1\underline{o} EXAME DE VARIÁVEIS COMPLEXAS

prof. Ricardo Sá Earp 9 de maio de 2003

Você deve escolher uma das opções em cada questão abaixo para fazer agora. Você ainda tem a opção B de fazer as questões complementares até a próxima aula.

Neste caso, a prova de hoje constituirá a Prova A. A outra opcão deve ser feita individualmente

com possível consulta, constituindo a Prova B. Assim a nota final do primeiro exame

será a média entre as duas provas A e B, levando em conta o conceito total sobre as listas de exercício. Você pode optar por não fazer a prova B.

Escolha uma dentre as duas próximas questões abaixo

1\underline{a} Questão (3.0 pts) Responda verdadeiro ou falso. Caso verdadeiro esboce uma dedução sucinta com base em resultados enunciados em sala de aula. Caso falso esboce um contra-exemplo.

a) Seja f : Ω ⊂ ℂ → ℂ uma função holomorfa definida num domínio Ω. Sejam c_{n}, n = 0, 1, 2 …, uma seqüência de pontos de Ω com c_{n} → c (n → ∞). Assuma que f(c_{n}) = 0. Segue então que f ≡ 0 em Ω.

b) Considere uma série da forma

(∗)  ∑_{n⩾1} \frac{a_{n}}{n^{s}} ,  a_{n} ∈ ℂ, s ∈ ℂ

chamada usualmente de série de Dirichlet

i) Será que se (∗) converge absolutamente para s = a + ib, então a série converge normalmente para Re s ⩾ a, e vale que (∗) define uma função contínua neste semi-plano fechado ? Será que a série define uma função holomorfa no semi-plano {Re s > a} satisfazendo

f^{(k)}(s) = ∑_{n⩾1} a_{n}n^{−s} (− ln n)^{k} , k ∈ IN^{∗}

neste semi-plano ?

ii) Considere agora o caso de que a_{n} = 1, ∀n. Neste caso a série é a famosa função zeta de Riemann dada por

ζ(s) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}}

Será que ζ(s) é holomorfa para Re s > 1 ?

Será que a função ζ(s) possui alguma simetria ? Note que

ζ(2) = ∑_{n=1}^{∞} = \frac{π^{2}}{6}

1\underline{a′} Questão (3.0 pts):

Considere a função

f(z) = cos (\sqrt{z}) cos (\frac{1}{\sqrt{z}} ) , z ∈ ℂ^{∗}

a) Mostre com certo detalhes que f(z) está bem definida e é holomorfa em ℂ^{∗}.

b) Escreva o desenvolvimento de f(z) numa “série de potências”

em z^{n} e (\frac{1}{z})^{n} , chamada de desenvolvimento de Laurent de f(z) para |z| > 0.

c) Verifique o grande teorema de Picard, mostrando que em qualquer vizinhança perfurada da origem f(z) toma todos os valores, exceto talvez um valor complexo, uma infinidade de vezes.

Escolha uma dentre as duas próximas questões abaixo

2\underline{a} Questão (2.0 pts): Seja f(z) uma função analítica f(z) definida numa vizinhança da

origem, satisfazendo

an^{−5/2} ⩽ |f (\frac{1}{n})| ⩽ bn^{−5/2}

onde a, b são constantes.

Discuta as condições (possibilidades) sobre a e b bem como as propriedades locais de f(z).

2\underline{a′} Questão (2.0 pts):

Seja {a_{n}, n = 2, 3, …} uma seqüência de números complexos não nulos satisfazendo

∑_{2}^{∞} n|a_{n}| < 1

Escolha um dentre os dois próximos itens abaixo

a) Discuta sobre o disco de convergência da série

z + ∑_{2}^{∞} ((n − 1))^{n} (ln 2)a_{2}(ln 3)a_{3} ⋯ (ln n)a_{n}z^{n}

a′) Agora suponha Re a_{n} > 0, n = 2, 3, …. Discuta, com todos os detalhes, o raio de convergência da série

∑_{2}^{∞} \frac{a_{n}^{2^{n}}}{1 + n a_{n}} z^{n 2^{n}}

b) Considere agora f(z) = z + ∑_{2}^{∞} a_{n}z^{n}.

i) O que você poderia dizer sobre a regularidade de f(z) até o bordo ? Mostre que f aplica △ := {|z| < 1} conformemente num domínio de Jordan.

Escolha uma dentre as duas próximas questões abaixo

3\underline{a} Questão (2.0 pts):

Defina ponto regular e ponto singular de uma função holomorfa exibindo exemplos. Mostre que s = 1 é um ponto singular da função zeta de Riemann, mostrando que

ζ(s) = \frac{1}{s − 1} + O(1)

Sugestão: Trabalhando com a restrição de zeta ao eixo real, compare ζ(s) com a área debaixo da curva x ↦ x^{−s}, a fim de obter a estimativa acima.

3\underline{a′} Questão (2.0 pts)

Considere n um inteiro positivo. Defina N(n) o número de algarismos de n. Defina também S(n) a soma dos algarismos de n. Escreva uma relação de desigualdade entre log_{10} n(logaritmo na base 10) e S(n). Levando em conta isso, determine o raio de convergência da série

∑_{1}^{∞} S(n)z^{n}

Escolha uma dentre as duas próximas questões abaixo

4\underline{a} Questão (3.0 pts):

Considere a função f(z) = \frac{e^{−z}}{1 + z} . Encontre o desenvolvimento de Taylor de f na origem, determinando os coeficientes da série, bem como o seu raio de convergência. Procure calcular o raio de convergência por dois métodos distintos. Calcule f^{(n)}(0). A partir daí, mostre que

a função g(z) = e^{−1/z} −\frac{e^{−1/z}}{1 + z} , admite um desenvolvimento da forma

∑_{n⩾0} a_{−n}z^{−n} = a_{0}+ \frac{a_{−1}}{z} +⋯, chamado de desenvolvimento de Laurent,

convergente para |z| > 1. O coeficiente a_{−1} é chamado de resíduo de g(z). Calcule o resíduo.

4\underline{a′} Questão (3.0 pts):

Seja f(z) uma função holomorfa no disco unitário aberto centrado na origem. Suponha que para −1 < x < 1 (x ∈ IR), u = f(x) satisfaça a equação diferencial

u′(x) = \frac{2u(x)}{1 − x} + \frac{1}{(1 − x)^{2}}

Assuma que f(0) = 0. Encontre f(z). Calcule f^{(n)}(0). Será que você poderia dizer algo sobre a univalência de f(z) ?

Escolha uma dentre as duas próximas questões abaixo

5\underline{a} Questão (3.0 pts):

Considere Ω o domínio contido no disco de centro 1 e raio \sqrt{2} satisfazendo Re z < 0 (faça um desenho). O objetivo deste item é determinar a imagem de Ω pela aplicação

g(z) = \frac{2z}{1 − z^{2}}

Considere a aplicação

f(z) = \frac{1 + z}{1 − z}

a) Estabeleça uma relação funcional entre f(z), g(z) e a aplicação de Cayley z ↦ \frac{z − i}{z + i}. Será que g(z) tem alguma simetria ?

b) Mostre que g(z) dá uma equivalência conforme, levando Ω num certo semi-disco, determinando tal disco.

c) Fazendo um cálculo simples, independente do item (b) acima, determine o efeito de g no ponto i no que concerne o ângulo, calculando explicitamente o ângulo da imagem de ∂Ω na imagem de i.

5\underline{a′} Questão (3.0 pts): Considere {a_{n}} uma seqüência satisfazendo a equação de diferenças

de segunda ordem

a_{n} = \frac{a_{n−2} + a_{n−1}}{2} , n ⩾ 1

com condições iniciais a_{1} = 0, a_{2} = 1.

Considere a série de potências

f(z) = ∑_{1}^{∞} a_{n}z^{n}

a) Mostre que a série define uma função holomorfa f(z) numa vizinhança da origem.

b) Determine f(z) numa “closed form”, i.e na forma de uma fração racional.

c) Calcule f^{(n)}(0), n ⩾ 0, e calcule o raio de convergência da série.