2\underline{o} EXAME DE VARIÁVEIS COMPLEXAS

prof. Ricardo Sá Earp 27 de junho de 2003

1\underline{a} Questão (3.0 pts) Responda verdadeiro ou falso. Caso verdadeiro dê uma resposta completa e escreva uma dedução sucinta com base em resultados demonstrados em sala de aula. Caso falso esboce um contra-exemplo.

a) O disco perfurado 0 < |z − c| < r e o “verdadeiro” anel 1 < |z| < R, não são conformemente equivalentes.

b) É possível que uma função holomorfa definida numa vizinhança perfurada da origem satisfaça

|f(z)| ∼ e^{1/|z|}, quando |z| → 0 ?

2\underline{a} Questão (4.0 pts): Considere uma função holomorfa f(z) definida no disco perfurado

unitário B_{1}^{∗}(0) = {0 < |z| < 1}. Assuma que f leva leva o disco perfurado B_{1}^{∗}(0) num certo domínio Ω da esfera de Riemann ℂ ∪ {∞} que não contém a origem. Suponha ainda f(z) que admita expansão de Laurent da forma

f(z) = \frac{a}{z} + b_{0} + b_{1}z + b_{2}z^{2} + ⋯  (∗)

a) Calcule

∫_{γ_{n}} f(z) dz

onde γ_{n}(t) = (cos t)^{n} + i (sen t)^{n} , 0 ⩽ t ⩽ 2π, e n ∈ IN, sem reduzir sua análise a um mero cálculo de uma integral do tipo ∫_{0}^{2π} h(t) dt, h(t) ∈ ℂ. Ou seja, fazendo um raciocínio lógico dedutivo baseado num argumento intelectivo. Além disso, dê uma brevíssima justificativa da existência de uma expansão do tipo (∗) para f(z).

b) Seja z_{0} um ponto fixado de B_{1}^{∗}(0). Considere a função

g(z) = ∫_{γ_{z}} f(ζ) dζ

onde γ_{z} é uma curva C^{1} por partes ligando z_{0} à um ponto fixado z.

i) Discuta se g(z) está bem definida localmente e é holomorfa numa vizinhança de z_{0}. Discuta cabalmente se g(z) está bem definida localmente e é holomorfa numa vizinhança de z. Discuta se g(z) está bem definida globalmente em B_{1}^{∗}(0). Discuta a existência de g′(z), calculandoa caso possível.

ii) Dê condições necessárias e suficientes sobre a para que a

função

G(z) = e^{g(z)}

esteja globalmente bem definida e seja holomorfa em B_{1}^{∗}(0). Neste caso, calcule a derivada logarítmica

\frac{G′(z)}{G(z)}

c) Agora, suponha que uma função meromorfa univalente F (z) leva o disco unitário centrado na origem B_{1}(0) = {|z| < 1} sobrejetivamente em Ω.

Assuma que F (z) possua tenha a expansão de Laurent da forma

F (z) = \frac{1}{z} + a_{0} + a_{1}z + a_{2}z^{2} + ⋯

em {0 < |z| < 1}.

Que valores a pode assumir ? Justifique cuidadosamente a sua resposta. Sugestão : Tente aplicar o lema de Schwarz, convenientemente.

3\underline{a} Questão (3.0 pts):

Considere novamente a famosa função zeta de Riemann dada por

ζ(s) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}}

Admita neste momento que ζ(s) possui uma extensão meromorfa a todo o plano complexo, e uma extensão analítica a ℂ \ {1}, sendo 1 um pólo simples de ζ(s) de resíduo 1.

a) Mostre que

ζ(s) = \frac{1}{s − 1} + O(1)

onde O(1) é uma função inteira. Deduza da essência do raciocínio alguma formulação de um resultado geral de unicidade de duas funções meromorfas f(z) e g(z) no plano complexo ℂ.

b) Considere a série

f(s) = 1 − \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{3^{s}} − \frac{1}{4^{s}} + − ⋯

i) Mostre que f(s) é holomorfa num aberto (não vazio) onde ζ(s) também é holomorfa.

ii) Obtenha uma relação entre f(s) e ζ(s) e discuta o domínio

de holomorfia de f(s). Justifique sua resposta com rigor. 4\underline{a} Questão (3.0 pts):

Considere

ψ(u, z) = e^{2uz−z^{2}}, u, z ∈ ℂ

a) Mostre que

ψ(u, z) = ∑_{n⩾0} H_{n}(u)\frac{z^{n}}{n!}

onde

H_{n}(u) = (−1)^{n} e^{u^{2}} \frac{d^{n}}{du^{n}} e^{−u^{2}}

b) Justificando rigorosamente a passagem

\frac{∂ψ}{∂u} (u, z) = ∑_{n⩾0} H′_{n}(u)\frac{z^{n}}{n!}

Mostre que

H′_{n}(u) = 2nH_{n−1}(u), n ⩾ 1

c) Mostre que H_{n}(u) são polinômios de grau n chamados de polinômios de Hermite, calculando H_{0}(u), H_{1}(u), H_{2}(u).

Nota: Os polinômios de Hermite aparecem na Mecânica Quântica, como soluções da equação

w” − 2uw′ + 2nw = 0, n ⩾ 0

Também aparecem na teoria de aproximação já que satisfazem a seguinte relação de ortogonalidade

∫_{−∞}^{∞} e^{−u^{2}} H_{n}(u)H_{m}(u) du = 0, m ≠ m (n, m ∈ ℕ)

Além disso, surgem na teoria das probabilidades como polinômios de Tchebyshev-Hermite.