GEOMETRIA HIPERBÓLICA -2000.2–Lista8

Professor: Ricardo Sá Earp

Vamos tratar das curvas em superfícies de IR^{3}. O leitor está aconselhado a fazer as devidas analogias com curvas em superfícies de IH^{3}. Seja S uma superfície imersa em IR^{3} orientada por um campo de vetores normais unitários N. Seja γ uma curva regular em S parametrizada pelo comprimento de arco s. Seja γ′′(s) o vetor aceleração ( ou curvatura) da curva γ em IR^{3}. A componente tangencial de γ′′(s), denotada por

\frac{Dγ′(s)}{ds}

é chamada de vetor curvatura da curva γ em S.

Lembremos que uma curva regular γ na superfície orientada S admite um vetor canônico normal unitário η ao longo de γ definido como segue: Seja η o campo normal unitário ao longo de γ de modo que {γ′(s), η(s)} (nesta ordem) determina a orientação de T_{γ(s)}S, do plano tangente à S em γ(s). Ou seja ν(s) := N(γ(s)) está dado por

ν(s) = γ′(s) × η(s)

A curvatura geodésica, denotada por k_{g}, está definida como sendo a componente do vetor curvatura na direção η pela fórmula

\frac{Dγ′(s)}{ds} = k_{g}(s)η(s)

Note que \frac{Dγ′(s)}{ds} · γ′(s) = 0.

1) Mostre que a curvatura normal k_{N}, a curvatura geodésica k_{g} e a curvatura da curva k de γ satisfazem

k^{2} = k_{n}^{2} + k_{g}^{2}

a) Verifique a fórmula acima num paralelo da esfera 𝕊^{2}.

Suponha que γ(0) = p ∈ S e que γ′(0) = v ∈ T_{p}S.

b) Mostre que se v é um vetor assimptótico, então ou a curvatura k de γ se anula em s = 0 ou n é ortogonal à N(p), onde n é o unitário na direção de γ′′(s).

c) Mostre que se uma curva regular γ não é parametrizada pelo comprimento

de arco então

k_{N}(t) = \frac{II(γ′(t), γ′(t))}{|γ′(t)|^{2}}

Vamos agora considerar o referencial de Darboux em vez do mais conhecido referencial de Frenet: Dada γ uma curva em S parametrizada pelo comprimento de arco s considere

T (s) = γ′(s),  η(s),  ν(s) = T (s) × η(s) = N(γ(s))

De fato, observe que

ν′(0) = \frac{DN(γ(s))}{ds} em s = 0

2) Mostre que existe uma função τ_{g}(s), chamada de torção geodésica, tal que

T′(s) =  k_{g}η + k_{N}ν
η′(s) = −k_{g}T  + τ_{g}ν
ν′(s) = −k_{N}T − τ_{g}η

Note que como ν′(0) depende apenas de T (0), a terceira equação acima mostra que K_{N} (o que já sabíamos de antemão ) e τ_{g} dependem apenas de T; podemos escrever que k_{N} = k_{N}(v) e τ_{g} = τ_{g}(v), para v unitário tangente.

a) Deduza das equações acima que se {v, w}, v = γ′(0), é uma base ortornormal, positivamente orientada, de T_{p}S então

k_{N}(v) = −D_{p}N(v) · v = II(v, v)
τ_{g}(v) = −D_{p}N(v) · w = II(v, w)

Aproveite o ensejo para re-demonstrar a relação de Euler b) Mostre que se e_{1}, e_{2} ∈ T_{p}S são direções principais com {e_{1}, e_{2}} uma base

ortornormal positivamente orientada, se θ é o ângulo orientado que o vetor unitário v, à partir de e_{1}, faz com e_{1}, então

k_{N}(v) = k_{1} cos^{2} θ + k_{2} sin^{2} θ

onde k_{1}, k_{2} são as curvaturas principais de S em p.

c) Com as notações do item b) logo acima mostre que

τ_{g}(v) = (k_{2} − k_{1}) sin θ cos θ

Sugestão : Considere a equação obtida acima no item a) τ_{g}(v) = −D_{p}N(v) · w = II(v, w).

d) Deduza que γ é uma linha de curvatura, sse τ_{g} = 0. Dizemos que γ é uma geodésica se

\frac{Dγ′(s)}{ds} ≡ 0

Segue das propriedades das geodésicas como veremos brevemente, a definição geométrica alternativa:“ Geodésicas são curvas que minimizam localmente o comprimento de arco”, como já vimos explicitamente no modelo da esfera 𝕊^{2} (K = 1) e no modelo do plano hiperbólico IH^{2}.

e) Mostre que γ é uma geodésica, sse k_{g} = 0. ( ou ainda, sse, n quando

definido é ortogonal à S.)

i) Mostre que os meridianos de uma superfície de revolução são geodésicas. Quais as condições para que um paralelo seja uma geodésica ? Dê condições analíticas e geométricas.

ii) Determine todas as geodésicas no cilindro circular reto, tanto de um ponto de vista analítico quanto de um ponto de vista geométrico. Aproveite o ensejo e determine o tipo conforme do cilindro circular reto e do semi-cilindro circular reto. Encontre ou descreva um cilindro topologicamente equivalente ao cilindro circular reto, mas que não seja conformemente equivalente a este.

iii) Mostre que uma geodésica plana que não seja uma reta é uma linha de curvatura. iv) Mostre que uma geodésica que é linha de curvatura é uma curva

plana.

3) Mostre que uma reta numa superfície S é uma linha assimptótica; conclua que a curvatura de Gauss satisfaz K ⩽ 0 ao longo de qualquer reta contida em S. Mostre que K = 0 ao longo da reta, sse o normal N é constante ao longo da reta.

4) Mostre o teorema de Beltrami-Enneper: Se γ é uma curva assimptótica com γ(0) = p e k(0) ≠ 0, então

|τ(0)| = \sqrt{−K(p)}

além disso, mostre que se k(p) < 0, e as duas curvas asimptóticas distintas em p têm curvatura diferente de zero em p, então suas torções em p são iguais e de sinais contrários. Sugestão : Parametrize γ pelo comprimento de arco. Mostre que n é tangente à S em p, e assim N = b = T × n. Mostre que

−DN(T (s)) = −b′(s) = −τ(s) · n

Veja que a matriz do operador de Weingarten −DN : T_{p}S → T_{p}S com respeito a base ortornormal {T (0), n(0)} deve ter zero na diagonal principal e −τ(0) na outra diagonal. Conclua que K(p) = −τ(0)^{2}. Para completar a demonstração ( e re-obter a fórmula pedida) use a relação de Euler obtida no item 2) b) e a fórmula obtida no item 2) c) .

5) Demonstre o seguinte teorema de Terquem-Joachimsthal:

a) Se γ é uma curva na interseção de duas superfícies S_{1}, S_{2} que é uma linha de curvatura de S_{1}; então γ é uma linha de curvatura de S_{2}, sse S_{1} e S_{2} se interceptam num ângulo constante ao longo de γ.

i) Aplique o teorema para demonstrar que os meridianos são linhas de curvatura de uma superfície de revolução .

ii) Aplique o teorema para mostrar que γ é uma linha de curvatura plana de S, sse a imagem esférica pela aplicação normal de Gauss N ∘ γ descreve uma circunferência.

Agora vamos tratar de propriedades geométricas de certas superfícies de IR^{3}.

6) Considere as superfícies abaixo: a) Estude o comportamento da curvatura de Gauss K quando x^{2}+y^{2} → ∞ :

z = \frac{x}{x^{2} + y^{2} + 2}

b) (sela de macaco) Calcule os coeficientes da segunda forma fundamental e mostre que a curvatura média e de Gauss se anulam na origem: z = x^{3} − 3xy^{2}

c) (pseudo-esfera) Considere S, a superfície (pseudo-esfera) obtida pela revolução da parte da tractrix contida no primeiro quadrante aberto, em torno do eixo-y. Mostre que a curvatura de Gauss K de S é identicamente igual a −1.

7) Investigue e classifique as superfícies de revolução de curvatura de Gauss K ≡ +1, fazendo uma análise geométrica de suas curvas geratrizes.

8) Considere a (superfície mínima de Enneper)

X(u, v) = (u − \frac{u^{3}}{3} + uv^{2}, v − \frac{v^{3}}{3} + vu^{2}, u^{2} − v^{2}) u, v ∈ IR.

a) Mostre que os coeficientes da primeira forma fundamental são dados por E = G = (1 + u^{2} + v^{2})^{2}, F = 0, e mostre que Enneper é completa.

b) Mostre que a superfície mínima de Enneper é globalmente conforme a ℂ, logo simplesmente conexa.

c) Calcule os coeficientes da segunda forma fundamental de Enneper.

d) Mostre que a superfície mínima de Enneper é de fato mínima, isto é de curvatura média H = 0 .

e) Você saberia mostrar que as linhas de curvatura de Enneper são curvas planas ?

9) Mostre que o helicóide (veja item 10) logo abaixo) é globalment conforme a ℂ.

a) Mostre que as linhas coordenadas do helicóide são linhas assimptóticas. Mostre que as linhas assimptóticas do helicóide são retas e hélices circulares. Será que as linhas coordenadas são geodésicas ? Estude o comportamento do normal unitário N ao helicóide ao longo das retas.

b) Mostre que o helicóide é uma superfície mínima.

c) Calcule a curvatura de Gauss do helicóide.

d) Mostre que as linhas de curvatura do helicóide são hélices logarítmicas.

10) Considere a família catenóide-helicóide, denotada F_{θ}. abaixo (Você não precisa fazer os itens feitos por você num lista anterior).

Z_{θ} = cos θ · C(u, v) + sin θ · H(u, v) θ ∈ [0, 2π)

onde C(u, v) = (a cosh v cos u, a cosh v sin u, av) e H(u, v) = (−a sinh v sin u, a sinh v cos u, −au), 0 < u < 2π, −∞ < v < ∞, são parametrizações (locais) do catenóide e do helicóide, respectivamente ( Explique isto !).

a) Mostre que F_{θ} é uma família a 1-parâmetro de superfícies helicoidais cujo passo depende de θ ( Claro que para θ = 0 obtemos o catenóide), ligando uma parte do catenóide à uma parte do helicóide.

b) Mostre F_{θ} é uma família a 1-parâmetro de superfícies mínimas isométricas, ligando uma parte do catenóide à uma parte do helicóide. Dizemos que Z_{θ}, θ ∈ (0, 2π) é uma superfície associada ao catenóide (helicóide).

c) Conclua que o catenóide e o helicóide são localmente isométricos e, por uma isometria local, geodésicas no catenóide são levadas em geodésicas no helicóide ( Veja figuras no livro do prof. Manfredo, ou desenhe-as usando o Maple ou o Mathematica ).

d) Mostre que as linhas assimptóticas do catenóide são hélices logarítmicas.

11) Calcule a primeira e segunda forma fundamental das superfícies parametrizadas X(u, v) abaixo. Identifique as superfícies.

a) x = a sin u cos v, y = b sin u sin v, z = c cos u, a > b > c > 0.

b) x = a sinh u cos v, y = b sinh u sin v, z = c cosh u, a > b > c > 0.

c) x = a sinh u sinh v, y = b sinh u cosh v, z = c sinh u, a > b > c > 0.

d) x = au cos v, y = bu sin v, z = u^{2}, a > b > 0.

e) x = au cosh v, y = bu sinh v, z = u^{2}, a > b > 0 Verifique as propriedades geométricas estudadas nesta lista que são válidas

para superfícies do espaço hiperbólico.

BIBLIOGRAFIA

1. M. do Carmo. Differential geometry of curves and surfaces. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1976 (livro texto).

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2. N. J. Hicks Notes on differential geometry . Van Nostrand, 1965.

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