1\underline{o} EXAME DE VARIÁVEIS COMPLEXAS

prof. Ricardo Sá Earp 9 de maio de 2002

1\underline{a} Questão (3.0 pts) (Remmert): Considere a série

f(z) = 1 + 2z + ∑ b_{n} z^{2^{n}}, b_{n} = 2^{−n^{2}}

a) Mostre que o disco aberto unitário B_{1}(0) é o disco de convergência da série. Mostre que f(z) é uma função holomorfa no disco aberto B_{1}(0) (aqui é preciso aplicar resultados centrais, não é preciso demonstrá-los).

b) Mostre que f(z) e todas as derivadas se estendem suavemente até a fronteira ∂B_{1}(0), como uma função diferenciável real.

c) Mostre que f(z) é univalente no disco unitário aberto B_{1}(0) e que a imagem por f(z) do círculo unitário S^{1} é uma curva de Jordan.

d) Mostre que f(z) não pode ser continuada holomorficamente para além de qualquer ponto de ∂B_{1}(0); ou seja, B_{1}(0) é o domínio de holomorfia de f(z).

2\underline{a} Questão (2.0 pts): Considere a função w = u + iv = cos z, z = x + iy.

a) Mostre que z ↦ w = cos z leva conformemente a semi-faixa aberta {0 < x < π, y > 0} sobre o semi-plano inferior {Im z < 0}. Mostre ainda que z ↦ w = cos z envia conformente a faixa 0 < x < π sobre o domínio ℂ̃ = ℂ\((−∞, −1] ∪ [1, ∞)) . b) Considere g(w) = \frac{1}{i} log (w + i\sqrt{1 − w^{2}}) . Mostre que a in-

versa de z ↦ cos z (ramo principal de w = arccos z) é dada por arccos w = g(w), ∀w ∈ ℂ̃ e que

\frac{d}{dw} (arccos w) = −(1 − w^{2})^{−1/2}, ∀w ∈ ℂ̃.

3\underline{a} Questão (2.0 pts):

a) Estude a convergência da série abaixo em ℂ \ {|z| = 1}

\frac{1}{1 − z} + \frac{z}{z^{2} − 1} + \frac{z^{2}}{z^{4} − 1} + \frac{z^{4}}{z^{8} − 1} + \frac{z^{8}}{z^{16} − 1} + ⋯

b) Será que dadas duas funções inteiras f(z) e g(z) existe uma seqüência h_{n}(z), com h_{n}(z) meromorfa em ℂ e holomorfa em ℂ\{raízes enésimas da unidade}, convergindo uniformemente em compactos de ℂ \ {|z| = 1} a uma função h(z) definida por

h(z) = \{ \begin{matrix}f(z) & para |z| < 1 \\ g(z) & para |z| > 1 ? \end{matrix}

4\underline{a} Questão (1.5 pts): Seja Ω um domínio de ℂ e seja f(z) ≢ 0 uma função holomorfa

definida em Ω. Suponha que f(z) possua uma raíz enésima holomorfa q(z), i.e (q(z))^{n} = f(z), ∀z ∈ Ω. Determine todas as raízes enésimas de f(z).

Agora, suponha que f(z) nunca de anule. Exiba uma condição geral sobre Ω que implique na existência de uma raíz enésima q(z) de f(z). Justifique a sua afirmação .

5\underline{a} Questão (1.5 pts):

Professor Ricardo Sa Earp 3

Será que existe uma função holomorfa f(z) definida numa vizinhança da origem z = 0, satisfazendo a desigualdade

\frac{n^{−4/3}}{2} ⩽ |f(\frac{1}{n})| ⩽ n^{−4/3} ?