GEOMETRIA HIPERBÓLICA -2000.2–Lista1

Professor: Ricardo Sá Earp

PARTE A

1) Discuta a relação entre aplicações conformes (preservam ângulos e orientações ) e funções holomorfas.

2) Defina e discuta as propriedades da inversão com respeito a um círculo.

3) Classifique todas as transformações conformes que preservam a esfera de Riemann ℂ ∪ {∞}. Idem para o plano complexo ℂ.

4) Mostre diretamente que as seguintes transformações são isometrias de IH^{2}. Identifique as que são positivas.

a) Translações Euclideanas horizontais.

b) Homotetias com centro em ∂_{∞}IH^{2} que preservam IH^{2}.

c) Inversões com respeito à semi-círculos com centro em ∂_{∞}IH^{2}.

5) Dê a definição de área e calcule a curvatura de Gauss de IH^{2} usando as fórmulas da Geometria. Enuncie o teorema de Gauss Bonnet e mostre que não existem duas geodésicas distintas ligando dois pontos p e q de IH^{2}. Mostre que este fato não é verdade para uma superfície em geral.

6) Mostre que os 4 primeiros axiomas de Euclides são verificados, mas o quinto não é verificado em IH^{2}.

7) Faça os exercícios de §1 da ref. 4.

8) Faça os exercícios de §2 da ref 4.

BIBLIOGRAFIA

1. J. L. Barbosa, R. Sá Earp Geometric methods and nonlinear analysis. X Escola de Geometria Diferencial, UFMG, 20 à 24 de julho de 1998.

2. M. P. do Carmo Geometria Riemanniana. Projeto Euclides, 1998.

3. N. J. Hicks Notes on differential geometry . Van Nostrand, 1965.

4. R. Sá Earp, E. Toubiana Introduction à la géométrie hyperbolique et aux surfaces de Riemann. Diderot multimedia, 1997.

5. M. Spivak. A comprehensive introduction to differential geometry , second edition. Publish or Perish, 1979.