ANÁLISE REAL-2002.2–Lista 8

Professor: Ricardo Sá Earp

1) Seja X um compacto. Seja {f_{n}} uma seqüência de funções contínuas em X que converge pontualmente para uma função contínua f : X → IR. Assuma

que f_{n}(x) ⩾ f_{n+1}(x), n = 1, 2, …, e cada x ∈ X. Mostre que f_{n} ⟶_{X}^{u} f, i.e

f_{n} converge uniformemente à f em X. Mostre com um exemplo que a hipótese de compacidade é necessária.

2) Mostre que toda seqüência de funções limitadas que é uniformemente convergente, também é uniformemente limitada.

3) Seja K um conjunto compacto. Defina uma métrica no conjunto C(K) das funções contínuas definidas em K, de modo que uma seqüência f_{n} converge à f em C(K) se e somente se f_{n} converge uniformemente à f em K. Discuta a completude deste espaço métrico. Discuta a noção de subconjunto fechado em C(K). Discuta a noção de subconjunto compacto deste espaço, relacionando com o teorema de Arzelà- Ascoli.

4) Seja {f_{n}} uma seqüência de funções eqüicontínuas em um conjunto compacto K que converge pontualmente em K. Mostre que que f_{n} converge uniformemente em K.

5) Seja X um conjunto e seja {f_{n}} um seqüência de funções definidas em X. Mostre que f_{n} ⟶^{u} f, uniformemente em X, se e somente se

lim_{n→∞} (f_{n}(x_{n}) − f(x_{n})) = 0, para toda seqüência {x_{n}} em X. Utilize este resultado para mostrar que f_{n}(x) = nx(1 − x)^{n}, 0 ⩽ x ⩽ 1 é uma seqüência de funções contínuas que converge pontualmente à 0, mas a convergência não é uniforme. Seria tal seqüência limitada no espaço métrico C([0, 1]) ? O que isto tem a ver com o teorema de Arzelà- Ascoli ?

6) Mostre que a seqüência de funções reais f_{n}(x) = sin(x+n^{3} +e^{n^{2}}) contém uma subseqüência que converge uniformemente em qualquer subconjunto compacto K ⊂ IR. Você poderia apresentar uma família de exemplos bem mais gerais que contenha este exemplo ?

7) Seja Ω ⊂ IR^{n} e seja F uma família do conjunto de todas as funçõesf : Ω → IR de classe C^{1} com as primeiras derivadas parciais uniformemente limitadas em cada compacto K ⊂ Ω. Mostre que F é equicontínuo. Sugestão: Mostre que, dada uma bola compacta K = \overline{B}_{r}(x_{0}) ⊂ Ω, e M_{K} tal que

|f_{x_{i}}(x)| ⩽ M_{K}, i = 1, 2, …, n

∀f ∈ F, então

|f(x) − f(x_{0})| ⩽ \sqrt{n}M_{K}∥x − x_{0}∥

8^{∗}) Discuta amplamente o conceito de família normal das Variáveis Complexas, relacionando com o teorema de Arzelà- Ascoli e com o teorema de Montel para funções meromorfas. Discuta o princípio de Bolzano- Weierstrass neste contexto. Além disso, discuta como o princípio de compacidade interfere na demonstração do teorema de uniformização de Riemann.

9) Seja F a família de funções {f : B_{1}(0) ⊂ IR → IR} de classe C^{∞}, satisfazendo

|f(z)| ⩽ \frac{c_{0}}{1 − |z|}

|f^{(k)}(z)| ⩽ \frac{c_{k}(1 + |z|)}{1 − |z|}

c_{0}, c_{k} > 0, k = 1, 2 …

Mostre que toda seqüência {f_{n}} de funções em F, contém uma subseqüência {f_{n_{j}}} uniformemente convergente em todo compacto K ⊂ B_{1}(0), à uma função f ∈ F. Pergunta adicional: Como o enunciado deste problema poderia ser sob um

ponto de vista teórico consideravelmente simplificado-sem alterar a força da conclusão- no contexto de funções holomorfas definidas na bola unitária B_{1}(0) ⊂ ℂ ?

10) Seja Ω um domínio de IR^{2}. Considere a equação da superfície mínima dada por

(∗)  (1 + u_{x}^{2})u_{yy} − 2u_{x}u_{y}u_{xy} + (1 + u_{y}^{2})u_{xx} = 0  em Ω

Seja u_{n} uma seqüência de funções de classe C^{3} que satisfazem a equação (∗). Assuma que em todo compacto K ⊂ Ω, u_{n} é uma seqüência de funções

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uniformemente limitada. Assuma que as derivadas parciais de cada u_{n} dependem em todo ponto p ∈ Ω- em valor absoluto- apenas da limitação da altura de cada u_{n} e da distância de p ao bordo de Ω. Mostre que existe uma subseqüência u_{n_{j}} que é uniformemente em todo compacto K ⊂ Ω, convergindo à uma função u que satisfaz a equação (∗) da superfície mínima em Ω. Você saberia deduzir uma propriedade semelhante para uma seqüência funções

harmônicas uniformemente limitadas em compactos de Ω ?

BIBLIOGRAFIA SUCINTA

1) Elon Lages Lima. Curso de Análise Volume 1. Projeto Euclides, 1995.

2) Emil Artin. The Gamma Function.Holt, Rinehart and Winson, Inc. 1964.

3) Chaim Samuel Hönig. Aplicações da topologia à análise. Projeto Euclides, 1976.

4) Henri Mascart e Marius Stoka. Fonctions d’une Variable Réele. PUF, 1986.

5) G. H. Hardy, J. E. Littlewood e G. Pólya. Inequalities. Cambridge Press , 1973.

6) J. Rivaud. Séries; équations différentielles. Vuibert, 1973.

7) M. Spivak, Calculus. Dois volumes. Ed. Reverté, Barcelona, 1970.

8) M. Spivak, Calculus on manifolds. Benjamin, N. York, 1965.

9) Nicholas D. Kazarinoff. Analytic Inequalities. Holt, Rinehart and Winson, Inc. 1961.

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11) Walter Rudin. Princípios de Análise Matemática. Livro Técnico, N, 1971.

12) Srishti D. Chatterji. Cours d’Analyse 1,2. Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1997.

13) Tom M. Apostol. Calculus, vol. II (second edition). J. Wiley & Sons, 1969.