Resumo de trabalhos de pesquisa recentes

Comentários sobre os resultados de pesquisas obtidos no período 2009-2012:

· Um foco de pesquisa no período foi o estudo de gráficos mínimos verticais em Hⁿ×R. Tal estudo elaborado num trabalho em cooperação com Eric Toubiana da Universidade de Paris VII foi de certa forma uma continuação do estudo de superfícies mínimas, particularmente gráficos mínimos verticais em H²×R, levado a termo em [SE-T7]. Nós conseguimos encontrar barreiras geométricas muito bem ajustadas ao problema de Dirichlet. De fato, queremos destacar as construções cruciais  de duas hipersuperfícies mínimas de tipo Scherk em dimensão arbitrária [SE-T8].  Sublinhamos que a descoberta das superfícies mínimas de tipo Scherk em dimensão dois (n=2) foi feita por Barbara Nelli e Harold Rosenberg no trabalho pioneiro destes autores [N-R]. Mais precisamente, construímos junto com Eric Toubiana, um gráfico mínimo vertical  em Hⁿ×R sobre o interior de um certo  poliedro  admissível  de  Hⁿ,  a qual chamamos de primeira hipersuperfície mínima tipo Scherk,  tomando valor infinito numa face de um poliedro e valor zero nas outras faces. Além disso, construímos uma segunda hipersuperfície  mínima tipo Scherk  que é um gráfico mínimo vertical em Hⁿ×R sobre o interior de um poliedro  de  Hⁿ com 2k  faces, tomando valores +∞ ou –∞ em faces adjacentes [SE-T8]. Desenvolvemos ainda outros resultados correlatos em [SE-T8]. Por exemplo, usando barreiras geométricas obtivemos a solução do problema de Dirichlet para a equação mínima em Hⁿ×R, sobre um domínio C⁰   convexo  de Hⁿ, assumindo dados contínuos no bordo finito e no bordo assimptótico.  Para obter este resultado em [SE-T8], usamos uma nossa construção de uma hipersuperficie rotacional de Scherk  como barreira num ponto finito. Como barreira  num ponto do bordo assimptótico usamos uma hipersuperfície obtida em dimensão 2 em [S-E], estudada em [SE-T7], e obtida em dimensão arbitrária num trabalho conjunto com Pierre Bérard [B-SE1]. Obtivemos também neste trabalho resultados de existência de gráficos mínimos sobre certos domínios admissíveis não convexos, cujo bordo finito é o bordo do domínio, e cujo bordo assimptótico é certo dado contínuo pré-determinado sobre o bordo assimptótico do domínio [SE-T8].  Observamos, que a mesma ideia geométrica destas construções pode ser aplicada à situação em que o espaço ambiente é o Rⁿ⁺¹, o que leva a construção de hipersuperfícies de Scherk, assim como a solução do problema de Dirichlet  correspondente no espaço Euclideano [SE-T8].  Lembramos o seguinte resultado clássico no espaço Euclideano: Quando o domínio é de classe C², Jenkins e Serrin [J-S2]  mostraram que a condição  mean convex é a condição necessária e suficiente para que o problema de Dirichlet para a equação mínima no espaço Euclideano tenha solução (extensão mínima) tomando dados C² no bordo. Tal resultado foi estendido para dados contínuos no bordo, por um argumento de aproximação em [G-T]. Quando o ambiente é o espaço produto Mⁿ×R,  onde M é uma variedade Riemanniana, o problema de Dirichlet para a equação mínima tomando dados contínuos no bordo foi resolvido por J. Spruck, quando o domínio é limitado e de classe C², com a hipótese de que a curvatura média do bordo está limitada inferiormente por uma constante positiva [Sp]. Resumindo: quando o ambiente é  Hⁿ×R,  usando barreiras geométricas-hipersuperfíces de tipo Scherk, nós resolvemos o problema de Dirichlet para a equação mínima num bordo C⁰ convexo e dados contínuos no bordo (a construção é válida também em Rⁿ⁺¹ ).

· Junto com Barbara Nelli da Universidade de Àquila, Itália, demonstramos um  vertical half-space theorem  para superfícies de curvatura média ½ em H²×R [N-SE]:   Mostra-se que uma superfície completa  de curvatura média ½, propriamente imersa na região mean convex   de uma rotacional simplesmente conexa,  é uma rotacional simplesmente conexa. De fato, quando o ambiente é  H²×R , a  curvatura média é ½  e  o fim é um  anel de revolução, sabe-se que este fim tem certo desenvolvimento assimptótico  em r (distância hiperbólica ao centro) e  isto implica num crescimento exponencial em r  para o fim [SE-T3],[N-SE-S-T].  O resultado mencionado, de certa forma, é uma extensão do conhecido teorema do semi-espaço de Hoffman e Meeks [H-M2] no contexto de  superfícies de curvatura média ½ em H²×R .  A ideia da demonstração é simples e geométrica, consistindo em utilizar uma família a um parâmetro de rotacionais como barreiras geométricas, levando em conta o comportamento geométrico (crescimento assimptótico) desta família fazer um raciocínio por absurdo com o auxílio do princípio do máximo.

─ Vamos fazer uma pausa para comentar dois trabalhos afins com o tema:

1 Um resultado de semi-espaço no contexto de superfícies especiais de tipo mínimo no espaço Euclideano foi obtido num trabalho junto com Eric Toubiana. A ideia é a mesma de Hoffman e Meeks: Aplicar o princípio do máximo lidando habilmente com uma família a um parâmetro de rotacionais especiais a fim de chegar a uma contradição. O ponto crucial é que a família a 1-parâmetro de rotacionais especiais possui um comportamento geométrico similar à família dos catenóides. Outro ponto importante é que ao longo da família o vetor curvatura média possui a “boa” orientaçao normal [S-T]. Para obter uma versão antiga clique aqui.

2 Junto com Rosenberg deduzimos um resultado de princípio do máximo dentro de uma superfície de Delaunay. Como consequência obtivemos um certo princípio do máximo no infinito e generalizações para dimensões superiores [SE-R].

· Generalizamos, com Pierre Bérard da Universidade de Grenoble, França, um conhecido teorema de Lindelöf, investigando domínios máximos de estabilidade de hipersuperfícies mínimas ou de curvatura média constante de revolução, considerando outros espaços ambientes diferentes do espaço Euclideano. Em R³,  os  semi-catenóides verticais   são domínios máximos de estabilidade (Propriedade de Lindelöf). Este é o teorema de Lindelöf [Li], que esboçamos uma generalização e reinterpretação junto com Pierre Bérard em [B-SE3], [B-SE4].   Obtivemos em Rⁿ⁺¹  uma generalização do resultado de Lindelöf no sentido que determinamos os domínios máximos simétricos de estabilidade. Também determinamos os domínios máximos simétricos de estabilidade quando o espaço ambiente é  H²×R ou H³.    Surpreendentemente,  deduzimos em [B-SE3] que em  Rⁿ⁺¹ (n≥3 ) os  semi-catenóides verticais não  são domínios máximos de estabilidade. Por outro lado, deduzimos que  também em H²×R  e H³,  os  semi-catenóides verticais também não são domínios máximos de estabilidade. No entanto, os catenoids cousin mergulhados satisfazem a propriedade de Lindelöf. Os nossos resultados estão feitos em dimensão arbitrária no caso de  Hⁿ×R. No caso de H³, Pierre Bérard e eu obtivemos um aprimoramento de resultados de H. Mori [M] e  de M. Do Carmo- M.Dacjzer [DoC-D] sobre o índice e estabilidade da família dos catenóides  mínimos de H³, em termo do parâmetro [B-SE3]. Acreditamos que   estes resultados também se estendem para Hⁿ, mas  não detalhamos as contas. Resumindo: No caso de R³ os semi-catenóides verticais são domínios máximos de estabilidade (teorema de Lindelöf), no caso de H²×R e H³ os catenóides  não são domínios máximos de estabilidade. 

· Num outro trabalho com Pierre Bérard da Universidade de Grenoble, estudamos propriedades de hipersuperfícies mínimas no espaço produto Hⁿ×R, onde Hⁿ é o espaço hiperbólico de dimensão n [B-SE1].  Introduzimos uma noção de curvatura total neste ambiente e estudamos a sua relação com o  índice do operador de Jacobi (operador de estabilidade).  Deduzimos que, grosso modo, curvatura “total finita implica índice finito”. Porém, a recíproca não é verdadeira, como mostram os novos exemplos que construímos neste trabalho. Sobretudo, mostramos que certos problemas são naturalmente colocados e investigados em dimensões arbitrárias.   

· Em [SE-T3] Eric Toubiana e eu estudamos, além de outros fenômenos geométricos, superfícies de rotação em H² ×R (« catenóides »), exibindo uma fórmula explícita que tem se mostrado útil no desenvolvimento da teoria. Em [B-SE1], usando a descrição de [SE-T3] mostramos que o índice (número de autovalores negativos do operador de Jacobi) estes catenóides é 1 e descrevemos certos domínios de estabilidade do operador de Jacobi, generalizando resultados clássicos para os catenóides de R³. Estabelecemos o seguinte resultado geral: Seja M uma superfície mínima completa de H²×R. Se a integral da curvatura intrínsica de M for finita, então o índice de M é finito. A recíproca não é verdadeira, devido à existência de superfícies de translação estáveis (são gráficos verticais) [S-E], [SE-T7]. É bastante natural estudar esta classe de superfícies (curvatura total finita) por causa dos resultados obtidos em [H-R] (e, recentemente, também os resultados em [H-N-SE-T]). Em [B-SE1] deduzimos que a hipótese de finitude da integral de |A_M|ⁿ numa hipersuperfície mínima completa de Hⁿ×R  implica que o índice de M é   finito, quando n≥3.

─ Abrimos um parêntesis para observar que num trabalho P. Bérard e eu estudamos hipersuperfícies  em Hⁿ×R de curvatura média constante (não nula) H, construindo novos exemplos e fazendo algumas aplicações geométricas [B-SE2]. Por exemplo, construímos exemplos de hipersuperfícies de rotação e hipersuperfícies de translação em Hⁿ×R, que são completas e com curvatura média constante H não nula. Entre elas, temos gráficos verticais inteiros e portanto hipersuperfícies estáveis.  Construímos exemplos de hipersuperfícies de curvatura média 0<H<(n-1)/n, que são gráficos verticais  completos definidos no exterior de uma hipersuperfície equidistante de Hⁿ e que tomam valores infinitos no bordo (a hipersuperfície equidistante) e também tomam valores assimptóticos infinitos.

· Num trabalho com a cooperação de Maria  Fernanda Elbert da UFRJ e de Barbara Nelli, construímos exemplos de gráficos verticais de curvatura média constante H=½ em H²×R, sobre domínios exteriores admissíveis em H² [E-N-SE]. Tais exemplos mergulhados são gráficos verticais possuindo um crescimento fraco  de um fim  rotacional mergulhado.  As ferramentas deste trabalho são baseadas na construção de barreiras geométricas modelos (superfícies rotacionais de curvatura média ½) combinadas com a teoria clássica, fazendo uso do princípio do máximo.

· Construimos junto com Maria  Fernanda Elbert em [E-SE] todas as hipersuperfícies mínimas  e de curvatura média constante em Hⁿ×R, invariantes  por  screw motions parabólicas.  Dentre estas hipersuperfícies modelos existem várias hipersuperfícies estáveis que são gráficos inteiros verticais, bem como existem também outras que não são gráficos verticais,  mas  são gráficos completos horizontais, sendo alguns destes gráficos horizontais estáveis. 

· Estudamos no artigo individual [S-E2] a chamada  equação mínimal horizontal  em H²×R [S-E]. Deduzimos neste artigo um teorema tipo Bernstein e colocamos outros problemas em aberto de tipo Bernstein no contexto de curvatura média constante ≤½. Além disso deduzimos um resultado tipo Radó para esta equação.

· Estudamos junto com Laurent Hauswirth, Barbara Nelli e Eric Toubiana, os fins mínimos de curvatura total finita em H²×R [H-N-SE-T]. Estabelecemos o comportamento de um tal fim fazendo uma descrição geométrica completa, determinando a seção horizontal deste fim, interceptando-o com um  slice .  Este trabalho foi calcado em trabalhos anteriores como o estudo pioneiro feito por L. Hauswirth e H. Rosenberg sobre superfícies mínimas e curvatura total finita [H-R]. Também foi baseado na teoria das aplicações harmônicas desenvolvida por Z. Han, L. Tan, A. Treiberg e T. Wan [H-T-T-W]  e por Y. N. Minsky [My].  Usando os resultados mencionados antes, e outros tipos de argumentos, tal como o princípio de reflexão de Alexandrov, baseado no princípio do máximo; conseguimos deduzir um teorema de unicidade de tipo Schoen no contexto de curvatura total finita. Tal resultado caracteriza as superfícies mínimas imersas em H²×R,  com dois fins distintos, completas, de curvatura total finita, cada fim assimptótico a um plano vertical,  como sendo as superfícies modelos descobertas independentemente por J. Pyo [P] e  por F.  Morabito- M. Rodriguez [M-R]. 

· No artigo individual [S-E3] estudamos uma classe de equações mínimas horizontais em Hⁿ×R, envolvendo uma família de EDP´s elípticas de segunda ordem indexadas por um parâmetro ε no intervalo [0, 1]. Quando ε=0, obtemos a equação mínima horizontal que não é uma EDP estritamente elíptica, em geral. Quando  ε >0,  obtemos uma EDP  estritamente elíptica chamada de ε -equação mínima horizontal.  Obtivemos estimativas a priori para o  comprimento horizontal e para o  gradiente no bordo  que são bastantes gerais e bastantes naturais como explicamos lá. Também obtivemos estimativas a priori globais para o gradiente na presença de uma forte constraint  sobre o comprimento horizontal, que, parece ser um fato  natural para este tipo de EDP. Este fato está de algum modo relacionado com o seguinte fenômeno: não existem soluções da equação mínima horizontal  sobre um domínio limitado estritamente convexo, que  se anula sobre o bordo deste domínio e que são contínuas até o bordo. Este fenômeno deveras surpreendente em dimensão 2 segue do asymptotic theorem  deduzido em [SE-T7]. Em dimensão qualquer, segue da generalização feita em [N- E-T].  Obtivemos também em [S-E3] no caso bidimensional um resultado de existência para a ε -equação mínima horizontal, ε >0. Tal resultado combinado com nossas estimativas uniformes a priori, junto com a teoria ellíptica clássica, acarreta num resultado de existência para a equação mínima horizontal (ε=0). A unicidade do resultado de existência obtido para a equação mínima horizontal quando os dados no bordo possuem uma  admissible bounded slope condition  segue do teorema tipo Radó mencionado antes. Propusemos também para a ε -equação mínima horizontal vários problemas novos que estão em aberto.

- À propósito, gostaríamos de salientar que junto com Elias Marion Guio, estabelecemos estimativas a priori para uma equação da curvatura média pré-determinada no espaço hiperbólico. Clique aqui. Na verdade, este trabalho foi alicerçado na tese de doutorado de Elias sob minha orientação intitulada Estimativas a priori do gradiente, existência e não-existência para uma equação de curvatura média no espaço hiperbólico, defendida em abril de 2003.

· Num trabalho  com a colaboração de Barbara Nelli e de Eric Toubiana [N-SE-T],  obtivemos uma caracterização do n-catenóide em Hⁿ×R. Os n-catenóide foram construídos em [B-SE1] quando n≥3. De fato, obtemos um resultado de tipo Schoen [S] no contexto de curvatura total infinita. Também estabelecemos um princípio do máximo para superfícies mínimas contidas num semi-espaço fechado. Além disso, estabelecemos uma generalização do Asymptotic Theorem  deduzido quando a dimensão é dois em [SE-T7]. Finalmente, extraímos várias consequências destes resultados que sugerem a forte influência do bordo assimptótico sobre a geometria da superfície mínima ou hipersuperfície mínima em Hⁿ × R.

─ À propósito, gostaríamos de assinalar que escrevemos dois textos com Eric Toubiana sobre aplicações do princípio do máximo clássico à teoria das superfícies mínimas e de curvatura média constante. O primeiro texto consiste em várias aplicações do princípio do máximo às superfícies mínimas e de curvatura média constante no espaço Euclideano e no espaço hiperbólico. Por exemplo, resolvemos um problema de Dirichlet exterior para a equação mínima no espaço Euclideano fazendo uso de estimativas geométricas e do processo de Perron. Também resolvemos alguns resultados de existência para a equação mínima no espaço hiperbólico sobre anéis limitados. As hipóteses permitiram obter estimativas a priori na classe C¹ para assegurar o resultado de existência alardeado. Clique aqui para abrir o arquivo. O segundo é um artigo expositivo no qual discutimos várias aplicações tanto geométricas quanto analíticas do princípio do máximo no espaço hiperbólico. Deduzimos alguns resultados de simetria e de semi-espaço no espaço hiperbólico. Notadamente, demonstramos neste segundo texto o famoso teorema de Alexandrov e explicamos detalhadamente o chamado Alexandrov Reflection Principle. Além disso, estudamos um problema elíptico sobredeterminado de tipo Molzon- Serrin no espaço hiperbólico. Também discutimos o processo de Perron para gráficos mínimos verticais no espaço hiperbólico. Clique aqui para abrir o arquivo.

Por outro lado, nos referimos ao artigo com Lucas Barbosa no qual aplicamos métodos geométricos e de EDP para estudar hipersuperfícies de curvatura média constante no espaço hiperbólico. Clique aqui.

Os artigos mencionados acima podem ser baixados em Ricardo Sa Earp-Preprints

Referências:

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