Geometria Diferencial 2007

 

Professor Ricardo Sá Earp

 

 

Temas, conceitos e teoremas a serem abordados:

 

 

  1. Curvas planas. Curvatura. Exemplos típicos e clássicos: ciclóide, tractrix, etc... O princípio do máximo para curvas planas e aplicações.
  2. Curvas no espaço. Curvatura e torção. O teorema fundamental das curvas no espaço.
  3. Superfícies regulares. Cálculo em superfícies. Noções  provenientes do curso de  Análise em duas variáveis reais.  Superfícies parametrizadas (imersas) e mergulhadas (propriamente mergulhadas).
  4. A primeira forma fundamental. Isometrias (locais e globais) e propriedades de isometrias: a noção de  geodésicas. Exemplos clássicos. Aplicações conformes. Exemplos.  A família catenóide-helicóide.
  5. A aplicação normal de Gauss.  A segunda forma fundamental. Curvaturas principais, curvatura média e curvatura de Gauss.  Linhas assimptóticas e  linhas de curvaturas (principais). Exemplos típicos: superfícies de revolução, etc...
  6.  Exemplos clássicos de superfícies especiais:  superfícies mínimas, superfícies de curvatura de Gauss constante, etc..
  7. O princípio do máximo para a curvatura média e aplicações: O teorema de Alexandrov.
  8. A equação de curvatura de Gauss- Teorema Egregium  de Gauss- e a equação de  Codazzi-Mainardi. Aplicações:  Rigidez da esfera e o teorema de Hopf.
  9.  O Teorema Fundamental das Superfícies no espaço: O Teorema de Bonnet  com base  no Teorema de Frobenius.
  10. Derivada covariante e transporte paralelo. Geodésicas e a equação das geodésicas.  Geodésicas em superfícies de revolução. Curvatura  de curvas em superfícies: curvatura geodésica. Noções de Geometria Riemanniana  focando  as noções de  Geometria intrínseca e de Geometria extrínseca.
  11. Teorema de Gauss Bonnet e aplicações.
  12.  Teoremas globais da Geometria Diferencial (tópicos  a  serem selecionados).

 

Referência básica:

 

  1. Differential Geometry of Curves and Surfaces.  Manfredo P. Do Carmo. Prentice-Hall, 1976.

 

 

Obs: É recomendável e desejável  a aplicação do MAPLE para certos cálculos e para os desenhos das curvas e superfícies. Ref:  Introduction to Maple, André Heck,  Third edition, Springer (2003).

 

Avaliação. Haverá três provas. Para a graduação haverá dois lançamentos G1 e G2, sendo que para a G1 haverá apenas uma prova. As notas das provas poderão, em princípio, ser aumentadas de acordo com os conceitos das listas.