ANÁLISE REAL-2002.2–Lista 4

Professor: Ricardo Sá Earp

Limites e continuidade em espaços métricos

Limites de funções reais Desigualdades envolvendo funções clássicas

Limites e continuidade em espaços métricos

1) Seja f(x) = v · x, onde · denota o produto escalar em IR^{n}, e v ∈ IR^{n} é um vetor fixado. Discuta a continuidade de f(x) e discuta a continuidade de uma definição análoga em espaços de Hilbert. Mostre que os semi-planos dados pelas equações

{x; v · x > α} e {x; v · x ⩾ α}

são subconjuntos abertos e fechados, respectivamente. Deduzir que o hiperplano {x; v · x = α}, é um subconjunto fechado de IR^{n}. Tais resultados se estendem (da maneira natural) à espaços de Hilbert ?

2) Dê uma caracterização de continuidade de uma função f que leva um espaço métrico X num espaço métrico Y em termos de seqüências.

3) Mostre que se f, g são funções contínuas que levam um espaço métrico X em IR^{n}, então se f(a) ≠ g(a), para certo a ∈ X, segue-se que f(x) ≠ g(x), numa vizinhança de a.

4) Dizemos que uma aplicação f que leva um espaço métrico X num espaço métrico Y é aberta (resp. fechada), se a imagem por f de uma aberto de X (resp. fechado) é um aberto de Y (resp. fechado).

a) Dê exemplos de aplicações contínuas reais definidas em subconjuntos do espaço Euclideano que sejam abertas, mas não sejam fechadas.

b) Dê exemplos de aplicações contínuas definidas de IR^{n} em IR^{n} que não sejam abertas nem fechadas.

c) Dê exemplos de aplicações contínuas f definidas num intervalo I da reta em IR^{2} que sejam injetivas mas não produzem um homeomorfismo entre I e sua imagem f(I). d) Sejam X_{1} e Y_{1} subconjuntos de X e Y, respectivamente. Seja

f : X_{1} → X_{2} uma função contínua bijetiva tal que para todo aberto A de X (com a topologia induzida), f(A) é um aberto de Y_{1} (com a topologia induzida). Mostre que f é um homeomorfismo.

5) Dê exemplos de funções f : IR → IR que sejam uniformemente contínuas. Estabeleça alguma condições suficientes para que uma função f : IR → IR seja uniformemente contínua.

6) Dê exemplos de funções definidas numa vizinhança da origem de IR^{2} que admitem um mesmo limite quando (x, y) → (0, 0), ao longo de raios que chegam a origem (0, 0) de IR^{2}, mas que não sejam contínuas na origem.

7) Seja X um espaço de Hillbert com produto interno <, > . Mostre que X × X → IR, tal que (x, y) ↦< x, y >, é uma função contínua.

8) Seja T : X → Y uma transformação linear sobretiva de um espaço vetorial normado X sobre um espaço vetorial normado Y. Mostre que a inversa T^{−1} existe e é contínua se e somente se existe λ > 0 tal que

∥T (x)∥_{Y} ⩾ λ ∥x∥_{X}

Discuta o caso em que X e Y tenham dimensão finita.

9) Mostre com todos os detalhes que uma função real contínua definida num espaço métrico compacto X assume o máximo e o mínimo.

10) Mostre com todos os detalhes que uma aplicação contínua de um espaço métrico compacto X num espaço métrico Y é uniformemente contínua.

11) Mostre com todos os detalhes que se f é uma função real monótona definida num intervalo (a, b) então o conjunto das descontinuidades de f é no máximo enumerável.

12) O que você pode dizer de uma função real uniformemente contínua definida num conjunto limitado de IR ?

13) Dê exemplos de funções diferenciáveis reais tal que a derivada não é contínua. Tais funções podem ser analíticas ?

14) Considere {A_{i}}_{i∈J}, uma família de conjuntos conexos de um espaço métrico X. Suponha que existe um ponto comun a todos os A′_{i}s; i.e ∩_{i}A_{i} ≠ 0. Mostre que a união A = ∪_{i∈J}A_{i} é um conjunto conexo.

a) Como corolário, mostre que se quaisquer dois pontos p e q de um espaço métrico X estejam contidos em algum conexo X_{ab} ⊂ X, então X é conexo.

15) Seja A um subconjunto conexo de um espaço métrico X. Mostre que se B ⊂ X satisfaz A ⊂ B ⊂ \overline{A}, então B é conexo.

16) Dizemos que um espaço métrico X é conexo por caminhos, se dois pontos quaisquer p, q de X, podem ser ligados por um caminho inteiramente contido em X, i.e existe uma aplicação contínua α : [0, 1] → X, tal que α(0) = p e α(1) = q. Mostre que um espaço métrico conexo por caminhos é necessariamente conexo. Nota: Dizemos que um espaço métrico X é localmente conexo por caminhos, se para cada x ∈ X, e cada vizinhança V de x em X, existe uma vizinhança conexa por caminhos U de x em X, tal que x ∈ U ⊂ V. Verifique que todo espaço vetorial normado X é localmente conexo por caminhos. O fato é que se X é um espaço localmente conexo por caminhos, então X é conexo ⟺ X é conexo por caminhos.

17) (Teorema da Alfândega). Sejam C e A subconjuntos de um espaço métrico X. Assuma que C é conexo e que possui pontos em comum com A e com A^{c} = X \ A. Mostre que C tem interseção não vazia com ∂A.

18) (Componentes conexas). Seja A um subconjunto de um espaço métrico X. Seja a ∈ A. Define-se C(a) como sendo a união de todos os subconjuntos conexos de A que contém o ponto a. Note que {a} é um conjunto conexo que contém a. Diz-se que C(a) é a componente conexa de a em A; é o ” maior conjunto” conexo contendo a e que é contido em A.

a) Mostre que

\{ \begin{matrix}se b ∈ C(a) & então C(a) = C(b) \\ se b ∉ C(a) & então C(a) ∩ C(b) = ∅ \end{matrix}

i) Mostre que todo conjunto aberto de IR^{n} é a união de uma família de conjuntos abertos e conexos (chamados domínios), dois a dois disjuntos.

b) Mostre que os intervalos (a, b) e (c, d] não são homeomorfos.

c) Mostre que as letras Y e I (as extremidades não contam) não são homeomorfas.

Limites e continuidade de funções reais

No próximo exercício você está pressuposto saber a definição de uma função diferenciável real.

19) Dado um número real r, considere a função real f(x) definida por

f(x) = \{ \begin{matrix}x |1 + \frac{1}{x}|^{r} & se x ≠ 0, −1 \\ 0 & se x = 0 \\ 1 & se x = −1 \end{matrix}

a) Mostre que f(x) é contínua no conjunto IR \ {0, −1}. Mostre que f(x) é diferenciável neste conjunto e que sua derivada verifica

(1)  f′(x) = f(x) · \frac{x + 1 − r}{x(x + 1)}

para x ∈ IR \ {0, −1}.

b) Mostre que para r < 1, f(x) é contínua em x = 0 e que para r ⩾ 1, f(x) é descontínua em x = 0.

c) Mostre que se r < 0 então f′(0) = 0, se r = 0 então f′(0) = 1. O que acontece para 0 < r < 1 ?

d) Usando a fómula (1) acima, mostre que f′(x) é contínua em x = 0, para r ⩽ 0.

e) Mostre que para r > 0, f(x) é contínua em x = −1.

i) Mostre que se r > 1, então f′(−1) = 0 e f′(x) é contínua em x = −1. ii) Mostre que se r = 1, então f(x) possua uma derivada lateral à direita

e uma derivada lateral à esquerda em x = −1. Calcule-as.

20) Considere a função polinomial

f_{n}(x) = x^{n} + x^{n−1} + ⋯ + x^{2} + x − 1, n > 0

a) Mostre que f_{n}(x) possui um único zero positivo a_{n}. Estime a_{2}.

b) Mostre que a seqüência \{a_{n}\} é monótona decrescente e deduza que a_{n} ↓ \frac{1}{2}

(quando n → ∞)

21) Considere o conjunto X das funções definidas em toda reta real IR que verificam a condição funcional

(2)  f(x + y) + f(x − y) = 2f(x),  ∀x, y ∈ IR

a) Mostre que X é um espaço vetorial.

b) Mostre que X contém um subespaço vetorial X_{1} de dimensão 2, interpretando a condição (2) geometricamente.

c) Mostre que o subespaçco das funções contínuas contidas em X é exata-

mente X_{1}.

22) Seja f(x) uma função contínua em todo IR satisfazendo a relação funcional

(3)  f(x + y) + f(x − y) = 2f(x)f(y)

a) Determine as funções constantes que verificam (3).

b) Assuma que f(x) ≢ 0. Mostre que f é par.

c) Assuma que f(x) ≢ 0. Mostre que se x_{0} é um zero de f então p = 4x_{0} é um período de f. Mostre que f(p) = 1.

d) Assuma que f(x) ≢ 0. Suponha que p seja um período de f. Estude os possíveis valores de de f (\frac{p}{2}) . Mostre que se \frac{p}{2} não é um período de f

então \frac{p}{4} é um zero de f.

23) Estude quanto a continuidade a função

f(x) = \{ \begin{matrix}0 & se x é irracional \\ \frac{1}{q} & se x = \frac{p}{q} com p, q primos entre si \end{matrix}

24) Considere f uma função real definida no intervalo fechado [0, 1] satisfazendo a condição

(4)  |f(x) − f(y)| ⩽ K\sqrt{|x − y|},  ∀x, y ∈ [0, 1]

onde K é uma constante positiva qualquer.

a) Mostre que f é uniformemente contínua em [0, 1].

b) Mostre que o conjunto X das funções que satisfazem (4) forma um espaço vetorial.

c) Exiba uma família de funções contínuas em [0, 1] que não verifique a condição (4). Estude a diferenciabilidade desta família em [0, 1].

d) Será que uma função contínua em [0, 1], diferenciável em (0, 1) com derivada limitada verifica a condição (4) ?

e) Dê um exemplo de uma função satisfazendo (4) que seja diferenciável em (0, 1), mas cuja derivada não seja limitada.

25) Considere função f(x) = ^{5} \sqrt{x + \sqrt{x^{2} − 1}} + ^{5} \sqrt{x − \sqrt{x^{2} − 1}}. Determine o conjunto f^{−1}(2).

26) Considere a função f(x) = \sqrt{x + 1} − \sqrt{x} para x ∈ [0, 1]. Sem usar o cálculo diferencial mostre que f é decrescente. Determine o máximo global e o mínimo global de f.

27) Considere a função f(x) = \frac{x^{r} − 1 − r(x − 1)}{(x − 1)^{2}}. Usando obrigatorialmente o conhecimento da série binomial adquirido na Lista 3, mostre que

f(x) → \frac{r(r − 1)}{2}, quando x → 1.

28) Usando obrigatoriamente o conhecimento da série binomial mostre que o limite de f_{n}(x) = \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 2} + ⋯ + \sqrt{x + n} − n\sqrt{x}, quando x → ∞ é zero.

29) Usando obrigatoriamente o conhecimento da função exponencial mostre que o limite de f_{n}(x) = n^{2}( ^{n} \sqrt{x} − ^{n+1} \sqrt{x}), x > 0, quando n → ∞ é log x. Mostre também o mesmo resultado usando a regra de l’Hôpital. Compare os dois métodos.

30) Usando obrigatoriamente o conhecimento da função exponencial mostre que

lim_{n→∞} ( lim_{x→∞} ∏_{p=1}^{n} (\frac{x − p}{x + p})^{x}) = 0.

31) Utilizando obrigatoriamente série de potências encontre os limites abaixo.

a) lim_{x→π} \frac{sin^{2} x}{cos x + 1} = 2.

b) lim_{x→∞} sin \sqrt{x + 1} − sin \sqrt{x} = 0.

32) Mostre que lim_{n→∞} ( lim_{x→0} (sin^{2} x + ⋯ + sin^{2}(nx))^{1/(n^{3}x^{2})}) = e^{1/3} . Trocando-se a ordem dos limites o que acontece ?

33) Usando obrigatoriamente série de potências calcule o limite de f(x) = (sin x)^{tan x} , quando x → π/2, x < π/2, mostrando que este limite é 1. Mostre também o mesmo resultado usando a regra de l’Hôpital. Compare os dois métodos.

34) Mostre que lim_{p→∞} ( lim_{n→∞} cos^{n}(π p!x)) é igual a 1, se x é racional e é igual a 0,

se x é irracional. Mostre também que lim_{n→∞} ( lim_{p→∞} cos^{n}(π p!x)) é igual a 1, se x é racional, mas não existe quando x é irracional. Conclua que a ordem dos limites interfere no resultado final !

35) Mostre que existe uma única função real definida em todo IR satisfazendo a

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relação funcional (1 − x)f(x − 1) + f(1 − x) = 1 − x. Calcule-a explicitamente.

Desigualdades e convergência envolvendo funções clássicas

36) Considere a função exponencial e^{z}.

a) Mostre que

|e^{z} − ∑_{k=0}^{n−1} \frac{z^{k}}{k!} | ⩽ \frac{2}{n!} · |z|^{n},  para n ⩾ 1 e  |z| ⩽ 1 + \frac{n − 1}{2}

conclua que

| e^{z} −1| ⩽ 2|z|, |z| ⩽ 1

b) Levando em conta a estimativa acima, obtenha que

e = 2, 71828182845 …

estimando o erro de sua estimativa.

c) Mostre, usando obrigatoriamente a estimativa logo acima, que a série que determina a função exponencial ∑ \frac{z^{n}}{n!} converge normalmente em compactos. Mostre o mesmo resultando usando o seu conhecimento sobre o domínio de convergência da série.

37) Considere a função logarítmo a) Mostre a expansão em série

log(1 + z) = z − \frac{z^{2}}{2} + \frac{z^{3}}{3} + ⋯, |z| < 1

b) Mostre a estimativa

| log(1 + z) − z| ⩽ \frac{1}{2} \frac{|z|^{2}}{1 − |z|} , |z| < 1

Deduza que

| log(1 + z) − z| ⩽ |z|^{2} , |z| < 1/2

38) (Lema da composição ) Seja K um espaço métrico compacto e seja f_{n} uma seqüência de funções contínuas reais em K, que converge para uma função contínua f em K na norma do sup. Ou seja ∥f_{n} −f∥_{sup} → 0, quando n → ∞.

a) Mostre que e^{f_{n}} converge à e^{f}, na norma do sup . Sugestão: Use as estimativas acima. b) Mostre o teorema de convergência de Euler: Ou seja, mostre que a série

(1 + \frac{z}{n})^{n}, n ⩾ 1

converge uniformemente em compactos de ℂ à e^{z} . Sugestão: Use as estimativas acima, combinado com o item b).

39) (A função zeta de Riemann) A função zeta de Riemann está definida por

ζ(z) := ∑_{1}^{∞} \frac{1}{n^{z}}

Mostre que ζ converge normalmente para z > 1. Nota: O números ζ(2k), k ∈ IN^{∗} podem ser calculados conhecidos os números (racionais) de Bernoulli (veja exerc. 42), Lista3). O resultado é o seguinte (fórmula de Euler):

ζ(2k) = ∑_{1}^{∞} \frac{1}{n^{2k}} = \frac{(−1)^{k+1}(2π)^{2k}}{2(2k)!} B_{2k}

Nota cultural: Embora a série acima define um a função analítica no semiplano aberto ℜ z > 1, a função zeta de Riemann, admite um prolongamento analítico à ℂ \ {1}, sendo o ponto 1 um pólo simples de resíduo 1. Logo ζ é uma função meromorfa em ℂ cujo único pólo z = 1 é um pólo simples de resíduo 1. A famosa hipótese de Riemann, tem sido considerado um dos problemas do milênio, afirmando que os zeros de ζ na faixa crítica 0 ⩽ ℜ z ⩽ 1, se encontram na reta ℜ z = \frac{1}{2}. Hardy em 1914 mostrou que existem infinitos zeros de ζ na reta ℜ z = 1/2, Sabe-se que z = −2, −4, … são zeros de ζ e que ζ não se anula fora da faixa crítica 0 ⩽ ℜ z ⩽ 1 (veja relação de Riemann abaixo). Sabe-se também que ζ não se anula nas retas ℜ z = 0 e ℜ z = 1. A função zeta de Riemann e a função Gamma estão relacionadas pela relação funcional de Riemann:

ζ(z) = 2(2π)^{z−1}Γ(1 − z)ζ(1 − z) sin (\frac{πz}{2} ) , −1 < ℜ z < 0

O leitor interessado neste assunto pode consultar refs. 9), 14), 18).

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40) Mostre que se p > 0 existe uma constante positiva C_{p} tal que

log x ⩽ C_{p}x^{p}, ∀x > 0

De modo análogo, mostre que se 0 < x < 1, então existe uma constante positiva C_{0} tal que

1 − x ⩽ C_{0} log (\frac{1}{x})

41) (Produtos infinitos) Considere p_{n} = ∏_{k=0}^{n}(1 + b_{n}), onde b_{n} ⩾ 0.

a) Mostre que

1 + ∑_{k=0}^{n} b_{k} ⩽ p_{n} ⩽ e(∑_{0}^{n} b_{k})

i) Conclua que o produto ∏_{k=0}^{∞}(1 + b_{n}), onde b_{n} ⩾ 0, converge se e somente se ∑_{0}^{∞} b_{k} < ∞. Além disso, conclua que quando o produto converge, ∏_{k=0}^{∞}(1 + b_{n}) ⩾ 1, e quando o produto diverge, ∏_{k=0}^{∞}(1 + b_{n}) = ∞.

b) Agora considere q_{n} = ∏_{k=0}^{n}(1 − b_{n}), onde b_{n} ⩾ 0. Mostre que se

42) 0 ⩽ b_{n} < 1, então tem-se que

1 − ∑_{k=1}^{n} b_{n} ⩽ ∏_{k=1}^{n}(1 − b_{k}) ⩽ e(− ∑_{k=1}^{n} b_{k})

i) Conclua que o produto ∏_{k=0}^{∞}(1 − b_{n}), onde b_{n} ⩾ 0, converge se ∑_{0}^{∞} b_{k} < ∞. Além disso, conclua que se 0 ⩽ b_{n} < 1, ∑_{0}^{∞} b_{k} = ∞, implica que ∏_{k=0}^{∞}(1 − b_{n}), ” diverge” à zero.

43) Dizemos que o produto ∏_{k=0}^{∞}(1 + b_{n}), é absolutamente convergente, se ∏_{k=0}^{∞}(1 + |b_{n}|) converge. Mostre que

|(1 + β_{1}) ⋯ (1 + β_{n}) − 1| ⩽ (1 + |β_{1}|) ⋯ (1 + |β_{n}|) − 1

a) Mostre que um produto ∏_{k=0}^{∞}(1 + b_{n}) absolutamente convergente é con-

vergente. Mostre também que o produto ∏_{k=0}^{∞}(1 + b_{n}), é absolutamente

convergente se e somente se, ∑_{0}^{∞} |b_{k}| < ∞.

44) (Produtos de Blaschke) Considere {a_{n}} uma seqüência de números reais não nulos satisfazendo |a_{n}| < 1. Suponha que a seqüência satisfaça a condição de Blaschke

(5)  ∑_{n=1}^{∞}(1 − |a_{n}|) < ∞

a) Usando resultados obtidos nos itens anteriores, mostre que o produto de

Blaschke

∏_{n=1}^{∞} \frac{z − a_{n}}{1 − a_{n}z} · \frac{−|a_{n}|}{a_{n}}

converge absolutamente para |z| < 1 e normalmente em compactos de {|z| < 1}. Sugestão: Estime

|1 − \frac{z − a_{n}}{1 − a_{n}z} · \frac{−|a_{n}|}{a_{n}} |

para |z| ⩽ r < 1.

Nota: Se f é uma função analítica limitada, não identicamente nula (f ≢ 0), em {|z| < 1}, (na verdade basta f na classe N de funções de Nevanlinna) e se a_{1}, a_{2}, … são os zeros de f, listados com multiplicidades, então a condição de Blaschke dada na equação (5) é satisfeita. A demonstração disto está baseada na bem conhecida fórmula de Jensen, veja refs. 9), 14), 15), 17) e 18). Como conseqüência disto, temos o seguinte resultado: Se f(z) e g(z) são duas funções analíticas limitadas em {|z| < 1}, e se a_{1}, a_{2}, … são os zeros de f(z) − g(z) satisfazendo ∑(1 − |a_{n}|) = ∞; então f(z) ≡ g(z), |z| < 1.

45) (Fatores primários de Weierstrass).Para cada p ∈ IN^{∗}, considere

E(z; 0) = (1 − z),  E(z; p) = (1 − z) e(z + \frac{z^{2}}{2} + ⋯ + \frac{z^{p}}{p} ),  p ⩾ 1

As quantidade E(z; p) são chamadas de fatores primários de Weierstrass. Mostre que para |z| < \frac{1}{2}, tem-se que

|E(z; p) − 1| ⩽ 3|z|^{p+1}

Os fatores primários de Weierstrass constituem a idéia fumdamental para demonstrar o teorema fatoração de Weierstrass que simplificadamente diz o seguinte: Se a_{n} é uma seqüência de números complexos , tal que |a_{n}| → ∞ (quando n → ∞,) então existe uma função inteira cujos zeros são exatamente os a_{n}. O leitor interessado neste assunto pode consultar refs. 9), 14), 15), 17) e 18).

BIBLIOGRAFIA SUCINTA

1) Alan F. Beardon. Iteration of Rational Functions. Springer, 1991.

2) Augus E. Taylor. Introduction to Functional Analysis. John Wiley and Sons, Inc, 1958.

3) Elon Lages Lima. Curso de Análise Volume 1. Projeto Euclides, 1995.

4) Elon Lages Lima. Elementos de Topologia Geral. Projeto Euclides, 1970.

5) Elon Lages Lima. Espaços Métricos. Projeto Euclides, 1993.

6) Haïm Brezis. Analyse Fonctionnelle. Masson, 1983.

7) Henri Mascart e Marius Stoka. Fonctions d’une Variable Réele. PUF, 1986.

8) G. H. Hardy, J. E. Littlewood e G. Pólya. Inequalities. Cambridge Press , 1973.

9) John B. Conway. Functions of One Complex Varialbles I (second edition). Springer, 1978.

10) J. Rivaud. Séries; équations différentielles. Vuibert, 1973.

11) M. Spivak, Calculus. Dois volumes. Ed. Reverté, Barcelona, 1970.

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12) Raghavan Narasimhan e Yves Nievergelt. Complex Analysis in One Variable (second edition). Birkhäuser, 2001.

13) Ralph P. Boas, Jr. A Primer of Real Functions. Math. Assoc. of Amer. John Wiley and Sons, Inc. 1960.

14) Reinhold Remmert. Theory of complex functions. Springer, 1991 ( Readinds in Mathematics). Classical topics in complex function theory, Springer, 1998.

15) Robert E. Greene e Steven G. Krantz. Function Theory of One Complex Variable. J. Wiley & Sons, 1997.

16) Walter Rudin. Princípios de Análise Matemática. Livro Técnico, N, 1971.

17) Walter Rudin. Real and Complex Analysis (third edition). McGraw-Hill, 1987.

18) Srishti D. Chatterji. Cours d’Analyse 1,2. Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1997.

19) Tom M. Apostol. Calculus, vol. II (second edition). J. Wiley & Sons, 1969.