VCOMPLEXAS- MAIO de 2003–Lista 6

prof: Ricardo Sá Earp

PARTE A: CÁLCULO DE INTEGRAIS VIA RESÍDUOS

1) Verificar

∫_{0}^{2π} \frac{dx}{a + b sin x} = \frac{2π}{\sqrt{a^{2} − b^{2}}} , a > b > 0

Fazendo a substituição t = tan (x/2) encontre uma primitiva F (x) para f(x) = \frac{1}{a + b sin x}, x ∈ IR. Resp.

F (x) = \frac{2}{\sqrt{a^{2} − b^{2}}} arctan (\frac{a tan (x/2) + b}{\sqrt{a^{2} − b^{2}}}) , −π < x < π,

com

F (π) = \frac{π}{\sqrt{a^{2} − b^{2}}} ,  f(−π) = \frac{−π}{\sqrt{a^{2} − b^{2}}} ,  F (x + 2π) = f(x), x ∈ IR

2) Calcule

∫_{0}^{∞} \frac{x^{a−1}}{1 + x} dx = \frac{π}{sin aπ} , 0 < a < 1

considerando a função f(z) = e^{az} / (1 + e^{z}) e o o laço retangular formado pelos segmentos [R, R + 2πi], [R + 2πi, −R + 2πi], [−R + 2πi, −R] e [−R, R]. Sugestão: Faça a transformação x = e^{t} transformando a integral acima em ∫_{−∞}^{∞} f(t) dt. Você saberia calcular usando um outro contorno ? Nota: Observemos que

Γ(a)Γ(1 − a) = \frac{π}{sin πa}

onde Γ(z) é a função Gamma.

3) Verificar

∫_{0}^{π} \frac{dx}{α + cos x} = \frac{π}{\sqrt{α^{2} − 1}}, α > 1

4)

∫_{0}^{2π} \frac{cos^{2} x}{α + cos x} dx = 2απ (\frac{α}{\sqrt{α^{2} − 1}} − 1) , α > 1

5) Verificar

∫_{−∞}^{∞} \frac{x^{2}}{(x^{2} + 1)^{2}} dx = \frac{π}{2}

6) Verificar

∫_{−∞}^{∞} \frac{x^{2}}{(x^{2} + a^{2})(x^{2} + b^{2})} dx = \frac{π}{a + b}, a > b > 0

7) Verificar

∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{(a + bx^{2})^{n}} = \{ \begin{matrix}2π (\frac{a}{b})^{1/2} (2a)^{−n} \frac{1 · 3 ⋯ (2n − 3)}{(n − 1)!} & se n = 2, 3, … \\ \frac{π}{\sqrt{ab}} & se n = 1 \end{matrix}

com a > 0 e b > 0 .

8) Verificar

∫_{−∞}^{∞} \frac{(x + 1) sin 2x}{x^{2} + 2x + 2} dx = \frac{π cos 2}{e^{2}}

9) Verificar

∫_{0}^{∞} \frac{x sin x}{(x^{2} + 1)^{2}} dx = \frac{π}{4e}

10) Verificar

∫_{0}^{∞} \frac{cos ax}{(x^{2} + b^{2})^{2}} dx = \frac{πe^{−ab}(1 + ab)}{4b^{3}}, a > 0, b > 0

11) Estabeleça que a)

∫_{0}^{∞} \frac{x^{α}}{1 + x^{4}} dx = \frac{π/4}{sin ((α + 1)π/4)} − 1 < α < 3

Sugestão: Integre f(z) = z^{α}(1 + z^{4})^{−1} sobre γ_{1}γ_{2}γ_{3}γ_{4} onde γ_{1} é o segmento real [r, R] (0 < r < R), γ_{2} é o quarto de círculo (centrado em zero) de R à iR, γ_{3} é o segmento [iR, ir] e γ_{4} é o quarto de cırculo (centrado em zero) de ir à r (sendo z^{α} a determinação principal). Se I_{j} = ∫_{γ_{j}} f(z)dz, mostre que I_{2} → 0 quando R → ∞ e I_{4} → 0 quando r → 0. Além disto mostre que I_{3} = −i^{α+1}I_{1}. Deduza que

∫_{0}^{∞} \frac{x^{α}}{1 + x^{β}} dx = \frac{π/β}{sin ((α + 1)π/β)} β > 0, −1 < α < β − 1

fazendo a substituição y = x^{β/4}. Conclua que

∫_{0}^{∞} \frac{1}{1 + x^{n}} dx = \frac{π/n}{sin (π/n)} n = 2, 3, 4, …

b) Usando um novo contorno contido num setor de ângulo 2πγ/n apropriado, mostre novamente que

∫_{0}^{∞} \frac{1}{1 + x^{n}} dx = \frac{π/n}{sin (π/n)} n = 2, 3, 4, …

c) Fazendo uma ligeira variação do método do item b) acima, conclua que se n é um inteiro e se α é um número real tal que n > α + 1 > 0, então

∫_{0}^{∞} \frac{x^{α}}{1 + x^{n}} d x = \frac{π/n}{sin \frac{(α + 1)π}{n}}

d) Quando n = 2p é par use obrigatoriamente um contorno retangular no semi-plano superior para calcular

∫_{0}^{∞} \frac{x^{m}}{1 + x^{2p}} d x

12) Verificar por dois métodos distintos que que

I_{n} = ∫_{−π}^{π} \frac{cos nθ}{1 − 2a cos θ + a^{2}} dθ = \{ \begin{matrix}\frac{2πa^{n}}{1 − a^{2}} & se |a| < 1 \\ \frac{2πa^{−n}}{a^{2} − 1} & se |a| > 1 \end{matrix}

onde n = 0, 1, 2, …, a ∈ IR. Sugestão (método não clássico) : Observe que

1 − 2a cos θ + a^{2} = (a − e^{iθ})(a − e^{−iθ})

e que

I_{n} = ∫_{−π}^{π} \frac{e^{inθ}}{(a − e^{iθ})(a − e^{−iθ})} dθ = ∫_{γ} \frac{z^{n}}{(a − z)(a − z^{−1})} \frac{dz}{iz}

onde γ(θ) = e^{iθ}, −π ⩽ θ ⩽ π. Utilizar em seguida a fórmula de Cauchy.

13) Vamos considerar agora integrais do tipo

∫_{0}^{∞}R(x) ln x d x  (∗)

onde R(x) é uma função racional sem pólos sobre o semi-eixo real {IRz > 0}, satisfazendo lim_{x→∞} xR(x) = 0.

a) Mostre que a condição logo acima garante a convergência da integral (∗). A idéia é integrar a função R(z) (log z)^{2} , no contorno apropriado, obtendo pelo teorema dos resíduos

∫_{0}^{∞}R(x)(log(x))^{2} d x−∫_{0}^{∞}R(x) (log(x) + 2πi)^{2} d x = 2πi ∑ Res (R(z) (log z)^{2})

b) Dê uma demonstração rigorosa da equação logo acima. Mostre também que quando R(z) for real, isto é, quando z = x ∈ IR ⇒ R(x) é real, se

pode calcular simultaneamente as integrais ∫_{0}^{∞}R(x) d x, e ∫_{0}^{∞}R(x) ln x d x,

c) Calcule

∫_{0}^{∞} \frac{ln x}{(1 + x)^{4}} d x

d) Mostre que

∫_{0}^{∞} \frac{12 ln x}{x^{4} + x^{2} + 1} d x = −π^{2}

e) Mostre que

∫_{0}^{∞} \frac{16 ln x}{(x + 1)(x^{2} + 1)} d x = −π^{2}

14) Você pode ser inspirar nos exercícios acima para calcular as seguintes integrais a)

∫_{0}^{∞} \frac{2\sqrt{2} ln x}{\sqrt{x} (1 + x^{2})} d x = −π^{2}

b)

∫_{0}^{∞} \frac{−π\sqrt{2}}{\sqrt{x} (1 + x^{2})} d x = −π^{2}

15) Resuma o estudo de exercícios precedentes, verificando que

I = ∫_{0}^{∞} \frac{log x}{x^{λ}(1 + x)} dx = \frac{π^{2} cos λπ}{(sin λπ)^{2}} 0 < λ < 1

integrando f(z) = log z/ (z^{λ}(1 + z)) ao longo do contorno apropriado, com as seguintes determinações : se z = |z| e^{iθ}, 0 ⩽ θ < 2π,

log z = log |z| + iθ, z^{λ} = exp(λ log z)

Note que esta não é a determinação principal, mas dá para z = x > 0 o valor x^{a−1} = exp ((a − 1) log x) . Seja ln z a determinação principal do logaritmo:

i) Mostre que

(x + iε)^{a−1} = exp{(a − 1) ln(x + iε)}
(x − iε)^{a−1} = exp{(a − 1) ln(x + iε) + 2πi}

Conclua que

ii) lim_{{ε→0 \atop ε>0}}(x + iε)^{a−1} = x^{a−1}, lim_{{ε→0 \atop ε>0}}(x − iε)^{a−1} = x^{a−1} e^{2πai}. Mostre que a

convergência é uniforme em todo intervalo compacto [b, c], 0 < b < c.

16) Mostre que

∫_{0}^{∞} \frac{d x}{(bx^{4} + 2ax^{2} + 1)} = \frac{π}{2\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{a + \sqrt{b}}}

17) Mostre que a expansão de Taylor de h(z) = \sqrt{a + \sqrt{1 + z}}, para z numa vizinhança da origem é dada por

h(z) = \sqrt{1 + a} + \frac{1}{π\sqrt{2}} ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k−1}}{k} N(a; k − 1)z^{k}

onde N(a; k − 1) := ∫_{0}^{∞} \frac{d x}{(x^{4} + 2ax^{2} + 1)^{k}}

18)

a) Generalize certo procedimento usado acima para calcular

∫_{0}^{∞}x^{a−1}q(x) dx, 0 < ℜa < 1

onde q(x) é uma função racional que não tem pólos sobre o eixo real positivo, incluindo a origem; assumindo que o grau do denominador de q é maior que o grau do numerador. Você saberia de outro método para calcular tais integrais ?

19) Mostre que

∫_{0}^{∞}(\frac{sin x}{x})^{4} dx = π/3

Sugestão : Verifique a relação de Euler: sin^{4} x = sin(4x)/8 − 3 cos(2x)/16. Utilize um contorno no semi-plano superior delimitando um semi-anel. Tente obter o mesmo resultado, aplicando integração por partes e usando o resultado conhecido

∫_{0}^{∞} \frac{sin x}{x} dx = π/2

PARTE B: TRANSFORMADA DE LAPLACE

1) Calcule as transformadas de Laplace.

a)

L (\frac{2 cos(at) − 2 cos(bt)}{t}) , a, b ∈ IR

Conclua que

∫_{0}^{∞} \frac{2 cos(at) − 2 cos(bt)}{t} dt = 2 ln(b/a)

b) Utilizando o desenvolvimento em série, e justificando rigorosamente a troca de ordem do somatório e da integral, e usando a fórmula de duplicação da função Gamma para calcular Γ(n + 1/2), mostre que

L (\frac{cos(2\sqrt{at})}{\sqrt{πt}}) = e^{−a/s} s^{−1/2}, a ∈ IR

Deduza que

L (\frac{sin(2\sqrt{at})}{\sqrt{πa}}) = e^{−a/s} s^{−3/2}

c) Use a tabela das transformadas de Laplace “shift theorem”) para calcular a transformada da retificação de meia onda

f(t) = \{ \begin{matrix}sin(πt/a), & 2na ⩽ t < (2n + 1)a \\ 0, & (2n + 1)a ⩽ t < (2n + 2)a, n ⩾ 0 \end{matrix}

Resposta: L(f) = \frac{πa}{(a^{2}s^{2} + π)(1 − e^{−as})}·

d) Faça uma pesquisa e calcule as ttransformadas das seguintes funções i) Função de onda quadrada ii) Função unitária liga-desliga iii) Função de onda triangular iv) Função dente-de-serra

v) Função retificação de onda cheia de sin kt

2) Calcule as transformadas de Laplace inversas das funções F (s).

a)

L^{−1} (\frac{s}{s^{4} + 4s^{2} + 3}) = \frac{1}{2} cos t − \frac{1}{2} cos(\sqrt{3}t)

Calcule

L^{−1} (\frac{1}{s^{4} + 4s^{2} + 3})

Este último cálculo facilitaria o cálculo logo acima e vice-versa ? b)

L^{−1} (\frac{1}{s^{4} − 81}) = \frac{1}{54}(sinh(3t) − sin(3t))

3) Use a fórmula da transformada de Laplace inversa e técnicas de cálculo de integrais via resíduos para calcular as transformadas inversas das seguintes funções a)

L^{−1} (\frac{s^{2}}{(s^{2} + a^{2})^{2}} ) = \frac{t}{2} cos(at) + \frac{1}{2a} sin(at), a > 0

b)

L^{−1} (\frac{e^{−as}}{s} ) = u_{a}(t), a > 0

c)

L^{−1} (\frac{e^{−s}}{(s + 1)^{3}} ) = \frac{1}{2}u_{1}(t)(t − 1)^{2} e^{−(t−1)}

Confira os dois últimos cálculos com uma tabela qualquer de transformadas. d)

L^{−1} (\frac{e^{−as^{1/2}}}{s^{1/2}} ) = I(a)

onde I(a) satisfaz a equação diferencial I′(a) = \frac{−a}{2t}I(a), I(0) = \frac{1}{\sqrt{πt}}. Diferenciando com respeito a a, (e justificando por quê isto é permitido)

mostre que

L^{−1} (e^{−as^{1/2}}) = \frac{a}{2t\sqrt{tπ}} e^{−a^{2}/4t}

Da mesma forma calcule também

L^{−1} (\frac{e^{−as^{1/2}}}{s} ) = 1 − ∫_{0}^{a} \begin{matrix}e & −u^{2}/4t \\ √ & \overline{πt} \end{matrix} du = 1 − erf (\frac{a}{2\sqrt{t}}) = erfc(a/2\sqrt{t})

e) Usando o resultado sobre a transformada da convolução mostre que

L^{−1} (\frac{1}{s^{1/2}(s − a)}) = \begin{matrix}e & at \\ √ & \overline{a} \end{matrix}erf(\sqrt{at})

A partir daí calcule

i)

L^{−1} (\frac{1}{s^{1/2}(s^{1/2} + b)})

ii)

L^{−1} (\frac{1}{(s^{1/2} + b)})

iii)

L^{−1} (ln(s^{1/2} + a))

4) Vamos estudar neste exercício a equação de de Abel que aparece no estudo da importante equação de Carleman (veja ref.[16], Volume 2). Seja g(z) uma função holomorfa num aberto que contém {ℜz ⩾ 0}. Asssuma que g leva os reais positivos nos reais e que g(0) = 0. Seja α ∈ ℂ, 0 < ℜa < 1. Mostre com detalhes que a solução da equação

∫_{0}^{x} \frac{h(t)}{(x − t)^{α}} dt = g(x), x > 0

está dada por

h(x) = \frac{sin απ}{π} ∫_{0}^{x} \frac{g′(t)}{(x − t)^{1−α}} dt, x > 0

PARTE C: SUPLEMENTO DE RESÍDUOS

1) Suponha que uma função meromorfa f definida numa vizinhança V de um ponto a ∈ ℂ tenha em V um único pólo (a) de ordem n, ou seja f pode ser escrita como

f(z) = \frac{a_{n}}{(z − a)^{n}} + ⋯ + \frac{a_{1}}{z − a} + g(z)

onde a_{j} ∈ ℂ, j = 1, … n e g é holomorfa em V. Faça ζ = z − a e mostre que o resíduo de f em a é igual ao coeficiente de ζ^{n−1} da série de Taylor na origem da função holomorfa ζ^{n}f(a + ζ).

a Use o que foi feito acima para calcular os resíduos da função

f(z) = \frac{1}{(z^{n} − 1)^{2}}

Resp.: Res(f, a) = −\frac{(n − 1)a}{n^{2}}, onde a = e^{2ikπ/n}, k = 0 … n − 1.

b) Idem para f(z) = 3z + 2/ (1 − cos(z − a)) .

2) Nas condições do item 1) mostre que se b ∈ V, b ≠ a, então tem-se que

Res (\frac{f(z)}{z − b}, a) = − Σ_{1}^{n} \frac{a_{j}}{(b − a)^{j}}

Sugestão: Use a fórmula Res (\frac{g(z)}{(z − z_{0})^{k}} , z_{0}) = \frac{g^{(k−1)}(z_{0})}{(k − 1)!} onde g é holomorfa numa vizinhança de z_{0}.

3)

a) Seja f uma função holomorfa num domínio que contém a origem. Suponha que f(0) = f′(0) = ⋯ = f^{(k−1)}(0) = 0, f^{(k)}(0) ≠ 0. Mostre (novamente se você já demonstrou anteriormente) que para valores “pequenos”de w a equação f(z) = w tem exatamente k zeros dentro de uma “pequena”bola centrada na origem. Os zeros são distintos ? Denotando os zeros por z_{1}(w), …, z_{k}(w) mostre que a soma z_{1}(w) + ⋯ z_{k}(w) pode ser representada numa forma integral que é simples. Mostre o mesmo para qualquer soma de uma potência inteira positiva dos zeros.

b) Conclua do item anterior o seguinte resultado: Se f(z) é holomorfa no disco aberto |z| < R e vale que f(0) = f′(0) = ⋯ = f^{(k−1)}(0) = 0, f^{(k)}(0) ≠ 0, então para valores pequenos de |w| a equação f(z) = w tem k zeros z_{1}(w), …, z_{k}(w) que tendem a zero com w. Estes zeros também satisfazem uma equação algébrica de grau k

z^{k} + g_{1}(w)z^{k−1} + ⋯ + g^{k}(w) = 0

onde os coeficientes são funções holomorfas de w que tendem a zero com w.

4) Enuncie e demonstre o teorema das funções implícitas (F (z, w) = 0).

5) Sejam C_{1} = {|z| > 1} e C_{2} = {0 < |z| < 1}. Calcule os desenvolvimentos de Laurent tanto em C_{1} quanto em C_{2} da seguinte função :

f(z) = \frac{1}{1 − z} e^{\frac{1}{z}}

PARTE D: SUPLEMENTO DE FUNÇÕES MEROMORFAS

1) (Revisões de definições básicas)

a) Defina função meromorfa, convergência uniforme e convergência normal de uma série Σ f_{ν} de funções meromorfas.

b) Enuncie um teorema de convergência para séries de funções meromorfas.

Idem para as séries das derivadas.

2) Mostre que as quatro séries

∑_{1}^{∞} (\frac{1}{z + ν} − \frac{1}{ν} ) , ∑_{1}^{∞} (\frac{1}{z − ν} + \frac{1}{ν} )

∑_{0}^{∞} (\frac{1}{z + ν} )^{k} e ∑_{0}^{∞} (\frac{1}{z − ν} )^{k}

para k ⩾ 2 são normalmente convergentes em compactos de ℂ à funções mero-

morfas. Conclua que a série ∑_{1}^{∞} \frac{2z}{z^{2} − ν^{2}} é também normalmente convergente

em compactos de ℂ.

3) Considere a série

∑_{−∞<n<+∞} \frac{1}{(z − n)^{2}}

a) Mostre que a série converge normalmente em compactos do plano complexo.

b) Mostre que a função f(z) dada pela série é uma função meromorfa em ℂ com período 1.

c) Mostre que

f(z) = (\frac{π}{sin πz} )^{2}

Sugestão: Mostre que a função g(z) definida pelo lado direito da igualdade acima é meromorfa em ℂ, possui período 1, tem pólos duplos nos pontos z = n, n ∈ ℤ e g(z) tende a zero quando |y| → ∞, uniformemente com respeito a x.

d) Mostre que

(\frac{π}{sin πz} )^{2} − \frac{1}{z^{2}} = ∑_{n≠0} \frac{1}{(z − n)^{2}}

Conclua a relação de Euler i)

∑_{n⩾1} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6}

e) Mostre que

\frac{1}{z} + ∑_{n≠0} (\frac{1}{z − n} + \frac{1}{n}) = \frac{π}{tan πz}

Conclua i)

\frac{1}{z} + ∑_{n⩾1} \frac{2z}{z^{2} − n^{2}} = \frac{π}{tan πz}

PARTE E: PRODUTOS INFINITOS

Diz-se que um produto infinito

∏_{j=1}^{∞}(1 + a_{j})

é convergente se ∗) apenas um número finito a_{j_{1}}, …, a_{j_{k}} dos a′_{j}s são iguais a 1 ∗∗) se N_{0} > 0 é suficientemente grande tal que a_{j} ≠ 0 para j > N_{0}, então

lim_{n→∞} ∏_{j=N_{0}+1}^{N}(1 + a_{j})

existe e é não nulo.

Quando ∏_{j=1}^{∞}(1 + a_{j}) converge, fica definido o seu valor por

(∏_{j=1}^{N_{0}}(1 + a_{j})) · lim_{n→∞} ∏_{N_{0}+1}^{N}(1 + a_{j})·

Nota: Se ∏_{j=1}^{∞}(1 + a_{j}) converge, então é possível mostrar que lim_{{M→∞ \atop N→∞}} ∏_{j=N}^{M}(1 + a_{j}) existe e é igual a 1.

1) Mostre que se a_{j} ∈ ℂ, |a_{j}| < 1, então o produto parcial P_{N} para ∏_{j=1}^{∞}(1 + |a_{j}|)

satisfaz

exp(\frac{1}{2} ∑_{1}^{N} |a_{j}|) ⩽ P_{N} ⩽ exp(∑_{1}^{N} |a_{j}|)·

Sugestão : Use o fato que 1 + x ⩽ e^{x} ⩽ 1 + 2x, para 0 ⩽ x ⩽ 1. Conclua

a) Se ∑_{j=1}^{∞} |a_{j}| < ∞ então

∏_{j=1}^{∞}(1 + |a_{j}|)

converge.

b) Se ∏_{j=1}^{∞}(1 + |a_{j}|) converge, então

∑_{j=1}^{∞} |a_{j}|

converge. Nota Se ∏_{j=1}^{∞}(1 + |a_{j}|) converge, então ∏_{j=1}^{∞}(1 + a_{j}) converge.

Conseqüentemente, se ∑_{j=1}^{∞} |a_{j}| < ∞ então ∏_{j=1}^{∞}(1 + a_{j}) converge.

Nota: Vale o seguinte teorema: Seja U um aberto do plano complexo. Suponha que existam funções holomorfas f_{j} : U → ℂ tal que ∑_{j=1}^{∞} |f_{j}| converge uniforme-

mente em compactos de U. Então a seqüência de somas parciais

F_{N} = ∏_{j=1}^{N}(1 + f_{j}(z))

converge uniformemente em compactos. Em particular, o limite dos produtos parciais determinam uma função holomorfa F em U. A função F se anula num ponto z_{0} ∈ U, sse f_{j}(z_{0}) = −1 para algum j. A multiplicidade de um zero em z_{0} é iguala soma das multiplicidades dos zeros das funções 1 + f_{j} em z_{0}.

Os fators elementares de Weierstrass são definidos como segue

E_{0}(z) = 1 − z

e para p ⩾ 1, p ∈ IN seja

E_{p}(z) = (1 − z) exp(z + \frac{z^{2}}{2} + ⋯ + \frac{z^{p}}{p} )

c) Mostre que, se |z| ⩽ 1, então

|1 − E_{p}(z)| ⩽ |z|^{p+1}

Sugestão : Suponha que p ⩾ 1. Mostre que escrevendo, E_{p} = 1+ ∑_{n=1}^{∞} b_{n}z^{n}, tem-se que b_{1} = b_{2} = ⋯ b_{p} = 0 e b_{n} ⩽ 0 para n > p. Em seguida mostre

que ∑_{n=p+1}^{∞} |b_{n}| = 1.

d) Mostre o seguinte teorema: Seja {a_{j}} uma seqüência de números complexos não nulos sem ponto de acumulação em ℂ. Seja {p_{j}} inteiros positivos satisfazendo

∑_{n=1}^{∞}(\frac{r}{|a_{n}|})^{p_{n}+1} < ∞

para cada r > 0. Então o produto infinito

∏_{n=1}^{∞} E_{p_{n}}(\frac{z}{a_{n}} )

converge uniformemente em compactos de ℂ à uma função inteira F. Os zeros de F são precisamente os pontos a_{j}, contados com multiplicidades. Sugestão : Fixe r > 0. Use a estimativa anterior no disco fechado de raio r convenientemente.

Conclua: i) Seja {a_{n}} uma seqüência qualquer no plano complexo sem pontos

de acumulação em ℂ. Mostre que existe uma função inteira f cujos zeros são precisamente os pontos a_{j}, contados com multiplicidades.

ii) (Teorema de fatoração de Weierstrass) Seja f uma função inteira. Suponha que f se anula em 0 com ordem m, m ⩾ 0. Seja {a_{n}} a seqüência de zeros ( diferentes de 0) listadas com multiplicidades. Então existe uma função inteira g tal que

f(z) = z^{m} · e^{g(z)} ∏_{n=1}^{∞} E_{n−1}(\frac{z}{a_{n}} )·

Nota: O teorema demonstrado no item i) vale não tão somente para o plano complexo, mas também para qualquer aberto U ⊂ ℂ e qualquer seqüência {a_{n}} sem pontos de acumulação em U (Teorema de Weierstrass). Veja as refs 6, 18.

Use o teorema de Weiestrass mencionado logo acima para demonstrar o seguinte resultado

e) Seja U um aberto do plano complexo. Seja f(z) uma função meromorfa em U. Mostre que existem funções holomorfas h, g em U tal que

f(z) = \frac{h(z)}{g(z)}

Nota: Dado um aberto U ⊂_{≠} ℂ, existe um conjunto enumerável A em U tal que

(∗) A não tem acumulação em U. (∗∗) Cada ponto p ∈ ∂U é um ponto de acumulação de A . Use isto para demonstrar o seguinte:

f) Dado um aberto U do plano complexo, U ≠ ℂ existe uma função holomorfa em U tal que nenhum ponto p ∈ ∂U é um ponto regular de f, i. e dado p ∈ ∂U não existe uma vizinhança V_{p} de p e uma função holomorfa g definida em V_{p} coincidindo com f em U ∩ V_{p}. Dizemos que neste caso U é uma fronteira natural para f.

2) Verificar a convergência dos produtos infinitos abaixo, estabelecendo os valores dos respectivos produtos no caso de convergência.

a) ∏_{n=2}^{∞}(1 − \frac{1}{n^{2}} ) = \frac{1}{2}

b) ∏_{n=2}^{∞} \frac{n^{3} − 1}{n^{3} + 1} = \frac{2}{3}. Sugestão : Observe que

\frac{n^{3} − 1}{n^{3} + 1} = \frac{(n − 1)(n^{2} + n + 1)}{(n + 1)(n^{2} − n + 1)} e (n + 1)^{2} − (n + 1) + 1 = n^{2} + n + 1

c) ∏_{0}^{∞}(1 + z^{2^{n}}) = \frac{1}{1 − z} se |z| < 1. Sugestão Usar a identidade

(1 − z)(1 + z)(1 + z^{2}) ⋯ (1 + z^{2^{N}}) = 1 − z^{2^{N} +1}

d) Mostre que se ∑_{n=1}^{∞} |z_{n}|^{2} < ∞, z_{n} ∈ ℂ, n ⩾ 1, então ∏_{n=1}^{∞} cos z_{n} é conver-

gente. Sugestão : Mostre que | cos z − 1| ⩽ |z|^{2} para z suficientemente pequeno. Aplique este resultado para mostrar que

i) ∏_{n=1}^{∞} cos(\frac{z}{2^{n}} ) é convergente e igual à \frac{sin z}{z} , z ∈ ℂ. Sugestão : Mostre

por recurrência que

\frac{sin z}{z} = cos (\frac{z}{2}) \frac{sin(z/2)}{z/2} = ⋯ = ∏_{n=1}^{N} cos (\frac{z}{2^{n}} ) \frac{sin z2^{−N}}{z2^{−}N}

Colocando z = π/2 na fórmula acima obtenha

\frac{2}{π} = ∏_{n=1}^{∞} cos (\frac{π}{2^{n+1}} ) := ∏_{n=1}^{∞} a_{n}, a_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}, a_{n} = \sqrt{\frac{1}{2}(1 + a_{n−1})}, n ⩾ 2

A fórmula acima foi obtida por Viète em 1570 e pode ser re-escrita como

\frac{π}{2} = \frac{2}{\sqrt{2}} · \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}} · \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}} ⋯

e) Mostre que se {z_{n}} é uma seqüência de números complexos tal que ∑_{n} z_{n}, ∑_{n} |z_{n}|^{2} são séries convergentes, então o produto ∏_{n}(1 + z_{n}) converge. Sugestão : Mostre que log(1 + z) = z + ϵ(z)z^{2}, onde |ϵ(z)| < 1 se |z| < δ, δ > 0, apropriado. Em seguida mostre um resultado que diz que se a série ∑_{n} log(1 + z_{n}) converge então o produto ∏_{n}(1 + z_{n})

converge (veja Ahlfors ref. 13)

f) Seja {a_{n}} uma seqüência de números reais tais que ∑_{n} a_{n} é uma série

convergente; então mostre que o produto ∏_{n}(1 + a_{n}) é convergente se

∑_{n} a_{n}^{2} < ∞ e é divergente se ∑_{n} a_{n}^{2} = ∞. Sugestão : Seguir o modelo

anterior, considerando que para x ∈ IR, x − log(1 + x) = ϵ(x)x^{2}, com 1/4 < ϵ(x) < 1 se |x| < δ para δ > 0 conveniente. Aplique este resultado para mostrar que (1 − 1/2)(1 + 1/3)(1 − 1/4) ⋯ é convergente e calcule o produto mostrando que é igual à 1/2. Mostre também que o produto (1 − 1/\sqrt{2})(1 + 1/\sqrt{3})(1 − 1/\sqrt{4}) ⋯ é divergente e que diverge à zero.

3) Mostre que

sin πz = πz ∏_{n=1}^{∞}(1 − \frac{z^{2}}{n^{2}} )

Sugestão : Mostre primeiramente que o produto em questão converge uniformemente em compactos de ℂ e representa uma função inteira. Aplique em seguida o exercício 3) e)i) da Parte C e use derivação logarítmica mostrando que o produto f(z) à esquerda da igualdade acima é f(z) = c sin πz. Ato contínuo calcule o limite lim_{z→0}(f(z)/z) em 0 mostrando que c = 1.

4) Mostre que

\frac{sin z}{sin πz} = \frac{2}{π} ∑_{n+1}^{∞}(−1)^{n} \frac{n sin n}{z^{2} − n^{2}}

Conclua que

∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n+1} \frac{sin n}{n} = \frac{1}{2}

A fórmula acima pode ser recuperada via a teoria das séries de Fourier. De fato, Dada f(x) = sin x, −π < x ⩽ π estenda esta função a todo IR por periodicidade (período 2π). A série de Fourier converge para f para 0 ⩽ x < π. Logo, temos

x = 2 ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n+1} \frac{sin nx}{n}, para 0 ⩽ x < π·

e o resultado segue da equação acima fazendo x = 1.

5) Represente a função \frac{1}{Γ(z)}, como um produto infinito (produto canônico de Weierstrass).

PARTE F: FÓRMULA DE POISSON-JENSEN E PRODUTOS DE BLASCHKE

1) (Fórmula de Poisson-Jensen) Seja f(z) uma função meromorfa no disco fechado |z| ⩽ R (0 < R < ∞); ou seja f é meromorfa num aberto de ℂ que contém este disco fechado. Sejam a_{μ} (μ = 1, …, M) os zeros de f e b_{ν} (ν = 1, …, N) os pólos de f em |z| < R, contados com multiplicidades. Mostre que se z = r e^{iθ} (0 ⩽ r < R), e se f(z) ≠ 0, ∞, então tem-se que

log |f(z)| = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}log |f(R e^{iφ})| \frac{R^{2} − r^{2}}{R^{2} − 2rR cos(θ − φ) + r^{2}} d φ+

+ ∑_{1}^{M} log |\frac{R (z − a_{μ})}{R^{2} − \overline{a_{μ}}z}| − ∑_{1}^{N} log |\frac{R (z − b_{ν})}{R^{2} − \overline{b_{ν}}z}|

Sugestão : (1) Considere primeiramente o caso que f(ζ) é holomorfa e não tem zeros em |ζ| ⩽ R. Mostre que a fórmula de Poisson-Jensen em z = 0 segue da fórmula de Cauchy. Para o caso geral considere uma equvalência conforme do disco aberto |ζ| < R e e o disco aberto unitário |w| < 1, que leva um ponto ζ = z no ponto w = 0.

(2) Considere o caso que f(ζ) tem um número finito de zeros e pólos em |ζ| = R e não tem outros zeros e pólos no disco aberto |ζ| < R. Neste caso considere o contorno ∂D(δ), onde D(δ) é o domínio aberto obtido de |ζ| ⩽ R, removendo-se um pequeno disco de raio δ centrado nos zeros e pólos de f(ζ) : Mostre que se z ∈ D(δ) ⊂ {|z| < R}, então

log f(z) = \frac{1}{2π} ∫_{∂D(δ)} log f(ζ) \frac{R^{2} − |z|^{2}}{(R^{2} − \overline{z}ζ) (ζ − z)} d ζ

além disso mostre que o integrando é O (log 1/δ) uniformemente nas indentações que são arcos de círculo de raio δ, mostrando que a contribuição da integral nas indentações vai para zero quando δ → 0.

(3) Para o caso geral considere

g(ζ) = f(ζ) ∏_{1}^{N} \frac{R (ζ − b_{ν})}{(R^{2} − \overline{b_{ν}}ζ)}/ ∏_{1}^{M} \frac{R (ζ − a_{μ})}{(R^{2} − \overline{a_{μ}}ζ)}

Nota: A fórmula de Poisson-Jensem é crucial na teoria moderna das funções meromorfas creada por Nevanlinna (veja refs. 6, 24 ) ).

a) Conclua a (Fórmula de Jensen): Seja f uma função holomorfa numa vizinhança da bola fechada \overline{D_{R}} centrada na origem de raio R. Suponha que f(0) ≠ 0. Sejam a_{1}, …, a_{k} os zeros de f em \overline{D_{R}}, contados com suas respectivas multiplicidades. Assuma que |a_{j}| < R, para j = 1, 2, … k. Mostre que

log |f(0)| + ∑_{j=1}^{k} log|\frac{R}{a_{j}} | = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}log |f (R e^{iθ})| dθ

Sugestão . Se você quer deduzir diretamente a fórmula de Jensen, siga por exemplo, as seguintes sugestões : Considere o fator de Blaschke

B_{a} = \frac{z − a}{\overline{a}z − 1} onde 0 < |a| < 1

Mostre que a função

g(z) = \frac{f(z)}{∏_{j=1}^{k} B_{a_{j}/R}} (\frac{z}{R})

é holomorfa numa vizinhança de \overline{D_{R}} e não se anula nesta vizinhança. Mostre que log |g| satisfaz a propriedade da média numa vizinhança de \overline{D_{R}}, concluindo que

log |g(0)| = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}log |g (R e^{iθ})| dθ

Daí faça uma análise direta, para chegar ao resultado. Infira:

b) Se f é como no teorema do item a) acima, mostre que

log |f(0)| < \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}log |(R e^{iθ})| dθ

Agora, considere a seguinte definção : log^{+} = \{ \begin{matrix}log t & se t ⩾ 1 \\ 0 & se t < 1 \end{matrix} Chama-se N a classe (de Nevanlinna) de funções holomorfas em D tal que

sup_{0<r<1} \frac{1}{2π} ∫_{o}^{2π}log^{+} |f (r e^{iθ})| dθ < ∞

Note que a classe de funções holomorfas limitadas definidas no disco unitário centrado na origem está contida em N .

c) Seja f ∈ N uma função holomorfa em N não identicamente nula. Sejam Sejam a_{1}, a_{2}, … os zeros de f em D contados com suas respectivas multiplicidades. Mostre que

∑_{j=1}^{∞}(1 − |a_{j}|) < ∞

Sugestão : Como f não é identicamente nula para mostrar o resultado argumente que basta considerar o caso que f(0) ≠ 0. Mostre que pode-se encontrar R, R < 1, com R arbitrariamente perto de 1, de modo que |a_{j}| ≠ R, j = 1, …. Aplique a fórmula de Jensen à \overline{D_{R}} e obtenha

log |f(0)| + ∑_{j=1}^{n(R)} log|\frac{R}{a_{j}} | = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}log |f (R e^{iθ})| dθ

onde n(R) é o número de zeros de f dentro do disco D_{R}. Aplique o fato que f ∈ N e uma estimativa simples para chegar ao seguinte resultado

∑_{j=1}^{∞} log|\frac{1}{a_{j}} | < ∞

Conclua daí . É bastante surpreendente que a recíproca “forte ” do resultado anterior valha

sem condições adicionais. d) Se {a_{j}} ⊂ D (com possíveis repetições ) satisfaz

∑_{j=1}^{∞}(1 − |a_{j}|) < ∞

e nenhum a_{j} = 0, então existe uma função holomorfa limitada (por 1) B(z) em D cujo conjunto de zeros é exatamente os a′_{j}s contados com suas multiplicidades. Mais precisamente

B(z) = ∏_{j=1}^{∞} \frac{|a_{j}|}{a_{j}}B_{a_{j}}(z)

onde B_{a_{j}} é o fator de Blaschke definido acima e o produto infinito converge uniformemente em compactos de D. Os zeros de B(z) são precisamente os a′_{j}s contados com suas multiplicidades. Sugestão : Para cada 0 < R < 1 fixado verifique que

∑_{j=1}^{∞}|1 − \frac{|a_{j}|}{a_{j}}B_{a_{j}}(z)|

converge uniformemente em \overline{D_{R}}. Um produto de Blaschke é uma expressão da forma

BL(z) = z^{m} · ∏_{j=1}^{∞} \frac{|a_{j}|}{a_{j}}B_{a_{j}}(z)

O resultado anterior mostra que se ∑_{j=1}^{∞}(1 − |a_{j}|) < ∞, BL(z) define uma

função holomorfa em D.

e) Mostre que de f é uma função limitada em D, tendo um zero de ordem m em 0 (m ⩾ 0), e se {a_{j}} são os outros zeros de f contados com suas multiplicidades, então existe uma função holomorfa limitada sem zeros F em D, tal que f se escreve f(z) = BL(z) · F (z), mais precisamente

f(z) = z^{m} · (∏_{j=1}^{∞} \frac{|a_{j}|}{a_{j}}B_{a_{j}}(z)) · F (z)

Além disso,

sup_{z∈D} |f(z)| = sup_{z∈D} |F (z)|

Sugestão : Considere

B_{N}(z) = ∏_{j=1}^{N} \frac{|a_{j}|}{a_{j}}B_{a_{j}}(z), N ∈ IN^{∗},  e  F_{N}(z) = \frac{f(z)}{z^{m} · B_{N}(z)}

f) Diz-se que uma função inteira tem ordem finita se existem números a, r > 0 tal que

(∗)  |f(z)| ⩽ exp (|z|^{a})  |z| > r

Seja λ o ínfimo de todos os números a para os quais (∗) seja verdadeira. Tal número λ é chamado de ordem de f.

i) Mostre sin z tem ordem 1 e que e^{e^{z}} tem ordem infinita. Mostre que exp(az^{n}), a > 0 tem ordem n.

ii) Seja f uma função inteira de ordem λ. Mostre que se ϵ > 0 então |f(z)| ⩽ exp (|z|^{λ+ϵ}) para todo z com |z| suficientemente grande, e um z pode ser encontrado com |z| tão grande como desejado de forma que |f(z)| ⩾ exp (|z|^{λ−ϵ}) .

Nota: A ordem de uma função inteira de ordem λ pode ser calculada da seguinte maneira: Seja M(r) = max_{0⩽θ<2π} |f(r e^{iθ})| . Então

λ = lim sup_{r→∞} \frac{log log M(r)}{log r}

Agora, seja {a_{n}} uma seqüência de números complexos não nulos. Seja ρ =

inf{a; ∑_{n=1}^{∞} |a_{n}|^{−a}} < ∞. Tal número ρ é chamado de expoente de convergência

da seqüência {a_{n}}. Agora suponha que f seja uma função inteira com zeros (diferentes do 0) a_{1}, a_{2}, …, contados com suas multiplicidades e arrumados de modo 0 < |a_{1}| ⩽ |a_{2}| ⩽ · · · . Suponha que existe um inteiro p tal que

∑_{n=1}^{∞} |a_{n}|^{−(p+1)} < ∞

Então f é chamada de posto finito. Se p é o menor inteiro de maneira que a convergência ocorre diz-se que f é de posto p. Agora, assuma que f tenha posto

p, então segue que o produto infinito P (z) = ∏_{n=1}^{∞} E_{p}(\frac{z}{a_{n}}), é convergente, no sentido

que (veja parte D 1) d) )

∑_{n=1}^{∞}(\frac{r}{|a_{n}|})^{p+1} < ∞

onde E_{p}(ζ) é o fator elementar de Weierstrass definido no início da parte D. Tal

produto infinito é chamado de canônico. Um fato é que se P (z) = ∏_{n=1}^{∞} E_{p}(\frac{z}{a_{n}}),

é um produto canônico de posto p, e se ρ é o expoente de convergência de {a_{n}} então p ⩽ ρ ⩽ p + 1. Além disto a ordem de P é ρ, i. e λ = ρ.

iii) Mostre que a função tipo theta ∏_{n=1}^{∞} (1 − q^{n}z) , 0 < |q| < 1 tem ordem

zero. Mostre também que o produto infinito ∏_{n=1}^{∞}(1 + \frac{z}{n log^{2} n}) e

o inverso da função gamma \frac{1}{Γ(z)}, (veja Lista 5, parte D 5)d) ), são funções inteiras de ordem 1. Nota: Quando f é uma função inteira de ordem finita não nula λ, definimos o tipo τ de sua ordem λ como sendo

τ = lim sup_{r→∞} \frac{log M(r)}{r^{λ}}

A função f é chamada de tipo mínimo de sua ordem se τ = 0, de tipo finito se 0 < τ < ∞, de tipo infinito se τ = ∞. As funções

∏_{n=1}^{∞}(1 + \frac{z}{n log^{2} n}), e^{az} e \frac{1}{Γ(z)}, têm tipo 0, a e ∞, respectivamente.

Quando f(z) = ∑_{n=1}^{∞} c_{n}z^{n} é uma função inteira então f tem ordem

finita λ, se e somente se,

\frac{1}{λ} = lim inf_{n→∞} \frac{− log c_{n}}{n log n}

iv) Mostre que a ordem da função tipo theta ∑_{n=0}^{∞} q^{n^{2}}z^{n}, 0 < |q| < 1, é

zero. Calcule a ordem de ∑_{n=1}^{∞} n^{−an}z^{n}, a > 0.

MISCELÂNEA

1) Mostre que se f é analítica no disco aberto D_{r} dado por |z − a| < r tal que |f′(z) − f′(a)| < |f′(a)|, para todo z no disco D_{r}, z ≠ a, então f é univalente (injetora). Sugestão: Dados z_{1}, z_{2} em D_{r}, com z_{1} ≠ z_{2}, considere γ o segmento [z_{1}, z_{2}]. Pelo teorema de Cauchy:

|f(z_{1}) − f(z_{2})| = |∫_{γ} f′(z) dz|

Agora use a desigualdade do triângulo e a hipótese do problema para concluir.

2) Seja f uma função meromorfa num domínio Ω com zeros z_{1}, z_{2}, …, z_{n} e polos p_{1}, p_{2}, …, p_{m} contados com multiplicidades. Seja g uma função analítica em Ω e γ uma curva fechada em Ω, C^{1} por partes, com γ ≈ 0, isto é, γ é homóloga a zero (ou ainda, n(γ, w) = 0, ∀w ∈ ℂ \ Ω, cf. Lista 5, ex. 12 ). Suponha que γ não passe por nenhum dos pontos z_{j} ou p_{j}. Mostre que

\frac{1}{2πi} ∫_{γ} g \frac{f′}{f} = ∑_{n=1}^{n} g(z_{j}) n(γ, z_{j}) − ∑_{i=1}^{m} g(p_{i}) n(γ, p_{i})

a) Suponha que R > 0 e que f seja analítica num aberto contendo o disco fechado \overline{D}_{R} := \{|z − a| ⩽ R\}. Suponha que f seja univalente em D_{R}. Mostre que Ω := f (D_{R}) é um aberto. Mostre que a inversa f^{−1}(w) é holomorfa em Ω; além disto, se γ é o círculo |z −a| = R usando a fórmula acima mostre que a inversa é dada pela fórmula

f^{−1}(w) = \frac{1}{2πi} ∫_{γ} \frac{z f′(z)}{f(z) − w} dz

3) Suponha que f seja uma função holomorfa num domínio Ω e que f′(z_{0}) ≠ 0, z_{0} ∈ Ω. Mostre que Ω contém uma vizinhança V de z_{0} tal que

a) f é um a um em V b) f admite uma inversa h : W := f(V) → V holomorfa, sendo W um

aberto. Sugestão (item a) ): Use o exercício Lista 4, exerc. 4) para mostrar que Ω contém uma vizinhança V de z_{0} tal que

|f(z_{1}) − f(z_{2})| ⩾ \frac{1}{2}|f′(z_{0})| |z_{1} − z_{2}|

se z_{1} ∈ V e z_{2} ∈ V. Conclua que a afirmação é verificada e que f′(z) ≠ 0, z ∈ V. Você saberia dar uma outra demonstração usando o princípio do argumento ?

4) Usando o princípio do argumento, mostre que se z_{0} é um zero de ordem k da equação f(z) = a, sendo f uma função holomorfa em uma vizinhança de z_{0}, então para uma vizinhança suficientemente pequena V de z_{0} e para todo b suficientemente próximo de a, a equação f(z) = b possui exatamente k soluções simples em V.

5) Suponha que Ω é um domínio, f é holomorfa em Ω (não constante), z_{0} ∈ Ω, e w_{0} = f(z_{0}). Seja k a ordem do zero que a função f − w_{0} tem em z_{0}. Mostre que existe uma vizinhança V de z_{0}, V ⊂ Ω e existe φ holomorfa em V tal que a) f(z) = w_{0} + (φ(z))^{k} , ∀z ∈ V

b) φ′ não tem zeros em V e φ é uma aplicação holomorfa inversível de V num disco D_{r} de raio r centrado na origem. Sugestão: Sem perda de generalidade suponha que Ω é uma vizinhança simplesmente conexa de z_{0}, tomada suficientemente pequena de maneira que f(z) ≠ w_{0} se z ∈ Ω \ {z_{0}}. Então conclua que

f(z) − w_{0} = (z − z_{0})^{k} g(z), z ∈ Ω

para algum função holomorfa g que não tem zeros em Ω. Use ( se você já tiver demonstrado ) o exercício Lista 5, exerc. 11), para encontrar uma função analítica h em Ω tal que g = e^{h(z)}. Defina

φ(z) = (z − z_{0}) exp (\frac{h(z)}{k}) , z ∈ Ω

Conclua do item b) o seguinte:

c) Suponha que Ω seja um domínio e que f seja uma função holomorfa e univalente em Ω. Mostre que f′(z) ≠ 0 para todo z ∈ Ω e que a inversa de f é holomorfa. Mostre que a recíproca do teorema é falsa.

6) Seja f(z) uma função analítica e um a um no disco unitário centrado na origem D dada por f(z) = z + ∑_{n=2}^{∞} a_{n} z^{n}, z ∈ D. Mostre que existe uma

função g holomorfa e um a um em D satisfazendo, g(0) = 0, g′(0) = 1 e g^{2}(z) = f(z^{2}), z ∈ D. Sugestão: Escreva f(z) = zφ(z). Mostre que existe h holomorfa em D tal que h(0) = 1, h^{2}(z) = φ(z). Coloque g(z) = z h(z^{2}), z ∈ D.

7) (Teorema de Hurwitz) Seja Ω um domínio e seja f_{n} uma seqüência de funções holomorfas em Ω, tal que f_{n}(z) ≠ 0 para todo z ∈ Ω, n ∈ IN. Mostre que se f_{n} converge uniformemente localmente em Ω à uma função f : Ω → ℂ, então f é holomorfa e satisfaz ou bem f ≡ 0 em Ω, ou bem f(z) ≠ 0 para todo z ∈ Ω. ßConclua do teorema de Hurwitz o seguinte teorema de injetividade:

8) Seja Ω um domínio de ℂ; suponhamos que f_{n} uma seqüência de funções holomorfas em Ω, tal que cada f_{n}, n ∈ IN seja uma aplicação injetiva em Ω. Mostre que se f_{n} converge uniformemente localmente em Ω à uma função f : Ω → ℂ, então f é holomorfa e satisfaz ou bem f é constante em Ω. ou bem f é uma função injetiva em Ω.

9) Seja Ω um domínio limitado de ℂ. Suponha que f_{n} : \overline{Ω} → ℂ é contínua e holomorfa em Ω. Se {f_{n}|_{∂Ω}} converge uniformemente em ∂Ω, então mostre que \{f_{n}\} converge uniformemente em \overline{Ω} à uma função contínua f : \overline{Ω} → ℂ e holomorfa em Ω.

No que se segue D = {|z| < 1}.

10) Seja f(z) = ∑_{n⩾0} c_{n} z^{n}, z ∈ D. Mostre que se |c_{1}| > ∑_{n⩾2} n |c_{n}| então f é

injetiva. Sugestão: Mostre que para z_{1}, z_{2} ∈ D

|f(z_{1}) − f(z_{2})| ⩾ {|c_{1}| − ∑_{n⩾2} n |c_{n}|}

11) Seja f uma função holomorfa em D e |f(z)| ⩽ 1, z ∈ D. Mostre que |f′(0)| ⩽ 1, mesmo se f(0) = c ≠ 0. Sugestão: Considere a função

g(z) = \frac{f(z) − c}{1 − cf(z)}

e estabeleça que |f′(0)|/ (1 − |c|^{2}) = |g′(0)| < 1, se f não é constante.

12) Mostre que os seguintes subconjuntos não são uniformemente equivalentes: a) ℂ \ {0} e D \ {a}, a ∈ D.

b) ℂ \ \overline{D} e ℂ \ \{c\}, c ∈ ℂ.

c) D \ {0} e o anel {0 < r < |z| < R < ∞}.

d) ℂ \ {c} (c ∈ ℂ) e o anel {0 < r < |z| < R < ∞}.

13) Investigue num livro de Variáveis complexas o Grande teorema de Picard (veja por exemplo no livro de Hille, segundo volume)

a) Enuncie o grande teorema de Picard e dê aplicações .

b) Dê exemplos de funções e de pontos z = a que são limites de uma seqüência de pólos de f, com f meromorfa em uma vizinhana perfurada de a. O quê o teorema de Picard diz a respeito ?

c) Mostre que a função sin ( cot \frac{1}{z}) tem um número infinito de singulari-

dades essenciais em qualquer vizinhança da origem.

14) Considere

f(z) = ∑_{0}^{∞} \frac{1}{n!} z^{2^{n}}.

a) Mostre que o raio de convergência da série é 1 e que z = 1 é um ponto singular de f. Mostre que f(z) e suas derivadas são contínuas no disco unitário fechado. Mostre que {|z| = 1} é a fronteira natural de f. Curiosidade: É possível encontrar uma função holomorfa f fora de um con-

junto de Cantor C de modo que C seja exatamente o conjunto singular de f (veja isto no livro de Hille, vol II).

15) Seja f uma função meromorfa em ℂ e seja P o conjunto dos pólos de f. Assuma que os resíduos em cada pólo de f é um inteiro. Considere o conjunto Ω := ℂ \ C. Seja z_{0} um ponto fixado de Ω. Seja z ∈ Ω e seja γ uma curva C^{1} por partes inteiramente contida em Ω ligando z_{0} z. Mostre que a função

g(z) := exp (∫_{γ} f(z) dz)

está bem definida em Ω.

16) Mostre que o conjunto dos pontos onde o gradiente de uma função harmônica u definida num aberto A se anula é um conjunto discreto.

17) Considere a equação

(∗)  h(z) = e^{2} z^{n} − e^{z},  n > 0

a) Mostre que a ordem de cada zero de (∗) é 1.

b) Mostre que se D = {|z| < 1} então (∗) admite n zeros simples em D.

18) Mostre a série de funções meromorfas

(∗)  ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{z − n}

determina um função meromorfa em ℂ. Sugestão : Use o fato que a série

∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n} converge e some esta última à série (∗).

19) Considere a série

(∗)  ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n} \frac{z^{2^{n}}}{1 − z^{2^{n}}}

a) Seja D = {|z| < 1}. Mostre que a série (∗) converge normalmente em compactos de D.

b) Seja Ω = {|z| > 1}. Mostre que (∗) define uma função holomorfa em Ω.

20) Considere IH^{2} = {ℜz > 0}. Mostre que

\frac{log z}{z} = \frac{2}{π} ∫_{0}^{∞} \frac{ln t}{t^{2} + z^{2}} dt

21) Seja g : (0, 1) → IR uma função contínua absolutamente integrável em (0, 1). Mostre que

∫_{0}^{1} \frac{g(t)}{t − z} dt

define uma função holomorfa f(z) em ℂ \ [0, 1]. Sugestão Mostre diretamente por um cálculo que f′(z) é o que deve ser fazendo-se derivação sob o símbolo da integração .

21) Calcule a integral

∫_{0}^{∞} \frac{−2 ln x}{\sqrt{2x}(1 + x^{2})} dx

Resp :\frac{π^{2}}{2} . Sugestão : Considere semi-discos no semi-plano superior centrados na origem de grande raio R e pequeno raio r e o contorno fechado positivamente γ acrescentando segmentos no eixo-x da maneira conveniente. Considere f e g os ramos do logaritmo e da raiz quadrada em Ω := ℂ\{iy, y ⩽ 0}, correspondendo à −π/2 < arg z < 3π/2, e considere a função holomorfa h em

Ω dada por h(z) = \frac{f(z)}{g(z)(1 + z^{2})}.

22) Calcule a integral:

∫_{0}^{∞} \frac{x^{α} ln x}{x^{2} − 1} dx α ∈ (−1, 1)

Resp :\frac{π^{2}}{4 cos^{2} \frac{πα}{2}} . Sugestão : Considere semi-discos no semi-plano superior

centrados na origem de grande raio R e pequeno raio r. Também considere semi-discos no semi-plano superior centrados em z = −1 e em z = 1 de pequeno raio ϵ_{1} e pequeno raio ϵ_{2}, respectivamente. Finalmente, considere o contorno fechado positivamente orientado γ acrescentando segmentos no eixox da maneira conveniente. Considere f e g os ramos do logaritmo e de z^{α} em Ω := ℂ \ {iy, y ⩽ 0}, correspondendo à −π/2 < arg z < 3π/2, e considere a função holomorfa h em Ω dada por h(z) = \frac{f(z)g(z)}{z^{2} − 1}.

23) Considere o anel Ω = {0 < r < |z| < R}. Mostre que todas as aplicações f : (r^{2}, R^{2}) → IR de classe C^{2} de forma que f(|z|^{2}) seja harmônica em Ω são da forma a ln |z| + b, onde a, b ∈ IR.

24) (Problema de Dirichlet no semi-plano superior) Seja f : IR → IR uma função contínua.

a) Mostre que a solução u do Problema de Dirichlet para funções harmônicas no semi-plano superior, contínua no semi-plano superior fechado, harmônica no semi-plano superior aberto e tomando os dados contínuos f no bordo é dada por

u(z) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{π} ∫_{−∞}^{∞} \frac{y}{(t − x)^{2} + y^{2}} f(t) dt & se Im z > 0 \\ f(x) & se Im z = 0 \end{matrix}

b) Mostre que o Problema de Dirichlet para funções harmônicas no semiplano admite uma única solução limitada. E se a condição limitada for retirada existe unicidade para o Problema de Dirichlet ?

25) Sejam u e v funções harmônicas definidas num domínio simplesmente Ω ⊂ ℂ. Suponha que ∇u · ∇v ≡ 0 em Ω. Mostre que existe a ∈ IR tal que au + iv seja uma função holomorfa em Ω.

26) (Transformada de Fourier e transformada de Laplace) Seja f uma função integrável na reta IR. Definimos a transformada de Fourier de f, denotada por f̂ por

f̂(ξ) = ∫_{−∞}^{∞} f(x) e^{−2πit·ξ} dt

Se g é uma função integrável na reta IR definimos a inversa da transformada de Fourier por

g^{∨}(t) = ∫_{−∞}^{∞} g(ξ) e^{2πit·ξ} dξ

O fato é que sempre que as integrais acima tenham sentido, ou seja ambas f e f̂ sejam integráveis então as operações ∨ e são inversas uma da outra. Então , nestas condições tem-se que (f̂ )^{∨}= f.

a) Calcule a transformada de Fourier f̂(ξ) da função \frac{2}{1 + t^{2}} . Sugestão : Con-

sidere a função f(z) = \frac{2}{1 + z^{2}} e^{−2πit·ξ} . Para ξ > 0 considere o contorno formado pelo semi-círculo contido no semi-plano inferior {Im z ⩽ 0} centrado na origem e de grande raio R. Aplique o teorema dos resíduos e as técnicas básicas do cálculo de integrais via resíduos. Encontre: f̂(ξ) = 2π e^{−2πξ}, ξ > 0. Um cálculo análogo pode ser feito para ξ < 0, usando agora o contorno simétrico no semi-plano superior, encontrando que f̂(ξ) = 2π e^{−2π|ξ|}, ξ ∈ ℜ. Observando que ambas f e f̂são integráveis corrobore que (f̂ )^{∨}(t) = \frac{2}{1 + t^{2}} .

b) Considere a função

f(t) = \{ \begin{matrix}3 cos 2πt & se −7/4 ⩽ t ⩽ 7/4 \\ 0 & se t < −7/4 ou t > 7/4 \end{matrix}

i) Calcule a transformada de Fourier de f. Sugestão : Escreva cos 2πt =

(e^{2πt} + e^{−2πt})/2. Resp : f̂(ξ) = −\frac{3}{π} cos(\frac{7π}{2} ξ)\frac{1}{1 − ξ^{2}} .

ii) Verifique a fórmula de inversão de Fourier: (f̂ )^{∨} = f. Sugestão Mostre primeiramente que

(∗)(f̂ )^{∨}(t) = −\frac{3}{2π} ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{1 − ξ^{2}} e^{iξ((7π/2)+2πt)} dξ

− \frac{3}{2π} ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{1 − ξ^{2}} e^{iξ((−7π/2)+2πt)} dξ

Para o cálculo da primeira integral proceda da maneira seguinte: Note que para t ⩾ −7/4, considerando a função meromorfa \frac{3}{1 − z^{2}} e^{iz((7π/2)+2πt)}, e integrando no contorno formado pelo semi-círculo contido no semi-plano superior {Im z ⩾ 0} centrado na origem e de grande raio R, não é difícil ver que a integral tende a 0 quando R → ∞. Por conseguinte, considere o contorno γ positivamente orientado formado por semi-discos no semi-plano superior, o primeiro centrado na origem de grande raio R, os outros dois de pequenos raios ϵ, centrados em x = 1 e x = −1, respectivamente. Complete o ciclo positivamente orientado γ acrescentando segmentos no eixo-x da maneira conveniente. Mostre que as integrais (considerando a função meromorfa acima) ao longo dos pequenos círculos de centros x = ±1 convergem para −\frac{1}{4} e^{±2πit} . Conclua que para t ⩾ −7/4, a

primeira integral vale −\frac{3}{2} cos πt. Uma mesma análise mostra que a segunda integral em (∗), para t > 7/4, considerando o mesmo contorno acima e a função \frac{3}{1 − z^{2}} e^{iz((−7π/2)+2πt)}, vale \frac{3}{2} cos πt. Conclua que estes cálculos são coerentes com a definição de f, para t > 7/4. Verifique que cálculos análogos, usando o contorno simétrico no semi-plano inferior, mostram também que (f̂ )^{∨}(t) = 0, para t < −7/4, e que (f̂ )^{∨}(t) = cos 2πt, para −7/4 ⩽ t ⩽ 7/4, como desejado. c) Mostre que a definição de transformada de Fourier pode ser estendida à

IR^{n}, pela seguinte fórmula

û(y) = ∫_{IR^{n}} e^{−i2πx·y} u(x) d x, (y ∈ IR^{n})

para u ∈ L^{2}(IR^{n}). Investigue as propriedades da transformada de Fourier neste contexto.

d) A finalidade deste exercício é demonstrar algumas propriedades da trans-

formada de Fourier i) Mostre que a transformada de Fourier “mata derivadas”

D̂^{α}u = (2πiξ)^{α}û

ii) Mostre que a transformada da convolução é o produto das transfor-

madas

{ \atop u ∗ v} = ûv̂

onde a convolução u ∗ v, está definida por

u ∗ v(x) = ∫ u(z)v(x − z) d x d z

iii) Usando o teorema dos resíduos, ou outro método qualquer, mostre o seguinte cálculo- que é muito útil no tratamento das equações de Poisson, Calor e Schrödinger, via a transformada de Fourier.

∫_{−∞}^{∞} e^{iax−bx^{2}} d x = e^{−a^{2}/4b} (\frac{π}{b} )^{1/2} , a, b ∈ IR, b > 0

e) Mostre que

u(x) = \frac{1}{(4π)^{n/2}} ∫_{0}^{∞} ∫_{IR^{n}} \frac{e^{−t− \frac{|x − y|^{2}}{4t}}}{t^{n/2}} f(y) d y d t

Resolve a seguinte equação de Poisson

−△u + u = f, em IR^{n}

onde f ∈ L^{2}(IR^{n}) Sugestão : Use o fato que a transf. de Fourier mata derivadas, o fato que a transformada da convolução é o produto das transformadas, e o cálculo anterior para chegar à solução desejada.

f) Mostre que a solução fundamental da equação do Calor

\{ \begin{matrix}u_{t} − △u = 0 & em IR^{n} × (0, ∞) \\ u = g & em IR^{n} × \{t = 0\} \end{matrix}

é

u(x, t) = \frac{1}{(4πt)^{n/2}} ∫_{IR^{n}} e^{− \frac{|x − y|^{2}}{4t}} g(y) d y

Sugestão : Aplique a transformada de Fourier somente na variável x, transformando a equação acima numa equação diferencial linear homogênea na variá vel t, com condição inicial em t = 0. Resolva esta equação e ache u de uma maneira parecida com o que você fez no item anterior.

Agora vamos considerar funções seccionalmente contínuas f(t), definidas num semi-eixo [b, ∞), b > 0, de crescimento exponencial, i.e |f(t)| ⩽ K e^{at}, a, K ∈ ℜ, K > 0, t suficientemente grande. A transformada de Laplace está definida por

F (s) = L(f) := ∫_{0}^{∞}f(t) e^{−st} d t, (s > a)

i) Mostre que L(f) = L(g) ⇒ f = g.

ii) Mostre que

\frac{d^{(n)}}{ds} (F (s)) = L ((−t)^{n}f(t))

iii) Supondo que f, …, f^{(n−1)}, f^{(n)} sejam seccionalmente contínuas com crescimento exponencial, e f, …, f^{(n−1)}, sejam contínuas, mostre que a transformada de Laplace também “ mata derivadas”.

F (f^{(n)}) = s^{n}F(f) − s^{n−1}f(0) − ⋯ − sf^{(n−2)}(0) − f^{(n−1)}(0) iv) Calcule a transformada de Laplace de algumas funções fundamentais e consulte uma tabela para completá-las. Por exemplo: f(t) ≡ 1, f(t) = e^{at}, f(t) = t^{n}, f(t) = sin at, f(t) = cos at, …

v) Considere a equação de Bessel de ordem zero

zu′′(z) + u′(z) + zu(z) = 0

Resolva a equação de Bessel acima usando a transformada de Laplace, transformando a equação diferencial de segunda ordem, numa equação algébrica, mostrando que

L(u)(s) = \frac{c}{(1 + s^{2})^{1/2}} , onde c é uma constante

Em seguida usando a tabela que você construiu e o conhecimento da série binomial, mostre que

u(z) = C ∑ \frac{(−1)^{n} z^{2n}}{2^{n} (n!)^{2}}

27) (Equações singulares regulares de segunda ordem) Vamos fazer uma incursão na teoria das equações diferenciais complexas li-

neares de segunda ordem singulares regulares. Vamos considerar uma equação da forma

w′′(z) + a(z)w′(z) + b(z)w(z) = 0  (∗)

onde a(z), b(z) são funções holomorfas num disco perfurado 0 < |z−z_{0}| < r. Se pelo menos uma das funções a(z), b(z), não é holomorfa numa vizinhança de z_{0}, dizemos que z_{0} é um ponto singular de (∗). Caso contrário, dizemos que z_{0} é um ponto regular. Neste caso, o teoria geral de sistemas holomorfos pode ser aplicada para garantir a existência de duas soluções holomorfas linearmente independentes w_{1}(z) e w_{2}(z) que geram o espaço de soluções de (∗). Uma demonstração usando a teoria de séries majorantes pode ser encontrada na ref. 11). Vamos nos interessar doravante no caso singular. Caso z_{0} não seja um ponto regular e a(z) tenha no máximo um pólo de primeira ordem (em z_{0}) e b(z) tenha no máximo um pólo de segunda ordem, dizemos que z_{0} é um ponto singular regular. Um ponto singular que não é um ponto singular regular é chamado de ponto irregular.

A definição para z = ∞ é feita de maneira análoga fazendo a substituição ζ = \frac{1}{z}. Com efeito: O resultado desta mudança de variáveis é a seguinte equação

\frac{d^{2} v(ζ)}{dζ^{2}} + \frac{dv(ζ)}{dζ} (\frac{2}{ζ} − \frac{1}{ζ^{2}} a (\frac{1}{ζ})) + \frac{1}{ζ^{4}} b (\frac{1}{ζ}) v(ζ) = 0  (∗∗)

onde v(ζ) := w(1/z). O ponto z = ∞ é chamado de regular ou singular regular consoante que o ponto ζ = 0 é um ponto regular ou singular regular para a equação (∗∗).

a) Sejam a(z) e b(z) funções holomorfas para |z| > r. Mostre que o ponto z = ∞ é um ponto singular regular de (∗), se e somente se a(z) tem um zero e b(z) tem um zero múltiplo em z = ∞ (ou equivalentemente, za(z) e z^{2}a(z) tem limites finitos em z = ∞). Em particular, conclua que o ponto é regular, se e somente se o coeficiente a_{−1} da série de Laurent de a(z) em |z| > r é a_{−1} = 2, e os coeficientes b_{−2}, b_{−3} da série de Laurent de b(z) são nulos.

Suponha que z = 0 é um ponto singular da equação (∗) e considere os desenvolvimentos de Laurent em z = 0

a(z) = \frac{1}{z} ∑_{0}^{∞} a_{k}z^{k},  b(z) = \frac{1}{z^{2}} ∑_{0}^{∞} b_{k}z^{k},  0 < |z| < ϵ

Considere a chamada equação indicial

ρ(ρ − 1) + a_{0}ρ + b_{0} = 0  (I)

b) Sabendo que z = 0 é uma singularidade regular da equação (∗) mostre que sempre existe uma solução u(z) de (∗) da forma (método de Frobenius)

u(z) = z^{r} (1 + ∑_{n=1}^{∞} α_{n}(r)z^{n})

onde r é uma raíz da equação indicial (I), e os coeficientes α_{n}(r) são obtidos por uma certa relação de recorrência que você deve explicitar; sendo a série a esquerda da igualdade acima convergente numa vizinhança da origem. Sejam r_{1} e r_{2} as raízes da equação indicial, com ℜr_{1} ⩾ ℜr_{2}. c) Mostre que quando r_{1} − r_{2} não é um inteiro podemos encontrar uma

soluções u_{1}(z) e u_{2}(z) linearmente independentes de (∗) pelo método do item b).

d) Mostre que quando as raízes da equação indicial são iguais a r = r_{1}, obtemos uma segunda solução v(z) independente da solução u(z) encontrada no item b) pela fórmula

v(z) = u(z) log z + z^{r_{1}} (∑_{n=1}^{∞} \frac{dα_{n}(r_{1})}{dr}z^{n})

onde os coeficientes α_{n} são obtidos no item b) e a série a esquerda da igualdade converge numa vizinhança da origem. Sugestão : Olhe como é feita a demonstração da obtenção das soluções fun-

damentais da Equação de Euler : z^{2}w′′ + azw′ + bw = 0, a, b ∈ ℂ, no caso que as raízes são iguais.

e) Considere o caso que r_{1} − r_{2} = N > 0, é um inteiro. Mostre que uma segunda solução v(z) independente de u(z) pode ser obtida pela fórmula

v(z) = cu(z) log z + z^{r_{2}} ∑_{n=0}^{∞} \frac{d}{dr} ((r − r_{2})α_{n}(r)) |_{r=r_{2}}z^{n}

onde c = lim_{r→r_{2}}(r − r_{2})a_{N}(r).

e) Considere a equação de Bessel de ordem α

z^{2}w′′(z) + zw′(z) + (z^{2} − α^{2})w(z) = 0

onde α ∈ ℂ é uma constante com ℜα ⩾ 0.

i) Mostre que z = 0 é um ponto singular regular e z = ∞ é um ponto irregular para a equação de Bessel.

ii) Mostre que as raízes da equação indicial são ρ = α e ρ = −α.

Considere as funções de Bessel

J_{α}(z) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n!Γ(n + α + 1)} (\frac{z}{2})^{2n+α}

onde Γ é a função Gamma. Para α ≠ −1, −2, …, são chamadas funções de Bessel de primeiro tipo e índice n (quando α = n ∈ IN).

Considere as funções de Bessel

Y_{n}(z) = −\frac{2}{π} log \frac{z}{2}J_{n}(z)−\frac{1}{π} ∑_{m=0}^{n−1} \frac{(−1)^{m} (n − 1)!}{m! (1 − n) ⋯ (1 − n + m − 1)} (\frac{z}{2})^{2m−n}

para n = 0, 1, 2, …, são chamadas de funções de Bessel de segundo tipo e índice n .

iii) Mostre que quando α não é um inteiro tem-se que J_{α}(z) e J_{−α}(z)

são soluções linearmente independentes da equação de Bessel. iv) Mostre que quando α = n ∈ IN, um par de soluções independentes é

dado por J_{n}(z) e Y_{n}(z). iv) Encontre as soluções explícitas da equação de Bessel de ordem zero,

mostrando que J_{0}(z) é inteira e estude o comportamento da solução geral quando z → 0.

v) Estude a equação de Bessel de ordem meio e mostre explícitamente que a segunda solução não possui termo logarítmico embora a diferença das raízes seja um inteiro.

vi) Encontre as soluções explícitas da equação de Bessel de ordem um, mostrando que J_{1}(z) é inteira e estude o comportamento da solução geral quando z → 0.

vii) Exercício-pesquisa: Mostre que as funções de Bessel J_{n}(z) tem um número infinito de zeros na semi-reta real positiva. Mostre também que as funções de Bessel Y_{n}(z) são ilimitadas na origem.

Dizemos que a equação (∗) é Fuchsiana, se esta possui um número finito de singularidades em ℂ ∪ {∞}, sendo todas as singularidades regulares.

e) Considere a equação de Legendre

(z^{2} − 1)w′′(z) + 2zw′(z) − α(α + 1)w(z) = 0, α ∈ ℂ

i) Mostre que a equação de Legendre é Fuchsiana. ii) Mostre que quando α = n ∈ IN, existe um polinômio P_{n}(z) que é

solução da equação de Legendre. Mostre que P_{n}(1) = 1, P_{n}(−z) = (−1)^{n}P_{n}(z). Além disso, mostre a fórmula de Rodrigues

P_{n}(z) = \frac{1}{n!2^{n}} \frac{d^{n}}{d z^{n}} (z^{2} − 1)^{n}

calculando P_{0}(z), P_{1}(z), P_{2}(z), P_{3}(z).

f) Estude a série hipergeométrica

z(1 − z)w′′(z) + (γ − (α + β + 1)z) w′(z) − αβw(z) = 0

Nota: A teoria das equações singulares regulares de segunda ordem, aparece em várias áreas da Matemática Pura e Aplicada:

- Teoria das Transformações Conformes. A série hipergeométrica aparece na construção de uma transformação conforme explícita do disco unitário aberto |z| < 1 sobre o interior de um triângulo geodésico △ no disco hiperbólico.

- Na Análise Harmônica ( análise de Fourier, séries de Fourier-Bessel, problemas de Sturm-Liouville singular).

- na Física Matemática e Mecânica (eq. da membrana oscilante, temperatura de um cilindro longo).

- Equações Diferenciais Parciais (problemas de Dirichlet em regiões esféricas)

- Teoria das superfícies de curvatura média 1 no espaço hiperbólico

(que são “primas ” das mínimas de IR^{3}).

g) Faça o exercício 4) da parte C da lista 2.

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