EXAME DE QUALIFICAÇÃO DE VARIÁVEIS COMPLEXAS 2002.2

prof. Ricardo Sá Earp 9 de agosto de 2002

Justifique seus desenvolvimentos e respostas com rigor

Questão 1 (2.0 pts): Calcule a integral abaixo via o método dos resíduos

∫_{0}^{∞} \frac{1 + x}{(x^{2} + x + 1)^{2}} d x

Questão 2 (3.0 pts): OPÇÃO A : Seja f(z) uma função holomorfa definida num disco aberto B_{R}(0), de raio R,

centrado na origem. Assuma que f(0) = 0, f′(0) ≠ 0, e que f(z) ≠ 0, paras |z| < r ⩽ R.

i) Mostre que

g(w) := \frac{1}{2πi} ∫_{|z|=ρ} \frac{ζf′(ζ)}{f(ζ) − w} dζ, ρ < r

define uma função holomorfa para |w| < m := min_{θ} |f(ρ e^{iθ})|.

ii) Mostre que z = g(w) é a única solução da equação f(z) = w, tal que

g(w) → 0, se w → 0. iii) Escreva o desenvolvimento de Taylor de g(w), em w = 0, explicitando os coeficientes a_{n} deste desenvolvimento numa forma integral cujo integrando depende de f e f′. Em particular, exiba explicitamente o desenvolvimento de Taylor da inversa da função f(z) = 2z^{3} + 6z em z = 0, dando o raio de convergência da série.

OPÇÃO B Os polinômios de Legendre P_{n}(u) são dados pelas suas funções geradoras:

φ(u, z) := (1 − 2uz + z^{2})^{−1/2} = ∑_{0}^{∞} P_{n}(u)z^{n}  (∗)

Note que a fórmula acima vem do fato que para u fixado, a função z ↦ φ(u, z), é uma função holomorfa num disco aberto centrado na origem; logo (∗) é o desenvolvimento de Taylor desta função em z = 0. i) Utilizando a fórmula do binômio

(1 − ζ)^{−1/2} = 1 + ∑_{k=1}^{∞} \binom{−1/2}{k}(−ζ)^{k} = 1 + ∑_{k⩾1} \frac{2k!}{2^{2k}(k!)^{2}} ζ^{k}, |ζ| < 1

generalizada, mostre, justificando todas as suas operações , que

φ(u, z) = 1 + ∑_{k⩾1} \frac{2k!}{2^{k}(k!)^{2}} z^{k} (u − \frac{z}{2})^{k}  (1)

concluindo que

P_{n}(u) = ∑_{r=0}^{m} \frac{(−1)^{r}(2n − 2r)!}{2^{n} · r!(n − r)!(n − 2r)!}(u^{n−2r}), m = n/2 se n é par e m = (n − 1)/2 se n é ímpar

Em particular, verifique que P_{0}(u) = 1, P_{1}(u) = u, P_{2}(u) = \frac{1}{2}(3u^{2} − 1), P_{3}(u) = \frac{1}{2}(5u^{3} − 3u). ii) Deduza a fórmula de Rodrigues

P_{n}(u) = \frac{1}{2^{n}n!} \frac{d^{n}}{d u^{n}} (u^{2} − 1)^{n}  (2)

iii) Infira que

P_{n}(u) = \frac{1}{2πi} ∫_{|w−u|=1} \frac{(w^{2} − 1)^{n}}{2^{n}(w − u)^{n+1}} d w  (3)

Nota: Levando em conta o que foi feito acima não é difícil deduzir que w = P_{n}(u) é uma solução da equação de Legendre

(1 − u^{2})w′′ − 2uw′ + n(n + 1)w = 0

e que verificam a condição de ortogonalidade

∫_{−1}^{1} P_{m}(u)P_{n}(u) du = 0

se m ≠ n.

Questão 3 (3.0 pts):

Considere a função

f(z) = \frac{1}{(z + 1)(z + 3)}

a) Exiba o desenvolvimento de Laurent de f(z), no anel 1 < |z| < 3. Justifique convergência. Encontre um valor α, tal que a função f(z) − α/z, seja integrável, i.e admita uma primitiva no anel. Calcule tal primitiva.

b) Exiba o desenvolvimento de Laurent de f(z), no anel |z| > 3. Seja z_{0} fixado satisfazendo |z_{0}| > 3, e seja γ_{z} uma curva seccionalmente C^{1} ligando z_{0} a z, |z| > 3.

Encontre um valor β com β ≠ 0 tal que a função e^{(β ∫_{γz} f(z))} esteja bem definida e seja holomorfa no anel.

Questão 4 (2.0 pts): Seja Ω := {z, Im z > 0, |z| > 1}, o domínio formado da parte exterior do disco

unitário, contida no semi-plano superior. Seja f(z) uma aplicação holomorfa definida em Ω, contínua até o bordo, i.e f(z) é contínua em \overline{Ω}. Assuma que f leva ∂Ω no eixo real, i.e f(z) → {Im z = 0}, se z → ∂Ω.

a) Que relação funcional f(z) deve satisfazer ? Mostre que uma tal f(z) admite um prolongamento analítico a um domínio que é conformemente equivalente ao disco perfurado (disco aberto menos um ponto).

b) Mostre que existe uma tal aplicação f(z) que produz uma equivalência conforme entre Ω e {z, Im z > 0}.