EQS DIFERENCIAIS PARCIAIS I- AGOSTO de 2003–Lista 1

Professor: Ricardo Sá Earp

Primeiras Noções

1) Defina os conceitos de integral completa, envelopes, integral singular e integral geral para uma E.D.P não linear de primera ordem em n variáveis independentes da forma

f(x, u, Du) = 0

Mostre como construir novas soluções a partir dos envelopes, dando exemplos. Além disso, escreva a forma geral de uma E. D. P. linear, semilinear e quasilinear em n variáveis independentes.

2) Considere que uma superfície S em IR^{3} está dada implicitamente pela equação

F (u, v) = 0

onde F é de classe C^{1} e u = u(x, y, z) e v = (x, y, z) são funções dadas de classe C^{1} definidas em um aberto de IR^{3}.

a) Determine uma condição suficiente para que S seja localmente dada como um gráfico de uma função z = g(x, y), para (x, y) variando num aberto U de IR^{2}.

b) No aberto de S obtido no item a) mostre que z = z(x, y), satisfaz a

E.D.P.

p\frac{∂(u, v)}{∂(y, z)} + q \frac{∂(u, v)}{∂(z.x)} = \frac{∂(u, v)}{∂(x, y)}

c) Classifique a E.D.P. acima e exiba um exemplo concreto desta situação.

3) Seja v = v(x, y) uma função de classe C^{1} definidas num aberto de IR^{2}. Assuma que u = u(x, y) é função de v (não envolvendo explicitamente x, y), ou seja

u = H(v)

onde H é uma função de classe C^{1} de uma variável definida num intervalo I da reta. Mostre que

\frac{∂(u, v)}{∂(x, y)} = 0

Classifique a equação que u satisfaz.

4) Esta é uma recíproca do item 3). Sejam u = u(x, y) e v = v(x, y) duas funções de classe C^{1} definidas num aberto U de IR^{2}. Assuma que

\frac{∂v}{∂y} ≠ 0

Assuma ainda que u, v satisfazem

\frac{∂(u, v)}{∂(x, y)} = 0

Mostre que existe uma relação

F (u, v) = 0

não envolvendo x, y explicitamente, com F de classe C^{1} e\frac{∂F}{∂u} ≠ 0.

5) Seja z = z(x, y) uma função de classe C^{1} definida num certo aberto U de IR^{2}. Seja F (u, v) uma função de classe C^{1} definida num aberto de IR^{2}. Descubra a E. D. P. satisfeita pela função z = z(x, y), definida pela relação

a) F (\frac{x}{y}, \frac{y}{z}) = 0.

b) F (x^{2} − y^{2}, z^{2} − y^{2}) = 0.

6) Elimine os parâmetros a e b e verifique a E. D. P. satisfeita pelas funções abaixo

a) z = ax + by + a^{2} + b^{2}.

b) z = ax + \frac{y}{a} + b.

7)

a) Mostre que (x − a)^{2} + (y − b)^{2} + z^{2} = 1 é uma integral completa de uma certa E.D.P. não-linear. Tome funções particulares b = h(a) e encontre soluções particulares da mesma equação. Encontre integrais singulares da equação.

b) Mostre que a E.D.P. do item 6)b) não possui integrais singulares, mas encontre soluções particulares fazendo b = h(a).

c) Mostre que a E.D.P.

px + qy − q^{2} = 0

possui uma integral completa que é uma família de quádricas em IR^{3}.

8) Considere a equação da superfície mínima

(1 + p^{2})t − 2pqs + (1 + q^{2})r = 0

a) Fazendo separação de variáveis z = g(x) + h(y) mostre que existe uma solução da equação acima e obtenha a superfície de Scherk dada por

z = \frac{1}{a} log (\frac{cos ax}{cos ay})

Desenhe o gráfico de Scherk, realçando sua geometria.

b) Classifique todas as superfícies mínimas de revolução, chamadas de catenóides, mostrando que a curva geratriz é uma catenária. Desenhe a família dos catenóides realçando sua geometria.

c) Sejam u = u(x, y), v = v(x, y) soluções da equação da superfície mínima num domínio Ω.

Considere a 1-forma

θ = (u − v) ((\frac{p_{1}}{W_{1}} − \frac{p_{2}}{W_{2}} ) dy − (\frac{q_{1}}{W_{1}} − \frac{q_{2}}{W_{2}} ) dx)

onde, p_{1} = u_{x}, q_{1} = u_{y}, p_{2} = v_{x}, q_{2} = v_{y}, W_{i} = \sqrt{1 + p_{i}^{2} + q_{i}^{2}}, i = 1, 2. i) Mostre que

dθ = (((p_{1} − p_{2}) (\frac{p_{1}}{W_{1}} − \frac{p_{2}}{W_{2}} ) + (q_{1} − q_{2}) (\frac{q_{1}}{W_{1}} − \frac{q_{2}}{W_{2}} )) dx ∧ dy

ii) Mostre que dθ ⩾ 0 e dθ = 0 ⇔ p_{1} = p_{2}, e q_{1} = q_{2}.

9) Considere o modelo do semi-espaço superior do espaço hiperbólico IH^{n+1} = {(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, x_{n+1}), x_{n+1} > 0}, dotado da métrica hiperbólica ds^{2} = \frac{1}{x_{n+1}^{2}} (dx_{1}^{2} + ⋯ + dx_{n+1}) . Segue que a equação do gráfico mínimo

vertical satisfeita para uma função x_{n+1} = u(x_{1}, …, x_{n}), está dada por

(∗)  div (\frac{∇u}{W(u)}) = −\frac{n}{uW(u)}

onde W (u) = \sqrt{1 + |∇u|^{2}}. a) Classifique a equação (∗).

b) Encontre soluções de (∗).

10) Seja F uma faixa no plano IR^{2}. Será que existe uma uma função harmônica u não trivial, i.e △u = 0 com u ≢ 0, valendo zero no bordo da faixa ? E num disco ?

11) Considere a E.D.P. de primeira ordem

pq = xy

a) Analise se a família

(z − b)^{2} = y^{2}(x^{2} − a^{2})

consiste de uma integral completa da equação ou não.

b) Ache uma superfície integral que seja um parabolóide. Idem para uma sela.

c) Mostre que a superfície parametrizada

x = s cosh t, y = sinh t, z = s cosh^{2} t

produz uma solução da equação, explicitando-a na forma z = z(x, y). Verifique se tal superfície integral contém uma reta.

12) Considere a equação diferencial parcial

2xz + q^{2} = x^{2}p + xyq

a) Classifique o tipo de equação.

b) Determine uma integral completa da equação.

c) Agora, independentemente, assuma que

(∗∗)  z + a^{2}x = axy + by^{2}

seja uma integral completa de (∗). Dados h, k, considere a curva C dada por

x_{0} = s, y_{0} = −hs, z_{0} = ks^{2}, (s = parâmetro)

Mostre que existe uma subfamília de (∗∗) que “toca” (tangência) C em algum ponto. Obtenha o envelope desta família e mostre que você obtém uma nova família completa que contém a curva C.

BIBLIOGRAFIA

1. T. Amaranath. Partial differential equations. Segunda edição. Alpha Science, England, 2003.

2. Lawrence C. Evans. Partial differential equations. AMS, 1998

3. Murray H. Protter & Hans F. Weinberger. Maximum principles in differential equations. Prentice-Hall, 1967.