INTRODUÇÃO ÀS SUPERFÍCIES COM

CURVATURA MÉDIA 1 NO ESPAÇO HIPERBÓLICO -2001.1–Lista3

Professor: Ricardo Sá Earp

Vamos fazer um estudo sucinto sobre superfícies de IR^{3}, principalmente superfícies mínimas. Vamos explorar certas propriedades de certas superfícies especiais, tais como superfícies de curvatura média constante e superfícies de Weingarten. Também veremos um pouco de superfícies no espaço hiperbólico. Vamos explorar e aplicar conceitos importantes tais como equações das geodésicas, fluxo, fórmula do fluxo, princípio do máximo, dentre outros. Vamos aplicar as equações de compatibilidade; equação de curvatura de Gauss e equação de Codazzi-Mainardi.

Você deve fazer um paralelo comparativo com as superfícies de IH^{3} para entender os conceitos, as fórmulas, os resultados que continuam válidos quando o ambiente é o espaço hiperbólico.

Primeiramente vamos fazer uma incursão pelas superfícies de IR^{3}, tomando parâmetros isotérmicos, obtendo com esta ajuda alguns conceitos, fórmulas e resultados fundamentais da geometria das imersões .

1) Considere S uma superfície imersa em IR^{3}. Considere z = u + iv coordenadas isotérmicas locais em uma vizinhança de um ponto p ∈ S; isto é, E = G e F = 0, onde E, F, G, são os coeficientes da primeira forma fundamental, relativos a uma parametrização conforme X(z). Vamos denotar também E = λ^{2}. Sejam l, m, n, os coeficientes da segunda forma fundamental (Na notação proposta em sala de aula e = l, f = m, g = n). Vamos denotar {X_{1}, X_{2}} o referencial local adaptado à X em p. Usaremos também a notação X_{u} para designar X_{1} e X_{v} para designar X_{2}.

a) O gradiente, a divergência e o Laplaciano. Seja f : S → IR uma função real suave definida em S. Define-se o gradiente de f, denotado por ∇f como sendo o campo de vetores tangentes à S satisfazendo

∇f · v = df_{p}(v)

onde v é tangente à S em p, isto é v ∈ T_{p}S.

i) Mostre que

∇f = \frac{f_{u}}{E} X_{u} + \frac{f_{v}}{E} X_{v}

onde cometemos o abuso de notação usual identificando f(u, v) com f ∘ X(u, v).

b) Define-se a divergência de um campo Y de vetores tangentes à S ( i. e Y (p) ∈ T_{p}S), denotada por div, como sendo o traço da aplicação Z → D_{Z}Y, onde Z é um campo de vetores tangentes à S, e D é a conexão Riemanniana de S. Ou seja,

div Y = tr (Z → D_{Z}Y)

i) Mostre

div Y = \frac{1}{E} (\frac{∂}{∂u} (Y · X_{u}) + \frac{∂}{∂v} (Y · X_{v}))

c) Define-se o Laplaciano de uma função real suave f definida em S , denotado por △f, como sendo

△f = div ∇f

i) Mostre

△f(p) = \frac{1}{E} (\frac{∂^{2}f(u, v)}{∂u^{2}} + \frac{∂^{2}f(u, v)}{∂v^{2}})

onde cometemos o abuso de notação identificando f(u, v) com f∘ X(u, v).

d) Mostre que os conceitos de gradiente, divergência e Laplaciano pertence à geometria intrínseca das superfícies, ou seja dependem apenas da primeira forma fundamental e podem por isto ser definidos numa superfície Riemanniana qualquer. Assim o Laplaciano definido acima é também chamado de Laplaciano Riemanniano.

e) Consideremos S munida de sua estrutura de superfície de Riemann (induzida pela métrica de S). Seja f : M → IR uma função real suave. o Laplaciano conforme relativo à coordenada conforme z está definido como

△_{z}f = f_{uu} + f_{vv}

i) Mostre que a definição de Laplaciano conforme depende da coordenada isotérmica z, uma função mas a noção de f ser harmônica na superfície de Riemann não depende. Além disso mostre que esta noção de harmonicidade é a mesma considerando o Laplaciano Riemanniano definido no item c).

Um importante teorema da Geometria é o teorema da divergência: Seja S uma superfície Riemanniana suave e seja Y um campo suave de vetores tangentes à S. O teorema da divergência (intrínseco) diz o seguinte

∫_{S} div Y dA = − ∫_{∂S} Y · η ds

onde dA = \sqrt{EG − F^{2}} du dv é o elemento de área de S, ∂S é o bordo de S, ds é o elemento comprimento de arco de ∂S, e η é o vetor co-normal interior ao longo de ∂S (η é tangente à S, normal à ∂S, apontando para dentro de S).

i) Considere X como sendo o vetor posição de uma superfície orientada S em IR^{3}, por um campo de vetores normais unitários N ao longo de S. Suponha que ∂S seja uma curva (regular) simples fechada γ contida no plano-xy, de modo que γ = ∂D onde D ⊂ IR^{2} é um domínio de Jordan. Suponha que S ∪ D é um ciclo orientável, de modo que S ∪ D = ∂V, onde V é um “sólido ” de IR^{3}, e o teorema da divergência se aplica (Faça uma figura !). Seja △_{IR}^{3} o Laplaciano usual de IR^{3}. Mostre que

6vol(V) + 2 ∫_{S} X · N dA = 0

Sugestão : Aplique corretamente o teorema da divergência (em IR^{3}) ii) Mostre que

△|X|^{2} = 4 + 4HX · N

iii) Aplique agora o teorema da divergência em S mostrando que

∫_{S} △|X|^{2} dA = −2 ∫_{∂S} X · η ds

onde η é o co-normal interior ao longo do bordo de S. iv) Levando em conta os resultados obtidos nos itens ii) e iii) deduza

que

4 área(S) + 4H ∫_{S} X · N dA = −2 ∫_{∂S} X · η ds

v) Juntando os resultados obtidos nos itens i) e iv) infira

2 área(S) = 6Hvol(M) − ∫_{∂S} X · η ds

f) (Fluxo numa superfície mínima). Suponha agora que S seja uma superfície mínima em IR^{3}, orientada por um campo de vetores normal unitário N ao longo de S. Seja ν o co-normal exterior ao longo de ∂S.

i) Seja W um campo de vetores suaves em IR^{3}. Considere a componente tangencial W^{T} de W, ou seja a projeção ortogonal de W no plano tangente à S. Mostre que

W^{T} = W − (W · N) N

ii) Seja v um campo constante em IR^{3}. Mostre que v^{T} é o gradiente de uma função harmônica que é a restrição à S de uma função linear em IR^{3}. Sugestão : Você vai precisar do fato que as coordenadas dos pontos de uma superfície mínima em IR^{3} em parâmetros isotérmicos são funções harmônicas: Veja logo adiante. Mostre ainda que segue do teorema da divergência a seguinte equação vetorial

∫_{∂S} ν ds = 0

Conclua que para curvas fechadas γ, tem-se que ∫_{γ} ν ds, é um invariante de homologia.

O fluxo ao longo de γ está definido pela quantidade

Fluxo([γ]) := ∫_{γ} ν ds

Nota: Lembremos que a curvatura de Gauss K de uma superfície mínima S é sempre não positiva. A curvatura total denotada por C(S) está definida por

C(S) := ∫_{S} K dA

Um resultado interessante é o seguinte: Se uma superfície mínima completa mergulhada de curvatura total finita em IR^{3}, tem fluxo vertical (i. e o fluxo, Fluxo([γ]), é um vetor vertical para toda curva fechada γ ⊂ S), então S é o plano o catenóide. Veja ref. 7. Nota: A curvatura total pode ser interpretada como a imagem esférica da aplicação normal de Gauss. De modo que quando a curvatura total é finita vale a seguinte fórmula:

C(S) = −4πn

onde n é o grau da aplicação normal de Gauss. Quando a curvatura total é finita segue de um teorema de Huber que S é conformemente equivalente a uma superfície de Riemann compacta \overline{S} de gênero g, removido um conjunto finito de pontos, chamados puncture. Os dados meromorfos (g, f dz) se estendem meromorficamente à \overline{S} (Teorema de Osserman).

Mostre usando fluxo que as únicas superfícies mínimas de revolução são os catenóides !!

Você saberia estabelecer uma fórmula do fluxo para superfícies com curvatura média constante em IR^{3} ? ( cf. na ref 1.) E em IH^{3} ? (veja ref. 1).

g) Mostre que em parâmetros isotérmicas z = u + iv, tem-se que:

i) A curvatura média H e a curvatura de Gauss K de uma superfície S imersa em IR^{3} são dados por

H = \frac{l + n}{2E} e K = \frac{ln − m^{2}}{E^{2}}

Idem para uma superfície S imersa em IH^{3}. ii) Deduza que equação das linhas de curvatura via o método dos mul-

tiplicadores de Lagrange, e infira que em coordenadas isotérmicas a equação das linhas de curvatura é dada por

−m du^{2} + (l − n) du dv + m dv^{2} = 0

h) Mostre as equações de Codazzi-Mainardi:

l_{v} − m_{u} = \frac{E_{v}}{2E} (l + n)
m_{v} − n_{u} = −\frac{E_{u}}{2E} (l + n)

Conclua i) As equações de Codazzi-Mainardi podem ser escritas como

(\frac{l − n}{2})_{u} + m_{v} = EH_{u}
(\frac{l − n}{2})_{v} − m_{u} = −EH_{v}

Sugestão : Parta dos termos a esquerda das equações propostas substituindo os termos pelas definições , em seguide use o fato de que N é normal unitário, X_{u} e X_{v} tangentes ortogonais e de mesmo módulo, aplicando simetria e compatibilidade com a métrica, para chegar ao resultado desejado.

Deduza ii) Se φ = \frac{l − n}{2} −im, as equações de Codazzi tomam a forma complexa

φ\overline{z} = EH_{z}

A equação (ou as equações ) de Codazzi-Mainardi são as mesmas no espaço hiperbólico. Verifique isto ! onde 2\frac{∂}{∂z} = \frac{∂}{∂u} − i\frac{∂}{∂v} , e

2\frac{∂}{∂\overline{z}} = \frac{∂}{∂u} + i\frac{∂}{∂v} . Infira que S tem curvatura média contante, sse φ é holomorfa. Mostre que isto implica que os pontos umbílicos de uma superfície conexa S imersa em IR^{3} de curvatura média contante são isolados ou S é totalmente umbílica. Mostre o mesmo para uma superfície de curvatura média constante imersa em IH^{3}.

iii) Mostre ainda que as linhas de curvatura são dadas pela equação

Im (φ · (dz)^{2}) = 0

Nota: Um fato que pode ser demonstrado é que quando S (conexa) tem curvatura média constante, o índice do campo de linhas de curvatura num ponto singular (i. e num ponto umbílico, necessariamente isolado, se S não é totalmente umbílica) é estritamente negativo. Segue disto, e do teorema de Poincaré-Hopf, o seguinte teorema de Hopf demonstrado nos meados do século vinte. Tal resultado deu um novo impulso à teoria das superfícies de curvatura média constante: Se uma superfície fechada imersa S em IR^{3} (não necessariamente mergulhada), topologicamente equivalente a esfera , tem curvatura média constante então S é uma esfera geométrica. Enuncie e demonstre o correspondente teorema de Hopf no espaço hiperbólico.

iv) Mostre que quando S tem curvatura média constante a diferencial

holomorfa quadrática

φ · (dz)^{2}

está globalmente bem definida em S, i. e não depende das escolhas dos parâmetros isotérmicos.

i) Mostre a seguinte fórmula

△X = 2 \overrightarrow{H}

onde \overrightarrow{H} ó vetor curvatura média de S (Note que você pode interpretar X como sendo o vetor posição de S). Conclua a seguinte caracterização das superfícies mínimas:

S é mínima ⟺ △X = 0

Ou seja S é mínima, sse as coordenadas de S em IR^{3} em parâmetros isotérmicos são funções harmônicas.

Vamos em seguida abordar a famosa representação de Weierstrass das superfícies mínimas.

2) Seja S uma superfície mínima simplesmente conexa em IR^{3} e z = u + iv parâmetros isotérmicos. Vamos obter “meromorphic data” (g, f dz) que determinam a imersão mínima X : U ⊂ IR^{2} → S ⊂ IR^{3}, onde U é um aberto simplesmente conexo de IR^{2}. Seja

Φ = (Φ_{1}, Φ_{2}, Φ_{3}) := X_{u} − iX_{v}

a) Mostre que z = u + iv são parâmetros isotérmicos, sse Φ_{1}^{2} + Φ_{2}^{2} + Φ_{3}^{2} = 0.

b) Mostre que X é harmônica, sse Φ é holomorfa.

c) Mostre que X é regular e z = u + iv são parâmetros isotérmicos (ou seja E ≠ 0), sse ∑ |Φ_{j}|^{2} ≠ 0 e z = u + iv são parâmetros isotérmicos.

d) Mostre que

X(z) = Re ∫_{z_{0}}^{z} Φ(ζ) dζ

e) Mostre que se X não é plana então Φ_{1} ≢ iΦ_{2}, e Φ_{3} ≢ 0. Neste caso, existe uma função holomorfa 2f := Φ_{1} − iΦ_{2} em U e uma função meromorfa g := \frac{Φ_{3}}{Φ_{1} − iΦ_{2}} , de maneira que podemos escrever ( fazendo um abuso de notação ) a representação de Weierstrass

X(z) = Re ∫_{z_{0}}^{z} ((1 − g^{2})f dz, i(1 + g^{2})f dz, 2gf dz)

Mostre que a superfície será regular sse f se anula apenas nos pólos de g e a ordem de cada zero nestes pontos é exatamente o dobro da ordem do pólo de g.

i) Mostre que a métrica é dada por

ds^{2} = (|f|(1 + |g|^{2}))^{2} | dz|^{2}

ii) Mostre que a segunda forma fundamental II é dada por

II = −2Re (f dz dg)

f) A finalidade deste exercício é mostrar que g é exatamente a composta da aplicação normal de Gauss com a projeção estereográfica do pólo norte, que tem que ser conforme, sse S é mínima (por quê ?).

i) Mostre que

X_{u} × X_{v} = (Im(\overline{Φ_{3}}Φ_{2}), Im(\overline{Φ_{1}}Φ_{3}), Im(\overline{Φ_{2}}Φ_{1}))

Conclua

N = \frac{X_{u} × X_{v}}{|X_{u} × X_{v}|} = (\frac{2Re g}{1 + |g|^{2}} , \frac{2 Im g}{1 + |g|^{2}} , \frac{1 − |g|^{2}}{1 + |g|^{2}} )

Infira daí o desejado.

g) Mostre que a curvatura de Gauss K de uma superfície mínima pode ser expressa em termos de f, g

K = −(\frac{2|g′|}{|f|(1 + |g|^{2})^{2}} )^{2}

h) Vamos neste item re-obter superfícies mínimas clássicas via a repre-

sentação de Weierstrass

i) Mostre que o catenóide pode ser obtido fazendo U = ℂ \ {0},

g(z) = z, f(z) dz = \frac{dz}{z^{2}} .

ii) Mostre que o helicóide pode ser obtido fazendo U = ℂ, g(z) = e^{z},

f(z) dz = i e^{−z} dz. iii) Mostre que Enneper pode ser obtida fazendo U = ℂ, g(z) = z,

f(z) dz = dz. Nota: O catenóide é a única superfície mínima de revolução . O catenóide e a superfície de Enneper são as únicas superfícies mínimas completas de curvatura total −4π. Se uma superfície mínima S mergulhada e completa tem curvatura total finita e gênero zero, então S tem que ser o plano ou o catenóide (Teorema de Lopez-Ros). Se uma superfície mínima S mergulhada e completa tem curvatura total finita e dois fins, então S tem que ser o catenóide (Teorema de R. Schoen): A hipótese de curvatura total finita pode ser relaxada e substituída pela hipótese bem mais fraca de topologia finita (Teorema de P. Collin).

iv) Obtenha a representação de Weierstrass da família catenóide-helicóide de superfícies mínimas associadas, localmente isométricas, ao catenóide (helicóide).

ı) Vamos ver outros exemplos de superfícies mínimas i_{1}) A superfície de Scherk é dada implicitamente por

e^{z} = \frac{cos y}{cos x}

Estude o seu gráfico relacionando com o princípio de reflexão de Schwarz para superfícies mínimas. Nota: Scherk foi obtida pelo método de separação das variáveis. i_{2}) Considere U = ℂ\\{0\}, g(z) = e^{\frac{1}{z}} , f(z) dz = \frac{dz}{z^{2} e^{\frac{1}{z}}} . Calcule Φ_{1}, Φ_{2}, Φ_{3}.

Mostre que a condição de zeros e pólos de f, g estão satisfeitas. Para que a imersão esteja bem definida é necessário verificar as condições de período: Basta considerar uma curva de Jordan em torno de 0 e calcular os resíduos de Φ_{1}, Φ_{2}, Φ_{3} na singularidade 0, e mostrar que parte real do resíduo é real. Conclua que (g, f dz) define uma imersão conforme mínima de ℂ \ {0} em IR^{3}. Mostre que a imersão é completa e de curvatura total −∞. Sugestão : Para mostrar o último ponto você terá que usar o grande teorema de Picard.

i_{3}) Encontre você mesmo, via Weierstrass, várias superfícies mínimas

completas em IR^{3}.

j) Mostre o seguinte teorema de Osserman: Seja f(z) uma função analítica que não se anula, definida num anel 0 < r_{1} < |z| < ∞. Suponha que para cada caminho γ que diverge para o infinito, tem-se que

∫_{γ} |f(z)|| dz| = ∞

Segue que que f(z) tem no máximo um pólo no infinito. Explique o que isto quer dizer. Conclua daí que a representação de Weierstrass (g, ω) de uma superfície mínima completa imersa em IR^{3} tem uma certa propriedade especial.

k) Mostre o seguinte teorema de Osserman: Seja M uma superfície de Riemann completa imersa em IR^{3}. Vale

∫_{M} K dA ⩽ 2π(χ − κ)

onde K é a curvatura de Gauss, χ é a característica de Euler e κ é o número de fins. Quando é que vale a igualdade ? Vale a igualdade quando M é mergulhada ? Exiba exemplos !!!!!

l) Mostre que a superfície de Jorge-Meeks, dada pelo par de Weierstrass

M = ℂ ∪ \{∞\} \ \{z^{n+1} = 1\}, g(z) = z^{n}, ω = \frac{dz}{(z^{n+1} − 1)^{2}} , tem as

seguintes propriedades: l_{1}) Determina uma superfície mínima completa, imersa e não mergulha-

da em IR^{3}. l_{2}) Admite um plano de simetria que corta a superfície ortogonalmente. l_{3}) É invariante pela rotação vertical de argumento \frac{2π}{n + 1}.

m) Seja X : M → IR^{3} uma imersão conforme e mínima. Mostre que num ponto p da superfície a interseção do plano tangente da superfície em p com a superfície consiste de 2k semi-curvas saindo de p, de maneira que o ângulo de duas curvas consecutivas é sempre igual a \frac{π}{k} , onde k é um inteiro ⩾ 2.

n) Considere (g(z), f(z) dz), z ∈ D^{∗} a representação de Weierstrass de um fim mínimo completo de curvatura total finita. Suponha que a aplicação de Gauss no infinito corresponde ao pólo sul da esfera 𝕊^{2}. n_{1}) Mostre que sea aplicação normal ne Gauss é limitada então o punc-

ture 0 é um pólo de f de ordem pelo menos igual a 2. Além disso mostre que se a ordem de f é n então a imersão dá n − 1 voltas em torno do eixo vertical. O quê você pode dizer quando o fim é mergulhado ?

n_{2}) Mostre que se o fim é mergulhado e g_{z}(0) = 0, então o fim converge

a um plano ortogonal à g(0).

o) Seja M uma superfície mínima completa, globalmente mergulhada em IR^{3}, com curvatura total finita e r fins. Mostre que g assume no máximo 2 valores antípodas nos fins. Agora suponha que a curvatura de Gauss K é estritamente negativa, i. e K < 0. Mostre que M necessariamente é um catenóide.

3) Vamos fazer agora algumas perguntas sobre superfícies de curvatura média constante de IH^{3}.

a) Mostre que uma superfície de curvatura média constante (não nula) de IH^{3} é sempre orientável.

b) É sabido que um gráfico geodésico cujo bordo está contido num plano totalmente geodésico de curvatura média constante H tem altura máxima artgh (1/|H|), estimativa esta realizada pelo hemisfério da esfera geodésica de raio R; cotgh R = |H| (veja as refs 13 e 17). Mostre que se S é uma superfície conexa mergulhada com H = constante, de modo que S ∩ {y = 0} = ∂S (S está de um lado do plano-xz (modelo do semiespaço)) então a distância máxima de S ao plano-xz é arctgh (2/|H|). Sugestão : Aplique o princípio do máximo e o princípio de reflexão de

Alexandrov de forma conveniente.

c) Mostre que se S é uma superfície de curvatura média constante (não nula), com bordo uma curva γ plana simples fechada (i. e o traço de γ está contido num plano totalmente geodésico), então a configuração S ∩ Int(γ) ≠ ∅ e S ∩ Ext(γ) = ∅ é impossível. Sugestão : Aplique a fórmula do fluxo dada em sala de aula, adaptada ao espaço hiperbólico, convenientemente (veja exerc.2), f)) e ref. 1)

d) Mostre que se uma superfície com H = cst ≠ 0 propriamente mergulhada e completa em IR^{3} tem dois fins tipo anel convergindo para dois cilindros então os cilindros têm que ser paralelos. O quê acontece na mesma situação em IH^{3} ?

4) Considere S uma superfície imersa em IR^{3} e seja N um campo de vetores normal (unitário) à S. A superfície paralela à S está definida por

S_{t} = S + tN

Você deve definir um conceito análogo no espaço hiperbólico.

a) Mostre que nos pontos regulares da superfície a curvatura média H_{t} e a curvatura de Gauss K_{t} de S_{t} são dadas por

H_{t} = \frac{H − Kt}{1 − 2Ht + Kt^{2}} K_{t} = \frac{K}{1 − 2Ht + Kt^{2}}

i) Assuma que H é uma constante positiva. Assuma também que M é completa com curvatura de Gauss K limitada. Mostre que as curvaturas média H_{t} e de Gauss K_{t} satisfazem a seguinte relação de Weingarten

2aH_{t} + K_{t} = b, a > 0, b ⩾ 0

para t suficientemente pequeno bem escolhido. ii) Mostre ainda que quando H = 0 e K >> −∞, M_{t} é imersa quando

t é suficientemente pequeno. Dê um exemplo de um fim de uma superfície mínima tal que K_{t} → −∞, quando p_{p∈S_{t}} → ∂S_{t}.

iii) Finalmente mostre que, nas hipóteses do item i), M_{t} é uma superfície especial de Weingarten (veja refs. 16, 18, 19, 21), ou seja existe uma função de classe C^{1}, f : [0, ∞) → IR, tal que as curvaturas média e de Gauss satisfazem uma relação da forma

H_{t} = f(H_{t}^{2} − K_{t})

para f elíptica, i. e f satisfazendo

4t (f′(t))^{2} < 1.

Conclua também que dentro de uma mesma classe de superfícies especiais de Weingarten existe uma bem determinada superfície totalmente umbílica.

b) Considere uma superfície imersa S em IR^{3} orientada por campo de vetores normal unitário N. Assuma que a curvatura média H é positiva e assuma que S satisfaz uma relação de Weingarten da forma

2aH + K = b, a > 0, b > 0

Que considerações e resultados análogos ao do item anterior você pode deduzir ?

5) Deduza a classificação das superfícies isoparamétricas de IH^{3}, seguindo o seguinte roteiro : Seja p ∈ M, um ponto não umbílico de uma superfície M em IH^{3}.

(i) Mostre que existe um referencial ortornormal {X_{1}, X_{2}} numa vizinhança de p principal, i.e, AX_{i} = k_{i} X_{i}, i = 1, 2, onde A é o operador de Weingarten que representa a segunda forma fundamental de M.

ii) Seja ∇ a conexão de M. Mostre que as quantidades ∇_{X_{2}}X_{1}, ∇_{X_{1}}X_{2}, ∇_{X_{1}}X_{1}, ∇_{X_{2}}X_{2} estão determinadas por funções a, b que dependem apenas de k_{1}, k_{2} e das suas derivadas com respeito a X_{1}, X_{2}. Precisamente, mostre que numa vizinhança u de p:

(1) \{ \begin{matrix}∇_{X_{2}}X_{1} & = b X_{2} \\ ∇_{X_{2}}X_{2} & = −b X_{1} \end{matrix}  \begin{aligned}∇_{X_{1}}X_{2} & = a X_{1} \\ ∇_{X_{1}}X_{1} & = −a X_{2} \end{aligned}  [X_{1}, X_{2}] = a X_{1} − b X_{2}

onde a = \frac{X_{2}(k_{1})}{k_{2} − k_{1}} e b = −\frac{X_{1}(k_{2})}{k_{2} − k_{1}} . Além disto, mostre que

(2) \begin{aligned}K_{e} := k_{1} k_{2} & = \frac{(X_{1}^{2}(k_{2}) − X_{2}^{2}(k_{1}))(k_{2} − k_{1})}{(k_{2} − k_{1})^{2}} \\ & + \frac{X_{1}(k_{2})(2X_{1}(k_{2}) − X_{1}(k_{1}))}{(k_{2} − k_{1})^{2}} \\ & + \frac{X_{2}(k_{1})(X_{2}(k_{2}) − 2X_{2}(k_{1}))}{(k_{2} − k_{1})^{2}} + 1 \end{aligned}

em U. Sugestões: As equações (1) seguem da compatibilidade, da simetria e das equações de Codazzi. Enquanto que a equação (2) segue da equação de curvatura de Gauss. iii) Mostre que existe um sistema de coordenadas principais numa vizin-

hança de p. Sugestão: Basta mostrar que existem campos Y_{1} = f X_{1} e Y_{2} = g X_{2}; tais que [Y_{1}, Y_{2}] = 0. Conclua que uma superfície isoparamétrica (i.e todas as curvaturas principais são constantes), não umbílica é um cilindro hiperbólico.

6) Neste item serão abordados algumas aplicações do princípio do máximo e do princípio de reflexão de Alexandrov.

a) Mostre que uma superfície propriamente mergulhada em IH^{3} de curvatura média constante cujo bordo assimptótico é um ponto é uma horosfera. E se o bordo assimptótico for um círculo ? E se a superfície é uma superfície especial de Weingarten ?

b) Mostre que o seguinte teorema de Hsiang: Uma superfície propriamente mergulhada de IH^{n+1} contida dentro de um cilindro, com curvatura média constante é uma hipersuperfície de revolução. O que você pode dizer, sob as mesmas condições , se a superfície é uma superfície especial de Weingarten ?

c) Mostre que se Ω ⊂ IR^{n} é um domínio que contém discos de raios arbitrariamente grandes então não existe uma função f : Ω → IR, e um número positivo c > 0 tal que a curvatura média H do gráfico de f satisfaça H ⩾ c > 0

d) Mostre que não existe um gráfico vertical mínimo em IH^{n+1} sobre um semi- espaço fechado do bordo assimptótico ∂_{∞}IH^{n+1}.

Verifique com cuidados as propriedades geométricas estudadas nesta lista no IR^{3} que são válidas para superfícies do espaço hiperbólico.

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