VCOMPLEXAS-2001.2–Lista 8

prof: Ricardo Sá Earp

SÍNTESE DE APLICAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES CONFORMES

Transfornações conformes básicas

1) Considere a aplicação f dada por z ⟶ z^{2}.

a) Seja H um semi-plano aberto determinado pela reta e^{iθ}IR, para θ real qualquer. Mostre que f(H) = ℂ \ L, L = e^{2iθ}IR_{+} e que f : H ⟶ f(H) é uma transformação conforme. Determine a inversa.

b) Seja w = u + iv = z^{2}, z = x + iy. Mostre que u = u_{0} e v = v_{0} determina duas famílias de hipérboles ortogonais. Também mostre que x = x_{0} e y = y_{0} determina duas famílias de parábolas ortogonais.

c) Mostre que a imagem por f do círculo S = {z, |z−1| = 1} é um cardióide. Mostre que f fornece uma equivalência conforme entre o domínio aberto delimitado pelo cardióide e o disco aberto delimitado por S.

d) Mostre que z ↦ z^{1/2} leva conformemente ℂ\IR^{−} ∪{0} sobre o semiplano ℜz > 0, e leva conformemente o semi-plano superior (aberto) sobre o

primeiro quadrante. Mostre que w = \sqrt{\frac{z − 1}{z + 1}}, leva conformemente ℂ \ ((−∞, −1] ∪ [1, ∞)) , sobre {Im z > 0}.

2) Mostre que o ramo principal do logaritmo z ↦ w = log z dá uma equivalência conforme entre H := {z, Im z > 0} e a faixa {0 < Im z < π}. Obtenha daí uma equivalência conforme entre uma faixa qualquer F ⊂ ℂ e o disco aberto unitário D := B_{1}(0).

3) Considere a função w = u+iv = cos z = cos x cosh y−i sin x sinh y, z = x+iy.

a) Mostre que a imagem das retas {y = y_{0} ≠ 0} e {x = x_{0}, sin x_{0} ≠ 0, cos x_{0} ≠ 0} dão elipses e hipérboles ortogonais e confocais, respectivamente. Observando que cos z = \overline{cos z}, cos(−z) = cos(z), estude as imagens das retas quando y > 0, y = 0, y < 0 e −π < x < π.

b) Mostre que z ↦ w = cos z leva conformemente a semi-faixa aberta {0 < x < π, y > 0} sobre o semi-plano inferior {Im z < 0}. Mostre ainda que z ↦ w = cos z envia conformente a faixa 0 < x < π sobre o domínio ℂ̃ = ℂ \ ((−∞, −1] ∪ [1, ∞)) .

c) Considere g(w) = \frac{1}{i} log (w + i\sqrt{1 − w^{2}}) . Mostre que 1 − w^{2} ⩽ 0 ⇔ w é real e |w| ⩾ 1. Mostre que w + i\sqrt{1 − w^{2}} ∈ ℂ \ IR_{−} para w ∈ ℂ̃. Conclua que w ↦ w + i\sqrt{1 − w^{2}} é holomorfa para w ∈ ℂ̃. Mostre que arccos x = g(x), ∀x ∈ (−1, 1). Conclua finalmente que a inversa de z ↦ cos z (ramo principal de w = arccos z) é dada por arccos w = g(w), ∀w ∈ ℂ̃ e que

\frac{d}{dw} (arccos w) = −(1 − w^{2})^{−1/2}, ∀w ∈ ℂ̃.

c) A aplicação w = sin z, leva conformemente uma semi-faixa sobre um semi-plano ? Leva a faixa {−π/2 < ℜz < π/2} sobre que domínio ? Elabore um estudo da função f(w) = arcsin w definida em

ℂ̃ = ℂ \ ((−∞, −1] ∪ [1, ∞)), nos moldes que foi feito no exercício 8) para arccos w, onde f é a inversa da função z ↦ sin z restrita à −π/2 < ℜz < π/2 (ramo principal de w = arcsin z). Mostre que arcsin w = \frac{1}{i} log(iw + \sqrt{1 − w^{2}}), ∀w ∈ ℂ̃

e que \frac{d}{dw} (arcsin w) = (1 − w^{2})^{−1/2}, ∀w ∈ ℂ̃.

4) Mostre que z ↦ w = tan z envia conformemente a faixa aberta {−π/2 < ℜz < π/2} sobre ℂ \ L, onde L = {it, t ∈ IR, |t| ⩾ 1}. Mostre que a função inversa (ramo principal de w = arctan z) é dada por arctan w = \frac{1}{2i} log (\frac{i − w}{i + w} ) e

que \frac{d}{dw} arctan w = \frac{1}{1 + w^{2}} .

i) Mostre que w = arctan z leva a bola unitária B_{1}(0), sobre a faixa

{−π/4 < ℜz < π/4}.

5) Encontre explicitamente uma transformação conforme que se anula na origem e que leva a bola B_{1}(0) conformemente sobre ℂ \ ((−∞, −α] ∪ [α, ∞)) , α > 0.

6) Estude amplamente a função de Zhukovsky dada por f(z) = \frac{1}{2} (z + \frac{1}{z}) , seguindo as seguintes linhas:

a) Mostre que nos abertos contendo +1 ou −1 f não pode ser injetiva.

b) Mostre que o grau de f é 2. “Quais são os pontos de ramificação de f?”

c) Mostre que f não pode ser injetiva num domínio que contenha z e 1/z simultâneamente. Reciprocamente num domínio que contenha no máximo um dos números z, 1/z (z ∈ ℂ \ {0}), mostre que f restrita a este domínio injetiva. Mostre que f é injetiva nos seguintes domínios: D \ {0} V = {z; |z| > 1} e IH^{2} (Lembremos que D é a bola unitária aberta e que IH^{2} é o semi-plano superior).

d) Mostre que f : D \ {0} → ℂ \ L, onde L = [−1, 1], é uma equivalência conforme . Idem para f : V \ {0} → ℂ \ L, onde L = [−1, 1],

e) Mostre que f : IH^{2} \ {0} → ℂ \ S, onde S =] − ∞, −1] ∪ [1, ∞[, é uma equivalência conforme.

f) Considere A = {z; |z + x_{0}| < 1 + x_{0}}, B = {z; |z + x_{0}| > 1 + x_{0}} e C = {z; |z + x_{0}| = 1 + x_{0}}, onde 0 < x_{0} < 1. Faça figuras !!

g) Seja C̃ = f(C). Mostre que C̃ é uma curva simétrica com respeito ao eixo real passando por 1 e cortando ortogonalmente a reta real no ponto f(−1 − 2x_{0}).

h) Mostre que f é injetiva em C e que a curva de Jordan C̃ é regular, exceto no ponto 1. Mostre que C̃ faz um ângulo tipo “quina” em w = 1. ix) Seja D_{1} o domínio limitado cuja fronteira é C̃ e D_{2} o domínio exterior

C̃. Mostre que f injetiva em V ⇒ f(B) ⊂ D_{2}, f(A \ D) ⊂ D_{1}, concluindo assim que f(B) = D_{2} e f(A \ D) = D_{1}. Sugestão: Use a fórmula (de maneira apropriada)

\frac{1}{2πi} ∫γ̃ \frac{d w}{w − w_{0}} = \frac{1}{2πi} ∫_{γ} \frac{f′(z)}{f(z) − w_{0}} d z

ı) Considere as aplicações f(z) = log \frac{1 + z}{1 − z} para |z| < 1, e considere também sin z para −π/2 < ℜz < π/2. Encontre uma relação funcional entre estas funções e a função de Zhukovsky.

ȷ) Estude a transformação f(z) = log \frac{z^{2} + 1}{2z}, restrita ao semi-disco

|z| < 1, Im z > 0. κ) Usando o conhecimento da função de Zhukovsky mostre que w = sin z

leva as retas y = const em elipses e hipérboles co-focais cujos focos são os pontos ±1.

6) Mostre que a aplicação de Koebe dada por f(z) = \frac{z}{(1 − z)^{2}} leva conformente

a bola aberta unitária (centrada na origem) sobre ℂ \ (−∞, −\frac{1}{4}] . Logo, note que a imagem da bola unitária contém uma bola de raio 1/4. Isto tem um significado mais geral ?

7) Sejam α, β > 0, números reais positivos. Considere a função

f(z) = \frac{δz}{(γ + z)(1 + γz)} γ < 1

Mostre que se γ = \frac{\sqrt{β} − \sqrt{α}}{\sqrt{β} + \sqrt{α}}, e δ = \frac{4αβ}{(\sqrt{β} + \sqrt{α})^{2}} , então f leva conforme-

mente a bola aberta unitária B_{1}(0) conformemente sobre ℂ∪{∞}\[α, β].

8) Estudes as aplicações abaixo nos domínios especificados. a)

f(z) = \frac{α − e^{log α(\frac{1 + z}{1 − z} )}}{1 − α e^{log α(\frac{1 + z}{1 − z} )}} (0 < α < 1) ∀ |z| < 1

b)

f(z) = (\frac{1 + z}{1 − z} )\frac{2α}{π}  (0 < α < 1)  |z| < 1.

9) Mostre:

a) A transformação

f(z) = \frac{z}{\sqrt{z^{2} + 1}}

leva {Im z > 0} \ {it, t ⩾ 1} conformemente sobre o semi-plano superior {Im z > 0}.

Funções univalentes

Lembremos que uma função f que aplica o domínio Ω sobre G ⊂ ℂ é chamada univalente se

i) f é holomorfa em Ω ii) f é injetiva (um-a-um)

10) Mostre o seguinte critério de univalência: Seja f uma função holomorfa num domínio convexo Ω satisfazendo a condição :

Ref′(z) > 0, ∀z ∈ Ω

Conclua que a) f é univalente em Ω.

b) Se Ω = D := \{|z| < 1\} e f é contínua em \overline{Ω} então f(Ω) é um domínio de Jordan (i. e ∂Ω é uma curva de Jordan).

11) Considere f(z) = z + ∑_{2}^{∞} a_{n}z^{n}. Assuma que

∑_{2}^{∞} n|a_{n}| ⩽ 1

a) Mostre que f aplica D conformemente num domínio de Jordan.

12) Seja f uma função holomorfa em um domínio Ω que seja localmente injetiva. A derivada Schwarziana de f denotada por S_{f} (Atenção : Na lista 7 a notação foi outra [f]_{z} !!) está definida por

S_{f} := \frac{d}{dz} \frac{f′′(z)}{f′(z)} − \frac{1}{2} (\frac{f′′(z)}{f′(z)})^{2}

a) Mostre que se w = T (z) e w = Q(z) são aplicações de Möbius então

S_{T ∘f∘Q}(z) = S_{f}(Q(z))Q′(z)^{2}

e assim é invariante por aplicações de Möbius, isto é S_{T ∘f}(z) = S_{f}(z). Conclua que a derivada Schwarziana de uma aplicação de Möbius é nula. Para um teorema de existência, envolvendo equações lineares complexas de segunda ordem, veja lista 7. A derivada Schwarziana tem papel importante na Análise Complexa, como já enfatizamos na lista 7.

b) Agora, considere f uma função analítica e univalente em D := {|z| < 1}. Seja S (schlicht functions) o conjunto das funções da forma f(z) = z + a_{2}z^{2} + a_{3}z^{3} + ⋯ que são analíticas e univalentes em D. Seja z_{0} ∈ D.

Considere a transformação de Koebe h, definida como segue: Se f uma função holomorfa e univalente definida no disco unitário aberto D = {|z| < 1}, se z_{0} ∈ D, então h está definida por

h(z) := \frac{f (\frac{z + z_{0}}{1 + \overline{z_{0}}z} ) − f(z_{0})}{(1 − |z_{0}|^{2}) f′(z_{0})} = z + (\frac{1}{2} (1 − |z_{0}|^{2}) \frac{f′′(z_{0})}{f′(z_{0})} − \overline{z_{0}})z^{2} + ⋯

i) Mostre que h (definida acima) pertence a classe S

Queremos comentar aqui que a conjectura de Bieberbach demonstrada por de Branges em 1985 diz o seguinte

(B)  |a_{n}| ⩽ n para f ∈ S, n = 1, 2, 3, …

ii) Mostre que daí e da transformação de Koebe segue imediatamente que se f leva conformemente D em ℂ então

(∗)  |(1 − |z|^{2}) \frac{f′′(z)}{f′(z)} − 2\overline{z}| ⩽ 4,  para z ∈ D

iii) Mostre que a igualdade em (B) vale para a função de Koebe f_{0}(z) = \frac{z}{(1 − z)^{2}} . Estude a função de Koebe f_{0} mostrando que a imagem por f_{0} de D contém a bola aberta B de raio 1/4 centrada na origem. Esta é uma propriedade satisfeita por todas as funções schlicht. No caso da função de Koebe f_{0}(z) tal bola B é extremal ?

c) A classe Σ consiste das funções g(z) definidas no disco perfurado D^{∗}

satisfazendo

g(ζ) = ζ + b_{0} + b_{1}ζ^{−1} + ⋯ (|ζ| > 1)

i) Mostre que se f ∈ S então g(ζ) := 1/f(ζ^{−1})satisfaz

g(ζ) = ζ − a_{2} + (a_{2}^{2} − a_{3})ζ^{−1} + ⋯ (|ζ| > 1)

concluindo que g pertence a Σ e que omite 0. Reciprocamente, mostre que se g ∈ Σ e g(ζ) ≠ 0 para ζ ∈ D^{∗}, então

f(z) = 1/g(z^{−1}) = z − b_{0}z^{2} + (b_{0}^{2} − b_{1}) z^{3} + ⋯ (|z| < 1)

pertence à S. ii) Mostre o teorema da área

dist (ℂ \ g(D^{∗})) = π(1 − ∑_{n=1}^{∞} n|b_{n}|^{2}) para g ∈ Σ

inferindo

|b_{1}| ⩽ ∑_{n=1}^{∞} n|b_{n}|^{2} ⩽ 1 para g ∈ Σ

Nota : Segue do teorema da área o caso particular do teorema de de Branges |a_{2}| ⩽ 2.

d) Mostre que se f é uma função schlicht então |a_{2}^{2} − a_{3}| ⩽ 1. Deduza daí que se f leva conformemente D em ℂ, então a derivada Schwarziana S_{f} de f satisfaz

|S_{f}(z)| ⩽ 6 (1 − |z|^{2})^{−2}

onde S_{f}(z) := \frac{d}{dz} \frac{f′′(z)}{f′(z)} − \frac{1}{2}(\frac{f′′(z)}{f′(z)})^{2}

13) Exercício-pesquisa: Mostre o teorema de distorção de Koebe (Veja refs. 3), 4), 20)). Seja f : D → ℂ uma aplicação conforme que leva D no plano complexo ℂ.

Para z ∈ D valem as seguinte desigualdades

(2)  |f′(0)|\frac{|z|}{(1 + |z|)^{2}} ⩽ |f(z) − f(0)| ⩽ |f′(0)|\frac{|z|}{(1 − |z|)^{2}}
(3)  |f′(0)|\frac{1 − |z|}{(1 + |z|)^{3}} ⩽ |f′(z)| ⩽ |f′(0)|\frac{1 + |z|}{(1 − |z|)^{3}}

Observemos que o resultado pode ser demonstrado integrando-se a equação (∗) duas vezes. Vamos definir agora d_{f}(z) = dist(f(z), ∂f(D)), (distância Euclideana de f(z) ao bordo de f(D). Claro que d_{f}(z_{0}) = lim inf_{|ζ|→1} |f(ζ) − f(z_{0})|.

a) Seja novamente h a transformação de Koebe. Usando (2) e o princípio do mínimo mostre que

\frac{1}{4} ⩽ lim inf_{|z|→1} |\frac{h(z)}{z}| ⩽ |h′(0)| = 1

Conclua

b) Se f leva D conformente em ℂ então

\frac{1}{4} (1 − |z|^{2}) |f′(z)| ⩽ d_{f}(z) ⩽ (1 − |z|^{2})|f′(z)| para z ∈ D

Tire as seguintes consequências: Primeiramente, mostre que se f leva D conformemente sobre um domínio limitado, então (1 − |z|)|f′(z)| → 0 (quando |z| → 1). Segundo, mostre que se f leva conformemente D em ℂ \ {c}, com f satisfazendo f(0) = 0, então

|f(z)| ⩽ \frac{4|cz|}{(1 − |z|)^{2}} z ∈ D

14) (Woff’s lemma) Seja h uma aplicação que envia o aberto H ⊂ ℂ conformemente dentro de D_{R} := {|z| < R}. Seja C(r) := H ∩ {|z − c| = r} para c ∈ ℂ. Mostre que

inf_{λ<r<\sqrt{λ}} dist(h(C(r)) ⩽ \frac{2πR}{\sqrt{log 1/λ}}, para 0 < λ < 1

Consequentemente, mostre que existe uma seqüência decrescente {r_{n}}, r_{n} → 0 (quando) n → ∞) satisfazendo

dist(h(C(r_{n}))) → 0 quando n → ∞

Sugestão : Denote l(r) := dist(h(C(r_{n}))). Use a desigualdade de Schwarz para obter

l(r)^{2} ⩽ 2πr ∫_{c+r e^{it}∈H} |h′(c + r e^{it})|^{2}r dt

Em seguida, divida ambos os lados por r e integre em r, com r variando de 0 à ∞, concluindo

∫_{0}^{∞}l(r)^{2} \frac{dr}{r} ⩽ 2π dist h(H)

Mostre usando o mesmo método que se f envia conformemente D sobre um conjunto limitado, então quase todo raio [0, ζ), ζ ∈ ∂D, é enviado sobre curvas de comprimento limitado.

Queremos tecer alguns comentários seguindo Pommerenke (Veja ref. 3)): Precisaremos em seguida do conceito de ângulo de Stolz. Um ângulo de Stolz em ζ ∈ ∂D := S^{1} é da forma

△ := \{z ∈ D; | arg(1 − \overline{ζ}z)| < α, |z − ζ| < ρ\} (0 < α < \frac{π}{2} , ρ < 2 cos α)

Agora seja f uma função de D em ℂ. Diz-se que f tem o limite angular a ∈ ℂ∪{∞} em ζ ∈ S^{1} se

f(z) → a, quando z → ζ, z ∈ △

para qualquer ângulo de Stolz △ em ζ; sendo o ângulo de abertura 2α de △ qualquer número < π.

O conceito de limite radial é bem claro: Diz-se que f tem o limite radial α ∈ ℂ ∪ {∞} em ζ ∈ S^{1} se

f(ζ) := a = lim_{r→1} f(rζ)

Os seguintes teoremas notáveis remontam a Carathéodory e Lindelöf: Teorema : Se f é uma aplicação conforme de D sobre Ω ⊂ ℂ ∪ {∞} então f tem limite angular a em ζ ∈ S^{1} ⇔ f tem limite radial a em ζ.

Teorema : Seja f uma equivalência conforme que leva D sobre um domínio simplesmente conexo Ω. Seja γ um arco de Jordan em Ω que termina em z_{0} ∈ ∂Ω. Então a curva f^{−1} ∘ γ em D termina num ponto ζ_{0} ∈ S^{1}, e φ(ζ) → z_{0} quando ζ → ζ_{0} dentro de qualquer ângulo de Stolz △ em ζ_{0}, ou seja f tem limite angular z_{0} em ζ_{0}.

Agora, considere f uma aplicação conforme da bola unitária aberta D = {|z| < 1} em ℂ. Vamos mostrar, seguindo o livro de Pommerenke (veja ref. 3)) que

f(ζ) = lim_{r→1} f(rζ) ≠ ∞

existe para quase todo ζ ∈ S^{1} e

\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}|f(r e^{it}) − f(0)|^{2/5} ⩽ 5|f′(0)|^{2/5} para 0 ⩽ r < 1

Com efeito:

Assuma agora que f ∈ S. É um fato que a função

g(z) = f(z^{5})^{1/5} = z(\frac{f(z^{5})}{z^{5}})^{1/5} = ∑_{1}^{∞} b_{n}z^{n}

é analítica e univalente em D. A fórmula de Parseval implica

\frac{1 − r}{2π} ∫_{0}^{π} |g′(r e^{it})|^{2} dt = (1 − r) ∑_{n=1}^{∞} n^{2}|b_{n}|^{2}r^{2n−2}

para 0 ⩽ r < 1. Note que como n(1 − r)r^{n−1} ⩽ 1, e como g é univalente, então

∑_{1}^{∞} n|b_{n}|^{2}r^{n−1} = \frac{1}{πr} dist\{g(z); |z| ⩽ \sqrt{r}\}

= \frac{1}{r} max_{|z|⩽\sqrt{r}} |g(z)|^{2} ⩽ (1 − r^{5/2})^{−4/5} ⩽ (1 − r)^{−4/5},

usando a primeira equação do teorema de distorção de Koebe e a definição de g, pode-se concluir que

\frac{1}{2π} ∫_{0}^{1}∫_{0}^{2π}(1 − r)^{9/10}|g′(r e^{it})|^{2} dt dr ⩽ ∫_{0}^{1}(1 − r)^{−9/10} dr = 10

Aplicando a desigualdade de Schwarz segue que

(∫_{0}^{1} |g′(r e^{it})| dr)^{2} ⩽ ∫_{0}^{1}(1 − r)^{−9/10} dr ∫_{0}^{1}(1 − r)^{9/10}|g′|^{2} dr

Integrando, e usando a penúltima inequação obtém-se

\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}(∫_{0}^{1} |g′(r e^{it}) dr)^{2} ⩽ 100

Logo, a integral que está entre parêntesis é finita para quase todo t e lim_{r→1} g(r e^{it}) ≠ ∞ existe para estes valores de t pelo item anterior. Finalmente, a fórmula de Parseval aplicada de novo leva a

\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}|f(r^{5} e^{it})|^{2/5} dt = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}|g(r e^{it})|^{2} dt ⩽ ∑_{n=1}^{∞} |b_{n}|^{2} ⩽ 5

Nota: Segue da estimativa acima obtida segue que f pertence ao espaço de Hardy H^{2/5}; na verdade f ∈ H^{p} para p < 1/2 ( H^{p} ⊂ H^{q}, se 0 < q < p). Se g é uma função analítica limitada (ou seja, f ∈ H^{∞}) definida em D então o teorema de Fatou diz que o limite radial lim_{r→1} g(r e^{θ}) existe para quase todo ponto de S^{1}, e se f não é identicamente zero, lim_{r→1} g(r e^{θ}) ≠ 0, para quase todo ponto de S^{1}. Este resultado vale também para f ∈ H^{p}, para 0 < p ⩽ ∞. Para estes resultados você pode consultar refs 8), 19). Existe ainda um belíssimo resultado de Plessner ainda mais geral (Veja ref. 3)) Teorema de Plessner : Se g é meromorfa em D então , para quase todo ζ ∈ S^{1}, ou bem g tem limite angular finito em ζ, ou bem g(△) é denso em ℂ ∪ {∞} para qualquer ângulo de Stolz △ em ζ.

Portanto, o comportamento no bordo, em quase todos os pontos, é bom ou muito ruim.

É interessante deduzir do teorema de Plessner, o seguinte teorema de unicidade de Privalov: Se uma função meromorfa em D tem limite ângular 0 num conjunto de medida positiva de S^{1}. então esta se anula identicamente.

Lemma de Schwarz

15) Mostre uma variante do lema de Schwarz para funções holomorfas limitadas definidas na bola unitária B_{1}(0), que possuem um número finito de zeros. E para um número infinito de zeros ?

16) Seja f uma função holomorfa definida em B_{1}(0) satisfazendo ℜf(z) ⩾ 0. Suponha a normalização f(0) = 1. Mostre que

|F (z)| ⩽ \frac{1 + |z|}{1 − |z|}

17) (Princípio de subordinação ) Vamos seguir agora o livro de Nehari que é uma obra prima das transformações conformes. Veja ref. 21). Sejam f(z) e F (z), duas funções holomorfas que levam a bola unitária B_{1}(0), sobre domínios Ω_{f} e Ω_{F} , respectivamente. Assuma que F seja univalente no seu domínio de definição Suponha que Ω_{f} ⊂ Ω_{F} e que f(0) = F (0). Mostre que

(1)  f(z) = F (g(z))

onde g(z) é uma função holomorfa em B_{1}(0), satisfazendo

|g(z)| ⩽ |z|

verificando-se a igualdade na desigualdade logo acima, se e somente se Ω_{f} ≡ Ω_{F} . Conclua que (quando f(0) = F (0))

|f(z)| ⩽ max_{|z|=r} |f(z)|, |z| = r < 1

|f′(0)| ⩽ |F′(0)|

Observe que a relação (1), pode ser verificada mesmo que F não seja univalente. Dizemos neste caso que f está subordinada a F.

a) Mostre que se f é holomorfa, ℜf(z) ⩾ 0, e f(0) = 1, então f satisfaz a estimativa a priori |f′(0)| ⩽ 2.

b) Mostre que se f é holomorfa em B_{1}(0), satisfazendo f(0) = 0, então se f omite todos os valores no intervalo (−∞, −1/4], então necessariamante f verifica as seguintes estimativas

|f(z)| ⩽ \frac{r}{(1 − r)^{2}} ,  |z| = r  e |f′(0)| ⩽ 1.

c) Levando em conta as equivalências conformes básicas, construidas no início desta lista, use o princípio de subordinação para obter outras estimativas a priori, semelhante aquelas que foram obtidas nos dois itens anteriores. Para os dois exercícios que se seguem a sugestão é elaborar uma construção baseada na função de Zhukovsky (veja exerc. 6) acima).

i) Seja f(z) = \frac{α}{z} + b_{0} + b_{1}z + ⋯ o desenvolvimento de Laurent de uma função holomorfa em 0 < |z| < 1. Suponha que f omita todos os pontos do intervalo [a, b] contido no eixo real. Mostre que α satisfaz a seguinte estimativa

|α| ⩾ \frac{b − a}{4}

O quê acontece no caso que uma tal f omita um segmento de reta do plano complexo ℂ de comprimento ℓ qualquer ?

i) Considerando a função f do item anterior e supondo que o contradomínio de f é a região exterior da elipse dada por

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, b > a > 0, qual é a estimativa correspondente para α ? E no caso de uma elipse E com eixos a e b, situada numa posição qualquer de ℂ ?

18) Exercício-pesquisa: Vamos mostrar a versão do lemma de Schwarz devida a Pick. Veja refs. 4), 13), 14), 15) e 21). Tal versão tem várias aplicações na Geometria Hiperbólica e na Dinâmica Complexa. Para fazer o próximo exercício você terá que saber que as transformações conformes do disco D são exatamente as transformações de Möbius que preservam D. Você poderia escrever a forma geral destas transformações ? Idem para as equivalências conformes do plano de Poincaré IH^{2} := {Im z > 0}. a) Seja f : D → D uma função holomorfa do disco unitário em si mesmo.

Sejam z, ζ ∈ D. Mostre que

\frac{|f(z) − f(ζ)|}{|1 − \overline{f(ζ)}f(z)|} ⩽ \frac{|z − ζ|}{|1 − \overline{ζ}z|}

Além disso mostre que vale a igualdade na desigualdade acima para dois pontos distintos z, ζ ∈ D se e somente se f é uma equivalência conforme do disco D e vale a igualdade na desigualdade.

b) Seja f : D → D, uma função holomorfa do disco unitário em si mesmo. Seja z ∈ D. Mostre que

\frac{2|f′(z)|}{1 − |f(z)|^{2}} ⩽ \frac{2}{1 − |z|^{2}}

Além disso mostre que vale a igualdade na desigualdade acima para um ponto z ∈ D se e somente se f é uma equivalência conforme do disco D e vale a igualdade na desigualdade.

c) Seja f : IH^{2} → IH^{2} uma função holomorfa do semi-plano superior IH^{2} := {Im z > 0} em si mesmo. Sejam z, ζ ∈ IH^{2}. Mostre que

|\frac{f(z) − f(ζ)}{f(z) − \overline{f(ζ)}}| ⩽ |\frac{z − ζ}{z − \overline{ζ}} |

Além disso mostre que vale a igualdade na desigualdade acima para dois pontos distintos z, ζ ∈ IH^{2} se e somente se f é uma equivalência conforme do semi-plano IH^{2} e vale a igualdade na desigualdade.

ı) Exercício-pesquisa (Ver ref. 15)): O lema de Schwarz acima pode ser usado para demonstrar que uma aplicação holomorfa f que leva IH^{2} em si mesmo, com a propriedade de que f(ai) = af(i), para algum real positivo a ≠ 1, é uma homotetia de razão λ = |f(i)|.

d) O quê você poderia dizer sobre uma aplicação holomorfa f que leva o disco D no semi-plano IH^{2} satisfazendo f(0) = i ?

Para ver interessantes aplicações do lema de Schwarz na Dinâmica Complexa, consulte o belo survey didático de Welington de Melo (Veja ref. 20). Vamos dar aqui um resultado relativamente simples, mas que pode ser usado para a demonstração do teorema de uniformização de Riemann. Mais detalhes podem ser vistos no referido artigo de Welington . Para o segundo exercício você vai precisar conhecer o teorema fundamental de levantamento da teoria de recobrimentos e vai precisar usar o lema de Schwarz. Denotaremos por D o disco unitário centrado na origem.

e) Dado qualquer ponto v ∈ D mostre que existe uma aplicação holomorfa f : D → D com um único ponto crítico c tal que f seja um recobrimento de grau dois de D \ {c} sobre D \ {v} satisfazendo f(0) = 0.

f) Seja Ω ⊂ D um aberto simplesmente conexo do plano complexo ℂ contendo z = 0. Assuma que Ω ≠ D. Mostre que existe uma função univalente F : U → D, tal que F (0) = 0 e |F′(0)| > 1. Este exercício pode ser combinado como o teorema de Montel (“famílias normais”) para mostrar o teorema de Riemann no caso de um domínio simplesmente conexo limitado. Veja ref. 20). Você saberia demonstrar isto ?

19) Exercício-pesquisa: Estude a bela aplicação do lema de Schwarz feita por Study: Veja ref. 14.

20) Exercício-pesquisa: Estude a demonstração do grande teorema de Picard, dada por Narasimhan e Nievergelt no livro deles (veja ref. 13 ), que faz uso de técnicas que aparecem na Geometria Diferencial e que são “primas” do teorema de Schwarz-Pick.

21) (A ultramétrica de Ahlfors) Geralmente uma métrica Riemanniana é dada em “coordenadas isotérmicas z = x + iy”(ou conforme) na seguinte forma

ds^{2} = ρ^{2}(dx^{2} + dy^{2})

onde ρ > 0 e ds é conforme à métrica Euclideana. A quantidade

K(ρ) := −\frac{D log ρ}{ρ^{2}}, ρ ∈ C^{2}

é a bem conhecida curvatura de Gauss da métrica. A curvatura de Gauss da métrica hiperbólica é −1, e K ≡ 1 para a esfera unitária em IR^{3}.

a) Mostre que K(ρ) é um invariante conforme. Mais precisamente, dada uma aplicação conforme w = f(z), define-se ρ̃(w) obrigando que ρ| dz| = ρ̃| dw|, ou mais explicitamente, ρ(z) = ρ̃(f(z))|f′(z)|.

Doravante consideraremos a métrica hiperbólica em D denotada por λ(z)| dz|, isto é λ(z) = 2/(1 − |z|^{2}). b) Mostre que se ρ satisfaz K(ρ) ⩽ −1 em D, então λ(z) ⩾ ρ(z) para todo

z ∈ D. Sugestão : Assuma primeiramente que ρ tem extensão contínua e estritamente positiva ao disco fechado, e em seguida reduza a situação geral a este caso.

c) Uma métrica ρ| dz|, ρ ⩾ 0 é chamada de ultramétrica num domínio Ω se

tem as seguintes propriedades:

i) ρ é semi-contínua superiormente. ii) Para cada z_{0} ∈ Ω com ρ(z_{0}) > 0 existe uma “métrica suporte” ρ_{0} de

classe C^{2} numa vizinhança V de z_{0}, tal que D log ρ_{0} ⩾ ρ_{0}^{2} e ρ ⩾ ρ_{0} em V, com ρ(z_{0}) = ρ_{0}(z_{0}). Note que log λ − log ρ é semi-contínua inferiormente, a existência de um mínimo no raciocínio acima está assegurada. Tal mínimo será também um mínimo local de log λ − log ρ_{0}, e o resto do raciocínio se aplica como antes. A desigualdade λ(z) ⩾ ρ(z) pode ser verificada sempre que ρ é ultramétrica. Mostre a seguinte versão forte do lema de Schwarz:

iii) Seja f uma função analítica de D em uma região Ω na qual está dada uma métrica ultrahiperbólica ρ. Mostre que

ρ(f(z))|f′(z)| ⩽ \frac{2}{(1 − |z|^{2})}

Observe que a quantidade da esquerda é uma métrica ultrahiperbólica em D, os zeros de f′(z) são as singularidades desta métrica. Você saberia dar exemplos de métricas ultrahiperbólicas em D ? Nota: A métrica ultrahiperbólica de Ahlfors já foi utilizada num importante teorema (tipo Picard) das superfícies mínimas do espaço Euclideano demonstrado por Fugimoto. Diga-se de passagens que a teoria das superfícies mínimas tem grande afinidade com as Variáveis Complexas via a famosa representação de Weierstrass.

O princípio de reflexão de Schwarz

22) Exercício-pesquisa: Mostre as várias formas do princípio de reflexão de Schwarz. Veja na ref. 10) uma belísima discussão de Ahlfors sobre o assunto. Veja também refs. 3), 8), 16), 21). De fato:

- Sejam Ω e H domínios do plano complexo ℂ, e sejam Ω^{∗} e H^{∗} as reflexões com respeito a círculos C_{1} e C_{2} na esfera de Riemann ℂ∪{∞}, respectivamente. Assuma que ∂Ω∩C_{1} ≠ ∅ e que ∂H∩C_{2} ≠ ∅. Seja f : Ω → H uma aplicação analítica que leva Ω sobre H. Suponha que

f(z) ⟶ C_{2} quando z → C_{1}, z ∈ Ω

Mostre que f pode ser estendida analíticamente a uma aplicação conforme cujo domínio é o conjunto de pontos interiores de Ω ∪ Ω^{∗} ∪ (C_{1} ∩ ∂Ω). Além disso se f é uma transformação conforme sua extensão definida no domínio dado acima é ainda uma transformação conforme.

- Uma função real ou complexa φ(t) da variável real t, definida no intervalo a < t < b é chamada de analítica real se, para cada t_{0} no

intervalo, a série de Taylor φ(t) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{φ^{(n)}(t_{0})}{n!}(t − t_{0})^{n} converge em

algum intervalo pequeno ao redor de t_{0}. Mostre que existe uma função analítica f(z) definida num domínio simétrico ao eixo real, de maneira que f(t) = φ(t), ∀t ∈ (a, b). Suponhamos agora que φ(t) seja uma função complexa que seja analítica real. Dado um arco de curva γ dada por uma parametrização analítica real φ(t), dizemos que [γ] é um arco analítico, onde [γ] é o traço de γ. Lembramos que a curva γ dada pela parametrização φ(t) é chamada de simples se φ(t_{1}) = φ(t_{2}) ⇒ t_{1} = t_{2}, e é chamada de regular se φ′(t) ≠ 0, ∀t ∈ (a, b). Mostre que o princípio de reflexão de Schwarz enunciado acima é ainda válido se no enunciado C_{1} é trocado por um arco analítico simples e regular. O mesmo é válido para C_{2} ? Conclua com isso que uma função analítica f definida num domínio Ω que contenha na sua fronteira uma arco analítico [γ] pode ser estendida (ou prolongada) analíticamente para além de Ω ∪ [γ].

23) Seja f uma função holomorfa num domínio Ω, que leva a parte de Ω ∩ IR no eixo real, e que leva a parte de Ω contida no semi-plano superior de forma uma-um no próprio semi-plano superior. Também leva a parte de Ω contida no semi-plano inferior de forma um-a-um no próprio semi-plano inferior . Mostre que f produz uma equivalência conforme entre Ω com sua imagem.

24) Exiba várias aplicações do princípio de reflexão de Schw1arz. a) Seja f uma função holomorfa no semi-plano superior {Im z > 0}, satis-

fazendo a relação

(1)  f(z)f(1 − z) = 1

Suponha que f(z) → w ∈ IR quando z → x, 0 < x < 1. Mostre que f leva a semi-reta {ℜz = 1/2, Im z ⩾ 0}, no círculo de raio 1 centrado na origem.

i) Exiba várias funções meromorfas que satisfazem (1), verificando o resultado deste exercício. Veja na lista 7 a fórmula do suplemento de Euler da função Gamma e use-a para construir uma função meromorfa (holomorfa no semi-plano superior) que satisfaz (1).

25) Mostre que a função f(z) = log sin z pode ser bem definida no domínio Ω = ℂ\(−∞, 0]∪[1, ∞). Usando o desenvolvimento de sin πz como produto infinito (veja por exemplo, lista 7 ou refs. 8), 10) ou 15)) conclua que

π cot πz = \frac{1}{z} + ∑_{n∈ℤ_{n≠0}} (\frac{1}{z − n} + \frac{1}{n})

\frac{π^{2}}{sin^{2} πz} = ∑_{n∈ℤ} \frac{1}{(z − n)^{2}}

26) Considere Q o retângulo em ℂ de vértices −b, a, a + ci, −b + ci, a > 0, b > 0, c > 0. Sejam L_{1} = {−b + ti, 0 ⩽ t ⩽ c}, L_{2} = [−b, a], L_{3} = {a + ti, 0 ⩽ t ⩽ c}, L_{4} = {t + ci, −b ⩽ t ⩽ a}. Seja f uma função holomorfa definida no retângulo, e que leva o lado L_{2} num segmento de reta no eixo real positivo, leva o lado L_{4} num segmento de reta no eixo imaginário positivo , leva o lado L_{1} na parte do círculo de raio r > 0 contida no primeiro quadrante, e finalmente, leva L_{3} na parte do círculo de raio R, R > r contida no primeiro quadrante. Mostre que a quantidade

\frac{f′(z)}{f(z)}

restrita ao bordo do retângulo é real. O quê você pode afirmar sobre f ? Estude os detalhes da transformação no caso de que c = π/2 e f(z) = e^{z} .

27) Exercício-pesquisa: Elabore um estudo sobre a fórmula de Schwarz-Christoffel. a) Em particular apresente várias explícitas equivalências conformes en-

tre o semi-plano superior, e domínios limitados por um polígono. Faça o mesmo para um domínios ilimitados limitados por linhas poligonais. Estude as funções elípticas segundo este ponto de vista, estudando as funções de Jacobi. Veja refs 10), 18), 21).

b) Defina as funções elípticas de Jacobi w = sn z (sinus amplitudinis), w = cn z (cosinus amplitudinis), w = dn z (delta amplitudinis). Dê tanto uma definição puramente analítica (veja ref. 9)), quanto uma definição geométrica baseada no princípio de reflexão de Schwarz, e na teoria das transformações conformes (veja ref. 21)). Defina também as funções Theta de Jacobi e escreva as funções w = sn z, w = cn z, w = dn z, em termos da funções Theta de Jacobi.

i) Usando a função w = sn z de Jacobi (sinus amplitudinis), exiba uma transformação conforme que leve uma anel {1 < |z| < R}, no domínio Ω obtido removendo-se o segmento [−a, a], 0 < a < 1, do disco unitário D. Veja o item c) logo abaixo

ii) Usando a função w = sn z de Jacobi (sinus amplitudinis), exiba uma transformação conforme que leve o interior da elipse \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, de eixos a e b e focos ±1, no disco unitário D. Veja o exercício 30) logo abaixo.

iii) Usando a função w = cn z de Jacobi (cosinus amplitudinis), exiba uma transformação conforme que leve o interior de um retângulo no disco unitário D.

28) Exercício-pesquisa (Veja ref. 21): Estude as transformações conformes w = f(z) que levam o semi-plano IH^{2} = {Im z > 0} sobre um domínio curvilíneo i.e um domínio cujo bordo é formado por arcos de círculos e sua relação com a derivada Schwarziana, equações diferenciais lineares de segunda ordem cujos coeficientes são funções meromorfas e a função Gamma Γ(z).

a) Particularmente, estude o caso de f enviar conformemente IH^{2} sobre um triâgulo curvilíneo, ou melhor triângulo hiperbólico contido no disco de Poincaré D formados por ângulos πα, πβ, πγ satisfazendo πα+πβ +πγ < π. i)) Mostre que quandos α = \frac{1}{m}, β = \frac{1}{n}, γ = \frac{1}{p}, onde m, n, p são inteiros não negativos estas funções chamadas “ funções triângulo de Schwarz” tem inversa w = S(α, β, γ; z) bem definida em todo disco de Poincaré D. Além disso mostre que ∂D é o bordo natural de S(z). Estude o grupo de automorfismos de w = S(z), isto é o subgrupo Γ do grupo de Möbius que deixa D invariante e que satisfaz, f(g(z)) = f(z), ∀g ∈ Γ. Mostre que Γ é gerado por três transformações de Möbius.

ii) Estude particularmente o caso que α = β = γ = 0, estudando a função elíptica modular. Aplique a função modular para dar uma demonstração do pequeno teorema de Picard. Também use as funções modulares para demonstrar o teorema de Montel (Veja ref. 4)): Uma família f_{τ} de funções meromorfas definidas num domínio Ω é normal, se omite três pontos fixados a, b, c da esfera de Riemann . Em seguida demonstre o grande teorema de Picard usando o teorema de Montel.

29) Considere uma transformação conforme w = f(z, ρ), 0 < ρ < 1 com as

seguintes propriedades:

- Leva o semi anel delimitado por {|z| = ρ, Im z > 0}∪] − 1, −ρ[∪{|z| = 1, Im z > 0}∪]ρ, 1[ sobre o semi-disco {|z| < 1, Im z > 0} de maneira que no bordo faz o seguinte

- Deixa fixos os pontos ±1, leva os pontos ±ρ nos pontos ±L, onde 0 < L = L(ρ) < 1.

a) Mostre que f(iρ) = 0.

b) Usando o princípio de reflexão de Schwarz, o conhecimento da função de Zhukovsky w = \frac{1}{2}(z + \frac{1}{z}) e o exercício 32)a) abaixo mostre que

L(ρ)f(\frac{z}{ρ}, ρ) = \frac{2f(z, ρ^{2})}{1 + f^{2}(z, ρ^{2})}

L^{2}(ρ) = \frac{2L(ρ^{2})}{1 + L^{2}(ρ^{2})}

Nota: Uma construção que faz uso da função w = sn z ( e da função log z) produz uma tal transformação conforme (explícitada) f(z, ρ) (Veja ref. 21)). A expressão é a seguinte:

w = f(z) = \sqrt{k(ρ^{4})} sn (\frac{2iK}{π} log \frac{z}{ρ} + K; ρ^{4})

c) Se você compreendeu bem o exercício anterior, considere a função f(z, ρ) estudada neste exercício. Mostre que a transformação conforme

w = \frac{1 + f (\frac{1 + z}{1 − z} , ρ)}{1 − f (\frac{1 + z}{1 − z} , ρ)}

leva o domínio Ω, obtido do plano complexo ℂ removendo-se dois discos de mesmo raio r centrados no eixo real simétricos em relação ao eixo imaginário sem interceptarem este; num domínio da forma ℂ \ [−1/b, −b] ∪ [b, 1/b], b > 0. Encontre a relação entre r e ρ, assim como a relação entre b e L(ρ). Se você conhecer um pouco de Geometria Hiperbólica vai reconhecer que z ↦ \frac{1 + z}{1 − z} é uma isometria positiva de IH^{2} o modelo do semi-plano de Poincaré do plano hiperbólico. A análise será facilitada trabalhando-se deste ponto de vista. Nota: O domínio Ω ⊂ ℂ logo acima tem exatamente 2 “buracos”. Domínios do plano complexo ℂ com um número de buracos igual a n (são chamados de multi-conexos ou n + 1 conexos) são conformemente equivalentes a um chamado domínio circular. Estes são obtidos retirando-de de um disco um número finito de discos disjuntos, possivelmente também alguns pontos. Uma equivalência conforme ente dois tais domínios circulares é necessariamente uma transformação de Möbius. Domínios do plano complexo conformemente equivalentes tem necessariamente o mesmo número de buracos. O grupo de automorfismo (= equivalência conformes) de um domínio com n buracos é finito para n ⩾ 2. Por exemplo, no exemplo com 2 buracos este grupo tem 4 elementos.

30) Vamos seguir neste exercício uma bela exposição de Nehari: Veja ref 21). Considere w = f(z) uma aplicação holomorfa que leva o disco unitário D sobre um domínio Ω delimitado por arcos de elipses e hipérboles co-focais de focos ±1. No exercício 6)κ) você mostrou que ζ = arcsin z leva tais elipses e hipérboles em retas paralelas aos eixos reais e imaginários do plano complexo ζ. Mostre que a expressão

\frac{z^{2}f^{′2}(z)}{1 − f^{2}(z)}  é real para  |z| = 1

Sugestão : Mostre que dζ = \frac{f′(z)dz}{\sqrt{1 − f^{2}(z)}} é ou bem real ou bem imaginário

puro quando |z| = 1. Note que \frac{dz}{z} é imaginário puro quando |z| = 1.

a) Assuma agora que Ω é o interior de uma elipse e que f(z) é real para z real. Assuma que f(0) = 0 e que f′(0) = β. Mostre que a expressão à esquerda da igualdade logo acima tem duas singularidades que são pólos simples da forma ±α para 0 < α < 1. Considere agora a função

p(z) = \frac{z^{2}}{(α^{2} − z^{2})(1 − α^{2}z^{2})}

Mostre que p(z) é real para |z| = 1. Mostre que

\frac{z^{2}f^{′2}(z)}{p(z)(1 − f^{2}(z))}  é real para  |z| = 1

e que a expressão à esquerda da igualdade logo acima define uma função analítica num domínio que contém estritamente D levando ∂D no eixo real; concluindo que tal expressão é uma constante real. Conclua que

\frac{f^{′2}(z)}{1 − f^{2}(z)} = \frac{α^{2}β^{2}}{(α^{2} − z^{2})(1 − α^{2}z^{2})}

Definindo g(z) := \frac{1}{αβ} arcsin(f(αz)) mostre que

g^{′2}(z) = \frac{1}{(1 − z^{2})(1 − α^{4}z^{2})}

Observando que a inversa de w = sn z está dada por (agora você vai precisar conhecer a função de Jacobi w = sn z)

z = ∫_{0}^{w} \frac{dw}{\sqrt{(1 − w^{2})(1 − k^{2}w^{2})}}

mostre finalmente que

z = \sqrt{k} sn (\frac{2K}{π} arcsin w) k = α^{2}

b) Use a função de Zhukovsky para produzir uma transformação conforme do disco D sobre o exterior de uma elipse. Mostre que a construção do item a) acima leva ao mesmo resultado considerando uma função da forma f(z) = \frac{a}{z} + a_{0} + a_{1}z + ⋯, |z| < 1, mostrando que f(z) satisfaz

\frac{f^{′2}(z)}{1 − f^{2}(z)} = −\frac{1}{z^{2}}

Um procedimento similar leva a construção explícita de uma equivalência conforme do disco D na esfera de Riemann cortada ao longo de um arco fechado de elipse, levando a origem 0 no ∞. Idem para uma transformação conforme w = f(z) de D na região delimitada por uma parábola que contém o seu foco supostamente colocado na origem; satisfazendo f(0) = 0, f simétrica com respeito ao eixo real e f(−1) = ∞. Neste caso a inversa é dada por z = tan^{2} C\sqrt{w}.

31) Suponha agora que φ seja analítica em Ω. Suponha ainda que existe uma vizinhança aberta V ⊂ Ω, tal que \overline{φ(z)} ∈ Ω, ∀z ∈ V. Mostre que w = \overline{φ (φ(z))} é uma função holomorfa num aberto de Ω. Considere o conjunto A = {z ∈ V, z = φ(z)}. Suponha finalmente que a ∈ A

seja um ponto de acumulação de A. Mostre que z ≡ \overline{φ (φ(z))} em V. Conclua que |φ′(a)| = 1.

32) Exercício-pesquisa: Considere os anéis A_{r} = {1 < |z| < r} e A_{R} = {1 < |z| < R}. Mostre que A_{r} é conformemente equivalente a A_{R}, se e somente se r = R. Mostre que toda equivalência conforme f(z) de A_{r} em si

mesmo é ou bem da forma f(z) = e^{iθ} z, ou bem da forma f(z) = \frac{r e^{iθ}}{z} , para algum real θ ∈ IR. Mostre que todo anel topológico no plano complexo ℂ é conformemente equi-

valente a um e apenas um dos seguintes modelos: ℂ \ {0}, D \ {0} e {1 < |z| < R} (Veja refs. 10), 13), 15) e 21)). Portanto cada um destes modelos determina um tipo conforme.

a) Dê o tipo conforme do conjunto obtido do plano complexo ℂ removendose um intervalo de reta fechado J. Idem para o conjunto obtido do plano complexo ℂ removendo-se um arco de elipse fechado E.

b) Dê o tipo conforme do conjunto obtido da esfera de Riemann ℂ ∪ {∞} removendo-se dois segmentos de reta fechados disjuntos na mesma reta. c) Dê o tipo conforme do conjunto obtido do disco D removendo-se um

segmento de reta fechado.

d) Estude os domínios multi-conexos (Veja refs. 10), 21)). Mostre que um domínio multi-conexo Ω pode ser transformado conformemente num domínio multi-conexo cujo bordo é formado por curvas analíticas. Mostre que os domínios multi-conexos são conformemente equivalentes a um domínio obtida da esfera de Riemann removendo-se um número finito de segmentos de retas paralelas. Mais precisamente: Exercício-pesquisa (Veja ref. 21)): Mostre que todo domínio muilticonexo Ω pode ser transformado conformemente num domínio obtido da esfera de Riemann ℂ ∪ {∞} removendo-se um número finito de “cortes” (slits) ao longo de segmentos de retas paralelos. Mostre que se w = f(z) é tal transformação conforme então pode-se escolher um ponto c arbitrário de Ω que é levado por f no ∞. Além disso se θ é o ângulo que as retas fazem com o eixo real o desenvolvimento de Laurent de f(z) = f_{θ}(z, c) normalizado da forma

f_{θ}(z) = \frac{1}{z − c} + a_{θ}(z − c) + b_{θ}(z − c)^{2} + ⋯

determina f_{θ}(z, c) univocamente. Mostre que (assumindo a existência) f_{θ}(z, c) = e^{iθ} (cos θφ(z, c) − i sin θψ(z, c)) , onde φ(z, c) = f_{0}(z, c) e ψ(z, c) = f_{π/2}(z, c). Mostre também a univalência ( e a unicidade) de f_{θ}(z, c) usando o princípio do argumento.

i) Mostre que a (existência da) aplicação conforme f_{θ}(z, c) dada logo acima pode ser obtida via o seguinte problema variacional: Seja S_{c} a classe de aplicações holomorfas em Ω que são univalentes em Ω, e que tem um pólo simples com resíduo 1 no ponto z = c de Ω. Ou seja, tendo um desenvolvimento de Laurent da forma

f(z) = \frac{1}{z − c} + a_{0} + a_{1}(z − c) + a_{2}(z − c)^{2} + ⋯

Mostre que o máximo do funcional

ℜ{e^{−2iθ} a_{1}}

é atingido pela aplicação ótima f_{θ}(z, c) acima que envia Ω num domínio com cortes paralelos.

ii) Suponha que Ω = D, a bola unitária centrada na origem. Mostre

que

f_{θ}(z, c) = \frac{1}{1 − |c|^{2}} (\frac{1 − \overline{c}z}{z − c} + e^{2iθ} (\frac{z − c}{1 − cz} ))

Compare o resultado com o exercício 7). iii) Estude a parte real da função

g(z) = \frac{φ′(z)}{ψ′(z)}

restrita ao bordo de Ω e a Ω, respectivamente, onde φ e ψ são as aplicações normalizadas que realizam os cortes horizontais e verticais respectivamente. Mais precisamente: Mostre que ℜg(z) = 0, ao longo de ∂Ω e que não toma valores imaginários puros em Ω, devido ao fato que f_{θ}(z, c) = e^{iθ} (cos θφ(z, c) − i sin θψ(z, c)) , é univalente ∀θ. Confira diretamente, por um argumento geral das aplicações conformes e por um cálculo simples que ℜg(z) > 0 em Ω. iv) Considere as funções M(z, c) := (φ(z, c) − ψ(z, c))/2 e M(z, c) :=

(φ(z, c) + ψ(z, c))/2. Mostre que M(z, c) é holomorfa em Ω e que N(z, c) tem um pólo em z = c com resíduo igual a 1. Mostre ainda que a função

F (z) = \frac{M′(z, c)}{N′(z, c)}

é holomorfa em Ω enviando Ω sobre o interior do disco unitário D, recobrindo-o um certo número de vezes. Além disso, mostre que M′(z, c) e N′(z, c) não podem se anular simultâneamente e conclua que N′(z, c) não se anula em Ω.

v) Considere s o comprimento de arco de ∂Ω, e z′ = dz/ ds. Usando os fatos que φ′(z, c)z′ e iψ(z, c)z′ são reais (por quê?) ao longo de ∂Ω,, mostre que

M′(z, c)N′(z, c)z^{′2} > 0 ao longo de ∂Ω

vi) Usando o exercício precedente e analisando a variação total do argumento ao longo de Ω, levando em conta que a variação total do argumento de dz/ ds, ao longo das n componentes do bordo de Ω é −2π(n−2), e contando os pólos de N′(z, c); mostre que M′(z, c) tem exatamente 2n − 2 zeros em Ω. Conclua que a função F (z) do item iv), determina um recobrimento ramificado de Ω sobre o interior do disco D de grau 2n.

v) Mostre diretamente das definições que M′(z, c)z′ = \overline{N′(z, c)z′}, quando z percorre ∂Ω. Deduza que

arg (\frac{∂N(z, c)}{∂s}) = arg(N′(z, c)z′) = \frac{− arg(F (z))}{2}

Infira do que foi demonstrado anteriormente que a aplicação w = N(z, c) aplica cada componente C_{1}, … C_{n} de ∂Ω sobre curvas simples convexas. Finalmente, conclua que N(z, c) é univalente em Ω.

Nota: Considere o conjunto das aplicações univalentes f(z) definidas no domínio multi-conexo Ω, normalizadas por

(1)  f(z) = \frac{1}{z − c} + a_{0} + a_{1}(z − c) + ⋯

se c = ∞ a expressão fica

(2)  f(z) = z + a_{0} + \frac{a_{1}}{z}

Considere o problema variacional P_{1} de se procurar encontrar uma função “ótima” f(z), como acima (ver eq. (1) ) de maneira que o a área do complemento da imagem seja máxima (ou seja com área exterior máxima). A solução do problema P_{1} existe e é dada pela função N(z, c) que realiza o máximo da área exterior dentre todas as funções univalentes em Ω que obedecem à eq. (1). Por outro lado, a função \frac{M(z, c)}{M′(c, c)}, é a aplicação “ótima” que realiza a menor área (com multiplicidades) da imagem dentre todas as funções holomorfas g(z) definidas em Ω com a normalização g′(c) = 1.

e) Usando a propriedade ótima da aplicação f_{θ}(z, c) acima, mostre que qualquer aplicação univalente da forma

f(z) = \frac{1}{z} + b_{0} + b_{1}z + ⋯ para |z| < 1

deve satisfazer |b_{1}| ⩽ 1. Compare com o teorema da área (veja exerc. 11) e mostre que a desigualdade é “sharp” analisando a aplicação

z ↦ \frac{1}{z} + e^{2iγ} z, 0 ⩽ γ < 2π.

f) Vamos agora estudar o fato que os domínios multi-conexos são conformemente equivalentes a um domínio obtido da esfera de Riemann removendo-se um número finito de arcos circulares concêntricos cujo centro comum é a origem. De fato, pode-se escolher pontos u e v num tal domínio Ω de maneira que a aplicação que realiza a equivalência conforme em foco P (z) = P (z; u, v) seja normalizada, levando u na origem e v no infinito, possuindo resíduo 1 em z = v. Ou seja, se escreva

P (z) = \frac{1}{z − v} + b_{0} + b_{1}(z − v) + ⋯

numa vizinhança de z = v. Mostre a unicidade de P (z) usando o princípio do argumento (e o princípio do máximo). Para tal fim, se existisse uma outra função P_{1}(z; u, v), considere o quociente f(z) = \frac{P (z; u, v)}{P_{1}(z; u, v)}. Mostre primeiramente que F (z) é holomorfa em Ω. Sejam C_{1}, C_{2}, … C_{n} as componentes de ∂Ω. Mostre que |f(z)| = c_{j} (constante) em cada C_{j}, j = 1, 2, … n. Mostre que se |b| ≠ c_{j}, j = 1, 2, … n, então a variação do argumento de P (z) − b (e de P_{1}(z) − b) ao longo de cada componente C_{j} é nula. Daí conclua que a variação total do argumento de f(z) − b ao longo do bordo de Ω é nula; donde f(z) ≠ b, onde b é um número complexo qualquer que não está num dos círculos C_{j}. Finalmente conclua que f(z) é uma constante e que esta constante é 1. Um argumento semelhante mostra a univalência de um candidato P (z).

i) Mostre que se Ω = D, a bola unitária centrada na origem, a função P (z) acima é dada por

P (z; u, v) = \frac{1 − \overline{u}v}{(v − u)(1 − |v|^{2})} · (\frac{z − u}{1 − \overline{u}z} ) (\frac{1 − \overline{v}z}{z − v} )

Além disso mostre que a aplicação

Q(z; u, v) = \frac{1 − |v|^{2}}{(v − u)(1 − \overline{u}v)} · (\frac{z − u}{z − v}) (\frac{1 − \overline{u}z}{1 − \overline{v}z} )

transforma conformemente o disco aberto D num domínio obtido do plano complexo ℂ removendo-se segmento radiais que apontam para a origem. ii) A existência da aplicação P (z; u, v) que produz uma equivalência

conforme entre o domínio muiti-conexo Ω e a esfera de Riemann cortada ao longo de arcos de círculos centrados na origem também pode ser estabelecida pelo método variacional. De fato, seja S(u, v) a família de funções f(z) que são univalentes em Ω, normalizadas por

f(z) = \frac{1}{z − v} + b_{0} + b_{1}(z − v) + ⋯

satisfazendo f(u) = 0. Então a função P (z; u, v) que transforma Ω num domínio com cortes circulares é a função ótima que realiza o máximo do funcional |f′(u)|, quando f(z) varre o conjunto admissível S(u, v). Pode-se mostrar que o mínimo do mesmo funcional, no mesmo conjunto admissível, é realizado por uma função Q(z; u, v) que produz uma equivalência conforme entre o domínio muiti-conexo Ω e a esfera de Riemann cortada ao longo de segmentos radiais apontando para a origem. Ou seja, se f(z) ∈ S(u, v) então |Q′(u)| ⩽ |f′(u)| ⩽ |P′(u)|, e a igualdade é possível se e somente se f = Q ou f = P. iii) Usando as propriedades ”ótimas” das transformações conformes do

exercício anterior, mostre que se f(z) = \frac{1}{z} + b_{0} + b_{1}z + ⋯ é uma aplicação univalente em {|z| < 1}, então valem as seguintes desigualdades:

\frac{1 − |z|^{2}}{|z|^{2}} ⩽ |f′(z)| ⩽ \frac{1}{|z|^{2}(1 − |z|^{2})}

compare com o teorema de distorção de Koebe (Veja o exerc. 13)).

g) O chamado teorema de aplicação de Riemann ou teorema de uniformização de Koebe diz que todo domínio simplesmente conexo Ω cujo bordo tenha mais que um ponto é conformemente equivalente, via uma equivalência conforme f, ao disco aberto unitário D. Além disso, se fizermos corresponder um ponto arbitrário ζ de Ω à origem, i.e f(ζ) = 0 impondo que que a derivada em z = ζ, seja positiva, i.e f′(ζ) > 0, então a aplicação está unicamente determinada. Um método interessante para determinar tal aplicação f(z, ζ) numa situação bastante geral faz uso do chamado núcleo de Bergman. Exercício-pesquisa: Investigue o núcleo de Bergman neste contexto, e exiba aplicações explícitas deste para domínios simplesmente conexos simples. Por exemplo, quando Ω é o próprio disco unitário D. Analogamente é possível definir o núcleo de Bergman, no caso de Ω ser um domínio multi-conexo. Com isso é possível determinar explicitamente a função f_{θ} do item d) acima em casos particulares, como no exemplo em que Ω é um anel da forma Ω = {r < |z| < 1}.

h) Considere S o conjunto das aplicações holomorfas do disco unitário em si mesmo. Seja ζ ∈ D. Considere o problema variacional de maximizar |f′(ζ)|, f ∈ S. Mostre que basta considerar o subconjunto das funções f ∈ S tal que f(ζ) = 0. Neste caso mostre que vale a seguinte desigualdade

|f′(ζ)| ⩽ \frac{1}{1 − |ζ|^{2}} , ∀f ∈ S.

Além disso mostre que a igualdade na desigualdade acima é atingida apenas pela (família) aplicação “ótima”

f(z) = λ (\frac{z − ζ}{1 − \overline{ζ}z} ) , |λ| = 1

Exercício-pesquisa: Estude a generalização do problema variacional acima quando S é a família de funções holomorfas f(z), definidas num domínio multi-conexo Ω satisfazendo |f(z)| ⩽ 1. Mostre que |f′(ζ)|, ζ ∈ Ω atinge o máximo para uma certa função F (z) definida em Ω que recobre o disco unitário D exatamente n vezes, onde n é o número das comnponentes conexas de ∂Ω.

Equivalências conformes e aplicações conformes finitas

33) Exercício-pesquisa: Vamos agora dar um critério básico essencialmente topológico de univalência (Veja ref. 3)). Seja f uma função holomorfa não constante definida num domínio H ⊂ ℂ ∪ {∞}. Seja Ω um domínio de Jordan, i.e ∂Ω é uma curva de Jordan. Suponha que f(z) → ∂Ω, quando z → ∂H. Mostre que f(H) = Ω. Além disso, mostre que se f assume em H algum valor de Ω apenas um única vez com multiplicidade 1, então f é injetiva e H é simplesmente conexo.

Para fazer os próximos exercícios é preciso o conhecimento do seguinte teorema de Carathéodory:

Seja f uma transformação conforme que envia D conformemente sobre um domínio limitado Ω. Então as seguintes afirmações são equivalentes:

i) f tem uma extensão contínua e injetiva à \overline{D}. ii) ∂Ω é uma curva de Jordan. Nota: Quando f : D → Ω, é uma transformação conforme (Ω limitado) a condição para a existência de uma extensão contínua a \overline{Ω} é que ∂Ω seja uma curva ou localmente conexo. Você deve tentar desenhar domínios cujo bordo não seja localmente conexo.

a) Mostre que uma transformação conforme f que leva um domínio de Jordan Ω num outro domínio de Jordan H está completamente determinada fixando-se a imagem em ∂H de três pontos fixados em Ω.

b) Mostre que uma transformação conforme do disco D num domínio de Jordan Ω se estende a um homeomorfimo da esfera de Riemann ℂ ∪ {∞} em si mesmo. O próximo critério dá a noção de grau de uma aplicação conforme e é muito importante:

c) Seja Ω um domínio de Jordan (limitado) e seja f uma função holomorfa não constante definida em D. Suponha que dist(f(z), ∂Ω) → 0 quando |z| → 1. Mostre que f(D) = Ω e que f tem uma extensão contínua à \overline{D}. Além disso mostre que existe um inteiro positivo m tal que f assume cada valor em \overline{Ω} exatamente m vezes contadas as multiplicidades. Deduza daí um critério de univalência. Sugestão : Use o critério do início do exercício 30). Use seguidamente o teorema de Carathéodory e o princípio de reflexão de Schwarz. Conclua que f = φ ∘ g, onde φ envia conformemente D sobre Ω e g é um produto de Blaschke finito.

34) Seja f : Ω → Ω, uma aplicação holomorfa de um domínio Ω em si mesmo. O iterado f^{[n]} está definida pela seguinte regra: f^{[0]} = id_{Ω}, f^{[1]} = f, f^{[n]} := f ∘ f ⋯ ∘ f (n vezes).

a) Uma propriedade dos iterados é a seguinte: Suponha que uma subseqüência {f_{n_{k}}} da seqüência dos iterados convirja uniformemente em compactos de Ω à uma função holomorfa g : Ω → ℂ. Mostre que se g é uma equivalência conforme de Ω então f também é uma equivalência conforme. Mostre também que se g não é uma constante então qualquer subseqüência da seqüência h_{k} := f_{n_{k+1}−n_{k}}, tem como limite a identidade de Ω. Sugestão : Para a segunda pergunta use o teorema de Hurwitz. Em particular conclua que se f^{[n]} converge uniformemente em compactos de Ω a uma função não constante, então f é a identidade. Exiba exemplos explícitos onde esta última situação ocorre.

b) Mostre o seguinte teorema de Cartan: Seja f : Ω → Ω, uma aplicação holomorfa de um domínio limitado Ω em si mesmo. Suponha que exista uma subseqüência f_{n_{k}} dos iterados de f que converge uniformemente em compactos a uma função não constante. Mostre que f é uma equivalência conforme de Ω. Sugestão : Aplique o item anterior combinado com o teorema de Montel. Conclua que se, Ω é limitado e f tem dois pontos fixos então distintos então f é uma equivalência conforme de Ω.

35) Exercício-pesquisa: Um importante conceito para aplicações é o conceito de ser própria que pode ser colocado num contexto bastante geral (Veja ref. 15)): Sejam X e Y espaços topológicos metrizáveis localmente compactos cujas topologias tenham base enumerável. Uma aplicação contínua f : X → Y é chamada própria se cada conjunto compacto K ⊂ Y tem pré-imagem f^{−1}(K) compacta em X. Outro conceito importante é de uma seqüência que tende para o bordo: Seja {x_{n}} uma seqüência de pontos de X (ou de Y). Dizemos que {x_{n}} é uma seqüência que tende para o bordo se não tem ponto de acumulação em X (respect. Y). O seguinte resultado é válido:

Uma aplicação contínua f : X → Y é própria se e somente se f leva seqüência que tende para o bordo (de X) a uma seqüência que tende para o bordo (de Y). Toda aplicação própria é fechada, i.e leva fechados de X em fechados de Y. Para aplicações holomorfas f o fato de que f sendo não constante implica que f não é localmente constante numa vizinhança de nenhum ponto acarreta nas seguintes equivalências: Seja f : Ω → H uma aplicação holomorfa. Note que nesta situação a fibra f^{−1}(w) é sempre um conjunto discreto, a menos que f seja constante. Dizemos que f é finita f leva toda seqüência que tende para o bordo de Ω a uma seqüência que tende para o bordo de H. As seguintes afirmações são equivalentes: i) f é finita ii) f é própria iiii) f é não constante e fechada Segue deste resultado o seguinte impor-

tante corolário: Se f : Ω → H é uma aplicação conforme própria, então f é um recobrimento finito holomorfo não ramificado. Quando f : Ω → H (não -constante) é apenas uma aplicação holomorfa própria (podendo possuir portanto pontos de ramificação que são os zeros de f′(z)) f é um recobrimento finito ramificado. Vamos agora definir a noção de grau de uma aplicação conforme f : Ω → H num ponto w ∈ H. Em seguida poderemos enunciar o teorema de Radó que relaciona finitude com o grau de f. Tal noção generaliza a noção de grau de um polinômio baseada no teorema fundamental da álgebra. Seja f uma aplicação holomorfa não constante. Seja w ∈ ℂ.

grau_{w}(f) = ∑_{a∈f^{−1}(w)} ν(f, a)  se  w ∈ f(Ω)

= 0 em caso contrário

onde ν(f, a) é a multiplicidade de f em z = a ∈ Ω, ou seja é igual a ordem do zero de f − f(a) em z = a.

a) Exercício-pesquisa: Mostre o seguinte teorema de Radó: Uma aplicação holomorfa f : Ω → H é finita (ou própria) se e somente se grau_{w}(f) é finito e não constante em Ω. Neste caso o grau grau(f) está bem definido e é um número inteiro positivo. As equivalência conformes são as aplicações holomorfas próprias de grau 1. Observamos que o teorema de Radó é válido para aplicações próprias holomorfas entre duas superfícies de Riemann S_{1} e S_{2} quaisquer.

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