2\underline{o} EXAME DE VARIÁVEIS COMPLEXAS

prof. Ricardo Sá Earp 13 de junho de 2002

1\underline{a} Questão (2.0 pts) :

Se f(z) é uma função meromorfa definida no disco unitário B_{1}(0) satisfazendo |f(z)| = 1 para |z| = 1 o que você pode dizer sobre f(z) ?

2\underline{a} Questão (2.0 pts):

Suponha que a função meromorfa univalente F (z) leva o disco unitário centrado na origem D sobre um certo domínio Ω da esfera de Riemann ℂ ∪ {∞}. Assuma que F (z) possua apenas um único pólo e que tenha a expansão de Laurent da forma

F (z) = \frac{1}{z} + a_{0} + a_{1}z + a_{2}z^{2} + ⋯

em {0 < |z| < 1}. Agora considere uma função holomorfa f(z) definida no disco perfurado unitário D^{∗} = {0 < |z| < 1}. Assuma que f leva leva o disco perfurado D^{∗} em Ω. Suponha ainda que admita expansão de Laurent da forma

f(z) = \frac{a}{z} + b_{0} + b_{1}z + b_{2}z^{2} + ⋯

Que valores pode assumir a ? Justifique cuidadosamente a sua resposta. Sugestão : Tente aplicar o lema de Schwarz, convenientemente.

3\underline{a} Questão (Vitali) (2.0 pts):

Seja Ω um domínio de ℂ e seja {f_{n}}, n ∈ IN, uma seqüência de funções que é localmente limitada em Ω. Seja c ∈ Ω. Assuma que a seqüência das derivadas {f_{n}^{(k)}(c)}, converge, k = 1, 2, …. Mostre que a seqüência {f_{n}} converge uniformemente em compactos de Ω à uma função holomorfa f(z) em Ω. Com a hipótese adicional que cada f_{n} é univalente satisfazendo f′_{n}(c) = 1, ∀n ∈ IN o que você pode dizer de f(z) ? Neste caso, se Ω = ℂ será possível que f(Ω) seja o plano complexo ℂ menos um ponto? No caso geral, que você pode dizer do conjunto f(Ω) ?

4\underline{a} Questão (2.0) pts:

Considere a função (chamada função Gamma)

Γ(z) = ∫_{0}^{∞}e^{−t}t^{z−1} dt

a) Mostre que Γ é holomorfa no aberto ℜz > 0.

b) Mostre a equação funcional

Γ(z + 1) = zΓ(z)

Conclua que Γ(n + 1) = n!, n ∈ IN.

Nota: (Prolongamento analítico da função Γ) A função Gamma possui um prolongamento analítico em ℂ\{0, −1, −2, −3, …}, sendo cada ponto −n um pólo simples com

Res(Γ, −n) = \frac{(−1)^{n}}{n!} , n ∈ IN

5\underline{a} Questão (2.0 pts):

Sejam f(z) e g(z) duas funções inteiras. O que você pode dizer de f e g se satisfazem a relação

f^{2} + g^{2} = 1 ?