3\underline{o} EXAME DE ANÁLISE REAL

prof. Ricardo Sá Earp 10 de dezembro de 2002

Escreva com apuro a sua resposta, colocando todos os desenvolvimentos

Justifique cabal e completamente as suas afirmações O entendimento das definições envolvidas faz parte das questões

1\underline{a} Questão (2.5 pts):

Discuta rigorosamente a existência ou não existência dos limites abaixo:

a) Dado α > 0, analise

lim_{N→∞} ∫_{0}^{N} \frac{x sin(αx)}{1 + x^{2}} dx

b) Analise

lim_{N→∞} ∫_{0}^{N} e^{−t} t^{x−1} dt

2\underline{a} Questão (2.5 pts):

Seja {f_{n}} uma seqüência de funções reais de classe C^{1} definidas num intervalo aberto I. Assuma que a seqüência de derivadas {f′_{n}} seja uniformemente localmente limitada em I. Assuma também que a tal seqüência {f_{n}} seja uniformemente localmente limitada em I. Seja f uma função definida em I tal que toda subseqüência {f_{n_{j}}} que converge sobre todo compacto de I possui f como limite. Mostre que f_{n} → f (n → ∞), uniformemente em todo compacto de I.

3\underline{a} Questão (2.5 pts): Considere

c_{n} := ∫_{−1}^{1}(1 − t^{2})^{n} dt, n ∈ IN

Defina a seqüência de funções φ_{n} : IR → IR, definida por

φ_{n}(t) = \{ \begin{matrix}0 & se |t| ⩾ 1 \\ \frac{(1 − t^{2})^{n}}{c_{n}} & se t ∈ [−1, 1] \end{matrix}

a) Será que {φ_{n}} converge uniformemente em IR ?

b) Será que dado 0 < δ < 1, {φ_{n}} converge uniformemente em |t| ⩾ δ ?

4\underline{a} Questão (2.5 pts): Considere a seqüência de funções contínuas f_{n}(x) = nx(1 − x)^{n}, 0 ⩽ x ⩽ 1

a) Discuta a convergência pontual e a convergência uniforme da seqüência.

b) Discuta a limitação uniforme da seqüência.