EXAME DE QUALIFICAÇÃO DE VARIÁVEIS COMPLEXAS 2003

prof. Ricardo Sá Earp 29 de agosto de 2003

Questão 1 (3.0 pts): Seja

f(z) = a sen z − e^{z}, z ∈ Ω := {z; |ℜz| ⩽ π/2, | Im z| ⩽ π/2}

a) Calcule

max_{Ω} |f(z)|

b) Para a ⩾ e^{π/2}, mostre que f(z) tem apenas um zero em Ω e que este zero é real. Seja t este zero.

c) Calcule

∫_{∂Ω} \frac{sen^{2} 2z(a cos − e^{z})}{(a sen z − e^{z})z^{2}} dz

em função de t. Questão 2 (5.0 pts): Considere a função

f(z) = \frac{1}{1 + z + z^{2}}

a) Encontre o desenvolvimento de Taylor de f(z) na origem explicitando os coefi-

cientes e determinando o raio de convergência da série.

i) Calcule

∫_{|z|=1/3} \frac{dz}{(1 + z + z^{2})z^{n}}

b) Mostre que f(z) é uma função meromorfa em ℂ determinando seus pólos.

i) Para o pólo a com Im a > 0, obtenha a série de Laurent de f(z) em torno de tal singularidade, explicitando seus coeficientes.

ii) Seja log z o ramo principal do logaritmo e a a singularidade de f(z) no semi-plano superior. Calcule

∫_{|z−a|=1/2} \frac{log z}{1 + z + z^{2}} dz

iii) Classifique a singularidade de sen(f(z)) em z = a, fazendo uma justificativa

rigorosamente sintética, usando no máximo 4 linhas. Questão 3 (2.0 pts): Exiba uma família de funções limitadas definidas na bola unitária B_{1}(0) que seja

normal, justificando sua afirmação em no máximo 4 linhas. Questão 4 (3.0 pts): Seja f(z) uma função holomorfa numa vizinhança perfurada B_{ϵ}^{∗}(0) da origem satis-

fazendo

f(1/n) = \frac{n^{2} e^{iπ/n}}{1 + n + n^{2}}

para n ∈ IN^{∗} suficientemente grande a) Assuma que f(z) está limitada. Determine f(z).

b) Discuta se f(z) pode ter ou não um pólo na origem, escrevendo no máximo 3 linhas. Caso afirmativo, exiba um exemplo.

c) Discuta se f(z) pode ter uma singularidade essencial na origem, exibindo um exemplo no caso afirmativo ou dando uma justificativa sumária de no máximo 2 linhas no csso negativo.