1\underline{o} EXAME DE ANÁLISE REAL

prof. Ricardo Sá Earp 4 de outubro de 2002

Escreva com apuro a sua resposta, colocando todos os desenvolvimentos Justifique cabal e completamente as suas afirmações

1\underline{a} Questão (4 pts): Responda verdadeiro ou falso. Caso verdadeiro escreva uma dedução

rigorosa, caso falso dê um contra-exemplo.

a) Considere {a_{n}}, {b_{n}} n ∈ IN duas seqüências de números reais satisfazendo 0 < a_{n} < 1 e 0 < b_{n} < 1 ∀n ∈ IN e a_{n} + b_{n} = 1. Defina a seqüência {A_{n}} por

A_{n} = \frac{(a_{n} + b_{n})^{a_{n}+b_{n}}}{a_{n}^{a_{n}} b_{n}^{b_{n}}}

Temos então que sempre existe uma subseqüência {A_{n_{j}}} de {A_{n}} e um número real λ satisfazendo 0 ⩽ λ ⩽ 2, tal que A_{n_{j}} → λ (quando j → ∞)

b) Duas métricas num espaço vetorial normado de dimensão infinita são sempre equivalentes.

c) Se uma série de potências ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(x − c)^{n}, converge normal-

mente num intervalo |x − c| ⩽ a, a > 0, então a série converge absolutamente neste mesmo intervalo.

d) O fecho da bola unitária num espaço de Banach é sempre compacto.

2\underline{a} Questão (2 pts): Mostre com todos os detalhes que l^{2}(IR) é um espaço de Banach.

3\underline{a} Questão (2 pts): Seja a > 0 um número real positivo fixado. Considere a série de

potências

∑_{n=1}^{∞} na^{n}z^{3^{n}}

a) Determine o raio de convergência da série.

b) Determine uma condição suficiente sobre a para que a série convirja normalmente no intervalo |x| ⩽ 1.

4\underline{a} Questão (2 pts): Sejam a_{1}, … a_{n} são números positivos de soma s. Mostre que

(a_{1} + \frac{1}{a_{1}} )^{2} + ⋯ + (a_{n} + \frac{1}{a_{n}} )^{2} ⩾ n (\frac{s}{n} + \frac{n}{s})^{2}