2\underline{o} EXAME DE ANÁLISE REAL

prof. Ricardo Sá Earp 14 de novembro de 2002

Escreva com apuro a sua resposta, colocando todos os desenvolvimentos

Justifique cabal e completamente as suas afirmações O entendimento das definições envolvidas faz parte das questões

1\underline{a} Questão (2.5 pts):

a) Considere o intervalo I = (2^{−2002}, 2^{2003}). Mostre que

(1 + \frac{x}{n})^{n} , n ⩾ 1

converge uniformemente em I.

i) Calcule

lim_{n→∞} (1 − \frac{1}{n + 2^{n}} )2^{n} (cos(1/n))^{1/tan(1/n)}

2\underline{a} Questão (2.5 pts): Mostre rigorosamente que toda função semi-contínua inferiormente

definida num espaço métrico compacto X assume o mínimo em X.

3\underline{a} Questão (2.5 pts): Seja y = f(x) uma função positiva de classe C^{2} no intervalo [0, ∞).

Suponha que y(0) = τ > 0, e que y′(0) = 0. Assuma ainda que y(x) é uma função estritamente convexa, i.e y′′(x) > 0. Suponha que para certo A > 0, y satisfaça a desigualdade diferencial

\frac{y′′}{(1 + y^{′2})^{3/2}} ⩽ \frac{1}{y(1 + y^{′2})^{1/2}} + \frac{A}{y^{2}(1 + y^{′2})}

a) Mostre que a função

\frac{1}{2} log(1 + y^{′2}) − log y + \frac{A}{y}

é estritamente decrescente em (x_{0}, x_{1}), x_{0} > 0. Deduza que existem constantes b > 0 e c tal que

y(x) < c e^{bx}

4\underline{a} Questão (2.5 pts): Seja f uma função real definida num intervalo I de comprimento

2l. Assuma que f é duas vezes diferenciável em I. Além disso, suponha que f e f′′ sejam limitadas. Seja M_{0} = sup_{x∈I} |f(x)| e M_{2} = sup_{x∈I} |f′′(x)|.

a) Seja x_{0} um ponto interior de I e seja λ um número real positivo tal que o intervalo J = J(x_{0}, λ) = [x_{0} − λ, x_{0} + λ] seja contido no interior de I. Mostre que

|f′(x)| ⩽ \frac{M_{0}}{λ} + λM_{2}, ∀x ∈ J