INTRODUÇÃO ÀS SUPERFÍCIES COM

CURVATURA MÉDIA 1 NO ESPAÇO HIPERBÓLICO -2001.1– Lista2

Professor: Ricardo Sá Earp

1) Exibir as conexões Riemannianas de IH^{3} e B^{3} (modelo do semi-espaço e da bola do espaço hiperbólico, respectivamente). Explicite uma isometria entre IH^{3} e B^{3}, dando uma interpretação geométrica.

2) Defina o cilindro hiperbólico C em IH^{3} e IH^{n+1} (veja ref. 1). Calcule a curvatura média de C analisando o seu sinal. Analise o vetor curvatura média de C. Desenhe vários cilindros hiperbólicos, nos modelos do semi-espaço e da bola.

3) Mostre que IH^{3} é homogêneo no sentido que dados dois pontos p e q existe uma isometria positiva deIH^{3} que leva p em q. Além disso, mostre que a isometria pode ser escolhida de maneira que leva uma dada base ortornormal positiva α de T_{p}IH^{3} numa dada base ortonormal β de T_{q}IH^{3}.

4) Mostre que uma isometria positiva de IH^{3} é a composta de um número par de inversões .

5 ) Encontre as isometrias positivas de IH^{3} que deixam um dado plano totalmente

geodésico Π globalmente fixado.

6) Encontre as isometrias positivas de IH^{3} que deixam uma determinada geodésica γ globalmente fixada.

7) Classifique as superfícies totalmente umbílicas de IH^{3}, apresentando duas demonstrações distintas.

10) Classifique as superfícies isoparamétricas de IH^{3} (veja ref. 1).

9) Discuta amplamente as relações entre as superfícies mínimas simplesmente conexas de IR^{3} e suas associadas com curvatura média 1 (simplesmente conexas) de IH^{3}.

BIBLIOGRAFIA

1. Marcos Alexandrino. Hipersuperfícies de nível de uma função transnormal. Dissertação de mestrado, PUC-Rio, 1997.

2 Professor Ricardo Sa Earp

2. João L. Barbosa, Ricardo Sá Earp. Geometric methods and nonlinear analysis. X Escola de Geometria Diferencial, UFMG, 20 à 24 de julho de 1998.

3. Manfredo P. do Carmo. Geometria Riemanniana. Projeto Euclides, 1998.

4. Noel J. Hicks. Notes on differential geometry . Van Nostrand, 1965.

5. Heinz Hopf. Differential geometry in the large. Lecture Notes in Mathematics, 1000. Springer, 1989.

6. J. Ordóñes. Superfícies helicoidais com curvatura constante no espaço de formas tridimensionais. Doctoral Thesis, PUC-Rio, (1995).

7. John G. Ratcliffe. Foundations of hyperbolic manifolds. Springer, 1994.

8. Ricardo Sá Earp et Eric Toubiana. Introduction à la géométrie hyperbolique et aux surfaces de Riemann. Diderot multimedia, 1997.

9. Michael Spivak. A comprehensive introduction to differential geometry , second edition. Publish or Perish, 1979.