EQS DIFERENCIAIS PARCIAIS I- SETEMBRO de 2003–Lista 4

Professor: Ricardo Sá Earp

Fatores integrantes, teorema de Frobenius Equações integráveis (exatas) da forma:

P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz = 0

1) Sejam P (x, y) e Q(x, y) funções de classe C^{1} definidas num aberto U de IR^{2}. Considere a equação

(∗)  P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0

a) Mostre que (∗) admite um fator integrante, i.e (∗) é integrável.

b) Sejam μ e λ dois fatores integrantes de cujo quociente não se reduz a uma constante. Mostre que F (x, y) = \frac{λ(x, y)}{μ(x, y)} = c, c ∈ IR, dá uma solução geral de (∗).

c) Estabeleça condições suficientes para que (∗) admita um fator integrante que dependa apenas de uma variável (ou bem x ou bem y). Idem para a existência de um fator integrante da forma μ = f(x + y).

i) Integre a equação

(5x^{2} + 2xy + 3y^{3}) + 3(x^{2} + xy^{2} + 2y^{3})y′ = 0

ii) Encontre a solução geral da equação

(2x^{2} + 2xy^{2} + 1)y dx + (3y^{2} + x) dy = 0

iii) Integre a equação

2(1 + y^{2}) dx + x(1 + y^{2}) dy = 0

iv) Admitindo que x é fator integrante da equação

(x + y) dx + α(x) dy = 0

encontre α satisfazendo α(1) = 1 de modo que a equação seja exata. Integre a equação.

d) Considere a equação

(y^{2}/2 − 2y e^{x}) dx + (y − e^{x}) dy = 0

i) Obtenha um fator integrante da equação. ii) Obtenha a solução geral da equação iii) Obtenha a expressão geral dos fatores integrantes da equação.

e) Estude como obter um fator integrante para a equação

(A(x, y) dx + B(x, y) dy) + (C(x, y) dx + D(x, y) dy) = 0

i) Encontre um fator integrante para a equação

ay dx + bx dy + x^{m}y^{n}(αy dx + βx dy) = 0

onde a, b, α, β, m, n são constantes.

f) Considere

(yx^{2} + y^{3} − xy) dx + x^{2} dy = 0

i) Mostre que fazendo uma escolha adequada de um fator integrante a equação obtida após uma mudança de variável é uma equação de Bernoulli.

ii) Integre a equação. iii) Determine todos os fatores integrantes da equação.

g) Resolva a equação

\frac{dy}{dx} = \frac{x}{x^{2}y^{2} + y^{5}}

2) Estabeleça a condição de integrabilidade da equação

(∗)  dz = P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy

onde P e Q são funções de classe C^{1} num aberto U de IR^{3}.

a) Integre a equação

p = \frac{2x + z^{2} − x^{2} − 2y^{2}}{2z} , q = \frac{4y + z^{2} − x^{2} − 2y^{2}}{2z}

O método de Mayer consiste em integrar (∗) no plano vertical y − y_{0} = m(x − x_{0}), onde m ∈ IR e dy = m dx. Aplique o método para integrar

b)

dz = \frac{(x^{2} + 2x(y + z) − y^{2} − z^{2}) dx + (y^{2} + 2y(x + z) − x^{2} − z^{2}) dy}{x^{2} + y^{2} − 2z(x + y) − z^{2}}

3) A finalidade deste exercício é integrar a E.D.P. quasilinear

(∗)  M(x, y, u)u_{x} = N(x, y, u)u_{y}

onde M e N são funções de classe C^{1} num aberto U de IR^{3}.

a) Tome u como parâmetro e estabeleça a condição de integrabilidade da equação

(∗∗)  M dy + N dx = 0

b) Assuma que ψ(x, y, u) = 0 é solução de (∗∗) satisfazendo ψ_{u} ≠ 0. Encontre uma fórmula para ψ e mostre que a função u(x, y) determinada implicitamente satisfaz a equação (∗).

i) Seja

yu_{x} = xuu_{y}

Determine ψ(x, y, u) = 0, e encontre soluções particulares da equação.

4) Verifique se as 1-formas diferenciais abaixo ω são exatas ou integráveis encontrando as superfícies integrais. a)

ω = yz dx + 2xz dy − 3xy dz = 0

b)

ω = (6x + yz) dx + (xz − 2y) dy + (xy + 2z) dz = 0

c)

ω = (2x + y^{2} + 2xz) dx + 2xy dy + x^{2} dz = 0

d)

ω = 2xz dx − 2yz dy − (x^{2} − y^{2}) dz = 0

e)

ω = y(x^{2} − y^{2} − xy) dx + x(y^{2} − x^{2} − xz) dy + xy(x + y) dz = 0

Determine um fator integrante. f)

(yz + z^{2}) dx − xz dy + xy dz = 0

g)

2x dx + dy + (1 + 2z^{2} + 2yz + 2x^{2}z) dz = 0

h) Diferenciando verifique suas respostas aos itens a) − g).

i) Considere

(∗)  y(y^{2} − x) dx + x^{2} dy = 0

i_{1}) Mostre que a equação (∗) é invariante pela transformação ( uma família a 1-parâmetro)

\{ \begin{matrix}y′ = & e^{ϵ/2} y \\ x′ = & e^{ϵ} x \end{matrix}

i_{2}) Considere o operador infinitesimal do grupo dado por \{η = \frac{y}{2} , ξ = x\}. Mostre que a equação (∗) admite um fator inte-

grante da forma λ(x, y) = \frac{1}{Nη − Mξ} , onde M = y(y^{2} −x) e N = x^{2}. Integre.

j) Mostre que se a equação

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0

é homogênea e Mx + Ny ≠ 0, então um fator integrante está dado por λ(x, y) = \frac{1}{Mx + Ny} . Aplique isto encontrando primeiro um fator integrante da equação seguinte antes de resolvê-la

(xy − 2y^{2}) dx − (x^{2} − 3xy) dy = 0

k) Mostre que f(x + iy) := M + iN é holomorfa então um fator integrante de

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0

pode ser obtido da forma λ = \frac{1}{M^{2} + N^{2}} . Usando isto integre

(y^{2} + 2xy − x^{2}) dy − (y^{2} − 2xy − x^{2}) dx = 0

5) Determine f(x, y) de modo que a 1-forma diferencial abaixo ω

ω = (yz − y^{3}) dx + (xy^{2} + xz) dy + f(x, y) dz = 0

seja integrável, encontrando as superfícies integrais. 6)

a) Determine o campo de planos de dimensão 2 em IR^{3} \ {0} dado pelas

1-formas diferenciais abaixo

i)

ω = x dx + y dy + z dz = 0

ii)

ω = x dx + y dy − z dz = 0

b) Determine se as 1-formas do item a) são integráveis e obtenha as superfícies integrais. Use o MAPLE para exibir um gráfico que desenhe as folheações determinadas .

c) Faça um estudo análogo ao que foi feiro nos itens a)b) com respeito a 1-forma diferencial em IR^{3} \ eixo z dada por

ω = y dx − 2x dy

d) Determine as singularidades das folheações em IR^{3} dadas nos itens a, b, c.

e) Exiba outros exemplos interessantes de foleações de IR^{3}, exibindo os gráficos via o MAPLE.

f) Generalize o que foi feito anteriormente e obtenha folheações de codimensão 1 em R^{n}.

∗  ∗  ∗

Vamos olhar para certos aspectos do teorema de Frobenius. Consulte as referências 2, 4, 6, 7, 11 e 13 para obter um maior aprofundamento deste importante resultado.

Seja X = ∑_{i=1}^{n} a_{i} \frac{∂}{∂x_{i}} e Y = ∑_{i=1}^{n} b_{i} \frac{∂}{∂x_{i}} campos de classe C^{1} definidos num

aberto U de IR^{n}. O colchete de Lie de X e Y está definido por

[X, Y] := ∑_{i=1}^{n} (∑_{j=1}^{n} (a_{j} \frac{∂b_{i}}{∂x_{j}} − b_{j} \frac{∂a_{i}}{∂x_{j}} )) \frac{∂}{∂x_{i}}

Dizemos que uma distribuição P de k-planos de classe C^{1} em IR^{n} é integrável se existe uma folheação F de dimensão k tangente a P. Um fato é que uma distribuição de k planos pode ser definida localmente como sendo o núcleo de n − k formas independentes, ou seja dada pelas equações ω_{k+1} = 0, …, ω_{n} = 0, onde ω_{k+1}, …, ω_{n}, são 1-formas de classe C^{1} linearmente independentes.

Sabemos que P é integrável se e somente se

dω_{j} ∧ ω_{k+1} ∧ ⋯ ∧ ω_{n} = 0, j = k = 1, …, n

Dizemos que P é involutivo se dados campos X e Y tangentes a P então o colchete [X, Y] também é tangente a P.

A versão geométrica do teorema de Frobenius diz que P é integrável se e somente se é involutivo.

Uma outra maneira de ver o Teorema de Frobenius é via a equivalência: P é integrável, se e somente se o ideal I da formas diferenciais que anulam a distribuição P é fechado com respeito a diferenciação exterior, i.e d(I) ⊂ I. Diz-se que neste caso I é um ideal diferencial.

7) Conservando as definições, convenções e notações acima: a) Seja Ω uma 2-forma diferencial num aberto U tal que

Ω ∧ ω_{k+1} ∧ ⋯ ∧ ω_{n} = 0

Mostre que localmente existem 1-formas diferenciais α_{k+1}, … α_{n} tal que

Ω = α_{k+1} ∧ ω_{k+1} + ⋯ + α_{n} ∧ ω_{n}

b) Mostre que

dω_{j}(X, Y) = Y ω_{j}(X) − Xω_{j}(Y) + ω_{j} ([X, Y])

c) Assuma que P é integrável. Mostre que P é involutivo e vice-versa.

8) Sejam A(x, y, x, u), B(x, y, z, u) e C(x, y, z, u) funções de classe C^{1} definidas num aberto de IR^{4}. Estabeleça a condição de integrabilidade da equação

du = A(x, y, x, u) dx + B(x, y, x, u) dy + C(x, y, z, u) dz

9) Sejam A(x, y, z), B(x, y, z) e C(x, y, z) funções de classe C^{1} definidas num aberto de IR^{3}. Determine a condição de integrabilidade do sistema

\{ \begin{matrix}\frac{∂R}{∂y} − \frac{∂Q}{∂z} & = A \\ \frac{∂P}{∂z} − \frac{∂R}{∂x} & = B \\ \frac{∂Q}{∂x} − \frac{∂P}{∂y} & = C \end{matrix}

10) Considere U_{k}(u, v, x_{1}, …, x_{n}) e V_{k}(u, v, x_{1}, …, x_{n}) duas funções suaves localmente. Estabeleça a condição de integrabilidade do sistema

\{ \begin{matrix}\frac{∂x_{k}}{∂u} & = U_{k}(u, v, x_{1}, …, x_{n}) \\ \frac{∂x_{k}}{∂v} & = V_{k}(u, v, x_{1}, …, x_{n}),  k = 1, 2, … n \end{matrix}

Nota: O resultado acima pode ser utilizado para demonstrar o teorema fundamental da Geometria Diferencial: As equações de compatibilidade Gauss e Codazzi-Mainardi são as equações de integrabilidade para se construir imersões isométricas em IR^{3}, mas geralmente nos espaços de formas espaciais. Consulte as referências 6, 10.

BIBLIOGRAFIA

1. T. Amaranath. Partial differential equations. Segunda edição. Alpha Science, England, 2003.

8 PROFESSOR RICARDO SÁ EARP

2. César Camacho & Alcides Lins Neto. Teoria geométrica das folheações. Projeto Euclides, 1979.

3. Manfredo P. do Carmo. Differential forms and applications. Springer, 1994.

4. Henri Cartan. Cours de calcul différentiel. Hermann, Paris,1967.

5. Lawrence C. Evans. Partial differential equations. AMS, 1998

6. Noel J. Hicks. Notes in differential geometry. Van Nostrand, 1965

7. Serge Lang. Differential manifolds. Springer, 1971.

8. A. Martin. Equations aux dérivées partielles. Dunod, Paris, 1991.

9. Jorge Sotomayor. Lições de equações diferenciais ordinárias. Projeto Euclides, 1979.

10. J. J. Stoker. Differential Geometry. Wiley- interscience, 1969.

11. Philippe Tondeur. Foliations on Riemannian Manifolds Springer, 1988.

12. Georges Valiron. Équations fonctionnelles. J. Gabay, 1989.

13. Frank W. Warner. Foundations of differential manifolds and Lie Groups. Springer, 1983.

14. Daniel Zwillinger. Handbook of differential equations. Segunda edição, Academis Press, 1992.