Uma descrição mais detalhada dessa atividade se encontra no primeiro texto da lista, bastante biográfico.

  • Percy Deift at integer times, Integrable Systems e Random matrices, Contemp. Math 458, J. Baik, T. Kreicherbauer, L.C. Li, K. McLaughlin e C. Tomei eds., AMS, 2008, pp. 1-10.

  • com P. Deift e E.Trubowitz, Inverse Scattering e the Boussinesq Equation, Comm. Pure Appl. Math., XXXV, 5, 567-628, 1982.

  • com R. Beals e P. Deift, Direct e Inverse Scattering on the Line, Mathematical Surveys e Monographs 28, Amer. Math. Soc.,1988.

  • Sempre me interessei por simplificações inesperadas, cálculos aparentemente impossíveis. A teoria de espalhamento inverso é um exemplo de integrabilidade em dimensão infinita. Em outro contexto, Symes reconheceu em alguns algoritmos para calculo de autovalores as interpolações em tempos inteiros do chamado látice de Toda, identificado como um sistema integrável por Flaschka. Meu trabalho com vários colegas levou a mais informação sobre o desempenho em situações realistas desses algoritmos. As coisas se complicam quando se levam em conta shifts, técnicas de aceleração indispensáveis: em vez da regularidade da dinâmica integrável habitual, surgem conjuntos de Cantor de condições iniciais para as quais o funcionamento do algoritmo é diferente. Passamos a entender alguns aspectos teóricos e obtivemos novas variáveis linearizadoras. O último artigo é um review do Todaismo.

  • com P. Deift e T. Nanda, The Symmetric Eigenvalue Problem e Ordinary Differential Equations, SIAM J. of Num. Anal., 20, 1, 1-22, 1983.
  • The Topology of Manifolds of Isospectral Tridiagonal Matrices, Duke Math. J., 51, 4, 981-996, 1984.

  • com P. Deift e L. C. Li, Toda Flows com In nitely Many Variables, J. of Func. Anal., 64, 3, 358-402, 1985.

  • com P. Deift, L. C. Li e T. Nanda, The Toda Flow on a Generic Orbit is Integrable, Comm. Pure Appl. Math., XXXIX, 2, 183-232, 1986.

  • com P. Deift e L.C. Li, Matrix Factorizations e Integrable Systems, Comm. Pure Appl. Math., XLI, 4, 443-521, 1989.

  • com P. Deift, J. Demmel e L. C. Li, The Bidiagonal Singular Value De- composition e Hamiltonian Mechanics, SIAM J. of Num. Anal., 28, 5, 1463-1516, 1991.

  • com P. Deift e L. C. Li, Loop Groups, Discrete Versions of Some Classic Integrable Systems and Rank 2 Extensions, Memoirs of the Amer. Math. Soc. 479, 1992.

  • com S. F. B. Moraes, Moment Maps on Symplectic Cones, Paci c J. of Math. 181, 2, 357-375, 1997.

  • com R. S. Leite, Parametrization by polytopes of intersections of orbits by conjugation, Lin. Alg. Appl. 361(C), 223-243, 2002.

  • com L.C. Li, The complete integrability of a Lie-Poisson system proposed by Bloch e Iserles, IMRN, 1-19, 2006.

  • com R.S. Leite e N. Saldanha, An atlas for tridiagonal isospectral manifolds, Lin. Alg. Appl. 429, pp. 387-402, 2008.

  • com R. Leite e N. Saldanha, The Asymptotics of Wilkinson's Shift: Loss of Cubic Convergence,FoCM 10, 15 - 36, 2010.

  • com R. Leite e N. Saldanha, Dynamics of the Symmetric Eigenvalue Pro- blem com Shift Strategies, IMRN 2013, 4382-4412.

  • The Toda lattice, old e new, J. Geom. Mech. 5, 511-530, 2013.

    Aqui integrabilidade, ou melhor, solubilidade, aparece de outra forma |quem imaginaria que o espectro dos Laplacianos em todos os politopos regulares e semi- regulares (em dimensão arbitrária) pudessem ser calculados explicitamente?

  • com N. Saldanha, Spectra of Regular Polytopes, Disc. Comp. Geom., 7, 403-414, 1992.

  • com N. Saldanha, Spectra of Semi-regular polytopes, Bol. SBM, 29, 1, 25-51, 1998.

    Minha curiosidade por combinatória levou-me a recobrimentos por tilings, por dominios e losangos. Mais uma vez, fui surpreendido por estrutura inesperada.

  • com P. Deift, On the Determinant of the Adjacency Matrix for a Planar Sublattice, J. of Comb. Theory, Series B, 35, 3, 278-289, 1983.
  • com G. David, The Problem of the Calissons, Amer. Math. Monthly, 96, 5, 429-431, 1989.

  • com D. Hacon, Tetrahedral Decomposition of Hexahedral Meshes, Euro- pean J. of Comb., 10, 435-443, 1989.

  • com M. Casarin, D. Romualdo e N. Saldanha, Spaces of Domino Tilings, Disc. Comp. Geom., 14, 207-233, 1995.

  • com T. Vieira, The kernel of the adjacency matrix of a rectangular mesh, Disc. Comp. Geom. 28, 411-425, 2002. (Vieira obteve o Prêmio Beatriz Neves in 2001 por esse texto)
  • com N. Saldanha, Tilings of quadriculated annuli, J. Comb.Th., Series B 88, 153-183, 2003.

  • com N. Saldanha, Cut-and-paste of quadriculated disks e arithmetic pro- perties of the adjacency matrix, Lin. Alg. App. 432, p.2423 - 2437, 2010.

    O contato com colegas de outras áreas é sempre bem-vindo. No primeiro artigo, as ideias surgiram de fatos elementares de geometria algébrica. No segundo, mostramos que o limite contínuo associado a um problema de scheduling é resolvido por uma geodésica num espaço-tempo, sugerindo uma abordagem inusitada para a otimização. Os dois últimos textos tratam de questões numéricas envolvendo espectro contínuo.


  • com L. Bezerra, L. Lima e N. Martins, New Methods for Fast Signal Stability Assessment of Large Scale Power Systems, IEEE Power Systems Tran- sactions, 10, 1979-1985, 1995.

  • com H.J.Bortolossi e M.V. Pereira, Optimal hydrothermal scheduling com variable production coefficient, Math. Meth. Oper.Res. 55, 11-36, 2002.
  • com M.S. Carvalho, J.V. Valerio, Filtering the eigenvalues at in nity from the linear stability analysis of incompressible ows, J. Comp. Phys. 227, 229-243, 2007.

  • com M.S. Carvalho, J.V. Valerio, Efficient computation of the spectrum of viscoelastic ows, J. Comp. Phys. 228, 1172-1187, 2009.


    Em um certo momento, resolvi estudar objetos genuinamente não lineares, em vez de objetos que podiam ser linearizados como nos contextos integráveis. O primeiro artigo com Malta nos levou a combinar topologia e análise numérica.

  • Começamos com funções do plano no plano: informação local e global (singularidades, teoria de Blank-Troyer) levou a algoritmos robustos (um tutorial para o programa se encontra na belíssima homepage de Humberto Bortolossi, http://www.im-uff.mat.br/puc-rio/2x2/). Depois de uma incursãoo por teoria de matrizes, passamos a considerar, também com Saldanha, problemas em dimensão infinita - antes, equações diferenciais de primeira ordem (periódicas), depois equações de segunda ordem (Dirichlet, depois periódicas, mais difíceis) e nos últimos anos perturbações não lineares do Laplaciano. Mesmo nesse con texto, ainda há uma estrutura reminiscente à integrabilidade (e Berger chegou a usar a palavra em alguns artigos seus) - existem trocas de variáveis globais convenientes tanto para o estudo teórico quanto para os algoritmos numéricos que desenvolvemos. Um ingrediente importante na pesquisa vem da topologia em dimensão in nita, que permite construções muito flexíveis. Alguns operadores diferenciáveis entre espacos de funções se revelaram dobras globais, outros ainda cúspides globais.

  • com I. Malta, Singularities of Vector Fields Arising from One-dimensional Riemann Problems, J. of Diff. Eqs., 94, 1, 165-190, 1991.

  • com I. Malta, N. Saldanha, The Numerical Inversion of Functions from the Plane to the Plane, Math. Comp., 65, 216, 1531-1552, 1996.

  • com R.S. Leite e T.R.W. Richa, Geometric proofs of some theorems of Schur-Horn type, Lin. Alg. e Appl. 286, 149-173, 1999.

  • com I. Malta, N. Saldanha, Regular Levels of Nemytskii operators are hy- perplanes, J. of Funct. Anal., 143, 2, 461-469, 1997.

  • com I. Malta e N. Saldanha, Morin Singularities e Global Geometry in a Class of Ordinary Differential Operators, TMNA 10, 137-169, 1997. (esse artigo é um Featured Review em Mathematical Reviews 99f)

  • com H. Bueno, Critical sets of nonlinear Sturm-Liouville operators of Ambrosetti- Prodi type, Nonlinearity 15, 1073-1077, 2002.
  • com D. Burghelea e N.C.Saldanha, Results on in nite dimensional topology e applications to the structure of the critical set of nonlinear Sturm-Liouville operators, J. Diff. Eqs. 188, 569-590, 2003.
  • com D. Burghelea e N. Saldanha, The topology of the monodromy map of a second order ODE, J. Diff. Eqs. 227, 581-597, 2006.  com D. Burghelea e N. Saldanha, The geometry of the critical set of non- linear periodic Sturm-Liouville operators, J. Diff. Eqs. 246, 3380-3397, 2009. 4
  •  com E. Teles, The geometry of nite difference discretizations of semilinear elliptic operators, Nonlinearity 25, 1135 - 1154, 2012.

  • com J. Cal Neto, Numerical analysis of semilinear elliptic equations com nite spectral interaction, J. Math. Anal Appl. 395, 63-77, 2012.

  • com A. Zaccur, Geometric Aspects of Ambrosetti-Prodi Operators com Lips- chitz Nonlinearities, In: D. Figueiredo, J.M. o Ó e C. Tomei. (Org.). PNDE 85, 445-456, Springer 2014.

  • com M. Calanchi e A. Zaccur, Fibers e global geometry of functions, In: A. Carvalho et al. (Org.). PNLDE 86, 55-75, Springer, 2015. Estes são textos de mini-cursos.

  • Fluxos de Matrizes, XV o Colóquio Bras. Matemática, IMPA, 1985.

  • com I. Malta e N. Saldanha, Geometria e Análise Numérica de Funções do Plano no Plano, XIX Colóquio Bras. Matemática, IMPA, 1993.

  • com D. Hacon, N. Saldanha, G. Svetlichny, P.H. Viana Barros,t ópicos em matemática quântica, XXII Colóquio Bras. Matemática, IMPA, 1999.

  • Dois semestres de álgebra linear básica - um manual do professor, XXII CNMAC, Santos, 1999.

  • Topics in spectral theory, XXX Colóquio Bras. Matemática, IMPA, 2015. Para terminar, dois interesses a mais: os aspectos sociais e históricos de matemática (o livrinho é para leitores do ensino médio em diante).

  • com J.Barbosa, M. Carneiro, S. Druck, J. Koiller, M.Ruas, Panorama dos recursos humanos em matemática no Brasil: premência de crescer, 38 ps., SBM, IMPA, 2001.

  • com A. Simis, N.Maculan e S. Druck, Mathematical Sciences, capítulo em Science in Brazil, A.C. Carvalho, D. Campos e L. Bevilacqua, 181-206, ABC, 2002.

  • Euclides | a conquista do espaço, 120 ps., Coleção Imortais da Ciência, Coord. Marcelo Gleiser, Editora Odysseus, são Paulo, 2003.


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