Superfícies mínimas
e de curvatura média constante
Ricardo Sá Earp
Resumo do
Projeto: Descrevendo a linha sucintamente, visa-se estudar a
teoria geométrica das imersões mínimas ou de curvatura média constante nos espaços
homogêneos tridimensionais simplesmente conexos. Tais espaços aparecem dentro
dos 8 modelos de geometrias de Thurston.
Há vários problemas geométricos interessantes a serem
exploradas
nestes espaços homogêneos tridimensionais, alguns são extensões –mudando o que
tem que ser mudado- de seus correspondentes Euclideanos,
e outros são inteiramente
surpreendentes. O projeto abrange questões da teoria das hipersuperfícies
mínimas (ou com curvatura média constante) em
Mn×Rk, onde Mn é uma variedade Riemanniana
de dimensão n e Rk é um espaço Euclideano
de dimensão k. Mais geralmente,
envolve o estudo de hipersuperfícies
mínimas em variedades Riemannianas. Há
vários problemas em abertos, projetos ainda não desenvolvidos interessantes no
tema e estudos já estabelecidos no assunto, que poderão servir de tema para
futuros alunos de doutorado e de mestrado.
A
linha de pesquisa da Geometria Diferencial em torno do projeto global de
estudar a geometria das superfícies mínimas e de curvatura média constante em
variedades homogêneas tridimensionais é de candente atualidade. De fato, depois
da pesquisa intensa nas últimas décadas sobre as superfícies mínimas ou de
curvatura média constante nos espaços de curvatura constante (R3, S3, H3),
agora a atenção dos geômetras da área está voltada para os espaços modelos da
classificação de Thurston, entre eles H2xR, onde há muitos exemplos de superfícies mínimas ou de
curvatura média constante.
As
hipersuperfícies mínimas ou de curvatura média constante são pontos críticos de
um funcional volume. Em 1917 houve a publicação do famoso teorema de Bernstein (1917) sobre
gráficos mínimos no R3. O
estudo analítico-geométrico das EDP elípticas dadas pela equação da curvatura
média e seu liame com a Geometria Diferencial tem se desenvolvido desde então.
Disto surgem várias direções de pesquisa centradas na teoria das
hipersuperfícies mínimas ou de curvatura média constante. Portanto, há um acirrado estudo analítico-geométrico das,
baseado, por exemplo, no princípio do máximo, nas estimativas de
curvatura, nos problemas de Dirichlet e nos problemas de Plateau,
para citar alguns dos fenômenos
geométricos mais interessantes e fundamentais.