ANÁLISE REAL-2002.2–Lista3

Professor: Ricardo Sá Earp

Estimativas numéricas, seqüências, séries de números reais Séries de potências

Estimativas numéricas

1) Vamos neste exercício fazer uma estimativa para \sqrt{2}, envolvendo um estudo interessante de seqüência e recorrência.

a) Mostre que para todo natural n ≠ 0, o número (3 + 2\sqrt{2})^{n}, se escreve de

maneira única da forma

a_{n} + b_{n}\sqrt{2}

onde a_{n} e b_{n} são números naturais. Além disso, mostre que (3 + 2\sqrt{2})^{−n}, n ∈ IN se escreve da forma a_{n} − b_{n}\sqrt{2} (mesmos a_{n} e b_{n}).

b) Qual estrutura algébrica natural tem o conjunto \{(3 + 2\sqrt{2})^{n} , n ∈ ℤ\} ?

c) Considere a seqüência u_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}} , n ∈ IN^{∗}.

i) Mostre que u_{n+1} = \frac{3u_{n} + 4}{2u_{n} + 3}, e mostre por recorrência u_{n} > \sqrt{2}. Ałém disso, conclua que {u_{n}} é uma seqüência estritamente decrescente.

e) Levando em conta o que foi feito acima e uma desigualdade elementar

numérica mostre que

0 < u_{n} − \sqrt{2} < \frac{1}{b_{n}5^{n}}

f) Mostre que a_{8} = 665857, e b_{8} = 470832, mostrando em seguida que

0 < u_{8} − \sqrt{2} < \frac{10^{−5}}{29427 · 125}

Obtenha uma aproximação de \sqrt{2}, com 11 algarismos exatos.

2) Qual é o maior dentre os números (11!)^{12} e (12!)^{11} ? Sugestão : O que você pode dizer sobre a monotonicidade da seqüência ^{n} \sqrt{n!} ?

3) Mostre que a seqüência ^{n} \sqrt{n}− ^{n+1} \sqrt{n + 1}, é estritamente decrescente para n ⩾ 5 usando obrigatoriamente desigualdades elementares incluindo por exemplo o conhecimento da seqüência \{(1 + \frac{1}{n})^{n}\} , objeto de estudo do exercício 2)

c) da Lista 1; veja equações (∗) e (∗∗) que aparece numa Nota logo após o exercício 41) abaixo. Não é permitido o uso do cálculo diferencial para resolver este problema. Como aplicação, determine o maior dentre os números ^{5} \sqrt{5}+ ^{8} \sqrt{8} e ^{6} \sqrt{6} + ^{7} \sqrt{7}.

O próximo exercício ficou um pouco perdido entre as desigualdades da lista 1 e gostaria de recolocá-lo aqui.

4) Levando em conta a série de Taylor da função cosseno,

cos x = 1 − \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} − ⋯ (−1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!} ⋯

fazendo um raciocínio elementar direto (veja dica no papo sobre a série binomial abaixo), mostre que

0 < 1 − cos(\frac{1}{n}) < \frac{1}{2 · 10^{4}} se n > 100

Vamos recordar a série binomial e a fórmula de Abel-Newton que enunciaremos a seguir. Dado α ≠ 0, um número real não nulo define-se para n > 0

\binom{α}{n} = \frac{α(α − 1) ⋯ (α − n + 1)}{n!} e \binom{α}{0} = 1

Dado um número real α ∈ IR \ ℤ que não seja um inteiro ⩾ 0 (caso trivial da conhecida fórmula de Newton), tem-se a fórmula de Abel-Newton

(1 + z)^{α} = ∑_{n=0}^{∞} \binom{α}{n}z^{n}, (|z| < 1)

sendo o raio de convergência da série igual a 1 (isto faz parte do nosso estudo sobre séries de potências). Note que a série para z = x ∈ IR e 0 < α < 1 é alternada.

5) Usando as considerações acima, mostre que encontre um valor aproximado de \sqrt{1632}, estimando o erro do seu cálculo, explicando se o erro é por falta ou por excesso, e determinando o número de algarismos corretos de sua aproximação e dizendo (se possível) quais são os dois primeiros algarismos significativos exatos após a vírgula.

6) Usando uma idéia que já apareceu antes, estime quantos zeros após a vírgula o algarismo (\sqrt{50} + 7)^{100001}, possui (com certeza) na sua expansão decimal.

7) (O número áureo). Usando o método de diferenças finitas (veja mais adiante), mostre que a equação linear (homogênea) de diferenças de segunda ordem

a_{n} = a_{n−1} + a_{n−2}, n ⩾ 2

a) com condição inicial a_{0} = a_{1} = 1, tem solução única a_{n}, satisfazendo

lim_{n→∞} \frac{1}{|a_{n}|^{1/n}} = \frac{\sqrt{5} − 1}{2} (número áureo)

i) Encontre uma aproximação para o número áureo com 4 algarismos

exatos.

b) Encontre o raio de convergência da série

∑_{1}^{∞} a_{n}z^{n}

8) Considere a equação de diferenças

x_{n+1} = \frac{x_{n−1} + x_{n}}{2}

satisfazendo a condição inicial x_{0} = 0 e x_{1} = 1. Mostre que x_{n} → \frac{2}{3}, quando (n → ∞). Para que valores n temos que x_{n} é um valor aproximado de 2/3, com erro < 1/(3 · 2^{1000}) ?

9) Usando a série de Taylor de cos x, calcule

∫_{0}^{1} \frac{cos(x^{2}) − 1}{x^{4}} dx

com dois decimais exatos. A dica está no papo sobre a série binomial, logo antes do item 4).

10) Mostre a relação (sem usar o cálculo diferencial)

(1)  \sqrt{n + 1} − \sqrt{n} < \frac{1}{2\sqrt{n}} < \sqrt{n} − \sqrt{n − 1},  n ⩾ 2

a) Usando desigualdades clássicas e a série do binônmio encontre uma ”boa” cota superior e uma cota ”boa” inferior para o número

\sqrt{1 − 10^{−4}}

b) Considere a série

\frac{1}{\sqrt{10000}} + \frac{1}{\sqrt{10001}} + \frac{1}{\sqrt{10002}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{1000000}} + ⋯

i) Mostre que a série é convergente à β ∈ IR. Considere

a = \frac{1}{\sqrt{10000}} + \frac{1}{\sqrt{10001}} + \frac{1}{\sqrt{10002}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{1000000}}

ii) Usando as desigualdades (1) encontre uma ” boa ” cota superior

racional para α. iii) Usando o item a) combinado com as desigualdades (1), encontre uma

”boa ” cota inferior racional para α, determinando uma ”boa ” estimativa para α, determinando a parte inteira de α.

11) Dado a > 0, encontre uma cota superior ⩽ 2/a^{2} para o número

\frac{1}{a^{2}} + ⋯ + \frac{1}{(a n)^{2}}

12) Seja n ∈ IN^{∗} um número natural. Define-se N(n) e S(n) o número de algarismos e a soma dos algarismos de n, respectivamente (sistema decimal). Dado x > 0, seja log_{10} x, o logaritmo de x na base 10.

a) Mostre que

10^{N(n)−1} ⩽ n < 10^{N(n)}

deduzindo as seguintes desigualdades

1 ⩽ S(n) ⩽ 9 (1 + log_{10} n) < 18 log_{10} n, n > 10

b) Mostre que

S(n + 1) ⩽ S(n) + 1

com igualdade se n ≠ 10p − 1, onde p é um número natural.

i) Deduza que

0 < \frac{S(n + 1)}{S(n)} ⩽ 2

e que a estimativa acima é a melhor possível.

c) (Neste exercício você vai precisar de certo conhecimento da função logaritmo) Encontre o raio de convergência da série de potências

∑_{k=1}^{∞} S(k)z^{k}

Equações de diferenças de primeira e segunda ordem

Nesta parte vamos tratar brevemente equações de diferenças de primeira e segunda ordem. Para um tratamento mais completo, veja as apostilas legais sobre o assunto do curso de equações diferenciais e diferenças do CB-CTC, MAT1154, escritas pelo professor George Svetlichny (ref. 6) abaixo).

13) (Equações de diferenças lineares de primeira ordem). Considere a equação

(2)  y_{n+1} = a_{n}y_{n} + b_{n}  (a_{n} ≠ 0, ∀n)

a) Usando um raciocínio recursivo, resolva a equação (2), nos casos, a_{n} ≡ 1 e b_{n} ≡ 0, respectivamente.

b) Mostre que

A_{n} = ∏_{k=0}^{n−1} a_{k}

é solução da homogênea associada, i.e b_{n} ≡ 0. Mostre ainda que uma solução particular de (2) pode ser determinada satisfazendo y_{n} = z_{n}A_{n}, onde z_{n} pode ser encontrada. Deduza que a solução geral de (2) é da forma

(3)  y_{n} = c A_{n} + A_{n} · ∑_{k=0}^{n−1} \frac{b_{k}}{A_{k+1}}

i) Quando a_{k} ≡ a(cst), mostre que a solução dada pela equação (3) é da forma

y_{n} = y_{0}a^{n} + ∑_{k=0}^{n−1} a^{n−k−1}b_{k}

ii) Quando a_{k} ≡ a(cst)e b_{n} ≡ b(cst), mostre que a solução dada pela equação (3) é da forma

y_{n} = \{ \begin{matrix}y_{0}a^{n} + b (\frac{a^{n} − 1}{a − 1}) , & se a ≠ 1, \\ y_{0} + bn, & se a = 1 \end{matrix}

iii) Resolva

y_{n+1} = (n + 1)y_{n} + 2^{n} (n + 1)! (y_{0} = 2)

iv) Resolva

y_{n+1} = (\frac{(n + 2)^{3} − 1}{(n + 2)^{3} + 1}) y_{n} (y_{0} = 1)

e calcule L = lim_{n→∞} y_{n}, caso o limite exista. Resposta L = 2/3. Sugestão : Note que (n + 1)^{2} − (n + 1) + 1 = n^{2} + n + 1.

v) Seja a um número real positivo < 1. Resolva

y_{n+1} = (1 + a^{2^{n}})y_{n} (y_{0} = 1)

e calcule L = lim_{n→∞} y_{n}, caso o limite exista. Resposta L = 1/(1−a). Sugestão : Mostre a identidade

(1 − a)(1 + a)(1 + a^{2}) ⋯ (1 + a^{2^{N}}) = 1 − a^{2^{N+1}}

vi) Resolva

y_{n+1} = cos (\frac{a}{2^{n}} ) y_{n} (y_{0} = 1)

e mostre que

(4)  lim_{n→∞} ∏_{k=1}^{n} cos (\frac{a}{2^{n}} ) = \frac{sin a}{a}

Sugestão : Mostre por recorrência que

\frac{sin a}{a} = cos (\frac{a}{2}) \frac{sin(a/2)}{a/2} = ⋯ = ∏_{n=1}^{N} cos (\frac{a}{2^{n}} ) \frac{sin(a2^{−N})}{a2^{−N}}

vii) Coloque a = π/2 na equação (4) e deduza a fórmula de Viète (1579)

\frac{2}{π} = ∏_{n=1}^{∞} cos (\frac{π}{2^{n+1}} ) := ∏_{n=1}^{∞} a_{n}, a_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}, a_{n} = \sqrt{\frac{1}{2}(1 + a_{n−1})}, n ⩾ 2

ou seja

\frac{2}{π} = \sqrt{\frac{1}{2}} · \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}} · \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}} ⋯

c) (Método dos coeficientes indeterminados) Consideremos o caso a_{n} ≡ a, e o termo b_{n} na equação linear nãohomogênea seja da forma

b_{n} = kn^{p}b^{n}

i) Mostre que quando b ≠ a, a equação

y_{n+1} = ay_{n} + kn^{p}b^{n}

possui uma solução da forma

y_{n} = q(n)b^{n}

onde q(n) é um polinômio de grau p.

ii) Mostre que quando b = a, a equação

y_{n+1} = ay_{n} + kn^{p}b^{n}

possui uma solução da forma

y_{n} = q(n)b^{n}

onde q(n) é um polinômio de grau p + 1, sem termo constante.

d) Seja

S_{n}^{(m)} := 1^{m} + 2^{m} + … + n^{m}

Usando o método dos coeficientes indeterminados (terceiro método para calcular S_{n}^{(m)}), mostre que

(5)  1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ⋯ + n^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}
1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ⋯ + n^{3} = (\frac{n(n + 1)}{2})^{2}

As duas primeiras maneiras de calcular S_{n}^{(m)} você já aplicou na primeira lista (Lista 1); que são indução e uma fórmula para calcular S_{n}^{(m)}, que se reduz ao cálculo de S_{n}^{(m−1)}. O quarto procedimento você pode encontrar no exercício 20) da seção de seqüências e séries, logo em seguida. Finalmente, uma quinta maneira de resolver é usar o exercício 1) da Lista 1.

i) Mostre que

1^{m} + 2^{m} + … + n^{m} = \frac{n^{m+1}}{m + 1} + a_{m}n^{m} + ⋯

deduzindo que

lim_{n→∞} \frac{S_{n}^{(m)}}{n^{m+1}} = \frac{1}{m + 1}

No livro do Elon Lima (veja ref. 2)) você pode encontrar uma outra maneira de fazer isto (veja exerc. 31 do cap. IV). Uma terceira maneira de fazer é via soma de Riemann, que está embutida no exercício 20) da seção de seqüências e séries. Claro que para calcular o limite em questão você poderá aplicar o exercício 1) da Lista 1.

ii) Calcule

1 + 2 · 3 + 3 · 3^{2} + ⋯ + (n + 1) · 3^{n}

14) (Equações de diferenças lineares de segunda ordem). Considere a equação

(6) y_{n+2} + a_{n}y_{n+1} + b_{n}y_{n} = g_{n}

com equação homogênea associada dada por y_{n+2} + a_{n}y_{n+1} + b_{n}y_{n} = 0 a) Mostre que conhecendo-se uma solução u_{n} ≠ 0, ∀n da equação homogênea

associada, uma segunda solução linearmente independente, pode ser encontrada pelo método de variação dos parâmetros fazendo y_{n} = z_{n} u_{n}, obtendo

z_{n} = c + ∑_{k=0}^{n−1} \frac{∏_{j=0}^{k−1} b_{j}}{u_{k} u_{k+1}}

O mesmo procedimento é válido para se encontrar a solução geral de (6), desde que conhecida uma solução da equação homogênea associada à (6).

b) (A equação com coeficientes constantes). Considere a equação linear homogênea dada por

y_{n+2} + ay_{n+1} + by_{n} = 0

i) Procure soluções da forma r^{n}, r ≠ 0, obtendo que conforme as raízes da equação característica

(7)  r^{2} + ar + b = 0

podemos exibir explicitamente a solução geral da equação da seguinte forma: Se as raízes (r_{1}, r_{2}) são reais e distintas, toda solução é da forma c_{1}r_{1}^{n} + c_{2}r_{2}^{n}. Se as raízes são reais e iguais toda solução é da forma c_{1}r^{n}+c_{2}nr^{n}. Se as raízes são complexas conjugadas toda solução é da forma c_{1}r^{n} cos nθ + c_{2}r^{n} sin nθ (aqui fizemos um abuso de notação ).

b) (Método dos coeficientes indeterminados). Suponha que o termo não homogêneo é da forma

g_{n} = kn^{p}b^{n}, k, b ∈ IR e n, p ∈ IN

Queremos resolver

(8)  y_{n+2} + ay_{n+1} + by_{n} = g_{n}

quando g_{n} é da forma acima

i) Mostre que se b não é raíz da equação (6) então existe uma solução de (7) da forma y_{n} = q(n)b^{n}, onde q(n) é um polinômio de grau p. ii) Mostre que se b é raíz não repetida da equação (6) então existe uma

solução de (7) da forma y_{n} = q(n)b^{n}, onde q(n) é um polinômio de grau p + 1, sem termo constante.

iii) Mostre que se b é raíz repetida da equação (6) então existe uma solução de (7) da forma y_{n} = q(n)b^{n}, onde q(n) é um polinômio de grau p + 2, sem termo constante e sem termo linear.

Seqüência e séries de números reais

15) Mostre que a série abaixo converge para p > 0 e converge absolutamente para p > 1.

∑_{n=0}^{∞} a_{n} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{(n + 1)^{p}}

a) Mostre que a série ∑ c_{n} diverge para 0 < p ⩽ 1/2, ode

c_{n} = ∑_{k=0}^{n} a_{k} a_{n−k} = ∑_{k=0}^{n} ((k + 1) (n − k + 1))^{−p}

O que isto significa para você conceitualmente ?

16) Mostre que as séries abaixo são convergentes.

a)

∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{(log n)^{n}}

b)

∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{(log n)^{log n}}

17) Mostre que as séries abaixo são divergentes a)

∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{(log n)^{p}}

b)

∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{(log n)log(log n)}

18) Para que valores a a série abaixo converge (diverge) ?

∑_{n=1}^{∞} \frac{a^{n} n!}{n^{n}}

Para um certo valor crítico você vai precisar da fórmula de Stirling.

19) (Constante de Euler- Mascheroni) Considere a seqüência

γ_{n} = (1 + \frac{1}{2} + ⋯ + \frac{1}{n}) − ln n, n = 1, 2, …

a) Mostre que {γ_{n}} é uma seqüência decrescente e que 0 < γ_{n} < 1. Defina

γ = lim_{n→∞} γ_{n}.

Nota: Talvez você goste de saber para fazer este exercício que

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6}

b) Mostre \frac{1}{2} < γ < \frac{π^{2}}{12} . Sugestão: Mostre que

γ = ∫_{0}^{1} ∑_{k=1}^{∞} \frac{u}{k(u + k)} du

e considere as desigualdades

1 = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k(1 + k)} < ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k(u + k)} < ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} , (0 < u < 1)

20) Seja {a_{n}} uma seqüência que comverge à a ∈ IR.

a) Mostre que

lim_{n→∞} \frac{a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n}}{n} = a

Sugestão : Observe que basta considerar o caso a = 0 e quebre a soma em duas partes, levando em conta que sup_{n} |a_{n}| é finito e que a_{n} → 0, quando (n → ∞).

b) Seja {p_{n}} uma seqüência de números reais positivos, tal que a_{1} + a_{2} + ⋯ a_{n} → ∞ (n → ∞). Mostre que

lim_{n→∞} \frac{p_{1}a_{1} + p_{2}a_{2} + ⋯ + p_{n}a_{n}}{p_{1} + p_{2} + ⋯ p_{n}} = a

21) Vamos considerar a soma

S_{n}^{(m)} := 1^{m} + 2^{m} + … + n^{m} = \frac{n^{m+1}}{m + 1} + a_{m}n^{m} + ⋯

a) Considere também a seqüência

u_{n} = \frac{1^{m}}{n^{m+1} + 1} + ⋯ + \frac{n^{m}}{n^{m+1} + n}

Mostre que quando (n → ∞) o comportamento da seqüência u_{n} é o mesmo da soma de Riemann da função f(x) = x^{m}, no intervalo [0, 1]. Conclua que

lim_{n→∞} \frac{S_{n}^{(m)}}{n^{m+1}} = \frac{1}{m + 1}. (confira com o exercício 13) d) i) da seção de equações de diferenças, logo acima).

b) Estude o comportamento de

lim_{n→∞} \frac{S_{n}^{(m)}}{n^{q}}

para m e q inteiros positivos quaisquer.

22) Seja α > 0. Considere

a_{n} := ∑_{p=1}^{∞} \frac{1}{α + n + p}

Mostre que lim_{n→∞} a_{n} = log 2. Sugestão : Identifique uma certa soma de Riemann.

23) Considere a com 1 < a < 2.

y_{n} = ∑_{k=0}^{n} \frac{2 − a}{\sqrt{((2 − a)k + an)^{2} − n^{2}}}

Mostre que lim_{a→1} lim_{n→∞} y_{n} = ln(2 + \sqrt{3}). Sugestão : Identifique uma certa soma de Riemann.

24) Vamos considerar as seguintes equações de diferenças não linear: a)

x_{n+1} = \frac{4 − x_{n}}{3 − x_{n}}
x_{1} = 1

Mostre que x_{n} = \frac{2n − 1}{n}, n > 1.

b)

x_{n+1} = \frac{1}{1 + x_{n}}
x_{1} = 1

Mostre que \frac{1}{2} ⩽ x_{n} ⩽ \frac{2}{3}. Em seguida mostre que x_{n} → \frac{\sqrt{5} − 1}{2} (número áureo) .

25) (Lema da soma parcial de Abel): Sejam {a_{n}}, {b_{n}} duas seqüências de números complexos, n ∈ IN Coloquemos A_{n} = a_{0} + ⋯ + a_{n}, n ⩾ 0; então para n ⩾ 0, k ⩾ 1, temos que

∑_{j=n+1}^{n+k} a_{j}b_{j} = ∑_{j=n+1}^{n+k−1} A_{j}(b_{j} − b_{j+1}) − A_{n}b_{n+1} + A_{n+k}b_{n+k}

Deduza: ∑_{n⩾0} a_{n}b_{n} converge se ∑_{n⩾0} A_{n}(b_{n}−b_{n+1}) converge e lim_{n→∞} A_{n}b_{n} existe.

a) (Critério de Abel) Da fórmula de Abel deduza que se ∑_{n⩾0} a_{n} é convergente e se {b_{n}} é uma seqüência monótona limitada; então ∑_{n⩾0} a_{n}b_{n} converge.

b) (Critério de Dirichlet) Mostre que se a seqüência das somas parciais {A_{n}} de ∑_{n} a_{n}é limitada e se a seqüência {b_{n}} é uma seqüência real monótona tendendo a zero, então ∑_{n⩾0} a_{n}b_{n} converge.

Daí deduza o critério de Leibniz: Seja {α_{n}} uma seqüência monótona de números reais tendendo a zero, então ∑_{n⩾0}(−1)^{n}α_{n} converge. Dê exemplos de séries convergentes, mas não absolutamente convergentes.

Também deduza o seguinte:Se ∑_{n} |b_{n} −b_{n+1}| < ∞ e se ∑_{n} a_{n} converge então ∑_{n⩾0} a_{n}b_{n} converge.

26) Sejam {a_{n}}, {b_{n}}, {c_{n}} seqüências de números reais estritamente positivos com ∑_{n} c_{n} < ∞, ∑_{n} d_{n} = ∞.

a) Mostre que se para algum N ∈ IN

\frac{a_{n+1}}{a_{n}} ⩽ \frac{c_{n+1}}{c_{n}} , n ⩾ N,

então ∑_{n} a_{n} < ∞.

b) Mostre que se para algum N ∈ IN

\frac{a_{n+1}}{a_{n}} ⩾ \frac{d_{n+1}}{d_{n}} , n ⩾ N,

então ∑_{n} a_{n} = ∞.

Sugestão: Para o item a) observe que a seqüência {a_{n}/c_{n}} é uma seqüência decrescente.

27) (Critério de Kummer): Sejam {a_{n}}, {b_{n}}, {c_{n}} seqüências de números reais estritamente positivos com ∑_{n} d_{n} = ∞.

a) Mostre que se para algum N ∈ IN e um número ρ > 0 temos que

b_{n} − \frac{a_{n+1}}{a_{n}} b_{n+1} ⩾ ρ > 0, n ⩾ N,

então ∑_{n} a_{n} < ∞.

b) Mostre que se para algum N ∈ IN temos que

\frac{1}{d_{n}} − \frac{a_{n+1}}{a_{n}} · \frac{1}{d_{n+1}} ⩽ 0, n ⩾ N,

então ∑_{n} a_{n} = ∞.

Sugestão: Para o item b) veja o exercício anterior item b). Para o item a) observe que w_{n} := a_{n}b_{n} − a_{n+1}b_{n+1} ⩾ a_{n}ρ > 0, n ⩾ N. Também observe que ∑_{n} w_{n} é convergente.

28) (Critério de Raabe-Duhamel). Guardando as notaçõesdo exercício 5), tomando b_{n} = n − 1(n ⩾ 2) no exercício 5 a) e d_{n} = 1/(n − 1) no item b) obtém-se

∑_{n} a_{n} < ∞ se, para algum α > 1 e um N ∈ IN, n(1− \frac{a_{n+1}}{a_{n}} ) ⩾ α, n ∈ N

∑_{n} a_{n} = ∞ se, para algum N ∈ IN, n(1 − \frac{a_{n+1}}{a_{n}} ) < 1, n ∈ N

Em particular, se lim_{n→∞} n(1 − \frac{a_{n+1}}{a_{n}} ) = L então ∑_{n} a_{n} < ∞ se L > 1 e ∑_{n} a_{n} = ∞ se L < 1. Mostre que se L = 1, todas as hipóteses podem ocorrer.

29) (Critério de Gauss) Seja {a_{n}} uma seqüência de números reais estritamente positivos tais que, para algum N ∈ IN

\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = 1 − \frac{α}{n} + \frac{β_{n}}{n^{p}} , n ⩾ N

onde p > 1, α ∈ IR e sup_{n⩾N} |β_{n}| < ∞.

a) Mostre que ∑_{n} a_{n} < ∞, se α > 1 e ∑_{n} a_{n} = ∞, se α ⩽ 1. Sugestão: Se α ≠ 1 utilize o exercício 27). Para α = 1 utilize o exercício 26

b) com 1/d_{n} = (n − 1) log(n − 1), n ⩾ 3 verificando que

lim_{n→∞}(\frac{1}{d_{n}} − \frac{a_{n+1}}{a_{n}} · \frac{1}{d_{n+1}} ) = −1.

b) Seja a ∈ IR. Seja z_{n} = \binom{a}{n}, onde \binom{a}{0} = 1, \binom{a}{1} = a,

\binom{a}{n} = \frac{a(a − 1) ⋯ (a − n + 1)}{n!}, n ⩾ 1.

Mostre que ∑_{n} |z_{n}| < ∞ se a > 0 e, ∑_{n} |z_{n}| = ∞ se a < 0, a ≠ 0.

Sugestão: Considere

r_{n} = |\frac{z_{n+1}}{z_{n}} | = |\frac{a − n}{n + 1}|

Quando a ≠ 0 aplique o exercício 27), verificando que

n(1 − r_{n}) = \frac{n}{1 + r_{n}} · \frac{1 − |a|^{2} + 2n(1 + a)}{(n + 1)^{2}} e lim_{n→∞} n(1 − r_{n}) = 1 + a

30) Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz mostre que se ∑_{n} |a_{n}| < ∞ as seguintes séries são convergentes

∑_{n} |a_{n}a_{n+1}|^{1/2},  ∑_{n⩾1} \frac{|a_{n}|^{1/2}}{n} ,  ∑_{n⩾1} \frac{|a_{n}|^{1/2}}{n^{1/2+p}} ,  p > 0.

Voce poderia dar uma demonstração mais elementar ?

31) Mostre que

A_{n} = \frac{1}{2} + ∑_{ν=1}^{n} cos νx = \frac{sin(n + 1/2)x}{2 sin(x/2)}

B_{n} = ∑_{ν=1}^{n} sin νx = \frac{cos(x/2) − cos(n + 1/2)x}{2 sin(x/2)}

se n ∈ IN e x ∉ 2πℤ utilizando as fórmulas

2 sin(1/2)x cos νx = sin(ν + \frac{1}{2})x − sin(ν − \frac{1}{2})x

2 sin(1/2)x sin νx = cos(ν − \frac{1}{2})x − cos(ν + \frac{1}{2})x.

Conclua que se x ∉ 2πℤ, n ⩾ 1 as séries

∑_{ν=1}^{∞} b_{ν} cos νx,  ∑_{ν=1}^{∞} b_{ν} sin νx

são convergentes, desde que as seqüência {b_{n}}_{n⩾1} seja monótona tendendo a zero. Dê exemplos particulares disto.

Séries de potências

32) Determine o raio de convergência das séries.

a) ∑_{n} n^{α}z^{n}, α ∈ IR.

b) ∑_{n} n!(z/n)^{n}.

c) ∑_{n} α^{n^{2}}z^{n}, α > 0.

d) ∑_{n} \frac{1}{n!}α(α + 1) ⋯ (α + n)z^{n};  ∑_{n} \frac{1}{n!}α(α − 1) ⋯ (α − n)z^{n}, .

Sugestão: Considere o caso α ∈ {0, ±1, ±2, ±3, …, } separadamente.

e) ∑_{n}(log n)^{2}z^{n}. Resposta: 1

f) ∑_{n} n!/(n^{n})z^{n}.

Sugestão: Considere a fórmula de Stirling n! = n^{n}e^{−n}u_{n} com lim_{n→∞} u_{n}^{1/n} = 1. Resposta: e

g) ∑_{n} \frac{(2n!)}{n!n^{n}}. Resposta :\frac{e}{4}· Para fazer este exercício, veja a dica acima, ou

siga as dicas de Elon Lima na ref. 2), exerc. 33 do cap. IV.

33)

a) Sejam a, b, c números determinados. Suponha que c não é um inteiro ⩽ 0. Mostre que o raio de convergência da série abaixo é 1:

1 + \frac{ab}{c}z + \frac{a(a + 1) · b(b + 1)}{2!c(c + 1)}z^{2} + ⋯

+ \frac{a(a + 1) … (a + n − 1) · b(b + 1) … (b + n − 1)}{n!c(c + 1) … (c + n − 1)}z^{n} + ⋯

34) Encontre os termos de ordem ⩽ 3 do desenvolvimento em série de potências da função f(z) = z^{2}/(z − 2) em z = 1. Resposta : −1 − (1 + 2)(z − 1) − (1 + 2 + 1)(z − 1)^{2} − (1 + 2 + 1)(z − 1)^{3}.

35) Considere

J(z) = ∑_{0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{(n!)^{2}} (\frac{z}{2})^{2n}

a) Qual é o raio de convergência da série ?

b) Mostre que J(z) satisfaz a equação diferencial (Veja o livro de William. E. Boyce e Richard C. Di Prima (“equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno”) para o desenvolvimento e outros exemplos de equações regulares e singulares-regulares, de segunda ordem)

z^{2}J′′(z) + zJ′(z) + z^{2}J(z) = 0

36) Seja R o raio de convergência da série ∑_{n} a_{n}z^{n}(n ∈ IN); se s_{n} = a_{0} + ⋯ + a_{n}, n ∈ IN, mostre que o raio de convergência R′ da série ∑_{n} s_{n}z^{n} verifica a desigualdade R′ ⩾ min(R, 1) e estaleleça que

∑_{n} s_{n}z^{n} = \frac{1}{1 − z} ∑_{n} a_{n}z^{n}, |z| < min(R, 1)

.

37) Mostre que as séries , convergem nos conjuntos C dados

a) ∑_{n} (z/(1 + z))^{n}. C = {z; z > −1/2}.

b) ∑_{n} z^{n}/(1 + z^{n}). C = {z; |z| < 1}.

38) Seja ∑ a_{n}z^{n}, uma série de potências de raio de convergência R. a) Mostre que se sup_{n} |a_{n}| < ∞, então R ⩾ 1.

b) Mostre que se sup_{n} |a_{n}| < ∞, mas a_{n} ↛ 0, então R = 1.

39) Seja ∑ a_{n}z^{n}, uma série de potências de raio de convergência R. Seja {b_{n}} uma seqüência tal que

lim_{n→∞} |\frac{a_{n}}{b_{n}} | = L, 0 < L < ∞

Determine o raio de convergência de ∑ b_{n}.

a) Usando o exercício anterior mostre que, se

a_{n} = \frac{α_{0} + α_{1}n + ⋯ + α_{k}n^{k}}{β_{0} + β_{1}n + ⋯ + β_{l}n^{l}} , β_{l} ≠ 0, α_{k} ≠ 0, k, l ∈ IN

então o raio de convergência de ∑ a_{n}z^{n} é igual a 1.

40) Seja R o raio de convergência da série ∑_{n⩾0} a_{n}z^{n}. Mostre que o raio de

convergência R̃ da série

∑_{n⩾0} \frac{a_{n}}{1 + |a_{n}|}z^{n}

é dado por R̃ = max(R, 1)

41) Determine os raios de convergência das séries a) ∑_{n⩾0}(−1)^{n}2^{n}z^{2n+2}.

b) ∑_{n⩾0} 2^{log n}z^{n}.

c) ∑_{n⩾0}(sin n)z^{n}.

c) ∑_{n⩾0}(cos n)z^{n}.

Nota. Utilizando o teorema da convergência dominada para séries somáveis pode-se demonstrar o seguinte fato:

(∗)  lim_{n→∞} (1 + z_{n})^{n} = exp(z),

se z_{n}, n = 1, 2, …, e lim_{n→∞} nz_{n} = z. Em particular conclui-se que

(∗∗)  lim_{n→∞} (1 + \frac{z}{n})^{n} = exp(z)

Com efeito: Escreve-se

(1 + z_{n})^{n} = ∑_{k=0}^{∞} α_{k}(n),  a_{k}(n) = \binom{n}{k}z_{n}^{k},  s 0 ⩽ k ⩽ n,

verificar que para k fixado, a_{k}(n) ⟶ z^{k}/k! (n → ∞) e que |a_{k}(n)| ⩽ ρ^{k}/k!, ρ = sup_{n} |nz_{n}|.

As séries de Taylor de \frac{z}{e^{z} − 1}, cot z e tan z.

42) A série de Taylor de \frac{z}{e^{z} − 1} em torno da origem está definida por

\frac{z}{e^{z} − 1} = Σ_{0}^{∞} \frac{B_{k}}{k!} z^{k}, B_{k}

Mostre as seguintes afirmações i) B_{1} = 0 e B_{2k+1} = 0 para k ⩾ 1. ii)

\binom{n}{0}B_{0} + \binom{n}{1}B_{1} + \binom{n}{2}B_{2} + ⋯ + \binom{n}{n − 1}B_{n−1} = 0

Os números acima são chamados de números de Bernouille. Determine-os recursivamente, calculando

B_{0} = 1, B_{2} = 1/6, B_{4} = −1/30, B_{6} = 1/42
B_{8} = −1/30, B_{10} = 5/66, B_{14} = 7/6

Curiosidade: B_{26} = 8553103/6 … Sugestão: Considere 1 = \frac{e^{z} − 1}{z} · \frac{z}{e^{z} − 1}.

a) Mostre que

cot z = \frac{1}{z} + Σ_{1}^{∞}(−1)^{k} \frac{4^{k}}{(2k)!}B_{2k}z^{2k−1}

tan z = Σ_{1}^{∞}(−1)^{k−1} \frac{4^{k}(4^{k} − 1)}{(2k)!}B_{2k}z^{2k−1}

b) Discuta o raio de convergência da série de z cot z.

43) Considere a série binomial

b_{σ}(z) := ∑_{0}^{∞} \binom{σ}{n}z^{n}

onde

\binom{σ}{0} := 1 \binom{σ}{n} := \frac{σ(σ − 1) ⋯ (σ − n + 1)}{n!}

ou seja

b_{σ}(z) = 1 + σz + \frac{σ(σ − 1)}{2} + ⋯

a) Deduza que b_{σ} é analítica na “bola” unitária aberta centrada na origem, mostrando que o raio de convergência da série que define b_{σ} é igual a 1.

Mostre que b_{−1} = \frac{1}{1 + z} , |z| < 1.

b) Mostre a fórmula de multiplicação :

(1 + z)b_{σ−1} = b_{σ}

Infira que

b′_{σ}(z) = σb_{σ}/(1 + z)

c) Seja λ(z) := ∑_{1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}z^{n}}{n} . Mostre que

b_{σ}(z) = e^{σλ(z)}, |z| < 1

d) Deduza a fórmula de Abel-Newton

(1 + z)^{σ} = ∑_{0}^{∞} \binom{σ}{n}z^{n}, , |z| < 1.

44) Neste exercício você deverá assumir o teorema que diz que uma série de

potências ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − z_{0})^{n} de raio de convergência R > 0, converge abso-

lutamente e uniformemente num compacto contido no seu domínio de convergência a uma função f(z). Tal função f(z) é infinitamente diferenciável (na verdade analítica) no seu domínio de convergência e suas derivadas são obtidas

derivando-se termo a termo a série original, i.e f′(z) = ∑_{n=1}^{∞} na_{n}(z − z_{0})^{n−1}, e

assim por diante. a) Sejam f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − z_{0})^{n} e g(z) = ∑_{n=0}^{∞} b_{n}(z − z_{0})^{n}, duas séries de potências de raio R_{1} > 0, R_{2} > 0, respectivamente. Mostre que h(z) = f(z)g(z), é dada por uma série de potências ∑_{n=0}^{∞} c_{n}(z − z_{0})^{n}, onde

c_{n} = a_{0}b_{n} + a_{1}b_{n−1} + ⋯ − a_{n−1}b_{1} + a_{n}b_{0}

de raio de convergência R, satisfazendo R ⩽ min(R_{1}, R_{2}). i) Usando obrigatoriamente séries de potências, mostre que

e^{z} · e^{w} = e^{z+w}, ∀z, w

b) Discuta o raio de convergência da série de Taylor de \frac{z}{e^{z} − 1} em torno da origem, dada no exercício 42) acima.

c) Discuta amplamente diferenciabilidade versus analiticidade.

BIBLIOGRAFIA SUCINTA

1) Augus E. Taylor. Introduction to Functional Analysis. John Wiley and Sons, Inc, 1958.

2) Elon Lages Lima. Curso de Análise Volume 1. Projeto Euclides, 1995.

3) Elon Lages Lima. Elementos de Topologia Geral. Projeto Euclides, 1970.

4) Henri Mascart e Marius Stoka. Fonctions d’une Variable Réele. PUF, 1986.

5) G. H. Hardy, J. E. Littlewood e G. Pólya. Inequalities. Cambridge Press , 1973.

6) George Svetlichny. Apostila de equações diferenciais e diferenças. Dep. Mat. PUC-Rio, 2002.2

7) J. Rivaud. Séries; équations différentielles. Vuibert, 1973.

8) M. Spivak, Calculus. Dois volumes. Ed. Reverté, Barcelona, 1970.

9) Ralph P. Boas, Jr. A Primer of Real Functions. Math. Assoc. of Amer. John Wiley and Sons, Inc. 1960.

10) Reinhold Remmert. Theory of complex functions. Springer, 1991 ( Readinds in Mathematics). Classical topics in complex function theory, Springer, 1998.

11) Walter Rudin. Princípios de Análise Matemática. Livro Técnico, N, 1971.

12) Srishti D. Chatterji. Cours d’Analyse 1,2. Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1997.