EQS DIFERENCIAIS PARCIAIS I- AGOSTO de 2003–Lista 2

Professor: Ricardo Sá Earp

Integrais primeiras e EDP’s lineares homogêneas de primeira ordem

Sistemas característicos da forma

\frac{dx_{1}}{f_{1}(x_{1}, …, x_{n})} = \frac{dx_{2}}{f_{2}(x_{1}, …, x_{n})} = ⋯ = \frac{dx_{n}}{f_{n}(x_{1}, …, x_{n})}

1) Resolva os sistemas diferenciais propostos. Obtenha a curva-trajetória geométricacomo interseção de duas superfícies em IR^{3} que se cortam transversalmente, via o cálculo das integrais primeiras, no caso de duas variáveis independentes, ou três hipersuperfícies em IR^{4} no caso de três variáveis independentes. a)

\frac{dx}{x} = \frac{dy}{y} = \frac{dz}{z}

b)

\frac{dx}{yz} = \frac{dy}{xz} = \frac{dz}{xy}

c)

\frac{dx}{x^{2}} = \frac{dy}{y^{2}} = \frac{dz}{(x + y)z}

d)

\frac{dx}{yz} = \frac{dy}{xz} = \frac{dz}{xy} = \frac{− du}{xyz}

e) Neste exercício, encontre uma superfície de IR^{3} que seja um gráfico de uma função z = z(x, y) satisfazendo a condição de fronteira z = f(y) na reta {x = 0} e que contenha a curva dada por

dx = \frac{dy}{x^{2}} = −\frac{dz}{y}

f)

\frac{dx}{x(x + y)} = \frac{− dy}{y(x + y)} = \frac{dz}{(x − y)(2x + 2y + z)}

g) Resolva o item e) acima pela técnica ensinada em sala de aula e pelo método das características que consiste em resolver o sistema de E. D. O. característico associado à E. D. P.

p + x^{2}q = −yz

h) Resolva as EDP’s

\frac{∂u}{∂x}P (x, y, z) + \frac{∂u}{∂y}Q(x, y, x) + \frac{∂u}{∂z}R(x, y, z) = 0

determinadas pelos sistemas característicos associados que estão dados nos itens a)–d).

2) Encontre uma solução da equação

z_{t} + zz_{x} = 0

Que seja ilimitada numa vizinhana̧ de um ponto a > 0.

3) Integre as EDP’s dadas abaixo

a)

\frac{∂u}{∂x}(x^{3} + 3xy^{2}) + \frac{∂u}{∂y}(y^{3} + 3x^{2}y) + \frac{∂u}{∂z}2(x^{2} + y^{2})z = 0

b)

\frac{∂u}{∂x}(y^{n} − z^{n}) + \frac{∂u}{∂y}(z^{n} − x^{n}) + \frac{∂u}{∂z}(x^{n} − y^{n}) = 0

c)

\frac{∂u}{∂x}x(cz − by) + \frac{∂u}{∂y}y(ax − cz) + \frac{∂u}{∂z}z(by − ax) = 0

4) Mostre que as soluções do sistema diferencial abaixo são curvas planas

a)

\frac{dx}{x^{2} − yz} = \frac{dy}{y^{2} − xz} = \frac{dz}{z^{2} − xy}

b)

\frac{dx}{−2y − 2z + 4} = \frac{dy}{−x − y + z + 7} = \frac{dz}{−2x + 2y + 2}

c)

\frac{dx}{y(x + y) + z} = \frac{dy}{x(x + y) − z} = \frac{dz}{z(x + y)}

5) Transforme os sistemas abaixo num sistema da forma

\frac{dx}{P (x, y, x)} = \frac{dy}{Q(x, y, z)} = \frac{dz}{R(x, y, z)}

a)

\frac{dy}{dx} = \frac{−x}{y}, \frac{dz}{dx} = \frac{a(x^{2} + y^{2})}{y(a^{2} + z^{2})}

b)

\frac{dy}{dx} = \frac{y + z}{x} , \frac{dz}{dx} = \frac{z − y}{x}

6) Resolva os sistemas lineares abaixo e integre as EDP’s lineares homogêneas cujos sistemas característicos associados são exatamente os sistemas dados. a)

\{ \begin{matrix}\frac{dx}{dt} = & x − y + z − 4 \\ \frac{dy}{dt} = & 2x + y − z + 1 \\ \frac{dz}{dt} = & − 2x + y + z + 1 \end{matrix}

b)

\{ \begin{matrix}\frac{dx}{dt} = & 2x + y + z + 2 \\ \frac{dy}{dt} = & x + 2y + z + 1 \\ \frac{dz}{dt} = & x + y + 2z \end{matrix}

c)

\{ \begin{matrix}\frac{dx}{dt} & = 2x + y \\ \frac{dy}{dt} & = 2y \\ \frac{dz}{dt} & = −2z \end{matrix}

7) Neste item vamos tratar de integrais primeiras para equações diferenciais de segunda ordem que aparecem em vários problemas da Geometria Diferencial e da Mecânica. Considere o sistema diferencial de segunda ordem

\frac{d^{2} x_{i}}{dt^{2}} = f_{i} (x_{1}, …, x_{n}, \frac{dx_{1}}{dt} , …, \frac{dx_{n}}{dt} ) ,  i = 1, …, n  (∗)

Sabe-se que a tal sistema pode-se associar um sistema de primeira ordem com 2n equações:

\{ \begin{matrix}\frac{dx_{i}}{dt} & = x′_{i} \\ \frac{dx′_{i}}{dt} & = f_{i} (x_{1}, …, x_{n}, x′_{1}, …, x′_{n}) \end{matrix} (∗∗)

Dizemos que ψ(x_{1}, …, x_{n}, x′_{1}, …, x′_{n}) é uma integral primeira do sistema (∗)∗ se

∑_{i=1}^{n} x′_{i} \frac{∂ψ}{∂x_{i}} + ∑_{i=1}^{n} f_{i}(x_{1}, …, x_{n}, x′_{1}, …, x′_{n})\frac{∂ψ}{∂x′_{i}} = 0

Ou seja, ψ(x_{1}, …, x_{n}, x′_{1}, …, x′_{n}) é constante ao longo das trajetórias das soluções da equação.

Alguma vezes a equação (∗) é não autônoma, ou seja na expressão aparece a variável dependente t. A definição da integral primeira permanece a mesma (veja exemplos abaixo).

a) Considere uma equação diferencial de segunda ordem na variável independente t da forma

(∗)  f(t, x′, x′′) = 0

não envolvendo a variável dependente x, onde f é uma função diferenciável com continuidade. Note que a mudança p = x′ transforma a equação dada numa equação de primeira ordem em p.

i) Suponha que uma integral primeira pode ser obtida da forma

p = F (t, c)

envolvendo uma constante arbitrária c. Integre a equação. ii) Assuma quem aparece naturalmente uma expressão do tipo

t = G(p, d)

envolvendo uma constante d. Integre a equação. iii) Obtenha uma integral primeira para as equações abaixo

t^{2}x′′ = x′^{2} − 2tx′ + 2t^{2}
2t^{2}x′x′′ − tx′′ + x′ = 0

b) Assuma que na equação diferencial de segunda ordem

(∗)  f(x, x′, x′′) = 0

não apareça a variável independente. Transforme a equação numa nova equação de primeira ordem onde x surge como variável independente. Estabeleça uma condição suficiente para a existência de uma integral primeira de (∗).

i) Assuma que a equação obtida no procedimento acima seja dada por

1 + (\frac{1 − p^{2}}{1 − x^{2}} )^{−1/2} \frac{dp}{dx} = 0

Integre a equação identificando geometricamente as trajetórias no plano de fase xp.

c) Considere a equação diferencial de segunda ordem

y′′(x) + P (x, y(x))y′(x) + Q(x, y(x))y′(x)^{2} = 0

Assuma que a forma diferencial θ = P dx + Q dy seja exata. Encontre uma integral primeira para a equação (∗). Integre diretamente a equação quando P, Q não dependem de y (equação de Bernoulli).

d) Integre

yy′′ = −α(1 + y′^{2}), α ∈ IR

e) Considere o campo unidimensional

(∗)  x′′ = F (x)

onde F é uma função de classe C^{2}, interpretando-a como a força agindo num sistema conservativo.

i) Mostre que a energia total E := T + U, onde T é a energia cinética e U é a energia potencial é uma integral primeira.

ii) Mostre que os pontos de equilıbrio do sistema de primeira ordem 2 × 2, (x, v) associado à (∗) corta a reta v = 0. Mostre ainda que as órbitas periódicas do sistema associado também corta o eixo x e são simétricas com respeito a este.

iii) Seja x = x_{0} um ponto crítico isolado do sistema associado que seja um máximo local para a energia potencial U. Determine a natureza do ponto crítico.

Nota: Uma análise da integral primeira revela que num ponto crítico isolado (x_{0}, 0) correspondendo a um mínimo local da energia potencial U tem-se um centro.

f) Considere a equação diferencial de segunda ordem

xyy′′ + x(y′)^{2} + yy′ = 0

Procure uma integral primeira da forma

ψ(x, y, p) = h(x, y) + ∫ xu dp

e integre a equação.

g) Considere a equação diferencial com condição inicial

\{ \begin{matrix}(x − t)\frac{d^{2} x}{dt} + e^{t} ((\frac{dx}{dt})^{2} + 1) & = 0 \\ x(t_{0}) = x_{0} > t_{0} \\ x′(t_{0}) = p_{0}, p_{0} > 0 \end{matrix}

Encontre uma integral primeira ψ da equação.

h) Considere M^{2} uma superfície Riemanniana com métrica ds^{2} = g(y)^{2} dx^{2}+dy^{2}. Seja (x(s), y(s)), s ∈ (a, b) uma curva parametrizada por comprimento de arco. Seja α o ângulo que o vetor unitário tangente faz com \frac{∂}{∂y} . Sabe-se que a curvatura geodésica k_{g} é dada pela fórmula seguinte:

k_{g}(s) = \frac{dα}{ds} + g′(y)\frac{dx}{ds}

i) Mostre que g(y)·sin α = cst, é uma integral primeira da equação das geodésicas (k_{g} ≡ 0).

Nota: Quando se quer classificar as superfícies de revolução de curvatura média constante num espaço de formas espaciais (IR^{n}, IH^{n}, 𝕊^{n}), obtém-se uma equação de segunda ordem satisfeita pela curva geratriz γ. Esta possui uma integral primeira natural que pode ser integrada levando a uma forma explícita útil. Além disso a integral primeira serve para se estudar propriedades geométricas de tais superfícies. Mais precisamente, considere o sistema

\frac{dx}{ds} = − sin φ
\frac{dt}{ds} = cos φ
\frac{dφ}{ds} =2H − \frac{cos φ}{x}

onde H é uma constante.

ii) Interprete o sistema acima à luz da Geometria Diferencial das su-

perfícies de IR^{3}. iii) Usando as técnicas desenvolvidas, mostre que uma integral primeira

é dada por

f(x, φ) = −x cos φ + H x^{2}

verificando o seu resultado por diferenciação direta.

8) Integre

\frac{dx}{xy^{2} + xz} = \frac{dy}{y^{3} − yz} = \frac{dF}{2xy^{3} + 4y^{2}F}

encontrando uma função F (x, y) satisfazendo às equações.

Sugestão: Considere a mudança de variável u = xy, e tente transformar o sistema acima numa E.D.O na variável u, procurando uma solução da forma F (x, y) = f(xy) onde f é uma função de uma variável real na variável u.

BIBLIOGRAFIA

8 PROFESSOR RICARDO SÁ EARP

1. T. Amaranath. Partial differential equations. Segunda edição. Alpha Science, England, 2003.

2. Henri Cartan. Cours de calcul différentiel. Hermann, Paris,1967.

3. Lawrence C. Evans. Partial differential equations. AMS, 1998

4. Edward Lindsay Ince & Ian Naismith Sneddon. The solutions of ordinary differential equations. Longman, 1987.

4. A. Martin. Equations aux dérivées partielles. Dunod, Paris, 1991.

5. Jorge Sotomayor. Lições de equações diferenciais ordinárias. Projeto Euclides, 1979.

6. Wolfgang Walter. Ordinary differential equations. Readings in mathematics, Springer, 1998.

7. Georges Valiron. Équations fonctionnelles. J. Gabay, 1989.

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