{VERSION 6 0 "IBM INTEL NT" "6.0" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Comment" 2 18 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 256 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 257 "" 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 258 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 259 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 260 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 261 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 262 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 1" -1 3 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times " 1 18 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 8 4 1 0 1 0 2 2 0 1 } {PSTYLE "Normal" -1 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 257 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 258 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 } {PSTYLE "Normal" -1 259 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }} {SECT 0 {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "with(plots):" }}}{EXCHG {PARA 256 " " 0 "" {TEXT 256 37 "An\341lise Qualitativa de ED's da forma " }} {PARA 256 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "y[n+1]=f(y[n])" "6#/&%\"yG6#,&%\"nG\" \"\"F)F)-%\"fG6#&F%6#F(" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 53 "H\341 v\341rio s paralelos entre a an\341lis de EDO's da forma " }{XPPEDIT 18 0 "diff (y(t),t)=f(y(t))" "6#/-%%diffG6$-%\"yG6#%\"tGF*-%\"fG6#-F(6#F*" } {TEXT -1 17 " e ED's da forma " }{XPPEDIT 18 0 "y[n+1]=f(y[n])" "6#/&% \"yG6#,&%\"nG\"\"\"F)F)-%\"fG6#&F%6#F(" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 9 "Um ponto " }{XPPEDIT 18 0 "upsilon" "6#%(upsilonG" } {TEXT -1 14 " ser\341 dito um " }{TEXT 257 10 "equil\355brio" }{TEXT -1 4 " se " }{XPPEDIT 18 0 "y(n)=upsilon" "6#/-%\"yG6#%\"nG%(upsilonG " }{TEXT -1 9 " for uma " }{TEXT 258 18 "solu\347\343o constante " } {TEXT -1 73 "de nossa ED. Substituindo na equa\347\343o, vemos que iss o corresponde a termos" }}{PARA 256 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "upsilon=f(u psilon)" "6#/%(upsilonG-%\"fG6#F$" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 9 "Ou seja, " }{XPPEDIT 18 0 "upsilon" "6#%(upsilonG" }{TEXT -1 3 " \351 " }{TEXT 259 10 "equil\355brio" }{TEXT -1 11 " se for um \+ " }{TEXT 260 10 "ponto fixo" }{TEXT -1 142 " da fun\347\343o f. No cas o de EDO`s a condi\347\343o era outra (ra\355zes de f), mas a defini \347\343o via ser solu\347\343o constante ainda \351 a mesma para ambo s casos." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 370 "Graficamente, se tra\347armos os gr\341ficos de f e da reta ident idade, equil\355brios ser\343o pontos onde ambos gr\341ficos se cortam . Seguindo a explica\347\343o encontrada no texto sobre an\341lise qua litativa, para a partir de y(0) marcarmos no gr\341fico os pontos suce ssivos, y(1)=f(y(0)), y(2)=f(f(y(0))) e assim por diante, basta ir reb atendo os pontos como mostram as anima\347\365es a seguir." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 53 "Entre aq ui para carregar procedimentos para anima\347\343o." }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 242 "genPT:=pr oc(y0,f,niter)\n # itera niter vezes e retorna pontos \n local y,new y,i,lst,graff;\n lst:=[[y0,0]];\n y:=y0;\n for i from 1 to niter do \n newy:=f(y);\n lst:=[op(lst),[y,newy],[newy,newy]];\n y:=n ewy;\n end do;\n lst;\nend proc:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1025 "genAnim:=proc(f,y0,Iab:=0,viewwd:=0,niter:=5)\n lo cal wd,ab,np,opts,b,y,graff,grafid,pts,npts,grafpts,grafseg,grafjuntos ,anim;\n \n # n\372mero de pontos pra gr\341fico de f\n np:=1000:\n \n # op\347\365es comuns aos gr\341ficos\n opts:=axes=normal,scali ng=constrained,labels=[\"Y\",\"Z\"],numpoints=np: \n \n if Iab=0 th en \n ab:=-5..5:\n else \n ab:=Iab: \n end if;\n if viewwd=0 \+ then \n wd:=[ab,minimize(f(y),y=ab)*(.9)..maximize(f(y),y=ab)*(1.1) ]:\n else \n wd:=viewwd: \n end if;\n\n # gr\341fico da fun\347 \343o identidade\n grafid:=plot(y,y=ab,color=blue,opts):\n\n # gr \341fico da fun\347\343o f\n graff:=plot(f(y),y=ab,color=black,opts): \n\n pts:=genPT(y0,f,niter):\n npts:=nops(pts):\n\n # pontos\n gra fpts:=seq(pointplot(pts[1..i],symbol=circle,symbolsize=8,color=red),i= 1..npts):\n\n # segmentos\n grafseg:=seq(pointplot(pts[1..i],connect =true,color=red),i=1..npts):\n\n # junta ambos com gr\341fico de f e \+ id.\n grafjuntos:=seq(display(graff,grafid,grafpts[i],grafseg[i]),i=1 ..npts):\n display(grafjuntos,opts,view=wd,insequence=true);\n \nen d proc:" }}}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 36 "ED log\355stica; atr atores e repulsores" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 72 "Vamos analisar (c. f. livro texto) a vers\343o discreta da equa\347\343o log\355stica" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 256 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "y(n+1 )=rho*y(n)*(1-y(n))" "6#/-%\"yG6#,&%\"nG\"\"\"F)F)*(%$rhoGF)-F%6#F(F), &F)F)-F%6#F(!\"\"F)" }{TEXT -1 1 "," }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" } }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "onde " }{XPPEDIT 18 0 "rho" "6#%$rhoG" } {TEXT -1 26 " \351 uma constante positiva." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 44 "rho:=1.5;\nedlog:=y(n+1) = rho*y(n)*(1-y(n));" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 82 "A rotina de anima\347\343o precisa de uma fun\347\343o para o lado direito, portanto vamos l\341:" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "f:=y->rho*y*(1-y);" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 79 "Antes de mais nada, vamos fazer um gr\341fico de f e da identidade no plano y x z:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 87 "plot([f(y),y],y=-0.5..1,color=[black,blue],sc aling=constrained,view=[-0.5..1,-0.2..1]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 103 "Reconhecemos de imediato que h\341 dois equil\355brios. \+ Para encontr\341-los, temos que achar os zeros de f(y)-y" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "plot(f(y)-y,y=0..1,view=[0..1,-0.2. .0.2]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 58 "# acha equil\355 brios\ne1:=0;\ne2:=fsolve(f(y)-y=0,y=0.2..0.4);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 95 "Para classificar os pontos, vamos calcular as deriva das e torcer para que n\343o tenham m\363dulo um:" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 97 "Eval(Diff(f(y),y),y=e1)=eval(diff(f(y),y),y= e1);\nEval(Diff(f(y),y),y=e2)=eval(diff(f(y),y),y=e2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 102 "\323timo: a origem \351 um repulsor e 1/ 3 um atrator. Vamos rodar a anima\347\343o com pontos pr\363ximos e ve rificar" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 64 "y0:=e1+.05:\nrng :=-.5..1.:\njanela:=[rng,-.25..0.8]:\nitera\347\365es:=7:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "genAnim(f,y0,rng,janela,itera\347 \365es);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "genAnim(f,-y0,r ng,janela,itera\347\365es);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 186 "D e fato, tanto \340 esquerda como \340 direita de 0 nos afastamos do eq uil\355brio, sendo que quando come\347amos \340 direita, terminamos no outro equil\355brio, um atrator ou seja, se 0 \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 99 "y0:=e2+.1:\nrng:=-.5..1.:\njanela:=[rng,-.25.. 0.8]:\nitera\347\365es:=7:\ngenAnim(f,y0,rng,janela,itera\347\365es); " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 114 "Como fizemos no caso das EDO 's, podemos tamb\351m tra\347ar as solu\347\365es da ED para cada temp o (agora somente inteiros). " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 204 "Infelizm ente, apesar de haver um comando REplot, an\341logo a DEplot, ele \351 bem mais limitado e s\363 funciona com ED's lineares. Para isso vamos ter ent\343o que usar a op\347\343o makeproc de rsolve (ou usar um lo op):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 99 "# equil\355brios\ns ole1:=rsolve(\{edlog,y(0)=e1\},y,makeproc):\nsole2:=rsolve(\{edlog,y(0 )=e2\},y,makeproc):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "N:=2 0: # n\372mero de pontos" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 245 "# pontos para pointplot\nop\347\365es:=axes=boxed,connect=true,la bels=['n','Y(n)']:\npts:=[seq([i,sole1(i)],i=0..N)]:\nge1:=pointplot(p ts,op\347\365es,color=blue,thickness=2):\npts:=[seq([i,sole2(i)],i=0.. N)]:\nge2:=pointplot(pts,op\347\365es,color=blue,thickness=2):\n" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 66 "Vamos ilustrar primeiro e2, o equi l\355brio est\341vel que \351 um atrator." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 252 "solcimae2:=rsolve(\{edlog,y(0)=0.6\},y,makeproc): \nsolbaixoe2:=rsolve(\{edlog,y(0)=0.2\},y,makeproc):\npts:=[seq([i,sol cimae2(i)],i=0..N)]:\ngcima:=pointplot(pts,op\347\365es,color=red):\np ts:=[seq([i,solbaixoe2(i)],i=0..N)]:\ngbaixo:=pointplot(pts,op\347\365 es,color=red):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "display(g cima,gbaixo,ge2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 89 "E agora a or igem, um repulsor. Mesmo come\347ando bem pr\363ximo de zero, nos afas tamos r\341pido:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 268 "N:=20: \nsolcimae1:=rsolve(\{edlog,y(0)=0.00005\},y,makeproc):\nsolbaixoe1:=r solve(\{edlog,y(0)=-0.00005\},y,makeproc):\npts:=[seq([i,solcimae1(i)] ,i=0..N)]:\ngcima:=pointplot(pts,op\347\365es,color=red):\npts:=[seq([ i,solbaixoe1(i)],i=0..N)]:\ngbaixo:=pointplot(pts,op\347\365es,color=r ed):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "display(gcima,gbaix o,ge1);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 39 "Ainda ED log\355stica: solu\347\365es peri\363dicas" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 109 "Mudando a constante rho, obtemos um exem plo onde o segundo equil\355brio agora \351 um ponto com derivada nega tiva:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "rho:=3.2;\nedlog:=y (n+1) = rho*y(n)*(1-y(n));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "f:=y->rho*y*(1-y);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 124 " # novamente, o gr\341fico, sem anima\347\343o\nplot([f(y),y],y=-0.5..1 ,color=[black,blue],scaling=constrained,view=[-0.5..1,-0.2..1]);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 "# achando equil\355brios\ne2 :=fsolve(f(y)=y,y=0.5..1);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 120 "# calculando derivadas\nEval(Diff(f(y),y),y=e1)=eval(diff(f(y),y) ,y=e1);\nEval(Diff(f(y),y),y=e2)=eval(diff(f(y),y),y=e2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 112 "Ok, agora ambos equil\355brios s\343o re pulsores. Um desenho interessante deve ser uma anim\347\343o com y(0) \+ pr\363ximo de e1." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 63 "y0:=.0 1:\nrng:=-.5..1.:\njanela:=[rng,-.25..0.8]:\nitera\347\365es:=25:\n" } }{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "genAnim(f,y0,rng,janela,itera\347 \365es);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 38 "O gr\341fico da solu \347\343o correspondente \351:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 163 "# equil\355brios\nsole1:=rsolve(\{edlog,y(0)=e1\},y,makeproc) :\nsole2:=rsolve(\{edlog,y(0)=e2\},y,makeproc):\n# solu\347\343o do ex emplo\nsol:=rsolve(\{edlog,y(0)=0.01\},y,makeproc):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 "N:=25:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 312 "# pontos para pointplot\nop\347\365es:=axes=boxed,co nnect=true,labels=['n','Y(n)']:\npts:=[seq([i,sole1(i)],i=0..N)]:\nge1 :=pointplot(pts,op\347\365es,color=blue,thickness=2):\npts:=[seq([i,so le2(i)],i=0..N)]:\nge2:=pointplot(pts,op\347\365es,color=blue,thicknes s=2):\npts:=[seq([i,sol(i)],i=0..N)]:\ng:=pointplot(pts,op\347\365es,c olor=red):\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "display(ge1 ,ge2,g);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 208 "Interessante... ser \+ repulsor \351 uma condi\347\343o local. O primeiro repulsor nos manda \+ em dire\347\343o ao segundo, que inicialmente repele, mas a partir de \+ um ponto, a solu\347\343o parece ficar alternando entre dois valores. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 64 "Ou seja, terminamos obtendo uma solu \347\343o peri\363dica, de per\355odo 2." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 103 "Pod\355amos at\351 ter desde o in\355cio procurado por y(0) que d esse origem a solu\347oes peri\363dicas de per\355odo 2." }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 18 "Isso se traduz em " }{XPPEDIT 18 0 "y(n+2)=y(n)" " 6#/-%\"yG6#,&%\"nG\"\"\"\"\"#F)-F%6#F(" }{TEXT -1 6 ", mas " } {XPPEDIT 18 0 "y(n+1)<>y(n)" "6#0-%\"yG6#,&%\"nG\"\"\"F)F)-F%6#F(" } {TEXT -1 23 " para cada n, ou seja, " }{XPPEDIT 18 0 "f(f(y(n)))=y(n) " "6#/-%\"fG6#-F%6#-%\"yG6#%\"nG-F*6#F," }{TEXT -1 2 ", " }{XPPEDIT 18 0 "f(y(n)) <> y(n);" "6#0-%\"fG6#-%\"yG6#%\"nG-F(6#F*" }{TEXT -1 31 ". O natural a se fazer \351 plotar" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "plot(f(f(y))-y,y=-.1..1);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 215 "e vemos quatro candidatos a y(0). Duas das ra\355zes aci ma s\343o simplesmente os dois equil\355brios, que n\343o nos interess am, enquanto as outras duas s\343o justamente os valores entre os quai s a solu\347\343o peri\363dica se alterna. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 45 "Uma condi\347\343o inicial peri\363dica \351 por exemplo:" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "yp2:=fsolve(f(f(y))=y,y=0.7. .1);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "# conferindo\ngenAn im(f,yp2,rng,janela,itera\347\365es);" }}}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 43 "Quando condi\347\365es de primeira ordem falham: " } {XPPEDIT 18 0 "abs(diff(f(y),y))=1" "6#/-%$absG6#-%%diffG6$-%\"fG6#%\" yGF-\"\"\"" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 75 "No caso em \+ que rho=1 na equa\347\343o log\355stica s\363 temos um equil\355brio, \+ a origem:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "plot([y,y*(1-y) ],y=0..1,color=[blue,black]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 47 " Sendo que, calculando a derivada no equil\355brio:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 77 "rho:=1;\nEval(Diff(f(y),y),y=0)=eval(diff(f (y),y),y=0);\nedlog:=y(n+1)=f(y(n));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 50 "Vemos que seu m\363dulo \351 1.\nNesse caso, n\343o sabemos " } {TEXT 261 8 "a priori" }{TEXT -1 48 " que tipo de equil\355brio temos. O jeito \351 iterar:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 84 "# \+ come\347ando \340 direita\ny0:=.4:\nrng:=-.5..1.:\njanela:=[rng,-.25.. 0.8]:\nitera\347\365es:=10:\n" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "ge nAnim(f,y0,rng,janela,itera\347\365es);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 87 "# come\347ando \340 esquerda\ny0:=-.05:\nrng:=-.5..1. :\njanela:=[rng,-.25..0.8]:\nitera\347\365es:=15:\n" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "genAnim(f,y0,rng,janela,itera\347\365es);" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 28 "Os gr\341fico das solu\347\365es f ica" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 166 "# equil\355brios\ns ole1:=rsolve(\{edlog,y(0)=0\},y,makeproc):\n# solu\347\343o do exemplo \nsolesq:=rsolve(\{edlog,y(0)=-.05\},y,makeproc):\nsoldir:=rsolve(\{ed log,y(0)=.4\},y,makeproc):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 "N:=15:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 307 "# pontos para pointplot\nop\347\365es:=axes=boxed,connect=true,labels=['n','Y(n)']: \npts:=[seq([i,sole1(i)],i=0..N)]:\nge1:=pointplot(pts,op\347\365es,co lor=blue,thickness=2):\npts:=[seq([i,solesq(i)],i=0..N)]:\ngesq:=point plot(pts,op\347\365es,color=red):\npts:=[seq([i,soldir(i)],i=0..N)]:\n gdir:=pointplot(pts,op\347\365es,color=red):\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "display(ge1,gdir,gesq);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 122 "O com portamento de 0 aqui parece o de um atrator se y(0)>0 e o de um repuls or se y(0)<0. Um equil\355brio assim, chamamos de " }{TEXT 262 8 "uma \+ sela" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 11 "Exerc\355cio: " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 25 "Analise \+ os equil\355brios de" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 3 "i) " }{XPPEDIT 18 0 "f(y)=sen(y)" "6#/-%\"fG6#%\"yG-%$senG6#F'" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 4 "ii) " }{XPPEDIT 18 0 "f(y)=y-y^3" "6#/-%\"fG6#%\"yG,&F'\"\"\"*$F '\"\"$!\"\"" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "iii) " }{XPPEDIT 18 0 "f(y) =y+y^3" "6#/-%\"fG6#%\"yG,&F'\"\"\"*$F'\"\"$F)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 23 "Quest\343o da P 1 de 2009.2" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 "Considere " }{XPPEDIT 18 0 "y(n+1) = (5*arctan)(y(n))-exp(-(y(n)-2));" "6#/-%\"yG6#,&%\"nG\"\" \"F)F),&-*&\"\"&F)%'arctanGF)6#-%\"yG6#%\"nGF)-%$expG6#,$,&-F%6#F(F)\" \"#!\"\"F " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "f:=y->5*arctan(y)-exp(-(y-2));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 102 "# para termos uma id\351ia\nplot([f(y),y],y=0 ..8,color=[black,blue],scaling=constrained,view=[0..8,0..8]);" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 32 "Ok, h\341 dois equil\355brios. A s aber" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "e1:=fsolve(f(y)=y,y =0..2);\ne2:=fsolve(f(y)=y,y=7..8);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 46 "Calculando derivadas, com um pouco de sorte..." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "D(f)(e1);\nD(f)(e2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 67 "\323timo, ambas com m\363dulo diferente d e 1: e1 \351 repulsor e e2 atrator." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 27 "Ag ora j\341 podemos responder " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 12 "a) ache y (2)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 45 "# ok, trivial\ny1:=f (2);\ny2:=f(y1);\nevalf(y2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 27 "b ) ache uma express\343o para " }{XPPEDIT 18 0 "L=limit(y(n),n=infinity )" "6#/%\"LG-%&limitG6$-%\"yG6#%\"nG/F+%)infinityG" }{TEXT -1 1 "." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 118 "Essa \351 f\341cil tamb\351m, j\341 que, ao menos se houver tal limite, ao tomar o limite da ED quando n tende a infinity, obtemos" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "limit(y(n+1), n = infinity) = limit(f(y(n)),n = infinity);" "6#/-%&limitG6$-%\"yG6#, &%\"nG\"\"\"F,F,/F+%)infinityG-%&limitG6$-%\"fG6#-%\"yG6#%\"nG/F8%)inf inityG" }}{PARA 258 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "limit(y(n),n=infinity)=f(li mit(y(n),n=infinity))" "6#/-%&limitG6$-%\"yG6#%\"nG/F*%)infinityG-%\"f G6#-F%6$-F(6#F*/F*F," }{TEXT -1 1 "," }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 "j \341 que f \351 cont\355nua e " }{XPPEDIT 18 0 "limit(y(n+1),n=infinit y)=limit(y(n),n=infinity)" "6#/-%&limitG6$-%\"yG6#,&%\"nG\"\"\"F,F,/F+ %)infinityG-F%6$-F(6#F+/F+F." }{TEXT -1 10 ". Portanto" }}{PARA 259 " " 0 "" {XPPEDIT 18 0 "L=f(L)" "6#/%\"LG-%\"fG6#F$" }{TEXT -1 1 "." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 47 "c) calcule uma aproxima\347\343o de L com 5 dec imais." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 133 "Bem, agora j\341 sabemos, olha ndo para o gr\341fico acima que ao come\347ar em 2, seremos atra\355do s para o segundo equi\355brio, que \351 ent\343o L=e2=" }{XPPEDIT 18 0 "7.153771866;" "6#$\"+m=x`r!\"*" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 60 "# conferindo com a anima\347\343o\ngenAnim(f,2,0..8,[ 0..8,0..8],5);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}}{MARK "3" 0 }{VIEWOPTS 1 1 0 3 2 1804 1 1 1 1 } {PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }