INTROD. VCOMPLEXAS- AGOSTO DE 2004–ListaA

Professor: Ricardo Sá Earp

PARTE A: NÚMEROS COMPLEXOS E GEOMETRIA DE ℂ

1) Coloque sobre a forma x + iy as seguintes expressões

a) \frac{(−1/2 + i\sqrt{3}/2)^{4}}{3 − 2i}.

b) (1 + i)^{n} + (1 − i)^{n}, n ∈ IN.

2) Resolva as equações a) z^{3} = −1.

b) z^{2} + \sqrt{32}iz − 6i = 0.

3) Determine o conjunto

E = \{z; z = c + ρ(\frac{1 + it}{1 − it}), t ∈ IR\}.

c ∈ ℂ, ρ > 0.

4) Seja f(z) = \frac{z − a}{za − 1}, |a| < 1. Mostre que |f(z)| < 1 se |z| < 1 e |f(z)| = 1 se |z| = 1.

Pesquisa opcional: Diga tudo o que você poderá descobrir sobre a função z ↦ f(z). 5)

a) Mostre que se w^{n} = 1, w ≠ 1, n ⩾ 2 então

1 + w + ⋯ + w^{n−1} = 0.

b) Seja w = cos \frac{2π}{n} + i sin \frac{2π}{n} . Mostre que para h ≠ kn, k ∈ ℤ, tem-se que

1 + w^{h} + ⋯ + w^{(n−1)h} = 0.

Além disto verifique que

1 + z + ⋯ + z^{n−1} = (z − w)(z − w^{2}) ⋯ (z − w^{n−1}).

6) Considere L a reta em ℂ determinada pelo número complexo a e pelo vetor diretor b ∈ ℂ, b ≠ 0. Determine os seguintes conjuntos

a) \{z; Im(\frac{z − a}{b}) = 0\}
b) \{z; Im(\frac{z − a}{b}) > 0\}
c) \{z; Im(\frac{z − a}{b}) ⩾ 0\}

7) Mostre que a equação geral de uma reta ou círculo no plano complexo é da

forma

αzz + \overline{β}z + βz + γ = 0

onde α, γ ∈ IR, β ∈ ℂ, |β|^{2} > αγ.

a) Dê condições sobre α para que a equação represente ou bem uma reta ou bem um círculo. No caso do círculo calcule o seu centro e o seu raio, em função dos parâmetros α, β, γ.

8) Demonstrar que a equação do círculo passando por três pontos não colineares a, b, c é dada por

| \begin{matrix}|z|^{2} & z & z & 1 \\ |a|^{2} & a & a & 1 \\ |b|^{2} & b & b & 1 \\ |c|^{2} & c & c & 1 \end{matrix} | = 0

9) Mostre que

A|α|^{2} + Bα\overline{β} + \overline{B}αβ + C|β|^{2} ⩾ 0

para toda escolha de α, β ∈ ℂ ⇔

A ⩾ 0, C ⩾ 0, |B|^{2} ⩽ AC

.

10) Utilize o exercício anterior e o fato que ∑_{k=1}^{n} |αa_{k} + βb_{k}|^{2} ⩾ 0, para α, β ∈ ℂ para estabelecer a desigualdade de Schwarz:

|∑_{k=1}^{n} a_{k}b_{k}|^{2} ⩽ ∑_{k=1}^{n} |a_{k}|^{2} ∑_{k=1}^{n} |b_{k}|^{2}.