VCOMPLEXAS-2001.2–Lista 9

prof: Ricardo Sá Earp

SÍNTESE DE FUNÇÕES HARMÔNICAS

conjugada harmônica

Considere Ω um domínio do plano complexo ℂ e u(z), z = x + iy uma função harmônica (real) em Ω. Lembremos que a diferencial conjugada harmônica está definida por

∗du = −\frac{∂u}{∂y}dx + \frac{∂u}{∂x}dy

Dizemos que v é conjugada harmônica de u em Ω, se existe uma função holomorfa f tal que f = u + iv (logo v é harmônica).

1) Mostre que se γ é homóloga a zero em Ω, tem-se que

∫_{γ} ^{∗}du = 0

Conclua que quando Ω é simplesmente conexo a conjugada harmônica v está bem definida, ou seja não é uma função multi-valente. Conclua também que, se γ é uma curva regular então

∫_{γ} \frac{∂u}{∂n}| dz| = 0

onde n é normal unitário ao longo de γ.

a) Mostre que se o bordo orientado Γ de Ω é composto por curvas analíticas, então

∫_{Γ} ^{∗}du = 0

No caso não simplesmente conexo a conjugada harmônica pode ter períodos. Os períodos de u estão definidos por

∫_{γ_{j}} ^{∗}du, j = 1, 2, …, n

onde {γ_{1}, γ_{2}, …, γ_{n}} correspondem aos ciclos que geram a classe de homologia de Ω.

b) Mostre que se Ω é uma região multi-conexa e se {γ_{1}, γ_{2}, …, γ_{n}} correspondem aos ciclos que geram a classe de homologia de Ω, então , u tem uma conjugada harmônica, se e somente se

∫_{γ_{j}} ^{∗}du = 0, j = 1, 2, …, n

i) Seja A um anel em ℂ, e seja z_{0} ∈ A. Suponha que a conjugada harmônica tenha período 2πiα. O que você pode dizer da conjugada harmônica v de u ? O que voce pode dizer da seguinte função

e^{v(z)/α} z ∈ A ?

Encontre uma fórmula explícita de uma função harmônica u que possua uma bem definida conjugada harmônica v num anel 1 < |z| < 2.

c) Suponha agora que Ω seja um domínio multi-conexo e seja K_{1}, …, K_{n} as componentes conexas limitadas de ℂ \ Ω. Tome a_{j} ∈ K_{j}, j = 1, …, n. Sejam 2πc_{1}, 2πc_{2}, …, 2πc_{n}, os períodos da função harmônica u definida em Ω. Mostre que existe uma função analítica h em Ω tal que

u = ℜh + ∑_{1}^{n} c_{j} log |z − a_{j}|

i) Conclua que se f(z) é uma função holomorfa no anel 0 < r < |z| < ∞, que não se anula, então existe uma função harmôica limitada h em r < s < |z| < ∞, e uma função H harmônica em ℂ tal que

log |f(z)| = c log |f(z)| + h(z) + H(z)

ii) Seja u(z) uma função harmônica num disco perfurado D^{∗} = {0 < |z| < ϵ}, e considere a função holomorfa, possivelmente muilti-valente f(z) = u(x, y) + iv(x, y), onde v é a conjugada harmônica de u. Mostre que f′(z), é uma função holomorfa bem definida em D^{∗}, deduza que f′(z) possui um desenvolvimento de Laurent em D^{∗}. Conclua com isso que f(z), tem a seguinte expressão

f′(z) = ∑_{n=−∞}^{∞} a_{n}z^{n}

O quê voce sabe dizer da série acima ? Conclua além disso que f(z), como função holomorfa possivelmente multi-valente, tem a seguinte expressão

f(z) = a + a_{−1} log z + ∑_{n=−∞_{n≠−1}}^{∞} \frac{a_{n}z^{n+1}}{n + 1}

Conclua ainda que a função harmônica u em D^{∗} tem o seguinte desenvolvimento (z = r e^{iθ})

u(r, θ) = c log r + ∑_{−∞}^{∞}(α_{n} cos nθ + β_{n} sin nθ)r^{n}

e conclua também que u é parte real da função holomorfa possívelmente

multi-valente f(z) = c log z + ∑_{−∞}^{∞}(α_{n} − iβ_{n})z^{n}. Finalmente, usando

o que foi estabelecido neste item, dê outra dedução do item i) logo acima.

iii) Conclua que uma função harmônica limitada num disco perfurado

D^{∗}, admite uma extensão harmônica a todo o disco. iv) Conclua que se u é uma função harmônica no disco perfurado

B_{R}(a) \ {a}, então a média de u ao longo de círculos concêntricos de centro a e raio r < R é uma função linear de log r, ou seja existem constantes reais α e β tal que

\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}u(a + r e^{iθ}) dθ = α log r + β

Conclua daí uma outra dedução do item iii) acima

d) Agora suponha que Ω seja uma região cujo bordo é composto por curvas analíticas simples fechadas. Seja Γ o bordo orientado de Ω. Suponha que f(z) = u(x, y) + iv(x, y), seja uma função de classe C^{1} em \overline{Ω}. Mostre as seguintes identidades

∫∫_{Ω} \frac{∂f}{∂\overline{z}} dx dy = \frac{1}{2i} ∫_{Γ} f dz

∫_{Γ} (vdu − udv) = 4i ∫∫_{Ω} (\frac{∂v}{∂\overline{z}} \frac{∂u}{∂z} − \frac{∂u}{∂\overline{z}} \frac{∂v}{∂z} )

Além disso mostre que se u e v são de classe C^{1} em \overline{Ω}, e de classe C^{2} em Ω, tem-se a identidade de Green

∫_{Γ} (v^{∗}du − u^{∗}dv) = ∫∫_{Ω} v△u − u△v dx dy

i) Mostre que se u e v são harmônicas em Ω, e γ é um ciclo homólogo

a zero em Ω, então

∫_{Γ} (v^{∗}du − u^{∗}dv) = 0

Conclua daí outra dedução da fórmula da média de uma função harmônica num disco perfurado obtida no item c) iv) acima.

Conclua também que se u e v são funções harmônicas em Ω e de classe C^{1} em \overline{Ω}, então ∫_{Γ} v^{∗}du = ∫_{Γ} u^{∗}dv.

e) Mostre que a soma dos períodos de uma função harmônica, associados a todas componentes do bordo de um domínio multi-conexo Ω, é zero.

Algumas propriedades básicas

Agora vamos enfocar algumas propriedades básicas de funções harmônicas e subharmônicas, algumas de muito importância no que se segue.

2) Seja u uma função harmônica em D = B_{1}(0). Seja f uma função holomorfa em D tal que IRf = u (por quê existe tal f ?) Mostre que para |z| < r onde 0 < r < 1 tem-se que

f(z) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}u(r e^{it})\frac{r e^{it} +z}{r e^{it} −z} dt

Deduza daí a fórmula de Poisson no disco |z| < r para u. Ou seja

u(z) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}u(r e^{it})\frac{r^{2} − |z|^{2}}{|r e^{it} −z|^{2}} dt

Note que a desigualdade de Harnack (veja ref. 13)) segue quase que imediatamente da seguinte estimativa do núcleo de Poisson

\frac{r − |z|}{r + |z|} ⩽ \frac{r^{2} − |z|^{2}}{|r e^{it} −z|^{2}} ⩽ \frac{r + |z|}{r − |z|}, |z| < r

3) Uma função u de classe C^{2} definida num domínio Ω é chamada de subharmônica, se △u ⩾ 0 em Ω. Demonstre com todos os detalhes o princípio do máximo interior e do bordo para funções subharmônicas. Defina funções subharmônicas assumindo apenas u semi-contínua superiormente e estude as várias propriedades. Veja refs. 8), 13).

4) Mostre que se uma seqüência {u_{n}} de funções harmônicas num aberto U, converge uniformemente a uma função u em compactos de U, então u é necessariamente harmônica. Mostre que a seqüência das derivadas parciais converge uniformemente em compactos para a derivada parcial de u. Sugestão : Você pode usar a fórmula do item 2).

5) Exercício-pesquisa: Demonstre a desigualdade de Harnack para funções harmônicas (veja exerc. 2)) e e demonstre o princípio de Harnack: Veja ref. 13). Deduza também o teorema de Liouville : Se uma função harmônica definida em todo o plano complexo é, limitada ou bem superiormente ou bem inferiormente, então é necessariamente uma constante.

6) Demonstre o teorema de três círculos de Hadamard: Seja u(z) uma função subharmônica num domínio Ω, contendo dois círculos concêntricos de raios r_{1} e r_{2} e o anel delimitado por estes. Seja M(r) o máximo de u num determinado círculo de raio r, então para r_{1} < r < r_{2}, mostre que vale a seguinte desigualdade

M(r) ⩽ \frac{M(r_{1}) log(r_{2}/r) + M(r_{2}) log(r/r_{1})}{log(r_{2}/r_{1})}

e ocorre a igualdade, se e somente se

u = \frac{M(r_{1}) log(r_{2}/r) + M(r_{2}) log(r/r_{1})}{log(r_{2}/r_{1})}

onde r = |z|. Sugestão : Aplique o princípio do máximo de forma conveniente.

a) Conclua o teorema de Liouville: Se uma função subharmônica definida em ℂ^{∗}, o plano complexo menos um ponto, é limitada superiormente então é uma constante.

b) Mais geralmente, mostre que se a hipótese de ser limitada superiormente é enfraquecida e substituída por

lim inf \frac{M(r)}{| log r|} ⩽ 0

quando r → 0 e quando r → ∞, obtemos também que u é uma constante.

Função de Green

Seja U um aberto de ℂ e seja p ∈ U. Uma função g é chamada de função de Green para U com singularidade em p, se

g é harmônica em M \ {p} g > 0 em M \ {p}

se z é uma coordenada (conforme) se anulando em p, então

g(z) + log |z| é harmônica numa vizinhança de p.

se g̃ é outra funçao satisfazendo as três propriedades anteriores , então g̃ ⩾ g

7) Mostre que a definição da função de Green acima não depende da escolha de “coordenadas locais” se anulando em p.

a) Mostre que a função de Green para o disco unitário com singularidade

em a é

g(z) = log|\frac{1 − z\overline{a}}{z − a}|

Mostre que a função de Green no semi-plano à direita {ℜz > 0}, é

log|\frac{z + \overline{a}}{z − a}|

i) Exiba a função de Green para os domínios simplesmente conexos

tratados na lista 8.

b) Exercício-pesquisa: Veja refs. 4), 8), 10). Seja Ω um domínio de ℂ de fecho compacto tal que ∂Ω consiste de um número finito de arcos analíticos. Seja z_{0} ∈ Ω. Resolvendo o problema de Dirichlet para funções harmônicas sendo dada uma função contínua f no bordo ( o que sempre é possível, por quê ?), quando f(z) = log |z − z_{0}|, z ∈ ∂Ω, encontramos uma função u contínua em \overline{Ω} e harmônica em Ω tal que u restrita à ∂Ω é igual a f. Mostre que g(z) = − log |z − z_{0}| + u(z) é a função de Green para Ω com singularidade em z_{0}.

Nota (Sobre conceitos importantes de superfícies de Riemann). Vamos fazer uma incursão nas superfícies de Riemann. O leitor deve está pelo menos ciente das definições básicas: Veja refs. 4), 8), 10). De qualquer maneira, para os interessados na Análise Complexa, mas que não estão familiarizados com o conceito, basta saber por ora que todo aberto conexo do plano complexo ℂ é uma superfície de Riemann. A existência de uma função de Green num ponto está ligada à existência de medidas harmônicas (veja abaixo) e é equivalente a noção de hiperbolicidade . Uma função de Green se aoroxima de 0 quado um ponto se aproxima do bordo de Ω em ℂ ∪ {∞}. Numa superfície de Riemann parabólica o problema de Dirichlet para funções harmônicas tem no máximo uma solução limitada.

Vamos definir os importantes conceitos de parabolicidade e hiperbolicidade para uma superfície de Riemann. Diz- se que uma superfície de Riemann M é parabólica se M não é compacta e se não admite uma função negativa (⩽ 0) subharmônica sobre M que não seja uma constante. Uma superfície de Riemann é chamada hiperbólica se possui uma função subharmônica negativa (⩽ 0) sobre M que não é uma constante. Uma superfície de Riemann compacta é chamada de elíptica.

Note que uma superfície de Riemann hiperbólica não pode ser compacta. Note também que segue de um exercício anterior que ℂ e ℂ^{∗} são superfícies de Riemann parabólicas. Por quê ? Claro que que a bola aberta unitária D é uma superfície de Riemann hiperbólica.

8) Seja Ω um domínio limitado de ℂ, cuja fronteira orientada Γ, é composta por curvas simples fechadas Suponha que v = v(x, y) seja uma função harmônica que admita derivadas parciais contínuas até o bordo; ou seja u ∈ C^{1}(\overline{Ω}). Seja a ∈ Ω, e seja h(x, y) := − log |z − a| + v(x, y). Seja u uma função harmônica em Ω, C^{1} até o bordo. Mostre que (terceira identidade de Green)

u(a) = −\frac{1}{2π} ∫_{Γ} (u\frac{∂h}{∂n} − h\frac{∂u}{∂n}) ds

onde a ∈ Ω, e n é o o normal unitário ao longo de Γ apontando para fora. Sugestão Remova uma pequena bola de raio ϵ em torno de a, e aplique a segunda identidade de Green à u e h. Use a definição de h, e aplique o teorema da média para funções harmônicas.

a) Conclua que se g é a função de Green de Ω com respeito a a, e u satisfaz as hipóteses acima

u(a) = −\frac{1}{2π} ∫_{Γ} u(z)\frac{∂g(z, a)}{∂n} ds ou ainda

u(a) = −\frac{1}{2π} ∫_{Γ} u(z) ^{∗}dg

Mostre que quando Ω = B_{1}(0), a fórmula acima é exatamente a fórmula integral de Poisson para funções harmônicas, deduzida no item 2).

b) Exercício-pesquisa: Discuta a fórmula acima relacionando-a com o problema de Dirichlet para funções harmônicas. Veja refs. 4), 8), 10).

c) Exercício-pesquisa: Consulte no livro de Pommerenke (Veja ref.3)), a relação entre funções de Green, funções harmônicas, capacidade logarítmica e medida de Hausdorff. Neste livro você encontrará um estudo profundo sobre transformações conformes e comportamento no bordo.

Medidas harmônicas

Considere Ω um domínio multi-conexo e sejam C_{1}, … C_{n} as componentes conexas (que podem ser assumidas curvas analíticas, por quê ?) de ∂Ω. Para cada j = 1, … n, existe uma função harmônica ω_{j}(z) em Ω que toma o valor 1 ma componente C_{j} e que toma o valor 0 nas demais componentes do bordo de Ω (Veja refs. 4), 8), 10) e 21). Recomendamos principalmente os livros de Ahlfors e de Nehari. Tal função harmônica ω_{j}(z) é chamada de medida harmônica. Isto segue da existncia do problema de Dirichlet; ou ainda, mais concretamente, de certas transformações canônicas de domínios multi-conexos e da relação do problema de Dirichlet com as funções de Green (Veja o exerc. 8) acima).

9) Mostre que a medida harmônica ω_{j}(z) definida no domínio multiconexo Ω cujas componentes do bordo são curvas C_{j} (j ∈ {1, … n}) satisfaz

ω_{j}(z) = −\frac{1}{2π} ∫_{C_{j}} \frac{∂g(ζ, z)}{∂n_{ζ}} ds_{ζ}

onde g(ζ, z) é a função de Green de Ω.

a) Conclua que os períodos da função de Green g(ζ, z) do domínio multiconexo Ω ao longo da componente do bordo C_{j} é extamente −2πω_{j}(z). Agora, considere p_{ij} o período da medida harmônica ω_{j}(z) ao longo da com-

ponente C_{i}, isto é (por quê ?)

p_{ij} = ∫_{C_{i}} \frac{∂ω_{j}}{∂n} ds

b) Mostre a seguinte propriedade de simetria: p_{ij} = p_{ji}. Sugestão : Utilize

a fórmula de Green.

i) Mostre que a matriz simétrica (p_{ij}), i, j = 1, … n − 1 é positiva definida: Em particular, deduza que det(p_{ij}) ≠ 0. Sugestão : Considere uma combinação linear ω(z) := a_{1}ω_{i}(z) + a_{2}ω_{2}(z) + ⋯ + a_{n−1}ω_{n−1}(z), onde nem todos os coeficientes sejam nulos e aplique a identidade de Green a ω(z).

c) Mostre que se u(z) é uma função harmônica em Ω, é possível encontrar constantes A_{1}, A_{2}, … A_{n−1} de maneira que a conjugada harmônica de

u(z) + ∑_{j=1}^{n−1} A_{j}ω_{j}(z) não tenha períodos.

Além disso mostre que o período P_{j} da conjugada harmônica v(z) de u(z) ao longo de C_{j} é dado pela fórmula

P_{j} = ∫_{∂Ω} u(z)\frac{∂ω_{j}(z)}{∂n} ds

d) Mostre que não é verdade que toda função holomorfa num domínio multiconexo Ω, é derivada de uma função holomorfa. Mostre que toda função holomorfa f(z) num domínio multi-conexo Ω, pode ser escrita da forma

f(z) = g′(z) + ∑_{j=1}^{n−1} c_{j} \frac{d}{dz} (ω_{j}(z) + iω_{j}^{∗}(z))

onde g(z) é uma função holomorfa em Ω, e ω_{j}^{∗}(z) é a conjugada harmônica de ω_{j}(z). Sugestão : Use o resultado do item b) acima.

Teoremas de representação

Considere S^{1} o círculo unitário centrado na origem; ou seja S^{1} = ∂B_{1}(0). No que segue você terá que consultar as refs. 8), 19) e você vai certamente

precisar de tomar conhecimento de definições , técnicas e resultados básicos da Teoria da Medida (inclusive medida complexa) e da Análise Funcional, incluindo os espaços L^{p}.

Seja μ uma medida complexa sobre S^{1}.

10) Exercício-pesquisa: Estude o teorema de representação de Riesz . Estude o teorema de Lebesgue-Radon-Nikodym (medida complexa). Também estude espaços de Banach separáveis. Estude os espaços de Hardy. Veja refs. 8), 13) e principalmente 19).

11) Mostre que

∫_{S^{1}} \frac{1 − |z|^{2}}{| e^{it} −z|^{2}} dμ(e^{it}) z ∈ B_{1}(0)

é uma função harmônica em B_{1}(0).

12) Seja μ, uma medida positiva sobre S^{1}. Mostre que

f(z) = ∫_{S^{1}} \frac{ζ + z}{ζ − z} dμ(ζ)

é uma função holomorfa em B_{1}(0), e toma valores em {ℜz > 0}.

Seja f uma função contínua em B_{1}(0). Define-se uma função f_{r} em S^{1}, por

f_{r}(e^{iθ}) := f(r e^{iθ})

Seja θ, a medida de Lebesgue usual sobre S^{1}. Denote-se

∥f_{r}∥_{p} = (\frac{1}{2π} ∫_{S^{1}} |f_{r}(e^{iθ})|^{p} dθ)^{1/p} (0 < p < ∞)

∥f_{r}∥_{∞} = sup_{θ} |f(r e^{iθ})|

Seja f uma função holomorfa na bola unitária B_{1}(0), e 0 < p ⩽ ∞. Define-se

∥f∥ := sup{∥f_{r}∥; 0 ⩽ r < 1}

O espaço de Hardy H^{p} para 0 < p ⩽ ∞, consiste de todas as funções holomorfas f definidas na bola unitária para as quais vale ∥f∥_{p} < ∞.

13) Exercício-pesquisa: Estude os espaços de Hardy. Veja refs. 8), 13) e 19).

14) Exercício-pesquisa (Veja a refs. 8), 19)): Suponha que u seja uma função harmônica em B_{1}(0), e que 1 ⩽ p ⩽ ∞. Suponha ainda que

sup{∥u_{r}∥; 0 ⩽ r < 1} = M < ∞

a) Se p = 1, mostre que existe uma única medida de Borel complexa μ, sobre S^{1}, tal que

u = ∫_{S^{1}} \frac{1 − |z|^{2}}{| e^{it} −z|^{2}} dμ(e^{iθ}) z ∈ B_{1}(0)

b) Se p > 1, mostre que existe uma única função f ∈ L^{p}(S^{1}), tal que

u(z) = ∫_{S^{1}} \frac{1 − |z|^{2}}{| e^{it} −z|^{2}} f dθ z ∈ B_{1}(0)

c) (Teorema de Herglotz) Toda função harmônica positiva sobre B_{1}(0), é integral de Poisson de uma única medida de Borel positiva sobre S^{1}. i) Mostre que se f é uma função holomorfa na bola unitária que toma valores no semi plano {ℜz > 0}, com f(0) > 0, então existe uma medida positiva μ em S^{1}, tal que

f(z) = ∫_{S^{1}} \frac{ζ + z}{ζ − z} dμ(ζ)

Lembremos da classe de Nevanlinna parcialmente estudada na lista 7: A família de Nevanlinna, denotada por N , é o conjunto de funções holomorfas em B_{1}(0), satisfazendo

sup_{0<r<1} \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} log^{+} |f(r e^{iθ})| dθ < ∞

15) Exercício-pesquisa (Veja refs. 8), 19)). Mostre o teorema de F. e R. Nevanlinna: Se f é uma função holomorfa na bola unitária, então f ∈ N , se e somente se f é o quociente de duas funções holomorfas limitadas em B_{1}(0).

a) Estude o teorema de fatoração na classe de Nevanlinna N .

b) Estude o teorema de fatoração na classe de Hardy H^{p} para 1 ⩽ p ⩽ ∞.

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