GEOMETRIA HIPERBÓLICA-2000.2–Lista11

Professor: Ricardo Sá Earp

Nesta lista completaremos nosso estudo introdutório de geometria hiperbólica, durante parte do qual fizemos também um estudo introdutório de geometria Riemanniana. Assim serão colocadas questões de geometria hiperbólica e geometria Riemanniana, posto que as ferramentas da geometria Riemanniana são absolutamente necessárias para o entendimento da geometria hiperbólica, particularmente da teoria das superfícies (hipersuperfícies) do espaço hiperbólico. Certos conceitos e resultados vistos, ou abordados de alguma forma, em dimensão 3 serão examinados em dimensões arbitrárias já que a extensão é um processo intelectual trivial.

1) Seja f : M → \overline{M} uma imersão de uma variedade diferenciável M de dimensão n em uma variedade riemanniana \overline{M} de dimensão n+k. Suponha que M tem a métrica riemanniana induzida por f. Seja p ∈ M e U ⊂ M uma vizinhança de p tal que f(U) ⊂ \overline{M} seja uma subvariedade de \overline{M}. Sejam X, Y campos de vetotes em f(U) e estenda-os a campos de vetores \overline{X}, \overline{Y} em um aberto de \overline{M}. Defina (∇_{X}Y) (p) = componente tangencial de \overline{∇}X̄ \overline{Y} (p), onde \overline{∇} é a conexão riemanniana de \overline{M}.

a) Mostre que ∇ é a conexão riemanniana de M.

b) Mostre que existe uma vizinhança U ⊂ M de p e n+1 campos de vetores e_{1}, …, e_{n+1} ao longo de U, ortornormais em cada ponto de U, tais que em p, \overline{∇}_{e_{i}}e_{j}(p) = 0. Uma tal família e_{i}, i = i, …, n + 1 de campos de vetores é chamada um referencial local geodésico em p (Veja refs. 5 e 9)

c) Calcule o gradiente de uma função real suave g em M, a divergência de um campo suave Y em M, e o Laplaciano de uma função real suave g em M, num ponto p, usando o referencial geodésico determinado no item b).

2) Considere a esfera unitária 𝕊^{n} em IR^{n+1} centrada na origem

a) Exiba a conexão Riemanniana de 𝕊^{n}. Dê um argumento intuitivo de que a curvatura seccional da esfera é 1.

b) Mostre que os círculos máximos de raio 1 são as únicas geodésicas de 𝕊^{n}. c) Mostre, por um exemplo que o transporte paralelo, em geral, depende

apenas da curva que liga estes dois pontos. Sugestão: Considere o cone C tangente a 𝕊^{2} ao longo de um paralelo qualquer c de 𝕊^{2}. Mostre que o transporte paralelo de um vetor tangente V_{0} a 𝕊^{2} em um ponto de c é o mesmo quer tomado em relação a 𝕊^{2} ou a C.

d) Mostre que todas as curvas de curvatura constante em 𝕊^{2} são círculos de 𝕊^{2}. Mostre que a curvatura em 𝕊^{2} é dada por r^{2} = \frac{1}{k^{2} + 1}, onde r é o raio do círculo.

3) Consider o espaço de Lorentz L^{n+2} = {x_{0}, x_{1}, …, x_{n+1}} munido da métrica pseudo-riemanniana ds^{2} = − dx_{0}^{2} + dx_{1}^{2} + ⋯ + dx_{n+1}^{2}.

a) Mostre que existe uma única conexão afim em L ( i.e satisfazendo as propriedades de linearidade e produto) que é compatível com a métrica pseudo-riemanniana de L e que é simétrica. Calcule os símbolos de Christoffel desta métrica pseudo-riemanniana.

b) Considere o modelo de Minkowski H^{3} do espaço hiperbólico definido por H^{3} := {(t, x, y, z), −t^{2} + x^{2} + y^{2} + z^{2} = −1, t, x, y, z ∈ IR} munido da métrica de Lorentz ds^{2} = − dt^{2} + dx^{2} + dy^{2} + dz^{2}.

i) Mostre que a aplicação f : IR^{3} → H, dada por f(x, y, z) = (\sqrt{1 + x^{2} + y^{2} + z^{2}}, x, y, z) determine uma orientação natural em H proveniente da orientação natural de IR^{3}. Seja M uma superfície de Riemann e sejam z = u + iv coordenadas isotérmicas em M. Seja X : M → H^{3} uma imersão conforme suave cujo vetor curvatura média está denotado por \overrightarrow{H}. Assuma \overrightarrow{H} ≠ 0. Então podemos assumir que \{X, X_{u}, X_{v}, \overrightarrow{H}\} em z é uma base positiva de L^{4}, para cada z ∈ M. Logo, com nossa convenção sobre X, mostre que \{X_{u}, X_{v}, \overrightarrow{H}\} é uma base positiva de H^{3}.

c) Considere B^{3} o modelo da bola do espaço hiperbólico. Mostre que a aplicação (projeção estereográfica) F : H^{3} → B^{3}, dada por

F (t, x, y, z) = (\frac{x + iy}{1 + t} , \frac{z}{1 + t})

é uma isometria global que preserva orientações . Interprete geometricamente esta aplicação . Calcule a inversa . iii) Seja O^{+}(1, 3) o grupo de isometrias de H^{3}. Considere o conjunto de

matrizes

A(s) = [ \begin{matrix}cosh s & sinh s & 0 & 0 \\ sinh s & cosh s & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ]

i) Mostre que {A(s), s ∈ IR} é um sub-grupo à um parâmetro de isometrias de H; i. e {A(s)} ⊂ O^{+}(1, 3). Dê uma interpretação geométrica. Qual é o resultado da ação de um elemento qualquer A(−s) no ponto (cosh s, sinh se_{1}), onde e_{1} = (0, 1, 0, 0) ? Daí deduza a existência de um sub-grupo de isometrias que age transitivamente em H (Faça desenhos !!).

d) Seja X ∈ H^{n+1} e seja v ∈ T_{X}H^{n+1}, onde H^{n+1} ó modelo de Minkowski do espaço hiperbólico. Mostre que a geodésica única que passa por X tangente ao vetor unitário v é dada por γ(t) = cosh tX + sinh tv. Interprete geometricamente as geodésicas neste modelo, mostrando que estas são as interseções de H^{n+1} com planos de IR^{n+2} que passam pela origem dadas pela equação acima. Classifique as superfícies totalmentes geodésicas, no caso n + 1 = 3 , mostrando que são interseções de H^{3} com sub-espaços de dimensão 3 de IR^{4}.

4) Suponha que um campo X em uma variedade riemanniana \overline{M} satisfaz X(p) ≠ 0, p ∈ \overline{M}.

a) Estude o teorema do fluxo e do grupo local 1-parametro da teoria das EDO e mostre que existe um sistema de coordenadas (t, x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) numa vizinhança U de p tal que \frac{∂}{∂t} = X.

b) Mostra que a forma volume ν se escreve numa vizinhança de p como ν = \sqrt{g} dt ∧ dx_{1} ∧ … ∧ dx_{n}. Determine \sqrt{g}.

c) Com as notações acima, levando em conta a expressão local obtida em sala de aula, conclua que div X = \frac{1}{\sqrt{g}} \frac{∂}{∂t}\sqrt{g},

ou seja div X “mede intuitivamente o grau de variação do volume de \overline{M} ao longo das trajetórias de X”.

d) Mostre também que

d (ı_{X}ν) = div Xν,

onde ı é o produto interior de das formas diferenciáveis que leva uma k + 1-forma numa k-forma (veja refs. 9, 25, 36).

e) Enuncie o teorema da divergência para variedades Riemannianas, numa situação bem geral e mostre a primeira identidade de Green (Veja na ref. 13 ).

5) Seja \overline{M} uma variedade riemanniana e seja ¯△ : D(M̄) → D(M̄) o operador Laplaciano.

a) Mostre que dada f : \overline{M} → ℝ suave, o valor de \overline{△} em f é dado por \overline{△}f = traço Hess f, onde Hess f : T_{p}\overline{M} → T_{p}\overline{M} é o operador definido por (Hess f) (Y) = \overline{∇}_{Y} (∇f), Y ∈ T_{p}\overline{M}.

Além disto se M = f^{−1}(a), onde a é um valor regular de f, mostre que

b) Hess f restrito a T M é auto-adjunto.

c) A curvatura média H de M, a menos de sinal, é dada por nH = div (\frac{∇f}{|∇f|}).

d) Se g ∈ D(M̄) mostre que △(fg) = f △g + g △f + 2 < ∇f, ∇g >.

e) Se \overline{M} = \{X ∈ ℝ^{n+1}; |X| < 1\} é bola unitária munida da métrica (hiperbólica) ds^{2} = \frac{|dX|^{2}}{(1 − |X|^{2})^{2}} , mostre que

\overline{△} = (1 − r^{2})^{2} (∑_{i=1}^{n+1} a\frac{∂^{2}}{∂x_{i}^{2}} + b\frac{(n − 1)}{1 − r^{2}} \frac{r∂}{∂r} ) ,

para constantes a, b; onde r = |X|. Calcule a e b.

f) Considere H^{n+1} o modelo de Minkowski do espaço hiperbólico (Veja item 3) acima). Seja p um inteiro positivo menor que n+1 Considere f̃definida em L por

f̃(X) = −x_{0}^{2} − ⋯ − x_{p−1}^{2} + x_{p}^{2} + x_{p+1}^{2} + ⋯ + x_{n+1}^{2}

Seja f a função suave definida em H por f = f̃ |_{H^{n+1}} .

i) Mostre que ∥∇f∥^{2} = −4 + 4f^{2}. Sugestão : Lembre-se que X =

(x_{0}, …, x_{n}, x_{n+1}) é normal à H^{n+1} em L. Mostre que ∇f̃ = ∇f − 2fX, e que ∇f̃(X) = 2(−x_{0}, …, −x_{p}, x_{p+1}, …, x_{n}, −x_{n+1}). Este é um exemplo de função transnormal obtido por Marcos Alexandrino na sua dissertação de Mestrado (Veja ref. 1). ii) Mostre que

△f = (2n + 4)f + 2(n − 2p)

Isto, junto com o resultado do item i), implica que f é uma função isoparamétrica (Veja ref. 1 ). Sugestão : Mostre que \overline{∇}_{Y} ∇f̃ = 2(−y_{0}, …, −y_{p−1}, y_{p}, y_{p+1}, …, y_{n}, −y_{n+1}). Conclua que \overline{∇}_{X}∇f̃ = ∇f̃. Logo,infira que < \overline{∇}_{X}∇f̃, X >= 2f. Deduza também que △f̃ = 2(n − 2p). Em seguida, tome um referencial em X ∈ H^{n+1}, {e_{0}, …, e_{n}, X}, tal que {e_{0}, …, e_{n}} é um referencial ortornormal de H^{n+1}, para fazer os cálculos.

iii) Considere c um valor regular de f de maneira que f^{−1}(c) é uma folha regular. Mostre que o espaço tangente T_{X}f^{−1}(c), é gerado pelos subespaços (v ∈ T_{X}f^{−1}(c))

W_{1} := {(0, …, v_{p}, …, v_{n}, 0); v_{p}x_{p} + ⋯ + v_{n}x_{n} = 0}
W_{2} := {(v_{0}, …, v_{p−1}, 0, ⋯, 0, v_{n+1}); v_{0}x_{0} + ⋯ + v_{p−1}x_{p−1} − v_{n+1}x_{n+1} = 0}

iv) Mostre que, com a orientação determinada pelo gradiente de f, f^{−1}(c) é um cilindro em H^{n+1} com curvaturas principais iguais a −\frac{1 + c}{\sqrt{−1 + c^{2}}} (multiplicidade n − p) e \frac{−1 + c}{\sqrt{−1 + c^{2}}} (multiplicidade p)

Sugestão : Use o fato que N = \frac{∇f}{∥∇f∥} é o campo normal unitário no sentido do gradiente e que ∥∇f∥ é constante em f^{−1}(c). Mostre que

∇_{Y} ∇f = \overline{∇}_{Y} ∇f+ < \overline{∇}_{Y} ∇f, X > X

Use que

\overline{∇}_{Y} ∇f = \overline{∇}_{Y} ∇f̃+ \overline{∇}_{Y} 2fX

= 2(−y_{0}, …, −y_{p−1}, y_{p}, y_{p+1}, …, y_{n}, −y_{n+1}) + 2fY + 2 < ∇f̃, Y > X

Em seguida considere Y = w_{1} + w_{2}, com w_{1} ∈ W_{1} e w_{2} ∈ W_{2}, para deduzir que

∇_{w_{1}} \frac{∇f}{∥∇f∥} = \frac{(2 + 2f)w_{1}}{2\sqrt{−1 + f^{2}}}
∇_{w_{2}} \frac{∇f}{∥∇f∥} = \frac{(−2 + 2f)w_{2}}{2\sqrt{−1 + f^{2}}}

Logo, −\frac{1 + c}{\sqrt{−1 + c^{2}}} e \frac{−1 + c}{\sqrt{−1 + c^{2}}} são a únicas curvaturas principais de f^{−1}(c), contadas com multiplicidades. O resultado segue do seguinte teorema de Cartan (Veja ref. 1)

Diz-se que uma hipersuperfície é isoparamétrica se suas curvaturas principais são constantes. Teorema de Cartan (Classificação das hipersuperfícies isoparamétricas com duas curvaturas principais distintas num espaço forma). Seja K uma superfície isoparamétrica com curvaturas principais distintas k_{1} e k_{2} de multiplicidades n_{1} e n_{2} num ^{n+1}(c) espaço de curvatura seccional constante c (M = IR^{n+1}, se c = 0, M = IH^{n+1}, se c = −1 e M = 𝕊^{n+1}, se c = 1.). Então , segue que K é um cilindro em ^{n+1}(c). Em particular, tem-se que para c = 1, que K é um mergulho

de 𝕊^{n_{1}}(\frac{1}{\sqrt{k_{1}^{2} + 1}}) × 𝕊^{n_{2}}(\frac{1}{\sqrt{k_{2}^{2} + 1}}) em 𝕊^{n+1}.

É interessante comparar o resultado acima com o de Nomizu que utilizou a famosa identidade de Cartan para demonstrar o seguinte (Veja ref. 1): Teorema de Nomizu Seja K uma hipersuperfície isoparamétrica mergulhada em ^{n+1}(c) com k curvaturas principais λ_{i} distintas. Então , para c = 0, k é no máximo igual a 2 e se K possuir duas curvaturas distintas então uma delas é nula. Para c = −1, k também é no máximo igual a 2 e se K possuir duas curvaturas distintas k_{1} e k_{2} então k_{1}k_{2} = 1.

Combinando os dois resultados acima obtém-se que:

As hipersuperfícies isoparamétricas de IR^{n+1} e de IH^{n+1} são os cilindros e as hipersuperfícies totalmente umbílicas.

g) Mostre que as multiplicidades das m curvaturas principais distintas k_{i} de uma hipersuperfície isoparamétrica K são constantes. Sugestão : Considere k_{1}, …, k_{m_{1}}, k_{m}, …, n as curvaturas principais de K de modo que k_{i} ≠ 0, i < m. Defina ν = m se todas as curvaturas principais são distintas de zero e ν = m − 1 se k_{m} = 0. Considere n_{i}(x) a multiplicidade de k_{i} em x ∈ K. defina os polinômios

p_{j}(x) := ∑ i = 1_{i}^{n}(x)k_{i}^{j} = traçoA^{j}

onde A é o operador de Weingarten. Observe que p_{j}(x) são funções constantes (Por quê ?). Mostre que n_{i}(x) são constantes.

O seguinte teorema de caracterização das hipersuperfícies isoparamétricas é devido a Nomizu (Veja ref. 1) Seja K uma hipersuperfície mergulhada em^{n+1}(c) e seja φ_{t} : K →^{n+1} (c), definida por φ_{t}(x) = exp_{x}(tN) e K_{t} = φ_{t}(K). Se para qualquer t, K_{t} tem curvatura média constante H_{t}, então K_{t} é isoparamétrica.

Nota: No que segue imediatamente, seguiremos o texto da dissertação de mestrado de Marcos Alexandrino (Veja ref. 1 ). Seja K uma hipersuperfície mergulhada em uma variedade Riemanniana completa M, com conexão ∇. Seja γ(t) uma geodésica de M parametrizada pelo comprimento de arco t, tal que γ(0) ∈ K e γ′(0) ∈ T_{γ(0)}^{⊥}K. Assuma que existe um campo de vetores unitário normal N; tal que N(γ(0)) = γ′(0). ∗) Considere α(s) uma curva suave, contida em K tal que α(0) = γ(0) e f : (−ε, ε) × [0, r] → M, uma variação de γ(t), definida como f(s, t) = exp_{α(s)} (tN(α(s)) . Mostre que

< \frac{∂f}{∂s} , \frac{∂f}{∂t} >_{f(s,t)}= 0

Sugestão : Use a simetria da conexão e o fato que as curvas s = const são geodésicas. ∗∗) Faça um resumo sobre o conceito de campo de Jacobi (Veja refs. 9 e 13).

∗ ∗ ∗) Diz-se que um campo de Jacobi J(t), definido ao longo da geodésica γ(t) é um K-campo de Jacobi, sse satisfaz às seguintes condições :

a) < J(t), γ′(t) >= 0.

b) J′(0) + A(γ′(0))J(0) = 0,

onde A denota a aplicação de Weingarten. i) Sejam α(s) uma curva em K com α(0) = γ(0), f(s, t) = exp_{α(s)} (tN(α(s)))

e J(t) = \frac{∂f(0, t)}{∂s}. Mostre que J(t) é um K-campo de Jacobi ao longo de γ(t). Sugestão : Note que como f(s, t) é uma variação por geodésicas então J(t) é um campo de Jacobi (Veja ref. 9 ). Mostre isto!! Note que ∗) garante o item a) da definição de K-campo de Jacobi. Finalmente note que

J′(0) = \frac{D}{dt} \frac{∂f(0, 0)}{∂s}

= \frac{D}{ds} \frac{∂f(0, 0)}{∂t}

= ∇_{J(0)} \frac{∂f(s, 0)}{∂t}

= −A(γ′(0))J(0)

ii) Mostre que se J(t) é um K-campo de Jacobi ao longo de γ(t), então existe uma curva α(s) em K tal que fazendo f(s, t) = exp_{α(s)} (tN(α(s))) ,

J(t) = \frac{∂f(0, t)}{∂s}.Sugestão : Considere α(s) uma curva em K tal que

α′(0) = J(0) e considere J̃(t) = \frac{∂f(0, t)}{∂s}. Mostre que J̃(t) é um Kcampo de Jacobi e note que J̃(0) = J(0). Use o item b) da definição de K-campo de Jacobi. Define-se um ponto γ(r) de ponto focal de K se existe um K-campo de Jacobi J(t) ao longo de γ(t), não identicamente nulo, tal que J(r) = 0. Um corolário disto e do que precede é o seguinte: Seja φ_{r} : V → M definida por φ_{r}(x) = exp_{x}(rN(x)). Então γ(r) é um ponto focal com multiplicidade k, sse γ(r) é valor crítico de φ_{r}, sendo k a dimensão do núcleo de dφ(γ(0)). O lema do índice de Morse adaptado, diz respeito ao índice de uma certa forma quadrática Q_{a} definida no conjunto de campos diferenciáveis por partes definidos em γ |_{[0,a]}, ortogonais à γ′(t) e que se anulam em t = a. Diz que o índice de Q_{a} é finito e igual ao número de pontos focais de K, contados com suas multiplicidades, ao longo de γ(t) para 0 < t < a (Veja ref. 9).

6) Considere agora duas hipersuperfícies K e G mergulhadas em uma variedade Riemanniana M de dimensão n + 1. Assuma que exista um campo unitário N de vetores normais à K. Diz-se que K e G são paralelas se existe s tal que a aplicação φ_{s}(x) := exp_{x}(sN(x)) definida em K seja um difeomorfismo entre K e G.

a) Mostre que se p ∈ K, γ(t) = exp_{p}(tN(p)) e J(t) é um K-campo de Jacobi ao longo de γ(t), então J(t + s) é um G-campo de Jacobi.

b) Assuma que K_{t} := φ_{t}(K) são hipersuperfícies. Dado um ponto y = φ_{t_{0}}(x) de K_{t_{0}} define-se N(y) := \frac{d}{dt}φ_{t}(x) |_{t=t_{0}} . Cada K_{t} admite uma orientação natural determinada por N. Assuma a existência de uma função suave f : M → IR tal que f restrita à cada K_{t} seja constante. Seja f̃(t) := f(K_{t}). Mostre que

△f(p) = f̃′′(t_{0}) − nf̃′(t_{0})H(p) p ∈ K_{t_{0}}

Sugestão : Observe que ∇f(y) = f̃′(t)N, e que ∇_{N}N(y) = 0, y ∈ K_{t}. Considere {e_{1}, …, e_{n}} referencial local ortornormal em uma vizinhança de p em M tal que em p {e_{1}, …, e_{n}} é tangente às direções principais. Conclua

c) Sejam K_{t} e f definidos acima. Mostre que se △f é constante em cada K_{t} então K_{t} é uma hipersuperfície de curvatura média constante.

Nota (ainda seguindo Marcos Alexandrino, ref. 1): Suponha que M =^{n+1} (c) uma variedade de curvatura seccional constante c . Assuma que K_{t} = φ_{t}(K), sejam hipersuperfícies mergulhadas, e portanto paralelas à K. Seja p ∈ K, γ(t) = φ_{t}(p) e seja {e_{i}} uma base ortornormal de direções principais de p associadas às curvaturas principais k_{i}. A finalidade da presente discussão é determinar as curvaturas principais e as direções principais de K_{t} em γ(t) : Tome {J_{i}(t)}, n K-campos de Jacobi ao longo de γ(t) com J_{i}(0) = e_{i}. (Veja o item ∗ ∗ ∗) acima). O fato de que J′′_{i}(t) + cJ_{i}(t) = 0 (Por quê ?), a definição de um K-campo de Jacobi e a unicidade de campos de Jacobi garantem que :

J_{i}(t) = g_{i}(t)e_{i}(t)

onde e_{i}(t) é o transporte paralelo de e_{i} ao longo de γ(t) e g_{i}(t) é uma função suave que satisfaz às seguintes equações

g′′_{i}(t) + cg_{i}(t) = 0
g′_{i}(0) + k_{i}g_{i}(0) = 0

Logo, se c = 0, g_{i}(t) = −k_{i}t + 1, se c = −1, g_{i}(t) = −k_{i} sinh t + cosh t, se c = 1, g_{i}(t) = −k_{i} sin t + cos t.

d) Mostre que, nas condições acima, {e_{i}(t)} é uma base ortornormal de direções principais de K_{t} em γ(t) associadas às curvaturas principais −\frac{g′_{i}(t)}{g_{i}}. Calcule as curvaturas principais em cada caso c = 0, 1, −1.

Sugestão : Veja item a) acima.

7) (Classificação das superfícies totalmente umbílicas de ^{n+1}(c)) Agora considere K uma hipersuperfície totalmente umbílica completa (conexa) com curvatura principal k de um espaço de formas espaciais ^{n+1}(c).

a) Seja p ∈ K. Dado v ∈ T_{p}K define-se Σ_{v} como sendo o hiperplano totalmente geodésico que contém p tal que v ∈ (T_{p}Σ_{v})^{⊥} . Mostre que existe uma vizinhança V de p em ^{n+1} tal que K_{v} := V ∩ K ∩ Σ_{v}, é uma hipersuperfície umbílica de Σ_{v}, para todo v ∈ T_{p}K, com curvatura principal k. Sugestão : Considere para fixado v ∈ T_{p}K, um campo unitário η de T (Σ_{v})^{⊥} . Mostre que para todo X ∈ T (Σ_{v}) tem-se que \overline{∇}_{X}η ≡ 0. Seja α(t) uma curva parametrizada regular com α(0) = p com α(t) ∈ K ∩Σ_{v}. Seja α(r) = q. Mostre que o normal unitário N(q) ∈ T_{q}Σ_{v}, para todo q ∈ K_{v}; mostrando que < N(α(t)), η(α(t)) >≡ 0. Finalmente, conclua disto, da definição de hipersuperfície umbílica e do fato que < \overline{∇}_{X}Y, N >= k < X, Y >, para quaisquer X, Y ∈ T_{q}K, que K_{v} é umbílica em Σ_{v}, como desejado

b) Seja K uma hipersuperfície (conexa) completa com curvatura principal k em ^{n+1}(c). Mostre que se c = 0, 1 K é uma hipersuperfície totalmente geodésica ou uma esfera geodésica de ^{n+1}(c). Se c = −1 mostre que K, visto no modelo do semi-espaço IH^{n+1}, é a interseção de IH^{n+1} com um hiperplano ou uma esfera de dimensão n de IR^{n+1}. Quando k > 1 mostre que K é uma esfera geodésica de IH^{n+1}.Sugestão : Mostre que basta demonstrar o teorema localmente. Em seguida mostre que se o teorema for verdadeiro para n = j então o resultado no item a) mostra que este será verdadeiro para n = j + 1. Mostre que o teorema está confirmado para n = 2, pela classificação das curvas de curvatura constante.

8) Seja f uma função suave em uma variedade riemanniana \overline{M} de dimensão n + 1 e seja M uma subvariedade de \overline{M} de dimensão k. Sejam \overline{∇} e \overline{△} a conexão e o Laplaciano sobre \overline{M}, respectivamente. Seja △ o laplaciano sobre M. Finalmente, seja H⃗ o vetor curvatura média de M definido pela equação

∑_{i=1}^{k} \overline{∇}ē_{i} ē_{i} = k \overrightarrow{H} + ∑_{i=1}^{k} ∇_{e_{i}}e_{i},

onde e_{1}, …, e_{k} é um campo de vetores ortornormais numa vizinhança de um ponto p de M e ē_{1}, …, ē_{n+1} é uma extensão ortornormal suave destes campos à uma vizinhança de p em \overline{M}.

a) Mostre que △f = ∑_{i=1}^{k} (e_{i} e_{i}f − ∇_{e_{i}}e_{i}f)

b) Mostre que < ∇f, ∇_{e_{i}}e_{i} >= ∇_{e_{i}}e_{i}f. Interprete o termo da direita da igualdade.

c) Mostre que △f = \overline{△}f + kH⃗f − ∑_{j=k+1}^{n+1}(ē_{j}ē_{j}f − \overline{∇}ē_{j} ē_{j}f)

d) Suponha que M é imagem inversa de um valor regular de f e que as trajetórias do gradiente que partem de p ∈ M são geodésicas. Interprete e expresse a fórmula do item anterior neste caso .

9)

a) Mostre o seguinte teorema devido a E. Hopf: Seja M uma variedade Riemanniana orientável compacta ( sem bordo) e conexa. Seja f uma função suave em M com △f ⩾ 0. Mostre que f = const. Sugestão: Aplique o teorema da divergência duas vezes, primeiramente a △f, em seguida a △f^{2}. Ou ainda aplique diretamente o princípio do máximo.

b) Seja X : M → M̄ uma imersão isométrica de uma variedade compacta (sem bordo) M de dimensão n em uma variedade M̄ de dimensão n + 1. Sejam f, g funções suaves e Y um campo suave em M.

i) Mostre que div f · Y = f · div Y + ⟨∇f, Y ⟩, onde ∇ é o gradiente sobre M e div é a divergência sobre M.

ii) Mostre que △(f · g) = f · △g + g · △f + 2⟨∇f, ∇g⟩, onde △ é o

Laplaciano sobre M. iii) Mostre que

∫_{M} (f△g + ⟨∇f, ∇g⟩) dM = 0

se M̄ = IR^{n+1} então deduza a fórmula de Minkowski

∫_{M} (1 + H(⟨X, N⟩) dM = 0

onde N é um campo de vetores normal unitário a M e H é a curvatura média calculada com respeito a N.

10) Seja \overline{M}(c) uma variedade Riemanniana orientável simplesmente conexa de dimensão n + 1 com curvatura seccional constante c. Seja X : M → \overline{M}(c) uma imersão isométrica. Seja A o operador de Weingarten associado à um normal global N. Sejam k_{1}, …, k_{n} as curvaturas principais da imersão (que são exatamente os auto-valores de A). As funções simétricas de curvatura associadas à A, podem ser definidas usando o polinômio característico de A por

det(tI − A) = ∑_{r=0}^{n}(−1)^{r} S_{r}t^{n−r}

As transformações de Newton P_{r} são definidas indutivamente por

P_{0} = I
P_{r} = S_{r}I − A · P_{r−1}

Seja e_{1}, …, e_{n} uma base ortornormal de autovetores de A correspondendo, respectivamente, aos auto-valores k_{1}, …, k_{n}. Representaremos por A_{i} a restrição da transformação A ao sudespaço normal à e_{i} e por S_{r}(A_{i}) a r- ésima função simétrica associada à A_{i}.. Definamos S_{n+1} = 0.

a) Mostre as seguintes igualdades: Para cada 1 ⩽ r ⩽ n − 1, vale

i) P_{r}(e_{i}) = S_{r}(A_{i})e_{i} ∀ 1 ⩽ r ⩽ n. ii) traço(P_{r}) = ∑_{i=1}^{n} S_{r}(A_{i}) = (n − r)S_{r}

iii) traço(AP_{r}) = ∑_{i=1}^{n} k_{i}S_{r}(A_{i}) = (r + 1)S_{r+1} iv) traço(A^{2}P_{r}) = ∑_{i=1}^{n} k_{i}^{2}S_{r}(A_{I}) = s_{1}s_{R+1} − (R + 2)s_{R+2}.

b) Seja f : M → IR uma função suave sobre M. Defina L_{r} o operador linearizado de S_{r+1} por

L_{r}f = div(P_{r}∇f)

Mostre que

∫_{M}(f L_{r}g + ⟨P_{r}∇f, ∇g⟩) dM = 0

c) Suponha c = 0, 1, ou−1. Interprete X como sendo o o vetor posição de

M em IR^{n+1}, 𝕊^{n+1}, ou IH^{n+1}. Definamos H_{r} pela equação S_{r} := \binom{n}{i} H_{r}. i) Mostre as seguintes fórmulas

L_{r}(X) = −((r + 1)S_{r+1})N − c(n − r)S_{r}X
= −c_{0}(r) (H_{r+1}N + c H_{r}X)

ii) Quando S_{r+1} é constante, mostre que

L_{r}N = −(S_{1} S_{r+1} − (r + 2) S_{r+2})N − c (r + 1) S_{r+1}X

iii) Suponha que M seja uma hipersuperfície fechada. Mostre as fórmulas de Minkowski em IR^{n+1}, 𝕊^{n+1}, e IH^{n+1}

∫_{M}(H_{r+1} N + c H_{r} X) dM = 0

11) Seja M ⊂ IR^{n+1} um gráfico de uma função suave x_{n+1} = u(x_{1}, …, x_{n}) sobre um domínio Ω de IR^{n}. Considere a parametrização natural

X : Ω → M dada por X(x_{1}, …, x_{n}) = (x_{1}, …, x_{n}, u(x_{1}, …, x_{n})). Seja X_{1}, …, X_{n} o referencial adaptado (global) a X. Seja (g_{ij}) a matriz da primeira forma fundamental associada a X. Sejam ∇ o gradiente e △ o Laplaciano sobre M. Seja H = H(x_{1}, …, x_{n}, u) a curvatura média de M calculada com respeito ao normal unitário N que aponta para “cima”, i.e para o sentido dos x_{n+1} crescente. Mostre que

a) g_{ij} = δ_{ij} + u_{i}u_{j}, g = det g_{ij} = W (u)^{2} := 1 + |Du|^{2} e N = (v_{1}, …, v_{n+1}), onde u_{i} denota diferenciação com respeito a x_{i} e v_{i} = \frac{−u_{i}}{W (u)}, i < n + 1,

v_{n+1} = \frac{1}{W (u)}. Além disto, g^{ij} = δ^{ij} − v_{i}v_{j}.

b) Se ψ : M → IR é suave, então ( omitindo o símbolo do somatório, seguindo a convenção usual)

△ψ = g^{ij}D_{i}D_{j}ψ + W (u)^{−1}D_{i}(W (u)g^{ij})D_{j}ψ

onde D_{i} significa diferenciação com respeito a x_{i}. Conclua que

△ψ = g^{ij}D_{i}D_{j}ψ + nHv_{j}D_{j}ψ e daí △u = \frac{nH}{W (u)}.

c) Também verifique que

∇H = g^{ij}D_{j}HX_{i}  e daí
⟨∇H, (0, …, 1)⟩ = g^{ij}D_{j}Hu_{i}
= g^{ij} (H_{x_{j}} + H_{z}u_{j}) u_{i}
= H_{z}|∇u|^{2} + g^{ij}u_{i}H_{x_{j}}
= −v_{n+1} (v_{i}H_{x_{i}} − H_{z}|Du|^{2}v_{n+1})

d) Seja v um vetor de IR^{n+1}. Então

△⟨N, v⟩ = −2⟨∇H, v⟩ − ∥A∥^{2}⟨N, v⟩

onde ∥A∥^{2} é o quadrado da segunda forma fundamental de M, definido por ∥A∥^{2} := traço A^{2}. Sugestão: Use um referencial geodésico em p ∈ M. Conclua

△v_{n+1} + ∥A∥^{2}v_{n+1} = −2⟨∇H, (0, …, 1)⟩
= 2v_{n+1} (v_{j}H_{x_{j}} − |Du|^{2}v_{n+1}H_{z})

12) Elabore um resumo da fórmula da primeira e segunda variação da energia (Veja refs. 9 e 13).

a) Seja M uma variedade Riemanniana completa. Seja N ⊂ M uma subvariedade fechada. Seja p ∈ M − N. Mostre que existe uma geodésica minimizante γ, γ(0) = p, γ(l) ∈ N, de modo que dist(p, N) = compr(γ) = l. Além disto,γ′(l) ⊥ N. Sugestões (complete todos os detalhes !!): Seja l = dist(p, N). Note que o disco geodésico \overline{B}_{l+1}(p), de centro P e raio l+1 é compacto e que K := \overline{B}_{l+1}(p)∩N ≠ ∅. Mostre que x ↦ dist(p, x) atinge um mínimo sobre K. ⟹ ∃q ∈ N; dist(p, q) = l. Seja γ uma geodésica minimizante ligando p a q (por que existe?). Seja β(s) uma curva em N; β(0) = q. Seja p_{1} ∈ U ∩ γ([0, l]), onde U é uma vizinhança normal de q. Seja β̃ ⊂ T_{p_{1}}M definida por β̃(s) = exp_{p_{1}}^{−1}(β(s)). Claro que β̃(s) está apenas definida para s suficientemente pequeno (por quê ?). Faça um desenho!!. Defina f(s, t) = exp_{p_{1}}(t · β̃(s)), f(s, 0) = p_{1}, f(s, 1) = β(s). Sendo a geodésica γ_{1}, definida como sendo a restrição de γ ao arco entre p_{1} e q, minimizante ⟹ compr(f(s_{0}, t)) ⩾ compr(f(0, t))∀s_{0}, fazendo variar t de 0 a 1 (Por quê ?). Aplique a fórmula da primeira variação da energia para concluir o resultado (faça um desenho!!).

b) Seja M uma superfície completa de curvatura de Gauss estritamente positiva. Sejam γ_{1}, γ_{2} duas geodédicas simples e fechadas de M. Mostre que γ_{1} ∩γ_{2} ≠ ∅. Sugestões ( complete todos os detalhes !!) : Caso contrário, ∃ geodésica γ; dist(γ_{1}, γ_{2}) = compr(γ) = l. Pelo resultado anterior γ_{1}, γ_{2} ⊥ γ. Seja V (0) = γ′_{1}(γ(0)) e V (t) o transporte paralelo de V (0) ao longo de γ à V (l) = γ(l) = q. Considere f(s, t) = exp_{γ(t)}(s · V (t)), −ε < s < ε.

Note que f(s, 0) = γ_{1}(s), f(s, l) = γ_{2}(s). Mostre que a fórmula da segunda variação, após algumas considerações e cálculos fica:

\frac{1}{2}Ë(0) = − ∫_{0}^{1} K · l^{2}.

Conclua daí o resultado desejado.

13) Consideremos o modelo da bola tridimensional do espaço hiperbólico dado por B = {(u, v, w) ∈ IR^{3} | u^{2}+v^{2}+w^{2} < 1}. Considere uma superfície de revolução gerada por uma curva c contida no disco aberto D = {(u, v, w)} ∈ B | w = 0}. Seja p ∈ D, seja γ a unica geodésica passando por p e ortogonal à geodésica horizontal {v = 0}. Seja q a intersecção entre estas duas geodésicas. Então x é igual ‘a distância hiperbólica entre q e 0, e y é o comprimento orientado de γ entre p e q. Isto significa que x ⩾ 0 (resp. y ⩾ 0) ⇔ u ⩾ 0 (resp.v ⩾ 0), onde (u, v) são as coordenadas euclideanas de p. Mostre que

a) A métrica de D neste sistema de coordenadas (x, y) é dada por ds^{2} = cosh^{2}(y)dx^{2} + dy^{2}.

b) Sejam e_{x} e e_{y} os campos de vetores unitários na direção de x e y, respectivamente. Seja t(s) o campo unitário tangente à c no sentido do movimento (s parâmetro comprimento de arco). Seja n(s) o normal unitário apontando para o sentido dos y crescentes. Seja α o ângulo orientado de t(s) à e_{y}. Faça uma figura !!. Mostre as seguintes relações

e_{x} = \frac{1}{cosh y} · \frac{∂}{∂x}
sin α = cosh y · \frac{dx}{ds}, cos α = \frac{dy}{dx}
n(s) = − cos α e_{x} + sin α e_{y}
\frac{d}{dn} = \frac{− cos α}{cosh y} \frac{∂}{∂x} + sin α \frac{∂}{∂y}
ċ = \frac{sin α}{cosh y} \frac{∂}{∂x} + cos α \frac{∂}{∂y}

c) Suponha que f(s, t), a ⩽ s ⩽ b, 0 ⩽ t < δ seja uma dada variação própria de c(s), i.e, f(s, 0) = c(s) e f(a, t) = c(a), f(b, t) = c(b). Seja g := cosh y. i) Mostre que o campo variacional é dado por V (s) = g·(∂x / ∂t)_{0} e_{x} +

(∂y / ∂t)_{0} e_{y} (g = cosh y). ii) Mostre que a fórmula da primeira variação fica

\frac{d}{dt} L_{c}(t)|_{t=0} = − ∫_{a}^{b}\{(2gg′ \frac{dy}{ds} · \frac{dx}{ds} + g^{2} \frac{d^{2} x}{ds^{2}}) · (\frac{∂x}{∂t})_{0}

+ (\frac{d^{2} y}{ds^{2}} − gg′ (\frac{dx}{ds})^{2}) · (\frac{∂y}{∂t} )_{0}\} ds

iii) Conclua à partir da fórmula da primeira variação que esta determina a curvatura geodésica de c, e infira dos itens anteriores que a curvatura (geodésica) de c, com respeito ao normal n é dada por

k(s) = −\frac{dα}{ds} − tanh y sin α.

Mostre que isto dá uma curvatura principal k_{1} = k da superfície de revolução gerada por c.

iv) Mostre que a outra curvatura principal k_{2} é dada por k_{2} = − sin α coth y.

d) Considere um sistema de coordenadas de B dado por x, y, θ, onde θ é o

ãngulo de rotação em torno do eixo x.

i) Mostre que a métrica de B neste sistema de coordenadas se escreve como ds^{2} = sinh^{2} y dθ + cosh^{2} y dx^{2} + dy^{2}

ii) Considere \frac{∂}{∂x}, \frac{∂}{∂y} e \frac{∂}{∂θ} , os campos adaptados a este referencial. Seja

ν := \frac{1}{∥\frac{∂}{∂θ} ∥} \frac{∂}{∂θ} . Mostre que

∇ċċ = −(\frac{dα}{ds} + sin α tanh y)n
∇_{ν}ν = − coth y \frac{∂}{∂y}

Usando estas fórmulas re-obtenha as curvaturas principais k_{1} e k_{2} obtidas no item (c),(iii),(iv).

e) Mostre que se a curva c é o gráfico de uma função positiva y = y(x), então as curvaturas principais da superfície de revolução gerada por c são dadas por:

k_{1} = \frac{y′′ cosh y − 2 sinh y y′ − sinh y cosh^{2} y}{(cosh^{2} y + y′^{2})^{3/2}}  e
k_{2} = −\frac{cosh^{2} y}{sinh y(cosh^{2} y + y′^{2})^{1/2}}

f) Encontre uma integral primeira da equação da curvatura média constante no espaço hiperbólico de uma curva geratriz de uma superfície de revolução, mostrando que

\frac{v cosh^{2} y}{\sqrt{(cosh^{2}y + y′^{2})}} − 2H u = const

onde v = c sinh y, c = comprimento do círculo hiperbólico unitário e

u = \frac{c (sinh y)^{2}}{2} .

14) Considere IH^{n+1} = {(x_{0}, x_{1}, …, x_{n}); x_{n} > 0)} o modelo do semi-espaço do espaço hiperbólico munido da métrica ds^{2} = \frac{1}{x_{n}} (dx_{0}^{2} + dx_{1}^{2} + ⋯ + dx_{n}^{2}). Seja P o hiperplano totalmente geodésico dado por P = {x_{0} = 0}. Seja D ⊂ P um domínio de P. Seja M uma hipersuperfície de IH^{n+1} Seja N um campo de vetores unitários (na métrica hiperbólica) normal à M.

a) Seja α : (−ε, ε) → M, uma curva paramerizada por comprimento de arco (hiperbólico). Seja κ_{N} a curvatura normal de α com respeito à N. Reparametrizando α pelo parâmetro comprimento de arco euclideano (visto M como hipersuperfície de IR^{n+1}), obtemos uma curva β. Considere a curvatura normal k_{N} de β com respeito ao campo de vetores N unitários (na métrica euclideana) normal à M. Mostre a seguinte relação:

κ_{N} = k_{N} x_{n} + N_{n}

onde N_{n} representa a última componente de N. b)

i) Deduza à partir da fórmula anterior a equação da curvatura média pré -determinada H de um gráfico horizontal dado por uma função x_{0} = u(x_{1}, …, x_{n}) definida sobre um domínio D ⊂ P. ii) Idem para a equação da curvatura média pré-determinada H de um

gráfico vertical dado por uma função x_{n} = u(x_{0}, …, x_{n−1}) definida sobre um domínio Ω ⊂ ∂_{∞}IH^{n+1}.

iii) Mostre um teorema tipo Olinde Rodrigues para superfícies M em IH^{3}. Mostre também que a semi-soma das curvaturas normais em um ponto p ∈ M, para qualquer par de direções ortogonais é igual a curvatura média H(p) de M em p.

iv) Mostre que as linhas principais de M em IH^{n+1} e de M em IR^{n+1} coincidem. Conclua que M é totalmente umbílica em IH^{n+1} ⇔ M é totalmente umbílica em IR^{n+1}. Dê a classificação das hipersuperfícies totalmente umbílicas de IH^{n+1}. Dê também outra demonstração deste fato.

c) Deduza a classificação das superfícies isoparamétricas de IH^{3}, seguindo o seguinte roteiro : Seja p ∈ M, um ponto não umbílico de uma superfície M em IH^{3}.

(i) Mostre que existe um referencial ortornormal {X_{1}, X_{2}} numa vizinhança de p principal, i.e, AX_{i} = k_{i} X_{i}, i = 1, 2, onde A é o operador de Weingarten que representa a segunda forma fundamental de M.

ii) Seja ∇ a conexão de M. Mostre que as quantidades ∇_{X_{2}}X_{1}, ∇_{X_{1}}X_{2}, ∇_{X_{1}}X_{1}, ∇_{X_{2}}X_{2} estão determinadas por funções a, b que dependem apenas de k_{1}, k_{2} e das suas derivadas com respeito a X_{1}, X_{2}. Precisamente, mostre que numa vizinhança u de p:

(1) \{ \begin{matrix}∇_{X_{2}}X_{1} & = b X_{2} \\ ∇_{X_{2}}X_{2} & = −b X_{1} \end{matrix}  \begin{aligned}∇_{X_{1}}X_{2} & = a X_{1} \\ ∇_{X_{1}}X_{1} & = −a X_{2} \end{aligned}  [X_{1}, X_{2}] = a X_{1} − b X_{2}

onde a = \frac{X_{2}(k_{1})}{k_{2} − k_{1}} e b = −\frac{X_{1}(k_{2})}{k_{2} − k_{1}} . Além disto, mostre que

(2) \begin{aligned}K_{e} := k_{1} k_{2} & = \frac{(X_{1}^{2}(k_{2}) − X_{2}^{2}(k_{1}))(k_{2} − k_{1})}{(k_{2} − k_{1})^{2}} \\ & + \frac{X_{1}(k_{2})(2X_{1}(k_{2}) − X_{1}(k_{1}))}{(k_{2} − k_{1})^{2}} \\ & + \frac{X_{2}(k_{1})(X_{2}(k_{2}) − 2X_{2}(k_{1}))}{(k_{2} − k_{1})^{2}} + 1 \end{aligned}

em U. Sugestões: As equações (1) seguem da compatibilidade, da simetria e das equações de Codazzi. Enquanto que a equação (2) segue da equação de curvatura de Gauss. iii) Mostre que existe um sistema de coordenadas principais numa vizin-

hança de p. Sugestão: Basta mostrar que existem campos Y_{1} = f X_{1} e Y_{2} = g X_{2}; tais que [Y_{1}, Y_{2}] = 0. Conclua que uma superfície isoparamétrica (i.e todas as curvaturas principais são constantes), não umbílica é um cilindro hiperbólico.

15) Neste item serão abordados algumas aplicações do princípio do máximo e do princípio de reflexão de Alexandrov.

a) Mostre que uma superfície propriamente mergulhada em IH^{3} de curvatura média constante cujo bordo assimptótico é um ponto é uma horosfera. E se o bordo assimptótico for um círculo ? E se a superfície é uma superfície especial de Weingarten ?

b) Mostre que o seguinte teorema de Hsiang: Uma superfície propriamente mergulhada de IH^{n+1} contida dentro de um cilindro, com curvatura média constante é uma hipersuperfície de revolução. O que você pode dizer, sob as mesmas condições , se a superfície é uma superfície especial de Weingarten ?

c) Mostre que se Ω ⊂ IR^{n} é um domínio que contém discos de raios arbitrariamente grandes então não existe uma função f : Ω → IR, e um número positivo c > 0 tal que a curvatura média H do gráfico de f satisfaça H ⩾ c > 0

d) Mostre que não existe um gráfico vertical mínimo em IH^{n+1} sobre um semi- espaço fechado do bordo assimptótico ∂_{∞}IH^{n+1}.

16) Elabore um resumo sobre as relações entre uma superfície de curvatura média 1 em IH^{3} e as superfícies mínimas de IR^{3}.

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