3\underline{o} EXAME DE VARIÁVEIS COMPLEXAS

prof. Ricardo Sá Earp 1 de julho de 2002

1\underline{a} Questão (2.0 pts) : Calcule

∫_{0}^{∞} \frac{x^{2000}}{1 + x^{2002}} d x

Este é um caso bem particular de cálculo de integrais conhecido por Euler (1743).

2\underline{a} Questão (2.0 pts):

a) Mostre que existe uma singularidade de uma função holomorfa f(z) que é um ponto de acumulação de pólos (de f(z)). Tal função holomorfa f(z) pode ser construída de maneira que tal singularidade possa ser um pólo de f(z)? Tal singularidade pode ser uma singularidade essencial de f(z) ?

b) Mostre que existe uma singularidade de uma função holomorfa f(z) que é um ponto de acumulação de singularidades essenciais.

c) Seja f uma função holomorfa no disco perfurado D^{∗} = {|z| < 1} \ {0}. O que você pode dizer da função

α(r) := \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}f(r e^{it}) dt 0 < r < 1 ?

3\underline{a} Questão (2.0 pts):

Considere uma função holomorfa f(z) definida no disco perfurado {0 < |z − c| < r}, que não se anula neste disco perfurado. Seja \frac{f′(z)}{f(z)}, a derivada logarítmica.

a) Suponha que a derivada logarítmica satisfaça

\frac{f′(z)}{f(z)} = \frac{k}{z − c} + g(z), k ∈ ℤ

onde g(z) é uma função holomorfa numa vizinhança de z = c. Discuta todas as possibilidades do comportamento de f(z) numa vizinhança de z = c.

b) Suponha que a derivada logarítmica tenha um pólo duplo em z = c. Será que f(z) pode ter uma singularidade essencial em z = c ?

4\underline{a} Questão (2.0) pts: Sejam a_{1}, …, a_{n} e b números complexos de módulo inferior que 1,

e sejam k_{1}, …, k_{n} números inteiros positivos. Discuta a existência de soluções da equação

∏_{1}^{n} (\frac{z − a_{j}}{z\overline{a}_{j} − 1})^{k_{j}} = b

na bola unitária aberta de raio 1 centrada na origem.

5\underline{a} Questão (2.0 pts): Seja Γ um reticulado de ℂ. Suponha que g(z) seja uma função

meromorfa em ℂ cujo conjunto de pólos seja exatamente Γ, sendo todos pólos simples com resíduos iquais a −2. Numa lista de exercício nós construimos tais f(z).

Seja Ω o domínio ℂ \ Γ, e fixemos c ∈ Ω. Seja γ_{z} uma curva seccionalmente C^{1} em Ω que liga c à z.

Considere

f(z) := exp (∫_{γ_{z}} g(ζ) d ζ)

a) Mostre que f(z) está bem definida e é holomorfa em Ω.

b) Discuta a natureza das singularidades de f(z).