TRABALHO FINAL DE EQS DIFERENCIAIS PARCIAIS I
Professor Ricardo Sá Earp
Vamos agora apresentar os temas para o trabalho final do curso de Equações Diferenciais Parciais da pós-graduação. Primeiramente, listaremos vários temas clássicos. Lembramos que sua opção deverá ser escolhida até o início de setembro. O trabalho deverá ser apresentado no último mês consistindo de uma parte escrita, elaborada com rigor e apuro, bem como de uma exposição oral. Para tal sugerimos uma vasta bibliografia pertinente a cada tema.
Temas propostos
1. Sistemas integráveis e Mecânica.
Referências:
1. V. Arnold. Mathematical methods of classical mechanics. Springer, 1986.
2. Claude Godbillon. Géométrie différentielle et méchanique analytique. Hermann, Paris, 1969.
3. J. Moser. Topics in mechanics. Lecture notes.
2. KdV.
Referências:
1. Fábio A. C. C. Chalub e Jorge P. Zubelli. Sólitons: Na crista da onda por mais de 100 anos. Matemáica Universitária, No 30, 41-65, 2001.
2. P. G. Drazin & R. S. Johnson. Solitons: an introduction. Cambridge University Press, 1996.
3. Thomas Kappeler & Jürgen Pöschel. KdV & KAM. Springer, 2003.
4. Chuu- Lian Terng & Karen Uhlenbeck. Geometry of Solitons. Notices of the AMS, 17-25 January 2000.
3.
Teoria do grau e soluções às E.D.P's não lineares.Referências:
1. Herbert Amann. Lectures on some fixed point theorems. IMPA - CNPq , Rio de Janeiro, 1975.
2. Melvyn Berger & Marion Berger. Perspectives in nonlinearity -An Introduction to nonlinear analysis. W. A. Benjamin, Inc., New York, 1968.
3. Louis Nirenberg (Notes by Ralph A. Artino). Topics in nonlinear analysis. Courant Lecture Notes-AMS, 1974.
4.
Espaços de Sobolev e problemas variacionais elípticos lineares. Problema de Dirichlet homogêneo e não homogêneo, alternativa de Fredholm para operadores elípticos de segunda ordem, funções próprias e decomposição espectral: autovalores de operadores elípticos de segunda ordem.Referências:
1. Haïm Brezis. Analyse fonctionnelle et applications. Masson, Paris, 1983.
2. Lawrence C. Evans. Partial differential equations. AMS, 1998.
3. D. Gilbarg & N. S. Trudinger. Elliptic partial differential equations of second order. Second edition, 1983.
5
. Princípios do máximo em EDP's de segunda ordem elípticas, parabólicos e hiperbólicos.Referências:
1. Murray H. Protter & Hans F. Weinberger. Maximum principles in differential equations. Prentice-Hall, 1967.
6.
Métodos variacionais. Métodos diretos do cálculo das variações com aplicações às EDP's. Minimax: existência de geodésicas fechadas em superfícies C3 difeomorfas a esfera redonda usual (teorema de Birkhoff). Soluções periódicas de sistemas Hamiltonianos. O lema do Mountass Pass e aplicações na solução de problemas elípticos semilineares.Referências:
1. Lawrence C. Evans. Partial differential equations. AMS, 1998.
2. Michael Struwe. Variational Methods. Segunda edição, Springer, 1990.
7.
Transformação de Laplace complexa. Existência da inversa. Aplicações na soluções de equações diferenciais ordinárias. Teorema de Hardy. Fórmula da Transformada inversa. A expansão de Heaviside. A fórmula real da inversa. A equação integral de Carleman. Aplicações em problemas de condução do calor ("Heat Conduction") e de problemas de mecânica ondulatória ("Mechanical Vibrations").Referências:
1. Joseph Bak & Donald J. Newman. Complex Analysis. Second edition, Springer, 1997.
2. Ruel V. Churchill. Operational mathematics. Terceira edição. McGraw-Hill, 1972.
3. Stephen D. Fischer. Complex variables. Segunda edição, Dover, 1999.
4. Peter Henrici. Applied and computational complex analysis. Volumes 1, 2, 3. John Wiley & Sons, N. Y, 1988, 1991.
5. Serge Lang. Complex analysis. Quarta edição, 1999.
6. Anthony D. Osborne. Complex variables and their applications. Addison-Wesley,1999.
7. A. D. Wunsch. Complex variables with applications. Second edition, Addison-Wesley, 1994.
8.
Funções elípticas e KdV. A teoria de Weierstrass. A função
de Weierstrass. A função 
de Weierstrass. As funções 
de Jacobi. As funções elípticas de Jacobi: sn z, cn z, dn z. Aplicações em mapeamentos conformes: Mapeamento de um retângulo, interior de uma elipse. Integrais completas elípticas e séries hipergeométricas. Functions elípticas de Jacobi e equações de Korteweg & de Vries (equações KdV).
Referências:
1. Lars Ahlfors. Complex analysis. Segunda edição, McGraw-Hill, 1966.
2. P. G. Drazin & R. S. Johnson. Solitons: an introduction. Cambridge University Press, 1996.
3. Peter Henrici. Applied and computational complex analysis. Volumes 1, 2. John Wiley & Sons, N. Y, 1988, 1991.
4. Einar Hille. Analytic function theory. Volume 2, Chelsea, 1962.
5. Serge Lang. Complex analysis. Quarta edição, 1999.
6. Zeev Nehari. Conformal mapping. Dover, 1952.
7. Anthony D. Osborne. Complex variables and their applications. Addison-Wesley,1999.
8. Reinhold Remmert. Classical topics in function theory. Springer 1998.
9. G. Sansone & J. Gerretsen. Lectures on the theory of function of a complex variable. Noordhoff-Groningen, 1960.
10. Georges Valiron. Théorie des fonctions. Terceira edição, Masson, 1966.
9.
Fórmula de Schwarz- Christoffel. Mapeamento conforme do disco num polígono regular. Mapeamento conforme do semi-plano em regiões poligonais ilimitadas. Mapeamento conforme do semi-plano em triângulos hiperbólicos: derivada Schwarziana e triângulos de Schwarz . Aplicações ao problema de Dirichlet para funções harmônicas e em problemas da Mecânica dos Fluidos.Referências:
1. Lars Ahlfors. Complex analysis. Segunda edição, McGraw-Hill, 1966.
2. Tobin A. Driscoll & Lloyd N. Trefethen. Schwarz- Christoffel mapping. Cambridge monographs on applied and computational mathematics.
3. Stephen D. Fischer. Complex variables. Segunda edição, Dover, 1999.
4. Peter Henrici. Applied and computational complex analysis. Volume 1. John Wiley & Sons, N. Y, 1988.
5. A. I. Markushevich. Theory of functions of a complex variable. Volume II, Prentice-Hall, 1965.
6. Zeev Nehari. Conformal mapping. Dover, 1952.
7. Anthony D. Osborne. Complex variables and their applications. Addison-Wesley,1999.
8. Georges Valiron. Théorie des fonctions. Terceira edição, Masson, 1966.