ANÁLISE REAL-2002.2–Lista2

Professor: Ricardo Sá Earp

Elementos de espaços métricos

Em toda esta lista (X, d) ou simplesmente X será um espaço métrico com distância d.

Nos próximos exercícios vamos revisar certos conceitos básicos topológicos de espaços métricos.

1) Mostre que para todo subconjunto A de X, o conjunto A^{∘} é aberto e A é aberto se e somente se A = A^{∘} . Além mostre que \overline{A} é fechado e A é fechado, se e só se A = \overline{A}. Dê uma caracterização dos conjuntos fechados em termos de seqüências .

2) Sejam A e B dois subconjuntos de IR. Mostre que para o subconjunto A × B de IR^{2} (produto cartesiano), valem as seguintes propriedades:

(A × B)^{∘} = A^{∘} × B^{∘}, \overline{(A × B)} = \overline{A} × \overline{B} ∂(A × B) = (∂A × \overline{B}) ∪ (\overline{A} × ∂B)

Generalize este exercício para uma situação a mais abrangente possível!!

3) Mostre que se X é um espaço de Banach (ou seja; X é uma espaço vetorial normado completo) e se A é um subespaço vetorial fechado de X, então A é espaço de Banach.

4) Mostre que se X é um espaço de Banach com norma ∥, ∥, e se {x_{n}} é uma

seqüência de pontos de X, tal que a série ∑_{1}^{∞} x_{n} é normalmente convergente;

isto é, ∑_{1}^{∞} ∥x_{n}∥ < ∞, então a série ∑_{1}^{∞} x_{n} converge.

5) Mostre com todos os detalhes que duas normas quaisquer ∥∥_{1} e ∥∥_{2} em IR^{n}, são equivalentes. Você saberia dar um contraexemplo da afirmação acima, quando X é um espaço de Banach de dimensão infinita ?

Dizemos que uma subespaço A do espaço métrico X é denso em X se o fecho de A é X, ou seja \overline{A} = X. Dizemos que X é um espaço métrico separável, se X contém um subconjunto enumerável e denso.

6) Mostre que todo espaço Euclideano (espaço vetorial normado de dimensão finita) é separável, mostrando que IR^{n} é separável.

7) Mostre que se α é um número irracional então o subconjunto de números reais {αm + n, n, m ∈ ℤ} é denso em IR. Desta informação o que você pode concluir sobre a aderência do conjunto {cos n, n ∈ ℤ} ?

8) Considere o espaço l^{p}(IR), p ⩾ 1, consistindo no conjunto das seqüências de números reais x = {x_{n}} tal que

∑_{n=1}^{∞} |x_{n}|^{p} < ∞

Considere também l^{∞}(IR), o conjunto de seqüências de números reais x = {x_{n}}, limitadas.

a) Mostre com todos os detalhes que l^{p}(IR), p ⩾ 1, é um espaço de Banach (mostrando inclusive, com detalhes, que é completo!!) , com a norma

∥x∥_{l^{p}} := (∑_{n=1}^{∞} |x_{n}|^{p})^{1/p}

b) Mostre que l^{p}(IR), p ⩾ 1, é um espaço de Banach separável.

c) Mostre que l^{∞}(IR), com a norma

∥x∥_{l^{∞}} := sup_{n} |x_{n}|

é um espaço de Banach que contém os espaços l^{p}’s (p ⩾ 1).

Além disso, mostre que l^{∞}(IR), não é separável.

d) Mostre a desigualdade de Jensen: Se 1 ⩽ q < p, então

(1)  (∑_{i=1}^{∞} |a_{i}|^{p})^{1/p} ⩽ (∑_{i=1}^{∞} |a_{i}|^{q})^{1/q}

Ou seja a função

p → ∥x∥_{l^{p}}, 1 ⩽ p < ∞

é decrescente. Na verdade, o limite ∥x∥_{l^{p}} quando (p → ∞) existe e é igual a ∥x∥_{l^{∞}}.Sugestão : Pense porque pode-se fazer uma normalização

(∑_{i=1}^{∞} |a_{i}|^{q})^{1/q} = 1. Conclua uma relação de inclusão entre os espaços

l^{p}, p ⩾ 1. Observamos que a desigualdade de Jensen é válida para 0 < q < p, veja a referência 4, abaixo. Além disso, mostre que a inclusão entre os vários espaços l^{p}, p ⩾ 1, é estrita; mostrando primeiramente, que l^{1} ⫋ l^{2}. Observamos que se p > q ⩾ 1, existe r > 0, tal que \frac{1}{r} + \frac{1}{p} = \frac{1}{q}. A desigualdade de Hölder pode ser aplicada para mostrar a seguinte desigualdade entre a média das potências (que é válida para todo p, q satisfazendo q < p, veja na ref. 4):

(2)  (\frac{∑_{i=1}^{N} |a_{i}|^{q}}{N} )^{1/q} ⩽ (\frac{∑_{i=1}^{N} |a_{i}|^{p}}{N} )^{1/p}

e) Mostre a desigualdade acima, observando que esta não contradiz (1). Também é possível demonstrar (2), usando convexidade. Você saberia fazer isto ?

A desigualdade de Hardy, diz que para p > 1, vale

(3)  ∑_{N=1}^{∞}(\frac{∑_{i=1}^{N} |a_{i}|}{N})^{p} ⩽ (\frac{p}{p − 1})^{p} ∑_{i=1}^{∞} |a_{i}|^{p}

Tal desigualdade será estudada na ocasião que estivermos focalizando diferenciabilidade.

9) Mostre com todos os detalhes, mostrando inclusive a completude, que l^{2}(IR) é um espaço de Hilbert, ou seja, l^{2}(IR) é um espaço de Banach cuja norma provém de um produto interno.

10) Exiba exemplos variados de subespaços métricos fechados e limitados que não sejam compactos.

11) Exiba mais de um exemplo de conjuntos compactos em IR e IR^{2}, com interior vazio, e que não sejam enumeráveis.

12) Será que o fecho da bola unitária num espaço de Banach, é necessariamente um conjunto compacto ? Discuta exemplos.

13) Exiba um exemplo de covertura de um intervalo aberto limitado da reta que não admita subcovertura finita.

14) Exiba conjuntos limitados em IR e IR^{2}, com um número pré-determinado n de pontos de acumulação .

15) Mostre com todos os detalhes que os subconjuntos compactos e limitados de IR^{n} são exatamente os conjuntos fechados e limitados.

16) Mostre que todo espaço métrico compacto é separável.

17) Seja {K_{α}}, uma coleção de compactos do espaço métrico X, com a propriedade que a interseção de um número finito qualquer de tais K_{α}’s sempre tem interseção não vazia. Mostre que ∩K_{α} não é vazia.

Dizemos que um subconjunto A de X é perfeito se A é fechado e todo ponto de A é ponto de acumulação de A.

18) Mostre que todo subconjunto fechado de um espaço separável X é a união de um conjunto perfeito (possivelmente vazio) com um conjunto (no máximo) enumerável. Conclua que todo subconjunto fechado enumerável de um espaço Euclideano tem pontos isolados. O que acontece se a hipótese ”fechado” for relaxada ? Exiba exemplos de conjuntos perfeitos, com interior vazio.

19) Mostre que o produto cartesiano de espaços métricos compactos é um espaço compacto.

BIBLIOGRAFIA SUCINTA

1. Augus E. Taylor. Introduction to Functional Analysis. John Wiley and Sons, Inc, 1958.

2. Elon Lages Lima. Curso de Análise Volume 1. Projeto Euclides, 1995.

Professor Ricardo Sa Earp 5

3. Elon Lages Lima. Elementos de Topologia Geral. Projeto Euclides, 1970.

4. G. H. Hardy, J. E. Littlewood e G. Pólya. Inequalities. Cambridge Press , 1973.

5. Ralph P. Boas, Jr. A Primer of Real Functions. Math. Assoc. of Amer. John Wiley and Sons, Inc. 1960.

6. Walter Rudin. Princípios de Análise Matemática. Livro Técnico, N, 1971.

7. Srishti D. Chatterji. Cours d’Analyse 1,2. Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1997.