3\underline{o} EXAME DE VARIÁVEIS COMPLEXAS

prof. Ricardo Sá Earp 15 de julho de 2003

Escolha uma dentre as três próximas questões abaixo

1\underline{a} Questão (2.0 pts) Seja f(z) uma função meromorfa no disco unitário B_{1}(0). Assuma

que

|f(z)| → 1, se |z| → 1

Determine a forma mais geral de uma tal f(z).

1\underline{a′} Questão (2.0 pts):

Sejam f(z) e g(z) funções meromorfas em ℂ, satisfazendo

f^{n} + g^{n} = 1, n = 2, 3, …

a) Mostre que se n ⩾ 3, então ou bem f(z), g(z) são constantes ou bem f(z) e g(z) tem pólos em comum.

b) Quando n = 2 será que a proposição do item a) ainda é válida ? Por quê ?

1\underline{a′′} Questão (2.0 pts) Suponha que a função meromorfa univalente F (z) leva o disco

unitário centrado na origem D sobre um certo domínio Ω da esfera de Riemann ℂ ∪ {∞} que não contenha a origem. Assuma que F (z) possua apenas um único pólo e que tenha a expansão de Laurent da forma

F (z) = \frac{1}{z} + a_{0} + a_{1}z + a_{2}z^{2} + ⋯

em {0 < |z| < 1}. Agora considere uma função holomorfa f(z) definida no disco perfurado unitário D^{∗} = {0 < |z| < 1}. Assuma que f leva leva o disco perfurado D^{∗} em Ω. Suponha ainda que admita expansão de Laurent da forma

f(z) = \frac{a}{z} + b_{0} + b_{1}z + b_{2}z^{2} + ⋯

Que valores pode assumir a ? Justifique cuidadosamente a sua resposta. Sugestão : Tente aplicar o lema de Schwarz, convenientemente.

Escolha uma dentre as duas próximas questões abaixo

2\underline{a} Questão (3.0 pts):

Calcule

∫_{−π}^{π} \frac{sin nθ}{1 − 2a sin θ + a^{2}} dθ

onde n = 1, 2, … e a ∈ IR, |a| ≠ 1.

2\underline{a′} Questão (3.0 pts):

Calcule a integral abaixo via o método dos resíduos

∫_{0}^{∞} \frac{1 + x}{(x^{2} + x + 1)^{2}} d x

Escolha uma dentre as duas próximas questões abaixo

3\underline{a} Questão (2.5 pts):

Seja ∑_{0}^{∞} a_{n}z^{n}, uma série de potências convergente para |z| < 1 em

que os coeficientes estão dados pela fórmula

a_{n} = ∫_{0}^{∞}e^{−nt} g(t) dt

em que você claramente pode identificar a transformada de Laplace de g em n. O chamado método dos momentos, diz que após uma justificada troca de ordem dos símbolos do somatório e integral obtém-se que

f(z) = ∫_{0}^{∞} \frac{e^{t} g(t)}{e^{t} −z}

o que produz um prolongamento analítico à ℂ \ [1, ∞) (Por quê ?). Tal método pode ser aplicado em situações bem mais gerais em que se considera séries de funções holomorfas, em vez de apenas séries de potências.

Agora considere a função Gamma dada por

Γ(z) = ∫_{0}^{∞}e^{−t} t^{z−1} dt, ℜz > 0

Lembro do fato que Γ(z) possui uma extenção meromorfa a todo plano complexo ℂ, sendo que Γ(z) os pólos de Γ(z) são exatamente 0, −1, −2, …, todos são simples e de resíduo em n ∈ −IN dados por

\frac{(−1)^{n}}{n!} .

a) Mostre que

\frac{Γ(z)}{n^{z}} = ∫_{0}^{∞}e^{−nt} t^{z−1} dt, ℜz > 0

b) Use o método dos momentos para obter a fórmula

ζ(z) = \frac{1}{Γ(z)} ∫_{0}^{∞} \frac{t^{z−1}}{e^{t} −1} dt

c) Daí considerando a identidade

ζ(z) = \frac{1}{Γ(z)} (∫_{0}^{1} \frac{t^{z−1}}{e^{t} −1} dt + ∫_{1}^{∞} \frac{t^{z−1}}{e^{t} −1} dt)

bem como as propriedades da função Gamma, obtenha um prolongamento analítico de ζ(z) à ℂ \ {1}, e mostre que 1 é um pólo simples de ζ(z) com resíduo 1.

3\underline{a′} Questão (2.5 pts):

Seja n ∈ IN^{∗} e a ∈ IR com a > e. Mostre que a equação

h(z) = az^{n} − e^{z}

possui no disco aberto unitário B_{1}(0), n raízes simples.

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4\underline{a} Questão (2.5 pts):

Seja u uma função harmônica definida no disco unitário perfurado B_{1}(0)^{∗}. Seja c ∈ IR. Assuma que a função u(z) − c ln |z| seja limitada em B_{1}(0)^{∗}. Determine a forma mais geral de uma tal u

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4\underline{a′} Questão (2.5 pts):

Seja F (z) holomorfa na vizinhança perfurada B_{δ}^{∗}(a) do ponto a. Assuma que \frac{F′(z)}{F (z)} tenha exatamente um pólo simples de resíduo k ∈ ℤ. Mostre que numa vizinhança vizinhança perfurada B_{ϵ}^{∗}(a) , F (z) se escreve

F (z) = c(z − a)^{k} e^{G(z)}

onde c ∈ ℂ^{∗} e G(z) é holomorfa em B_{ϵ}(a). Discuta a natureza da singularidade z = a de F (z).

4\underline{a′′} Questão (2.5 pts):

Calcule pelo método dos resíduos.

∫_{0}^{2π}(cos θ)^{2n} dθ