EQS DIFERENCIAIS PARCIAIS I , DEZEMBRO de 2003–Lista 8

Professor: Ricardo Sá Earp

E.D.P’s clássicas de segunda ordem

–Equações da Laplace, calor, onda e equs. afins

Miscelânea de métodos, III

(1) Responda verdadeiro ou falso. Caso verdadeiro dê uma resposta completa, escrevendo uma explicação cabal e uma dedução sucinta. Caso falso esboce um contra-exemplo.

(a) Seja U ⊂ IR^{n} um aberto de classe C^{2}. Seja u uma função de classe C^{2} em \overline{U}, que é solução do problema de Dirichlet

\{ \begin{matrix}△u & = u^{3},  x ∈ U \\ u & = 0,  x ∈ ∂U \end{matrix}

Segue então que u ≡ 0.

(b) A função

u = \frac{3}{2} − \frac{1}{2}(x^{2} + y^{2})

é a única solução da equação de Monge-Ampère

u_{xx}u_{yy} − u_{xy}^{2} = 1

(c) Uma função harmônica u(x_{1}, …, x_{n}) que se anula na fronteira da faixa {a < x_{1} < b} é identicamente nula.

(d) Uma função u(x, y) que satisfaz a equação

u_{xx} + u_{yy} + 2u = 0

no quadrado U := {0 < x < π, 0 < y < π} satisfazendo u = 0 em ∂U é identicamente nula em U.

(e) Uma função hamônica u(x, y) no setor S := \{\frac{−π}{2α} < θ < \frac{π}{2α}\} que

se anula no bordo de U é necessariamente nula.

(f) Seja u é uma função subharmônica positiva num domínio U ⊂ IR^{n}.

(i) Se t > 1 então u^{t} é ainda subharmônica positiva e satisfaz um princípio do máximo.

(ii) Se u é harmônica, então log u é superharmônica em U, i.e − log u é subharmônica em U.

(g) Se u é subharmônica em um aberto U ⊂ IR^{n} então w(x) := x · ∇u(x) é ainda harmônica, onde · é o produto escalar usual em IR^{n}.

(h) Se u é harmônica em U ⊂ IR^{n} então os zeros de u podem ser isolados.

(i) Seja u(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) uma função harmônica semi-espaço H := {x_{n} > 0\}, que é contínua e limitada no semi-espaço fechado \overline{H}. Segue que se u = 0 em ∂H := {x_{n} = 0}, então u ≡ 0 em H.

(j) Seja u(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) uma função harmônica semi-espaço H := {x_{n} > 0\}, que é contínua no semi-espaço fechado \overline{H}. Segue que se u = 0 em ∂H := {x_{n} = 0}, então u ≡ 0 em H.

(k) Seja u(x_{1}, x_{2}, …, x_{n+1}) uma função harmônica em IR^{n+1} satisfazendo u(x, 0) = 0, ∀x ∈ IR^{n}. Segue então que u(x, −y) = −u(x, y), ∀(x, y) ∈ IR^{n+1}.

(l) Seja Seja u(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) uma função harmônica em IR^{n} satisfazendo

|u(x) ⩽ A(1 + |x|^{p}), ∀x ∈ IR^{n}

onde A ∈ IR e p ⩾ 0. Segue então que u é um polinômio de grau no máximo p.

(m) Uma função harmônica u(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) limitada no exterior do disco U := {|x| > 1}, que se anula no bordo ∂U := {|x| = 1}, i.e u = 0 em ∂U, é identicamente nula em U.

(n) Seja u uma função harmônica real em U ⊂ IR^{n} satisfazendo

lim sup_{k→∞} u(a_{k}) ⩽ M

para toda seqüência {a_{k}} em U convergindo ou bem à um ponto de ∂U ou bem à ∞. Segue então que u ⩽ M em todo U.

(o) Seja Ω ⊂ IR^{2}, um domínio, Ω ≠ IR^{2}. Seja u uma função harmônica real limitada em Ω satisfazendo

lim sup_{k→∞} u(a_{k}) ⩽ M

para toda seqüência {a_{k}} em Ω convergindo à um ponto de ∂Ω. Segue então que u ⩽ M em todo Ω.

(p) A função u(x) = |x|^{t}, x ∈ U ⊂ IR^{n} é subharmônica para t ⩾ 2 − n.

(q) Uma família de funções harmônicas limitadas num aberto U ⊂ IR^{n} é normal e vale um princípio de compacidade para funções harmônicas.

(2) Considere o seguinte problema com valor inicial

\{ \begin{matrix}u_{t} + b · Du + cu & = f(x, t) em IR^{n} × (0, ∞) \\ u & = g(x) em IR^{n} × \{t = 0\} \end{matrix}

(a) Resolva o caso homogêneo, i.e f ≡ 0.

(b) Resolva o não homogêneo exibindo uma fórmula geral explícita e

explicando como intervém o princípio de Duhamel.

(3) Considere o seguinte problema de valor de contorno (ou de bordo)

\{ \begin{matrix}−△u & = f  em B_{r}(0) \\ u & = g em ∂B_{r}(0) \end{matrix}

(a) (Desigualdade de Harnack) Usando a fórmula de Poisson no disco mostre que se u é uma função harmônica positiva em B_{r}(0) então

r^{n−2} \frac{r − |x|}{(r + |x|)^{n−1}} u(0) ⩽ u(x) ⩽ r^{n−2} \frac{r + |x|}{(r − |x|)^{n−1}} u(0)

Use a desigualdade acima para mostrar que o teorema de Liouville: Uma função harmônica em IR^{n} limitada inferiormente é constante.

(b) Mostre que existe uma constante C, tal que

max_{B_{r}(0)} |u| ⩽ C ( max_{∂B_{r}(0)} |g| + max_{B_{r}(0)} |f|)

(4) Considere o seguinte problema com valor inicial

\{ \begin{matrix}u_{t} − k△u + cu & = f  em IR^{n} × (0, ∞) \\ u & = g em IR^{n} × \{t = 0\} \end{matrix}  (1)

onde k, c ∈ IR.

(a) Assuma c = 0. Resolva primeiramente o caso homogêneo f ≡ 0. Resolva o problema não homogêneo neste caso exibindo uma fórmula explícita. Chame w(x, t) tal solução.

(b) Considere o caso homogêneo f ≡ 0. Chame u_{h}(x, t) tal solução do homogêneo associado à (1). Mostre que w = e^{ct} u_{h}(x, t) é solução do item anterior. Encontre uma fórmula geral para u_{h}(x, t).

(c) Usando o princípio de Duhamel e reduzindo ao caso resolvido no item (a) em que c = 0, obtenha uma fórmula explícita para a solução do problema (1).

\{ \begin{matrix}u_{t} − k△u & = 0 em IR^{n} × (0, ∞) \\ u & = g em IR^{n} × \{t = 0\} \end{matrix}  (2)

onde k ∈ IR. Assuma que g(x) é uma função ímpar na variável x_{n} contínua e limitada em IR^{n}. Isto é g(x_{1}, …, x_{n−1}x_{n}) = − g(x_{1}, …, x_{n−1} − x_{n}), donde g(x_{1}, …, x_{n−1}, 0) = 0. Encontre uma fórmula explícita para a solução geral u(x, t) de (2) que dependa apenas dos valores de g(y) para y ∈ IR_{+}^{n} := {x_{n} > 0}.

(6) Considere o seguinte problema com valor inicial/bordo em 1 variável espacial

\{ \begin{matrix}u_{t} − ku_{xx} & = 0,  x > 0, t > 0 \\ u(0, t) & = 0,  t > 0 \\ u_{x}(∞, t) & = 0,  t > 0 \\ u(x, 0) & = g(x),  x ⩾ 0 \end{matrix}  (3)

onde k ∈ IR e g é contínua e limitada.

(a) Relaciona as soluções de (3) e (2).

(b) Obtenha solução de (3) via dois métodos distintos, sendo que num

destes faça uso da transformada de Laplace.

(7) Considere a equação (1 variável espacial)

u_{t} = αu_{xx} + βu_{x} + γu  (4)

(a) Mostre que a existe uma mudança de variável da forma

w(x, t) = e^{ax+bt} u(x, t)

que transforma a equação acima numa equação da forma

w_{t} = kw_{xx}

(b) Resolva o problema geral não homogêneo com condição inicial, exi-

bindo uma fórmula explícita, para a equação (4).

(8) Considere o seguinte problema de valor inicial/bordo

\{ \begin{matrix}u_{t} − a△u + b|Du|^{2} & = 0  em IR^{n} × (0, ∞) \\ u & = g em IR^{n} × \{t = 0\} \end{matrix}  (5)

onde a, b são constantes.

(a) Encontre uma função real φ : IR → IR que lineariza (5), i.e de modo que w := φ(u) satisfaça à uma equação linear. Tal transformação w é chamada de transformação de Hopf-Cole. Exiba uma fórmula explícita para a solução quando g é limitada.

(b) No caso de 1 variável espacial x, faça o mesmo para uma equação mais geral admitindo um termo linear da forma cu_{x}, c ∈ IR. Exiba uma fórmula explícita para a solução quando g é limitada.

(9) Considere o seguinte problema com valor inicial/bordo (1 variável espacial)

\{ \begin{matrix}au_{xx} + bu + u_{t} & = 0,  0 < x < l, t > 0 \\ u(0, t) & = u_{0} e^{−αt},  t > 0 \\ u(l, t) & = u_{0} e^{−βt},  t > 0 \\ lim_{t→∞} u(x, t) & = 0, 0 < x < l \end{matrix}  (6)

onde a, b, l, α, β > 0, e aπ^{2} > bl^{2}.

(a) Faça a mudança de variável u(x, t) = w(x, t) + (a_{1}x + b_{1})u_{0} e^{−αt} + (a_{2}x + b_{2})u_{0} e^{−βt} e mostre que as constantes a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2} podem ser escolhidas de modo que as condições de bordo são triviais e reduza o problema a um problema não homogêneo relativo a mesma equação com condições de bordo e inicial triviais. Encontre a solução w(x, t) via o método das variáveis separadas, resolvendo primeiramente o problema homogêneo associado. Em seguida desenvolva os termos não homogêneos nas respectivas séries de Fourier (de senos), determinadas pela solução do homogêneo, mostrando que uma solução particular de (6) é dada por

u(x, t) = (1 − \frac{x}{l}) u_{0} e^{−αt} +\frac{x}{t} u_{0} e^{−βt}

+ ∑_{n=1}^{∞} \frac{2u_{0}}{nπ} (\frac{(b − α) e^{−αt}}{α + a\frac{n^{2} π^{2}}{l^{2}} − b} + (−1)^{n} \frac{(β − b) e^{−βt}}{β + a\frac{n^{2} π^{2}}{l^{2}} − b}) sin (\frac{nπ}{l} x)(7)

com aπ^{2} > bl^{2}.

(10) Considere o problema com condição inicial/bordo (1 variável espacial)

\{ \begin{matrix}u_{xx} + u_{tt} + λu & = 0,  0 < x < a, 0 < t < b \\ u(0, t) & = 0,  0 ⩽ t ⩽ b \\ u(a, t) & = 0,  0 ⩽ t ⩽ b \\ u_{t}(x, 0) & = 0,  0 ⩽ x ⩽ a \\ u_{t}(x, b) & = 0,  0 ⩽ x ⩽ a \end{matrix}  (8)

onde λ, a, b ∈ IR.

Usando o método de separação das variáveis, encontre uma solução elementar do problema, obtendo uma solução na forma de um produto de senos e cossenos.

(11) Considere o problema de Sturm-Liouville

x^{2}X_{xx} + 3xX_{x} + λX(x) = 0

com X(1) = 0 e X(e) = 0 e λ = a^{2}.

(a) Notando que a equação acima é uma equação de Euler mostre que os auto-valores do problema de Sturm -Liouville são λ_{n} = a_{n}^{2} = 1 + n^{2}π, n ∈ ℕ^{∗} e as respectivas auto-funções são dadas por

X_{n}(x) = \frac{1}{x} sen (nπ ln x) , n ∈ ℕ^{∗}

(b) Verifique a relação de ortogonalidade

∫_{1}^{e} X_{n}X_{p} x dx = 0, n ≠ p

(c) Seja v_{n}(x) um sistema ortogonal completo de L_{x}^{2}[1, e], obtido normalizandose o sistema ortogonal X_{n}. Seja f uma função de classe C^{1} em [1, e] cujo desenvolvimento na série de auto-funções é dado por

f(x) = ∑_{n=1}^{∞} b_{n}v_{n}(x)

Calcule b_{n}.

(d) Fazendo uso do método de separação das variáveis, mostre que uma solução particular do problema com valor inicial/bordo

\{ \begin{matrix}u_{tt} & = x^{2} u_{xx} + 3x u_{x},  1 < x < e, t > 0 \\ u(1, t) & = 0,  t > 0 \\ u(e, t) & = 0,  t > 0 \\ u(x, 0) & = 0,  1 < x < e \\ u_{t}(x, 0) & = f(x) 1 < x < e \end{matrix}  (9)

é dada por

u(x, t) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{\sqrt{1 + n^{2} + π^{2}}} (∫_{1}^{e} \sqrt{2}f(x) sin (nπ ln x) dx) \frac{\sqrt{2}}{x} sin \sqrt{1 + n^{2}π^{2}t} sen (nπ ln x)

(12) Considere o seguinte problema de valor inicial/bordo

\{ \begin{matrix}u_{t} − △u & = f  em IR^{n} × (0, T] \\ u = & g em IR^{n} × \{t = 0\} \end{matrix}  (10)

Assuma que os dados f e g são suaves e que u(x, t) seja uma solução suave de (11) que, juntamente com suas derivadas parciais, se anula no infinito.

Mostre que

sup_{0⩽t⩽T} ∫_{IR^{n}} |Du|^{2} dx + ∫_{0}^{T} ∫_{IR^{n}} u_{t}^{2} + |D^{2}u|^{2} dx dt

⩽ C (∫_{0}^{T} ∫_{IR^{n}} f^{2} dx dt + ∫_{IR^{n}} |Dg|^{2} dx dt)

(13) Considere o seguinte problema de valor inicial/bordo

\{ \begin{matrix}u_{t} − △u + cu & = 0 em U × (0, ∞) \\ u & = 0 em ∂U × [0, ∞) \\ u = & g em U × \{t = 0\} \end{matrix}  (11)

onde c é uma constante.

(a) Assuma c = 0. Mostre que

∥u(., t)∥_{L^{2}(U)} ⩽ e^{−λt} ∥g∥_{L^{2}(U)}, t ⩾ 0

onde λ_{1} > 0 é o primeiro valor próprio do Laplaciano espectral, i.e de −△.

(b) Assuma que c ⩾ λ > 0. Mostre que

|u(x, t)| ⩽ C e^{−λt}, (x, t) ∈ U_{T}

(14) (a) Considere a equação diferencial

u_{xx} − 2u_{xy} − 3u_{yy} = 0

usando a técnica de D’Alembert, fatorando a E.D.P, mostre que a integração pode ser reduzida à integração de equações de primeira ordem, mostrando que a integral geral é dada por

u(x, y) = f(x − y) + g(3x + y)

onde f, g são funções arbitrárias. Generalize o método para uma equação do tipo

u_{xx} + (a + b) u_{xy} + ab u_{yy}

onde a, b são constantes. (b)

u_{xx} + 6u_{xy} + 9u_{yy} = \frac{x^{2}}{y}

usando a técnica de D’Alembert, fatorando a E.D.P, mostre que a integração pode ser reduzida à integração de equações de primeira ordem, mostrando que a integral geral é dada por

u(x, y) = yf(3x − y) + g(3x − y)+

+ \frac{1}{81} (\frac{y^{3}}{6} + y^{2}(3x − y) + (3x − y)^{2} (y ln |y| − y))

onde f, g são funções arbitrárias.

(c) Considere a equação diferencial

x^{2} u_{xx} + 2xy u_{xy} + y^{2} u_{yy} = x^{2}y^{2}

(i) Levando em conta que a equação acima é uma equação de Euler, faça as mudanças de variáveis x = e^{X} e y = e^{Y} transformando a equação numa equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes.

(ii) Usando a técnica de D’Alembert, fatorando a E.D.P, mostre que a integração pode ser reduzida à integração de equações de primeira ordem, mostrando que a integral geral é dada por

u(x, t) = \frac{x^{2}y^{2}}{12} + yf (\frac{x}{y}) + g (\frac{x}{y})

onde f, g são funções arbitrárias. (iii) Resolva o mesmo problema pelo método das curvas carac-

terísticas. Compare os dois métodos.

A lista 8 de E.D.P. oficialmente termina aqui. Contudo resolvi alinhavar alguns desenvolvimentos da equação de Laplace e de equações afins no âmbito das Variáveis Complexas e da Geometria Diferencial.

∗  ∗  ∗
∗  ∗  ∗

Incursão sobre funções harmônicas no plano complexo

Considere Ω um domínio do plano complexo ℂ e u(z), z = x+iy uma função harmônica (real) em Ω. Lembremos que a diferencial conjugada harmônica está definida por

∗du = −\frac{∂u}{∂y}dx + \frac{∂u}{∂x}dy

Dizemos que v é conjugada harmônica de u em Ω, se existe uma função holomorfa f tal que f = u + iv (logo v é harmônica). Note que se γ é homóloga a zero em Ω, tem-se que

∫_{γ} ^{∗}du = 0

Conclua que quando Ω é simplesmente conexo a conjugada harmônica v está bem definida, ou seja não é uma função multi-valente. Conclua também que, se γ é uma curva regular então

∫_{γ} \frac{∂u}{∂n}| dz| = 0

onde n é normal unitário ao longo de γ.

Note que se o bordo orientado Γ de Ω é composto por curvas analíticas, então

∫_{Γ} ^{∗}du = 0

No caso não simplesmente conexo a conjugada harmônica pode ter períodos. Os períodos de u estão definidos por

∫_{γ_{j}} ^{∗}du, j = 1, 2, …, n

onde {γ_{1}, γ_{2}, …, γ_{n}} correspondem aos ciclos que geram a classe de homologia de Ω. Note que se Ω é uma região multi-conexa e se {γ_{1}, γ_{2}, …, γ_{n}} correspondem aos ciclos que geram a classe de homologia de Ω, então , u tem uma conjugada harmônica, se e somente se

∫_{γ_{j}} ^{∗}du = 0, j = 1, 2, …, n

Seja A um anel em ℂ, e seja z_{0} ∈ A. Suponha que a conjugada harmônica tenha período 2πiα. Pense na seguinte função

e^{v(z)/α} z ∈ A

Pense numa fórmula explícita de uma função harmônica u que possua uma bem definida conjugada harmônica v num anel 1 < |z| < 2.

Suponha agora que Ω seja um domínio multi-conexo e seja K_{1}, …, K_{n} as componentes conexas limitadas de ℂ \ Ω. Tome a_{j} ∈ K_{j}, j = 1, …, n. Sejam 2πc_{1}, 2πc_{2}, …, 2πc_{n}, os períodos da função harmônica u definida em Ω. Note que existe uma função analítica h em Ω tal que

u = ℜh + ∑_{1}^{n} c_{j} log |z − a_{j}|

Conclua que se f(z) é uma função holomorfa no anel 0 < r < |z| < ∞, que não se anula, então existe uma função harmôica limitada h em r < s < |z| < ∞, e uma função H harmônica em ℂ tal que

log |f(z)| = c log |f(z)| + h(z) + H(z)

Seja u(z) uma função harmônica num disco perfurado D^{∗} = {0 < |z| < ε}, e considere a função holomorfa, possivelmente multi-valente f(z) = u(x, y) + iv(x, y), onde v é a conjugada harmônica de u. Note que f′(z), é uma função holomorfa bem definida em D^{∗}, deduza que f′(z) possui um desenvolvimento de Laurent em D^{∗}. Conclua com isso que f(z), tem a seguinte expressão

f′(z) = ∑_{n=−∞}^{∞} a_{n}z^{n}

Pense na série acima. Conclua além disso que f(z), como função holomorfa possivelmente multi-valente, tem a seguinte expressão

f(z) = a + a_{−1} log z + ∑_{n=−∞_{n≠−1}}^{∞} \frac{a_{n}z^{n+1}}{n + 1}

Conclua ainda que a função harmônica u em D^{∗} tem o seguinte desenvolvimento (z = r e^{iθ})

u(r, θ) = c log r + ∑_{−∞}^{∞}(α_{n} cos nθ + β_{n} sin nθ)r^{n}

e conclua também que u é parte real da função holomorfa possívelmente

multi-valente f(z) = c log z + ∑_{−∞}^{∞}(α_{n} − iβ_{n})z^{n}. Finalmente, usando o

que foi estabelecido neste item, dê outra dedução do item logo acima. Conclua que uma função harmônica limitada num disco perfurado D^{∗}, admite uma extensão harmônica a todo o disco. Conclua que se u é uma função harmônica no disco perfurado média de u ao longo de círculos concêntricos de centro a e raio r < R é uma função linear de log r, ou seja existem constantes reais α e β tal que

\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}u(a + r e^{iθ}) dθ = α log r + β

Conclua daí uma outra dedução do item acima

Agora suponha que Ω seja uma região cujo bordo é composto por curvas analíticas simples fechadas. Seja Γ o bordo orientado de Ω. Suponha que f(z) = u(x, y) + iv(x, y), seja uma função de classe C^{1} em \overline{Ω}. Note as seguintes identidades

∫∫_{Ω} \frac{∂f}{∂\overline{z}} dx dy = \frac{1}{2i} ∫_{Γ} f dz

∫_{Γ} (vdu − udv) = 4i ∫∫_{Ω} (\frac{∂v}{∂\overline{z}} \frac{∂u}{∂z} − \frac{∂u}{∂\overline{z}} \frac{∂v}{∂z} )

Além disso note que se u e v são de classe C^{1} em \overline{Ω}, e de classe C^{2} em Ω, tem-se a identidade de Green

∫_{Γ} (v^{∗}du − u^{∗}dv) = ∫∫_{Ω} v△u − u△v dx dy

Note que se u, v são harmônicas em Ω, e γ é um ciclo homólogo a zero em Ω, então

∫_{Γ} (v^{∗}du − u^{∗}dv) = 0

Conclua daí outra dedução da fórmula da média de uma função harmônica num disco perfurado obtida no item c) iv) acima. Conclua também que se u e v são funções harmônicas em Ω e de classe C^{1} em \overline{Ω}, então

∫_{Γ} v^{∗}du = ∫_{Γ} u^{∗}dv.

Note que a soma dos períodos de uma função harmônica, associados a todas componentes do bordo de um domínio multi-conexo Ω, é zero.

Algumas propriedades básicas

Agora vamos enfocar algumas propriedades básicas de funções harmônicas e subharmônicas, algumas de muito importância no que se segue.

Seja u uma função harmônica em D = B_{1}(0). Seja f uma função holomorfa em D tal que ℜf = u (por quê existe tal f ?) Note que para |z| < r onde 0 < r < 1 tem-se que

f(z) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}u(r e^{it})\frac{r e^{it} +z}{r e^{it} −z} dt

Deduza daí a fórmula de Poisson no disco |z| < r para u. Ou seja

u(z) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}u(r e^{it})\frac{r^{2} − |z|^{2}}{|r e^{it} −z|^{2}} dt

Note que a desigualdade de Harnack segue quase que imediatamente da seguinte estimativa do núcleo de Poisson

\frac{r − |z|}{r + |z|} ⩽ \frac{r^{2} − |z|^{2}}{|r e^{it} −z|^{2}} ⩽ \frac{r + |z|}{r − |z|}, |z| < r

Uma função u de classe C^{2} definida num domínio Ω é chamada de subharmônica, se △u ⩾ 0 em Ω. Demonstre com todos os detalhes o princípio do máximo interior e do bordo para funções subharmônicas. Defina funções subharmônicas assumindo apenas u semi-contínua superiormente e estude as várias propriedades. Note que se uma seqüência {u_{n}} de funções harmônicas num aberto U, converge uniformemente a uma função u em compactos de U, então u é necessariamente harmônica. Note que a seqüência das derivadas parciais converge uniformemente em compactos para a derivada parcial de u. Sugestão : Você pode usar a fórmula do item anterior.

Considere a desigualdade de Harnack para funções harmônicas. Deduza também o teorema de Liouville : Se uma função harmônica definida em todo o plano complexo é, limitada ou bem superiormente ou bem inferiormente, então é necessariamente uma constante.

Deduza o teorema de três círculos de Hadamard: Seja u(z) uma função subharmônica num domínio Ω, contendo dois círculos concêntricos de raios r_{1} e r_{2} e o anel delimitado por estes. Seja M(r) o máximo de u num determinado círculo de raio r, então para r_{1} < r < r_{2}, note que vale a seguinte desigualdade

M(r) ⩽ \frac{M(r_{1}) log(r_{2}/r) + M(r_{2}) log(r/r_{1})}{log(r_{2}/r_{1})}

e ocorre a igualdade, se e somente se

u = \frac{M(r_{1}) log(r_{2}/r) + M(r_{2}) log(r/r_{1})}{log(r_{2}/r_{1})}

onde r = |z|. Sugestão : Aplique o princípio do máximo de forma conveniente. Conclua o teorema de Liouville: Se uma função subharmônica definida em ℂ^{∗}, o plano complexo menos um ponto, é limitada superiormente então é uma constante. Mais geralmente, note que se a hipótese de ser limitada superiormente é enfraquecida e substituída por

lim inf \frac{M(r)}{| log r|} ⩽ 0

quando r → 0 e quando r → ∞, obtemos também que u é uma constante.

Função de Green

Seja U um aberto de ℂ e seja p ∈ U. Uma função g é chamada de função de Green para U com singularidade em p, se

g é harmônica em M \ {p}

g > 0 em M \ {p}

se z é uma coordenada (conforme) se anulando em p, então

g(z) + log |z| é harmônica numa vizinhança de p.

se g̃ é outra funçao satisfazendo as três propriedades anteriores , então g̃ ⩾ g

Note que a definição da função de Green acima não depende da escolha de “coordenadas locais” se anulando em p. Note que a função de Green para o disco unitário com singularidade em a é

g(z) = log|\frac{1 − z\overline{a}}{z − a}|

Note que a função de Green no semi-plano à direita {ℜz > 0}, é

log|\frac{z + \overline{a}}{z − a}|

Exiba a função de Green para os domínios simplesmente conexos tratados na lista 8. Seja Ω um domínio de ℂ de fecho compacto tal que ∂Ω consiste de um número finito de arcos analíticos. Seja z_{0} ∈ Ω. Resolvendo o problema de Dirichlet para funções harmônicas sendo dada uma função contínua f no bordo ( o que sempre é possível, por quê ?), quando f(z) = log |z −z_{0}|, z ∈ ∂Ω, encontramos uma função u contínua em \overline{Ω} e harmônica em Ω tal que u restrita à ∂Ω é igual a f. Note que g(z) = − log |z−z_{0}|+u(z) é a função de Green para Ω com singularidade em z_{0}.

Nota (Sobre conceitos importantes de superfícies de Riemann). Vamos fazer uma incursão nas superfícies de Riemann. O leitor deve está pelo menos ciente das definições básicas. De qualquer maneira, para os interessados na Análise Complexa, mas que não estão familiarizados com o conceito, basta saber por ora que todo aberto conexo do plano complexo ℂ é uma superfície de Riemann. A existência de uma função de Green num ponto está ligada à existência de medidas harmônicas (veja abaixo) e é equivalente a noção de hiperbolicidade . Uma função de Green se aoroxima de 0 quado um ponto se aproxima do bordo de Ω em ℂ ∪ {∞}. Numa superfície de Riemann parabólica o problema de Dirichlet para funções harmônicas tem no máximo uma solução limitada.

Vamos definir os importantes conceitos de parabolicidade e hiperbolicidade para uma superfície de Riemann. Diz- se que uma superfície de Riemann M é parabólica se M não é compacta e se não admite uma função negativa (⩽ 0) subharmônica sobre M que não seja uma constante. Uma superfície de Riemann é chamada hiperbólica se possui uma função subharmônica negativa (⩽ 0) sobre M que não é uma constante. Uma superfície de Riemann compacta é chamada de elíptica. Note que uma superfície de Riemann hiperbólica não pode ser compacta. Note também que segue de um exercício anterior que ℂ e ℂ^{∗} são superfícies de Riemann parabólicas. Por quê ? Claro que que a bola aberta unitária D é uma superfície de Riemann hiperbólica. Seja Ω um domínio limitado de ℂ, cuja fronteira orientada Γ, é composta por curvas simples fechadas Suponha que v = v(x, y) seja uma função harmônica que admita derivadas parciais contínuas até o bordo; ou seja u ∈ C^{1}(\overline{Ω}). Seja a ∈ Ω, e seja h(x, y) := − log |z − a| + v(x, y). Seja u uma função harmônica em Ω, C^{1} até o bordo. Note que (terceira identidade de Green)

u(a) = −\frac{1}{2π} ∫_{Γ} (u\frac{∂h}{∂n} − h\frac{∂u}{∂n}) ds

onde a ∈ Ω, e n é o o normal unitário ao longo de Γ apontando para fora. Sugestão Remova uma pequena bola de raio ε em torno de a, e aplique a segunda identidade de Green à u e h. Use a definição de h, e aplique o teorema da média para funções harmônicas. Conclua que se g é a função de Green de Ω com respeito a a, e u satisfaz as hipóteses acima

u(a) = −\frac{1}{2π} ∫_{Γ} u(z)\frac{∂g(z, a)}{∂n} ds ou ainda

u(a) = −\frac{1}{2π} ∫_{Γ} u(z) ^{∗}dg

Note que quando Ω = B_{1}(0), a fórmula acima é exatamente a fórmula integral de Poisson para funções harmônicas, deduzida no item 2). Discuta a fórmula acima relacionando-a com o problema de Dirichlet para funções harmônicas.

Consulte no livro de Pommerenke, a relação entre funções de Green, funções harmônicas, capacidade logarítmica e medida de Hausdorff. Neste livro você encontrará um estudo profundo sobre transformações conformes e comportamento no bordo.

Medidas harmônicas

Considere Ω um domínio multi-conexo e sejam C_{1}, … C_{n} as componentes conexas (que podem ser assumidas curvas analíticas, por quê ?) de ∂Ω. Para cada j = 1, … n, existe uma função harmônica ω_{j}(z) em Ω que toma o valor 1 ma componente C_{j} e que toma o valor 0 nas demais componentes do bordo de Ω e 21). Recomendamos principalmente os livros de Ahlfors e de Nehari. Tal função harmônica ω_{j}(z) é chamada de medida harmônica. Isto segue da existncia do problema de Dirichlet; ou ainda, mais concretamente, de certas transformações

16 Prof. Ricardo Sa Earp

canônicas de domínios multi-conexos e da relação do problema de Dirichlet com as funções de Green . Note que a medida harmônica ω_{j}(z) definida no domínio multiconexo Ω cujas componentes do bordo são curvas C_{j} (j ∈ {1, … n}) satisfaz

ω_{j}(z) = −\frac{1}{2π} ∫_{C_{j}} \frac{∂g(ζ, z)}{∂n_{ζ}} ds_{ζ}

onde g(ζ, z) é a função de Green de Ω.

Conclua que os períodos da função de Green g(ζ, z) do domínio multiconexo Ω ao longo da componente do bordo C_{j} é extamente −2πω_{j}(z).

Agora, considere p_{ij} o período da medida harmônica ω_{j}(z) ao longo da componente C_{i}, isto é (por quê ?)

p_{ij} = ∫_{C_{i}} \frac{∂ω_{j}}{∂n} ds

Note a seguinte propriedade de simetria: p_{ij} = p_{ji}. Sugestão : Utilize a fórmula de Green. Note que a matriz simétrica (p_{ij}), i, j = 1, … n − 1 é positiva definida: Em particular, deduza que det(p_{ij}) ≠ 0. Sugestão : Considere uma combinação linear ω(z) := a_{1}ω_{i}(z) + a_{2}ω_{2}(z) + ⋯ + a_{n−1}ω_{n−1}(z), onde nem todos os coeficientes sejam nulos e aplique a identidade de Green a ω(z).

Note que se u(z) é uma função harmônica em Ω, é possível encontrar constantes A_{1}, A_{2}, … A_{n−1} de maneira que a conjugada harmônica de

u(z) + ∑_{j=1}^{n−1} A_{j}ω_{j}(z) não tenha períodos.

Além disso note que o período P_{j} da conjugada harmônica v(z) de u(z) ao longo de C_{j} é dado pela fórmula

P_{j} = ∫_{∂Ω} u(z)\frac{∂ω_{j}(z)}{∂n} ds

Note que não é verdade que toda função holomorfa num domínio multiconexo Ω, é derivada de uma função holomorfa. Note que toda função holomorfa f(z) num domínio multi-conexo Ω, pode ser escrita da forma

f(z) = g′(z) + ∑_{j=1}^{n−1} c_{j} \frac{d}{dz} (ω_{j}(z) + iω_{j}^{∗}(z))

onde g(z) é uma função holomorfa em Ω, e ω_{j}^{∗}(z) é a conjugada harmônica de ω_{j}(z). Sugestão : Use o resultado do item b) acima.

Fórmula de Jensen e aspectos da teoria de funções meromorfas

Vamos precisar estudar um pouco a função Gamma.

A função Gamma

Considere o produto

F (z) = z e^{γz} ∏_{1}^{∞} (1 + \frac{z}{n}) e^{− \frac{z}{n}}

Note que o produto acima define uma função inteira F (z), cujos zeros são precisamente os inteiros negativos e a origem. Mostre ainda que

γ = lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{n} − log n)

O número γ é chamada de constante de Euler,γ = 0, 5772156 · · · . Note as seguintes relações funcionais

F (z) = zF (z + 1)

πF (z)F (1 − z) = sin πz

Note a seguinte fórmula de multiplicação

(2π)^{(k−1)/2}F (\frac{1}{k}) F (\frac{2}{k}) ⋯ F (\frac{k − 1}{k}) = \sqrt{k} k = 2, 3 …

Note que a função Gamma definida por Γ(z) = \frac{1}{F (z)} é uma função

meromorfa que não se anula, os pólos de Γ(z) são precisamente os inteiros negativos e a origem, todos estes são pólos simples; e Γ(z) satisfaz a seguinte relação funcional

Γ(z + 1) = zΓ(z), com Γ(1) = 1

Note que

Res(Γ, −n) = \frac{(−1)^{n}}{n!} , n ∈ ℕ

Note que a equação funcional acima não caracteriza a função Gamma. Por quê ? Note a representação produto de Gauss

Γ(z) = lim_{n→∞} \frac{n!n^{z}}{z(z + 1) ⋯ (z + n)}

18 Prof. Ricardo Sa Earp

Note que Γ(z) é limitada em toda faixa fechada vertical {0 < a ⩽ ℜz ⩽ b}.

Note a fórmula de suplemento de Gauss

Γ(z)Γ(1 − z) = \frac{π}{sin πz}

Note que

Γ(n + 1/2) = \frac{(2n)!\sqrt{π}}{4^{n}n!}

Mostre o cálculo de Raabe (1843)

∫_{0}^{1} log Γ(t) dt = log \sqrt{2π}

Sugestão É preciso mostrar primeiramente que

∫_{0}^{1} log sin πt dt = − log 2

Para demonstrar a fórmula acima (que também aparece na dedução da fórmula de sen) use a fórmula de duplicação do seno: sin 2πz = 2 sin πz sin π(z + \frac{1}{2}).

Para concluir, use a fórmula de suplemento de Euler.

Seja f uma função holomorfa em B_{1}(0), a bola aberta de raio 1, centrada na origem. Suponha que f(0) ≠ 0. Seja a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, os zeros de f (aparecendo com suas respectivas multiplicidades) na bola de raio r, centrada na origem B_{r}(0).

Note a fórmula de Jensen

log |f(0)| + log \frac{r^{n}}{|a_{1}a_{2} ⋯ a_{n}|} = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}log |f(r e^{iθ})| dθ

Quando f tem zeros no círculo de raio r, a integral direita da desigualdade é uma integral imprópria. Sugestão Deduza a fórmula quando f não tem zeros no disco fechado de raio r. Em seguida demonstre que

∫_{0}^{2π}log |1 − e^{iθ} | dθ = 0

Uma maneira de demonstrar o fato acima é deduzir a seguinte identidade (veja uma outra resolução nas refs)

\frac{1}{2} ∫_{0}^{2π}log |1 − e^{iθ} | dθ = π log 2 + ∫_{0}^{π} log sin θ dθ

mas a última integral à direita da igualdade logo acima já foi calculada antes. É preciso tomar certa precaução quando f se anula no círculo C_{r} = ∂B_{r}(0) de raio r : Considere a função

g(z) := f(z) ∏_{1}^{n} \frac{\overline{a_{k}}z − r^{2}}{r(z − a_{k})} ∏_{1}^{m} \frac{b_{j}}{b_{j} − z}

onde b_{1}, b_{2}, …, b_{m}, são os zeros de f em C_{r}. Mostre que quando f não se anula em C_{r} (como ocorre nas aplicações ), a demonstração se simplifica consideravelmente. Conclua a desigualdade de Jensen

|f(0)| ⩽ |a_{1}a_{2} ⋯ a_{n}||f|_{B_{1}(0)}

Conclua que se f é uma função holomorfa (f ≢ 0) e limitada em B_{1}(0),e se a_{1}, a_{2}, …, é a seqüência de zeros de f, contados com multiplicidade, então

∑(1 − |a_{n}|) < ∞ (condição de Blaschke)

Seja {a_{1}, a_{2}, …} um subconjunto enumerável de B_{1}(0), tal que ∑(1 − |a_{n}|) = ∞. Note que se f e g são duas funções holomorfas e limitadas em B_{1}(0), então , se f(a_{j}) = g(a_{j}), j = 1, 2, … tem-se que f ≡ g.

Seja {a_{n}}, uma seqüência na bola B_{1}(0). O produto de Blaschke está definido por

B(z) = z^{k} ∏_{1}^{∞} \frac{z − a_{n}}{\overline{a_{n}}z − 1} · \frac{|a_{n}|}{a_{n}}, z ∈ B_{1}(0)

onde k é um inteiro não negativo Note que se ∑(1 − |a_{n}|) < ∞, então o produto de Blaschke B(z) define uma função holomorfa e limitada na bola B_{1}(0), cujos zeros são exatamente os pontos a_{n} (a origem também é um zero se k > 0.)

Note que não existe uma função holomorfa em B_{1}(0), que se anula, com um zero de ordem n, nos pontos 1 − 1/n^{2}.

Conclua que dada uma função holomorfa limitada em B_{1}(0), existe um produto de Blaschke B(z) e uma função holomorfa g em B_{1}(0), tal que f = e^{g} ·B. Note que a equivalente condição de Blaschke no semi-plano à direita {ℜz > 0} é dada por

∑ \frac{ℜa_{n}}{|1 + a_{n}|^{2}} < ∞

Definimos log^{+} t = log t, se t ⩾ 1, e log^{+} t = 0, se 0 < t < 1. Observe

que log t = log^{+} t − log^{+}(1/t). A família de Nevanlinna, denotada por N , é o conjunto de funções holomorfas em B_{1}(0), satisfazendo

sup_{0<r<1} \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} log^{+} |f(r e^{iθ})| dθ < ∞

Note que se f ∈ N (f ≢ 0), e a_{1}, a_{2}, … são os zeros de f com suas multiplicidades, então

∑(1 − |a_{n}|) < ∞ (condição de Blaschke)

Seja f uma função inteira. Definimos M(r) = sup_{θ} |f(r e^{iθ})|, 0 < r <

∞. Seja n(r), o número de zeros de f no disco fechado \overline{B}_{r}(0). Suponha que f(0) = 1. Note que

n(r) log 2 ⩽ log M(r)

Conclua que se M(r) < e^{Ar^{k}}, para A > 0, k > 0 e r suficientemente grande, então

lim sup_{r→∞} \frac{log n(r)}{log r} ⩽ k

Note com um exemplo que a igualdade no limite acima pode ser atingida.

Considere f uma função meromorfa no disco fechado \overline{B}_{r}(0). Seja c um zero ou pólo de ordem m > 0. Definimos n_{f}(c) = ord_{c}(f) := m se c é um zero, − m se c é um pólo,

0 quando c não é zero nem pólo

Suponha que f(z) = c_{f}z^{m}+ termos de maior ordem, numa vizinhança da origem. Ou seja f tem ordem m (segundo a definição acima) , i .e

E.D.P-lista 8 21

n_{f}(0) = m. Seja f uma função meromorfa e não constante no disco fechado \overline{B}_{r}(0). Mostre a seguinte versão da fórmula de Jensen generalizada

log |c_{j}| + ∑_{c∈B_{r}(0), c≠0} n_{f}(c) log \frac{r}{|a|} + n_{f}(0) log r = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}log |f(r e^{iθ})| dθ

(Fórmula de Poisson-Jensen) Seja f(z) uma função meromorfa no disco fechado |z| ⩽ R (0 < R < ∞); ou seja f é meromorfa num aberto de ℂ que contém este disco fechado. Sejam a_{μ} (μ = 1, …, M) os zeros de f e b_{ν} (ν = 1, …, N) os pólos de f em |z| < R, contados com multiplicidades. Note que se z = r e^{iθ} (0 ⩽ r < R), e se f(z) ≠ 0, ∞, então tem-se que

log |f(z)| = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}log |f(R e^{iφ})| \frac{R^{2} − r^{2}}{R^{2} − 2rR cos(θ − φ) + r^{2}} d φ+

+ ∑_{1}^{M} log |\frac{R (z − a_{μ})}{R^{2} − \overline{a_{μ}}z}| − ∑_{1}^{N} log |\frac{R (z − b_{ν})}{R^{2} − \overline{b_{ν}}z}|

Sugestão : (1) Considere primeiramente o caso que f(ζ) é holomorfa e não tem zeros em |ζ| ⩽ R. Mostre que a fórmula de Poisson-Jensen em z = 0 segue da fórmula de Cauchy. Para o caso geral considere uma equvalência conforme do disco aberto |ζ| < R e e o disco aberto unitário |w| < 1, que leva um ponto ζ = z no ponto w = 0.

(2) Considere o caso que f(ζ) tem um número finito de zeros e pólos em |ζ| = R e não tem outros zeros e pólos no disco aberto |ζ| < R. Neste caso considere o contorno ∂D(δ), onde D(δ) é o domínio aberto obtido de |ζ| ⩽ R, removendo-se um pequeno disco de raio δ centrado nos zeros e pólos de f(ζ) : Mostre que se z ∈ D(δ) ⊂ {|z| < R}, então

log f(z) = \frac{1}{2π} ∫_{∂D(δ)} log f(ζ) \frac{R^{2} − |z|^{2}}{(R^{2} − \overline{z}ζ) (ζ − z)} d ζ

além disso mostre que o integrando é O (log 1/δ) uniformemente nas indentações que são arcos de círculo de raio δ, mostrando que a contribuição da integral nas indentações vai para zero quando δ → 0.

(3) Para o caso geral considere

g(ζ) = f(ζ) ∏_{1}^{N} \frac{R (ζ − b_{ν})}{(R^{2} − \overline{b_{ν}}ζ)}/ ∏_{1}^{M} \frac{R (ζ − a_{μ})}{(R^{2} − \overline{a_{μ}}ζ)}

Nota: A fórmula de Poisson-Jensen é crucial na teoria moderna das funções meromorfas creada por Nevanlinna. Vamos fazer uma pequena incursão na teoria de Nevanlinna (Veja refs ).

Defina-se n_{f}^{+}(0) = max(0, n_{f}(0)). Defina-se também

N_{f}(∞, R) = ∑_{{a∈B_{R}(0),a≠0 \atop f(a)=∞}} −(ord_{a}f) log \frac{R}{|a|} + n_{1/f}^{+}(0) log R

N_{f}(0, R) = ∑_{{a∈B_{R}(0),a≠0 \atop f(a)=0}}(ord_{a}f) log \frac{R}{|a|} + n_{f}^{+}(0) log R

Deduza que a fórmula de Jensen generalizada pode ser escrita da forma

log |c_{f}| = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}log |f(R e^{iθ})| eθ + N_{f}(∞, R) − N_{f}(0, R)

Agora seja f uma função meromorfa em \overline{B}_{R}. Para r < R, define-se

m_{f}(r) = ∫_{0}^{2π}log^{+} |f(r e^{iθ})| dθ função proximidade

e

G = G_{R,f}^{∞}(z) = ∏_{a∈B_{R}_{f(a)=∞}} G_{R}(z, a)^{−ord_{a}f}

onde G_{R}(z, a) := \frac{R^{2} − \overline{a}z}{R(z − a)}.

Note que as seguintes propriedades da função proximidade (f_{1}, f_{2}, …, f_{n} são funções meromorfas)

m_{f_{1}f_{2}} ⩽ m_{f_{1}} + m_{f_{2}}
m_{f_{1}+···+f_{n}} ⩽ m_{f_{1}} + ⋯ + m_{f_{n}} + log n

Note que

m_{G}(r) = N_{f}(∞, R) − N_{f}(∞, r)

A função altura de Nevanlinna está definida por

T_{f}(r) = m_{f}(r) + N_{f}(∞, r)

Note a versão da fórmula de Jensen generalizada de Nevanlinna T_{1/f}(r) = T_{f}(r) − log |c_{f}|

Agora defina-se n_{f}(0, r) como sendo o número total de zeros na bola

aberta B_{r}(0), de raio r, contados com suas multiplicidades.

Seja N_{f}(b, r) = N_{f−b}(0, r) (Veja item g) acima). Exercício-pesquisa: Deduza o seguinte teorema de Cartan (Veja ref. )) . Se f é uma função inteira com f(0) ≠ 0, então

m_{f}(r) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}N_{f}(e^{iθ}, r) dθ + log^{+} |f(0)|

Conclua que m_{f} é uma função crescente de r

Mais geralmente note o seguinte teorema de Cartan: Se f(z) é meromorfa em {|z| < R ⩽ ∞},e f(0) ≠ ∞ (Veja ref. 3))

T_{f}(r) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}N_{f}(e^{iθ}, r) dθ + log^{+} |f(0)|

Lembremos a definição : M(r) = sup_{θ} |f(r e^{iθ})|, 0 < r < ∞.

Defina M_{f}(r) = log M(r).

Mostre que se f é uma função inteira, então para r < R vale

M_{f}(r) ⩽ \frac{R + r}{R − r}m_{f}(R)

Em particular, conclua que M_{f}(r) ⩽ 3m_{f}(2r). Sugestão Quando f não se anula, aplique a fórmula de Poisson à função log |f(z)|. No caso geral use a fórmula de Poisson-Jensen.

Note que a desigualdade acima vale para funções holomorfas na bola unitária B_{1}(0), impondo que r < R < 1. Mostre com isso que a família de funções holomorfas definida na bola unitária satisfazendo m_{f}(r) < A, ∀ 0 < r < 1 para A > 0, é normal. Conclua que se f é uma função inteira, e se m_{f} fica limitada, quando r → ∞, então f é constante. Mostre que se existe uma constante k tal que m_{f}(R_{j}) ⩽ k log R_{j}, para uma seqüência de números tal que R_{j} → ∞(j → ∞), então f é um polinômio de grau no máximo k. Exercício-pesquisa: Seja f uma função meromorfa em {|z| < R ⩽ ∞}, a ∈ ℂ. Deduza o primeiro teorema fundamental de Nevanlinna (Veja refs)

T_{f}(r) = T_{f−a}(r) + O_{a}(1) 0 < r < R

onde |O_{a}(1)| ⩽ log^{+} |a| + log 2.

∗  ∗  ∗

Estudo sobre superfícies de IR^{3}.

Vamos explorar certas superfícies especiais, tais como superfícies mínimas, superfícies de curvatura média constante. As superfícies especiais de Weingarten serão tratadas na próxima lista. Vamos explorar e aplicar conceitos importantes tais como equações das geodésicas, fluxo, fórmula do fluxo, princípio do máximo, dentre outros. Vamos aplicar as equações de compatibilidade; equação de curvatura de Gauss e equação de Codazzi-Mainardi.

Você deve fazer um paralelo comparativo com as superfícies de IH^{3} para entender os conceitos, as fórmulas, os resultados que continuam válidos quando o ambiente é o espaço hiperbólico.

Primeiramente vamos fazer uma incursão pelas superfícies de IR^{3}, tomando parâmetros isotérmicos, obtendo com esta ajuda alguns conceitos, fórmulas e resultados fundamentais da geometria das imersões . Considere S uma superfície imersa em IR^{3}. Considere z = u + iv coordenadas isotérmicas locais em uma vizinhança de um ponto p ∈ S; isto é, E = G e F = 0, onde E, F, G, são os coeficientes da primeira forma fundamental, relativos a uma parametrização conforme X(z). Vamos denotar também E = λ^{2}. Sejam l, m, n, os coeficientes da segunda forma fundamental (Na notação proposta em sala de aula e = l, f = m, g = n). Vamos denotar {X_{1}, X_{2}} o referencial local adaptado à X em p. Usaremos também a notação X_{u} para designar X_{1} e X_{v} para designar X_{2}. O gradiente, a divergência e o Laplaciano. Seja f : S → IR uma função real suave definida em S. Define-se o gradiente de f, denotado por ∇f como sendo o campo de vetores tangentes à S satisfazendo

∇f · v = df_{p}(v)

onde v é tangente à S em p, isto é v ∈ T_{p}S. Note que

∇f = \frac{f_{u}}{E} X_{u} + \frac{f_{v}}{E} X_{v}

onde cometemos o abuso de notação usual identificando f(u, v) com f ∘ X(u, v).

Define-se a divergência de um campo Y de vetores tangentes à S ( i. e Y (p) ∈ T_{p}S), denotada por div , como sendo o traço da aplicação

Z → D_{Z}Y, onde Z é um campo de vetores tangentes à S, e D é a conexão Riemanniana de S. Ou seja,

div Y = tr (Z → D_{Z}Y)

Note

div Y = \frac{1}{E} (\frac{∂}{∂u} (Y · X_{u}) + \frac{∂}{∂v} (Y · X_{v}))

Define-se o Laplaciano de uma função real suave f definida em S , denotado por △f, como sendo

△f = div ∇f

Note

△f(p) = \frac{1}{E} (\frac{∂^{2}f(u, v)}{∂u^{2}} + \frac{∂^{2}f(u, v)}{∂v^{2}})

onde cometemos o abuso de notação identificando f(u, v) com f∘ X(u, v). Note que os conceitos de gradiente, divergência e Laplaciano pertence à geometria intrínseca das superfícies, ou seja dependem apenas da primeira forma fundamental e podem por isto ser definidos numa superfície Riemanniana qualquer. Assim o Laplaciano definido acima é também chamado de Laplaciano Riemanniano. Consideremos S munida de sua estrutura de superfície de Riemann (induzida pela métrica de S). Seja f : M → IR uma função real suave. o Laplaciano conforme relativo à coordenada conforme z está definido como

△_{z}f = f_{uu} + f_{vv}

Note que a definição de Laplaciano conforme depende da coordenada isotérmica z, uma função mas a noção de f ser harmônica na superfície de Riemann não depende. Além disso Note que esta noção de harmonicidade é a mesma considerando o Laplaciano Riemanniano definido no item c).

Um importante teorema da Geometria é o teorema da divergência: Seja S uma superfície Riemanniana suave e seja Y um campo suave de vetores tangentes à S. O teorema da divergência (intrínseco) diz o seguinte

∫_{S} div Y dA = − ∫_{∂S} Y · η ds

onde dA = \sqrt{EG − F^{2}} du dv é o elemento de área de S, ∂S é o bordo de S, ds é o elemento comprimento de arco de ∂S, e η é o vetor co-normal interior ao longo de ∂S (η é tangente à S, normal à ∂S, apontando para dentro de S). Considere X como sendo o vetor posição de uma superfície orientada S em IR^{3}, por um campo de vetores normais unitários N ao longo de S. Suponha que ∂S seja uma curva (regular) simples fechada γ contida no plano-xy, de modo que γ = ∂D onde D ⊂ IR^{2} é um domínio de Jordan. Suponha que S ∪ D é um ciclo orientável, de modo que S ∪ D = ∂V, onde V é um “sólido ” de IR^{3}, e o teorema da divergência se aplica (Faça uma figura !). Seja △_{IR}^{3} o Laplaciano usual de IR^{3}. Note que

6vol(V) + 2 ∫_{S} X · N dA = 0

Sugestão : Aplique corretamente o teorema da divergência (em IR^{3}) Note que

△|X|^{2} = 4 + 4HX · N

Aplique agora o teorema da divergência em S mostrando que

∫_{S} △|X|^{2} dA = −2 ∫_{∂S} X · η ds

onde η é o co-normal interior ao longo do bordo de S. Levando em conta os resultados obtidos nos itens ii) e iii) deduza que

4 área(S) + 4H ∫_{S} X · N dA = −2 ∫_{∂S} X · η ds

Juntando os resultados obtidos nos itens i) e iv) infira

2 área(S) = 6Hvol(M) − ∫_{∂S} X · η ds

(Fluxo numa superfície mínima). Suponha agora que S seja uma superfície mínima em IR^{3}, orientada por um campo de vetores normal unitário N ao longo de S. Seja ν o co-normal exterior ao longo de ∂S. Seja W um campo de vetores suaves em IR^{3}. Considere a componente tangencial W^{T} de W, ou seja a projeção ortogonal de W no plano tangente à S. Note que

W^{T} = W − (W · N) N

Seja v um campo constante em IR^{3}. Note que v^{T} é o gradiente de uma função harmônica que é a restrição à S de uma função linear em IR^{3}. Sugestão : Você vai precisar do fato que as coordenadas dos pontos de uma superfície mínima em IR^{3} em parâmetros isotérmicos são funções harmônicas: Veja logo adiante. Note ainda que segue do teorema da divergência a seguinte equação vetorial

∫_{∂S} ν ds = 0

Conclua que para curvas fechadas γ, tem-se que ∫_{γ} ν ds, é um invariante de homologia.

O fluxo ao longo de γ está definido pela quantidade

Fluxo([γ]) := ∫_{γ} ν ds

Nota: Lembremos que a curvatura de Gauss K de uma superfície mínima S é sempre não positiva. A curvatura total denotada por C(S) está definida por

C(S) := ∫_{S} K dA

Um resultado interessante é o seguinte: Se uma superfície mínima completa mergulhada de curvatura total finita em IR^{3}, tem fluxo vertical (i. e o fluxo, Fluxo([γ]), é um vetor vertical para toda curva fechada γ ⊂ S), então S é o plano o catenóide. Veja ref. 7. Nota: A curvatura total pode ser interpretada como a imagem esférica da aplicação normal de Gauss. De modo que quando a curvatura total é finita vale a seguinte fórmula:

C(S) = −4πn

onde n é o grau da aplicação normal de Gauss. Quando a curvatura total é finita segue de um teorema de Huber que S é conformemente equivalente a uma superfície de Riemann compacta \overline{S} de gênero g, removido um conjunto finito de pontos, chamados puncture. Os dados meromorfos (g, f dz) se estendem meromorficamente à \overline{S} (Teorema de Osserman).

Note que em parâmetros isotérmicas z = u + iv, tem-se que: A curvatura média H e a curvatura de Gauss K de uma superfície S imersa em IR^{3} são dados por

H = \frac{l + n}{2E} e K = \frac{ln − m^{2}}{E^{2}}

Idem para uma superfície S imersa em IH^{3}. Deduza que equação das linhas de curvatura via o método dos multiplicadores de Lagrange, e infira que em coordenadas isotérmicas a equação das linhas de curvatura é dada por

−m du^{2} + (l − n) du dv + m dv^{2} = 0

Note as equações de Codazzi-Mainardi:

l_{v} − m_{u} = \frac{E_{v}}{2E} (l + n)
m_{v} − n_{u} = −\frac{E_{u}}{2E} (l + n)

Conclua As equações de Codazzi-Mainardi podem ser escritas como

(\frac{l − n}{2})_{u} + m_{v} = EH_{u}
(\frac{l − n}{2})_{v} − m_{u} = −EH_{v}

Sugestão : Parta dos termos a esquerda das equações propostas substituindo os termos pelas definições , em seguide use o fato de que N é normal unitário, X_{u} e X_{v} tangentes ortogonais e de mesmo módulo, aplicando simetria e compatibilidade com a métrica, para chegar ao resultado desejado.

Deduza Se φ = \frac{l − n}{2} − im, as equações de Codazzi tomam a forma

complexa

φ\overline{z} = EH_{z}

A equação (ou as equações ) de Codazzi-Mainardi são as mesmas no

espaço hiperbólico. Verifique isto ! onde 2\frac{∂}{∂z} = \frac{∂}{∂u} − i\frac{∂}{∂v} , e 2\frac{∂}{∂\overline{z}} =

\frac{∂}{∂u} + i\frac{∂}{∂v} . Infira que S tem curvatura média contante, sse φ é holo-

morfa. Note que isto implica que os pontos umbílicos de uma superfície conexa S imersa em IR^{3} de curvatura média contante são isolados ou S é totalmente umbílica. Note o mesmo para uma superfície de curvatura média constante imersa em IH^{3}. Note ainda que as linhas de curvatura são dadas pela equação

ℑ (φ · (dz)^{2}) = 0

Nota: Um fato que pode ser demonstrado é que quando S (conexa) tem curvatura média constante, o índice do campo de linhas de curvatura num ponto singular (i. e num ponto umbílico, necessariamente isolado, se S não é totalmente umbílica) é estritamente negativo. Segue disto, e do teorema de Poincaré-Hopf, o seguinte teorema de Hopf demonstrado nos meados do século vinte. Tal resultado deu um novo impulso à teoria das superfícies de curvatura média constante: Se uma superfície fechada imersa S em IR^{3} (não necessariamente mergulhada), topologicamente equivalente a esfera , tem curvatura média constante então S é uma esfera geométrica. Enuncie e demonstre o correspondente teorema de Hopf no espaço hiperbólico.

Note que quando S tem curvatura média constante a diferencial holomorfa quadrática

φ · (dz)^{2}

está globalmente bem definida em S, i. e não depende das escolhas dos parâmetros isotérmicos.

Note a seguinte fórmula

△X = 2 \overrightarrow{H}

onde \overrightarrow{H} ó vetor curvatura média de S (Note que você pode interpretar X como sendo o vetor posição de S).

Conclua a seguinte caracterização das superfícies mínimas:

S é mínima ⟺ △X = 0

Ou seja S é mínima, sse as coordenadas de S em IR^{3} em parâmetros isotérmicos são funções harmônicas.

A idéia agora é enfocar o seguinte: Sejam k_{1}, τ_{1}, k_{2}, τ_{2} as curvaturas e torções de duas linhas de curvatura passando por um ponto não umbílico de uma imersão mínima conforme X : U ⊂ IR^{2} → S, (U aberto de IR^{2} ). Então demonstre o teorema de Enneper deduzindo a seguinte fórmula

k_{1}^{2}τ_{1} = k_{2}^{2}τ_{2}

Sugestão : Considere os parâmetros isotérmicos z = u + iv, i. e X = X(z). Admita o fato que estes parâmetros podem ser escolhidos ( nas vizinhanças de um ponto não umbílico) de forma que as linhas coordenadas sejam linhas de curvatura. Note que isto implica que m = 0 e que as equações de Codazzi-Mainardi ficam (F = m = 0)

l_{v} = \frac{E_{v}}{2} (\frac{l}{E} + \frac{n}{G})
n_{u} = \frac{G_{u}}{2} (\frac{l}{E} + \frac{n}{G})

2 Donde conclua que l = −n = b, b ∈ IR (constante). Em seguida use as fórmulas da curvatura e da torção

τ_{1}k_{1}^{2} = −\frac{X_{u} × X_{uu} · X_{uuu}}{|X_{u} × X_{uu}|^{2}} · \frac{|X_{u} × X_{uu}|^{2}}{|X_{u}|^{6}}

Para concluir que X_{u} × X_{uu} · X_{uuu} = \frac{l}{4} (2E_{uv} − \frac{E_{u}E_{v}}{E} ) . Daí segue o

resultado desejado. Deduza do teorema de Enneper acima a seguinte proposição : Se uma família de linhas de curvatura de uma superfície mínima é constituída por curvas planas, assim também o é a família de linhas de curvatura ortogonal, numa vizinhança de um ponto não umbílico. Nota: As superfícies mínimas (não planas) cujas linhas de curvatura são curvas planas foram classificadas : Estas são o catenóide, a superfície mínima de Enneper e as superfícies de Bonnet.

Vamos em seguida abordar a famosa representação de Weierstrass das superfícies mínimas.

Seja S uma superfície mínima simplesmente conexa em IR^{3} e z = u+iv parâmetros isotérmicos. Vamos obter “meromorphic data” (g, f dz) que determinam a imersão mínima X : U ⊂ IR^{2} → S ⊂ IR^{3}, onde U é um aberto simplesmente conexo de IR^{2}. Seja

Φ = (Φ_{1}, Φ_{2}, Φ_{3}) := X_{u} − iX_{v}

Note que z = u + iv são parâmetros isotérmicos, sse Φ_{1}^{2} + Φ_{2}^{2} + Φ_{3}^{2} = 0. Note que X é harmônica, sse Φ é holomorfa. Note que X é regular e z = u + iv são parâmetros isotérmicos (ou seja E ≠ 0), sse ∑ |Φ_{j}|^{2} ≠ 0 e z = u + iv são parâmetros isotérmicos. Note que

X(z) = ℜ ∫_{z_{0}}^{z} Φ(ζ) dζ

Note que se X não é plana então Φ_{1} ≢ iΦ_{2}, e Φ_{3} ≢ 0. Neste caso, existe uma função holomorfa 2f := Φ_{1} − iΦ_{2} em U e uma função meromorfa

g := \frac{Φ_{3}}{Φ_{1} − iΦ_{2}} , de maneira que podemos escrever ( fazendo um abuso

de notação ) a representação de Weierstrass

X(z) = ℜ ∫_{z_{0}}^{z} ((1 − g^{2})f dz, i(1 + g^{2})f dz, 2gf dz)

Note que a superfície será regular sse f se anula apenas nos pólos de g e a ordem de cada zero nestes pontos é exatamente o dobro da ordem do pólo de g. Note que a métrica é dada por

ds^{2} = (|f|(1 + |g|^{2}))^{2} | dz|^{2}

Note que a segunda forma fundamental II é dada por

II = −2ℜ(f dz dg)

A finalidade deste exercício é mostrar que g é exatamente a composta da aplicação normal de Gauss com a projeção estereográfica do pólo norte, que tem que ser conforme, sse S é mínima (por quê ?). Note que

X_{u} × X_{v} = (ℑ(\overline{Φ_{3}}Φ_{2}), ℑ(\overline{Φ_{1}}Φ_{3}), ℑ(\overline{Φ_{2}}Φ_{1}))

Conclua

N = \frac{X_{u} × X_{v}}{|X_{u} × X_{v}|} = (\frac{2ℜg}{1 + |g|^{2}} , \frac{2ℑg}{1 + |g|^{2}} , \frac{1 − |g|^{2}}{1 + |g|^{2}} )

Infira daí o desejado. Note que a curvatura de Gauss K de uma superfície mínima pode ser expressa em termos de f, g

K = −(\frac{2|g′|}{|f|(1 + |g|^{2})^{2}} )^{2}

Vamos neste item re-obter superfícies mínimas clássicas via a representação de Weierstrass Note que o catenóide pode ser obtido fazendo

U  =  ℂ  \  {0},

g(z) = z, f(z) dz = \frac{dz}{z^{2}} . Note que o helicóide pode ser obtido fazendo

U  =  ℂ, g(z)  =  e^{z},

f(z) dz = i e^{−z} dz. Note que Enneper pode ser obtida fazendo U = ℂ, g(z) = z, f(z) dz = dz. Nota: O catenóide é a única superfície mínima de revolução . O catenóide e a superfície de Enneper são as únicas superfícies mínimas completas de curvatura total −4π. Se uma superfície mínima S mergulhada e completa tem curvatura total finita e gênero zero, então S tem que ser o plano ou o catenóide (Teorema de Lopez-Ros). Se uma superfície mínima S mergulhada e completa tem curvatura total finita e dois fins, então S tem que ser o catenóide (Teorema de R. Schoen): A hipótese de curvatura total finita pode ser relaxada e substituída pela hipótese bem mais fraca de topologia finita (Teorema de P. Collin). Obtenha a representação de Weierstrass da família catenóide-helicóide de superfícies mínimas associadas, localmente isométricas, ao catenóide (helicóide). Vamos ver outros exemplos de superfícies mínimas A superfície de Scherk é dada implicitamente por

e^{z} = \frac{cos y}{cos x}

Estude o seu gráfico. Nota: Scherk foi obtida pelo método de separa-

ção das variáveis. Considere U = ℂ \ \{0\}, g(z) = e^{\frac{1}{z}} , f(z) dz = \frac{dz}{z^{2} e^{\frac{1}{z}}} .

Calcule Φ_{1}, Φ_{2}, Φ_{3}. Note que a condição de zeros e pólos de f, g estão satisfeitas. Para que a imersão esteja bem definida é necessário verificar as condições de período: Basta considerar uma curva de Jordan em torno de 0 e calcular os resíduos de Φ_{1}, Φ_{2}, Φ_{3} na singularidade 0, e mostrar que parte real do resíduo é real. Conclua que (g, f dz) define uma imersão conforme mínima de ℂ \ {0} em IR^{3}. Note que a imersão é completa e de curvatura total −∞. Sugestão : Para mostrar o último ponto você terá que usar o grande teorema de Picard. Encontre você mesmo, via Weierstrass, várias superfícies mínimas completas em IR^{3}. Vamos fazer agora algumas perguntas sobre superfícies de curvatura média constante de IR^{3}. Note que uma superfície de curvatura média constante (não nula) de IR^{3} é sempre orientável. É sabido que uma gráfico com bordo planar de curvatura média constante H tem altura máxima 1/|H|, estimativa esta realizada pelo hemisfério de raio R = 1/|H|. Note que se S é uma superfície conexa mergulhada com H = constante, de modo que S∩{z = 0} = ∂S (S está de uma do plano-xy) então a distância máxima de S ao plano-xy é 2/|H|. Sugestão : Aplique o princípio do máximo e o princípio de reflexão de Alexandrov de forma conveniente. Note que se S é uma superfície de curvatura média constante (não nula), com bordo uma curva γ plana simples fechada, então a configuração S ∩ Int(γ) ≠ ∅ e S ∩ Ext(γ) = ∅ é impossível. Sugestão : Aplique a fórmula do fluxo dada em sala de aula, convenientemente. Note que se uma superfície com H = cst ≠ 0 propriamente mergulhada e completa em IR^{3} tem dois fins tipo anel convergindo para dois cilindros então os cilindros têm que ser paralelos.

∗  ∗  ∗

Estudo introdutório de Geometria Hiperbólica e de Geometria Riemanniana

Em seguida serão colocadas questões de geometria hiperbólica e geometria Riemanniana. Agora completaremos nosso são absolutamente necessárias para o entendimento da geometria hiperbólica, particularmente da teoria das superfícies (hipersuperfícies) do espaço hiperbólico. Certos conceitos e resultados vistos, ou abordados de alguma forma, em dimensão 3 serão examinados em dimensões arbitrárias já que a extensão é um processo intelectual trivial.

Seja f : M → \overline{M} uma imersão de uma variedade diferenciável M de dimensão n em uma variedade riemanniana \overline{M} de dimensão n + k. Suponha que M tem a métrica riemanniana induzida por f. Seja p ∈ M e U ⊂ M uma vizinhança de p tal que f(U) ⊂ \overline{M} seja uma subvariedade de \overline{M}. Sejam X, Y campos de vetotes em f(U) e estenda-os a campos de vetores \overline{X}, \overline{Y} em um aberto de \overline{M}. Defina (∇_{X}Y) (p) = componente tangencial de \overline{∇}X̄ \overline{Y} (p), onde \overline{∇} é a conexão riemanniana de \overline{M}. Note que ∇ é a conexão riemanniana de M. Note que existe uma vizinhança U ⊂ M de p e n + 1 campos de vetores e_{1}, …, e_{n+1} ao longo de U, ortornormais em cada ponto de U, tais que em p, \overline{∇}_{e_{i}}e_{j}(p) = 0. Uma tal família e_{i}, i = i, …, n+1 de campos de vetores é chamada um referencial local geodésico em p (Veja refs). Calcule o gradiente de uma função real suave g em M, a divergência de um campo suave Y em M, e o Laplaciano de uma função real suave g em M, num ponto p, usando o referencial geodésico determinado no item b).

Considere a esfera unitária 𝕊^{n} em ℜ^{n+1} centrada na origem Exiba a conexão Riemanniana de 𝕊^{n}. Dê um argumento intuitivo de

que a curvatura seccional da esfera é 1. Note que os círculos máximos de raio 1 são as únicas geodésicas de 𝕊^{n}. Note, por um exemplo que o transporte paralelo, em geral, depende apenas da curva que liga estes dois pontos. Sugestão: Considere o cone C tangente a 𝕊^{2} ao longo de um paralelo qualquer c de 𝕊^{2}. Note que o transporte paralelo de um vetor tangente V_{0} a 𝕊^{2} em um ponto de c é o mesmo quer tomado em relação a 𝕊^{2} ou a C. Note que todas as curvas de curvatura constante em 𝕊^{2} são círculos de 𝕊^{2}. Note que a curvatura em 𝕊^{2} é dada por r^{2} = \frac{1}{k^{2} + 1},

onde r é o raio do círculo.

Considere o espaço de Lorentz L^{n+2} = {x_{0}, x_{1}, …, x_{n+1}} munido da métrica pseudo-riemanniana ds^{2} = − dx_{0}^{2} +dx_{1}^{2} +⋯+dx_{n+1}^{2}. Note que existe uma única conexão afim em L ( i.e satisfazendo as propriedades de linearidade e produto) que é compatível com a métrica pseudoriemanniana de L e que é simétrica. Calcule os símbolos de Christoffel desta métrica pseudo-riemanniana. Considere o modelo de Minkowski H^{3} do espaço hiperbólico definido por H^{3} := {(t, x, y, z), −t^{2} + x^{2} + y^{2} + z^{2} = −1, t, x, y, z ∈ IR} munido da métrica de Lorentz ds^{2} = − dt^{2} + dx^{2} + dy^{2} + dz^{2}. Note que a aplicação f : IR^{3} → H, dada por

f(x, y, z) = (\sqrt{1 + x^{2} + y^{2} + z^{2}}, x, y, z) determine uma orientação natural em H proveniente da orientação natural de IR^{3}. Seja M uma superfície de Riemann e sejam z = u + iv coordenadas isotérmicas em M. Seja X : M → H^{3} uma imersão conforme suave cujo vetor curvatura média está denotado por \overrightarrow{H}. Assuma \overrightarrow{H} ≠ 0. Então podemos assumir que \{X, X_{u}, X_{v}, \overrightarrow{H}\} em z é uma base positiva de L^{4}, para cada z ∈ M. Logo, com nossa convenção sobre X, Note que \{X_{u}, X_{v}, \overrightarrow{H}\} é uma base positiva de H^{3}. Considere B^{3} o modelo da bola do espaço hiperbólico. Note que a aplicação (projeção estereográfica) F : H^{3} → B^{3}, dada por

F (t, x, y, z) = (\frac{x + iy}{1 + t} , \frac{z}{1 + t})

é uma isometria global que preserva orientações . Interprete geometricamente esta aplicação . Calcule a inversa . Seja O^{+}(1, 3) o grupo de isometrias de H^{3}. Considere o conjunto de matrizes

A(s) = (\begin{matrix}cosh s & sinh s & 0 & 0 \\ sinh s & cosh s & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Note que {A(s), s ∈ IR} é um sub-grupo à um parâmetro de isometrias de H; i. e {A(s)} ⊂ O^{+}(1, 3). Dê uma interpretação geométrica. Qual é o resultado da ação de um elemento qualquer A(−s) no ponto (cosh s, sinh se_{1}), onde e_{1} = (0, 1, 0, 0) ? Daí deduza a existência de um sub-grupo de isometrias que age transitivamente em H (Faça desenhos !!). Seja X ∈ H^{n+1} e seja v ∈ T_{X}H^{n+1}, onde H^{n+1} ó modelo de Minkowski do espaço hiperbólico. Note que a geodésica única que passa por X tangente ao vetor unitário v é dada por γ(t) = cosh tX + sinh tv. Interprete geometricamente as geodésicas neste modelo, mostrando que estas são as interseções de H^{n+1} com planos de IR^{n+2} que passam pela origem dadas pela equação acima. Classifique as superfícies totalmentes geodésicas, no caso n + 1 = 3 , mostrando que são interseções de H^{3} com sub-espaços de dimensão 3 de IR^{4}.

Suponha que um campo X em uma variedade riemanniana \overline{M} satisfaz X(p) ≠ 0, p ∈ \overline{M}. Estude o teorema do fluxo e do grupo local

1-parametro da teoria das EDO e note que existe um sistema de coor-

denadas (t, x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) numa vizinhança U de p tal que \frac{∂}{∂t} = X.

Note que a forma volume ν se escreve numa vizinhança de p como ν = \sqrt{g} dt ∧ dx_{1} ∧ … ∧ dx_{n}. Determine \sqrt{g}. Com as notações acima, levando em conta a expressão local obtida em sala de aula, conclua que

div X = \frac{1}{\sqrt{g}} \frac{∂}{∂t}\sqrt{g},

ou seja div X “mede intuitivamente o grau de variação do volume de \overline{M} ao longo das trajetórias de X”. Note também que

d (ı_{X}ν) = div Xν,

onde ı é o produto interior de das formas diferenciáveis que leva uma k +1-forma numa k-forma (veja refs). Enuncie o teorema da divergência para variedades Riemannianas, numa situação bem geral . Note que a primeira identidade de Green (Veja na ref ).

Seja \overline{M} uma variedade riemanniana e seja ¯△ : D(M̄) → D(M̄) o operador Laplaciano. Note que dada f : \overline{M} → ℝ suave, o valor de \overline{△} em f é dado por \overline{△}f = traçoHess f, onde Hess f : T_{p}\overline{M} → T_{p}\overline{M} é o operador definido por (Hess f) (Y) = \overline{∇}_{Y} (∇f), Y ∈ T_{p}\overline{M}.

Além disto se M = f^{−1}(a), onde a é um valor regular de f, note que Hessf restrito a T M é auto-adjunto. A curvatura média H de M, a

menos de sinal, é dada por nH = div (\frac{∇f}{|∇f|}). Se g ∈ D(M̄) note que

△(fg) = f △g + g △f + 2 < ∇f, ∇g >. Se \overline{M} = \{X ∈ ℝ^{n+1}; |X| < 1\} é

bola  unitária  munida  da  métrica

(hiperbólica) ds^{2} = \frac{|dX|^{2}}{(1 − |X|^{2})^{2}} , note que

\overline{△} = (1 − r^{2})^{2} (∑_{i=1}^{n+1} a\frac{∂^{2}}{∂x_{i}^{2}} + b\frac{(n − 1)}{1 − r^{2}} \frac{r∂}{∂r}) ,

para constantes a, b; onde r = |X|. Calcule a e b. Considere H^{n+1} o modelo de Minkowski do espaço hiperbólico (Veja item acima). Seja p um inteiro positivo menor que n + 1 Considere f̃ definida em L por

f̃(X) = −x_{0}^{2} − ⋯ − x_{p−1}^{2} + x_{p}^{2} + x_{p+1}^{2} + ⋯ + x_{n+1}^{2}

Seja f a função suave definida em H por f = f̃ |_{H^{n+1}} . Note que ∥∇f∥^{2} = −4 + 4f^{2}. Sugestão : Lembre-se que X = (x_{0}, …, x_{n}, x_{n+1}) é normal à H^{n+1} em L. Note que

∇f̃ = ∇f−2fX, e que ∇f̃(X) = 2(−x_{0}, …, −x_{p}, x_{p+1}, …, x_{n}, −x_{n+1}). Este é um exemplo de função transnormal obtido por Marcos Alexandrino na sua dissertação de Mestrado (Veja ref). Note que

△f = (2n + 4)f + 2(n − 2p)

Isto, junto com o resultado do item i), implica que f é uma função isoparamétrica (Veja ref ). Sugestão : Note que

\overline{∇}_{Y} ∇f̃ = 2(−y_{0}, …, −y_{p−1}, y_{p}, y_{p+1}, …, y_{n}, −y_{n+1})

Conclua que \overline{∇}_{X}∇f̃ = ∇f̃. Logo,infira que < \overline{∇}_{X}∇f̃, X >= 2f. Deduza também que △f̃ = 2(n − 2p). Em seguida, tome um referencial em X ∈ H^{n+1}, {e_{0}, …, e_{n}, X}, tal que {e_{0}, …, e_{n}} é um referencial ortornormal de H^{n+1}, para fazer os cálculos. Considere c um valor regular de f de maneira que f^{−1}(c) é uma folha regular. Note que o espaço tangente T_{X}f^{−1}(c), é gerado pelos subespaços (v ∈ T_{X}f^{−1}(c))

W_{1} := {(0, …, v_{p}, …, v_{n}, 0); v_{p}x_{p} + ⋯ + v_{n}x_{n} = 0}
W_{2} := {(v_{0}, …, v_{p−1}, 0, ⋯, 0, v_{n+1}); v_{0}x_{0} + ⋯ + v_{p−1}x_{p−1} − v_{n+1}x_{n+1} = 0}

Note que, com a orientação determinada pelo gradiente de f, f^{−1}(c) é

um cilindro em H^{n+1} com curvaturas principais iguais a −\frac{1 + c}{\sqrt{−1 + c^{2}}}

(multiplicidade n − p) e \frac{−1 + c}{\sqrt{−1 + c^{2}}} (multiplicidade p) Sugestão : Use o fato que N = \frac{∇f}{∥∇f∥} é o campo normal unitário no sentido do gradiente

e que ∥∇f∥ é constante em f^{−1}(c). Note que

∇_{Y} ∇f = \overline{∇}_{Y} ∇f+ < \overline{∇}_{Y} ∇f, X > X

Use que

\overline{∇}_{Y} ∇f = \overline{∇}_{Y} ∇f̃+ \overline{∇}_{Y} 2fX

= 2(−y_{0}, …, −y_{p−1}, y_{p}, y_{p+1}, …, y_{n}, −y_{n+1}) + 2fY + 2 < ∇f̃, Y > X

Em seguida considere Y = w_{1} + w_{2}, com w_{1} ∈ W_{1} e w_{2} ∈ W_{2}, para deduzir que

∇_{w_{1}} \frac{∇f}{∥∇f∥} = \frac{(2 + 2f)w_{1}}{2\sqrt{−1 + f^{2}}}

∇_{w_{2}} \frac{∇f}{∥∇f∥} = \frac{(−2 + 2f)w_{2}}{2\sqrt{−1 + f^{2}}}

Logo, −\frac{1 + c}{\sqrt{−1 + c^{2}}} e \frac{−1 + c}{\sqrt{−1 + c^{2}}} são a únicas curvaturas principais de

f^{−1}(c), contadas com multiplicidades. O resultado segue do seguinte teorema de Cartan (Veja ref)

Diz-se que uma hipersuperfície é isoparamétrica se suas curvaturas principais são constantes. Teorema de Cartan (Classificação das hipersuperfícies isoparamétricas com duas curvaturas principais distintas num espaço forma). Seja K uma superfície isoparamétrica com curvaturas principais distintas k_{1} e k_{2} de multiplicidades n_{1} e n_{2} num M^{n+1}(c) espaço de curvatura seccional constante c (M = IR^{n+1}, se c = 0, M = IH^{n+1}, se c = −1 e M = 𝕊^{n+1}, se c = 1.). Então , segue que K é um cilindro em M^{n+1}(c). Em particular, tem-se que para c = 1, que K é um mergulho

de 𝕊^{n_{1}}(\frac{1}{\sqrt{k_{1}^{2} + 1}}) × 𝕊^{n_{2}}(\frac{1}{\sqrt{k_{2}^{2} + 1}}) em 𝕊^{n+1}.

É interessante comparar o resultado acima com o de Nomizu que utilizou a famosa identidade de Cartan para demonstrar o seguinte (Veja ref): Teorema de Nomizu Seja K uma hipersuperfície isoparamétrica mergulhada em M^{n+1}(c) com k curvaturas principais λ_{i} distintas. Então , para c = 0, k é no máximo igual a 2 e se K possuir duas curvaturas distintas então uma delas é nula. Para c = −1, k também é no máximo igual a 2 e se K possuir duas curvaturas distintas k_{1} e k_{2} então k_{1}k_{2} = 1.

Combinando os dois resultados acima obtém-se que:

As hipersuperfícies isoparamétricas de IR^{n+1} e de IH^{n+1} são os cilindros e as hipersuperfícies totalmente umbílicas.

Note que as multiplicidades das m curvaturas principais distintas k_{i} de uma hipersuperfície isoparamétrica K são constantes. Sugestão : Considere k_{1}, …, k_{m_{1}}, k_{m}, …, n as curvaturas principais de K de modo que k_{i} ≠ 0, i < m. Defina ν = m se todas as curvaturas principais são distintas de zero e ν = m−1 se k_{m} = 0. Considere n_{i}(x) a multiplicidade de k_{i} em x ∈ K. defina os polinômios

p_{j}(x) := ∑ i = 1_{i}^{n}(x)k_{i}^{j} = traçoA^{j}

onde A é o operador de Weingarten. Observe que p_{j}(x) são funções constantes (Por quê ?). Note que n_{i}(x) são constantes.

O seguinte teorema de caracterização das hipersuperfícies isoparamétricas é devido a Nomizu (Veja ref ) Seja K uma hipersuperfície mergulhada em M^{n+1}(c) e seja φ_{t} : K → M^{n+1}(c), definida por φ_{t}(x) = exp_{x}(tN) e K_{t} = φ_{t}(K). Se para qualquer t, K_{t} tem curvatura média constante H_{t}, então K_{t} é isoparamétrica.

Nota: No que segue imediatamente, seguiremos o texto da dissertação de mestrado de Marcos Alexandrino (Veja ref ). Seja K uma hipersuperfície mergulhada em uma variedade Riemanniana completa M, com conexão ∇. Seja γ(t) uma geodésica de M parametrizada pelo comprimento de arco t, tal que γ(0) ∈ K e γ′(0) ∈ T_{γ(0)}^{⊥}K. Assuma que existe um campo de vetores unitário normal N; tal que N(γ(0)) = γ′(0). Considere α(s) uma curva suave, contida em K tal que α(0) = γ(0) e f : (−ε, ε) × [0, r] → M, uma variação de γ(t), definida como f(s, t) = exp_{α(s)} (tN(α(s)) . Note que

< \frac{∂f}{∂s} , \frac{∂f}{∂t} >_{f(s,t)}= 0

Sugestão : Use a simetria da conexão e o fato que as curvas s = const são geodésicas. Faça um resumo sobre o conceito de campo de Jacobi (Veja refs). Diz-se que um campo de Jacobi J(t), definido ao longo da geodésica γ(t) é um K-campo de Jacobi, sse satisfaz às seguintes condições : < J(t), γ′(t) >= 0. J′(0) + A(γ′(0))J(0) = 0, onde A denota a aplicação de Weingarten. Sejam α(s) uma curva em K com α(0) = γ(0), f(s, t) = exp_{α(s)} (tN(α(s))) e J(t) = \frac{∂f(0, t)}{∂s}. Note que J(t) é um

K-campo de Jacobi ao longo de γ(t). Sugestão : Note que como f(s, t) é uma variação por geodésicas então J(t) é um campo de Jacobi (Veja ref ). Note isto!! Note que ∗) garante o item a) da definição de K-campo de Jacobi. Finalmente note que

J′(0) = \frac{D}{dt} \frac{∂f(0, 0)}{∂s}

= \frac{D}{ds} \frac{∂f(0, 0)}{∂t}

= ∇_{J(0)} \frac{∂f(s, 0)}{∂t}

= −A(γ′(0))J(0)

Note que se J(t) é um K-campo de Jacobi ao longo de γ(t), então existe uma curva α(s) em K tal que fazendo f(s, t) = exp_{α(s)} (tN(α(s))) ,

J(t) = \frac{∂f(0, t)}{∂s}.Sugestão : Considere α(s) uma curva em K tal que

α′(0) = J(0) e considere J̃(t) = \frac{∂f(0, t)}{∂s}. Note que J̃(t) é um K-campo

de Jacobi e note que J̃(0) = J(0). Use o item b) da definição de K-campo de Jacobi. Define-se um ponto γ(r) de ponto focal de K se existe um K-campo de Jacobi J(t) ao longo de γ(t), não identicamente nulo, tal que J(r) = 0. Um corolário disto e do que precede é o seguinte: Seja φ_{r} : V → M definida por φ_{r}(x) = exp_{x}(rN(x)). Então γ(r) é um ponto focal com multiplicidade k, sse γ(r) é valor crítico de φ_{r}, sendo k a dimensão do núcleo de dφ(γ(0)). O lema do índice de Morse adaptado, diz respeito ao índice de uma certa forma quadrática Q_{a} definida no conjunto de campos diferenciáveis por partes definidos em γ |_{[0,a]}, ortogonais à γ′(t) e que se anulam em t = a. Diz que o índice de Q_{a} é finito e igual ao número de pontos focais de K, contados com suas multiplicidades, ao longo de γ(t) para 0 < t < a (Veja ref).

Considere agora duas hipersuperfícies K e G mergulhadas em uma variedade Riemanniana M de dimensão n + 1. Assuma que exista um campo unitário N de vetores normais à K. Diz-se que K e G são paralelas se existe s tal que a aplicação φ_{s}(x) := exp_{x}(sN(x)) definida em K seja um difeomorfismo entre K e G. Note que se p ∈ K, γ(t) = exp_{p}(tN(p))

40 Prof. Ricardo Sa Earp

e J(t) é um K-campo de Jacobi ao longo de γ(t), então J(t + s) é um G-campo de Jacobi. Assuma que K_{t} := φ_{t}(K) são hipersuperfícies.

Dado um ponto y = φ_{t_{0}}(x) de K_{t_{0}} define-se N(y) := \frac{d}{dt}φ_{t}(x) |_{t=t_{0}} . Cada K_{t} admite uma orientação natural determinada por N. Assuma a existência de uma função suave f : M → IR tal que f restrita à cada K_{t} seja constante. Seja f̃(t) := f(K_{t}). Note que

△f(p) = f̃′′(t_{0}) − nf̃′(t_{0})H(p) p ∈ K_{t_{0}}

Sugestão : Observe que ∇f(y) = f̃′(t)N, e que ∇_{N}N(y) = 0, y ∈ K_{t}. Considere {e_{1}, …, e_{n}} referencial local ortornormal em uma vizinhança de p em M tal que em p {e_{1}, …, e_{n}} é tangente às direções principais.

Conclua Sejam K_{t} e f definidos acima. Note que se △f é constante em cada K_{t} então K_{t} é uma hipersuperfície de curvatura média constante. Nota (ainda seguindo Marcos Alexandrino, ref): Suponha que M = M^{n+1}(c) uma variedade de curvatura seccional constante c . Assuma que K_{t} = φ_{t}(K), sejam hipersuperfícies mergulhadas, e portanto paralelas à K. Seja p ∈ K, γ(t) = φ_{t}(p) e seja {e_{i}} uma base ortornormal de direções principais de p associadas às curvaturas principais k_{i}. A finalidade da presente discussão é determinar as curvaturas principais e as direções principais de K_{t} em γ(t) : Tome {J_{i}(t)}, n K-campos de Jacobi ao longo de γ(t) com J_{i}(0) = e_{i}. (Veja o item ∗ ∗ ∗) acima). O fato de que J′′_{i}(t) + cJ_{i}(t) = 0 (Por quê ?), a definição de um K-campo de Jacobi e a unicidade de campos de Jacobi garantem que :

J_{i}(t) = g_{i}(t)e_{i}(t)

onde e_{i}(t) é o transporte paralelo de e_{i} ao longo de γ(t) e g_{i}(t) é uma função suave que satisfaz às seguintes equações

g′′_{i}(t) + cg_{i}(t) = 0
g′_{i}(0) + k_{i}g_{i}(0) = 0

Logo, se c = 0, g_{i}(t) = −k_{i}t + 1, se c = −1, g_{i}(t) = −k_{i} sinh t + cosh t, se c = 1, g_{i}(t) = −k_{i} sin t + cos t. Note que, nas condições acima, {e_{i}(t)} é uma base ortornormal de direções principais de K_{t} em γ(t) associadas às

curvaturas principais −\frac{g′_{i}(t)}{g_{i}}. Calcule as curvaturas principais em cada

caso c = 0, 1, −1.

Sugestão : Veja item a) acima.

(Classificação das superfícies totalmente umbílicas de M^{n+1}(c)) Agora considere K uma hipersuperfície totalmente umbílica completa (conexa) com curvatura principal k de um espaço de formas espaciais M^{n+1}(c). Seja p ∈ K. Dado v ∈ T_{p}K define-se Σ_{v} como sendo o hiperplano totalmente geodésico que contém p tal que v ∈ (T_{p}Σ_{v})^{⊥} . Note que existe uma vizinhança V de p em M^{n+1} tal que K_{v} := V ∩ K ∩ Σ_{v}, é uma hipersuperfície umbílica de Σ_{v}, para todo v ∈ T_{p}K, com curvatura principal k. Sugestão : Considere para fixado v ∈ T_{p}K, um campo unitário η de T (Σ_{v})^{⊥} . Note que para todo X ∈ T (Σ_{v}) tem-se que \overline{∇}_{X}η ≡ 0. Seja α(t) uma curva parametrizada regular com α(0) = p com α(t) ∈ K ∩ Σ_{v}. Seja α(r) = q. Note que o normal unitário N(q) ∈ T_{q}Σ_{v}, para todo q ∈ K_{v}; mostrando que < N(α(t)), η(α(t)) >≡ 0. Finalmente, conclua disto, da definição de hipersuperfície umbílica e do fato que < \overline{∇}_{X}Y, N >= k < X, Y >, para quaisquer X, Y ∈ T_{q}K, que K_{v} é umbílica em Σ_{v}, como desejado

Seja K uma hipersuperfície (conexa) completa com curvatura principal k em M^{n+1}(c). Note que se c = 0, 1 K é uma hipersuperfície totalmente geodésica ou uma esfera geodésica de M^{n+1}(c). Se c = −1 note que K, visto no modelo do semi-espaço IH^{n+1}, é a interseção de IH^{n+1} com um hiperplano ou uma esfera de dimensão n de IR^{n+1}. Quando k > 1 note que K é uma esfera geodésica de IH^{n+1}.Sugestão : Note que basta demonstrar o teorema localmente. Em seguida note que se o teorema for verdadeiro para n = j então o resultado no item a) mostra que este será verdadeiro para n = j +1. Note que o teorema está confirmado para n = 2, pela classificação das curvas de curvatura constante.

Seja f uma função suave em uma variedade riemanniana \overline{M} de dimensão n + 1 e seja M uma subvariedade de \overline{M} de dimensão k. Sejam \overline{∇} e \overline{△} a conexão e o Laplaciano sobre \overline{M}, respectivamente. Seja △ o laplaciano sobre M. Finalmente, seja H⃗ o vetor curvatura média de M definido pela equação

∑_{i=1}^{k} \overline{∇}ē_{i} ē_{i} = k \overrightarrow{H} + ∑_{i=1}^{k} ∇_{e_{i}}e_{i},

onde e_{1}, …, e_{k} é um campo de vetores ortornormais numa vizinhança de um ponto p de M e ē_{1}, …, ē_{n+1} é uma extensão ortornormal suave destes campos à uma vizinhança de p em \overline{M}. Note que △f = ∑_{i=1}^{k} (e_{i} e_{i}f − ∇_{e_{i}}e_{i}f)

Note que < ∇f, ∇_{e_{i}}e_{i} >= ∇_{e_{i}}e_{i}f. Interprete o termo da direita da igualdade. Note que △f = \overline{△}f + kH⃗f − ∑_{j=k+1}^{n+1}(ē_{j}ē_{j}f − \overline{∇}ē_{j} ē_{j}f) Suponha que M é imagem inversa de um valor regular de f e que as trajetórias do gradiente que partem de p ∈ M são geodésicas. Interprete e expresse a fórmula do item anterior neste caso .

Note o seguinte teorema devido a E. Hopf: Seja M uma variedade Riemanniana orientável compacta ( sem bordo) e conexa. Seja f uma função suave em M com △f ⩾ 0. Note que f = const. Sugestão: Aplique o teorema da divergência duas vezes, primeiramente a △f, em seguida a △f^{2}. Ou ainda aplique diretamente o princípio do máximo. Seja X : M → M̄ uma imersão isométrica de uma variedade compacta (sem bordo) M de dimensão n em uma variedade M̄ de dimensão n+1. Sejam f, g funções suaves e Y um campo suave em M. Note que div f · Y = f · div Y + ⟨∇f, Y ⟩, onde ∇ é o gradiente sobre M e div é a divergência sobre M.

Note que △(f ·g) = f ·△g+g·△f +2⟨∇f, ∇g⟩, onde △ é o Laplaciano sobre M.

Note que

∫_{M} (f△g + ⟨∇f, ∇g⟩) dM = 0

se M̄ = IR^{n+1} então deduza a fórmula de Minkowski

∫_{M} (1 + H(⟨X, N⟩) dM = 0

onde N é um campo de vetores normal unitário a M e H é a curvatura média calculada com respeito a N.

Seja \overline{M}(c) uma variedade Riemanniana orientável simplesmente conexa de dimensão n + 1 com curvatura seccional constante c. Seja X : M → \overline{M}(c) uma imersão isométrica. Seja A o operador de Weingarten associado à um normal global N. Sejam k_{1}, …, k_{n} as curvaturas principais da imersão (que são exatamente os auto-valores de A). As funções simétricas de curvatura associadas à A, podem ser definidas usando o polinômio característico de A por

det(tI − A) = ∑_{r=0}^{n}(−1)^{r} S_{r}t^{n−r}

E.D.P-lista 8 43

As transformações de Newton P_{r} são definidas indutivamente por

P_{0} = I
P_{r} = S_{r}I − A · P_{r−1}

Seja e_{1}, …, e_{n} uma base ortornormal de autovetores de A correspondendo, respectivamente, aos auto-valores k_{1}, …, k_{n}. Representaremos por A_{i} a restrição da transformação A ao sudespaço normal à e_{i} e por S_{r}(A_{i}) a r- ésima função simétrica associada à A_{i}.. Definamos S_{n+1} = 0.

Note as seguintes igualdades: Para cada 1 ⩽ r ⩽ n − 1, vale

P_{r}(e_{i}) = S_{r}(A_{i})e_{i} ∀ 1 ⩽ r ⩽ n. traço(P_{r}) = ∑_{i=1}^{n} S_{r}(A_{i}) = (n − r)S_{r}

traço(AP_{r}) = ∑_{i=1}^{n} k_{i}S_{r}(A_{i}) = (r+1)S_{r+1} traço(A^{2}P_{r}) = ∑_{i=1}^{n} k_{i}^{2}S_{r}(A_{I}) = s_{1}s_{R+1} − (R + 2)s_{R+2}. Seja f : M → IR uma função suave sobre M. Defina L_{r} o operador linearizado de S_{r+1} por

L_{r}f = div (P_{r}∇f)

Note que

∫_{M}(f L_{r}g + ⟨P_{r}∇f, ∇g⟩) dM = 0

Suponha c = 0, 1, ou − 1. Interprete X como sendo o o vetor posição de M em IR^{n+1}, 𝕊^{n+1}, ou IH^{n+1}. Definamos H_{r} pela equação S_{r} :=

\binom{n}{i} H_{r}. Note as seguintes fórmulas

L_{r}(X) = −((r + 1)S_{r+1})N − c(n − r)S_{r}X
= −c_{0}(r) (H_{r+1}N + c H_{r}X)

Quando S_{r+1} é constante, note que

L_{r}N = −(S_{1} S_{r+1} − (r + 2) S_{r+2})N − c (r + 1) S_{r+1}X

Suponha que M seja uma hipersuperfície fechada. Note as fórmulas de Minkowski em IR^{n+1}, 𝕊^{n+1}, e IH^{n+1}

∫_{M}(H_{r+1} N + c H_{r} X) dM = 0

Seja M ⊂ IR^{n+1} um gráfico de uma função suave x_{n+1} = u(x_{1}, …, x_{n}) sobre um domínio Ω de IR^{n}. Considere a parametrização natural X : Ω → M dada por X(x_{1}, …, x_{n}) = (x_{1}, …, x_{n}, u(x_{1}, …, x_{n})). Seja X_{1}, …, X_{n} o referencial adaptado (global) a X. Seja (g_{ij}) a matriz da primeira forma fundamental associada a X. Sejam ∇ o gradiente e △ o Laplaciano sobre M. Seja H = H(x_{1}, …, x_{n}, u) a curvatura média de M calculada com respeito ao normal unitário N que aponta para “cima”, i.e para o sentido dos x_{n+1} crescente. Note que g_{ij} = δ_{ij} + u_{i}u_{j}, g = det g_{ij} = W (u)^{2} := 1 + |Du|^{2} e N = (v_{1}, …, v_{n+1}), onde u_{i} denota

diferenciação com respeito a x_{i} e v_{i} = \frac{−u_{i}}{W (u)}, i < n + 1, v_{n+1} = \frac{1}{W (u)}.

Além disto, g^{ij} = δ^{ij} − v_{i}v_{j}.

Se ψ : M → IR é suave, então ( omitindo o símbolo do somatório, seguindo a convenção usual)

△ψ = g^{ij}D_{i}D_{j}ψ + W (u)^{−1}D_{i}(W (u)g^{ij})D_{j}ψ

onde D_{i} significa diferenciação com respeito a x_{i}. Conclua que

△ψ = g^{ij}D_{i}D_{j}ψ + nHv_{j}D_{j}ψ e daí △u = \frac{nH}{W (u)}.

Também verifique que

∇H = g^{ij}D_{j}HX_{i} e daí
⟨∇H, (0, …, 1)⟩ = g^{ij}D_{j}Hu_{i}
= g^{ij} (H_{x_{j}} + H_{z}u_{j}) u_{i}
= H_{z}|∇u|^{2} + g^{ij}u_{i}H_{x_{j}}
= −v_{n+1} (v_{i}H_{x_{i}} − H_{z}|Du|^{2}v_{n+1})

Seja v um vetor de IR^{n+1}. Então

△⟨N, v⟩ = −2⟨∇H, v⟩ − ∥A∥^{2}⟨N, v⟩

onde ∥A∥^{2} é o quadrado da segunda forma fundamental de M, definido por ∥A∥^{2} := traço A^{2}. Sugestão: Use um referencial geodésico em p ∈ M. Conclua

△v_{n+1} + ∥A∥^{2}v_{n+1} = −2⟨∇H, (0, …, 1)⟩
= 2v_{n+1} (v_{j}H_{x_{j}} − |Du|^{2}v_{n+1}H_{z})

Elabore um resumo da fórmula da primeira e segunda variação da energia (Veja refs). Seja M uma variedade Riemanniana completa.

Seja N ⊂ M uma subvariedade fechada. Seja p ∈ M − N. Note que existe uma geodésica minimizante γ, γ(0) = p, γ(l) ∈ N, de modo que dist(p, N) = dist(γ) = l. Além disto,γ′(l) ⊥ N. Sugestões (complete todos os detalhes !!): Seja l = dist(p, N). Note que o disco geodésico \overline{B}_{l+1}(p), de centro P e raio l + 1 é compacto e que K := \overline{B}_{l+1}(p) ∩ N ≠ ∅. Note que x ↦ dist(p, x) atinge um mínimo sobre K. ⟹ ∃q ∈ N; dist(p, q) = l. Seja γ uma geodésica minimizante ligando p a q (por que existe?). Seja β(s) uma curva em N; β(0) = q. Seja p_{1} ∈ U ∩γ([0, l]), onde U é uma vizinhança normal de q. Seja β̃ ⊂ T_{p_{1}}M definida por β̃(s) = exp_{p_{1}}^{−1}(β(s)). Claro que β̃(s) está apenas definida para s suficientemente pequeno (por quê ?). Faça um desenho!!. Defina f(s, t) = exp_{p_{1}}(t · β̃(s)), f(s, 0) = p_{1}, f(s, 1) = β(s). Sendo a geodésica γ_{1}, definida como sendo a restrição de γ ao arco entre p_{1} e q, minimizante ⟹ dist(f(s_{0}, t)) ⩾ dist(f(0, t))∀s_{0}, fazendo variar t de 0 a 1 (Por quê ?). Aplique a fórmula da primeira variação da energia para concluir o resultado (faça um desenho!!).

Seja M uma superfície completa de curvatura de Gauss estritamente positiva. Sejam γ_{1}, γ_{2} duas geodédicas simples e fechadas de M. Note que γ_{1} ∩ γ_{2} ≠ ∅. Sugestões ( complete todos os detalhes !!) : Caso contrário, ∃ geodésica γ; dist(γ_{1}, γ_{2}) = dist(γ) = l. Pelo resultado anterior γ_{1}, γ_{2} ⊥ γ. Seja V (0) = γ′_{1}(γ(0)) e V (t) o transporte paralelo de V (0) ao longo de γ à V (l) = γ(l) = q. Considere f(s, t) = exp_{γ(t)}(s · V (t)), −ε < s < ε. Note que f(s, 0) = γ_{1}(s), f(s, l) = γ_{2}(s). Note que a fórmula da segunda variação, após algumas considerações e cálculos fica:

\frac{1}{2}Ë(0) = − ∫_{0}^{1} K · l^{2}.

Conclua daí o resultado desejado.

Consideremos o modelo da bola tridimensional do espaço hiperbólico dado por B = {(u, v, w) ∈ IR^{3} | u^{2} + v^{2} + w^{2} < 1}. Considere uma superfície de revolução gerada por uma curva c contida no disco aberto D = {(u, v, w)} ∈ B | w = 0}. Seja p ∈ D, seja γ a unica geodésica passando por p e ortogonal à geodésica horizontal {v = 0}. Seja q a intersecção entre estas duas geodésicas. Então x é igual ‘a distância hiperbólica entre q e 0, e y é o comprimento orientado de γ entre p e q. Isto significa que x ⩾ 0 (resp. y ⩾ 0) ⇔ u ⩾ 0 (resp.v ⩾ 0), onde (u, v) são as coordenadas euclideanas de p. Note que

A métrica de D neste sistema de coordenadas (x, y) é dada por ds^{2} = cosh^{2}(y)dx^{2} + dy^{2}.

Sejam e_{x} e e_{y} os campos de vetores unitários na direção de x e y, respectivamente. Seja t(s) o campo unitário tangente à c no sentido do movimento (s parâmetro comprimento de arco). Seja n(s) o normal unitário apontando para o sentido dos y crescentes. Seja α o ângulo orientado de t(s) à e_{y}. Faça uma figura !!. Note as seguintes relações

e_{x} = \frac{1}{cosh y} · \frac{∂}{∂x}
sin α = cosh y · \frac{dx}{ds}, cos α = \frac{dy}{dx}
n(s) = − cos α e_{x} + sin α e_{y}
\frac{d}{dn} = \frac{− cos α}{cosh y} \frac{∂}{∂x} + sin α \frac{∂}{∂y}
ċ = \frac{sin α}{cosh y} \frac{∂}{∂x} + cos α \frac{∂}{∂y}

Suponha que f(s, t), a ⩽ s ⩽ b, 0 ⩽ t < δ seja uma dada variação própria de c(s), i.e, f(s, 0) = c(s) e f(a, t) = c(a), f(b, t) = c(b). Seja g := cosh y.

Note que o campo variacional é dado por V (s) = g · (∂x / ∂t)_{0} e_{x} + (∂y / ∂t)_{0} e_{y} (g = cosh y).

Note que a fórmula da primeira variação fica

\frac{d}{dt} L_{c}(t)|_{t=0} = − ∫_{a}^{b}\{(2gg′ \frac{dy}{ds} · \frac{dx}{ds} + g^{2} \frac{d^{2} x}{ds^{2}}) · (\frac{∂x}{∂t})_{0}

+ (\frac{d^{2} y}{ds^{2}} − gg′ (\frac{dx}{ds})^{2}) · (\frac{∂y}{∂t} )_{0}\} ds

Conclua à partir da fórmula da primeira variação que esta determina a curvatura geodésica de c, e infira dos itens anteriores que a curvatura (geodésica) de c, com respeito ao normal n é dada por

k(s) = −\frac{dα}{ds} − tanh y sin α.

Note que isto dá uma curvatura principal k_{1} = k da superfície de revolução gerada por c.

Note que a outra curvatura principal k_{2} é dada por k_{2} = − sin α coth y. Considere um sistema de coordenadas de B dado por x, y, θ, onde θ é

o ãngulo de rotação em torno do eixo x. Note que a métrica de B neste sistema de coordenadas se escreve como ds^{2} = sinh^{2} y dθ+cosh^{2} y dx^{2}+

dy^{2} Considere \frac{∂}{∂x}, \frac{∂}{∂y} e \frac{∂}{∂θ}, os campos adaptados a este referencial. Seja

ν := \frac{1}{∥\frac{∂}{∂θ}∥} \frac{∂}{∂θ}. Note que

∇ċċ = −(\frac{dα}{ds} + sin α tanh y)n
∇_{ν}ν = − coth y \frac{∂}{∂y}

Usando estas fórmulas re-obtenha as curvaturas principais k_{1} e k_{2} obtidas no item (c),(iii),(iv).

Note que se a curva c é o gráfico de uma função positiva y = y(x), então as curvaturas principais da superfície de revolução gerada por c são dadas por:

k_{1} = \frac{y′′ cosh y − 2 sinh y y′ − sinh y cosh^{2} y}{(cosh^{2} y + y′^{2})^{3/2}}  e

k_{2} = −\frac{cosh^{2} y}{sinh y(cosh^{2} y + y′^{2})^{1/2}}

Encontre uma integral primeira da equação da curvatura média constante no espaço hiperbólico de uma curva geratriz de uma superfície de revolução, mostrando que

\frac{v cosh^{2} y}{\sqrt{(cosh^{2}y + y′^{2})}} − 2H u = const

onde v = c sinh y, c = comprimento do círculo hiperbólico unitário e

u = \frac{c (sinh y)^{2}}{2} .

Considere IH^{n+1} = {(x_{0}, x_{1}, …, x_{n}); x_{n} > 0)} o modelo do semi-

espaço do espaço hiperbólico munido da métrica ds^{2} = \frac{1}{x_{n}} (dx_{0}^{2} + dx_{1}^{2} + ⋯ + dx_{n}^{2}). Seja P o hiperplano totalmente geodésico dado por P = {x_{0} = 0}. Seja D ⊂ P um domínio de P. Seja M uma hipersuperfície de IH^{n+1} Seja N um campo de vetores unitários (na métrica hiperbólica) normal à M.

Seja α : (−ε, ε) → M, uma curva paramerizada por comprimento de arco (hiperbólico). Seja κ_{N} a curvatura normal de α com respeito à N. Reparametrizando α pelo parâmetro comprimento de arco euclideano (visto M como hipersuperfície de IR^{n+1}), obtemos uma curva β. Considere a curvatura normal k_{N} de β com respeito ao campo de vetores N unitários (na métrica euclideana) normal à M. Note a seguinte relação:

κ_{N} = k_{N} x_{n} + N_{n}

onde N_{n} representa a última componente de N.

Deduza à partir da fórmula anterior a equação da curvatura média pré -determinada H de um gráfico horizontal dado por uma função x_{0} = u(x_{1}, …, x_{n}) definida sobre um domínio D ⊂ P.

Idem para a equação da curvatura média pré-determinada H de um gráfico vertical dado por uma função x_{n} = u(x_{0}, …, x_{n−1}) definida sobre um domínio Ω ⊂ ∂_{∞}IH^{n+1}.

Note um teorema tipo Olinde Rodrigues para superfícies M em IH^{3}. Note também que a semi-soma das curvaturas normais em um ponto p ∈ M, para qualquer par de direções ortogonais é igual a curvatura média H(p) de M em p.

Note que as linhas principais de M em IH^{n+1} e de M em IR^{n+1} coincidem. Conclua que M é totalmente umbílica em IH^{n+1} ⇔ M é totalmente umbílica em IR^{n+1}. Dê a classificação das hipersuperfícies totalmente umbílicas de IH^{n+1}. Dê também outra demonstração deste fato. Deduza a classificação das superfícies isoparamétricas de IH^{3}, seguindo o seguinte roteiro : Seja p ∈ M, um ponto não umbílico de uma superfície M em IH^{3}.

Note que existe um referencial ortornormal {X_{1}, X_{2}} numa vizinhança de p principal, i.e, AX_{i} = k_{i} X_{i}, i = 1, 2, onde A é o operador de Weingarten que representa a segunda forma fundamental de M.

Seja ∇ a conexão de M. Note que as quantidades ∇_{X_{2}}X_{1}, ∇_{X_{1}}X_{2}, ∇_{X_{1}}X_{1}, ∇_{X_{2}}X_{2} estão determinadas por funções a, b que dependem apenas de k_{1}, k_{2} e das suas derivadas com respeito a X_{1}, X_{2}. Precisamente, note que numa vizinhança u de p:

∇_{X_{2}}X_{1} = b X_{2}  ∇_{X_{1}}X_{2} = a X_{1} [X_{1}, X_{2}] = a X_{1} − b X_{2}  (12)
∇_{X_{2}}X_{2} = −b X_{1} ∇_{X_{1}}X_{1} = −a X_{2}  (13)

onde a = \frac{X_{2}(k_{1})}{k_{2} − k_{1}} e b = −\frac{X_{1}(k_{2})}{k_{2} − k_{1}} . Além disto, note que

\begin{aligned}K_{e} := k_{1} k_{2} & = \frac{(X_{1}^{2}(k_{2}) − X_{2}^{2}(k_{1}))(k_{2} − k_{1})}{(k_{2} − k_{1})^{2}} \\ & + \frac{X_{1}(k_{2})(2X_{1}(k_{2}) − X_{1}(k_{1}))}{(k_{2} − k_{1})^{2}} \\ & + \frac{X_{2}(k_{1})(X_{2}(k_{2}) − 2X_{2}(k_{1}))}{(k_{2} − k_{1})^{2}} + 1 \end{aligned}  (14)

em U. Sugestões: As equações (12), (13) seguem da compatibilidade, da simetria e das equações de Codazzi. Enquanto que a equação (14) segue da equação de curvatura de Gauss.

Note que existe um sistema de coordenadas principais numa vizinhança de p. Sugestão: Basta mostrar que existem campos Y_{1} = f X_{1} e Y_{2} = g X_{2}; tais que [Y_{1}, Y_{2}] = 0. Conclua que uma superfície isoparamétrica (i.e todas as curvaturas principais são constantes), não umbílica é um cilindro hiperbólico.

Neste item serão abordados algumas aplicações do princípio do máximo e do princípio de reflexão de Alexandrov. Note que uma superfície propriamente mergulhada em IH^{3} de curvatura média constante cujo bordo assimptótico é um ponto é uma horosfera. E se o bordo assimptótico for um círculo ? E se a superfície é uma superfície especial de Weingarten ?

Note que o seguinte teorema de Hsiang: Uma superfície propriamente mergulhada de IH^{n+1} contida dentro de um cilindro, com curvatura média constante é uma hipersuperfície de revolução. O que você pode dizer, sob as mesmas condições , se a superfície é uma superfície especial de Weingarten ?

Note que se Ω ⊂ IR^{n} é um domínio que contém discos de raios arbitrariamente grandes então não existe uma função f : Ω → IR, e um número positivo c > 0 tal que a curvatura média H do gráfico de f satisfaça H ⩾ c > 0

Note que não existe um gráfico vertical mínimo em IH^{n+1} sobre um semi- espaço fechado do bordo assimptótico ∂_{∞}IH^{n+1}.

Elabore um resumo sobre as relações entre uma superfície de curvatura média 1 em IH^{3} e as superfícies mínimas de IR^{3}.

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