GEOMETRIA HIPERBÓLICA-2000.2–Lista10

Professor: Ricardo Sá Earp

Nesta lista vamos completar o nosso estudo sobre superfícies de IR^{3}. Novamente enfatizamos que você deve fazer um paralelo comparativo com

as superfícies de IH^{3} para entender os conceitos, as fórmulas, os resultados que continuam válidos quando o ambiente é o espaço hiperbólico.

Você já deduziu na lista anterior a equação de curvatura de Gauss: A curvatura de Gauss é um invariante intrínseco. Em termos de coordenadas isotérmicas z = x + iy pode ser escrita como

K = −\frac{△ log λ}{λ^{2}}

onde a métrica em termos das coordenadas isotérmicas z = x + iy, é dada por ds^{2} = λ^{2}| dz|^{2}.

1) Considere o plano hiperbólico IH^{2} = {z = x + iy, y > 0} munido da métrica hiperbólica ds^{2} = \frac{1}{(Im z)^{2}} (dx^{2} +dy^{2}). Você já demonstrou anteriormente que

a curvatura de Gauss K ≡ −1. Mostre usando as equações das geodésicas, combinado com o teorema de existência e unicidade de geodésicas que as as semi-retas verticais (em IH^{2}) partindo do bordo assimptótico ∂_{∞}IH^{2} := {Im z = 0}∪{∞}, e os semi-círculos (em IH^{2}) ortogonais à ∂_{∞}IH^{2} são as únicas geodésicas de IH^{2}. Sugestão : Talvez ajude saber que as reflexões nas tais semiretas verticais e as inversões relativas aos tais semi-círculos são isometrias de IH^{3}. Você saberia demonstrar esta última afirmação ? (Veja ref. 20).

a) Aplique o teorema de Gauss-Bonnet para demonstrar que se duas geodésicas partindo de um mesmo ponto p chegassem ao um certo ponto q de uma superfície Riemanniana de curvatura de Gauss K ⩽ 0, com estas bordando uma região R ⊂ S, acarretaria num absurdo.

b) Mostre que tomando as geodésicas no plano hiperbólico como “retas”, os quatro primeiros axiomas de Euclides são verificados, mas não o quinto axioma das paralelas.

2) Seja S o catenóide

a) Mostre que a única geodésica fechada de S é o paralelo contido no plano de simetria de S.

b) Mostre por um argumento simples e direto que S não tem pontos umbílicos, mas que S é assimptoticamente umbílica, i. e k_{1}(p) − k_{2}(p) → 0, quando |p| → ∞, onde k_{1}, k_{2} são as curvaturas principais de S.

c) Aplique o teorema de Gauss-Bonnet e estude o comportamento assimptótico numa metade do catenóide (cortado ao longo da geodésica representante da classe de homologia do fim que minimiza o comprimento de arco), para mostrar que a curvatura total do catenóide é −4π. Nota: Como já comentamos na lista anterior, a curvatura total de uma superfície mínima de curvatura total finita é −4πn, sendo n o grau da aplicação normal de Gauss. No caso do catenóide é imediato verificar que n = 1 (Veja ref. 14).

d) Vamos voltar ao importante conceito de fluxo, definido na lista anterior. Aplicando o conceito do fluxo para superfícies mínimas, mostre que o catenóide é a única superfície mínima de revolução (veja outras interessantes aplicações na ref. 8).

3) Um teorema devido a Klotz e Osserman diz que uma superfície completa em IR^{3} com curvatura média H constante, cuja curvatura de Gauss K não muda de sinal é uma superfície mínima, ou a esfera, ou o cilindro circular reto. Vamos estudar este resultado.

a) Suponha que K ⩽ 0 ( e H =constante ≠ 0). Escolha parâmetros isotérmicos z = u+iv. Seja ds^{2} = E| dz|^{2}, a métrica de S (em parâmetros isotérmicos). Considere a função de Hopf

φ = \frac{l − n}{2} − im

definida na lista anterior, onde l, m, n são os coeficientes da segunda forma fundamental ( em parâmetros isotérmicos). Lembre-se que já sabemos que φ é holomorfa, pelo fato de que H =constante. Mostre que

|φ|^{2} = E^{2}(H^{2} − K) > 0

Conclua que i) A nova métrica ds^{2} := E\sqrt{H^{2} − K} | dz|^{2}, é completa e conforme

à métrica antiga ds^{2}, de modo que o recobrimento conforme simplesmente conexo de ambas as superfícies de Riemann é a mesma superfície de Riemann simplesmente conexa (veja ref. 20 ).

ii) Mostre que a nova métrica é plana (“flat”), ou seja tem curvatura de Gauss K̃ identicamente nula. Ou equivalentemente, log λ̃, onde λ̃^{2} = E\sqrt{H^{2} − K}, é uma função harmônica.

Segue de um argumento standard da geometria conforme (veja ref. 14) ou do clássico teorema de Cartan da geometria Riemanniana, que o recobrimento simplesmente conexo de S é conformemente equivalente ao plano complexo ℂ (Você saberia demonstrar isto ?)

iii) Mostre que a função − log(\frac{λ̃^{2}}{E} ) está globalmente definida em S, e é uma função subharmônica limitada superiormente. Levantando

− log(\frac{λ̃^{2}}{E} ) ao recobrimento universal S̃, conformemente equivalente

à ℂ, obtemos pelo teorema de Liouville (veja ref. 15) que − log(\frac{λ̃^{2}}{E} ) deve ser constante. Conclua que K deve ser também constante, donde zero, ainda devido ao fato que S̃, conformemente equivalente à ℂ. Agora é um resultado clássico da geometria diferencial que S deve ser o cilindro circular reto: Este teorema diz que uma superfície completa de curvatura de Gauss identicamente nula diferente do plano, é um cilindro generalizado (veja ref. 4). Logo, se além disso, possui curvatura média constante (não nula), é necessariamente o cilindro circular reto.

b) Suponha agora que K ⩾ 0 ( e H =constante ≠ 0). Por um bem conhecido teorema de Huber (veja ref. 11 ), uma superfície completa com K ⩾ 0 é ou bem compacta ou bem parabólica.

i) Mostre que se S é compacta segue do teorema de Gauss-Bonnet que S tem genus zero, e assim pelo teorema de Hopf (que demonstramos na lista anterior, veja também ref. 10 ) segue que S é uma esfera.

ii) Suponha S parabólica. Você será guiado para mostrar que neste caso S deve ser flat (K ≡ 0). Note que λ̃^{4} = E^{2}(H^{2} − K), não pode se anular identicamente, já que em caso contrário K ≡ H^{2}, e assim S admitiria uma métrica completa de curvatura de Gauss constante positiva, o que é impossível desde que S é parabólica. Justifique esta dedução de várias outras maneiras ! Note que pela mesma razão de

antes log λ̃, é harmônica. Mostre agora que log(\frac{λ̃^{2}}{E} ) é uma função subharmônica limitada superiormente. Conclua como antes que K é constante. Logo K ≡ 0, já que S é parabólica. Com isto a verificação do teorema está terminada. Você agora deve enunciar um teorema análogo ao teorema de Klotz-Osserman para superfícies no espaço hiperbólico e em seguida demonstrá-lo !!

4) Considere S uma superfície imersa em IR^{3} e seja N um campo de vetores normal (unitário) à S. A superfície paralela à S está definida por

S_{t} = S + tN

Você deve definir um conceito análogo no espaço hiperbólico.

a) Mostre que nos pontos regulares da superfície a curvatura média H_{t} e a curvatura de Gauss K_{t} de S_{t} são dadas por

H_{t} = \frac{H − Kt}{1 − 2Ht + Kt^{2}} K_{t} = \frac{K}{1 − 2Ht + Kt^{2}}

i) Assuma que H é uma constante positiva. Assuma também que M é completa com curvatura de Gauss K limitada. Mostre que as curvaturas média H_{t} e de Gauss K_{t} satisfazem a seguinte relação de Weingarten

2aH_{t} + K_{t} = b, a > 0, b ⩾ 0

para t suficientemente pequeno bem escolhido. ii) Mostre ainda que quando H = 0 e K >> −∞, M_{t} é imersa quando

t é suficientemente pequeno. Dê um exemplo de um fim de uma superfície mínima tal que K_{t} → −∞, quando p_{p∈S_{t}} → ∂S_{t}.

iii) Finalmente mostre que, nas hipóteses do item i), M_{t} é uma superfície especial de Weingarten (veja refs. 16, 18, 19, 21), ou seja existe uma função de classe C^{1}, f : [0, ∞) → IR, tal que as curvaturas média e de Gauss satisfazem uma relação da forma

H_{t} = f(H_{t}^{2} − K_{t})

para f elíptica, i. e f satisfazendo

4t (f′(t))^{2} < 1.

Conclua também que dentro de uma mesma classe de superfícies especiais de Weingarten existe uma bem determinada superfície totalmente umbílica.

b) Considere uma superfície imersa S em IR^{3} orientada por campo de vetores normal unitário N. Assuma que a curvatura média H é positiva e assuma que S satisfaz uma relação de Weingarten da forma

2aH + K = b, a > 0, b > 0

Que considerações e resultados análogos ao do item anterior você pode deduzir ?

Você deve fazer uma análise análoga para superfícies especiais no espaço hiperbólico, apresentando uma definição para superfícies especiais de Weingarten neste contexto.

5) Elabore um resumo sobre a aplicação exponencial e geodésicas: Seção 4-6 do livro do professor Manfredo (ref. 4).

6) Elabore um resumo sobre a rigidez da esfera: Seção 5-2 do livro texto.

7) Exercícios do livro do professor Manfredo (ref. 4): Seção 4-5: Exercs 1, 2, 3, 4. Verifique com cuidados as propriedades geométricas estudadas nesta lista que

são válidas para superfícies do espaço hiperbólico.

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