ANÁLISE REAL-2002.2–Lista 6

Professor: Ricardo Sá Earp

Diferenciabilidade e Integração, I

1) Queremos obter uma aproximação de ^{3} \sqrt{23} com um algarismo decimal correto: considerte a função f(x) = ^{3} \sqrt{x}, restrita ao intervalo [23, 27]. Aplique o teorema do valor médio neste intervalo para obter que

2.81 < ^{3} \sqrt{23} < 2.86

Você saberia obter uma aproximação com 4 algarismos decimais corretos, usando a fórmula de Taylor: ^{3} \sqrt{23} = 2.8438 … ?

2) Mostre para qualquer que seja o valor k, que a equação

x^{3} + x^{2} − 5x + k = 0

nunca terá dois zeros no intervalo (0, 1).

3) Assuma que arctan π/4 ≈ 0.7854, aplicando obrigatoriamente o teorema do valor médio, mostre que

arctan 9/8 = 0.844 ± 0.004

4) Considere a função f(x) = (a^{2} + x)^{1/2}. Seja b > 0. Utilizando o teorema do valor médio, mostre que

(a^{2} + x)^{1/2} < |a| + \frac{b}{2|a|}, ∀x ∈ (0, b)

Deduza que

f(b) > |a| + \frac{b}{2 (|a| + \frac{b}{2|a|})}

2 Professor Ricardo Sa Earp

Concluq que se a > 0 e b > 0, então

a + \frac{ab}{2a^{2} + b} < (a^{2} + b)^{1/2} < a + \frac{b}{2a}

Obtenha que

3\frac{3}{10} < \sqrt{11} < 3\frac{1}{3}

5) Vamos agora examinar de um outro ponto de vista as identidades

\frac{π}{4} = ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k+1}}{2k − 1} ln 2 = ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k+1}}{k}

que já sabíamos deduzir via as séries de Tayor de arctan z e ln(1 + z), na origem; formalize esta afirmação!! Considere a integral

I(n) = ∫_{0}^{π/4}tan^{n} θ dθ (n = 0, 1, 2, …)

a) Fazendo integração por partes mostre que

I(2n) = ∫_{0}^{π/4}tan^{2n−2}θ (sec^{2} θ − 1) dθ

= −I(2n − 2) + ∫_{0}^{π/4}tan^{2n−2}θ sec^{2} θ dθ

= −I(2n − 2) + \frac{1}{2n − 1}

= \frac{1}{2n − 1} − (−I(2n − 4) + \frac{1}{2n − 3})

⋯

= \frac{1}{2n − 1} − \frac{1}{2n − 3} + \frac{1}{2n − 5} − + ⋯ + (−1)^{n−1} + (−1)^{n−1} \frac{π}{4}

deduzindo que

(1)  |\frac{π}{4} − ∑_{1}^{n} \frac{(−1)^{k+1}}{2k − 1} | = I(2n)

Professor Ricardo Sa Earp 3

analogamente, mostre que

(2)  |\frac{1}{2} ln 2 − ∑_{1}^{n} \frac{(−1)^{k+1}}{2k} | = I(2n + 1)

b) Mostre que I(n) decresce estritamente quando n cresce, concluindo que

I(n) < \frac{1}{2(n − 1)} I(n − 2) > \frac{1}{2(n − 1)}

portanto

\frac{1}{2(n + 1)} < I(n) < \frac{1}{2(n − 1)}

c) Aplique o resultado acima nas equações (1) e (2) para obter as estimativas

\frac{1}{2(2n + 1)} < |\frac{π}{4} − ∑_{1}^{n} \frac{(−1)^{k+1}}{2k − 1} | < \frac{1}{2(2n − 1)}

\frac{1}{2(n + 1)} < |ln 2 − ∑_{1}^{n} \frac{(−1)^{k+1}}{k} | < \frac{1}{2n}

Nota: Um análise parecida, considerando a integral

J(n) = ∫_{0}^{π/2}sin^{n} θ dθ

leva a seguinte estimativa obtida por J. Wallis no séc. 17:

\frac{1}{\sqrt{π(n + \frac{1}{2})}} < \frac{1.3 ⋯ (2n − 1)}{2.4 ⋯ 2n} < \frac{1}{\sqrt{πn}} (n = 1, 2, …)

6) Aplique obrigatoriamente a fórmula de Taylor de ordem 4 para sin x em a = 0,

para mostrar que

x − \frac{x^{3}}{3!} < sin x ⩽ x − \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} , ∀x ∈ [1, 2]

Deduza que a integral I = ∫_{1}^{2} \sqrt{x} sin x dx, pode ser estimada por

\frac{2^{3} · 17\sqrt{2} − 49}{3^{3} · 5} < I ⩽ \frac{2^{3} · 17\sqrt{2} − 49}{3^{3} · 5} + \frac{2}{11 · 4!}(2^{11/2} − 1)

7) O desafio agora é estimar K(1/4), com precisão de 4 casa decimais, onde

K(k) = ∫_{0}^{π/2}\frac{dθ}{\sqrt{1 − k^{2} sin^{2}θ}}

é uma intergal elíptica completa de primeira espécie. A sugestão é considerar a fórmula de Taylor de ordem 2 da função f(x) = (1 − x)^{−1/2}, em a = 0, para 0 < x < \frac{1}{16}. Mostre que K(1/4) = 1.5962 …

8) Exiba exemplos de funções reais que sejam de classe C^{k}, mas não sejam de classe C^{k+1}.

9) Seja f(x) ⩾ 0 uma função suave definida em [0, ∞), Assuma que f(x) > 0, para x > 0. Assuma que lim x^{2} log f(x) → −1, quando x → 0^{+}. Mostre que f(x), assim como todas as suas derivadas são nulas na origem.

10) Seja f uma função contínua no intervalo [0, ∞). Para x > 0, colocamos

φ(x) = ∫_{0}^{x} f(t) dt F (x) = \frac{φ(x)}{x}

a) Mostre que lim_{x→0^{+}} F (x) = f(0) := F (0).

b) Mostre que F (x) é diferenciável e que F′(0) = \frac{f′(0)}{2}.

11) Seja f uma função real definida num intervalo I de comprimento 2l. Assuma que f é duas vezes diferenciável em I. Além disso, suponha que f e f′′ sejam limitadas. Seja M_{0} = sup_{x∈I} |f(x)| e M_{2} = sup_{x∈I} |f′′(x)|.

a) Seja x_{0} um ponto interior de I e seja λ um número real positivo tal que o intervalo J = J(x_{0}, λ) = [x_{0} − λ, x_{0} + λ] seja contido no interior de I. Mostre que

|f′(x)| ⩽ \frac{M_{0}}{λ} + λM_{2}, ∀x ∈ J

b) Mostre que se 0 < λ < l, pode-se encontrar x_{0} no interior de I tal que a desigualdade acima seja válida para todo x ∈ I. Além disso, mostre que se f′ é limitada em I, tem-se que

sup_{x∈I} |f′(x)| ⩽ \frac{M_{0}}{λ} + λM_{2}, ∀λ ∈ (0, l)

Conclua que se l > \sqrt{\frac{M_{0}}{M_{1}}} , tem-se que M_{1} ⩽ 2\sqrt{M_{0}M_{1}}. Estude o caso f(x) =

x^{2} − \frac{1}{2} no intervalo [−1, 1].

12) Seja y = f(x) uma função positiva, crescente, duas vezes diferenciável no intervalo (x_{0}, x_{1}). Suponha que para certo A > 0, y satisfaça a desigualdade diferencial

\frac{y′′}{(1 + y^{′2})^{3/2}} ⩽ \frac{1}{y(1 + y^{′2})^{1/2}} + \frac{A}{y^{2}(1 + y^{′2})}

a) Mostre que a função

\frac{1}{2} log(1 + y^{′2}) − log y + \frac{A}{y}

é decrescente em (x_{0}, x_{1}). Deduza que existem constantes b > 0 e c tal que

y(x) < c e^{bx}

13) Seja y = f(x) uma função positiva, crescente, estritamente convexa, duas vezes diferenciável num intervalo (0, x_{1}). Suponha que para certo 0 < a < 1, y satisfaça a desigualdade diferencial

\frac{y′′}{2(1 + y^{′2})^{3/2}} − \frac{1}{2y(1 + y^{′2})^{1/2}} = a (\frac{y′′}{2(1 + y^{′2})^{3/2}} + \frac{1}{2y(1 + y^{′2})^{1/2}} )

a) Mostre que a equação acima é equivalente a

\frac{y′′y′}{1 + y^{′2}} = α\frac{y′}{y} , α = \frac{1 + a}{1 − a}

b) Fazendo uma integração mostre que

log (\frac{\sqrt{1 + y^{′2}}}{y^{α}} ) = const = c

Deduza que

∫ \frac{dy}{\sqrt{e^{2c} y^{2α} − 1}} = x + d, d ∈ IR

Considerando uma primitiva qualquer I(y) de \frac{1}{\sqrt{e^{2c} y^{2α} − 1}}, mostre que tal é

limitada quando y → ∞; inferindo que x é limitado e assim que o gráfico de y está à esquerda de uma reta assímptota vertical.

14) Considere a função real dada

f(x) = ∫_{0}^{1} \frac{e^{−x(1+t^{2})}}{1 + t^{2}} dt

a) Mostre que f é diferenciável em IR e que

f′(x) = ∫_{0}^{1} e^{−x(1+t^{2})} dt

Além disso mostre que f(x) → 0, quando x → ∞ e que f(x) → ∞ quando x → −∞.

b) Considere g(x) = f(x^{2}). Mostre que g′(x) = −2 e^{−x^{2}} ∫_{0}^{x} e^{−t^{2}} dt. Deduza que

i) g(x) + (∫_{0}^{x} e^{(−t^{2})} dt)^{2} = \frac{π}{4} , e portanto ∫_{0}^{∞} e^{−x^{2}} dx = \frac{\sqrt{π}}{2} .

15) Considere a série

f(z) = ∑_{0}^{∞} \frac{z^{3n}}{(3n)!}

a) Mostre que f satisfaz f′′′(z) − f(z) = 0. Mostre ainda que f(z) =

\frac{1}{3} (e^{z} +2 e^{−z/2} cos \frac{\sqrt{3}z}{2} ) .

i) Deduza que

\frac{1}{3} (cosh z + 2 cosh z cos(\sqrt{3}z/2)) = ∑_{0}^{∞} \frac{z^{6n}}{(6n)!}

16) Sejam a, b, k constantes reais, com k ≠ 0. Define-se uma seqüência {a_{n}} pelas

relações

a_{0} = a, a_{1} = b, ka_{n+2} − (1 + k^{2})a_{n+1} + ka_{n} = 0

Considere a série

f(z) = ∑_{0}^{∞} a_{n} \frac{z^{n}}{n!}

a) Mostre que f(z) satisfaz a uma equação diferencial linear de segunda ordem. Encontre f(z) e em seguida encontre uma expressão para os a_{n}. Analise os casos k = ±1, separadamente.

17) Estabeleça o desenvolvimento em série de potências da função f definida por

f(z) = ∫_{0}^{z} \frac{e^{ζ} −1}{ζ} dζ, determinando o raio de convergência da série. Coloque

g(z) = ∫_{1}^{2} e^{z} log z dz. Estabeleça uma relação entre g e certos valores de f.

18) Considere a função f(z) = log \frac{1 + z}{1 − z} , |z| < 1. Calcule f^{(n)}(0), a n-ésima derivada de f na origem. Use obrigatoriamente o desenvolvimento de Taylor de f na origem para calcular, log \frac{m}{n}, log 2 e log | cot z|.

19) Considere a função f(z) = \frac{e^{−z}}{1 + z} . Mostre que a n-ésima derivada de f na

origem é dada por f^{(n)}(0) = (−1)^{n}n! (1 + 1 + \frac{1}{2!} + ⋯ + \frac{1}{n!}) .

20) Considere as funções

f(z) = ∑_{0}^{∞} \frac{z^{n}}{n!} , g(z) = ∑_{0}^{∞} \frac{(−1)^{n} a^{n}z^{n}}{b(b + a)(b + 2a) ⋯ (b + na)}

Seja h(z) = f(z)g(z). Mostre que h^{(n)}(0) = \frac{1}{b + na}.

21) Escrevendo obrigatoriamente as potências e os produtos de funções trigonométricas como combinação linear de senos e cossenos, calcule a n-ésima derivada na

origem das funções f(z) = (\frac{sin z}{z} )^{2} , z ≠ 0, f(0) = 1, g(z) = cos^{3}z, h(z) = sin 2z cos 4z.

22) Use obrigatoriamente o teorema de Newton-Abel para mostrar que o desen-

volvimento de Taylor de f(z) = log \frac{\sqrt{1 + z^{2}} − 1}{z^{2}}, f(0) = log \frac{1}{2}, na origem é

f(z) = log \frac{1}{2} + ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}1.3 ⋯ (2n − 1)}{2^{n+1}n(n!)}z^{2n}

Determine o raio de convergência da série.

23) Fazendo a decomposição em frações parciais, encontre o desenvolvimento de Taylor das seguintes funções, na origem, determinando o raio de convergência

da série: f(z) = \frac{z + 2}{z^{2} + z + 1}, g(z) = \frac{z^{4}}{z^{4} + z^{2} − 2}.

24) Escreva o desenvolvimento de Taylor da função f(z) = \frac{1 − z cos a}{1 − 2z cos a + z^{2}} , na origem, determinando o raio de convergência da série. Calcule a n-ésima derivada de f na origem.

25) Mostre que

∑_{0}^{∞} \frac{z^{n}}{(n + 1)(n + 2)(n + 3)} = \frac{3z − 2}{4z^{2}} − \frac{(1 − z)^{2}}{2z^{3}} log(1 − z), |z| < 1

26) Mostre que

∑_{n=2}^{∞} \frac{z^{n}}{n^{2} + n − 2} = \frac{1}{3} (\frac{1}{z} + \frac{1}{2} + \frac{z}{3}) + \frac{1}{3} (\frac{1}{z^{2}} − z) log(1 − z)

27) Considere a função f(x) = e^{x} .

a) Escreva a fórmula de Taylor de ordem 3 de f na origem: Usando tal,

mostre que e^{1/3} = 1.3951, com um erro menor que 13 · 10^{−4}.

28) Usando obrigatoriamente diferenciabilidade, mostre que

∑_{0}^{n}(p + 1)^{2}2^{p} = (n^{2} + 2)2^{n+1} − 3

Você saberia demonstrar a identidade por outro(s) método(s) ?

29) Mostre que f_{n}(x) = x^{n} − x^{n+1} restrita ao intervalo [0, 1] possui um máximo

M_{n} satisfazendo 0 < M_{n} ⩽ \frac{1}{2(n + 1)}.

30) Considere a função f(x) = \frac{log x}{\sqrt{x}}, x > 0. Estude monotonicidade de f (

crescimento e decrescimento), e deduza que 5^{\sqrt{6}} < 6^{\sqrt{5}}. Você saberia demonstrar isto por outro método ?

31) Calcule os limites abaixo.

a) lim_{x→0} \frac{log(cos ax)}{log(cos bx)} = (a/b)^{2}.

b) lim_{x→0^{+}} \frac{x − sin x}{(x sin x)^{3/2}} = \frac{1}{6}.

c) lim_{x→1^{+}} \frac{x^{x} − x}{1 − x + log x} = −2.

d) lim_{x→0} \frac{x cot x − 1}{x^{2}} = \frac{−1}{3}.

e) lim_{x→∞} \frac{log(a + b e^{x})}{\sqrt{a + bx^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{b}}

f) lim_{x→0^{+}} (\frac{log x}{(1 + x)^{2}} − log (\frac{x}{(1 + x)})) = 0.

g) lim_{x→0^{+}}(cot x)^{sin x} = 1.

32) Vamos trabalhar com funções suaves cujos gráficos concordam suavemente com semi-retas ou segmentos de reta.

a) Construa uma função f ∈ C^{∞} bijetiva, estritamente decrescente, satis-

fazendo i) f(0) = 1 e f(1) = 0. ii) f^{(k)}(0) = f^{(k)}(1) = 0, n = 1, 2 …

b) A idéia é construir uma função F : [0, 1] \underrightarrow{C^{∞}}[0, 1], satisfazendo i) F (0) = 1, F (1) = 0.

ii) ∀k ∈ IN^{∗}, ∀n ∈ IN^{∗}, F^{(k)}(\frac{1}{n}) = 0.

iii) ∀k ∈ IN^{∗}, F^{(k)}(0) = F^{(k)}(1) = 0. Sugestão: Considere a seqüência {b_{n}, n > 0} definida por: b_{1} = 0, b_{n} = 1 − e^{−n}, n > 1. Tome

g_{n} : [\frac{1}{n + 1}, \frac{1}{n}] → [b_{n}, b_{n+1}] , definida por

g_{n}(x) = b_{n} +(b_{n+1} −b_{n})f (\frac{x − 1/(n + 1)}{1/n − 1/(n + 1)}) . Finalmente, verifique

que F pode ser definida por F (0) = 1, F (x) = g_{n}(x), ∀ x ∈ [\frac{1}{n + 1}, \frac{1}{n}] .

c) A idéia é construir uma função real suave F definida em IR^{2}, que toma o valor 1 num disco aberto de raio 1 centrado na origem e vale 0 para todo ponto fora do disco de raio 2 centrado na origem. Sugestão: Considere a função α(x) = e^{−1/x}, x > 0, α(x) = 0, x ⩽ 0. Considere h(x) = α(1 − x)α(x). Considere f(x)= \frac{1}{∫_{−∞}^{1} h(x) dx} ∫_{−∞}^{x} h(t) dt. Verifique que

F (x, y) = f (\frac{4 − x^{2} − y^{2}}{3} ) , satisfaz a propriedade requerida. i) Mostre que

∥△F (x)∥^{2} = \frac{4}{5} (f′ (\frac{4 − x^{2} − y^{2}}{3} ))^{2} (x^{2} + y^{2})

ii) Considere Z : IR → IR definida por

Z(y) = (f′(y))^{2} (\frac{16 − 12y}{9} )

Seja g a restrição de f à [0, 1] e defina b(s) por b(s) = Z ∘ g^{−1}(s). Mostre que a derivada de b em (0, 1) é dada por

b′(s) = 2f′′ (g^{−1}(s)) (\frac{16 − 12g^{−1}(s)}{9}) − \frac{12}{9}f′ (g^{−1}(s))

d) Para cada par de números reais a < b considere a função h_{a,b} : [a, b] → IR^{+}, dada por

h_{a,b} = e \frac{−1}{(x − a)^{2}} · e \frac{−1}{(x − b)^{2}}

i) Mostre que h_{a,b} é uma função de classe C^{∞} satisfazendo h_{a,b}^{(k)}(a) = h_{a,b}^{(k)}(b) = 0, ∀k ∈ IN. Além disso, usando indução, mostre que

h_{a,b}^{(k)}(x) = P_{k} (\frac{1}{(x − a)}, \frac{1}{(x − b)})·e \frac{−1}{(x − a)^{2}} e \frac{−1}{(x − b)^{2}} ∀x ∈ [a, b]

onde P_{k} ∈ IR[X, Y] é um polinômio real com coeficientes inteiros que não dependem nem de a nem de b. Mostre também que

{lim \atop |a − b| → 0} sup\{|h_{a,b}^{(k)}(x)|; x ∈ [a, b]\} = 0

∀k ∈ IN.

BIBLIOGRAFIA SUCINTA

Professor Ricardo Sa Earp 11

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