GEOMETRIA HIPERBÓLICA -2000.2–Lista6

Professor: Ricardo Sá Earp

Nesta lista fazemos uma complementação da Lista 5 contendo repetições , visando assim atingir um melhor entendimento da geometria conforme.

1) Considere uma curva C, parametrizada por γ : [α, β] → ℂ. O comprimento compr (C) está definido por

compr (C) = sup ∑_{ν=1}^{n} |γ(t_{ν}) − γ(t_{ν−1})|

onde o supremo está tomado sobre todas as partições α = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{n} = β e todo n ∈ IN. Diz-se que C é retificável se compr(C) < ∞. Quando γ é C^{1} por partes então segue de um argumento standard que

compr (C) = ∫_{α}^{β} |γ′(t)| dt

Agora, considere U um aberto de ℂ e seja C uma curva em U com uma extremidade aberta que possui uma parametrização contínua γ : [α, β) → U. Diz-se que o comprimento de C é

compr (C) = lim_{τ→β} compr (C_{τ})

onde C_{τ} é a curva parametrizada por C_{τ} γ : [α, τ] → U. Diz-se que C termina em b se existe o limite

b = lim_{t→β} γ(t) ∈ \overline{U} ⊂ ℂ ∪ \{∞\}

Note que \overline{C} = C ∪ \{b\} é uma curva em U ∪ \{b\}. Diremos simplesmente que C é uma curva em U terminando em b. a) Seja C uma curva em U com uma extremidade aberta que possui uma parametrização contínua γ : [α, β) → U, com compr (C) < ∞. Mostre que C termina num ponto b ∈ \overline{U}.

Precisamos em seguida do conceito de ângulo de Stolz. Um ângulo de Stolz em ζ ∈ ∂D := S^{1} é da forma

△ := \{z ∈ D; | arg(1 − \overline{ζ}z)| < α, |z − ζ| < ρ\} (0 < α < \frac{π}{2} , ρ < 2 cos α)

Agora seja f uma função de D em ℂ. Diz-se que f tem o limite angular a ∈ ℂ∪{∞} em ζ ∈ S^{1} se

f(z) → a, quando z → ζ, z ∈ △

para qualquer ângulo de Stolz △ em ζ; sendo o ângulo de abertura 2α de △ qualquer número < π.

O conceito de limite radial é bem claro: Diz-se que f tem o limite radial α ∈ ℂ ∪ {∞} em ζ ∈ S^{1} se

f(ζ) := a = lim_{r→1} f(rζ)

Os seguintes teoremas notáveis remontam a Carathéodory e Lindelöf: Teorema : Se f é uma aplicação conforme de D sobre Ω ⊂ ℂ ∪ {∞} então f tem limite angular a em ζ ∈ S^{1} ⇔ f tem limite radial a em ζ.

Teorema : Seja f uma equivalência conforme que leva D sobre um domínio simplesmente conexo Ω. Seja γ um arco de Jordan em Ω que termina em z_{0} ∈ ∂Ω. Então a curva f^{−1} ∘ γ em D termina num ponto ζ_{0} ∈ S^{1}, e φ(ζ) → z_{0} quando ζ → ζ_{0} dentro de qualquer ângulo de Stolz △ em ζ_{0}, ou seja f tem limite angular z_{0} em ζ_{0}.

b) Seja f uma aplicação conforme da bola unitária aberta D = {|z| < 1} em ℂ. Mostre que

f(ζ) = lim_{r→1} f(rζ) ≠ ∞

existe para quase todo ζ ∈ S^{1} e

\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}|f(r e^{it}) − f(0)|^{2/5} ⩽ 5|f′(0)|^{2/5} para 0 ⩽ r < 1

Sugestão : Você será guiado neste exercício. Assuma que f ∈ S, onde S é a classe de funções univalentes na bola D com f(0) = 0 e f′(0) = 1, estudada na Lista 5. Mostre que a função

g(z) = f(z^{5})^{1/5} = z(\frac{f(z^{5})}{z^{5}})^{1/5} = ∑_{1}^{∞} b_{n}z^{n}

é analítica e univalente em D. Mostre que a fórmula de Parseval implica

\frac{1 − r}{2π} ∫_{0}^{π} |g′(r e^{it})|^{2} dt = (1 − r) ∑_{n=1}^{∞} n^{2}|b_{n}|^{2}r^{2n−2}

para 0 ⩽ r < 1. Mostre que como n(1 − r)r^{n−1} ⩽ 1, e como g é univalente, então

∑_{1}^{∞} n|b_{n}|^{2}r^{n−1} = \frac{1}{πr} area\{g(z); |z| ⩽ \sqrt{r}\}

= \frac{1}{r} max_{|z|⩽\sqrt{r}} |g(z)|^{2} ⩽ (1 − r^{5/2})^{−4/5} ⩽ (1 − r)^{−4/5},

usando a primeira equação do teorema de distorção de Koebe (veja exerc. 2) da Lista 5 ou veja adiante) e a definição de g. Conclua que

\frac{1}{2π} ∫_{0}^{1}∫_{0}^{2π}(1 − r)^{9/10}|g′(r e^{it})|^{2} dt dr ⩽ ∫_{0}^{1}(1 − r)^{−9/10} dr = 10

Aplicando a desigualdade de Schwarz mostre que

(∫_{0}^{1} |g′(r e^{it})| dr)^{2} ⩽ ∫_{0}^{1}(1 − r)^{−9/10} dr ∫_{0}^{1}(1 − r)^{9/10}|g′|^{2} dr

Integrando, mostre que usando a penúltima inequação obtém-se

\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}(∫_{0}^{1} |g′(r e^{it}) dr)^{2} ⩽ 100

Logo, a integral que está entre parêntesis é finita para quase todo t e lim_{r→1} g(r e^{it}) ≠ ∞ existe para estes valores de t pelo item a). Finalmente, use a fórmula de Parseval de novo para mostrar

\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}|f(r^{5} e^{it})|^{2/5} dt = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}|g(r e^{it})|^{2} dt ⩽ ∑_{n=1}^{∞} |b_{n}|^{2} ⩽ 5

Nota: Segue da estimativa acima obtida no item b) segue que f pertence ao espaço de Hardy H^{2/5}; na verdade f ∈ H^{p} para p < 1/2 ( H^{p}⊂_{≠}H^{q}, se 0 < q < p). Se g é uma função analítica limitada (ou seja, f ∈ H^{∞}) definida em D então o teorema de Fatou diz que o limite radial lim_{r→1} g(r e^{θ}) existe para quase todo ponto de S^{1}, e se f não é identicamente zero, lim_{r→1} g(r e^{θ}) ≠ 0, para quase todo ponto de S^{1}. Este resultado vale também para f ∈ H^{p}, para 0 < p ⩽ ∞. Para estes resultados você pode consultar o livro de Rudin (Real and Complex Analysis) ou a referência 7). Existe ainda um belíssimo resultado de Plessner ainda mais geral. Teorema de Plessner : Se g é meromorfa em D então , para quase todo ζ ∈ S^{1}, ou bem g tem limite angular finito em ζ, ou bem g(△) é denso em ℂ ∪ {∞} para qualquer ângulo de Stolz △ em ζ.

Portanto, o comportamento no bordo, em quase todos os pontos, é bom ou muito ruim.

c) Deduza do teorema de Plessner, o seguinte teorema de unicidade de Privalov: Se uma função meromorfa em D tem limite ângular 0 num conjunto de medida positiva de S^{1}. então esta se anula identicamente.

2) Agora vamos enfocar algumas propriedades básicas de funções harmônicas e subharmônicas, algumas de muito importância no que se segue.

a) Seja u uma função harmônica em D. Seja f uma função holomorfa em D tal que Re f = u (por quê existe tal f ?) Mostre que para |z| < r onde 0 < r < 1 tem-se que

f(z) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}u(r e^{it})\frac{r e^{it} +z}{r e^{it} −z} dt

Deduza daí a fórmula de Poisson no disco |z| < r para u. b) Enuncie a solução do problema de Dirichlet para funções harmônicas no

disco fazendo uso da fórmula de Poisson.

c) Mostre, com todos os detalhes, que se uma função harmônica é limitada no disco perfurado D^{∗}, então se estende harmônicamente a todo o disco D.

d) Uma função u de classe C^{2} definida num domínio Ω é chamada de subharmônica, se △u ⩾ 0 em Ω. Demonstre com todos os detalhes o princípio do máximo interior e do bordo para funções subharmônicas (veja a ref. 11 ou a ref. 2).

e) Mostre que se uma seqüência {u_{n}} de funções harmônicas numa superfície de Riemann M converge uniformemente a uma função u em compactos de M, então u é necessariamente harmônica. Supondo que M = Ω um domínio em ℂ mostre que a seqüência das derivadas parciais converge uniformemente em compactos para a derivada parcial de u. Sugestão : Para a primeira pergunta use o fato que ser harmônica é uma propriedade local e reduza o problema ao caso que M é um aberto de ℂ. Para a segunda pergunta use a fórmula do item a).

f) Demonstre a desigualdade de Harnack para funções harmônicas e deduza o teorema de Liouville : Se uma função harmônica definida em todo o plano complexo é, limitada ou bem superiormente ou bem inferiormente, então é necessariamente uma constante.

g) Demonstre o teorema de três círculos de Hadamard: Seja u(z) uma função subharmônica num domínio Ω, contendo dois círculos concêntricos de raios r_{1} e r_{2} e o anel delimitado por estes. Seja M(r) o máximo de u num determinado círculo de raio r, então para r_{1} < r < r_{2}, mostre que vale a seguinte desigualdade

M(r) ⩽ \frac{M(r_{1}) log(r_{2}/r) + M(r_{2}) log(r/r_{1})}{log(r_{2}/r_{1})}

e ocorre a igualdade, se e somente se

u = \frac{M(r_{1}) log(r_{2}/r) + M(r_{2}) log(r/r_{1})}{log(r_{2}/r_{1})}

onde r = |z|. Sugestão : Aplique o princípio do máximo de forma conveniente. i) Conclua o teorema de Liouville: Se uma função subharmônica definida em ℂ^{∗}, o plano complexo menos um ponto, é limitada superiormente então é uma constante.

ii) Mais geralmente, mostre que se a hipótese de ser limitada superiormente é enfraquecida e substituída por

lim inf \frac{M(r)}{| log r|} ⩽ 0

quando r → 0 e quando r → ∞, obtemos também que u é uma constante.

3) Vamos definir e explorar os importantes conceitos de parabolicidade e hiperbolicidade para uma superfície de Riemann. Diz- se que uma superfície de Riemann M é parabólica se M não é compacta e se não admite uma função negativa (⩽ 0) subharmônica sobre M que não seja uma constante. Uma superfície de Riemann é chamada hiperbólica se possui uma função subharmônica negativa (⩽ 0) sobre M que não é uma constante. Uma superfície de Riemann compacta é chamada de elíptica.

a) Mostre que uma superfície de Riemann hiperbólica não pode ser compacta.

b) Mostre que ℂ e ℂ^{∗} são superfícies de Riemann parabólicas. Mostre que a bola aberta unitária D é uma superfície de Riemann hiperbólica.

Seja M uma superfície de Riemann e seja p ∈ M. Uma função g é chamada de função de Green para M com singularidade em p, se

g é harmônica em M \ {p} g > 0 em M \ {p} se z é uma coordenada (conforme) se anulando em p, então g(z) + log |z| é harmônica numa vizinhança de p.

se g̃ é outra funçao satisfazendo as três propriedades anteriores , então g̃ ⩾ g

c) Mostre que a definição da função de Green acima não depende da escolha

de coordenadas isotérmicas locais se anulando em p.

i) Mostre a função de Green para o disco unitário com singularidade

em a é

g(z) = log|\frac{1 − z\overline{a}}{z − a}|

d) Seja Ω um domínio de ℂ de fecho compacto tal que ∂Ω consiste de um número finito de arcos analíticos. Seja z_{0} ∈ Ω. Resolvendo o problema de Dirichlet para funções harmônicas sendo dada uma função contínua f no bordo ( o que sempre é possível, por quê ?), quando f(z) = log |z−z_{0}|, z ∈ ∂Ω, encontramos uma função u contínua em \overline{Ω} e harmônica em Ω tal que u restrita à ∂Ω é igual a f. Mostre que g(z) = − log |z − z_{0}| + u(z) é a função de Green para Ω com singularidade em z_{0}.

Nota: A existência de uma função de Green num ponto está ligada à existência de medidas harmônicas e é equivalente a hiperbolicidade . Numa superfície parabólica o problema de Dirichlet para funções harmônicas tem no máximo uma solução limitada ( veja a ref. 6) .

4) Vamos voltar à classe S de funções schlicht, ou seja f ∈ S, se f é analítica e univalente em D com f(0) = 0 e f′(0) = 1.

a) Mostre o teorema um quarto de Koebe: Se f ∈ S então f contém o disco aberto de raio 1/4 centrado na origem. Sugestão : Suponha que f não assuma um certo valor a ∈ ℂ. Mostre que se f(z) = z + a_{2}z^{2} + ⋯

\frac{af(z)}{a − f(z)} = z + (a_{2} + \frac{1}{a})z^{2} + ⋯

pertence à S. Aplique duas vezes o teorema de de Branges (veja Lista 5) para obter

\frac{1}{|a|} ⩽ |a_{2}| + |a_{2} + \frac{1}{a}| ⩽ 4

Mostre que a função de Koebe f(z) = \frac{z}{(1 − z)^{2}} produz uma equivalência conforme entre o disco D e ℂ\(−∞, −1/4]. Ou seja o teorema um quarto de Koebe é ótimo.

b) Mostre que

\frac{1}{4} ⩽ dist(0, ∂f(D)) ⩽ 1, f ∈ S

Sugestão : Para conseguir a estimativa superior observe que a imagem de f ∈ S não pode cobrir o disco fechado, pois caso contrário, f^{−1} enviaria D num domínio estritamente contido em D, contrariando o fato que f′(0) = 1 (por quê ?).

i) Traduzindo a estimativa anterior ao disco aberto (transladando e ajustando escala) D(z_{0}, δ) := {|z − z_{0}| < δ}, mostre que

dist(f(z_{0}), ∂f(D(z_{0}, δ))) ⩾ δ|f′(z_{0})|/4. Disto conclua

ii) Se f é univalente num domínio Ω, e z_{0} ∈ Ω, então

\frac{1}{4}|f′(z_{0})| dist(z_{0}, ∂Ω) ⩽ dist(f(z_{0}), ∂(f(Ω))) ⩽ 4|f′(z_{0})| dist(z_{0}, ∂Ω)

Sugestão : A estimativa inferior segue dos argumentos precedentes, a estimativa superior segue da estimativa inferior, aplicando- a a f^{−1} no ponto f(z_{0}).

c) Mostre que se f ∈ S então

dist(f(z), ∂f(D)) > \frac{1}{16}(1 − |z|)^{2}, z ∈ D

Sugestão : Aplique o teorema de um quarto de Koebe à transformação de Koebe h definida no item 1) da Lista 5, ou a estimativa anterior, e obtenha

dist(f(z), f(∂Ω)) ⩾ \frac{1}{4}|f′(z)|(1 − |z|^{2})

Agora é só aplicar a estimativa inferior para |f′(z)| do teorema de distorção de Koebe enunciado no item 2) da Lista 5.

BIBLIOGRAFIA

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Professor Ricardo Sa Earp 9

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