VCOMPLEXAS-2001.2–Lista 7

prof: Ricardo Sá Earp

SÍNTESE DE FUNÇÕES MEROMORFAS

Suplemento de séries

1) (Lema da soma parcial de Abel): Sejam {a_{n}}, {b_{n}} duas seqüências de números complexos, n ∈ IN_{0} := IN ∪ {0}. Coloquemos A_{n} = a_{0} + ⋯ + a_{n}, n ⩾ 0; então para n ⩾ 0, k ⩾ 1, temos que

∑_{j=n+1}^{n+k} a_{j}b_{j} = ∑_{j=n+1}^{n+k−1} A_{j}(b_{j} − b_{j+1}) − A_{n}b_{n+1} + A_{n+k}b_{n+k}

Deduza: ∑_{n⩾0} a_{n}b_{n} converge se ∑_{n⩾0} A_{n}(b_{n}−b_{n+1}) converge e lim_{n→∞} A_{n}b_{n} existe.

a) (Critério de Abel) Da fórmula de Abel deduza que se ∑_{n⩾0} a_{n} é convergente e se {b_{n}} é uma seqüência monótona limitada; então ∑_{n⩾0} a_{n}b_{n} converge.

b) (Critério de Dirichlet) Mostre que se a seqüência das somas parciais {A_{n}} de ∑_{n} a_{n}é limitada e se a seqüência {b_{n}} é uma seqüência real monótona tendendo a zero, então ∑_{n⩾0} a_{n}b_{n} converge.

Daí deduza o critério de Leibniz: Seja {α_{n}} uma seqüência monótona de números reais tendendo a zero, então ∑_{n⩾0}(−1)^{n}α_{n} converge. Dê exemplos de séries convergentes, mas não absolutamente convergentes.

Também deduza o seguinte:Se ∑_{n} |b_{n} −b_{n+1}| < ∞ e se ∑_{n} a_{n} converge então ∑_{n⩾0} a_{n}b_{n} converge.

2) Sejam {a_{n}}, {b_{n}}, {c_{n}} seqüências de números reais estritamente positivos com ∑_{n} c_{n} < ∞, ∑_{n} d_{n} = ∞.

a) Mostre que se para algum N ∈ IN

\frac{a_{n+1}}{a_{n}} ⩽ \frac{c_{n+1}}{c_{n}} , n ⩾ N,

então ∑_{n} a_{n} < ∞.

b) Mostre que se para algum N ∈ IN

\frac{a_{n+1}}{a_{n}} ⩾ \frac{d_{n+1}}{d_{n}} , n ⩾ N,

então ∑_{n} a_{n} = ∞.

Sugestão: Para o item a) observe que a seqüência {a_{n}/c_{n}} é uma seqüência decrescente.

3) (Critério de Kummer): Sejam {a_{n}}, {b_{n}}, {c_{n}} seqüências de números reais estritamente positivos com ∑_{n} d_{n} = ∞.

a) Mostre que se para algum N ∈ IN e um número ρ > 0 temos que

b_{n} − \frac{a_{n+1}}{a_{n}} b_{n+1} ⩾ ρ > 0, n ⩾ N,

então ∑_{n} a_{n} < ∞.

b) Mostre que se para algum N ∈ IN temos que

\frac{1}{d_{n}} − \frac{a_{n+1}}{a_{n}} · \frac{1}{d_{n+1}} ⩽ 0, n ⩾ N,

então ∑_{n} a_{n} = ∞.

Sugestão: Para o item b) veja o exercício anterior item b). Para o item a) observe que w_{n} := a_{n}b_{n} − a_{n+1}b_{n+1} ⩾ a_{n}ρ > 0, n ⩾ N. Também observe que ∑_{n} w_{n} é convergente.

4) (Critério de Raabe-Duhamel). Guardando as notaçõesdo exercício anterior, tomando b_{n} = n − 1(n ⩾ 2) no exercício anterior e d_{n} = 1/(n − 1) no item b) obtém-se

∑_{n} a_{n} < ∞ se, para algum α > 1 e um N ∈ IN, n(1− \frac{a_{n+1}}{a_{n}} ) ⩾ α, n ∈ N

∑_{n} a_{n} = ∞ se, para algum N ∈ IN, n(1 − \frac{a_{n+1}}{a_{n}} ) < 1, n ∈ N

Em particular, se lim_{n→∞} n(1 − \frac{a_{n+1}}{a_{n}} ) = L então ∑_{n} a_{n} < ∞ se L > 1 e ∑_{n} a_{n} = ∞ se L < 1. Mostre que se L = 1, todas as hipóteses podem ocorrer.

5) (Critério de Gauss) Seja {a_{n}} uma seqüência de números reais estritamente positivos tais que, para algum N ∈ IN

\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = 1 − \frac{α}{n} + \frac{β_{n}}{n^{p}} , n ⩾ N

onde p > 1, α ∈ IR e sup_{n⩾N} |β_{n}| < ∞.

a) Mostre que ∑_{n} a_{n} < ∞, se α > 1 e ∑_{n} a_{n} = ∞, se α ⩽ 1.

Sugestão: Se α ≠ 1 utilize exercício anterior). Para α = 1 utilize o exercício anterior com 1/d_{n} = (n − 1) log(n − 1), n ⩾ 3 verificando que

lim_{n→∞}(\frac{1}{d_{n}} − \frac{a_{n+1}}{a_{n}} · \frac{1}{d_{n+1}} ) = −1.

b) Seja a ∈ ℂ. Seja z_{n} = \binom{a}{n}, onde \binom{a}{0} = 1, \binom{a}{1} = a,

\binom{a}{n} = \frac{a(a − 1) ⋯ (a − n + 1)}{n!}, n ⩾ 1.

Mostre que ∑_{n} |z_{n}| < ∞ se ℜa > 0 ou a = 0 e, ∑_{n} |z_{n}| = ∞ se ℜa ⩽ 0,

a ≠ 0.

Sugestão: Considere

r_{n} = |\frac{z_{n+1}}{z_{n}} | = |\frac{a − n}{n + 1}|

Quando ℜa ≠ 0 aplique exercício anterior), verificando que

n(1 − r_{n}) = \frac{n}{1 + r_{n}} · \frac{1 − |a|^{2} + 2n(1 + ℜa)}{(n + 1)^{2}} e lim_{n→∞} n(1 − r_{n}) = 1 + ℜa

Quando ℜa = 0, a ≠ 0, a = it, t ∈ IR, t ≠ 0 e

r_{n} = \frac{n}{n + 1}(1 + \frac{t^{2}}{n^{2}} )^{1/2}

verifica-se que

n^{2}(r_{n} − 1 + \frac{1}{n}) = \frac{n^{3}}{n + 1}((1 + \frac{t^{2}}{n^{2}} )^{1/2}−1) + \frac{n^{2}}{n(n + 1)} → \frac{t^{2}}{2} + 1

O resultado agora segue do item a).

6) (Série hipergeométrica) Sejam a, b, c ∈ ℂ. Suponha que −c ∉ IN. Então a série dada por

\begin{aligned}F (a, b, c, z) & := 1 + \frac{ab}{c}z + \frac{a(a + 1)b(b + 1)}{2c(c + 1)}z^{2} + ⋯ + \\ & + \frac{a(a + 1) ⋯ (a + n − 1)b(b + 1) ⋯ (b + n − 1)}{n!c(c + 1) ⋯ (c + n − 1)}z^{n} + ⋯ \end{aligned}

é chamada de série hipergeométrica e aparece na teoria das equações Fuchsianas de segunda ordem (Veja refs. 4) e 8).

Também aparecem na teoria das aplicações conformes, mais precisamente nos triângulos Schwarzianos e na pavimentação do disco hiperbólico por triângulos geodésicos( Veja ref. 20) .

a) Exercício-estudo (Veja ref. 20)): Estude as relações entre a derivada Schwarziana e as soluções de equações diferenciais lineares de segunda ordem cujos coeficientes são funções meromorfas. Estude as relações entre tais equações com a série hipergeométrica culminando na solução explícita do problema de se encontrar uma transformação conforme que leva o semi-espaço superior {Im z > 0} sobre um triângulo hiperbólico ou curvilíneo, cujos lados são arcos de círculos (“geodésicas no plano hiperbólico”) de ângulos πα, πβ, πγ, satisfazendo a relação da geometria não -Euclideana: α + β + γ < 1.

b) Mostre que a série hipergeométrica tem raio de convergência 1.

c) Se ℜ(a+b−c) < 0, a série converge absolutamente para |z| = 1. Sugestão Aplique o critério de Gauss.

Cálculo dos resíduos, e etc...

7) (Fórmulas de somatório)

∑ f(n)

Seja f uma função holomorfa em ℂ, exceto por um número finito de singularidades. Suponha que nenhuma das singularidades seja um número inteiro. Seja γ_{n}, n ∈ IN uma seqüência de curvas simples fechadas disjuntas das singularidades de f e que não passa pelos inteiros, satisfazendo a seguinte propriedade: Se D_{n} é o domínio delimitado por γ_{n}, então ∪_{n} D_{n} é uma exaustão de ℂ. a) Mostre que

lim_{n→∞} ∫_{γ_{n}} (π cot πz)f(z) dz = 0 ⇒ ∑_{n∈ℤ} f(n) = − ∑_{z∈Sing (f)} Res(g; z)

onde Sing (f) é o conjunto das singularidades de f.

b) Mostre que

sup{| cot πz|; z ∈ ℂ \ ∪_{n∈ℤ} B_{ϵ}(n), 0 < ϵ < 1/2} < ∞

onde B_{ϵ}(n) := {|z − n| < ϵ}. Mostre uma limitação análoga para as seguintes funções f(z) = 1/(e^{z} −1), f(z) = \frac{e^{tz}}{e^{z} −1}(t ∈ [0, 1]), f(z) = sec z.

c) Mostre que se f satisfaz a uma desigualdade do tipo

|f(z)| ⩽ \frac{M}{|z|^{2}} M > 0

para |z| suficientemente grande, então a hipótese do item a) será satisfeita. Exiba exemplos gerais disto.

d) Mostre que

∑_{n=−∞}^{∞} \frac{1}{n^{2} + a^{2}} = π/a\frac{1 + e^{−2πa}}{1 − e^{−2πa}}

Conclua que ∑_{1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π}{6} .

Exiba outros exemplos de fórmulas de somatório do mesmo tipo.

e) Elabore uma análise parecida usando π csc πz para encontrar fórmulas de

somatório para ∑(−1)^{n}f(n).

8) (Expansão de algumas funções meromorfas clássicas) Sejam a_{k}, k = 1, 2, … os pólos de uma função meromorfa definida num aberto

U ⊂ ℂ. Suponha que a parte principal de f em a_{k} seja dada por

h_{k}(z) = ∑_{j=1}^{m_{k}} \frac{c_{kj}}{(z − a_{k})^{j}}

a) Seja B_{ϵ}(a_{n}) um disco aberto ao redor de a_{n}, de raio ϵ suficientemente pequeno, contendo apenas um único pólo de f. Seja w um ponto de B_{ϵ}(a_{n}) \ {a_{n}}. Mostre que

Res (\frac{f(z)}{z − w}; a_{n}) = −h_{n}(w)

b) Seja γ é uma curva simples fechada positivamente orientada que é bordo de um domínio Ω interceptando o conjunto dos pólos de f apenas nos pontos a_{1}, a_{2}, …, a_{m}. Mostre que se w é um ponto de Ω que não é um pólo de f, então

\frac{1}{2πi} ∫_{γ} \frac{f(z)}{z − w} dz = f(w) − ∑_{1}^{m} h_{k}(w)

Agora seja γ_{N} uma seqüência de curvas simples fechadas positivamente orientadas bordando domínios Ω_{N} formando uma exaustão de Ω ≡ ℂ, com Ω_{1} ⊂ Ω_{2} ⊂ · · · . Suponhamos também que Ω_{N} ∩ {a_{1}, a_{2}, …} = {a_{1}, …, a_{nN}}. Mostre que se

sup_{z∈[γ_{N}]} |f(z)| ⟶ 0 quando N → ∞

onde [γ_{N}] é o traço de γ_{N}, então para w ∈ ℂ \ {a_{1}, a_{2}, …}

f(w) = lim_{N→∞} ∑_{1}^{nN} h_{k}(w)

Além disso mostre que se todos os pólos de f são simples deduz-se que a fórmula

f(w) = lim_{N→∞} ∑_{1}^{nN} \frac{c_{k}}{w − a_{z}}

c) Agora suponha que f seja holomorfa em z = 0. Mostre que se w não é um pólo de f tem-se que

w ∫_{γ_{N}} \frac{f(z)}{z(z − w)} dz ⟶ 0 (n → ∞) ⇒ f(w) = f(0)+ lim_{N→∞} ∑_{1}^{nN}(h_{k}(w)−h_{k}(0))

Sugestão Use a identidade \frac{1}{z − w} = \frac{1}{z} + \frac{w}{z(z − w)}· Deduza que se todos os pólos de f são simples então

f(w) = f(0) + lim_{n→∞} ∑_{1}^{nN} (\frac{c_{k}}{w − a_{k}} + \frac{c_{k}}{a_{k}} )

Usando o item 7)b) deduza as seguintes expansões :

sec z = 4π ∑_{0}^{∞} \frac{(−1)^{k}(2k + 1)}{(2k + 1)^{2}π^{2} − 4z^{2}}

cot z = \frac{1}{z} + ∑_{1}^{∞} \frac{2z}{z^{2} − k^{2}π^{2}}

csc z = \frac{1}{z} + ∑_{1}^{∞} \frac{(−1)^{k}2z}{z^{2} − k^{2}π^{2}}

\frac{1}{e^{z} −1} = \frac{−1}{2} + \frac{1}{z} + ∑_{1}^{∞} \frac{2z}{z^{2} + 4k^{2}π^{2}}

9) (Soma de Gauss) Este exercício deve ser com consulta. Veja por exemplo ref. 12) ou ref. 13). Mostra a fórmula de Gauss

∑_{0}^{n−1} e^{2πν^{2}/n} = \frac{1 + (−i)^{n}}{1 − i} \sqrt{n}

10) (resíduo no infinito) Considere f uma função holomorfa em ℂ com finitas singularidades. O resíduo no infinito está definido por

Res(f, ∞) := −\frac{1}{2π} ∫_{|z|=R} f(z) dz

para R suficientemente grande.

a) Mostre que Res(f, ∞) = −a_{−1}, onde a_{−1} é o coeficiente de 1/z no desenvolvimento de Laurent de f no infinito. Qual é a relação com o resíduo da função −\frac{1}{ζ^{2}} f(1/ζ) na origem ?

b) Mostre que a soma dos resíduos de f na esfera de Riemann ℂ ∪ {∞} é zero, concluindo que a soma dos resíduos de uma função meromorfa na esfera de Riemann é igual a zero. Mostre que o resíduo de uma função racional pode ser calculado via determinantes.

c) Calcule a integral

∫_{−1}^{1} \frac{2\sqrt{1 − x^{2}}}{(\sqrt{2} − 1)(1 + x^{2})} dx = 2π

11) (Teorema de Rouché)

a) Use o teorema dos resíduos para estabelecer uma fórmula para contar zeros e pólos de uma função meromorfa. Aplique na dedução do teorema de Rouché para uma função meromorfa. Aplique Rouché para dar uma demonstração do teorema Hurwitz.

i) Mostre que se {a_{n}} é uma seqüência decrescente de números reais

positivos então f(z) := ∑_{0}^{∞} a_{n}z^{n} define uma função holomorfa sem

zeros na bola unitária centrada na origem. ii) Estude a equação

tan z = az, a > 0

considerando os quadrados com vértice nπ(1+i), nπ(−1+i), nπ(−1− i), nπ(1 − i).

11) (Funções inversas) Suponha que f seja meromorfa num aberto que contenha um domínio Ω cujo bordo é uma curva simples fechada positivamente orientada γ, que não contém nem zeros nem pólos de f. Sejam a_{1}, a_{2}, …, a_{n} e b_{1}, b_{2}, …, b_{m}, respectivamente, os zeros e os pólos de f. Mostre que

\frac{1}{2πi} ∫_{γ} g(z)\frac{f′(z)}{f(z)} dz = ∑_{j=1}^{n} g(a_{j}) − ∑_{k=1}^{m} g(b_{k})

onde cada zero e cada pólo são contados de acordo com sua multiplicidade. Deduza os seguintes resultados

a) Seja f(z) uma função holomorfa numa bola B_{ϵ}(0) centrada na origem de raio ϵ, tal que f(0) = 0, f′(0) ≠ 0. Suponha que f(z) ≠ 0 para 0 < |z| < ϵ. Seja C_{r} o círculo de raio r centrado na origem com r < ϵ. Mostre que

g(w) = \frac{1}{2πi} ∫_{C_{r}} \frac{ζf′(ζ)}{f(ζ) − w} dζ

define uma função holomorfa para |w| < min_{θ} |f(r e^{iθ})|. Para tais valores de w, z = g(w) é a única solução da equação

f(z) = w

que tende a zero quando w tende a zero. Além disso mostre que

g(w) = ∑_{0}^{∞} \frac{1}{2πi} ∫_{C_{r}} \frac{ζf′(ζ)}{(f(ζ))^{n+1}} dζ w^{n}

sendo que a série converge uniformemente com respeito a ζ e w, desde que t percorra C_{r} e |w| ⩽ c < min_{θ} |f(r e^{iθ})|.

i) Considere F (a, b, c, z) a série hipergeométrica dada no item 6). Mostre que a raíz da equação

z^{3} + 3z − w = 0

que tende a zero quando w → 0 é dada por uma série hipergeométrica.

b) Com as mesmas condições do item a) anterior mostre que se h é uma função holomorfa num aberto contendo a bola B_{ϵ}(0), então

h(g(w)) = h(0) + ∑_{1}^{∞} \frac{1}{n!} \frac{d^{n−1}}{dz^{n−1}} h′(z)(ψ(z))^{n}|_{z=0}w^{n}

onde ψ(z) = \frac{z}{f(z)}. As séries obtidas nos itens a) e b) obtidas são chamadas de séries de Lagrange.

i) Escreva enunciados analogos aos dos itens a) e b) relativos a inversa

da equação

w = f(z)

num ponto w_{0} = f(z_{0}) (note que em a) e b) z_{0} = w_{0} = 0) ii) Escreva as expansões de Lagrange do item b) quando f(z) = \frac{z}{e^{2z}} , e

g(z) = e^{λz} . iii) Exercício-pesquisa (Para fazer este exercício você precisa consultar

refs. 1), 4) ou 8) ): Mostre que os polinômios de Legendre aparecem naturalmente no estudo de certa série de Lagrange e mostre suas propriedades tais como: Funções geradoras, fórmula de Rodrigues, ortogonalidade. Mostre também que satisfazem uma certa equação de segunda ordem linear, com propriedades interessantes posto que esta é um caso especial das equações hipergeométricas. c) Seja

F (z, w) = ∑_{m=0}^{∞} ∑_{n=0}^{∞} a_{mn}z^{m}w^{n}, a_{00} = 0 e a_{01} ≠ 0

sendo que a série dupla é absolutamnete convergente para |z| ⩽ r_{1} e |w| ⩽ r_{2}. Mostre que existe uma única função holomorfa f(z) numa vizinhança da origem, com f(0) = 0 e

F (z, f(z)) = 0

nesta vizinhança. Além disso f pode ser representada por

f(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{C} w \frac{F_{w}(z, w)}{F (z, w)} dw

onde C é um círculo de raio r para r < r_{2}. Sabe-se da álgebra que qualquer função simétrica das raízes de uma equação

algébrica é expressa de maneira única como um polinômio nas somas das potências destas raízes. Use isto para mostrar o seguinte

d) Se f é uma função holomorfa na bola B_{ϵ}(0) e se 0 é um zero de ordem k de f em 0, então para valores pequenos de |w|, a equação

f(z) = w

tem k raízes z_{1}(w), …, z_{k}(w), que tendem a zero, quando w → 0. Além disso, estas raízes satisfazem uma equação algébrica de grau k

z^{k} + g_{1}(w)z^{k−1} + ⋯ + g_{k}(w) = 0

cujos coeficientes são funções holomorfas que tendem a zero quando w → 0. Aproveite o momento para enunciar e demonstrar o teorema de preparação de Weierstrass e o teorema das funções implícitas para funções analíticas de duas variáveis complexas.

e) Nas hipóteses do item d) acima, mostre que existe uma função h(ζ)), holomorfa para |ζ| suficientemente pequeno, tal que para cada valor pequeno fixado de w, as k determinações de h(w^{1/n} representam as raízes z_{1}(w), …, z_{k}(w), em alguma ordem. Quando w percorre um circuito fechado em torno da origem, as raízes são permutadas ciclicamente. Além disso, a generalização das séries de Lagrange no caso que 0 é um zero de ordem k, toma a seguinte forma (f(z) = w)

z = f^{−1}(w) = h(w^{1/n}) = ∑_{1}^{∞} \frac{1}{n!} \frac{d^{n−1}}{dz^{n−1}} (ψ(z))^{n}|_{z=0}w^{n/k}

onde ψ(z) = \frac{z}{f(z)^{1/k}} ·

12) (Séries de funções trigonométricas clássicas) a) Mostre que

\frac{π^{2}}{sin^{2} πz} = ∑_{−∞}^{+∞} \frac{1}{(z − n)^{2}}

comparando os pólos e parte principal das duas funões meromorfas acima, periodicidade e comportamento quando |Im(z)| → ∞.

b) Usando o resultado anterior mostre que

π cot πz = \frac{1}{z} + ∑_{1}^{∞} \frac{2z}{z^{2} − n^{2}}

c) (Caracterizações da função cotangente)

i) Seja g uma função meromorfa em ℂ cujos pólos são exatamente os números inteiros. Suponha que para cada n ∈ ℤ a parte principal é 1/(z−n). Suponha ainda que g seja uma função ímpar e que satisfaça fórmula de duplicação do ângulo

2g(2z) = g(z) + g(z + \frac{1}{2})

Mostre que g(z) = π cot πz. Sugestão Use o princípio do máximo na bola de raio 2 e centro 0.

Agora considere a equação diferencial de Riccati

w′ + w^{2} + 1 = 0

ii) Mostre que as funções g(z) ≡ i e g(z) = cot z = i\frac{e^{2iz} +1}{e^{2iz} −1}, satisfazem a equação diferencial acima. iii) Mostre que se w = g(z) é uma função meromorfa num domínio Ω tal

que w ≢ i, então a transformação de Cayley f(z) = \frac{w + i}{w − i}, satisfaz a equação linear f′ = 2if.

iv) Mostre que se g é uma função meromorfa numa vizinhança da origem, satisfazendo a equação de Riccati acima, que tem um pólo na origem , então g(z) = cot z.

13) Considere Ω um domínio qualquer de ℂ. Seja f uma função meromorfa em Ω. Seja z_{0} um ponto de Ω fixado e seja γ_{z} um caminho (seccionalmente C^{1}) ligando z_{o} à z onde z ∈ Ω, que it nao passa nem pelos zeros nem pelos pólos de f

a) Em que condições a função

∫_{γ_{z}} f(ζ) dζ

determina uma bem definida função meromorfa em Ω ? Exiba exemplos.

b) Em que condições a função

∫_{γ_{z}} \frac{f′(ζ)}{f(ζ)} dζ

determina uma bem definida função meromorfa em Ω ? O que isto significa ?

c) Mostre que se f é holomorfa em Ω e não se anula em Ω então

f(z) = f(z_{0}) e∫_{γ_{z}} \frac{f′(ζ)}{f(ζ)} dζ

O quê este resultado permite concluir sobre

∫_{γ} \frac{f′(z)}{f(z)} dz

onde γ é uma curva fechada qualquer em Ω.

d) Suponha que toda função holomorfa em Ω que não se anula tenha uma raíz quadrada que é uma função holomorfa em Ω. Mostre que toda função holomorfa em Ω que não se anula tem também um logaritmo holomorfo em Ω.

14) Seja f uma função holomorfa numa vizinhança do disco fechado \overline{B}_{R}(0). Mostre a fórmula de Poisson

f(z) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}f(R e^{iθ}) ℜ\frac{R e^{iθ} +z}{R e^{iθ} −z} dθ

Tomando-se a parte real na identidade acima, obtém-se a fórmula de Poisson para funções harmônicas.

i) Usando continuação analítica e a fórmula de Poisson acima, ou outro método mostre a fórmula integral de Schwarz

f(z) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}ℜf(R e^{iθ}) \frac{R e^{iθ} +z}{R e^{iθ} −z} dθ + i Im f(0) ∀ z ∈ B_{R}(0)

15) Sejam f e g funções meromorfas em ℂ.

a) Mostre que se ambas f e g não tem pólos e satisfazem f^{2} + g^{2} = 1, então existe uma função inteira h tal que f(z) = cos h(z) e g(z) = sin h(z).

b) Mostre que se f, g satisfazem f^{n} + g^{n} = 1, n ∈ IN, n ⩾ 3 então , ou bem

f e g tem pólos comuns, ou bem são constantes.

16) Discuta singularidades de uma função meromorfa.

a) Exiba um exemplo em que z = 0 é uma singularidade que é um ponto de acumulação de pólos.

b) Exiba um exemplo em que z = 0 é uma singularidade que é um ponto de acumulação de singularidades essenciais.

c) Exercício-pesquisa: Discuta fronteira natural e domínio de holomorfia. Dê um exemplo que o círculo unitário é a fronteira natural. Enuncie o teorema de “gap”de Hadamard. Veja refs. 3, 14, 18.

d) Exercício pesquisa: É possível encontrar uma função meromorfa em ℂ cujas singularidades sejam exatamente um conjunto de Cantor ? Veja refs. 3, 7.

17) Exercício pesquisa. Enuncie e demonstre as várias formas do teorema de Phragmen-Lindelöf. Veja refs. 7, 18.

Produtos infinitos

18) Exercício- pesquisa: Defina convergência de produtos infinitos. Para todo este item veja refs.7, 9, 14, 15, 16 e 18.

a) Investigue os vários resultados relacionando convergência de produtos infinitos com certas séries obtidas a partir do termo geral do produto.

c) Investigue o critério relacionando convergência de produtos infinitos com a série dos logaritmos do termo geral do produto.

d) Investigue convergência uniforme e normal de produtos infinitos e os vários critérios de convergência uniforme de produtos infinitos.

e) Investigue o resultado de derivada logarítmica e convergência de produtos

infinitos.

i) Usando derivação logarítmica e a decomposição em somas parciais da função π cot πz, mostre que

sin πz = πz ∏_{n=1}^{∞} (1 − \frac{z^{2}}{n^{2}} ) , z ∈ ℂ

i) Conclua o produto de Wallis (1665)

\frac{π}{2} = \frac{2}{1} \frac{2}{3} \frac{4}{3} \frac{4}{5} \frac{6}{5} \frac{6}{7} ⋯ = ∏_{1}^{∞} \frac{2n}{2n − 1} · \frac{2n}{2n + 1} (π = 3, 14159 ⋯)

f) (Os produtos de Euler) Mostre que

Q(z, q) := ∏_{1}^{∞}(1 + q^{n}z)

converge normalmente m ℂ para todo q com |q| < 1. Conclua que é uma função inteira em z.

i) Mostre a seguinte relação funcional:

Q(z, q) = (1 + qz)Q(qz, q)

para |q| < 1, e z ∈ ℂ. Conclua ii)

∏_{1}^{∞}(1 + q^{n}z) = 1 + ∑_{1}^{∞} \frac{q^{\frac{n(n+1)}{2}}}{(1 − q)(1 − q^{2}) ⋯ (1 − q^{n})}z^{n}

g) (Teorema de representação de produto de Jacobi) Investigue o seguinte teorema de Jacobi (veja ref. 14) Para cada q, |q| < 1, e cada z ∈ ℂ \ {0} vale

∑_{−∞}^{∞} q^{n^{2}}z^{n} = ∏_{1}^{∞} ((1 − q^{2n})(1 + q^{2n−1}z)(1 + q^{2n−1}z^{−1}))

deduza a representação da série theta clássica

∑_{−∞}^{∞} q^{n^{2}} = 1 + 2 ∑_{1}^{∞} q^{n^{2}} = ∏_{1}^{∞} ((1 − q^{2n})(1 + q^{2n−1})^{2}))

i) Deduza o teorema do número pentagonal de Euler.

19) Exercício- pesquisa: Defina os fatores de Weierstrass e deduza o teorema de produto de Weierstrass em ℂ.

a) Conclua o teorema de fatoração de Weierstrass para uma função inteira não identicamente nula.

b) Conclua que toda função meromorfa em ℂ pode ser representada como quociente de duas funções inteiras sem zeros comuns.

c) Defina produto canônico de Weierstrass e exiba exemplos.

d) Mostre o teorema de produto para funções holomorfas em abertos quais-

quer de ℂ.

i) Conclua o teorema de fatoração num domínio qualquer de ℂ. ii) Conclua que toda função meromorfa definida num domínio Ω ⊂ ℂ

pode ser representada como quociente de duas funções holomorfas em Ω, sem zeros comuns.

Seja f uma função holomorfa definida num domínio Ω. Dizemos que Ω é o domínio maximal de existência de f, se Ω̂ ⊃ Ω for um domínio para o qual existe uma função holomorfa f̂ com f̂|_{Ω} = f, então necessariamente Ω̂ ≡ Ω.

e) Mostre que todo domínio Ω ⊂ ℂ, é o domínio maximal de existência de uma função holomorfa em Ω.

Dizemos que um domínio Ω é um domínio de holomorfia de uma função holomorfa em Ω, se para todo ponto z_{0} ∈ Ω, o disco ao redor de z_{0} no qual a série de Taylor de f converge está inteiramente contido em Ω.

20) Exercício-pesquisa: Mostre o seguinte teorema de existência de Runge- Besse: Para todo domínio Ω do plano complexo existe uma função holomorfa em Ω, tal que Ω é o domínio de holomorfia de f. Veja ref. 14.

a) Discuta a relação entre domínio de holomorfia e domínio maximal de existência.

b) Exiba exemplos de funções holomorfas e seus domínios de holomorfia.

Funções meromorfas especiais

A Função Theta de Jacobi

21) Considere a série Theta

θ(z, τ) = ∑_{−∞}^{∞} e^{−n^{2}πτ} e^{2πinz}

a) Mostre que a série Theta é normalmente convergente para ℜτ > 0, e todo z ∈ ℂ. Além disso mostre que satisfaz a equação do calor

\frac{∂^{2}θ}{∂z^{2}} = 4π \frac{∂θ}{∂τ}

ℜτ > 0, e todo z ∈ ℂ.

b) Mostre que θ(z + 1, τ) = θ(z, τ), e que θ(z + iτ, τ) = e^{πτ} e^{−2πiz} θ(z, τ).

Dizemos que uma função meromorfa em ℂ é elíptica se possui dois períodos linearmente independente sobre os reais. Tal função também é chamada de duplamente periódica.

c) Mostre que as funções

θ(z + \frac{1}{2}, τ)/θ(z, τ) e (θ(z + \frac{1}{2}, τ)/θ(z, τ))^{2}

são funções elípticas, determinando os respectivos períodos.

d) Seja f uma função inteira satisfazendo f(z + 1) = f(z), para todo z ∈ ℂ (Dizemos que f tem período 1). Mostre que f pode ser expandida numa única série de Fourier

f(z) = ∑_{−∞}^{∞} c_{n} e^{2πinz}

onde c_{n} = ∫_{0}^{1} f(z) e^{−2πinz} dz.

Mostre que para cada τ, ℜτ > 0, a função e^{−z^{2}πτ} θ(iτz, z) é uma função inteira de período 1 e expansão de Fourier dada por

e^{−z^{2}πτ} θ(iτz, z) = \frac{1}{\sqrt{τ}} ∑_{−∞}^{∞} e^{\frac{−n^{2}π}{τ}} e^{2πinz}

i) Conclua as fórmulas de transformação para a função Theta

θ(z, \frac{1}{τ}) = \sqrt{τ} e^{−z^{2}πτ} θ(iτz, τ) z ∈ ℂ, ℜτ > 0

θ(\frac{1}{τ}) = \sqrt{τ}θ(τ)

A função Gamma

22) Considere o produto

F (z) = z e^{γz} ∏_{1}^{∞} (1 + \frac{z}{n}) e^{− \frac{z}{n}}

a) Mostre que o produto acima define uma função inteira F (z), cujos zeros são precisamente os inteiros negativos e a origem. Mostre ainda que

γ = lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{n} − log n)

O número γ é chamada de constante de Euler,γ = 0, 5772156 · · · .

b) Mostre as seguintes relações funcionais

F (z) = zF (z + 1)
πF (z)F (1 − z) = sin πz

c) Mostre a seguinte fórmula de multiplicação

(2π)^{(k−1)/2}F (\frac{1}{k} ) F (\frac{2}{k} ) ⋯ F (\frac{k − 1}{k}) = \sqrt{k} k = 2, 3 …

e) Mostre que a função Gamma definida por Γ(z) = \frac{1}{F (z)} é uma função meromorfa que não se anula, os pólos de Γ(z) são precisamente os inteiros negativos e a origem, todos estes são pólos simples; e Γ(z) satisfaz a seguinte relação funcional

Γ(z + 1) = zΓ(z), com Γ(1) = 1

i) Mostre que

Res(Γ, −n) = \frac{(−1)^{n}}{n!} , n ∈ IN

Note que a equação funcional acima não caracteriza a função Gamma. Por quê ?

ii) Mostre a representação produto de Gauss

Γ(z) = lim_{n→∞} \frac{n!n^{z}}{z(z + 1) ⋯ (z + n)}

iii) Mostre que Γ(z) é limitada em toda faixa fechada vertical

{0 < a ⩽ ℜz ⩽ b}.

f) Mostre a fórmula de suplemento de Gauss

Γ(z)Γ(1 − z) = \frac{π}{sin πz}

i) Mostre que

Γ(n + 1/2) = \frac{(2n)!\sqrt{π}}{4^{n}n!}

ii) Mostre o cálculo de Raabe (1843)

∫_{0}^{1} log Γ(t) dt = log \sqrt{2π}

Sugestão É preciso mostrar primeiramente que

∫_{0}^{1} log sin πt dt = − log 2

Para demonstrar a fórmula acima (que também aparece na dedução da fórmula de Jensen) use a fórmula de duplicação do seno: sin 2πz = 2 sin πz sin π(z + \frac{1}{2}).

Para concluir, use a fórmula de suplemento de Euler.

g) Encontre a representação em séries da derivada logarítmica \frac{Γ′(z)}{Γ(z)}. Encontre também relações funcionais para esta função . Mostre que Γ(z) é convexa logarítmica, i .e log Γ é convexa em (0, ∞).

h) Mostre o teorema de unicidade de Wielandt (1939) a função Γ é a única função holomorfa no semi-plano à direita ℜz > 0, satisfazendo Γ(1) = 1, satisfazendo a relação funcional Γ(z + 1) = zΓ(z), e sendo limitada na faixa {1 ⩽ ℜz < 2}. Sugestão Suponha que exista uma função g com as propriedades dadas. Mostre que a diferença f(z) = g(z) − Γ(z) é uma função inteira limitada na faixa {0 ⩽ ℜz ⩽ 1}. Aplique o teorema de Liouville à função f(z)f(1 − z). Investigue o teorema de unicidade de Bohr-Mollerup (1922): Este diz que a relação funcional Γ(z + 1) = zΓ(z), z > 0, o fato que Γ(1) = 1, e o fato que Γ(z) é convexa logarítmica caracterizam a função Gamma. Veja refs. 7), 14).

ı) Mostre o teorema de representação de Euler A integral ∫_{0}^{∞}t^{z−1} e^{−t} dt,

converge uniformemente e absolutamente à Γ(z) em toda faixa vertical fechada {0 < a ⩽ ℜz ⩽ b}.

i) Use a fórmula acima para calcular

∫_{0}^{∞} x^{2n} e^{−x^{2}} dx = \frac{Γ(n + 1/2)}{2}

Conclua que ∫_{0}^{∞} e^{−x^{2}} dx = \frac{\sqrt{π}}{2} .

Considere r > 0 e c+di ∈ C_{r}, c < 0, d > 0 onde C é o círculo de raio r centrado na origem. Seja α o arco orientado de C_{r} saindo de c − di e chegando à c + di. Seja α_{1} a semi-reta orientada horizontal, inteiramente contida no segundo quadrante, partindo de c + di. Seja α_{2} a semi-reta orientada, inteiramente contida no terceiro quadrante, chegando em c − di. Considere o caminho fechada γ := a_{2} + α + α_{1}.

j) Mostre que \frac{1}{2πi} ∫_{γ} w^{−z} e^{w} dw, converge uniformemente em compactos e

absolutamente em ℂ a uma função inteira h, satisfazendo h(1) = 1 e h(−n) = 0, n ∈ IN. Além disso, mostre que h(z) e^{−π| Im z|} é limitada em toda faixa {a ⩽ ℜz ⩽ b}. Sugestão Mostre que se β é um segmento vertical orientado ligando um ponto do traço de α_{2} a um ponto do traço de α_{2}, em ℜz = −t, então lim_{t→∞} ∫_{β} w^{−m} e^{w} dw = 0, ∀m ∈ ℤ. Aplique o

teorema dos resíduos para demonstrar que os valores de h na origem e nos inteiros negativos são os desejados.

i) Mostre as representações integrais de Hankel:

\frac{1}{Γ(z)} = \frac{1}{2πi} ∫_{γ} w^{−z} e^{w} dw z ∈ ℂ

Γ(z) = \frac{1}{2i sin πz} ∫_{γ} w^{z−1} e^{w} dw z ∈ ℂ \ \{−1, −2, −3, …\}

k) Mostre que a função

B(z, w) = ∫_{0}^{1} t^{w−1}(1 − t)^{z−1} dt

é holomorfa em z ∈ {ℜz > 0}, para cada w ∈ {ℜw > 0} fixado. Idem trocando-se os papéis de z e w. A função B(z, w) é chamada de função Beta de Euler.

i) Mostre a identidade de Euler

B(z, w) = \frac{Γ(w)Γ(z)}{Γ(z + w)} ∀z ∈ ℜz > 0, w ∈ ℜw > 0

Sugestão Fixe w ∈ {ℜw > 0}, e aplique o teorema de unicidade. Para tal você terá que demonstrar antes algumas propriedades quase diretas da função Beta de Euler.

l) Exercício-pesquisa: Investigue as fórmulas de Stirling para a função Gamma:

Γ(z) ∼ \sqrt{2π}z^{z−1/2} e^{−z} quando |z| → ∞ | arg z| ⩽ π − δ, 0 < δ < π

Conclua:

n! = \sqrt{2π}n^{n+ \frac{1}{2}} e^{−n} e^{a_{n}}

onde a_{n} ⟶ 0 (quando n → ∞).

A função Zeta de Riemann

23) Mostre que a função Zeta de Riemann definida por

ζ(z) = ∑_{1}^{∞} n^{−z}

é holomorfa em {ℜz > 1}.

a) Exercício-pesquisa: Mostre que a função Zeta de Riemann pode ser definida para ser uma função meromorfa no plano complexo ℂ, com um único pólo simples em z = 1 e Res(ζ, 1) = 1. Para z ≠ 1, a função ζ satisfaz a relação funcional de Riemann (Veja refs. 7), 15), 16))

ζ(z) = 2(2π)^{z−1}Γ(1 − z)ζ(1 − z) sin(\frac{πz}{2} )

i) Mostre que ζ(z) = 0 para z = −2, −4, −6, …. Mostre também que ζ não tem outros zeros fora da faixa fechada crítica {0 ⩽ ℜz ⩽ 1}.

A hipótese de Riemann afirma que um zero de ζ na faixa crítica ocorre apenas na reta vertical ℜz = \frac{1}{2}. É sabido que nesta reta vertical ζ possui uma infinidade de zeros (Hardy, 1914).

b) Exercício-pesquisa: Mostre o teorema de Euler: Se ℜz > 1 então

ζ(z) = ∏_{1}^{∞} (\frac{1}{1 − p_{n}^{−z}} )

onde {p_{n}} é a seqüência de números primos.

Fórmula de Jensen

24) Seja f uma função holomorfa em B_{1}(0), a bola aberta de raio 1, centrada na origem. Suponha que f(0) ≠ 0. Seja a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, os zeros de f (aparecendo com suas respectivas multiplicidades) na bola de raio r, centrada na origem B_{r}(0). Mostre a fórmula de Jensen

log |f(0)| + log \frac{r^{n}}{|a_{1}a_{2} ⋯ a_{n}|} = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}log |f(r e^{iθ})| dθ

Quando f tem zeros no círculo de raio r, a integral direita da desigualdade é uma integral imprópria. Sugestão Mostre a fórmula quando f não tem zeros no disco fechado de raio r. Em seguida demonstre que

∫_{0}^{2π}log |1 − e^{iθ} | dθ = 0

Uma maneira de demonstrar o fato acima é deduzir a seguinte identidade (veja uma outra resolução nas refs. 9), 15) e 18)) :

\frac{1}{2} ∫_{0}^{2π}log |1 − e^{iθ} | dθ = π log 2 + ∫_{0}^{π} log sin θ dθ

mas a última integral à direita da igualdade logo acima já foi calculada antes. É preciso tomar certa precaução quando f se anula no círculo C_{r} = ∂B_{r}(0) de raio r : Considere a função

g(z) := f(z) ∏_{1}^{n} \frac{\overline{a_{k}}z − r^{2}}{r(z − a_{k})} ∏_{1}^{m} \frac{b_{j}}{b_{j} − z}

onde b_{1}, b_{2}, …, b_{m}, são os zeros de f em C_{r}. Mostre que quando f não se anula em C_{r} (como ocorre nas aplicações ), a demonstração se simplifica consideravelmente.

a) Conclua a desigualdade de Jensen

|f(0)| ⩽ |a_{1}a_{2} ⋯ a_{n}||f|_{B_{1}(0)}

i) Conclua que se f é uma função holomorfa (f ≢ 0) e limitada em B_{1}(0),e se a_{1}, a_{2}, …, é a seqüência de zeros de f, contados com multiplicidade, então

∑(1 − |a_{n}|) < ∞ (condição de Blaschke)

ii) Seja {a_{1}, a_{2}, …} um subconjunto enumerável de B_{1}(0), tal que ∑(1 − |a_{n}|) = ∞. Mostre que se f e g são duas funções holomorfas e limitadas em B_{1}(0), então , se f(a_{j}) = g(a_{j}), j = 1, 2, … tem-se que f ≡ g.

Seja {a_{n}}, uma seqüência na bola B_{1}(0). O produto de Blaschke está definido por

B(z) = z^{k} ∏_{1}^{∞} \frac{z − a_{n}}{\overline{a_{n}}z − 1} · \frac{|a_{n}|}{a_{n}}, z ∈ B_{1}(0)

onde k é um inteiro não negativo

b) Mostre que se ∑(1 − |a_{n}|) < ∞, então o produto de Blaschke B(z) define uma função holomorfa e limitada na bola B_{1}(0), cujos zeros são exatamente os pontos a_{n} (a origem também é um zero se k > 0.) Mostre que não existe uma função holomorfa em B_{1}(0), que se anula, com um

zero de ordem n, nos pontos 1 − 1/n^{2}.

i) Conclua que dada uma função holomorfa limitada em B_{1}(0), existe um produto de Blaschke B(z) e uma função holomorfa g em B_{1}(0), tal que f = e^{g} ·B.

c) Mostre que a equivalente condição de Blaschke no semi-plano à direita

{ℜz > 0} é dada por

∑ \frac{ℜa_{n}}{|1 + a_{n}|^{2}} < ∞

Definimos log^{+} t = log t, se t ⩾ 1, e log^{+} t = 0, se 0 < t < 1. Observe que log t = log^{+} t − log^{+}(1/t). A família de Nevanlinna, denotada por N , é o conjunto de funções holomorfas em B_{1}(0), satisfazendo

sup_{0<r<1} \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} log^{+} |f(r e^{iθ})| dθ < ∞

c) Mostre que se f ∈ N (f ≢ 0), e a_{1}, a_{2}, … são os zeros de f com suas multiplicidades, então

∑(1 − |a_{n}|) < ∞ (condição de Blaschke)

Seja f uma função inteira. Definimos M(r) = sup_{θ} |f(r e^{iθ})|, 0 < r < ∞.

Seja n(r), o número de zeros de f no disco fechado \overline{B}_{r}(0).

d) Suponha que f(0) = 1. Mostre que

n(r) log 2 ⩽ log M(r)

i) Conclua que se M(r) < e^{Ar^{k}}, para A > 0, k > 0 e r suficientemente

grande, então

lim sup_{r→∞} \frac{log n(r)}{log r} ⩽ k

Mostre com um exemplo que a igualdade no limite acima pode ser atingida.

Considere f uma função meromorfa no disco fechado \overline{B}_{r}(0). Seja c um zero ou pólo de ordem m > 0. Definimos

n_{f}(c) = ord_{c}(f) := m se c é um zero, − m se c é um pólo,

0 quando c não é zero nem pólo

Suponha que f(z) = c_{f}z^{m}+ termos de maior ordem, numa vizinhança da origem. Ou seja f tem ordem m (segundo a definição acima) , i .e n_{f}(0) = m.

f) Seja f uma função meromorfa e não constante no disco fechado \overline{B}_{r}(0). Mostre a seguinte versão da fórmula de Jensen generalizada

log |c_{j}| + ∑_{c∈B_{r}(0), c≠0} n_{f}(c) log \frac{r}{|a|} + n_{f}(0) log r = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}log |f(r e^{iθ})| dθ

g) Exercício-pesquisa: Investigue a fórmula de Poisson-Jensen para log |f(z)| e log f(z). Veja refs 1), 9), 15), 18).

Vamos fazer uma pequena incursão na teoria de Nevanlinna (Veja refs 3), 15)).

Defina-se n_{f}^{+}(0) = max(0, n_{f}(0)). Defina-se também

N_{f}(∞, R) = ∑_{{a∈B_{R}(0),a≠0 \atop f(a)=∞}} −(ord_{a} f) log \frac{R}{|a|} + n_{1/f}^{+}(0) log R

N_{f}(0, R) = ∑_{{a∈B_{R}(0),a≠0 \atop f(a)=0}}(ord_{a} f) log \frac{R}{|a|} + n_{f}^{+}(0) log R

h) Mostre que a fórmula de Jensen generalizada pode ser escrita da forma

log |c_{f}| = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}log |f(R e^{iθ})| eθ + N_{f}(∞, R) − N_{f}(0, R)

Agora seja f uma função meromorfa em \overline{B}_{R}. Para r < R, define-se

m_{f}(r) = ∫_{0}^{2π}log^{+} |f(r e^{iθ})| dθ função proximidade

e

G = G_{R,f}^{∞}(z) = ∏_{a∈B_{R}_{f(a)=∞}} G_{R}(z, a)^{− ord_{a} f}

onde G_{R}(z, a) := \frac{R^{2} − \overline{a}z}{R(z − a)}.

i) Mostre as seguintes propriedades da função proximidade (f_{1}, f_{2}, …, f_{n} são funções meromorfas)

m_{f_{1}f_{2}} ⩽ m_{f_{1}} + m_{f_{2}}
m_{f_{1}+···+f_{n}} ⩽ m_{f_{1}} + ⋯ + m_{f_{n}} + log n

ı) Mostre que

m_{G}(r) = N_{f}(∞, R) − N_{f}(∞, r)

A função altura de Nevanlinna está definida por

T_{f}(r) = m_{f}(r) + N_{f}(∞, r)

j) Mostre a versão da fórmula de Jensen generalizada de Nevanlinna

T_{1/f}(r) = T_{f}(r) − log |c_{f}|

Agora defina-se n_{f}(0, r) como sendo o número total de zeros na bola aberta B_{r}(0), de raio r, contados com suas multiplicidades.

Seja N_{f}(b, r) = N_{f−b}(0, r) (Veja item g) acima).

k) Exercício-pesquisa: Mostre o seguinte teorema de Cartan (Veja ref. 15)) . Se f é uma função inteira com f(0) ≠ 0, então

m_{f}(r) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}N_{f}(e^{iθ}, r) dθ + log^{+} |f(0)|

Conclua que m_{f} é uma função crescente de r

l) Mais geralmente prove o seguinte teorema de Cartan: Se f(z) é meromorfa em {|z| < R ⩽ ∞},e f(0) ≠ ∞ (Veja ref. 3))

T_{f}(r) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}N_{f}(e^{iθ}, r) dθ + log^{+} |f(0)|

Lembremos a definição : M(r) = sup_{θ} |f(r e^{iθ})|, 0 < r < ∞.

Defina M_{f}(r) = log M(r).

m) Mostre que se f é uma função inteira, então para r < R

M_{f}(r) ⩽ \frac{R + r}{R − r} m_{f}(R)

Em particular, conclua que M_{f}(r) ⩽ 3m_{f}(2r). Sugestão Quando f não se anula, aplique a fórmula de Poisson à função log |f(z)|. No caso geral use a fórmula de Poisson-Jensen.

i) Mostre que a desigualdade acima vale para funções holomorfas na bola unitária B_{1}(0), impondo que r < R < 1. Mostre com isso que a família de funções holomorfas definida na bola unitária satisfazendo m_{f}(r) < A, ∀ 0 < r < 1 para A > 0, é normal.

ii) Conclua que se f é uma função inteira, e se m_{f} fica limitada, quando r → ∞, então f é constante. Mostre que se existe uma constante k tal que m_{f}(R_{j}) ⩽ k log R_{j}, para uma seqüência de números tal que R_{j} → ∞(j → ∞), então f é um polinômio de grau no máximo k.

n) Exercício-pesquisa: Seja f uma função meromorfa em {|z| < R ⩽ ∞}, a ∈ ℂ. Deduza o primeiro teorema fundamental de Nevanlinna (Veja refs. 3), 15))

T_{f}(r) = T_{f−a}(r) + O_{a}(1) 0 < r < R

onde |O_{a}(1)| ⩽ log^{+} |a| + log 2.

Miscelânea

O teorema de Mittag-Leffler 25) Exercício-pesquisa: Enuncie e demonstre o teorema de Mittag-Leffler no plano

complexo ℂ (Veja ref. 9)).

a) Exiba séries de Mittag-Leffler canônicas: Séries de Eisenstein, série derivada logarítmica da função Γ(z), série de Eisenstein-Weierstrass) Veja ref. 14)).

b) Enuncie e demonstre o teorema de Mittag-Leffler para abertos arbitrários (Veja refs. 14), 18)).

c) Mostre o teorema de oscilação de Mittag-Leffler (Veja ref.14)). Conclua o teorema de interpolação para funções holomorfas.

d) Conclua o lemma de Wedderburn: Se f e g são duas funções holomorfas num domínio Ω ⊂ ℂ, relativamente primas, i. e sem zeros comuns, então existem funções holomorfas a e b tal que

af + bg = 1

Na verdade a pode ser escolhida de modo a não se anular em Ω.

O teorema de Runge

26) Exercício-pesquisa: Mostre o teorema geral de aproximação de Runge (Veja refs. 7), 14), 18)).

a) Deduza do teorema de Runge, uma formulação do teorema de Mittag-Leffler.

b) Mostre que o teorema de Runge implica no teorema geral de Cauchy para domínios simplesmente conexos.

c) Prove a seguinte versão do teorema de Runge ( Seja {D_{n}} uma seqüência de círculos fechados concêntricos, de modo que D_{n} reside no interior de D_{n+1} e a união é B_{1}(0), o disco aberto unitário centrado na origem. Em D_{n} escolha um compacto K_{n} contido no interior de D_{n}, porém não tocando D_{n−1}. Suponha que cada K_{n} tenha um complemento conexo no plano complexo ℂ. Aplique o teorema de Runge para mostrar que qualquer função holomorfa definida numa vizinhança da união dos K′_{n} s pode ser approximada nesta união por funções analílicas definidas em B_{1}(0). Sugestão (Veja o livro de Kenneth Hoffman, Banach spaces of analytic functions, Prentice-Hall, 1962). Dados f e ϵ aproxime f em D_{1} por um polinômio p_{1}, uniformemente relativo a ϵ/2. Escolha um polinômio p_{2} que aproxima p_{1} em D_{1} uniformemente relativo a ϵ/4 e f em K_{2} uniformemente relativo a ϵ/4. Então aproxime p_{2} em D_{2} e f em K_{3} por p_{3} uniformemente relativo a ϵ/8. Mostre que a seqüência {p_{n}} converge à uma função holomorfa em B_{1}(0) aproximando como desejado f.

i) Moste que pode ser construída uma função analítica no disco aberto unitário B_{1}(0) que não possua limite radial em algum ponto do círculo unitário (Compare com o teorema de Fatou, veja refs. 7), 18).

ii) Mostre que pode ser construída uma seqüência de funções analíticas no disco aberto unitário B_{1}(0) que convergem ponto a ponto à zero, mas não uniformemente.

iv) (Veja ref. 14) Mostre que existe uma seqüência de polinômios p_{n}

com as seguintes propriedades

1) lim_{n→∞} p_{n}(0) = 1, lim_{n→∞} p_{n}(z) = 0, ∀ z ∈ ℂ \ {0}.

2) lim_{n→∞} p_{n}^{(k)}(z) = 0, ∀ z ∈ ℂ, (∀k ∈ IN).

3) Toda seqüência p_{1}^{(k)}, p_{2}^{(k)}, … (k ∈ IN), converge uniformemente em compactos em ℂ \ {x ∈ IR, x ⩾ 0}, mas nenhuma destas seqüência converge uniformemente em compactos em nenhuma vizinhança de um ponto x ⩾ 0.

Funções elípticas

27) Exercício-pesquisa (Veja refs 3), 8)): Defina função elíptica, reticulado, domínio fundamental. Estabeleça as propriedades básicas das funções elípticas, em particular, demonstre o lema de Abel. Defina a função ℘(z) de Weierstrass e estabeleça suas propriedades básicas. Defina a função ζ(z) de Weierstrass e deduza suas propridades básicas. Deduza a relação de Legendre. Defina a função σ(z) de Weierstrass. Encontre os zeros de ℘′(z).

a) Mostre a expressão de toda função elíptica em termos de ℘(z) e ℘′(z).

b) Mostre que ℘(z) satisfaz uma certa equação diferencial de primeira ordem.

c) Mostre o teorema de adição para a função ℘(z) e para ζ(z).

d) Defina e discuta as funções Theta de Jacobi. Mostre a representação das funções Theta como um produto infinito. Calcule a derivada logarítmica das funções Theta de Jacobi. e) Defina e estude as funções sinus amplitudinis, cosinus amplitudinis e delta

amplitudinis de Jacobi. Mostre os teoremas de adição para tais funções . Defina a função Zeta de Jacobi .

Equações singulares regulares de segunda ordem

28) Exercício-pesquisa (Veja refs. 4), 8)): Defina equação linear homogênea cujos pontos singulares (pontos singulares isolados de algum coeficiente (que são funções meromorfas)) são singulares-regulares.

a) Mostre o teorema de Fuchs que diz que uma condição necessária e suficiente para que uma singularidade isolada de uma equação diferencial linear de primeira ordem

w′ + p(z)w = 0

seja regular-singular é que esta singularidade seja no máximo um pólo simples do coeficiente p(z).

b) Mostre o teorema de Fuchs que diz que uma condição necessária e suficiente para singularidade isolada da equação

w′′ + p(z)w′ + q(z)w = 0

seja regular-singular é que seja no máximo um pólo simples de p(z), e no máximo um pólo duplo do coeficiente q(z).

i) Defina e estude as propriedades do Wronskiano. Mostre que o Wronskiano satisfaz uma equação diferencial de primeira ordem e integre tal solução. O que acontece quando p(z) ≡ 0 ?

Considere a equação indicial

ρ(ρ − 1) + p_{−1}ρ + q_{−2} = 0

onde p_{−1} e q_{−2} são dados pelos seguintes desenvolvimentos de Laurent de p e q em z = 0

p(z) = \frac{p_{−1}}{z} + p_{0} + p_{1}z + ⋯

q(z) = \frac{q_{−2}}{z^{2}} + \frac{q_{−1}}{z} + q_{0} + q_{1}z + ⋯

c) Exercício-pesquisa : Suponha que z = 0 seja um ponto regular-singular da equação diferencial de segunda ordem do item b) acima. Sejam ρ_{0} e ρ_{1} as raízes da equação indicial com ρ_{0} ⩾ ρ_{1}, caso as raízes forem reais. Assuma que a diferença ρ_{0} − ρ_{1}, não seja um inteiro. Mostre que neste caso existem duas soluções linearmente independentes da forma

w_{0}(z) = z^{ρ_{0}}φ_{0}(z), w_{1}(z) = z^{ρ_{1}}φ_{1}(z)

onde φ_{0} e φ_{1}, são holomorfas na origem. Quando ρ_{0} − ρ_{1}, é um inteiro, mostre que existem duas soluções linearmente independentes da forma

w_{0}(z) = z^{ρ_{0}}φ_{0}(z), w_{1}(z) = z^{ρ_{0}}cφ_{0}(z) log z + z^{ρ_{1}}φ_{1}(z)

A derivada Schwarziana de w com respeito a z está definida por

[w]_{z} = (\frac{w′′}{w′} )′ − \frac{1}{2} (\frac{w′′}{w′} )^{2}

onde as derivadas acimas estão tomadas com respeito a z.

d) Sejam w_{1} e w_{2} duas soluções linearmente independentes da equação

w′′(z) + Q(z)w(z) = 0 (∗)

definidas e holomorfas num domínio simplesmente conexo Ω ⊂ ℂ. Mostre que w(z) := \frac{w_{1}(z)}{w_{2}(z)}, satisfaz a equação

[w]_{z} = 2Q(z) (∗∗)

em todos os pontos z ∈ Ω onde w_{2}(z) ≠ 0. Reciprocamente, mostre que se w(z) é uma solução de (∗∗), holomorfa numa vizinhança de z = z_{0} ∈ Ω, então existem duas soluções linearmente independentes u(z) e v(z), de (∗), definidas em Ω, tal que

w(z) = \frac{u(z)}{v(z)}

Além disso, u e v são unicamente determinadas pela condição v(z_{0}) = 1.

i) Mostre que a derivada Schwarziana é invariante pelo grupo de Möbius.

e) Estude a equação de Bessel

z^{2}w′′ + zw′ + (z^{2} − κ^{2})w = 0

onde κ é uma constante arbitrária. Mostre que z = 0 é uma singularidade regular-singular e que ∞, não é uma singularidade regular-singular. Mostre que uma solução da equação de Bessel é a chamada função de Bessel de primeiro tipo e ordem κ, . dada por

J_{κ}(z) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n!} · \frac{1}{Γ(κ + n + 1)} (\frac{z}{2})^{κ+2n}

Obtenha também as seguintes relações de recurrência

J_{κ+1}(z) + J_{κ−1}(z) = \frac{2κ}{z}J_{κ}(z)

Conclua que J_{1/2}(z) = \sqrt{\frac{2}{πz}} sin z e J_{−1/2}(z) = \sqrt{\frac{2}{πz}} cos z Além disso, obtenha a representação integral de Schläfli para as funções de

Bessel de primeiro tipo, usando a representação integral de Hankel para \frac{1}{Γ(z)} (Veja item 22) j):

J_{κ}(z) = \frac{1}{2πi} (\frac{z}{2})^{κ} ∫_{γ} w^{−(κ+1)} e^{(w−z^{2}/(4w))} dw

f) Considere a equação diferencial de Legendre

(z^{2} − 1)w′′ + 2zw′ − n(n + 1)w = 0

onde n é um inteiro não negativo. Mostre que z = ±1 são pontos regulares singulares e que ∞ é também regular-singular. Encontre duas soluções linearmente independentes numa vizinhança do ∞, mostrando que uma destas é um polinômio de grau n (chamado de polinômio de Legendre).

g) Exercício-pesquisa: Uma equação Fuchsiana é aquela cujas singularidades são todas regulares singulares, inclusive no ∞. Mostre que z = ∞ é uma regular singularidade, se p(z) tem ao menos um zero simples no ∞, e q(z) tem ao menos um zero duplo no ∞. Estude as equações Fuchsianas com uma ou duas singularidades. As equações de Riemann são as equações Fuchsianas com três pontos singulares. Elabore um estudo geral das equações Fuchsianas. Mostre que a equação diferencial hipergeométrica

z(1 − z)w′′ − ((a + b + 1)z − c)w′ − abw = 0

possui uma solução holomorfa numa vizinhança de z = 0, que vem a ser exatamente a série hipergeométrica F (a, b, c, z) estudada no item 6).

Aplicações adicionais do princípio do máximo para funções holomorfas

29) Mostre o seguinte teorema de Borel-Caracthéodory (Veja refs. 15), 3) ): Se f é uma função holomorfa numa vizinhança do disco fechado \overline{B}_{R}(0), de raio R, então para todo r < R, (Veja notação no item 24)k) )

M(r) ⩽ \frac{2r}{R − r} sup_{R} ℜf + \frac{R + r}{R − r} |f(0)|

a) Seja f uma função inteira. Suponha que

sup_{R} ℜf ⩽ AR^{σ} A > 0 σ > 0

para R suficietemente grande. Mostre que f é um polinômio de grau no máximo σ.

b) Deduza o seguinte teorema de Hadamard: Se f é uma função inteira sem zeros satisfazendo M(R) ⩽ A^{R^{σ}}, para A ⩾ 1 e todo R suficientemente grande, então f(z) = e^{p(z)}, onde p é um polinômio de grau no máximo σ.

c) Discuta as várias formas do teorema de Phragmèn-Lindelöf. Veja as refs. 7), 18).

Família de funções meromorfas

30) Discuta os teoremas de Montel, Vitali e Picard. Veja refs. 3), 7), 9), 12), 18).

a) Mostre que a família das funções holomorfas na bola unitária B_{1}(0) com imagem em ℂ \ {0, 1} é normal. b) Mostre que o teorema de Vitali é equivalente ao teorema de Montel.

c) Mostre que o teorema de Vitali pode ser aplicado na representação integral de funções holomorfas.

d) Mostre o grande teorema de Picard a partir do teorema de Montel.

e) Considere S, a família das funções univalentes na bola unitária B_{1}(0), satisfazendo f(0) = 0 e f′(0) = 1 (cf. lista 8). Mostre que S é compacta no conjunto de todas as funções contínuas em B_{1}(0), com a topologia da convergência uniforme.

i) Conclua que para cada 0 < r < 1, existe uma constante C(r), tal que se f é uma função univalente na bola unitária, então

log \frac{|f′(z)|}{|f′(w)}| ⩽ C(r), ∀z, w ∈ B_{r}(0)

Compare também com o teorema de distorção de Koebe estabelecido na lista 8.

f) Exercício-pesquisa: Discuta os promeiros resultados na Dinâmica Complexa obtidos por Julia, usando o teorema de Montel. Veja ref. 19).

31) Discuta os espaços de Bergman, Hardy e Nevanlinna. Veja refs. 3), 7), 12), 18).

32) Discuta funções inteiras de ordem finita. Demonstre o teorema de Hadamard. Veja refs. 3), 7), 15), 18).

Funções multivalentes

33) Seja f uma função holomorfa definida num aberto U do semi-plano superior {Im z > 0}. Suponha que f se estenda continuamente ao intevalo (−1, 1) do eixo real. Seja f(1/2) = b. Assuma que f leva o segmento aberto (−1, 1), em dois segmentos de reta que se intersectam em b formando um ângulo de πα. Mostre que f pode ser escrito numa vizinhança de z = 1/2 na seguinte forma

f(z) = b + (z − 1/2)^{α}g(z)

onde g(z) é holomorfa numa vizinhança de z = 1/2, e g(1/2) ≠ 0.

34) Seja D^{∗} := {0 < |z| < 1} o disco unitário perfurado no plano complexo ℂ. Seja A(z) uma “função multivalente”em D^{∗} definida e holomorfa em todo subconjunto simplesmente conexo U ⊂ D^{∗}. Suponha que |A(z)| esteje bem definida em todo o disco perfurado D^{∗}, e que não se anula neste. A finalidade deste exercício é estudar a “cara”de A. Você vai precisar saber do conceito de conjugada harmônica e períodos largamente explorados na lista 9.

a) Considere a função harmônica u = log |A(z)|, definida em D^{∗}. Seja ∗u = ∫_{z_{0}}^{z} d^{∗}u, ∫_{S^{1}} d^{∗}u = a ∈ IR, onde ^{∗}u é a conjugada harmônica de u

de modo que u + i^{∗}u é uma “multi-função holomorfa”. Mostre que C(z) definida por

C(z) := e2π/a(u + i^{∗}u)

está bem definida e é holomorfa em D^{∗}. Mostre que

A(z)|_{U} = ea/2π log C(z)|^{U} .

i) Suponha que 0 não é uma singularidade essencial de C. Mostre que C(z) = z^{p}D(z), p ∈ ℤ onde D(z) é uma função holomorfa que não se anula em z = 0. Conclua que A(z) pode ser escrita da forma

A(z) = z^{μ}B(z)

onde B(z) é uma função holomorfa em D que não se anula. ii) Quando z = 0 é singularidade essencial de C, mostre com exemplos

que B(z) acima pode ter singularidade essencial em z = 0. Mostre que quando A pode se anular perto de z = 0, a função B acima pode ter uma singularidade essencial em z = 0, mostrando explicitamente com um exemplo que B pode se anular numa seqüência de zeros convergindo a z = 0.

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