ANÁLISE REAL-2002.2–Lista 5

Professor: Ricardo Sá Earp

Espaços vetoriais normados, de Banach, de Hilbert

Aproximações polinomiais (I) Funções semi-contínuas

Espaços vetoriais normados, de Banach, de Hilbert

1) Sejam X e Y espaço vetoriais normados e seja T : X → Y uma transformação linear.

a) Mostre que, ou bem T é contínua num ponto de X, ou bem X não é contínua em nenhum ponto de X. O que acontece quando X e Y tem dimensão finita ?

b) Mostre que T : X → Y é contínua em X, se e somente se existe uma constante positiva C tal que ∥T (x)∥_{Y} ⩽ C ∥x∥_{X} .

c) Dê um exemplo de uma transformação linear entre dois espaço de dimensão infinita (necessariamente) que não é contínua. Sugestão: Considere o espaço das funções contíuas em [0, 1] e considere a noma do sup e a norma da integral do módulo. Dizemos que X e Y são topologicamente isomorfos, se existe uma uma transformação linear T : X → Y inversível (ou seja existe T^{−1}), com T e T^{−1} contínuas.

c) Mostre que X e Y são topologicamente isomorfos, se e somente se existem constantes positivas c e C tal que

c ∥x∥_{X} ⩽ ∥T (x)∥_{Y} ⩽ C ∥x∥_{X}

i) Considere um espaço vetorial X dotados de duas normas ∥∥_{1} e ∥∥_{2}. Mostre que tais normas determinam a mesma topologia, se e somente se as duas normas são equivalentes.

ii) Dê exemplos de espaço vetoriais normados que não sejam topologicamente equivalentes.

2) O lema de Riesz afirma o seguinte (para uma demonstração consulte, por exemplo, a ref. 2). Seja X um espaço vetorial normado. Seja X_{0} um subespaço fechado e próprio de X (X_{0} ⊊ X). Tem-se então que para cada t com 0 < t < 1, existe um vetor unitário x_{t} ∈ X e ∥x − x_{t}∥ ⩾ t, ∀x ∈ X_{0}.

a) Use o lema de Riesz para demonstrar que a esfera unitária X = ∂B_{1}(0)

é compacta se e somente se X tem dimensão finita.

3) Dê exemplos de funcionais lineares em l^{p}, p ⩾ 1 contínuos.

4) Suponha que p > 1 e seja q seu expoente conjugado, i.e \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. Dê exemplos de transformações lineares contínuas ” naturais” que leva l^{q} em (l^{p})′ (dual).

Seja X um espaço vetorial com produto interno <, > . Dizemos que x e y são ortogonais se < x, y >= 0; denotamos x ⊥ y. Dizemos que S é um conjunto ortogonal, se qualquer par de pontos distintos x e y, tem-se que x é ortogonal à y. Se, além disso, os vetores de S são unitários (∥x∥ = 1, ∀x ∈ S), dizemos que S é ortornormal.

5) (Desigualdade de Bessel) Seja S um conjunto ortornormal de um espaço vetorial X dotado de um produto interno <, > . Seja u_{1}, …, u_{n} elementos distintos de S. Seja x ∈ X. Mostre que

(1)  ∑_{i=1}^{n} | < x, u_{i} > |^{2} ⩽ ∥x∥^{2}

Mostre ainda que o conjunto dos u ∈ S tal que < x, u >≠ 0, é ou bem finito ou infinito enumerável. Se x, y ∈ X, mostre que

(2)  ∑_{S} | < x, u > < y, u > | ⩽ ∥x∥ ∥y∥

consequentemente

(3)  ∑_{S} | < x, u > |^{2} ⩽ ∥x∥^{2}  ( desigualdade de Bessel)

Sugestão: Para a primeira parte, considere a quantidade (produto interno)

⟨x − ∑_{1}^{n} < x, u_{i} >, x − ∑_{1}^{n} < x, u_{i} >⟩

Para a primeira afirmação da segunda parte, use a desigualdade (1) para concluir que o conjunto < x, u >≠ 0, é uma união enumerável de conjuntos finitos. Para deduzir a equação (2) use a desigualdade de Cauchy para finitos u_{1}, … u_{n}, combinada com a equação (1), demonstrando (2) para uma coleção finita qualquer. Em seguida conclua.

6) Seja X um espaço vetorial separável dotado de um produto interno <, > . . Seja S um conjunto ortornormal em X. Mostre que S é enumerável. Sugestão:

a) Mostre que se x ⊥ y, e ∥x∥ = ∥y∥ = 1, então ∥x − y∥ = \sqrt{2}. Seja y_{n} um conjunto enumerável denso em X; mostre que a cada x ∈ S corresponde um n

tal que ∥x − y_{n}∥ < \frac{\sqrt{2}}{3}. Em seguida mostre que tal y_{n} está se correspondendo a um único x, estabelecendo um correspondência um-a-um entre o conjunto S e um subconjunto do conjunto enumerável {y_{n}}.

7) Considere um conjunto ortornormal finito do espaço vetorial X dotado do produto interno <, >; formado pelos pontos u_{1}, …, u_{n}. Seja M o subespaço de X gerado pelos u_{1}, …, u_{n}. Mostre que {u_{1}, …, u_{n}} é uma base de M e cada elemento x ∈ M se escreve da forma x =< x, u_{1} > u_{1} + ⋯ + < x, u_{n} > u_{n}.

8) Seja X um espaço vetorial completo dotado do produto interno <, > . Seja {u_{n}} um conjunto ortornormal infinito de X. Mostre que as séries da forma

∑_{1}^{∞} ξ_{n}u_{n} são convergentes se e somente se ∑_{1}^{∞} |ξ|^{2} < ∞. Neste caso mostre que

x = ∑_{1}^{∞} < x, u_{n} > u_{n} (ξ_{n} =< x, u_{n} >)

Sugestão: Considere s_{n} = ξ_{1}u_{1} +⋯+ξ_{n}u_{n}. Estime ∥s_{n} −s_{m}∥. Para a segunda parte, use a primeira parte combinada com o resultado estabelecido no item 7).

Nota: O teorema de Riesz-Fischer da teoria das séries de Fourier é uma realização concreta do resultado anterior: Afirma que se a_{0}, a_{1}, … e b_{0}, b_{1} … são duas seqüência de números reais tal que

\frac{a_{0}}{2} + ∑_{1}^{∞} (a_{n}^{2} + b_{n}^{2}) < ∞

então existe uma função x em L^{2}(0, 2π), tendo os a_{n} e b_{n} como seus coeficientes de Fourier, i.e

a_{n} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π}x(t) cos(nt) d t, b_{n} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π}x(t) sin(nt) d t

Neste caso X = L^{2}(0, 2π) e os elementos correspondente a u_{1}, …, u_{n}, …, são

\frac{1}{2π} , \frac{cos t}{\sqrt{π}}, \frac{sin t}{\sqrt{π}}, \frac{cos 2t}{\sqrt{π}}, \frac{sin 2t}{\sqrt{π}}, …

devido a que

∫_{0}^{2π}e^{imt} e^{−int} dt = \{ \begin{matrix}2π & se m = n \\ 0 & se m ≠ n \end{matrix}

O leitor pode verificar que os coeficientes ξ_{1}, ξ_{2}, … do resultado do item 7) acima estão relacionados com os standard coeficientes de Fourier pelas fórmulas: ξ_{1} = a_{0}\sqrt{π/2}, ξ_{2} = a_{1}\sqrt{π}, ξ_{3} = b_{1}\sqrt{π}, …. Pode-se mostrar que \frac{1}{2π} , \frac{cos t}{\sqrt{π}}, \frac{sin t}{\sqrt{π}}, \frac{cos 2t}{\sqrt{π}}, \frac{sin 2t}{\sqrt{π}}, … é um conjunto ortornormal completo; valendo a identidade de Parseval (veja em seguida):

\frac{1}{π} ∫_{0}^{2π}(x(t))^{2} = \frac{a_{0}}{2} + ∑_{1}^{∞} (a_{n}^{2} + b_{n}^{2})

Um conjunto ortornormal S num espaço vetorial X dotado de um produto interno <, > é chamado completo se não existe um conjunto ortogonal que contenha S estritamente; ou seja S não é subconjunto próprio de nenhum conjunto ortogonal ” maior” (S é maximal). É um fato que todo espaço vetorial X ≢ 0 dotado de um produto interno <, > possui um um conjunto ortornormal completo S. Além disso, se S é um conjunto ortornormal qualquer, existe um conjunto ortornormal completo que contém S.

Dizemos que x ⊥ S, se x é ortogonal a cada elemento de S; neste caso x é ortogonal ao subespaço gerado por S, assim como é ortogonal ao fecho deste subespaço.

9) Seja X um espaço vetorial dotado de produto interno <, > e seja S = {u_{n}} um conjunto ortonormal de X. Seja M o fecho do subespaço gerado pelos {u_{n}} e defina a projeção ortorgonal de x em M, denotada por x_{S}, por

x_{S} = ∑_{1}^{∞} < x, u_{n} > u_{n}

a) Mostre que x ∈ M se e somente se x = x_{S}. De qualquer maneira mostre que x_{S} ∈ M e x − x_{S} ⊥ M. Logo, conclua que existe uma decomposição ortogonal x = x_{S} + x_{S}^{⊥}, onde x_{S}^{⊥} ⊥ S

b) Mostre que se M = X, então S é completo.

c) Mostre que se X é completo e se o conjunto ortornormal S é completo (i.e maximal) então M = X.

d) Exiba um conjunto ortornormal completo {u_{n}} em l^{2} e mostre a identi-

dade de Parseval:

∥x∥_{l^{2}}^{2} = ∑_{1}^{∞} | < x, u_{n} > |^{2}

e) Mostre que se x ⊥ S ⇒ x = 0, então S é completo.

f) (Teorema de aproximação) Dado x ∈ X, mostre que

∥x − x_{S}∥ ⩽ ∥x − v∥, ∀v ∈ M

Além disso, vale a igualdade se e somente se v = x_{S}. Além disso, discuta a aproximação de funções contínuas em [0, 2π] por polinômios trigonométricos

P_{n}(x) = \frac{a_{0}}{2} + ∑_{k=1}^{n}(a_{k} cos kx + b_{k} sin kx)

(aparecem os coeficientes de Fourier); assim como a aproximação de funções contínuas em [−1, 1]por polinômios de grau ⩽ n (aparecem os polinômios de Legendre).

10) (fórmula de Parseval) Seja S = {u_{n}} um conjunto ortornormal de um espaço vetorial X munido de um produto interno <, > . Suponha que seja satisfeita a identidade de Parseval

(4)  ∥x∥_{l^{2}}^{2} = ∑_{1}^{∞} | < x, u_{n} > |^{2},  ∀x ∈ X

Mostre que X é completo. Reciprocamente, mostre que se X é um espaço completo e S é um conjunto ortornormal completo, então a fórmula de Parseval é válida para todo x em X.

11) (Processo de ortogonalização de Gram-Schimdt) Seja S = {x_{n}} um conjunto infinito enumerável linearmente independente de um espaço vetorial X munido de um produto interno <, > . Mostre que existe um conjunto ortogonal {y_{n}} com as seguintes propriedades (α) Cada elemento y_{k} é ortogonal ao subespaço gerado pelos x_{1}, x_{2}, … x_{k−1}. (β) O subespaço gerado pelos y_{1}, …, y_{k} é o mesmo que o subespaço gerado

pelos x_{1}, …, x_{k}. (γ) A seqüência y_{1}, y_{2}, … é única a menos multiplicação por escalar, i.e se

y′_{1}, y′_{2}, … é outra seqüência em X satisfazendo α e β, para todo k, então para cada k existe um escalar c_{k} tal que y′_{k} = c_{k}y_{k}. Além disso o pode-se obter um conjunto ortornormal {u_{n}}, fazendo-se uma apropriada normalização. gerando o mesmo subespaçoM gerado por S. Sugestão: Considere a fórmula

y_{1} = x_{1}, u_{1} = \frac{y_{1}}{∥y_{1}∥}, y_{n+1} = x_{n+1}−∑_{k=1}^{n} < x_{n+1}, u_{k} > u_{k}, u_{n+1} = \frac{y_{n+1}}{∥y_{n+1}∥}

12) Suponha que X seja um espaço vetorial de dimensão infinita munido de um produto interno que seja separável, não necessariamente completo. Mostre que X possui um conjunto enumerável completo S tal que o fecho do espaço gerado pelos elementos de S é todo X.

13) Seja X um espaço Hilbert de dimensão infinita que seja separável. Mostre que X é isométrico (isomorfo) a l^{2}.

14) (Polinômios de Legendre). No espaçco L^{2}(−1, 1) (você pode pensar neste nível no espaço vetorial normado das funções contínuas em [−1, 1], munido do

produto interno < f, g >= ∫_{−1}^{1} f(t) g(t) dt), considere o conjunto linearmente

independente formado pelos polinômios 1, t, t^{2}, …, t^{n}, ….

a) Mostre que o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt leva ao seguinte conjunto ortogonal

y_{0} = x_{0} = 1, y_{1} = x_{1} = t, y_{2} = t^{2} − \frac{1}{3},

y_{3} = t^{3} − \frac{3}{5}t, y_{4} = t^{4} − \frac{6}{7}t^{2} + \frac{3}{35} y_{5} = t^{5} − \frac{10}{9}t^{3} + \frac{5}{21}t

Além disso, mostre que o coeficiente de x^{n} em y_{n} é igual a 1. Será discutido em seguida que y_{n}(t) é dado pela seguinte fórmula

y_{n}(t) = \frac{n!}{(2n!)} \frac{d^{n}}{dt^{n}} (t^{2} − 1)^{n}

Os polinômios de Legendre estão definidos por

p_{n}(t) = \frac{1}{2^{n} n!} \frac{d^{n}}{dt^{n}} (t^{2} − 1)^{n}

i) Obtenha que os 6 primeiros polinômios de Legendre são

P_{0}(x) = 1, P_{1}(x) = x, P_{2}(x) = \frac{1}{2}(3x^{2}−1), P_{3}(x) = \frac{1}{2}(5x^{3}−3x),

P_{4}(x) = \frac{1}{8}(35x^{4} − 30x^{2} + 3), P_{5}(x) = \frac{1}{8}(63x^{5} − 70x^{3} + 15x)

Os polinômios de Legendre P_{n}(u) são dados alternativamente pelas suas funções geradoras:

φ(u, z) := (1 − 2uz + z^{2})^{−1/2} = ∑_{0}^{∞} P_{n}(u)z^{n}  (∗)

Note que a fórmula acima vem do fato que para u fixado, a função z ↦ φ(u, z), é uma função analítica num disco aberto centrado na origem; logo (∗) é o desenvolvimento de Taylor desta função em z = 0.

i) Utilizando a fórmula do binômio

(1−ζ)^{−1/2} = 1+∑_{k=1}^{∞} \binom{−1/2}{k}(−ζ)^{k} = 1+∑_{k⩾1} \frac{2k!}{2^{2k}(k!)^{2}} ζ^{k}, |ζ| < 1

generalizada (Fórmula de Abel-Newton, veja Lista 3), observe que

φ(u, z) = 1 + ∑_{k⩾1} \frac{2k!}{2^{k}(k!)^{2}} z^{k} (u − \frac{z}{2})^{k}

Conclua que

(5) P_{n}(u) = ∑_{r=0}^{m} \frac{(−1)^{r}(2n − 2r)!}{2^{n} · r!(n − r)!(n − 2r)!}(u^{n−2r}),

m = n/2 se n é par e m = (n − 1)/2 se n é ímpar

Em particular, confirme que P_{0}(u) = 1, P_{1}(u) = u, P_{2}(u) = \frac{1}{2}(3u^{2} − 1), P_{3}(u) = \frac{1}{2}(5u^{3} − 3u). ii) Levando em conta (5), deduza a fórmula de Rodrigues

(6)  P_{n}(u) = \frac{1}{2^{n}n!} \frac{d^{n}}{d u^{n}} (u^{2} − 1)^{n}

Observando que segue da fórmula de Cauchy que

(7)  P_{n}(u) = \frac{1}{2πi} ∫_{|w−u|=1} \frac{(w^{2} − 1)^{n}}{2^{n}(w − u)^{n+1}} d w

A fórmula (7) é conhecida como fórmula de Schläfli.

Segue diretamente da fórmula (7) que w = P_{n}(u) é uma solução da equação de Legendre

(8)  (1 − u^{2})w′′ − 2uw′ + n(n + 1)w = 0

Tal equação é uma equação diferencial singular-regular linear Fuchsiana de segunda ordem. Veja ref. 20), mais detalhes sobre a teoria destas equações, que aparecem naturalmente tanto na Matemática, quanto na Física -Matemática. iii) Mostre que os P_{n} verificam a condição de ortogonalidade

(9)  ∫_{−1}^{1} P_{m}(u)P_{n}(u) du = 0

se m ≠ n. Sugestão: Use a equação diferencial (7) satisfeita por P_{n} e P_{m} para mostrar que

((1 − x^{2})(P_{n}P′_{m} − P′_{n}P_{m}))′ = (n(n + 1) − m(m + 1)) P_{n}P_{m}

Pode ser mostrado que os polinômios de Legendre P_{n} tem exatamente n distintos zeros reais no intervalo (−1, 1) e que satisfazem

(10)  ∫_{−1}^{1} (P_{n}(x))^{2} dx = \frac{2}{2n + 1}

Logo, os polinômios de Legendre normalizados são dados por

(11)  φ(x) = \sqrt{\frac{2k + 1}{2}}P_{k}(x)

Nota cultural: No espaço L^{2}(−∞, ∞), um exemplo de sistema ortornormal completo é dado pelas funções de Hermite que são definidas em termos dos polinômios de Hermite. Os polinômios de Hermite são dados por

H(t) = (−1)^{n} e^{t^{2}} \frac{d^{n}}{d t^{n}} e^{− \frac{t^{2}}{2}}

Outro exemplo interessante, é fornecido pelos polinômios de Laguerre e pelas funções de Laguerre que determinam um sistema ortornormal completo em L^{2}(0, ∞).

Aproximações polinomiais (I)

Seja X um espaço vetorial. ma aplicação x ∈ X ↦ N(x) = ∥x∥ ∈ IR é chamada de uma semi-norma (abuso de notação), se satisfaz as propriedades de uma norma, exceto que ∥x∥ = 0, não implica necessariamente que x = 0.

15) (Exemplos de semi-normas)

a) (semi-norma de Taylor) Mostre que se se V e ’o espaço de todas as funções f possuindo n-ésima derivada em um certo ponto a; então

N(f) = ∑_{k=0}^{n} |f^{(k)}(a)|

é uma semi-norma. b) Mostre que de X é o espaço vetorial de todas as funções reis integráveis

f em [a, b], então

N(f) = ∫_{a}^{b} |f(x)|^{2} dx

é uma semi-norma que é proveniente de um produto interno

c) Mostre que se X é o espaço de todas as funções reais f limitadas em

[a, b], então

N(f) = max_{a⩽x⩽b} |f(x)|

é uma semi-norma.

Pense agora que C é o espaço das funções contínuas definidas em [a, b], e que S é um subespaço vetorial consistindo de todos os polinômios de grau ⩽ n. Assuma que exista uma determinada norma ou semi-norma ∥∥ definida em C. Seja fixada uma função f ∈ C. Se existe um polinômio P em S tal que

∥f − P ∥ ⩽ ∥f − Q∥

para todos os polinômios Q em S, dizemos que P é a melhor aproximação de f relativa a dada norma ou semi-norma

16)

a) Mostre que o polinômio de Taylor de grau n é a melhor aproximação polinomial para a semi-norma de Taylor dada no exerc. 15)a).

b) Seja X um espaço vetorial dotado de um produto interno <, >. Note que o exerc. 9)f) diz que existe um único polinômio P em S tal que a norma ∥f −P ∥ é a menor possível. Mais precisamente, P é a projeção ortogonal em S dada explicitamente por

p(x) = ∑_{k=0}^{n} < P, e_{i} > e_{i}

onde e_{0}, e_{1}, … e_{n} é um conjunto ortonormal gerando S. Mostre que os polinômios de Legendre normalizados φ_{0}, φ_{1}, … φ_{n} formam uma base ortornormal para o subespaço de todos os polinômios de grau⩽ n do espaço das funções contínuas em [−1, 1], dotado do produto interno (veja item 14) e equação 11))

(12)  < f, g >= ∫_{−1}^{1} f(x)g(x) dx

c) Em particular mostre que o polinômio linear (grau 1) mais próximo da função f(x) = sin πx em [−1, 1] é P (x) = \frac{3}{π} x. Encontre o polinômio linear mais próximo de e^{x} em [−1, 1] (com o espaço das funções contínuas em [−1, 1] dotado do produto interno dado pela equação (12), é claro).

d) Seja C[0, 2] o espaço das funções contínuas em [0, 2] dotado do produto interno

< f, g >= ∫_{0}^{2} f(x)g(x) dx

Mostre que o polinômio constante mais próximo de f(x) = e^{x} é P (x) = \frac{1}{2}(e^{2} −1). Calcule ∥P (x) − f(x)∥.

e) Seja C[0, 2π], o espaço das funções contínuas em [0, 2π] dotado do produto interno

< f, g >= ∫_{0}^{2π}f(x)g(x) dx

Dada f(x) = x, encontre o polinômio trigonométrico no subespaço gerado pelas funções trigonométricas u_{0}(x) = 1, u_{1}(x) = cos x e u_{2}(x) = sin x mais próximo de f.

17) (Fórmula de interpolação de Lagrange) Dados n + 1 números distintos e n + 1 números f(x_{0}), f(x_{1}), …, f(x_{n}) não necessariamente distintos, mostre que existe um único polinômio P (x) de grau ⩽ n satisfazendo P (x_{j}) = f(x_{j}), j = 0, 1, 2, …, n. Além disso mostre que P (x) é dado por

P (x) = ∑_{k=0}^{n} \frac{f(x_{k}) ∏_{j=0_{j≠k}}(x − x_{j})}{∏_{j=0_{j≠k}}(x_{k} − x_{j})}

Nota (erro na interpolação polinomial): Sejam x_{0}, x_{1}, … x_{n}, n + 1 pontos distintos num intervalo [a, b] no qual uma certa função diferenciável f está definida. Seja P o polinômio de inmterpolação que coincide com f nestes pontos. Seja x ∈ [a, b] e seja [α, β] um intervalo qualquer contido no domínio de definição de f contendo x e os pontos x_{0}, x_{1}, … x_{n}. Assuma que f seja n + 1 vezes diferenciável em [α, β]. Tem-se então que existe c ∈ (α, β) tal que

(13)  f(x) − P (x) = \frac{(x − x_{0})(x − x_{1}) ⋯ (x − x_{n})}{(n + 1)!}f^{(n+1)}(c)

A demonstração do fato acima está baseada na análise de uma nova função

F (t) = (x−x_{0})(x−x_{1}) ⋯ (x−x_{n})(f(t)−P (t))−(t−x_{0})(t−x_{1}) ⋯ (t−x_{n})(f(x)−P (x))

derivando-se n + 1 vezes F (t) se anula em x e nos pontos x_{0}, x_{1}, … x_{n}, totalizando n + 2 pontos onde F (t) se anula. Logo, segue do teorema de Rolle que F′(t) se anula em n + 1 intervalos, adjacentes, F′(t) se anula em n pontos distintos,; assim por diante, mostrando que F^{(n+1)}(c) = 0, para algum c ∈ (α, β). Isto acarreta na fórmula (13) acima. O leitor deve examinar o erro na interpolação linear. Existe também uma fórmula de interpolação de Newton. O leitor interessado pode consultar a ref. 19).

18) (Polinômios de Tchebyshev) Os polinômios de Tchebyshev T_{n}(x) são definidos pela fórmula

(14)  T_{n}(x) = cos(n arccos x),  ∀x ∈ [−1, 1]

Alternativamente

T_{n}(x) = ∑_{k=0}^{[n/2]} \binom{n}{2k}x^{n−2k}(x^{2} − 1)^{k}

Você saberia demonstrar isto ?

a) Mostre que os polinômios de Tchebyshev satisfazem a seguinte fórmula de recorrência

T_{n+1}(x) = 2xT_{n}(x) − T_{n−1}(x), n ⩾ 1

T_{0}(x) = 1 e T_{1}(x) = x. Além disso mostre que os coeficientes dos polinômios de Tchebyshev T_{n}(x) são inteiros e que o coeficiente de x^{n} em T_{n}(x) é 2^{n−1}. Calcule os 5 primeiros polinômios de Tchebyshev.

b) Mostre que para n ⩾ 1 os zeros de T_{n}(x) são os pontos

x_{k} = cos \frac{(2k + 1)π}{2n} , k = 0, 1, 2, …, n_{1}

Conclua que

T_{n}(x) = 2^{n−1}(x − x_{0})(x − x_{1}) ⋯ (x − x_{n})

c) Mostre que os polinômios de Tchebyshev satisfazem a seguinte equação diferencial linear de segunda ordem singular-regular (veja ref.20))

(1 − x^{2})y′′ − xy′ + n^{2}y = 0

i) Mostre que os T_{n}(x) satisfazem

T_{m}(x)\frac{d}{dx} (\sqrt{1 − x^{2}}T′_{n}(x)) + n^{2} \frac{T_{n}(x)T_{m}(x)}{\sqrt{1 − x^{2}}} = 0

deduza a seguinte relação de ortogonalidade

∫_{−1}^{1} \frac{T_{n}(x)T_{m}(x)}{\sqrt{1 − x^{2}}} dx = \{ \begin{matrix}0 & se n ≠ m \\ π & se n = m = 0 \\ π/2 & se n = m > 0 \end{matrix}

Nota: possível mostrar que os polinômios de Tchebyshev T_{n}(x)/2^{n−1} normalizados no intervalo [−1, 1] realizam a menor norma do sup entre os polinômios normalizados no intervalos [−1, 1]. Mais precisamente, se p_{n}(x) = x^{n} + ⋯ a_{0}, é um polinômio normalizado qualquer de grau n ⩾ 1, então

(15)  ∥p_{n}∥_{sup} ⩾ ∥T_{n}(x)/2^{n−1}∥_{sup}

Além disso, a igualdade em (15) é válida, se p_{n} = T_{n}(x)/2^{n−1}.

Nota: Os polinômios de Tchebyshev aparecem na Dinâmica Complexa, veja por exemplo refs. 1) e 21). Seja P (z) um polinômio (ou mais geralmente uma fração racional; ou seja um quociente de polinômios). Seja z_{0} ∈ ℂ, e considere as iterações z_{0}, z_{1} = P (z_{0}), z_{2} = P (z_{1}), …. O conjunto de Fatou, denotado por F é o subconjunto do plano complexo ℂ para o qual vale a seguinte propriedade: Se x_{0} ∈ F, então para todo w_{0} suficientemente próximo de x_{0} as duas seqüências de iterados z_{n} e w_{n} iniciando em z_{0} e w_{0}, respectivamente, exibem grosso modo o mesmo comportamento quando n tende a ∞. O conjunto de Julia, denotado por J é o complementar de F. Considerando os polinômios de Tchebyshe T_{n}(z) e seus iterados (T_{n})^{k} é possível mostrar que J = [−1, 1] e que F = ℂ \ [−1, 1].

Funções semi-contínuas

Seja X um espaço métrico. Seja φ : X → IR ∪ {−∞}. Vamos ver primeiro a definição de funções semi-contínuas superiormente. Dizemos que φ é semi-contínua superiormente (denotamos scs), se para cada a ∈ X, temos que

lim sup_{x→a} φ(x) ⩽ φ(a)

Ou seja, ∀ϵ > 0, ∃ vizinhança U de a em X tal que φ(x) ⩽ φ(a) + ϵ, ∀x ∈ U, se φ(a) > −∞. Se φ(a) = −∞, a condição é que ∀A > 0, ∃ vizinhança U de a, tal que φ(x) < −A, ∀x ∈ U. Por outro lado, Dizemos que φ : X → IR∪{∞} é semi-contínua inferiormente (denotamos sci), se para cada a ∈ X, temos que

lim inf_{x→a} φ(x) ⩾ φ(a)

Ou seja, ∀ϵ > 0, ∃ vizinhança U de a em X tal que φ(x) ⩾ φ(a) − ϵ, ∀x ∈ U, se φ(a) < ∞. Se φ(a) = ∞, a condição é que ∀A > 0, ∃ vizinhança U de a, tal que φ(x) > A, ∀x ∈ U.

19) Mostre que se φ é scs, então φ é limitada em qualquer compacto K ⊂ X e f assume o máximo em K.

20) Mostre que se φ é scs, então o conjunto {x; φ(x) = M} é fechado em X.

21) Mostre que se φ_{1} e φ_{2} são funções semi-contínuas superiormente, então, se λ ∈ IR, λ ⩾ 0, as funções x ↦ φ_{1}(x) + φ_{2}(x), x ↦ max(φ_{1}(x), φ_{2}(x)) e λφ_{1}(x) são scs.

22) Se {φ_{n}} é uma seqüência de funções scs no espaço métrico X, assumindo que φ_{n+1}(x) ⩽ φ_{n}(x), mostre que lim_{n→∞} φ_{n}(x) é ainda scs.

Professor Ricardo Sa Earp 15

23) (caracterização das funções sci) Mostre que φ : X → IR ∪ {∞}, é sci se e somente se ∀λ ∈ IR, o conjunto

{x; φ(x) ⩽ λ}

é fechado em X.

24) Mostre que toda função sci definida num espaço métrico compacto X assume o mínimo em X.

25) Mostre que se φ é scs, então −f é sci.

26) Mostre que φ é contínua, se e somente se φ é scs e sci.

BIBLIOGRAFIA SUCINTA

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