{VERSION 6 0 "IBM INTEL NT" "6.0" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Comment" 2 18 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 256 "" 1 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 257 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 258 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 259 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 260 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "" 0 257 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }} {SECT 0 {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "with(plots):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "with(LinearAlgebra);" }}}{EXCHG {PARA 256 "" 0 "" {TEXT 256 31 "Aplica\347\365es de C\341lculo Funcional" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 45 "Suponha que A \+ \351 3x3 com autovalores 1, 2 e 3." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 46 "Que ro um polin\364mio q(x) tal que q(A)A=Aq(A)=I." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 80 "Queremos estender portant o a func\343o de R para R dada por f(x)=1/x para matrizes." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 129 "Voc\352 pode estar se perguntanto se isso vai da r certo, j\341 que vimos c\341lculo funcional para f's polinomiais ou \+ ao menos anal\355ticas." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 109 "Vamos notar primeiro que A \351 diagonaliz\341vel ( 3x3 com 3 autovalores distintos) e, se quiser, podemos escrever " } {XPPEDIT 18 0 "A=S*Lambda*S^(-1)" "6#/%\"AG*(%\"SG\"\"\"%'LambdaGF')F& ,$F'!\"\"F'" }{TEXT -1 30 " e calcular a inversa na m\343o: " } {XPPEDIT 18 0 "A^(-1)=S*Lambda^(-1)*S^(-1)" "6#/)%\"AG,$\"\"\"!\"\"*(% \"SGF')%'LambdaG,$F'F(F')F*,$F'F(F'" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 52 "Mas a inversa da matri z diagonaliz\341vel \351 certamente" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" } }{PARA 256 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "Lambda^(-1)" "6#)%'LambdaG,$\"\"\"! \"\"" }{TEXT -1 3 " = " }{XPPEDIT 18 0 "RTABLE(150216400,MATRIX([[1/la mbda[1], 0, 0], [0, 1/lambda[2], 0], [0, 0, 1/lambda[3]]]),Matrix);" " 6#-%'RTABLEG6%\"*+k@]\"-%'MATRIXG6#7%7%*&\"\"\"F-&%'lambdaG6#F-!\"\"\" \"!F27%F2*&F-F-&F/6#\"\"#F1F27%F2F2*&F-F-&F/6#\"\"$F1%'MatrixG" } {TEXT -1 1 "," }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 37 "Portanto, de fato basta que tenhamos " }{XPPEDIT 18 0 "q( lambda[i])=1/lambda[i]" "6#/-%\"qG6#&%'lambdaG6#%\"iG*&\"\"\"F,&F(6#F* !\"\"" }{TEXT -1 17 ", para i=1, 2, 3." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 11 "Escrevendo " }{XPPEDIT 18 0 "q(x)=q[2 ]*x^2+q[1]*x+q[0]" "6#/-%\"qG6#%\"xG,(*&&F%6#\"\"#\"\"\"*$F'F,F-F-*&&F %6#F-F-F'F-F-&F%6#\"\"!F-" }{TEXT -1 38 " basta que os coeficientes s atisfa\347am" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 62 "eq1:=q2+q1+ q0=1;\neq2:=4*q2+2*q1+q0=1/2;\neq3:=9*q2+3*q1+q0=1/3;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 "# resolve com\nsolve(\{eq1,eq2,eq3 \},\{q2,q1,q0\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "# atri bui vari\341veis\nassign(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "q2;q1;q0;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 88 "# para qu em n\343o lembrou do solve...\nM:=Matrix(3,3,[1,1,1,4,2,1,9,3,1]);\nfv :=<1,1/2,1/3>;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "M^(-1).fv ;\n# ou\nLinearSolve(M,fv);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 236 "O k, vimos que podemos armar um sistema linear que podemos resolver ao m enos de tr\352s formas distintas. O que ocorre \351 que o problema de \+ achar um polin\364mio que passa por pontos dados no plano \351 um prob lema famoso chamado na literatura de " }{TEXT 257 23 "interpola\347 \343o polinomial" }{TEXT -1 40 ". O Maple tem um pacote que pode ajuda r:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "with(CurveFitting);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 55 "q:=PolynomialInterpolatio n([[1,1],[2,1/2],[3,1/3]], x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "# comparando...\nq2*x^2+q1*x+q0;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 236 "# um desenho vale mais que mil palavras\ngf:=plot(1/ x,x=0.1..3.5,color=red):\ngq:=plot(q,x=0.1..3.5,color=black):\npontos: =pointplot([[1,1],[2,1/2],[3,1/3]],symbol=circle,symbolsize=20,color=b lue):\ndisplay(gf,gq,pontos,view=[0..3.5,0..2]);" }}}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 59 "Note que o polin\364mio \351 tal que q(A) \351 a i nversa de A, para " }{TEXT 258 15 "qualquer matriz" }{TEXT -1 5 " 3x3 \+ " }{TEXT 259 24 "com autovalores 1, 2 e 3" }{TEXT -1 72 ". Vamos ilust rar isso gerando uma matriz aleat\363ria com esses autovalores" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 66 "# matriz diagonal com autova lores\nLambda:=DiagonalMatrix([1,2,3]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 103 "# gera matriz aleat\363ria com autovetores nas colun as\nS:=RandomMatrix(3,3);\n# e sua inversa\nSinv:=S^(-1);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "# A aleat\363ria com autovalores da dos\nA:=S.Lambda.Sinv;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "# verifica\nEigenvectors(A);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 60 "# calcula q(A)\nId:=IdentityMatrix(3):\nqA:=q2*A^2+q1*A+q0*Id;" }} }{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "# \351 inversa?\nqA.A;" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 41 "Vamos mudar um pouco a pergunta or iginal." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 29 "Seja B agora uma matriz 3x3, \+ " }{TEXT 260 14 "diagonaliz\341vel" }{TEXT -1 18 ", com autovalores " }{XPPEDIT 18 0 "lambda[1]=1" "6#/&%'lambdaG6#\"\"\"F'" }{TEXT -1 2 ", \+ " }{XPPEDIT 18 0 "lambda[2]" "6#&%'lambdaG6#\"\"#" }{TEXT -1 1 "=" } {XPPEDIT 18 0 "lambda[3]=2" "6#/&%'lambdaG6#\"\"$\"\"#" }{TEXT -1 1 ". " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 44 "Quero um polin\364mio p(x) tal que p( B)=B^(-1)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 120 "Agora \351 mais f\341cil. \+ Apesar de B ser 3x3, como \351 diagonaliz\341vel e tem somente dois au tovalores, basta resolver o sistema " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 17 "p (1)=1, p(2)=1/2." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 7 "Ou seja" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 "p:=PolynomialInterpolation([[1,1],[ 2,1/2]],x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 192 "# um desenh o vale mais que mil palavras\ngp:=plot(p,x=0.1..3.5,color=black):\npon tos:=pointplot([[1,1],[2,1/2]],symbol=circle,symbolsize=20,color=blue) :\ndisplay(gf,gp,pontos,view=[0..3.5,0..2]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 94 "Vamos gerar agora uma matriz B aleat\363ria com autoval ores 1 e 2 (esse com multiplicidade dois)." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 32 "Lambda:=DiagonalMatrix([1,2,2]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 127 "# gera matriz aleat\363ria com autovetor es nas colunas\nS:=RandomMatrix(3,3);\n# e sua inversa\nSinv:=S^(-1); \n# e B\nB:=S.Lambda.Sinv;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "# checando\nEigenvectors(B);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 41 "# confere contas\npB:=-1/2*B+3/2*Id;\npB.B;" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 61 "Ok, tudo muito bom, mas e se a mat riz n\343o for diagonaliz\341vel?" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "Bnondiag:=Lambda;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "Bnondiag[2,3]:=1:\nBnondiag;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "# dando uma olhada\nEigenvectors(Bnondiag);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 85 "# nesse caso, p deve ser out ro:\npBnondiag:=-1/2*Bnondiag+3/2*Id;;\npBnondiag.Bnondiag;" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 105 "Como o exemplo acima ilustra, no \+ caso n\343o diagonaliz\341vel, temos que obter um polin\364mio r(x) qu e satisfa\347a" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 "r(1)=f(1), r(2)=f(2) e \+ r ' (2)=f ' (2)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 8 "Fazendo " }{XPPEDIT 18 0 "r(x)=r[2]*x^2+r[1]*x+r[0]" "6#/-%\"rG6#%\"xG,(*&&F%6#\"\"#\"\"\" *$F'F,F-F-*&&F%6#F-F-F'F-F-&F%6#\"\"!F-" }{TEXT -1 18 ", as equa\347 \365es s\343o:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 58 "eq1:=r2+r 1+r0=1;\neq2:=4*r2+2*r1+r0=1/2;\neq3:=4*r2+r1=-1/4;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "solve(\{eq1,eq2,eq3\},\{r2,r1,r0\});" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "assign(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "r:=r2*x^2+r1*x+r0;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 198 "# um desenho vale mais que mil palavras\ngr:= plot(r,x=0.1..3.5,color=black):\npontos:=pointplot([[1,1],[2,1/2]],sym bol=circle,symbolsize=20,color=blue):\ndisplay(gf,gr,pontos,view=[0.5. .2.5,0.2..1.2]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 126 "Muito bem, p olin\364mio interpola nos dois pontos azuis e \351 tangente ao gr\341f ico de f no ponto relativo ao autovalor repetido (2)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 "Vamos conferir numericamente agora" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "J:=Lambda:\nJ[2,3]:=1:\nJ;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 96 "# gera matriz aleat\363ria S\nS:=Ra ndomMatrix(3,3);\n# e sua inversa\nSinv:=S^(-1);\n# e C\nC:=S.J.Sinv; " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "# checa\nEigenvectors(C );" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "rC:=r2*C^2+r1*C+r0;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 "rC.C;" }}}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 108 "O que acontece se calcularmos r(B), onde B \351 a matriz diagonaliz\341vel com os mesmos autovalores gerada acima?" }}} {EXCHG }{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 55 "# tchan tchan tchan \+ tchan!\nrB:=r2*B^2+r1*B+r0*Id;\nrB.B;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 234 "Tamb\351m funciona! De fato, para funcionar, r devia sat isfazer, no caso diagonaliz\341vel, somente as duas primeiras restri \347\365es; se satisfizer a \372ltima, tamb\351m vai dar certo, talvez com um pouco mais de trabalho para achar os coeficientes." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 88 "Ok, agora umas poucas palavras sobre porque acertar der ivadas no caso n\343o diagonaliz\341vel" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 65 "J:=DiagonalMatrix([lambda[1],lambda[2],lambda[2]]):\n J[2,3]:=1:\nJ;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 3 "Se " }{XPPEDIT 18 0 "A=S*J*S^(-1)" "6#/%\"AG*(%\"SG\"\"\"%\"JGF')F&,$F'!\"\"F'" } {TEXT -1 2 ", " }{XPPEDIT 18 0 "f(A)=S*f(J)*S^(-1) " "6#/-%\"fG6#%\"AG *(%\"SG\"\"\"-F%6#%\"JGF*)F),$F*!\"\"F*" }{TEXT -1 32 "e, se f tem s \351rie de pot\352ncias, " }{XPPEDIT 18 0 "f(x)=sum(a[k]*x^k,k=0..infi nity)" "6#/-%\"fG6#%\"xG-%$sumG6$*&&%\"aG6#%\"kG\"\"\")F'F/F0/F/;\"\"! %)infinityG" }{TEXT -1 7 ", temos" }}{PARA 0 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "f( J)=sum(a[k]*J^k,k=0..infinity)" "6#/-%\"fG6#%\"JG-%$sumG6$*&&%\"aG6#% \"kG\"\"\")F'F/F0/F/;\"\"!%)infinityG" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 98 "Vamos fazer no Maple a soma acima, mas somente de algu ns termos, para ver se d\341 pra aprender algo:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "simplify(sum(a[k]*J^k,k=0..4));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 87 "N\343o \351 dif\355cil ver ent\343o que n o caso em que somamos todos os termos, a matriz acima vira" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "RTABLE(74397648,MATRIX([[f(lambda[1]), 0, 0 ], [0, f(lambda[2]), df(lambda[2])], [0, 0, f(lambda[2])]]),Matrix);" "6#-%'RTABLEG6%\")[wRu-%'MATRIXG6#7%7%-%\"fG6#&%'lambdaG6#\"\"\"\"\"!F 37%F3-F-6#&F06#\"\"#-%#dfGF67%F3F3F5%'MatrixG" }{TEXT -1 2 " ," }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 139 "onde df denota a derivada de f. Como ess a express\343o \351 a mesma para qualquer que seja a fun\347\343o f, v emos que se um polin\364mio s(x) satisfizer " }{XPPEDIT 18 0 "s(lambda [i])=f(lambda[i])" "6#/-%\"sG6#&%'lambdaG6#%\"iG-%\"fG6#&F(6#F*" } {TEXT -1 16 " , i=1, 2 e s '(" }{XPPEDIT 18 0 "lambda[2]" "6#&%'lambda G6#\"\"#" }{TEXT -1 8 ") = f '(" }{XPPEDIT 18 0 "lambda[2]" "6#&%'lamb daG6#\"\"#" }{TEXT -1 19 "), ent\343o s(A)=f(A)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 250 "Tente fazer algo similar para ver o que ocorre se s\363 \+ houver um autovalor lambda. H\341 dois casos distintos, um em que h \341 apensa um 1 acima da diagonal e outro com dois 1's. Num desses ca sos ser\341 necess\341rio pedir igualdade tamb\351m das segundas deriv adas." }}}}{MARK "0 0 0" 8 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 1 1 1 } {PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }