EQS DIFERENCIAIS PARCIAIS I- AGOSTO de 2003–Lista 3

Professor: Ricardo Sá Earp

Equações quasilineares de primeira ordem:

∑_{i=1}^{n} f_{i}(x_{1}, …, x_{n}, u)\frac{∂u}{∂x_{i}} = f(x_{1}, …, x_{n}, u)

1) Encontre a solução geral das equações quasilineares em duas variáveis independentes abaixo esboçando algumas superfícies integrais, usando o MAPLE.

a) yzp + xzq = xy

b) x^{2}p + y^{2}q = (x + y)z.

c) x(y − z)p + y(z − x)q = z(x − y).

d) Diferenciando, verifique que suas respostas dos itens a) − −c) estão cor-

retas.

2) integre a equação diferencial partial

y(x − z)p − (1 + y^{2})q + z − x = 0

3) Resolva o sistema

\{ \begin{matrix}\frac{dx}{dt} & = y \\ \frac{dy}{dt} & = z \\ \frac{dz}{dt} & = x \end{matrix}

Em seguida integre a equação

yp + zq = x

Usando o MAPLE exiba o gráfico de algumas superfícies integrais.

4) Considere a E.D.P. quasilinear em duas variáveis independentes

(∗)  p + x^{2}q = −yz

a) Dada uma f(t), t ∈ IR, encontre uma solução explícita de z = F (x, y) de (∗) satisfazendo a condição F (0, y) = f(y), exibindo o gráfico da superfície integral usando o MAPLE.

b) Resolva a E.D.P. em três variáveis independentes

u_{x} + u_{y} + xyu_{z} = u^{2}

Encontre uma hipersuperfície integral de IR^{4} dada por u = u(x, y, z), passando por (2, 1, 1, 4) e que contenha parte da superfície (x, y, y, x^{2}).

5) A seguinte equação diferencial parcial é proveniente de um problema de Geometria Diferencial

(px + py)^{2} − a^{2}(p^{2} + q^{2}) = 0

a) Desenvolva obtendo uma equação de segundo grau em p/q, e infira a sequinte equação diferencial linear homogênea

p(x^{2} − a^{2}) + q (xy ± a\sqrt{x^{2} + y^{2} − a^{2}}) = 0

b) Mostre que as equações características são

dz = 0, \frac{dx}{x^{2} − a^{2}} = \frac{dy}{xy ± a\sqrt{x^{2} + y^{2} − a^{2}}}

c) Mostre que a última equação acima pode ser re-escrita como

(x dy − y dx)^{2} − a^{2} (dx^{2} + dy^{2}) = 0

obtendo a equação de Clairaut

xy′ − y = ±a\sqrt{1 + y′^{2}}

d) Mostre que uma superfície integral é dada por

(xψ(z) − y)^{2} − a^{2} (1 + ψ^{2}(z))^{2} = 0

sendo ψ uma função arbitrária. e) Mostre que o cilindro

x^{2} + y^{2} = a^{2}

é uma integral singular.

6) Resolva as E.D.P. quasilineares, verificando sua resposta.

a)

p − q + z = 1

b)

ap + bq = −cz

satisfazendo a condição z(x, 0) = f(x), onde f(t) é uma função dada. Exiba o gráfico da superfície integral usando o MAPLE.

c) Integre as equação abaixo por dois métodos distintos, sendo que um destes use obrigatoriamente a integração do sistema característico em função de um parâmetro t seguida pela eliminação do parâmetro. Exiba o gráfico da superfície integral usando o MAPLE.

i)

xp − yq = (y − x)z

com a superfície integral contendo a hipérbole z = 1, (x − 1)(y − 1) = 1. ii)

(x + 1)p + yq + x + y + z = 0

com a superfície integral contendo a reta x = y, z = 1. iii)

xp + yq = 1 + y^{2}

com a superfície integral contendo a reta z = x + 1, y = 1.

7) Mostre que existe uma quádrica de IR^{3} dada por uma função z = z(x, y) satisfazendo a E.D.P. quasilinear

(2xy − 1)p + (z − 2x^{2})q = 2(x − yz)

que contém a reta passando por (1, 0, 0) com vetor diretor (0, 0, 1), exibindo o gráfico da quádrica usando o MAPLE.

4 PROFESSOR RICARDO SÁ EARP

8) Encontre a superfície integral da equação diferencial parcial

x^{3}p + y(3x^{2} + y)q = z(2x^{2} + y)

contendo a parábola x(s) = 1, y(s) = s, z(s) = s(1 + s), exibindo o gráfico da superfície integral usando o MAPLE.

BIBLIOGRAFIA

1. T. Amaranath. Partial differential equations. Segunda edição. Alpha Science, England, 2003.

2. Henri Cartan. Cours de calcul différentiel. Hermann, Paris,1967.

3. Lawrence C. Evans. Partial differential equations. AMS, 1998

4. A. Martin. Equations aux dérivées partielles. Dunod, Paris, 1991.

5. Jorge Sotomayor. Lições de equações diferenciais ordinárias. Projeto Euclides, 1979.

6. Georges Valiron. Équations fonctionnelles. J. Gabay, 1989.

7. Daniel Zwillinger. Handbook of differential equations. Segunda edição, Academis Press, 1992.