ANÁLISE REAL-2002.2–Lista1

Professor: Ricardo Sá Earp

Números reais, certas desigualdades clássicas e aplicações

x Um raciocínio relativamente fácil calcado nos resultados do curso básico de Cálculo de uma variável real, ou melhor, que pode ser inferido de certas desigualdades elementares (essencialmente a desigualdade entre a média aritmética e geométrica, deduzida na sala de aula) leva às seguintes desigualdades fundamentais: Teorema Se x ⩾ −1, e 0 < α < 1, então

(1)  (1 + x)^{α} ⩽ 1 + αx

se α < 0 ou α > 1, então

(2)  (1 + x)^{α} ⩾ 1 + αx

Sendo que a igualdade nestas desigualdades ocorre se e somente se x = 0. Uma outra forma útil das desigualdades acima é a seguinte:

(4)  y^{α} ⩽ 1 − α + αy  se y ⩾ 0 e 0 < α < 1
(5)  y^{α} ⩾ 1 − α + αy  se y ⩾ 0 e α > 1 ou α < 0

Sendo que a igualdade nestas desigualdades ocorre se e somente se y = 1.

1) Para α > 0, considere as seguintes desigualdades

\frac{n^{α+1}}{α + 1} < ∑_{k=1}^{n} k^{α} < \frac{(n + 1)^{α+1}}{α + 1}

para −1 < α < 0

\frac{(n + 1)^{α+1}}{α + 1} − \frac{1}{α + 1} < ∑_{k=1}^{n} k^{α} < \frac{n^{α+1}}{α + 1}

a) Demonstre as desigualdades acima usando obrigatoriamente um argumento por indução combinado com o uso das desigualdades (1) e (2) do início da lista. b) Demonstre as desigualdades acima usando obrigatoriamente somas de

Riemann.

c) Você saberia dar uma demonstração das desigualdades acima usando con-

vexidade ? (exploraremos bastante este conceito mais adiante no curso).

2) Assuma o seguinte resultado do Cálculo de uma variável real que ainda discutiremos posteriormente no curso:

e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ⋯ + \frac{x^{n}}{n!} + ⋯

a) Demonstre usando o teorema do binômio que

(1 + \frac{1}{n})^{n} < ∑_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} n = 1, 2, …

Conclua que ∏_{k=1}^{n} (1 + \frac{1}{k} )^{k} < e^{n} .

b) Aplique o resultado anterior para demonstrar que

n! > \frac{(1 + n)^{n}}{e^{n}}

O teorema do binômio também pode ser usado para demonstrar a seguinte desigualdade

(1 + \frac{1}{n})^{n+1} > ∑_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}

c) Relembrando o conceito de seqüência de números reais que exploraremos

nas próximas aula mostre as seqüência x_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n} , e y_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n+1} , são respectivamente crescentes e descrescente, concluindo com o que foi dito

(1 + \frac{1}{n})^{n} < ∑_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} < (1 + \frac{1}{n})^{n+1}

Infira que as seqüências {x_{n}} e {y_{n}} tem como limite o número e; além disso conclua que

(1 + \frac{1}{n})^{n+1} > e

d) Usando os resultados anteriores mostre que

n! < \begin{matrix}(1 + n) & n+1 \\ e & n \end{matrix}

Nota: Estimativas bem melhores podem ser obtidas pela chamada fórmula de Stirling que faz uso da função Gamma (denotada Γ(z)) cujo estudo faremos mais adiante no curso. A fórmula de Stirling diz o seguinte:

Γ(n + 1) = n! = \sqrt{2π} n^{n+1/2} e^{−n+α_{n}}, n ∈ IN^{∗}

onde α_{n} → 0 (n → ∞). À guisa de informação cultural queremos dizer agora o seguinte: A função Γ(z) é a continuação analítica da função fatorial, sendo uma função meromorfa em ℂ cujos pólos são os inteiros negativos (incluindo 0); cada pólo −n é simples de resíduo \frac{(−1)^{n}}{n!} .

3) Para x e y números reais positivos, mostre que

(xy^{n})^{1/(n+1)} < \frac{x + ny}{1 + n} n = 1, 2, 3, …

a menos que x = y.

4) Mostre que

n! < (\frac{n + 1}{2})^{n} n = 1, 2, …

5) Mostre que se x_{1}, …, x_{n} são números reais positivos que

(∑_{i=1}^{n} x_{i}) (∑_{i=1}^{n} \frac{1}{x_{i}} ) ⩾ n^{2}

sendo que a igualdade é válida se e somente se x_{1} = x_{2} = ⋯ x_{n}.

6) Apresente pelo menos duas demonstrações do seguinte fato: Se x, y, z são números reais positivos, e se x^{4} + y^{4} + z^{4} = 27, então x + y + z ⩽ 3\sqrt{3}.

7) Mostre usando o seu conhecimento do Cálculo I, , ou melhor aplicando desigualdades elementares que você verá adiante, combinado com desigualdades fundamentais vistas acima, que se x > 0 e n > 1 que

\frac{x}{n + x(n − 1)} < (x + 1)^{1/n} − 1 < \frac{x}{n}

Que informação você pode deduzir da desigualdade sobre o limite de ^{n} \sqrt{a} (a > 0), quando n → ∞ ?

8) Mostre que se x, y, z são números reais positivos então

\frac{9xyz}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} ⩽ xyz(x + y + z) ⩽ x^{2}y^{2} + y^{2}z^{2} + z^{2}x^{2}

9) Sejam x, y números reais satisfazendo x ⩾ y > 0 e x + y = 1. Aplique estimativas clássicas, combinadas com técnicas usuais do Cálculo Diferencial, ou melhor ainda desigualdades baseadas esssencialmente nas médias, para deduzir que

(x + \frac{1}{x})^{2} + (y + \frac{1}{y} )^{2} ⩾ \frac{25}{2}

Generalize: Se a_{1}, … a_{n} são números positivos de soma s então

(a_{1} + \frac{1}{a_{1}} )^{2} + ⋯ + (a_{n} + \frac{1}{a_{n}} )^{2} ⩾ n (\frac{s}{n} + \frac{n}{s})^{2}

10) Mostre que se x, y, z são números reais positivos então

(x + y)(y + z)(z + x) ⩾ 8xyz

11) O seguinte resultado tem uma demonstração que me parece bem interessante, já que é uma combinação esperta do uso de certa desigualdade clássica combinado com um argumento recursivo, no qual aparece naturalmente a série geométrica \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ⋯ = 1. Demonstre que para x ⩾ y > 0 tem-se

(x + y)(x^{3} + y^{3})(x^{7} + y^{7}) ⩽ 4(x^{11} + y^{11})

12) Mostre usando desigualdade clássica que se x, y, z são números reais positivos satisfazendo x^{3} + y^{3} = z^{3} que

(\frac{xy}{z^{2}} )^{3} ⩽ \frac{1}{4}

13) Mostre usando desigualdade clássica que se 0 < x < \frac{1}{n}, n = 1, 2, …

(1 + x)^{n} < \frac{1}{(1 − nx)}

14) A próxima desigualdade é devida a Tchebychef. Se a_{1} ⩾ a_{2} ⩾ ⋯ a_{n} ⩾ 0, e b_{1} ⩾ b_{2} ⩾ ⋯ ⩾ b_{n} ⩾ 0, então

\frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} a_{k}b_{k} ⩾ (\frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} a_{k}) (\frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} b_{k}) , n = 1, 2, …

Para poder demonstrar esta desigualdade proceda da seguinte maneira:

a) Verifique a desigualdade quando n = 2, 3, prestando atenção numa certa desigualdade elementar que aparece nesta verificação

b) De posse da desigualdade obtida pela intuição adquirida no item a),

mostre o resultado geral.

15) Levando em conta a série de Taylor da função cosseno, isto é

cos x = 1 − \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} − ⋯ (−1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!} ⋯

mostre que

0 < 1 − cos(\frac{1}{n}) < \frac{1}{2 · 10^{4}} se n > 100

16) Use cálculo diferencial básico de uma variável real para mostrar que se x > 1,

então

x^{1/100} > ln x

17) Mostre usando o conhecimento da função exponencial (você fica proibido de usar neste exercício a regra de l’Hôpital) que para p, q positivos vale

e^{x^{p}} > x^{q}

para x suficientemente grande

18) Para o próximo exercício você vai precisar do conhecimento do conceito de convexidade. Mostre que para x > y > 0 positivos e p > 1 vale

(x + y)^{p} < 2^{p−1}(x^{p} + y^{p})

Você poderia generalizar a desigualdade acima para n números ?

19) Use a desigualdade (4) para mostrar que se 0 < α < 1 e se a, são não negativos

então

a^{α} b^{1−α} ⩽ α a + (1 − α)b

Quando x e y são positivos, satisfazendo x+y = 1, fazendo α = x e 1−α = y, obtenha

(6)  a^{x}b^{y} ⩽ xa + yb

sendo que a igualdade é válida, se e só se a = b. Mostre que a desigualdade (6) pode ser escrita da seguinte forma

(7)  a^{α} − b^{α} < ab^{α−1}(a − b),  0 < α < 1

formulação esta que é deveras útil como você já deve ter observado nos exercícios anteriores.

A desigualdade (6) é suficientemente importante para apresentarmos uma demonstração para um número n de números reais positivos a_{1}, … a_{n} e números positivos x_{1}, x_{2}, … x_{n}, satisfazendo x_{1} +x_{2} +… x_{n} = 1. Afirmamos que neste caso vale também

(8)  a_{1}^{x_{1}}a_{2}^{x_{2}} ⋯ a_{n}^{x_{n}} ⩽ ∑_{i=1}^{n} x_{i}a_{i}

Imbutida na desigualdade acima está a idéia de convexidade que você verá proximamente. Vamos prosseguir com uma demonstração por indução . Suponhamos que a propriedade esteja demonstrada para m (ou menor) números . Seja x_{1}, … x_{m+1} números positivos satisfazendo x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{m+1} = 1. Coloquemos x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{m} = σ. Segue que

a_{1}^{x_{1}}a_{2}^{x_{2}} ⋯ a_{m}^{x_{m}}a_{m+1}^{x_{m+1}} = (a_{1}^{x_{1}/σ}a_{2}^{x_{2}/σ} … a_{m}^{x_{m}/σ})^{σ} a_{m+1}^{x_{m+1}}
⩽ (a_{1}^{x_{1}/σ}a_{2}^{x_{2}/σ} … a_{m}^{x_{m}/σ}) σ + a_{m+1}x_{m+1}

usando a propriedade para o caso de dois números. O argumento fica finalizado aplicando a hipótese de indução . Sendo que a igualdade é verificada se e somente se todos os números a_{i} são iguais.

20) Mostre a desigualdade de Young, usando o item anterior: Se a, b são positivos, e se p, q com p > 1 satisfazem \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1, então

ab ⩽ \frac{a^{p}}{p} + \frac{b^{q}}{q}

sendo que vale a igualdade se e só se a^{p} = b^{q}.

21) Mostre que se a ⩾ b > 0, e a + b = 1, então

a^{a}b^{b} ⩾ \frac{(a + b)^{a+b}}{2}

22) Mostre o segunte resultado de Bohr. Se c > 0 então

|a + b|^{2} ⩽ (1 + c)|a|^{2} + (1 + \frac{1}{c}) |b|^{2}

Vamos agora demonstrar a clássica desigualdade de Hölder. sejam p, q números reais positivos, satisfazendo \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. Se a_{1}, …, a_{n} e b_{1}, …, b_{n} são não negativos, então

∑_{i=1}^{n} a_{i}b_{i} ⩽ (∑_{1}^{n} a_{i}^{p})^{1/p} · (∑_{1}^{n} a_{i}^{q})^{1/q}

sendo que a igualdade é válida se e somente se b_{1} = b_{2} = ⋯ = b_{n} = 0, ou a_{1}/b_{1} = a_{2}/b_{2} = ⋯ a_{n}/b_{n}. O caso especial em que p = q = 2 é famoso e chamado de desigualdade de Cauchy. A demonstração usa a desigualdade (6) fazendo

a := \frac{a_{i}^{p}}{∑_{1}^{n} a_{i}^{p}} e b := \frac{a_{i}^{p}}{∑_{1}^{n} a_{i}^{p}}

23) Complete a demonstração da desigualdade de Hölder, como exercício.

Para completar esta lista vamos tratar um pouco números racionais, irracionais e enumerabilidade.

24) Considere S_{n}^{(m)} as somas das m-ésimas potências dos n primeiros números

naturais, ou seja

S_{n}^{(m)} := 1^{m} + 2^{m} + … + n^{m}.

a) Mostre de pelo menos três maneiras distintas as seguintes identidades para S_{n}^{(2)} e S_{n}^{(3)}:

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ⋯ + n^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}
1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ⋯ + n^{3} = (\frac{n(n + 1)}{2})^{2}

b) Mostre que S_{n}^{(m+1)} é um polinômio de grau m + 1 sem coeficientes con-

stantes, cuja soma dos coeficientes é 1.

25) Mostre que o conjunto dos números reais algébricos é enumerável.

26) Mostre que o número ^{3} \sqrt{26 + \sqrt{9 × 3 × 25}} se escreve da forma x + y\sqrt{3}, onde x e y são inteiros.

27) Decida qual é o maior dentre os números 5^{\sqrt{6}} e 6^{\sqrt{5}}, usando identidades e desigualdades elementares.

28) Mostre que todo conjunto aberto em IR é a união de uma coleção no máximo enumerável de conjuntos abertos disjuntos.

BIBLIOGRAFIA SUCINTA

1. Elon Lages Lima. Curso de Análise Volume 1. Projeto Euclides, 1995.

2. Emil Artin. The Gamma Function.Holt, Rinehart and Winson, Inc. 1964.

3. Ivan Niven. Numbers Rational and Irrational. Random ouse Inc. 1961.

4. G. H. Hardy, J. E. Littlewood e G. Pólya. Inequalities. Cambridge Press , 1973.

5. Henri Mascart e Marius Stoka. Fonctions d’une Variable Réele. PF, 1986.

6. Nicholas D. Kazarinoff. Analytic Inequalities. Holt, Rinehart and Winson, Inc. 1961.

7. Ralph P. Boas, Jr. A Primer of Real Functions. Math. Assoc. of Amer. John Wiley and Sons, Inc. 1960. 8. Walter Rudin. Princípios de Análise Matemática. Livro Técnico, N, 1971.