VCOMPLEXAS- MAIO DE 2003–Lista2

Professor: Ricardo Sá Earp

PARTE A: SÉRIES DE FUNÇÕES COMPLEXAS

1) Seja f_{n}(z) = 1/(z + n), n ∈ IN. Mostre que

a) lim_{n→∞} f_{n}(z) = 0, z ∈ ℂ.

b) Seja A_{α} = {z; ℜz ⩾ α, z ∉ −IN}. Mostre que f_{n} ⟶ 0(n → ∞) uniformemente em A_{a}, onde α é um número real qualquer. Mais precisamente, mostre que

sup_{z∈A_{α}} |f_{n}(z)| ⩽ \frac{1}{α + n} se n > −α

c) Mostre que se A = {z; Im z ⩾ 1}, então f_{n} ↛ 0, uniformemente em A,

mostrando que sup_{z∈a} |f_{n}(z)| ⩾ 1, n ∈ IN.

2) Seja a_{n}(z) = 1/(z + n^{2}), n ∈ IN. Seja S = {−n^{2}; n ∈ IN}. Considere

f(z) = ∑_{n⩾0} a_{n}(z), z ∉ S.

a) Mostre que ∑_{n⩾0} |a_{n}(z)| < ∞, z ∉ S.

b) Mostre que a série é uniformemente convergente em A_{α} (cf Ex 1 b)).

c) Mostre que se α ⩽ 0, a série ∑_{n⩾0} a_{n}(z) não é normalmente convergente

em A_{α} (Ex 1 c)), mostrando que ∥a_{n}∥_{A_{α}} = ∞, para n^{2} ⩽ −α.

d) Mostre que a série ∑_{n⩾0} a_{n}(z) não é uniformemente convergente em A (Ex

1 c)).

e) Mostre que a série ∑_{n⩾0} a_{n}(z) é uniformemente convergente em todo com-

pacto K ⊂ ℂ \ S; conclua que f é contínua em ℂ \ S.

f) Discuta as relações entre séries normalmente convergentes, absolutamente convergentes e uniformente convergentes. Discuta como isto foi aplicado no teorema de séries de potências que relacionou o raio de convergência da série e da série de potências obtida da original derivando-se termo a termo. g) Considere e^{z} := Σ \frac{z^{k}}{k!} = 1 + z + \frac{z^{2}}{2!} + \frac{z^{3}}{3!} + · · · . Mostre que

|e^{z} − Σ_{0}^{n−1} \frac{z^{k}}{k!} | ⩽ \frac{2}{n!}|z|^{n}  para n ⩾ 1  |z| ⩽ 1 + \frac{1}{2}(n − 1)

O quê você pode concluir da estimativa acima com respeito à convergência da soma parcial da série dada por e^{z} ? Você tem outra maneira de ver isto ?

3) Seja X um conjunto e sejam f_{n}, n = 1, 2, …, f funções complexas definidas em X. Mostre que f_{n} ⟶^{u} f (n → ∞) ⇔ lim_{n→∞} (f_{n}(x_{n}) − f(x_{n})) = 0, para toda seqüência {x_{n}}_{n⩾1} em X.

4) Seja f_{n}(x) = nx(1 − x)^{n} (o ⩽ x ⩽ 1, n = 1, 2, …,). Verifique que as funções contínuas f_{n} convergem (quando n → ∞) pontualmente à uma função contínua f ≡ 0 em [0, 1], sem que a convergência seja uniforme, mostrando que

∥f_{n}∥_{[0,1]} ⟶ \frac{1}{e} ≠ 0 (n → ∞).

5) Sejam a_{n} : X → ℂ, n ∈ IN, onde X é um conjunto e {b_{n}} uma seqüência monótona tendendo à zero. Seja A_{n}(x) := a_{0} + ⋯ + a_{n}(x), x ∈ X. Suponha

que sup_{n⩾0} ∥A_{n}∥ < ∞.

a) Seguindo o raciocínio do critério de Dirichlet (veja Lista 1), mostre que ∑_{n} a_{n}(x)b_{n} converge uniformemente em X. Conclua que a série ∑_{ν⩾1} b_{ν} cos νx (cf Lista 1) converge uniformemente em x ∈ [α, β], onde 0 < α < β < π.

PARTE B: SÉRIES DE POTÊNCIAS, FUNÇÕES ANALÍTICAS ELEMENTARES

1) Determine o raio de convergência das séries.s Em cada caso, indique um domínio compacto no qual a série converge normalmente.

a) ∑_{n} n^{α}z^{n}, α ∈ IR.

b) ∑_{n} n!(z/n)^{n}.

c) ∑_{n} α^{n^{2}}z^{n}, α ∈ ℂ.

d) ∑_{n} \frac{1}{n!}α(α + 1) ⋯ (α + n)z^{n}, α ∈ ℂ; ∑_{n} \frac{1}{n!}α(α − 1) ⋯ (α − n)z^{n}, α ∈ ℂ.

Sugestão: Considere o caso α ∈ {0, ±1, ±2, ±3, …, } separadamente.

e) ∑_{n}(log n)^{2}z^{n}. Resposta: 1.

f) ∑_{n} n!/(n^{n})z^{n}.

Sugestão: Considere a fórmula de Stirling n! = n^{n}e^{−n}u_{n} com lim_{n→∞} u_{n}^{1/n} = 1. Resposta: e 2)

a) Sejam a, b, c números complexos. Suponha que c não é um inteiro ⩽ 0. Mostre que o raio de convergência da série abaixo é 1. Indique um domínio compacto no qual a série converge normalmente:

1 + \frac{ab}{c}z + \frac{a(a + 1) · b(b + 1)}{2!c(c + 1)}z^{2} + ⋯

+ \frac{a(a + 1) … (a + n − 1) · b(b + 1) … (b + n − 1)}{n!c(c + 1) … (c + n − 1)}z^{n} + ⋯

b) Encontre os termos de ordem ⩽ 3 do desenvolvimento em série de potências da função f(z) = z^{2}/(z − 2) em z = 1.

Resposta : −1 − (1 + 2)(z − 1) − (1 + 2 + 1)(z − 1)^{2} − (1 + 2 + 1)(z − 1)^{3}. Agora, aplicando certa técnica desenvolvida em sala de aula, obtenha a série de Taylor de f(z) em z = 1. Daí calcule f^{(n)}(1), n ⩾ 0

c) Considere

J(z) = Σ_{0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{(n!)^{2}} (\frac{z}{2})^{2n}

Qual é o raio de convergência da série ? Indique um domínio compacto no qual a série converge normalmente.

Mostre que J(z) satisfaz a equação diferencial (Veja o livro de Gerretsen-Sansone para o desenvolvimento e outros exemplos de equações lineares complexas, regulares e singulares-regulares, de segunda ordem)

z^{2}J′′(z) + zJ′(z) + z^{2}J(z) = 0

3) Seja R o raio de convergência da série ∑_{n} a_{n}z^{n}(n ∈ IN); se s_{n} = a_{0} + ⋯ + a_{n}, n ∈ IN, mostre que o raio de convergência R′ da série ∑_{n} s_{n}z^{n} verifica a desigualdade R′ ⩾ min(R, 1) e estaleleça que

∑_{n} s_{n}z^{n} = \frac{1}{1 − z} ∑_{n} a_{n}z^{n}, |z| < min(R, 1)

.

4) Mostre que as séries de números complexas abaixo, convergem nos conjuntos C dados

a) ∑_{n} (z/(1 + z))^{n}. C = {z; ℜz > −1/2}.

b) ∑_{n} z^{n}/(1 + z^{n}). C = {z; |z| < 1}.

c) ∑ (\frac{z − 1}{z + 1})^{n} . C = \{z, ℜz > 0\}.

Classicamente, o domínio limitado pelas chamadas curvas de Cassini, dadas por

|z − a| |z + a| = R^{2}, a, R > 0

são chamados de domínios de Cassini. Para a = R, a origem é um ponto duplo, para a > R tem duas componentes conexas e para a < R é um domínio estrelado cujo centro é a origem.

d) Mostre que a série ∑_{n} (\frac{1}{2}z(z − 1))^{2^{n}} , converge em certo domínio de

Cassini. O quê você pode dizer sobre convergência normal das séries ?

5) Seja R o raio de convergência da série ∑_{n⩾0} a_{n}z^{n}. Mostre que o raio de

convergência R̃ da série

∑_{n⩾0} \frac{a_{n}}{1 + |a_{n}|}z^{n}

é dado por R̃ = max(R, 1)

6) Determine os raios de convergência das séries. Indique um domínio compacto no qual a série converge normalmente:

a) ∑_{n⩾0}(−1)^{n}2^{n}z^{2n+2}.

b) ∑_{n⩾0} 2^{log n}z^{n}.

c) ∑_{n⩾0}(sin n)z^{n}.

7) Seja f(z) = ∑_{n⩾0} a_{n}(z − z_{0})^{n} uma função dada por uma série com raio de

convergência R > 0. Mostre que f é holomorfa em B = B_{R}(z_{0}) = {z; |z − z_{0}| < R}; além disto mostre que f admite uma primitiva em B, i.e existe F holomorfa em B tal que F′(z) = f(z), ∀z ∈ B. Finalmente, mostre que tal primitiva F é única, a menos de uma constante aditiva.

8) Seja f(z) = exp(az) + exp(bz), onde a, b são constantes complexas e z ∈ ℂ. Mostre que f é periódica ⇔ a = b = 0 ou b = ra, onde r é um número real racional.

9) Mostre que a) | exp z^{2}| → ∞ se |z| → ∞, | arg z| ⩽ α < π/4.

b) cos z é real ⇔ y = 0 ou x = nπ, n ∈ ℤ.

c) sin z é imaginário puro ⇔ x = nπ, n ∈ ℤ.

d) exp ((1 + i)z) = ∑_{n⩾0} 2^{n/2} exp (\frac{inπ}{4} ) \frac{z^{n}}{n!} , ∀z ∈ ℂ.

e) exp(cos z) cos(sin z) = ∑_{n⩾0} \frac{cos nz}{n!} , ∀z ∈ ℂ. Sugestão: Verifique que

exp(exp ±iz) = ∑_{n} \frac{exp(±inz)}{n!} = ∑_{n} \frac{cos nz}{n!} ± ∑_{n} i\frac{sin nz}{n!}

e que exp(exp ±iz) = exp(cos z) exp(±i sin z).

f) cos i + i sin i = e^{−1}.

g) log exp(1 + 4i) = 1 + (4 − 2π)i.

h) ∀z ∈ ℂ, | cos z| ⩽ cosh |z| e que | sin z| ⩽ sinh |z|. Deduza que para |z| < 1, | cos z| < 2 e | sin z| ⩽ 6|z|/5.

i) Se a ≠ 0, a equação exp(1/z) = a, possui uma infinidade de soluções em toda vizinhança da origem. O que voce conclui disto? Que tipo de singularidades num disco perfurado D^{∗} = {0 < |z − z_{0}| < ϵ, ϵ > 0}, uma função holomorfa pode ter?

10) Mostrar que uma função holomorfa f ∈ H(Ω) definida num domínio Ω de ℂ verifica f′(z) = αf(z) ⇔ f(z) = ce^{αz}, z ∈ D, onde c ∈ ℂ. Disto conclua uma caracterização da exponencial complexa.

11)

a) Seja f ∈ H(ℂ) uma função inteira tal que f(0) = 1. Mostre que se f(z + w) = f(z)f(w), ∀z, w ∈ ℂ; então f(z) = e^{αz}, ∀z ∈ ℂ, α ∈ ℂ.

b) Seja f uma função contínua tal que

f(z + w) = f(z) + f(w), z, w ∈ ℂ.

Mostre que

f(z) = az + bz̄, z ∈ ℂ, para, a, b ∈ ℂ.

12) Verificar que cos z = w, implica que

z = −i log (w ± \sqrt{w^{2} − 1}) + 2nπ, n ∈ ℤ.

Em particular, concluir que cos : ℂ → ℂ é sobrejetiva.

13) Verificar que sin z = w, implica que

z = −i log (iw ± \sqrt{1 − w^{2}}) + 2nπ, n ∈ ℤ.

Em particular, concluir que sin : ℂ → ℂ é sobrejetiva.

14) Verificar todas as determinações de a) 2^{i}. Resposta: e^{−2nπ}{cos(log 2) + i sin(log 2)}, n ∈ ℤ.

b) i^{i}. Resposta: exp \{−π (2n + \frac{1}{2})\} , n ∈ ℤ.

15) Encontrar todos os números a e z complexos tais que: a) Toda determinação de a^{z} são reais.

b) Toda determinação de a^{z} seja de valor absoluto 1. Sugestão: Seja z =

x + iy, x, y reais e a = re^{iθ}, r > 0, θ ∈ (−π, π]. 16)

a) Utilizando a proposição da convergência dominada mostre que

lim_{n→∞} (1 + z_{n})^{n} = exp(z),

se z_{n} ∈ ℂ, n = 1, 2, …, e lim_{n→∞} nz_{n} = z. Em particular conclua que

lim_{n→∞} (1 + \frac{z}{n})^{n} = exp(z), z ∈ ℂ.

Sugestão: Escreva

(1 + z_{n})^{n} = ∑_{k=0}^{∞} α_{k}(n),  a_{k}(n) = \binom{n}{k}z_{n}^{k},  s 0 ⩽ k ⩽ n,

verficar que para k fixado, a_{k}(n) ⟶ z^{k}/k! (n → ∞) e que |a_{k}(n)| ⩽ ρ^{k}/k!, ρ = sup_{n} |nz_{n}|. Demonstre ainda que

(1 + \frac{z}{n})^{n} → exp z (n → ∞) uniformemente em z ∈ B_{R}(0)

para todo R, 0 < R < ∞

b) (Lema da composição ) Seja X um espaço métrico, f_{n} uma seqüência de funções contínuas definidas em X. Suponha que f_{n} converge uniformemente em compactos a uma função contínua f. Mostre que ef^{n} converge uniformemente em compactos (de X) à ef.

Sugestão: Aplique a estimativa da Parte A, item 2)g).

c) Usando o item anterior mostre que a seqüência (1 + z/n)^{n} converge uniformemente em compactos à e^{z}.

Sugestão: Mostre que | log(1 + w) − w| ⩽ |w|^{2} para |w| ⩽ 1/2.

17) Sejam α = a + ib, a, b reais e z ∈ ℂ^{∗}. Verifique que

|z^{α}| = |z|^{a}e^{−b arg z}

deduza que

a) lim_{z→0} |z^{α}| = 0 ⇔ ℜα > 0.

b) lim_{z→0} |z^{α}| = ∞ ⇔ ℜα < 0.

18) Verificar que, se |z| < 1,

\frac{1}{2} + z + z^{2} + ⋯ = \frac{1}{2} · \frac{1 + z}{1 − z}

colocando z = re^{iθ}, 0 ⩽ r < 1, deduza:

\frac{1}{2} + ∑_{n=1}^{∞} r^{n} cos nθ = \frac{1}{2} \frac{1 − r^{2}}{1 + r^{2} − 2r cos θ}

deduza ainda fórmula análoga trocando-se cos por sin na expressão a esquerda da igualdade.

19) Seja z = x + iy, com x, y reais. Verifique que | sin nz| ⩽ e^{n|y|}, n = 1, 2, …; deduza que ∑_{n⩾1} 2^{−n} sin nz converge absolutamente se | Im z| < log 2. Por outro lado se | Im z| ⩾ log 2, mostre que |2^{−n} sin nz| ↛ 0, quando n → ∞ (veja o exercício seguinte), de modo que ∑_{n⩾1} 2^{−n} sin nz diverge se | Im z| ⩾ log 2.

20) Mostrar que a série ∑_{n⩾1} n^{−2} sin nz converge apenas para z real, mostrando

que

| sin nz| ⩾ \frac{1}{2} (e^{n|y|} − e^{−n|y|}) , y = Im z.

21) Mostre que não existe nenhuma função contínua

f : ℂ^{∗} → ℂ^{∗} talque (f(z))^{2} = z, ∀z ∈ ℂ^{∗}.

Sugestão: Observe que f(z) ≠ 0, ∀z ∈ ℂ^{∗}. Passando a −f se necessário, suponha que f(1) = 1. Mostre que a função z → f(z)f(w)/f(zw) é continua e identicamente igual a 1. Infira daí uma contradição . Mostre que não existe nenhum ramo contínuo de z^{1/2} em ℂ^{∗}, por outro lado

z → z^{1/2} é holomorfa em ℂ − (−∞, 0].

Conclua também que não existe nenhuma função logaritmo no domínio ℂ^{∗}.

22) Verificar as afirmações abaixo com respeito a existência de uma função analítica f definida numa vizinhança (aberta) de z = 0.

a) f (\frac{1}{n}) = cos nπ, n = 1, 2, …, é impossível.

b) f (\frac{1}{n}) = \frac{1}{n} sin (\frac{nπ}{2} ) , n = 1, 2, …, é impossível.

c) f (\frac{1}{n}) = \frac{1}{n + 1}, n = 1, 2, …, implica que f(z) = z/(z + 1).

d) f (\frac{1}{n}) = \frac{n^{2} sin(π/n)}{n + 1}, n = 1, 2, …, implica que f(z) = sin(πz)/z(z+1), com f(0) = π.

e) f (\frac{1}{n}) = f (\frac{1}{2n}) , n = 1, 2, …, implica que f é constante.

23) As séries de Taylor de \frac{z}{e^{z} − 1}, cot z e tan z.

a) A série de Taylor de \frac{z}{e^{z} − 1} em torno da origem está definida por

\frac{z}{e^{z} − 1} = Σ_{0}^{∞} \frac{B_{k}}{k!} z^{k}, B_{k} ∈ ℂ

Mostre as seguintes afirmações i) B_{1} = 0 e B_{2k+1} = 0 para k ⩾ 1. ii)

\binom{n}{0}B_{0} + \binom{n}{1}B_{1} + \binom{n}{2}B_{2} + ⋯ + \binom{n}{n − 1}B_{n−1} = 0

Os números acima são chamados de números de Bernouille. Determine-os recursivamente, calculando

B_{0} = 1, B_{2} = 1/6, B_{4} = −1/30, B_{6} = 1/42
B_{8} = −1/30, B_{10} = 5/66, B_{14} = 7/6

Curiosidade: B_{26} = 8553103/6 … Sugestão: Considere 1 = \frac{e^{z} − 1}{z} · \frac{z}{e^{z} − 1}.

b) Mostre que

cot z = \frac{1}{z} + Σ_{1}^{∞}(−1)^{k} \frac{4^{k}}{(2k)!}B_{2k}z^{2k−1}

tan z = Σ_{1}^{∞}(−1)^{k−1} \frac{4^{k}(4^{k} − 1)}{(2k)!}B_{2k}z^{2k−1}

Discuta o raio de convergência da série de z cot z.

24) Considere a série

f(z) = ∑_{0}^{∞} \frac{z^{3n}}{(3n)!}

a) Mostre que f satisfaz f′′′(z) − f(z) = 0. Mostre ainda que f(z) =

\frac{1}{3} (e^{z} +2 e^{−z/2} cos \frac{\sqrt{3}z}{2} ) .

i) Deduza que

\frac{1}{3} (cosh z + 2 cosh z/2 cos(\sqrt{3}z/2)) = ∑_{0}^{∞} \frac{z^{6n}}{(6n)!}

25) Sejam a, b, k constantes reais, com k ≠ 0. Define-se uma seqüência {a_{n}} pelas

relações

a_{0} = a, a_{1} = b, ka_{n+2} − (1 + k^{2})a_{n+1} + ka_{n} = 0

Considere a série

f(z) = ∑_{0}^{∞} a_{n} \frac{z^{n}}{n!}

a) Mostre que f(z) satisfaz a uma equação diferencial linear de segunda ordem. Encontre f(z) e em seguida encontre uma expressão para os a_{n}. Analise os casos k = ±1, separadamente.

26) Estabeleça o desenvolvimento em série de potências da função f definida por

f(z) = ∫_{0}^{z} \frac{e^{ζ} −1}{ζ} dζ, determinando o raio de convergência da série. Coloque

g(z) = ∫_{1}^{2} e^{z} log z dz. Estabeleça uma relação entre g e certos valores de f.

27) Considere a função f(z) = log \frac{1 + z}{1 − z} , |z| < 1. Calcule f^{(n)}(0), a n-ésima derivada de f na origem. Use obrigatoriamente o desenvolvimento de Taylor de f na origem para calcular, log \frac{m}{n}, log 2 e log | cot z|.

28) Considere a função f(z) = \frac{e^{−z}}{1 + z} . Mostre que a n-ésima derivada de f na

origem é dada por f^{(n)}(0) = (−1)^{n}n! (1 + 1 + \frac{1}{2!} + ⋯ + \frac{1}{n!}) .

29) Considere as funções

f(z) = ∑_{0}^{∞} \frac{z^{n}}{n!} , g(z) = ∑_{0}^{∞} \frac{(−1)^{n} a^{n}z^{n}}{b(b + a)(b + 2a) ⋯ (b + na)}

Seja h(z) = f(z)g(z). Mostre que h^{(n)}(0) = \frac{1}{b + na}.

30) Escrevendo obrigatoriamente as potências e os produtos de funções trigonométricas como combinação linear de senos e cossenos, calcule a n-ésima derivada na

origem das funções f(z) = (\frac{sin z}{z} )^{2} , z ≠ 0, f(0) = 1, g(z) = cos^{3}z, h(z) = sin 2z cos 4z.

31) Use obrigatoriamente o teorema de Newton-Abel para mostrar que o desen-

volvimento de Taylor de f(z) = log \frac{\sqrt{1 + z^{2}} − 1}{z^{2}}, f(0) = log \frac{1}{2}, na origem é

f(z) = log \frac{1}{2} + ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}1.3 ⋯ (2n − 1)}{2^{n+1}n(n!)}z^{2n}

Determine o raio de convergência da série.

32) Fazendo a decomposição em frações parciais, encontre o desenvolvimento de Taylor das seguintes funções, na origem, determinando o raio de convergência

da série: f(z) = \frac{z + 2}{z^{2} + z + 1}, g(z) = \frac{z^{4}}{z^{4} + z^{2} − 2}.

33) Fazendo obrigatoriamente duas deduções distintas, escreva o desenvolvimento de Taylor da função f(z) = \frac{1 − z cos a}{1 − 2z cos a + z^{2}} , na origem , determinando o raio de convergência da série. Calcule a n-ésima derivada de f na origem.

34) Mostre que

∑_{0}^{∞} \frac{z^{n}}{(n + 1)(n + 2)(n + 3)} = \frac{3z − 2}{4z^{2}} − \frac{(1 − z)^{2}}{2z^{3}} log(1 − z), |z| < 1

35) Mostre que

∑_{n=2}^{∞} \frac{z^{n}}{n^{2} + n − 2} = \frac{1}{3} (\frac{1}{z} + \frac{1}{2} + \frac{z}{3}) + \frac{1}{3} (\frac{1}{z^{2}} − z) log(1 − z)

36) Considere a série

g(s) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}Γ(ν + n + 1)s^{−ν−n−1}

one Γ = Γ(z) é a função Gamma e ℜν > −1. Considere a fórmula de Stirling que diz o seguinte (veja, por exemplo refs 15, 17):

Γ(z) ∼ \sqrt{2π}z^{z−1/2} e^{−z}, quando |z| → ∞(| arg z| ⩽ π − δ, 0 < δ < π)

Assuma que a série converge para algum s = s_{0}. Mostre que o raio de convergência da série definida por

∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n}

é infinito

37) Seja f(z) uma função holomorfa em {|z| < 1}. Considere o desenvolvimento de Taylor de f(z) na origem dado por

(∗)  f(z) = a_{0} + a_{1}z + ⋯ a_{h}z^{h} + ⋯

Seja ω := e^{2πi/n}, uma enésima raiz da unidade. Defina

g(z) = \frac{1}{n} (f(ωz) + f(ω^{2}z) + ⋯ f(ω^{n}z))

a) Qual é o domínio de convergência absoluta da série (∗) ? b) Em que domínio compacto (∗) converge uniformemente ? E normal-

mente ?

c) Escreva o desenvolvimento de Taylor na origem de g(z). Qual é o raio de convergência da série ?

d) Calcule g^{(k)}(0), k ∈ IN.

e) Mostre que a função F (z) = g ( ^{n} \sqrt{z}) é holomorfa (“single-value”) em

{|z| < 1}.

38) O que você pode dizer sobre um domínio no qual a série abaixo converge ?

f(z) = ∑ e^{−n^{2}} \begin{matrix}n−1 \\ ∑ & ′ \\ m=1 \end{matrix} (z − m/n)^{−1}

onde a soma ^{∑′}, se faz quando (m, n) = 1, i.e quando m, n são primos entre si. O que você pode dizer sobre o domínio em que f(z) é holomorfa ?

39) Sejam p_{0}(z), …, p_{n}(z), polinômios em ℂ. Considere a equação de diferenças

p_{0}(z)w(z + n) + +p_{1}(z)w(z + n − 1) + ⋯ + p_{n}(z)w(z) = 0

Assuma que w(z) é holomorfa para ℜz > b e que p_{n}(z) ≠ 0 para ℜz > 0. Será que w(z) pode ser estendida a todo plano complexo ℂ como função

meromorfa ? No caso afirmativo. diga quais são os pólos de f(z).

40) Considere {a_{n}} uma seqüência satisfazendo a equação de diferenças de se-

gunda ordem

a_{n} = \frac{a_{n−2} + a_{n−1}}{2} , n ⩾ 1

com condições iniciais a_{1} = 0, a_{2} = 1. Considere a série de potências

f(z) = ∑_{1}^{∞} a_{n}z^{n}

a) Mostre que a série define uma função holomorfa f(z) numa vizinhança da origem.

b) Determine f(z) numa “closed form”, i.e na forma de uma fração racional.

c) Calcule f^{(n)}(0), n ⩾ 0, e calcule o raio de convergência da série.

41) O que você pode dizer sobre o raio de convergência das séries ∑ a_{n}z^{n}, onde os coeficientes a_{n} estão dados abaixo ?

a) a_{n} = (sin α_{1} + ⋯ sin α_{n})^{2} + (cos β_{1} + ⋯ + cos β_{n})^{2} , onde os α_{i} e os β_{j} são reais.

b) a_{n} = \frac{1^{k}}{n^{k+1} + 1} + ⋯ + \frac{n^{k}}{n^{k+1} + n}, k > 0.

c) ^{n} \sqrt{a}_{n} = ∑_{1}^{n} \frac{3}{3n + 3p + 1}.

d) a_{n} = b_{n+1} − b_{n}, onde b_{1} = 1, b_{n+1} = \frac{1}{1 + b_{n}} .

e) a_{n} = b_{n}^{n}, onde b_{n} satisfaz a equação de diferenças

i) b_{n+1} = b_{n} (1 − \frac{1}{n^{2}} ) n ⩾ 2, b_{0} = b_{1} = b_{2} = 1.

ii) b_{n+1} = b_{n} \frac{n^{3} − 1}{n^{3} + 1}, n ⩾ 2, b_{0} = b_{1} = b_{2} = 1.

f) a_{n} = \frac{b_{n}}{n^{n}} , onde b_{n} b_{n} satisfaz a equação de diferenças

b_{n+1} − (n + 1)b_{n} = 2^{n}(n + 1)! b_{0} = 1

g) a_{n} satisfaz a equação de diferenças de primeira ordem

a_{n+1} (a + by_{n}) = cy_{n}, a, b, c > 0, y_{0} > 0

h) a_{n} satisfaz a equação de diferenças de segunda ordem i) a_{n+2} + a a_{n+1} − a_{n} = L,

ii) a_{n+2} − a_{n+1} + a_{n} = 0, a_{0} = 1, a_{1} = 1/2.

42) Seja 0 < a < 1. Considere o seguinte exemplo de Fredholm

g(z) = ∑_{0}^{∞} a^{n}z^{n^{2}} = 1 + az + a^{2}z^{4} + ⋯

Discuta o raio de convergência da série. Discuta a univalência de g(z) e a regularidade das derivadas parciais de g(z) até o bordo.

43) Mostre que podemos obter um desenvolvimento em potências de \frac{1}{z}, convergente para {|z| > 1}, da função

f(z) = \frac{1}{1 − z} e^{1/z}

chamado de série de Laurent de g.

44) Neste exercício você precisará fazer uso de certas desigualdades clássicas. Sejam {α_{n}} e {β_{n}} duas seqüência de números reais positivos satisfazendo certas condições. Considere a série de potências

f(z) = ∑ a_{n}z^{n}

Discuta o raio de convergência da série sabendo que a_{n}, α_{n}, β_{n} satisfazem às seguintes condições abaixo.

a) a_{n} := (α_{n} + β_{n})^{α_{n}+β_{n}} , onde

α_{n}^{α_{n}}β_{n}^{β_{n}} = O(2^{n}) (n → ∞)

b) a_{n+1} := α_{n+1}β_{n+1}^{n}, onde

\frac{α_{n+1} + nβ_{n+1}}{n + 1} = O(1) (n → ∞)

c) a_{n} := (∑ α_{j} · ∑ 1/α_{j})^{−1} .

d) a_{n} := ∑ \frac{1 + α_{n}}{1 − α_{n}} , onde

∑ |α_{n}| < ∞

e) a_{n} := \frac{1}{(α_{1} + \frac{1}{α_{1}} )^{2} + ⋯ + (α_{n} + \frac{1}{α_{n}} )^{2}} , onde

∑_{1}^{n} \frac{α_{j}}{n} → A, (n → ∞)

45) Escreva as funções abaixo num desenvolvimento de “série de potências ”em z e \frac{1}{z}, convergentes paras |z| > 0, chamada de série de Laurent. Discuta a holomorfia de f(z) e verifique o grande teorema de Picard em cada caso.

a) f(z) = cos (\sqrt{az}) cos (\frac{1}{\sqrt{bz}} ) , a, b ≠ 0.

b) f(z) = e^{1/(az)+bz}, a, b ≠ 0.

c) f(z) = cosh (z + \frac{1}{z}) .

PARTE C: COMPLEMENTOS

1) Lembremos que uma função f que aplica o domínio Ω sobre G é chamada

univalente se i) f é holomorfa em Ω ii) f é injetiva (um-a-um) (para o momento, considere que f′ nunca se anula

em Ω. Veremos mais tarde que injetividade de uma função holomorfa f : Ω → ℂ implica que f′ nunca se anula em Ω. Este é um fato notável das variáveis complexas).

Mostre o seguinte critério de univalência: Seja f uma função holomorfa num domínio convexo Ω satisfazendo a condição :

Ref′(z) > 0, ∀z ∈ Ω

Conclua que a) f é univalente em Ω.

b) Se Ω = \{|z| < 1\} e f é contínua em \overline{Ω} então f(Ω) é um domínio de Jordan

(i. e ∂Ω é uma curva de Jordan).

2) Seja f uma função holomorfa em um domínio Ω que seja localmente injetiva (leia-se: f′ nunca se anula. Na verdade, esta propriedade é equivalente a ser localmente injetiva, como veremos posteriormente). A derivada Schwarziana de f denotada por S_{f} está definida por

S_{f} := \frac{d}{dz} \frac{f′′(z)}{f′(z)} − \frac{1}{2} (\frac{f′′(z)}{f′(z)})^{2}

a) Mostre que se w = T (z) e w = Q(z) são uma aplicações de Möbius então

S_{T ∘f∘Q}(z) = S_{f}(Q(z))Q′(z)^{2}

e assim é invariante por aplicações de Möbius, isto é S_{T ∘f}(z) = S_{f}(z). Conclua que a derivada Schwarziana de uma aplicação de Möbius é nula. Para um teorema de existência, envolvendo equações lineares complexas de segunda ordem, veja o livro de Hille, segundo volume. A derivada Schwarziana tem papel importante na Análise Complexa.

3) Considere a série binomial

b_{σ}(z) := ∑_{0}^{∞} \binom{σ}{n}z^{n}

onde

\binom{σ}{0} := 1 \binom{σ}{n} := \frac{σ(σ − 1) ⋯ (σ − n + 1)}{n!}

ou seja

b_{σ}(z) = 1 + σz + \frac{σ(σ − 1)}{2} + ⋯

a) Deduza que b_{σ} é holomorfa na bola unitária aberta centrada na origem, mostrando que o raio de convergência da série que define b_{σ} é igual a 1.

Mostre que b_{−1} = \frac{1}{1 + z} , |z| < 1.

b) Mostre a fórmula de multiplicação :

(1 + z)b_{σ−1} = b_{σ}

Infira que

b′_{σ}(z) = σb_{σ}/(1 + z)

c) Seja λ(z) := ∑_{1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}z^{n}}{n} . Mostre que

b_{σ}(z) = e^{σλ(z)}, |z| < 1

Deduza a fórmula de Abel-Newton

(1 + z)^{σ} = ∑_{0}^{∞} \binom{σ}{n}z^{n}, ∀σ ∈ ℂ, |z| < 1.

4) Considere a equação de Legendre (integral elíptica (completa) de primeira ordem. Veja o livro de Gerretsen-Sansone.)

K(z) := ∫_{0}^{π/2}\frac{dθ}{\sqrt{1 − z sin^{2} θ}}

a) Mostre que K(z) é holomorfa em ℂ \ [1, ∞).

b) Mostre que para

K(z) = ∑_{0}^{∞}(−1)^{n}A_{n}\binom{−1/2}{n}z^{n}

onde

A_{n} = ∫_{0}^{π/2}sin^{2n} θ dθ, n = 0.1, 2 …

c) Mostre que K(z) e K̃(z) := K(1 − z) são soluções da equação

z(1 − z)w′′ + (1 − 2z)w′ − (1/4)w = 0

d) Mostre que K̃(z) = \frac{4 c}{π^{2}} ln z K(z) + φ(z) onde φ(z) é holomorfa em z = 0.

5) Verifique se existem funções holomorfas definidas num domínio contendo a origem que satisfaçam a condição abaixo.

a) f(\frac{1}{n^{2}} ) = e^{−\sqrt{n}}, onde n ∈ IN^{∗}.

6) Seja Ω um domínio e sejam f e g duas funções holomorfas definidas em Ω.

a) Assuma que f(z)g(z) = 0 para todo z ∈ Ω. O quê você pode dizer de f e de g ?

b) Suponha que f^{2}(z) = z e que g^{2}(z) = z para todo z ∈ Ω. O quê você

pode dizer de f e de g ?

7) Seja u = u(x + iy) uma função harmônica definida num domínio Ω. O quê você pode dizer do conjunto C = {u_{x} = u_{y} = 0} ?

PARTE D: EXAME SIMULADO

Justifique rigorosamente todos os cálculos e afirmações

1\underline{a} Questão (3 pts):

a) (1 pt) Determine o raio de convergência da série ∑_{n} n!/(n^{n})z^{n}. Sugestão: Considere a fórmula de Stirling n! = n^{n}e^{−n}u_{n} com lim_{n→∞} u_{n}^{1/n} = 1.

b) (1 pt) Considere f uma função analítica e univalente em △ := {|z| < 1}. Seja S o conjunto das funções da forma f(z) = z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+⋯ que são analíticas e univalentes em △. Seja z_{0} ∈ △. Considere a transformação de Koebe dada por

h(z) = \frac{f (\frac{z + z_{0}}{1 + \overline{z}_{0}z} ) − f(z_{0})}{(1 − |z_{0}|^{2}) f′(z_{0})}

Mostre que h pertence à S e calcule os três primeiros termos não nulos do desenvolvimento de Taylor de h na origem. Conclua

c) (1 pt) Se f aplica △ conformemente em ℂ então

|(1 − |z|^{2})\frac{f′′(z)}{f′(z)} − 2\overline{z}| ⩽ 4, ∀z ∈ △.

2\underline{a} Questão (3 pts):

Considere f(z) = z + ∑_{2}^{∞} a_{n}z^{n}. Assuma que

∑_{2}^{∞} n|a_{n}| ⩽ 1

a) (1 pt) Mostre que f é contínua em \overline{△} := \{|z| ⩽ 1\}.

b) (1 pt) Mostre que f é holomorfa em △.

c) (1 pt) Mostre que f aplica △ conformemente num domínio de Jordan. 3\underline{a} Questão (2 pts):

a) Encontre explicitamente uma equivalência conforme entre o semi-disco aberto Ω = {|z| < 1, Im z > 0} e o disco unitário aberto △.

4\underline{a} Questão (2 pts):

Professor Ricardo Sa Earp 19

1) Seja f e g duas funções analíticas em um domínio Ω do plano complexo que contém a origem e que não se anulam em nenhum ponto de Ω. Seja a_{n} = \frac{2^{n}}{n!} . Suponha que

\frac{f′(a_{n})}{f(a_{n})} = \frac{g′(a_{n})}{g(a_{n})} , ∀n ∈ IN.

O que você pode dizer de f(z) e g(z) ? Justifique sua resposta com base na teoria.

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