ANÁLISE REAL-2002.2–Lista 7

Professor: Ricardo Sá Earp

Diferenciabilidade e Integração, II

1) Mostre com todos os detalhes que se f é monótona em [a, b] e se α é contínua em [a, b], então f é Riemann -Stieltjes integrável em [a, b].

2) Mostre com todos os detalhes que se f e g são Riemann-Stieltjes integráveis

em [a, b] então i) fg é Riemann -Stieltjes integrável em [a, b].

ii) |f| é Riemann -Stieltjes integrável em [a, b] e |∫_{a}^{b} f dα| ⩽ ∫_{a}^{b} |f| dα.

3) Discuta amplamente funções de variação limitada (veja ref. 10)).

4) Defina curvas retificáveis e comprimento. Mostre que uma curva parametrizável γ : [a, b] → IR^{2} de classe C^{1}, i.e com γ′(t) contínua, é retificável e tem comprimento l dado por

l = ∫_{a}^{b} |γ′(t)| dt

5) Enuncie rigorosamente e mostre o teorema “teste da integral”do Cálculo. Dê exemplos e aplicações às séries. Esboce figuras elucidativas, explicando a geometria envolvida.

6) Mostre que a função f(x) definida por f(x) = 0, se x é irracional e f(x) = 1, se x é racional não é integrável em [a, b] para qualquer a < b.

7) Dê um exemplo não trivial de uma função limitada em [0, 1] cujos pontos de descontinuidades (p. ex. ℚ) seja de medida nula e mostre que tal é Riemann integrável, calculando a integral.

8) Enuncie rigorosamente e demonstre a fórmula de Taylor com resto integral, fazendo alguma aplicação desta.

9) Mostre que

∫_{a}^{b} \frac{1}{(t^{2} + 1)^{n+1}} dt = \frac{1}{2n} \frac{t}{(t^{2} + 1)^{n}} ]_{a}^{b} + \frac{2n − 1}{2n} ∫_{a}^{b} \frac{1}{(t^{2} + 1)^{n}} dt

10) Calcule a)

∫_{0}^{1} \frac{1}{t^{4} + 1} dt = \frac{1}{2\sqrt{2}} ln(1 + \sqrt{2}) + \frac{\sqrt{2}}{4} \frac{π}{2}

b)

∫_{0}^{π/2}sin^{4} t dt = \frac{3π}{16}

c)

∫_{a}^{x} \frac{1}{sin^{4} t} dt = (\frac{1}{3 tan^{3} a} − \frac{1}{3 tan^{3} x}) + (\frac{1}{tan a} − \frac{1}{tan x})

11) Estude a convergência das integrais impróprias a)

φ(x) = ∫_{0}^{∞}e^{−xy} dy

i) Será a integral convergente para x > 0 ? ii) Será a integral (ou seja φ(x)) uniformemente convergente para

x > 0 ? iii) Será a integral (ou seja φ(x)) uniformemente convergente para

x > x_{0} com x_{0} > 0 ? b)

φ(x) = ∫_{1}^{∞} \frac{1}{y^{1+x}} dy

i) Será a integral ( ou seja φ(x)) uniformemente convergente para x > 0 ? c) (Integrais de Bertrand)

∫_{2}^{∞} \frac{1}{t^{α}(ln t)^{β}} dt

onde α > 1; ou α = 1, β > 1. Resposta: Convergente.

i) O que você pode dizer da série

∑_{2}^{∞} \frac{1}{n^{α}(ln n)^{β}}

quando α > 1, ou α = 1, β > 1 ? d)

∫_{1}^{∞} \frac{sin t}{t^{α}} dt,

Resposta: α > 1 (absolutamente convergente), α = 1 (convergente), α > 0 (convergente).

e) (Integrais de Fresnel)

∫_{0}^{∞}sin t^{2} dt = \frac{\sqrt{π}}{2\sqrt{2}},  ∫_{0}^{∞}cos t^{2} dt

Resposta: Convergente. f)

∫_{−∞}^{∞} \frac{cos αx}{1 + x^{2}} dx = π e^{−α}, α > 0

i) É permissível a derivação sob o símbolo da integração com respeito a α ? Você precisa justificar a convergência uniforme (mas, não convergência absoluta) da integral

∫_{−∞}^{∞} \frac{x sin αx}{1 + x^{2}} dx!!

g)

∫_{0}^{∞} \frac{x^{a−1}}{1 + x} dx = \frac{π}{sin aπ} , 0 < a < 1

12) Mostre que

lim_{R→∞} ∫_{0}^{π} e^{−R sin θ} dθ = 0

Nota: Na verdade, lim_{R→∞} R ∫_{0}^{π} e^{−R sin θ} dθ = 2 (veja ref. 11)).

13) Mostre que

∫_{−∞}^{∞} e^{zt−αt^{2}} dt = (\frac{π}{α})^{1/2} e^{z^{2}/4α}, α > 0

Nota: Na verdade, pode ser mostrado que a igualdade acima é válida ∀z ∈ ℂ. Fazendo z = −iξ, tem-se

F(f) = ∫_{−∞}^{∞} e^{−αt^{2}} e^{−iξt} dt = (\frac{π}{α})^{1/2} e^{−p^{2}/4α}, p ∈ IR, α > 0

que é a chamada Transformada de Fourier de t ↦ f(t) = e^{−αt^{2}}, definida em sala de aula.

14) Calcule as transformadas de Fourier das funções indicadas abaixo.

a) u_{a}(x) = \{ \begin{matrix}1 & se |x| ⩽ a, a > 0 \\ 0 & se |x| > a \end{matrix} .

Resposta: \frac{2 sin aξ}{ξ\sqrt{2π}} .

b) f(x) = e^{−a|x|}, a > 0. Resposta: \frac{2a}{(a^{2} + ξ^{2})\sqrt{2π}} .

c) f(x) = \{ \begin{matrix}e^{−ax} & se x > 0 \\ 0 & se x ⩽ 0 \end{matrix} .

Resposta: \frac{1}{(a + iξ)\sqrt{2π}} .

15) (Função Gamma) Considere as funções

Γ_{1}(x) = ∫_{0}^{1} e^{−t} t^{x−1} dt, Γ_{2}(x) = ∫_{1}^{∞} e^{−t} t^{x−1} dt

a) Serão as integrais acima uniformemente convergentes ∀x ∈ IR^{+} ?

b) Serão as integrais acima uniformemente convergentes em qualquer intervalo [a, b], a > 0 ?

c) Mostre, exibindo rigorosamente os detalhes, que a funçãoGamma dada

por

Γ(z) = ∫_{0}^{∞} e^{−t} t^{z−1} dt

é infinitamente diferenciável em (0, ∞) e que

Γ^{(k)}(z) = ∫_{0}^{∞} e^{−t} (ln t)^{k} t^{z−1} dt

d) Mostre a relação funcional

Γ(z + 1) = zΓ(z)

deduzindo que Γ(n + 1) = n!.

16) Estude a função Beta dada por

B(p, q) = ∫_{0}^{1} t^{p−1}(1 − t)^{q−1} dt

mostrando que

B(p, q) = \frac{Γ(p)Γ(q)}{Γ(p + q)}, B(p, q) = B(q, p) p > 0, q > 0

Nota: Sucede do que foi feito que

∫_{0}^{π/2}(cos x)^{α−1}(sin x)^{β−1} dx = \frac{Γ(α/2)Γ(β/2)}{2Γ((α + β)/2)}

BIBLIOGRAFIA SUCINTA

1) Elon Lages Lima. Curso de Análise Volume 1. Projeto Euclides, 1995.

2) Emil Artin. The Gamma Function.Holt, Rinehart and Winson, Inc. 1964.

3) Henri Mascart e Marius Stoka. Fonctions d’une Variable Réele. PUF, 1986.

4) G. H. Hardy, J. E. Littlewood e G. Pólya. Inequalities. Cambridge Press , 1973.

5) J. Rivaud. Séries; équations différentielles. Vuibert, 1973.

6) M. Spivak, Calculus. Dois volumes. Ed. Reverté, Barcelona, 1970.

7) M. Spivak, Calculus on manifolds. Benjamin, N. York, 1965.

6 Professor Ricardo Sa Earp

8) Nicholas D. Kazarinoff. Analytic Inequalities. Holt, Rinehart and Winson, Inc. 1961.

9) Ralph P. Boas, Jr. A Primer of Real Functions. Math. Assoc. of Amer. John Wiley and Sons, Inc. 1960.

10) Walter Rudin. Princípios de Análise Matemática. Livro Técnico, N, 1971.

11) Srishti D. Chatterji. Cours d’Analyse 1,2. Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1997.

12) Tom M. Apostol. Calculus, vol. II (second edition). J. Wiley & Sons, 1969.