GEOMETRIA HIPERBÓLICA -2000.2–Lista9

Professor: Ricardo Sá Earp

Vamos continuar o nosso estudo sobre superfícies de IR^{3}. Vamos explorar certas superfícies especiais, tais como superfícies mínimas, superfícies de curvatura média constante. As superfícies especiais de Weingarten serão tratadas na próxima lista. Vamos explorar e aplicar conceitos importantes tais como equações das geodésicas, fluxo, fórmula do fluxo, princípio do máximo, dentre outros. Vamos aplicar as equações de compatibilidade; equação de curvatura de Gauss e equação de Codazzi-Mainardi.

Você deve fazer um paralelo comparativo com as superfícies de IH^{3} para entender os conceitos, as fórmulas, os resultados que continuam válidos quando o ambiente é o espaço hiperbólico.

Primeiramente vamos fazer uma incursão pelas superfícies de IR^{3}, tomando parâmetros isotérmicos, obtendo com esta ajuda alguns conceitos, fórmulas e resultados fundamentais da geometria das imersões .

1) Considere S uma superfície imersa em IR^{3}. Considere z = u + iv coordenadas isotérmicas locais em uma vizinhança de um ponto p ∈ S; isto é, E = G e F = 0, onde E, F, G, são os coeficientes da primeira forma fundamental, relativos a uma parametrização conforme X(z). Vamos denotar também E = λ^{2}. Sejam l, m, n, os coeficientes da segunda forma fundamental (Na notação proposta em sala de aula e = l, f = m, g = n). Vamos denotar {X_{1}, X_{2}} o referencial local adaptado à X em p. Usaremos também a notação X_{u} para designar X_{1} e X_{v} para designar X_{2}.

a) O gradiente, a divergência e o Laplaciano. Seja f : S → IR uma função real suave definida em S. Define-se o gradiente de f, denotado por ∇f como sendo o campo de vetores tangentes à S satisfazendo

∇f · v = df_{p}(v)

onde v é tangente à S em p, isto é v ∈ T_{p}S. i) Mostre que

∇f = \frac{f_{u}}{E} X_{u} + \frac{f_{v}}{E} X_{v}

onde cometemos o abuso de notação usual identificando f(u, v) com f ∘ X(u, v).

b) Define-se a divergência de um campo Y de vetores tangentes à S ( i. e Y (p) ∈ T_{p}S), denotada por div, como sendo o traço da aplicação Z → D_{Z}Y, onde Z é um campo de vetores tangentes à S, e D é a conexão Riemanniana de S. Ou seja,

div Y = tr (Z → D_{Z}Y)

i) Mostre

div Y = \frac{1}{E} (\frac{∂}{∂u} (Y · X_{u}) + \frac{∂}{∂v} (Y · X_{v}))

c) Define-se o Laplaciano de uma função real suave f definida em S , denotado por △f, como sendo

△f = div ∇f

i) Mostre

△f(p) = \frac{1}{E} (\frac{∂^{2}f(u, v)}{∂u^{2}} + \frac{∂^{2}f(u, v)}{∂v^{2}})

onde cometemos o abuso de notação identificando f(u, v) com f∘ X(u, v).

d) Mostre que os conceitos de gradiente, divergência e Laplaciano pertence à geometria intrínseca das superfícies, ou seja dependem apenas da primeira forma fundamental e podem por isto ser definidos numa superfície Riemanniana qualquer. Assim o Laplaciano definido acima é também chamado de Laplaciano Riemanniano.

e) Consideremos S munida de sua estrutura de superfície de Riemann (induzida pela métrica de S). Seja f : M → IR uma função real suave. o Laplaciano conforme relativo à coordenada conforme z está definido como

△_{z}f = f_{uu} + f_{vv}

i) Mostre que a definição de Laplaciano conforme depende da coordenada isotérmica z, uma função mas a noção de f ser harmônica na superfície de Riemann não depende. Além disso mostre que esta noção de harmonicidade é a mesma considerando o Laplaciano Riemanniano definido no item c).

Um importante teorema da Geometria é o teorema da divergência: Seja S uma superfície Riemanniana suave e seja Y um campo suave de vetores tangentes à S. O teorema da divergência (intrínseco) diz o seguinte

∫_{S} div Y dA = − ∫_{∂S} Y · η ds

onde dA = \sqrt{EG − F^{2}} du dv é o elemento de área de S, ∂S é o bordo de S, ds é o elemento comprimento de arco de ∂S, e η é o vetor co-normal interior ao longo de ∂S (η é tangente à S, normal à ∂S, apontando para dentro de S).

i) Considere X como sendo o vetor posição de uma superfície orientada S em IR^{3}, por um campo de vetores normais unitários N ao longo de S. Suponha que ∂S seja uma curva (regular) simples fechada γ contida no plano-xy, de modo que γ = ∂D onde D ⊂ IR^{2} é um domínio de Jordan. Suponha que S ∪ D é um ciclo orientável, de modo que S ∪ D = ∂V, onde V é um “sólido ” de IR^{3}, e o teorema da divergência se aplica (Faça uma figura !). Seja △_{IR}^{3} o Laplaciano usual de IR^{3}. Mostre que

6vol(V) + 2 ∫_{S} X · N dA = 0

Sugestão : Aplique corretamente o teorema da divergência (em IR^{3}) ii) Mostre que

△|X|^{2} = 4 + 4HX · N

iii) Aplique agora o teorema da divergência em S mostrando que

∫_{S} △|X|^{2} dA = −2 ∫_{∂S} X · η ds

onde η é o co-normal interior ao longo do bordo de S. iv) Levando em conta os resultados obtidos nos itens ii) e iii) deduza

que

4 área(S) + 4H ∫_{S} X · N dA = −2 ∫_{∂S} X · η ds

v) Juntando os resultados obtidos nos itens i) e iv) infira

2 área(S) = 6Hvol(M) − ∫_{∂S} X · η ds

f) (Fluxo numa superfície mínima). Suponha agora que S seja uma superfície mínima em IR^{3}, orientada por um campo de vetores normal unitário N ao longo de S. Seja ν o co-normal exterior ao longo de ∂S.

i) Seja W um campo de vetores suaves em IR^{3}. Considere a componente tangencial W^{T} de W, ou seja a projeção ortogonal de W no plano tangente à S. Mostre que

W^{T} = W − (W · N) N

ii) Seja v um campo constante em IR^{3}. Mostre que v^{T} é o gradiente de uma função harmônica que é a restrição à S de uma função linear em IR^{3}. Sugestão : Você vai precisar do fato que as coordenadas dos pontos de uma superfície mínima em IR^{3} em parâmetros isotérmicos são funções harmônicas: Veja logo adiante. Mostre ainda que segue do teorema da divergência a seguinte equação vetorial

∫_{∂S} ν ds = 0

Conclua que para curvas fechadas γ, tem-se que ∫_{γ} ν ds, é um invariante de homologia.

O fluxo ao longo de γ está definido pela quantidade

Fluxo([γ]) := ∫_{γ} ν ds

Nota: Lembremos que a curvatura de Gauss K de uma superfície mínima S é sempre não positiva. A curvatura total denotada por C(S) está definida por

C(S) := ∫_{S} K dA

Um resultado interessante é o seguinte: Se uma superfície mínima completa mergulhada de curvatura total finita em IR^{3}, tem fluxo vertical (i. e o fluxo, Fluxo([γ]), é um vetor vertical para toda curva fechada γ ⊂ S), então S é o plano o catenóide. Veja ref. 7. Nota: A curvatura total pode ser interpretada como a imagem esférica da aplicação normal de Gauss. De modo que quando a curvatura total é finita vale a seguinte fórmula:

C(S) = −4πn

onde n é o grau da aplicação normal de Gauss. Quando a curvatura total é finita segue de um teorema de Huber que S é conformemente equivalente a uma superfície de Riemann compacta \overline{S} de gênero g, removido um conjunto finito de pontos, chamados puncture. Os dados meromorfos (g, f dz) se estendem meromorficamente à \overline{S} (Teorema de Osserman).

g) Mostre que em parâmetros isotérmicas z = u + iv, tem-se que:

i) A curvatura média H e a curvatura de Gauss K de uma superfície S imersa em IR^{3} são dados por

H = \frac{l + n}{2E} e K = \frac{ln − m^{2}}{E^{2}}

Idem para uma superfície S imersa em IH^{3}. ii) Deduza que equação das linhas de curvatura via o método dos mul-

tiplicadores de Lagrange, e infira que em coordenadas isotérmicas a equação das linhas de curvatura é dada por

−m du^{2} + (l − n) du dv + m dv^{2} = 0

h) Mostre as equações de Codazzi-Mainardi:

l_{v} − m_{u} = \frac{E_{v}}{2E} (l + n)
m_{v} − n_{u} = −\frac{E_{u}}{2E} (l + n)

Conclua i) As equações de Codazzi-Mainardi podem ser escritas como

(\frac{l − n}{2})_{u} + m_{v} = EH_{u}
(\frac{l − n}{2})_{v} − m_{u} = −EH_{v}

Sugestão : Parta dos termos a esquerda das equações propostas substituindo os termos pelas definições , em seguide use o fato de que N é normal unitário, X_{u} e X_{v} tangentes ortogonais e de mesmo módulo, aplicando simetria e compatibilidade com a métrica, para chegar ao resultado desejado.

Deduza ii) Se φ = \frac{l − n}{2} −im, as equações de Codazzi tomam a forma complexa

φ\overline{z} = EH_{z}

A equação (ou as equações ) de Codazzi-Mainardi são as mesmas no espaço hiperbólico. Verifique isto ! onde 2\frac{∂}{∂z} = \frac{∂}{∂u} − i\frac{∂}{∂v} , e

2\frac{∂}{∂\overline{z}} = \frac{∂}{∂u} + i\frac{∂}{∂v} . Infira que S tem curvatura média contante, sse φ é holomorfa. Mostre que isto implica que os pontos umbílicos de uma superfície conexa S imersa em IR^{3} de curvatura média contante são isolados ou S é totalmente umbílica. Mostre o mesmo para uma superfície de curvatura média constante imersa em IH^{3}.

iii) Mostre ainda que as linhas de curvatura são dadas pela equação

Im (φ · (dz)^{2}) = 0

Nota: Um fato que pode ser demonstrado é que quando S (conexa) tem curvatura média constante, o índice do campo de linhas de curvatura num ponto singular (i. e num ponto umbílico, necessariamente isolado, se S não é totalmente umbílica) é estritamente negativo. Segue disto, e do teorema de Poincaré-Hopf, o seguinte teorema de Hopf demonstrado nos meados do século vinte. Tal resultado deu um novo impulso à teoria das superfícies de curvatura média constante:

Se uma superfície fechada imersa S em IR^{3} (não necessariamente mergulhada), topologicamente equivalente a esfera , tem curvatura média constante então S é uma esfera geométrica. Enuncie e demonstre o correspondente teorema de Hopf no espaço hiperbólico.

iv) Mostre que quando S tem curvatura média constante a diferencial

holomorfa quadrática

φ · (dz)^{2}

está globalmente bem definida em S, i. e não depende das escolhas dos parâmetros isotérmicos.

i) Mostre a seguinte fórmula

△X = 2 \overrightarrow{H}

onde \overrightarrow{H} ó vetor curvatura média de S (Note que você pode interpretar X como sendo o vetor posição de S). Conclua a seguinte caracterização das superfícies mínimas:

S é mínima ⟺ △X = 0

Ou seja S é mínima, sse as coordenadas de S em IR^{3} em parâmetros isotérmicos são funções harmônicas.

j) A idéia agora é enfocar o seguinte: Sejam k_{1}, τ_{1}, k_{2}, τ_{2} as curvaturas e torções de duas linhas de curvatura passando por um ponto não umbílico de uma imersão mínima conforme X : U ⊂ IR^{2} → S, (U aberto de IR^{2} ). Então demonstre o teorema de Enneper deduzindo a seguinte fórmula

k_{1}^{2}τ_{1} = k_{2}^{2}τ_{2}

Sugestão : Considere os parâmetros isotérmicos z = u+iv, i. e X = X(z). Admita o fato que estes parâmetros podem ser escolhidos ( nas vizinhanças de um ponto não umbílico) de forma que as linhas coordenadas sejam linhas de curvatura. Mostre que isto implica que m = 0 e que as equações de Codazzi-Mainardi ficam (F = m = 0)

l_{v} = \frac{E_{v}}{2} (\frac{l}{E} + \frac{n}{G})
n_{u} = \frac{G_{u}}{2} (\frac{l}{E} + \frac{n}{G})

Donde conclua que l = −n = b, b ∈ IR (constante). Em seguida use as fórmulas da curvatura e da torção

τ_{1}k_{1}^{2} = −\frac{X_{u} × X_{uu} · X_{uuu}}{|X_{u} × X_{uu}|^{2}} · \frac{|X_{u} × X_{uu}|^{2}}{|X_{u}|^{6}}

Para concluir que X_{u} × X_{uu} · X_{uuu} = \frac{l}{4} (2E_{uv} − \frac{E_{u}E_{v}}{E} ) . Daí segue o resultado desejado.

i) Deduza do teorema de Enneper acima a seguinte proposição : Se uma família de linhas de curvatura de uma superfície mínima é constituída por curvas planas, assim também o é a família de linhas de curvatura ortogonal, numa vizinhança de um ponto não umbílico. Nota: As superfícies mínimas (não planas) cujas linhas de curvatura são curvas planas foram classificadas : Estas são o catenóide, a superfície mínima de Enneper e as superfícies de Bonnet.

Vamos em seguida abordar a famosa representação de Weierstrass das superfícies mínimas.

2) Seja S uma superfície mínima simplesmente conexa em IR^{3} e z = u + iv parâmetros isotérmicos. Vamos obter “meromorphic data” (g, f dz) que determinam a imersão mínima X : U ⊂ IR^{2} → S ⊂ IR^{3}, onde U é um aberto simplesmente conexo de IR^{2}. Seja

Φ = (Φ_{1}, Φ_{2}, Φ_{3}) := X_{u} − iX_{v}

a) Mostre que z = u + iv são parâmetros isotérmicos, sse Φ_{1}^{2} + Φ_{2}^{2} + Φ_{3}^{2} = 0.

b) Mostre que X é harmônica, sse Φ é holomorfa.

c) Mostre que X é regular e z = u + iv são parâmetros isotérmicos (ou seja E ≠ 0), sse ∑ |Φ_{j}|^{2} ≠ 0 e z = u + iv são parâmetros isotérmicos.

d) Mostre que

X(z) = Re ∫_{z_{0}}^{z} Φ(ζ) dζ

e) Mostre que se X não é plana então Φ_{1} ≢ iΦ_{2}, e Φ_{3} ≢ 0. Neste caso, existe uma função holomorfa 2f := Φ_{1} − iΦ_{2} em U e uma função meromorfa g := \frac{Φ_{3}}{Φ_{1} − iΦ_{2}} , de maneira que podemos escrever ( fazendo um abuso de notação ) a representação de Weierstrass

X(z) = Re ∫_{z_{0}}^{z} ((1 − g^{2})f dz, i(1 + g^{2})f dz, 2gf dz)

Mostre que a superfície será regular sse f se anula apenas nos pólos de g e a ordem de cada zero nestes pontos é exatamente o dobro da ordem do pólo de g.

i) Mostre que a métrica é dada por

ds^{2} = (|f|(1 + |g|^{2}))^{2} | dz|^{2}

ii) Mostre que a segunda forma fundamental II é dada por

II = −2Re (f dz dg)

f) A finalidade deste exercício é mostrar que g é exatamente a composta da aplicação normal de Gauss com a projeção estereográfica do pólo norte, que tem que ser conforme, sse S é mínima (por quê ?).

i) Mostre que

X_{u} × X_{v} = (Im(\overline{Φ_{3}}Φ_{2}), Im(\overline{Φ_{1}}Φ_{3}), Im(\overline{Φ_{2}}Φ_{1}))

Conclua

N = \frac{X_{u} × X_{v}}{|X_{u} × X_{v}|} = (\frac{2Re g}{1 + |g|^{2}} , \frac{2 Im g}{1 + |g|^{2}} , \frac{1 − |g|^{2}}{1 + |g|^{2}} )

Infira daí o desejado.

g) Mostre que a curvatura de Gauss K de uma superfície mínima pode ser expressa em termos de f, g

K = −(\frac{2|g′|}{|f|(1 + |g|^{2})^{2}} )^{2}

h) Vamos neste item re-obter superfícies mínimas clássicas via a representação de Weierstrass i) Mostre que o catenóide pode ser obtido fazendo U = ℂ \ {0},

g(z) = z, f(z) dz = \frac{dz}{z^{2}} .

ii) Mostre que o helicóide pode ser obtido fazendo U = ℂ, g(z) = e^{z},

f(z) dz = i e^{−z} dz. iii) Mostre que Enneper pode ser obtida fazendo U = ℂ, g(z) = z,

f(z) dz = dz. Nota: O catenóide é a única superfície mínima de revolução . O catenóide e a superfície de Enneper são as únicas superfícies mínimas completas de curvatura total −4π. Se uma superfície mínima S mergulhada e completa tem curvatura total finita e gênero zero, então S tem que ser o plano ou o catenóide (Teorema de Lopez-Ros). Se uma superfície mínima S mergulhada e completa tem curvatura total finita e dois fins, então S tem que ser o catenóide (Teorema de R. Schoen): A hipótese de curvatura total finita pode ser relaxada e substituída pela hipótese bem mais fraca de topologia finita (Teorema de P. Collin).

iv) Obtenha a representação de Weierstrass da família catenóide-helicóide de superfícies mínimas associadas, localmente isométricas, ao catenóide (helicóide).

i) Vamos ver outros exemplos de superfícies mínimas i_{1}) A superfície de Scherk é dada implicitamente por

e^{z} = \frac{cos y}{cos x}

Estude o seu gráfico. Nota: Scherk foi obtida pelo método de separação das variáveis.

i_{2}) Considere U = ℂ\\{0\}, g(z) = e^{\frac{1}{z}} , f(z) dz = \frac{dz}{z^{2} e^{\frac{1}{z}}} . Calcule Φ_{1}, Φ_{2}, Φ_{3}. Mostre que a condição de zeros e pólos de f, g estão satisfeitas. Para que a imersão esteja bem definida é necessário verificar as condições de período: Basta considerar uma curva de Jordan em torno de 0 e calcular os resíduos de Φ_{1}, Φ_{2}, Φ_{3} na singularidade 0, e mostrar que parte real do resíduo é real. Conclua que (g, f dz) define uma imersão conforme mínima de ℂ \ {0} em IR^{3}. Mostre que a imersão é completa e de curvatura total −∞. Sugestão : Para mostrar o último ponto você terá que usar o grande teorema de Picard. i_{3}) Encontre você mesmo, via Weierstrass, várias superfícies mínimas

completas em IR^{3}.

3) Vamos fazer agora algumas perguntas sobre superfícies de curvatura média constante de IR^{3}.

a) Mostre que uma superfície de curvatura média constante (não nula) de IR^{3} é sempre orientável.

b) É sabido que uma gráfico com bordo planar de curvatura média constante H tem altura máxima 1/|H|, estimativa esta realizada pelo hemisfério de raio R = 1/|H|. Mostre que se S é uma superfície conexa mergulhada com H = constante, de modo que S ∩ {z = 0} = ∂S (S está de uma do plano-xy) então a distância máxima de S ao plano-xy é 2/|H|. Sugestão : Aplique o princípio do máximo e o princípio de reflexão de Alexandrov de forma conveniente.

c) Mostre que se S é uma superfície de curvatura média constante (não nula), com bordo uma curva γ plana simples fechada, então a configuração S∩Int(γ) ≠ ∅ e S∩Ext(γ) = ∅ é impossível. Sugestão : Aplique a fórmula do fluxo dada em sala de aula, convenientemente.

d) Mostre que se uma superfície com H = cst ≠ 0 propriamente mergulhada e completa em IR^{3} tem dois fins tipo anel convergindo para dois cilindros então os cilindros têm que ser paralelos.

4) Exercícios de revisão e outros do livro do professor Manfredo (ref. 4). a) Faça os seguintes exercs da seção 3-2: Exercs 5, 6, 8, 14.

b) Faça os seguintes exercs da seção 3-3: Exercs 5, 12, 14, 16, 24.

c) Faça os seguintes exercs da seção 3-5: Exercs 9, 11.

d) Faça os seguintes exercs da seção 4-3: Exercs 1, 2, 3, 4, 8, 9 . Verifique com cuidados as propriedades geométricas estudadas nesta lista que

são válidas para superfícies do espaço hiperbólico.

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