2\underline{o} Exame de Geometria Hiperbólica

prof. Ricardo Sá Earp 10 de novembro de 2000

1\underline{a} Questão (2.0 pts): Seja γ(y) = (u(y), y), y > 0, uma curva de IH^{2} dada por uma função u de classe C^{2} definida num intervalo I = (0, ∞). Mostre que γ é completa. Em seguida mostre que se k_{h}^{+}(γ(y)) (curvatura com sinal de γ) satisfaz k_{h}^{+}(γ(y)) ⩾ 1, ∀y > 0, então a função u não pode ser limitada inferiormente. 2\underline{a} Questão (2.0 pts): Mostre com todos os detalhes que ℂ não admite uma métrica completa ds^{2} := ρ^{2}(z)| dz|^{2} com curvatura de Gauss K ≡ −1. Sugestão : Raciocine por absurdo, supondo que ℂ admite uma métrica com K ≡ −1. Mostre primeiramente que a métrica λ^{2}(z)| dz|^{2}; λ(z) = \frac{2R}{R^{2} − |z|^{2}} , é uma métrica completa na bola aberta de raio R, digamos D_{R}, centrada na origem com curvatura de Gauss identicamente igual a −1. Em seguida mostre que log λ − log ρ admite um mínimo global em D_{R}. Deduza que λ ⩾ ρ em D_{R}, inferindo daí o resultado desejado. 3\underline{a} Questão (2.0 pts): Mostre com todos os detalhes que ℂ é uma superfície de Riemann simplesmente conexa parabólica. 4\underline{a} Questão (2.0 pts): Sejam M e N duas superfícies de Riemann munidas da métrica hiperbólica obtida no item anterior (ou seja, o recobrimento conforme de ambas superfícies é o disco unitário D). Assuma primeiro que ambas M e N sejam simplesmente conexas. Mostre que se f : M → N é uma aplicação holomorfa da superfície de Riemann M na superfície de Riemann N que não é uma equivalência conforme então f encolhe estritamente o comprimento das curvas. No caso geral demonstre o seguinte: Ou bem, f : M → N é uma isometria local na métrica hiperbólica e uma aplicação de recobrimento, ou bem f : M → N encolhe estritamente o comprimento das curvas. 5\underline{a} Questão (2.0 pts): Exiba condições “ minimais” que implicam que uma determinada isometria positiva de IH^{3} é a identidade. Idem para uma isometria qualquer de IH^{3}.