VCOMPLEXAS- JULHO de 2003–Lista 4

Professor: Ricardo Sá Earp

PARTE A: INTEGRAÇÃO COMPLEXA

1) Calcular

∫_{γ} \frac{e^{z}}{z(1 − z)^{3}} d z

quando γ é um círculo orientado positivamente (e simplesmente) dado por a) |z| = 1/2. Resp:2πi

b) |z − 1| = 1/2. Resp:−iπe

c) |z| = 2. Dê uma fórmula que relacione a integral do item c) com as integrais dos itens a) e b). Justifique sua resposta tanto geometricamente como analiticamente. Resp:iπ(2 − e)

d) 2 (cos θ)^{n} + i2 (sen θ)^{n} , 0 ⩽ θ ⩽ 2π, n ∈ IN.

2) Suponha que f(z) seja analítica num aberto contendo a curva fechada γ.

Mostre que

∫_{γ} \overline{f(z)}f′(z) d z

é um número imaginário puro.

3) Suponha que f(z) seja analítica e que satisfaça |f(z) − 1| < 1 em um domínio Ω. Mostre que

∫_{γ} \frac{f′(z)}{f(z)} d z = 0,

para toda curva fechada, seccionalmente C^{1}, em Ω.

4) Se P (z) é um polinômio e C denota o círculo |z − a| = R, calcule ∫_{C} P (z) d \overline{z}. Resp:−2iπR^{2}P′(a).

5) Seja γ uma curva C^{1} por partes e seja γ sua imagem obtida pela aplicação z → z. Suponha que f(z) seja uma função contínua sobre γ.

a) Mostre que z → \overline{f(z)} é contínua sobre γ e tem-se que

\overline{∫_{γ} f(z) d z} = ∫_{γ} \overline{f(z)} d z = ∫_{γ} \overline{f(z)} d z

Se γ é uma curva simples fechada contida no disco aberto unitário D e f(z) é uma função analítica em D, o que voce pode dizer da integral do meio ? Sempre se anula ? A funçãoz → \overline{f(z)} é holomorfa em \overline{D}? Compare com o exercício 1)d) Parte B, Lista 1!

b) Em particular, se γ é o círculo unitário positivamente orientado, mostre que

\overline{∫_{|z|=1} f(z) d z} = − ∫_{|z|=1} \overline{f(z)} \frac{d z}{z^{2}}

Cuidado com a orientação ? Nas duas fórmulas acima o círculo γ está positivamente orientado!!

6) Considere a série dada por

f(z) := ∑_{0}^{∞} \frac{z^{2^{n}}}{1 − z^{2^{n+1}}} := ∑ f_{n}(z)

a) Mostre que f(z) determina uma função holomorfa definida no disco unitário B_{1}(0) mostrando que a série converge normalmente em compactos de B_{1}(0).

b) Mostre que f(z) = \frac{z}{1 − z} .

c) Determine a classe de curvas fechadas γ tais que o valor da integral

∫_{γ} f_{n}(z) dz é não nulo.

7) Seja f uma função contínua num domínio Ω. Seja γ uma curva regular (por partes) parametrizada pelo comprimento de arco s, cujo traço esteja contido em Ω. Seja T o vetor velocidade de γ e seja n um dado campo de vetores normal unitário ao longo de γ. Dizemos que o fluxo ou campo dado por z ↦ f(z) é nulo (f é então chamado de fluxless) se

∫_{γ} f · n ds = 0

para toda curva simples (C^{1} por partes) e fechada γ em Ω. Dizemos que o campo que z ↦ f(z) é conservativo (ou irrotational) se

∫_{γ} f · T ds = 0

para toda curva simples (C^{1} por partes) e fechada γ em Ω. Mostre que se um fluxo ( ou campo) z ↦ f(z) em um domínio Ω é simultaneamente fluxless e conservativo então f(z) é uma função anti-holomorfa em Ω.

8) Seja f(z) uma função holomorfa em |z| < R, R > 1. Calcule de duas maneiras distintas as integrais

∫_{|z|=1}[2 ± (z + \frac{1}{z})] \frac{f(z)}{z}d z,

obtendo as seguintes igualdades

\begin{matrix}\frac{2}{π} ∫_{0}^{2π} f(e^{iθ}) cos^{2} \frac{θ}{2} d θ = & 2f(0) + f′(0) \\ \frac{2}{π} ∫_{0}^{2π} f(e^{iθ}) sin^{2} \frac{θ}{2} d θ = & 2f(0) − f′(0) \end{matrix}

9) Mostre que se f(z) é holomorfa em um aberto que contenha o disco fechado |z| ⩽ 1 então vale

\frac{1}{2πi} ∫_{|z|=1} \frac{\overline{f}(z)}{z − a} d z = \{ \begin{matrix}\overline{f}(0) & se |a| < 1, \\ \overline{f}(0) − \overline{f}(1/a) & se |a| > 1, \end{matrix}

Sugestão: Use o exercício 5 b) e a fórmula de Cauchy.

10) Verifique que

∫_{a}^{b} \frac{d t}{z − it} = i\{log(z − ib) − log(z − ia)\}

onde −∞ < a < b < ∞, ℜz > 0. Conclua que

∫_{a}^{b} \frac{x d t}{x^{2} + (y − t)^{2}} = arctan (\frac{y − a}{x}) − arctan (\frac{y − b}{x}) .

11) Calcular a) ∫_{γ} z d z

b) ∫_{γ} zd z

c) ∫_{γ} ℜz d z onde γ é o caminho poligonal 0 → (1 + i) → 2.

12) Calcule a integral ∫_{γ} z^{α} d z, α ∈ ℂ, nos seguintes casos:

a) γ é o semi-círculo indo de 1 à −1 no semi-plano superior (ou Im z ⩾ 0). b) γ é o semi-círculo indo de 1 à −1 no semi-plano inferior.

c) γ é o círculo de centro 0 e raio 1. Resp: \frac{2i}{α + 1} sin(α + 1)π, se α ≠ −1, 2πi, se α = −1. Para qual ramo de z^{α} vale esta resposta ? Para que valores de α temos o valor 0 ?

13) Mostre com todos os detalhes que

|∫_{γ} \frac{dz}{z^{4} + 1}| ⩽ \frac{2πR}{R^{4} − 1}

onde γ é o círculo |z| = R, R > 1.

14) Sabendo-se que ∫_{γ} \frac{dz}{z} = 2πi, se γ é uma curva simples fechada positivamente

orientada ( e portanto de índice 1) verifique às seguintes fórmulas

a) ∫_{0}^{2π} \frac{dt}{a^{2} cos^{2} t + b^{2} sin^{2} t} = \frac{2π}{ab} ,

onde o traço de γ é a elipse de equação x^{2}/a^{2} + y^{2}/b^{2} = 1.

b) ∫_{0}^{2π} \frac{sin^{2} t cos^{2} t}{cos^{6} t + sin^{6} t}dt = \frac{2π}{3}

onde γ descreve o astróide dado por t ↦ cos^{3} t + i sin^{3} t, 0 ⩽ t ⩽ 2π.

15) Calcule

f(a) = \frac{1}{2πi} ∫_{|z|=1} \frac{dz}{(z − a)(z − 1/a)}, a ≠ 0, |a| ≠ 1.

Use o resultado acima para calcular

\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} \frac{dt}{1 − 2a cos t + a^{2}} .

16) Seja f(z) uma função holomorfa definida num disco de raio R, R > 0 centrado na origem. Suponha que f(0) seja real. Mostre que para 0 < r < R e |z| < r tem-se que

f(z) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} ℜf(r e^{it})\frac{r e^{it} +z}{r e^{it} −z} dt

a) Conclua que se g = ℜf então vale a fórmula de Poisson

g(z) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} g(r e^{it})\frac{r^{2} − |z|^{2}}{|r e^{it} −z|^{2}} dt

b) Escreva a função g do item a) como soma de uma função holomorfa e de uma função anti-holomorfa e re-obtenha que g é harmônica para |z| < r. Sugestão : Escreva

\frac{r^{2} − |z|^{2}}{|r e^{it} −z|^{2}} = \frac{r e^{it}}{r e^{it} −z} + \frac{r e^{−it}}{r e^{−it} −\overline{z}} − 1

c) (Desigualdade de Harnack) Seja g(z) uma função harmônica não negativa definida num disco de raio R, R > 0 centrado na origem. Mostre que para 0 < r < R e |z| < r tem-se que

\frac{r − |z|}{r + |z|} · g(0) ⩽ g(z) ⩽ \frac{r + |z|}{r − |z|} · g(0)

d) (Princípio de Harnack) Aplique a desigualdade de Harnack para demonstrar o princípio de Harnack: Seja u_{1} ⩽ u_{2} ⩽ ⋯ uma seqüência crescente de funções harmônicas definidas num domínio Ω. Mostre que ou bem u_{n} → ∞ (n → ∞) uniformemente em compactos, ou bem existe uma função harmônica u em Ω tal que u_{n} → u (n → ∞) uniformemente em compactos de Ω.

e) Uma função real contínua f num aberto U ⊂ ℂ é chamada de subharmônica se satisfaz a desiguladade da média, i. e se o fecho de um disco de raio R e centro p está inteiramente contido em U, então

f(p) ⩽ \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}f(p + e^{it}) dt

Nota: Uma função f de classe C^{2} é sub-harmônica, sse △f ⩾ 0.

i) Mostre que se g : U → ℂ é harmônica, então f := |g| é sub-harmônica. Será |g| harmônica ?

ii) Mostre que se f : U → IR é harmônica e se φ : IR → IR é uma função não decrescente e convexa então φ ∘ f é sub-harmônica. Sugestão : Aplique a desigualdade de Jensen (veja Rudin, ref. 20). Conclua que e^{f} é subharmônica e f^{2} é sub-harmônica de f é não negativa em U.

iii) Mostre que se f é holomorfa em U e p > 0 então |f|^{p} é sub-harmônica. Agora suponha que f seja harmônica. Mostre que |f|^{p} é sub-harmônica quando p ⩾ 1.

17) Seja f(z) = ∑_{0}^{∞} a_{n}z^{n} uma série cujo raio de convergência é 1. Suponha que

|f(z)|(1 − |z|) ⩽ 1 para todo z tal que |z| < 1. Mostre que para todo inteiro positivo tem-se que

|a_{n}| ⩽ (1 + \frac{1}{n})^{n} (n + 1) < e(n + 1)

18) Seja D a bola unitária aberta de raio 1 centrada na origem. Sejam f(z) = ∑_{0}^{∞} a_{n}z^{n} e g(z) = ∑_{0}^{∞} b_{n}z^{n} duas funções holomorfas definidas em D, satisfazendo f(0) = g(0) = 0.

a) Mostre que as séries

F (z) = ∑_{0}^{∞} a_{n}g(z^{n}) G(z) = ∑_{0}^{∞} b_{n}f(z^{n})

são normalmente convergentes em qualquer subconjunto compacto de D. Estaleleça o desenvolvimento de F e G na origem e conclua que F (z) = G(z) para todo z ∈ D.

b) Seja log a determinação principal do logaritmo. Estabeleça que

∑_{1}^{∞} log(1+z^{n}) = ∑_{1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} \frac{z^{n}}{1 − z^{n}} , ∑_{1}^{∞}(−1)^{n−1} \frac{z^{n}}{1 − z^{n}} = ∑_{1}^{∞} \frac{z^{n}}{1 + z^{n}}

19) Mostre que I(z) = ∫_{|ζ−z_{0}|=R} \frac{1}{ζ − z} dζ satisfaz

\frac{∂I}{∂\overline{z}} (z) = \frac{∂I}{∂z} (z) = 0

concluindo que I(z) não depende de z e que I(z) = 2πi.

20) Seja f uma função contínua no círculo S^{1} = {|z| = 1}. Defina

F (z) = \{ \begin{matrix}f(z) & se |z| = 1, \\ \frac{1}{2πi} ∫_{|z|=1} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ & se |z| < 1 \end{matrix}

Será F contínua em {|z| ⩽ 1} ?

21) Neste exercício você vai trabalhar com ramos de funções multivalentes e integração complexa.

a) Considere a função multivalente

f(z) = \frac{1}{\sqrt{z(z − 1)}}

i) Mostre que pode-se definir um ramo de f(z) no domínio ℂ \ [0, 1]. ii) Usando um resultado dado em sala de aula, calcule a integral

∫_{|z|=2} \frac{1}{\sqrt{z(z − 1)}} dz

b) Idem para f(z) = \frac{1}{\sqrt{21z^{2} − 10z + 1}}, e o contorno |z| = 1.

Para atingir o rigor matemático você precisará aplicar a fórmula de Newton -Abel, convenientemente. No mesmo espírito, calcule

∫_{|z|=R} \frac{z}{\sqrt{(z − a)(z − b)}} dz

para a, b ∈ ℂ e R suficientemente grande. 22)

a) Encontre os desenvolvimentos de Laurent e os resíduos das funções abaixo,

numa vizinhança perfurada de cada singularidade.

i) f(z) = \frac{1}{1 − cos z} .

ii) = \frac{2 + 3z}{1 − e^{z}} .

iii) \frac{z − 1}{z^{5} − 1}.

iv) \frac{e^{iaz}}{4 + z^{2}} .

v) (neste exemplo restrinja-se às singularidades contidas no semi-plano superior)

\frac{(log z − log 2 − \frac{iπ}{2} )^{2}}{4 + z^{2}}

onde o ramo do logaritmo está tomado retirando-se o semi-eixo imaginário negativo, com o argumento variando entre −π/2 e 3π/2.

vi) (neste exemplo restrinja-se às singularidades contidas no semi-plano superior)

\frac{log z − log 2 − iπ/2}{(z^{2} + 4)^{2}}

onde tomamos o mesmo ramo do exemplo anterior.

b) Para cada um dos exemplos dado nos itens i) a vi) do item a) acima,

calcule

∫_{γ} \frac{f(z)}{z^{2003}} dz

onde γ é uma curva simples fechada positivamente orientada, em torno de uma singularidade de f(z), sem passar por uma singularidade de f(z), com γ bordando um domínio Ω, de maneira que \overline{Ω} contém apenas uma única singularidade de f(z).

23) Considere a função

f(z) = \frac{1}{1 − z} e^{1/z}

a) Obtenha o desenvolvimento de Laurent de f(z) no anel |z| > 1.

b) Obtenha o desenvolvimento de Laurent de f(z) no anel 0 < |z| < 1. Calcule o resíduo, e em seguida avalie a integral

∫_{|z|=1/2} \frac{f(z)}{z^{2003}} dz

24) Escreva o desenvolvimento de Laurent de

f(z) = e^{1/(z−1)}

para |z| > 1. Em seguida calcule

∫_{|z|=11^{10^{10}}} \frac{e^{1/(z−1)}}{z^{11}} dz

Idem para

∫_{|z|=11^{10^{10}}} e^{1/(z−1)} z^{9} dz

25) Escreva o desenvolvimento de Laurent de

f(z) = (log \frac{z}{z − 1})^{2}

para |z| > 1. Em seguida calcule

∫_{|z|=2} (log \frac{z}{z − 1})^{2} dz

PARTE B: FÓRMULA DE CAUCHY LOCAL - CONSEQÜÊNCIAS

1) Verifique (ou obtenha) os desenvolvimentos de Taylor das funções abaixo , justificando a convergência ( raio e disco de convergência) em cada caso. Discuta convergência normal.

a) (1 + z)^{α} = ∑_{n⩾0} \binom{α}{n}z^{n}, |z| < 1 ( esta é a chamada série binomial ),

onde \binom{α}{0} = 1 e \binom{α}{n} = \frac{α(α − 1) ⋯ (α − n + 1)}{n!}. Obtenha os desenvolvimentos, em particular, para α = −1, ±1/2, ζ = −z.

b) Seja f(z) = 1/z(z − 1), z ∈ ℂ \ {0, 1}. Obtenha o desenvolvimento de f(z) em z = 2, como segue

f(z) = − \frac{1}{z} + \frac{1}{z − 1} = −\frac{1}{2}(1 + \frac{z − 2}{2})^{−1} + (1 + (z − 2))
= − \frac{1}{2}\{1 − \frac{z − 2}{2} + (\frac{z − 2}{2})^{2} − ⋯\} + \{1 − (z − 2) + (z − 2)^{2} − ⋯\}
=\frac{1}{2} + (\frac{1}{4} − 1) (z − 2) + ⋯ + (−\frac{1}{2} · \frac{(−1)^{n}}{2^{n}} + (−1)^{n})(z − 2)^{n} + ⋯
= ∑_{n⩾0}(−1)^{n} (1 − \frac{1}{2^{n+1}} ) (z − 2)^{n}
.

Qual é o raio de convergência da série acima ? Discuta isto!

10 PROFESSOR RICARDO SÁ EARP

c) \frac{1}{(1 − z)^{2}} = ∑_{n=0}^{∞}(n + 1)z^{n},  |z| < 1.

d) (1 − z)^{m−1} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(n + 1) ⋯ (n + m)}{m!}z^{n}, |z| < 1, m ∈ IN.

e) sin (αz) = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{α^{2n+1}}{(2n + 1)!}z^{2n+1}, z ∈ ℂ.

f) cos z^{1/2} = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{z^{n}}{(2n)!}, z ∈ ℂ.

g) \frac{1}{z^{2} + 1} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n} sin(n + 1)\frac{π}{4}}{(\sqrt{2})^{n+1}} (z − 1)^{n}, |z − 1| < \sqrt{2}.

h) \frac{1}{1 − 2z cos θ + z^{2}} = ∑_{0}^{∞} \frac{e^{(n+1)iθ} − e^{−(n+1)iθ}}{e^{iθ} − e^{−iθ}} z^{n}, |z| < 1

i) Exiba as séries abaixo escrevendo uma expressão numa “forma fechada”

(s ∈ IR)

∑_{n⩾0} z^{n} cos ns

∑_{n⩾0} z^{n} sin ns

j) Exiba o desenvolvimento de Taylor na origem das funções f(z) abaixo,

determinando o raio de convergência das respectivas séries f(z) = ln(1 + z + z^{2} + z^{3} + z^{4})

f(z) = ln(1 + 2z + 2z^{2} + 2z^{3} + z^{4})

k) Escreva a série abaixo como soma de duas funções elementares (“closed

form”)

∑_{0}^{∞} \frac{z^{4n}}{(4n)!}

i) Para cada função f(z) dada nos itens de a) a k) acima calcule

∫_{|z|=1/2} \frac{f(z)}{z^{n}} dz

2) Lema de Schwarz Seja f(z) uma função holomorfa no disco |z| < 1. Supon-

hamos que

f(0) = 0, |f(z)| < 1 para |z| < 1.

Mostre que i) |f(z)| ⩽ |z| para |z| < 1. ii) Se vale a igualdade |f(z_{0})| = |z_{0}|, para algum z_{0} ≠ 0, então f(z) =

λz, ∀z, |z| < 1 e |λ| = 1. O que você pode dizer sobre a derivada de f(z) em z = 0?.

a) Mostre que uma equivalência conforme do disco aberto unitário D sobre si mesmo que deixa fixa a origem é uma rotação . Quais destas transformações satisfaz f(a) = 0, para |a| < 1? Mostre que o conjunto de todas as equivalências conformes de D é igual ao conjunto de todas as aplicações de Möbius que preservam D. O quê são estas ( veja exercício 2) c), Lista 3) ?

b) Mostre que o conjunto de todas as equivalências conforme do semi-plano superior aberto H = {Im z > 0} que deixa fixo o ponto i é dado pela família a 1-parâmetro

z ⟶ \frac{z + tan \frac{θ}{2}}{1 − z tan \frac{θ}{2}}

que dependem do parâmetro real θ. Este é na linguagem da teoria dos grupos o sub-grupo de isotropia do ponto z = i do grupo das transformações de Möbius que preservam H.

c) Problemas de extremo: Sejam a e b números complexos tais que |a| < 1 e |b| < 1. Quão grande |f′(a)| pode ser se f está sujeita às condições f(z) é holomorfa, ∥f∥_{∞} ⩽ 1 e f(a) = b? Resp :|f′(a)| ⩽ \frac{1 − |b|^{2}}{1 − |a|^{2}} . Quando é que vale a igualdade ?

Suponha também que f (\frac{1}{2}) = 0. Maximize |f (\frac{3}{4})| . Para quais funções

f o máximo é atingido ? Resp :\frac{2}{5}. Agora dentre todas as funções holomorfas e

limitadas por 1 no disco unitário aberto D, mostre que max |f′ (\frac{1}{3})| é assumido

quando f (\frac{1}{3}) = 0. Para que funções este máximo é assumido?

3) Seja A um conjunto aberto em ℂ e seja γ uma curva seccionalmente C^{1} em ℂ. Suponha que φ : [γ] × A → ℂ é contínua e defina g : A → ℂ por

g(z) = ∫_{γ} φ(z, w)dw.

Mostre que

a) g é contínua.

b) Se \frac{∂φ}{∂z} existe para cada (w, z) ∈ [γ] × A e é contínua, então g é analítica

e

g′(z) = ∫_{γ} \frac{∂φ}{∂z}dw

c) Suponha que φ é contínua em [γ]. Use o exercício anterior para mostrar

que

g(z) = ∫_{γ} \frac{φ(w)}{w − z} dw

é analítica em ℂ \ [γ] e que

g^{(n)}(z) = n! ∫_{γ} \frac{φ(w)}{(w − z)^{n+1}} dw

4) Seja

f(z) = ∑_{n=0}^{∞} c_{n}(z − a)^{n}

uma série de raio de convergência R > 0. Mostre a identidade de Parseval: Se 0 < r < R então

∑_{n=0}^{∞} |c_{n}|^{2}r^{2n} = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} |f(a + re^{iθ})|^{2}dθ

Demonstre o teorema de Liouville, o princípio do máximo e as estimativas de Cauchy, via a identidade de Parseval. Demonstre o teorema fundamental da álgebra aplicando o princípio do máximo.

5) A idéia inicial é demonstrar o Teorema de Weierstrass refinado. Suponha que f_{j} → f converge uniformemente em conjuntos compactos de Ω. Mostre que f(z) é holomorfa em Ω e que fj^{′} → f′ uniformemente em conjuntos compactos de Ω. O que você pode dizer quanto a convergência das outras derivadas ?

Agora suponha que Ω é limitado e suponha que f_{j}(z) seja uma seqüência de funções holomorfas em Ω e contínuas em \overline{Ω}. Assuma que f_{j} |_{∂Ω} converge uniformemente em ∂Ω. Mostre que a seqüência \{f_{n}\} converge uniformemente em \overline{Ω} à uma função limite f que é contínua em \overline{Ω} e holomorfa em Ω.

Sugestão: Aplique o teorema de Cauchy e o teorema de Morera. Em seguida aplique as estimativas de Cauchy (por quê f é contínua ?) Enuncie um resultado análogo para séries ∑_{n} f_{n} normalmente localmente convergentes.

6) Caracterizações das funções racionais

a) Seja f uma função inteira tal que para r > 0, α ∈ (0, 1) e para b ∈ IR^{+}, apropriados tem-se que

|f(z)| ⩽ a + b|z|^{α}, se |z| > r

Mostre que f é uma constante

b) Seja f uma função inteira tal que ℜf ⩾ 0. Mostre que f é uma função constante.

c) Seja f uma função inteira. Suponha que existe M ⩾ 0, α ⩾ 0, r ⩾ 0,

tais que

|f(z)| ⩽ M|z|^{α}, |z| > r

Mostre que f é um polinômio de grau N ⩽ α.

d) (Fazer após o estudo das singularidades isoladas de uma função holomorfa) Seja f uma função inteira; se lim_{|z|→∞} |f(z)| = L existe (finito ou infinito), mostre que f é um polinômio.

e) (Fazer após o estudo das singularidades isoladas de uma função holomorfa) Seja f uma função meromorfa em ℂ tendo um número finito de polos. Se lim_{|z|→∞} |f(z)| = L existe (finito ou infinito), então f(z) é uma função racional de z (isto é quociente de dois polinômios). Sugestão: Considerar os casos 0 < L ⩽ ∞ e L = 0, separadamente.

7) Seja f uma função inteira, verificar

f(z) − f(0) = \frac{z}{2πi} ∫_{γ_{R}} \frac{f(w)}{w(w − z)} dw se |z| < R

onde γ_{R}(t) = Re^{it}, 0 ⩽ t ⩽ 2π e R > 0. Deduzir que, para |z| < R,

|f(z) − f(0)| ⩽ \frac{|z|R}{2π(R − |z|)} \frac{1}{R} ∫_{0}^{2π} |f(Re^{it})| dt

Concluir que se

sup_{R>0} ∫_{0}^{2π} |f(Re^{it})| dt < ∞

então f é uma constante. ( Note que isto generaliza o teorema de Liouville; este raciocínio é devido a Cauchy e é anterior ao enunciado do teorema de Liouville).

8) Continuando o exercício precedente mostre que se f é uma função inteira e se

lim_{R→∞} \frac{1}{R} ∫_{0}^{2π} |f(Re^{it})| dt = 0

entâo f é uma constante. O mesmo se

lim sup_{R→∞} \frac{1}{R} ∫_{0}^{2π} |f(Re^{it})| dt < ∞

mostrar que f(z) é da forma a + bz, onde a, b são constantes complexas.

9) Seja f uma função inteira; se

I = ∫∫_{IR_{2}} |f(x + iy)|dxdy < ∞

mostrar que f ≡ 0, utilizando os seguintes raciocínios:

a) ∫∫_{IR_{2}} |f(x + iy)|dxdy = 2π ∫_{0}^{∞} r M_{1}(r)dr onde

M_{1}(r) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} |f(re^{it})|dt.

b) Se inf_{t} |re^{it} − z| ⩾ 1, |z| < r, r > 1 então obtém-se |f(z)| ⩽ r M_{1}(r),

escrevendo

f(z) = \frac{1}{2π} ∫_{γ_{r}} \frac{f(w)}{w − z} dw

onde γ_{r}(t) = re^{it}, 0 ⩽ t ⩽ 2π.

c) Do item b) deduzir que se lim inf_{r→∞} r M_{1}(r) = 0 então f ≡ 0.

d) Do item a) deduzir que lim_{r→∞} r M_{1}(r) = 0 se I < ∞.

10) Seja f uma função holomorfa definida num domínio Ω que contém o disco unitário fechado, isto é, {|z| ⩽ 1} ⊂ Ω. O que você pode dizer de f se f satisfaz: |f(z)| = 1, se |z| = 1? (Observação : Não darei sugestões neste exercício de propósito para você testar a sua força!).

11) Seja f(z) = z(z − 1)(z − 2). Mostre que o máximo de f em |z| ⩽ 1 é atingido no círculo |z| = 1 e vale 6.

12) Mostre que sup \{| sin z|; |ℜz| ⩽ π, | Im z| ⩽ π\} = \sqrt{1 + sinh^{2} π}. Em que pontos este máximo é atingido?

13) Seja f uma função holomorfa não constante definida em |z| < R; coloquemos M(r) = sup_{|z|=r} |f(z)| com 0 ⩽ r < R. Mostre que M : [0, R) → [0, ∞) é

estritamente crescente.

14) Seja f uma função holomorfa não constante definida que está para |z| > R (R ⩾ 0) tal que c = lim_{|z|→∞} |f(z)| existe; para r > R define-de M(r) como no exercício precedente. Mostre que

M(r) = sup_{|z|⩾r} |f(z)|

e M : [R, ∞) → [0, ∞) é estritamente decrescente.

15) Seja f um polinômio de grau n; seja M(r) como no exercıcio 13). Mostre que para 0 < r < s

\frac{M(r)}{r^{n}} ⩾ \frac{M(s)}{s^{n}}

sendo que a igualdade vale ⇔ f(z) é da forma a z^{n}. Sugestão: Aplique o exercício anterior na função g dada por g(z) = f(z)/z^{n}.

16) Seja f(z) = ∑_{n=0}^{∞} c_{n}z^{n}, |z| < R. Coloquemos u = ℜf, v = Im f. Mostre que para 0 < r < R, n = 1, 2, …

c_{n} = \frac{1}{πr^{n}} ∫_{0}^{2π}u(r e^{it})e^{−int} dt = \frac{i}{πr^{n}} ∫_{0}^{2π}v(r e^{it})e^{−int} dt.

Deduzir que se f é real sobre o círculo |z| = r, 0 < r < R, então f é uma constante real em |z| < R. Observação : Para ser lida após o princípio de reflexão de Schwarz. Tente dar outra demonstração mais elegante utilizando o princípio de reflexão de Schwarz, combinado com o teorema de Liouville ou o princípio do máximo!!

17) (Generalização do Teorema de Liouville.) Continuação do exercício anterior: Seja A(r) = sup_{|z|=r}{ℜf(z)}.

a) Estabeleça que

ℜc_{0} = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}u(r e^{it}) dt,

deduza do exercício anterior que para n = 1, 2, …, 0 < r < R, b)

|c_{n}|r^{n} + 2ℜc_{0} ⩽ \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π}\{|u(r e^{it})| + u(r e^{it})\} dt.

c) Conclua que para n = 1, 2, …, 0 < r < R,

|c_{n}|r^{n} ⩽ max{4A(r), 0} − 2ℜf(0).

d) Use o que foi feito antes para mostrar o seguinte: se f é uma função inteira e se A(r) < Mr^{α}, para r > R e M, α > 0 dados então f é um polinômio de grau n ⩽ α. Em particular, mostre que se A(r) é limitada superiormente então f é constante (Veja o ex. 6) ).

e) (Funções inteiras de ordem finita). Seja f(z) uma função inteira. Dizemos que f(z) tem ordem finita se existe R > 0 e algum inteiro positivo k tal que |f(z)| ⩽ e^{|z|^{k}}, ∀z satisfazendo |z| ⩾ R.

i) Mostre que se f(z) é uma função inteira sem zeros de ordem finita,

então

f(z) = e^{p(z)}

onde p(z) é um polinômio. ii) nas mesmas hipóteses acima, exceto que f(z) tem finitos zeros, mostre

que

f(z) = q(z) e^{p(z)}

onde q(z) e p(z) são polinômios. iii) Mostre que f(z) = e^{z} − \frac{z^{n}}{a} , n ∈ IN e a > e tem infinitos zeros em ℂ

mas não tem nenhum zero no disco unitário B_{1}(0). iv) Mostre que f(z) = e^{z} − az^{n}, n ∈ IN e a > e tem infinitos zeros em ℂ mas tem exatamente n zeros simples no disco unitário B_{1}(0). Sugestão: Para a última conclusão você vai precisar do teorema de Rouché.

v) Mostre que e^{az} −p(z), onde p(z) é um polinômio e a ∈ ℂ tem infinitos

zeros em ℂ.

18) Seja X um conjunto do plano complexo ℂ. Seja f_{n} uma seqüência de funções complexas definidas em X que converge uniformemente em X à uma função f : X → ℂ. Suponha que

inf_{X}{|f_{n}(x)|; n ∈ IN} > 0.

Mostre que a seqüência {1/f_{n}} converge uniformemente em X a 1/f.

19) Seja K um conjunto compacto de ℂ, seja {f_{n}} uma seqüência de funções complexas contínuas definidas em K que converge uniformemente em K à uma função contínua f : K → ℂ. Suponha que f_{n}(z) ≠ 0 e que f(z) ≠ 0, ∀z ∈ K, n ∈ IN. Mostre que inf{|f_{n}(z)|, n ∈ IN, z ∈ K} > 0. Agora com a ajuda do exercício anterior deduza que {1/f_{n}} converge uniformemente em K à 1/f.

20) Seja f uma função holomorfa na bola aberta B_{R}(0) de raio R. Suponha que f^{(n)}(z) ⟶ g(z) (n → ∞), uniformemente, localmente em z ∈ B_{R}(0). Mostre com todos os detalhes, refazendo todos os teoremas necessários para o estabelecimento do fato que g(z) = c e^{z}, onde c é uma contante.

21) Seja

f(z) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{c_{n}}{n!} z^{n}, |z| < R.

Suponha que a série f(0)+f′(0)+⋯ converge. Mostre com todos os detalhes, refazendo todos os teoremas envolvidos que

a) A função f é uma função inteira (isto é, analítica em todo o plano complexo). b) A série ∑_{n⩾0} f^{(n)}(z) converge uniformemente, localmente em ℂ.

c) Seja g(z) = ∑_{n⩾0} f^{(n)}(z), z ∈ ℂ. Mostre que g′(z) = g(z)−f(z), z ∈ ℂ. Conclua que g(z) = e^{z}(g(0) − φ(z)), z ∈ ℂ, onde φ é uma primitiva em ℂ da função z ↦ e^{−z}f(z), tal que φ(0) = 0. Justifique rigorosamente todos os passos do seu raciocínio, inclusive a existência de tal primitiva em todo o plano complexo.

22) Seja s = σ + it, σ = ℜs, t = Im s. Demonstre que a série ∑_{n⩾1} n^{−s}, converge no semi-plano σ ⩾ σ_{0}, para cada σ_{0} > 1. Conclua que a função ζ(s) = ∑_{n⩾1} n^{−s} define uma função holomorfa (função zeta de Riemann) no semi-plano aberto σ > 1. O que você pode dizer das séries de Dirichlet

∑_{n⩾1} a_{n} n^{−s}, (a_{n} ∈ ℂ, n ⩾ 1, s ∈ ℂ)?

23) Seja U um aberto de ℂ e seja K um subconjunto compacto de U. Mostre que existe uma constante C dependendo apenas de K e de U tal que se f é uma função holomorfa em U, então

sup_{K} |f| ⩽ C · (∫_{U} |f(x, y)|^{2} dx dy)^{1/2}

Sugestão : Use Parseval.

24) (Estimativas de Cauchy para derivadas em conjuntos compactos) Seja Ω um domínio de ℂ, K ⊂ Ω um compacto contido em Ω, e K̃ uma vizinhança compacta de K em Ω. Mostre que para todo k ∈ IN existe uma constante positiva M_{k}, dependendo apenas de Ω, K, K̃ tal que

sup_{K} |f^{(k)}(z)| ⩽ M_{k} sup_{K̃} |f(z)|, ∀f holomorfa em Ω

25) Considere U um aberto do plano complexo. Fixe um ponto p ∈ U. Seja F uma família de funções holomorfas definidas em U cujas imagens estão contidas no disco unitário D, levando p em 0. Mostre que existe uma seqüência {f_{n}}, f_{n} ∈ F que convergem uniformente em compactos de U à uma função holomorfa g : U → D satisfazendo

|g′(p)| ⩾ |f′(p)|

para toda f ∈ F. Sugestão : Aplique a estimativa de Cauchy, o teorema de Montel e o princípio do máximo.

26) O seguinte problema para equações diferenciais ordinárias holomorfas de primeira ordem é fundamental Considere f(z, w) uma função holomorfa nas variáveis z, w, para z numa vizin-

hança de a e w numa vizinhança de b. Considere o seguinte problema com condição inicial

\{ \begin{matrix}\frac{dw}{dz} & = f(z, w) \\ w(a) & = b \end{matrix}  (∗)

O seguinte resultado é fundamental: O problema acima (∗) possui uma e apenas uma solução.

O mesmo resultado vale para equações diferenciais ordinárias holomorfas de ordem superior:

\{ \begin{matrix}\frac{d^{n} w}{dz^{n}} & = f(z, w, w′, …, w^{(n−1)}) \\ w(a) & = b \\ w′(a) & = b_{1} \\ w′′(a) & = b_{2} \\ ⋯ \\ w^{(n−1)}(a) & = b_{n−1} \end{matrix}  (∗∗)

Quando a equação é linear um pouco mais pode ser dito: Considere

w′′ + p(z)w′ + q(z)w = 0 (∗∗)

onde p(z) e q(z) são holomorfas para |z − a| < R, R > 0. Segue então que a solução geral de (∗∗) é combinação linear de duas soluções linearmente independentes holomorfas para |z − a| < R. Veja refs. 1), 3), 5) e 8).

a) Considere a equação diferencial abaixo

w′(z) + 2zw(z) = z^{2}  (∗)

i) Mostre que toda solução de (∗) é inteira e que sempre existe tal solução.

ii) Seja w(z) = ∑ a_{n}z^{n}, uma solução de (∗). Mostre que os coeficientes a_{n} satisfazem uma equação de diferenças linear de segunda ordem, usualmente chamada de relação de recorrência. Resolva esta equação calculando os coeficientes. Determine a solução geral da equação.

b) Considere a equação diferencial

\{ \begin{matrix}w′(z) & = \frac{z^{2}}{w} − 1 \\ w(0) & = 0 \end{matrix}  (∗)

i) Assuma que existe uma solução de (∗) da forma

w(z) = −z + a_{2}z^{2} + ⋯

numa vizinhança de 0. Mostre que a_{2} = −1/2, a_{3} = 1/6 e que os coeficientes a_{n} satisfazem a seguinte relação de recorrência para n ⩾ 4 :

−na_{n} + ∑_{k=1}^{n−2}(k + 1) a_{n−k}a_{k+1} = 0

c) Considere a equação diferencial

\{ \begin{matrix}(z^{2} − 2z − 3)\frac{d^{2} w}{dz^{2}} + 3(z − 1)\frac{dw}{dz} + w = & 0 \\ w(1) = 4 \\ w′(1) = 1 \end{matrix}  (∗)

i) Dê uma argumento, sem fazer conta, que (∗) possui uma solução que é dada por uma série de potências f(z) = ∑ a_{n}(z − 1)^{n}, de raio de convergência R igual a 2.

ii) Encontre a equação de diferenças satisfeita pelos coeficientes a_{n},

referidos no item i). iii) Encontre uma fórmula para os coeficientes a_{n} em função de n. iv) Fazendo obrigatoriamente dois cálculos distintos, calcule de duas

maneiras distintas explicitamente o raio de convergência da série.

v) Calcule f^{(2003)}(1). vi) Calcule a integral

∫_{|ζ−1|=1} \frac{f(ζ)}{(ζ − 1)^{2004}} dζ

vii) Encontre a solução da equação diferencial

\{ \begin{matrix}(z^{2} − 2z − 3)\frac{d^{2} w}{dz^{2}} + 3(z − 1)\frac{dw}{dz} + w & = 1 + z + z^{2} \\ w(1) = 4 \\ w′(1) = 1 \end{matrix}

27) (Equações singulares regulares de segunda ordem) Vamos fazer uma incursão na teoria das equações diferenciais complexas li-

neares de segunda ordem singulares regulares. Vamos considerar uma equação da forma

w′′(z) + a(z)w′(z) + b(z)w(z) = 0  (∗)

onde a(z), b(z) são funções holomorfas num disco perfurado 0 < |z−z_{0}| < r. Se pelo menos uma das funções a(z), b(z), não é holomorfa numa vizinhança de z_{0}, dizemos que z_{0} é um ponto singular de (∗). Caso contrário, dizemos que z_{0} é um ponto regular. Neste caso, o teoria geral de sistemas holomorfos pode ser aplicada para garantir a existência de duas soluções holomorfas linearmente independentes w_{1}(z) e w_{2}(z) que geram o espaço de soluções de (∗). Uma demonstração usando a teoria de séries majorantes pode ser encontrada na ref. 11). Vamos nos interessar doravante no caso singular. Caso z_{0} não seja um ponto regular e a(z) tenha no máximo um pólo de primeira ordem (em z_{0}) e b(z) tenha no máximo um pólo de segunda ordem, dizemos que z_{0} é um ponto singular regular. Um ponto singular que não é um ponto singular regular é chamado de ponto irregular. A definição para z = ∞ é feita de maneira análoga fazendo a substituição ζ = \frac{1}{z}. Com efeito: O resultado desta mudança de variáveis é a seguinte equação

\frac{d^{2} v(ζ)}{dζ^{2}} + \frac{dv(ζ)}{dζ} (\frac{2}{ζ} − \frac{1}{ζ^{2}} a (\frac{1}{ζ})) + \frac{1}{ζ^{4}} b (\frac{1}{ζ}) v(ζ) = 0  (∗∗)

onde v(ζ) := w(1/z). O ponto z = ∞ é chamado de regular ou singular regular consoante que o ponto ζ = 0 é um ponto regular ou singular regular para a equação (∗∗).

a) Sejam a(z) e b(z) funções holomorfas para |z| > r. Mostre que o ponto z = ∞ é um ponto singular regular de (∗), se e somente se a(z) tem um zero e b(z) tem um zero múltiplo em z = ∞ (ou equivalentemente, za(z) e z^{2}a(z) tem limites finitos em z = ∞). Em particular, conclua que o ponto é regular, se e somente se o coeficiente a_{−1} da série de Laurent de a(z) em |z| > r é a_{−1} = 2, e os coeficientes b_{−2}, b_{−3} da série de Laurent de b(z) são nulos.

Suponha que z = 0 é um ponto singular da equação (∗) e considere os desenvolvimentos de Laurent em z = 0

a(z) = \frac{1}{z} ∑_{0}^{∞} a_{k}z^{k},  b(z) = \frac{1}{z^{2}} ∑_{0}^{∞} b_{k}z^{k},  0 < |z| < ϵ

Considere a chamada equação indicial

ρ(ρ − 1) + a_{0}ρ + b_{0} = 0  (I)

b) Sabendo que z = 0 é uma singularidade regular da equação (∗) mostre que sempre existe uma solução u(z) de (∗) da forma (método de Frobenius)

u(z) = z^{r} (1 + ∑_{n=1}^{∞} α_{n}(r)z^{n})

onde r é uma raíz da equação indicial (I), e os coeficientes α_{n}(r) são obtidos por uma certa relação de recorrência que você deve explicitar; sendo a série a esquerda da igualdade acima convergente numa vizinhança da origem. Sejam r_{1} e r_{2} as raízes da equação indicial, com ℜr_{1} ⩾ ℜr_{2}.

c) Mostre que quando r_{1} − r_{2} não é um inteiro podemos encontrar uma soluções u_{1}(z) e u_{2}(z) linearmente independentes de (∗) pelo método do item b).

d) Mostre que quando as raízes da equação indicial são iguais a r = r_{1}, obtemos uma segunda solução v(z) independente da solução u(z) encontrada no item b) pela fórmula

v(z) = u(z) log z + z^{r_{1}} (∑_{n=1}^{∞} \frac{dα_{n}(r_{1})}{dr}z^{n})

onde os coeficientes α_{n} são obtidos no item b) e a série a esquerda da igualdade converge numa vizinhança da origem. Sugestão : Olhe como é feita a demonstração da obtenção das soluções fun-

damentais da Equação de Euler : z^{2}w′′ + azw′ + bw = 0, a, b ∈ ℂ, no caso que as raízes são iguais.

e) Considere o caso que r_{1} − r_{2} = N > 0, é um inteiro. Mostre que uma segunda solução v(z) independente de u(z) pode ser obtida pela fórmula

v(z) = cu(z) log z + z^{r_{2}} ∑_{n=0}^{∞} \frac{d}{dr} ((r − r_{2})α_{n}(r)) |_{r=r_{2}}z^{n}

onde c = lim_{r→r_{2}}(r − r_{2})a_{N}(r).

e) Considere a equação de Bessel de ordem α

z^{2}w′′(z) + zw′(z) + (z^{2} − α^{2})w(z) = 0

onde α ∈ ℂ é uma constante com ℜα ⩾ 0.

i) Mostre que z = 0 é um ponto singular regular e z = ∞ é um ponto irregular para a equação de Bessel.

ii) Mostre que as raízes da equação indicial são ρ = α e ρ = −α.

Considere as funções de Bessel

J_{α}(z) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n!Γ(n + α + 1)} (\frac{z}{2})^{2n+α}

onde Γ é a função Gamma. Para α ≠ −1, −2, …, são chamadas funções de Bessel de primeiro tipo e índice n (quando α = n ∈ IN).

Considere as funções de Bessel

Y_{n}(z) = −\frac{2}{π} log \frac{z}{2}J_{n}(z)−\frac{1}{π} ∑_{m=0}^{n−1} \frac{(−1)^{m} (n − 1)!}{m! (1 − n) ⋯ (1 − n + m − 1)} (\frac{z}{2})^{2m−n}

para n = 0, 1, 2, …, são chamadas de funções de Bessel de segundo tipo e índice n .

iii) Mostre que quando α não é um inteiro tem-se que J_{α}(z) e J_{−α}(z)

são soluções linearmente independentes da equação de Bessel. iv) Mostre que quando α = n ∈ IN, um par de soluções independentes é

dado por J_{n}(z) e Y_{n}(z). iv) Encontre as soluções explícitas da equação de Bessel de ordem zero,

mostrando que J_{0}(z) é inteira e estude o comportamento da solução geral quando z → 0.

v) Estude a equação de Bessel de ordem meio e mostre explícitamente que a segunda solução não possui termo logarítmico embora a diferença das raízes seja um inteiro.

vi) Encontre as soluções explícitas da equação de Bessel de ordem um, mostrando que J_{1}(z) é inteira e estude o comportamento da solução geral quando z → 0.

vii) Exercício-pesquisa: Mostre que as funções de Bessel J_{n}(z) tem um número infinito de zeros na semi-reta real positiva. Mostre também que as funções de Bessel Y_{n}(z) são ilimitadas na origem.

Dizemos que a equação (∗) é Fuchsiana, se esta possui um número finito de singularidades em ℂ ∪ {∞}, sendo todas as singularidades regulares.

e) Considere a equação de Legendre

(z^{2} − 1)w′′(z) + 2zw′(z) − α(α + 1)w(z) = 0, α ∈ ℂ

i) Mostre que a equação de Legendre é Fuchsiana. ii) Mostre que quando α = n ∈ IN, existe um polinômio P_{n}(z) que é

solução da equação de Legendre. Mostre que P_{n}(1) = 1, P_{n}(−z) = (−1)^{n}P_{n}(z). Além disso, mostre a fórmula de Rodrigues

P_{n}(z) = \frac{1}{n!2^{n}} \frac{d^{n}}{d z^{n}} (z^{2} − 1)^{n}

calculando P_{0}(z), P_{1}(z), P_{2}(z), P_{3}(z).

f) Estude a série hipergeométrica

z(1 − z)w′′(z) + (γ − (α + β + 1)z) w′(z) − αβw(z) = 0 Nota: A teoria das equações singulares regulares de segunda ordem, aparece em várias áreas da Matemática Pura e Aplicada:

- Teoria das Transformações Conformes. A série hipergeométrica aparece na construção de uma transformação conforme explícita do disco unitário aberto |z| < 1 sobre o interior de um triângulo geodésico △ no disco hiperbólico.

- Na Análise Harmônica ( análise de Fourier, séries de Fourier-Bessel, problemas de Sturm-Liouville singular).

- na Física Matemática e Mecânica (eq. da membrana oscilante, temperatura de um cilindro longo).

- Equações Diferenciais Parciais (problemas de Dirichlet em regiões esféricas)

- Teoria das superfícies de curvatura média 1 no espaço hiperbólico

(que são “primas ” das mínimas de IR^{3}).

g) Faça o exercício 4) da parte C da lista 2.

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